函数的单调性与导数
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·广州高二检测)函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间为 ( )
A.(-1,1]
B.(0,1]
C.[1,+∞)
D.(0,+∞)
【解析】选B.由题意知,
函数的定义域为(0,+∞),
又由f′(x)=x-≤0,
解得0
所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1].
2.函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上是 ( )
A.增函数
B.减函数
C.在(0,π)上递增,在(π,2π)上递减
D.在(0,π)上递减,在(π,2π)上递增
【解析】选A.f′(x)=1-cosx,
因为x∈(0,2π),
所以cosx∈[-1,1),
所以1-cosx>0恒成立,即f′(x)>0在x∈(0,2π)上恒成立,
所以f(x)在(0,2π)上是增函数.
3.下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的是 ( )
A.y=2-3x2
B.y=lnx
C.y=
D.y=sinx
【解析】选C.A中,y′=-6x,
当-10,
当0故函数y=2-3x2在区间(-1,1)上不是减函数,
B中,y=lnx在x≤0处无意义;
C中,y′=-<0对x∈(-1,1)恒成立,
所以函数y=在区间(-1,1)上是减函数;
D中,y′=cosx>0对x∈(-1,1)恒成立,
所以函数y=sinx在(-1,1)上是增函数.
4.设f(x),g(x)在(a,b)上可导,且f′(x)>g′(x),则当aA.f(x)>g(x)
B.f(x)C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)
D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)
【解析】选C.令φ(x)=f(x)-g(x),
则φ′(x)=f′(x)-g′(x),
因为f′(x)>g′(x),
所以φ′(x)>0,即函数φ(x)为(a,b)上的增函数.
又a所以φ(a)<φ(x),即f(a)-g(a)从而得f(x)+g(a)>g(x)+f(a).
5.(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 ( )
A.[-1,1]
B.
C.
D.
【解析】选C.方法一:用特殊值法:
取a=-1,f(x)=x-sin2x-sinx,
f′(x)=1-cos2x-cosx,
但f′(0)=1--1=-<0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A,B,D.
方法二:f′(x)=1-cos2x+acosx≥0对x∈R恒成立,
故1-(2cos2x-1)+acosx≥0,
即acosx-cos2x+≥0恒成立,
令t=cosx,所以-t2+at+≥0对t∈[-1,1]恒成立,
构造函数g(t)=-t2+at+,
开口向下的二次函数g(t)的最小值的可能值为端点值,
故只需解得-≤a≤.
6.(2017·烟台高二检测)设函数f(x)=ax3-x2(a>0)在(0,3)内不单调,则实数a的取值范围是 ( )
A.a>
B.0C.0D.【解题指南】f(x)在(0,3)内不单调,所以f′(x)在(0,3)内有零点.
【解析】选A.因为f(x)=ax3-x2,
所以f′(x)=ax2-2x,
又f(x)=ax3-x2(a>0)在(0,3)内不单调,
所以f′(x)在(0,3)内有零点.
而f′(x)=ax2-2x有零点0,(a>0),
所以0<<3,解得a>.
7.已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4-x),且当x≠2时,导函数f′(x)满足(x-2)f′(x)>0.若2A.f(2a)B.f(3)C.f(log2a)D.f(log2a)【解析】选C.由(x-2)f′(x)>0可得x>2时f′(x)>0,
所以f(x)在(2,+∞)是增函数.
因为24,2<4-log2a<3,
即2a>3>4-log2a>2,
所以f(4-log2a)又f(x)=f(4-x),所以f(log2a)【补偿训练】对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有
( )
A.f(0)+f(2)<2f(1)
B.f(0)+f(2)≤2f(1)
C.f(0)+f(2)≥2f(1)
D.f(0)+f(2)>2f(1)
【解析】选C.因为(x-1)f′(x)≥0,
所以当x>1时,f′(x)>0;
当x<1时,f′(x)<0,所以f(x)在(1,+∞)上为增函数,在(-∞,1)上为减函数,所以f(2)≥f(1),f(0)≥f(1),
所以f(0)+f(2)≥2f(1).
8.已知偶函数y=f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0(其中
f′(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式中不成立的是 ( )
A.fB.f>f
C.f(0)D.f【解析】选A.因为偶函数y=f(x)对于任意的x∈满足
f′(x)cosx+f(x)sinx>0,且f′(x)cosx+f(x)sinx=f′(x)cosx-f(x)(cosx)′,
所以可构造函数g(x)=,
则g′(x)=>0,
所以g(x)为偶函数且在上单调递增,
所以有g=g==2f,
g=g==f,
g==f.
由函数单调性可知g即f对于C,g=g=f>g(0)=f(0),所以C正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,则a的取值范围是 .
【解析】f′(x)=3ax2+6x-1.
(1)当f′(x)<0(x∈R)时,f(x)是减函数.
3ax2+6x-1<0(x∈R) a<0且Δ=36+12a<0 a<-3.
所以,当a<-3时,由f′(x)<0,知f(x)在R上是减函数;
(2)当a=-3时,f(x)=-3x3+3x2-x+1=-3+,
由函数y=x3在R上的单调性,可知当a=-3时,f(x)在R上是减函数;
(3)当a>-3时,在R上存在一个区间,其上有f′(x)>0,
所以,当a>-3时,函数f(x)在R上不是减函数.
综上,所求a的取值范围是(-∞,-3].
答案:(-∞,-3]
10.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是 .
【解析】由于f′(x)=k-,f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增 f′(x)=k->0在(1,+∞)上恒成立,由于k-≥0,而0<<1,所以k≥1.
答案:k≥1
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2016·北京高考)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.
(1)求a,b的值.
(2)求f(x)的单调区间.
【解析】(1)f′(x)=ea-x-xea-x+b,由切线方程可得解得a=2,b=e.
(2)f(x)=xe2-x+ex,f′(x)=(1-x)e2-x+e.
令g(x)=(1-x)e2-x,则g′(x)=-e2-x-(1-x)e2-x=e2-x(x-2).令g′(x)=0得x=2.
当x<2时,g′(x)<0,g(x)单调递减;
当x>2时,g′(x)>0,g(x)单调递增.所以x=2时,g(x)取得极小值-1,也是最小值.
所以f′(x)=g(x)+e≥e-1>0.所以f(x)的增区间为(-∞,+∞),无减区间.
12.(2017·天津高二检测)已知函数f(x)=x3-ax-1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围.
(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减 若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由已知,得f′(x)=3x2-a.
因为f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,
所以f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,
即a≤3x2对x∈(-∞,+∞)恒成立.
因为3x2≥0,所以只需a≤0.
又a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)在实数集R上单调递增,所以a≤0.
(2)假设f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,
则a≥3x2在x∈(-1,1)时恒成立.
因为-1当a=3时,在x∈(-1,1)上,f′(x)=3(x2-1)<0,
即f(x)在(-1,1)上为减函数,所以a≥3.
故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.
【能力挑战题】
已知函数f(x)=lnx-ax+-1,a∈R.
(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间.
(2)当0≤a<时,讨论f(x)的单调性.
【解析】(1)当a=-1时,f(x)=lnx+x+-1,x∈(0,+∞),所以f′(x)=,
x∈(0,+∞).
由f′(x)=0,得x=1或x=-2(舍去),
所以当x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
故当a=-1时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
(2)因为f(x)=lnx-ax+-1,
所以f′(x)=-a+=-,
x∈(0,+∞).
令g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞).
①当a=0时,g(x)=-x+1,x∈(0,+∞),
当x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
②当01>0,
所以当x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
x∈时,g(x)<0,此时f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
x∈时,g(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减.
综上所述,当a=0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;
当0(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.设A,B为两定点,|AB|=6,动点P满足|PA|+|PB|=6,则动点P的轨迹是 ( )
A.椭圆
B.圆
C.线段
D.直线
【解析】选C.因为|PA|+|PB|=6=|AB|,所以动点P的轨迹是线段.
2.设椭圆的标准方程为+=1,若其焦点在x轴上,则k的取值范围是
( )
A.k>3
B.3C.4D.3【解析】选C.由题意得k-3>5-k>0,
所以43.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是 ( )
A.2
B.6
C.4
D.12
【解析】选C.由于△ABC的周长与焦点有关,设另一焦点为F,利用椭圆的定义,|BA|+|BF|=2,|CA|+|CF|=2,便可求得△ABC的周长为4.
4.“m>0且n>0”是“方程mx2+ny2=1表示椭圆”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】选B.当m=n>0时方程mx2+ny2=1表示圆,故m>0且n>0 /方程mx2+ny2=1表示椭圆,而方程mx2+ny2=1表示椭圆 m>0且n>0.
5.若椭圆+=1的焦距为6,则m的值为 ( )
A.7
B.7或25
C.25
D.或5
【解析】选B.①设a2=16,b2=m,所以c2=16-m,
所以16-m=9,所以m=7;
②设a2=m,b2=16,则c2=m-16,所以m-16=9,
所以m=25.
6.设F1,F2是椭圆C:+=1的焦点,在曲线C上满足·=0的点P的个数为 ( )
A.0
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.因为·=0,所以PF1⊥PF2,所以点P即为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点,且半径为c==2.又因为b=2,所以点P为该椭圆与y轴的两个端点.
7.已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程为( )
A.+=1
B.+=1或+=1
C.+=1
D.+=1或+=1
【解析】选B.由已知2c=|F1F2|=2,所以c=.
因为2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,
所以a=2,所以b2=a2-c2=9.
故椭圆C的标准方程是+=1或+=1.
8.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由·=0,得MF1⊥MF2,
可设=m,=n,在△F1MF2中,
由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,
根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,
所以mn=2b2,即mn=2,
所以=mn=1.
设点M到x轴的距离为h,则:×|F1F2|×h=1,
又|F1F2|=2,所以h=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为________.
【解析】由已知,2a=8,2c=2,所以a=4,c=,所以b2=a2-c2=16-15=1,所以椭圆的标准方程为+x2=1.
答案:+x2=1
10.(2017·衡水高二检测)已知P是椭圆+=1上的一动点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹方程是________.
【解析】依题意,|PF1|+|PF2|=2a(a是常数且a>0).
又|PQ|=|PF2|,所以|PF1|+|PQ|=2a,
即|QF1|=2a.
由题意知,a=2,b=,c===1.
所以|QF1|=4,F1(-1,0),
所以动点Q的轨迹是以F1为圆心,4为半径的圆,
所以动点Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16.
答案:(x+1)2+y2=16
三、解答题
11.(10分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点.设椭圆C上一点到两焦点F1,F2的距离和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标.
【解析】由点在椭圆上,得+=1,
又2a=4,所以椭圆C的方程为+=1,焦点坐标分别为(-1,0),(1,0).
【能力挑战题】
设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,点P为椭圆上一点,已知F1,F2,P为一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求的值.
【解析】由已知|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2,根据直角的位置不同,分为两种情况.
(1)若∠PF2F1为直角,
则
所以所以=.
(2)若∠F1PF2为直角,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,
所以
解得|PF1|=4,|PF2|=2,所以=2.
综上,的值为或2.函数的最大(小)值与导数
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·济南高二检测)函数f(x)=x2ex+1,x∈[-2,1]的最大值为 ( )
A.4e-1
B.1
C.e2
D.3e2
【解析】选C.f′(x)=xex+1(x+2),
令f′(x)=0得x=-2或x=0,
当f′(x)>0时,x<-2或x>0;
当f′(x)<0时,-2当x=-2时f(-2)=;
当x=0时,f(0)=0;
当x=1时,f(1)=e2,
所以函数的最大值为e2.
2.函数y=x-sinx,x∈的最大值是 ( )
A.π-1
B.-1
C.π
D.π+1
【解析】选C.在上,y′=1-cosx≥0,所以y=x-sinx为增函数,
所以当x=π时,ymax=π.
3.已知函数f(x)=ax-lnx,当x∈(0,e](e为自然常数),函数f(x)的最小值为3,则a的值为 ( )
A.e
B.e2
C.2e
D.2e2
【解析】选B.由f(x)=ax-lnx得f′(x)=a-,
因为x∈(0,e],
所以当a≤时,f(x)在x∈(0,e]是减函数,
最小值为f(e)=ae-1≤0,不满足题意,
当a>,f(x)在是减函数,
是增函数,
所以最小值为f=1+lna=3 a=e2.
【补偿训练】(2017·大庆高二检测)若函数y=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值为,则m等于 ( )
A.0 B.1 C.2 D.
【解题指南】先求出函数y=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值,再依据题设条件可得到关于m的方程,解方程即得出m的值.
【解析】选C.y′=′
=3x2+3x=3x(x+1).
由y′=0,得x=0或x=-1.
因为f(0)=m,f(-1)=m+.
f(1)=m+,f(-2)=-8+6+m=m-2,
所以f(1)=m+最大.所以m+=.所以m=2.
4.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于 ( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选D.因为f(x)是奇函数,
所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1.
当x∈(0,2)时,f′(x)=-a,
令f′(x)=0得x=,
又a>,所以0<<2.
当00,f(x)在上单调递增;
当2>x>时,f′(x)<0,f(x)在上单调递减,
所以f(x)max=f=ln-a·=-1,
解得a=1.
5.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意的x∈(0,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围为 ( )
A.a>4
B.a≥4
C.a<4
D.a≤4
【解析】选B.因为x∈(0,1],
所以f(x)≥0,可化为a≥-,
设g(x)=-,则g′(x)=.
令g′(x)=0,得x=.
当00;
当所以g(x)在(0,1]上有极大值g=4,
它也是最大值,故a≥4.
6.设函数f(x)=x3--2x+5,若对任意x∈[-1,2],都有f(x)>m,则实数m的取值范围是 ( )
A.m<
B.m<7
C.m<
D.m<
【解析】选D.
f′(x)=3x2-x-2=0,
解得x=1或-,f(-1)=,
f=,
f(1)=,f(2)=7.所以m<.
7.(2017·武汉高二检测)函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是 ( )
A.20
B.18
C.3
D.0
【解析】选A.因为f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
令f′(x)=0,得x=±1,
所以-1,1为函数的极值点.
又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,
所以在区间[-3,2]上f(x)max=1,f(x)min=-19.
又由题设知在区间[-3,2]上f(x)max-f(x)min≤t,
从而t≥20,所以t的最小值是20.
8.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f′(x)<
g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为 ( )
A.f(a)-g(a)
B.f(b)-g(b)
C.f(a)-g(b)
D.f(b)-g(a)
【解析】选A.令u(x)=f(x)-g(x),则u′(x)=f′(x)-g′(x)<0,所以u(x)在[a,b]上为减函数,
所以u(x)的最大值为u(a)=f(a)-g(a).
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·北京高二检测)函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值为 .
【解析】f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)
令f′(x)=0得x=0或x=2(舍),
当-10;
当0所以当x=0时,函数取得极大值即最大值.
所以f(x)的最大值为2.
答案:2
10.(2017·包头高二检测)设函数f(x)=x3-3x+1,x∈[-2,2]的最大值为M,最小值为m,则M+m= .
【解析】由f(x)=x3-3x+1,得f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
当x∈(-2,-1)∪(1,2)时,f′(x)>0,当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,
所以函数f(x)的单调递增区间为(-2,-1),(1,2),单调递减区间为(-1,1),
所以当x=-1时,f(x)有极大值3,当x=1时,f(x)有极小值-1.
又f(-2)=-1,f(2)=3,则M+m=3-1=2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·长沙高二检测)已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.
【解析】f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),
令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).
(1)当a>0时,列表如下:
x
-1
(-1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
+
0
-
f(x)
-7a+b
↗↗
b
↘↘
-16a+b
由表可知,当x=0时,f(x)取极大值,
也就是函数在[-1,2]上的最大值,
所以f(0)=3,即b=3.
又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3所以f(2)=-16a+3=-29,所以a=2.
(2)当a<0时,同理可得,
当x=0时,f(x)取极小值,也就是函数在[-1,2]上的最小值,
所以f(0)=-29,即b=-29.
又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),
所以f(2)=-16a-29=3,
所以a=-2.
综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
【警示误区】分类讨论
由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解.
12.设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).
(1)求g(x)的单调区间和最小值.
(2)求a的取值范围,使得g(a)-g(x)<对任意x>0恒成立.
【解析】(1)由题设知f′(x)=,g(x)=lnx+,
所以g′(x)=,令g′(x)=0得x=1.
