【北师大版】2017-2018学年数学选修1-1同课异构练习（45份，Word版，含答案）

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课时自测·当堂达标
1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(　　)
A.(-∞，2)
B.(0，3)
C.(1，4)
D.(2，+∞)
【解析】选D.f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2.
2.y=xlnx在(0，5)上是(　　)
A.增加的
B.减少的
C.在上减少，在上增加
D.在上增加，在上减少
【解析】选C.y′=lnx+x·=lnx+1，
令y′>0，解得x>，
因为5>，所以y=xlnx在上增加，同理可求在上减少.
3.下列区间中，使函数y=f(x)=x·cosx-sinx为增加的区间是(　　)
A.
B.(π，2π)
C.
D.(2π，3π)
【解析】选B.f′(x)=cosx-xsinx-cosx=-x·sinx，
当x∈(π，2π)时，f′(x)>0.
4.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1，+∞)上是增加的，则k的取值范围是(　　)
A.(-∞，-2]
B.(-∞，-1]
C.[2，+∞)
D.[1，+∞)
【解析】选D.因为f(x)在(1，+∞)上是增加的，所以当x∈(1，+∞)时，f′(x)≥0恒成立，因为f(x)=kx-lnx，所以f′(x)=k-≥0对x∈(1，+∞)恒成立.所以k∈[1，+∞).
5.若函数y=f(x)=a(x3-x)的单调减区间为，则a的取值范围是________.
【解析】由f′(x)=a(3x2-1)=3a<0的解集为，知a>0.
答案：(0，+∞)
6.若函数y=-x3+ax有三个单调区间，则a的取值范围是________.
【解析】因为y′=-4x2+a且y有三个单调区间，
所以方程y′=-4x2+a=0有两个不等的实根，
所以Δ=02-4×(-4)×a>0，所以a>0.
答案：(0，+∞)
7.已知a>0且a≠1，证明：函数y=ax-xlna在(-∞，0)内是减少的.
【证明】y′=axlna-lna=lna(ax-1)，
当a>1时，因为lna>0，ax<1，
所以y′<0，即y在(-∞，0)内是减少的；
当01，
所以y′<0，即y在(-∞，0)内是减少的.
综上，函数在(-∞，0)内是减少的.
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课时自测·当堂达标
1.“α=+2kπ(k∈Z)”是“cos2α=”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当α=+2kπ(k∈Z)时，
cos2α=cos=cos=，
反之，当cos2α=时，有2α=2kπ+ α=kπ+，
或2α=2kπ- α=kπ-(k∈Z).
2.已知p：x1，x2是方程x2+5x-6=0的两根，q：x1+x2=-5，则p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为x1，x2是方程x2+5x-6=0的两根，
所以x1，x2的值分别为1，-6，
所以x1+x2=1-6=-5.
可见p q，但是pq，
事实上只要取x1=-2，x2=-3作为反例即可说明这一点.
3.使x2-1>0成立的充要条件为_____________.
【解析】由x2-1>0得x<-1或x>1.
答案：{x|x<-1或x>1}
4.如果a，b，c∈R，那么p：“ac>bc”是q：“a>b”的______________条件.
【解析】因为命题“若p，则q”与“若q，则p”都是假命题，所以p是q的既不充分也不必要条件.
答案：既不充分也不必要
5.判断“a<0”是方程“ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的什么条件，说明理由.
【解析】当a<0时，Δ=4-4a>0，
由根与系数的关系知x1·x2=<0，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，符合题意；
当ax2+2x+1=0至少有一个负数根时，a可以为0，
因为当a=0时，该方程仅有一根为-，
所以a不一定小于0.由上述推理可知，“a<0”是方程“ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的充分不必要条件.
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课时提升作业
五
全称量词与全称命题　存在量词与特称命题
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.(2016·宝鸡高二检测)下列命题中，真命题是(　　)
A.任意x∈R，x2+3<0　
B.任意x∈N，x2≥1
C.存在x∈Z，使x5<1
D.存在x∈Q，使x2=3
【解析】选C.A中因为x2≥0，所以x2+3>0恒成立，对任意x∈R，x2+3<0是假命题；B中，当x=0时，x2=0，故x2≥1不成立，所以B为假命题；D中，由x2=3，则x=±，因为± Q，故不存在x∈Q，使x2=3，故D为假命题.C中x=0时，x5<1成立.
2.(2016·鞍山高二检测)下列命题是特称命题的是(　　)
A.偶函数的图像关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线是异面直线
D.存在实数大于等于3
【解析】选D.分清各命题中含有的量词是全称量词还是存在量词，其中A，B，C都是全称命题.
【补偿训练】下列命题中是全称命题的是(　　)
A.所有的正方形都是菱形
B.有两个实数x，使得x2+3x+2=0
C.存在两条相交直线平行于同一个平面
D.存在一无理数x，使得x2也是无理数
【解析】选A.B，C，D中含有存在量词，是特称命题.
3.(2016·亳州高二检测)若存在x∈R，使ax2+2x+a<0，则实数a的取值范围是
(　　)
A.a<1　
B.a<-1
C.-1D.-1【解析】选A.当a≤0时，显然存在x∈R，
使ax2+2x+a<0.
当a>0时，需满足Δ=4-4a2>0，
得-1综上所述，实数a的取值范围是a<1.
【延伸探究】本题中条件若换为“对于任意x∈R，都有ax2+2x+a<0，”其结论又如何呢？
【解析】选B.由题意得
所以a<-1.
二、填空题(每小题4分，共8分)
4.(2016·银川高二检测)命题：“存在x∈R，使x2+ax-4a<0”为假命题，则实数a的取值范围是________.
【解题指南】将条件转化为x2+ax-4a≥0恒成立，必须Δ≤0，从而解出实数a的取值范围.
【解答】命题：“存在x∈R，使x2+ax-4a<0”为假命题，
即x2+ax-4a≥0恒成立，必须Δ≤0，
即a2+16a≤0，解得-16≤a≤0，
故实数a的取值范围为[-16，0].
答案：[-16，0]
5.(2015·山东高考改编)若“对于任意x∈，都有tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.
【解析】由0≤x≤，可得0≤tanx≤1.
由tanx≤m恒成立可知m≥1，
即最小值是1.
答案：1
【补偿训练】若“存在x∈R，2x=m”是真命题，则实数m的取值范围是________.
【解析】由于“存在x∈R，2x=m”是真命题，则实数m的取值集合就是指数函数f(x)=2x的值域，即(0，+∞).
答案：(0，+∞)
三、解答题
6.(10分)判断下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假.
(1)方程x2+x-1=0的两个解都是实数解.
(2)有一个实数，不能作除数.
(3)所有的棱柱是多面体.
(4)对于所有的自然数n，代数式n2-2n+1的值都是正数.
(5)方程x2-8x+15=0有一个根是偶数.
【解析】(1)是全称命题.方程x2+x-1=0对应判别式Δ=1+4=5>0，故有两个实数解.所以该命题是真命题.
(2)是特称命题.0是实数，但0不能作除数，该命题是真命题.
(3)是全称命题.棱柱是多面体中的一种特殊几何体，该命题是真命题.
(4)是全称命题.因为当n=1时，n2-2n+1=0不是正数，所以该命题是假命题.
(5)是特称命题.方程x2-8x+15=0的两根是x1=3，x2=5都是奇数，故该命题是假命题.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.下列命题：
①至少有一个x，使x2+2x+1=0成立；
②对任意的x，都有x2+2x+1=0成立；
③对任意的实数c，若a+c≤b+c，则a≤b；
④存在一条直线与两个相交平面都垂直.
其中是全称命题且是真命题的是(　　)
A.②③　　
B.③　　
C.①④　　
D.①③
【解析】选B.①④是特称命题，②是全称命题，是假命题，只有③是全称命题且为真命题.
2.(2016·宿州高二检测)下列四个命题中，真命题是(　　)
A.任意x∈R，x+≥2
B.存在x∈R，x+≥2
C.存在x∈R，|x+1|<0
D.任意x∈R，|x+1|>0
【解析】选B.当x=-1时，x+=-2，显然x+≥2不成立，故A错，当x=2时，x+=2>2，故B正确，对任意x∈R，|x+1|≥0，故C错误，当x=-1时，|x+1|>0不成立，故D错.
【补偿训练】下列四个命题中真命题为(　　)
A.任意x∈R，x2-1=0
B.存在x∈Z，3x-1=0
C.任意x∈R，x2+1>0
D.存在x∈Z，1<4x<3
【解析】选C.因为对任意实数x，总有x2≥0，所以x2+1>0对所有实数都成立.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.给出如下命题：
①命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的否命题为“若x<4或y<2，则x+y<6”；
②在△ABC中，“A>30°”是“sinA>”的必要不充分条件；
③命题“存在x∈R，使得ex≤0”是真命题.
其中正确的命题的个数是________.
【解析】①将原命题的条件和结论都否定，得到否命题，①正确；
②在△ABC中，若A=150°>30°，
则sinA=；
若sinA>，则30°所以A>30°是sinA>的必要不充分条件，②正确.
③任意x∈R，ex>0，③错误.
答案：2
4.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3)，g(x)=2x-2，若同时满足条件：①任意x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②存在x∈(-∞，-4)，f(x)g(x)<0，则m的取值范围是________.
【解题指南】根据全称命题的真假以及函数、不等式的关系，结合条件对参数进行分类讨论，然后求交集即可.
【解析】由g(x)=2x-2<0，可得x<1，当x≥1时，g(x)<0不成立，满足条件①时，要使任意x∈R，f(x)<0或g(x)<0，必须使x≥1时，f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0恒成立，
当m=0时，f(x)=m(x-2m)(x+m+3)=0不满足条件，所以二次函数f(x)必须开口向下，也就是m<0，要满足条件，必须使方程f(x)=0的两根2m，-m-3都小于1，即解得m∈(-4，0).
满足条件②时，因为x∈(-∞，-4)时，g(x)<0，所以要使存在x∈(-∞，-4)时，f(x)g(x)<0，只要存在x∈(-∞，-4)时，使f(x)>0即可，只要使-4比2m，-m-3中较小的一个大即可，当m∈(-1，0)时，2m>-m-3，只要-4>-m-3，解得m>1与m∈(-1，0)的交集为空集；当m=-1时，两根为-2，-2>-4，不符合；当m∈(-4，-1)时，2m<-m-3，所以只要-4>2m，所以m∈(-4，-2).
综上所述，m∈(-4，-2)为所求.
答案：(-4，-2)
三、解答题
5.(10分)(2016·西安高二检测)已知函数f(x)=x2-4x+a+3，a∈R.
(1)若函数y=f(x)的图像与x轴无交点，求a的取值范围.
(2)若函数y=f(x)在[-1，1]上存在零点，求a的取值范围.
【解题指南】(1)中f(x)的图像与x轴无交点，故方程f(x)=0无实根，对应Δ<0.
(2)中f(x)在[-1，1]上存在零点，可借用二次函数的图像转化为不等式组求解.
【解析】(1)因为f(x)的图像与x轴无交点，
所以Δ=16-4(a+3)<0，
解得a>1.
(2)因为f(x)的对称轴为x=2，
所以f(x)在[-1，1]上是减少的，
欲使f(x)在[-1，1]上存在零点，应有
即
所以-8≤a≤0.
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课时自测·当堂达标
1.经过椭圆+=1的中心的直线与椭圆的两个交点间距离的最大值为(　　)
A.6
B.8
C.10
D.16
【解析】选B.方法一：经过椭圆+=1的中心的直线与椭圆的两个交点间距离的最大值为长轴长8.
方法二：设椭圆+=1上任意一点的坐标为M(4cosθ，3sinθ)，则|OM|==≤4，
所以经过椭圆中心的直线与椭圆的两个交点间距离2|OM|≤8，即最大值为8.
2.经过椭圆+=1的焦点与椭圆长轴垂直的直线与椭圆的相交弦的长度为
(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.椭圆+=1的一个焦点为F(1，0)，将x=1代入+=1，y2=，解得y=±，
所以直线与椭圆的交点坐标为A，B，
所以|AB|=3.
3.椭圆+=1上有两点P，Q，O为原点，若OP，OQ斜率之积为-，则+=(　　)
A.4
B.64
C.20
D.不确定
【解析】选C.设直线OP的方程为y=kx，代入+=1，解得x2=，y2=，所以=，
依题意，直线OQ的斜率k'=-，
同理得==，
所以+=+=20.
4.已知椭圆4x2+y2=1与倾斜角为45°的直线的相交弦长为，则直线的方程为________.
【解析】设直线的方程为y=x+m，代入椭圆方程4x2+y2=1，消去y得4x2+(x+m)2=1，即5x2+2mx+m2-1=0(
)，
当Δ=(2m)2-4×5(m2-1)=-16m2+20>0时，
即m2-<0，解得-)得x1+x2=-，x1x2=，由弦长公式得·=，
解得m=0，满足m的取值范围，
所以直线方程为y=x.
答案：y=x
5.已知椭圆C：+y2=1，过左焦点F作倾斜角为的直线l交C于A，B两点，求弦AB的长.
【解析】a=3，b=1，c=2，则F(-2，0)，
由题意知l：y=(x+2)，
与+y2=1联立消去y，整理得4x2+12x+15=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上面方程的两实根，由根与系数的关系得，x1+x2=-3，
x1·x2=，
又因为A，B，F都是直线l上的点，所以
|AB|=·|x1-x2|
=·==2.
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课时自测·当堂达标
1.已知f(x)=x-5+3sinx，则f′(x)等于(　　)
A.-5x-6-3cosx
B.x-6+3cosx
C.-5x-6+3cosx
D.x-6-3cosx
【解析】选C.f′(x)=-5x-6+3cosx.
2.设f(x)=sinx-cosx，则f(x)在x=处的导数f′=(　　)
A.　　　
B.-
C.0
D.
【解析】选A.因为f′(x)=cosx+sinx，
所以f′=cos+sin=.
3.函数f(x)=e-x+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是________.
【解析】f′(x)=-e-x+a，由题意-e-x+a=2，
所以e-x=a-2，所以a-2>0，所以a>2.
答案：(2，+∞)
4.求过点(1，-1)与曲线y=x3-2x相切的直线方程.
【解析】由题知y′=3x2-2，设P(x0，y0)为切点，
则切线斜率为k=3-2.
故切线方程为y-y0=(3-2)(x-x0).①
因为(x0，y0)在曲线上，所以y0=-2x0.②
又因为(1，-1)在切线上，所以将②式和(1，-1)代入①式得
-1-(-2x0)=(3-2)(1-x0).解得x0=1或x0=-.
故所求的切线方程为y+1=x-1或y+1=-(x-1).
即x-y-2=0或5x+4y-1=0.
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课时自测·当堂达标
1.函数y=4x-x4在x∈[-1，2]上的最大值、最小值分别是(　　)
A.f(1)与f(-1)
B.f(1)与f(2)
C.f(-1)与f(2)
D.f(2)与f(-1)
【解析】选B.y′=4-4x3=0，所以x=1，
因为f(1)=3，f(-1)=-5，f(2)=-8，
所以f(x)max=f(1)，f(x)min=f(2).
2.函数y=x·e-x，x∈[0，4]的最小值为(　　)
A.0
B.
C.
D.
【解析】选A.f′(x)=e-x+xe-x·(-1)=e-x-xe-x，
令f′(x)=0得x=1.
又f(0)=0，f(1)=e-1=，
f(4)=4e-4=，
所以f(x)min=0.
3.已知f(x)=-x2+mx+1在区间[-2，-1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________.
【解析】f′(x)=m-2x，令f′(x)=0，得x=.
由题意得∈(-2，-1)，故m∈(-4，-2).
答案：(-4，-2)
4.若函数f(x)=ax2+4x-3在[0，2]上有最大值f(2)，则a的取值范围是________.
【解析】f′(x)=2ax+4，f(x)在[0，2]上有最大值f(2)，则要求f(x)在[0，2]上单调递增，则2ax+4≥0在[0，2]上恒成立.当a≥0时，2ax+4≥0恒成立.当a<0时，要求4a+4≥0恒成立，即a≥-1，所以a的取值范围是[-1，+∞).
答案：[-1，+∞)
5.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求f(x)的单调减区间.
(2)若f(x)在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
【解析】(1)f′(x)=-3x2+6x+9.
令f′(x)<0，解得x<-1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)，(3，+∞).
(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a，
f(2)=-8+12+18+a=22+a，
所以f(2)>f(-2).
因为在(-1，3)上f′(x)>0，
所以f(x)在[-1，2]上单调递增，
又由于f(x)在[-2，-1]上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2，2]上的最大值和最小值.
于是有22+a=20，解得a=-2.
故f(x)=-x3+3x2+9x-2.
因此f(-1)=1+3-9-2=-7，
即函数f(x)在区间[-2，2]上的最小值为-7.
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课时自测·当堂达标
1.椭圆+=1的长轴长为(　　)
A.2
B.6
C.8
D.10
【解析】选C.由椭圆方程+=1，得a2=16，a=4，2a=8，所以椭圆的长轴长为8.
2.椭圆x2+4y2=1的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.椭圆x2+4y2=1的标准方程为x2+=1，a=1，b=，c==，离心率e==.
3.下列与椭圆+=1的离心率相等的椭圆为(　　)
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】选C.椭圆+=1的离心率e==，只有选项C中椭圆的离心率为.
4.矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的短轴长为________.
【解析】依题意得|AC|=5，椭圆的焦距为2c=|AB|=4，长轴长2a=|AC|+|BC|=8，
所以短轴长为2b=2=2=4.
答案：4
5.椭圆+=1上一点到一个焦点距离的取值范围是________.
【解析】方法一：设椭圆+=1上一点M(x，y)，则
y2=(25-x2)，椭圆的左焦点为F1(-4，0)，
所以|MF1|2=(x+4)2+(25-x2)=，
|MF1|==，
因为-5≤x≤5，
所以1≤|MF1|≤9.
方法二：如图，当椭圆+=1上一点M在左顶点A1(-5，0)时，|MF1|取最小值，为a-c=5-4=1；
当点M在右顶点A2(5，0)时，|MF1|取最大值，为a+c=5+4=9.所以1≤|MF1|≤9.
答案：[1，9]
6.已知椭圆C1的焦点在x轴上，焦距为2，椭圆的短轴端点到焦点的距离等于焦距.
(1)求椭圆C1的标准方程.
(2)若椭圆C2的一个顶点坐标为(-4，0)且与椭圆C1的离心率相等，求椭圆C2的标准方程.
【解析】(1)设椭圆C1的标准方程为
+=1(a>b>0)，
依题意，得c=1，a=2，
所以b2=a2-c2=3，
所以椭圆C1的标准方程为+=1.
(2)椭圆C1的离心率为e==，
若椭圆C2的一个顶点(-4，0)为长轴端点，则
a2=4，c2=2，
所以=-=12，
所以椭圆C2的标准方程为+=1；
若椭圆C2的一个顶点(-4，0)为短轴端点，则
b2=4，a2=2c2，由=-=16，
所以=，=+=16+=，
所以椭圆C2的标准方程为+=1.
综上，椭圆C2的标准方程为+=1或+=1.
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1.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为(　　)
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线y=-1的距离，即4-(-1)=5.
2.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切，则p的值为(　　)
A.
B.1
C.2
D.4
【解析】选C.本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系.
抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-，因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切，所以3+=4，p=2.
3.曲线x2=2py在点(2p，2p)处的切线的斜率为(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.设曲线x2=2py在点(2p，2p)处的切线的斜率为k，切线方程为y-2p=k(x-2p)，即y=kx+2p-2pk，代入x2=2py整理，得x2-2pkx-4p2+4p2k=0，依题意，得Δ=4p2k2+16p2-16p2k=0，即(k-2)2=0，得k=2.
4.已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A，B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为________.
【解析】方法一：设|BF|=m，由抛物线的定义知，
|AA1|=3m，|BB1|=m，
所以在△ABC中，|AC|=2m，|AB|=4m，kAB=，
直线AB的方程为y=(x-1)，
与抛物线方程联立消y得3x2-10x+3=0，
所以AB的中点到准线的距离为+1=+1=.
方法二：依题意，得+==1，
将|AF|=3|FB|代入上式，得|FB|=，|AF|=4，|AB|=，所以AB中点到准线的距离为|AB|=.
答案：
5.设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=________.
【解析】由题意知===，
又|BF|=xB+=2 xB= yB=-，
由A，B，M三点共线有=，
即=，故xA=2，
所以===.
答案：
6.若点(3，1)是抛物线y2=2px的一条弦的中点，且该弦所在直线的斜率为2，求抛物线的方程.
【解析】设弦两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
得 (y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2)，
kAB==①，
已知点(3，1)是弦AB的中点，所以y1+y2=2×1=2，
又知kAB=2，代入①得p=2.
所以抛物线方程为y2=4x.
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课时自测·当堂达标
1.下列命题是全称命题的是(　　)
A.有的整数是自然数
B.有的负数是奇数
C.所有实数都有倒数
D.存在三角形内角为直角
【解析】选C.含有全称量词“所有、一切、都”的命题叫做全称命题.
2.下列命题是特称命题的是(　　)
A.三角形都有外接圆
B.指数函数都是单调函数
C.任何实数的平方都大于零
D.有的平行四边形是矩形
【解析】选D.含有特称量词“存在、有的、至少一个”的命题叫做特称命题.
3.下列含有量词的命题为真命题的是(　　)
A.所有四边形都有外接圆
B.有的等比数列的项为零
C.存在实数没有偶次方根
D.任何实数的平方都大于零
【解析】选C.只有内角互补的四边形才存在外接圆，A不正确；等比数列没有零项，B不正确；负数没有偶次实数方根，C正确；零的平方等于零，D不正确.
4.命题“存在实数x，使x2-x+1=0”是________命题.(填真、假)
【解析】对于任何实数x，x2-x+1=+>0，所以“存在实数x，使x2-x+1=0”是假命题.
答案：假
5.命题“对一切x∈R，使x2+1>0”是________命题.(填真、假)
【解析】由于对一切x∈R，x2+1≥1>0.
答案：真
6.将下列命题改写为含有量词的命题，使其为真命题：
(1)相等的角是对顶角.
(2)sinx+cosx<3.
【解析】(1)存在相等的两个角是对顶角.
(2)对任意x∈R，sinx+cosx<3.
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课时自测·当堂达标
1.如果质点A按照规律s=3t2运动，则在t=3时的瞬时速度为(　　)
A.6
B.18
C.54
D.81
【解析】选B.s=3t2，所以===3Δt+18，当Δt→0时，3Δt+18→18，
所以在t=3时的瞬时速度为18.
2.一物体的运动方程是s=at2(a为常数)，则该物体在t=t0时的瞬时速度为
(　　)
A.at0
B.-at0
C.at0
D.2at0
【解析】选A.因为Δs=s(t0+Δt)-s(t0)
=a(t0+Δt)2-a=a(Δt)2+at0Δt，
所以=aΔt+at0.
当Δt趋于0时，趋于at0.
3.物体运动时位移s与时间t的函数关系是s=-4t2+16t，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为(　　)
A.t=1　
B.t=2　
C.t=3　
D.t=4
【解析】选B.Δs=-4(t+Δt)2+16(t+Δt)-(-4t2+16t)=16Δt-8t·Δt-4(Δt)2.=16-8t-4Δt.
又因为在某时刻的瞬时速度为零，
所以当Δt趋于0时，趋于16-8t.
即16-8t=0，解得t=2.
4.一质点按规律s(t)=at2+1作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t=2s时的瞬时速度为8m/s，则常数a的值为________.
【解析】因为Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a·22-1=4aΔt+a(Δt)2，
所以=4a+aΔt.
在t=2s时，瞬时速度为=4a，即4a=8，所以a=2.
答案：2
5.设函数f(x)=3x2+2在x0=1，2，3附近Δx取时的平均变化率分别为k1，k2，k3，比较k1，k2，k3的大小.
【解析】函数在[x0，x0+Δx]上的平均变化率为6x0+3Δx.
当x0=1，Δx=时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为
k1=6×1+3×0.5=7.5；
当x0=2，Δx=时，函数在[2，2.5]上的平均变化率为
k2=6×2+3×0.5=13.5；
当x0=3，Δx=时，函数在[3，3.5]上的平均变化率为
k3=6×3+3×0.5=19.5，所以k1关闭Word文档返回原板块www.
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课时提升作业
十
椭圆方程及性质的应用
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系是(　　)
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
【解析】选A.直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交.
2.(2016·西安高二检测)椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是(　　)
A.
B.
C.1
D.
【解析】选B.椭圆右焦点坐标为(1，0)，到直线x-y=0的距离为d==.
3.直线y=1被椭圆+=1截得的线段长为(　　)
A.4
B.3
C.2
D.
【解析】选C.联立直线与椭圆的方程得x2=2，故x=±.
故直线与椭圆的交点坐标为(-，1)，(，1)，
故截得的弦长为-(-)=2.
4.(2016·宝鸡高二检测)已知直线l经过点P(3，-1)，且椭圆C：+=1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　)
A.1
B.1或2
C.2
D.0
【解析】选C.因为直线l过点(3，-1)且+<1，
所以点(3，-1)在椭圆的内部，
故直线l与椭圆有2个公共点.
【补偿训练】点A(a，1)在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是(　　)
A.-B.a<-或a>
C.-2D.-1【解析】选A.因为点A(a，1)在椭圆+=1的内部，
所以+<1，所以<，
则a2<2，所以-5.已知椭圆x2+2y2=4，则以(1，1)为中点的弦的长度是(　　)
A.3
B.2
C.
D.
【解题指南】设弦的两端的端点为(a，b)和(2-a，2-b)，
列方程组求得两端点的坐标进而求出弦长.
【解析】选C.设弦的两端的端点为(a，b)和(2-a，2-b)，
列方程组
解得a=1+，b=1-或a=1-，b=1+，
两端点的坐标为和，
弦长为
=.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.直线l：2x+by+3=0过椭圆C：10x2+y2=10的一个焦点，则b的值为________.
【解析】由10x2+y2=10可得x2+=1，
故椭圆焦点为F1(0，-3)，F2(0，3)，
所以b=1或b=-1.
答案：1或-1
7.(2016·广州高二检测)已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2=30°，则△PF1F2的面积为________.
【解析】由椭圆C：+=1的焦点三角形的面积公式，得=b2tan
=4tan15°=8-4.
答案：8-4
【补偿训练】(2015·赣州高二检测)已知以F1(-2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________.
【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0)与直线方程联立消去x得(a2+3b2)y2+8b2y+16b2-a2b2=0，
由Δ=0及c=2得a2=7，所以2a=2.
答案：2
8.(2016·西安高二检测)已知F1，F2为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e=，则椭圆的方程是________.
【解题指南】根据椭圆的定义及离心率公式求基本量的值即可.
【解析】依题意，得4a=16，所以a=4.
又=，所以c=2，b2=a2-c2=4.
所以椭圆的标准方程为+=1.
答案：+=1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.若直线y=kx+1(k∈R)与椭圆+=1恒有公共点，求实数m的取值范围.
【解析】方法一：直线恒过一定点(0，1)，
当m<5时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长b=，要使直线与椭圆恒有交点，
则≥1即1≤m<5，
当m>5时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长a=可保证直线与椭圆恒有交点即m>5，
综述：m≥1且m≠5.
方法二：直线恒过一定点(0，1)，
要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点(0，1)在椭圆内部+≤1，即m≥1，所以m≥1且m≠5.
【补偿训练】若直线l：y=kx+1与椭圆+=1交于A，B两点，且|AB|=，求直线l的方程.
【解析】联立
消去y得(1+2k2)x2+4kx-2=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=-，x1x2=-，
那么|AB|==，
整理得4k4-5k2+1=0，解得k=±1，k=±，
故直线l的方程为y=±x+1或y=±x+1.
10.(2016·榆林高二检测)如图，椭圆E：+=1(a>b>0)经过点A(0，-1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程.
(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
【解题指南】(1)利用a2=b2+c2与e=求解.
(2)设直线方程，代入椭圆方程，利用根与系数的关系化简计算即可.
【解析】(1)由题意知=，b=1，综合a2=b2+c2，解得a=，
所以，椭圆的方程为+y2=1.
(2)由题设知，直线PQ的方程为y=k(x-1)+1，代入+y2=1，
得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0，
由已知Δ>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1+x2=，x1x2=，
从而直线AP与AQ的斜率之和
kAP+kAQ=+=+
=2k+(2-k)=2k+(2-k)
=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2016·西安高二检测)已知F1(-1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=3，则C的方程为(　　)
A.+y2=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】选C.由题意知椭圆焦点在x轴上，且c=1，可设C的方程为+=1(a>1)，由过F2且垂直于x轴的直线被C截得的弦长|AB|=3，知点必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a4-17a2+4=0，所以a2=4或a2=(舍去).故椭圆C的方程为+=1.
【补偿训练】已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线与椭圆有一个交点P，且PF2⊥x轴，则此椭圆的离心率e为
(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.在Rt△PF2F1中，∠PF1F2=30°，|F1F2|=2c，|PF1|=2|PF2|，根据椭圆的定义得|PF2|=a，|PF1|=a，又|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2，即a2-a2=4c2，所以e==.
2.若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点，则过点P(a，b)的直线与椭圆+=1的公共点个数为(　　)
A.0
B.1
C.2
D.需根据a，b的取值来确定
【解题指南】根据直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点，可推断点(a，b)是以原点为圆心，2为半径的圆内的点，根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆，进而可知点P是椭圆内的点，进而判断可得答案.
【解析】选C.因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点，所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=>2，所以a2+b2<4，所以点P(a，b)是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，因为椭圆的长半轴为3，短半轴为2，所以圆x2+y2=4内切于椭圆，所以点P是椭圆内的点，所以过点P(a，b)的一条直线与椭圆的公共点数为2.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.直线l：y=k(x-1)与椭圆+=1的交点个数为________.
【解析】因为直线l恒过点(1，0)，而点(1，0)在椭圆的内部.所以直线l与椭圆恒有两个交点.
答案：2
4.(2016·南昌高二检测)若斜率为的直线l与椭圆+=1(a>b>0)有两个不同的交点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为　　　　.
【解析】由题意易知两交点的横坐标为-c,c,纵坐标分别为-,,
所以由= 2b2=ac=2(a2-c2),
即2e2+e-2=0,解得e=(负根舍去).
答案:
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|=2，OC的斜率为，求椭圆的方程.
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入椭圆方程，得a+b=1，　①
a+b=1.　②
②-①，得
a(x2+x1)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.
而=kAB=-1，
=kOC=，则b=a.
又因为|AB|=|x2-x1|=|x2-x1|=2，
所以|x2-x1|=2.
