1．1.1 任意角
角的分类
[提出问题]
问题1：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确．在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？
提示：旋转方向不同．
问题2：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？
提示：顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°，顺时针方向旋转了900°.
[导入新知]
角的分类
1．按旋转方向
名称
定义
图形
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转形成的角
2.按角的终边位置
(1)角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角；
(2)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．
[化解疑难]
1．任意角的概念
认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边．
(1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．
(2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．
①要明确旋转方向；
②要明确旋转角度的大小；
③要明确射线未作任何旋转时的位置．
2．象限角的前提条件
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.
终边相同的角
[提出问题]
在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合”下，研究下列角：30°，390°，－330°.
问题1：这三个角的终边位置相同吗？
提示：相同．
问题2：如何用含30°的式子表示390°和－330°？
提示：390°＝1×360°＋30°，－330°＝－1×360°＋30°.
问题3：确定一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？
提示：不唯一．
[导入新知]
终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
[化解疑难]
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下几点．
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°，k∈Z与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°，k∈Z应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同．
象限角的判断
[例1] 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.
[解] 作出各角，其对应的终边如图所示：
(1)由图①可知：－75°是第四象限角．
(2)由图②可知：855°是第二象限角．
(3)由图③可知：－510°是第三象限角．
[类题通法]
象限角的判断方法
(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．
(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．
[活学活用]
在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．
(1)360°；(2)720°；(3)2
012°；(4)－120°.
解：如图所示，分别作出各角，可以发现：
(1)360°＝0°＋360°，(2)720°＝0°＋2×360°，因此，在0°～360°范围内，这两个角均与0°角终边相同．所以这两个角不属于任何一个象限．
(3)2
012°＝212°＋5×360°，所以在0°～360°范围内，与2
012°角终边相同的角是212°，所以2
012°是第三象限角．
(4)－120°＝240°－360°，所以在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°，所以－120°是第三象限角．
终边相同的角的表示
[例2] (1)写出与α＝－1
910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．
[解] (1)与角α＝－1
910°终边相同的角的集合为.
∵－720°≤β＜360°，
∴－720°≤－1
910°＋k·360°＜360°，
∴3≤k＜6，
故k＝4,5,6.
k＝4时，β＝－1
910°＋4×360°＝－470°.
k＝5时，β＝－1
910°＋5×360°＝－110°.
k＝6时，β＝－1
910°＋6×360°＝250°.
(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．
②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
③终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，结合②知所求角的集合为S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}．
(3)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}，
故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
[类题通法]
1．常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
2．区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；
(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．
[活学活用]
1．将下列各角表示为α＋k·360°(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．
(1)420°；(2)－495°；(3)1
020°.
答案：(1)420°＝60°＋360° 第一象限角
(2)－495°＝225°－2×360° 第三象限角
(3)1
020°＝300°＋2×360° 第四象限角
2．已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围．
答案：{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}
确定nα及所在的象限
[例3] 若α是第二象限角，则2α，分别是第几象限角？
[解] (1)∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，
∴180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°(k∈Z)，
∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上．
(2)∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，
∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)．
①当k＝2n(n∈Z)时，
45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，
即是第一象限角；
②当k＝2n＋1(n∈Z)时，
225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，
即是第三象限角．
故是第一或第三象限角．
[类题通法]
1．nα所在象限的判断方法
确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．
2.所在象限的判断方法
已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法：
(1)用不等式表示出角的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；……；被n除余n－1.从而得出结论．
(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据α终边所在的象限确定的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．
[活学活用]
已知角α为第三象限角，试确定角2α，分别是第几象限角．
答案：2α可能是第一象限角、第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角 可能是第二象限角或第四象限角
[典例] 下列说法中正确的是( )
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．第一象限角必是锐角
C．不相等的角终边一定不相同
D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α和β终边相同
[解析] 90°角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角；390°角是第一象限角，但它不是锐角；390°角和30°角不相等，但终边相同，故A、B、C均不正确．对于D，由终边相同的角的概念可知正确．
[答案] D
[易错防范]
1．若三角形是直角三角形，则有一个角为直角，且直角的终边在y轴的非负半轴上，不属于任何象限．若忽视此点，则易错选A.
2．锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，如380°角为第一象限角，但它不是锐角．若混淆这两个概念，则易误选B.
3．当角的范围扩充后，相差k·360°(k∈Z)的角的终边相同．若忽视此点，易错选C.
4．解决好此类问题应注意以下三点：
(1)弄清直角和象限角的区别，把握好概念的实质内容．
(2)弄清锐角和象限角的区别．
(3)对角的认识不能仅仅局限于0°～360°.
[成功破障]
下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③第二象限角大于第一象限角；
④第二象限角是钝角；
⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中正确命题的序号为________．
答案：①
[随堂即时演练]
1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角的大小是( )
A．120°
B．－120°
C．240°
D．－240°
答案：D
2．与－457°角的终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
答案：C
3．下列说法中正确的序号有________．
①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；
③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．
答案：①②③④
4．在0°～360°范围内与－1
050°终边相同的角是________，它是第________象限角．
答案：30° 一
5.试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．
答案：S＝{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z} 适合不等式－180°≤α＜180°的元素α为－60°，120°
[课时达标检测]
一、选择题
1．－435°角的终边所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：D
2．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )
A．{α|90°<α<180°}
B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}
D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}
答案：D
3．若α是第四象限角，则－α一定是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案：A
4．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中各角的终边都在( )
A．x轴非负半轴上
B．y轴非负半轴上
C．x轴或y轴上
D．x轴非负半轴或y轴非负半轴上
答案：C
5．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )
A．α＋β＝k·360°，k∈Z
B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z
D．α－β＝k·360°，k∈Z
答案：B
二、填空题
6．已知角α＝－3
000°，则与角α终边相同的最小正角是________．
答案：240°
7．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．
答案：－5 －60
8．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第________象限角．
答案：一或三
三、解答题
9．如果θ为小于360°的正角，这个角θ的4倍角的终边与这个角的终边重合，求θ的值．
解：由题意得4θ＝θ＋k·360°，k∈Z，
∴3θ＝k·360°，θ＝k·120°，
又0°＜θ＜360°，∴θ＝120°或θ＝240°.
10．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
解：由题意可知，
α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，
∵α，β都是锐角，
∴－90°<α－β<90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°.②
由①②，得α＝15°，β＝65°.
11．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．
解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；
(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第一课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)
正弦、余弦函数的周期性
[提出问题]
问题1：终边相同的角的三角函数值有什么关系？
提示：相等．即sin(2kπ＋x)＝sin
x，cos(2kπ＋x)＝cos
x(k∈Z)．
问题2：正弦曲线具有什么特点？
提示：“周而复始”，每隔2π就重复一次．
问题3：余弦曲线是否也具有上述特点？
提示：是．
[导入新知]
1．函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦、余弦函数的周期性
正弦函数y＝sin
x(x∈R)和余弦函数y＝cos
x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π.
[化解疑难]
细解周期函数
(1)一定要强调是对定义域内的每一个值都有f(x＋T)＝f(x)成立，即x的任意性，否则不能说y＝f(x)是周期函数．
(2)并非所有周期函数都有最小正周期．例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，最小正数不存在，所以常数函数没有最小正周期．
(3)在周期函数y＝f(x)中，若x∈D，则x＋nT∈D(n∈Z)，从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界.
正弦、余弦函数的奇偶性
[提出问题]
问题1：正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性？
提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．
问题2：诱导公式sin(－x)＝－sin
x，cos(－x)＝cos
x体现了函数的什么性质？
提示：奇偶性．
[导入新知]
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
[化解疑难]
函数y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)奇偶性的判断方法
由于函数y＝Asin
ωx(Aω≠0)是奇函数，y＝Acos
ωx(Aω≠0)是偶函数，因此判断函数y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)是否具备奇偶性，关键是看它们能否通过诱导公式转化为y＝Asin
ωx(Aω≠0)或y＝Acos
ωx(Aω≠0)．
函数的周期
[例1] 求下列三角函数的周期：
(1)y＝3sin
x，x∈R；
(2)y＝cos
2x，x∈R；
(3)y＝sin，x∈R；
(4)y＝|cos
x|，x∈R.
[解] (1)因为3sin(x＋2π)＝3sin
x，由周期函数的定义知，y＝3sin
x的周期为2π.
(2)因为cos2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos
2x，由周期函数的定义知，y＝cos
2x的周期为π.
(3)因为sin＝sinx＋2π－
＝sin，
由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π.
(4)y＝|cos
x|的图象如图(实线部分)所示，
由图象可知，y＝|cos
x|的周期为π.
[类题通法]
求函数最小正周期的常用方法
求三角函数的周期，一般有两种方法：①公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的形式，再利用T＝求得；②图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期．
[活学活用]
求下列函数的最小正周期：
(1)y＝3sin；(2)y＝cos|x|.
答案：(1)4 (2)2π
三角函数的奇偶性
[例2] (1)函数f(x)＝sin
2x的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
(2)判断函数f(x)＝sin的奇偶性．
[解析] (1)(1)A
(2)∵f(x)＝sin＝－cosx，
∴f(－x)＝－cos＝－cosx，
∴函数f(x)＝sin为偶函数．
[类题通法]
与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
[活学活用]
1．函数y＝cos的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数也是偶函数
答案：A
2．若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ等于( )
A．0 B. C. D．π
答案：C
三角函数的奇偶性与周期性的应用
[例3] 已知函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin
x，则f的值为( )
A．－ B.
C．－
D.
[答案] D
[类题通法]
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法
利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题．
[活学活用]
已知f(x)是以π为周期的偶函数且x∈时，f(x)＝1－sin
x，求x∈时，f(x)的解析式．
答案：f(x)＝1－sin
x，x∈
[典例] 函数y＝3sin的最小正周期是π，则a＝______.
[解析] ∵＝π，∴|a|＝2，∴a＝±2.
[答案] ±2
[易错防范]
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为，若忽视这一点，则易得出a＝2的错误答案．
2．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)，T＝.
[成功破障]
函数y＝2cos的最小正周期为4π，则ω＝______.
答案：±
[随堂即时演练]
1．函数y＝－cos的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案：A
2．函数f(x)＝7sin是( )
A．周期为3π的偶函数
B．周期为2π的奇函数
C．周期为3π的奇函数
D．周期为的偶函数
答案：A
3．f(x)＝sin
xcos
x是________(填“奇”或“偶”)函数．
答案：奇
4．函数y＝cos的最小正周期是________．
答案：4
5．求y＝|sin
x|＋|cos
x|的最小正周期，并判断其奇偶性．
答案：最小正周期为；偶函数
[课时达标检测]
一、选择题
1．(陕西高考)函数f(x)＝cos的最小正周期是( )
A.
B．π
C．2π
D．4π
答案：B
2．函数y＝4sin(2x＋π)的图象关于( )
A．x轴对称
B．原点对称
C．y轴对称
D．直线x＝对称
答案：B
3．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是( )
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
答案：B
4．已知a∈R，函数f(x)＝sin
x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于( )
A．0
B．1
C．－1
D．±1
答案：A
5．函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )
A．10
B．11
C．12
D．13
答案：D
二、填空题
6．函数f(x)＝sin(ω>0)的周期为，则ω＝________.
答案：8
7．函数f(x)＝的奇偶性为________．
答案：非奇非偶函数
8．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝则f＝________.
答案：
三、解答题
9．已知函数y＝sin
x＋|sin
x|.
(1)画出函数的简图．
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
解：(1)y＝sin
x＋|sin
x|＝
图象如图所示：
(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.
