3.1.1 随机事件的概率
1.下面事件:①某项体育比赛出现平局;②抛掷一枚硬币,出现反面;③全球变暖会导致海平面上升;④一个三角形的三边长分别为1,2,3;其中是随机事件的是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
解析:①②是随机事件,③是必然事件,④是不可能事件.
答案:A
2.在25件同类产品中,有2件次品,从中任取3件产品,其中不可能事件为( )
A.3件都是正品
B.至少有1件次品
C.3件都是次品
D.至少有1件正品
解析:因为25件产品中只有2件次品,所以不可能取出3件次品.
答案:C
3.某人将一枚硬币连续抛掷了10次,正面朝上的情形出现了6次,则( )
A.正面朝上的概率为0.6
B.正面朝上的频率为0.6
C.正面朝上的频率为6
D.正面朝上的概率接近于0.6
解析:=0.6是正面朝上的频率不是概率.
答案:B
4.给出下列三个命题,其中正确命题的个数是( )
①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①错误;②出现正面的概率为,故错误;③频率与概率不是一回事,故错误.
答案:A
5.一个家庭有两个小孩,按男女分,则这两个小孩所有情况有( )
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
解析:这两个小孩所有可能情况有(男,女),(男,男),(女,女),(女,男)共4种.
答案:C
6.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是 .
解析:P==0.03.
答案:0.03
7.在200件产品中,有192件一级品,8件二级品,则事件
(1)“在这200件产品中任意选出9件,全部是一级品”;
(2)“在这200件产品中任意选出9件,全部是二级品”
(3)“在这200件产品中任意选出9件,不全是一级品”;
(4)“在这200件产品中任意选出9件,其中不是一级品的件数小于10”.
是必然事件; 是不可能事件; 是随机事件.
答案:(4) (2) (1)(3)
8.根据某社区医院的调查,该地区居民血型的分布为:O型50%,A型15%,B型30%,AB型5%,现有一血液为A型的病人需要输血,若在该地区任选一人,那么能为该病人输血的概率是 .
解析:由生活常识知,O型,A型血液都能输给该病人,由频率估计概率可得50%+15%=65%.
答案:65%
9.某批乒乓球产品质量检查结果如下表所示:
抽取球数n
50
100
200
500
1000
2000
优等品数m
45
92
194
470
954
1902
优等品频率
(1)计算表中乒乓球优等品的频率;
(2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少 (结果保留到小数点后三位)
解:(1)依据公式可算出表中乒乓球优等品的频率依次为0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.
(2)由(1)知,抽取的球数n不同,计算得到的频率值虽然不同,但却都在常数0.950的附近摆动,所以抽取一个乒乓球检测时,质量检查为优等品的概率为0.950.
10.(1)从甲、乙、丙、丁四人中选出两人,分别在星期六和星期天两天值班,写出该试验的所有可能的结果;
(2)从甲、乙、丙、丁四人中选出3人去旅游,写出所有可能的结果.
解:(1)由题意知选出两人,分别在星期六和星期天值班,故可能的结果为:
甲乙;乙甲;甲丙;丙甲;甲丁;丁甲;乙丙;丙乙;乙丁;丁乙;丙丁;丁丙.
共12种可能的结果.
(2)有四种结果{甲,乙,丙}{甲,乙,丁}{甲,丙,丁}{乙,丙,丁}.3.1.1
随机事件的概率
课题
3.1.1
随机事件的概率
三维教学目标
知识与能力
（C层）了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；正确理解事件A出现的频率的意义。（AB层）理解并掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概念；正确理解事件A出现的频数与频率的意义，能区分频率与概率的概念。
过程与方法
发现法教学，通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高；
情感、态度、价值观
通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；
教学内容分析
教学重点
事件的分类；
教学难点
用概率的知识解释现实生活中的具体问题．
教
学
流
程
与
教
学
内
容
一、创设情境：日常生活中，有些问题是很难给予准确无误的回答的。例如，你明天什么时间起床？7：20在某公共汽车站候车的人有多少？你购买本期福利彩票是否能中奖？等等。二、新课：（一）基本概念：阅读课本P108，思考：1、什么是必然事件？什么是不可能事件？什么是确定事件？什么是随机事件？2、你能分别举出现实中的生活加以说明吗？3、什么是概率？如何才能获得随机事件发生的概率？（二）探究活动：（抛硬币试验）1、全班每人各取一枚同样的硬币，做10次掷硬币的试验，每人记录下试验结果，填在下表中。姓名试验次数正面朝上的次数正面朝上的比例思考：与其他同学的试验结果比较，你的结果和他们一致吗？为什么会出现这样的情况？2、每个小组把本组同学的试验结果统计一下，填在下表中。组次试验总次数正面朝上的总次数正面朝上的比例思考：与其他小组的试验结果比较，各组的结果一致吗？为什么会出现这样的情况？3、让一个同学把全班同学的试验结果统计一下，填在下表中。班级试验总次数正面朝上的总次数正面朝上的比例4、请把全班每个的试验中正面朝上的次数收集起来，并用条形图表示。观察：条形图有何特点？
（三）阅读课本P110，思考：
1、什么是频数和频率？两个概念有何区别？2、频率的范围是什么？3、人工抛硬币太费时，有无更佳方法呢？（四）计算机模拟硬币试验
请同学们观察P111表3-1及掷硬币的频率图，能发现什么规律？（五）历史上一些掷硬币的试验结果请同学们观察P112表3-2，能发现什么规律？（六）思考：事件A发生的频率fn(A)是不是不变的？事件A的概率P（A）是不是不变的？它们之间有什么区别与联系？三、例题分析：例1
判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？（1）“抛一石块，下落”.（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；（3）“某人射击一次，中靶”；（4）“如果a＞b,那么a－b＞0”;（5）“掷一枚硬币，出现正面”；（6）“导体通电后，发热”；（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有水份，种子能发芽”；（10）“在常温下，焊锡熔化”．例2
某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率（1）填写表中击中靶心的频率；（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？分析：事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率。小结：概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。四、巩固练习：P113
练习1，2，
（AB层）3四、课堂小结：概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过程中应有意识形成概率意识，并用这种意识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概率的感受和探索。
课后学习
1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（
）A．必然事件
B．随机事件
C．不可能事件
D．无法确定2．下列说法正确的是（
）A．任一事件的概率总在（0.1）内
B．不可能事件的概率不一定为0C．必然事件的概率一定为1
D．以上均不对3、一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数554496071352017190男婴数2883497069948892男婴出生的频率（1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）；（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？P124
B组3
（AB层）
教学反思
本课中概念多，可分成两类，便于学生理解记忆：一、必然事件、不可能事件、随机事件；二、频数、频率、概率。3.1随机事件的概率（一）
教学设计
（一）内容和内容解析
本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修3）》（人教A版）第三章3.1.1“随机事件的概率”.在现实世界中，随机现象是广泛存在的，而随机现象中存在着一定的规律性，从而使我们可以运用数学方法来定量地研究随机现象，本节课主要通过实例和实验让学生感受随机事件的发生的规律性,以及“大量重复”这一呈现规律性的条件和“附近摆动”这一表现形式，而具体“如何摆动”、是否“摆动越来越小”并不是本节课的重点,在此给学生留有一定的思考空间.
因此本节课的重点是随机事件的概率概念生成.
本课内容是高中阶段概率内容的起始课,是全章内容的理论基础,它指明了概率课程的研究方向,即研究随机事件的不确定性和规律性；其次本课的内容所涉及到的其他数学知识不多,主要是通过数与形两方面揭示随机事件发生的规律性,但本课内容与生活联系十分紧密,通过这节课的学习可让学生充分体会到数学源于生活又服务于生活,这节课的学习体会和感受,将直接影响后续概率课程的学习.
（二）目标和目标解析
本节课作为起始课,不仅要学习随机事件的概率的概念,而且要初步感受概率的实际意义和思考方法,为今后继续学习概率知识打下正确的思维和心理基础．因此,本节课的教学目标定位为：
1．知识与技能：了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；通过试验了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.
2．过程与方法：让学生经历数据的收集、整理和处理过程,归纳总结试验结果,体会随机事件发生的随机性和规律性；明确概率与频率的区别和联系.
3．情感态度与价值观：通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识,体会数学知识与现实世界的联系；并通过数学史实渗透,培育学生刻苦严谨的科学精神和敢于实践、乐于与人交流合作的良好个性品质.
