课件54张PPT。第三章 导数及其应用
3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念 主题1 平均变化率
1.写出气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的
关系式.然后将球半径r表示为球体积V的函数.
提示:体积V与半径r之间的关系式为V(r)= πr3.将半
径r表示为体积V的函数为r(V)= 2.当空气容量V从0增加到1L时,气球半径增加了多少?
此时气球的平均膨胀率是多少?当空气容量V从1L增加
到2L呢?
提示:当空气容量V从0增加到1L时,气球半径增加了
r(1)- r(0)≈0.62(dm).
气球的平均膨胀率为 ≈0.62(dm/L).当空气容量V从1L增加到2 L时,气球半径增加了r(2)-r(1)≈0.16(dm).
气球的平均膨胀率为 ≈0.16(dm/L).3.若运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系:h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则运动员在0≤t≤0.5这段时间里的平均速度是多少?运动员在1≤t≤2这段时间里的平均速度是多少?提示:在0≤t≤0.5这段时间里的平均速度是
在1≤t≤2这段时间里的平均速度是结论:平均变化率概念
我们把式子__________称为函数y=f(x)从__到__的平
均变化率.x1x2主题2 导数的概念
1.物体的平均速度能否精确反映它的运动状态?
提示:不能,如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起
跳时间t的函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,易知
而运动员依然是运动状态.2.如何精确描述物体在某一时刻的运动状态?
提示:可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运
动状态.如求t=2时的瞬时速度,可考察在t=2附近的一
个间隔Δt,当Δt趋近于0时,看平均速度 的变化趋势,
用式子 表示,这就是物体在t=2时的瞬
时速度.3.导数和瞬时变化率是什么关系?导数有什么作用?
提示:函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率,导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.结论:函数在某点处的导数
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
_________________________
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作
__________________
即f′(x0)= __________________________f′(x0)或y′|【微思考】
1.观察函数y=f(x)的图象,平均变化率
的几何意义是什么?平均变化率绝对值的大小与曲线的陡峭程度是否存在关系?提示:平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢,它表示割线的斜率.
函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.2.如何理解导数定义中的Δx,Δy, ?
提示:Δx表示自变量的增量,其值可正可负不能为零,
Δy表示函数值的增量,其值可正可负可为零, 表示平
均变化率,其极限存在,则函数y=f(x)在某一点处可导,
否则不可导.【预习自测】
1.当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( )
A.在[x0,x1]上的平均变化率
B.在x0处的变化率
C.在x1处的变化率
D.以上都不对【解析】选A.由平均变化率的定义知当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在[x0,x1]上的平均变化率.2.质点运动规律s=t2+3,则在时间[3,3+Δt]中,相应的平均速度等于 ( )
A.6+Δt B.6+Δt+
C.3+Δt D.9+Δt【解析】选A. 3.设函数f(x)在x0处可导,则 ( )
A.f′(x0) B.f′(-x0)
C.-f′(x0) D.-f′(-x0)【解析】选C. 4.已知函数f(x)=A(A为常数),则f′(2)=________.
【解析】因为Δy=f(2+Δx)- f(2)=A-A=0,
所以 =0,f′(2)=
答案:05.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,则第二年婴儿体重的月平均变化率是__________.【解析】由题图可知,第二年婴儿体重的月平均变化率
为 =0.25(千克/月).
答案:0.25千克/月6.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),求质点M在t=2时的瞬时速度,并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比较.【解析】(1)瞬时速度v= (2)因为s=2t2+3=s0+v0t+ at2,
所以v0=0cm/s,
因为 a=2,所以a=4cm/s2,
所以瞬时速度v=4t=4×2=8cm/s.
结论:用两种方法求得的结果相同.类型一 求平均变化率
【典例1】试求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化
率.
【解题指南】先计算Δy=f(-1+Δx)-f(-1),再利用
求解.【解析】 【延伸探究】1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点
A(-1,-2)及邻近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 =______.
【解析】
答案:3-Δx2.设函数f(x)在x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)
=aΔx+b(Δx)2(a,b∈R),则函数f(x)在x0附近的平均变化率为________.
【解析】由 =a+bΔx.可得f(x)在x0附近的平均变化率为a+bΔx.
答案:a+bΔx【方法总结】
(1)计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1).
(2)计算自变量的改变量Δx=x2-x1.
(3)得平均变化率 【补偿训练】求函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值.【解析】函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均
变化率为
当x0=2,Δx=0.1时,
函数y=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2+3×0.1=12.3.类型二 求瞬时变化率
【典例2】(2017·沈阳高二检测)若一物体的运动满足
函数s= (路程单位:m,时间单位:s).
求:(1)物体在t=3s到t=5s这段时间内的平均速度.
(2)物体在t=1s时的瞬时速度.【解题指南】(1)先求增量,再求平均速度.(2)先求增量,再求平均速度,再求极限,进而得出瞬时速度.
【解析】(1)Δs=s(5)-s(3)=3×52+2-(3×32+2)=48.(2)因为Δs=29+3(1+Δt-3)2-[29+3(1-3)2]
=3(Δt)2-12Δt,
所以
所以
即物体在t=1s时的瞬时速度为-12m/s.【方法总结】
(1)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系:
平均变化率 ,当Δx趋于0时,它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率.(2)共同点:它们都是用来刻画函数变化快慢的,它们的绝对值越大,函数变化得越快.
(3)逼近法求瞬时变化率:求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.【巩固训练】一质点按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若该质点在t=2s时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值.
【解析】因为Δs=s(2+Δt)-s(2)
=a(2+Δt)2+1-a·22-1
=4aΔt+a(Δt)2,所以 =4a+aΔt,
故在t=2s时,瞬时速度为s′(2)= =4a(m/s).
由题意知,4a=8,所以a=2.【补偿训练】一物体的运动方程为s=7t2+8,则其在
t=________时的瞬时速度为1.
【解析】
当 (7Δt+14t0)=1时,t0= .
答案: 类型三 求函数在某点处的导数
【典例3】根据导数的定义求下列函数的导数.
(1)求函数y=x2+3在x=1处的导数.
(2)求函数y= 在x=a(a≠0)处的导数.【解题指南】(1)利用导数定义
进行变形.
(2)本题是根据定义求函数的导数,因此可先求 ,再求其极限值,即可得出导数值.【解析】(1)Δy=f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2+3]-(12+3)
=2Δx+(Δx)2,
所以
所以y′|x=1= (2+Δx)=2.(2)Δy=f(a+Δx)-f(a)
所以
所以y′|x=a= 【方法总结】用导数定义求函数在某一点处的导数的三个步骤
(1)作差Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)作比
(3)取极限f′(x0)=
简记为一差、二比、三极限.【巩固训练】已知函数y=f(x)=ax2+c且f′(1)=2,求a的值.【解析】f′(1)=
所以a=1.【补偿训练】求函数y=3x2在x=1处的导数.
【解题指南】先求Δy=f(1+Δx)-f(1)=6Δx+3(Δx)2,
再求 =6+3Δx,再求 =6.【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)=6Δx+3(Δx)2.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)平均变化率 当Δx趋于0时,它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率,即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.另外,它们都是用来刻画函数变化快慢的,它们的绝对值越大,函数变化得越快.(2)函数在一点处的导数,就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限,它是一个定值,不是变数.课件55张PPT。3.1.3
导数的几何意义主题1 导数的几何意义
1.如图(1)l1是否为曲线在点A处的切线?l2是否为曲线在点B处的切线?l2是否为曲线在点C处的切线?提示:l1不是曲线在点A处的切线;l2是曲线以点B为切点的切线,不是以点C为切点的切线.2.你能不能类比圆的割线和切线的动态
关系,结合图(2)直观地感知,当Pn→P时
对应的一般曲线的切线?
提示:当Pn→P时,割线趋于确定的位置,这个确定位置上的直线就是曲线在点P处的切线.3.问题2从直观上感知了“割线逼近切线”的变化过程,进一步,如图(3)如何研究割线方程和切线方程的变化关系?提示:割线逼近切线,不妨设点P(x0,y0),Pn(x0+Δx,f(x0+Δx)).割线PPn的方程为y-f(x0)= (x-x0),
当Pn→P,即Δx→0时,变化的最终结果是
=f′(x0),故切线方程就是y-y0=
f′(x0)(x-x0).结论:导数的几何意义
曲线y=f(x)在点___________处的切线的斜率,用符号
表示为f′(x0)=________________=__.P(x0,f(x0))k【微思考】
求曲线在某点P(x0,y0)处的切线方程时易忽略什么?
提示:易忽略切点在曲线上或忽略切点在切线上.主题2 导数的概念
已知函数y=x2,完成下表:24681012结论:导函数的定义:
当x变化时,f′(x)是x的一个函数,称它为f(x)的导函数(简称导数),
即f′(x)=y′=________________.【微思考】
导函数f′(x)与函数在x=x0处的导数f′(x0)相同吗?它们有什么区别与联系?
提示:不相同.y=f(x)导函数为f′(x),f′(x0)是y=f(x)在x0处的导数.【预习自测】
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数f ′(x0)的几何意义是
( )
A.在点x0处的斜率
B.在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值
C.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率
D.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率【解析】选C.由导数的几何意义可知函数y=f(x)在x=x0处的导数f ′(x0),即为曲线在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.2.设f ′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线 ( )
A.不存在
B.与x轴平行或重合
C.与x轴垂直
D.与x轴斜交【解析】选B.曲线在点(x0,f(x0))处的切线斜率为0,切线平行或重合于x轴.3.函数f(x)=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为 ( )
A.10 B.5 C.-1 D.- 【解析】选D.因为f(x)=x3+4x+5,
所以f′(x)=3x2+4,
所以f′(1)=7,即切线斜率为7,
又f(1)=10,故切点坐标为(1,10),
所以切线的方程为:y-10=7(x-1),当y=0时,x=- .4.过曲线y=2x上两点(0,1),(1,2)的割线的斜率为________.
