3.4
生活中的优化问题举例
[提出问题]
某厂家计划用一种材料生产一种盛500
mL溶液的圆柱形易拉罐．
问题1：生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？
提示：计算出圆柱的表面积即可．
问题2：如何制作使用材料才能最省？
提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x，列出圆柱表面积S＝2πx2＋(x＞0)，求S最小时，圆柱的半径、高即可．
[导入新知]
1．优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．用导数解决优化问题的基本思路
[化解疑难]
1．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．
2．在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围．
面积、容积最值问题
[例1] 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100
m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．
(1)将S表示为θ的函数；
(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．
[解] (1)BM＝AOsin
θ＝100sin
θ，
AB＝MO＋AOcos
θ＝100＋100cos
θ，θ∈(0，π)．
则S＝MB·AB＝×100sin
θ×(100＋100cos
θ)＝5
000(sin
θ＋sin
θcos
θ)，θ∈(0，π)．
(2)S′＝5
000(2cos2θ＋cos
θ－1)
＝5
000(2cos
θ－1)(cos
θ＋1)．
令S′＝0，得cos
θ＝或cos
θ＝－1(舍去)，
此时θ＝.
当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：
θ
S′
＋
0
－
S
?
极大值
?
所以，当θ＝时，S取得最大值Smax＝3
750
m2，此时AB＝150
m，即点A到北京路一边l的距离为150
m.
[类题通法]
解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
[活学活用]
用长为90
cm、宽为48
cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)．
问：该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
解：设容器的高为x
cm，容器的容积为V(x)
cm3，
则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)
＝4x3－276x2＋4
320x(0V′(x)＝12x2－552x＋4
320
＝12(x2－46x＋360)
＝12(x－10)(x－36)．
令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．
当00，V(x)是增函数；
当10因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为
V(10)＝10×(90－20)×(48－20)
＝19
600(cm3)．
故当容器的高为10
cm时，容器的容积最大，最大容积是19
600
cm3.
用料最省(成本最低)问题
[例2] 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
[解] (1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
即n＝－1，
所以，y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝m＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，
f′(x)＝－＋mx＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64,640)内为增函数．
所以f(x)在x＝64处取得最小值，
此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
[类题通法]
解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题，需要求相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，判断函数在该点附近满足左减右增，则此时的极小值就是所求函数的最小值．
[活学活用]
甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(单位：元)关于速度v(单位：千米/时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v，
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式．
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
解：(1)Q＝P·
＝·
＝·400
＝－v2＋6
000(0＜v≤100)．
(2)Q′＝－5v，
令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80.
当0＜v＜80时，Q′＜0；
当80＜v≤100时，Q′＞0，
∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝(元).
利润最大问题
[例3] 某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(单位：百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(单位：百万元，且0≤t≤5)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(单位：百万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(单位：百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大(注：收益＝销售额－投入)．
[解] (1)设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，
∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，
即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x百万元，
则用于广告促销的资金为(3－x)百万元，
又设由此获得的收益是g(x)，则
g(x)＝＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，
∴g′(x)＝－x2＋4.
令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.
当0≤x＜2时，g′(x)＞0；当2＜x≤3时，g′(x)＜0，
故g(x)在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数．
∴当x＝2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．
[类题通法]
(1)经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．
(2)关于利润问题常用的两个等量关系
①利润＝收入－成本．
②利润＝每件产品的利润×销售件数．
[活学活用]
某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝(x∈N
)．
(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；
(2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？
解：(1)因为次品率p＝，
所以当每天生产x件时，有x·件次品，
有x件正品．
所以T＝200x·－100x·
＝25·(x∈N
)．
(2)T′＝－25·，
由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去)．
当00；
当x>16时，T′<0;
所以当x＝16时，T最大，
即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利.
[典例]
(12分)如图所示，有一块半椭圆形钢板，椭圆的长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形面积为S.
(1)求S以x为自变量的函数表达式，并写出其定义域；
(2)求S的最大值．
[解题流程]
[活学活用]
有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40
km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50
km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问：供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
解：如图所示，依题意，点C在线段AD上，设C点距D点x
km，
则BD＝40，AC＝50－x，
所以BC＝＝.
设总的水管费用为y元，则
y＝3a(50－x)＋5a(0y′＝－3a＋，
令y′＝0，解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．
当x＜30时，y′＜0；
当x＞30时，y′＞0，
所以当x＝30时，y取得最小值，
此时AC＝50－30＝20(km)，
即供水站建在A，D之间距甲厂20
km处，可使水管费用最省．
[随堂即时演练]
1．做一个容积为256
m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6
m
B．8
m
C．4
m
D．2
m
解析：选C 设底面边长为x
m，高为h
m，
则有x2h＝256，
所以h＝.
设所用材料的面积为S
m2，
则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.
S′＝2x－，
令S′＝0，得x＝8，
因此h＝＝4(m)．
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
解析：选C y′＝－x2＋81，
令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．
当0＜x＜9时，y′＞0；
当x＞9时，y′＜0.
所以当x＝9时，y取得最大值．
3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
解析：设圆柱的底面半径为R，母线长为L，
则V＝πR2L＝27π，
所以L＝.
要使用料最省，只需使圆柱表面积最小．
S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，
令S表′＝2πR－＝0，得R＝3，
即当R＝3时，S表最小．
答案：3
4．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)．为使利润最大，应生产________千台．
解析：设利润为y，
则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．
答案：6
5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
解：(1)若商品降价x元，
则多卖的商品数为kx2件，
由题意知24＝k·22，得k＝6.
若记商品在一个星期的获利为f(x)，
则依题意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋6x2)
＝(21－x)(432＋6x2)，
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9
072，x∈[0,30]．
(2)根据(1)有f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
0
(0,2)
2
(2,12)
12
(12,30)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
单调递减?
极小值
单调递增?
极大值
单调递减?
故x＝12时，f(x)取得极大值，
因为f(0)＝9
072，f(12)＝11
664，
所以定价为30－12＝18元时，能使一个星期的商品销售利润最大．
[课时达标检测]
一、选择题
1．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0＜x＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )
A．30 B．40
C．50
D．60
解析：选B V′(x)＝2x·＋x2·
＝－x2＋60x＝－x(x－40)．
令V′(x)＝0，得x＝40或x＝0(舍)．
故不难确定x＝40时，V(x)有最大值．选B.
2．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q＝8
300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元
C．28
000元
D．23
000元
解析：选D 毛利润为(P－20)Q，
即f(P)＝(P－20)(8
300－170P－P2)，
f′(P)＝－3P2－300P＋11
700
＝－3(P＋130)
(P－30)．
令f′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍去)．
又P∈[20，＋∞)，故f(P)max＝f(P)极大值，
故当P＝30时，毛利润最大，
∴f(P)max＝f(30)＝23
000(元)．
3．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( )
A.和R
B.R和R
C.R和R
D．以上都不对
解析：选B 设矩形一边的长为x，则另一边的长为2，则l＝2x＋4(0＜x＜R)，l′＝2－，
令l′＝0，解得x1＝R，x2＝－R(舍去)．
当0＜x＜R时，l′＞0；
当R＜x＜R时，l′＜0.
所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R.
4．某公司生产一种产品，固定成本为20
000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )
A．150
B．200
C．250
D．300
解析：选D 由题意可得总利润
P(x)＝R(x)－100x－20
000＝－＋300x－20
000，0≤x≤390，P′(x)＝－x2＋300.令P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当3005．某工厂要围建一个面积为512
m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )
A．32
m,16
m B．30
m,15
m
C．40
m,20
m
D．36
m,18
m
解析：选A 设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x
m，其他两边的边长均为y
m，则xy＝512.
则所用材料l＝x＋2y＝2y＋(y＞0)，
求导数，得l′＝2－.
令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．
当0＜y＜16时，l′＜0；当y＞16时，l′＞0.
所以y＝16是函数l＝2y＋(y＞0)的极小值点，也是最小值点，此时，x＝＝32.
所以当堆料场的长为32
m，宽为16
m时，砌新墙壁所用的材料最省．
二、填空题
6．已知某矩形广场面积为40
000
m2，则其周长至少为________m.
解析：设广场的长为x
m，则宽为
m，于是其周长为y＝2(x＞0)，所以y′＝2，
令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.
当0＜x＜200时，y′＜0；当x＞200时，y′＞0.
所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800
m.
答案：800
7．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20
cm，要使其体积最大，则高为________cm.
解析：设该漏斗的高为x
cm，体积为V
cm3，
则底面半径为
cm，
V＝πx(202－x2)＝π(400x－x3)(0则V′＝π(400－3x2)．
令V′＝0，解得x1＝，x2＝－
(舍去)．
当00；当答案：
8．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________．
解析：存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，x∈(0,0.048)．所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(00；当0.032答案：0.032
三、解答题
9．用总长为14.8
m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5
m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
解：设容器底面较短的边长为x
m，
则容器底面较长的边长为(x＋0.5)
m，
高为＝3.2－2x
(m)，
由3.2－2x>0和x＞0，得0设容器容积为y
m3，
则y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)
＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.
令y′＝0，得x1＝1，x2＝－(舍去)，
当00；当1所以在x＝1处y有最大值，此时容器的高为1.2
m，最大容积为1.8
m3.
10．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0240，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？[年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量]
解：由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x)，年利润为
f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y
＝(3－0.9x)×3
240×
＝3
240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)(0则f′(x)＝3
240(2.7x2－9.6x＋4.5)
＝972(9x－5)(x－3)，由f′(x)＝0，
解得x＝或x＝3(舍去)，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数．
所以当x＝时，f(x)取极大值，f＝20
000，
因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．
所以当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20
000万元．3．1.1
&
3.1.2 变化率问题 导数的概念
平均变化率
[提出问题]
假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．
问题1：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量Δx，Δy分别是多少？
提示：自变量x的改变量为Δx＝x2－x1，函数值的改变量为Δy＝y2－y1.
问题2：Δy的大小能否判断山路的陡峭程度？
提示：不能．
问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？
提示：对山坡AB来说，＝可近似地刻画．
问题4：能用刻画山路陡峭程度的原因是什么？
提示：因表示A，B两点所在直线的斜率k，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山路越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比越大，山路越陡；反之，山路越缓．
问题5：从点A到点B和从点A到点C，两者的相同吗？
提示：不相同．
[导入新知]
函数的平均变化率
对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1，x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．
习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1
的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2.类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为.
[化解疑难]
1．正确理解增量Δx与Δy
Δx是自变量x在x0处的改变量，不是Δ与x的乘积，Δx的值可正，可负，但不能为0.Δy是函数值的改变量，可正，可负，也可以是0.函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f(x)没有变化．
2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变化率的大小可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度.
导数的概念
[提出问题]
一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．
问题1：试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．
提示：＝＝－6－3Δt.
问题2：当Δt趋近于0时，“问题1”中的平均速度趋近于什么？如何理解这一速度？
提示：当Δt趋近于0时，趋近于－6.这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．
[导入新知]
1．瞬时速度的概念
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度：
设物体运动的路程与时间的关系是s＝s(t)，当Δt趋近于0时，函数s(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于一个常数，把这个常数称为瞬时速度．
2．导数的定义
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率：
＝，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝.
[化解疑难]
导数概念的理解
(1)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0处及其附近的函数值有关，与Δx无关．
(2)f′(x0)是一个常数，即当Δx→0时，存在一个常数与无限接近．
求函数的平均变化率
[例1] 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
[解] 函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝
＝6x0＋3Δx.
当x0＝2，Δx＝0.1时，
函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
[类题通法]
求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy.求平均变化率的主要步骤是：
(1)计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
[活学活用]
已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
解析：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.
因为＜，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快.
求函数在某点处的导数
[例2] 根据导数的定义求下列函数的导数．
(1)求函数y＝x2＋3在x＝1处的导数；
(2)求函数y＝在x＝a(a≠0)处的导数．
[解] (1)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝[(1＋Δx)2＋3]－(12＋3)
＝2Δx＋(Δx)2，
∴＝＝2＋Δx.
∴y′|x＝1＝(2＋Δx)＝2.
(2)Δy＝f(a＋Δx)－f(a)＝－
＝＝－，
∴＝－·＝－.
∴y′|x＝a＝
＝－.
[类题通法]
求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤
[活学活用]
已知函数y＝f(x)＝ax2＋c且f′(1)＝2，求a的值．
解：f′(1)＝
＝
＝
＝
＝(2a＋a·Δx)
＝2a＝2.
∴a＝1，即a的值为1.
求瞬时速度
[例3] 若一物体的运动方程为s＝(路程单位：m，时间单位：s)．
求：(1)物体在t＝3
s到t＝5
s这段时间内的平均速度；
(2)物体在t＝1
s时的瞬时速度．
[解] (1)因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3
s到t＝5
s这段时间内的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)因为Δs＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2
＝3(Δt)2－12Δt，
所以＝＝3Δt－12，
则物体在t＝1
s时的瞬时速度为
s′(1)＝＝
(3Δt－12)＝－12(m/s)．
[类题通法]
求瞬时速度的步骤
(1)求位移增量，Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求平均速度，＝；
(3)取极限，＝；
(4)若极限存在，则t0时刻的瞬时速度为v＝.
[活学活用]
一质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2
s时的瞬时速度为8
m/s，求常数a的值．
解：因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1
＝4aΔt＋a(Δt)2，
所以＝4a＋aΔt.
故在t＝2
s时，瞬时速度为s′(2)＝＝4a(m/s)．
由题意知，4a＝8，所以a＝2.
[典例] 已知f(x)在x＝x0处的导数为4，则＝________.
[解析]
＝
＝2
＝2f′(x0)＝2×4＝8.
[答案] 8
[易错防范]
1．本题中x的增量是2Δx，即(x0＋2Δx)－x0＝2Δx，而分母为Δx，两者不同，若忽视这一点，则易得出结论为4的错误答案．
2．在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．
[成功破障]
求.
解：令－Δx＝h，
则
＝
＝－
＝－f′(x)．
[随堂即时演练]
1．已知函数y＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则等于( )
A．4
B．4x
C．4＋2Δx
D．4＋2(Δx)2
解析：选C ＝＝4＋2Δx.
2．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a的值为( )
A．－3
B．2
C．3
D．－2
解析：选C 根据平均变化率的定义，
可知＝＝a＝3.
3．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
解析：＝＝7Δt＋14t0，
当(7Δt＋14t0)＝1时，t0＝.
答案：
4．已知曲线y＝－1上两点A，B2＋Δx，－＋Δy，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
解析：∵Δx＝1,2＋Δx＝3，
∴Δy＝－
＝－＋＝－.
kAB＝＝－.
答案：－
5．求y＝f(x)＝2x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
解：当自变量从x0变化到x0＋Δx时，
函数的平均变化率为
＝
＝4x0＋2Δx，
当x0＝1，Δx＝时，平均变化率的值为
4×1＋2×＝5.
[课时达标检测]
一、选择题
1．当自变量从x1变到x2时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )
A．在区间[x1，x2]上的平均变化率
B．在x1处的变化率
C．在x2处的变化量
D．在区间[x1，x2]上的导数
解析：选A 平均变化率是指函数值的变化量与相应自变量的变化量之比．
2．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间[3,3＋Δt]中，相应的平均速度等于( )
A．6＋Δt
B．6＋Δt＋
C．3＋Δt
D．9＋Δt
解析：选A ＝＝
＝＝6＋Δt.
3．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )
A．6
B．18
C．54
D．81
解析：选B v＝li
＝li
＝li
＝18.
4．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A．k1＞k2
B．k1＜k2
C．k1＝k2
D．不确定
解析：选D k1＝
＝
＝2x0＋Δx，
k2＝
＝
＝2x0－Δx.
因为Δx可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小不确定．
5．设函数在x＝1处存在导数，
则li
＝( )
A．f′(1)
B．3f′(1)
C.f′(1)
D．f′(3)
解析：选C li
＝li
＝f′(1)．
二、填空题
6．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为，则m的值为________．
解析：∵ΔV＝m3－×13＝(m3－1)，
∴＝＝，
即m2＋m＋1＝7，
解得m＝2或m＝－3(舍去)．
答案：2
7．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
解析：由函数f(x)的图象知，
f(x)＝
所以，函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为
＝＝.
答案：
8．当h无限趋近于0时，
＝________.
解析：
＝
＝
(6＋h)＝6.
答案：6
三、解答题
9．已知函数f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，求x0的值．
解：∵f′(x0)＝li
＝li
＝li
＝li
(－8＋2
x0＋Δx)
＝－8＋2
x0，
∴－8＋2
x0＝4.
∴x0＝3
.
10．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m，时间：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．
解：(1)初速度v0＝li
＝li
＝li
(3－Δt)＝3(m/s)．
即物体的初速度为3
m/s.
(2)v＝li
＝li
＝li
＝li
(－Δt－1)＝－1(m/s)．
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1
m/s，方向与初速度相反．
(3)＝＝＝1(m/s)．
即t＝0到t＝2时的平均速度为1
m/s.1．1.1 命 题
[提出问题]
观察下列语句：
(1)三角形的三个内角的和等于360°.
(2)今年校运动会我们班还能得第一吗？
(3)这是一棵大树呀！
(4)实数的平方是正数．
(5)能被4整除的数一定能被2整除．
问题1：上述语句哪几个语句能判断真假？
提示：(1)(4)(5)．
问题2：你能判断它们的真假吗？
提示：能，(5)真，(1)(4)为假．
[导入新知]
命题
[化解疑难]
1．判断一个语句是命题的两个要素：
(1)是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；
(2)可以判断真假．
2．命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
命题的判断
[例1] 判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)是有理数；
(2)3x2≤5；
(3)梯形是不是平面图形呢？
(4)x2－x＋7＞0.
[解] (1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．
(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
(4)因为x2－x＋7＝2＋＞0，所以“x2－x＋7＞0”是真的，故是命题．
[类题通法]
判断语句是不是命题的策略
判断一个语句是不是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，如果满足这两个条件，该语句就是命题，否则就不是．
[活学活用]
判断下列语句是否为命题，并说明理由．
(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；
(2)任何集合都是它自己的子集；
(3)对顶角相等吗？
(4)x＞3.
解：(1)是陈述句，能判断真假，是命题．
(2)是陈述句，能判断真假，是命题．
(3)不是陈述句，不是命题．
(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题.
判断命题的真假
[例2] 判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)当x＝4时，2x＋1＜0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．
[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1＜0.
(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.
(4)是假命题，因为当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列．
[类题通法]
命题真假的判定方法
(1)真命题的判定方法：
真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．
(2)假命题的判定方法：
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．
[活学活用]
下列命题中真命题有( )
①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
解析：选A ①中当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a＜0时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．
命题的结构形式
[例3] 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)6是12和18的公约数；
(2)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.
[解] (1)若一个数是6，则它是12和18的公约数．是真命题．
(2)若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．是假命题．
(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分．是真命题．
(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2.是假命题．
[类题通法]
(1)把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，要将条件写在前面，结论写在后面．
(2)若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．
[活学活用]
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)奇数不能被2整除；
(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；
(3)两个相似三角形是全等三角形；
(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．
解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除．是真命题．
(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1.是真命题．
(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形．是假命题．
(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行．是假命题．
[典例] 将命题“已知a，b为正数，当a＞b时，有＞”写成“若p，则q”的形式，并指出条件和结论．
[解] 根据题意，“若p，则q”的形式为：已知a，b为正数，若a＞b，则＞.
其中条件p：a＞b，结论q：＞.
