【北师大版】2017-2018学年高中数学必修4学案全集（25份打包，Word版，含解析）

§5　从力做的功到向量的数量积
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(重点)
2．体会平面向量的数量积与向量射影的关系．
3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理　向量的夹角及数量积
阅读教材P93～P96内容，完成下列问题．
1．向量的夹角
定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角
范围
0°≤θ≤180°
特例
θ＝0°
a与b同向
θ＝180°
a与b反向
θ＝90°
a与b垂直，记作a⊥b，规定0可与任一向量垂直
2.向量的数量积
(1)射影
|b|cos
θ叫作向量b在a方向上的投影数量(也叫投影)．
(2)数量积
已知两个非零向量a与b，我们把|a||b|cos
θ
叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos
θ，其中θ是a与b的夹角．
(3)规定
零向量与任一向量的数量积为0.
(4)几何意义
a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos
θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos
θ的乘积．
(5)性质
①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos
θ.
②若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b a·b＝0.
③|a|＝＝.
④cos
θ＝(|a||b|≠0)．
⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．
(6)运算律
已知向量a，b，c与实数λ，则：
①交换律：a·b＝b·a；
②结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两向量的数量积仍是一个向量．(　　)
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　)
(3)设a与b的夹角为θ，则cos
θ>0 a·b>0.(　　)
(4)对于任意向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.(　　)
(5)＝.(　　)
【解析】　(1)×.两向量的数量积是一个数量．
(2)×.∵a·b＝|a||b|cos
θ＝0，∴a＝0或b＝0或cos
θ＝0.
(3)√.
(4)×.由数量积定义知，错；
(5)×.＝＝.
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
求向量的数量积
　已知|a|＝4，|b|＝5，且a与b的夹角为60°.求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a－b)2；(4)a2－b2.
【精彩点拨】　利用两个向量的数量积公式a·b＝|a||b|cos
θ，|a|2＝a2及运算律计算．
【自主解答】　由题知θ＝60°，|a|＝4，|b|＝5.
(1)a·b＝|a||b|cos
θ＝4×5×cos
60°＝10.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2×10＋52＝61.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝42－20＋52＝21.
(4)a2－b2＝|a|2－|b|2＝42－52＝－9.
1．求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求出|a|和|b|；③利用数量积的定义：a·b＝|a||b|cos
θ求解．要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．
2．若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积．
[再练一题]
1．已知|a|＝10，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°.求：
(1)a·b；
(2)a在b方向上的射影；
(3)(a－2b)·(a＋b)；
(4)(a－b)2.
【解】　(1)a·b＝|a||b|cos
120°＝10×4×＝－20.
(2)a在b方向上的射影为|a|cos
120°＝10×＝－5.
(3)(a－2b)·(a＋b)＝a2＋a·b－2a·b－2b2
＝a2－a·b－2b2＝|a|2－|a||b|cos
120°－2|b|2
＝100－10×4×－2×42＝88.
(4)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos
120°＋|b|2
＝100－2×10×4×＋42
＝100＋40＋16＝156.
与向量的模有关的问题
　已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2.求：
(1)|a＋b|；
(2)|3a－4b|.
【精彩点拨】　利用公式|a|2＝a2进行计算．
【自主解答】　a·b＝|a||b|cos
θ＝4×2×cos
120°＝－4.
(1)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2·a·b＋|b|2
＝42＋2×(－4)＋22＝12，
所以|a＋b|＝2.
(2)因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，
所以|3a－4b|＝4.
1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活运用a2＝|a|2，最后勿忘开方．
2．一些常见等式应熟记：
(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．
[再练一题]
2．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61，求|a＋b|.
【导学号：66470054】
【解】　因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4a2＋2a·b－6a·b－3b2＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又因为|a|＝4，|b|＝3，所以4×42－4a·b－3×32＝61，
所以a·b＝－6.
|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
所以|a＋b|＝.
[探究共研型]
向量的夹角和垂直问题
探究1　向量的夹角范围是多少？
【提示】　[0，π]．
探究2　设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
【提示】　a·b＝0 a⊥b.
探究3　|a·b|与|a|·|b|的大小关系如何？为什么？对于向量a·b，如何求它们的夹角θ？
【提示】　|a·b|≤|a|·|b|，|a·b|＝|a|·|b|·|cos
θ|.
由|cos
θ|≤1，可得|a·b|≤|a|·|b|.
求夹角θ时先求两个向量a，b夹角的余弦值．然后根据向量夹角的取值范围求角．
　已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝2e1＋e2与b＝2e2－3e1的夹角θ.
【精彩点拨】　先求|a|，|b|及a·b，再由公式cos
θ＝求解．
【自主解答】　∵e1·e2＝|e1||e2|cos
60°＝cos
60°＝，
∴a·b＝(2e1＋e2)·(2e2－3e1)
＝－6e＋e1·e2＋2e＝－.
又∵a2＝(2e1＋e2)2＝4e＋4e1·e2＋e＝7，
b2＝(2e2－3e1)2＝4e－12e1·e2＋9e＝7，
∴|a|＝|b|＝，
则cos
θ＝＝＝－.
∵0≤θ≤π，∴θ＝π.
1．求向量a，b的夹角θ有两步：第一步，利用公式cos
θ＝求cos
θ；第二步，根据θ∈[0，π]确定θ.而求cos
θ有两种情形，一种是求出a·b，|a|，|b|的值；另一种是得到a·b，|a|，|b|之间的关系分别代入公式计算．
2．两向量垂直 a·b＝0，即把垂直关系转化为数量积的运算问题解决．
[再练一题]
3．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)(a＋b)＝.
(1)求a与b的夹角；
(2)求a－b与a＋b的夹角的余弦值．
【解】　(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，所以|a|2－|b|2＝.又因为|a|＝1，所以|b|＝＝，设a与b的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
(2)因为(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝，
所以|a－b|＝.又因为(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝，所以|a＋b|＝.
设a＋b与a－b的夹角为α，
则cos
α＝＝＝.
[构建·体系]
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中正确的是(　　)
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则a＝0或λ＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
【解析】　由向量数量积的运算性质，知A，C，D错误．
【答案】　B
2．设向量a·b＝40，|b|＝10，则a在b方向上的射影为(　　)
A．4　　　　　
B．4
C．4
D．8＋
【解析】　a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉．由a·b＝|a|·|b|cos
θ＝40且|b|＝10，得|a|cos
θ＝4.
【答案】　A
3．已知|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则a与b的夹角是________.
【导学号：66470055】
【解析】　设a与b的夹角为θ，cos
θ＝＝＝－.
又因为0°＜θ＜180°，所以θ＝120°.
【答案】　120°
4．单位向量i，j相互垂直，向量a＝3i－4j，则|a|＝________.
【解析】　因为|a|2＝a2＝(3i－4j)2＝9i2－24i·j＋16j2＝9＋16＝25，所以|a|＝5.
【答案】　5
5．已知|a|＝1，|b|＝，设a与b的夹角为θ.
(1)若θ＝，求|a－b|；
(2)若a与a＋b垂直，求θ.
【解】　(1)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝a2－2a·b＋b2
＝|a|2－2|a||b|cos＋|b|2
＝1－2×＋2
＝3－，
∴|a－b|＝.
(2)若a与a＋b垂直，则a·(a＋b)＝0，
∴a2＋a·b＝0.
∵a·b＝－|a|2＝－1.
∴cos
θ＝＝＝－.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§7　向量应用举例
7．1　点到直线的距离公式
7．2　向量的应用举例
1．了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离．(重点)
2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题．(难点)
3．进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具．
[基础·初探]
教材整理　向量应用举例
阅读教材P101～P103，完成下列问题．
1．点到直线的距离公式
若M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为：d＝.
2．直线的法向量
(1)定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．
(2)公式：设直线l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)．
3．向量的应用
向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)△ABC是直角三角形，则·＝0.(　　)
(2)若∥，则直线AB与CD平行．(　　)
(3)向量，的夹角与直线AB，CD的夹角不相等．(　　)
(4)直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量是(A，B)．(　　)
【解析】　△ABC是直角三角形，若∠A＝90°，则·≠0，∴(1)×；两向量平行，对应的两直线可以是重合，∴(2)×；(3)(4)均正确．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
向量在平面几何中的应用
已知D是△ABC中AC边上一点，且AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD外接圆的切线．
图2－7－1
【自主解答】　设△BCD外接圆的圆心为O，
半径为R，连接OB，OC，OD，取＝b，
＝c，＝d，
则|b|＝|c|＝|d|，
又由题意，知和分别为120°和90°的弧．
∴b·d＝0，b·c＝|b||c|cos
120°＝－R2.
又∵＝＋＝c＋3＝c＋3(d－c)＝3d－2c，
＝－＝b－3d＋2c.
∴·＝(b－3d＋2c)·b＝R2＋2c·b＝R2－R2＝0，
即⊥，∴AB是⊙O的切线．
1．解决此类问题，通常利用平面向量基本定理，将一些相关向量用选定的基底来表示，再利用运算法则，运算律以及一些重要性质进行运算，最后把结果还原为几何关系．
2．本题是将切线问题转化为两向量的垂直关系．
[再练一题]
1．已知Rt△ABC，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n，若D为斜边AB的中点，
(1)求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
【解】　以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)，＝(n，－m)．
(1)证明：∵D为AB的中点，
∴D，
∴||＝，||＝，
∴||＝||，即CD＝AB.
(2)∵E为CD的中点，
∴E，设F(x,0)，则
＝，＝(x，－m)．
∵A，E，F共线，∴＝λ，
解得(x，－m)＝λ，
∴
即x＝，即F，＝，
∴||＝，
即AF＝.
向量在物理中的应用
　某人在静水中游泳，速度为4km/h.
(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4
km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？
(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？
【精彩点拨】　解本题首先要根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有关运算求解．
【自主解答】　(1)如图①，设人游泳的速度为，水流的速度为，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为＋＝，根据勾股定理，||＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进，速度大小为8
km/h.
(2)如图②，设此人的实际速度为，水流速度为.
∵实际速度＝游速＋水速，故游速为－＝，
在Rt△AOB中，||＝4，||＝4，||＝4.
∴cos∠BAO＝，
故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为4km/h.
1．用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．
2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．
3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．
[再练一题]
2．一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1
000
km到达B地，因大雾无法降落，故转向C地飞行，若C地在A地的南偏西60°方向，并且A，C两地相距2
000
km，求飞机从B地到C地的位移．
图2－7－2
【解】　法一：由题意得||＝1
000，||＝2
000，∠BAC＝60°，
∴||2＝|－|2＝||2＋||2－2||·||·cos
60°
＝2
0002＋1
0002－2×1
000×2
000×＝3×106，
∴||＝1
000(km)，∠ABC＝90°.
取AC的中点D，由||＝2||且∠BAD＝60°，
知为正南方向，有∠ABD＝60°，于是∠DBC＝30°.
所以飞机从B地到C地的位移的大小为1
000km，方向为南偏西30°.
法二：建立如图所示坐标系，并取a＝500，则＝(2acos
150°，2asin
150°)＝(－a，a)，
＝(4acos
210°，4asin
210°)
＝(－2a，－2a)，
∴＝(－a，－3a)，||＝2a，
即||＝1
000(km)．
又cos
C＝＝＝，∠C＝30°.
结合图形可知的方向为南偏西30°，所以飞机从B地到C地的位移的大小为1
000km，方向为南偏西30°.
[探究共研型]
向量在解析几何中的应用
探究1　教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d＝|·n0|
【提示】　如图所示，过M作MN⊥l于N，则d＝||.在Rt△MPN中，||是在方向上的射影的绝对值，则|＝|||cos∠PMN|＝|||×1×cos∠PMN|＝||×|n0|×|cos∠PMN|＝|·n0|，
∴d＝|·n0|.
探究2　你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？
【提示】　关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算．
探究3　用向量法解决几何问题常用到哪些知识？
【提示】　相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到．
　已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，及点A(1,1)，M是⊙C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程．
【精彩点拨】　要求点N的轨迹方程，需设出点N的坐标，然后利用已知条件，转化为向量关系，再利用代入法求解．
【自主解答】　设N(x，y)，M(x0，y0)，
由＝2，得
(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，
∴
即代入⊙C方程，得
(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4，
即x2＋y2＝1.
∴点N的轨迹方程为x2＋y2＝1.
向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．
[再练一题]
3．已知过点A(0,2)，且方向向量为a＝(1，k)的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M，N两点，若O为坐标原点，且·＝12，求k及直线l的方程．
【解】　设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由题意知，l的方程为y＝kx＋2，由得(1＋k2)x2－(4＋2k)x＋4＝0.
由根与系数的关系得，
x1＋x2＝，x1x2＝.
∵·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝12，
y1＝kx1＋2，y2＝kx2＋2，
∴x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝0，
即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)－8＝0，
∴(1＋k2)×＋2k×－8＝0，解得k＝，
∴直线l的方程为y＝x＋2，即x－2y＋4＝0.
[构建·体系]
1．一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5N，则两个力的合力的大小为(　　)
A．5N　　　　　
B．5N
C．5N
D．5N
【解析】　根据向量的平行四边形法则，合力F的大小为×5＝5(N)．
【答案】　D
2．在四边形ABCD中，·＝0，且＝，则四边形ABCD是(　　)
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
【解析】　由·＝0，得⊥，又＝，所以与平行且相等，从而四边形ABCD是矩形．
【答案】　C
3．过点P(1，－1)且垂直于向量n＝(2，－1)的直线方程为________.
【导学号：66470059】
【解析】　所求直线的方向向量为m＝(1,2)，
∴所求直线的斜率为k＝2，
∴所求直线方程为y＋1＝2(x－1)，即2x－y－3＝0.
【答案】　2x－y－3＝0
4．已知点A(1,1)，M(x，y)，且A与M不重合，若向量与向量a＝(1,2)垂直，则点M的轨迹方程为________．
【解析】　由题意得＝(x－1，y－1)．
因为⊥a，所以·a＝0，
所以(x－1，y－1)·(1,2)＝x－1＋2(y－1)＝0，
即x＋2y－3＝0(x≠1)．
【答案】　x＋2y－3＝0(x≠1)
5．已知△ABC为直角三角形，设AB＝c，BC＝a，CA＝b.若C＝90°，试证：c2＝a2＋b2.
【证明】　以C点为原点建立如图所示的直角坐标系．
则A(b,0)，B(0，a)．
∴＝(0，a)－(b,0)＝(－b，a)，
∴||＝＝c.
故c2＝a2＋b2.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§1　周期现象
§2　角的概念的推广
1．了解现实生活中的周期现象．
2.了解任意角的概念，理解象限角的概念．(重点)
3．掌握终边相同角的含义及表示．(难点)
4．会用集合表示象限角．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1　周期现象
阅读教材P3～P4“例3”以上部分，完成下列问题．
1．以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．
2．要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间，这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)某同学每天上学的时间是周期现象．(　　)
(2)月球到太阳的距离随时间的变化是周期现象．(　　)
(3)潮汐现象是周期现象．(　　)
【解析】　(1)由周期现象的概念知，某同学每天上学的时间不是周期现象．
(2)月球到太阳的距离在任何一个确定的时刻都是确定的，并且经过一定时间，月球又回到原来的位置，因此，是周期现象．
(3)每一昼夜潮水会涨落两次，是周期现象．
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√
教材整理2　角的概念
阅读教材P6～P7“例1”以上部分，完成下列问题．
1．角的有关概念
2．角的概念的推广
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零度角，又称零角
3.象限角的概念
(1)前提条件
①角的顶点与原点重合．
②角的始边与x轴的非负半轴重合．
(2)结论
角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
(3)各象限角的表示
第一象限：S＝{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}；
第二象限：S＝{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}；
第三象限：S＝{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}；
第四象限：S＝{α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z}．
(4)终边相同的角及其表示
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k×360°，
k∈Z}．
如图1－2－1所示：
图1－2－1
注意以下几点：
①k是整数，这个条件不能漏掉．
②α是任意角．
③k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)．
④终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形的内角必为第一、二象限角．(　　)
(2)第三象限角一定比钝角大．(　　)
(3)始边相同，终边不同的角一定不相等．(　　)
【解析】　(1)当三角形的一个内角为90°时，就不是第一、二象限角．(2)第三象限角为负角时比钝角小．(3)据终边相同角的含义知，终边不同的角一定不相等．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
周期现象的判断
　(1)下列变化中不是周期现象的是(　　)
A．“春去春又回”
B．钟表的分针每小时转一圈
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序
D．某交通路口每次绿灯通过的车辆数
(2)水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升．
【自主解答】　(1)由周期现象的概念易知，某交通路口每次绿灯通过的车辆数不是周期现象．故选D.
【答案】　D
(2)因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1
920(升)．
1．应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的．
2．只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内来解决．
[再练一题]
1．如图1－2－2所示是某人的心电图，根据这个心电图，请你判断其心脏跳动是否正常．
图1－2－2
【解】　观察图像可知，此人的心电图是周期性变化的，因此心脏跳动正常．
角的概念
　下列结论：
①锐角都是第一象限角；
②第二象限角是钝角；
③小于180
°的角是钝角、直角或锐角．
其中，正确结论的序号为________．(把正确结论的序号都写上)
【导学号：66470000】
【精彩点拨】　根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角．
【自主解答】　①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确；
②480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以②不正确；
③0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③不正确．
【答案】　①
判断角的概念问题的关键与技巧
1．关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
2．技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
[再练一题]
2．(2016·咸阳高一检测)下列说法正确的是(　　)
A．终边相同的角一定相等
B．钝角一定是第二象限角
C．第一象限角一定不是负角
D．小于90°的角都是锐角
【解析】　终边相同的角不一定相等，故A不正确；钝角一定是第二象限角，故B正确；因－330°是第一象限角，因而C不正确；－45°<90°，但它不是锐角，所以D不正确．
【答案】　B
[探究共研型]
象限角表示
探究1　如果把象限角定义中的“角的始边与x轴的非负半轴重合”改为“与x轴的正半轴重合”行不行，为什么？
【提示】　
不行．因为始边包括端点(原点)．
探究2　是不是任意角都可以归结为是象限角？为什么？
【提示】　不是．一些特殊角终边可能落在坐标轴上．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
探究3　终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表．
α终边所在的位置
角α的集合
x轴正半轴
x轴负半轴
y轴正半轴
y轴负半轴
【提示】　x轴正半轴：{α|α＝k·360°，k∈Z}，
x轴负半轴：{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}，
y轴正半轴：{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}，
y轴负半轴：{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}．
　已知α为第二象限角，问2α，分别为第几象限的角？
【精彩点拨】　由角α为第二象限角，可以写出α的范围：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，在此基础上可以判断2α，的范围，进而可以判断出它们所在的象限．
【自主解答】　∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)．
∴2α是第三或第四象限角，以及终边落在y轴的负半轴上的角．
同理，45°＋·360°<<90°＋·360°(k∈Z)．
①当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)．
则45°＋n·360°<<90°＋n·360°(k∈Z)，
此时为第一象限角；
②当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)．
则225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)．
此时为第三象限角，
综上可知，为第一或第三象限角．
[再练一题]
3．本例中，是第几象限角？
【解】　∵α为第二象限角．
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．
∴30°＋·360°<<60°＋·360°(k∈Z)．
①当k＝3n(n∈Z)时，
30°＋n·360°<<60°＋n·360°.
此时，为第一象限角；
②当k＝3n＋1(n∈Z)时，
150°＋n·360°<<180°＋n·360°.
此时，为第二象限角；
③当k＝3n＋2(n∈Z)时，
270°＋n·360°<<300°＋n·360°.
此时，为第四象限角．
综上可知，为第一或第二或第四象限角．
终边相同的角
探究4　在同一坐标系中作出390
°，－330°，30°的角并观察，这三个角终边之间的关系？角的大小关系？
【提示】如图所示，三个角终边相同，相差360°的整数倍．
探究5　对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？
【提示】　所有与角α终边相同的角连同α在内，可以构成一个集合．S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角整数倍的和．
　已知α＝－1
910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
【精彩点拨】　利用终边相同的角的关系β＝α＋k·360°，k∈Z.
【自主解答】　(1)－1
910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限的角．
(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，
取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ<0°的角，
即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
所以θ为－110°，－470°.
终边相同的角相差360°的整数倍．判定一个角在第几象限，只要在0°～360°范围内找与它终边相同的角，即把这个角β写成β＝α＋k×360°(0°≤α<360°)(k∈Z)的形式，判断角α是第几象限角即可．
[再练一题]
4．在与角10
030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)360°～720°的角．
【解】　(1)与10
030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10
030°(k∈Z)，由－360°030°<0°，得－10
390°030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由0°030°<360°，得－10
030°670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°≤k·360°＋10
030°<720°，得－9
670°≤k·360°<－9
310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
[构建·体系]
1．下列变化是周期现象的是(　　)
A．地球自转引起的昼夜交替变化
B．某同学每天上学的时间
C．某交通路口每小时通过的车辆数
D．某同学每天打电话的时间
【解析】　由周期现象的概念知A为周期现象．
【答案】　A
2．与－265°终边相同的角为(　　)
A．95°　
B．－95°　
C．85°　
D．－85°
【解析】　因为－265°＝－360°＋95°，所以－265°与95°终边相同．
【答案】　A
3．25°的角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2.5周所得的角是________．
【解析】　由题意，所得的角为25°＋360°×(－2.5)＝－875°.
【答案】　－875°
4．已知点P(0，－1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S＝________.
【导学号：66470001】
【解析】　由题意知在0～360°内对应的α＝270°，所以所有α组成的集合S＝{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}．
【答案】　{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}
5．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.
