3.2.1古典概型（一）
课题
3.2.1古典概型（一）
三维教学目标
知识与能力
1、正确理解古典概型的特点；2、掌握古典概型的概率计算公式：
（AB层）能灵活运用古典概型的概率计算公式。
过程与方法
通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；
情感、态度、价值观
通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.
教学内容分析
教学重点
正确理解掌握古典概型及其概率公式
教学难点
正确理解掌握古典概型及其概率公式
教
学
流
程
与
教
学
内
容
一、创设情境：（一）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件。（二）一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1，2，3，…，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1，2，3…，10。师生共同探讨：根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？二、新课（一）基本概念：阅读课本P125~126，思考：1、什么叫做基本事件？上述事件有何共同特点？2、什么是古典概率模型（简称_________） 3、在古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率如何计算？小结：古典概型的概率计算公式：P（A）=．（二）例题分析：例1、从字母a,b,c,d任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？例2、单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握也考查的内容，他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？探究：在标准化考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选择所有正确答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案。多选题更难猜对，为什么？例3、同时掷两个骰子，计算：一共有多少种不同的结果？其中向上的点数之和是5的结果有多少种？向上的点数之是5的概率是多少？思考：为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？例4假设储蓄卡密码由4个数字组成，每个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字的任意一个。假设一个人完全忘记也自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？思考：人们为方便记忆，通常用自己的生日作为储蓄卡密码。但当钱包里既有身份证又有储蓄卡时，是很不安全的，为什么？例5某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员人中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大？探究：随着检测听数的增加，查出不合格产品的概率怎样变化？为什么质检人员一般都采用抽查而不采用逐个检查的方法？三、巩固练习：P130
练习1，2，3（AB层）抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为5的概率。四、课堂小结：本节主要研究了古典概型的概率求法，解题时要注意两点：1、古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。2、古典概型的解题步骤；（1）求出总的基本事件数；（2）求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
课后学习
P133习题3.2
A组1，2，3（AB层）抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率。
教学反思
要向学生透彻地讲清楚为何要作标记，如何不标记会产生什么情况。3.2.1
古典概型教学设计
(一)教学内容
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版必修3第三章第二节《古典概型》，教学安排是2课时，本节课是第一课时。
(二)教学目标
1.
知识与技能：
(1)
通过试验理解基本事件的概念和特点；
(2)
通过具体实例分析，抽离出古典概型的两个基本特征，并推导出古典概型下的概率计算公式；
(3)
会求一些简单的古典概率问题。
2.
过程与方法：经历探究古典概型的过程，体验由特殊到一般的数学思想方法。
3.
情感与价值：用具有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。
(三)教学重、难点
重点：理解古典概型的概念，利用古典概型求解随机事件的概率。
难点：如何判断一个试验是否为古典概型，弄清在一个古典概型中基本事件的总数和某随机事件包含的基本事件的个数。
(四)学情分析
[知识储备]
初中：了解频率与概率的关系，会计算一些简单等可能事件发生的概率；
高中：进一步学习概率的意义，概率的基本性质。
[学生特点]
我所带班级的学生思维活跃，但对基本概念重视不足，对知识深入理解不够。善于发现具体事件中的共同点及区别，但从感性认识上升到理性认识有待提高。
(五)教学策略
由身边实例出发，让学生在不断的矛盾冲突中，通过“老师引导”，“小组讨论”，“自主探究”等多种方式逐渐形成发现问题，解决问题的思想。
(六)
教学用具
多媒体课件，投影仪，硬币，骰子。
(七)教学过程
[温故知新]
(1)回顾前几节课对概率求取的方法：大量重复试验。
(2)由随机试验方法的不足之处引发矛盾冲突：我们需要寻求另外一种更为简单易行的方式，提出建立概率模型的必要性。
[探究新知]
一、基本事件
思考：试验1:掷一枚质地均匀的硬币,观察可能出现哪几种结果？
试验2:掷一枚质地均匀的骰子,观察可能出现的点数有哪几种结果？
定义：一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
