3.3.1
几何概型
古典概型的两个重要特征：一是一次实验可能出现的结果只有有限个，二是每种结果出现的可能性都相等.在古典概型中利用等可能性的概念，成功地计算了某一类问题的概率，但古典概型所有出现的基本事件只有有限个，人们希望能把这种做法推广到无限多个结果的情况，而又有某种等可能性的场合，得到一个随机事件的概率，这是我们本节将要研究的课题.
下面看一个例子：
2008年9月28日，是神舟七号回家的日子，它将在内蒙古四子王旗着陆.假设着陆场为方圆200平方公里的区域，而主着陆场为方圆120平方公里.飞船在着陆场的任何一个地方着陆的可能性均等，你能求出飞船在主着陆场着陆的概率吗？
一、【学习目标】
1、理解几何概型，并会解决几何概型相关的问题；
2、理解几何概型适用的条件.
【教学效果】：教学目标的给出有利于学生整体上把握课堂.
二、【自学内容和要求及自学过程】
阅读教材—136页内容，回答问题（几何概型）
<1>有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏.规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下，分别求甲获胜的概率是多少.
结论：很显然，以转盘（1）为工具时，甲获胜的概率为1/2；以转盘（2）为工具时，甲获胜的概率为1/3.事实上，甲获胜的概率与字母B所在的扇形区域的圆弧的长度有关，而与字母B所在的区域位置无关.只要字母B所在扇形区域的圆弧的长度不变，不管这些区域是相邻还是不相邻，甲获胜的概率是不变的.
<2>几何概型的定义是什么？
结论：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.
<3>对于几何概型，我们该怎样理解？
结论：从定义可知，几何概型具有以下两个特点：①每个基本事件发生都是等可能的；②所有基本事件为无限个.基本事件的“等可能性”判断是很容易
被大家忽略的，这里值得一提的是，是不能忽略的.古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.
<4>几何概型的概率计算公式是什么？
结论：P（A）=（构成事件A的区域长度、面积或体积）/（实验的全部结果所构成的区域长度、面积或体积）
【小知识帮您解决大问题】
几何概型中的“几何”并非仅仅是数学上的长度、面积或者体积.许多相关或类似问题的性质与长度、面积、体积相似，也可以归纳为几何概型问题.如时间问题，其性质与直线问题相似，所以与事件相关的概率问题也可以看做几何概型问题.
【教学效果】：理解几何概型.
三、【综合练习与思考探索】
练习一：教材例1；
练习二；教材140页练习.
四、【作业】
1、必做题：课本习题3.3A组1、2、3.
2、选做题：本节内容形成文字到笔记本上.
五、【小结】
几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.
六、【教学反思】
对于学生的学习，要求学生理解是关键.
七、【课后小练】
1、A、B两路等之间的距离是30米，由于光线比较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C、B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？（答案：几何概型：10/30=1/3）
2、某汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求每一位乘客到达车站后等车事件超过15分钟的概率.（答案：几何概型：5/15=1/3）
3、两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两段距离都大于2m的概率.（几何概型：2/6=1/3）
4、在边长为2的正方形内随机撒一大把豆子，计算落在正方形的内切圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并由此计算圆周率（P（A）=圆面积/正方形面积=π/4，若我们在正方形中撒了n颗豆子，其中有m颗豆子落在园中，则圆周率的值π近似等于4m/n.）
5、在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮存着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到有层面的概率是多少？（答案：40/10000=0.004）
6、在1000毫升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的概率是多少？（答案：10/1000=0.01）
7、已知地铁列车没10分钟一班，在站停1分钟，求乘客到达站台立即乘上车的概率（1/11）
8、判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，还是几何概型.
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）如课本P135图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率.
本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关.
抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型．
9、在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm2 与81cm2之间的概率．
正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M，求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率．
（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数a1=RAND．（2）经过伸缩变换，a=a1
12得到[0，12]内的均匀随机数．（3）统计试验总次数N和[6，9]内随机数个数N1 （4）计算频率N1/N．
记事件A={面积介于36cm2 与81cm2之间}={长度介于6cm与9cm之间}，则P（A）的近似值为fn(A)=
N1/N．
10、平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r
把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是[o,a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）=(a-r)/a.3.3几何概型（一）
(
)知识探究（一）：几何概型的概念
(
)思考1：
(
)
某班公交车到终点站的时间可能是11:30～12:00之间的任何一个时刻；
往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上.
