充分条件与必要条件
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.“φ=”是“cosφ=0”的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件,又是必要条件
D.既不是充分条件,也不是必要条件
【解析】选A.当φ=时,有cosφ=0,但当cosφ=0时,φ=kπ+,k∈Z.
2.(2017·大连高二检测)已知p:x2-x<0,那么命题p的一个充分条件是 ( )
A.0
B.-1C.D.【解析】选C.x2-x<0 03.(2017·西安高二检测)使x>1成立的一个必要条件是 ( )
A.x>0
B.x>3
C.x>2
D.x<2
【解析】选A.只有x>1 x>0,其他选项均不可由x>1推出,故选A.
4.“x>1”是“lo(x+2)<0”的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分又是必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为x>1 lo(x+2)<0,
lo(x+2)<0 x+2>1 x>-1,
所以“x>1”是“lo(x+2)<0”的充分条件.
5.如果A.B.≤a≤
C.a>或a<
D.a≥或a≤
【解析】选B.|x-a|<1 a-1由题意知(a-1,a+1),
则有且等号不同时成立,
解得≤a≤,故选B.
6.(2017·成都高二检测)已知α,β是两个不同的平面,则“平面α∥平面β”成立的一个充分条件是 ( )
A.存在一条直线l,l α,l∥β
B.存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β
C.存在一条直线l,l⊥α,l⊥β
D.存在一个平面γ,γ∥α,γ⊥β
【解析】选C.A.存在一条直线l,l α,l∥β,此时α,β可能相交.
B.若存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β,则α与β可能平行,可能相交.
C.若存在一条直线l,l⊥α,l⊥β,则α∥β成立,反之不一定成立,满足条件.
D.若存在一个平面γ,γ∥α,γ⊥β,则α⊥β,所以不满足题意.
7.集合A=,B={x|-aA.[-2,0)
B.(0,2]
C.(-2,2)
D.[-2,2]
【解析】选C.A=={x|-18.(2017·广州高二检测)已知f(x)=x-x2,且a,b∈R,则“a>b>1”是“f(a)A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选A.画出函数f(x)=x-x2的图象,如图所示:
由图象得:f(x)在上递减,
所以a>b>1时,f(a)如f(0)=0二、填空题(每小题5分,共10分)
9.下列不等式:①x<1;②0【解析】由于x2<1即-1答案:②③④
10.若【解析】|x-m|<1,即m-1由题意可知且等号不同时成立,
即-≤m≤,故实数m的取值范围是.
答案:
三、解答题
11.(10分)(2017·潍坊高二检测)若p:-2【解析】若a=-1,b=,则Δ=a2-4b<0,关于x的方程x2+ax+b=0无实根,故pq.
若关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,不妨设这两个根为x1,x2,且0则x1+x2=-a,x1x2=b.于是0<-a<2,0所以,p是q的必要条件,但不是充分条件.
【能力挑战题】
(2017·宝鸡高二检测)已知集合A={y|y=x2-x+1,x∈},B={x||x-m|≥1},命题p:t∈A,命题q:t∈B,并且命题p是命题q的充分条件,求实数m的取值范围.
【解题指南】本题先根据已知条件表示出集合A,B,然后根据条件求出实数m的取值范围.
【解析】先化简集合A,由y=x2-x+1,配方,得
y=+.
因为x∈,所以y∈.
所以A=.由|x-m|≥1,
解得x≥m+1或x≤m-1.
所以B={x|x≥m+1或x≤m-1}.
因为命题p是命题q的充分条件,所以A B.
所以m+1≤或m-1≥2,
解得m≤-或m≥3.
故实数m的取值范围是∪[3,+∞).1.3
简单的逻辑联结词
课时达标训练
1.命题“2017≥2016”使用逻辑联结词的情况是 ( )
A.使用了逻辑联结词“或”
B.使用了逻辑联结词“且”
C.使用了逻辑联结词“非”
D.以上都不对
【解析】选A.符号“≥”读作大于或等于,使用了逻辑联结词“或”.
2.如果命题“p∨q”为假命题,则 ( )
A.p、q均为假命题
B.p、q中至少有一个真命题
C.p、q均为真命题
D.p、q中只有一个真命题
【解析】选A.由真值表可以直接判断,也可逆向思维,若p,q中至少有一个真命题,则“p∨q”为真命题,从而选A.
3.对于命题p和q,若p且q为真命题,则下列四个命题:
①p或 q是真命题;
②p且 q是真命题;
③ p且 q是假命题;
④ p或q是假命题.
其中真命题是 ( )
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
【解析】选C.因为p且q为真命题,所以p为真,q为真, p为假, q为假,所以p或 q为真, p且 q为假,故选C.
4.若p:不等式ax+b>0的解集为,q:关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|a【解析】因为命题“p∧q”为真命题,所以p,q均为真命题,
于是a>0,且a答案:05.判断下列命题的真假:
(1)函数y=cosx是周期函数并且是单调函数.
(2)x=2或x=-2是方程x2-4=0的解.
【解析】(1)由p:“函数y=cosx是周期函数”,q:“函数y=cosx是单调函数”,用联结词“且”联结后构成命题p∧q.
因为p是真命题,q是假命题,所以p∧q是假命题.
(2)由p:“x=2是方程x2-4=0的解”,q:“x=-2是方程x2-4=0的解”,用“或”联结后构成命题p∨q.因为p,q都是真命题,所以p∨q是真命题.含有一个量词的命题的否定
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p: n0∈N,>,则p为 ( )
A. n∈N,n2>2n
B. n0∈N,≤
C. n∈N,n2≤2n
D. n0∈N,=
【解析】选C.p: n∈N,n2≤2n.
2.命题“一次函数都是单调函数”的否定是 ( )
A.一次函数都不是单调函数
B.非一次函数都不是单调函数
C.有些一次函数是单调函数
D.有些一次函数不是单调函数
【解析】选D.命题的否定只对结论进行否定,“都是”的否定是“不都是”,即“有些”.
3.下列说法中,正确的个数是 ( )
①存在一个实数,使-2+x0-4=0;
②所有的质数都是奇数;
③在同一平面中斜率相等且不重合的两条直线都平行;
④至少存在一个正整数,能被5和7整除.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.①方程-2+x0-4=0无实根;②2是质数,但不是奇数;③④正确.
4.(2015·湖北高考)命题“ x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是 ( )
A. x∈(0,+∞),lnx≠x-1
B. x (0,+∞),lnx=x-1
C. x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1
D. x0 (0,+∞),lnx0=x0-1
【解析】选A.由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为 x∈(0,
+∞),lnx≠x-1.
【延伸拓展】对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法
(1)确定类型:是特称命题还是全称命题.
(2)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词;把存在量词换为恰当的全称量词.
(3)否定性质:原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
注意:无量词的全称命题要先补回量词再否定.
5.有下列四个命题:① x∈R,2x2-3x+4>0;② x∈{1,-1,0},2x+1>0;③ x0∈N,≤x0;④ x0∈N
,x0为29的约数.其中真命题的个数为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.对于①,这是全称命题,因为Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故①为真命题;对于②,这是全称命题,因为当x=-1时,2x+1>0不成立,故②为假命题;对于③,这是特称命题,当x0=0或x0=1时,有≤x0成立,故③为真命题;对于④,这是特称命题,当x0=1时,x0为29的约数成立,所以④为真命题.
6.命题p:“ x∈[1,2],2x2-x-m>0”,命题q:“ x0∈[1,2],log2x0+m>0”,若“p∧q”为真命题,则实数m的取值范围是 ( )
A.m<1
B.m>-1
C.-1D.-1≤m≤1
【解题指南】解答本题可先求出p与q分别为真命题时,m的取值范围,然后取其交集即可.
【解析】选C.由“p∧q”为真命题,得p,q都是真命题,
命题p:“ x∈[1,2],2x2-x-m>0”为真命题.
即对于 x∈[1,2],m<2x2-x恒成立,
得m<(2x2-x)min=1.
命题q:“ x0∈[1,2],log2x0+m>0”为真命题,
则 x0∈[1,2],-m只要-m<(log2x)max=1,得m>-1.
综上所述,-17.(2017·山东高考)已知命题p: x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是 ( )
A.p∧q
B.p∧q
C.p∧q
D.
p∧q
【解析】选B.因为x>0,所以x+1>1,所以ln(x+1)>0,则命题p为真命题,
由1>-2,但12<(-2)2,所以命题q是假命题,则q是真命题,所以p∧q是真命题.
8.(2017·吉林高二检测)下列命题错误的是 ( )
A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”
B.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
C.命题p:存在x0∈R,使得+x0+1<0,则p:任意x∈R,都有x2+x+1≥0
D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件
【解析】选B.由逆否命题“条件的否定作结论,结论的否定为条件”知A正确;p∧q为假命题时,还可能p假或q假,故B错误;由“非”命题的定义知C正确;因为x>2时,x2-3x+2>0成立,x2-3x+2>0时,x<1或x>2,所以D正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.命题“ x∈R,3x2-2x+1>0”的否定是________.
【解析】“ x∈M,p(x)”的否定为“ x0∈M,p(x0)”.
所以其否定为 x0∈R,3-2x0+1≤0.