又由得(a+b)x2-2bx+b-1=0，
所以x1+x2=，x1x2=.
所以|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2=-4·=4，
将b=a代入，得a=，b=，
所以所求的椭圆方程为+y2=1.
【一题多解】由直线方程和椭圆方程联立，得
得(a+b)x2-2bx+b-1=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|=
=.
因为|AB|=2，所以=1.　①
设C(x，y)，则x==，y=1-x=.
因为OC的斜率为，所以=.
代入①，得a=，b=.
所以椭圆方程为+y2=1.
6.(2015·浙江高考)已知椭圆+y2=1上两个不同
的点A，B关于直线y=mx+对称.
(1)求实数m的取值范围.
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).
【解析】(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y=-x+b，
由消去y整理得，
x2-x+b2-1=0，
因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点，
所以Δ=-2b2+2+>0①，
设A，B，
则x1+x2==，
x1x2==，
y1+y2=-(x1+x2)+2b=，
所以线段AB的中点M，将点M的坐标代入直线方程y=mx+，解得b=-②，由①②解得m<-或m>.
(2)令t=∈∪，则=·，且O到直线AB的距离为d=，设△AOB的面积为S(t)，
所以S(t)=·d=≤，当且仅当t2=时，等号成立，故△AOB面积的最大值为.
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课时自测·当堂达标
1.抛物线y2+x=0的开口(　　)
A.向上
B.向下
C.向左
D.向右
【解析】选C.抛物线y2+x=0，即y2=-x，所以抛物线的开口向左.
2.抛物线y2=8x的焦点坐标和准线方程分别为(　　)
A.(1，0)，x=-1
B.(2，0)，x=-2
C.(3，0)，x=-3
D.(4，0)，x=-4
【解析】选B.抛物线y2=8x的焦点到准线的距离为p=4，焦点在x轴非负半轴上，所以焦点坐标和准线方程分别为(2，0)，x=-2.
3.已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则抛物线方程可以为(　　)
A.y2=x
B.y2=2x
C.x2=-3y
D.x2=-6y
【解析】选D.由抛物线的焦点到准线的距离为3，得抛物线的标准方程为y2=
±6x，x2=±6y.
4.抛物线y2=2016x上的点到抛物线焦点距离的最小值为________.
【解析】因为抛物线的点到抛物线焦点的距离等于该点到准线的距离，抛物线y2=2016x=2×1008x，p=1008，所以抛物线上的点到抛物线焦点距离的最小值为504.
答案：504
5.抛物线x2=8y上的点M到x轴的距离为6，则点M与抛物线的焦点间的距离为________.
【解析】抛物线x2=8y的准线方程为y=-2，由抛物线上的点M到x轴的距离为6，得点M到抛物线准线的距离为8，故点M与抛物线的焦点间的距离为8.
答案：8
6.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y=-3.
(2)抛物线与椭圆+=1的一个焦点相同.
【解析】(1)准线方程为y=-3，则=3，p=6，所以抛物线的标准方程为x2=12y.
(2)椭圆+=1的焦点坐标为F1(1，0)，F2(-1，0)，所以抛物线的标准方程为y2=±4x.
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课时提升作业
二
四种命题间的相互关系
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2016·泰安高二检测)已知命题“若a，b，c构成等比数列，则b2=ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　　)
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.逆命题：若b2=ac，则a，b，c构成等比数列，假，
否命题：若a，b，c不构成等比数列，则b2≠ac，假(如a=b=0，c=1)，逆否命题：若b2≠ac，则a，b，c不构成等比数列，真.
2.(2016·杭州高二检测)若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，命题p的逆命题为s.则下列互为等价命题的是(　　)
A.p与q　
B.p与s　
C.q与s　
D.r与s
【解析】选C.一个命题与其逆否命题是等价命题，其逆命题与否命题是等价命题，故q与s是等价命题.
3.(2016·福州高二检测)有下列四个命题：
①“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题.
其中真命题为(　　)
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
【解析】选B.因为①“若a2+b2=0，则a，b全为0”为真命题，所以其逆否命题也为真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题为“非全等三角形的面积不相等”，是假命题；
③“若x2+2x+q=0有实根，则Δ=4-4q≥0，即q≤1”，所以“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”为真命题，其逆否命题也为真命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，为假命题.所以①③为真命题.
4.关于原命题“在△ABC中，若cosA=2sinBsinC，则△ABC是钝角三角形”的叙述：
①原命题是假命题；②逆命题为假命题；
③否命题是假命题；④逆否命题为真命题.
其中，正确的个数是(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解题指南】利用三角形内角和定理以及三角恒等变换，建立三角形内角的关系判断原命题的真假，逆命题的真假尝试特殊角的钝角三角形验证三角恒等式是否成立.
【解析】选C.在△ABC中，若cosA=2sinBsinC，
则-cos(B+C)=2sinBsinC，得
cosBcosC+sinBsinC=0，
得cos(B-C)=0，故B-C=90°或B-C=-90°，
即B=C+90°或C=B+90°，故△ABC是钝角三角形，原命题与逆否命题为真命题.
逆命题和否命题互为逆否命题，是假命题，
如在钝角△ABC中，A=15°，B=15°，C=150°，
cosA=cos15°=，
sinB=sin15°=，
sinC=sin150°=，
2sinBsinC=≠cosA.
5.关于命题：“设a，b为实数，若ab=0，则a，b至少有一个为0.”有下列说法：
①原命题为真命题；
②逆命题为真命题；
③否命题为“设a，b为实数，若ab≠0，则a，b不都为0”；
④逆否命题为“设a，b为实数，若a，b都不为0，则ab≠0”.
其中，说法不正确的个数是(　　)
A.0　
B.1　
C.2　　
D.3
【解析】选B.①原命题为真命题；
②逆命题为“设a，b为实数，若a，b至少有一个为0，则ab=0”，真命题；
③否命题为“设a，b为实数，若ab≠0，则a，b都不为0”，故③不正确；④正确.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.命题“若a>b，则a2>b2”的逆否命题为__________，其真假情况为__________(填“真命题”或“假命题”).
【解析】逆否命题为：若a2≤b2，则a≤b，由于原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题.
答案：若a2≤b2，则a≤b　假命题
7.下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形的对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.
其中互为逆命题的有__________；互为否命题的有__________；互为逆否命题的有__________.
【解析】命题③可以改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可以改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可以改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再根据四种命题间的关系判断.
答案：②和④，③和⑥　①和⑥，②和⑤　①和③，④和⑤
8.(2016·潍坊高二检测)给定下列命题：
①若k>0，则方程x2+2x-k=0有实根；
②“若a>b，则a+c>b+c”的否命题；
③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④“若xy=0，则x，y中至少有一个为0”的否命题.
其中真命题的序号是__________.
【解析】①Δ=4+4k>0，所以是真命题；
②否命题为“若a≤b，则a+c≤b+c”，是真命题；
③逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题；
④否命题为“若x，y≠0，则x，y都不为0”，是真命题.
答案：①②④
【补偿训练】下列命题中是真命题的是____________.
①命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
②命题“若m≤1，则x2-2x+m=0有实根”的逆否命题；
③命题“若A∩B=B，则A B”的逆否命题.
【解析】命题①的否命题：面积不相等的三角形不全等，是真命题.
命题②的逆否命题：若x2-2x+m=0无实根，则m>1，是真命题.
命题③是假命题.
因此其逆否命题也是假命题.
故真命题为①②.
答案：①②
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.写出下面命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.当m>时，mx2-x+1=0无实根.
【解析】将原命题改写成“若p，则q”的形式为“若m>，则mx2-x+1=0无实根”.
逆命题：“若mx2-x+1=0无实根，则m>”，是真命题.
否命题：“若m≤，则mx2-x+1=0有实根”，是真命题.
逆否命题：“若mx2-x+1=0有实根，则m≤”，是真命题.
【补偿训练】写出命题“若直线l的斜率为-1，则直线l在两坐标轴上截距相等”的逆命题，否命题与逆否命题，并分别指出这三个命题是真命题还是假命题.
【解析】逆命题：若直线l在两坐标轴上截距相等，则直线l的斜率为-1.该命题是假命题.
否命题：若直线l的斜率不为-1，则直线l在两坐标轴上截距不相等.该命题是假命题.
逆否命题：若直线l在两坐标轴上截距不相等，则直线l的斜率不为-1.该命题是真命题.
10.有甲、乙、丙三个人，命题p：“如果乙的年龄不是最大，那么甲的年龄最小”和命题q：“如果丙不是年龄最小，那么甲的年龄最大”都是真命题，则甲、乙、丙的年龄的大小能否确定？请说明理由.
【解析】设甲、乙、丙三人的年龄分别为a，b，c，显然命题p和q的结论是矛盾的，因此应从它的逆否命题来看.
由命题p可知，乙不是最大时，则甲最小.
所以丙最大，即c>b>a，而它的逆否命题也为真.
即“甲不是最小，则乙最大”，为真，即b>a>c，同理由命题q为真可得：a>c>b或b>a>c，
又命题p与q均为真，可得b>a>c.
故甲、乙、丙三人的年龄大小顺序是：乙大，甲次之，丙最小.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2016·三明高二检测)下列说法中正确的是(　　)
A.一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价
C.“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”
D.一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
【解析】选D.一个原命题与其逆否命题是等价命题，而逆命题为真，其原命题不一定真，A错误；a>b a+c>b+c，B错误；
“a，b全为0”的否定为“a，b不全为0”，C错误；
一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，它们是等价命题，D正确.
2.有下列命题：
①“若sinα=sinβ，则α=β”的逆命题；
②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
③“若x≤-3，则x2+x-6>0”的否命题；
④“若a+b是无理数，则a，b是无理数”的逆命题.
其中真命题的个数为(　　)
A.0　　　　
B.1　　　　
C.2　　　　
D.3
【解析】选B.①逆命题，“若α=β，则sinα=sinβ”是真命题；
②因为原命题为假，所以其逆否命题为假.
③因为原命题的否命题为“若x>-3，则x2+x-6≤0”，如x=4>-3，但x2+x-6=14>0，所以是假命题.
④因为原命题的逆命题为“若a，b是无理数，则a+b也是无理数”，如a=，b=-，则a+b=-=0是有理数，所以是假命题.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.设有两个命题：
①关于x的不等式mx2+1≥0的解集是R；
②函数f(x)=logmx是减函数(m>0且m≠1).
如果这两个命题中有且只有一个真命题，则m的取值范围是________.
【解析】若①真，②假，则故m>1.
若①假，②真，则无解.
综上所述，m的取值范围是m>1.
答案：m>1
【举一反三】本题中若两命题均为真命题，则m的取值范围是________.
【解析】若①②均真，则故0答案：04.把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.
若函数f(x)=3+log2x的图像与g(x)的图像关于________对称，则函数g(x)=________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)
【解析】若关于y轴对称，
则函数g(x)=3+log2(-x)；
若关于x轴对称，则函数g(x)=-3-log2x；
若关于原点对称，则函数g(x)=-3-log2(-x)；
若关于直线y=x对称，则函数g(x)=2x-3.
答案：y轴　3+log2(-x)(或x轴　-3-log2x；或原点　-3-log2(-x)；或直线y=x　2x-3答案不唯一)
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.若方程x2+2px-q=0(p，q是实数)没有实数根，则p+q<.
(1)判断上述命题的真假，并说明理由.
(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由.
【解析】(1)上述命题是真命题.由题意，得方程的判别式Δ=4p2+4q<0，得q<-p2，
所以p+q所以p+q<.
(2)逆命题：如果p，q是实数，p+q<，则方程x2+2px-q=0没有实数根.
逆命题是假命题，如当p=1，q=-1时，p+q<，但原方程有实数根x=-1.
6.已知命题p：x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根，不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1，1]恒成立；命题q：不等式ax2+2x-1>0有解.若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围.
【解题指南】由命题p：x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根，不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1，1]恒成立，我们易求出p是真命题时，a的取值范围；由命题q：不等式ax2+2x-1>0有解，我们也易求出q为假命题时的a的取值范围，再由命题p是真命题，命题q是假命题，求出两个范围的公共部分.
【解析】因为x1，x2是方程x2-mx-2=0的两个实根，
所以
所以|x1-x2|==，
所以当m∈[-1，1]时，|x1-x2|max=3，
由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1，1]恒成立，可得：a2-5a-3≥3，
所以a≥6或a≤-1，
所以命题p为真命题时a≥6或a≤-1.
命题q：不等式ax2+2x-1>0有解.
①当a>0时，显然有解，
②当a=0时，2x-1>0有解，
③当a<0时，因为ax2+2x-1>0有解，
所以Δ=4+4a>0，所以-1从而命题q：不等式ax2+2x-1>0有解时a>-1.
又命题q是假命题，所以a≤-1，
故命题p是真命题且命题q是假命题时，
a的取值范围为a≤-1.
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课时提升作业
三
充分条件与必要条件　充分条件与判定定理
必要条件与性质定理
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.使x>2016成立的一个充分条件是(　　)
A.x>2015
B.x≥2015
C.x≥2017
D.x≥2016
【解析】选C.只有x≥2017 x>2016，其他选项均不能推出x>2016.
2.(2015·安康高二检测)设点P(x，y)，则“x=2且y=-1”是“点P在直线l：x+y-1=0上”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为“x=2且y=-1”可以得到“点P在直线l：x+y-1=0上”，
当“点P在直线l：x+y-1=0上”时，不一定得到“x=2且y=-1”，
所以“x=2且y=-1”是“点P在直线l：x+y-1=0上”的充分不必要条件.
3.给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的(　　)
A.充分且必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】选C.因为直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内无数条直线都垂直是真命题，而直线l与平面α内无数条直线都垂直，不能推出直线l与平面α垂直，故应为必要不充分条件.
【补偿训练】(2016·唐山高二检测)设a∈R，则“a=1”是直线l1：ax+(1-a)y=3与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分且必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当直线l1与l2垂直时，则有a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0，即-a2-2a+3=0，则a=1或a=-3，因此当a=1时，直线l1与l2垂直，而当直线l1与l2垂直时，不能得出a=1，也可能a=-3.因此，a=1是直线l1与l2垂直的充分不必要条件.
4.(2016·大连高二检测)马云常说“便宜没好货”，意思是：“不便宜”是“好货”的(　　)
A.充分条件
B.必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.“便宜没好货”的逆否命题为“好货不便宜”，故“不便宜”是“好货”的必要条件.
5.已知等比数列{an}的公比为q，则下列不是{an}为递增数列的充分条件的是
(　　)
①a10，q>1；③a1>0，0A.①②
B.①③
C.③④
D.①③④
【解析】选B.由等比数列{an}是递增数列 an若a1>0，则qn-1(1-q)<0，得q>1；
若a1<0，则qn-1(1-q)>0，得0所以等比数列{an}是递增数列 a1>0，q>1或a1<0，0所以a1>0，q>1 等比数列{an}是递增数列，
或a1<0，0由a1如a1=-1，a2=2.
【延伸探究】若把本题中的“不是{an}为递增数列的充分条件”改为“是{an}为递增数列的必要条件”，其他不变，结论如何？
【解析】由等比数列{an}是递增数列 a1由等比数列{an}是递增数列不能推出a1>0，q>1，
由等比数列{an}是递增数列不能推出a1>0，0由等比数列{an}是递增数列不能推出a1<0，0故a1二、填空题(每小题5分，共15分)
6.“x>1”是“x2>x”的__________条件.(填充分非必要，必要非充分，充分且必要，既非充分也非必要)
【解析】因为x2>x的解集为{x|x>1或x<0}，集合{x|x>1}是{x|x>1或x<0}的真子集，故“x>1”是“x2>x”的充分非必要条件.
答案：充分非必要
【补偿训练】(2015·盐城高二检测)已知p：1≤x≤2，q：≤0，则p是q的__________条件.(在充分不必要，必要不充分，充分且必要，既不充分也不必要中选一个填写)
【解析】因为≤0，所以即1答案：必要不充分
7.“函数f(x)=cosx在R上是偶函数”可表述为f(x)是R上的偶函数是f(x)=cosx的________条件.
【解析】f(x)是R上的偶函数是f(x)=cosx的必要条件.
答案：必要
8.(2016·福州高二检测)若“x【解析】因为不等式“x2-2x-3≥0”的解集为x≤-1或x≥3，由“x答案：a≤-1
【补偿训练】(2016·九江高二检测)已知p：≥1，q：a-1【解析】由≥1，得23，解得2答案：(2，3]
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.(2016·合肥高二检测)是否存在实数p，使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围.
【解析】由x2-x-2>0得x>2或x<-1，
由4x+p<0得x<-.要使x<-时，x>2或x<-1成立.必须有-≤-1，即p≥4，
所以当p≥4时，x<-，x<-1，有x2-x-2>0.
所以p≥4时，“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件.
10.若p：-2【解析】若a=-1，b=，则Δ=a2-4b<0，关于x的方程x2+ax+b=0无实根，故p不能推出q.
若关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x1，x2，且0则x1+x2=-a，x1x2=b.于是0<-a<2，0即-2所以，p是q的必要不充分条件.
【一题多解】针对必要条件的判断给出下面另一种解法：设f(x)=x2+ax+b，因为关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根，
所以即 -2一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2016·三明高二检测)“a=1”是“a2=1”成立的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分且必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.a=1 a2=1且a=1a2=1，故“a=1”是“a2=1”成立的充分不必要条件.
2.(2014·福建高考)直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的(　　)
A.充分不必要条件　
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】选A.直线过定点(0，1)在圆上，不妨设其为A点，而B点也在圆上，
S△OAB=·sin∠AOB=sin∠AOB，
因此∠AOB必为直角，
所以当S△OAB=的等价条件是k=±1.
【补偿训练】(2014·北京高考)设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】等比数列的单调性不但与公比q有关，也与首项a1有关.
【解析】选D.当a1<0，q>1时，{an}是递减数列；
当{an}为递增数列时，a1<0，00，q>1.
因此，“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.设函数f(x)=cos(2x+φ)，则“f(x)为奇函数”是“φ=”的__________条件.
(选填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”)
【解析】当φ=时，f(x)=cos=-sin2x为奇函数，而当φ=-2π时，f(x)=-sin2x也为奇函数，所以充分性不成立.
答案：必要不充分
4.(2016·咸宁高二检测)集合A=，B={x||x-b|【解析】当a=1时，化简A=(-1，1)，B=(b-1，b+1)，由A∩B≠ 得-1≤b-1<1或-1即0≤b<2或-2所以b∈(-2，2).
答案：(-2，2)
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.已知条件p：A={x|2a≤x≤a2+1}，条件q：B={x|x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0}，若条件p是条件q的充分条件，求实数a的取值范围.
【解析】A={x|2a≤x≤a2+1}，
B={x|(x-2)[x-(3a+1)]≤0}，
(1)当a≥时，B={x|2≤x≤3a+1}；
(2)当a<时，B={x|3a+1≤x≤2}.
因为p是q的充分条件，
所以A B，于是有
解得1≤a≤3.或
解得a=-1.
所以a的取值范围为{a|1≤a≤3或a=-1}.
6.已知p：x2-2x-3<0，若-ab恒成立的实数b的取值范围.
【解析】由于p：x2-2x-3<0 -1-a0).
依题意，得{x|-10)，
所以解得a>2，
则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b≤2，
即(-∞，2].
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课时提升作业
二十三
函数的极值
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是(　　)
A.导数为零的点一定是极值点
B.如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
C.如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
D.如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
【解析】选C.导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)=x3，f′(x)=3x2，f′(0)=0，但x=0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确.
2.(2016·九江高二检测)已知函数f(x)=x3-px2-qx的图像与x轴切于(1，0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为(　　)
A.，0　　
B.0，　
C.-，0　
D.0，-
【解析】选A.f′(x)=3x2-2px-q，
由f′(1)=0，f(1)=0得，
解得
所以f(x)=x3-2x2+x.
由f′(x)=3x2-4x+1=0得x=或x=1，
易得当x=时f(x)取极大值.
当x=1时f(x)取极小值0.
3.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)
A.-1B.-3C.a<-1或a>2
D.a<-3或a>6
【解析】选D.f′(x)=3x2+2ax+a+6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
所以Δ=(2a)2-4×3×(a+6)>0，
解得a>6或a<-3.
4.对于函数f(x)=x3-3x(|x|<1)，正确的是(　　)
A.有极大值和极小值
B.有极大值无极小值
C.无极大值有极小值
D.无极大值无极小值
【解析】选D.因为f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，
所以f′(x)=0在(-1，1)内无解，函数无极值点.
5.(2016·上饶高二检测)三次函数当x=1时，有极大值4；当x=3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是(　　)
A.f(x)=x3+6x2+9x
B.f(x)=x3-6x2+9x
C.f(x)=x3-6x2-9x
D.f(x)=x3+6x2-9x
【解析】选B.设此函数解析式为
f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，
则f′(x)=3ax2+2bx+c.
由题意知
解得a=1，b=-6，c=9，d=0.
所以函数解析式为f(x)=x3-6x2+9x.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.设a∈R，若函数y=ex+ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为__________.
【解析】y′=ex+a，由y′=0得x=ln(-a).
由题意知ln(-a)>0，所以a<-1.
答案：(-∞，-1)
7.(2016·滁州高二检测)若函数f(x)=x+asinx在R上递增，则实数a的取值范围为__________.
【解析】f′(x)=1+acosx，由条件知f′(x)≥0对x∈R恒成立，
所以1+acosx≥0，当a=0时显然成立；
当a>0时，因为-≤cosx恒成立，
所以-≤-1，所以a≤1，所以0当a<0时，因为-≥cosx恒成立，
所以-≥1，所以a≥-1，即-1≤a<0，
综上知-1≤a≤1.
答案：[-1，1]
8.(2016·渭南高二检测)
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx，其导函数y=f′(x)的图像经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则下列说法中正确的是__________(填序号).
①当x=时函数取得极小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x=2时函数取得极小值；
④当x=1时函数取得极大值.
【解析】由图像可知，当x∈(-∞，1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，2)时，f′(x)<0；
当x∈(2，+∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)有两个极值点1和2，且当x=2时函数取得极小值，当x=1时，函数取得极大值，而①当x=时函数取不到极值，故①不正确.
答案：②③④
【拓展延伸】图像信息题的处理思路
(1)给出函数图像研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图像还是f′(x)的图.
(2)若给的是f(x)的图像，应先找出f(x)的单调区间及极值点，若给的是f′(x)的图像，应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解.
【补偿训练】已知函数y=xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：
①函数f(x)在区间(1，+∞)上是增加的；
②函数f(x)在区间(-1，1)上是增加的；
③函数f(x)在x=-处取得极大值；
④函数f(x)在x=1处取得极小值.
其中正确的说法是__________(填序号).
【解析】①正确.由图像知，当x∈(1，+∞)时，xf′(x)>0，故f′(x)>0，f(x)在区间(1，+∞)上是增加的；②错误.当x∈(-1，0)时，xf′(x)>0，故f′(x)<0；当x∈(0，1)时，xf′(x)<0，故f′(x)<0.综上，f(x)在区间(-1，0)，(0，1)上是减少的；③错误.f(x)在区间(-1，0)上是减少的，故x=-不是极值点；④正确.f(x)在区间(0，1)上是减少的，在(1，+∞)上是增加的，故f(x)在x=1处取得极小值.
答案：①④
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.已知函数f(x)=(x2+ax+b)ex在点(0，f(0))处的切线方程是y=-2x+1.
(1)求实数a，b的值.
(2)求函数f(x)的极值.
【解析】f′(x)=(x2+ax+b+2x+a)ex.
(1)因为切线方程是y=-2x+1，
所以f′(0)=-2，f(0)=1，
所以解得
(2)f(x)的定义域为R，
由(1)得f′(x)=(x2-x-2)ex=(x+1)(x-2)ex，
令f′(x)=0得x1=-1，x2=2，
当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
(-∞，-1)
-1
(-1，2)
2
(2，+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)的极大值为f(-1)=，
f(x)的极小值为f(2)=-e2.
10.(2015·安徽高考)已知函数f(x)=(a>0，r>0).
(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性.
(2)若=400，求f(x)在(0，+∞)内的极值.
【解析】(1)由题意知x≠-r，
所以定义域为∪(-r，+∞)，
f(x)==，
f′(x)=
=，
所以当x<-r或x>r时，f′(x)<0，
当-r0.
因此，f(x)的单调递减区间是，(r，+∞)；
f(x)的单调递增区间是(-r，r).
(2)由(1)可知f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，+∞)上单调递减，因此，x=r是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，+∞)内的极大值为f(r)===100.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)在x=x0处导数存在，若p：f′(x0)=0；q：x=x0是f(x)的极值点，则(　　)
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分不必要条件
C.p是q的必要不充分条件
D.p是q的既不充分也不必要条件
【解析】选C.因为x=x0是f(x)的极值点，所以f′(x0)=0，即q p，而由f′(x0)=0，不一定得到x0是极值点，故p /q.
2.若a>0，b>0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于(　　)
A.2
B.3
C.6
D.9
【解析】选D.f′(x)=12x2-2ax-2b=0的一根为x=1，即12-2a-2b=0.
所以a+b=6，所以ab≤=9，
当且仅当a=b=3时等号成立.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2016·亳州高二检测)已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y=3x-x3在x=b时取极大值c，则ad=__________.
【解析】因为a，b，c，d成等比数列，所以ad=bc，
又因为函数y=3x-x3在x=b时取极大值c，
所以c=3b-b3，且0=3-3b2，
解得或所以ad=2.
答案：2
4.函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1，x2，且x1【解析】f(x)的定义域为(-1，+∞)，
f′(x)=2x+(1+x)′=2x+=(x>-1)，
由题意知2x2+2x+a=0在(-1，+∞)上有两个不等实根x1，x2且x1令g(x)=2x2+2x+a(x>-1)，
故需解得0答案：
【补偿训练】函数f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是__________.
【解析】因为f′(x)=3x2-3a2(a>0)，所以f′(x)>0时，得x>a或x<-a，f′(x)<0时，得-a由题意得：解得a>.
答案：a>
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.a为实数，函数f(x)=x3-x2-x+a.
(1)求f(x)的极值.
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点？
【解题指南】(1)对函数求导，解f′(x)=0，列表可得.
(2)转化为方程f(x)=0的根的个数问题来解决.
【解析】(1)f′(x)=3x2-2x-1.
令f′(x)=0，则x=-或x=1.
根据x值列表，分析f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值点.
x
(-∞，-)
-
1
(1，+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)的极大值是f=+a，极小值是f(1)=a-1.
(2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，
所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.
由(1)知f(x)极大值=f=+a，
f(x)极小值=f(1)=a-1，
因为曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，
所以f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
即+a<0或a-1>0.
所以a<-或a>1.
【拓展延伸】利用函数的极值研究方程的根的个数的步骤
(1)对于函数y=f(x)的图像与直线y=a的交点问题我们可以转化为方程f(x)=a的根的个数问题来解决.解题时，我们可以遵循以下步骤：
①利用导数判断函数y=f(x)的单调性及极值等情况，进而得到函数的大致图像；
②研究函数y=f(x)与y=a的交点问题；
③根据交点个数写出方程根的情况.
(2)如果方程是三次方程f(x)=0，也可按照如下步骤处理：
①求导函数y=f′(x)，解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，确定函数的单调性及极值等情况，进而得到函数的大致图像；
②由大致图像结合交点个数或根的个数写出不等式(组)，主要看极大值和极小值与0的关系；
③解不等式(组)即可.
6.(2016·山东高考)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间.
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
【解题指南】(1)通过二次求导,研究g(x)的单调性.
(2)通过端点分析,找到分界点,再分情况讨论.
【解析】(1)g(x)=f′(x)=lnx-2ax+2a,
所以g′(x)=-2a=.当a≤0,x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.
当a>0,x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,
x∈时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.
综上:当a≤0,函数g(x)单调递增区间为(0,+∞).
当a>0,函数g(x)单调递增区间为,函数g(x)单调递减区间为.
(2)由(1)知f′(1)=0.
①当a≤0,f′(x)单调递增,所以x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,x∈时,
f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
②当01时,由(1)知f′(x)在内单调递增,
所以x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
③当a=,=1时,f′(x)在内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以x∈时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.
④当a>,0<<1时,x∈,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,
f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.
综上可知a>.
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课时提升作业
十九
计算导数
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.下列结论：①(cosx)′=sinx；②′=cos；③若f(x)=，则f′(3)=-.其中正确的有(　　)
A.0个　
B.1个　
C.2个　
D.3个
【解析】选B.直接利用导数公式.
因为(cosx)′=-sinx，所以①错误；sin=，而′=0，所以②错误；′=(x-2)′=-2x-3，则f′(3)=-，所以③正确.
2.设曲线y=ax2在点(2，4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直，则a=(　　)
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选C.因为y=ax2，所以y′=2ax，则在点(2，4a)处的切线的斜率k=4a，
因为切线与直线4x-y+4=0垂直，
所以4a·4=-1，得a=-.
3.曲线y=ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A.e2
B.e2
C.2e2
D.e2
【解析】选A.因为y′=(ex)′=ex，所以k=e2.
所以曲线在点(2，e2)处的切线方程为
y-e2=e2(x-2)，即y=e2x-e2.
当x=0时，y=-e2，
当y=0时，x=1.
所以S△=×1×|-e2|=e2.
二、填空题(每小题4分，共8分)
4.(2016·阜阳高二检测)设函数f(x)=logax，f′(1)=-1，则a=________.
【解析】因为f′(x)=，所以f′(1)==-1.
所以lna=-1.所以a=.
答案：
5.已知f(x)=x2，g(x)=x3，若f′(x)-g′(x)=-2，则x=________.
【解析】因为f′(x)=2x，g′(x)=3x2，
所以有2x-3x2=-2，
解得x=.
答案：
【补偿训练】已知函数f(x)=cosx，f′(x)=-1，则x=(　　)
A.　　　　　　　　
B.-
C.+2kπ，k∈Z
D.-+2kπ，k∈Z
【解析】选C.因为f′(x)=-sinx，则sinx=1，
所以x=+2kπ，k∈Z.
三、解答题
6.(10分)(2016·上饶高二检测)求曲线y=过点(3，2)的切线方程.
【解析】因为点(3，2)不在曲线y=上，
所以设过(3，2)与曲线y=相切的直线与曲线的切点坐标为(x0，y0)，则y0=.
又y=，所以y′=()′==.
所以根据导数的几何意义，曲线在点(x0，y0)处的切线斜率k=.
又因为切线过点(3，2)，
所以=，=，
整理得()2-4+3=0，
解得x0=1或x0=9，
所以切点坐标为(1，1)或(9，3).