(
)
这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？
(
)思考2：下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.你认为甲获胜的概率分别是多少？
(
)
思考3：上述每个扇形区域对应的圆弧的长度（或扇形的面积）和它所在位置都是可以变化的，从结论来看，甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的哪个因素有关？哪个因素无关？
(
)与扇形的弧长（或面积）有关，与扇形区域所在的位置无关.
(
)思考4：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型.
参照古典概型的特性，几何概型有哪两个基本特征？
(
)（1）可能出现的结果有无限多个；
(
)（2）每个结果发生的可能性相等.
(
)知识探究（二）：几何概型的概率
(
)对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事件，一般都有几何概型的特性，我们希望建立一个求几何概型的概率公式.
(
)思考1：有一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多少？你是怎样计算的？
(
)思考3：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是122cm，黄心直径是12.2cm，运动员在距离靶面70m外射箭.假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么如何计算射中黄心的概率？
(
)
思考4：在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是多少？
(
)思考5：一般地，在几何概型中事件A发生的概率有何计算公式？
(
)P(A)=
(
)理论迁移
(
)例1
某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.(假设电台整点报时)
(
)
思考6：向边长为1的正方形内随机抛掷一粒芝麻，那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落在正方形中心的概率分别是多少？由此能说明什么问题？
概率为0的事件可能会发生，概率为1的事件不一定会发生.
例2
在下图的正方形中随机撒一把豆子，如何用随机模拟的方法估计圆周率的值.假设正方形边长为2，正方形内豆子数为n,圆内豆子数为m.
例3 利用随机模拟方法计算由y=1和y=x2
所围成的图形的面积.
以直线x=1，x=-1，y=0，y=1为边界作矩形，用随机模拟方法计算落在抛物区域内的均匀随机点的频率，则所求区域的面积=频率×2.
例4.在一边长为2的正六边形的纸片上，有一个半径为R的半圆孔，随机向该纸片投掷一粒芝麻，若芝麻恰好从半圆孔穿过的概率为，则R=_________.
小结
1.在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.
2.
利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.
3.
用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.
4.
利用计算机和线性变换Y=X
(b-a)＋a，可以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数，其操作方法要通过上机实习才能掌握.
5
如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型.
6
几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、面积或体积.
P(A)=
作业：3.3.1
几何概型
课
题：3.3.1
几何概型
教学目标：
1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：
P（A）=,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.
2.本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.
教学重点：
理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.
教学难点：
等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.
教学方法：
讲授法
课时安排：
1课时
教学过程：
一、导入新课：
1、复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢
2、在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.
二、新课讲授：
提出问题
(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？
(2)试验1.取一根长度为3
m的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1
m的概率有多大？
试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122
cm,靶心直径为12.2
cm.运动员在70
m外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？
(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点 两事件的本质区别是什么
(4)什么是几何概型 它有什么特点
(5)如何计算几何概型的概率 有什么样的公式
(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系
活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.
讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种结果出现的概率相等,P（正,正）=P（正,反）=P（反,正）=P（反,反）=1/4.两次出现相同面的概率为.
(2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3
m的绳子上的任意一点.
第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122
cm的大圆内的任意一点.
在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.
考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1
m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的,
于是事件A发生的概率P(A)=.
第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为×π×1222
cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为×π×12.22
cm2的黄心内时,事件B发生,于是事件B发生的概率P(B)==0.01.
(3)硬币落地后会出现四种结果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3
m的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的;即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.
(4)几何概型.
对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric
models
of
probability）,简称几何概型.
几何概型的基本特点：
a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
b.每个基本事件出现的可能性相等.
(5)几何概型的概率公式：
P（A）=.
(6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.
三、例题讲解：
例1
判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型,还是几何概型.
（1）抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;
（2）如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率.
活动：学生紧紧抓住古典概型和几何概型的区别和联系,然后判断.
解：（1）抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;
（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.
点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关.
例2
某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率.
分析：见教材136页
解：（略）
变式训练
1、某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）.