☆处理：围绕对两个试验的分析，提出基本事件的概念。类比生物学中对细胞的研究，过渡到研究基本事件对建立概率模型的必要性。
思考：掷一枚质地均匀的骰子
(1)在一次试验中，会同时出现“1点”和“2点”这两个基本事件吗？
(2)随机事件“出现点数小于3”与“出现点数大于3”包含哪几个基本事件？
掷一枚质地均匀的硬币
(1)在一次试验中，会同时出现“正面向上”和“反面向上”这两个基本事件吗？
(2)“必然事件”包含哪几个基本事件？
基本事件的特点：(1)任何两个基本事件是互斥的;
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。
☆处理：引导学生从个性中寻找共性，提升学生发现、归纳、总结的能力。设计随机事件“出现点数小于3”与“出现点数大于3”与课堂引入相呼应，也为后面随机事件概率的求取打下伏笔。
二、古典概型
思考:从基本事件角度来看,上述两个试验有何共同特征？
古典概型的特征：(1)试验中所有可能出现的基本事件的个数有限；
(2)每个基本事件出现的可能性相等。
☆处理：引导学生观察、分析、总结这两个试验的共同点，培养他们从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维能力。在提问时明确思考的角度，让学生的思维直指概念的本质，避免不必要的发散。
师生互动：由学生和老师各自举出一些生活实例并分析是否具备古典概型的两个特征。
(1)向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这一试验能用古典概型来描述吗？为什么？
(2)08年北京奥运会上我国选手张娟娟以出色的成绩为我国赢得了射箭项目的第一枚奥运金牌。你认为打靶这一试验能用古典概型来描述吗？为什么？
设计意图：让学生通过身边实例更加形象、准确的把握古典概型的两个特点，突破如何判断一个试验是否是古典概型这一教学难点。
三、求解古典概型
思考:古典概型下,每个基本事件出现的概率是多少 随机事件出现的概率又如何计算？
(1)
基本事件的概率
试验1:掷硬币
P
(“正面向上”）=
P
(“反面向上”）=
试验2:掷骰子
P（“1点”）=P（“2点”）=P（“3点”）=P（“4点”）=P（“5点”）=P（“6点”）=
结论:古典概型中,若基本事件总数有n个,则每一个基本事件出现的概率为
☆处理：提出“如果不做试验，如何利用古典概型的特征求取概率？”
先由学生分小组讨论掷硬币试验中基本事件的概率如何求取并规范学生解答，同时点出甲同学提出的“掷硬币方案”的公平性；再由学生分析掷骰子试验中基本事件概率的求解过程并得出一般性结论。
(2)随机事件的概率
掷骰子试验中，记事件A为“出现点数小于3”
，事件B为“出现点数大于3”，如何求解P(A)与P(B)？
☆处理：借助前面的事例，减少课堂的阅读量和重复思维量，可以提高课堂效率。学生分小组讨论，老师加以引导。得出P(A)与P(B)后，点出本节课开始乙同学提出的“掷骰子方案”的不公平性，并引导学生得出一般性结论。
结论：古典概型中,若基本事件总数有n个,A事件所包含的基本事件个数为m，则P（A）=
古典概型的概率计算公式：
[实战演练]
注:本节课的2道题目,既是例题又是练习。学生有初中概率的基础,处理起来难度不会很大。关键是要学生在自主探究的过程中学会如何从实际问题中提取古典概型。
例1.标准化考试的选择题有单选和不定项选择两种类型。假设考生不会做,随机从A、B、C、D四个选项中选择正确的答案,请问哪种类型的选择题更容易答对？
分析:解决这个问题的关键在于本题什么情况下可以看成古典概型。如果考生掌握了所考察的部分或全部知识,这都不满足古典概型的第2个条件—等可能性，因此，只有在假定考生不会做,随机地选择了一个答案的情况下，才为古典概型。
解:若考生不会做,选择任何答案是等可能的
(1)
单选题：
基本事件共4个:选A,选B,选C,选D,正确答案只有1个。由古典概型概率计算公式得P("答对")=
(2)不定项选择题：
基本事件共15个：(A),(B),(C),(D),(AB),(AC),(AD),(BC),(BD),(CD),
(ABC),(ABD),(ACD),(BCD),(ABCD)
，正确答案只有1个。
由古典概型的概率计算公式得：P("答对")=
☆处理：将两种类型的选择题放在一起，并提出“随机选择，哪种类型的选择题更容易答对”，有利于激发学生的求解兴趣。学生分析、思考后，由一位同学上台利用投影仪展示解答过程并分析讲解。作为解答题，老师要及时规范解答过程。
例3、同时掷两个不同的骰子，计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？
思考：为什么要把两个骰子标记为不同呢？如果不标记号会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？
[课堂小结]
1、基本事件的两个特点：
2、古典概型的两个特点:
3、古典概型计算任何事件A的概率计算公式:
[知识应用]
例：某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽取2听，检测出不合格产品的概率有多大
？
[课后巩固]
1.(必做题)
130页：1,
2，3
2.(选做题)
设有关于x的一元二次方程bx2+2ax+b=0，若a，b是从0,1,2,3四个数中任意选取的两个数，求上述方程有两个相异实根的概率？
(五)教学反思
本节课的要点在于使学生初步学会把一些实际问题化为古典概型，并根据实际问题和所得到的古典概型来体会概率的意义。教学要重在得到正确的古典概型，而不是“如何计算”，不应该在解题技巧和计算上玩花样，做繁难的题。第三章 3.2 3.2.1
基础巩固
一、选择题
1．下列试验中，是古典概型的为( )
A．种下一粒花生，观察它是否发芽
B．向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合
C．从1、2、3、4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率
D．在区间[0,5]内任取一点，求此点小于2的概率
[答案] C
[解析] 对于A，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B，正方形内点的个数有无限多个，不满足有限性；对于C，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D，区间内的点有无限多个，不满足有限性，故选C.
