3.3.2 均匀随机数的产生
1.设x是[0,1]内的一个均匀随机数,经过变换y=2x+3,则x=对应变换成的均匀随机数是( )
A.0
B.2
C.4
D.5
解析:当x=时,y=2×+3=4.
答案:C
2.用均匀随机数进行随机模拟,可以解决( )
A.只能求几何概型的概率,不能解决其他问题
B.不仅能求几何概型的概率,还能计算图形的面积
C.不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积
D.最适合估计古典概型的概率
解析:很明显用均匀随机数进行随机模拟,不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积,但得到的是近似值,不是精确值,用均匀随机数进行随机模拟,不适合估计古典概型的概率.
答案:C
3.把[0,1]内的均匀随机数x分别转化为[0,4]和[-4,1]内的均匀随机数y1,y2,需实施的变换分别为( )
A.y1=-4x,y2=5x-4
B.y1=4x-4,y2=4x+3
C.y1=4x,y2=5x-4
D.y1=4x,y2=4x+3
解析:∵x∈[0,1],
∴4x∈[0,4],5x-4∈[-4,1].故选C.
答案:C
4.一个靶子如图所示,随机地掷一个飞镖扎在靶子上,假设飞镖既不会落在靶心,也不会落在阴影部分与空白的交线上,现随机向靶掷飞镖30次,则飞镖落在阴影部分的次数约为( )
A.5
B.10
C.15
D.20
解析:阴影部分对应的圆心角度数和为60°,所以飞镖落在阴影内的概率为,飞镖落在阴影内的次数约为30×=5.
答案:A
5.在区间[-2,2]上随机任取两个数x,y,则满足x2+y2<1的概率等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:∵表示的区域是以原点为中心,边长为4的正方形,x2+y2<1是以原点为圆心,以1为半径的圆面,
∴所求概率为P=.
答案:D
6.将一段长4m的细绳剪为2段,其中一段大于1m,另一段大于2m的概率为 .
解析:如图,AC=CD=DE=EB=1m,当在CD或DE段上剪断时,两段绳长满足条件,所以所求概率为.
答案:
7.b1是[0,1]上的均匀随机数,b=2(b1+x),则b是区间[2,4]上的均匀随机数,则x= .
解析:∵0≤b1≤1,∴2x≤2(b1+x)≤2x+2.
∵b是[2,4]上的随机数,∴2x=2,2x+2=4,即x=1.
答案:1
8.已知|x|≤2,|y|≤2,点P的坐标为(x,y).当x,y∈R时,P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率为 .
解析:如图,点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界),满足(x-2)2+(y-2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心,2为半径的圆面(含边界).
所以所求的概率P1=.
答案:
9.用随机模拟方法求函数y=与x轴和直线x=1围成的图形的面积.
解:如图所示,阴影部分是函数y=的图象与x轴和直线x=1围成的图形.设阴影部分的面积为S.
随机模拟的步骤:
(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND;
(2)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件y<的点(x,y)的个数);
(3)计算频率,即为点落在阴影部分的概率的近似值;
(4)直线x=1,y=1和x,y轴围成的正方形面积是1,由几何概型公式得点落在阴影部分的概率为=S.
则S=,即阴影部分面积的近似值为.
10.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;
(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数,b是从区间
[0,2]上任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
解:设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.
当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根当且仅当a≥b.
(1)基本事件为(0,0),(
0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),共12个,
其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.
因为事件A中包含9个基本事件,所以事件A发生的概率为P(A)=.
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},
故所求概率为.3.3.2 均匀随机数的产生
课标点击
1．了解均匀随机数的概念．
2．掌握利用计算器(计算机Excel软件)产生均匀随机数的方法．
3．会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．
预习导学
1．随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样，它可以帮我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验．用随机模拟方法可起到降低成本、缩短时间的作用．
2．随机数的产生方法．
(1)实例法．
①掷骰子；
②掷硬币；
③抽签；
④从一叠纸牌中抽牌；
⑤正多边形旋转器，或钟表式图形转盘等等．
(2)计算器或计算机模拟法．
①现在的大部分科学计算器都能产生0～1之间的均匀随机数(实数)．例如：
ⅰ.利用计算器的RAND函数可以产生[0，1]上的均匀随机数，试验结果是区间[0，1]内的任意一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的．
ⅱ.有的函数型计算器用＋键产生[0，1]上的均匀随机数．
②计算机软件法：几乎所有的高级编程语言都有随机函数，借助随机函数可以产生一定范围的随机数．
用Excel软件中产生[0，1]上的均匀随机数的函数RAND( )来模拟．
③若要产生[a，b]上的均匀随机数，可使用变换RAND( )
(b－a)＋a，试验的结果是产生a～b之间的任何一个实数，并且出现a～b之间任何一个实数都是等可能的．
④若要产生[a，b]上的整数随机数可使用取整函数，INT(RAND( )
(b－a)＋a)得到a～b之间的随机整数，并且a～b之间的任何一个整数都是等可能出现的．
1．如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( B )
A. B.
C.
D.
2．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( C )
