第二章
圆锥曲线与方程
阶段通关训练(二)
(60分钟 100分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.已知抛物线y=2ax2,且过点(1,4),则焦点坐标为 ( )
A.(1,0) B.
C.
D.(0,1)
【解析】选C.因为过(1,4),所以a=2,
标准方程为x2=y,焦点坐标为.
2.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点,则|PF1|·|PF2|有
( )
A.最大值16
B.最小值16
C.最大值4
D.最小值4
【解析】选A.由椭圆的定义知a=4,|PF1|+|PF2|=2a=2×4=8.由基本不等式知|PF1|·|PF2|≤==16,当且仅当|PF1|=|PF2|=4时等号成立,
所以|PF1|·|PF2|有最大值16.
3.(2017·郑州高二检测)如果点P(2,y0)在以点F为焦点的抛物线y2=4x上,则|PF|= ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.根据抛物线的定义,点P到点F的距离等于点P到其准线x=-1的距离d=|2-(-1)|=3.
【补偿训练】若动圆圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点 ( )
A.(4,0)
B.(2,0)
C.(0,2)
D.(0,-2)
【解析】选B.由抛物线y2=8x,得到准线方程x+2=0,
焦点坐标为(2,0),
因为动圆圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,
所以动圆必经过点(2,0).
4.过双曲线x2-y2=8的右焦点F2有一条弦PQ,|PQ|=7,F1是左焦点,那么△F1PQ的周长为 ( )
A.28
B.14-8
C.14+8
D.8
【解析】选C.△F1PQ的周长为|QF1|+|PF1|+|PQ|,
因为|PF1|-|PF2|=2a=4,
|QF1|-|QF2|=2a=4,
所以△F1PQ的周长为4+4+2×7=14+8.
5.(2017·襄阳高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x-3)2+y2=9相交于A,B两点,若|AB|=2,则该双曲线的离心率为 ( )
A.8
B.2
C.3
D.
【解析】选C.双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,因为圆心为(3,0),半径为3,由|AB|=2,可知圆心到直线AB的距离为2,于是=2,解得b2=8a2,于是c==3a,所以e==3.
【补偿训练】1.(2017·龙岩高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则双曲线的离心率为 ( )
A.
B.2
C.
D.3
【解析】选B.易知双曲线的渐近线方程为y=±x,
因为渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,
所以=1,整理得:=3.
所以双曲线的离心率为e===2.
2.(2017·西安高二检测)已知椭圆x2+ky2=3k(k>0)的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该椭圆的离心率是 .
【解析】由题知抛物线的焦点为F(3,0),
椭圆的方程为+=1,
所以3k-3=9,所以k=4,
所以离心率e==.
答案:
【方法技巧】离心率求解策略
(1)利用圆锥曲线方程:设法求出圆锥曲线的方程,再依方程求出a,b,c,进而求出离心率.
(2)借助题目中的等量关系:充分利用已知条件中等量关系求出a,b,c的等量关系,再对其等量关系进行变形,从而求出a,c的关系.
(3)巧用圆锥曲线中的线段关系:圆锥曲线图形中通常会综合圆、三角形、四边形等平面图形,掌握各平面图形自身特点,能快速找到对应的等量关系,如直径所对角为直角.
6.设P,Q分别为圆x2+=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是 ( )
A.5
B.+
C.7+
D.6
【解析】选D.圆心M(0,6),设椭圆上的点为Q(x,y),
则==
=,
当y=-∈[-1,1]时,=5.
所以=5+=6.
二、填空题(每小题5分,共20分)
7.椭圆的两个焦点为F1,F2,短轴的一个端点为A,且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形,则此椭圆的离心率为 .
【解析】由已知得∠AF1F2=30°,故cos30°=,从而e=.
答案:
8.已知双曲线-=1的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且=c,则双曲线的渐近线方程为 .
【解析】由题意知==b,
抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,
即,代入双曲线方程为-=1,得=2,
所以==1,
所以渐近线方程为y=±x.
答案:y=±x
【补偿训练】若双曲线的渐近线方程为y=±x,它的一个焦点是(,0),则双曲线的标准方程是 .
【解析】由双曲线的渐近线方程为y=±x,知=,它的一个焦点是(,0),知a2+b2=10,因此a=3,b=1,故双曲线的方程是-y2=1.
答案:-y2=1
9.(2017·池州高二检测)以下三个关于圆锥曲线的命题中:
①双曲线-=1与椭圆+=1有相同的焦点;
②在平面内,设A,B为两个定点,P为动点,且|PA|+|PB|=k,其中常数k为正实数,则动点P的轨迹为椭圆;
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.
其中真命题的序号为 .
【解析】①正确,双曲线-=1与椭圆有相同的焦点(±5,0);
②不正确,根据椭圆的定义,当k>|AB|时是椭圆;
③正确,方程2x2-5x+2=0的两根为或2,可分别作为椭圆和双曲线的离心率.
答案:①③
10.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则值为 .
【解析】联立椭圆方程与直线方程,得ax2+b(1-x)2=1,即(a+b)x2-2bx+b-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,
则y1+y2=1-x1+1-x2=2-=,
所以AB中点的坐标为,
AB中点与原点连线的斜率k===.
答案:
三、解答题(共4小题,共50分)
11.(12分)(2017·长沙高二检测)已知顶点在原点、对称轴为坐标轴且开口向右的抛物线过点M(4,-4).
(1)求抛物线的方程.
(2)过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A,B,若|AB|=8,求直线l的方程.
【解析】(1)由已知可设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0),
而点M(4,-4)在抛物线上,则(-4)2=8p,所以p=2,故所求抛物线方程为y2=4x.
(2)由(1)知F(1,0),若直线l垂直于x轴,
则A(1,2),B(1,-2),
此时|AB|=4,与题设不符;
若直线l与x轴不垂直,
可设直线l的方程为y=k(x-1),
再设A(x1,y1),B(x2,y2),
由 k2x2-2(k2+2)x+k2=0,
于是
则|AB|=
=
=,
令=8,解得k=±1,
从而,所求直线l的方程为y=±(x-1).
12.(12分)直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点,若线段AB中点的横坐标等于2,求弦AB的长.
【解析】将y=kx-2代入y2=8x中变形整理得:k2x2-(4k+8)x+4=0,
由得k>-1且k≠0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意得:x1+x2==4 k2=k+2 k2-k-2=0.
解得:k=2或k=-1(舍去),
由弦长公式得:
|AB|=·=×=2.
13.(13分)(2017·福州高二检测)设抛物线y2=2px(p>0),Rt△AOB内接于抛物线,O为坐标原点,AO⊥BO,AO所在的直线方程为y=2x,|AB|=5,求抛物线方程.
【解题指南】根据AO⊥BO,直线AO的斜率为2,可知直线BO的斜率为-,进而得出直线BO的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程,分别求出A,B的坐标.根据两点间的距离为5及勾股定理求得p.
【解析】因为AO⊥BO,直线AO的斜率为2,
所以直线BO的斜率为-,即方程为y=-x,
把直线y=2x代入抛物线方程解得A点坐标为,
把直线y=-x代入抛物线方程解得B点坐标为(8p,-4p).
因为|AB|=5,
所以+p2+64p2+16p2=25×13,所以p2=4,
因为p>0,所以p=2.故抛物线方程为y2=4x.
14.(13分)(2017·西安高二检测)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于 若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
【解题指南】(1)将点代入易求方程.
(2)假设存在,根据条件求出直线,注意验证.
【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,
所以p=2.
故所求的抛物线C的方程为y2=4x,
其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.
由得y2+2y-2t=0.
因为直线l与抛物线C有公共点,
所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.
由直线OA到l的距离d=,
可得=,解得t=±1.
又因为-1 ,1∈,
所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.
【补偿训练】(2017·泉州高二检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆W:+=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆所得的弦的弦长为,过点A的直线与椭圆W交于另一点C.
(1)求椭圆W的标准方程.
(2)当AC的斜率为时,求线段AC的长.
(3)设D是AC的中点,且以AB为直径的圆恰过点D,求直线AC的斜率.
【解析】(1)由=,设a=3k(k>0),则c=k,b2=3k2,
所以椭圆W的方程为+=1,
把x=k代入椭圆方程,解得y=±k,于是2k=,即k=,
所以椭圆W的标准方程为+y2=1.
(2)由(1)知A(0,-1),
直线AC的方程为y=x-1.
由得2x2-3x=0,
解得x=或x=0(舍),
所以点C的坐标为,
所以|AC|==.
(3)依题意,设直线AC的方程为y=k1x-1,k1≠0.
由得(3+1)x2-6k1x=0,
解得x=或x=0(舍),所以点C的横坐标为,
设点D的坐标为(x0,y0),则x0=,
y0=k1x0-1=,
因为以AB为直径的圆恰过点D,
所以|OD|=1,
即+=1.
整理得=,所以k1=±.
【能力挑战题】
(2017·全国乙卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),
P3,P4中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程.
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:
l过定点.
【解析】(1)根据椭圆对称性,必过P3,P4,
又P4横坐标为1,椭圆必不过P1,所以过P2,P3,P4三点,将P2,P3代入椭圆方程得
解得a2=4,b2=1,
所以椭圆C的方程为:+y2=1.
(2)①当斜率不存在时,设
l:x=m,A,B,
+=+==-1,
得m=2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.
②当斜率存在时,设l:y=kx+b,A,B,
联立整理得
x2+8kbx+4b2-4=0,
x1+x2=,x1·x2=,
则+=+=
=
==-1,又b≠1,
b=-2k-1,此时Δ=-64k,存在k使得Δ>0成立,
所以直线l的方程为y=kx-2k-1,当x=2时,y=-1,
所以l过定点.第二章
圆锥曲线与方程
单元质量评估(二)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设P是椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,若|PF1|等于4,则|PF2|等
于 ( )
A.22
B.21
C.20
D.13
【解析】选A.由椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=26,因为|PF1|=4,所以|PF2|=22.
2.(2015·广东高考)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点F2(5,0),则双曲线C的方程为 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选B.因为所求双曲线的右焦点为F2且离心率为e==,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求双曲线方程为-=1.
【补偿训练】与椭圆+=1有相同焦点,并且经过点(2,-)的双曲线的标准方程为__________.
【解析】由+=1知焦点F1(-,0),F2(,0).
依题意,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
所以a2+b2=5,①
又点(2,-)在双曲线-=1上,
所以-=1.②
联立①②得a2=2,b2=3,
因此所求双曲线的方程为-=1.
答案:-=1
3.已知离心率为e的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个公共点,若∠F1PF2=,则e等于 ( )
A.
B.
C.
D.3
【解题指南】在△F1F2P中利用余弦定理列方程,然后利用定义和已知条件消元.
【解析】选C.设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,焦距为2c,|PF1|=m,|PF2|=n,且不妨设m>n,由m+n=2a1,m-n=2a2得m=a1+a2,n=a1-a2.
又∠F1PF2=,
所以4c2=m2+n2-mn=+3,
所以+=4,即+=4,解得e=.
【补偿训练】(2017·佛山高二检测)已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.依题意,椭圆的焦距和短轴长相等,即b=c,所以a2-c2=c2,得e=.故选D.
4.设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于 ( )
A.4
B.8
C.24
D.48
【解析】选C.由3|PF1|=4|PF2|知|PF1|>|PF2|,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=8,|PF2|=6,又c2=a2+b2=1+24=25,所以c=5,所以|F1F2|=10,
所以△PF1F2为直角三角形,
=|PF1||PF2|=24.
【拓展延伸】圆锥曲线中的焦点三角形问题解法
(1)△PF1F2由两焦点和曲线上一点形成,我们把这种三角形叫焦点三角形.焦点三角形问题的主要类型有:周长、面积、角度等,通常会用到圆锥曲线的定义、正弦定理、余弦定理、面积公式等.