2．从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，甲被选中的概率为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] D
[解析] 甲、乙、丙三人中任选两名代表有如下三种情况：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)，其中甲被选中包含两种，因此所求概率为P＝.
3．在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)，有一位乘客等候第4路或第8路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( )
A.
B.
C.
D.
[答案] D
[解析] 由题知，在该问题中基本事件总数为5，一位乘客等车这，事件包含2个基本事件，故所求概率为P＝.
4．(2013·新课标全国Ⅰ)从1、2、3、4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 从1、2、3、4中任取2个不同的数有以下六种情况：{1,2}、{1,3}、{1,4}、{2,3}、{2,4}、{3,4}，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有{1,3}、{2,4}，故所求概率是＝.
5．(2013·江西)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A、B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 从A，B中各任意取一个数记为(x，y)，则有(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)，共6个基本事件．而这两数之和为4的有(2,2)、(3,1)，共2个基本事件．又从A，B中各任意取一个数的可能性相同，故所求的概率为＝.
6．(2015·东北四校联考)若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m、n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是( )
A.
B.
C.
D.
[答案] D
[解析] 由题意知(m，n)的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)．共36种情况．而满足点P(m，n)在直线x＋y＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种情况，故所求概率为＝，故选D.
二、填空题
7．袋子中有大小相同的四个小球，分别涂以红、白、黑、黄颜色．
(1)从中任取1球，取出白球的概率为________．
(2)从中任取2球，取出的是红球、白球的概率为________．
[答案] (1) (2)
[解析] (1)任取一球有4种等可能结果，而取出的是白球只有一个结果，
∴P＝.
(2)取出2球有6种等可能结果，而取出的是红球、白球的结果只有一种，∴概率P＝.
8．小明一家想从北京、济南、上海、广州四个城市中任选三个城市作为2015年暑假期间的旅游目的地，则济南被选入的概率是________．
[答案]
[解析] 事件“济南被选入”的对立事件是“济南没有被选入”．某城市没有入选的可能的结果有四个，故“济南没有被选入”的概率为，所以其对立事件“济南被选入”的概率为P＝1－＝.
三、解答题
9．随意安排甲、乙、丙3人在3天假期中值班，每人值班1天，则：
(1)这3人的值班顺序共有多少种不同的排列方法？
(2)这3人的值班顺序中，甲在乙之前的排法有多少种？
(3)甲排在乙之前的概率是多少？
[解析] (1)3个人值班的顺序所有可能的情况如下图所示．
甲乙丙丙乙 乙甲丙丙甲 丙甲乙乙甲
由图知，所有不同的排列顺序共有6种．
(2)由图知，甲排在乙之前的排法有3种．
(3)记“甲排在乙之前”为事件A，则P(A)＝＝.
10．(2012·山东高考卷)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1、2、3；蓝色卡片两张，标号分别为1、2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
[解析](1)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：(红1红2)，(红1红3)，(红1蓝1)，(红1蓝2)，(红2红3)，(红2蓝1)，(红2蓝2)，(红3蓝1)，(红3蓝2)，(蓝1蓝2)．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为P＝.
(2)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：(红1绿0)，(红2绿0)，(红3绿0)，(蓝1绿0)，(蓝2绿0)，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为P＝.
能力提升
一、选择题
1．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，这个集合恰好是集合{a，b，c}的子集的概率是( )
A．1
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 解析：集合{a，b，c，d，e}的所有子集有25＝32，集合{a，b，c}的所有子集有23＝8，故所求概率为＝.
2．从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 可看作分两次抽取，第一次任取一张有5种取法，第二次从剩余的4张中再任取一张有4种取法．因为(B，C)与(C，B)是一样的，故试验的所有基本事件总数为5×4÷2＝10个，两个字母恰好是相邻字母的有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(D，E)共4个．故所求概率为P＝＝.
3．从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 十位数字有5种不同的取法，个位数字有4种不同的取法，所以组成的两位数共有5×4＝20个，其中大于40的数十位数字只能是4、5，共有2×4＝8个，故所求概率为＝.
4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] A
[解析] 记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．
记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个，因此P(A)＝＝.
二、填空题
5．(2015·浙江宁波期末)菲特台风重创宁波，志愿者纷纷前往灾区救援，现从四男三女共7名志愿者中任选2名(每名志愿者被选中的机会相等)，则2名都是女志愿者的概率为________．
[答案]
[解析] 从7人中选2人有21种情况，选出2名女志愿者的情况有3种，所以概率为＝.
