3．1.3 概率的基本性质
事件的关系与运算
[提出问题]
一袋中有2个红球，2个白球，从中摸出两个球，记“摸出的两球是红球”为事件A，“摸出的两球是白球”为事件B，“摸出的两球是一红一白”为事件C，“摸出的两球至少一个红球”为事件D，“摸出的两球至少有一个白球”为事件E.
问题1：若事件A发生，事件D发生吗？它们是什么关系？
提示：事件A发生，则事件D一定发生，它们是包含关系．
问题2：若事件C发生，则事件D会发生吗？事件A，C，D之间有何关系？
提示：事件C发生，则事件D一定会发生；事件D包含事件A和事件C两个事件．
问题3：若事件C发生，那么事件E会发生吗？事件C，D，E又有何关系？
提示：若事件C发生，那么事件E一定会发生；事件D、事件E均包含事件C.
问题4：事件A与事件B能同时发生吗？事件A与事件E能同时发生吗？事件A与事件E的并事件是什么事件？交事件又是什么事件？
提示：事件A与事件B不能同时发生；事件A与事件E也不能同时发生；A∪E是必然事件；A∩E是不可能事件．
[导入新知]
事件的关系及运算
定义
表示法
图示
事件的关系
包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B A(或A B)
事件互斥
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
若A∩B＝ ，则A与B互斥
事件对立
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
若A∩B＝ ，且A∪B＝U，则A与B对立
事件的运算
并事件
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
[化解疑难]
利用集合间的关系掌握事件间的关系
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.
①事件A与B互斥，即集合A∩B＝ ；
事件A与B对立，即集合A∩B＝ ，且A∪B＝I(I为全集)，也即A＝ IB或B＝ IA.
概率的基本性质
[提出问题]
在“知识点一”的实例中，事件A发生的频数与试验的总次数之间什么关系？事件A、事件C、事件D发生的频数之间有什么关系？
提示：事件A发生的频数会小于或等于试验的总次数；事件D发生的频数等于事件A发生的频数与事件C发生的频数之和．
[导入新知]
概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围[0,1]．
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)，P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.
[化解疑难]
概率加法公式的推广
如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件A1∪A2…∪An发生(即A1，A2，…，An中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1∪A2…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
事件间关系的判断
[例1] 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
[解] 从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．
(1)“恰有一名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)“至少一名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)“至少一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)“至少有一名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
[类题通法]
判断事件间关系的方法
(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的．
(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．
[活学活用]
从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；
(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；
(3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．
解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：(1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件；同理可以判断(2)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件；(3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件.
事件的运算
[例2] 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
[解] (1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球，故C∩A＝A.
[类题通法]
进行事件运算应注意的问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
[活学活用]
在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与A，B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
解：C＝A∪B∪E；C∩F＝A∪B.
互斥事件与对立事件的概率公式的应用
[例3] 在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求：
(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率；
(2)小王数学考试及格的概率．
[解] 设小王的成绩在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥．
(1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D，则D＝A＋B，所以P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件，所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93.
[类题通法]
概率公式的应用
(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果．
(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率．
[活学活用]
一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
解：法一：(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．
∴任取1球得红球或黑球的概率为P1＝＝.
(2)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为＝.
法二：(利用互斥事件求概率)
记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，
A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
法三：(利用对立事件求概率)
(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝＝.
(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4，
所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
[典例] 某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24,0.28，0.19，0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率；
(3)射中环数不足8环的概率．
[解题流程]
[规范解答]
[类题通法]
含有“至多”“至少”等词语的事件的概率的求法
(1)当所给的事件比较简单时，则将其分解成彼此互斥的几个事件的和，然后利用概率加法公式求解．但是，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏．
(2)当所给的事件比较复杂，且很难将其分解成几个互斥事件的和时，常考虑先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．
[活学活用]
某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1
000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)抽取1张奖券中奖的概率；
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
解：(1)∵每1
000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
∴P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则
P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋
＝.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则
P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝.
[随堂即时演练]
1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )
A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
解析：选D 由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．
2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A．至多有2件次品
B．至多有1件次品
C．至多有2件正品
D．至少有2件正品
解析：选B 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．
3．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.
答案：
4.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.15，0.20，0.45，则不中靶的概率是________________．
解析：设射手“命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C互斥，故射手中靶概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.15＋0.20＋0.45＝0.80.因为中靶和不中靶是对立事件，故不中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.80＝0.20.
答案：0.20
5．黄种人群中各种血型的人所占比例如下：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例/%
28
29
8
35
已知同种血型的人之间可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，则：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，
P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给小明血的人”为事件B′∪D′，根据互斥事件的概率加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，
故“不能输血给小明的人”为事件A′∪C′，
且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
法二：因为任找一个人，其血要么可以输给小明，要么不可以输给小明，两者互为对立事件，所以不能输给小明的概率为1－P(B′∪D′)＝1－0.64＝0.36.
[课时达标检测]
一、选择题
1．把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是( )
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．以上答案均不对
答案：C
2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )
A．0.42
B．0.28
C．0.3
D．0.7
答案：C
3．给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A与事件B是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件．其中命题正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：B
4．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A．A∪B是必然事件
B.∪是必然事件
C.与一定互斥
D.与一定不互斥
答案：B
5．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，那么乙不输的概率是( )
A．20%
B．70%
C．80%
D．30%
答案：B
二、填空题
6．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，抽得正品的概率为________．
解析：记事件A＝，B＝，C＝，事件A，B，C彼此互斥且A与(B∪C)是对立事件，所以P(A)＝1－P(B∪C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.
答案：0.96
7．设事件A的对立事件为B，已知事件B的概率是事件A的概率的2倍，则事件A的概率是____________________________________________________________________．
解析：由条件可知P(B)＝2P(A)，又P(A)＋P(B)＝1，所以P(A)＋2P(A)＝1，则P(A)＝.
答案：
8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有一名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________．
解析：“至少有一名女生”与“都是男生”是对立事件．故3人中都是男生的概率P＝1－＝.
答案：
三、解答题
9．某省是高中新课程改革试验省份之一，按照规定每个学生都要参加学业水平考试，全部及格才能毕业，不及格的可进行补考．某校有50名同学参加物理、化学、生物水平测试补考，已知只补考物理的概率为，只补考化学的概率为，只补考生物的概率为.随机选出一名同学，求他不止补考一门的概率．
解：设“不止补考一门”为事件E，“只补考一门”为事件F，“只补考物理”为事件A，则P(A)＝，“只补考化学”为事件B，则P(B)＝，“只补考生物”为事件C，则P(C)＝.这三个事件为互斥事件，所以P(F)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝0.6.又因为事件E和事件F互为对立事件．所以P(E)＝1－P(F)＝1－0.6＝0.4.即随机选出一名同学，他不止补考一门的概率为0.4.
10．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
解：从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，
则P(A)＝，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝1－P(A)＝1－＝.
解
得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
即得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为，，.
11．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．
解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，
得0.1＋0.16＋x＝0.56，
∴x＝0.3.
(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z＝1，∴z＝0.04.
由派出医生最少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋z＝0.44，
∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.3．1.1 随机事件的概率
事件的概念及分类
[提出问题]
(1)在山顶上，抛一块石头，石头下落；
(2)在常温下，铁熔化；
(3)掷一枚硬币，出现正面向上．
问题：以上3个事件中，哪一个是确定会发生的？哪一个是确定不会发生的，哪一个是有可能发生也有可能不发生的？
提示：(1)确定会发生；(2)确定不会发生；(3)可能发生也可能不发生．
[导入新知]
事件
确定事件
不可能事件
在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件
必然事件
在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件
随机事件
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件
[化解疑难]
理解随机事件应注意的问题
(1)随机事件就是在条件S下，不能事先预测结果的事件．
(2)当条件S改变时，事件的性质也可能发生变化，因此在判断事件类型时，一定要明确前提条件S，它决定着事件的属性．例如，“常温常压下，水沸腾”是不可能事件，但“100℃常压下，水沸腾”就成为必然事件了.
频数与频率
[提出问题]
抛掷一枚硬币100次，出现正面向上48次．
问题1：你能计算正面向上的频率吗？
提示：正面向上的频率为0.48.
问题2：掷一枚硬币一次，出现正面向上的概率为多少？
提示：掷一枚硬币一次，出现正面向上的概率为.
[导入新知]
1．频数与频率
(1)前提：对于给定的随机事件A，在相同的条件S下重复n次试验，观察事件A是否出现．
(2)频数：指的是n次试验中事件A出现的次数nA.
频率：指的是事件A出现的比例fn(A)＝.
2．概率
(1)定义：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．
(2)范围：[0,1]．
(3)意义：概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．
[化解疑难]
频率与概率的关系
名称
区别
联系
频率
本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同
频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．在实际问题中，通常事件的概率是未知的，常用频率估计概率
概率
一个[0,1]的确定值，不随试验结果的改变而改变
事件的分类
[例1] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
[解] (1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．
(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．
(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
[类题通法]
对事件分类的两个关键点
(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；
(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
[活学活用]
指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；
(2)若a为实数，则|a|≥0；
(3)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；
(4)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标；
(5)没有水分，种子发芽．
解：(1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．
(2)对任意实数a，|a|≥0总成立，是必然事件．
(3)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．
(4)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件．
(5)没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件.