(2)焦点三角形的面积主要有两种求法:=r1r2·sin∠F1PF2和=·2c·|yP|.
(3)涉及焦点、顶点、曲线上点(顶点以外)等问题,抓住几个特征三角形,举一反三.这是一个考查重点,容易出现离心率的值(或范围)的运算.
5.椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离是 ( )
A.3
B.
C.2
D.
【解析】选D.设直线方程为x+2y+b=0,
得8y2+4by+b2-16=0,
Δ=16b2-4×8×(b2-16)=0得b=±4.
d==.
6.过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选A.设右焦点为F,由题意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,
又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,
故a=2,b2=12,所以方程为-=1.
7.(2017·全国乙卷)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,
l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为 ( )
A.16
B.14
C.12
D.10
【解析】选A.设直线l1方程为y=k1(x-1),
联立方程得x2-2x-4x+=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),
所以x1+x2=-=,
同理直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=,
由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p
=++4=++8≥2+8=16,
当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.
8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 ( )
A.(1,2]
B.(1,2)
C.[2,+∞)
D.(2,+∞)
【解析】选C.如图所示,要使过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率小于等于渐近线的斜率,所以≥,离心率e2==≥4,所以e≥2.
9.如果椭圆+=1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 ( )
A.x-2y=0
B.x+2y-4=0
C.2x+3y-12=0
D.x+2y-8=0
【解析】选D.设这条弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k,则
两式相减再变形得+k=0,
又弦中点为(4,2),故k=-,
故这条弦所在的直线方程y-2=-(x-4),整理得x+2y-8=0.
10.若抛物线y2=8x的焦点是F,准线是l,则经过点F,M(3,3)且与l相切的圆共
有 ( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.4个
【解析】选B.由题意得F(2,0),
l:x=-2,
线段MF的垂直平分线方程为y-=-(x-),即x+3y-7=0,设圆的圆心坐标为(a,b),
则圆心在x+3y-7=0上,
故a+3b-7=0,a=7-3b,
由题意得|a-(-2)|=,
即b2=8a=8(7-3b),即b2+24b-56=0.
又b>0,故此方程只有一个根,于是满足题意的圆只有一个.
【补偿训练】(2017·兰州模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a= ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.根据题意,抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5,则1+=5,解得p=8;即抛物线的方程为y2=16x,把M(1,m)代入,可得m=4,即M的坐标为(1,4),双曲线-y2=1的左顶点为A,则a>0,且A的坐标为,渐近线方程为y=±x,因为双曲线的一条渐近线与直线AM平行,所以kAM==,解得a=.
11.(2017·珠海高二检测)已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是 ( )
A.(1,+∞)
B.(1,2]
C.(1,]
D.(1,3]
【解析】选D.==+|PF2|+4a≥4a+4a=8a,当且仅当=|PF2|,即|PF2|=2a时取等号.这时|PF1|=4a.由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,得6a≥2c,即e=≤3,得e∈(1,3].
12.若a≠0且ab≠0,则曲线ax-y+b=0和bx2+ay2=ab的形状可能是下图中
的 ( )
【解析】选C.将bx2+ay2=ab化为+=1,若此方程表示双曲线,则ab<0;当a>0时,b<0,表示焦点在x轴上的双曲线;当a<0时,b>0,表示焦点在y轴上的双曲线.易判断选项C符合;当a>0,b>0时,方程表示椭圆,此时B,D都不符合.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.(2017·南昌高二检测)在平面直角坐标系中,O是原点,=(1,0),P是平面内的动点,若|-|=|·|,则P点的轨迹方程是________.
【解析】设P(x,y),则=(x,y),
又因为|-|=|·|,
所以(x-1)2+y2=x2,整理得y2=2x-1.
答案:y2=2x-1
14.(2017·兰州高二检测)直线y=x+3与曲线-=1的公共点的个数为________.
【解析】当x≥0时,-=1化为-=1;
当x<0时,-=1化为+=1,
所以曲线-=1是由半个双曲线和半个椭圆组成的图形,结合图象可知(如图),直线y=x+3与曲线-=1的公共点的个数为3.
答案:3
15.(2017·江西高二检测)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆的离心率的取值范围是________.
【解析】因为·=0,所以MF1⊥MF2.假设椭圆在坐标轴正方向上的短轴端点B,则∠F1BF2即椭圆上点与椭圆焦点夹角的最大值,由M在椭圆内部,所以
∠F1BF2<90°,即b>c,所以b2=a2-c2>c2,所以e2<,即0
答案:
【补偿训练】若椭圆+=1(a>b>0)的两焦点关于直线y=x的对称点均在椭圆内部,则椭圆的离心率e的取值范围为________.
【解析】由已知得两焦点为(±c,0),其关于直线y=x的对称点为(0,±c)均在椭圆内部,则<1,得<1,<1,解得0答案:
16.已知抛物线C:y2=2px(p>0),过焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点,若=3,则k=________.
【解析】设直线l为抛物线的准线,过A,B分别作AA1,BB1垂直于l,A1,B1为垂足,过B作BE垂直于AA1于点E,则|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,由=3,
所以cos∠BAE==,
所以∠BAE=60°,所以tan∠BAE=.即k=.
答案:
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2017·郑州高二检测)已知点M在椭圆+=1上,MP′垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为P′,并且M为线段PP′的中点,求P点的轨迹方程.
【解析】设P点的坐标为(x,y),M点的坐标为(x0,y0).
因为点M在椭圆+=1上,所以+=1.
因为M是线段PP′的中点,
所以把
代入+=1,得+=1,即x2+y2=36.
所以P点的轨迹方程为x2+y2=36.
18.(12分)已知椭圆C的焦点F1(-2,0)和F2(2,0),长轴长6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点,求线段AB的中点坐标.
【解析】由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,
其中c=2,a=3,从而b=1,
所以其标准方程是:+y2=1.
联立方程组消去y得,10x2+36x+27=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),则x1+x2=-,x0==-,所以y0=x0+2=,
所以线段AB中点坐标为.
19.(12分)已知点F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的上顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.
(1)求椭圆C的离心率.
(2)已知△AF1B的面积为40,求a,b的值.
【解析】(1)由题意知△AF1F2为正三角形,a=2c,e==.
(2)直线AB的方程为y=-(x-c),
(3a2+b2)x2-6a2cx+3a2c2-a2b2=0. ①
由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2.
代入①中得5x2-8cx=0,x=0或x=,
得A(0,c),B,得|AB|=.
由△AF1B的面积为40,得|AB||AF1|sin60°
=40,
··a·=40,解得c=5,a=10,b=5.
20.(12分)过抛物线y2=4x的焦点F的直线与这条抛物线交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)求△AOB的重心G的轨迹方程.
(2)当直线l的倾斜角为45°时,试求抛物线的准线上一点P的坐标,使AP⊥BP.
【解析】(1)抛物线的焦点坐标为(1,0).
当直线l不垂直于x轴时,设l:y=k(x-1),代入y2=4x得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.
因为l与抛物线相交于两点,所以k≠0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),根据根与系数的关系得
x1+x2=,x1x2=1.
因为所以y1+y2=k(x1+x2-2)=,
y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=-4.
设△AOB的重心G(x,y),
则
消去k并整理得y2=x-.
当l垂直于x轴时,A,B的坐标分别是(1,2)和(1,-2),
△AOB的重心G也适合y2=x-,
因此所求轨迹方程为y2=x-.
(2)当直线l的倾斜角为45°时,k=1,
所以x1+x2=6,y1+y2=4.
设抛物线的准线上一点P(-1,y0).
因为AP⊥BP,所以·=-1,
即=-1,=-1,
解得y0=2,故所求点P的坐标为(-1,2).
21.(12分)(2016·全国卷Ⅱ)已知A是椭圆E:+=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积.
(2)当2|AM|=|AN|时,证明:【解析】(1)设Μ(x1,y1),则由题意知y1>0,
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为,
又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2,
将x=y-2代入+=1,得7y2-12y=0.
解得y=0或y=,所以y1=.
因此△AMN的面积为2×××=.
(2)设直线AM的方程为y=k(x+2)(k>0),
代入+=1,
得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,
由x1·(-2)=,得x1=-,
故|AM|=|x1+2|=,
由题意设直线AN的方程为y=-(x+2),
故同理可得|AN|=,
由2|AM|=|AN|,得=,
即4k3-6k2+3k-8=0,
设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点,
f′(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,
所以f(t)在(0,+∞)上单调递增,
又f()=15-26<0,f(2)=6>0,
因此f(t)在(0,+∞)上有唯一的零点,且零点k在(,2)内,故22.(12分)(2017·株洲高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(2,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,且△MOF是等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程.
(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=8,证明:直线AB过定点.
【解题指南】(1)根据几何性质求出a,b,然后代入椭圆的标准方程.(2)以参数k,m表示直线方程,代入椭圆方程,设出A,B的坐标,利用根与系数的关系和k1+k2=8求出m,k的关系式,建立直线AB的方程,证明直线过定点.
【解析】(1)由△MOF是等腰直角三角形,得c2=b2=4,所以a2=8,故椭圆方程为+=1.
(2)①若直线AB的斜率存在,设AB方程为y=kx+m,依题意m≠±2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0.
则x1+x2=-,x1x2=.
由已知k1+k2=8,可得+=8,
所以+=8,
即2k+(m-2)=8.
所以k-=4,整理得m=k-2.
故直线AB的方程为y=kx+k-2,
即y=k-2.
所以直线AB过定点.
②若直线AB的斜率不存在,设AB方程为x=x0,设A(x0,y0),B(x0,-y0),
由已知+=8,得x0=-.此时AB方程为x=-,显然过点.
综上,直线AB过定点.
【补偿训练】已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.
【解析】(1)由题意设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),且a+c=3,a-c=1,
所以a=2,c=1,所以b2=3,所以+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由
得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,
Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,3+4k2-m2>0.
又x1+x2=-,x1·x2=,
所以y1·y2=(kx1+m)·(kx2+m)
=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=.
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),
所以kAD·kBD=-1,
即·=-1,
所以y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,
+++4=0,
7m2+16mk+4k2=0,
解得m1=-2k,m2=-,且满足3+4k2-m2>0.
当m=-2k时,l:y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾;
当m=-时,l:y=k,直线过定点.
综上可知,直线l过定点,定点坐标为.第二章
圆锥曲线与方程
能力深化提升
类型一 圆锥曲线的定义及应用
【典例1】(2017·日照高二检测)如图所示,已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x-5)2+y2=42,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
【解析】圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1;
圆F2:(x-5)2+y2=42,
圆心F2(5,0),半径r2=4.
设动圆M的半径为R,
则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,
所以|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.
所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a=,c=5,于是b2=c2-a2=.
所以动圆圆心M的轨迹方程为-=1.
【方法总结】圆锥曲线定义的应用技巧
(1)在求点的轨迹问题时,若所求轨迹符合圆锥曲线的定义,则根据其直接写出圆锥曲线的轨迹方程.
(2)焦点三角形问题,在椭圆和双曲线中,常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的“焦点三角形”,处理时常结合圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决.
(3)在抛物线中,常利用定义,以达到“到焦点的距离”和“到准线的距离”的相互转化.
【巩固训练】已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程.
【解析】|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,故F点的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线,又c=7,a=1,b2=48,故F点的轨迹方程是y2-=1(y≤-1).
类型二 圆锥曲线的性质及应用
【典例2】(1)设P为直线y=x与双曲线-=1(a>0,b>0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=________.
(2)(2017·沈阳高二检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e=________.
【解析】(1)由PF1⊥x轴知P,把P代入双曲线得:
-=1,整理得e2=1,
所以e2=,e=.
答案:
(2)在△ABF中,由余弦定理得,
cos∠ABF=,
所以|BF|2-16|BF|+64=0,所以|BF|=8.
