课件59张PPT。第二章 圆锥曲线与方程
2.1 椭 圆
2.1.1 椭圆及其标准方程主题1 椭圆的定义
1.将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面内的两个定点F1,F2上,用笔尖将细绳拉紧并运动,在纸上能得到怎样的图形?
提示:得到一个椭圆.2.在椭圆的形成过程中,有哪些不变的量?
提示:细绳的长度不变,即动点到两定点的距离和不变.结论:椭圆的定义
把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于_____
(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这_________叫做
椭圆的焦点,_______________叫做椭圆的焦距.常数两个定点两焦点间的距离【微思考】
1.当动点P与两定点F1,F2的距离和满足|PF1|+|PF2|=
|F1F2|时,点P的轨迹是什么?提示:如图,当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,点P在线段F1F2上,所以点P的轨迹是线段F1F2.2.判断一个点的轨迹是否是椭圆,应该满足什么条件?
提示:需满足两个条件:一是该点到两个定点的距离的和是常数,二是该常数要大于两定点间的距离.主题2 椭圆的标准方程
1.根据椭圆的几何特征,如何建立坐标系求椭圆的方程?
提示:以两定点F1,F2所在的直线为x轴,F1F2的中点为坐标原点建立坐标系,然后按照求轨迹方程直接法的步骤求出椭圆方程.2.在推导椭圆的标准方程的过程中,如何处理等式中的两个根式?
提示:将其中一个根式移到另一端,两边平方然后再次平方即可.结论:椭圆的标准方程(0,-c),(0,c)【微思考】
椭圆的标准方程中,参数a,b(a>b>0)与c满足的关系
能否用图表示?方程 =1与 =1有何不同?提示:a表示椭圆上的点到两焦点距离和的一半,a,b,c的关系如图.当a>b>0时,方程 =1表示焦点在x轴上的椭圆,
方程 =1表示焦点在y轴上的椭圆,即焦点在
哪个轴上相应的那个项的分母就大.【预习自测】
1.在椭圆的标准方程中,a=6,b= ,则椭圆的标准
方程是 ( )【解析】选D.因为题中给出的条件不能确定椭圆的焦点所在的坐标轴,所以椭圆的方程应有两种形式.2.平面内一动点M到两定点F1,F2距离之和为常数2a,则点M的轨迹为 ( )
A.椭圆 B.圆
C.无轨迹 D.椭圆或线段或无轨迹
【解析】选D.当2a>|F1F2|时,轨迹为椭圆;当2a=|F1F2|时,轨迹为线段;当2a<|F1F2|时,轨迹不存在.3.已知椭圆 =1的一个焦点为(2,0),则椭圆的
方程是 ( )【解析】选D.由题意知,椭圆焦点在x轴上,且c=2,
所以a2=2+4=6,因此椭圆方程为 4.已知 =1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围为__________.
【解析】由题意知0
答案:(-4,0)∪(0,4)类型一 椭圆的定义
【典例1】(1)下列说法正确的是 ( )
A.已知F1(-4,0),F2(4,0),到两点F1,F2的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆
B.已知F1(-4,0),F2(4,0),到两点F1,F2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C.到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于从点(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D.到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆(2)椭圆 上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为________.【解题指南】(1)根据椭圆的定义进行验证.
(2)由椭圆的方程求出a,再利用椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a求解.【解析】(1)选C.选项A中虽满足到两定点的距离之和
大于8,但未指明到两定点距离之和是常数,故轨迹不是
椭圆;选项B中这样的点的轨迹不存在;选项C中点(5,3)
到F1,F2的距离之和为4 >|F1F2|,适合该条件的点的
轨迹是椭圆;选项D中点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.(2)由椭圆方程 知:a=5,设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,令|PF1|=5,由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=10.所以|PF2|=5.
答案:5【方法总结】椭圆定义的双向运用
(1)判断:符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆.
(2)求值:椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a.【巩固训练】若F1,F2是两个定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则点M的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
【解析】选A.因为|MF1|+|MF2|=8,|F1F2|=6,所以点M的轨迹是椭圆.【补偿训练】椭圆 上的一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于________.【解析】设椭圆的右焦点为F2,则由|MF1|+|MF2|=10,
知|MF2|=10-2=8.
又因为点O为F1F2的中点,点N为MF1的中点,
所以|ON|= |MF2|=4.
答案:4类型二 定义法求椭圆的标准方程
【典例2】已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程.【解题指南】根据两圆内切的特点,得出|PA|+|PB|=10,根据A,B点的坐标,可以判定点P的轨迹方程是以A,B为焦点的椭圆,这就把求点P的轨迹方程的问题转化成了求a2,b2的问题.【解析】设圆P的半径为r,
又圆P过点B,所以|PB|=r,
又因为圆P与圆A内切,圆A的半径为10.
所以两圆的圆心距|PA|=10-r,
即|PA|+|PB|=10(大于|AB|).所以点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.
所以2a=10,2c=|AB|=6,
所以a=5,c=3.
所以b2=a2-c2=25-9=16.
即点P的轨迹方程为 【延伸探究】典例中条件改为已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆B:(x-3)2+y2=4,圆P与圆A内切,与圆B外切,求圆心P的轨迹方程.【解析】设圆P的半径为r,则
所以|PA|+|PB|=12>6=|AB|,
故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且
所以a=6,b2=27,
所以点P的轨迹方程是 =1.【方法总结】定义法求椭圆的标准方程
(1)先根据动点具有的条件,验证是否符合椭圆的定义,即动点到两定点距离之和是否是一常数,且该常数(定值)大于两定点间的距离.
(2)若符合,则动点的轨迹为椭圆,且两定点间的距离为焦距2c,距离之和是常数2a.从而可以确定椭圆的方程.【拓展延伸】定义法是求轨迹方程的一种常用方法.求解时,若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程.【巩固训练】如图,圆C:(x+1)2+y2=16及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于M,求点M的轨迹方程.【解析】由垂直平分线性质可知|MQ|=|MA|,
所以|CM|+|MA|=|CM|+|MQ|=|CQ|.所以|CM|+|MA|=4.
又因为|AC|=2,所以M点轨迹为椭圆.
由椭圆的定义知:a=2,c=1,
所以b2=a2-c2=3.
所以所求轨迹方程为: =1.类型三 待定系数法求椭圆的标准方程
【典例3】求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆
经过点(5,0).
(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0).
(3)经过点A( ,-2)和点B(-2 ,1).【解题指南】根据条件设出椭圆的标准方程,代入已知点确定椭圆的系数.【解析】(1)由于椭圆的焦点在x轴上,
所以设它的标准方程为 (a>b>0).
因为2a= =10,所以a=5.
又c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9.
故所求椭圆的标准方程为 (2)由于椭圆的焦点在y轴上,
所以设它的标准方程为 (a>b>0).
由于椭圆经过点(0,2)和(1,0),
所以
故所求椭圆的标准方程为 +x2=1.(3)方法一:①当焦点在x轴上时,
设椭圆的标准方程为 (a>b>0).
依题意有
故所求椭圆的标准方程为 ②当焦点在y轴上时,
设椭圆的标准方程为 (a>b>0).
依题意有
因为a>b>0,所以无解.
所以所求椭圆的标准方程为 方法二:设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
依题意有 解得
所以所求椭圆的标准方程为 【方法总结】待定系数法的应用策略
(1)确定曲线的方程时,若能明确方程的形式,则可设出曲线方程,建立含参数的等式,求出参数的值,再代入所设方程.
(2)由于椭圆Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)包含焦点在x轴上(AB)两类情况.因此,方法二的处理避免了分类讨论,达到了简化运算的目的.【巩固训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过两点
(2)过点( ),且与椭圆 =1有相同的焦点.【解析】(1)方法一:若焦点在x轴上,设椭圆的
标准方程为 =1(a>b>0).
由已知条件得
所以所求椭圆的标准方程为 若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为
=1(a>b>0).
由已知条件得
即a2=4,b2=8,则a2b>0矛盾,舍去.
综上,所求椭圆的标准方程为 方法二:设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,
A≠B).将两点 代入,
所以所求椭圆的标准方程为 (2)因为所求椭圆与椭圆 =1的焦点相同,
所以其焦点在y轴上,且c2=25-9=16.设它的标准方程为 =1(a>b>0).
因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16.①
又点( )在椭圆上,所以
即 =1, ②
由①②得b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为
=1.【补偿训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在x轴上,且a=4,c=2.
(2)经过点A(0,2)和B 【解析】(1)a2=16,c2=4,所以b2=16-4=12,
且焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为 (2)设所求椭圆的标准方程为
Mx2+Ny2=1(M>0,N>0,M≠N).
因为椭圆经过A(0,2)和B 两点,
所以
所以所求椭圆方程为x2+ =1.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
椭圆标准方程的求法
(1)待定系数法:即通过设出标准方程,然后依条件确定待定的系数a,b.
(2)相关点法(代入法):即先找到动点的相关点,然后通过相关点的轨迹方程,确定动点的轨迹方程.课件64张PPT。2.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质主题1 椭圆的范围、对称性、顶点
1.观察下列图形,回答以下几个问题:(1)已知椭圆方程讨论椭圆性质时,首先要关注椭圆的方程要满足什么形式?
提示:先看椭圆方程是否是标准形式,若不是标准形式要先化成标准形式.(2)观察椭圆 =1(a>b>0)的形状,你能从图上看出横坐标x,纵坐标y的范围吗?
提示:由 得:-a≤x≤a,-b≤y≤b.2.观察焦点分别在x轴和y轴的两椭圆,探究下列问题,明确椭圆的几何特征.(1)对比焦点分别在x轴和y轴的两椭圆的图形,长轴、短轴有何不同点与相同点.
提示:相同点:两图长轴长与短轴长分别相等;
不同点:长轴与短轴所在位置不同.(2)椭圆中心与焦点、对称轴间有哪些关系?
