【北师大版】2017-2018学年高中数学必修1学业分层测评（24份，Word版，含答案）

学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·雅安检测)已知集合A＝{x|－1A．{x|0B．{x|－1C．{x|2D．{x|－1【解析】　∵ RB＝{x|x≤0，或x≥4}，∴A∩( RB)＝{x|－1【答案】　B
2．(2016·武昌检测)已知全集U＝R，A＝，B＝{x|x≤－4}，C＝，则集合C＝(　　)
A．A∩B
B．A∪B
C． U(A∩B)
D． U(A∪B)
【解析】　因为A∪B＝，故 U(A∪B)＝.
【答案】　D
3．(2016·瑞安市高一月考)图1 3 5中的阴影表示的集合是(　　)
图1 3 5
A．( UA)∩B
B．( UB)∩B
C． U(A∩B)
D． U(A∪B)
【解析】　由图像可知，阴影部分的元素是由属于集合B，但不属于集合A的元素构成，则对应的集合为( UA)∩B.故选A.
【答案】　A
4．已知U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则[A∩( UB)]∪[B∩( UA)]＝(　　)
A．
B．{x|x≤0}
C．{x|x>－1}
D．{x|x>0，或x≤－1}
【解析】　由题可知 UA＝{x|x≤0}，
UB＝{x|x>－1}，
∴A∩( UB)＝{x|x>0}，
B∩( UA)＝{x|x≤－1}，
∴[A∩( UB)]∪[B∩( UA)]＝{x|x>0，或x≤－1}．
【答案】　D
5．已知集合A＝{x|xA．a≤2
B．a<1
C．a≥2
D．a>2
【解析】　 RB＝{x|x≤1，或x≥2}，∵A∪( RB)＝R，
∴a≥2.
【答案】　C
二、填空题
6．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x<5}，则 AB＝________.
【解析】　把集合A看作全集，故 AB＝{x|0≤x<2，或x＝5}．
【答案】　{x|0≤x<2，或x＝5}
7．如果S＝{x∈N|x<6}，A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，那么( SA)∪( SB)＝________.
【解析】　S＝{0,1,2,3,4,5}，( SA)∪( SB)＝ S(A∩B)＝{0,1,3,4,5}．
【答案】　{0,1,3,4,5}
8．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1,2}，则实数m＝________.
【导学号：04100011】
【解析】　∵U＝{0,1,2,3}， UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，
∴0＋3＝－m，∴m＝－3.
【答案】　－3
三、解答题
9．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2【解】　把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：
由图可知 UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2 U(A∩B)＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
( UA)∩B＝{x|－310．设全集U＝{x∈Z||x|<4}，a∈U，集合A＝{x|(x－1)(x－a)＝0}，B＝{x|x2＋2x－3＝0}，求( UA)∩B.
【解】　U＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，
A＝{a,1}，B＝{－3,1}，
∴当a＝1时，( UA)∩B＝{－3}；
当a＝－3时，( UA)∩B＝ ；
当a≠1，－3时，( UA)∩B＝{－3}．
综上，a＝－3时，( UA)∩B＝ ；
a≠－3，a∈U时，( UA)∩B＝{－3}．
[能力提升]
1．已知全集U＝{x|－1A．a<9
B．a≤9
C．a≥9
D．1【解析】　由题意知，集合A≠ ，所以a>1，
又因为A是U的子集故需a≤9，
所以a的取值范围是1【答案】　D
2．(2016·抚顺模拟)已知全集U＝Z，P＝{－2，－1,1,2}，Q＝{x|x2－3x＋2＝0}，则图1 3 6中阴影部分表示的集合为(　　)
图1 3 6
A．{－1，－2}
B．{1,2}
C．{－2,1}
D．{－1,2}
【解析】　由Venn图可知，阴影部分的元素为属于P且不属于Q的元素构成，所以用集合表示为P∩( UQ)，
又Q＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，所以P∩( UQ)＝{－1，－2}．故选A.
【答案】　A
3．(2016·温州高一检测)已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，若B∪( UB)＝A，则 UB＝________.
【解析】　∵B∪( UB)＝A，∴U＝A.
∴x2∈A，∴x2＝3或x2＝x，
解得x＝±，0.
当x＝时，B＝{1,3}， UB＝{}，
当x＝－时，B＝{1,3}， UB＝{－}，
当x＝0时，B＝{1,0}， UB＝{3}．
【答案】　{}或{－}或{3}
4．已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|m－2≤x≤m＋2，x∈R}．
(1)若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值；
(2)若A∩( RB)＝A，求实数m的取值范围．
【解】　(1)因为A∩B＝{x|0≤x≤3}，
所以
所以所以m＝2.
(2) RB＝{x|xx>m＋2}，由已知可得A RB，所以
m－2>3或m＋2<－1，所以m>5或m<－3.
故实数m的取值范围为{m|m>5，或m<－3}．学业分层测评(十七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．log242＋log243＋log244等于(　　)
A．1　
B．2
C．24
D.
【解析】　log242＋log243＋log244＝log24(2×3×4)＝log2424＝1.故选A.
【答案】　A
2．化简log612－2log6的结果为(　　)
A．6
B．12
C．log6
D.
【解析】　原式＝log6－log62＝log6＝log6.故选C.
【答案】　C
3．方程(lg
x)2＋(lg
2＋lg
3)lg
x＋lg
2lg
3＝0的两根的积x1x2＝(　　)
A．lg
2＋lg
3
B．lg
2lg
3
C.
D．－6
【解析】　∵lg
x1＋lg
x2＝－(lg
2＋lg
3)，
∴lg(x1x2)＝－lg
6＝lg
6－1＝lg
，
∴x1x2＝.故选C.
【答案】　C
4．已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＝bB．a＝b>c
C．aD．a>b>c
【解析】　a＝log23＋log2＝log23，b＝log29－log2＝log2＝log23>1，又c＝log32<1，故a＝b>c.
【答案】　B
5．(2016·邢台高一检测)若lg
2＝a，lg
3＝b，则lg＝(　　)
A．a＋3b
B.a＋b
C.a＋b
D．a＋b
【解析】　lg＝lg
54＝lg
6＋lg
9＝lg
6＋lg
3＝(lg
2＋lg
3)＋lg3＝(a＋b)＋b＝a＋b.
【答案】　B
二、填空题
6．已知a＝(a>0)，则loga＝________.
【解析】　∵a＝，∴a2＝，
∴a＝＝3，
∴loga＝log3＝3.
【答案】　3
7．计算÷100－＝__________.
【解析】　÷100－＝÷10－1
＝－2×10＝－20.
【答案】　－20
8．(2015·四川高考)lg
0.01＋log216的值是________．
【解析】　lg
0.01＋log216＝lg
＋log224＝－2＋4＝2.
【答案】　2
三、解答题
9．计算：(1)lg
14－2lg
＋lg
7－lg
18；
(2)lg－lg＋lg
.
【导学号：04100056】
【解】　法一：lg
14－2lg
＋lg
7－lg
18
＝lg(2×7)－2(lg
7－lg
3)＋lg
7－lg(32×2)
＝lg
2＋lg
7－2lg
7＋2lg
3＋lg
7－2lg
3－lg
2＝0.
法二：lg
14－2lg
＋lg
7－lg
18
＝lg
14－lg2＋lg
7－lg
18＝lg
＝lg
1＝0.
(2)原式＝(5lg
2－2lg
7)－·lg2＋(2lg
7＋lg
5)
＝lg
2－lg
7－2lg
2＋lg
7＋lg
5
＝lg
2＋lg
5
＝(lg2＋lg5)＝lg
10＝.
10．解方程(lg
x)2＋lg
x5－6＝0.
【解】　原方程可化为(lg
x)2＋5lg
x－6＝0，
即(lg
x＋6)(lg
x－1)＝0，
等价于lg
x＝－6或lg
x＝1，
解得x＝10－6或x＝10.
经检验x＝10－6和x＝10都是原方程的解，
所以原方程的解为x＝10－6或x＝10.
[能力提升]
1．计算log3＋lg
25＋lg
4＋7log72的值为(　　)
A．－
B．4
C．－
D.
【解析】　原式＝log3－lg33＋lg52＋lg22＋2
＝log333－1＋2lg5＋2lg2＋2
＝－1＋2＋2
＝.
【答案】　D
2．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　因为2＋log23<2＋log24＝4,3＋log23>3＋log22＝4，
故f(2＋log23)＝f(2＋log23＋1)＝f(3＋log23)＝3＋log23＝3·＝×＝.
【答案】　A
3．若lg2＝a，lg3＝b，则用a，b表示lg＝________.
【解析】　lg＝lg45＝lg(5×9)＝lg5＋lg
9＝(1－lg2)＋lg3＝－lg2＋lg3＋＝－a＋b＋.
【答案】　－a＋b＋
4．求下列各式的值：
(1)log535＋2log5－log5－log514；
(2)[(1－log63)2＋log6
2·log618]÷log64；
(3)lg
5(lg
8＋lg
1
000)＋(lg
2)2＋lg
0.06＋lg.
【解】　(1)原式＝log535＋log52－log5－log514
＝log5＝log5＝log525＝2.
(2)原式＝÷log64
＝[(log62)2＋log62(log636－log62)]÷log64
＝[(log62)2＋2log62－(log62)2]÷log64
＝2log62÷log64＝log64÷log64＝1.
(3)原式＝lg
5(3lg
2＋3)＋3(lg
2)2＋lg－lg
6
＝lg
5(3lg
2＋3)＋3(lg
2)2＋lg
6－2－lg
6
＝3·lg
5·lg
2＋3lg
5＋3·(lg
2)2－2
＝3lg
2(lg
2＋lg
5)＋3lg
5－2＝3lg
2＋3lg
5－2
＝3(lg
2＋lg
5)－2＝3－2＝1.学业分层测评(十九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y＝的定义域是(　　)
A．(3，＋∞)
B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞)
D．[4，＋∞)
【解析】　由题意得
解得x≥4.
【答案】　D
2．设集合M＝，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N等于(　　)
A．(－∞，0)∪[1，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，1]
D．(－∞，0)∪(0,1)
【解析】　M＝(0,1]，N＝(－∞，0]，
因此M∪N＝(－∞，1]．
【答案】　C
3．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)的反函数为g(x)，且满足g(2)<0，则函数g(x＋1)的图像是下图中的(　　)
【解析】　由y＝ax得x＝logay，
∴g(x)＝logax.
又g(2)<0，∴0【答案】　A
4．(2016·南安高一检测)已知函数f(x)＝loga(2x－1)(a>0，a≠1)的图像恒过定点P，则P点的坐标是(　　)
A．(0,1)
B．(1,0)
C.
D．(1,1)
【解析】　由对数函数的图像知，当2x－1＝1即x＝1时，不论a取何值，y＝0，即过定点(1,0)．
【答案】　B
5．函数y＝log2x，x∈的值域为(　　)
A．[2,4]
B．[－1,2]
C．[－2,2]
D．[－2,1]
【解析】　因为≤x≤4，故log2≤log2x≤log24，故－2≤log2x≤2.
【答案】　C
二、填空题
6．若函数y＝logax的反函数过点，则a＝________.
【解析】　函数y＝logax的反函数过点，
则函数y＝logax过点，
则loga＝2，即a2＝，a＝.
【答案】　
7．函数y＝log(x＋1)(16－4x)的定义域为________．
【解析】　由得
∴所求函数定义域为{x|－1【答案】　{x|－18．函数f(x)＝log2x在区间[a,2a](a>0)上最大值与最小值之差为________．
【解析】　∵f(x)＝log2x在区间[a,2a]上是增函数，
∴f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝
log2(2a)－log2a＝1.
【答案】　1
三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)y＝log3(1－x)；
(2)y＝；
(3)y＝log7.
【解】　(1)∵当1－x>0，即x<1时，函数y＝log3(1－x)有意义，
∴函数y＝log3(1－x)的定义域为(－∞，1)．
(2)由log2x≠0，得x>0且x≠1.
∴函数y＝的定义域为{x|x>0且x≠1}．
(3)由>0，得x<，
∴函数y＝log7的定义域为.
10．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图像；
(2)若f(a)【解】　(1)作出函数y＝log3x的图像如图所示．
(2)由图像知：当0∴所求a的取值范围为(0,2)．
[能力提升]
1．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为(　　)
A．(2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．[2，＋∞)
D．[3，＋∞)
【解析】　因为x≥1，故log2x≥log21＝0，故2＋log2x≥2，
故函数y＝2＋log2x的值域为[2，＋∞)．
【答案】　C
2．已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像只能是(　　)
【解析】　若01，y＝ax图像上升且过(0,1)，y＝loga(－x)的图像下降且过(－1,0)．
【答案】　B
3．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________．【导学号：04100062】
【解析】　当x≤1时，由21－x≤2，得1－x≤1，解得x≥0，故0≤x≤1；
当x>1时，由1－log2x≤2，得log2x≥－1，解得x≥，故x>1.