试验及重复试验的结果的分析
[例2] 指出下列试验的条件和结果：
(1)某人射击一次，命中的环数；
(2)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取1个球；
(3)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，一次任取2个球．
[解] (1)条件为射击一次；结果为命中的环数：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，共11种．
(2)条件为从袋中任取1个球；结果为：a，b，c，d，共4种．
(3)条件为从袋中任取2个球；若记(a，b)表示一次取出的2个球是a和b，则试验的全部结果为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6种．
[类题通法]
分析试验结果的方法
(1)首先要准确理解试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是后续学习求事件的概率的前提和基础．
(2)在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活的经验，按一定的次序一一列举，才能保证没有重复，也没有遗漏．
[活学活用]
下列随机事件中，一次试验各指什么？它们各有几次试验？试验的可能结果有哪几种？
(1)一天中，从北京站开往合肥站的3列列车，全部正点到达；
(2)某人射击两次，一次中靶，一次未中靶．
解：(1)一列列车开出，就是一次试验，共有3次试验．试验的结果有“只有1列列车正点到达”“只有2列列车正点到达”“全部正点到达”“全部晚点到达”，共4种．
(2)射击一次，就是一次试验，共有2次试验．试验的结果有“两次中靶”“第一次中靶，第二次未中靶”“第一次未中靶，第二次中靶”“两次都未中靶”，共4种．
概率及其求法
[例3] 某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1
000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组
[0，900)
[900，1
100)
[1100，1300)
[1
300，1
500)
[1
500，1
700)
[1
700，1
900)
[1
900，＋∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1
500小时的概率．
[解] (1)频率依次是0.048,0.121,0.208，0.223，0.193,0.165,0.042.
(2)样本中使用寿命不足1
500小时的频数是
48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中使用寿命不足1
500小时的频率是＝0.6，即灯管使用寿命不足1
500小时的概率约为0.6.
[类题通法]
估算法求概率
(1)用频率估计概率
①进行大量的随机试验，求得频数；
②由频率计算公式fn(A)＝得频率；
③由频率与概率的关系估计概率．
(2)注意事项
试验次数n不能太小．只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近摆动，且这个常数就是概率．
[活学活用]
某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心的次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)
解：(1)表中依次填入的数据为：0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.
(2)由(1)知，这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.
8．事件判断中的误区
[典例] 从12个同类产品(其中10个是正品，2个是次品)中任意抽取3个的必然事件是( )
A．3个都是正品
B．至少有1个是次品
C．3个都是次品
D．至少有1个是正品
[解析] 任意抽取3件的可能情况是：
3个正品；2个正品一个次品；1个正品2个次品．由于只有2个次品，不会有3个次品的情况.3种可能的结果中，都至少有1个正品，所以至少有1个是正品是必然发生的，必然事件应该是“至少有1个是正品”．
[答案] D
[易错防范]
1．本题易误认为正品数远大于次品数，抽出的就都是正品，从而错选A.
2．本题还易错误地认为，因为产品中既有正品也有次品，因此抽取的3个产品中应两种产品都有，从而误选B.
3．在试验中，当可能结果不唯一时，要判断事件类型，必须把握所有的可能结果，才能正确判断．
[成功破障]
在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；
④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于9.
其中，________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件(只填事件的序号即可)．
解析：根据事件的有关概念可以判断④是必然事件，②是不可能事件；①③是随机事件．
答案：④ ② ①③
[随堂即时演练]
1．下列事件：
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②经过有信号灯的路口，遇上红灯；
③从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中，任取3个，3个都是次品；
④下周六是晴天．
其中，是随机事件的是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
解析：选D ①为必然事件；对于③，次品总数为2，故取到的3个不可能都是次品，所以③是不可能事件；②④为随机事件．
2．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是( )
A．不可能事件
B．必然事件
C．可能性较大的随机事件
D．可能性较小的随机事件
解析：选D 掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．
3．下列事件：
①在空间内取三个点，可以确定一个平面；
②13个人中，至少有2个人的生日在同一个月份；
③某电影院某天的上座率会超过50%；
④函数y＝logax(0＜a＜1)在定义域内为增函数；
⑤从一个装有100只红球和1只白球的袋中摸球，摸到白球．
其中，________是随机事件，________是必然事件，________是不可能事件(填序号)．
解析：①③⑤是随机事件，②是必然事件，④是不可能事件．
答案：①③⑤ ② ④
4．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么可能共进行了________次试验．
解析：设共进行了n次试验，则＝0.02，解得n＝500.
答案：500
5．下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题.
每批粒数
2
5
10
70
130
700
1
500
2
000
3
000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
637
1
370
1
786
2
715
发芽的频率
(1)完成上面表格；
(2)该油菜籽发芽的概率约是多少？
解：(1)填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.905.
(2)该油菜籽发芽的概率约为0.9.
[课时达标检测]
一、选择题
1．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“三个数字的和大于6”这一事件是( )
A．必然事件
B．不可能事件
C．随机事件
D．以上选项均不正确
答案：C
2．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为( )
A．3件都是正品
B．至少有1件次品
C．3件都是次品
D．至少有1件正品
答案：C
3．事件A的频率满足( )
A.＝0
B．＝1
C．0＜＜1
D．0≤≤1
答案：D
4．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0,1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
答案：C
5．在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为( )
A．0.49
B．49
C．0.51
D．51
答案：D
二、填空题
6．下列说法正确的有________．(填序号)
(1)频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性的大小．
(2)做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率．
(3)频率是不能脱离具体的试验次数的试验值，而概率是确定性的、不依赖于试验次数的理论值．
(4)在大量实验中频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
解析：由频率、概率的意义及二者的关系可知(1)，(3)，(4)正确．
答案：(1)(3)(4)
7．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃在一年时间里破碎的概率，公司收集了20
000部汽车，从某年的5月1日到下一年的4月30日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率约为________．
解析：p＝＝0.03.
答案：0.03
8．某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如表(结果保留两位有效数字)：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5
544
9
013
13
520
17
191
男婴数
2
716
4
899
6
812
8
590
男婴出生频率
(1)将表格补充完整；
(2)这一地区男婴出生的概率约是________．
解析：频率＝，可以利用频率来求近似概率．
(1)中各频率为0.49,0.54,0.50,0.50.
(2)由(1)得概率约为0.50.
答案：(1)0.49 0.54 0.50 0.50 (2)0.50
三、解答题
9．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径(单位：cm)检验，结果如下：
直径(单位：cm)
个数
直径(单位：cm)
个数
(6.88,6.89]
1
(6.93,6.94]
26
(6.89,6.90]
2
(6.94,6.95]
15
(6.90,6.91]
10
(6.95,9.96]
8
(6.91,6.92]
17
(6.96,6.97]
2
(6.92,6.93]
17
(6.97,6.98]
2
从这100个螺母中任意取一个，检验其直径的大小，求下列事件的频率：
(1)事件A：螺母的直径在(6.93,6.95]范围内；
(2)事件B：螺母的直径在(6.91,6.95]范围内；
(3)事件C：螺母的直径大于6.96.
解：(1)螺母的直径在(6.93,6.95]范围内的频数为
nA＝26＋15＝41，
所以事件A的频率为＝0.41.
(2)螺母的直径在(6.91,6.95]范围内的频数为
nB＝17＋17＋26＋15＝75.
所以事件B的频率为＝0.75.
(3)螺母的直径大于6.96的频数为nC＝2＋2＝4，
所以事件C的频率为＝0.04.
10．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10
000个鱼卵能孵出8
513条鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：
(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？
(2)30
000个鱼卵大约能孵化多少条鱼苗？
(3)要孵化5
000条鱼苗，大约需准备多少个鱼卵(精确到百位)
解：(1)这种鱼卵的孵化频率为＝0.851
3，
把它看作近似孵化的概率．
(2)设能孵化x条鱼苗，则＝0.851
3.
所以x＝25
539，
即30
000个鱼卵大约能孵化25
539条鱼苗．
(3)设大约需准备y个鱼卵，则＝0.851
3，
所以y≈5
900，
即大约需准备5
900个鱼卵．
11．对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品频率
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2
000个U盘，至少需进货多少个U盘？
解：(1)表中次品频率从左到右依次为0.06，0.04，0.025,0.017,0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2
000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2
000，因为x是正整数，
所以x≥2
041，即至少需进货2
041个U盘．3．2.2 (整数值)随机数(random
numbers)的产生
随机数的产生
[导入新知]
1．随机数的产生
(1)标号：把n个大小、形状相同的小球分别标上1,2,3，…，n；
(2)搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌；
(3)摸取：从中摸出一个．
这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数．
2．伪随机数的产生
(1)规则：依照确定算法；
(2)特点：具有周期性(周期很长)；
(3)性质：它们具有类似随机数的性质．
计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为伪随机数．
[化解疑难]
对随机数的理解
计算器或计算机产生的整数随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质，不是真正的随机数，称为伪随机数．即使是这样，由于计算器或计算机省时省力，并且速度非常快，我们还是把计算器或计算机产生的伪随机数近似地看成随机数.
产生随机数的方法
[导入新知]
1．利用计算器产生随机数的操作方法
用计算器的随机函数RANDI(a，b)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．
例如，用计算器产生1到25之间的取整数值的随机数，方法如下：
2．利用计算机产生随机数的操作程序
每个具有统计功能的软件都有随机函数，以Excel软件为例，打开Excel软件，执行下面的步骤：
(1)选定A1格，键入“＝RANDBETWEEN(0,1)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的0或1.