(1)当切点坐标为(1，1)时，切线斜率k=，
所以切线方程为y-2=(x-3)，
即x-2y+1=0.
(2)当切点坐标为(9，3)时，切线斜率k=，
所以切线方程为y-2=(x-3)，即x-6y+9=0.
综上可知：曲线y=过点(3，2)的切线方程为：x-2y+1=0或x-6y+9=0.
【补偿训练】求过曲线y=cosx上点P且与这点处的切线垂直的直线方程.
【解析】因为y=cosx，
所以y′=-sinx.
所以曲线在点P处的切线的斜率是
-sin=-.
所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为.
所以所求的直线方程为y-=，
即2x-y-+=0.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2016·合肥高二检测)下列函数中，导函数是奇函数的是(　　)
A.y=sinx
B.y=ex
C.y=lnx
D.y=cosx-
【解析】选D.由y=sinx得y′=cosx为偶函数，故A错；y=ex时，y′=ex为非奇非偶函数，所以B错；C中y=lnx的定义域x>0，所以C错；D中y=cosx-时，y′=-sinx为奇函数.
2.(2016·亳州高二检测)定义方程f(x)=f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)=x，h(x)=lnx，r(x)=x3的“新驻点”分别为α，β，γ(均不为0)，则α，β，γ的大小关系为(　　)
A.α>β>γ
B.β>α>γ
C.β>γ>α
D.γ>β>α
【解析】选D.g′(x)=1，
所以由g(x)=g′(x)得x=1，即α=1，
h′(x)=，
所以由h(x)=h′(x)得lnx=，
令F(x)=lnx-，
因为F(1)=-1<0，
F(2)=ln2-=ln2-ln>0，
所以β∈(1，2)，r′(x)=3x2，
由r(x)=r′(x)得x3=3x2，
所以x=0(舍)或x=3.
所以γ=3，
所以γ>β>α.
【补偿训练】设f0(x)=sinx，f1(x)=f′0(x)，f2(x)=f′1(x)，…，fn+1(x)=f′n(x)，n∈N，则f2015(x)等于(　　)
A.sinx
B.-sinx
C.-cosx
D.cosx
【解析】选C.因为f1(x)=cosx，f2(x)=-sinx，
f3(x)=-cosx，f4(x)=sinx，f5(x)=cosx，
f6(x)=-sinx，f7(x)=-cosx，
f8(x)=sinx，…，
故fn(x)以4为周期，
所以f2015(x)=f503×4+3(x)=f3(x)=-cosx.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2015·陕西高考)设曲线y=ex在点(0，1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为__________.
【解析】由f′(x)=ex，得f′(0)=e0=1.
又y=ex在(0，1)处的切线与y=(x>0)上点P处的切线垂直，
所以点P处的切线斜率为-1.
又y′=-，设点P(x0，y0)，
所以-=-1，x0=±1，由x>0，得x0=1，y0=1，
所以点P的坐标为(1，1).
答案：(1，1)
4.已知f(x)=cosx，g(x)=x，则适合f
′(x)+g′(x)≤0的x的值为________.
【解析】因为f′(x)=-sinx，g′(x)=1，
则-sinx+1≤0，sinx≥1，即sinx=1.
所以x=2kπ+(k∈Z).
答案：2kπ+(k∈Z)
三、解答题
5.(10分)(2016·抚州高二检测)已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A，B两点，O为坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△ABP的面积最大.
【解析】因为|AB|为定值，
所以三角形面积最大，只需P到AB的距离最大，
所以点P是抛物线的平行于AB的切线的切点，
设点P(x，y)，由题意知点P在x轴上方的图像上，
所以y=，
所以y′=.
又因为kAB=，
所以=得x=1，
由y=得，y=1，所以P(1，1).
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课时自测·当堂达标
1.某物体的位移是时间的函数s=2t3-at，物体在t=1时的速度为8，则a的值为
(　　)
A.-1
B.1
C.-2
D.2
【解析】选C.s′=6t2-a，由题意知6×12-a=8，解得a=-2.
2.某收音机制造厂的管理者通过对上午上班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)=-t3+9t2+12t，则Q′(2)=________，它的实际意义是________.
【解析】Q′(t)=-3t2+18t+12，Q′(2)=36台/小时.
答案：36台/小时　10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时
3.火箭竖直向上发射.熄火时向上速度达到100m/s.则熄火后________秒火箭速度为零(g取10m/s2).
【解析】由已知，得火箭的运动方程为h(t)=100t-gt2，
所以h′(t)=100-gt.
令h′(t)=0，即100-gt=0，所以t==10(s).
即火箭熄火后10s速度变为零.
答案：10
4.某商品价格P(单位：元)与时间t(单位：年)有函数关系式P(t)=(1+10%)t，求第8个年头此商品价格的变化速度.
【解析】P′(t)=1.1tln1.1，所以P′(8)=1.18ln1.1(元/年).
答：第8个年头此商品价格的变化速度是每年1.18ln1.1元.
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课时自测·当堂达标
1.双曲线y2-x2=2的焦距为(　　)
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】选B.双曲线y2-x2=2中，a2=b2=2，c2=a2+b2=4，双曲线的焦距为2c=4.
2.若方程-=1表示双曲线，则实数m的取值范围是(　　)
A.m>-1
B.m<-1
C.m>3
D.-1【解析】选A.若方程-=1表示双曲线，则m+1>0，得m>-1.
3.若双曲线5x2+ky2=5的一个焦点是(，0)，那么实数k的值为(　　)
A.-25
B.25
C.-1
D.1
【解析】选C.双曲线方程化为x2-=1，依题意，得1-=6，解得k=-1.
4.与椭圆x2+5y2=5共焦点且过点(，1)的双曲线的方程为________.
【解析】椭圆+y2=1的焦点为(-2，0)，(2，0)，可以设双曲线的方程为-=1，则a2+b2=4.
又因为过点(，1)，所以-=1，
综上得，a2=3，b2=1，
所以双曲线的方程为-y2=1.
答案：-y2=1
5.双曲线8mx2-my2=8的焦距为6，则m=________.
【解析】双曲线方程为mx2-=1，若m>0，则+=9 m=1；
若m<0，则--=9 m=-1.
答案：±1
6.已知F1(-5，0)，F2(5，0)，分别求满足下列条件的点P的轨迹方程：
(1)若||PF1|-|PF2||=8.
(2)若|PF1|-|PF2|=8.
(3)若||PF1|-|PF2||=10.
(4)若||PF1|-|PF2||=12.
(5)若||PF1|-|PF2||=0.
【解析】(1)点P的轨迹为双曲线，焦点在x轴上，设标准方程为-=1(a>0，b>0).
因为2a=8，2c=10，所以a=4，c=5，
所以b2=52-42=9.
所以双曲线的标准方程为-=1.
(2)双曲线的右支，方程为-=1(x≥4).
(3)以F1，F2为端点的两条射线.方程为y=0(x≥5或x≤-5).
(4)点P不存在.
(5)线段F1F2的垂直平分线，方程为x=0.
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课时自测·当堂达标
1.平面内与点F1(-1，0)，F2(1，0)的距离之和为2的点的轨迹为(　　)
A.直线
B.线段
C.圆
D.椭圆
【解析】选B.平面内与点F1(-1，0)，F2(1，0)的距离之和为2的点的轨迹为线段F1F2.
2.椭圆+=1的焦距为(　　)
A.5
B.6
C.8
D.10
【解析】选C.由椭圆+=1的方程，得a2=25，b2=9，c2=a2-b2=16，故c=4，2c=8.
3.椭圆+=1上一点M到一个焦点的距离为2，则点M到另一个焦点的距离为________.
【解析】由椭圆+=1的方程，得a2=16，根据椭圆的定义，M到两个焦点的距离之和为2a=8，依题意，M到另一个焦点的距离为6.
答案：6
4.椭圆上的一点到两个焦点F1(0，2)，F2(0，-2)的距离之和为6，则椭圆的标准方程为________.
【解析】设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)，其中2a=6，a=3，c=2，所以b2=5，所以椭圆的标准方程为+=1.
答案：+=1
5.已知坐标轴上两个定点F1，F2关于原点对称，且|F1F2|=6，|MF1|+|MF2|=m，分别求满足下列条件的动点M的轨迹方程：
(1)m=10.(2)m=6.(3)m=2.
【解析】(1)因为m=10>|F1F2|=6，所以满足条件的动点M的轨迹是椭圆，标准方程为+=1或+=1.
(2)因为m=|F1F2|=6，所以满足条件的动点M的轨迹是线段F1F2，所以满足条件的动点M的轨迹方程为y=0(-3≤x≤3)或x=0(-3≤y≤3).
(3)因为m=2<|F1F2|=6，所以满足条件的动点M的轨迹不存在.
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课时提升作业
十八
导数的概念　导数的几何意义
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.(2016·九江高二检测)f(x)在x=x0处可导，则(　　)
A.与x0，Δx有关
B.仅与x0有关，而与Δx无关
C.仅与Δx有关，而与x0无关
D.与x0，Δx均无关
【解析】选B.式子表示的意义是求f′(x0)，即求f(x)在x0处的导数，它仅与x0有关，与Δx无关.
2.(2016·咸宁高二检测)已知曲线f(x)=x2-2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为(　　)
A.30°　　
B.45°
C.135°
D.165°
【解析】选B.因为f(x)=x2-2，
所以f′(1)=
===1.
所以点P处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.
【补偿训练】(2016·亳州高二检测)设P为曲线C：f(x)=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为(　　)
A.　　　　
B.[-1，0]
C.[0，1]
D.
【解析】选A.设P(x0，y0)，
因为f′(x0)=
=
=(2x0+2+Δx)=2x0+2，且切线倾斜角θ∈，
所以切线的斜率k满足0≤k≤1，
即0≤2x0+2≤1，
所以-1≤x0≤-.
3.曲线y=f(x)=x3+ax+1的一条切线方程为y=2x+1，则实数a=(　　)
A.1
B.3
C.2
D.4
【解析】选C.设切点为(x0，y0)，
则f′(x0)
=
=[(Δx)2+3x0Δx+3+a]=3+a，
所以3+a=2.①
又因为切点既在曲线上，又在切线上，
所以+ax0+1=2x0+1.②
由①②得
二、填空题(每小题4分，共8分)
4.已知函数f(x)=2x-3，则f′(5)=________.
【解析】因为Δy=f(5+Δx)-f(5)
=[2(5+Δx)-3]-(2×5-3)=2Δx，
所以=2，所以f′(5)==2.
答案：2
5.若曲线y=f(x)=2x2-4x+p与直线y=1相切，则p的值为________.
【解析】设切点坐标为(x0，1)，
因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
=2(x0+Δx)2-4(x0+Δx)+p-(2-4x0+p)
=4x0Δx-4Δx+2(Δx)2，
所以=4x0-4+2Δx，
所以f′(x0)=(4x0-4+2Δx)=4x0-4.
由题意知4x0-4=0，即x0=1，即切点坐标为(1，1).
所以1=2-4+p，即p=3.
答案：3
三、解答题
6.(10分)(2016·亳州高二检测)若函数f(x)=2x2+4x在x=x0处的导数是8，求x0的值.
【解题指南】根据导数的定义，求出f′(x0)是用x0表示的，可得出x0的方程，解方程求出x0的值.
【解析】根据导数的定义：
因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
=[2(x0+Δx)2+4(x0+Δx)]-(2×+4x0)
=2(Δx)2+4x0Δx+4Δx，
所以f′(x0)==
=(2Δx+4x0+4)=4x0+4.
所以f′(x0)=4x0+4=8，解得x0=1.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2016·淮北高二检测)一个物体的运动方程为s=(2t+1)2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在1秒末的瞬时速度是(　　)
A.10米/秒
B.8米/秒
C.12米/秒
D.6米/秒
【解析】选C.因为s=4t2+4t+1，
Δs=[4(1+Δt)2+4(1+Δt)+1]-(4×12+4×1+1)
=4(Δt)2+12Δt.
所以==4Δt+12.
所以v==(4Δt+12)=12(米/秒).
2.(2016·铜川高二检测)函数y=f(x)在点(3，f(3))处的切线方程为y=-x+5，则f(3)-f′(3)的值为(　　)
A.1　
B.3　
C.-3　
D.无法确定
【解析】选B.由导数的几何意义知f′(3)=-1，而切点(3，f(3))在切线上，
故f(3)=2，所以f(3)-f′(3)=3.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.y=f(x)=x3+2x+1在x=1处的导数为________.
【解析】因为Δy=f(1+Δx)-f(1)
=(1+Δx)3+2(1+Δx)+1-(13+2×1+1)
=5Δx+3(Δx)2+(Δx)3，
所以==5+3Δx+(Δx)2，
则f′(1)==[5+3Δx+(Δx)2]=5.
答案：5
4.(2016·宝鸡高二检测)设函数y=f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0)，若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，则a的值为________.
【解析】因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(+a-9x0-1)
=(3+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3，
所以=3+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.
所以f′(x0)==3+2ax0-9
=3-9-.
当x0=-时，f′(x0)取最小值-9-.
因为斜率最小的切线与12x+y=6平行，
所以该切线斜率为-12.
所以-9-=-12.
解得a=±3.又a<0，所以a=-3.
答案：-3
三、解答题
5.(10分)已知曲线y=f(x)=x2+1，则是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】设切点为P(x0，y0).
由=
=2x0+Δx，
得f′(x0)==(2x0+Δx)=2x0.
则切线的斜率为k=2x0.
由点斜式可得所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0).
又因为切线过(1，a)，y0=+1，
所以a-(+1)=2x0(1-x0)，
即-2x0+a-1=0.
因为切线有两条，所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0，
解得a<2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是{a|a<2}.
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1.(2008全国Ⅰ,　2,　5分)　汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,　若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,　其图象可能是(　　)　
2.(2011湖北,
10,
5分)
放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,
其含量不断减少,
这种现象称为衰变.
假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,
其含量M(单位:太贝克)
与时间t(单位:年)
满足函数关系:M(t)
=M0,
其中M0为t=0时铯137的含量.
已知t=30时,
铯137含量的变化率是-10ln
2(太贝克/年)
,
则M(60)
=(　　)
A.
5太贝克　　　　B.
75ln
2太贝克　　　　C.
150ln
2太贝克　　　　D.
150太贝克
3.(2010课标全国,
3,
5分)
曲线y=在点(-1,
-1)
处的切线方程为(　　)　
A.
y=2x+1　　　　B.
y=2x-1　　　　C.
y=-2x-3　　　　D.
y=-2x-2
4.(2010全国Ⅱ,
10,
5分)
若曲线y=在点(a,
)
处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,
则a=(　　)
A.
64　　　　B.
32　　　　C.
16　　　　D.
8
5.(2010辽宁,
10,
5分)
已知点P在曲线y=上,
α为曲线在点P处的切线的倾斜角,
则α的取值范围是(　　)
A.
　　　　B.
　　　　C.
　　　　D.
6.(2009全国Ⅱ,
4,
5分)
曲线y=在点(1,
1)
处的切线方程为(　　)
A.
x-y-2=0　　　　B.
x+y-2=0　　　　C.
x+4y-5=0　　　　D.
x-4y-5=0
7.(2009辽宁,
7,
5分)
曲线y=在点(1,
-1)
处的切线方程为(　　)
A.
y=x-2　　　　B.
y=-3x+2　　　　C.
y=2x-3　　　　D.
y=-2x+1
8.(2009全国Ⅰ,
9,
5分)
已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)
相切,
则a的值为(　　)
A.
1　　　　B.
2　　　　C.
-1　　　　D.
-2
9.(2009江西,
5,
5分)
设函数f(x)
=g(x)
+x2,
曲线y=g(x)
在点(1,
g(1)
)
处的切线方程为y=2x+1,
则曲线y=f(x)
在点(1,
f(1)
)
处切线的斜率为(　　)
A.
4　　　　B.
-　　　　C.
2　　　　D.
-
10.(2009安徽,
9,
5分)
已知函数f(x)
在R上满足f(x)
=2f(2-x)
-x2+8x-8,
则曲线y=f(x)
在点(1,
f(1)
)
处的切线方程是(　　)
A.
y=2x-1　　　　B.
y=x　　　　C.
y=3x-2　　　　D.
y=-2x+3
11.(2008辽宁,
6,
5分)
设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,
且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,
则点P横坐标的取值范围为(　　)
A.
　　　　B.
[-1,
0]　　　　C.
[0,
1]　　　　D.
12.(2008全国Ⅰ,
7,
5分)
设曲线y=在点(3,
2)
处的切线与直线ax+y+1=0垂直,
则a=(　　)
A.
2　　　　B.
　　　　C.
-　　　　D.
-2
13.(2007全国Ⅱ,
8,
5分)
已知曲线y=-3ln
x的一条切线的斜率为,
则切点的横坐标为(　　)　
A.
3　　　　B.
2　　　　C.
1　　　　D.
14.(2007江西,
11,
5分)
设函数f(x)
是R上以5为周期的可导偶函数,
则曲线y=f(x)
在x=5处的切线的斜率为(　　)
A.
-　　　　B.
0　　　　C.
　　　　D.
5
15.(2007宁夏,
10,
5分)
曲线y=在点(4,
e2)
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)
A.
e2　　　　B.
4e2　　　　C.
2e2　　　　D.
e2
16.(2011全国,
8,
5分)
曲线y=e-2x+1在点(0,
2)
处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(　　)
A.
　　　　B.
　　　　C.
　　　　D.
1
17.(2008福建,
12,
5分)　已知函数y=f(x)　,
y=g(x)　的导函数的图象如图,
那么y=f(x)　,
y=g(x)　的图象可能是(　　)　
18.(2007四川,
12,
5分)
已知一组抛物线y=ax2+bx+1,
其中a为2,
4,
6,
8中任取的一个数,
b为1,
3,
5,
7中任取的一个数,
从这些抛物线中任意抽取两条,
它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是(　　)
A.
　　　　B.
　　　　C.
　　　　D.
19.(2012陕西,7,5分)设函数f(x)=xex,则(　　)
A.
x=1为f(x)的极大值点
B.
x=1为f(x)的极小值点
C.
x=-1为f(x)的极大值点
D.
x=-1为f(x)的极小值点
20.(2012课标全国,12,5分)设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为(　　)
A.
1-ln
2　　　　B.
(1-ln
2)　　　　C.
1+ln
2　　　　D.
(1+ln
2)
21.(2012大纲全国,10,5分)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=(　　)
A.
-2或2　　　　B.
-9或3　　　　C.
-1或1　　　　D.
-3或1
22.(2009江苏,
9,
5分)
在平面直角坐标系xOy中,
点P在曲线C:y=x3-10x+3上,
且在第二象限内,
已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,
则点P的坐标为　　　　.
23.(2009福建,
14,
4分)
若曲线f(x)
=ax3+ln
x存在垂直于y轴的切线,
则实数a的取值范围是　　　　.
24.(2009北京,
11,
5分)
设f(x)
是偶函数.
若曲线y=f(x)
在点(1,
f(1)
)
处的切线的斜率为1,
则该曲线在点(-1,
f(-1)
)
处的切线的斜率为　　　　.
25.(2009陕西,
16,
4分)
设曲线y=xn+1(n∈N
)
在点(1,
1)
处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,
令an=lg
xn,
则a1+a2+…+a99的值为　　　.
26.(2008北京,
12,
5分)
如图,
函数f(x)
的图象是折线段ABC,
其中A,
B,
C的坐标分别为(0,
4)
,
(2,
0)
,
(6,
4)
,
则f[f(0)
]=　　　　　;=　　　　　(用数字作答)
.
27.(2008全国Ⅱ,
14,
5分)
设曲线y=eax在点(0,
1)
处的切线与直线x+2y+1=0垂直,
则a=　　　　.
28.(2008江苏,
8,
5分)
设直线y=x+b是曲线y=ln
x(x>0)
的一条切线,
则实数b的值为　　　　.
29.(2011江苏,
12,
5分)
在平面直角坐标系xOy中,
已知P是函数f(x)
=ex(x>0)
的图象上的动点,
该图象在点P处的切线l交y轴于点M.
过点P作l的垂线交y轴于点N.
设线段MN的中点的纵坐标为t,
则t的最大值是　　　　.
30.(2010江苏,
8,
5分)
函数y=x2(x>0)
的图象在点(ak,
)
处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,
其中k∈N
.
若a1=16,
则a1+a3+a5的值是　　　　.
31.(2012广东,12,5分)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为　　　　.
32.
(2012辽宁,15,5分)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为　　　　.
33.（2013广东，10,5分）若曲线y=kx+ln
x在点(1,
k)
处的切线平行于x轴,
则k=　　　　.　
34.（2013江苏，9,5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).
若点P(x,
y)
是区域D内的任意一点,
则x+2y的取值范围是　　　　.　
35.(2009广东,
20,
14分)
已知二次函数y=g(x)
的导函数的图象与直线y=2x平行,
且y=g(x)
在x=-1处取得极小值m-1(m≠0)
.
设f(x)
=.
(Ⅰ)
若曲线y=f(x)
上的点P到点Q(0,
2)
的距离的最小值为,
求m的值;
(Ⅱ)
k(k∈R)
如何取值时,
函数y=f(x)
-kx存在零点,
并求出零点.
36.(2010重庆,
18,
13分)
已知函数f(x)
=+ln(x+1)
,
其中实数a≠-1.
(Ⅰ)
若a=2,
求曲线y=f(x)
在点(0,
f(0)
)
处的切线方程;
(Ⅱ)
若f(x)
在x=1处取得极值,
试讨论f(x)
的单调性.
37.(2010陕西,
21,
14分)
已知函数f(x)
=,
g(x)
=aln
x,
a∈R.
(Ⅰ)
若曲线y=f(x)
与曲线y=g(x)
相交,
且在交点处有共同的切线,
求a的值和该切线方程;
(Ⅱ)
设函数h(x)
=f(x)
-g(x)
,
当h(x)
存在最小值时,
求其最小值φ(a)
的解析式;
(Ⅲ)
对(Ⅱ)
中的φ(a)
和任意的a>0,
b>0,
证明:
φ'≤≤φ'.
38.(2010福建,
20,
14分)
(Ⅰ)
已知函数f(x)
=x3-x,
其图象记为曲线C.
(i)
求函数f(x)
的单调区间;
(ii)
证明:若对于任意非零实数x1,
曲线C与其在点P1(x1,
f(x1)
)
处的切线交于另一点P2(x2,
f(x2)
)
,
曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,
f(x3)
)
,
线段P1P2,
P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,
S2,
则为定值;
(Ⅱ)
对于一般的三次函数g(x)
=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
,
请给出类似于(Ⅰ)
(ii)
的正确命题,
并予以证明.
39.
(2009天津,
20,
12分)
已知函数f(x)
=(x2+ax-2a2+3a)
·ex(x∈R)
,
其中a∈R.
(Ⅰ)
当a=0时,
求曲线y=f(x)
在点(1,
f(1)
)
处的切线的斜率;
(Ⅱ)
当a≠时,
求函数f(x)
的单调区间与极值.
40.(2009重庆,
18,
13分)
设函数f(x)
=ax2+bx+k(k>0)
在x=0处取得极值,
且曲线y=f(x)
在点(1,
f(1)
)
处的切线垂直于直线x+2y+1=0.
(Ⅰ)
求a,
b的值;
(Ⅱ)
若函数g(x)
=,
讨论g(x)
的单调性.
41.(2009北京,
18,
13分)
设函数f(x)
=xekx(k≠0)
.
(Ⅰ)
求曲线y=f(x)
在点(0,
f(0)
)
处的切线方程;
(Ⅱ)
求函数f(x)
的单调区间;
(Ⅲ)
若函数f(x)
在区间(-1,
1)
内单调递增,
求k的取值范围.
42.
(2009湖北,
21,
14分)
在R上定义运算 :p q=-(p-c)
(q-b)
+4bc(b、c为实常数)
.
记f1(x)
=x2-2c,
f2(x)
=x-2b,
x∈R.
令f(x)
=f1(x)

f2(x)
.
(Ⅰ)
如果函数f(x)
在x=1处有极值-,
试确定b、c的值;
(Ⅱ)
求曲线y=f(x)
上斜率为c的切线与该曲线的公共点;
(Ⅲ)
记g(x)
=|f
'(x)
|(-1≤x≤1)
的最大值为M.
若M≥k对任意的b、c恒成立,
试求k的最大值.
43.
(2009重庆,
20,
13分)
设函数f(x)
=ax2+bx+c(a≠0)
,
曲线y=f(x)
通过点(0,
2a+3)
,
且在点(-1,
f(-1)
)
处的切线垂直于y轴.
(Ⅰ)
用a分别表示b和c;
(Ⅱ)
当bc取得最小值时,
求函数g(x)
=-f(x)
e-x的单调区间.
44.
(2008天津,
20,
12分)
已知函数f(x)
=x++b(x≠0)
,
其中a,
b∈R.
(Ⅰ)
若曲线y=f(x)
在点P(2,
f(2)
)
处的切线方程为y=3x+1,
求函数f(x)
的解析式;
(Ⅱ)
讨论函数f(x)
的单调性;
(Ⅲ)
若对于任意的a∈,
不等式f(x)
≤10在上恒成立,
求b的取值范围.
45.
(2008宁夏、海南,
21,
12分)
设函数f(x)
=ax+(a,
b∈Z)
,
曲线y=f(x)
在点(2,
f(2)
)
处的切线方程为y=3.
(Ⅰ)
求f(x)
的解析式;
(Ⅱ)
证明:函数y=f(x)
的图象是一个中心对称图形,
并求其对称中心;
(Ⅲ)
证明:曲线y=f(x)
上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,
并求出此定值.
46.
(2007全国Ⅱ,
22,
12分)
已知函数f(x)
=x3-x.
(Ⅰ)
求曲线y=f(x)
在点M(t,
f(t)
)
处的切线方程;
(Ⅱ)
设a>0,
如果过点(a,
b)
时作曲线y=f(x)
的三条切线,
证明:-a.
47.(2007天津,
20,
12分)
已知函数f(x)
=(x∈R)
,
其中a∈R.
(Ⅰ)
当a=1时,
求曲线y=f(x)
在点(2,
f(2)
)
处的切线方程;
(Ⅱ)
当a≠0时,
求函数f(x)
的单调区间与极值.
48.(2007湖北,
20,
13分)
已知定义在正实数集上的函数f(x)
=x2+2ax,
g(x)
=3a2ln
x+b,
其中a>0.
设两曲线y=f(x)
,
y=g(x)
有公共点,
且在该点处的切线相同.
(Ⅰ)
用a表示b,
并求b的最大值;
(Ⅱ)
求证:f(x)
≥g(x)
(x>0)
.
49.
(2011重庆,
18,
13分)
设f(x)
=x3+ax2+bx+1的导数f
'(x)
满足f
'(1)
=2a,
f
'(2)
=-b,
其中常数a,
b∈R.
(Ⅰ)
求曲线y=f(x)
在点(1,
f(1)
)
处的切线方程;
(Ⅱ)
设g(x)
=f
'(x)
e-x,
求函数g(x)
的极值.
50.(2011课标,
21,
12分)
已知函数f(x)
=+,
曲线y=f(x)
在点(1,
f(1)
)
处的切线方程为x+2y-3=0.
(Ⅰ)
求a,
b的值;
(Ⅱ)
如果当x>0,
且x≠1时,
f(x)
>+,
求k的取值范围.
51.(2011陕西,
19,
12分)
如图,
从点P1(0,
0)
作x轴的垂线交曲线y=ex于点Q1(0,
1)
,
曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2,
再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2,
依次重复上述过程得到一系列点:P1,
Q1;P2,
Q2;…;Pn,
Qn,
记Pk点的坐标为(xk,
0)
(k=1,
2,
…,
n)
.
(Ⅰ)
试求xk与xk-1的关系(2≤k≤n)
;
(Ⅱ)
求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|.
52.(2007四川,
21,
12分)
已知函数f(x)
=x2-4,
设曲线y=f(x)
在点(xn,
f(xn)
)
处的切线与x轴的交点为(xn+1,
0)
(n∈N
)
,
其中x1为正实数.
(Ⅰ)
用xn表示xn+1;
(Ⅱ)
求证:对一切正整数n,
xn+1≤xn的充要条件是x1≥2;
(Ⅲ)
若x1=4,
记an=lg,
证明数列{an}成等比数列,
并求数列xn的通项公式.
53.(2007广东,
21,
14分)
已知函数f(x)
=x2+x-1,
α、β是方程f(x)
=0的两个根(α>β)
,
f
'(x)
是f(x)
的导数.
设a1=1,
an+1=an-(n=1,
2,
…)
.
(Ⅰ)
求α、β的值;
(Ⅱ)
证明:对任意的正整数n,
都有an>α;
(Ⅲ)
记bn=ln(n=1,
2,
…)
,
求数列{bn}的前n项和Sn.
54.(2012北京,18,13分)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;
(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.
55.(2012江苏,18,16分)若函数y=f
(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f
(x)的极值点.
已知a,b是实数,1和-1是函数f
(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
(1)求a和b的值;
(2)设函数g(x)的导函数g'(x)=f
(x)+2,求g(x)的极值点;
(3)设h(x)=f
(f
(x))-c,其中c∈[-2,2],求函数y=h(x)的零点个数.
56.（2013重庆，17,13分）设f(x)
=a(x-5)
2+6ln
x,
其中a∈R,
曲线y=f(x)
在点(1,
f(1))
处的切线与y轴相交于点(0,6).
(Ⅰ)
确定a的值;
(Ⅱ)
求函数f(x)
的单调区间与极值.
57.（2013四川，21,14分）已知函数f(x)
=其中a是实数.
设A(x1,
f(x1)),
B(x2,
f(x2))
为该函数图象上的两点,
且x1<
x2.
(Ⅰ)
指出函数f(x)
的单调区间;
(Ⅱ)
若函数f(x)
的图象在点A,
B处的切线互相垂直,
且x2<
0,
求x2-x1的最小值;
(Ⅲ)
若函数f(x)
的图象在点A,
B处的切线重合,
求a的取值范围.
58.（2013广东，20,14分）已知抛物线C的顶点为原点,
其焦点F(0,
c)
(c>
0)
到直线l:
x-y-2=0的距离为.
设P为直线l上的点,
过点P作抛物线C的两条切线PA,
PB,
其中A,
B为切点.
(1)
求抛物线C的方程;
(2)
当点P(x0,
y0)
为直线l上的定点时,
求直线AB的方程;
(3)
当点P在直线l上移动时,
求|AF|·|BF|的最小值.
59.（2013福建，17,13分）已知函数f(x)
=x-aln
x(a∈R).