【解析】依题意得,割线的斜率为 =1.
答案:15.抛物线y2=x与x轴、y轴都只有一个公共点,但只有________是它的切线,而________不是它的切线.
【解析】根据曲线在某点处的切线的定义知y轴是曲线y2=x的一条切线,x轴不是切线.
答案:y轴 x轴6.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐
标分别为(0,4),(2,0),(6,4),试求 的值.【解析】由导数的概念和几何意义知,
=f ′(1)=kAB= =-2.类型一 求曲线的切线方程
【典例1】(1)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 ( )
A.-9 B.-3 C.9 D.15
(2)已知曲线方程为y=x2,则过点A(2,4)且与曲线相切的直线方程为____________________.【解题指南】(1)先求出函数y=x3+11在x=1处的导数,再求出切线方程,最后求与y轴交点的纵坐标.
(2)由于点A在曲线上,可利用导数的几何意义,求出切线的斜率,再利用点斜式写出直线的方程.【解析】(1)选C.y′|x=1=
所以曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1),即3x-y+9=0,
令x=0,解得y=9,
所以曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是9.(2)因为f′(x)=
= (2x+Δx)=2x,
又点A(2,4)在曲线y=x2上,所以f′(2)=4,
所以所求切线的斜率k=4,
故所求切线的方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
答案:4x-y-4=0【延伸探究】
1.在本例(2)中若将“点A(2,4)”改为“点B(0,0)”,则结果如何?【解析】因为f′(x)=
= (2x+Δx)=2x,
又点B(0,0)在曲线y=x2上,所以f′(0)=0,
所以所求切线的斜率k=0,
故所求切线的方程为y-0=0(x-0),即y=0.2.在本例(2)中若将“点A(2,4)”改为“点C(3,5)”,则结果如何?
【解析】因为点C(3,5)不在曲线y=x2上,
所以设切点坐标为(x0,x02).
因为f′(x)=
(2x+Δx)=2x,所以f′(x0)=2x0,所以切线的斜率k=2x0,
切线方程为y-x02=2x0(x-x0),又因为点C(3,5)在切线上,所以5-x02=2x0(3-x0),解得x0=1或x0=5.
所以切点坐标为(1,1),(5,25).
故所求切线方程为y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5),
即2x-y-1=0或10x-y-25=0.【方法总结】
1.求曲线在点P(x0,y0)处切线的步骤
(1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f ′(x0).
(2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=
f ′(x0)(x-x0).2.过曲线外的点P(x1,y1)求曲线的切线方程的步骤
(1)设切点为Q(x0,y0).
(2)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f ′(x0).
(3)利用Q在曲线上,点P(x1,y1)在切线上和f ′(x0)=kPQ,解出x0,y0及f ′(x0).
(4)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=
f ′(x0)·(x-x0).【补偿训练】在曲线y=x2上,点P处的切线垂直于直线2x-6y+5=0,则P点坐标为 ( )
A.(2,4) B.
C. D.(-2,4)【解析】选B.f′(x)=
设P(x0,y0)是满足条件的点,
因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,
所以2x0· =-1,得x0=- ,y0= .类型二 求曲线的切点
【典例2】已知曲线y=2x2+a在点P处的切线方程为8x-y-15=0,求切点P的坐标和实数a的值.
【解题指南】根据切线方程得到切线斜率为8,即f′(x)=8,解导数方程即可得到结论.【解析】设切点P的坐标为(x0,y0),切线斜率为k.
由y′=
= (4x+2Δx)=4x,
得k=y′| =4x0.根据题意得4x0=8,x0=2,
分别代入y=2x2+a和y=8x-15,得a=-7,y0=1.
故所求切点为P(2,1),a=-7.【方法总结】求曲线切点坐标的步骤
(1)设切点:先设出切点坐标(x0,y0).
(2)求斜率:求切线的斜率f′(x0).
(3)列方程:由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0.
(4)求切点:因点(x0,y0)在曲线上,将(x0,y0)代入曲线方程求y0,得切点坐标.【巩固训练】如果曲线y=x3+x-10的一条切线与直
线y=4x+3平行,那么曲线与切线相切的切点坐标为
( )
A.(1,-8) B.(-1,-12)
C.(1,-8)或(-1,-12) D.(1,-12)或(-1,-8)【解析】选C.设切点坐标为P(x0,y0),
则y0=x03+x0-10的切线斜率为k=
= [(3x02+1)+3x0Δx+(Δx)2]=3x02+1=4,所以x0=±1,当x0=1时,y0=-8,当x0=-1时,y0=-12,
所以切点坐标为(1,-8)或(-1,-12).类型三 导数几何意义的综合应用
【典例3】(1)若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程为x-y+1=0,则 ( )
A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1(2)(2017·福州高二检测)已知函数f(x)的图象如图所示,下列数值的排序正确的是 ( )
A.0
B.0C.0D.0(2)从图象上可以看出f(2)与f(3)的大小,且其值大于1;再由导数的几何意义,看出f′(2)与f′(3)的大小且其值小于1.【解析】(1)选A.将点(0,b)代入x-y+1=0中,得b=1,由导数的几何意义得,
k=y′|x=0=
= (Δx+a)=a=1,
综上,a=1,b=1.(2)选B.根据导数的几何意义,在x∈[2,3]上,曲线在
x=2处切线斜率最大,k= =f(3)-f(2)>f′(3).【方法总结】有关导数的几何意义的综合问题的求解策略
(1)转化:利用导数的几何意义把问题转化为求切线方程或切点坐标问题.
(2)数形结合:注意方程思想、数形结合思想的应用.【巩固训练】已知抛物线y=x2,直线x-y-2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离.【解析】根据题意可知与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短.
设切点坐标为(x0,x02),则
所以x0= ,所以切点坐标为
切点到直线x-y-2=0的距离为
所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 . 【补偿训练】(2017·泰安高二检测)如果f′(x)是二
次函数,且f′(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1, ),
那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范
围是 ( )【解题指南】由二次函数的图象可知最小值为 ,再根
据导数的几何意义可知k=tanα≥ ,结合正切函数的
图象求出角α的范围.【解析】选B.根据题意得f′(x)≥ ,则曲线y=f(x)上
任一点的切线的斜率k=tanα≥ ,结合正切函数的图
象可得α∈【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率.也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0),相应地,切线的方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).(2)导数f′(x)是针对某一区间内任意点x而言的,函数f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,是指对于区间(a,b)内的每一个确定的值x0,都对应着一个确定的导数f′(x0),根据函数的定义,在区间(a,b)内就构成了一个新的函数,就是函数f(x)的导函数f′(x).课件46张PPT。3.2 导数的计算
第1课时 几个常用函数的导数与基本
初等函数的导数公式主题 基本初等函数的导数
1.函数y=f(x)=c,y=f(x)=x,y=f(x)=x2,y=f(x)= 的导
数分别是什么?
提示:y=f(x)=c的导数是y′=0,y=f(x)=x的导数是
y′=1,y=f(x)=x2的导数是y′=2x,y=f(x)= 的导数是
y′=- .2.结合1中探究你能总结出函数f(x)=xα的导数吗?
提示:由于0=0·x0-1,1=1·x1-1,2x=2·x2-1,- =-1·
x-1-1,由此可猜想:y=f(x)=xα的导数是y′=α·xα-1.3.怎样理解常见函数f(x)=c,f(x)=x,f(x)=x2的导数的物理意义?
提示:对于f(x)=c,由于f′(x)=0,其物理意义为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态;对于f(x)=x,由于f′(x)=1,其物理意义为某物体的瞬时速度为1的匀速运动;对于f(x)=x2,由于f′(x)=2x,其物理意义为物体的变速运动.结论:对于有些基本初等函数,由于不方便用定义法求导数,可直接使用下面的求导数公式:
f(x)=c?f′(x)=__,
f(x)=xα?f′(x)=αxα-1(α∈Q*),
f(x)=sinx?f′(x)=_____,
f(x)=cosx?f′(x)=______.0cosx-sinxf(x)=ax?f′(x)=_____(a>0),
f(x)=ex?f′(x)=__,
f(x)=logax?___________(a>0,且a≠1),
f(x)=lnx?f′(x)=__.axlnaex【微思考】
1.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象,并根据导数定义,求它们的导数.
(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?
(2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢?
(3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关?提示:(1)函数y=2x,y=3x,y=4x的图象如图所示,导数分别为y′=2,y′=3,y′=4.从图象上看,函数y=2x,y=3x, y=4x的导数分别表示这三条直线的斜率.(2)在这三个函数中y=4x增加得最快,y=2x增加得最慢.
(3)函数y=kx(k>0)增加的快慢与k有关系,即与函数的导数有关系,k越大,函数增加得越快,k越小,函数增加得越慢.
函数y=kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系,即与函数导数的绝对值有关系,|k|越大,函数减少得越快,|k|越小,函数减少得越慢.2.如何区分f(x)=sinx与f(x)=cosx的导数特征?
提示:从导数公式(sinx)′=cosx,(cosx)′=-sinx看出:一要注意函数名称的变化,二要注意符号的变化,特别注意(cosx)′=-sinx,而不是(cosx)′=sinx.3.函数f(x)=lnx与f(x)=logax的导数公式之间有哪些差异与联系?
提示:函数f(x)=logax的导数公式为f′(x)=(logax)′
= ,当a=e时,上述公式就变为(lnx)′= .
即f(x)=lnx的导数公式是f(x)=logax的导数公式的特例.【预习自测】
1.函数f(x)=0的导数是 ( )
A.0 B.1
C.不存在 D.不确定
【解析】选A.常数函数的导数为0.2.已知函数f(x)= ,则f′(-2)= ( )
A.4 B. C.-4 D.-
【解析】选D.因为f′(x)=
所以f′(-2)=3.曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为 ( )
A.y=3x-1 B.y=-3x+5
C.y=3x+5 D.y=2x
【解析】选A.因为y′=-3x2+6x,y′|x=1=-3×12 +6×1=3,即所求切线的斜率等于3,故所求直线的方程是y-2=3(x-1),即y=3x-1.4.曲线y=xn在x=2处的导数为12,则n等于________.