(2)选定A1格，按Ctrl＋C快捷键，然后选定要随机产生0,1的格，比如A2至A100，按Ctrl＋V快捷键，则在A2至A100的数均为随机产生的0或1，这样相当于做了100次随机试验．
(3)选定C1格，键入频数函数“＝FREQUENCY(A1∶A100,0.5)”，按Enter键，则此格中的数是统计A1至A100中，比0.5小的数的个数，即0出现的频数．
(4)选定D1格，键入“＝1－C1/100”，按Enter键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率．
[化解疑难]
计算机模拟试验的优点
用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法真正进行．因此利用计算机进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代方法，它可以在短时间内多次重复地来做试验，不需要对试验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域．
随机数的产生方法
[例1] 某校高一年级共有20个班1
200名学生，期末考试时，如何把学生随机地分配到40个考场中去？
[解] 第一步，n＝1；
第二步，用RANDI(1,1
200)产生一个[1，1
200]内的整数随机数x表示学生的座号；
第三步，执行第二步，再产生一个座号，若此座号与以前产生的座号重复，则执行第二步，否则n＝n＋1；
第四步，如果n≤1
200，则重复执行第三步，否则执行第五步；
第五步，按座号的大小排列，作为考号(不足四位的前面添上“0”，补足位数)，程序结束．
[类题通法]
产生随机数需要注意的两个问题
(1)利用抽签法时，所设计的试验要切实保证任何一个数被抽到的可能性是相等的，这是试验成功的基础．(关键词：等可能)
(2)利用计算器或计算机产生随机数时，由于不同型号的计算器产生随机数的方法可能会有所不同，故需特别注意操作步骤与顺序的正确性，具体操作需严格参照其说明书．(关键词：步骤与顺序)
[活学活用]
用随机模拟方法抛掷一枚均匀的硬币100次，产生计算机统计这100次试验中“出现正面朝上”随机数．
解：利用计算机统计频数和频率，用Excel演示．
(1)选定C1格，键入频数函数“＝FREQUENCY(A1：A100,0.5)”，按Enter键，则此格中的数是统计A1至A100中比0.5小的数的个数，即0出现的频数，也就是反面朝上的频数；
(2)选定D1格，键入“＝1－C1/100”，按Enter键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率，即正面朝上的频率.
利用随机模拟法估计概率
[例2] (1)已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569
683 431 257 393 027 556 488 730 113
537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A．0.35
B．0.25
C．0.20
D．0.15
(2)种植某种树苗，成活率是0.9.若种植该种树苗5棵，用随机模拟方法估计恰好4棵成活的概率．
[解析] (1)选B 由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,271,932,812,393，共5组随机数，∴所求概率为＝＝0.25.
(2)利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9.因为种植5棵，所以每5个随机数作为一组，可产生30组随机数，如下所示：
69801 66097 77124 22961 74235 31516
29747 24945 57558 65258 74130 23224
37445 44344 33315 27120 21782 58555
61017 45241 44134 92201 70362 83005
94976 56173 34783 16624 30344 01117
这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为＝0.3.
[类题通法]
利用随机模拟估计概率应关注三点
用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
[活学活用]
甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．
先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数：
034
743
738
636
964
736
614
698
637
162
332
616
804
560
111
410
959
774
246
762
428
114
572
042
533
237
322
707
360
751
据此估计乙获胜的概率为________．
解析：产生30组随机数，就相当于做了30次试验．如果6,7,8,9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707.共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为≈0.367.
答案：0.367
[典例] 通过模拟试验，产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884
2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725
6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中，表示恰有三次击中目标，则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________．
[解析] 表示三次击中目标分别是3013,2604,5725,6576,6754，共5组数，而随机数总共20组，所以所求的概率近似为＝25%.
[答案] 25%
[易错防范]
1．由题意可知，数字1,2,3,4,5,6代表击中，若不能正确理解各数字的意义，则容易导致题目错解．
2．解决此类题目时正确设计试验，准确理解随机数的意义是解题的基础和关键．
[成功破障]
天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．可利用计算机产生0到9之间的整数值的随机数，如果我们用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：
907 966 191 925 271 932 812 458
569 683 631 257 393 027 556 488
730 113 137 989
则这三天中恰有两天下雨的概率约为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选B 由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191,271,932,812,631,393,137，共7组随机数，∴所求概率为.
[随堂即时演练]
1．利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2.小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选A 抛掷硬币两次，产生的随机数的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)共四种，其中随机数之和为3的情况有(1,2)，(2,1)两种，故所求概率为＝.
2．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0～9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
5727 0293 7140 9857 0347
4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011
3661 9597 7424 6710 4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )
A．0.85
B．0.819
2
C．0.8
D．0.75
解析：选D 该射击运动员射击4次至少击中3次，考虑该事件的对立事件，故看这20组数据中含有0和1的个数多少，含有2个或2个以上的有5组数，故所求概率为＝0.75.
3．一个正方体，它的表面涂满了红色，在它的每个面上切两刀，可得27个小正方体，从中任取一个它恰有一个面涂有红色的概率是________．
解析：恰有一个面涂有红色在每一个侧面上只有一个，共有6个，故所求概率为.
答案：
4．从1,2,3,4,5这5个数中任取两个，则这两个数正好相差1的概率是________．
解析：从5个数中任取两个，共有10种取法，两个数相差1的有1,2；2,3；3,4；4,5四种，故所求概率为＝.
答案：
5．盒中有大小、形状相同的5只白球2只黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：
(1)任取一球，得到白球；
(2)任取三球，都是白球．
解：用1,2,3,4,5表示白球，6,7表示黑球．
(1)步骤：
①利用计算器或计算机产生1到7的整数随机数，每一个数一组，统计组数n；
②统计这n组数中小于6的组数m；
③任取一球，得到白球的概率估计值是.
(2)步骤：
①利用计算器或计算机产生1到7的整数随机数，每三个数一组，统计组数n；
②统计这n组数中，每个数字均小于6的组数m；
③任取三球，都是白球的概率估计值是.
[课时达标检测]
一、选择题
1．袋子中有四个小球，分别写有“巴”“西”“奥”“运”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“奥”就停止．用随机模拟的方法估计直到第二次才停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1,2,3,4表示取出的小球上分别写有“巴”“西”“奥”“运”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计，直到第二次才停止概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
2．用计算机模拟随机掷骰子的试验，估计出现2点的概率，下列步骤中不正确的是( )
A．用计算器的随机函数RANDI(1,7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生6个不同的1到6之间取整数值的随机数x，如果x＝2，我们认为出现2点
B．我们通常用计数器n记录做了多少次掷骰子试验，用计数器m记录其中有多少次出现2点，置n＝0，m＝0
C．出现2点，则m的值加1，即m＝m＋1；否则m的值保持不变
D．程序结束．出现2点的频率作为概率的近似值
答案：A
3．从3名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则这三人中恰有一名男生的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
4．从2,4,6,8,10这5个数中任取3个，则这三个数能成为三角形三边的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
5．甲、乙两人一起去游济南趵突泉公园，他们约定，各自独立地从1号到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
二、填空题
6．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．则他乘上上等车的概率为________．
解析：共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中、上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)，所以他乘坐上等车的概率为＝.
答案：
7．某小组有五名学生，其中三名女生、两名男生，现从这个小组中任意选出两名分别担任正、副组长，则正组长是男生的概率是________．
解析：从五名学生中任选两名，有10种情况，再分别担任正、副组长，共有20个基本事件，其中正组长是男生的事件有8种，则正组长是男生的概率是＝.
答案：
8．现有五个球分别记为A，B，C，D，E，随机取出三球放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则D或E在盒中的概率是________．
解析：从5个球中取3个，有10种取法，再把3个球放入3个盒子，有6种放法，基本事件有60个，D和E都不在盒中含6个基本事件，则D或E在盒中的概率P＝1－＝.
答案：
三、解答题
9．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
解：(1)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为P＝.
(2)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为P＝.
10．甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球．
(1)求取出的两个球是不同颜色的概率；
(2)请设计一种随机模拟的方法，来近似计算(1)中取出两个球是不同颜色的概率(写出模拟的步骤)．
解：(1)设A表示“取出的两球是相同颜色”，B表示“取出的两球是不同颜色”．
则事件A的概率为：P(A)＝＝.
由于事件A与事件B是对立事件，所以事件B的概率为：P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
(2)随机模拟的步骤：
第1步：利用抽签法或计算机(计算器)产生1～3和2～4两组取整数值的随机数，每组各有N个随机数．用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球．
第2步：统计两组对应的N对随机数中，每对中两个数字不同的对数n.
第3步：计算的值，则就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值．
11．先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．
(1)求点P(x，y)在直线y＝x－1上的概率；
(2)求点P(x，y)满足y2<4x的概率．
解：(1)每颗骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为6×6＝36个．
记“点P(x，y)在直线y＝x－1上”为事件A，A有5个基本事件：
A＝{(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)}，
∴P(A)＝.
(2)记“点P(x，y)满足y2<4x”为事件B，则事件B有17个基本事件：
当x＝1时，y＝1；
当x＝2时，y＝1,2；
当x＝3时，y＝1,2,3；
当x＝4时，y＝1,2,3；
当x＝5时，y＝1,2,3,4；
当x＝6时，y＝1,2,3,4.
∴P(B)＝.3．3.2 均匀随机数的产生
[导入新知]
1．均匀随机数的产生
(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数．
(2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand(_)”．
2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法
(1)试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．
(2)计算机模拟的方法：用Excel的软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．
[化解疑难]
整数随机数与均匀随机数的异同
二者都是随机产生的随机数，在一定的区域长度上出现的概率是均等的．但是整数随机数是离散的单个整数值，相邻两个整数随机数的步长为1；而均匀随机数是小数或整数，是连续的小数值，相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的．
用随机模拟法估计长度型几何概型
[例1] 取一根长度为5
m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2
m
的概率有多大？
[解] 设剪得两段的长都不小于2
m为事件A.
法一：(1)利用计算器或计算机产生n个0～1之间的均匀随机数，x＝RAND；
(2)作伸缩变换：y＝x
(5－0)，转化为[0,5]上的均匀随机数；
(3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数m；
(4)概率P(A)的近似值为.
法二：(1)做一个带有指针的转盘，把圆周五等分，标上刻度[0,5](这里5和0重合)；
(2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在[2,3]内(表示剪断绳子位置在[2,3]范围内)的次数m及试验总次数n；
(3)概率P(A)的近似值为.
