1．2.1 输入语句、输出语句和赋值语句
[提出问题]
已知小明同学在一次期中考试中语文、数学、英语学科成绩分别为120,126,110.
问题1：画出求三科平均分的框图．
提示：如图所示：
问题2：该问题能用计算机处理吗？如何操作？
提示：能．应将算法过程转化成计算机理解的语言．
[导入新知]
三种算法语句的格式及功能
名称
格式
功能
输入语句
INPUT“提示内容”；变量，其中“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息
把程序中新输入的值赋给变量
输出语句
PRINT“提示内容”；表达式
在计算机的屏幕上输出常量、变量的值和系统信息
赋值语句
变量＝表达式
将表达式所代表的值赋给变量．一般先计算“＝”右边表达式的值，然后把这个值赋给“＝”左边的变量
[化解疑难]
1．对输入语句的理解
(1)又称“键盘输入语句”，在程序运行过程中，计算机用户由键盘输入数，而不是需要在写程序时指定．
(2)输入语句要求输入的值是具体的常量．
(3)“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息，必须加双引号，提示内容会原原本本地在计算机屏幕上显示，提示内容与变量之间要用分号隔开，当然“提示内容”及后面的分号也可省略，直接输入数据．
(4)输入语句没有计算功能．
2．对输出语句的理解
(1)又称“打印语句”，将表达式的值在屏幕上显示出来；
(2)表达式可以是变量，计算公式或系统信息；
(3)一个语句可以输出多个表达式，不同的表达式之间可用逗号分隔；
(4)有计算功能，能直接输出计算公式的值．
3．对赋值语句的理解
(1)赋值语句中的“＝”是赋值号，其作用是将它右边的一个确定值赋给左边的一个变量，执行时先计算“＝”右边的值，再将该值赋给左边的变量，因此，赋值语句具有计算和赋值双重功能．但不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解、解方程等)，如y＝x2－1＝(x－1)(x＋1)，这是实现不了的．在赋值号右边表达式中每一个变量的值必须事先赋给确定的值．
(2)可以对一个变量多次赋值，每次赋的新值将取代变量中的原有值．
(3)赋值号两侧的内容不能随意互换，如A＝B与B＝A是不同的．
(4)赋值号的左侧只能是一个变量．
(5)一个赋值语句只能给一个变量赋值，如A＝B＝C＝3是错误的．
输入和输出语句
[例1] (1)利用输入语句可以给多个变量赋值，下面能实现这一功能的语句是( )
A．INPUT“A，B，C”a，b，c
B．INPUT“A，B，C”；a，b，c
C．INPUT
a，b，c；“A，B，C”
D．PRINT“A，B，C”；a，b，c
(2)编写一个程序，给定圆的半径，求圆的周长和面积(取π≈3.14)，要求输入圆的半径r的值，输出圆的周长L和面积S.
[解] (1)选B 提示内容与输入内容之间要用“；”隔开，故A错；提示内容在前，输入内容在后，故C错；输入语句用“INPUT”而非“PRINT”，故D错．
(2)程序如下：
[类题通法]
利用输入、输出语句编程应注意的问题
(1)输入语句没有计算功能，只能输入常量；而输出语句有计算功能，可以输出常量、变量或表达式的值以及字符．
(2)“提示内容”和变量之间用分号隔开，若输入(出)多个数，各数之间应用逗号隔开，“提示内容”可以省略．
(3)程序中运算符号要规范，输出语句不能输出一个等式，这是易错点．
[活学活用]
下列程序若输出的结果为3，则输入的x值可能是( )
A．1
B．－3
C．－1
D．1或－3
解析：选D 根据条件可知，x2＋2x＝3，解得x＝1或－3.
赋值语句
[例2] (1)看下面赋值语句的写法：
①x=2
y+z；②x=3，y=4，z=5；?
③x+y=7；④y=3.14
5；⑤y=x+z=3+4.?
其中写法正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
(2)阅读下列程序，并指出当a＝3，b＝－5时的计算结果：
① ② ③
输出结果：①a＝________，b＝________；
②a＝________，b＝________；
③a＝________，b＝________.
[解析] (1)①②④正确，③⑤错误．
(2)在程序①中，将a＋b＝－2的值赋给X，将a－b＝8的值赋给Y，然后将(X＋Y)/2的值3赋给a，将(X－Y)/2的值－5赋给b；在程序②中，将a＋b＝－2的值赋给a，将a－b＝3的值赋给b(注意，此时a的值为－2)，然后将(a＋b)/2的值0.5赋给a，将(a－b)/2的值－1.25赋给b(注意，此时a的值为0.5)；在程序③中，将a＋b＝－2的值赋给a，将a－b＝3的值赋给b(注意，此时a的值为－2)，然后将(a－b)/2的值－2.5赋给a，将(a＋b)/2的值0.25赋给b(注意，此时a的值为－2.5)．
[答案] (1)C (2)①3 －5 ②0.5 －1.25
③－2.5 0.25
[类题通法]
1．赋值语句的几种常见形式
(1)赋予变量常数值，如a＝1.
(2)赋予变量其他变量或表达式的值，如b＝a，b＝2a＋1.
(3)变量自身的值在原值上加常数或变量，如i＝i＋1，i＝i＋S.
2．根据程序求输出结果应注意以下两点
(1)根据给出的算法语句写结果，应抓住输入、输出语句和赋值语句的特点，按语句的计算、赋值功能依次执行．
(2)注意在算法语言中常见运算符号的书写方式，明确它们的运算规则：先乘除，后加减；乘幂优先于乘除；同级运算从左向右按顺序进行；括号内最优先．
[活学活用]
1．下列给出的赋值语句正确的是( )
A．6＝N
B．A＝－A
C．5＋c＝a
D．x2－9＝(x＋3)(x－3)
解析：选B 按照赋值语句的要求，变量的值不能赋给常量，所以A错；左边只能是变量，不能是表达式，C错；不能进行代数式的演算，D错；B的意义是将－A的值赋给A，故B正确．
2．设A＝10，B＝20，则可以实现A，B的值互换的程序是( )
A.
B．
C.
D．
解析：选C A中程序执行后A＝B＝10，B中程序执行后A＝B＝10，C中程序执行后A＝20，B＝10，D中程序执行后A＝B＝10.
算法语句与程序框图的转换
[例3] 读下面的程序，根据程序画出程序框图．
[解] 程序框图如图所示：
[类题通法]
算法语句与程序框图的关系
(1)顺序结构的程序框图利用输入语句、输出语句和赋值语句即可完成．其中输入、输出框对应输入语句和输出语句，执行框对应赋值语句．
(2)由程序画程序框图是上述过程的逆过程，只需把输入语句、输出语句与输入、输出框对应转化，将赋值语句与执行框对应转化即可．
[活学活用]
用算法语句写出下面程序框图的程序．
解：程序如下：
[典例] 下列程序语言中表达式的值正确的是( )
A.6
?SQR（4）+3＾
2
2=154
B.3
（5+4）+?SQR（9）＾2=17
C.（5+3
（12-7））/4=5
D.（2+3）
5-4+2
3
SQR（4）^2=72
[解析] A中错误之处是违背运算顺序的规定，正确含义为：6×＋32×2＝30；B中正确含义为3×(5＋4)＋()2＝36；C的含义是[5＋3×(12－7)]÷4＝5；D中的含义为(2＋3)×5－4＋2×3×()2＝45.
[答案] C
[易错防范]
1．计算机中的程序运算顺序与一般数学的运算顺序相同，但运算符号的书写方式不同，此处极易混淆．
2．数学符号与程序符号对照表
数学符号
程序符号
×(代数运算中的乘法运算符号)
(程序里面表示乘法的运算符号)
÷(代数运算中的除法运算符号)
/(程序里面表示除法的运算符号)
[](代数中取整运算，如[5÷3]＝1)
\(程序里面表示取整运算如5\3＝1)
ab(代数运算中指数运算符号)
a^
b(程序里面表示指数的运算符号)
≤(代数中小于等于符号)
＜＝(程序里面表示小于等于的符号)
≥(代数中大于等于符号)
＞＝(程序里面表示大于等于的符号)
≠(代数中不等号符号)
＜＞(程序里面表示不等于的符号)
|x|(代数运算中的取绝对值)
ABS(x)(程序里面取绝对值的函数)
(代数运算中求算术平方根)
SQR(x)(程序里面取算术平方根的函数)
且(逻辑中的“且”运算)
AND(程序里面表示逻辑中的“且”运算)
或(逻辑中的“或”运算)
OR(程序里面表示逻辑中的“或”运算)
[成功破障]
运行下面的程序，若输入x＝1，则输出结果y＝________.
解析：由程序知x＝2，x＝2×3＝6，
y＝x2＋6＝62＋6＝42.
答案：42
[随堂即时演练]
1．下列给出的输入输出语句正确的是( )
①输入语句INPUT a，b，c，d，e；
②输入语句INPUT X＝1；
③输出语句PRINT A＝4；
④输出语句PRINT 10,3
2，2/3.
A.
①②
B.②③
C．③④
D．①④
解析：选D ①INPUT语句可以给多个变量赋值，变量之间用“，”隔开；②INPUT语句中只能是变量，而不能是表达式；③PRINT语句中不用赋值号“＝”；④PRINT语句可以输出常量、表达式的值．
2．下列算法：①z＝x；②x＝y；③y＝z；④输出x，y.关于算法的作用，叙述正确的是( )
A．交换了原来的x，y
B．让x与y相等
C．变量z与x，y相等
D．x，y仍是原来的值
解析：选A 本算法利用了中间变量z，使x，y的值进行了互换．
3．计算机执行下面的程序后，输出的结果为________．
解析：∵a＝1，b＝2，
∴a＝1＋2＝3，b＝3－2＝1.
答案：3,1
4．下面的程序的功能是求所输入的两个正数的平方和，已知最后输出的结果为3.46，试据此将程序补充完整：①________，②________.
解析：由于程序的功能是求所输入的两个数的平方和，所以，S＝x＋x；又由于最后输出的结果是3.46，所以3.46＝1.12＋x，解得x＝2.25.又x2是正数，所以x2＝1.5.
答案：①1.5 ②x1^2＋x2^2
5．如下是一个用基本算法语句编写的程序，根据程序画出其相应的程序框图．
解：程序框图如图所示：
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列给出的输入、输出语句正确的是( )
①INPUT a；b；c ②INPUT x＝3
③PRINT A＝4 ④PRINT 20,3
2
A.
①②
B.②③
C．③④
D．④
答案：D
2．下列给出的赋值语句中正确的是( )
A．x＋3＝y－2
B．d＝d＋2
C．0＝x
D．x－y＝5
答案：B
3．执行下列算法语句后的结果(x
MOD
y表示整数x除以整数y的余数)为( )
(运行时从键盘上输入16和5)
A．A＝80，B＝1，C＝401
B．A＝80，B＝3，C＝403
C．A＝80，B＝3.2，C＝403.2
D．A＝80，B＝3.2，C＝404
答案：A
4．将两个数a＝25，b＝9交换，使a＝9，b＝25，下面语句正确的一组是( )
A B C
D
答案：C
5．程序：
若输入的是2，则输出的值是( )
A．16
B．120
C．240
D．360
答案：C
二、填空题
6．
(1)程序Ⅰ的运行结果为________；
(2)若程序Ⅱ与程序Ⅰ运行结果相同，则程序Ⅱ输入的值为________．
解析：(1)程序Ⅰ中，x＝x＋2＝2，
x＝x＋3＝2＋3＝5，
故输出x的值是5.
(2)程序Ⅱ的功能是求y＝x2＋6x＋10的函数值，
由题意知程序Ⅱ中y＝5，
∴x2＋6x＋10＝5，
即x＝－1或－5.
输入的值为－1或－5.
答案：(1)5 (2)－1或－5
7．程序：
若输入的是3，则运行结果是________．
解析：先对M，N进行赋值运算，第一句输入3时，将3赋给了M；第二句，将3赋给N；第三句，将12赋给M；第四句，将18赋给P；第五句，将54赋给Q；第六句，输出M，N，P，Q的值．
答案：12,3,18,54
8．结合下图，下面程序输出的结果为________．
解析：该程序功能是求一个边长为a的正方形，去掉一个边长为b的小正方形后剩余的面积(即阴影部分面积)，最后输出S2的值为a2－b2.
