3．2
简单的三角恒等变换
[导入新知]
半角公式
[化解疑难]
对半角公式的理解
(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．
(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos
α的值及相应α的条件，sin，cos，tan便可求出．
(3)由于tan＝及tan＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．
(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用sin2＝，cos2＝.
求值问题
[例1] 已知sin
α＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．
[解] ∵π<α<，sin
α＝－，
∴cos
α＝－，且<<，
∴sin＝
＝，
cos＝－
＝－，
tan＝＝－2.
[类题通法]
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：
(1)先化简已知或所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
[活学活用]
已知sin－cos＝－，450°<α<540°，求tan的值．
答案：2
三角函数式的化简
[例2] 化简：
(180°<α<360°)．
[解]
原式＝
＝
＝.
又∵180°<α<360°，∴90°<<180°，
∴cos<0，
∴原式＝＝cos
α.
[类题通法]
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆角、凑角等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
[活学活用]
化简：
(1)－；
(2)－2cos(α＋β)．
答案：(1)－2sin (2)
三角恒等式的证明
[例3] 证明：
(1)sin
θ(1＋cos
2θ)＝sin
2θcos
θ；
(2)＝.
[证明] (1)左边＝sin
θ·2cos2θ＝(2sin
θcos
θ)·cos
θ＝sin
2θcos
θ＝右边．
∴原等式成立．
(2)右边＝，分子、分母同除以cos
αcos
β，得右边＝＝左边．
∴原等式成立．
[类题通法]
盘点三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，化异求同；
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
[活学活用]
求证：
＝.
证明：左边
＝
＝
＝＝
＝
＝＝右边．
∴原等式成立．
[典例] (12分)如图，ABCD是一块边长为100
m的正方形地皮，其中AST是半径为90
m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．
[解题流程]
[规范解答]如图，连接AP，设∠PAB＝θ， 延长RP交AB于M，则AM＝90cos
θ，MP＝90sin
θ. (2分)所以PQ＝MB＝100－90cos
θ，PR＝MR－MP＝100－90sin
θ. (4分)所以S矩形PQCR＝PQ·PR＝(100－90cos
θ)(100－90sin
θ)＝10
000－9
000(sin
θ＋cos
θ)＋8
100sin
θcos
θ. (7分)令t＝sin
θ＋cos
θ(1≤t≤)，则sin
θcos
θ＝， (8分)所以S矩形PQCR＝10
000－9
000t＋8
100·＝2＋950. (10分)故当t＝时，S矩形PQCR有最小值950
m2；当t＝时，S矩形PQCR有最大值(14
050－9
000)m2.(12分)
[名师批注]矩形PQCR的面积取决于P点位置，而P点的位置取决于θ的大小，因此应考虑利用θ表示PQ，PR的大小，对于AM及PM的值可实现此转化.在解题过程中常发生不知如何作辅助线进行转化，导致无法后续解题的情况.采用换元法实现了sin
θ＋cos
θ与sin
θcos
θ间的转化，从而将问题转化为熟知的一元二次函数，但要注意换元后的定义域．此处易忽视t的取值范围而导致答案错误.
[活学活用]
有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
解：如图所示，设∠AOB＝θ，
则AB＝asin
θ，OA＝acos
θ.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，
即S＝2acos
θ·asin
θ＝a2·2sin
θcos
θ＝a2sin
2θ.
∵θ∈，∴2θ∈(0，π)，
当2θ＝，即θ＝时，Smax＝a2，
此时，A，D距离O点都为a时，矩形ABCD的面积最大．
[随堂即时演练]
1．已知cos
θ＝－，＜θ＜3π，那么sin
等于( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：D
2．化简的结果是( )
A．－cos
1
B．cos
1
C.cos
1
D．－cos
1
答案：C
3．设5π<θ<6π，cos＝a，那么sin等于________．
答案：－
4．已知α是第三象限角，且sin
α＝－，则tan＝________.
答案：－
5．求－sin
10°的值．
答案：
[课时达标检测]
一、选择题
1．cos2－的值为( )
A．1 B.
C.
D.
