3.1.3
概率的基本性质
【教学目标】
1.说出事件的包含,并,交,
相等事件,
以及互斥事件,
对立事件的概念；
2..能叙述互斥事件与对立事件的区别与联系
3.
说出概率的三个基本性质；会使用互斥事件、对立事件的概率性质求概率。
【教学重难点】
教学重点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。
教学难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算，概率的几个基本性质
【教学过程】
一、创设情境
1.
两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还
记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗？
2
我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合（如连续抛掷两枚硬币），那么必然事件对应全集，随机事件对应子集，不可能事件对应空集，从而可以类比集合的关系与运算，分析事件之间的关系与运算，使我们对概率有进一步的理解和认识．
二、新知探究
1.
事件的关系与运算
思考：在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：
C1＝｛出现1点｝，
C2＝｛出现2点｝，
C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝，
C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝，
D1＝｛出现的点数不大于1｝，
D2＝｛出现的点数大于4｝，
D3＝｛出现的点数小于6｝，
E＝｛出现的点数小于7｝，
F＝｛出现的点数大于6｝，
G＝｛出现的点数为偶数｝，
H＝｛出现的点数为奇数｝，等等.
你能写出这个试验中出现其它一些事件吗？类比集合与集合的关系，运算，你能发现
它们之间的关系和运算吗？
上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件
(1)
显然，如果事件C1发生，
则事件H一定发生，这时我们说事件H包含事件C1，记作H
C1。
一般地，对于事件A与事件B，如何理解事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）？特别地，不可能事件用Ф表示，它与任何事件的关系怎样约定？
如果当事件A发生时，事件B一定发生，则BA
(
或AB
)；任何事件都包含不可能事件.
（2）分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关
系应怎样描述？
一般地，当两个事件A、B满足什么条件时，称事件A与事件B相等？
若BA，且AB，则称事件A与事件B相等，记作A=B.
（3）如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？
事件D2称为事件C5与事件C6的并事件（或和事件），一般地，事件A与
事件B的并事件（或和事件）是什么含义？
当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作
C=A∪B(或A+B).
（4）类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB），在上述事件中能找出这样的例子吗？
例如，在掷骰子的试验中D2∩D3=C4
（5）两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即A∩B＝Ф，此时，称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生
例如，上述试验中的事件C1与事件C2互斥，事件G与事件H互斥。
（6）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：
事件A与事件B有且只有一个发生.
思考：事件A与事件B的和事件、积事件，分别对应两个集合的并、交，那么事件A与事件B互为对立事件，对应的集合A、B是什么关系？
集合A与集合B互为补集.
思考：若事件A与事件B相互对立，那么事件A与事件B互斥吗？反之，若事件A与
事件B互斥，那么事件A与事件B相互对立吗？
2.概率的几个基本性质
思考1：概率的取值范围是什么？必然事件、不可能事件的概率分别是多少？
思考2：如果事件A与事件B互斥，则事件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关系？fn(A∪B)与fn(A)、fn(B)有什么关系？进一步得到P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？
若事件A与事件B互斥，则A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和，且
P（A∪B）＝P（A）＋
P（B），这就是概率的加法公式.
思考3：如果事件A与事件B互为对立事件，则P(A∪B)的值为多少？P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？由此可得什么结论？
若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）＋P（B）＝1.
思考4：如果事件A与事件B互斥，那么P（A）＋P（B）与1的大小关系如何？
P（A）＋P（B）≤1.
三、典型例题
例1 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是0.25，取到方片（事件B）的概率是0.25，问：
（l）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
解：（1）因为C=
A∪B，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件，根据概率的加法公式，得
P（C）=P（A∪B）=
P（A）＋P（B）=0.5，
（2）C与D也是互斥事件，又由于C∪D为必然事件，所以C与D互为对立事件，所以
P（D）=1-
P（C）=0.5.
点评：利用互斥事件、对立事件的概率性质求概率
变式训练1：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是
1/3
，得到黑球或黄球的概率是
5/12，得到黄球或绿球的概率也是5/12
，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？
例2某射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A：命中环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；
事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．
事件A与事件C互斥，事件B与事件C互斥，事件C与事件D互斥且对立.
点评：学会判断互斥、对立关系
变式训练2：．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断
下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品
四、课堂小结
1.事件的各种关系与运算，可以类比集合的关系与运算，互斥事件与对立事件的概念的外延具有包含关系，即{对立事件} {互斥事件}.
2.在一次试验中，两个互斥事件不能同时发生，它包括一个事件发生而另一个事件不发生，或者两个事件都不发生，两个对立事件有且仅有一个发生.
３.事件（A+B）或（A∪B），表示事件A与事件B至少有一个发生，事件（AB）或A∩B，表示事件A与事件B同时发生.
4.概率加法公式是对互斥事件而言的，一般地，P（A∪B）≤P（A）＋P（B）.
五、作业布置
已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？
解：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和，即为+=3.1.3 频率与概率
一、基础过关
1．关于随机事件的频率与概率，以下说法正确的是
( )
A．频率是确定的，概率是随机的
B．频率是随机的，概率也是随机的
C．概率是确定的，概率是频率的近似值
D．概率是确定的，频率是概率的近似值
2．下列说法正确的是
( )
A．某事件发生的频率为P(A)＝1.1
B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
3．下列说法正确的是
( )
A．某厂一批产品的次品率为5%，则任意抽取其中20件产品一定会发现一件次品
B．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下雨
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈
D．掷一枚均匀硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为50%
4．在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率P(A)与的关系是
( )
A．P(A)≈
B．P(A)<
C．P(A)>
D．P(A)＝
5．盒中装有4只白球和5只黑球，从中任意取出1只球．
(1)“取出的球是黄球”是________事件，它的概率是________；
(2)“取出的球是白球”是________事件，它的概率是________；
(3)“取出的球是白球或黑球”是________事件，它的概率是________．
6．已知某次试验随机事件A发生的频率是0.2，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．
7．解释下列概率的含义：
(1)某厂生产产品合格的概率为0.9；
(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.
