课件24张PPT。第14章 勾股定理八年级数学上册（华师版）14．1 勾股定理14．1.2 直角三角形的判定a2＋b2＝c2 不是 是 2．勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
练习2.在下列四组数中，不是勾股数的一组数是( )
A．a＝15，b＝8，c＝17 B．a＝9，b＝12，c＝15
C．a＝7，b＝24，c＝25 D．a＝3，b＝5，c＝7D知识点一：勾股定理的逆定理
1．(南京中考)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )
A．3，4，4 B．3，4，5
C．3，4，6 D．3，4，7
2．如果一个三角形的三边长a，b和c满足关系式(a＋b)2－c2＝2ab，那么此三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形BBB 4．(1)若在△ABC中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，BC边上的中线AD＝4 cm，则∠ADC的度数是________；
(2)以△ABC的三条边向外作正方形，依次得到的面积为25，144 ，169，则这个三角形是_______三角形；
(3)一个三角形的三边长分别为15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是_________．90°直角12cmB A 8．现有长度分别是3，4，5，12，13的五根木棒，任选其中的三根，能组成直角三角形的有____种，所组成的直角三角形的边长分别是_________________________．两3，4，5和5，12，139．下列说法错误的是( )
A．在△ABC中，若a2＝(b＋c)(b－c)，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若a＝m2－1，b＝2m，c＝m2＋1，其中m>1，则∠C＝90°
C．在△ABC中，若a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
D．在△ABC中，若a∶b∶c＝13∶5∶12，则∠A＝90°C10．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是( )C11．如图，AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠ABC＝90°，则∠DAB的度数为__________．135°12．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC边的中线AD＝2，则BC的长为_________．15．如图，每个小正方形的边长均为1，△ABC的各顶点都在格点上．
(1)求△ABC的面积；
(2)边AC的长；
(3)点B到AC边上的距离．16．(阿凡题 1072049)如图，点P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连结CQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．解：(1)AP＝CQ.证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，又∵∠PBQ＝60°，BQ＝BP，∴∠ABP＝∠CBQ，∴△ABP≌△CBQ(S.A.S.)，∴AP＝CQ (2)△PQC为直角三角形．理由：由(1)得AP＝CQ，PQ＝PB，则CQ∶PQ∶PC＝3∶4∶5，从而CQ2＋PQ2＝PC2，∴∠PQC＝90°，∴△PQC为直角三角形课件19张PPT。第14章 勾股定理八年级数学上册（华师版）14．1 勾股定理14．1.3 反证法1．反证法：反证法是一种重要的证明方法，其步骤为：(1)先假设结论的______是正确的；(2)通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件________；(3)说明假设不成立，进而得出原结论________．
练习1.已知命题“在△ABC中，若AC2＋BC2≠AB2，则∠C≠90°”，要证明这个命题是真命题可用反证法．其步骤为：假设___________，根据_________，一定有______________，但这与已知_________________相矛盾，因此，假设是错误的，于是可知原命题是真命题．反面相矛盾正确∠C＝90°勾股定理AC2＋BC2＝AB2AC2＋BC2≠AB2知识点一：反证法的概念及步骤
1．命题“在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )
A．a＜b B．a≤b
C．a＝b D．a≥bBC 3．用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”的结论的反面是______________________．
4．用反证法来证明命题：已知AB∥CD，AB∥EF，求证：CD∥EF.证明的第一步是( )
A．假定CD∥EF
B．假定CD不平行于EF
C．假定AB∥EF
D．假定AB不平行于EF两条边所对的角相等B5．“已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°”．下面写出了用于证明这个命题过程中的四个推理步骤：
①∴∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
②∴∠B<90°；
③假设∠B≥90°；
④那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应该是( )
A．①②③④ B．③④②①
C．③④①② D．④③①②C知识点二：用反证法证明
6．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2≠180°.
求证：l1与l2不平行．
证明：假设l1____l2，则∠1＋∠2____180°，
这与_______矛盾，故_______不成立．
∴___________________．∥＝已知假设l1与l2不平行7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.
证明：假设AC＝BC，∵∠A≠45°，∠C＝90°，∴∠B≠∠A，
∴AC≠BC，这与假设矛盾，∴AC≠BC.
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明方法；若有错误，请予以纠正．
解：有错误．证明：假设AC＝BC，∴∠A＝∠B，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝45°，与∠A≠45°相矛盾，∴AC≠BC8．用反证法证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角时，假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，令∠A＝∠B＝90°，则得出的结论与______相矛盾( )
A．已知
B．三角形的内角和等于180°
C．直角三角形的定义
D．垂直公理B9．如图，求证：在同一平面内过直线l外一点A，只能作一条直线垂直于l.