解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为Ω=(a,a+5),记Ag={等车时间少于3分钟},则他到站的时刻只能为g=(a+2,a+5)中的任一时刻,故P(Ag)=.
点评：通过实例初步体会几何概型的意义.
2、
在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？
分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率.
解：记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=0.004.
答：钻到油层面的概率是0.004.
四、课堂小结：
几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.
五、课后作业：
课本习题3.3A组1、2、3.
板书设计
课后反思：
备课资料
几何概型是高中数学新增加的内容,其特点鲜明,题目类型较为固定.高中数学学习阶段所出现的几何概型问题总结如下.
1.与长度有关的几何概型
例1
有一段长为10米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于3米,则符合要求的截法的概率是多大？
分析：由于要求每一段都不小于3米,也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截,这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题.
解：记两段木棍都不小于3米为事件A,则P(A)=.
2.与面积有关的几何概型
这里有一道十分有趣的题目：
例2
郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷,可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几边长的,谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大？
分析：这是一道几何概型问题,在几何概型中,样本空间是问题所涉及的整个几何图形,在本题中,样本空间就是小方几的桌面面积.一个事件就是整个几何图形的一部分,这个事件发生的概率就是这部分面积与整个图形的面积比.
解：不妨设小方几的边长为1,铜板落到小方几上,也就是铜板的中心落到方几上,而要求整个铜板落到小方几上,也就是要求铜板的中心落到方几中内的一个×的小正方形内（如上图）,这时铜板中心到方几边缘的距离≥铜板边长的.整个方几的面积为1×1=1,而中央小正方形的面积为×=,所以郭靖进入下一轮比赛的概率为.
例3
甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面,可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？
解：设甲到的时间为（9+x）小时,乙到的时间为（9+y）小时,则0≤x≤1,0≤y≤1.
点（x,y）形成直角坐标系中的一个边长为1的正方形,以（0,0）,（1,0）,（0,1）,（1,1）为顶点（如右图）.由于两人都只能停留5分钟即小时,所以在|x-y|≤时,两人才能会面.
由于|x-y|≤是两条平行直线x-y=与y-x=之间的带状区域,正方形在这两个带状区域是两个三角形,其面积之和为(1-)×(1-)=()2.
从而带形区域在这个正方形内的面积为1-()2=,因此所求的概率为.
3.与体积有关的几何概型
例4
在5升水中有一个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？
分析：病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的,取得的1升水可以看作构成事件的区域,5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域,因此可能用体积比公式计算其概率.
解：“取出1升水,其中含有病毒”这一事件记作事件A,则P(A)==0.2.
从而所求的概率为0.2.
现在我们将这个问题拓展一下：
例5
在5升水中有两个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？
分析：此题目与上一题有一点区别,即现在在5升水中含有两个病毒,我们不妨将这两个病毒分别记作病毒甲和病毒乙.随机地取1升水,由上题我们可知含有病毒甲的概率为,含有病毒乙的概率也是,而这两种情况都包括了“既有病毒甲又有病毒乙”的情况,所以应当将这种情况去掉.
解：记“取1升水,含有病毒甲”为事件A；“取1升水,含有病毒乙”为事件B,则“既含有病毒甲又含有病毒乙”为事件AB.
从而所求的概率为P=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)==0.36.
4.与角度有关的几何概型
例6
在圆心角为90°的扇形中,以圆心为起点作射线OC,求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率.
解：设事件A是“作射线OC,求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”.则μa=90°-30°-30°=30°,而μΩ=90°,由几何概型的计算公式得P（A）=.
注意：在高中数学阶段,我们对于与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握.这里只是列出了几道与几何概型有关的题目,可以说,在高中数学学习阶段,这四种几何概率模型基本上包括了我们所要学习的几何概型,希望能对大家有一点帮助.
