课件53张PPT。第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.1 命 题主题1 命题的定义及分类
给出下列语句:
(1)3+5=7.
(2)若x2=1,则x=1.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)6能被2整除.1.这些语句的表述形式有什么特点?
提示:从这些语句可以看出,它们都是陈述句.
2.能判断以上语句的真假吗?若能,请指出真假.
提示:可以判断真假,其中语句(3)(4)判断为真,语句(1)(2)判断为假.3.你发现以上语句有什么特点?
提示:(1)是陈述句.(2)可判断真假.结论:
1.命题的定义:
可以判断_____的陈述句叫做命题.真假2.命题的分类:
(1)_______________叫做真命题.
(2)_______________叫做假命题.判断为真的语句判断为假的语句【微思考】
1.表述命题的语句有什么特点?
提示:必须是陈述句,祈使句、感叹句、疑问句等都不是命题.2.如何判断一个数学命题是假命题?
提示:数学中判断一个命题是真命题,要经过严格证明.而要判断一个命题是假命题,只需举一个反例即可.主题2 命题的结构形式
观察下列语句:
(1)若整数a是素数,则a是奇数.
(2)若两个三角形全等,则它们的面积相等.
(3)若a>b,则ac>bc.1.以上语句是命题吗?
提示:它们都是命题.
2.你发现以上语句的结构有什么特点?由几部分构成?
提示:它们都是“若p,则q”的形式,由条件和结论两部分构成.结论:命题的结构形式
命题的结构形式是____________,其中__是命题的条
件,__是命题的结论.“若p,则q”pq【微思考】
1.如何确定命题的条件和结论?
提示:命题中已知的事项为条件,由已知推出的事项为结论.2.一个命题写成“若p,则q”的形式后,如何判断命题的真假?
提示:当一个命题改写成“若p,则q”的形式后,判断这种命题真假的方法是:若由p经过逻辑推理推出q,则该命题为真;若判定该命题为假,只需举出一个反例即可.【预习自测】
1.下列判断,正确的个数是 ( )
①3是12的约数;②π是正数;③5>2且7>3;④2≥2.
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】选A.①②③④正确.2.下列各项中是命题的是 ( )
A.周期函数的和是周期函数吗?
B.sin 45°=1
C.x2+2x-1>0
D.三角形是不是平面图形呢?
【解析】选B.B项中sin 45°=1是命题.3.语句“若a>b,则a-c>b-2c” ( )
A.不是命题 B.是真命题
C.是假命题 D.不能判断真假
【解析】选C.a-c>b-2c,即a>b-c,当c<0时,可能不成立,例如:a=2,b=1,c=-2时,a>b,但a
(1)证明x2+2x+1≥0.
(2)你是团员吗?
(3)一个正数不是素数就是合数.
(4)若x∈R,则x2+4x+7>0.【解析】(1)(2)不是命题,(1)是祈使句.(2)是疑问
句.(3)(4)是命题,其中(3)是假命题,如正数 既不
是素数也不是合数.
(4)是真命题,x2+4x+4=(x+2)2≥0恒成立,x2+4x+7= (x+2)2+3>0恒成立.
答案:(3)(4)5.下列命题:
①若xy=1,则x,y互为倒数;
②二次函数的图象与x轴有公共点;
③平行四边形是梯形;
④若ac2>bc2,则a>b.
其中真命题是________(写出所有真命题的序号).【解析】对于②,二次函数图象与x轴不一定有公共点;对于③,平行四边形不是梯形.
答案:①④6.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假,且指出p和q分别指什么.
(1)乘积为1的两个实数互为倒数.
(2)奇函数的图象关于原点对称.【解析】(1)若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数.它是真命题.
p:两个实数乘积为1;q:两个实数互为倒数.
(2)若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称.它是真命题.
p:一个函数为奇函数;q:函数的图象关于原点对称.类型一 命题的判断
【典例1】下列语句:
①垂直于同一条直线的两条直线平行吗?
②一个数的算术平方根一定是非负数;③请完成第九题;
④若直线l不在平面α内,则直线l与平面α平行.其中是命题的是________.
【解题指南】根据命题的定义逐个判断.【解析】①不是命题,因为它不是陈述句;
②是命题,是假命题,因为负数没有平方根;
③不是命题,因为它不是陈述句;
④是命题,是假命题,直线l与平面α还可以相交.
答案:②④【方法总结】判断一个语句是不是命题的关键
(1)一般来说,陈述句才是命题,祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.
(2)根据语句表述可以判断真假的是命题,含义模糊不清,无法判断真假的语句不是命题.【巩固训练】判断下列语句是否是命题,并说明理由.
(1) 是有理数.
(2)3x2≤5.
(3)梯形是不是平面图形呢?
(4)x2-x+7>0.【解析】(1)“ 是有理数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题.
(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假,所以它不是命题.
(3)“梯形是不是平面图形呢?”是疑问句,所以它不是命题.(4)因为x2-x+7= >0,所以“x2-x+7>0”是真的,故是命题.类型二 判断命题的真假
【典例2】判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假,并说明理由.
(1)一个等比数列的公比大于1时,该数列为递增数列.
(2)求证:x∈R时,方程x2-x+2=0无实根.
(3)垂直于同一直线的两条直线平行吗?
(4)当x=3时,3x-8>0.【解题指南】判定一个命题是假命题,只要举出一个反例即可,而要判定一个命题是真命题,一般要经过严格的推理论证.【解析】(1)是命题.当首项小于零,公比大于1时该数列为递减数列,该命题为假命题.
(2)该语句为祈使句,不是命题.
(3)不是命题.它是疑问句,不是命题.
(4)是命题.当x=3时,3x-8>0,是真命题.【延伸探究】本例中语句不变,把不是命题的语句改为真命题.
【解析】(2)(3)不是命题.
(2)改为真命题是:若x∈R,则方程x2-x+2=0无实根.
(3)改为真命题是:垂直于同一直线的两条直线可能平行,可能相交,也可能异面.【方法总结】判断命题真假的三种方法【拓展延伸】命题真假的两个关注点
(1)一个命题的真假与命题所在环境有关.对其进行判断时,要注意命题的前提条件,如“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”在平面几何中是真命题,而在立体几何中却是假命题.(2)从集合的观点看,建立集合A,B与命题中的p,q之间的一种联系:设集合A={x|p(x)成立},B={x|q(x)成立},就是说,A是能使条件p成立的全体对象x所构成的集合,B是能使条件q成立的全体对象x所构成的集合,此时,命题“若p,则q”为真,当且仅当A?B时满足. 【巩固训练】(2017·莆田高二检测)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;
②若α∥β,β⊥γ,则α∥γ;
③若m⊥α,n⊥α,则m∥n;
④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.其中为真命题的是 ( )
A.①② B.①③ C.③④ D.②④
【解析】选B.显然①是正确的,结论选项可以排除C,D,然后在剩余的②③中选一个来判断,即可得出结果,①③为真命题.【补偿训练】下列命题中真命题有 ( )
①mx2+2x-1=0是一元二次方程;②抛物线y=ax2+2x-1与x轴至少有一个交点;③互相包含的两个集合相等;④空集是任何集合的真子集.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选A.①中当m=0时,是一元一次方程;②中当Δ=4+4a<0时,抛物线与x轴无交点;③是正确的;④中空集不是本身的真子集.类型三 命题的构成
【典例3】将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)6是12和18的公约数.
(2)当a>-1时,方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实根.(3)平行四边形的对角线互相平分.
(4)已知x,y为非零自然数,当y-x=2时,y=4,x=2.
【解题指南】找准命题的条件和结论,是解这类题目的关键.【解析】(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数.是真命题.
(2)若a>-1,则方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实根.是假命题.(3)若一个四边形是平行四边形,则它的对角线互相平分.是真命题.
(4)已知x,y为非零自然数,若y-x=2,则y=4,x=2.是假命题.【方法总结】
1.将命题改写成“若p,则q”形式的方法
若命题不是“若p,则q”的形式,先把它们的表述作适当的改变,明确命题的条件和结论,再写成“若p,则q”的形式,但要注意语言的流畅性.2.判断“若p,则q”的形式命题真假的办法
若由“p”经过逻辑推理得出“q”,则可判断“若p,则q”是真;而判断“若p,则q”是假,则只需要举出一个反例即可.【巩固训练】把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.
(1)等腰三角形的两个底角相等.
(2)当x=2或x=4时,x2-6x+8=0.【解析】命题(1):若一个三角形是等腰三角形,则它的两个底角相等.显然这个命题是真命题.
命题(2):若x=2或x=4,则x2-6x+8=0.通过检验可知这个命题是真命题.【补偿训练】将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假.
(1)矩形的对角线相等.