【解】　终边在x轴上的角的集合为S1＝{β|β＝n·180°，n∈Z}，终边在y轴上的角的集合为S2＝{β|β＝n·180°＋90°，n∈Z}．
于是终边在坐标轴上的角的集合
S＝S1∪S2＝{β|β＝n·180°，n∈Z}∪{β|β＝n·180°＋90°，n∈Z}
＝{β|β＝2n·90°，n∈Z}∪{β|β＝(2n＋1)·90°，n∈Z}
＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§3　二倍角的三角函数
1．掌握倍角公式与半角公式及公式的推导方法．(重点)
2．能利用倍角公式与半角公式进行三角函数的求值、化简、证明．(重点)
3．能利用倍角公式与半角公式解决一些简单的实际问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理　二倍角公式与半角公式
阅读教材P124～P127练习2以上部分，完成下列问题．
1．二倍角公式
2．半角公式
(1)sin＝±
；
(2)cos＝±
；
(3)tan＝±
＝＝.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意α∈R，总有sin
2α＝2sin
α.(　　)
(2)对任意α∈R，总有cos
2α＝1－2cos2α.(　　)
(3)对任意α∈R，总有tan
2α＝.(　　)
(4)sin
22°30′cos
22°30′＝.(　　)
【解析】　(1)sin
2α＝2sin
αcos
α，所以(1)错．
(2)cos
2α＝2cos2α－1，所以(2)错．
(3)α≠＋(k∈Z)时，有tan
2α＝，所以(3)错．
(4)sin
22°30′cos
22°30′＝×2sin
22°30′cos
22°30′＝sin
45°＝，所以(4)对．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
倍角及半角公式的直接应用
　已知cos
α＝，α为第四象限的角，求tan
的值．
【精彩点拨】　根据条件求出sin
α，然后求出cos
α，利用半角公式求tan.
【自主解答】　∵α为第四象限的角，cos
α＝，
∴sin
α＝－＝－.
∴tan
α＝＝－.
∵α为第四象限角，
∴是第二或第四象限的角，
∴tan
<0.
由tan
α＝，得tan＝.
在求半角的正切tan时，用tan＝±来处理，要由α所在的象限确定所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan＝或tan
＝来处理，可以避免这些问题，尤其是tan
＝，分母是单项式，容易计算．因此常用tan＝求半角的正切值．
[再练一题]
1．已知sin
α＋cos
α＝，且0<α<π，求sin
2α，cos
2α，tan
2α的值.
【导学号：66470073】
【解】　∵sin
α＋cos
α＝，
∴sin2α＋2sin
αcos
α＋cos2α＝，
∴sin
2α＝－1＝－，且sin
αcos
α＝－<0.
又0<α<π，
∴sin
α>0，cos
α<0，
∴sin
α－cos
α>0，
∴sin
α－cos
α＝＝＝，
∴cos
2α＝cos2α－sin2α
＝(cos
α－sin
α)(cos
α＋sin
α)
＝－×＝－，
∴tan
2α＝＝
＝.
利用倍角公式、半角公式化简
　化简：(1)；
(2)＋，其中π<α<.
【精彩点拨】　(1)先把切化弦，再用二倍角公式化简．
(2)用半角公式脱去根号，根据角的取值范围化简．
【自主解答】　(1)原式＝＝
＝
＝＝2.
(2)∵π<α<，∴<<，
∴＝|cos
|＝－cos
，
＝|sin
|＝sin
，
∴＋
＝＋
＝＋
＝－cos
.
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：
(1)先化简已知或所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
[再练一题]
2．设α∈，化简：
【解】　∵α∈，
∴cos
α>0，cos
<0.
故原式＝
＝
＝＝＝－cos
.
[探究共研型]
三角恒等变形的综合应用
探究1　倍角公式成立的条件是什么？
【提示】　由任意角的三角函数的定义可知，S2α，C2α中的角α是任意的，但要使T2α有意义，需要α≠＋(k∈Z)．
探究2　半角公式适用条件是什么？
【提示】　cos
＝±，sin
＝
±，α∈R.
tan
＝±＝中，α≠2kπ＋π，k∈Z，
tan
＝中，α≠kπ，k∈Z.
探究3　在什么条件下，sin
2α＝2sin
α成立？
【提示】　一般情况下，sin
2α≠2sin
α，只有当α＝2kπ(k∈Z)时，sin
2α＝2sin
α才成立．
探究4　怎样把asin
x＋bcos
x化成Asin(ωx＋φ)形式？
【提示】　asin
x＋b
cos
x＝·
＝(sin
xcos
φ＋cos
xsin
φ)＝sin
(x＋φ).
　已知函数f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x－1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值及相应的x值．
【精彩点拨】　把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式，再研究其性质．
【自主解答】　f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x－1＝sin
2x＋cos
2x
＝2sin.
(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由x∈，可得≤2x＋≤.
所以，当2x＋＝，即x＝时，
f(x)取最大值，最大值为2.
首先利用倍角公式及两角和的正弦公式，将f(x)转化为只含一个角的三角函数的形式，即利用化归的思想转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再研究f(x)的有关性质，注意使用整体代换的思想将ωx＋φ看成一个整体去讨论最值及单调性问题．
[再练一题]
3．设函数f(x)＝－sin2ωx－sin
ωxcos
ωx(ω>0)，且y＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
【解】　(1)f(x)＝－sin2ωx－sin
ωxcos
ωx
＝－·－sin
2ωx
＝cos
2ωx－sin
2ωx
＝－sin.
因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.又ω>0，所以＝4×，因此ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝－sin，当π≤x≤时，≤2x－≤，
所以－≤sin≤1，
因此－1≤f(x)≤.
故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.
1．tan
15°等于(　　)
A．2＋　　　　　
B．2－
C.＋1
D．－1
【解析】　由tan
＝，得tan
15°＝＝2－.
【答案】　B
2．若sin
＝，则cos
α＝(　　)
【导学号：66470074】
A．－
B．－
C.
D．
【解析】　cos
α＝1－2sin2＝1－2×2＝.
【答案】　C
3．已知cos
α＝，270°<α<360°，则cos的值为________．
【解析】　因为270°<α<360°，所以135°<<180°，所以cos<0.又cos
α＝2cos2－1，所以cos
＝
－＝－.
【答案】　－
4.已知cos
2θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝________.
【解析】　sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝.
【答案】　
5．求证：＝tan
θ.
【证明】　左边＝＝
＝＝tan
θ＝右边．原式得证．
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________4.3　单位圆与正弦函数、
余弦函数的基本性质
4.4　单位圆的对称性与诱导公式
1．了解正弦函数、余弦函数的基本性质．
2．会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式．(难点)
3．掌握诱导公式及其应用．(重点)
[基础·初探]
教材整理1　正弦函数、余弦函数的基本性质
阅读教材P18～P19“思考交流”以上部分，完成下列问题．
正弦函数、余弦函数的基本性质
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
基本性质
定义域
R
值域
[－1,1]
最大(小)值
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1；当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数取得最小值－1
当x＝2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值1；当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，函数取得最小值－1
基本性质
周期性
周期是2kπ(k∈Z)，最小正周期为2π
单调性
在区间(k∈Z)上是增加的，在区间(k∈Z)上是减少的
在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin
x在[－π，π]上是增加的．(　　)
(2)y＝sin
x在上的最大值为1.(　　)
(3)y＝cos
x在上的最小值为－1.(　　)
【解析】　(1)y＝sin
x在[－π，π]上不具有单调性，故(1)错误．
(2)y＝sin
x在上是增加的，在上是减少的，y
max＝sin＝1，故(2)正确．
(3)y＝cos
x在上是减少的，故y
min＝cos
＝0，故(3)错误．
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×
教材整理2　诱导公式(－α，π±α)的推导
阅读教材P19～P21，完成下列问题．
1．诱导公式(－α，π±α)的推导
(1)在直角坐标系中
α与－α角的终边关于x轴对称；
α与π＋α的终边关于原点对称；
α与π－α的终边关于y轴对称．
(2)公式
sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α；
sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α；
sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α.
2．诱导公式的推导
(1)－α的终边与α的终边关于直线y＝x对称．
(2)公式
sin＝cos_α，cos＝sin_α
用－α代替α↓并用前面公式
sin＝cos_α，cos＝－sin
α
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos(2π－α)＝cos
α.(　　)
(2)sin(2π－α)＝sin
α.(　　)
(3)诱导公式中的角α只能是锐角．(　　)
【解析】　(1)正确．cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos
α.
(2)错误．sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin
α.
(3)错误．诱导公式中角α不仅可以是锐角，还可以是任意角．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
正弦、余弦函数的性质
　求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x的值．
(1)y＝sin
x，x∈；
(1)y＝cos
x，x∈.
【精彩点拨】　画出单位圆，借助图形求解．
【自主解答】　(1)由图①可知，y＝sin
x在上是增加的，在上是减少的．且当x＝时，y＝sin
x取最大值1，当x＝－时，y＝sin
x取最小值－.
①
(2)由图②可知，y＝cos
x在[－π，0]上是增加的，在上是减少的．且当x＝－π时取最小值－1，当x＝0时，取最大值1.
②
利用单位圆研究三角函数性质的方法
第一步：在单位圆中画出角x的取值范围；
第二步：作出角的终边与单位圆的交点P(cos
x，sin
x)；
第三步：研究P点横坐标及纵坐标随x的变化而变化的规律；
第四步：得出结论．
[再练一题]
1．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量x的值.
【导学号：66470010】
(1)y＝－sin
x，x∈；(2)y＝cos
x，x∈[－π，π]．
【解】　(1)y＝－sin
x，x∈的单调递减区间为，单调递增区间为.
当x＝时，ymin＝－1；当x＝π时，ymax＝0，故函数y＝－sin
x的值域为.
(2)y＝cos
x，x∈[－π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[－π，0]．
当x＝0时，ymax＝1；当x＝－π或π时，ymin＝－1，故函数y＝cos
x，x∈[－π，π]的值域为[－1,1]．
给角求值
　求下列三角函数值．
(1)sin·cos·sin；
(2)sin.
【精彩点拨】　利用诱导公式将所给的角化成锐角求解．
【自主解答】　(1)sin·cos·sin
＝sin·cos·sin
＝－sin·cos·
＝··
＝·＝.
(2)sin＝sin
＝sin＝sin＝.
利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为：
可简记为：负化正，大化小，化成锐角再求值．
[再练一题]
2．求下列各式的值．
(1)sin
495°·cos(－675°)；
(2)sin·cos(n∈Z)．
【解】　(1)sin
495°·cos(－675°)
＝sin(360°＋135°)·cos(360°＋315°)
＝sin
135°·cos
315°
＝sin(180°－45°)cos(360°－45°)
＝sin
45°·cos
45°＝×＝.
(2)当n为奇数时，
原式＝sin
π·＝sin·
＝sin
·cos
＝×＝；
当n为偶数时，
原式＝sin
πcos
π＝sin·cos
＝sin
·＝×＝－.
给值求值
　已知cos＝，求cos·sin.
【精彩点拨】　解答本题要注意到＋＝π，－α＝π－，＋＝等角之间的关系，恰当运用诱导公式求值．
【自主解答】　∵＋＝，
∴sin＝sin
＝cos＝.
∴sin＝sin
＝sin＝.
∵＋＝π，
∴cos＝cos
＝－cos＝－，
∴cossin＝－×＝－.
1．观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角，是解决问题的关键．
2．对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值．
[再练一题]
3．已知sin＝，求cos的值．
【解】　∵π－α＝3π＋，
∴cos＝cos
＝－cos.
又∵＋＝，
∴cos＝－cos
＝－sin＝－.
[探究共研型]
三角函数式的化简
探究1　三角函数式本着怎样的思路化简？
【提示】　总体思路是利用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数．
探究2　怎样处理含有kπ±α的角？
【提示】　含有kπ±α形式的角的三角函数化简时，需对k分是奇数还是偶数讨论确认选用的公式．
　化简下列各式．
(1)；
(2)cos＋cos(n∈Z)．
【精彩点拨】　(1)直接利用诱导公式化简．
(2)对n是奇数或偶数进行讨论．
【自主解答】　(1)原式＝＝－1.
(2)∵＋＝2nπ，
∴原式＝cos＋cos
＝2cos＝2cos.
①当n为奇数时，即n＝2k＋1(k∈Z)时，原式
＝2cos＝－2cos；
②当n为偶数时，即n＝2k(k∈Z)时，
原式＝2
cos
＝2
cos.
故原式＝
三角函数的化简，尽量化为2kπ±α的形式，否则：
(1)形如kπ±α时，应对k进行奇数和偶数两种情形讨论；
(2)形如π±α时，应分k＝3n，k＝3n＋1，k＝3n＋2(n∈Z)三种情形讨论．
[再练一题]
4．化简：cos＋cos，其中k∈Z.
【解】　cos＋cos＝cos＋cos.
①当k＝2n＋1，n∈Z时，
原式＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝－cos－cos
＝－2cos；
②当k＝2n，n∈Z时，
原式＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝2cos.
综上可知，原式＝
[构建·体系]
1．当α∈R时，下列各式恒成立的是(　　)
A．sin＝－cos
α
B．sin(π－α)＝－sin
α
C．cos(π＋α)＝cos
α
D．cos(－α)＝cos
α
【解析】　由诱导公式知D正确．
【答案】　D
2．cos的值是(　　)
【导学号：66470011】
A．－　　　　
B．
C.
D．－
【解析】　cos＝－cos＝－cos＝－.
【答案】　D
3．y＝sin
x，x∈的单调增区间为________，单调减区间为_______．
【解析】　在单位圆中，当x由－π到时，sin
x由0减小到－1，再由－1增大到.所以它的单调增区间为，单调减区间为.
【答案】　　
4．已知cos(π＋α)＝－，则sin＝________.
【解析】　cos(π＋α)＝－cos
α＝－，∴cos
α＝.
又sin＝cos
α＝.
【答案】　
5．计算：sin·cos·sin.
【解】　原式＝sin·cos·sin
＝sin·cos·sin
＝sin··
＝··
＝.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________章末分层突破
[自我校对]
①sin2
α＋cos2
α＝1
②＝tan
α
③Cα＋β
④S2α
⑤T2α
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
三角函数式的求值问题
三角函数式的求值主要有三种类型：一是给角求值；二是给值求值；三是给值求角．
1．给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用．
2．给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等变形中的拆角变形及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用．由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点．
3．给值求角：这类问题的解法规律是根据已知条件，求出该角的某种三角函数值，并根据条件判断出所求角的范围，然后确定角的大小，其难点在于有时不但要看角的三角函数值的符号，还要看其大小，以缩小角的范围．
　已知0<α<，0<β<，且3sin
β＝sin(2α＋β)，4tan
＝1－tan2，求α＋β的值．
【精彩点拨】　因为2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，由已知条件3sin
β＝sin(2α＋β)，即可求得tan(α＋β)．
【规范解答】　∵3sin
β＝sin(2α＋β)，
∴3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
即2sin(α＋β)cos
α＝4cos(α＋β)sin
α.
∴tan(α＋β)＝2tan
α.
又4tan
＝1－tan2，
∴tan
α＝＝，
∴tan(α＋β)＝2tan
α＝1.
又∵0<α<，0<β<，
∴α＋β＝.
[再练一题]
1．已知－x＋cos
x＝.
(1)求sin
2x和cos
x－sin
x的值；
(2)求的值．
【解】　(1)由sin
x＋cos
x＝，平方得1＋sin
2x＝，所以sin
2x＝－.因为－x>sin
x，
所以cos
x－sin
x＝＝.
(2)＝
＝
＝sin
2x＝－×＝－.
三角函数式的化简
三角函数式的化简，主要有以下几类：①对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；②对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化复角”等具体手段．以实现三角函数式的化简．
　化简：
(1)；
(2).
【精彩点拨】　(1)把“切化弦”然后逆用和差公式及二倍角公式求解．
(2)利用同角三角函数关系及两角和与差的正切公式化简．
【规范解答】　(1)原式＝
＝
＝＝
＝＝2.
(2)原式＝＝
＝tan＝－tan
x.
[再练一题]
2．化简sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos
2αcos
2β.
【解】　原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)·(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2α(1－cos2β)＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－
＝sin2β(sin2α＋cos2α)＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
三角恒等式的证明
三角恒等式的证明，就是运用三角公式，通过适当的恒等变换，消除三角恒等式两端结构上的差异，这些差异有以下几个方面：①角的差异；②三角函数名称的差异；③三角函数式结构形式上的差异．针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化．
证明三角恒等式的常用方法有：左右互推、左右归一、恒等变形、分析法、综合法．
三角恒等式的证明可分为两类：不附条件的三角恒等式的证明和附条件的三角恒等式的证明．不附条件的三角恒等式的证明多用综合法、分析法、恒等变形等．附条件的三角恒等式的证明关键在于恰当、合理地运用条件，或通过变形观察所给条件与要证等式之间的联系，找到问题的突破口，常用代入法或消元法证明．
　求证：··＝tan
.
【精彩点拨】　等式两边涉及到的角有4x,2x，x，等角，故可将左边4x,2x，x化为的形式．
【规范解答】　左边＝··
＝
＝＝
＝＝＝tan
＝右边．
∴等式成立．
[再练一题]
3．求证：＝.
【证明】　原式等价于＝，
即＝tan
2θ，而上式左边
＝
＝
＝
＝tan
2θ＝右边，
所以原式得证.
三角函数与平面向量的综合应用
三角函数与平面向量相结合是近几年来高考的亮点，它常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图像与性质，以及三角函数的化简、求值．
　已知向量a＝，b＝，且x∈.
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．
【精彩点拨】　本题主要考查向量的数量积的坐标运算、向量的模及两角和与差的三角函数．(1)按向量数量积与向量加法运算结合三角函数知识求解、化简；(2)化简f(x)，并参照x∈，求出最大值和最小值．
【规范解答】　(1)a·b＝cos
cos
－sin
sin
＝cos
2x，
|a＋b|＝
＝＝2|cos
x|.
∵x∈，
∴cos
x>0，
即|a＋b|＝2cos
x.
(2)∵f(x)＝cos
2x－2cos
x＝2cos2x－2cos
x－1
＝22－，
且x∈，
∴≤cos
x≤1.
∴当cos
x＝时，f(x)取得最小值－；
当cos
x＝1时，f(x)取得最大值为－1.
[再练一题]
4．已知向量m＝(sin
x,1)，n＝(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
(1)求A；
(2)将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)在上的值域．
【解】　(1)f(x)＝m·n
＝Asin
xcos
x＋cos
2x
＝A
＝Asin.
因为A>0，由题意知A＝6.
(2)由(1)f(x)＝6sin.
将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位后得到y＝6sin＝6sin的图像；
再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝6sin的图像．
因此g(x)＝6sin.
因为x∈，所以4x＋∈，
故g(x)在上的值域为[－3,6].
转化与化归思想
三角式的恒等变形是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式的恒等变形，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．转化与化归思想是三角恒等变形应用最广泛，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变形的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用．
　已知向量a＝(2sin
x，cos
x)，b＝(cos
x，2cos
x)，定义函数f(x)＝a·b－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)画出函数g(x)＝f(x)，x∈的图像，由图像写出g(x)的对称轴和对称中心．
【精彩点拨】　本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、三角公式及三角函数图像和性质，化简函数式为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后求解．
【规范解答】　f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x－1
＝sin
2x＋cos
2x＝2sin.
(1)T＝＝π.
(2)2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋ kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(3)列表及图像如下：
x
－
－
－
2x＋
－π
－
0
π
y
0
－2
0
2
0
从图像可以看出，此函数有一个对称中心，无对称轴．
[再练一题]
5．已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f
＝，求cos(α＋β)的值．
【解】　(1)因为f＝，
所以Acos
＝Acos＝A＝，所以A＝2.
(2)由(1)知f(x)＝2cos，
f＝2cos＝－2sin
α＝－，所以sin
α＝，因为α∈，所以cos
α＝.又因为f＝2cos＝2cos
β＝，所以cos
β＝，因为β∈，所以sin
β＝，所以cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝×－×＝－.
1．(2015·重庆高考)若tan
α＝，tan(α＋β
)＝，则tan
β＝(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
【解析】　tan
β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.
【答案】　A
2．(2015·浙江高考)函数f(x)＝sin2x＋sin
xcos
x＋1的最小正周期是________，最小值是________．
【解析】　f(x)＝sin2x＋sin
xcos
x＋1
＝＋sin
2x＋1＝＋sin.
故最小正周期T＝＝π.当sin＝－1时，f(x)取得最小值为－＝.
【答案】　π　
3．(2015·上海高考)函数f(x)＝1－3sin2x的最小正周期为________．
【解析】　因为2sin2x＝1－cos
2x，所以f(x)＝1－(1－cos
2x)＝－＋cos
2x，所以函数f(x)的最小正周期为＝π.
【答案】　π
4．(2015·四川高考)已知sin
α＋2cos
α＝0，则2sin
αcos
α－cos2α的值是________．
【解析】　由sin
α＋2cos
α＝0，得tan
α＝－2.
所以2sin
αcos
α－cos2α＝＝＝＝－1.
【答案】　－1
5．(2015·四川高考)sin
15°＋sin
75°＝________.
【解析】　sin
15°＋sin
75°＝sin
15°＋cos
15°
＝
＝(sin
15°
cos
45°＋cos
15°
sin
45°)
＝sin
60°＝×＝.
【答案】　§9　三角函数的简单应用
1．能用三角函数研究简单的实际问题，尤其是周期性问题．(重点)
2．将实际问题抽象为三角函数模型．(难点)
[基础·初探]
教材整理　三角函数模型的应用
阅读教材P58～P59练习以上部分，完成下列问题．
1．三角函数模型的应用
(1)根据实际问题的图像求出函数解析式．
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
(3)利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型．
2．解答三角函数应用题的一般步骤
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin
x在第一象限内是增函数．(　　)
(2)函数y＝3sin
x－1的最大值为3.(　　)
(3)直线x＝π是函数y＝sin
x的一条对称轴．(　　)
(4)函数y＝sin(πx－4)的周期为2.(　　)
【解析】　(1)由正弦函数图像知，正确；(2)最大值应该是3－1＝2；(3)x＝＋kπ(k∈Z)是y＝sin
x的对称轴；(4)T＝＝2.