设右焦点为F1,因为直线过原点,所以|BF1|=|AF|=6,
所以2a=|BF|+|BF1|=14,所以a=7,
因为|AB|=10,|BF|=8,|AF|=6,
所以△ABF是以∠AFB为直角的直角三角形.
因为O为Rt△ABF斜边AB的中点,
所以|OF|=|AB|=5,所以c=5,所以e=.
答案:
【方法总结】求离心率的两种常用方法
(1)求得a,c的值,直接代入公式e=求得.
(2)列出关于a,b,c的齐次方程(或不等式),然后根据a,b,c的关系消去b,转化成关于e的方程(或不等式)求解.
【巩固训练】已知F1为椭圆的左焦点,A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF1⊥F1A,PO∥AB(O为椭圆中心)时,求椭圆的离心率.
【解析】由已知可设椭圆的方程为+=1(a>b>0),c2=a2-b2,F1(-c,0),因为PF1⊥F1A,
所以P,
即P,因为AB∥PO,所以kAB=kOP,
即-=-,所以b=c,所以a2=2c2,
所以e==.
类型三 直线与圆锥曲线
【典例3】已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2),求过点P(1,2)的直线l的斜率的取值范围,使l与C分别有一个公共点,两个公共点,没有公共点.
【解析】(1)当l垂直于x轴时,直线与双曲线相切,有一个公共点.
(2)当l不与x轴垂直时,设直线l为y-2=k(x-1),代入双曲线方程中,有(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0.
当k2=2时,即k=±时,有一个解.
当k2≠2时,Δ=4(k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+4k-6)
=48-32k.
令Δ=0可得k=.
令Δ>0,即48-32k>0,此时k<.
令Δ<0,即48-32k<0,此时k>.
所以当k=±,或k=,或k不存在时,直线与双曲线只有一个公共点;
当k<-,或-当k>时,直线l与双曲线没有公共点.
【方法总结】直线与圆锥曲线的位置关系的关注点
(1)直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论,即联立得方程组通过消去y(也可以消去x)得到有关x的方程ax2+bx+c=0进行讨论.这时要注意考虑a=0和a≠0两种情况,对双曲线和抛物线而言,一个公共点的情况除a≠0,Δ=0外,直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重合时,都只有一个公共点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).
(2)求圆锥曲线被直线所截弦长常用的方法是设而不求,结合根与系数的关系,利用弦长公式求弦长.
(3)弦长公式|P1P2|=或
|P1P2|=.
【巩固训练】已知直线y=-x+2和椭圆+=1(a>b>0)相交于A,B两点,M为AB的中点,若|AB|=2,直线OM的斜率为(O为坐标原点),求椭圆的方程.
【解析】由
消去y,整理得(a2+4b2)x2-8a2x+16a2-4a2b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则由根与系数的关系,
得x1+x2=,x1x2=.
又设AB的中点M(xM,yM),
则xM==,yM=-xM+2=.
因为直线OM的斜率kOM==,
所以=,所以a2=4b2,
从而x1+x2==4,x1x2==8-2b2.
又因为|AB|=2,
所以·=2,
即×=2,解得b2=4,
所以a2=4b2=16,
故所求椭圆的方程为+=1.
类型四 圆锥曲线中的最值与范围问题
【典例4】(2017·马鞍山高二检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.
【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,
依题意有所以c=,b==1.
所以所求椭圆方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
①当AB⊥x轴时,|AB|=.
②当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m.
由已知=,得m2=(k2+1).
把y=kx+m代入椭圆方程,整理得
(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,
所以x1+x2=,x1x2=.
所以|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2)
==
=3+=3+(k≠0)
≤3+=4.
所以|AB|≤2,故△ABO的面积最大值为|AB|·h=×2×=.
【方法总结】解决圆锥曲线最值(范围)问题的思路
(1)几何法:若题目条件与结论有明显的几何特征、几何意义,常结合图形的性质寻求解题思路.这种方法常常较为简捷.
(2)代数法:题设条件和结论中存在函数关系,可以建立起目标函数,转化为函数求最值的问题.常用的方法有二次函数在闭区间上最值的求法、判别式法、函数的单调性、基本不等式等.解题时要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【巩固训练】(2017·济南高二检测)设抛物线y2=2px(p>0)上有两动点A,B(直线AB不垂直于x轴),F为焦点且|AF|+|BF|=8,又线段AB的垂直平分线恒过定点Q(6,0),求:
(1)抛物线的方程.
(2)△AQB的面积的最大值.
【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则|AF|=x1+,|BF|=x2+,
所以|AF|+|BF|=x1+x2+p=8,即p+2x0=8. ①
由=2px1,=2px2,得-=2p(x1-x2),
所以=.
因为MQ垂直平分AB,所以kMQ=-,又kMQ=,
所以-=,所以p=6-x0. ②
由①②得x0=2,p=4,故抛物线的方程为y2=8x.
(2)由(1)知kAB=,M(2,y0),
所以AB的方程为y-y0=(x-2),
代入y2=8x,得y2-2y0y+2-16=0,
由Δ>0得-4所以|AB|=·
=,
所以S△AQB=|AB|·|MQ|
=
=
≤=.
当且仅当16+=32-2,即y0=±时取等号,故△AQB的面积的最大值为.2.3.2.1
抛物线的简单几何性质
课时达标训练
1.抛物线x2=-16y的焦点坐标是 ( )
A.(0,-4)
B.(0,4)
C.(4,0)
D.(-4,0)
【解析】选A.由抛物线的定义可知2p=16,故p=8,且焦点在y轴负半轴上,故焦点坐标为(0,-4).
2.顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线,过点(-1,2),则它的方程是 ( )
A.y=2x2或y2=-4x
B.y2=-4x或x2=2y
C.x2=-y
D.y2=-4x
【解析】选A.当抛物线的焦点在x轴上时,
因为抛物线过点(-1,2),
所以设抛物线的方程为y2=-2px(p>0).
所以22=-2p(-1).所以p=2.所以抛物线的方程为y2=-4x.当抛物线的焦点在y轴上时,
因为抛物线过点(-1,2),所以设抛物线的方程为x2=2py(p>0).
所以(-1)2=2p·2,所以p=.所以抛物线的方程为x2=y.
3.抛物线y2=x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 .
【解析】设抛物线上点的坐标为(x,±),此点到准线的距离为:x+,到顶点的距离为,由题意有x+=,所以x=,所以此点坐标为.
答案:
4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p= .
【解析】直线为y=x-,故
所以x2-3px+=0,
|AB|=8=x1+x2+p,所以4p=8,p=2.
答案:2
5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程.
【解析】方法一:设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则焦点为
F.
因为M(m,-3)在抛物线上且|MF|=5,
故
解得
所以抛物线方程为x2=-8y,m=±2,
准线方程为y=2.
方法二:如图所示:
设抛物线方程为x2=-2py(p>0),
有焦点F,准线l:y=.
又|MF|=5,由定义知3+=5,所以p=4.
所以抛物线方程为x2=-8y,准线方程为y=2.
由m2=-8×(-3),得m=±2.
【补偿训练】已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点.若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程.
【解析】由抛物线的性质知A,B关于x轴对称.
设A(x,y),则B(x,-y),焦点为F.
由题意知AF⊥OB,则有·=-1.
所以y2=x,2px=x.
易知x≠0,所以x=.
所以直线AB的方程为x=.抛物线及其标准方程
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.抛物线y2=4px(p>0)上一点M到焦点的距离为a,则M到y轴的距离为 ( )
A.a-p
B.a+p
C.a-
D.a+2p
【解析】选A.可先求M到准线的距离为a,又准线方程为x=-p,所以M到y轴距离为a-p.
2.顶点在原点,焦点是F(0,3)的抛物线标准方程是 ( )
A.y2=21x
B.x2=12y
C.y2=x
D.x2=y
【解析】选B.由=3得p=6,且焦点在y轴正半轴上,故x2=12y.
3.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过定点P,则过点P的抛物线的标准方程是 ( )
A.y2=-x或x2=y
B.y2=x或x2=y
C.y2=x或x2=-y
D.y2=-x或x2=-y
【解析】选A.方程可化为a(x+2)-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-2,3),设抛物线方程y2=ax(a≠0),或x2=by(b≠0),将(-2,3)代入,可得a=-,b=.
4.抛物线y=ax2的准线方程为y=-1,则实数a的值是 ( )
A. B. C.- D.-
【解析】选A.由条件知a≠0,则y=ax2可以变形为x2=y,由于准线是y=-1,可知a>0,抛物线标准方程可设为x2=2py(p>0),2p=,则p=,又由于-=-1,知p=2,所以=2,解得a=.
【补偿训练】抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是 ( )
A. B. C.|a| D.-
【解析】选B.因为y2=ax,所以p=,即焦点到准线的距离为.
5.(2017·大连高二检测)已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在双曲线-=1上,则抛物线方程为 ( )
A.y2=8x
B.y2=4x
C.y2=2x
D.y2=±8x
【解析】选D.由题意知抛物线的焦点为双曲线-=1的顶点,即为(-2,0)或(2,0),所以抛物线的方程为y2=8x或y2=-8x.
6.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有 ( )
A.|P1F|+|P2F|=|P3F|
B.|P1F|2+|P2F|2=|P3F|2
C.2|P2F|=|P1F|+|P3F|
D.|P2F|2=|P1F|·|P3F|
【解析】选C.因为P1,P2,P3在抛物线上,且2x2=x1+x3,两边同时加上p,
得2=x1++x3+.
即2|P2F|=|P1F|+|P3F|.
7.已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|= ( )
A.2∶
B.1∶2
C.1∶
D.1∶3
【解题指南】利用射线FA的斜率和抛物线的定义求解.
【解析】选C.射线FA的方程为x+2y-2=0(x≥0).
由条件知tanα=,所以sinα=,
由抛物线的定义知|MF|=|MG|,
所以==sinα==.
8.(2017·重庆高二检测)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为 ( )
A.2
B.2
C.2
D.4
【解题指南】由|PF|=4及抛物线的定义求出点P的坐标,进而求出面积.
【解析】选C.抛物线C的准线方程为x=-,焦点F(,0),由|PF|=4及抛物线的定义知,P点的横坐标xP=3,从而yP=±2,
所以=|OF|·|yP|=××2=2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.动点P到直线x+4=0的距离比它到点M(2,0)的距离大2,则点P的轨迹方程是________.
【解析】由题可知,动点P到直线x+2=0的距离与它到点M(2,0)的距离相等,利用定义可求出抛物线方程为y2=8x.
答案:y2=8x
10.若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,则点M的坐标为________.
【解析】由抛物线方程y2=-2px(p>0),得其焦点坐标为F,准线方程为x=,设点M到准线的距离为d,则d=|MF|=10,即-(-9)=10,
所以p=2,故抛物线方程为y2=-4x.
将M(-9,y)代入抛物线方程,得y=±6,
所以M(-9,6)或M(-9,-6).
答案:(-9,-6)或(-9,6)
【补偿训练】(2017·皖南八校联考)若抛物线y2=2x上一点M到坐标原点O的距离为,则点M到抛物线焦点的距离为________.
【解析】设M(x,y),则由
得x2+2x-3=0.解得x=1或x=-3(舍).
所以点M到抛物线焦点的距离d=1-=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.根据下列条件写出抛物线的标准方程.
(1)准线方程x=-.
(2)焦点到准线的距离为2.
(3)经过点(-3,-5).
【解析】(1)由-=-,得p=,
所以所求抛物线的方程是y2=x.
(2)p=2,有四种形式的标准方程,分别是y2=4x,y2=-4x,
x2=4y,x2=-4y.
(3)当抛物线的方程为y2=-2px(p>0)时,将点(-3,-5)代入得p=,即抛物线的方程为y2=-x;当抛物线的方程为x2=-2py(p>0)时,将点(-3,-5)代入得p=,即x2=-y.