提示:椭圆的中心是焦点连线的中点,对称轴是焦点连线所在直线及其中垂线.(3)若要画一个椭圆的草图,需先确定哪些量才能画出椭圆草图?
提示:首先确定椭圆的范围,可利用椭圆的四个顶点及焦点位置用弧线画出椭圆的草图.结论:椭圆的简单几何性质-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤aA1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)2b2a2c坐标轴原点【微思考】
在椭圆的上述性质中,哪些是与位置无关的?哪些是与位置有关的?
提示:与位置无关的,如长轴长、短轴长、焦距;与位置有关的,如顶点坐标、焦点坐标等.主题2 椭圆的离心率
观察不同的椭圆,我们会发现,椭圆的扁平程度不一.
对于椭圆 =1(a>b>0),其扁平程度取决于什么?提示:椭圆的扁平程度,在长轴长不变的前提下,取决于两焦点离开中心的程度,即离开中心越远,椭圆越扁,反之,越圆.结论:椭圆的离心率
(1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比___叫做椭圆的
_______.
(2)性质:离心率e的范围是______.当e越接近1时,
椭圆_____;当e越接近于__时,椭圆就越接近于圆.离心率(0,1)越扁0【微思考】
能否用a和b表示椭圆的离心率e?
提示:可以,由于e= ,又c=
故e= 【预习自测】
1.椭圆 =1的长轴长为 ( )
A.81 B.9 C.18 D.45
【解析】选C.由标准方程知a=9,故长轴长2a=18.2.椭圆 具有相同的( )
A.顶点 B.离心率
C.长轴 D.短轴【解析】选B.椭圆 =1的离心率e1=
椭圆 的离心率e2= 3.椭圆 =1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,
左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等
比数列,则此椭圆的离心率为 ( )【解析】选B.因为|AF1|=a-c,|F1B|=a+c,|F1F2|=2c,
又|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,所以|F1F2|2=
|AF1||F1B|,即4c2=(a-c)(a+c),从而a2=5c2,
所以e2= ,所以e= .4.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2 ,0),
且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程
是______________.【解析】已知
答案: 类型一 椭圆的简单几何性质
【典例1】(1)(2017·温州高二检测)平面内有一长度为4的线段AB,动点P满足|PA|+|PB|=6,则|PA|的取值范围是 ( )
A.[1,5] B.[1,6] C.[2,5] D.[2,6](2)若点O和点F分别为椭圆 =1的中心和左
焦点,点P为椭圆上的任意一点,则 的最大值
为________.【解题指南】(1)由已知可得动点P的轨迹为椭圆,根据椭圆的几何性质可求解.
(2)设P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出.【解析】(1)选A.由题意知点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,所以当点P与A是同侧顶点时,|PA|的最小值是3-2=1,当点P是与A异侧的顶点时,|PA|的最大值是3+2=5.(2)由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有
解得
因为 =(x0+1,y0), =(x0,y0),所以
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,
因为-2≤x0≤2,
所以当x0=2时, 取得最大值 +2+3=6.
答案:6【方法总结】椭圆几何性质的四个作用
(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置.
(2)椭圆的顶点决定椭圆的大小.
(3)椭圆的离心率决定了椭圆的扁平程度.(4)对称性是椭圆的重要特征,顶点是椭圆与对称轴的交点,是椭圆重要的特殊点;若已知椭圆的标准方程,则根据a,b的值可确定其性质.【巩固训练】已知椭圆 =1与椭圆 =1
有相同的长轴,椭圆 =1的短轴长与椭圆
=1的短轴长相等,则 ( )A.a2=25,b2=16
B.a2=9,b2=25
C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25
D.a2=25,b2=9【解析】选D.利用待定系数法.因为椭圆 =1
的长轴长为10,焦点在x轴上,椭圆 =1的短轴长
为6,所以a2=25,b2=9.【补偿训练】已知椭圆C: +y2=1的两焦点为F1,F2,
点P(x0,y0)满足0< + <1,则|PF1|+|PF2|的取值
范围为________.【解析】由于0< + <1,所以点P(x0,y0)在椭圆
+y2=1内部,且不能与原点重合.
根据椭圆的定义和几何性质知,|PF1|+|PF2|<2a=2 ,
且|PF1|+|PF2|的最小值为点P落在线段F1F2上,
此时|PF1|+|PF2|=2.
故|PF1|+|PF2|的取值范围是[2,2 ).
答案:[2,2 )类型二 利用几何性质求椭圆的标准方程
【典例2】中心在原点,焦点在x轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,求此椭圆的方程.【解题指南】根据已知条件,确定椭圆的基本量a,b,c,再确定椭圆方程.
【解析】由已知得2a=18,2c=6,所以a=9,c=3.从而
b2=a2-c2=72,又焦点在x轴上,所以所求椭圆的方程
为 【延伸探究】典例中去掉条件“焦点在x轴上”,
椭圆的方程应该是什么?
【解析】因为焦点位置还可能在y轴上,所以椭圆
方程有两个,分别是 【方法总结】利用性质求椭圆方程的方法与步骤
(1)方法:利用椭圆的几何性质求标准方程,通常采用待定系数法.
(2)步骤:①确定焦点位置;
②根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求得参数.【巩固训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6).
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6.【解析】(1)设椭圆的标准方程为 =1(a>b>0)
或 =1(a>b>0).
由已知a=2b①且椭圆过点(2,-6),
从而有
由①②,得a2=148,b2=37或a2=52,b2=13.
故所求的椭圆的标准方程为 (2)由题意,得△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且OF=c,A1A2=2b,
所以c=b=3,所以a2=b2+c2=18.
故所求椭圆的标准方程为 【补偿训练】求适合下列条件的椭圆方程.
(1)经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2
在x轴上,离心率为 .
(2)对称轴为坐标轴,经过点P(-6,0)和Q(0,8).【解析】(1)由题意,设椭圆方程为 =1(a>b>0),
由e= 得,a=2c,b2=3c2,所以 =1(*).
又A(2,3)在(*)上,故c2=4,
所以 =1即为所求.(2)由椭圆的几何性质可知,
椭圆的长轴、短轴分别在y轴和x轴上,且a=8,b=6,
所以所求标准方程为 类型三 椭圆的离心率的求法及应用
【典例3】(1)(2016·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点,F是
椭圆C: =1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、
右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段
PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,
则C的离心率为 ( )(2)从椭圆 =1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),求该椭圆的离心率.【解题指南】(1)点M是直线AE和直线BM的交点,点M的横坐标和左焦点相同,进而找到a,b,c的联系.
(2)利用AB∥OP建立关于a,b,c的齐次等式求解.【解析】(1)选A.由题意可知直线AE的斜率存在,设
为k,直线AE的方程为y=k(x+a),令x=0可得点E坐标为
(0,ka),所以OE的中点H坐标为 又右顶点B(a,0),
所以可得直线BM的斜率为- ,可设其方程为
y=- x+ a,联立 可得点M横坐标为- ,
又点M的横坐标和左焦点相同,所以- =-c,所以e= .(2)由题意设P(-c,y0),将P(-c,y0)代入
得 =1,则
所以y0= 或y0= (舍去),所以 所以kOP= 因为A(a,0),B(0,b),
所以kAB=
又因为AB∥OP,所以kAB=kOP,所以 所以b=c.
所以 【方法总结】求椭圆的离心率的两种常见思路
一是先求a,c,再计算e;
二是依据条件中的关系,结合有关知识和a,b,c的关系,构造关于e的方程,再求解.注意e的范围:01.焦半径公式:设P(x0,y0)为椭圆方程 =1
(a>b>0)上任意一点,左、右两焦点分别为F1,F2,则:|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0.2.椭圆的第二定义:
当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比
是常数e= (0圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e是椭圆的离心
率.对于椭圆 (a>b>0),对应焦点F(c,0)的准线
方程是x= .根据对称性,对应焦点F′(-c,0)的准
线方程是x=- .对于椭圆 =1的准线方程是
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比,这就是离心率的几何意义.【巩固训练】过椭圆 =1(a>b>0)的左焦点F1作
x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,
则椭圆的离心率为 ( )【解析】选B.方法一:将x=-c代入椭圆方程可解得点
P ,故|PF1|= ,又在Rt△F1PF2中,
∠F1PF2=60°,
所以|PF2|= ,根据椭圆定义得 =2a,
从而可得e= 方法二:设|F1F2|=2c,则在Rt△F1PF2中,
|PF1|= c,|PF2|= c.
所以|PF1|+|PF2|=2 c=2a,离心率e= 【补偿训练】如图所示,A,B,C分别为椭圆 =1
(a>b>0)的顶点与焦点,若∠ABC=90°,则该椭圆的
离心率为 ( )【解析】选A.由(a+c)2=a2+2b2+c2,
又因为b2=a2-c2,所以c2+ac-a2=0.
因为e= 所以e2+e-1=0,所以 【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
利用性质画椭圆草图的方法
(1)定位:依焦点.
(2)定形:依四个顶点或a,b的值.课件47张PPT。第2课时
椭圆方程及性质的应用类型一 直线与椭圆的位置关系
【典例1】对不同的实数值m,讨论直线y=x+m与椭圆
+y2=1的位置关系.
