12.3 角的平分线的性质培优提高试题
文档属性
| 名称 | 12.3 角的平分线的性质培优提高试题 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 713.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-09-30 20:52:39 | ||
图片预览
文档简介
12.3 角的平分线的性质培优提高
本卷共三大题满分 120分 时间120分钟
一.选择题（每小题3分 共30分）
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，∠C的平分线与∠ABC的外角的平分线交于E点，则∠AEB是（ ）21世纪教育网版权所有
A.50° B.45° C.40° D.35°
2.如图，点P在∠AOB的角平分线上，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，M在OP上，且DM=MP=4，若C是OB上的动点，则PC的最小值是（ ）21cnjy.com
A.2 B.3 C.4 D.6
3.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（ ）
A.线段CD的中点 B.OA与OB的中垂线的交点
C.OA与CD的中垂线的交点 D.CD与∠AOB的平分线的交点
4.下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（ ）
B. C. D.
5.如图，点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，则△APD与△APE全等的理由是（ ）21·cn·jy·com
A.SAS B.AAS C.SSS D.HL
6.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）2·1·c·n·j·y
A.1：1：1 B.1：2：3 C.2：3：4 D.3：4：5
7.如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（ ） 21·世纪*教育网
A.6 B.8 C.10 D.12
9.如图，AB⊥AC，AG⊥BG，CD、BE分别是∠ACB，∠ABC的角平分线，AG∥BC，下列结论：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°、其中正确的结论是（ ）www-2-1-cnjy-com
A.①③ B.②④ C.①③④ D.①②③④
10.如图，任意画一个∠A=60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③AP=PC；④BD+CE=BC；⑤S△PBD+S△PCE=S△PBC，其中正确的个数是（ ）2-1-c-n-j-y
A.2 B.3 C.4 D.5
二.填空题（每小题3分 共24分）
11.如图，OP平分∠AOB，∠BCP=40°，CP∥OA，PD⊥OA于点D，则∠OPD= °.
12.如图，BE是△ABC的角平分线，过点E作ED⊥BC于D，若AB=4，DE=2，则△ABE的面积是 .21*cnjy*com
13.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，点O到BC边的距离为3，且△ABC的周长为20，则△ABC的面积为 .【出处：21教育名师】
14.如图，△ABC的三边AB，CA，BC的长分别为40，50，60，其三条角平分线交与点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= .【版权所有：21教育】
15.O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，若∠A=56°，则∠BOC= °.
16.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是角平分线，BE是中线，则下列结论：①BD=CD；②∠DAB=45°；③∠ABE=∠CBE；④∠ABC+∠ACB=90°；⑤S△ABC=S△ABE.其中所有正确的结论是 （只填写序号）21教育名师原创作品
17.如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”.根据上述规定，“距离坐标”是（1，1）的点共有 个.21*cnjy*com
18.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为64和42，则△EDF的面积为
三.解答题（共10小题）
19.（5分）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，
求证： .
请你补全已知和求证，并写出证明过程.
20.（7分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.www.21-cn-jy.com
（1）求证：CD=BE；
（2）已知CD=2，求AC的长；
（3）求证：AB=AC+CD.
21.（6分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF.
求证：AD是△ABC的角平分线.
22.（7分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE、AC、DE这三条线段之间有怎样的数量关系？请说明理由.【来源：21cnj*y.co*m】
23.（7分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为点E，∠C=48°，∠ADE=∠B，求∠B的度数.
24.（7分）如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC.
（1）求证：OC平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）求证：AB+CD=AC.
25.（7分）如图，∠ABC=60°，点D在AC上，BD=16，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，求：
（1）∠CBD的度数；
（2）DF的长度.
26.（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB=6，AC=4，若S△ABD=9，求S△ACD.
27.（6分）如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且AE=（AD+AB）.问：∠1和∠2有何关系？
28.（8分）（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE=DF，AE=AF.
（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN=∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+ =2AF，请加以证明.
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN=120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长.
2.解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，
∴∠AOP=∠AOB=30°，∴∠DPO=60°，∵PM=DM=4cm，∴∠MDP=∠DPM=60°，
∵∠PDO=90°，∴∠ODM=30°=∠AOP，∴OM=DM=4，∴OP=8，∴PD=OP=4，
∵点C是OB上一个动点，∴PC的最小值为P到OB距离，
∴PC的最小值=PD=4，故选C.