【解析】y′=nxn-1,所以y′|x=2=n2n-1=12,
所以n=3.
答案:35.一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离scm与时间ts之间的函数关系为:s=t2,试求t=2(s)时,此木块的瞬时速度.(仿照教材P83例1的解析过程)
【解析】由幂函数导数公式得s′(t)=2t,
故s′(2)=4,
因此当t=2(s)时,木块的瞬时速度为4cm/s.类型一 常用函数的导数
【典例1】(1)下列结论中正确的个数为 ( )
①y=ln2,则y′= ;②y= ,则y′|x=3=- ;③y=2x,
则y′=2xln2;④y=log2x,则y′=
A.0 B.1 C.2 D.3(2)函数y= 在点 处的导数值是 ( )
A.4 B.-4 C.- D. 【解题指南】(1)直接利用常用函数的导数即可.(2)可先求出函数y= 的导数,再代入求值.【解析】(1)选D.若y=ln2,则y′=0,故①错;若y= ,
则y′=- ,所以y′|x=3=- ,②对;若y=2x,则y′=2xln2,③对,④也对.
(2)选B.因为y′=- ,所以当x= 时,y′=-4.【延伸探究】
1.若把本例(2)中的点“ ”改为“ ”,则结果
如何?
【解析】因为y′=- ,所以当x=2时,y′=2.若把本例(2)中的条件改为“函数y= 在点(m,n)处
的导数值为-1”,则m+n的值是多少?
【解析】因为y′=- ,又在点(m,n)处的导数值为-1,
所以 =-1,故m2=1,所以m=±1.当m=1时,n=1,当m=-1
时,n=-1,故m+n=2或m+n=-2.【方法总结】定义法求导与公式法求导的对比
(1)定义法求导:导函数定义本身就是函数求导的最基本方法,但导函数是用极限定义的,所以该方法求导最终归结为求极限,在运算上很麻烦,运算会很困难.
(2)公式法求导:用导数定义推导出常见函数与基本初等函数的导数公式后,就可以用公式直接求导,该方法简捷迅速.【补偿训练】如果函数f(x)=x2,则
的值等于______.
【解析】因为f(x)=x2,所以f′(x)=2x,
=f′(4)=8.
答案:8类型二 利用基本初等函数的导数公式求导数
【典例2】(1)已知函数f(x) =lnx,f′(x)是f(x)的导数,f′(x)的大致图象是 ( )(2)f(x)= ,则f ′(-1)= ( )【解题指南】(1)先求出函数f(x)=lnx的导数,再观察其图象,注意定义域.
(2)注意先对式子f(x)= 转化,再利用幂函数导数公式求导.【解析】(1)选C.因为函数f(x)=lnx的定义域为(0,+∞),所以f′(x)= 的定义域也为(0,+∞),所以其图象为反比例函数在第一象限的部分.
(2)选D.因为原函数可转化为:f(x)=
所以f ′(x)=
所以f ′(-1)=【方法总结】求简单函数导数的策略
(1)看形式:首先观察函数的形式,看是否符合基本初等函数的形式,如对于形如 的函数一般先转化为幂函数的形式,再用幂函数的求导公式求导.(2)化简:对于不具备基本初等函数特征的函数可进行适当变形,将其化成基本初等函数或与之相接近的函数形式,如将根式、分式化为指数式,利用幂函数求导.
(3)选公式:选择恰当的公式求解函数的导数.
提醒:区分指数函数、对数函数的求导公式,以免在运用时混淆.【巩固训练】(2017·郑州高二检测)已知f(x)=
且f′(1)=- ,求n.【解析】f′(x)=
所以f′(1)=- ,
由f′(1)=- 得- =- ,得n=3.【补偿训练】已知曲线y= -3lnx的一条切线的斜率
为 ,则切点的横坐标为 ( )
A.3 B.2 C.1 D. 【解析】选A.因为y′= ,所以
解得x=3(x=-2不合题意,舍去).类型三 利用导数公式求切线方程
【典例3】已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-
x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是
( )
A.y=2x-1 B.y=x
C.y=3x-2 D.y=-2x+3【解题指南】先根据f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8求出函数f(x)的解析式,然后对函数f(x)进行求导,进而可得到y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程的斜率,最后根据点斜式可求切线方程.【解析】选A.因为f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,
所以f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8,
所以f(2-x)=2f(x)-x2+4x-4+16-8x-8,
将f(2-x)代入f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8得f(x)=4f(x)-2x2-8x+8-x2+8x-8,所以f(x)=x2,f′(x)=2x,所以y=f(x)在(1,f(1))处的切线斜率y′=2,所以y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.【方法总结】求切线方程的步骤
(1)利用导数公式求导数.
(2)求斜率.
(3)写出切线方程.
求解时注意导数为0和导数不存在的情形.【巩固训练】1.(2017·广州高二检测)曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率为 ( )
A.1 B.2 C.e D.0
【解析】选A.因为y=ex,所以y′=ex,
所以曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k=e0=1.2.求函数y=6x在x=1处的切线方程.
【解析】因为y′=(6x)′=6xln6,所以当x=1时,y′=6ln6,
又x=1时,y=6,所以切线方程为y-6=6ln6(x-1),
即6xln6-y-6ln6+6=0.【补偿训练】曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为________.
【解析】由y=-5ex+3,得y′=-5ex,所以切线的斜率k=y′|x=0=-5,所以切线方程为y+2=-5(x-0),即5x+y+2=0.
答案:5x+y+2=0【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)导数公式的功能:
①幂函数导数公式有降幂功能.
②正(余)弦函数导数公式有名称更换功能.
(2)对于形如 的函数一般先转化为幂函数的形式,再用幂函数的求导公式求导.(3)要区分指数函数、对数函数的求导公式,以免在运用时混淆.课件65张PPT。第2课时
导数的运算法则主题 导数的运算法则
1.试根据导数的定义,写出下列函数的导数.
(1)若F(x)=x+x2,则F′(x)=________.
(2)若F(x)=x-x2,则F′(x)=________.
(3)若F(x)=x3,则F′(x)=________.提示:(1)F′(x)=
答案:1+2x(2)F′(x)=
= (1-2x-Δx)=1-2x.
答案:1-2x
(3)F′(x)=
[3x·Δx+3x2+(Δx)2]=3x2.
答案:3x22.问题1中,若令f(x)=x,g(x)=x2,则F(x)的导数与f(x),g(x)的导数各有什么关系?
提示:因为f′(x)=1,g′(x)=2x,
故(1)中F′(x)=f′(x)+g′(x),(2)中F′(x)=f′(x)-g′(x),
(3)中F′(x)=f(x)·g′(x)+f′(x)·g(x).结论:
(1)[f(x)±g(x)]′=_______________.
(2)[f(x)·g(x)]′=______________________.
(3) =_______________________.
(4)[cf(x)]′=________.f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)cf′(x)【微思考】
1.在导数运算法则中,函数f(x),g(x)一定有导函数吗?
提示:一定有导函数,否则法则不成立.2.根据两个函数和差的导数运算法则,试着推广到任意有限个可导函数的和差.
提示:①[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′=f1′(x)± f2′(x)±…±fn′(x).
②[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x)(a,b为常数).3.根据乘法的导数法则,试着推广[f(x)g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x)到有限个函数的积的情形:
提示:若y=f1(x)f2(x)…fn(x),则有y′=
f1′(x)f2(x)…fn(x)+f1(x)f2′(x)…fn(x)+…+
f1(x)f2(x)…fn′(x).【预习自测】
1.函数y=x·lnx的导数是 ( )
A.x B. C.lnx+1 D.lnx+x
【解析】选C.y′=x′·lnx+x·(lnx)′
=lnx+x· =lnx+1.2.已知函数f(x)=ax2+c,且f′(1)=2,则a的值为( )
A.1 B. C.-1 D.0
【解析】选A.因为f(x)=ax2+c,所以f′(x)=2ax,
又因为f′(1)=2a,所以2a=2,所以a=1.3.曲线y= x3+x在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ( )【解析】选A.对函数y= x3+x求导得y′=x2+1,将x=1代
入得曲线y= x3+x在点 处的切线斜率为k=2,故切
线方程是y- =2(x-1),该切线与坐标轴的交点是
故围成的三角形面积为 .4.函数y= 的导数是 ( )
【解析】选A.y′=5.求函数y=(2x2+3)(3x-2)的导数y′=______.
【解析】y′=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)′ =4x(3x-2)+(2x2+3)·3=18x2-8x+9.
答案:18x2-8x+9【一题多解】因为y=(2x2+3)(3x-2)
=6x3-4x2+9x-6,
所以y′=18x2-8x+9.
答案:18x2-8x+96.求函数y=x5-x3+x-5的导数.(仿照教材P84例2的解析过程)
【解析】因为y′=(x5)′-(x3)′+(x)′-(5)′=5x4-3x2+1,
所以函数y=x5-x3+x-5的导数是y′=5x4-3x2+1.类型一 导数的运算法则
【典例1】求下列函数的导数:
(1)y=(x+1)2(x-1).
(2)y=x2sinx.
(3)y=【解析】(1)方法一:y′=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′=2(x+1)·(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1.
方法二:y=(x2+2x+1)(x-1)=x3+x2-x-1,
y′=(x3+x2-x-1)′=3x2+2x-1.
(2)y′=(x2sinx)′=(x2)′sinx+x2(sinx)′
=2xsinx+x2cosx.【方法总结】应用导数运算法则求函数的导数的技巧
(1)对三角式求导要先进行化简,然后再求导,这样既减少了计算量,又可少出错.