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
三角函数在物理学中的应用
　交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
【精彩点拨】　(1)求t＝0时所对应的电压．
(2)求函数的周期．(3)求函数的最值．
【自主解答】　(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02
s.
(3)电压的最大值为220V，
当100πt＋＝，即t＝(s)时第一次取得最大值．
由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的变换规律，因此可借助于三角函数模型来研究物理学中的相关现象．
[再练一题]
1.如图1－9－1，一弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图像，求：
图1－9－1
(1)经过多长时间，小球往复振动一次；
(2)这条曲线的函数解析式；
(3)小球开始振动时，离开平衡位置的位移．
【解】　(1)由图像可知，周期T＝2×＝π，
所以小球往复振动一次所需要的时间为π
s.
(2)由题意可设该曲线的函数解析式为
s＝Asin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)．
从图像中可以看出A＝4，又＝π，所以ω＝2.
从而s＝4sin(2t＋φ)，将t＝，s＝4代入上式，
得sin＝1，所以φ＝.
故这条曲线的函数解析式为
s＝4sin，t∈[0，＋∞)．
(3)当t＝0时，s＝4sin
＝2(cm)．故小球开始振动时，离开平衡位置的位移是2
cm.
[探究共研型]
三角函数的实际应用
探究1　建立三角函数模型解决实际问题的思路是什么？
【提示】(1)先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切函数模型．
(2)其次是搜集数据，建立三角函数解析式并解题．
(3)最后将所得结果翻译成实际答案．
探究2　如何建立拟合函数模型？
【提示】　(1)利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”．
(2)观察“散点图”，并进行数据拟合，获得具体的函数模型．
(3)利用这个函数模型解决相应的实际问题，并进行检验．
探究3　由图像怎样确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b中的A和b.
【提示】　A＝，b＝.
　某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据：
t/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
根据上述数据描出曲线，如图1－9－2所示，经拟合，该曲线可近似地看做函数y＝Asin
ωt＋b的图像．
图1－9－2
(1)试根据以上数据，求函数解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5
m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7
m，那么该船何时能进入港口？在港口能待多久？
【精彩点拨】　(1)根据题意确定A，b，ω，φ.
(2)根据题意水深y≥11.5可求解．
【自主解答】　(1)从拟合曲线可知，函数y＝Asin
ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12
h，
因此＝12，得ω＝.
∵当t＝0时，y＝10，∴b＝10.
∵ymax＝13，∴A＝13－10＝3.
∴所求函数的解析式为y＝3sint＋10(0≤t≤24)．
(2)由于船的吃水深度为7
m，船底与海底的距离不少于4.5
m，故在船舶航行时水深y应不小于7＋4.5＝11.5(m)．
∴当y≥11.5时就可以进港．
令y＝3sint＋10≥11.5，得sint≥，
∴＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，
∴1＋12k≤t≤5＋12k(k∈Z)．
取k＝0，则1≤t≤5；取k＝1，则13≤t≤17；
取k＝2，则25≤t≤29(不合题意)．
因此，该船可以在凌晨1点进港，5点出港或在13点进港，17点出港，每次可以在港口停留4小时．
根据给出的函数模型，利用表中的数据，找出变化规律，运用已学的知识与三角函数的知识，求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决．
[再练一题]
2．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的图像可近似地看成函数y＝Acos
ωt＋b的图像．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
【解】　(1)由表中数据可知，T＝12，所以ω＝.
又t＝0时，y＝1.5，
所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．
(2)因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，所以
y＝cost＋1>1，cost>0，
2kπ－即12k－3又0≤t≤24，所以0≤t<3或9所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9[构建·体系]
1．如图1－9－3所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是(　　)
图1－9－3
A．该质点的振动周期为0.7
s
B．该质点的振幅为5
cm
C．该质点在0.1
s和0.5
s时振动速度最大
D．该质点在0.3
s和0.7
s时的加速度为零
【解析】　由图像可知，该质点的振动周期是2(0.7－0.3)＝0.8，故A不正确；振幅为5
cm，故选B.
【答案】　B
2．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin
160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为(　　)
A．60　　　
B．70　　　
C．80　　　
D．90
【解析】　∵T＝＝，∴f＝＝80.
【答案】　C
3．如图1－9－4所示，是一弹簧振子作简谐振动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________.
【导学号：66470033】
图1－9－4
【解析】　设函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则由题意得
A＝2，T＝2×(0.5－0.1)＝0.8，
∴ω＝＝π.又π×0.1＋φ＝，∴φ＝，
∴解析式为y＝2
sin.
【答案】　y＝2sin
4．某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，列出的部分数据如下表：
x
0
1
2
3
4
y
1
0
1
－1
－2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是________．
【解析】　在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．
根据函数图象的大致走势，
可知点(1,0)不符合题意；
又∵0函数图象过点(4，－2)，∴A＝2，
∵函数图象过点(0,1)，∴2sin
φ＝1.
又∵－<φ<，∴φ＝，
由(0,1)，(2,1)关于直线x＝1对称，
知x＝1时函数取得最大值2，
∴函数的最小正周期为6.
∴ω＝.
【答案】　y＝2sin
5．如图1－9－5，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
图1－9－5
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
【解】　(1)由题图可知，一天最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)b＝＝40，A×1＋40＝50 A＝10，
由图可知，＝14－8＝6，
则T＝12，ω＝＝，
则y＝10sin＋40，
代入(8,30)得φ＝，
∴解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§4　平面向量的坐标
4．1　平面向量的坐标表示
4．2　平面向量线性运算的坐标表示
4．3　向量平行的坐标表示
1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点)
2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．(重点)
3．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点)
[基础·初探]
教材整理1　平面向量的坐标表示
阅读教材P88～P89“4.2”以上部分，完成下列问题．
如图2－4－1所示，在平面直角坐标系xOy中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理可知有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．
图2－4－1
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　)
(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　)
(3)在平面直角坐标系中，两相等向量的终点坐标一样．(　　)
【解析】　(1)错误．无论向量在何位置其坐标不变．
(2)错误．向量的坐标是把向量的起点平移到原点时终点的坐标．
(3)错误．两相等向量的坐标相等，与它们的终点无关．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
教材整理2　平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示
阅读教材P89～P91“练习”以上部分，完成下列问题．
1．平面向量的坐标运算
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么：
①a＋b＝(x1，y1)＋(x2，y2)＝(x1＋x2，y1＋y2)；
②a－b＝(x1，y1)－(x2，y2)＝(x1－x2，y1－y2)；
③λa＝λ(x1，y1)＝(λx1，λy1)．
(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O(0,0)，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．
2．向量平行的坐标表示
(1)设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则存在实数λ，使a＝λb，用坐标表示为x1y2－x2y1＝0.
若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为＝.
(2)文字语言描述向量平行的坐标表示
①定理　若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例．
②定理　若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2＝x2y1.(　　)
(2)向量a＝(1,2)与b＝(－3，－6)共线且同向．(　　)
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b，则＝.(　　)
【解析】　(1)正确．a∥b，则a＝λb可得x1y2＝x2y1.
(2)错误．a＝－3b，a与b共线且反向．
(3)错误．若y1＝0，y2＝0时表达式无意义．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
平面向量的坐标表示
　已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．
【精彩点拨】　表示出各点的坐标→用终点坐标减去始点坐标→
得相应向量的坐标
【自主解答】　如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos
60°，2sin
60°)，
∴C(1，)，D，
∴＝(2,0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝＝.
1．向量的坐标等于终点的坐标减去始点的相应坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．
2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义进行计算．
[再练一题]
1．已知点O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，求向量，.
【解】　如图所示，以点O为原点，所在射线为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系．
∵||＝1，∠AOB＝150°，
∴B(－cos
30°，sin
30°)，
即B.
∵||＝3，
∴C(－3sin
30°，－3cos
30°)，
即C.
又∵A(2,0)，
∴＝－(2,0)＝，
＝－＝.
向量坐标的线性运算
　已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－.求点C，D和的坐标.
【导学号：66470051】
【精彩点拨】　先求出的坐标，然后求，的坐标，最后求出，及的坐标．
【自主解答】　∵A(－1,2)，B(2,8)，
∴＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)，
＝＝(1,2)，
＝－＝＝(1,2)，
则＝＋＝(－1,2)＋(1,2)＝(0,4)，
＝＋＝－＝(－1,2)－(1,2)＝(－2,0)，
∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．
因此＝(－2，－4)．
1．向量的坐标形式的线性运算，主要是利用加、减、数乘运算法则进行．
2．若已知线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用．
[再练一题]
2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)
求3a＋b－3c的坐标；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
【解】　由已知得a＝(5，－5)，
b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c
＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，
∴解得
(3)设O为坐标原点，
∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)．
∴＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．
[探究共研型]
向量平行的坐标表示
探究1　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若向量a，b共线(其中b≠0)，则这两个向量的坐标满足什么关系？反之成立吗？
【提示】　这两个向量的坐标应满足x1y2－x2y1＝0，反之成立．即a∥b x1y2－x2y1＝0.
探究2　如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？
【提示】　当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．
　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
【精彩点拨】　由a，b的坐标→求ka＋b，a－3b坐标→
由向量共线的条件列方程组→求k的值→判断方向
【自主解答】　法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)
＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
得解得k＝λ＝－.
即当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
∵λ＝－＜0，∴ka＋b与a－3b反向．
法二：由法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)．
∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.
此时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)．
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
解决向量共线问题时，常常根据向量平行的坐标表示，将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解．
[再练一题]
3．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
【解】　(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)∵A，B，C三点共线，∴＝λ，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
[构建·体系]
1．下列各组向量共线的是(　　)
A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6)
B．a2＝(2,3)，b2＝(3,2)
C．a3＝(1,2)，b3＝(7,14)
D．a4＝(－3,2)，b4＝(6,4)
【解析】　因为b3＝(7,14)＝7(1,2)＝7a3，所以a3与b3共线．
【答案】　C
2．已知a＝(3,5)，b＝(－3,2)，则a＋b＝(　　)
A．(8，－1)　　　　　　
B．(0,7)
C．(7,0)
D．(－1,8)
【解析】　a＋b＝(3,5)＋(－3,2)＝(3－3,5＋2)
＝(0,7)．
【答案】　B
3．已知A(4,1)，B，C，若A，B，C共线，则x＝________.
【导学号：66470052】
【解析】　因为＝，＝，所以(x－4)＝，解得x＝－1.
【答案】　－1
4．已知点A(2,3)，B(－1,5)，且＝，则点C的坐标为________．
【解析】　＝＝，＝＋＝，即C.
【答案】　
5．已知A(1,2)，B(3，－6)，向量a＝(x＋3，y－4)．若a＝2，求x，y的值．
【解】　由题意得＝(3，－6)－(1,2)＝(2，－8)，所以2＝2(2，－8)＝(4，－16)．
又因为a＝(x＋3，y－4)，a＝2.
所以解得
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§6　平面向量数量积的坐标表示
1．掌握数量积的坐标表达式．(重点)
2．能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系．(重点)
3．了解直线的方向向量的概念．(难点)
[基础·初探]
教材整理　平面向量数量积的坐标表示
阅读教材P98～P99，完成下列问题．
1．平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；
(2)a2＝x＋y，即|a|＝；
(3)设向量a与b的夹角为θ，则cos
θ＝＝；
(4)a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
2．直线的方向向量
给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两非零向量的夹角θ满足cos
θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．(　　)
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.(　　)
(3)两向量a与b的夹角公式cos
θ＝的使用范围是a≠0且b≠0.(　　)
【解析】　(1)错误．如a＝(－1，－1)，b＝(2,2)，显然cos
θ＝＜0，但a与b的夹角是180°，而并非钝角．
(2)正确.＝(x2－x1，y2－y1)，所以||＝.
(3)正确．两向量a与b的夹角公式cos＝有意义需x＋x≠0且y＋y≠0，即a≠0，且b≠0.此说法是正确的．
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
平面向量数量积的坐标运算
　已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(a＋c)·b.
【精彩点拨】　根据a与b共线设出a的坐标，再利用数量坐标运算公式构建方程求得a的坐标，进而求(a＋c)·b.
【自主解答】　(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，
∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)．
又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)法一：a＋c＝(4,3)，∴(a＋c)·b＝4＋6＝10.
法二：(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝10＋0＝10.
进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐标表示，运算时常有两条途径：
(1)根据向量数量积的坐标表示直接运算；
(2)先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
[再练一题]
1．已知向量a＝(4，－2)，b＝(6，－3)，求：
(1)(2a－3b)·(a＋2b)；
(2)(a＋b)2.
【解】　法一：(1)∵2a－3b＝(8，－4)－(18，－9)＝
(－10,5)，
a＋2b＝(4，－2)＋(12，－6)＝(16，－8)，
∴(2a－3b)·(a＋2b)＝－160－40＝－200.
(2)∵a＋b＝(10，－5)，
∴(a＋b)2＝(10，－5)×(10，－5)＝100＋25＝125.
法二：由已知可得：a2＝20，b2＝45，a·b＝30.
(1)(2a－3b)·(a＋2b)
＝2a2＋a·b－6b2
＝2×20＋30－6×45＝－200.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝20＋60＋45＝125.
向量的夹角及垂直
　已知a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝.
(1)求|a＋2b|；
(2)若(a＋b)·c＝，求向量a与c的夹角．
【精彩点拨】　(1)利用|a|＝求解．
(2)利用cos
θ＝求解．
【自主解答】　(1)a＋2b＝(1,2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)，
∴|a＋2b|＝＝3.
(2)∵b＝(－2，－4)＝－2(1,2)＝－2a，
∴a＋b＝－a，
∴(a＋b)·c＝－a·c＝.
设a与c的夹角为θ，
则cos
θ＝＝＝－.
∵0≤θ≤π，∴θ＝π，
即a与c的夹角为π.
1．已知向量的坐标和向量的模(长度)时，可直接运用公式|a|＝进行计算．
2．求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为：
(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；
(2)再求出两向量的模；
(3)由公式cos
θ＝，计算cos
θ的值；
(4)在[0，π]内，由cos
θ的值确定角θ.
[再练一题]
2．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为直角；
(2)a与b的夹角为钝角；
(3)a与b的夹角为锐角．
【解】　a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos
θ＝0，
所以a·b＝0，即1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为钝角，
所以cos
θ＜0，且cos
θ≠－1，
所以a·b＜0，且a与b不反向．
由a·b＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－，
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．
所以λ的取值范围为.
(3)因为a与b的夹角为锐角，
所以cos
θ＞0，且cos
θ≠1，
所以a·b＞0且a，b不同向．
由a·b＞0，得λ＞－，由a与b同向得λ＝2.
所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)．
[探究共研型]
向量的模
探究1　由向量长度的坐标表示，你能否得出平面内两点间的距离公式？
【提示】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，由向量长度的坐标表示可得|AB|＝||＝.
探究2　向量的模的坐标表达式是什么？
【提示】　向量a＝(x1，y1)的模是|a|＝.
探究3　求向量的坐标一般采用什么方法？
【提示】　一般采用设坐标、列方程的方法求解．
　设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)．
(1)求a－2b的坐标和模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|.
【精彩点拨】　(1)将已知向量的坐标代入运算即可．(2)利用a·b＝x1x2＋y1y2求得c的坐标表示，然后求模．
【自主解答】　(1)a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
所以a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，
|a－2b|＝＝.
(2)a·b＝x1x2＋y1y2＝－6＋5＝－1，
所以c＝a＋b＝(1,6)，所以|c|＝＝.
求向量的模的两种基本策略
1．字母表示F的运算
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
2．坐标表示F的运算
若a＝(x，y)，则a·b＝a2＝|a|2＝x2＋y2，
于是有|a|＝.
[再练一题]
3．(1)已知a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则|2a＋3b|＝________.
(2)已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a的坐标．
【解析】　(1)因为a＝(1,2)，b＝(－2，m)，a∥b，所以1×m－2×(－2)＝0，
所以m＝－4，所以2a＋3b＝2×(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，
所以|2a＋3b|＝＝4.
【答案】　4
(2)设a的坐标为(x，y)，由题意得
解得或
所以a＝(2，4)或a＝(－2，－4)．
[构建·体系]
1．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则a·b＝(　　)
A．1　　　　　
B．2
C．3
D．4
【解析】　a·b＝(1,1)·(－1,2)＝1×(－1)＋1×2＝1.
【答案】　A
2．已知a＝(－，－1)，b＝(1，)，那么a·b的夹角θ＝(　　)
【导学号：66470057】
A．120°
B．30°
C．150°
D．60°
【解析】　因为a·b＝(－，－1)·(1，)＝－2，
|a|＝＝2，|b|＝＝2.
所以cos
θ＝＝＝－.
又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.
【答案】　C
3．已知a＝(2,3)，b＝(－2,4)，则(a＋b)·(a－b)＝________.
【解析】　法一：a＋b＝(0,7)，a－b＝(4，－1)，
所以(a＋b)(a－b)＝0×4＋7×(－1)＝－7.
法二：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝13－20＝－7.
【答案】　－7
4．已知a＝(1，x)，b＝(－3,1)，若a⊥b，则x＝________.
【解析】　∵a⊥b，
∴－3＋x＝0，
∴x＝3.
【答案】　3
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．
(1)设c＝4a＋b，求(b·c)·a；
(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；
(3)求向量a在b方向上的射影．
【解】　(1)∵c＝4(1,2)＋(2，－2)＝(6,6)，
∴b·c＝(2，－2)·(6,6)
＝2×6－2×6＝0，
∴(b·c)a＝0·a＝0.
(2)∵a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)
＝(1＋2λ，2－2λ)，
∵(a＋λb)⊥a，
∴(1＋2λ)＋2(2－2λ)＝0，
得λ＝.
(3)法一：设a与b的夹角为θ，
则cos
θ＝
＝＝－.
∴向量a在b方向上的投影为
|a|cos
θ＝·＝－.
法二：∵a·b＝(1,2)·(2，－2)
＝－2，|b|＝2.
∴向量a与b方向上的投影为
|a|cos
θ＝＝＝－.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§4　正弦函数和余弦函数的定义与
诱导公式
4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4.2　单位圆与周期性
1．理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用．(重点)
2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系．(重点)
3.理解周期函数的定义．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　正、余弦函数
阅读教材P13～P15“例1”以上部分，完成下列问题．
任意角的正弦、余弦函数的定义
(1)单位圆的定义
在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆．
(2)如图1－4－1所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么：
图1－4－1
正弦函数
余弦函数
定义
点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin_α
点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos_α
通常表示法
y＝sin
x定义域为全体实数，值域为[－1,1]
y＝cos
x定义域为全体实数，值域为[－1,1]
在各象限的符号
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数、余弦函数的自变量都是角．(　　)
(2)正弦函数、余弦函数的角度通常用弧度制，而不用角度制．(　　)
(3)角α确定，则角α的正弦、余弦函数值与点P在终边上的位置无关．(　　)
(4)若sin
α<0，则α为第三或第四象限角．(　　)
【解析】　根据三角函数的定义，知(1)正确，(3)正确；尽管在正弦函数、余弦函数的定义中，角α的值既可以用角度制，又可以用弧度制来表示，若用角度制表示时，如30°＋sin
30°就无法进行运算，改用弧度制时，＋sin就可以运算了，即自变量的单位与函数值的单位都用十进制数统一了，因而(2)正确；若sin
α<0，α的终边也可能落在y轴的负半轴上，因而(4)错．
【答案】　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
教材整理2　周期函数
阅读教材P16～P17练习以上部分，完成下列问题．
1．终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系．
(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即
sin(x＋k·2π)＝sin_x(k∈Z)．
(2)终边相同的角的余弦函数值相等，即
cos(x＋k·2π)＝cos_x(k∈Z)．
2．一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．
3．特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)2kπ(k∈Z)是正弦、余弦函数的周期．(　　)
(2)f(x)＝x2满足f(－3＋6)＝f(－3)，故f(x)＝x2为周期函数．(　　)
(3)对正弦函数f(x)＝sin
x有f＝f，所以是f(x)的周期．(　　)
【解析】　(1)错误．k∈Z且k≠0时，2kπ是正弦、余弦函数的周期．
(2)错误．因为f(－2＋6)≠f(－2)．
(3)错误．f≠f(π)不满足任意性．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
正弦、余弦函数的定义
　已知θ的终边经过点P(a，a)，a≠0，求sin
θ，cos
θ.
【精彩点拨】　利用正弦函数、余弦函数的定义可求sin
θ，cos
θ.
【自主解答】　当a>0时，r＝＝a，得sin
θ＝＝，cos
θ＝＝.
当a<0时，r＝＝－a，得sin
θ＝＝
－，cos
θ＝＝－.
利用三角函数的定义求值的策略
1．求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．
2．若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．
3．若已知角，则需确定出角的终边与单位圆的交点坐标．
[再练一题]
1．已知角α的终边在直线y＝2x上，求角α的正弦值和余弦值.
【导学号：66470006】
【解】　设直线上任意一点P(a,2a)，a≠0，
则r＝＝|a|.
当a>0时，sin
θ＝＝＝，
cos
θ＝＝＝.
当a<0时，sin
θ＝＝－＝－，
cos
θ＝＝＝－.
三角函数值的符号判断
　(1)判断符号：sin
340°·cos
265°；
(2)若sin
2α>0，且cos
α<0，试确定α所在的象限．
【精彩点拨】　(1)由角的终边所在象限分别判断三角函数值的符号，进一步确定各式符号．
(2)根据正弦、余弦在各个象限的符号确定2α的象限，进而确定α所在的象限．
【自主解答】　(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin
340°<0，cos
265°<0，
∴sin
340°·cos
265°>0.