12.(2017·邢台高二检测)如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管O′P=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线的对称轴1m,则水池的直径至少应设计为多少米 (精确到1m)
【解题指南】以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立平面直角坐标系,则易得P点坐标,再由P在抛物线上求出抛物线方程,再由抛物线方程求出相关点坐标即可获解.
【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0).
依题意有P(-1,-1)在此抛物线上,代入得p=.
故得抛物线方程为x2=-y.
又点B在抛物线上,将B(x,-2)代入抛物线方程得x=,
即|AB|=,则|O′B|=|O′A|+|AB|=+1,
因此所求水池的直径为2(1+)m,约为5m,
即水池的直径至少应设计为5m.
【补偿训练】某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成,尺寸如图所示,某卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3米,车与箱共高4.5米,问此车能否通过此隧道 说明理由.
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,
则B(-3,-3),A(3,-3).
设抛物线方程为x2=-2py(p>0),
将B点的坐标代入,得9=-2p·(-3),所以p=,所以抛物线方程为x2=-3y(-3≤y≤0).
因为车与箱共高4.5米,
所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5米.
设抛物线上点D的坐标为(x0,-0.5),D′的坐标为(-x0,-0.5),
则=-3×(-0.5),解得x0=±=±.
所以|DD′|=2|x0|=<3,故此车不能通过隧道.
【能力挑战题】
已知抛物线x2=4y,定点A(12,39),点P是此抛物线上的一动点,F是该抛物线的焦点,求|PA|+|PF|的最小值.
【解析】将x=12代入x2=4y,
得y=36<39.
所以点A(12,39)在抛物线内部,
抛物线的焦点为(0,1),准线l为y=-1.
过P作PB⊥l于点B,
则|PA|+|PF|=|PA|+|PB|,
由图可知,当P,A,B三点共线时,
|PA|+|PB|最小.
所以|PA|+|PB|的最小值为|AB|=39+1=40.
故|PA|+|PF|的最小值为40.椭圆及其标准方程
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.设A,B为两定点,|AB|=6,动点P满足|PA|+|PB|=6,则动点P的轨迹是 ( )
A.椭圆
B.圆
C.线段
D.直线
【解析】选C.因为|PA|+|PB|=6=|AB|,所以动点P的轨迹是线段.
2.设椭圆的标准方程为+=1,若其焦点在x轴上,则k的取值范围是
( )
A.k>3
B.3C.4D.3【解析】选C.由题意得k-3>5-k>0,
所以43.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是 ( )
A.2
B.6
C.4
D.12
【解析】选C.由于△ABC的周长与焦点有关,设另一焦点为F,利用椭圆的定义,|BA|+|BF|=2,|CA|+|CF|=2,便可求得△ABC的周长为4.
4.“m>0且n>0”是“方程mx2+ny2=1表示椭圆”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】选B.当m=n>0时方程mx2+ny2=1表示圆,故m>0且n>0 /方程mx2+ny2=1表示椭圆,而方程mx2+ny2=1表示椭圆 m>0且n>0.
5.若椭圆+=1的焦距为6,则m的值为 ( )
A.7
B.7或25
C.25
D.或5
【解析】选B.①设a2=16,b2=m,所以c2=16-m,
所以16-m=9,所以m=7;
②设a2=m,b2=16,则c2=m-16,所以m-16=9,
所以m=25.
6.设F1,F2是椭圆C:+=1的焦点,在曲线C上满足·=0的点P的个数为 ( )
A.0
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.因为·=0,所以PF1⊥PF2,所以点P即为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点,且半径为c==2.又因为b=2,所以点P为该椭圆与y轴的两个端点.
7.已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程为( )
A.+=1
B.+=1或+=1
C.+=1
D.+=1或+=1
【解析】选B.由已知2c=|F1F2|=2,所以c=.
因为2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,
所以a=2,所以b2=a2-c2=9.
故椭圆C的标准方程是+=1或+=1.
8.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由·=0,得MF1⊥MF2,
可设=m,=n,在△F1MF2中,
由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,
根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,
所以mn=2b2,即mn=2,
所以=mn=1.
设点M到x轴的距离为h,则:×|F1F2|×h=1,
又|F1F2|=2,所以h=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为________.
【解析】由已知,2a=8,2c=2,所以a=4,c=,所以b2=a2-c2=16-15=1,所以椭圆的标准方程为+x2=1.
答案:+x2=1
10.(2017·衡水高二检测)已知P是椭圆+=1上的一动点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹方程是________.
【解析】依题意,|PF1|+|PF2|=2a(a是常数且a>0).
又|PQ|=|PF2|,所以|PF1|+|PQ|=2a,
即|QF1|=2a.
由题意知,a=2,b=,c===1.
所以|QF1|=4,F1(-1,0),
所以动点Q的轨迹是以F1为圆心,4为半径的圆,
所以动点Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16.
答案:(x+1)2+y2=16
三、解答题
11.(10分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点.设椭圆C上一点到两焦点F1,F2的距离和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标.
【解析】由点在椭圆上,得+=1,
又2a=4,所以椭圆C的方程为+=1,焦点坐标分别为(-1,0),(1,0).
【能力挑战题】
设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,点P为椭圆上一点,已知F1,F2,P为一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求的值.
【解析】由已知|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2,根据直角的位置不同,分为两种情况.
(1)若∠PF2F1为直角,
则
所以所以=.
(2)若∠F1PF2为直角,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,
所以
解得|PF1|=4,|PF2|=2,所以=2.
综上,的值为或2.2.1.2.1
椭圆的简单几何性质
课时达标训练
1.(2017·北京高二检测)椭圆x2+8y2=1的短轴的端点坐标是 ( )
A.
,
B.(-1,0),(1,0)
C.(2,0),(-2,0)
D.(0,2),(0,-2)
【解析】选A.椭圆x2+8y2=1可化为x2+=1,故a2=1,b2=,b=,短轴在y轴上,故短轴的端点坐标是,.
2.椭圆C1:
+=1与椭圆C2:
+=1(k<9) ( )
A.有相同的长轴
B.有相同的短轴
C.有相同的焦点
D.有相等的离心率
【解析】选C.25-9=(25-k)-(9-k),故两椭圆有相同的焦点.
3.椭圆的四个顶点构成的菱形的面积为10,两个焦点与短轴的两个顶点构成的菱形的面积为5,则椭圆的离心率为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.依题意有2ab=10,2bc=5,所以e==.
4.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在y轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆方程为__________.
【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,
所以设椭圆的方程为+=1(a>b>0).
由得
由a2=b2+c2,得b2=32.故椭圆的方程为:
+=1.
答案:
+=1
5.已知F1,F2为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,过F2作椭圆的弦AB,
若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率e=,求椭圆的方程.
【解析】由题意,得
所以a=4,c=2.
所以b2=a2-c2=4,所求椭圆方程为+=1.2.2.2.1
双曲线的简单几何性质
课时达标训练
1.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为 ( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】选C.由双曲线方程可知渐近线方程为y=±x,故可知a=2.
2.双曲线-=1的一个焦点为(2,0),则此双曲线的实轴长为 ( )
A.1
B.
C.2
D.2
【解析】选C.由已知焦点在x轴上,所以m>0.所以m+3m=4,m=1.所以双曲线的实轴长为2.
3.如果椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,那么双曲线-=1的离心率为
( )
A.
B.
C.
D.2
【解析】选A.由已知椭圆的离心率为,得=,所以a2=4b2.所以e2=
==.所以双曲线的离心率e=.
4.已知双曲线方程为8kx2-ky2=8,则其渐近线方程为 .
【解析】由已知令8kx2-ky2=0,得渐近线方程为y=±2x.
答案:y=±2x
5.双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,它的一条渐近线为y=x,则双曲线的方程为 .
【解析】由椭圆方程得焦点为(0,±4),
得双曲线焦点在y轴上,且c=4.
由渐近线为y=x得a=b,
所以a=b=2,
方程为-=1.
答案:-=1
6.根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)与双曲线-=1有共同的渐近线,且过点(-3,2).
(2)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2).
【解析】(1)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0),
将点(-3,2)代入得λ=,
所以双曲线方程为-=,
即-=1.
(2)设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
由题意易求c=2.
又双曲线过点(3,2),所以-=1.
又因为a2+b2=(2)2,所以a2=12,b2=8.
故所求双曲线的方程为-=1.
【补偿训练】双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,若双曲线上存在点P,使|PF1|=2|PF2|,试确定双曲线离心率的取值范围.
【解析】由题意知在双曲线上存在一点P,使得|PF1|=2|PF2|,如图所示,又因为
|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=2a,即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|=2a,即
|AF2|≤2a,所以|OF2|-|OA|=c-a≤2a,所以c≤3a.又因为c>a,所以a1<≤3,即1双曲线及其标准方程
课时达标训练
1.已知平面上定点F1,F2及动点M,命题甲:||MF1|-|MF2||=2a(a为常数),命题乙:M点的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.根据双曲线的定义,乙 甲,但甲乙,
只有当2a<|F1F2|且a≠0时,其轨迹才是双曲线.
2.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为 ( )
A.x2-=1
B.
-y2=1
C.y2-=1
D.
-=1
【解析】选A.因为双曲线的焦点在x轴上,
所以设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
由题知c=2,所以a2+b2=4.①
又点(2,3)在双曲线上,所以-=1.②
由①②解得a2=1,b2=3,所以所求双曲线的标准方程为x2-=1.
3.双曲线-=1上点P到左焦点的距离为6,这样的点P的个数为 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.由题易知a=2,c=4,
所以右支顶点到左焦点的距离为6,
右支上只有一个点,左支上到左焦点的距离为6的点为2个,所以共3个.
4.焦点在坐标轴上,中心在原点,且经过点P(2,3)和Q(-7,-6)的双曲线方程是________.
【解析】设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn>0),把P,Q两点的坐标代入,得
解得
所以双曲线的标准方程是-=1.
答案:
-
=1
5.求与圆A:(x+5)2+y2=49和圆B:(x-5)2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程.
【解析】设点A,B分别为圆A,圆B的圆心,则|PA|-|PB|=7-1=6<10,
所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的一支.
设P点的坐标为(x,y).因为2a=6,c=5,所以b=4.
故点P的轨迹方程是-=1(x>0).
【补偿训练】设双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,且与椭圆的一个交点A的纵坐标为4,求此双曲线的标准方程.
【解析】方法一:设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由题意知c2=36-27=9,c=3.
又点A的纵坐标为4,则横坐标为±,
于是有
解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
方法二:设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±,4),
又两焦点分别为F1(0,3),F2(0,-3).
所以2a=|-
|
=4,即a=2,b2=c2-a2=9-4=5,
所以双曲线的标准方程为-=1.2.3.1
抛物线及其标准方程
课时达标训练
1.抛物线y=-x2的准线方程是 ( )
A.x=
B.x=
C.y=2
D.y=4
【解析】选C.将抛物线y=-x2化为标准形式为x2=-8y,则p=4,
所以该抛物线的准线方程为y=2.
2.若抛物线y2=2px上横坐标为6的点的焦半径为10,则顶点到准线的距离为
( )
A.1
B.2
C.4
D.8
【解析】选C.依抛物线的定义得6+=10,顶点到准线的距离为,即4.
3.以抛物线y2=-8x的焦点为圆心,且和抛物线准线相切的圆的方程为 ( )
A.(x-2)2+y2=8
B.x2+(y-2)2=4
C.(x+2)2+y2=16
D.x2+(y+2)2=16
【解析】选C.抛物线y2=-8x的焦点为(-2,0),准线方程为x=2,则圆的半径r=4.故所求圆的方程为(x+2)2+y2=16.
4.焦点在直线y=3x-6上的抛物线的标准方程是 .