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,故g(x)的单调递减区间是(0,1);
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故g(x)的单调递增区间是(1,+∞).
因此,x=1是g(x)在(0,+∞)上的惟一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为g(1)=1.
(2)由(1)知g(x)的最小值为1,所以,g(a)-g(x)<对任意x>0恒成立 g(a)-1<,即lna<1,从而得0故实数a的取值范围为(0,e).
【能力挑战题】
(2017·黄山高二检测)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求f(x)的单调递减区间.
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
【解题指南】(1)先求出函数f(x)的导函数f′(x),然后令f′(x)<0,解得的区间即为函数f(x)的单调递减区间.
(2)先求出端点的函数值f(-2)与f(2),比较f(2)与f(-2)的大小,然后根据函数f(x)在[-1,2]上单调递增,在[-2,-1]上单调递减,得到f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,建立等式关系求出a,从而求出函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值.
【解析】(1)f′(x)=-3x2+6x+9.
令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,
所以函数f(x)的单调递减区间为
(-∞,-1),(3,+∞).
(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,
f(2)=-8+12+18+a=22+a,
所以f(2)>f(-2).
因为在(-1,3)上f′(x)>0,
所以f(x)在[-1,2]上单调递增,
又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,
因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,
于是有22+a=20,解得a=-2.
故f(x)=-x3+3x2+9x-2,
因此f(-1)=1+3-9-2=-7,
即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.双曲线及其标准方程
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知双曲线-=1上有一点P到左焦点的距离为12,那么点P到右焦点的距离为 ( )
A.2
B.22
C.7或17
D.2或22
【解析】选D.由题意知:|PF1|=12,则||PF1|-|PF2||=2a=10,所以|PF2|=12±10,所以|PF2|=22或2.经检验,均符合题意.
2.(2015·福建高考)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于 ( )
A.11
B.9
C.5
D.3
【解析】选B.因为=2a,
所以-=±6,
所以=9或-3(舍去).
【补偿训练】已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,线段AB的长为5,若2a=8,那么△ABF2的周长是 ( )
A.16
B.18
C.21
D.26
【解析】选D.|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,
所以|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16,
所以|AF2|+|BF2|=16+5=21,所以△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.
3.(2017·嘉兴高二检测)在平面内,已知双曲线C:-=1的焦点为F1,F2,则|PF1|-|PF2|=6是点P在双曲线C上的 ( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】选B.点P在双曲线C上的充要条件为||PF1|-|PF2||=6,故|PF1|-|PF2|=6为点P在双曲线上的充分不必要条件.
4.设θ∈,则关于x,y的方程-=1所表示的曲线是 ( )
A.焦点在y轴上的双曲线
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在x轴上的椭圆
【解析】选A.因为θ∈,
所以sinθ<0,cosθ<0,
所以-=1为焦点在y轴上的双曲线.
5.与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是 ( )
A.-y2=1
B.-y2=1
C.-=1
D.x2-=1
【解析】选B.椭圆的焦点F1(-,0),F2(,0),
由双曲线定义知2a=||PF1|-|PF2||
=|-|
=|-|=2,所以a=,所以b2=c2-a2=1,所以双曲线方程为-y2=1.
【补偿训练】椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则m的值是 ( )
A.±1
B.1
C.-1
D.不存在
【解析】选A.验证法:当m=±1时,m2=1,
对椭圆来说,a2=4,b2=1,c2=3.
对双曲线来说,a2=1,b2=2,c2=3,
故当m=±1时,它们有相同的焦点.
直接法:显然双曲线焦点在x轴上,
故4-m2=m2+2.
所以m2=1,即m=±1.
6.一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是 ( )
A.-=1(x≥2)
B.-=1(x≤2)
C.-=1
D.-=1
【解析】选C.由已知N(4,0),内切时,定圆N在动圆P的内部,有|PN|=|PM|-4,
外切时,有|PN|=|PM|+4,故||PM|-|PN||=4,
因此2a=4,2c=8,所以b2=12,
点P的轨迹是双曲线-=1.
【误区警示】本题易把“相切”理解为外切或内切,错选A或B.
7.方程+=1所表示的曲线为C,有下列命题:①若曲线C为椭圆,则24或t<2;③曲线C不可能是圆;④若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,则3A.②③
B.①④
C.②④
D.①②④
【解析】选C.t=3时为圆,知①③不正确.
8.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线上,且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由双曲线的方程知,a=,b=,
所以c=3,F1(-3,0),F2(3,0).
将x=-3代入双曲线的方程得y2=.
不妨设点M在x轴的上方,则M.
所以|MF1|=,|MF2|=.
设点F1到直线F2M的距离为d,
则有|MF1|·|F1F2|=|MF2|·d,所以d=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则k的值为________.
【解析】将双曲线方程化为kx2-y2=1,
即-=1.
因为一个焦点是(0,3),所以焦点在y轴上,
所以c=3,a2=-,b2=-,
所以a2+b2=--=-=c2=9.所以k=-1.
答案:-1
10.设F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且·=0,则|PF1|·|PF2|=________.
【解析】因为||PF1|-|PF2||=4,
又PF1⊥PF2,|F1F2|=2,所以|PF1|2+|PF2|2=20,
所以(|PF1|-|PF2|)2=20-2|PF1|·|PF2|=16,
所以|PF1|·|PF2|=2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1(m>0,n>0)有公共焦点F1,F2,P是它们的一个公共点.
(1)用b和n表示cos∠F1PF2.
(2)设=f(b,n),求f(b,n).
【解析】(1)令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=α,
在△F1PF2中,有|F1F2|2=+-2r1·r2·cosα.
因为P是椭圆和双曲线的公共点,
则r1+r2=2a,且|r1-r2|=2m,
所以4c2=(r1+r2)2-2r1r2(1+cosα),
且4c2=(r1-r2)2+2r1r2(1-cosα),
所以r1r2==,
所以cosα=.
(2)由(1),r1r2==b2+n2,
而sinα==,
所以=f(b,n)=r1r2sinα=bn.
【拓展延伸】双曲线的定义对于解题的主要作用
双曲线的定义对于解题具有双向作用:
(1)可用来判断平面内动点的轨迹是否为双曲线(或双曲线的一支).
(2)可以用来解决焦点三角形和焦点弦的有关问题.
12.在△ABC中,B(4,0),C(-4,0),动点A满足sinB-sinC=sinA,求动点A的轨迹方程.
【解析】设A点的坐标为(x,y),在△ABC中,由正弦定理,得===2R,代入sinB-sinC=sinA,
得-=·,
又|BC|=8,所以|AC|-|AB|=4.
因此A点的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a=4,2c=8,所以a=2,c=4,b2=12.
所以A点的轨迹方程为-=1(x>2).
【能力挑战题】
(2017·南京高二检测)已知△OFQ的面积为2,且·=m.
(1)设(2)设以O为中心,F为焦点的双曲线经过点Q,如图所示,||=c,m=c2,当||取得最小值时,求此双曲线的方程.
【解析】(1)因为
又因为(2)设所求的双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
Q(x1,y1),则=(x1-c,y1),
所以S△OFQ=||·|y1|=2,所以y1=±.
又·=m,
即(c,0)·(x1-c,y1)=c2,解得x1=c,
所以||==≥,
当且仅当c=4时,||最小,这时Q的坐标为(,)或(,-).
因为所以
故所求的双曲线方程为-=1.变化率问题 导数的概念
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.若函数f(x)=-x2+10的图象上一点及邻近一点,则= ( )
A.3
B.-3
C.-3-(Δx)2
D.-Δx-3
【解析】选D.因为Δy=f-f
=-3Δx-(Δx)2,
所以=
=-3-Δx.
2.(2017·天津高二检测)如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是
( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【解题指南】可直接求直线AB的斜率.
【解析】选B.===-1.
3.将半径为R的球加热,若半径从R=1到R=m时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为,则m的值为 ( )
A.-3 B.2 C.3 D.7
【解析】选B.因为ΔV=m3-×13=(m3-1),
所以==,
即m2+m+1=7,解得m=2或m=-3(舍去).
4.过曲线y=f(x)=图象上一点(2,-2)及邻近一点(2+Δx,-2+Δy)作割线,则当Δx=0.5时割线的斜率为 ( )
A.
B.
C.1
D.-
【解题指南】利用平均变化率的几何意义解题.
【解析】选B.=
===.
【补偿训练】已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+
Δy),则等于 ( )
A.4
B.4+2Δx
C.4+Δx
D.4Δx+(Δx)2
【解析】选B.因为f(x)=2x2-1,所以f(1+Δx)=2(1+Δx)2-1=2(Δx)2+
4Δx+1,f(1)=1,
所以==
==4+2Δx.
5.f(x)在x=x0处可导,则 ( )
A.与x0,Δx有关
B.仅与x0有关,而与Δx无关
C.仅与Δx有关,而与x0无关
D.与x0,Δx均无关
【解析】选B.式子表示的意义是求f′(x0),即求f(x)在x0处的导数,它仅与x0有关,与Δx无关.
【补偿训练】设f(x)在x=x0处可导,则等于 ( )
A.-f′(x0)
B.f′(-x0)
C.f′(x0)
D.2f′(x0)
【解析】选A.
=
=-=-f′(x0).
6.函数y=+2在点x=1处的导数为 ( )
A.-2
B.
C.1
D.0
【解析】选A.Δy=-
=,=,
所以y′===-,
所以y′|x=1=-2.
7.(2017·潮州高二检测)物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是 ( )
A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
【解析】选C.在0到t0范围内,甲、乙所走的路程相同,时间一样,所以平均速度相同,在t0到t1范围内,时间相同,而甲走的路程较大,所以甲的平均速度较大.
8.函数y=f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在区间[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为 ( )
A.k1>k2
B.k1C.k1=k2
D.不确定
【解题指南】分别利用平均变化率公式求出k1与k2再进行比较.
【解析】选A.由题意k1=
==2x0+Δx,
k2===2x0-Δx.
由题意知:Δx>0,所以k1>k2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知曲线y=-1上两点A,B(2+Δx,-+Δy),当Δx=1时,割线AB的斜率为 .
【解析】Δy=-
=-==,
所以==-,
所以当Δx=1时,割线AB的斜率为
k==-=-.
答案:-
10.(2017·武汉高二检测)在自行车比赛中,运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s=10t+5t2(s单位:m,t单位:s),则t=20s时的瞬时速度为 .
【解析】由导数的定义知
v==
=10+10t+5Δt.
当Δt趋于0时,v趋于10+10
t,
在t=20s时的瞬时速度为v=10×20+10
=210m/s.
答案:210m/s
【规律总结】做直线运动的物体,它的运动规律可以用函数s=s(t)描述,设Δt为时间改变量,在t0+Δt这段时间内,物体的位移(即位置)改变量是Δs=s(t0+
Δt)-s(t0),那么位移改变量Δs与时间改变量Δt的比就是这段时间内物体的平均速度,即==.
【补偿训练】若物体运动方程为s(t)=-2t2+t,则其初速度为 .
【解析】物体的初速度即t=0时的瞬时速度,==-2Δt+1,当Δt趋于0时,趋于1,即初速度为1.
答案:1
三、解答题
11.(10分)(2017·济南高二检测)已知质点M按规律s=3t2+2做直线运动(位移s单位:cm,时间t单位:s).
(1)当t=2,Δt=0.01时,求.
(2)求质点M在t=2时的瞬时速度.
【解析】=
=
=6t+3Δt.
(1)当t=2,Δt=0.01时,=6×2+3×0.01
=12.03cm/s.
(2)当Δt趋于0时,6t+3Δt趋于6t,
所以质点M在t=2时的瞬时速度为12cm/s.
【补偿训练】1.(2017·聊城高二检测)求函数y=在x=1处的导数.
【解析】Δy=-1,
==,
所以=
=,即函数y=在x=1处的导数为.
2.质点M按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移s的单位:m,时间t的单位:s).问是否存在常数a,使质点M在t=2时的瞬时速度为8m/s
【解析】假设存在常数a,则Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a×22-1=4a+
4aΔt+a(Δt)2+1-4a-1
=4aΔt+a(Δt)2,
所以==4a+aΔt.
当Δt趋于0时,4a+aΔt趋于4a,4a=8,解得a=2.
所以存在常数a=2,使质点M在t=2时的瞬时速度为8m/s.
【规律总结】对于是否存在的探究性问题,可先假设其存在,然后按瞬时速度的定义求解即可.
【能力挑战题】
路灯距地面8m,一个身高1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C沿某直线离开路灯,
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式.
(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率.
【解析】(1)如图所示,设人从C点运动到B处的路程为xm,AB为身影长度,AB的长度为ym.
由于CD∥BE,则=,
即=,所以y=x.
(2)设人离开路灯的时间为t,
因为84m/min=1.4m/s,而x=1.4t.
所以y=x=×1.4t=t,t∈[0,+∞).
Δy=(10+Δt)-×10=Δt,
所以=.
即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为.四种命题
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.命题“若a2≤b2,则a≤b”的逆命题是 ( )
A.“若aB.“若a>b,则a2>b2”
C.“若a≤b,则a2≤b2”
D.“若a≥b,则a2≥b2”
【解析】选C.原命题“若a2≤b2,则a≤b”的逆命题为“若a≤b,则a2≤b2”.
2.设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是 ( )
A.若a≠-b,则|a|≠|b|
B.若a=-b,则|a|≠|b|
C.若|a|≠|b|,则a≠-b
D.若|a|=|b|,则a=-b
【解析】选D.原命题的条件是a=-b,把它作为逆命题的结论;原命题的结论是|a|=|b|,把它作为逆命题的条件,即得逆命题“若|a|=|b|,则a=-b”.
3.(2015·山东高考)设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是 ( )
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0
B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0
D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
【解析】选D.“方程x2+x-m=0有实根”的否定是“方程x2+x-m=0没有实根”;“m>0”的否定即“m≤0”,故命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.
4.(2017·吉林高二检测)命题“若△ABC有一内角为,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题 ( )
A.与原命题同为假命题
B.与原命题的否命题同为假命题
C.与原命题的逆否命题同为假命题
D.与原命题同为真命题
【解析】选D.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列,则△ABC有一内角为”,它是真命题.
5.下列命题的否命题为“邻补角互补”的是 ( )
A.邻补角不互补
B.互补的两个角是邻补角
C.不是邻补角的两个角不互补
D.不互补的两个角不是邻补角
【解题指南】解答本题只需求命题“邻补角互补”的否命题,因此把所给命题的条件与结论都否定,即为所求.
【解析】选C.“邻补角互补”与“不是邻补角的两个角不互补”互为否命题.
6.逆否命题为“菱形的对角线互相垂直”的原命题是 ( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.不是菱形的四边形的对角线不互相垂直
C.对角线不互相垂直的四边形不是菱形
D.菱形的对角线不互相垂直
【解析】选C.先将已知命题化为“若p,则q”的形式:若一个四边形为菱形,则对角线互相垂直.逆否命题为:若一个四边形的对角线不互相垂直,则它不是菱形.
7.命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”的逆否命题是 ( )
A.能被3整除的整数,一定能被6整除
B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除
C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除
D.不能被6整除的整数,能被3整除
【解析】选B.原命题的逆否命题是“不能被3整除的整数,一定不能被6整除”.
8.(2017·昆明高二检测)有下列命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;
②“若x>y,则x2>y2”的逆否命题;
③“若x≤3,则x2-x-6>0”的否命题;
④“对顶角相等”的逆命题.
其中真命题的个数是 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.①的否命题为“若x+y≠0,则x,y不互为相反数”为真命题.
②的逆否命题为“若x2≤y2,则x≤y”为假命题,如x=0,y=-1时,02≤(-1)2,但0>-1.
③的否命题为“若x>3,则x2-x-6≤0”,为假命题.
④的逆命题是“相等的角是对顶角”,是假命题.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.命题“若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则loga2<0”的逆否命题是________.
【解析】由互为逆否命题的关系可知,原命题的逆否命题为“若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数”.
答案:若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数
10.(2017·长春高二检测)给定下列命题:
①若a>0,则方程ax2+2x=0有解;
②“等腰三角形都相似”的逆命题;
③“若x-是有理数,则x是无理数”的逆否命题;
④“若a>1且b>1,则a+b>2”的否命题.
其中真命题的序号是________.