答案：a2－b2
三、解答题
9．已知函数f(x)＝3x－1，求f[f(2)]的值．编写一个程序，解决上述问题．
解：程序如下：
10．某城市规定，在法定工作时间内每小时的工资是8元，在法定工作时间外每小时的加班工资为16元，某人在一周内工作60小时，其中加班20小时．编写程序，计算这个人这一周所得的工资．
解：算法如下：
第一步，输入法定工作时间．
第二步，输入加班工作时间．
第三步，计算法定工作时间所得工资．
第四步，计算加班工作时间所得工资．
第五步，计算这个人这一周所得的工资．
第六步，输出这个人这一周所得的工资．
程序框图如图所示：
程序如下：
11．以下是一个用基本算法语句编写的程序，根据程序画出其相应的程序框图．
解：程序框图如图所示：1．1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构
第一课时 程序框图、顺序结构
程序框图
[提出问题]
计算1×2＋3×4＋5×6＋…＋99×100.
问题1：能否设计一个算法，计算这个式子的值？
提示：可以．
问题2：你能采用更简洁的方式表述上述算法过程吗？如何表示？
提示：可以，利用程序框图．
[导入新知]
1．定义
程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
2．表示
在程序框图中，算法的一个步骤通常用一个或几个程序框的组合来表示；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．
3．常见的程序框及其功能
图形符号
名称
功能
终端框(起止框)
表示一个算法的起始和结束
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息
处理框(执行框)
赋值、计算
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”
流程线
连接程序框
连接点
连接程序框图的两部分
[化解疑难]
程序框图中图形符号的应用
(1)终端框(起止框)是任何程序框图都不可缺少的，表示程序的开始和结束．一个完整的程序框图首末两端必须是终端框．
(2)输入、输出框表示数据的输入或结果的输出，可用在算法中任何需要输入、输出的位置，有时不止一个．
(3)处理框可以用于对变量赋值．另外，算法中处理数据需要的算式、公式等，也可以写在用以处理数据的处理框内．
(4)当算法要求对两个不同的结果进行判断时，需要将实现判断的条件写在判断框内．
(5)一个算法步骤到另一个算法步骤用流程线连接．如果一个流程图需要分开来画，要在断开处画上连接点，并标出连接的号码.
顺序结构
[提出问题]
问题1：若下图中a，b分别表示某矩形的长和宽，则该框图所表示的算法功能是什么？
提示：计算矩形的面积．
问题2：计算机执行上述算法解决问题时，其执行顺序有何特点？
提示：按照顺序从上到下依次进行．
[导入新知]
顺序结构
概念
图示
顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构.
[化解疑难]
顺序结构的特点
语句与语句之间、框与框之间是按照从上到下的顺序进行的．上图所示虚框内是一个顺序结构，其中“步骤n”和“步骤n＋1”两个框是按顺序执行的，即只有在执行完“步骤n”后，才能接着执行“步骤n＋1”．
对程序框图的认识和理解
[例1] (1)关于程序框图的框图符号的理解，正确的有( )
①任何一个程序框图都必须有起止框；②输入框、输出框可以在算法中任何需要输入、输出的位置出现；③判断框是唯一具有超过一个退出点的框图符号；④对于一个程序来说，判断框内的条件是唯一的．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
(2)下列说法正确的是( )
A．程序框图中的图形符号可以由个人来确定
B.也可以用来执行计算语句
C．输入框只能紧接在起始框之后
D．长方形框是执行框，可用来对变量赋值，也可用来计算
[解析] (1)任何一个程序都有开始和结束，从而必须有起止框；输入、输出框可以在算法中任何需要输入、输出的位置出现，判断框内的条件不是唯一的，如a＞b？也可以写为“a≤b”？.但其后步骤需相应调整，故①②③正确，④错误．
(2)程序框是由通用图形符号构成，并且有特殊含义，A不正确；菱形框是判断框，只能用来判断，所以B不正确；输入框可用在算法中任何需要输入的位置，所以C也不正确；由程序框的功能可知D项正确．
[答案] (1)C (2)D
[类题通法]
1．画程序框图的规则
(1)使用标准的程序框图的图形符号．
(2)程序框图一般按照从上到下、从左到右的顺序画．
(3)一个完整的程序框图必须有终端框，用于表示一个算法的开始和结束．
(4)除判断框外，大多程序框图的图形符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一具有超过一个退出点的框图符号．
(5)一种判断框是“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另外一种是多分支判断，可能有几种不同的结果．
(6)在程序框图的图形符号内，用于描述的语言要简练、清楚．
2．规则的记法
以上规则简记为：框图符号标准化；框内语言精练化；框间流程方向化，从上到下，从左到右勿颠倒；起止框不可少，判断框搞特殊：一进口，两出口．
[活学活用]
1．在程序框图中，表示判断框的图形符号的是( )
解析：选C 四个选项中的程序框依次为处理框，输入、输出框，判断框和起止框．
2．下列关于程序框图的说法正确的是( )
A．程序框图是描述算法的图形语言
B．在程序框图中，一个判断框最多只能有两个退出点
C．程序框图虽可以描述算法，但不如用自然语言描述算法直观
D．程序框图和流程图不是一个概念
解析：选A 由于存在一种多分支判断，所以一个判断框可能有多个退出点，所以B选项是错误的；相对于自然语言，用程序框图描述算法的优点主要就是直观、形象，容易理解，在步骤上简单了许多，所以C选项是错误的；程序框图就是流程图，所以D选项也是错误的．
用顺序结构表示算法
[例2] 求底面边长为4，侧棱长为5的正四棱锥的侧面积及体积，为该问题设计算法，并画出程序框图．
[解] 算法一：第一步，a＝4，c＝5.
第二步，R＝a.
第三步，h＝
，S＝a2.
第四步，V＝Sh.
第五步，h′＝
第六步，S＝2ah′.
第七步，输出S，V.
程序框图如图所示：
算法二：第一步，a＝4，c＝5.
第二步，S＝2a
.
第三步，V＝a2.
第四步，输出S，V.
程序框图如图所示：
[类题通法]
应用顺序结构表示算法的步骤
(1)认真审题，理清题意，明确解决方法；
(2)明确解题步骤；
(3)用数学语言描述算法，明确输入量、计算过程、输出量；
(4)用程序框图表示算法过程．
[活学活用]
已知点P0(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，写出求点P0到直线l的距离d的算法及程序框图．
解：用数学语言描述算法：
第一步，输入点的横、纵坐标x0，y0，
输入直线方程的系数，即常数A，B，C.
第二步，计算z1＝Ax0＋By0＋C.
第三步，计算z2＝A2＋B2.
第四步，计算d＝
.
第五步，输出d.
程序框图：
与顺序结构有关的读图问题
[例3] 如图所示是解决某个问题而绘制的程序框图．仔细分析各图框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题：
(1)图框①中x＝2的含义是什么？
(2)图框②中y1＝ax＋b的含义是什么？
(3)图框④中y2＝ax＋b的含义是什么？
(4)该程序框图解决的是怎样的一个问题？
(5)若最终输出的结果y1＝3，y2＝－2.当x取5时输出的结果5a＋b的值应该是多大？
(6)在(5)的前提下，输入的x值越大，输出的ax＋b是不是越大？为什么？
(7)在(5)的前提下，当输入的x值为多大时，输出结果等于0
[解] (1)图框①中x＝2表示把2赋给变量x.
(2)图框②中y1＝ax＋b的含义：该图框在执行①的前提下，即当x＝2时计算ax＋b的值，并把这个值赋给y1.
(3)图框④中y2＝ax＋b的含义：该图框在执行③的前提下，即当x＝－3时计算ax＋b的值，并把这个值赋给y2.
(4)该程序框图解决的是求函数f(x)＝ax＋b的函数值的问题．其中输入的是自变量x的值，输出的是x对应的函数值．
(5)y1＝3，即2a＋b＝3.
y2＝－2，即－3a＋b＝－2.
得a＝1，b＝1.
∴f(x)＝x＋1.
∴x取5时，5a＋b＝5×1＋1＝6.
(6)输入的x值越大，输出的函数值ax＋b越大，因为f(x)＝x＋1是R上的增函数．
(7)令f(x)＝x＋1＝0，得x＝－1，因而当输入的x值为－1时，输出的函数值为0.
[类题通法]
由程序框图识别算法功能应注意的问题
根据算法功能求输出结果，或根据输出结果求框图中某一步骤，应注意以下几点：
(1)要明确各框图符号的含义及作用；
(2)要明确框图的方向流程；
(3)要正确认图，即根据框图说明该算法所要解决的问题．
其中明确算法功能是解决此类问题的关键．
[活学活用]
1．根据如图程序框图，若输入m的值是3，则输出的y的值是________．
解析：若输入m的值是3，则p＝8，y＝8＋5＝13，
故输出y的值为13.
答案：13
2．已知在平面直角坐标系中有一个圆心在坐标原点，半径为c的圆，(a，b)为任一点，则如图所示的程序框图表示的算法的作用是________．
解析：∵x＝表示点(a，b)到原点(0,0)的距离，∴该算法的功能是计算点(a，b)到原点的距离与圆的半径之差．
答案：计算点(a，b)到原点的距离与圆的半径之差
[典例] 设计一个算法，已知函数y＝2x的图象上，任意给定两点的横坐标x1和x2(x1≠x2)，求过这两点的直线的斜率，并画出程序框图．
[解题流程]
[规范解答]
算法如下：
第一步，输入x1，x2.
第二步，计算y1＝2x1.
第三步，计算y2＝2x2.
第四步，计算k＝.
第五步，输出k.
程序框图：
[类题通法]
程序框图的画法
画程序框图一般分三步：
(1)第一步，用自然语言表述算法步骤(又称算法分析)；
(2)第二步，确定每一个算法步骤所含的逻辑结
构，并用相应的程序框图表示；
(3)第三步，将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到整个表示算法的程序框图．
[活学活用]
已知一个直角三角形的两条直角边长分别为a，b，求该直角三角形内切圆的面积．试设计求解该问题的算法，并画出程序框图．
解：算法步骤如下：
第一步，输入a，b.
第二步，计算c＝
.
第三步，计算r＝(a＋b－c)．
第四步，计算S＝πr2.
第五步，输出面积S.
相应程序框图如图：
[随堂即时演练]
1．对程序框图叙述正确的是( )
A．表示一个算法的起始和结束，程序框是
B．表示一个算法输入和输出的信息，程序框是
C．表示一个算法的起始和结束，程序框是
D．表示一个算法输入和输出的信息，程序框是
解析：选C 由程序框的算法功能可知，选项C正确．
2．下列所画程序框图是已知直角三角形两直角边a，b求斜边c的算法，其中正确的是( )
解析：选C 根据顺序结构的要求，先输入，后计算，再结合直角三角形的三边关系可知C正确．
3．若R＝8，则如图所示的程序框图运行后的结果为a＝________.
解析：R＝8→b＝＝2→a＝2b＝4.
答案：4
4．如图是求长方体的体积和表面积的一个程序框图，补充完整，横线处应填______________________．
解析：根据题意，长方体的长、宽、高应从键盘输入，故横线处应填写输入框
答案：
5．写出求函数y＝2x＋3图象上任意一点到原点的距离的算法，并画出相应的程序框图．
解：算法如下：
第一步，输入横坐标的值x.
第二步，计算y＝2x＋3.
第三步，计算d＝
.
第四步，输出d.