3.解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P.故选D.
4.解：∵OP是∠MON 的平分线，且GE⊥OM，GF⊥ON，
∴GE=GF，（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）故选：D.
5.解：在△APD和△APE中，
，∴△APD≌△APE（AAS），故选：B.
6.解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C.故选C.
7.解：作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等.故选D.
8.解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AB=8，CD=2，∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，∴DE=CD=2，
∴△ABD的面积=AB?DE=×8×2=8.故选B.
10.解：∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠PBC+∠PCB=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣60°）=60°，
∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣60°=120°，①正确；
∵∠BPC=120°，∴∠DPE=120°，
过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴AP是∠BAC的平分线，②正确；PF=PG=PH，
∵∠BAC=60°∠AFP=∠AGP=90°，∴∠FPG=120°，
∴∠DPF=∠EPG，在△PFD与△PGE中，，
∴△PFD≌△PGE（ASA），∴PD=PE，
在Rt△BHP与Rt△BFP中，，∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，∴BH=BD+DF，CH=CE﹣GE，
两式相加得，BH+CH=BD+DF+CE﹣GE，∵DF=EG，∴BC=BD+CE，④正确；
∴S△PBD+S△PCE=S△PBC，⑤正确；正确的个数有4个，故选：C.
二.填空题（每小题3分共24）
11. 70 °.
解：∵CP∥OA，
∴∠AOB=∠BCP=40°，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP=∠AOB=20°，
∵PD⊥OA，
∴∠OPD=90°﹣20°=70°，
12. 6 .
解：过E作EF⊥AB于F，
∵ED⊥BC，BE是△ABC的角平分线，
∴ED=EF=2，
∴△ABE的面积=×AB?EF=3×4=6，故答案为：6.
13. 30 .
解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=3，
同理OF=OD=3，
△ABC的面积=×AB×3+×AC×3+×BC×3=30.故答案为：30.
14. 4：6：5 .
解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB?OD）：（BC?OF）：（AC?OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6.故答案为：4：5：6.21教育网
15.118 °.
解：∵O到三角形三边距离相等，∴O是内心，
∴AO，BO，CO都是角平分线，
∴∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，
∠ABC+∠ACB=180°﹣56°=124°，
∠OBC+∠OCB=62°，
∠BOC=180°﹣62°=118°.故答案为：118.
16. ②④
解：∵AD是角平分线，
∴BD与CD不一定相等，①错误；
∵∠BAC=90°，AD是角平分线，
∴∠DAB=∠BAC=45°，②正确；
∵BE是中线，
∴∠ABE与∠CBE不一定相等，③错误；
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，④正确；
由图形可知，S△ABC＞S△ABE，⑤错误，故答案为：②④.
17. 4 .
解：到l1的距离是1的点，在与l1平行且与l1的距离是1的两条直线上；
到l2的距离是1的点，在与l2平行且与l2的距离是1的两条直线上；
以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是（1，1）的点共有4个.
18. 12 .
解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴SRt△ADF=SRt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴SRt△DEF=SRt△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为64和42，
∴42+SRt△DEF=64﹣SRt△DGH，∴SRt△DEF=12.故答案为12.
三.解答题（共10小题总共66分）
（2）解：∵由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE=BE=CD，
∴DE=BE=CD=2，
∴BD===2，
∴AC=BC=CD+BD=2+2；
（3）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD=DE.
在Rt△ACD与Rt△AED中，
∵，∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE=AC.
∵由（1）知CD=BE，
∴AB=AE+BE=AC+CD.
21.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形.
，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线.
22.解：AE+DE=AC=3cm.
理由如下：∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE=CE，
由图可知，AC=AE+CE，
所以，AC=AE+DE=3cm.
23.解：∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=90°﹣∠C=42°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，又∠ADE=∠B，
∴∠ADC=∠AED=90°，
∴∠ADE=90°﹣∠CDE=48°，
∴∠B=48°.
