【北师大版】2017-2018年春高中数学选修2-1课时作业全套（打包52份，Word版，含解析）

第一章　单元综合检测(一)
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．给出下列语句：①二次函数是偶函数吗？②2>2；
③sin＝1；④x2－4x＋4＝0.其中是命题的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：只有②和③是命题，语句①是疑问句，语句④含有变量x，不能判断真假．
答案：B
2．下列命题是真命题的是(　　)
A．实数的绝对值是正数
B．一切自然数都有倒数
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．偶数的平方是4的倍数
解析：实数的绝对值是非负数，不是正数，A不正确；0没有倒数，B不正确；垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，C不正确．
答案：D
3．[2014·保定高二检测]下列命题是真命题的是(　　)
A．“若x＝0，则xy＝0”的逆命题；
B．“若x＝0，则xy＝0”的否命题；
C．若x>1，则x>2；
D．“若x＝2，则(x－2)(x－1)＝0”的逆否命题
解析：A中逆命题为：若xy＝0，则x＝0错误；选项B中，否命题为：若x≠0，则xy≠0，错误；选项C中，若x>1，则x>2显然不正确；D选项中，因为原命题正确，所以逆否命题正确．
答案：D
4．已知命题s为“p∧q”是真命题，那么命题“p∨q”及命题 s的真假是(　　)
A．真、真
B．假、假
C．真、假
D．以上都不对
解析：p∧q为真，则p、q均为真．所以p∨q为真， s为假．
答案：C
5．若“p∧q”与“( p)∨q”均为假命题，则(　　)
A．p真q假
B．p假q真
C．p与q均真
D．p与q均假
解析：“p∧q”为假，则p，q中至少有一假；“( p)∨q”为假，则 p，q均为假．∴p真，q假．
答案：A
6．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“a＝1”时两直线垂直，两直线垂直时a＝1，故为充要条件．
答案：C
7．[2014·湖南师大附中月考]“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于(　　)
A． x0∈R，使得f(x0)>0成立
B． x0∈R，使得f(x0)≤0成立
C． x∈R，使得f(x)>0成立
D． x∈R，f(x)≤0成立
解析：本题主要考查特称命题．“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于“存在实数x0，使得f(x0)>0成立”，故选A.
答案：A
8．[2014·重庆高考]已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，
则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q
B． p∧ q
C． p∧q
D．p∧ q
解析：p为真命题，q为假命题，故 p为假命题， q为真命题．从而p∧q为假， p∧ q为假， p∧q为假，p∧ q为真，故选D.
答案：D
9．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．x<0
B．x≥0
C．x∈{－1,3,5}
D．x≤－或x≥3
解析：∵2x2－5x－3≥0的解集为{x|x≥3或x≤－}，
∴x∈{－1,3,5}是不等式成立的一个充分不必要条件．
答案：C
10．[2013·湖北高考]在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　　)
A．( p)∨( q)
B．p∨( q)
C．( p)∧( q)
D．p∨q
解析： p表示甲没有降落在指定范围， q表示乙没有降落在指定范围，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”，也就是“甲没有降落在指定范围”或“乙没有降落在指定范围”．故选A.
答案：A
11．[2014·四川省成都七中月考]已知a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件是(　　)
A．λ1＝λ2＝－1
B．λ1＝λ2＝1
C．λ1λ2＝1
D．λ1λ2＝－1
解析：本题主要考查向量中三点共线的条件．依题意，A，B，C三点共线
＝λ λ1a＋b＝λa＋λλ2b ，故选C.
答案：C
12．已知函数f(x)＝，则关于x的方程af2(x)＋f(x)－2c＝0有5个不同实数解的充要条件是(　　)
A．－0
B．a≥－且c<0
C．－D．a≥－且c＝0
解析：本题主要考查含参数的函数方程解的个数问题以及充要条件的知识．令t＝f(x)，则方程af2(x)＋f(x)－2c＝0可转化为at2＋t－2c＝0.令g(t)＝at2＋t－2c，因为|x＋|≥2且原方程有5个不同实数解，所以方程g(t)＝at2＋t－2c＝0应该有一个大于2的根与一个零根，则，
解得－答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．“任一不大于0的数的立方不大于0”用“ ”或“ ”符号表示为__________．
解析：该命题为全称命题，“不大于”即“≤”．
答案： x≤0，x3≤0
14．命题：“若ab不为零，则a，b都不为零”的逆否命题是__________．
解析：“都不为零”的否定是“至少一个是零”．
答案：若a，b至少有一个为零，则a·b为零
15．“对顶角相等”的否定为__________，否命题为__________________________．
解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
答案：对顶角不相等　若两个角不是对顶角，则它们不相等
16．已知命题p：|x－1|0)；命题q：|x－5|>2，且p是q的既不充分也不必要条件，则c的取值范围是__________．
解析：由|x－1|∴命题p对应的集合A＝{x|1－c0}，
同理命题q对应的集合B＝{x|x<3或x>7}，
若p是q的既不充分也不必要条件，
应有，即c>2.
答案：(2，＋∞)
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：逆命题：若x＝2且y＝－1，则＋(y＋1)2＝0，真命题．
否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题．
逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0，真命题．
18．(12分)写出下列命题的否定并判断真假：
(1)所有自然数的平方是正数；
(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(3) x∈R，x2－3x＋3>0；
(4)有些质数不是奇数．
解：(1)所有自然数的平方是正数，假命题；
否定：有些自然数的平方不是正数，真命题．
(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根，假命题；
否定： x0∈R,5x0－12≠0，真命题．
(3) x∈R，x2－3x＋3>0，真命题；
否定： x0∈R，x－3x0＋3≤0，假命题．
(4)有些质数不是奇数，真命题；
否定：所有的质数都是奇数，假命题．
19．(12分)如右图所示的电路图，设命题p：开关K闭合，命题q：开关K1闭合，命题s：开关K2闭合，命题t：开关K3闭合．
(1)写出灯泡A亮的充要条件；
(2)写出灯泡B不亮的充分不必要条件；
(3)写出灯泡C亮的必要不充分条件．
解：(1)灯泡A亮的充要条件是“p∧q”；
(2)灯泡B不亮的充分不必要条件是“ p”，或“ s”；
(3)灯泡C亮的必要不充分条件是p，或t.