（设计者：路致芳）
2、几何概型的基本特点
1、几何概型的概念
3.3.1
几何概型《几何概型》教学设计
一、教学内容解析
1.内容：几何概型
2.内容解析：
本节课是人教A版教材数学必修3第三章第三节的内容。“几何概型”这一章节内容是在安排“古典概型”之后的第二类概率模型，是对古典概型的内容进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。此节内容也是新课本中增加的，这是与以往教材安排上的最大的不同之处。这充分体现了数学与实际生活的紧密关系，来源生活，而又高于生活。同时也暗示了它在概率论中的重要作用，在高考中的题型的转变。本章主要学概率问题的基本概念、基本原理、基本方法，因此在教学中要求应适当，难度要控制，同时要接近生活，基本应以贴近生活的例题与习题为主。
二、教学目标设置
知识与技能目标：
（1）通过本部分内容的学习，理解几何概型的意义、特点；掌握几何概型的概率公式：
，会用公式计算几何概型。
（2）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；
（3）通过解决具体问题的实例感受理解几何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判断方法，逐步学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的能力。感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法。
过程与方法目标：
（1）发现法教学，通过师生共同对“问题链”的探究，运用观察、类比、思考、探究、概括、归纳的方法和动手尝试相结合体会数学知识的形成的过程，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力。
（2）通过试验，感知应用数学解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
情感态度与价值观目标：
本节课的主要特点是贴近生活，体会概率在生活中的重要作用，同时随机试验多，学习时养成勤学严谨的思维习惯。
三、学生学情分析
通过前面的学习，学生在已经掌握一般性的随机事件即概率的统计定义的基础上，又学习了古典概型。在古典概型向几何概型的过渡时，以及实际背景如何转化为“测度”时，会有一些困难。但只要引导得当，理解几何概型，完成教学目标，是切实可行的。基于本节课内容的特点和学生的心理及思维发展的特征，在教学中选择问题引导、事例讨论和归纳总结相结合的教学方法．与学生建立平等融洽的互动关系，营造合作交流的学习氛围。在引导学生进行观察、分析、抽象概括、练习巩固各个环节中运用多媒体进行演示，增强直观性，提高教学效率，激发学生的学习兴趣。
四、教学策略分析
教学重点：
（1）初步体会几何概型的意义，几何概型的概念和公式的应用，注意理解几何概型与古典概型的区别与联系。
（2）在几何概型中把试验的基本事件组和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应并计算相关的概率。
教学难点
（1）在几何概型中把试验的基本事件组和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，并且从中理解如何利用几何概型的知识把实际问题转化为各种几何概率问题，进而熟练应用几何概型的概率公式计算相关事件发生的概率。
（2）含有两个随机现象的问题的解决方法。
教学方法和教学手段的选择
“授之以鱼，不如授之以渔”，注重发挥学生的主体性，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。结合本节课的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、分析问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳几何概型的概念及其概率公式，再通过具体实际问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。
教学过程的设计
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：
（1）在探索概念阶段,
让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对几何概型认识,使得学生对概念的认识不断深入。