程序框图如图所示：
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列关于程序框图的说法正确的是( )
①程序框图只有一个入口，也只有一个出口；
②程序框图中的每一部分都应有一条从入口到出口的路径通过它；
③流程线只要是上下方向就表示上下执行，可以不要箭头；
④连接点是用来连接两个程序框图的．
A．①②③
B．②③
C．①④
D．①②
答案：D
2．下列是程序框图中的一部分，表示恰当的是( )
答案：A
3．如图所示的程序框图，若输入x＝3，则输出y的值为( )
A．33
B．34
C．40
D．45
答案：B
4．如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则①处的执行框内应填的是( )
A．x＝2
B．b＝2
C．x＝1
D．a＝5
答案：C
5．如图所示的是一个算法的程序框图，已知a1＝3，输出的b＝7，则a2等于( )
A．9
B．10
C．11
D．12
答案：C
二、填空题
6．执行如图所示的程序框图，输出ω的值为________．
解析：ω＝5×10＋8×2＝50＋16＝66.
答案：66
7．已知点P(x0，y0)，直线l：x＋2y－3＝0，求点P到直线l的距离的一个算法程序框图如图所示，则在①处应填________．
解析：应填上点到直线的距离公式．
答案：d＝
8．如图所示程序框图，则输出X的值是________．
解析：X＝1＋3＋5＝9.
答案：9
三、解答题
9．已知一个圆的周长为a，求这个圆的面积．试设计该问题的算法，并画出程序框图．
解：由圆的周长及面积公式可得．
算法如下：
第一步，输入a的值．
第二步，计算r＝的值．
第三步，计算S＝πr2的值．
第四步，输出结果．
相应的程序框图如右图：
10．如图所示的程序框图，根据该图和下列各小题的条件回答下面的几个小题．
(1)该程序框图解决的是一个什么问题？
(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，问：当输入的x的值为3时，输出的值为多大？
(3)在(2)的条件下要想使输出的值最大，输入的x的值应为多大？
解：(1)该程序框图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题．
(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，
即f(0)＝f(4)．
因为f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，
所以－16＋4m＝0，
所以m＝4，
所以f(x)＝－x2＋4x.
则f(3)＝－32＋4×3＝3，
所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)值为3.
(3)因为f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
当x＝2时，f(x)最大值＝4.
所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2.1．2.3 循环语句
[提出问题]
相传古代印度国王舍罕要褒赏他聪明能干的宰相达依尔(国际象棋的发明者)，问他想要什么，达依尔回答说：“国王只要在象棋棋盘的第1个格子里放1粒麦子，第2个格子里放2粒，第3个格子里放4粒，以后按此比例每格加一倍，一直放到第64个格子(国际象棋棋盘是8×8＝64格)，我就感恩不尽，其他的我什么也不要了．”国王想：“这还不容易！”让人扛来一袋麦子，但不到一会儿就全用完了，再扛来一袋很快又没有了，结果全印度的粮食全部用完还不够．国王纳闷，怎样也算不清这笔账．
问题1：设计出国王计算多少粒麦子的算法．
提示：算法步骤如下：
第一步，令i＝0，S＝0.
第二步，P＝2i，S＝S＋P，i＝i＋1.
第三步，若i≤63，则返回第二步．
否则，执行第四步．
第四步，输出S.
问题2：根据“问题1”中的算法画出程序框图．
提示：如图所示：
问题3：若仅采用前面我们所学习的算法语句，还能编写出其对应的程序吗？
提示：不能．
[导入新知]
循环语句的格式、功能
直到型
当型
程序结构框图
格式
DO循环体LOOP_UNTIL 条件
WHILE 条件循环体WEND
执行步骤
先执行一次DO和UNTIL之间的循环体，再判断UNTIL后的条件是否符合，如果不符合，继续执行循环体，然后再检查上述条件，如果仍不符合，再次执行循环体直到某一次条件符合为止．这时不再执行循环体，跳出循环体执行UNTIL语句之后的语句
先判断条件的真假，如果条件符合，则执行WHILE和WEND之间的循环体，然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止，这时不再执行循环体，跳出循环体，执行WEND之后的语句
[化解疑难]
1．两种循环语句的区别
执行的顺序不同
执行UNTIL语句时，先执行循环体，再判断条件，直到条件满足；执行WHILE语句时，先判断条件，再执行循环体，直到条件不满足
条件的内容不同
UNTIL语句中的条件是循环结束的条件，满足此条件时，执行循环体后面的语句，不满足时执行循环体；WHILE语句中的条件是执行循环体的条件，满足此条件时，执行循环体，否则执行循环体后面的语句
循环体的执行次数不同
由于UNTIL语句是先执行循环体再判断条件，因此，任何一个UNTIL语句中，循环体至少要执行一次，直到条件满足；而WHILE语句是先判断条件，因此，循环体可能一次也不执行就退出循环体
2.两种循环语句的联系
两种语句都可以实现计算机反复执行循环体的目的，只是表达形式不同．一般地，WHILE语句和UNTIL语句可以相互转化．
UNTIL语句的应用
[例1] (1)根据下列程序框图，把程序中所缺少的语句补充完整．
程序框图
程序：
(2)设计算法求2＋4＋6＋…＋100的值，要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序．
[解] (1)由程序框图可知利用了直到型循环结构，对应的语句为直到型循环语句，DO后面执行的为循环体，故①②处应分别为S＝S＋i^2，i＝i＋1，直到满足条件i＞100为止，所以③处应为i＞100.
(2)程序框图如图所示：
答案：(1)①S＝S＋i^2 ②i＝i＋1 ③i＞100
[类题通法]
1．UNTIL语句的适用类型
直到型循环又称“后测试”循环，也就是我们所讲的“先执行后测试”“先循环后判断”．
2．使用UNTIL语句应关注两点
(1)DO语句只是循环的开始标记，遇到DO语句，程序只是记住这个标记，其他什么也不做，接着执行后面的循环体，在执行一次循环体后，再检查LOOP
UNTIL语句中的条件是否成立，如果不成立，就重复执行循环体，直到条件符合时退出循环．
(2)在循环体内，应注意务必有相应的语句使“条件”改变，保证能终止循环，否则循环将无休止地进行下去．
[活学活用]
在下面的程序运行中，计算机输出的结果是________．
解析：根据题意，程序对20每次减3，直至小于0为止，当循环到第6次时，x＝2，此时仍不符合循环条件，故x变为－1，至此x＜0，满足循环条件，结束循环．
答案：－1
WHILE语句的应用
[例2] (1)下列程序运行后输出的结果为( )
A．1
B．3
C．5
D．7
(2)给出的30个数，1,2,4,7,11，…，其规律是第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第二个数大2，第4个数比第3个数大3，…，依次类推，要求计算这30个数的和，写出程序．
[解] (1)选C 该程序的执行过程是i＝1，i＝1＜5是；
i＝1＋2＝3，i＝3＜5是；
i＝3＋2＝5，i＝5＜5否．
输出i的值为5.
(2)程序：
[类题通法]
1．WHILE语句的适用类型
当型循环也叫“前测试”循环，也就是我们所讲的“先测试后执行”“先判断后执行”．
2．使用WHILE语句应关注五点
(1)当型循环以WHILE开头，以WEND作为结束标志．WEND是WHILE
END的缩写，表示“WHILE循环到此结束”．
(2)一般来讲，WHILE语句与UNTIL语句可以相互转化．
(3)执行WHILE语句时，先判断条件，再执行循环体，然后再判断条件，再执行循环体，反复执行，直至条件不满足．
(4)WHILE语句中的条件是指循环体的条件，满足此条件时，执行循环体，不满足时，则执行循环结构后面的语句．
(5)WHILE语句由于先判断条件，再执行循环体，因此，循环体可能一次也不执行就退出循环结构．
[活学活用]
读程序，回答下列问题：
(1)若输入n＝3，则输出的结果为________．
(2)此程序对应的计算式子是_____________________________________________.
(3)程序中的循环语句对应________型循环结构．
解析：(1)输入n＝3，
当i＝1时，S＝0＋＝；
当i＝2时，S＝＋＝；
当i＝3时，S＝＋＝，结束循环，此时输出S＝.
(2)此程序是用于计算＋＋…＋的值．
(3)这是WHILE语句，对应的是当型循环结构．
答案：(1) (2)＋＋…＋ (3)当
循环语句的综合应用
[例3] 下面程序的功能是输出1～100间的所有偶数．
程序：
(1)试将上面的程序补充完整；
(2)改写为WHILE
型循环语句．
[解] (1)①m＝0 ②i＝i＋1
(2)改写为WHILE型循环程序如下：
[类题通法]
应用循环语句解决问题应关注两点
(1)对于累加求和问题及累乘求积问题，需用到循环结构，解题的关键是设立累加变量S及控制循环次数的计数变量，可以用当型循环语句或直到型循环语句来设计程序．
(2)在WHILE语句中是当条件满足时执行循环体，而在UNTIL语句中是当条件不满足时执行循环体，二者是有区别的，在用两种循环语句编写程序时应注意条件的不同，它们的表达方法恰好是相反的．
[活学活用]
1．读下面甲、乙两个程序：
程序甲 程序乙
对甲、乙两个程序和输出的结果表述正确的是( )
A．程序不同，结果相同
B．程序不同，结果不同
C．程序相同，结果相同
D．程序相同，结果不同
解析：选A 执行甲、乙程序后可知都是计算1＋2＋3＋4＋…＋1
000的值．
2．编写程序，计算函数f(x)＝x2－3x＋5，当x＝1,2,3，…，20时的函数值．
解：程序如下：
5．循环语句的应用
[典例] 试编写程序，求满足1＋3＋5＋…＋n＞10
000的最小自然数n.
[解题流程]
方法二：直到型循环：
[类题通法]
循环语句编写程序的“条件三步曲”
(1)给循环语句中的变量赋初始值：n＝1，S＝0；
(2)找出在程序中反复执行的部分，即循环体：
S＝S＋n，n＝n＋2；
(3)找出控制循环的条件：本题中终止循环的条件是S＞10
000(或S≤10
000)．
[活学活用]
设计程序求使1×2×…×n＜10
000成立的最大正整数n，并画出程序框图．
解：
[随堂即时演练]
1．关于循环语句的说法不正确的是( )
A．算法中的循环结构由WHILE语句来实现
B．循环语句中有直到型语句和当型语句，即UNTIL语句和WHILE语句
C．一般来说UNTIL语句和WHILE语句可以互相转换
D．算法中的循环结构由循环语句来实现
解析：选A 算法中的循环结构由循环语句来实现，循环语句包括UNTIL语句和WHILE语句两种不同的格式，且一般情况下这两种语句可以相互转换．所以选项A是错误的，其余都正确．
2．设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．下面给出了程序的一部分，则在横线①上不能填入的数是( )
A．13
B．13.5
C．14
D．14.5
解析：选A 程序运行过程中，各变量值如下表所示：
第1次循环：S＝1×3，i＝5，
第2次循环：S＝1×3×5，i＝7，
第3次循环：S＝1×3×5×7，i＝9，
第4次循环：S＝1×3×5×7×9，i＝11，
第5次循环：S＝1×3×5×7×9×11，i＝13，
第6次循环：S＝1×3×5×7×9×11×13，i＝15，
退出循环．
故应填入的数要大于13且小于等于15，则在横线①上不能填入的数是13，故选A.
3．已知有下面的程序，如果程序执行后输出的结果是360，那么在程序UNTIL后面的“条件”应为________________．
解析：因为输出的结果是360，即S＝1×6×5×4×3，需执行4次，S需乘到3，i＜3后结束算法．所以，程序中UNTIL后面的“条件”应为i＜3.
答案：i＜3
4．对于下面一个程序：
运行后输出的结果为________．
解析：执行过程如下：M＝5，N＝0；
当N＝0＜15时，N＝0＋5＝5，M＝5－1＝4；
当N＝5＜15时，N＝5＋4＝9，M＝4－1＝3；
当N＝9＜15时，N＝9＋3＝12，M＝3－1＝2；
当N＝12＜15时，N＝12＋2＝14，M＝2－1＝1；
当N＝14＜15时，N＝14＋1＝15，M＝1－1＝0；
当N＝15时不小于15，终止循环，最后输出M的值为0.