综上x≥0.
【答案】　[0，＋∞)
4．已知函数y＝log2x的图像，如何得到y＝log2(x＋1)的图像，y＝log2(x＋1)的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？
【解】　y＝log2xy＝log2(x＋1)，如图．
定义域为(－1，＋∞)，值域为R，
与x轴的交点是(0,0).学业分层测评(十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y＝3＋2x－x2(0≤x≤3)的最小值为(　　)
A．－1
B．0
C．3
D．4
【解析】　y＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4，∵0≤x≤3，
∴当x＝3时，ymin＝3＋6－9＝0.
【答案】　B
2．若抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，则m的值为(　　)
A．－3
B．3
C．－2　　　
D．2
【解析】　由题意知其对称轴为x＝－＝＝0，即m＝2.
【答案】　D
3．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是(　　)
A．(－∞，0]
B．[0,1)
C．[1，＋∞)
D．[－1,0]
【解析】　g(x)＝如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.
【答案】　B
4．若f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，则(　　)
A．f(4)＜f(1)＜f(2)
B．f(2)＜f(1)＜f(4)
C．f(2)＜f(4)＜f(1)
D．f(4)＜f(2)＜f(1)
【解析】　f(x)的对称轴为x＝2，所以f(2)最小．又x＝4比x＝1距对称轴远，故f(4)＞f(1)，即f(2)＜f(1)＜f(4)．
【答案】　B
5．(2016·资阳高一检测)已知函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m>0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是(　　)
A．[1,2]
B．(0,1]
C．(0,2]
D．[1，＋∞)
【解析】　f(x)＝(x－1)2＋3，
f(x)的对称轴为x＝1，f(x)在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
当x＝1时，f(x)取到最小值3，
当x＝0或2时，f(x)取到最大值4，
所以m∈[1,2]．
【答案】　A
二、填空题
6．(2016·丹东高一检测)函数y＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－1的图像与x轴只有一个交点，则实数m的取值集合为________．
【解析】　当m＝1时，f(x)＝4x－1，其图像和x轴只有一个交点，
当m≠1时，依题意，有Δ＝4(m＋1)2＋4(m－1)＝0，
即m2＋3m＝0，解得m＝－3或m＝0，
所以m的取值集合为{－3,0,1}．
【答案】　{－3,0,1}
7．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b]上(a【解析】　二次函数的对称轴为x＝－＝3，
∴函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b]上是增函数．
∴解得
∵a【答案】　－2　0
8．(2016·温州模拟)研究发现，某公司年初三个月的月产值y(万元)与月份x近似地满足关系式y＝ax2＋bx＋c，已知1月份产值为4万元，2月份的产值为11万元，3月份的产值为22万元，由此预测4月份的产值为________万元．
【解析】　由题意解得所以y＝2x2＋x＋1，当x＝4时，y＝2×42＋4＋1＝37(万元)．
【答案】　37
三、解答题
9．已知二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，且g(x)＝－2x2－x－2，f(x)图像的对称轴为x＝－1，且过点(0,6)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)在[－2,3]上的最大值和最小值．
【解】　(1)设f(x)＝－2x2＋bx＋c，由题意得
∴
∴f(x)＝－2x2－4x＋6.
(2)∵f(x)＝－2(x＋1)2＋8，x∈[－2,3]，
∴x＝－1时，f(x)max＝8，
x＝3时，f(x)min＝－24.
10．某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在相同的时间内，产量减少3件，如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件．
(1)请写出相同时间内产品的总利润y与档次x之间的函数关系式，并写出x的定义域．
(2)在同样的时间内，生产哪一档次产品的总利润最大？并求出最大利润.
【导学号：04100032】
【解】　(1)由题意知，生产第x个档次的产品每件的利润为8＋2(x－1)元，该档次的产量为60－3(x－1)件．则相同时间内第x档次的总利润：
y＝(2x＋6)(63－3x)＝－6x2＋108x＋378，其中x∈{x∈N＋|1≤x≤10}．
(2)y＝－6x2＋108x＋378＝－6(x－9)2＋864，则当x＝9时，y有最大值864.
故在相同的时间内，生产第9档次的产品的总利润最大，最大利润为864元．
[能力提升]
1．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是减函数，那么f(2)的取值范围是(　　)
A．(－∞，7]
B．(－∞，7)
C．(7，＋∞)
D．[7，＋∞)
【解析】　由题意知对称轴x＝－≥，解得a≥2，所以f(2)＝4－2(a－1)＋5＝11－2a≤11－2×2＝7.
【答案】　A
2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x(单位：辆)为销售量．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　)
A．45.606万元
B．45.56万元
C．45.6万元
D．45.51万元
【解析】　设该公司在甲地销售了x辆车，在乙地销售了(15－x)辆车，
获得的总利润为y，由题意得
y＝5.06x－0.15x2＋2×(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15，x∈N)．
此函数的图像开口向下，对称轴为直线x＝10.2，
所以当x＝10时，y取得最大值45.6，即获得的最大利润为45.6万元．
【答案】　C
3．已知g(x)＝－x2－4，f(x)为二次函数，满足f(x)＋g(x)＋f(－x)＋g(－x)＝0，且f(x)在[－1,2]上的最大值为7，则f(x)＝________.
【解析】　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
则f(x)＋g(x)＋f(－x)＋g(－x)＝－x2－4＋ax2＋bx＋c＋ax2－bx＋c－x2－4＝(2a－2)x2＋2c－8＝0，
∴解得∴f(x)＝x2＋bx＋4.
∴对称轴为x＝－.
当－≤，b≥－1时，f(x)max＝f(2)＝2b＋8＝7，解得b＝－.
当－>，b<－1时，f(x)max＝f(－1)＝1－b＋4＝7，解得b＝－2.
∴f(x)＝x2－x＋4或f(x)＝x2－2x＋4.
【答案】　x2－x＋4或x2－2x＋4
4.某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，计划如图2 4 3中矩形ABCD建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在边AM、AN上，假设AB的长度为x米．
图2 4 3
(1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式；
(2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，则AB的长度应在什么范围内？
【解】　(1)根据题意，得△NDC与△NAM相似，
∴＝，即＝，
解得AD＝20－x，
∴矩形ABCD的面积S关于x的函数为
S＝x(0＜x＜30)，即S＝20x－x2(0＜x＜30)．
(2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，即20x－x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0，
解得12≤x≤18.
∴AB的长度取值范围为[12,18]．学业分层测评(十八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.的值为(　　)
A．2　　　　　　　
B.
C．1
D.
【解析】　原式＝×＝＝.
【答案】　D
2．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是(　　)
A．a－2
B．3a－(1＋a)2
C．5a－2
D．1＋3a－a2
【解析】　∵a＝log32，
∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
【答案】　A
3.
(2016·石景山高一检测)若x＝60，则＋＋的值为(　　)
A．1
B.
C．2
D．以上都不对
【解析】　原式＝logx3＋logx4＋logx5＝logx60＝logxx＝1.
【答案】　A
4．设log34·log48·log8m＝log416，则m的值为(　　)
A.
B．9
C．18
D．27
【解析】　由题意得··＝
＝log416＝log442＝2，
∴＝2，
即lg
m＝2lg
3＝lg
9，
∴m＝9.
【答案】　B
5．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　)
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
【解析】　B中logab·logca＝·＝＝logcb，A、C、D中由对数的运算法则知不成立．
【答案】　B
二、填空题
6．计算：log43·log3＝________.
【解析】　原式＝·＝＝.
【答案】　
7．若mlog35＝1，n＝5m＋5－m，则n的值为________．
【解析】　∵mlog35＝1，
∴m＝＝log53，
∴n＝5m＋5－m＝5log53＋5－log53＝3＋5log5＝3＋＝.
【答案】　
8．已知log62＝p，log65＝q，则lg
5＝________.
【解析】　因为故＝，
故＝，则lg
5＝.
【答案】　
三、解答题
9．求下列各式的值：
(1)(2016·西城高一检测)log427·log258·log95；
(2)(2016·济南高一检测)log225·log3·log5.
【解】　(1)原式＝··
＝··＝.
(2)原式＝log252·log32－4·log53－2
＝··＝16.
10．已知x，y，z为正数，且3x＝4y＝6z.
(1)求使2x＝py的p的值；
(2)求证：＝－.
【导学号：04100059】
【解】　(1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·，
∵log3k≠0，
∴p＝2log34.
(2)证明：－＝－
＝logk6－logk3
＝logk2＝logk4
＝＝.
[能力提升]
1．设方程(lg
x)2－lg
x2－3＝0的两实根是a和b，则logab＋logba等于(　　)
A．1
B．－2
C．－
D．－4
【解析】　由(lg
x)2－lg
x2－3＝0，即(lg
x)2－2lg
x－3＝0，
解得lg
x＝3或lg
x＝－1，故x＝103或x＝10－1＝.
不妨令a＝103，b＝，
故logab＋logba＝log103＋log103＝－－3＝－.
【答案】　C
2．计算：1＋lg
2·lg
5－lg
2·lg
50－log35·log259·lg
5＝________.
【解析】　原式＝1＋lg
2·lg
5－lg
2(1＋lg
5)－··lg
5
＝1＋lg
2lg
5－lg
2－lg
2lg
5－··lg
5
＝1－lg
2－lg
5＝1－1＝0.
【答案】　0
3．某城市为加快现代化都市的建设，决定从2007年起逐年增加城市化面积．若每年的新增绿地亩数比上一年递增10%，则该市实现绿地面积翻两番大约是在哪一年？(参考数据：lg2＝0.301
0，lg1.1＝0.041
4)
【解】　若设该市2006年年底有绿地面积a，则经过1年，即2007年的绿地面积是a＋a·10%＝a(1＋10%)；再经过一年，即2008年的绿地面积是a(1＋10%)2；经过3年，即2009年的绿地面积是a(1＋10%)3，…，经过x年的绿地面积是a(1＋10%)x，依题意，a(1＋10%)x＝4a，即(1＋10%)x＝4，∴x＝log1.14＝≈15.∴大约经过15年，也就是到2022年该市的绿地面积将翻两倍．学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·抚州高一检测)给出下列关系：(1)∈R.(2)∈Q.(3)－3 Z.(4)－ N.其中正确的个数为(　　)
A．1　
B．2　　　　
C．3　　　　
D．4
【解析】　正确的有∈R，－ N，错误的有∈Q，－3 Z.
【答案】　B
2．(2016·吉州区高一月考)下列叙述正确的是(　　)
A．方程x2＋2x＋1＝0的根构成的集合为{－1，－1}
B．{x∈R|x2＋2＝0}＝{x∈R|}
C．集合M＝{(x，y)|x＋y＝5，xy＝6}表示的集合是{2,3}
D．集合{1,3,5}与集合{3,5,1}是不同的集合
【解析】　选项A中的集合不符合元素的互异性，错误；选项B中，{x∈R|x2＋2＝0}
＝{x∈R|}＝ ，正确；选项C中的集合是{(2,3)，(3,2)}，错误；选项D中集合是相等的集合，错误．故选B.
【答案】　B
3．集合A中含有两个元素a－3与2a－1，则实数a不能取的值是(　　)
A．±1
B．0　　　
C．－2　　　
D．2
【解析】　由集合中元素的互异性可知a－3≠2a－1，即a≠－2.
【答案】　C
4．(2016·郑州高一检测)已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【解析】　由集合元素的互异性可知，三边长a，b，c互不相等，从而△ABC一定不是等腰三角形．
【答案】　D
5．(2016·安溪县高一期末)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2,3}；x∈A且x B，则x＝(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】　∵集合A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2,3}，
又x∈A且x B，∴x＝4，故选D.
【答案】　D
二、填空题
6．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有__________个元素．
【解析】　方程x2－5x＋6＝0的解是2,3；方程x2－x－2＝0的解是－1,2.由集合元素的互异性知，以这两个方程的解为元素的集合中共有3个元素．
【答案】　3
7．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，用列举法表示集合C＝________.
【解析】　由题意知，集合C中的元素有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，用列举法表示为{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}．
【答案】　{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}
8．由实数t，|t|，t2，－t，t3，所构成的集合M中最多含有________个元素．
【解析】　因为|t|＝±t，故当t>0，如t＝2时，集合M可以由2,4，－2,8组成，故集合M中最多含有4个元素．
【答案】　4
三、解答题
9．选择适当的方法表示下列集合：
(1)能被12整除的正整数组成的集合；
(2)方程(2x－1)(x＋1)＝0的实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝2x＋5图像上所有点组成的集合．
【解】　(1)能被12整除的正整数有1,2,3,4,6,12，用集合表示为{1,2,3,4,6,12}．
(2)方程(2x－1)(x＋1)＝0的解为x1＝，x2＝－1，故方程的解集组成的集合为.