A. B. C. D.
3．在边长为2的正三角形ABC中，以A为圆心，为半径画一弧，分别交AB，AC于D，E.若在△ABC这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是________．
答案:
课时训练
1．用Excel中的随机函数RAND( )如何产生下面范围内的数？
(1)0～1内的随机数；
(2)2～10内的随机数；
(3)－8～2内的随机数；
(4)－6～6内的随机数；
(5)a～b内的随机数；
(6)a～b内的整数随机数．
解析：(1)RAND( )；(2)RAND( )
8＋2；
(3)RAND( )
10－8；(4)RAND( )
12－6；
(5)RAND( )
(b－a)＋a；
(6)INT(RAND( )
(b－a)＋a)．
2．下列命题不正确的是( D )
A．根据古典概型概率计算公式P(A)＝求出的值是事件A发生的概率的精确值
B．根据几何概型概率计算公式P(A)＝求出的值是事件A发生的概率的精确值
C．根据古典概型试验，用计算机或计算器产生的随机整数统计试验次数N和事件A发生的次数N1，得到的值是P(A)的近似值
D．根据几何概型试验，用计算机或计算器产生的均匀随机数统计试验次数N和事件A发生的次数N1，得到的值是P(A)的精确值
3．已知地铁列车每10
min一班，在车站停1
min，求乘客到达站台立即乘上车的概率．
解析：地铁列车每10
min一班，在车站停1
min可以看作在0～1
min这个时间段内，车停在停车点，在1～11
min这个时间段内行驶，乘客到达站台立即乘上车的条件是他在0～1
min这个时间段内到达站台．
设事件A＝{乘客到达站台立即乘上车}．
用计算机随机模拟这个试验步骤如下：
S1 用计算机产生一组[0，1]区间的均匀随机数a1＝RAND；
S2
经过伸缩变换a＝11
a1；
S3
统计出试验总次数N和[0，1]内的随机数个数N1；
S4
计算频率fn(A)＝N1/N即为概率P(A)的近似值．
用Excel工作表．
S1 选定A1格，键入“＝RAND( )
11”；再选定A1，按“Ctrl＋C”；选定A2～A1
000，按“Ctrl＋V”．
此时A1～A1
000均为[0，11]区间上的均匀随机数．
S2 选定C1，键入“＝FREQUENCY(A1∶A20，1)”，表示A1～A20中小于或等于1的数的个数；选定C2，键入“＝FREQUENCY(A1∶A50，1)”，表示A1～A50中小于或等于1的数的个数；依此方法可在C3，C4，C5，C6格，得到A1～A100，A1～A200，A1～A500，A1～A1
000中小于或等于1的数的个数．
S3 选定D1，键入“＝C1/20”；选定D2，键入“＝C2/50”；选定D3，键入
“＝C3/100”；选定D4，键入“＝C4/200”；选定D5，键入“＝C5/500”；选定D6，键入“＝C6/1
000”．
可分别得到前20次、前50次、前100次、前200次、前500次、前1
000次试验中事件A发生的频率D1，D2，D3，D4，D5，D6；
S4 由频率可估计概率的近似值．
4．如图，向边长为4的正方形内投飞镖，求飞镖落在中央边长为2的正方形内概率，并写出用计算机模拟该试验的算法．
解析：用几何概型概率计算方法可求得概率
P＝＝.
用计算机随机模拟这个试验步骤如下：
S1 用计数器n记录做了多少次飞镖试验，用计数器m记录其中有多少次投在中央的小正方形内，置初始值n＝0，m＝0；
S2 有函数RAND( )
4－2产生两组－2～2的随机数x，y，x表示所投飞镖的横坐标，y表示所投飞镖的纵坐标；
S3 判断(x，y)是否落在中央的小正方形内，也就是看是否满足|x|＜1，|y|＜1，如果是则m的值加1，即m＝m＋1，否则m值保持不变；
S4 表示随机试验次数的记录器n加1，即n＝n＋1，如果还需要继续试验，则返回步骤S2，否则，程序结束．
程序结束后，飞镖投在小正方形内发生的频率表示概率的近似值，全班同学一块试验，看频率是否在附近波动，次数越多，越有可能稳定在附近．
5．箱子里有3个黄球和6个红球，现在有放回地取球，求取出的球是黄球的概率，并写出用计算机模拟该试验的算法．
解析：用比例算法不难求得取出的球是黄球的概率P＝，用1～9这9个数字中的1，2，3表示黄球，4至9这6个数字表示红球．用取整数随机函数INT(RAND( )
8＋1)来产生1～9中的整数随机数表示取到的球，有算法如下：
S1 置记录取球次数的记数器n＝0，取到黄球次数的计数器m＝0；
S2 用INT(RAND( )
8＋1)产生一个1～9之间的整数随机数x表示取到球的号数；
S3 如果x≤3，则m＝m＋1，否则m的值不变；
S4 n＝n＋1；
S5 如果还需要继续试验，则返回S2，否则结束程序．程序结束后算出作为出现黄球概率的近似值．
6．在长为18
cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．用随机模拟法估计该正方形的面积介于36
cm2与81
cm2之间的概率．
解析：正方形的面积只与边长有关，本题可以转化为在线段AB上任取一点M，使AM的长度介于6
cm与9
cm之间．
设事件A＝{正方形的面积介于36
cm2与81
cm2之间}．
(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换，a＝a1
18；
(3)统计出试验总次数N和[6，9]内的随机数个数N1；
(4)计算频率，即为概率P(A)的近似值．
算法为：
INPUT“n＝”；n
m＝0
DO
i＝1
a＝18
RAND( )
IF a＞＝6 AND a＜＝9
THEN m＝m＋1
END
IF
i＝i＋1
LOOP
UNTIL i＞n
f＝m/n
PRINT“概率的估计值为”；f
END
7．利用随机模拟法近似计算下图中阴影部分(曲线y＝9－x2与x轴和y＝x围成的图形)的面积．
解析：设事件A
“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”(如下图)．
(1)利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND；
(2)经过伸缩平移变换，x＝(x1－0.5)
6，y＝y1
9；
(3)统计出试验总次数N和满足条件y＜9－x2及y＞x的点(x，y)的个数N1；
(4)计算频率fn(A)＝，即为概率P(A)的近似值．
设阴影部分的面积为S，矩形的面积为9×6＝54.由几何概率公式得P(A)＝.
所以，阴影部分面积的近似值为：S≈.
8．甲乙二人用4张扑克牌玩游戏，分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4(方片4用4′表示)，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况．
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的情况有哪几种？
解析：(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况列表如下：
甲乙
2
3
4
4′
2
空格
(2，3)
(2，4)
(2，4′)
3
(3，2)
空格
(3，4)
(3，4′)
4
(4，2)
(4，3)
空格
(4，4′)
4′
(4′，2)
(4′，3)
(4′，4)
空格
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的情况有两种：(3，4)，(3，4′)．
课堂小结
1．本课时是在前几节学习过整数随机数和几何概型基础上，进一步学习均匀随机数的产生方法及如何应用均匀随机数进行随机模拟试验来求几何概型的概率近似值和不规则圆形的面积近似值等实际应用问题．
2．随机模拟试验是研究事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量．我们主要从以下几个方面来考虑：
(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数．如长度型、角度型(一维)只用一组，面积型(二维)需要用两组，体积型(三维)需要用三组．
(2)由所有基本事件总体(基本事件空间)对应区域确定产生随机数的范围．
(3)由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式．
(4)如果随机事件结果需要用整数来表示，可以用取整函数INT产生整数随机数．
(5)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个试验结果的数的范围．3.2.2均匀随机数的产生
基础检测
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.要产生[－3，3]上的均匀随机数y，现有[0，1]上的均匀随机数x，则y不可取为( )
A.－3x
B.3x
C.6x－3
D.－6x－3
解析：
法一：利用伸缩和平移变换进行判断，
法二：由0≤x≤1，得－9≤－6x－3≤－3，故y不能取－6x－3.