答案：0
5．设计算法求＋＋＋…＋的值．要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序．
解：这是一个累加求和问题，共1
007项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法．
程序框图如图所示：
程序如下：
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列问题，设计程序求解时，要用到循环语句的有( )
①输入每个同学的数学成绩，求全班同学的平均分；
②求分段函数的函数值；
③求连续100个自然数的平方和；
④输入100个数，从中找出最大的数．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：C
2．下面为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为( )
A．i＞20
B．i＜20
C．i＞＝20
D．i＜＝20
答案：A
3．有以下程序段，其中描述正确的是( )
A．循环体语句执行10次
B．循环体是无限循环
C．循环体语句一次也不执行
D．循环体语句只执行一次
答案：C
4．以下程序( )
A．输出结果是1
B．能执行一次
C．能执行10次
D．是“死循环”，有语法错误
答案：D
5．下面两个程序最后输出的“S”分别等于( )
A．17,17
B．21,21
C．21,17
D．14,21
答案：C
二、填空题
6．下面的程序执行后输出的结果是________．
解析：第一次执行循环体：S＝5，n＝4；
第二次执行循环体：S＝9，n＝3；
第三次执行循环体：S＝12，n＝2，此时S≥10，循环终止，故输出n＝2.
答案：2
7．下列程序运行后，输出的值为________．
解析：由程序知i2≥2
000时，
i的最小值为45，又把i－1＝44的值赋给i，∴i＝44.
答案：44
8．将求1×2×3×4×5×6×7×8×9×10的程序补充完整：①________，②________.
解析：a的初始值为10，故循环体中的值应该递减，即a从10减到1，循环的条件为a＞0，当然也可以为a≥1.
答案：①a＞0 ②a－1
三、解答题
9．给出一个算法的程序框图(如图所示)．
(1)说明该程序的功能；
(2)请用WHILE型循环语句写出程序．
解：(1)该程序的功能是求1＋＋＋…＋的值．
(2)程序如下：
10．某商场第一年销售计算机5
000台，如果平均每年销售量比上一年增加10%，那么从第一年起，大约几年可使总销售量达到30
000台？画出解决此问题的程序框图，并写出程序．
解：程序框图如图所示：
程序：1.3
算法案例
辗转相除法与更相减损术
[提出问题]
问题1：如何求18与54的最大公约数？
提示：短除法．
问题2：要求6
750与3
492的最大公约数，上述法还好用吗？
提示：数值太大，短除法不方便用．
问题3：还有没有其他方法，可用来解决“问题2”中的问题？
提示：有．
[导入新知]
1．辗转相除法
(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．
(2)辗转相除法的算法步骤：
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，计算m除以n所得的余数r.
第三步，m＝n，n＝r.
第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于m；否则返回第二步．
2．更相减损术
(1)更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法．
(2)其基本过程是：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
[化解疑难]
辗转相除法与更相减损术的比较
两种方法
辗转相除法
更相减损术
计算法则
除法
减法
终止条件
余数为0
减数与差相等
最大公约数的选取
最后一步中的除数
最后一步中的减数
计算次数
步骤较少，运算复杂
步骤较多，运算简单
相同点
同为求两个正整数最大公约数的方法，都是递归过程
秦九韶算法
[提出问题]
已知多项式f(x)＝x5＋3x4－3x3＋4x2－x－1.
问题1：求f(1)．
提示：f(1)＝1＋3－3＋4－1－1＝3.
问题2：若求f(39)，再代入运算出现什么情况？
提示：运算量太大，不易运算．
问题3：当x的值较大时，有没有更好的方法求函数值呢？
提示：有．可将f(x)转化为求一次多项式的值．
[导入新知]
秦九韶算法的算法原理
把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：
f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
＝…
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v2＝v1x＋an－2，
v3＝v2x＋an－3，
…
vn＝vn－1x＋a0.
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．
[化解疑难]
秦九韶算法的步骤
进位制
[提出问题]
问题1：今天是星期二，那么20天后是星期几？
提示：20天后是星期一．
问题2：每周七天，逢七便又是一循环，这与我们所学过的十进制，逢十进一是否有相似之处？
提示：其实一周七天，与十进制一样，相当于逢七进一，是七进制论法．
[导入新知]
1．进位制
(1)概念：进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制．
(2)基数：几进制的基数就是几．
2．不同进位制之间的互化
(1)k进制化为十进制的方法：
anan－1…a1a0(k)＝an×kn＋an－1×kn－1＋…＋a1×k＋a0(an，an－1，…，a1，a0∈N，0＜an＜k,0≤an－1，…，a1，a0＜k)．
(2)十进制化为k进制的方法——除k取余数．
[化解疑难]
常见的进位制
(1)二进制：①只使用0和1两个数字；②满二进一，如1＋1＝10.
(2)八进制：①使用0,1,2,3,4,5,6,7八个不同的数字；②满八进一，如7＋1＝10.
(3)十六进制：①使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A，B，C，D，E，F这十六个不同的数码，其中A，B，C，D，E，F分别代表十进制中的10,11,12,13,14,15；②满十六进一，如F＋1＝2＋E＝10.
求最大公约数
[例1] 分别用辗转相除法和更相减损术求779与209的最大公约数．
[解] (1)辗转相除法：
779＝209×3＋152，
209＝152×1＋57，
152＝57×2＋38，
57＝38×1＋19，
38＝19×2.
所以，779与209的最大公约数为19.
(2)更相减损术：
779－209＝570， 152－57＝95，
570－209＝361,
95－57＝38，
361－209＝152,
57－38＝19，
209－152＝57,
38－19＝19.
所以779和209的最大公约数为19.
[类题通法]
1．用辗转相除法求最大公约数的步骤
2．用更相减损术求最大公约数的步骤
第一步，给定两个正整数m，n(m＞n且m，n不全是偶数)．
第二步，计算m－n所得的差k.
第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示．
第四步，若m＝n，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．
[活学活用]
用辗转相除法和更相减损术求1
515与600的最大公约数，需要运算的次数分别为( )
A．4,15
B．5,14
C．5,13
D．4,12
解析：选B 辗转相除法：1515＝600×2＋315；600＝315×1＋285,315＝285×1＋30,285＝30×9＋15,30＝15×2，故最大公约数为15，且需计算5次．用更相减损术法：1515－600＝915，915－600＝315,600－315＝285，315－285＝30,285－30＝255,255－30＝225,225－30＝195,195－30＝165,165－30＝135,135－30＝105,105－30＝75,75－30＝45,45－30＝15,30－15＝15，故最大公约数为15，且需计算14次.
秦九韶算法及其应用
[例2] 用秦九韶算法求多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝2时的值．
[解] f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，
当x＝2时，有
v0＝6，
v1＝6×2＋5＝17，
v2＝17×2＋4＝38，
v3＝38×2＋3＝79，
v4＝79×2＋2＝160，
v5＝160×2＋1＝321，
v6＝321×2＝642，
故当x＝2时，多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为642.
[类题通法]
秦九韶算法原理及注意事项
(1)秦九韶算法的原理是
(k＝1,2，…，n)．
(2)在运用秦九韶算法进行计算时，应注意每一步的运算结果，像这种一环扣一环的运算，如果错一步，那么下一步，一直到最后一步就会全部算错，同学们在计算这种题时应格外小心．
[活学活用]
用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1.当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )
A．6,6
B．5,6
C．5,5
D．6,5
解析：选A f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1，所以需要进行6次乘法和6次加法．
进位制
[例3] (1)将101
111
011(2)转化为十进制数；
(2)将235(7)转化为十进制数；
(3)将137(10)转化为六进制数；
(4)将53(8)转化为二进制数．
[解] (1)101
111
011(2)＝1×28＋0×27＋1×26＋1×25＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝379(10)．
(2)235(7)＝2×72＋3×71＋5×70＝124(10)．
(3)∵137＝3×62＋4×6＋5，
∴137(10)＝345(6)．
(4)53(8)＝5×81＋3×80＝43(10)．
∴53(8)＝101
011(2)．
[类题通法]
1．k进制数化为十进制数的步骤
(1)把k进制数写成不同数位上的数字与k的幂的乘积之和的形式．
(2)按十进制数的运算规则运算出结果．
2．十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤
[活学活用]
若六进制数13m502(6)化为十进制数等于12
710，求数字m的值．
解：因为13m502(6)
＝1×65＋3×64＋m×63＋5×62＋0×61＋2×60
＝216m＋11
846，
令216m＋11
846＝12
710，
所以m＝4.
[典例] 利用秦九韶算法求f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1当x＝3时的值( )
A．121
B．283
C．321
D．239
[解析] 原多项式可化为：
f(x)＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1.
当x＝3时，
v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋1＝10，
v3＝10×3＋1＝31，v4＝31×3＋1＝94，
v5＝94×3＋1＝283.
所以，当x＝3时f(3)＝283.
[答案] B
[易错防范]
当多项式中间出现空项时，用秦九韶算法求函数值要补上系数为0的相应项，否则，本题极易出现如下所示的错误算法，从而误选A.
∵f(x)＝(((x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，
∴当x＝3时，
v0＝1，v1＝3＋1＝4，
v2＝4×3＋1＝13，
v3＝13×3＋1＝40，
v4＝40×3＋1＝120＋1＝121，
所以当x＝3时，f(3)＝121.
[成功破障]
用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋0.11x3－0.15x－0.04当x＝0.3时的值．
解：根据秦九韶算法，将f(x)写为：
f(x)＝((((x＋0)x＋0.11)x＋0)x－0.15)x－0.04.
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝0.3时的值：
v0＝1；
v1＝v0×0.3＋0＝0.3；
v2＝v1×0.3＋0.11＝0.2；
v3＝v2×0.3＋0＝0.06；
v4＝v3×0.3－0.15＝－0.132；
v5＝v4×0.3－0.04＝－0.079
6.
所以，当x＝0.3时，多项式的值为－0.079
6.
[随堂即时演练]
1．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16－12＝4,12－4＝8,8－4＝4.由此可以看出12和16的最大公约数是( )
A．4
B．12
C．16
D．8
解析：选A 根据更相减损术的方法判断．
2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4在x＝－1时的值，v2的结果是( )
A．－4
B．－1
C．5
D．6
解析：选D n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式得v0＝2，v1＝v0x＋a3＝－5，v2＝v1x＋a2＝6.
3．将51化为二进制数得________．
解析：
答案：110
011(2)
4．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是________．
解析：294＝84×3＋42，
84＝42×2.
答案：2
5．将1
234(5)转化为八进制数．
解：将1
234(5)转化为十进制数：
1
234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194.
再将十进制数194转化为八进制数：
所以1
234(5)＝302(8)．
[课时达标检测]
一、选择题
1．4
830与3
289的最大公约数为( )
A．23
B．35
C．11
D．13
答案：A
2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3的值时，需要进行乘法运算和加减运算的次数分别为( )
A．4,2
B．5,3
C．5,2
D．6,2
答案：C
3．用辗转相除法求72与120的最大公约数时，需要做除法的次数为( )
A．4
B．3
C．5
D．6
答案：B
4．用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
答案：B
5．下列各数，化为十进制后，最大的为( )
A．101
010(2)
B．111(5)
C．32(8)
D．54(6)
答案：A
二、填空题
6．用更相减损术求三个数168,54,264的最大公约数为________．
解析：为简化运算，先将3个数用2约简为84,27,132.由更相减损术，先求84与27的最大公约数.84－27＝57，57－27＝30,30－27＝3,27－3＝24,24－3＝21,21－3＝18，18－3＝15,15－3＝12,12－3＝9,9－3＝6,6－3＝3.故84与27的最大公约数为3.
再求3与132的最大公约数，易知132＝3×44，所以3与132的最大公约数就是3.
故84,27,132的最大公约数为3；168,54,264的最大公约数为6.
答案：6
7．三位七进制数表示的最大的十进制数是______．
解析：最大的三位七进制数表示的十进制数最大，最大的三位七进制数为666(7)，则666(7)＝6×72＋6×71＋6×70＝342.
答案：342
8．按照秦九韶算法求多项式f(x)＝1.5x5＋3.5x4－4.1x3－3.6x＋6当x＝0.5时的值的过程中，令v0＝a5，v1＝v0x＋a4，…，v5＝v4x＋a0，则v4＝________.
解析：由题意，有v0＝1.5，v1＝1.5×0.5＋3.5＝4.25，v2＝4.25×0.5－4.1＝－1.975，v3＝－1.975×0.5＋0＝－0.987
5，v4＝－0.987
5×0.5－3.6＝－4.093
75.
