2.3.1
变量之间的相关关系
基础巩固
一、选择题
1．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程＝bx＋a，那么下面说法不正确的是( )
A．直线＝bx＋a必经过点(，)
B．直线＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点
C．直线＝bx＋a的斜率为
D．直线＝bx＋a和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差yi－(bxi＋a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线．
[答案] B
[解析] 由a＝－b
知＝－b
＋bx，∴必定过(，)点．
回归直线方程对应的直线是与样本数据距离最小的，但不一定过原始数据点，只须和这些点很接近即可．
2．下列说法正确的是( )
A．对于相关系数r来说，|r|≤1，|r|越接近0，相关程度越大；|r|越接近1，相关程度越小
B．对于相关系数r来说，|r|≥1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越大，相关程度越小
C．对于相关系数r来说，|r|≤1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越接近0，相关程度越小
D．对于相关系数r来说，|r|≥1，|r|越接近1，相关程度越小；|r|越大，相关程度越大
[答案] C
3．(2015·辽宁鞍山调研)两个变量成负相关关系时，散点图的特征是( )
A．点从左下角到右上角区域散布
B．点散布在某带形区域内
C．点散布在某圆形区域内
D．点从左上角到右下角区域散布
[答案] D
4．(2014·重庆)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数＝2.5，＝3.5，则由观测的数据得线性回归方程可能为( )
A.＝0.4x＋2.3
B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5
D.＝－0.3x＋4.4
[答案] A
[解析] ∵＝x＋，正相关则b＞0，∴排除C，D.∵过中点心(，)＝(3,3.5)，∴选A.
5．某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它的原料有效成分含量x之间的相关关素，现取了8对观测值，计算得：i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1849，则y对x的回归直线的方程是( )
A.＝11.47＋2.62x
B.＝－11.47＋2.62x
C.＝2.62＋11.47x
D.＝11.47－2.62x
[答案] A
[解析] 由已知得＝i＝×52＝，＝i＝×228＝，所以＝＝≈2.62，＝－≈－2.62×＝11.47，所以＝2.62x＋11.47.
6．为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2，已知两人所得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别是s和t，那么下列说法中正确的是( )
A．直线l1、l2一定有公共点(s，t)
B．直线l1、l2相交，但交点不一定是(s，t)
C．必有直线l1∥l2
D．l1、l2必定重合
[答案] A
[解析] 线性回归直线方程为＝bx＋a，而＝－，即a＝t－bs，t＝bs＋a，所以(s，t)在回归直线上，直线l1、l2一定有公共点(s，t)．
二、填空题
7．(2011·辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
[答案] 0.254
[解析] 由于＝0.254x＋0.321知，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元．
8．某单位为了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机抽查了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程＝x＋中＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量约为________度．
[答案] 68
[解析] ＝＝10，＝＝40，因为回归方程一定过点(，)，
所以＝＋，则＝－＝40＋2×10＝60.
则＝－2x＋60，当x＝－4时，＝－2×(－4)＋60＝68.
三、解答题
9．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元)
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)画出散点图；
(2)从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系？
[解析] (1)以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如下图所示：
(2)从图中可以发现广告费支出与销售金额之间具有相关关系，并且当广告费支出由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系．
10．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些缺损．按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺损零件数y(个)
11
9
8
5
(1)作出散点图；
(2)如果y与x线性相关，求出回归直线方程；
(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？
[解析] 先作出散点图，再根据散点图判断y与x呈线性相关，从而建立回归直线方程求解．
解：(1)作散点图如图所示．
(2)由散点图可知y与x线性相关．故可设回归直线方程为＝bx＋a.
依题意，用计算器可算得：
＝12.5，＝8.25，＝660，iyi＝438.
∴b＝≈0.73，a＝－b≈8.25－0.73×12.5＝－0.875.
∴所求回归直线方程为＝0.73x－0.875.
(3)令＝10，得0.73x－0.875＝10，解得x≈15.
即机器的运转速度应控制在15转/秒内．
能力提升
一、选择题
1．(2014·湖北)根据如下样本数据得到的回归方程为＝bx＋a，则( )
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
A.a＞0，b＜0
B．a＞0，b＞0
C．a＜0，b＜0
D．a＜0，b＞0
[答案] A
[解析] 由于x增大y减小知b＜0，又x＝3时y＞0，∴a＞0，故选A.