(2)当a>b,c∈R时,ac2>bc2.【解析】命题(1):若一个四边形是矩形,则它的对角线相等.是真命题.
命题(2):若a>b,c∈R,则ac2>bc2.是假命题,因为c=0时,ac2>bc2不成立.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)判断一个语句是否为命题应紧抓两点:①是不是陈述句;②能否判断真假.
(2)判断命题真假的难点是对已有知识的掌握,尤其是真命题的判断.
(3)准确判断命题的条件与结论是把命题改写为“若p,则q”形式的关键.课件61张PPT。1.1.2
四 种 命 题主题1 互逆命题
1.观察下列两个命题,它们的条件和结论分别是什么?
(1)若一个四边形的两条对角线相等,则这个四边形是矩形.
(2)若一个四边形是矩形,则其两对角线相等.提示:命题(1)的条件是:四边形的两条对角线相等,结论是:四边形是矩形.
命题(2)的条件是:四边形是矩形,结论是:两对角线相等.2.通过问题1,你发现这两个命题的条件和结论有什么关系?
提示:它们的条件和结论互换了.结论:
1.互逆命题的定义:
对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一
个命题的_____和_____,那么我们把这样的两个命题叫
做互逆命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原
命题的_______.结论条件逆命题2.互逆命题的形式:
如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆命题为
____________.“若q,则p”【微思考】
写一个命题的互逆命题的关键是什么?
提示:写一个命题的互逆命题的关键是找到原命题的条件与结论,交换原命题的条件与结论,即得命题的逆命题.主题2 互否命题
1.观察下列两个命题,它们的条件和结论分别是什么?
(1)若一个四边形的两条对角线相等,则这个四边形是矩形.
(2)若一个四边形两条对角线不相等,则这个四边形不是矩形.提示:命题(1)的条件是:四边形的两条对角线相等;结论是:四边形是矩形.
命题(2)的条件是:四边形的两条对角线不相等,结论是:四边形不是矩形.2.通过问题1,你发现这两个命题的条件与结论有什么关系?
提示:其中一个命题中条件与结论恰好是另一个命题中条件与结论的否定.结论:
1.互否命题的定义:
如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的
___________和___________,我们把这样的两个命题
叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,
那么另一个叫做原命题的_______.条件的否定结论的否定否命题2.互否命题的形式:
如果原命题为“若p,则q”,那么它的否命题为
______________.“若?p,则?q”【微思考】
写一个命题的互否命题的关键是什么?
提示:写一个命题的互否命题的关键是找到原命题的条件与结论.把原命题的条件与结论都否定,即得命题的否命题.主题3 互为逆否命题
1.观察下列两个命题,它们的条件和结论分别是什么?
(1)若一个四边形的两条对角线相互垂直且平分,则这个四边形是菱形.
(2)若一个四边形不是菱形,则其两条对角线不相互垂直且平分.提示:命题(1)的条件是:四边形的两条对角线相互垂直且平分;结论是:四边形是菱形.
命题(2)的条件是:四边形不是菱形;结论是:四边形的两条对角线不相互垂直且平分.2.通过问题1,你发现这两个命题的条件和结论有什么关系?
提示:其中一个命题中的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定.结论:
1.互为逆否命题的定义:
如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的
___________和___________,我们把这样的两个命题
叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原
命题,那么另一个叫做原命题的_________.结论的否定条件的否定逆否命题2.互为逆否命题的形式:
如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆否命题为
______________.“若?q,则?p”【微思考】
1.任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题吗?
提示:因为任何一个命题都包含条件和结论两部分,通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题.因此任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题.2.四种命题中原命题是固定的吗?
提示:不是固定的,任何一个命题都可以作为原命题,从而有另外三个命题.【预习自测】
1.命题“已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d”的逆命题是 ( )
A.已知a,b,c,d是实数,若a+c=b+d,则a=b,c=d
B.已知a,b,c,d是实数,若a≠b,c≠d,则a+c≠b+dC.已知a,b,c,d是实数,若a+c≠b+d,则a与b,c与d不都相等
D.已知a,b,c,d是实数,若a+c=b+d,则a与b,c与d不都相等【解析】选A.将原命题的条件改为结论,结论改为条件,即得原命题的逆命题.2.已知命题p:若a<1,则a2<1,下列说法正确的
是 ( )
A.命题p是真命题
B.命题p的逆命题是真命题
C.命题p的否命题是:若a<1,则a2≥1
D.命题p的逆否命题是:若a2≥1,则a<1【解析】选B.已知命题p:若a<1,则a2<1,如a=-2,则
(-2)2>1,命题p为假命题,所以A不正确;
命题p的逆命题是:若a2<1,则a<1,为真命题,所以B正确;
命题p的否命题是:若a≥1,则a2≥1,所以C不正确;
命题p的逆否命题是:若a2≥1,则a≥1,所以D不正确.3.“若一个数是正偶数,则这个数不是质数”的逆否命题是 ( )
A.“若一个数不是正偶数,则这个数是质数”
B.“若一个数是正偶数,则这个数是质数”
C.“若一个数是质数,则这个数不是正偶数”
D.“若一个数不是质数,则这个数不是正偶数”【解析】选C.由互为逆否命题的定义可知,把原命题的条件的否定作为结论,结论的否定作为条件即可得逆否命题.4.命题“若α= ,则sinα= ”的否命题是________,为________(填“真”或“假”)命题.【解析】否命题:若α≠ ,则sinα≠ ,是假命题.
答案:若α≠ ,则sinα≠ 假类型一 互逆命题及其真假的判断
【典例1】在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若Sm,Sm+2, Sm+1成等差数列,则am,am+2,am+1成等差数列.
(1)写出这个命题的逆命题.
(2)判断这个命题的逆命题何时为假?何时为真?并给出证明.【解题指南】【解析】(1)这个命题的逆命题是:在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若am,am+2,am+1成等差数列,则Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.
(2)设等比数列{an}的公比为q,则当q=1时,这个命题的逆命题为假,理由如下:因为am=am+2=am+1=a1,若am,am+2,am+1成等差数列,则Sm+2-Sm=2a1,Sm+1-Sm+2=-a1,显然Sm+2-Sm≠Sm+1-Sm+2.
当q≠1时,这个命题的逆命题为真,
理由如下:因为am=a1qm-1,am+2=a1qm+1,am+1=a1qm,
若am,am+2,am+1成等差数列,则a1qm-1+a1qm=2a1qm+1,即1+q=2q2,也就是1-q2=q2-q,
又Sm+2-Sm=
Sm+1-Sm+2=
即Sm+2-Sm=Sm+1-Sm+2.【方法总结】
1.写出一个命题的逆命题的方法
(1)先确定命题的条件和结论.
(2)再交换条件和结论的位置得逆命题.2.判断一个命题的逆命题真假的步骤
(1)写逆命题:先写出此命题的逆命题.
(2)判断真假:判断逆命题的真假,可严格按照判断命题真假的方法判断.【巩固训练】写出下列命题的逆命题,然后判断真假.
(1)若两个三角形全等,则这两个三角形三边对应相等.
(2)正数a的平方根不等于0.
(3)当x=1时,x2-3x+2=0.【解析】(1)逆命题:若两个三角形三边对应相等,则这两个三角形全等.真命题.
(2)逆命题:若a的平方根不等于0,则a是正数.假命题.
(3)逆命题:如果x2-3x+2=0,那么x=1.假命题.【补偿训练】写出下列命题的逆命题,然后判断真假.
(1)平行于同一条直线的两条直线平行.
(2)对顶角相等.
(3)在△ABC中,若BC>AC,则∠A>∠B.【解析】(1)逆命题:若两条直线平行,则这两条直线平行于同一条直线.真命题.
(2)逆命题:相等的角是对顶角.假命题.
(3)逆命题:在△ABC中,若∠A>∠B,则BC>AC.真命题.类型二 互否命题及其真假的判断
【典例2】(1)(2017·济南高二检测)命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是 ( )
A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数
B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数
C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数
D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数(2)把下列命题写成“若p,则q”的形式,再写出它的否命题,并判断原命题及否命题的真假.
①菱形的四条边相等.
②当ac>bc时,a>b.
③如果一个四棱柱有两个侧面垂直于底面,那么该四棱柱是直四棱柱. 【解题指南】(1)根据“若p,则q”的否定是“若?p,则?q”得否命题.
(2)首先找出命题的条件和结论,即先写成“若p,则q”的形式,再对条件和结论分别进行否定,即可写出原命题的否命题,然后再进行判断.【解析】(1)选B.原命题的否命题为:若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数.
(2)①若一个四边形是菱形,则这个四边形的四条边相等;
否命题是:若一个四边形不是菱形,则这个四边形的四条边不全相等;原命题为真,否命题为真.②若ac>bc,则a>b;
否命题是:若ac≤bc,则a≤b;原命题和否命题都为假.