答案：－4.093
75
三、解答题
9．10x1(2)＝y02(3)，求x、y的值．
解：因为10x1(2)＝1×20＋x×21＋0×22＋1×23＝9＋2x，y02(3)＝2×30＋y×32＝9y＋2，所以9＋2x＝9y＋2且x∈，y∈，所以x＝1，y＝1.
10．用秦九韶算法计算当x＝2时，多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64的值．
解：将f(x)改写为
f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64，
v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，
v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，
v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.
所以f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.
11．用秦九韶算法求多项式f(x)＝5x5＋7x4＋6x3＋3x2＋x＋1，当x＝3时的值．
解：f(x)＝5x5＋7x4＋6x3＋3x2＋x＋1
＝(5x4＋7x3＋6x2＋3x＋1)x＋1
＝((5x3＋7x2＋6x＋3)x＋1)x＋1
＝(((5x2＋7x＋6)x＋3)x＋1)x＋1
＝((((5x＋7)x＋6)x＋3)x＋1)x＋1
∴f(3)＝((((5×3＋7)×3＋6)×3＋3)×3＋1)×3＋1
＝1
975.第三课时 循环结构、程序框图的画法
循环结构的概念
[提出问题]
用二分法求方程f(x)＝0近似解的算法共分以下五步：
第一步，确定有解区间[a，b](f(a)·f(b)＜0)．
第二步，取区间[a，b]的中点x＝.
第三步，计算函数f(x)在中点处的函数值．
第四步，判断函数值f
是否为0.
(1)如果为0，x＝就是方程的解，问题得到解决；
(2)若f
不为0，分两种情况：
若f(a)·f
＜0，确定新的有解区间为；
若f(a)·f
＞0，确定新的有解区间为.
第五步，判断新的有解区间的长度是否小于精确度．
①如果新的有解区间长度大于精确度，则在新的有解区间上重复上述步骤；
②如果新的有解区间长度小于或等于精确度，则取新的有解区间的中点为方程的近似解．
问题1：该算法问题与前面所学的算法有什么不同？
提示：该算法需要重复执行某个步骤(第四步)，之前学过的算法则不需要重复执行某个步骤．
问题2：该算法若用框图表示，只有顺序结构与条件结构可以吗？
提示：不可以．
问题3：在该算法中，要重复多次操作，那么控制重复操作的条件及重复的内容是什么？
提示：控制重复操作的条件是f≠0及有解区间长度大于精确度，重复的内容是
f(a)·f的符号及有解区间的长度．
问题4：该算法能用程序框图表示吗？
提示：能．
[导入新知]
循环结构的概念及相关内容
[化解疑难]
1．循环结构的特点
(1)重复性：在一个循环结构中，总有一个过程要重复一系列的步骤若干次，而且每次的操作完全相同．
(2)判断性：每个循环结构都包含一个判断条件，它决定这个循环的执行与终止．
(3)函数性：循环变量在构造循环结构中起了关键作用，一般蕴含着函数的思想．
2．理解循环结构应注意的两点
(1)循环结构中必须包含条件结构，以保证在适当时候终止循环．
(2)循环结构内不存在无终止的循环，即不存在死循环.
循环结构的分类及特征
[提出问题]
问题1：在“知识点一”用二分法求方程f(x)＝0近似解的算法中，是先执行循环体，还是先判断条件？
提示：先执行循环体，后判断条件．
问题2：能否适当改变使其先判断条件，后执行循环体？
提示：能．
[导入新知]
循环结构的分类及特征
名称
直到型循环
当型循环
结构
特征
先执行循环体，后判断条件，若条件不满足，则执行循环体，否则终止循环
先判断条件，若条件满足，则执行循环体，否则终止循环
[化解疑难]
两种循环结构的区别和联系
类型
特征
何时终止循环
循环体执行次数
联系
当型
先判断，后执行
条件不满足时
可能一次也不执行
可以相互转化，条件互补
直到型
先执行，后判断
条件满足时
至少执行一次
利用循环结构解决累加(乘)问题
[例1] (1)如图所示，程序框图的输出结果是( )
A.
B.
C.
D.
(2)设计求1×2×3×4×…×2
015×2
016×2
017的一个算法，并画出程序框图．
[解] (1)选D 第一次循环：n＝2<8，S＝，n＝4；
第二次循环：n＝4<8，S＝＋，n＝6；
第三次循环：n＝6<8，S＝＋＋，n＝8;
第四次循环：n＝8<8不成立，输出S＝＋＋＝，故选D.
(2)算法如下：
第一步，设M的值为1.
第二步，设i的值为2.
第三步，若i≤2
017，则执行第四步；否则，执行第六步．
第四步，计算M乘i并将结果赋给M.
第五步，计算i加1并将结果赋给i，返回执行第三步．
第六步，输出M的值并结束算法．
程序框图如图：
[类题通法]
利用循环结构应注意的问题
(1)如果算法问题里涉及的运算进行多次重复的操作，且先后参与运算的各数之间有相同的变化规律，就可以引入循环变量参与运算，构成循环结构．
(2)在循环结构中，要注意根据条件设置合理的计数变量，累加(乘)变量，同时条件的表述要恰当、精确．
(3)累加变量的初值一般为0，而累乘变量的初值一般为1，累加(乘)和计数一般是同步进行的，累加(乘)一次，计数一次．
[活学活用]
编写一个计算12＋32＋52＋…＋9992的算法，并画出程序框图．
解：据题意算法如下：
第一步，令S＝0.
第二步，令i＝1.
第三步，S＝S＋i2.
第四步，i＝i＋2.
第五步，若i＞1
000，则执行第六步；
否则，返回第三步．
第六步，输出S.
程序框图如右图：
利用循环结构求满足条件的最值问题
[例2] 求满足1＋＋＋＋…＋＞2的最小正整数n，写出算法，并画出程序框图．
[解] 算法：第一步，S＝0.
第二步，i＝1.
第三步，S＝S＋.
第四步，i＝i＋1.
第五步，若S≤2，则返回第三步；否则输出i－1，循环结束．
程序框图如图：
[类题通法]
求满足条件的最值问题的实质及注意事项
(1)实质：利用计算机的快速运算功能，对所有满足条件的变量逐一测试，直到产生第一个不满足条件的值时结束循环．
(2)注意事项：
①要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数；
②注意要统计的数出现的次数与循环次数的区别；
③要特别注意判断框中循环变量的取值限止，是“＞”“＜”还是“≥”“≤”，它们的意义是不同的．
[活学活用]
如图所示的程序框图表示的算法功能是________．
解析：由程序框图分析，题目是累乘问题，并且输出的是计数变量，所以其功能是输出使得1×3×5×7×…×(2n－1)≥10
000的最小奇数．
答案：输出使得1×3×5×7×…×(2n－1)≥10
000的最小奇数
循环结构的实际应用
[例3] (1)某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…，aN，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用如图所示的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( )
A．A＞0？，V＝S－T
B．A＜0？，V＝S－T
C．A＞0？，V＝S＋T
D．A＜0？，V＝S＋T
(2)某工厂2016年生产轿车20万辆，技术革新后预计每年的产量比上一年增加5%，问最早哪一年生产的轿车超过30万辆？试设计算法并画出相应的程序框图．
[解] (1)选C 由程序框图可以看出，判断框中应填“A＞0？”，因为当满足条件时右边执行S＝S＋A，即收入，故应填“A＞0？”．而处理框中应填V＝S＋T，因为T为负数即支出，所以V＝S＋T，即收入减去支出．
(2)算法如下：第一步，n＝2014.
第二步，a＝20.
第三步，T＝0.05a.
第四步，a＝a＋T.
第五步，n＝n＋1.
第六步，若a＞30，输出n；否则，执行第三步．
程序框图如图所示：
[类题通法]
利用循环结构解决应用问题的方法
[活学活用]
某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：
队员i
1
2
3
4
5
6
三分球个数
a1
a2
a3
a4
a5
a6
如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填________，输出的S＝________.
解析：题干中是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，故题图中判断框应填“i≤6？”，输出的S＝a1＋a2＋…＋a6.
答案：i≤6？ a1＋a2＋…＋a6
[典例] 有一列数1,1,2,3,5,8，…，其规律是从第3个数开始，后一个数等于前两个数的和，画出计算这列数前20个数的和的程序框图．
[解题流程]
[类题通法]
循环结构的应用
(1)在应用两种循环结构时主要注意三个问题的书写：
①循环变量及其初始值；
②循环体；
③循环终止的条件．
(2)绘制循环结构的程序框图时，要注意：
①流程线上要有标记顺序的箭头；
②判断框后面的流程线上应根据情况标注“是”或“否”．
(3)构造循环结构，一般按照确定循环体→初始化变量→设定循环控制条件的顺序来构造．
[活学活用]
给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图(如图所示)，请在图中判断框(1)处和执行框(2)处填
上合适的语句，使之能完成该题的算法功能．
解：该算法使用了当型循环结构．因为是求30个数的和，故循环体应执行30次，其中i是计数变量．因此判断框内的条件应该用来限制计数变量i，故应填写“i≤30？”．算法中的变量p表示参与求和的各个数，由于它也是变化的，且满足第i个数比其前一个数大i－1，第i＋1个数比其前一个数大i，故应有p＝p＋i.
即(1)处应填“i≤30？”；(2)处应填“p＝p＋i”．
[随堂即时演练]
1.(全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝( )
A．5
B．6
C．7
D．8
解析：选C 运行第一次：S＝1－＝＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；
运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；
运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062
5，n＝3，S>0.01；
运行第四次：S＝0.125－0.062
5＝0.062
5，m＝0.031
25，n＝4，S>0.01；
运行第五次：S＝0.031
25，m＝0.015
625，n＝5，S>0.01；
运行第六次：S＝0.015
625，m＝0.007
812
5，n＝6，S>0.01；
运行第七次：S＝0.007
812
5，m＝0.003
906
25，n＝7，S<0.01.
输出n＝7.故选C.
2．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内①处应填( )
A．3
B．4
C．5
D．12
解析：选A 按照程序框图依次执行：初始a＝1，b＝1；第一次循环后，b＝21＝2，a＝1＋1＝2；第二次循环后，b＝22＝4，a＝2＋1＝3；第三次循环后，b＝24＝16，a＝3＋1＝4，而此时应输出b的值，故判断框中的条件应为“a≤3？”．
3．(山东高考)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．
解析：第一次循环：S＝－1,1＜3，i＝2；
第二次循环：S＝－1,2＜3，i＝3；
第三次循环：S＝－1＝1,3≥3，输出S＝1.
答案：1
4．按下列程序框图运算：
规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算．若x＝5，则运算进行________次才停止．
解析：第一次运算得13，第二次运算得37，第三次运算得109，第四次运算得325，大于244，程序终止，故运算进行4次．
答案：4
5．设计一个计算1×3×5×…×99的算法，画出程序框图．
解：算法如下：
第一步，令i＝1，S＝1.
第二步，S＝S×i.
第三步，i＝i＋2.
第四步，判断i＞99是否成立，若是，则输出S；否则，执行第二步．
程序框图如图所示：
[课时达标检测]
一、选择题
1．以下说法不正确的是( )
A．顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，每一个算法都离不开顺序结构
B．循环结构是在一些算法中从某处开始按照一定条件，反复执行某一处理步骤，故循环结构中一定包含条件结构
C．循环结构中不一定包含条件结构
D．用程序框图表示算法，使之更加直观形象，容易理解
答案：C
2．(全国丙卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选B 程序运行如下：
开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0.
第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；
第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；
第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；
第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.
此时，满足条件s>16，退出循环，输出n＝4.故选B.
3．(全国乙卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足( )
A．y＝2x
B．y＝3x
C．y＝4x
D．y＝5x
解析：选C 输入x＝0，y＝1，n＝1，
运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋y2≥36；
运行第二次，x＝，y＝2，不满足x2＋y2≥36；
运行第三次，x＝，y＝6，满足x2＋y2≥36，
输出x＝，y＝6.
由于点在直线y＝4x上，故选C.