要实现这些教学目标，本节课主要采用实验探究法，遵循思考、交流、观察、分析、得出结论的思路进行启发式教学，充分发挥学生的主体作用，做好探究性试验，体现新课标以人为本的精神．本课特别强调利用学生熟悉的典型实例引入,通过数学实验,让学生在感性认识的基础上,借助综合、概括、比较、分析等思维活动,向科学概念发展,达到理性认识的飞跃.
（三）教学问题诊断分析
由于义务教育阶段对概率内容的教学目标定位于感性和定性认识的水平，学生虽然有了一定的认知基础,有较强的学习兴趣，但是初、高中教材中的表述并不完全相同,对比而言,高中教材的表述更加严谨,后续内容更加抽象,学生过去的学习、生活经验对这节课的学习有一定负迁移作用.
1.学生已有的知识结构
⑴学生在初中时已初步接触了统计，了解了平均数、众数、和、中数等概念，而统计和概率有着内在的联系.
⑵通过日常生活中一些预知结果的事件的分析过渡到“随机事件”概念的分析，应该比较自然.
2.学生的学习困难预测
⑴随机事件的发生是不确定的，而其发生频率是稳定的，从“频率”过渡到“概率”有点难度，让学生自己分析两者之间的区别有难度，需教师加以点播和引导．
⑵“概率”的理解：不可能事件发生的频率是0，必然事件发生的频率是1．而“概率”是针对于随机事件而言的，取值范围在0到1之间．
⑶我校是本县重点高中,学生虽然具备一定的计算机使用和实验操作、统计能力,但这节课的数学实验对每位学生的动手操作、合作交流能力将是一个挑战.
基于以上分析，本节课的难点是难点则是频率发生的不确定性与稳定性的建构.突破难点的最好办法就是给学生亲自动手操作的机会,使学生在实践过程中形成对随机事件的随机性以及随机性中表现出的规律性的直接感知.
（四）教学支持条件分析
张奠宙教授曾在对“概率与统计”的教学建议中倡导“新课程应注意学生学习的参与性、实际性、探究性;注意学生在学习中的三维教学目标的有机结合.”基于以上理念,本节课充分利用电子白板和计算机实验室辅助教学,
采用让学生动手实验操作、自主探究、合作交流及老师启发引导的教学方法.设计上力图体现从易到难、从具体到抽象等基本原则.
因该部分内容与生活联系紧密，教师在教学过程中要避免直接给出概念或照搬书本定义，而是要让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理和初步的演绎推理能力,能有条理、清晰地阐述自己的观点.基于此,本节课始终让学生主动参与,亲身实践,尊重学生作为学习主体的发展需求,使学生真正成为知识的发现者和研究者.
本节课主要采用实验探究性学习方法进行学习．
（五）教学过程
教学准备:电脑实验室、教学课件、实验报告.
教学流程图:
1.
设置情境,体验精彩
⑴实例1：据新华社布里斯班1月14日电，继破掉18年不胜沙特队的魔咒后，中国男足14日在亚洲杯小组赛第二轮以2比1逆转战胜乌兹别克斯坦队，自2001年世界杯预选赛后再次战胜对手．由于同组另一场比赛沙特队4比1轻取朝鲜队，两战两胜的中国队以b组第一身份提前一轮小组出线，挺进八强．两轮比赛国足先后取胜，即便在末轮输给朝鲜队，也将因胜负关系以小组第一身份出线．18日，中国队将在小组赛末轮对阵朝鲜队．
播放亚洲杯小组赛第二轮以2比1逆转战胜乌兹别克斯坦队进球视频,从同学们关注的赛事说起,介绍比赛最后时刻的情形.为什么在那个时刻,所有人都会那么紧张和激动？你能确定１月18日对战朝鲜队时中国队一定会赢吗？
［设计意图］亚洲杯是社会热点话题,该情境的创设,一方面可以增强学生的民族自豪感,另一方面容易激起学生的兴趣,为后续的思维活动建立起情感基础．
⑵实例2：“超级大乐透”
第09121期三明宁化县一彩民中奖7417万.
请学生任意写出五个由两个数字组成的号码,接着播放第09121期摇奖视频(图1,中奖号码为05、22、08、11、04号),在学生的翘首期盼中“当场开奖”,看是否有人能成为这一大奖得主
［设计意图］回到发生在学生身边的事情,让学生在游戏中体会学习随机事件及概率的原因和必要性.
此问题情境的创设新颖、精致，不仅能快速集中学生的注意力，
激发学生的兴趣，将学生的思维“锁”定本节课的重点内容之――随机事件的概率．
2.归纳共性,形成概念
⑴从结果能够预知的角度看,能够发现以上事件的共同点吗？那么在自己的身边,还能找到此类的事件吗？有没有不属于此类的事件呢？
［设计意图］在形成概念之前,通过主动的思考,巩固学生对随机事件的思维基础,通过对比,明确事件分类的标准和概念之间的差异.
⑵超级竞猜,摸球游戏（Flash动画）
（i）从几号袋中任摸一球,一定是红球？
（ii）从几号袋中任摸一球,一定不是红球？
（iii）从3号袋中任摸一球,会是什么颜色？
（iv）能从这个游戏中举出必然事件、不可能事件、随机事件的实例吗？
［设计意图］
通过游戏,使学生对随机事件的规律性有初步的感性认识,并为挖掘这些感性认识的理性依据提供了思维铺垫,以这种方式激发学生对生活经验的反思和探究,同时帮助学生形成正确的世界观．
3.探索实践,建构知识
回顾中国队对阵乌兹别克斯坦队的比赛问足球比赛中是怎么决定谁先开球的？学生自然会回答抛掷硬币,顺势提问：这种决定方法对比赛双方公平吗？能否用试验来验证？学生颇感怀疑,分三步完成数学实验一：
⑴分组试验
实验前的准备:预习教材相关内容、组建实验小组、合理分工.(以相邻座位的4-5人组成一个实验小组共12个,确定小组长并做好分工)
实验的实施:于课前分小组进行抛掷硬币的试验.要求每个小组根据实验任务开展实验,认真操作并做好记录、统计、绘图和分析.
(附实验报告一)
（i）教师用实物展台展示各小组的实验报告,选两小组发言人先后阐述实验情况与结果分析.
（ii）将各小组所得的数据输入电脑汇总并展示,便于对比分析.（附表一实验结果对比分析表）
（iii）提问：与其他各组的试验结果比较,各组的结果一致吗？再重复一次上面的实验,结果还会一致吗？观察得到的数据表格和条形图,能够观察出什么规律,以帮助我们估计出事件发生的概率？
［设计意图］数学实验教学的实施,使数学实验的探索发现活动得以开展,充分体现新课标的教学理念:“动手操作、合作交流、自主探究”.这一数学实验的结论不易直接推导,这说明了进行试验的必要性,也更大的调动了学生参与的积极性.学生的亲身体验,更有利于概念的形成,以及对规律的认同.通过提问引导学生认识到随机事件的发生具有偶然性,同时发现在次数逐渐增大的情况下,频率数值渐趋稳定.
⑵比较试验
展示历史几位著名的数学家做过这样的试验,比较今天抛掷的结果会与他们的一致吗？这个表让学生既了解到一些数学家的故事、感受到他们为追求真理而不惜时间的精神（比如：皮尔逊投了24000次,可想而知需要大量时间）,又惊喜的看到：几位数学家的试验结果跟我们今天的试验结果大致相同----大量试验次数下频率数值稳定于0.5.学生很有成就感,老师趁此鼓励：今天,你们就可以做出数学家做的事,那么明天,你们就是未来的数学家.
［设计意图］通过数学史实渗透,培育学生刻苦严谨的科学精神和敢于实践的个性品质.
⑶模拟试验(师生共同完成)
（i）各组在自己电脑上输入次数,电脑很快抛掷硬币,得到正面朝上的频数和频率.
（ii）各组把结果汇报并输入到教师电脑电子表格中,同时自动计算出各组频率并绘制出折线图.
（iii）提问：从数或形两个角度观察数据的频率是否体现出规律性？此图表中体现出的规律性是否具有一般性？
［设计意图］这一环节是本课的难点,需要把对数据、图表的直观印象转化为抽象的概率定义.之所以可以用大量重复试验的频率来估计概率,是因为频率体现出了一定的“稳定性”,即规律性,使得我们能够从图表中大致判断出事件概率的范围、具体大小.