2．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元
B．65.5万元
C．67.7万元
D．72.0万元
[答案] B
[探究] 由线性回归方程的图象过样本点的中心，可求得线性回归方程，然后结合该方程对x＝6时的销售额作出估计．
[解析] 样本点的中心是(3.5,42)，则＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，所以线性回归方程是＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得＝65.5.
3．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.＞b′，＞a′
B.＞b′，＜a′
C.＜b′，＞a′
D.＜b′，＜a′
[答案] C
[探究] 先由已知条件分别求出b′，a′的值，再由，的计算公式分别求解，的值，即可作出比较．
[解析] 由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y＝2x－2，从而b′＝2，a′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得＝＝＝，＝－＝－×＝－，所以＜b′，＞a′.
4．某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：
x
10
20
30
40
50
y
62
▲
75
81
89
由最小二乘法求得回归方程为＝0.67x＋54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该数据的值为( )
A．60
B．62
C．68
D．68.3
[答案] C
[解析] 由题意可得＝30，
代入回归方程得＝75.
设看不清处的数为a，
则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.
[点评] 表中所给的数据只反映x与y的线性关系，并非函数关系，因而不能直接代入线性方程求预报值，应根据线性回归方程性质，即线性回归方程经过中心点(，)求解．
二、填空题
5．2010年4月初，广东部分地区流行手足口病，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．下表是某同学记载的2010年4月1日到2010年4月12日每天广州手足口病治愈出院者数据，根据这些数据绘制散点图如图.
日期
1
2
3
4
5
6
人数
100
109
115
118
121
134
日期
7
8
9
10
11
12
人数
141
152
168
175
186
203
下列说法：
①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数且有一次函数关系；③后三天治愈出院的人数占这12天治愈出院人数的30%多；④后三天治愈出院的人数均超过这12天内北京市治愈出院人数的20%.
其中正确的个数是________．
[答案] 2
6．改革开放30年以来，我国高等教育事业迅速发展，对某省1990～2000年考大学升学百分比按城市、县镇、农村进行统计，将1990～2000年依次编号为0～10，回归分析之后得到每年考入大学的百分比y与年份x的关系为：
城市：＝2.84x＋9.50；
县镇：＝2.32x＋6.67；
农村：＝0.42x＋1.80.
根据以上回归直线方程，城市、县镇、农村三个组中，________的大学入学率增长最快．按同样的增长速度，可预测2010年，农村考入大学的百分比为________%.
[答案] 城市 10.2
[探究] 增长速度可根据回归直线的斜率来判断，斜率大的增长速度快，斜率小的增长速度慢．
[解析] 通过题目中所提供的回归方程可判断，城市的大学入学率增长最快；2010年农村考入大学的百分比为0.42×20＋1.80＝10.2.
三、解答题
7．(2014·新课标全国Ⅱ高考)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝，＝－.
[解析] (1)由所给数据计算得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝＝＝0.5，
＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，b＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收人为6.8千元．
8．(2013·重庆)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程＝x＋；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程＝x＋中，＝，＝－，其中，为样本平均值．
[探究] (1)根据线性回归方程求相关的量后，代入公式即可求得回归方程；(2)观察线性回归方程的系数
可判断是正相关还是负相关；(3)将x＝7代入线性回归方程即可求得预报变量，即该家庭的月储蓄．
[解析] (1)由题意知n＝10，＝i＝＝8，＝i＝＝2，
又－n2＝720－10×82＝80，iyi－n
＝184－10×8×2＝24，
由此得＝＝＝0.3，＝－＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求回归方程为＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(＝0.3＞0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．2.3 变量间的相关关系
课时目标 1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.3.会求回归直线方程．
1．相关关系：与函数关系不同，相关关系是一种__________性关系．
2．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为________，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为________．
3．如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量之间具有____________，这条直线叫__________．
4．回归直线方程＝x＋，其中
是回归方程的斜率，是截距．
5．通过求Q＝(yi－bxi－a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求出的回归直线使样本数据中的点到它的距离的平方和最小，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差平方和最小”的方法叫做______________．
一、选择题
1．下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系？( )
A．匀速行驶车辆的行驶距离与时间
B．圆半径与圆的面积
C．正n边形的边数与内角度数之和
D．人的年龄与身高
2．下列有关线性回归的说法，不正确的是( )
A．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图
C．回归直线方程最能代表观测值x、y之间的关系
D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程
3．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为
＝60＋90x，下列判断正确的是( )
A．劳动生产率为1千元时，工资为50元
B．劳动生产率提高1千元时，工资提高150元
C．劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元
D．劳动生产率为1千元时，工资90元
4．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )
A.
＝－10x＋200
B.