10．设有函数f(x)＝asin和函数g(x)＝bcos(a>0，b>0，k>0)，若它们的最小正周期之和为，且f＝g，f＝－g－1，求这两个函数的解析式．
解：∵f(x)和g(x)的最小正周期和为，
∴＋＝，解得k＝2.
∵f＝g，
∴asin＝bcos，
即a·sin＝b·cos.
∴a＝b，即a＝b.①
又f＝－g－1，
则有a·sin＝－b·cos－1，
即a＝b－1.②
由①②解得a＝b＝1，
∴f(x)＝sin，g(x)＝cos.
11．已知函数y＝5cos(其中k∈N)，对任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值．
解：由5cos＝，
得cos＝.
∵函数y＝cos
x在每个周期内出现函数值有两次，而区间[a，a＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．
即2×≤3，且4×≥3.
∴≤k≤.又k∈N，故k＝2,3.第一课时 三角函数的诱导公式(一)
[提出问题]
问题1：锐角α的终边与π＋α角的终边位置关系如何？它们与单位圆的交点的位置关系如何？任意角α与π＋α呢？
提示：无论α是锐角还是任意角，π＋α与α的终边互为反向延长线，它们与单位圆的交点关于原点对称．
问题2：任意角α与－α的终边有怎样的位置关系？它们与单位圆的交点有怎样的位置关系？试用三角函数的定义验证－α与α的三角函数值的关系．
提示：α与－α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点P1与P2关于x轴对称，设P1的坐标为(x，y)，则P2的坐标为(x，－y)．sin(－α)＝－y＝－sin
α，cos(－α)＝x＝cos
α，tan(－α)＝－＝－tan
α.
问题3：任意角α与π－α的终边有何位置关系？它们与单位圆的交点的位置关系怎样？试用三角函数定义验证α与π－α的各三角函数值的关系．
提示：
α与π－α的终边关于y轴对称，如图所示，设P1(x，y)是α的终边与单位圆的交点，则π－α与单位圆的交点为P′(－x，y)，P1，P′关于y轴对称，由三角函数定义知，sin(π－α)＝y＝sin
α，cos(π－α)＝－x＝－cos
α，tan(π－α)＝＝－tan
α.
[导入新知]
1．诱导公式二
(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．
如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α.
cos(π＋α)＝－cos_α.
tan(π＋α)＝tan_α.
2．诱导公式三
(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．
如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.
cos(－α)＝cos_α.
tan(－α)＝－tan_α.
3．诱导公式四
(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．
如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝sin_α.
cos(π－α)＝－cos_α.
tan(π－α)＝－tan_α.
[化解疑难]
对诱导公式一～四的理解
(1)公式两边的三角函数名称应一致．
(2)符号由将α看成锐角时α所在象限的三角函数值的符号决定．但应注意，将α看成锐角只是为了公式记忆的方便，事实上α可以是任意角.
给角求值问题
[例1] 求下列三角函数值：
(1)sin(－1
200°)；(2)tan
945°；(3)cos.
[解] (1)sin(－1
200°)＝－sin
1
200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin
120°＝－sin(180°－60°)＝－sin
60°＝－；
(2)tan
945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan
225°＝tan(180°＋45°)＝tan
45°＝1；
(3)cos＝cos＝cos＝cos＝.
[类题通法]
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
[活学活用]
求sin
585°cos
1
290°＋cos(－30°)sin
210°＋tan
135°的值．
答案：tan
θ
化简求值问题
[例2] 化简：(1)＝________；
(2)＝________.
[答案] (1)1 (2)－1
[类题通法]
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
[活学活用]
化简：.
答案：tan
θ
给值(或式)求值问题
[例3] (1)已知sin
β＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )
A．1
B．－1
C.
D．－
(2)已知cos(α－55°)＝－，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值．
[解] (1)D
(2)∵cos(α－55°)＝－<0，且α是第四象限角，
∴α－55°是第三象限角，
∴sin(α－55°)＝－＝－.
∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，
∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]
＝－sin(α－55°)＝.
[类题通法]
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
[活学活用]
已知sin(π＋α)＝－，求cos(5π＋α)的值．
解：当α是第一象限角时，cos(5π＋α)＝－；当α是第二象限角时，cos(5π＋α)＝.
[典例] 化简：cos＋cos(n∈Z)＝________.
[解析] 原式＝cos＋cos.
当n＝2k(k∈Z)时，
原式＝cos＋cos－＋α
＝2cos＋α.
当n＝2k＋1(k∈Z)时，
原式＝cos＋cos
＝－2cos.
故原式＝
[答案]
[易错防范]
1．本题易混淆nπ＋α(n∈Z)和2kπ＋α(k∈Z)的区别，不对n进行奇偶性的讨论，错用诱导公式一，得出2cos的错误答案．
2．在化简三角函数式时，若含有参数，要注意是否需要进行分情况讨论．
[成功破障]
化简：(n∈Z)．
答案：原式＝
[随堂即时演练]
1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos(π－θ)的值为( )
A．－
B．－
C.
D．
答案：C
2．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )
A．－
B.
C．±
D.
答案：B
3．设tan(5π＋α)＝m，则＝______.
答案：
4.的值是________．
答案：－2
5．已知cos＝，求cos的值．
答案：－
[课时达标检测]
一、选择题
1．sin(－225°)＝( )
A.
B．－
C.
D.
答案：A
2．已知sin(π＋α)＝－，那么cos
α的值为( )
A．±
B.
C.
D．±
答案：D
3．若cos(－80°)＝k，则tan
100°＝( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：B
4．已知tan＝，则tan＝( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：B
5．若α∈，tan(α－7π)＝－，则sin
α＋cos
α的值为( )
A．±
B．－
C.
D．－
答案：B
二、填空题
6．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________.
答案：
7．设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2
016)＝－1，则f(2
017)的值为________．
答案：1
8．已知f(x)＝则f＋f的值为________．
答案：－2
三、解答题
9．化简：.
解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝＝－1.
10．已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
解：∵cos(α－75°)＝－<0，且α为第四象限角，
∴α－75°是第三象限角．
∴sin(α－75°)＝－
＝－
＝－.
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
11．已知＝3＋2，
求[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
解：由＝3＋2，
得(4＋2)tan
θ＝2＋2，
所以tan
θ＝＝，
故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·
＝(cos2θ＋sin
θcos
θ＋2sin2θ)·
＝1＋tan
θ＋2tan2θ
＝1＋＋2×2＝2＋.第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
[提出问题]
问题1：由y＝sin
x的图象能得到y＝sinx＋的图象吗？
提示：能，向左平移个单位长度即可．
问题2：函数y＝sin
x，y＝sin
2x和y＝sinx的最小正周期分别是什么？
提示：它们的最小正周期分别为2π，π，4π.
问题3：y＝sin
2x和y＝sin
的图象是否可以由y＝sin
x的图象得到？
提示：可以．只要“压缩”或“拉伸”y＝sin
x的图象即可．
问题4：对于同一个x，函数y＝2sin
x，y＝sin
x，y＝sin
x的函数值有什么关系？
提示：y＝2sin
x的函数值是y＝sin
x的函数值的2倍，而y＝sin
x的函数值是y＝sin
x的函数值的倍．
[导入新知]
1．φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．
2．ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0且ω≠1)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
3．A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0且A≠1)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0
[化解疑难]
由y＝sin
x变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法
(1)先平移后伸缩：
(2)先伸缩后平移：
“五点法”作图
[例1] 作出函数y＝sinx－在长度为一个周期的闭区间上的图象．
[解] 列表：
X＝x－
0
π
2π
x
π
4π
7π
y＝sin
0
0
－
0
描点画图(如图所示)．
[类题通法]
1．“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
2．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤
第一步：列表.
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
－
－
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，得到图象．
[活学活用]
画出函数y＝3sin，x∈R的简图．
解：由T＝，得T＝π.
(1)列表：2x＋取值为0，，π，，2π得到对应的x与y的值如下表：
x
－
2x＋
0
π
2π
3sin
0
3
0
－3
0
(2)描点．
(3)用光滑的曲线顺次连接各点所得图象如图所示．
函数图象的平移变换
[例2] 为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos
2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
[答案] C
[类题通法]
三角函数的平移变换问题的分类及策略
(1)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先将解析式化简为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，即确定A，ω，φ的值，然后确定平移的方向和单位．
(2)确定函数y＝sin
x的图象经过变换后图象对应的函数解析式，关键是明确左右平移的方向的横纵坐标伸缩的量，确定出A，ω，φ的值．
[活学活用]
1．(全国乙卷)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
答案：D
2．设函数f(x)＝cos
ωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
A.
B．3
C．6
D．9
答案：C
函数图象的伸缩变换
[例3] (1)将函数y＝sin
x的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sin
x
B．y＝sin
x
C．y＝sin
2x
D．y＝sin
x
(2)如何由y＝sin
x的图象得到函数y＝3sin的图象？
[解] (1)D
[类题通法]
三角函数图象伸缩变换的两种思路
(1)y＝A1sin
ω1xy＝A2sin
ω1xy＝A2sin
ω2x.
(2)y＝A1sin
ω1xy＝A1sin
ω2xy＝A2sin
ω2x.
[活学活用]
把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y＝sin
x，则( )
A．ω＝2，φ＝
B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝，φ＝
D．ω＝，φ＝
答案：B
[典例] 把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，则所得函数的解析式为( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
[解析] 把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin的图象，即函数解析式为y＝sin，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，可得y＝sin的图象．
[答案] D
[易错防范]
1．在解答过程中，若不能正确理解平移的实质，则会出现y＝sin，得到y＝sin.从而误选C.
2．在解答过程中，若对伸缩变换理解不到位，对横坐标扩大或缩小为原来的倍数把握不准，则易出现对x的系数缩小或扩大的倍数造成失误，会出现y＝sin等类似的错误答案．
3．图象的左右平移是针对x而言的．图象的伸缩变换即周期变换，在变换中纵坐标不变，横坐标变为原来的倍．
[成功破障]
函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得图象的函数解析式为( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
答案：D
[随堂即时演练]
1．将函数y＝sin
2x
的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数的是
( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案：A
2．函数y＝sin在区间上的简图是( )
答案：A
3．将函数y＝cos
x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y＝cos的图象，则φ＝________.
答案：
4．把函数y＝cos
x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，然后将图象沿x轴负方向平移个单位长度，就会得到函数________的图象．
答案：y＝－sin
2x
5．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y＝sin
x的图象相同，求f(x)的解析式．
答案：f(x)＝sin
[课时达标检测]
一、选择题
1．为了得到y＝cos
4x，x∈R的图象，只需把余弦曲线上所有点的( )
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
答案：B
2．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案：B
3．若函数y＝sin
2x的图象经过适当变换可以得到y＝cos
2x的图象，则这种变换可以是( )
A．沿x轴向左平移个单位长度
B．沿x轴向右平移个单位长度
C．沿x轴向右平移个单位长度
D．沿x轴向左平移个单位长度
答案：D
4．把函数y＝cos
2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
答案：A
5．将函数f(x)＝sin
ωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是( )
A.
B．1 C. D．2
答案：D
二、填空题
6．函数y＝－sin的图象与x轴的各个交点中，离原点最近的一点是________．
答案：
7．要得到y＝sin的图象，需将函数y＝cos的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．
答案：
8．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－≤φ<图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度得到y＝sin
x的图象，则函数f(x)的单调递增区间为____________．
答案：，k∈Z
三、解答题
9．已知函数y＝sin＋1.