(2)∵sin
2α>0，
∴2kπ<2α<2kπ＋π(k∈Z)，
∴kπ<α当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，
有2mπ<α<2mπ＋(m∈Z)；
当k为奇数时，设k＝(2m＋1)(m∈Z)，有2mπ＋π<α<2mπ＋(m∈Z)．
∴α为第一或第三象限角．
又由cos
α<0，可知α为第三象限角．
1．正弦、余弦函数值在各象限内取正数的规律可概括为“正弦上为正、余弦右为正”，即当角α的终边在x轴的上方时sin
α>0；当角α的终边在y轴的右侧时，cos
α>0.
2．对于确定角α所在象限的问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后根据各三角函数的符号来确定角α所在象限，则它们的公共象限即为所求．
3．由kπ<θ[再练一题]
2．(1)判断的符号；
(2)若sin
α>0，cos
α<0，判断角α所在象限．
【解】　(1)∵2∈，3∈，4∈，6∈，
∴sin
2>0，cos
3<0，sin
4<0，cos
6>0，
∴>0.
(2)∵sin
α>0，∴α的终边在一、二象限或y轴的正半轴上．
∵cos
α<0，∴α的终边在二、三象限或x轴的负半轴上．
故当sin
α>0且cos
α<0时，α在第二象限．
[探究共研型]
利用正弦、余弦函数的周期性求值
探究1　30°与390°的终边相同，两角的同一三角函数值相等吗？
【提示】　相等．
探究2　终边相同的角的同一函数值都相等吗？为什么？
【提示】　都相等．因两角终边相同，其始边与单位圆交于同一点，由三角函数定义知函数值相等．
探究3　公式sin(2kπ＋x)＝sin
x，k∈Z，cos(2kπ＋x)＝cos
x，k∈Z，揭示了什么规律，有什么作用？
【提示】　(1)由公式可知，三角函数的值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次．
(2)利用此公式，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值．
　求下列各角的三角函数值．
(1)sin；(2)cos
1
500°；
(3)sin
π；(4)cos
π.
【精彩点拨】　当角α不在0～2π之间时，常利用“终边相同的角的三角函数值相等”，把该角转化到0～2π之间，再求值．
【自主解答】　(1)sin＝sin＝
sin
＝.
(2)cos
1
500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos
60°＝.
(3)sin
π＝sin＝sin
＝.
(4)cos
π＝cos＝cos
＝.
1．利用终边相同的正弦、余弦值之间的关系可把任意角的三角函数化归为[0,2π)内的三角函数，实现“负化正，大化小”，体现了数学中的化归(转化)思想．
2．一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值．
3.
正弦
1
余弦
0
－
－
－
[再练一题]
3．求下列三角函数值．
(1)cos(－1
050°)；
(2)sin；
(3)log2(4
sin
1
110°)．
【解】　(1)∵－1
050°＝－3×360°＋30°，
∴－1
050°的角与30°的角终边相同．
∴cos(－1
050)°＝cos
30°＝.
(2)∵－＝－4×2π＋，
∴角－与角的终边相同．
∴sin＝sin＝.
(3)∵sin
1
110°＝sin(3×360°＋30°)＝sin
30°＝，
∴log2(4sin
1
110°)＝log2＝log22＝1.
[构建·体系]
1．已知P(3,4)是终边α上一点，则sin
α等于(　　)
A.　
B．　
C．　
D．
【解析】　∵r＝＝5，∴sin
α＝.
【答案】　C
2．cos的值为(　　)
A．－　
B．－　
C．　
D．
【解析】　cos＝cos＝cos＝.
【答案】　D
3．已知函数y＝f(x)是周期函数，周期T＝6，f(2)＝1，则f(14)＝________.
【导学号：66470007】
【解析】　f(14)＝f(2×6＋2)＝f(2)＝1.
【答案】　1
4．使得lg(cos
α·tan
α)有意义的角α是第________象限角．
【解析】　要使原式有意义，必须cos
α·tan
α>0，即需cos
α·tan
α同号，所以α是第一或第二象限角．
【答案】　一或二
5．求下列各式的值．
(1)sin
1
470°；(2)cos
.
【解】　(1)sin
1
470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin
30°＝.
(2)cos
＝cos＝cos
＝.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________2.3　两角和与差的正切函数
1．能利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式．(重点)
2．掌握公式Tα±β及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理　两角和与差的正切公式
阅读教材P121例4以上部分，完成下列问题．
两角和与差的正切公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan
α·tan
β≠1
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan
α·tan
β≠－1
1.变形公式
tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)(1－tan
αtan
β)；
tan
α－tan
β＝tan(α－β)(1＋tan
αtan
β)；
tan
αtan
β＝1－.
2．公式的特例
tan＝；
tan＝.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)tan
αtan
β，tan(α＋β)，tan
α＋tan
β三者知二，可表示或求出第三个．(　　)
(2)tan能用公式tan(α＋β)展开．(　　)
(3)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan
α＋tan
β成立．(　　)
(4)公式T(α±β)，对任意α，β都成立．(　　)
【解析】　由T(α±β)知，(1)对，(2)错，(4)错．
对于(3)，存在α＝，β＝－.
此时，tan(α＋β)＝tan
α＋tan
β＝0.
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
两角和与差的正切公式的灵活运用
　求下列各式的值．
(1)；
(2)tan
23°＋tan
37°＋tan
23
°tan
37°.
【精彩点拨】　解决(1)题可考虑＝tan
60°，再逆用公式，解决(2)题注意到23°＋37°＝60°，而tan
60°＝，故联想tan(23°＋37°)的展开形式，并变形，即可解决．
【自主解答】　(1)原式＝
＝tan
75°＝tan(45°＋30°)
＝＝＝＝2＋.
(2)∵tan(23°＋37°)＝tan
60°
＝＝，
∴tan
23°＋tan
37°＝(1－tan
23°tan
37°)，
∴原式＝(1－tan
23°tan
37°)＋tan
23°tan
37°＝.
1．若化简的式子里出现了“tan
α±tan
β”及“tan
αtan
β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
2．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，利用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的正切公式的结构形式，然后逆用公式求值．
[再练一题]
1．(1)tan
15°＋tan
30°＋tan
15°tan
30°；
(2)(3＋tan
30°·tan
40°＋tan
40°·tan
50°＋tan
50°·tan
60°)·tan
10°.
【解】　(1)tan
15°＋tan
30°＝tan(15°＋30°)(1－tan
15°·tan
30°)
＝tan
45°(1－tan
15°·tan
30°)
＝1－tan
15°·tan
30°，
所以原式＝1－tan
15°·tan
30°＋tan
15°·tan
30°
＝1.
(2)原式＝(1＋tan
30°tan
40°＋1＋tan
40°tan
50°＋1＋tan
50°tan
60°)·tan
10°，
因为tan
10°＝tan(40°－30°)＝，
所以1＋tan
40°tan
30°＝.
同理，1＋tan
40°tan
50°＝，
1＋tan
50°tan
60°＝.
所以原式＝
·tan
10°
＝tan
40°－tan
30°＋tan
50°－tan
40°＋tan
60°－tan
50°
＝－tan
30°＋tan
60°＝－＋＝.
给值求角
　已知α∈，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan
β＝－.求(2α－β)的值.
【导学号：66470070】
【精彩点拨】　先由α＝(α－β)＋β，求出tan
α，再由2α－β＝(α－β)＋α求出tan(2α－β)，然后根据α，β的范围，求出2α－β的值．
【自主解答】　∵tan(α－β)＝，tan
β＝－.
∴tan
α＝tan
[(α－β)＋β]
＝
＝＝.
∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
＝
＝＝1.
∵0<α<，又0<β<π，tan
β＝－>－1.
∴<β<π，
∴－π<－β<－，
∴－π<α－β<－，
∴－π<2α－β<－，
∴2α－β＝－.
1．本题中隐含着角α，β的范围，需通过tan
α，tan
β的值缩小其范围．
2．已知某三角函数值求角问题，通常分两步：(1)先求角的某个三角函数值(由题中已知名称和范围确定)；(2)根据角的范围确定角，必要时可利用值缩小角的范围．
[再练一题]
2．已知tan
α，tan
β是方程x2＋3
x＋4＝0的两根，
－<α<，－<β<，求α＋β的值．
【解】　∵tan
α＋tan
β＝－3
<0，tan
αtan
β＝4>0，
∴tan
α<0，tan
β<0.
∵－<α<，－<β<，
∴－<α<0，－<β<0，∴－π<α＋β<0.
∵tan(α＋β)＝＝＝，
∴α＋β＝－.
[探究共研型]
正切公式的综合应用
探究1　β与α－β怎样建立联系？
【提示】　β＝α－(α－β)．
探究2　若α＋β＝π，则tan
α与tan
β存在怎样关系？
【提示】　tan
α＝tan(π－β)＝－tan
β.
探究3　在△ABC中，A，B，C三个角有什么关系？
【提示】　A＋B＋C＝π或＋＝－.
　在△ABC中，tan
B＋tan
C＋tan
Btan
C＝，且tan
A＋tan
B＋1＝tan
Atan
B，判断△ABC的形状．
【精彩点拨】　可先求出tan(B＋C)和tan(A＋B)的值．再由诱导公式分别求tan
A和tan
C的值，从而可得A，B，C可判断三角形形状．
【自主解答】　tan
A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)
＝＝＝－，
又0°而tan
C＝tan[π－(A＋B)]＝
＝＝.
又0°∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
1．等式中同时出现tan
A±tan
B与tan
A·tan
B时，一般是构造tan(A±B)，利用两角和与差的正切公式求解．
2．在三角形中要注意应用A＋B＋C＝π这一隐含条件．
[再练一题]
3．在△ABC中，∠C＝120°，tan
A＋tan
B＝.求tan
A·tan
B．
【解】　因为A＋B＋C＝180°，∠C＝120°，
所以tan(A＋B)＝tan
60°＝.
又tan(A＋B)＝，
所以＝，
解得tan
A·tan
B＝.
1．若tan
α＝，tan
β＝，则tan(α＋β)＝(　　)
A．　　　　　　
B．1
C.
D．
【解析】　tan(α＋β)＝＝＝1.
【答案】　B
2．已知α∈，sin
α＝，则tan等于(　　)
A．
B．7
C．－
D．－7
【解析】　由α∈，sin
α＝，得cos
α＝－＝－，
所以tan
α＝－，
所以tan＝
＝＝.
【答案】　A
3．已知tan＝2，则tan
α等于________．
【解析】　tan＝＝2，解得tan
α＝－3.
【答案】　－3
4．已知tan
α＋tan
β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan
α·tan
β＝________.
【导学号：66470071】
【解析】　tan(α＋β)＝＝＝4，
所以tan
α·tan
β＝.
【答案】　
5．已知tan
α＝，cos
β＝－.若0°<α<90°<β<180°，求α＋β的值．
【解】　∵cos
β＝－，90°<β<180°，
∴sin
β＝＝，
∴tan
β＝＝－2，又tan
α＝，
∴tan(α＋β)＝＝－1.
∵0°<α<90°<β<180°，
∴90°<α＋β<270°，
∴α＋β＝135°.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§5　正弦函数的图像与性质
5.1　正弦函数的图像
5.2　正弦函数的性质
1．了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法．(重点)
2．掌握“五点法”画正弦曲线的方法和步骤，能用“五点法”作出简单的正弦曲线．(难点)
3．能用正弦函数的图像理解和记忆正弦函数的性质．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1　“五点法”作正弦函数的图像
阅读教材P25～P27“例1”以上部分，完成下列问题．
在函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图像上，起着关键作用的有五个关键点：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
描出这五个点后，函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图像就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图．我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”．如图1－5－1.
图1－5－1
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin
x在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同．(　　)
(2)函数y＝sin
x的图像介于直线y＝－1和y＝1之间．(　　)
(3)函数y＝sin
x的图像关于x轴对称．(　　)
(4)函数y＝sin
x的图像与y轴只有一个交点．(　　)
【解析】　由函数y＝sin
x的图像可知，y＝sin
x的图像不关于x轴对称，与y轴只有一个交点，且图像介于直线y＝－1和y＝1之间，在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，而位置不同．
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
教材整理2　正弦函数的性质
阅读教材P28～P29“例2”以上部分，完成下列问题．
性质
定义域
　R　
值域
[－1,1]
最大值与最小值
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－1
周期性
周期函数，T＝2π
单调性
在(k∈Z)上是增加的；在(k∈Z)上是减少的
奇偶性
奇函数
对称性
图像关于原点对称，对称中心(kπ，0)，k∈Z；对称轴x＝kπ＋，k∈Z
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数y＝sin
x的定义域为R.(　　)
(2)正弦函数y＝sin
x是单调增函数．(　　)
(3)正弦函数y＝sin
x是周期函数．(　　)
(4)正弦函数y＝sin
x的最大值为1，最小值是－1.(　　)
【解析】　由正弦函数性质知，(1)(3)(4)均正确，对于(2)，正弦函数在(k∈Z)上是单调增函数，在R上不具有单调性．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
五点法作图
　用“五点法”画出函数y＝3－sin
x(x∈[0,2π])的图像．
【精彩点拨】　借助于五点作图法按下列次序完成：
列表―→描点―→连线成图
【自主解答】　(1)列表，如下表所示：
x
0
π
2π
y＝sin
x
0
1
0
－1
0
y＝3－sin
x
3
2
3
4
3
(2)描点，连线，如图所示：
1．解答本题的关键是要抓住五个关键点．使函数中x取0，，π，，2π，然后相应求出y值，再作出图像．
2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，作图过程中要注重整体代换思想的运用，特别是在取值、描点上，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持平滑，注意凸凹方向．
[再练一题]
1．作出函数y＝－1＋2sin
x，x∈[0,2π]的简图．
【解】　按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
－1＋2sin
x
－1
1
－1
－3
－1
利用正弦函数的性质描点连线作图，如图：
与正弦函数有关的定义域问题
　求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝.
【精彩点拨】　先根据条件，求出sin
x的取值范围，再借助于单位圆或正弦线或正弦函数的图像解决．
【自主解答】　(1)为使函数有意义，需满足1－2sin2x≥0，
即sin2
x≤，
解得－≤sin
x≤，
结合单位圆可知，－＋2kπ≤x≤＋2kπ或＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
∴原函数的定义域为
∪(k∈Z)．
(2)为使函数有意义，需满足
即正弦函数和单位圆如图所示：
∴定义域为∪
.
1．求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行．在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域时，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成．
2．求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后，要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都要保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．
[再练一题]
2．求函数y＝的定义域.
【导学号：66470014】
【解】　要使函数有意义，只需2
sin
x＋≥0.
即sin
x≥－，如图所示，在区间上，适合条件的x的取值范围是－≤x≤.
所以该函数的定义域是(k∈Z)．
正弦函数的周期性与奇偶性
　求下列函数的周期，并判断其奇偶性．
(1)y＝sin(x∈R)；
(2)y＝|sin
x|(x∈R)．
【精彩点拨】　(1)利用代换z＝2x＋，将求原来函数的周期转化为求y＝sin
z的周期求解，或利用公式求解．
(2)作出函数图像观察求解．
【自主解答】　(1)法一：令z＝2x＋，
∵x∈R，∴z∈R，函数y＝sin
z的最小正周期是2π，就是说变量z只要且至少要增加到z＋2π，函数y＝sin
z(z∈R)的值才能重复取得，而z＋2π＝2x＋＋2π＝2(x＋π)＋，所以自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，从而函数f(x)＝sin(x∈R)的周期是π.
法二：f(x)＝sin中，ω＝2，
∴T＝＝π.
又sin≠sin，
且sin≠－sin，
∴y＝sin是非奇非偶函数．
(2)作出y＝|sin
x|的图像如图：
由图像可知，y＝|sin
x|的周期为π.
其图像关于y轴对称，∴y＝|sin
x|是偶函数．
1．利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x”增加到“x＋T”，函数值重复出现，T是函数的一个周期这一理论依据．
2．常见三角函数周期的求法
(1)对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0的周期求法，通常用定义T＝来求解；
(2)对于形如y＝|Asin
ωx|的周期情况，常结合图像法来解决．
[再练一题]
3．求下列函数的周期，并判断其奇偶性．
(1)f(x)＝2sin；
(2)f(x)＝|sin
2x|.
【解】　(1)在f(x)＝2sin中，
∵ω＝，∴T＝＝4π.
又f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，
∴f(x)＝2sin是非奇非偶函数．
(2)作出f(x)＝|sin
2x|的图像如图：
由图知，y＝|sin
2x|的周期为，又其图像关于y轴对称，因而是偶函数．
正弦函数的单调性
　(1)比较下列各组三角函数值的大小．
①sin
与sin；
②sin
1，sin
2，sin
3，sin
4(由大到小排列)．
(2)求函数y＝sin的单调递增区间．
【精彩点拨】　(1)将所给角通过诱导公式化到同一单调区间内，然后利用y＝sin
x的单调性比较大小．
(2)将视为z，利用y＝sin
z的单调性求解．
【自主解答】　(1)①sin＝－sin，
sin＝－sin，sin>sin，
所以sin②因为sin
2＝sin(π－2)，sin
3＝sin(π－3)，
且0<π－3<π－2<.
函数y＝sin
x在上是增加的，所以sin(π－2)>sin
1>sin(π－3)>0，即sin
2>sin
1>sin
3>sin
4.
(2)y＝sin＝－sin.
由2kπ＋≤x－≤2kπ＋π，k∈Z，得
2kπ＋π≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
所以原函数的单调递增区间为，k∈Z.
1．比较sin
α与sin
β的大小时，可利用诱导公式，把sin
α与sin
β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较．
2．比较sin
α与cos
β的大小，常把cos
β转化为sin后，再依据单调性进行比较．
3．当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较．
4．在求形如y＝A
sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A
sin
z的单调区间求原函数的单调区间．
[再练一题]
4．比较sinπ与sin的大小．
【解】　∵sin＝sin＝sin，
sin＝sin＝sin.
∵0<<<.又y＝sin
x在上单调递增．
∴sin[探究共研型]
与正弦函数有关的值域问题
探究1　求函数值域时首先应注意什么？
【提示】求解函数值域时首先应看函数的定义域，在函数定义域内来求值域．
探究2　对于y＝A
sin2x＋Bsin
x＋C型的函数怎样求值域？
【提示】　利用换元法转化为二次函数求最值．
　求下列函数的值域．
(1)y＝3－2
sin
x；
(2)y＝－sin2x＋sin
x＋.
【精彩点拨】　(1)利用|sin
x|≤1即可求解．
(2)配方求解，要注意|sin
x|≤1这一情况．
【自主解答】　(1)∵－1≤sin
x≤1，
∴－1≤－sin
x≤1，
1≤3－2
sin
x≤5，
∴函数y＝3－2
sin
x的值域为[1,5]．
(2)令t＝sin
x，则－1≤t≤1，
y＝－t2＋t＋＝－2＋2，
∴当t＝时，ymax＝2.
此时sin
x＝，即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋，k∈Z.
当t＝－1时，ymin＝－.
此时sin
x＝－1，即x＝2kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝－sin2x＋
sin
x＋的值域为.
此类求复合函数最大值、最小值问题关键在于依据函数值的计算过程，把原函数转化为两个基本初等函数的最大(小)值问题．解答过程要特别注意：内函数(本例中t＝sin
x)的值域恰好是外函数的定义域．
[再练一题]
5．求函数y＝sin2x－4
sin
x－1的值域．
【解】　y＝sin2x－4
sin
x－1
＝(sin
x－2)2－5.
由－1≤sin
x≤1，得当sin
x＝－1时函数的最大值为4，当sin
x＝1时，函数的最小值为－4，所以函数的值域为[－4,4]
.
[构建·体系]
1．正弦函数y＝sin
x，x∈R的图像上的一条对称轴是(　　)
【导学号：66470015】
A．y轴　　　　　
B．x轴
C．直线x＝
D．直线x＝π
【解析】结合函数y＝sin
x，x∈R的图像可知直线x＝是函数的一条对称轴．
【答案】　C
2．函数f(x)＝3＋sin
x的最小正周期是(　　)
A．　　
B．π　　
C．　　
D．2π
【解析】　由3＋sin(2π＋x)＝3＋sin
x知f(x)的最小正周期为2π.
【答案】　D
3．f(x)＝－2
sin
x在上的最大值为________．
【解析】　f(x)＝－2
sin
x在上是减少的，所以f(x)max＝－2·sin＝－.
【答案】　－
4．函数f(x)＝sin2x＋1的奇偶性是________．
【解析】　f(－x)＝[sin(－x)]2＋1＝sin2x＋1＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
【答案】　偶函数
5．比较下列各组数的大小．
(1)sin
2
016°和cos
160°；
(2)sin和cos.
【解】　(1)sin
2
016°＝sin(360°×5＋216°)
＝sin
216°＝sin(180°＋36°)＝－sin
36°，
cos
160°＝cos(180°－20°)＝－cos
20°＝－sin
70°.
∵sin
36°70°，
∴－sin
36°>－sin
70°，
即sin
2
016°>cos
160°.
(2)cos＝sin，
又<<＋<，
y＝sin
x在上是减少的，
∴sin>sin＝cos，
即sin>cos.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§7　正切函数
7．1　正切函数的定义
7．2　正切函数的图像与性质
7．3　正切函数的诱导公式
1．理解任意角的正切函数的定义．
2．能画出y＝tan
x的图像．(重点)
3．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间内的单调性．(重点)
4.正切函数诱导公式的推导及应用．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　正切函数的定义、图像及性质
阅读教材P36～P38“动手实践”以上部分，完成下列问题．
1．正切函数的定义
在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值叫作角α的正切函数，记作y＝tan
α，其中α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)．
2．正切线
如图1－7－1所示，线段AT为角α的正切线．
图1－7－1
3．正切函数的图像与性质
图像
性质
定义域
值域
R
奇偶性
奇函数
周期性
周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π
单调性
在，k∈Z上是增加的
对称性
该图像的对称中心为，k∈Z
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数y＝tan
x的定义域为R.(　　)
(2)正切函数y＝tan
x的最小正周期为π.(　　)
(3)正切函数y＝tan
x是奇函数．(　　)
(4)正切函数y＝tan
x的图像关于x轴对称．(　　)
【解析】　(1)y＝tan
x的定义域为.