【解析】y=3x-6与x轴的交点为(2,0),与y轴的交点为(0,-6),
所以当(2,0)为焦点时,y2=8x,
当(0,-6)为焦点时,x2=-24y.
所以y2=8x或x2=-24y.
答案:y2=8x或x2=-24y
5.已知点A(0,-2),直线l:y=2,则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹方程为 .
【解析】设圆心为C,则|CA|=d,其中d为点C到直线l的距离,所以C的轨迹是以A为焦点,
l为准线的抛物线.所以所求轨迹方程为x2=-8y.
答案:x2=-8y
6.求以原点为顶点,坐标轴为对称轴,并且经过P(-2,-4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标.
【解析】由已知设抛物线的标准方程是x2=-2py(p>0)或y2=-2px(p>0),把P(-2,-4)代入x2=-2py或y2=-2px得p=或p=4,
故所求的抛物线的标准方程是x2=-y或y2=-8x.
当抛物线方程是x2=-y时,焦点坐标是F,准线方程是y=.
当抛物线方程是y2=-8x时,焦点坐标是F(-2,0),准线方程是x=2.
【补偿训练】
一辆卡车高3m,宽1.6m,欲通过断面为抛物线形的隧道,如图所示,已知拱宽AB恰好是拱高CD的4倍,若拱宽为am,求能使卡车通过的a的最小整数值.
【解析】以拱顶为原点,拱高所在直线为y轴,建立直角坐标系,如图所示,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点B的坐标为,
由点B在抛物线上,得
=-2p,p=,
所以抛物线方程为x2=-ay.
将点E(0.8,y)代入抛物线方程,得y=-.
由点E到拱底AB的距离为-|y|=->3.
解得a>12.21,或a<-0.21(舍去).
因为a取整数,所以a的最小整数值为13.双曲线及其标准方程
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知双曲线-=1上有一点P到左焦点的距离为12,那么点P到右焦点的距离为 ( )
A.2
B.22
C.7或17
D.2或22
【解析】选D.由题意知:|PF1|=12,则||PF1|-|PF2||=2a=10,所以|PF2|=12±10,所以|PF2|=22或2.经检验,均符合题意.
2.(2015·福建高考)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于 ( )
A.11
B.9
C.5
D.3
【解析】选B.因为=2a,
所以-=±6,
所以=9或-3(舍去).
【补偿训练】已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,线段AB的长为5,若2a=8,那么△ABF2的周长是 ( )
A.16
B.18
C.21
D.26
【解析】选D.|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,
所以|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16,
所以|AF2|+|BF2|=16+5=21,所以△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.
3.(2017·嘉兴高二检测)在平面内,已知双曲线C:-=1的焦点为F1,F2,则|PF1|-|PF2|=6是点P在双曲线C上的 ( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】选B.点P在双曲线C上的充要条件为||PF1|-|PF2||=6,故|PF1|-|PF2|=6为点P在双曲线上的充分不必要条件.
4.设θ∈,则关于x,y的方程-=1所表示的曲线是 ( )
A.焦点在y轴上的双曲线
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在x轴上的椭圆
【解析】选A.因为θ∈,
所以sinθ<0,cosθ<0,
所以-=1为焦点在y轴上的双曲线.
5.与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是 ( )
A.-y2=1
B.-y2=1
C.-=1
D.x2-=1
【解析】选B.椭圆的焦点F1(-,0),F2(,0),
由双曲线定义知2a=||PF1|-|PF2||
=|-|
=|-|=2,所以a=,所以b2=c2-a2=1,所以双曲线方程为-y2=1.
【补偿训练】椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则m的值是 ( )
A.±1
B.1
C.-1
D.不存在
【解析】选A.验证法:当m=±1时,m2=1,
对椭圆来说,a2=4,b2=1,c2=3.
对双曲线来说,a2=1,b2=2,c2=3,
故当m=±1时,它们有相同的焦点.
直接法:显然双曲线焦点在x轴上,
故4-m2=m2+2.
所以m2=1,即m=±1.
6.一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是 ( )
A.-=1(x≥2)
B.-=1(x≤2)
C.-=1
D.-=1
【解析】选C.由已知N(4,0),内切时,定圆N在动圆P的内部,有|PN|=|PM|-4,
外切时,有|PN|=|PM|+4,故||PM|-|PN||=4,
因此2a=4,2c=8,所以b2=12,
点P的轨迹是双曲线-=1.
【误区警示】本题易把“相切”理解为外切或内切,错选A或B.
7.方程+=1所表示的曲线为C,有下列命题:①若曲线C为椭圆,则24或t<2;③曲线C不可能是圆;④若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,则3A.②③
B.①④
C.②④
D.①②④
【解析】选C.t=3时为圆,知①③不正确.
8.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线上,且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由双曲线的方程知,a=,b=,
所以c=3,F1(-3,0),F2(3,0).
将x=-3代入双曲线的方程得y2=.
不妨设点M在x轴的上方,则M.
所以|MF1|=,|MF2|=.
设点F1到直线F2M的距离为d,
则有|MF1|·|F1F2|=|MF2|·d,所以d=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则k的值为________.
【解析】将双曲线方程化为kx2-y2=1,
即-=1.
因为一个焦点是(0,3),所以焦点在y轴上,
所以c=3,a2=-,b2=-,
所以a2+b2=--=-=c2=9.所以k=-1.
答案:-1
10.设F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且·=0,则|PF1|·|PF2|=________.
【解析】因为||PF1|-|PF2||=4,
又PF1⊥PF2,|F1F2|=2,所以|PF1|2+|PF2|2=20,
所以(|PF1|-|PF2|)2=20-2|PF1|·|PF2|=16,
所以|PF1|·|PF2|=2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1(m>0,n>0)有公共焦点F1,F2,P是它们的一个公共点.
(1)用b和n表示cos∠F1PF2.
(2)设=f(b,n),求f(b,n).
【解析】(1)令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=α,
在△F1PF2中,有|F1F2|2=+-2r1·r2·cosα.
因为P是椭圆和双曲线的公共点,
则r1+r2=2a,且|r1-r2|=2m,
所以4c2=(r1+r2)2-2r1r2(1+cosα),
且4c2=(r1-r2)2+2r1r2(1-cosα),
所以r1r2==,
所以cosα=.
(2)由(1),r1r2==b2+n2,
而sinα==,
所以=f(b,n)=r1r2sinα=bn.
【拓展延伸】双曲线的定义对于解题的主要作用
双曲线的定义对于解题具有双向作用:
(1)可用来判断平面内动点的轨迹是否为双曲线(或双曲线的一支).
(2)可以用来解决焦点三角形和焦点弦的有关问题.
12.在△ABC中,B(4,0),C(-4,0),动点A满足sinB-sinC=sinA,求动点A的轨迹方程.
【解析】设A点的坐标为(x,y),在△ABC中,由正弦定理,得===2R,代入sinB-sinC=sinA,
得-=·,
又|BC|=8,所以|AC|-|AB|=4.
因此A点的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a=4,2c=8,所以a=2,c=4,b2=12.
所以A点的轨迹方程为-=1(x>2).
【能力挑战题】
(2017·南京高二检测)已知△OFQ的面积为2,且·=m.
(1)设(2)设以O为中心,F为焦点的双曲线经过点Q,如图所示,||=c,m=c2,当||取得最小值时,求此双曲线的方程.
【解析】(1)因为
又因为(2)设所求的双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
Q(x1,y1),则=(x1-c,y1),
所以S△OFQ=||·|y1|=2,所以y1=±.
又·=m,
即(c,0)·(x1-c,y1)=c2,解得x1=c,
所以||==≥,
当且仅当c=4时,||最小,这时Q的坐标为(,)或(,-).
因为所以
故所求的双曲线方程为-=1.2.3.2.2
抛物线方程及性质的应用
课时达标训练
1.直线y=2与抛物线y2=8x的公共点的个数为 (
)
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
【解析】选B.直线y=2与抛物线y2=8x的对称轴平行,故直线与抛物线只有一个公共点.
2.直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点,则k的值为 (
)
A.1
B.1或3
C.0
D.1或0
【解析】选D.
当k=0时,y=2与y2=8x有且只有一个公共点,
当k≠0时,
k2x2+(4k-8)x+4=0.
Δ=(4k-8)2-16k2=-64k+64=0,
所以k=1.
3.抛物线y2=4x上与焦点相距最近的点的坐标是 (
)
A.(0,0)
B.(1,2)
C.(2,1)
D.以上都不是
【解析】选A.在抛物线中,过焦点的弦最短的为通径,y2=4x的焦点为(1,0).令x=1代入y2=4x中得y=±2,抛物线上的点(1,2)或(1,-2)到焦点的距离为2,而顶点(0,0)到焦点的距离为1,所以抛物线y2=4x上与焦点相距最近的点的坐标是(0,0).
4.已知点P为抛物线y2=2x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是,则|PA|+|PM|的最小值是________.
【解析】抛物线y2=2x的焦点为F,点A在抛物线外部,显然P,A,F三点共线时,|PA|+|PM|有最小值,此时|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-=|FA|-=.
答案:
5.设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上的一点,与x轴正方向的夹角为60°,则||=________.
【解析】设A点坐标为(x0,y0),
由题意可知F,抛物线的准线方程为x=-,
由抛物线的定义可知|AF|=x0+,
由于x0=+|AF|cos60°,
所以x0=+,即x0=p,=3p2,
所以||==p.
答案:p2.1.2.2
椭圆方程及性质的应用
课时达标训练
1.已知点(2,3)在椭圆+=1上,则下列说法正确的是 ( )
A.点(-2,3)在椭圆外
B.点(3,2)在椭圆上
C.点(-2,-3)在椭圆内
D.点(2,-3)在椭圆上
【解析】选D.根据椭圆的对称性知,点(2,-3)在椭圆上.
2.直线y=x+1被椭圆+=1所截得的弦的中点坐标是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2)为直线与椭圆的交点,中点为M(x0,y0),
由得3x2+4x-2=0.
x0==·
=-
,
y0=x0+1=,
所以中点坐标为.
3.直线y=x+1与椭圆x2+
=1的位置关系是 ( )
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
【解析】选C.联立消去y,得3x2+2x-1=0,Δ=22+12=16>0,所以直线与椭圆相交.
4.若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为________.
【解析】因为直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,所以>2,所以m2+n2<4.即点P(m,n)在以原点为圆心,以2为半径的圆内,故直线mx+ny=4与椭圆+
=1有两个交点.
答案:2
5.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,求椭圆的长轴长.
【解析】设椭圆方程为mx2+ny2=1(0联立方程组
消去x得:(3m+n)y2+8my+16m-1=0,
Δ=192m2-4(16m-1)(3m+n)=0,
整理得:3m+n=16mn,
即+=16.①
又c=2,焦点在x轴上,故-=4,②
联立①②,解得故椭圆的长轴长为2.抛物线方程及性质的应用
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 ( )
A.
B.[-2,2]
C.[-1,1]
D.[-4,4]
【解析】选C.抛物线y2=8x的准线为x=-2,Q(-2,0),
设l:y=k(x+2),
联立
得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,
当k=0时有解,
当k≠0时,Δ≥0,解得-1≤k<0或0所以k∈[-1,1].
2.抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为 ( )
A.y2=x
B.x2=3y
C.x2=y
D.y2=3x
【解题指南】利用点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x)进行求解.
【解析】选B.因为点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x),所以y2=3x关于y=x对称的抛物线方程为x2=3y.
3.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是 ( )
A. B. C. D.3
【解析】选A.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,
当m=时,取得最小值为.
【一题多解】选A.设与4x+3y-8=0平行的直线l方程为:4x+3y+m=0,
由消去y得,3x2-4x-m=0,
由Δ=0得,16+12m=0,解得m=-.
