专题03 正弦定理、余弦定理综合应用（B卷）-2017-2018学年高二数学同步单元双基双测“AB”卷（新人教A版必修五） Word版含解析

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《必修五专题三正弦定理、余弦定理综合应用》测试卷（B卷）
（测试时间：120分钟
满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在中，
，则的面积等于（
）
A.
B.
或
C.
D.
或
【答案】B
【解析】试题分析：由余弦定理可得：
或，当时，
，当时，．故选B.
2．在中，角对边分别为，
这个三角形的面积为，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】依题意，解得，由余弦定理得.
【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用.题目所给已知条件包括一个角和一条边，还给了三角形的面积，由此建立方程可求出边的长，再用余弦定理即可求得边的长.利用正弦定理或者余弦定理解题时，主要根据题目所给的条件选择恰当的公式解列方程.
3．在中，
，其面积为，则等于(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意可得：
，解得：
，
由余弦定理：
，
结合正弦定理结合分式的性质，则：
.
本题选择B选项.
4．已知的三个内角所对边长分别是，若，则角的大小为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由正弦定理得，化简得，故.
点睛：本题主要考查正弦定理的应用，考查利用正弦定理进行边角互化的方法.由于题目所给已知条件一边是角的形式，另一边是边的形式，由此我们考虑将两边同时化为边或者同时转化为角的形式，考虑到正弦定理，故将角转化为边，然后利用余弦定理将式子转化为余弦值，由此求得的
大小.
5．若的内角，
，
所对的边分别为，
，
，已知，且，则等于
A.
B.
C.
D.
【答案】C
6．在中，角，
，
所对的边分别为，
，
.若，
，则的面积是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为
，又由余弦定理得
所以
解得，所以
故选：A．
7．在中，角所对的边分别为，
，
，
，则等于（
）
A.
B.
2
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意得：
，由正弦定理得,
=，
则sinAsinB sinBsin2C=sinAsin2C sinBsin2C，又sinA≠0,得sinB=sin2C,即sin(A+C)=sin2C，
因为,所以A+C>,<2C<π，则A+C=2C，得A=C，即c=a=3，且B是锐角，
由sinB=得cosB==，由余弦定理得,b2=2a2 2a2cosB=3,即b=，
故选A.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
8．在△ABC中，若，且
则A＝(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为在中，
，由正弦定理可得，
，即，解得，所以由余弦定理可得，
，故选A.
9．在平面四边形中，已知，
，
，且，则的外接圆的面积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
10．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，且为锐角，则实数的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】 ,，
由余弦定理 ,
,
即，,得
由题意知 ，,选B.
点晴:本题考查的是正余弦定理及函数与方程思想的综合应用.解决本题的关键是和正弦定理得，再由余弦，解得结合，求得，又由题意知 ，可得.
11．中，角的对边分别为，且满足，，,则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
12．为测出小区的面积，进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
如图，连结AC
则是直角三角形；
是等腰三角形，
，选D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在中，角所对的边分别为，
，
，当的面积等于时，
__________．
【答案】
【解析】由题意，即，则，所以由余弦定理，所以，所以，应填答案.
点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边，进而运用余弦定理求出边，然后再运用余弦定理求出，进而求出，最后求出.
14．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为__________平方千米.
【答案】21
【解析】设
的对应边边长分别
里，
里，
里
故正确答案为
.
【点睛】本题主要考查正余弦定理和三角形的面积公式，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.解决本题的关键问题是要在充分理解题意的基础上建立解三角问题模型，再利用余弦定理和三角面积公式进行运算求解，还得注意面积单位的换算.
15．设的内角，已知，若向量与向量共线，则的内角__________．
【答案】
【解析】若向量与向量共线，
可得sinB=2sinA，
由正弦定理可得b=2a，
由余弦定理可得
即，
再由余弦定理可得，
由A为三角形的内角,可得A=.
故答案为：.
16．已知在平面四边形中，
，
，
，
，则四边形面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】设
,则在
中,由余弦定理有,所以四边形面积
,所以当
时,
四边形面积有最大值
.
点睛:
本题主要考查解三角形,
属于中档题.
本题思路:
在
中中,已知长,想到用余弦定理求出另一边的表达式,把
四边形面积写成
这两个三角形面积之和,用辅助角公式化为,当
时,
四边形面积有最大值
.
三、解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知分别是锐角三个内角的对边，且，且.
(Ⅰ)
求的值；
(Ⅱ)求面积的最大值；
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
.
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理将角化为边得，利用余弦定理可得；（Ⅱ）由及基本不等式可得，故而可得面积的最大值.
18．在中，角的对边分别为，面积为，已知.
(1)求证：
；
(2)若，
，求.
【答案】(1)
见解析；(2)
.
【解析】试题分析：（1）本问主要考查二倍角公式及正弦定理的变形应用，首先将已知化为，再根据正弦定理变形，即边角互化，易得，整理得，即，所以有；（2）根据已知条件中的，先求出的值，然后根据三角形面积公式，可以求出的值，再根据余弦定理，以及，于是可以建立得出关于的方程，易求的值.
试题解析：(1)由条件：
，
由于：
，所以：
，
即：
.
(2)
，所以：
.
，
.
又：
，
由，
所以：
，所以：
.
19．已知中，角所对的边分别为，且，
.
（1）求的外接圆半径的大小；
（2）若，
边上的中线为，求线段的长及的面积.
【答案】（1）;（2），
.
【解析】试题分析：
(1)由题意可求得，结合正弦定理可得的外接圆半径的大小是;
(2)由题意结合正弦定理可得线段的长，
的面积.
试题解析：
（1）依题意，
，
故，故，
故，又是内角，故，故.
（2）因为，故，由正弦定理知，
，
故，
，
故的面积.
20．已知锐角中内角所对边的边长分别为，满足，且
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）设函数，且图像上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】试题分析：（1）根据正弦定理得，代入余弦定理即可得出关于cosC的方程，解出cosC即可得出C；（2）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由题意，利用周期公式即可求ω，由
，A，B为锐角，可得范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解．
试题解析：（Ⅰ）因为，由余弦定理知
所以，又因为,则由正弦定理得：
，
所以，所以
（Ⅱ）
由已知，则
,由于，所以
所以,所以
21．已知，
，
分别为三个内角，
，
的对边，
.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若为锐角三角形，且，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ），
试题解析：（Ⅰ）由，
得：
，
即，
，且，
，
，
且，所以，
（Ⅱ）由正弦定理：
，
又，得，
；
所以，
.
22．如图所示，
中，角的对边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）点为边上的一点，记，若，
，求与的值.
【答案】（1）30°；（2）
【解析】试题分析：
(1)由题意求得，则；
(2)由题意可得，
在中，
，
在中，由余弦定理