⑷试验总结
通过以下问题，对实验进行总结：
（i）概率用来度量可能性的大小，那正面朝上的概率是不是为确定的常数
（ii）每次实验“正面朝上的频率”是不是都是相同的值
（iii）能不能用某次实验的频率作为概率
例如将皮尔逊抛掷2400次实验获得的频率0.5005作为正面朝上的概率
为什么
（iv）根据实验数据的图表分析，用哪个量做为
“正面朝上的概率”比较适合呢
且对于一般随机事件来说，可以用什么样的方法来获得随机事件概率呢
［设计意图］通过
“学生的实验结果
”、“历史上一些掷硬币的实验结果”、“计算机模拟掷硬币的实验结果”，以及统计表和统计图等手段，使学生感受到随着实验次数的增加，正面朝上的频率在0.5附近摆动;再由特殊事件转到一般事件总结方法;最后进一步解释了这个常数(频率的稳定值)代表的意义.
4.概括概念,加深理解
⑴如果把随机事件发生的可能性大小简称为随机事件的概率,你认为应该怎样定义“随机事件的概率”？
［设计意图］在学生经历上述过程后,再引导学生得出事件的概率的定义，很好地突破了本节课的教学难点．同时充分发挥学生的主体地位，让学生学会有条理地阐述自己的观点.通过教师的补充使学生对概念更清晰、理解更透彻.在此环节教学中，始终围绕着“随机事件的随机性以及随机性中表现出来的规律性”这一核心概念进行实验设计和实验结果分析．
⑵提问：
（i）概率的取值范围是什么？
（ii）定义中的“频率”和“概率”
什么联系和区别？
（iii）如何理解小概率事件？理解求随机事件概率的必要性(如实例2)
［设计意图］让学生进一步体会频率和概率的关系,明确频率是概率的估计值.
⑶介绍“大数定律”
及概率论先驱---瑞士数学家伯努利.
5.解决问题,拓展提升
完成数学实验2(附实验报告二),解决教材113页练习第1题：做同时掷两枚硬币的试验,观察试验结果回答以下问题:
⑴试验可能出现的结果有几种？分别把它们表示出来.
⑵你能估计每种结果出现的概率吗？
［设计意图］通过数学实验来代替例题，这样的设计“实验味”很浓，又能给学生带来思维上的冲击，学生再次经历猜想、设计(实验方案)、观察、分析、归纳的过程，是概念中数学思想的重现，更有助于学生理解概念的本质．一个好的例题往往承载着概念的本质，蕴含着丰富的数学思想．在形成一个新的数学概念之后，设计聚焦概念核心的例题与练习是概念
“精致”
过程中不可替代的环节．大多同学感觉实验结果与平常直觉不一致,试验结果只有三种,两正、两反和一正一反,可求出的频率却不会接近1/3,这是怎么回事 通过对实验的归纳和辨析对新问题的特性形成陈述性的理解,继而与原有的知识结构相互联系,帮助学生体会随机事件的随机性和规律性是不矛盾的,是辨证统一的,即随机事件在一次试验中体现出随机性,在大量重复试验中体现出规律性.
6.概括提炼,总结升华
⑴学生分组讨论,谈本节课收获与疑问,学生之间相互补充,相互释疑.
⑵教师表扬课堂上参与积极、表现精彩的小组和个人.
⑶教师引导学生再一次理解概率的意义,揭示频率与概率的联系与区别.
⑷结语：张景中院士
“概率论这门数学，
就是研究大量偶然事件发生的宏观数量规律的学问”.
［设计意图］回顾随机事件的概念和用频率估计概率的方法,在思考中师生共同完成本节课的小结,同时形成板书,突出概念与方法．
7.布置作业,探究延续
查阅网络资源
(1)上网搜索并阅读有关姚明参加NBA以来罚球数据的统计,并根据你搜索到的数据,求出姚明在NBA比赛中罚球命中的概率.
(2)
随机试验网址：http://4a.hep./ncourse/gltj/gltj_sjsy.htm.
(3)
查阅“大数定律”:
http://baike./doc/5332340.html
(
)
(4)
概率论发展简史网址：http://www.cas.ac.cn/html/dir/2002/03/14/1912.htm
［设计意图］将课堂探究活动延伸到课外,有助于学生养成自觉探究的学习习惯.
8.板书设计
电子白板
3.3.1随机事件的概率一．事件的分类二．频数、频率三．概率四．频率与概率的联系和区别
9．附录：
附表一：
二、教学实践心得
《随机事件的概率》的教学价值的挖掘与思考
概率论的产生归功于赌博这项机遇游戏，发展于20世纪，应用于生活的各个领域，研究的是随机现象的规律性，体现偶然与必然的辩证统一，是确定性思维的一次挑战，因此打破学生确定性思维方式是概率教学的难点．随机事件的概率是概率章节的起始课，在设计这一课时应遵循学生认知规律,切合学生生活体验，意在建构随机事件发生的不确定性与大量重复试验随机事件发生频率的稳定性，核心是建立不确定性思维方式．本设计基于杜宾斯基等人创立的数学概念学习的APOS理论模型，将学生学习数学概念获取过程分成以下四个阶段设计：操作或活动阶段、过程阶段、对象阶段、概型阶段．教学设计遵循APOS理论，在操作活动阶段，设计抛硬币试验活动，引导感知随机事件发生的不确定性；类比历史上的科学发现方法，引导学生观察与分析．在过程阶段，设计在数轴上描出对应点，作频率折线图等一系列活动，引导学生建立随机事件频率的稳定性，确立随机事件概率的统计定义．对象阶段则是设计多样随机现象，丰富概念原型，拓展概念外延，深化概念内涵，形成概念图式．概型阶段则是设计不同情境相似问题，引导学生概念顺应，将新知纳入原有的认知结构，从而建立随机事件概率图式，深化学生概率的理解．
本节课的重点是随机事件的概率概念生成，难点则是频率发生的不确定性与稳定性的建构．根据学生的年龄特点和认知水平，本设计就从学生熟悉并感兴趣的足球、彩票和抛掷硬币入手，让学生亲自动手操作，在相同条件下重复进行试验，在实践过程中形成对随机事件的随机性以及随机性中表现出的规律性的直接感知，从而形成对概念的正确理解．同时通过在数轴上描出频率的对应点，引导学生建立点的集聚性，恰是频率稳定性形象表征，让学生画频率的折线图引导学生建立不确定性，即在一条水平线附近摆动，稳定性则是贴紧水平线摇摆．这一过程设计，不仅应用数形结合，也是找到新知固着点，将新知纳入旧知的较好方式，是成功设计之一．选用经典的抛硬币试验，学生在操作中体验，这样设计不仅有利于激发学生学习热情，也有利于调动学生学习积极性，激活学习内动力，提高学生学习效率．分组试验再合作共享，在合作中探究，在探究中合作，培养学生合作精神，弃单一的知识教学，注重学生数学素质教育是成功设计之二
．
本设计局限于现代技术的应用，如果学生能用图形计算器，自已设计模拟试验，变教师的演示试验为操作体验，会更有利于学生体会随机事件发生的不确定性，也利于学生理解事件发生可能性大小的存在性，真切体会或然思维与必然思维的差异，学会辩证思维.同时用图形计算器，准确作出频率对应点与频率折线图，将有利于学生理解稳定性，可以通过改变技术与显示精准度，让学生更好体会集聚与稳定意义．这样既可以节省作图时间，又可以增加图示的准确性，可以更好地提高课堂的效率．
当然在本设计中，将努力建立起学生、课本和教师三者之间的立体信息交互网络，从多方面采取调控措施，保证探究方向的正确性和探究过程的有效性.
主要通过整合教材，精选素材，合理安排教学节奏，加强信息的针对性，并注意教师与学生，学生与学生以及人机之间的双向交流.这是我对本节课教学反馈的认识．
三、专家点评（宁化第一中学 邓小兵）
本设计通过
“学生的实验结果
”、
“历史上一些掷硬币的实验结果”、“计算机模拟掷硬币的实验结果”，以及实验报告、统计表和统计图等手段，使学生感受到随着实验次数的增加，正面朝上的频率在0.5附近摆动；再由特殊事件转到一般事件总结方法；最后进一步解释这个常数(频率的稳定值)代表的意义．在学生经历上述过程后，教师再引导学生得出事件的概率的定义，很好地突破了本节课的教学难点．在整个教学设计中，教学步骤层次清晰，实验设计紧扣核心，问题解决演绎数学本源，同时体现了实验、
观察、
归纳和总结的思想方法．本设计主要体现以下几个特色：
1．情感渗透，宣扬数学文化
从课堂导入到随机事件的定义、
研究随机事件概率的必要性，
本设计始终在“数学源于生活”
、“数学是有用的”理念下进行教学设计与实施．在学生完成掷硬币实验后，在“比较实验”环节又生动地介绍了历史上
“棣莫弗
”、“蒲丰
”、“费勒
”、“皮尔逊”
等数学家的掷硬币实验，这不仅是实验数据分析的需要，更丰富了学生的数学史知识，体验了数学家们追求真理的严谨与执着，更是一次情感、
态度与价值观得到熏陶与垂范的良机．在得出概率的统计定义后，又向学生介绍了“大数定律”
及概率论先驱---瑞士数学家伯努利．在课堂小结环节中，再次引用张景中院士的一句话“概率论这门数学，
就是研究大量偶然事件发生的宏观数量规律的学问”
作为总结．在课后作业中，
设计研究性作业---查阅“大数定律”、了解概率发展史．这样的设计既围绕着数学本质，又开拓了学生的数学视野宣扬了数学文化，使学生在数学学习中经受了人类文明的洗礼．
2.