答案： D
2.设x，y是两个[0，1]上的均匀随机数，则0≤x＋y≤1的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析： 如图所示，所求的概率为P＝＝.
答案： A
3.用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则( )
A.m＞n
B.m＜n
C.m＝n
D.m是n的近似值
解析： 随机模拟法求其概率，只是对概率的估计.
答案： D
4.设一直角三角形两直角边的长均是区间[0，1]上的随机数，则斜边的长小于1的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析： 设两直角边分别为x，y，则x，y满足x∈[0，1]，y∈[0，1]，则P(x2＋y2<1)＝.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共15分)
5.如图所示，在半径为的半圆内放置一个长方形ABCD，且AB＝2BC，向半圆内任投一点P，则点P落在长方形内的概率为 Ｗ.
解析： P＝＝.
答案：
6.b1是[0，1]上的均匀随机数，b＝6(b1－0.5)，则b是 上的均匀随机数.
解析： ∵b1∈[0，1]，∴b1－0.5∈[－0.5，0.5]，
∴6(b1－0.5)∈[－3，3].
答案： [－3，3]
7.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＜0”的概率为 Ｗ.
解析： 已知0≤a≤1，事件“3a－1＜0”发生时，0＜a＜，由几何概型得到其概率为.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
8.甲、乙两辆货车都要停靠在同一个站台卸货，它们可能在一个昼夜的任意时刻到达.设甲、乙两辆货车停靠站台的时间分别为6小时和4小时，用随机模拟的方法估算有一辆货车停站台时必须等待一段时间的概率.
解析： 由于所求的事件概率与两辆货车到达的时刻有关，故需要产生两组均匀随机数.设货车甲在x时刻到达，货车乙在y时刻到达，若有一辆货车需要等待，则需货车甲比货车乙不早到6小时，或货车乙比货车甲不早到4个小时，用数学语言来描述即为－6
记事件A＝{有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间}.
(1)利用计算机或计算器产生两组[0，1]上的均匀随机数x1＝RAND，y1＝RAND；
(2)经过伸缩变换：x＝x1
24，y＝y1
24，得到[0，24]上的均匀随机数；
(3)统计出试验总次数N和满足条件－6(4)计算频率fn(A)＝，即为事件A的概率近似值.
9.如图所示，向边长为2的大正方形内投飞镖，利用随机模拟的方法求飞镖落在中央边长为1的小正方形中的概率.(假设飞镖全部落在大正方形内)
解析： 用几何概型概率计算公式得P＝＝.用计算机随机模拟这个试验，步骤如下：
第一步，用计数器n记录做了多少次投飞镖的试验，用计数器m记录其中有多少次投在中央的小正方形内，设置n＝0，m＝0；
第二步，用函数rand( )
4－2产生两个－2～2之间的均匀随机数x，y，x表示所投飞镖的横坐标，y表示所投飞镖的纵坐标；
第三步，判断(x，y)是否落在中央的小正方形内，也就是看是否满足|x|＜1，|y|＜1，如果是，则m的值加1，即m＝m＋1，否则m的值保持不变；
第四步，表示随机试验次数的计数器n加1，即n＝n＋1，如果还需要继续试验，则返回步骤第二步继续执行，否则，程序结束.
程序结束后飞镖投在小正方形内的频率作为所求概率的近似值.3.3.2
均匀随机数的产生
课
题：3.3.2
均匀随机数的产生
教学目标：
1.通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,了解均匀随机数的概念；掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；自觉养成动手、动脑的良好习惯.
2.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题,理解随机模拟的基本思想是用频率估计概率.学习时养成勤学严谨的学习习惯,培养逻辑思维能力和探索创新能力.
教学重点：
掌握［0,1］上均匀随机数的产生及［a,b］上均匀随机数的产生.学会采用适当的随机模拟法去估算几何概率.
教学难点：
利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中.
教学方法：
讲授法
课时安排
1课时
教学过程：
一、导入新课
1、复习提问：（1）什么是几何概型？（2）几何概型的概率公式是怎样的？（3）几何概型的特点是什么？
2、在古典概型中我们可以利用（整数值）随机数来模拟古典概型的问题,那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢？如果能够我们如何产生随机数？又如何利用随机数来模拟几何概型的试验呢？引出本节课题：均匀随机数的产生.
二、新课讲授：
提出问题
(1)请说出古典概型的概念、特点和概率的计算公式？
(2)请说出几何概型的概念、特点和概率的计算公式？
(3)给出一个古典概型的问题,我们除了用概率的计算公式计算概率外,还可用什么方法得到概率？对于几何概型我们是否也能有同样的处理方法呢？
(4)请你根据整数值随机数的产生,用计算器模拟产生［0,1］上的均匀随机数.
(5)请你根据整数值随机数的产生,用计算机模拟产生［0,1］上的均匀随机数.
(6)［a,b］上均匀随机数的产生.
活动：学生回顾所学知识,相互交流,在教师的指导下,类比前面的试验,一一作出回答,教师及时提示引导.
讨论结果：
(1)在一个试验中如果
a.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）
b.每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classical
models
of
probability）,简称古典概型.
古典概型计算任何事件的概率计算公式为：P（A）=.
(2)对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.
几何概型的基本特点：
a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
b.每个基本事件出现的可能性相等.
几何概型的概率公式：P（A）=.
(3)我们可以用计算机或计算器模拟试验产生整数值随机数来近似地得到所求事件的概率,对于几何概型应当也可.
(4)我们常用的是［0,1］上的均匀随机数.可以利用计算器来产生0—1之间的均匀随机数(实数),方法如下：
试验的结果是区间［0,1］内的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的,因此,就可以用上面的方法产生的0—1之间的均匀随机数进行随机模拟.
(5)a.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数.
b.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A50,
B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数.
(6)［a,b］上均匀随机数的产生：
利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数X=RAND,
然后利用伸缩和平移变换,X=X
(b-a)+a就可以得到［a,b］上的均匀随机数,试验结果是［a,b］内任何一实数,并且是等可能的.
这样我们就可以通过计算机或计算器产生的均匀随机数,用随机模拟的方法估计事件的概率.
三、例题讲解：
例1
假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？
活动：用计算机产生随机数模拟试验,我们可以利用计算机产生0—1之间的均匀随机数,利用计算机产生B是0—1的均匀随机数,则送报人送报到家的时间为B+6.5,利用计算机产生A是0—1的均匀随机数,则父亲离家的时间为A+7,如果A+7＞B+6.5,即A＞B-0.5时,事件E={父亲离家前能得到报纸}发生.也可用几何概率的计算公式计算.