【解题指南】联立两个方程?消去y得到关于x的二次方程?求Δ?讨论Δ得结论【解析】联立方程组得: 将①代入②得:
+(x+m)2=1,
整理得:5x2+8mx+4m2-4=0.③
Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2).当Δ>0,即- 代入①可得两个公共点的坐标,此时直线与椭圆相交;
当Δ=0,即m=± 时,方程③有两个相等的实数根,代
入①得一个公共点的坐标,此时直线与椭圆相切;Δ<0
时,即m<- 或m> ,方程③无实根,直线与椭圆相离.【延伸探究】若把本例中直线方程改为“y=2x+m”,
椭圆方程改为 =1,试讨论直线与椭圆的位置关系.【解析】联立方程组得:
将①代入②,并整理得
9x2+8mx+2m2-4=0,③
Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.(1)由Δ>0,得- 也就是当- 方程③有两个不相等的实数根,可知原方程组有两个不同的实数解,
这时直线与椭圆有两个不同的公共点,即直线与椭圆相交.(2)由Δ=0,得m=± ,也就是当m=± 时,方程③有两个相等的实数根,可知原方程组有两个相同的实数解,这时直线与椭圆有且只有一个公共点,即直线与椭圆相切.(3)由Δ<0,得m<- 或m> ,
也就是当m<- 或m> 时,方程③没有实数根,
可知方程组没有实数解,这时直线与椭圆没有公共点,
即直线和椭圆相离.【方法总结】直线与椭圆位置关系的判定方法
(1)将直线方程与椭圆的方程联立,消去一个未知数y(或x),得到关于x(或y)的一个一元二次方程.
(2)利用一元二次方程根的判别式Δ,根据Δ>0,Δ<0还是Δ=0即可判断方程组解的个数,从而得出直线与椭圆的交点情况.【巩固训练】若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆
=1总有公共点,求m的取值范围.【解析】由
消去y,整理得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0,
所以Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)
=20m(5k2+m-1),
因为直线与椭圆总有公共点,所以Δ≥0对任意k∈R都成立,
因为m>0,所以5k2≥1-m恒成立,
所以1-m≤0,即m≥1.
又因为椭圆的焦点在x轴上,
所以0【典例2】(2017·泉州高二检测)已知斜率为2的
直线l经过椭圆 =1的右焦点F1,与椭圆相交于
A,B两点,求弦AB的长.【解题指南】可先求出A,B两点坐标,再转化为两点间的距离问题;也可以利用弦长公式求解.【解析】方法一:因为直线l过椭圆
=1的右焦点F1(1,0),
且直线的斜率为2,所以直线l的方程为y=2(x-1),
即2x-y-2=0.
由方程组 得交点为(0,-2),
所以|AB|= 方法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程组
消去y得3x2-5x=0,因为Δ=(-5)2=25>0,
则x1+x2= x1·x2=0.方法三:由方程组 消去x得
3y2+2y-8=0,
因为Δ=22+4×3×8=100>0,
则y1+y2=- ,y1y2=- .【方法总结】直线被椭圆截得的弦长的求法思路
(1)求两交点坐标,转化为两点间距离.
(2)用公式来求.
设直线斜率为k,直线与椭圆两交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= ·|x1-x2|
= ·|y1-y2|.提醒:在解决直线与椭圆相交问题时,一般要消元化为一元二次方程,常用根与系数的关系,此时易忽视对所化一元二次方程判断判别式大于0.【巩固训练】椭圆 =1(a>b>0)的离心率为
且椭圆与直线x+2y+8=0相交于P,Q,且|PQ|=
求椭圆的方程.【解析】因为e= ,所以b2= a2.
所以椭圆的方程为x2+4y2=a2.
与x+2y+8=0联立消去y,得2x2+16x+64-a2=0,
由Δ>0,得a2>32,由弦长公式得10= ×[64-2(64-a2)].
所以a2=36,b2=9.
所以椭圆的方程为 【补偿训练】已知斜率为1的直线l过椭圆 +y2=1的右焦点F,交椭圆于A,B两点,求弦AB的长.【解析】设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
由椭圆方程知a2=4,b2=1,所以c=
所以F( ,0),所以直线l的方程为y=x- ,
将其代入椭圆方程,并化简、整理得5x2-8 x+8=0,所以
所以类型三 与椭圆相关的中点弦问题
【典例3】过椭圆 =1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分,求此弦所在的直线方程.【解题指南】可以设出所求直线方程,然后代入椭圆方程,消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解;也可以考虑利用点差法求解.【解析】方法一:由题意知过点M的弦所在直线的斜
率存在,设为k,则所求直线方程为y-1=k(x-2).
代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+
4(2k-1)2-16=0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程的两个根,
于是x1+x2=
又M为AB的中点,所以
解得k=- .故所求直线的方程为x+2y-4=0.方法二:设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
易知x1≠x2.
又M(2,1)为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=2.
又A,B两点在椭圆上,则x12＋4y12=16，x22＋4y22=16.
两式相减得(x12-x22)＋4(y12-y22)=0.于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.
所以 即kAB=- .
又直线AB过点M(2,1),
故所求直线的方程为x+2y-4=0.【方法总结】解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点
坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和
斜率的关系,具体如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆
=1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段
AB的中点,则 【巩固训练】(2017·宝鸡高二检测)已知椭圆
x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为 ( )【解析】选C.易知该弦所在直线的斜率存在.
由题意可设y-1=k(x-1),所以y=kx+1-k.
代入椭圆方程,得x2+2(kx+1-k)2=4.
所以(2k2+1)x2+4k(1-k)x+2(1-k)2-4=0.由x1+x2= =2,得k=- ,所以x1x2= .
所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4-
所以|AB|= 【补偿训练】(2017·武汉高二检测)已知过点
A(-1,1)的直线l与椭圆 =1交于点B,C,当直线l
绕点A(-1,1)旋转时,求弦BC中点M的轨迹方程.【解析】设直线l与椭圆的交点B(x1,y1),C(x2,y2),
弦BC中点M(x,y),则
①-②,得
所以(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.③当x1≠x2时,
所以③式可化为(x1+x2)+2(y1+y2)· =0.
所以2x+2·2y· =0,化简得x2+2y2+x-2y=0.
当x1=x2时,因为点M(x,y)是线段BC中点,所以x=-1,y=0,显然适合上式.
综上所述,所求弦BC中点M的轨迹方程是x2+2y2+x-2y=0.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
解决直线与椭圆综合问题的常用方法
(1)判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法.
(2)解决弦长问题,一般应用弦长公式.
(3)解决弦中点问题常用点差法.课件62张PPT。2.2 双 曲 线
2.2.1 双曲线及其标准方程 主题1 双曲线的定义
1.取一条拉链,拉开一部分,然后固定拉后的两边,让一边长另一边短,用笔尖放在拉链处,随着拉链拉开的过程,笔尖画出的是什么曲线?
提示:是两支曲线,若左边短右边长,画出的是左支,若右边短左边长,画出的是右支.2.在画出双支曲线(双曲线)的过程中有哪些不变的量?
提示:两边的长度差不变,即动点到两定点的距离差不变.结论:双曲线的定义:
平面内与两个定点F1,F2的_________________等于
_________(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,
_________叫做双曲线的焦点,_______________叫做
双曲线的焦距.距离的差的绝对值非零常数两个定点两焦点间的距离【微思考】
双曲线的定义中规定“距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)”,若括号中条件不满足,会是什么结果?
提示:若常数等于|F1F2|,则轨迹为以F1,F2为端点的两条射线;若常数大于|F1F2|,则轨迹不存在.主题2 双曲线的标准方程
1.根据双曲线的几何特征,如何建立坐标系求双曲线的方程?
提示:选择x轴(或y轴)经过两个定点F1,F2,并且使坐标原点为线段F1F2的中点,然后按求轨迹方程的直接法的步骤,求出双曲线的方程.2.若以两焦点F1,F2所在直线为x轴,以线段F1F2的垂直平分线所在直线为y轴建立坐标系,则此时双曲线上任一点M满足的条件是什么?
提示:根据双曲线的定义知满足条件||MF1|-|MF2||
=2a(a为定长).结论:双曲线的标准方程
焦点在x轴上:___________ (a>0,b>0)
焦点在y轴上: __________ (a>0,b>0)
a,b,c的关系:c2=_____a2+b2【微思考】
1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是什么?
提示:确定参数a,b的值.2.求双曲线的标准方程时,设双曲线方程的关键是什么?
提示:关键是先确定焦点的位置,若双曲线的焦点位置不能确定,要分别写出焦点在x轴、y轴上的双曲线的标准方程,不能遗漏.【预习自测】
1.动点P到点M(1,0),N(-1,0)的距离之差的绝对值为2,则点P的轨迹是 ( )
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.两条射线 D.一条射线【解析】选C.因为||PM|-|PN||=2=|MN|,
所以点P的轨迹是两条射线.2.若方程 表示焦点在y轴上的双曲线,则m的取值范围是 ( )
A.12
C.m<-2 D.-2【解析】选C.由 得m<-2.3.已知双曲线 =1上一点P到双曲线的一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为________.【解析】设双曲线的两个焦点为F1,F2,
|PF1|=3,所以P在靠近F1的一支上.
因为|PF2|=|PF1|+2a=3+6=9.
所以P到另一个焦点的距离为9.
答案:94.双曲线焦点在x轴上,c= 且经过点(-5,2),求双曲线的标准方程.(仿照教材例1的解析过程)【解析】设双曲线方程为 =1(a>0,b>0),
由题意得,
解得a2=5,b2=1,故所求双曲线方程为 类型一 求双曲线的标准方程
【典例1】(1)(2017·嘉兴高二检测)已知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(0,-5),F2(0,5),双曲线上一点P到F1,F2的距离之差的绝对值等于6.则双曲线的标准方程为________.(2)动圆M与☉C:(x+2)2+y2=2内切,且过点A(2,0),求圆心M的轨迹方程.【解题指南】(1)由题意知焦点在y轴上,设出标准方程利用待定系数法求解.
(2)利用两圆内切和圆过定点,可以得到点M满足的条件,进而判断符合双曲线的定义.【解析】(1)因为双曲线的焦点在y轴上,
所以设它的标准方程为 =1(a>0,b>0).
因为2a=6,2c=10,所以a=3,c=5.
所以b2=52-32=16.