答案：D
2．已知sin＝，则sin
2x的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
3．设a＝cos
6°－sin
6°，b＝，c＝，则有( )
A．a>b>c
B．a
C．aD．b答案：C
4．化简2＋2sin2得( )
A．2＋sin
α
B．2＋sin
C．2
D．2＋sin
答案：C
5．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在上单调递增
答案：A
二、填空题
6．若cos
2θ＋cos
θ＝0，则sin
2θ＋sin
θ＝________.
答案：0或±
7．等腰三角形的顶角的正弦值为，则它的底角的余弦值为________．
答案：或
8．在△ABC中，若cos
A＝，则sin2＋cos
2A等于________．
答案：－
三、解答题
9．若π<α<，化简＋
.
解：∵π<α<，∴<<，
∴cos<0，sin>0.
∴原式
＝＋
＝＋
＝－＋
＝－cos.
10．点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP面积最大？
解：如图所示，
∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，AB＝1，
PA＝cos
α，PB＝sin
α.
又PT切圆于P点，∠TPB＝∠PAB＝α，
∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB
＝PA·PB＋PT·PB·sin
α
＝sin
αcos
α＋sin2α
＝sin
2α＋(1－cos
2α)
＝(sin
2α－cos
2α)＋
＝sin(2α－)＋.
∵0<α<，－<2α－<π，
∴当2α－＝，即α＝π时，S四边形ABTP最大．
11．设函数f(x)＝sin2ωx＋2sin
ωx·cos
ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)的值域．
解：(1)因为
f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin
ωx·cos
ωx＋λ
＝－cos
2ωx＋sin
2ωx＋λ
＝2sin＋λ.
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，
可得sin＝±1.
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，
即ω＝＋(k∈Z)．
又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图象过点，
得f＝0，
即λ＝－2sin＝－2sin＝－，
即λ＝－.
故f(x)＝2sin－，
函数f(x)的值域为[－2－，2－
]．3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第一课时 两角和与差的正弦、余弦公式
两角和的余弦公式
[提出问题]
问题1：把公式cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β中的β用－β代替，结果如何？
提示：cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β.
问题2：在cos(α±β)的公式中，α，β的条件是什么？
提示：α，β为任意角．
[导入新知]
两角和与差的余弦公式
名称
公式
简记符号
条件
两角和的余弦
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
C(α＋β)
α，β∈R
两角差的余弦
cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
C(α－β)
[化解疑难]
公式C(α＋β)的推导
cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]
＝cos
αcos(－β)＋sin
αsin(－β)
＝cos
αcos
β－sin
αsin
β，
即cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β.
两角和与差的正弦公式
[提出问题]
问题1：由公式C(α＋β)或C(α－β)可求sin
75°的值吗？
提示：可以，因为sin
75°＝cos
15°＝cos(45°－30°)．
问题2：由公式C(α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？
提示：可以，sin(α＋β)＝cos
＝cos＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β.
问题3：能利用上述公式把sin(α－β)用sin
α，cos
α，sin
β，cos
β表示吗？
提示：能．
[导入新知]
两角和与差的正弦公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和的正弦
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β
S(α＋β)
α，β∈R
两角差的正弦
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β
S(α－β)
α，β∈R
[化解疑难]
两角和与差的正弦公式与余弦公式的区别
(1)余弦公式右边函数名的排列顺序为：余·余±正·正，左右两边加减运算符号相反．
(2)正弦公式右边函数名的排列顺序为：正·余±余·正，左右两边加减运算符号相同．
给角求值问题
[例1] (1)·cos
10°＋sin
10°tan
70°－2cos
40°＝________.
(2)求值：(tan
10°－).
[解] (1)2
(2)原式＝(tan
10°－tan
60°)
＝
＝·
＝－2.
[类题通法]
解决给角求值问题的策略
对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善于逆用或变用公式．
[活学活用]
求值：[2sin
50°＋sin
10°(1＋tan
10°)]·.
答案：
给值(式)求值问题
[例2] 已知<α<，0<β<，
cos＝－，sin＝.
(1)求sin(α＋β)的值；
(2)求cos(α－β)的值．
[解] (1)∵<α<，<＋α<π，
∴sin＝
＝.
∵0<β<，<＋β<π，
∴cos＝－
＝－，
∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin
＝－sincos＋cos·sin
＝－＝.
(2)由(1)可知，
sin＝，cos＝－，
∴sin
＝sin＋αcos＋β－cos＋αsin＋β
＝×－×＝－.