解法一：1.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数.
2.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A50,B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数.用A列的数加7表示父亲离开家的时间,B列的数加6.5表示报纸到达的时间.这样我们相当于做了50次随机试验.
3.如果A+7>B+6.5,即A-B>-0.5,则表示父亲在离开家前能得到报纸.
4.选定D1格,键入“=A1-B1”；再选定D1,按Ctrl+C,选定D2—D50,按Ctrl+V.
5.选定E1格,键入频数函数“=FREQUENCY（D1：D50,-0.5）”,按Enter键,此数是统计D列中,比-0.5小的数的个数,即父亲在离开家前不能得到报纸的频数.
6.选定F1格,键入“=1-E1/50”,按Enter键,此数是表示统计50次试验中,父亲在离开家前能得到报纸的频率.
解法二：（见教材138页）
例2
在如下图的正方形中随机撒一把豆子,用计算机随机模拟的方法估算圆周率的值.
解法1：（见教材139页）
解法2：（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数a1=RAND（）,b1=RAND（）.
（2）经过平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)
2,b=(b1-0.5)
2.
（3）数出落在圆x2+y2=1内的点（a,b）的个数N1,计算π=（N代表落在正方形中的点（a,b）的个数）.
点评：可以发现,随着试验次数的增加,得到圆周率的近似值的精确度会越来越高,利用几何概型并通过随机模拟的方法可以近似计算不规则图形的面积.
例3
利用随机模拟方法计算下图中阴影部分（y=1和y=x2所围成的部分）的面积.
解：（略）
四、课堂练习：
教材140页练习：1、2
五、课堂小结：
均匀随机数在日常生活中有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是：建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量.
六、课后作业：
1、课本习题3.3B组题.
2、复习本章
板书设计
教学反思：
备课资料
赌棍“考验”数学家
对概率的兴趣,是由保险事业的发展而产生的,但刺激数学家思考概率论问题的却来自赌博者的请求.
传说,17世纪中叶,法国贵族公子梅累参加赌博,和赌友掷骰子,各押赌注32个金币.双方约定,梅累如果先掷出三次6点,或者赌友先掷出三次4点,就算赢了对方.赌博进行了一段时间,梅累已经两次掷出6点,赌友已经一次掷出4点.这时候梅累接到通知,要他马上陪国王接见外宾,赌博只好中断了.这就碰到一个问题：两个人应该怎样分这64个金币才算合理呢
赌友说,他要再碰上两次4点,或梅累要再碰上一次6点就算赢,所以梅累分64个金币的,自己分64个金币的.梅累急辩说,不是,即使下一次赌友掷出了4点,他还可以得,即32个金币；再加上下一次还有一半希望得16个金币,所以他应该分64个金币的,赌友只能分得64个金币的.两人到底谁说得对呢？
梅累为这问题苦恼好久,最后他不得不向法国数学家、物理学家帕斯卡请教,请求他帮助作出公正的裁判,这就成为有趣的“分赌注”问题.
帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家.可是,梅累提出的“分赌注”的问题,却把他难住了.他苦苦思考了近三年,到1654年才算有了点眉目,于是写信给他的好友费马,两人讨论结果,并取得了一致的意见：梅累的分法是对的,他应得64个金币的,赌友应得64个金币的.这时有位荷兰的数学家惠更斯,在巴黎听到这件新闻,也参加了他们的讨论.惠更斯把讨论的结果写成一本书叫做《论赌博中的计算》（1657年）,这就是概率论的最早一部著作.
除保险事业之外,各行各业都经常会碰到“某事件发生的可能性大小”的问题.因此,概率论问世后,在各方面得到了广泛的应用.可是,到了19世纪末,法国数学家贝特朗奇发现了一个非常有趣的怪论.他研究了下面一个问题：
“设圆内接等边三角形的边长为a,在圆上任作一弦,问其长度超过a的概率是多少？”
贝特朗奇算出了三种不同的答案,三种解法似乎又都有道理.人们把这种怪论称为概率怪论,或贝特朗奇怪论.
贝特朗奇的解法如下：
解法一：任取一弦AB,过点A作圆的内接等边三角形（如右图）.因为三角形内角A所对的弧占整个圆周的.显然,只有点B落在这段弧上时,AB弦的长度才能超过正三角形的边长a,故所求概率是.
解法二：任取一弦AB,作垂直于AB的直径PQ.过点P作等边三角形,交直径于N,并取OP的中点M（如下图）.容易证明QN=NO=OM=MP.我们知道,弦长与弦心距有关.一切与PQ垂直的弦,如果通过MN线段的,其弦心距均小于ON,则该弦长度就大于等边三角形边长,故所求概率是.
解法三：任取一弦AB.作圆内接等边三角形的内切圆（如右图）,这个圆是大圆的同心圆,而且它的半径是大圆的,它的面积是大圆的,设M是弦AB的中点,显然,只有中点落在小圆内时,AB弦才能大于正三角形的边长.因此所求的概率是.
细细推敲一下,三种解法的前提条件各不相同：第一种假设了弦的端点在四周上均匀分布；第二种假设弦的中点在直径上均匀分布；第三种假设弦的中点在小圆内均匀分布.由于前提条件不同,就导致三种不同的答案.这是因为在那时候概率论的一些基本概念（如事件、概率及可能性等）还没有明确的定义,作为一个数学分支来说,它还缺乏严格的理论基础,这样,对同一问题可以有不同的看法,以致产生一些奇谈怪论.
概率怪论的出现,迫使数学家们注意概率基础理论的研究.1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论公理化结构,明确了概率的各种基本概念,使概率论成为严谨的数学分支.
1、利用计算器来产生0—1之间的均匀随机数
3.3.2
均匀随机数的产生
2、例题讲解均匀随机数的产生
一、选择题
1．与均匀随机数特点不符的是( )
A．它是[0，1]内的任何一个实数
B．它是一个随机数
C．出现的每一个实数都是等可能的
D．是随机数的平均数
【解析】 A、B、C是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．
【答案】 D
2．要产生[－3，3]上的均匀随机数y，现有[0，1]上的均匀随机数x，则y可取为( )
A．－3x
B．3x
C.6x－3
D．－6x－3
【解析】 法一：利用伸缩和平移变换进行判断；
法二：由0≤x≤1，得－3≤6x－3≤3，故y可取6x－3.
【答案】 C
3．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5
cm的圆，中间有边长为0.5
cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 由题意知所求的概率为P＝＝.