注重数学实验的核心教学价值
数学实验为自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式提供了可能，它的核心教学价值是使学生在实验中形成直观感知后总结出解决问题的方法和思想，培养学生观察、猜想、分析与归纳的能力．在本教学设计中，除了充分让学生动手实践之外，还通过优化问题的设计，激活学生的数学思维引导学生观察、分析实验结果并进行归纳、总结，注重引导学生用语言表达自己对实验过程和实验结果的看法，体现数学实验的核心教学价值．
3.体验数学概念形成过程的感悟
本设计最大的亮点莫过于“概率的统计定义”的形成过程的教学．《普通高中数学课程标准》指出:“
……由于数学高度抽象的特点，注意体现基本概念的来龙去脉．在教学中要引导学生经历具体实例抽象数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质．”本设计中概念形成的教学始终围绕着概念的核心展开，促使学生掌握同类事物的共同、关键属性的过程，因此也是一个从外到内、由表及里的过程．学生在经历概念形成过程中，进一步体会数学思想方法，体验数学文化，理解数学本质．
当然，本设计也有几处值得商榷：首先，教学容量是否过大，教学任务完成度及完成质量值得考虑；其次教学大量使用多媒体，板书份额少,可能使学生对个别问题的印象不很深刻；最后在学生做出实验得到数据后，对数据的分析是否能切中要害，对学生的分析点评是否到位，总结是否全面，这都是本教学设计需注意之处．
事件分类及概念的建构
概率的统计定义探究
设置情境,体验精彩
归纳共性，形成概念
探索实践，建构知识
概括概念，加深理解
解决问题，拓展提升
应用与巩固
概括提炼，总结升华
布置作业，探究延探究延续续
结课
约8分钟
约22分钟
约12分钟
约3分钟3.1随机事件的概率（一）
课题
§3.1.1随机事件的概率（一）
课型
新课
教学目标
（1）了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念；（2）理解频率的稳定性及概率的统计定义.（3）发现法教学，通过学生在抛硬币的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高.
理解在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现规律性，进而理解概率和频率的关系.
从而培养学生从试验中归纳出一般规律的能力以及学生动手能力与解决实际问题的能力.
教学过程
教学内容
备注
一、自主学习
自主预习阅读教材P108－112，回答下列问题：1．事件(1)确定事件：在条件S下，一定
的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称为必然事件；在条件S下，一定
的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称为不可能事件．
事件和
事件统称为相对于条件S的确定事件，简称为确定事件．(2)随机事件：在条件S下可能
也可能
的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称为随机事件．(3)事件：
事件和
事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．(4)分类：事件2．频率在相同的条件S下重复n次试验，观察事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的
，称事件A出现的比例fn(A)＝
为事件A出现的频率，其取值范围是
．
二、质疑提问
问题提出日常生活中，有些问题是能够准确回答的.例如:
明天太阳一定从东方升起吗？
明天上午第一节课一定是八点钟上课吗？这些事情的发生都是必然的.
2.从辨证的观点看问题，事情发生的偶然性与必然性之间往往存在有某种内在联系.例如:长沙地区一年四季的变化有着确定的、必然的规律，但长沙地区一年里哪一天最热，哪一天最冷，哪一天降雨量最大，那一天下第一场雪等，都是不确定的、偶然的.
3.数学理论的建立，往往来自于解决实际问题的需要.对于事情发生的必然性与偶然性，及偶然性事情发生的可能性有多大，我们将从数学的角度进行分析与探究.
三、问题探究
知识探究（一）：必然事件、不可能事件和随机事件思考1：考察下列事件：（1）导体通电时发热；（2）向上抛出的石头会下落；（3）在标准大气压下水温升高到100°C会沸腾.
这些事件就其发生与否有什么共同特点？思考2：我们把上述事件叫做必然事件，你指出必然事件的一般含义吗？在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件.你能列举一些必然事件的实例吗？思考3：考察下列事件：（1）在没有水分的真空中种子发芽；（2）在常温常压下钢铁融化；（3）服用一种药物使人永远年轻.这些事件就其发生与否有什么共同特点？思考4：我们把上述事件叫做不可能事件，能指出不可能事件的一般含义吗？
在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件你能列举一些不可能事件的实例吗？思考5：考察下列事件：（1）某人射击一次命中目标；（2）马琳能夺取伦敦奥运会男子乒乓球单打冠军；（3）抛掷一个骰字出现的点数为偶数.
这些事件就其发生与否有什么共同特点？思考6：我们把上述事件叫做随机事件，你指出随机事件的一般含义吗？在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件.你能列举一些随机事件的实例吗？归纳：必然事件和不可能事件统称为确定事件，确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示.思考7:对于事件A，能否通过改变条件，使事件A在这个条件下是确定事件，在另一条件下是随机事件？
你能举例说明吗？
知识探究（二）：事件A发生的频率与概率物体的大小常用质量、体积等来度量，学的高低常用考试分数来衡量.对于随机事件，它发生的可能性有多大，我们也希望用一个数量来反映.思考1：在相同的条件S下重复n次试验，若某一事件A出现的次数为nA，则称nA为事件A出现的频数，那么事件A出现的频率fn(A)等于什么？频率的取值范围是什么？
思考2：历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的频率的稳定值为多少？思考3：某农科所对某种油菜籽在相同条件下的发芽情况进行了大量重复试验，结果如下表所示：在上述油菜籽发芽的试验中，每批油菜籽发芽的频率的稳定值为多少？0.9思考4：上述试验表明，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率呈现出一定的规律性，这个规律性是如何体现出来的？事件A发生的频率较稳定，在某个常数附近摆动.
思考5：既然随机事件A在大量重复试验中发生的频率fn(A)趋于稳定，在某个常数附近摆动，那我们就可以用这个常数来度量事件A发生的可能性的大小，并把这个常数叫做事件A发生的概率，记作P（A）.那么在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的概率是多少？在上述油菜籽发芽的试验中，油菜籽发芽的概率是多少？思考6：在实际问题中，随机事件A发生的概率往往是未知的（如在一定条件下射击命中目标的概率），你如何得到事件A发生的概率？
通过大量重复试验得到事件A发生的频率的稳定值，即概率.
思考7：在相同条件下，事件A在先后两次试验中发生的频率fn(A)是否一定相等？事件A在先后两次试验中发生的概率P（A）是否一定相等？频率具有随机性，做同样次数的重复试验，事件A发生的频率可能不相同；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关.思考8：必然事件、不可能事件发生的概率分别为多少？概率的取值范围是什么？思考9：概率为1的事件是否一定发生？概率为0的事件是否一定不发生？
思考10：怎样理解“4月3号长沙地区的降水概率为0.6”的含义？例题讲解例1
判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？（1）如果a＞b，那么a一b＞0；（2）在标准大气压下且温度低于0°C时，冰融化；（3）从分别标有数字l，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签;（4）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；（5）手电筒的的电池没电，灯泡发亮；（6）随机选取一个实数x，得|x|≥0.例2
某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：（1）填写表中击中靶心的频率；（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
四、课堂检测
1、下列事件：①对任意实数x，有x2<0；②三角形的内角和是180°；③骑车到十字路口遇到红灯；④某人购买体育彩票中奖．其中是随机事件的为________．2、从某自动包装机包装的白糖中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5～501.5
g之间的概率约为________．
五、小结评价
课堂小结1.
概率是频率的稳定值，根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值.2.
随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率逐渐稳定在区间[0，1]内的某个常数上（即事件A的概率），这个常数越接近于1，事件A发生的概率就越大，也就是事件A发生的可能性就越大；反之，概率越接近于0，事件A发生的可能性就越小．因此，概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量.3.