【解析】显然①为真,②为假.对于③中,原命题“若x-是有理数,则x是无理数”的逆否命题是“若x不是无理数,则x-不是有理数”,显然为假命题.对于④中,“若a>1且b>1,则a+b>2”的否命题是“若a≤1或b≤1,则a+b≤2”,为假命题.
答案:①
三、解答题
11.(10分)已知命题“若m-1【解析】由已知得,若1所以所以1≤m≤2.
【能力挑战题】
已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.
写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论.
【解析】逆命题:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),
则a+b≥0,真命题.
用反证法证明:假设a+b<0,则a<-b,b<-a.
因为f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,
所以f(a)所以f(a)+f(b)这与题设相矛盾.所以逆命题为真命题.函数的极值与导数
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.函数f(x)=x2++2的极小值是 ( )
A.1
B.2
C.5
D.不存在
【解析】选C.f′(x)=2x-,令f′(x)=0,解得x=1,当x∈(0,1)时函数单调递减,当x∈(1,+∞)时函数单调递增,因此x=1是函数的极小值点,极小值为f(1)=5.
2.(2017·凉山模拟)函数f(x)=mlnx-cosx在x=1处取得极值,则m的值为
( )
A.sin1
B.-sin1
C.cos1
D.-cos1
【解析】选B.因为f′(x)=+sinx,
由题意得:f′(1)=m+sin1=0,
所以m=-sin1.
3.函数f(x)=2-x2-x3的极值情况是 ( )
A.有极大值,没有极小值
B.有极小值,没有极大值
C.既无极大值也无极小值
D.既有极大值又有极小值
【解析】选D.f′(x)=-2x-3x2,令f′(x)=0有x=0或x=-.当x<-时,f′(x)<0;当-0;当x>0时,f′(x)<0.从而在x=0时,f(x)取得极大值,在x=-时,f(x)取得极小值.
4.下列说法正确的是 ( )
A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
B.函数在闭区间上的极大值一定比极小值小
C.函数f(x)=|x|只有一个极小值
D.函数y=f(x)在区间(a,b)上一定存在极值
【解析】选C.函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系,单调函数在区间(a,b)上没有极值,故A,B,D错误,C正确,函数f(x)=|x|只有一个极小值为0.
5.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,则+的最小值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,所以f′(1)
=12-2a-2b=0,即a+b=6,则+=(a+b)=≥=(当且仅当=且a+b=6,即a=2b=4时取“=”).
6.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为 ( )
A.(-1,2)
B.(-3,6)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)
D.(-∞,-3)∪(6,+∞)
【解析】选D.f′(x)=3x2+2ax+(a+6),因为f(x)既有极大值又有极小值,那么
Δ=(2a)2-4×3×(a+6)>0,解得a>6或a<-3.
7.(2017·广州高二检测)设函数f(x)=ex(sinx-cosx)(0≤x≤2015π),则函数f(x)的各极大值之和为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由题意,得
f′(x)=(ex)′(sinx-cosx)+ex(sinx-cosx)′
=2exsinx,所以x∈(2kπ,2kπ+π)时f(x)递增,
x∈(2kπ+π,2kπ+2π)时,f(x)递减,
故当x=2kπ+π时,f(x)取极大值,
其极大值为
f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)-cos(2kπ+π)]
=e2kπ+π,
又0≤x≤2015π,
所以函数f(x)的各极大值之和为
S=eπ+e3π+e5π+…+e2015π=
=
8.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(x)+xf′(x)=,f(e)=,则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)有极大值无极小值
B.f(x)有极小值无极大值
C.f(x)既有极大值又有极小值
D.f(x)没有极值
【解析】选D.因为f(x)+xf′(x)=,
所以[xf(x)]′=,
所以xf(x)=(lnx)2+c.又因为f(e)=,
所以e·=(lne)2+c,解得c=,
所以f(x)=[(lnx)2+1]·,
f′(x)=
=≤0,
所以函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,
所以f(x)在(0,+∞)上没有极值.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·银川高二检测)函数f(x)=x3-x4在区间上的极值点为 .
【解析】因为f(x)=x3-x4,所以f′(x)=x2-x3=-x2(x-1),令f′(x)=0,则x=0或x=1,因为x∈,所以x=1,并且在x=1左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,所以函数f(x)=x3-x4在区间上的极值点为1.
答案:1
【警示误区】函数的极值点都是其导数等于0的根,但须注意导数等于0的根不一定都是极值点,应根据导数图象分析再下结论是不是其极值点.
10.已知函数f(x)=x4+9x+5,则f(x)的图象在(-1,3)内与x轴的交点的个数为 .
【解析】因为f′(x)=4x3+9,当x∈(-1,3)时,f′(x)>0,所以f(x)在(-1,3)上单调递增,又f(-1)=-3<0,f(0)=5>0,所以f(x)在(-1,3)内与x轴只有一个交点.
答案:1个
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行.
(1)求函数的单调区间.
(2)求函数的极大值与极小值的差.
【解析】y′=3x2+6ax+3b,因为x=2是函数的极值点,
所以12+12a+3b=0,
即4+4a+b=0.①
又图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行,
所以y′|x=1=3+6a+3b=-3,
即2a+b+2=0.②
由①②解得a=-1,b=0.
此时,y′=3x2-6x=3x(x-2).
(1)令y′>0,得x(x-2)>0,所以x<0或x>2;
令y′<0,得x(x-2)<0,所以0所以函数在(0,2)上是减函数,在(-∞,0)和(2,+∞)上是增函数.
(2)由(1)可以断定,x=0是极大值点,x=2是极小值点,
又y=f(x)=x3-3x2+c,
所以y极大值-y极小值=f(0)-f(2)=c-(8-12+c)=4.
12.(2016·山东高考)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间.
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
【解析】(1)g(x)=f′(x)=lnx-2ax+2a,
所以g′(x)=-2a=.
当a≤0,x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.
当a>0,x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,
x∈时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.
综上:当a≤0时,函数g(x)单调递增区间为(0,+∞).
当a>0时,函数g(x)单调递增区间为,
函数g(x)单调递减区间为.
(2)由(1)知f′(1)=0.
①当a≤0,f′(x)单调递增,所以
x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
②当01时,由(1)知f′(x)在内单调递增,
所以x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
③当a=,=1时,f′(x)在内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以x∈时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.
④当a>,0<<1时,x∈,f′(x)>0,
f(x)单调递增,
当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.
综上可知a>.
【补偿训练】已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图象关于直线x=2对称.
(1)求b的值.
(2)若函数f(x)无极值,求c的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=3x2-2bx+2c,
因为函数f′(x)的图象关于直线x=2对称,
所以-=2,即b=6.
(2)由(1)知,f(x)=x3-6x2+2cx,
f′(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,
当2c-12≥0,即c≥6时,f′(x)≥0恒成立,此时函数f(x)无极值.
【能力挑战题】
已知函数f(x)=(c>0且c≠1,k∈R)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x=-c.
(1)求函数f(x)的另一个极值点.
(2)求函数f(x)的极大值M和极小值m,并求M-m≥1时k的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=
=,
由题意知f′(-c)=0,即得c2k-2c-ck=0,(
)
因为c≠0,所以k≠0.
由f′(x)=0得-kx2-2x+ck=0,
由根与系数的关系知另一个极值点为x=1(或x=c-).
(2)由(
)式得k=,即c=1+.
当c>1时,k>0;当0(i)当k>0时,
f(x)在(-∞,-c)和(1,+∞)内是减函数,
在(-c,1)内是增函数.
所以M=f(1)==>0,
m=f(-c)==<0,
由M-m=+≥1及k>0,
解得k≥.
(ii)当k<-2时,f(x)在(-∞,-c)和(1,+∞)内是增函数,在(-c,1)内是减函数.
所以M=f(-c)=>0,m=f(1)=<0,
M-m=-=1-≥1恒成立.
综上可知,所求k的取值范围为(-∞,-2)∪[,+∞).充要条件
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2015·安徽高考)设p:11,则p是q成立的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由q:2x>20 x>0可知:由p能推出q,但由q不能得出p,所以p是q成立的充分不必要条件.
2.(2017·济南高二检测)设α,β∈,那么“α<β”是“tanαA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.在中,函数y=tanx为增函数,所以设α,β∈,那么“α<β”是“tanα3.给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.直线l与平面α内无数条直线都垂直,不能得到直线l⊥α,因为有可能是直线l与平面α内的一组平行直线垂直.若l⊥α,则直线l垂直于α内的所有直线.
4.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当四边形ABCD为菱形时,其对角线互相垂直,必有AC⊥BD;但当AC⊥BD时,四边形不一定是菱形(如图),因此“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.
5.(2016·北京高考)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选D.由|a+b|=|a-b|可得a⊥b.所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件.
6.设{an}是等比数列,则“a1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.由题可知,若a10时,解得q>1,此时数列{an}是递增数列,当a1<0时,解得07.“α=+2kπ(k∈Z)”是“cos2α=”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为当α=+2kπ(k∈Z)时,cos2α=cos=,所以“α=+2kπ(k∈Z)”是“cos
2α=”的充分条件.而当α=-时,cos2α=,但-≠+
2kπ(k∈Z),所以“α=+2kπ(k∈Z)”不是“cos2α=”的必要条件.
8.(2017·天津高考)设θ∈R,则“<”是“sinθ<”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.< 0<θ< sinθ<,
但是,当θ=0时,满足sinθ<,不满足<,所以是充分而不必要条件.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是________.
【解析】p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件,
所以q是p的充分不必要条件,
即{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10},
故有或解得m≤3.
又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0答案:(0,3]
10.下列命题:
①“x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件;
②“b2-4ac<0”是“一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R”的充要条件;
③“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件;
④“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要不充分条件.
其中真命题的序号为________.
【解析】①x>2且y>3时,x+y>5成立,反之不一定,如x=0,y=6.
所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件;
②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2-4ac<0,
故②为假命题;
③当a=2时,两直线平行,反之,若两直线平行,则=,
所以a=2.因此,a=2是两直线平行的充要条件;
④lgx+lgy=lg(xy)=0,所以xy=1且x>0,y>0.
所以lgx+lgy=0成立,xy=1必成立,反之不然.
因此“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要不充分条件.
综上可知,真命题是④.
答案:④
三、解答题
11.(10分)(2017·郑州高二检测)(1)是否存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件
(2)是否存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件
【解析】(1)欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件,则只要 {x|x<-1或x>3},即只需-≤-1,所以m≥2.
故存在实数m≥2,使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件.
(2)欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件,则只要{x|x<-1或x>3} ,这是不可能的.故不存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件.
【能力挑战题】
已知f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0).试证明:方程f(x)=0有两个不相等的实数解,当且仅当存在x0∈R,使af(x0)<0.
【证明】若存在x0∈R,使af(x0)<0,则b2-4ac=b2-4a[f(x0)-a-bx0]
=b2+4abx0+4a2-4af(x0)=(b+2ax0)2-4af(x0)>0.
所以方程f(x)=0有两个不相等的实数解.
若方程f(x)=0有两个不相等的实数解,
则b2-4ac>0,设x0=-,
则af(x0)=a×
=-+ac=<0.
综上可知结论成立,即问题得证.生活中的优化问题举例
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.用长为24m的钢筋做成一个长方体框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则这个长方体体积的最大值为 ( )
A.8m3
B.12m3
C.16m3
D.24m3
【解析】选A.设长方体的底面边长为xm,
则高为(6-2x)m,
所以0V′=12x-6x2,
令V′=0得x=2或x=0(舍),
所以当x∈(0,2)时,V是增函数,
当x∈(2,3)时,V是减函数,
所以当x=2时,Vmax=4×2=8(m3).
2.某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,则要使砌墙所用材料最省,则堆料场的长和宽各为 ( )
A.16
m,16
m
B.32
m,16
m
C.32
m,8
m
D.16
m,8
m
【解析】选B.如图所示,
设场地一边长为xm,则另一边长为m.因此新墙总长度L=2x+(x>0),
L′=2-.令L′=0,得x=16或x=-16(舍去).
因为L在(0,+∞)上只有一个极值点,
所以它必是最小值点.因为x=16,所以=32.
故当堆料场的宽为16m,长为32m时,可使砌墙所用的材料最省.
3.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( )
A.13万件
B.11万件
C.9万件
D.7万件
【解析】选C.y′=-x2+81,令y′=0,解得x=9或x=-9(舍去).当00,当x>9时,y′<0,所以当x=9时,y取得最大值.
4.(2017·烟台高二检测)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为:y=-x3+27x+123(x>0),则获得利润最大时的年产量为 ( )
A.1百万件
B.2百万件
C.3百万件
D.4百万件
【解析】选C.因为y=-x3+27x+123(x>0),
所以y′=-3x2+27=-3(x+3)(x-3)(x>0),
所以y=-x3+27x+123在(0,3)上是增函数,
在(3,+∞)上是减函数,
故当x=3时,获得最大利润.
5.(2017·梅州高二检测)设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时,底面边长为 ( )
A.
B.
C.
D.2
【解析】选C.如图,
设底面边长为x(x>0),则底面积S=x2,
所以h==.
S表=x·×3+x2×2=+x2,
S′表=x-,令S′表=0得x=,
因为S表只有一个极值,故x=为最小值点.
6.如图,在等腰梯形ABCD中,CD=40,AD=40,梯形ABCD的面积最大时,AB等
于 ( )
A.40
B.60
C.80
D.120
【解析】选C.设∠BAD=θ,则AB=40+2×40cosθ,梯形高h=40sinθ,从而梯形面积S=1600(1+cosθ)sinθ.
故S′=1600(cosθ+cos2θ).
令S′=0,得cosθ=-1(舍)或cosθ=,即θ=,此时AB=80,即当AB=80时,梯形有最大面积1200.
7.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元,销售量为Q,销售量Q(单位:件)与零售价P(单位:元)有如下关系:Q=8300-170P-P2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出) ( )
A.30元
B.60元
C.28000元
D.23000元
【解析】选D.设毛利润为L(P),由题意知L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)
=(8300-170P-P2)(P-20)
=-P3-150P2+11700P-166000,所以L′(P)=-3P2-300P+11700,令L′(P)=0,解得P=30或P=-130(舍去).
此时,L(30)=23000.
根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23000元.
8.(2017·昆明高二检测)某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x的关系是R(x)=
则当总利润最大时,每年生产产品的单位数
是 ( )
A.150
B.200
C.250
D.300
【解析】选D.因为总利润
p(x)=
当0≤x≤390时,p′(x)=-x2+300,
令p′(x)=0,得x=±300,
当x∈(0,300)时,p′(x)>0,p(x)递增,
当x∈(300,390)时,p′(x)<0,p(x)递减,
所以当x=300时,p(x)有最大值40000元,
当x>390时,p(x)=90090-100x-20000<90090-100×390-20000=31090<40000,
所以当x=300时,总利润最大.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·河源高二检测)把长为60cm的铁丝围成矩形,长为 ,宽为
时,矩形的面积最大.
【解析】设长为xcm,则宽为(30-x)cm,
此时S=x·(30-x)=30x-x2,令S′=30-2x=0,
所以x=15.当00,当15答案:15cm 15cm
【补偿训练】已知某矩形广场面积为40000m2,则其周长至少为 米.
【解析】设广场的长为xm,则宽为m,于是其周长为y=2(x>0),所以y′=2,令y′=0,解得x=200(x=-200舍去),这时y=800.当0200时,y′>0,所以当x=200时,y取得最小值,故其周长至少为800m.
答案:800
10.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,y1和y2分别为2万元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 千米处.
【解析】设仓库与车站相距x千米,依题意可设每月土地占用费y1=,每月库存货物的运费y2=k2x,其中x是仓库到车站的距离,k1,k2是比例系数,
于是由2=得k1=20;由8=10k2得k2=.
所以两项费用之和为y=+(x>0),
y′=-+,令y′=0,
得x=5或x=-5(舍去).
当0当x>5时,y′>0.所以当x=5时,y取得极小值,也是最小值.所以当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小.
答案:5
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b(b>0),固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域.
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大的速度行驶
【解析】(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为y=a·+bv2·
=s,
故所求函数及其定义域为y=s,v∈(0,c].
(2)由题意知s,a,b,v均为正数.
由y′=s=0得v=,0①若≤c,则v=是使y的导数为0的点,
即当v=时,全程运输成本y最小.
②若>c,v∈(0,c],此时y′<0,则函数在(0,c]上为减函数,所以当v=c时,y最小.