答案: x0∈R,3-2x0+1≤0
10.(2017·广州高二检测)若“ x0∈,sinx0+cosx0【解析】令f(x)=sinx+cosx=2sin,x∈,
可知f(x)在上为增函数,在上为减函数,
由于f(0)=,f=2,f=1,所以1≤f(x)≤2,
由于“ x0∈,sinx0+cosx0答案:(-∞,1]
三、解答题
11.(10分)写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)p: x∈R,x2-x+≥0.
(2)q:所有的正方形都是矩形.
(3)r: x0∈R,+2x0+2≤0.
(4)s:至少有一个实数x0,使+1=0.
【解析】(1)p: x0∈R,-x0+<0,假命题,因为 x∈R,x2-x+=≥0恒成立,
所以p是假命题.
(2)q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题.
(3)r: x∈R,x2+2x+2>0,真命题,
因为 x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0恒成立,所以r是真命题.
(4)s: x∈R,x3+1≠0,假命题.因为x=-1时,x3+1=0,所以s是假命题.
【能力挑战题】
已知命题p: m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥恒成立;命题q: x0,使不等式+ax0+2<0成立.若p或q是真命题,q是真命题,求a的取值范围.
【解析】根据p或q是真命题,q是真命题,得p是真命题,q是假命题.
因为m∈[-1,1],
所以∈[2,3].
因为 m∈[-1,1],
不等式a2-5a-3≥恒成立,
所以a2-5a-3≥3,
所以a≥6或a≤-1.
故命题p为真命题时,a≥6或a≤-1.
又命题q: x0,使不等式+ax0+2<0,
所以Δ=a2-8>0,
所以a>2或a<-2,
从而命题q为假命题时,
-2≤a≤2,
所以命题p为真命题,q为假命题时,a的取值范围为-2≤a≤-1.1.1.3
四种命题间的相互关系
课时达标训练
1.命题“若 p,则q”为真命题,则下列命题一定是真命题的是 ( )
A.若p,则 q
B.若q,则 p
C.若 q,则p
D.若 q,则 p
【解析】选C.若“ p,则q”的逆否命题是“若 q,则p”,又因为互为逆否命题的真假性相同,所以“若 q,则p”一定是真命题.
2.下列说法中正确的是 ( )
A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真
B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价
C.“若a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2+b2≠0”
D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真
【解析】选D.互为逆否关系的命题具有相同的真假性.
3.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.命题“若a>-3,则a>-6”的逆命题为“若a>-6,则a>-3”,为假命题,则它的否命题“若a≤-3,则a≤-6”也必为假命题;它的逆否命题“若a≤-6,则a≤-3”为真命题.故真命题的个数为2.
4.若ax2-2ax-3≤0恒成立,则实数a的取值范围是________.
【解析】当a=0时,-3≤0恒成立;
当a≠0时,由
解得-3≤a<0.
综上可知,实数a的取值范围是-3≤a≤0.
答案:[-3,0]
5.设命题p:若m<0,则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根.
(1)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题.
(2)判断命题p及其逆命题、否命题、逆否命题的真假.(直接写出结论)
【解析】(1)p的逆命题:若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根,则m<0.
p的否命题:若m≥0,则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根.
p的逆否命题:若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根,则m≥0.
(2)命题p及其逆否命题是真命题,命题p的逆命题和否命题是假命题.全称量词 存在量词
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.下列语句不是全称命题的是 ( )
A.任何一个实数乘以零都等于零
B.自然数都是正整数
C.高二(一)班绝大多数同学是团员
D.每一个向量都有大小
【解析】选C.“高二(一)班绝大多数同学是团员”,即“高二(一)班有的同学不是团员”,是特称命题.
2.下列命题为特称命题的是 ( )
A.偶函数的图象关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线是平行直线
D.存在实数大于等于3
【解析】选D.A,B,C三个选项都含有“所有”这个全称量词,只有D选项中有存在量词“存在”.
3.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是 ( )
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x0,使≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x0,使>2
【解析】选B.A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题;
B中x=0时,x2=0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为+(-)=0,所以C是假命题;D中对于任意一个负数x,都有<0,所以D是假命题.
4.下列全称命题中假命题的个数是 ( )
①2x+1是整数(x∈R);
②对所有的x∈R,x>3;
③对任意一个x∈Z,2x2+1为奇数.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.①②均为假命题,①中,x=,2+1不是整数,②中,x=0不成立.
5.下列命题为真命题的是 ( )
A.对任意x∈R,都有cosx<2成立
B.存在x∈Z,使log2(3x-1)<0成立
C.对任意x>0,都有3x>3成立
D.存在x∈Q,使方程x-2=0有解
【解析】选A.A中,由于函数y=cosx的最大值是1,
又1<2,所以A是真命题;
B中,log2(3x-1)<0 0<3x-1<1 C中,当x=1时,31=3,所以C是假命题;
D中,x-2=0 x= Q,
所以D是假命题.
6.给出以下命题:
① x∈R,有x4>x2;
② α0∈R,使得sin3α0=3sinα0;
③ a∈R,对 x∈R,使得x2+2x+a<0.
其中真命题的个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.①中,当x=0时,x4=x2,故为假命题;
②中,当α0=kπ(k∈Z)时,sin3α0=3sinα0成立;
③中,由于抛物线开口向上,一定存在x0∈R,使+2x0+a≥0,原命题显然为假命题.
7.(2017·泰安高二检测)若命题“ x0∈R,+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.[-1,3]
B.(-1,3)
C.(-∞,-1]∪[3,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
【解析】选D.依题意,关于x的不等式x2+(a-1)x+1<0有解,因此Δ=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3.
8.(2017·杭州高二检测)若存在x0∈R,使a+2x0+a<0,则实数a的取值范围是
( )
A.a<1
B.a≤1
C.-1D.-1【解析】选A.当a≤0时,显然存在x0∈R,使a+2x0+a<0;
当a>0时,由Δ=4-4a2>0,
解得-1综上所述,实数a的取值范围是a<1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.下列命题中,是全称命题的是________;是特称命题的是________.(填序号)
①正方形的四条边相等;
②有两个角相等的三角形是等腰三角形;
③正数的平方根不等于0;
④至少有一个正整数是偶数.
【解析】①可表达为“每一个正方形的四条边都相等”,是全称命题;②是全称命题,即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”;③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题;④是特称命题.
答案:①②③ ④
10.(2017·苏州高二检测)已知命题p:“ x∈[0,1],a≥ex”,命题q:“ x0∈R,+4x0+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是____________.
【解析】由命题“p∧q”是真命题得命题p,q都是真命题.
因为x∈[0,1],所以ex∈[1,e],
所以a≥e; x0∈R,+4x0+a=0,
即方程x2+4x+a=0有实数解,
所以Δ=42-4a≥0,
解得a≤4,取交集得a∈[e,4].
答案:[e,4]
【延伸探究】本题条件“若命题p∧q是真命题”改为“若命题p∧q是假命题”,其他条件不变,则实数a的取值范围是________.
【解析】若命题p∧q是假命题,则有三种情形:p真q假,p假q真,p假q假,直接求解比较复杂,可求原题结果的补集即得,[e,4]的补集是(-∞,e)∪(4,+∞).
答案:(-∞,e)∪(4,+∞)
三、解答题
11.(10分)用符号“ ”与“ ”表示下面含有量词的命题并判断其真假:
(1)自然数的平方大于零.
(2)圆x2+y2=r2上任一点到圆心的距离是r.
(3)存在一对整数x0,y0,使2x0+4y0=3.
(4)存在一个无理数,它的立方是有理数.
【解析】(1) x∈N,x2>0,因为0也是自然数,0的平方是0.所以,全称命题“自然数的平方大于零”是假命题.
(2)设圆x2+y2=r2的圆心为O,P(x,y)为圆上的点, P,有|OP|=r是真命题.
(3) x0,y0∈Z,2x0+4y0=3.由2x0+4y0=3,得x0+2y0=,若x0,y0∈Z,则x0+2y0也是整数,不可能等于,所以,特称命题“存在一对整数x0,y0,使2x0+4y0=3”是假命题.
(4) x0∈{无理数},∈Q,是有理数,()3=3是有理数.
所以,特称命题“存在一个无理数,它的立方是有理数”是真命题.
【能力挑战题】
已知函数f(x)=lg,若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.
【解析】根据f(x)>0得lg>lg1,
即x+-2>1在x∈[2,+∞)上恒成立,
分离参数,得a>-x2+3x在x∈[2,+∞)上恒成立,
设g(x)=-x2+3x,
则g(x)=-+,
当x∈[2,+∞)时,g(x)max=f(2)=2,所以a>2,
故a的取值范围是(2,+∞).第一章
常用逻辑用语
单元质量评估(一)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列各命题中为真命题的是 ( )
A. x∈R,x≥0
B.如果x<5,则x<2
C. x∈R,x2≤-1
D. x∈R,x2+1≠0
【解析】选D.A中,若x取负数,x≥0不成立,故A错;B中,若取x=4<5,x<2不成立,故B错;C中, x∈R,x2≥0,故C错;D中, x∈R,x2≥0,故x2+1≠0成立.
2.(2017·济南高二检测)若非空集合MN,则“a∈M或a∈N”是“a∈(M∩N)”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.若a∈N,则有可能a (M∩N).