(3)点应用有序实数对(x，y)表示，故一次函数y＝2x＋5图像上所有点组成的集合为{(x，y)|y＝2x＋5}．
10．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，
(1)若－3∈A，试求实数a的值．
(2)若a∈A，试求实数a的值．
【解】　(1)因为－3∈A，
所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．
若－3＝2a－1，
则a＝－1.
此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
(2)因为a∈A，
所以a＝a－3或a＝2a－1.
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立．
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a＝1.
[能力提升]
1．(2016·抚州高一期末)若集合A＝{x|x2－7x<0，x∈N
}，则B＝中元素的个数为(　　)
A．3个
B．4个
C．1个
D．2个
【解析】　A＝{x|0}＝{1,2,3,4,5,6}，
∴集合B＝＝{1,2,3,6}中元素的个数为4个．故选B.
【答案】　B
2．(2016·双鸭山高一月考)已知集合A＝{－2,2}，B＝{m|m＝x＋y，x∈A，y∈A}，则集合B等于(　　)
A．{－4,4}
B．{－4,0,4}
C．{－4,0}
D．{0}
【解析】　∵集合A＝{－2,2}，B＝{m|m＝x＋y，x∈A，y∈A}，
∴集合B＝{－4,0,4}，故选B.
【答案】　B
3．已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a＋b,0}，则a2
017＋a2
016＝__________.
【解析】　依题意b＝0，∴＝{a,0,1}，{a2，a＋b,0}＝{a,0，a2}，
于是a2＝1，∴a＝－1或a＝1(舍去)，
故a＝－1，
∴a2
017＋a2
016＝0.
【答案】　0
4．已知数集M满足条件：若a∈M，则∈M(a≠0，a≠±1)，
(1)若3∈M，试由此确定M的其他元素；
(2)若a∈M(a≠0，a≠±1)，试由此确定M的其他元素.
【导学号：04100002】
【解】　(1)∵a＝3∈M，
∴＝＝－2∈M，
∴＝－∈M，
∴＝∈M，
∴＝3∈M.
∴M的其他元素为－2，－，.
(2)若a∈M(a≠0，a≠±1)，则∈M，
∴＝－∈M.
∵－∈M，∴＝∈M，
∴＝a∈M，再往下则循环．
∴若a∈M，则，－，也一定属于M.学业分层测评(十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．幂函数f(x)的图像过点(2，m)，且f(m)＝16，则实数m的值为(　　)
A．4或
B．±2
C．4或
D.或2
【解析】　设f(x)＝xα，则2α＝m，mα＝(2α)α＝2α2＝16，
∴α2＝4，∴α＝±2，∴m＝4或.
【答案】　C
2．函数f(x)＝x2＋(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．是非奇非偶函数
D．即是奇函数又是偶函数
【解析】　函数的定义域为[0，＋∞)，故函数f(x)是非奇非偶函数．
【答案】　C
3．(2016·济南高一检测)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)
A.　　　
B.
C.
D．1
【解析】　f(x)的定义域为.
∵f(x)为奇函数，∴定义域关于原点对称，∴a＝.
【答案】　A
4．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
【解析】　∵f(x)是偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．
又∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴f(π)＞f(3)＞f(2)，
即f(π)＞f(－3)＞f(－2)．
【答案】　A
5．定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则不等式xf(x)<0的解集为(　　)
A．(－3,0)∪(0,3)
B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
C．(－3,0)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
【解析】　∵f(x)为奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上是增函数．
当x>0，∵xf(x)<0，∴f(x)<0＝f(3)，∴0当x<0，∵xf(x)<0，∴f(x)>0＝f(－3)，∴－3∴不等式的解集为(－3,0)∪(0,3)．
【答案】　A
二、填空题
6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减小的，且f(3)＝0，则使f(x)<0的x的范围为________．
【解析】　由已知可得f(－3)＝f(3)＝0，结合函数的奇偶性和单调性可画出函数f(x)的大致图像(如图)．
由图像可知f(x)<0时，x的取值范围为(－3,3)．
【答案】　(－3,3)
7．设f(x)是奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝，则x∈(－∞，0)时，f(x)＝________.
【解析】　令x<0，∴－x>0，∴f(－x)＝，
∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝，∴f(x)＝－＝.
【答案】　
8．已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.
【解析】　g(－2)＝f(－2)＋9＝－f(2)＋9＝3，∴f(2)＝6.
【答案】　6
三、解答题
9．已知幂函数f(x)＝xα的图像经过点A.
(1)求实数α的值；
(2)用定义证明f(x)在区间(0，＋∞)内的单调性．
【解】　(1)f＝α＝，∴α＝－.
(2)证明：∵f(x)＝x－＝.
∴任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1∴f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
∵x1，x2∈(0，＋∞)，x1∴x2－x1>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
10．已知函数f(x)＝，令g(x)＝f.
(1)如图2 5 5，已知f(x)在区间[0，＋∞)上的图像，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像，请说明你的作图依据；
【导学号：04100035】
(2)求证：f(x)＋g(x)＝1(x≠0)．
图2 5 5
【解】　(1)∵f(x)＝，
所以f(x)的定义域为R，又对任意x∈R，都有f(－x)＝＝＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
故f(x)的图像关于y轴对称，其图像如图所示．
(2)证明：∵g(x)＝f＝＝(x≠0)，
∴f(x)＋g(x)＝＋＝＝1，
即f(x)＋g(x)＝1(x≠0)．
[能力提升]
1．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2x－1)A.
B.
C.
D.
【解析】　∵偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增加的，
∴f(x)在区间(－∞，0)上是减少的，
又f＝f，
f(2x－1)∴－<2x－1<，
∴【答案】　A
2．(2016·辽宁沈阳高一月考)已知定义域为R的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)函数为偶函数，则(　　)
A．f(6)＞f(7)
B．f(6)＞f(9)
C．f(7)＞f(9)
D．f(7)＞f(10)
【解析】　y＝f(x＋8)为偶函数 f(x＋8)＝f(－x＋8)，即y＝f(x)关于直线x＝8对称．又f(x)在(8，＋∞)上为减函数，故在(－∞，8)上为增函数，检验知选D.
【答案】　D
3．设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)的值是________．
【解析】　∵f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，
∴－4＝－g(2)，∴g(2)＝4.
【答案】　4
4．已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数且是减函数，若f(m－1)＋f(1－2m)≥0，求实数m的取值范围．
【解】　∵f(m－1)＋f(1－2m)≥0，
∴f(m－1)≥－f(1－2m)．
∵f(x)为奇函数，
∴f(m－1)≥f(2m－1)，
∵f(x)为减函数．
∴m－1≤2m－1，
∴m≥0.
∵f(x)的定义域为(－2,2)，
∴解得
∴－又m≥0，∴0≤m<.学业分层测评(十四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y＝的值域是(　　)
A．[0，＋∞)
B．[0,4]
C．[0,4)
D．(0,4)
【解析】　∵4x>0，∴0≤16－4x<16，
∴∈[0,4)．
【答案】　C
2．函数y＝2x＋1的图像是(　　)
【解析】　当x＝0时，y＝2，且函数单调递增，故选A.
【答案】　A
3．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，＋∞)
【解析】　由1－2x≥0得2x≤1，根据y＝2x的图像可得x≤0，选A.
【答案】　A
4．当x∈[－2,2)时，y＝3－x－1的值域是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　y＝3－x－1，在x∈[－2,2)上是减函数，
∴3－2－1【答案】　A
5．已知f(x)＝a－x(a>0且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(0,1)
【解析】　f(x)＝a－x＝x，
∵f(－2)>f(－3)，
∴－2>－3，即a2>a3.
∴a<1，即0【答案】　D
二、填空题
6．已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝________.
【解析】　因为－1<0，所以f(－1)＝－1＝2，又2>0，所以f(f(－1))＝f(2)＝22＝4.
【答案】　4
7．已知函数f(x)＝a2x－4＋n(a>0且a≠1)的图像恒过定点P(m,2)，则m＋n＝________.
【解析】　令2x－4＝0，得x＝2，故函数图像恒过(2，n＋1)，故m＝2，且n＋1＝2，所以n＝1，故m＋n＝2＋1＝3.
【答案】　3
8．定义一种新运算“?”；a?b＝则函数y＝2x?2－x的值域为________．
【解析】　由题意y＝2x?2－x＝作出图像，
可得函数的值域为{y|0【答案】　{y|0三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图像经过点，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
【解】　(1)函数图像过点，
所以a2－1＝，则a＝.
(2)f(x)＝x－1(x≥0)，
由x≥0，得x－1≥－1，由于f(x)＝x－1(x≥0)为减函数．
于是0所以，所求的函数值域为(0,2]．
10．已知函数f(x)＝ax在[－2,2]上恒有f(x)<2，求a的取值范围.
【导学号：04100047】
【解】　当a>1时，f(x)max＝a2，则a2<2，故1当0，所以综上所述：1[能力提升]
1．函数f(x)＝(a>1)图像的大致形状是(　　)
【解析】　当x>0时，f(x)＝ax，由于a>1，函数是增函数；当x<0时，f(x)＝－ax，与f(x)＝ax(x<0)关于x轴对称，只有选项C符合．故选C.
【答案】　C
2.
已知a>0，且a≠1，若函数f(x)＝2ax－4在区间[－1，2]上的最大值为10，则a＝(　　)
A.或
B.
C.
D．－或－
【解析】　若a>1，则函数y＝ax在区间[－1,2]上是递增的，
当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝2a2－4＝10，即a2＝7，又a>1，∴a＝.
若0当x＝－1时，f(x)取得最大值f(－1)＝2a－1－4＝10，所以a＝.
综上所述，a的值为或.
【答案】　A
3．(2016·湖南高一期中)当x∈(－1,2]时，函数f(x)＝3x的值域为________．
【解析】　由题意可知函数f(x)＝3x在(－1,2]上是增函数，
所以函数f(x)的最小值为f(－1)＝，最大值为f(2)＝9，
所以函数f(x)＝3x的值域为.
【答案】　
4．设0≤x≤2，y＝4x-－3·2x＋5，试求该函数的最值．
【解】　令t＝2x,0≤x≤2，∴1≤t≤4.
则y＝22x－1－3·2x＋5＝t2－3t＋5.
又y＝(t－3)2＋，t∈[1,4]，
∴y＝(t－3)2＋，
t∈[1,3]上是减函数，
t∈[3,4]上是增函数．
∴当t＝3时，ymin＝；
当t＝1时，ymax＝.
故函数的最大值为，最小值为.学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．给出如图2 2 8所示的对应：
图2 2 8
其中构成从A到B的映射的个数为(　　)
A．3　
B．4　　　　
C．5　　　　
D．6
【解析】　由映射的定义可知，构成从A到B的映射有①②③.
【答案】　A
2．(2016·西安高一检测)设集合P＝{x|0≤x≤2}，Q＝{y|0≤y≤2}，则图2 2 9中，能表示P到Q的映射的是(　　)
图2 2 9
A．(1)(2)(3)(4)
B．(1)(3)(4)
C．(1)(4)
D．(3)
【解析】　如图(1)，对于P中的每个元素x在Q中都有唯一的像，所以它是P到Q的映射；在图(2)中，当P中元素x取(0,1]的值时，在Q中对应的元素不唯一，所以(2)不是映射；在图(3)中，当P的元素取(1,2]的值时，Q中没有元素与它对应，所以(3)不是P到Q的映射；与(1)相同，(4)也是P到Q的映射．
【答案】　C
3．下列对应法则中，能建立从集合A＝{1,2,3,4,5}到集合B＝{0,3,8,15,24}的映射的是(　　)
A．f：x→x2－x
B．f：x→x＋(x－1)2
C．f：x→x2＋1
D．f：x→x2－1
【解析】　因为12－1＝0,22－1＝3,32－1＝8,42－1＝15,52－1＝24.
故从集合A到集合B的映射的对应关系为f：x→x2－1.
【答案】　D
4．已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b是从A到B的映射，若1和8的原像分别是3和10，则5在f下的像是(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】　由题意解得
∴f：x→y＝x－2，
∴5在f下的像是5－2＝3.
【答案】　A
5．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是(　　)
A．4　
B．5
C．6　　　　
D．7
【解析】　对应关系是f：a→|a|.因此，3和－3对应的像是3；－2和2对应的像是2；1和－1对应的像是1；4对应的像是4.所以B＝{1,2,3,4}．故选A.
【答案】　A
二、填空题
6．设M＝N＝R，f：x→－x2＋2x是M到N的映射，若对于N中元素p，在M中恰有一个原像，则p的值为________．
【解析】　由题意知，关于x的方程－x2＋2x＝p有两相等实根，∴Δ＝4－4p＝0，p＝1.