③若一个四棱柱有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱是直四棱柱;
否命题是:若一个四棱柱没有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱不是直四棱柱;原命题为假,否命题为真.【延伸探究】
1.若把本例(2)①中的“四条边相等”改为“两条对角线垂直且平分”,则结果如何?【解析】若一个四边形是菱形,则这个四边形的两条对角线垂直且平分,为真命题.
否命题是:若一个四边形不是菱形,则这个四边形的两条对角线不垂直平分,为真命题.2.若把本例(2)②改为“当ac2>bc2时,a>b”,则结果如何?
【解析】若ac2>bc2,则a>b,真命题.否命题是:若ac2≤bc2,则a≤b,假命题.【方法总结】写出一个命题的否命题的两个步骤和一个注意点
(1)两个步骤:
①确定原命题的条件和结论;
②把命题的条件和结论都否定,即可得到命题的否命题.
(2)一个注意点:否定条件和结论时务必注意准确运用词语的否定.【拓展延伸】常见词语的否定【补偿训练】写出下列命题的否命题,然后判断真假.
(1)相等的两个角的正弦值相等.
(2)若x≠1,则x2≠1.
(3)如果sinα+cosα= ,则α是第一象限角.【解析】(1)否命题:若两个角不相等,则这两个角的正弦值也不相等.假命题.
(2)否命题:若x=1,则x2=1,真命题.
(3)否命题:如果sinα+cosα≠ ,则α不是第一象限角,假命题.类型三 互为逆否命题及其真假的判断
【典例3】写出下列命题的逆否命题,并判断真假.
(1)若x>y,则x2>y2.
(2)若AB=AC,则△ABC是等腰三角形.【解题指南】先分别否定原命题的条件和结论,然后将否定后的结论作条件,否定后的条件作结论即可,再判断真假.【解析】(1)逆否命题:若x2≤y2,则x≤y.假命题.
(2)逆否命题:若△ABC不是等腰三角形,则AB≠AC.真命题.【方法总结】写原命题的逆否命题的两种方法
(1)先写出原命题的逆命题,再写逆命题的否命题,即得逆否命题.
(2)先写出原命题的否命题,再写否命题的逆命题,即得逆否命题.【巩固训练】写出下列命题的逆否命题,并判断真假.
(1)等高的两个三角形是全等三角形.
(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧.【解析】(1)逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等高.假命题.
(2)逆否命题:若一条直线不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线.真命题.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
四种命题:首先找清原命题的条件和结论,然后
(1)交换原命题的条件和结论,得到逆命题.
(2)同时否定原命题的条件和结论,得到否命题.
(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,得到逆否命题.课件48张PPT。1.1.3
四种命题间的相互关系主题1 四种命题之间的关系
1.观察下面四个命题,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系?
(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数.
(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数.(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数.
(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数. 提示:命题(1)的条件是命题(2)的结论,且命题(1)的结论是命题(2)的条件,对于命题(1)和(3),其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定;对于命题(1)和(4),其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定.2.通过问题1中的探究,你发现其中任意两个命题之间的相互关系吗?你能用数学语言描述出来吗?
提示:命题(2)(3)是互为逆否命题,命题(2)(4)是互否命题,命题(3)(4)是互逆命题.结论:四种命题间的关系:若q，则p若﹁q，则﹁p若﹁p，则﹁q【微思考】
1.判断两个命题之间的关系关键看命题的条件与结论的哪方面?
提示:判断两个命题之间的关系关键看两个命题的条件和结论之间是否互换了,是否都否定了.2.能不能说“若p,则q”是逆命题或否命题?为什么?
提示:不能,逆命题或否命题都是相对于原命题而言的,只有确定了原命题,才有逆命题、否命题的说法,它们与原命题互为逆命题、互为否命题.3.如何利用原命题的逆命题写出原命题的逆否命题?
提示:原命题的逆命题与原命题的逆否命题互为否命题,所以只需写出原命题的逆命题的否命题,即得原命题的逆否命题.主题2 四种命题的真假性关系
1.主题1问题1中的四个命题,它们的真假性如何?
提示:命题(1)为真命题,(2)是假命题,(3)是假命题,(4)是真命题.2.若命题(1)为原命题,你发现哪两个命题的真假性相同?这种关系是否对任意的有这种关系的两个命题都成立?
提示:原命题与逆否命题,逆命题与否命题,真假性相同.且这种关系对任意两个互为逆否的命题都成立.结论:
1.两个命题互为逆否命题,它们有_____的真假性.
2.两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性
_________.相同没有关系【微思考】
1.一个命题的逆命题与否命题是同真同假命题吗?
提示:可以通过命题的结构形式,即它的条件和结论分析,逆命题与否命题是互为逆否命题,故逆命题与否命题是同真同假的.2.在四种命题中,真命题的个数可能有几个?
提示:因为原命题与逆否命题、逆命题与否命题均互为逆否命题,它们同真或同假,所以真命题的个数可能是0,2或4.【预习自测】
1.命题“若p不正确,则q不正确”的逆命题的同真同假命题是 ( )
A.若q正确,则p不正确 B.若q不正确,则p正确
C.若p正确,则q不正确 D.若p正确,则q正确【解析】选D.与逆命题同真同假的命题是否命题,否命题是“若p正确,则q正确”.2.已知命题p:“若|a|=|b|,则a=b”,则命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中,正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.因为a=-b时,|a|=|b|,则命题p为假命题,命题p的逆命题为:若a=b,则|a|=|b|,为真命题;
又因为命题的逆命题与否命题互为逆否命题,原命题与其逆否命题互为逆否命题,故真命题的个数是2个.3.在原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为________.【解析】逆命题为“若A∩B≠A,则A∪B≠B”;
否命题为“若A∪B=B,则A∩B=A”;
逆否命题为“若A∩B=A,则A∪B=B”;
全为真命题.
答案:44.已知a,b∈R,则命题“若a>b,则 ”的逆命题、否命题、逆否命题,这三个命题中真命题的个数为______.【解析】原命题“a>b,则 ”是假命题,其逆命题
“若 ,则a>b”也是假命题,又原命题与逆否命题
同真同假,逆命题与否命题同真同假,故三个命题都是
假命题.
答案:0类型一 四种命题之间的相互关系
【典例1】(1)命题“若-1是 ( )
A.若x≥1或x≤-1,则x2≥1
B.若x2<1,则-1C.若x2>1,则x>1或x<-1
D.若x2≥1,则x≥1或x≤-1(2)命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的 ( )
A.逆命题 B.否命题
C.逆否命题 D.无关命题【解题指南】
(1)根据互为逆否命题的概念结合选项进行判断.
(2)分清涉及的命题的条件和结论,比较两个命题的条件与结论之间的关系即可解决.【解析】(1)选D.若原命题是“若p,则q”,则逆否命题为“若?q,则?p”,故此命题的逆否命题是“若x2≥1,则x≥1或x≤-1”.
(2)选A.从两种命题的形式来看是条件与结论换位,因此为逆命题.【方法总结】判断四种命题关系的关键
关键是正确找出原命题的条件和结论,若原命题不是“若p,则q”的形式,应改写成“若p,则q”的形式,并写出条件和结论的否定:(1)“换位”得到“若q,则p”为逆命题.
(2)“换质”(分别否定)得到“若?p,则?q”为否命题.
(3)“换位”又“换质”得到“若?q,则?p”为逆否命题. 【巩固训练】命题“a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题是 ( )
A.a,b都不是奇数,则a+b是偶数
B.a+b是偶数,则a,b都是奇数
C.a+b不是偶数,则a,b都不是奇数
D.a+b不是偶数,则a,b不都是奇数【解析】选D.“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”,故该命题的逆否命题是:“a+b不是偶数,则a,b不都是奇数”.【补偿训练】下列命题中:
①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;
②若一个四边形对角互补,则它内接于圆;
③正方形的四条边相等;
④圆内接四边形对角互补;⑤对角不互补的四边形不内接于圆;
⑥若一个四边形的四条边相等,则它是正方形.
其中互为逆命题的有________;互为否命题的有________;互为逆否命题的有________.【解析】命题③可改写为“若一个四边形是正方形,则它的四条边相等”;命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形,则它的对角互补”;命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补,则它不内接于圆”,再依据四种命题间的关系便不难判断.
答案:②和④,③和⑥ ①和⑥,②和⑤ ①和③,④和⑤类型二 四种命题的真假性
【典例2】(1)原命题为“若 A.真、真、真 B.假、假、真
C.真、真、假 D.假、假、假(2)原命题:“a,b,c∈R,若a>b,则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 【解题指南】(1)因为原命题和其逆否命题同真假,逆命题和否命题同真假,所以只要判断原命题和它的逆命题的真假即可.