8．在一个试验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内，最初，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞，被注射这种血清之后，没有一个有圆形细胞的豚鼠被感染，50个有椭圆形细胞的豚鼠被感染，有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据试验结果，估计有(1)圆形细胞；(2)椭圆形细胞；(3)不规则形状细胞的豚鼠分别被这种血清感染的概率．
二、能力过关
9.某人将一枚硬币连续掷了10次，正面朝上的出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的
( )
A．概率为
B．频率为
C．频率为6
D．概率接近
10．从12件同类产品(其中10件正品，2件次品)，任意抽取6件产品，下列说法中正确的是
( )
A．抽出的6件产品中必有5件正品，一件次品
B．抽出的6件产品中可能有5件正品，一件次品
C．抽取6件产品时逐个不放回抽取，前5件是正品，第6件必是次品
D．抽取6件产品时，不可能抽得5件正品，一件次品
11．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492 496 494 495 498
497 501 502 504 496
497 503 506 508 507
492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5
g～501.5
g之间的概率约为________．
12．掷一枚骰子得到6点的概率是，是否意味着把它掷6次一定能得到一次6点？
三、探究与拓展
13．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10
000个鱼卵能孵化8
513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：
(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？
(2)30
000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？
(3)要孵化5
000尾鱼苗，大概需备多少个鱼卵？(精确到百位)
3．1.3 频率与概率
1．D 2.B 3.D 4.A
5．(1)不可能 0 (2)随机
(3)必然 1
6．50
7．解 (1)说明该厂产品合格的可能性为90%.也就是说每100件该厂的产品中大约有90件是合格品．
(2)说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100个人参加抽奖，约有20人中奖．
8．解 (1)记“圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A，由题意知，A为不可能事件，
∴P(A)＝0.
(2)记“椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B，
由题意知P(B)＝＝＝0.2.
(3)记“不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C，由题意知事件C为必然事件，所以P(C)＝1.
9．B 10.B 11.0.25
12．解 抛掷一枚骰子得到6点的概率是，多次抛掷骰子，出现6点的情况大约占，并不意味着掷6次一定得到一次6点，实际上，掷6次作为抛掷骰子的6次试验，每一次结果都是随机的．
13．解 (1)这种鱼卵的孵化概率P＝＝0.851
3.
(2)30
000个鱼卵大约能孵化
30
000×＝25
539(尾)鱼苗．
(3)设大概需备x个鱼卵，由题意知＝.
∴x＝≈5
900(个)．
∴大概需备5
900个鱼卵．3.1.3 概率的基本性质
基础检测
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.下列四个命题：(1)对立事件一定是互斥事件；(2)A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(3)若A，B，C三事件两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；(4)事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件.其中假命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：
(1)
√
对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件
(2)
×
只有当A，B互斥时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
(3)
×
虽然A，B，C三个事件两两互斥，但其并事件不一定是必然事件
(4)
×
只有当A，B互斥，且满足P(A)＋P(B)＝1时，A，B才是对立事件
答案： D
2.已知P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A∪B)等于( )
A.0.3
B.0.2
C.0.1
D.不确定
解析： 由于不能确定A与B互斥，则P(A∪B)的值不能确定.
答案： D
3.在抛掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪C(C是事件B的对立事件)发生的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析： 由题意可知事件C表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件C是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式可得P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝＋＝.
答案： C
4.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，那么乙不输的概率是( )
A.20%
B.70%
C.80%
D.30%
解析： 由题意可知乙获胜的概率为20%，则乙不输的概率P＝P(和棋)＋P(乙胜)＝50%＋20%＝70%.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共15分)
5.一商店有奖促销活动中，有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率是0.25，则不中奖的概率是 Ｗ.
解析： 中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.
答案： 0.65
6.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有一名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为 Ｗ.
解析： “至少有一名女生”与“都是男生”是对立事件.故3人中都是男生的概率P＝1－＝.
答案：
7.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.
现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是 ，他属于不超过2个小组的概率是 Ｗ.
解析： “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少两个小组的概率为
P＝＝.
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是
P＝1－＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
8.盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球.设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”.已知P(A)＝，P(B)＝，求“3个球中既有红球又有白球”的概率.
解析： 记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
9.某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1
000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)抽取1张奖券中奖概率；
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
解析： (1)∵每1
000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
∴P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则
P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则P(E)＝1－P(A)－P(B)
＝1－－＝.第三章 3.1 3.1.3
基础巩固
一、选择题
1．(2015·北京西城区期末检测)已知100件产品中有5件次品，从这100件产品任意取出3件，设A表示事件“3件产品全不是次品”，B表示事件“3件产品全是次品”，C表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是( )
A．B与C互斥
B．A与C互斥
C．A、B、C任意两个事件均互斥
D．A、B、C任意两个事件均不互斥
[答案] B
[解析] 本题主要考查互斥事件的概念．由题意得事件A与事件B不可能同时发生，是互斥事件；事件A与事件C不可能同时发生，是互斥事件；当事件B发生时，事件C一定发生，所以事件B与事件C不是互斥事件，故选B.
2．P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A∪B)等于( )
A．0.3
B．0.2
C．0.1
D．不确定
[答案] D
[解析] 由于不能确定A与B互斥，则P(A∪B)的值不能确定．
3．根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为( )
A．0.65
B．0.55
C．0.35
D．0.75
[答案] C
[解析] 设该地6月1日下雨为事件A，阴天为事件B，晴天为事件C，则事件A，B，C两两互斥，且A∪B与C是对立事件，则P(C)＝1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.20＝0.35.
4．抛掷一枚骰子，观察掷出骰子的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝，P(B)＝，出现奇数点或2点的概率之和为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] D
[解析] 记“出现奇数点或2点”为事件C，因为事件A与事件B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.故选D.
5．在一次随机试验中，事件A1，A2，A3发生的概率分别为0.2,0.3,0.5，则下列说法正确的是( )
A．A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件
B．A1∪A2∪A3是必然事件
C．P(A2∪A3)＝0.8
D．事件A1，A2，A3的关系不确定
[答案] D
[解析] 比如在一个箱子中有白球，黄球和红球若干，从中任取一球，取到红球(记为事件A1)的概率为0.2，取到黄球(记为事件A2)的概率为0.3，取到黄球或红球(记为事件A3)的概率为0.5，显然A1∪A2与A3即不是互斥事件，更不是对立事件，故A错误；A1∪A2∪A3是“取到黄球或红球”，不是必然事件，故B错误；P(A2∪A3)＝P(A3)＝0.5，故C错误．故选D.