综上所述,为使全程运输成本y最小,当≤c时,行驶速度v=;当>c时,行驶速度v=c.
12.某种产品每件成本为6元,每件售价为x元(6(1)求年利润y万元关于售价x的函数关系式.
(2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润.
【解析】(1)设-u=k,
因为售价为10元时,年销量为28万件,
所以-28=k,解得k=2.
所以u=-2+
=-2x2+21x+18.
所以y=(-2x2+21x+18)(x-6)
=-2x3+33x2-108x-108(6(2)y′=-6x2+66x-108
=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9).
令y′=0,得x=2(舍去)或x=9,
显然,当x∈(6,9)时,y′>0;
当x∈(9,11)时,y′<0.
所以函数y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是递增的,在(9,11)上是递减的.
所以当x=9时,ymax=135,所以售价为9元时,年利润最大,最大年利润为135万元.
【能力挑战题】
某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车的投入成本增加的比例为x(0【解析】由题意得,本年度每辆车的投入成本为10(1+x),每辆车的出厂价为13(1+0.7x),年利润为f(x)=[13(1+0.7x)-10(1+x)]·y
=(3-0.9x)×3240×
=3240(0.9x3-4.8x2+4.5x+5),
则f′(x)=3240(2.7x2-9.6x+4.5)
=972(9x-5)(x-3),
由f′(x)=0,解得x=或x=3(舍去),
当x∈时,f′(x)>0,f(x)是增函数;
当x∈时,f′(x)<0,f(x)是减函数.
所以当x=时,f(x)取极大值,f=20000,
因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值,所以它是最大值.
所以当x=时,本年度的年利润最大,最大利润为20000万元.命 题
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.下列语句不是命题的有 ( )
①若平行四边形的边都相等,则它是菱形.
②任何集合都是它自己的子集.
③对顶角相等吗
④x>3.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】选C.①是陈述句,能判断真假,是命题.
②是陈述句,能判断真假,是命题.
③不是陈述句,不是命题.
④是陈述句,但不能判断真假,不是命题.
2.下列命题中真命题的个数为 ( )
①面积相等的三角形是全等三角形;
②若xy=0,则|x|+|y|=0;
③若a>b,则a+c>b+c;
④矩形的对角线互相垂直.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选A.①是假命题;②中x=3,y=0,则xy=0,但|x|+|y|≠0,故②是假命题;③是真命题;④中矩形的对角线相等,但不一定互相垂直,故④是假命题.
3.(2017·临沂高二检测)“若x2-2x-8<0,则p”为真命题,那么p是 ( )
A.{x|-2B.{x|2C.{x|x>4或x<-2}
D.{x|x>4或x<2}
【解析】选A.解不等式x2-2x-8<0,得不等式的解集为{x|-2【补偿训练】“若x>1,则p”为真命题,那么p不能是 ( )
A.x>-1
B.x>0
C.x>1
D.x>2
【解析】选D.大于1的实数不一定大于2.
4.命题“6的倍数既能被2整除,也能被3整除”的结论是 ( )
A.这个数能被2整除
B.这个数能被3整除
C.这个数既能被2整除,也能被3整除
D.这个数是6的倍数
【解析】选C.命题可改写为:若一个数是6的倍数,则这个数既能被2整除,也能被3整除.
5.已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,且a⊥α,b⊥β,则下列命题中,假命题是 ( )
A.若a∥b,则α∥β
B.若α⊥β,则a⊥b
C.若a,b相交,则α,β相交
D.若α,β相交,则a,b相交
【解析】选D.由已知a⊥α,b⊥β,若α,β相交,a,b有可能异面.
6.给出命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”,则使该命题为真命题时a的一个值可以是 ( )
A.4
B.2
C.0
D.-3
【解析】选C.方程无实根时,应满足Δ=a2-4<0,故a=0时符合条件.
7.(2017·太原高二检测)已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的;
②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切.
其中真命题的序号是 ( )
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③
【解析】选C.①若一个球的半径缩小到原来的,由V=πR3知其体积缩小到原来的,所以①是真命题;
②因为标准差除了与平均数有关,还与各个数据有关,所以②是假命题;
③因为圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离等于,与圆的半径相等,所以③是真命题.故真命题的序号是①③.
8.给定下列命题:①若a>b,则2a>2b;②命题“若a,b是无理数,则a+b是无理数”是真命题;③命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是“这个四边形的对角线垂直”;④直线x=是函数y=sinx图象的一条对称轴;⑤在△ABC中,若·>0,则△ABC是钝角三角形.
其中为真命题的个数是 ( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选B.①是真命题;②当a=,b=-时,a+b=0为有理数,故②为假命题;③中结论应为“这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”,故③为假命题;④是真命题;⑤·=||||cos(π-B)>0,所以cosB<0,所以B为钝角,故⑤为真命题.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·宝鸡高二检测)判断下列语句,是命题的有________;其中是真命题的有__________.(只填序号)
①等边三角形是等腰三角形吗
②作三角形的一个内角平分线;
③在三角形中,大边对大角,小边对小角;
④若x+y为有理数,则x,y也都是有理数;
⑤x>8.
【解题指南】先根据命题的概念,判断所给语句是否为命题,若是,再判断真假.
【解析】①是疑问句.②是祈使句,①②不是命题.③是真命题.④是假命题.⑤不能判断真假,不是命题.
答案:③④ ③
【拓展延伸】判断语句是否为命题的方法
要判断一个语句是不是命题就要看它是否符合“可以判断真假”这个条件.
一般来说,疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.
数学中的定义、公理、定理等都是命题.
猜想类的,如“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和(哥德巴赫猜想)”虽然目前不能确定真假,但随着科技发展总能确定其真假.这一类猜想可以作为命题.
10.命题“偶函数的图象关于y轴对称”写成“若p,则q”的形式为________.
【解析】若一个函数是偶函数,则这个函数的图象关于y轴对称.
答案:若一个函数是偶函数,则这个函数的图象关于y轴对称
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.判断下列命题的真假,并说明理由:
(1)函数y=ax是指数函数.
(2)关于x的方程ax+1=x+2有唯一解.
【解题指南】(1)根据指数函数的定义判断,注意底数的取值范围.
(2)注意对参数进行分类讨论.
【解析】(1)当a>0且a≠1时,函数y=ax是指数函数,所以是假命题.
(2)关于x的方程ax+1=x+2即(a-1)x=1,
当a=1时,方程无解;
当a≠1时,方程有唯一解,所以是假命题.
12.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假.
(1)内接于圆的四边形的对角互补.
(2)被5整除的整数的末位数字是5.
(3)三角形相似,对应边成比例.
【解析】(1)若四边形内接于圆,则它的对角互补.真命题.
(2)若一个整数被5整除,则它的末位数字是5.假命题.
(3)若两个三角形相似,则它们的对应边成比例.真命题.
【能力挑战题】
判断“函数f(x)=2x-x2有三个零点”是否为命题.若是命题,是真命题还是假命题 说明理由.
【解析】这是一个可以判断真假的陈述句,所以是命题,且是真命题.
函数f(x)=2x-x2的零点即方程2x-x2=0的实数根,也就是方程2x=x2的实数根,即函数y=2x,y=x2的图象的交点的横坐标,易知指数函数y=2x的图象与抛物线y=x2有三个交点,所以函数f(x)=2x-x2有三个零点.简单的逻辑联结词
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.命题“2是3的约数或2是4的约数”中,使用的逻辑联结词的情况是 ( )
A.没有使用逻辑联结词
B.使用了逻辑联结词“且”
C.使用了逻辑联结词“或”
D.使用了逻辑联结词“非”
【解析】选C.命题可改写为“2是3的约数或是4的约数”.
2.(2017·厦门高二检测)命题“方程x2-4=0的解是x=±2”中,使用的逻辑联结词的情况是 ( )
A.没有使用联结词
B.使用了逻辑联结词“或”
C.使用了逻辑联结词“且”
D.使用了逻辑联结词“非”
【解析】选A.注意到虽然x=±2是x=2或x=-2的意思,但是“方程x2-4=0的解是x=±2”是一个命题,不是由“或”联结的命题,故没有使用逻辑联结词.
3.如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题,那么 ( )
A.命题p不一定是假命题
B.命题q一定是真命题
C.命题q不一定是真命题
D.命题p与q的真值相同
【解析】选B.因为“非p”为真,则p为假,又“p或q”为真,所以q必为真.
4.已知命题
p:对任意x∈R,总有|x|≥0;
q:x=1是方程x+2=0的根.
则下列命题为真命题的是 ( )
A.p∧(q)
B.(p)∧q
C.(p)∧(q)
D.p∧q
【解析】选A.命题p为真命题,命题q为假命题,所以命题q为真命题,所以p∧(q)为真命题,(p)∧q为假命题,(p)∧(q)为假命题,p∧q为假命题.
5.p:点P在直线y=2x-3上,q:点P在曲线y=-x2上,则使“p∧q”为真命题的一个点P(x,y)是 ( )
A.(0,-3)
B.(1,2)
C.(1,-1)
D.(-1,1)
【解析】选C.点P(x,y)满足
可验证各选项,只有C正确.
6.对于命题p和q,若p∧q为真命题,则下列四个命题:
①p∨q是真命题;②p∨(q)是假命题;
③(p)∧(q)是假命题;④(p)∨q是假命题.
其中真命题是 ( )
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
【解析】选C.因为p∧q为真,所以p与q都为真,所以(p)∧(q)为假,p∨q为真,所以只有①③正确.
7.命题p:“方程x2+2x+a=0有实数根”;命题q:“函数f(x)=(a2-a)x是增函数”,若“p∧q”为假命题,且“p∨q”为真命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.a>0
B.a≥0
C.a>1
D.a≥1
【解析】选B.当p真时,Δ=4-4a≥0,解得a≤1.当q真时,a2-a>0,解得a<0或a>1.
因为p∧q为假命题,p∨q为真命题,
所以p,q中一真一假.
(1)当p真q假时,得0≤a≤1.
(2)当p假q真时得a>1,
由(1)(2)得所求a的取值范围是a≥0,故选B.
8.(2017·衡阳高二检测)命题p:关于x的方程x2+ax+2=0无实根,命题q:函数f(x)=logax在(0,+∞)上单调递增,若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-2,1]∪[2,+∞) B.(-2,2)
C.(-2,+∞)
D.(-∞,2)
【解题指南】(1)根据方程x2+ax+2=0无实根,判别式Δ<0,求出a的取值范围,得命题p成立的条件.
(2)根据函数f(x)=logax在(0,+∞)上单调递增,求出a的取值范围,得命题q成立的条件.
(3)由“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题知p与q一真一假,因此分类讨论,求出a的取值范围.
【解析】选A.因为方程x2+ax+2=0无实根,
所以Δ=a2-8<0,
所以-2所以p:-2因为函数f(x)=logax在(0,+∞)上单调递增,所以a>1.
所以q:a>1.
因为p∧q为假,p∨q为真,
所以p与q一真一假.
当p真q假时,-2当p假q真时,a≥2.
综上可知,实数a的取值范围为(-2,1]∪[2,+∞).
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.命题p:{2}∈{2,3},q:{2} {2,3},则下列对命题的判断,正确的是________(填上所有正确的序号).
①p或q为真;②p或q为假;③p且q为真;④p且q为假;
⑤非p为真;⑥非q为假.
【解析】由题可知p为假,q为真,所以p或q为真,p且q为假,非p为真,非q为假.
答案:①④⑤⑥
10.已知条件p:(x+1)2>4,条件q:x>a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________.
【解析】由p是q的充分不必要条件,可知p q,但qp,由一个命题与它的逆否命题等价,可知q p但pq,又p:x>1或x<-3,可知{x|x>a}{x|x<-3或x>1},所以a≥1.
答案:[1,+∞)
三、解答题
11.(10分)指出下列命题是简单命题还是含逻辑联结词的命题,若是含逻辑联结词的命题,写出构成它的简单命题.
(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;
(2)若x∈{x|x<1或x>2},则x是不等式(x-1)(x-2)>0的解.
【解析】(1)“p且q”形式的命题,其中p:两个角是45°的三角形是等腰三角形,q:两个角是45°的三角形是直角三角形.
(2)“p或q”形式的命题,其中p:若x∈{x|x<1},则x是不等式(x-1)(x-2)>0的解,q:若x∈{x|x>2},则x是不等式(x-1)(x-2)>0的解.
【能力挑战题】
已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的正实数根,命题q:方程4x2+4(m+2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题,求实数m的取值范围.
【解析】“p或q”为真命题,则p为真命题或q为真命题.
当p为真命题时,有解得m<-2;
当q为真命题时,
有Δ=16(m+2)2-16<0,解得-3综上可知,实数m的取值范围是(-∞,-1).双曲线的简单几何性质
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.双曲线-=1与-=λ(λ≠0)有相同的 ( )
A.实轴
B.焦点
C.渐近线
D.以上都不是
【解析】选C.由题可知,
-=1的渐近线为y=±x.
-=λ的渐近线为y=±x,
所以它们有相同的渐近线.
2.等轴双曲线的一个焦点是F1(-6,0),则它的标准方程是 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选B.设等轴双曲线方程为-=1(a>0),
所以a2+a2=62,所以a2=18,
故双曲线方程为-=1.
【补偿训练】以椭圆+=1的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程为 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1或-=1
D.以上都不对
【解析】选C.当顶点为(±4,0)时,a=4,c=8,b=4,双曲线方程为-=1;当顶点为(0,±3)时,a=3,c=6,b=3,双曲线方程为-=1.
3.(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由双曲线方程可知F1(-,0),F2(,0),
因为·<0,所以(--x0)(-x0)
+(-y0)(-y0)<0.
即+-3<0,所以2+2+-3<0,<,
所以-4.(2016·浙江高考)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则 ( )
A.m>n且e1e2>1
B.m>n且e1e2<1
C.m1
D.m【解析】选A.由题意知m2-1=n2+1,
即m2=n2+2,(e1e2)2=·
=,
因为m2=n2+2,m>1,n>0,
所以m>n,(e1e2)2>1,
所以e1e2>1.
5.若双曲线x2-y2=1的左支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为,则a+b的值为
( )
A.- B. C.-2 D.2
【解析】选A.由题意知a2-b2=1,(a-b)(a+b)=1,
=,|a-b|=2,
因为(a,b)在双曲线的左支上,
所以a-b<0,所以a+b=-.
6.若双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,则双曲线焦点F到渐近线的距离为
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选B.由已知可知双曲线的焦点在y轴上,
所以==.所以m=9.
所以双曲线的焦点为(0,±),焦点F到渐近线的距离为d=3.
7.(2017·郑州高二检测)双曲线-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.双曲线的渐近线为直线y=±x,即x±2y=0,顶点为(±2,0),所以所求距离为d==.
8.过双曲线一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一个焦点,若∠PF1Q=,则双曲线的离心率e等于 ( )
A.-1
B.
C.+1
D.+2
【解析】选C.△PF1F2是等腰直角三角形,|PF2|=|F1F2|=2c,|PF1|=2c,
|PF1|-|PF2|=2a,2c-2c=2a,e===+1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程为________________.
【解析】根据双曲线渐近线方程为y=±x,
可设双曲线的方程为-y2=m,
把(4,)代入-y2=m,得m=1.
答案:-y2=1
【拓展延伸】求双曲线方程的两个关注点
1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.
2.利用渐近线与双曲线的位置关系,设有公共渐近线的双曲线系方程-=λ(λ≠0),这样可避免分类讨论,从而减少运算量,提高解题速度与准确性.
10.(2016·北京高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=________,b=________.
【解题指南】焦点在x轴的双曲线的渐近线为y=±x,焦点(±c,0).
【解析】因为渐近线方程y=-2x,所以=2①.焦点(,0),所以c=.所以a2+b2=c2=5②.由①②联立解得a=1,b=2.
答案:1 2
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·济南高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,求双曲线离心率e的最大值.
【解析】设∠F1PF2=θ,由
得
所以cosθ==-e2,
所以e2=.
因为cosθ∈[-1,1],所以112.如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,F1,F2分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点P,∠F1PF2=,且△PF1F2的面积为2,又双曲线的离心率为2,求该双曲线的标准方程.
【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0).
在△PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos
=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
即4c2=4a2+|PF1|·|PF2|.又因为=2,
所以|PF1|·|PF2|sin=2.所以|PF1|·|PF2|=8,所以4c2=4a2+8,即b2=2.