(1)用“五点法”画出函数的草图；
(2)函数图象可由y＝sin
x的图象怎样变换得到？
解：(1)列表：
2x＋
0
π
2π
x
－
y
1
2
1
0
1
描点，连线如图所示．
将y＝sin＋1在上的图象向左、向右平移(每次π个单位长度)，
即可得到y＝sin＋1的图象．
10．已知函数y＝3sin
2x的图象C1，问C1需要经过怎样的变换得到函数y＝3cos的图象C2，并且平移路程最短？
解：法一：∵y＝3cos
＝3sin
＝3sin＝3sin，
∴可将y＝3sin
2x的图象C1向右平移个单位长度可得C2.
法二：∵y＝3cos＝3sin
＝3sin＝3sin，
∴可将y＝3sin
2x的图象C1向左平移个单位长度可得C2.
综上可知，平移路程最短的方法是向左平移个单位长度．
11．将函数y＝lg
x的图象向左平移1个单位长度，可得函数f(x)的图象；将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)的图象．
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象；
(2)判断方程f(x)＝g(x)解的个数．
解：函数y＝lg
x的图象向左平移一个单位长度，
可得函数f(x)＝lg(x＋1)的图象，即图象C1；函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)＝cos＝cos
2x的图象，即图象C2.
(1)画出图象C1和C2的图象如图．
(2)由图象可知：两个图象共有5个交点．
即方程f(x)＝g(x)解的个数为5.1．1.2 弧
度
制
角度制与弧度制
[提出问题]
问题1：在角度制中，把圆周等分成360份，其中的一份是多少度？
提示：1°.
问题2：半径为1的圆的周长是2π，即周长为2π时，对应的圆心角是360°，那么弧长为π时，对应的圆心角是多少？
提示：180°.
问题3：在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？
提示：确定．
[导入新知]
1．角度制与弧度制
(1)角度制
①定义：用度作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的作为一个单位．
(2)弧度制
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．
2．任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
3．角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
[化解疑难]
角度制和弧度制的比较
(1)弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制．
(2)1弧度的角与1度的角所指含义不同，大小更不同．
(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．
(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写.
角度与弧度的换算
[提出问题]
问题1：周角是多少度？是多少弧度？
提示：360°，2π.
问题2：半圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？
提示：180°，π.
问题3：既然角度与弧度都是角的度量单位制，那么它们之间如何换算？
提示：π＝180°.
[导入新知]
1．弧度与角度的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π
rad
2π
rad＝360°
180°＝π
rad
π
rad＝180°
1°＝
rad≈0.017
45
rad
1
rad＝°≈57.30°
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
0
π
[化解疑难]
角度与弧度互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π
rad，
充分利用1°＝
rad，
1
rad＝°进行换算．
(2)方法：
设一个角的弧度数为α，角度数为n，
则α
rad＝°；n°＝n·
rad.
弧度制下的扇形的弧长及面积公式
[导入新知]
扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
α为度数
α为弧度数
扇形的弧长
l＝
l＝αR
扇形的面积
S＝
S＝lR＝αR2
[化解疑难]
扇形的弧长及面积公式的记忆
(1)扇形的弧长公式的实质是角的弧度数的计算公式的变形：|α|＝ l＝r|α|.
(2)扇形的面积公式S＝lR与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底，把半径看作高)，可以类比记忆．
角度与弧度的换算
[例1] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－.
[解] (1)72°＝72×＝；
(2)－300°＝－300×＝－；
(3)2＝2×°＝°；
(4)－＝－°＝－40°.
[类题通法]
角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π
rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．
[活学活用]
已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
答案：α<β<γ<θ＝φ
扇形的弧长公式及面积公式的应用
[例2] (1)已知扇形的周长为8
cm，圆心角为2，则扇形的面积为________
cm2.
(2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？
[解] (1)4
(2)设扇形的弧长为l，由题意得2πR＝2R＋l，所以l＝2(π－1)R，所以扇形的圆心角是＝2(π－1)，
扇形的面积是Rl＝(π－1)R2.
[类题通法]
弧度制下涉及扇形问题的攻略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．
[活学活用]
已知扇形的周长是30
cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
答案：r＝
cm时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为
cm2.
用弧度制表示角的集合
[例3] 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
[解] (1)如题图①，∵330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－，
而75°＝75×＝，
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.
(2)如题图②，∵30°＝，210°＝，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，
又终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，
从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.
[类题通法]
用弧度制表示角应关注的三点
(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．
(2)在表示角的集合时，可以先写出一周范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2kπ，k∈Z.
(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x＝α＋kπ，k∈Z}；终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为.
在进行区间合并时，一定要做到准确无误．
[活学活用]
以弧度为单位，写出终边落在直线y＝－x上的角的集合．
答案：αα＝π＋kπ，k∈Z
[典例] 若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.
[解析] 如图所示，设角的终边为OA，OA关于直线y＝x对称的射线为OB，
则以OB为终边且在0到2π之间的角为，
故以OB为终边的角的集合为αα＝＋2kπ，k∈Z.
∵α∈(－4π，4π)，
∴－4π<＋2kπ<4π(k∈Z)，
∴－∵k∈Z，
∴k＝－2，－1,0,1，
∴α＝－，－，，.
[答案] －，－，，
[多维探究]
在弧度制下，常见的对称关系如下
(1)若α与β的终边关于x轴对称，则α＋β＝2kπ(k∈Z)；
(2)若α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝(2k＋1)π(k∈Z)；
(3)若α与β的终边关于原点对称，则α－β＝(2k＋1)π(k∈Z)；
(4)若α与β的终边在一条直线上，则α－β＝kπ(k∈Z)．
[活学活用]
1．若α和β的终边关于x轴对称，则α可以用β表示为( )
A．2kπ＋β
(k∈Z)
B．2kπ－β
(k∈Z)
C．kπ＋β
(k∈Z)
D．kπ－β
(k∈Z)
答案：B
2．在平面直角坐标系中，α＝－，β的终边与α的终边分别有如下关系时，求β.
(1)若α，β的终边关于x轴对称；
(2)若α，β的终边关于y轴对称；
(3)若α，β的终边关于原点对称；
(4)若α，β的终边关于直线x＋y＝0对称．
答案：(1)β＝＋2kπ，k∈Z
(2)β＝－＋2kπ，k∈Z
(3)β＝＋2kπ，k∈Z
(4)β＝＋2kπ，k∈Z
[随堂即时演练]
1．下列命题中，错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1
rad的角是周角的
C．1
rad的角比1°的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
答案：D
2．若α＝－2
rad，则α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：C
3．－135°化为弧度为______，化为角度为______．
答案：－π 660°
4．已知半径为12
cm，弧长为8π
cm的弧，其所对的圆心角为α，则与角α终边相同的角的集合为______________．
答案：
5．设角α＝－570°，β＝.
(1)将α用弧度制表示出来，并指出它所在的象限；
(2)将β用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它有相同终边的所有角．
答案：(1)α＝－；α在第二象限；
(2)β＝108°；在－720°～0°之间与β有相同终边的角的大小为－612°和－252°.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列命题中，正确的是( )
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径长的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角
答案：D
2．1
920°化为弧度数为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
3.是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案：B
4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )
A.
B.
C.
D．2
答案：C
5．集合P＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，Q＝{α|－4≤α≤4}，则P∩Q等于( )
A．
B．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
C．{α|－4≤α≤4}
D．{α|0≤α≤π}
答案：B
二、填空题
6．用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为________．
答案：{α|2kπ<α<2kπ＋π，k∈Z}
7．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．
答案：3
8．若角α的终边与π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与的终边相同的角有________．
答案：，，，
三、解答题
9．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈.
解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π，
∴α＝－800°＝＋(－3)×2π.
∵α与角终边相同，∴α是第四象限角．
(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋，k∈Z.
又γ∈，∴－<2kπ＋<，k∈Z，
解得k＝－1，∴γ＝－2π＋＝－.
10．如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．
解：设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·＋t·＝2π，
所以t＝4(s)，
即P，Q第一次相遇时所用的时间为4
s.
P点走过的弧长为×4＝，Q点走过的弧长为×4＝.
11．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．
解：∵120°＝π＝π，
∴l＝6×π＝4π，
∴的长为4π.
∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，
如图所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos
30°×3＝9.
∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
∴弓形ACB的面积为12π－9.1．6
三角函数模型的简单应用
[导入新知]
1．三角函数模型应用的步骤
三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．
步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．
这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．
2．三角函数模型的拟合应用
我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
[化解疑难]
三角函数模型应用流程
(1)审题：确定选用什么样的函数模型解题．
(2)建模：根据题意，列出数量关系，建立三角函数模型．
(3)解模：运用三角函数的相关公式进行化简．
(4)还原：解模后还要根据实际问题的背景，进行检验，并作答．
函数解析式与图象对应问题
[例1] 函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是( )
[答案] C
[类题通法]
解决函数图象与解析式对应问题的策略
(1)解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、图象的对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据．
(2)利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ.
其中A由最值确定；
ω由周期确定，而周期由特殊点求得；
φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.
[活学活用]
函数f(x)＝cos
x·|tan
x|在区间上的大致图象为( )
答案：C
三角函数在物理中的应用
[例2] 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin.
(1)作出函数的图象．
(2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？
(3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？
(4)单摆来回摆动一次需多长时间？
[解] (1)利用“五点法”可作出其图象．
(2)因为当t＝0时，
s＝6sin＝3，
所以此时离开平衡位置3
cm.
(3)离开平衡位置6
cm.
(4)因为T＝＝1，
所以单摆来回摆动一次所需的时间为1
s.
[类题通法]
三角函数在物理中的应用
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．
[活学活用]
交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
答案：(1)110
V (2)0.02
s (3)电压的最大值为220
V；t＝
s
三角函数在实际生活中的应用
[例3] 心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80
mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin
160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数p(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数．
[解] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函数p(t)的周期为
min.
(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝＝80(次)．
(3)列表：
t
0
p(t)
115
140
115
90
115
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：
(4)由图可知此人的收缩压为140
mmHg，舒张压为90
mmHg.
[类题通法]
解三角函数应用问题的基本步骤
[活学活用]
如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
答案：(1)y＝40.5－40cost(t≥0) (2)20分
[典例] (12分)已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos
ωt＋b.
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acos
ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动．
[解题流程]
[规范解答](1)由表中数据，知周期T＝12，∴ω＝＝. (2分)由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5. (3分)又由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0， (4分)∴A＝0.5，b＝1.0，即振幅为.(5分)∴y＝cost＋1. (6分)(2)由题意知，当y>1时才对冲浪者开放，∴cost＋1>1，∴cost>0， (7分)∴2kπ－[名师批注]相邻两个最大值或相邻两个最小值之间为一个周期． 要求A，b应建立关于A，b的方程组，本题可通过图象过点(0,1.5)和(3,1.0)建立关于A，b的方程组求解．由浪高大于1米建立关于t的不等式是解决此题的关键.此处易忽视t的取值范围而导致解题失误.,应根据实际确定k的取值，此处易忽视k∈N导致错误，也常漏解k的取值情况而造成解题错误.