6．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A.
B.
C.
D．1
[答案] C
[解析] 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.
二、填空题
7．某人在打靶中连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．
[答案] 两次都不中靶
8．经统计某储蓄所一个窗口等候的人数及相应的概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
t
0.3
0.16
0.3
0.1
0.04
(1)t＝________；
(2)至少3人排队等候的概率是________．
[答案] (1)0.1 (2)0.44
[解析] (1)∵t＋0.3＋0.16＋0.3＋0.1＋0.04＝1，∴t＝0.1.
(2)至少3人包括3人，4人，5人以及5人以上，且这三类是互斥的，∴概率为0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
三、解答题
9．某商场有甲、乙两种电子产品可供顾客选购．记事件A为“只买甲产品”，事件B为“至少买一种产品”，事件C为“至多买一种产品”，事件D为“不买甲产品”，事件E为“一种产品也不买”．判断下列事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C；
(2)B与E；
(3)B与D；
(4)B与C；
(5)C与E.
[探究] 利用互斥事件和对立事件的概念进行判断．
[解析] (1)由于事件C“至多买一种产品”中有可能只买甲产品，故事件A与事件C有可能同时发生，故事件A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少买一种产品”与事件E“一种产品也不买”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．又由于事件B与E必有一个发生，所以事件B与E还是对立事件．
(3)事件B“至少买一种产品”中有可能买乙产品，即与事件D“不买甲产品”有可能同时发生，故事件B与D不是互斥事件．
(4)若顾客只买一种产品，则事件B“至少买一种产品”与事件C“至多买一种产品”就同时发生了，所以事件B与C不是互斥事件．
(5)若顾客一件产品也不买，则事件C“至多买一种产品”与事件E“一种产品也不买”就同时发生了，事实上事件C与E满足E C，所以二者不是互斥事件．
10．(2012·湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值．
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
[解析] (1)由已知得，
25＋y＋10＝55，x＋y＝35，
所以x＝15，y＝20，
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为：
＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1、A2、A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率，得
P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，
P(A3)＝＝.
因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，
所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
能力提升
一、选择题
1．抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )
A．A与B
B．B与C
C．A与D
D．C与D
[答案] C
[解析] 解析：A与B互斥且对立；B与C有可能同时发生，即出现6，从而不互斥；A与D不会同时发生，从而A与D互斥，又因为还可能出现2，故A与D不对立；C与D有可能同时发生．从而不互斥．
2．如果事件A与B是互斥事件且事件A＋B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率是( )
A．0.4
B．0.6
C．0.8
D．0.2
[答案] B
[解析] 解析：事件A与事件B互斥，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.又因为P(A)＝3P(B)，所以P(A)＝0.6，P(B)＝0.2.
3．一枚硬币连续掷三次，至少出现一次正面朝上的概率为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] A
[解析] 一枚硬币连掷三次，出现8种结果(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)．(反，反，反)，而“至少出现一次正面朝上”的对立事件是“三次都反面朝上”，由对立事件的性质可以得知，所求的概率为.
4．某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为；则电话在响前四声内被接的概率为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 设“电话响第一声被接”为事件A，“电话响第二声被接”为事件B，“电话响第三声被接”为事件C，“电话响第四声被接”为事件D，则A，B，C，D两两互斥，从而P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝＋＋＋＝.
二、填空题
5．同时抛掷2个均匀的正方体玩具(各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6)，则：
(1)朝上的一面数相同的概率为________．
(2)朝上的一面数之积为偶数的概率为________．
[答案] (1) (2)
[解析] 试验结果有36个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．“朝上的一面数相同”的结果有6个：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，则概率为.“朝上一面之积不为偶数”的结果有9个：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．故“朝上一面数之积为偶数”的概率为1－＝.
6．甲射击一次，中靶概率是P1，乙射击一次，中靶概率是P2，已知，是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1满足方程x2－x＋＝0.则甲射击一次，不中靶概率为________；乙射击一次，不中靶概率为________．
[答案]
[解析] 由P1满足方程x2－x＋＝0知，P－P1＋＝0，解得P1＝；因为，是方程x2－5x＋6＝0的根，所以·＝6，解得P2＝，因此甲射击一次，不中靶概率为1－＝，乙射击一次，不中靶概率为1－＝.
三、解答题
7．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．
[解析] 从袋中任取一球，记事件“取到红球\”“取到黑球\”“取到黄球\”和“取到绿球\”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D显然是两两互斥的．
由题意，得
即
解得
故取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是.
8．猎人在相距100
m处射击一野兔，命中的概率为，如果第一次未击中，则猎人进行第二次射击，但距离已是150
m，如果又未击中，则猎人进行第三次射击，但距离已是200
m，已知此猎人命中的概率与距离的平方成反比，求射击不超过三次击中野兔的概率．
[解析] 设距离为d，命中的概率为P，
则有P＝，将d＝100，P＝代入，
得k＝Pd2＝5
000，所以P＝.
设第一、二、三次击中野兔分别为事件A1，A2，A3，则
P(A3)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝.
所以P(A1＋A2＋A3)＝＋＋＝.
故射击不超过三次击中野兔的概率为.3.1随机事件的概率（三）
课
题：3.1.3
概率的基本性质
教学目标：
（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念；通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生的类比与归纳的数学思想.
（2）概率的几个基本性质：①必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1；②当事件A与B互斥时,满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；③若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1-P(B).
（3）正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系,通过数学活动,了解数学与实际生活的密切联系,感受数学知识应用于现实世界的具体情境,从而激发学习数学的情趣.
教学重点：
概率的加法公式及其应用.
教学难点：
事件的关系与运算.
教学方法：
讲授法
课时安排
1课时
教学过程
一、导入新课：
全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛,她们夺取冠军的概率分别是2/7和1/5,则该省夺取该次冠军的概率是2/7+1/5,对吗？为什么？为解决这个问题,我们学习概率的基本性质.