【答案】 A
4．一次试验：向如图3 3 12所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形的豆子的总数为N粒，其中有m(m图3 3 12
A.
B．
C.
D．
【解析】 设正方形的边长为2a，依题意，P＝＝，得π＝，故选D.
【答案】 D
5．(2014·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图3 3 13所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
图3 3 13
A.
B．
C.
D．
【解析】 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝＝.
【答案】 B
二、填空题
6．如图3 3 14，矩形的长为6，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为125颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为________．
图3 3 14
【解析】 ∵矩形的长为6，宽为3，则S矩形＝18，
∴＝＝，∴S阴＝.
【答案】
7．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2－x＋a＝0无实根的概率为________.
【解析】 ∵方程无实根，∴Δ＝1－4a<0，∴a>，即所求概率为.
【答案】
8．如图3 3 15，在一个两边长分别为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底分别为a与a，高为b，向该矩形内随机投一点，那么所投点落在梯形内部的概率为________．
图3 3 15
【解析】 ∵图中梯形的面积为s＝××b＝ab，矩形的面积为S＝ab，
∴落在梯形内部的概率为：P＝＝＝.
【答案】
三、解答题
9．箱子里装有5个黄球，5个白球，现在有放回地取球，求取出的是黄球的概率，如果用计算机模拟该试验，请写出算法．
【解】 P＝＝，用计算机模拟法时可认为0～1之间的随机数x与事件的对应是：当x在0～0.5时，确定为摸到黄球；当x在0.5～1之间时，确定为摸到白球．具体算法如下：第一步，用计数器n记录做了多少次摸球的试验，用计算器m记录其中有多少次显示的黄球，置n＝0，m＝0；
第二步，用函数RAND产生一个0～1的随机数x；
第三步，如果这个随机数在0～0.5之间，我们认为是摸到黄球，判断x是不是在0～0.5之间，如果是，则m的值加1，即m＝m＋1；否则m的值保持不变；
第四步，表示随机试验次数的记录器n加1，即n＝n＋1，如果还需要继续试验，则返回第二步继续执行；否则，执行下一步；
第五步，摸到黄球发生的频率作为概率的近似值．
10．对某人某两项指标进行考核，每项指标满分100分，设此人每项得分在[0，100]上是等可能出现的．单项80分以上，且总分170分以上才合格，求他合格的概率．
【解】 设某人两项的分数分别为x分、y分，
则0≤x≤100，0≤y≤100，
某人合格的条件是80＜x≤100，
80＜y≤100，x＋y＞170，
在同一平面直角坐标系中，作出上述区域(如图阴影部分所示)．
由图可知：0≤x≤100，0≤y≤100构成的区域面积为100×100＝10
000，
合格条件构成的区域面积为
S五边形BCDEF＝S矩形ABCD－S△AEF＝400－×10×10＝350，
所以所求概率为P＝＝.
该人合格的概率为.
[能力提升]
1．P为圆C1：x2＋y2＝9上任意一点，Q为圆C2：x2＋y2＝25上任意一点，PQ中点组成的区域为M，在C2内部任取一点，则该点落在区域M上的概率为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 设Q(x0，y0)，中点M(x，y)，则P(2x－x0，2y－y0)，代入x2＋y2＝9，得(2x－x0)2＋(2y－y0)2＝9，化简得＋＝，故M轨迹是以为圆心，以为半径的圆，又点(x0，y0)在圆x2＋y2＝25上，所以区域M为在以原点为圆心、宽度为3的圆环带，即应有x2＋y2＝r2(1≤r≤4)，所以在C2内部任取一点落在M内的概率为＝，故选B.
【答案】 B
2．(2016·广州模拟)如图3 3 16，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC的内角A，B分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为( )
图3 3 16
A.
B．
C.
D．
【解析】 由正弦定理＝＝2R(R为圆的半径)
那么S△ABC＝×10×10sin
75°＝×10×10×＝25(3＋)．
于是，豆子落在三角形ABC内的概率为＝＝.
【答案】 B
3．(2016·保定模拟)在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
【解析】 如图，与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积V1＝×π×13＝.
事件“点P与点O距离大于1的概率”对应的区域体积为23－，
根据几何概型概率公式得，点P与点O的距离大于1的概率P＝＝1－.
【答案】 1－
4．从甲地到乙地有一班车在9：30到10：00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9：45到10：15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？
【解】 记事件A＝{能赶上车}．
(1)利用计算机或计算器产生两组[0，1]上的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND.
(2)经过平移和伸缩变换，x＝x1
0.5＋9.5，y＝y1
0.5＋9.75，得到一组[9.5，10]，一组[9.75，10.25]上的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N及赶上车的次数N1(满足x(4)计算频率fn(A)＝，即为能赶上车的概率的近似值．3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
一、教学目标：
知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；
（2）掌握几何概型的概率公式：
P（A）=；
（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；
（4）了解均匀随机数的概念；
（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；
（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．
过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
二、重点与难点：
1、几何概型的概念、公式及应用；
2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．
三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．
四、教学设想：
1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。
2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
P（A）=；
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．
例题分析：
课本例题略
例1
判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，
还是几何概型。
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关。
解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；
（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型．
例2
某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．
分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)=
=，即此人等车时间不多于10分钟的概率为．
小结：在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数．
练习：1．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率。
2．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．
解：1．由几何概型知，所求事件A的概率为P(A)=
；
2．记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则P(A)=
=．
例3
在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？
分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的区域面积，有几何概型公式可以求得概率。
解：记“钻到油层面”为事件A，则P(A)=
==0.004．
答：钻到油层面的概率是0.004．
例4
在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？
分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。
解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则
P(A)=
==0.01．
答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．
例5
取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3]上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就是剪得两段长都不小于1m。这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是事件A发生的概率。
解法1：（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a1
3．
（3）统计出[1，2]内随机数的个数N1和[0，3]
内随机数的个数N．
（4）计算频率fn(A)=即为概率P（A）的近似值．
解法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3]（这里3和0重合）．转动圆盘记下指针在[1，2]（表示剪断绳子位置在[1，2]范围内）的次数N1及试验总次数N，则fn(A)=即为概率P（A）的近似值．
小结：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。解法2用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；解法1用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．