[活学活用]
某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
根据上述数据描出曲线，如图所示，经拟合，该曲线可近似地看作函数y＝Asin
ωt＋b的图象．
(1)试根据以上数据，求函数解析式．
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5
m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7
m，那么该船何时能进入港口？在港口能待多久？
答案：(1)y＝3sint＋10(0≤t≤24) (2)在凌晨1点进港，5点出港或在13点进港，17点出港；停留4小时
[随堂即时演练]
1．将单摆的摆球拉至平衡位置左侧无初速度释放，并同时开始计时，取平衡位置为坐标原点，且向右为正，则下列振动图象中正确的是( )
答案：D
2．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7
s
B．该质点的振幅为－5
cm
C．该质点在0.1
s和0.5
s时的振动速度最大
D．该质点在0.3
s和0.7
s时的加速度为零
答案：
D
3．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为10
cm，秒针均匀地绕点O旋转．记钟面上数字12处为B点，当时间t＝0时，点A与钟面上点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
答案：20sin
4.如图，电流强度I(单位：安)随时间t(单位：秒)变化的函数I＝Asin(A>0，ω≠0)的图象，则当t＝秒时，电流强度是________安．
答案：5
5．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内的最大温差；
(2)若有一种细菌在15
℃到25
℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
答案：(1)20
℃ (2)
h
[课时达标检测]
一、选择题
1．(陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5
B．6
C．8
D．10
答案：C
2.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2π
s
B．π
s
C．0.5π
s
D．1
s
答案：D
3．如图为一半径为3
m的水轮，水轮圆心O距离水面2
m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3
B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5
D．ω＝，A＝5
答案：A
4．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12
s旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：s)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1]
B．[1,7]
C．[7,12]
D．[0,1]和[7,12]
答案：D
5.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的A的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
答案：C
二、填空题
6．直线y＝a与曲线y＝sin在(0,2π)内有两个不同的交点，则实数a的取值范围是________．
答案：∪
7．一根长a
cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，t∈[0，＋∞)，则小球摆动的周期为________s.
答案：
8．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．
答案：f(x)＝2sinx＋7
三、解答题
9．如图所示，某市拟在长为8
km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin
ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．
解：依题意，有A＝2，＝3，即T＝12.
又T＝，∴ω＝.
∴y＝2sinx，x∈[0,4]．
∴当x＝4时，y＝2sin＝3.
∴M(4,3)．
又P(8,0)，
∴MP＝
＝＝5(km)．
即M，P两点间的距离为5
km.
10．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12
h，低潮时水的深度为8.4
m，高潮时为16
m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系．
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1
m)
(3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于10.3
m
解：(1)依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12.2，
A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin＋12.2.
又因为t＝4时，d＝16，所以sin＝1，
所以φ＝－，所以d＝3.8sin＋12.2.
(2)t＝17时，d＝3.8sin＋12.2
＝3.8sin＋12.2≈15.5(m)．
(3)令3.8sin＋12.2＜10.3，
有sin＜－，
因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)，
所以2kπ＋＜t＜2kπ＋2π，k∈Z，
所以12k＋8＜t＜12k＋12.
令k＝0，得t∈(8,12)；
令k＝1，得t∈(20,24)．
故这一天共有8
h水深低于10.3
m.第二课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
A，ω，φ的物理意义
[导入新知]
在y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(A＞0，ω＞0)中，各参数的物理意义.
振幅
A
它是简谐振动的物体离开平衡位置的最大距离
周期
T＝
它是物体往复运动一次所需要的时间
频率
f＝＝
它是单位时间内往复运动的次数
相位
ωx＋φ
其中φ为初相
[化解疑难]
简记图象变换名称及步骤
(1)函数y＝sin
x到y＝sin(x＋φ)的图象变换称为相位变换；
(2)函数y＝sin
x到y＝sin
ωx的图象变换称为周期变换；
(3)函数y＝sin
x到y＝Asin
x的图象变换称为振幅变换;
(4)函数y＝sin
x到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换途径为相位变换→周期变化→振幅变换或周期变换→相位变化→振幅变换．
函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的有关性质
[导入新知]
函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的有关性质
名称
性质
定义域
R
值域
[－A，A]
对称性
对称中心，k∈Z，对称轴x＝＋，k∈Z
奇偶性
当φ＝kπ，k∈Z时是奇函数
单调性
通过整体代换可求出其单调区间
[化解疑难]
由y＝Asin(ωx＋φ)的性质或部分图象确定解析式
解决问题的关键是确定参数A，ω，φ，基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可以通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为，相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)以寻找“五点法”中的第一个“零点”作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”的位置，来确定φ.
由图象确定函数的解析式
[例1] 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的图象的一部分，求此函数的解析式．
[解] (逐一定参法)
由图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，
∴0＝3sin，
∴－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝，
∴y＝3sin.
[类题通法]
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin
ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．
[活学活用]
1．(全国甲卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
答案：A
2．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为( )
A．－
B．－
C.
D．－
答案：D
函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
[例2] 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的周期为π，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的最值．
[解] (1)由函数f(x)图象上的一个最低点为
M，得A＝2.
由周期T＝π，得ω＝＝＝2.
由点M在图象上，得2sin＝－2，即sin＝－1，所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)．又因为φ∈，所以k＝1，φ＝.所以函数的解析式为f(x)＝2sin.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，所以当2x＋＝，即x＝0时，函数f(x)取得最小值1；当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值
.
[类题通法]
函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
(1)应用的范围：函数的单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等方面都有体现和考查．
(2)解决的方法：有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的运用问题，充分利用三角函数的基本性质，要特别注意整体代换思想的运用．
[活学活用]
设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值．
解：(1)－
(2)单调增区间为(k∈Z)； 单调减区间为(k∈Z)．当x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1；当x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值－1.
5．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的对称性
[典例] 设函数y＝cos
πx的图象位于y轴右侧的所有对称中心从左依次为A1，A2，…，An，…，则A1
006的坐标是________．
[解析] 因为函数y＝cos
ωx的图象的对称中心是点(k∈Z)，
所以y＝cos
πx的图象的对称中心为
(2k＋1,0)(k∈Z)，
所以A1(1,0)，A2(3,0)，…，An(2(n－1)＋1,0)，…，
故A1
006的坐标为(2
011,0)．
[答案] (2
011,0)
[多维探究]
1．对称轴
与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
函数y＝Acos(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
2．对称中心
与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称．
函数y＝Acos(ωx＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称．
[活学活用]
1．函数y＝3sin的图象的一个对称中心是( )
A．(0,0)
B.
C.
D．(3,0)
答案：C
2．已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f＝f，则f的值为________．
答案：2或－2
[随堂即时演练]
1．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
答案：D
2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到的图象的解析式为( )
A．y＝sin
2x
B．y＝cos
2x
C．y＝sin
D．y＝sin
答案：D
3．函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)在一个周期内，当x＝时，函数f(x)取得最大值2；当x＝时，函数f(x)取得最小值－2，则函数解析式为________．
答案：f(x)＝2sin
4．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是______________．
答案：
5.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
答案：φ＝，ω＝2或
[课时达标检测]
一、选择题
1．函数y＝sin(2x＋φ)图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个φ值为( )
A. B. C. D.
答案：A
2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )
A．y＝4sin
B．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2
D．y＝2sin＋2
答案：D
3．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且f(0)＝，则( )
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝
答案：D
4．若f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋m对任意实数t都有f＝f(－t)，且f＝－1，则实数m的值等于( )
A．±1
B．－1或3
C．±3
D．－3或1
答案：D
5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
017)的值等于( )
A.
B．2＋2
C.＋2
D.－2
答案：A
二、填空题
6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.
答案：
7．如图所示的是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA>0，ω>0，|φ|∈的图象的一部分，则f＝________.
答案：3
8．关于函数f(x)＝4sin(x∈R)的说法如下：
①y＝f(x)的解析式可改写为y＝4cos；
②y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；
③y＝f(x)的图象关于点对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．
其中，正确的说法的序号是________．
答案：①③
三、解答题
9．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
解：(1)A＝3，＝＝5π，ω＝.
由f(x)＝3sin过，
得sin＝0，又|φ|<，故φ＝－，
∴f(x)＝3sin.
(2)由f(x＋m)＝3sin
＝3sin为偶函数(m>0)，
知－＝kπ＋，即m＝kπ＋，k∈Z.
∵m>0，∴mmin＝.
故把f(x)的图象向左至少平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．
10．已知函数y＝2cos.
(1)在该函数的图象的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；
(2)将该函数的图象向右平移φ个单位长度后，图象关于原点对称，求φ的最小正值．
解：(1)由2x＋＝kπ，得函数的对称轴方程是
x＝－＋，k∈Z.
所以函数的图象离y轴距离最近的那条对称轴方程为x＝.
(2)将函数y＝2cos的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数图象的解析式是y＝2cos.
因为y＝2cos的图象关于原点对称，所以－2φ＝＋kπ.所以φ＝－，k∈Z.
所以φ的最小正值是.
11．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数解析式；
(2)写出函数的单调区间．
解：(1)依题意，A＝，T＝4×＝4π，
∵T＝＝4π，ω＞0，∴ω＝.
∴y＝sin.
∵曲线上的最高点为，
∴sin＝1.
∴φ＋＝2kπ＋，k∈Z.
∵－＜φ＜，∴φ＝.
∴y＝sin.
(2)令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
∴4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为4kπ－，4kπ＋(k∈Z)．
令2kπ＋≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
∴4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为4kπ＋，4kπ＋(k∈Z)．第二课时 三角函数的诱导公式(二)
[提出问题]
如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2.
问题1：P2点的坐标是什么？
提示：P2(y，x)．
问题2：－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？
提示：对称．sin＝cos
α，cos＝sin
α.
[导入新知]
诱导公式五和公式六
[化解疑难]
诱导公式的巧记
诱导公式一～六可归纳为k·±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：
(1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．
(2)“奇”“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的．
(3)“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，再根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．
例如，将cos写成cos，因为1是奇数，则“cos”变为正弦函数符号“sin”，又将α看成第一象限角时，＋α是第二象限角，cos符号为“－”，故有cos＝－sin
α.
给角求值问题
[例1] (1)已知cos
31°＝m，则sin
239°tan
149°的值是( )
A. B.
C．－
D．－
(2)已知sin＝，求cos的值．
[解] (1)B
(2)cos＝cos
＝sin＝.
[类题通法]
角的转化方法
(1)对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数．若转化之后的正角大于360°，再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数．
(2)当化成的角是90°到180°间的角时，再利用180°－α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．
(3)当化成的角是270°到360°间的角时，则利用360°－α及－α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．
[活学活用]
已知cos(π＋α)＝－，求cos的值．
解：若α为第一象限角，cos＝－；若α为第四象限角，cos＝.
化简求值问题
[例2]
已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α为第三象限角，且cos＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
[解] (1)f(α)＝＝－cos
α.
(2)∵cos＝－sin
α＝，∴sin
α＝－.
又∵α为第三象限角，∴cos
α＝－＝－，
∴f(α)＝.
(3)f＝－cos
＝－cos＝－cos
＝－cos＝－.
[类题通法]
化简求值的方法
解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数的基本关系式变形求解．
[活学活用]
已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若角α的终边在第二象限且sin
α＝，求f(α)．
答案：(1)－cos
α (2)
三角恒等式的证明
[例3] 求证：
＝.
[证明] 左边＝
＝
＝＝，
右边＝，所以原等式成立．
[类题通法]
三角恒等式的证明策略
对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
[活学活用]
求证：＋
＝.
证明：左边＝＋
＝＋＝
＝＝＝右边，
∴原式成立．
[典例] (12分)若sin
α＝，求＋的值．
[解题流程]
[规范解答]
＋
＝＋
(3分)
＝＋ (6分)
＝＋＝. (9分)
∵sin
α＝，
∴＝10，(11分)
即原式＝10. (12分)
[名师批注]
[名师批注]
结合诱导公式的特点，可考虑利用公式一、二、四将cos(3π－α)和cos(3π＋α)化简；利用公式一、五、六将其他三角函数式化简．化简过程中要牢记诱导公式，否则极易搞错符号或三角函数名称而导致解题错误．
此处应进行通分化简，要注意公式sin2α＋cos2α＝1的应用.