二、新课讲解：
Ⅰ、事件的关系与运算
１、提出问题
在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现3点},C4={出现4点},C5={出现5点},C6={出现6点},D1={出现的点数不大于1},D2={出现的点数大于3},D3={出现的点数小于5},E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6},G={出现的点数为偶数},H={出现的点数为奇数},……
类比集合与集合的关系、运算说明这些事件的关系和运算,并定义一些新的事件.
(1)如果事件C1发生,则一定发生的事件有哪些？反之,成立吗？
(2)如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着哪个事件发生？
(3)如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生？
(4)事件D3与事件F能同时发生吗？
(5)事件G与事件H能同时发生吗？它们两个事件有什么关系？
２、活动：学生思考或交流,教师提示点拨,事件与事件的关系要判断准确．
３、讨论结果：
(1)如果事件C1发生,则一定发生的事件有D1,E,D3,H,反之,如果事件D1,E,D3,H分别成立,能推出事件C1发生的只有D1.
(2)如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着事件G发生.
(3)如果事件D2与事件H同时发生,就意味着C5事件发生.
(4)事件D3与事件F不能同时发生.
(5)事件G与事件H不能同时发生,但必有一个发生.
４、总结：由此我们得到事件A,B的关系和运算如下：
①如果事件A发生,则事件B一定发生,这时我们说事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）,记为BA（或AB）,不可能事件记为,任何事件都包含不可能事件.
②如果事件A发生,则事件B一定发生,反之也成立,（若BA同时AB）,我们说这两个事件相等,即A=B.如C1=D1.
③如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与B的并事件（或和事件）,记为A∪B或A+B.
④如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与B的交事件（或积事件）,记为A∩B或AB.
⑤如果A∩B为不可能事件（A∩B=）,那么称事件A与事件B互斥,即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.
⑥如果A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生.
Ⅱ、概率的几个基本性质
１、提出以下问题:
（1）概率的取值范围是多少
（2）必然事件的概率是多少
（3）不可能事件的概率是多少
（4）互斥事件的概率应怎样计算
（5）对立事件的概率应怎样计算
２、活动：
学生根据试验的结果,结合自己对各种事件的理解,教师引导学生,根据概率的意义:
（1）由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以,频率在0—1之间,因而概率的取值范围也在0—1之间.
（2）必然事件是在试验中一定要发生的事件,所以频率为1,因而概率是1.
（3）不可能事件是在试验中一定不发生的事件,所以频率为0,因而概率是0.
（4）当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和.
（5）事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,则A∪B的频率为1,因而概率是1,由（4）可知事件B的概率是1与事件A发生的概率的差.
３、讨论结果：
（1）概率的取值范围是0—1之间,即0≤P(A)≤1.
（2）必然事件的概率是1.如在掷骰子试验中,E={出现的点数小于7},因此P(E)=1.
（3）不可能事件的概率是0,如在掷骰子试验中,F={出现的点数大于6},因此P(F)=0.
（4）当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是概率的加法公式.也称互斥事件的概率的加法公式.
（5）事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,P(A∪B)=1.所以1=P(A)+P(B),P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).如在掷骰子试验中,事件G={出现的点数为偶数}与H={出现的点数为奇数}互为对立事件,因此P(G)=1-P(H).
三、例题讲解：
例：
如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心（事件A）的概率是,取到方块（事件B）的概率是,问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
活动：学生先思考或交流,教师及时指导提示,事件C是事件A与事件B的并,且A与B互斥,因此可用互斥事件的概率和公式求解,事件C与事件D是对立事件,因此P(D)=1-P(C).
解：（1）因为C=A∪B,且A与B不会同时发生,所以事件A与事件B互斥,根据概率的加法公式得P(C)=P(A)+P(B)=.
（2）事件C与事件D互斥,且C∪D为必然事件,因此事件C与事件D是对立事件,P(D)=1-P(C)=.
四、课堂练习：
教材第１２１页练习：１、２、３、４、５
五、课堂小结：
1.概率的基本性质是学习概率的基础.不可能事件一定不出现,因此其概率为0,必然事件一定发生,因此其概率为1.当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的概率等于A发生的概率与B发生的概率的和,从而有公式P（A∪B）=P（A）+P（B）；对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生.
2.在利用概率的性质时,一定要注意互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生,而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形:①事件A发生B不发生；②事件B发生事件A不发生,对立事件是互斥事件的特殊情形.
六、课后作业：
习题3.1A组5,B组1、2.
预习教材３.２.１
板书设计
教学反思：
备课资料
1.一口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球,从中一次任意摸出2只球.记摸出2只白球为事件A,摸出1只白球和1只黑球为事件B.问事件A和B是否为互斥事件？是否为对立事件？
解：事件A和B互斥，因为从中一次可以摸出2只黑球,所以事件A和B不是对立事件.
2.在一个盒子内放有10个大小相同的小球,其中有7个红球、2个绿球、1个黄球,从中任取一个球,求：
（1）得到红球的概率；
（2）得到绿球的概率；
（3）得到红球或绿球的概率；
（4）得到黄球的概率.
（5）“得到红球”和“得到绿球”这两个事件A、B之间有什么关系,可以同时发生吗？
（6）（3）中的事件D“得到红球或者绿球”与事件A、B有何联系？
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）互斥事件
不可以
（6）P(D)=P(A)+P(B)
3.在一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个.试求：
(1)取得两个红球的概率；
(2)取得两个绿球的概率；
(3)取得两个同颜色的球的概率；
(4)至少取得一个红球的概率.
答案：(1)
（2）
(3)
(4)
4.盒中有6只灯泡,其中2只次品,4只正品,有放回地从中任取两次,每次取一只,试求下列事件的概率：
(1)取到的2只都是次品；
(2)取到的2只中正品、次品各一只；
(3)取到的2只中至少有一只正品.
解：从6只灯泡中有放回地任取两只,共有36种不同取法.
(1)取到的2只都是次品情况为4种.因而所求概率为.
(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品,第二次取到次品；及第一次取到次品,第二次取到正品.因而所求概率为P=.
(3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件.因而所求概率为P=.
5.若A表示四件产品中至少有一件是废品的事件,B表示废品不少于两件的事件,试问对立事件、各表示什么
解：表示四件产品中没有废品的事件；表示四件产品中没有废品或只有一件废品的事件.