又∵sin＝sin
＝－cos(α－β)，
∴cos(α－β)＝.
[类题通法]
给值求值的解题策略
在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、凑角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：
(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．
(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．
[活学活用]
已知α，β是锐角，且sin
α＝，cos(α＋β)＝－，求sin
β的值．
答案：
给值(式)求角问题
[例3] 已知△ABC中，B＝60°，且＋＝－，若A>C，求A的值．
[解] 由已知B＝60°，A＋C＝120°，
设＝α，∵A>C，则α>0，
故A＝＋＝60°＋α，
C＝－＝60°－α，
故＋＝＋
＝＋
＝＝.
由题设有＝－＝－2，
整理得：4cos2α＋2cos
α－3＝0.
即(2cos
α－)(2cos
α＋3)＝0.
∵2cos
α＋3≠0，∴2cos
α－＝0.
∴cos
α＝.
故α＝45°，A＝60°＋45°＝105°.
[类题通法]
解决给值(式)求角问题的方法
解决给值(式)求角问题的关键是寻求所求角的三角函数值与已知值或式之间的关系，利用两角和与差的正、余弦公式，求出所求角的三角函数值，从而求出角．
[活学活用]
已知α，β均为锐角，且sin
α＝，cos
β＝，求α－β的值．
答案：－
[典例] (12分)已知函数f(x)＝sin＋sin＋acos
x＋b(a，b∈R，且均为常数)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上单调递增，且恰好能够取到f(x)的最小值2，试求a，b的值．
[解题流程]
[规范解答](1)f(x)＝sin＋sin＋acos
x＋b＝2sin
xcos＋acos
x＋b＝sin
x＋acos
x＋b＝sin(x＋φ)＋b.(4分)所以，函数f(x)的最小正周期为2π.(6分)(2)由(1)可知：f(x)的最小值为－＋b，所以－＋b＝2.①(8分)另外由f(x)在区间上单调递增，可知f(x)在区间上的最小值为f，所以f＝－＋＋b＝2.②(10分)由①②解得a＝－1，b＝4.(12分)
[名师批注]此处在解题过程中极易忽视.注意对“恰好能够取到f x 的最小值2”的理解，否则无法求解.
[活学活用]
已知函数f(x)＝sin
2x＋sin.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值；(3)求函数f(x)的单调增区间．
答案：(1)π (2)x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)有最大值为2；x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)有最小值为－2
(3)kπ－，kπ＋(k∈Z)
[随堂即时演练]
1．sin
105°的值为( )
A. B.
C.
D.
答案：D
2．若sin(α＋β)cos
β－cos(α＋β)sin
β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( )
A．1
B．－1
C．0
D．±1
答案：C
3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos
αcos
β＝________.
答案：0
4．已知sin
α＝－，α是第四象限角，则sin＝________.
答案：
5．化简求值：
(1)sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)；
(2)cos(70°＋α)sin(170°－α)－sin(70°＋α)cos(10°＋α)；
(3)cos
21°·cos
24°＋sin
159°·sin
204°.
答案：(1)sin
2α (2)－ (3)
[课时达标检测]
一、选择题
1．若cos
α＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A．－
B.
C．－
D.
答案：A
2．在△ABC中，如果sin
A＝2sin
Ccos
B，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
答案：C
3．已知α为钝角，且sin＝，则cos的值为( )
A.
B.
C．－
D.
答案：C
4．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－
cos(θ＋15°)等于( )
A．±1
B．1
C．－1
D．0
答案：D
5．设α，β为钝角，且sin
α＝，cos
β＝－，则α＋β的值为( )
A.
B.
C.
D.或
答案：C
二、填空题
6．已知cos＝sin，则tan
α＝________.
答案：1
7．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos－＝，则cos＝________.
答案：
8．定义运算＝ad－bc.若cos
α＝，＝，0<β<α<，则β＝________.
答案：
三、解答题
9．已知sin(α－β)cos
α－cos(β－α)sin
α＝，β是第三象限角，求sin的值．
解：∵sin(α－β)cos
α－cos(β－α)sin
α
＝sin(α－β)cos
α－cos(α－β)sin
α
＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin
β＝，
∴sin
β＝－，又β是第三象限角，
∴cos
β＝－＝－，
∴sin＝sin
βcos＋cos
βsin
＝×＋×＝－.