[类题通法]
利用随机模拟计算概率的步骤
(1)确定概率模型；
(2)进行随机模拟试验，即利用计算器等以及伸缩和平移变换得到[a，b]上的均匀随机数；
(3)统计计算；
(4)得出结论，近似求得概率．
[活学活用]
已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD内，如果通过大量的试验发现米粒落入△BCD内的频率稳定在附近，那么点A和点C到直线BD的距离之比约为________．
解析：设米粒落入△BCD内的频率为P1，米粒落入△BAD内的频率为P2，点C和点A到直线BD的距离分别为d1，d2，
根据题意得，P2＝1－P1＝1－＝，
又∵P1＝＝，
P2＝＝，
∴＝＝.
答案：
用随机模拟估计面积型的几何概型
[例2] 如图所示，在墙上挂着一块边长为32
cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为3
cm，6
cm,9
cm.某人站在3
m之外向此板投镖，假设投镖击在线上或没有投中木板不算，可重投，用随机模拟的方法估计：
(1)“投中小圆内”的概率是多少？
(2)“投中小圆与中圆形成的圆环”的概率是多少？
[解] 记事件A＝，
事件B＝.
按如下步骤进行：
第一步，用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；
第二步，经过伸缩和平移变换，a＝a1·32－16，b＝b1·32－16，得到两组[－16,16]上的均匀随机数；
第三步，统计投在小圆内的次数N1(即满足a2＋b2＜9的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环的次数N2(即满足9＜a2＋b2＜36的点(a，b)的个数)，投中木板的总次数N(即满足－16＜a＜16，－16＜b＜16的点(a，b)的个数)；
第四步，计算频率fn(A)＝，fn(B)＝，即分别为概率P(A)，P(B)的近似值．
[类题通法]
用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的联系与区别
(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数；
(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的横纵坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比．
[活学活用]
现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率．
解：第一步，利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a1、b1(共N组)；
第二步，经过平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)
2，
b＝(b1－0.5)
2；
第三步，数出满足不等式b＜2a－，即6a－3b＞4的数组数N1.所求概率P≈.可以发现，试验次数越多，概率P越接近.
利用随机模拟的方法计算不规则图形的面积
[例3] (1)如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为( )
A.
B．
C.
D．无法计算
(2)利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(抛物线y＝2－2x－x2与x轴围成的图形)的面积．
[解析] (1)选B 由几何概型的公式可得＝，又S正方形＝4，∴S阴影＝4×＝.
(2)第一步，利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；
第二步，经过平移和伸缩变换，a＝a1·4－3，b＝b1·3，得到一组[－3,1]和一组[0,3]上的均匀随机数；
第三步，统计试验总次数N和落在阴影部分的点数N1(满足条件b＜2－2a－a2的点(a，b)的个数)；
第四步，计算频率就是点落在阴影部分的概率的近似值；
第五步，设阴影部分的面积为S，由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为，所以≈，故S≈即为阴影部分面积的近似值．
[类题通法]
利用随机模拟法估计图形面积的步骤
(1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)内的一部分，并用阴影表示；
(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率P(A)＝；
(3)设阴影部分的面积是S，规则图形的面积是S′，则有＝，解得S＝S′，即已知图形面积的近似值为S′.
[活学活用]
利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(曲线y＝2x与直线x＝±1及x轴围成的图形)的面积．
解：设事件A为“随机向正
方形内投点，所投的点落在阴影部分”，操作步骤如下：
第一步，用计数器n记录做了多少次试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足－1＜x＜1,0＜y＜2x(即点落在图中阴影部分)，首先设置n＝0，m＝0；
第二步，用变换rand( )
2－1产生－1～1之间的均匀随机数x表示所投点的横坐标，用变换rand( )
2产生0～2之间的均匀随机数y表示所投点的纵坐标；
第三步，判断点是否落在阴影部分，即是否满足y＜2x，如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1，如果不是，m的值保持不变；
第四步，表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1，如果还要试验，则返回步骤第二步继续执行，否则结束．程序结束后事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值．
设阴影部分的面积为S，正方形面积为4，由几何概型概率计算公式得，P(A)＝，所以≈，故可作为阴影部分面积S的近似值．
[典例] 甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并约定先到者要等候另一人一刻钟，过时即可离开．求甲、乙能见面的概率．
[解题流程]
[规范解答]
法一(利用几何概型的概率公式)：
如图所示：
[类题通法]
利用几何概型求解会面问题
会面问题是利用数形结合转化为面积型几何概型的问题解决的，步骤如下：
(1)将时间分别用x，y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)；
(2)找出会面关系，用式子表示出能够会面的条件；
(3)在平面直角坐标系里，画出所有可能的结果表示的区域，并求出面积；
(4)用阴影部分表示出能够会面的区域，并求面积；
(5)代入几何概型的概率公式求解．
[活学活用]
两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，设甲、乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是2小时与4小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．
解：如图所示，以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的等价条件是甲先到：y≤x＋2，乙先到：x≤y＋4.在平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间”的所有可能结果由图中的阴影部分来表示，μA＝242－×222－×202＝134，μΩ＝242＝576，所以P(A)＝＝＝.故有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为.
[随堂即时演练]
1．要产生[－3,3]上的均匀随机数y，现有[0,1]上的均匀随机数x，则y不可取为( )
A．－3x
B．3x
C．6x－3
D．－6x－3
解析：选D 法一：利用伸缩和平移变换进行判断，
法二：由0≤x≤1，得－9≤－6x－3≤－3，
故y不能取－6x－3.
2．设x，y是两个[0,1]上的均匀随机数，则0≤x＋y≤1的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选A 如图所示，所求的概率为
P＝＝.
3．b1是[0,1]上的均匀随机数，b＝6(b1－0.5)，则b是________上的均匀随机数．
解析：∵b1∈[0,1]，
∴b1－0.5∈[－0.5,0.5]，
∴6(b1－0.5)∈[－3,3]．
答案：[－3,3]
4．(全国甲卷改编)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为________．(用m，n表示)
解析：因为x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得＝，即＝，所以π＝.
答案：
5.如图所示，向边长为2的大正方形内投飞镖，利用随机模拟的方法求飞镖落在中央边长为1的小正方形中的概率．(假设飞镖全部落在大正方形内)
解：用几何概型概率计算公式得P＝＝.用计算机随机模拟这个试验，步骤如下：
第一步，用计数器n记录做了多少次投飞镖的试验，用计数器m记录其中有多少次投在中央的小正方形内，设置n＝0，m＝0；
第二步，用函数rand( )
4－2产生两个－2～2之间的均匀随机数x，y，x表示所投飞镖的横坐标，y表示所投飞镖的纵坐标；
第三步，判断(x，y)是否落在中央的小正方形内，也就是看是否满足|x|＜1，|y|＜1，如果是，则m的值加1，即m＝m＋1，否则m的值保持不变；
第四步，表示随机试验次数的计数器n加1，即n＝n＋1，如果还需要继续试验，则返回步骤第二步继续执行，否则，程序结束．
程序结束后飞镖投在小正方形内的频率作为所求概率的近似值．
[课时达标检测]
一、选择题
1．若－4≤x≤2，则x是负数的概率是( )
A.
B．
C.
D．
答案：D
2．已知函数f(x)＝log2x，x∈，则在区间上任取一点x0，使f(x0)≥0的概率为( )
A．1
B．
C.
D．
答案：C
3．设一直角三角形两直角边的长均是区间[0,1]上的随机数，则斜边的长小于1的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：C
4．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5
cm的圆，中间有边长为0.5
cm的正方形孔，随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：A
5.如图，在△AOB中，已知∠AOB＝60°，OA＝2，OB＝5，在线段OB上任取一点C，求△AOC为钝角三角形的概率．( )
A．0.6
B．0.4
C．0.2
D．0.1
答案：B
二、填空题
6．如图的矩形，长为5
m，宽为2
m，在矩形内随机撒300粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138，则我们可以估计出阴影部分的面积为________m2.
解析：由题意得：＝，S阴影＝.
答案：
7.一个投针试验的模板如图所示，AB为半圆O的直径，点C在半圆上，且CA＝CB.现向模板内任投一针，则该针恰好落在△ABC内(图中的阴影区域)的概率是________．
解析：设半圆O的半径为r，
则半圆O的面积S半圆＝πr2，
在△ABC中，AB＝2r，CA＝CB＝r，
∴S△ABC＝·r·r＝r2.
据题意可知该概率模型是几何概型，
所以所求的概率为P＝＝＝.
答案：
8．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
解析：由题意画出示意图，如图所示．表示小波在家看书的区域如图中阴影部分所示，则他在家看书的概率为
＝，
因此他不在家看书的概率为
1－＝.
答案：
三、解答题
9．利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴、x＝±1围成的部分)的面积．
解：(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，
a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)经过平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)
2，b＝b1]N1,N)，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
（3）统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1.
（4）计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值.
(5)用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝，＝，∴S≈，即为阴影部分的面积值．
10．对某人某两项指标进行考核，每项指标满分100分，设此人每项得分在[0,100]上是等可能出现的．若单项80分以上，且总分170分以上才合格，求他合格的概率．
解：设某人两项的分数分别为x分、y分，
则0≤x≤100,0≤y≤100，
某人合格的条件是：80＜x≤100，
80＜y≤100，x＋y＞170.
在同一平面直角坐标系中，作出上述区域(如图中阴影部分所示)．
由图可知：0≤x≤100,0≤y≤100构成的区域面积为100×100＝10
000，
合格条件构成的区域面积为S五边形BCDEF＝S矩形ABCD－S△AEF＝400－×10×10＝350，
所以所求概率为P＝＝.