此处极易被忽视，造成解题步骤缺失而失分.
[活学活用]
已知sin
α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求的值．
答案：
[随堂即时演练]
1．若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案：B
2．已知cos＝，且|φ|<，则tan
φ＝( )
A．－
B.
C．－
D.
答案：C
3．化简：sin(－α－7π)·cos＝________.
答案：－sin2α
4．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
答案：
5．已知cos＝a(|a|≤1)，
求证：cos－sin＝－2a.
证明：∵＋θ＝π－，－θ＝＋，
∴cos－sin
＝cos－sin
＝－cos－cos＝－a－a＝－2a.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列与sin的值相等的式子为( )
A．sin
B．cos
C．cos
D．sin
答案：D
2．已知sin＝，α∈，则tan
α的值为( )
A．－2
B．2
C．－
D.
答案：A
3．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(6π－α)的值为( )
A．－m
B．－m
C.m
D.m
答案：B
4．已知sin(75°＋α)＝，则cos(15°－α)的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
答案：B
5．在△ABC中，下列各表达式为常数的是( )
A．sin(A＋B)＋sin
C
B．cos(B＋C)－cos
A
C．sin2＋sin2
D．sinsin
答案：C
二、填空题
6．若cos
α＝，且α是第四象限角，则cos＝________.
答案：
7．sin2＋sin2＝________.
答案：1
8．已知tan(3π＋α)＝2，
则
＝________.
答案：2
三、解答题
9．已知cos(15°＋α)＝，α为锐角，求
的值．
解：原式＝
＝
＝－
＝－＋
.
∵α为锐角，即0°<α<90°，
∴15°<α＋15°<105°，
又cos(15°＋α)＝，∴sin(15°＋α)＝，
∴原式＝－＋＝.
10．求证：＋
＝.
证明：左边＝＋
＝＋＝
＝＝＝右边．
11．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在角α，β满足条件，
则
由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，∴sin
α＝±.
∵α∈，∴α＝±.
当α＝时，cos
β＝，∵0<β<π，∴β＝；
当α＝－时，cos
β＝，∵0<β<π，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝，β＝满足条件.第二课时 三角函数线及其应用
[提出问题]
在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，过A(1,0)作AT⊥x轴，交终边或其反向延长线于点T.
问题1：根据上面的叙述画出α分别取135°，30°，225°和－60°时的图形．
提示：
问题2：由上面的图形结合三角函数定义，可以得到sin
α，cos
α，tan
α与MP，OM，AT的关系吗？
提示：可以，|sin
α|＝|MP|，
|cos
α|＝|OM|，|tan
α|＝|AT|.
[导入新知]
1．有向线段
带有方向的线段叫做有向线段．
2．三角函数线
图示
正弦线
α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线
余弦线
有向线段OM即为余弦线
正切线
过A(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段AT即为正切线
[化解疑难]
三角函数线的四个注意点
(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；
(2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的交点；
(3)正负：三条有向线段中与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值；
(4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后．
三角函数线的作法
[例1] 作出的正弦线、余弦线和正切线．
[解] 角的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线AT，与的终边的反向延长线交于点T，则的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
[类题通法]
三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.
[活学活用]
作出－的正弦线、余弦线和正切线．
解：如图所示，
－的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
利用三角函数线比较大小
[例2] 分别比较sin与sin；cos与cos；tan与tan的大小．
[解] 在直角坐标系中作单位圆如图所示．以x轴非负半轴为始边作的终边与单位圆交于P点，作PM⊥Ox，垂足为M.由单位圆与Ox正方向的交点A作Ox的垂线与OP的反向延长线交于T点，则sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT.
同理，可作出的正弦线、余弦线和正切线，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.由图形可知，MP>M′P′，符号相同，则sin>sin；OM>OM′，符号相同，则cos>cos；AT[类题通法]
利用三角函数线比较大小的步骤
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．
[活学活用]
设<α<，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果<α<，上述长度关系又如何？
解：如图所示，当<α<时，角α的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然在长度上，AT>MP>OM；
当<α<时，角α的正弦线为M′P′，余弦线为OM′，正切线为AT′，显然在长度上，AT′>M′P′>OM′.
利用三角函数线解不等式
[例3] 利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围．
(1)sin
α<－；(2)cos
α>.
[解] (1)如图①，过点作x轴的平行线交单位圆于P，P′两点，则sin∠xOP＝sin∠xOP′＝－，∠xOP＝，∠xOP′＝，
故α的范围是.
(2)如图②，过点作x轴的垂线与单位圆交于P，P′两点，则cos∠xOP＝cos∠xOP′＝，∠xOP＝，∠xOP′＝－，
故α的范围是.
[类题通法]
利用三角函数线解三角不等式的方法
利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点．一般来说，对于sin
x≥b，cos
x≥a(或sin
x≤b，cos
x≤a)，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围；对于tan
x≥c(或tan
x≤c)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．
[活学活用]
利用三角函数线求满足tan
α≥的角α的范围．
答案：
[典例] 已知角α的正弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )
A．y轴的非负半轴上
B．y轴的非正半轴上
C．x轴上
D．y轴上
[解析] 由题意可知，sin
α＝±1，故角α的终边在y轴上．
[答案] D
[易错防范]
1．本题易错误地认为正弦线是长度为单位长度的有向线段时，sin
α＝1，从而误选A.
2．若搞错正弦线和余弦线的位置，则易错选C.
3．解决此类问题要正确理解有向线段的概念，既要把握好有向线段是带有方向的线段，有正也有负，同时也要把握准正弦线和余弦线的位置．
[成功破障]
已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )
A．直线y＝x上
B．直线y＝－x上
C．直线y＝x上或直线y＝－x上
D．x轴上或y轴上
答案：C
[随堂即时演练]
1．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( )
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、四象限的角平分线上
D．第一、三象限的角平分线上
答案：C
2．如果MP和OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( )
A．MP B．OM>0>MP
C．OMD．MP>0>OM
答案：D
3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．
答案：1
4．用三角函数线比较sin
1与cos
1的大小，结果是________．
答案：sin
1>cos
1
5．若θ∈，利用单位圆证明：sin
θ＋cos
θ＞1.
证明：如图所示，设角θ的终边交单位圆于点P，作PM⊥x轴于点M.因为sin
θ＝MP＝|MP|，cos
θ＝OM＝|OM|，所以sin
θ＋cos
θ＝|MP|＋|OM|＞|OP|，而|OP|＝1，所以sin
θ＋cos
θ＞1.
[课时达标检测]
一、选择题
1．角和角有相同的( )
A．正弦线
B．余弦线
C．正切线
D．不能确定
答案：C
2．已知α的余弦线是单位长度的有向线段，那么α的终边在( )
A．x轴上
B．y轴上
C．直线y＝x上
D．以上都不对
答案：A
3．若＜θ＜，则sin
θ，cos
θ，tan
θ的大小关系是( )
A．tan
θ＜cos
θ＜sin
θ
B．sin
θ＜tan
θ＜cos
θ
C．cos
θ＜tan
θ＜sin
θ
D．cos
θ＜sin
θ＜tan
θ
答案：D
4．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )
A．aB．bC．cD．a答案：C
5．使sin
x≤cos
x成立的x的一个变化区间是( )
A.
B.
C.
D．[0，π]
答案：A
二、填空题
6．利用单位圆，可得满足sin
α＜，且α∈(0，π)的α的集合为________．
答案：∪
7．若0<α<2π，且sin
α<，cos
α>.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．
答案：∪
8．若θ∈，则sin
θ的取值范围是________．
答案：
三、解答题
9．试作出角α＝的正弦线、余弦线和正切线．
试作出角α＝的正弦线、余弦线和正切线．
解：如图：α＝的余弦线、正弦线和正切线分别为OM，MP和AT.
10．利用单位圆中的三角函数线，求满足的x的取值范围．
解：由得
如图所示，由三角函数线可得
此交集为图形中的阴影重叠部分，即2kπ≤x＜2kπ＋(k∈Z)．
故x的取值范围为.
11．试利用单位圆中的三角函数线证明：当0<α<时，sin
α<αα.
证明：如图，单位圆与α的终边OP相交于P点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，连接AP，过单位圆与x轴正半轴的交点A作AT⊥x轴交OP于点T，则sin
α＝MP，α＝，tan
α＝AT，由S扇形OAPα<αα.1.4.3 正切函数的性质与图象
正切函数的性质
[提出问题]
问题1：正切函数y＝tan
x的定义域是什么？
提示：.
问题2：诱导公式tan(π＋x)＝tan
x说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k∈Z)与tan
x的关系怎样？
提示：周期性．tan(kπ＋x)＝tan
x(k∈Z)．
问题3：诱导公式tan(－x)＝－tan
x说明了正切函数的什么性质？
提示：奇偶性．
问题4：从正切线上观察，正切函数值是有界的吗？
提示：不是，正切函数没有最大值和最小值．
问题5：从正切线上观察，正切函数值在上是增大的吗？
提示：是的．
[导入新知]
正切函数的性质
函数
y＝tan
x
定义域
值域
R
周期
T＝π
奇偶性
奇函数
单调性
在每个开区间(k∈Z)上都是增函数
[化解疑难]
细解正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan
x的定义域是xx∈R且x≠＋kπ，k∈Z，值域是全体实数．
(2)正切函数y＝tan
x的最小正周期是π.一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的最小正周期是T＝.若不知ω正负，则该函数的最小正周期为T＝.
(3)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．
正切函数的图象
[提出问题]
问题1：你还记得给定一个角在单位圆中的正切线怎样画吗？
提示：过单位圆与x正半轴的交点A，作垂直于x轴的直线，交角的终边或其反向延长线于点T，则有向线段AT即为该角的正切线．
问题2：仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，你能根据正切线作出正切曲线吗？
提示：能．
[导入新知]
正切函数的图象
(1)正切函数的图象：
(2)正切函数的图象叫做正切曲线．
(3)正切函数的图象特征：
正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．
[化解疑难]
正切函数是奇函数，图象关于原点对称，与x轴有无数个交点，因此有无穷多个对称中心，对称中心坐标是，k∈Z，正切函数的图象无对称轴.
正切函数的定义域、值域问题
[例1] 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝tan；(2)y＝.
[解] (1)由x＋≠kπ＋(k∈Z)得，
x≠kπ＋，k∈Z，
所以函数y＝tan的定义域为xx≠kπ＋，k∈Z，其值域为(－∞，＋∞)．
(2)由－tan
x≥0得，tan
x≤.
结合y＝tan
x的图象可知，在上，
满足tan
x≤的角x应满足－所以函数y＝的定义域为
，其值域为[0，＋∞)．
[类题通法]
求正切函数定义域的方法及求值域的注意点
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan
x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．解形如tan
x>a的不等式的步骤：
[活学活用]
求函数y＝的定义域．
答案：
正切函数的单调性及应用
[例2] (1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan与tan的大小．
[解] (1)由kπ－2kπ－所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)由于tan＝tan＝tan＝－tan，tan－＝－tan2π＋＝－tan，
又因为0<<<，
而y＝tan
x在上单调递增，
所以tan－tan，
即tan>tan.
[类题通法]
1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tan
x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
[活学活用]
1．比较tan
1，tan
2，tan
3的大小．
答案：tan
231
2．求函数y＝3tan的单调区间．
答案：单调递减区间为(k∈Z)
与正切函数有关的周期性、奇偶性问题
[例3] (1)求f(x)＝tan的最小正周期；
(2)判断y＝sin
x＋tan
x的奇偶性．
[解] (1)∵tan＝tan，
即tan＝tan，
∴f(x)＝tan的周期是.