证明：假设过直线l外一点A，可以作直线AB，AC垂直于l，垂足分别为点B，C，那么∠A＋∠ABC＋∠ACB____180°，这与__________________________矛盾，∴______________，∴结论成立．＞三角形的内角和等于180°假设不成立10．用反证法证明：
(1)一条直线与两条平行线中的一条相交，必定与另一条也相交；
解：
(1)已知：如图，直线a∥b，直线l与直线a相交．
求证：直线l与直线b也相交．
证明：假设直线l与直线b不相交，则l∥b.∵a∥b，∴a∥l，与直线l与a相交相矛盾，∴假设不成立，∴直线l与直线b也相交(2)已知△ABC，求证：在内角∠A，∠B，∠C这三个角中至少有两个锐角．
解：(2)证明：假设△ABC的三个内角中至多有一个锐角，其他两个是钝角或直角，不妨设0°＜∠A＜90°，90°≤∠B＜180°，90°≤∠C＜180°，∴∠B＋∠C＋∠A＞90°＋90°＋0°＝180°，这与三角形的内角和为180°相矛盾，∴三角形中至少有两个锐角11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠APB≠∠APC.
求证：PB≠PC.
解：假设PB＝PC.∵AB＝AC，PA＝PA，∴△PAB≌△PAC(S.S.S.)，∴∠APB＝∠APC.这与已知∠APB≠∠APC相矛盾，∴假设不成立，故PB≠PC12．如图，在△ABC中，AB＞AC.求证：∠C＞∠B.
解：(用反证法)∵∠C和∠B的关系有三种，①∠C＞∠B；②∠C＝∠B；③∠C＜∠B.(1)假设∠C＝∠B，则由“等角对等边”，可知AB＝AC，与已知条件AB＞AC相矛盾，∴假设错误；(2)假设∠C＜∠B，在AC上取一点D，使∠DBC＝∠C，∴BD＝CD，因此AC＝AD＋CD＝AD＋BD＞AB，与已知条件AB＞AC相矛盾，∴假设错误．综上可知，∠C＞∠B13．(阿凡题 1072051)如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，AM是BC边上的中线．求证：点M不在线段CD上．课件26张PPT。第14章 勾股定理八年级数学上册（华师版）14．2 勾股定理的应用第1课时 勾股定理的实际应用练习1.如图，要从电线杆离地面15米处向地面拉一条17米的电缆，则地面固定点A到电线杆底部B的距离为( )
A．8米 B．15米 C．17米 D．32米A练习2.如图，正方体的棱长为1，一只蚂蚁从正方体一个顶点A出发爬到另一个顶点B，蚂蚁爬行的最短距离是________．知识点一：不在同一平面上的两点之间的最短距离
1．如图，一圆柱的底面周长为14 cm，高AB为24 cm，BC为直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程是( )
A．31 cm B．24 cm C．25 cm D．50 cmC2．如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需____米．73．(1)如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm，现在一虫子从点A出发，沿长方体表面到达点C处，则虫子爬行的最短路程为____cm；5(2)如图，长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从点E处爬到C处去吃蜜糖，有无数种走法，则最短路程是____；25(3)如图，长方体的底面长和宽分别为3 cm和1 cm，高为6 cm，如果用一根细绳从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要____cm.10知识点二：构造直角三角形解决实际问题
4．如图所示，木工做一个宽80厘米，高60厘米的长方形木框，需在对角的顶点钉一个加固木条，则木条的长为( )
A．90厘米 B．100厘米
C．150厘米 D．110厘米B5．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于( )
A．4.1米 B．4.0米
C．3.9米 D．3.8米A6．如图，一旗杆在离地6米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，则旗杆折断之前有____米．167．如图，矩形零件上两孔中心A，B的距离是_________．(单位：cm，精确到个位)67cmD 9．如图，要制作底边BC的长为44 cm，顶点A到BC的距离与BC长的比为1∶4的等腰三角形木衣架，则腰AB的长至少需要_______cm.(结果保留根号)10．如图，在一个长为20米、宽为18米的矩形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达C处，需要走的最短路程是____米．3011．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱形成的，中间可供滑行部分的横截面是半径为3 m的半圆，该部分的边缘AB＝CD＝45 m，点E在CD上，CE＝5 m，一滑行爱好者从点A到点E，则他滑行的最短距离是多少？(边缘部分的厚度可以忽略不计，π取整数3)解：其侧面展开图如图，∴AD＝πR＝3π(m)，∵AB＝CD＝45 m，∴DE＝CD－CE＝45－5＝40(m)，在Rt△ADE中，AE2＝(3π)2＋402≈(3×3)2＋402＝412，∴AE＝41 m，答：他滑行的最短距离是41 m 12．如图，某大楼工地发生火灾，消防车立即赶到，因为火势太大，消防车无法靠近，所以只能在距大楼9米处升起云梯到火灾窗口实施灭火，已知云梯AB长41米，云梯底部距地面的高AC＝2米，问：实施灭火窗口距离地面的高度是多少？