（2）在应用概念阶段,
通过对事实过程的分析，帮助学生掌握用几何概型的概率公式计算概率。
（3）考虑到我校的学生数学基础良好，思维活跃，具备一定的分析问题和自主探究能力。因此在教学设计中强调学生主体地位，教师的主导作用，强调数学思想方法的渗透与运用。使学生在教师创设的问题情境中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神，希望加深学生对知识本质的理解。
五、教学过程（整个教学过程是“以问题为载体，以学生活动为主线”进行的）
师生活动
设计意图
（一）知识链接，复习提问老师：前面，我们共同研究了古典概型，请大家回忆：古典概型有哪些特点？学生：1.基本事件的个数为有限个；
2.每一个基本事件发生的可能性都相等。老师：古典概型的概率计算公式是什么形式？学生：。老师：可见，求古典概型中事件A的概率，实际上就是要数清A所含的基本事件的个数与全部基本事件的个数，它们的比值就是这个事件的概率。接下来，我们共同研究几个问题，看看它们还是不是古典概型。
温故而知新，通过复习旧知加强学生对以往知识的掌握，为后面总结古典概型与几何概型之间的区别与联系做好铺垫。
（二）创设情境，引入课题问题一
在数轴上，从区间[0,1]随机取一个数，记“这个数大于0.5”为事件A，求事件A的概率。（利用幻灯片展示）老师：这个问题中的基本事件是什么？学生：应该是“区间[0,1]上的任意一个数”。老师：既然这样，它的个数是怎样的？是不是等可能的？学生：个数是无限个，是等可能的。老师：那还是不是“古典概型”呢？学生：不是。老师：如何求解？学生：我觉得可以把全部的基本事件构造成数轴上从0到1的这条线段，把事件A的基本事件构造成这条线段上从0.5到1之间的线段，那么事件A的概率就可以用这两条线段的长度之比来计算。结果应该是老师：非常好，请坐。他的想法对于我们解决此类问题非常重要。虽然，基本事件的个数为无限个，无法一一数清。但是，我们可以把事件A的基本事件和全部的基本事件分别构造成两个可以度量的几何图形。然后用它们的几何度量之比来求概率。问题二
甲、乙两人玩转盘游戏.旋转转盘，当转盘停止时，指针可以指向转盘上的任意位置。规定当转盘停止时指针指向红色区域，甲胜；否则乙胜。求甲胜的概率。（转盘被六等分）（利用幻灯片展示）老师：这个问题中的基本事件是什么？学生：转盘停止时，指针的位置。老师：个数怎样？是不是等可能的？学生：无限个，等可能。老师：如何求解？学生：把全部基本事件构造成一个圆，把“甲胜”这个事件的基本事件构造成两个红色的扇形，然后用它们的面积之比来求概率。结果应该是。老师：回答正确，请坐。还是刚才的思想，不同的是，在这里我们构造成了扇形与圆。利用它们的面积之比来求概率。
如果把转盘换成这样的，那概率是多少呢？（利用幻灯片展示）学生：还是。老师：如果是这样的呢？（利用幻灯片展示）学生：老师：以上现象说明什么？学生：“甲胜”的概率与红色区域的位置无关；只与红色区域的面积所占的比例有关。老师：很好。看问题三问题三
一只海豚在一个长40m，宽30m，深20m的水池中自由游弋，求它距离池底与池壁均不小于5m的概率。（利用幻灯片展示）老师：这个问题中的基本事件是什么？学生：海豚在水池中的位置。老师：个数怎样？是不是等可能的？学生：无限个，等可能。老师：如何求解？学生：把海豚的任意位置抽象为一个点，这样全部基本事件可构造成一个长为40m，宽为30m，高为20m的长方体。而把事件A的基本事件构造成一个长为30m，宽为20m，高为15m的长方体。用它们的体积之比来求概率。即老师：仍是这样思想。只不过这里构造成了立体图形。用体积之比来求概率了。
下面，我们回过头来总结一下以上三个问题的共同点。学生：（1）基本事件的个数都是无限个；
（2）每个基本事件发生的可能性都相等；
（3）都是利用几何图形来求概率。老师：大家说得都很好。下面我来整合一下大家的发言。
以上三个问题的共同点主要有以下三点：（写板书）
（1）无限性：基本事件的个数都是无限个；
（2）等可能：每个基本事件发生的可能性都相等；
（3）成比例：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例。
具备以上特点的概率模型就是我们今天要研究的主要内容。因为这种概率模型都需要借助几何图形来求解，所以我们称之为“几何概型”。
1.以实际问题引发学生的学习兴趣和求知欲望；2．以此为铺垫，通过具体问题情境引入课题；3.反复强化解决概率问题的一般方法和步骤，增强解题能力；4.丰富感性认知，呈现长度、面积、体积度量；5．简单直观，符合学生的思维习惯和认知规律.