6．(2012·浙江高考)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是________．
[答案]
[解析] 若使两点间的距离为，则为对角线一半，选择点必含中心，设中心为G，四个顶点为A，B，C，D，基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，G)，(B，C)，…，(D，G)，共10个，所求事件包含的基本事件有：(A，G)，(B，G)，(C，G)，(D，G)，共4个，所求概率为＝.
三、解答题
7．(2012·天津高考)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
[解析] (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3、2、1.
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．
②从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种，所以P(B)＝＝.
8．(2015·龙岩高一检测)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y，
(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？试求点(x，y)落在直线x＋y＝7上的概率；
(2)规定：若x＋y≥10，则小王赢；若x＋y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由．
[解析] (1)因x，y都可取1,2,3,4,5,6，故以(x，y)为坐标的点共有36个．
记点(x，y)落在直线x＋y＝7上为事件A，事件A包含的点有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)6个，所以事件A的概率P(A)＝＝.
(2)记x＋y≥10为事件B，x＋y≤4为事件C，用数对(x，y)表示x，y的取值．则事件B包含(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6个数对；
事件C包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个数对．
由(1)知基本事件总数为36个，所以P(B)＝＝，P(C)＝＝，
所以小王、小李获胜的可能性相等，游戏规则是公平的．§3.2 古典概型3.2.1 古典概型(一)
一、基础过关
1．下列试验中是古典概型的是
( )
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
2．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
3．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
( )
A.
B.
C.
D．无法确定
4．一袋中装有大小相同的四个球，编号分别为1,2,3,4，现从中有放回地每次取一个球，共取2次，记“取得两个球的编号和大于或等于6”为事件A，则P(A)等于
( )
A.
B.
C.
D.
5．三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成BEE的概率为________．
6．在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．
7．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表．
求：(1)甲被选中的概率；(2)丁没被选中的概率．
8．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外完全相同，已知蓝色球3个．若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是.
(1)求红色球的个数；
(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率．
二、能力提升
9.有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9(单位：cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
10．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从球中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为________．
11．从1,2,3,4,5这5个数字中，不放回地任取两数，两数都是奇数的概率是________．
12．上海某学校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加在上海举行的某文化展览会的志愿服务工作．
(1)求选出的两名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率；
(2)求选出的两名志愿者中一名是获得书法比赛一等奖，另一名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率．
三、探究与拓展
13．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A、B、C，田忌的三匹马分别为a、b、c；三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜．若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示：A>a>B>b>C>c.
(1)正常情况下，求田忌获胜的概率；
(2)为了得到更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马A，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率．
3．2.1 古典概型(一)
1．C 2.D 3.B 4.C 5. 6.
7．解 (1)基本事件有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共6个，记甲被选中为事件A，事件A包含的事件有甲乙，甲丙，甲丁共3个，则P(A)＝＝.
(2)记丁被选中为事件B，由(1)同理可得P(B)＝，又因丁没被选中为丁被选中的对立事件，设为，则P()＝1－P(B)＝1－＝.
8．解 (1)设红色球有x个，依题意得＝，解得x＝4，
∴红色球有4个．
(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A，所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个．
事件A包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个，所以，P(A)＝.
9．D [设取出的三根木棒能搭成三角形为事件A，任取三根木棒按长度不同共有1、3、5,1、3、7,1、3、9,1、5、7,1、5、9,1、7、9,3、5、7,3、5、9,3、7、9,5、7、9共10种情况，由于三角形两边之和大于第三边，构成三角形的只有3、5、7,3、7、9,5、7、9三种情况，故所求概率为P(A)＝.]
10.
解析 设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15个．
两球颜色为一白一黑的基本事件有：
(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6个．
∴其概率为＝.
11.
解析 基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，而两数都是奇数的有(1,3)，(1,5)，(3,5)．故所求概率P＝.
12．解 把4名获书法比赛一等奖的同学编号为1,2,3,4,2名获绘画比赛一等奖的同学编号为5,6.从6名同学中任选两名的所有可能结果如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．
(1)从6名同学中任选两名，都是书法比赛一等奖的所有可能是：(1,2)，(1,3)，(1,4),
(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个．
∴选出的两名志愿者都是书法比赛一等奖的概率
P1＝＝.
(2)从6名同学中任选两名，一名是书法比赛一等奖，另一名是绘画比赛一等奖的所有可能是：
(1,5),
(1,6),
(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个．
∴选出的两名志愿者一名是书法比赛一等奖，另一名是绘画比赛一等奖的概率是P2＝.
13．解 比赛配对的基本事件共有6个，它们是：(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca)．
(1)经分析：仅有配对为(Ac，Ba，Cb)时，田忌获胜，且获胜的概率为.
(2)田忌的策略是首场安排劣马c出赛，基本事件有2个：(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca)，配对为(Ac，Ba，Cb)时，田忌获胜且获胜的概率为.
答 正常情况下，田忌获胜的概率为，获得信息后，田忌获胜的概率为.古典概型
A组 基础巩固
1．下列试验中是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下，种一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
答案：B
2．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A. B.