答：该人合格的概率为.
11．已知甲、乙两人约定到羽毛球馆去打球，两人都在9：30～11：30的任意时刻到达，若两人的到达时刻相差20分钟以内，两人可以一起打球，否则先到者就和别人在一起打球，求甲、乙两人没在一起打球的概率．
解：设甲的到达时刻为x，乙的到达时刻为y，
由(x，y)构成的区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2}，
此区域面积S＝2×2＝4，令两人没在一起打球的事件为A，则事件A构成区域A＝(x，y)|x－y|>，0≤x≤2,0≤y≤2，区域A的面积为SA＝2＝，
∴P(A)＝＝.3.2.1
古典概型
1．基本事件有哪些特征？
2．如何判断一个试验是否是古典概型？
3．古典概型的概率公式是什么？
有序和无序型问题
[例1] 从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
[解] (1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．
用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，
所以A＝.
因为事件A由4个基本事件组成，
所以P(A)＝＝.
(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝.
[类题通法]
解决有序和无序问题应注意两点
(1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个基本事件．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．
[活学活用]
一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．
解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个，因此所求事件的概率为P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n≥m＋2的有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．
所以，满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝，
故满足条件n＜m＋2的事件的概率为
1－P1＝1－＝.
数字型问题
[例2] 某城市的电话号码是8位数，如果从电话号码本中任取一个电话号码，求：
(1)头两位数字都是8的概率；
(2)头两位数字都不超过8的概率．
[解] 电话号码每位上的数字都可以由0,1,2，…，9这十个数字中的任意一个数字组成，
故试验基本事件总数为n＝108.
(1)记“头两位数字都是8”为事件A，则若事件A发生，头两位数码都只有一种选法，即只能选8，后六位各有10种选法，故事件A包含的基本事件数为m1＝106.所以由古典概型概率公式，得P(A)＝＝＝＝0.01.
(2)记“头两位数字都不超过8”为事件B，则事件B的头两位数码都有9种选法，即从0～8这9个数字中任选一个，后六位各有10种选法，
故事件B所包含的基本事件数为m2＝81×106.
所以由古典概型概率公式，得P(B)＝＝＝0.81.
[类题通法]
解决数字型问题
(1)电话号码及密码问题中，每个数字在各个位置出现的机会是相等的，且首位也可以为0.
(2)由于此类问题的基本事件数目较大，且很难一一列举，常借助整数的有关性质求解．
[活学活用]
储蓄卡的密码是一种六位数字号码，每位上的数字可以从0到9这10个数字中任取．
(1)如果某人拾到储蓄卡一张，随意按下六位号码正好按对密码的概率是多少？
(2)若某人未记准储蓄卡密码的后两位数字，随机按下两位数字正好按对密码的概率是多少？
解：(1)由储蓄卡的密码是六位数字号码，且每位上的数字都有从0到9共10种取法，故这种号码共有106个．由于随意按下一个六位号码，无论按下哪个号码的可能性都是均等的，故正好按对密码的概率P＝.
(2)按六位号码的后两位数字共有10×10＝100种按法，随意按下后两位数字，每一种按法机会均等，故按对的概率为P＝.
概率与统计的综合问题
[例3] 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
[解] (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．
所以P(B)＝＝.
[类题通法]
使用古典概型的概率公式的两个关键点
(1)审读题干：对于实际问题要认真读题，深入理解题意，计算基本事件总数要做到不重不漏，这是解决古典概型问题的关键．(关键词：不重不漏)
(2)编号：分析实际问题时，往往对要研究的对象进行编号或用字母代替，使复杂的实际意义变为简单的数字和字母，方便寻找对象间的关系，可以使问题得以简单地表示，这是解决古典概型问题时主要的解题技巧．(关键词：简单的数字和字母)
[活学活用]
某iPhone手机专卖店对某市市民进行iPhone手机认可度的调查，在已购买iPhone手机的1
000名市民中，随机抽取100名，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：
分组(岁)
频数
[25,30)
5
[30,35)
x
[35,40)
35
[40,45)
y
[45,50)
10
合计
100
(1)求频数分布表中x，y的值，并补全频率分布直方图；
(2)在抽取的这100名市民中，从年龄在[25,30)、[30,35)内的市民中用分层抽样的方法抽取5人参加iPhone手机宣传活动，现从这5人中随机选取2人各赠送一部iPhone
7手机，求这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率．
解：(1)由频数分布表和频率分布直方图可知，
解得
频率分布直方图中年龄在[40,45)内的人数为30，对应的为＝0.06，所以补全的频率分布直方图如下：
(2)由频数分布表知，在抽取的5人中，
年龄在[25,30)内的市民的人数为5×＝1，记为A1，年龄在[30,35)内的市民的人数为5×＝4，分别记为B1，B2，B3，B4.
从这5人中任选2人的所有基本事件为：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，B4}，{B2，B3}，{B2，B4}，{B3，B4}，共10个．
记“恰有1人的年龄在[30,35)内”为事件M，则M所包含的基本事件有4个：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}．
所以这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率为P(M)＝＝.
[典例] 设集合A＝，B＝，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，求使事件Cn的概率最大的n的所有可能取值．
[解题指导] 点P的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)．
若点P(a，b)落在直线x＋y＝n(2≤n≤5)上，则：
当n＝2时，点P只能是(1,1)；
当n＝3时，点P可能是(1,2)，(2,1)；
当n＝4时，点P可能是(1,3)，(2,2)；
当n＝5时，点P只能是(2,3)．
故事件C3，C4的概率最大，所以n可取3或4.
[多维探究]
古典概型是高考考查的重点和热点之一，考查的主要内容是事件发生的概率的求解，且常与其他相关知识交汇命题，如本例就是将古典概型与解析几何进行的交汇命题，而本课时例3是古典概型与统计的交汇问题．另外，古典概型还常与函数、方程等问题相结合命题．
[角度一] 古典概型与方程相结合问题
设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根意味着Δ＝(2a)2－4b2≥0，即a≥b.
基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12个．其中第1个数表示a的取值，第2个数表示b的取值．而事件A包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝＝.
[角度二] 古典概型与函数相结合问题
袋里装有五个球，号码依次为1,2,3,4,5，设号码为x的球重(x2－5x＋30)克，这些球以同等的机会(不受质量的影响)从袋里取出．若同时从袋内任意取出两球，则它们质量相等的概率是多少？
解：设质量相等的两球的号码分别是m，n，m≠n，则有m2－5m＋30＝n2－5n＋30，解得m＋n＝5.而五个球中任意取两球的基本事件共有10种，符合题意的只有2种，即两球的号码分别是或，所以P＝＝.
[角度三] 古典概型与新定义相结合问题
“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2
578)，在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是多少？
解：十位是1的“渐升数”有8个，十位是2的“渐升数”有7个，…，十位是8的“渐升数”有1个；所以二位的“渐升数”有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个，以3为十位比37大的“渐升数”为2个，分别以4、5、6、7、8为十位的“渐升数”均比37大，且共有5＋4＋3＋2＋1＝15个，所以比37大的“渐升数”共有2＋15＝17个，故在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是.
[随堂即时演练]
1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选C 由log2xy＝1，得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以或或共3种情况，
所以P＝＝.
2．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈，若a＝b或a＝b－1，就称甲、乙“心有灵犀”，现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选C 由于甲、乙各记一个数，则基本事件总数为6×6＝36个，而满足a＝b或a＝b－1的共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)11个．∴概率P＝.
3．从集合A＝{－3，－2，－1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第四象限的概率为________．
解析：根据题意可知，总的基本事件(k，b)共有4×3＝12个，直线y＝kx＋b不经过第四象限，则k>0，b>0，包含的基本事件有(2,1)，(2,2)，共2个，根据古典概型的概率计算公式可知直线y＝kx＋b不经过第四象限的概率P＝＝.
答案：
4．如图所示，a，b，c，d，e是处于断开状态的开关，任意闭合其中的两个，则电路接通的概率是________．
解析：“任意闭合其中的两个开关”所包含的基本事件总数是10，“电路接通”包含6个基本事件，所以电路接通的概率P＝.
答案：
5．(天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．
因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.
[课时达标检测]
一、选择题
1．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：B
2．从分别写有数字1,2,3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数之积是完全平方数的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：A
3．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则是下列哪个事件的概率( )
A．颜色全同
B．颜色不全同
C．颜色全不同
D．无红球
答案：B
4．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：C
5．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：C
二、填空题
6．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个学习小组各4名同学在某次考试中的数学成绩，乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，在图中用m表示，假设数字具有随机性，则乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率为________．
甲组
乙组
7
9
8
5
3
1
9
1
0
m
解析：由(87＋89＋91＋93)＝(85＋90＋91＋90＋m)，得m＝4，即m＝4时，甲、乙两个小组的平均成绩相等．设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，m的取值有0,1,2，…，9，共10种可能，其中，当m＝5,6，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，故所求概率为＝.
答案：
7．甲、乙、丙三名同学上台领奖，从左到右按甲、乙、丙的顺序排列，则三人全都站错位置的概率是________．
解析：甲，乙，丙三人随意站队排列，共有6种顺序，即(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，而“三人全都站错位置”包括(乙，丙，甲)和(丙，甲，乙)2个基本事件，故所求概率P＝＝.
答案：
8．设集合P＝，Q＝，P Q，x，y∈.在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对(x，y)所表示的点中任取一个，其落在圆x2＋y2＝r2内的概率恰为，则r2的一个可能整数值是________(只需要写出一个即可)．
解析：满足条件的点有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(7,7)，(8,8)，(9,9)，共14个．欲使其点落在x2＋y2＝r2内的概率为，则这14个点中有4个点在圆内，所以只需29＜r2≤32，故r2＝30或31或32.