(2)写出逆命题、否命题及逆否命题,然后判断真假.【解析】(1)选A.由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也为真;而它的逆命题为真,所以它的否命题亦为真.(2)选C.对原命题:当c=0时ac2=bc2,故原命题为假命题.又逆命题为“a,b,c∈R,若ac2>bc2,则a>b”,由不等式性质,可得此命题为真命题.由命题的同真同假性知,原命题与逆否命题为假命题,逆命题与否命题为真命题. 【延伸探究】若把本例(1)中“若 改为“在等比数列{an}中,若a1>a2>a3”,其他条件不
变,则结果如何?【解析】由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也为真,而它的逆命题为真,所以它的否命题亦为真.【方法总结】判断四种命题真假的两种方法
(1)直接判断:利用命题真假判断的方法判断.
(2)同真同假转化:由于互为逆否命题的真假具有同真同假性,因而在判断四种命题的真假时,可以转化为先判断原命题和逆(否)命题的真假,再利用互为逆否命题的真假具有同真同假性即可完成.【拓展延伸】转化与化归的数学思想
转化与化归的思想方法是应用等价转化的思想方
法去解决数学问题;它可以在数与数、形与形、数与
形之间进行转换;它可以将较为烦琐、复杂的问题,变
成比较简单的问题;通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对来说,自己较熟悉的问题),并通过对新问题的求解,达到解决原问题的目的.【巩固训练】已知x∈R,a=x2+ ,b=-x+2,c=x2-x+1.
求证:a,b,c中至少有一个不小于1.【证明】假设a,b,c均小于1,则a+b+c<3.
又a+b+c=2x2-2x+ =2 +3≥3,与假设矛盾.
所以a,b,c中至少有一个不小于1.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
命题真假判断的重要途径
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,从而间接地证明原命题为真命题.课件39张PPT。1.2 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件主题 充分条件和必要条件
1.判断下列两个命题的真假,若为真命题,说明条件和结论有什么关系?
(1)若x>a2+b2,则x>2ab.
(2)若ab=0,则a=0.提示:(1)为真命题,(2)为假命题,(1)为真命题说明:由条件x>a2+b2,通过推理可以得出结论x>2ab.2.以上条件和结论的关系是否对任意一个“若p,则q”的命题都成立?
提示:都成立.结论:充分条件与必要条件?充分必要充分必要【微思考】
1.若p是q的充分条件,这样的条件p唯一吗?
提示:不唯一.例如“x>1”是“x>0”的充分条件,p可以是“x>2”“x>3”或“2提示:若?p,则?q为真命题,等价于若q,则p为真命题,即q?p,故p是q的必要条件.3.如何理解充分条件、必要条件中的“充分”和“必要”?
提示:“充分”即条件充分,有充足的理由;“必要”即必须要有,缺之不可.【预习自测】
1.直线y=kx+b过原点的充分条件是 ( )
A.b=0 B.b>0 C.b<0 D.b∈R
【解析】选A.b=0时,直线y=kx过原点.所以b=0是直线y=kx+b过原点的充分条件.2.a<0,b<0的一个必要条件为 ( )
A.a+b<0 B.a-b>0 C. >1 D. <-1
【解析】选A.a+b<0 a<0,b<0,而a<0,b<0?a+b<0.3.对于任意的实数a,b,c,在下列命题中,真命题
是 ( )
A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件
C.“acD.“ac=bc”是“a=b”的充分条件【解析】选B.当c为零时,由ac=bc a=b.4.指出下列各组命题中,p是q的什么条件.
(1)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形.
(2)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.【解析】(1)因为四边形的对角线相等 四边形是平行四边形,
四边形是平行四边形 四边形的对角线相等,
所以p是q的既不充分也不必要条件.(2)因为(x-1)2+(y-2)2=0?x=1且y=2?(x-1)·
(y-2)=0,而(x-1)(y-2)=0 (x-1)2+(y-2)2=0,
所以p是q的充分不必要条件. 类型一 充分条件和必要条件的判断
【典例1】(1)(2017·杭州高二检测)在等比数列{an}中,“a1①a<0其中能使 成立的充分条件有________.(只填序号) 【解题指南】(1)看由“a1由“an(2)看①,②,③,④这几个条件能否推出命题 成立.【解析】(1)如an=(-3)n-1,a1=(-3)0=1,a3=(-3)2=9,满
足a1以,a1增数列,则有a1“an答案:必要(2)当a<0当b当b<0当0所以能使 成立的充分条件有①②④.
答案:①②④ 【延伸探究】1.本例(1)中条件不变,判断“an【解析】由(1)解析知,“an【解析】如an=(-1)n,a1=-1,a2=1,满足a1但{an}不是递增数列,反之若an则有a1p是q的充分条件的含义是:要使q成立,只要满足条件p就行;p是q的必要条件的含义是:要使p成立,必须满足条件q才行.从集合的观点看,必要条件的意义是:设集合A=
{x|x满足条件p},
B={x|x满足条件q},
若A?B,则p是q的必要条件;
若A?B,则p不是q的必要条件.【补偿训练】1.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α
内,“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的______条件(从“充分”“必要”中选择一个填写).【解析】l⊥α?l⊥m且l⊥n,而m,n是平面α内两条直线,并不一定相交,所以l⊥m且l⊥n不能得到l⊥α.
答案:充分2.“a<0”是“方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的_______条件(从“充分”“必要”中选择一个填写).【解析】当a<0时,由根与系数的关系知x1x2= <0,故
此一元二次方程有一正根和一负根,符合题意;当
ax2+2x+1=0至少有一个负数根时,a可以为0,因为当
a=0时,该方程仅有一根为- ,所以a不一定小于0.由
上述推理可知,“a<0”是“方程ax2+2x+1=0至少有一
个负数根”的充分条件.
答案:充分类型二 充分、必要条件的应用
【典例2】已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m,且p是q的充分条件,但不是必要条件,求实数m的取值范围.
【解题指南】根据充分条件、必要条件的意义列出不等式组求解即可.【解析】因为p是q的充分条件,但不是必要条件,
所以p?q但q p,
即{x|-2≤x≤10}是{x|1-m≤x≤1+m}的真子集,
所以 或 解得m≥9.
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}.【方法总结】应用充分、必要条件求参数的取值范围
根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系,将问题转化为集合之间的关系,建立关于参数的不等式或不等式组求解,注意数形结合思想的应用.【巩固训练】已知P={x|a-4所以 解得-1≤a≤5.
故实数a的取值范围是[-1,5].【补偿训练】不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充分而不必要条件是-2不等式成立,所以不等式的解为-a(-2,-1) (-a,-1),所以-2>-a,即a>2.
答案:a>2【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
判断p是q的什么条件的方法
主要判断p?q,及q?p两命题的正确性,若p?q真,则p是q成立的充分条件;若q?p真,则p是q成立的必要条件.要否定p与q不能相互推出时,可以举出一个反例进行否定.课件57张PPT。1.2.2
充 要 条 件主题 充要条件的概念
1.已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数.请判断:p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?提示:p?q,故p是q的充分条件,又q?p,故p是q的必要条件.2.通过判断,你发现了什么?这种关系是否对任意一个“若p,则q”的命题只要具备上述命题的条件都成立?你能用数学语言概括出来吗?
提示:可以发现p既是q的充分条件,又是q的必要条件,且这种关系对“若p,则q”的命题只要具备p?q,q?p都成立,即p?q.结论:充要条件的概念
如果既有p?q,又有q?p,就记作p?q.此时,我们说p是
q的_________条件,简称_____条件.
概括地说,如果p?q,那么p与q互为_____条件.充分必要充要充要【微思考】
1.符号“?”的含义是什么?
提示:符号“?”的含义是“等价于”.例如,“p?q”可以理解为“p是q的充要条件”“p等价于q”“q必须且只须p”;“p?q”的含义还可以理解为“p?q,且q?p”.2.p是q的充要条件与q是p的充要条件的意义相同吗?提示:不相同.两者都有p与q等价的含义,但是两种叙述方式中的条件与结论不同:“p是q的充要条件”中,“p”是条件,“q”是结论,即p?q为真,充分性成立,q?p为真,必要性成立;而“q是p的充要条件”中的条件是“q”,结论是“p”,即q?p为真,充分性成立,p?q为真,必要性成立.3.若p不是q的充分条件,则q可能是p的必要条件吗?p可能是q的必要条件吗?