24.证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，
∴OB=OE，
∵点O为BD的中点，
∴OB=OD，
∴OE=OD，
∴OC平分∠ACD；
（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB=∠AOE，
同理求出∠COD=∠COE，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，
∴OA⊥OC；
（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB=AE，
同理可得CD=CE，
∵AC=AE+CE，
∴AB+CD=AC.
27.略证：∠1与∠2互补.
法1：作CF⊥AN于F（如图），
∵∠3=∠4，CE⊥AM，
∴CF=CE，∠CFA=∠CEA=90°，
Rt△ACF≌Rt△ACE，
∴AF=AE.
∵AE=（AD+AB）=（AF﹣DF+AE+EB）=AE+（BE﹣DF），
∴BE﹣DF=0，
∴BE=DF，
∴△DFC≌△BEC（SAS），
∴∠5=∠2，
∵∠1+∠5=180°，
∴∠1+∠2=180°；
法2：在AM上截取AF=AD，连接CF（如图），
∵∠3=∠4，AC为公共边，
∴△ADC≌△AFC，
∴∠1=∠5，
∵AE=（AD+AB）=（AF+AE+EB）=（AE﹣EF+AE+EB），
∴EB﹣EF=0，所以EF=EB，
又∵CE⊥AB，
∴BC=FC，∴∠2=∠6，
∵∠5+∠6=180°，
∴∠1+∠2=180°.
28.（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴DE=DF，AE=AF；
（2）解：AM+AN=2AF；
证明如下：由（1）得DE=DF，
∵∠MDN=∠EDF，
∴∠MDE=∠NDF，
在△MDE和△NDF中，
，
∴△MDE≌△NDF（ASA），
∴ME=NF，
∴AM+AN=（AE+ME）+（AF﹣NF）=AE+AF=2AF；
（3）由（2）可知AM+AN=2AC=2×6=12，
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于D，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵ND∥AB，
∴∠ADN=∠BAD=30°，
∴∠CAD=∠ADN，
∴AN=DN，
在Rt△CDN中，DN=2CN，
∵AC=6，
∴DN=AN=×6=4，
∵∠BAC=60°，∠MDN=120°，
∴∠CDE=∠MDN，
∴DM=DN=4，
∴四边形AMDN的周长=12+4×2=20.
本卷共三大题满分 120分 时间120分钟
一.选择题（每小题3分 共30分）
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，∠C的平分线与∠ABC的外角的平分线交于E点，则∠AEB是（ ）21世纪教育网版权所有
A.50° B.45° C.40° D.35°
2.如图，点P在∠AOB的角平分线上，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，M在OP上，且DM=MP=4，若C是OB上的动点，则PC的最小值是（ ）21cnjy.com
A.2 B.3 C.4 D.6
3.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（ ）
A.线段CD的中点 B.OA与OB的中垂线的交点
C.OA与CD的中垂线的交点 D.CD与∠AOB的平分线的交点
4.下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（ ）
B. C. D.
5.如图，点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，则△APD与△APE全等的理由是（ ）21·cn·jy·com
A.SAS B.AAS C.SSS D.HL
6.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）2·1·c·n·j·y
A.1：1：1 B.1：2：3 C.2：3：4 D.3：4：5
7.如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（ ） 21·世纪*教育网
A.6 B.8 C.10 D.12
9.如图，AB⊥AC，AG⊥BG，CD、BE分别是∠ACB，∠ABC的角平分线，AG∥BC，下列结论：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°、其中正确的结论是（ ）www-2-1-cnjy-com
A.①③ B.②④ C.①③④ D.①②③④
10.如图，任意画一个∠A=60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③AP=PC；④BD+CE=BC；⑤S△PBD+S△PCE=S△PBC，其中正确的个数是（ ）2-1-c-n-j-y
A.2 B.3 C.4 D.5
二.填空题（每小题3分 共24分）
11.如图，OP平分∠AOB，∠BCP=40°，CP∥OA，PD⊥OA于点D，则∠OPD= °.
12.如图，BE是△ABC的角平分线，过点E作ED⊥BC于D，若AB=4，DE=2，则△ABE的面积是 .21*cnjy*com
13.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，点O到BC边的距离为3，且△ABC的周长为20，则△ABC的面积为 .【出处：21教育名师】
14.如图，△ABC的三边AB，CA，BC的长分别为40，50，60，其三条角平分线交与点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= .【版权所有：21教育】
15.O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，若∠A=56°，则∠BOC= °.