所以所求双曲线的标准方程为
答案: (2)设动圆M的半径为r,因为☉C与☉M内切,点A在☉C外,
所以|MC|=r- ,|MA|=r,因此有|MA|-|MC|= ,所以
点M的轨迹是以C,A为焦点的双曲线的左支,即M的轨迹
方程是 【延伸探究】本例(2)中条件改为动圆M与☉C1:(x+3)2+y2=9外切,且与☉C2:(x-3)2+y2=1内切,求圆心M的轨迹方程.【解析】设☉M的半径为r.因为☉M与☉C1外切,且☉M
与☉C2内切,所以|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,因此|MC1|-
|MC2|=4,所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的
右支,所以M的轨迹方程是 =1(x≥2). 【方法总结】
1.待定系数法求方程的步骤
(1)定型:即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程:根据焦点位置设出相应的标准方程的形式,
①若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双曲线的方
程为Ax2+By2=1(AB<0);
②与双曲线 =1(a>0,b>0)共焦点的双曲线的
标准方程可设为 =1(-b2<λ(4)结论:写出双曲线的标准方程.2.定义法求双曲线方程的步骤
(1)列出动点满足的条件.
(2)整理化简条件式,若满足动点到两定点的距离的差(或差的绝对值)是常数(小于两定点间的距离),则可以判定动点的轨迹是双曲线的一支(或完整的双曲线).(3)利用两定点间的距离和常数,可以求出a,c,进而得系数b,可以写出标准方程.【巩固训练】1.(2017·济南高二检测)设F1,F2是双
曲线的两个焦点,Q是双曲线上任一点,从某一焦点
引∠F1QF2的平分线的垂线,垂足是P,则点P的轨迹
为 ( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线【解析】选A.如图所示,点Q在双曲线的右支上,
有|QF1|-|QF2|=2a. ①
延长F1P,QF2交于L.
因为∠F1QP=∠LQP,QP⊥F1P,
所以|F1Q|=|QL|,代入①,则|QL|-|QF2|=2a,
即|F2L|=2a.取线段F1F2的中点O,则由P是F1L中点有:
|PO|= |F2L|= ·2a=a.
所以P的轨迹是以O为圆心,以a为半径的圆.2.根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)双曲线的中心在原点,焦点在y轴上,且经过点
(0,2)与( ).
(2)c= 经过点(-5,2),焦点在x轴上.【解析】(1)因为双曲线的中心在原点,焦点在y轴
上,所以可设双曲线的方程为 =1(a>0,b>0),
又双曲线经过点(0,2)与( ),
所以双曲线方程为 (2)因为焦点在x轴上,c=
所以设所求双曲线方程为 =1(其中0<λ<6).
因为双曲线经过点(-5,2),所以
所以λ=5或λ=30(舍去),
所以所求双曲线方程是 -y2=1.类型二 双曲线定义的应用
【典例2】已知双曲线 =1的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P使得∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.【解题指南】首先根据题目信息得到该双曲线中的
a,b,c的值且 |PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2.再由
||PF1|-|PF2||=2a结合余弦定理即可求出|PF1|-|PF2|.【解析】由已知得a=3,b=4,c= =5,
所以|F1F2|=2c=10,
||PF2|-|PF1||=2a=6.由余弦定理得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos60°. ①
又因为|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=36,
所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|,代入①式得
100=36+2|PF1|·|PF2|-|PF1|·|PF2|,
所以|PF1|·|PF2|=64,
所以 ·|PF1|·|PF2|·sin60°=16 .【方法总结】双曲线中的焦点三角形
双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,因|F1F2|=2c,所以有(1)定义:|r1-r2|=2a.
(2)余弦公式:4c2= -2r1r2cosθ.
(3)面积公式: r1r2sinθ.
一般地,在△PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺利解决.【巩固训练】设P为双曲线x2- =1上的一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|∶|PF2|=3∶2,则△PF1F2的面积为________.【解析】由已知得2a=2,
又由双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2,
又|PF1|∶|PF2|=3∶2,
所以|PF1|=6,|PF2|=4,
又|F1F2|=2c=由余弦定理得cos∠F1PF2=
所以△PF1F2为直角三角形,所以 ×6×4=12.
答案:12类型三 双曲线标准方程的应用
【典例3】(1)在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程的曲线是 ( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线(2)已知方程kx2+y2=4,其中k为实数,对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型.【解题指南】(1)把方程化为标准方程再确定曲线类型.
(2)解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的系数应满足的条件进行分类讨论.【解析】(1)选D.方程mx2-my2=n可化为:
因为mn<0,所以- >0,所以方程的曲线是焦点在y轴
上的双曲线.(2)①当k=0时,y=±2,表示两条与x轴平行的直线.
②当k=1时,方程为x2+y2=4,表示圆心在原点,半径为2
的圆.③当k<0时,方程为 =1,表示焦点在y轴上的
双曲线.
④当0椭圆.
⑤当k>1时,方程为 =1,表示焦点在y轴上的椭圆.【方法总结】双曲线标准方程的应用的关注点
(1)已知方程所代表的曲线,求参数的取值范围时,应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式,再根据方程中参数取值的要求,建立不等式(组)求解参数的取值范围.(2)牢记标准方程的特点.
①左端为两个平方项的差,右端为常数1.
②x2,y2的系数的正负决定焦点位置.
③a,b的大小关系不确定.【巩固训练】(2016·全国卷Ⅰ)已知方程
表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 ( )
A.(-1,3) B.(-1, )
C.(0,3) D.(0, )【解析】选A. =1表示双曲线,
则(m2+n)(3m2-n)>0,所以-m2由双曲线性质知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,
其中c是半焦距,所以焦距2c=2·2|m|=4,
解得|m|=1,所以-1 =1(t≠0,t≠±1).
(1)求t为何值时,曲线C分别为椭圆、双曲线.
(2)求证:不论t为何值,曲线C有相同的焦点.【解析】(1)当|t|>1时,t2>0,t2-1>0,曲线C为椭圆;
当0<|t|<1时,t2>0,t2-1<0,曲线C为双曲线.(2)当|t|>1时,曲线C是椭圆,且t2>t2-1,因而c2=
a2-b2=t2-(t2-1)=1,所以焦点为F1(-1,0),F2(1,0).
当0<|t|<1时,双曲线C的方程为
因为c2=a2+b2=t2+(1-t2)=1,所以焦点为F1(-1,0),
F2(1,0).
综上所述,不论t为何值,曲线C有相同的焦点.【补偿训练】已知方程 =1表示双曲线,则k的取值范围是________.
【解析】因为方程 =1表示双曲线,
所以(1+k)(1-k)>0.所以(k+1)(k-1)<0.所以-1答案:-11.知识总结2.方法总结
双曲线方程的求法
(1)待定系数法:即通过设出标准方程,然后依条件确定待定的系数a,b的方法.
(2)定义法:即若动点的几何特征适合双曲线的定义,求出a,b代入标准方程的方法.课件60张PPT。2.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质 主题 双曲线的范围、对称性、顶点、离心率及渐近线
观察图示,探究下面问题.(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的,那么它是否与椭圆一样有范围限制?
提示:有限制,因为 ≥1,即x2≥a2,所以x≥a,或x≤-a.(2)观察双曲线图形,它是否是轴对称图形?对称轴是哪条直线?是否是中心对称图形?对称中心是哪个点?
提示:关于x轴、y轴和原点都是对称的,x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.(3)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点,这种说法对吗?为什么?
提示:不对,双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点,只有在标准形式下,坐标轴才是双曲线的对称轴,此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点.结论:F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)|F1F2|=2cx≤-ax≥ay≤-ay≥a坐标轴原点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)A1A22aB1B22bab(1,+∞)【微思考】
1.能不能用a,b表示双曲线的离心率?
提示:能.e= .2.双曲线的离心率的大小如何决定双曲线的开口大小?
提示:由于e= ,所以 ,因此离心率
的大小决定了渐近线斜率的大小,从而决定了双曲线
的开口大小.离心率越大,双曲线开口越开阔;离心率
越小,双曲线开口越扁狭.3.从离心率e= 直观上看,随着a与c的变化双曲线的形状如何变化?
提示:当 趋于1时,双曲线的开口非常小,此时双曲线的形状接近两条以顶点为端点的射线;
当 趋于无穷大时,双曲线的开口非常大,此时双曲线的形状接近两条过顶点垂直于实轴的直线.【预习自测】
1.双曲线 的渐近线方程是 ( )
【解析】选C.a2=4,b2=9,焦点在x轴上,
所以渐近线方程为2.双曲线 的离心率为 ( )
A.2 B.2 C.3 D.4【解析】选B.因为a2=2,所以a= .
又b2=14,所以c2=a2+b2=16.所以c=4.所以e=【备选训练】中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程是 ( )【解析】选B.考虑焦点在x轴和y轴两种情况.3.双曲线 的实轴长是________、虚轴长是________、顶点坐标是______、焦点坐标是________.【解析】由题意知a2=3,b2=4,
所以c2=a2+b2=3+4=7,
解得a= ,b=2,c= .
因此,双曲线的实轴长2a=2 ,虚轴长2b=4.
顶点坐标为(- ,0),( ,0),
焦点坐标为(- ,0),( ,0).答案:4.椭圆 与双曲线 有相同的焦点,则a的值是________.
【解析】因为a>0,所以焦点在x轴上,所以4-a=a+2,所以a=1.答案:15.求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图.【解析】将9y2-4x2=-36变形为 ,
即 ,所以a=3,b=2,c= ,
因此顶点为A1(-3,0),A2(3,0),
焦点坐标F1(- ,0),F2( ,0),
实轴长是2a=6,虚轴长是2b=4,
离心率渐近线方程y=± x=± x.作草图如图所示.类型一 根据双曲线方程研究几何性质
【典例1】求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.【解题指南】【解析】把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)化为标准方程
(m>0,n>0),
由此可知,实半轴长a= ,虚半轴长b= ,c= ,
焦点坐标( ,0),(- ,0),
离心率顶点坐标为(- ,0),( ,0).