又因为e==2,所以a2=.所以双曲线的标准方程为-=1.
【能力挑战题】
已知双曲线-=1的右焦点为(2,0).
(1)求双曲线的方程.
(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.
【解析】(1)因为双曲线的右焦点坐标为(2,0),
且双曲线方程为-=1,
所以c2=a2+b2=3+b2=4,所以b2=1,
所以双曲线的方程为-y2=1.
(2)因为a=,b=1,双曲线的渐近线方程为y=±x,
令x=-2,则y=±,
设直线x=-2与双曲线的渐近线的交点为A,B,
则|AB|=,记双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形面积为S,则S=××2=.充分条件与必要条件
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.“φ=”是“cosφ=0”的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件,又是必要条件
D.既不是充分条件,也不是必要条件
【解析】选A.当φ=时,有cosφ=0,但当cosφ=0时,φ=kπ+,k∈Z.
2.(2017·大连高二检测)已知p:x2-x<0,那么命题p的一个充分条件是 ( )
A.0B.-1C.D.【解析】选C.x2-x<0 03.(2017·西安高二检测)使x>1成立的一个必要条件是 ( )
A.x>0
B.x>3
C.x>2
D.x<2
【解析】选A.只有x>1 x>0,其他选项均不可由x>1推出,故选A.
4.“x>1”是“lo(x+2)<0”的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分又是必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为x>1 lo(x+2)<0,
lo(x+2)<0 x+2>1 x>-1,
所以“x>1”是“lo(x+2)<0”的充分条件.
5.如果A.B.≤a≤
C.a>或a<
D.a≥或a≤
【解析】选B.|x-a|<1 a-1由题意知(a-1,a+1),
则有且等号不同时成立,
解得≤a≤,故选B.
6.(2017·成都高二检测)已知α,β是两个不同的平面,则“平面α∥平面β”成立的一个充分条件是 ( )
A.存在一条直线l,l α,l∥β
B.存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β
C.存在一条直线l,l⊥α,l⊥β
D.存在一个平面γ,γ∥α,γ⊥β
【解析】选C.A.存在一条直线l,l α,l∥β,此时α,β可能相交.
B.若存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β,则α与β可能平行,可能相交.
C.若存在一条直线l,l⊥α,l⊥β,则α∥β成立,反之不一定成立,满足条件.
D.若存在一个平面γ,γ∥α,γ⊥β,则α⊥β,所以不满足题意.
7.集合A=,B={x|-aA.[-2,0)
B.(0,2]
C.(-2,2)
D.[-2,2]
【解析】选C.A=={x|-18.(2017·广州高二检测)已知f(x)=x-x2,且a,b∈R,则“a>b>1”是“f(a)A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选A.画出函数f(x)=x-x2的图象,如图所示:
由图象得:f(x)在上递减,
所以a>b>1时,f(a)如f(0)=0二、填空题(每小题5分,共10分)
9.下列不等式:①x<1;②0【解析】由于x2<1即-1答案:②③④
10.若【解析】|x-m|<1,即m-1由题意可知且等号不同时成立,
即-≤m≤,故实数m的取值范围是.
答案:
三、解答题
11.(10分)(2017·潍坊高二检测)若p:-2【解析】若a=-1,b=,则Δ=a2-4b<0,关于x的方程x2+ax+b=0无实根,故pq.
若关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,不妨设这两个根为x1,x2,且0则x1+x2=-a,x1x2=b.于是0<-a<2,0所以,p是q的必要条件,但不是充分条件.
【能力挑战题】
(2017·宝鸡高二检测)已知集合A={y|y=x2-x+1,x∈},B={x||x-m|≥1},命题p:t∈A,命题q:t∈B,并且命题p是命题q的充分条件,求实数m的取值范围.
【解题指南】本题先根据已知条件表示出集合A,B,然后根据条件求出实数m的取值范围.
【解析】先化简集合A,由y=x2-x+1,配方,得
y=+.
因为x∈,所以y∈.
所以A=.由|x-m|≥1,
解得x≥m+1或x≤m-1.
所以B={x|x≥m+1或x≤m-1}.
因为命题p是命题q的充分条件,所以A B.
所以m+1≤或m-1≥2,
解得m≤-或m≥3.
故实数m的取值范围是∪[3,+∞).含有一个量词的命题的否定
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p: n0∈N,>,则p为 ( )
A. n∈N,n2>2n
B. n0∈N,≤
C. n∈N,n2≤2n
D. n0∈N,=
【解析】选C.p: n∈N,n2≤2n.
2.命题“一次函数都是单调函数”的否定是 ( )
A.一次函数都不是单调函数
B.非一次函数都不是单调函数
C.有些一次函数是单调函数
D.有些一次函数不是单调函数
【解析】选D.命题的否定只对结论进行否定,“都是”的否定是“不都是”,即“有些”.
3.下列说法中,正确的个数是 ( )
①存在一个实数,使-2+x0-4=0;
②所有的质数都是奇数;
③在同一平面中斜率相等且不重合的两条直线都平行;
④至少存在一个正整数,能被5和7整除.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.①方程-2+x0-4=0无实根;②2是质数,但不是奇数;③④正确.
4.(2015·湖北高考)命题“ x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是 ( )
A. x∈(0,+∞),lnx≠x-1
B. x (0,+∞),lnx=x-1
C. x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1
D. x0 (0,+∞),lnx0=x0-1
【解析】选A.由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为 x∈(0,
+∞),lnx≠x-1.
【延伸拓展】对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法
(1)确定类型:是特称命题还是全称命题.
(2)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词;把存在量词换为恰当的全称量词.
(3)否定性质:原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
注意:无量词的全称命题要先补回量词再否定.
5.有下列四个命题:① x∈R,2x2-3x+4>0;② x∈{1,-1,0},2x+1>0;③ x0∈N,≤x0;④ x0∈N
,x0为29的约数.其中真命题的个数为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.对于①,这是全称命题,因为Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故①为真命题;对于②,这是全称命题,因为当x=-1时,2x+1>0不成立,故②为假命题;对于③,这是特称命题,当x0=0或x0=1时,有≤x0成立,故③为真命题;对于④,这是特称命题,当x0=1时,x0为29的约数成立,所以④为真命题.
6.命题p:“ x∈[1,2],2x2-x-m>0”,命题q:“ x0∈[1,2],log2x0+m>0”,若“p∧q”为真命题,则实数m的取值范围是 ( )
A.m<1
B.m>-1
C.-1D.-1≤m≤1
【解题指南】解答本题可先求出p与q分别为真命题时,m的取值范围,然后取其交集即可.
【解析】选C.由“p∧q”为真命题,得p,q都是真命题,
命题p:“ x∈[1,2],2x2-x-m>0”为真命题.
即对于 x∈[1,2],m<2x2-x恒成立,
得m<(2x2-x)min=1.
命题q:“ x0∈[1,2],log2x0+m>0”为真命题,
则 x0∈[1,2],-m只要-m<(log2x)max=1,得m>-1.
综上所述,-17.(2017·山东高考)已知命题p: x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是 ( )
A.p∧q
B.p∧q
C.p∧q
D.
p∧q
【解析】选B.因为x>0,所以x+1>1,所以ln(x+1)>0,则命题p为真命题,
由1>-2,但12<(-2)2,所以命题q是假命题,则q是真命题,所以p∧q是真命题.
8.(2017·吉林高二检测)下列命题错误的是 ( )
A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”
B.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
C.命题p:存在x0∈R,使得+x0+1<0,则p:任意x∈R,都有x2+x+1≥0
D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件
【解析】选B.由逆否命题“条件的否定作结论,结论的否定为条件”知A正确;p∧q为假命题时,还可能p假或q假,故B错误;由“非”命题的定义知C正确;因为x>2时,x2-3x+2>0成立,x2-3x+2>0时,x<1或x>2,所以D正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.命题“ x∈R,3x2-2x+1>0”的否定是________.
【解析】“ x∈M,p(x)”的否定为“ x0∈M,p(x0)”.
所以其否定为 x0∈R,3-2x0+1≤0.
答案: x0∈R,3-2x0+1≤0
10.(2017·广州高二检测)若“ x0∈,sinx0+cosx0【解析】令f(x)=sinx+cosx=2sin,x∈,
可知f(x)在上为增函数,在上为减函数,
由于f(0)=,f=2,f=1,所以1≤f(x)≤2,
由于“ x0∈,sinx0+cosx0答案:(-∞,1]
三、解答题
11.(10分)写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)p: x∈R,x2-x+≥0.
(2)q:所有的正方形都是矩形.
(3)r: x0∈R,+2x0+2≤0.
(4)s:至少有一个实数x0,使+1=0.
【解析】(1)p: x0∈R,-x0+<0,假命题,因为 x∈R,x2-x+=≥0恒成立,
所以p是假命题.
(2)q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题.
(3)r: x∈R,x2+2x+2>0,真命题,
因为 x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0恒成立,所以r是真命题.
(4)s: x∈R,x3+1≠0,假命题.因为x=-1时,x3+1=0,所以s是假命题.
【能力挑战题】
已知命题p: m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥恒成立;命题q: x0,使不等式+ax0+2<0成立.若p或q是真命题,q是真命题,求a的取值范围.
【解析】根据p或q是真命题,q是真命题,得p是真命题,q是假命题.
因为m∈[-1,1],
所以∈[2,3].
因为 m∈[-1,1],
不等式a2-5a-3≥恒成立,
所以a2-5a-3≥3,
所以a≥6或a≤-1.
故命题p为真命题时,a≥6或a≤-1.
又命题q: x0,使不等式+ax0+2<0,
所以Δ=a2-8>0,
所以a>2或a<-2,
从而命题q为假命题时,
-2≤a≤2,
所以命题p为真命题,q为假命题时,a的取值范围为-2≤a≤-1.全称量词 存在量词
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.下列语句不是全称命题的是 ( )
A.任何一个实数乘以零都等于零
B.自然数都是正整数
C.高二(一)班绝大多数同学是团员
D.每一个向量都有大小
【解析】选C.“高二(一)班绝大多数同学是团员”,即“高二(一)班有的同学不是团员”,是特称命题.
2.下列命题为特称命题的是 ( )
A.偶函数的图象关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线是平行直线
D.存在实数大于等于3
【解析】选D.A,B,C三个选项都含有“所有”这个全称量词,只有D选项中有存在量词“存在”.
3.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是 ( )
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x0,使≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x0,使>2
【解析】选B.A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题;
B中x=0时,x2=0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为+(-)=0,所以C是假命题;D中对于任意一个负数x,都有<0,所以D是假命题.
4.下列全称命题中假命题的个数是 ( )
①2x+1是整数(x∈R);
②对所有的x∈R,x>3;
③对任意一个x∈Z,2x2+1为奇数.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.①②均为假命题,①中,x=,2+1不是整数,②中,x=0不成立.
5.下列命题为真命题的是 ( )
A.对任意x∈R,都有cosx<2成立
B.存在x∈Z,使log2(3x-1)<0成立
C.对任意x>0,都有3x>3成立
D.存在x∈Q,使方程x-2=0有解
【解析】选A.A中,由于函数y=cosx的最大值是1,
又1<2,所以A是真命题;
B中,log2(3x-1)<0 0<3x-1<1 C中,当x=1时,31=3,所以C是假命题;
D中,x-2=0 x= Q,
所以D是假命题.
6.给出以下命题:
① x∈R,有x4>x2;
② α0∈R,使得sin3α0=3sinα0;
③ a∈R,对 x∈R,使得x2+2x+a<0.
其中真命题的个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.①中,当x=0时,x4=x2,故为假命题;
②中,当α0=kπ(k∈Z)时,sin3α0=3sinα0成立;
③中,由于抛物线开口向上,一定存在x0∈R,使+2x0+a≥0,原命题显然为假命题.
7.(2017·泰安高二检测)若命题“ x0∈R,+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.[-1,3]
B.(-1,3)
C.(-∞,-1]∪[3,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
【解析】选D.依题意,关于x的不等式x2+(a-1)x+1<0有解,因此Δ=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3.
8.(2017·杭州高二检测)若存在x0∈R,使a+2x0+a<0,则实数a的取值范围是
( )
A.a<1
B.a≤1
C.-1D.-1【解析】选A.当a≤0时,显然存在x0∈R,使a+2x0+a<0;
当a>0时,由Δ=4-4a2>0,
解得-1综上所述,实数a的取值范围是a<1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.下列命题中,是全称命题的是________;是特称命题的是________.(填序号)
①正方形的四条边相等;
②有两个角相等的三角形是等腰三角形;
③正数的平方根不等于0;
④至少有一个正整数是偶数.
【解析】①可表达为“每一个正方形的四条边都相等”,是全称命题;②是全称命题,即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”;③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题;④是特称命题.
答案:①②③ ④
10.(2017·苏州高二检测)已知命题p:“ x∈[0,1],a≥ex”,命题q:“ x0∈R,+4x0+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是____________.
【解析】由命题“p∧q”是真命题得命题p,q都是真命题.
因为x∈[0,1],所以ex∈[1,e],
所以a≥e; x0∈R,+4x0+a=0,
即方程x2+4x+a=0有实数解,
所以Δ=42-4a≥0,
解得a≤4,取交集得a∈[e,4].
答案:[e,4]
【延伸探究】本题条件“若命题p∧q是真命题”改为“若命题p∧q是假命题”,其他条件不变,则实数a的取值范围是________.
【解析】若命题p∧q是假命题,则有三种情形:p真q假,p假q真,p假q假,直接求解比较复杂,可求原题结果的补集即得,[e,4]的补集是(-∞,e)∪(4,+∞).
答案:(-∞,e)∪(4,+∞)
三、解答题
11.(10分)用符号“ ”与“ ”表示下面含有量词的命题并判断其真假:
(1)自然数的平方大于零.
(2)圆x2+y2=r2上任一点到圆心的距离是r.
(3)存在一对整数x0,y0,使2x0+4y0=3.
(4)存在一个无理数,它的立方是有理数.
【解析】(1) x∈N,x2>0,因为0也是自然数,0的平方是0.所以,全称命题“自然数的平方大于零”是假命题.
(2)设圆x2+y2=r2的圆心为O,P(x,y)为圆上的点, P,有|OP|=r是真命题.
(3) x0,y0∈Z,2x0+4y0=3.由2x0+4y0=3,得x0+2y0=,若x0,y0∈Z,则x0+2y0也是整数,不可能等于,所以,特称命题“存在一对整数x0,y0,使2x0+4y0=3”是假命题.
(4) x0∈{无理数},∈Q,是有理数,()3=3是有理数.
所以,特称命题“存在一个无理数,它的立方是有理数”是真命题.
【能力挑战题】
已知函数f(x)=lg,若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.
【解析】根据f(x)>0得lg>lg1,
即x+-2>1在x∈[2,+∞)上恒成立,
分离参数,得a>-x2+3x在x∈[2,+∞)上恒成立,
设g(x)=-x2+3x,
则g(x)=-+,
当x∈[2,+∞)时,g(x)max=f(2)=2,所以a>2,
故a的取值范围是(2,+∞).导数的运算法则
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·沈阳高二检测)已知f(x)=x-5+3sinx,则f′(x)等于 ( )
A.-5x-6-3cosx
B.x-6+3cosx
C.-5x-6+3cosx
D.x-6-3cosx
【解析】选C.f′(x)=-5x-6+3cosx.
【补偿训练】函数y=xsinx+的导数是 ( )
A.y=sinx+xcosx+
B.y=sinx-xcosx+
C.y=sinx+xcosx-
D.y=sinx-xcosx-
【解析】选A.因为y=xsinx+,
所以y′=′
=′+′
=x′sinx+x·(sinx)′+
=sinx+xcosx+.
2.(2017·临沂高二检测)已知函数f(x)=x2+cosx,f′(x)是函数f(x)的导函数,则f′(x)的图象大致是 ( )
【解析】选A.因为函数f(x)是偶函数,所以其导函数f′(x)=x-sinx是奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除B,D两项,又因为在原点右侧靠近于原点的区间上,sinx>x,所以f′(x)<0,所以靠近于原点的地方在原点的右侧,图象应该落在第四象限,排除C.