任何事件的概率是0～1之间的一个确定的数，小概率（接近0）事件很少发生，大概率（接近1）事件则经常发生，知道随机事件的概率的大小有利于我们作出正确的决策.3.1随机事件的概率（一）
课
题：
3.1.1
随机事件的概率
教学目标：
1.通过在抛硬币等试验获取数据,了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念.
2.通过获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,正确理解事件A出现的频率的意义，真正做到在探索中学习,在探索中提高.
3.通过数学活动,即自己动手、动脑和亲身试验来理解概率的概念,明确事件A发生的频率fn（A）与事件A发生的概率P（A）的区别与联系,体会数学知识与现实世界的联系.
教学重点：
理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.
教学难点：
理解频率与概率的关系.
教学方法：
讲授法
课时安排
1课时
教学过程
一、导入新课：
在第二次世界大战中,美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力.这句话有一个非同寻常的来历.（故事略）
在自然界和实际生活中,我们会遇到各种各样的现象.如果从结果能否预知的角度来看,可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的,即在一定的条件下,它所出现的结果是可以预知的,这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的,即在一定的条件下,出现那种结果是无法预先确定的,这类现象称为随机现象.随机现象是我们研究概率的基础,为此我们学习随机事件的概率.
二、新课讲解：
1、提出问题
（1）什么是必然事件？请举例说明.
（2）什么是不可能事件？请举例说明.
（3）什么是确定事件？请举例说明.
注：以上3问初中已经学习了.
（4）什么是随机事件？请举例说明.
（5）什么是事件A的频数与频率？什么是事件A的概率？
（6）频率与概率的区别与联系有哪些
观察：
（１）掷一枚硬币,出现正面；
（２）某人射击一次,中靶；
（３）从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签；
这三个事件在一定的条件下是或者发生或不一定发生的,是模棱两可的.
２、活动
做抛掷一枚硬币的试验,观察它落地时哪一个面朝上.通过学生亲自动手试验,突破学生理解的难点：“随机事件发生的随机性和随机性中的规律性”.通过试验,观察随机事件发生的频率,可以发现随着实验次数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后再给出概率的定义.在这个过程中,重视了掌握知识的过程,体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法
具体如下：
第一步每个人各取一枚硬币,做10次掷硬币试验,记录正面向上的次数和比例,填在下表：
姓名
试验次数
正面朝上总次数
正面朝上的比例
思考：
试验结果与其他同学比较,你的结果和他们一致吗？为什么？
第二步
由组长把本小组同学的试验结果统计一下,填入下表.
组次
试验总次数
正面朝上总次数
正面朝上的比例
思考：
与其他小组试验结果比较,正面朝上的比例一致吗？为什么？
通过学生的实验,比较他们实验结果,让他们发现每个人实验的结果、组与组之间实验的结果不完全相同,从而说明实验结果的随机性,但组与组之间的差别会比学生与学生之间的差别小,小组的结果一般会比学生的结果更接近0.5.
第三步
用横轴为实验结果,仅取两个值：1（正面）和0（反面）,纵轴为实验结果出现的频率,画出你个人和所在小组的条形图,并进行比较,发现什么？
第四步
把全班实验结果收集起来,也用条形图表示.
思考：
这个条形图有什么特点？
引导学生在每组实验结果的基础上统计全班的实验结果,一般情况下,班级的结果应比多数小组的结果更接近0.5,从而让学生体会随着实验次数的增加,频率会稳定在0.5附近.并把实验结果用条形图表示,这样既直观易懂,又可以与第二章统计的内容相呼应,达到温故而知新的目的.
第五步
请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性.
思考：
如果同学们重复一次上面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？为什么？
出现正面朝上的规律性：随着实验次数的增加,正面朝上的频率稳定在0.5附近.
由特殊事件转到一般事件,得出下面一般化的结论：随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复实验后,随着次数的增加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上.从而得出频率、概率的定义,以及它们的关系.
3、讨论结果：（1）必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件（certain
event）,简称必然事件.
（2）不可能事件：在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件（impossible
event）,简称不可能事件.
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件.
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件（random
event）,简称随机事件；确定事件和随机事件统称为事件,用A,B,C,…表示.
（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数na为事件A出现的频数（frequency）；称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率（relative
frequency）;对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P（A）,称为事件A的概率（probability）.
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率,指此事件发生的次数与试验总次数n的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率.
频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值.
频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同.
概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5,与做多少次实验无关.
三、课堂练习：
教材113页练习：1、2、3
四、课堂小结：
本节研究的是那些在相同条件下,可以进行大量重复试验的随机事件,它们都具有频率稳定性,即随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率逐渐稳定在区间［0,1］内的某个常数上（即事件A的概率）,这个常数越接近于1,事件A发生的概率就越大,也就是事件A发生的可能性就越大.反之,概率越接近于0,事件A发生的可能性就越小.因此说,概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量.
五、课后作业：
板书设计：
教学反思：
备课资料
1.男女出生率
一般人或许认为:生男生女的可能性是相等的,因而推测出男婴和女婴的出生数的比应当是1∶1,可事实并非如此.
公元1814年,法国数学家拉普拉斯(Laplace
1794—1827)在他的新作《概率的哲学探讨》一书中,记载了一个有趣的统计.他根据伦敦、彼得堡、柏林和全法国的统计资料,得出了几乎完全一致的男婴和女婴出生数的比值是22∶21,即在全体出生婴儿中,男婴占51.2%,女婴占48.8%.可奇怪的是,当他统计1745—1784整整四十年间巴黎男婴出生率时,却得到了另一个比是25∶24,男婴占51.02%,与前者相差0.14%.对于这千分之一点四的微小差异,拉普拉斯对此感到困惑不解,他深信自然规律,他觉得这千分之一点四的后面,一定有深刻的因素.于是,他深入进行调查研究,终于发现:当时巴黎人“重男轻女”,有抛弃女婴的陋俗,以至于歪曲了出生率的真相,经过修正,巴黎的男女婴的出生比率依然是22∶21.
2.π中数字出现的稳定性(法格逊猜想)
在π的数值式中,各个数码出现的概率应当均为1/10.随着计算机的发展,人们对π的前一百万位小数中各数码出现的频率进行了统计,得到的结果与法格逊猜想非常吻合.
3.概率与π
布丰曾经做过一个投针试验.他在一张纸上画了很多条距离相等的平行直线,他将小针随意地投在纸上,他一共投了2
212次,结果与平行直线相交的共有704根.总数2
212与相交数704的比值为3.142.布丰得到的更一般的结果是:如果纸上两平行线间的距离为d,小针的长为l,投针次数为n,所投的针中与平行线相交的次数为m,那么当n相当大时有：π≈.
后来有许多人步布丰的后尘,用同样的方法计算π值.其中最为神奇的是意大利数学家拉兹瑞尼(Lazzerini).他在1901年宣称进行了多次投针试验得到了π的值为3.141
592
9.这与π的精确值相比,一直到小数点后七位才出现不同!用如此巧妙的方法,求到如此高精确的π值,这真是天工造物!
1、必然事件、不可能事件、随机事件
3.1.1
随机事件的概率
2、频率与概率的区别与联系：§3.1 习题课
课时目标 1.进一步理解随机事件的有关概念；理解频率与概率的关系及概率的意义.2.会解决简单的有关概率的实际问题．
双击演练
1．下面的事件：①掷一枚硬币，出现反面；②对顶角相等；③3＋5>10，是随机事件的有( )
A．②
B．③
C．①
D．②③
2．下面的事件：
①袋中有2个红球，4个白球，从中任取3个球，至少取到1个白球；
②某人买彩票中奖；
③实系数一次方程必有一实根；
④明天会下雨．
其中是必然事件的有( )
A．①
B．④
C．①③
D．①④
3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160
cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]之间的概率为0.5，那么该同学的身高超过175
cm的概率为( )
A．0.2
B．0.3
C．0.7
D．0.8
4．若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B的关系是( )
A．互斥不对立
B．对立不互斥
C．对立且互斥
D．以上均不对
5．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只产品是正品(甲级品)的概率为________．
6．某射击运动员进行双向飞蝶射击训练，七次训练的成绩记录如下：
射击次数n
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数nA
81
95
123
82
119
127
121
(1)求各次击中飞碟的频率；
(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？(保留3位小数)
作业设计
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0,1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
2．下列事件中，随机事件是( )
A．向区间(0,1)内投点，点落在(0,1)区间
B．向区间(0,1)内投点，点落在(1,2)区间
C．向区间(0,2)内投点，点落在(0,1)区间
D．向区间(0,2)内投点，点落在(－1,0)区间
3．给出下列三个命题，其中正确的有( )
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面向上，因此正面出现的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
4．如果事件A、B互斥，、分别为A、B的对立事件，则有( )
A．A＋B是必然事件
B.＋是必然事件
C.与一定互斥
D.与不互斥
5．关于互斥事件的理解，错误的是( )
A．若A发生，则B不发生；若B发生，则A不发生
B．若A发生，则B不发生，若B发生，则A不发生，二者必具其一
C．A发生，B不发生；B发生，A不发生；A、B都不发生
D．若A、B又是对立事件，则A、B中有且只有一个发生
6．考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于( )
A．1
B.
