第二课时
圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
旋转体
[提出问题]
如图，给出下列实物图．
问题1：上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？
提示：它们不是由平面多边形围成的．
问题2：上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否以某平面图形旋转而成？
提示：可以．
问题3：如何形成上述几何体的曲面？
提示：可将半圆、直角梯形、直角三角形绕一边所在直线为轴旋转而成．
[导入新知]
旋转体
结构特征
图形
表示
圆柱
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，左图可表示为圆柱OO′
圆锥
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为圆锥SO
圆台
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
我们用表示圆台轴的字母表示圆台，左图可表示为圆台OO′
球
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径
球常用球心字母进行表示，左图可表示为球O
[化解疑难]
1．以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥．
2．球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．
3．圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的垂直平分线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．
简单组合体
[提出问题]
2013年6月13日13时18分，“天宫一号”目标飞行器与“神舟”十号飞船实现自动交会对接．这是“天宫一号”自2011年9月发射入轨以来第五次与神舟飞船成功实现交会对接．下图为“天宫一号”目标飞行器的结构示意图．
其主体结构如上面右图所示．
问题1：该几何体由几个简单几何体组合而成？
提示：4个．
问题2：图中标注的①②③④部分分别为什么几何体？
提示：①为圆台，②为圆柱，③为圆台，④为圆柱．
[导入新知]
1．简单组合体的概念
由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
2．简单组合体的构成形式
有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．
[化解疑难]
简单组合体识别的要求
(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征．
(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式．
(3)若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)．
旋转体的结构特征
[例1] 给出下列说法：(1)以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(2)以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(3)经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；(4)圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆直径．其中说法正确的序号是________．
[答案] (2)(3)(4)
[类题通法]
1．判断简单旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成．
(2)明确旋转轴是哪条直线．
2．简单旋转体的轴截面及其应用
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
[活学活用]
给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．
答案：(1)(2)
简单组合体
[例2] 观察下列几何体的结构特点，完成以下问题：
(1)图①所示几何体是由哪些简单几何体构成的？试画出几何图形，可旋转该图形180°后得到几何体①.
(2)图②所示几何体的结构特点是什么？试画出几何图形，可旋转该图形360°得到几何体②.
(3)图③所示几何体是由哪些简单几何体构成的？请说明该几何体的面数、棱数、顶点数．
[解] (1)图①是由圆锥和圆台组合而成．
可旋转如下图形180°得到几何体①.
(2)图②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心．
可旋转如下图形360°得到几何体②.
(3)图③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面相同．共有9个面，9个顶点，16条棱．
[类题通法]
1．明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数．
2．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．
[活学活用]
指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．
解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成；
(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成；
(3)几何体由一个六棱柱挖去一个圆柱而成．
[典例] 如图，四边形ABCD为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体．
[解题流程]
[规范解答]
以边AD所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是圆台，如图(1)所示．
以边AB所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接而成的几何体，如图(2)所示．
以边CD所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是一个圆柱挖掉一个圆锥构成的几何体，如图(3)所示．
以边BC所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是由一个圆台挖掉一个圆锥构成的几何体和一个圆锥拼接而成，如图(4)所示．
[活学活用]
一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？
解：如图①和②所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥．
如图③所示，绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个同底相对的圆锥．
如图④所示，绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转180°围成的几何体是两个半圆锥，旋转360°围成的几何体是一个圆锥．
[随堂即时演练]
1.右图是由哪个平面图形旋转得到的( )
答案：A
2．下列说法中错误的是( )
A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B．圆锥的平行于轴的截面是等腰三角形
C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆
D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
答案：B
3．等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°，所得几何体是________．
答案：圆锥
4．如图所示的组合体的结构特征为______________．
答案：一个四棱锥和一个四棱柱的组合体
5.如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．
解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形
B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形
C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形
答案：C
2．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )
A．一个圆台、两个圆锥
B．两个圆台、一个圆柱
C．两个圆柱、一个圆台
D．一个圆柱、两个圆锥
答案：D
3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( )
A．两个圆锥拼接而成的组合体
B．一个圆台
C．一个圆锥
D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
答案：D
4．下列叙述中正确的个数是( )
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：B
5.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )
A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形
答案：D
二、填空题
6．有下列说法：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点连线是圆柱的母线；
②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的．
其中正确的是________(把所有正确说法的序号都填上)．
答案：②④
7．下面这个几何体的结构特征是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
答案：由一个四棱锥、一个四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱而成
8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．
答案：圆柱
三、解答题
9．指出如图①②③所示的图形是由哪些简单几何体构成的．
解：分割原图，使它的每一部分都是简单几何体．