＝10x＋200
C.
＝－10x－200
D.
＝10x－200
5．给出两组数据x、y的对应值如下表，若已知x、y是线性相关的，且回归直线方程：y＝
＋
x，经计算知：
＝－1.4，则
为( )
x
4
5
6
7
8
y
12
10
9
8
6
A.
17.4
B．－1.74
C．0.6
D．－0.6
6．回归直线方程表示的直线
＝
＋
x必经过点( )
A．(0,0)
B．(，0)
C．(，)
D．(0，)
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．若对某个地区人均工资x与该地区人均消费y进行调查统计得y与x具有相关关系，且回归直线方程
＝0.7x＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．
8．设有一个回归方程
＝3－2.5x，当变量x增加一个单位时，变量y________个单位．
9．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为
＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差______分．
三、解答题
10．下表是某旅游区游客数量与平均气温的对比表：
平均气温(℃)
－1
4
10
13
18
26
数量(百个)
20
24
34
38
50
64
若已知游客数量与平均气温是线性相关的，求回归方程．
11．5个学生的数学和物理成绩(单位：分)如下表：
学生学科
A
B
C
D
E
数学
80
75
70
65
60
物理
70
66
68
64
62
画出散点图，判断它们是否具有相关关系，若相关，求出回归方程．
能力提升
12．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：
温度x(℃)
0
10
20
50
70
溶解度y
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
则由此得到回归直线的斜率约为________．
13．20世纪初的一项关于16艘轮船的研究显示，轮船的吨位从192～3
246吨，船员的数目从5～32人，对船员人数关于轮船的吨位数的回归分析得：船员人数＝9.5＋0.006
2×轮船吨位．
(1)假设两轮船吨位相差1
000吨，船员人数平均相差多少？
(2)对于最小的轮船估计的船员人数是多少？对于最大的轮船估计的船员人数是多少？
1．由最小二乘法得
其中：
是回归方程的斜率，
是截距．
2．回归方程的求解过程
3．在回归方程
＝bx＋a中，当回归系数b>0时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当x每增加一个单位时y就增加b个单位；当b<0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当x每增加一个单位时，y就减少b个单位．
答案：
2.3 变量间的相关关系
知识梳理
1．非确定 2.正相关 负相关 3.线性相关关系 回归直线 4.－ 5.最小二乘法
作业设计
1．D [人的年龄与身高具有相关关系．]
2．D [只有所有的数据点都分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线．]
3．C [因工人月工资与劳动生产率变化的回归直线方程为
＝60＋90x，当x由a提高到a＋1时，
2－
1＝60＋90(a＋1)－60－90a＝90.]
4．A [∵y与x负相关，∴排除B、D，
又∵C项中x>0时
<0不合题意，∴C错．]
5．A [＝(4＋5＋6＋7＋8)＝6，
＝(12＋10＋9＋8＋6)＝9.
＝－
＝9＋1.4×6＝9＋8.4＝17.4.]
6．C [由
＝－
得＝
＋
，
即点(，)适合方程
＝
＋
x．]
7．87.5%
解析 设该地区人均工资收入为，
则＝0.7＋2.1，
当＝10.5时，＝＝12.
×100%＝87.5%.
8．减少2.5
解析
′＝3－2.5(x＋1)＝3－2.5x－2.5＝
－2.5，
因此，y的值平均减少2.5个单位．
9．20
解析 令两人的总成绩分别为x1，x2.
则对应的数学成绩估计为
＝6＋0.4x1，
2＝6＋0.4x2，
所以|
1－
2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.
10．解 ＝＝，＝＝，x＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1
286，xiyi＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3
474.
＝＝≈1.68，
＝－
≈18.73，
即所求的回归方程为
＝1.68x＋18.73.
11．解 以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示：
由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为线性相关．
列表，计算
i
1
2
3
4
5
xi
80
75
70
65
60
yi
70
66
68
64
62
xiyi
5
600
4
950
4
760
4
160
3
720
x
6
400
5
625
4
900
4
225
3
600
＝70，＝66，x＝24
750，xiyi＝23
190
设所求回归方程为
＝
x＋
，则由上表可得
＝＝＝0.36，
＝－
＝40.8.
∴所求回归方程为
＝0.36x＋40.8.
12．0.880
9
解析 ＝30，＝93.6，x＝7
900，
xiyi＝17
035，
所以回归直线的斜率
＝＝≈0.880
9.