所以l的方程为4x+3y-=0.
因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d==.
4.已知正三角形AOB的一个顶点O是坐标原点,另外两个顶点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,且△AOB的面积等于4,则抛物线的方程是 ( )
A.y2=x
B.y2=x
C.y2=4x
D.y2=8x
【解析】选A.设点A(xA,yA)(yA>0),B(xB,yB)(yB<0),
由于△AOB为正三角形,所以=,
所以xA=yA,
又S△AOB=×(2yA)·xA=4,
所以xA=2,yA=2,代入方程得y2=x.
5.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则= ( )
A.3
B.6
C.9
D.12
【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),
右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,
由b2=a2-c2=16-4=12,
所以椭圆E的方程为+=1,
因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,
将x=-2代入到+=1,解得y=±3,
可得A(-2,3),B(-2,-3),故=6.
6.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 ( )
A.x=1
B.x=-1
C.x=2
D.x=-2
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得:①-②得,
(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).
又因为y1+y2=4,所以===k=1,所以p=2.
所以所求抛物线的准线方程为x=-1.
7.(2017·兰州高二检测)斜率为1,过抛物线y=x2的焦点的直线被抛物线所截得的弦长为 ( )
A.8
B.6
C.4
D.10
【解析】选A.设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),
易知直线方程为y=x+1,
直线方程与抛物线方程联立,消元得:x2-x-1=0,
所以x1+x2=4,x1x2=-4,
所以弦长l==8.
8.(2017·商丘高二检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为 ( )
A.
B.
C.1
D.2
【解析】选D.由题意知,抛物线的准线l:y=-1,
过A作AA1⊥l于A1,过B作BB1⊥l于B1,
设弦AB的中点为M,过M作MM1⊥l于M1,
则|MM1|=.
|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),
即|AF|+|BF|≥6,|AA1|+|BB1|≥6,
2|MM1|≥6,|MM1|≥3,
故M到x轴的距离d≥2.
【拓展延伸】“两看两想”的应用
与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
【补偿训练】已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )
A.
B.3
C.
D.
【解析】选A.抛物线y2=2x的焦点为F,准线是l,由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离,因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值,不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.抛物线y=x2上到直线2x-y=4的距离最短的点坐标是 .
【解析】设P(x,y)为抛物线y=x2上任一点,
则P到直线的距离d==
=,
所以x=1时d取最小值,
此时P(1,1).
答案:(1,1)
10.(2017·全国甲卷)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,Μ是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .
【解析】设N(0,a),F(2,0),那么M,点M在抛物线上,所以=8,解得
a=±4,
所以N(0,±4),
那么|FN|==6.
答案:6
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·宁波高二检测)已知抛物线C:y2=4x,F是抛物线C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)如果l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程.
(2)设|FA|=2|BF|,求直线l的方程.
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)因为y2=4x,所以F(1,0),
又因为直线l的斜率为1,
所以直线l的方程为y=x-1,
代入y2=4x,得x2-6x+1=0,
由根与系数的关系得易得AB的中点,
即圆心的坐标为(3,2),
又|AB|=x1+x2+p=8,
所以圆的半径r=4,
所以所求的圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16.
(2)因为|FA|=2|BF|,所以=2,
而=(x1-1,y1),=(1-x2,-y2),
所以
易知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,
则直线l的方程为y=k(x-1),
代入y2=4x,
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
由根与系数的关系得
因为x1-1=2(1-x2),
所以或所以k=±2,
所以直线l的方程为y=±2(x-1).
【补偿训练】已知顶点在原点,焦点在x轴的负半轴的抛物线截直线y=x+所得的弦长|P1P2|=4,求此抛物线的方程.
【解析】设抛物线方程为y2=-2px(p>0),
把直线方程与抛物线方程联立得消元得x2+(3+2p)x+=0 ①,
判别式Δ=(3+2p)2-9=4p2+12p>0,
解得p>0或p<-3(舍去),
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),
则①中由根与系数的关系得x1+x2=-(3+2p),
x1·x2=,
代入弦长公式得·=4,
解得p=1或p=-4(舍去),
把p=1代入抛物线方程y2=-2px(p>0)中,
得y2=-2x.
综上,所求抛物线方程为y2=-2x.
12.(2017·淮安高二检测)如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.
(1)求y1y2的值.
(2)证明直线MN与直线AB的斜率之比为定值.
【解析】(1)依题意,设AB的方程为x=my+2,
代入y2=4x,得y2-4my-8=0,从而y1y2=-8.
(2)设M(x3,y3),N(x4,y4),
直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,
=×=×=,
设直线AM的方程为x=ny+1,代入y2=4x,消去x得y2-4ny-4=0,所以y1y3=-4,同理y2y4=-4,
===,
由(1)知y1y2=-8,所以=2为定值.
所以直线MN与直线AB的斜率之比为定值2.
【能力挑战题】
已知抛物线方程为y2=-2px,其准线方程为x=,直线l:y=k(x+1)与抛物线交于A,B两个不同的点,O为坐标原点.
(1)求证:OA⊥OB.
(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.
【解析】(1)因为抛物线y2=-2px的准线方程为x=,所以=,得p=,
即抛物线的方程为y2=-x,联立y=k(x+1),
消去x后,整理得:ky2+y-k=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由根与系数的关系得:y1+y2=-,y1y2=-1,
因为A,B两点在抛物线y2=-x上,
所以=-x1,=-x2,·=x1·x2,
所以kOA·kOB=·===-1,
所以OA⊥OB.
(2)设直线l与x轴交于N,由题意可得k≠0,
令y=0,则x=-1,即N(-1,0),
因为S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON|y1+|ON|y2
=×1×|y1-y2|=
==,所以k=-或k=.2.2.2.2
双曲线方程及性质的应用
课时达标训练
1.若直线x=a与双曲线-y2=1有两个交点,则a的值可以是 ( )
A.4
B.2
C.1
D.-2
【解析】选A.因为双曲线-y2=1中,x≥2或x≤-2,
所以若x=a与双曲线有两个交点,
则a>2或a<-2,故只有A选项符合题意.
2.设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为 ( )
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±2x
D.y=±x
【解析】选B.由题意知:2b=2,2c=2,则可求得a=,则双曲线方程为-y2=1,故其渐近线方程为y=±x.
3.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为 .
【解析】不妨设双曲线方程为-=1,则一顶点坐标为(a,0),一焦点坐标为(c,0),一渐近线方程为bx-ay=0,则(a,0)到bx-ay=0的距离为d1==2,(c,0)到bx-ay=0的距离为d2==6.所以==,所以=,所以=3,所以e=3.
答案:3
4.已知双曲线的中心是坐标原点,实轴在y轴上,离心率为2,且双曲线两支上的
点的最近距离为4,则该双曲线的标准方程为 .
【解析】因为双曲线的实轴在y轴上,所以焦点在y轴上.
因为双曲线两支上的点的最近距离为4,
即两顶点之间的距离为4,所以a=2.
又因为离心率为2,所以c=4,
所以b2=c2-a2=12,所以双曲线的标准方程为-=1.
答案:-=1
5.求经过点且与双曲线4x2-y2=1仅有一个公共点的直线方程.
【解析】当直线斜率存在时,设所求直线方程为y-2=k,代入双曲线方程4x2-y2=1,
得(4-k2)x2-2kx-=0.
(1)当k=2时,直线方程为y=2x+1,与双曲线只有一个公共点.
(2)当k=-2时,直线方程为y=-2x+3,与双曲线只有一个公共点.
(3)当直线和双曲线相切时,仅有一个公共点,此时由得k=,可得直线方程为y=x+.
当直线斜率不存在时,直线x=也满足题意.
故经过点且与双曲线4x2-y2=1仅有一个公共点的直线有四条,它们的方程分别为y=2x+1,y=-2x+3,y=x+,x=.
【补偿训练】1.设双曲线x2-=1上有两点A,B,AB的中点为M(1,2),求直线AB的方程.
【解析】方法一(用根与系数的关系解决):
显然直线AB的斜率存在.
设直线AB的方程为y-2=k(x-1),
即y=kx+2-k,由
得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0,
当Δ>0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则1==,
所以k=1,满足Δ>0,所以直线AB的方程为y=x+1.
方法二(用点差法解决):
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2).
因为x1≠x2,所以=,
所以kAB==1,所以直线AB的方程为y=x+1,
代入x2-=1满足Δ>0.所以直线AB的方程为y=x+1.
2.(2017·莱芜高二检测)求以过原点且与圆x2+y2-4x+3=0相切的两直线为渐近线,且过椭圆y2+4x2=4两焦点的双曲线方程.
【解析】圆x2+y2-4x+3=0的圆心为(2,0),半径r=1.
设过原点的圆的切线方程为y=kx.
由圆的切线的性质,可得=r=1,解得k=±.
所以双曲线的渐近线方程为y=±x,
从而所求的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0). ①
将椭圆y2+4x2=4化为标准形式为+x2=1,
所以焦点坐标为(0,±),
将点(0,)代入①,得-=λ,所以λ=-1.
故所求双曲线的方程为-=1.双曲线方程及性质的应用
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·天津高二检测)双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选A.由题意知:a=2,a+b=c,又c2=a2+b2,且焦点在y轴上,选A.
2.(2017·德化高二检测)直线y=k(x+)与双曲线-y2=1有且只有一个公共点,则k的不同取值有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选D.由已知可得,双曲线的渐近线方程为y=±x,顶点(±2,0),而直线恒过(-,0),故有两条与渐近线平行,有两条切线,共4条直线与双曲线有一个交点.
【补偿训练】(2017·天水高二检测)已知双曲线方程为x2-=1,过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点,则共有L ( )
A.4条
B.3条
C.2条
D.1条
【解析】选B.因为双曲线方程为x2-=1,所以P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的共有3条.
【拓展延伸】数形结合思想在研究直线与双曲线问题中的应用
①直线过定点时,根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.
②直线斜率一定时,通过平行移动直线,比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.
3.(2017·全国甲卷)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为 ( )
A.2
B.
C.
D.
【解析】选A.圆心到渐近线bx±ay=0距离为=,
所以= c=2a e=2.
4.(2017·唐山高二检测)已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在该双曲线上,则·= ( )
A.-12
B.-2
C.0
D.4
【解析】选C.由已知得,b2=2,c=2,点P为(,±1),左、右焦点坐标分别为(-2,0),(2,0),结合向量的乘法,易知选C.
5.如果双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等差数列,则离心率e等于 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为2b=a+c,
所以4b2=a2+2ac+c2,
4(c2-a2)=a2+2ac+c2,
所以3e2-2e-5=0,所以e=.
6.已知曲线-=1与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且·=0(O为原点),则-的值为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.
【解析】选B.将y=1-x代入-=1,
得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=.
因为·=x1x2+y1y2
=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1,
所以-+1=0,
即2a+2ab-2a+a-b=0,
即b-a=2ab,
所以-=2.
7.(2015·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆+y2=3相切,则双曲线的方程为 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-y2=1
D.x2-=1
【解析】选D.由双曲线的渐近线bx-ay=0与圆(x-2)2+y2=3相切可知=,又因为c==2,所以有a=1,b=,故双曲线的方程为x2-=1.
8.(2017·全国乙卷)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3).则△APF的面积为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由c2=a2+b2=4得c=2,所以F(2,0),将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以PF=3,又A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e∈[,2],在两条渐近线构成的角中,设以实轴为角平分线的角为θ,则θ的取值范围是________.
【解析】因为e2===1+,
e∈[,2],
所以2≤1+≤4,
所以1≤≤,
即1≤tan≤,
所以≤≤,
≤θ≤.
答案:
10.(2016·北京高考)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a=__________.
【解析】因为正方形OABC的边长为2,所以B(2,0),渐近线为y=±x.所以c=2,a=b.又因为a2+b2=c2,所以a=b=2.