3.下列求导运算正确的是 ( )
A.′=1+
B.′=
C.′=3x·log3e
D.′=-2sinx
【解析】选B.因为′=x′+′=1-,所以A选项错误;
又′=,所以选项B正确;
又′=3xln3,所以选项C错误;
又′=(x2)′cosx+x2(cosx)′
=2xcosx-x2sinx,所以选项D错误.
4.曲线y=-在点M处的切线的斜率为 ( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.y′=
=,
把x=代入得,导数值为.
5.(2017·太原高二检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=
2xf′(e)+lnx,则f′(e)=( )
A.e-1
B.-1
C.-e-1
D.-e
【解析】选C.因为f(x)=2xf′(e)+lnx,
所以f′(x)=2f′(e)+,
所以f′(e)=2f′(e)+,
解得f′(e)=-=-e-1.
6.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 ( )
A.4
B.-
C.2
D.-
【解析】选A.因为g′(1)=2,而f′(x)=g′(x)+2x,
所以f′(1)=g′(1)+2×1=4.
【补偿训练】已知函数f(x)=lnx-ax2在点(2,f(2))处的切线的斜率是-,则a= .
【解析】由题意,得f′(x)=-2ax,则由导数的几何意义,知f′(2)=-4a=-,解得a=.
答案:
【误区警示】(1)“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的曲线的切线方程”是不相同的,后者A必为切点,前者未必是切点.(2)曲线在某点处的切线若有且只有一条,曲线过某点的切线往往不止一条,切线与曲线的公共点不一定只有一个.
7.函数f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,则的最小值是 ( )
A.10
B.9
C.8
D.3
【解析】选B.由题意f′(x)=2ax+b,
又f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,所以f′(1)=2a+b=2,所以a+=1,
所以=+=
=++5≥2+5=9,
当且仅当时“=”成立,
所以的最小值是9.
【补偿训练】设点P是曲线y=x3-x+b(b为实常数)上任意一点,P点处切线的倾斜角为α,则α的取值范围是 ( )
A.
B.
C.∪
D.∪
【解析】选D.y=x3-x+b,
所以y′=3x2-≥-,所以切线斜率k≥-,
所以tanα≥-,倾斜角α的范围为
∪.
8.(2017·聊城高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=
f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2015(x)= ( )
A.sinx
B.-sinx
C.cosx
D.-cosx
【解析】选D.f1(x)=(sinx)′=cosx,f2(x)=(cosx)′=-sinx,f3(x)=(-sinx)′=-cosx,f4(x)=(-cosx)′=sinx,f5(x)=(sinx)′=f1(x),f6(x)=f2(x),…,fn+4(x)
=fn(x),可知周期为4.2015=4×503+3,所以f2015(x)=f3(x)=-cosx.
【延伸探究】若将“f0(x)=sinx”改为“f0(x)=sinx+cosx”,其他条件不变,则f2015(x)= .
【解析】f1(x)=f0′(x)=cosx-sinx,f2(x)=(cosx-sinx)′=-sinx-cosx,
f3(x)=-cosx+sinx,f4(x)=sinx+cosx,以此类推,可得出fn(x)=fn+4(x).2015=4×503+3,
所以f2015(x)=f3(x)=-cosx+sinx.
答案:-cosx+sinx
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·南宁高二检测)已知函数f(x)=2lnx+8x,则
的值等于 .
【解析】f(x)=2lnx+8x,
所以f′=+8,
=-2
=-2f′=-20.
答案:-20
10.(2017·全国乙卷)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为 .
【解析】设y=f(x),则f′(x)=2x-,所以f′(1)=2-1=1,
所以在(1,2)处的切线方程为y-2=1×(x-1),即y=x+1.
答案:y=x+1
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.求下列函数的导数:
(1)y=x4-3x2-5x+6.
(2)y=sin4+cos4.
【解析】(1)y′=(x4-3x2-5x+6)′
=(x4)′-3(x2)′-5(x)′+6′
=4x3-6x-5.
(2)因为y=sin4+cos4
=-2sin2cos2
=1-sin2=+cosx,
所以y′=-sinx.
12.已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2+a(a为常数),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且直线l与函数f(x)的切点的横坐标为1,求直线l的方程及a的值.
【解题指南】解题时应紧扣已知条件“直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切”,挖掘出“直线l在两个函数的切点处的导数值相同”这一隐含条件.
【解析】由f′(x),故直线l的斜率为1,切点为(1,f(1)),即(1,0).
所以l:y=x-1,①
又因为g′(x)|x=1=1,切点为,
所以l:y-=x-1,即y=x-+a②,
比较①和②得-+a=-1,所以a=-.
直线l的方程为y=x-1.
【一题多解】由f′(x),直线l的斜率为1,切点为(1,f(1)),即(1,0).所以l:y=x-1①,
又因为直线l与g(x)的图象相切,
联立方程组得
消去y得x2-x+a+1=0.
所以Δ=1-2(a+1)=0,即a=-.
【能力挑战题】
若曲线C1:y=x2与曲线C2:y=aex(a>0)存在公共切线,试求a的取值范围.
【解析】y=x2在点的切线斜率为2x,y=aex在点的切线斜率为aex,如果两个曲线存在公共切线,由图象可知,a值越大,y=aex越靠近y轴,不可能有公切线,a值越小,y=aex越远离y轴,有公切线,只有当x2=aex,2x=aex,即x2=2x,求得x=0或2,x=0时,a=0,x=2时,a=最大,又因为a>0,所以a的取值范围为.抛物线及其标准方程
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.抛物线y2=4px(p>0)上一点M到焦点的距离为a,则M到y轴的距离为 ( )
A.a-p
B.a+p
C.a-
D.a+2p
【解析】选A.可先求M到准线的距离为a,又准线方程为x=-p,所以M到y轴距离为a-p.
2.顶点在原点,焦点是F(0,3)的抛物线标准方程是 ( )
A.y2=21x
B.x2=12y
C.y2=x
D.x2=y
【解析】选B.由=3得p=6,且焦点在y轴正半轴上,故x2=12y.
3.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过定点P,则过点P的抛物线的标准方程是 ( )
A.y2=-x或x2=y
B.y2=x或x2=y
C.y2=x或x2=-y
D.y2=-x或x2=-y
【解析】选A.方程可化为a(x+2)-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-2,3),设抛物线方程y2=ax(a≠0),或x2=by(b≠0),将(-2,3)代入,可得a=-,b=.
4.抛物线y=ax2的准线方程为y=-1,则实数a的值是 ( )
A. B. C.- D.-
【解析】选A.由条件知a≠0,则y=ax2可以变形为x2=y,由于准线是y=-1,可知a>0,抛物线标准方程可设为x2=2py(p>0),2p=,则p=,又由于-=-1,知p=2,所以=2,解得a=.
【补偿训练】抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是 ( )
A. B. C.|a| D.-
【解析】选B.因为y2=ax,所以p=,即焦点到准线的距离为.
5.(2017·大连高二检测)已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在双曲线-=1上,则抛物线方程为 ( )
A.y2=8x
B.y2=4x
C.y2=2x
D.y2=±8x
【解析】选D.由题意知抛物线的焦点为双曲线-=1的顶点,即为(-2,0)或(2,0),所以抛物线的方程为y2=8x或y2=-8x.
6.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有 ( )
A.|P1F|+|P2F|=|P3F|
B.|P1F|2+|P2F|2=|P3F|2
C.2|P2F|=|P1F|+|P3F|
D.|P2F|2=|P1F|·|P3F|
【解析】选C.因为P1,P2,P3在抛物线上,且2x2=x1+x3,两边同时加上p,
得2=x1++x3+.
即2|P2F|=|P1F|+|P3F|.
7.已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|= ( )
A.2∶
B.1∶2
C.1∶
D.1∶3
【解题指南】利用射线FA的斜率和抛物线的定义求解.
【解析】选C.射线FA的方程为x+2y-2=0(x≥0).
由条件知tanα=,所以sinα=,
由抛物线的定义知|MF|=|MG|,
所以==sinα==.
8.(2017·重庆高二检测)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为 ( )
A.2
B.2
C.2
D.4
【解题指南】由|PF|=4及抛物线的定义求出点P的坐标,进而求出面积.
【解析】选C.抛物线C的准线方程为x=-,焦点F(,0),由|PF|=4及抛物线的定义知,P点的横坐标xP=3,从而yP=±2,
所以=|OF|·|yP|=××2=2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.动点P到直线x+4=0的距离比它到点M(2,0)的距离大2,则点P的轨迹方程是________.
【解析】由题可知,动点P到直线x+2=0的距离与它到点M(2,0)的距离相等,利用定义可求出抛物线方程为y2=8x.
答案:y2=8x
10.若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,则点M的坐标为________.
【解析】由抛物线方程y2=-2px(p>0),得其焦点坐标为F,准线方程为x=,设点M到准线的距离为d,则d=|MF|=10,即-(-9)=10,
所以p=2,故抛物线方程为y2=-4x.
将M(-9,y)代入抛物线方程,得y=±6,
所以M(-9,6)或M(-9,-6).
答案:(-9,-6)或(-9,6)
【补偿训练】(2017·皖南八校联考)若抛物线y2=2x上一点M到坐标原点O的距离为,则点M到抛物线焦点的距离为________.
【解析】设M(x,y),则由
得x2+2x-3=0.解得x=1或x=-3(舍).
所以点M到抛物线焦点的距离d=1-=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.根据下列条件写出抛物线的标准方程.
(1)准线方程x=-.
(2)焦点到准线的距离为2.
(3)经过点(-3,-5).
【解析】(1)由-=-,得p=,
所以所求抛物线的方程是y2=x.
(2)p=2,有四种形式的标准方程,分别是y2=4x,y2=-4x,
x2=4y,x2=-4y.
(3)当抛物线的方程为y2=-2px(p>0)时,将点(-3,-5)代入得p=,即抛物线的方程为y2=-x;当抛物线的方程为x2=-2py(p>0)时,将点(-3,-5)代入得p=,即x2=-y.
12.(2017·邢台高二检测)如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管O′P=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线的对称轴1m,则水池的直径至少应设计为多少米 (精确到1m)
【解题指南】以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立平面直角坐标系,则易得P点坐标,再由P在抛物线上求出抛物线方程,再由抛物线方程求出相关点坐标即可获解.
【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0).
依题意有P(-1,-1)在此抛物线上,代入得p=.
故得抛物线方程为x2=-y.
又点B在抛物线上,将B(x,-2)代入抛物线方程得x=,
即|AB|=,则|O′B|=|O′A|+|AB|=+1,
因此所求水池的直径为2(1+)m,约为5m,
即水池的直径至少应设计为5m.
【补偿训练】某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成,尺寸如图所示,某卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3米,车与箱共高4.5米,问此车能否通过此隧道 说明理由.
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,
则B(-3,-3),A(3,-3).
设抛物线方程为x2=-2py(p>0),
将B点的坐标代入,得9=-2p·(-3),所以p=,所以抛物线方程为x2=-3y(-3≤y≤0).
因为车与箱共高4.5米,
所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5米.
设抛物线上点D的坐标为(x0,-0.5),D′的坐标为(-x0,-0.5),
则=-3×(-0.5),解得x0=±=±.
所以|DD′|=2|x0|=<3,故此车不能通过隧道.
【能力挑战题】
已知抛物线x2=4y,定点A(12,39),点P是此抛物线上的一动点,F是该抛物线的焦点,求|PA|+|PF|的最小值.
【解析】将x=12代入x2=4y,
得y=36<39.
所以点A(12,39)在抛物线内部,
抛物线的焦点为(0,1),准线l为y=-1.
过P作PB⊥l于点B,
则|PA|+|PF|=|PA|+|PB|,
由图可知,当P,A,B三点共线时,
|PA|+|PB|最小.
所以|PA|+|PB|的最小值为|AB|=39+1=40.
故|PA|+|PF|的最小值为40.四种命题间的相互关系
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·太原检测)一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中
( )
A.真命题与假命题的个数相同
B.真命题的个数一定是奇数
C.真命题的个数一定是偶数
D.真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数
【解析】选C.因为原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,所以真命题的个数一定是偶数.
2.(2017·青岛高二检测)与命题“若x=1,则2x2-x-1=0”等价的命题是 ( )
A.若x≠1,则2x2-x-1≠0
B.若x=1,则2x2-x-1≠0
C.若2x2-x-1≠0,则x≠1
D.若2x2-x-1≠0,则x=1
【解题指南】只需找其逆否命题即可.
【解析】选C.与其等价的命题为逆否命题:若2x2-x-1≠0,则x≠1.
3.命题“若a=5,则a2=25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,假命题是 ( )
A.原命题、否命题
B.原命题、逆命题
C.原命题、逆否命题
D.逆命题、否命题
【解析】选D.原命题为真,逆命题为假,逆否命题为真,否命题为假.
4.已知命题“若ab≤0,则a≤0或b≤0”,则下列结论正确的是 ( )
A.真命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0”
B.真命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0”
C.假命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0”
D.假命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0”
【解析】选B.逆否命题“若a>0且b>0,则ab>0”,显然为真命题,又原命题与逆否命题等价,故原命题为真命题.否命题为“若ab>0,则a>0且b>0”.
5.命题“若∠A=60°,则△ABC是等边三角形”的否命题“若∠A≠60°,则△ABC不是等边三角形” ( )
A.为假命题
B.与原命题真假性相同
C.与原命题的逆否命题真假性相同
D.与原命题的逆命题真假性相同
【解析】选D.否命题与逆命题是等价命题.
6.(2017·石家庄高二检测)已知下列命题:
①“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题;
②“正方形是菱形”的否命题;
③“若m>2,则不等式x2-2x+m>0的解集为R”.
其中真命题的个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.对①,原命题是假命题,其逆否命题也是假命题;
对②,其否命题是:不是正方形的四边形不是菱形,是假命题;
对③,不等式x2-2x+m>0的解集为R,需满足Δ=4-4m<0,解得m>1.而m>2满足m>1.故只有③是真命题.
7.给出命题:“已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d”,对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言,真命题的个数是 ( )
A.0
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.因为原命题为真,逆命题为假,故逆否命题为真,否命题为假.
8.若一个命题的逆命题、否命题、逆否命题中有且只有一个是真命题,我们就把这个命题叫做“正向真命题”.给出以下命题:①函数y=x2(x∈R)是偶函数;②若两条直线相交,则它们的倾斜角一定不相等;③α,β,γ为三个不同的平面,若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;④若a·c=b·c,则a=b;⑤若m+n≤2,则m≤1或n≤1.其中是“正向真命题”的序号是 ( )
A.①⑤
B.②③
C.③④
D.②④
【解析】选A.①中命题是真命题,其逆命题为“若一个函数是偶函数,则这个函数是y=x2,是假命题,故它是“正向真命题”;②中命题是真命题,其逆命题为“若两条直线的倾斜角不相等,则它们一定相交”,也是真命题,所以②中命题不是“正向真命题”;③、④中命题都是假命题,所以它们都不是“正向真命题”;⑤中命题的逆否命题是“若m>1且n>1,则m+n>2”是真命题,而它的否命题是“若m+n>2,则n>1且m>1”,显然不是真命题,所以这个命题是“正向真命题”.综上,是“正向真命题”的序号是①⑤.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题为____________命题,逆命题为__________命题.(填“真”或“假”)
【解析】逆否命题为:a,b都小于1,则a+b<2是真命题,
所以原命题是真命题,逆命题为:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2,例如a=3,b=-3满足条件a,b中至少有一个不小于1,但此时a+b=0,故逆命题是假命题.
答案:真 假
10.命题“若x≠1,则x2-1≠0”的真假性为________.
【解析】可转化为判断命题的逆否命题的真假,由于原命题的逆否命题是:“若x2-1=0,则x=1”,因为x2-1=0时,x=±1,所以该命题是假命题,因此原命题是假命题.
答案:假
三、解答题
11.(10分)证明:若m2+n2=2,则m+n≤2.
【证明】将“若m2+n2=2,则m+n≤2”视为原命题,则它的逆否命题为“若m+n>2,则m2+n2≠2”.
由于m+n>2,m2+n2≥2mn,则2(m2+n2)≥m2+n2+2mn=(m+n)2,则m2+n2≥(m+n)2>×22=2,
所以m2+n2≠2.
故原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.
【能力挑战题】
若a2+b2=c2,求证:a,b,c不可能都是奇数.
【证明】若a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数.
得a2+b2为偶数,而c2为奇数,即a2+b2≠c2,
即原命题的逆否命题为真,故原命题也为真命题.