提示:充分条件与必要条件是共存的,如果p不是q的充分条件,则q也不是p的必要条件.p可能是q的必要条件.【预习自测】
1.已知条件p:y=lg(x2+2x-3)的定义域,条件q:5x-6>x2,则q是p的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件【解析】选A.p:x2+2x-3>0,则x>1或x<-3;
q:5x-6>x2,即x2-5x+6<0,得2所以q?p,但p q.2.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”
的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件【解析】选A.x2+y2≥4表示以原点为圆心,以2为半径的圆以及圆外的区域,可知点(0,2)在此区域内,此时x=0<2,即x2+y2≥4不一定推出x≥2且y≥2.3.设a,b∈R,那么ab=0的充要条件是 ( )
A.a=0且b=0 B.a=0或b≠0
C.a=0或b=0 D.a≠0且b=0【解析】选C.由ab=0,知a,b至少有一个为0.
即a=0或b=0,
而由a=0或b=0可得ab=0.4.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0,且ab>0”的______条件.【解析】因为a>0,b>0,所以a+b>0,ab>0,
所以充分性成立;因为ab>0,所以a与b同号,又a+b>0,所以a>0且b>0,所以必要性成立.故“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件.
答案:充要类型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断
【典例1】(1)(2017·北京高考)设m,n为非零向量，则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n＜0”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件(2)判断下列各题中p是q的什么条件.
①在△ABC中,p:A>B,q:BC>AC.
②p:x>1,q:x2>1.
③p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3.
④p:a零向量m，n反向，则有m·n＜0成立，当m·n＜0
时，非零向量m，n的夹角θ∈ 此时m，n不一定
反向，所以m=λn不一定成立，所以“存在负数λ，
使得m=λn”是“m·n＜0”的充分而不必要条件.(2)①由三角形中大角对大边可知,若A＞B,
则BC＞AC;反之，若BC＞AC，则A＞B.
因此,p是q的充要条件.
②由x＞1可以推出x2＞1;由x2＞1，得x＜-1或x＞1，不一定有x＞1.
因此,p是q的充分不必要条件. ③由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.
因此,p是q的必要不充分条件.④由于a1;当b>0时, <1,
故若a0,b>0, <1时,可以推出
ab.
因此p是q的既不充分也不必要条件.【方法总结】
判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.
(2)集合法:即利用集合的包含关系判断.(3)等价法:即利用p?q与q?p的等价关系,一般地,对于条件和结论是否定形式的命题,一般运用等价法.
(4)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1?p2?…?pn,可得p1?pn;充要条件也有传递性. 【拓展延伸】充分条件、必要条件、充要条件与四种命题的关系
判定充分条件、必要条件时,可以与四种命题的关系结合起来.把p与q分别记作原命题的条件与结论,则原命题与逆命题的真假同p与q之间的关系如下:①如果原命题为真,逆命题为假,那么p是q的充分不必要条件;
②如果原命题为假,逆命题为真,那么p是q的必要不充分条件;
③如果原命题与逆命题都为真,那么p是q的充要条件;
④如果原命题与逆命题都为假,那么p是q的既不充分也不必要条件.【巩固训练】已知如下命题中:
①若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分不必要条件;
②对于实数a,b,c,“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件;③直线l1:ax+y=3,l2:x+by-c=0.
则“ab=1”是“l1∥l2”的必要不充分条件;
④“m<-2或m>6”是“y=x2+mx+m+3有两个不同零点”的充要条件.
正确的命题是______.【解析】①中,当a=2时,有(a-1)(a-2)=0;但当
(a-1)·(a-2)=0时,a=1或a=2,不一定有a=2.
所以“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分不必要条件,①正确.
②因为a>b ac2>bc2(c=0),但ac2>bc2?a>b.
所以“a>b”是“ac2>bc2”必要不充分条件,②错.③中,ab=1且ac=3时,l1与l2重合,但l1∥l2? ,即
ab=1,
所以“ab=1”是“l1∥l2”的必要不充分条件,③正确.
④中,y=x2+mx+m+3有两个不同零点?Δ=m2-4(m+3) >0?m<-2或m>6.
所以是充要条件,④正确.
答案:①③④类型二 充分条件、必要条件、充要条件的应用
【典例2】已知条件p:A={x|x2-(a+1)x+a≤0},条件q:
B={x|x2-3x+2≤0},当a为何值时,
(1)p是q的充分不必要条件.
(2)p是q的必要不充分条件.
(3)p是q的充要条件.【解题指南】先化简p,q对应的集合,再结合p,q的关系转化为集合A,B间的关系,构建方程或不等式可解.【解析】因为A={x|x2-(a+1)x+a≤0}={x|(x-1)(x-a) ≤0}.B={x|x2-3x+2≤0}=[1,2],
(1)因为p是q的充分不必要条件,所以A B,而当a=1
时,A={1},显然成立,当a>1,A=[1,a],需1综上可知1≤a<2时,p是q的充分不必要条件.(2)因为p是q的必要不充分条件,所以B A,
故A=[1,a],且a>2,
所以有a>2时,p是q的必要不充分条件.
(3)因为p是q的充要条件,所以A=B,故a=2. 【延伸探究】
1.本例条件不变,当a为何值时,q是p的充分不必要条件?
【解析】p:A={x|(x-1)(x-a)≤0},
q:B=[1,2],若q是p的充分不必要条件,即q?p,但p q,
即p是q的必要不充分条件,故a的取值范围为a>2.2.若把本例中B集合改为:B={x|x2+x-2≤0},其他条件不变,则a为何值?
【解析】B={x|x2+x-2≤0}=[-2,1],
此时,(1)A B,得:-2(2)B A,得:a<-2.
(3)A=B,得:a=-2.【方法总结】
1.集合法求参数的取值范围
利用充分、必要条件求参数的取值范围问题,常利用集合法求解,即先化简集合A={x|p(x)}和B={x|q(x)},然后根据p与q的关系(充分、必要、充要条件),得出集合A与B的包含关系,进而得到相关不等式组(也可借助数轴),求出参数的取值范围.2.反例法判断条件
判断p是q的什么条件,若直接判断困难,还可以用等价命题来判断,有时也可通过举反例否定充分性或必要性.【补偿训练】若A={x|a3},且A是B的充分不必要条件,求实数a的取值范围.【解析】因为A是B的充分不必要条件,
所以A B,
又A={x|a3}.
因此a+2≤-1或a≥3,
所以实数a的取值范围是a≥3或a≤-3.类型三 充要条件的证明
【典例3】试证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.【解题指南】【证明】(1)必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个正根
和一个负根,所以Δ=b2-4ac>0,x1x2= <0(x1,x2为方程
的两根),所以ac<0.(2)充分性:由ac<0可推得Δ=b2-4ac>0及x1x2=
<0(x1,x2为方程的两根).所以方程ax2+bx+c=0有两个相
异实根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0有一个正根和
一个负根.综上所述,一元二次方程ax2+bx+c=0有一个
正根和一个负根的充要条件是ac<0.【方法总结】证明充要条件的两个关注点
(1)双向性:证明p是q的充要条件,既要证明“p?q”为真,又要证明“q?p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.(2)分清地位:证明充要条件,即说明原命题和逆命题都成立,要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异,分清哪个是条件,哪个是结论. 【巩固训练】求证:关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立的充要条件是00对于一切实数x都成立,
由二次函数性质有
即 所以0所以0< <1,即0<1- <1,
所以ax2-ax+1=
所以若00对于一切实数x都成立.
由①②知,命题得证.【补偿训练】已知x,y都是非零实数,且x>y,求证:
的充要条件是xy>0.【证明】(1)必要性:由 ,得 <0,即 <0,
又由x>y,得y-x<0,所以xy>0.
(2)充分性:由xy>0及x>y,
得
综上所述, 的充要条件是xy>0.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
充分必要条件的判断方法
(1)若q?p,且p q,则p是q的必要不充分条件,q是p的充分不必要条件.
(2)若p?q,且q?p,则p是q的充要条件(此时q也是p的充要条件).(3)若p q,且q p,则p是q的既不充分又不必要条件.课件68张PPT。1.3
简单的逻辑联结词主题1 p且q(p∧q)
1.观察下列三个命题,其中命题(3)与命题(1)(2)之间有什么关系?
(1)6是2的倍数.
(2)6是3的倍数.
(3)6是2的倍数且是3的倍数.提示:命题(3)是由命题(1)(2)使用联结词“且”联结得到的新命题.2.以上三个命题的真假如何?其中命题(3)的真假与命题(1)(2)的真假有何关系?
提示:(1)(2)(3)均真,可知(1)(2)真,则(3)真.结论:
1.定义
用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到
一个新命题,记作_____,读作“_____”.p∧qp且q2.真假判断
当p,q都是真命题时,p∧q是_______;当p,q两个命题中
有一个命题是假命题时,p∧q是_______.真命题假命题【微思考】
若“p∧q”是假命题,则命题p,q都是假命题吗?为什么?
提示:不一定,因为命题p,q中只要有一个是假命题,“p∧q”就是假命题.主题2 p或q(p∨q)
1.观察下列三个命题,其中命题(3)与命题(1)(2)之间有什么关系?