3.设a,b为向量,则“”是“a∥b”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.a,b为向量,设a与b的夹角为θ.
由从而得=1,cosθ=±1,所以θ=0或π,能够推得a∥b,反之也能够成立,为充分必要条件.
【补偿训练】(2017·烟台高二检测)已知p:α≠β,q:cosα≠cosβ,则p是q的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】根据原命题与其逆否命题的真假性相同,要判断p是q的什么条件,只需判断q是p的什么条件.
【解析】选B.p:α=β;q:cosα=cosβ,显然p q成立,但qp,所以q是p的必要不充分条件,即p是q的必要不充分条件.
4.(2017·太原高二检测)“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为 ( )
A.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B都不是锐角
B.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角
C.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B都不一定是锐角
D.在△ABC中,若∠A,∠B不都是锐角,则∠C≠90°
【解析】选B.命题“若p,则q”的否命题为“若p,则q”,条件和结论都要否定.
5.设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是 ( )
A.p∨q
B.p∧q
C.(p)∧(q)
D.p∧(q)
【解析】选A.命题p中的a与c可能为共线向量,故命题p为假命题,由a,b,c为非零向量,可知命题q为真命题.故p∨q为真命题.
6.(2017·杭州高二检测)命题“ x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 ( )
A.a≥4
B.a≤4
C.a≥5
D.a≤5
【解析】选C.命题“ x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是a≥4,故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4,+∞)的非空真子集,正确选项为C.
7.(2017·广州高二检测)已知命题p:若不等式x2+x+m>0恒成立,则m>;命题q:在△ABC中,A>B是sinA>sinB的充要条件,则 ( )
A.p假q真
B.“p且q”为真
C.“p或q”为假
D.p假q真
【解析】选B.易判断出命题p为真命题,命题q为真命题,所以p为假,q为假.结合各选项知B正确.
8.(2017·烟台高二检测)下列各小题中,p是q的充分必要条件的是 ( )
①p:cosα=cosβ,q:tanα=tanβ;
②p:=1,q:y=f(x)是偶函数;
③p:A∩B=A;q:BA;
④p:m<-2或m>6;q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点.
A.①②
B.②③
C.③④
D.②③④
【解析】选C.当α=,β=-时,cosα=cosβ,tanα≠tanβ,故pq,同理
pq,①不符合;
由=1 f(x)=f(-x) f(x)为偶函数,而逆命题为假,如f(x)=x2,②不符合;
A∩B=AABBA,③符合;
函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点的充要条件为Δ=m2-4(m+3)>0,
即(m+2)(m-6)>0,解得m<-2或m>6,④符合.
9.下列命题的否定是真命题的是 ( )
A.在△ABC中,存在A>B,使sinA>sinB
B.空间中任意两条没有公共点的直线都平行
C.任两个全等三角形的对应角都相等
D. x,y∈R,x2+y2-4x+6y=0
【解析】选B.选项A,C,D原命题都正确,其否定错误,B中两直线可能平行,也可能异面,所以B中原命题为假,否定为真.
10.(2017·西安高二检测)若命题p的逆命题是q,命题p的逆否命题是r,则q与r的关系是 ( )
A.互为逆命题
B.互为否命题
C.互为逆否命题
D.不能确定
【解析】选B.设命题p为“若a,则b”,则命题q为“若b,则a”,命题r为“若b,则a”,故命题q与r互为否命题.
【补偿训练】下面说法正确的是 ( )
A.命题“ x0∈R,使得+x0+1≥0”的否定是“ x∈R,使得x2+x+1≥0”
B.实数x>y是x2>y2成立的充要条件
C.设p,q为简单命题,若“p∨q”为假命题,则“p∧q”也为假命题
D.命题“若α=0,则cosα=1”的逆否命题为真命题
【解析】选D.对A,命题的否定是:“ x∈R,使得x2+x+1<0”,故不正确.
对于B,由x>y
x2>y2,且x2>y2
x>y,故不正确.
对于C,若“p∨q”为假命题,则“p∧q”为真命题,故不正确.
对于D,若α=0,则cosα=1是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确.
11.已知命题p:“对 x∈R, m∈R,使4x+2xm+1=0”.若命题p是假命题,则实数m的取值范围是 ( )
A.-2≤m≤2
B.m≥2
C.m≤-2
D.m≤-2或m≥2
【解析】选C.因为p假,所以p真.
对 x∈R,t=2x>0,即求使t2+mt+1=0(t>0)成立的m的范围,而二次函数y=t2+mt+1开口向上,且恒过定点(0,1),
故所以m≤-2.
12.(2017·武汉高二检测)定义域为R的偶函数f(x)满足对 x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=-2(x-3)2,若函数y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则a的取值范围为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解题指南】对函数恒等式进行赋值,探究函数的周期性、对称性,画出函数图象,建立不等式求解.
【解析】选B.由于定义域为R的偶函数f(x)满足对 x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),得f(-1+2)=f(-1)-f(1)=0,故f(x+2)=f(x),可知f(x)的周期T=2,图象以x=2为对称轴,作出f(x)的部分图象,如图,
因为y=loga(x+1)的图象与f(x)的图象至少有三个交点,即有loga(2+1)>f(2)=-2且0解得a∈.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.命题“若a A,则b∈B”的逆否命题是________.
【解析】逆否命题既否定其条件又否定其结论,然后交换其顺序.
答案:若b B,则a∈A
14.命题p:|x+1|>2;命题q:>1.则p是q的________条件.
【解析】p:x>1或x<-3,q:2答案:充分不必要
15.(2017·武汉高二检测)设n∈N
,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.
【解析】由Δ=16-4n≥0得n≤4,又因为n∈N
,故n=1,2,3,4,验证可知n=3,4,符合题意;反之,当n=3,4时,可以推出一元二次方程有整数根.
答案:3或4
【补偿训练】已知p:-40,若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是________.
【解析】p:a-4因为p是q的充分条件(即p q),
所以q p,所以所以-1≤a≤6.
答案:[-1,6]
16.下列几个命题中,
①“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”的充要条件;
②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”的充要条件;
③函数y=的最小值为2.
其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上)
【解析】①“k=1”可以推出“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”,但是函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π,即y=cos2kx,T==π,k=±1.
②“a=3”不能推出“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”,反之垂直推出a=;
③函数y===+,
令=t,t≥,ymin=+=.
答案:①②③
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)把下列命题作为原命题,分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题.
(1)若α=β,则sinα=sinβ.
(2)若梯形的对角线相等,则梯形为等腰梯形.
(3)已知a,b,c,d都是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d.
【解析】(1)逆命题:若sinα=sinβ,则α=β;
否命题:若α≠β,则sinα≠sinβ;
逆否命题:若sinα≠sinβ,则α≠β.
(2)逆命题:若梯形为等腰梯形,则它的对角线相等;
否命题:若梯形的对角线不相等,则梯形不是等腰梯形;
逆否命题:若梯形不是等腰梯形,则它的对角线不相等.
(3)逆命题:已知a,b,c,d都是实数,若a+c=b+d,则a=b,c=d;
否命题:已知a,b,c,d都是实数,若a≠b或c≠d,则a+c≠b+d;
逆否命题:已知a,b,c,d都是实数,若a+c≠b+d,则a≠b或c≠d.
18.(12分)判断命题“已知a,x为实数,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,那么a≥1”的逆否命题的真假.
【解析】方法一:(直接法)
逆否命题:已知a,x为实数,如果a<1,那么关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.
判断如下:
二次函数y=x2+(2a+1)x+a2+2的图象开口向上,判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.
因为a<1,所以4a-7<0.
即二次函数y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点,
所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,故逆否命题为真.
方法二:(先判断原命题的真假)
因为a,x为实数,且关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,
所以Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,即4a-7≥0,解得a≥,因为a≥>1,所以原命题为真.
又因为原命题与其逆否命题等价,所以逆否命题为真.
19.(12分)(2017·临沂高二检测)已知p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0,若p是q的充分不必要条件,求正实数a的取值范围.
【解析】p:A={x|x<-2或x>10},q:B={x|x<1-a或x>1+a,a>0},如图:
依题意,p q,但qp,
所以AB,所以解得0所以实数a的取值范围是020.(12分)(2017·宿州高二检测)已知命题p:方程x2-2mx+m=0没有实数根;命题q: x∈R,x2+mx+1≥0.
(1)写出命题q的否定“q”.
(2)如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数m的取值范围.
【解析】(1)q: x0∈R,+mx0+1<0.
(2)若方程x2-2mx+m=0没有实数根,则Δ=4m2-4m<0,解得0若 x∈R,x2+mx+1≥0,则m2-4≤0,解得-2≤m≤2,即q:-2≤m≤2.
因为“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,所以p,q两命题应一真一假,即p真q假或p假q真.
则或
解得-2≤m≤0或1≤m≤2.
21.(12分)已知二次函数f(x)=ax2+x.对于 x∈[0,1],|f(x)|≤1成立,试求实数a的取值范围.
【解析】|f(x)|≤1-1≤f(x)≤1-1≤ax2+x≤1,x∈[0,1]. ①
当x=0时,a≠0,①式显然成立;
当x∈(0,1]时,①式化为--
≤a≤-在x∈(0,1]上恒成立.
设t=,则t∈[1,+∞),
则有-t2-t≤a≤t2-t,
所以只需 -2≤a≤0,
又a≠0,故-2≤a<0.