6.回答下列问题：
(1)甲、乙两射手同时射击一目标,甲的命中率为0.65,乙的命中率为0.60,那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.65+0.60=1.25,为什么
(2)一射手命中靶的内圈的概率是0.25,命中靶的其余部分的概率是0.50,那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.25+0.50=0.75,为什么
(3)两人各掷一枚硬币,“同时出现正面”的概率可以算得为.由于“不出现正面”是上述事件的对立事件,所以它的概率等于,这样做对吗 说明道理.
解：(1)不能.因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥.
(2)能.因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件.
(3)不对.因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件,故其概率和不为1.
7.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲、乙两队夺取冠军的概率分别是和.试求该市足球队夺得全省足球赛冠军的概率.
答案：
8.在房间里有4个人.问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少
答案：
9.某单位36人的血型类别是：A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人.现从这36人中任选2人,求此2人血型不同的概率.
答案：
Ⅱ、概率的几个基本性质
Ⅰ、事件的关系与运算
3.1.3
概率的基本性质3.1随机事件的概率（三）
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"欢迎登陆21世纪教育网 )问题提出
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"欢迎登陆21世纪教育网 )1.
两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗？
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )2.
我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合（如连续抛掷两枚硬币），那么必然事件对应全集，随机事件对应子集，不可能事件对应空集，从而可以类比集合的关系与运算，分析事件之间的关系与运算，使我们对概率有进一步的理解和认识．
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"欢迎登陆21世纪教育网 )知识探究（一）：事件的关系与运算
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"欢迎登陆21世纪教育网 )在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：
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"欢迎登陆21世纪教育网 )C1＝｛出现1点｝，C2＝｛出现2点｝，
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"欢迎登陆21世纪教育网 )C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝，
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"欢迎登陆21世纪教育网 )C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝，
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"欢迎登陆21世纪教育网 )D1＝｛出现的点数不大于1｝，
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"欢迎登陆21世纪教育网 )D2＝｛出现的点数大于4｝，
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"欢迎登陆21世纪教育网 )D3＝｛出现的点数小于6｝，
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"欢迎登陆21世纪教育网 )E＝｛出现的点数小于7｝，
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 )F＝｛出现的点数大于6｝，
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"欢迎登陆21世纪教育网 )G＝｛出现的点数为偶数｝，
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"欢迎登陆21世纪教育网 )H＝｛出现的点数为奇数｝，等等.
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"欢迎登陆21世纪教育网 )思考1：上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件
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"欢迎登陆21世纪教育网 )思考2：如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述？
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"欢迎登陆21世纪教育网 )
一般地，对于事件A与事件B，如果当事件A发生时，事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）记为:
BA(或AB)
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"欢迎登陆21世纪教育网 )特别地，不可能事件用Ф表示，它与任何事件的关系约定为:
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"欢迎登陆21世纪教育网 )任何事件都包含不可能事件.
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"欢迎登陆21世纪教育网 )思考3：分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关系应怎样描述？
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"欢迎登陆21世纪教育网 )一般地，当两个事件A、B满足:
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"欢迎登陆21世纪教育网 )若B
A，且A
B，则称事件A与事件B相等，记作A=B.
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"欢迎登陆21世纪教育网 )思考4：如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？
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"欢迎登陆21世纪教育网 )事件D2一定发生,
反之也成立.
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"欢迎登陆21世纪教育网 )事件D2为事件C5与事件C6的并事件(或和事件)
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"欢迎登陆21世纪教育网 )一般地,当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作
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"欢迎登陆21世纪教育网 )C=A∪B(或A+B).
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"欢迎登陆21世纪教育网 )思考5：类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB），在上述事件中能找出这样的例子吗？
( http: / / www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )思考6：两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即A∩B＝，此时，称事件A与事件B互斥，那么在一次试验中，事件A与事件B互斥的含义怎样理解？在上述事件中能找出这样的例子吗？
( http: / / www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )思考7：若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，那么在一次试验中，事件A与事件B互为对立事件的含义怎样理解？在上述事件中能找出这样的例子吗？
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 )事件A与事件B有且只有一个发生.
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"欢迎登陆21世纪教育网 )思考8：事件A与事件B的和事件、积事件，分别对应两个集合的并、交，那么事件A与事件B互为对立事件，对应的集合A、B是什么关系？
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"欢迎登陆21世纪教育网 )集合A与集合B互为补集.
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 )思考9：若事件A与事件B相互对立，那么事件A与事件B互斥吗？反之，若事件A与事件B互斥，那么事件A与事件B相互对立吗？
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"欢迎登陆21世纪教育网 )知识迁移
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"欢迎登陆21世纪教育网 )例1
某射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )事件A：命中环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；
事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．
事件A与事件C互斥，事件B与事件C互斥，事件C与事件D互斥且对立.
例2
一个人打靶时连续射击两次事件“至少有一次中靶”的互斥事件是
（
D
）
A.至多有一次中靶
B.两次都中靶
C.只有一次中靶
D.两次都不中靶
例3
把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是
(
B
)
A.
对立事件
B.
互斥但不对立事件
C.
必然事件
D.
不可能事件
知识探究（二）：概率的几个基本性质
思考1：概率的取值范围是什么？必然事件、不可能事件的概率分别是多少？
思考2：如果事件A与事件B互斥，则事件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关系？fn(A∪B)与fn(A)、fn(B)有什么关系？进一步得到P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？
若事件A与事件B互斥，则A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,且
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这就是概率的加法公式.
思考3：如果事件A与事件B互为对立事件，
则P(A∪B)的值为多少？P(A∪B)与P(A)、
P(B)有什么关系？由此可得什么结论？
若事件A与事件B互为对立事件，则:
P(A)＋P(B)＝1.
思考4：如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)与1的大小关系如何？
P(A)＋P(B)≤1.
思考5：如果事件A1,A2，…，An中任何两个都互斥,那么事件（A1+A2+…+An）的含义如何 P(A1+A2+…+An)与P(A1)，P(A2)，…，P(An)有什么关系？
事件(A1
+
A2
+…+
An)表示事件A1,
A2,…,An中有一个发生；P(A1
+
A2
+…+
An)=
P(A1)+P(A2)+…+P(An).