[易错防范]
1．易误把大前提“已知a，b为正数”当作条件，实际上若一个命题有大前提，则应把它写在“若p，则q”之前，不能写在条件中．
2．任一命题都可以改写成“若p，则q”的形式，关键是分清命题的条件和结论，并且把它们补充成语意完整的句子．
[成功破障]
把命题“已知a，b为正数，当a＞b时，有log2a＞log2b”写成“若p，则q”的形式．
解：“若p，则q”的形式：
已知a，b为正数，
若a＞b，则log2a＞log2b.
[随堂即时演练]
1．下列命题中是真命题的是( )
A．若ab＝0，则a2＋b2＝0
B．若a＞b，则ac＞bc
C．若M∩N＝M，则N M
D．若M N，则M∩N＝M
解析：选D A项中，a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；B项中，c≤0时不成立；C项中，M∩N＝M说明M N.故选项A、B、C皆错误．
2．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中，真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
解析：选B a·b＝0，在a，b为非零向量时可得a⊥b；a2＝b2可改写为|a|2＝|b|2，只能得出|a|＝|b|；a·b＝a·c，可移项得a⊥(b－c)，不可两边同除以向量．
3．命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是____________，结论是__________________．
答案：函数为y＝2x＋1 该函数是增函数
4．下列命题：
①若xy＝1，则x，y互为倒数；
②二次函数的图象与x轴有公共点；
③平行四边形是梯形；
④若a＞b，则a＞b.
其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．
解析：对于②，二次函数图象与x轴不一定有公共点；对于③，平行四边形不是梯形．
答案：①④
5．已知命题p：x2－2x－2≥1；命题q：0＜x＜4，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．
解：由x2－2x－2≥1，即x2－2x－3≥0，
解得x≤－1或x≥3.
故命题p：x≤－1或x≥3.
又命题q：0＜x＜4，且命题p为真，命题q为假，
则
所以x≤－1或x≥4.
故满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列语句不是命题的有( )
①若a＞b，b＞c，则a＞c；②x＞2；③3＜4；
④函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在R上是增函数．
A．0个 B．1个
C．2个
D．3个
解析：选C ①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．
2．下列命题中真命题的个数为( )
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a＞b，则a＋c＞b＋c；
④矩形的对角线互相垂直．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选A ①错；②中x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线相等，但不一定互相垂直．
3．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
解析：选C 命题可改为“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”．
4．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
解析：选D 由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，则a，b有可能异面．
5．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4
B．2
C．0
D．－3
解析：选C 方程无实根时，应满足Δ＝a2－4＜0.故a＝0时适合条件．
二、填空题
6．下列语句中是命题的有________，其中是真命题的有________．(写出序号)
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin
A＝sin
B；
⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．
解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；
②是假命题，0既不是正数也不是负数；
③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；
④是真命题；
⑤祈使句，不是命题．
答案：②③④ ④
7．命题“若a＞0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p是________，结论q是____________________．它是________(填“真”或“假”)命题．
解析：a＞0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，
∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，
∴命题为真命题．
答案：a＞0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真
8．若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵ax2－2ax－3＞0不成立，
∴ax2－2ax－3≤0恒成立．
当a＝0时，－3≤0恒成立；
当a≠0时，
则有
解得－3≤a＜0.
综上，－3≤a≤0.
答案：[－3,0]
三、解答题
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．
(1)乘积为1的两个实数互为倒数；
(2)奇函数的图象关于原点对称；
(3)与同一直线平行的两个平面平行．
解：(1)若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数．它是真命题．
p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．
(2)若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称．它是真命题．
p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．
(3)若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行．它是假命题，这两个平面也可能相交．
p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．
10．已知A：5x－1＞a，B：x＞1，请选择适当的实数a，使得利用A，B
构造的命题“若p，则q”为真命题．
解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x＞，则x＞1”．
由命题为真命题可知≥1，解得a≥4.
若视B为p，则命题“若p，
则q”为“若x＞1，则x＞”．
由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.
故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，
比如这里取a＝1，则有真命题“若x＞1，则x＞”．3.2
导数的计算
基本初等函数的导数
[提出问题]
已知函数：
(1)y＝f(x)＝c，(2)y＝f(x)＝x，
(3)y＝f(x)＝x2，(4)y＝f(x)＝，
(5)y＝f(x)＝.
问题1：函数y＝f(x)＝c的导数是什么？
提示：∵＝＝＝0，
∴y′＝＝0.
问题2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？
提示：由导数的定义得：(x)′＝1，(x2)′＝2x，
′＝－，()′＝
.
问题3：函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α∈Q
)的形式，其导数有何规律？
提示：∵(x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，()′＝(x)′＝x＝，
∴(xα)′＝αxα－1.
[导入新知]
基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
①f(x)＝c
f′(x)＝0
②f(x)＝xα(α∈Q
)
f′(x)＝αxα－1
③f(x)＝sin
x
f′(x)＝cos_x
④f(x)＝cos
x
f′(x)＝－sin_x
⑤f(x)＝ax
f′(x)＝axln__a(a＞0)
⑥f(x)＝ex
f′(x)＝ex
⑦f(x)＝logax
f′(x)＝(a＞0，且a≠1)
⑧f(x)＝ln
x
f′(x)＝
[化解疑难]
理解公式时要注意的五点：
(1)对于幂函数型函数的导数，x为自变量，α为常数，可推广到α∈R也成立；
(2)对于正、余弦函数的导数，关键是符号，余弦函数的导数是正弦函数前加一负号，而正弦函数的导数是余弦函数；
(3)注意指数函数、对数函数导数公式中字母a的范围；
(4)公式⑥是公式⑤的特例，公式⑧是公式⑦的特例；
(5)要重视公式⑤和⑦，对指数和对数的运算要准确．
导数的运算法则
[提出问题]
已知f(x)＝x，g(x)＝.
问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？
提示：f′(x)＝1，g′(x)＝－.
问题2：试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数．
提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋－
＝Δx＋，
∴＝1－，
∴Q′(x)＝＝＝1－.
同理H′(x)＝1＋.
问题3：Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？
提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差．
问题4：[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)对吗？
提示：不对，因为f(x)g(x)＝1，[f(x)g(x)]′＝0，而f′(x)·g′(x)＝1×＝－.
[导入新知]
导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)；
(4)[cf(x)]′＝cf′(x)．
[化解疑难]
导数的运算法则的认识
1．在两个函数积与商的导数运算中，不能认为[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及′＝.
2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．
3．(1)[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f1′(x)＋f2′(x)＋…＋fn′(x)；
(2)[cf(x)]′＝cf′(x)，也就是说，常数与函数的积的导数等于常数乘函数的导数．
利用导数公式求函数的导数
[例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝x20；(2)y＝；(3)y＝sin；
(4)y＝log6x；(5)y＝
.
[解] (1)y′＝(x20)′＝20x20－1＝20x19.
(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5.
(3)y′＝′＝′＝0.
(4)y′＝(log6x)′＝.
(5)y′＝′＝(x)′＝－x＝－x.
[类题通法]
求简单函数的导函数有两种基本方法
(1)用导数的定义求导，运算比较繁杂．
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．
[活学活用]
求下列函数的导数：
(1)y＝x6；(2)y＝log7x；(3)y＝x2.
解：(1)y′＝(x6)′＝6x5.
(2)y′＝(log7x)′＝.
(3)y′＝(x2)′＝(x2·x)′＝(x)′＝x.
求导公式及导数运算法则
[例2] 求下列函数的导数：
(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；
(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；
(3)y＝；
(4)y＝x3·ex；
(5)y＝x2＋log3x.
[解] (1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′
＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′
＝5x4－9x2－10x.
(2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3
＝18x2－8x＋9.
法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，
∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)法一：y′＝′
＝
＝＝.
法二：∵y＝＝＝1－，
∴y′＝′＝′
＝－＝.
(4)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex
＝x2(3＋x)ex.
(5)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′
＝2x＋.
[类题通法]
解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．
[活学活用]
求下列函数的导数：
(1)y＝x；(2)y＝；
(3)y＝3xex－2x＋e.
解：(1)因为y＝x＝x3＋1＋，
所以y′＝3x2－.
(2)y′＝′
＝
＝
＝－.
(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′
＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xln
3·ex＋3xex－2xln
2
＝(ln
3＋1)·(3e)x－2xln
2.
求曲线的切线方程
[例3] (1)曲线y＝sin
x＋ex在点(0,1)处的切线方程是________．
(2)若曲线f(x)＝xsin
x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0相互垂直，则实数a＝________.
[解] (1)∵y＝sin
x＋ex，
∴y′＝cos
x＋ex，
∴y′＝cos
0＋e0＝2，
∴曲线y＝sin
x＋ex在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.
(2)因为f′(x)＝sin
x＋xcos
x，
所以f′＝sin＋cos＝1.
又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，
所以根据题意得1×＝－1，解得a＝2.
答案：(1)2x－y＋1＝0 (2)2
[类题通法]
根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标．
[活学活用]
求曲线y＝在点处的切线方程．
解：∵y＝，
∴y′＝＝，
∴y′|x＝2＝＝－.
因此曲线y＝在点处的切线方程为y－＝－(x－2)，即6x＋25y－32＝0.
[典例] (12分)已知函数f(x)＝x3＋x－16，直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
[解题流程]
[随堂即时演练]
1．曲线f(x)＝xln
x在点x＝1处的切线方程为( )
A．y＝2x＋2
B．y＝2x－2
C．y＝x－1
D．y＝x＋1
解析：选C ∵y＝xln
x，
∴y′＝ln
x＋1，
故切线斜率为k＝y′|x＝1＝1.
∴切线方程为y＝x－1.
2．函数y＝的导数是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A y′＝′
＝
＝＝.
3．曲线y＝x(3ln
x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
解析：y′＝3ln
x＋4，则曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，故切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
答案：y＝4x－3
4．已知函数f(x)＝，则f′＝________.
解析：f′(x)＝
＝，
则f′＝＝1.
答案：1
5．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，且在点(1,1)处的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．
解：因为抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，
所以1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0.
又在点(1,1)处的抛物线的切线方程为4x－y－3＝0，其斜率为4，f′(x)＝2ax＋b，
所以f′(1)＝4，
即2a＋b－4＝0.
解方程组
得
[课时达标检测]
一、选择题
1．给出下列结论：
①(cos
x)′＝sin
x；②′＝cos；
③若y＝，则y′＝－；④′＝
.
其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选B (cos
x)′＝－sin
x，所以①错误；
sin＝，而′＝0，所以②错误；
′＝＝＝－2x－3，所以③错误；
′＝－＝＝x－＝，所以④正确．
2．已知曲线y＝－3ln
x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．3
B．2
C．1
D.
解析：选A 因为y′＝－，
所以由导数的几何意义可知，－＝，
解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．
3．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为( )
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝x4－2
C．f(x)＝x3＋1
D．f(x)＝x4－1
解析：选B 由f′(x)＝4x3知，f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得．
4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为( )
A．1
B．±1
C．－1
D．－2
解析：选A 设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax＋3，所以3x0＋1＝ax＋3.①
对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，
则3ax＝3，ax＝1.②
由①②可得x0＝1，所以a＝1.
5．若f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2
015(x)＝( )
A．sin
x
B．－sin
x
C．cos
x
D．－cos
x
解析：选D 因为f1(x)＝(sin
x)′＝cos
x，
f2(x)＝(cos
x)′＝－sin
x，
f3(x)＝(－sin
x)′＝－cos
x，
f4(x)＝(－cos
x)′＝sin
x，
f5(x)＝(sin
x)′＝cos
x，所以循环周期为4，
因此f2
015(x)＝f3(x)＝－cos
x.
二、填空题
6．若f(x)＝e－x(cos
x＋sin
x)，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝′
＝
＝＝－2e－xsin
x.
答案：－2e－xsin
x
7．(陕西高考)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．
解析：y′＝ex，曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x＞0)的导数为y′＝－(x＞0)，曲线y＝(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－(m＞0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
8．已知f(x)＝x2＋2f′x，则f′＝________.
解析：f′(x)＝2x＋2f′，令x＝－，
则f′＝－＋2f′，
∴f′＝.
答案：
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝(x＋1)2(x－1)；
(2)y＝x2sin
x；
(3)y＝.
解：(1)法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1.
法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1，
y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1.
(2)y′＝(x2sin
x)′＝(x2)′sin
x＋x2(sin
x)′
＝2xsin
x＋x2cos
x.
(3)y′＝
＝＝.
10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，
所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b.
又f′(1)＝2a，
所以3＋2a＋b＝2a，
解得b＝－3.
令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b.
又f′(2)＝－b，
所以12＋4a＋b＝－b，
解得a＝－.
所以f(x)＝x3－x2－3x＋1，
从而f(1)＝－.
又f′(1)＝2×＝－3，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，
即6x＋2y－1＝0.3．3.1 函数的单调性与导数
[提出问题]
已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝的图象如图所示．
问题1：试结合图象指出以上三个函数的单调性．
提示：函数y1＝x在R上为增函数，y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．
问题2：判断它们的导数在其单调区间上的正、负．
提示：y1′＝1，在R上为正；y2′＝2x，在(－∞，0)上为负，在(0，＋∞)上为正；y3′＝－，在
(－∞，0)及(0，＋∞)上均为负．
问题3：结合问题1、问题2，探讨函数的单调性与其导函数的正负有什么关系？
提示：当f′(x)>0时，f(x)为增函数；当f′(x)<0时，f(x)为减函数．
[导入新知]
一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与其导函数有如下关系：
导函数
函数的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
[化解疑难]
在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分不必要条件．出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性．例如，函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0.
函数与导函数的图象
[例1] 已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下列四个图象中为y＝f(x)的大致图象的是( )
[解] 选C 由题图知：当x＜－1时，xf′(x)＜0，
∴f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增；
当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，
∴f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减；
当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，
∴f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减；
当x＞1时，xf′(x)＞0，
∴f′(x)＞0，y＝f(x)单调递增．
[类题通法]
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素：对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
[活学活用]
函数f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
解析：选D 从原函数y＝f(x)的图象可以看出，其在区间(－∞，0)上是减函数，f′(x)＜0；在区间(0，x1)上是增函数，f′(x)＞0；在区间(x1，x2)上是减函数，f′(x)＜0；在区间(x2，＋∞)上是增函数，f′(x)＞0.结合选项可知，只有D项满足．
判断(或证明)函数的单调性
[例2] 证明函数f(x)＝在上单调递减．
证明：∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝.
由于x∈，
所以cos
x
＜0,
sin
x＞0.
因此xcos
x－sin
x＜0，
故f′(x)＜0，
所以f(x)在上单调递减．
[类题通法]
利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)＞0(f′(x)＜0)在给定区间上恒成立，一般步骤为：①求导数f′(x)；②判断f′(x)的符号；③给出单调性结论．
[注意] 如果出现个别点使f′(x)＝0，不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性．
[活学活用]
试证明：函数f(x)＝在区间(0,2)上是增函数．
证明：由于f(x)＝，
所以f′(x)＝＝，
由于0＜x＜2，所以ln
x＜ln
2＜1，
故f′(x)＝＞0，
所以函数f(x)＝在区间(0,2)上是增函数．
求函数的单调区间
[例3] 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x＋sin
x，x∈(0,2π)；
(2)f(x)＝2x－ln
x.
[解] (1)∵f′(x)＝＋cos
x，
∴令f′(x)>0，得＋cos
x>0，
即cos
x>－.
又∵x∈(0,2π)，∴0同理，令f′(x)<0，得π∴该函数的单调递增区间为，；
单调递减区间为.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，
其导函数为f′(x)＝2－.
令2－>0，解得x>；
令2－<0，解得0∴该函数的单调递增区间为，
单调递减区间为.
[类题通法]
求函数y＝f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为增区间；
(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为减区间．
[注意] 当单调区间有多个时，不要写成并集．
[活学活用]
求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3＋；(2)y＝xex.
解：(1)函数的定义域为{x∈R|x≠0}．
f′(x)＝3x2－＝3.
由f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞1；
由f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，且x≠0.
∴函数的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；
单调递减区间为(－1,0)，(0,1)．
(2)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)．
令y′>0，得x>－1；令y′<0，得x<－1.
因此，y＝xex的单调递增区间为(－1，＋∞)，
单调递减区间为(－∞，－1)．
[典例] 已知函数f(x)＝x3－ax－1.讨论f(x)的单调性．
[解] f′(x)＝3x2－a.
①当a≤0时，f′(x)≥0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当a＞0时，令3x2－a＝0得x＝±；
当x＞或x＜－时，f′(x)＞0；
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
因此f(x)在，上为增函数，在上为减函数．
综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数；
当a＞0时，f(x)在，
上为增函数，在上为减函数．
[多维探究]
1．讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对函数单调性的影响以及分类讨论的标准．
2．此题对含参数的函数的单调性进行了讨论．另外，已知函数的单调性确定参数问题更是各类考试的重点，应注意掌握，如更换本题的条件，可得如下问题：
(1)f(x)不变，若f(x)为增函数，求实数a的取值范围．
解：由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即a的取值范围为(－∞，0]．
(2)f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．
解：因为f′(x)＝3x2－a，
且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，
所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，
所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，
所以a≤3，
即a的取值范围为(－∞，3]．
(3)f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a
的取值范围．
解：由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，
得a≥3x2在(－1,1)上恒成立．
因为－1＜x＜1，
所以3x2＜3，
所以a≥3.
即当a的取值范围为[3，＋∞)时，
f(x)在(－1,1)上为减函数．
(4)f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)
，求a的值．
解：由例题可知，f(x)的单调递减区间为，
∴＝1，即a＝3.
(5)f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
解：∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.
由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0)．
∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，
∴0＜＜1，得0＜a＜3，
即a的取值范围为(0,3)．
[随堂即时演练]
1．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x，则函数f(x)的单调递增区间是( )
A．(3,9)
B．(－∞，－1)，(3，＋∞)
C．(－1,3)
D．(－∞，3)，(9，＋∞)
解析：选B ∵f(x)＝x3－3x2－9x，
∴f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)．
令f′(x)＞0，得x＞3或x＜－1.
2．函数f(x)＝2x－sin
x在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．有最大值
D．有最小值
解析：选A ∵cos
x≤1，
∴f′(x)＝2－cos
x＞0恒成立，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
3．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,2)，则b＝________，c＝________.
解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由题意知－1＜x＜2是不等式f′(x)＜0的解，
即－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根，
把－1,2分别代入方程，
解得b＝－，c＝－6.
答案：－ －6
4．函数f(x)＝x－2sin
x在(0，π)上的单调递增区间为________．
解析：令f′(x)＝1－2cos
x＞0，
则cos
x＜，又x∈(0，π)，
解得＜x＜π，
所以函数的单调递增区间为.
答案：
5．讨论下列函数的单调性：
(1)y＝x3－x；
(2)y＝ex＋e－x(x∈[0，＋∞))．
解：(1)y＝x3－x，
y′＝3x2－1＝3.
∵当x＜－或x＞时，y′＞0，
当－＜x＜时，y′＜0，
∴y＝x3－x，在和上是增函数，在上是减函数．
(2)f′(x)＝(ex)′＋′＝ex＋＝ex－e－x
＝，
∵当x∈[0，＋∞)时，ex≥1，
∴f′(x)≥0.