13．解 (1)由
＝9.5＋0.006
2x可知，当x1与x2相差1
000吨时，船员平均人数相差
1－
2＝(9.5＋0.006
2x1)－(9.5＋0.006
2x2)＝0.006
2×1000≈6(人)．
(2)当取最小吨位192时，预计船员人数为
＝9.5＋0.006
2×192≈10(人)．
当取最大吨位3
246时，预计船员人数为＝9.5＋0.006
2×3
246≈29(人)．2.3 变量的相关性
一、基础过关
1．下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系
( )
A．匀速行驶车辆的行驶距离与时间
B．圆半径与圆的面积
C．正n边形的边数与内角度数之和
D．人的年龄与身高
2．下列有关线性回归的说法，不正确的是
( )
A．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图
C．回归直线方程最能代表观测值x、y之间的关系
D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程
3．回归直线方程表示的直线
＝
＋
x必经过点
( )
A．(0,0)
B．(
,0)
C．(，
)
D．(0，
)
4．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为
＝60＋90x，下列判断正确的是
( )
A．劳动生产率为1千元时，工资为60元
B．劳动生产率提高1千元时，工资提高150元
C．劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元
D．劳动生产率为1千元时，工资为90元
5．若对某个地区人均工资x与该地区人均消费y进行调查统计得y与x具有相关关系，且回归直线方程
＝0.7x＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．
6．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为
＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．
7．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：
零件数
x(个)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间
Y(min)
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
(1)画出表中数据的散点图；
(2)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？
8．5个学生的数学和物理成绩(单位：分)如下表：
学生学科
A
B
C
D
E
数学
80
75
70
65
60
物理
70
66
68
64
62
画出散点图，判断它们是否具有相关关系，若相关，求出回归直线方程．
二、能力提升
9．某商品销售量Y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是
( )
A.
＝－10x＋200
B.
＝10x＋200
C.
＝－10x－200
D.
＝10x－200
10．给出两组数据x、Y的对应值如下表，若已知x、Y是线性相关的，且回归直线方程：
＝
＋
x，经计算知：
＝－1.4，则为
( )
x
4
5
6
7
8
Y
12
10
9
8
6
A.17.4
B．－17.4
C．0.6
D．－0.6
11．某数学老师身高176
cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173
cm、170
cm和182
cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.
12．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格Y和房屋的面积x的数据：
房屋面积
(m2)
115
110
80
135
105
销售价格
(万元)
24.8
21.6
18.4
29.2
22
(1)画出数据对应的散点图；
(2)求回归直线方程，并在散点图中加上回归直线．
(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150
m2时的销售价格．
三、探究与拓展
13．如果只有两个样本点(x1，y1)，(x2，y2)，那么用最小二乘法估计得到的直线方程与用两点式求出的直线方程一致吗？试给出证明．
§2.3 变量的相关性
1．D 2.D 3.C 4.C 5.87.5%
6．20
解析 令两人的总成绩分别为x1，x2.
则对应的数学成绩估计为
1＝6＋0.4x1，
2＝6＋0.4x2，
所以|
1－
2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.
7．解 (1)散点图如下：
(2)加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系．
8．解 以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示：
由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为线性相关．
列表，计算
i
1
2
3
4
5
xi
80
75
70
65
60
yi
70
66
68
64
62
xiyi
5
600
4
950
4
760
4
160
3
720
x
6
400
5
625
4
900
4
225
3
600
＝70，＝66，x＝24
750，xiyi＝23
190
设所求回归直线方程为
＝
x＋
，则由上表可得
＝＝＝0.36，
＝－
＝40.8.
∴所求回归直线方程为
＝0.36x＋40.8.
9．A 10.A
11．185
解析 根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的身高对应数据如下表所示：
父亲的身高(x)
173
170
176
儿子的身高(y)
170
176
182
观察可知，＝173，＝176，＝＝＝1，＝－＝176－173＝3，
∴回归直线方程为＝x＋3，从而可预测他孙子的身高为182＋3＝185(cm)．
12．解 (1)数据对应的散点图如图所示：
(2)＝xi＝109，＝23.2，
x＝60
975，xiyi＝12
952.
设所求回归直线方程为＝x＋，
＝≈0.196
2，
＝－＝23.2－109×0.196
2≈1.814
2，
故所求回归直线方程为＝0.196
2x＋1.814
2.
(3)据(2)，当x＝150
m2时，销售价格的估计值为：
＝0.196
2×150＋1.814
2
＝31.244
2(万元)．
13．解 上述两种方法得到的直线方程一致．
证明如下：
设回归方程为＝＋x，
则＝
＝
＝
＝＝，
＝－＝－·
＝＝，
∴＝x＋.