答案：30(或31或32)
三、解答题
9．设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
解：设事件A为“方程x2＋bx＋c＝0有实根”，
则A＝.
而(b，c)共有
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
共36组．
其中，可使事件A成立的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共19组．
故事件A的概率为P(A)＝.
10．从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组[40,50)；第二组[50,60)；……；第六组[90,100]，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求成绩在区间[80,90)内的学生人数；
(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内的概率．
解：(1)因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80,90)内的频率为1－(0.005×2＋0.015＋0.020＋0.045)×10＝0.1，所以选取的40名学生中成绩在区间[80,90)内的学生人数为40×0.1＝4.
(2)设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”，由(1)可知成绩在区间[80,90)内的学生有4人，记这4名学生分别为a，b，c，d，成绩在区间[90,100]内的学生有0.005×10×40＝2(人)，记这2名学生分别为e，f，则选取2名学生的所有可能结果为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15种，事件“至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”的可能结果为(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共9种，所以P(A)＝＝.
11．某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78米以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
解：(1)从身高低于1.80米的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78米以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种．因此选到的2人身高都在1.78米以下的概率为P＝＝.
易出现所有事件包含的事件数列举不全或重复而致误的情况
(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3种．
因此选到的2人身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P1＝.
3.2古典概型
3．2.1 古典概型
第一课时 古典概型的概念及简单应用
古典概型的概念
[提出问题]
掷一枚质地均匀的硬币两次，观察哪一面向上．
问题1：这个试验共有哪几种结果？基本事件总数是几？
提示：共有正正、正反、反正、反反四种结果，基本事件总数是4.
问题2：事件A＝{恰有一次正面向上}包含哪些试验结果？
提示：正反、反正．
问题3：问题2中事件A的概率是多少？
提示：.
[导入新知]
基本事件及古典概型的概念
基本事件
古典概型
特点
任何两个基本事件是互斥的
试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和
每个基本事件出现的可能性相等
[化解疑难]
对古典概型的认识
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性．例如，在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽．这个试验的基本事件只有两个：发芽、不发芽．而“发芽”和“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，所以它不属于古典概型．又如，从规格直径为300±0.6
mm的一批合格产品中任意抽取一件，测量其直径d，测量值可能是从299.4
mm到300.6
mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个，因此这个试验也不属于古典概型.
古典概型的概率公式
[导入新知]
古典概型的概率公式
对于任何事件A，P(A)＝.
[化解疑难]
频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
不同点
相同点
频率
频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值
都计算了一个比值
古典概型的概率
是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化
基本事件的计数问题
[例1] (1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( )
A．2
B．3
C．4
D．6
(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．
①写出这个试验的所有基本事件；
②求这个试验的基本事件的总数；
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？
[解] (1)选C 用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．
(2)①这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)；
②这个试验包含的基本事件的总数是8；
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
[类题通法]
基本事件的两个探求方法
(1)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以清楚地弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数，列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法．(关键词：基本事件的总数)
(2)树状图法：树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合于较复杂的试验的题目．(关键词：结构关系)
[活学活用]
一个不透明的口袋中装有大小形状相同的1个白球和3个编有不同号码的黑球，从中任意摸出2个球．
(1)写出所有的基本事件；
(2)求事件“摸出的2个球是黑球”包括多少个基本事件？
解：(1)从装有4个球的口袋中摸出2个球，基本事件共有6个：(白，黑1)，(白，黑2)，(白，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)．
(2)事件“摸出的2个球是黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}，包括3个基本事件.
对古典概型的判断
[例2] (1)向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？
(2)如图所示，射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)．你认为这是古典概型吗？为什么？
[解] (1)试验的所有可能结果是圆面内的所有点．试验的所有可能结果数是无限的．因此，尽管每一个试验结果出现的可能性相同，这个试验不是古典概型．
(2)试验的所有可能结果只有11个，但是命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)的出现不是等可能的，这个试验不是古典概型．
[类题通法]
判断一个试验是古典概型的依据
判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．
[活学活用]
下列试验是古典概型的为________(填序号)．
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率
③近三天中有一天降雨的概率
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
解析：①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．
答案：①②④
简单的古典概型的概率计算
[例3] 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
[解] (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝.
(2)由(1)知任取2道题的基本事件共有15个，用B表示“所取的2道题不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
[类题通法]
求解古典概率“四步”法
[活学活用]
(山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以基本事件总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.
则事件B包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P(B)＝＝.
事件C包含的基本事件数共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
所以P(C)＝.因为＞，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
[典例] 箱子里有3双不同的手套，随机拿出2只，记事件A表示“拿出的手套配不成对”；事件B表示“拿出的都是同一只手上的手套”；事件C表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”．
(1)请罗列出所有的基本事件；
(2)分别求事件A、事件B、事件C的概率．
[解题流程]
[类题通法]
古典概型求解三注意
解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式．但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下三个问题：
(1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性．
(2)计算基本事件的数目时，须做到不重不漏
常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件．
(3)利用事件间的关系
在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P(A1∪A2
∪A3
∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)求得，或采用正难则反的原则，转化为求其对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得．
[活学活用]
先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求：
(1)点数之和是4的倍数的概率；
(2)点数之和大于5且小于10的概率．
解：从图中容易看出，基本事件与所描点一一对应，共36种．
(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个：
(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)，所以P(A)＝.
(2)记“点数之和大于5且小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个(已用虚线圈出)，所以P(B)＝＝.
[随堂即时演练]
1．下列试验是古典概型的是( )
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球}
B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
解析：选C 根据古典概型的两个特征进行判断．A中两个基本事件不是等可能的，B中基本事件的个数是无限的，D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C符合古典概型的两个特征．
2．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )
A.
B．
C.
D．1
解析：选C 从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝.
3．(四川高考)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．
解析：从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则(a，b)的所有可能结果为(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12种取法，其中logab为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P＝＝.
答案：
4．甲、乙两人随意入住两间客房，则甲、乙两人各住一间房的概率是________．
解析：甲、乙两人入住两间客房有甲、乙两人同住一间房，甲、乙两人各住一间房共4种情况，其中甲、乙两人各住一间房的概率为＝.
答案：
5．甲、乙两人做出拳游戏(锤子，剪刀，布)．
求：(1)平局的概率；
(2)甲赢的概率；
(3)乙赢的概率．
解：设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.容易得到下图．
(1)平局含3个基本事件(图中的△)，P(A)＝＝.
(2)甲赢含3个基本事件(图中的⊙)，P(B)＝＝.
(3)乙赢含3个基本事件(图中的※)，P(C)＝＝.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列关于古典概型的说法中正确的是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个基本事件出现的可能性相等；
④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝.
A．②④
B．①③④
C．①④
D．③④
答案：B
2．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A.
B．
C.
D．
答案：B
3．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则( )
A．p1＜p2＜p3
B．p2＜p1＜p3
C．p1＜p3＜p2
D．p3＜p1＜p2
答案：C
4．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：A
5．(北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形，故甲被选中的概率P＝＝.
二、填空题
6．从甲，乙，丙，丁四个同学中选两人当班长和副班长，其中甲，乙为男生，丙、丁是女生，则至少有一名女生当选的概率是________．
解析：基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)共6个，其中“没有女生当选”只包含(甲，乙)1个，故至少一名女生当选的概率为P＝1－P(没有女生当选)＝1－＝.
答案：
7．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3
m的概率为________．
解析：从5根竹竿中一次随机抽取2根的基本事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3
m的基本事件数为2，分别是：2.5和2.8,2.6和2.9，故所求概率为0.2.
答案：0.2
8．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________．
解析：设2名男生记为A1，A2,2名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1
12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2
4种情况，则所求概率为P＝＝.
答案：
三、解答题
9．从－3，－2，－1,0,5,6,7这七个数中任取两个数相乘得到的积中，求：
(1)积为零的概率；
(2)积为负数的概率．
解：从七个数中任取两个数相乘，共有＝21个基本事件．
(1)从七个数中任取两个数相乘，积为零时，共有6个基本事件，因此，积为零的概率为＝.
(2)从七个数中任取两个数相乘，积为负数时，共有3×3＝9个基本事件，因此，积为负数的概率为＝.
10．现共有6家企业参与某项工程的竞标，其中A企业来自辽宁省，B、C两家企业来自福建省，D、E、F三家企业来自河南省，此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．
(1)列举所有企业的中标情况；
(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的概率是多少？
解：(1)从这6家企业中选出2家的选法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共有15种，以上就是中标情况．
(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的选法有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(B，D)，(B，E)(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．
则“在中标的企业中，至少有一家来自福建省”的概率为＝.
11．一个口袋内装有除颜色外其他均相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求：
(1)基本事件总数，并写出所有的基本事件；
(2)事件“摸出2个黑球”包含的基本事件是多少个？
(3)摸出2个黑球的概率是多少？
解：(1)从装有4个球的口袋内摸出2个球，基本事件总数为6，分别是：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)．
(2)事件“从3个黑球中摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个基本事件．
(3)基本事件总数m＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数n＝3，故P＝＝＝.3.3.1 几何概型
[提出问题]
每逢节假日，各大型商场竞相出招，吸引顾客，其中某商场设立了一个可以自由转动的转盘，规定顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准①，②或③区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形)，一位顾客消费了120元．
问题1：这位顾客获得100元购物券的概率与什么因素有关？
提示：与标注①的小扇形个数多少(面积大小)有关．
问题2：在该实例试验中，试验结果有多少个？其发生的概率相等吗？
提示：试验结果有无穷多个，但每个试验结果发生的概率相等．
问题3：如何计算该顾客获得100元购物券的概率？
提示：用标注①的扇形面积除以圆的面积．
[导入新知]
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域
的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．几何概型概率公式
在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：
P(A)＝
.