【答案】　1
7．下列对应f是从集合A到集合B的函数的是________．
①A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；
②A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1；n为偶数时，f(n)＝1；
③A＝{高一一班的男生}，B＝{男生的身高}，对应关系f；每个男生对应自己的身高．
【解析】　对于①，集合A中的元素没有剩余，即A中的任何一个元素在B中都有唯一确定的像，同时集合A和B都是数集，可知对应f是集合A到集合B的函数．
同理，对于②，对应f也是集合A到集合B的函数．
对于③，集合A，B不是数集，不是函数关系．
【答案】　①②
8．已知集合A＝B＝R，映射f：x→x2＋2x－4，若a在B中且在A中没有原像，则a的取值范围是________．
【解析】　∵x2＋2x－4＝(x＋1)2－5≥－5.
∵a在B中且在A中没有原像，
则a<－5.
【答案】　(－∞，－5)
三、解答题
9．设集合P＝Q＝{(x，y)|x，y∈R}，从集合P到集合Q的映射为f：(x，y)→(x＋y，xy)，求
(1)集合Q中与集合P中元素(3,2)对应的元素；
(2)集合P中与集合Q中元素(3,2)对应的元素．
【解】　(1)由3＋2＝5,3×2＝6，
故与集合P中元素对应的元素为(5,6)．
(2)由解得或
故与集合Q中元素(3,2)对应的元素为(1,2)或(2,1)．
10．下列对应是否是从A到B的映射，能否构成函数？
(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝；
(2)A＝{0,1,2,9}，B＝{0,1,4,9,64}，
f：a→b＝(a－1)2.
(3)A＝[0，＋∞)，B＝R，f：x→y2＝x；
(4)A＝{x|x是平面M内的矩形}，B＝{x|x是平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆．
【解】　(1)当x＝－1时，y的值不存在；
∴不是映射，更不是函数．
(2)在f的作用下，A中的0,1,2,9分别对应到B中的1,0,1,64，∴是映射，也是函数．
(3)∵当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数．
(4)是映射，但不是函数，因为A、B不是数集．
[能力提升]
1．设集合A与集合B都是自然数集N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中为元素n2＋n，则在映射f下，像20的原像是(　　)
A．2
B．3
C．4
D．4或－5
【解析】　令n2＋n＝20，即n2＋n－20＝0，
解得n＝－5或4.
∵n∈N，∴n＝4.
【答案】　C
2．集合A＝{a，b}，B＝{－1,0,1}，从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B的个数有(　　)
A．2个
B．3个
C．5个
D．8个
【解析】　由f(a)，f(b)∈{－1,0,1}，且f(a)＋f(b)＝0知，这样的映射有：
共3个．
【答案】　B
3．给定映射f(x，y)→(，x＋y)，在对应关系f下像(2,3)的原像是(a，b)，则函数y＝ax2＋bx的顶点坐标是________．
【解析】　由题意a＝4，b＝－1，则y＝4x2－x的顶点坐标为.
【答案】　
4．设集合A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f是A到B的一个映射，并满足f：(x，y)→(－xy，x－y)．
(1)求B中元素(3，－4)在A中的原像；
(2)试探索B中哪些元素在A中存在原像；
(3)
求B中元素(a，b)在A中有且只有一个原像时，a，b所满足的关系式.
【导学号：04100023】
【解】　(1)设(x，y)是B中元素(3，－4)在A中的原像，于是解得或
所以(3，－4)在A中的原像有两个，即(－1,3)和(－3,1)．
(2)设任意(a，b)∈B，则它在A中的原像(x，y)应满足，　
由②式得y＝x－b，将它代入①式，并化简得x2－bx＋a＝0.③
当且仅当Δ＝b2－4a≥0时，方程③有实数根，因此只有当B中元素(a，b)满足b2－4a≥0时，在A中才有原像．
(3)由以上(2)的解题过程可知，当B中元素(a，b)满足b2＝4a时，它在A中有且只有一个原像．学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·德州市高一期中)已知集合A＝{x|x－2≤1，x∈N
}，则集合A的真子集的个数为(　　)
A．3个
B．6个　　　
C．7个　　　
D．8个
【解析】　因为集合A＝{x|x－2≤1，x∈N
}＝{1,2,3}，所以其真子集个数为23－1＝7，故选C.
【答案】　C
2．(2016·石家庄高一期末)已知{1,2} X {1,2,3,4,5}，满足这个关系式的集合X的个数为(　　)
A．2个
B．6个
C．4个
D．8个
【解析】　由题意知，集合X中的元素一定含有1,2，另外可从3,4,5中可取0个，取1个，取2个，取3个，∴集合X＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共8个．故选D.
【答案】　D
3．(2016·北京高一月考)设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于(　　)
A．0
B．1
C．2
D．－1
【解析】　因为A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则或解得或
x＝0时，B＝{0,0}不成立．
当x＝1，y＝0时，A＝{1,0}，B＝{0,1}，满足条件．
所以2x＋y＝2.故选C.
【答案】　C
4．(2016·洛阳高一检测)已知集合A＝，B＝，则(　　)
A．A B
B．B A
C．A＝B
D．A与B关系不确定
【解析】　集合A中x＝＝，B中x＝，2k为偶数，k为整数，故A中的元素都是B中的元素，即A B，故选A.
【答案】　A
5．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则(　　)
A．A B
B．C B
C．D C
D．A D
【解析】　选项A错，应当是B A.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C错，正方形一定菱形，但菱形不一定是正方形．选项D错，应当是D A.
【答案】　B
二、填空题
6．已知集合A＝{x|－1【解析】　用数轴表示集合A，B，A?B，如图所示：
则a≥4.
【答案】　a≥4
7．设集合A＝{x，y}，B＝{4，x2}，若A＝B，则x＋y＝__________.
【解析】　因为A＝B，当x＝4时，B＝{4,16}，A＝{4,16}，即x＝4，y＝16；
x＝0时，B＝{4,0}，
A＝{0,4}，即x＝0，y＝4；
x＝1时，B＝{4,1}，A＝{1,4}，x＝1，y＝4.
【答案】　20或4或5
8．设集合P＝{(x，y)|x＋y<4，x，y∈N＋}，则集合P的非空子集的个数是________．
【解析】　∵x＋y<4，x，y∈N＋，∴x＝1，y＝3；x＝2，y＝2；x＝3，y＝1.
故P＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}，共有8个子集，其中非空子集有7个．
【答案】　7
三、解答题
9．判断下列各组中两集合之间的关系：
(1)P＝{x∈R|x2－4＝0}，Q＝{x∈R|x2＝0}；
(2)P＝{y∈R|y＝t2＋1，t∈R}，Q＝{t∈R|t＝y2－2y＋2，y∈R}；
(3)P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝4k＋2，k∈Z}；
(4)P＝{y|y＝x2－1，x∈R}，Q＝{(x，y)|y＝x2－1，x，y∈R}．
【解】　(1)集合P＝{x∈R|x2－4＝0}＝{2，－2}，集合Q＝{x∈R|x2＝0}＝{0}，
所以P与Q不存在包含关系．
(2)集合P＝{y∈R|y＝t2＋1，t∈R}＝{y∈R|y≥1}，集合Q＝{t∈R|t＝(y－1)2＋1，y∈R}＝{t∈R|t≥1}，所以P＝Q.
(3)集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是偶数集，集合Q＝{x|x＝4k＋2，k∈Z}＝{x|x＝2(2k＋1)，k∈Z}＝{…，－6，－2,2,6，…}，显然Q?P.
(4)集合P是数集，且P＝{y|y≥－1}，集合Q＝{(x，y)|y＝x2－1，x，y∈R}中的代表元素是点(x，y)，所以Q是点集，所以P与Q不存在包含关系．
10．已知集合A＝{x|1【解】　(1)当a＝0时，A＝ ，满足A B.
(2)当a>0时，A＝，
又B＝{x|－1∴∴a≥2.
(3)当a<0时，A＝.
∵A B，∴∴a≤－2.
综上所述，实数a的取值范围是：a＝0或a≥2或a≤－2.
[能力提升]
1．设集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，则集合A、B、C之间关系完全正确的是(　　)
A．A≠B，A?C，B?C
B．A＝B，A?C，B?C
C．A＝B，C?A，C?B
D．A≠B，C?A，C?B
【解析】　集合A中元素所具有的特征：x＝2k＋1＝2(k＋1)－1，∵k∈Z，∴k＋1∈Z与集合B中元素所具有的特征完全相同，
∴A＝B；当k＝2n时，x＝2k＋1＝4n＋1
当k＝2n＋1时，x＝2k＋1＝4n＋3.即C是由集合A中的部分元素所组成的集合．
∴C?A，C?B.
【答案】　C
2．(2016·宣城市高一月考)已知集合A＝{x|x2－4＝0}，集合B＝{x|ax＝1}，若B A，则实数a的值是(　　)
【导学号：04100005】
A．0
B．±　　　
C．0或±　　　
D．0或
【解析】　∵集合A＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，且B?A，∴B有两种情况：
(1)a＝0，B＝ ，满足B A；(2)a≠0，由＝±2，得a＝±.综上a＝0或±.
【答案】　C
3．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B A，求实数a的取值范围．
【解】　因为A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，B A，
所以B可能为 ，{0}，{－4}，{0，－4}．
①当B＝ 时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无解．
所以Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，
所以a<－1.
②当B＝{0}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根0，
由根与系数的关系，得
解得a＝－1.
③当B＝{－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根－4，
由根与系数的关系，得
该方程组无解．
④当B＝{0，－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个不相等的实数根0与－4，
由根与系数的关系，得解得a＝1.
综上可得a≤－1或a＝1.学业分层测评(二十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若f(x)＝eq
\f(1,\r(log 2x＋1 ))，则f(x)的定义域为(　　)
A.　　　　　　
B.
C.
D．(0.＋∞)
【解析】　由题意log
(2x＋1)>0，则0<2x＋1<1，
解得－【答案】　A
2．如图3 5 2是三个对数函数的图像，则a、b、c的大小关系是(　　)
图3 5 2
A．a>b>c
B．c>b>a
C．c>a>b
D．a>c>b
【解析】　令y＝1，如图所示
则b故选D.
【答案】　D
3．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则(　　)
A．aB．bC．aD．b【解析】　∵1＝log55>log54>log53>log51＝0，
∴1>a＝log54>log53>b＝(log53)2.
又∵c＝log45>log44＝1，∴c>a>b，故选D.
【答案】　D
4．(2016·江西南昌二中高一期中)函数y＝x·ln|x|的大致图像是(　　)
【解析】　函数的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f(－x)＝－xln|－x|＝－xlnx＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，排除选项B.又当0【答案】　D
5．已知函数f(x)＝直线y＝a与函数f(x)的图像恒有两个不同的交点，则a的取值范围是(　　)
A．0B．0≤a<1
C．0D．a<1
【解析】　作出函数f(x)的图像如图所示，若直线y＝a与函数f(x)的图像恒有两个不同的交点，则0【答案】　A
二、填空题
6．已知f(x)＝lg，x∈(－1,1)，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
【解析】　∵f(－x)＝lg＝lg－1＝－lg＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，即f(－a)＝－f(a)＝－.
【答案】　－
7．不等式log
(5＋x)(1－x)的解集为________．
【解析】　因为函数y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，
故解得－2【答案】　(－2,1)
8．函数y＝log
(1－2x)的单调递增区间为________．
【解析】　令u＝1－2x，函数u＝1－2x在区间内递减，而y＝logu是减函数，
故函数y＝log(1－2x)在内递增．
【答案】　
三、解答题
9．比较下列各组中两个数的大小：
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.141.
【解】　(1)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，1.9<2.
故log31.9(2)因为log23>log22＝1，log0.32故log23>log0.32.
(3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，π>3.141，故logaπ>loga3.141；当03.141，故logaπ10．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a>0且a≠1)．
(1)求函数的定义域和值域；
(2)若函数f(x)有最小值为－2，求a的值．
【导学号：04100065】
【解】　(1)由得－3∴函数的定义域为{x|－3f(x)＝loga(1－x)(x＋3)．
设t＝(1－x)(x＋3)＝4－(x＋1)2，
∴t≤4，又t>0，则0当a>1时，y≤loga4，值域为(－∞，loga4]．
当0(2)由题意及(1)知，当0∴loga4＝－2，
∴a＝.
[能力提升]
1．(2016·河南许昌市四校高一联考)函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤4　
B．a≤2
C．－4D．－2≤a≤4
【解析】　∵函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，
∴y＝x2－ax＋3a在[2，＋∞)上是增函数且大于零，
故有求得－4【答案】　C
2．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是(　　)
A．(0,1)
B.
C.
D.
【解析】　∵f(x)＝logax(x≥1)是减函数，
∴0＜a＜1且f(1)＝0.
∵f(x)＝(3a－1)x＋4a(x＜1)为减函数，
∴3a－1＜0，∴a＜.
又∵f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，
∴(3a－1)×1＋4a≥0，∴a≥.
∴a∈.
【答案】　C
3．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f＝0，则不等式f(log4x)<0的解集是________．
【解析】　由题意可知，f(log4x)<0 －【答案】　
4．已知a>0，且a≠1，f(logax)＝·.