（三）探求新知，形成概念老师：（板书标题）下面我们来明确一下几何概型的概念：
（书写板书）一、几何概型的概念：（1）无限性：基本事件的个数都是无限个；
（2）等可能：每个基本事件发生的可能性都相等；
（3）成比例：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例。
二、概率计算公式：公式中的长度、面积或体积如何选择，取决于问题中的基本事件所构成的几何图形。到这里，我们已经掌握了两种概率模型——古典概型和几何概型。二者之间有怎样的区别与联系呢？学生：它们的共同之处在于：①等可能；②公式都是比的形式；
它们的不同点在于：古典概型中基本事件的个数是有限个；而几何概型中基本事件的个数是无限个。（利用幻灯片展示）老师：很好。再熟悉了古典概型和几何概型之后，我们来判断以下的概率问题的基本事件是什么，属于哪种概率模型？（利用幻灯片展示）判断下列概率问题的基本事件是什么，属于哪种概率模型 1．某人在一串10把不同的钥匙中随意取一把，求一次就将门锁打开的概率。2．取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，求得到的两段长度都不小于10cm的概率。3．在边长为2的正方形中随机撒一粒豆子，求这粒豆子落在正方形的内切圆内的概率。学生：第一题中，基本事件是一串10把钥匙的任意一把．因为基本事件的个数是有限个，且等可能。所以属于古典概型。
第二题中，基本事件是任意一个剪断绳子的位置。因为基本事件的个数是无限个，且等可能。所以属于几何概型。
第三题中，基本事件是豆子落在正方形中的任意一个位置。因为基本事件的个数是无限个，且等可能。所以属于几何概型。老师：很好，请坐。今后当我们遇到概率问题时，首先要像这样去判断这属于哪种概率模型，然后再用相应的概率公式去求解。看一道例题：（利用幻灯片展示）
1.通过学生探究发现，教师归纳总结形成概念，符合以学生为主体，教师为主导的课堂模式；2.明确古典概型与几何概型的区别与联系，梳理知识体系；
3.
解决概率问题的关键是分析随机试验的基本事件。引导学生自主探究分析问题中的基本事件，形成能力，加强学生处理概率问题的能力。
（四）应用举例，巩固概念例1
某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。下面我们采用“分组讨论”的方式来解决这个问题。开始！学生：（按照事先分好的小组展开讨论，并将讨论结果在展台上展示）
变式1
已知某公交车每隔5分钟有一辆到站，某人到达该站的时间是任意的，求他候车时间不超过3分钟的概率。
（利用幻灯片展示，由学生自行解决。最后老师指出问题的实质，与例1模型完全相同）
变式2
假设你家订了一份报纸，送报人每天早上7:30准时把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7:00-8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？
（利用幻灯片展示，由学生自行解决。老师进行讲评）
例2
假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30-7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7:00-8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？（利用幻灯片展示）老师：请大家分析，这个问题中的基本事件是什么？个数怎样？是不是等可能的？学生：基本事件应该是送报人送报时间与父亲离家去工作时间的一种组合情况。个数为无限个且是等可能的。老师：很好，分析得很透彻。与前面的问题不同的是这里出现了两个随机事件。基本事件是由这两个随机事件的结果共同决定的。遇到这种问题时，我们可以将这两个随机事件的结果分别设为两个变量。即：（板书）设送报人送报的时间为x，父亲离开家的时间为y。这样（x，y）就可以看成平面中的点。那么基本事件就可以构造成坐标系中的平面区域。试验的全部结果所构成的区域为（板书）这是一个正方形区域（利用幻灯片展示），它的面积。事件A所构成的区域（板书）也就是图中的红色区域（利用幻灯片展示），它的面积。所以。今后，大家如果遇到基本事件是由两个随机事件的结果共同决定的情况，就可以像这样把问题转化到坐标平面中去解决。看一个变式。
变式3
甲、乙两人约定在某咖啡厅见面,假定他们都在中午11:00-12:00之间随机到达，并说好先到者等后到者15分钟，求他们能够见面的概率。（利用幻灯片展示）
由学生自主解决，将答案展示在实物展台上。