[化解疑难]
理解几何概型应关注三点
(1)几何概型中，每个基本事件在一个区域内均匀分布，所以随机事件概率的大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与区域的大小有关；
(2)如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但不是不可能事件；
(3)如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但不是必然事件．
与长度有关的几何概型
[例1] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．
(2)某汽车站每隔15
min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10
min的概率．
[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝.
(2)设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图所示．
记“等车时间超过10
min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生．
∴P(A)＝＝＝，
即该乘客等车时间超过10
min的概率是.
[答案] (1)
[类题通法]
1．几何概型概率问题的一般步骤
(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；
(2)把基本事件转化为与之对应的区域D；
(3)把所求随机事件A转化为与之对应的区域I；
(4)利用概率公式计算．
2．与长度有关的几何概型问题的计算公式
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：
P(A)＝.
[活学活用]
1．(重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．
解析：设方程x2＋2px＋3p－2＝0的两个负根分别为x1，x2，
∴解得
故所求概率P＝＝.
答案：
2．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒．当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯亮；
(2)黄灯亮；
(3)不是红灯亮．
解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．
(1)P＝＝＝.
(2)P＝＝＝.
(3)P＝＝＝＝，或P＝1－P(红灯亮)＝1－＝.
与面积有关的几何概型
[例2] (1)有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为( )
(2)四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
A.
B．1－
C.
D．1－
[解析] (1)根据几何概型的面积比，选项A中的游戏盘中奖概率为，选项B中游戏盘的中奖概率为，选项C中游戏盘的中奖概率为＝，选项D中游戏盘的中奖概率为＝，故A游戏盘的中奖概率最大．
(2)如图所示，长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为，因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝，取到的点到O的距离大于1的概率为1－.
[答案] (1)A (2)B
[类题通法]
1．与面积有关的几何概型的概率公式
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：
P(A)＝.
2．解与面积相关的几何概型问题的三个关键点
(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；
(3)套用公式，从而求得随机事件的概率．
[活学活用]
1．(福建高考改编)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上.
若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．
解析：因为f(x)＝B点坐标为(1,0)，所以C点坐标为(1,2)，D点坐标为(－2,2)，A点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为×3×1＝，故P＝＝.
答案：
2．在平面直角坐标系xOy中，设M是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向M中随机投一点，则所投的点落入E中的概率是________．
解析：如图，区域M表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，
因此P＝＝.
答案：
与角度有关的几何概率
[例3] 在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM＜AC的概率．
[解] 如图，在AB上取AC′＝AC，连接CC′，
则∠ACC′＝＝67.5°.
设D＝，则所有可能结果的区域角度为90°，事件D的区域角度为67.5°，
∴P(D)＝＝.
[类题通法]
与角度有关的几何概型概率的求法
(1)如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为
P(A)＝.
(2)解决此类问题的关键是事件A在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的．
[活学活用]
在平面直角坐标系中，射线OT为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内的概率是( )
A.
B．
C.
D．
解析：选A 如图，∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内对应的角度为60度，而整个角集合对应的角度为圆周角，∴该角终边落在∠xOT内的概率P＝＝.
与体积有关的几何概型
[例4] (1)在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )
A.
B．
C.
D．
(2)已知正方体ABCD A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是________．
[解析] (1)由题意可得正方体的体积为V1＝1.又球的直径是正方体的对角线，故球的半径R＝.球的体积V2＝πR3＝π.这是一个几何概型，则此点落在正方体内的概率为P＝＝＝.
(2)设正方体的棱长为2.正方体ABCD A1B1C1D1的内切球O的半径是其棱长的一半，其体积为V1＝π×13＝.则点M在球O内的概率是＝.
[答案] (1)D (2)
[类题通法]
与体积有关的几何概型概率的求法
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为
P(A)＝.
[活学活用]
有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O的距离大于1的概率．
解：圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π是试验的全部结果构成的区域体积．
以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝××13＝，则构成事件A“点P到点O的距离大于1”的区域体积为2π－＝，
由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.
[典例] 设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，若a是从区间[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
[解题指导] 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0”有实根．
则Δ＝4a2－4b2≥0，即a2≥b2.
又∵a≥0，b≥0.
∴a≥b.
试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，而构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，即如图所示的阴影部分．
所以P(A)＝＝.
[多维探究]
几何概型与其他知识的交汇问题，以其新颖性、综合性而渐成为命题者的一个重要着眼点，本题是以方程的根为依托考查了与面积有关的几何概型的求法，另外，几何概型还常与集合、解析几何等问题相交汇命题，出现在试卷中．
[角度一] 几何概型与集合的交汇问题
已知集合M＝，N＝，若向区域M随机投一点，则点P落入区域N的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选D 根据题设中集合的意义，在平面直角坐标系中分别画出区域M和N，可分别计算区域M和N的面积，进而求解．
将集合M和N所表示的区域在直角坐标系中画出，如图，
则区域M的面积S＝×8×8＝32，
区域N的面积S′＝×6×2＝6，
所以点P落入区域N的概率为P＝＝.
[角度二] 几何概型与解析几何的交汇问题
已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离；
(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．
解：(1)由点到直线l的距离公式可得
d＝＝5.
(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l平行的直线为l1，其方程为4x＋3y＝15.则符合题意的点应在l1：4x＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为2，圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为.
故所求概率为P＝＝.
[随堂即时演练]
1．下列概率模型中，几何概型的个数为( )
①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到1的概率；
②从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
③从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；
④向一个边长为4
cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1
cm的概率．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B ①不是几何概型，虽然区间[－10,10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；④是几何概型，因为在边长为4
cm的正方形和半径为1
cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有相等可能被投到，故满足无限性和等可能性．
2.如图所示，在一个边长为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选C S矩形＝ab，S梯形＝b＝ab.
故所投的点在梯形内部的概率为P＝＝＝.
3．方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根的概率为________．
解析：由于方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根，
∴Δ≥0，即1－4n≥0，∴n≤，
又n∈(0,1)，∴有实根的概率为P＝＝.
答案：
4．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．
解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，
则P(A)＝＝0.005.
答案：0.005
5．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，求此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率．
解：设正三角形ABC的边长为4，其面积为4.分别以A，B，C为圆心，1为半径在△ABC中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为4－3×××12＝4－，故所求概率P＝＝1－π.
[课时达标检测]
一、选择题
1．在长为12
cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边长作正方形，这个正方形的面积介于36
cm2与81
cm2之间的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：D
2．(全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝，故选B.
3．已知函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么满足f(x0)≤0，x0∈[－5,5]的x0取值的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：A
4．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，即称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：B
5．如图，A是圆O上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它的长度小于或等于半径的概率为( )
A.
B．
C.
D．
答案：C
二、填空题
6．设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P(A)＝________.
解析：如图所示，△DPQ为圆内接正三角形，当C点位于劣弧上时，弦DC＞PD，
∴P(A)＝.
答案：
7．在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________．
解析：点P到点A的距离小于等于a可以看作是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率：
P＝＝π.
答案：π
8．已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点．在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|<的概率为________．
解析：如图，设E，F分别为边AB，CD的中点，则满足|PH|<的点P在△AEH，扇形HEF及△DFH内，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为＝＋.
答案：＋
三、解答题
9．已知点M(x，y)满足|x|≤1，|y|≤1.求点M落在圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的内部的概率．
解：如图所示，区域Ω为图中的正方形，
正方形的面积为4，且阴影部分是四分之一圆，其面积为π，则点M落在圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的内部的概率为＝.
10．小朋友做投毽子游戏，首先在地上画出如图所示的框图，其中AG＝HR＝DR＝GH，CP＝DP＝AE＝2CQ.其游戏规则是：将毽子投入阴影部分为胜，否则为输．求某小朋友投毽子获胜的概率．
解：观察图形可看出阴影部分面积占总面积的一半，投入阴影部分的概率只与阴影部分的面积和总面积有关，故所求事件(记为事件A)的概率为P(A)＝.
11．如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝8，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点．
(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；
(2)在半圆内任取一点S，求△SAB的面积大于8的概率．
解：(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM，△ABN，△ABP，△AMN，△AMP，△ANP，△BMN，△BMP，△BNP，△MNP，其中是直角三角形的只有△ABM，△ABN，△ABP
3个，所以组成直角三角形的概率为.
(2)连接MP，取线段MP的中点D，
则OD⊥MP，
易求得OD＝2，
当S点在线段MP上时，S△ABS＝×2×8＝8，
所以只有当S点落在阴影部分时，△SAB的面积才能大于8，而S阴影＝S扇形MOP－S△OMP＝××42－×42＝4π－8，
所以由几何概型的概率公式得△SAB的面积大于8的概率为＝.3．1.2 概率的意义
[提出问题]
经市场抽检，质检部门得知市场上的食用油合格率为80%，现将对市场上的100个品牌的食用油进行检查．
问题1：这100个品牌的食用油一定有20个不合格，对吗？
提示：不对．
问题2：这100个品牌的食用油可能有20个不合格，对吗？
提示：对．
问题3：以你对合格率的理解，这100个品牌的食用油，不合格的应有多少个？
提示：可能有20个，也可能一个也没有．
[导入新知]
1．对概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的可能性．
2．游戏的公平性
(1)裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球的概率均是等可能的，所以这个规则是公平的．
(2)在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则．
3．决策中的概率思想
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．
4．天气预报的概率解释
天气预报的“降水”是一个随机事件，“降水概率为90%”指明了“降水”这个随机事件发生的概率为90%，在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不能说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的．
5．孟德尔与遗传机理中的统计规律
孟德尔从豌豆试验中洞察到的遗传规律是一种统计规律．
[化解疑难]
概率的正确认识
(1)随机事件的发生都有随机性．例如，尽管每次抛掷硬币的结果出现正、反面的概率都为0.5，但连续两次抛掷硬币的结果不一定恰好是正面朝上、反面朝上各一次，可以有三种情况：“两次正面朝上”“两次反面朝上”“一次正面朝上，一次反面朝上”．
(2)随机事件的某一结果在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中又含有规律性．认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地把握某随机事件发生的可能性．例如，做连续抛掷两枚硬币的试验1
000次，可以预见：“两个正面朝上”大约出现250次，“两个反面朝上”大约出现250次，“正面朝上、反面朝上各一个”大约出现500次．
概率含义的理解
[例1] (1)下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
(2)某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明( )
A．该厂生产的10
000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10
000件产品中合格的产品一定有9
999件
C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10
000件产品中没有不合格产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
[解析] (1)一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确；D正确．
(2)合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率．
[答案] (1)D (2)D
[类题通法]
从三个方面理解概率的意义
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
[活学活用]
抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1
000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( )
A.