图①是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
图②是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
图③是由一个半球、一个圆柱和一个圆台拼接而成的简单组合体．
10.如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别为2
cm和5
cm，圆台的母线长是12
cm，求圆锥SO的母线长．
解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2
cm，下底半径OB＝5
cm，且腰长AB＝12
cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得＝，所以l＝20
cm，即截得此圆台的圆锥的母线长为20
cm.第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
空间几何体与多面体
[提出问题]
观察下列图片：
问题1：图片(1)(2)(3)中的物体的形状有何特点？
提示：由若干个平面多边形围成．
问题2：图片(4)(5)(6)(7)的物体的形状与(1)(2)(3)中有何不同？
提示：(4)(5)(6)的表面是由平面与曲面围成的，(7)的表面是由曲面围成的．
问题3：图片(4)(5)(6)(7)中的几何体是否可以看作平面图形绕某定直线旋转而成？
提示：可以．
[导入新知]
1．空间几何体
概念
定义
空间几何体
在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体
多面体
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
旋转体
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴
2．多面体
多面体
定义
图形及表示
相关概念
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
如图可记作：棱柱ABCD
A′B′C′D′
底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点
棱锥
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
如图可记作：棱锥S ABCD
底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点
棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台
如图可记作：棱台ABCD
A′B′C′D′
上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
[化解疑难]
1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：
(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体．
(2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分．
2．棱柱具有以下结构特征和特点：
(1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形．
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a所示．
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b所示．
(4)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图c所示．
3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形，如图d所示．
4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．
棱柱的结构特征
[例1] 下列关于棱柱的说法：
(1)所有的面都是平行四边形；
(2)每一个面都不会是三角形；
(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确说法的序号是________．
[答案] (3)(4)
[类题通法]
有关棱柱的结构特征问题的解题策略
(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析．
①两个面互相平行；
②其余各面是四边形；
③相邻两个四边形的公共边互相平行．
求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．
[活学活用]
下列说法正确的是( )
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．各个侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形
答案：D
棱锥、棱台的结构特征
[例2] 下列关于棱锥、棱台的说法：
(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；
(3)棱锥的侧面只能是三角形；
(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中说法正确的序号是________．
[答案] (2)(3)(4)
[类题通法]
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法：
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法：
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
[活学活用]
下列说法正确的有( )
①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
答案：A
多面体的平面展开图
[例3] 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
[解] 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
[类题通法]
1．解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．
2．若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．
3．若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．
[活学活用]
水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )
A．1
B．7
C．快
D．乐
答案：B
[典例] 如图所示，下列关于这个几何体的正确说法的序号为________．
(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．
[解析] (1)正确，因为有六个面，属于六面体的范围；
(2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；
(3)正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；
(4)(5)都正确，如图所示．
[答案] (1)(3)(4)(5)
[易错防范]
1．解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理．
2．解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断．
[成功破障]
如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A．棱柱
B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体
D．不能确定
答案：A
[随堂即时演练]
1．下列几何体中，棱柱的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：D
2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
答案：D
3．棱锥最少有________个面．
答案：4
4．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．(仅填相应序号)
答案：③ ⑤ ①④
5．(1)三棱锥、四棱锥、十五棱锥分别有多少条棱，多少个面？
(2)有没有一个多棱锥，其棱数是2
016？若有，求出有多少个面；若没有，说明理由．
解：(1)三棱锥有6条棱、4个面；四棱锥有8条棱、5个面；十五棱锥有30条棱、16个面．
(2)有1
007个面．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列图形中，不是三棱柱的展开图的是( )
答案：C
2.如图所示，在三棱台ABC A′B′C′中，截去三棱锥A′ ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥
B．四棱锥
C．三棱柱
D．组合体
答案：B
3．下列说法正确的是( )
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②三棱柱的侧面为三角形；
③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
④棱锥的各侧棱长都相等．
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
答案：B
4．(广东高考)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )
A．20
B．15
C．12
D．10
答案：D
5．下列命题正确的是( )
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C．棱台的底面是两个相似的正方形
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
答案：D
二、填空题
6．面数最少的棱柱为________棱柱，共有________个面围成．
答案：三 5
7．如图，M是棱长为2
cm的正方体ABCD A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________
cm.
