运用点差法巧解圆锥曲线的中点弦问题

课件15张PPT。运用点差法巧解圆锥曲线的
中点弦问题高中数学教师欧阳文丰制作 导 言
圆锥曲线综合题是每年高考必考的题目，这些题目的解法灵活多变，其中涉及圆锥曲线中点弦的有关问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。用点差法求解此类问题，具有构思精巧，简便易行的优点。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
A（x2 , y2）M（x1 , y1）B一.问题引入例1：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.解法一：韦达定理→斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造二、例题讲解例1：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．点作差二、例题讲解小结：弦中点、弦斜率问题的两种处理方法 1.联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理解决. 2.点差法:设弦的两端点坐标,代入曲线方程相减后分解
因式,便可与弦所在直线的斜率及弦的中点联系起来.点差法例2二、例题讲解二、例题讲解例3、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 解：设弦端点、，弦的中点，则
，
又 ，两式相减得即，即 ，即由，得弦中点的轨迹方程为：二、例题讲解例4 已知椭圆的一条准线方程是，有一条倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点为，则求椭圆的方程。二、例题讲解解 设，则，且，（1），（2）
得：，，
，（3）
，，（4），（5）由（3），（4），（5）可得，
所求椭圆方程为.二、例题讲解注：凡关于中点弦和弦中点的问题，可采用点差法求解。三、变式练习三、变式练习2.弦中点问题的两种处理方法 课堂小结 （1）联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理； （2）设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率和弦的中点坐标（点差法）。1、利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。作业：抛物线y=x2-2x+2与直线y=mx交于P1、P2两点(1)求线段P1P2中点Q的轨迹方程；(2)0≤x≤2求线段P1P2中点Q的最高点和最低点坐标。