B．
C.
D．
解析：选D 抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，故所求概率为.
游戏的公平性
[例2] 某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
[解] 该方案是公平的，理由如下：
各种情况如下表所示：
4
5
6
7
1
5
6
7
8
2
6
7
8
9
3
7
8
9
10
由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝＝，(2)班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．
[类题通法]
游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平；否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．
[活学活用]
玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？
解：两枚硬币落地共有四种结果：
正，正；正，反；反，正；反，反．
由此可见，她们两人得到门票的概率都是，所以公平.
概率的应用
[例3] (1)同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况( )
A．这100个铜板两面是一样的
B．这100个铜板两面是不同的
C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的
D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的
(2)为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
[解析] (1)选A 落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是一样的可能性较大．
(2)设保护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的．从保护区中任捕一只，设事件A＝，则P(A)＝.
第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知P(A)＝，
∴＝，解得n＝1
500，
∴该自然保护区中约有天鹅1
500只．
[类题通法]
1．极大似然法的应用
在“风险与决策”中经常会遇到统计中的极大似然法：如果我们面临的是从多个可以选择的答案中挑选正确答案的决策问题，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法．
2．概率的实际应用
由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生，从而对某些事情作出决策．当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率．
[活学活用]
某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色．而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3
000辆帕萨特出租车；乙公司有3
000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理？( )
A．甲公司
B．乙公司
C．甲、乙公司均可
D．以上都对
解析：选B 由题意得肇事车是甲公司的概率为，是乙公司的概率为，由极大似然法可知认定肇事车为乙公司的车辆较为合理．
[典例] 为了了解我国机动车的所有人缴纳车船使用税情况，调查部门在某大型停车场对机动车的所有人进行了如下的随机调查：向被调查者提出三个问题：(1)你的车牌号码的最后一位是奇数吗？(2)你缴纳了本年度的车船使用税吗？(3)你的家庭电话号码的倒数第二位是偶数吗？调查人员给被调查者准备了一枚骰子，让被调查者背对调查人员掷一次骰子．如果出现一点或二点则回答第一个问题；如果出现三点或四点则回答第二个问题；如果出现五点或六点则回答第三个问题(被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“否”，所以都如实做了回答)．结果被调查的3
000人中1
200人回答了“否”，由此估计在这3
000人中没有缴纳车船使用税的人数大约是( )
A．600
B．200
C．400
D．300
[解析] 因为骰子出现一点或二点、三点或四点、五点或六点的概率相等，都等于，所以应有1
000人回答了第一个问题．因为车牌号码的最后一位数是奇数还是偶数的概率也是相等的，所以在这1
000人中应有500人的车牌号码是偶数，这500人都回答了“否”；同理也有1
000人回答了第三个问题，在这1
000人中有500人回答了“否”．因此在回答“否”的1
200人中约有200人是对第二个问题回答了“否”，根据用样本特征估计总体特征知识可知在这3
000人中约有600人没有缴纳车船使用税．
[答案] A
[易错防范]
1．本题易误认为回答这三个问题的人数是相同的，因此有400人回答了第(2)个问题，而回答“是”与“否”的概率是一样的，因此误选B.
2．解决此类问题的实质是在充分掌握随机事件的概率的基础上，得到一个估计量，为生活中的一些决策做一定的理论参考．
[成功破障]
下列命题中的真命题有( )
①做9次抛掷一枚均匀硬币的试验，结果有5次出现正面，因此，出现正面的概率是；
②盒子中装有大小均匀的3个红球，3个黑球，2个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；
③从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取得的数小于0和不小于0的可能性相同；
④分别从2名男生，3名女生中各选一名作为代表，那么每名学生被选中的可能性相同．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：选A 命题①中，抛掷一枚硬币出现正面的概率是；命题②中摸到白球的概率要小于摸到红球与黑球的概率；命题③中取得小于0的概率大于取得不小于0的概率；命题④中男生被抽到的概率为，而每名女生被抽到的概率为.
[随堂即时演练]
1．“某彩票的中奖概率为”意味着( )
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为
解析：选D 概率是描述事件发生的可能性大小．
2．在天气预报中，有“降水概率预报”．例如，预报“明天降水概率为85%”，这是指( )
A．明天该地区有85%的地区降水，其他15%地区不降水
B．明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水
C．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水
D．明天该地区降水的可能性为85%
解析：选D 概率的本质含义是事件发生的可能性大小，因此D正确．
3．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球1个黑球，乙箱中有1个白球99个黑球．随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，这球是从________箱中取出的．
解析：甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是，乙箱中有1个白球99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是.由此可知，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多，由极大似然法知，既然在一次抽样中就抽到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中取出的，所以我们可以认为该球是从甲箱中取出的．
答案：甲
4．先后抛掷两枚均匀的一分、贰分的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大________．(填序号)
(1)至少一枚硬币正面向上；
(2)只有一枚硬币正面向上；
(3)两枚硬币都是正面向上；
(4)两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上．
解析：抛掷两枚硬币，其结果有“正正”“正反”“反正”“反反”四种情况．“至少有一枚硬币正面向上”包括三种情况，其概率最大．
答案：(1)
5．为了估计水库中鱼的尾数，使用以下的方法：先从水库中捕出2
000尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500尾，查看其中有记号的鱼，有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．
解：设水库中鱼的尾数是n(n∈N
)，每尾鱼被捕到的可能性相等，给2
000尾鱼做上记号后，从水库中任捕一尾鱼，带记号的概率为.又从水库中捕500尾鱼，有40尾带记号，于是带记号的频率为.则有＝，解得n＝25
000.所以估计水库中有25
000尾鱼．
[课时达标检测]
一、选择题
1．事件A发生的概率接近于0，则( )
A．事件A不可能发生
B．事件A也可能发生
C．事件A一定发生
D．事件A发生的可能性很大
答案：B
2．从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件，则对C的说法正确的是( )
A．概率为
B．频率为
C．概率接近
D．每抽10台电视机，必有1台次品
答案：B
3．高考数学试题中，有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是.某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对．”这句话( )
A．正确
B．错误
C．不一定
D．无法解释
答案：B
4．某篮球运动员投篮的命中率为98%，估算该运动员投篮1
000次命中的次数为( )
A．98
B．980
C．20
D．998
答案：B
5．从12件同类产品中(其中10件正品，2件次品)，任意抽取6件产品，下列说法中正确的是( )
A．抽出的6件产品必有5件正品，1件次品
B．抽出的6件产品中可能有5件正品，1件次品
C．抽取6件产品时，逐个不放回地抽取，前5件是正品，第6件必是次品
D．抽取6件产品时，不可能抽得5件正品，1件次品
答案：B
二、填空题
6．在一次考试中，某班学生的及格率是80%，这里所说的80%是________(填“概率”或“频率”)．
解析：80%是及格人数与全体人数的商，是频率，而不是概率．
答案：频率
7．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为________．
解析：设总体中的个体数为x，则＝，所以x＝120.
答案：120
8．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，一般给出两个问题，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．
由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以被测试者一般乐意如实地回答问题．
如果我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为________．
解析：因为掷硬币出现正面向上的概率为，我们期望大约有150人回答第一个问题．又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，另外5个回答“是”的人服用过兴奋剂．因此我们估计这群人中大约有3.33%的人服用过兴奋剂．
答案：3.33%
三、解答题
9．元旦就要到了，某校将举行联欢活动，每班派一人主持节目，高二(1)班的小明、小华和小丽实力相当，都争着要去，班主任决定用抽签的方法来决定．小强给小华出主意要小华先抽，说先抽的机会大，你是怎么认为的？说说看．
解：我们取三张卡片，上面标有1,2,3，抽到1就表示中签，假设抽签的次序为甲、乙、丙，则可以把所有的情况填入下表：
情况人名
一
二
三
四
五
六
甲
1
1
2
2
3
3
乙
2
3
1
3
1
2
丙
3
2
3
1
2
1
从上表可以看出：甲、乙、丙依次抽签，一共有六种情况，第一、二种情况，甲中签；第三、五种情况，乙中签；第四、六种情况，丙中签．由此可知，甲、乙、丙中签的可能性都是相同的，即甲、乙、丙中签的机会是一样的，先抽后抽，机会是均等的．
10．某家具厂为全国运动会某比赛场馆生产观众坐椅．质检人员对该厂所生产的2
500套坐椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，试问该厂所生产的2
500套坐椅中大约有多少套次品．
解：设有n套次品，由概率的统计定义，知＝，解得n＝50，所以该厂所生产的2
500套坐椅中大约有50套次品．
11.有一个转盘游戏，转盘被平均分成10份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”．
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？
解：(1)为了尽可能获胜，乙应选择方案B，猜“不是4的整数倍数”，因为“不是4的整数倍数”的概率为＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B.
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，因为方案A中“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性．