(2)定义域为，关于原点对称，
∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin
x－tan
x＝－f(x)，
∴它是奇函数．
[类题通法]
与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．
[活学活用]
关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)有以下几种说法：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
②f(x)的图象关于对称；
③f(x)的图象关于(π－φ，0)对称；
④f(x)是以π为最小正周期的周期函数．
其中不正确的说法的序号是________．
答案：①
[典例] (山东高考)函数y＝xcos
x＋sin
x的图象大致为( )
[解析] 由函数y＝xcos
x＋sin
x是奇函数，排除B.当x＝π时，y＝πcos
π＋sin
π＝－π，排除A.当x＝时，y＝cos
＋sin
>0，排除C.故选D.
[答案] D
[多维探究]
函数图象与解析式的对应在近几年高考中出现得并不频繁，多以选择题的形式出现，解题时常从函数的奇偶性、单调性、图象上的特殊点着手逐一排除错误选项，从而得出正确结论．
[活学活用]
1．(浙江高考)函数f(x)＝cos
x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
答案：D
2．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin
ax的图象不可能是( )
答案：D
3．(浙江高考)函数y＝sin
x2的图象是( )
答案：D
[随堂即时演练]
1．下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是上的增函数的是( )
A．y＝tan
x
B．y＝tan
2x
C．y＝tan
D．y＝|sin
x|
答案：A
2．函数y＝tan(cos
x)的值域是( )
A.
B.
C．[－tan
1，tan
1]
D．以上均不对
答案：C
3．函数y＝5tan的最小正周期是________．
答案：2π
4．函数y＝tan
x－1，x∈的值域为________．
答案：[－2，－1]
5．求函数y＝tan的定义域、最小正周期及单调区间．
答案：定义域为；最小正周期为2π；单调递增区间为－＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)
[课时达标检测]
一、选择题
1．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝
B．x＝－
C．x＝
D．x＝
答案：D
2．在区间内，函数y＝tan
x与函数y＝sin
x的图象交点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C
3．函数y＝的定义域是( )
A．x＋kπ，k∈Z
B．x，k∈Z
C．x，k∈Z
D．x答案：C
4．下列图形分别是①y＝|tan
x|，②y＝tan
x，③y＝tan(－x)，④y＝tan
|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是( )
A．①②③④
B．①③④②
C．③②④①
D．①②④③
答案：D
5．下列关于函数y＝tan的说法正确的是( )
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
答案：B
二、填空题
6．函数f(x)＝tan
ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝1所得线段长为，则f的值是________．
答案：
7．已知函数y＝tan
ωx在内是单调减函数，则ω的取值范围是________．
答案：[－1,0)
8．若直线x＝(|k|≤1)与函数y＝tan的图象不相交，则k＝________.
答案：或－
三、解答题
9．作出函数y＝tan
x＋|tan
x|的图象，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．
解：y＝tan
x＋|tan
x|＝
其图象如图所示，
由图象可知，其定义域是(k∈Z)；值域是[0，＋∞)；单调递增区间是(k∈Z)；最小正周期T＝π.
10．若x∈[－，]，求函数y＝＋2tan
x＋1的最值及相应的x值．
解：y＝＋2tan
x＋1
＝＋2tan
x＋1
＝tan2x＋2tan
x＋2
＝(tan
x＋1)2＋1.
∵x∈[－，]，∴tan
x∈[－，1]．
故当tan
x＝－1，即x＝－时，y取最小值1；
当tan
x＝1，即x＝时，y取最大值5.
11．已知－≤x≤，f(x)＝tan2x＋2tan
x＋2，求f(x)的最值及相应的x值．
解：∵－≤x≤，∴－≤tan
x≤1，
f(x)＝tan2x＋2tan
x＋2＝(tan
x＋1)2＋1，
当tan
x＝－1即x＝－时，f(x)有最小值1，
当tan
x＝1即x＝时，f(x)有最大值5.1.2.1 任意角的三角函数
第一课时 三角函数的定义
任意角的三角函数的定义
[提出问题]
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
问题1：角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
提示：sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝.
问题2：对于确定的角α，sin
α，cos
α，tan
α是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
提示：否．
问题3：若|OP|＝1，则P点的轨迹是什么？这样表示sin
α，cos
α，tan
α有何优点？
提示：P点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的单位圆，即P点是单位圆与角α终边的交点，在单位圆中定义sin
α，cos
α，tan
α更简便．
[导入新知]
1．任意角三角函数的定义
(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆．
(2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin
α，即sin
α＝y；x叫做α的余弦，记作cos
α，即cos
α＝x；叫做α的正切，记作tan
α，即tan
α＝(x≠0).
2．三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．
[化解疑难]
对三角函数定义的理解
(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应．
(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．
(3)三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关.
三角函数值的符号
[提出问题]
问题1：若角α是第二象限角，则它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？
提示：若角α为第二象限角，则x＜0，y＞0,
sin
α＞0，cos
α＜0，tan
α＜0.
问题2：当角α是第四象限角时，它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？
提示：sin
α＜0，cos
α＞0，tan
α＜0.
问题3：取角α分别为30°，390°，－330°，它们的三角函数值是什么关系？为什么？
提示：相等．因为它们的终边重合．
问题4：取α＝90°，－90°时，它们的正切值存在吗？
提示：不存在．
[导入新知]
1．三角函数的定义域
三角函数
定义域
sin
α
R
cos
α
R
tan
α
2．三角函数值的符号
[化解疑难]
巧记三角函数值的符号
三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．即第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四象限只有余弦值为正.
诱导公式一
[提出问题]
问题：若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin
α与sin
β，cos
α与cos
β，tan
α与tan
β之间有什么关系？
提示：sin
α＝sin
β，cos
α＝cos
β，tan
α＝tan
β.
[导入新知]
终边相同的角的同一三角函数的值
(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等．
(2)公式：sin(α＋k·2π)＝sin_α，
cos(α＋k·2π)＝cos_α，
tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.
[化解疑难]
诱导公式一的结构特点
(1)其结构特点是函数名相同，左边角为α＋k·2π，右边角为α.
(2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现．
(3)此公式也可以记为：sin(α＋k·360°)＝sin
α，cos(α＋k·360°)＝cos
α，tan(α＋k·360°)＝tan
α，其中k∈Z.
三角函数的定义及应用
[例1] (1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin
α＝________，cos
α＝________，tan
α＝________.
(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin
α，cos
α，tan
α的值．
[解] (1)－ －
(2)直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin
α＝，cos
α＝－，tan
α＝－；
在第四象限取直线上的点(1，－)，则r＝＝2，所以sin
α＝－，cos
α＝，tan
α＝－.
[类题通法]
利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．
②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sin
α＝，余弦值cos
α＝，正切值tan
α＝.
(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
[活学活用]
已知角α终边上一点P的坐标为(4a，－3a)(a≠0)，求2sin
α＋cos
α的值．
答案：2sin
α＋cos
α＝
三角函数值符号的运用
[例2] (1)若sin
αtan
α<0，且<0，则角α是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
(2)判断下列各式的符号：
①sin
105°·cos
230°；②cos
3·tan.
[解] (1)C
(2)①∵105°，230°分别为第二、第三象限角，
∴sin
105°>0，cos
230°<0.于是sin
105°·cos
230°<0.
②∵<3<π，∴3是第二象限角，
∴cos
3<0.
又∵－是第三象限角，
∴tan>0，∴cos
3·tan<0.
[类题通法]
三角函数值的符号规律
(1)当角θ为第一象限角时，sin
θ>0，cos
θ>0或sin
θ>0，tan
θ>0或cos
θ>0，tan
θ>0，反之也成立；
(2)当角θ为第二象限角时，sin
θ>0，cos
θ<0或sin
θ>0，tan
θ<0或cos
θ<0，tan
θ<0，反之也成立；
(3)当角θ为第三象限角时，sin
θ<0，cos
θ<0或sin
θ<0，tan
θ>0或cos
θ<0，tan
θ>0，反之也成立；
(4)当角θ为第四象限角时，sin
θ<0，cos
θ>0或sin
θ<0，tan
θ<0或cos
θ>0，tan
θ<0，反之也成立．
[活学活用]
已知点P(tan
α，cos
α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：B
诱导公式一的应用
[例3] 计算下列各式的值：
(1)sin(－1
395°)cos
1
110°＋cos(－1
020°)·sin
750°；
(2)sin＋costan
4π.
[解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin
45°cos
30°＋cos
60°sin
30°
＝×＋×＝＋＝.
(2)原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝.
[类题通法]
诱导公式一的应用策略
应用诱导公式一时，先将角转化为0～2π范围内的角，再求值．对于特殊角的三角函数值一定要熟记．
[活学活用]
求下列各式的值：
(1)sin＋tan；
(2)sin
810°＋cos
360°－tan
1
125°.
答案：(1)＋1 (2)1
1．应用三角函数定义求值
[典例] (12分)已知角α的终边过点P(－3m，m)(m≠0)，求α的正弦、余弦、正切值．
[解题流程]
[规范解答]由题意可得：由|OP|＝＝|m|.(2分)(1)当m>0时，|OP|＝|m|＝m，(4分)则sin
α＝＝，cos
α＝＝－，tan
α＝＝－.(7分)(2)当m<0时，|OP|＝|m|＝－m，(9分)则sin
α＝－，cos
α＝，tan
α＝－.(12分)
[名师批注]由于题目条件中只告诉m≠0，不知道m的符号，因此|OP|＝\r(10)|m|.此处极易忽视此点，误认为|OP|＝\r(10)m，从而导致解题不完整而失分.根据正切函数的定义tan
α＝，本题中tan
α的取值与m的符号无关，即无论m>0还是m<0，tan
α都是＝－.
[活学活用]
已知角α的终边上一点P(－，y)(y≠0)，且sin
α＝y，求cos
α，tan
α的值．
解：当y＝时，cos
α＝－，tan
α＝－；
当y＝－时，cos
α＝－，tan
α＝.
[随堂即时演练]
1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos
α＝( )
A.
B.
C．－
D．－
答案：D
2．若三角形的两内角α，β满足sin
αcos
β<0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上三种情况都可能
答案：B
3．计算：sin＝________.
答案：
4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin
θ＝－，则y＝________.
答案：－8
5．化简下列各式：
(1)acos
180°＋bsin
90°＋ctan
0°；
(2)p2cos
360°＋q2sin
450°－2pqcos
0°；
(3)a2sin－b2cos
π＋absin
2π－abcos
.
答案：(1)－a＋b (2)(p－q)2 (3)a2＋b2
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知角α的终边与单位圆交于点，则sin
α的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
答案：B
2．给出下列函数值：①sin(－1
000°)；②cos；③tan
2，其中符号为负的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：B
3．已知60°角的终边上有一点P(4，a)，则a的值为( )
A.
B．±
C．4
D．±4
答案：C
4．设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A．tan
A与cos
B
B．cos
B与sin
C
C．sin
C与tan
A
D．tan与sin
C
答案：D
5．已知tan
x>0，且sin
x＋cos
x>0，那么角x是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案：A
二、填空题
6．α是第二象限角，P(x,
)是其终边上一点，且cos
α＝x，则x的值为________．
答案：－
7．计算：tan
405°－sin
450°＋cos
750°＝________.
答案：
8．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋＝________.