(Ⅰ)
当a=2时,
求曲线y=f(x)
在点A(1,
f(1))
处的切线方程;
(Ⅱ)
求函数f(x)
的极值.
60.(2013湖南，22,13分)已知a>
0,
函数f(x)
=.
(Ⅰ)
记f(x)
在区间[0,4]上的最大值为g(a),
求g(a)
的表达式;
(Ⅱ)
是否存在a,
使函数y=f(x)
在区间(0,4)
内的图象上存在两点,
在该两点处的切线互相垂直
若存在,
求a的取值范围;
若不存在,
请说明理由.
61.（2013陕西，21,14分）已知函数f(x)
=ex,
x∈R.
(Ⅰ)
若直线y=kx+1与f(x)
的反函数的图象相切,
求实数k的值;
(Ⅱ)
设x>
0,
讨论曲线y=f(x)
与曲线y=mx2(m>
0)
公共点的个数;
(Ⅲ)
设a<
b,
比较
与
的大小,
并说明理由.
62.（2013浙江，22,14分）已知a∈R,
函数f(x)
=x3-3x2+3ax-3a+3.
(Ⅰ)
求曲线y=f(x)
在点(1,
f(1))
处的切线方程;
(Ⅱ)
当x∈[0,2]时,
求|f(x)
|的最大值.
63.（2013辽宁，20,12分）如图,
抛物线C1:
x2=4y,
C2:
x2=-2py(p>
0).
点M(x0,
y0)
在抛物线C2上,
过M作C1的切线,
切点为A,
B(M为原点O时,
A,
B重合于O).
当x0=1-时,
切线MA的斜率为-.
(Ⅰ)
求p的值;
(Ⅱ)
当M在C2上运动时,
求线段AB中点N的轨迹方程(A,
B重合于O时,
中点为O).
64.（2013北京,
18,13分）设L为曲线C:
y=在点(1,0)
处的切线.
(Ⅰ)
求L的方程;
(Ⅱ)
证明:
除切点(1,0)
之外,
曲线C在直线L的下方.
65.(2013课标Ⅰ,
21,12分)设函数f(x)
=x2+ax+b,
g(x)
=ex(cx+d).
若曲线y=f(x)
和曲线y=g(x)
都过点P(0,2),
且在点P处有相同的切线y=4x+2.
(Ⅰ)
求a,
b,
c,
d的值;
(Ⅱ)
若x≥-2时,
f(x)
≤kg(x),
求k的取值范围.
答案
理数1.
A　　　2.
D　　　3.A　　　4.A　　　5.D　　　6.B　　7.
D　　　8.
B　　9.
A　　　10.A　　　11.A　　　12.
D　　　13.
A　　　14.
B　　　15.
D　　　16.
A　　　17.
D　　　18.
B　　　19.D　　　20.B　　　21.A　　　22.(-2,
15)
　　23.(-∞,
0)
　　24.-1　　25.-2　　26.2;-2　　27.2　　28.ln
2-1　　29.+　　30.21　　31.2x-y+1=0　　32.-4
　　33.-1　　34.　　35.设二次函数为g(x)
=ax2+bx+c,
a≠0.
∵
g'(x)
=2ax+b的图象与直线y=2x平行,
∴
a=1.
又∵
y=g(x)
在x=-1处取得极小值m-1,
∴
-=-1,
g(-1)
=a(-1)
2+b(-1)
+c=m-1,
∴
b=2,
c=m,
∴
f(x)
==+x+2.
(Ⅰ)
已知m≠0,
设曲线y=f(x)
上点P的坐标为P(x,
y)
,
则点P到点Q(0,
2)
的距离为|PQ|===≥=,
当且仅当2x2= x=±时等号成立.
∵
|PQ|的最小值为,
∴
= |m|+m=1.
①当m>0时,
解得m==-1.
②当m<0时,
解得m==--1.
故m=-1或m=--1.
(Ⅱ)
y=f(x)
-kx的零点即方程+(1-k)
x+2=0的解,
∵
m≠0,
∴
+(1-k)
x+2=0与(k-1)
x2-2x-m=0有相同的解.
①若k=1,
(k-1)
x2-2x-m=0 x=-≠0,
∴函数y=f(x)
-kx有零点x=-.
②若k≠1,
(k-1)
x2-2x-m=0的判别式
Δ=4[1+m(k-1)
].
若Δ=0 k=1-,
此时函数y=f(x)
-kx有一个零点x=-m.
若Δ>0 1+m(k-1)
>0,
∴
当m>0,
k>1-或m<0,
k<1-时,
方程(k-1)
x2-2x-m=0有两个解x1=和x2=.
此时函数y=f(x)
-kx有两个零点x1和x2.
若Δ<0 1+m(k-1)
<0,
∴
当m>0,
k<1-或m<0,
k>1-时,
方程(k-1)
x2-2x-m=0无实数解,
此时函数y=f(x)
-kx没有零点.
　　36.(Ⅰ)
f
'(x)
=+=+.
当a=2时,
f
'(0)
=+=,
而f(0)
=-,
因此曲线y=f(x)
在点(0,
f(0)
)
处的切线方程为y-=(x-0)
,
即7x-4y-2=0.
(Ⅱ)
因a≠-1,
由(Ⅰ)
知f
'(1)
=+=+,
又因f(x)
在x=1处取得极值,
所以f
'(1)
=0,
即+=0,
解得a=-3.
此时f(x)
=+ln(x+1)
,
其定义域为(-1,
3)
∪(3,
+∞)
,
且f
'(x)
=+=,
由f
'(x)
=0得x1=1,
x2=7.
当-17时,
f
'(x)
>0;当1f
'(x)
<0.
由以上讨论知,
f(x)
在区间(-1,
1],
[7,
+∞)
上是增函数,
在区间[1,
3)
,
(3,
7]上是减函数.
　　37.(Ⅰ)
f
'(x)
=,
g'(x)
=(x>0)
,
由已知得解得a=,
x=e2,
∴两条曲线交点的坐标为(e2,
e)
.
切线的斜率为k=f
'(e2)
=,
∴切线的方程为y-e=(x-e2)
.
(Ⅱ)
由条件知h(x)
=-aln
x(x>0)
,
∴h'(x)
=-=,
(i)
当a>0时,
令h'(x)
=0,
解得x=4a2,
∴当0h'(x)
<0,
h(x)
在(0,
4a2)
上递减;
当x>4a2时,
h'(x)
>0,
h(x)
在(4a2,
+∞)
上递增.
∴x=4a2是h(x)
在(0,
+∞)
上的唯一极值点,
且是极小值点,
从而也是h(x)
的最小值点.
∴最小值φ(a)
=h(4a2)
=2a-aln
4a2=2a(1-ln
2a)
.
(ii)
当a≤0时,
h'(x)
=>0,
h(x)
在(0,
+∞)
上递增,
无最小值.
故h(x)
的最小值φ(a)
的解析式为φ(a)
=2a(1-ln
2a)
(a>0)
.
(Ⅲ)
证明:由(Ⅱ)
知φ'(a)
=-2ln
2a,
对任意的a>0,
b>0,
=-=-ln
4ab,
①
φ'=-2ln=-ln(a+b)
2≤-ln
4ab,
②
φ'=-2ln≥-2ln=-ln
4ab,
③
故由①②③得φ'≤≤φ'.
　　38.解法一:(Ⅰ)
(i)
由f(x)
=x3-x得
f
'(x)
=3x2-1=3.
当x∈和时,
f
'(x)
>0;
当x∈时,
f
'(x)
<0.
因此,
f(x)
的单调递增区间为和,
单调递减区间为.
(ii)
曲线C在点P1处的切线方程为y=(3-1)
(x-x1)
+-x1,
即y=(3-1)
x-2.
由
得x3-x=(3-1)
x-2,
即(x-x1)
2(x+2x1)
=0,
解得x=x1或x=-2x1,
故x2=-2x1.
进而有S1=
==.
用x2代替x1,
重复上述计算过程,
可得x3=-2x2和S2=.
又x2=-2x1≠0,
所以S2=≠0,
因此有=.
(Ⅱ)
记函数g(x)
=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
的图象为曲线C',
类似于(Ⅰ)
(ii)
的正确命题为:若对任意不等于-的实数x1,
曲线C'与其在点P1(x1,
g(x1)
)
处的切线交于另一点P2(x2,
g(x2)
)
,
曲线C'与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,
g(x3)
)
,
线段P1P2,
P2P3与曲线C'所围成封闭图形的面积分别记为S1,
S2,
则为定值.
证明如下:
因为平移变换不改变面积的大小,
故可将曲线y=g(x)
的对称中心平移至坐标原点,
因而不妨设g(x)
=ax3+hx,
且x1≠0.
类似(Ⅰ)
(ii)
的计算可得S1=a,
S2=a≠0.
故=.
解法二:(Ⅰ)
同解法一.
(Ⅱ)
记函数g(x)
=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
的图象为曲线C',
类似于(Ⅰ)
(ii)
的正确命题为:若对任意不等于-的实数x1,
曲线C'与其在点P1(x1,
g(x1)
)
处的切线交于另一点P2(x2,
g(x2)
)
,
曲线C'与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,
g(x3)
)
,
线段P1P2,
P2P3与曲线C'所围成封闭图形的面积分别记为S1,
S2,
则为定值.
证明如下:
由g(x)
=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
得g'(x)
=3ax2+2bx+c,
所以曲线C'在点(x1,
g(x1)
)
处的切线方程为
y=(3a+2bx1+c)
x-2a-b+d.
由得
(x-x1)
2[a(x+2x1)
+b]=0,
所以x=x1或x=--2x1,
即x2=--2x1,
故
S1=[ax3+bx2-(3a+2bx1)
x+2a+b]dx=,
用x2代替x1,
重复上述计算过程,
可得
x3=--2x2和S2=.
又x2=--2x1且x1≠-,
所以S2===≠0,
故=.
　　39.(Ⅰ)
当a=0时,
f(x)
=x2ex,
f
'(x)
=(x2+2x)
ex,
故f
'(1)
=3e.
所以曲线y=f(x)
在点(1,
f(1)
)
处的切线的斜率为3e.
(Ⅱ)
f
'(x)
=[x2+(a+2)
x-2a2+4a]ex.
令f
'(x)
=0,
解得x=-2a或x=a-2.
由a≠知,
-2a≠a-2.
以下分两种情况讨论.
①若a>,
则-2a当x变化时,
f
'(x)
、f(x)
的变化情况如下表
x
(-∞,
-2a)
-2a
(-2a,
a-2)
a-2
(a-2,
+∞)
f
'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)
在(-∞,
-2a)
,
(a-2,
+∞)
内是增函数,
在(-2a,
a-2)
内是减函数.
函数f(x)
在x=-2a处取得极大值f(-2a)
,
且f(-2a)
=3ae-2a.
函数f(x)
在x=a-2处取得极小值f(a-2)
,
且f(a-2)
=(4-3a)
ea-2.
②若a<,
则-2a>a-2.
当x变化时,
f
'(x)
、f(x)
的变化情况如下表
x
(-∞,
a-2)
a-2
(a-2,
-2a)
-2a
(-2a,
+∞)
f
'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)
在(-∞,
a-2)
,
(-2a,
+∞)
内是增函数,
在(a-2,
-2a)
内是减函数.
函数f(x)
在x=a-2处取得极大值f(a-2)
,
且f(a-2)
=(4-3a)
ea-2.
函数f(x)
在x=-2a处取得极小值f(-2a)
,
且f(-2a)
=3ae-2a.
　　40.(Ⅰ)
因f(x)
=ax2+bx+k(k>0)
,
故f
'(x)
=2ax+b,
又f(x)
在x=0处取得极值,
故f
'(0)
=0,
从而b=0.
由曲线y=f(x)
在(1,
f(1)
)
处的切线与直线x+2y+1=0相互垂直可知该切线斜率为2,
即f
'(1)
=2,
有2a=2,
从而a=1.
(Ⅱ)
由(Ⅰ)
知,
g(x)
=(k>0)
,
g'(x)
=(k>0)
,
令g'(x)
=0,
有x2-2x+k=0(k>0)
.
①当Δ=4-4k<0,
即当k>1时,
g'(x)
>0在R上恒成立,
故函数g(x)
在R上为增函数.
②当Δ=4-4k=0,
即当k=1时,
有g'(x)
=>0(x≠1)
,
从而当k=1时,
g(x)
在R上为增函数.
③当Δ=4-4k>0,
即当0方程x2-2x+k=0有两不相等实根x1=1-,
x2=1+.
当x∈(-∞,
1-)
时,
g'(x)
>0,
故g(x)
在(-∞,
1-)
上为增函数;
当x∈(1-,
1+)
时,
g'(x)
<0,
故g(x)
在(1-,
1+)
上为减函数;
当x∈(1+,
+∞)
时,
g'(x)
>0,
故g(x)
在(1+,
+∞)
上为增函数.
　　41.(Ⅰ)
f
'(x)
=(1+kx)
ekx,
f
'(0)
=1,
f(0)
=0,
曲线y=f(x)
在点(0,
f(0)
)
处的切线方程为y=x.
(Ⅱ)
由f
'(x)
=(1+kx)
ekx=0得x=-(k≠0)
.
若k>0,
则当x∈时,
f
'(x)
<0,
函数f(x)
单调递减;
当x∈时,
f
'(x)
>0,
函数f(x)
单调递增.
若k<0,
则当x∈时,
f
'(x)
>0,
函数f(x)
单调递增;
当x∈时,
f
'(x)
<0,
函数f(x)
单调递减.
(Ⅲ)
由(Ⅱ)
知,
若k>0,
则当且仅当-≤-1,
即k≤1时,
函数f(x)
在(-1,
1)
内单调递增;
若k<0,
则当且仅当-≥1,
即k≥-1时,
函数f(x)
在(-1,
1)
内单调递增.
综上可知,
函数f(x)
在区间(-1,
1)
内单调递增时,
k的取值范围是[-1,
0)
∪(0,
1].
　　42.∵
f(x)
=f1(x)
f2(x)
=-(x2-3c)
(x-3b)
+4bc=-x3+bx2+cx+bc,
∴f
'(x)
=-x2+2bx+c.
(Ⅰ)
由f(x)
在x=1处有极值-,
可得
解得或
若b=1,
c=-1,
则f
'(x)
=-x2+2x-1=-(x-1)
2≤0,
此时f(x)
没有极值;
若b=-1,
c=3,
则f
'(x)
=-x2-2x+3=-(x+3)
(x-1)
.
当x变化时,
f(x)
、f
'(x)
的变化情况如下表:
x
(-∞,
-3)
-3
(-3,
1)
1
(1,
+∞)
f
'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小值-12
↗
极大值-
↘
∴当x=1时,
f(x)
有极大值-,
故b=-1,
c=3即为所求.
(Ⅱ)
设曲线y=f(x)
在x=t处的切线的斜率为c,
∵f
'(x)
=-x2+2bx+c,
∴-t2+2bt+c=c,
即t2-2bt=0,
解得t=0或t=2b.
若t=0,
则f(0)
=bc,
得切点为(0,
bc)
,
切线方程为y=cx+bc;
若t=2b,
则f(2b)
=b3+3bc,
得切点为,
切线方程为y=cx+bc+b3.
①若-x3+bx2+cx+bc=cx+bc

x3-3bx2=0,
解得x1=x2=0,
x3=3b,
则此时切线y=cx+bc与曲线y=f(x)
的公共点为(0,
bc)
,
(3b,
4bc)
;
②若-x3+bx2+cx+bc=cx+bc+b3
x3-3bx2+4b3=0,
解得x1=x2=2b,
x3=-b,
此时切线y=cx+bc+b3与曲线y=f(x)
的公共点为
.
综合可知,
当b=0时,
斜率为c的切线与曲线y=f(x)
有且仅有一个公共点(0,
0)
;
当b≠0时,
斜率为c的切线与曲线y=f(x)
有两个不同的公共点,
分别为(0,
bc)
和(3b,
4bc)
或和.
(Ⅲ)
g(x)
=|f
'(x)
|=|-(x-b)
2+b2+c|.
①当|b|>1时,
函数y=f
'(x)
的对称轴x=b位于区间[-1,
1]之外,
∴f
'(x)
在[-1,
1]上的最值在两端点处取得.
故M应是g(-1)
和g(1)
中较大的一个.
∴2M≥g(1)
+g(-1)
=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|≥|4b|>4,
即M>2.
②当|b|≤1时,
函数y=f
'(x)
的对称轴x=b位于区间[-1,
1]内,
此时M=max{g(-1)
,
g(1)
,
g(b)
}.
由f
'(1)
-f
'(-1)
=4b,
有f
'(b)
-f
'(±1)
=(b 1)
2≥0.
(i)
若-1≤b≤0,
f
'(1)
≤f
'(-1)
≤f
'(b)
,
∴g(-1)
≤max{g(1)
,
g(b)
},
于是M=max{|f
'(1)
|,
|f
'(b)
|}≥(|f
'(1)
|+|f
'(b)
|)
≥|f
'(1)
-f
'(b)
|=(b-1)
2≥.
(ii)
若0则f
'(-1)
≤f
'(1)
≤f
'(b)
,
∴g(1)
≤max{g(-1)
,
g(b)
},
于是M=max{|f
'(-1)
|,
|f
'(b)
|}≥(|f
'(-1)
|+|f
'(b)
|)
≥|f
'(-1)
-f
'(b)
|=(b+1)
2>.
综上,
对任意的b、c都有M≥.
而当b=0,
c=时,
g(x)
=在区间[-1,
1]上的最大值M=,
故M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为.
　　43.(Ⅰ)
因为f(x)
=ax2+bx+c,
所以f
'(x)
=2ax+b.
又因为曲线y=f(x)
通过点(0,
2a+3)
,
故f(0)
=2a+3,
而f(0)
=c,
从而c=2a+3.
又曲线y=f(x)
在(-1,
f(-1)
)
处的切线垂直于y轴,
故f
'(-1)
=0,
即-2a+b=0,
因此b=2a.
(Ⅱ)
由(Ⅰ)
得bc=2a(2a+3)
=4-,
故当a=-时,
bc取得最小值-.
此时有b=-,
c=.
从而f(x)
=-x2-x+,
f
'(x)
=-x-.
g(x)
=-f(x)
e-x=e-x,
所以g'(x)
=[f(x)
-f
'(x)
]e-x=-(x2-4)
e-x.
令g'(x)
=0,
解得x1=-2,
x2=2.
当x∈(-∞,
-2)
时,
g'(x)
<0,
故g(x)
在x∈(-∞,
-2)
上为减函数;
当x∈(-2,
2)
时,
g'(x)
>0,
故g(x)
在x∈(-2,
2)
上为增函数;
当x∈(2,
+∞)
时,
g'(x)
<0,
故g(x)
在x∈(2,
+∞)
上为减函数.
由此可见,
函数g(x)
的单调递减区间为(-∞,
-2)
和(2,
+∞)
;单调递增区间为(-2,
2)
.
　　44.(Ⅰ)
f
'(x)
=1-,
由导数的几何意义得f
'(2)
=3,
于是a=-8.
由切点P(2,
f(2)
)
在直线y=3x+1上可得-2+b=7,
解得b=9.
所以函数f(x)
的解析式为f(x)
=x-+9.
(Ⅱ)
f
'(x)
=1-.
当a≤0时,
显然f
'(x)
>0(x≠0)
.
这时f(x)
在(-∞,
0)
、(0,
+∞)
内是增函数;当a>0时,
令f
'(x)
=0,
解得x=±.
当x变化时,
f
'(x)
、f(x)
的变化情况如下表:
x
(-∞,
-)
-
(-,
0)
(0,
)
(,
+∞)
f
'(x)
+
0
-
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
所以f(x)
在(-∞,
-)
、(,
+∞)
内是增函数,
在(-,
0)
、(0,
)
内是减函数.
(Ⅲ)
由(Ⅱ)
知,
f(x)
在上的最大值为f与f(1)
中的较大者,
对于任意的a∈,
不等式f(x)
≤10在上恒成立,
当且仅当即
对任意的a∈成立.
从而得b≤,
所以满足条件的b的取值范围是.
　　45.(Ⅰ)
f
'(x)
=a-,
于是解得或
因a,
b∈Z,
故f(x)
=x+.
(Ⅱ)
证明:已知函数y1=x,
y2=都是奇函数,
所以函数g(x)
=x+也是奇函数,
其图象是以原点为中心的中心对称图形.
而f(x)
=x-1++1.
可知,
函数g(x)
的图象按向量a=(1,
1)
平移,
即得到函数f(x)
的图象,
故函数f(x)
的图象是以点(1,
1)
为中心的中心对称图形.
(Ⅲ)
证明:在曲线上任取一点.
由f
'(x0)
=1-知,
过此点的切线方程为
y-=(x-x0)
.
令x=1得y=,
切线与直线x=1交点为.
令y=x得y=2x0-1,
切线与直线y=x交点为(2x0-1,
2x0-1)
.
直线x=1与直线y=x的交点为(1,
1)
.
从而所围三角形的面积为
|2x0-1-1|=|2x0-2|=2.
所以,
所围三角形的面积为定值2.
　　46.(Ⅰ)
求函数f(x)
的导数:
f
'(x)
=3x2-1.
曲线y=f(x)
,
在点M(t,
f(t)
)
处的切线方程为:
y-f(t)
=f
'(t)
(x-t)
,
即y=(3t2-1)
x-2t3.
(Ⅱ)
证明:如果有一条切线过点(a,
b)
,
则存在t,
使b=(3t2-1)
a-2t3.
于是,
若过点(a,
b)
可作曲线y=f(x)
的三条切线,
则方程2t3-3at2+a+b=0.
有三个相异的实数根.
记g(t)
=2t3-3at2+a+b,
则g'(t)
=6t2-6at=6t(t-a)
当t变化时,
g(t)
,
g'(t)
变化情况如下表:
t
(-∞,
0)
0
(0,
a)
a
(a,
+∞)
g'(t)
+
0
-
0
+
g(t)
↗
极大值a+b
↘
极小值b-f(a)
↗
由g(t)
的单调性,
当极大值a+b<0或极小值b-f(a)
>0时,
方程g(t)
=0最多有一个实数根;
当a+b=0时,
解方程g(t)
=0得t=0,
t=,
即方程g(t)
=0只有两个相异的实数根;
当b-f(a)
=0时,
解方程g(t)
=0,
得t=-,
t=a,
即方程g(t)
=0,
只有两个相异的实数根.
综上,
如果过(a,
b)
可作曲线y=f(x)
三条切线,
即g(t)
=0有三个相异的实数根,
则即-a.
　　47.(Ⅰ)
当a=1时,
f(x)
=,
f(2)
=,
又f
'(x)
==,
f
'(2)
=-.
所以,
曲线y=f(x)
在点(2,
f(2)
)
处的切线方程为
y-=-(x-2)
,
即6x+25y-32=0.
(Ⅱ)
f
'(x)
=.
=.
由于a≠0,
以下分两种情况讨论.
(1)
当a>0时,
令f
'(x)
=0,
得到x1=-,
x2=a.
当x变化时,
f
'(x)
,
f(x)
的变化情况如下表:
x
-
a
(a,
+∞)
f
'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以f(x)
在区间,
(a,
+∞)
内为减函数,
在区间内为增函数.
函数f(x)
在x1=-处取得极小值f,
且f=-a2.
函数f(x)
在x2=a处取得极大值f(a)
,
且f(a)
=1.
(2)
当a<0时,
令f
'(x)
=0,
得到x1=a,
x2=-.
当x变化时,
f
'(x)
,
f(x)
的变化情况如下表:
x
(-∞,
a)
a
-
f
'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)
在区间(-∞,
a)
,
内为增函数,
在区间内为减函数.
函数f(x)
在x1=a处取得极大值f(a)
,
且f(a)
=1.
函数f(x)
在x2=-处取得极小值f,
且f=-a2.
　　48.(Ⅰ)
设y=f(x)
与y=g(x)
(x>0)
在公共点(x0,
y0)
处的切线相同.
∵f
'(x)
=x+2a,
g'(x)
=,
由题意f(x0)
=g(x0)
,
f
'(x0)
=g'(x0)
.
即
由x0+2a=得x0=a或x0=-3a(舍去)
.
则有b=a2+2a2-3a2ln
a=a2-3a2ln
a.
令h(t)
=t2-3t2ln
t(t>0)
,
则h'(t)
=2t(1-3ln
t)
.
于是
当t(1-3ln
t)
>0,
即0h'(t)
>0;
当t(1-3ln
t)
<0,
即t>时,
h'(t)
<0.
故h(t)
在(0,
-)
为增函数,
在(,
+∞)
为减函数.
于是h(t)
在(0,
+∞)
的最大值为h()
=.
(Ⅱ)
证明:设F(x)
=f(x)
-g(x)
=x2+2ax-3a2ln
x-b(x>0)
,
则F'(x)
=x+2a-=(x>0)
.
故F(x)
在(0,
a)
为减函数,
在(a,
+∞)
为增函数,
于是函数F(x)
在(0,
+∞)
上的最小值是
F(a)
=F(x0)
=f(x0)
-g(x0)
=0.
故当x>0时,
有f(x)
-g(x)
≥0,
即当x>0时,
f(x)
≥g(x)
.
　　49.(Ⅰ)
因f(x)
=x3+ax2+bx+1,
故f
'(x)
=3x2+2ax+b.
令x=1,
得f
'(1)
=3+2a+b,
由已知f
'(1)
=2a,
因此3+2a+b=2a,
解得b=-3.
又令x=2,
得f
'(2)
=12+4a+b,
由已知f
'(2)
=-b,
因此12+4a+b=-b,
解得a=-.
因此f(x)
=x3-x2-3x+1,
从而f(1)
=-.
又因为f
'(1)
=2×=-3,
故曲线y=f(x)
在点(1,
f(1)
)
处的切线方程为y-=-3(x-1)
,
即6x+2y-1=0.
(Ⅱ)
由(Ⅰ)
知g(x)
=(3x2-3x-3)
e-x,
从而有g'(x)
=(-3x2+9x)
e-x.
令g'(x)
=0,
得-3x2+9x=0,
解得x1=0,
x2=3.
当x∈(-∞,
0)
时,
g'(x)
<0,
故g(x)
在(-∞,
0)
上为减函数;
当x∈(0,
3)
时,
g'(x)
>0,
故g(x)
在(0,
3)
上为增函数;
当x∈(3,
+∞)
时,
g'(x)
<0,
故g(x)
在(3,
+∞)
上为减函数;
从而函数g(x)
在x1=0处取得极小值g(0)
=-3,
在x2=3处取得极大值g(3)
=15e-3.
　　50.(Ⅰ)
f
'(x)
=-.
由于直线x+2y-3=0的斜率为-,
且过点(1,
1)
,
故即解得a=1,
b=1.
(Ⅱ)
由(Ⅰ)
知f(x)
=+,
所以
f(x)
-=.
考虑函数h(x)
=2ln
x+(x>0)
,
则h'(x)
=.
(i)
设k≤0.
由h'(x)
=知,
当x≠1时,
h'(x)
<0.
而h(1)
=0,
故当x∈(0,
1)
时,
h(x)
>0,
可得h(x)
>0;
当x∈(1,
+∞)
时,
h(x)
<0,
可得h(x)
>0.
从而当x>0,
且x≠1时,
f(x)
->0,
即f(x)
>+.
(ii)
设0由于当x∈时,
(k-1)
(x2+1)
+2x>0,
故h'(x)
>0.
而h(1)
=0,
故当x∈时,
h(x)
>0,
可得h(x)
<0.
与题设矛盾.
(iii)
设k≥1.
此时h'(x)
>0,
而h(1)
=0,
故当x∈(1,
+∞)
时,
h(x)
>0,
可得h(x)
<0.
与题设矛盾.
综合得,
k的取值范围为(-∞,
0].
　　51.(Ⅰ)
设Pk-1(xk-1,
0)
,
由y'=ex得Qk-1(xk-1,
)
点处切线方程为y-=(x-xk-1)
,
由y=0得xk=xk-1-1(2≤k≤n)
.
(Ⅱ)
由x1=0,
xk-xk-1=-1,
得xk=-(k-1)
,
所以|PkQk|==e-(k-1)
,
于是
Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|=1+e-1+e-2+…+e-(n-1)
==.
　　52.(Ⅰ)
由题可得f
'(x)
=2x,
所以过曲线上点(xn,
f(xn)
)
的切线方程为
y-f(xn)
=f
'(xn)
(x-xn)
,
即y-(-4)
=2xn(x-xn)
.
令y=0,
得-(-4)
=2xn(xn+1-xn)
,
即+4=2xnxn+1.
显然xn≠0,
∴
xn+1=+.
(Ⅱ)
证明:(必要性)
若对一切正整数n,
xn+1≤xn,
则x2≤x1,
即+≤x1,
而x1>0,
∴
≥4,
即有x1≥2.
(充分性)
若x1≥2>0,
由xn+1=+,
用数学归纳法易得xn>0,
从而xn+1=+≥2=2(n≥1)
,
即xn≥2(n≥2)
.
又x1≥2,
∴
xn≥2(n≥1)
.
于是xn+1-xn=+-xn==≤0.
即xn+1≤xn对一切正整数n成立.
(Ⅲ)
由xn+1=+,
知xn+1+2=.
同理,
xn+1-2=.
故=.
从而lg=2lg,
即an+1=2an.
所以,
数列{an}成等比数列.
故an=2n-1a1=2n-1lg=2n-1lg
3,
即lg=2n-1lg
3.
从而=,
所以xn=.
　　53.(Ⅰ)
由方程x2+x-1=0解得方程的根为x1,
2=.
又∵
α、β是方程的两个实根,
且α>β,
∴
α=,
β=.
(Ⅱ)
证明:∵
f
'(x)
=2x+1,
∴
an+1=an-=an-=.
an+1-α==
=.
下面用数学归纳法证明当n≥1时,
an-α>0成立.
①当n=1时,
a1-α=1-α=>0,
命题成立;
②假设n=k(k≥1)
时命题成立,
即ak-α>0,
此时有ak>α>0.
则当n=k+1时,
ak+1-α=>0,
命题成立.
根据数学归纳法可知,
对任意的正整数n,
有an-α>0.
(Ⅲ)
根据(Ⅱ)
同理可得,
对任意的正整数n,
有an+1-β=.
仍由(Ⅱ)
知,
对任意的正整数n,
an-α>0.
于是对任意的正整数n,
an>α>β an-β>0.
∵
b1=ln=4ln,
==>0(n>1)
,
∴
bn=2ln=2bn-1(n>1)
,
即数列{bn}是首项为b1,
公比为2的等比数列.
故数列{bn}前n项之和为
Sn==(2n-1)
4ln=(2n+2-4)
ln.