10．已知sin
αcos
β＝，求t＝cos
αsin
β的取值范围．
解：由于sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
＝＋t，
sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β＝－t，
又sin(α＋β)∈[－1,1]，sin(α－β)∈[－1,1]，
故有解得－≤t≤.
即t的取值范围为.
11．已知函数f(x)＝2cos，x∈R.设α，β∈，f＝－，f＝，
求cos(α＋β)的值．
解：∵f＝－，
∴2cos＝2cos
＝－，
∴sin
α＝.
又∵f＝，
∴2cos＝2cos
β＝，
∴cos
β＝.
又∵α，β∈，∴cos
α＝，sin
β＝，
∴cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
＝×－×＝－.第二课时 两角和与差的正切公式
[提出问题]
问题1：前面学习的同角三角函数关系中，tan
α，sin
α，cos
α的关系怎样？
提示：tan
α＝.
问题2：利用该关系式及两角和的正、余弦公式，能把tan(α＋β)用tan
α，tan
β表示吗？
提示：能．tan(α＋β)＝
＝＝.
问题3：能用tan
α，tan
β表示tan(α－β)吗？
提示：能．
问题4：公式中，α，β是任意实数吗？
提示：不是，α，β，α±β≠kπ＋，k∈Z.
[导入新知]
两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和的正切
tan(α＋β)＝
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切
tan(α－β)＝
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
[化解疑难]
1．公式tan(α＋β)＝的推导
当cos(α＋β)≠0时，将公式S(α＋β)，C(α＋β)的两边分别相除，有tan(α＋β)＝＝，若cos
αcos
β≠0，将上式的分子、分母分别除以cos
αcos
β，得tan(α＋β)＝.
2．公式tan(α－β)＝的推导
由于tan(－β)＝＝＝－tan
β，在T(α＋β)中以－β代替β，可得tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]＝，即tan(α－β)＝.
化简求值问题
[例1] (1)若α＋β＝，tan
α＋(tan
αtan
β＋c)＝0(c为常数)，则tan
β＝________.
(2)tan
23°＋tan
37°＋tan
23°tan
37°的值是________．
[答案] (1)(c＋1) (2)
[类题通法]
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan”“＝tan”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
[活学活用]
1．计算的值．
答案：－
2．求tan
20°＋tan
40°＋tan
20°tan
40°的值．
答案：
条件求值问题
[例2] 已知sin＝，cos＝－，且α－和－β分别为第二、第三象限角，求tan
的值．
[解] 由题意，得cos＝－，
sin＝－，
∴tan＝－，tan＝，
∴tan
＝tan
＝
＝＝－.
[类题通法]
给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．
[活学活用]
已知cos
α＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，求tan
β及tan(2α－β)的值．
答案：tan
β＝；tan(2α－β)＝2
给值求角问题
[例3] 是否存在锐角α和β，使α＋2β＝①，且tantan
β＝2－②，同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
[解] 由①得＋β＝，
∴tan＝＝.
将②代入得tan＋tan
β＝3－.
∵tantan
β＝2－，
∴tan，tan
β是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根．解得x1＝1，x2＝2－.
若tan＝1，则与α为锐角矛盾．
∴tan
β＝1，tan＝2－，
∴β＝，代入①得α＝，满足tan＝2－.