C.
D．0
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．下列说法：
①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率；
③频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
其中正确的是________．
8．某人在一次射击中，命中9环的概率为0.28，命中8环的概率为0.19，不够8环的概率为0.29，则这人在一次射击中命中9环或10环的概率为________．
9．从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(A∪B)的值是________．(结果用最简分数表示)
三、解答题
10．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
11．我国已经正式加入WTO，包括汽车在内的进口商品将最多五年内把关税全部降到世贸组织所要求的水平，其中有21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年达到要求，其余的进口商品将在3年或3年内达到要求，求进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率．
能力提升
12．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．
13．下表为某班英语及数学成绩的分布，学生共有50人，成绩分1～5五个档次，例如表中所示英语成绩为4分、数学成绩为2分的学生为5人，将全班学生的姓名卡片混在一起，任取一张，该张卡片对应学生的英语成绩为x，数学成绩为y，设x，y为随机变量．(注：没有重名学生)
(1)x＝1的概率为多少？x≥3且y＝3的概率为多少？
(2)a＋b等于多少？
反思感悟
1．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，概率是大次数地重复试验中频率的稳定值．
2．概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率．
3．复杂事件求概率时常用的两种转化方法：一是转化为彼此互斥的事件的概率；二是转化为求其对立事件发生的概率．
答案：
§3.1 习题课
双基演练
1．C 2.C
3．B [该同学身高超过175
cm(事件A)与该同学身高不超过175
cm是对立事件，而不超过175
cm的事件为小于160
cm(事件B)和[160,175](事件C)两事件的和事件，即
P(A)＝1－P()
＝1－[P(B)＋P(C)]
＝1－(0.2＋0.5)
＝0.3.]
4．C [∵P(A＋B)＝1，∴A＋B为必然事件．
又∵P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，∴A与B为互斥事件，因此有A∩B为不可能事件．A∪B为必然事件，所以A与B也是对立事件．]
5．92%
解析 记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验产品是正品(甲级品)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%.
6．解 (1)计算得各次击中飞碟的频率依次为0.810，0.792,0.820,0.820,0.793,0.794,
0.807.
(2)由于这些频率非常接近0.810，在它附近摆动，所以运动员击中飞碟的概率约为0.810.
作业设计
1．C 2.C
3．A [由频率和概率的定义及频率与概率的关系可知①②③都不正确．]
4．B [A、B互斥，A、B可以不同时发生，即A∩B＝ ，所以A∩B的对立事件＝∪是必然事件，即＋是必然事件．]
5．B [A、B互斥，A、B可以不同时发生，A、B也可以同时不发生，但只要一个发生，另一个一定不发生．对立事件是必定有一个发生的互斥事件，故只有B错．]
6．A [由正方体的对称性知其六个面的中心构成同底的两个四棱锥，且四棱锥的各个侧面是全等的三角形，底面四个顶点构成一个正方形，从这6个点中任选3个点构成的三角形可分为以下两类：第一类是选中相对面中心两点及被这两个平面所夹的四个面中的任意一个面的中心，构成的是等腰直角三角形，此时剩下的三个点也连成一个与其全等的三角形．第二类是所选三个点均为多面体的侧面三角形的三个点(即所选3个点所在的平面彼此相邻)此时构成的是正三角形，同时剩下的三个点也构成与其全等的三角形，故所求概率为1.]
7．①③④
8．0.52
解析 P＝1－P(x≤8)＝1－P(x<8)－P(x＝8)
＝1－0.29－0.19＝0.52.
9.
解析 一副扑克中有1张红桃K,13张黑桃，事件A与事件B为互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
10．解 设事件A、B、C、D分别表示“任取一球，得到红球”，“任取一球，得到黑球”，“任取一球，得到黄球”，“任取一球，得到绿球”，
则由已知得P(A)＝，
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，
P(B∪C∪D)＝1－P(A)＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝1－＝.
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为，，.
11．解 方法一 设“进口汽车恰好4年关税达到要求”为事件A，“不到4年达到要求”为事件B，则“进口汽车不超过4年的时间内关税达到要求”就是事件A＋B，显然A与B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79.
方法二 设“进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求”为事件M，则N为“进口汽车5年关税达到要求”，所以P(M)＝1－P(N)＝1－0.21＝0.79.
12．解 (1)“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为P＝1－－＝.
(2)方法一 设事件A为“甲不输”，看作是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝.
方法二 设事件A为“甲不输”，看作是“乙胜”的对立事件．所以P(A)＝1－＝.
所以甲不输的概率是.
13．解 (1)P(x＝1)＝＝，
P(x≥3，y＝3)＝＝.
(2)P(x＝2)＝1－P(x＝1)－P(x≥3)
＝1－－
＝＝，
∴a＋b＝3.3.1随机事件的概率（一）
(
)问题提出
(
)日常生活中，有些问题是能够准确回答的.
(
)例如:
明天太阳一定从东方升起吗？
明天上午第一节课一定是八点钟上课吗？
(
)这些事情的发生都是必然的.
(
)2.从辨证的观点看问题，事情发生的偶然性与必然性之间往往存在有某种内在联系.
(
)例如:
(
)长沙地区一年四季的变化有着确定的、必然的规律，但长沙地区一年里哪一天最热，哪一天最冷，哪一天降雨量最大，那一天下第一场雪等，都是不确定的、偶然的.
(
)3.数学理论的建立，往往来自于解决实际问题的需要.对于事情发生的必然性与偶然性，及偶然性事情发生的可能性有多大，我们将从数学的角度进行分析与探究.
(
)知识探究（一）：必然事件、不可能事件和随机事件
(
)思考1：考察下列事件：
(
)（1）导体通电时发热；
(
)（2）向上抛出的石头会下落；
(
)（3）在标准大气压下水温升高到100°C会沸腾.
(
)
这些事件就其发生与否有什么共同特点？
(
)思考2：我们把上述事件叫做必然事件，你指出必然事件的一般含义吗？
(
)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件.
(
)你能列举一些必然事件的实例吗？
(
)思考3：考察下列事件：
(
)（1）在没有水分的真空中种子发芽；
(
)（2）在常温常压下钢铁融化；
(
)（3）服用一种药物使人永远年轻.
(
)这些事件就其发生与否有什么共同特点？
(
)思考4：我们把上述事件叫做不可能事件，能指出不可能事件的一般含义吗？
(
)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件
(
)你能列举一些不可能事件的实例吗？
(
)思考5：考察下列事件：
(
)（1）某人射击一次命中目标；
(
)（2）马琳能夺取伦敦奥运会男子乒乓球单打冠军；
(
)（3）抛掷一个骰字出现的点数为偶数.
这些事件
(
)就其发生与否有什么共同特点？
(
)思考6：我们把上述事件叫做随机事件，你指出随机事件的一般含义吗？
(
)在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件.
(
)你能列举一些随机事件的实例吗？
(
)归纳：
(
)必然事件和不可能事件统称为确定事件，确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示.
(
)思考7:对于事件A，能否通过改变条件，使事件A在这个条件下是确定事件，在另一条件下是随机事件？
(
)
你能举例说明吗？
(
)知识探究（二）：事件A发生的频率与概率
(
)物体的大小常用质量、体积等来度量，学的高低常用考试分数来衡量.对于随机事件，它发生的可能性有多大，我们也希望用一个数量来反映.
(
)
思考1：在相同的条件S下重复n次试验，若某一事件A出现的次数为nA，则称nA为事件A出现的频数，那么事件A出现的频率fn(A)等于什么？频率的取值范围是什么？
思考2：历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示
在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的频率的稳定值为多少？
思考3：某农科所对某种油菜籽在相同条件下的发芽情况进行了大量重复试验，结果如下表所示：
在上述油菜籽发芽的试验中，每批油菜籽发芽的频率的稳定值为多少？0.9
思考4：上述试验表明，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率呈现出一定的规律性，这个规律性是如何体现出来的？
事件A发生的频率较稳定，在某个常数附近摆动.