(1)6是2的倍数.
(2)6是3的倍数.
(3)6是2的倍数或是3的倍数.提示:可以看出命题(3)是由命题(1)(2)使用联结词“或”联结得到的新命题.2.命题(3)的真假如何?
提示:命题(3)为真命题.结论:
1.定义
用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到
一个新命题,记作_____,读作“_____”.p∨qp或q2.真假判断
当p,q两个命题有一个命题是真命题时,p∨q是_______;
当p,q两个命题都是假命题时,p∨q是_______.真命题假命题【微思考】
1.若“p∨q”是假命题,p,q一定是假命题吗?
提示:是,只要p,q中有一个为真命题,则p∨q是真命题,只有p,q都是假命题时,p∨q才是假命题.2.逻辑联结词“或”与集合、生活中的“或”含义相同吗?提示:联结词“或”与集合运算中并集的定义A∪B={x|x∈A或x∈B}中“或”的意义相同,是逻辑联结词.“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同,日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思,如“学习或休息”,而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思.主题3 非p(?p)
1.观察下列两个命题(1)(2),它们之间有什么关系?
(1)6是3的倍数.
(2)6不是3的倍数.
提示:命题(2)是命题(1)的否定.2.以上两个命题的真假如何?你能归纳出它们真假的一般规律吗?
提示:(1)为真命题;(2)为假命题;若p是真命题,则?p为假命题,若p为假命题,则?p为真命题.结论:
1.定义
对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作___,
读作________或____________.?p“非p”“p的否定”2.真假判断
若p是真命题,则?p必是_______;若p是假命题,则?p必
是_______.假命题真命题【微思考】
命题的否定与否命题有什么区别?
提示:命题的否定只否定命题的结论,而否命题既否定命题的条件,又否定命题的结论.【预习自测】
1.下列命题中,是“p∨q”形式的命题的是 ( )
A.? {0}
B.-3<0
C.平行四边形的对角线相等且互相平分
D.能被5整除的整数的末位数不是0就是5【解析】选D.“? {0}”和“-3<0”是简单命题;“平行四边形的对角线相等且互相平分”是“p∧q”形式的命题.“能被5整除的整数的末位数不是0就是5”是“p∨q”形式的命题.2.已知p:??{0},q:{1}∈{1,2}.则四个命题p,q,p∧q, p∨q中,真命题有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选B.容易判断命题p:??{0}是真命题,命题q:{1}∈{1,2}是假命题,所以p∧q是假命题.p∨q真命题.3.对命题p:A∩?=?,命题q:A∪?=A,下列说法正确的
是 ( )
A.p且q为假命题 B.p或q为假命题
C.非p为真命题 D.非p为假命题【解析】选D.因为命题p为真,命题q为真,所以p且q为真,p或q为真,非p为假,非q为假,故选D.4.给出命题p:ax+b>0的解为x>- ,命题q:(x-a)(x-b)<0的解为a答案:假类型一 含逻辑联结词命题的构成
【典例1】分别写出由下列命题构成的“p∨q” “p∧q”“?p”形式的命题.
(1)p:梯形有一组对边平行,q:梯形有一组对边相等.
(2)p:-1是方程x2+4x+3=0的解,q:-3是方程x2+4x+3=0的解.【解题指南】先分清p∧q,p∨q,?p所代表的具体含义,然后再将题目所给予的命题p和命题q相互加以融合即可.【解析】(1)p∧q:梯形有一组对边平行且有一组对边相等.
p∨q:梯形有一组对边平行或有一组对边相等.
?p:梯形没有一组对边平行.(2)p∧q:-1与-3是方程x2+4x+3=0的解.
p∨q:-1或-3是方程x2+4x+3=0的解.
?p:-1不是方程x2+4x+3=0的解.【方法总结】
1.命题结构的判断方法
不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”“非”等逻辑联结词,而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题.2.用逻辑联结词构造新命题的关键点
用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时,关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词,选择合适的联结词,有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略或变形.【巩固训练】指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题:
(1)方程2x2+1=0没有实数根.
(2)12能被3或4整除.【解析】(1)是“?p”形式,其中p:方程2x2+1=0有实数根.
(2)是“p或q”形式,其中p:12能被3整除;q:12能被4整除.【补偿训练】分别写出由下列命题构成的“p∧q” “p∨q”“?p”形式的命题.
(1)p:正方体是六面体;q:空间四边形有对角线.
(2)p:过圆周上的一点只有一条圆的切线;
q:两条直线异面时不可能垂直.【解析】(1)p∧q:正方体是六面体且空间四边形有对角线;
p∨q:正方体是六面体或空间四边形有对角线;
?p:正方体不是六面体.(2)p∧q:过圆周上的一点只有一条圆的切线且两条直线异面时不可能垂直;
p∨q:过圆周上的一点只有一条圆的切线或两条直线异面时不可能垂直;
?p:过圆周上的一点不是只有一条圆的切线. 类型二 含逻辑联结词的命题真假的判断
【典例2】分别指出下列各组命题构成的“p∧q” “p∨q”“?p”形式的命题的真假.
(1)p:6<6,q:6=6.
(2)p:梯形的对角线相等,q:梯形的对角线互相平分.(3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点,q:不等式x2+x+2<0无解.
(4)p:函数y=cosx是周期函数,q:函数y=cosx是奇函数. 【解题指南】先判断p,q的真假,再根据真假规定判断“p∧q”“p∨q”,“?p”的真假.【解析】(1)因为p为假命题,q为真命题,
所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,?p为真命题.
(2)因为p为假命题,q为假命题,
所以p∧q为假命题,p∨q为假命题,?p为真命题.(3)因为p为真命题,q为真命题,
所以p∧q为真命题,p∨q为真命题,?p为假命题.
(4)因为p为真命题,q为假命题,
所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,?p为假命题. 【延伸探究】
本例(1)条件不变,试判断命题(?p)∧q,p∧(?q), (?p)∧(?q)的真假.
【解析】由条件知,p假,q真,所以?p真,?q为假,故(?p)∧q为真,p∧(?q)为假,(?p)∧(?q)为假.【方法总结】
1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的步骤
(1)确定含逻辑联结词的命题的构成形式.
(2)判断其中简单命题p,q的真假.
(3)由真值表判断命题的真假.2.真值表.解读真值表【巩固训练】判断下列命题的真假:
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.
(2)x=±1是方程x2+3x+2=0的根.
(3)集合A不是A∪B的子集.【解析】(1)这个命题是“p∧q”的形式,其中p:等腰三角形顶角的平分线平分底边,q:等腰三角形顶角的平分线垂直于底边,因为p真,q真,则“p∧q”真,所以该命题是真命题.(2)这个命题是“p∨q”的形式,其中p:1是方程x2+3x+2=0的根,q:-1是方程x2+3x+2=0的根,因为p假,q真,
则“p∨q”真,所以该命题是真命题.
(3)这个命题是“?p”的形式,其中p:A?(A∪B),因为p真,则“?p”假,所以该命题是假命题. 【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
含有逻辑联结词的命题真假的三个关注点
(1)真假规律:①p∨q:一真必真,都假才假;
②p∧q:一假必假,都真才真.(2)?p:p与?p是互为否定的,从而有?(?p)=p,p真?p假,p假?p真.
(3)含有逻辑联结词的命题的否定:p∨q的否定为(?p)∧(?q);p∧q的否定为(?p)∨(?q),其真假也可以参照含有逻辑联结词的命题的真假进行判断. 拓展类型:根据含逻辑联结词命题的真假求参数的范围
【典例】(2017·青岛高二检测)命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立;q:函数f(x)=-(5-2a)x是减函数.若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.【解题指南】先求出命题p与q为真时a的取值范围,然后根据题意讨论p,q的真假,求出参数a的取值范围.【解析】设g(x)=x2+2ax+4,因为关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点,故Δ=4a2-16<0,
所以-2所以命题p:-2函数f(x)=-(5-2a)x是减函数,则有5-2a>1,即a<2.所以命题q:a<2.
由p或q为真,p且q为假,可知p和q一真一假.
(1)若p真q假,则 此不等式组无解.
(2)若p假q真,则
所以a≤-2.
综上,实数a的取值范围是(-∞,-2].【延伸探究】若将“q:函数f(x)=-(5-2a)x是减函数”改为“q:函数f(x)=-(5-2a)x是增函数”,其他条件不变,求实数a的取值范围.【解析】设g(x)=x2+2ax+4.因为关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点,故Δ=4a2-16<0,
所以-2所以命题p:-2函数f(x)=-(5-2a)x是增函数,则有0<5-2a<1,即2由p或q为真,p且q为假,可知p和q一真一假.