而由两点式方程＝，
整理得y＝(x－x1)＋y1，
即y＝x＋.
可见由上述两种方法得到的直线方程一致．2.3 变量间的相关关系
1.下面的4个散点图中,两个变量具有相关性的是( )
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
解析:由题图可知①是一次函数关系,不是相关关系;②的所有点在一条直线附近波动,是线性相关的;③的散点不具有任何关系,是不相关的;④的散点在某曲线附近波动,是非线性相关的,即两个变量具有相关性的是②④,故选C.
答案:C
2.对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图1,对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图2.由这两个散点图可以判断( )
图1
图2
A.变量x与y正相关,u与v正相关
B.变量x与y正相关,u与v负相关
C.变量x与y负相关,u与v正相关
D.变量x与y负相关,u与v负相关
解析:由题图1知,散点图在从左上角到右下角的带状区域内,则变量x与y负相关;由题图2知,散点图在从左下角到右上角的带状区域内,则变量u与v正相关.
答案:C
3.已知x,y的取值如下表:
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
从散点图(图略)可以看出y与x线性相关,且回归方程为=0.95x+a,则a=( )
A.3.25
B.2.6
C.2.2
D.0
解析:线性回归方程一定经过样本中心点(),由取值表可计算=2,,已知回归方程为=0.95x+a,又经过点,代入得a=2.6.
答案:B
4.对于回归直线方程=bx+a,下列说法不正确的是( )
A.直线必过点()
B.x增加一个单位时,y平均增加b个单位
C.样本数据中x=0时,可能有y=a
D.样本数据中x=0时,一定有y=a
解析:根据回归直线方程求出的函数值都应是估计值,故D的说法是错误的.
答案:D
5.某经济研究小组对全国50个中小城市进行职工人均工资x与居民人均消费水平y进行了统计调查,发现y与x具有相关关系,其回归方程为=0.3x+1.65(单位:千元).某城市居民人均消费水平为6.60,估计该城市职工人均消费水平占居民人均工资收入的百分比为( )
A.66%
B.55.3%
C.45.3%
D.40%
解析:由6.60=0.3x+1.65得x=16.5,故=0.4.
答案:D
6.期中考试后,某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析,得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为=0.4x+6.由此可以估计:若两个同学的总成绩相差50分,则他们的数学成绩大约相差 分.
解析:令两人的总成绩分别为x1,x2.
则对应的数学成绩估计为=0.4x1+6,=0.4x2+6,
所以||=|0.4(x1-x2)|=0.4×50=20.
答案:20
7.如图所示,有5组(x,y)数据的散点图,去掉 组数据后,剩下的4组数据的线性相关系数最大.
解析:由图不难发现去掉D组数据后,其他4组数据在一条直线附近.
答案:D
8.若直线=a+bx是四组数据(1,3),(2,5),(3,7),(4,9)的回归直线方程,则a与b的关系为 .
解析:∵(1+2+3+4)=,
(3+5+7+9)=6,
∴=a+b=a+b=6,
∴2a+5b=12.
答案:2a+5b=12
9.在钢铁碳含量对于电阻的效应的研究中,得到如表所示的一组数据:
碳含量/%
0.10
0.30
0.40
0.55
0.70
0.80
0.95
20
℃时电阻/μΩ
15
18
19
21
22.6
23.8
26
(1)画出散点图;
(2)求回归方程(参考数据=2.595,xiyi=85.61).
解:(1)画出散点图如图所示:
(2)由散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线的附近,可求回归方程.
由表中的数据可求得xi=≈0.543,yi=≈20.771,又=2.595,xiyi=85.61.
则≈12.54,
=20.77-12.54×0.543≈13.96.
所以回归方程为=12.54x+13.96.
10.在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验,得到数据列表如下(单位:kg):
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
(1)画出散点图;
(2)求水稻产量y与施化肥量x之间的回归直线方程;
(3)当施化肥60kg时,对水稻的产量予以估计;
(4)是否施化肥越多产量越高
解:(1)画出散点图如图所示:
(2)借助计算器列表如下:
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
15
20
25
30
35
40
45
yi
330
345
365
405
445
450
455
xiyi
4
950
6
900
9
125
12
150
15
575
18
000
20
475
=30,≈399.3=7
000xiyi=87
175
计算得:≈4.75,=399.3-4.75×30≈257,
即得线性回归直线方程为=4.75x+257.
(3)当施化肥60kg时,可以估计水稻产量为542kg.