例6
在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm2 与81cm2之间的概率．
分析：正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M，求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率．
解：（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数a1=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a1
12得到[0，12]内的均匀随机数．
（3）统计试验总次数N和[6，9]内随机数个数N1
（4）计算频率．
记事件A={面积介于36cm2 与81cm2之间}={长度介于6cm与9cm之间}，则P（A）的近似值为fn(A)=．
4、课堂小结：1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例；
2、均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数
）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．
5、自我评价与课堂练习：
1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（
）
A．0.5
B．0.4
C．0.004
D．不能确定
2．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r3．某班有45个，现要选出1人去检查其他班的卫生，若每个人被选到的机会均等，则恰好选中学生甲主机会有多大？
4．如图3-18所示，曲线y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A，直线x=1、直线y=1、x轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。
6、评价标准：
1．C（提示：由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出2ml的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比=0.004）
2．解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是[o,a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）==
3．提示：本题应用计算器产生随机数进行模拟试验，请按照下面的步骤独立完成。
（1）用1~45的45个数来替代45个人；
（2）用计算器产生1~45之间的随机数，并记录；
（3）整理数据并填入下表
试
验次
数
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
600
650
700
750
800
850
900
1000
1050
1出现的频数
1出现的频率
（4）利用稳定后1出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。
4．解：如下表，由计算机产生两例0~1之间的随机数，它们分别表示随机点（x,y）的坐标。如果一个点（x,y）满足y≤-x2+1，就表示这个点落在区域A内，在下表中最后一列相应地就填上1，否则填0。
x
y
计数
0.598895
0.940794
0
0.512284
0.118961
1
0.496841
0.784417
0
0.112796
0.690634
1
0.359600
0.371441
1
0.101260
0.650512
1
…
…
…
0.947386
0.902127
0
0.117618
0.305673
1
0.516465
0.222907
1
0.596393
0.969695
0
7、作业：根据情况安排
2a
r
o
M第三章 3.3 3.3.2
基础巩固
一、选择题
1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则( )
A．m>n
B．mC．m＝n
D．m是n的近似值
[答案] D
2．用均匀随机数进行随机模拟，可以解决( )
A．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题
B．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积
C．不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积
D．最适合估计古典概型的概率
[答案] C
[解析] 很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．
3．在线段AB上任取三个点x1、x2、x3，则x2位于x1与x3之间的概率是( )
A.
B.
C.
D．1
[答案] B
[解析] 因为x1，x2，x3是线段AB上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是.
4．设x是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y＝2x＋3，则x＝对应变换成的均匀随机数是( )
A．0
B．2
C．4
D．5
[答案] C
[解析] 当x＝时，y＝2×＋3＝4.
5．用计算器或计算机产生20个0～1之间的随机数x，但是基本事件都在区间[－1,3]上，则需要经过的线性变换是( )
A．y＝3x－1
B．y＝3x＋1
C．y＝4x＋1
D．y＝4x－1
[答案] D
[解析] 将区间[0,1]伸长为原来的4倍，再向左平移一个单位得区间[－1,3]，所以需要经过的线性变换是y＝4x－1.
6．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，用计算器上的随机函数产生一个[－5,5]上的随机数x0，那么使f(x0)≤0的概率为( )
A．0.1
B.
C．0.3
D．0.4
[答案] C
[解析] 用计算器产生的x0∈[－5,5]，其区间长度为10.使f(x0)≤0，即x－x0－2≤0，得1≤x0≤2，其区间长度为3，∴使f(x0)≤0的概率为＝0.3.
二、填空题
7．b1是[0,1]上的均匀随机数，b＝3(b1－2)，则b是区间________上的均匀随机数．
[答案] [－6，－3]
[解析] 0≤b1≤1，则函数b＝3(b1－2)的值域是－6≤b≤－3，即b是区间[－6，－3]上的均匀随机数．
8.利用计算机随机模拟方法计算图中阴影部分(如图所示)．第一步：利用计算机产生两个0～1之间的均匀随机数，x，y，其中－1＜x＜1,0＜y＜1；
第二步：以(x，y)为点的坐标．共做此试验N次．若落在阴影部分的点的个数为N1，
则可以计算阴影部分的面积S.
例如，做了2
000次试验，即N＝2
000，
模拟得到N1＝1
396，
所以S＝________.
[答案] 1.396
[解析] 根据题意：点落在阴影部分的概率是，
矩形的面积为2，阴影部分的面积为S，
则有＝，所以S＝1.396.
三、解答题
9．在长为14
cm的线段AB上任取一点M，以A为圆心，以线段AM为半径作圆．用随机模拟法估算该圆的面积介于9π
cm2到16π
cm2之间的概率．
[探究] 圆的面积只与半径有关，故此题为与长度有关的几何概型．解答本题时只需产生一组均匀随机数．
[解析] 设事件A表示“圆的面积介于9π
cm2到16π
cm2之间”．
(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换a＝14a1得到一组[0,14]上的均匀随机数；
(3)统计出试验总次数N和[3,4]内的随机数个数N1(即满足3≤a≤4的个数)；
(4)计算频率fn(A)＝，即为概率P(A)的近似值．
10．在如图的正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1
000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，求这次模拟中π的估计值．(精确到0.001)
[解析] 假设正方形的边长是2，则正方形的面积是4，圆的半径是1，则圆的面积是π，
根据几何概型的概率公式得到≈.所以π≈3.104.
能力提升
一、选择题
1．某人向一半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此入射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 如图，SA＝4π，SB＝36π，所以所求事件的概率为＝，故选B.
2．方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根的概率为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] Δ＝1－4n≥0，n≤.又n∈(0,1)，所以方程有实根的概率P＝，故选C.
3．把[0,1]内的均匀随机数分别转化为[0,4]和[－4,1]内的均匀随机数，需实施的变换分别为( )
A．y＝－4x，y＝5－4
B．y＝4x－4，y＝4x＋3
C．y＝4x，y＝5x－4
D．y＝4x，y＝4x＋3
[答案] C
4．如图所示，在墙上挂着一块边长为16
cm的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2
cm,4
cm,6
cm，某人站在3
m之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，
记事件A＝{投中大圆内}，
事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，
事件C＝{投中大圆之外}．
(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RNAD.
(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝16b1－8，得到两组[－8,8]内的均匀随机数．
(3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a2＋b2<36的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4则概率P(A)、P(B)、P(C)的近似值分别是( )
A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
[答案] A
[解析] P(A)的近似值为，P(B)的近似值为，P(C)的近似值为.
二、填空题
5．图形ABC如图所示，为了求其面积，小明在封闭的图中找出了一个半径为1
m的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：
50次
150次
300次
石子落在⊙O内(含⊙O上)的次数m
14
43
93
石子落在阴影内次数n
29
85
186
则估计封闭图形ABC的面积为________m2.