1.将实际问题转化为几何概型来求解，充分体现概率知识的现实意义；2.例1采用分组讨论的探究形式，培养学生的团队合作意识；3.在例1的讲解过程中，引导学生将预设的四种解法一一说出，拓展学生的解题思路，体现了数学的灵活性；4.通过教师的精炼点评，引导学生发现变式1中问题的实质；5.变式2的作用在于分散难点、建立例1与例2之间的联系，用循序渐进的方式，引领学生突破难点；6.通过例2的讲解，使学生学会处理含两个随机事件的概率问题的方法；7.通过变式3巩固例2的学习成果，产生学生学习上的成就感。
（五）归纳总结，知识梳理老师：下面我想请同学们谈一下，通过本堂课的学习你有哪些收获？（学生自由发言，老师归纳总结）老师：下面我来归纳一下大家的发言。（利用幻灯片展示）当我们遇到一个概率问题时，首先应该分析基本事件是什么？个数怎样？是否是等可能的？如果是有限个且等可能，那就属于古典概型。接下来利用古典概型的概率公式求解；如果是无限个且等可能，那就属于几何概型。接下来，我们要把基本事件构造成适当的几何图形，再利用几何度量之比来求概率。
通过总结梳理本节课，乃至本章内容的知识脉络，培养程式化的解题习惯，形成科学严谨地思考方式。
（六）思考外延，自主探究老师：最后给大家布置一个思考题。（利用幻灯片展示）我们知道任何随机事件的概率都可以通过大量重复试验，用事件发生的频率估计概率。你能用随机模拟的方法，近似计算本节课例2中的概率吗？（包括手工的方法或计算器、计算机的方法）
下节课，大家来交流研究成果。
1.回顾概率概念中体现出来的用频率估计概率的方法；2.激发学生自主探究的兴趣；3.培养学生的实际动手能力；4.为下节课的教学埋下伏笔。
（七）作业布置，巩固收获
教材142页，A组第3题；B组第1题。
通过布置作业既巩固本节课的学习内容，又让学生有思考和提升的空间。几何概型
【教材分析】
几何概型是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸.几何概型的基本特点是：在每次随机试验中，不同的试验结果有无限多个，即基本事件有无限个；在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件是等可能的.几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限个.
【学情分析】
学生通过古典概型的学习初步形成了解决概率问题的思维模式，但还不是很成熟.学生在学习本节课时特别容易和古典概型相混淆，究其原因是思维不严谨，对几何概型的概念理解不清.另外，在解决几何概型的问题时，几何度量的选择也需要特别重视，在实际授课时，应当引导学生发现规律，找出适当的方法来解决问题.
【教学目标】
知识与技能：初步体会几何概型的意义，会用公式求解简单的几何概型的概率．
过程与方法：通过试验， 与已学过计算概率的方法进行比较，提出新问题，师生共同探究，提出可行性解决问题的建议或想法.
情感态度与价值观：感知生活中的数学，培养学生用随机的观点来理解世界，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价身边的随机现象，学会用科学的方法去观察世界和认识世界.
【重点难点】
教学重点:
几何概型的基本特征及如何求几何概型的概率.
教学难点:
如何判断一个试验是否是几何概型，如何将实际背景转化为几何度量.
【教法学法】问题解决的教学模式，分层实现教学目标.
【教学基本流程】
温故知新
↓
创设情境
↓
新知探究
↓
形成概念
↓
典例分析
↓
巩固深化
↓
课堂梳理
↓
布置作业
【教学情景设计】
教学程序及设计
设计意图
温故知新
提问1:古典概型的两个基本特点 提问2:古典概型的概率个公式
复习巩固古典概型，为下一步引入几何概型做铺垫.
创设情境
问题情境：
下图是卧室和书房地板的示意图,图中每一块方砖除颜色外完全相同.一只小猫分别在卧室和书房自由地走动，随意地停留在地板上.请问,在哪个房间小猫停留在黑砖上的概率大 为什么
卧室
书房
设置学生思维的最近发展区，创设适宜于学生探究、生成新知识的问题情境.
新知探究
引导学生思考探究探究1:上述问题的概率与什么相关？(学生很容易联想到几何图形的面积.)探究2:这是古典概型吗？(教师引导学生通过古典概型的两个特征进行判断,让学生初步体会古典概型和几何概型区别和联系)探究3:怎样确定几何概型的概率
图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少 学生分析：1、指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的位置却是无限个的，因而无法利用古典概型；2、利用B区域的所对弧长、所占的角度或所占的面积与整个圆的弧长、角度或面积成比例研究概率；学生求解：法一（利用B区域所占的弧长）
法二（利用B区域所占的圆心角）
法三（利用B区域所占的面积）
引导学生初步认识几何概型的等可能性和无限性.
引导学生发现试验的结果是无限的，似乎不能解决此问题，从而激励学生寻求解决问题的方法.