例4
如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件A）的概率是
,取到方片(事件B)的概率是 ,问：
(l)取到红色牌(事件C)的概率是多少
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？
P(C)=P(A∪B)=
P(A)＋P(B)=0.5，
P(D)=1-
P(C)=0.5.
例5
袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是
，得到黑球或黄球的概率是
，得到黄球或绿球的概率也是
，
试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？
课堂小结
1.
事件的各种关系与运算，可以类比集合的关系与运算；
2.
在一次试验中，两个互斥事件不能同时发生，它包括一个事件发生而另一个事件不发生，或者两个事件都不发生，两个对立
事件有且仅有一个发生；
3.
事件(A+B)或(A∪B),表示事件A与事件B至少有一个发生,事件(AB)或A∩B,表事件A与事件B同时发生.
4.
概率加法公式是对互斥事件而言的，
一般地，P(A∪B)≤P(A)＋P(B).3.1随机事件的概率（三）
课题
§3.1.3随机事件的概率（三）
课型
新课
教学目标
(1)了解事件间各种关系的概念，会判断事件间的关系；(2)了解两个互斥事件的概率加法公式，知道对立事件的公式，会用公式进行简单的概率计算；(3)通过学习，进一步体会概率思想方法应用于实际问题的重要性。
教学过程
教学内容
备注
一、自主学习
引入：上一次课我们学习了概率的意义，举了生活中与概率知识有关的许多实例。今天我们要来研究概率的基本性质。在研究性质之前，我们先来一起研究一下事件之间有什么关系。
二、质疑提问
问题提出1.
两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗？
2.
我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合（如连续抛掷两枚硬币），那么必然事件对应全集，随机事件对应子集，不可能事件对应空集，从而可以类比集合的关系与运算，分析事件之间的关系与运算，使我们对概率有进一步的理解和认识
三、问题探究
知识探究（一）：事件的关系与运算在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：
C1＝｛出现1点｝，C2＝｛出现2点｝，C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝，C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝，D1＝｛出现的点数不大于1｝，D2＝｛出现的点数大于4｝，D3＝｛出现的点数小于6｝，E＝｛出现的点数小于7｝，F＝｛出现的点数大于6｝，G＝｛出现的点数为偶数｝，H＝｛出现的点数为奇数｝，等等.思考1：上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件 思考2：如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述？
一般地，对于事件A与事件B，如果当事件A发生时，事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）记为:
BA(或AB)特别地，不可能事件用Ф表示，它与任何事件的关系约定为:任何事件都包含不可能事件.思考3：分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关系应怎样描述？一般地，当两个事件A、B满足:若B
A，且A
B，则称事件A与事件B相等，记作A=B.思考4：如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？事件D2一定发生,
反之也成立.事件D2为事件C5与事件C6的并事件(或和事件)一般地,当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作
C=A∪B(或A+B).思考5：类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB），在上述事件中能找出这样的例子吗？思考6：两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即A∩B＝，此时，称事件A与事件B互斥，那么在一次试验中，事件A与事件B互斥的含义怎样理解？在上述事件中能找出这样的例子吗？思考7：若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，那么在一次试验中，事件A与事件B互为对立事件的含义怎样理解？在上述事件中能找出这样的例子吗？事件A与事件B有且只有一个发生.思考8：事件A与事件B的和事件、积事件，分别对应两个集合的并、交，那么事件A与事件B互为对立事件，对应的集合A、B是什么关系？集合A与集合B互为补集.思考9：若事件A与事件B相互对立，那么事件A与事件B互斥吗？反之，若事件A与事件B互斥，那么事件A与事件B相互对立吗？知识迁移例1
某射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；
事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．事件A与事件C互斥，事件B与事件C互斥，事件C与事件D互斥且对立.例2
一个人打靶时连续射击两次事件“至少有一次中靶”的互斥事件是
（
D
）A.至多有一次中靶
B.两次都中靶
C.只有一次中靶
D.两次都不中靶例3
把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是
(
B
)
A.
对立事件
B.
互斥但不对立事件
C.
必然事件
D.
不可能事件知识探究（二）：概率的几个基本性质
思考1：概率的取值范围是什么？必然事件、不可能事件的概率分别是多少？思考2：如果事件A与事件B互斥，则事件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关系？fn(A∪B)与fn(A)、fn(B)有什么关系？进一步得到P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？若事件A与事件B互斥，则A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,且
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这就是概率的加法公式.
思考3：如果事件A与事件B互为对立事件，
则P(A∪B)的值为多少？P(A∪B)与P(A)、
P(B)有什么关系？由此可得什么结论？
若事件A与事件B互为对立事件，则:
P(A)＋P(B)＝1.思考4：如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)与1的大小关系如何？
P(A)＋P(B)≤1.
思考5：如果事件A1,A2，…，An中任何两个都互斥,那么事件（A1+A2+…+An）的含义如何 P(A1+A2+…+An)与P(A1)，P(A2)，…，P(An)有什么关系？事件(A1
+
A2
+…+
An)表示事件A1,
A2,…,An中有一个发生；P(A1
+
A2
+…+
An)=
P(A1)+P(A2)+…+P(An).例4
如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件A）的概率是 ,取到方片(事件B)的概率是 ,问：(l)取到红色牌(事件C)的概率是多少 (2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？P(C)=P(A∪B)=
P(A)＋P(B)=0.5，P(D)=1-
P(C)=0.5.