解：设失火的窗口距地面的高度为h米，由题意得(h－2)2＋92＝412，解得h＝42，∴实施灭火窗口距地面的高度为42米13．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的水深和这根芦苇的长度各是多少？解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD＝AB＝(x＋1)尺，在Rt△ABC中，BC＝5尺，由勾股定理得BC2＋AC2＝AB2，即52＋x2＝(x＋1)2，25＋x2＝x2＋2x＋1，2x＝24，∴x＝12，x＋1＝13.答：水池的水深是12尺，这根芦苇长是13尺14．(阿凡题 1072052)如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B到点C的距离为5 cm.一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
解：将长方体展开，分别得到如图所示三种情况，连结AB.课件21张PPT。第14章 勾股定理八年级数学上册（华师版）14．2 勾股定理的应用第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用1．用勾股定理及其逆定理可以解决许多数学问题，勾股定理的条件是______________，勾股定理逆定理的条件是________________________
___________________．
练习1.A，B，C三地的距离如图所示，A地在B地的正东方向，则C地在B地的________方向．直角三角形 三角形的两边平方和等于第三边的平方正北练习2.如图，一木工师傅想检验自己刚加工的门框中每个角是否都是直角，他用直尺量得BE＝30 cm，BF＝40 cm，EF＝50 cm，他认为∠B是直角，其他三个角的验证方法同上，这位师傅验证的根据是( )
A．勾股定理 B．勾股定理的逆定理
C．三角形的三边关系 D．垂线段最短B知识点：勾股定理及其逆定理的综合应用
1．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大半圆面积，则这个三角形为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形B2．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝15，AC＝17，以AB的长为直径作半圆，则此半圆的面积为( )
A．4π B．8π
C．16π D．以上都不对B3．如图是4个完全相同的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y分别表示直角三角形的两直角边的长(x>y)，下列四个说法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9.其中正确的是( )
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④B4．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为7 cm2，8 cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为______cm2.
5．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是_______________．15AB，EF，GH6．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AD＝3，DC＝4，AB＝12，BC＝13，求四边形ABCD的面积．C 8．(2017春·黄陂区月考)在数学活动课上，老师要求学生在4×4的正方形ABCD网格中(小正方形的边长为1)画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行，则画出的形状不同的直角三角形有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种C9．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要_______元．60a10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， AB＝16 cm，正方形BCEF的面积为144 cm2，BD⊥AC于点D.求BD的长．解：连结AE，设CE＝x，则BE＝3x，AB＝4x，CF＝DF＝2x，在Rt△ABE中，∵AE2＝AB2＋BE2，∴AE2＝(4x)2＋(3x)2＝25x2，同理可得EF2＝CE2＋CF2＝x2＋(2x)2＝5x2，AF2＝(4x)2＋(2x)2＝20x2，∴EF2＋AF2＝25x2＝AE2，∴△AEF为直角三角形，∴AF⊥FE12．如图，△ABC的三边分别为AC＝5，BC＝12，AB＝13，若点D在BC上，将△ACD沿AD折叠，使AC落在AB上．
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)求线段CD的长．13．(阿凡题 1072053)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如图①，根据勾股定理，则a2＋b2＝c2，若△ABC不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜想a2＋b2与c2的关系，并加以说明．解：若△ABC是锐角三角形，则有a2＋b2＞c2；若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2＋b2＜c2.当△ABC是锐角三角形时，过点A作AD⊥CB，垂足为D.设CD＝x，则有DB＝a－x，根据勾股定理，得b2－x2＝c2－(a－x)2，即b2－x2＝c2－a2＋2ax－x2，∴a2＋b2＝c2＋2ax，∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2＋b2＞c2.当△ABC是钝角三角形时，不妨设∠C为钝角，则可过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D.设CD＝x，则有DB2＝a2－x2，根据勾股定理，得(b＋x)2＋a2－x2＝c2，即b2＋2bx＋x2＋a2－x2＝c2，∴a2＋b2＋2bx＝c2，∵b＞0，x＞0，∴2bx＞0，∴a2＋b2＜c2