所以a,b,c不可能都是奇数.抛物线方程及性质的应用
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 ( )
A.
B.[-2,2]
C.[-1,1]
D.[-4,4]
【解析】选C.抛物线y2=8x的准线为x=-2,Q(-2,0),
设l:y=k(x+2),
联立
得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,
当k=0时有解,
当k≠0时,Δ≥0,解得-1≤k<0或0所以k∈[-1,1].
2.抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为 ( )
A.y2=x
B.x2=3y
C.x2=y
D.y2=3x
【解题指南】利用点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x)进行求解.
【解析】选B.因为点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x),所以y2=3x关于y=x对称的抛物线方程为x2=3y.
3.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是 ( )
A. B. C. D.3
【解析】选A.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,
当m=时,取得最小值为.
【一题多解】选A.设与4x+3y-8=0平行的直线l方程为:4x+3y+m=0,
由消去y得,3x2-4x-m=0,
由Δ=0得,16+12m=0,解得m=-.
所以l的方程为4x+3y-=0.
因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d==.
4.已知正三角形AOB的一个顶点O是坐标原点,另外两个顶点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,且△AOB的面积等于4,则抛物线的方程是 ( )
A.y2=x
B.y2=x
C.y2=4x
D.y2=8x
【解析】选A.设点A(xA,yA)(yA>0),B(xB,yB)(yB<0),
由于△AOB为正三角形,所以=,
所以xA=yA,
又S△AOB=×(2yA)·xA=4,
所以xA=2,yA=2,代入方程得y2=x.
5.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则= ( )
A.3
B.6
C.9
D.12
【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),
右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,
由b2=a2-c2=16-4=12,
所以椭圆E的方程为+=1,
因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,
将x=-2代入到+=1,解得y=±3,
可得A(-2,3),B(-2,-3),故=6.
6.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 ( )
A.x=1
B.x=-1
C.x=2
D.x=-2
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得:①-②得,
(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).
又因为y1+y2=4,所以===k=1,所以p=2.
所以所求抛物线的准线方程为x=-1.
7.(2017·兰州高二检测)斜率为1,过抛物线y=x2的焦点的直线被抛物线所截得的弦长为 ( )
A.8
B.6
C.4
D.10
【解析】选A.设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),
易知直线方程为y=x+1,
直线方程与抛物线方程联立,消元得:x2-x-1=0,
所以x1+x2=4,x1x2=-4,
所以弦长l==8.
8.(2017·商丘高二检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为 ( )
A.
B.
C.1
D.2
【解析】选D.由题意知,抛物线的准线l:y=-1,
过A作AA1⊥l于A1,过B作BB1⊥l于B1,
设弦AB的中点为M,过M作MM1⊥l于M1,
则|MM1|=.
|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),
即|AF|+|BF|≥6,|AA1|+|BB1|≥6,
2|MM1|≥6,|MM1|≥3,
故M到x轴的距离d≥2.
【拓展延伸】“两看两想”的应用
与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
【补偿训练】已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )
A.
B.3
C.
D.
【解析】选A.抛物线y2=2x的焦点为F,准线是l,由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离,因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值,不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.抛物线y=x2上到直线2x-y=4的距离最短的点坐标是 .
【解析】设P(x,y)为抛物线y=x2上任一点,
则P到直线的距离d==
=,
所以x=1时d取最小值,
此时P(1,1).
答案:(1,1)
10.(2017·全国甲卷)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,Μ是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .
【解析】设N(0,a),F(2,0),那么M,点M在抛物线上,所以=8,解得
a=±4,
所以N(0,±4),
那么|FN|==6.
答案:6
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·宁波高二检测)已知抛物线C:y2=4x,F是抛物线C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)如果l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程.
(2)设|FA|=2|BF|,求直线l的方程.
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)因为y2=4x,所以F(1,0),
又因为直线l的斜率为1,
所以直线l的方程为y=x-1,
代入y2=4x,得x2-6x+1=0,
由根与系数的关系得易得AB的中点,
即圆心的坐标为(3,2),
又|AB|=x1+x2+p=8,
所以圆的半径r=4,
所以所求的圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16.
(2)因为|FA|=2|BF|,所以=2,
而=(x1-1,y1),=(1-x2,-y2),
所以
易知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,
则直线l的方程为y=k(x-1),
代入y2=4x,
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
由根与系数的关系得
因为x1-1=2(1-x2),
所以或所以k=±2,
所以直线l的方程为y=±2(x-1).
【补偿训练】已知顶点在原点,焦点在x轴的负半轴的抛物线截直线y=x+所得的弦长|P1P2|=4,求此抛物线的方程.
【解析】设抛物线方程为y2=-2px(p>0),
把直线方程与抛物线方程联立得消元得x2+(3+2p)x+=0 ①,
判别式Δ=(3+2p)2-9=4p2+12p>0,
解得p>0或p<-3(舍去),
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),
则①中由根与系数的关系得x1+x2=-(3+2p),
x1·x2=,
代入弦长公式得·=4,
解得p=1或p=-4(舍去),
把p=1代入抛物线方程y2=-2px(p>0)中,
得y2=-2x.
综上,所求抛物线方程为y2=-2x.
12.(2017·淮安高二检测)如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.
(1)求y1y2的值.
(2)证明直线MN与直线AB的斜率之比为定值.
【解析】(1)依题意,设AB的方程为x=my+2,
代入y2=4x,得y2-4my-8=0,从而y1y2=-8.
(2)设M(x3,y3),N(x4,y4),
直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,
=×=×=,
设直线AM的方程为x=ny+1,代入y2=4x,消去x得y2-4ny-4=0,所以y1y3=-4,同理y2y4=-4,
===,
由(1)知y1y2=-8,所以=2为定值.
所以直线MN与直线AB的斜率之比为定值2.
【能力挑战题】
已知抛物线方程为y2=-2px,其准线方程为x=,直线l:y=k(x+1)与抛物线交于A,B两个不同的点,O为坐标原点.
(1)求证:OA⊥OB.
(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.
【解析】(1)因为抛物线y2=-2px的准线方程为x=,所以=,得p=,
即抛物线的方程为y2=-x,联立y=k(x+1),
消去x后,整理得:ky2+y-k=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由根与系数的关系得:y1+y2=-,y1y2=-1,
因为A,B两点在抛物线y2=-x上,
所以=-x1,=-x2,·=x1·x2,
所以kOA·kOB=·===-1,
所以OA⊥OB.
(2)设直线l与x轴交于N,由题意可得k≠0,
令y=0,则x=-1,即N(-1,0),
因为S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON|y1+|ON|y2
=×1×|y1-y2|=
==,所以k=-或k=.双曲线方程及性质的应用
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·天津高二检测)双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选A.由题意知:a=2,a+b=c,又c2=a2+b2,且焦点在y轴上,选A.
2.(2017·德化高二检测)直线y=k(x+)与双曲线-y2=1有且只有一个公共点,则k的不同取值有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选D.由已知可得,双曲线的渐近线方程为y=±x,顶点(±2,0),而直线恒过(-,0),故有两条与渐近线平行,有两条切线,共4条直线与双曲线有一个交点.
【补偿训练】(2017·天水高二检测)已知双曲线方程为x2-=1,过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点,则共有L ( )
A.4条
B.3条
C.2条
D.1条
【解析】选B.因为双曲线方程为x2-=1,所以P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的共有3条.
【拓展延伸】数形结合思想在研究直线与双曲线问题中的应用
①直线过定点时,根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.
②直线斜率一定时,通过平行移动直线,比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.
3.(2017·全国甲卷)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为 ( )
A.2
B.
C.
D.
【解析】选A.圆心到渐近线bx±ay=0距离为=,
所以= c=2a e=2.
4.(2017·唐山高二检测)已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在该双曲线上,则·= ( )
A.-12
B.-2
C.0
D.4
【解析】选C.由已知得,b2=2,c=2,点P为(,±1),左、右焦点坐标分别为(-2,0),(2,0),结合向量的乘法,易知选C.
5.如果双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等差数列,则离心率e等于 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为2b=a+c,
所以4b2=a2+2ac+c2,
4(c2-a2)=a2+2ac+c2,
所以3e2-2e-5=0,所以e=.
6.已知曲线-=1与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且·=0(O为原点),则-的值为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.
【解析】选B.将y=1-x代入-=1,
得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=.
因为·=x1x2+y1y2
=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1,
所以-+1=0,
即2a+2ab-2a+a-b=0,
即b-a=2ab,
所以-=2.
7.(2015·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆+y2=3相切,则双曲线的方程为 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-y2=1
D.x2-=1
【解析】选D.由双曲线的渐近线bx-ay=0与圆(x-2)2+y2=3相切可知=,又因为c==2,所以有a=1,b=,故双曲线的方程为x2-=1.
8.(2017·全国乙卷)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3).则△APF的面积为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由c2=a2+b2=4得c=2,所以F(2,0),将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以PF=3,又A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e∈[,2],在两条渐近线构成的角中,设以实轴为角平分线的角为θ,则θ的取值范围是________.
【解析】因为e2===1+,
e∈[,2],
所以2≤1+≤4,
所以1≤≤,
即1≤tan≤,
所以≤≤,
≤θ≤.
答案:
10.(2016·北京高考)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a=__________.
【解析】因为正方形OABC的边长为2,所以B(2,0),渐近线为y=±x.所以c=2,a=b.又因为a2+b2=c2,所以a=b=2.
答案:2
【补偿训练】过双曲线-=1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为,这样的直线的条数为 ( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】选D.依题意可得右焦点F(5,0),
所以垂直x轴,过点F的直线是x=5.
代入-=1,求得y=±,
所以此时弦长=+=.
不是垂直x轴的,如果直线与双曲线有两个交点,则弦长一定比它长,所以这里只有一条,
因为两个顶点距离=4,即左右两支上的点最短是4,所以如果是交于两支的话,弦长不可能为,所以只有1条.
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·北京高二检测)已知椭圆和双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,它们有共同的焦点F1(-5,0),F2(5,0),并且它们的离心率e可以使方程2x2+4(2e-1)x+4e2-1=0有相等的实根,求椭圆和双曲线的方程.
【解析】因为方程2x2+4(2e-1)x+4e2-1=0有相等的实根,
所以Δ=[4(2e-1)]2-4×2×(4e2-1)=0,
所以e1=,e2=.
所以双曲线中:c=5,e=,a=,b2=,
双曲线方程为-=1.
椭圆中:c=5,e=,a=10,b2=a2-c2=75,
椭圆方程为+=1.
12.(2017·黄石高二检测)已知双曲线3x2-y2=3,直线l过右焦点F2,且倾斜角为45°,与双曲线交于A,B两点,试问A,B两点是否位于双曲线的同一支上 并求弦AB的长.
【解题指南】联立方程后根据两根的符号确定两个交点的位置.
【解析】因为a=1,b=,c=2,
又直线l过点F2(2,0),且斜率k=tan
45°=1,
所以l的方程为y=x-2,
由
消去y并整理得2x2+4x-7=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
因为x1·x2=-<0,
所以A,B两点分别位于双曲线的左、右两支上.
因为x1+x2=-2,x1·x2=-,
所以|AB|=|x1-x2|
=·
=·=6.
【能力挑战题】
设双曲线C:-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围.
(2)若设直线l与y轴的交点为P,且=,求a的值.
【解析】(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得有两个不同的解,
消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,
所以
解得-又因为a>0,所以0因为双曲线的离心率e==,
又因为0且e≠.
所以双曲线C的离心率e的取值范围是∪(,+∞).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).
因为=,所以(x1,y1-1)=(x2,y2-1),
由此可得x1=x2.因为x1,x2都是方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0的根,
且1-a2≠0,所以x1+x2=x2=-,
x1x2==-,消去x2,
得a2=.又因为a>0,所以a=.椭圆方程及性质的应用
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为 ( )
A.1个
B.1个或2个
C.2个
D.0个
【解析】选C.因为直线过定点(3,-1)且+<1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.
2.椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是 ( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选B.椭圆的右焦点为F(1,0),由点到直线的距离公式得d==.
3.直线y=x+m与椭圆+=1有两个公共点,则m的取值范围是 ( )
A.(-5,5)
B.(-12,12)
C.(-13,13)
D.(-15,15)
【解析】选C.联立直线与椭圆方程,由判别式Δ>0,可解得-134.过椭圆+=1的一个焦点F作垂直于长轴的椭圆的弦,则此弦长为 ( )
A.
B.3
C.2
D.
【解析】选B.椭圆的焦点为(±1,0),不妨设直线过右焦点,垂直于x轴,交椭圆于A,B两点,把x=1代入+=1得y=±,故弦长|AB|=3.
5.过点M的直线l与椭圆x2+2y2=2交于A,B两点,设线段AB中点为M,设直线l的斜率为k1(k1≠0).直线OM的斜率为k2,则k1k2的值为 ( )
A.2
B.-2
C.
D.-
【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则+2=2,①
+2=2,②
②-①得(x2-x1)(x2+x1)+2(y2-y1)(y2+y1)=0.
即=-,所以k1==-=1,
而k2==-,故k1k2=-.
6.(2017·全国乙卷)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是 ( )
A.(0,1]∪[9,+∞)
B.(0,]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)
D.(0,]∪[4,+∞)
【解析】选A.当03时,焦点在y轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则≥tan60°=,即≥,得m≥9,故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).
7.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由椭圆方程知c==1,
所以F1(-1,0),F2(1,0).
因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2,则可设A(1,y0),
代入椭圆方程可得=,所以y0=±.
设P(x1,y1),则=(x1+1,y1),=(0,y0),
所以·=y1y0.
因为点P是椭圆C上的动点,所以-≤y1≤,
·的最大值为.
8.已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,直线l:x=2,点A∈l,线段AF交椭圆C于点B,若=3,则||= ( )
A.
B.2
C.
D.3
【解析】选A.设点A(2,n),B(x0,y0).
由椭圆C:+y2=1知a2=2,b2=1,
所以c2=1,即c=1,所以右焦点F(1,0).
由=3得(1,n)=3(x0-1,y0).
所以1=3(x0-1)且n=3y0.
所以x0=,y0=n.
将x0,y0代入+y2=1,
得×+=1.
解得n2=1,
所以||===.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.若直线y=2x+b与椭圆+y2=1无公共点,则b的取值范围为________.
【解析】由得+(2x+b)2=1.
整理得17x2+16bx+4b2-4=0.
Δ=(16b)2-4×17×(4b2-4)<0,
解得b>或b<-.
答案:(-∞,-)∪(,+∞)
10.(2017·邯郸高二检测)过椭圆+=1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为________.
【解析】由已知可得直线方程为y=2x-2,联立方程得交点坐标,不妨令A(0,-2),
B,所以S△AOB=·|OF|·|yA-yB|=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.设直线y=x+b与椭圆+y2=1相交于A,B两个不同的点.
(1)求实数b的取值范围.
(2)当b=1时,求|AB|.
【解析】(1)将y=x+b代入+y2=1,
消去y,整理得3x2+4bx+2b2-2=0. ①
因为直线y=x+b与椭圆+y2=1相交于A,B两个不同的点,
所以Δ=16b2-12(2b2-2)=24-8b2>0,
解得-所以b的取值范围为(-,).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
当b=1时,方程①为3x2+4x=0.
解得x1=0,x2=-.
相应地,y1=1,y2=-.
所以|AB|==.
12.(2017·全国甲卷)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.
(1)求点P的轨迹方程.
(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
【解析】(1)设P(x,y),M(x′,y′),N(x′,0),
因为=,所以(x-x′,y)=(0,y′),所以所以
因为M在椭圆C上,
所以代入椭圆方程得到x2+y2=2,
所以点P的轨迹方程为x2+y2=2.
(2)设P(x1,y1),Q(-3,y2),椭圆的左焦点为F(-1,0),
=(x1,y1),=(-3-x1,y2-y1),
·=x1·(-3-x1)+y1(y2-y1)=1,
即-3x1-+y1·y2-=1,
-3x1+y1·y2-(+)=1,
即-3x1+y1·y2=3,①
故lOQ:y=-·x.
所以过点P与直线OQ垂直的直线为:
y-y1=·(x-x1),
当x=-1时,
y=y1+(-1-x1)=y1+-
=y1--
=-,
将①代入得y=0,
所以过P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
【能力挑战题】
(2017·北京高二检测)已知椭圆G:+y2=1,过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率.