答案：0
三、解答题
9．如果角α的终边经过点M(1，)，试写出角α的集合A，并求集合A中最大的负角和绝对值最小的角．
解：在0°～360°范围内，tan
α＝且终边在第一象限内，可求得α＝60°.A＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．所以k＝－1时，α＝－300°为最大的负角；k＝0时，α＝60°为绝对值最小的角．
10．已知直线y＝x与圆x2＋y2＝1交于A，B两点，点A在x轴的上方，O是坐标原点．
(1)求以射线OA为终边的角α的正弦值和余弦值；
(2)求以射线OB为终边的角β的正切值．
解：由得或
∵点A在x轴上方，
∴点A，B的坐标分别为，，－，－.
(1)sin
α＝，cos
α＝.
(2)tan
β＝＝1.
11．已知＝－，且lg(cos
α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin
α的值．
解：(1)由＝－，可知sin
α<0，
由lg(cos
α)有意义可知cos
α>0，
所以角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，∴2＋m2＝1，
解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin
α＝＝＝＝－.1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
正弦函数的图象
[提出问题]
问题1：如何用描点法画y＝sin
x在[0,2π]上的图象？
提示：列表取值→描点→连线．
问题2：如何较准确地画出y＝sin
x在[0,2π]上的图象？
提示：利用正弦线．
问题3：如果有了正弦函数在[0,2π]上的图象，怎样才能得到在R上的图象？
提示：因为sin(x＋2kπ)＝sin
x(k∈Z)，所以只需将这段图象向左、右两方向平移(每次2π个单位长度)即可得到．
[导入新知]
1．正弦曲线
正弦函数y＝sin
x，x∈R的图象叫正弦曲线．
2．正弦函数图象的画法
(1)几何法：
①利用正弦线画出y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法：
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
[化解疑难]
y＝sin
x，x∈[0,2π]与y＝sin
x，x∈R的图象的关系
(1)y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象是y＝sin
x，x∈R的图象的一部分．
(2)y＝sin
x，x∈R的图象可由y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象左右平移(每次2π个单位长度)得到，因为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数y＝sin
x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图象与函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象的形状完全一样，只是位置不同.
余弦函数的图象
[提出问题]
问题1：根据诱导公式能得到某一角的正弦与余弦之间的等量关系吗？
提示：能，
sin＝cos
x.
问题2：根据关系式sin＝cos
x怎样才能得到y＝cos
x的图象？
提示：将正弦曲线向左平移个单位长度即可．
[导入新知]
1．余弦曲线
余弦函数y＝cos
x，x∈R的图象叫余弦曲线．
2．余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cos
x的图象，只需把y＝sin
x的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cos
x＝sin.
(2)用“五点法”：画余弦曲线y＝cos
x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
[化解疑难]
正弦函数、余弦函数图象中五点的确定
y＝sin
x，x∈[0,2π]与y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象与x轴的交点；②图象上的最高点和最低点．其中y＝sin
x，x∈[0,2π]与x轴有三个交点：(0,0)，(π，0)，(2π，0)，图象上有一个最高点，一个最低点；y＝cos
x，x∈[0,2π]与x轴有两个交点：，，图象上有两个最高点(0,1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)．
用“五点法”作简图
[例1] 作出下列函数在[－2π，2π]上的图象：
(1)y＝1－cos
x；(2)y＝.
[解] (1)描点，，，，，连线可得函数在[0,2π]上的图象，关于y轴作对称图形即得函数在[－2π，2π]上的图象，所得图象如图所示：
(2)由于y＝＝|cos
x|，所以只需作出函数y＝|cos
x|，x∈[－2π，2π]的图象即可．而函数y＝|cos
x|，x∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y＝cos
x，x∈[－2π，2π]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如图中实线所示：
[类题通法]
用“五点法”画函数y＝Asin
x＋b(A≠0)或y＝Acos
x＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤如下：
(1)列表：
x
0
π
2π
sin
x(或cos
x)
y
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，，(π，y)，，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．
[活学活用]
1．画出函数y＝3＋2cos
x，x∈[0,2π]的简图．
解：列表：
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
3＋2cos
x
5
3
1
3
5
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，得函数y＝3＋2cos
x，x∈[0,2π]的图象(如图所示)．
2．画出函数y＝sin
x－1在[0,2π]上的简图．
解：列表：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
sin
x－1
－1
0
－1
－2
－1
描点连线可得y＝sin
x－1在[0,2π]上的图象(如图所示)．
正、余弦函数图象的简单应用
[例2] 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．
(1)sin
x≥；(2)cos
x≤.
[解] (1)作出正弦函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z.
(2)作出余弦函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z.
[类题通法]
用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；
(3)根据公式一写出定义域内的解集．
[活学活用]
1．在[0,2π]内，使sin
x>cos
x成立的x的取值范围是( )
A.∪ B.
C.
D.∪
答案：C
2．利用正弦曲线，求满足x≤
的x的集合．
答案：x＋2kπ
[典例] 判断方程－cos
x＝0的根的个数．
[解] 设f(x)＝，g(x)＝cos
x，在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图：
由图可知，f(x)与g(x)的图象有三个交点，故方程－cos
x＝0有三个根．
[多维探究]
1．求f(x)－Asin
x＝0(A≠0)或f(x)－Acos
x＝0(A≠0)的根的个数，运用数形结合，转化为函数图象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于y＝－1与y＝1之间，只需考虑－A≤f(x)≤A
的x的范围，在该范围内f(x)的图象与Asin
x或Acos
x图象交点的个数即方程根的个数．
2．准确画出图象是解决此类问题的关键，同时要注意相关问题的求解．
[活学活用]
1．方程cos
x＝lg
x的实根的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．无数
答案：C
2．函数f(x)＝－cos
x在[0，＋∞)内( )
A．没有零点
B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点
D．有无穷多个零点
答案：B
3．函数y＝sin
x＋2|sin
x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝的交点共有________个．
答案：4
[随堂即时演练]
1．函数y＝－cos
x的图象与余弦函数图象( )
A．关于x轴对称
B．关于原点对称
C．关于原点和x轴对称
D．关于原点和坐标轴对称
答案：C
2．与图中曲线对应的函数是( )
A．y＝sin
x
B．y＝sin
|x|
C．y＝－sin
|x|
D．y＝－|sin
x|
答案：C
3．y＝1＋sin
x，x∈[0,2π]的图象与y＝的交点的个数是________．
答案：2
4．函数y＝的定义域是________．
答案：，k∈Z
5．用“五点法”作出函数y＝1＋2sin
x，x∈[0,2π]的图象．
解：列表：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
1＋2sin
x
1
3
1
－1
1
在直角坐标系中描出五点(0,1)，，(π，1)，，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sin
x，x∈[0,2π]的图象．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列函数图象相同的是( )
A．f(x)＝sin
x与g(x)＝sin(π＋x)
B．f(x)＝sin与g(x)＝sin
C．f(x)＝sin
x与g(x)＝sin(－x)
D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sin
x
答案：D
2．对余弦函数y＝cos
x的图象，有以下描述：
①向左向右无限延伸；②与y＝sin
x的图象形状完全一样，只是位置不同；③与x轴有无数多个交点；④关于y轴对称．
其中正确的描述有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：D
3．函数y＝cos的图象是( )
答案：B
4．不等式cos
x<0，x∈[0,2π]的解集为( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
5．要得到正弦曲线，只要将余弦曲线( )
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移π个单位长度
答案：A
二、填空题
6．当x∈[－π，π]时，y＝x与y＝sin
x的图象交点的个数为________．
答案：3
7．函数y＝2cos
x，x∈[0,2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．
答案：4π
8．方程sin
x＝lg
x的解有________个．
答案：3
三、解答题
9．利用“五点法”作出y＝sin的图象．
解：列表如下.
x
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
描点连线如图．
10．作出函数y＝－sin
x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
①sin
x>0，②sin
x<0.
(2)直线y＝与y＝－sin
x的图象有几个交点？
解：利用五点法作图．
(1)根据图象，可知图象在x轴上方时，－sin
x>0，
在x轴下方时，－sin
x<0，
所以当x∈(－π，0)时，－sin
x>0，sin
x<0；
当x∈(0，π)时，－sin
x<0，sin
x>0.
(2)画出直线y＝，由图象可知有两个交点．
11．方程sin
x＝在x∈上有两个实数根，求a的取值范围．
解：首先作出y＝sin
x，x∈的图象，然后再作出y＝的图象，如果y＝sin
x，x∈与y＝的图象有两个交点，方程sin
x＝，x∈就有两个实数根．
设y1＝sin
x，x∈，y2＝.
y1＝sin
x，x∈的图象如图．
由图象可知，当≤<1，即－1x，x∈的图象与y＝的图象有两个交点，即方程sin
x＝在x∈上有两个实根．1．2.2 同角三角函数的基本关系
[提出问题]
设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，根据三角函数的定义知y＝sin
α，x＝cos
α，＝tan
α.
问题1：能否根据x，y的关系得到sin
α，cos
α，tan
α的关系？
提示：能，由x2＋y2＝1，得cos2α＋sin2α＝1.
由＝tan
α，得＝tan
α.
问题2：上面两个关系式对任意角都成立吗？
提示：对使三角函数有意义的任意角都成立．
[导入新知]
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tan_α其中α≠kπ＋(k∈Z)．
[化解疑难]
“同角”的含义
“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23α＝1等．
已知一个三角函数值求另两个三角函数值
[例1] (1)已知sin
α＝，并且α是第二象限角，求cos
α和tan
α.
(2)已知cos
α＝－，求sin
α和tan
α.
[解] (1)cos2α＝1－sin2α＝1－2＝2，又因为α是第二象限角，所以cos
α<0，cos
α＝－，tan
α＝＝－.
(2)sin2α＝1－cos2α＝1－2＝2，
因为cos
α＝－<0，所以α是第二或第三象限角，
当α是第二象限角时，sin
α＝，tan
α＝＝－；当α是第三象限角时，sin
α＝－，tan
α＝＝.
[类题通法]
已知三角函数值求其他三角函数值的方法
(1)若已知sin
α＝m，可以先应用公式cos
α＝±，求得cos
α的值，再由公式tan
α＝求得tan
α的值．
(2)若已知cos
α＝m，可以先应用公式sin
α＝±，求得sin
α的值，再由公式tan
α＝求得tan
α的值．
(3)若已知tan
α＝m，可以应用公式tan
α＝＝m sin
α＝mcos
α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos
α＝±，sin
α＝±的值．
[活学活用]
已知tan
α＝，且α是第三象限角，求sin
α，cos
α的值．
答案：sin
α＝－；cos
α＝－
化切求值
[例2] 已知tan
α＝3，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)sin2α＋cos2α.
[解] (1)原式＝＝＝；
(2)原式＝＝＝－；
(3)原式＝＝
＝
＝.
[类题通法]
化切求值的方法技巧
(1)已知tan
α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos
α或cos2α，化成关于tan
α的式子，从而达到求值的目的．
(2)对于asin2α＋bsin
αcos
α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan
α的式子，从而可以求值．
[活学活用]
已知tan
α＝2，求下列各式的值：
(1)；
(2)4sin2α－3sin
αcos
α－5cos2
α.
答案：(1)－1 (2)1
化简三角函数式
[例3] 化简tan
α，其中α是第二象限角．
[解] 因为α是第二象限角，所以sin
α>0，cos
α<0.
故tan
α
＝tan
α
＝tan
α
＝·
＝·＝－1.
[类题通法]
三角函数式化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
[活学活用]
化简：(1)；
(2)，θ是第二象限角．
答案：(1)cos
θ (2)－sin
θcos
θ
证明简单的三角恒等式
[例4] 求证：＝.