　　54.(1)f
'(x)=2ax,g'(x)=3x2+b.
因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f
'(1)=g'(1).
即a+1=1+b,且2a=3+b.
解得a=3,b=3.
(2)记h(x)=f(x)+g(x).
当b=a2时,h(x)=x3+ax2+a2x+1,
h'(x)=3x2+2ax+a2.
令h'(x)=0,得x1=-,x2=-.
a>0时,h(x)与h'(x)的情况如下:
x
-∞,-
-
-,-
-
-,+∞
h'(x)
+
0
-
0
+
h(x)
↗
↘
↗
所以函数h(x)的单调递增区间为和;单调递减区间为.
当-≥-1,即0函数h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h(-1)=a-a2.
当-<-1,且-≥-1,即2函数h(x)在区间内单调递增,在区间上单调递减,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h=1.
当-<-1,即a>6时,函数h(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减,在区间上单调递增.
又因h-h(-1)=1-a+a2=(a-2)2>0,
所以h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h=1.
　　55.(1)由题设知f
'(x)=3x2+2ax+b,且f
'(-1)=3-2a+b=0,
f
'(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.
(2)由(1)知f(x)=x3-3x.
因为f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以g'(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2,
于是函数g(x)的极值点只可能是1或-2.
当x<-2时,g'(x)<0;当-20,故-2是g(x)的极值点.
当-21时,g'(x)>0,故1不是g(x)的极值点.
所以g(x)的极值点为-2.
(3)令f(x)=t,则h(x)=f(t)-c.
先讨论关于x的方程f(x)=d根的情况,d∈[-2,2].
当|d|=2时,由(2)可知,f(x)=-2的两个不同的根为1和-2,注意到f(x)是奇函数,所以f(x)=2的两个不同的根为-1和2.
当|d|<2时,因为f(-1)-d=f(2)-d=2-d>0,f(1)-d=f(-2)-d=-2-d<0,
所以-2,-1,1,2都不是f(x)=d的根.
由(1)知f
'(x)=3(x+1)(x-1).
①当x∈(2,+∞)时,f
'(x)>0,于是f(x)是单调增函数,从而f(x)>f(2)=2,
此时f(x)=d无实根.
同理,f(x)=d在(-∞,-2)上无实根.
②当x∈(1,2)时,f
'(x)>0,于是f(x)是单调增函数,又f(1)-d<0,f(2)-d>0,y=f(x)-d的图象不间断,所以f(x)=d在(1,2)内有唯一实根.
同理,f(x)=d在(-2,-1)内有唯一实根.
③当x∈(-1,1)时,f
'(x)<0,故f(x)是单调减函数,
又f(-1)-d>0,f(1)-d<0,y=f(x)-d的图象不间断,所以f(x)=d在(-1,1)内有唯一实根.
由上可知:当|d|=2时,f(x)=d有两个不同的根x1,x2满足|x1|=1,|x2|=2;
当|d|<2时,f(x)=d有三个不同的根x3,x4,x5满足|xi|<2,i=3,4,5.
现考虑函数y=h(x)的零点.
(i)当|c|=2时,f(t)=c有两个根t1,t2满足|t1|=1,|t2|=2,而f(x)=t1有三个不同的根,f(x)=t2有两个不同的根,故y=h(x)有5个零点.
(ii)当|c|<2时,f(t)=c有三个不同的根t3,t4,t5满足|ti|<2,i=3,4,5,而f(x)=ti(i=3,4,5)有三个不同的根,故y=h(x)有9个零点.
综上可知,当|c|=2时,函数y=h(x)有5个零点;当|c|<2时,函数y=h(x)有9个零点.
　　56.(Ⅰ)
因f(x)
=a(x-5)
2+6ln
x,
故f
'
(x)
=2a(x-5)
+.
令x=1,
得f(1)
=16a,
f
'
(1)
=6-8a,
所以曲线y=f(x)
在点(1,
f(1))
处的切线方程为y-16a=(6-8a)
(x-1),
由点(0,6)
在切线上可得6-16a=8a-6,
故a=.
(Ⅱ)
由(Ⅰ)
知,
f(x)
=(x-5)
2+6ln
x(x>
0),
f
'
(x)
=x-5+=.
令f
'
(x)
=0,
解得x1=2,
x2=3.
当0<
x<
2或x>
3时,
f
'
(x)
>
0,
故f(x)
在(0,2),
(3,
+∞)
上为增函数;
当2<
x<
3时,
f
'
(x)
<
0,
故f(x)
在(2,3)
上为减函数.
由此可知f(x)
在x=2处取得极大值f(2)
=+6ln
2,
在x=3处取得极小值f(3)
=2+6ln
3.　　57.(Ⅰ)
函数f(x)
的单调递减区间为(-∞,
-1),
单调递增区间为[-1,0),
(0,
+∞).
(3分)
(Ⅱ)
由导数的几何意义可知,
点A处的切线斜率为f
'
(x1),
点B处的切线斜率为f
'
(x2),
故当点A处的切线与点B处的切线垂直时,
有f
'
(x1)
f
'
(x2)
=-1.
当x<
0时,
对函数f(x)
求导,
得f
'
(x)
=2x+2.
因为x1<
x2<
0,
所以(2x1+2)
(2x2+2)
=-1,
所以2x1+2<
0,2x2+2>
0.
因此x2-x1=[-(2x1+2)
+2x2+2]
≥=1,
当且仅当-(2x1+2)
=2x2+2=1,
即x1=-且x2=-时等号成立.
所以函数f(x)
的图象在点A,
B处的切线互相垂直时,
x2-x1的最小值为1.
(7分)
(Ⅲ)
当x1<
x2<
0或x2>
x1>
0时,
f
'
(x1)
≠f
'
(x2),
故x1<
0<
x2.
当x1<
0时,
函数f(x)
的图象在点(x1,
f(x1))
处的切线方程为y-(+2x1+a)
=(2x1+2)
(x-x1),
即y=(2x1+2)
x-+a.
当x2>
0时,
函数f(x)
的图象在点(x2,
f(x2))
处的切线方程为y-ln
x2=(x-x2),
即y=·x+ln
x2-1.
两切线重合的充要条件是
由①及x1<
0<
x2知,
-1<
x1<
0.
由①②得,
a=+ln
-1=-ln(2x1+2)
-1.
设h(x1)
=-ln(2x1+2)
-1(-1<
x1<
0),
则h'
(x1)
=2x1-<
0.
所以h(x1)
(-1<
x1<
0)
是减函数.
则h(x1)
>
h(0)
=-ln
2-1.
所以a>
-ln
2-1.
又当x1∈(-1,0)
且趋近于-1时,
h(x1)
无限增大,
所以a的取值范围是(-ln
2-1,
+∞).
故当函数f(x)
的图象在点A,
B处的切线重合时,
a的取值范围是(-ln
2-1,
+∞).
(14分)　　58.(Ⅰ)
依题意,
设抛物线C的方程为x2=4cy,
由=结合c>
0,
解得c=1.
所以抛物线C的方程为x2=4y.
(Ⅱ)
抛物线C的方程为x2=4y,
即y=x2,
求导得y'
=x.
设A(x1,
y1),
B(x2,
y2)
,
则切线PA,
PB的斜率分别为x1,
x2,
所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),
即y=x-+y1,
即x1x-2y-2y1=0.
同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.
因为切线PA,
PB均过点P(x0,
y0),
所以x1x0-2y0-2y1=0,
x2x0-2y0-2y2=0,
所以(x1,
y1),
(x2,
y2)
为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.
所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.
(Ⅲ)
由抛物线定义可知|AF|=y1+1,
|BF|=y2+1,
所以|AF|·|BF|=(y1+1)
(y2+1)
=y1y2+(y1+y2)
+1,
联立方程消去x整理得y2+(2y0-)
y+=0.
由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,
y1y2=,
所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)
+1=+-2y0+1.
又点P(x0,
y0)
在直线l上,
所以x0=y0+2,
所以+-2y0+1=2+2y0+5=2+.
所以当y0=-时,
|AF|·|BF|取得最小值,
且最小值为.　　59.函数f(x)
的定义域为(0,
+∞),
f
'
(x)
=1-.
(Ⅰ)
当a=2时,
f(x)
=x-2ln
x,
f
'
(x)
=1-(x>
0),
因而f(1)
=1,
f
'
(1)
=-1,
所以曲线y=f(x)
在点A(1,
f(1))
处的切线方程为y-1=-(x-1),
即x+y-2=0.
(Ⅱ)
由f
'
(x)
=1-=,
x>
0知:
①当a≤0时,
f
'
(x)
>
0,
函数f(x)
为(0,
+∞)
上的增函数,
函数f(x)
无极值;
②当a>
0时,
由f
'
(x)
=0,
解得x=a.
又当x∈(0,
a)
时,
f
'
(x)
<
0;
当x∈(a,
+∞)
时,
f
'
(x)
>
0,
从而函数f(x)
在x=a处取得极小值,
且极小值为f(a)
=a-aln
a,
无极大值.
综上,
当a≤0时,
函数f(x)
无极值;
当a>
0时,
函数f(x)
在x=a处取得极小值a-aln
a,
无极大值.　　60.(Ⅰ)
当0≤x≤a时,
f(x)
=;
当x>
a时,
f(x)
=.
因此,
当x∈(0,
a)
时,
f
'
(x)
=<
0,
f(x)
在(0,
a)
上单调递减;
当x∈(a,
+∞)
时,
f
'
(x)
=>
0,
f(x)
在(a,
+∞)
上单调递增.
①若a≥4,
则f(x)
在(0,4)
上单调递减,
g(a)
=f(0)
=.
②若0<
a<
4,
则f(x)
在(0,
a)
上单调递减,
在(a,
4)
上单调递增.
所以g(a)
=max{f(0),
f(4)
}.
而f(0)
-f(4)
=-=,
故当0<
a≤1时,
g(a)
=f(4)
=;
当1<
a<
4时,
g(a)
=f(0)
=.
综上所述,
g(a)
=
(Ⅱ)
由(Ⅰ)
知,
当a≥4时,
f(x)
在(0,4)
上单调递减,
故不满足要求.
当0<
a<
4时,
f(x)
在(0,
a)
上单调递减,
在(a,
4)
上单调递增.
若存在x1,
x2∈(0,4)
(x1<
x2),
使曲线y=f(x)
在(x1,
f(x1)),
(x2,
f(x2))
两点处的切线互相垂直,
则x1∈(0,
a),
x2∈(a,
4),
且f
'
(x1)
·f
'
(x2)
=-1.
即·=-1.
亦即x1+2a=.
(
)
由x1∈(0,
a),
x2∈(a,
4)
得x1+2a∈(2a,
3a),
∈.
故(
)
成立等价于集合A={x|2a<
x<
3a}与集合B=的交集非空.
因为<
3a,
所以当且仅当0<
2a<
1,
即0<
a<
时,
A∩B≠ .
综上所述,
存在a使函数f(x)
在区间(0,4)
内的图象上存在两点,
在该两点处的切线互相垂直,
且a的取值范围是.　　61.(Ⅰ)
f(x)
的反函数为g(x)
=ln
x.
设直线y=kx+1与g(x)
=ln
x的图象在P(x0,
y0)
处相切,
则有y0=kx0+1=ln
x0,
k=g'
(x0)
=,
解得x0=e2,
k=.
(Ⅱ)
曲线y=ex与y=mx2的公共点个数等于曲线y=与y=m的公共点个数.
令φ(x)
=,
则φ'
(x)
=,
∴φ'
(2)
=0.
当x∈(0,2)
时,
φ'
(x)
<
0,
φ(x)
在(0,2)
上单调递减;
当x∈(2,
+∞)
时,
φ'
(x)
>
0,
φ(x)
在(2,
+∞)
上单调递增,
∴φ(x)
在(0,
+∞)
上的最小值为φ(2)
=.
当0<
m<
时,
曲线y=与y=m无公共点;
当m=时,
曲线y=与y=m恰有一个公共点;
当m>
时,
在区间(0,2)
内存在x1=,
使得φ(x1)
>
m,
在(2,
+∞)
内存在x2=me2,
使得φ(x2)
>
m.
由φ(x)
的单调性知,
曲线y=与y=m在(0,
+∞)
上恰有两个公共点.
综上所述,
当x>
0时,
若0<
m<
,
曲线y=f(x)
与y=mx2没有公共点;
若m=,
曲线y=f(x)
与y=mx2有一个公共点;
若m>
,
曲线y=f(x)
与y=mx2有两个公共点.
(Ⅲ)
解法一:
可以证明
>
.
事实上,
>
>
>
>
1-
>
1-(b>
a).
(
)
令ψ(x)
=+-1(x≥0),
则ψ'
(x)
=-
==≥0(当且仅当x=0时等号成立),
∴ψ(x)
在[0,
+∞)
上单调递增,
∴x>
0时,
ψ(x)
>
ψ(0)
=0.
令x=b-a,
即得(
)
式,
结论得证.
解法二:
-
=-
=
=[(b-a)
eb-a+(b-a)
-2eb-a+2],
设函数u(x)
=xex+x-2ex+2(x≥0),
则u'
(x)
=ex+xex+1-2ex,
令h(x)
=u'
(x),
则h'
(x)
=ex+ex+xex-2ex=xex≥0(当且仅当x=0时等号成立),
∴u'
(x)
单调递增,
∴当x>
0时,
u'
(x)
>
u'
(0)
=0,
∴u(x)
单调递增.
当x>
0时,
u(x)
>
u(0)
=0.
令x=b-a,
得(b-a)
eb-a+(b-a)
-2eb-a+2>
0,
∴->
0,
因此,
>
.　　62.(Ⅰ)
由题意f
'
(x)
=3x2-6x+3a,
故f
'
(1)
=3a-3.
又f(1)
=1,
所以所求的切线方程为y=(3a-3)
x-3a+4.
(Ⅱ)
由于f
'
(x)
=3(x-1)
2+3(a-1),
0≤x≤2.
故(i)
当a≤0时,
有f
'
(x)
≤0,
此时f(x)
在[0,2]上单调递减,
故|f(x)
|max=max{|f(0)
|,
|f(2)
|}=3-3a.
(ii)
当a≥1时,
有f
'
(x)
≥0,
此时f(x)
在[0,2]上单调递增,
故|f(x)
|max=max{|f(0)
|,
|f(2)
|}=3a-1.
(iii)
当0<
a<
1时,
设x1=1-,
x2=1+,
则0<
x1<
x2<
2,
f
'
(x)
=3(x-x1)
(x-x2).
列表如下:
x
0
(0,
x1)
x1
(x1,
x2)
x2
(x2,
2)
2
f
'
(x)
+
0
-
0
+
f(x)
3-3a
单调递增
极大值f(x1)
单调递减
极小值f(x2)
单调递增
3a-1
由于f(x1)
=1+2(1-a)
,
f(x2)
=1-2(1-a)
·,
故f(x1)
+f(x2)
=2>
0,
f(x1)
-f(x2)
=4(1-a)
·>
0.
从而f(x1)
>
|f(x2)
|.
所以|f(x)
|max=max{f(0),
|f(2)
|,
f(x1)
}.
(1)
当0<
a<
时,
f(0)
>
|f(2)
|.
又f(x1)
-f(0)
=2(1-a)
-(2-3a)
=>
0,
故|f(x)
|max=f(x1)
=1+2(1-a)
.
(2)
当≤a<
1时,
|f(2)
|=f(2),
且f(2)
≥f(0).
又f(x1)
-|f(2)
|=2(1-a)
-(3a-2)
=,
所以①当≤a<
时,
f(x1)
>
|f(2)
|.
故f(x)
max=f(x1)
=1+2(1-a)
.
②当≤a<
1时,
f(x1)
≤|f(2)
|.
故f(x)
max=|f(2)
|=3a-1.
综上所述,
|f(x)
|max=　　63.(Ⅰ)
因为抛物线C1:
x2=4y上任意一点(x,
y)
的切线斜率为y'
=,
且切线MA的斜率为-,
所以A点坐标为.
故切线MA的方程为y=-(x+1)
+.
因为点M(1-,
y0)
在切线MA及抛物线C2上,
于是y0=-(2-)
+=-.
①
y0=-=-.
②
由①②得p=2.
(6分)
(Ⅱ)
设N(x,
y),
A,
B(x2,
),
x1≠x2,
由N为线段AB中点知x=.
③
y=.
④
切线MA、MB的方程为
y=(x-x1)
+,
⑤
y=(x-x2)
+.
⑥
由⑤⑥得MA,
MB的交点M(x0,
y0)
的坐标为
x0=,
y0=.
因为点M(x0,
y0)
在C2上,
即=-4y0,
所以x1x2
=-.
⑦
由③④⑦得
x2=y,
x≠0.
当x1=x2时,
A,
B重合于原点O,
AB中点N为O,
坐标满足x2=y.
因此AB中点N的轨迹方程为x2=y.
(12分)　　64.(Ⅰ)
设f(x)
=,
则f
'
(x)
=.
所以f
'
(1)
=1.
所以L的方程为y=x-1.
(Ⅱ)
令g(x)
=x-1-f(x),
则除切点之外,
曲线C在直线L的下方等价于g(x)
>
0( x>
0,
x≠1).
g(x)
满足g(1)
=0,
且g'
(x)
=1-f
'
(x)
=.
当0<
x<
1时,
x2-1<
0,
ln
x<
0,
所以g'
(x)
<
0,
故g(x)
单调递减;
当x>
1时,
x2-1>
0,
ln
x>
0,
所以g'
(x)
>
0,
故g(x)
单调递增.
所以,
g(x)
>
g(1)
=0( x>
0,
x≠1).
所以除切点之外,
曲线C在直线L的下方.　　65.(Ⅰ)
由已知得f(0)
=2,
g(0)
=2,
f
'
(0)
=4,
g'
(0)
=4.
而f
'
(x)
=2x+a,
g'
(x)
=ex(cx+d+c),
故b=2,
d=2,
a=4,
d+c=4.
从而a=4,
b=2,
c=2,
d=2.
(Ⅱ)
由(Ⅰ)
知,
f(x)
=x2+4x+2,
g(x)
=2ex(x+1).
设函数F(x)
=kg(x)
-f(x)
=2kex(x+1)
-x2-4x-2,
则
F'
(x)
=2kex(x+2)
-2x-4=2(x+2)
(kex-1).
由题设可得F(0)
≥0,
即k≥1.
令F'
(x)
=0,
得x1=-ln
k,
x2=-2.
(i)
若1≤k<
e2,
则-2<
x1≤0.
从而当x∈(-2,
x1)
时,
F'
(x)
<
0;
当x∈(x1,
+∞)
时,
F'
(x)
>
0.
即F(x)
在(-2,
x1)
上单调递减,
在(x1,
+∞)
上单调递增.
故F(x)
在[-2,
+∞)
上的最小值为F(x1).
而F(x1)
=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)
≥0.
故当x≥-2时,
F(x)
≥0,
即f(x)
≤kg(x)
恒成立.
(ii)
若k=e2,
则F'
(x)
=2e2(x+2)
(ex-e-2).
从而当x>
-2时,
F'
(x)
>
0,
即F(x)
在(-2,
+∞)
上单调递增.
而F(-2)
=0,
故当x≥-2时,
F(x)
≥0,
即f(x)
≤kg(x)
恒成立.
(iii)
若k>
e2,
则F(-2)
=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)
<
0.
从而当x≥-2时,
f(x)
≤kg(x)
不可能恒成立.
综上,
k的取值范围是[1,
e2].　　www.
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课时提升作业
二十二
导数与函数的单调性
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a，b，c为实数，当a2-3b<0时，f(x)是　(　　)
A.增函数
B.减函数
C.常数
D.既不是增函数也不是减函数
【解析】选A.因为f′(x)=3x2+2ax+b，因为Δ=4a2-12b=4(a2-3b)，而a2-3b<0，所以f′(x)>0恒成立，所以函数为增函数.
2.(2016·汉中高二检测)函数y=4x2+的递增区间是(　　)
A.(0，+∞)
B.(-∞，1)
C.
D.(1，+∞)
【解析】选C.函数y=4x2+的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，令y′=8x-=>0，所以x>.
即函数的递增区间为.
3.(2016·宿北高二检测)下列函数中，在(0，+∞)上是增加的是(　　)
A.y=sinx
B.y=xex
C.y=x3-x
D.y=lnx-x
【解析】选B.B中，y′=(xex)′=ex+xex=ex(x+1)>0在(0，+∞)上恒成立，所以y=xex在(0，+∞)上是增加的.对于A，C，D都存在x>0，使y′<0的情况.
4.若存在正数x使2x(x-a)<1成立，则a的取值范围是(　　)
A.(-∞，+∞)
B.(-2，+∞)
C.(0，+∞)
D.(-1，+∞)
【解析】选D.因为2x(x-a)<1，所以a>x-.
令f(x)=x-，所以f′(x)=1+2-xln2>0.
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以f(x)>f(0)=0-1=-1，
所以a的取值范围为(-1，+∞).
5.f(x)是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)+f(x)≤0对任意正数a，b成立，若aA.af(a)≤f(b)
B.bf(b)≤f(a)
C.af(b)≤bf(a)
D.bf(a)≤af(b)
【解析】选C.设g(x)=xf(x)，
则由g′(x)=xf′(x)+f(x)≤0，
知g(x)在(0，+∞)上是减少的.
又0当f(x)>0时，所以af(b)当f(x)=0时，f(b)=f(a)=0，
所以af(b)≤bf(a).
【补偿训练】函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x+4的解集为(　　)
A.(-1，1)　　　　　　　
B.(-1，+∞)
C.(-∞，-1)
D.(-∞，+∞)
【解析】选B.设F(x)=f(x)-(2x+4)，
因为F′(x)=f′(x)-2>0，
所以F(x)在R上是增函数.
因为F(-1)=f(-1)-(-2+4)=0，
所以F(x)>0的解集为{x|x>-1}，
即f(x)>2x+4的解集为(-1，+∞).
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.函数f(x)=sinx-2x的递减区间是__________.
【解析】因为f′(x)=cosx-2<0，
所以f(x)在R上为减函数.
答案：(-∞，+∞)
7.函数f(x)=x3-ax+1既有递增区间，又有递减区间，则a的取值范围是__________.
【解析】因为f′(x)=3x2-a，由条件知f′(x)=0需有两个不等实根，所以a>0.
答案：(0，+∞)
8.(2016·宜春高二检测)如图为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式x·f′(x)<0的解集为__________.
【解析】由f(x)的图像知，f(x)在(-∞，-)和(，+∞)上是增加的，在(-，)上是减少的，
所以当x∈(-∞，-)∪(，+∞)时，f′(x)>0；
当x∈(-，)时，f′(x)<0.
所以x·f′(x)<0的解集为(-∞，-)∪(0，).
答案：(-∞，-)∪(0，)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.(2016·九江高二检测)设函数f(x)=ln(x+a)+x2，若f′(-1)=0，求a的值，并讨论f(x)的单调性.
【解析】因为f′(x)=+2x，
依题意，有f′(-1)=0，故a=.
从而f′(x)==.
又f(x)的定义域为，
当-0；
当-1当x>-时，f′(x)>0.
综上f(x)在区间和上是增加的，在区间上是减少的.
10.(2016·北京高考)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.
(1)求a,b的值.
(2)求f(x)的单调区间.
【解题指南】(1)利用列方程组求解.
(2)求导数后,再构造新的函数,二次求导.
【解析】(1)f′(x)=ea-x-xea-x+b,由切线方程可得
解得a=2,b=e.
(2)f(x)=xe2-x+ex,f′(x)=(1-x)e2-x+e.
令g(x)=(1-x)e2-x,
则g′(x)=-e2-x-(1-x)e2-x=e2-x(x-2).
令g′(x)=0得x=2.
当x<2时,g′(x)<0,g(x)单调递减;
当x>2时,g′(x)>0,g(x)单调递增.
所以x=2时,g(x)取得极小值-1,也是最小值.
所以f′(x)=g(x)+e≥e-1>0.
所以f(x)的增区间为(-∞,+∞),无减区间.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2016·渭南高二检测)若函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图像如图所示，则y=f(x)的图像可能为(　　)
【解析】选C.根据f′(x)的符号，f(x)图像应该是先下降后上升，最后下降，排除A，D；从适合f′(x)=0的点可以排除B.
2.(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf′(x)-f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A.(-∞，-1)∪(0，1)
B.(-1，0)∪(1，+∞)
C.(-∞，-1)∪(-1，0)
D.(0，1)∪(1，+∞)
【解析】选A.记函数g(x)=，
则g′(x)=，
因为当x>0时，xf′(x)-f(x)<0，故当x>0时，
g′(x)<0，所以g(x)在(0，+∞)上单调递减；
又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，
所以g(x)在(-∞，0)上单调递增，且g(-1)=g(1)=0.
当00，则f(x)>0；
当x<-1时，g(x)<0，则f(x)>0，
综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞，-1)∪(0，1).
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.y=x2ex的递增区间是__________.
【解析】y′=2xex+x2ex，令y′>0，即ex(2x+x2)>0，解得x>0或x<-2.
故函数的递增区间为(-∞，-2)，(0，+∞).
答案：(-∞，-2)，(0，+∞)
4.(2016·赣州高二检测)如果函数y=f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个子区间(k-1，k+1)上不是单调函数，那么实数k的取值范围是________.
【解析】显然函数f(x)的定义域为(0，+∞)，y′=4x-=.
由y′>0，得函数f(x)的单调递增区间为；
由y′<0，得函数f(x)的单调递减区间为，
由于函数在区间(k-1，k+1)上不是单调函数，
所以解得1≤k<.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.已知函数f(x)=(x+a)(a∈R).
(1)若函数f(x)有与x轴平行的切线，求a的取值范围.
(2)若f′(-1)=0，求函数f(x)的单调区间.
【解析】因为f(x)=x3+ax2+x+a，
所以f′(x)=3x2+2ax+.
(1)因为函数f(x)有与x轴平行的切线，
所以f′(x)=0有实数解，
则Δ=4a2-4×3×≥0，a2≥，
所以a的取值范围是∪.
(2)因为f′(-1)=0，所以3-2a+=0，a=，
所以f′(x)=3x2+x+=3(x+1).
由f′(x)>0得x<-1或x>-；
由f′(x)<0得-1所以函数f(x)的递增区间是(-∞，-1)和(-，+∞)；
递减区间是.
6.(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=(x-2)·ex+a(x-1)2.
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
【解题指南】(1)求导,根据导函数的符号确定,主要根据导函数零点来分类.(2)借助第一问的叙述,通过分类讨论确定a的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).
(ⅰ)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
(ⅱ)设a<0,由f′(x)=0,解得x=1或x=ln(-2a).
①若a=-,则f′(x)=(x-1)(ex-e),
所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,
②若a>-,则ln(-2a)<1,
故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时,f′(x)>0;
当x∈(ln(-2a),1)时,f′(x)<0,
所以f(x)在(-∞,ln(-2a))和(1,+∞)上单调递增,
在(ln(-2a),1)上单调递减.
③若a<-,则ln(-2a)>1,
故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0;
当x∈(1,ln(-2a))时,f′(x)<0,
所以f(x)在(-∞,1)和(ln(-2a),+∞)上单调递增,
在(1,ln(-2a))上单调递减.
(2)(ⅰ)设a>0,则由(1)知,f(x)在(-∞,1)上单调递减,
在(1,+∞)上单调递增.
又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b则f(b)>(b-2)+a(b-1)2=a>0,
所以f(x)有两个零点.
(ⅱ)设a=0,则f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一个零点.
(ⅲ)设a<0,若a≥-,则由(1)知,
f(x)在(1,+∞)上单调递增.
又当x≤1时,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;
若a<-,则由(1)知,f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减,
在(ln(-2a),+∞)上单调递增,
又当x≤1时,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.
综上,a的取值范围为(0,+∞).
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课时提升作业
一
命题与四种命题
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2016·临汾高二检测)“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”，这个命题的逆否命题是(　　)
A.若一个数是负数，则它的平方是正数
B.若一个数的平方不是正数，则它不是负数
C.若一个数的平方是正数，则它是负数
D.若一个数不是负数，则它的平方是非负数
【解析】选C.命题的逆否命题是其逆命题的否命题.
2.(2016·泰安高二检测)命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是(　　)
A.若α≠，则tanα≠1
B.若α=，则tanα≠1
C.若tanα≠1，则α≠
D.若tanα≠1，则α=
【解析】选C.命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”.
3.(2016·青岛高二检测)命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是(　　)
A.这个数能被2整除
B.这个数能被3整除
C.这个数既能被2整除，也能被3整除
D.这个数是6的倍数
【解析】选C.“若p，则q”的形式：若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除，所以该命题的结论是这个数既能被2整除，也能被3整除.
【误区警示】解答本题易出现分不清条件和结论而错选A或B的错误.
4.(2016·宜宾高二检测)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)
A.若l⊥m，mα，则l⊥α
B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C.若l∥α，mα，则l∥m
D.若l∥α，m∥α，则l∥m
【解析】选B.选项A中l与α也可能倾斜相交或lα或l∥α，选项B正确；选项C中l与m也可能为异面直线；选项D中l与m位置不确定.
5.有下列四个命题：
①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤-1，则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题；
④“若A∪B=B，则A=B”的逆否命题.
其中真命题是(　　)
A.①②
B.②③
C.①③
D.③④
【解题指南】先分别写出相应的各命题，再进行判断.
【解析】选C.①若x，y互为倒数，则xy=1，真命题；
②不相似的三角形周长不相等，假命题；
③若方程x2-2bx+b2+b=0无实根，则b>-1.
因为Δ=4b2-4(b2+b)<0，所以b>0，所以命题为真命题；④若A≠B，则A∪B≠B，假命题.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.(2016·九江高二检测)原命题：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是______________.
【解析】原命题：假命题；
逆命题：设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b，真命题.
否命题：设a，b，c∈R，若a≤b，则ac2≤bc2，真命题.
逆否命题：设a，b，c∈R，若ac2≤bc2，则a≤b，假命题.
答案：2
7.有下列命题：
①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等的三角形面积相等”的否命题；
③“若q<0，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题.
其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).
【解析】①若x，y互为相反数，则x+y=0，真命题；
②不全等的三角形的面积不相等，假命题；
③若x2+2x+q=0无实根，则q≥0，由Δ=4-4q<0，得q>1，真命题.
答案：①③
8.命题“若x∈R，则x2+(a-1)x+1≥0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围为________.
【解题指南】由条件知x2+(a-1)x+1≥0恒成立，然后利用Δ≤0即可求出a的范围.
【解析】由题意得Δ=(a-1)2-4≤0，即-1≤a≤3.
答案：[-1，3]
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.