(1)求f(x)；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)对于f(x)，当x∈(－1,1)时，有f(1－m)＋f(1－m2)<0，求m的取值范围．
【解】　(1)令t＝logax(t∈R)，则x＝at，
且f(t)＝·.
∴f(x)＝·(ax－a－x)(x∈R)．
(2)当a>1时，y＝ax－a－x为增函数，又>0，
∴f(x)为增函数；当0∴函数f(x)在R上为增函数．
(3)∵f(1－m)＋f(1－m2)<0，且f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－m)∵f(x)在(－1,1)上为增函数，
∴解得1∴m的取值范围是(1，)．学业分层测评(九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．二次函数y＝2x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是(　　)
A．y＝x2
B．y＝2x2＋2
C．y＝4x2
D．y＝2x2－2
【解析】　将二次函数y＝2x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的解析式为y＝4x2.
【答案】　C
2．将二次函数y＝－x2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为(　　)
A．y＝－(x－1)2－1
B．y＝－(x－1)2＋1
C．y＝－(x＋1)2＋1
D．y＝－(x＋1)2－1
【解析】　将二次函数y＝－x2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为y＝－(x＋1)2－1.
【答案】　D
3．若一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图像只可能是(　　)
【解析】　因为一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，所以知a＜0，b＜0，所以二次函数的图像开口向下，对称轴方程x＝－＜0，只有选项C适合．
【答案】　C
4．二次函数y＝－x2＋4x＋t图像的顶点在x轴上，则t的值是(　　)
A．－4
B．4
C．－2
D．2
【解析】　二次函数的图像顶点在x轴上，故Δ＝0，可得t＝－4.
【答案】　A
5．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则此二次函数的解析式为(　　)
A．f(x)＝4x2＋4x＋7
B．f(x)＝4x2－4x－7
C．f(x)＝－4x2－4x＋7
D．f(x)＝－4x2＋4x＋7
【解析】　∵f(2)＝－1，f(－1)＝－1，
∴对称轴为x＝＝，
∵f(x)max＝8，
∴令f(x)＝a2＋8，
∴f(2)＝a2＋8，
＝a＋8＝－1，
∴a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
【答案】　D
二、填空题
6．二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，则这个二次函数的解析式为________．
【解析】　设f(x)＝a(x－2)2＋3，则f(3)＝a(3－2)2＋3＝a＋3＝1，∴a＝－2，∴f(x)＝－2(x－2)2＋3.
【答案】　f(x)＝－2(x－2)2＋3
7．(2016·株洲高一检测)若(x＋3)(x＋n)＝x2＋mx－15，则m等于________．
【解析】　∵(x＋3)(x＋n)＝x2＋mx－15，
∴x2＋(3＋n)x＋3n＝x2＋mx－15，
∴∴
【答案】　－2
8．(2016·菏泽高一检测)若将二次函数f(x)＝x2＋x的图像向右平移a(a>0)个单位长度，得到二次函数g(x)＝x2－3x＋2的图像，则a的值为________．
【解析】　法一：将函数f(x)＝x2＋x的图像向右平移a(a>0)个单位长度后，对应的函数解析式为f(x－a)＝(x－a)2＋(x－a)＝x2－(2a－1)x＋a2－a，由题意得x2－(2a－1)x＋a2－a＝x2－3x＋2，故2a－1＝3，a2－a＝2，解得a＝2.
法二：f(x)＝x2＋x＝2－，g(x)＝x2－3x＋2＝2－，则－a＝－，a＝2.
【答案】　2
三、解答题
9．将二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到函数y＝2x2－4x－6的图像，求a，b，c.
【解】　∵y＝2x2－4x－6＝2(x－1)2－8，
∴顶点为(1，－8)．
由题意，将顶点(1，－8)向左平移1个单位，向下平移3个单位得二次函数f(x)的顶点坐标(0，－11)，
∴f(x)＝2x2－11.
对照y＝ax2＋bx＋c得a＝2，b＝0，c＝－11.
10．已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图像与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式.
【导学号：04100029】
【解】　法一：设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由已知条件，可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过(1,0)与(7,0)两点，将三个点的坐标代入，得：
解得
∴所求二次函数解析式为y＝x2－x＋.
法二：∵抛物线与x轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)，
∴设二次函数的解析式为y＝a(x－1)·(x－7)，把顶点(4，－3)代入，得－3＝a(4－1)(4－7)，解得a＝，
∴二次函数解析式为y＝(x－1)(x－7)，
即y＝x2－x＋.
法三：∵抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)，
∴设二次函数解析式为y＝a(x－4)2－3.
将(1,0)代入，得0＝a(1－4)2－3，
解得a＝，
∴二次函数的解析式为y＝(x－4)2－3，
即y＝x2－x＋.
[能力提升]
1．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则它的图像可能是(　　)
【解析】　∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0，
∴a＞0，c＜0.
【答案】　D
2．已知二次函数f(x)满足f(0)＝－8，f(4)＝f(－2)＝0.若f(x－2)＝x2－12，则x的值为(　　)
A．－9　
B．0
C．2　　　　
D．－8
【解析】　∵f(4)＝f(－2)＝0，
∴设f(x)＝a(x－4)(x＋2)，
∴f(0)＝－8a＝－8，∴a＝1，
∴f(x)＝(x－4)(x＋2)＝x2－2x－8，
∴f(x－2)＝(x－2)2－2(x－2)－8＝x2－6x，
由x2－6x＝x2－12，－6x＝－12得x＝2.
【答案】　C
3．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为________，关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________．
【解析】　∵f(－4)＝f(0)，∴当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝－2，
∴－＝－2，∴b＝4，∴f(x)＝x2＋4x＋c，
又f(－2)＝4－8＋c＝－4＋c＝－2，
∴c＝2，
∴f(x)＝
当x>0时，由f(2)＝2，得x＝2；
当x≤0时，由f(x)＝x2＋4x＋2＝x，得x＝－1或x＝－2，
∴x＝±2或－1，故方程f(x)＝x的解的个数为3.
【答案】　f(x)＝　3
4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A(x1,0)，B(x2,0)且x＋x＝，试问该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移几个单位得到的？
【解】　由题意可设所求抛物线的解析式为
y＝－3(x－1)2＋k，展开得y＝－3x2＋6x－3＋k.
由题意得x1＋x2＝2，x1x2＝，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝，
即4－＝，
解得k＝.
∴该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移个单位得到的，它的解析式为y＝－3(x－1)2＋，即y＝－3x2＋6x－.学业分层测评(五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·青海平安县一中高一月考)已知函数y＝f(x)的定义域为(－1,3)，则在同一坐标系中，函数f(x)的图像与直线x＝2的交点个数为(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．0个或多个
【解析】　∵2∈(－1,3)，∴有唯一的函数值f(2)与2对应，即函数f(x)的图像与直线x＝2的交点仅有1个．
【答案】　B
2．(2016·南安市高一期末)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图像可以是(　　)
【解析】　A项中函数定义域为[－2,0]，D项中函数值域不是[0,2]，C项中对任一x都有两个y与之对应，不是函数图像．故选B.
【答案】　B
3．下列函数完全相同的是(　　)
A．f(x)＝|x|，g(x)＝()2
B．f(x)＝|x|，g(x)＝
C．f(x)＝|x|，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x＋3
【解析】　选项A、C、D中的函数f(x)与g(x)定义域均不同．
【答案】　B
4．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．(－∞，0)
B．[－1，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．[－1,0)
【解析】　要使函数有意义，则则－1≤x<0，故函数的定义域为[－1,0)．
【答案】　D
5．函数y＝的值域为(　　)
A．[－1，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0]
D．(－∞，－1]
【解析】　由于≥0，所以函数y＝的值域为[0，＋∞)．
【答案】　B
二、填空题
6．已知一个区间为[m,2m＋1]，则m的取值范围是__________．
【解析】　由题意m<2m＋1，解得m>－1.
【答案】　m>－1
7．下表表示y是x的函数，则函数的值域是________.
x
05≤x<10
10≤x<15
15≤x≤20
y
2
3
4
5
【解析】　由数表可知y＝2,3,4,5.故函数值域为{2,3,4,5}．
【答案】　{2,3,4,5}
8．若A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝________.
【解析】　由A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，得A＝[－1，＋∞)，B＝[1，＋∞)，∴A∩B＝[1，＋∞)．
【答案】　[1，＋∞)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x2＋x－1.
(1)求f(2)，f；
(2)若f(x)＝5，求x的值．
【解】　(1)f(2)＝22＋2－1＝5，f＝＋－1＝.
(2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，
∴x2＋x－6＝0，
∴x＝2，或x＝－3.
10．求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝＋＋4.
【解】　(1)要使函数有意义，则即所以x≥0，且x≠2.
故函数f(x)的定义域为{x|x≥0且x≠2}．
(2)要使函数有意义，则解得≤x≤.
故函数的定义域为.
[能力提升]
1．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正实数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是(　　)
A．1
B．0
C．－1
D．2
【解析】　f(－1)＝a－1，∴f(f(－1))＝a(a－1)2－1＝－1，∴a(a－1)2＝0，∵a>0，∴a＝1.
【答案】　A
2．下列各组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是(　　)
【导学号：04100017】
A．f(x)＝与g(x)＝x＋2
B．f(x)＝与g(x)＝
C．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1
D．f(x)＝1与g(x)＝x0(x≠0)．
【解析】　A中f(x)的定义域中不含有元素2，而g(x)定义域为R，即定义域不相同，所以不是同一函数．
B中f(x)的定义域为[0，＋∞)，而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域不相同，所以不是同一函数．
C中尽管两个函数的自变量一个用x表示，另一个用t表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，即对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数．
D中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，因此不是同一函数．
【答案】　C
3．已知g(x)＝2－3x，f(g(x))＝，则f＝________.
【解析】　令g(x)＝2－3x＝，解得x＝，
故f＝f＝＝＝－2.
【答案】　－2
4．如图2 2 1，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2
m，渠深为1.8
m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)
图2 2 1
(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；
(2)确定函数的定义域和值域；
(3)画出函数的图像．
【解】　(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2
m，上底为(2＋2h)m，高为h
m，∴水的面积A＝＝h2＋2h(m2)．
(2)定义域为{h|0＜h＜1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0＜h＜1.8)求得．
由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图像可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，
∴0＜A＜6.84.
故值域为{A|0＜A＜6.84}．
(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图像过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0＜h＜1.8，∴A＝h2＋2h的图像仅是抛物线的一部分，如图所示．学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝(　　)
A．5－　　　
B．5－　　　
C．5　　　
D．5
【解析】　若bn＝am(m，n∈N＋，a>0，b>0)，则b＝a，所以b＝5－.
【答案】　B
2．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是(　　)
A．－＝(－x)－
(x≠0)
B．x－＝
C.－＝(xy≠0)
D.＝y(y<0)
【解析】　A中－＝－x，B中x－＝，C中－＝＝，D中＝(－y)，故C正确．
【答案】　C
3．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　由x＝1＋2b，得2b＝x－1，由y＝1＋2－b＝1＋，得y＝1＋＝.
【答案】　D
4．计算(2a－3b－)·(－3a－1b)÷(4a－4b－)，得(　　)
A．－b2
B.b2
C．－b
D.b
【解析】　原式＝[2×(－3)÷4]·a－3－1＋4·b－＋1＋＝－a0b2＝－b2.
【答案】　A
5．化简的结果是(　　)
A.
B．－
C．a
D．－a
【解析】　由式子可知a<0，原式＝＝＝－.
【答案】　B
二、填空题
6．将用分数指数幂表示为________．
【解析】　＝＝＝(a)＝a.
【答案】　a
7．2－＋＋－·8＝________.
【解析】　原式＝＋＋＋1－22＝2－3.
【答案】　2－3
8．如果a＝3，b＝384，那么an－3＝________.
【解析】　原式＝3·n－3＝3·[128]n－3
＝3·2n－3.
【答案】　3·2n－3
三、解答题
9．计算：(1)0＋2－2×eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))－－(0.01)0.5；
(2)若a＝2，b>0，求eq
\f(a2b＋a,ab)＋(a－b－)(a＋ab－＋b－)的值．
【解】　(1)原式＝1＋2－2×－－
＝1＋×－0.1
＝1＋－
＝.
(2)原式＝a＋b－1＋a－b－1＝2a＝2·2＝4.
10．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值.
【导学号：04100044】
【解】　∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
∴∵a>b>0，∴>>0，
∴>0.
∵2＝＝＝＝，
∴＝＝.
[能力提升]
1．设a>0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是(　　)
A．a
B．a
C．a
D．a
【解析】　原式＝＝＝＝＝a.
【答案】　C
2.·等于(　　)
A．－
B．－
C.
D.
【解析】　由式子可知a<0，故原式＝a·(－a)＝－(－a)·(－a)＝－(－a)＝－.
【答案】　A
3．已知10α＝2,100β＝3，则1
0002α－β＝________.