∴f(x)＝ex＋e－x在[0，＋∞)上为增函数．
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若a2－3b＜0，则f(x)是( )
A．减函数
B．增函数
C．常数函数
D．既不是减函数也不是增函数
解析：选B 由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，则方程3x2＋2ax＋b＝0的根的判别式Δ＝4a2－12b＝4(a2－3b)＜0，故f′(x)＞0在实数集R上恒成立，即f(x)在R上为增函数．
2．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞)
D．(－3,1)
解析：选D y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x＋3)ex＞0，由于ex＞0，则－x2－2x＋3＞0，解得－3＜x＜1，所以函数的单调递增区间是(－3,1)．
3．已知函数f(x)＝＋ln
x，则有( )
A．f(2)＜f(e)＜f(3)
B．f(e)＜f(2)＜f(3)
C．f(3)＜f(e)＜f(2)
D．f(e)＜f(3)＜f(2)
解析：选A 因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝＋＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．
4．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( )
解析：选C 由图可知函数应在区间(0,2)上单调递减，在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，只有选项C符合题意．
5．已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f′(x)＜g′(x)，则下列关系式中正确的是( )
A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b)
B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)
C．f(x)≥g(x)
D．f(a)－f(b)≥g(b)－g(a)
解析：选B 据题意，由f′(x)＜g′(x)得f′(x)－g′(x)＜0，故F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上为减函数，由单调性知识知，必有F(x)≥F(b)，即f(x)－g(x)≥f(b)－g(b)，移项整理得：f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)．
二、填空题
6．设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
解析：∵f(x)＝x(ex－1)－x2，
∴f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)
在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．
答案：(－∞，－1)和(0，＋∞) (－1,0)
7．设函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋a，
∵f(x)在(1，＋∞)内是增函数，
∴3x2＋a≥0对x∈(1，＋∞)恒成立，
即a≥－3x2对x∈(1，＋∞)恒成立．
又－3x2<－3，∴a≥－3.
答案：[－3，＋∞)
8．在下列命题中，真命题是________(填序号)．
①若f(x)
在(a，b)内是增函数，则对任意x∈(a，b)，都应有f′(x)>0；
②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；
③若在(a，b)内对任意x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内是增函数；
④若可导函数在(a，b)内有f′(x)<0，则在(a，b)内有f(x)<0.
解析：对于①，可以存在x0，使f′(x0)＝0不影响区间内函数的单调性；对于②，导数f′(x)符号不确定，函数不一定是单调函数；对于④，f′(x)<0只能得到f(x)单调递减．
答案：③
三、解答题
9．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x2－ln
x；
(2)f(x)＝.
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝.
因为x＞0，所以x＋1＞0，
由f′(x)＞0，解得x＞，
所以函数f(x)的单调递增区间为；
由f′(x)＜0，解得x＜，又x∈(0，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为.
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以ex＞0，(x－2)2＞0.
由f′(x)＞0，解得x＞3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)＜0，解得x＜3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
10．已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0，求a的取值范围．
解：由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，
则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，
f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex.
依题意需对于任意x∈[0,1]，有f′(x)≤0.
当a＞0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a＜0，
所以需f′(1)＝(a－1)e≤0，即0＜a≤1；
当a＝0时，对于任意x∈(0,1)，f′(x)＝－xex＜0，符合条件；
当a＜0时，f′(0)＝－a＞0，不符合条件．
故a的取值范围为[0,1]．2．3.1 抛物线及其标准方程
抛物线的定义
[提出问题]
如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．
问题1：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？
提示：是．AB是直角三角形的一条直角边．
问题2：点D在移动过程中，满足什么条件？
提示：|DA|＝|DC|.
问题3：画出的曲线是什么形状？
提示：抛物线．
[导入新知]
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
[化解疑难]
对抛物线定义的认识
(1)定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.
(2)注意定点F不在直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
抛物线的标准方程
[提出问题]
平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－2,0)；l1：x＝－1，l2：x＝2.
问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹是什么？对应方程是什么？
提示：抛物线；y2＝4x.
问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？
提示：y2＝－8x.
[导入新知]
抛物线标准方程的几种形式
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p＞0)
x＝－
y2＝－2px(p＞0)
x＝
x2＝2py(p＞0)
y＝－
x2＝－2py(p＞0)
y＝
[化解疑难]
1．标准方程特征：等号一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一变量的一次项．
2．标准方程中p表示焦点到准线的距离，p的值永远大于零．
3．四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.
求抛物线的焦点及准线
[例1] 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2＝－14x；
(2)5x2－2y＝0；
(3)y2＝ax(a＞0)．
[解] (1)因为p＝7，所以焦点坐标是，准线方程是x＝.
(2)抛物线方程化为标准形式为x2＝y，
因为p＝，
所以焦点坐标是，准线方程是y＝－.
(3)由a＞0知p＝，所以焦点坐标是，准线方程是x＝－.
[类题通法]
已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p，从而得焦点坐标和准线方程．需注意p＞0，焦点所在轴由标准方程一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴．
[活学活用]
求抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标和准线方程．
解：把抛物线方程y＝ax2化成标准方程x2＝y.
当a＞0时，焦点坐标是，准线方程是y＝－；
当a＜0时，焦点坐标是，准线方程是y＝－.
综上知，所求抛物线的焦点坐标为，准线方程为y＝－.
求抛物线的标准方程
[例2] 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6,6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
[解] (1)由于点M(－6,6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p＞0)，
将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，
设其方程为x2＝2py(p＞0)，
将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，
∴抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，
∴抛物线的焦点是F(2,0)，
∴＝2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x.
②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
∴＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.
综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.
[类题通法]
求抛物线的标准方程的关键与方法
(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．
(2)方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程；
②直接根据定义求p，最后写标准方程；
③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数．
[活学活用]
根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝－1；
(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.
(1)由准线方程为y＝－1知抛物线焦点在y轴正半轴上，且＝1，则p＝2.故抛物线的标准方程为x2＝4y.
(2)设焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，
则焦点坐标为，准线为x＝－，
则焦点到准线的距离是－－＝p＝3，
因此所求的抛物线的标准方程是y2＝6x.
利用抛物线定义求轨迹方程
[例3] 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．
[解] 法一：设点P的坐标为(x，y)，
则有＝|x|＋1.
两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|.
∴y2＝∴点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．
法二：由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合条件；当x≥0时，题中条件等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.
故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．
[类题通法]
求轨迹方程一般有两种方法：一是直接法，根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程；二是定义法，利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线，再根据抛物线的性质写出方程．
[活学活用]
已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．
解：法一：设点P的坐标为(x，y)，
由条件知|AP|＝r＋1(r为圆P的半径)，
即＝|x－1|＋1，
化简，整理得y2＝－8x.
∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.
法二：如图所示，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K，作PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，则|KQ|＝1，∴|PQ|＝r＋1.
又|AP|＝r＋1，∴|AP|＝|PQ|，
故点P到圆心A(－2,0)的距离和定直线x＝2的距离相等，
∴点P的轨迹为抛物线，A(－2,0)为焦点，直线x＝2为准线．
∴＝2，∴p＝4.∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.
[典例] 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．
[解] 如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，
当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．
∴(|PA|＋|PF|)min
＝|AB|＝3＋＝.
此时yP＝2，代入抛物线得xP＝2，
∴P点坐标为(2,2)．
[多维探究]
(1)若已知抛物线上点P到焦点F的距离(或与此有关)，往往转化为点P到准线的距离，其步骤是：
①过P作PN垂直于准线l，垂足N；
②连接PF；
③|PF|＝(焦点在x轴正半轴上时)．
(2)上例中，求|PA|＋|PF|的最小值时，结合图形，根据平面几何知识判断|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|.体现了数形结合的思想．
1．若点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．
由图可知，P点，(0,2)点，和抛物线的焦点三点共线时距离之和最小，
所以最小距离
d＝
＝.
2．若点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
解：如图．
|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|≥|AF|min.
AF的最小值为F到直线3x－4y＋＝0的距离．
d＝＝1.
3．若长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，求M点到y轴的最短距离．
解：设抛物线焦点为F，连接AF，BF，如图抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－，过A，B，M分别作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分别为A′，B′，M′.
由抛物线定义，知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|.
又M为AB中点，由梯形中位线定理，
得|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)
＝(|FA|＋|FB|)
≥|AB|＝×3＝.
则x≥－＝1(x为M点的横坐标，当且仅当AB过抛物线的焦点时取得等号)，
所以xmin＝1，
即M点到y轴的最短距离为1.
[类题通法]
解决此类问题通过回归抛物线定义和运用平面几何知识中的两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等，使问题化难为易．
[随堂即时演练]
1．焦点是F(0,5)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝20x
B．x2＝20y
C．y2＝x
D．x2＝y
解析：选B 由5＝得p＝10，且焦点在y轴正半轴上，故方程形式为x2＝2py，所以x2＝20y.
2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4
B．6
C．8
D．12
解析：选B 由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
3．若双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则m＝________.
解析：∵抛物线焦点为(3,0)，
∴＝3且m＞0，则m＝6.
答案：6
4．焦点为F的抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M在准线上的射影为N，若|MN|＝p，则|FN|＝________.
解析：由条件知|MF|＝|MN|＝p，MF⊥MN，
在△MNF中，∠FMN＝90°，得|FN|＝p.
答案：p
5．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标．
解：由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，
得其焦点坐标为F，
准线方程为x＝，
设点M到准线的距离为d，
则d＝|MF|＝10，
即－(－9)＝10，
因此p＝2.
故抛物线的方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6.
故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
[课时达标检测]
一、选择题
1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－4x
B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y
D．y2＝4x或x2＝－4y
解析：选C 设抛物线方程为y2＝－2p1x或x2＝2p2y，把(－4,4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.
故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.
2．已知点P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且点P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4
C．8
D．16
解析：选B 准线方程为x＝－p，
∴8＋p＝10，p＝2.
∴焦点到准线的距离为2p＝4.
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A.
B．1
C．2
D．4
解析：选C ∵抛物线y2＝2px的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，
∴－＝－1，即p＝2.
4．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线
B．双曲线
C．椭圆
D．圆
解析：选A 由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．
5．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取最小值时，点P的坐标为( )
A.
B.
C．(1,2)
D．(1，－2)
解析：选A 点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，点P坐标为.
二、填空题
6．抛物线x＝y2的焦点坐标是________．
解析：方程改写成y2＝4mx，得2p＝4m，
∴p＝2m，即焦点(m,0)．
答案：(m,0)
7．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
解析：解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.
答案：
8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；
设M(1，y0)是y2＝10x上一点，
则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，
所以③不满足；
由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
答案：②④
三、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
解：法一：如图所示，
设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，
则焦点F，准线l：y＝.
作MN⊥l，垂足为N，
则|MN|＝|MF|＝5，
而|MN|＝3＋，3＋＝5，
即p＝4.
所以抛物线方程为x2＝－8y，
准线方程为y＝2.
由m2＝－8×(－3)＝24，
得m＝±2.
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，
则焦点为F.
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，故
解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，
准线方程为y＝2.
10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)．
解：如图所示：
(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高h，则|DB|＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，
解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．2．2.2 双曲线的简单几何性质
[提出问题]
已知双曲线C1的方程：－＝1.
问题1：双曲线C1中的三个参数a，b，c的值分别为多少？
提示：3,4,5.
问题2：试画出双曲线C1的草图？
提示：如图所示：
问题3：观察双曲线C1的图象，曲线与x轴、y轴哪一条轴有交点？有无对称性？
提示：与x轴有交点，有对称性．
[导入新知]
1．双曲线的几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或
x≥a，y∈R
y≤－a或
y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
2．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝.
[化解疑难]
对双曲线的简单几何性质的几点认识
(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．
(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程－＝1(a＞0，b＞0)，得＝1＋≥1，∴x2≥a2，∴|x|≥a，即x≤－a或x≥a.
(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．
(4)对称性：由双曲线的方程－＝1(a＞0，b＞0)，若P(x，y)是双曲线上任意一点，则P1(－x，y)，P2(x，－y)均在双曲线上，因P与P1，P2分别关于y轴、x轴对称，因此双曲线分别关于y轴、x轴对称．只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个．
双曲线的几何性质
[例1] 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[解] 双曲线的方程化为标准形式是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，
∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x.
[类题通法]
已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．
[活学活用]
求双曲线9x2－16y2＋144＝0的实半轴长、虚半轴上长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图．
解：把方程9x2－16y2＋144＝0化为标准方程为
－＝1.
由此可知，实半轴长a＝3；
虚半轴长b＝4；
c＝＝＝5，
焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；
离心率e＝＝；
渐近线方程为y＝±x＝±x.
双曲线的草图如图．
利用双曲线的几何性质求其标准方程
[例2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.
[解] (1)设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为
－＝λ(λ≠0)，
当λ＞0时，a2＝4λ，
∴2a＝2＝6 λ＝.
当λ＜0时，a2＝－9λ，
∴2a＝2＝6 λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
[类题通法]
(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c2＝a2＋b2及e＝列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．
(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么此双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
[活学活用]
分别求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)；
(2)双曲线过点(3,9)，离心率e＝.
(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．
解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，
得b2＝1.
故双曲线C的标准方程为－y2＝1.
(2)由e2＝，得＝，
设a2＝9k(k＞0)，
则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
于是，设所求双曲线方程为－＝1，①
或－＝1，②
把(3,9)代入①，得k＝－161与k＞0矛盾；
把(3,9)代入②，得k＝9，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k(k≠0)，
将点(2，－2)代入，得k＝－(－2)2＝－2，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
双曲线的离心率
[例3] 已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，求此双曲线的离心率．
[解] 当焦点在x轴上时，
其渐近线方程为y＝±x，
依题意，得＝，b＝a，c＝＝a，
∴e＝＝；
当焦点在y轴上时，其渐近线方程为y＝±x，
依题意，得＝，b＝a，c＝＝a，
∴e＝＝.
∴此双曲线的离心率为或.
[类题通法]
求双曲线离心率的常用方法
(1)依据条件求出a，c，计算e＝.
(2)依据条件建立a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解；另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e＝求解．
[活学活用]
已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
解：设F1(c,0)，
将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，
则y＝±.
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，
知|PF1|＝|F1F2|，
∴＝2c，∴b2＝2ac.
∴c2－2ac－a2＝0，
∴2－2×－1＝0.
即e2－2e－1＝0.
∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．
所以所求双曲线的离心率为1＋.
[典例] (12分)已知斜率为2的直线被双曲线－＝1所截得的弦长为4，求直线l的方程．
[解题流程]
[活学活用]
已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围．
(2)若直线l与双曲线C两支交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
解：(1)由
消去y整理，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
由题意知
解得－＜k＜且k≠±1.
所以实数k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)得x1＋x2＝－，x1x2＝－.
又直线l恒过点D(0，－1)，且x1x2＜0，
则S△OAB＝S△OAD＋S△OBD
＝|x1|＋|x2|＝|x1－x2|＝.
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，
即2＋＝8.
解得k＝0或k＝±，
由(1)知上述k的值符合题意，
所以k＝0或k＝±.
[随堂即时演练]
1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：选A 由题意知c＝4，焦点在x轴上，
所以2＋1＝e2＝4，
所以＝，
又由a2＋b2＝4a2＝c2＝16，
得a2＝4，b2＝12.
所以双曲线的方程为－＝1.
2．(全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A.
B.
C.
D．2
解析：选A 因为MF1与x轴垂直，
所以|MF1|＝.
又sin∠MF2F1＝，
所以＝，即|MF2|＝3|MF1|.
由双曲线的定义得
2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，
所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，
所以离心率e＝＝.
3．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．
解析：由题意得双曲线的焦点在x轴上，
且a＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，
即c∶b＝5∶4，解得c＝5，b＝4，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
4．过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为________．
解析：双曲线的左焦点为F1(－2,0)，
将直线AB的方程y＝(x＋2)代入双曲线方程，
得8x2－4x－13＝0，显然Δ＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝·
＝
×
＝3.
答案：3
5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)过点(3，－)，离心率e＝；
(2)中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)．
解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，
设其标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
因为双曲线过点(3，－)，
则－＝1.①
又e＝＝
＝，故a2＝4b2.②
由①②得a2＝1，b2＝，
故所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
若双曲线的焦点在y轴上，
设其标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
同理可得b2＝－，不符合题意．
综上可知，所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
(2)由2a＝2b得a＝b，
∴e＝
＝，
所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点P(4，－)，
∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列双曲线中离心率为的是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：选B 由e＝得e2＝，
∴＝，
则＝，
∴＝，
即a2＝2b2.因此可知B正确．
2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )
A．x2－y2＝8
B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8
D．y2－x2＝4
解析：选A 令y＝0得，x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，
∴c＝4，a2＝c2＝×16＝8，故选A.
3．(全国乙卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3)
B．(－1，)
C．(0,3)
D．(0，)
解析：选A 由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m24．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是( )
A．(－10,0)
B．(－12,0)
C．(－3,0)
D．(－60，－12)
解析：选B 由题意知k＜0，
∴a2＝4，b2＝－k.
∴e2＝＝＝1－.
又e∈(1,2)，
∴1＜1－＜4，
∴－12＜k＜0.
5．(天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )
A.－y2＝1
B．x2－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：选A 由焦距为2，得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝.又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.
二、填空题
6．若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________．
解析：由渐近线方程为y＝±x＝±x，得m＝3，所以c＝，又焦点在x轴上，则焦点坐标为(±，0)．
答案：(±，0)
7．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．
解析：由题意知，a＋c＝，
即a2＋ac＝c2－a2，
∴c2－ac－2a2＝0，
∴e2－e－2＝0，
解得e＝2或e＝－1(舍去)．
答案：2
8．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.
不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，
解得x＝，y＝－，所以B.
所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)|yB|
＝×(5－3)×＝.
答案：.
三、解答题
9．已知椭圆方程是＋＝1，双曲线E的渐近线方程是3x＋4y＝0，若双曲线E以椭圆的焦点为其顶点，求双曲线的方程．
解：由已知，得椭圆的焦点坐标为(±，0)，顶点坐标为(±，0)和(0，±)．
因双曲线以椭圆的焦点为顶点，
即双曲线过点(±，0)时，可设所求的双曲线方程为9x2－16y2＝k(k≠0)，将点的坐标代入得k＝45，
故所求方程是－＝1.
10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且＝.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
解：(1)由题意得解得
所以b2＝c2－a2＝2.
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
由
得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ＞0)．
所以x0＝＝m，
y0＝x0＋m＝2m.
因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，
所以m2＋(2m)2＝5.
故m＝±1.2．2.1 双曲线及其标准方程
双曲线的定义
[提出问题]
问题1：平面内，动点P到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之和为12，动点P的轨迹是什么？
提示：椭圆．
问题2：平面内，动点P到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值为6，动点P的轨迹还是椭圆吗？是什么？
提示：不是，是双曲线．
[导入新知]
双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
[化解疑难]
平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数，即||MF1|－|MF2||＝2a，关键词“平面内”．
当2a＜|F1F2|时，轨迹是双曲线；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；
当2a＞|F1F2|时，轨迹不存在．
双曲线的标准方程
[提出问题]
问题1：“知识点一”的问题2中，动点P的轨迹方程是什么？
提示：－＝1.
问题2：平面内，动点P到两定点F1(0,5)，F2(0，－5)的距离之差的绝对值为定值6，动点P的轨迹方程是什么？
提示：－＝1.