(1)平面内，两条平行线不相交.
(2)已知x，y为正整数，当y=x+1时，y=3，x=2.
(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分所对的弧.
【解析】(1)在平面内，若两条直线平行，则这两条直线不相交，真命题.
(2)已知x，y为正整数，若y=x+1，则y=3，x=2，假命题.
(3)若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧，真命题.
10.(2016·开封高二检测)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假.
【解析】原命题：已知a，x为实数，若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空，则a≥1.
逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.
判断如下：
抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上，
判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7，
因为a<1，所以4a-7<0，
即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点，
故x2+(2a+1)x+a2+2>0恒成立，
所以不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集，是真命题.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2016·青岛高二检测)若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是(　　)
A.若mβ，α⊥β，则m⊥α
B.若α∩γ=m，β∩γ=n，则α∥β
C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D.若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ
【解题指南】根据空间直线与平面的位置关系的定义，以及判定定理、性质定理，逐一分析四个选项中命题的正误即可.
【解析】选C.若mβ，α⊥β，则m与α的夹角不确定，故A错误；若α∩γ=m，β∩γ=n，则α与β可能平行，也可能相交，故B错误；若m∥α，则存在直线nα，使m∥n，又由m⊥β，可得n⊥β，故α⊥β，故C正确；
若α⊥β，α⊥γ，则β与γ的夹角不确定，故D错误.
2.(2015·山东高考)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是(　　)
A.若方程x2+x-m=0有实根，则m>0
B.若方程x2+x-m=0有实根，则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根，则m>0
D.若方程x2+x-m=0没有实根，则m≤0
【解析】选D.“方程x2+x-m=0有实根”的否定是“方程x2+x-m=0没有实根”；“m>0”的否定即“m≤0”，故命题“若m>0，则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根，则m≤0”.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.设α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条相交直线，则α平行于β.
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行.
(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直.
上面命题中，真命题的序号是__________(写出所有真命题的序号).
【解析】(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条相交直线，则α∥β是真命题.
(2)由线面平行判定定理知(2)正确，为真命题.
(3)由α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，不能推出α和β垂直，故(3)不正确，为假命题.
答案：(1)(2)
4.(2016·临川高二检测)命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是______命题(填“真”或“假”).
【解析】原命题的否命题为“若实数a满足a>2，则a2≥4”，这是真命题.
答案：真
【误区警示】a2≥4包含两层含义，a2>4或a2=4，本题易出现由a>2，只能得到a2>4，而判断为假命题的错误.
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.判断下列命题的真假.
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是π.
②在同一坐标系内，函数y=sinx的图像和y=x的图像有三个交点.
③函数y=sin在[0，π]上是减少的.
【解析】命题①中y=sin4x-cos4x=sin2x-cos2x=-cos2x，显然最小正周期为π，故①为真命题.
②在同一坐标系中，作出y=sinx的图像与y=x的图像，观察可知只有在原点处有一个交点，故②为假命题.
③函数y=sin=-cosx，在[0，π]上是增加的，故③为假命题.
6.在公比为q的等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am，am+2，am+1成等差数列.
(1)写出这个命题的逆命题.
(2)判断公比q为何值时，逆命题为真？公比q为何值时，逆命题为假？
【解题指南】解答本题首先需根据逆命题的概念正确写出逆命题，然后根据等差数列的性质判断逆命题何时为真命题，何时为假命题.
【解析】(1)逆命题：在公比为q的等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am+2，am+1成等差数列，则Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列.
(2)由{an}为等比数列，所以an≠0，q≠0.
由am，am+2，am+1成等差数列，得2am+2=am+am+1，
所以2am·q2=am+am·q，所以2q2-q-1=0.
解得q=-或q=1.
当q=1时，an=a1(n=1，2，…)，
所以Sm+2=(m+2)a1，Sm=ma1，Sm+1=(m+1)a1，
因为2(m+2)a1≠ma1+(m+1)a1，
即2Sm+2≠Sm+Sm+1，所以Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列.即q=1时，原命题的逆命题为假命题.
当q=-时，2Sm+2=2·，
Sm+1=，Sm=，
所以2Sm+2=Sm+1+Sm，
所以Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列.
即q=-时，原命题的逆命题为真命题.
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课时自测·当堂达标
1.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为(　　)
A.-2
B.2
C.-4
D.4
【解析】选D.椭圆+=1的右焦点为(2，0)，抛物线y2=2px的焦点为，依题意，=2，所以p=4.
2.已知抛物线y=ax2的准线方程是y=-2，则此抛物线上的点到准线距离的最小值为(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.因为抛物线y=ax2的准线方程是y=-2，所以此抛物线上的点到准线距离的最小值为顶点到准线的距离，即最小值为2.
3.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|=2，则|BF|=(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1，0)，|AF|=x1+1=2，x1=1，所以直线AF的方程是x=1，此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|=|AF|=2.
4.已知O为原点，抛物线y2=4x上的点P到焦点F的距离为3，则·=________.
【解析】设P(x，y)，依题意，得x+1=3，
所以x=2，y=±2，不妨取P(2，2)，=2，
在△OPF中，由余弦定理，
得cos∠OFP==-，
所以·=cos(π-∠OFP)=1×3×=1.
答案：1
5.已知抛物线y=ax2的焦点为F(0，1)，点P在抛物线上，则点P到直线12x-16y-29=0的距离的最小值为________.
【解析】因为抛物线y=ax2的焦点为F(0，1)，则a=，
所以抛物线方程为x2=4y，
设与直线12x-16y-29=0平行的直线为12x-16y+c=0(c≠-2a)，
将x2=4y代入直线方程，得12x-4x2+c=0，
令Δ=0，得144+16c=0，得c=-9，
所以直线12x-16y-9=0与抛物线相切，
由平行线间的距离公式，得d==1，
所以点P到直线12x-16y-29=0的距离的最小值为1.
答案：1
6.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上，求这个正三角形的边长.
【解析】如图，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则=2px1，=2px2，p>0.
又|OA|=|OB|，所以+=+.
即+2px1=+2px2，
(-)+2p(x1-x2)=0，
[(x1+x2)+2p](x1-x2)=0，
因为x1>0，x2>0，2p>0，所以x1=x2.
由此可得|y1|=|y2|，即线段AB关于x轴对称.
因为x轴垂直于AB，且∠AOx=30°，所以=tan30°=.
所以y1=2px1·=2p，|AB|=2y1=4p.
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课时自测·当堂达标
1.下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是(　　)
A.若a是正数，则a是自然数
B.若a是自然数，则a是正整数
C.若a是正数，则|a|是正数
D.若|a|是正数，则a是正数
【解析】选C.当“若p，则q”为真命题时，p是q的充分条件，选项A，B，D都是假命题，只有选项C是真命题.
2.下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是(　　)
A.若ab=0，则a=0
B.若a>0，则ab>0
C.若tanx=1，则x=45°
D.若lga=1，则a=10
【解析】选D.当“若p，则q”为真命题时，q是p的必要条件，选项A，B，C都是假命题，只有选项D是真命题.
3.若p是q的必要条件，则下列说法正确的是(　　)
A.若p，则q为真
B.若q，则p为真
C.若p，则q的否命题为假
D.若p，则q的逆否命题为真
【解析】选B.若p是q的必要条件，则原命题“若q，则p”一定为真，根据四种命题的关系，原命题的逆命题“若p，则q”不一定为真，但是“若p，则q”的否命题为真，“若p，则q”的逆否命题不一定为真.
4.“x>3”是“|x|>3”的________条件.(填“充分”或“必要”)
【解析】因为x>3 |x|>3，所以x>3是|x|>3的充分条件.
答案：充分
5.若“x>2016”是“x>a”的必要条件，则实数a的取值范围是__________.
【解析】依题意，x>a x>2016，则a≥2016.
答案：[2016，+∞)
6.已知非零向量a，b，判断a=b是a∥b的什么条件，并说明理由.
【解析】由于a=b a∥b，但是a∥ba=b，所以a=b是a∥b的充分条件，a=b不是a∥b的必要条件.
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课时自测·当堂达标
1.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是(　　)
A.28
B.14-8
C.14+8
D.8
【解析】选C.|PF2|+|PQ|+|QF2|=|PF2|-|PF1|+|QF2|-|QF1|+2|PQ|=14+8.
2.已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=________.
【解析】由9y2-m2x2=1(m>0) a=，b=，取顶点，一条渐近线为mx-3y=0，
因为= m2+9=25，所以m=4.
答案：4
3.已知F是双曲线-=1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为________.
【解析】注意到A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′(4，0)，
于是由双曲线的性质得|PF|-|PF′|=2a=4，
而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5，
两式相加，得|PF|+|PA|≥9，
当且仅当A，P，F′三点共线时等号成立.
答案：9
4.已知双曲线过点(3，-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|+|MF2|=6，试判断△MF1F2的形状.
【解析】(1)椭圆方程可化为+=1，焦点在x轴上，且c==，
故设双曲线方程为-=1，
则有解得a2=3，b2=2，
所以双曲线的标准方程为-=1.
(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|-|MF2|=2，
又|MF1|+|MF2|=6，
解得|MF1|=4，|MF2|=2，
又|F1F2|=2，因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，
而cos∠MF2F1=<0，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形.
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课时自测·当堂达标
1.下列用“且”联结的命题是真命题的是(　　)
A.1是素数且是奇数
B.2016能被2整除且能被3整除
C.零的倒数不存在且零的零次幂为1
D.平行四边形的对角线互相平分且相等
【解析】选B.因为2016=2×1008=3×672，所以2016能被2整除且能被3整除.其余命题都是假命题.
2.下列用“或”联结的命题是假命题的是(　　)
A.6是自然数或是奇数
B.菱形的对角线互相垂直或相等
C.正方形的内角为直角或四边相等
D.正弦函数是偶函数或正弦函数是单调函数
【解析】选D.两个简单命题都是假命题时，用“或”联结的新命题才是假命题，因为正弦函数不是偶函数且正弦函数不是单调函数.
3.下列含有“非”的命题正确的是(　　)
A.2不是素数
B.2016不大于2015
C.奇函数的图像不关于原点对称
D.正弦函数的图像不关于y轴对称
【解析】选D.2是素数，A不正确；
2
016大于2
015，B不正确；
奇函数的图像关于原点对称，C不正确；
正弦函数不是偶函数，所以正弦函数的图像不关于y轴对称，D正确.
4.“xy≠0”的意义可以是________.
①x≠0且y≠0；
②x≠0或y≠0；
③点M(x，y)不在坐标轴上；
④x，y至少有一个不为0.
【解析】“xy≠0”的意义可以是x≠0且y≠0，①③正确.
答案：①③
5.“p且q”的否定为________.
【解析】“p且q”的否定为“﹁p或﹁q”.
答案：﹁p或﹁q
6.分别指出由下列命题构成的“p且q”“p或q”“﹁p”形式的新命题的真假：
(1)p：π是无理数，q：π是实数.
(2)p：2>3，q：3+6≠9.
【解析】(1)p且q：π是无理数且π是实数，真命题；
p或q：π是无理数或π是实数，真命题；
﹁p：π不是无理数，假命题.
(2)p且q：2>3且q：3+6≠9，假命题；
p或q：2>3或q：3+6≠9，假命题；
﹁p：2≤3，真命题.
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课时自测·当堂达标
1.全称命题“任意实数的平方是正数”的否定是(　　)
A.任意实数的平方是负数
B.任意实数的平方不是正数
C.有的实数的平方是正数
D.有的实数的平方不是正数
【解析】选D.全称命题的否定是特称命题，改写量词，对结论进行否定.
2.特称命题“有的素数是偶数”的否定是(　　)
A.有的素数不是偶数
B.有的素数是奇数
C.所有的素数都是偶数
D.所有的素数都不是偶数
【解析】选D.特称命题的否定是全称命题，改写量词，对结论进行否定.
3.下列有关命题的叙述正确的个数是(　　)
①命题p：存在x∈R，x2+x+1<0，
p的否定：任意x∈R，x2+x+1≥0.
②命题p：任意x∈R，x2+x+1<0，
p的否定：存在x∈R，x2+x+1≥0.
③命题p：存在x∈R，sinx<-1，
p的否定：存在sinx≥-1.
④命题p：对任意x∈R，sinx<-1，
p的否定：存在x∈R，sinx≥-1.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，调整量词，对结论进行否定.只有③不正确.
4.命题“存在x>1，lgx>1”的否定是_________.
【解析】改变量词，否定结论，则命题“存在x>1，lgx>1”的否定是“对任意x>1，lgx≤1”.
答案：“对任意x>1，lgx≤1”
5.“投掷硬币3次都出现正面”的否定为_________.
【解析】“投掷硬币3次都出现正面”的否定为“投掷硬币3次至少1次出现反面”.
答案：“投掷硬币3次至少1次出现反面”
6.写出下列含有量词的命题的否定，并判断真假：
(1)p：所有矩形的对角线相等.
(2)p：存在实数m，x2+x+m=0的两根都是正数.
【解析】(1)有的矩形的对角线不相等.假命题.
(2)对任意实数m，x2+x+m=0的两根不都是正数.
假设x2+x+m=0的两根x1，x2都是正数，
则必须即此不等式组无解，
所以不存在实数m，使x2+x+m=0的两根都是正数，命题p为假命题，所以p的否定为真命题.
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课时提升作业
四
充要条件
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.下列p是q的充要条件的是(　　)
A.p：a>b，q：ac>bc
B.p：x=1，q：x2-x=0
C.p：b=0，q：函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数
D.p：x>0，y>0，q：xy>0
【解析】选C.A中，c可能为0，不是充要条件，B中，x2-x=0，可解得x=0或x=1，不是充要条件.D中，xy>0，解得x>0，y>0或x<0，y<0，也不是充要条件，只有C正确.
2.(2016·浙江高考)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的　(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】根据充分必要条件的定义来推断是p q还是q p.
【解析】选A.由题意知f(x)=x2+bx=-,最小值为-,令t=x2+bx,则f(f(x))=f(t)=t2+bt=-,t≥-当b<0时,f(f(x))的最小值为-,所以“b<0”能推出“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”;当b=0时,f(f(x))=x4的最小值为0,f(x)的最小值也为0,所以“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”不能推出“b<0”.
【补偿训练】(2014·吉安高二检测)已知A和B是两个非空集合，则“A∩B=B”是“A∪B=A”的(　　)
A.充分不必要条件　　
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】选C.由A∩B=B知B A，由A∪B=A知B A.故A∩B=B是A∪B=A的充要条件.
3.(2016·蚌埠高二检测)关于x的方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0的两根同号的充要条件是(　　)
A.k<-1或k≥
　　
B.-2C.-2≤k<-1或　　
D.-2≤k≤1
【解题指南】方程要有两根同号，具备的条件是首先要存在两根，其次是同号，要注意到二次项系数2(k+1)不能为0.
【解析】选C.方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0的两根同号的充要条件是
-2≤k<-1或【补偿训练】(2016·唐山高二检测)关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有一根大于1，另一根小于1的充要条件是(　　)
A.m<-2或m>0　　　
B.-2C.m≠0
D.m>
【解析】选B.令f(x)=x2+(2m-1)x+m2，因为方程x2+(2m-1)x+m2=0有一根大于1，另一根小于1，则函数f(x)的两个零点分别在x=1的两侧，即f(1)<0，所以1+(2m-1)+m2<0，解得-24.(2015·湖北高考)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则(　　)
A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【解析】选A.若p：l1，l2是异面直线，由异面直线的定义知，l1，l2不相交，所以命题q：l1，l2不相交成立，即p是q的充分条件，反过来，若q：l1，l2不相交，则l1，l2可能平行，也可能异面，所以不能推出l1，l2是异面直线，即p不是q的必要条件.
【补偿训练】(2016·九江高二检测)设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(　　)
A.充分不必要条件　　
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为l⊥α，mα，nα，所以l⊥m且l⊥n，故充分性成立；又l⊥m且l⊥n时，mα，nα不一定有m与n相交，所以l⊥α不一定成立，因此必要性不成立.
5.(2016·九江高二检测)不等式<1的解集记为p，关于x的不等式x2+(a-1)x-a>0的解集记为q，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-2，-1]
B.[-2，-1]
C.(-∞，-2]∪[-1，+∞)
D.(-∞，-2)∪(-1，+∞)
【解析】选A.由题意知p：x>2或x<1；
而x2+(a-1)x-a>0，可化为(x+a)(x-1)>0，
若-a>1，则q：x<1或x>-a.
由p是q的充分不必要条件.
如图得
1≤-a<2即-2若-a≤1，则q：x<-a或x>1.
由p是q的充分不必要条件，
如图得，
-a=1，综上得：-2【补偿训练】已知命题p：<1；命题q：(x+a)(x-1)<0，若p是q的充要条件，则a的值为(　　)
A.0　　　
B.-1　　　
C.1　　　
D.2
【解析】选C.因为<1 <0 -1二、填空题(每小题5分，共15分)
6.“a=b”是“直线y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切”的________条件.
【解析】圆心为(a，b)，半径r=.若a=b，则圆心(a，b)到直线y=x+2的距离d=r；所以直线与圆相切.若直线与圆相切，有=，则a=b或a-b=-4，所以“a=b”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.
答案：充分不必要
7.已知p是r的充分条件而不是必要条件，s是r的必要条件，q是r的充分条件，q是s的必要条件.现有下列命题：
①s是q的充要条件；
②p是q的充分条件而不是必要条件；
③r是q的必要条件而不是充分条件；
④﹁p是s的必要条件而不是充分条件；
⑤r是s的充分条件而不是必要条件.
则正确命题序号是________.
【解析】由p是r的充分条件而不是必要条件，可得p r，由s是r的必要条件可得r s，由q是r的充分条件得q r，由q是s的必要条件可得s q，故可得推出关系如图所示，据此可判断命题①②④正确.
答案：①②④
【补偿训练】已知p，q，r是三个命题，若p是r的充要条件且q是r的必要条件，那么q是p的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.p是r的充要条件且q是r的必要条件，故有p r q，即p q，q不能推出p，所以q是p的必要不充分条件.
8.(2016·文昌高二检测)下列三个说法：
①若k>0，则方程x2+2x-k=0有实数根；
②“x>2”是“<”的充分不必要条件；
③设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件.
其中正确的序号是________.
【解析】由k>0 Δ=4+4k>0 方程x2+2x-k=0有实数根，①正确；由x>2 0<< <，②正确；若a1<0，q>1，则{an}为递减数列，③错误.
答案：①②
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.设函数f(x)=x|x-a|+b，求证：f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0.
【证明】充分性：若a2+b2=0，则a=b=0，
所以f(x)=x|x|，
因为f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)对一切x∈R都成立，
所以f(x)是奇函数.
必要性：若f(x)是奇函数，则对一切x∈R，有f(-x)=-f(x)恒成立，即-x|-x-a|+b=-x|x-a|-b，令x=0，
得b=-b，所以b=0；
令x=a，得a|2a|=0，所以a=0，即a2+b2=0.
10.求关于x的不等式(a2-3a+2)x2+(a-1)x+2>0在R上恒成立的充要条件.
【解析】(1)由a2-3a+2=0，得a=1或a=2，
当a=1时，原不等式为2>0恒成立，所以a=1合适，
当a=2时，原不等式为x+2>0，即x>-2，在R上不恒成立，故a=2应舍去.
(2)当a2-3a+2≠0时，必须有
解得
即a<1或a>.
综上可知，不等式在R上恒成立的充要条件是a≤1或a>.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2016·天津高考)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的　(　　)
A.充要条件　
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】分y≥0和y<0取绝对值讨论.
【解析】选C.当y≥0时,x>y x>|y|;
当y<0时x>|y| x>y但x>yx>|y|.
所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.
【补偿训练】(2015·沈阳高二检测)“λ≤1”是“数列{an}，其中an=n2-2λn(n∈N
)为递增数列”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当λ≤1时，有an+1-an=(n+1)2-2λ(n+1)-(n2-2λn)
=n2+2n+1-2λn-2λ-n2+2λn=2n-2λ+1，由于n∈N
，所以2n+1≥3，而λ≤1，故2n-2λ+1>0，所以数列{an}为递增数列；当{an}为递增数列时，由2n-2λ+1>0，得2λ<2n+1，即λ<成立，由n∈N
，可知λ<，故“λ≤1”是“数列{an}，其中an=n2-2λn(n∈N
)为递增数列”的充分不必要条件.
2.(2016·泰安高二检测)已知x，y∈R，则“x+y=1”是“xy≤”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为x+y=1 xy=x(1-x)
=-+≤，
xy≤x+y=1，
所以“x+y=1”是“xy≤”的充分不必要条件.
【补偿训练】已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列结论正确的是
(　　)
①Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；
②Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件；
③Δ=b2-4ac>0是这个方程有实根的必要条件；
④Δ=b2-4ac<0是这个方程没有实根的充要条件.
A.③④　　　　　　　　
B.②③
C.①②③
D.①②④
【解题指南】可利用Δ=b2-4ac的值判断方程根的情况，Δ=0方程有两相等实根；Δ>0方程有两不等实根；Δ<0方程无实根.
【解析】选D.①对，Δ≥0 方程ax2+bx+c=0有实根；
②对，Δ=0 方程ax2+bx+c=0有实根；
③错：Δ>0 方程ax2+bx+c=0有实根，但ax2+bx+c=0有实根不能推出Δ>0；
④对，Δ<0 方程ax2+bx+c=0无实根.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.命题p：|x|0)，命题q：x2-x-6<0，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________，若p是q的必要条件，则a的取值范围是________.
【解析】p：-a若p是q的充分条件，则(-a，a) (-2，3)，
所以即a≤2.
若p是q的必要条件，
则(-2，3) (-a，a)，
所以即a≥3.
答案：a≤2　a≥3
【误区警示】注意区分“A是B的充分条件”和“A是B的充分不必要条件”，若A B，则A是B的充分条件，若A B且BA，则A是B的充分不必要条件.
4.平面向量a，b共线的充要条件是________.(填序号)
①a，b方向相同；
②a，b两向量中至少有一个为零向量；
③存在λ∈R，b=λa；
④存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a+λ2b=0.
【解析】对于①，a，b方向相同时，a，b共线，但a，b共线时，a，b不一定方向相同，因此①不是充要条件.若a，b两向量中至少有一个为零向量，则a，b共线，但a，b共线时，a，b可能都是非零向量，如a=(1，2)，b=(2，4)，从而②不是充要条件.当b=λa时，a，b一定共线；但a，b共线时，若b≠0，a=0，则b=λa就不成立，从而③也不是充要条件.对于④，假设λ1≠0，则a=-b，因此a，b共线；反之，若a，b共线且为非零向量时，则存在非零实数m，n，使a=b，即ma-nb=0，令λ1=m，λ2=-n，则λ1a+λ2b=0；若a，b中存在零向量时，显然成立.
答案：④
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0，且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.
【证明】(1)充分性：当q=-1时，a1=p-1.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).
当n=1时，上式也成立.
于是==p，
即数列{an}为等比数列.
(2)必要性：当n=1时，a1=S1=p+q.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).
因为p≠0且p≠1，
所以==p.
因为{an}为等比数列，
所以==p=，
所以q=-1.
即数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.
6.求方程x2+kx+1=0与x2+x+k=0有一个公共实根的充要条件.
【解题指南】求两方程有一公共实根的充要条件，就是把两方程联立方程组求解.
【解析】
所以两方程有一公共根的充要条件为k=-2.
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课时自测·当堂达标
1.在f′(x0)=中，Δx不可能(　　)
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.大于0或小于0
【解析】选C.因为Δx=x2-x1，故Δx可正可负，但不为0.
2.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)
A.f
′(x)=a
B.f
′(x)=b
C.f
′(x0)=a
D.f
′(x0)=b
【解析】选C.因为f′(x0)=
==(a+bΔx)=a.
3.下列点中，在曲线y=x2上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　)
A.(0，0)　　
B.(2，4)　　
C.　
　D.
【解析】选D.k===(2x+Δx)=2x.因为倾斜角为，所以斜率为1.
所以2x=1，得x=，此时y=.
4.曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)
A.-9
B.-3
C.9
D.15
【解析】选C.因为y′==[(Δx)2+3xΔx+3x2]=3x2，所以切线的斜率k=3，又因为切点为P(1，12)，故切线方程为3x-y+9=0，令x=0，得y=9.
5.设曲线y=f(x)=在点(3，2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a等于(　　)
A.2
B.
C.-
D.-2
【解析】选D.因为y=，所以y′==-，所以f′(3)=-，由题意可知-a=2，解得a=-2.
6.已知函数y=f(x)=-x2+x在区间[t，1]上的平均变化率为2，则t=________.
【解析】因为Δy=f(1)-f(t)=(-12+1)-(-t2+t)=t2-t，
所以==-t.又因为=2，所以t=-2.
答案：-2
7.已知函数y=ax2+b在点(1，3)处的切线斜率为2，则=________.
【解析】=(a·Δx+2a)=2a=2，
所以a=1，又3=a×12+b，所以b=2，即=2.
答案：2
8.求过曲线y=在点处的切线方程.
【解析】因为===-.所以这条曲线在点处的切线斜率为-，由直线的点斜式方程可得切线方程为y-=-(x-2)，即x+4y-4=0.
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课时提升作业
十七
变化的快慢与变化率
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.已知函数y=f(x)=sinx，当x从变到时，函数值的改变量Δy=(　　)
A.-　
B.　
C.
D.
【解析】选B.Δy=f-f=sin-sin=1-=.
2.(2016·亳州高二检测)设函数f(x)在点x0附近有定义，且f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a，b为常数)，则函数f(x)在点x0处的瞬时变化率为(　　)
A.a
B.b
C.a+Δx
D.b+Δx
【解析】选A.因为=
==a+bΔx，当Δx趋于0时，
趋于a.所以函数f(x)在点x0处的瞬时变化率为a.
【补偿训练】函数y=x+在x=1处的瞬时变化率是(　　)
A.2　　　
B.　　　
C.1　　　
D.0
【解析】选D.因为Δy=(Δx+1)+-1-1
=Δx+，所以=1-，
所以当Δx趋于0时，趋于0，故函数y=x+在x=1处的瞬时变化率为0.
3.(2016·吉安高二检测)如果函数y=f(x)=ax+b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则(　　)
A.a=-3
B.a=3
C.a=2
D.a的值不能确定
【解析】选B.根据平均变化率的定义可知==a=3.
【补偿训练】(2016·西安高二检测)函数y=f(x)=lnx+1从e到e2的平均变化率为________.
【解析】因为Δy=f(e2)-f(e)=(lne2+1)-(lne+1)=1，Δx=e2-e，所以=.
答案：
二、填空题(每小题4分，共8分)
4.运动方程为s=t3的物体，在时刻t=4的瞬时速度为________.
【解析】因为Δs=s(4+Δt)-s(4)=(4+Δt)3-43
=48Δt+12(Δt)2+(Δt)3，
所以=48+12Δt+(Δt)2.
所以当Δt趋于0时，趋于48，即在时刻t=4的瞬时速度为48.
答案：48
5.经过研究，某个婴儿从出生到第24个月的体重变化如图所示，那么该婴儿体重的平均变化率哪一年较大？________.(填“第一年”或“第二年”)
【解析】由题图知，第一年该婴儿体重的平均变化率是=0.625；第二年该婴儿体重的平均变化率是=0.25.因为0.625>0.25，所以第一年该婴儿体重的平均变化率较大.
答案：第一年
三、解答题
6.(10分)(2016·阜阳高二检测)柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠状液体.如果开始加热后第x小时的沥青温度(单位：℃)满足
y=f(x)=
(1)求开始加热后15分钟时沥青温度的瞬时变化率.
(2)求开始加热后第4小时沥青温度的瞬时变化率.
【解析】(1)因为0≤x≤1时，f(x)=80x2+20，
15分钟=0.25小时.
=
=
==40+80Δx，
当Δx趋于0时，趋于40.
即开始加热后15分钟时的瞬时变化率为40.
(2)因为1当x=4时，=
==-(6+Δx)
当Δx趋于0时，趋于-，即开始加热后第4小时的瞬时变化率为-.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　)
A.1
B.-1
C.2
D.-2
【解析】选B.===-1.
2.(2016·蚌埠高二检测)一个物体的运动方程是s=2t2+at+1，该物体在t=1的瞬时速度为3，则a=(　　)
A.-1
B.0
C.1
D.7
【解析】选A.因为Δs=2(1+Δt)2+a(1+Δt)+1-(2+a+1)=2(Δt)2+(4+a)Δt，所以=2Δt+4+a.
所以当Δt趋于0时，趋于4+a，即该物体在t=1的瞬时速度为4+a.所以4+a=3，即a=-1.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.已知函数f(x)=x2+2x-5的图像上的一点A(-1，-6)及邻近一点B(-1+Δx，-6+Δy)，则=________.
【解题指南】先求出自变量的变化量Δx=x2-x1，再求出函数值的变化量
Δy=f(x2)-f(x1)，从而求出平均变化率.
【解析】Δy=f(-1+Δx)-f(-1)=(-1+Δx)2+2(-1+Δx)-5+6=(Δx)2+1-2+1
=(Δx)2，
所以=Δx.
答案：Δx
4.将半径为R的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR，则铁球的表面积增加____________.
【解析】ΔS=4π(R+ΔR)2-4πR2=8πR(ΔR)+4π(ΔR)2.
答案：8πR(ΔR)+4π(ΔR)2
三、解答题
5.(10分)质点M按规律s=s(t)=at2+1做直线运动(位移s的单位：m，时间t的单位：s).问是否存在常数a，使质点M在t=2s时的瞬时速度为8m/s？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
【解析】假设存在常数a，则Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a×22-1
=4a+4aΔt+a(Δt)2+1-4a-1=4aΔt+a(Δt)2，所以==4a+aΔt.当Δt趋于0时，4a+aΔt趋于4a，由题易知4a=8，解得a=2.所以存在常数a=2，使质点M在t=2s时的瞬时速度为8m/s.
【补偿训练】若函数y=f(x)=-x2+x在[2，2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于-1，求Δx的范围.
【解析】因为函数f(x)在[2，2+Δx]上的平均变化率为：=
=
==-3-Δx，
所以由-3-Δx≤-1，得Δx≥-2.
又因为Δx>0，即Δx的取值范围是(0，+∞).
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课时自测·当堂达标
1.曲线f(x)=ex在点A(0，1)处的切线斜率为(　　)
A.1
B.2
C.e
D.
【解析】选A.由条件得f′(x)=ex，根据导数的几何意义，可得k=f′(0)=e0=1.
2.曲线y=在点处的切线的斜率为(　　)
A.3
B.
C.
D.-
【解析】选D.因为y′=-，所以在点处的切线斜率为-.