[类题通法]
解决给值求角问题的步骤
(1)根据题设条件求角的某一三角函数值；
(2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．
[活学活用]
已知tan(α－β)＝，tan
β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
答案：－
[典例] (12分)已知tan
α＝，sin
β＝，且α，β为锐角，求α＋2β的值．
[解题流程]
[规范解答]∵tan
α＝<1且α为锐角，∴0<α<.(2分)又∵sin
β＝<＝，且β为锐角，∴0<β<，∴0<α＋2β<.①(4分)由sin
β＝，β为锐角，得cos
β＝，∴tan
β＝.(6分)∴tan(α＋β)＝＝＝.(8分)∴tan(α＋2β)＝＝＝1.②(10分)由①②可得α＋2β＝.(12分)
[名师批注]利用tan
α＝<1及α为锐角，进一步将α的范围缩小到，此处极易被忽视.由sin
β<及β为锐角，将β的范围缩小到，此处同样很容易被忽视而造成解题错误． 此处在本题的解决过程中起到桥梁过渡的作用，若考虑不到此点，则问题很难解决． 将α＋2β化为(α＋β)＋β，使问题得以顺利解决，此处常因找不到此转化关系而造成题目无法求解或求解困难．
[活学活用]
设α，β∈，tan
α，tan
β是一元二次方程x2＋3x＋4＝0的两个根，求α＋β的值．
答案：－
[随堂即时演练]
1．计算：＝( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：D
2．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan
α)(1＋tan
β)的值为( )
A．1
B．2
C．1＋
D．1＋
答案：B
3．(江苏高考)已知tan
α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan
β的值为________．
答案：3
4．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则α等于________．
答案：
5．已知sin
α＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，求tan
β的值．
答案：7
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于( )
A. B.
C.
D.
答案：C
2．已知＝2，则tan的值是( )
A．2
B．－2
C.
D．－
答案：C
3．在△ABC中，若tan
Atan
B>1，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不能确定
答案：A
4.的值等于( )
A．－1
B．1
C.
D．－
答案：D
5．(1＋tan
21°)(1＋tan
22°)(1＋tan
23°)(1＋tan
24°)的值为( )
A．16
B．8
C．4
D．2
答案：C
二、填空题
6．计算：tan
10°tan
20°＋tan
20°tan
60°＋tan
60°·tan
10°＝________.
答案：1
7．若(tan
α－1)(tan
β－1)＝2，则α＋β＝________.
答案：kπ－，k∈Z
8．若sin(θ＋24°)＝cos(24°－θ)，则tan(θ＋60°)＝________.
答案：－2－
三、解答题
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：由条件得cos
α＝，cos
β＝.
∵α，β为锐角，
∴sin
α＝＝，
sin
β＝＝.
因此tan
α＝7，tan
β＝.
(1)tan(α＋β)＝
＝＝－3.
(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
又∵α，β为锐角，
∴0<α＋2β<，
∴α＋2β＝.
10．已知cos
α＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，求tan
β及tan(2α－β)．
解：∵cos
α＝>0，α∈(0，π)，
∴α∈，sin
α>0.
∴sin
α＝＝
＝，
∴tan
α＝＝＝.
∴tan
β＝tan[α－(α－β)]
＝
＝＝，
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝
＝＝2.
11．设向量a＝(4cos
α，sin
α)，b＝(sin
β，4cos
β)，c＝(cos
β，－4sin
β)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)若tan
αtan
β＝16，求证：a∥b.
解：(1)由a与b－2c垂直，得
a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，
∴4cos
αsin
β＋4sin
αcos
β－2(4cos
αcos
β－4sin
α·sin
β)＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，
∴tan(α＋β)＝2.
(2)证明：由tan
αtan
β＝16，
得sin
αsin
β＝16cos
αcos
β，
即4cos
α·4cos
β－sin
αsin
β＝0，
∴a∥b.3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
[提出问题]
问题1：在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？
提示：成立．
问题2：在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？
提示：cos
2α＝cos2α－sin2α，sin
2α＝2sin
αcos
α，tan
2α＝.
[导入新知]二倍角公式
[化解疑难]
细解“倍角公式”
(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．
(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．
化简求值
[例1] 求下列各式的值：
(1)sincos；(2)1－2sin2750°；
(3)；(4)－；
(5)cos
20°cos
40°cos
80°.
[解] (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos
1
500°
＝cos(4×360°＋60°)＝cos
60°＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan
300°＝tan(360°－60°)＝－tan
60°＝－.
(4)原式＝
＝
＝＝＝4.
(5)原式＝
＝
＝＝＝.
[类题通法]
化简求值的四个方向
三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
[活学活用]
化简：(1)－；
(2).
答案：(1)tan
2θ (2)1
条件求值
[例2] (1)已知cos＝，≤α<，求cos的值；
(2)已知α∈，且sin
2α＝sin，求α.
[解] (1)∵≤α<，∴≤α＋<.
∵cos>0，∴<α＋<.
∴sin＝－＝－
＝－.
∴cos
2α＝sin2α＋＝2sinα＋cosα＋
＝2×－×＝－，
sin
2α＝－cos＝1－2cos2
＝1－2×2＝.