答案:2
【补偿训练】过双曲线-=1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为,这样的直线的条数为 ( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】选D.依题意可得右焦点F(5,0),
所以垂直x轴,过点F的直线是x=5.
代入-=1,求得y=±,
所以此时弦长=+=.
不是垂直x轴的,如果直线与双曲线有两个交点,则弦长一定比它长,所以这里只有一条,
因为两个顶点距离=4,即左右两支上的点最短是4,所以如果是交于两支的话,弦长不可能为,所以只有1条.
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·北京高二检测)已知椭圆和双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,它们有共同的焦点F1(-5,0),F2(5,0),并且它们的离心率e可以使方程2x2+4(2e-1)x+4e2-1=0有相等的实根,求椭圆和双曲线的方程.
【解析】因为方程2x2+4(2e-1)x+4e2-1=0有相等的实根,
所以Δ=[4(2e-1)]2-4×2×(4e2-1)=0,
所以e1=,e2=.
所以双曲线中:c=5,e=,a=,b2=,
双曲线方程为-=1.
椭圆中:c=5,e=,a=10,b2=a2-c2=75,
椭圆方程为+=1.
12.(2017·黄石高二检测)已知双曲线3x2-y2=3,直线l过右焦点F2,且倾斜角为45°,与双曲线交于A,B两点,试问A,B两点是否位于双曲线的同一支上 并求弦AB的长.
【解题指南】联立方程后根据两根的符号确定两个交点的位置.
【解析】因为a=1,b=,c=2,
又直线l过点F2(2,0),且斜率k=tan
45°=1,
所以l的方程为y=x-2,
由
消去y并整理得2x2+4x-7=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
因为x1·x2=-<0,
所以A,B两点分别位于双曲线的左、右两支上.
因为x1+x2=-2,x1·x2=-,
所以|AB|=|x1-x2|
=·
=·=6.
【能力挑战题】
设双曲线C:-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围.
(2)若设直线l与y轴的交点为P,且=,求a的值.
【解析】(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得有两个不同的解,
消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,
所以
解得-又因为a>0,所以0因为双曲线的离心率e==,
又因为0且e≠.
所以双曲线C的离心率e的取值范围是∪(,+∞).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).
因为=,所以(x1,y1-1)=(x2,y2-1),
由此可得x1=x2.因为x1,x2都是方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0的根,
且1-a2≠0,所以x1+x2=x2=-,
x1x2==-,消去x2,
得a2=.又因为a>0,所以a=.椭圆方程及性质的应用
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为 ( )
A.1个
B.1个或2个
C.2个
D.0个
【解析】选C.因为直线过定点(3,-1)且+<1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.
2.椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是 ( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选B.椭圆的右焦点为F(1,0),由点到直线的距离公式得d==.
3.直线y=x+m与椭圆+=1有两个公共点,则m的取值范围是 ( )
A.(-5,5)
B.(-12,12)
C.(-13,13)
D.(-15,15)
【解析】选C.联立直线与椭圆方程,由判别式Δ>0,可解得-134.过椭圆+=1的一个焦点F作垂直于长轴的椭圆的弦,则此弦长为 ( )
A.
B.3
C.2
D.
【解析】选B.椭圆的焦点为(±1,0),不妨设直线过右焦点,垂直于x轴,交椭圆于A,B两点,把x=1代入+=1得y=±,故弦长|AB|=3.
5.过点M的直线l与椭圆x2+2y2=2交于A,B两点,设线段AB中点为M,设直线l的斜率为k1(k1≠0).直线OM的斜率为k2,则k1k2的值为 ( )
A.2
B.-2
C.
D.-
【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则+2=2,①
+2=2,②
②-①得(x2-x1)(x2+x1)+2(y2-y1)(y2+y1)=0.
即=-,所以k1==-=1,
而k2==-,故k1k2=-.
6.(2017·全国乙卷)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是 ( )
A.(0,1]∪[9,+∞)
B.(0,]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)
D.(0,]∪[4,+∞)
【解析】选A.当03时,焦点在y轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则≥tan60°=,即≥,得m≥9,故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).
7.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由椭圆方程知c==1,
所以F1(-1,0),F2(1,0).
因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2,则可设A(1,y0),
代入椭圆方程可得=,所以y0=±.
设P(x1,y1),则=(x1+1,y1),=(0,y0),
所以·=y1y0.
因为点P是椭圆C上的动点,所以-≤y1≤,
·的最大值为.
8.已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,直线l:x=2,点A∈l,线段AF交椭圆C于点B,若=3,则||= ( )
A.
B.2
C.
D.3
【解析】选A.设点A(2,n),B(x0,y0).
由椭圆C:+y2=1知a2=2,b2=1,
所以c2=1,即c=1,所以右焦点F(1,0).
由=3得(1,n)=3(x0-1,y0).
所以1=3(x0-1)且n=3y0.
所以x0=,y0=n.
将x0,y0代入+y2=1,
得×+=1.
解得n2=1,
所以||===.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.若直线y=2x+b与椭圆+y2=1无公共点,则b的取值范围为________.
【解析】由得+(2x+b)2=1.
整理得17x2+16bx+4b2-4=0.
Δ=(16b)2-4×17×(4b2-4)<0,
解得b>或b<-.
答案:(-∞,-)∪(,+∞)
10.(2017·邯郸高二检测)过椭圆+=1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为________.
【解析】由已知可得直线方程为y=2x-2,联立方程得交点坐标,不妨令A(0,-2),
B,所以S△AOB=·|OF|·|yA-yB|=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.设直线y=x+b与椭圆+y2=1相交于A,B两个不同的点.
(1)求实数b的取值范围.
(2)当b=1时,求|AB|.
【解析】(1)将y=x+b代入+y2=1,
消去y,整理得3x2+4bx+2b2-2=0. ①
因为直线y=x+b与椭圆+y2=1相交于A,B两个不同的点,
所以Δ=16b2-12(2b2-2)=24-8b2>0,
解得-所以b的取值范围为(-,).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
当b=1时,方程①为3x2+4x=0.
解得x1=0,x2=-.
相应地,y1=1,y2=-.
所以|AB|==.
12.(2017·全国甲卷)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.
(1)求点P的轨迹方程.
(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
【解析】(1)设P(x,y),M(x′,y′),N(x′,0),
因为=,所以(x-x′,y)=(0,y′),所以所以
因为M在椭圆C上,
所以代入椭圆方程得到x2+y2=2,
所以点P的轨迹方程为x2+y2=2.
(2)设P(x1,y1),Q(-3,y2),椭圆的左焦点为F(-1,0),
=(x1,y1),=(-3-x1,y2-y1),
·=x1·(-3-x1)+y1(y2-y1)=1,
即-3x1-+y1·y2-=1,
-3x1+y1·y2-(+)=1,
即-3x1+y1·y2=3,①
故lOQ:y=-·x.
所以过点P与直线OQ垂直的直线为:
y-y1=·(x-x1),
当x=-1时,
y=y1+(-1-x1)=y1+-
=y1--
=-,
将①代入得y=0,
所以过P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
【能力挑战题】
(2017·北京高二检测)已知椭圆G:+y2=1,过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率.
(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.
【解析】(1)由已知得a=2,b=1,
所以c==.
所以椭圆G的焦点坐标为(-,0),(,0),
离心率为e==.
(2)由题意知,|m|≥1.
当m=1时,切线l的方程为x=1,点A,B的坐标分别为(1,),(1,-),此时|AB|=.
当m=-1时,同理可得|AB|=.
当|m|>1时,设切线l的方程为y=k(x-m).
由得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.
由l与圆x2+y2=1相切,得=1,
即m2k2=k2+1.
所以|AB|=
=
==.
当m=±1时,|AB|=,
所以|AB|=,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞).
因为|AB|==≤2,且当m=±时,|AB|=2,
所以|AB|的最大值为2.抛物线的简单几何性质
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.在抛物线y2=2px上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为 ( )
A.
B.1
C.2
D.4
【解析】选C.y2=2px的准线为x=-,
所以+4=5,p=2.
2.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线l的方程是 ( )
A.6x-4y-3=0
B.3x-2y-3=0
C.2x+3y-2=0
D.2x+3y-1=0
【解析】选A.设直线l的方程为3x-2y+c=0,抛物线y2=2x的焦点F,
所以3×-2×0+c=0,
所以c=-,故直线l的方程是6x-4y-3=0.
3.(2017·衡水高二检测)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为 ( )
A.-2
B.2
C.-4
D.4
【解析】选D.椭圆+=1的右焦点为(2,0),
所以=2,所以p=4.
4.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0= ( )
A.4
B.2
C.1
D.8
【解析】选C.如图,F,过A作AA′⊥准线l,所以|AF|=|AA′|,所以x0=x0+=x0+,所以x0=1.
5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选D.由得x2-5x+4=0,
所以x=1或x=4.不妨设A(4,4),B(1,-2),
则||=5,||=2,·=(3,4)·(0,-2)=-8,所以cos∠AFB
===-.
6.(2017·全国甲卷)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为 ( )
A.
B.2
C.2
D.3
【解析】选C.由题意知,MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x联立得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3,所以M(3,2),因为MN⊥l,所以N(-1,2),
又F(1,0),所以NF:y=-(x-1),
即x+y-=0,
所以M到直线NF的距离为
=2.
【补偿训练】设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是 ( )
A.(0,2)
B.[0,2]
C.(2,+∞)
D.[2,+∞)
【解析】选C.因为x2=8y,所以焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=-2.由抛物线的定义知|FM|=y0+2.
以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.
由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,
又圆心F到准线的距离为4,故4所以y0>2.
7.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为 ( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】选B.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理可得.设抛物线为y2=2px(p>0),设圆的方程为x2+y2=r2,题目条件翻译如图:
设A(x0,2),D,
点A(x0,2)在抛物线y2=2px上,所以8=2px0. ①
点D在圆x2+y2=r2上,
所以5+=r2. ②
点A(x0,2)在圆x2+y2=r2上,所以+8=r2. ③
联立①②③解得:p=4,焦点到准线的距离为p=4.
8.(2017·天津高二检测)若抛物线x2=2y上距离点A(0,a)的最近点恰好是抛物线的顶点,则a的取值范围是 ( )
A.a>0
B.0C.a≤1
D.a≤0
【解析】选C.设抛物线上任一点P的坐标为(x,y),则|PA|2=d2=x2+(y-a)2=2y+(y-a)2=y2-(2a-2)y+a2=[y-(a-1)]2+(2a-1).
因为y∈[0,+∞),根据题意知,
(1)当a-1≤0,即a≤1,y=0时,=a2.这时dmin=|a|.
(2)当a-1>0,即a>1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意.
综上可知a≤1.
【易错警示】忽视了y的取值范围是[0,+∞),只想到当点在y轴负半轴时,d最小,导致错选D,或胡乱猜测以致错选B.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·青岛高二检测)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________.
【解析】由于x2=2py(p>0)的准线为y=-,
由
解得准线与双曲线x2-y2=3的交点为
A,B,
所以AB=2.
由△ABF为等边三角形,得AB=p,解得p=6.
答案:6
10.(2017·长春高二检测)已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上射影是M,点A(4,6),则|PA|+|PM|的最小值是________.
【解题指南】将P到y轴的距离,转化为点P到焦点的距离,当A,P,F共线时,|PA|+|PM|最小.
【解析】由y2=4x,得p=2,所以焦点F(1,0),如图,
|PM|=|PN|-=|PF|-1,
所以|PA|+|PM|
=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1
=-1=3-1.
答案:3-1
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·吉林高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,
△AOB的面积为,求抛物线的标准方程.
【解题指南】由双曲线离心率求得其渐近线方程,从而求得交点A,B的坐标,即可得到三角形面积表达式,从而得到p的值,进而写出标准方程.