(2)y＝tan
x的周期为kπ(k∈Z)，最小正周期为π.
(3)因为y＝tan
x的定义域关于原点对称，且tan(－x)＝－tan
x，故为奇函数．
(4)由图知，正切函数图像既不关于x轴对称，也不关于y轴对称．
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
教材整理2　正切函数的诱导公式
阅读教材P38～P39例1以上部分，完成下列问题．
正切函数的诱导公式
角x
函数y＝tan
x
记忆口诀
kπ＋α
tan
α
函数名不变，符号看象限
2π＋α
tan
α
－α
－tan
α
π－α
－tan
α
π＋α
tan
α
＋α
－cot
α
函数名改变，符号看象限
－α
cot
α
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)tan＝cot
α.(　　)
(2)正切函数的诱导公式中的角为任意角．(　　)
(3)tan(kπ－α)＝－tan
α.(　　)
【解析】　(1)tan＝tan＝
tan＝cot
α，所以(1)正确．
(2)无论角α是哪个象限的角，诱导公式都适合，故(2)正确．
(3)tan(kπ－α)＝－tan
α，故(3)正确．
【答案】　(1)√　(2)√　(3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
利用定义求正切值
　如图1－7－2，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP＝，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．
图1－7－2
(1)若已知角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称，求tan
θ；
(2)若已知Q，试求tan
α.
【精彩点拨】求出角的终边与单位圆的交点后，利用正切函数的定义求解．
【自主解答】　(1)∵角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称，且P，
故θ的终边与单位圆交于P′，
则tan
θ＝＝－.
(2)∵∠AOQ＝α且Q，
∴tan
α＝＝.
1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan
α＝.
2．已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．
3．tan
α＝知其中两个，可求另一个．
[再练一题]
1．角α的终边经过点P(－b,4)且cos
α＝－，求tan
α的值.
【导学号：66470022】
【解】　由题意知cos
α＝＝－，∴b＝±3.又cos
α＝－<0，
∴P在第二象限，∴b＝3.
∴tan
α＝－.
利用诱导公式求值或化简
　(1)化简：；
(2)求值：.
【精彩点拨】　解答本题可依据先用周期性或关于－α的诱导公式，把角绝对值“化小”，再利用恰当的公式化简．
【自主解答】　(1)原式＝
＝＝－cos
α.
(2)原式＝
＝＝＝2－.
在使用诱导公式化简时，一定要记准诱导公式中名称变还是不变以及准确判断角所在象限．一般地，我们将α看作锐角(实质上是任意角)，那么π－α，π＋α，2π－α，＋α，－α分别是第二、三、四、二、一象限的角．
[再练一题]
2．(1)化简：；
(2)若a＝，求a2＋a＋1的值．
【解】　(1)
＝＝
＝＝1.
(2)a＝
＝＝
＝＝1，
∴a2＋a＋1＝1＋1＋1＝3.
正切函数的图像及应用
　利用正切函数的图像作出y＝|tan
x|的图像，并写出使y＝的x的集合．
【精彩点拨】　先化成分段函数，再借助正切函数的图像作图．
【自主解答】　∵当x∈时，y＝tan
x≤0，
当x∈时，y＝tan
x>0，
∴y＝|tan
x|＝
如图所示．
使y＝的x的集合为.
1．三点两线画图法
“三点”是指，(0,0)，；“两线”是指x＝－和x＝.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．
2．如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(|x|)及y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出y＝f(x)的图像，令图像“上不动下翻上”便可得到y＝|f(x)|的图像．
3．利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等．
[再练一题]
3．求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝＋lg(1－tan
x)．
【解】　(1)由得
∴函数的定义域为.
(2)要使函数y＝＋lg(1－tan
x)有意义．
则 0≤tan
x<1.由正切函数的图像可得kπ≤x[探究共研型]
正切函数的性质
探究1　正切曲线在整个定义域上都是增加的吗？
【提示】　不是，正切函数的定义域是
.正切曲线在每一个开区间(k∈Z)上是增加的，但在整个定义域上不是增加的．
探究2　函数y＝tan
x的周期是多少？y＝|tan
x|的周期呢？
【提示】　y＝tan
x的周期是π，y＝|tan
x|的周期也是π.
探究3　函数y＝tan
x的图像有什么特征？
【提示】　正切曲线是被互相平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)所隔开的无穷支曲线组成的，是间断的，无对称轴，只有对称中心．
　已知f(x)＝－atan
x(a≠0)．
(1)判断f(x)在x∈上的奇偶性；
(2)求f(x)的最小正周期；
(3)求f(x)的单调区间；
(4)若a>0，求f(x)在上的值域．
【精彩点拨】　通过f(－x)与f(x)的关系判断奇偶性，求单调区间时注意a的符号．
【自主解答】　(1)∵f(x)＝－atan
x(a≠0)，x∈，
∴f(－x)＝－atan(－x)＝atan
x＝－f(x)．
又定义域关于原点对称，
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)的最小正周期为π.
(3)∵y＝tan
x在(k∈Z)上单调递增，
∴当a>0时，f(x)在上单调递减，
当a<0时，f(x)在上单调递增．
(4)当a>0时，f(x)在上单调递减，
故x＝时，f(x)max＝－a，无最小值．
∴f(x)的值域为(－∞，－a]．
1．由函数的性质(如周期性、有界性、对称性)可指导我们画出函数的图像．
2．由函数的图像又可以直观地总结函数的性质．函数的主要性质包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．
[再练一题]
4．画出函数y＝tan
|x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性．
【解】　由y＝tan
|x|得，
y＝
根据y＝tan
x的图像，作出y＝tan
|x|的图像如图所示：
由图像可知，函数y＝tan
|x|是偶函数．
单调增区间为：，(k＝0,1,2,3，…)；
单调减区间为：，(k＝0，－1，－2，－3，…)．
[构建·体系]
1．tan
的值为(　　)
A．　　　　　　　　　
B．－
C.
D．－
【解析】　tan
＝tan＝－tan＝－.
【答案】　D
2．函数y＝tan的定义域是(　　)
A．
B．
C.
D．
【解析】　由题意得x＋≠kπ＋，k∈Z，所以x≠kπ＋，k∈Z.
【答案】　D
3．已知角α的终边上一点P(－2,1)，则tan
α＝________.
【解析】　由正切函数的定义知tan
α＝＝－.
【答案】　－
4．函数y＝tan
x，x∈的值域是________.
【导学号：66470023】
【解析】　函数y＝tan
x在上是增加的，所以ymax＝tan＝1，ymin＝tan
0＝0.
【答案】　[0,1]
5．求以下各式的值．
(1)7cos
270°＋3sin
270°＋tan
765°；
(2).
【解】　(1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos
90°－3sin
90°＋tan
45°
＝0－3×1＋1＝－2.
(2)原式＝
＝
＝＝2＋.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§1　从位移、速度、力到向量
1．1　位移、速度和力
1．2　向量的概念
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)
2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点)
3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)
[基础·初探]
教材整理　向量的概念
阅读教材P73～P75“练习”以上部分，完成下列问题．
1．向量的有关概念
名称
定义
表示方法
零向量
长度为零的向量
0
单位向量
长度为单位1的向量叫作单位向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
若a等于b，记作a＝b
向量平行或共线
表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合
a与b平行或共线，记作a∥b或a＝λb，λ∈Z
2.向量及其表示
(1)定义
既有大小，又有方向的量叫作向量．
(2)有向线段
具有方向和长度的线段叫作有向线段．其方向是由起点指向终点，以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作||.
(3)向量的长度
||(或|a|)表示向量(或a)的大小，即长度(也称模)．
(4)向量的表示法
①向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
②向量也可以用黑体小写斜体字母如a，b，c，…来表示，书写用
，
，
…来表示．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数量同向量一样可以比较大小．(　　)
(2)向量与向量是相等向量．(　　)
(3)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．(　　)
(4)向量就是有向线段．(　　)
【解析】　(1)错误．向量不能比较大小．
(2)错误.与方向相反不是相等向量．
(3)错误．两条直线平行或重合．
(4)错误．向量不能等同于有向线段，有向线段只是向量的一种直观表示．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
向量的有关概念
　给出下列几种说法：
①温度、速度、位移这些物理量都是向量；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③向量的模一定是正数；
④起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量．
其中说法正确的是________．(填序号)
【精彩点拨】　解答时可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断对错．
【自主解答】　①错误，只有速度、位移是向量．
②错误．|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
③错误.0的模|0|＝0.
④正确．对于一个向量仅由大小和方向确定，与起点的位置无关．
【答案】　④
1．零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，要弄清这些概念的联系和区别．
2．理解向量的有关概念时，注意区分向量与有向线段：只有起点、大小和方向均相同，才是相同的有向线段．对于向量，只要大小和方向相同，就是相等向量，而与起点无关．
[再练一题]
1．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)若向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上；
(2)若向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
(3)向量的长度与向量的长度相等；
(4)单位向量都相等．
【解】　对于(1)，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一条直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上，所以(1)错；
对于(2)，由于零向量与任一向量平行，因此若a，b中有一个为零向量时，其方向是不确定的，所以(2)错；
对于(3)，向量与方向相反，但长度相等．所以(3)对；
对于(4)，需要强调的是：单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同，所以(4)错.
向量表示
　(1)已知B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量．
(2)一辆汽车从A点出发向西行驶了100
km到达B点，然后又改变方向向北偏西40°走了200
km到达C点，最后改变方向，向东行驶了100
km到达D点．
①作出向量，，；
②求||.
【精彩点拨】　(1)根据向量的表示方法求解．
(2)先作出表示东南西北的方位图及100
km长度的线段，然后解答问题．
【自主解答】　(1)设线段AD的长度是3，则长度为1的向量有＝＝，＝＝，共2个互不相等的非零向量；长度为2的向量有＝，＝共有2个互不相等的非零向量，长度为3的向量有，，共2个互不相等的非零向量，综上知共6个互不相等的非零向量．
【答案】　6
(2)①向量，，如图所示．
②由题意，易知与方向相反，故与共线，
又||＝||，
∴在四边形ABCD中，AB綊CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，∴||＝||＝200(km)．
1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．
2．起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心，向量长度为半径的圆．
[再练一题]
2．小李离家从A点出发向东走2
km到达B点，然后从B点沿南偏西60°走4
km，到达C点，又改变方向向西走2
km到达D点．
(1)作出，，；
(2)求小李到达D点时与A点的距离．
【解】　作，，，如图所示：
(2)依题意，四边形ABCD为平行四边形，
∴||＝||＝4，
即小李到达D点时离A点4
km.
[探究共研型]
相等向量与共线向量
探究1　如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？
【提示】　方向相同或相反．
探究2　相等向量和共线向量有怎样的关系？两个向量能比较大小吗？
【提示】　相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，两个向量不能比较大小．
探究3　平行四边形的对边有哪些性质？表示共线向量的有向线段所在的直线有什么位置关系？
【提示】　平行四边形的对边平行且相等，表示共线向量的有向线段所在直线平行或重合．
探究4　如果非零向量与是共线向量，那么点A，B，C，D是否一定共线？
【提示】　不一定共线．
　如图2－1－1所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
图2－1－1
(1)与a的模相等的向量有多少个？
(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？
(3)与a共线的向量有哪些？
(4)请分别一一列出与a，b，c相等的向量．
【精彩点拨】　由题目可获得以下主要信息：
①六边形ABCDEF是正六边形；
②＝a，＝b，＝c；
③求各相应向量．
解答本题要充分借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断，从而解决相应问题．
【自主解答】　(1)与a的模相等的向量有23个．
(2)与a的长度相等且方向相反的向量有，，，.
(3)与a共线的向量有，，，，，，，，.
(4)与a相等的向量有，，；
与b相等的向量有，，；
与c相等的向量有，，.
1．向量的模是用向量的长度来定义的，共线向量是用向量的方向来定义的，而相等向量是用向量的方向和长度共同定义的，要弄清这三个概念的联系与区别．
2．共线向量有四种情况
方向相同且模相等；方向相同但模不等；方向相反但模相等；方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量．
3．向量的平行与直线平行的关系
两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时，表示向量的有向线段所在直线不一定平行，也可能重合．若直线m，n，l，m∥n，n∥l，则m∥l；若向量a，b，c，a∥b，b∥c，而a，c不一定平行．
4．向量的相关概念性质与几何知识交汇，要注意联系几何图形的相关性质，使向量与几何图形有机地结合起来．
[再练一题]
3.如图2－1－2所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：
图2－1－2
(1)分别写出与，相等的向量；
(2)写出与共线的向量．
【解】　(1)∵||＝||＝||，且，与的方向相同，∴与相等的向量是，.同理，与相等的向量是.
(2)∵AO∥DE∥BF，A，O，C三点共线，
∴与共线的向量是，，，.
[构建·体系]
1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有(　　)
A．1个　　　　　
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】　根据向量的概念知速度、力、加速度为向量．
【答案】　D
2．下列说法中正确的是(　　)
A．零向量没有方向
B．零向量的模等于零
C．单位向量的模等于1厘米
D．单位向量的方向都相同
【解析】　零向量也有方向，其方向是任意的，因此A错误；单位向量的模等于1个单位长度，而不是具体的1厘米，因此C错误；单位向量的方向要因具体情况而定，因此D错误．所以只有B是正确的．
【答案】　B
3．给出下列命题：
①若|a|>|b|，则a>b；②若a＝b，则a∥b；③若|a|＝0，则a＝0；④0＝0；⑤向量大于向量；⑥方向不同的两个向量一定不平行．
其中，正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)
【导学号：66470038】
【解析】　①不正确．向量不能比较大小；②正确．共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线；③正确；④不正确.0是一个向量，而0是一个数量，应|0|＝0；⑤不正确．因为向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别，向量的模可以比较大小；⑥不正确．因为平行向量包括方向相同和方向相反两种情况．
【答案】　②③
4．设在平面上给定了一个四边形ABCD，点K，L，M，N分别是AB，BC，CD，DA的中点，在以已知各点为起点和终点的向量中，与向量相等的向量是________．
【解析】　因为K，L分别是AB，BC的中点，所以KL∥AC，KL＝AC，同理MN綊AC，所以KL∥MN.KL＝MN，所以＝.
【答案】　
5．如图2－1－3所示，四边形ABCD与ABEC都是平行四边形．
图2－1－3
(1)用有向线段表示与向量相等的向量；
(2)用有向线段表示与向量共线的向量．
【解】　(1)与向量相等的向量是向量，.
(2)与共线的向量为，，，，，，.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§1　同角三角函数的基本关系
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan
α.(重点)
2．会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式．(难点)
[基础·初探]
教材整理　同角三角函数的基本关系
阅读教材P113～P116练习2以上部分，完成下列问题．
1．关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2
α＝__1__；
(2)商数关系：＝tanα，＝cotα.
2．文字叙述
同一个角
α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角
α的正切．
3．变形形式
(1)1＝sin2
α＋cos2
α；
(2)sin2
α＝1－cos2α；cos2
α＝1－sin2α；
(3)sin
α＝±
；cos
α＝±
；
(4)sin
α＝cos
αtan
α；
(5)(sin
α±cos
α)2＝1±2sinαcosα.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由于平方关系对任意角都成立，则sin2α＋cos2β＝1也成立．(　　)
(2)对任意角α，＝tan
.(　　)
(3)利用平方关系求sin
α或cos
α时，会得到正负两个值．(　　)
(4)当α≠(k∈Z)时，tan
α·cot
α＝1.(　　)
【解析】　(1)平方关系是同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，所以错误．
(2)当α＝π时，cos
＝0，分母为0无意义，所以错误．
(3)求sin
α或cos
α时，应结合角的象限，判断是正或是负，因而错．
(4)正确．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
利用同角三角函数的基本关系求值
　(1)若sin
α＝－，且α是第三象限角，求cos
α，tan
α的值；
(2)已知tan
α＝2，求的值．
【精彩点拨】　第(1)题应先利用平方关系求余弦，再由商数关系求正切；
第(2)题先把所求式化为只含一个函数的代数式，再求值．
【自主解答】　(1)∵sin
α＝－，α是第三象限角，
∴cos
α＝－＝－＝－，
tan
α＝＝－×＝.
(2)法一：∵tan
α＝2，
∴＝＝＝－2.
法二：∵tan
α＝2，∴sin
α＝2cos
α，
∴＝＝－2.
同角三角函数的基本关系，揭示了同一角三角函数间的关系，其最基本的应用是“知一求二”，求解时要注意根据角所在的象限，判断是一解或两解．
[再练一题]
1．已知tan
α＝2，试求：
(1)sin
α的值；
(2)和sin
αcos
α的值．
【解】　因为tan
α＝2，所以＝2，即sin
α＝2cos
α.
又sin2α＋cos2α＝1，
所以sin2α＋2＝sin2α＝1，
所以sin
α＝±，又tan
α＝2，
所以α为第一或第三象限的角，当α为第一象限角时，
sin
α＝.当α为第三象限角时，sin
α＝－.
(2)＝＝，
sin
αcos
α＝＝＝＝.
利用sin
α±cos
α，sin
α·cos
α之间的关系求值
　已知sin
θ，cos
θ是方程x2－(－1)x＋m＝0的两根．
(1)求m的值；
(2)求＋的值．
【精彩点拨】　本题主要考查韦达定理，同角三角函数的关系，由韦达定理得两根之和与两根之积的关系，通过恒等变形可得m的值．
【自主解答】　(1)∵sin
θ，cos
θ是方程x2－(－1)x＋m＝0的两根，
∴
由①得1＋2sin
θcos
θ＝4－2，将②代入，得
1＋2m＝4－2，∴m＝－.
由③得m≤1－，
∴m＝－.
(2)原式＝＋＝＋＝＝sin
θ＋cos
θ＝－1.
1．已知角α的某一个三角函数值，求其他三角函数式的值时，一般先利用公式将其化简，再利用同角三角函数的基本关系求解．
2．sin
α＋cos
α，sin
α－cos
α，sin
αcos
α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α，利用此关系求sin
α＋cos
α或sin
α－cos
α的值时，要注意判断它们的符号．
[再练一题]
2．已知0<θ<π，且sin
θ＋cos
θ＝，求sin
θ－cos
θ的值，及tan
θ的值.
【导学号：66470063】
【解】　∵sin
θ＋cos
θ＝，①
∴(sin
θ＋cos
θ)2＝，
解得sin
θcos
θ＝－.
∵0<θ<π，且sin
θcos
θ<0，
∴sin
θ>0，cos
θ<0，
∴sin
θ－cos
θ>0.
又∵(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θcos
θ＝，
∴sin
θ－cos
θ＝.②
由①②得sin
θ＝，cos
θ＝－，
∴tan
θ＝＝－.
[探究共研型]
利用同角三角函数关系化简、证明
探究1　怎样理解同角三角函数关系中“同角”的含义？
【提示】　“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是“任意”一个角．
探究2　平方关系对任意α∈R均成立，对吗？商数关系呢？
【提示】　平方关系中对任意α∈R均成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．
探究3　证明三角恒等式常用哪些技巧？
【提示】　切化弦，整体代换，“1”的代换．
探究4　证明三角恒等式应遵循什么样的原则？
【提示】　由繁到简．
　(1)化简tan
α·
，其中α是第二象限角；
(2)求证：＝.
【精彩点拨】　(1)先确定sin
α，cos
α的符号，结合平方关系和商数关系化简．
(2)逆用平方关系结合tan
α＝化简．
【自主解答】　(1)因为α是第二象限角，
所以sin
α>0，cos
α<0.
故tan
α·＝tan
α·
＝tan
α
＝·||＝·＝－1.
(2)证明：左边＝
＝
＝＝＝右边．
所以原式成立．
1．化简三角函数式的一般要求：
(1)函数种类最少；
(2)项数最少；
(3)函数次数最低．
2．证明三角恒等式常用的方法有：
(1)从一边开始，证得它等于另一边；
(2)证明左右两边都等于同一个式子；
(3)变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式．
[再练一题]
3．(1)化简：；
(2)求证：＝.
【解】　(1)原式
＝
＝
＝
＝
＝1.
(2)证明：法一：左边
＝
＝
＝
＝＝＝右边．
∴原等式成立．
法二：∵(sin
α＋cos
α－1)(1＋sin
α)
＝(sin
α－1)(1＋sin
α)＋cos
α(1＋sin
α)
＝sin2α－1－cos
α(1＋sin
α)
＝－cos2α＋cos
α(1＋sin
α)
＝cos
α(sin
α－cos
α＋1)
∴＝.
1．已知sin
α＝－，α是第三象限角，则tan
α等于(　　)
A．　　
B．－　　
C．　　
D．－
【解析】　因为α是第三象限角，所以cos
α<0，又sin
α＝－，
所以cos
α＝－＝－＝－，
所以tan
α＝＝＝.
【答案】　C
2．化简tan
·的结果是(　　)
A．sin
B．－sin
C．cos
D．－cos
【解析】　tan
·＝tan·，又cos>0，
所以原式＝·cos＝sin.
【答案】　A
3．已知sin
α＝，则sin2α－cos2α的值为________.
【导学号：66470064】
【解析】　因为sin
α＝，所以cos2α＝1－sin2α＝1－2＝，
sin2α－cos2α＝2－＝－.
【答案】　－
4．已知tan
α＝－，则的值是________．
【解析】　＝＝＝＝＝－.