(1)若p真q假,则
所以-2所以2综上,实数a的取值范围是(-2,2)∪ 【方法总结】命题“p∧q”“p∨q”“?p”真假应用的规律
(1)由命题“p∧q”“p∨q”“?p”的真假推出p和q真假,其结论如下:
①若“p∧q”为真,则p和q均为真;若“p∧q”为假,则p和q至少有一个为假;②若“p∨q”为真,则p和q至少有一个为真;若“p∨q”为假,则p和q都为假;
③命题p和命题?p真假相反.
(2)由p和q的真假转化为相应的数学问题,再结合正确的逻辑推理方法求得结论.【巩固训练】设p:函数y=loga(x+1)(a>0且a≠1)在(0,+∞)上单调递减;q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.如果p∧q为假命题,p∨q为真命题,求a的取值范围.【解析】因为函数y=loga(x+1)(a>0且a≠1)在(0,+∞)上单调递减,所以0因为曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点,
所以Δ>0,即(2a-3)2-4>0,解得 ,
即q: .因为p∧q为假,p∨q为真,
所以p真,q假或p假,q真,
解得 ≤a<1或a> .
综上所述,a的取值范围为 课件55张PPT。1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词主题1 全称量词和全称命题
1.观察下列语句,它们是命题吗?
(1)x≤6.
(2)2x是偶数.(3)对任意的x∈R,x≤6.
(4)对所有的x∈Z,2x都是偶数.
提示:语句(1)(2)不是命题,(3)(4)是命题. 2.以上四个语句(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?
提示:(3)在语句(1)的基础上增加了短语“任意的x∈R”对变量x进行限制;语句(4)在语句(2)的基础上增加了短语“所有的x∈Z”对变量x进行限制.结论:
1.全称量词的定义:
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做
_________,并用符号“___”表示.全称量词?2.全称命题的定义:
含有_________的命题叫做全称命题,全称命题“对M中
任意一个x,有p(x)成立”,用符号表示为:____________.全称量词?x∈M,p(x)【微思考】
1.在全称命题中,量词是否可以省略?
提示:在有些全称命题中,全称量词是可以省略的,如“平行四边形的对角线互相平分”实际应解读为“所有平行四边形的对角线都互相平分”.2.一个全称命题的表述是否唯一?
提示:不唯一.对于一个全称命题,由于自然语言的不同,可以有不同的表述方法,只要形式正确即可.主题2 存在量词和特称命题
1.观察下列语句,它们是命题吗?
(1)x>6.
(2)2x是偶数.
(3)至少有一个x0∈R,使x0>6.
(4)存在x0∈Z,使2x0是偶数.
提示:(1)(2)不是命题,(3)(4)是命题.2.以上四个语句,(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?
提示:语句(3)在(1)的基础上,用短语“至少有一个”对变量的取值进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用“存在一个”对变量的取值进行限制.结论:
1.存在量词的定义:
短语“存在一个”,“至少有一个”在逻辑中叫做
_________,用符号“___”表示.存在量词?2.特称命题的定义:
含有_________的命题,叫做特称命题,特称命题
“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”用符号表示为
_____________.存在量词?x0∈M,p(x0)【微思考】
怎样区别全称命题和特称命题?
提示:全称命题含有或隐含全称量词,体现了任意、所有的意思,特称命题含有或隐含存在量词,体现了特殊存在性.【预习自测】
1.下列命题中全称命题的个数为 ( )
①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选C.①②是全称命题,③是特称命题.2.下列语句不是全称命题的是 ( )
A.模相等的向量是相等向量
B.共线向量所在直线共线
C.在平面向量中,有些向量是共线向量
D.每一个向量都有大小【解析】选C.选项A,B,D都是全称命题,选项C中含有量词“有些”是特称命题.3.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是 ( )
A.存在一个α,使tan(90°-α)=tanα
B.存在实数x0,使sinx0=
C.对一切α,sin(180°-α)=sinα
D.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ【解析】选A.C,D是全称命题,A,B是特称命题,
由于|sinx|≤1,故sinx0= >1不成立,B为假命题,对于A,当α=45°时,tan(90°-α)=tanα成立.4.对任意x>3,x>a恒成立,则实数a的取值范围是________.
【解析】由题意知(3,+∞) (a,+∞),所以a≤3.
答案:a≤3类型一 全称命题与特称命题的判断
【典例1】(1)下列语句不是特称命题的是 ( )
A.有的无理数的平方是有理数
B.有的无理数的平方不是有理数
C.对于任意x∈Z,2x+1是奇数
D.存在x0∈R,2x0+1是奇数(2)给出下列几个命题:
①至少有一个x0,使x02+2x0+1=0成立;
②对任意的x,都有x2+2x+1=0成立;
③对任意的x,都有x2+2x+1=0不成立;
④存在x0,使x02+2x0+1=0成立.
其中是全称命题的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.0 【解题指南】先根据命题的概念判断其是否为命题,再看是含全称量词还是含存在量词,然后进行判断.【解析】(1)选C.因为“有的”“存在”为存在量词,“任意”为全称量词,所以选项A,B,D均为特称命题,选项C为全称命题.
(2)选B.因为“至少有一个”、“存在”是存在量词,“任意的”为全称量词,所以①④为特称命题,②③为全称命题,所以全称命题的个数为2.【方法总结】判断一个命题是否为全称命题或特称命题的关注点
判断一个命题是否为全称命题或特称命题,就是判断这个命题中是否含有全称量词或存在量词,有些命题的量词可能隐含在命题之中,这时要根据命题含义判断形式,如大多数公理、定理的简述都是一般性结论,它们大多数省略了全称量词,但仍应看作全称命题.【巩固训练】下列命题中是全称命题的个数为 ( )
①凸多边形的外角和为360°;
②有的向量方向不定;
③对任意角α,都有sin2α+cos2α=1;
④有一个函数既是奇函数又是偶函数.
A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.①③是全称命题,②④是特称命题.类型二 全称命题与特称命题真假的判断
【典例2】指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断它们的真假.
(1)?x∈N,2x+1是奇数.
(2)存在一个x0∈R,使
(3)对任意向量a,|a|>0.
(4)有一个角α,使sinα>1.【解题指南】先判断命题的类型,再判断命题的真假.
【解析】(1)是全称命题.因为?x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题.(2)是特称命题.因为不存在x0∈R,使 成立,所以该命题是假命题.
(3)是全称命题.因为|0|=0,所以|a|>0不都成立,因此,该命题是假命题.
(4)是特称命题.因为?α∈R,sinα∈[-1,1],所以该命题是假命题. 【方法总结】全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x0使p(x0)成立即可;否则,这个特称命题就是假命题.【巩固训练】判断下列命题的真假:
(1)p:所有的单位向量都相等.
(2)p:任一等比数列{an}的公比q≠0.
(3)p:?x0∈R,x02+2x0+3≤0.【解析】(1)p是全称命题,是假命题.
若两个单位向量e1,e2方向不相同,虽然有|e1|=|e2|=1,
但e1≠e2.
(2)p是全称命题,是真命题.
根据等比数列的定义知,任一等比数列中,其每一项
an≠0,所以其公比q= ≠0(n=1,2,3,…).(3)p是特称命题,是假命题.
因为对于?p:?x∈R,x2+2x+3>0是真命题,这是因为x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0恒成立. 【补偿训练】判断下列命题的真假:
(1)若a>0,且a≠1,则对任意实数x,ax>0.
(2)对任意实数x1,x2,若x1(3)?T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sinx|.
(4)?x0∈R,2x02+7<0.【解析】命题(1)为全称命题,根据指数函数的性质可知,该命题为真命题;
命题(2)是全称命题,存在x1=0,x2=π,虽然x1命题(4)是特称命题,因为对任意的x∈R,都有2x2+7>0,故该命题为假命题.类型三 根据全称命题与特称命题真假求参数的范围
【典例3】命题p:?x∈R,sinxcosx≥m,若命题p是真命题,求实数m的取值范围.【解题指南】设函数f(x)=sinxcosx,只需令f(x)的最小值大于或等于m.【解析】设函数f(x)=sinxcosx,x∈R,
则f(x)= sin2x,所以函数f(x)的值域是
由于命题p是真命题,
即对任意x∈R,恒有sinxcosx≥m成立,
所以对任意x∈R,恒有f(x)≥m成立,又函数f(x)的最小值为- ,
所以只需m≤- ,
所以实数m的取值范围是 【延伸探究】
1.将命题p改为:?x0∈R,sinx0cosx0≥m,若命题p是真命题,如何求m的取值范围?【解析】由于命题p是真命题,即存在一个实数x0,满足sinx0cosx0≥m成立,
所以存在一个实数x0,满足f(x0)≥m成立,
由于函数f(x)的最大值为 ,
所以m的值不可能大于 ,即m≤ .