答案：
8．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．
侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体．
侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．
底面是矩形的直平行六面体叫做长方体．
棱长都相等的长方体叫做正方体．
请根据上述定义，回答下面的问题：
(1)直四棱柱________是长方体；
(2)正四棱柱________是正方体．(填“一定”“不一定”或“一定不”)
答案：(1)不一定 (2)不一定
三、解答题
9．如图所示，长方体ABCD
A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．
解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．
(2)截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1M CC1N，下方部分是四棱柱ABMA1 DCND1.
10．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．
解：如图①所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．
如图②所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．1．2.3 空间几何体的直观图
斜二测画法
[提出问题]
美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系．
问题1：在画实物图的平面图形时，其中的直角在图中一定画成直角吗？
提示：为了直观，不一定．
问题2：正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么？为什么？
提示：平行四边形、扁圆形．为增加直观性．
问题3：这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗？
提示：不相同．
[导入新知]
1．用斜二测画法画平面图形的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，
两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．
[化解疑难]
1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
2．用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．
水平放置的平面图形的直观图
[例1] 按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．
[解] 画法：
(1)在图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H.
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD.
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．
[类题通法]
1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
[活学活用]
如图是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出它的直观图．
解：画法：(1)以AB边所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，两轴相交于点O(如图①)，画相应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°(如图②)．
(2)在图②中，以O′为中点，在x′轴上截取A′B′＝AB；分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′＝AE，B′C′＝BC；在y′轴上截取O′D′＝OD.
(3)连接E′D′，D′C′，C′E′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便得到平面图形ABCDE水平放置的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．
空间几何体的直观图
[例2] 用斜二测画法画棱长为2
cm的正方体ABCD
A′B′C′D′的直观图．
[解] 画法：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝2
cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1
cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2
cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图(如图②)．
[类题通法]
画空间图形的直观图的原则
(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段．
(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的.
[活学活用]
如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
解：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′.
(3)画正四棱锥顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．
(4)成图．连接PA′，PB′，PC′，PD′，A′A，B′B，C′C，D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.
直观图的还原和计算问题
[例3] 如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝
O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求原图形的面积．
[解] 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形(如图)．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
所以面积为S＝×2＝5.
[类题通法]
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
[活学活用]
如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是________．
答案：
[典例]
一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为( )
A．2
B.
C．2
D．4
[解析]
如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高．原梯形的高OC是直观图中OC′长度的2倍，OC′的长度是直观图中梯形的高的倍．由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2倍，故其面积是梯形OA′B′C′面积的2倍，梯形OA′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4.
[答案] D
[易错防范]
1．原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样，但高的长度不一样．原梯形的高OC是直观图中OC′的长度的2倍，OC′长度是直观图中梯形的高的倍，此处易出错．
2．解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化，直观图面积S′与原图形面积S满足S′＝S.
[成功破障]
如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为( )
A．2
B．4
C．2
D．4
答案：D
[随堂即时演练]
1．关于斜二测画法，下列说法不正确的是( )
A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的
C．在画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
答案：C
2．利用斜二测画法得到的下列结论中，正确的是( )
①两条相交直线的直观图是平行直线；
②两条垂直直线的直观图是垂直直线；
③正方形的直观图是平行四边形；
④梯形的直观图是梯形．
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
答案：B
3.已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为________．
答案：9
4.如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为________．
答案：
5．画边长为1
cm的正三角形的水平放置的直观图．
解：(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5
cm，
在y′轴上截取O′A′＝AO＝
cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．
[课时达标检测]
一、选择题
1．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )
答案：A
2．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．任意三角形
答案：C
3．如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1
cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )
A．6
cm
B．8
cm
C．(2＋3)
cm
D．(2＋2)
cm
答案：B
4.如图所示的水平放置的三角形的直观图中，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中( )
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
答案：C
5．已知正三角形ABC的边长为a，那么正三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积是( )
A.a2
B.a2
C.a2
D.a2
答案：D
二、填空题
6.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．
答案：10
7．在如图所示的平面直角坐标系中，得到的边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是________．
答案：(3)
8.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，原平面图形的面积为________．
答案：2＋
三、解答题
9.如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．
解：画法：(1)如图②，画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
(2)在图①中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′.在图②中，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.