思考5：既然随机事件A在大量重复试验中发生的频率fn(A)趋于稳定，在某个常数附近摆动，那我们就可以用这个常数来度量事件A发生的可能性的大小，并把这个常数叫做事件A发生的概率，记作P（A）.那么在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的概率是多少？在上述油菜籽发芽的试验中，油菜籽发芽的概率是多少？
思考6：在实际问题中，随机事件A发生的概率往往是未知的（如在一定条件下射击命中目标的概率），你如何得到事件A发生的概率？
通过大量重复试验得到事件A发生的频率的稳定值，即概率.
思考7：在相同条件下，事件A在先后两次试验中发生的频率fn(A)是否一定相等？事件A在先后两次试验中发生的概率P（A）是否一定相等？
频率具有随机性，做同样次数的重复试验，事件A发生的频率可能不相同；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关.
思考8：必然事件、不可能事件发生的概率分别为多少？概率的取值范围是什么？
思考9：概率为1的事件是否一定发生？概率为0的事件是否一定不发生？
思考10：怎样理解“4月3号长沙地区的降水概率为0.6”的含义？
例题讲解
例1
判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）如果a＞b，那么a一b＞0；
（2）在标准大气压下且温度低于0°C时，冰融化；
（3）从分别标有数字l，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签;
（4）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
（5）手电筒的的电池没电，灯泡发亮；
（6）随机选取一个实数x，得|x|≥0.
例2
某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
课堂小结
1.
概率是频率的稳定值，根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值.
2.
随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率逐渐稳定在区间
[0，1]内的某个常数上（即事件A的概率），这个常数越接近于1，事件A发生的概率就越大，也就是事件A发生的可能性就越大；反之，概率越接近于0，事件A发生的可能性就越小．因此，概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量.
3.
任何事件的概率是0～1之间的一个确定的数，小概率（接近0）事件很少发生，大概率（接近1）事件则经常发生，知道随机事件的概率的大小有利于我们作出正确的决策.第三章 概 率
3.1.1 随机事件的概率
课时目标 在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．
知识梳理
1．事件的概念及分类
事件
确定事件
不可能事件
在条件S下，______________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件
必然事件
在条件S下，________的事件，叫做相对于条件S的必然事件
随机事件
在条件S下______________________的事件，叫做相对于条件S的随机事件
2.频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中______________为事件A出现的频数，称______________________为事件A出现的频率．
3．概率
(1)含义：概率是度量随机事件发生的________的量.
(2)与频率联系：对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于________，因此可以用__________来估计概率P(A)．
作业设计
一、选择题
1．有下列事件：
①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；
②异性电荷相互吸引；
③在标准大气压下，水在1℃结冰；
④买了一注彩票就得了特等奖．
其中是随机事件的有( )
A．①②
B．①④
C．①③④
D．②④
2．下列事件中，不可能事件是( )
A．三角形的内角和为180°
B．三角形中大角对大边，小角对小边
C．锐角三角形中两内角和小于90°
D．三角形中任两边之和大于第三边
3．有下列现象：
①掷一枚硬币，出现反面；②实数的绝对值不小于零；③若a>b，则b
A．②
B．①
C．③
D．②③
4．先后抛掷一枚均匀硬币三次，至多有一次正面向上是( )
A．必然事件
B．不可能事件
C．确定事件
D．随机事件
5．下列说法正确的是( )
A．某厂一批产品的次品率为5%，则任意抽取其中20件产品一定会发现一件次品．
B．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下雨．
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈．
D．掷一枚均匀硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为50%.
6．在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率P(A)与的关系是( )
A．P(A)≈
B．P(A)<
C．P(A)>
D．P(A)＝
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是________事件．
8．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①“在这200件产品中任意选9件，全部是一级品”；
②“在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品”；
③“在这200件产品中任意选9件，不全是一级品”．
其中________是随机事件；________是不可能事件．(填上事件的编号)
9．在一篇英文短文中，共使用了6
000个英文字母(含重复使用)，其中字母“e”共使用了900次，则字母“e”在这篇短文中的使用的频率为________．
三、解答题
10．判断下列事件是否是随机事件．
①在标准大气压下水加热到100℃，沸腾；
②在两个标准大气压下水加热到100℃，沸腾；
③水加热到100℃，沸腾．
11．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心的次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
(1)计算表中击中靶心的各个频率；
(2)这个射手射击一次击中靶心的概率约是多少？
能力提升
12．将一骰子抛掷1
200次，估计点数是6的次数大约是______次；估计点数大于3的次数大约是______次．
13．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：
直径
个数
直径
个数
6.881
6.9326
6.892
6.9415
6.9010
6.958
6.9117
6.962
6.9217
6.972
从这100个螺母中任意抽取一个，求
(1)事件A(6.92(2)事件B(6.90(3)事件C(d>6.96)的频率；
(4)事件D(d≤6.89)的频率．
反思感悟
1．随机试验
如果一个试验满足以下条件：
(1)试验可以在相同的条件下重复进行；
(2)试验的所有结果是明确可知的，但不止一个；
(3)每次试验总是出现这些结果中的一个，但在试验之前却不能确定会出现哪一个结果．
则这样的试验叫做随机试验．
2．频数、频率和概率之间的关系：
(1)频数是指在n次重复试验中事件A出现的次数，频率是频数与试验总次数的比值，而概率是随机事件发生的可能性的规律体现．
(2)随机事件的频率在每次试验中都可能会有不同的结果，但它具有一定的稳定性，概率是频率的稳定值，是频率的科学抽象，不会随试验次数的变化而变化．
3．辩证地看待“确定事件”、“随机事件”和“概率”．一个随机事件的发生，既有随机性(对一次试验来说)，又存在着统计规律性(对大量重复试验来说)，这是偶然性和必然性的统一．就概率的统计定义而言，必然事件U的概率为1，P(U)＝1；不可能事件V的概率为0，P(V)＝0；而随机事件A的概率满足0≤P(A)≤1.从这个意义上讲，必然事件和不可能事件可以看作随机事件的两个极端情况．
答案：
3．1.1 随机事件的概率
知识梳理
1．一定不会发生 一定会发生 可能发生也可能不发生 2.事件A出现的次数nA 事件A出现的比例fn(A)＝ 3.(1)可能性 (2)概率P(A) 频率fn(A)
作业设计
1．B [①、④是随机事件，②为必然事件，③为不可能事件．]
2．C [锐角三角形中两内角和大于90°.]
3．B [①是随机现象；②③是必然现象．]
4．D 5.D 6.A
7．随机
8．①③ ②
解析 因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品，所以②是不可能事件．
9．0.15
解析 频率＝＝0.15.
10．解 在①、②、③中“沸腾”是试验的结果，称为事件，但在①的条件下是必然事件，在②的条件下是不可能事件，在③的条件下则是随机事件．
11．解 (1)由公式可算得表中击中靶心的频率依次为0.8，0.95，0.88,0.92,0.89,0.91.
(2)由(1)可知，射手在同一条件下击中靶心的频率虽然各不相同，但都在常数0.9左右摆动，所以射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.
12．200 600
解析 一粒骰子上的6个点数在每次掷出时出现的可能性(即概率)都是，而掷出点数大于3包括点数为4,5,6三种．故掷出点数大于3的可能性为＝，故N1＝×1
200＝200，N2＝×1
200＝600.
13．解 (1)事件A的频率f(A)＝＝0.43.
(2)事件B的频率
f(B)＝＝0.93.
(3)事件C的频率f(C)＝＝0.04.
(4)事件D的频率f(D)＝＝0.01.第三章 3.1 3.1.1
基础巩固
一、选择题
1．下列事件中，不可能事件为( )
A．钝角三角形两个小角之和小于90°
B．三角形中大边对大角，大角对大边
C．锐角三角形中两个内角和小于90°
D．三角形中任意两边的和大于第三边
[答案] C
[解析] 若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，∴C为不可能事件，而A、B、D均为必然事件．
2．12个同类产品中含有2个次品，现从中任意抽出3个，必然事件是( )
A．3个都是正品
B．至少有一个是次品
C．3个都是次品
D．至少有一个是正品
[答案] D
[解析] A、B都是随机事件，因为只有2个次品，所以“抽出的三个全是次品”是不可能事件，“至少有一个是正品”是必然事件．
3．下列事件：
①如果a>b，那么a－b>0.