(2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导.
(3)在函数中有两个以上的因式相乘时,要注意多次使用积的求导法则,能展开的先展开成多项式,再求导.【巩固训练】求下列函数的导数:
(1)y=2xcosx.(2)y=2x+lnx.【解析】(1)y′=(2x)′cosx+2x(cosx)′
=2cosx-2xsinx.
(2)y′=(2x)′+(lnx)′=2+ .(3)方法一:
方法二:因为
所以
(4)【补偿训练】求下列函数的导数
(1)y=excosx.
(2)y=x2+tanx.
(3)y=2x3+ +cosx.【解析】(1)y=excosx,
所以y′=(ex)′cosx+ex(cosx)′
=excosx-exsinx.
(2)因为y=x2+ ,
所以y′=(x2)′+ ′(3)y′=(2x3)′+( )′+(cosx)′
=6x2+ -sinx.类型二 导数运算法则的应用
【典例2】(1)已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处
的切线方程是x-2y+1=0,若g(x)= ,则g′(1)=( )(2)(2017·烟台高二检测)已知函数f(x)=x3+x-16.
①求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程.
②直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.【解题指南】(1)由g(x)= 联想商的导数运算法则,利用条件“在点(1,f(1))处的切线方程为x-2y+1=0”求出f(1),f′(1).
(2)先求出函数f(x)的导数,①由于点在曲线上,可将点的坐标代入求切线的斜率,进而得出切线方程.②由于原点不在曲线上,可先设切点坐标,列方程解出切点坐标,再求切线方程.【解析】(1)选A.由切线方程得1-2f(1)+1=0,
所以f(1)=1,由导数的几何意义得f′(1)= ,(2)因为f(x)=x3+x-16,所以f′(x)=3x2+1.
①由已知f(x)=x3+x-16,且f(2)=23+2-16=-6,
所以点(2,-6)在曲线y=f(x)上,
所以在点(2,-6)处的切线的斜率为k= f′(2)=3×22+1
=13,
所以切线方程为:y+6=13(x-2),即13x-y-32=0.②方法一:设切点为(x0,y0),
则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1,
所以直线l的方程为:y-y0=(3x02+1)(x-x0),
即:y-x03-x0+16=(3x02+1)(x-x0),
又因为切线l过原点,
所以0-x03-x0+16=(3x02+1)(-x0),整理得:x03=-8,
所以x0=-2.
所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,斜率k=3×(-2)2+1=13,
所以切线的方程为y+26=13(x+2),
化简得:13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).方法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),
则
又因为k=f′(x0)=3x02+1,
所以 =3x02+1,解得x0=-2,
所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,斜率k=3×(-2)2+1=13,
所以切线的方程为y+26=13(x+2),化简得:13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).【延伸探究】
1.若本例(2)条件不变,试判定函数图象上哪一点处的切线斜率最小.
【解析】因为f(x)=x3+x-16,所以f′(x)=3x2+1≥1,即当x=0时,切线的斜率最小,此时点的纵坐标y=-16.
因此,当切线的斜率最小时,切点的坐标为(0,-16).2.若过本例(2)曲线上某点处的切线平行于直线4x-y+1=0,求切点的坐标.
【解析】因为f(x)=x3+x-16,所以f′(x)=3x2+1,设切点为(x0,y0),
则过切点处的切线的斜率为k=3x02+1,又此切线平行于直线4x-y+1=0,所以3x02+1=4,所以x0=±1,
当x0=1时,y0=-14,当x0=-1时,y0=-18.
所以切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).【方法总结】求曲线在某一点处切线方程的一般步骤
(1)先判断给出的点(x0,y0)是否在曲线上,如果在曲线
上,则它是切点,否则不是,此时设切点坐标为(x1,y1).
(2)求切线的斜率.如果点(x0,y0)是切点,则切线斜率为
f′(x0),若(x0,y0)不是切点,则切线斜率k= f′(x1)
=(3)利用点斜式方程,求出切线方程.【补偿训练】若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是________.【解析】由题意得y′=lnx+x· =1+lnx,直线2x-y+1=0的斜率为2.
设P(m,n),则1+lnm=2,解得m=e,
所以n=elne=e,即点P的坐标为(e,e).
答案:(e,e)类型三 导数公式及运算法则的综合应用
【典例3】(1)如图是函数y= f(x)的图象,直线l:y=kx+2
是图象在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),则g′(3)=( )
A.-1 B.0 C.2 D.4(2)(2016·天津高考)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为________.【解题指南】(1)先利用导数的几何意义求出y=f(x)在x=3处的导数,再利用导数公式求出g′(3).
(2)求出f′(x),代入x=0即可.【解析】(1)选B.由题意直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,由图象可知其切点为(3,1),代入直线方程得k=- ,所以f′(3)=- ,
故g′(x)=(xf(x))′
=x′f(x)+xf′(x)=f(x)+xf′(x),
所以g′(3)=f(3)+3f′(3)=1+3× =0.(2)因为f′(x)=(2x+3)ex,
所以f′(0)=3.
答案:3【延伸探究】若本例(2)中的条件不变,则f′(2)的值是多少?
【解析】由(2)的解析可知f′(2)=(4+3)·e2=7e2.【方法总结】利用导数几何意义及运算法则解决综合问题的策略
(1)求某点处的导数值,分清该点是否为切点,若为切点利用导数的几何意义求值.
(2)求范围:注意导数就是切线斜率,切线斜率与倾斜角的关系,求倾斜角的范围可先求导数的范围.【巩固训练】已知曲线方程f(x)=sin2x+2ax(x∈R),若对任意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1)∪(-1,0) B.(-∞,-1)∪(0,+∞)
C.(-1,0)∪(0,+∞) D.a∈R且a≠0,a≠-1【解析】选B.f′(x)=2sinxcosx+2a=sin2x+2a,
直线l的斜率为-1,
由题知关于x的方程sin2x+2a=-1无解,
所以|2a+1|>1,
所以a<-1或a>0.【补偿训练】已知点P在曲线y= 上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是 ( )【解析】选D.函数导数y′=
因为ex+ ≥2,所以y′∈[-1，0),
所以α∈ .拓展类型:曲线的公切线
【典例】已知定义在正实数集上的函数f(x)= x2+2ax,
g(x)=3a2lnx+b(a>0),设两曲线f(x),g(x)有公共点,且
在公共点处的切线相同.
(1)若a=1,求b的值.
(2)试写出b关于a的函数关系式.【解题指南】注意转化先设公共点的坐标,利用切点处的导数相等建立关系式.【解析】(1)因为y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同,且f′(x)=x+2,g′(x)= ①
由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0)②,
所以
由x0+2= ,得x0=1或x0=-3(舍去)③,
即有b= .(2)因为y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同,且f′(x)=x+2a,g′(x)= ①
由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0)②,
即 解得x0=a或x0=-3a(舍去)③,
所以b= a2-3a2lna(a>0).【方法总结】曲线公切线问题解决思路
1.切点处的导数值:公切点处的导数值相等.
2.切点处的函数值:公切点处对应函数值相等.【巩固训练】若曲线f(x)= x2与曲线g(x)=alnx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,则实数a= ( )
A.-2 B. C.1 D.2【解析】选C.根据题意可知:f′(x)= x,g′(x)= ,
两曲线在点P(s,t)处有公共的切线,
所以 即:
s= ,
代入 =alns解得:a=1.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)在两个函数积与商的导数运算中,不能认为[f(x)·g(x)]′=f′(x)·g′(x)以及
(2)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同,积的导数公式中是“+”,而商的导数公式中分子上是“-”.(3)①[f1(x)+f2(x)+…+fn(x)]′=f1′(x)+f2′(x)+…+
fn′(x);
②[cf(x)]′=cf′(x),也就是说,常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数.课件73张PPT。3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数主题1 函数的单调性与导数的关系
1.如图1表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t) =-4.9t2+6.5t+10的图象,图2表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)= h′(t)=-9.8t+6.5的图象.(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增
加而增加,即t∈(0,a)时,h(t)是单调_____.
此时,v(t)=h′(t)=-9.8t+6.5>0.
(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增
加而减少,即t∈(a,b)时,h(t)是单调_____.
相应地,v(t)=h′(t)=-9.8t+6.5<0.递增递减2.观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数正负的关系,
(1)观察图象,完成下列填空.图①中的函数y=x的导函数y′=__,此函数的单调递增
区间为__________;
图②中的函数y=x2的导函数y′=___,此函数的单调递
增区间为________,单调递减区间为________.
图③中的函数y=x3的导函数y′=___,此函数的单调递
增区间为__________;1(-∞,+∞)2x(0,+∞)(-∞,0)3x2(-∞,+∞)图④中的函数y= 的导函数y′=_____,此函数的单调
递减区间为________________.(-∞,0),(0,+∞)(2)根据(1)中的导函数与单调区间之间的关系,思考函数的单调性与导函数的正、负有什么关系?
提示:根据(1)中的结果可以看出,函数的单调区间与导函数的正负有关,当导函数在某区间上大于0时,此时对应的函数为增函数,当导函数在某区间上小于0时,此时对应的函数为减函数.3.观察下图,请完成下表:减正正>0<0结论:在区间(a,b)内函数的单调性与导数的关系增减主题2 函数变化的快慢与导数的关系
1.在同一坐标系中画出函数y=2x,y=3x,y= ,y=x2,
y=x3的图象.
提示:这几个函数的图象如图所示.2.观察以上函数的图象,当x>0时,函数增长的快慢与各函数的导数值的大小作对比,你发现了什么?
提示:增长速度快的,导函数值大,增长速度慢的,导函数值小.结论:函数变化的快慢与导数间的关系
一般地,如果一个函数在某一范围内导数的_________
___,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象
就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就
“平缓”.绝对值较大大小大小【微思考】
1.回忆函数单调性的常规定义,分析用导数研究函数的单调性与常规定义的联系?提示:增函数时有 >0也即 >0,对式子
求极限,若极限值大于0,则导数大于0,从而为增函数.