(4)由=4.75x+257可知,两个随机变量为正相关,因此产量随施用化肥量的增加而增加;但是从实际问题出发考虑,化肥的施用量应当控制在一定的范围内.课题：2.3.1变量间的相互关系（一）、（二）
第
个教案
课型：
新授课
年
月
日
教学目标
知识与技能:
1. 了解线性回归的意义，了解最小二乘法思想； 2. 会求回归直线方程。
过程与方法:
经历描述两个变量的相关关系的过程，了解最小二乘法的思想。
情感、态度与价值观:
学生亲自体验了发现数学、领悟数学的全过程
教学重点
用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程
教学难点
用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程
教学方法
讨论法
教学过程：
批
注
活动一：创设情景，揭示课题
（5分钟）问题：
1.
函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系.
2.
在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？
3.
这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系，有必要从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义.活动二：步入新知，师生交流（20分钟）（一）：变量之间的相关关系思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系，想一想这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄.思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？思考3：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系的含义如何？自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系.思考4：函数关系与相关关系之间的区别与联系.函数关系中的两个变量间是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关系.函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.
3.
函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定条件下可以互相转化.例1
在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.练习1.已知下列变量，它们之间的关系是函数关系的有
①
，是相关关系的有
②③
.①已知二次函数y=ax2+bx+c，其中a、c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式△=b2－4ac;②光照时间和果树亩产量；③每亩施用肥料量和粮食产量.活动三：合作学习，探究新知学（18分钟）：散点图【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：
其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数.思考1：观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？思考2：以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？
思考3：上图叫做散点图，你能描述一下散点图的含义吗？在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图.思考4：观察散点图的大致趋势，人的年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关系？思考5：在上面的散点图中，这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.一般地，如果两个变量成正相关，那么这两个变量的变化趋势如何？思考6：如果两个变量成负相关，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域思考7：你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗 例2
以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关.
练习2.
今有一组试验数据如下表所示：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(
C
)A.
y=log2x
B.
y=2x
C.
y=(x2－1)/2
D.
y=2x－2问题提出1.
两个变量之间的相关关系的含义如何？成正相关和负相关的两个相关变量的散点图分别有什么特点？自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系.正相关的散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，负相关的散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域
2.
观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本数据的散点图，这两个相关变量成正相关.我们需要进一步考虑的问题是，当人的年龄增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增加呢？对此，我们从理论上作些研究.活动四：归纳整理，提高认识（2分钟）活动五：作业布置板书设计：
教学后记：2.3.1
变量之间的相关关系(新授课)
一、教学目标：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系。
二、教学重点与难点：
重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系。
难点：变量之间相关关系的理解。
三、教学过程：
（一）引入：
1.粮食产量与施肥量有关系吗？
2.
提问："名师出高徒"可以解释为教师的水平越高，学生的水平也越高。教师的水平与学生的水平有什么关系？
你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？（水滴石穿
三人行必有我师等）
（二）、讲授新课：
1.
问题的提出：课本87页思考：
学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系。（似乎就是数学好的，物理也好；数学差的，物理也差，但又不全对。）物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法。数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的。但决非唯一因素，还有其它因素，如是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等等。（总结：不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少。但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系。如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义。）
2．相关关系的概念
相关关系：两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系。
（分析：两个变量→自变量取值一定→因变量带有随机性→相关关系）
举例：课本87页例子
（三）课时小结：1.现实生活中相关关系的实例。2.相关关系的概念。
（四）巩固练习
1、课本P88
1，2。
2、分析：人的身高和年龄是一对相关关系。因为在某一个年龄上，人的身高在取值上带有一定的随机性，如受遗传.营养.体育锻炼.心理素质等因素的影响。
3、讨论：期中考试数学成绩与复习时间的投入量的关系。（还可能受身体状况.心情问题等影响）。
（五）布置作业
1.调查人的身高与他的右手长的关系。
2.收集你从小学到高中的数学成绩并分析比较，得出结论。
四、课后反思：变量间的相关关系
课下探究：收集更多的数据，借助excell表制作散点图，分析数学成绩和物理成绩的关系；
2.下面哪些变量是相关关系(
)
A.出租车费与行驶的里程
B.房屋面积与房屋价格
C.身高与体重
D.铁的大小与质量
3.对于给定的两个变量的统计数据,下列说法正确的是( ).