[导入新知]
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
[化解疑难]
1．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方差，并且分母大小关系不确定．
2．a，b，c三个量的关系：
标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a＞b＞0，而双曲线中，a，b大小不确定．
对双曲线标准方程的认识
[例1] 已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是( )
A．(5，＋∞)
B．(－2,2)∪(5，＋∞)
C．(－2,2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[解] ∵方程对应的图形是双曲线，
∴(k－5)(|k|－2)＞0.
即或
解得k＞5或－2＜k＜2.
[答案]
B
[类题通法]
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn＜0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．
[活学活用]
若k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．焦点在x轴上的双曲线
解析：选C 原方程化为－＝1，
∵k＞1，
∴k2－1＞0，k＋1＞0.
∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．
求双曲线的标准方程
[例2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A；
(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．
[解] (1)当焦点在x轴上时，
设所求双曲线的标准方程为－＝1(b＞0)，
把A点的坐标代入，得b2＝－×＜0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，
设所求双曲线的标准方程为－＝1(b＞0)，
把A点的坐标代入，得b2＝9，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
[类题通法]
1．双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．
2．求双曲线标准方程的两个关注点
(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
[活学活用]
根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
解：(1)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为－＝1.
由题意，知解得
故双曲线的方程为－＝1.
(2)∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0＜λ＜6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，
∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线方程是－y2＝1.
双曲线定义及标准方程的应用
[例3] 设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为( )
A．6
B．12
C．12
D．24
[解] 如图所示，
∵|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
且|PF1|∶|PF2|＝3∶2，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.
又∵|F1F2|＝2c＝2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴S＝|PF1|·|PF2|＝×6×4＝12.
[答案]
B
[类题通法]
在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正弦定理、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．
[活学活用]
若把本题中的“|PF1|∶|PF2|＝3∶2”改为“·＝0”，求△PF1F2的面积．
解：由题意·＝0，
得PF1⊥PF2，
∴△PF1F2为直角三角形，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2.
又∵||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2)
＝4(1＋12)＝52，
∴4＋2|PF1|·|PF2|＝52，
∴|PF1|·|PF2|＝24，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝12.
[典例] 已知定点A(－3,0)和定圆C：(x－3)2＋y2＝16，动圆和圆C相外切，并且过定点A，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解] 设M(x，y)，设动圆与圆C的切点为B，|BC|＝4.则|MC|＝|MB|＋|BC|，|MA|＝|MB|，
所以|MC|＝|MA|＋|BC|，
即|MC|－|MA|＝|BC|＝4＜|AC|.
所以由双曲线的定义知，M点轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，设其方程为－＝1(x<0)，且a＝2，c＝3，所以b2＝5.
所以所求圆心M的轨迹方程是－＝1(x≤－2)．
[易错防范]
1．求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支．
2．在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能保证解题的正确性．当||PF1|－|PF2||＝2a＜|F1F2|(a＞0)，即|PF1|－|PF2|＝±2a(0＜2a＜|F1F2|)时，P点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支．
[成功破障]
求与⊙C1：x2＋(y－1)2＝1和⊙C2：x2＋(y＋1)2＝4都外切的动圆圆心M的轨迹方程．
解：∵⊙M与⊙C1，⊙C2都外切，
∴|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋2.
从而可知|MC2|－|MC1|＝1＜|C1C2|.
因此，点M的轨迹是以C2，C1为焦点的双曲线的上支，且有a＝，c＝1，b2＝c2－a2＝.
故所求的双曲线的方程为4y2－＝1.
[随堂即时演练]
1．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．直线
D．一条射线
解析：选D F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
2．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )
A.－y2＝1
B.－y2＝1
C.－＝1
D．x2－＝1
解析：选B 法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线过点P(2,1)，
所以－＝1，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是－y2＝1.
法二：设所求双曲线方程为＋＝1(1<λ<4)，
将点P(2,1)的坐标代入可得＋＝1，
解得λ＝2(λ＝－2舍去)，
所以所求双曲线方程为－y2＝1.
3．若方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
解析：由题意知，(1＋k)(1－k)＞0，即－1＜k＜1.
答案：(－1,1)
4．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，)或(3，－)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.
答案：4
5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；
(2)经过点(3，－4)，.
解：(1)由题设知，a＝3，c＝4，
由c2＝a2＋b2得，b2＝c2－a2＝42－32＝7.
因为双曲线的焦点在x轴上，
所以所求双曲线的标准方程为
－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
因为双曲线经过点(3，－4)，，
所以解得
故所求双曲线的标准方程为
－＝1.
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D.－＝0或－＝0
解析：选C 由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．
又∵a＝5，c＝7，∴b2＝72－52＝24.
2．已知m，n∈R，则“m·n＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 若方程＋＝1表示双曲线，则必有m·n＜0；当m·n＜0时，方程＋＝1表示双曲线．所以“m·n＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的充要条件．
3．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( )
A.
B.
C.
D．5
解析：选C 如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.
4．双曲线－＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到焦点F1的距离是12，则点P到焦点F2的距离是( )
A．17
B．7
C．7或17
D．2或22
解析：选D 依题意及双曲线定义知，||PF1|－|PF2||＝10，即12－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝2或22，故选D.
5．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1
B.－y2＝1
C．y2－＝1
D.－＝1
解析：选A 由双曲线定义知，
2a＝－＝5－3＝2，
∴a＝1.又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，
因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
二、填空题
6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.
解析：由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，
所以m＞0，且m＋9＝52，
解得m＝16.
答案：16
7．经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是______________．
设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
则
解得
故双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
8．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且→·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________．
解析：解析：由题意可设双曲线方程为
－＝1(a＞0，b＞0)．
由·＝0，得PF1⊥PF2.
根据勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝20.
根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a.
两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得20－2×2＝4a2，
解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，
所以双曲线方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
三、解答题
9．已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程．
解：已知双曲线－＝1.
据c2＝a2＋b2，得c2＝16＋9＝25，
∴c＝5.设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
依题意，c＝5，
∴b2＝c2－a2＝25－a2，
故双曲线方程可写为－＝1.
∵点P在双曲线上，
∴－＝1.
化简，得4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或a2＝.
又当a2＝时，
b2＝25－a2＝25－＝－＜0，不合题意，舍去，故a2＝1，b2＝24.
∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
10．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin
B－sin
A＝sin
C.
(1)求线段AB的长度；
(2)求顶点C的轨迹方程．
解：(1)将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1.
∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，
则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4.
(2)∵sin
B－sin
A＝sin
C，
∴由正弦定理得
|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|＝4，
即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，∴所求的点C的轨迹方程为
x2－＝1(x＞1)．1．1.2
&
1.1.3 四种命题 四种命题间的相互关系
四种命题
[提出问题]
观察下列四个命题：
(1)若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形；
(2)若一个四边形是矩形，则其两对角线相等；
(3)若一个四边形两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；
(4)若一个四边形不是矩形，则其两对角线不相等．
问题：命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件；
对于命题(1)和(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；
对于命题(1)和(4)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．
[导入新知]
1．四种命题的概念
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．
2．四种命题结构
[化解疑难]
1．用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p，q的否定．
2．四种命题是相对的，一个命题是什么命题不是固定不变的.
四种命题之间的关系
[提出问题]
问题：我们同样观察知识点一中的四个命题，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？
提示：命题(2)(3)是互为逆否命题，命题(2)(4)是互否命题，命题(3)(4)是互逆命题．
[导入新知]
1．四种命题之间的关系
2．四种命题的真假性之间的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
[化解疑难]
互逆命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一.
四种命题的概念
[例1] 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.
[解] (1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；
逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；
逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．
(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0；
逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0；
逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
[类题通法]
(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．
(2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．
[活学活用]
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断它们的真假：
(1)正数a的平方根不等于0；
(2)平行于同一条直线的两条直线平行．
解：(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.是真命题．
逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．是假命题．
否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.是假命题．
逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．是真命题．
(2)原命题：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行．是真命题．
逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线．是真命题．
否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行．是真命题．
逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线．是真命题.
四种命题真假的判断
[例2] 有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；
(3)“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解] 选B (1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；
(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题；
(3)该命题的否命题为“若x＞3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题；
(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．
[类题通法]
解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．
[活学活用]
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
(1)在△ABC中，若BC＞AC，则A＞B；
(2)相等的两个角的正弦值相等．
解：(1)逆命题：在△ABC中，若A＞B，则BC＞AC.真命题．
否命题：在△ABC中，若BC≤AC，则A≤B.真命题．
逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则BC≤AC.真命题．
(2)
逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题．
否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题．
逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题.
等价命题的应用
[例3] 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
[解] 证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)”．
若a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
即原命题的逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
法二：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)．
∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．
因此假设不成立，故a＋b≥0.
[类题通法]
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
[活学活用]
证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.
证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n＞2，则m2＋n2≠2”．
由于m＋n＞2，则m2＋n2≥(m＋n)2＞×22＝2，所以m2＋n2≠2.
故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．
[典例] 将命题“当a＞0时，函数y＝ax＋b是增函数”写成“若p，则q”的形式，并写出其否命题．
[解] “若p，则q”的形式：若a＞0，则函数y＝ax＋b是增函数．
否命题：若a≤0，则函数y＝ax＋b不是增函数．
[易错防范]
1．“a＞0”的否定易误为“a＜0”，“增函数”的否定易误为“减函数”，这是初学者易犯的错误．
2．在写一个命题的否命题、逆否命题时，一定要搞清楚所否定的对象及其所对应的性质，如本题中，实数a可能有三种取值，分别为a＞0，a＝0，a＜0，从而a＞0的否定是a≤0.
[成功破障]
(山东高考)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.
[随堂即时演练]
1．命题“若a A，则b∈B”的否命题是( )
A．若a A，则b B
B．若a∈A，则b B
C．若b∈B，则a A
D．若b B，则a A
解析：选B 命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“ ”互为否定形式．
2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：选C 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．
3．命题“若x＞1，则x＞0”的逆命题是__________，逆否命题是________________．
答案：若x＞0，则x＞1 若x≤0，则x≤1
4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
解析：逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；
否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；
逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”；
全为真命题．
答案：4
5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c＞0无解”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假．
解：(1)命题p的否命题为：“若ac＜0，则二次不等式ax2＋bx＋c＞0有解”．
(2)命题p的否命题是真命题．
判断如下：因为ac＜0，
所以－ac＞0 Δ＝b2－4ac＞0 二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根 ax2＋bx＋c＞0有解．
所以该命题是真命题．
[课时达标检测]
一、选择题
1．命题“若a＝－b，则＝”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则≠
B．若a＝－b，则≠
C．若≠，则a≠－b
D．若＝，则a＝－b
解析：选D 原命题的条件是a＝－b，把它作为逆命题的结论；原命题的结论是＝，把它作为逆命题的条件，即得逆命题“若＝，则a＝－b”．
2．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3
D．4
解析：选B 命题“若a＞－3，则a＞－6”的逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”，为假命题，则它的否命题“若a≤－3，则a≤－6”也必为假命题；它的逆否命题“若a≤－6，则a≤－3”为真命题．故真命题的个数为2.
3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( )
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，能被3整除
解析：选B 即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题．
4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )
A．互逆命题
B．互否命题
C．互为逆否命题
D．以上都不正确
解析：选A 设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．
5．下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题；④若m＞2，则不等式x2－2x＋m＞0.其中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选B 命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠0，则xy≠0”，为假命题；
命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；
命题③的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，为假命题；
命题④为真命题，当m＞2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ＜0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.
二、填空题
6．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为______．
解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0时，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．
答案：假命题
7．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．
解析：由已知得，若1＜x＜2成立，
则m－1＜x＜m＋1也成立．
∴∴1≤m≤2.
答案：[1,2]
8．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________________________________________________________________________；
互为否命题的有________________________________________________________________________；
互为逆否命题的有________________________________________________________________________．
(填序号)
解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．
答案：②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤
三、解答题
9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．
(1)等高的两个三角形是全等三角形；
(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
解：(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．它是真命题．
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．它是真命题．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．它是假命题．
(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．它是假命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．它是假命题．
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．它是真命题．
10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集”．
判断其真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a＜1，
所以4a－7＜0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点．
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真命题．1.2
分条件与必要条件
充分条件与必要条件
[提出问题]
在物理中，我们经常遇到这样的电路图：
问题1：图中A开关闭合时B灯一定亮吗？
提示：一定亮．
问题2：B灯亮时A开关一定闭合吗？
提示：不一定，还可能是C开关闭合．
[导入新知]
充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p q
pq
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
[化解疑难]
1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．
2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立.
充要条件
[提出问题]
如图是一物理电路图．
问题1：图中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合吗？
提示：一定闭合．
问题2：开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q，你能判断p，q之间的推出关系吗？
提示：p q.
[导入新知]
充要条件
如果既有p q，又有q p，记作p q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件．
[化解疑难]
p是q的充要条件时，q也是p的充要条件，即充要条件是相互的，我们也称条件p和条件q是等价的，如果p和q是两个命题，则这两个命题是等价命题．
充分条件、必要条件、充要条件的判断
[例1] 判断下列各题中p是q的什么条件．
(1)在△ABC中，p：cos2A＝cos2B，q：A＝B；
(2)p：x＞1，q：x2＞1；
(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(4)p：a＜b，q：＜1.
[解] (1)在△ABC中，A∈(0，π)，B∈(0，π)，且A＋B＋C＝π.若cos2A＝cos2B，则A＝B；反之，若A＝B，则cos2A＝cos2B.因此，p是q的充要条件．
(2)由x＞1可以推出x2＞1；由x2＞1，得x＜－1，或x＞1，不一定有x＞1.因此，p是q的充分不必要条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2，或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．
(4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；
当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；
当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b；
当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b.
因此p是q的既不充分也不必要条件．
[类题通法]
充分、必要、充要条件的判断方法
判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．
[活学活用]
指出下列各组命题中p是q的什么条件．
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形四边形的对角线相等，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0 x＝1且y＝2 (x－1)·(y－2)＝0，
而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，
∴p是q的充分不必要条件.
充要条件的证明
[例2] 试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[解] (1)必要性：
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.
(2)充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，
且两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[类题通法]
充要条件的证明思路
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q p，“必要性”是p q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．
(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
[活学活用]
已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0.
证明：(1)必要性：由＜，
得－＜0，即＜0，
又由x＞y，得y－x＜0，所以xy＞0.
(2)充分性：由xy＞0及x＞y，
得＞，即＜.
综上所述，＜的充要条件是xy＞0.
充分、必要条件的应用
[例3] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
[解] 因为p是q的充分不必要条件，
所以p q但q /
p，
即是的真子集，
所以或解得m≥9.
所以实数m的取值范围为.
[类题通法]
应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合思想的应用．
[活学活用]
已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3＜0}，若x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．
解：由题意知，Q＝{x|1＜x＜3}，Q P，
所以
解得－1≤a≤5.
故实数a的取值范围是[－1,5]．
有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，贯穿整个高中数学的始终，与不等式、函数等重要知识点联系密切，下面介绍几种常用的判断充分、必要条件的方法．
1．定义法
定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系．其基本步骤是：
[例1] (四川高考)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] p表示以点(1,1)为圆心，为半径的圆面(含边界)，如图所示．q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p是q的必要不充分条件．
[答案] A
[活学活用]
1．“sin
α＝”是“cos
2α＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由cos
2α＝可得sin2α＝，即sin
α＝±，故sin
α＝是cos
2α＝的充分不必要条件．
2．等价转化法
等价转化法就是在判断充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．其基本步骤为：
[例2] 已知x，y为两个正整数，p：x≠2或y≠3，q：x＋y≠5，则p是q的________条件．
[解析] 綈p：x＝2且x＝3，綈q：x＋y＝5.可知綈p 綈q，而綈q /
綈p.所以綈q是綈p的必要不充分条件，故p是q的必要不充分条件．
[答案] 必要不充分
[活学活用]
2．“m≠3”是“|m|≠3”的________条件．
答案：必要不充分
3．集合法
集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：
[例3] 指出下列命题中p是q的什么条件．
(1)p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2；
(2)p：x2－2x－8＝0，q：x＝－2或x＝4.
[解] (1)令A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}＝
{x|－2≤x≤1}，集合B＝{x|x＜2}．
显然，A?B，
所以p q，但qp，
即p是q的充分不必要条件．
(2)令A＝{x|x2－2x－8＝0}
＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}，
B＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}．
∵A＝B，∴p q，
即p是q的充要条件．
[活学活用]
3．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a＜0
B．a＞0
C．a＜－1
D．a＜1
解析：选C ∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．
∴即
解得a＜0.
由于{a|a＜－1}?{a|a＜0}，故选C.
[随堂即时演练]
1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l⊥α，因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直．若l⊥α，则直线l垂直于α内的所有直线．
2．已知非零向量a，b，c，则“a·b＝a·c”是“b＝c”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B ∵a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等，
∴a·b＝a·c /
b＝c；
反之，b＝c a·b＝a·c.
3.已知M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件．
解析：∵由a∈M /
a∈N，但a∈N a∈M，
∴“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
4．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________.
解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直 1·m＋(m＋1)·2＝0 m＝－.
答案：－
5．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，求实数a的值．
解：p：x2＋x－6＝0，
即x＝2或x＝－3.
q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；
当a≠0时，x＝－.
由题意知p /
q，q p，
故a＝0舍去；
当a≠0时，应有－＝2或－＝－3，
解得a＝－或a＝.
[课时达标检测]
一、选择题
1．“tan
α＝1”是“α＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B ∵若tan
α＝1，
则α＝kπ＋(k∈Z)，α不一定等于；
而若α＝，则tan
α＝1，
∴tan
α＝1是α＝的必要不充分条件．
2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析：选A
因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙 /
丙，如图．
综上，有丙 甲，但甲 /
丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
3．(陕西高考)“sin
α＝cos
α”是“cos
2α＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A cos
2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos
α＝±sin
α.由cos
α＝sin
α可得到cos
2α＝0，反之不成立，故选A.
4．(天津高考)设x∈R，则“1A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A |x－2|<1 1由于{x|1所以“15．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是( )
A．x≥0 B．x2≥－x
C．log2(x＋1)＞0
D．2x＜1
解析：选B ∵|x|＝x x≥0，
∴选项A是充要条件，选项C、D均不符合题意．
对于选项B，∵由x2≥－x，得x(x＋1)≥0，
∴x≥0或x≤－1.
故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．
二、填空题
6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”)条件．
解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A /
B．又因否命题为真，所以逆命题为真，即B A，所以A是B的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．条件p：1－x＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：p：x＞1，若p是q的充分不必要条件，则p q，但，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a＜1.
答案：(－∞，1)
8．下列命题：
①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充要条件；
②b2－4ac＜0是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg
x＋lg
y＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为______________．
解析：①x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要条件；
②不等式解集为R的充要条件是a＜0且b2－4ac＜0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；
④lg
x＋lg
y＝lg(xy)＝0，
∴xy＝1且x＞0，y＞0.
所以“lg
x＋lg
y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．
因此“xy＝1”是“lg
x＋lg
y＝0”的必要不充分条件．
综上可知，真命题是④.
答案：④
三、解答题
9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.
解：(1)∵|x|＝|y| /
x＝y，
但x＝y |x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)∵△ABC是直角三角形 /
△ABC是等腰三角形，
△ABC是等腰三角形 /
△ABC是直角三角形，
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)∵四边形的对角线互相平分 /
四边形是矩形，
四边形是矩形 四边形的对角线互相平分，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，
则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即r＝，
所以c2＝(a2＋b2)r2；
反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，
则＝r成立，
说明x2＋y2＝r2的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，
故p是q的充要条件．
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明：(1)充分性：
当q＝－1时，a1＝p－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
当n＝1时，上式也成立．
于是＝＝p，
即数列{an}为等比数列．
(2)必要性：
当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
∵p≠0且p≠1，
∴＝＝p.
