江西省宜春中学2018届高三上学期第一次诊断考试数学（理）试题

宜春中学2018届高三上学期第一次诊断考试数学（理科）试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分，
共60分）
1．若复数是纯虚数，其中是实数，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知集合，那么集合
( http: / / www.21cnjy.com )=
（
）
A.
B.
C.
D.
3．函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图象与直线的交点有几个（
）
A．
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )或
D．或
( http: / / www.21cnjy.com )
4．下列说法正确的是（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )，“
( http: / / www.21cnjy.com )”是“
( http: / / www.21cnjy.com )”的必要不充分条件
B．“
( http: / / www.21cnjy.com )为真命题”是“
( http: / / www.21cnjy.com )为真命题”的必要不充分条件
C．命题“
( http: / / www.21cnjy.com )，使得
( http: / / www.21cnjy.com )”的否定是：“
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )”
D．命题
( http: / / www.21cnjy.com )：“
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )”，则
( http: / / www.21cnjy.com )是真命题
5．若α是锐角，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．若如图框图所给的程序运行结果为S=35，
则图中的判断框（1）中应填入的是（
）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．i＞6？
B．i≤6？
C．i＞5？
D．i＜5？
7．已知
( http: / / www.21cnjy.com )，若和是函数
( http: / / www.21cnjy.com )的两个相邻的极值点，将
( http: / / www.21cnjy.com )的图像向右平移
( http: / / www.21cnjy.com )个单位得到函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图像，则下列说法正确的是（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )的周期为
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )是偶函数
C．
( http: / / www.21cnjy.com )的图像关于直线
( http: / / www.21cnjy.com )对称
D．
( http: / / www.21cnjy.com )的图像关于点
( http: / / www.21cnjy.com )对称
8．函数f（x）=（x2﹣2x）ex的图象大致是（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
9．锐角三角形ABC中，若，则的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若点是的外心， 且，，则实数的值为（
）
A．
B．－
C．－1
D．1
11．已知两定点A(，0)和B(2，0)，动点
( http: / / www.21cnjy.com )在直线L:上移动，椭圆
( http: / / www.21cnjy.com )以
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )为焦点且经过点
( http: / / www.21cnjy.com )，则椭圆
( http: / / www.21cnjy.com )的离心率的最大值为（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
12．已知
( http: / / www.21cnjy.com )是函数
( http: / / www.21cnjy.com )的导函数，且对任意的实数
( http: / / www.21cnjy.com )都有
( http: / / www.21cnjy.com )是自然对数的底数），
( http: / / www.21cnjy.com )，若不等式
( http: / / www.21cnjy.com )的解集中恰有两个整数，则实数
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．从中随机选取一个数为
( http: / / www.21cnjy.com )，从
( http: / / www.21cnjy.com )中随机选取一个数为
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )的概率是
.
14．如图，在平面直角坐标系中，将直线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积，据此类比：将曲线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积
.
( http: / / www.21cnjy.com )
15．如图所示，在中，D为BC边上的一点，且BD=2DC，若,则
.
16．已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，给出以下四个命题：
①函数是周期函数；②函数的图象关于点对称；③函数为上的偶函数；④函数为上的单调函数。其中真命题的序号为
.（写出所有真命题的序号）
三、解答题（本大题共6小题，10+12+12+12+12+12，共70分）
17．（本小题满分10分）
设命题：实数满足，其中，命题：实数满足。
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）非是非的充分不必要条件，求实数的取值范围。
18．（本小题满分12分）
已知向量，，其中．
（1）若，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值；
（2）函数，若恒成立，求实数的取值范围．
19．（本小题满分12分）
在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，BC=2，AC=，AB=，点P到平面ABC的距离为.