4．如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S＝720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是( )
A．k≥6
B．k≥7
C．k≥8
D．k≥9
答案：C
5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )
A．3
B．－6
C．10
D．－15
答案：C
二、填空题
6．阅读下边的框图，运行相应的程序，输出S的值为________．
解析：n＝3，S＝0＋(－2)3＝－8，n－1＝2＞1；S＝－8＋(－2)2＝－4，n－1＝1≤1，终止循环，故输出S＝－4.
答案：－4
7．如图的程序框图，若输入m＝4，n＝3，则输出a＝________，i＝________.
解析：由程序框图可知，当a＝m×i＝4×i能被n＝3整除时输出a和i并结束程序．显然，当i＝3时，a可以被3整除，故i＝3，此时a＝4×3＝12.
答案：12 3
8．已知如图所示的程序框图(未完成)，设当箭头a指向①时，输出的结果为S＝m；当箭头a指向②时，输出的结果为S＝n，则m＋n的值为________．
解析：当箭头a指向①时：i＝1，S＝1；i＝2，S＝2；i＝3，S＝3；i＝4，S＝4；i＝5，S＝5；i＝6，结束循环，输出结果S＝m＝5.当箭头a指向②时：i＝1，S＝1；i＝2，S＝1＋2；i＝3，S＝1＋2＋3；i＝4，S＝1＋2＋3＋4；i＝5，S＝1＋2＋3＋4＋5；i＝6，结束循环，输出结果S＝n＝1＋2＋3＋4＋5＝15，故m＋n＝20.
答案：20
三、解答题
9．设计程序框图，求出××××…×的值．
解：程序框图如图所示：
10．以下是某次考试中某班15名同学的数学成绩：72,91,58,63,84,88,90,55,61,73,64，
77,82,94,60.
画出求80分以上的同学的平均分的程序框图．
解：程序框图如图所示：1．2.2 条件语句
[提出问题]
儿童乘坐火车时，若身高不超过1.2
m，则不需买票；若身高超过1.2
m但不超过1.5
m，则需买半票；若身高超过1.5
m，则需买全票．
问题1：试设计一个儿童买票的程序框图．
提示：程序框图如下：
问题2：能否只用输入语句、输出语句和赋值语句写出其程序？
提示：不能．
问题3：该程序框图中的条件结构有几种形式？
提示：两种．
问题4：若要写出该算法的算法语句，还需要什么语句？
提示：条件语句．
[导入新知]
条件语句的一般格式及功能
类别
单支
双支
条件结构框图
条件语句
IF 条件 THEN语句体END
IF
IF 条件 THEN语句体1
ELSE语句体2END
IF
语句功能
首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体，否则执行END_IF之后的语句
首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体1，否则(ELSE)执行语句体2
[化解疑难]
两种条件语句的区别与联系
IF－THEN语句
IF－THEN－ELSE语句
区别
该条件语句中只有一个语句体，是满足条件时执行的语句体
该条件语句含有两个语句体，满足条件时执行一个语句体，不满足时执行另一个语句体
联系
IF－THEN语句实质上是IF－THEN－ELSE语句的简化，也就是在条件语句中，当不符合条件且不进行任何处理时，把语句体2省略不写②两种语句首先都是先对条件进行判断，然后才执行相应的语句体，执行完语句体后程序都交汇于一点完成条件语句
条件语句与条件结构
[例1] (1)根据下面的程序，填写程序框图．
①________，②________，③________.
(2)根据右面的程序框图，写出程序．
[解] (1)根据条件语句可知该语句为求分段函数
y＝的值．
所以三个空中分别填的内容为：
①x≥？，②y＝2x－5，③y＝5－2x.
(2)程序如下：
[答案] (1)①x≥？ ②y＝2x－5 ③y＝5－2x
[类题通法]
条件语句与条件结构的转化
(1)根据条件结构写条件语句
①首先选择语句格式．当判断语句的两个出口语句都要执行时，采用“IF－THEN－ELSE”语句，当判断语句的两个出口语句只有一个要执行时，采用“IF－THEN”语句．
②然后确定条件和语句体．条件即为判断框内的条件，放在IF后．判断框中“是”后的执行框中的内容，是THEN后的语句体1，“否”后的执行框中(如果有的话)的内容，是ELSE后的语句体2.
③最后应注意所用程序符合书写格式．
(2)如果是由条件语句画条件结构，可相应变化．
[活学活用]
求函数y＝|x－4|＋1的函数值，则③处应填________．
解析：如果x＜4，则y＝4－x＋1＝5－x，
故③处应填y＝5－x.
答案：y＝5－x
条件语句的简单应用
[例2] 已知函数y＝编写一个程序，对输入的每一个x值，都得到相应的函数值．
[解] 用变量x，y分别表示自变量和函数值，步骤如下：
第一步，输入x值．
第二步，判断x的范围．若x≥0，则用函数y＝x2－1求函数值；
否则用y＝2x2－5求函数值．
第三步，输出y的值．
程序框图如图所示：
程序如下：
[类题通法]
使用条件语句时的四个关注点
(1)条件语句是一个语句，IF，THEN，ELSE，END
IF都是语句的一部分；
(2)条件语句必须是以IF开始，以END
IF结束，一个IF必须与一个END
IF相对应；
(3)如果程序中只需对条件为真的情况作出处理，不用处理为假的情况时，ELSE分支可以省略，此时条件语句就由双支变为单支；
(4)为了使程序看起来更清晰明了，一般IF，ELSE与END
IF顶格书写，其他语句前面则空两格．
[活学活用]
给出一个程序语句如下，说出程序的功能，并求f(－1)＋f(2)的值．
解：程序的功能：
已知函数f(x)＝输入自变量x的值，求对应的函数值．
由函数解析式可得f(－1)＝4×(－1)＝－4，
f(2)＝22＝4.
∴f(－1)＋f(2)＝0.
条件语句的嵌套问题
[例3] 高等数学中经常用到符号函数，符号函数的定义为y＝画出程序框图，并编写程序，要求输入x的值，输出y的值．
[解] 程序框图如图所示：
程序如下：
[类题通法]
1．使用条件语句嵌套应关注两点
(1)适用范围：适用于判断条件多于一个时．此时，若重复应用条件语句，书写程序繁琐，可用条件语句的嵌套．
(2)分清层次：编写条件时，要注意IF和END IF的配对，常常利用文字的缩进来表示嵌套的层次，以便于程序的阅读与理解．嵌套可以多于2个．
2．条件语句嵌套的一般格式
[活学活用]
在下面的程序中，如果输入x＝，则输出的y值为( )
A．0
B．1
C．3
D．
解析：选B 先判断输入的x的取值范围，再执行相应操作．由于＞0，故输出y＝×－5＝1.
[典例] 某商场购物实行优惠措施，若购物金额x在800元以上(包括800元)，打8折；若购物金额x在500元以上(包括500元)，但不足800元，则打九折，否则不打折，设计程序框图并编写程序，要求输入购物金额x，能输出实际交款额y.
[解题流程]
[规范解答]
实际交款额y与购物金额x的函数关系是
y＝
程序框图如右：
[类题通法]
用条件语句解决实际问题的步骤
(1)将实际问题转化为数学问题，并构思出解决问题的一个算法(可用自然语言)．
(2)画出程序框图，形象直观地描述算法．
(3)根据程序框图编写程序，即逐步把程序框图中的算法步骤用算法语句表达出来．
[活学活用]
某运输公司规定，运货50吨以下(含50吨)，运费为80元/吨；50吨以上且不足100吨的，运费为75元/吨；100吨及以上，运费为70元/吨，请用算
法语句及程序框图描述算法：输入运货重量，输出运费．
解：设运货x吨的运费为y元，由题意得
y＝
程序框图如下图：
程序如下：
[随堂即时演练]
1.
下列关于IF语句的叙述正确的是( )
A．IF语句中必须有ELSE和END
IF
B．IF语句中可以没有END
IF
C．IF语句中可以没有ELSE，但必须以END
IF结束
D．IF语句中可以没有END
IF，但必须有ELSE
解析：选C IF语句中的IF和END IF是成对出现的，但是ELSE可以没有，即满足条件执行，否则跳过IF语句．
2．下面的程序：
如果输入x，y的值分别是2，－30，则输出的结果为( )
A．38，－38
B．36，－36
C．32，－32
D．28，－28
解析：选D 根据题意输入的x＝2不满足条件，需要执行ELSE后面的语句，所以得到y＝－26，所以x－y＝28，y－x＝－28.
3．给出以下四个问题：
①输入一个数x，输出它的绝对值；
②求表面积为6的正方体的体积；
③求函数f(x)＝的函数值．
其中需要用条件语句来描述其算法的是________．(填序号)
解析：②直接用顺序结构即可，不需用条件语句；而①需要判断这个数的正负，③需要判断这三个数的大小，④是分段函数求值问题，故需用到条件语句．
答案：①③
4．写出下列程序的运行结果．
若a＝4，则b＝_______；若a＝－4，则b＝_______.
解析：分析程序可知，上述程序是一个分段函数的程序，即b＝所以当a＝4时，b＝42＋3×4＋1＝29；当a＝－4时，b＝0.5×(－4)＝－2.
答案：29 －2
5．给计算机编写一个程序，输入一个自变量x的值，输出分段函数f(x)＝的函数值．
解：程序如下：
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列问题所描述出来的算法，其中不包含条件语句的为( )
A．输入三个表示三条边长的数，计算三角形的面积
B．给出两点的坐标，计算直线的斜率
C．给出一个数x，计算它的常用对数的值
D．给出三棱锥的底面积与高，求其体积
答案：D
2．运行程序：
在两次运行中分别输入8,4和2,4，则两次运行程序的输出结果分别为( )
A．8,2
B．8,4
C．4,2
D．4,4
答案：C
3．给出如图所示的程序：
执行该程序时，若输入的x为3，则输出的y值是( )
A．3
B．6
C．9
D．27
答案：B
4．阅读下列程序：
如果输入x＝－2，则输出结果为( )
A．2
B．－12
C．10
D．－4
答案：D
5．已知程序如下：
根据程序提示输入a＝4，b＝2，c＝－5，则程序运行结果是( )
A．max＝a
B．max＝b
C．max＝c
D．max＝4
答案：D
二、填空题
6．判断输入的数x是否为正数，若是，输出它的平方；若不是，输出它的相反数，则横线上应填________．
解析：y是一个分段函数，由题意知，
y＝
答案：x＜＝0
7．读程序，写出程序的意义：______________________________________________.
解析：由程序可知，该算法功能是求函数
y＝的函数值．
答案：求函数y＝的函数值
8．下面是一个算法，如果输出的值是25，则输入的x的值为________．
解析：程序对应的函数是
y＝
由或
得x＝－6或x＝6.
答案：6或－6
三、解答题
9．已知函数y＝试输入x的值，计算y值，写出程序．
解：程序如下：
10．如图所示，在边长为16的正方形ABCD的边上有一动点P，点P沿边线由B→C→D→A(B为起点，A为终点)运动．若设P运动的路程为x，△APB的面积为y，试写出程序，根据输入的x值，输出相应的y值．
解：由题意可得函数关系式为：
y＝
显然需利用条件语句的嵌套或叠加编写程序．
程序如下：1．1.1 算法的概念
算法的概念
[提出问题]
2014年8月“青奥会”在南京开幕，某人想观看“青奥会”的开幕式，通过网络订票成功，然后按时验票入场，观看完开幕式后退场返回．
问题1：观看开幕式的过程是明确的吗？
提示：是明确的．
问题2：观众订票的方式是唯一的吗？
提示：不唯一．
问题3：若你想去观看“青奥会”开幕式，如何设计你的行程？
提示：首先订票，然后选择合适的交通工具按时到场，验票入场，观看开幕式．
[导入新知]
[化解疑难]
1．对算法概念的理解
(1)算法没有一个精确化的定义，可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或看成按要求设计好的有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题．
(2)算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
事实上，算法的概念很广泛，为解决一类问题而采取的方法和步骤都称为“算法”．但我们这里讲的是计算机能实现的算法，即一类问题的机械的、统一的求解方法，如解方程(组)的算法、函数求值的算法等．
2．算法的特征
特征
具体内容
确定性
算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可的
正确性和顺序性
算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，上一步是下一步的前提，只有执行完上一步，才能执行下一步
有限性
一个算法必须在执行完有限步之后结束，而不能是无限的
不唯一性
求解某个问题的算法不一定是唯一的，一个问题可以有不同的算法
普遍性
很多具体的问题都可以设计合理的算法去解决，写出的算法必须能解决一类问题
算法与计算机
[提出问题]
问题1：在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具，听音乐、看电影、玩游戏、办公、处理数据、收发邮件，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域．那么你知道算法与计算机的关系吗？
提示：算法是计算机科学的基础，计算机处理任何问题都要依赖于算法．
问题2：如何设计一个利用计算机求当x取任何值时函数f(x)＝x2－x＋2的值的算法？试写出算法步骤．
提示：第一步，输入x.