因为{an}为等比数列，
所以＝＝p＝，
∴q＝－1.
即数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.3．1.3 导数的几何意义
导数的几何意义
[提出问题]
如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3，4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线．
问题1：割线PPn的斜率kn是什么？
提示：割线PPn的斜率kn＝＝.
问题2：当点Pn趋近于点P时，割线PPn与在点P处的切线PT有什么关系？
提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于在点P处的切线PT.
问题3：当Pn无限趋近于点P时，kn与切线PT的斜率k有什么关系？
提示：kn无限趋近于切线PT的斜率k.
问题4：如何求得过点P的切线PT的斜率？
提示：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝＝f′(x0)．
[导入新知]
导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝.
[化解疑难]
曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率，即函数y＝f(x)在点P处的导数，反映了曲线在点P处的变化率.
导函数
[提出问题]
已知函数f(x)＝－x2＋2.
问题1：如何求f′(x0)
提示：f′(x0)＝
＝
(－2x0－Δx)＝－2x0.
问题2：若x0是一变量x，f′(x)是常量吗？
提示：f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，而是关于x的函数．
[导入新知]
导函数的定义
对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)
是一个确定的数，当x变化时，f′(x)
便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝
.
[化解疑难]
函数y＝f(x)“在点x0处的导数”“导函数”“导数”之间的区别与联系
(1)函数在点x0处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数．
(2)导函数也简称导数，所以
f(x)在一点x0处的导数(特殊)导函数(一般)
(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．
曲线的切线方程
[例1] 若函数f(x)＝x－，求它与x轴交点处的切线方程．
[解] 由f(x)＝x－＝0，得x＝±1，
即与x轴的交点坐标为(1,0)，(－1,0)．
∵f′(x)＝
＝＝1＋，
∴切线的斜率k＝1＋＝2.
∴切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)，
即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0.
[类题通法]
求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤
(1)求出函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，得到切线的斜率k＝f′(x0)．
(2)根据直线的点斜式方程，得到切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
[活学活用]
已知曲线y＝3x2，求过点A(1,3)的曲线的切线方程．
解:∵＝＝6＋3Δx，
∴y′|x＝1＝
(6＋3Δx)＝6.
∴曲线在点A(1,3)处的切线斜率为6.
∴所求的切线方程为y－3＝6(x－1)，
即6x－y－3＝0.
求切点坐标
[例2] 已知抛物线y＝2x2＋1，问：
(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？
(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0
(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0
[解] 设点的坐标为(x0，y0)，则
Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0Δx＋2(Δx)2.
∴＝4x0＋2Δx.
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于4x0，
即f′(x0)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan
45°＝1，
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，
该点为.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴斜率为4，
即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，
得x0＝2，该点为(2,9)．
[类题通法]
求曲线切点坐标的五个步骤
(1)先设切点坐标(x0，y0)；
(2)求导数f′(x)；
(3)求切线的斜率f′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，求出x0；
(5)由于点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求得y0的值，得切点坐标(x0，y0)．
[活学活用]
已知曲线y＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标和实数a的值．
解：设切点P的坐标为(x0，y0)，切线斜率为k.
由y′＝
＝
＝
(4x＋2Δx)
＝4x，
得k＝y′|x＝x0＝4x0.
根据题意得4x0＝8，x0＝2，
分别代入y＝2x2＋a和y＝8x－15，
得y0＝8＋a＝1，
得故所求切点为P(2,1)，a＝－7.
导数几何意义的综合应用
[例3] 设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
[解] ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)
＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
＝3x＋2ax0－9，
即f′(x0)＝3x＋2ax0－9＝32－9－.
当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.
∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12.∴－9－＝－12.
解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.
[类题通法]
解决导数几何意义的综合应用问题的关键是对函数进行求导，利用题目所提供的诸如斜率的值、斜率的最值、斜率的范围等建立方程或不等式求解．此处常与函数、不等式等知识点结合．
[活学活用]
已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．设切点坐标为(x0，x)，
则y′|＝＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点坐标为.
切点到直线x－y－2＝0的距离为
d＝＝，
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
[典例] 已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3,9)的切线方程．
[解] y′＝
＝
＝(4x＋2Δx)＝4x.
由于2×32－7＝11≠9，
故点P(3,9)不在曲线上．
设所求切线的切点为A(x0，y0)，
则切线的斜率为k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．
将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，
得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)，
解得x0＝2或x0＝4，
所以切点为(2,1)或(4,25)．
从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.
[易错防范]
1．解答本题误认为切线斜率k＝f′(3)．因点P(3,9)不在曲线上，从而点P不是切点，故切线斜率不是在x＝3处的导数．
2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．过点P的切线，点P不一定是切点，也不一定在曲线上．
3．如果已知点不在曲线上，求曲线的切线方程，要先设出切点的坐标，再根据导数的定义求出切点处的导数，最后求出切线的直线方程．
[成功破障]
求经过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程．
[解]
可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P(x0，y0)．由y′|＝
＝
＝
＝－，
故所求直线方程为y－y0＝－(x－x0)，
由点(2,0)在所求的直线上，
得xy0＝2－x0，
再由P(x0，y0)在曲线y＝上，
得x0y0＝1，
联立可解得：x0＝1，y0＝1，
所以直线方程为x＋y－2＝0.
[随堂即时演练]
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
解析：选B f′(x0)＝0，说明曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，所以与x轴平行或重合．
2．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0)
B．(2,4)
C.
D.
解析：选D ∵y＝x2，
∴k＝y′＝
＝
＝
(2x＋Δx)＝2x，
∴2x＝tan＝1，
∴x＝，则y＝.
3．对于函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝____________.
解析：因为f′(x0)＝＝a，
f′(1)＝2，所以a＝2.
答案：2
4．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且f′(x0)＞0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的倾斜角的范围是________．
解析：已知f′(x0)＞0，设切线的倾斜角为α，
则tan
α＞0.又α∈[0，π)，
所以α∈.
答案：
5．在抛物线y＝x2上求一点P，使在该点处的切线垂直于直线2x－6y＋5＝0.
解：设点P的坐标为(x0，y0)，
则抛物线y＝x2在点P处的切线斜率为
f′(x0)＝＝2x0.
直线2x－6y＋5＝0的斜率为.
由题设知2x0·＝－1，
解得x0＝－，此时y0＝，
所以点P的坐标为.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．曲线的切线和曲线有且只有一个交点
B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线
D．若y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)不一定存在
解析：选D 曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A、B错误；f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率不存在，但切线可能存在，此时切线方程为x＝x0，故C错误、D正确．
2．y＝－在点处的切线方程是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－
C．y＝4x－4
D．y＝4x－2
解析：选C 先求y＝－的导数：
Δy＝－＋＝，
＝，
＝
＝，即y′＝，
所以y＝－在点处的切线斜率为
k＝y′|x＝＝4.
所以切线方程是y＋2＝4，
即y＝4x－4.
3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x＋y＋5＝0，则( )
A．f′(x0)＞0
B．f′(x0)＜0
C．f′(x)＝0
D．f′(x0)不存在
解析：选B 由y＝－3x－5，知f′(x0)＝－3＜0.
4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a的值为( )
A．1
B.
C．－
D．－1
选A ∵y′＝
＝(2a＋aΔx)＝2a.
∴2a＝2，a＝1.
5．曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为( )
A．(－2，－8)
B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8)
D.
解析：选B 设点P的坐标为(x0，y0)，
则k＝f′(x0)＝li
＝li
＝li[(Δx)2＋3x＋3x0·Δx]
＝3x.
∵k＝3，∴3x＝3，
∴x0＝1或x0＝－1，
∴y0＝1或y0＝－1.
∴点P的坐标为(－1，－1)或(1,1)．
二、填空题
6．曲线y＝－1在点A处的切线的斜率为________．
解析：Δy＝－
＝＝，
∴＝－，
即k＝
＝[－]＝－.
答案：－
7．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝________.
解析：因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.
答案：3
8．如图是函数f(x)及f(x)在点P(2，f(2))处切线的图象，则f(2)＋f′(2)＝________.
解析：由题图可知切线方程为y＝－x＋，
所以f(2)＝，f′(2)＝－，
所以f(2)＋f′(2)＝.
答案：
三、解答题
9．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：
(1)它们的交点坐标；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
解：(1)由
得或
∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．
(2)∵y＝x2＋4，
∴y′＝
＝
＝(Δx＋2x)＝2x.
∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，
即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，
在点(3,13)处的切线斜率为6.
∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；
在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.
10．已知曲线y＝上两点P(2，－1)，Q.
求：
(1)曲线在点P处、点Q处的切线的斜率；
(2)曲线在点P，Q处的切线方程．
解：将P(2，－1)代入y＝，得t＝1.
∴y＝.
∴＝
＝
＝
＝.
当Δx趋近于0时，趋近于.
(1)曲线在点P处的切线斜率为＝1；
曲线在点Q处的切线斜率为＝.
(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0；
曲线在点Q处的切线方程为y－＝[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0.1.3
单的逻辑联结词
逻辑联结词“且”“或”“非”
[提出问题]
如图所示，有三种电路图．
问题1：甲图中，什么情况下灯亮？
提示：开关p闭合且q闭合．
问题2：乙图中，什么情况下灯亮？
提示：开关p闭合或q闭合．
问题3：丙图中，什么情况下灯不亮？
提示：开关p不闭合时．
[导入新知]
符号
含义
读法
p∧q
用联结词“且”把命题p和命题q联结起来的一个新命题
p且q
p∨q
用联结词“或”把命题p和命题q联结起来的一个新命题
p或q
綈p
对一个命题p全盘否定的一个新命题
非p或p的否定
[化解疑难]
1．“且”含义的理解
联结词“且”与日常用语中的“并且”“和”“同时”等词语等价，表示的是同时具有的意思．
2．“或”含义的理解
联结词“或”与日常用语中的“或者”“可能”等词语等价，它有三层含义，如“p或q”表示：要么是p不是q；要么是q不是p；要么是p且q.
3．“非”含义的理解
联结词“非”与日常用语中的“不是”“否定”“全盘否定”“问题的反面”等词语等价.
含有逻辑联结词的命题的真假判断
[提出问题]
如“知识点一”中的图，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p、q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p∧q，p∨q，綈p的真与假．
问题1：什么情况下，p∧q为真？
提示：当p真，q真时．
问题2：什么情况下，p∨q为假？
提示：当p假，q假时．
问题3：什么情况下，綈p为真？
提示：当p假时．
[导入新知]
“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断
p
q
p∨q
p∧q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
[化解疑难]
命题“p∧q”“p∨q”“綈p”真假的记忆
(1)对于“p∧q”，简称为“一假则假”，即p，q中只要有一个为假，则“p∧q”为假；
(2)对于“p∨q”，简称为“一真则真”，即p，q中只要有一个为真，则“p∨q”为真．
用逻辑联结词联结新命题
[例1] 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
[解] (1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
綈p：梯形没有一组对边平行．
(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
綈p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．
[类题通法]
用“或”“且”“非”联结两个简单命题时，要正确理解这三个联结词的意义，通常情况下，可以直接使用逻辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词．如甲是运动员兼教练员，就省略了“且”．
[活学活用]
指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：
(1)方程2x2＋1＝0没有实数根；
(2)12能被3或4整除．
解：(1)是“綈p”形式，其中p：方程2x2＋1＝0有实根．
(2)是“p或q”形式，其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.
含有逻辑联结词的命题的真假判断
[例2] 分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题，并判断其真假．
(1)p：等腰梯形的对角线相等，q：等腰梯形的对角线互相平分；
(2)p：函数y＝x2－2x＋2没有零点，q：不等式x2－2x＋1＞0恒成立．
[解] (1)p∨q：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题．
p∧q：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题．
綈p：等腰梯形的对角线不相等，假命题．
(2)p∨q：函数y＝x2－2x＋2没有零点或不等式x2－2x＋1＞0恒成立，真命题．
p∧q：函数y＝x2－2x＋2没有零点且不等式x2－2x＋1＞0恒成立，假命题．
綈p：函数y＝x2－2x＋2有零点，假命题．
[类题通法]
1．命题结构的两种类型及判断方法
(1)从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断．
(2)若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断．
2．判断命题真假的三个步骤
(1)明确命题的结构，即命题是“p∧q”“p∨q”，还是“綈p”；
(2)对命题p和q的真假作出判断；
(3)由“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断方法给出结论．
[活学活用]
分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假．
(1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边；
(2)1或－1是方程x2＋3x＋2＝0的根；
(3)A
(A∪B)．
(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真，q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因为p假，q真，则“p∨q”真，所以该命题是真命题．
(3)这个命题是“綈p”的形式，其中p：A (A∪B)，因为p真，则“綈p”假，所以该命题是假命题.
根据含逻辑联结词命题的真假求参数取值范围
[例3] 已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的正实数根，命题q：方程4x2＋4(m＋2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，求实数m的取值范围．
[解] “p或q”为真命题，则p为真命题或q为真命题．
当p为真命题时，有，
解得m＜－2；
当q为真命题时，
有Δ＝16(m＋2)2－16＜0，
解得－3＜m＜－1.
综上可知，实数m的取值范围是(－∞，－1)．
[类题通法]
解决此类问题的方法，一般是先假设p，q分别为真，化简其中的参数取值范围，然后当它们为假时取其补集，最后确定参数的取值范围．当p，q中参数的范围不易求出时，也可以利用綈p与p，綈q与q不能同真同假的特点，先求綈p，綈q中参数的范围．
[活学活用]
对命题p：1是集合{x|x2＜a}中的元素；q：2是集合{x|x2＜a}中的元素，则a为何值时，“p或q”为真？a为何值时，“p且q”为真？
解：若p为真，则1∈{x|x2＜a}，
所以12＜a，即a＞1；
若q为真，则2∈{x|x2＜a}，即a＞4.
若“p或q”为真，则a＞1或a＞4，即a＞1；
若“p且q”为真，则a＞1且a＞4，即a＞4.
[典例] (12分)已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上单调递增，q：关于x的不等式ax2－ax＋1＞0解集为R.若p∧q假，p∨q真，求实数a的取值范围．
[解题流程]
[活学活用]
若命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，写出綈p，若綈p是假命题，则a的取值范围是什么？
解：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．
因为綈p为假命题，
所以p为真命题．
因此－(a－1)≥4.
故a≤－3，
即所求a的取值范围是(－∞，－3]．
[随堂即时演练]
1．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，下面使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是( )
A．(0，－3)
B．(1,2)
C．(1，－1)
D．(－1,1)
解析：选C 使“p∧q”为真命题的点即为直线y＝2x－3与抛物线y＝－x2的交点．
2．已知命题p：设x∈R，若|x|＝x，则x>0，命题q：设x∈R，若x2＝3，则x＝，则下列命题为真命题的是( )
A．p∨q
B．p∧q
C．(綈p)∧q
D．(綈p)∨q
解析：选D 由|x|＝x应得x≥0而不是x>0，故p为假命题；由x2＝3应得x＝±，而不只有x＝，故q为假命题．因此綈p为真命题，从而(綈p)∨q也为真命题．
3．命题p：2 {1,3}，q：2 {x|x2－4＝0}，则命题p∧q：2 {1,3}且2 {x|x2－4＝0}是________(填“真”或“假”)命题，命题p∨q：____________，是________(填“真”或“假”)命题．
解析：命题p：2 {1,3}是真命题．
因为{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，
所以命题q：2 {x|x2－4＝0}是假命题．
答案：假 2 {1,3}或2 {x|x2－4＝0} 真
4．若p：不等式ax＋b＞0的解集为xx＞－，q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集为{x|a＜x＜b}，且“p∧q”为真命题，则a，b满足__________．
解析：因为命题“p∧q”为真命题，
所以p、q均为真命题，于是a＞0，且a＜b.
答案：0＜a＜b
5．判断下列命题的真假：
(1)函数y＝cos
x是周期函数并且是单调函数；
(2)x＝2或x＝－2是方程x2－4＝0的解．
解：(1)由p：“函数y＝cos
x是周期函数”，q：“函数y＝cos
x是单调函数”，用联结词“且”联结后构成命题p∧q.因为p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题．
(2)由p：“x＝2是方程x2－4＝0的解”，q：“x＝－2是方程x2－4＝0的解”，用“或”联结后构成命题p∨q.因为p，q都是真命题，所以p∨q是真命题．
[课时达标检测]
一、选择题
1．“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0
C．x，y至少一个不为0
D．x，y不都是0
解析：选A xy≠0是指x，y均不能为0，故选A.
2．若命题“p且q”为假，且綈p为假，则( )
A．p或q为假
B．q假
C．q真
D．p假
解析：选B 綈p为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．
3．已知全集U＝R，A U，B U，如果命题p：∈(A∪B)，则命题“綈p”是( )
A. A
B.∈( UA)∩( UB)
C.∈ UB
D. (A∩B)
解析：选B 由p：∈(A∪B)，可知綈p： (A∪B)，即∈ U(A∪B)，而 U(A∪B)＝( UA)∩( UB)，故选B.
4．由下列各组命题构成p或q、p且q、非p形式的新命题中，p或q为真命题，p且q为假命题，非p为真命题的是( )
A．p：3是偶数，q：4是奇数
B．p：3＋2＝6，q：5＞3
C．p：a∈{a，b}，q：{a}?{a，b}
D．p：Q?R，q：N＝N
解析：选B 由p或q为真命题，p且q为假命题，非p为真命题可知p为假命题且q为真命题，选项中符合要求的只有B.
5．若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )
A．p∧q是真命题
B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题
D．綈q是真命题
解析：选D 因为函数y＝x2－2x在[1，＋∞)上是增函数，所以其单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；因为函数y＝x－的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题．故选D.
二、填空题
6．命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题是__________，命题的否定是________________________．
解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，命题的否定是“若p，则綈q”．
答案：若a≥b，则2a≥2b 若a＜b，则2a≥2b
7．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为________________________________________________________________________．
解析：因为“p∧q”为假，“綈q”为假，
所以q为真，p为假．
故即
因此，x的值可以是－1,0,1,2.
答案：{－1,0,1,2}
8．已知条件p：(x＋1)2＞4，条件q：x＞a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：由綈p是綈q的充分不必要条件，可知綈p 綈q，但綈q
綈p，由一个命题与它的逆否命题等价，可知q p但p
q，又p：x＞1或x＜－3，可知{x|x＞a}?{x|x＜－3或x＞1}，所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
三、解答题
9．指出下列命题是简单命题还是含逻辑联结词的命题，若是含逻辑联结词的命题，写出构成它的简单命题．
(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
(2)若x∈{x|x＜1或x＞2}，则x是不等式(x－1)(x－2)＞0的解．
解：(1)“p且q”形式的命题，其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形，q：两个角是45°的三角形是直角三角形．
(2)“p或q”形式的命题，其中p：若x∈{x|x＜1}，
则x是不等式(x－1)(x－2)＞0的解，q：若x∈{x|x＞2}，则x是不等式(x－1)(x－2)＞0的解．
10．命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为 ，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围：
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
解：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，
即a＞或a＜－1，①
乙命题为真时，2a2－a＞1，
即a＞1或a＜－.②
(1)甲、乙至少有一个是真命题，
即为a＜－或a＞，
∴甲、乙至少有一个是真命题时，a的取值范围是
aa＜－或a＞.