∴cos＝cos
2α－sin
2α
＝×＝－.
(2)∵sin
2α＝－cos
＝－，
sin＝－sin＝－cos
＝－cos，
∴原方程可化为1－2cos2α＋＝－cosα＋，
解得cos＝1或cos＝－.
∵α∈，∴α＋∈，
故α＋＝0或α＋＝，即α＝－或α＝.
[类题通法]
解决条件求值问题的方法
条件求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
[活学活用]
1．已知sinsin＝，α∈，求sin
4α的值．
答案：－
2．已知sin22α＋sin
2αcos
α－cos
2α＝1，求锐角α.
答案：
倍角公式的综合应用
[例3] 已知向量a＝(sin
A，cos
A)，b＝(，－1)，a·b＝1，且A为锐角．
(1)求角A的大小；
(2)求函数f(x)＝cos
2x＋4cos
Asin
x(x∈R)的值域．
[解] (1)由题意得a·b＝sin
A－cos
A＝1，
2sin＝1，sin＝.
由A为锐角得A－＝，所以A＝.
(2)由(1)知cos
A＝，
所以f(x)＝cos
2x＋2sin
x＝1－2sin2x＋2sin
x＝－22＋.
因为x∈R，所以sin
x∈[－1,1]，
因此，当sin
x＝时，f(x)有最大值.
当sin
x＝－1时，f(x)有最小值－3.
所以所求函数f(x)的值域是.
[类题通法]
二倍角公式的灵活运用
(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：
2sin
αcos
α＝sin
2α，sin
αcos
α＝
sin
2α，
cos
α＝，cos2α－sin2α＝cos
2α，＝tan
2α.
(2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：
1±sin
2α＝sin2α＋cos2α±2sin
αcos
α＝(sin
α±cos
α)2，
1＋cos
2α＝2cos2α，cos2α＝，
sin2α＝.
[活学活用]
(福建高考节选)已知函数f(x)＝10sincos＋10cos2.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.求函数g(x)的解析式．
答案：(1)2π (2)g(x)＝10sin
x－8
[典例] 已知cos＝，求的值．
[解] 原式＝
＝
＝2sin
xcos
x＝sin
2x.
或原式＝
＝
＝
＝sin
2x.
∵2x＝2－，
∴sin
2x＝sin
＝－cos
2.
∵cos＝，
∴cos
2＝2cos2－1
＝2×－1
＝－，
∴原式＝－＝.
[多维探究]
1．解决上面典例要注意角“2x”与“＋x”的变换方法，即sin
2x＝－cos＝－cos；
常见的此类变换，还有：
(1)sin
2x＝cos＝cos；
(2)cos
2x＝sin＝sin；
(3)cos
2x＝sin＝sin.
2．倍角公式中的“倍角”是相对的．对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，3α是
的二倍角等．在解决此类问题时，有时二倍角关系不是很明显，需要结合条件和结论中的函数名和角的关系去发现．
[活学活用]
1．若sin＝，则cos＝________.
答案：－
2．计算：cos·cos·cos＝________.
答案：
3．计算：sin
10°sin
30°sin
50°sin
70°＝________.
答案：
4．求值：.
答案：
[随堂即时演练]
1．下列各式中，值为的是( )
A．2sin
15°cos
15°
B．cos215°－sin215°
C．2sin215°
D．sin215°＋cos215°
答案：B
2．化简－＝( )
A．－2cos
50°
B．2cos
50°
C．－2sin
50°
D．2sin
50°
答案：B
3．已知α∈，sin
α＝，则tan
2α＝________.
答案：－
4．函数f(x)＝2cos2－1的最小正周期为________．
答案：π
5．已知α为第二象限角，且sin
α＝，
求的值．
答案：－
[课时达标检测]
一、选择题
1．若sin＝，则cos
2x的值为( )
A．－ B.
C．－
D.
答案：A
2．若＝，则tan
2α＝( )
A．－
B.
C．－
D.
答案：B
3．设－3π<α<－，化简
的结果是( )
A．sin
B．cos
C．－cos
D．－sin
答案：C
4．若α∈，且sin2α＋cos
2α＝，则tan
α的值等于( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
5．若θ∈，sin
2θ＝，则sin
θ＝( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
二、填空题
6．函数f(x)＝2cos2x＋sin
2x的最小值是________．
答案：1－
7．已知α∈，sin
α＝，则＋tan
2α＝________.