所以渐近线的方程为【延伸探究】将本例双曲线方程改为“4x2-y2=-4”,试求解之.
【解析】将方程4x2-y2=-4变形为
所以a=2,b=1,c= .所以实半轴长为2,虚半轴长为1,焦点坐标为(0,- ),(0, ).离心率 ,顶点坐标为(0,-2),(0,2).渐近线方程为y=±2x.【方法总结】根据双曲线方程研究其性质的基本思路
(1)将双曲线的方程转化为标准形式.
(2)确定双曲线的焦点位置,弄清方程中的a,b所对应的值,再利用c2=a2+b2得到c的值.
(3)根据确定的a,b,c的值求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、离心率及渐近线方程等.【巩固训练】
下列各对双曲线中,既有相同离心率又有相同渐近线的是 ( )
【解析】选D.对于A, 的离心率 ,渐近线
方程为y=± x;
的离心率 ,渐近线方程为:y=± x,
不满足题意,A不正确.对于B, 的离心率 ,渐近线方程为y=
± x ; 的离心率e=2,渐近线方程为y=± x,
不满足题意,B不正确.
对于C, 的离心率e=2,渐近线方程为y=± x;
的离心率e=2,渐近线方程为y=± x;
不满足题意,C不正确.对于D. 的离心率e=2,渐近线方程为y=± x;
的离心率e=2,渐近线方程为y=± x.
满足题意,D正确.【补偿训练】(2016·天津高考)已知双曲线
(a>0,b>0)的焦距为2 ,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为 ( )【解析】选A.由题意得c= .双曲线的渐近线为y=
± x,因为渐近线与直线2x+y=0垂直,所以(-2)· =
-1,所以 = .又因为c2=a2+b2,解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为 -y2=1.类型二 双曲线的离心率
【典例2】(1)(2017·宜春高二检测)若双曲线 (a>0,b>0)的一条渐近线经过圆(x-1)2+(y-2 )2=16的圆心,则此双曲线的离心率是 ( )
A.2 B.3 C. D.9(2)(2016·山东高考)已知双曲线E: (a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是________.【解题指南】(1)利用已知条件求出双曲线的渐近线方程,从而得到a,b的关系式,再求双曲线的离心率.
(2)充分利用图象的几何性质,找出矩形一个顶点的坐标,代入曲线方程,便可求得离心率.【解析】(1)选B.由题意知圆心(1,2 )在双曲线的渐近线y= x上,则2 = ,所以b2=8a2,即c2-a2=8a2,所以e= =3.(2)假设点A在左支位于第二象限内,由双曲线和矩形的性质,可得 代入双曲线方程 ,可得
1,所以e2-1= ,又e>1,所以可求得e=2.
答案:2【方法总结】求双曲线离心率的方法
(1)若可求得a,c,则直接利用e= 得解.
(2)若已知a,b,可直接利用 得解.
(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+q·ac+r·a2=0
(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解.【巩固训练】
已知双曲线 的离心率e∈(1,2),则m的取值范围是 ( )
A.(-12,0) B.(-∞,0)
C.(-3,0) D.(-∞,-12)【解析】选A.由双曲线的标准方程知:
a2=4,b2=-m,离心率e= ∈(1,2),
解得-12所以m的取值范围是(-12,0).【补偿训练】(2016·全国卷Ⅱ)已知F1,F2是双曲线
E: 的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1= ,则E的离心率为 ( )【解析】选A.离心率e= ,由正弦定理得类型三 双曲线的渐近线
【典例3】(1)(2017·天津高考)已知双曲线
(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为 .若经过F和P(0,4)
两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方
程为 ( )(2)(2017·全国丙卷)已知双曲线C: (a>0,
b>0)的一条渐近线方程为y= x,且与椭圆 =1
有公共焦点,则C的方程为 ( )【解题指南】(1)可根据离心率与渐近线找出a,b,c的关系,进而求出双曲线方程.
(2)根据渐近线方程先确定 ,又由公共焦点推导出c的值,再根据a,b,c的关系可求出双曲线方程.【解析】(1)选B.由题意得,a=b, =1,c=4,a=b=2 ,
所以双曲线方程为 =1.
(2)选B.由题意可得: ,c=3,又a2+b2=c2,
解得a2=4,b2=5,
则C的方程为 =1.【方法总结】由渐近线设双曲线方程的方法
(1)渐近线为 的双曲线方程可设为:
(2)如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的
方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0).(3)与双曲线 共渐近线的双曲线方程可设为【巩固训练】(1)求与椭圆 有相同焦点,且以
y=± x为渐近线的双曲线的方程.
(2)求与双曲线 有共同渐近线,且过点(-1,2)
的双曲线方程.【解析】(1)椭圆 的焦点是F1(-5,0),F2(5,0).
因为双曲线的渐近线方程是y=± x,故可设双曲线的
方程是 (k>0),即 .
由题意得 ,解得k=16,
所以所求双曲线的方程为 .(2)由题意设所求双曲线方程为 ,又因其过
点(-1,2),将该点代入 得 ,λ=- ,
所以所求双曲线方程为 .【补偿训练】求一条渐近线方程是3x+4y=0且过点
( ,3)的双曲线的标准方程,并求此双曲线的离心率.【解析】由题意可设双曲线的方程为9x2-16y2=λ
(λ≠0),又点( ,3)在双曲线上,则9×( )2-16
×32=λ,得λ=-9,即双曲线的方程为9x2-16y2=-9,
标准方程为 由此可知a2= ,b2=1,
c2=a2+b2= ,离心率【课堂小结】
1.知识总结 2.方法总结
(1)双曲线草图的画法
①定位:依焦点.
②定形:依渐近线.
(2)双曲线渐近线方程的求法
将标准方程右侧的1换成0,整理后可得两条渐近线的方程.课件48张PPT。第2课时
双曲线方程及性质的应用 类型一 直线与双曲线的位置关系
【典例1】(2017·孝感高二检测)已知双曲线x2-y2=4,讨论直线l:y=k(x-1)与这条双曲线的交点的个数.
【解题指南】联立直线与双曲线的方程,讨论该方程组的解的情况,确定直线与双曲线的交点个数.【解析】由方程组:
消去y,可得:(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0. (*)
(1)当1-k2=0,即k=±1时,方程(*)为:2x=5.
此时直线与双曲线仅有一个交点.(2)当1-k2≠0,即k≠±1时,
Δ=(2k2)2+4(1-k2)(k2+4)=4(4-3k2).
①若
即 且k≠±1时,直线与双曲线有两个交点.②若
即 时,直线与双曲线只有一个交点.
③若
即 时,直线与双曲线没有交点.由以上讨论可知,当 且k≠±1时,直线与双曲线有两个交点;当k=±1或 时,直线与双曲线只有一个交点;当 时,直线与双曲线没有交点.【延伸探究】本例中若直线与双曲线的交点分别在两支上,求k的取值范围.【解析】联立方程组消去y所得的方程为
(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0,由题意,若方程的两根为x1,x2,则 解得【延伸探究】本例中若直线与双曲线的右支有两个交点,求k的取值范围.【解析】联立方程组消去y所得的方程为
(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0,由题意,若方程的两根为x1,x2,则
解得【方法总结】直线与双曲线的位置关系及其判定方法
(1)直线与双曲线的位置关系有三种:①直线与双曲线相交(包括有两个不同的公共点和当直线与双曲线的渐近线平行时有一个公共点两种情况);②直线与双曲线相切(直线与双曲线有两个重合的公共点);③直线与双曲线相离(没有公共点).(2)直线与双曲线的公共点就是以直线的方程与双曲线的方程联立所构成方程组的解为坐标的点,因此对直线与双曲线的位置关系的讨论,常常转化为对由它们的方程构成的方程组解的情况的讨论.(3)直线与椭圆的位置关系是由它们公共点的个数决定的,而直线与双曲线的位置关系不能由其公共点的个数决定.
提醒:特别注意直线与双曲线的位置关系中:一解不一定相切,相交不一定两解,两解不一定同支.【巩固训练】y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同交点,则k的取值范围为________.
【解析】联立方程消去y得
(1-k2)x2-4kx-10=0有两正根x1,x2,
则 解得- 答案: (- , -1 )【补偿训练】1.已知双曲线 ,过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点,则这样的直线l有___条.
【解析】(1)当直线l的斜率不存在时, l:x=1与双曲线相切,符合题意.(2)当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0,
①当4-k2=0,即k=±2时, l与双曲线的渐近线平行, l与双曲线只有一个公共点;②当4-k2≠0时,令Δ=0,所以k= .
综上所述,当k= 或k=±2或斜率不存在时满足题意,
所以这样的直线一共有4条.
答案:42.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4.
(1)若直线与双曲线的右支有两个相异的公共点,求k的取值范围.
(2)若直线与双曲线没有公共点,求k的取值范围.【解析】(1)联立方程组
消去y得方程(1-k2)x2+2kx-5=0,
由题意得,此方程有两个不等的正根.
所以 即 解得1由题意知此方程无解.
则 得k> 或k<- ,
则k的取值范围为k> 或k<- .类型二 与双曲线相关的弦长和中点弦问题
【典例2】(1)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E
的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为
N(-12,-15),则E的方程为 ( )(2)经过点M(2,2)作直线l交双曲线 于A,B两点,且M为AB的中点.
①求直线l的方程;
②求线段AB的长.【解题指南】(1)设出双曲线方程后,利用点差法求a,b.
(2)①利用点差法求直线l的斜率;
②联立直线与双曲线的方程,根据弦长公式求解.【解析】(1)选B.设双曲线的标准方程为
(a>0,b>0),由题意知c=3,a2+b2=9,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有
两式作差得又AB的斜率是
所以4b2=5a2,代入a2+b2=9得a2=4,b2=5,
所以双曲线的标准方程是(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得 ,
两式相减得
(x1+x2)(x1-x2)- (y1+y2)(y1-y2)=0.