例5
袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是
，得到黑球或黄球的概率是
，得到黄球或绿球的概率也是
，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？
四、课堂检测
1、判断下列事件是不是互斥事件？是不是对立事件？某射手射击一次，命中的环数大于8与命中的环数小于8；统计一个班级数学期末考试成绩，平均分不低于75分与平均分不高于75分；从装有3个红球和3个白球的口袋内任取2个球，至少有一个白球和都是红球。
答案：①是互斥事件但不是对立事件；②既不是互斥事件也不是对立事件是互斥事件有是对立事件。2、由经验得知，在某建设银行营业窗口排队等候存取款的人数及其概率如下：排队人数0
～
10
人11
～
20
人21
～
30
人31
～
40
人41人以上
概率
0.12
0.27
0.30
0.23
0.08计算：（1）至多20人排队的概率；
（2）至少11人排队的概率。
五、小结评价
事件的各种关系与运算，可以类比集合的关系与运算，总结如下表符号Venn图概率论集合论必然事件全集不可能事件空集A事件子集事件B包含事件A（事件A发生，则B一定发生）
集合B包含集合AA
=
B事件A与事件B相等集合A与集合B相等A∪B（A+B）事件A与事件B的并事件（或者事件A发生，或者事件B发生）集合A与集合B的并A∩B（AB）事件A与事件B的交事件（事件A发生，且事件B发生）集合A与集合B的交A∩B＝事件A与事件B互斥（事件A和事件B不能同时发生）集合A与集合B不相交A∩B＝A∪B＝事件A与事件B对立（事件A与事件B有且仅有一个发生）集合A与集合B不相交2.
在一次试验中，两个互斥事件不能同时发生，它包括一个事件发生而另一个事件不发生，或者两个事件都不发生，两个对立
事件有且仅有一个发生；3.
事件(A+B)或(A∪B),表示事件A与事件B至少有一个发生,事件(AB)或A∩B,表事件A与事件B同时发生.4.
概率加法公式是对互斥事件而言的，
一般地，P(A∪B)≤P(A)＋P(B).3.1.3
概率的基本性质
课题
3.1.3
概率的基本性质
三维教学目标
知识与能力
（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=
P(A)+
P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)=
P(A)+
P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)（AB层）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.
过程与方法
通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。
情感、态度、价值观
通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习
数学的情趣。
教学内容分析
教学重点
概率的加法公式及其应用，
教学难点
事件的关系与运算。
教
学
流
程
与
教
学
内
容
创设情境：（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5}等；（2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C1={出现1点}，C2={出现2点}，C3={出现1点或2点}，C4={出现的点数为偶数}……师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115；（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=
P(A)+
P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)=
P(A)+
P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．例题分析：例1
一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件 哪些是对立事件 事件A：命中环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；
事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。例2
抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P(A)=，P(B)=，求出“出现奇数点或偶数点”．分析：抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，可用运用概率的加法公式求解．例3
如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是，取到方块（事件B）的概率是，问：（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？分析：事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)=1—P(C)．例4
袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．4、巩固练习：P121
练习1，4，5
P123习题3.1
A组1（AB层）某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率；（2）少于7环的概率。5、课堂小结：概率的基本性质：（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；（2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=
P(A)+
P(B)；（3）若事件A与B为对立事件，则P(A)=1—P(B)；（4）互斥事件与对立事件的区别与联系：对立事件互斥事件的特殊情形。
课后学习
1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；（2）至少有1件次品和全是次品；（3）至少有1件正品和至少有1件次品；（4）至少有1件次品和全是正品；2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P（A）=，P（B）=，求出现奇数点或2点的概率之和。（AB层）P124
B组1，2
教学反思
本课中概念多，学生易混淆。可多举生活上的实例，结合韦恩图，重点突出对立事件互斥事件的概念的理解、概率公式及其关系。3.1.3 概率的基本性质
1.抽查10件产品,记事件A为“至少有2件次品”,则A的对立事件为( )
A.至多有2件次品
B.至多有1件次品
C.至多有2件正品
D.至少有2件正品
解析:至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10共9种结果,故它的对立事件为含有1或0件次品.
答案:B
2.已知P(A)=0.1,P(B)=0.2,则P(A∪B)等于( )
A.0.3
B.0.2
C.0.1
D.不确定
解析:由于不能确定A与B互斥,则P(A∪B)的值不能确定.
答案:D
3.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则抽查一件产品抽得正品的概率为( )
A.0.09
B.0.98
C.0.97
D.0.96
解析:∵某产品分甲、乙、丙三级,
∴对产品抽查一件只可能是甲、乙、丙某一个等级,
∴抽查一件得正品与得乙级或丙级是对立事件,
∴抽查一件得正品的概率为1-(0.03+0.01)=0.96.
答案:D
4.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8g的概率为0.3,质量小于4.85g的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85]范围内的概率是( )
A.0.62
B.0.38
C.0.02
D.0.68
解析:设质量小于4.8g为A,小于4.85g为B,在[4.8,4.85]范围内为C,则A∪C=B,又A与C互斥,
∴P(A∪C)=P(A)+P(C)=P(B),
即0.3+P(C)=0.32,∴P(C)=0.02.
答案:C
5.从一批产品中取出3件产品,设A:“三件产品全不是次品”,B:“三件产品全是次品”,C:“三件产品不全是次品”,则下列结论正确的是( )
A.A与C互斥
B.B与C互斥
C.任何两个均互斥
D.任何两个均不互斥
解析:∵C包含三件产品中三正,二正一次,一正二次三种情况,∴A,B互斥,B,C互斥且对立.
答案:B
6.某人投篮时,连续投篮2次,事件“两次均未投中”的对立事件是 .
答案:至少有一次投中
7.掷一枚质地均匀的骰子,出现偶数点的概率为 .
解析:记“出现2点”为事件A,“出现4点”为事件B,“出现6点”为事件C,则P(A)=P(B)=P(C)=.记“出现偶数点”为事件D.则D=A∪B∪C.
∴P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=.
答案:
8.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,所选3人中至少有1名女生的概率为,那么所选3人中都是男生的概率为 .
解析:所选3人中都是男生与至少有1名女生是对立事件,所以所求概率为1-.
答案:
9.在数学考试中,小明的成绩在90分以上的概率是0.18,在80分~89分的概率是0.51,在70分~79分的概率是0.15,在60分~69分的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07,计算:
(1)小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率;
(2)小明考试及格的概率.
解:记小明的成绩“在90分以上”“在80分~89分”“在70分~79分”“在60分~69分”为事件B,C,D,E,这四个事件彼此互斥.
(1)小明成绩在80分以上的概率是:
P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.
(2)小明及格的概率是:
方法一:P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
方法二:小明不及格的概率为0.07,小明及格的概率为:1-0.07=0.93.