减函数时有 <0也即 <0,对式子 求极
限,若极限值小于0,则导数小于0,从而为减函数.2.在区间(a,b)上,如果f′(x)>0,则f(x)在该区间上单调递增,但反过来也成立吗?
提示:不一定成立.例如,f(x)=x3在R上为增函数,但f′(0)=0,即f′(x)>0是f(x)在该区间上单调递增的充分不必要条件.3.如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么如何表示这些区间?函数的单调区间与其定义域满足什么关系?
提示:不能用“∪”连接,只能用“,”或“和”字隔开,函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的,故单调区间是定义域的子集.【预习自测】
1.函数f(x)=x+lnx在(0,6)上是 ( )
A.单调增函数
B.单调减函数
C.在 上是减函数,在 上是增函数
D.在 上是增函数,在 上是减函数【解析】选A.因为x∈(0,6),所以f′(x)=1+ >0,故函
数在(0,6)上单调递增.2.f(x)在(a,b)内可导,若f′(x)<0,则f(x)在(a,b)内是 ( )
A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数
【解析】选B.易知导函数f′(x)<0,f(x)单调递减.3.函数y=2-3x2在区间(-1,1)上的增减性为 ( )
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.先减后增
【解析】选C.y′=-6x,故当x∈(-1,0)时,y′>0;当x∈(0,1)时,y′<0,所以原函数在区间(-1,1)上先增后减.4.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下列四个图象中为y=f(x)的大致图象的是( )【解析】选C.由题图知:当x<-1时,xf′(x)<0,所以f′(x)>0,函数y=f(x)单调递增;
当-10,所以f′(x)<0,函数y=f(x)单调递减;
当01时,xf′(x)>0,所以f′(x)>0,函数y=f(x)单调递增.5.函数y=x-lnx的单调递减区间是__________.
【解析】定义域是(0,+∞),由y′=1- <0及定义域得
0答案:(0,1)6.求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=2x(ex-1)-x2.
(2)f(x)=x-x2+lnx.【解析】(1)f′(x)=2(ex-1+xex-x)=2(ex-1)(x+1).
当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;
当x∈(-1,0)时,f′(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递增,在(-1,0)上单调递减.(2)函数的定义域为(0,+∞),
f′(x)=1-2x+
令f′(x)>0,解得01,
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.类型一 函数单调区间的判断及求解
【典例1】(1)(2015·陕西高考)设f(x)=x-sinx,则
f(x) ( )
A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数
C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数(2)求函数f(x)=3x2-2lnx的单调区间.【解题指南】(1)利用奇偶性的定义判断f(x)=x-sinx的奇偶性,利用导数判断其单调性.
(2)先求导,令导函数值大于0,得到增区间,令导函数值小于0,得到减区间.【解析】(1)选B.因为f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sinx)=
-f(x),所以f(x)为奇函数.又f′(x)=1-cosx≥0,所以
f(x)单调递增,选B.
(2)f(x)=3x2-2lnx的定义域为(0,+∞),
则f′(x)=6x-
由f′(x)>0得6x2-2>0,即x2> ,则x> 或x<- (舍).
所以递增区间为
由f′(x)<0得6x2-2<0,即x2< ,则- x>0,所以0所以递减区间为
【方法总结】利用导数研究函数单调性的一般步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求导函数f′(x).
(3)若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.【巩固训练】求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x-x3. (2)f(x)=x2-lnx.【解析】(1)f′(x)=1-3x2,
令1-3x2>0,解得- 因此,函数f(x)的单调增区间为
令1-3x2<0,解得x<- 或x> .
因此,函数f(x)的单调减区间为 (2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=2x-
因为x>0,所以 x+1>0,由f′(x)>0,解得x> ,
所以函数f(x)的单调递增区间为
由f′(x)<0,解得x< ,又x∈(0,+∞),
所以函数f(x)的单调递减区间为
【补偿训练】求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x3+ .
(2)y=xex.【解析】(1)f′(x)=3x2-
由f′(x)>0,解得x<-1或x>1;
由f′(x)<0,解得-1所以函数的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞);
单调递减区间为(-1,0),(0,1).(2)y′=ex+xex=ex(1+x).
令y′>0,得x>-1;
令y′<0,得x<-1.
因此,y=xex的单调递增区间为(-1,+∞),
单调递减区间为(-∞,-1).类型二 原函数与导函数图象间的关系
【典例2】(1)函数y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象的大致形状是 ( )(2)函数y=f(x)在定义域 内可导,其图象如图,记
y=f(x)的导函数为y=f′(x),则不等式f′(x)<0的解集
为________.【解题指南】(1)利用函数的单调性判断导数的符号,利用导数的符号判断导函数图象的位置(在x轴上方还是下方).
(2)当函数单调递减时f′(x)<0,所以只要找出函数的单调递减区间即可.【解析】(1)选D.根据图象可知,函数f(x)先单调递减,后单调递增,后为常数,因此f′(x)对应的变化规律为先负,后正,后为零.(2)函数y=f(x)在区间 和区间(2,3)上单调递减,所以在区间 和区间(2,3)上,y=f′(x)<0,
所以f′(x)<0的解集为 ∪(2,3).
答案: ∪(2,3)
【延伸探究】1.若本例(2)中的条件不变,试求不等式
f′(x)>0的解集.
【解析】根据题目中的图象,函数y=f(x)在区间
和区间(1,2)上函数为增函数,所以在区间 和
区间(1,2)上,y=f′(x)>0,
所以f′(x)>0的解集为 ∪(1,2).2.若本例(2)中的条件不变,试求不等式xf′(x)>0的解集.
【解析】由典例(2)及延伸探究1以及已知条件可知,
当x∈ 时,函数为减函数,则f′(x)<0;
当x∈(1,2)时,函数为增函数,则f′(x)>0.
综上可知:xf′(x)>0的解集为 ∪(1,2).【方法总结】判断函数与导数图象间对应关系的两个关键
第一:要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象.
第二:注意以下两个方面:(1)函数的单调性与其导函数的正、负的关系:在某个区间(a,b)内,若f′(x)>0,则y=f(x)在(a,b)上单调递增;如果f′(x)<0,则y=f(x)在这个区间上单调递减;若恒有f′(x)=0,则y=f(x)是常数函数,不具有单调性.
(2)导数与函数图象的关系:
函数值增加得越来越快, 函数值增加得越来越慢,
f′(x)>0且越来越大. f′(x)>0且越来越小.函数值减小得越来越快, 函数值减小得越来越慢,
f′(x)<0且越来越小, f′(x)<0且越来越大,
绝对值越来越大. 绝对值越来越小.【补偿训练】函数f(x)的图象如图所示,则导函数y= f′(x)的图象可能是 ( )
【解析】选D.从原函数y=f(x)的图象可以看出,其在区间(-∞,0)上是减函数,f′(x)<0;在区间(0,x1)上是增函数,f′(x)>0;在区间(x1,x2)上是减函数,f′(x)<0;在区间(x2,+∞)上是增函数,f′(x)>0.结合选项可知,只有D项满足.类型三 利用函数的单调性求参数的范围
【典例3】(1)若f(x)=ax3+x在区间[-1,1]上单调递增,求a的取值范围.
(2)(2017·广州高二检测)设函数f(x)=x2+ax-lnx,a ∈R,若f(x)在区间(0,1]上是减函数,求实数a的取值范围.【解题指南】(1)由f(x)=ax3+x在区间[-1,1]上单调递增,可得出利用不等式f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立,确定a的取值范围.
(2)把f(x)在区间(0,1]上是减函数,转化为f′(x)≤0对任意x∈(0,1]恒成立.【解析】(1)f′(x)=3ax2+1,因为f(x)在区间[-1,1]上
单调递增,所以f′(x)=3ax2+1≥0在[-1,1]上恒成立.
当x=0时,显然成立,当x≠0时,a≥- .因为- 在
x∈[-1,0)∪(0,1]的最大值为- ,所以a≥- .
故a的取值范围是 (2)f′(x)=2x+a- .
因为f(x)在区间(0,1]上是减函数,
所以f′(x)≤0对任意x∈(0,1]恒成立,
即2x+a- ≤0对任意x∈(0,1]恒成立,
所以a≤ -2x对任意x∈(0,1]恒成立.令g(x)= -2x,所以a≤g(x)min,易知g(x)在(0,1]上单
调递减,所以g(x)min=g(1)=-1,所以a≤-1.
【延伸探究】在本例(1)中f(x)=ax3+x在区间[-1,1]上能否单调递减?【解析】假设能单调递减,f′(x)=3ax2+1,因为f(x)在
区间[-1,1]上单调递减,所以f′(x)=3ax2+1≤0在[-1,
1]上恒成立.当x=0时,显然不成立,当x≠0时,a≤- .
因为- 在x∈[-1,0)∪(0,1]上不存在最小值,所以
满足条件的a值不存在.所以f(x)=ax3+x在区间[-1,1]
上不能单调递减.【方法总结】已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.【巩固训练】已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)=1,f(1)=0,求a的取值范围.【解析】由f(0)=1,f(1)=0,得c=1,a+b=-1,
则f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex.
依题意需对于任意x∈(0,1),有f′(x)<0.
当a>0时,因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图象开口向上,而f′(0)=-a<0, 所以需f′(1)=(a-1)e≤0,即0当a=0时,对于任意x∈(0,1),f′(x)=-xex<0,符合条件;
当a<0时,f′(0)=-a>0,不符合条件.
故a的取值范围为[0,1].【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)单调性的判断或证明方法:求导?判断导数正负?结论.
(2)求单调区间的方法:求导?解导数不等式?单调区间.课件66张PPT。3.3.2
函数的极值与导数主题 函数极值的概念及求法
观察图象回答下面问题1.函数在点x=a的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系?