C.
D.
答案：C
3．袋中有10个小球，m个白球，n个红球，除颜色外完全相同．从中任取一球，摸到白球的概率为0.3，则m∶n＝( )
A．7∶3
B．3∶10
C．3∶7
D．4∶6
答案：C
4．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
5．从长度分别为1,2,3,4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则等于( )
A．0
B.
C.
D.
解析：试验发生包含的基本事件数n＝4.由三角形的性质“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”知可组成三角形的有“2,3,4”，m＝1.所以＝.
答案：B
6．设a是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实根的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：基本事件总数为6，若方程有实根则a2－8＞0，满足上述条件的a为3,4,5,6，故P＝＝.
答案：A
7．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是________．
解析：若使两点间的距离为，则为对角线一半，选择点必含中心，设中心为G，四个顶点为A，B，C，D，基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，G)，(B，C)，…，(D，G)，共10个，所求事件包含的基本事件有：(A，G)，(B，G)，(C，G)，(D，G)，共4个，所求概率为＝.
答案：
8．已知直线l1：x－2y－1＝0，直线l2：ax－by－1＝0，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则直线l1∩l2＝ 的概率为________．
答案：
9．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是________．
答案：
10．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设集合P＝{－1,1,2,3,4,5}和Q＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中任取一个数作为a和b的值，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
解：函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝，要使函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a>0且≤1，即a≥2b且a>0.
若a＝1，则b＝－2，－1；
若a＝2，则b＝－2，－1,1；
若a＝3，则b＝－2，－1,1；
若a＝4，则b＝－2，－1,1,2；
若a＝5，则b＝－2，－1,1,2.
∴事件包含的基本事件的个数是2＋3＋3＋4＋4＝16，
又所有基本事件的个数是6×6＝36，
∴所求事件的概率为＝.
B组 能力提升
11．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期
3月1日
3月2日
3月3日
3月4日
3月5日
温差x(℃)
10
11
13
12
8
发芽数y(颗)
23
25
30
26
16
(1)求这5天发芽数的中位数；
(2)求这5天的平均发芽率；
(3)从3月1日至3月5日中任选2天，记前面一天发芽的种子数为m，后面一天发芽的种子数为n，用(m，n)的形式列出所有基本事件，并求满足“”的概率．
解析：(1)因为16＜23＜25＜26＜30，所以这5天发芽数的中位数是25.
(2)这5天的平均发芽率为
×100%＝24%.
(3)用(x，y)表示所求基本事件，则有(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)．共有10个基本事件．
记“”为事件A，
则事件A包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)，共有3个基本事件．
所以P(A)＝，即事件“”的概率为.
12．某校从高一年级学生中随机抽取50名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图的频率分布直方图．
(1)若该校高一年级共有学生1
000人，试估计成绩不低于60分的人数；
(2)为了帮助学生提高数学成绩，学校决定在随机抽取的50名学生中成立“二帮一”小组，即从成绩为[90,100]分数段学生中选两位同学，共同帮助[40,50)分数段中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率．
解析：(1)根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.004＋0.010)＝0.86.
由于该校高一年级共有学生1
000人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数为1
000×0.86＝860.
(2)成绩在[40,50)分数段内的人数为50×0.04＝2，成绩在[90,100]分数段内的人数为50×0.1＝5，将[40,50)分数段内的2人，记为甲，A，将[90,100]分数段内的5人，记为乙，B，C，D，E.
则“二帮一”小组有以下20种分组办法：甲乙B，甲乙C，甲乙D，甲乙E，甲BC，甲BD，甲BE，甲CD，甲CE，甲DE，A乙B，A乙C，A乙D，A乙E，ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE.
其中甲、乙两同学被分在同一小组的有4种办法：甲乙B，甲乙C，甲乙D，甲乙E.
因此甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的频率为＝.3.2古典概型（三）
(
)（整数值）随机数的产生
(
)探究1：随机数的产生
(
)思考1：对于某个指定范围内的整数，每次从中有放回随机取出的一个数都称为随机数.
那么你有什么办法产生1～20之间的随机数
.
抽签法
(
)思考2：随机数表中的数是0～9之间的随机数，你有什么办法得到随机数表？
(
)我们可以利用计算器产生随机数，其操作方法见教材P130及计算器使用说明书.
(
)我们也可以利用计算机产生随机数，
(
)用Excel演示:
(
)（1）选定Al格，键人“＝RANDBETWEEN（0，9）”，按Enter键，则在此格中的数是
(
)随机产生数；
(
)（2）选定Al格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，则在A1至A100的数均为随机产生的0～9之间的数，这样我们就很快就得到了100个0～9之间的随机数，相当于做了100次随机试验.