②任取一实数a(a>0且a≠1)，函数y＝logax是增函数．
③某人射击一次，命中靶心．
④从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球．
其中是随机事件的为( )
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
[答案] D
[解析] ①是必然事件；②中a>1时，y＝logax单调递增，04．某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )
A．概率为
B．频率为
C．频率为6
D．概率接近0.6
[答案] B
[解析] 抛掷一次即进行一次试验，抛掷10次，正面向上6次，即事件A的频数为6，∴A的频率为＝.∴选B.
5．下列说法中，不正确的是( )
A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7
C．某人射击10次，击中靶心的频率是，则他应击中靶心5次
D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心的次数应为4
[答案] B
6．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到号码为奇数的频率是( )
A．0.53
B．0.5
C．0.47
D．0.37
[答案] A
[解析] 取到号码为奇数的卡片共有13＋5＋6＋18＋11＝53(次)，所以取到号码为奇数的频率为＝0.53.
二、填空题
7．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．
[答案] 500
[解析] 设共进行了n次试验，
则＝0.02，解得n＝500.
8．一家保险公司想了解汽车挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20
000部汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为________．
[答案] 0.03
[解析] 在一年里汽车的挡风玻璃破碎的频率为＝0.03，所以估计其破碎的概率约为0.03.
三、解答题
9．设集合M＝{1,2,3,4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一个基本事件．
(1)“a＋b＝5”这一事件包含哪几个基本事件？“a<3且b>1”呢？
(2)“ab＝4”这一事件包含哪几个基本事件？“a＝b”呢？
(3)“直线ax＋by＝0的斜率k>－1”这一事件包含哪几个基本事件？
[解析] 这个试验的基本事件构成集合Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(1)“a＋b＝5”包含以下4个基本事件：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
“a<3且b>1”包含以下6个基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．
(2)“ab＝4”这一事件包含以下3个基本事件：(1,4)，(2,2)，(4,1)；
“a＝b”这一事件包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
(3)直线ax＋by＝0的斜率k＝－>－1，
∴a10．2016年第31届夏季奥运会将在巴西的里约热内卢举行，为备战奥运会，某射击队统计了平日训练中两名运动员击中10环的次数，如下表：
射击次数(n)
10
20
50
100
200
500
甲击中10环的次数(m)
9
17
44
92
179
450
甲击中10环的频率()
乙击中10环的次数(m)
8
19
44
93
177
453
乙击中10环的频率()
(1)分别计算出甲、乙两名运动员击中10环的频率；
(2)根据(1)中的数据预测两名运动员在奥运会上击中10环的概率．
[探究] (1)击中10环的次数m除以射击总次数n就是击中10环的频率；(2)随着射击次数的增加，击中10环的频率就会稳定于某个常数，这个常数就是击中10环的概率．
[解析] (1)两名运动员击中10环的频率如下表：
射击次数(n)
10
20
50
100
200
500
甲击中10环的次数(m)
9
17
44
92
179
450
甲击中10环的频率()
0.9
0.85
0.88
0.92
0.895
0.9
乙击中10环的次数(m)
8
19
44
93
177
453
乙击中10环的频率()
0.8
0.95
0.88
0.93
0.885
0.906
(2)由(1)中的数据可知两名运动员击中10环的频率都集中在0.9附近，所以预测两人在奥运会上击中10环的概率均约为0.9，也就是说甲、乙两人的实力相当．
[点评] 概率实际上是频率的科学抽象，是一个确定的数，是客观存在的，与试验次数无关．求某事件的概率，可以通过求该事件的频率来解．
[解题技巧] (1)随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测量\”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率．(2)此类题目的解题方法是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值，然后根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率．
能力提升
一、选择题
1．(2015·广西桂林期末)已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若任取x A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若任取x B，则x A是必然事件．
其中正确的命题有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[答案] C
[解析] ∵集合A是集合B的真子集，∴A中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此①正确，②错误，③正确，④正确．
2．下列说法不正确的是( )
A．不可能事件的概率为0，必然事件的概率是1
B．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
C．“直线y＝k(x＋1)过定点(－1,0)”是必然事件
D．势均力敌的两支足球队，甲队主场作战，则甲队必胜无疑
[答案] D
[解析] A、B、C均正确．甲、乙两支球队势均力敌，不论在何处比赛，甲队都有可能输掉比赛，故D不正确．
3．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0,1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
[答案] C
[解析] 必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，所以任何事件发生的概率总在[0,1]之间，故A错．B、D混淆了频率与概率的概念，也错．
4．(2015·山东枣庄质检)一个家庭有两个小孩儿，则可能的结果为( )
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
[答案] C
[解析] 随机试验的所有结果要保证等可能性．两小孩儿有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的基本事件，故选C.
二、填空题
5．一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球，则k的最小值为________．
[答案] 16
[解析] 至少需摸完黑球和白球共15个．
6．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶，在这次练习中，这个人中靶的频率是________，中9环的概率是________．
[答案] 0.9 0.3
[解析] 打靶10次，9次中靶，故中靶的概率为＝0.9，其中3次中9环，故中9环的频率是＝0.3.
三、解答题
7．(2013·天津高考节选)某产品的三个质量指标分别为x、y、z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指数(x，y，z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指数(x，y，z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率．
[分析] 先计算10件产品的综合指标以及其中满足S≤4的产品个数，算出这次统计样本的一等品率，再估计该批产品的等品率．
[解析] 计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
8．(2012·陕西高考)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下图所示：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．
[解析] (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为＝，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是＝，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.第三章 概 率
§3.1 事件与概率3．1.1 随机现象
3．1.2 事件与基本事件空间
一、基础过关
1．有下列事件：
①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；
②异性电荷相互吸引；
③在标准大气压下，水在1℃结冰；
④买了一注彩票就得了特等奖．
其中是随机事件的有
( )
A．①②
B．①④
C．①③④
D．②④
2．下列事件中，不可能事件是
( )
A．三角形的内角和为180°
B．三角形中大角对大边，小角对小边
C．锐角三角形中两内角和小于90°
D．三角形中任意两边之和大于第三边
3．先后抛掷一枚均匀硬币三次，至多有一次正面向上是
( )
A．必然事件
B．不可能事件
C．确定事件
D．随机事件
4．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有
( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．投掷两枚骰子，点数之和为8所含的基本事件有________种．
6．从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的基本事件空间为______________________，“它是偶数”这一事件包含的基本事件个数为________．
7．一个盒子中放有5个完全相同的小球，其上分别标有号码1,2,3,4,5.从中任取一个，记下号数后放回．再取出1个，记下号数后放回，按顺序记录为(x，y)，试写出“所得两球的和为6”所包含的基本事件．
8．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S1010站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票．设基本事件空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
(1)写出该事件的基本事件空间Ω；
(2)写出事件A、事件B包含的基本事件；
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
二、能力提升
9．下列现象是必然现象的是
( )
A．某路口单位时间内通过的车辆数
B．n边形的内角和为(n－2)·180°
C．某同学竞选学生会主席的成功性
D．一名篮球运动员每场比赛所得的分数
10．写出下列试验的基本事件空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)______________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数____________．
11．将数字1,2,3,4任意排成一列，试写出该试验的基本事件空间，并指出事件“得到偶数”包含多少个基本事件．
三、探究与拓展
12．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件的总数；
(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个基本事件？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个基本事件？“x＝y”呢？
3．1.1 随机现象
3．1.2 事件与基本事件空间
1．B 2.C 3.D 4.C
5．5
6．Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 5
7．解
由图可直观的看出，“所得两球的和为6”包含以下5个基本事件：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．
8．解 (1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；
(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；
B＝{S7，S8，S9，S10}；
(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．
9．B
10．(1)Ω＝{胜，平，负} (2)Ω＝{0,1,2,3,4}
11．解 将数字1,2,3,4任意排成一列，要考虑顺序性，如基本事件“1234”与“2134”为不同的基本事件．
这个试验的基本事件实质是由1,2,3,4四个可组成的没有重复数字的四位数．
这个试验的基本事件空间Ω＝{1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321}．
其基本事件总数是24.事件“得到偶数”包含12个基本事件．
12个基本事件为：1234,1324,1342,1432,2134,2314,3124,3142,3214,3412,4132,4312.
12．解 (1)Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(2)基本事件的总数为16.
(3)“x＋y＝5”包含以下4个基本事件：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；“x<3且y>1”包含以下6个基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．
(4)“xy＝4”包含以下3个基本事件：(1,4)，(2,2)，(4,1)；“x＝y”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．