因为M为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=4,所以4(x1-x2)-
(y1-y2)=0,kl= =4,所以l的方程为y-2=4(x-2),即
y=4x-6.②将y=4x-6代入 中得3x2-12x+10=0,故
x1+x2=4,x1x2= ,所以【方法总结】直线和双曲线相交所得弦长的两种求法
(1)利用距离公式:
求出直线和双曲线的两个交点坐标,利用两点间距离公式求弦长.(2)利用弦长公式:
设斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=【巩固训练】(2017·济南高二检测)已知双曲线C:
(a>0,b>0)的离心率为 ,且
(1)求双曲线C的方程.
(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.【解析】(1)由题意得 解得
所以b2=c2-a2=2.
所以双曲线C的方程为 .(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的
中点为M(x0,y0),
由
得x2-2mx-m2-2=0(判别式Δ>0).
所以x0= =m,y0=x0+m=2m.
因为点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,
所以m2+(2m)2=5.
故m=±1.类型三 与双曲线有关的综合问题
【典例3】已知双曲线中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为 ,且过点(4, ).
(1)求双曲线的方程.
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证: =0.【解题指南】(1)由e= 得双曲线的方程为x2-y2=λ,把点代入求出参数λ的值,从而得到双曲线方程.
(2)先求出 的解析式,把M代入双曲线,可得
=0.【解析】(1)因为e= ,所以设双曲线方程为x2-y2=λ
(λ≠0).因为过点(4, ),所以16-10=λ,λ=6.
所以双曲线的方程为x2-y2=6.(2)不妨设F1为左焦点,则 =(-2 -3,-m),
=(2 -3,-m),
所以 =(-2 -3)×(2 -3)+m2=-3+m2.
又因为M在双曲线上,所以9-m2=6,即m2-3=0,
所以 =0.【方法总结】设而不求技巧的应用
(1)直线与圆锥曲线相交后,设两交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
(2)利用直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到关于x的一元二次方程.(3)结合根与系数的关系可求x1+x2,x1x2,从而弦长问题、参数取值范围问题等都可以转化为x1+x2,x1x2应满足的条件解决.【巩固训练】(2017·吉林高二检测)已知动点P与双曲
线 的两个焦点F1,F2的距离之和为定值,且
cos∠F1PF2的最小值为- .
(1)求动点P的轨迹方程.
(2)若已知点D(0,3),点M,N在动点P的轨迹上,且
,求实数λ的取值范围.【解析】(1)c2=5,设|PF1|+|PF2|=2a(a> ),由余弦定
理得cos∠F1PF2=
当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号,令 -1=- ,得
a2=9,所以b2=4,因此点P的轨迹方程为 .(2)设N(s,t),M(x,y),
由 ,得(x,y-3)=λ(s,t-3),
故x=λs,y=3+λ(t-3).
又M,N在动点P的轨迹上,
所以 且 ,
消s得t= ,又|t|≤2,可求得 ≤λ≤5.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
双曲线中应注意的几个问题
(1)双曲线是两支曲线,而椭圆是一条封闭的曲线.
(2)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特有的.(3)双曲线只有两个顶点,离心率e>1.
(4)注意双曲线中a,b,c,e的等量关系与椭圆中a,b,c,e的不同.课件56张PPT。2.3 抛 物 线
2.3.1 抛物线及其标准方程 主题1 抛物线的定义
1.我们在黑板上画一条直线l,然后取一个三角板,将一条拉链上边一半的一端N固定在三角板的一条直角边上,并将拉链下边一半的一端固定在F点,将三角板的另一条直角边贴在直线l上,在拉锁P处放置一支粉笔,上下拖动三角板,粉笔会画出什么图形?提示:如图所示,会得到一条抛物线.2.通过作图探究你发现了抛物线的哪些结论?
用文字语言描述:_______________________________
__________.
用符号语言描述:____________.动点P到定直线l的距离等于它到定点F的距离|PF|=|PN|结论:抛物线的定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)_____
_____的点的轨迹叫做抛物线.____叫做抛物线的焦点,
_____叫做抛物线的准线.距离相等点F直线l主题2 抛物线的标准方程
根据抛物线的几何特征,对于开口向右的抛物线如何借助坐标法求出抛物线的方程?提示:如图,建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F且垂直于直线l,垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合,依据抛物线的定义,利用直接法即可求出抛物线的标准方程.结论:y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)【微思考】
1.抛物线的开口方向与哪个量有关系?
提示:抛物线的开口方向与一次项及其系数的正负有关系.2.抛物线的标准方程中,参数p的几何意义是什么?
提示:p的值等于抛物线的焦点到准线的距离.3.要确定抛物线的解析式,需要确定的量是什么?
提示:需要确定焦点的位置及2p的值.【预习自测】
1.若动点P到定点F(-4,0)的距离与到直线x=4的距离相等,则P点的轨迹是 ( )
A.抛物线 B.线段 C.直线 D.射线
【解析】选A.动点P的条件满足抛物线的定义.2.已知曲线C:y2=2px上一点P的横坐标为4,P到焦点的距离为5,则曲线C的焦点到准线的距离为 ( )
A. B.1 C.2 D.4
【解析】选C.由抛物线的定义知,P到准线的距离为5,又P的横坐标为4,故 =1,曲线C的焦点到准线的距离为2.3.设a≠0,a∈R,则抛物线y=-4ax2的焦点坐标为
( )
A.(a,0) B.(-a,0)
C. D. 【解析】选D.x2= y,
所以焦点坐标为 .4.过(2,4)点,顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线的标准方程为________.
【解析】由已知可设抛物线方程为x2=my,将点(2,4)代入得4=4m,所以m=1,故抛物线的标准方程为x2=y.答案:x2=y类型一 抛物线的定义及应用
【典例1】(1)(2016·四川高考)抛物线y2=4x的焦点坐标是 ( )
A.(0,2) B.(0,1)
C.(2,0) D.(1,0)(2)若点P到定点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1,则点P的轨迹方程是 ( )
A.y2=-16x B.y2=-32x
C.y2=16x D.y2=16x或y=0(x<0)【解题指南】(1)根据抛物线的标准方程求解.
(2)点P到F的距离比它到定直线x+5=0的距离小1,那么点P到F的距离与它到定直线x+4=0的距离相等,故利用抛物线的定义求解.【解析】(1)选D.由题意,y2=4x的焦点坐标为(1,0).
(2)选C.因为点F(4,0)在直线x+5=0的右侧,且点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,所以点P到F(4,0)的距离与它到直线x+4=0的距离相等.故P点的轨迹为抛物线,且顶点在原点,开口向右,p=8,故点P的轨迹方程为y2=16x.【方法总结】抛物线定义的应用要点
(1)根据抛物线的定义,抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,抛物线定义的功能是可以把点点距转化为点线距,从而使有关的运算问题变得简单、快捷.(2)抛物线标准方程中的p的几何意义是:焦点到准线的距离.
(3)对于动点到定点的距离比此动点到定直线的距离大多少或小多少的问题,实际上也是抛物线问题.【巩固训练】(2016·浙江高考)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是________.
【解题指南】根据抛物线的定义求解.【解析】xM+1=10?xM=9.
答案:9【补偿训练】若动圆与圆(x-2)2+y2=1外切,又与直线x+1=0相切,则动圆圆心的轨迹方程是( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.y2=4x D.y2=-4x【解析】选A.由题意,动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x+1=0的距离大1,故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,其方程为y2=8x.类型二 求抛物线的标准方程
【典例2】求适合下列条件的顶点在原点(0,0)处的抛物线的标准方程:
(1)过点(-3,2).
(2)焦点在直线x-2y-4=0上.【解题指南】设出抛物线方程的标准形式,依据条件求出p的值.
【解析】(1)设抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),
则将点(-3,2)代入方程得2p= ,或2p= ,
故抛物线方程为y2=- x,或x2= y.(2)①令x=0,由方程x-2y-4=0得y=-2.
所以抛物线的焦点为F(0,-2).
设抛物线方程为x2=-2py,则由 =2,得2p=8.
所以所求的抛物线方程为x2=-8y.②令y=0,由x-2y-4=0,得x=4.
所以抛物线的焦点为F(4,0).
设抛物线方程为y2=2px,由 =4,得2p=16.
所以所求抛物线方程为y2=16x.【方法总结】
1.抛物线的“一动三定”
抛物线的定义可归为“一动三定”,即“一个动点M”“一个定点F”“一条定直线l”“一个定值”.其中“定点”为抛物线的焦点,“定直线”为抛物线的准线,“定值”指点M到点F的距离与它到定直线l(准线)的距离之比等于1.2.抛物线标准方程的特征
(1)等号的一边是某变量的完全平方,另一边是另一变量的一次项.
(2)当对称轴为x轴时,方程中的一次项就是x的一次项,且符号指明了抛物线的开口方向:x的系数为正时开口向右,为负时开口向左.(3)当对称轴为y轴时,方程中的一次项就是y的一次项,且符号指明了抛物线的开口方向:y的系数为正时开口向上,为负时开口向下.【巩固训练】根据下列条件,求顶点在原点(0,0)处的抛物线的标准方程.
(1)焦点为(-2,0).
(2)准线为y=-1.
(3)焦点到准线的距离是4.
(4)过点(1,2).【解析】(1)焦点在x轴的负半轴上, =2,即p=4,所以抛物线的方程是y2=-8x.
(2)焦点在y轴正半轴上, =1,即p=2,所以抛物线的方程是x2=4y.