(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.
【解析】(1)由已知得a=2,b=1,
所以c==.
所以椭圆G的焦点坐标为(-,0),(,0),
离心率为e==.
(2)由题意知,|m|≥1.
当m=1时,切线l的方程为x=1,点A,B的坐标分别为(1,),(1,-),此时|AB|=.
当m=-1时,同理可得|AB|=.
当|m|>1时,设切线l的方程为y=k(x-m).
由得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.
由l与圆x2+y2=1相切,得=1,
即m2k2=k2+1.
所以|AB|=
=
==.
当m=±1时,|AB|=,
所以|AB|=,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞).
因为|AB|==≤2,且当m=±时,|AB|=2,
所以|AB|的最大值为2.抛物线的简单几何性质
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.在抛物线y2=2px上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为 ( )
A.
B.1
C.2
D.4
【解析】选C.y2=2px的准线为x=-,
所以+4=5,p=2.
2.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线l的方程是 ( )
A.6x-4y-3=0
B.3x-2y-3=0
C.2x+3y-2=0
D.2x+3y-1=0
【解析】选A.设直线l的方程为3x-2y+c=0,抛物线y2=2x的焦点F,
所以3×-2×0+c=0,
所以c=-,故直线l的方程是6x-4y-3=0.
3.(2017·衡水高二检测)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为 ( )
A.-2
B.2
C.-4
D.4
【解析】选D.椭圆+=1的右焦点为(2,0),
所以=2,所以p=4.
4.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0= ( )
A.4
B.2
C.1
D.8
【解析】选C.如图,F,过A作AA′⊥准线l,所以|AF|=|AA′|,所以x0=x0+=x0+,所以x0=1.
5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选D.由得x2-5x+4=0,
所以x=1或x=4.不妨设A(4,4),B(1,-2),
则||=5,||=2,·=(3,4)·(0,-2)=-8,所以cos∠AFB
===-.
6.(2017·全国甲卷)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为 ( )
A.
B.2
C.2
D.3
【解析】选C.由题意知,MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x联立得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3,所以M(3,2),因为MN⊥l,所以N(-1,2),
又F(1,0),所以NF:y=-(x-1),
即x+y-=0,
所以M到直线NF的距离为
=2.
【补偿训练】设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是 ( )
A.(0,2)
B.[0,2]
C.(2,+∞)
D.[2,+∞)
【解析】选C.因为x2=8y,所以焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=-2.由抛物线的定义知|FM|=y0+2.
以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.
由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,
又圆心F到准线的距离为4,故4所以y0>2.
7.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为 ( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】选B.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理可得.设抛物线为y2=2px(p>0),设圆的方程为x2+y2=r2,题目条件翻译如图:
设A(x0,2),D,
点A(x0,2)在抛物线y2=2px上,所以8=2px0. ①
点D在圆x2+y2=r2上,
所以5+=r2. ②
点A(x0,2)在圆x2+y2=r2上,所以+8=r2. ③
联立①②③解得:p=4,焦点到准线的距离为p=4.
8.(2017·天津高二检测)若抛物线x2=2y上距离点A(0,a)的最近点恰好是抛物线的顶点,则a的取值范围是 ( )
A.a>0
B.0C.a≤1
D.a≤0
【解析】选C.设抛物线上任一点P的坐标为(x,y),则|PA|2=d2=x2+(y-a)2=2y+(y-a)2=y2-(2a-2)y+a2=[y-(a-1)]2+(2a-1).
因为y∈[0,+∞),根据题意知,
(1)当a-1≤0,即a≤1,y=0时,=a2.这时dmin=|a|.
(2)当a-1>0,即a>1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意.
综上可知a≤1.
【易错警示】忽视了y的取值范围是[0,+∞),只想到当点在y轴负半轴时,d最小,导致错选D,或胡乱猜测以致错选B.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·青岛高二检测)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________.
【解析】由于x2=2py(p>0)的准线为y=-,
由
解得准线与双曲线x2-y2=3的交点为
A,B,
所以AB=2.
由△ABF为等边三角形,得AB=p,解得p=6.
答案:6
10.(2017·长春高二检测)已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上射影是M,点A(4,6),则|PA|+|PM|的最小值是________.
【解题指南】将P到y轴的距离,转化为点P到焦点的距离,当A,P,F共线时,|PA|+|PM|最小.
【解析】由y2=4x,得p=2,所以焦点F(1,0),如图,
|PM|=|PN|-=|PF|-1,
所以|PA|+|PM|
=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1
=-1=3-1.
答案:3-1
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·吉林高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,
△AOB的面积为,求抛物线的标准方程.
【解题指南】由双曲线离心率求得其渐近线方程,从而求得交点A,B的坐标,即可得到三角形面积表达式,从而得到p的值,进而写出标准方程.
【解析】由已知得=2,所以=4,解得=,
即渐近线方程为y=±x.
而抛物线准线方程为x=-,
于是A,B,
从而△AOB的面积为·p·=,可得p=2.因为抛物线开口向右,所以其标准方程为y2=4x.
12.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点A是抛物线上一点,且∠AFO=120°(O为坐标原点),AK⊥l,垂足为K,求△AKF的面积.
【解析】如图,设A(x0,y0),过A作AH⊥x轴于H,
在Rt△AFH中,|FH|=x0-1,由∠AFO=120°,得∠AFH=60°,故y0=|AH|=(x0-1).所以点A的坐标为(x0,(x0-1)),
将此代入抛物线方程可得3-10x0+3=0,
解得x0=3或x0=(舍),
故S△AKF=×(3+1)×2=4.
【能力挑战题】
已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,准线为l,抛物线C上一点A的横坐标为3,且点A到准线l的距离为5.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若P为抛物线C上的动点,求线段FP的中点M的轨迹方程.
【解析】(1)由题意得,3+=5,所以p=4,
所以抛物线的方程为y2=8x.
(2)由(1)知F(2,0),设P(x0,y0),M(x,y),
则即
而点P(x0,y0)在抛物线C上,=8x0,
所以(2y)2=8(2x-2),即y2=4(x-1),
此即为所求点M的轨迹方程.导数的几何意义
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·天津高二检测)已知曲线f(x)=x2+2x的一条切线斜率是4,则切点的横坐标为 ( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【解析】选D.Δy=f(x+Δx)-f(x)
=(x+Δx)2+2(x+Δx)-x2-2x
=x·Δx+(Δx)2+2Δx,
所以=x+Δx+2,所以f
′(x)==x+2.
设切点坐标为(x0,y0),则f
′(x0)=x0+2.
由已知x0+2=4,所以x0=2.
2.y=-在点处的切线方程是 ( )
A.y=x-2
B.y=x-
C.y=4x-4
D.y=4x-2
【解析】选C.先求y=-的导数,
因为Δy=-+=,
所以=,
所以==,
即y′=,
所以y=-在点处的切线斜率k=y′=4,
所以切线方程为y+2=4,
即y=4x-4.
3.(2017·泰安高二检测)曲线y=x3-2在点处切线的倾斜角为
( )
A.30°
B.45°
C.135°
D.60°
【解析】选B.Δy=(-1+Δx)3-×(-1)3
=Δx-Δx2+(Δx)3,=1-Δx+(Δx)2,
==1,
所以曲线y=x3-2在点处切线的斜率是1,倾斜角为45°.
4.设f(x)为可导函数且满足=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为 ( )
A.2
B.-1
C.1
D.-2
【解析】选B.
=
=
=f
′(1)=-1.
5.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a的值为 ( )
A.1
B.
C.-
D.-1
【解析】选A.因为y′=
=(2a+aΔx)=2a.
所以2a=2,a=1.
6.函数f(x)=x-x3-1的图象在点(1,-1)处的切线与直线4x+ay+3=0垂直,则a=
( )
A.8
B.-8
C.2
D.-2
【解析】选B.由导函数的定义可得函数f(x)的导数为f′(x)=1-3x2,所以f′(1)=-2,所以在点(1,-1)处的切线的斜率为-2,
所以直线4x+ay+3=0的斜率为,
所以-=,所以a=-8.
7.(2017·贵阳高二检测)已知函数y=f(x)的图象如图,f′(xA)与f′(xB)的大小关系是 ( )
A.0>f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)C.f′(xA)=f′(xB)
D.f′(xA)>f′(xB)>0
【解析】选B.f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,故
f′(xA)【补偿训练】已知y=f(x)的图象如图所示,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是
( )
A.f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)=f′(xB)
C.f′(xA)D.f′(xA)与f′(xB)大小不能确定
【解析】选A.由y=f(x)的图象可知,kA>kB,根据导数的几何意义有:f′(xA)>f′(xB).
8.已知函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,f(0))处的切线l与直线x+y+3=0垂直,若数列的前n项和为Sn,则S2
017的值为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解题指南】由条件利用函数在某一点的导数的几何意义求得b的值,根据f(n)的解析式,用裂项法求得数列的前n项和为Sn的值,可得S2
017的值.
【解析】选B.由题意可得A(0,0),函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,0)处的切线l的斜率
k==2b,
再根据l与直线x+y+3=0垂直,可得2b·(-1)=-1,所以b=.
因为f(n)=n2+2bn=n2+n=n(n+1),
所以=-,
故数列的前n项和为Sn=+++…+=1-,
所以S2
017=1-=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为,则点P横坐标的取值范围为 .
【解析】因为f′(x)
=
=
=(Δx+2x+2)
=2x+2.
所以可设P点横坐标为x0,则曲线C在P点处的切线斜率为2x0+2.
由已知得0≤2x0+2≤1,所以-1≤x0≤-,
所以点P横坐标的取值范围为.
答案:
10.(2017·兴义高二检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),
f′(0)>0,对于任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为 .
【解题指南】由导数的定义,先求出f′(0)的值,从而求出的表达式,再利用“对于任意实数x,有f(x)≥0”这一条件,借助不等式的知识即可求解.
【解析】由导数的定义,得f′(0)=
=
=[a·(Δx)+b]=b.
又因为对于任意实数x,有f(x)≥0,
则所以ac≥,所以c>0.
所以=≥≥=2.
答案:2
三、解答题
11.(10分)已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程.
(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.
【解析】(1)y′=
==(2x+Δx+1)=2x+1.
y′|x=1=2×1+1=3,
所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.
设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),
则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.
因为l1⊥l2,则有2b+1=-,b=-.
所以直线l2的方程为y=-x-.
(2)解方程组得
所以直线l1和l2的交点坐标为.
l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),.
所以所求三角形的面积S=××=.
【能力挑战题】
试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.
【解析】=
==3xΔx+3x2+(Δx)2.
=3x2,因此y′=3x2,
设过(1,1)点的切线与y=x3+1相切于点P(x0,+1),据导数的几何意义,函数在点P处的切线的斜率为k=3 ①,
过(1,1)点的切线的斜率k= ②,
所以3=,解得x0=0或x0=,
所以k=0或k=,
因此y=x3+1过点M(1,1)的切线方程有两个,
分别为y-1=(x-1)和y=1,
即27x-4y-23=0或y=1.
【误区警示】本题易错将点(1,1)当成了曲线y=x3+1上的点.因此在求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再据不同情况求解.
【补偿训练】设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值.
【解析】设曲线y=f(x)与斜率最小的切线相切于点(x0,y0),
因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(+a-9x0-1)
=(3+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,
所以=3+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.
当Δx无限趋近于零时,无限趋近于3+2ax0-9.
即f′(x0)=3+2ax0-9.
所以f′(x0)=3-9-.
当x0=-时,f′(x0)取最小值-9-.
困为斜率最小的切线与12x+y=6平行,所以该切线斜率为-12.所以-9-=-12.解得a=±3.
又a<0,所以a=-3.椭圆的简单几何性质
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.椭圆(m+1)x2+my2=1的长轴长是 ( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选C.椭圆方程可简化为+=1,由题意知m>0,所以<,所以a=,所以椭圆的长轴长2a=.
2.已知椭圆C的左、右焦点的坐标分别是(-,0),(,0),离心率是,则椭圆C的方程为 ( )
A.+y2=1
B.x2+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】选A.因为=,且c=,
所以a=,b==1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
3.已知点(m,n)在椭圆8x2+3y2=24上,则2m+4的取值范围是 ( )
A.[4-2,4+2]
B.[4-,4+]
C.[4-2,4+2]
D.[4-,4+]
【解析】选A.方程可化为+=1,则-≤m≤,
所以2m+4∈[4-2,4+2].
4.椭圆+=1的离心率为,则k的值为 ( )
A.-21
B.21
C.-或21
D.或21
【解析】选C.当椭圆的焦点在x轴上时,a2=9,b2=4+k,
得c2=5-k.由==,得k=-;
当焦点在y轴上时,a2=4+k,b2=9,得c2=k-5.由==,得k=21.
5.已知椭圆2x2+y2=2的两个焦点为F1,F2,且B为短轴的一个端点,则△F1BF2的外接圆方程为 ( )
A.x2+y2=1
B.(x-1)2+y2=4
C.x2+y2=4
D.x2+(y-1)2=4
【解析】选A.由2x2+y2=2得x2+=1,所以b=1,c=1.F1(0,-1),F2(0,1),取B(1,0),故△F1BF2外接圆方程为x2+y2=1.
6.(2017·全国丙卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离d==a,整理为a2=3b2,即a2=3(a2-c2) 2a2=3c2,即=,e==.
7.设椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的范围为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为PF1⊥PF2,所以∠F1PF2=90°,
所以|PF1|2+|PF2|2=4c2,又|PF1|+|PF2|=2a,
所以4c2=|PF1|2+|PF2|2≥=2a2,
即2c2≥a2,所以e2≥.又因为08.椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上任一点,且·的最大值的取值范围是[c2,3c2],其中c=,则椭圆M的离心率e的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则=(-c-x,-y),=(c-x,-y),
·=x2+y2-c2.又x2+y2可看作P(x,y)到原点的距离的平方,所以(x2+y2)max=a2,所以(·)max=b2,所以c2≤b2=a2-c2≤3c2,即≤e2≤,所以≤e≤.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,且△PF1F2的最大面积是12,则椭圆的短半轴长为________.
【解析】设P点到x轴的距离为h,
则=|F1F2|h,
当P点在y轴上时,h最大,此时最大.
因为|F1F2|=2c=8,所以h=3,即b=3.
答案:3
10.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且过点P(-5,4),则椭圆的方程为________.
【解析】因为e==,
所以==,
所以5a2-5b2=a2,即4a2=5b2.
设椭圆的标准方程为+=1(a>0),
因为椭圆过点P(-5,4),所以+=1.
解得a2=45.所以椭圆的方程为+=1.
答案:+=1
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆离心率的范围.
(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
【解析】(1)不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),
|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.
在△PF1F2中,由余弦定理可知,
4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn
=4a2-3mn≥4a2-3·
=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).
所以≥,即e≥.
又0(2)由(1)知mn=b2,
所以=mnsin60°=b2,
即△PF1F2的面积只与短轴长有关.
12.椭圆+=1(a>b>0)的右顶点是A(a,0),其上存在一点P,使∠APO=90°,求椭圆离心率的取值范围.
【解析】设P(x,y),由∠APO=90°知,点P在以OA为直径的圆上,圆的方程是:+y2=,所以y2=ax-x2. ①
又P点在椭圆上,故+=1. ②
把①代入②化简,得(a2-b2)x2-a3x+a2b2=0,即
(x-a)[(a2-b2)x-ab2]=0,因为x≠a,x≠0,
所以x=,又0所以0<即2b2由b2=a2-c2,得a2<2c2,所以e>.
又因为0即椭圆离心率的取值范围是.
【能力挑战题】
已知椭圆x2+=1(0【解题指南】根据圆的性质,得圆心P为FC的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点,因此分别求出FC,BC的垂直平分线方程,得到它们的交点为P,代入直线x+y=0解出b2=,即可得出此椭圆的方程.
【解析】设圆心P的坐标为(m,n),因为圆P过点F,B,C三点,所以圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,
FC的垂直平分线方程为x=.①
因为BC的中点为,kBC=-b,
所以BC的垂直平分线方程为y-= ②
由①,②联立,得x=,y=,
即m=,n=.
因为P(m,n)在直线x+y=0上,
所以+=0,
可得(1+b)(b-c)=0,
因为1+b>0,所以b=c,
结合b2=1-c2得b2=,
所以椭圆的方程为x2+=1,即x2+2y2=1.