(
)探究（二）：随机模拟方法
(
)思考1：对于古典概型，我们可以将随机试验中所有基本事件进行编号，利用计算器或计算机产生随机数，从而获得试验结果.这种用计算器或计算机模拟试验的方法，称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法（Monte
Carlo）.你认为这种方法的最大优点是什么？
(
)不需要对试验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域.
(
)
思考2：用随机模拟方法抛掷一枚均匀的硬币100次，那么如何统计这100次试验中“出现正面朝上”的频数和频率.
(
)
知识迁移
(
)例1
天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟方法估计这三天中恰有两天下雨的概率约是多少？
要点分析：
（1）今后三天的天气状况是随机的，共有四种可能结果，每个结果的出现不是等可能的.
（2）用数字1，2，3，4表示下雨，数字5，6，7，8，9，0表示不下雨，体现下雨的概率是40%.
（3）用计算机产生三组随机数，代表三天的天气状况.
（4）产生30组随机数，相当于做30次重复试验，以其中表示恰有两天下雨的随机数的频率作为这三天中恰有两天下雨的概率的近似值.
Excel演示
（5）据有关概率原理可知，这三天中恰有两天下雨的概率P=3×0.42×0.6=0.288.
练习.
书本
P.133练习第1-4题.
习题讲评
1.某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.
(1)A与C；
(2)B与E；
(3)B与D；(4)B与C；
(5)C与E.
2.一个盒子里装有标号为1，2，…，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率：
(1)标签的选取是无放回的；
(2)标签的选取是有放回的．
3.一袋子中有红球5个、黑球3个，先从中任取5个球，至少有1个红球的概率为（D）
作业.3.2.1 古典概型(二)
一、基础过关
1．老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
2．有100张卡片(标号为1～100)，从中任取1张，取到卡片上的号码是7的倍数的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
3．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则log2XY＝1的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
4．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，两枚反面的概率等于
( )
A.
B.
C.
D.
5．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率是________．
6．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率是________．
7．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．
(1)共有多少个基本事件？
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？
8．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b.求关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的概率．
二、能力提升
9.先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
11．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．
12．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．
三、探究与拓展
13．班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．
(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；
(2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．
3．2.1 古典概型(二)
1．C 2.A 3.C 4.C 5. 6.
7．解 (1)分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，从中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1、2号球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．
因此，共有10个基本事件．
(2)如图，上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到两只白球(记为事件A)，即(1,2)、(1,3)、(2,3)，故P(A)＝.
故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为.
8．解 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a>0，b>0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
基本事件共12个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含6个基本事件：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，事件A发生的概率为P(A)＝＝.
9．C 10.A
11.
解析 第二次能打开门说明第一次取是从不能打开门的钥匙中取一，第二次是从能打开门的钥匙中取一，第二次打开门这个事件包含的基本事件数为4，基本事件总数为12，所求概率为P1＝＝.如果试过的钥匙不扔掉，基本事件总数为4×4＝16，所求概率为
P2＝＝.
12．解 (1)由题意可知：＝，解得n＝2.
(2)不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．
∴P(A)＝＝.
13．解 (1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如下图所示)．
由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．
用A1表示事件“连续抽取2人是一男一女”，A2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A1与A2互斥，并且A1∪A2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A1的结果有12种，A2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝＝0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.
(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．
用A表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P(A)＝＝＝0.2.3.2古典概型（一）
(
)问题提出
(
)两个事件之间的关系包括包含事件、相等事件、互斥事件、对立事件，事件之间的运算包括和事件、积事件，这些概念的含义分别如何？
(
)若事件A发生时事件B一定发生，则
AB
.
(
)若事件A发生时事件B一定发生，
反之亦然，则A=B.
(
)若事件A与事件B不同时发生，则A与B互斥.
(
)若事件A与事件B有且只有一个发生，
则A与B相互对立.
(
)2.
概率的加法公式是什么？对立事件的概率有什么关系？
(
)若事件A与事件B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B).
(
)若事件A与事件B相互对立，则
P(A)+P(B)=1.
(
)3.
通过试验和观察的方法，可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，操作不方便，并且有些事件是难以组织试验的.因此，我们希望在某些特殊条件下，有一个计算事件概率的通用方法.
(
)知识探究（一）：基本事件
(
)思考1：抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？连续抛掷三枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？
(
)（正，正），（正，反），
(
)（反，正），（反，反）；
(
)（正，正，正），（正，正，反），
(
)（正，反，正），（反，正，正），
(
)（正，反，反），（反，正，反），
(
)（反，反，正），（反，反，反）.
(
)思考2：上述试验中的每一个结果都是随机事件，我们把这类事件称为基本事件.在一次试验中，任何两个基本事件是什么关系？
(
)互斥关系
(
)思考3：在连续抛掷三枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“出现两次正面和一次反面”，“至少出现两次正面”分别由哪些基本事件组成？
(
)例1：从字母a、b、c、d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？
(
)事件“取到字母a”是哪些基本事件的和？
(
)解：所求的基本事件有6个，
(
)A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}，
(
)D={b，c}，E={b，d}，F={c，d}；
(
)“取到字母a”是A+B+C.