让学生体会解决问题的实质就是将原来具有无限性的基本事件集合进行了度量，
形成概念
几何概型的概念：
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.几何概型的特征：
⑴试验中所有可能出现的基本事件有无限多个——基本事件具有无限性.⑵
每个基本事件出现的可能性相等——基本事件发生具有等可能性.在几何概型中，事件A的概率计算公式：
明确概念的内涵和外延，抓住概念的本质属性，这是探究活动的重要环节，有助于培养学生的语言表达能力、归纳概括能力与辩证思维能力.
典例分析
典例1：某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
采取以学生自主学习的方式,学生独立完成.让学生板演，教师巡视学生的做题情况.教师对巡视时发现的问题通过实物投影仪进行点评.
典例2:在棱长为2的正方体
ABCD—A1B1C1D1的棱AB上任取一点P,求P到点的距离小于等于1的概率.
变式1:在棱长为2的正方体
ABCD—A1B1C1D1的面ABCD上任取一点P,求P到点的距离小于等于1的概率.
变式2:在棱长为2的正方体
ABCD—A1B1C1D1内任取一点P,求P到点的距离小于等于1的概率.
典例3:已知点A为圆周上一定点,在圆周上等可能的任取一点与A连结,求弦长超过半径的概率.
围绕概念选择典型例题,设置问题.学生完成后，教师组织学生进行点评，引导学生总结解题的方法步骤，以及应注意的问题，达到更好的掌握知识和数学思想方法的目的.
通过设计一系列变式练习,让学生进一步体会如何在几何概型中选择恰当的几何度量来确定概率.引导学生从多角度思考问题，意识到解决问题方法的不唯一性.可以用弧长、角度、面积等不同的几何度量去求解,加深学生对几何概型的理解,拓展学生思维.
巩固深化
练习1：在区间[-1，2]上任取一个整数，恰好取在区间[0，1]上的概率为
.练习2：在区间[-1，2]上任取一个实数，恰好取在区间[0，1]上的概率为
.
练习3：如下图,假设你在每个图形上随机地撒一粒黄豆,分别计算它落在阴影部分的概率.
练习4：一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.
通过比较让学生进一步体会古典概型和几何概型的区别和联系.
课堂练习让学生尝试自主解决,以达到巩固概念，强化应用的目的.
课堂梳理
让学生自己总结：①我们这节课你学到了什么？②通过这节课你掌握了哪些方法？应该注意些什么问题？③有哪些思想是在以后的学习中可以借鉴
课堂梳理，可以把课堂探究生成的知识尽快转化为学生的素质，巩固深化这节课的内容.
思考拓展
思考拓展:
甲乙两人相约上午8:00到9:00在某地会面,先到者等候另一个人20分钟,过时即可离去,求甲乙两人能会面的概率.
思维拓展题满足不同学生发展的需要.
布置作业
习题3.3A组:1,2,3.<<红对勾>>第31课时.<<数学导学案>>几何概型第二课时.
适度的作业可以帮助学生巩固所学的知识,并为下一阶段学习做好准备.
【教学反思】
本节课的定位是几何概型的建构及其应用，我采用了“问题解决”的教学模式，分层实现教学目标。
在对比分析过程中，激发学生的学习兴趣，使其初步感受从有限到无限，从古典概型到几何概型的过渡，同时也在学生的思维中呈现了“面积”这一几何测度，引出课题—几何概型。在此教学环节中，我将旧知识的检查有机融合在学生对新知识的探求过程中，力求新知导入的自然、快捷、高效。
实例能让学生在感受数学源自生活的同时，体会已有知识不足以解决新问题的“窘迫”，从而产生内源性的驱动力，极力参与到概念的构建、形成、巩固和应用等环节中，提高主体参与的深度与广度
.
为了让学生更好地把握几何概型的本质，教学时着重强调“每个事件的发生可以看成在某个特定区域上取上一个点”和“等可能性”，突出问题的几何特性和随机性，这样不但可以“几何概型”中的“几何”一词来头，而且在遇到相关的几何概型实际问题时有“抓手”，能自觉将问题转化成找“点”、
找“点所形成的区域”，从而自觉把实际问题抽象成几何问题．这主要体现在例题和练习反馈教学中.
为了让学生更好地掌握新知，本课设计从学生已有的认知水平出发，遵照知识的发生发展过程，对教材做了必要的加工，分散难点，突出重点，使学生能参与、可交流，使课堂民主、和谐、高效.