(3)p=4,抛物线的方程有四种形式:y2=8x,y2=-8x,x2=8y,
x2=-8y.(4)点(1,2)在第一象限,要分两种情形:
当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线的方程为
y2=2px(p>0),则22=2p·1,解得p=2,抛物线方程为y2=4x;
当抛物线的焦点在y轴上时,设抛物线的方程为x2=2py
(p>0),则12=2p·2,解得p= ,抛物线方程为
x2= y.类型三 抛物线的实际应用
【典例3】河上有抛物线形拱桥,当水面距拱顶5米时,水面宽为8米,一小船宽4米,高2米,载货后船露出水面的部分高 米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?【解题指南】
【解析】如图,建立坐标系,设拱桥抛物线方程为
x2=-2py(p>0),由题意,将B(4,-5)代入方程得p= ,所以抛物线方程为x2= y.
因为当船的两侧和拱桥接触时船不能通航;
设此时船面宽为AA′,则A(2,yA),
由22= yA,得yA= .又知船露出水面的部分高 米,设水面与抛物线拱顶相距为h,则h=|yA|+ =2(米),即水面上涨到距抛物线拱顶2米时,小船开始不能通航.【方法总结】抛物线应用题的解法
(1)抛物线应用题的解题关键:把实际问题转化为数学问题,利用数学模型,通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.
(2)建立抛物线的标准方程的方法:以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系.【巩固训练】某抛物线形拱桥跨度是20米,拱桥高度是4米,在建桥时,每4米需用一根支柱支撑,求其中最长支柱的长.
【解析】如图,建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=
-2py(p>0),依题意知,点P(10,-4)在抛物线上,所以100=-2p×(-4),2p=25,即抛物线方程为x2=-25y.因为每4米需用一根支柱支撑,
所以支柱横坐标分别为-6,-2,2,6.
由图知,AB是最长的支柱之一,点B的坐标为(2,yB),代入x2=-25y,得yB=- ,所以|AB|=4- =3.84,即最长支柱的长为3.84米.【补偿训练】如图所示,一隧道内设双行线公路,其截
面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
(1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程.(2)若行车道总宽度AB为7米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米).【解析】如图所示(1)依题意,设该抛物线的方程为x2=-2py(p>0),
因为点C(5,-5)在抛物线上,所以25=10p,p=2.5,
所以该抛物线的方程为x2=-5y.(2)设车辆高h,则|DB|=h+0.5,
故D(3.5,h-6.5),
代入方程x2=-5y,解得h=4.05,
所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
抛物线标准方程的求法
(1)定义法:建立恰当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出方程,进行化简,根据定义求出p,最后写出标准方程.(2)待定系数法:由于标准方程有四种形式,因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上,进而确定方程的形式,然后再利用已知条件确定p的值.
提醒:焦点位置不确定时,要对各种可能的情况分别进行讨论,以确定抛物线的方程.课件53张PPT。2.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质 主题 抛物线的几何性质
类比椭圆、双曲线的几何性质及其探究方法,你能否结合抛物线图形,探索抛物线的几何性质?提示:由如图所示的抛物线图形可见,开口向右的抛物线顶点在原点,以x轴为对称轴且向右无限伸展;图形变化趋势比较平缓,且图形上任一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.结论:抛物线的简单几何性质x≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0xyO(0,0)1【微思考】
1.在同一坐标系中作出抛物线y2=4x,y2=2x,y2=x,
y2= x的图形.观察并回答抛物线的开口大小由什
么决定.
提示:作出图形如图所示,根据图形比较可知,开口
大小由p决定,p越大,开口越开阔,p越小则开口越小.2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段的长度是多少?
提示:2p.【预习自测】
1.顶点在原点,准线方程为y=2的抛物线方程为 ( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.x2=8y D.x2=-8y【解析】选D.因为准线为y=2,设抛物线的方程为x2=
-2py(p>0),且 =2,p=4,所以抛物线方程为x2=-8y.2.若抛物线y= x2上一点P到焦点F的距离为5,则P点的坐标为 ( )
A.(4,±4) B.(±4,4)
C. D. 【解析】选B.因为抛物线方程为y= x2,所以焦点为F(0,1),准线为l:y=-1,设所求点的坐标为P(x,y),作PQ⊥l于Q.根据抛物线定义可知P到准线的距离等于PQ的长度,即y+1=5,即y=4,代入抛物线方程,求得x=±4,故点P坐标为(±4,4).3.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为
( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y【解析】选C.设抛物线y2=2px或y2=-2px(p>0),p=4,可得抛物线方程.4.抛物线y2=ax上有一点P(3,m),它到焦点的距离等于4,则a=________,m=________.
【解析】由题意得,a>0且 所以 答案:4 ±2 5.设抛物线y2=16x上一点P到对称轴的距离为12,则点P与焦点F的距离|PF|=________.
【解析】不妨设P(x,12),代入y2=16x得x=9,
所以|PF|=x+ =9+4=13.答案:136.已知抛物线关于y轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M( ,-2 ),则它的方程为________.
【解析】因为抛物线关于y轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M( , -2 ),
所以可设它的标准方程为x2=-2py(p>0).又因为点M在抛物线上,所以( )2=-2p(-2 ),即p= .因此所求方程是x2=- y.
答案:x2=- y类型一 抛物线的性质及其应用
【典例1】(1)(2016·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y= (k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=
( )
A. B.1 C. D.2(2)已知点P(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+ y2+4的最小值为________.
【解题指南】(1)P是两条曲线的交点,先利用抛物线方程y2=4x求出交点坐标,再代入曲线方程y= .
(2)将z表示为关于x的二次函数求解,注意x的取值范围.【解析】(1)选D.因为抛物线方程是y2=4x,所以F(1,0).
又因为PF⊥x轴,
所以P(1,2),把P点坐标代入曲线方程y= (k>0),
即 =2,所以k=2.(2)z=x2+ y2+4=x2+2x+4=(x+1)2+3,
因为y2=4x≥0,所以x∈[0,+∞),
所以当x=0时,zmin=4.
答案:4【方法总结】抛物线各元素间的关系
抛物线的焦点始终在对称轴上,顶点就是抛物线与对称轴的交点,准线始终与对称轴垂直,准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称,顶点到焦点的距离为 .【巩固训练】(2017·孝感高二检测)在抛物线y2=16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为 ( )
A.(4 ,±2) B.(±4 ,2)
C.(±2,4 ) D.(2,±4 )【解析】选D.抛物线y2=16x的顶点为O(0,0),焦点为F(4,0),设P(x,y)符合题意,则有
所以符合题意的点为(2,±4 ).【补偿训练】(2017·长沙高二检测)已知定点
A(-3,0),B(3,0),动点P在抛物线y2=2x上移动,则
的最小值等于________.【解析】设P(x,y),因为A(-3,0),B(3,0),则
=(x+3,y)·(x-3,y)=x2+y2-9=x2+2x-9=(x+1)2-10(x≥0),
所以当x=0时,( )min=-9.
答案:-9类型二 根据抛物线的性质求方程
【典例2】若抛物线的焦点与椭圆 的一个焦点重合,则抛物线的标准方程为____________.
【解题指南】用待定系数法求方程,分类讨论焦点的位置.【解析】由题意知椭圆的焦点为(2,0),(-2,0),当抛物线的焦点为(2,0)时,方程为y2=8x,
当抛物线的焦点为(-2,0)时,方程为y2=-8x,
所以抛物线的标准方程为y2=8x或y2=-8x.答案:y2=8x或y2=-8x【方法总结】待定系数法求抛物线标准方程的步骤
(1)定位置:根据抛物线的几何性质等条件确定焦点的位置或开口方向.
(2)设方程:根据确定的焦点位置设出相应的方程,若未能确定则要分情况讨论.(3)列方程:利用准线、焦点等条件列出关于p的方程,确定p的值.
(4)写出方程:根据求出的p值,代入设出的方程,确定抛物线方程.【巩固训练】设抛物线y2=mx(m≠0)的准线与直线x=1的距离为3,求抛物线的方程.
【解析】当m>0时,由2p=m,得 = ,这时抛物线的准线方程是x=- .
因为抛物线的准线与直线x=1的距离为3,所以1- =3,解得m=8,
这时抛物线的方程是y2=8x.
同理,当m<0时,抛物线的方程是y2=-16x.【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的标准方程是________.【解析】线段OA的垂直平分线为4x+2y-5=0,与x轴的交点为 ,所以抛物线的焦点为 ,所以其标准方程是y2=5x.
答案:y2=5x类型三 焦点弦问题
【典例3】(2017·九江高二检测)过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=7,求线段AB的长.
【解题指南】利用抛物线的定义,把|AB|=|AF|+|BF|转化为A,B两点到准线的距离的和来求解.【解析】由抛物线的方程得 =1,所以根据抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =x1+1+x2+1=7+2=9.【延伸探究】1.本例中,若点A,B是倾斜角为60°的直
线与抛物线的交点,则|AB|等于多少?
【解析】因为抛物线的焦点是(1,0),所以直线AB的方程
为y= (x-1),与抛物线方程联立消去y得3x2-10x+3=0,
所以x1+x2= ,从而|AB|=x1+x2+p= +2= .2.本例中,证明以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切,该结论能否推广到任意抛物线方程y2=2px?
【解析】因为线段AB中点的横坐标为 ,所以以AB为直径的圆的圆心到准线x=-1的距离为 ,而AB的长度为9,所以以AB为直径的圆的半径为 ,故该圆与准线相切.该结论可以推广,证明如下:设抛物线方程y2=2px过焦点的弦为AB,中点为M,准线为l,A1,B1分别为A,B在准线l上的射影,则|AA1|=|AF|,
|BB1|=|BF|,于是M到l的距离d= (|AA1|+|BB1|)
= (|AF|+|BF|)= |AB|=半径,故相切.【方法总结】抛物线焦点弦问题的解法
(1)由于抛物线的焦点弦过焦点,因此与焦点弦有关的问题要注意结合抛物线的定义求解.