所以实数m的取值范围是 2.将命题p改为:?x∈R,9x-3x-m=0,若命题?p是假命题,求实数m的取值范围.【解析】由于?p是假命题,所以p是真命题,
即对任意实数x,9x-3x-m=0恒成立.
设3x=t,由于x∈R,则t∈(0,+∞),
则9x-3x-m=0?m=(3x)2-3x
?m=t2-t,t∈(0,+∞),设f(t)=t2-t,t∈(0,+∞),则f(t)= 当
t= 时,f(t)min=- ,
则函数f(t)的值域是
所以实数m的取值范围是 【方法总结】应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型解决策略
(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题,全称命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质;也可以根据函数等数学知识来解决.(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设. 【补偿训练】已知函数f(x)=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由.
(2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围.【解题指南】可考虑用分离参数法,转化为m>-f(x)恒成立和存在一个x0,使m>f(x0)成立.【解析】(1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),
即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可.
故存在实数m使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时需m>-4.(2)不等式m-f(x)>0可化为m>f(x).若存在一个实数x0使不等式m>f(x0)成立,只需m>f(x)min.
又f(x)=(x-1)2+4,所以f(x)min=4,所以m>4.
所以所求实数m的取值范围是(4,+∞). 【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结课件43张PPT。1.4.3
含有一个量词的命题的否定主题1 含有一个量词的全称命题的否定
下列各命题是全称命题还是特称命题?你能写出它们的否定吗?
(1)所有矩形都是平行四边形.
(2)每一个素数都是奇数.
(3)?x∈R,x2-2x+1≥0.提示:它们都是全称命题.命题(1)的否定是“存在一个矩形不是平行四边形”;命题(2)的否定是“存在一个素数不是奇数”;命题(3)的否定为:?x0∈R, x02-2x0+1<0.结论:全称命题的否定
1.文字语言:
全称命题的否定变成了_________,?变为?,“全” “都”“等于”等前面加上_______.特称命题“不”2.符号语言:
?x∈M,p(x)的否定为:_______________.
结论:_________________________.?x0∈M,﹁p(x0)全称命题的否定是特称命题【微思考】
1.用自然语言描述的全称命题的否定形式唯一吗?
提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形”.2.含有一个量词的全称命题的否定与原命题真假性有什么关系?
提示:真假性正好相反.主题2 含有一个量词的特称命题的否定
下列各命题是全称命题还是特称命题?你能写出它们的否定吗?
(1)有些实数的绝对值是正数.
(2)某些平行四边形是菱形.
(3)?x0∈R, x02+1<0.提示:它们是特称命题.其中(1)的否定为:所有实数的绝对值都不是正数,(2)的否定是“每一个平行四边形都不是菱形”,(3)的否定是“?x∈R,x2+1≥0”.结论:特称命题的否定
1.文字语言:
特称命题的否定变成了_________,?变为?,“是” “等”“含”等前面加_______.
2.符号语言:
?x0∈M,p(x0)的否定为_______________.全称命题“不”?x∈M, ﹁p(x)【微思考】
命题的否定和否命题有何区别?
提示:命题的否定是只对结论全盘否定,而否命题既否定条件又否定结论.【预习自测】
1.命题“?x∈R,x2≠x”的否定是 ( )
A.?x?R,x2≠x B.?x∈R,x2=x
C.?x0?R, x02≠x0 D.?x0∈R, x02=x0【解析】选D.全称命题的否定为特称命题:?x0∈R, x02=x0.2.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定
是 ( )
A.所有不能被2整除的整数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】选D.原命题为全称命题,其否定应为特称命题,且结论否定.3.命题“?x∈R,x2+x+1>0”的否定是________.
【解析】此命题为全称命题,其否定是特称命题,把“?”改为“?”,然后把x2+x+1>0进行否定.
答案:?x0∈R, x02+x0+1≤04.命题p:?x0∈R, x02+2x0+5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”),它是________命题(填“真”或“假”),它的否定为:________.【解析】命题p:?x0∈R, x02+2x0+5<0是特称命题.因为x2+2x+5=(x+1)2+4>0恒成立,
所以命题p为假命题.
命题p的否定为:?x∈R,x2+2x+5≥0.
答案:特称命题 假 ?x∈R,x2+2x+5≥0.
类型一 全称命题的否定及其真假判断
【典例1】(1)(2016·浙江高考)命题“?x∈R,?n
∈N*,使得n≥x2”的否定形式是 ( )
A.?x∈R,?n∈N*,使得nB.?x∈R,?n∈N*,使得nC.?x∈R,?n∈N*,使得nD.?x∈R,?n∈N*,使得n①p:一切分数都是有理数;
②q:直线l垂直于平面α,则对任意l′?α,l⊥l′;
③s:?x∈R,2x+4≥0;
④p:不论m取何实数,方程x2+2x-m=0都有实数根.【解题指南】(1)根据量词的否定判断.
(2)先找到量词与结论,对所给的命题进行否定,再判断真假.【解析】(1)选D.?的否定是?,?的否定是?,n≥x2的否定是n(2)①﹁p:有些分数不是有理数.假命题;
②﹁q:直线l垂直于平面α,则?l′?α,l与l′不垂直,假命题;
③﹁s:?x0∈R,2x0+4<0.真命题;④﹁p:存在实数m0,使得方程x2+2x-m0=0没有实数根.真命题.
【方法总结】
1.全称命题否定的两个关键
(1)看格式:写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.(2)看含义:有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定写成“是”或“不是”.
2.全称命题与特称命题的关系
全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,而特称命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外,两者正好构成了相反意义的表述,所以全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.【巩固训练】
已知命题p:任意x∈R,sinx≤1,则它的否定是 ( )
A.存在x0∈R,sinx0≥1
B.任意x∈R,sinx≥1
C.存在x0∈R,sinx0>1
D.任意x∈R,sinx>1【解析】选C.因为命题“任意x∈R,sinx≤1”为全称命题,所以它的否定为“存在x0∈R,sinx0>1”.【补偿训练】写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)任意n∈Z,则n∈Q.
(2)等圆的面积相等,周长相等.
(3)偶数,其平方是正数.【解析】(1)存在n0∈Z,使n0?Q,这是假命题.
(2)存在等圆,其面积不相等或周长不相等,这是假命题.
(3)存在偶数,其平方不是正数,这是真命题.类型二 特称命题的否定及其真假判断
【典例2】(1)(2017·青岛高二检测)命题“?x0∈R,使得f(x0)=x0”的否定是 ( )
A.?x∈R,都有f(x)=x
B.不存在x∈R,使得f(x)≠x
C.?x∈R,都有f(x)≠x
D.?x0∈R,使得f(x0)≠x0(2)写出下列命题的否定,并判断其真假.
①至少有一个实数x0,使得x02+2x0+5=0.
②存在一个平行四边形,它的对角线互相垂直.
③存在一个三角形,它的内角和大于180°.
④存在偶函数为单调函数.【解题指南】根据已知特称命题,首先把存在量词改写为全称量词,然后再把结论写成否定的形式.【解析】(1)选C.命题的否定为?x∈R,都有f(x)≠x.
(2)①命题的否定是:对任意x∈R,都有x2+2x+5≠0,是真命题.
②命题的否定是:对于任意的平行四边形,它的对角线都不互相垂直,是假命题.③命题的否定是:对于任意的三角形,它的内角和小于或等于180°,是真命题.
④命题的否定是:所有的偶函数都不是单调函数,是真命题.
【延伸探究】
1.若将本例(2)①中的“至少有一个”用“至少有两个”替换,写出它的命题的否定.
【解析】因为“至少有两个”的否定是“至多有一个”,所以它的否定是:“至多有一个实数x0,使得x02+2x0+5≠0”.2.若将本例(2)①命题中的“x02+2x0+5=0”改为“x02+
ax0+5=0”,且该命题的否定为假命题,求实数a的取值
范围.
【解析】由题意得,原命题为真命题,所以有Δ=a2-
4×5≥0,解得a≥2 或a≤-2 .【方法总结】特称命题否定的方法及关注点
(1)方法:与全称命题的否定的写法类似,要写出特称命题的否定,先确定它的存在量词,再确定结论,然后把存在量词改写为全称量词,对结论作出否定就得到特称命题的否定.(2)关注点:注意对不同的存在量词的否定的写法.例如,“存在”的否定是“任意的”,“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等.
提醒:不要把命题的否定和否命题混为一谈.【拓展延伸】对省略量词的命题的否定
对于一个含有量词的命题,容易知道它是全称命题或特称命题,可以直接写出其否定.而对省略量词的命题在写命题的否定时,应首先根据命题中所叙述的对象的特征,挖掘其隐含的量词,确定是全称命题还是特称命题,先写成全称命题或特称命题的形式,再对其进行否定.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(2)两种命题间的互相转化体现了特殊与一般的转化思想.