[答案] 3π
[解析] 由记录≈1?2，
可见P(落在⊙O内)＝＝，
又P(落在⊙O内)＝，
所以＝，SABC＝3π(
m2)
6．利用随机模拟方法计算y＝x2与y＝4围成的面积时，利用计算器产生两组0～1之间的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND，然后进行平移与伸缩变换a＝a1·4－2，b＝b1·4，试验进行100次，前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65，已知最后两次试验的随机数a1＝0.3，b1＝0.8及a1＝0.4，b1＝0.3，那么本次模拟得出的面积约为________．
[答案] 10.72
[解析] 由a1＝0.3，b1＝0.8得：
a＝－0.8，b＝3.2，(－0.8,3.2)落在y＝x2与y＝4围成的区域内，
由a1＝0.4，b1＝0.3得：a＝－0.4，b＝1.2，(－0.4，1.2)落在y＝x2与y＝4围成的区域内，
所以本次模拟得出的面积约为16×＝10.72.
三、解答题
7．利用随机模拟方法计算如图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴，x＝±1围成的部分)的面积．
[解析] (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)经过平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)×2，b＝b1×2，得到一组[－1,1]上的均匀随机数和一组[0,2]上的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1.
(4)计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
(5)用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝，＝，所以S≈，即为阴影部分的面积值．
8．从甲地到乙地有一班车在9?30到10?00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9?45到10?15出发的汽车到丙地去，用随机模拟方法计算他能赶上车的概率是多少？
[解析] 能赶上车的条件是到达乙地时汽车还没有出发，我们可以用两组均匀随机数x和y来表示到达乙地的时间和汽车从乙地出发的时间，当x≤y时能赶上车．
设事件A：“他能赶上车”．
①利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND.
②经过变换x＝0.5x1＋9.5，y＝0.5y1＋9.75.
③统计出试验总次数N和满足条件x≤y的点(x，y)的个数N1.
④计算频率fn(A)＝，则即为概率P(A)的近似值．3.3.2 均匀随机数的产生
课时目标 1.了解均匀随机数的产生方法与意义.2.会用模拟实验求几何概型的概率.3.能利用模拟实验估计不规则图形的面积．
知识梳理
1．均匀随机数的产生
(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是______________函数．
(2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand()”．
2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法
(1)____________的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．
(2)____________的方法：用Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．
3．[a，b]上均匀随机数的产生．
利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换，x＝x1
(b-a)+a就可以得到［a,b］内的均匀随机数，试验的结果是［a,b］上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的.
作业设计
一、选择题
1．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－3,4]内的均匀随机数，需要实施的变换为( )
2．在线段AB上任取三个点x1，x2，x3，则x2位于x1与x3之间的概率是( )
A.
B.
C.
D．1
3．与均匀随机数特点不符的是( )
A．它是[0,1]内的任何一个实数
B．它是一个随机数
C．出现的每一个实数都是等可能的
D．是随机数的平均数
4．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为( )
A.
B.
C.
D．无法计算
5．在长为12
cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．这个正方形的面积介于36
cm2与81
cm2之间的概率为( )
A.
B.
C.
D.
6．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是( )
A．一样大
B．蓝白区域大
C．红黄区域大
D．由指针转动圈数决定
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为______．
8．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．
9．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．
三、解答题
10．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝log3x与x＝3及x轴围成的图形)的面积．
11．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估计下列事件的概率：
(1)小燕比小明先到校；
(2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．
能力提升
12．如图所示，曲线y＝x2与y轴、直线y＝1围成一个区域A(图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法)．
13．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率(用两种方法)．
反思感悟
1．[0,1]或[a，b]上均匀随机数的产生
利用计算器的RAND函数可以产生[0,1]的均匀随机数，试验的结果是区间[0,1]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，因此，可以用计算器产生的0到1之间的均匀随机数进行随机模拟．
计算器不能直接产生[a，b]区间上的随机数，但可利用伸缩和平移变换得到：如果Z是[0,1]区间上的均匀随机数，则a＋(b－a)Z就是[a，b]区间上的均匀随机数．
2．随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法．用计算机或计算器模拟试验，首先把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量．我们可以从以下几个方面考虑：
(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数的组数．如长度、角度型只用一组，面积型需要两组．
(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围．
(3)由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式．
答案：
3．3.2 均匀随机数的产生
知识梳理
1．(1)RAND 2.(1)试验模拟 (2)计算机模拟
作业设计
1．C [根据伸缩、平移变换a＝a1
［4-(-3)］+(-3)=a1
7-3.］
2．B [因为x1，x2，x3是线段AB上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是.]
3．D [A、B、C是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．]
4．B [∵＝，∴S阴影＝S正方形＝.]
5．D [由题意知，66．B [指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，显然，蓝白区域大．]
7.
解析 作∠AOE＝∠BOD＝30°，如图所示，随机试验中，射线OC可能落在扇面AOB内任意一条射线上，而要使∠AOC和∠BOC都不小于30°，则OC落在扇面DOE内，
∴P(A)＝.
8.
解析 由|x|≤1，得－1≤x≤1.
由几何概型的概率求法知，所求的概率P＝＝.
9.
解析 以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，
当P落在其内时符合要求．
∴P＝＝.
10．解 设事件A：“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．
(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND.
(2)经过伸缩变换x＝x1
3,y=y?1
3，得到两组［0,3］上的均匀随机数.
（3）统计出试验总次数N和满足条件y（4）计算频率fn(A)=，即为概率P(A)的近似值．
设阴影部分的面积为S，正方形的面积为9，由几何概率公式得P(A)＝，所以≈.
所以S≈即为阴影部分面积的近似值．
11．解 记事件A“小燕比小明先到校”；记事件B“小燕比小明先到校且小明比小军先到校”．
①利用计算器或计算机产生三组0到1区间的均匀随机数，a＝RAND，b＝RAND，c＝RAND分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间；
②统计出试验总次数N及其中满足b③计算频率fn(A)＝，fn(B)＝，即分别为事件A，B的概率的近似值．
12．解 方法一 我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数出落在区域A内的豆子数与落在正方形内的豆子数，根据
，即可求区域A面积的近似值．例如，假设撒1
000粒豆子，落在区域A内的豆子数为700，则区域A的面积S≈＝0.7.