综上,所求实数a的取值范围是[-2,0).
22.(12分)(2017·保定高二检测)已知命题:“ x∈{x|-1≤x≤1},都有不等式x2-x-m<0成立”是真命题.
(1)求实数m的取值集合B.
(2)设不等式(x-3a)(x-a-2)<0的解集为A,若x∈A是x∈B的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
【解析】(1)命题:“ x∈{x|-1≤x≤1},都有不等式x2-x-m<0成立”是真命题,得x2-x-m<0在-1≤x≤1时恒成立,
所以m>(x2-x)max,得m>2,即B={m|m>2}.
(2)不等式(x-3a)(x-a-2)<0,
①当3a>2+a,即a>1时,解集A={x|2+a若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则AB,
所以2+a≥2,此时a∈(1,+∞).
②当3a=2+a,即a=1时,解集A=,若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则AB成立.
③当3a<2+a,即a<1时,解集A={x|3a若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则AB成立,
所以3a≥2,此时a∈.
综上①②③可得a∈.第一章
常用逻辑用语
能力深化提升
类型一 四种命题及其真假判断
【典例1】(2017·银川高二检测)将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假.
(1)垂直于同一平面的两条直线平行.
(2)当mn<0时,方程mx2-x+n=0有实数根.
【解析】(1)将命题写成“若p,则q”的形式为:若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行.
它的逆命题、否命题和逆否命题如下:
逆命题:若两条直线平行,则这两条直线垂直于同一个平面.(假)
否命题:若两条直线不垂直于同一个平面,则这两条直线不平行.(假)
逆否命题:若两条直线不平行,则这两条直线不垂直于同一个平面.(真)
(2)将命题写成“若p,则q”的形式为:若mn<0,则方程mx2-x+n=0有实数根.
它的逆命题、否命题和逆否命题如下:
逆命题:若方程mx2-x+n=0有实数根,则mn<0.(假)
否命题:若mn≥0,则方程mx2-x+n=0没有实数根.(假)
逆否命题:若方程mx2-x+n=0没有实数根,则mn≥0.(真)
【方法总结】四种命题的写法及其真假的判断方法
(1)四种命题的写法:
①明确条件和结论:认清命题的条件p和结论q,然后按定义写出命题的逆命题、否命题、逆否命题.
②应注意:原命题中的前提不能作为命题的条件.
(2)简单命题真假的判断方法:
①直接法:判断简单命题的真假,通常用直接法判断.用直接法判断时,应先分清条件和结论,运用命题所涉及的知识进行推理论证.
②间接法:当命题的真假不易判断时,还可以用间接法,转化为等价命题或举反例.用转化法判断时,需要准确地写出所给命题的等价命题.
【巩固训练】(2017·海南高二检测)有下列四个命题:
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;
②“相似三角形的周长相等”的否命题;
③“若b≤-1,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;
④“若A∪B=B,则A B”的逆否命题.
其中是真命题的有 ( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.③④
【解析】选C.①逆命题是若x,y互为倒数,则xy=1,是真命题;②否命题是不相似的三角形周长不相等,是假命题;③逆否命题是若方程x2-2bx+b2+b=0无实根,则b>-1.因为Δ=4b2-4(b2+b)<0,所以b>0,所以该命题为真命题;④因为A∪B=B,所以A B,所以该命题为假命题.
类型二 充分条件与必要条件的判定与应用
【典例2】(1)(2017·济南高二检测)“a=-1”是“函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的 ( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2017·成都高二检测)已知a,b是不共线的向量,若=λ1a+b,=a+
λ2b(λ1,λ2∈R),则A,B,C三点共线的充要条件是 ( )
A.λ1=λ2=-1
B.λ1=λ2=1
C.λ1λ2=1
D.λ1λ2=-1
【解析】(1)选B.当a=-1时,函数f(x)=ax2+2x-1=-x2+2x-1只有一个零点x=1;但若函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点,则a=-1或a=0.所以“a=-1”是“函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的充分而不必要条件.
(2)选C.依题意,A,B,C三点共线 =λ λ1a+b=λa+λλ2b 所以λ1λ2=1.
【方法总结】对充要条件的理解及证明
(1)理解:对于符号“ ”要熟悉它的各种同义词语:“等价于”“当且仅当”“必须并且只须”“……,反之也真”等.
(2)证明:证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立(即条件的充分性),又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).
【巩固训练】使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是 ( )
A.x<0
B.x≥0
C.x∈{-1,3,5}
D.x≤-或x≥3
【解析】选C.由2x2-5x-3≥0得,只有选项C中x的范围为其真子集.
类型三 由逻辑联结词“且”“或”“非”构成的命题真假的判断与应用
【典例3】已知命题p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数,p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数,则在命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(p1)∨p2和q4:p1∧(p2)中,真命题是
( )
A.q1,q3
B.q2,q3
C.q1,q4
D.q2,q4
【解析】选C.因为y=2x在R上为增函数,y=2-x在R上为减函数,所以y=2x-2-x在R上为增函数,所以p1为真命题,p2假命题,故q1:p1∨p2为真命题,q2:p1∧p2为假命题,q3:(p1)∨p2为假命题,q4:p1∧(p2)为真命题.故真命题是q1,q4.
【方法总结】含有逻辑联结词的命题及其真假判断的关键点
(1)先判断简单命题p,q的真假.
(2)根据“p且q”“p或q”“非p”的含义及其真假判断规律,即对于“p且q”有一假即为假;对于“p或q”有一真即为真;对于“非p”真假与p相反进行判断.
【巩固训练】已知命题p: x0∈R,m+1≤0,命题q: x∈R,x2+mx+1>0,若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-2)
B.[-2,0)
C.(-2,0)
D.(0,2)
【解析】选C.因为p∧q为真命题,所以命题p和命题q均为真命题,若p真,则m<0,①
若q真,则Δ=m2-4<0,所以-2所以p∧q为真,由①②知-2类型四 全称命题与特称命题
【典例4】(1)(2017·武汉高二检测)下列命题中是假命题的是 ( )
A. α,β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβ
B. φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数
C. m0∈R,使f(x)=(m0-1)·是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减
D. a>0,函数f(x)=ln2x+lnx-a有零点
(2)已知命题p:“ x∈R, m0∈R,使4x-2x+1+m0=0”,若命题p是假命题,则实数m的取值范围是________.
【解析】(1)选B.对于A,当α=0时,sin(α+β)=sinα+sinβ成立;对于B,当φ=时,f(x)=sin(2x+φ)=cos2x为偶函数;对于C,当m=2时,f(x)=(m-
1)·=x-1=,满足条件;对于D,令lnx=t, a>0,对于方程t2+t-a=0,
Δ=1-4(-a)>0,方程恒有解,故满足条件.综上可知,选B.
(2)若命题p是假命题,则命题p是真命题,
即关于x的方程4x-2·2x+m=0有实数解,
由于m=-(4x-2·2x)=-(2x-1)2+1≤1,所以m≤1.
答案:(-∞,1]
【方法总结】全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定
(1)全称命题与特称命题的判断:全称命题要对一个范围内的所有对象成立,要否定一个全称命题,只要找到一个反例就行.特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可.
(2)含一个量词的命题的否定:全称命题的否定是特称命题,应含存在量词.特称命题的否定是全称命题,应含全称量词.
【巩固训练】(2017·中山高二检测)已知命题p: x∈R,2x2+2x+<0,命题q: x0∈R,sinx0-cosx0=,则下列判断中正确的是 ( )
A.p是真命题
B.q是假命题
C.p是假命题
D.q是假命题
【解题指南】先判断p,q的真假,再得p,q真假,进而得结论.
【解析】选D.因为2x2+2x+=2≥0,
所以p是假命题,p为真命题.
又sinx0-cosx0=sin≤,故q是真命题,q为假命题.所以选D.1.2.1
充分条件与必要条件
课时达标训练
1.下列命题中,p是q的充分条件的是 ( )
A.p:a=0,q:ab=0
B.p:a2+b2≥0,q:a≥0且b≥0
C.p:x2>1,q:x>1
D.p:a>b,q:
>
【解析】选A.根据充分条件的概念逐一判断.
2.若p是q的充分条件,则q是p的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.既是充分条件又是必要条件
【解析】选B.因为p是q的充分条件,所以p q,所以q是p的必要条件.
3.若“x<-1”是“x【解析】因为x<-1 x答案:a≥-1
4.“x=-1”是“x2-x-2=0”的________条件,“x2-x-2=0”是“x=-1”的________条件.(用“充分”“必要”填空)
【解析】由x=-1 x2-x-2=0,所以“x=-1”是“x2-x-2=0”的充分条件,“x2-x-2=0”是“x=-1”的必要条件.
答案:充分 必要
5.已知命题p:α=β;命题q:tanα=tanβ,问p是q的什么条件
【解析】当α=β=时,显然tanα与tanβ无意义,
即pq,故p不是q的充分条件;
又α=,β=时,tanα=tanβ,
所以qp,所以p不是q的必要条件,
综上,p既不是q的充分条件,也不是必要条件.1.1.2
四种命题
课时达标训练
1.命题“若a>b,则a-1>b-1”的逆否命题是 ( )
A.若a-1≤b-1,则a≤b
B.若aC.若a-1>b-1,则a>b
D.若a≤b,则a-1≤b-1
【解析】选A.命题“若p,则q”的逆否命题为“若 q,则 p”.