【解析】　∵100β＝3，即102β＝3，
∴10β＝3，
∴1
0002α－β＝106α－β＝＝＝.
【答案】　
4．(1)已知2x＋2－x＝3，求8x＋8－x的值；
(2)已知a＝－，b＝，求÷的值．
【解】　(1)8x＋8－x＝(2x)3＋(2－x)3
＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]
＝3[(2x＋2－x)2－3·2x·2－x]
＝3×(32－3)＝18.
(2)∵a≠0，a－27b≠0，
∴原式＝×
＝＝a－
＝－＝－2＝2＝.学业分层测评(三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2014·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－1A．{x|－2B．{x|－1C．{x|1D．{x|－2【解析】　借助数轴求解．
由图知M∩N＝(－1,1)，选B.
【答案】　B
2．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于(　　)
A．{x|x≥－1}
B．{x|x≤2}
C．{x|0D．{x|1≤x≤2}
【解析】　结合数轴得A∪B＝{x|x≥－1}．故选A.
【答案】　A
3.
(2016·遵义高一期末)已知集合M＝{－1,0,1,2}和N＝{0,1,2,3}的关系的韦恩图如图1 3 3所示，则阴影部分所示的集合是(　　)
图1 3 3
A．{0}
B．{0,1}
C．{0,1,2}
D．{－1,0,1,2,3}
【解析】　由图可知阴影部分对应的集合为M∩N.
∵M＝{－1,0,1,2}，N＝{0,1,2,3}，
∴M∩N＝{0,1,2}，故选C.
【答案】　C
4．(2016·太原模拟)已知集合A＝且满足A∪B＝{－1,0,1}的集合B的个数是(　　)
A．2
B．3
C．4
D．9
【解析】　由x－＝0，即x2－1＝0，解得x＝±1，即A＝{－1,1}．
∵A∪B＝{－1,0,1}，∴B＝{0}，{－1,0}，{0,1}，{－1,0,1}．
【答案】　C
5．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝ ，则实数t的取值范围是(　　)
A．t<－3
B．t≤－3
C．t>3
D．t≥3
【解析】　B＝{y|y≤t}，
结合数轴可知t<－3，故选A.
【答案】　A
二、填空题
6．(2016·信阳高一检测)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
【解析】　∵A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴a＝4.
【答案】　4
7．已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝ ，则a的取值范围为________．
【解析】　A∩B＝ ，A＝{x|2a≤x≤a＋3}．
(1)若A＝ ，有2a>a＋3，∴a>3.
(2)若A≠ ，如图所示．
则有解得－≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是－≤a≤2或a>3.
【答案】　∪(3，＋∞)
8．已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝________.
【导学号：04100008】
【解析】　在数轴上表示出集合M，N，如图所示：则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．
【答案】　{x|x<－5或x>－3}
三、解答题
9．已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|x≤1或x≥5}，求A∩B，A∪B.
【解】　用数轴表示两个集合如图所示：
则A∩B＝{x|x<－1或x≥5}，
A∪B＝{x|x≤1或x>4}．
10．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
【解】　B＝{x|2x－4≥x－2}＝{x|x≥2}．
(1)A∩B＝{x|－1≤x<3}∩{x|x≥2}＝{x|2≤x<3}．
(2)C＝，∵B∪C＝C，∴B C.
用数轴表示如图所示：
∴－≤2，∴a≥－4.
[能力提升]
1．已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝(　　)
A．{2,1}
B．{x＝2，y＝1}
C．{(2,1)}
D．(2,1)
【解析】　由解方程组
解得x＝2，y＝1，
所以A∩B＝{(2,1)}．
【答案】　C
2．已知集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|m－1A．－3≤m≤4
B．3C．2D．2【解析】　∵A∩B＝A，∴A B，
∴∴3【答案】　B
3．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1【解析】　∵B∪C＝{x|－3∴A∩(B∪C)＝A，
由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}．
∴a＝－1，b＝2.
【答案】　－1　2
4．已知集合A＝{x|1(1)当m＝－1时，求A∪B；
(2)若A∪B＝B，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B＝ ，求实数m的取值范围．
【解】　(1)当m＝－1时，B＝{x|－2(2)由A∪B＝B即A B知：
得m≤－2，即实数m的取值范围为{m|m≤－2}．
(3)由A∩B＝ 得：
①若2m≥1－m，即m≥时，B＝ ，符合题意；
②若2m<1－m即m<时，需或
得0≤m<或 ，即0≤m<，
综上知m≥0，
即实数m的取值范围为{m|m≥0}．学业分层测评(二十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
【解析】　因为函数f(x)的图像是连续不断的一条曲线，又f(－1)＝2－1－3＜0，f(0)＝1＞0，所以f(－1)·f(0)＜0，故函数零点所在的一个区间是(－1,0)．故选B.
【答案】　B
2．函数f(x)＝的零点有(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【解析】　由f(x)＝＝0得：x＝1，
∴f(x)＝只有一个零点．
【答案】　B
3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<1
B．a>1
C．a≤1
D．a≥1
【解析】　由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.
【答案】　B
4．(2016·湖南长沙一中高一期中)函数f(x)＝log3x＋x－3零点所在大致区间是(　　)
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(4,5)
【解析】　∵f(x)＝log3x＋x－3，
∴f(1)＝log31＋1－3＝－2<0，
f(2)＝log32＋2－3＝log32－1＜0，
f(3)＝log33＋3－3＝1>0，
f(4)＝log34＋4－3＝log34＋1＞0，
f(5)＝log35＋5－3＝log35＋2＞0，
∴函数f(x)＝log3x＋x－3零点所在大致区间是(2,3)．故选B.
【答案】　B
5．设函数f(x)＝x－ln
x(x＞0)，则y＝f(x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
D．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
【解析】　因为f＝－ln
＝e＋1＞0，
f(1)＝－ln
1＝＞0，
f(e)＝e－ln
e＝e－1＜0.
故函数f(x)在内无零点，在区间(1，e)内有零点．
【答案】　C
二、填空题
6．(2015·威海高一检测)函数f(x)＝x2＋mx－6的一个零点是－6，则另一个零点是________．
【解析】　由题意(－6)2－6m－6＝0，解得m＝5，
由x2＋5x－6＝0，解得x1＝－6，x2＝1.故另一个零点为1.
【答案】　1
7．若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
【解析】　函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图像如图所示，可知a＞1时两函数图像有两个交点，0＜a＜1时两函数图像有唯一交点，故a＞1.
【答案】　(1，＋∞)
8．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________.
【解析】　∵2＜a＜3＜b＜4，当x＝2时，
f(2)＝loga2＋2－b＜0；
当x＝3时，f(3)＝loga3＋3－b＞0，
∴f(x)的零点x0在区间(2,3)内，∴n＝2.
【答案】　2
三、解答题
9．求函数y＝ax2－(2a＋1)x＋2(a∈R)的零点．
【导学号：04100074】
【解】　令y＝0并化为：(ax－1)(x－2)＝0.
当a＝0时，函数为y＝－x＋2，则其零点为x＝2.
当a＝时，则由(x－2)＝0，
解得x1＝x2＝2，则其零点为x＝2.
当a≠0且a≠时，则由(ax－1)(x－2)＝0，
解得x＝或x＝2，则其零点为x＝或x＝2.
10．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围．
【解】　令g(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得或
即或解得－故实数m的取值范围为.
[能力提升]
1．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　∵g(x)＝ex在(－∞，＋∞)上是增函数，h(x)＝4x－3在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(x)＝ex＋4x－3在(－∞，＋∞)上是增函数．又f＝e－－4＜0，
f(0)＝e0＋4×0－3＝－2＜0，f＝e－2＜0，
f＝e－1＞0，∴f·f＜0.
【答案】　C
2．函数f(x)＝零点的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】　作出函数f(x)＝的图像如图所示：
则f(x)的零点个数为2.
【答案】　B
3．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为________．
【解析】　令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m.
由题意函数f(x)与y＝m的图像有三个不同的交点．
由图可知
故当－＜m＜0时，两函数有三个不同的交点，
故函数的取值范围为－＜m＜0.
【答案】　－＜m＜0
4．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)若a＞b＞c，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；
(2)设x1，x2∈R，x1＜x2，且f(x1)≠f(x2)，若方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有两个不等实根，试证明必有一个实根属于区间(x1，x2)．
【证明】　(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0.
又∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，即ac＜0.
∴Δ＝b2－4ac≥－4ac＞0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不等实根，
∴f(x)必有两个零点．
(2)令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，
则g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]
＝[f(x1)－f(x2)]，
g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]
＝[f(x2)－f(x1)]．
∵g(x1)·g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2，
且f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)g(x2)＜0.
∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一实根．学业分层测评(十六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若x＝y2(y>0，且y≠1)，则必有(　　)
A．log2x＝y
B．log2y＝x
C．logxy＝2
D．logyx＝2
【解析】　由x＝y2得logyx＝2.
【答案】　D
2．若logx＝z，则(　　)
A．y7＝xz
B．y＝x7z
C．y＝7xz
D．y＝z7x
【解析】　由logx＝z，得xz＝，所以x7z＝y.
【答案】　B
3．若3log3x2＝9，则x＝(　　)
A．3
B．－3
C．±3
D．2
【解析】　由3log3x2＝x2＝9，得x＝±3.
【答案】　C
4．(2016·嘉兴高一检测)计算：23＋log23＋35－log39＝(　　)
A．15
B．51
C．8
D．27
【解析】　原式＝23×2log23＋35·3－log39＝8×3＋＝24＋＝24＋27＝51.
【答案】　B
5．已知loga
2＝m，loga
3＝n，则a2m＋n等于(　　)
A．5
B．7
C．10　　　
D．12
【解析】　∵am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an
＝(am)2·an＝12.故选D.
【答案】　D
二、填空题
6．方程log2(2x＋1)＝2的解为x＝________.
【解析】　由log2(2x＋1)＝2，则2x＋1＝22＝4，故x＝.
【答案】　
7．ln
1＋logeq
\s\do12((－1))
(－1)＝________.
【解析】　ln
1＋logeq
\s\do12((－1))(－1)＝0＋1＝1.
【答案】　1
8．已知log7
[log3(log2x)]＝0，那么x-＝__________.
【解析】　由题意得log3(log2x)＝1，即log2x＝3，转化为指数式则有x＝23＝8，
∴x＝8＝eq
\f(1,8)＝.
【答案】　
三、解答题
9．求下列各式中的x.
(1)log2(log5x)＝0；(2)logx
27＝.
【解】　(1)由log2(log5x)＝0得log5x＝1，∴x＝5.
(2)由logx
27＝得x＝27，
∴x＝27，
即x＝(33)，
∴x＝34＝81.
10．计算下列各式：
(1)10lg
3－log4
1＋2log2
6；(2)22＋log23＋32－log3
9.
【解】　(1)10lg
3－log4
1＋2log2
6＝3－0＋6＝9.
(2)22＋log2
3＋32－log3
9＝22×2log2
3＋＝4×3＋＝12＋1＝13.
[能力提升]
1．(2016·临沂高一检测)若lga＝5.21，lgb＝3.21，则等于(　　)
A．10　　　　　　　
B.
C.
D．100
【解析】　由lga＝5.21，lgb＝3.21，得a＝105.21，b＝103.21，则＝＝10－2＝.
【答案】　C
2.
－1＋log0.54的值为(　　)
【导学号：04100053】
A．6　　　
B.
C．8　　　
D.
【解析】　－1＋log0.54＝－1·log4＝2×4＝8.故选C.
【答案】　C
3．方程9x－6·3x－7＝0的解是________．
【解析】　令t＝3x，则t>0，则方程变为t2－6t－7＝0，
解得t＝7或－1(舍去)．
则3x＝7，得x＝log37.
【答案】　log37
4．求下列对数的值：
(1)ln
e2；(2)log81；(3)log1.52.25；
(4)lg
；(5)log816；(6)ln
(eln
1)．
【解】　(1)设ln
e2＝x，则ex＝e2，∴x＝2，∴ln
e2＝2.
(2)设log81＝x，则x＝81＝92，
即9－x＝92，∴x＝－2，即log81＝－2.
(3)∵1.52＝2.25，∴log1.52.25＝2.
(4)∵10－4＝，∴lg
＝－4.
(5)设log816＝x，则8x＝16，即23x＝24，
∴3x＝4，即x＝，∴log816＝.
(6)∵ln
1＝0，∴ln
(e0)＝ln
1＝0，∴ln
eln
1＝0.学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知函数f(x)的图像如图2 2 5所示，则此函数的定义域、值域分别是(　　)
图2 2 5
A．(－3,3)，(－2,2)
B．[－3,3]，[－2,2]
C．[－2,2]，[－3,3]
D．(－2,2)，(－3,3)
【解析】　由图可知自变量－3≤x≤3，函数值－2≤y≤2.