10.袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是,试求得到黑球,得到黄球,得到绿球的概率各是多少
解:从袋中任取一球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A,B,C,D,则有
P(B∪C)=P(B)+P(C)=;
P(C∪D)=P(C)+P(D)=;
P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-.
解得P(B)=,P(C)=,P(D)=.
即得到黑球,得到黄球,得到绿球的概率各是.3.1.3 概率的基本性质
课时目标 1.了解事件间的相互关系.2.理解互斥事件、对立事件的概念.3.会用概率的加法公式求某些事件的概率．
知识梳理
1．事件的关系与运算
(1)包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A________，则事件B________，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)．记作________________．不可能事件记作 ，任何事件都包含____________．一般地，如果B A，且A B，那么称事件A与事件B________，记作________．
(2)并事件
若某事件发生当且仅当______________________，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A＋B)．
(3)交事件
若某事件发生当且仅当______________________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)．
(4)互斥事件与对立事件
①互斥事件的定义
若A∩B为________________(A∩B＝__________)，则称事件A与事件B互斥．
②对立事件的含义
若A∩B为________________，A∪B是__________，则称事件A与事件B互为对立事件．
2．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围__________．
(2)________的概率为1，__________的概率为0.
(3)概率加法公式
如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝____________.
特殊地，若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
P(A∪B)＝____，P(A∩B)＝____.
作业设计
一、选择题
1．给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则( )
A．A B
B．A B
C．A与B互斥
D．A与B互为对立事件
2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )
A．A D
B．B∩D＝
C．A∪C＝D
D．A∪B＝B∪D
3．从1,2，…，9中任取两个数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述几对事件中是对立事件的是( )
A．①
B．②④
C．③
D．①③
4．下列四种说法：
①对立事件一定是互斥事件；
②若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；
④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．
其中错误的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
5．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8
g的概率为0.3，质量小于4.85
g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]g范围内的概率是( )
A．0.62
B．0.38
C．0.02
D．0.68
6．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )
A.
B.
C.
D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，则摸出黑球的概率是________．
8．甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是，乙队胜的概率是，则甲队胜的概率是________．
9．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为，则至少有一个5点或6点的概率是________．
三、解答题
10．某射手射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率分别是0.24,0.28,0.19,0.16，计算这名射手射击一次．
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
11．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前四声内被接的概率是多少？
能力提升
12．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
13．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
年最高水位(单位：m)
[8,10)
[10,12)
[12,14)
[14,16)
[16,18)
概率
0.1
0.28
0.38
0.16
0.08
计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：
(1)[10,16)(m)；(2)[8,12)(m)；(3)水位不低于12
m.
反思感悟
1．互斥事件与对立事件的判定
(1)利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．
(2)利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B.①事件A与B互斥，即集合A∩B＝ ；②事件A与B对立，即集合A∩B＝ ，且A∪B＝I，也即A＝ IB或B＝ IA；③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.
2．运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率然后用加法公式求出结果．
3．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．
答案：
3．1.3 概率的基本性质
知识梳理
1．(1)发生 一定发生 B A或A B 不可能事件 相等 A＝B (2)事件A发生或事件B发生
(3)事件A发生且事件B发生 (4)①不可能事件 ②不可能事件 必然事件 2.(1)0≤P(A)≤1
(2)必然事件 不可能事件 (3)P(A)＋P(B) 1 0
作业设计
1．C
2．D [“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D.]
3．C [从1,2，…，9中任取两个数，有以下三种情况：
(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数．①中“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”是同一个事件，因此不互斥也不对立；②中“至少有一个奇数”包括“两个都是奇数”这个事件，可以同时发生，因此不互斥也不对立；④中“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”，可以同时发生，因此不互斥也不对立；③中是对立事件，故应选C.]
4．D [对立事件一定是互斥事件，故①对；
只有A、B为互斥事件时才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故②错；
因A，B，C并不是随机试验中的全部基本事件，
故P(A)＋P(B)＋P(C)并不一定等于1，故③错；
若A、B不互斥，尽管P(A)＋P(B)＝1，
但A，B不是对立事件，故④错．]
5．C [设“质量小于4.8
g”为事件A，“质量小于4.85
g”为事件B，“质量在[4.8,4.85]g”为事件C，则A∪C＝B，且A、C为互斥事件，所以P(B)＝P(A∪C)＝P(A)＋P(C)，则P(C)＝P(B)－P(A)＝0.32－0.3＝0.02.]
6．C [记录取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E互斥，取到理科书的概率为事件B、D、E概率的和．
∴P(B∪D∪E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)
＝＋＋＝.]
7．0.30
解析 P＝1－0.42－0.28＝0.30.
8.
解析 设甲队胜为事件A，
则P(A)＝1－－＝.
9.
解析 没有5点或6点的事件为A，则P(A)＝，至少有一个5点或6点的事件为B.
因A∩B＝ ，A∪B为必然事件，所以A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
故至少有一个5点或6点的概率为.
10．解 设“射中10环”，“射中9环”，“射中8环”，“射中7环”的事件分别为A、B、C、D，则A、B、C、D是互斥事件，
(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
＝0.24＋0.28＝0.52；
(2)P(A∪B∪C∪D)
＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.
答 射中10环或9环的概率是0.52，至少射中7环的概率为0.87.
11．解 记“响第1声时被接”为事件A，“响第2声时被接”为事件B，“响第3声时被接”为事件C，“响第4声时被接”为事件D.“响前4声内被接”为事件E，则易知A、
B、C、D互斥，且E＝A∪B∪C∪D，所以由互斥事件的概率的加法公式得
P(E)＝P(A∪B∪C∪D)
＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9.
12．解 (1)记“他乘火车去”为事件A1，“他乘轮船去”为事件A2，“他乘汽车去”为事件A3，“他乘飞机去”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．
故P(A1∪A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.
所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P，
则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，
故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．
13．解 设水位在[a，b)范围的概率为P([a，b))．
由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，由概率加法公式得：
(1)P([10,16))＝P([10,12))＋P([12,14))＋P([14,16))
＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)P([8,12))＝P([8,10))＋P([10,12))
＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)记“水位不低于12
m”为事件A，
P(A)＝1－P([8,12))＝1－0.38＝0.62.