2.有下列三个命题:
①“全等三角形的面积相等”的否命题;
②“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;
③“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.
其中真命题为 ( )
A.①②
B.②③
C.②
D.①②③
【解析】选C.①“若两个三角形不全等,则它们的面积不相等”,
为假命题;③“三个内角相等的三角形为不等边三角形”,为假命题.而②为真命题.
3.命题“若m2+n2=0,则m,n全为0”的否命题是____________________.
【解析】原命题的否命题是“若m2+n2≠0,则m,n不全为0”.
答案:若m2+n2≠0,则m,n不全为0
4.写出命题“如果|x-2|+(y-1)2=0,则x=2且y=1”的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.
【解析】逆命题:如果x=2且y=1,则|x-2|+(y-1)2=0;真命题.
否命题:如果|x-2|+(y-1)2≠0,则x≠2或y≠1;真命题.
逆否命题:如果x≠2或y≠1,则|x-2|+(y-1)2≠0;真命题.第一章
常用逻辑用语
阶段通关训练(一)
(60分钟 100分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.“若x2=1,则x=1或x=-1”的否命题是 ( )
A.若x2≠1,则x=1或x=-1
B.若x2=1,则x≠1且x≠-1
C.若x2≠1,则x≠1或x≠-1
D.若x2≠1,则x≠1且x≠-1
【解析】选D.否命题是命题的条件与结论分别是原命题条件的否定和结论的否定,“或”的否定是“且”.
2.(2017·成都高二检测)已知命题p:“x>3”是“x2>9”的充要条件,命题q:“>”是“a>b”的充要条件,则 ( )
A.“p∨q”为真
B.“p∧q”为真
C.p真q假
D.p,q均为假
【解析】选A.由x>3能够得出x2>9,反之不成立,故命题p是假命题;由>能够推出a>b,反之,因为>0,所以由a>b能推出>成立,故命题q是真命题.
3.设命题甲:0A.甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件
B.甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
【解析】选A.本题考查集合法判断充分性、必要性.因为甲:04.(2017·日照高二检测)已知命题p: n0∈N,>1000,则p为 ( )
A. n∈N,2n≤1000
B. n∈N,2n>1000
C. n0∈N,≤1000
D. n0∈N,<1000
【解析】选A.由于特称命题的否定是全称命题,因而p为 n∈N,2n≤1000.
5.下列叙述中正确的是 ( )
A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0”
B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x0∈R,有≥0”
D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β
【解析】选D.对于选项A,a<0时不成立;
对于选项B,b=0时不成立;
对于选项C,否定应为“存在x0∈R,有<0”;
对于选项D,垂直于同一直线的两平面平行.所以只有D正确.
6.若命题p:函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),命题q:函数y=x-的单调递增区间是[1,+∞),则 ( )
A.p∧q是真命题
B.p∨q是假命题
C.p是真命题
D.q是真命题
【解析】选D.因为函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),所以p是真命题;
因为函数y=x-的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命题.
所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为假命题,q为真命题,故选D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
7.“a,b,c中至少有一个是偶数”的否定是__________.
【解析】题目中应对a,b,c全盘否定.
答案:a,b,c都不是偶数
8.(2017·九江高二检测)命题p: α0,sinα0>1是__________(填“全称命题”或“特称命题”),它是__________命题(填“真”或“假”),它的否定p:__________,它是__________命题(填“真”或“假”).
【解析】命题p含有存在量词“ ”,故p是特称命题,是假命题,它的否定是全称命题,真命题.
答案:特称命题 假 α,sinα≤1 真
9.(2017·兰州高二检测)已知命题p:|x2-x|≠6,q:x∈N,且“p∧q”与“q”都是假命题,则x的值为__________.
【解析】由“p∧q”与“q”都是假命题,知p假q真,得解得x=3.
答案:3
10.设命题p:点(2x+3-x2,x-2)在第四象限,命题q:x2-(3a+6)x+2a2+6a<0,其中a>-6.若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.
【解析】命题p: -1命题q:a设集合M={x|x≤-1或x≥2},N={x|x≤a或x≥2a+6}.
由题意,得N是M的真子集,
所以或
解得-2答案:[-2,-1]
三、解答题(共4小题,共50分)
11.(12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.
(1)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除.
(2) x∈{x|x>0},x+≥2.
(3) x0∈{x|x∈Z},log2x0>2.
【解析】(1)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.
(2)命题中含有全称量词“ ”,是全称命题,真命题.
(3)命题中含有存在量词“ ”,是特称命题,真命题.
12.(12分)已知a>0,a≠1.设命题p:函数y=loga(x+1)在(0,+∞)内单调递减;命题q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.若p或q为真,p且q为假,求a的取值范围.
【解析】当0当a>1时,y=loga(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减函数,故p真时,0q真等价于Δ=(2a-3)2-4>0,即a<或a>.
又a>0,所以0.
因为p或q为真,p且q为假,
所以p,q中必定是一个为真一个为假.
(1)若p真,q假时,
则所以≤a<1,
即a∈.
(2)若p假,q真时,
则所以a>,
即a∈.
综上可知,a的取值范围为∪.
13.(13分)求ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一负根的充要条件.
【解析】因为a≠0,x1·x2=,所以方程至少有一负根应有:
(1)正负根各有一个,此时有x1x2<0,即<0,解得a<0.
(2)两负根,此时应有
解得0所以方程至少有一负根的充要条件是a≤1,且a≠0.
14.(13分)(2017·金陵高二检测)命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0(a>0),命题q:实数x满足
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围.
(2)若q p,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由于a=1,则x2-4ax+3a2<0 x2-4x+3<0 1所以p:1解不等式组
得2由于p∧q为真,所以p,q均是真命题.
解不等式组得2所以实数x的取值范围是(2,3).
(2)p:x2-4ax+3a2≥0,a>0,
x2-4ax+3a2≥0 (x-a)(x-3a)≥0 x≤a或x≥3a,
所以p:x≤a或x≥3a,
设A={x|x≤a或x≥3a},
由(1)知q:2设B={x|2由于q p,所以B A,
所以3≤a或3a≤2,即0所以实数a的取值范围是∪[3,+∞).
【能力挑战题】
求证:方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根大于1的充要条件是k<-2.
【证明】必要性:
若方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的根,不妨设两个根为x1,x2,
则
即解得k<-2.
充分性:
当k<-2时,Δ=(2k-1)2-4k2=1-4k>0.
设方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根为x1,x2,
则(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1
=k2+2k-1+1=k(k+2)>0.
又(x1-1)+(x2-1)=(x1+x2)-2
=-(2k-1)-2=-2k-1>0,
所以x1-1>0,x2-1>0,
所以x1>1,x2>1.
综上可知,方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的根的充要条件为k<-2.1.1.1
命题
课时达标训练
1.下列语句不是命题的有 ( )
①2<1;②x<1;③若x<2,则x<1;④函数f(x)=x2是R上的偶函数.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】选B.①③④可以判断真假,是命题;②不能判断真假,所以不是命题.
2.下列命题中,是真命题的是 ( )
A.{x∈R|x2+1=0}不是空集
B.若x2=1,则x=1
C.空集是任何集合的真子集
D.x2-5x=0的根是自然数
【解析】选D.A中方程在实数范围内无解,故是假命题;B中若x2=1,则x=±1,故B是假命题;因空集是任何非空集合的真子集,故C是假命题.
3.命题“菱形的对角线相互垂直平分”的结论是 ( )
A.这个四边形是菱形
B.这个四边形的对角线相互平分
C.这个四边形的对角线相互垂直
D.这个四边形的对角线既相互垂直,也相互平分
【解析】选D.把命题改为“若p,则q”的形式:“若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线既相互垂直,也相互平分”.
4.若命题“ax2-2ax+5<0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________.
【解析】因为ax2-2ax+5<0不成立,
所以ax2-2ax+5≥0恒成立.
当a=0时,5≥0恒成立;
当a≠0时,则有
解得0答案:[0,5]
5.判断下列语句是否是命题,并说明理由.
(1)李华长得很帅.
(2)2030年,人类能登上火星.
(3)1是素数.
(4)若x<0,则x>3.
【解析】(1)“帅”的标准没有明确的定义,何谓“帅”,是无法判断,模棱两可的,故不能判断真假.该语句不是命题.
(2)因为2030年还没有到来,所以该语句现在不能判断真假,但随着科技的进步,将来一定能判断真假,这类语句也能称之为命题.
(3)1既不是素数也不是合数,该语句判断为假,又是陈述句,故是命题.
(4)若x<0,则x>3,该语句是用式子表达的且能判断真假,故是命题.1.2.2
充要条件
课时达标训练
1.设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当x=1时,x3=x成立.若x3=x,x(x2-1)=0,得x=-1,0,1;不一定得到x=1.
2.对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.若y=f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),
所以|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,
所以y=|f(x)|的图象关于y轴对称,但若y=|f(x)|的图象关于y轴对称,如y=f(x)=x2,而它不是奇函数.
3.直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是m等于 ( )
A.4
B.0
C.-4
D.-4或0
【解析】选D.直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切 圆心(1,1)到直线x+y+m=0的距离等于 = |m+2|=2 m=-4或0.