A.都可以分析出两个变量的关系
B.都可以用一条直线近似地表示两者的关系
C.都可以作出散点图
D.都可以用确定的表达式表示两者的关系
4．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
5.一家工厂为了对职工进行技能检查,对某位职工进行了10次实验,收集数据如下:
零件数x(个)
10
20
30
40
50
60
70
80
加工时间y(分钟)
12
25
33
48
55
61
64
70
画出上述数据对应的散点图。课题：2.3.1变量间的相互关系（三）
第
个教案
课型：
新授课
年
月
日
教学目标
知识与技能:能用数学符号刻画出“从整体上看，各点与此直线的点的偏差”的表达方式；
过程与方法:通过减少样本点个数，经历对表达式的展开，把“偏差最小”简化为“二次多项式”最小值问题，通过合情推理，使学生接受最小二乘法的科学性，在此过程中了解最小二乘法思想；
情感、态度与价值观:
在经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程后，在学生现有知识能力范围内，如何选择一个最优方法，成为知识发展的逻辑必然
教学重点
能结合具体案例，经历数据处理步骤，根据回归方程系数公式建立回归方程
教学难点
通过改变同一问题下样本点的选择进而对照回归方程的差异，体会随机思想
教学方法
通过大量的回归直线比较分析，体会回归思想和随机思想，因此需要多媒体电脑展示设备支持。
教学过程：
批
注
活动一：创设情景，揭示课题
（5分钟）问题1：（投影上节课探究结果）如何评价这些“直线”的优劣？理由呢？问题2：能否从几何直观角度用文字语言叙述你的理由？问题3：“从整体上看，各点与此直线的距离最小”中，距离等于偏差吗？作为判断优劣的标准，可以等同吗？活动二：步入新知，师生交流（20分钟）
回归直线
思考1：一组样本数据的平均数是样本数据的中心，那么散点图中样本点的中心如何确定？它一定是散点图中的点吗？
思考2：在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？这些点大致分布在一条直线附近.（如上右图）思考3：对一组具有线性相关关系的样本数据，你认为其回归直线是一条还是几条？思考4：在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线？借助计算机怎样画出回归直线？活动三：合作学习，探究新知学（18分钟）：回归方程
在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估计.
思考1：回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？
整体上最接近
思考2：对于求回归直线方程，你有哪些想法？思考3：对一组具有线性相关关系的样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，设其回归方程为可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？
思考4：为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适？
思考5：根据有关数学原理分析，当
时，总体偏差
为最小，这样就得到了回归方程，这种求回归方程的方法叫做最小二乘法.回归方程中，a，b的几何意义分别是什么？思考6：利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为
，由此我们可以根据一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分比的回归值.若某人37岁，则其体内脂肪含量的百分比约为多少？20.9%练习
3.F表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤
(参考数值：3×2．5+4×3+5×4+6×4．5=66.5)
解：（1）如图（2）由对照数据，计算得：
;
所求的回归方程为
(3)
,
吨,
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低(吨)活动四：归纳整理，提高认识（2分钟）求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：第一步，计算平均数
第二步，求和
第三步，计算第四步，写出回归方程
2.
回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近.对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性.
3.
对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.活动五：作业布置板书设计：
教学后记：2.3变量间的相互关系（一）、（二）
(
)问题提出
(
)1.
函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系.
(
)2.
在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？
(
)3.
这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系，有必要从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义.
(
)知识探究（一）：变量之间的相关关系
(
)思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系，想一想这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？
(
)（1）商品销售收入与广告支出经费；
(
)（2）粮食产量与施肥量；
(
)（3）人体内的脂肪含量与年龄.
(
)思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？
(
)你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？
(
)思考3：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系的含义如何？
(
)自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系.
(
)思考4：函数关系与相关关系之间的区别与联系.
(
)函数关系中的两个变量间是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关系.
(
)函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.
(
)3.
函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定条件下可以互相转化.
(
)例1
在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？
(
)①正方形边长与面积之间的关系；
(
)②作文水平与课外阅读量之间的关系；
(
)③人的身高与年龄之间的关系；
(
)④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.
(
)练习1.已知下列变量，它们之间的关系是函数关系的有
①
，是相关关系的有
②③
.
(
)①已知二次函数y=ax2+bx+c，其中a、c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式△=b2－4ac;
(
)②光照时间和果树亩产量；
(
)③每亩施用肥料量和粮食产量.
(
)知识探究（二）：散点图
(
)【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：
(
)
(
)
其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数.
(
)思考1：观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？
(
)思考2：以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？
(
)思考3：上图叫做散点图，你能描述一下散点图的含义吗？
(
)在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图.