(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，＜a≤1，当甲假乙真时，－1≤a＜－.
∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围是2．3.2 抛物线的简单几何性质
[提出问题]
问题1：抛物线有几个焦点？
提示：一个焦点．
问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？
提示：不对．
问题3：抛物线y2＝2px有对称性吗？
提示：有，关于x轴对称．
[导入新知]
抛物线的简单几何性质
类型
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
性质
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
[化解疑难]
1．抛物线只有一条对称轴，一个顶点，一个焦点，一条准线．无对称中心，无渐近线．标准方程只有一个参数，不同于椭圆、双曲线．
2．p的几何意义：焦点到准线的距离．它的大小，影响抛物线开口大小.
抛物线方程及其几何性质
[例1] 已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上不同的两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程．
[解] 如图所示．设A(x0，y0)，由题意可知B(x0，－y0)，
又F是△AOB的垂心，
则AF⊥OB，
∴kAF·kOB＝－1，
即·＝－1，
∴y＝x0，
又y＝2px0，
∴x0＝2p＋＝.
因此直线AB的方程为x＝.
[类题通法]
根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论．
[活学活用]
已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
解：由题意，可设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，则
焦点F，直线l：x＝，
∴A，B两点坐标分别为，，
∴|AB|＝2|p|.
∵△OAB的面积为4，
∴··2|p|＝4，
∴p＝±2.
∴抛物线方程为y2＝±4x.
直线与抛物线的位置关系
[例2] 若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证：OA⊥OB.
证明：由消去y，
得x2－12x＋16＝0.
∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，
∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有x1＋x2＝12，x1x2＝16.
∵·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)
＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16
＝16＋16－4×12＋16＝0，
∴⊥，即OA⊥OB.
[类题通法]
将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．
[活学活用]
过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程．
解：显然，直线斜率k存在，
设其方程为y－2＝k(x＋3)，
由
消去x，整理得ky2－4y＋8＋12k＝0.①
(1)当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2，此时过(－3,2)的直线方程为y＝2，满足条件．
(2)当k≠0时，方程①应有两个相等实根．
由即
得k＝或k＝－1.
所以直线方程为y－2＝(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，
即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.
故所求直线有三条，其方程分别为：y＝2，x－3y＋9＝0，x＋y＋1＝0.
抛物线中的最值问题
[例3] 在抛物线y2＝2x上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
[解] 法一：设P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，
则点P到直线l的距离
d＝＝
＝，
当y0＝1时，dmin＝，
∴P.
法二：设与抛物线相切且与直线x－y＋3＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，
由
得y2－2y＋2m＝0，
∵Δ＝(－2)2－4×2m＝0，
∴m＝.
∴平行直线的方程为x－y＋＝0，
此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则dmin＝＝，此时点P的坐标为.
[类题通法]
解决与抛物线有关的最值问题时，一方面注意从几何方面观察、分析，并利用抛物线的定义解决问题；另一方面，还要注意从代数角度入手，建立函数关系，利用函数知识求解．总之，与抛物线有关的最值问题主要有两种方法：(1)定义法；(2)函数法．
[活学活用]
点P在抛物线2y2＝x上，点Q在圆(x－2)2＋y2＝1上，求|PQ|的最小值．
解：圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为M(2,0)，
设P(2y，y1)，
则|PM|2＝(2y－2)2＋y＝4y－7y＋4
＝42＋≥，
∴|PM|≥，
∴|PQ|min＝|PM|min－1＝－1.
[典例] 已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是抛物线的焦点．求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p.
[证明] (1)过焦点F的直线AB的方程为y＝k或x＝.
当直线AB的方程为y＝kx－时，
由消去x，得ky2－2py－kp2＝0.
∵AB与抛物线有两个交点，
∴k≠0.由根与系数的关系得y1y2＝－p2.
又y＝2px1，y＝2px2，
∴x1x2＝·＝＝.
当直线AB的方程为x＝时，x1x2＝，y1＝p，y2＝－p，
∴y1y2＝－p2.
(2)由抛物线的焦半径可知：
|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.
[多维探究]
解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．
1．若本例中，AB是经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦，其弦长为6，求抛物线方程．
解：直线l的方程可写为y＝x－.
因|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝6，
∴x1＋x2＝6－p.①
由消去y，
得2＝2px，
即x2－3px＋＝0.
∴x1＋x2＝3p，代入①式，
得3p＝6－p，
∴p＝.
∴抛物线的标准方程是y2＝3x.
2．在本例条件下，试求＋的值．
解：设直线AB：y＝k或x＝.
当直线AB的方程为y＝k时，
由
消去y，得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0.
∵AB与抛物线有两个交点，
∴k≠0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
又|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
∴|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.
|AF|·|BF|＝
＝x1x2＋(x1＋x2)＋
＝(x1＋x2)＋
＝(x1＋x2＋p)
＝(|AF|＋|BF|)，
即|AF|＋|BF|＝·|AF|·|BF|，
∴＋＝.
当直线AB的方程为x＝时，
x1＝x2＝，
y1＝p，y2＝－p.
∴|AF|＝|BF|＝p.
∴＋＝.
3．在本例条件下，若M是AB的中点，过点A，B，M向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1，B1，M1.试证：
(1)以AB为直径的圆与准线l相切；
(2)∠AM1B＝90°；
(3)∠A1FB1＝90°.
证明：如图．
(1)∴|MM1|＝(|AA1|＋|BB1|)
＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.
∴以AB为直径的圆与准线l相切．
(2)由(1)知，以AB为直径的圆与准线l相切于点M1，
则∠AM1B＝90°.
(3)如图：
∵|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，
∴∠AA1F＝∠AFA1，
∠BB1F＝∠BFB1.
又AA1∥x轴，BB1∥x轴，
∴∠AA1F＝∠A1FO，
∠BB1F＝∠B1FO.
∴∠AFA1＝∠A1FO，∠BFB1＝∠B1FO.
∴∠A1FO＋∠B1FO＝90°，
即∠A1FB1＝90°.
[随堂即时演练]
1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A．(6，＋∞)
B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．[3，＋∞)
解析：选D ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴＝3，即p＝6.
又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．
2．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于( )
A．2或－1
B．－1
C．2
D．3
解析：选C 由
得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
由Δ＝(4k＋8)2－16k2＞0，得k＞－1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝＝4，
解得k＝2或k＝－1(舍去)．
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________.
解析：|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案：8
4．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋＝0的距离为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，
∴x1＋x2＝4－＝，
∴中点C(x0，y0)到直线x＋＝0的距离为x0＋＝＋＝＋＝.
答案：
5．已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长|AB|＝3，求m的值．
解：由得4x2＋4(m－1)x＋m2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由根与系数的关系得x1＋x2＝1－m，x1·x2＝，
∴|AB|＝
＝
＝
.
由|AB|＝3
，即
＝3
，
解得m＝－4.
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )
A．y2＝－11x B．y2＝11x
C．y2＝－22x
D．y2＝22x
解析：选C 在方程2x－4y＋11＝0中，
令y＝0得x＝－，
∴抛物线的焦点为F，即＝，
∴p＝11，
∴抛物线的方程是y2＝－22x.
2．过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析：选B 可知点(2,4)在抛物线y2＝8x上，∴过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2
)
B．(1，±2)
C．(1,2)
D．(2,2)
解析：选B 设A(x，y)，则y2＝4x，①
＝(x，y)，＝(1－x，－y)，
·＝x－x2－y2＝－4，②
由①②可解得x＝1，y＝±2.
4．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|
|＋|
|＋|
|的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C 依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，所以x1＋x2＋x3＝3×＝，则||＋||＋||＝＋＋x3＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.
5．(全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：选B 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4，|DE|＝2，抛物线的准线方程为x＝－，∴不妨设A，D.∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4.
二、填空题
6．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是________________．
解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py或x2＝2py(p＞0)．
由顶点到准线的距离为4知p＝8，
故所求抛物线的方程为x2＝16y或x2＝－16y.
答案：x2＝16y或x2＝－16y
7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，
即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为.
因此，点M到抛物线准线的距离为＋1＝.
答案：
8．过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则＝________.
解析：由题意可得焦点F，
故直线AB的方程为y＝x＋，
与x2＝2py联立得A，B两点的横坐标为
xA＝－p，xB＝p，
故A－p，p，Bp，p，
所以|AF|＝p，|BF|＝2p，
所以＝.
答案：
三、解答题
9．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个正三角形的边长．
解：如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2.又|OA|＝|OB|，
所以x＋y＝x＋y，
即x－x＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
因为x1＞0，x2＞0,2p＞0，
所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，
即点A，B关于x轴对称．
由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝x1，与y＝2px1联立，
解得y1＝2p.
所以|AB|＝2y1＝4p.
10．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
解：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，
从而x1＝4－1＝3.
代入y2＝4x，解得y1＝±2.
∴点A的坐标为(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立，
得消去y，整理得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
∵直线与抛物线相交于A，B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋＞4.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，∴|AB|≥4，
即线段AB的长的最小值为4.2．1.1 椭圆及其标准方程
椭圆的定义
[提出问题]
取一条定长的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．
问题1：若绳长等于两点F1，F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？
提示：线段F1F2.
问题2：若绳长大于两点F1，F2的距离，画出的轨迹还是线段吗？其图形又是什么？
提示：不是线段，椭圆．
[导入新知]
椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
[化解疑难]
定义中的条件2a＞|F1F2|＞0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：
(1)当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；
(2)当2a＜|F1F2|时，其轨迹不存在.
椭圆的标准方程
[提出问题]
在平面直角坐标系中，设A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(0，－4)．
问题1：若|PA|＋|PB|＝10，则点P的轨迹方程是什么？
提示：轨迹方程为＋＝1.
问题2：若|PC|＋|PD|＝10，则点P的轨迹方程是什么？
提示：＋＝1.
[导入新知]
若|F1F2|＝2c，|MF1|＋|MF2|＝2a(a＞c)，则椭圆的标准方程、焦点坐标及a，b，c的关系见下表：
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
[化解疑难]
1．标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上，对称轴是坐标轴．
2．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方和，并且分母不相等．
3．a，b，c三个量的关系：椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆.
椭圆标准方程的识别
[例1] 当3＜k＜9时，指出方程＋＝1表示的曲线．
[解] ∵3＜k＜9，
∴9－k＞0，k－3＞0.
(1)当9－k＞k－3，即3＜k＜6时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；
(2)当9－k＝k－3，即k＝6时，方程表示圆x2＋y2＝3；
(3)当9－k＜k－3，即6＜k＜9时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．
[类题通法]
根据椭圆标准方程的两种形式可知，焦点在哪一坐标轴上，哪一变量对应的分母大，即x2对应的分母大，焦点就在x轴上；y2对应的分母大，焦点就在y轴上．
[活学活用]
已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于________．
解析：由题意得m－2＞10－m＞0，
解得6＜m＜10.
又a2＝m－2，b2＝10－m，
则c2＝a2－b2＝2m－12＝4，
解得m＝8.
答案：8
求椭圆的标准方程
[例2] 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
[解] (1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
将点(5,0)代入上式解得a＝5，又c＝4，
所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
[类题通法]
确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
[活学活用]
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
解：(1)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得
解得
即a2＝4，b2＝8，
则a2＜b2，与题设中a＞b＞0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，
A≠B)．将两点(2，－)，代入，
得
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，
所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，
故a2－b2＝16.①
又点(，－)在椭圆上，
所以＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
椭圆的定义及其应用
[例3] 已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解] 在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
∴S＝|PF1|·|PF2|·sin
60°＝.
[类题通法]
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．
[活学活用]
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2是它的焦点．过F1的直线AB与椭圆交于A，B两点，求△ABF2的周长．
解：∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，则△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，
∴△ABF2的周长为4a.
定义法是求轨迹方程的一种常用方法．求解时，若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．下面利用椭圆的定义求轨迹方程．
1．求三角形顶点的轨迹方程
[例] 已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
[解] 以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示．
由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4，0)，c＝4.
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，
得|AB|＋|AC|＝10.
因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0，且y≠0)，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．
由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.
所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
[类题通法]
利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，要注意检验．
[活学活用]
1．若本题中“且△ABC周长等于18”变为“且△ABC周长等于24”，试求此时顶点A的轨迹方程．
解：由题可知，此时2a＝24－8＝16，
则a＝8，c＝4，得b2＝a2－c2＝48，
所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
2．求动圆圆心的轨迹方程
[例] 已知动圆M过定点A(－3,0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解] 设动圆M的半径为r，
则|MA|＝r，|MB|＝8－r，
∴|MA|＋|MB|＝8，且8＞|AB|＝6，
∴动点M的轨迹是椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，且焦点分别是A(－3,0)，B(3,0)，且2a＝8，
∴a＝4，c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.
∴所求动圆圆心M的轨迹方程是＋＝1.
[类题通法]
巧妙地应用几何知识(两圆内切时圆心距与半径之间的关系)，寻求到|MA|＋|MB|＝8，而且8＞|AB|＝6，从而判断动点M的轨迹是椭圆．
[活学活用]
2．已知动圆M和定圆C1：x2＋(y－3)2＝64相内切，并且外切于定圆C2：x2＋(y＋3)2＝4，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：设动圆M的半径为r，圆心M(x，y)，两定圆圆心C1(0,3)，C2(0，－3)，半径r1＝8，r2＝2.
则|MC1|＝8－r，|MC2|＝r＋2.
故|MC1|＋|MC2|＝(8－r)＋(r＋2)＝10.
又|C1C2|＝6，则动圆圆心M的轨迹是椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，
且焦点为C1(0,3)，C2(0，－3)，2a＝10，即a＝5，c＝3，
则b2＝a2－c2＝25－9＝16.
所以动圆圆心M的轨迹方程是＋＝1.
[随堂即时演练]
1．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C．x2＋＝1
D.＋＝1
解析：选D 由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝2，∴a2＝2＋4＝6，
因此椭圆方程为＋＝1，故选D.
2．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则△PF1F2的面积等于( )
A.
B.
C.
D．4
解析：选A 如图所示，
由定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
c＝＝，
又由PF1⊥F1F2，
可设点P的坐标为(－，y0)，
代入＋y2＝1，得|y0|＝，
即|PF1|＝，
所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|＝.
3．椭圆9x2＋16y2＝144的焦点坐标为________．
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，
∴a2＝16，b2＝9，c2＝7，且焦点在x轴上，
∴焦点坐标为(－，0)，(，0)．
答案：(－，0)，(，0)
4．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________________．
解析：∵c＝2，a2＝4b2，
∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，
b2＝4，a2＝16.
又∵焦点在y轴上，
∴标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
5．求适合下列条件的椭圆的方程．
(1)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，
P到它较近的一个焦点的距离等于2.
解：(1)由题意知2c＝10,2a＝26，
所以c＝5，a＝13，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144.
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵P(0，－10)在椭圆上，
∴a＝10.
又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，
∴－c－(－10)＝2，故c＝8，
∴b2＝a2－c2＝36，
∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.
[课时达标检测]
一、选择题
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8
D．10
解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，故选D.
2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2
B．6
C．4
D．12
解析：选C 由于△ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝2，|CA|＋|CF|＝2，便可求得△ABC的周长为4.
3．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选B 利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)，
∴甲是乙的必要条件．
反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．
这是因为：仅当2a＞|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a＜|AB|时，P点无轨迹，
∴甲不是乙的充分条件．
综上，甲是乙的必要不充分条件．
4．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．(3，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
D．(－6，－2)∪(3，＋∞)
解析：选D 由a2＞a＋6＞0，得
所以
所以a＞3或－6＜a＜－2.
5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
解析：选B 由已知2c＝|F1F2|＝2，
∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2.
∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
二、填空题
6．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．
解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，
∴c＝1.∴m－4＝1，m＝5.
当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，
∴c2＝4－m＝1，∴m＝3.
答案：3或5
7．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为____________．
解析：法一：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．
从而有解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的标准方程为＋＝1.
法二：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为__________．
解析：
如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
∴×8b＝12，
∴b＝3.
又∵c＝4，
∴a2＝b2＋c2＝25.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
三、解答题
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
解：由点在椭圆上，得＋＝1，
又2a＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
10．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2＝＋.
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．
解：(1)由已知得＝2，
∴＋＝4＝2a，∴a＝2.
∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)在△PF1F2中，由余弦定理得2
＝2＋2－2cos
120°，
即4＝2－，
∴4＝(2a)2－
＝16－，
∴＝12，
∴S△PF1F2＝sin
120°
＝×12×＝3.3．3.3 函数的最大(小)值与导数
[提出问题]
如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
问题1：观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．
提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．
问题2：结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值、最小值？若存在，分别为多少？
提示：存在．f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．
问题3：函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是其极值吗？
提示：不一定，也可能是区间端点的函数值．
问题4：怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？
提示：比较极值与区间端点处的函数值，最大(小)的是最大(小)值．
[导入新知]
1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定有最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
[化解疑难]
理解函数最值时，需注意以下几点
(1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部区间上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值．
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值．
利用导数求最值
[例1] 求下列各函数的最值：
(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－，3]；
(2)f(x)＝x2－(x＜0)．
[解] (1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
－
(－，－1)
－1
(－1,1)
1
(1,3)
3
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
0
单调递减?
－2
单调递增?
2
单调递减?
－18
所以x＝1和x＝－1是函数在[－，3]上的两个极值点，且f(1)＝2，f(－1)＝－2.
又因为f(x)在区间端点处的取值为f(－)＝0，f(3)＝－18，
所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18.
(2)f′(x)＝2x＋，令f′(x)＝0得x＝－3.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,0)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减?
极小值
单调递增?
所以当x＝－3时，f(x)取得极小值，也就是最小值，
故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值．
[类题通法]
求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数为0的点，无须判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值．
[活学活用]
求函数f(x)＝x3－4x＋4在[0,3]上的极值及最大值与最小值．
解：f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，
令f′(x)＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0,2)
2
(2,3)
3
f′(x)
－
0
＋
f(x)
4
单调递减?
极小值－
单调递增?
1
∴函数f(x)＝x3－4x＋4在[0,3]上有极小值且f(x)极小值＝－.
∴函数的最大值为4，最小值为－.
含参数的函数最值问题
[例2] 已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值，并求f(x)在[－2,2]上的最大值．
[解] f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
又f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40.
f(0)＞f(2)＞f(－2)，
∴当x＝－2时，f(x)min＝a－40＝－37，
得a＝3.
∴当x＝0时，f(x)max＝3.
[类题通法]
已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
[活学活用]
若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值是3，最小值是－29，求a，b的值．
解：f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4.
∵x∈[－1,2]，
∴x＝0.
由题意知a≠0.
(1)若a>0，则f′(x)，f(x)随x变化的情况如下表：
x
(－1,0)
0
(0,2)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增?
极大值3
单调递减?
∴当x＝0时，f(x)取最大值f(0)＝b＝3.
又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，
f(－1)＝－7a＋3>f(2)，
∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29，
∴a＝2.
(2)若a<0，则f′(x)，f(x)随x变化的情况如下表：
x
(－1,0)
0
(0,2)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减?
极小值－29
单调递增?
∴当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝b＝－29.
又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29∴当x＝2时，f(x)取最大值，
即－16a－29＝3，∴a＝－2.
综上或
与函数最值有关的恒成立问题
[例3] 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不符合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
单调递增?
极大值1－m
单调递减?
∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m.
h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，
即等价于1－m<0.