(
)练习1、
(
)把一枚骰子抛6次，设正面出现的点数为x
(
)1.
求出x的可能取值情况
(
)2.
下列事件由哪些基本事件组成
(
)（1）x的取值为2的倍数（记为事件A）
(
)（2）x的取值大于3（记为事件B）
(
)（3）x的取值为不超过2（记为事件C）
(
)知识探究（二）：古典概型
(
)思考1：抛掷一枚质地均匀的骰子，每个基本事件出现的可能性相等吗？
(
)思考2：抛掷一枚质地不均匀的硬币有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？
(
)如果一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性），且每个基本事件出现的可能性相等（等可能性），则具有这两个特点的概率模型称为古典概型.
(
)练习2
(
)（1）从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？
(
)不是，因为有无数个基本事件.
(
)（2）在射击练习中，“射击一次命中的环数”是古典概型吗？为什么？
(
)不是，因为命中的环数的可能性不相等.
(
)
思考3：随机抛掷一枚质地均匀的骰子是古典概型吗？每个基本事件出现的概率是多少？你能根据古典概型和基本事件的概念，检验你的结论的正确性吗？
P(“1点”)=
P(“2点”)=
P(“3点”)=
P(“4点”)=P(“5点”)=
P(“6点”)
P(“1点”)+
P(“2点”)+
P(“3点”)+
P(“4点”)+P(“5点”)+
P(“6点”)=1
思考4：一般地，如果一个古典概型共有n个基本事件，那么每个基本事件在一次试验中发生的概率为多少？
思考5：随机抛掷一枚质地均匀的骰子，利用基本事件的概率值和概率加法公式，“出现偶数点”的概率如何计算？“出现不小于2点”
的概率如何计算？
思考6：考察抛掷一枚质地均匀的骰子的基本事件总数，与“出现偶数点”、“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数之间的关系，你有什么发现？
P（“出现偶数点”）=“出现偶数点”所包含基本事件的个数”/基本事件的总数；
P（“出现不小于2点”）=“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数”/
基本事件的总数.
知识探究（二）：古典概型
P（A）=
事件A所包含的基本事件的个数/
基本事件的总数.
从集合的观点分析，如果在一次试验中，等可能出现的所有n个基本事件组成全集U，事件A包含的m个基本事件组成子集A，那么事件A发生的概率P（A）等于什么？特别地，当A=U，A=Ф时，P（A）等于什么？
例1
单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？0.25]
例2
同时掷两个骰子，计算：
(1)
一共有多少种不同的结果？
(2)
其中向上的点数之和是7的结果有多少种？
(3)
向上的点数之和是5的概率是多少？
解（1）掷一个骰子的结果有6种。我们把两个标上记号1、2以便区分，由于1号骰子
的每一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对，组成同时掷两个骰子的一个结果，因此同时掷两个骰子的结果共有36种。
（2）在上面的所有结果中，向上的点数之和为5的结果有（1，4），（2，3）（3，2）（4，1）其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果。
（3）由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果（记为事件A）有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得
P（A）=4/36=1/9
例3
假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？0.00001
例4
某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率.
解：只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品。分为两种情况，
1听不合格和2听都不合格。
1听不合格：A1={第一次抽出不合格产品}
A2={第二次抽出不合格产品}
2听都不合格：A12={两次抽出不合格产品}
而A1、A2、A12是互不相容事件，所以检测出不合格产品这个事件所包含的基本事件数为
16＋2＝18。因此检测出不合格产品的概率为8÷30+8÷30+2÷30=0.6
课堂小结
1.
基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，且这些事件彼此互斥.试验中的事件A可以是基本事件，也可以是有几个基本事件组合而成的.
2.
有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点，概率计算公式P(A)=事件A所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数，只对古典概型适用
课后作业3.2.1 古典概型
课时目标 1.了解基本事件的特点.2.理解古典概型的定义.3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题．
知识梳理
1．基本事件
(1)基本事件的定义：
一次试验中可能出现的试验结果称为一个基本事件．基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件．
(2)基本事件的特点：
①任何两个基本事件是__________；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成________的和．
2．古典概型
如果某类概率模型具有以下两个特点：
(1)试验中所有可能出现的基本事件__________．
(2)每个基本事件出现的__________．
将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型．
3．古典概型的概率公式
对于任何事件A，P(A)＝________________________________.
作业设计
一、选择题
1．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．下列是古典概型的是( )
(1)从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；
(2)同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；
(3)近三天中有一天降雨的概率；
(4)10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
A．(1)、(2)、(3)、(4)
B．(1)、(2)、(4)
C．(2)、(3)、(4)
D．(1)、(3)、(4)
3．下列是古典概型的是( )
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止
4．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )
A.