第二步，计算f(x)＝x2－x＋2.
第三步，输出f(x)．
[导入新知]
算法与计算机的关系
计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．
[化解疑难]
1．算法设计的要求
(1)设计的算法要适用于一类问题，并且遇到类似问题能够重复使用；
(2)算法过程要做到能一步一步地执行，每一步执行的操作，必须是明确有效的，不能含糊不清；
(3)所设计的算法必须在有限步后得到问题的结果，不能无限进行下去；
(4)设计的算法的步骤应当是最简练的，即最优算法．
2．算法与数学中的解法的联系和区别
(1)联系：算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系，算法的获取要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般方法解决．
(2)区别：算法是解决某些问题所需要的程序和步骤的统称，也可以理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程．
算法的概念
[例1] (1)下列关于算法的描述正确的是( )
A．算法与求解一个问题的方法相同
B．算法只能解决一个问题，不能重复使用
C．算法过程要一步一步执行
D．有的算法执行完以后，可能没有结果
(2)下列叙述不能称为算法的是( )
A．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海
B．解方程4x＋1＝0的过程是先移项再把x的系数化成1
C．利用公式S＝πr2计算半径为2的圆的面积得π×22
D．解方程x2－2x＋1＝0
[解析] (1)算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A不对；算法能够重复使用，故B不对；每一个算法执行完以后，必须有结果，故D不对．
(2)选项A，B给出了解决问题的方法和步骤，是算法；选项C是利用公式计算也属于算法；选项D只提出问题没有给出解决的方法，不是算法．
[答案] (1)C (2)D
[类题通法]
理解算法的关键点
(1)算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想．
(2)判断一个问题是否有算法，关键看是否有解决某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．
[活学活用]
计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是( )
①S＝2＋4＋6＋…＋1
000；
②S＝2＋4＋6＋…＋1
000＋…；
③S＝2＋4＋6＋…＋2n(n≥1，n∈N)．
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
解析：选B 由算法的有限性知②不正确，而①③都可通过有限的步骤操作，输出确定结果.
算法的设计
[例2] (1)早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5
min)、刷水壶(2
min)、烧水(8
min)、泡面(3
min)、吃饭(10
min)、听广播(8
min)几个步骤．从下列选项中选出最好的一种算法( )
A．第一步洗脸刷牙、第二步刷水壶、第三步烧水、第四步泡面、第五步吃饭、第六步听广播
B．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭、第五步听广播
C．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭同时听广播
D．第一步吃饭同时听广播、第二步泡面、第三步烧水同时洗脸刷牙、第四步刷水壶
(2)写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法．
[解析] (1)选C
A
×
所用时间为36分钟
B
×
所用时间为31分钟
C
√
所用时间为23分钟
D
×
不符合日常生活规律
(2)算法一：
第一步，计算1＋2，得到3.
第二步，将第一步中的运算结果3与3相加，得到6.
第三步，将第二步中的运算结果6与4相加，得到10.
第四步，将第三步中的运算结果10与5相加，得到15.
第五步，将第四步中的运算结果15与6相加，得到21.
算法二：
第一步，将原式变形为(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝7×3.
第二步，计算7×3.
第三步，得到运算结果．
算法三：
第一步，取n＝6.
第二步，计算.
第三步，得到运算结果．
[类题通法]
设计具体问题的算法的步骤
设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：
(1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；
(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．
[活学活用]
1．一个算法的步骤如下，如果输入x的值为－3，则输出z的值为( )
第一步，输入x的值．
第二步，计算x的绝对值y.
第三步，计算z＝2y－y.
第四步，输出z的值．
A．4
B．5
C．6
D．8
解析：选B 分析算法中各变量、各语句的作用，再根据算法的步骤可知：
该算法的作用是计算并输出z＝2|x|－|x|的函数值．
第一步，输入x的值－3.
第二步，计算x的绝对值y＝3.
第三步，计算z＝2y－y＝23－3＝5.
第四步，输出z的值为5.
2．给定一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，设计一个算法来判定方程根的情况．
解：第一步，计算Δ＝b2－4ac；
第二步，如果Δ>0，那么方程有两个不相等的实数根；
第三步，如果Δ＝0，那么方程有两个相等的实数根；
第四步，如果Δ<0，那么方程没有实数根.
算法的应用
[例3] (1)结合下面的算法：
第一步，输入x.
第二步，判断x是否小于0.若是，则输出x＋2，否则执行第三步．
第三步，输出x－1.
当输入的x的值为－1,0,1时，输出的结果分别为( )
A．－1,0,1
B．－1,1,0
C．1，－1,0
D．0，－1,1
(2)设计一个判断直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2的位置关系的算法．
[解析] (1)选C 根据x值与0的关系，选择执行不同的步骤．当x＝－1时，输出x＋2，即输出1；当x＝0时，输出x－1，即输出－1；当x＝1时，输出x－1，即输出0.
(2)算法如下：
第一步，输入圆心坐标(x0，y0)，直线方程的系数A，B，C和半径r.
第二步，计算z1＝Ax0＋By0＋C.
第三步，计算z2＝.
第四步，计算d＝.
第五步，若d＞r，则输出“相离”；若d＝r，则输出“相切”；若d＜r，则输出“相交”．
[类题通法]
数学中两种算法应用的处理方法
(1)数值性计算问题，如解方程(组)、解不等式(组)或套用公式判断性问题，一般通过数学模型借助数学计算方法分解成清晰的步骤，并条理化．
(2)非数值性问题，如查找、变量代换、文字处理等非数值性计算问题，设计算法时，首先建立过程模型，然后根据过程设计步骤，完成算法．
[活学活用]
设计一个算法，求解方程组
解：用消元法解方程组，其算法步骤是：
第一步，①＋③得x＝5. ④
第二步，①＋②得2x－y＝14.
⑤
第三步，将④代入⑤得y＝－4.
⑥
第四步：将④⑥代入③得z＝11.
第五步：得到方程组的解为
[典例] 已知函数y＝试设计一个算法输入x的值，求对应的函数值．
[解题流程]
[类题通法]
分段函数求值问题的算法设计
(1)在生活中，经常遇到条件的判断．如现在在二楼，需要决定是上楼还是下楼；在买袋装大米的时候，你需要决定买10千克装的，还是20千克装的，还是30千克装的；等等．同样，设计含有判断条件的算法时，往往是先判断条件，根据条件是否成立，有不同的步骤．
(2)分段函数求函数值的算法要运用分类讨论思想进行设计，一定要对算法中可能遇到的情况考虑周全，满足与不满足都要有相应的步骤．
[活学活用]
函数y＝写出给定自变量x的值，求函数值y的算法．
解：算法如下：
第一步，输入x的值．
第二步，若x>0，则y＝－x＋1，然后执行第四步；否则执行第三步．
第三步，若x＝0，则y＝0；否则y＝x＋1.
第四步，输出y的值．
[随堂即时演练]
1．下列可以看成算法的是( )
A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题
B．今天餐厅的饭真好吃
C．这道数学题难做
D．方程2x2－x＋1＝0无实数根
解析：选A A是学习数学的一个步骤，所以是算法，而其他三个选项都不是．
2．已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：
①计算c＝；②输入直角三角形两直角边长a，b的值；③输出斜边长c的值．
其中正确的顺序是( )
A．①②③
B．②③①
C．①③②
D．②①③
解析：选D 明确各步骤间的关系即可知D选项正确．
3．输入一个x值，利用y＝|x＋1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整：
第一步，输入x.
第二步，________________________.
第三步，计算y＝－x－1.
第四步，输出y.
解析：含绝对值的函数的函数值的算法要注意分类讨论思想的应用．本题中当x≥－1时y＝x＋1；当x＜－1时y＝－x－1，由此可完善算法．
答案：当x≥－1时，计算y＝x＋1；否则，执行第三步
4．求过P(a1，b1)，Q(a2，b2)两点的直线的斜率有如下算法，请在横线上填上适当的步骤：
第一步，取x1＝a1，y1＝b1，x2＝a2，y2＝b2.
第二步，判断“x1＝x2”是否成立．若是，则输出“斜率不存在”，结束算法；否则，执行第三步．
第三步，________________________.
第四步，输出k.
解析：根据题意，当“x1≠x2”时执行第三步，即计算斜率k，此时只需用两点间的斜率公式即可求解．
答案：计算k＝
5．设计一个算法，求表面积为16π的球的体积．
解：算法一：
第一步，取S＝16π.
第二步，计算R＝(由于S＝4πR2)．
第三步，计算V＝πR3.
第四步，输出运算结果．
算法二：
第一步，取S＝16π.
第二步，计算V＝π3.
第三步，输出运算结果．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列叙述中，能称为算法的个数为( )
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；
②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100；
③从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广州观看广州恒大的亚冠比赛；
④3x＞x＋1；
⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….
A．2
B．3
C．4
D．5
答案：B
2．关于一元二次方程x2－5x＋6＝0的求根问题，下列说法正确的是( )
A．只能设计一种算法
B．可以设计多种算法
C．不能设计算法
D．不能根据解题过程设计算法
答案：B
3．一个厂家生产商品的数量按照每年比前一年都增加18%的比率递增，若第一年的产量为a，“计算第n年的产量”的算法中用到的一个函数解析式是( )
A．y＝an0.18
B．y＝a(1＋18%)n
C．y＝a(1＋18%)n－1
D．y＝n(1＋18%)n
答案：C
4．对于解方程x2－2x－3＝0的下列步骤：
①设f(x)＝x2－2x－3；
②计算判别式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0；
③作f(x)的图象；
④将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝，得x1＝3，x2＝－1.
其中可作为解方程的算法的有效步骤为( )
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
答案：C
5．如下算法：
第一步，输入x的值．
第二步，若x≥0，则y＝x；否则，y＝x2.
第三步，输出y的值．
若输出的y值为9，则x的值是( )
A．3
B．－3
C．3或－3
D．－3或9
答案：D
二、填空题
6．以下是解二元一次方程组的一个算法，请将该算法补充完整．
第一步，①②两式相加得3x＋9＝0.③
第二步，由③式可得____________．④
第三步，将④式代入①式得y＝0.
第四步，输出方程组的解____________．
解析：由3x＋9＝0，得x＝－3，即④处应填x＝－3；
把x＝－3代入2x－y＋6＝0，得y＝0，
即方程组的解为
答案：x＝－3
7．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求他的总分和平均成绩的一个算法为：
第一步，取A＝89，B＝96，C＝99.
第二步，__________________________.
第三步，__________________________.
第四步，输出计算的结果．
解析：应先计算总分D＝A＋B＋C，然后再计算平均成绩E＝.
答案：计算总分D＝A＋B＋C 计算平均成绩E＝
8．已知A(－1,0)，B(3,2)，下面是求直线AB的方程的一个算法，请将其补充完整：
第一步，__________________________________.
第二步，用点斜式写出直线AB的方程y－0＝[x－(－1)]．
第三步，将第二步的方程化简，得到方程x－2y＋1＝0.