(3)连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图②.
10．已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：cm)．
解：画法：
(1)如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)在x轴上取线段OB＝8
cm，在y
轴上取线段OA′＝2
cm，以OB和OA′为邻边作平行四边形OBB′A′.
(3)在z轴上取线段OC＝4
cm，过C
分别作x轴、y轴的平行线，并在平行线上分别截取CD
＝4
cm，CC′＝2
cm.以CD和CC′为邻边作平行四边形CDD′C′.
(4)连接A′C′，BD，B′D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到该几何体的直观图(如图②)．1．2.1
&
1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图
中心投影与平行投影
[提出问题]
《泰坦尼克号》是一部浪漫的爱情灾难电影，于1997年11月1日开始，在全球上映，票房收入超过18亿美元，并获得了多项奥斯卡奖项.15年之后，《泰坦尼克号》再次被搬上了荧屏，而这次的宣传噱头则是3D.《泰坦尼克号(3D)》让观众在明知下一步剧情发展的情况下，仍然会因为发生在“眼前”的真实爱情悲歌热泪盈眶．从上图中我们可以清楚地看到3D电影是怎么一回事：两个投影机会从不同的方向错开一定距离，把画面中有距离区别的部分投射到荧幕上．而观众所佩戴的3D眼镜也会选择不同的光线进入左右眼，这样你就能看到物体“前于画面”或“后于画面”的视觉假象了．
电影的播放实质是利用了小孔成像原理，而太阳光下地面上人的影子是阳光照射到人后留下的影像．
放电影和太阳光照射成影像都具备光线、不透明物体和投影面这些相同的条件．
问题1：放电影成像与太阳光照射成像原理一样吗？
提示：不一样．
问题2：放电影成像中的光线有何特点？
提示：光是由一点向外散射．
问题3：太阳光照人成影像的光线又有何特点？
提示：一束平行光线．
[导入新知]
1．投影的定义
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．
2．中心投影与平行投影
投影
定义
特征
分类
中心投影
光由一点向外散射形成的投影
投影线交于一点
平行投影
在一束平行光线照射下形成的投影
投影线互相平行
正投影和斜投影
[化解疑难]
平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法，但二者又有区别
(1)中心投影的投影线交于一点，平行投影的投影线互相平行．
(2)平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．
三
视
图
[提出问题]
如梦似幻！——这是无数来自全世界的游客对国家游泳中心“水立方”的第一印象．同天安门、故宫、长城等北京标志性建筑一样，“水立方”成了游客在北京的必到之地．
问题1：“水立方”的外观形状是什么？
提示：长方体．
问题2：假如你站在“水立方”入口处的正前方或在“水立方”的左侧看“水立方”，你看到的是什么？
提示：“水立方”的一个侧面．
问题3：若你在“水立方”的正上方观察“水立方”看到的是什么？
提示：“水立方”的一个表面．
问题4：根据上述三个方向观察到的平面，能否画出“水立方”的形状？
提示：可以．
[导入新知]
三视图
概念
规律
正视图
光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图
一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样
侧视图
光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图
俯视图
光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图
[化解疑难]
1．每个视图都反映物体两个方向上的尺寸．正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸．
2．画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示．
中心投影与平行投影
[例1] 下列说法中：
①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；
②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；
③两条相交直线的平行投影是两条相交直线．
其中正确的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[答案] B
[类题通法]
1．判定几何体投影形状的方法．
(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．
(2)对于平行投影，当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影具有以下性质：
①直线或线段的投影仍是直线或线段；
②平行直线的投影平行或重合；
③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；
④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；
⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．
2．画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影．
[活学活用]
如图，在正方体ABCD
A′B′C′D′中，E，F分别是A′A，C′C的中点，则下列判断正确的序号是________．
①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；
②四边形BFD′E在平面A′D′DA内的投影是菱形；
③四边形BFD′E在平面A′D′DA内的投影与在平面ABB′A内的投影是全等的平行四边形．
答案：①③
画空间几何体的三视图
[例2] 画出如右图所示的四棱锥的三视图．
[解] 几何体的三视图如下：
[类题通法]
画三视图的注意事项
(1)务必做到长对正，宽相等，高平齐．
(2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．
(3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
[活学活用]
沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
答案：B
由三视图还原空间几何体
[例3] 如图所示的三视图表示的几何体是什么？画出物体的形状．
(1)
(2)
(3)
[解析] (1)该三视图表示的是一个四棱台，如右图．
(2)由俯视图可知该几何体是多面体，结合正视图、侧视图可知该几何体是正六棱锥．如下图．
(3)由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，所以该几何体的形状如右图所示．
[类题通法]
由三视图还原几何体时，一般先由俯视图确定底面，由正视图与侧视图确定几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状．
[活学活用]
如图(1)(2)(3)(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )
A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台
D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
答案：C
[典例] 某几何体及其俯视图如图所示，下列关于该几何体正视图和侧视图的画法正确的是( )
[解析] 该几何体是由圆柱切割而得，由俯视图可知正视方向和侧视方向，进一步可画出正视图和侧视图(如图所示)，故选A.