3.已知f(x)=xa，若f′(-1)=-4，则a等于(　　)
A.4
B.-4
C.5
D.-5
【解析】选A.f′(x)=axa-1，f′(-1)=a(-1)a-1=-4，所以a=4.
4.已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值为(　　)
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选C.因为y′==k，
所以x=，切点坐标为，
又切点在曲线y=lnx上，所以ln=1，
即=e，所以k=.
5.曲线y=在其上一点P处的切线的斜率为-4，则点P的坐标为________.
【解析】y′=′=-=-4，x=±，点P的坐标为或.
答案：或
6.求抛物线y=x2上的点到直线2x+y+2=0的最短距离.
【解析】因为y=x2，所以y′=2x.而抛物线y=x2与直线2x+y+2=0平行的切线只有一条，且k=-2，也就是2x=-2，这个切点坐标为(-1，1).该点到直线的距离为d==.
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课时自测·当堂达标
1.下列语句中是命题的是(　　)
A.1是奇数吗？
B.sinα=
C.x2-1>0
D.x2+1≤0
【解析】选D.选项A，B，C都不能判断真假，对于一切实数x，x2+1>0都成立，所以只有选项D是假命题.
2.下列命题中的真命题是(　　)
A.2-1是整数
B.tan315°是自然数
C.ln是有理数
D.是有理数
【解析】选C.因为2-1=是分数，tan315°=-1不是自然数，ln=是有理数，=是无理数.
3.命题：“若f(x)在R上是奇函数，则f(0)=0”的逆否命题是________命题.(填“真”或“假”)
【解析】原命题的逆否命题是“若f(0)≠0，则f(x)在R上不是奇函数”，是真命题.
答案：真
4.命题“若x=3，则x2=9”的否命题是______________.
【解析】命题“若x=3，则x2=9”的否命题是“若x≠3，则x2≠9”.
答案：若x≠3，则x2≠9
5.已知原命题“若x2-3x+2=0，则x=2”，写出其逆命题，否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假性.
【解析】原命题：若x2-3x+2=0，则x=2，假命题；
逆命题：若x=2，则x2-3x+2=0，真命题；
否命题：若x2-3x+2≠0，则x≠2，真命题；
逆否命题：若x≠2，则x2-3x+2≠0，假命题.
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课时提升作业
七
逻辑联结词“且”“或”“非”
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.命题“2和3都是素数”的形式是(　　)
A.简单命题
B.p且q
C.p或q
D.﹁p
【解析】选B.“2和3都是素数”即“2是素数且3是素数”.
2.(2016·南昌高二检测)已知命题p：a2+b2<0(a，b∈R)，命题q：a2+b2≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是(　　)
A.“p或q”为真
B.“p且q”为真
C.“﹁p”为假
D.“﹁q”为真
【解析】选A.因为p为假，q为真，所以“p且q”为假，“p或q”为真，“﹁p”为真，“﹁q”为假.
3.(2016·南昌高二检测)有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x2=1的解为x=±1，其中使用逻辑联结词的命题有(　　)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.①中有“且”；②中没有；③中有“非”；④中有“或”.
4.(2016·三明高二检测)下列结论错误的是(　　)
A.命题“若p，则q”与命题“若﹁q，则﹁p”互为逆否命题
B.命题p：任意x∈[0，1]，ex≥1，命题q：存在x∈R，x2+x+1<0，则p或q为真
C.“若am2D.若p或q为假命题，则p，q均为假命题
【解析】选C.选项A正确；p真q假，p或q为真，B正确；若a5.命题p：“方程x2+2x+a=0有实数根”；命题q：“函数f(x)=(a2-a)x是增函数”，若“p且q”为假命题，且“p或q”为真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A.a>0
B.a≥0
C.a>1
D.a≥1
【解题指南】先分别求出命题p，q为真的充要条件，再分别求出p，q为假的充要条件，利用分类讨论思想求解.
【解析】选B.命题p：“方程x2+2x+a=0有实数根”的充要条件为Δ=4-4a≥0，即a≤1，则﹁p为真时，a>1；
命题q：“函数f(x)=(a2-a)x是增函数”的充要条件为a2-a>0，即a<0或a>1，
则“﹁q”为真命题时，0≤a≤1.
由“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，得p，q一真一假：
若p真q假，则0≤a≤1；若p假q真，则a>1.
所以实数a的取值范围是a≥0.
【延伸探究】若本题变为“﹁q”为假命题且“p或(﹁q)”为真命题，其余条件不变，则实数a的取值范围是________.
【解析】由“﹁q”为假命题且“p或(﹁q)”为真命题，得p真q真，所以实数a的取值范围是a<0.
答案：a<0
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.(2016·抚州高二检测)(1)如果命题“p或q”和“﹁p”都是真命题，则命题q的真假是________.
(2)如果命题“p且q”和“﹁p”都是假命题，则命题q的真假是________.
【解析】(1)由“﹁p”是真命题可知p假，又由于“p或q”为真，所以q为真.(2)由“﹁p”是假命题可知p真，又由于“p且q”是假命题，所以q假.
答案：(1)真　(2)假
7.(2016·汉中高二检测)若命题p：x∈(A∩B)，则命题“﹁p”是________.
【解析】命题p：x∈(A∩B)，即为x∈A且x∈B，故“﹁p”是x A或x B.
答案：x A或x B
【补偿训练】命题“若a【解析】命题“若a命题的否定为“若a答案：若a≥b，则2a≥2b　若a8.已知命题p：“存在x∈R，使4x+2x+1+m=0”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是________.
【解析】非p为假命题，则p为真命题.
令2x=t(t>0)，
则t2+2t=-m，
结合函数图像知-m>0，即m<0.
答案：(-∞，0)
【补偿训练】p：<0，q：x2-4x-5<0，若p且q为假命题，则x的取值范围是________________________________.
【解析】当p为真时，x<3；
当q为真时，-1因为p且q为假命题，
所以p，q中至少有一个为假，
所以x≥3或x≤-1.
答案：(-∞，-1]∪[3，+∞).
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”及“﹁p”形式，并判断真假：
(1)p：2n-1(n∈Z)是奇数，q：2n-1(n∈Z)是偶数.
(2)p：集合中的元素是确定的，q：集合中的元素是无序的.
【解析】(1)p或q，2n-1(n∈Z)是奇数或是偶数；(真)
p且q：2n-1(n∈Z)既是奇数又是偶数；(假)
﹁p：2n-1(n∈Z)不是奇数.(假)
(2)p或q：集合中的元素是确定的或是无序的；(真)
p且q：集合中的元素是确定的且是无序的；(真)
﹁p集合中的元素是不确定的.(假).
10.(2016·六安高二检测)设命题p：不等式|2x-1|【解析】由|2x-1|所以命题p：a=2.
由4x≥4ax2+1的解集是 ，得4ax2-4x+1≤0无解.
即对任意x∈R，4ax2-4x+1>0恒成立，
所以
解得a>1.故命题q：a>1.
由“p或q”为真命题，得p，q中至少有一个真命题.
当p，q均为假命题，
则即{a|a≤1}，
又{a|a≤1}的补集为{a|a>1}.
即所求实数a的取值范围是{a|a>1}.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2016·银川高二检测)在下列结论中，正确的结论是(　　)
①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；
②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；
③“p或q”为真是“﹁p”为假的必要不充分条件；
④“﹁p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件.
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
【解析】选B.①③是正确的，②④是错误的，其中②中，“p且q”为假是“p或q”为真的既不充分也不必要条件，④“﹁p”为真，“p”为假，所以“﹁p”为真是“p且q”为假的充分不必要条件.
2.(2016·宜春高二检测)有下列结论：
(1)命题p：任意x∈R，x2>0总成立，则命题﹁p：任意x∈R，x2≤0总成立.
(2)设p：>0，q：x2+x-2>0，则p是q的充分不必要条件.
(3)命题：若ab=0，则a=0或b=0，其否命题是真命题.
(4)非零向量a与b满足|a|=|b|=|a-b|，则a与a+b的夹角为30°.
其中正确的结论有(　　)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】选C.对于(1)命题p：任意x∈R，x2>0总成立的否定﹁p应为存在x∈R，使x2≤0成立，故错误；对于(2)p：>0可化为{x|x>0或x<-2}，q：x2+x-2>0可化为{x|x>1或x<-2}，故p是q的必要不充分条件，故错误；对于(3)“若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题为“若a=0或b=0，则ab=0”为真命题，故根据逆命题与否命题互为等价命题可知否命题为真命题.对于(4)|a|=|b|=|a-b|，则根据平行四边形法则得，四边形是以a，b为邻边一个角为60°的菱形，所以a与a+b的夹角为30°.所以为真命题.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.已知命题p：x=π是y=|sinx|的一条对称轴，q：2π是y=|sinx|的最小正周期.下列命题：
①p或q；②p且q；③﹁p；④﹁q.
其中真命题的序号是________.
【解析】因为π是y=|sinx|的最小正周期，
所以q为假.
由题意知p为真，
所以p或q为真，p且q为假，﹁p为假，﹁q为真.
答案：①④
4.已知命题p：m∈R，且m+1≤0，命题q：x∈R，x2+mx+1>0恒成立，若p且q为假命题，p或q为真命题，则m的取值范围是________.
【解析】p：m≤-1，q：-2因为p且q为假命题，p或q为真命题，
所以p与q一真一假，
当p假q真时，-1当p真q假时，m≤-2，
故m的取值范围是m≤-2或-1答案：m≤-2或-1三、解答题(每小题10分，共20分)
5.(2016·九江高二检测)已知命题p：不等式x2+kx+1≥0对于一切x∈R恒成立，命题q：已知方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的实数根，若p且q为假，p或q为真.求实数k的取值范围.
【解析】当p为真命题时，Δ=k2-4≤0，
所以-2≤k≤2.
当q为真命题时，令f(x)=x2+(2k-1)x+k2，方程有两个大于1的实数根
即
所以k<-2.
要使p且q为假，p或q为真，则p真q假，
或者是p假q真.当p真q假时，-2≤k≤2，
当p假q真时，k<-2.
综上：k≤2.
6.命题甲：关于x的不等式x2+(a-1)x+a2≤0的解集为 ，命题乙：函数y=(2a2-a)x为增函数.分别求出符合下列条件的实数a的取值范围.
(1)甲、乙至少有一个是真命题.
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题.
【解析】甲命题为真时，Δ=(a-1)2-4a2<0，
即a>或a<-1，
乙命题为真时，2a2-a>1，即a>1或a<-.
(1)甲为假时，-1≤a≤，乙为假时，-≤a≤1，则甲、乙都为假时，-≤a≤，
即{a|-≤a≤}，
则其补集为.
所以甲、乙至少有一个是真命题时，a的取值范围是.
(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：当甲真乙假时，所以甲、乙中有且只有一个是真命题时，a的取值范围是.
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课时提升作业
二十
导数的加法与减法法则
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.(2016·南昌高二检测)若对任意实数x，恒有f′(x)=4x3，f(1)=-1，则此函数可以为(　　)
A.f(x)=-1+x4
B.f(x)=x4-2
C.f(x)=x3-2
D.f(x)=x4+1
【解析】选B.由f(1)=-1，排除A，D；又对任意实数x，恒有f′(x)=4x3，则f(x)=x4+c，故排除C.
2.已知f(x)=(2x+1)2-+3a，若f′(-1)=4，则f(-1)=(　　)
A.19
B.20
C.21
D.22
【解析】选C.因为f(x)=(2x+1)2-+3a
=4x2+4x+1-+3a，
所以f′(x)=8x+4+，
所以f′(-1)=-8+4+2a=4，则a=4，
所以f(x)=(2x+1)2-+12，
则有f(-1)=1+8+12=21.
3.y=ax2+1的图像与直线y=x相切，则a=(　　)
A.
B.
C.
D.1
【解析】选B.y′=2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0=1，
所以x0=，所以y0=，代入y=ax2+1得，=+1，所以a=.
二、填空题(每小题4分，共8分)
4.设函数f(x)=x3-x2+bx+c，其中a>0，曲线y=f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y=1，则b=________，c=________.
【解析】由f(x)=x3-x2+bx+c知f(0)=c，
f′(x)=x2-ax+b，
所以f′(0)=b，
又因为曲线y=f(x)在点P(0，f(0))处的切线为y=1.
所以f′(0)=0，f(0)=1，故b=0，c=1.
答案：0　1
5.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f=ax3+x+1的图像在点处的切线过点，则a=________.
【解析】因为f′(x)=3ax2+1，所以图像在点(1，f(1))处的切线的斜率k=3a+1，所以切线方程为y-7=(3a+1)(x-2)，即y=(3a+1)x-6a+5，又切点为，
所以f(1)=3a+1-6a+5=-3a+6，又f(1)=a+2，
所以-3a+6=a+2，解得a=1.
答案：1
三、解答题
6.(10分)(2016·商洛高二检测)已知抛物线y=x2-4及直线y=x+2，求：
(1)直线与抛物线交点的坐标.
(2)抛物线在交点处的切线方程.
【解析】(1)联立方程
解得或
所以交点坐标为(3，5)和(-2，0).
(2)因为y′=2x，所以在交点(3，5)处抛物线的切线的斜率为k1=6，
则切线方程为y-5=6(x-3)，即6x-y-13=0.
在交点(-2，0)处抛物线的切线的斜率为k2=-4，
则切线方程为y=-4(x+2)，即4x+y+8=0.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.已知函数f(x)=x4+ax2-bx，且f′(0)=-13，f′(-1)=-27，则a+b等于(　　)
A.18
B.-18
C.8
D.-8
【解析】选A.因为f′(x)=4x3+2ax-b，
由
所以所以a+b=5+13=18.
2.(2016·黄山高二检测)直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1，3)，则2a+b的值为(　　)
A.2
B.-1
C.1
D.-2
【解析】选C.由条件知，点A在直线上，
所以k=2，又点A在曲线上，
所以a+b+1=3，所以a+b=2.
由y=x3+ax+b得y′=3x2+a，
所以3+a=k，所以a=-1，
所以b=3，则2a+b=1.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.若函数y=f(x)满足f(x-1)=1-2x+x2，则y′=f′(x)=________.
【解析】因为f(x-1)=1-2x+x2=(x-1)2，
所以f(x)=x2，f′(x)=2x.
答案：2x
4.曲线y=x3-x+3在点(1，3)处的切线方程为________.
【解析】因为点(1，3)在曲线y=x3-x+3上，y′=3x2-1，所以曲线y=x3-x+3在点(1，3)处的切线的斜率为2，所以切线方程为y-3=2(x-1)，即2x-y+1=0.
答案：2x-y+1=0
三、解答题
5.(10分)已知函数f(x)=-1(a>0)的图像在x=1处的切线为l，求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.
【解题指南】函数f(x)在x=1处的切线，隐含着切线过点(1，f(1))，应求出f′(1)，再用点斜式求出切线方程.
【解析】因为f′(x)=，所以f′(1)=，
又因为f(1)=-1，
所以切线l的方程为y-+1=(x-1)，
令x=0，得y=--1，令y=0得x=，
所以三角形的面积
S=·=
≥×(2+2)=1，
当且仅当a=，即a=1时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1.
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课时自测·当堂达标
1.函数y=的导数是(　　)
A.-
B.-sinx
C.-
D.-
【解析】选C.y′=′=
=-.
2.函数f(x)=的导数是(　　)
A.f′(x)=
B.f′(x)=
C.f′(x)=
D.f′(x)=
【解析】选C.f′(x)==.
3.设f(x)=ax2-bsinx，且f′(0)=1，f′=，则a=________，b=________.
【解析】因为f′(x)=2ax-bcosx，
所以f′(0)=-b=1，即b=-1，
又f′=2×a×+=，所以a=0.
答案：0　-1
4.曲线y=xex+2x+1在点(0，1)处的切线方程为________.
【解析】y′=ex+xex+2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率k=e0+0+2=3，所以所求切线方程为y-1=3x，即y=3x+1.
答案：y=3x+1
5.若函数f(x)=在x=c处的导数值与函数值互为相反数，求c的值.
【解析】由于f(x)=，所以f(c)=，
又f′(x)==，
所以f′(c)=.
由题意知f(c)+f′(c)=0，所以+=0，
所以2c-1=0，得c=.
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课时提升作业
八
椭圆及其标准方程
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.椭圆4x2+y2=1的焦点坐标为(　　)
A.(±，0)
B.
C.
D.(0，±)
【解析】选C.因为+=1，所以椭圆的焦点在y轴上，并且a2=1，b2=，所以c2=，即焦点坐标为.
2.平面内与点F1(-1，0)，F2(1，0)的距离之和为4的点的轨迹方程为(　　)
A.+y2=1
B.+x2=1
C.+=1
D.+=1
【解析】选C.平面内与点F1(-1，0)，F2(1，0)的距离之和为4的点的轨迹为椭圆，其中c=1，a=2，b2=a2-c2=3，所以椭圆的标准方程为+=1.
3.(2016·抚州高二检测)已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为(　　)
A.2
B.3
C.5
D.7
【解析】选D.由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a=10，|PF1|=3，所以|PF2|=10-|PF1|=7.
4.(2016·渭南高二检测)与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且b=2的椭圆方程是(　　)
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】选D.由9x2+4y2=36，得+=1，
所以=9，=4，得c1=，
所以焦点坐标为(0，)，(0，-).
因为所求椭圆与9x2+4y2=36有相同焦点，设方程为+=1，则a2=b2+c2=(2)2+()2=25，
所以所求方程为+=1.
【一题多解】由9x2+4y2=36，得+=1，设与9x2+4y2=36共焦点的椭圆的方程为：+=1.
由4+k=(2)2，得k=16.
所以所求椭圆方程为+=1.
5.已知椭圆+y2=1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且·=0，则点M到x轴的距离为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解题指南】由·=0知△MF1F2为直角三角形，可根据面积求M到x轴的距离.
【解析】选C.由·=0，得MF1⊥MF2，
可设||=m，||=n，
在△F1MF2中，由m2+n2=4c2
得(m+n)2-2mn=4c2，
根据椭圆的定义有m+n=2a，所以2mn=4a2-4c2，
故mn=2b2，即mn=2，所以=·mn=1，
设点M到x轴的距离为h，
则×|F1F2|×h=1，又|F1F2|=2，故h=.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.(2016·枣庄高二检测)已知F1，F2为椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点.若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=________.
【解析】由椭圆的定义，得
|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，
因为|AB|+|F2A|+|F2B|=4a=20，
所以|AB|=20-|F2A|-|F2B|=8.
答案：8
7.已知焦点在x轴上的椭圆，焦距为4，且过点A(3，0)，则该椭圆的标准方程为________________.
【解析】由c=2可设椭圆的标准方程为+=1，
将点A(3，0)代入，得a2=9，所以标准方程为+=1.
答案：+=1
8.(2016·西安高二检测)已知椭圆+y2=1的焦点为F1，F2，设P(x0，y0)为椭圆上一点，当∠F1PF2为直角时，点P的横坐标x0=________.
【解析】由椭圆的方程为+y2=1，得c=2，
所以F1(-2，0)，F2(2，0)，=(-2-x0，-y0)，
=(2-x0，-y0).
因为∠F1PF2为直角，所以·=0，
即+=4，①
又+=1，②
①②联立消去得=，所以x0=±.
答案：±
【延伸探究】若把条件“当∠F1PF2为直角时”改为|PF1|=+，则
∠F1PF2=________.
【解析】由椭圆的方程为+y2=1，
得2a=2，2c=4，
因为|PF1|+|PF2|=2a=2，
所以|PF2|=-，
而|PF1|2+|PF2|2=(+)2+(-)2
=16=|F1F2|2，
所以∠F1PF2为直角.
答案：90°
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.(2016·萍乡高二检测)求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，-10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.
【解析】(1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以可设它的标准方程为+=1(a>b>0)，
因为椭圆经过点(2，0)和(0，1)，所以
故所求椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以可设它的标准方程为+=1(a>b>0)，
因为点P(0，-10)在椭圆上，所以a=10，
又因为P到它较近的一个焦点的距离等于2，
所以-c-(-10)=2，故c=8，从而b2=a2-c2=36，
所以所求椭圆的标准方程是+=1.
10.在△ABC中，已知点B(-6，0)，C(0，8)，且sinB，sinA，sinC成等差数列.
(1)求证：顶点A在一个椭圆上运动.
(2)指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距.
【解析】(1)由题意，得sinB+sinC=2sinA，
由正弦定理，得sinB=，sinC=，sinA=，
所以有b+c=2a，
即|AC|+|AB|=2|BC|(大于|BC|)，
所以顶点A到定点B，C的距离的和是常数(大于|BC|)，即顶点A在一个椭圆上运动.
(2)这个椭圆的焦点坐标分别是(-6，0)，(0，8)，焦距是10.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2016·西安高二检测)椭圆+=1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为(　　)
A.4
B.2
C.8
D.
【解析】选A.如图，由椭圆的定义，得
|MF1|+|MF2|=2a=10，
所以|MF2|=10-|MF1|=8，
由三角形中位线的性质，得|ON|=|MF2|=4.
2.(2016·抚州高二检测)设P是椭圆+=1上一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值是(　　)
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选C.设||=m，||=n，||=2c=2，2a=6，2b=4，
由椭圆第一定义得m+n=2a=6≥2 0利用余弦定理得cos∠F1PF2===-1，
当mn=9时，cos∠F1PF2最小值是-.
【拓展延伸】椭圆上的点与两焦点连线情况的判断
(1)椭圆上的点与两焦点连线夹角最大的是短轴的端点.
(2)当短轴的端点与两焦点连线的夹角为90°时，椭圆上只有短轴两端点与两焦点连线夹角为90°.
(3)当短轴的端点与两焦点连线夹角大于90°时，椭圆上有4个点与两焦点连线夹角为90°.
(4)当短轴的端点与两焦点连线夹角小于90°时，椭圆上不存在与两焦点连线夹角为90°的点.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是__________.
【解析】因为折叠后的M与F重合，
所以|PM|=|PF|，又因为|PM|+|PO|=r，
所以|PF|+|PO|=r>|OF|，
故点P的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.
答案：椭圆
4.(2016·吉安高二检测)已知F1，F2分别为椭圆+=1的两个焦点，点P在椭圆上，若P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，则△PF1F2的面积为____________.
【解题指南】分别讨论以F1，F2，P为直角顶点，求出点P的坐标，进而求出
△PF1F2的面积.
【解析】依题意，可知当以F1或F2为三角形的直角顶点时，点P的坐标为，则点P到x轴的距离为，此时△PF1F2的面积为；
当以点P为三角形的直角顶点时，点P的纵坐标的绝对值为>3，舍去.
故△PF1F2的面积为.
答案：
【误区警示】本题在讨论以P点为三角形的直角顶点时，求出P点的纵坐标为，而忽视P点在椭圆上，应满足yP≤3的限制，而得出面积为9的错误结论.
【补偿训练】已知F1，F2是椭圆C：+=1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为9，则b=__________.
【解析】由题意，得
解得a2-c2=9，即b2=9，所以b=3.
答案：3
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.(2016·铜川高二检测)如图所示，已知定点A(-2，0)，动点B是圆F：(x-2)2+y2=64(F为圆心)上的一点，线段AB的垂直平分线交BF于P，求动点P的轨迹方程.
【解析】连接PA，圆F：(x-2)2+y2=64的圆心F(2，0)，半径R=8，因为线段AB的垂直平分线交BF于点P，所以|PA|=|PB|，
所以|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|BF|=R
=8>|AF|=4，
由定义知点P的轨迹是一椭圆，
则依题意有2a=8，c=2，所以a=4，b2=12.
所以动点P的轨迹方程为+=1.
6.设F1，F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，-1).
(1)若C为椭圆上异于B的一点，且=λ，求λ的值.
(2)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值.
【解析】(1)设C(x0，y0)，B(0，-1)，F1(-，0)，
由=λ得x0=，y0=-.
又+=1，所以有λ2+6λ-7=0，解得λ=-7或λ=1，又与方向相反，故λ=1舍去.
(2)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|，所以△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BF1|≤8，
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1周长最大，最大值为8.
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课时自测·当堂达标
1.双曲线-y2=1与椭圆+=1的(　　)
A.焦点相同
B.顶点相同
C.实轴与长轴相同
D.短轴与虚轴相同
【解析】选A.双曲线-y2=1的两个焦点为(-4，0)，(4，0)，椭圆+=1的两个焦点也为(-4，0)，(4，0).
2.设双曲线-=1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A.y=±x
B.y=±2x
C.y=±x
D.y=±x
【解析】选C.由已知得b=1，c=，a==，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x=±x.
3.设F1和F2为双曲线-=1(a>0，b>0)的两个焦点，若F1，F2，P(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为(　　)
A.
B.2
C.
D.3
【解析】选B.因为tan==，
所以3c2=4b2=4(c2-a2)，所以e==2.
4.如果双曲线-=1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是________.
【解析】设双曲线-=1上任意一点P(x，y)，双曲线的右焦点为F(，0)，
|PF|2=(x-)2+y2=
=(x-)2+x2-2=，
依题意，得=4，解得x=，所以点P到y轴的距离是.
答案：
5.已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y=x，点P(，y0)在双曲线上，求·.
【解析】由渐近线方程为y=x知双曲线是等轴双曲线，所以双曲线的方程是x2-y2=2，于是两焦点坐标分别是(-2，0)和(2，0)，且P(，1)或P(，-1).
不妨取P(，1)，则=(-2-，-1)，
=(2-，-1).
所以·=(-2-，-1)(2-，-1)
=-(2+)(2-)+1=0.
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课时提升作业
九
椭圆的简单性质
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2015·广东高考)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4，0)，则m=(　　)
A.9
B.4
C.3
D.2
【解析】选C.由题意得：m2=25-42=9，
因为m>0，所以m=3.
2.(2016·汉中高二检测)椭圆+=1的焦距为2，则m的值等于(　　)
A.5
B.8
C.5或3
D.5或8
【解析】选C.若m>4，则m-4=1，所以m=5；
若0所以m=3.故m=5或3.
【补偿训练】若椭圆+=1的离心率为，则m的值等于(　　)
A.-
B.
C.-或3
D.或3
【解析】选C.当m>0时，=，所以m=3；
当-93.(2016·莆田高二检测)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由题意得a=2c，e==.
【补偿训练】(2015·济南高二检测)椭圆C1：+=1和椭圆C2：+=1(0A.等长的长轴
B.相等的焦距
C.相等的离心率
D.等长的短轴
【解题指南】依据椭圆的几何性质求解，注意变量的取值范围.
【解析】选B.依题意知椭圆C2的焦点在y轴上，对于椭圆C1：焦距=2=8，对于椭圆C2：焦距=2=8.
4.(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),右焦点F(c,0),
则直线l的方程为+=1,
即bx+cy-bc=0,
由题意可知=b,
又a2=b2+c2,得b2c2=b2a2,
所以e==.
【补偿训练】椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为(　　)
A.+=1
B.+=1
C.+=1或+=1
D.+=1或+=1
【解析】选D.由题意知a=5，c=4，
所以b2=a2-c2=9，
当焦点在x轴上时，椭圆方程为+=1；
当焦点在y轴上时，椭圆方程为+=1.
5.(2016·西安高二检测)设AB是椭圆+=1(a>b>0)的长轴，若把线段AB分为100等份，过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是(　　)
A.98a
B.99a
C.100a
D.101a
【解析】选D.由椭圆的定义及其对称性可知，
|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a，|F1P50|=a，故结果应为50×2a+|F1P50|=101a.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.(2016·井冈山高二检测)椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是____________.
【解析】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b=1，a2+b2=()2，即a2=4，所以椭圆的标准方程为+y2=1或+x2=1.
答案：+y2=1或+x2=1
7.(2016·抚州高二检测)若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为________.
【解析】如图，b=c b2=c2 a2=2c2，所以e==.
答案：
8.(2016·临潼高二检测)一个顶点为(0，2)，离心率e=，坐标轴为对称轴的椭圆方程为__________.
【解析】(1)当椭圆焦点在x轴上时，
由已知得b=2，e==，
所以a2=，b2=4，
所以方程为+=1.
(2)当椭圆焦点在y轴上时，
由已知得a=2，e==，
所以a2=4，b2=3，所以方程为+=1.
答案：+=1或+=1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.已知椭圆的两焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|.
(1)求此椭圆的方程.
(2)若点P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面积.
【解析】(1)依题意得|F1F2|=2，
又2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，
所以|PF1|+|PF2|=4=2a.
所以a=2，c=1，b2=3.
所以所求椭圆的方程为+=1.
(2)设P点坐标为(x，y)，
因为∠F2F1P=120°，
所以PF1所在直线的方程为y=(x+1)·tan
120°，
即y=-(x+1).
解方程组得5x2+8x=0，
并注意到x<0，y>0，可得
所以=|F1F2|·=.
10.(2016·榆林高二检测)如图所示，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=，一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变.
(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程.
(2)试判断该方程是否为椭圆方程，若是，请写出其长轴长、焦距、离心率.
【解析】(1)以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，
则A(-1，0)，B(1，0)，
由题设可得|PA|+|PB|=|CA|+|CB|
=+=2.
由椭圆定义知动点P的轨迹为椭圆.
不妨设动点P的轨迹方程为+=1(a>b>0)，
则a=，c=1，b==1，
所以曲线E的方程为+y2=1.
(2)由(1)的求解过程知曲线E的方程是椭圆方程，其长轴长为2，焦距为2，离心率为.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2016·赣州高二检测)已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为
(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.
记线段PF的中点为M，椭圆中心为O，
连结OM，PF'，
则有|PF'|=2|OM|，
2a-2=2b，
a-=，
1-=，解得e2=，e=.
2.(2015·福建高考)已知椭圆E：+=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点.若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.不妨设左焦点为F2，连结AF2，BF2，由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分，所以四边形AFBF2为平行四边形，
所以+=+=2a=4，
所以a=2，设M(0，b)，所以d=b≥ b≥1，
所以e==≤=，
又e∈(0，1)，所以e∈.
【补偿训练】已知椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P是椭圆上的一个动点，求·的取值范围.
【解析】由+=1，得F1(-，0)，F2(，0)，
设P(x0，y0)，则=(--x0，-y0)，
=(-x0，-y0).
所以·=(-5)+.　①
又+=1，所以=4-，代入①，
所以·=-1，
因为0≤≤9，所以0≤≤5，
所以-1≤·≤4，所以·∈[-1，4].
【误区警示】本题易出现只注意到≥0得出·≥-1的错误，错误的原因是忽视了点P(x0，y0)在椭圆上，x0应满足x0∈[-3，3].