16.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是角平分线，BE是中线，则下列结论：①BD=CD；②∠DAB=45°；③∠ABE=∠CBE；④∠ABC+∠ACB=90°；⑤S△ABC=S△ABE.其中所有正确的结论是 （只填写序号）21教育名师原创作品
17.如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”.根据上述规定，“距离坐标”是（1，1）的点共有 个.21*cnjy*com
18.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为64和42，则△EDF的面积为
三.解答题（共10小题）
19.（5分）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，
求证： .
请你补全已知和求证，并写出证明过程.
20.（7分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.www.21-cn-jy.com
（1）求证：CD=BE；
（2）已知CD=2，求AC的长；
（3）求证：AB=AC+CD.
21.（6分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF.
求证：AD是△ABC的角平分线.
22.（7分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE、AC、DE这三条线段之间有怎样的数量关系？请说明理由.【来源：21cnj*y.co*m】
23.（7分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为点E，∠C=48°，∠ADE=∠B，求∠B的度数.
24.（7分）如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC.
（1）求证：OC平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）求证：AB+CD=AC.
25.（7分）如图，∠ABC=60°，点D在AC上，BD=16，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，求：
（1）∠CBD的度数；
（2）DF的长度.
26.（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB=6，AC=4，若S△ABD=9，求S△ACD.
27.（6分）如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且AE=（AD+AB）.问：∠1和∠2有何关系？
28.（8分）（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE=DF，AE=AF.
（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN=∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+ =2AF，请加以证明.
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN=120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长.
2.解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，
∴∠AOP=∠AOB=30°，∴∠DPO=60°，∵PM=DM=4cm，∴∠MDP=∠DPM=60°，
∵∠PDO=90°，∴∠ODM=30°=∠AOP，∴OM=DM=4，∴OP=8，∴PD=OP=4，
∵点C是OB上一个动点，∴PC的最小值为P到OB距离，
∴PC的最小值=PD=4，故选C.
3.解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P.故选D.
4.解：∵OP是∠MON 的平分线，且GE⊥OM，GF⊥ON，
∴GE=GF，（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）故选：D.
5.解：在△APD和△APE中，
，∴△APD≌△APE（AAS），故选：B.
6.解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C.故选C.
7.解：作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等.故选D.
8.解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AB=8，CD=2，∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，∴DE=CD=2，
∴△ABD的面积=AB?DE=×8×2=8.故选B.
10.解：∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠PBC+∠PCB=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣60°）=60°，
∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣60°=120°，①正确；
∵∠BPC=120°，∴∠DPE=120°，
过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴AP是∠BAC的平分线，②正确；PF=PG=PH，
∵∠BAC=60°∠AFP=∠AGP=90°，∴∠FPG=120°，
∴∠DPF=∠EPG，在△PFD与△PGE中，，
∴△PFD≌△PGE（ASA），∴PD=PE，
在Rt△BHP与Rt△BFP中，，∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，∴BH=BD+DF，CH=CE﹣GE，
两式相加得，BH+CH=BD+DF+CE﹣GE，∵DF=EG，∴BC=BD+CE，④正确；
∴S△PBD+S△PCE=S△PBC，⑤正确；正确的个数有4个，故选：C.
二.填空题（每小题3分共24）
11. 70 °.
解：∵CP∥OA，
∴∠AOB=∠BCP=40°，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP=∠AOB=20°，
∵PD⊥OA，
∴∠OPD=90°﹣20°=70°，
12. 6 .
解：过E作EF⊥AB于F，
∵ED⊥BC，BE是△ABC的角平分线，
∴ED=EF=2，
∴△ABE的面积=×AB?EF=3×4=6，故答案为：6.
13. 30 .
解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=3，
同理OF=OD=3，
△ABC的面积=×AB×3+×AC×3+×BC×3=30.故答案为：30.
14. 4：6：5 .
解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB?OD）：（BC?OF）：（AC?OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6.故答案为：4：5：6.21教育网
15.118 °.