【答案】　－
5．已知sin
α＝，cos
α＝，α是第四象限角，试求tan
α的值．
【解】　∵sin2α＋cos2α＝1，
∴2＋2＝1.
化简，整理得，
m(m－8)＝0，∴m1＝0，m2＝8.
当m＝0时，sin
α＝，cos
α＝－，
不符合α是第四象限角，舍去．
当m＝8时，sin
α＝－，cos
α＝，
∴tan
α＝－.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________2．1　两角差的余弦函数
2．2　两角和与差的正弦、余弦函数
1．了解两角差的余弦公式的推导过程．
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式，两角和的正弦、余弦公式．(重点)
3．会利用公式解决简单的化简求值问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理　两角和与差的正弦、余弦函数
阅读教材P118～P120练习以上部分，完成下列问题．
1．两角差的余弦公式
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(Cα－β)
2．两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(Cα＋β)
3．两角和与差的正弦公式
(1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(Sα＋β)，
(2)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(Sα－β)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的余弦公式中，角α，β是任意的．(　　)
(2)sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β一定不成立．(　　)
(3)sin(α－β)＝sin
βcos
α－sin
αcos
β.(　　)
(4)存在α，β，使cos(α－β)＝cos
α＋cos
β.(　　)
【解析】　(1)√.
(2)×.如当α＝，β＝－时，则sin(α＋β)＝0.
sin
α＋sin
β＝sin
＋sin＝0，
∴当α＝，β＝－时，sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β.
(3)×.sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β.
(4)√.如α＝，β＝时，
cos(α－β)＝cos
α＋cos
β.
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
给角求值
　求值：(1)sin
15°＋cos
15°；
(2)sin
119°sin
181°－sin
91°sin
29°.
【精彩点拨】　解答本题首先把非特殊角向特殊角转化成创造条件逆用公式，然后再应用公式求解．
【自主解答】　(1)法一：sin
15°＋cos
15°
＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)
＝sin
45°cos
30°－cos
45°
sin
30°＋cos
45°cos
30°＋
sin
45°
sin
30°
＝×－×＋×＋×＝.
法二：sin
15°＋cos
15°
＝
＝sin(15°＋45°)
＝sin
60°＝.
(2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin
29°
＝cos
29°(－sin
1°)－cos
1°sin
29°
＝－(sin
29°
cos
1°＋cos
29°
sin
1°)
＝－sin(29°＋1°)＝－sin
30°＝－.
1．解决此类问题的关键是将非特殊角的三角函数求值问题，转化为特殊角的三角函数求值问题．
2．化为特殊角的和与差的形式，公式中只有两个角，运用公式时，务必熟记公式的结构特征和符号规律．
[再练一题]
1．求值：(1)cos(x＋27°)·cos(x－18°)＋sin(x＋27°)·
sin(x－18°)；
(2)cos
105°＋sin
195°的值．
【解】　(1)cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)·sin(x－18°)
＝cos[(x＋27°)－(x－18°)]
＝cos
45°
＝.
(2)cos
105°＋sin
195°＝cos
105°－sin
15°
＝cos(60°＋45°)－sin(60°－45°)
＝cos
60°cos
45°－sin
60°·sin
45°－sin
60°cos
45°＋cos
60°·sin
45°
＝×－×－×＋×
＝.
给值求值
　已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－.求sin
2α的值．
【精彩点拨】　由于2α＝(α－β)＋(α＋β)，故可用两角和的正弦公式求解．
【自主解答】　∵<β<α<，
∴0<α－β<，π<α＋β<，
∴sin(α－β)＝＝，
cos(α＋β)＝－＝－.
∴sin
2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×
＝－.
1．给值求值问题主要有两类：一是直接利用公式展开后求值．二是变角求值．即将问题中的角表示成已知角的和或差整体求值．在计算中要注意根据角的取值范围确定三角函数值的符号．
2．常见的变角技巧：
2α＝(α＋β)＋(α－β)，
2β＝(α＋β)－(α－β)，
α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α等．
[再练一题]
2．已知α，β是锐角，且sin
α＝，cos(α＋β)＝－，求sin
β的值.
【导学号：66470067】
【解】　∵α是锐角，且sin
α＝，
∴cos
α＝＝＝.
又∵sin(α＋β)＝＝
＝，
∴sin
β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)
sin
α＝×－×＝.
[探究共研型]
给值求角问题
探究1　给值求角的实质是什么？
【提示】　给值求角即求该角的某种三角函数值．
探究2　给值求角的关键是什么？
【提示】　关键是变角，把所求角用含已知角的式子表示．
探究3　常用的角的变换技巧有哪些？
【提示】　互余或互补关系的应用，如－α与＋α互余，＋α与π－α互补等．
　已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin
β＝－，求α.
【精彩点拨】　先计算sin
α后再根据α∈确定角α大小．
【自主解答】　∵α∈，β∈，
∴α－β∈(0，π)．
∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝.
∵β∈，sin
β＝－，∴cos
β＝，
∴sin
α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos
β＋cos(α－β)sin
β
＝×＋×＝.
又∵α∈，∴α＝.
1．解决这类问题，关键有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围．一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，便可求解．
2．确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定.
注意本题解答中如果求出sin(α＋β)＝，可能就会导致α＋β＝或.
[再练一题]
3．已知α，β都是锐角，且sin
α＝，sin
β＝.求α＋β的值．
【解】　因为α，β都是锐角，所以0<α<，0<β<，
0<α＋β<π，又sin
α＝，sin
β＝，
所以cos
α＝＝，cos
β＝，
所以cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝×－×＝.
又0<α＋β<π，
所以α＋β＝.
1．cos
66°·cos
36°＋cos
24°·cos
54°的值为(　　)
A．0　　　　　
B．
C.
D．－
【解析】　cos
66°·cos
36°＋cos
24°·cos
54°
＝cos
66°·cos
36°＋sin
66°·sin
36°
＝cos(66°－36°)＝cos
30°
＝.
【答案】　C
2．若a＝(cos
60°，sin
60°)，b＝(cos
15°，sin
15°)，则a·b＝________.
【解析】　a·b＝cos
60°
·cos
15°＋sin
60°·sin
15°
＝cos(60°－15°)
＝cos
45°
＝.
【答案】　
3．cos
345°的值为________.
【导学号：66470068】
【解析】　cos
345°＝cos(360°－15°)＝cos
15°
＝cos(45°－30°)
＝cos
45°·cos
30°＋sin
45°·sin
30°
＝.
【答案】　
4．若cos
α＝－，α是第三象限的角，则sin＝________.
【解析】　因为α为第三象限的角，所以sin
α＝－＝－，
所以sin＝sin
α·cos＋cos
α·sin＝
－×＋×＝－.
【答案】　－
5．已知sin＝，求.
【解】　
＝
＝(cos
α－sin
α)
＝2
＝2sin
＝.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§8　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
1．了解振幅、初相、相位、频率等有关概念，会用“五点法”画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像.
2．理解并掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的平移与伸缩变换．(重点)
3．掌握A，ω，φ对图像形状的影响．(难点)
[基础·初探]
教材整理　函数y＝A
sin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的图像
阅读教材P43～P52“思考交流”以上部分，完成下列问题．
1．参数A，φ，ω，b的作用
参数
作用
A，b
A和b决定了该函数的值域和振幅，通常称A为振幅，值域为[－A＋b，A＋b]
φ
φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相
ω
ω决定了函数的周期，其计算方式为T＝，周期的倒数f＝＝为频率
2.平移变换
(1)左右平移(相位变换)：对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sin
x的图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度得到的．
(2)上下平移：对于函数y＝sin
x＋b的图像，可以看作是把y＝sin
x的图像上所有点向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平行移动|b|个单位长度得到的．
3．伸缩变换
(1)振幅变换：对于函数y＝Asin
x(A＞0，A≠1)的图像可以看作是把y＝sin
x的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的．
(2)周期变换：对于函数y＝sin
ωx(ω＞0，ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin
x的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)A的大小决定了函数的振幅．(　　)
(2)ω的大小与函数的周期有关．(　　)
(3)φ的大小决定了函数与y＝sin
x的相对位置．(　　)
(4)b的大小决定了函数图像偏离平衡位置的幅度．(　　)
【解析】　由A，ω，φ，b的几何意义知全对．
【答案】　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
[小组合作型]
用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像
　作出函数y＝2
sin在一个周期内的图像．
【精彩点拨】　列表时用整体代换的思想，把ωx＋φ看作一个整体，再用五点列表．
【自主解答】　用“五点法”作图．列表：
x
－
π
＋
0
π
2π
y
0
2
0
－2
0
描点作图，如图．
1．利用“五点法”作图像时，确定x的值是本题的关键．
2．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一般步骤：
第一步：列表．
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
－
－
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑的曲线把它们连接起来．
[再练一题]
1．用五点法作出函数y＝2sin＋3的图像，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值．
【解】　①列表.
x
x－
0
π
2π
y
3
5
3
1
3
②描点作图，如图所示．
把上的图像向左、向右扩展，即得到y的简图．
周期T＝2π，频率f＝＝，相位x－，初相－，最大值5，最小值1.
三角函数的图像变换
　写出由y＝sin
x的图像变化到y＝3sin的图像的不同方法步骤.
【导学号：66470026】
【精彩点拨】　变换过程可以先伸缩后平移，也可以先平移后伸缩．
【自主解答】　法一：先平移再伸缩，过程如下：
①把y＝sin
x的图像上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin的图像；②把y＝sin
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin
的图像；③将y＝sin的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图像．
法二：先伸缩再平移，过程如下：
①把y＝sin
x的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sinx的图像；②把y＝sin
x的图像向右平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图像；③把y＝sin的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图像．
由y＝sin
x的图像，通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，可以先相位变换，后周期变换，也可以先周期变换，后相位变换．两种变换的顺序不同，变换的量也有所不同，前者平移|φ|个单位，而后者则平移个单位．不论哪一种变换，都是对字母x而言的，即看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．
[再练一题]
2．函数y＝3sin的图像是由y＝sin
x的图像如何变换得到的？
【解】　y＝3sin的图像可用下面的方法得到：
[探究共研型]
探究1　怎样求三角函数的周期和初相？
【提示】　三角函数周期可利用公式T＝，初相的求解可通过曲线所过的定点代入函数解析式，通过运算求得．
探究2　怎样求振幅？
【提示】　图像最高点(或最低点)处的纵坐标的绝对值即为振幅的值．
探究3　根据图像怎样求周期？
【提示】　相邻最高点(或最低点)处的横坐标之差的绝对值即为周期的一半，或用一个周期为端点横坐标的差的绝对值．
　如图1－8－1是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，求函数的解析式．
图1－8－1
【精彩点拨】　由最高、最低点确定A，由周期确定ω，然后由图像过的特殊点确定φ.
【自主解答】　法一：根据题意，A＝3，T＝－＝π，
∴ω＝＝2，将点M代入y＝3sin(2x＋φ)中，
3＝3sin，
∴sin＝1，
∴＋φ＝，即φ＝，
从而所求函数解析式为y＝3sin.
法二：由图像知A＝3，又图像过M，N，根据五点作图法的原理(M，N可视为“五点法”中的第二点和第四点)，有解得从而所求函数解析式是y＝3sin.
由图像或部分图像确定解析式，在观察图像的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ，b：
(1)A：一般由图像上的最大值m、最小值n来确定A＝.
(2)ω：因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点确定T，也可由相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T来确定．
(3)φ：从寻找“五点法”中的第一个点(也叫初始点)作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个点的位置．
依据五点列表法原理，点的序号与式子关系如下：
“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图像曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图像曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”(即图像第二次上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.
在用以上方法确定φ的取值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．
(4)b：设函数的最大值为m，最小值为n，则b＝.
[再练一题]
3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图像如图1－8－2所示，则f(0)的值是________．
图1－8－2
【解析】　由题图可知：A＝，＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2.
又函数图像经过点，
所以2×＋φ＝π，则φ＝.
故函数的解析式为f(x)＝sin，
所以f(0)＝sin
＝.
【答案】　
[构建·体系]
1．函数y＝2sin＋1的最小正周期为(　　)
A．　　　　　　　　　
B．π
C．2π
D．4π
【解析】　最小正周期为T＝＝π.
【答案】　B
2．最大值是，周期是6π，初相是的三角函数的表达式可能是(　　)
【导学号：66470027】
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝2sin
D．y＝sin
【解析】　设函数的解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，由题意知A＝，＝6π，
ω＝，ωx＋φ＝x＋φ＝，φ＝.
【答案】　A
3．把y＝sin
x的图像上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的倍，得________的图像．
【解析】　
【答案】　y＝sin
3x
4．将y＝sin
2x的图像向左平移个单位，得到的曲线对应的解析式为________．
【解析】　y＝sin
2xy＝sin＝sin.
【答案】　y＝sin
5．请用“五点法”作出函数y＝2
sin－1在长度为1个周期的闭区间上的简图．
【解】　列表：
x
－
＋
0
π
2π
y＝2sin－1
－1
1
－1
－3
－1
描点作图如下：
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§6　余弦函数的图像与性质
6.1　余弦函数的图像
6.2　余弦函数的性质
1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像．
2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点)
3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理　余弦函数的图像与性质
阅读教材P31～P33“思考交流”以上部分，完成下列问题．
1．利用图像变换作余弦函数的图像
余弦函数y＝cos
x的图像可以通过将正弦曲线y＝sin
x向左平移个单位长度得到．如图1－6－1是余弦函数y＝cos
x(x∈R)的图像，叫作余弦曲线．
图1－6－1
2．利用五点法作余弦函数的图像
画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数y＝cos
x(x∈[0,2π])的图像上有五个关键点，为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，可利用此五点画出余弦函数y＝cos
x，x∈R的简图(如图1－6－2)．
图1－6－2
3．余弦函数的性质
图像
定义域
R
值域
[－1,1]
最大值，最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1
周期性
周期函数，T＝2π
单调性
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的
奇偶性
偶函数，图像关于y轴对称
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦函数y＝cos
x的定义域为R.(　　)
(2)余弦函数y＝cos
x的图像可由y＝sin
x的图像向右平移个单位得到．(　　)
(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cos
x与y＝sin
x的图像形状完全相同，只是位置不同．(　　)
(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区间．(　　)
【解析】　(1)(3)正确；余弦函数y＝cos
x＝sin，即可看作是y＝sin
x向左平移个单位得到的，因而(2)错；正、余弦函数有相同的周期(都是2π)，相同的最大值(都是1)，相同的最小值(都是－1)，也都有单调区间，但单调区间不同，因而(4)错．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
五点法作图
　用“五点法”作函数y＝1－cos
x(0≤x≤2π)的简图．
【精彩点拨】　利用“五点法”：
列表―→描点―→连线
【自主解答】　列表：
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
1－cos
x
0
1
2
1
0
描点并用光滑的曲线连接起来，如图．
作函数y＝acos
x＋b的图像的步骤
1．列表：由x＝0，，π，，2π时，cos
x＝1,0，－1，0,1，求出y值．
2．描点：在同一坐标系中描五个关键点．
3．连线：用平滑曲线．
[再练一题]
1．作出函数y＝1－cos
x在[－2π，2π]上的图像．
【解】　①列表：
x
0
π
2π
y＝cos
x
1
0
－1
0
1
y＝1－cos
x
1
1
②作出y＝1－cos
x在x∈[0,2π]上的图像．由于该函数为偶函数，作关于y轴对称的图像，从而得出y＝1－cos
x在x∈[－2π，2π]上的图像．
如图所示：
与余弦函数有关的定义域问题
　求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝log2(－1＋2cos
x)＋.
【精彩点拨】　写出使得函数有意义时所满足的条件，结合三角函数的定义域，求若干个不等式的交集即可．
【自主解答】　(1)要使y＝有意义，则必须满足2cos
x＋1≥0，即cos
x≥－.
结合余弦函数的图像得y＝的定义域为.
(2)要使函数有意义，
则即
cos
x>的解集为
，
x2≤9的解集为{x|－3≤x≤3}，
取交集得.
∴原函数的定义域为.
1．求三角函数的定义域时，一般要解三角不等式，其主要方法是借助于三角函数的图像，关键有两点：(1)选取一个合适的周期；(2)确定边界值．
2．当函数由几部分构成时，应取使每一部分有意义的x取值范围的公共范围，即取它们的交集．
3．当三角不等式与代数不等式在一起时，在取交集时，应注意对三角不等式解集中的k进行讨论．
[再练一题]
2．求下列函数的定义域．
(1)y＝；(2)y＝log(2cos
x－)．
【解】　(1)要使函数有意义，则有－cos
x≥0，
∴cos
x≤，可得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
故所求函数的定义域为
.
(2)要使函数有意义，则有2cos
x－>0，
∴cos
x>，故所求定义域为
.
余弦函数的单调性及应用
　(1)函数y＝1－2cos
x的单调增区间是________；
(2)比较大小cosπ________cos.
【精彩点拨】　(1)y＝1－2cos
x的单调性与y＝－cos
x的单调性相同，与y＝cos
x的单调性相反．
(2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．
【自主解答】　(1)由于y＝cos
x的单调减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，所以函数y＝1－2cos
x的增区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
(2)由于cosπ＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos＝cos，
y＝cos
x在[0，π]上是减少的．
由<知cos>cos，
即cosπ【答案】　(1)[2kπ，2kπ＋π]　(2)<
1．形如y＝acos
x＋b(a≠0)函数的单调区间
(1)当a>0时，其单调性同y＝cos
x的单调性一致；
(2)当a<0时，其单调性同y＝cos
x的单调性恰好相反．
2．比较cos
α与cos
β的大小时，可利用诱导公式化为[0，π]内的余弦函数值来进行．
[再练一题]
3．(1)比较大小：cos与cos；
(2)求函数y＝log(cos
2x)的增区间．
【解】　(1)cos＝cos＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos＝cos.
∵0<<<π，且y＝cos
x在[0，π]上递减，
∴cos即cos(2)由题意得cos
2x>0且y＝cos
2x递减．
∴x只须满足：2kπ<2x<2kπ＋，k∈Z，
∴kπ∴y＝log(cos
2x)的增区间为，k∈Z.
[探究共研型]
与余弦函数有关的最值问题
探究1　余弦函数在第一象限内是减函数吗？
【提示】　不是．余弦函数y＝cos
x在内是减函数，但不能说在第一象限是减函数．如390°和60°都是第一象限角，虽然有390°>60°，却有cos
60°390°.
探究2　求与余弦函数相关的最值问题时应注意什么？
【提示】　首先看函数的定义域，一定注意在定义域内求最值．
探究3　对于y＝Acos2x＋Bcos
x＋C型的函数如何求最值？
【提示】　利用换元法转化为在固定区间上的二次函数求最值．
　求下列函数的最值．
(1)y＝－cos2x＋cos
x；
(2)y＝3cos2x－4cos
x＋1，x∈.
【精彩点拨】　本题中的函数可以看作是关于cos
x的二次函数，可以化归为利用二次函数求最值的方法求解．
【自主解答】　(1)y＝－2＋.
∵－1≤cos
x≤1，
∴当cos
x＝时，ymax＝.
当cos
x＝－1时，ymin＝－2.
∴函数y＝－cos2x＋cos
x的最大值为，最小值为－2.
(2)y＝3cos2x－4cos
x＋1
＝32－.
∵x∈，cos
x∈，
从而当cos
x＝－，即x＝时，ymax＝；
当cos
x＝，即x＝时，ymin＝－.
∴函数在区间上的最大值为，最小值为－.
求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：
(1)sin
x，cos
x的有界性；
(2)sin
x，cos
x的单调性；
(3)化为sin
x＝f(x)或cos
x＝f(x)，利用|f(x)|≤1来确定；
(4)通过换元转化为二次函数．
[再练一题]
4．已知函数y＝－cos2x＋acos
x－a－的最大值为1，求a的值.
【导学号：66470018】
【解】　y＝－cos2
x＋acos
x－a－
＝－2＋－－.
∵－1≤cos
x≤1，于是
①当<－1，即a<－2时，当cos
x＝－1时，
ymax＝－a－.
由－a－＝1，得a＝－>－2(舍去)；
②当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，当cos
x＝时，ymax＝－－.
由－－＝1，得a＝1－或a＝1＋(舍去)；
③当>1，即a>2时，当cos
x＝1时，ymax＝－.
由－＝1，得a＝5.
综上可知，a＝1－或a＝5.
[构建·体系]
1．函数y＝2cos
x－1的最大值、最小值分别是(　　)
A．2，－2　　　　　
B．1，－3
C．1，－1
D．2，－1
【解析】　∵－1≤cos
x≤1，
∴－2≤2cos
x≤2，
∴－3≤2cos
x－1≤1，
∴最大值为1，最小值为－3.
【答案】　B
2．函数y＝sin
x和y＝cos
x都是减少的区间是(　　)
A．(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【解析】　结合函数y＝sin
x和y＝cos
x的图像知都减少的区间为(k∈Z)．
【答案】　C
3．函数y＝的定义域是________.
【导学号：66470019】
【解析】　由题意知1＋cos
x≠0，即cos
x≠－1，结合函数图像知.