提示:函数在点x=a的函数值比它在点x=a附近的其他点的函数值都小.2.f′(a)等于多少?在点x=a附近,函数的导数的符号有什么规律?
提示:f′(a)=0,在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0.
3.函数在点x=b处的情况呢?
提示:函数在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0.结论:极大(小)值的概念
(1)函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近
其他点的函数值都小,且_________,在点x=a附近的左
侧_________,右侧_________,则a叫做极小值点,f(a)
叫做函数y=f(x)的极小值.f′(a)=0f′(x)<0f′(x)>0(2)函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近
其他点的函数值都大,且_________,在点x=b附近的左
侧_________,右侧_________,则b叫做极大值点,f(b)
叫做函数y=f(x)的极大值.f′(b)=0f′(x)>0f′(x)<0【微思考】
1.函数的极值可以在区间端点处取得吗?
提示:不可以,因为在端点处不能反映两侧的函数值的变化情况,况且端点处的导数不一定为0.2.当f′(x0)=0时,x=x0是否一定为y=f(x)的极值点?
提示:不一定,只有同时满足x0左右导数符号不一致时才称x0为极值点.
3.函数的极大值一定大于极小值吗?
提示:不一定,极值刻画的是函数的局部性质,反映了函数在某一点附近的大小情况,极大值可能比极小值还小.【预习自测】
1.函数y=f(x)的导数y′与函数值和极值之间的关系
为 ( )
A.导数y′由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值
B.导数y′由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值
C.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值【解析】选D.由导数y′与函数值的变化情况以及极值之间的关系,可知选项D正确.2.(2016·陕西高考)设函数f(x)= +lnx,则( )
A.x= 为f(x)的极大值点
B.x= 为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点【解析】选D.函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
当x=2时,f′(x)=0;当x>2时,f′(x)>0,
函数f(x)为增函数;当0减函数,所以x=2为函数f(x)的极小值点.3.如图是导函数y=f′(x)的图象,函数y=f(x)的极大值点是________,极小值点是________.【解析】因为在点x2左侧导数图象在x轴上方,导数为正,在点x2右侧附近导数图象在x轴下方,导数为负,故点x2为极大值点,因为在点x4左侧导数图象在x轴下方,导数为负,在点x4右侧附近导数图象在x轴上方,导数为正,故点x4为极小值点.
答案:x2 x4
4.求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.(仿照教材P94例4的解析过程)
【解析】f′(x)=3x2-6x-9.
解方程3x2-6x-9=0,得x1=-1,x2=3.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:由表可知:当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=10.
当x=3时,f(x)有极小值f(3)=-22.类型一 求函数的极值
【典例1】求函数f(x)= 的极值.【解析】函数f(x)= 的定义域为(0,+∞),且f′(x)=
令f′(x)=0,得x=e,
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:
故当x=e时,函数取得极大值f(e)= ,无极小值.【方法总结】求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)定区间求导:确定函数的定义区间,求导数f′(x).
(2)解方程:求方程f′(x)=0的根.
(3)列表:用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间,并列成表格.(4)检测判断:检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.【巩固训练】1.求函数y=2x+ 的极值.
【解析】函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
y′=2- ,令y′=0,得x=±2.
当x变化时,y′,y的变化情况如下表:由表知:当x=-2时,y极大值=-8;
当x=2时,y极小值=8.2.设函数f(x)=x3+ax2-9x的导函数为f′(x),且f′(2)= 15.(1)求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程.(2)求函数f(x)的极值.【解析】(1)因为f′(x)=3x2+2ax-9,
因为f′(2)=15,所以12+4a-9=15,
所以a=3.所以f(x)=x3+3x2-9x,
所以f′(x)=3x2+6x-9,
所以f(0)=0,f′(0)=-9,
所以函数在x=0处的切线方程为y=-9x.(2)令f′(x)=0,得x=-3或x=1.当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如下表:即函数f(x)在(-∞,-3)上单调递增,在(-3,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当x=-3时,f(x)有极大值27,当x=1时,f(x)有极小值-5.【补偿训练】求函数y= -2的极值.
【解析】因为函数的定义域为R,
所以y′=
令y′=0,得- =0,
解得x=-1或x=1.当x变化时,y′,y的变化情况如表:故当x=-1时,函数有极小值,且y极小值=f(-1)=-3;
当x=1时,函数有极大值,且y极大值=f(1)=-1.类型二 利用函数极值求参数的值
【典例2】(2016·四川高考)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a= ( )
A.-4 B.-2 C.4 D.2【解题指南】求出f′(x),解出方程f′(x)=0的根,再根据不等式f′(x)>0,f′(x)<0的解集得出函数的极值点.【解析】选D. f′(x)=3x2-12= 3(x-2)(x+2)，
令f′(x)=0,得x=-2或x=2,
易知f(x)在(-2,2)上单调递减,
在(2,+∞)上单调递增,
故f(x)的极小值为f(2),所以a=2.【方法总结】
(1)求参数值:利用函数的极值确定参数的值,常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)检验:因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件,所以利用待定系数法求解后,必须验证根的合理性.
【巩固训练】(2015·重庆高考)已知函数f(x)=ax3+x2
(a∈R)在x=- 处取得极值.
(1)确定a的值.
(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.【解析】(1)对f(x)求导得f′(x)=3ax2+2x.
因为f(x)在x=- 处取得极值,
所以
解得a= .经检验满足题意.(2)由(1)知g(x)= ex,所以
g′(x)=
= x(x+1)(x+4)ex.
令g′(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x<-4时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;
当-40,故g(x)为增函数;
当-1当x>0时,g′(x)>0,故g(x)为增函数;
综上知,g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,
-1)和(0,+∞)内为增函数.【补偿训练】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且当x=-1时取得极大值7,当x=3时取得极小值,试求函数f(x)的极小值,并求a,b,c的值.【解析】f(x)=x3+ax2+bx+c,f′(x)=3x2+2ax+b.
因为x=-1时函数取得极大值,x=3时函数取得极小值,
所以-1,3是方程f′(x)=0的根,即为方程3x2+2ax+b=0的两根.
所以f(x)=x3-3x2-9x+c.
因为x=-1时取得极大值7,
所以(-1)3-3×(-1)2-9×(-1)+c=7,
所以c=2,
所以函数f(x)的极小值为f(3)=33-3×32-9×3+2=-25.类型三 函数极值的综合应用
【典例3】(1)函数f(x)=xex在其极值点处的切线方程为__________.
(2)已知函数f(x)=x3-3ax-1(a≠0).若函数f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.【解题指南】(1)先求出极值,再求出切点坐标,然后利用导数求出切线斜率,最后得切线方程.
(2)先由已知条件求出a值,确定f(x),再由直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同交点,利用数形结合求出m的范围.【解析】(1)f′(x)=ex+xex=ex(1+x),
令f′(x)=0得x=-1.易判断x=-1为极值点,
因为f(-1)=-e-1=- ,
所以切点为 .因为切线斜率为0,
所以所求得切线方程为y=- .
答案:y=- (2)因为f(x)在x=-1处取得极值,
所以f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,所以a=1.
所以f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1.
当x<-1时,f′(x)>0;
当-11时,f′(x)>0.
所以由f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.
作出f(x)的大致图象如图所示:
因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合f(x)的图象可知,m的取值范围是(-3,1).【延伸探究】
1.若本例(2)“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何?改为“一个交点”呢?
【解析】由例(2)解析可知:当m=-3或m=1时,直线y=m与y=f(x)的图象有两个不同的交点;当m<-3或m>1时,直线y=m与y=f(x)的图象只有一个交点.2.若本例(2)中条件改为“已知函数f(x)=-x3+ax2-4在
x= 处取得极值”,其他条件不变,求m的取值范围.【解析】由题意可得f′(x)=-3x2+2ax,由f′ =0,
可得a=2,所以f(x)=-x3+2x2-4,
则f′(x)=-3x2+4x.
令f′(x)=0,得x=0或x= ,
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,
所以m的取值范围是 【方法总结】
1.三次函数有极值的充要条件
三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值?导函数f′(x) =3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac>0.2.三次函数单调性与极值(设x1(1)当Δ≤0时,①若a>0,则f(x)在R上是增函数;
②若a<0,则f(x)在R上是减函数.(2)当Δ>0时,①若a>0,则f(x)的增区间为(-∞,x1)和(x2,+∞),减区间为(x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极小值;②若a<0,则f(x)的减区间为(-∞,x1)和(x2,+∞),增区间为(x1,x2),f(x1)为极小值,f(x2)为极大值.(如图所示)【补偿训练】已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.【解析】函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有
三个不同的交点,即函数φ(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴
的正半轴有且只有三个不同的交点.因为φ(x)=x2-8x
+6lnx+m,所以φ′(x)=2x-8+
= (x>0),当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数;
当x∈(1,3)时,φ′(x)<0,φ(x)是减函数;
当x∈(3,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数;
当x=1,或x=3时,φ′(x)=0.所以φ(x)极大值=φ(1)=m-7,
φ(x)极小值=φ(3)=m+6ln3-15.因为当x充分接近0时, φ(x)<0,当x充分大时,φ(x)>0.
所以要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须 即7所以存在实数m,使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,m的取值范围为(7,15-6ln3).【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
求函数y=f(x)的极值的方法
解方程f′(x)=0.当f′(x0)=0时:
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值.
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.课件61张PPT。3.3.3
函数的最大(小)值与导数主题 函数的最值
1.观察图中在[a,b]上函数y=f(x)的图象,找出它们的极大值和极小值.提示:f(c),f(e)是函数y=f(x)的极小值,f(d),f(g)是函数y=f(x)的极大值.2.观察1中函数y=f(x)的图象,你能找出函数f(x)在区间[a,b]上的最大值、最小值吗?若将区间改为(a,b),f(x)在(a,b)上还有最值吗?