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2016·南昌高二检测)椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1(0，-c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2-，则椭圆的方程是____________.
【解析】由题意可知=，a-c=2-，
解得a=2，c=，从而b2=1.
又因为焦点在y轴上，所以所求的方程为+x2=1.
答案：+x2=1
4.(2016·萍乡高二检测)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且=2，则椭圆C的离心率为__________.
【解析】如图，
不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0)，B(0，b)为上顶点，F(c，0)为右焦点，设D(x，y)，
由=2，得(c，-b)=2(x-c，y)，
即解得所以D.
因为点D在椭圆上，所以+=1，
解得a2=3c2，即e2=，所以e=.
答案：
【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为+=1(a>0，b>0)，右焦点为F，直线l方程为：x=，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2=d1，则椭圆C的离心率为________.
【解题指南】利用d2=d1构建关于参数a，b，c的关系式.
【解析】由原点到直线BF的距离为d1得d1=，因F到l的距离为d2故d2=-c，
又d2=d1，所以-c= a2-c2=
1-e2=e2，又=，解得e=.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率.
【解析】如图，不妨设椭圆的焦点在x轴上，
因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，
所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1=30°.
令|AF1|=x，则|AF2|=2x.
所以|F1F2|==x=2c.
由椭圆定义，可知|AF1|+|AF2|=2a，
所以e===.
6.如图，A，B，C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心，⊥，||=2||，求椭圆的方程.
【解析】由题意知A(2，0)，
设椭圆方程为+=1.
点C的坐标为(m，n)，
则点B的坐标为(-m，-n).
因为⊥，所以·=0，
即(m-2，n)·(2m，2n)=0，
所以m2-2m+n2=0.(※)
因为||=2||，
所以||=||，
即=，所以m=1.
将m=1代入(※)得n=1，
所以C(1，1).
将x=1，y=1代入椭圆方程，得+=1，
所以b2=.
故椭圆方程为+=1.
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课时提升作业
二十四
实际问题中导数的意义
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2016·蚌埠高二检测)某汽车启动阶段的路程函数为s(t)=2t3-5t2(t表示时间)，则t=2时，汽车的加速度是(　　)
A.14　　
B.4　
C.10　
D.6
【解析】选A.因为速度v(t)=s′(t)=6t2-10t.所以加速度a(t)=v′(t)=12t-10，当t=2时，a(2)=14，即t=2时汽车的加速度为14.
2.某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y=f(x)，假设f′(x)>0恒成立，且f′(10)=10，f′(20)=1，则这些数据说明第20天与第10天比较(　　)
A.公司已经亏损
B.公司的盈利在增加，但增加的幅度变小
C.公司在亏损且亏损幅度变小
D.公司的盈利在增加，增加的幅度变大
【解析】选B.导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的.
3.某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)=-t3-4t2+20t+15，则s′(1)的实际意义为
(　　)
A.汽车刹车后1
s内的位移
B.汽车刹车后1
s内的平均速度
C.汽车刹车后1
s时的瞬时速度
D.汽车刹车后1
s时的位移
【解析】选C.由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度.
4.(2016·萍乡高二检测)设球的半径为时间t的函数R(t).若球的体积以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径(　　)
A.成正比，比例系数为C
B.成正比，比例系数为2C
C.成反比，比例系数为C
D.成反比，比例系数为2C
【解析】选D.根据题意，V=πR3(t)，S=4πR2(t)，
球的体积增长速度为V′=4πR2(t)·R′(t)
球的表面积增长速度S′=2·4πR(t)·R′(t)，
又因为球的体积以均匀速度C增长，所以球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C.
5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是(　　)
【解析】选A.开始启动，从原点开始；加速行驶，则路程的增速较快；匀速行驶，路程的增速是常数；减速行驶，路程的增速减慢.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.(2016·商洛高二检测)一质点沿直线运动，如果由始点起经过ts后的位移为s=3t2+t，则速度v=10时的时刻t=__________.
【解析】因为s′=6t+1，所以v(t)=6t+1，
令6t+1=10，则t=.
答案：
7.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为__________.
【解析】因为y′=-x2+81=-(x+9)(x-9)，
所以函数在(0，9)上增，(9，+∞)上减，
所以当x=9时y有最大值.
答案：9万件
【补偿训练】把长60cm的铁丝围成矩形，当长为________cm，宽为________cm时，矩形面积最大.
【解析】设长为xcm，则宽为(30-x)cm，所以面积S=x(30-x)=-x2+30x，由S′=-2x+30=0，得x=15.所以S在x=15处取得极大值即最大值，此时宽为15cm.
答案：15　15
8.有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s=s(t)=5-，则当t=1s时，梯子上端下滑的速度为__________.
【解析】因为v=s′=，所以当t=1时，v==.所以当t=1s时，梯子上端下滑的速度为m/s.
答案：m/s
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.在F1赛车中，赛车位移s与比赛时间t存在函数关系s=10t+5t2(s的单位为m，t的单位为s).
求：(1)t=20，Δt=0.1时的Δs与.
(2)求t=20时的瞬时速度.
【解析】(1)因为Δs=s(20.1)-s(20)
=(10×20.1+5×20.12)-(10×20+5×202)
=21.05(m)，
所以==210.5(m/s).
(2)因为s′=10+10t，所以当t=20时，
s′=10+10×20=210(m/s)，
即t=20时的瞬时速度为210m/s.
10.当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候，细菌数量还会继续增加，随着时间的增加，它增加的幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂t小时后的细菌数量为b(t)=105+104t-103t2.
(1)求细菌在t=5与t=10时的瞬时速度.
(2)细菌在哪段时间增加，在哪段时间减少？为什么？
(3)b′(5)和b′(10)的实际意义是什么？
【解析】b′(t)=104-2×103t.
(1)b′(5)=104-2×103×5=0，
b′(10)=104-2×103×10=-104.
所以细菌在t=5与t=10时的瞬时速度分别为0和-104.
(2)由b′(t)>0得t<5，由b′(t)<0得t>5.所以细菌在(0，5)时间段增加，在(5，+∞)时间段减少.
(3)b′(5)表示在t=5时，细菌数量几乎不增不减.
b′(10)表示在t=10时，细菌数量以104的速度减少.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2016·汉中高二检测)细杆AB的长为20cm，M为细杆AB上的一点，AM段的质量与A到M的距离的平方成正比，当AM=2cm时，AM的质量为8g，那么当AM=xcm时，M处的细杆线密度ρ(x)为(　　)
A.2x
B.3x
C.4x
D.5x
【解析】选C.当AM=xcm时，设AM的质量为f(x)=kx2，因为f(2)=8，所以k=2，即f(x)=2x2，故细杆线密度ρ(x)=f′(x)=4x.
2.如图，设有定圆C和定点O，
当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是(　　)
【解析】选D.由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快.
选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；
选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；
选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；
选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快.符合实际.
【补偿训练】向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系如图所示，那水瓶的形状是(　　)
【解析】选B.在曲线上任取一个横坐标为h0的点，则注水量V在h0到h0+Δh的平均变化率为，在h0处的导数为V′=.由图像可知，
随着h0的增大，曲线的切线的倾斜角越来越小，切线的斜率也就越来越小，即导数越来越小，那么在Δh不变的前提下，平均变化率=ΔS，因此，水瓶中水面的面积会越来越小.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2016·南昌高二检测)若某段导体通过的电量Q(单位：C)与时间t(单位：s)的函数关系为Q=f(t)=t2+t-80，t∈[0，30]，则f′(15)=__________，它的实际意义是__________.
【解析】Q′=f′(t)=t+1，令t=15，
则f′(15)=(C/s)，这表示t=15s时的电流强度，即单位时间内通过的电量.
答案：C/s　t=15s时的电流强度为C/s
4.(2016·西安高二检测)酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，水升高的瞬时变化率为__________.
【解析】设水深为h时，水面半径为r，
则=，所以r=h，
经过ts后，水的体积为20t，
则20t=π·h，即h(t)=，
所以h′(t)=×.
又h=4时，r=，V=3π，所以t=，h′=.
答案：cm/s
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.一个电路中，流过的电荷量Q(单位：C)关于时间t(单位：s)的函数为Q(t)=3t2-lnt.
(1)求当t从1变到2时，电荷量Q关于t的平均变化率，并解释它的实际意义.
(2)求Q′(2)，并解释它的实际意义.
【解题指南】(1)按平均变化率的公式计算平均变化率.
(2)电荷量对于时间的导数是电流.
【解析】(1)当t从1变到2时，电荷量从Q(1)变到Q(2)，此时电荷量关于时间t的平均变化率为=≈8.31，它表示从t=1s到t=2s这段时间内，平均每秒经过该电路的电量为8.31C，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31A.
(2)Q′(t)=6t-，Q′(2)=11.5，它的实际意义是，在t=2s这一时刻，每秒经过该电路的电量为11.5C，也就是这一时刻电路的电流为11.5A.
6.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)=p0(1+5%)t，其中p0为t=0时的物价.
(1)假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？
(2)若某种商品的p0=5，那么在第10个年头，这种商品价格上涨的速度大约是多少？(精确到0.01)
【解析】(1)因为p0=1，所以p(t)=(1+5%)t=1.05t.根据基本初等函数导数公式，
有p′(t)=(1.05t)′=1.05t·ln1.05.
所以p′(10)=1.0510ln1.05≈0.08(元/年).
因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
(2)当p0=5时，p(t)=5×(1+5%)t=5×1.05t.
由导数公式，p′(t)=(5×1.05t)′=5×1.05t×ln1.05.
所以p′(10)=5×1.0510×ln1.05≈0.40(元/年).
因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.40元/年的速度上涨.
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课时自测·当堂达标
1.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9，若f(x)在x=-3时取得极值，则a等于(　　)
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.f′(-3)=0 a=5.
2.已知函数f(x)=ax3-x2+x-5在(-∞，+∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为(　　)
A.a>
B.a≥
C.a<且a≠0
D.a≤且a≠0
【解析】选C.f′(x)=3ax2-2x+1，
函数f(x)在(-∞，+∞)上有极大值，也有极小值，
等价于f′(x)=0有两个不等实根，
即解得a<且a≠0.
3.设函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈R)，若x=-1为函数g(x)=f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y=f(x)的图像是(　　)
【解析】选D.g(x)=f(x)ex，
则g′(x)=f′(x)ex+f(x)ex，
因为x=-1为函数g(x)的一个极值点，
所以g′(-1)=f′(-1)e-1+f(-1)e-1=0.
所以f′(-1)=-f(-1).D选项中，f(-1)>0，
所以f′(-1)=-f(-1)<0，这与图像不符.
4.函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是________.
【解析】要使f′(x)=3ax2+1=0有解，则x2=->0，所以函数f(x)有极值的充要条件是a<0.
答案：a<0
5.若函数f(x)=在x=1处取得极值，则a=________.
【解析】f′(x)=.f′(1)==0 a=3.
答案：3
6.设f(x)=，其中a为正实数.
(1)当a=时，求f(x)的极值点.
(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.
【解析】对f(x)求导得f′(x)=ex.
(1)当a=时，若f′(x)=0，则4x2-8x+3=0，
解得x1=，x2=.当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如表：
x
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大
↘
极小
↗
所以x=是极小值点，x=是极大值点.
(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合f′(x)与条件a>0，知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，由此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0，又a>0，故0关闭Word文档返回原板块www.
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课时自测·当堂达标
1.已知原命题“若p，则q”为真命题，则逆命题、否命题、逆否命题中一定为真命题的个数为(　　)
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.原命题与逆否命题为等价命题，真假性相同.
2.命题“若a=1，则a2=1”的否命题为(　　)
A.若a≠1，则a2=1
B.若a=1，则a2≠1
C.若a≠1，则a2≠1
D.若a2≠1，则a≠1
【解析】选C.将原命题的条件与结论分别进行否定得到否命题.
3.关于原命题“若b=0，则直线y=3x+b过原点”的下列说法正确的是(　　)
A.原命题真，逆命题假
B.原命题真，否命题假
C.否命题假，逆否命题真
D.逆命题真，否命题真
【解析】选D.原命题“若b=0，则直线y=3x+b过原点”真，逆命题“若直线y=3x+b过原点，则b=0”真，否命题“若b≠0，则直线y=3x+b不过原点”真，逆否命题“若直线y=3x+b不过原点，则b≠0”真.
4.(2016·周口高二检测)在命题“若f(x)是偶函数，则f(x)的图像关于y轴对称”的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中真命题有________个.
【解析】因为f(x)是偶函数与f(x)的图像关于y轴对称是等价的，故原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.
答案：3
5.命题“不全等的三角形的面积不相等”的否命题为________命题.(填“真”或“假”)
【解析】命题“不全等的三角形的面积不相等”的否命题为“全等的三角形的面积相等”是真命题.
答案：真
6.写出原命题“奇函数的图像关于原点对称”的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假.
【解析】原命题：“奇函数的图像关于原点对称”，真；
逆命题：“函数图像关于原点对称的是奇函数”，真；
否命题：“不是奇函数的函数图像不关于原点对称”，真；
逆否命题：“函数图像不关于原点对称的函数不是奇函数”，真.
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课时提升作业
十二
抛物线的简单性质
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且焦点到准线的距离为4，则该抛物线的方程为(　　)
A.x2=4y
B.x2=-4y
C.x2=±4y
D.x2=±8y
【解析】选D.由题意知所求抛物线方程为x2=±2py(p>0)形式，又p=4，所以x2=±8y.
2.抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为(　　)
A.y2=x
B.x2=3y
C.x2=y
D.y2=3x
【解题指南】利用点(x，y)关于y=x的对称点为(y，x)进行求解.
【解析】选B.因为点(x，y)关于y=x的对称点为(y，x)，所以y2=3x关于y=x对称的抛物线方程为x2=3y.
3.(2016·九江高二检测)已知抛物线y2=4x，A(-1，0)，F(1，0)，点B在抛物线上，且|BF|=5，则cos∠BAF=(　　)
A.
B.
C.
D.
【解题指南】根据抛物线方程可知F为抛物线焦点，A为准线方程与x轴的交点，进而根据|BF|=5求得点B的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标，进而求得|AB|，最后利用余弦定理求得cos∠BAF的值.
【解析】选A.依题意2p=4，
所以p=2，所以抛物线的焦点坐标为(1，0)，准线方程为x=-1，
即F为抛物线的焦点，A为准线方程与x轴的交点.
根据抛物线的对称性可知，B点在x轴的上方与在x轴的下方∠BAF是一样的，
不妨令B点在x轴上方，xB=5-1=4，
所以yB==4，
所以|AB|==.
因为|BF|=5，|AF|=1+1=2，
所以cos∠BAF=
==.
4.已知抛物线C的通径端点为A，B，且|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　)
A.18
B.24
C.36
D.48
【解析】选C.由题意知|AB|=2p=12.
所以p===6.
又P到AB的距离始终为p，
所以S△ABP=×12×6=36.
5.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是(　　)
A.
B.
C.
D.3
【解析】选A.设抛物线y=-x2上一点为(m，-m2)，该点到直线4x+3y-8=0的距离为，当m=时，取得最小值为.
【一题多解】选A.设与4x+3y-8=0平行的直线l方程为：4x+3y+n=0，
由消去y得，3x2-4x-n=0，
由Δ=0得，16+12n=0，
解得n=-.
所以l的方程为4x+3y-=0.
因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d==.
【补偿训练】若点P在抛物线y2=x上，点Q在圆(x-3)2+y2=1上，则|PQ|的最小值是(　　)
A.2
B.
C.
D.
【解析】选D.如图所示，要求|PQ|min只须以A为圆心，以b为半径的圆与抛物线相切，则|PQ|的最小值为b-1.
把(x-3)2+y2=b2(b>1)与y2=x联立得：x2-5x+9-b2=0，Δ=25-4(9-b2)=0，
解得：b2=.
所以|PQ|min=-1=.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.(2016·宝鸡高二检测)一个正三角形的顶点都在抛物线y2=4x上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是________.
【解析】由正三角形与抛物线的对称性可知A，B两点关于x轴对称(如图).
设A(m，n)，则B(m，-n)，
且所以
所以S△AOB=×8×12=48.
答案：48
7.(2016·延安高二检测)设抛物线y2=16x上一点P到对称轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|=________.
【解析】设P(x，12)，代入y2=16x得x=9，
所以|PF|=x+=9+4=13.
答案：13
8.(2016·景德镇高二检测)对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1).
能使这条抛物线的方程为y2=10x的条件是________(要求填写适合条件的序号).
【解析】由抛物线的方程为y2=10x，知它的焦点在x轴上，所以②适合.①不适合.
又因为抛物线的焦点坐标为F，原点O(0，0)，
设点P(2，1)，可得kPO·kPF=-1，
所以⑤也适合.
通过计算可知③④不合题意.
所以应填②⑤.
答案：②⑤
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.
【解题指南】解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可.
【解析】椭圆的方程可化为+=1，
其短轴在x轴上，
所以抛物线的对称轴为x轴，
所以设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，
即=3，所以p=6，
所以抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x，
其相应的准线方程分别为x=-3或x=3.
10.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|=，|AF|=3，求此抛物线的标准方程.
【解析】设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)，A(x0，y0)，
由题意知M.
因为|AF|=3，
所以y0+=3，
因为|AM|=，
所以+=17，
所以=8，将=8，y0=3-，
代入方程=2py0得，8=2p，
解得p=2或p=4.
所以所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2016·南昌高二检测)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.如果直线AF的斜率为-，那么|PF|=(　　)
A.4
B.8
C.8
D.16
【解析】选B.设A(-2，y)，F(2，0)，
所以kAF==-，
所以y=4，所以yP=4.
因为点P在抛物线上，
所以=8xP，
所以xP===6.
由抛物线定义可得|PF|=|PA|=xP-xA=6-(-2)=8.
2.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，点A，B是C的准线与E的两个交点，则=(　　)
A.3
B.6
C.9
D.12
【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0)，右焦点为(c，0)，依题意得
解得a=4，由b2=a2-c2=16-4=12，
所以椭圆E的方程为+=1，
因为抛物线C：y2=8x的准线为x=-2，
将x=-2代入到+=1，
解得A(-2，3)，B(-2，-3)，故=6.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.直线y=x-1被抛物线y2=4x截得的线段的中点坐标是________.
【解析】将y=x-1代入y2=4x，
整理，得x2-6x+1=0.
由根与系数的关系，得x1+x2=6，=3，
所以===2.
所以所求点的坐标为(3，2).
答案：(3，2)
4.已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点.若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________.
【解题指南】点C的轨迹是圆心在y轴上、半径为的圆，数形结合即可.
【解析】联立直线y=a与抛物线y=x2得x=±，满足题设条件的点C的轨迹是以(0，a)为圆心，以为半径的圆，其方程为x2+(y-a)2=a.由数形结合可知当r=≤a时满足题设要求，解得a≥1.
答案：[1，+∞)
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.(2016·赣州高二检测)如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值.
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
【解析】(1)由得x2-4x-4b=0，(
)
因为直线l与抛物线相切，
所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0，
所以b=-1.
(2)由(1)知b=-1，
方程(
)为x2-4x+4=0.
解得x=2，代入x2=4y中得，y=1，
所以A(2，1).
因为圆A与抛物线准线y=-1相切，
所以r=|1-(-1)|=2.
所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
6.(2016·咸宁高二检测)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上.
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程.
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率.
【解析】(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px.
因为点P(1，2)在抛物线上，
所以22=2p·1，得p=2.
故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=-1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.
则kPA=(x1≠1)，
kPB=(x2≠1).
因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
所以kPA=-kPB.
所以=-.
所以y1+2=-(y2+2).
所以y1+y2=-4.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，
得=4x1，①
=4x2，②
由①-②得直线AB的斜率
kAB===-=-1(x1≠x2).
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课时提升作业
二十一
导数的乘法与除法法则
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.(2016·渭南高二检测)设y=-2exsinx，则y′等于(　　)
A.-2excosx　　　
B.-2exsinx
C.2exsinx
D.-2ex(sinx+cosx)
【解析】选D.y′=-2(exsinx+excosx)
=-2ex(sinx+cosx).
2.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为(　　)
A.-
B.0
C.
D.5
【解析】选B.因为f(x)是R上的可导偶函数，所以f(x)的图像关于y轴对称，所以f(x)在x=0处取得极值，即f′(0)=0，又f(x)的周期为5，所以f′(5)=0，即曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为0.
【补偿训练】曲线y=-在点M处的切线的斜率为(　　)
A.-　　
B.　　
C.-　　
D.
【解析】选B.
因为y′=
=.
又因为曲线在点M处的切线的斜率即为函数在x=处的导数，
所以=.
3.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(e)+lnx，则f′(e)=(　　)
A.e-1
B.-1
C.-e-1
D.-e
【解析】选C.因为f(x)=2xf′(e)+lnx，
所以f′(x)=2f′(e)+，
所以f′(e)=2f′(e)+，
解得f′(e)=-.
二、填空题(每小题4分，共8分)
4.(2016·九江高二检测)若f(x)=-sin(1-2sin2)，则f′(x)=________.
【解析】f(x)=-sin·cos=-sinx，
所以f′(x)=′=-cosx.
答案：-cosx
5.设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，(a，b，c是两两不等的常数)，则++
=________.
【解析】因为f′(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)，所以代入即得0.
答案：0
【补偿训练】函数f(x)=x(x-2)(x-4)…(x-210)，则f′(0)为________.
【解析】f′(x)=x′(x-2)(x-4)…(x-210)+x[(x-2)(x-4)…(x-210)]′，
故f′(0)=(-2)×(-4)×(-8)…(-210)
=21+2+3+…+10=255.
答案：255
【方法技巧】巧用函数积的求导法则进行求导.关键是将多个因式之积看成两个因式之积，以利用积的求导法则.
三、解答题
6.(10分)(2016·赣州高二检测)已知函数f(x)=的图像在点M(-1，f(-1))处的切线的方程为：x+2y+5=0，求函数的解析式.
【解析】由函数f(x)=的图像在点M(-1，f(-1))处的切线的方程为x+2y+5=0知：
-1+2f(-1)+5=0，
所以f(-1)=-2，所以=-2，
因为f′(-1)=-，
又因为f′(x)=，
所以=-，
解得：a=2，b=3(因为b+1≠0，b=-1舍去).
所以所求的函数的解析式为：f(x)=.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.若函数f(x)=exsinx，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为(　　)
A.
B.0
C.钝角
D.锐角
【解析】选C.因为f′(x)=(exsinx+excosx)，
所以f′(4)=e4(sin4+cos4)=e4sin<0，故倾斜角为钝角.
2.(2016·蚌埠高二检测)设函数f(x)=x3+x2+tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是(　　)
A.[-2，2]
B.[，]
C.[，2]
D.[，2]
【解析】选D.由已知f′(x)=sinθ·x2+cosθ·x，
所以f′(1)=sinθ+cosθ=2sin，
又θ∈，所以≤θ+≤，
所以≤sin≤1，
所以≤f′(1)≤2.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，如果f′(x)是二次函数，f′(x)的图像开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线f(x)上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是________.
【解析】根据题意，由于f′(x)是函数f(x)的导函数，如果f′(x)是二次函数，f′(x)的图像开口向上，顶点坐标为(1，)说明了函数的最小值为，那么曲线f(x)上任一点处的切线的倾斜角α的正切值大于等于，则可知倾斜角α的取值范围是.
答案：
4.(2016·榆林高二检测)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且g(x)≠0，当x<0时f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，且f(-3)=0，则不等式<0的解集为______.
【解析】构造函数h(x)=，
由题意知h(x)为奇函数，h(x)在(-∞，0)上是增加的，(0，+∞)上也是增加的，h(-3)=-h(3)=0，
故h(x)<0得x<-3或0答案：{x|x<-3或0三、解答题
5.(10分)(2016·宜春高二检测)已知函数f(x)=ax3-x2+cx+d满足f(0)=0，f′(1)=0，且f′(x)≥0在R上恒成立，求f(x)的解析式.
【解析】f(0)=0得d=0，
f′(x)=ax2-x+c，
f′(1)=0得a-+c=0，即c=-a，
f′(x)=ax2-x+c≥0在R上恒成立，
当a=0时显然不成立，
当a≠0时需
即≤0，所以2a-=0，
所以a=，所以c=，
所以f(x)=x3-x2+x.
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课时提升作业
六
全称命题与特称命题的否定
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：存在n∈N，使得n2>2n，则﹁p为(　　)
A.任意n∈N，都有n2>2n
B.存在n∈N，使得n2≤2n
C.任意n∈N，都有n2≤2n
D.存在n∈N，使得n2=2n
【解析】选C.﹁p：任意n∈N，都有n2≤2n.
【补偿训练】命题“存在x∈Z，使x2+2x+m≤0成立”的否定是(　　)
A.存在x∈Z，使x2+2x+m>0
B.不存在x∈Z，使x2+2x+m>0
C.对任意x∈Z，都有x2+2x+m≤0
D.对任意x∈Z，都有x2+2x+m>0
【解析】选D.因为命题“存在x∈Z，使x2+2x+m≤0成立”是特称命题，所以其否定为全称命题，即对任意x∈Z，都有x2+2x+m>0.
2.(2016·榆林高二检测)已知a>0，函数f(x)=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项为假命题的是(　　)
A.存在x∈R，f(x)≤f(x0)
B.存在x∈R，f(x)≥f(x0)
C.对任意x∈R，f(x)≤f(x0)
D.对任意x∈R，f(x)≥f(x0)
【解析】选C.由题意知，x0=-，
所以x=x0，为函数f(x)图像的对称轴，
所以f(x0)为函数最小值，
即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0).
因此对任意x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的.
【补偿训练】若函数f(x)=x2+(a∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A.任意a∈R，f(x)在(0，+∞)上是增加的
B.任意a∈R，f(x)在(0，+∞)上是减少的
C.存在实数a∈R，f(x)是偶函数
D.存在实数a∈R，f(x)是奇函数
【解析】选C.对于A只有在a≤0时，f(x)在(0，+∞)上是增加的，否则不满足；对于B，如果a≤0就不成立；对于D，若a=0，则成为偶函数，否则是非奇非偶函数，因此只有C正确，即存在实数a=0，f(x)=x2是偶函数.
3.已知命题“存在a，b∈R，如果a>0，则ab>0”，则它的否命题是(　　)
A.任意a，b∈R，如果a>0，则ab>0
B.任意a，b∈R，如果ab>0，则a>0
C.存在a，b∈R，如果a>0，则ab≤0
D.存在a，b∈R，如果a≤0，则ab≤0
【解题指南】写否命题时，不是对量词进行否定，而是对条件和结论进行否定.
【解析】选D.对条件的否定是a≤0；对结论的否定是ab≤0.
【拓展延伸】解密命题的否定与否命题
(1)含有全称、存在量词的命题在否定时要否定全称量词或存在量词的同时否定命题的结论，但对命题中的条件不能否定.
(2)写命题的否命题时要同时否定命题的条件和结论，但量词是不能否定的.
二、填空题(每小题4分，共8分)
4.已知命题“存在x∈R，使2x2+(a-1)x+≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________.
【解析】由条件得命题“任意x∈R，使2x2+(a-1)x+>0”是真命题，
所以Δ=(a-1)2-4<0，
解得-1答案：-15.(2016·景德镇高二检测)写出命题“对任意实数m，关于x的方程x2+x+m=0有实根”的否定为_____________________________.
【解析】原命题为全称命题，其否定为特称命题.故应为“存在实数m，关于x的方程x2+x+m=0没有实根”.
答案：存在实数m，关于x的方程x2+x+m=0没有实根
【误区警示】解答本题易混淆命题的否定与否命题的概念，命题的否定只否定结论，而否命题既否定条件又否定结论.
三、解答题
6.(10分)写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)二次函数的图像是抛物线.
(2)任意实数a，b∈R，方程ax+b=0恰有一解.
(3)存在x，y∈Z，3x-4y=20.
【解析】(1)否定为：存在一个函数是二次函数，其图像不是抛物线，假命题.
(2)否定为：存在a，b∈R，方程ax+b=0无解或至少有两解，真命题.
(3)否定为：任意x，y∈Z，3x-4y≠20，假命题.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2016·福州高二检测)命题：“对任意x>0，x2-x≥0”的否定形式是(　　)
A.对任意x≤0，x2-x>0
B.对任意x>0，x2-x≤0
C.存在x≤0，使x2-x>0
D.存在x>0，使x2-x<0
【解析】选D.因为全称命题的否定形式是特称命题，所以“对任意x>0，x2-x≥0”的否定形式是“存在x>0，使x2-x<0”.
【补偿训练】已知命题p：存在x∈R，x2+1<0，则其否定是(　　)
A.存在x∈R，x2+1≥0
B.任意x∈R，x2+1≥0
C.存在x∈R，x2+1≠0
D.任意x∈R，x2+1<0
【解析】选B.命题p是一个特称命题，其否定为全称命题，其否定是：任意x∈R，x2+1≥0.
2.(2016·重庆高二检测)已知命题p：存在x∈，使得cosx≥x，则该命题的否定是(　　)
A.存在x∈，使得cosx>x
B.任意x∈，使得cosx≥x
C.存在x∈，使得cosxD.任意x∈，使得cosx【解析】选D.特称命题的否定是全称命题，并否定结论.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2016·南昌高二检测)已知命题p：lg(x2-2x-2)<0，命题q：<1，若p的否定为真命题，q为真命题，则实数x的取值范围是________.
【解析】因为p的否定为真命题，
即lg(x2-2x-2)≥0，则x2-2x-2≥1，
即x≤-1或x≥3；
因为q为真命题，
则由<1，得0由得3≤x<4.
答案：3≤x<4
4.设命题p：c20，若p和q有且只有一个成立，则实数c的取值范围是________.
【解析】p：0若p真q假，则
得≤c<1.
若p假q真，则得-综上可知，≤c<1或-答案：-三、解答题
5.(10分)(2016·西安高二检测)已知命题p：对任意实数m∈[-1，1]，不等式a2-5a-3≥；命题q：存在实数x，使不等式x2+ax+2<0，若p或q是真命题，﹁q是真命题，求a的取值范围.
【解析】根据p或q为真，﹁q为真命题，得p是真命题，q是假命题.
因为m∈[-1，1]，
所以∈[2，3]，
因为任意m∈[-1，1]，不等式a2-5a-3≥，
所以a2-5a-3≥3，
即a≥6或a≤-1.
故命题为真时，a≥6或a≤-1，命题q：存在实数x，使不等式x2+ax+2<0，
所以Δ=a2-8>0，
所以a>2或a<-2.
从而命题q为假命题时，-2≤a≤2，
所以命题p为真命题，q为假命题.
a的取值范围是-2≤a≤-1.
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