(
)思考4：观察散点图的大致趋势，人的年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关系？
(
)思考5：在上面的散点图中，这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.一般地，如果两个变量成正相关，那么这两个变量的变化趋势如何？
(
)思考6：如果两个变量成负相关，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？
(
)一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域
(
)思考7：你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗
(
)例2
以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：
(
)
画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关.
(
)
练习2.
今有一组试验数据如下表所示：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(
C
)
A.
y=log2x
B.
y=2x
C.
y=(x2－1)/2
D.
y=2x－2
问题提出
1.
两个变量之间的相关关系的含义如何？成正相关和负相关的两个相关变量的散点图分别有什么特点？
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系.
正相关的散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，负相关的散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域
2.
观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本数据的散点图，这两个相关变量成正相关.我们需要进一步考虑的问题是，当人的年龄增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增加呢？对此，我们从理论上作些研究.
知识探究（三）：回归直线
思考1：一组样本数据的平均数是样本数据的中心，那么散点图中样本点的中心如何确定？它一定是散点图中的点吗？
思考2：在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？
这些点大致分布在一条直线附近.
思考3：对一组具有线性相关关系的样本数据，你认为其回归直线是一条还是几条？
思考4：在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线？借助计算机怎样画出回归直线？
知识探究（四）：回归方程
在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估计.
思考1：回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？
整体上最接近
思考2：对于求回归直线方程，你有哪些想法？
思考3：对一组具有线性相关关系的样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，设其回归方程为可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？
思考4：为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适？
思考5：根据有关数学原理分析，当
时，总体偏差
为最小，这样就得到了回归方程，这种求回归方程的方法叫做最小二乘法.回归方程中，a，b的几何意义分别是什么？
思考6：利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为
，由此我们可以根据一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分比的回归值.若某人37岁，则其体内脂肪含量的百分比约为多少？
20.9%
练习
3.F表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性
同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤
(参考数值：3×2．5+4×3+5×4+6×4．5=66.5)
解：（1）如图
（2）由对照数据，计算得：
;
所求的回归方程为
(3)
,
吨,
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低(吨)
课堂小结
求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：
第一步，计算平均数
第二步，求和
第三步，计算
第四步，写出回归方程
2.
回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近.对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性.
3.
对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.§2.3变量间的相关关系（1）
【学习目标】：了解变量间的相关关系，会做散点图。利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系。了解正相关，负相关。
【重点难点】会画散点图，利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系
【学法指导】:阅读课本，仔细学习导学案的每一句话。安静预习，热烈讨论。
【教学过程】：一，预习新知，
1，阅读课本84页和回答课后练习。
2，（1）将汽油以均匀的速度注入桶里，注入的时间t与注入的油量y的关系如下表：
时间t
1
2
3
4
油量y
2
4
6
8
从表里数据得出油量y与时间t之间的函数关系式为：
。
（2）小麦的产量y千克每亩与施肥量x千克每亩之间的关系如下表：
施肥量量x
20
30
40
50
产量y
440
460
470
480
从表里数据能得出小麦的产量y与施肥量x之间的函数关系式吗？
3，变量与变量之间的关系有两类：一类是确定性的
关系，变量之间的关系用
，表示；另一类是
关系，变量之间有一定的联系，但是不能完全用函数关系式来表达。
4，散点图，在考虑两个变量的关系时，通常将变量所对应的点在直角坐标系中描出，这些点就组成了变量之间的一个图，通常这种图叫做变量之间的
。
5，阅读课本85页到86页思考
6，散点图中点的位置也是要注意的，点散布在从
的区域，两个变量的这种关系成为正相关。点散布在
的区域，两个变量的这种关系成为负相关。
7，在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手。对于散点图有以下结论：（1）如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就该用该函数来描述变量之间的关系。即，变量之间有函数关系。
（2）如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就相关关系。
（3）如果
线性相关关系。这条直线叫做
。
二，讨论展示案，合作探究，讨论展示
例1.下列关系中，带有相关关系的是
(
)
正方形的边长与面积之间的关系；
②水稻产量与施肥量之间的关系；
③人的身高与年龄之间的关系；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系
例2、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系？（
）
A、角度和它的余弦值
B、正方形边长和面积
C、正n边形的边数和顶点角度之和
D、人的年龄和身高
例3
以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：
房屋面积（平方米）
61
70
115
110
80
135
105
销售价格（万元）
12.2
15.3
24.8
21.6
18.4
29.2
22
画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关.
例4，92页练习2（以海拔高度为横轴，以种类为纵轴）