4.如果命题“若A,则B”的否定命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A是B的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”).
【解析】因为逆否命题为假,所以原命题为假,即AB,
又因否命题为真,所以逆命题为真,即B A,
所以A是B的必要不充分条件.
答案:必要不充分
5.在平面直角坐标系xOy中,求直线x+(m+1)y=2-m与直线mx+2y=-8互相垂直的充要条件.
【解析】直线x+(m+1)y=2-m与直线mx+2y=-8互相垂直可得:1·m+(m+1)·2=0 m=-.四种命题
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.命题“若a2≤b2,则a≤b”的逆命题是 ( )
A.“若aB.“若a>b,则a2>b2”
C.“若a≤b,则a2≤b2”
D.“若a≥b,则a2≥b2”
【解析】选C.原命题“若a2≤b2,则a≤b”的逆命题为“若a≤b,则a2≤b2”.
2.设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是 ( )
A.若a≠-b,则|a|≠|b|
B.若a=-b,则|a|≠|b|
C.若|a|≠|b|,则a≠-b
D.若|a|=|b|,则a=-b
【解析】选D.原命题的条件是a=-b,把它作为逆命题的结论;原命题的结论是|a|=|b|,把它作为逆命题的条件,即得逆命题“若|a|=|b|,则a=-b”.
3.(2015·山东高考)设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是 ( )
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0
B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0
D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
【解析】选D.“方程x2+x-m=0有实根”的否定是“方程x2+x-m=0没有实根”;“m>0”的否定即“m≤0”,故命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.
4.(2017·吉林高二检测)命题“若△ABC有一内角为,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题 ( )
A.与原命题同为假命题
B.与原命题的否命题同为假命题
C.与原命题的逆否命题同为假命题
D.与原命题同为真命题
【解析】选D.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列,则△ABC有一内角为”,它是真命题.
5.下列命题的否命题为“邻补角互补”的是 ( )
A.邻补角不互补
B.互补的两个角是邻补角
C.不是邻补角的两个角不互补
D.不互补的两个角不是邻补角
【解题指南】解答本题只需求命题“邻补角互补”的否命题,因此把所给命题的条件与结论都否定,即为所求.
【解析】选C.“邻补角互补”与“不是邻补角的两个角不互补”互为否命题.
6.逆否命题为“菱形的对角线互相垂直”的原命题是 ( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.不是菱形的四边形的对角线不互相垂直
C.对角线不互相垂直的四边形不是菱形
D.菱形的对角线不互相垂直
【解析】选C.先将已知命题化为“若p,则q”的形式:若一个四边形为菱形,则对角线互相垂直.逆否命题为:若一个四边形的对角线不互相垂直,则它不是菱形.
7.命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”的逆否命题是 ( )
A.能被3整除的整数,一定能被6整除
B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除
C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除
D.不能被6整除的整数,能被3整除
【解析】选B.原命题的逆否命题是“不能被3整除的整数,一定不能被6整除”.
8.(2017·昆明高二检测)有下列命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;
②“若x>y,则x2>y2”的逆否命题;
③“若x≤3,则x2-x-6>0”的否命题;
④“对顶角相等”的逆命题.
其中真命题的个数是 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.①的否命题为“若x+y≠0,则x,y不互为相反数”为真命题.
②的逆否命题为“若x2≤y2,则x≤y”为假命题,如x=0,y=-1时,02≤(-1)2,但0>-1.
③的否命题为“若x>3,则x2-x-6≤0”,为假命题.
④的逆命题是“相等的角是对顶角”,是假命题.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.命题“若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则loga2<0”的逆否命题是________.
【解析】由互为逆否命题的关系可知,原命题的逆否命题为“若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数”.
答案:若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数
10.(2017·长春高二检测)给定下列命题:
①若a>0,则方程ax2+2x=0有解;
②“等腰三角形都相似”的逆命题;
③“若x-是有理数,则x是无理数”的逆否命题;
④“若a>1且b>1,则a+b>2”的否命题.
其中真命题的序号是________.
【解析】显然①为真,②为假.对于③中,原命题“若x-是有理数,则x是无理数”的逆否命题是“若x不是无理数,则x-不是有理数”,显然为假命题.对于④中,“若a>1且b>1,则a+b>2”的否命题是“若a≤1或b≤1,则a+b≤2”,为假命题.
答案:①
三、解答题
11.(10分)已知命题“若m-1【解析】由已知得,若1所以所以1≤m≤2.
【能力挑战题】
已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.
写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论.
【解析】逆命题:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),
则a+b≥0,真命题.
用反证法证明:假设a+b<0,则a<-b,b<-a.
因为f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,
所以f(a)所以f(a)+f(b)这与题设相矛盾.所以逆命题为真命题.1.4.3
含有一个量词的命题的否定
课时达标训练
1.命题“ x∈R,|x|+x2≥0”的否定是 ( )
A. x∈R,|x|+x2<0
B. x∈R,|x|+x2≤0
C. x0∈R,|x0|+<0
D. x0∈R,|x0|+≥0
【解析】选C.条件 x∈R的否定是 x0∈R,结论“|x|+x2≥0”的否定是“|x0|+<0”.
2.关于命题p:“ x∈R,x2+1≠0”的叙述,正确的是 ( )
A.p: x0∈R,x2+1≠0
B.p: x∈R,x2+1=0
C.p是真命题,p是假命题
D.p是假命题,p是真命题
【解析】选C.命题p:“ x∈R,x2+1≠0”的否定是“ x0∈R,+1=0”.所以p是真命题,p是假命题.
3.下列命题中,真命题是 ( )
A. m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数
B. m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数
C. m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数
D. m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数
【解析】选A.对于选项A, m∈R,即当m=0时,f(x)=x2+mx=x2是偶函数,其余均为假命题.
4.命题“有一个质数含三个正因数”的否定是________.
【解析】特称命题的否定是全称命题.
答案:每一个质数都不含三个正因数.
5.用“ ”“ ”写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)二次函数的图象是抛物线.
(2)在直角坐标系中,直线是一次函数的图象.
(3)有些四边形存在外接圆.
(4) a0,b0∈R,方程a0x+b0=0无解.
【解析】(1) f(x)∈{二次函数},f(x)的图象不是抛物线,它是假命题.
(2)在直角坐标系中, l0∈{直线},l0不是一次函数的图象,它是真命题.
(3) x∈{四边形},x不存在外接圆.它是假命题.
(4) a,b∈R,方程ax+b=0至少有一解,它是假命题.充要条件
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2015·安徽高考)设p:11,则p是q成立的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由q:2x>20 x>0可知:由p能推出q,但由q不能得出p,所以p是q成立的充分不必要条件.
2.(2017·济南高二检测)设α,β∈,那么“α<β”是“tanαA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.在中,函数y=tanx为增函数,所以设α,β∈,那么“α<β”是“tanα3.给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.直线l与平面α内无数条直线都垂直,不能得到直线l⊥α,因为有可能是直线l与平面α内的一组平行直线垂直.若l⊥α,则直线l垂直于α内的所有直线.
4.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当四边形ABCD为菱形时,其对角线互相垂直,必有AC⊥BD;但当AC⊥BD时,四边形不一定是菱形(如图),因此“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.
5.(2016·北京高考)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选D.由|a+b|=|a-b|可得a⊥b.所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件.
6.设{an}是等比数列,则“a1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.由题可知,若a10时,解得q>1,此时数列{an}是递增数列,当a1<0时,解得07.“α=+2kπ(k∈Z)”是“cos2α=”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为当α=+2kπ(k∈Z)时,cos2α=cos=,所以“α=+2kπ(k∈Z)”是“cos
2α=”的充分条件.而当α=-时,cos2α=,但-≠+
2kπ(k∈Z),所以“α=+2kπ(k∈Z)”不是“cos2α=”的必要条件.
8.(2017·天津高考)设θ∈R,则“<”是“sinθ<”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.< 0<θ< sinθ<,
但是,当θ=0时,满足sinθ<,不满足<,所以是充分而不必要条件.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是________.
【解析】p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件,
所以q是p的充分不必要条件,
即{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10},
故有或解得m≤3.
又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0答案:(0,3]
10.下列命题:
①“x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件;
②“b2-4ac<0”是“一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R”的充要条件;
③“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件;
④“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要不充分条件.
其中真命题的序号为________.
【解析】①x>2且y>3时,x+y>5成立,反之不一定,如x=0,y=6.
所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件;
②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2-4ac<0,
故②为假命题;
③当a=2时,两直线平行,反之,若两直线平行,则=,
所以a=2.因此,a=2是两直线平行的充要条件;
④lgx+lgy=lg(xy)=0,所以xy=1且x>0,y>0.
所以lgx+lgy=0成立,xy=1必成立,反之不然.
因此“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要不充分条件.
综上可知,真命题是④.
答案:④
三、解答题
11.(10分)(2017·郑州高二检测)(1)是否存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件
(2)是否存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件
【解析】(1)欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件,则只要 {x|x<-1或x>3},即只需-≤-1,所以m≥2.
故存在实数m≥2,使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件.
(2)欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件,则只要{x|x<-1或x>3} ,这是不可能的.故不存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件.