提示:函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是f(g),最小值是f(b).若区间改为(a,b),则f(x)有最大值f(g),无最小值.3.观察如图所示函数y=f(x)的图象,该函数有最大值吗?提示:由图可见在最高点处图象是间断的,因此该函数没有最大值.结论:函数有最值的条件
如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.【微思考】
1.函数在某一区间上的最大值一定是这个区间上所有函数值中的最大值吗?
提示:是.2.极值能在区间端点处取得吗?最值呢?
提示:极值只能在区间内取得,但是最值可以在区间端点处取得.3.函数最值和“恒成立”问题有什么联系?
提示:解决“恒成立”问题,可将问题转化为函数的最值问题.如f(x)>0恒成立,只要f(x)的最小值大于0即可.对含参不等式恒成立问题,求参数范围时,可先分离参数.【预习自测】
1.下列说法正确的是 ( )
A.函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值
B.闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值
D.若函数在给定区间上有最值,则有且仅有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值
【解析】选D.由极值与最值的区别知选D.2.连续函数f(x)在(a,b)上有最大值是有极大值的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为区间(a,b)为开区间,所以连续函数f(x)在(a,b)上有最大值能推出函数有极大值,但有极大值函数不一定有最大值.3.函数f(x)=x2-4x+1在[1,5]上的最小值和最大值为
( )
A.-2,6 B.-3,-2
C.2,6 D.-3,6【解析】选D.f′(x)=2x-4.当x∈(1,2)时,f′(x)<0,当x∈(2,5)时,f′(x)>0,又因为f(1)=12-4×1+1=-2,
f(5)=52-4×5+1=6.所以f(x)=x2-4x+1在[1,5]上的最小值为f(2)=22-4×2+1=-3,最大值为6.4.下列是函数f(x)在[a,b]上的图象,则f(x)在(a,b)上无最大值的是 ( )【解析】选D.在开区间(a,b)上,只有D选项所示函数f(x)无最大值.5.已知函数y=-x2-2x+3在区间[a,2]上的最大值为 ,
则a等于________.【解析】当a<-1时,最大值为4,不合题意;当-1≤a≤2
时,f(x)在[a,2]上是减函数,f(a)最大,-a2-2a+3= ,
解得a= (舍).
答案: 6.求函数f(x)=x3+2x2-4x+5,x∈[-3,1]的最大值与最小值.(仿照教材P97例5的解析过程)【解析】因为f(x)=x3+2x2-4x+5,
所以f′(x)=3x2+4x-4.
令f′(x)=0,得x1=-2,x2= .
因为f(-2)=13, ,f(-3)=8,f(1)=4,
所以函数f(x)在[-3,1]上的最大值为13,最小值为 .类型一 求函数的最值
【典例1】求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间[-2,+∞)上的最大值与最小值.【解题指南】求函数的最值与求函数的极值相似(但最值与极值不一定相同),先列出表格,再进行判断,从而求出最值.【解析】y′=12x2+6x-36,令y′=0,x1=-2,x2= .
列表:由于当x> 时,y′>0,所以y在 上为增函数,因此,
函数y在[-2,+∞)上只有最小值-28 ,无最大值.【方法总结】闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必有最值
(1)给定的区间必须是闭区间,f(x)在开区间上虽然连
续但不能保证有最大值或最小值.如f(x)= ,x∈(0,1),
f(x)在区间(0,1)连续,但没有最大值和最小值(如图).(2)在闭区间上的每一点必须连续,即在闭区间上有间
断点,也不能保证f(x)有最大值和最小值,如函数
f(x)=
在[-1,1]上有间断点,没有最小值(如图).(3)若连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.【巩固训练】函数y= 在[0,2]上的最大值是 ( )
A.当x=1时,y= B.当x=2时,y=
C.当x=0时,y=0 D.当x= 时,y= 【解析】选A.y′= 令y′=0,得x=1.
因为x=0时,y=0,x=1时,y= ,x=2时,y= ,
所以最大值为 (x=1时取得).类型二 与参数有关的最值问题
【典例2】(1)已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最
小值-37,求a的值,并求f(x)在[-2,2]上的最大值.
(2)(2017·秦皇岛高二检测)设函数f(x)=- x3+2ax2-
3a2x+b,0(2)先求导数,求出极值点,通过列表确定函数的单调区间,进而求函数的最值.【解析】(1)f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),
令f′(x)=0,得x=0或x=2.
又f(0)=a,f(2)=a-8,f(-2)=a-40.f(0)>f(2)>f(-2),
所以当x=-2时,f(x)min=a-40=-37,得a=3.
所以当x=0时,f(x)max=3.(2)f′(x)=-x2+4ax-3a2.令f′(x)=0,
解得x=a或x=3a,x∈[0,3a],列表如下:由表知:当x∈(0,a)时,函数f(x)为减函数;
当x∈(a,3a)时,函数f(x)为增函数.
所以当x=a时,f(x)的最小值为- a3+b;
当x=0或x=3a时,f(x)的最大值为b.【方法总结】已知函数最值求参数的步骤
(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值.
(2)通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值.
(3)结合已知求出参数,进而使问题得以解决.【巩固训练】(2017·包头模拟)若函数f(x)=(x-1)
(x+2)(x2+ax+b)的图象关于x=0对称,则f(x)的最小值为 ( )【解析】选C.因为函数f(x)=(x-1)(x+2)(x2+ax+b)的图象关于x=0对称,所以f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),
即-2(1-a+b)=0,0=4(4+2a+b),求得b=-2,a=-1,
所以f(x)=(x-1)(x+2)(x2-x-2)=x4-5x2+4,所以f′(x)=4x3-10x=2x(2x2-5)=
显然,在
上,f′(x)<0,f(x)为减函数,在
上,f′(x)>0,f(x)为增函数,故当x=- 时,y=-
当x= 时,y=-
所以函数f(x)取最小值- .类型三 与最值有关的恒成立问题
【典例3】(2017·潍坊高二检测)已知函数
f(x)=x3+ax2+bx+c在x=- 与x=1处都取得极值.
(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间.
(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)范围.【解题指南】(1)由已知条件求a,b的值并确定函数f(x)的单调区间.(2)对x∈[-1,2],不等式f(x)因为f′(1)=3+2a+b=0,
解得a=- ,b=-2,所以f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:所以函数f(x)的递增区间为 和(1,+∞);
递减区间为 .(2)由(1)知,f(x)=x3- x2-2x+c,x∈[-1,2],当x=-
时, 为极大值,
因为f(2)=2+c,所以f(2)=2+c为最大值.
要使f(x)f(2)=2+c,解
得c<-1或c>2.【延伸探究】
1.若典例(1)中条件不变,问法改为求函数f(x)在区间[-1,2]上的最值,结果如何.【解析】f′(x)=(3x+2)(x-1),当x变化时,f′(x),f(x)变化情况如表:由于 所以f(x)在区间[-1,2]
上的最大值为2+c,最小值为- +c.2.若典例(2)中条件不变,问法“若对x∈[-1,2],不等式f(x)当x=1时,f(1)=c- 为极小值,
又f(-1)= +c>c- ,所以f(1)=c- 为最小值.
因为存在x∈[-1,2],不等式f(x)所以只需c2>f(1)=c- ,解得c∈R.【方法总结】
1.证明不等式,研究方程根的个数、两函数图象的交点个数、图象的分布范围等问题,导数和数形结合是一种很有效的工具,经常通过分析函数的变化情况,结合图形分析求解.2.恒成立问题向最值转化也是一种常见题型
(1)要使不等式f(x)f(x)max,则上面的不等式恒成立.(2)要使不等式f(x)>h在区间[m,n]上恒成立,可先在区间[m,n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min,只要f(x)min>
h,则不等式f(x)>h恒成立.【补偿训练】设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.
(1)求a,b的值.
(2)若对于任意的x∈[0,3],都有f(x)因为函数f(x)在x=1及x=2时取得极值,
所以f′(1)=0,f′(2)=0, (2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+8c,
f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).
当x∈(0,1)时,f′(x)>0;
当x∈(1,2)时,f′(x)<0;
当x∈(2,3)时,f′(x)>0.
所以,当x=1时,f(x)取极大值f(1)=5+8c,又f(0)=8c,f(3)=9+8c.
所以当x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.
因为对于任意的x∈[0,3],都有f(x)所以9+8c9.
因此c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
求最值的方法
(1)极值法:对开区间上的连续函数,最值一定是其极值.
(2)比较法:对于闭区间上的连续函数,通过比较极值与端点的函数值的大小求最值.课件75张PPT。3.4
生活中的优化问题举例类型一 面积、体(容)积有关的最值问题
【典例1】如图,四边形ABCD是一块边长为4km的正方形
地域,地域内有一条河流MD,其经过的路线是以AB的中
点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计).
新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN(P为河流MD上任意一点),问如何施工才能使游乐园的面积最大?并求出最大面积.【解题指南】首先依据图形建立合适的坐标系,设出点的坐标,引入变量构建与面积有关的函数关系式,再利用导数求最值.【解析】以M为原点,AB所在直线为y轴建立直角坐标系,则D(4,2).设抛物线方程为y2=2px.
因为点D在抛物线上,
所以22=8p,解得p= .
所以抛物线方程为y2=x(0≤x≤4).
设P(y2,y)(0≤y≤2)是曲线MD上任一点,则|PQ|=2+y,|PN|=4-y2.
所以矩形游乐园的面积为
S=|PQ|×|PN|=(2+y)(4-y2)=8-y3-2y2+4y.
求导得S′=-3y2-4y+4,令S′=0,
得3y2+4y-4=0,解得y= 或y=-2(舍).当y∈ 时,S′>0,函数S为增函数;
当y∈ 时,S′<0,函数S为减函数.