[答案] A
[易错防范]
1．易忽视该组合体的结构特征是由圆柱切割而得到，对正视方向与侧视方向的判断不正确而出错．
2．三种视图中，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画成虚线．画三视图时，一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误．
[成功破障]
沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是( )
答案：D
[随堂即时演练]
1.(天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )
答案：B
2.如图，在正方体ABCD
A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影为( )
答案：A
3．直线的平行投影可能是________．
答案：直线或点
4.如图，在多面体ABC A′B′C′中，底面ABC为正三角形，三条侧棱AA′，BB′，CC′分别平行，侧棱垂直于底面ABC，且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，则下面图形可视为多面体ABC A′B′C′的正视图的是________．
答案：④
5．画出如图所示几何体的三视图．
解：图①为正六棱柱，可按棱柱的画法画出；图②为一个圆锥与一个圆台的组合体，按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状．三视图如图所示．
[课时达标检测]
一、选择题
1．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影(阴影部分)效果如图，则在字母L，K，C的投影中，与字母N属同一种投影的有( )
答案：A
2．(江西高考)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
答案：D
3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
答案：B
4．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
答案：C
5．将正方体(如图①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )
答案：B
二、填空题
6．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于________．
答案：
7．如图甲所示，在正方体ABCD
A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的________．
答案：(1)(2)(3)
8．两条平行线在一个平面内的正投影可能是________．
①两条平行线；②两个点；③两条相交直线；④一条直线和直线外的一点；⑤一条直线．
答案：①②⑤
三、解答题
9．如图所示，画出下列组合体的三视图．
解：三视图如图①②所示．
10．某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征．
解：该三视图表示的是组合体，如图所示，是7个小正方体拼接而成的组合体．1．3.2 球的体积和表面积
球的体积和表面积
[提出问题]
从生活经验中我们知道，不能将橘子皮展成平面，因为橘子皮近似于球面，这种曲面不能展成平面图形．那么，人们又是怎样计算球面的面积的呢？古人在计算圆周率时，一般是用割圆术，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长．理论上，只要取得圆内接正多边形的边数越多，圆周率越精确，直到无穷．这种思想就是朴素的极限思想．
问题1：运用上述思想能否计算球的表面积和体积？
提示：可以．
问题2：求球的表面积和体积需要什么条件？
提示：已知球的半径即可．
[导入新知]
1．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝πR3.
2．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．
[化解疑难]
1．一个关键
把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．
2．两个结论
(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．
(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方．
球的体积与表面积
[例1] 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比．
[解] 设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，
则由题意得
∴π(2R)2·h＝πR3，∴R＝h，r＝2h，
∴l＝＝
h，
∴S圆锥侧＝πrl＝π×2h×h＝2πh2，S球＝4πR2＝4πh2，
∴＝＝.
[类题通法]
求球的体积与表面积的方法
(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．
(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
[活学活用]
球的体积是，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
C.
D.
答案：B
根据三视图计算球的体积与表面积
[例2] 一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm2.
[答案] 4π＋12
[类题通法]
1．由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．
2．计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉．
[活学活用]
如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( )
A．18π
B．30π
C．33π
D．40π
答案：C
球的截面问题
[例3] 已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．
[解] 如图所示，设以r1为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，球的半径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：
r＝R2－x2且πr＝π(R2－x2)＝8π，
r＝R2－(x＋1)2且πr＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，
于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，
即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，
∴2x＝2，即x＝1.
又∵π(R2－x2)＝8π，
∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3.
球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.