（1）求二面角P-AC-B的大小；
（2）求点B到平面PAC的距离。
( http: / / www.21cnjy.com )
20．（本小题满分12分）
市一模过后，学校为了解高三理科班学生的数学、理综学习情况，利用随机数表法从全年级1700名理科生抽取名学生的成绩进行统计分析．已知学生考号的后四位分别为．0000，0001，0002，…，1699
（1）若从随机数表的第4行第7列的数开始向右读，请依次写出抽取的前人的后四位考号；
（2）如果题（1）中随机抽取到的名同学的数学、理综成绩（单位：分）对应如下表：
数学成绩
86
76
115
96
88
124
141
理综成绩
194
164
210
173
197
233
255
从这名同学中随机抽取名同学，记这名同学中数学和理综成绩均为及格的人数为，求的分布列和数学期望（规定数学成绩不低于90分，理综成绩不低于180分的为及格）．
附：(下面是摘自随机数表的第4行到第6行)
………
16
27
77
94
39
49
5
( http: / / www.21cnjy.com )4
43
54
82
17
37
93
23
78
87
35
20
96
43
84
26
34
91
64
12
56
85
99
26
96
96
( http: / / www.21cnjy.com )
68
27
31
05
03
72
93
15
57
12
10
14
21
88
26
49
81
76
55
59
56
35
64
38
54
( http: / / www.21cnjy.com )
82
46
22
31
62
43
09
90
06
18
44
32
53
23
83
01
30
30
………
21．（本小题满分12分）
已知椭圆
( http: / / www.21cnjy.com )：
( http: / / www.21cnjy.com )的左、右焦点分别为
( http: / / www.21cnjy.com )，过点
( http: / / www.21cnjy.com )作垂直于
( http: / / www.21cnjy.com )轴的直线
( http: / / www.21cnjy.com )，直线
( http: / / www.21cnjy.com )垂直
( http: / / www.21cnjy.com )于点
( http: / / www.21cnjy.com )，线段
( http: / / www.21cnjy.com )的垂直平分线交
( http: / / www.21cnjy.com )于点
( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）求点
( http: / / www.21cnjy.com )的轨迹
( http: / / www.21cnjy.com )的方程；
（2）过点
( http: / / www.21cnjy.com )作两条互相垂直的直线
( http: / / www.21cnjy.com )，且分别交椭圆于
( http: / / www.21cnjy.com )，求四边形
( http: / / www.21cnjy.com )面积的最小值．
22、（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设＞0，证明：当0＜＜时，；
（3）设，是的两个零点，证明：
宜春中学2018届高三上学期第一次诊断考试数学（理科）
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分，
共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
A
A
A
C
A
C
C
B
C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．
14．
15．
16．①②③
三、解答题（本大题共6小题，10+12+12+12+12+12，共70分）
17．（本小题满分10分）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
18．
所以
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )。因为
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得：
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )。
（2）因为，
所以，因为
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )，则，
即，若使恒成立，则，即，所以实数的取值范围是。
19．解：（1）设O为BC中点，则可证明PO⊥面ABC，建立如图3所示的空间直角坐标系，
则A（，-a，0）、B（-a，0，0）、C(a，0，0)、P（0，0，），
( http: / / www.21cnjy.com )cos<>即为二面角P-AC-B的余弦值。而cos<>=
∴二面角P-AC-B的大小为60°
（2）由（1）知=（n=(x，y，z)为平面PAC的一个法向量，则由n⊥
( http: / / www.21cnjy.com )
∴B’到平面PAC的距离为.
20．解：（1）抽出的前7人的后四位考号分别为：1256，0503，1557，1210，1421，0990，0618
…………4分
（2）的可能取值为0，1，2，3
……5分
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
21．解：（1）∵
( http: / / www.21cnjy.com )，∴点
( http: / / www.21cnjy.com )到定直线
( http: / / www.21cnjy.com )：
( http: / / www.21cnjy.com )的距离等于它到定点
( http: / / www.21cnjy.com )的距离，∴点
( http: / / www.21cnjy.com )的轨迹
( http: / / www.21cnjy.com )是以
( http: / / www.21cnjy.com )为准线，
( http: / / www.21cnjy.com )为焦点的抛物线．
∴点
( http: / / www.21cnjy.com )的轨迹
( http: / / www.21cnjy.com )的方程为
( http: / / www.21cnjy.com )．……5分
（2）当直线
( http: / / www.21cnjy.com )的斜率存在且不为零时，直线
( http: / / www.21cnjy.com )的斜率为
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则直线
( http: / / www.21cnjy.com )的斜率为
( http: / / www.21cnjy.com )，直线
( http: / / www.21cnjy.com )的方程为
( http: / / www.21cnjy.com )，联立
( http: / / www.21cnjy.com )，得
( http: / / www.21cnjy.com )．∴
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
．．．．．．．．．7分
( http: / / www.21cnjy.com )用
( http: / / www.21cnjy.com )代换上式中的
( http: / / www.21cnjy.com )。可得
( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
当且仅当
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )时取得等号．
易知，当直线
( http: / / www.21cnjy.com )的斜率不存在或斜率为零时，四边形
( http: / / www.21cnjy.com )的面积
( http: / / www.21cnjy.com )．
综上，四边形
( http: / / www.21cnjy.com )面积的最小值为
( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )