2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
向量的数乘运算
[提出问题]
问题1：按照向量的加法法则，若a为非零向量，则a＋a的长度与|a|的关系怎样？
提示：按三角形法则，|a＋a|＝2|a|.
问题2：我们知道，x＋x＋x＝3x，那么a＋a＋a能否写成3a呢？
提示：可以．
问题3：3a与a的方向有什么关系？－3a与a的方向呢？
提示：3a与a方向相同．－3a与a方向相反．
[导入新知]
1．向量数乘运算
一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)λa(a≠0)的方向
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ00.
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，则
(1)λ(μ
a)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，
λ(a－b)＝λa－λb.
[化解疑难]
从两个角度看数乘向量
(1)代数角度：
λ是实数，a是向量，它们的积仍是向量；另外，λa＝0的条件是λ＝0或a＝0.
(2)几何角度：
对于向量的长度而言，
①当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长到|a|的|λ|倍；
②当0<|λ|<1时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短到|a|的|λ|倍.
共线向量定理
[提出问题]
问题1：如果两个向量共线，则这两个向量具有哪几种情况？
提示：方向相同或方向相反或其中一者为零向量．
问题2：根据向量的数乘运算，λa与a(λ≠0，a≠0)的方向有何关系？
提示：相同或相反．
问题3：向量a与λa(λ为常数)共线吗？
提示：共线．
[导入新知]
1．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
2．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
[化解疑难]
共线向量定理中规定a≠0的原因
(1)若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；
(2)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa；
(3)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.
向量的线性运算
[例1] 化简下列各式：
(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
[解] (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
[类题通法]
向量线性运算的方法
向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．
[活学活用]
化简下列各式：
(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
(2).
答案：(1)14a－9b (2)－2a＋4b
在几何图形中用已知向量表示未知向量
[例2] 如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.
[解] 由三角形中位线定理，知DE綊BC，
故＝，即＝a，
＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b，
＝＋＋＝＋＋
＝－a－b＋a＝a－b.
[类题通法]
用已知向量表示未知向量的方法
用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．
[活学活用]
1.如图所示，下列结论正确的是( )
①＝a＋b；②＝a－b；③＝a－b；④＝a＋b.
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
答案：C
2．如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，.
答案：＝a＋b；＝(a＋b)；＝a－b
共线向量定理的应用
[例3] (1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．
(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x
＋y
，求x＋y的值．
[解] (1)证明：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，
∴＝－＝e1－4e2.
又∵＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，
∴＝2，∴∥.
∵AB与BD有交点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵A，B，P三点共线，∴向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ，使＝λ，即－＝λ(－)，∴＝(1－λ)＋λ，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
[类题通法]
用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量＝λ，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
[活学活用]
1．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.若a与b是共线向量，则实数k的值为________．
答案：－2
2．如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE到N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线．
证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点，
∴＝＋，∴＝－＝.
同理可证明＝－＝.
∴＝－.
∴，共线且有公共点A，∴M，A，N三点共线．
[典例] (12分)已知 ABCD中，＝a，＝b，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．
(1)用a，b表示向量，；
(2)求证：M，N，C三点共线．
[解题流程]
[规范解答](1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝＝a.(1分)
∵M为AB的中点，∴＝＝b，(2分)∴＝＋＝b＋a.(4分)∵N为BD上靠近B的三等分点，∴＝，(6分)∴＝＋＝＋＝(－)＋
＝(b－a)＋a＝a＋b.(8分)(2)证明：由(1)知＝，(10分)又与有公共点C，∴M，N，C三点共线．(12分)
[名师批注]平行四边形的对边平行且相等，且其对边可表示两相等向量，这在线性运算中经常用到.先将用平行四边形中的有关有向线段表示，然后再用向量表示这是解决此类问题的通法．要注意向量的始点和终点，此点也极易出错.
将向量转化为是解决此题的难点，很多同学因不会转化而无法解题.
在证出∥后，只有再说明与有公共点C，才能说明M，N，C三点共线．此处极易被忽视而造成解题步骤不完整而失分．
[活学活用]
如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，点D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，；
(2)若＝λ，求λ的值．
答案：(1)＝2a－b；＝2a－b (2)
[随堂即时演练]
1．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相同
B．a与－λa的方向相反
C．a与λ2a的方向相同
D．|λa|＝λ|a|
答案：C
2.等于( )
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
答案：B
3．下列向量中a，b共线的有________(填序号)．
①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
答案：①②③
4．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________．
答案：－1或3
5.如图所示，已知 ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.
答案：＝e2－e1；＝－e1＋e2
[课时达标检测]
一、选择题
1．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝( )
A．－a
B．－b
C．－c
D．以上都不对
答案：A
2．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；
②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD，其中＝a，＝b.
A．①②
B．①③
C．②
D．③④
答案：A
3.如图，向量，，的终点在同一直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是( )
A．r＝－p＋q
B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q
D．r＝－q＋2p
答案：A
4．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
5．如图，设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与
( )
A．反向平行
B．同向平行
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
答案：A
二、填空题
6.如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
答案：(b－a)
7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于________．
答案：
8．已知两个不共线向量e1，e2，且＝e1＋λe2，＝3e1＋4e2，＝2e1－7e2，若A，B，D三点共线，则λ的值为________．
答案：－
三、解答题
9．如图，四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，，＋.
解：＝＋＋＝－a＋b＋c.
∵＝＋＋，＝＋＋，
∴2＝＋＋＋＋＋
＝－－＝－b－(－a＋b＋c)
＝a－2b－c.
∴＝a－b－c.
＋＝＋＋＋＝2＝a－2b－c.
10．设O是△ABC内部一点，且＋＝－3，求△AOB与△AOC的面积之比．
解：如图，由平行四边形法则，知＋＝，其中E为AC的中点．
所以＋＝2＝－3.
所以＝－，||＝||.
设点A到BD的距离为h，
则S△AOB＝||·h，S△AOC＝2S△AOE＝||·h，所以＝＝·＝×＝.
11．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
解：(1)证明：∵＝λ＋(1－λ)，
∴＝λ＋－λ，
－＝λ－λ，
∴＝λ
(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．
又∵与有公共点A，∴A，B，M三点共线．
(2)(1，＋∞)2.2.2 向量减法运算及其几何意义
相反向量
[提出问题]
问题1：一个数a的相反数是什么？
提示：－a.
问题2：一个向量有相反向量吗？
提示：有，向量a的相反向量是－a.
[导入新知]
相反向量
与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；
(2)－(－a)＝a；
(3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
[化解疑难]
对相反向量的理解
(1)两个非零向量a与b互为相反向量应具备两个条件：①长度相等；②方向相反．二者缺一不可．
(2)与互为相反向量，且＋＝0.
向量的减法
[提出问题]
问题1：两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零吗？
提示：不是，是零向量．
问题2：根据向量加法，如何求作a－b
提示：①先作出－b；②再按三角形法则或平行四边形法则进行．
[导入新知]
向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
(2)几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则
＝a－b，如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
[化解疑难]
透析差向量的作法
(1)表示a－b.强调：差向量“箭头”指向被减向量．
(2)可以用向量减法的三角形法则作差向量，也可以用向量减法的定义a－b＝a＋(－b)(即平行四边形法则)作差向量，显然，后一种方法作图较烦琐．
作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点，指向被减”．
向量的减法运算
[例1] 化简：(1)(－)－(－)；
(2)(＋＋)－(－－)．
[解] (1)(－)－(－)
＝(＋)－(＋)＝－＝0.
(2)(＋＋)－(－－)
＝(＋)－(－)＝－＝0.
[类题通法]
1．向量减法运算的常用方法
2．向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和；
(2)起点相同且为差．
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．
[活学活用]
化简下列各式：
(1)－－；(2)＋－；(3)－－.
答案：(1) (2) (3)
向量的减法及其几何意义
[例2] (1)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A．－＝
B．＋＝
C．＝
D．＋＝0
(2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
[解] (1)A
(2)如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
[类题通法]
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
[活学活用]
在本例(2)的条件下作出向量：
(1)a－b＋c；(2)a－b－c.
答案：如图所示．
利用已知向量表示未知向量
[例3] 如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
[解] 由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，
则(1)＝＋＋＝d＋e＋a.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝a＋b＋e.
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
[类题通法]
用已知向量表示某向量的基本步骤
第一步：观察各向量的位置；
第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；
第三步：运用法则找关系；
第四步：化简结果．
[活学活用]
如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3)－；
(4)＋；
(5)－.
答案：(1)c－a (2)d－a (3)d－b (4)b－a＋f－c (5)f－d
[典例] 设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8
B．4
C．2
D．1
[解析] 以，为邻边作平行四边形ACDB，则由向量加、减法的几何意义可知＝＋，＝－，因为|＋|＝|－|，所以||＝||.
又四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB.
则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，||＝||＝2.
[答案] C
[多维探究]
1．平行四边形中有关向量的以下结论，在解题中可以直接使用：(1)对角线平方和等于四边的平方和，即|a＋b|2＋b|2＝2(|a|2＋|b|2)；(2)若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形．
2．高考对向量加法、减法的考查，重在考查对加法法则、减法法则的理解，要特别注意首尾顺次相接的若干向量的和为0.一般将向量放在具体的几何图形中，常见的有三角形、四边形(平行四边形、矩形、菱形)、正六边形等．
[活学活用]
1．如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0
B．
C．
D．
答案：D
2．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A．＋＋＝0
B．－＋＝0
C．＋－＝0
D．－－＝0
答案：A
[随堂即时演练]
1．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b
B．b－a
C．a＋b
D．－a－b
答案：D
2．化简以下各式：
(1)＋＋；(2)－＋；(3)
＋＋－.
结果为零向量的式子个数是( )
A．0
B．1 C．2 D．3
答案：D
3.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．
答案：b－c
4．化简＋－－－的结果是________．
答案：
5．已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：＋＝＋.
证明：
如图，在四边形CDEF中，＋＋＋＝0，
所以＝－－－
＝＋＋.①
在四边形ABFE中，＋＋＋＝0，
所以＝＋＋.②
①＋②，得
＋＝＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)．
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴＋＝0，＋＝0，
∴＋＝＋.
[课时达标检测]
一、选择题
1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A．＝＋
B．＝－
C．＝－＋
D．＝－－
答案：B
2．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|的值为( )
A．0
B．1
C.
D．2
答案：B
3．已知一点O到 ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于( )
A．a＋b＋c
B．a－b＋c
C．a＋b－c
D．a－b－c
答案：B
4．有下列不等式或等式：
①|a|－|b|<|a＋b|<|a|＋|b|；
②|a|－|b|＝|a＋b|＝|a|＋|b|；
③|a|－|b|＝|a＋b|<|a|＋|b|；
④|a|－|b|<|a＋b|＝|a|＋|b|.
其中，一定不成立的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：A
5．平面上有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若m，n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在同一直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
答案：C
二、填空题
6．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝__________，|a－b|＝________.
答案：0 2
7．在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|＝______.
答案：2
8．设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|＝2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i＝1,2,3，则b1－b2＋b3＝________.
答案：0
三、解答题
9．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于一点O，若a＝，b＝，c＝，求证：c＋a－b＝.
证明：在 ABCD中，＝，＝，
∴c＋a－b＝＋－＝＋(－)
＝＋＝.
10．如图，在正五边形ABCDE中，若＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，求作向量a－c＋b－d－e.
解：a－c＋b－d－e
＝(a＋b)－(c＋d＋e)
＝(＋)－(＋＋)
＝－
＝＋.
如图，连接AC，并延长至点F，
使CF＝AC，则＝.
所以＝＋，
即为所求作的向量a－c＋b－d－e.
11．设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示，，.
解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，
∴＝＋＝a＋b，
∴＝－＝c－(a＋b)＝c－a－b.
又四边形ODHC为平行四边形，
∴＝＋＝c＋a＋b，
∴＝－＝a＋b＋c－b＝a＋c.2．5
平面向量应用举例
[导入新知]
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．
(3)动量mv是向量的数乘运算．
(4)功是力F与位移s的数量积．
[化解疑难]
向量法在平面几何中的应用
用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向：
(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．
平面几何中的垂直问题
[例1] 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
[证明] 设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0
则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝1×a×cos
180°＋1×(1－a)×cos
90°＋a×a×cos
45°＋a×(1－a)×cos
45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.
∴⊥，即DP⊥EF.
[类题通法]
利用向量解决垂直问题
对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．
[活学活用]
如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，
BC的中点．求证：AF⊥DE(利用向量证明)．
证明：设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝b－a，
∴·＝·
＝b2－a2＋a·b.
又∵⊥，且||＝||，
∴a2＝b2，a·b＝0，
∴·＝0，∴⊥，即AF⊥DE.
平面几何中的长度问题
[例2] 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
[解] (1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
∵D为AB的中点，
∴D，
∴||＝，||＝，
∴||＝||，即CD＝AB.
(2)∵E为CD的中点，∴E，
设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，
∴＝λ.
即(x，－m)＝λ.
则故λ＝，即x＝，
∴F.
∴||＝，即AF＝.
[类题通法]
利用向量法解决长度问题
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝.
[活学活用]
如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，
对角线BD＝2，求对角线AC的长．
答案：
向量在物理中的应用
[例3] 在水流速度为4
km/h的河水中，一艘船以12
km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘船的航行速度的大小与方向．
[解] 如图所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸行驶的速度，以为一边，为一对角线作 ABCD，则就是船的航行速度．
∵||＝4，||＝12，
∴||＝||＝8，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°.
即船的航行速度为8
km/h，方向与水流方向的夹角为120°.
[类题通法]
利用向量法解决物理问题的步骤
(1)抽象出物理问题的向量，转化为数学问题；
(2)建立以向量为主体的数学模型；
(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；
(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题．
[活学活用]
已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50
N，一个质量为8
kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02
的水平面上运动了20
m．求力F和摩擦力f所做的功分别为多少．(g取10
m/s2)
答案：F和f所做的功分别为500
J和－22
J
[典例] 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．
[解析] 由原等式得－＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．
[答案] 重
[多维探究]
探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合即可．上面典例就是利用向量探究三角形的重心问题，另外与三角形的内心、外心、垂心有关的问题也是各类考试常涉及的问题．
[活学活用]
1．若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．
答案：内
2．若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________心．
答案：垂
3．若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞),
则动点P的轨迹一定通过△ABC的________心．
答案：外
[随堂即时演练]
1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2
B．v1＋v2
C．|v1|－|v2|
D.
答案：B
2.如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则·等于( )
A.
B.
C．2
D．3
答案：B
3．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
答案：2
4．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10
m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________m/s.
答案：5
5．已知平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．
证明：设＝a，＝b，
则＝－＝－a＝b－a，
＝－＝b－＝b－a，
所以＝，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．
[课时达标检测]
一、选择题
1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A.
B．2
C.
D.
答案：C
2．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( )
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为两边的三角形的面积
C．以a，b为两边的三角形的面积
D．以b，c为邻边的平行四边形的面积
答案：A
3．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20
N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40
N
B．10
N
C．20
N
D．10
N
答案：B
4．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
答案：C
5．△ABC中，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，则＋＋＝( )
A．0
B．0
C．
D．
答案：B
二、填空题
6．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为________．
答案：y2＝8x
7．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.
答案：－
8．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10
N，则每根绳子的拉力大小为________
N.
答案：10
三、解答题
9．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
证明：设＝a，＝b，＝e，
＝c，＝d，
则a＝e＋c，b＝e＋d，
所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知可得a2－b2＝c2－d2，
所以c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，
所以e·(c－d)＝0.
因为＝＋＝d－c，
所以·＝e·(d－c)＝0，
所以⊥，即AD⊥BC.
10．如图，用两根分别长5米和10米的绳子，将100
N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
解：如图，由已知条件可知AG与铅直方向成45°角，BG与铅直方向成60°角．
设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，物体的重力为G，∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，
则有|Fa|cos
45°＋|Fb|cos
60°＝|G|＝100，①
且|Fa|sin
45°＝|Fb|sin
60°.②
由①②解得|Fa|＝150－50，
∴A处所受力的大小为(150－50)
N.
11.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若＝a，＝b.
(1)试以a，b为基底表示，；
(2)求证：A，G，C三点共线．
解：(1)＝－＝b－a，
＝－＝a－b.
(2)证明：D，G，F三点共线，
则＝λ，
＝＋λ＝λa＋(1－λ)b.
B，G，E三点共线，则＝μ，
＝＋μ＝(1－μ)a＋μb，
由平面向量基本定理知
解得λ＝μ＝，
∴＝(a＋b)＝，
所以A，G，C三点共线．2．3.4 平面向量共线的坐标表示
平面向量共线的坐标表示
[提出问题]
已知下列几组向量：
(1)a＝(0,2)，b＝(0,4)；(2)a＝(2,3)，b＝(4,6)；
(3)a＝(－1,4)，b＝(2，－8)；(4)a＝，b＝.
问题1：上面几组向量中，a与b有什么关系？
提示：(1)(2)中b＝2a；(3)中b＝－2a；(4)中b＝－a.
问题2：以上几组向量中，a，b共线吗？
提示：共线．
[导入新知]
平面向量共线的坐标表示
前提条件
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论
当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线
[化解疑难]
向量共线的坐标表示的推导
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，
则a∥b a＝λb(λ∈R)．
上式若用坐标表示，可写为a∥b (x1，y1)＝λ(x2，y2)，
即a∥b x1y2－x2y1＝0.
向量共线的判定
[例1] (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于( )
A. B.
C．1
D．2
(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，判断与是否共线．如果共线，它们的方向是相同还是相反？
[解] (1)A
(2)＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，
∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴，共线．
又∵＝－2，∴，方向相反．
综上，与共线且方向相反．
[类题通法]
向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
[活学活用]
1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( )
A．－ B.
C．－或
D．0
答案：C
2．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数k为何值时，(ka＋b)∥(a－3b)？这两个向量的方向是相同还是相反？
答案：当k＝－时，(ka＋b)∥(a－3b)，并且它们的方向相反.
三点共线问题
[例2] (1)若点A(1，－3)，B，C(x,1)共线，则x＝________.
(2)设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．
[解] (1)9
(2)若A，B，C三点共线，则，共线，
则存在实数λ，使得＝λ.
∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)．
∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，
即解得k＝－2或k＝11.
∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线．
[类题通法]
三点共线的实质与证明步骤
(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．
(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：
①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．
[活学活用]
已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求实数x的值，使向量与共线；
(2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？
答案：(1)x＝±2
(2)当x＝－2时，A，B，C，D四点在一条直线上
向量共线在几何中的应用
[例3] 如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标．
[解] 由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．
连接OC，则＝－＝(－2,6)．
由与共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．
[类题通法]
向量共线在几何中的应用及注意事项
向量共线在几何中的应用，可分为两个方面：
(1)已知两向量共线，求点或向量的坐标；
(2)证明或判断三点共线、直线平行．
解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行．
[活学活用]
已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．
证明：由已知得，＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，
＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．
∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴与共线．
∵＝(－1,2)，＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，
(－1)×1－2×(－2)≠0，∴与不共线．
∴四边形ABCD是梯形．
∵＝(－2,1)，＝(－1,2)，
∴||＝＝||，即BC＝AD.
故四边形ABCD是等腰梯形．
[典例] 已知P1(2，－1)，P2(－1,3)，P在直线P1P2上，且||＝||.则P点的坐标为________．
[解析] (1)当与同向时，
则有＝，设P点坐标为(x，y)，
＝(x－2，y＋1)，＝(－1－x,3－y)．
∴(x－2，y＋1)＝(－1－x,3－y)，
∴
即
故P点坐标为.
(2)当与反向时，
则有＝－，设P点坐标为(x，y)，
∴(x－2，y＋1)＝－(－1－x,3－y)，
∴即
故P点坐标为(8，－9)．
综上可得，P点坐标为或(8，－9)．
[答案] 或(8，－9)
[易错防范]
1．本题易由||＝||只得出＝的结论，从而得出P点坐标为的错误答案．
2．解决两向量共线问题时，要注意两非零向量a与b共线有同向共线和反向共线两种情况，不要发生遗漏．
[成功破障]
平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC延长至E，使||＝||，则点E的坐标为________．
答案：
[随堂即时演练]
1．下列各组的两个向量，共线的是( )
A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6)
B．a2＝(1，－2)，b2＝(7,14)
C．a3＝(2,3)，b3＝(3,2)
D．a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4)
答案：D
2．已知A(2，－1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是( )
A．(2,1)
B．(－6，－3)
C．(－1,2)
D．(－4，－8)
答案：D
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝________.
答案：
4．已知A(－1,4)，B(x，－2)，若C(3,3)在直线AB上，则x＝________.
答案：23
5．已知A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,2)，并且＝，＝，求证：∥.
证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝，∴＝，
∴(x1＋1，y1)＝，故E.
∵＝，∴＝，
∴(x2－3，y2＋1)＝，
故F.∴＝.
又∵4×－×(－1)＝0，
∴∥.
[课时达标检测]
一、选择题
1．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列命题成立的是( )
A．a－c与b共线
B．b＋c与a共线
C．a与b－c共线
D．a＋b与c共线
答案：C
2．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
答案：D
3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则等于( )
A．－
B.
C．－2
D．2
答案：A
4．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，且2a＋b－3c＝0，则c等于( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
5．已知a＝(－2,1－cos
θ)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于( )
A．45°
B．30°
C．60°
D．30°或60°
答案：A
二、填空题
6．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，若∥，则x＋2y的值为________．
答案：0
7．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
答案：－1
8．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.
答案：(－6,21)
三、解答题
9．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列问题：
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
解：(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)
＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)
＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．
(2)∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴－m＋4n＝3且2m＋n＝2，解得m＝，n＝.
(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.
∴k＝－.
10．已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
解：＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，
＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
∵(－2)×(－6)－3×4＝0，
∴与共线且方向相反．
11．如图所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
解：∵＝＝(0,5)＝，
∴C.
∵＝＝(4,3)＝，
∴D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝，＝，
＝.
∵∥，∴－x－2(y－5)＝0，
即7x＋4y＝20.①
∵∥，
∴x－4＝0，
即7x－16y＝－20.②
联立①②，解得x＝，y＝2，故点M的坐标为.2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
[提出问题]
已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
问题1：若i，j是两个互相垂直且分别与x轴，y轴的正半轴同向的向量，则a，b如何用i，j表示？
提示：a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.
问题2：|a|，|b|分别用坐标怎样表示？
提示：|a|＝
＝
；
|b|＝
＝
.
问题3：能用a，b的坐标表示a·b吗？
提示：a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2
＝x1x2＋y1y2.
问题4：垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗？
提示：能．
[导入新知]
1．平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
2．两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
3．三个重要公式
(1)向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝
.
(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos
θ＝
.
[化解疑难]
向量的模的坐标运算的实质
向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得＝a＝(x，y)，故||＝|a|＝，即|a|为点A到原点的距离．同样若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，故||＝，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．
平面向量数量积的坐标运算
[例1] (1)(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝( )
A．5
B．4
C．3
D．2
(2)已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)，求：①2a·(b－a)；②(a＋2b)·c.
[解] (1)A
(2)①∵2a＝2(1,3)＝(2,6)，b－a＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，∴2a·(b－a)＝(2,6)·(1,2)＝2×1＋6×2＝14.
②∵a＋2b＝(1,3)＋2(2,5)＝(1,3)＋(4,10)＝(5,13)，∴(a＋2b)·c＝(5,13)·(2,1)＝5×2＋13×1＝23.
[类题通法]
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
[活学活用]
已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.
答案：(1)(2,4) (2)0
向量的模的问题
[例2] (1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________．
(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：
①向量a的模；
②与a平行的单位向量的坐标；
③与a垂直的单位向量的坐标．
[解] (1)
(2)①∵a＝＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，
∴|a|＝＝5.
②与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)，
即坐标为或.
③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，
∴＝.
又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1.
解得或
∴e＝或e＝.
[类题通法]
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
[活学活用]
设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A.
B.
C．2
D．10
答案：B
向量的夹角和垂直问题
[例3] 已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
[解] (1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，
∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．
设m，n的夹角为θ，
则cos
θ＝＝
＝＝－.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝，即m，n的夹角为.
[类题通法]
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cos
θ＝求出cos
θ，也可由坐标表示cos
θ＝直接求出cos
θ.由三角函数值cos
θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
(2)由于0≤θ≤π，利用cos
θ＝来判断角θ时，要注意cos
θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos
θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.
[活学活用]
1．已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b的夹角θ的余弦值等于( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：C
2．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－(3＋m))．若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
答案：m＝
[典例] (上海高考)在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．
[解析] 法一：设＝＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ＝λ，＝(1－λ)＝(1－λ)，则·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·[＋(1－λ)]＝·＋(1－λ)2＋λ2＋λ(1－λ)·.
因为·＝0，所以·＝4－3λ.
因为0≤λ≤1，所以1≤·≤4，
即·的取值范围是[1,4]．
法二：以边AB所在直线为x轴，边AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．
因为AB＝2，AD＝1，所以A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)．
设M(2，b)，0≤b≤1，N(x,1)，0≤x≤2，根据题意得，b＝，所以＝(x,1)，AM＝，所以·＝x＋1(0≤x≤2)，1≤x＋1≤4，即1≤·≤4.
所以·的取值范围是[1,4]．
[答案] [1,4]
[多维探究]
由于向量与平面几何都具有数与形相结合的特性，因此在向量与平面几何的交汇处设计试题已逐渐成为高考命题的一个亮点．平面向量与平面几何的结合通常涉及夹角、平行、垂直、共线等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将其推理转化为运算．
[活学活用]
1．(天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )
A．－
B.
C.
D.
答案：B
2.如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为________．
答案：9
3．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．
答案：5
[随堂即时演练]
1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝( )
A．－1
B．－
C.
D．1
答案：D
2．已知向量＝(－1,2)，＝(3，m)，若⊥，则m的值是( )
A.
B．－
C．4
D．－4
答案：C
3．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于________．
答案：
4．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.
答案：10
5．以原点O和点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠B＝90°，求点B和向量的坐标．
答案：B或B；＝－，－或＝
[课时达标检测]
一、选择题
1．(福建高考)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )
A．－
B．－
C.
D.
答案：A
2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．4
B．2
C．8
D．8
答案：D
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
4．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是( )
A.
B.
C．－
D．－
答案：A
5．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪
B.
C.∪
D.
答案：A
二、填空题
6．已知A(1,2)，B(3,4)，|n|＝，则|·n|的最大值为________．
答案：4
7.如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B，若⊥，则向量的坐标为________．
答案：
8．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．
答案：∪∪
三、解答题
9．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，
∴x2＋y2＝20.
由c∥a和|c|＝2，
可得解得或
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，
∴cos
θ＝＝－1.
又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
10．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．
解：(1)设＝(x，y)，∵点M在直线OP上，
∴向量与共线，又＝(2,1)．
∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.
∴＝(2y，y)．又＝－，＝(1,7)，
∴＝(1－2y,7－y)．
同理＝－＝(5－2y,1－y)．
于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.
可知当y＝＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．
(2)当＝(4,2)，即y＝2时，
有＝(－3,5)，＝(1，－1)，
||＝，||＝，
·＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.
cos∠AMB＝＝＝－.
11．设平面向量a＝(cos
α，sin
α)(0≤α<2π)，b＝，且a与b不共线．
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)若两个向量a＋b与a－b的模相等，求角α.
解：(1)证明：由题意知，
a＋b＝，
a－b＝，
∵(a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
(2)|a|＝1，|b|＝1，由题意知(a＋b)2＝(a－b)2，化简得a·b＝0，∴－cos
α＋sin
α＝0，
∴tan
α＝，
又0≤α<2π，∴α＝或α＝.2．1
平面向量的实际背景及基本概念
向量的物理背景及概念
[提出问题]
(1)民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移．
(2)汽车向东北方向行驶了60
km，行驶速度的大小为120
km/h，方向是东北．
(3)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．
问题1：上述三个实例中涉及哪些物理量？
提示：分别涉及位移、速度和力．
问题2：这些量与我们日常生活中的面积、质量等有什么区别？
提示：面积、质量等只有大小没有方向，而位移、速度和力既有大小又有方向．
[导入新知]
向量和数量
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．
(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．
[化解疑难]
理解向量的概念应关注三点
(1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
(3)向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
向量的几何表示
[提出问题]
问题1：在学习三角函数线时，我们学习了有向线段，试想：有向线段应包含什么要素？
提示：起点、方向、长度．
问题2：对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？
提示：利用有向线段表示．
问题3：如何表示向量？
提示：有向线段的方向表示向量的方向，长度表示向量的大小．
[导入新知]
1．有向线段
(1)有向线段是带有方向的线段，如图所示，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作
.
(2)有向线段包含三个要素：起点、方向、长度，知道了有向线段的起点、长度和方向，它的终点就唯一确定．
2．向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．
(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时用，，，…表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，.
[化解疑难]
向量与有向线段的区别和联系
(1)区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由平移的．
(2)联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．
向量的有关概念
[导入新知]
1．向量的模及两个特殊向量
(1)向量的长度(模)：
向量的大小，也就是向量的长度(或模)，记作||.
(2)两个特殊向量：
①零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的；零向量的起点与终点是同一点，故不能用有向线段表示出来．
②单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．
2．相等向量与共线向量
(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．因为向量完全是由它的方向和模确定的．
(2)平行向量：
①定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，通常记作a∥b.
②规定：零向量与任一向量平行，即对于任意的向量a，都有0∥a.
③共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．
[化解疑难]
平行(共线)向量的含义
(1)平行向量与共线向量是同一概念的不同名称．根据定义可知，平行(共线)向量所在的直线可以平行，也可以重合．
(2)共线向量所在的直线可以平行，与平面几何中的“共线”含义不同．
(3)平行向量可以在同一条直线上，与平面几何中“直线平行”不同，平面中两直线平行是指两直线没有公共点．
向量的有关概念
[例1] 下列说法正确的是( )
A．向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．向量与向量是两平行向量
D．单位向量都相等
[答案] C
[类题通法]
解决与向量概念有关问题的方法
解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．
[活学活用]
下列说法正确的序号有________．
①若向量a＝，b＝，则|a|＝|b|；
②若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；
③若向量是单位向量，则也是单位向量；
④以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．
答案：①③④
向量的表示
[例2] (1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．
(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
①，使||＝4，点A在点O北偏东45°；
②，使||＝4，点B在点A正东；
③，使||＝6，点C在点B北偏东30°.
[解] (1)12
(2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又因为||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
②由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
③由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
[类题通法]
用有向线段表示向量的方法
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．
[活学活用]
已知汽车从A地按北偏东30°的方向行驶200
km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向行驶200
km
到达C地，再从C地按西南方向行驶100
km到达D地，作出向量，，
(用1
cm表示100
km)．
解：向量，，如图．
共线向量或相等向量
[例3] 如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．
(1)找出与向量共线的向量；
(2)找出与向量相等的向量．
[解] (1)依据图形可知，，与方向相同，，，，与方向相反，所以与向量共线的向量为，，，，，，.
(2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.
[类题通法]
寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
[活学活用]
如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则
(1)与向量相等的向量有________；
(2)与向量共线，且模相等的向量有________；
(3)与向量共线，且模相等的向量有________．
答案：(1)
， (2)
，，，，
(3)
，，，，
[典例] 给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中，正确的命题有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[解析] ①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当b＝0时，a，c可以为任意向量，故a不一定平行于c.
[答案] A
[易错防范]
1．本题若将向量的模错误地理解为绝对值，则会认为①②③都正确，从而误选D.
2．判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．而对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．
[成功破障]
有下列说法：
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③在 ABCD中，一定有＝；
④若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑤共线向量是在一条直线上的向量．
其中，正确说法的序号是________．
答案：③④
[随堂即时演练]
1．有下列说法：
①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；
②若向量，满足||>||，且与同向，则>；
③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；
④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．
其中，正确说法的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：A
2.如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量PQ与QR与RC与CR与QR
答案：B
3．当向量a与任一向量都平行时，向量a一定是________．
答案：零向量
4．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________.
答案：2
5．如图，O是正方形ABCD的中心．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与的模相等的向量．
答案：(1) (2)，，，，，，
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列结论中，不正确的是( )
A．向量，共线与向量∥意义是相同的
B．若＝，则∥
C．若向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
D．若向量＝，则向量＝
答案：C
2．如图，四边形ABCD中，＝，则必有( )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
答案：D
3.若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
答案：C
4.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有( )
A．2个
B．3个
C．6个
D．9个
答案：D
5.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是( )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
答案：D
二、填空题
6．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.
答案：③
7．如图，已知正方形ABCD边长为2，O为其中心，则||＝________.
答案：
8．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
答案：0
三、解答题
9.如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：
(1)分别写出与，相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与模相等的向量．
解：(1)＝，＝；
(2)与共线的向量有，，；
(3)与模相等的向量有，，，，，，.
10．在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务，它从A点出发向西航行了200
km到达B点，然后改变方向，向西偏北50°航行了400
km到达C点，最后又改变方向，向东航行了200
km到达D点，此时，它完成了此片海区的巡逻任务．请你回答下列问题：
(1)作出向量，，；
(2)求||.
解：(1)作向量，，，如图．
(2)由题意，易知与方向相反，
所以与共线．
所以AB∥CD.
又因为||＝||，
所以四边形ABCD为平行四边形．
所以||＝||＝400(km)．
11.如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解：(1)画出所有的向量，如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值
＝；
②当点C位于点C5和C6时，
||取得最大值＝，
∴||的最大值为，
最小值为.2．2.1 向量加法运算及其几何意义
向量的加法
[提出问题]
问题1：向量能进行运算吗？请举例说明．
提示：能，如力的合成．
问题2：两个力F1，F2作用于同一个物体上，当物体静止时，说明了什么？
提示：F1＋F2＝0.
问题3：做斜上抛运动的物体在水平方向上有速度吗？在竖直方向上有速度吗？
提示：有．有.
问题4：在问题3中，物体为什么没沿水平或垂直方向运动？
提示：力的合力不在这两个方向上．
[导入新知]
1．向量加法的定义
求两个向量和的运算叫做向量的加法．
2．求向量和的方法
(1)三角形法则：
已知非零向量a，b，在平面上任取一点A，
作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和 或和向量 ，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
(2)平行四边形法则：
已知两个不共线向量a，b，作＝a,
＝b，以a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，如图．
这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
对于零向量与任一向量a，规定：a＋0＝0＋a＝a.
[化解疑难]
准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则
(1)两个法则的使用条件不同．
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
如图所示，＝＋
(平行四边形法则)，
因为＝，
所以＝＋
(三角形法则)．
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同.
向量加法的运算律
[提出问题]
问题1：数的加法满足交换律和结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律？
提示：是．
问题2：你能验证向量加法也满足结合律吗？
提示：如图，a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
[导入新知]
向量加法的交换律和结合律
(1)向量加法的交换律：a＋b＝b＋a；
(2)向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
[化解疑难]
向量求和的多边形法则
(1)已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和．这称为向量求和的多边形法则．
(2)首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.
求作向量的和
[例1] 如图，已知a，b，求作向量a＋b.
[解] 在平面内任取一点O，如图所示，作＝a，＝b，则＝a＋b.
[类题通法]
应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．
(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单．
[活学活用]
如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c.
解：作法：在平面内任取一点O，如图所示，
作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c.
向量加法运算
[例2] 化简或计算：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋＋.
[解] (1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(2)＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
＝＋＋＝＋＝0.
[类题通法]
解决向量加法运算时应关注两点
(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．
(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.
[活学活用]
如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，
AC，AB的中点，化简下列三式：
(1)＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋.
答案：(1) (2) (3)
向量加法的应用
[例3] 轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40
km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40
km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．
[解] 如图所示，设，分别是轮船的两次位移，则表示最终位移，且＝＋.
在Rt△ABD中，||＝20
km，
||＝20
km，在Rt△ACD中，||＝＝40
km，∠CAD＝60°，即此时轮船位于A港北偏东30°，且距离A港40
km处．
[类题通法]
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
[活学活用]
雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0
m/s，现在有风，风使雨滴以
m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向．
答案：速度大小是
m/s；方向与垂直方向成30°角向东．
[典例] (1)若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值是________；
(2)当非零向量a，b(a，b不共线)满足________时，能使a＋b平分a，b的夹角．
[解析] 由向量的三角形不等式，知|a＋b|≥|b|－|a|，当且仅当a与b反向，且|b|≥|a|时，等号成立，故|a＋b|的最小值为4；由向量加法的平行四边形法则，知|a|＝|b|时，平行四边形为菱形，对角线平分一组内角．
[答案] (1)4 (2)|a|＝|b|
[易错防范]
1．本题易忽视a＋b的模是大于等于0的，不会灵活运用三角形法则和平行四边形法则而致误．
2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的联系
(1)当向量a与b不共线时，向量a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|，几何意义是三角形两边之和大于第三边．
(2)当向量a与b同向时，向量a＋b与a(或b)方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)当向量a与b反向，且|a|≤|b|时，a＋b与b方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.
[成功破障]
设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的序号为( )
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
A．①②
B．①③
C．①③⑤
D．③④⑤
答案：C
[随堂即时演练]
1．下列等式错误的是( )
A．a＋0＝＋a＝a
B．＋＋＝0
C．＋＝0
D．＋＝＋＋
答案：B
2．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度等于( )
A．2
B．4
C．12
D．6
答案：B
3.如图，在平行四边形ABCD中，
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________.
答案：(1) (2) (3) (4)0
4．如果||＝8，||＝5，那么||的取值范围为________．
答案：[3,13]
5.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
证明：＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
∵与大小相等，方向相反，
∴＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋.
[课时达标检测]
一、选择题
1．对任意四边形ABCD，下列式子中不等于的是( )
A．＋
B．＋＋
C．＋＋
D．＋＋
答案：C
2．下列各式不一定成立的是( )
A．a＋b＝b＋a
B．0＋a＝a
C．＋＝
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
答案：D
3．已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是( )
A．＋＝
B．＋＋＝0
C．＋＝
D．＋＝
答案：D
4．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝( )
A．
B．
C．
D．
答案：B
5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
答案：D
二、填空题
6．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|＝________.
答案：2
7．＋＋＋＝________.
答案：
8．若a等于“向东走8
km”，b等于“向北走8
km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
答案：8
km 北偏东45°
三、解答题
9．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且||＝||＝1，＋＝＋＝0，cos∠DAB＝.求|＋|与|＋|.
解：∵＋＝＋＝0，
∴＝，＝.
∴四边形ABCD是平行四边形．
又||＝||＝1，知四边形ABCD为菱形．
又cos∠DAB＝，∠DAB∈(0，π)，
∴∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形．
∴|＋|＝|＋|＝||＝2||＝，|＋|＝||＝||＝1.
10．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，求|＋|.
解：如右图，设菱形对角线交点为O，
∵＋＝＋＝，
∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
又∵AB＝2，
∴OB＝1.在Rt△AOB中，
||＝＝，
∴||＝2||＝2.
11．已知船在静水中的速度为20
m/min，水流的速度为10
m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
解：作＝v水，＝v船，以，为邻边作 ABCD，
则＝v实际，如图.
由题意可知∠CAB＝90°，
在Rt△ABC中，
|
|＝|v水|＝10
m/min，,|
|＝||＝|v船|＝20
m/min，
∴cos
∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝60°，从而船与水流方向成120°角．
故船行进的方向与水流的方向成120°角．2．3.2
&
2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
平面向量的正交分解及坐标表示
[提出问题]
问题1：在平面内，规定e1，e2为基底，那么一个向量对e1，e2的分解是唯一的吗？
提示：唯一．
问题2：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一向量.根据平面向量基本定理，＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？
提示：相同．
问题3：如果向量也用(x，y)表示，那么这种向量与实数对(x，y)之间是否一一对应？
提示：一一对应．
[导入新知]
1．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则(x，y)叫做a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．
3．向量i，j，0的坐标表示
i＝(1,0)，j＝(0,1)，0(0,0)．
[化解疑难]
辨析点的坐标与向量的坐标
(1)当且仅当向量的起点在原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标．
(2)书写不同，如：a＝(1,2)，A(1,2)．
(3)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一对实数，由于向量可以平移，故以这对实数为坐标的向量有无穷多个．
(4)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．
即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＝b
注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同.
平面向量的坐标运算
[提出问题]
设a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.
问题1：a，b的坐标分别是什么？
提示：(x1，y1)，(x2，y2)．
问题2：试求3a和2a－b.
提示：3a＝3(x1i＋y1j)＝3x1i＋3y1j，
2a－b＝(2x1－x2)i＋(2y1－y2)j.
问题3：3a与2a－b的坐标分别是什么？
提示：(3x1,3y1)，(2x1－x2,2y1－y2)．
问题4：若把向量平移到，则和的坐标相同吗？的坐标是C点的坐标吗？
提示：相同．的坐标不是C点坐标．
[导入新知]
平面向量的坐标运算
文字
符号
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘向量
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)
重要结论
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标
已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
[化解疑难]
向量坐标的特点
(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变.
平面向量的坐标表示
[例1] 已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．
[解] 由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．
设B(x1，y1)，D(x2，y2)．
由三角函数的定义，得
x1＝cos
30°＝，y1＝sin
30°＝，
∴B.
x2＝cos
120°＝－，y2＝sin
120°＝，
∴D.
∴＝，＝.
[类题通法]
求点和向量坐标的常用方法
(1)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
(2)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
[活学活用]
已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°.
(1)求向量的坐标；
(2)若B(，－1)，求的坐标．
答案：(1)＝(2，6) (2)＝(，7)
平面向量的坐标运算
[例2] (1)已知三点A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，则向量3＋2＝__________，－2＝________.
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．
[解] (1)(11,13) (－7，－14)
(2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)；
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)；
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)；
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)
＝(－2,4)＋(9，－15)
＝(7，－11)．
[类题通法]
平面向量的坐标运算技巧
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算(直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差，数乘向量的积的坐标等于数乘向量相应坐标的积)．
[活学活用]
1．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于( )
A．－a＋b B.a－b
C.a－b
D．－a＋b
答案：B
2．若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则等于( )
A．(－2，－4)
B．(3,4)
C．(6,10)
D．(－6，－10)
答案：A
由向量相等求坐标
[例3] (1)若a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且c＝pa＋qb，则p＝________，q＝________.
(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标．
[解] (1)1 4
(2)由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
可得＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，
＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)，
所以＝3＝3(1,8)＝(3,24)，
＝2＝2(6,3)＝(12,6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，x1＝0，y1＝20；
＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，x2＝9，y2＝2，
所以M(0,20)，N(9,2)，
＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．
[类题通法]
坐标形式下向量相等的条件及其应用
(1)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．
(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值．
[活学活用]
已知a＝，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．
答案：A(8，－10)
[典例] (12分)已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t，试问：
(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形OABP可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的t值；若不可能，请说明理由．
[解题流程]
[规范解答]由题可知＝(1,2)，＝(3,3)，＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．(2分)(1)若P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－；(3分)若P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－；(4分)解得－＝＋＝(－1－3t，－2－3t)＋(4,5)＝(3－3t，3－3t)．(8分)若四边形OABP是平行四边形，则有＝
，(10分)即方程组显然无解．(11分)∴四边形OABP不可能是平行四边形．(12分)
[名师批注]由向量坐标与点的坐标之间的关系可知，向量的坐标就是P点坐标．正确求解的坐标是后续解题的关键．点在x轴上，只需纵坐标为0即可．点在y轴上，只需横坐标为0即可．点在第二象限，需横坐标小于0，纵坐标大于0.此处易搞混坐标符号而导致解题错误．假设四边形OABP是平行四边形，则＝.由＝相等求t，依据t是否有解判断假设是否成立即可．此处易出现找不到关于t的关系式而造成无法求解的情况.
[活学活用]
如图，已知平行四边形的三个顶点坐标分别为A(4,3)，B(3，－1)，C(1，－2)，求第四个顶点D的坐标．
答案：点D的坐标是(2,2)或(6,4)或(0，－6)
[随堂即时演练]
1．(全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
答案：A
2．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则a＝( )
A．(－3,4)
B．(5，－12)
C．(1，－4)
D．(－4,8)
答案：A
3．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2＝________.
答案：(－4,9)
4．已知a＝(3,4)，点A(1，－3)，若＝2a，则点B的坐标为________．
答案：(7,5)
5．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，则λ为何值时，
(1)点P在第一、三象限角平分线上？
(2)点P在第三象限内？
答案：(1)λ＝ (2)λ<－1
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知向量＝(1，－2)，＝(－3,4)，则等于( )
A．(－2,3)
B．(2，－3)
C．(2,3)
D．(－2，－3)
答案：A
2．已知a＝(－5,6)，b＝(－3,2)，c＝(x，y)，若a－3b＋2c＝0，则c等于( )
A．(－2,6)
B．(－4,0)
C．(7,6)
D．(－2,0)
答案：D
3．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，若ma＋nb＝(10,0)(m，n∈R)，则( )
A．m＝2，n＝4
B．m＝3，n＝－2
C．m＝4，n＝2
D．m＝－4，n＝－2
答案：C
4．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a等于( )
A．2
B．1
C.
D.
答案：A
5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( )
A．(2,6)
B．(－2,6)
C．(2，－6)
D．(－2，－6)
答案：D
二、填空题
6．已知A(2,3)，B(1,4)，且＝(sin
α，cos
β)，α，β∈，则α＋β＝________.
答案：或－
7．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以e1，e2为基底，将a分解成λ1e1＋λ2e2的形式为________．
答案：a＝e1＋e2
8．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝.设＝
λ＋
(λ∈R)，则λ＝
________.
答案：
三、解答题
9．已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C，D和的坐标．
解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，
＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)，
(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)．
则有
解得
∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，
因此＝(－2，－4)．
10．已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足＝＋λ
(λ∈R)．
(1)λ为何值时，点P在正比例函数y＝x的图象上？
(2)设点P在第三象限，求λ的取值范围．
解：设P点坐标为(x1，y1)，则＝(x1－2，y1－3)．
＋λ＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)，
即＋λ＝(3＋5λ，1＋7λ)，
由＝＋λ，
可得(x1－2，y1－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
则解得
∴P点的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)．
(1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝，
∴当λ＝时，P点在函数y＝x的图象上．
(2)因为点P在第三象限，∴解得λ＜－1，
∴λ的取值范围是{λ|λ＜－1}．
11．已知向量u＝(x，y)与向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．
(1)证明：对任意向量a，b及常数m，n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；
(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；
(3)求使f(c)＝(p，q)(p，q是常数)的向量c的坐标．
解：(1)证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，
∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，
mf(a)＋nf(b)＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1)
＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，
∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．
(2)f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，
f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
(3)设c＝(x，y)，
则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)，
∴y＝p,2y－x＝q，
∴x＝2p－q，
即向量c＝(2p－q，p)．2．3.1 平面向量基本定理
平面向量基本定理
[提出问题]
问题1：在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想：平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？
提示：可以．
问题2：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？根据是什么？
提示：可以．根据是数乘向量和平行四边形法则．
问题3：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
提示：不一定．当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．
[导入新知]
平面向量基本定理
条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
[化解疑难]
理解平面向量基本定理应关注的三点
(1)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，所以基底的选取不唯一．
(2)零向量与任一向量都共线，因此零向量不能作为基底．
(3)λ1，λ2是唯一的.
两向量的夹角
[提出问题]
问题1：平面中的任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？
提示：存在．
问题2：若上题中的结论为存在夹角，向量的夹角与直线的夹角一样吗？
提示：不一样．
[导入新知]
向量的夹角
条件
两个非零向量a和b
产生过程
作向量＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角
范围
[0，π]
特殊
情况
θ＝0°
a与b同向
θ＝90°
a与b垂直，记作a⊥b
θ＝180°
a与b反向
[化解疑难]
正确理解向量的夹角
(1)向量夹角的几何表示：
依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是两向量的夹角．如图①②③④⑤，已知两向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB为a与b的夹角．
(2)注意事项：
①向量的夹角是针对非零向量定义的．
②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是[0，π]和.
用基底表示向量
[例1] 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC，AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示，，.
[解] 如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．
则＝＝＝a；
＝－＝－＝b－a；
＝－＝－－
＝－－＝a－b.
[类题通法]
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
[活学活用]
如图所示，已知在 ABCD中，E，F分别是BC，
DC边的中点．若＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，.
答案：＝a－b；＝b－a
向量夹角的简单求解
[例2] 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
[解] 如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b.
因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形．又因为∠AOB＝60°，所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
[类题通法]
求两个向量夹角的方法
求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角．过程简记为“一作二证三算”．
[活学活用]
如图，已知△ABC是等边三角形．
(1)求向量与向量的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．
答案：(1)120° (2)90°
平面向量基本定理的唯一性及其应用
[例3] (1)设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为( )
A．0,0
B．1,1
C．3,0
D．3,4
(2)在 ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ＋μ的值．
[解] (1)D
(2)设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b＋a，＝a＋b，所以＝λ＋μ＝λ＋μ＝b＋a＝a＋b.又因为a，b不共线，所以解得λ＝μ＝，所以λ＋μ＝.
[类题通法]
1．平面向量基本定理唯一性的应用
设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
2．重要结论
设e1，e2是平面内一组基底，
当λ1e1＋λ2e2＝0时
恒有λ1＝λ2＝0
若a＝λ1e1＋λ2e2
当λ2＝0时，a与e1共线
当λ1＝0时，a与e2共线
λ1＝λ2＝0时，a＝0
[活学活用]
若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．
答案：c，d能作为基底．
5．平面向量基本定理的应用
[典例] (12分)如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．
[解题流程]
[规范解答]设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.(2分)∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ，使得＝λ＝－λe1－3λe2，(4分)＝μ＝2μe1＋μe2.(6分)故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而＝＋＝2e1＋3e2，(8分)由平面向量基本定理，得解得(10分)∴＝，∴AP∶PM＝4∶1.(12分)
[名师批注]选取恰当的基底是解决此类问题的前提．若不能根据题意选出基底或设出基向量，则后续推导无法进行．利用A，P，M和B，P，N分别共线建立＝λ，＝μ是解决本题的关键，也是解决此类问题的常用方法．由平面向量基本定理的唯一性建立关于λ，μ的方程组，求出λ，μ的值，即可求出与的关系，进而求出AP∶PM的值．
[活学活用]
如图，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若＝x，＝y，试问：＋是否为定值？
答案：＋＝4，为定值．
[随堂即时演练]
1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是( )
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
答案：B
2．已知 ABCD中，∠DAB＝30°，则与的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
答案：D
3．如图，C，D是△AOB中边AB的三等分点，设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底来表示＝________，＝________.
答案：e1＋e2 e1＋e2
4．已知e1，e2不共线，且a＝ke1－e2，b＝e2－e1，若a，b不能作为基底，则k等于________．
答案：1
5．梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量.
答案：＝e1＋(k－1)e2
[课时达标检测]
一、选择题
1．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
①λe1＋μ
e2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μ
e2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①②
B．②③
C．③④
D．②
答案：B
2．已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )
A．e1，e1＋e2
B．e1－2e2，e2－2e1
C．e1－2e2,4e2－2e1
D．e1＋e2，e1－e2
答案：C
3．如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝( )
A.(5e1＋3e2)
B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1)
D.(5e2－3e1)
答案：A
4．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b
B.a＋b
C.a－b
D．－a＋b
答案：B
5．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且＝a，＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则PR―→等于( )
A．a－b
B．2(b－a)
C．2(a－b)
D．b－a
答案：B
二、填空题
6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．
答案：90°
7．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
答案：
8．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________.
答案：a－b
三、解答题
9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若
4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴
∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴
故所求λ，μ的值分别为3和1.
10．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示，，.
解：∵DC∥AB，AB＝2DC，E、F分别是DC、AB的中点，
∴＝＝a，＝＝＝b.
＝＋＋
＝－－＋
＝－×b－a＋b＝b－a.
11.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，
||＝2，若＝λ＋μ
(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解：如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋.
在Rt△OCD中，
∵||＝2，
∠COD＝30°，∠OCD＝90°，
∴||＝4，||＝2，
故＝4，＝2，
即λ＝4，μ＝2，
∴λ＋μ＝6.2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量的数量积
[提出问题]
一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．
问题1：如何计算这个力所做的功？
提示：W＝|s||F|cos
θ.
问题2：力F在位移方向上的分力是多少？
提示：|F|cos
θ.
问题3：力做功的大小与哪些量有关？
提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．
[导入新知]
1．向量的数量积的定义
(1)两个非零向量的数量积：
已知条件
向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ
定义
a与b的数量积(或内积)是数量|a||b|cos
θ
记法
a·b＝|a||b|cos
θ
(2)零向量与任一向量的数量积：
规定：零向量与任一向量的数量积均为0.
2．向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影为|b|cos
θ.
②向量a在b的方向上的投影为|a|cos
θ.
(2)数量积的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积．
[化解疑难]
透析平面向量的数量积
(1)向量的数量积a·b，不能表示为a×b或ab.
(2)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定．
设两个非零向量a与b的夹角为θ，则
当θ＝0°时，cos
θ＝1，a·b＝|a||b|；
当θ为锐角时，cos
θ>0，a·b>0；
当θ为钝角时，cos
θ<0，a·b<0；
当θ为直角时，cos
θ＝0，a·b＝0；
当θ＝180°时，cos
θ＝－1，a·b＝－|a||b|.
平面向量数量积的性质和运算律
[提出问题]
已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角．
问题1：若a·b＝0，则a与b有什么关系？
提示：∵a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cos
θ＝0，θ＝90°，a⊥b.
问题2：a·a等于什么？
提示：a·a＝|a|2cos
0°＝|a|2.
问题3：在什么条件下可求cos
θ？
提示：已知a·b及|a||b|时，可得cos
θ＝.
[导入新知]
1．向量数量积的性质
设a与b都是非零向量，
θ为a与b的夹角．
(1)a⊥b a·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝＝.
(4)cos
θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
2．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[化解疑难]
辨析向量数量积与实数运算
(1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：
①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.
(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cos
θ|，而|cos
θ|≤1.
(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.
(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
向量数量积的运算
[例1] (1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b;
②(a＋b)·(a－2b)．
(2)如图，设正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
[解] (1)①由已知得a·b＝|a||b|cos
θ＝4×2×cos
120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos
120°×3＝－3.
[类题通法]
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
[活学活用]
1．(山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝( )
A．－a2
B．－a2
C.a2
D.a2
答案：D
2．已知正方形ABCD的边长为2，分别求：
(1)·；(2)·；(3)·.
答案：(1)－4 (2)0 (3)－4
与向量的模有关的问题
[例2] (1)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
(2)已知|a|＝2，|b|＝4，a，b的夹角为，以a，b为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．
[解] (1)3
(2)∵平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为|a－b|，
∴|a－b|＝＝
＝
＝2.
[类题通法]
向量模的常见求法
在求向量的模时，直接运用公式|a|＝，但计算两向量的和与差的长度用|a±b|＝＝
.
[活学活用]
已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|.
答案：
两个向量的夹角和垂直问题
[例3] (1)(重庆高考)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D．π
(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
[解] (1)A
(2)由已知条件得
即
②－①得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，
∴|a|＝|b|，
∴cos
θ＝＝＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
[类题通法]
求向量a，b的夹角θ的思路
(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos
θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos
θ的值．
[活学活用]
1．如果向量a和b满足|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，那么a和b的夹角θ的大小为( )
A．30°
B．45°
C．75°
D．135°
答案：B
2．已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b
的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直．
答案：m＝时，c与d垂直
[典例] 设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________．
[解析] 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得<0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
化简即得2t2＋15t＋7<0，
画出2t2＋15t＋7＝0的图象，如图．
若2t2＋15t＋7<0，
则t∈.
当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
但此时夹角不是钝角，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，可得
∴所求实数t的取值范围是
∪.
[答案] ∪
[易错防范]
1．本题易混淆两非零向量的夹角为钝角与两向量的数量积小于零的关系，忽视向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π时，也有数量积小于0的情况，从而得出t∈的错误答案．
2．由于a·b<0包含了其夹角为180°的情况，a·b>0包含了其夹角为0°的情况，在求解时应注意排除．
[成功破障]
已知同一平面上的向量a，b，c两两所成的角相等，并且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b＋c的长度为( )
A．6
B.
C．3
D．6或
答案：D
[随堂即时演练]
1．下列命题：
(1)若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；
(2)(a·b)c＝a(b·c)对任意向量a，b，c都成立；
(3)对任一向量a，有a2＝|a|2.
其中正确的命题有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
答案：B
2．若|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为135°，则a·(－b)等于( )
A．12
B．－12
C．12
D．－12
答案：C
3．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
答案：120°
4．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
答案：7
5．设非零向量a和b，它们的夹角为θ.
(1)若|a|＝5，|b|＝4，θ＝150°，求a在b方向上的投影和a与b的数量积；
(2)若a·b＝9，|a|＝6，|b|＝3，求b在a方向上的投影和a与b的夹角θ.
答案：(1)|a|cos
θ＝－，a·b＝－10
(2)|b|cos
θ＝，θ＝60°
[课时达标检测]
一、选择题
1．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
答案：C
2．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形
B．菱形
C．直角梯形
D．等腰梯形
答案：B
3．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为( )
A．1
B.
C.
D.
答案：D
4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于( )
A.
B.
C．－
D．－
答案：A
5.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝
，||＝1，则·等于( )
A．2
B.
C.
D.
答案：D
二、填空题
6．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·＝________.
答案：16
7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝，则a与b的夹角θ为________．
答案：
8．(浙江高考)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若e为平面单位向量，则|a·e|＋|b·e|的最大值是________．
答案：
三、解答题
9．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；
(2)a2－b2；
(3)(2a－b)·(a＋3b)；
(4)|a＋b|.
解：(1)a·b＝|a||b|cos
120°＝2×3×＝－3；
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5；
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a|·|b|cos
120°－3|b|2＝8－15－27＝－34；
(4)|a＋b|＝＝＝＝.
10．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝|a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在满足条件的θ，
∵|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2.
∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)．
∴|a|2－4a·b＋|b|2＝0.
∴|a|2－4|a||b|cos
θ＋|b|2＝0.
∴
解得cos
θ∈[，1]．
又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.
故当θ∈时，|a＋b|＝|a－b|成立．
11．已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝.
(1)求|b|的值；
(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．
解：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝.
∵|a|＝1，∴1－|b|2＝，∴|b|＝.
(2)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝2，
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝1，
∴|a＋b|＝，|a－b|＝1.
令a＋b与a－b的夹角为θ，
则cos
θ＝＝＝，
即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是.