(2)焦点弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立,再结合根与系数的关系求解.(3)求焦点弦的长度可以利用两点间的距离公式,也可以利用弦长公式,但由于弦过焦点,结合抛物线的定义得出焦点弦长.以抛物线y2=2px(p>0)为例,过抛物线焦点F,作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),则焦点弦长为x1+x2+p,同时由弦长x1+x2+p≥2 +p=2p,当且仅当x1=x2时,取“=”知,通径是所有弦中最短的弦.【拓展延伸】1.抛物线的焦点弦的常见结论
(1)若AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦),且A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2= ,y1y2=-p2.
(2)若AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,且直线AB的倾斜角为α,则|AB|= (α≠0).2.焦点弦公式
抛物线y2=2px(p>0),|AB|=p+(x1+x2);
抛物线y2=-2px(p>0),|AB|=p-(x1+x2);
抛物线x2=2py(p>0),|AB|=p+(y1+y2);
抛物线x2=-2py(p>0),|AB|=p-(y1+y2).【补偿训练】设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P
为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为
- ,那么|PF|= ( )
A.4 B.8 C.8 D.16【解析】选B.设A(-2,y),F(2,0),
所以
所以y=4 ,所以yP=4 ,
因为P在抛物线上,所以yP2=8xP,
所以
由抛物线定义可得|PF|=|PA|=xP-xA=6-(-2)=8.【课堂小结】
1.知识总结 2.方法总结
抛物线几何性质的研究方法
(1)标准方程法:由标准方程的形式明确抛物线的几何特征.
(2)数形结合法:结合抛物线的定义,在坐标系中将线段长用坐标表示,进而解决与几何特征相关问题的方法.课件44张PPT。第2课时
抛物线方程及性质的应用类型一 直线与抛物线的位置关系
【典例1】(1)(2017·吉林高二检测)已知直线l过点
且与抛物线y2=2px(p>0)只有一个公共点,则
直线l的方程为________.
(2)顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所
得的弦长|AB|=3 ,求此抛物线方程.【解题指南】(1)设出直线的点斜式方程,利用直线与抛物线只有一个公共点的条件求斜率.
(2)利用直线被抛物线截得的弦长公式求参数.【解析】(1)当直线与抛物线只有一个公共点(相切)时,
由题意设直线l方程为 将直线l的方
程与y2=2px联立,消去x得ky2-2py+(2+3k)p2=0.
由Δ=0得, 或k=-1.
所以直线l的方程为
2x-6y+9p=0,或2x+2y+p=0.当直线l与x轴平行时,直线l与抛物线只有一个交点,此时,y=p,故满足条件的直线共有三条,其方程为:
2x-6y+9p=0,或2x+2y+p=0,或y=p.
答案:2x-6y+9p=0,或2x+2y+p=0,或y=p(2)设所求的抛物线方程为y2=ax(a≠0),A(x1,y1),
B(x2,y2),把直线y=2x-4代入y2=ax,
得4x2-(a+16)x+16=0,
由Δ=(a+16)2-256>0,得a>0或a<-32.
又x1+x2= ,x1x2=4,所以|AB|=
所以
所以a=4或a=-36.
故所求的抛物线方程为y2=4x或y2=-36x.【延伸探究】1.本例(1)中,若过点A(t,p)只有一条直
线与抛物线只有一个公共点,求t的取值范围.
【解析】由典例知,若点A在抛物线外部或抛物线上,则
至少有两条直线与抛物线只有一个公共点,所以点A应
在抛物线内部,即p2<2pt,所以 2.本题(1)中,若斜率为2的直线被抛物线截得的弦的中点坐标为(2,1),求抛物线的方程.
【解析】设直线与抛物线的两个交点为A(x1,y1),
B(x2,y2),则 所以 代入已知条件得2×2=2p,所以p=2,抛物线方程为y2=4x.【方法总结】直线与抛物线位置关系的常见解法
(1)点差法:对于直线和抛物线有两个交点问题,“点差
法”是常用法.如若A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=2px
上两点,则直线AB的斜率kAB与y1+y2可得如下等式kAB= (2)联立方程法:设抛物线方程为y2=2px(p>0),直线Ax+By+C=0,将直线方程与抛物线方程联立,消去x得到关于y的方程my2+ny+q=0,
①若m≠0,当Δ>0时,直线与抛物线有两个公共点;
当Δ=0时,直线与抛物线只有一个公共点;
当Δ<0时,直线与抛物线没有公共点.②若m=0,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.
提醒:直线与抛物线位置关系问题,常转化为二次函数问题解决,但要注意对二次项系数是否为零进行讨论,避免漏掉直线与抛物线对称轴平行或重合的特殊情况.【补偿训练】1.直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x, 当k为何值时,l与C有:(1)一个公共点?(2)两个公共点?(3)没有公共点?【解析】由 得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)
当k=0时,方程变为-4x+1=0, 此时y=1.
所以直线l与C只有一个公共点
此时直线l平行于x轴.当k≠0时,方程(*)是一个一元二次方程:
Δ=(2k-4)2-4k2×1=16-16k,
①当Δ>0,即k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点,此时l与C相交;
②当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;③当Δ<0时,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.
综上所述:(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;
(2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点;
(3)当k>1时,直线l与C没有公共点.2.如图所示,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值.
(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【解析】(1)由 得x2-4x-4b=0.(*)
因为直线l与抛物线C相切,
所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0,解得b=-1.(2)由(1)可知b=-1,
故方程(*)即为x2-4x+4=0,解得x=2.
将其代入x2=4y,得y=1.故点A(2,1).
因为圆A与抛物线C的准线相切,
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即r=|1-(-1)|=2,
所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.类型二 抛物线中的最值与范围问题
【典例2】已知抛物线y2=2x.
(1)设点A的坐标为 求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.
(2)在抛物线上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.【解题指南】第(1)问中可将距离|PA|的最小值问题转化为函数最小值问题,即代数方法解决几何问题.而第(2)问可用点到直线距离公式求距离,利用函数思想求最小值,也可采用求出与已知直线平行的抛物线的切线,再求出切点,两平行直线的距离即为距离的最小值.【解析】(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x,y),
则|PA|2=
因为x≥0,且在此区间上函数单调递增,所以当x=0时,
|PA|min= ,故距点A最近的点的坐标为(0,0).(2)设点P(x0,y0)是y2=2x上任一点,
则P到直线x-y+3=0的距离为
当y0=1时,dmin= 所以点P的坐标为 【一题多解】设与直线x-y+3=0平行的抛物线的切线为
x-y+t=0,与y2=2x联立,消去x,得y2-2y+2t=0,由Δ=0,得
t= ,此时y=1,x= ,所以点P坐标为 两平行线间
的距离就是点P到直线的最小距离,即dmin= 【方法总结】两类与抛物线定义有关的最值问题的解题方法
(1)点在抛物线外:求抛物线上的点P到抛物线外的一定点A的距离与准线的距离d之和的最小值.方法是利用抛物线的定义把d转化为|PF|(F为抛物线的焦点),即将求|PA|+d的最小值转化为求|PF|+|PA|的最小值.利用P,A,F三点共线求最小值.(2)点在抛物线内:求抛物线上的点P到抛物线内的一定点A的距离与抛物线焦点F的距离之和的最小值.方法是利用抛物线的定义把|PF|转化为P到准线l的距离d,即将求|PA|+|PF|的最小值转化为求d+|PA|的最小值.利用点A到准线的垂线段最短求最小值.【拓展延伸】抛物线上一点到某定点或到某定直线的
距离问题的两类解法
(1)函数最值法:设点P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上
的点,则 即 再由两点间的距离公式,点
到直线的距离公式表示出所求距离,利用求函数最值的
方法求解.(2)几何转化法:抛物线上一点到某定直线的距离的最值问题也可通过平移直线的方法转化为平行线间的距离问题.【巩固训练】求抛物线y2=64x上的点到直线4x+3y+46=0的距离的最小值,并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标.【解析】设点P(x0,y0)是抛物线上的任意一点,则x0=
点P到直线4x+3y+46=0的距离
所以当y0=-24,x0=9时,
d有最小值为2,即抛物线上的点到直线的最小距离等于
2,这时抛物线上的点的坐标为(9,-24).【一题多解】(切线平移法)因为 无实根,
所以直线与抛物线没有公共点.设与直线平行的直线为
则 消去x得:y2+48y-48b=0. ①设此直线与抛物线相切,即只有一个公共点,所以判别
式Δ=482-4(-48b)=0,b=-12,代入①式得y=-24,故x=9,
即(9,-24)到直线4x+3y+46=0的距离最近,最近距离为类型三 抛物线中的对称问题
【典例3】在已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M,N关
于直线y=kx+ 对称,求k的取值范围.
【解题指南】假设存在M,N两点,利用MN的中点在抛物
线内部确定k的范围.
或设出MN的方程,利用直线MN与抛物线有两个交点确定
k的范围.【解析】方法一:设M(x1,x12),N(x2,x22)关于直线y=kx
+ 对称,可知k≠0,所以 即x1+x2=
设MN的中点为P(x0,y0),则
因为中点P在y=x2内,有
所以k> 或 方法二:由题意可设MN的方程为
由 得kx2+x-bk=0,则Δ=1+4bk2>0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则 代入 得 代入Δ=1+4bk2>0得16k2-1>0,
所以 或 【方法总结】抛物线中的对称问题的解法
(1)抛物线上存在两点关于直线对称问题要充分利用点关于直线对称的两个条件,即对称的两点的中点在这条直线上,对称点的连线与这条直线垂直.(2)若将两对称点连线的方程与抛物线的方程联立方程组,可利用判别式Δ>0得不等式,若利用点差法,则可以利用中点在曲线内部得不等式,解不等式,即可求出参数的取值范围.【巩固训练】求实数m的取值范围,使抛物线y=x2上存在两点关于直线y=m(x-3)对称.【解析】设抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=m(x-3)对称,AB的中点为M(x0,y0),
显然m≠0,则
所以 将x0,y0代入方程y=m(x-3),
解得
由①②知x1,x2是方程 的两根,
由Δ>0可解得m<- .【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
判断直线与抛物线位置关系的操作程序