解析：该算法功能为用点斜式方程求直线方程，第一步应为求直线的斜率，应补充为“计算直线AB的斜率k＝”．
答案：计算直线AB的斜率k＝
三、解答题
9．已知一个等边三角形的周长为a，求这个三角形的面积．设计一个算法解决这个问题．
解：算法步骤如下：
第一步，输入a的值．
第二步，计算l＝的值．
第三步，计算S＝×l2的值．
第四步，输出S的值．
10．有分别装有醋和酱油的A、B两个瓶子，现要将B瓶中的酱油装入A瓶，A瓶中的醋装入B瓶，写出解决这个问题的一种算法．
解：算法步骤如下：
第一步，引入第三个空瓶C瓶．
第二
步，将A瓶中的醋装入C瓶中．
第三步，将B瓶中的酱油装入A瓶中．
第四步，将C瓶中的醋装入B瓶中．
第五步，交换结束．
11．已知函数y＝试设计一个算法，输入x的值，求对应的函数值．
解：算法如下：
第一步，输入x；
第二步，当x≤－1时，
计算y＝2x－1，否则执行第三步；
第三步，当x<2时，计算y＝log3(x＋1)，否则执行第四步；
第四步，计算y＝x4；
第五步，输出y.第二课时 条件结构
[提出问题]
已知一个算法的步骤如下：
第一步，输入x.
第二步，若x＜2，执行第三步；否则，执行第四步．
第三步，计算2x－1＋1的值，输出结果，结束算法．
第四步，计算log3(x2－1)的值，输出结果，结束算法．
问题1：该算法的算法功能是什么？
提示：计算函数f(x)＝的函数值．
问题2：若画出该算法的程序框图，只用顺序结构能完成吗？
提示：不能．
问题3：上述算法中除含有顺序结构外，还含有什么逻辑结构？
提示：条件结构．
[导入新知]
1．条件结构
在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，处理上述过程的结构就是条件结构．
2．条件结构程序框图两种形式及特征
形式一
形式二
结构形式
特征
两个步骤A、B根据条件选择一个执行
根据条件是否成立选择是否执行步骤A
[化解疑难]
对条件结构形式的理解
(1)如形式一所示的条件结构中，算法执行到此判断框给定的条件时，根据条件是否成立，选择不同的执行框(步骤A、步骤B)，无论条件是否成立，都要执行步骤A和步骤B之一，但不可能既执行步骤A又执行步骤B，也不可能步骤A和步骤B都不执行．
(2)步骤A和步骤B可以有一个是空的(如形式二)，即不执行任何操作．
简单条件结构的算法与框图
[例1] 画出求分段函数y＝的函数值的程序框图．
[解] 算法如下：
第一步，输入x的值．
第二步，判断x的大小．
若x≥0，则y＝2x＋1；
若x＜0，则y＝3x－2.
第三步，输出y的值．
程序框图如下：
[类题通法]
1．条件结构与顺序结构的不同点
条件结构不同于顺序结构的地方：它不是依次执行操作指令进行运算，而是依据条件作出逻辑判断，选择执行不同指令中的一个．一般地，这里的判断主要是判断“是”或“否”，即判断是否符合条件的要求，因而它有一个入口和两个出口，但最后还是只有一个终结口．
2．含有条件结构的程序框图的设计
设计程序框图时，首先设计算法步骤(自然语言)，再将算法步骤转化为程序框图(图形语言)．如果已经非常熟练地掌握了画程序框图的方法，那么可以省略设计算法步骤而直接画出程序框图．对于算法中含有分类讨论的步骤，在设计程序框图时，通常用条件结构来解决．
[活学活用]
设计一个程序框图，使之能判断任意输入的数x是奇数还是偶数．
解：程序框图如下：
与条件结构有关的读图问题
[例2] (1)如图所示的程序框图，其功能是( )
A．输入a，b的值，按从小到大的顺序输出它们的值
B．输入a，b的值，按从大到小的顺序输出它们的值
C．求a，b的最大值
D．求a，b的最小值
(2)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )
A．[－3,4]
B．[－5,2]
C．[－4,3]
D．[－2,5]
[解析] (1)取a＝1，b＝2知，该程序框图输出b＝2，因此是求a，b的最大值．
(2)由题中框图可知s＝即求分段函数的值域．
当－1≤t＜1时，－3≤s＜3；当1≤t≤3时，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4,3≤s≤4.
综上，s∈[－3,4]．
[答案] (1)C (2)A
[类题通法]
条件结构读图注意的两点
(1)理清所要实现的算法的结构特点和流程规则，分析其功能．
(2)结合框图判断所要填入的内容或计算所要输出或输入的值．
[活学活用]
1．根据图中的流程图操作，使得当成绩不低于60分时，输出“及格”，当成绩低于60分时，输出“不及格”，则( )
A．①框中填“是”，②框中填“否”
B．①框中填“否”，②框中填“是”
C．①框中填“是”，②框中可填可不填
D．①框中填“否”，②框中可填可不填
解析：选A 当x≥60时，应输出“及格”；当x＜60时，应输出“不及格”，故①中应填“是”，②中应填“否”．
2．如图，函数f(x)＝2x，g(x)＝x2，若输入的x值为3，则输出的h(x)的值为________．
解析：由框图可知，当x＝3时，f(3)＝23＝8，g(3)＝32＝9，∴f(3)＜g(3)，∴h(3)＝g(3)＝9，输出值为9.
答案：9
条件结构的实际应用
[例3] (1)某市出租车的起步价为8元(含3千米)，超过3千米的里程每千米收2.6元，另外每车次超过3千米收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应的收费系统的程序框图如图所示，则①处应填________，②处应填________．
(2)某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费，计费方法如下：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费，并画出程序框图．
[解] (1)当x＞3时，y＝8＋2.6(x－3)＋1＝9＋2.6(x－3)＝2.6x＋1.2；
当x≤3时，y＝8.
(2)设应收取的卫生费用y(元)表示，人数用x表示，则y＝
算法如下：第一步，输入x.
第二步，若x≤3，则y＝5；否则执行第三步．
第三步，y＝5＋1.2(x－3)．
第四步，输出y.
程序框图如图所示．
[答案] (1)y＝2.6x＋1.2 y＝8
[类题通法]
设计程序框图解决实际问题的步骤
(1)读懂题意，分析已知与未知的关系；
(2)概括题意写出表达式；
(3)设计算法步骤；
(4)根据算法步骤画出程序框图．
[活学活用]
为了加强居民的节水意识，某市制定了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过12立方米时，每立方米收费2.8元，并加收1.4元的城市污水处理费；超过12立方米的部分，每立方米收费4.2元，并加收1.4元的城市污水处理费．设某户每月用水量为x立方米，应缴纳水费y元，请你设计一个输入用水量、输出应缴水费额的算法，画出程序框图．
解：y与x之间的函数解析式为
y＝
算法设计如下：
第一步，输入每月用水量x(x≥0)．
第二步，判断输入的x是否超过12，若x＞12，则应缴纳水费y＝5.6x－16.8；否则应缴纳水费y＝4.2x.
第三步，输出应缴水费y.
程序框图如图所示：
[典例] 设计程序框图，求方程ax＋b＝0(a，b为常数)的解．
[解题流程]
程序框图为：
[多维探究]
[角度一]
在解决此类问题时要注意相关题目的求解，如将本例中的等式改为不等式，问题就变为：
设计一个程序框图，求不等式ax＋b＞0(a，b为常数)的解集，如何求解？
解：算法如下：
第一步，输入a，b.
第二步，判断a是否大于0.若a＞0，则输出“x＞－”，结束算法；否则，执行第三步．
第三步，判断a是否等于0.若a＝0，b＞0.则输出“x是任意实数”，结束算法；若a＝0，b≤0，则输出“此不等式无解”，结束算法；若a＜0，则输出“x＜－”，结束算法．
程序框图如下：
[角度二]
若将“角度一”中的不等式改为“ax2＋bx＋c＜0(a＞0)”，试写出算法，并画出程序框图．
解：算法步骤如下：
第一步，输入三个系数a，b，c(其中a>0)；
第二步，计算Δ＝b2－4ac.
第三步，判断Δ≤0是否成立．若是，则输出“不等式的解集为 ”；否则，计算x1＝，x2＝，输出“不等式解集为(x1，x2)”．结束算法．
程序框图如图所示：
[类题通法]
1．条件结构的嵌套
所谓嵌套，是指条件结构内又套有小的分支，对条件进行二次或更多次的判断．常用于一些分段函数的求值问题．
一般地，如果是分三段的函数，则需要引入两个判断框；如果是分四段的函数，则需要引入三个判断框；以此类推．
2．条件结构的应用
凡必须先根据条件作出判断再决定进行哪一个步骤的问题，如分段函数问题，在画程序框图时，必须引入一个判断框，应用条件结构．
[随堂即时演练]
1．如图是算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构是( )
A．顺序结构
B．条件结构
C．判断结构
D．以上都不对
解析：选B 此逻辑结构是条件结构．
2．给出以下四个问题：
①输入一个数x，输出它的相反数；
②求面积为6的正方形的周长；
③求三个数a，b，c中的最大数；
④求函数f(x)＝的函数值．
其中不需要用条件结构来描述其算法的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选B 语句①不需要对x进行判断，所以不需要用条件结构来描述算法；语句②不需要进行判断，不需要使用条件语句；语句③要比较两个数的大小，需要用到条件结构；语句④为分段函数，需要判断x的范围，所以需要用到条件结构来描述算法．
3．如图所示的程序框图，输入x＝2，则输出的结果是________．
解析：通过程序框图可知本题是求函数y＝的函数值，根据x＝2可知y＝＝2.
答案：2
4．已知函数y＝如图所示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图．
①处应填写______________；
②处应填写____________．
解析：由框图可知只要满足①中的条件则对应的函数解析式为y＝2－x，故此处应填写x<2，则②处应填写y＝log2x.
答案：x<2？ y＝log2x
5．如下图，给出了一个算法的流程图，根据该流程图，回答下列问题：
(1)若输入的四个数为3,4,7,18，则最后输出结果是________．
(2)该算法流程图是为什么问题而设计的？
解：(1)18
(2)为求a，b，c，d四个数中的最大数并进行输出而设计的．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列关于条件结构的说法正确的是( )
A．条件结构的程序框图中有两个入口和一个出口
B．无论条件结构中的条件是否满足，都只能执行两条路径之一
C．条件结构中的两条路径可以同时执行
D．对于一个算法来说，判断框中的条件是唯一的
答案：B
2．如图所示框图，当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于( )
A．7
B．8
C．10
D．11
答案：B
3．下面的程序框图，若输入a，b，c分别是21,32,75，则输出的值是( )
A．96
B．53
C．107
D．128
答案：B
4．程序框图如图所示，若输出的y＝0，那么输入x的值为( )
A．－3,0
B．－3，－5
C．0，－5
D．－3,0，－5
答案：A
5．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝
C．f(x)＝ln
x＋2x－6
D．f(x)＝x3＋x
答案：D
二、填空题
6．如图是求实数x的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填________．
解析：因为满足条件直接输出x，否则输出－x，
∴条件应该是x≥0？或x＞0
答案：x≥0？或x＞0
7．如图是某种算法的程序框图，当输出的y的值大于2时，则输入的x的取值范围为________．
解析：由题知，此算法的程序框图是求分段函数f(x)＝的值．
若f(x)＞2，
①当x≤0时，令3－x－1＞2，
即3－x＞3，
所以－x＞1，得x＜－1；
②当x＞0时，令＞2，得x＞4.
综上所述，x的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)
8．如图所示的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入________．
解析：由框图知将a，b，c中较大的用x表示，先令x＝a，再比较x与b的大小．若b＞x，则令x＝b，否则判断x与c的大小；若x＞c，则令x＝c，输出x，否则直接输出x.
答案：c＞x
三、解答题
9．如图所示的程序框图，其作用是：输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，求这样的x值有多少个？
解：由题可知算法的功能是求分段函数
y＝的函数值．
要满足题意，则需要或或
解得x＝0或x＝1或x＝3，共3个值．
10．在新华书店里，《创新方案》每本售价14.80元，书店为促销，规定：如果顾客购买5本或5本以上，10本以下则按九折(即13.32元)出售；如果顾客购买10本或10本以上，则按八折(即11.84元)出售．请设计一个完成计费工作的程序框图．
解：程序框图：