答案：7
8．等腰三角形一个底角的余弦为，那么这个三角形顶角的正弦值为________．
答案：
三、解答题
9．已知α为锐角，且tan＝2.
(1)求tan
α的值；
(2)求的值．
解：(1)tan＝，
所以＝2,1＋tan
α＝2－2tan
α，
所以tan
α＝.
(2)＝
＝
＝＝sin
α.
因为tan
α＝，所以cos
α＝3sin
α，
又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，
又α为锐角，所以sin
α＝，
所以＝.
10．已知函数f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x－1(x∈R)．若f(x0)＝，x0∈，求cos
2x0的值．
解：∵f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x－1
＝(2sin
xcos
x)＋(2cos2x－1)
＝sin
2x＋cos
2x＝2sin，
∴sin＝.
又∵x0∈，∴2x0＋∈.
∴cos＝－
＝－.
∴cos
2x0＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
11．设函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sin
xcos
x.
(1)求f；
(2)若f(α)＝5，α∈，求角α.
解：f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sin
xcos
x
＝5cos2x＋5sin2x－2sin
2x－4sin2x
＝5－2sin
2x－2(1－cos
2x)
＝3－2sin
2x＋2cos
2x
＝3－4
＝3－4
＝3－4sin，
(1)f＝3－4sin
＝3－4sin＝3－4.
(2)由f(α)＝5，得sin＝－，
由α∈，
得2α－∈，
∴2α－＝，α＝.3．1.1 两角差的余弦公式
[提出问题]
问题1：当α＝60°，β＝30°时，cos
α－cos
β等于多少？
提示：cos
α－cos
β＝cos
60°－cos
30°＝.
问题2：cos
60°－cos
30°＝cos(60°－30°)成立吗？
提示：不成立．
问题3：cos
α－cos
β＝cos(α－β)成立吗？
提示：不一定．
问题4：单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？与的夹角是多少？
提示：A(cos
α，sin
α)，B(cos
β，sin
β)．与的夹角是α－β.
问题5：你能用几种方法计算·的数量积？
提示：①·＝||·||cos(α－β)＝cos(α－β)．
②·＝(cos
α，sin
α)·(cos
β，sin
β)
＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β.
问题6：根据上面的计算可以得出什么结论？
提示：cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β.
[导入新知]
两角差的余弦公式
公式
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
简记符号
C(α－β)
使用条件
α，β为任意角
[化解疑难]
1．公式C(α－β)的结构特点及适用条件
(1)公式的结构特点
公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
(2)公式的适用条件
公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的相当于公式中的角α，相当于公式中的角β.可用两角差的余弦公式展开，因此对公式的理解要注意结构形式，而不要局限于具体的角．
2．公式的巧记
两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和．
给角求值问题
[例1] 求下列各式的值．
(1)cos
75°cos
15°－sin
75°sin
195°；
(2)sin
46°cos
14°＋sin
44°cos
76°；
(3)cos
15°＋sin
15°.
[解] (1)cos
75°cos
15°－sin
75°sin
195°
＝cos
75°cos
15°－sin
75°sin(180°＋15°)
＝cos
75°cos
15°＋sin
75°sin
15°
＝cos(75°－15°)＝cos
60°＝.
(2)sin
46°cos
14°＋sin
44°cos
76°
＝sin(90°－44°)cos
14°＋sin
44°cos(90°－14°)
＝cos
44°cos
14°＋sin
44°sin
14°
＝cos(44°－14°)＝cos
30°＝.
(3)∵＝cos
60°，＝sin
60°，
∴cos
15°＋sin
15°
＝cos
60°cos
15°＋sin
60°sin
15°
＝cos(60°－15°)＝cos
45°＝.
[类题通法]
利用公式C(α－β)求值的方法技巧
在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，正用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．
[活学活用]
1．cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)＝________.
答案：
2．求的值．
答案：
给值(式)求值问题
[例2] (1)若sin
α－sin
β＝，cos
α－cos
β＝，则cos(α－β)的值为( )
A. B. C. D．1
(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cos
α的值．
[解] (1)A
(2)∵α，β为锐角，∴0<α＋β<π.