【能力挑战题】
已知f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0).试证明:方程f(x)=0有两个不相等的实数解,当且仅当存在x0∈R,使af(x0)<0.
【证明】若存在x0∈R,使af(x0)<0,则b2-4ac=b2-4a[f(x0)-a-bx0]
=b2+4abx0+4a2-4af(x0)=(b+2ax0)2-4af(x0)>0.
所以方程f(x)=0有两个不相等的实数解.
若方程f(x)=0有两个不相等的实数解,
则b2-4ac>0,设x0=-,
则af(x0)=a×
=-+ac=<0.
综上可知结论成立,即问题得证.四种命题间的相互关系
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·太原检测)一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中
( )
A.真命题与假命题的个数相同
B.真命题的个数一定是奇数
C.真命题的个数一定是偶数
D.真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数
【解析】选C.因为原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,所以真命题的个数一定是偶数.
2.(2017·青岛高二检测)与命题“若x=1,则2x2-x-1=0”等价的命题是 ( )
A.若x≠1,则2x2-x-1≠0
B.若x=1,则2x2-x-1≠0
C.若2x2-x-1≠0,则x≠1
D.若2x2-x-1≠0,则x=1
【解题指南】只需找其逆否命题即可.
【解析】选C.与其等价的命题为逆否命题:若2x2-x-1≠0,则x≠1.
3.命题“若a=5,则a2=25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,假命题是 ( )
A.原命题、否命题
B.原命题、逆命题
C.原命题、逆否命题
D.逆命题、否命题
【解析】选D.原命题为真,逆命题为假,逆否命题为真,否命题为假.
4.已知命题“若ab≤0,则a≤0或b≤0”,则下列结论正确的是 ( )
A.真命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0”
B.真命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0”
C.假命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0”
D.假命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0”
【解析】选B.逆否命题“若a>0且b>0,则ab>0”,显然为真命题,又原命题与逆否命题等价,故原命题为真命题.否命题为“若ab>0,则a>0且b>0”.
5.命题“若∠A=60°,则△ABC是等边三角形”的否命题“若∠A≠60°,则△ABC不是等边三角形” ( )
A.为假命题
B.与原命题真假性相同
C.与原命题的逆否命题真假性相同
D.与原命题的逆命题真假性相同
【解析】选D.否命题与逆命题是等价命题.
6.(2017·石家庄高二检测)已知下列命题:
①“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题;
②“正方形是菱形”的否命题;
③“若m>2,则不等式x2-2x+m>0的解集为R”.
其中真命题的个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.对①,原命题是假命题,其逆否命题也是假命题;
对②,其否命题是:不是正方形的四边形不是菱形,是假命题;
对③,不等式x2-2x+m>0的解集为R,需满足Δ=4-4m<0,解得m>1.而m>2满足m>1.故只有③是真命题.
7.给出命题:“已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d”,对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言,真命题的个数是 ( )
A.0
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.因为原命题为真,逆命题为假,故逆否命题为真,否命题为假.
8.若一个命题的逆命题、否命题、逆否命题中有且只有一个是真命题,我们就把这个命题叫做“正向真命题”.给出以下命题:①函数y=x2(x∈R)是偶函数;②若两条直线相交,则它们的倾斜角一定不相等;③α,β,γ为三个不同的平面,若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;④若a·c=b·c,则a=b;⑤若m+n≤2,则m≤1或n≤1.其中是“正向真命题”的序号是 ( )
A.①⑤
B.②③
C.③④
D.②④
【解析】选A.①中命题是真命题,其逆命题为“若一个函数是偶函数,则这个函数是y=x2,是假命题,故它是“正向真命题”;②中命题是真命题,其逆命题为“若两条直线的倾斜角不相等,则它们一定相交”,也是真命题,所以②中命题不是“正向真命题”;③、④中命题都是假命题,所以它们都不是“正向真命题”;⑤中命题的逆否命题是“若m>1且n>1,则m+n>2”是真命题,而它的否命题是“若m+n>2,则n>1且m>1”,显然不是真命题,所以这个命题是“正向真命题”.综上,是“正向真命题”的序号是①⑤.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题为____________命题,逆命题为__________命题.(填“真”或“假”)
【解析】逆否命题为:a,b都小于1,则a+b<2是真命题,
所以原命题是真命题,逆命题为:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2,例如a=3,b=-3满足条件a,b中至少有一个不小于1,但此时a+b=0,故逆命题是假命题.
答案:真 假
10.命题“若x≠1,则x2-1≠0”的真假性为________.
【解析】可转化为判断命题的逆否命题的真假,由于原命题的逆否命题是:“若x2-1=0,则x=1”,因为x2-1=0时,x=±1,所以该命题是假命题,因此原命题是假命题.
答案:假
三、解答题
11.(10分)证明:若m2+n2=2,则m+n≤2.
【证明】将“若m2+n2=2,则m+n≤2”视为原命题,则它的逆否命题为“若m+n>2,则m2+n2≠2”.
由于m+n>2,m2+n2≥2mn,则2(m2+n2)≥m2+n2+2mn=(m+n)2,则m2+n2≥(m+n)2>×22=2,
所以m2+n2≠2.
故原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.
【能力挑战题】
若a2+b2=c2,求证:a,b,c不可能都是奇数.
【证明】若a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数.
得a2+b2为偶数,而c2为奇数,即a2+b2≠c2,
即原命题的逆否命题为真,故原命题也为真命题.
所以a,b,c不可能都是奇数.1.4.1
全称量词
1.4.2
存在量词
课时达标训练
1.下列说法正确的是 ( )
A.对所有的正实数t,有B.存在实数x0,使-3x0-4=0
C.不存在实数x0,使x0<4且+5x0-24=0
D.存在实数x0,使得|x0+1|≤1且>4
【解析】选B.t=时,
=,此时>t,所以A选项错;
由x2-3x-4=0,得x=-1或x=4,因此当x0=-1或x0=4时,
-3x0-4=0,故B选项正确;
由x2+5x-24=0,得x=-8或x=3,所以C选项错;
由|x+1|≤1,得-2≤x≤0,由x2>4,得x<-2或x>2,所以D选项错.
2.下列命题不是“ x0∈R,
>3”的表述方法的是 ( )
A.有一个x0∈R,使>3
B.有些x0∈R,使>3
C.任选一个x∈R,使x2>3
D.至少有一个x0∈R,使>3
【解析】选C.“任选一个x∈R,使x2>3”是全称命题,不能用符号“ ”表示.
3.下列命题中,是真命题且是全称命题的是 ( )
A.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0
B.菱形的两条对角线相等
C. x0∈R,
=x0
D.对数函数在定义域上是单调函数
【解析】选D.C是特称命题,A,B都是全称命题,但为假命题,只有D既为全称命题又是真命题.
4.下列全称命题为真命题的是 ( )
A.所有的素数是奇数
B. x∈R,x2+1≥1
C.对每一个无理数x,x2也是无理数
D.所有的能被5整除的整数,其末位数字都是5
【解析】选B.2是素数,但2不是奇数,所以A是假命题;
x2+1≥1 x2≥0,显然 x∈R,x2≥0,故B为真命题,C,D均是假命题.
5.命题“ x∈(-1,1),2x+a=0”是真命题,则a的取值范围是________.
【解析】设f(x)=2x+a,则f(x)=2x+a在(-1,1)内有零点,
所以(a+2)(a-2)<0,解得-2答案:-2(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.下列语句不是命题的有 ( )
①若平行四边形的边都相等,则它是菱形.
②任何集合都是它自己的子集.
③对顶角相等吗
④x>3.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】选C.①是陈述句,能判断真假,是命题.
②是陈述句,能判断真假,是命题.
③不是陈述句,不是命题.
④是陈述句,但不能判断真假,不是命题.
2.下列命题中真命题的个数为 ( )
①面积相等的三角形是全等三角形;
②若xy=0,则|x|+|y|=0;
③若a>b,则a+c>b+c;
④矩形的对角线互相垂直.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选A.①是假命题;②中x=3,y=0,则xy=0,但|x|+|y|≠0,故②是假命题;③是真命题;④中矩形的对角线相等,但不一定互相垂直,故④是假命题.
3.(2017·临沂高二检测)“若x2-2x-8<0,则p”为真命题,那么p是 ( )
A.{x|-2B.{x|2C.{x|x>4或x<-2}
D.{x|x>4或x<2}
【解析】选A.解不等式x2-2x-8<0,得不等式的解集为{x|-2【补偿训练】“若x>1,则p”为真命题,那么p不能是 ( )
A.x>-1
B.x>0
C.x>1
D.x>2
【解析】选D.大于1的实数不一定大于2.
4.命题“6的倍数既能被2整除,也能被3整除”的结论是 ( )
A.这个数能被2整除
B.这个数能被3整除
C.这个数既能被2整除,也能被3整除
D.这个数是6的倍数
【解析】选C.命题可改写为:若一个数是6的倍数,则这个数既能被2整除,也能被3整除.
5.已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,且a⊥α,b⊥β,则下列命题中,假命题是 ( )
A.若a∥b,则α∥β
B.若α⊥β,则a⊥b
C.若a,b相交,则α,β相交
D.若α,β相交,则a,b相交
【解析】选D.由已知a⊥α,b⊥β,若α,β相交,a,b有可能异面.