【解析】由已知得=2,所以=4,解得=,
即渐近线方程为y=±x.
而抛物线准线方程为x=-,
于是A,B,
从而△AOB的面积为·p·=,可得p=2.因为抛物线开口向右,所以其标准方程为y2=4x.
12.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点A是抛物线上一点,且∠AFO=120°(O为坐标原点),AK⊥l,垂足为K,求△AKF的面积.
【解析】如图,设A(x0,y0),过A作AH⊥x轴于H,
在Rt△AFH中,|FH|=x0-1,由∠AFO=120°,得∠AFH=60°,故y0=|AH|=(x0-1).所以点A的坐标为(x0,(x0-1)),
将此代入抛物线方程可得3-10x0+3=0,
解得x0=3或x0=(舍),
故S△AKF=×(3+1)×2=4.
【能力挑战题】
已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,准线为l,抛物线C上一点A的横坐标为3,且点A到准线l的距离为5.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若P为抛物线C上的动点,求线段FP的中点M的轨迹方程.
【解析】(1)由题意得,3+=5,所以p=4,
所以抛物线的方程为y2=8x.
(2)由(1)知F(2,0),设P(x0,y0),M(x,y),
则即
而点P(x0,y0)在抛物线C上,=8x0,
所以(2y)2=8(2x-2),即y2=4(x-1),
此即为所求点M的轨迹方程.2.1.1
椭圆及其标准方程
课时达标训练
1.设P是椭圆+=1上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|
等于 ( )
A.4
B.5
C.8
D.10
【解析】选D.由椭圆+=1,得a=5,
所以|PF1|+|PF2|=2×5=10.
2.已知椭圆中a=,c=,则该椭圆的标准方程为 ( )
A.
+=1
B.
+=1
C.
+=1或+=1
D.
+=1或+=1
【解析】选D.因为a=,c=,所以b2=()2-()2=4,而由于焦点不确定,所以D选项正确.
3.椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0,-8),F2(0,8),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为 ( )
A.
+=1
B.
+=1
C.
+=1
D.
+=1
【解析】选C.焦点在y轴上,c=8,2a=20,a=10,所以b2=36.
所以椭圆方程为+=1.
4.椭圆9x2+16y2=144的焦点坐标为________.
【解析】椭圆的标准方程为+=1,
所以a2=16,b2=9,c2=7,且焦点在x轴上,
所以焦点坐标为(-,0),(
,0).
答案:(-
,0),(
,0)
5.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)a=4,b=3,焦点在x轴上.
(2)a=5,c=2,焦点在y轴上.
【解析】(1)椭圆的标准方程为+=1.
(2)由b2=a2-c2,得b2=25-4=21.
故椭圆的标准方程为+=1.椭圆的简单几何性质
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.椭圆(m+1)x2+my2=1的长轴长是 ( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选C.椭圆方程可简化为+=1,由题意知m>0,所以<,所以a=,所以椭圆的长轴长2a=.
2.已知椭圆C的左、右焦点的坐标分别是(-,0),(,0),离心率是,则椭圆C的方程为 ( )
A.+y2=1
B.x2+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】选A.因为=,且c=,
所以a=,b==1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
3.已知点(m,n)在椭圆8x2+3y2=24上,则2m+4的取值范围是 ( )
A.[4-2,4+2]
B.[4-,4+]
C.[4-2,4+2]
D.[4-,4+]
【解析】选A.方程可化为+=1,则-≤m≤,
所以2m+4∈[4-2,4+2].
4.椭圆+=1的离心率为,则k的值为 ( )
A.-21
B.21
C.-或21
D.或21
【解析】选C.当椭圆的焦点在x轴上时,a2=9,b2=4+k,
得c2=5-k.由==,得k=-;
当焦点在y轴上时,a2=4+k,b2=9,得c2=k-5.由==,得k=21.
5.已知椭圆2x2+y2=2的两个焦点为F1,F2,且B为短轴的一个端点,则△F1BF2的外接圆方程为 ( )
A.x2+y2=1
B.(x-1)2+y2=4
C.x2+y2=4
D.x2+(y-1)2=4
【解析】选A.由2x2+y2=2得x2+=1,所以b=1,c=1.F1(0,-1),F2(0,1),取B(1,0),故△F1BF2外接圆方程为x2+y2=1.
6.(2017·全国丙卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离d==a,整理为a2=3b2,即a2=3(a2-c2) 2a2=3c2,即=,e==.
7.设椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的范围为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为PF1⊥PF2,所以∠F1PF2=90°,
所以|PF1|2+|PF2|2=4c2,又|PF1|+|PF2|=2a,
所以4c2=|PF1|2+|PF2|2≥=2a2,
即2c2≥a2,所以e2≥.又因为08.椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上任一点,且·的最大值的取值范围是[c2,3c2],其中c=,则椭圆M的离心率e的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则=(-c-x,-y),=(c-x,-y),
·=x2+y2-c2.又x2+y2可看作P(x,y)到原点的距离的平方,所以(x2+y2)max=a2,所以(·)max=b2,所以c2≤b2=a2-c2≤3c2,即≤e2≤,所以≤e≤.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,且△PF1F2的最大面积是12,则椭圆的短半轴长为________.
【解析】设P点到x轴的距离为h,
则=|F1F2|h,
当P点在y轴上时,h最大,此时最大.
因为|F1F2|=2c=8,所以h=3,即b=3.
答案:3
10.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且过点P(-5,4),则椭圆的方程为________.
【解析】因为e==,
所以==,
所以5a2-5b2=a2,即4a2=5b2.
设椭圆的标准方程为+=1(a>0),
因为椭圆过点P(-5,4),所以+=1.
解得a2=45.所以椭圆的方程为+=1.
答案:+=1
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆离心率的范围.
(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
【解析】(1)不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),
|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.
在△PF1F2中,由余弦定理可知,
4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn
=4a2-3mn≥4a2-3·
=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).
所以≥,即e≥.
又0(2)由(1)知mn=b2,
所以=mnsin60°=b2,
即△PF1F2的面积只与短轴长有关.
12.椭圆+=1(a>b>0)的右顶点是A(a,0),其上存在一点P,使∠APO=90°,求椭圆离心率的取值范围.
【解析】设P(x,y),由∠APO=90°知,点P在以OA为直径的圆上,圆的方程是:+y2=,所以y2=ax-x2. ①
又P点在椭圆上,故+=1. ②
把①代入②化简,得(a2-b2)x2-a3x+a2b2=0,即
(x-a)[(a2-b2)x-ab2]=0,因为x≠a,x≠0,
所以x=,又0所以0<即2b2由b2=a2-c2,得a2<2c2,所以e>.
又因为0即椭圆离心率的取值范围是.
【能力挑战题】
已知椭圆x2+=1(0【解题指南】根据圆的性质,得圆心P为FC的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点,因此分别求出FC,BC的垂直平分线方程,得到它们的交点为P,代入直线x+y=0解出b2=,即可得出此椭圆的方程.
【解析】设圆心P的坐标为(m,n),因为圆P过点F,B,C三点,所以圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,
FC的垂直平分线方程为x=.①
因为BC的中点为,kBC=-b,
所以BC的垂直平分线方程为y-= ②
由①,②联立,得x=,y=,
即m=,n=.
因为P(m,n)在直线x+y=0上,
所以+=0,
可得(1+b)(b-c)=0,
因为1+b>0,所以b=c,
结合b2=1-c2得b2=,
所以椭圆的方程为x2+=1,即x2+2y2=1.双曲线的简单几何性质
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.双曲线-=1与-=λ(λ≠0)有相同的 ( )
A.实轴
B.焦点
C.渐近线
D.以上都不是
【解析】选C.由题可知,
-=1的渐近线为y=±x.
-=λ的渐近线为y=±x,
所以它们有相同的渐近线.
2.等轴双曲线的一个焦点是F1(-6,0),则它的标准方程是 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选B.设等轴双曲线方程为-=1(a>0),
所以a2+a2=62,所以a2=18,
故双曲线方程为-=1.
【补偿训练】以椭圆+=1的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程为 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1或-=1
D.以上都不对
【解析】选C.当顶点为(±4,0)时,a=4,c=8,b=4,双曲线方程为-=1;当顶点为(0,±3)时,a=3,c=6,b=3,双曲线方程为-=1.
3.(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由双曲线方程可知F1(-,0),F2(,0),
因为·<0,所以(--x0)(-x0)
+(-y0)(-y0)<0.
即+-3<0,所以2+2+-3<0,<,
所以-4.(2016·浙江高考)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则 ( )
A.m>n且e1e2>1
B.m>n且e1e2<1
C.m1
D.m【解析】选A.由题意知m2-1=n2+1,
即m2=n2+2,(e1e2)2=·
=,
因为m2=n2+2,m>1,n>0,
所以m>n,(e1e2)2>1,
所以e1e2>1.
5.若双曲线x2-y2=1的左支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为,则a+b的值为
( )
A.- B. C.-2 D.2
【解析】选A.由题意知a2-b2=1,(a-b)(a+b)=1,
=,|a-b|=2,
因为(a,b)在双曲线的左支上,
所以a-b<0,所以a+b=-.
6.若双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,则双曲线焦点F到渐近线的距离为
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选B.由已知可知双曲线的焦点在y轴上,
所以==.所以m=9.
所以双曲线的焦点为(0,±),焦点F到渐近线的距离为d=3.
7.(2017·郑州高二检测)双曲线-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.双曲线的渐近线为直线y=±x,即x±2y=0,顶点为(±2,0),所以所求距离为d==.
8.过双曲线一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一个焦点,若∠PF1Q=,则双曲线的离心率e等于 ( )
A.-1
B.
C.+1
D.+2
【解析】选C.△PF1F2是等腰直角三角形,|PF2|=|F1F2|=2c,|PF1|=2c,
|PF1|-|PF2|=2a,2c-2c=2a,e===+1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程为________________.
【解析】根据双曲线渐近线方程为y=±x,
可设双曲线的方程为-y2=m,
把(4,)代入-y2=m,得m=1.
答案:-y2=1
【拓展延伸】求双曲线方程的两个关注点
1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.
2.利用渐近线与双曲线的位置关系,设有公共渐近线的双曲线系方程-=λ(λ≠0),这样可避免分类讨论,从而减少运算量,提高解题速度与准确性.
10.(2016·北京高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=________,b=________.
【解题指南】焦点在x轴的双曲线的渐近线为y=±x,焦点(±c,0).
【解析】因为渐近线方程y=-2x,所以=2①.焦点(,0),所以c=.所以a2+b2=c2=5②.由①②联立解得a=1,b=2.
答案:1 2
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·济南高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,求双曲线离心率e的最大值.
【解析】设∠F1PF2=θ,由
得
所以cosθ==-e2,
所以e2=.
因为cosθ∈[-1,1],所以112.如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,F1,F2分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点P,∠F1PF2=,且△PF1F2的面积为2,又双曲线的离心率为2,求该双曲线的标准方程.
【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0).
在△PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos
=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
即4c2=4a2+|PF1|·|PF2|.又因为=2,
所以|PF1|·|PF2|sin=2.所以|PF1|·|PF2|=8,所以4c2=4a2+8,即b2=2.
又因为e==2,所以a2=.所以双曲线的标准方程为-=1.
【能力挑战题】
已知双曲线-=1的右焦点为(2,0).
(1)求双曲线的方程.
(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.
【解析】(1)因为双曲线的右焦点坐标为(2,0),
且双曲线方程为-=1,
所以c2=a2+b2=3+b2=4,所以b2=1,
所以双曲线的方程为-y2=1.
(2)因为a=,b=1,双曲线的渐近线方程为y=±x,
令x=-2,则y=±,
设直线x=-2与双曲线的渐近线的交点为A,B,
则|AB|=,记双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形面积为S,则S=××2=.