[证明] ∵右边＝
＝
＝
＝
＝＝左边，
∴原等式成立．
[类题通法]
简单的三角恒等式的证明思路
(1)从一边开始，证明它等于另一边；
(2)证明左、右两边等于同一个式子；
(3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．
[活学活用]
求证：＝.
证明：∵左边＝
＝
＝＝＝
＝右边，
∴原等式成立．
[典例] 已知0<θ<π，且sin
θ＋cos
θ＝，求sin
θ－cos
θ的值．
[解] ∵sin
θ＋cos
θ＝，
∴(sin
θ＋cos
θ)2＝，
解得sin
θcos
θ＝－.
∵0<θ<π，且sin
θcos
θ<0，
∴sin
θ>0，cos
θ<0，
∴sin
θ－cos
θ>0.
又∵(sin
θ－cos
θ)2
＝1－2sin
θcos
θ
＝，
∴sin
θ－cos
θ＝.
[多维探究]
1．在解决本题的过程中，sin
θcos
θ＝－<0隐含了条件sin
θ>0，cos
θ<0，从而得出sin
θ－cos
θ>0的结论．若忽视该隐含条件极易造成增解的情况，从而导致解题失误．
2．本题考查了sin
θ＋cos
θ，sin
θ－cos
θ以及sin
θcos
θ三者之间的转化．解决此类问题常涉及以下三角恒等式：
①(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ；
②(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θcos
θ；
③(sin
θ＋cos
θ)2＋(sin
θ－cos
θ)2＝2；
④(sin
θ－cos
θ)2＝(sin
θ＋cos
θ)2－4sin
θcos
θ.
上述三角恒等式告诉我们已知sin
θ＋cos
θ，sin
θ－cos
θ，sin
θcos
θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出．
[活学活用]
1．已知0<θ<π，且sin
θ－cos
θ＝，求sin
θ＋cos
θ，tan
θ的值．
答案：sin
θ＋cos
θ＝；tan
θ＝
2．若0<θ<π，sin
θcos
θ＝－，求sin
θ－cos
θ的值．
答案：
[随堂即时演练]
1．已知α∈，sin
α＝，则cos
α等于( )
A.
B．－
C．－
D．
答案：B
2．若α为第三象限角，则＋的值为( )
A．3
B．－3
C．1
D．－1
答案：B
3．已知cos
α－sin
α＝－，则sin
αcos
α的值为________．
答案：
4．已知tan
α＝，则sin
αcos
α的值为________．
答案：
5．化简：
.
答案：1
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知角α是第四象限角，cos
α＝，则sin
α＝( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：B
2．下列结论中成立的是( )
A．sin
α＝且cos
α＝
B．tan
α＝2且＝
C．tan
α＝1且cos
α＝±
D．sin
α＝1且tan
α·cos
α＝1
答案：C
3．已知＝2，则sin
θcos
θ的值是( )
A.
B．±
C.
D．－
答案：C
4．化简(1＋tan2α)·cos2α等于( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
答案：C
5．已知－<θ<，且sin
θ＋cos
θ＝a，其中a∈(0,1)，则关于tan
θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )
A．－3
B．3或
C．－
D．－3或－
答案：C
二、填空题
6．若sin
θ＝－，tan
θ>0，则cos
θ＝________.
答案：－
7．已知0<α<π，sin
α＋cos
α＝，则sin
α－cos
α的值是________．
答案：
8．若sin
α＋cos
α＝，则tan
α＋的值为________．
答案：2
三、解答题
9．已知<θ<π且sin
θ＝，cos
θ＝，求tan
θ的值．
解：∵sin2θ＋cos2θ＝1，
∴2＋2＝1，
整理得m2－8m＝0，
∴m＝0或m＝8.
当m＝0时，sin
θ＝－，不符合<θ<π，舍去，
当m＝8时，sin
θ＝，cos
θ＝－，满足题意．
∴tan
θ＝＝－
10．已知α是第二象限角，tan
α＝－，求cos
α.
解：∵α是第二象限角，∴cos
α<0.
由tan
α＝＝－，得sin
α＝－cos
α.
代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＋cos2α＝1，cos2α＝.
∴cos
α＝－.
11．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin
θ和cos
θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及θ的值．
解：因为已知方程有两根，
所以
(1)＋＝＋＝＝sin
θ＋cos
θ＝.
(2)对①式两边平方，得1＋2sin
θcos
θ＝，
所以sin
θcos
θ＝.
由②，得＝，所以m＝.
由③，得m≤，所以m＝.
(3)因为m＝，
所以原方程为2x2－(＋1)x＋＝0.
解得x1＝，x2＝，
所以或
又因为x∈(0,2π)，所以θ＝或θ＝.第二课时 正弦函数、余弦函数的性质(二)
[提出问题]
下图中的曲线分别是正弦函数和余弦函数的图象，根据图象回答以下问题：
问题1：正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？
提示：R.
问题2：正弦函数、余弦函数的值域各是什么？
提示：[－1,1]．
问题3：正弦函数在上函数值的变化有什么特点？余弦函数在[0,2π]上函数值的变化有什么特点？
提示：y＝sin
x在上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1；在上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1.
y＝cos
x在[0，π]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1；在[π，2π]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1.
[导入新知]
正弦函数、余弦函数的性质
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
定义域
R
值域
[－1,1]
图象
单调性
在－＋2kπ，＋2kπ，k∈Z上递增；在＋2kπ，＋2kπ，k∈Z上递减
在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增；在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减
最值
当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1；当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1
当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，ymin＝－1；当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1
对称轴
x＝＋kπ，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
，k∈Z
[化解疑难]
理解正、余弦函数的性质应关注三点
(1)正弦函数(余弦函数)不是定义域上的单调函数．另外，说“正弦函数(余弦函数)在第一象限内是增(减)函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．
(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．
(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.
正、余弦函数的单调性
[例1] 求函数y＝2sin的单调区间．
[解] 令z＝x－，则y＝2sin
z.
∵z＝x－是增函数，
∴y＝2sin
z单调递增(减)时，
函数y＝2sin也单调递增(减)．
由z∈(k∈Z)，
得x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
故函数y＝2sin的单调递增区间为
(k∈Z)．
同理可求函数y＝2sin的单调递减区间为(k∈Z)．
[类题通法]
与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin
z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
[活学活用]
求函数y＝3sin的单调递减区间．
答案：(k∈Z)
三角函数值的大小比较
[例2] 比较下列各组数的大小：
(1)sin
250°与sin
260°；(2)cos与cos.
[解] (1)∵函数y＝sin
x在90°＜x＜270°时单调递减，且90°<250°<260°<270°，
∴sin
250°>sin
260°.
(2)cos＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos.
∵函数y＝cos
x在[0，π]上单调递减，且0<<<π，
∴cos>cos，∴cos>cos.
[类题通法]
比较三角函数值大小的方法
(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．
[活学活用]
1．三个数cos，sin，－cos的大小关系是( )
A．cos>sin>－cos
B．cos>－cos>sin
C．cosD．－cos答案：C
2．比较下列各组数的大小．
(1)cos与cos；
(2)sin
194°与cos
160°.
答案：(1)cos＞cos
(2)sin
194°＞cos
160°
正、余弦函数的最值问题
[例3] 求下列函数的值域：
(1)y＝cos，x∈；
(2)y＝cos2x－4cos
x＋5.
[解] (1)由y＝cos，x∈可得
x＋∈，
函数y＝cos
x在区间上单调递减，
∴函数的值域为.
(2)令t＝cos
x，则－1≤t≤1.
∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
∴t＝－1时，y取得最大值10；
t＝1时，y取得最小值2.
∴y＝cos2x－4cos
x＋5的值域为[2,10]．
[类题通法]
求三角函数值域的常用方法
(1)求解形如y＝asin
x＋b(或y＝acos
x＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin
x，cos
x≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．
(2)求解形如y＝asin2x＋bsin
x＋c(或y＝acos2x＋bcos
x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin
x(或cos
x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin
x(或cos
x)的有界性．
[活学活用]
求函数y＝－2cos2x＋2sin
x＋3，x∈的最大值和最小值．
答案：ymax＝5 ymin＝
[典例] 设sin
x＋sin
y＝，则M＝sin
x－cos2y的最大值为________，最小值为________．
[解析] 由题意，得sin
x＝－sin
y.
由sin
x∈[－1,1]，得
解得－≤sin
y≤1.
∴M＝－sin
y－cos2y
＝sin2y－sin
y－
＝2－.
则当sin
y＝时，Mmin＝－；
当sin
y＝－时，Mmax＝.
[答案] －
[易错防范]
1．本题易忽视隐含条件“－≤sin
y≤1”的挖掘，误认为sin
y∈[－1,1]而导致解题错误．
2．解决此类问题时要注意正、余弦函数的有界性，解题时千万不能忽略转化后的条件限制而扩大取值范围导致错误．
[成功破障]
设－≤x≤，则函数y＝log2(1＋sin
x)＋log2(1－sin
x)的最大值为________，最小值为________．
答案：0 －1
[随堂即时演练]
1．函数y＝2－sin
x的最大值及取最大值时x的值为( )
A．ymax＝3，x＝
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
答案：C
2．y＝cos在[0，π]上的递减区间为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
3．比较大小：sin
________cos
.(填“>”“<”或“＝”)
答案：>
4．若y＝asin
x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝________.
答案：±2
5．求函数y＝sin，x∈[0，π]的单调递增区间．
答案：
[课时达标检测]
一、选择题
1．函数y＝sin的一个对称中心是( )
A. B.
C.
D.
答案：B
2．下列关系式中正确的是( )
A．sin
11°＜cos
10°＜sin
168°
B．sin
168°＜sin
11°＜cos
10°
C．sin
11°＜sin
168°＜cos
10°
D．sin
168°＜cos
10°＜sin
11°
答案：C
3．函数y＝|sin
x|＋sin
x的值域为( )
A．[－1,1]
B．[－2,2]
C．[－2,0]
D．[0,2]
答案：D
4．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
答案：D
5．若函数y＝f(x)同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称；③在区间上是增函数．则y＝f(x)的解析式可以是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝cos
答案：A
二、填空题
6．设x∈(0，π)，则f(x)＝cos2x＋sin
x的最大值是________．
答案：
7．函数f(x)＝sin的图象的对称轴是________．
答案：x＝kπ＋，k∈Z
8．函数y＝－cos的单调递增区间是________．
答案：，k∈Z
三、解答题
9．已知ω是正数，函数f(x)＝2sin
ωx在区间上是增函数，求ω的取值范围．
解：由2kπ－≤ωx≤2kπ＋(k∈Z)得
－＋≤x≤＋(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间是
(k∈Z)．
据题意： (k∈Z)．
从而有解得0<ω≤.
故ω的取值范围是
10．求函数y＝3－4cos，x∈的最大值、最小值及相应的x值．
解：∵x∈，∴2x＋∈，
从而－≤cos≤1.
∴当cos＝1，即2x＋＝0，
即x＝－时，ymin＝3－4＝－1.
当cos＝－，即2x＋＝，
即x＝时，ymax＝3－4×＝5.
11．已知f(x)＝－2asin＋2a＋b，x∈，是否存在常数a，b∈Q，使得f(x)的值域为{y|－3≤y≤－1}？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
解：∵≤x≤，
∴≤2x＋≤，∴－1≤sin≤.
假设存在这样的有理数a，b，则
当a>0时，
解得(不合题意，舍去)；
当a<0时，解得
故a，b存在，且a＝－1，b＝1.