方法二 对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步骤如下：
第一步，产生两组0～1内的均匀随机数，它们表示随机点(x，y)的坐标．如果一个点的坐标满足y≥x2，就表示这个点落在区域A内．
第二步，统计出落在区域A内的随机点的个数M与落在正方形内的随机点的个数N，可求得区域A的面积S≈.
13.
解 方法一 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x－y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．
由几何概型的概率公式得：
P(A)＝＝＝＝.
所以两人能会面的概率是.
方法二 设事件A＝{两人能会面}．
(1)利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND；
(2)经过伸缩变换，x＝x1
60,y=y1
60，得到两组［0,60］上的均匀随机数；
（3）统计出试验总次数N和满足条件|x-y|≤15的点（x,y）的个数N1；
（4）计算频率fn(A)=
，即为概率P（A）的近似值.3.3.2
均匀随机数的产生
[a,b]上的整数随机数可以用计算器或计算机来产生.本节要学习的均匀随机数产生的方法完全类同于整数随机数的产生.但二者也有明显的不同，前者常用来产生[0,1]之间的均匀随机数，[a，b]内的均匀随机数需要一个变换才能完成，在学习过程中要注意转化的方法.
一、【学习目标】
1、掌握[0,1]上均匀随机数的产生及[a,b]上均匀随机数的产生.
2、学会采用适当的随机模拟法去估计几何概型的概率.
【教学效果】：教学目标的给出有利于学生从整体上把握课堂.
二、【自学内容和要求及自学过程】
阅读教材137—140页内容，回答问题（均匀随机数的产生）
<1>怎样利用计算器产生[0,1]之间的均匀随机数？
结论：如图.
实验结果是[0,1]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数，而且出现任何一个实数都是等可能的，因此，就可以用上面的方法产生的0—1之间的均匀随机数进行随机模拟.
<2>如果实验结果是区间[a,b]上的任何一点，而且是等可能的，如何产生[a,b]之间的均匀随机数.
结论：首先利用计算机产生[0,1]上的均匀随机数，然后利用伸缩和平移变换，X=X
（b-a）+a就可以得到[a,b]上的均匀随机数，实验结果是[a,b]内的任一实数，并且是等可能的.
【学习效果】：理解均匀随机数的产生过程.
三、【综合练习与思考探索】
练习一：教材例2、3、4；
练习二：教材140页练习.
四、【作业】
1、必做题：课本习题3.3B组题目.
2、选做题：总结本节知识到笔记本上.
五、【小结】
本节课主要学习了均匀随机数的产生和利用均匀随机数模拟实验.
六、【教学反思】
理解大于死记硬背.
七、【课后小练】
1、
取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3]上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就是剪得两段长都不小于1m。这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是事件A发生的概率。
解法1：（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a1
3．
（3）统计出[1，2]内随机数的个数N1和[0，3]
内随机数的个数N．
（4）计算频率fn(A)=
N1/N.即为概率P（A）的近似值．
解法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3]（这里3和0重合）．转动圆盘记下指针在[1，2]（表示剪断绳子位置在[1，2]范围内）的次数N1及试验总次数N，则fn(A)=
N1/N.即概率P（A）的近似值．
小结：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。解法2用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；解法1用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．
2、
在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm2 与81cm2之间的概率．
分析：正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M，求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率．
解：（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数a1=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a1
12得到[0，12]内的均匀随机数．
（3）统计试验总次数N和[6，9]内随机数个数N1
（4）计算频率N1/N.
记事件A={面积介于36cm2 与81cm2之间}={长度介于6cm与9cm之间}，则P（A）的近似值为fn(A)=
N1/N.
3、某班有45个，现要选出1人去检查其他班的卫生，若每个人被选到的机会均等，则恰好选中学生甲主机会有多大？
提示：本题应用计算器产生随机数进行模拟试验，请按照下面的步骤独立完成。
（1）用1~45的45个数来替代45个人；
（2）用计算器产生1~45之间的整数随机数，并记录；
（3）整理数据并填入下表
（4）利用稳定后1出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。3.3.2均匀随机数的产生
课题
3.3.2均匀随机数的产生
三维教学目标
知识与能力
（1）了解均匀随机数的概念；（AB层）（2）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；（3）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．
过程与方法
（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
情感、态度、价值观
本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
教学内容分析
教学重点
利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．
教学难点
利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．
教
学
流
程
与
教
学
内
容
一、复习引入：（一）、什么是几何概型？几何概型的特点是什么？（二）、几何概型的概率如何计算？1、
在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是___________;2、
在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是___________.（三）什么是均匀分布？什么是均匀随机数？二、新课：（一）阅读课本P137，思考1、我们常用的均匀随机数是在什么范围的？利用计算器产生均匀随机数的方法是怎样的？2、为什么可用上述方法产生的均匀随机数随机模拟？3、如果试验的结果是区间[a,b]上任何一点，而且是等可能的，如何产生[a,b]之间的随机数？（二）例题分析：例1、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30~7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7:30~8:30之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率的多少？分析：我们可用两种方法计算该事件的概率：1、利用几何概型的公式；2、用随机模拟的方法。例2、在图3.3-3的正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估计圆周率的值。分析：我们可用两种方法计算该事件的概率：1、利用几何概型的公式；2、用随机模拟的方法。例3、
取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3]上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就是剪得两段长都不小于1m。这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是事件A发生的概率。解法1：（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND．（2）经过伸缩变换，a=a1
3．（3）统计出[1，2]内随机数的个数N1和[0，3]
内随机数的个数N．（4）计算频率fn(A)=即为概率P（A）的近似值．解法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3]（这里3和0重合）．转动圆盘记下指针在[1，2]（表示剪断绳子位置在[1，2]范围内）的次数N1及试验总次数N，则fn(A)=即为概率P（A）的近似值．小结：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。解法2用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；解法1用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．（三）课堂练习：P140
练习1，2（AB层）3、
在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm2 与81cm2之间的概率．
（四）课堂小结：均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数
）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．
课后学习
1．某班有45个，现要选出1人去检查其他班的卫生，若每个人被选到的机会均等，则恰好选中学生甲主机会有多大？（ＡＢ层）2．曲线y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A，直线x=1、直线y=1、x轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。1．提示：本题应用计算器产生随机数进行模拟试验，请按照下面的步骤独立完成。（1）用1~45的45个数来替代45个人；（2）用计算器产生1~45之间的随机数，并记录；（3）整理数据并填入下表试
验次
数50100150200250300350400450500600650700750800850900100010501出现的频数1出现的频率（4）、利用稳定后1出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。
教学反思
条件限制，均匀随机数的产生部分可以简略。
2a
r
o
M