【答案】　
4．满足＋2cos
x≥0(x∈R)的x的集合是________．
【解析】　∵＋2cos
x≥0，
∴cos
x≥－，结合图像(略)知：
－π＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
【答案】　
5．画出y＝1－3cos
x在[0,2π]上的简图，并指出其最值和单调区间．
【解】　列表：
x
0
π
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
1－3cos
x
－2
1
4
1
－2
图像如下：
由图像可知，函数y＝1－3cos
x在[0,2π]上的最大值为4，最小值为－2，单调增区间为[0，π]，减区间为[π，2π]．
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§2　从位移的合成到向量的加法
2．1　向量的加法
2．2　向量的减法
1．掌握向量的加法、减法运算．(重点)
2．理解向量加法与减法的几何意义及加法、减法的关系．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　向量加法
阅读教材P76－P77“例2”以上部分，完成下列问题．
向量求和法则及运算律
类别
图示
几何意义
向量求和的法则
三角形法则
已知向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
向量求和的法则
平行四边形法则
已知向量a，b，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形，向量叫作向量a与b的和，表示为＝a＋b
向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两向量的和，可能是一个数量．(　　)
(2)两向量相加，就是两向量的模相加．(　　)
(3)＋＝.(　　)
(4)矩形ABCD中，＋＝.(　　)
【解析】　(1)两向量之和，仍是向量，(1)错；(2)不共线两向量相加，遵循平行四边形法则；由向量加法的三角形法则可知(3)正确；由向量的平行四边形法则可知(4)正确．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
教材整理2　向量减法
阅读教材P79～P80“练习”以上部分，完成下列问题．
1．相反向量
定义
把与a长度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a
性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量，于是－(－0)＝0；(2)互为相反向量的两个向量的和为0，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；(3)若a＋b＝0，则a＝－b，b＝－a
2.向量减法
定义
向量a加上b的相反向量，叫作a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，求两个向量差的运算，叫作向量的减法
几何意义
如图，设＝a，＝b，则＝a－b，即a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的差仍是一个向量．(　　)
(2)＝－.(　　)
(3)a－b的相反向量是b－a.(　　)
(4)|a－b|＜|b＋a|.(　　)
【解析】　(1)正确．两个向量的差仍然是一个既有大小又有方向的量，是向量．
(2)正确．根据向量减法的几何意义可知＝－.
(3)正确．(a－b)＋(b－a)＝0.
(4)错误．|a＋b|与|a－b|的大小关系不确定．
【答案】　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
向量的加法、减法运算
　(1)在平行四边形ABCD中，＋－等于(　　)
A．　　　　　　　
B．
C.
D．
(2)化简：＋＋－－＝________.
(3)如图2－2－1，已知向量a，b，c，求作向量a＋b－c.
图2－2－1
【精彩点拨】　利用向量的三角形法则或平行四边形法则求解．
【自主解答】　(1)在 ABCD中，＝，＝，
∴＋－＝(－)＋＝.
(2)法一：原式＝＋＋－(＋)
＝0－＝.
法二：在平面内任取一点O，连接OA，OB，OC，OD，则
原式＝(－)＋(－)＋(－)－(－)－(－)
＝－＋－＋－－＋－＋＝－＝.
【答案】　(1)C　(2)
(3)作法：
①作＝a，＝b；
②作＝c；
③连接CB，
则＝a＋b－c.
1．求解这类问题，要灵活应用向量加法、减法的三角形法则与平行四边形法则，并注意向量的起点和终点，当向量首尾相连且为和时，用加法；运用向量减法的三角形法则时，两向量起点一定相同．
2．运用向量减法法则时，常考虑方法：(1)通过相反向量，把向量减法转化为加法；(2)引入点O，将向量起点统一．
3．运用向量加法、减法运算法则作图时，应注意是“首尾相连”还是“首首相连”等．
[再练一题]
1.(1)如图2－2－2，已知 ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点，求作：
图2－2－2
①＋；
②＋.
(2)如图2－2－3，已知向量a，b，c，求作a＋b＋c.
图2－2－3
【解】　(1)①延长AC，在延长线上截取CF＝AO，则向量即为所求．
②在AB上取点G，使AG＝AB，则向量即为所求．
(2)在平面内任取一点O，作向量＝a，再作＝c，则＝a＋c，然后再作＝b，连接OC，于是向量＝a＋b＋c即为所求(如图所示)．
利用已知向量表示其它向量
　在五边形ABCDE中，设＝a，＝b，＝c，＝d，用a，b，c，d表示.
【精彩点拨】　先表示出向量，然后用向量加法表示出.
【自主解答】　因为＝＋，＝＋＋，
所以＋＝＋＋，
即b＋d＝a＋c＋，
所以＝b＋d－a－c.
1．用已知向量表示其他向量时，关键是利用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义．
2．用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为：
①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果．
[再练一题]
2.如图2－2－4所示，已知O为平行四边形ABCD内的一点，＝a，＝b，＝c，则可以用a，b，c表示为________．
图2－2－4
【解析】　因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝，所以－＝－，所以＝－＋＝a－b＋c.
【答案】　a－b＋c
[探究共研型]
向量加法、减法的综合应用
探究1　向量减法的实质是什么？
【提示】　加法的逆运算．
探究2　|a－b|与|a|，|b|之间的大小关系如何？
【提示】　当a与b不共线时，有＜|a－b|＜|a＋b|；当a与b同向且|a|≥|b|时，有|a－b|＝|a|－|b|；当a与b同向且|a|≤|b|时，有|a－b|＝|b|－|a|.
　已知 ABCD中，∠ABC＝60°，设＝a，＝b，若|a|＝|a＋b|＝2，求|a－b|的值．
【精彩点拨】　根据题设条件结合向量的加法、减法运算求解．
【自主解答】　依题意，||＝|a＋b|＝2，如图所示．
而||＝|a|＝2.
因为∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形，
所以BC＝AB.
所以 ABCD为菱形，AC⊥BD，
所以|a|2＝2＋2，
即4＝1＋，
所以|a－b|＝2.
本题的解答是利用了向量加法与减法的几何意义，一般地，若a，b是两个不共线的向量，在平面内任取一点A作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作 ABCD，那么＝a＋b，＝a－b.恰当地构造平行四边形，寻找|a|，|b|，|a±b|的关系，灵活运用平面图形的性质是解答本题的关键．
[再练一题]
3．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值.
【导学号：66470041】
【解】　如图，设＝a，＝b，
则||＝|a－b|.
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，
则||＝|a＋b|.
由于(＋1)2＋(－1)2＝42，
即||2＋||2＝||2，
所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形，
从而OA⊥OB，
所以 OACB是矩形．
根据矩形的对角线相等有||＝||＝4，
即|a＋b|＝4.
[构建·体系]
1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式成立的是(　　)
A．＝＋　　　　　
B．＝＋
C.＝＋
D．＝＋
【解析】　由向量三角形法则知＝＋.
【答案】　B
2．正方形ABCD的边长为1，则|＋|为(　　)
A．1
B．
C．3
D．2
【解析】　∵＋＝，∴|＋|＝||＝，故选B.
【答案】　B
3．设a表示向东走4
km，b表示向南走3
km，则|a＋b|＝________km.
【导学号：66470042】
【解析】　|a＋b|＝＝5.
【答案】　5
4．化简：
(1)＋－＝________；
(2)－－－＝________.
【解析】　(1)＋－＝＋(－)＝＋＝0.
(2)－－－＝(－)－(＋)
＝－0＝.
【答案】　0　
5.如图2－2－5，D，E，F分别为△ABC三边的中点，试画出＋，＋，＋.
【解】　如图，＋＝＋＝，
＋＝，
＋＝＋＝.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________§3　从速度的倍数到数乘向量
3.1　数乘向量
1．理解向量的数乘运算及其几何意义．(重点)
2．理解向量共线定理，并应用其解决相关问题．(难点)
3．会利用向量共线定理判断三点共线及线线平行．(易混点)
[基础·初探]
教材整理　数乘向量
阅读教材P82～P84“例3”以上部分，完成下列问题．
1．数乘向量及运算律
(1)向量数乘的定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(2)向量数乘的运算律
设a，b为向量，λ，μ为实数，则向量数乘满足：
①结合律：λ(μa)＝(λμ)a；
②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.
2．共线向量定理
(1)判定定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
(2)性质定理
若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数λ与向量a的积还是向量．(　　)
(2)实数λ与向量a的和λ＋a与差λ－a都是向量．(　　)
(3)对于非零向量a，向量－6a与向量2a方向相反．(　　)
(4)向量－8a的模是向量4a的模的2倍．(　　)
(5)若b＝λa(a≠0)，则a与b方向相同或相反．(　　)
(6)若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa.(　　)
【解析】　由数乘向量的意义知，(1)正确，(2)错误，(3)正确，(4)正确；(5)当b＝0时，不能判断方向相同或相反，因而(5)错误；(6)当a＝0，b≠0时，就不存在实数λ，使b＝λa，故(6)错误．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
向量的线性运算
　计算：
(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
【精彩点拨】　根据向量加法、减法、数乘的运算法则进行运算．
【自主解答】　(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b
＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a
＝b－c.
1．向量数乘的运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看成向量的系数．
2．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当做未知量，利用解代数方程的方法求解．
[再练一题]
1．化简：
(1)5(3a－2b)＋4(2b－3a)；
(2)(a＋2b)＋(3a－2b)－(a－b)．
【解】　(1)5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝15a－10b＋8b－12a＝3a－2b.
(2)(a＋2b)＋(3a－2b)－(a－b)＝a＋b＝a＋b.
向量共线定理及应用
　已知e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e0，判断a与b是否共线？
【精彩点拨】　利用向量共线定理进行判断．
【自主解答】　若a与b共线，则存在λ∈R.使a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，
所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0.
因为e1与e2不共线，所以所以λ不存在．
所以a与b不共线．
1．本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a≠0)共线 b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．
2．向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．
[再练一题]
2．设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线．
(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
【解】　(1)证明：由已知得
＝－
＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)
＝e1－4e2.
∵＝2e1－8e2，
∴＝2，又与有公共点B.
∴A，B，D三点共线．
(2)由(1)可知＝e1－4e2，由＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，
得＝λ，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，
得解得k＝12.
[探究共研型]
向量线性运算的综合应用
探究1　若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点的位置关系如何？
【提示】　A，B，C三点共线．
探究2　根据数乘向量的几何意义由＋＝λ(＋)可以得到什么结论？
【提示】　＋与＋共线．
探究3　向量共线定理有哪两个方面的应用？
【提示】　(1)判断两个向量共线，若存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线．(2)表示两个共线向量之间的关系．若a与b共线(a≠0)则必存在一个实数λ.使b＝λa.
　已知O是坐标原点，过△OAB的重心的直线交OA于点P，交OB于点Q，＝a，＝b，＝m
a，＝n
b，求证：＋＝3.
【精彩点拨】　解答本题可先利用三角形重心性质，共线向量基本定理把用表示出来，再用向量求和法则，将其用a，b表示出来，然后表示出，，最后利用Q，G，P三点共线，即可得证．
【自主解答】　如图，设G是△ABC的重心，连接OG并延长，交AB于点F，则
＝＝×(a＋b)＝(a＋b)，
＝－＝(a＋b)－n
b＝a＋b，
＝－＝m
a－(a＋b)＝a－b.
∵Q，G，P三点共线，
则存在实数k使＝k，
∴a＋b＝ka－kb，
∴
化简得m＋n＝3mn，
∴＋＝3.
1．由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何定理的应用．
2．当用已知向量表示未知向量比较困难时，应考虑方程思想，利用方程的观点进行求解．
[再练一题]
3．已知△ABC中，AB＝5，AC＝5，BC＝6，内角平分线的交点为O，若＝λ＋μ，求实数λ与μ的和．
【解】　如图，AB＝AC＝5，由已知可得，D为BC的中点，由角的平分线性质定理知，＝＝，
即＝.
于是，＝＝(＋)
＝＝＋，
即λ＝，μ＝.
故λ＋μ＝＋＝.
[构建·体系]
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　　)
A．a与－λa的方向相反　
B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同
D．|－λa|＝|λ|a
【解析】　a与λ2a的方向相同．
【答案】　C
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
【导学号：66470045】
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
【解析】　＋＋＝a＋2b＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝＝3.
所以A，B，D三点共线．
【答案】　A
3．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.
【解析】　因为|a|＝5，|b|＝7，所以＝.
又因为b与a的方向相反，所以a＝－b.
【答案】　－
4．在四边形ABCD中，＝2，则四边形ABCD为________(填“梯形、矩形、菱形、平行四边形”之一)．
【解析】　因为＝2，所以四边形ABCD中有AB∥DC，AB＝2CD，所以四边形ABCD是梯形．
【答案】　梯形
5．如图2－3－1所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝3CD.若＝a，＝b，试用a，b表示向量.
图2－3－1
【解】　因为AB∥CD，且AB＝3CD，
所以＝3，＝＝a，
所以＝＋＝b＋a.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________章末分层突破
[自我校对]
①弧度制
②负角
③零角
④y＝cos
x
⑤y＝tan
x
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
三角函数的定义及三角函数线
掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
　(1)点P从点(2,0)出发，沿圆x2＋y2＝4逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________；
(2)函数y＝lg(2sin
x－1)＋的定义域为______．
【精彩点拨】　(1)先求∠POQ，再利用三角函数定义求出Q点坐标；(2)先列出三角函数的不等式组，再利用三角函数线求解．
【规范解答】　(1)设∠POQ＝θ，则θ＝＝，设Q(x，y)，根据三角函数的定义，有x＝2cos
＝，y＝2sin
＝1，即Q点的坐标为(，1)．
(2)要使函数有意义，必须有
即
解得
∴＋2kπ≤x<＋2kπ(k∈Z)．
故所求函数的定义域为(k∈Z)．
【答案】　(1)(，1)　(2)(k∈Z)
[再练一题]
1．求函数f(x)＝＋的定义域．
【解】　函数f(x)有意义，则
即
如图所示，结合三角函数线知
∴2kπ＋≤x<2kπ＋(k∈Z)．
故f(x)的定义域为(k∈Z)．
三角函数的诱导公式
正弦函数、余弦函数、正切函数的诱导公式是三角函数值的化简与求值的主要依据．利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，也可以实现正弦与余弦、正切与余切之间函数名称的变换．
2kπ＋α，π±α，－α，2π±α，±α的诱导公式可归纳为：
k×＋α(k∈Z)的三角函数值．当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k的奇偶．
　已知f(α)＝，
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－，求f(α)的值．
【精彩点拨】　直接应用诱导公式求解．
【规范解答】　(1)f(α)＝＝
＝－cos
α.
(2)f＝－cos＝－cos
＝－cos＝－.
[再练一题]
2．若sin＝，求＋
.
【解】　因为sin＝，所以cos
θ＝－.所以
＋
＝＋
＝－
＝－＝－＝.
三角函数的图像及变换
三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．
　如图1－1是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的一段图像．
图1－1
(1)求此函数解析式；
(2)分析一下该函数是如何通过y＝sin
x变换得来的．
【精彩点拨】　(1)先确定A，k，再根据周期求ω，最后确定φ.
(2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移．
【规范解答】　(1)由图像知，A＝＝，
k＝＝－1，T＝2×＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝.
∴所求函数解析式为y＝sin－1.
(2)把y＝sin
x向左平移个单位得到y＝sin，然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，
得到y＝sin，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sin，最后把函数y＝sin的图像向下平移1个单位，
得到y＝sin－1的图像．
[再练一题]
3．若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ>π)在x＝处取得最大值，且最大值为3，求函数f(x)的解析式，并说明怎样变换f(x)的图像能得到g(x)＝3sin的图像．
【解】　因为函数f(x)最大值为3，所以A＝3，
又当x＝时函数f(x)取得最大值，所以sin＝1.
因为0<φ<π，故φ＝，故函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin，
将f(x)的图像向右移个单位，即得
g(x)＝3sin＝3sin的图像．
三角函数的性质
高考中三角函数的性质是必考内容之一，着重考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值(值域)，应引起重视．
　已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求f(x)取最大值时，x的取值集合．
【精彩点拨】　(1)将2x＋看成一个整体，利用y＝sin
x的单调区间求解．
(2)先求x∈时，2x＋的范围，再根据最值求a的值．
(3)先求f(x)取最大值时2x＋的值，再求x的值．
【规范解答】　(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调减区间为(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1.
(3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ(k∈Z)．
∴2x＝＋2kπ，∴x＝＋kπ(k∈Z)．
∴当f(x)取最大值时，
x的取值集合是.
[再练一题]
4．已知函数f(x)＝sin，(x∈R)
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
【解】　(1)∵f(x)＝sin，
∴T＝＝＝π，
故f(x)的最小正周期为π.
(2)f(x)＝sin在区间上是增函数，在区间上是减函数，
∴函数f(x)在x＝处取得最大值，在两端点之一处取得最小值．
又f＝0，f＝.
f＝sin＝－cos＝－1.
故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.
数形结合的思想
所谓数形结合的思想就是把问题的数量关系转化为图形特征去研究，或者把图形的性质问题转化为数量关系去求解，体现了数与形的联系．在三角函数中可以利用单位圆中的三角函数线或三角函数图像研究三角函数的求值、大小比较、最值、解三角不等式、单调区间、对称性等问题，其特点是直观形象．
　若集合M＝，N＝，求M∩N.
【精彩点拨】　本题主要考查已知三角函数值范围求角，可以根据正弦函数图像和余弦函数图像，作出集合M和N，然后求M∩N，或利用单位圆中三角函数线确定集合M，N.
【规范解答】　法一：首先作出正弦函数与余弦函数的图像以及直线y＝，如图：
结合图像得集合M，N分别为
M＝，N＝，
得M∩N＝.
法二：作出单位圆的正弦线和余弦线．
如图：
由单位圆三角函数线知：
M＝，N＝，
得M∩N＝.
[再练一题]
5．(1)求满足不等式cos
x<－的角x的集合；
(2)求y＝2sin
x的值域．
【解】　(1)作出函数y＝cos
x在[0,2π]上的图像，如图所示：
由于cos＝cos＝－，故当x<－.由于y＝cos
x的周期为2π，∴适合cos
x<－的角x的集合为.
(2)作出y＝sin
x的简图，如图所示：
由图像可知，
当－≤x≤时，－≤sin
x≤1，
∴－≤2sin
x≤2，
因此函数y＝2sin
x的值域为[－，2].
1．(2015·山东高考)要得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝sin
4x的图像(　　)
A．向左平移个单位　　
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
【解析】　由y＝sin＝sin
4得，只需将y＝sin
4x的图像向右平移个单位即可，故选B.
【答案】　B
2．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图1－2所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)
图1－2
A．，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
【解析】　由图像知，周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，得2k－∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.故选D.
【答案】　D
3．(2015·陕西高考)如图1－3，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
图1－3
A．5　　　
B．6　　　
C．8　　　
D．10
【解析】　根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.
【答案】　C
4．(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y＝g(x)的图像．若y＝g(x)图像的一个对称中心为，求θ的最小值．
【解】　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
则g(x)＝5sin.
因为函数y＝sin
x图像的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图像关于点成中心对称，
所以令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.
由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值.章末分层突破
[自我校对]
①单位向量
②坐标表示
③数乘向量
④坐标
⑤夹角公式
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
平面向量的线性运算
1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算．
2．向量线性运算的结果仍是一个向量．因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面．
3．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．
4．题型主要有证明三点共线、两直线平行、线段相等、求点或向量的坐标等．
　已知△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，D是将OB分成2∶1的一个分点，DC和OA交于E，设＝a，＝b(如图2－1)，
图2－1
(1)用a，b表示向量，；
(1)若＝λ，求实数λ的值．
【精彩点拨】　(1)根据平行四边形法则求解．
(2)结合三角形法则与平行四边形法则及向量共线定理求解．
【规范解答】　(1)∵A为BC的中点，
∴＝(＋)，
∴＝2－＝2a－b，
＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.
(2)若＝λ，则＝－＝λ－
＝λa－(2a－b)
＝(λ－2)a＋b.
∵与共线，∴存在实数m，使得＝m，
即(λ－2)a＋b＝m，
∴(λ＋2m－2)a＋b＝0.
∵a，b不共线，
∴解得λ＝.
[再练一题]
1．(1)若a，b是不共线的两个向量，且a与b的起点相同，则实数t为何值时，a，tb，(a＋b)三个向量的终点在一条直线上？
(2)已知A(－1,1)，B(1,5)，C(x，－5)，D(4,7)，与共线，求x的值．
【解】　(1)由题易知，存在唯一实数λ.使得
a－tb＝λ＝λa－λb，
∴
∴t＝，即当t＝时，三向量共线．
(2)＝(2,4)，＝(4－x,12)．
∵∥，∴2×12＝4(4－x)，
∴x＝－2.
向量的夹角、垂直及长度问题
1.求夹角问题
求向量a，b夹角θ的步骤：(1)求|a|，|b|，a·b；(2)求cos
θ＝(夹角公式)；(3)结合θ的范围[0，π]确定θ的大小．因此求向量的夹角先转化为求向量夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定夹角的大小．
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则cos
θ＝＝.
2．垂直问题
这类问题主要考查向量垂直的条件：若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
3．向量的模
(1)|a|2＝a2，|a|＝.
(2)若a＝(x，y)，则a2＝x2＋y2，
|a|＝.
　(1)已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|＝________.
(2)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．
(3)若|a|＝1，|b|＝，(2a－b)⊥b，求a与b的夹角．
【精彩点拨】　(1)利用模与数量积进行转化求解．
(2)结合已知条件利用向量的夹角公式计算．
(3)利用垂直关系结合数量积运算求解．
【规范解答】　(1)因为|a＋b|＝，所以|a＋b|2＝13，
即(a＋b)2＝13，|a|2＋2a·b＋|b|2＝13.又因为a与b的夹角为120°，|a|＝3，所以9＋2×3×|b|·cos
120°＋|b|2＝13，|b|2－3|b|－4＝0，解得|b|＝4或|b|＝－1(舍)．
(2)设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cos
θ＝－6，所以cos
θ＝，因为0≤θ≤π，所以θ＝.
【答案】　(1)4　(2)
(3)由(2a－b)⊥b，则(2a－b)·b＝0，
即2a·b－b2＝0，所以2|a||b|cos
θ－|b|2＝0，
即2×cos
θ－2＝0，所以cos
θ＝.
又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
[再练一题]
2．已知c＝ma＋nb，c＝(－2，2)，a⊥c，b与c的夹角为π，b·c＝－4，|a|＝2，求实数m，n的值及a与b的夹角θ.