所以当y= 时,S有最大值,得
|PQ|=2+y=2+ = ,
|PN|=4-y2=4- 所以游乐园最大面积为Smax= (km2),
即游乐园的两邻边分别为 km, km时,面积最大,最
大面积为 km2.【方法总结】利用导数解决实际问题的基本流程【巩固训练】已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,求矩形的面积最大时的边长.【解析】设矩形边长AD=2x,则|AB|=y=4-x2.
则矩形面积为S=2x(4-x2)(0即S=8x-2x3,所以S′=8-6x2,
令S′=0,解得x1= (舍去).
当x< 时,S′>0;当x> 时,S′<0,所以当x= 时,S取得最大值,此时,S最大=
即矩形的边长分别为 时,矩形的面积最大.【补偿训练】用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮
做一个无盖的容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图所示),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?【解析】设容器的高为xcm,容器的容积为V(x)cm3,
则V(x)=x(90-2x)(48-2x)
=4x3-276x2+4320x(0V′(x)=12x2-552x+4320
=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36).
令V′(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去).当00,V(x)是增函数;
当10因此,在定义域(0,24)内,函数V(x)只有当x=10时取得最大值,其最大值为
V(10)=10×(90-20)×(48-20)=19600(cm3).故当容器的高为10cm时,容器的容积最大,最大容积是19600cm3.类型二 费用(用料)最省问题
【典例2】(2017·重庆高二检测)某企
业拟建造如图所示的容器(不计厚度,
长度单位:米).其中容器的中间为圆柱形,左右两端均
为半球形,按照设计要求容器的体积为 立方米.假
设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建造费用为y千元.(1)将y表示成r的函数f(r),并求该函数的定义域.
(2)讨论函数f(r)的单调性,并确定r和l为何值时,该容器的建造费用最小,并求出最小建造费用.【解题指南】(1)总造价等于两个半球合成一个球的表面的造价加上圆柱的侧面的造价.
(2)对y=f(r)求导然后研究单调性与最值.【解析】(1)因为容器的体积为 立方米,
所以
解得
所以圆柱的侧面积为 两端两个半球的表面积之和为4πr2,
所以
又
所以定义域为(0, ).(2)因为
所以令f′(r)>0,得2令f′(r)<0,得0所以f(r)的单调增区间为 单调减区间为(0,2).
所以当r=2时,该容器的建造费用最小,为96π千元,此
时,l= 【延伸探究】
1.试讨论该容器表面积有无最小值,若有,求出最小值;若没有,说明理由?【解析】因为容器的体积为 立方米,
所以
解得
所以圆柱的侧面积为 两端两个半球的表面积之和为4πr2,
故该容器的表面积S=
则S′=
令S′=0,解得r= 所以应在r= 时,取得最小值,而由(1)可知r∈
取不到 ,所以无最小值.2.若由于场地的限制,该容器的半径要限制在
范围内,求容器建造费用的最小值.【解析】因为y′=
所以令y′>0,得2令y′<0,得0故当r∈ 时,函数单调递减,
故当r= 时,ymin= 【方法总结】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x).
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.(3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0成立的点的数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
(4)写出答案.【补偿训练】甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀
速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车
每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关
系是P= (1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式.
(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值.【解析】(1)Q=P· (2)Q′= -5v,令Q′=0,则v=0(舍去)或v=80.
当0当800,
所以当v=80千米/时时,全程运输成本取得极小值,即最
小值,且Qmin=Q(80)= (元).类型三 利润最大问题
【典例3】某公司为了获得更大的利益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t(单位:百万元),可增加销售额约为-t2+5t(单位:百万元,且0≤t≤5).(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?(2)现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告促销和
技术改造.经预测,每投入技术改造费x(单位:百万元),
可增加的销售额约为- x3+x2+3x(单位:百万元).请设
计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大
(注:收益=销售额-投入).【解析】(1)设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元,则有f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t
=-(t-2)2+4(0≤t≤3),
所以当t=2时,f(t)取得最大值4,
即投入2百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大.(2)投入技术改造的资金为x百万元,则用于广告促销的
资金为(3-x)百万元,设由此获得的收益是g(x),则
g(x)= [-(3-x)2+5(3-x)]-3=- x3+4x+3
(0≤x≤3),
所以g′(x)=-x2+4.
令g′(x)=0,解得x=-2(舍去)或x=2.当0≤x<2时,g′(x)>0;当2故g(x)在[0,2)上是增函数,在(2,3]上是减函数.
所以当x=2时,g(x)取最大值,即将2百万元用于技术改造,1百万元用于广告促销时,该公司由此获得的收益最大.【方法总结】利润问题中的等量关系
解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立利润的函数关系,常见的基本等量关系有:
(1)利润=收入-成本;
(2)利润=每件产品的利润×销售件数.【巩固训练】
某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(吨)与
每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p=24200-
x2,且生产x吨产品的成本为R=50000+200x(元).问该
工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利
润是多少?(利润=收入-成本)【解析】每月生产x吨时的利润为
f(x)= (50000+200x)
=- x3+24000x-50000(x≥0),
则f′(x)=- x2+24000,
令f′(x)=0,
解得x1=200,x2=-200(舍去).因为f(x)在[0,+∞)内只有一个极大值点x=200,
故它就是最大值点,且最大值为
f(200)=- ×2003+24000×200-50000
=3150000(元).
所以每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为
315万元.【补偿训练】(2017·沈阳高二检测)某商品每件成本
9元,售价为30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量将会增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0≤x≤30)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期将多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数.
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?【解题指南】(1)先求出比例系数,再依据题设求出多卖的商品数,再根据销售利润=销售收入-成本,列出函数关系式,即可得到答案.(2)根据f(x)的解析式,用导数求最值.【解析】(1)设商品降价x元,则多卖出的商品件数为kx2,若记商品一个星期的获利为f(x),则依题意有f(x)=(30-x-9)·(432+kx2)=(21-x)(432+kx2).
又由已知条件,24=k×22,于是有k=6.
所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,30].(2)根据(1)有f′(x)=-18x2+252x-432
=-18(x-2)(x-12),
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:故当x=12时,f(x)取到极大值,因为f(0)=9072, f(12)=11664,
所以定价为30-12=18(元)时能使一个星期的商品销售利润最大.类型四 效率最高问题
【典例4】我们知道,汽油的消耗量w(单位:L)与汽车的
速度v(单位:km/h)之间有一定的关系,汽油的消耗量w
是汽车速度v的函数.通过大量的统计数据,并对数据进
行分析、研究,人们发现,汽车在行驶过程中,汽油平均
消耗率g(即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的平均速度v(单位:km/h)之间有如图所示的函数关系g=f(v).且点(90,5)为直线y=kx与函数g=f(v)相切时的切点,那么汽车平均速度为多少时,汽油使用率最高,此时的每千米耗油量大约是多少L?【解题指南】研究汽油使用效率就是研究汽油消耗量
与汽车行驶路程的比值.如果用G表示每千米平均的汽
油消耗量,那么G= ,其中,w表示汽油消耗量(单位:L),
s表示汽车行驶的路程(单位:km).从图中不能直接解决
汽油使用效率最高的问题.因此,我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率g(即每小时的汽油耗量,单位:L/h)与汽车行驶的平均速度v(单位:km/h)之间的关系的问题.然后利用图象中的数据信息.解决汽油使用效率最高的问题.【解析】设G表示每千米平均的汽油消耗量,s表示汽车
行驶的路程(单位:km).
因为G= 这样,问题就转化为求 的最小值.从图象上看, 表示
经过原点与曲线上点的直线的斜率,进一步发现,当直
线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点处速度约为
90km/h.因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油的使用效率最
高,即每千米的汽油消耗量最小,此时的车速约为
90km/h,从数值上看,每千米的耗油量就是图中的切线
的斜率,即f′(90),约为 (L/km).【方法总结】效率最高问题的解题途径【巩固训练】
统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油
量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表
示为y= (0相距100千米,当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地
到乙地耗油最少?最少为多少升?【解析】当速度为x千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶
了 小时,设耗油量为h(x)升,
依题意得h(x)= 令h′(x)=0,得x=80.
因为x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;
x∈(80,120)时,h′(x)>0,h(x)是增函数,
所以当x=80时,h(x)取得极小值h(80)=11.25(升).
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值,所以它是最小值.答:汽车以80千米/时匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.【补偿训练】如图,在直线y=0和y=a(a>0)之间表示的
是一条河流,河流的一侧河岸(x轴)是一条公路,且公路
随时随处都有公交车来往,家住A(0,a)的某学生在位于
公路上B(d,0)(d>0)处的学校就读.每天早晨该学生都
要从家出发,可以先乘船渡河到达公路上某一点,再乘
公交车去学校;或者直接乘船渡河到达公路上B(d,0)处的学校.已知船速为v0(v0>0),车速为2v0.(水流速度忽略不计)(1)若d=2a,求该学生早晨上学时,从家出发到达学校所
用的最短时间.
(2)若d= ,求该学生早晨上学时,从家出发到达学校所
用的最短时间.【解析】(1)设该学生从家出发先乘船渡河到达公路上
某一点P(x,0)(0≤x≤d),再乘公交车去学校,所用的时
间为t,则t=f(x)= (0≤x≤d).令f′(x)=0
得x= a,当0≤x< a时,f′(x)<0;
当 a0.所以当x= a时,所用的时间最短,最短时间
所以当d=2a时,该学生从家里出发到学校所用的最短时
间是 (2)由(1)的讨论知,当d= 时,t=f(x)为 上的减函
数,所以当d= 时,即该学生直接乘船渡河到达公路上
学校所用时间最短,最短时间为t=【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情景”译为数学语言,要先找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题,再化归为常规问题,最后选择合适的数学方法求解.(2)用导数解决生活中优化问题的一般步骤:
①函数建模:细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,即列出函数关系式y=f(x).
②确定定义域:一定要从问题的实际意义去考察,舍去没有实际意义的变量的范围.③求最值:此处尽量使用导数法求出函数的最值.
④下结论:紧扣题目,给出圆满的答案.