6.给出命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”,则使该命题为真命题时a的一个值可以是 ( )
A.4
B.2
C.0
D.-3
【解析】选C.方程无实根时,应满足Δ=a2-4<0,故a=0时符合条件.
7.(2017·太原高二检测)已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的;
②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切.
其中真命题的序号是 ( )
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③
【解析】选C.①若一个球的半径缩小到原来的,由V=πR3知其体积缩小到原来的,所以①是真命题;
②因为标准差除了与平均数有关,还与各个数据有关,所以②是假命题;
③因为圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离等于,与圆的半径相等,所以③是真命题.故真命题的序号是①③.
8.给定下列命题:①若a>b,则2a>2b;②命题“若a,b是无理数,则a+b是无理数”是真命题;③命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是“这个四边形的对角线垂直”;④直线x=是函数y=sinx图象的一条对称轴;⑤在△ABC中,若·>0,则△ABC是钝角三角形.
其中为真命题的个数是 ( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选B.①是真命题;②当a=,b=-时,a+b=0为有理数,故②为假命题;③中结论应为“这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”,故③为假命题;④是真命题;⑤·=||||cos(π-B)>0,所以cosB<0,所以B为钝角,故⑤为真命题.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·宝鸡高二检测)判断下列语句,是命题的有________;其中是真命题的有__________.(只填序号)
①等边三角形是等腰三角形吗
②作三角形的一个内角平分线;
③在三角形中,大边对大角,小边对小角;
④若x+y为有理数,则x,y也都是有理数;
⑤x>8.
【解题指南】先根据命题的概念,判断所给语句是否为命题,若是,再判断真假.
【解析】①是疑问句.②是祈使句,①②不是命题.③是真命题.④是假命题.⑤不能判断真假,不是命题.
答案:③④ ③
【拓展延伸】判断语句是否为命题的方法
要判断一个语句是不是命题就要看它是否符合“可以判断真假”这个条件.
一般来说,疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.
数学中的定义、公理、定理等都是命题.
猜想类的,如“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和(哥德巴赫猜想)”虽然目前不能确定真假,但随着科技发展总能确定其真假.这一类猜想可以作为命题.
10.命题“偶函数的图象关于y轴对称”写成“若p,则q”的形式为________.
【解析】若一个函数是偶函数,则这个函数的图象关于y轴对称.
答案:若一个函数是偶函数,则这个函数的图象关于y轴对称
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.判断下列命题的真假,并说明理由:
(1)函数y=ax是指数函数.
(2)关于x的方程ax+1=x+2有唯一解.
【解题指南】(1)根据指数函数的定义判断,注意底数的取值范围.
(2)注意对参数进行分类讨论.
【解析】(1)当a>0且a≠1时,函数y=ax是指数函数,所以是假命题.
(2)关于x的方程ax+1=x+2即(a-1)x=1,
当a=1时,方程无解;
当a≠1时,方程有唯一解,所以是假命题.
12.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假.
(1)内接于圆的四边形的对角互补.
(2)被5整除的整数的末位数字是5.
(3)三角形相似,对应边成比例.
【解析】(1)若四边形内接于圆,则它的对角互补.真命题.
(2)若一个整数被5整除,则它的末位数字是5.假命题.
(3)若两个三角形相似,则它们的对应边成比例.真命题.
【能力挑战题】
判断“函数f(x)=2x-x2有三个零点”是否为命题.若是命题,是真命题还是假命题 说明理由.
【解析】这是一个可以判断真假的陈述句,所以是命题,且是真命题.
函数f(x)=2x-x2的零点即方程2x-x2=0的实数根,也就是方程2x=x2的实数根,即函数y=2x,y=x2的图象的交点的横坐标,易知指数函数y=2x的图象与抛物线y=x2有三个交点,所以函数f(x)=2x-x2有三个零点.简单的逻辑联结词
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.命题“2是3的约数或2是4的约数”中,使用的逻辑联结词的情况是 ( )
A.没有使用逻辑联结词
B.使用了逻辑联结词“且”
C.使用了逻辑联结词“或”
D.使用了逻辑联结词“非”
【解析】选C.命题可改写为“2是3的约数或是4的约数”.
2.(2017·厦门高二检测)命题“方程x2-4=0的解是x=±2”中,使用的逻辑联结词的情况是 ( )
A.没有使用联结词
B.使用了逻辑联结词“或”
C.使用了逻辑联结词“且”
D.使用了逻辑联结词“非”
【解析】选A.注意到虽然x=±2是x=2或x=-2的意思,但是“方程x2-4=0的解是x=±2”是一个命题,不是由“或”联结的命题,故没有使用逻辑联结词.
3.如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题,那么 ( )
A.命题p不一定是假命题
B.命题q一定是真命题
C.命题q不一定是真命题
D.命题p与q的真值相同
【解析】选B.因为“非p”为真,则p为假,又“p或q”为真,所以q必为真.
4.已知命题
p:对任意x∈R,总有|x|≥0;
q:x=1是方程x+2=0的根.
则下列命题为真命题的是 ( )
A.p∧(q)
B.(p)∧q
C.(p)∧(q)
D.p∧q
【解析】选A.命题p为真命题,命题q为假命题,所以命题q为真命题,所以p∧(q)为真命题,(p)∧q为假命题,(p)∧(q)为假命题,p∧q为假命题.
5.p:点P在直线y=2x-3上,q:点P在曲线y=-x2上,则使“p∧q”为真命题的一个点P(x,y)是 ( )
A.(0,-3)
B.(1,2)
C.(1,-1)
D.(-1,1)
【解析】选C.点P(x,y)满足
可验证各选项,只有C正确.
6.对于命题p和q,若p∧q为真命题,则下列四个命题:
①p∨q是真命题;②p∨(q)是假命题;
③(p)∧(q)是假命题;④(p)∨q是假命题.
其中真命题是 ( )
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
【解析】选C.因为p∧q为真,所以p与q都为真,所以(p)∧(q)为假,p∨q为真,所以只有①③正确.
7.命题p:“方程x2+2x+a=0有实数根”;命题q:“函数f(x)=(a2-a)x是增函数”,若“p∧q”为假命题,且“p∨q”为真命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.a>0
B.a≥0
C.a>1
D.a≥1
【解析】选B.当p真时,Δ=4-4a≥0,解得a≤1.当q真时,a2-a>0,解得a<0或a>1.
因为p∧q为假命题,p∨q为真命题,
所以p,q中一真一假.
(1)当p真q假时,得0≤a≤1.
(2)当p假q真时得a>1,
由(1)(2)得所求a的取值范围是a≥0,故选B.
8.(2017·衡阳高二检测)命题p:关于x的方程x2+ax+2=0无实根,命题q:函数f(x)=logax在(0,+∞)上单调递增,若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-2,1]∪[2,+∞) B.(-2,2)
C.(-2,+∞)
D.(-∞,2)
【解题指南】(1)根据方程x2+ax+2=0无实根,判别式Δ<0,求出a的取值范围,得命题p成立的条件.
(2)根据函数f(x)=logax在(0,+∞)上单调递增,求出a的取值范围,得命题q成立的条件.
(3)由“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题知p与q一真一假,因此分类讨论,求出a的取值范围.
【解析】选A.因为方程x2+ax+2=0无实根,
所以Δ=a2-8<0,
所以-2所以p:-2因为函数f(x)=logax在(0,+∞)上单调递增,所以a>1.
所以q:a>1.
因为p∧q为假,p∨q为真,
所以p与q一真一假.
当p真q假时,-2当p假q真时,a≥2.
综上可知,实数a的取值范围为(-2,1]∪[2,+∞).
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.命题p:{2}∈{2,3},q:{2} {2,3},则下列对命题的判断,正确的是________(填上所有正确的序号).
①p或q为真;②p或q为假;③p且q为真;④p且q为假;
⑤非p为真;⑥非q为假.
【解析】由题可知p为假,q为真,所以p或q为真,p且q为假,非p为真,非q为假.
答案:①④⑤⑥
10.已知条件p:(x+1)2>4,条件q:x>a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________.
【解析】由p是q的充分不必要条件,可知p q,但qp,由一个命题与它的逆否命题等价,可知q p但pq,又p:x>1或x<-3,可知{x|x>a}{x|x<-3或x>1},所以a≥1.
答案:[1,+∞)
三、解答题
11.(10分)指出下列命题是简单命题还是含逻辑联结词的命题,若是含逻辑联结词的命题,写出构成它的简单命题.
(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;
(2)若x∈{x|x<1或x>2},则x是不等式(x-1)(x-2)>0的解.
【解析】(1)“p且q”形式的命题,其中p:两个角是45°的三角形是等腰三角形,q:两个角是45°的三角形是直角三角形.
(2)“p或q”形式的命题,其中p:若x∈{x|x<1},则x是不等式(x-1)(x-2)>0的解,q:若x∈{x|x>2},则x是不等式(x-1)(x-2)>0的解.
【能力挑战题】
已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的正实数根,命题q:方程4x2+4(m+2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题,求实数m的取值范围.
【解析】“p或q”为真命题,则p为真命题或q为真命题.
当p为真命题时,有解得m<-2;
当q为真命题时,
有Δ=16(m+2)2-16<0,解得-3综上可知,实数m的取值范围是(-∞,-1).