B.
C.
D.
5．一袋中装有大小相同的八个球，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中有放回地每次取一个球，共取2次，记“取得两个球的编号和大于或等于14”为事件A，则P(A)等于( )
A.
B.
C.
D.
6．有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9
(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是( )
A.
B.
C.
D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．
8．甲，乙两人随意入住三间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是________．
9．从1,2,3,4,5这5个数字中，不放回地任取两数，两数都是奇数的概率是________．
三、解答题
10．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球．
11．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n能力提升
12．盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P1，第10个人摸出黑球的概率是P10，则( )
A．P10＝P1
B．P10＝P1
C．P10＝0
D．P10＝P1
13．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A、B、C，田忌的三匹马分别为a、b、c；三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜．若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示：A>a>B>b>C>c.
(1)正常情况下，求田忌获胜的概率；
(2)为了得到更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马A，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率．
反思感悟
1．判断一个概率问题是否为古典概型，关键看它是否同时满足古典概型的两个特征——有限性和等可能性．
2．古典概型的概率公式：如果随机事件A包含m个基本事件，则
P(A)＝＋＋…＋＝，
即P(A)＝.
3．应用公式P(A)＝求古典概型的概率时，应先判断它是否是古典概型，再列举、计算基本事件数代入公式计算，列举时注意要不重不漏，按一定顺序进行，或采用图表法、树图法进行．
答案：
3．2.1 古典概型
知识梳理
1．(2)①互斥的 ②基本事件 2.(1)只有有限个 (2)可能性相等 3.
作业设计
1．C [该生选报的所有可能情况是：{数学和计算机}，{数学和航空模型}，{计算机和航空模型}，所以基本事件有3个．]
2．B [(1)(2)(4)为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而(3)不适合等可能性，故不为古典概型．]
3．C [A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性．]
4．C [正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件，两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)包括10个基本事件，所以概率等于.]
5．C [事件A包括(6,8)，(7,7)，(7,8)，(8,6)，(8,7)，(8,8)这6个基本事件，由于是有放回地取，基本事件总数为8×8＝64(个)，∴P(A)＝＝.]
6．D [任取三根共有10种情况，构成三角形的只有3、5、7,5、7、9,3、7、9三种情况，故概率为.]
7.
解析 可重复地选取两个数共有4×4＝16(种)可能，
其中一个数是另一个数的2倍的有1,2；2,1；2,4；4,2共4种，故所求的概率为＝.
8.
解析 设房间的编号分别为A、B、C，事件甲、乙两人各住一间房包含的基本事件为：甲A乙B，甲B乙A，甲B乙C，甲C乙B，甲A乙C，甲C乙A共6个，基本事件总数为3×3＝9，所以所求的概率为＝.
9.
解析 基本事件(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，而两数都是奇数的有3种，
故所求概率P＝.
10．解 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．
(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．
∴取出的两个球全是白球的概率为
P(A)＝＝.
(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．
∴取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为P(B)＝.
11．解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．
从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率为P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n≥m＋2的事件有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝.
故满足条件n1－P1＝1－＝.
12．D [摸球与抽签是一样的，虽然摸球的顺序有先后，但只需不让后人知道先抽的人抽出的结果，那么各个抽签者中签的概率是相等的，并不因抽签的顺序不同而影响到其公平性．所以P10＝P1.]
13．解 比赛配对的基本事件共有6个，它们是：(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca)．
(1)经分析：仅有配对为(Ac，Ba，Cb)时，田忌获胜，且获胜的概率为.
(2)田忌的策略是首场安排劣马c出赛，基本事件有2个：(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca)，配对为(Ac，Ba，Cb)时，田忌获胜且获胜的概率为.
答 正常情况下，田忌获胜的概率为，获得信息后，田忌获胜的概率为.3.2.1古典概型（二）
课题
3.2.1古典概型（二）
三维教学目标
知识与能力
1、正确理解古典概型的特点；2、掌握古典概型的概率计算公式：
（AB层）能灵活运用古典概型的概率计算公式。
过程与方法
通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；
情感、态度、价值观
通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.
教学内容分析
教学重点
正确理解掌握古典概型及其概率公式
教学难点
返回抽样与不返回抽样的区别
教
学
流
程
与
教
学
内
容
复习：古典概型的特点：1、_____________;2、_______________.古典概型的概率计算公式:P(A)=___________________.典例分析：例1
掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。小结：利用古典概型的计算公式时应注意两点：（1）所有的基本事件必须是互斥的；（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。例2
从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。例3
现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．解：（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336,
所以P(B)=
≈0.467．解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)=
≈0.467．小结：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．巩固练习：在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是
。（AB层）P134
习题3.2
A组6
课后学习
P134
习题3.2
A组4，5
（AB层）B组1
教学反思
要时时强调抽样是放回还是不放回的。