∴m的取值范围为(1，＋∞)．
[类题通法]
有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．求解时首先要确定函数，看哪一个变量的范围已知，以已知范围的变量为自变量确定函数．
一般地，若不等式a≥f(x)恒成立，则a的取值范围是a≥f(x)max；若不等式a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是a≤f(x)min.
[活学活用]
设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围．
解：(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b，
因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，
所以f′(1)＝0，f′(2)＝0，
即解得
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；
当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；
当x∈(2,3)时，f′(x)＞0.
所以，当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c，
又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.
所以当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)＜c2恒成立，所以9＋8c＜c2，
解得c＜－1或c＞9.
因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
[典例] (12分)已知函数f(x)＝ax4ln
x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．
[解题流程]
[活学活用]
已知函数f
(x)＝ax4ln
x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对x>0，方程f(x)＝－2c2有解，求c的取值范围．
解：由题意知f(1)＝－3－c，
因此b－c＝－3－c，从而b＝－3.
对f(x)求导，得f′(x)＝4ax3ln
x＋ax4·＋4bx3＝x3(4aln
x＋a＋4b)．
由题意，知f′(1)＝0，
因此a＋4b＝0，解得a＝12.
由f′(x)＝48x3ln
x(x＞0)，
令f′(x)＝0，解得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，
此时f(x)为减函数；
当x＞1时，f′(x)＞0，
此时f(x)为增函数．
所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－3－c，
此极小值也是最小值．
所以函数f(x)的值域为[－3－c，＋∞)．
若对x＞0，方程f(x)＝－2c2有解，
则－2c2属于函数f(x)的值域，
所以－2c2≥－3－c，
即2c2－c－3≤0，
解得－1≤c≤，
所以c的取值范围为.
[随堂即时演练]
1．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
解析：选D f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值．
2．函数y＝x－sin
x，x∈的最大值是( )
A．π－1
B.－1
C．π
D．π＋1
解析：选C 在上y′＝1－cos
x≥0，所以y＝x－sin
x为增函数，∴当x＝π时，ymax＝π.
3．函数y＝在[0,2]上的最大值为________．
解析：y′＝＝，
令y′＝0，得x＝1∈[0,2]．
f(1)＝，f(0)＝0，f(2)＝，
∴f(x)max＝f(1)＝.
答案：
4．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a＝________.
解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1，
∴函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．
若a＞－1，则最大为f(a)＝－a2－2a＋3＝，
解之得a＝－；
若a≤－1，则最大为f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠.
答案：－
5．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．
(1)求导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值．
解：(1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0，得a＝，
此时有f(x)＝(x2－4)，
f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0，得x＝或x＝－1.
又f＝－，f(－1)＝，f(－2)＝0，f(2)＝0，∴f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值
B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值
C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值
D．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值、一个最小值，但若有极值，则可有多个极值
解析：选D 由极值与最值的区别知选D.
2．函数f(x)＝2x－cos
x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值 B．有极值
C．有最大值
D．有最小值
解析：选A f′(x)＝2＋sin
x＞0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
3．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为( )
A．2
B．3
C.
D．2＋
解析：选B 由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1，
且x∈(0,1)时，f′(x)＜0；x∈(1,5]时，f′(x)＞0，
∴x＝1时f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
4．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的值为( )
A．3
B．1
C．2
D．－1
解析：选B f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1.又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1.
5．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a)
B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b)
D．f(b)－g(a)
解析：选A 令u(x)＝f(x)－g(x)，
则u′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴u(x)在[a，b]上为减函数，
∴u(x)的最大值为u(a)＝f(a)－g(a)．
二、填空题
6．函数f(x)＝＋x(x∈[1,3])的值域为________．
解析：因为f′(x)＝－＋1＝，
所以f(x)在[1,3]上f′(x)＞0恒成立，
即f(x)在[1,3]上单调递增，
所以f(x)的最大值是f(3)＝，
最小值是f(1)＝.
故函数f(x)的值域为.
答案：
7．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.
解析：∵f′(x)＝3x2－3，
∴当x>1或x<－1时，f′(x)>0；
当－1∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.
又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
答案：20
8．已知函数f(x)＝＋2ln
x，若当a＞0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由f(x)＝＋2ln
x，
得f′(x)＝，
又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a＞0，
令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.
当0＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0.
故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，
且f()＝ln
a＋1.
要使f(x)≥2恒成立，需ln
a＋1≥2恒成立，则a≥e.
答案：[e，＋∞)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2，且f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x＝1对称．
(1)求导函数f′(x)及实数a的值；
(2)求函数y＝f(x)在[－1,2]上的最大值和最小值．
解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋2，
得f′(x)＝3x2＋2ax.
∵f′(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴－＝1.
∴a＝－3，f′(x)＝3x2－6x.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2，
f′(x)＝3x2－6x.
令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.
当x在[－1,2]上变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
f(x)
－2
?
2
?
－2
由上表可知，当x＝－1或x＝2时，函数有最小值－2，当x＝0时，函数有最大值2.
10．设f(x)＝ln
x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)＜对任意x＞0恒成立．
解：(1)由题设知f′(x)＝，g(x)＝ln
x＋，
所以g′(x)＝.令g′(x)＝0得x＝1.
当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，
故g(x)的单调递减区间是(0,1)；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，
故g(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．
因此，x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以最小值为g(1)＝1.
(2)由(1)知g(x)的最小值为1，
所以，g(a)－g(x)＜对任意x＞0恒成立
g(a)－1＜，即ln
a＜1，从而得0＜a＜e.
故实数a的取值范围为(0，e)．第二课时 直线与椭圆的位置关系
[导入新知]
1．直线与椭圆的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个公共点．
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入椭圆的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，椭圆方程为f(x，y)＝0.
由消元，
如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
设Δ＝b2－4ac.
①Δ＞0时，直线和椭圆相交于不同两点；
②Δ＝0时，直线和椭圆相切于一点；
③Δ＜0时，直线和椭圆没有公共点．
2．椭圆的弦
直线与椭圆相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做椭圆的弦，线段的长就是弦长，简单地说，椭圆的弦就是连接椭圆上任意两点所得的线段．
[化解疑难]
1．直线与椭圆有三种位置关系，即相交、相切和相离．
2．解决直线与椭圆的位置关系，一般是联立直线方程和椭圆方程组成方程组，根据方程组解的个数判断直线与椭圆的公共点的个数，从而确定位置关系．
直线与椭圆的位置关系
[例1] 对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．
[解] 由消去y，得＋(x＋m)2＝1，整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当－＜m＜时，Δ＞0，直线与椭圆相交；
当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；
当m＜－或m＞时，Δ＜0，直线与椭圆相离．
[类题通法]
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ＞0 直线与椭圆相交；
Δ＝0 直线与椭圆相切；
Δ＜0 直线与椭圆相离．
[活学活用]
若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围．
解：由
消去y，得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，
∴Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)＝20m(5k2＋m－1)．
∵直线与椭圆总有公共点，
∴Δ≥0对任意k∈R都成立．
∵m＞0，∴5k2≥1－m恒成立．
∵5k2≥0，∴1－m≤0，即m≥1.
又椭圆的焦点在x轴上，
∴0＜m＜5，
∴1≤m＜5，
即m的取值范围为[1,5)．
弦长问题
[例2] 已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．
[解] 法一：∵直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1,0)，且直线的斜率为2，
∴直线l的方程为y＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0.
由方程组
得交点A(0，－2)，B.
|AB|＝
＝
＝
＝.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B的坐标为方程组的解．
消去y得，3x2－5x＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝0.
∴|AB|＝
＝
＝
＝
＝.
[类题通法] 当直线与椭圆相交时，两交点间的距离，称为弦长．
(1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，然后运用根与系数的关系求弦长．不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这种方法是求弦长常采用的方法．
(2)求弦长的公式：设直线l的斜率为k，方程为y＝kx＋b，设端点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则|AB|＝
＝
＝·
＝·，
其中，x1＋x2，x1x2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y后得到关于x的一元二次方程得到．
[活学活用]
椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝，求椭圆的方程．
解：∵e＝，∴b2＝a2.
∴椭圆的方程为x2＋4y2＝a2.
与x＋2y＋8＝0联立消去y，
得2x2＋16x＋64－a2＝0，
由Δ＞0，得a2＞32，
由弦长公式得10＝×[64－2(64－a2)]．
∴a2＝36，b2＝9.∴椭圆的方程为＋＝1.
中点弦问题
[例3] 已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．
[解] 法一：由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆的方程有
(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.
∴x1＋x2＝＝8，
∴k＝－.
∴直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
法二：设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
∴＝－，
即k＝－.
∴直线l的方程为x＋2y－8＝0.
[类题通法]
解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，
则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，
变形得＝－·＝－·，
即kAB＝－.
[活学活用]
已知中心在原点，一个焦点为F(0，)的椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程．
解：设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
弦两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
由＋＝1及y＝3x－2得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋b2(4－a2)＝0，
x1＋x2＝，
由已知＝，
即＝1，
所以a2＝3b2.
又c2＝a2－b2＝50，
所以得a2＝75，b2＝25，
所以椭圆的方程为＋＝1.
[典例] (12分)(北京高考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
[解题流程]
[活学活用]
(浙江高考)如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1)．
(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
解：(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AP，由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，
故x1＝0，x2＝－.因此|AP|＝|x1－x2|＝.
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.
由(1)知，|AP|＝，|AQ|＝，故＝，
所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.
由k1≠k2，k1，k2＞0得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，
因此＝1＋a2(a2－2)． ①
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞.
因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤.
由e＝＝，得0＜e≤.所求离心率的取值范围为.
[随堂即时演练]
1．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
解析：选A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝＝
.因为1≤b＜2，所以0＜e≤.
2．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线与椭圆的交点，中点M(x0，y0)，
由得3x2＋4x－2＝0.
x0＝＝·＝－，
y0＝x0＋1＝，∴中点坐标为.
3．已知焦点在x轴上的椭圆C：＋y2＝1(a>0)，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为________．
解析：因为椭圆＋y2＝1(a>0)的焦点在x轴上，所以c＝，又过右焦点且垂直于x轴的直线为x＝c，将其代入椭圆方程中，得＋y2＝1，则y＝±
，又|AB|＝1，所以2＝1，得＝，所以该椭圆的离心率e＝＝(负值舍去)．
答案：
4．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．
解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
又∵直线与椭圆有两个公共点，
∴Δ＝(4m)2－4m(m＋3)＝16m2－4m2－12m
＝12m2－12m＞0，
解得m＞1或m＜0.
又∵m＞0且m≠3，∴m＞1且m≠3.
答案：(1,3)∪(3，＋∞)
5．过点P(－1,1)的直线与椭圆＋＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|.
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由A，B两点在椭圆上得
两式相减得
(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0.①
显然x1≠x2，故由①得
kAB＝＝－.
因为点P是AB的中点，所以有
x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2.②
把②代入①得kAB＝，
故AB的直线方程是y－1＝(x＋1)，即x－2y＋3＝0.
由消去y得3x2＋6x＋1＝0.
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝，
|AB|＝
＝
＝
＝·
＝
·＝.
[课时达标检测]
一、选择题
1．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为( )
A．10
B．12
C．16
D．18
解析：选B ∵|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，
∴|AF1|＋|BF1|＝4×5－8＝12.
2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝( )
A.
B.
C．2
D．4
解析：选A 将椭圆方程化为标准方程为x2＋＝1，∵焦点在y轴上，∴＞1，∴0＜m＜1.由方程得a＝
，b＝1.∵a＝2b，∴m＝.
3．两个正数1,9的等差中项是a，等比中项是b且b＞0，则曲线＋＝1的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A ∵a＝＝5，b＝＝3，
∴e＝＝.
4．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1)
B．0，
C．0，
D.，1
解析：选C ∵⊥，
∴点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c＜b，∴c2＜b2＝a2－c2，即2c2＜a2，
∴＜，即＜.又e＞0，∴0＜e＜.
5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则|
|＝( )
A.
B．2
C.
D．3
解析：选A 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)．
由＝3，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.将x0，y0代入＋y2＝1，
得×2＋2＝1.
解得n2＝1，
∴||＝＝＝.
二、填空题
6．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
解析：由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝
＝
＝.
答案：
7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．
∵·＝0，∴⊥.
∴||2＝||2－||2＝||2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，
∴||min＝2，∴||min＝.
答案：
8．(江苏高考)
如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
解析：将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，
所以x＝±a，故B，C.
又因为F(c,0)，所以BF―→＝，
CF―→＝.
因为∠BFC＝90°，所以BF―→·CF―→＝0，
所以＋2＝0，即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．
答案：
三、解答题
9．设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．
(1)求实数b的取值范围；
(2)当b＝1时，求|AB|.
解：(1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，
消去y，整理得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①
因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，
所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2＞0，
解得－＜b＜.
所以b的取值范围为(－，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.
解得x1＝0，x2＝－.
相应地y1＝1，y2＝－.
所以|AB|＝＝.
10．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，
∴b＝4.又e＝＝，得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为
y＝(x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，
得＋＝1，即x2－3x－8＝0，
解得x1＋x2＝3，
∴AB的中点坐标
＝＝，
＝＝(x1＋x2－6)＝－，
即中点坐标为.3．3.2 函数的极值与导数
[提出问题]
如图是函数y＝f(x)的图象．
问题1：y＝f(x)在x＝a处的导数f′(a)等于多少？
提示：f′(a)＝0.
问题2：当x＝a时，f(x)取最大值吗？
提示：不是，但f(a)比x＝a附近的函数值都大．
问题3：在x＝a附近两侧导数f′(x)的符号有什么特点？
提示：在x＝a附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.
问题4：当x＝d时，请回答以上问题．
提示：①f′(d)＝0；②不是，但f(d)比x＝d附近的函数值都小；③在x＝d附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.
[导入新知]
1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为函数的极值．
2．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
[化解疑难]
1．对极值概念的理解
(1)函数的极值是一个局部概念，是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或是最小的．
(2)在定义域的某个区间内极大值或极小值并不唯一，也可能极值不存在，并且极大值与极小值之间无确定的大小关系．
2．极值与极值点辨析
(1)函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标，而不是点；极值是函数在极值点处取得的函数值，即函数取得极值时对应点的纵坐标．
(2)极值点一定在区间的内部，端点不可能为极值点．
利用导数求函数的极值
[例1] 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝.
[解] (1)f′(x)＝x2－2x－3.
令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
单调递减?
－6
单调递增?
故当x＝－1时，函数取得极大值，且极大值为f(－1)＝；当x＝3时，函数取得极小值，且极小值为f(3)＝－6.
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝e.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增?
单调递减?
故当x＝e时，函数取得极大值，且极大值为f(e)＝.无极小值．
[类题通法]
(1)求函数极值的步骤：
①求方程f′(x)＝0在函数定义域内的所有根；
②用f′(x)＝0的根将定义域分成若干小区间，列表；
③由f′(x)在各个小区间内的符号，判断f′(x)＝0的根处的极值情况．
(2)表格给出了当x变化时y′，y的变化情况，表格直观清楚，容易看出具体的变化情况，并且能判断出是极大值还是极小值，最后得出函数的极大值、极小值．
[活学活用]
求下列函数的极值：
(1)f(x)＝－x3＋12x＋6；
(2)f(x)＝－2.
解：(1)f′(x)＝－3x2＋12＝－3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，
解得x1＝－2，x2＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
单调递减?
－10
单调递增?
22
单调递减?
当x＝－2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(－2)＝－10；
当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝22.
(2)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
单调递减?
－3
单调递增?
－1
单调递减?
由上表可以看出，当x＝－1时，函数取极小值－3；当x＝1时，函数取极大值－1.
已知函数极值求参数
[例2] 已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处的极小值为－1，试确定a，b的值，并求f(x)的单调区间．
[解] 由已知f′(x)＝3x2－6ax＋2b，
∴f′(1)＝3－6a＋2b＝0.①
又∵f(1)＝1－3a＋2b＝－1，②
由①②解得a＝，b＝－，
∴f(x)＝x3－x2－x.
由此得f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，
令f′(x)＞0，得x＜－或x＞1；
令f′(x)＜0，得－＜x＜1，
∴f(x)在x＝1的左侧f′(x)＜0，
右侧f′(x)＞0，
即f(x)在x＝1处取得极小值，
故a＝，b＝－，且f(x)＝x3－x2－x.
它的单调递增区间是和(1，＋∞)；
单调递减区间是.
[类题通法] 已知函数极值，确定函数的解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
[活学活用]
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且当x＝－1时取得极大值7，当x＝3时取得极小值，试求函数f(x)的极小值，并求a，b，c的值．
解：f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∵x＝－1时函数取得极大值，x＝3时函数取得极小值，
∴－1,3是方程f′(x)＝0的根，即为方程3x2＋2ax＋b＝0的两根．
故解得
∴f(x)＝x3－3x2－9x＋c.
∵x＝－1时取得极大值7，
∴(－1)3－3(－1)2－9(－1)＋c＝7.
∴c＝2.
∴函数f(x)的极小值为
f(3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25.
函数极值的综合应用
[例3] 已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；
(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？
[解] (1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，
得f′(x)＝－3x2＋3，
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；
当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；
极大值为f(1)＝a＋2.
由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示．
(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，
此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，
即方程f(x)＝0恰有两个实数根，
所以a＝－2满足条件；
当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，
此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，
即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，
所以a＝2满足条件．
综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．
[类题通法]
用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．
[活学活用]
a为何值时，方程x3－3x2－a＝0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根？有没有可能无实根？
解：令f(x)＝x3－3x2，则f(x)的定义域为R，
由f′(x)＝3x2－6x＝0，
得x＝0或x＝2，
所以当x＜0或x＞2时，f′(x)＞0；
当0＜x＜2时，f′(x)＜0.
函数f(x)在x＝0处有极大值0，在x＝2处有极小值－4.
如图所示，
故当a＞0或a＜－4时，原方程有一个根；
当a＝0或a＝－4时，原方程有两个不等实根；
当－4＜a＜0时，原方程有三个不等实根；
由图象可知，原方程不可能无实根.
[典例] (12分)若a≠0，试求函数f(x)＝－ax3－x2＋a2x2＋2ax的单调区间与极值．
[解题流程]
[活学活用]
设函数f(x)＝－
x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0，求函数的单调区间与极值．
解：f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.
令f′(x)＝0，
得到x＝1－m或x＝1＋m.
因为m>0，
所以1＋m>1－m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1－m)
1－m
(1－m,1＋m)
1＋m
(1＋m，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
单调递减?
极小值
单调递增?
极大值
单调递减?
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－m)和(1＋m，＋∞)，单调递增区间为(1－m,1＋m)．
函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)＝－m3＋m2－；
函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)＝m3＋m2－.
[随堂即时演练]
1．下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的是( )
①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝cos
x－1；④y＝2x
A．①②
B．②③
C．③④
D．①③
解析：选B ①④为单调函数，不存在极值．
2．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点，其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个．
3．函数y＝3x3－9x＋5的极大值为________．
解析：y′＝9x2－9.令y′＝0，得x＝±1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
单调递增?
极大值
单调递减?
极小值
单调递增?
从上表可以看出，当x＝－1时，函数y有极大值3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.
答案：11
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝________.
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
由题意知－3是3x2＋2ax＋3＝0的根，
解3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，
得a＝5，经检验a＝5时符合题意．
答案：5
5．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－12x；
(2)f(x)＝sin
x＋x，x∈(0,2π)．
解：(1)函数的定义域为R，
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
16
单调递减?