故定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]．
【答案】　B
2．(2016·沈阳高一月考)设f(x)＝则f(5)的值为(　　)
A．8
B．9　　　
C．10　　　
D．11
【解析】　由题意易知，f(5)＝f[f(11)]＝f(8)＝f[f(14)]＝f(11)＝8.故选A.
【答案】　A
3．函数y＝x＋的图像是(　　)
【解析】　y＝x＋＝如图：
【答案】　C
4．设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于(　　)
A．－2x＋1
B．2x－1
C．2x－3
D．2x＋7
【解析】　由g(x)＝2x＋3，知f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.
【答案】　D
5．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是(　　)
A．75,25
B．75,16
C．60,25
D．60,16
【解析】　由题意知4又＝15，∴A＝16.故选D.
【答案】　D
二、填空题
6．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
　
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f[g(1)]的值为__________；当g[f(x)]＝2时，x＝________.
【解析】　由数表可知g(1)＝3，故f[g(1)]＝f(3)＝1.
当g[f(x)]＝2时，f(x)＝2，此时x＝1.
【答案】　1　1
7．已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，则a的值为________．
【解析】　∵f(2x＋1)＝3x－2＝(2x＋1)－，
∴f(x)＝x－，∵f(a)＝4，即a－＝4，
∴a＝5.
【答案】　5
8．已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________．
【导学号：04100020】
【解析】　由题意设f(x)＝k1x，g(x)＝，
则解得
故F(x)＝3x＋.
【答案】　F(x)＝3x＋
三、解答题
9．作出函数f(x)＝的图像并写出函数的值域．
【解】　作函数f(x)的图像如图所示：
由图像可知值域为[－1，＋∞)．
10．已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
【解】　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝1，∴c＝1.
又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.
整理得2ax＋(a＋b)＝2x，
由恒等式性质知上式中对应项系数相等，
∴解得
∴f(x)＝x2－x＋1.
[能力提升]
1．已知函数f(x)＝则f(f(f(－1)))的值等于(　　)
A．π2－1
B．π2＋1
C．π
D．0
【解析】　f(－1)＝π2＋1，f(π2＋1)＝0，f(0)＝π
故f(f(f(－1)))＝f(f(π2＋1))＝f(0)＝π.
【答案】　C
2．函数f(x)＝则f(2)＝(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
【解析】　f(2)＝f(2－1)＝f(1)＝1－2＝－1.
【答案】　A
3．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程数x(千米)之间的函数关系式是________．
【解析】　当0≤x≤100时，y＝0.5x；
当x>100时，y＝100×0.5＋(x－100)×0.4＝10＋0.4x.
所以y＝　
【答案】　y＝
4．(2016·广东珠海四中高一月考)如图2 2 6，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7
cm，腰长为2cm，当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x.试写出左边部分的面积y与x的函数解析式．
图2 2 6
【解】　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.因为ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2
cm，又BC＝7
cm，所以AD＝GH＝3
cm.
(1)当点F在BG上时，即x∈(0,2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上时，即x∈(2,5]时，y＝2＋(x－2)·2＝2x－2
(3)当点F在HC上时，即x∈(5,7)时，y＝－(x－7)2＋10.
所以，函数解析式为
y＝学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝(　　)
A．5－　　　
B．5－　　　
C．5　　　
D．5
【解析】　若bn＝am(m，n∈N＋，a>0，b>0)，则b＝a，所以b＝5－.
【答案】　B
2．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是(　　)
A．－＝(－x)－(x≠0)
B．x－＝
C.－＝(xy≠0)
D.＝y(y<0)
【解析】　A中－＝－x，B中x－＝，C中－＝＝，D中＝(－y)，故C正确．
【答案】　C
3．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　由x＝1＋2b，得2b＝x－1，由y＝1＋2－b＝1＋，得y＝1＋＝.
【答案】　D
4．计算(2a－3b－)·(－3a－1b)÷(4a－4b－)，得(　　)
A．－b2
B.b2
C．－b
D.b
【解析】　原式＝[2×(－3)÷4]·a－3－1＋4·b－＋1＋＝－a0b2＝－b2.
【答案】　A
5．化简的结果是(　　)
A.
B．－
C．a
D．－a
【解析】　由式子可知a<0，原式＝＝＝－.
【答案】　B
二、填空题
6．将用分数指数幂表示为________．
【解析】　＝＝＝(a)＝a.
【答案】　a
7．2－＋＋－·8＝________.
【解析】　原式＝＋＋＋1－22＝2－3.
【答案】　2－3
8．如果a＝3，b＝384，那么an－3＝________.
【解析】　原式＝3·n－3＝3·[128]n－3
＝3·2n－3.
【答案】　3·2n－3
三、解答题
9．计算：(1)0＋2－2×－－(0.01)0.5；
(2)若a＝2，b>0，求＋(a－b－)(a＋ab－＋b－)的值．
【解】　(1)原式＝1＋2－2×－－
＝1＋×－0.1
＝1＋－
＝.
(2)原式＝a＋b－1＋a－b－1＝2a＝2·2＝4.
10．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值.
【导学号：04100044】
【解】　∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
∴∵a>b>0，∴>>0，
∴>0.
∵2＝＝＝＝，
∴＝＝.
[能力提升]
1．设a>0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是(　　)
A．a
B．a
C．a
D．a
【解析】　原式＝＝＝＝＝a.
【答案】　C
2.·等于(　　)
A．－
B．－
C.
D.
【解析】　由式子可知a<0，故原式＝a·(－a)＝－(－a)·(－a)＝－(－a)＝－.
【答案】　A
3．已知10α＝2,100β＝3，则1
0002α－β＝________.
【解析】　∵100β＝3，即102β＝3，
∴10β＝3，
∴1
0002α－β＝106α－β＝＝＝.
【答案】　
4．(1)已知2x＋2－x＝3，求8x＋8－x的值；
(2)已知a＝－，b＝，求÷的值．
【解】　(1)8x＋8－x＝(2x)3＋(2－x)3
＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]
＝3[(2x＋2－x)2－3·2x·2－x]
＝3×(32－3)＝18.
(2)∵a≠0，a－27b≠0，
∴原式＝×
＝＝a－
＝－＝－2＝2＝.学业分层测评(十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y＝x(x∈N＋)的图像是(　　)
A．一条上升的曲线
B．一条下降的曲线
C．一系列上升的点
D．一系列下降的点
【解析】　>1且x∈N＋，故图像是一系列上升的点．
【答案】　C
2．(2016·延安高一检测)函数f(x)＝3x－2中，x∈N＋且x∈[－1,3]，则f(x)的值域为(　　)
A．{－1,1,7}
B．{1,7,25}
C．{－1,1,7,25}
D.
【解析】　∵x∈N＋且x∈[－1,3]，
∴x∈{1,2,3}，
∴3x∈{3,9,27}，∴f(x)∈{1,7,25}．
【答案】　B
3．若正整数指数函数过点，则它的解析式为(　　)
A．y＝2x
B．y＝x
C．y＝x
D．y＝(－2)x
【解析】　设f(x)＝ax，则a2＝，∴a＝，∴f(x)＝x.
【答案】　C
4．若正整数指数函数f(x)＝(a－4)x满足f(15)A．a>4且a≠5
B．4C．a>5或a<4
D．a>5
【解析】　由f(15)【答案】　B
5．某产品计划每年成本降低p%，若三年后成本为a元，则现在成本为(　　)
A．a(1＋p%)元
B．a(1－p%)元
C.元
D.元
【解析】　设现在成本为x元，则x(1－p%)3＝a，
∴x＝，故选C.
【答案】　C
二、填空题
6．已知正整数指数函数y＝(m2－5m－5)mx，(x∈N＋)，则m＝________.
【解析】　由题意m2－5m－5＝1，∴m2－5m－6＝0，
解得m＝6或－1(舍去)，∴m＝6.
【答案】　6
7．比较下列各式的值．
(1)π3____π2；
(2)2____6.
【解析】　由正整数指数函数的单调性知，π3>π2，2>6.
【答案】　(1)>　(2)>
8．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失20%，把几块相同的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为1，通过x块玻璃板后的强度为y，则y关于x的函数关系式为________．
【解析】　20%＝0.2，当x＝1时，
y＝1×(1－0.2)＝0.8；
当x＝2时，y＝0.8×(1－0.2)＝0.82；
当x＝3时，y＝0.82×(1－0.2)＝0.83；
……
∴光线强度y与通过玻璃板的块数x的关系式为y＝0.8x(x∈N＋)．
【答案】　y＝0.8x(x∈N＋)
三、解答题
9．若x∈N＋，判断下列函数是不是正整数指数函数，若是，指出其单调性．
(1)y＝(－)x；(2)y＝x4；(3)y＝；
(4)y＝x；(5)y＝(π－3)x.
【解】　因为y＝(－)x的底数－小于0，所以y＝(－)x不是正整数指数函数；
(2)因为y＝x4中自变量x在底数位置上，所以y＝x4不是正整数指数函数，实际上y＝x4是幂函数；
(3)y＝＝·2x，因为2x前的系数不是1，所以y＝不是正整数指数函数；
(4)是正整数指数函数，因为y＝x的底数是大于1的常数，所以是增函数；
(5)是正整数指数函数，因为y＝(π－3)x的底数是大于0且小于1的常数，所以是减函数．
10．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(5)；
(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因.
【导学号：04100041】
【解】　(1)设正整数指数函数为f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)，因为函数f(x)的图像经过点(3,27)，所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．
(2)f(5)＝35＝243.
(3)∵f(x)的定义域为N＋，且在定义域上单调递增，
∴f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3；f(x)无最大值．
[能力提升]
1．已知正整数指数函数y＝(a－1)x(x∈N＋)是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．a>2
B．a<2
C．1D．a<1
【解析】　由题意0【答案】　C
2．若正整数x，满足3x≤27，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，3]
B．[3，＋∞)
C．{0,1,2,3}
D．{1,2,3}
【解析】　由3x≤27，即3x≤33得x≤3，又x∈N＋，所以x＝1,2,3.
【答案】　D
3．当x∈{x|－1【解析】　因为{x|－1∴当x＝1,2,3,4时，f(x)＝，，，，故函数f(x)的值域为.
【答案】　
4．某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y＝f(t)．
(1)写出函数y＝f(t)的定义域和值域；
(2)在坐标系中画出y＝f(t)(0≤t<6)的图像；
(3)写出研究进行到n小时(n≥0，n∈Z)时，细菌的总个数．(用关于n的式子表示)
【解】　(1)y＝f(t)的定义域为{t|t≥0}，值域为{y|y＝2n，n∈N＋}；
(2)0≤t<6时，f(t)为分段函数，
y＝
图像如图所示．
(3)n为偶数且n≥0时，y＝2＋1；
n为奇数且n≥0时，y＝2＋1.
∴y＝学业分层测评(十五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知集合M＝{－1,1}，N＝，则M∩N＝(　　)
A．{－1,1}　
B．{－1}
C．{0}
D．{－1,0}
【解析】　N＝{x|2－1<2x＋1<22，x∈Z}，又y＝2x在R上为增函数，所以N＝{x|－1【答案】　B
2．下列判断正确的是(　　)
A．2.52.5>2.53　　
B．0.82<0.83
C．π2<π
D．0.90.3>0.90.5
【解析】　∵y＝0.9x是R上的减函数，
且0.5>0.3，∴0.90.3>0.90.5.
【答案】　D
3．函数y＝5－|x|的图像是(　　)
【解析】　当x>0时，y＝5－|x|＝5－x＝x，又原函数为偶函数，故选D.
【答案】　D
4．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域为R，则(　　)
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
【解析】　f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，f(x)为偶函数，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，g(x)为奇函数．故选B.
【答案】　B
5．函数y＝的单调递增区间是(　　)
A.　　　　
B.
C.
D．(－∞，＋∞)
【解析】　函数的定义域为R，令u＝2x2－x－3，对称轴为x＝，
故当x≥时，u为增函数，当x≤时，u为减函数．
又<1，故函数y＝的单调递增区间为.故选A.
【答案】　A
二、填空题
6．定义运算a
b＝则函数f(x)＝1]　　　　.
【解析】　因为a
b＝则f(x)＝1]1，x≥0，
2x，x<0，
作出图像如图所示：
故f(x)的最大值为1.
【答案】　1
7．函数f(x)是定义在R上的奇函数，并且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x，那么f(－1)＝________.
【解析】　因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.
【答案】　－2
8．若函数y＝|2x－1|在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________.
【导学号：04100050】
【解析】　作出函数y＝|2x－1|的图像如图所示
因为函数在(－∞，m]上单调递减，故m≤0.
【答案】　m≤0
三、解答题
9．画出函数y＝2|x＋1|的图像，并根据图像指出它的单调区间．
【解】　变换作图，y＝2xy＝2|x|y＝2|x＋1|，如图．
由图可知函数y＝2|x＋1|在(－∞，－1]上单调递减，
在(－1，＋∞)上单调递增．
10．求函数y＝4x－2x＋1－3在[－1,2]上的值域．
【解】　y＝4x－2x＋1－3＝22x－2·2x－3.