[类题通法]
球的截面问题的解题技巧
(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．
(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
[活学活用]
已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积与球的体积．
解：如图，设球心为O，球半径为R，作OO1垂直平面ABC于O1，由于OA＝OB＝OC＝R，
则O1是△ABC的外心．
设M是AB的中点，
由于AC＝BC，则O1在CM上．
设O1M＝x，易知O1M⊥AB，设O1A＝，
O1C＝CM－O1M＝－x.
又O1A＝O1C，∴＝－x.
解得x＝.则O1A＝O1B＝O1C＝.
在Rt△OO1A中，O1O＝，∠OO1A＝90°，OA＝R.由勾股定理得2＋2＝R2.解得R＝.
故S球＝4πR2＝54π，V球＝πR3＝27π.
1．探究与球有关的组合问题
[典例] 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．
[解析] 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝＝，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.
[答案] 14π
[多维探究]
1．球的内接正方体问题
若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的体积．
解：正方体的外接球直径等于正方体的对角线长，
即2R＝×2，所以R＝，
所以V球＝·π·()3＝4π.
2．球内切于正方体问题
将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
3．球的内接正四面体问题
若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．
解：把正四面体放在正方体中，
设正方体棱长为x，则a＝x，
由题意2R＝x＝×＝a，
∴S球＝4πR2＝aπ＝aπ.
4．球的内接圆锥问题
球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．
解析：①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为
＝，高为.
该圆锥的体积为×π×2×＝πr3，球体积为πr3，∴该圆锥的体积和此球体积的比值为＝.
②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为.
答案：或
5．球的内接直棱柱问题
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2
B.πa2
C.πa2
D．5πa2
答案：B
[方法感悟]
1．正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面，如图(1)．
2．球与正方体的各条棱相切
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝，如图(2)．
3．长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝
，如图(3)．
4．正方体的外接球
正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.
5．正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a.
[随堂即时演练]
1．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( )
A．1∶9
B．1∶27
C．1∶3
D．1∶1
答案：A
2．棱长为2的正方体的外接球的表面积是( )
A．8π
B．4π
C．12π
D．16π
答案：C
3．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍．
答案：8
4．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________．
答案：16π
5．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积．
(2)已知球的体积为36π，求它的表面积．
答案：(1)表面积：4π，体积：π. (2)36π.
[课时达标检测]
一、选择题
1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )
A．2∶3
B．4∶9
C.∶
D.∶
答案：B
2．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
答案：B
3．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为( )
A．4∶3
B．3∶1
C．3∶2
D．9∶4
答案：C
4．(全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是( )
A．17π
B．18π
C．20π
D．28π
答案：A
5．(山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.＋π
B.＋π
C.＋π
D．1＋π
答案：C
二、填空题
6．圆柱形容器的内壁底半径是10
cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了
cm，则这个铁球的表面积为________
cm2.
答案：100π
7．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．
答案：π
8．(天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
答案：18＋9π
三、解答题
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
10．用两个平行平面去截半径为R的球面，两个截面圆的半径为r1＝24
cm，r2＝15
cm，两截面间的距离为d＝27
cm，求球的表面积．
解：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于A1B1，A2B2，上述大圆的垂直于A1B1的直径交两截面圆于O1，O2，设球心到两截面的距离分别为d1，d2，
则解得R＝25.
当|d1－d2|＝27时，
其与②③组成的方程组无解．
∴S球＝4πR2＝2
500π(cm2)．1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
柱体、锥体、台体的表面积与体积
[提出问题]
南京青年奥运会的前奏是奥运圣火的传递，圣火由“幸福之门”火炬承载，传遍五洲四海，弘扬奥林匹克精神．“幸福之门”火炬外形是细长的圆台形式，燃料为丙烷．
问题1：能否计算出“幸福之门”火炬的外层着色需要覆盖多大的面积？
提示：可以，即计算圆台的表面积．
问题2：能否计算其内部能盛装多少液态的丙烷？
提示：可以，即计算其容积．
[导入新知]
1．几种几何体的表面积公式
图形
表面积公式
多面体
多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积
旋转体
圆柱
底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2
圆锥
底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
2．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；
锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；
台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h.