－16
单调递增?
从表中可以看出，当x＝－2时，函数有极大值f(－2)＝16；
当x＝2时，函数有极小值f(2)＝－16.
(2)f′(x)＝cos
x＋，
令f′(x)＝cos
x＋＝0，
得cos
x＝－.
又∵x∈(0,2π)，
∴x＝或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
＋
单调递减?
－
单调递增?
∴当x＝时，f(x)取极大值＋；
当x＝时，f(x)取极小值－.
[课时达标检测]
一、选择题
1．函数f(x)＝2－x2－x3的极值情况是( )
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值也无极小值
D．既有极大值又有极小值
解析：选D f′(x)＝－2x－3x2，令f′(x)＝0有x＝0或x＝－.当x＜－时，f′(x)＜0；当－＜x＜0时，f′(x)＞0；当x＞0时，f′(x)＜0.从而在x＝0时，f(x)取得极大值，在x＝－时，f(x)取得极小值．
2．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( )
A．1，－3 B．1,3
C．－1,3
D．－1，－3
解析：选A f′(x)＝3ax2＋b，
由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，
∴
∴a＝1，b＝－3.
3．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
解析：选D 求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，
令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1.
易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．
4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )
A．(－1,2)
B．(－3,6)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
解析：选D f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，
解得a＞6或a＜－3.
5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
解析：选B f′(x)＝3x2－6x.
令f′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0；
令f′(x)＝3x2－6x<0，得0∴函数f(x)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减．
当x＝0和x＝2时，函数分别取得极大值0和极小值－4.
故①②错，③④对．
二、填空题
6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数f′(x)的图象如图所示，则函数的极小值是________．
解析：由题图可知，当x＜0时，f′(x)＜0；
当0＜x＜2时，f′(x)＞0.
故x＝0时函数f(x)取极小值f(0)＝c.
答案：c
7．函数f(x)＝(a∈R)的极大值为________．
解析：f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x＝e1－a，
当x＜e1－a时，f′(x)＞0；
当x＞e1－a时，f′(x)＜0，
所以函数的极大值为f(e1－a)＝＝ea－1.
答案：ea－1
8．已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则f(x)的图象在(－1,3)内与x轴的交点的个数为________．
解析：因为f′(x)＝4x3＋9，当x∈(－1,3)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1,3)上单调递增．又f(－1)＝－3＜0，f(0)＝5＞0，所以f(x)在(－1,3)内与x轴只有一个交点．
答案：1
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．
当a＜0时，对x∈R，有f′(x)＞0，
∴当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当a＞0时，由f′(x)＞0，
解得x＜－或x＞，
由f′(x)＜0,
解得－＜x＜，
∴当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调递减区间为(－，)．
(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，
∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，解得a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)＝0，
解得x＝－1或x＝1.
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合图象可知m的取值范围是(－3,1)．
10．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0，得x＝－ln
2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln
2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln
2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln
2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln
2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．1.4
全称量词与存在量词
全称量词和全称命题
[提出问题]
观察下列语句：
(1)2x是偶数；
(2)对于任意一个x∈Z,2x都是偶数．
(3)所有的三角函数都是周期函数．
问题1：以上语句是命题吗？
提示：(1)不是命题，(2)(3)是命题．
问题2：上述命题中强调的是什么？
提示：(2)强调“任意一个x∈Z”，(3)强调“所有的三角形”．
[导入新知]
全称量词和全称命题
全称量词
所有的、任给、每一个、对一切
符号
全称命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为 x∈M，p(x)
[化解疑难]
全称命题是强调命题的一般性，是对于某一个给定集合的所有元素是否具有某种性质来说的.
存在量词与特称命题
[提出问题]
观察下列语句：
(1)存在一个x0∈R，使2x0＋2＝10；
(2)至少有一个x0∈R，使x0能被5和8整除．
问题1：以上语句是命题吗？
提示：都是命题．
问题2：上述命题有什么特点？
提示：两命题中变量x0取值有限制，即“存在一个x0∈R”，“至少有一个x0∈R”．
[导入新知]
存在量词和特称命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些
符号表示
特称命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为 x0∈M，p(x0)
[化解疑难]
特称命题是强调命题的存在性，是对于某一个给定集合的某些元素是否具有某种性质来说的．
含有一个量词的命题的否定
[提出问题]
观察下列命题：
(1)有的函数是偶函数；
(2)三角形都有外接圆．
问题1：上述命题是全称命题还是特称命题？
提示：(1)是特称命题，(2)是全称命题．
问题2：上述命题的量词各是什么？其量词的“反面”是什么？
提示：有的；所有的．所有的；存在一个．
[导入新知]
含有一个量词的命题的否定
[化解疑难]
一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
全称命题与特称命题
[例1] 判断下列语句是全称命题，还是特称命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(4)矩形的对角线不相等；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
[类题通法]
判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
[活学活用]
用全称量词或存在量词表示下列语句：
(1)不等式x2＋x＋1＞0恒成立；
(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；
(3)等式sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β对有些角α，β成立；
(4)方程3x－2y＝10有整数解．
解：(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1＞0成立．
(2)对任意有理数x，x2＋x＋1是有理数．
(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β成立．
(4)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立.
全称命题、特称命题的真假
[例2] 指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．
(1) x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x0∈R，使＝0；
(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；
(4)至少有一个集合A，满足A{1,2,3}．
[解] (1)是全称命题．因为对任意自然数x,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是特称命题．当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题．
(4)是特称命题．存在A＝{3}，使A{1,2,3}成立，所以该命题是真命题．
[类题通法]
(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．
[活学活用]
判断下列命题的真假：
(1)p：所有的单位向量都相等；
(2)p：任一等比数列{an}的公比q≠0；
(3)p： x0∈R，x＋2x0＋3≤0.
解：(1)p是全称命题，是假命题．
若两个单位向量e1，e2方向不相同，虽然有|e1|＝|e2|＝1，但e1≠e2.
(2)p是全称命题，是真命题．
根据等比数列的定义知，任一等比数列中，其每一项an≠0，所以其公比q＝≠0(n＝1,2,3，…)．
(3)p是特称命题，是假命题．
因为对于綈p： x∈R，x2＋2x＋3＞0是真命题，这是因为x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立.
全称命题与特称命题的否定
[例3] 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p： x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r： x0∈R，x＋4x0＋6≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
[解] (1)綈p： x0∈R，x－x0＋＜0，假命题．
因为 x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立．
(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)綈r： x∈R，x2＋4x＋6＞0，真命题．
(4)綈s： x∈R，x3＋1≠0，假命题，
因为x＝－1时，x3＋1＝0.
[类题通法]
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，
同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
[活学活用]
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定：
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2) x∈Z，x2与3的和不等于0；
(3)有些三角形的三个内角都为60°；
(4)每个三角形至少有两个锐角；
(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
解：(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被3整除．
(2)是全称命题，否定为： x0∈Z，x与3的和等于0.
(3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.
(4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．
(5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．
全称命题与特称命题的应用
[例4] 若命题“ x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
[解] 法一：由题意， x∈[－1，＋∞)，
令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，
所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为 x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立，
而 x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3,1]．
法二：x2－2ax＋2≥a，
即x2－2ax＋2－a≥0，
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为 x∈[－1，＋∞)，
f(x)≥0恒成立，
所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a＜－2.所以－3≤a≤1.
综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．
[类题通法]
应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型
(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
[活学活用]
若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0，求实数a的取值范围．
解：当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0；
当a＞0时，需满足Δ＝4－4a2＞0，得－1＜a＜1，故0＜a＜1.
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．
[典例] (浙江高考)命题“ x∈R， n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是( )
A． x∈R， n∈N
，使得n＜x2
B． x∈R， n∈N
，使得n＜x2
C． x∈R， n∈N
，使得n＜x2
D． x∈R， n∈N
，使得n＜x2
[解析] 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“ x∈R， n∈N
，使得n≥x2”的否定形式为“ x∈R， n∈N
，使得n＜x2”．
[答案] D
[易错防范]
1．因只否定了一个量词，而误选B或C.
2．对含有量词的命题进行否定时，要明确否定的实质，不应只简单地对量词进行否定，应遵循否定的要求，同时熟练记住一些常用量词的否定形式及其规律．
[成功破障]
命题“存在x∈R，使得2x＋2x＋1<0”的否定是________________．
答案：对于任意的x∈R，都有2x＋2x＋1≥0
[随堂即时演练]
1．下列全称命题为真命题的是( )
A．所有的素数是奇数
B． x∈R，x2＋1≥1
C．对每一个无理数x，x2也是无理数
D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5
解析：选B 2是素数，但2不是奇数，所以A是假命题；x2＋1≥1 x2≥0，显然 x∈R，x2≥0，故B为真命题，C、D均是假命题．
2．(湖北高考)命题“ x0∈(0，＋∞)，ln
x0＝x0－1”的否定是( )
A． x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1
B． x∈/(0，＋∞)，ln
x＝x－1
C． x0∈(0，＋∞)，ln
x0≠x0－1
D． x0∈/(0，＋∞)，ln
x0＝x0－1
解析：选A 改变原命题中的三个地方即可得其否定， 改为 ，x0改为x，否定结论，即ln
x≠x－1，故选A.
3．命题p： x0∈R，x＋2x0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________(填“真”或“假”)命题，它的否定为綈p：______________.
解析：命题p： x0∈R，x＋2x0＋5＜0是特称命题．
因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，
所以命题p为假命题．
命题p的否定为： x∈R，x2＋2x＋5≥0.
答案：特称命题 假 x∈R，x2＋2x＋5≥0
4．若 x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________________．
解析：由题意知，0＜a2－1＜1，
∴即
解得
∴1＜a＜或－＜a＜－1.
答案：(－，－1)∪(1，)
5．已知p：存在正实数x，使x2＋mx＋1＝0成立．若綈p是假命题，求实数m的取值范围．
解：∵綈p为假命题，∴p为真命题，
即关于x的方程x2＋mx＋1＝0有正解．
由x2＋mx＋1＝0，
得m＝－x－＝－≤－2，
当且仅当x＝1时取等号．
即m的取值范围为(－∞，－2]．
[课时达标检测]
一、选择题
1．(全国卷Ⅰ)设命题p： n∈N，n2>2n，则綈p为( )
A． n∈N，n2>2n B． n∈N，n2≤2n
C． n∈N，n2≤2n
D． n∈N，n2＝2n
解析：选C 因为“ x∈M，p(x)”的否定是“ x∈M，綈p(x)”，所以命题“ n∈N，n2>2n”的否定是“ n∈N，n2≤2n”，故选C.
2．下列语句是真命题的是( )
A．所有的实数x都能使x2－3x＋6＞0成立
B．存在一个实数x使不等式x2－3x＋6＜0成立
C．存在一条直线与两个相交平面都垂直
D．有一条直线和两个相交平面都垂直
解析：选A Δ＜0，x2－3x＋6＞0对x∈R恒成立，故排除B；假设存在这样的直线与两个相交平面垂直，则两个平面必平行，故排除C、D.
3．有下列四个命题：① x∈R,2x2－3x＋4＞0；② x∈{1，－1,0},2x＋1＞0；③ x0∈N，使x≤x0；④ x0∈N
，使x0为29的约数．其中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C 对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4＜0，所以2x2－3x＋4＞0恒成立，故①为真命题；
对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1＞0不成立，故②为假命题；
对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；
对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．
4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
解析：选B A项中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B项中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C项中因为＋(－)＝0，所以选项C是假命题；D项中对于任一个负数x，都有＜0，所以选项D是假命题．
5．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A． x∈R，f(x)≤f(x0)
B． x∈R，f(x)≥f(x0)
C． x∈R，f(x)≤f(x0)
D． x∈R，f(x)≥f(x0)
解析：选C 由题意知：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此 x∈R，f(x)≤f(x0)是假命题．
二、填空题
6．命题“ x∈R,3x2－2x＋1＞0”的否定是________________．
解析：“ x∈M，p(x)”的否定为“ x0∈M，綈p(x0)”．∴其否定为 x0∈R,3x－2x0＋1≤0.
答案： x0∈R,3x－2x0＋1≤0
7．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号)
①正方形的四条边相等；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．
答案：①②③ ④
8．已知命题“ x0∈R,2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意可得“对 x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0恒成立”是真命题．令Δ＝(a－1)2－4＜0，得－1＜a＜3.
答案：(－1,3)
三、解答题
9．用“ ”“ ”写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)二次函数的图象是抛物线；
(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；
(3)有些四边形存在外接圆；
(4) a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．
解：(1) f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．
(2)在直角坐标系中， l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．
(3) x∈{x|x是四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．
(4) a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．
10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．
解：法一：由题意知，x2＋2ax＋2－a＞0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则只需f(1)＞0或f(2)＞0，
即1＋2a＋2－a＞0，或4＋4a＋2－a＞0.
整理得a＞－3或a＞－2.
即a＞－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
法二：綈p： x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a＞0无解，
令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则即
解得a≤－3.
故命题p中，a＞－3.
即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．第一课时 椭圆的简单几何性质
[提出问题]
图中椭圆的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)．
问题1：椭圆具有对称性吗？
提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．
问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？
提示：可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a,0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b)．
问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？
提示：x∈[－a，a]，y∈[－b，b]．
问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？
提示：b越小，椭圆越扁．
[导入新知]
椭圆的简单几何性质
焦点
的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝(0[化解疑难]
1．由不等式＝1－≤1可得|x|≤a，由＝1－≤1可得|y|≤b，从而可得椭圆的范围．
2．椭圆有四个顶点、两个焦点共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置，注意长轴长是2a，而不是a.
3．椭圆的离心率e的大小，描述了椭圆的扁平程度．e越接近1，则c就越接近a，从而b＝越小，因此，椭圆越扁；反之，e越接近0，则c就越接近0，从而b越接近a，这时椭圆越接近圆．特别地，当a＝b时，c＝0，椭圆就变为圆了，此时方程为x2＋y2＝a2.
椭圆的几何性质
[例1] 求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
[解] 椭圆方程变形为＋＝1，
∴a＝3，b＝2，
∴c＝
＝＝.
∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，
离心率e＝＝.
[类题通法]
求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
[活学活用]
已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1，
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；
④离心率：e＝.
利用椭圆的几何性质求其标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[解] (1)设椭圆的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．
由已知得2a＝10，a＝5.
又∵e＝＝，∴c＝4.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[类题通法]
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置．
②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)．
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式为b2＝a2－c2，e＝等．
(2)在椭圆的简单性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆方程可能有两个．
[活学活用]
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在x轴上，短轴长为2，离心率e＝；
(2)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)．
解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由题意知解得a＝，b＝1，
因此，椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意得
解得故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由题意，得解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
椭圆的离心率
[例3] 如图，已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的一点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．
[解] 由已知可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)，
则由题意可知P.
∵△PF1O∽△BOA，
∴＝，∴＝，即b＝c，
∴a2＝2c2，∴e＝＝.
[类题通法]
椭圆的离心率的求法
求椭圆的离心率，关键是寻找a与c的关系，一般地：
(1)若已知a，c，则直接代入e＝求解；
(2)若已知a，b，则由e＝
求解；
(3)若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的齐次式，再转化为含e的方程求解即可．
[活学活用]
若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 依题意，△BF1F2是正三角形．
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴acos
60°＝c，
∴＝，即椭圆的离心率e＝.
[典例] 已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e＝，且过P(2,3)，求此椭圆的标准方程．
[解] (1)当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)．
由题意知解得b2＝10，a2＝40.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意得解得b2＝，a2＝25.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上，所求椭圆的标准方程为
＋＝1或＋＝1.
[易错防范]
求解时不讨论焦点的位置，而默认为椭圆的焦点在x轴上，这是最常见的错解．
[成功破障]
若椭圆＋＝1的离心率e＝，则k的值等于________．
解析：分两种情况进行讨论：
当焦点在x轴上时，a2＝k＋8，b2＝9，得c2＝k－1，
又∵e＝，
∴＝，解得k＝4.
当焦点在y轴上时，a2＝9，b2＝k＋8，得c2＝1－k，
又∵e＝，
∴＝，
解得k＝－.
∴k＝4或k＝－.
答案：4或－
[随堂即时演练]
1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：选A 因为2a＝18,2c＝×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.
2．椭圆C1：＋＝1与椭圆C2：＋＝1(k＜9)( )
A．有相同的长轴
B．有相同的短轴
C．有相同的焦点
D．有相等的离心率
解析：选C 25－9＝(25－k)－(9－k)，故两椭圆有相同的焦点．
3．椭圆x2＋4y2＝16的短轴长为________．
解析：由＋＝1可知b＝2，
∴短轴长2b＝4.
答案：4
4．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率e＝________.
解析：由题意知椭圆焦点在x轴上，
∴在直线x＋2y－2＝0中，
令y＝0得c＝2；令x＝0得b＝1.
∴a＝＝.
∴e＝＝.
答案：
5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12；
(2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)．
解：(1)由题意设椭圆的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12，
∴2a＝12，即a＝6.
∵椭圆的离心率为，
∴e＝＝＝＝，
∴b2＝9.∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知椭圆的焦点在y轴上，
可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则b＝9.
因为c＝7，所以a2＝b2＋c2＝81＋49＝130，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
[课时达标检测]
一、选择题
1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )
A．(±13,0)
B．(0，±10)
C．(0，±13)
D．(0，±)
解析：选D 由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，
故焦点坐标为(0，±)．
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1
B.＋y2＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：选A 由椭圆的性质知
|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
又∵△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，∴a＝.
又e＝，∴c＝1.
∴b2＝a2－c2＝2，
∴椭圆的方程为＋＝1.
3．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
解析：选D 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，
所以a2＝25，b2＝9.
4．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若AP―→＝2PB―→，则椭圆的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D ∵AP―→＝2PB―→，
∴|AP―→|＝2|PB―→|.
又∵PO∥BF，∴＝＝，
即＝，∴e＝＝.
5．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 法一：将x＝－c代入椭圆方程可解得点P－c，±，故|PF1|＝，
又在Rt△F1PF2中∠F1PF2＝60°，
所以|PF2|＝，根据椭圆定义得＝2a，
从而可得e＝＝.
法二：设|F1F2|＝2c，则在Rt△F1PF2中，
|PF1|＝c，|PF2|＝c.
所以|PF1|＋|PF2|＝2c＝2a，离心率e＝＝.
二、填空题
6．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是________________．
解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，因此可设待求椭圆为＋＝1.
又b＝2，
故m＝20，得＋＝1.
答案：＋＝1
7．椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________.
解析：当焦点在x轴上时，＝ m＝3；
当焦点在y轴上时，＝ m＝.
综上，m＝3或m＝.
答案：3或
8．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，
且过P(－5,4)，则椭圆的方程为__________．
解析：∵e＝＝，
∴＝＝，
∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞0)，
∵椭圆过点P(－5,4)，
∴＋＝1.
解得a2＝45.
∴椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
三、解答题
9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．
解：设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由e＝知＝，故＝，
从而＝，＝.
由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8.
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
10．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．
解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是：2＋y2＝2，所以y2＝ax－x2.①
又P点在椭圆上，故＋＝1.②
把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，
即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，
∵x≠a，x≠0，
∴x＝，又0＜x＜a，
∴0＜＜a，即2b2＜a2.
由b2＝a2－c2，得a2＜2c2，
所以e＞.
又∵0＜e＜1，∴＜e＜1.
即椭圆离心率的取值范围是.