令t＝2x，因为x∈[－1,2]，所以t∈，
所以y＝t2－2t－3，对称轴t＝1，
所以当t＝1时，ymin＝1－2－3＝－4，
当t＝4时，ymax＝16－8－3＝5.
故函数的值域为[－4,5]．
[能力提升]
1．若f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(4,8)
C．[4,8)
D．(1,8)
【解析】　因为f(x)是R上的增函数，
则
解得4≤a<8.
【答案】　C
2．(2016·淮阴高一检测)已知函数f(x)＝为R上的奇函数，则n的值为________．
【解析】　因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以＝，
所以＝，所以n＝2.
【答案】　2
3．已知函数f(x)＝·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)求证：f(x)>0.
【解】　(1)由2x－1≠0，得x≠0.
∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)由于函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝·(－x)3
＝－·x3＝－·x3
＝·x3＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(3)证明：当x>0时，>0，x3>0，
∴f(x)>0，
又∵f(x)为偶函数，
∴x<0时，f(x)>0.
综上所述，对于定义域内的任意x都有f(x)>0.学业分层测评(二十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·佛山高一检测)四人赛跑，其跑过的路程f(x)与时间x的函数关系分别如下四个选项所示，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系为(　　)
A．f1(x)＝x　　
B．f2(x)＝x
C．f3(x)＝log2(x＋1)
D．f4(x)＝log8(x＋1)
【解析】　A、C、D中函数增长特点是越来越慢，B中一次函数型增长特点是正比例增长，故选B.
【答案】　B
2．函数y1＝2x与y2＝x2，当x>0时，图像的交点个数是(　　)
A．0　
B．1　　　　
C．2　　　　
D．3
【解析】　当x＝2或4时，y1＝y2，当x>4时，y1>y2，故交点个数是2.
【答案】　C
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致为(　　)
【解析】　由题意，设林区原来的蓄积量为a，则ax＝a(1＋10.4%)y，即1.104y＝x，则y＝log1.104x，故y＝f(x)的图像大致为D.
【答案】　D
4．某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为(　　)
A．640
B．1
280
C．2
560
D．5
120
【解析】　由题意可得，当t＝0时，y＝10，当t＝1时，y＝10ek＝20，可得ek＝2.故10个细菌经过7小时培养，能达到的细菌个数为10e7k＝10×(ek)7＝1
280.
【答案】　B
5．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是(　　)
A．y＝0.2x
B．y＝(x2＋2x)
C．y＝
D．y＝0.2＋log16x
【解析】　将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算，可知选C.
【答案】　C
二、填空题
6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2
000ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
【解析】　当v＝12
000时，2
000×ln
＝12
000，
∴ln＝6，∴＝e6－1.
【答案】　e6－1
7．池塘浮萍每天生长原来的一倍，15天刚好长满池塘，则________天长满半池塘.
【导学号：04100068】
【解析】　设第一天生长a，则第二天有浮萍2a，第三天4a，…第14天213a，第15天214a.
因214a＝2×213a，∴14天长满半池塘．
【答案】　14
三、解答题
8．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时，比礼品价值为n元(n∈N＋)时的销售量增加10%.
(1)写出礼品价值为n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；
(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．
【解】　(1)设未赠礼品时的销售量为m，则当礼品价值为n元时，销售量为m(1＋10%)n.
利润yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n
＝(20－n)m×1.1n(0＜n＜20，n∈N＋)．
(2)令yn＋1－yn≥0，
即(19－n)m×1.1n＋1－(20－n)m×1.1n≥0，
解得n≤9，
所以y1＜y2＜y3＜…＜y9＝y10，
令yn＋1－yn＋2≥0，
即(19－n)m×1.1n＋1－(18－n)m×1.1n＋2≥0，
解得n≥8，所以y9＝y10＞y11＞…＞y19.
所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．
9．某工厂利润数据如下表：
月份
1
2
3
利润(万元)
2
5
6
现有两个函数模型刻画该厂的月利润y(万元)与月份x的函数关系：指数型函数y＝abx＋c和二次函数y＝ax2＋bx＋c，若4月份的利润为5.1万元，选哪个模型比较好？(其中ab≠0，且b≠1)
【解】　先把前3个月份的数据代入y＝abx＋c，
得解得
∴y＝－·x＋.
把x＝4代入得y≈6.33.
再把三组数据代入y＝ax2＋bx＋c，
得
解得
∴y＝－x2＋6x－3.
把x＝4代入得y＝5.0.
∵|5.0－5.1|<|6.33－5.1|，
∴选模型y＝－x2＋6x－3较好．
[能力提升]
1．(2016·福州高一检测)如图3 6 4，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图像显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有(　　)
图3 6 4
A．1个
B．2个　　　
C．3个　　　
D．4个
【解析】　图①不对，因为正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图像是直线型的．图②正确，因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加得快，上面增加得慢，即图像应越来越平缓．图③正确，球是对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度增加得越来越慢；上半球恰好相反，所以水的高度增加得越来越快，即图像先平缓再变陡．图④正确，图中几何体两头宽，中间窄，所以水的高度增加，先变快后变慢，即图像先变陡再平缓．
【答案】　C
2．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1986年，第一年(即1986年)只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物头数y与时间x(年)的关系可近似地由关系式y＝alog2(x＋1)给出，则到2016年时，预测麋鹿的头数约为________．
【解析】　由第一年有麋鹿100头，可得a＝100.2016年，即x＝31时，代入后可得y＝100log2(31＋1)＝100·log225＝500，故此时麋鹿共有500头．
【答案】　500学业分层测评(二十四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题1．(2015·佛山高一检测)甲乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图4 2 7所示，则下列说法正确的是(　　)
图4 2 7
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑得路程更多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
【解析】　由图可知，甲比乙跑的要快，比乙先到达终点，两人跑的路程相同，故选D.
【答案】　D
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如图4 2 8所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　)
图4 2 8
A．310元　
B．300元
C．290元
D．280元
【解析】　令y＝kx＋b，则解得
所以y＝500x＋300，令x＝0，y＝300.
故营销人员没有销售量时的收入是300元．
【答案】　B
3．某机器总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为(　　)
A．30
B．40
C．50
D．60
【解析】　设安排生产x台，则获得利润
f(x)＝25x－y＝－x2＋100x
＝－(x－50)2＋2
500.
故当x＝50台时，获利润最大．故选C.
【答案】　C
4．如图4 2 9，开始时桶(1)中有a升水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1＝ae－nt，那么桶(2)中水就是y2＝a－ae－nt，假设过5分钟时桶(1)和桶(2)中的水相等，则再过(　　)桶(1)中的水只有.
图4 2 9
A．7分钟
B．8分钟
C．9分钟
D．10分钟
【解析】　由题意得ae－5n＝a－ae－5n，e－n＝.设再经过t分钟，桶(1)中的水只有，得ae－n(t＋5)＝，则＝3，解得t＝10.
【答案】　D
二、填空题
5．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数关系式为S(t)＝________.
【解析】　日销售额S＝f(t)·g(t)＝(2t＋100)(t＋4)＝2t2＋108t＋400.
【答案】　2t2＋108t＋400
6．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2
km.如图4 2 10表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10
min，那么y＝f(x)的解析式为________．
图4 2 10
【解析】　由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得：
y＝f(x)＝
【答案】　y＝
三、解答题
7．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比．
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
【导学号：04100080】
【解】　(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0＜x＜1)，则a(1－x)10＝a，
即(1－x)10＝，
解得x＝1－.
故每年砍伐面积的百分比为1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，
即＝，＝，解得
m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍伐了n年，则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
()≥()，≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
[能力提升]
1．某工厂生产某种产品固定成本为2
000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
【解析】　L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2
000
＝－Q2＋30Q－2
000＝－(Q－300)2＋2
500
当Q＝300时，L(Q)的最大值为2
500万元．
【答案】　2
500
2．(2016·山东青州市高一期中)销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1，y2万元，它们与投入资金x万元的关系分别为y1＝a＋m，y2＝bx，(其中m，a，b都为常数)，函数y1，y2对应的曲线C1、C2如图4 2 11所示．
图4 2 11
(1)求函数y1，y2的解析式；
(2)若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．
【解】　(1)由题意
解得a＝，m＝－，
y1＝－，(x≥0)．
又由题意8b＝得b＝，
y2＝x(x≥0)．
(2)设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入(4－x)万元．令所获利润为y万元．
由(1)得
y＝－＋(4－x)
＝－x(0≤x≤4)．
令＝t，(1≤t≤)，则有
y＝－t2＋t＋
＝－(t－2)2＋1，(1≤t≤)．
当t＝2即x＝3时，ymax＝1.
综上，该商场所获利润的最大值为1万元．学业分层测评(八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝3－x　　
B．f(x)＝
C．f(x)＝x2－2x－1
D．f(x)＝－|x|
【解析】　A中f(x)为减函数，B中f(x)在(－∞，1)上是减函数，C中f(x)在(－∞，1]上是减函数，D中由f(x)图像可知，在(－∞，0)上是增函数．
【答案】　D
2．如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在[4，＋∞)上是增加的，那么实数a的取值范围是(　　)
A．a≤3
B．a≥－3
C．a≤5
D．a≥5
【解析】　函数f(x)的对称轴为x＝－＝1－a，则1－a≤4，即a≥－3.
【答案】　B
3．下列说法中正确的是(　　)
①若对任意x1，x2∈I，当x1②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个
B．1个
C．2个　　　
D．3个
【解析】　由函数单调性的定义知①正确，②中y＝x2在R上不具有单调性，③中y＝－在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数，④中y＝的单调性区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，故正确的只有①.
【答案】　B
4．已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是(　　)
A．减函数且f(0)<0
B．增函数且f(0)<0
C．减函数且f(0)>0
D．增函数且f(0)>0
【解析】　由题意a<0，b<0，故f(x)是减少的，f(0)＝a<0.
【答案】　A
5．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，则(　　)
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2＋1)C．f(a2＋a)D．f(a2)【解析】　∵a2＋1－a＝2＋>0，∴a2＋1>a.
∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，∴f(a2＋1)【答案】　B
二、填空题
6．已知f(x)＝则f(x)的单调增区间是________．
【解析】　画出分段函数f(x)的图像，如图所示：
由图像知，f(x)在(－∞，0]和[1，＋∞)上是增加的．
【答案】　(－∞，0]和[1，＋∞)
7．函数y＝kx＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则k＝________.
【解析】　当k>0时，由3k＋1＝4，k＝1；
当k<0时，由k＋1＝4，k＝3(舍去)．
【答案】　1
8．已知函数f(x)为区间[－1,1]上的减函数，则满足f(x)【解析】　由题意所以【答案】　三、解答题
9．求函数f(x)＝x＋，x∈(0,1]的最小值．
【解】　∵f(x)＝x＋，x∈(0,1]，设0＜x1＜x2≤1，
∴f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).
∵0＜x1＜x2≤1，
∴x1－x2＜0,0＜x1x2＜1,1－＜0.
∴(x1－x2)＞0，
∴f(x1)＞f(x2)．
∴f(x)＝x＋在(0,1]上是减函数．
∴f(x)的最小值是f(1)＝1＋＝5.
10．作出函数y＝|x－2|(x＋1)的图像，并根据函数的图像指出函数的单调区间．
【解】　y＝|x－2|(x＋1)＝
作图：
故函数f(x)的增区间为，[2，＋∞)，减区间为.
[能力提升]
1．已知定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x)的对称轴为x＝4，则(　　)
A．f(2)>f(3)
B．f(2)>f(5)
C．f(3)>f(5)
D．f(3)>f(6)
【解析】　∵f(x)在(4，＋∞)上是减函数，对称轴为x＝4，∴f(x)在(－∞，4)上是增函数，
又f(3)＝f(5)，f(5)>f(6)，∴f(3)>f(6)．
【答案】　D
2．已知函数f(x)＝
是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,3)
B．(0,3]
C．(0,2)
D．(0,2]
【解析】　由题意解得
所以0【答案】　D
3．(2016·内蒙古高一月考)已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)＜f(2a－1)，则a的取值范围是________．
【解析】　因为y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(2a－1)，所以
即
解得0＜a＜，即a的取值范围是.
【答案】　
4．讨论函数f(x)＝在(－2，＋∞)上的单调性.
【导学号：04100026】
【解】　任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1∴f(x1)－f(x2)＝－
＝－
＝.
∵x1，x2∈(－2，＋∞)，x10，x2＋2>0，x1－x2<0.
∵a≠，∴当a<时，2a－1<0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(－2，＋∞)上是减少的；
当a>时，2a－1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)即f(x)在(－2，＋∞)上是增加的．
综上所述，当a<时，函数f(x)在区间(－2，＋∞)上为减函数，当a>时，函数f(x)在区间(－2，＋∞)上为增函数．