[化解疑难]
对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识
(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．
(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍．
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系．
柱体、锥体、台体的表面积
[例1] 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．180
B．200
C．220
D．240
[答案] D
[类题通法]
1．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．
2．结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式求解．
[活学活用]
圆台的上、下底面半径分别是10
cm和20
cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，求圆台的表面积．
解：如图所示，设圆台的上底面周长为c
cm，由于扇环的圆心角是180°，则c＝π·SA＝2π×10，解得SA＝20(cm)．
同理可得SB＝40(cm)，
所以AB＝SB－SA＝20(cm)．
所以S表＝S侧＋S上＋S下
＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202
＝1
100π(cm2).
柱体、锥体、台体的体积
[例2] (天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.
[答案] 2
[类题通法]
求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积；同时，对不规则的几何体可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱体、锥体、台体的体积计算问题．
[活学活用]
已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20
cm和30
cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面的面积之和，求棱台的高和体积．
解：如图所示，在三棱台ABC A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中心，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，
所以S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′.
又A′B′＝20
cm，AB＝30
cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)．
由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325，
所以DD′＝(cm)．
又∵O′D′＝×20＝(cm)，
OD＝×30＝5(cm)，
∴棱台的高h＝O′O＝
＝
＝4(cm)，
由棱台的体积公式，可得棱台的体积为
V＝(S上＋S下＋)
＝×(325＋×20×30)
＝1
900(cm3).
简单组合体的表面积和体积
[例3] 已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．
[解] 如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为D.
由AC＝3，BC＝4，AB＝5，
知AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC.
∵BC·AC＝AB·CD，
∴CD＝，记为r＝，那么△ABC以AB所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r＝，母线长分别是AC＝3，BC＝4，
所以S表面积＝πr·(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π，
V＝πr2(AD＋BD)＝πr2·AB
＝π×2×5＝π.
所以，所求旋转体的表面积是π，体积是π.
[类题通法]
求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式，对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再分别代入公式求解．
[活学活用]
一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
答案：
[典例] 把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．
[解] 设圆柱的底面半径为r，母线长为l，高为h.
当2πr＝4，l＝2时，r＝，h＝l＝2，
所以V圆柱＝πr2h＝.
当2πr＝2，l＝4时，r＝，h＝l＝4，
所以V圆柱＝πr2h＝.
综上所述，这个圆柱的体积为或.
[易错防范]
把矩形卷成圆柱时，可以以4为底，2为高；也可以以2为底，4为高．容易漏掉一种情况，解决此类问题一定要考虑全面．
[成功破障]
如图，从底面半径为2a，高为a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比．
解：由题意知，S1＝2π·2a·a＋2π·(2a)2＝(4＋8)πa2，S2＝S1＋πa·(2a)－πa2＝(4＋9)πa2.∴S1∶S2＝(4＋8)∶(4＋9)．
[随堂即时演练]
1．(全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．20π B．24π C．28π D．32π
答案：C
2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2
B．1∶
C．1∶
D.∶2
答案：C
3．(天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
答案：π
4．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．
答案：100π
5．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．
解：表面积：(24＋8)
cm2，体积：8
cm3.
[课时达标检测]
一、选择题
1.如图，ABC A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C AA′B′B的体积是( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A．π
B．2π
C．4π
D．8π
答案：B
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
A．6
B．9
C．12
D．18
答案：B
4．(全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
5.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是( )
A．4，8
B．4，
C．4(＋1)，
D．8,8
答案：B
二、填空题
6．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
答案：12
7．(浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.
答案：72 32
8．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8
cm和18
cm，侧棱长为13
cm，则其表面积为________
cm2.
答案：1
012
三、解答题
9．如图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．(单位：cm)
解：由三视图知该几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致．长方体的长、宽、高分别是8,4,6，圆柱的高是8，底面半径是2，
∴表面积为S＝8×4＋2×8×6＋2×4×6＋2××π×22＋×2π×2×8＝176＋20π(cm2)，
体积为V＝8×4×6＋×π×22×8＝192＋16π(cm3)，
故该几何体的表面积为(176＋20π)cm2，体积为(192＋16π)cm3.
10．已知正三棱锥V
ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2，求该三棱锥的表面积．
解：由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，
且VA＝VB＝VC＝4，
AB＝BC＝AC＝2.
取BC的中点D，连接VD，
则VD⊥BC，
有VD＝
＝
＝，
则S△VBC＝×VD×BC＝××2＝，
S△ABC＝×(2)2×＝3，
所以，三棱锥V ABC的表面积为
3S△VBC＋S△ABC＝3＋3＝3(＋)．