解：∵O到三角形三边距离相等，∴O是内心，
∴AO，BO，CO都是角平分线，
∴∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，
∠ABC+∠ACB=180°﹣56°=124°，
∠OBC+∠OCB=62°，
∠BOC=180°﹣62°=118°.故答案为：118.
16. ②④
解：∵AD是角平分线，
∴BD与CD不一定相等，①错误；
∵∠BAC=90°，AD是角平分线，
∴∠DAB=∠BAC=45°，②正确；
∵BE是中线，
∴∠ABE与∠CBE不一定相等，③错误；
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，④正确；
由图形可知，S△ABC＞S△ABE，⑤错误，故答案为：②④.
17. 4 .
解：到l1的距离是1的点，在与l1平行且与l1的距离是1的两条直线上；
到l2的距离是1的点，在与l2平行且与l2的距离是1的两条直线上；
以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是（1，1）的点共有4个.
18. 12 .
解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴SRt△ADF=SRt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴SRt△DEF=SRt△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为64和42，
∴42+SRt△DEF=64﹣SRt△DGH，∴SRt△DEF=12.故答案为12.
三.解答题（共10小题总共66分）
（2）解：∵由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE=BE=CD，
∴DE=BE=CD=2，
∴BD===2，
∴AC=BC=CD+BD=2+2；
（3）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD=DE.
在Rt△ACD与Rt△AED中，
∵，∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE=AC.
∵由（1）知CD=BE，
∴AB=AE+BE=AC+CD.
21.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形.
，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线.
22.解：AE+DE=AC=3cm.
理由如下：∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE=CE，
由图可知，AC=AE+CE，
所以，AC=AE+DE=3cm.
23.解：∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=90°﹣∠C=42°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，又∠ADE=∠B，
∴∠ADC=∠AED=90°，
∴∠ADE=90°﹣∠CDE=48°，
∴∠B=48°.
24.证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，
∴OB=OE，
∵点O为BD的中点，
∴OB=OD，
∴OE=OD，
∴OC平分∠ACD；
（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB=∠AOE，
同理求出∠COD=∠COE，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，
∴OA⊥OC；
（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB=AE，
同理可得CD=CE，
∵AC=AE+CE，
∴AB+CD=AC.
27.略证：∠1与∠2互补.
法1：作CF⊥AN于F（如图），
∵∠3=∠4，CE⊥AM，
∴CF=CE，∠CFA=∠CEA=90°，
Rt△ACF≌Rt△ACE，
∴AF=AE.
∵AE=（AD+AB）=（AF﹣DF+AE+EB）=AE+（BE﹣DF），
∴BE﹣DF=0，
∴BE=DF，
∴△DFC≌△BEC（SAS），
∴∠5=∠2，
∵∠1+∠5=180°，
∴∠1+∠2=180°；
法2：在AM上截取AF=AD，连接CF（如图），
∵∠3=∠4，AC为公共边，
∴△ADC≌△AFC，
∴∠1=∠5，
∵AE=（AD+AB）=（AF+AE+EB）=（AE﹣EF+AE+EB），
∴EB﹣EF=0，所以EF=EB，
又∵CE⊥AB，
∴BC=FC，∴∠2=∠6，
∵∠5+∠6=180°，
∴∠1+∠2=180°.
28.（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴DE=DF，AE=AF；
（2）解：AM+AN=2AF；
证明如下：由（1）得DE=DF，
∵∠MDN=∠EDF，
∴∠MDE=∠NDF，
在△MDE和△NDF中，
，
∴△MDE≌△NDF（ASA），
∴ME=NF，
∴AM+AN=（AE+ME）+（AF﹣NF）=AE+AF=2AF；
（3）由（2）可知AM+AN=2AC=2×6=12，
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于D，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵ND∥AB，
∴∠ADN=∠BAD=30°，
∴∠CAD=∠ADN，
∴AN=DN，
在Rt△CDN中，DN=2CN，
∵AC=6，
∴DN=AN=×6=4，
∵∠BAC=60°，∠MDN=120°，
∴∠CDE=∠MDN，
∴DM=DN=4，
∴四边形AMDN的周长=12+4×2=20.