又∵cos(α＋β)＝>0，
∴0<α＋β<，∴0<2α＋β<π.
又∵cos(2α＋β)＝，∴0<2α＋β<，
∴sin(α＋β)＝，sin(2α＋β)＝，
∴cos
α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]
＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)
＝×＋×＝.
[类题通法]
给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
[活学活用]
若sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求sin(α＋β)的值．
答案：
给值求角问题
[例3] (1)已知α，β均为锐角，且sin
α＝，sin
β＝，则α－β＝________.
(2)已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
[解] (1)
(2)由α－β∈，cos(α－β)＝－，
可知sin(α－β)＝.
又∵α＋β∈，cos(α＋β)＝，
∴sin(α＋β)＝－，∴cos
2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
∵α－β∈，α＋β∈，
∴2β∈，
∴2β＝π，故β＝.
[类题通法]
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；
(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
[活学活用]
已知α，β都是锐角，cos
α＝，sin(α＋β)＝，求角β的值．
答案：
[典例] 已知α，β为锐角，cos
α＝，sin(α＋β)＝，则cos
β＝________.
[解析] 因为α为锐角，cos
α＝，所以sin
α＝.
因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.
又sin(α＋β)＝<，
所以0<α＋β<或<α＋β<π.
由cos
α＝<，得<α<，
从而<α＋β<π，于是cos(α＋β)＝－，
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝.
[答案]
[易错防范]
本题若不能利用sin(α＋β)＝<将α＋β的范围进一步缩小为0<α＋β<或<α＋β<π，误认为α＋β∈(0，π)，则会得出cos(α＋β)＝±，进而得出cos
β＝或的错误答案．
[成功破障]
已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos的值．
答案：－
[随堂即时演练]
1．cos(α＋β)cos
β＋sin(α＋β)sin
β化简为( )
A．sin(2α＋β)
B．cos(α－2β)
C．cos
α
D．cos
β
答案：C
2．设α∈，若sin
α＝，则cos＝( )
A.
B.
C．－
D．－
答案：B
3．计算：cos(－42°)cos
18°＋sin
42°
sin(－18°)＝______.
答案：
4．已知sin＝，α∈，则cos
α的值为________．
答案：
5．若x∈，且sin
x＝，求2cos＋2cos
x的值．
答案：
[课时达标检测]
一、选择题
1．cos
165°的值是( )
A. B.
C.
D.
答案：D
2．满足cos
αcos
β＝－sin
αsin
β的一组α，β的值是( )
A．α＝，β＝
B．α＝，β＝
C．α＝，β＝
D．α＝，β＝
答案：B
3．已知cos＝，0<θ<，则cos
θ等于( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
4．已知cos＝m，则cos
x＋cos＝( )
A．2m
B．±2m
C.m
D．±m
答案：C
5．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若a＝(cos
A，sin
A)，b＝(cos
B，sin
B)，且a·b＝1，则△ABC一定是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
答案：B
二、填空题
6．计算：(cos
75°＋sin
75°)＝________.
答案：
7．已知sin
α＋sin
β＋sin
γ＝0和cos
α＋cos
β＋cos
γ＝0，则cos(α－β)的值是________．
答案：－
8．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，<α＋β<2π，<α－β<π，则cos
2β＝________.
答案：－1
三、解答题
9．已知向量a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，|a－b|＝，求cos(α－β)的值．
解：∵a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，
∴a－b＝(cos
α－cos
β，sin
α－sin
β)．
∴|a－b|＝
＝
＝＝，
∴2－2cos(α－β)＝，
∴cos(α－β)＝.
10．已知sin
α＝，cos
β＝－，α、β均为第二象限角，求cos(α－β)的值．
解：由sin
α＝，α为第二象限角，
∴cos
α＝－＝－
＝－.
又由cos
β＝－，β为第二象限角，
∴sin
β＝
＝
＝.
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×＝.
11．已知cos＝－，sin＝，且α∈，β∈，求cos的值．
解：∵<α<π，0<β<，
∴<<，0<<，<α＋β<.
∴<α－<π，－<－β<，
<<.
又cos＝－，sin＝，
∴sin＝，cos＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝－＋＝.