【解】　∵c＝(－2，2)，∴|c|＝4.
∵a⊥c，∴a·c＝0.
∵b·c＝|b||c|cos
π＝|b|×4×＝－4.
∴|b|＝2.
∵c＝ma＋nb，∴c2＝ma·c＋nb·c，
∴16＝n×(－4)，因此n＝－4.
在c＝ma＋nb两边同乘以a，
得0＝8m－4a·b.①
在c＝ma＋nb两边同乘以b，得ma·b＝12.②
由①②，得m＝±，
∴a·b＝±2，
∴cos
θ＝＝±.
∵θ∈[0，π]，
∴θ＝或π.
向量的实际应用
1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．
2．向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程．
3．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．
　已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1＋2e2|，设P，Q在t＝0
s时分别在P0，Q0处，问当⊥时，所需的时间为多少？
【精彩点拨】　求出t
s后，P，Q两点坐标由数量积为0建立方程求解．
【规范解答】　e1＋e2＝(1,1)，|e1＋e2|＝，其单位向量为；3e1＋2e2＝(3,2)，|3e1＋2e2|＝，其单位向量为，如图．
依题意，||＝t，||＝t，
∴＝||＝(t，t)，
＝||＝(3t,2t)．
由P0(－1,2)，Q0(－2，－1)，
得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2,2t－1)，
∴＝(－1，－3)，＝(2t－1，t－3)．
由于⊥，∴·＝0，
即2t－1＋3t－9＝0，
解得t＝2，
即当⊥时，所需时间为2
s.
[再练一题]
3.已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC.
图2－2
【证明】　如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则
D(1,0)，＝(2，－2)．
设＝λ，
则＝＋＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)．
又因为＝(－1,2)，
由题设⊥，所以·＝0，
所以－2λ＋2(2－2λ)＝0，所以λ＝，
所以＝，
所以＝－＝.
又因为＝(1,0)，
所以cos∠ADB＝＝，
cos∠FDC＝＝.
又因为∠ADB，∠FDC∈(0，π)，
所以∠ADB＝∠FDC.
待定系数法在向量中的应用
1.待定系数法是数学中一种非常重要的方法，对于一些数学问题，若已知所求结果具有的某种形式，则可引入一些尚待确定的系数(参数)来表示该结果，通过变形比较，建立含有参数(待定字母)的方程(组)进行求解．
2．待定系数法在向量中有着广泛的应用，如两向量平行，垂直或平面向量基本定理等就是这种形式的体现．
　如图2－3，在△ABC中，M是BC的中点，N在AC上且AN＝2NC，AM与BN交于点P，求AP∶PM的值．
图2－3
【精彩点拨】　本题主要考查三角形法则、平面向量共线基本定理，适当选取基底表示出，，因为点A，P，M共线，若有＝λ，则λ为AP∶PM的值．
【规范解答】　设＝e1，＝e2，
∴＝＋＝－3e2－e1，＝2e1＋e2.
∵A，P，M与B，P，N共线，
∴＝λ＝－λ(e1＋3e2)，＝μ＝μ(2e1＋e2)．
∵＝＋＝＋，
∴μ(2e1＋e2)＋λ(e1＋3e2)＝2e1＋3e2，
∴
∴＝，
∴AP∶PM＝4∶1.
[再练一题]
4．设平面内给定的三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值．
【解】　∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(4n－m,2m＋n)，
∴解得
1．(2015·陕西高考)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
【解析】　根据a·b＝|a||b|cos
θ，又cos
θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立．当向量a和b方向不相同时，|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立．根据|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝(a＋b)2，C恒成立．根据向量的运算性质得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D恒成立．
【答案】　B
2．(2015·安徽高考)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)
A．|b|＝1　　　　　
B．a⊥b
C．a·b＝1
D．(4a＋b)⊥
【解析】　在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos
120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，故选D.
【答案】　D
3．(2015·福建高考)已知⊥，||＝，||＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　)
A．13
B．15
C．19
D．21
【解析】　∵⊥，故可以A为原点，AB，AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，不妨设B，C(t,0)，
则＝＋＝(4,1)，故点P的坐标为(4,1).·＝·(t－4，－1)＝－4t－＋17＝－＋17≤－2＋17＝13.
当且仅当4t＝，即t＝时(负值舍去)取得最大值13.
【答案】　A
4．(2015·天津高考)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．
【解析】　在等腰梯形ABCD中，由AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°
可得AD＝DC＝1.
建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,0)，B(2,0)，C，D，
＝－(2,0)＝，
＝－＝(1,0)．
∵＝λ＝，∴E.
∵＝＝，∴F.
∴·＝·
＝＋λ＝＋＋λ
≥＋2＝.
当且仅当＝λ，即λ＝时取等号，符合题意．
∴·的最小值为.
【答案】　§3　弧度制
1．了解角的另外一种度量方法——弧度制．
2.能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点)3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)
[基础·初探]
教材整理　弧度制
阅读教材P9～P11，完成下列问题．
1．弧度制的定义
在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．
2．角度制与弧度制的互化
(1)弧度数
①正角的弧度数是一个正数；
②负角的弧度数是一个负数；
③零角的弧度数是0；
④弧度数与十进制实数间存在一一对应关系．
(2)弧度数的计算
|α|＝.如图1－3－1：
图1－3－1
(3)角度制与弧度制的换算
图1－3－2
(4)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π
2π
3.弧长公式与扇形面积公式
已知r为扇形所在圆的半径，n为圆心角的度数，α为圆心角的弧度数.
角度制
弧度制
弧长公式
l＝
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝
S＝l·r＝|α|r2
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．(　　)
(2)1度的角是周角的，1弧度的角是周角的.(　　)
(3)根据弧度的定义，180°一定等于π弧度．(　　)
(4)不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关．(　　)
【解析】　(1)正确．
(2)正确.1度的角是周角的，1弧度的角是周角的.
(3)正确．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度．
(4)错误．根据角度制与弧度制的定义，无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关．
【答案】　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
弧度制与角度制的互化
　将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－π.
【精彩点拨】　本题主要考查角度与弧度的换算．直接套用角度与弧度的换算公式，即度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．
【自主解答】　(1)20°＝＝.
(2)－15°＝－π＝－.
(3)π＝×180°＝105°.
(4)－π＝－×180°＝－396°.
角度制与弧度制互化的策略
1．原则
牢记180°＝π
rad.充分利用1°＝
rad和1
rad＝进行换算．
2．方法
设一个角的弧度数为α，角度数为n.则α
rad＝α·；n°＝n·
rad.
3．注意事项
(1)将角度化为弧度，当角度中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝
rad化为弧度便可．
(2)以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．
[再练一题]
1．将112°30′化为弧度，将－π化为度.
【导学号：66470003】
【解】　112°30′＝112.5°＝112.5×＝rad，又1
rad＝，∴－π
rad＝－π×＝－75°.
用弧度制表示终边相同的角
　(1)将－1
500°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)在0°～720°范围内，找出与角终边相同的角．
【精彩点拨】　(1)把角度换算为弧度，表示成2kπ＋α(k∈Z)的形式即可求解；
(2)把弧度换算为角度，写出与其终边相同的角，调整k使待求角在[0°，720°)内．
【自主解答】　(1)－1
500°＝－1
500×＝－＝－10π＋.
∵是第四象限角，∴－1
500°是第四象限角．
(2)∵＝×180°＝72°，∴终边与角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°，∴在0°～720°范围内，与角终边相同的角为72°，432°.
[再练一题]
2．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角．
【解】　(1)∵180°＝π
rad，
∴α1＝－570°＝－＝－＝－2×2π＋，
α2＝750°＝＝＝2×2π＋.
∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限．
(2)β1＝＝×180°＝108°，设θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k·360°<0°，得k＝－2，或k＝－1.
故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.
β2＝－＝－60°，设γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤－60°＋k·360°<0°，得k＝－1，或k＝0.
故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°.
[探究共研型]
扇形的弧长及面积公式
探究1　扇形的半径，弧长及圆心角存在怎样的关系？
【提示】　|α|＝.
探究2　扇形的周长如何计算？
【提示】　扇形的周长等于相应的弧长与2个半径之和．
探究3　扇形的面积和相应的弧长存在怎样的关系？
【提示】　S＝lr.
　如图1－3－3，扇形AOB的面积为4，周长为10，求扇形的圆心角α(0<α<2π)的弧度数．
图1－3－3
【精彩点拨】　S＝lr，l＋2r＝周长→求l，r值→α＝
【自主解答】　设长为l，扇形半径为r，由题意得：
解得或(舍)
故α＝＝(rad)，即扇形的圆心角为
rad.
涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等计算，关键是先分析题目，已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
[再练一题]
3.(1)已知扇形的半径为1
cm，圆心角为30°，求扇形的弧长和面积；
(2)已知扇形的周长为6
cm，面积为2
cm2，求扇形圆心角的弧度数．
【解】　(1)∵α＝30°＝，∴l＝|α|r＝×1＝(cm)，
S＝|α|r2＝××12＝(cm2)，
故扇形的弧长为
cm，面积为
cm2.
(2)设扇形的弧长为l，所在圆的半径为r，由题意得
消去l并整理得，
r2－3r＋2＝0，
解得r＝1或r＝2.当r＝1时，l＝4，圆心角α＝＝＝4；
当r＝2时，l＝2，圆心角α＝＝＝1.
故扇形的圆心角为1弧度或4弧度．
[构建·体系]
1．下列说法中，错误的说法是(　　)
A．半圆所对的圆心角是π
rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．
【答案】　D
2．已知α＝－2
，则α的终边在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】　∵1
rad≈57.30°，
∴－2
rad≈－114.60°.
故α的终边在第三象限．
【答案】　C
3．－π
rad化为角度应为________.
【导学号：66470004】
【解析】　－π＝－×180°＝－345°.
【答案】　－345°
4．如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________倍．
【解析】　由于S＝lR，若l′＝l，R′＝R，则S′＝l′R′＝×l×R＝S.
【答案】　
5．已知集合A＝{α|2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，求A∩B.
【解】　∵A＝{α|2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}，
令k＝1，有2π<α<3π，而2π>4；
令k＝0，有0<α<π；
令k＝－1，有－2π<α<－π，
而－2π<－4<－π，
故A∩B＝{α|－4≤a<－π或0<α<π}．
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
1．掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法．(重点)
2．理解函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性．(难点)
[基础·初探]
教材整理　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
阅读教材P53～P55“练习3”以上部分，完成下列问题．
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
定义域
R
值域
[－A，A]
周期
T＝
对称轴方程
由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得
对称中心
由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得
单调性
递增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得；递减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin，x∈R的值域为.(　　)
(2)函数y＝2sin的周期为4π.(　　)
(3)函数y＝6sin，x∈R的一个对称中心为.(　　)
(4)函数y＝3sin，x∈R的一条对称轴为x＝.(　　)
【解析】　由y＝Asin(ωx＋φ)的性质，故(1)(3)(4)均正确．(2)中，T＝＝6π，因而(2)错．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值问题
　求函数y＝sin，x∈的值域．
【精彩点拨】　将2x＋看作整体u，利用y＝sin
u的图像可求．
【自主解答】　∵0≤x≤，
∴0≤2x≤π，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴－1≤sin≤，即－1≤y≤，∴函数y＝sin，x∈的值域为[－1，]．
求函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[m，n]的值域的步骤：
(1)换元，u＝ωx＋φ，并求u的取值范围；
(2)作出y＝sin
u(注意u的取值范围)的图像；
(3)结合图像求出值域．
[再练一题]
1．已知函数f(x)＝asin＋1(a>0)的定义域为R，当－≤x≤－时，f(x)的最大值为2，求a的值.
【导学号：66470030】
【解】　因为－≤x≤－.
所以－≤2x≤－，
即－≤2x＋≤.
结合函数图像知f(x)max＝a＋1，
所以a＋1＝2，即a＝2.
y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间
设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间；
(3)画出函数y＝f(x)在[0，π]上的图像．
【精彩点拨】　由已知条件、结合图像，易求得φ，然后视2x＋φ为一个整体，求出单调区间．
【自主解答】　(1)∵x＝是函数y＝f(x)的图像的对称轴，
∴sin＝±1，
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)．
∵－π<φ<0，
∴φ＝－.
(2)由(1)知，φ＝－，因此y＝sin.由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，∴kπ＋≤x≤kπ＋π(k∈Z)，
∴函数y＝sin的单调递增区间为，k∈Z.
(3)根据y＝sin，列表如下：
x
0
π
y
－
－1
0
1
0
－
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像如图所示：
1．由已知条件确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式时，应注意利用函数的性质确定它的参数．
2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，常视ωx＋φ为一个整体，通过y＝sin
x的单调区间，求得函数的单调区间．
[再练一题]
2．求函数y＝sin的单调区间．
【解】　∵y＝sin＝－sin，
∴原函数的单调区间与y＝sin的单调区间相反．
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得
＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
即原函数的单调减区间为(k∈Z)，
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得原函数的单调增区间为(k∈Z)．
即函数y＝sin的单调减区间是(k∈Z)，
单调增区间是(k∈Z)．
[探究共研型]
函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
探究1　函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心和对称轴各有什么特点？
【提示】　对称中心为图像与x轴的交点；对称轴为过其图像最高点或最低点与x轴垂直的直线．
探究2　y＝sin是偶函数吗？
【提示】　是．因为sin＝cos
ωx.所以y＝sin是偶函数．
探究3　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像关于点(x0,0)成中心对称意味着什么？
【提示】　意味着图像过点(x0,0)，即点的坐标适合函数解析式．
　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
【精彩点拨】　根据对称轴，对称中心的特征建立方程求解．
【自主解答】　由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图像关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin
φ＝±1.
依题设0≤φ≤π，解得φ＝.
由f(x)的图像关于点M对称，可知sin＝0，解得ω＝－，k∈Z.
又f(x)在上是单调函数，
∴T≥π，即≥π，∴ω≤2.又ω>0，
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2，
∴φ＝，ω＝2或ω＝.
函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的应用
1．应用范围
函数的单调性、最值、奇偶性、图像的对称性等方面都有体现和考查．
2．解决的方法
求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的周期、单调区间、最值、对称轴或对称中心问题，都可令ωx＋φ＝u，套用y＝sin
u的一系列性质顺利解决．
[再练一题]
3．若函数y＝Asin(ωx＋φ)的最大值为2，其相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π，又图像过(0，)，求函数的解析式及单调区间．
【解】　∵函数y＝Asin(ωx＋φ)的最大值为2，其相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π，
∴A＝2，＝3π，∴＝6π，∴ω＝，
∴y＝2sin.
又∵函数图像过点(0，)，0<φ<，
∴2sin
φ＝，∴φ＝，
∴函数解析式为y＝2sin.
由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，
得－π＋6kπ≤x≤π＋6kπ(k∈Z)，
所以单调增区间为(k∈Z)．
由＋2kπ≤x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得
π＋6kπ≤x≤π＋6kπ(k∈Z)，
所以单调减区间为(k∈Z)．
[构建·体系]
1．函数y＝2sin＋2的最大值为(　　)
A．2　　　
B．4　　　
C．3　　　
D．5
【解析】　由于x∈R，∴－1≤sin≤1，∴y≤2＋2＝4.
【答案】　B
2．函数f(x)＝sin的图像的一条对称轴是(　　)
A．x＝
B．x＝
C．x＝－
D．x＝－
【解析】　由x－＝＋kπ，得x＝kπ＋π(k∈Z)，
令k＝－1，得x＝－.
【答案】　C
3．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在一个周期内当x＝时有最大值2，当x＝时有最小值－2，则ω＝________.
【解析】　由题意知T＝2×＝π，所以ω＝＝2.
【答案】　2
4．y＝2sin的图像的两条相邻对称轴之间的距离是________.
【导学号：66470031】
【解析】由函数图像知两条相邻对称轴之间的距离为半个周期，即·＝.
【答案】　
5．求函数y＝2sin的单调减区间．
【解】　y＝2sin＝－2sin，所以其单调减区间为y＝2sin的增区间，
由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，
所以函数y＝2sin的单调减区间为(k∈Z)．
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________3.2　平面向量基本定理
1．了解平面向量基本定理及其意义．(重点)
2．能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理　平面向量基本定理
阅读教材P85～P86“例4”以上部分，完成下列问题．
如果e1，e2(如图2－3－7①)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如图2－3－7②)，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
图2－3－7
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面向量的一组基底e1，e2中可以有一个向量为零向量．(　　)
(2)任意两个向量都可以作为基底．(　　)
(3)平面向量的基底不是唯一的．(　　)
(4)零向量不可作为基底中的向量．(　　)
【解析】　(1)×，因为零向量与任何向量均共线．
(2)×，两不共线的向量才可作为平面的一组基底．
(3)(4)均正确．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问2：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
疑问3：_________________________________________________________
解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
平面向量基本定理的理解
　如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；
(2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；
(3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量．
【精彩点拨】　根据平面向量基本定理的内容来判断．
【自主解答】　(1)正确．若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.
(2)不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定．
(3)正确．平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立．
(4)不正确．结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定．
1．对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式．
2．向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上，若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等均不能构成基底．
[再练一题]
1．设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)
【解析】　①中，设e1＋e2＝λe1，则无解，
∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2可作为一组基底；
②中，设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，
则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则无解，
∴e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1可作为一组基底；
③中，∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)，
∴e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不可作为一组基底；
④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，
∴无解．
∴e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2可作为一组基底．
【答案】　③
运用基底表示向量
　如图2－3－8，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示，，.
图2－3－8
【精彩点拨】　利用三角形法则或平行四边形法则，寻找所求向量与a，b的关系．
【自主解答】　如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．
则＝＝＝a；
＝－＝－＝b－a；
＝－＝－－
＝－－＝a－b.
利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加法、减法以及数乘向量进行线性运算，解决此类问题时，要仔细分析所给图形，借助于平面几何知识的向量共线定理及平面向量基本定理解决．
[再练一题]
2．如图2－3－9，在 ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和.
图2－3－9
【解】　设＝a，＝b，则由M，N分别为DC，BC的中点可得：＝b，＝a，＋＝，即b＋a＝c.①
＋＝，即a＋b＝d.②
由①②可得a＝(2d－c)，b＝(2c－d)，
即＝(2d－c)，＝(2c－d)．
[探究共研型]
平面向量基本定理应用
探究1　如果e1，e2是两个不共线的确定向量，则与e1，e2在同一平面内的任一向量a，能否用e1，e2表示？依据是什么？
【提示】　能．依据是数乘向量和平行四边形法则．
探究2　如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
【提示】　不一定．当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．
探究3　基底给定时，向量分解形式唯一吗？
【提示】　向量分解形式唯一．
　如图2－3－10，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于E，求证：E为线段BD的三等分点．
图2－3－10
【精彩点拨】　要证E为线段BD的三等分点，只需证B＝B，可设B＝μB.选取，A作为基底，通过A＋B＝A，建立相应的方程组，并进行运算，求出μ＝即可．
【自主解答】　设A＝a，A＝b，则
B＝A－A＝b－a，
A＝A＋D＝A＋A＝b＋a.
因为A，E，F与B，D，E分别共线，所以存在实数λ，μ∈R，使A＝λA，B＝μB.
于是A＝a＋λb，B＝μb－μa.
由A＋B＝A，得(1－μ)a＋μb＝a＋λb.
因为a，b不共线，由平面向量基本定理，
得1－μ＝，且μ＝λ.
解得λ＝μ＝，∴B＝B，
即E为线段BD(靠近D)的一个三等分点．
1．利用向量证明几何问题是其工具性的体现．操作时，为明确方向，常常选取问题中不共线的线段对应的向量作为基底．
2．平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：一是直接利用三角形法则、平行四边形法则及平面向量基本定理；二是利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．
[再练一题]
3．已知D，E，F分别是△ABC的BC，CA，AB边上的中点．试用向量法证明：AD，BE，CF交于一点．
【证明】　如图，令＝a，＝b为基底，
则＝a－b，＝a－b，＝－a＋b，
设AD与BE交于点G，且＝λ，＝μ，
则有＝λa－b，＝－a＋μb.
又有＝＋
＝a＋(μ－1)b，
∴
解得λ＝μ＝.
∴＝a－b，
＝＋
＝－a＋a－b＝－a－b
＝×(－a－b)．
而＝(－a－b)，
∴＝，
∴点G∈CF，∴AD，BE，CF交于一点．
[构建·体系]
1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是(　　)
A．①②　
B．①③　
C．①④　
D．③④
【解析】　根据基底的概念知两个向量必须不共线，结合图形知①③正确．
【答案】　B
2．已知向量e1与e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y等于(　　)
A．3
B．－3
C．0
D．2
【解析】　因为(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，
所以(3x－4y－6)e1＋(2x－3y－3)e2＝0，
所以由①－②得x－y－3＝0，
即x－y＝3.
【答案】　A
3.在△ABC中，若D，E，F依次是的四等分点，则以＝e1，＝e2为基底时，＝________.
【导学号：66470048】
图2－3－11
【解析】　＝－＝e1－e2，
因为D，E，F依次是的四等分点，
所以＝＝(e1－e2)，
所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2.
【答案】　e1＋e2
4．已知向量i，j不共线，实数λ，μ满足等式3λi＋(10－μ)j＝2λi＋(4μ＋7)j，则λ的值为________，μ的值为________．
【解析】　由3λi＋(10－μ)j＝2λi＋(4μ＋7)j得
λi＋(3－5μ)j＝0，因为i，j不共线．
所以λ＝0,3－5μ＝0，即μ＝.
【答案】　0　
5．设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．
【解】　如图，＝－
＝－－
＝－－(－)
＝－＝b－a.
＝－
＝－＝a－b.
＝－＝－(＋)＝a＋b.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________