20．(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
证明：必要性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2
＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2
＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2
＝0.
充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0，
又ab≠0，即a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2＝(a－)2＋≠0，只有a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，
a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
21．(12分)已知p：“ x∈[1,2]，x2－a≥0”，q：“ x0∈R，使x＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
解：p为真时：x2－a≥0即a≤x2.
∵x∈[1,2]时，上式恒成立，
而x2∈[1,4]，∴a≤1.
q为真时：Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0
即a≥1或a≤－2.
∵p且q为真命题，∴p，q均为真命题．
∴a＝1或a≤－2.
即实数a的取值范围是
{a|a＝1或a≤－2}．
22．(12分)已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)．若“ p”是“ q”的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
解：由p：|1－|≤2，解得－2≤x≤10，
∴“ p”：A＝{x|x<－2或x>10}．
由q：x2－2x＋1－m2≤0，
解得1－m≤x≤1＋m(m>0)，
∴“ q”：B＝{x|x<1－m或x>1＋m，m>0}．
由“ p”是“ q”的充分而不必要条件可知：A?B，
则解得0∴满足条件的m的取值范围为{m|0一、选择题
1．判断下列各命题的真假：
①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
④有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为
(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：①假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．
答案：B
2．在正四面体A－BCD中，如图，〈，〉等于(　　)
A．45°
B．60°
C．120°
D．90°
解析：两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量的起点平移到A点处，再求夹角，得〈，〉＝120°，故选C.
答案：C
3．如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，与向量相等的向量有(　　)
A．0个
B．3个
C．6个
D．9个
解析：与向量平行且方向相同、模相等的向量为，，.
答案：B
4．空间中，起点相同的所有单位向量的终点构成的图形是(　　)
A．圆
B．球
C．正方体
D．球面
解析：终点与定点的距离始终为1，所以构成的图形是球面．故选D.
答案：D
二、填空题
5．在长方体中，从同一顶点出发的三条棱长分别为1,2,3，在分别以长方体的任意两个顶点为起点和终点的向量中，模为1的向量有________个．
解析：研究长方体模型可知，所有顶点两两连接得到的线段中，长度为1的线段有4条，故模为1的向量有8个．
答案：8
6．如图所示，棱长都相等的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知∠A1AB＝60°，
则〈，〉＝________；
〈，〉＝________；
〈，〉＝________.
解析：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∥，且方向相同，所以〈，〉＝0°；因为AB∥CD，CD∥C1D1，所以AB∥C1D1，所以∥，但方向相反，所以〈，〉＝180°；因为＝，所以〈，〉＝〈，〉＝180°－∠A1AB＝120°.
答案：0°　180°　120°
7．给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③若＝，则四边形ABCD是平行四边形；
④在 ABCD中，一定有＝；
⑤若m＝n，n＝k，则m＝k；
⑥a∥b，b∥c，则a∥c.
其中不正确的命题为________．
解析：两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等．却不一定起点相同，终点相同，故①不正确．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，但②中方向不一定相同，故不正确．因为A、B、C、D可能落在同一条直线上，③也不正确．零向量方向不确定，它与任一向量都平行，在⑥中若b＝0，则a与c就不一定平行了，因此⑥也不正确．
答案：①②③⑥
三、解答题
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点．
(1)过E作一平面α，使平面α的一个法向量是；
(2)以正方体的两个顶点为始点和终点的向量中，找出与，共面的向量．
解：(1)平面α就是由棱AA1，BB1，CC1，DD1的中点确定的平面．
(2)与，共面的向量：，，，，，，，，，，，，，.
9．如图所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD＝CD，E、F分别是PC、PB的中点．试以F为起点作直线DE的方向向量．
解：∵E、F分别是PC、PB的中点，
∴EF綊BC，又BC綊AD，
∴EF綊AD，取AD的中点M，连MF，则由EF綊DM知四边形DEFM是平行四边形，∴MF∥DE，∴就是直线DE的一个方向向量．第二章　§2　课时作业12
一、选择题
1．若a、b是平面α内的两个向量，则(　　)
A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0
C．若a、b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
D．若a、b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
解析：当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B项不正确；若a与b不共线，则平面α内任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确．
答案：D
2．已知向量c、d不共线，设向量a＝kc＋d，b＝c－k2d.若a与b共线，则实数k的值为(　　)
A．0
B．1
C．－1
D．2
解析：∵c、d不共线，∴c≠0，且d≠0.∵a与b共线，
∴存在实数λ，使得a＝λb成立，即kc＋d＝λ(c－k2d)，
整理得(k－λ)c＋(1＋λk2)d＝0.∴，解得k＝λ＝－1.故选C.
答案：C
3．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C有6＝＋2＋3，则(　　)
A．四点O，A，B，C必共面
B．四点P，A，B，C必共面
C．四点O，P，B，C必共面
D．五点O，P，A，B，C必共面
解析：－＝2(－)＋3(－)
∴＝2＋3
∴向量，，共线．又因它们有公共点P，且A、B、C三点不共线，∴必有P、A、B、C共面．
答案：B
4．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是(　　)
A．＝2－－
B．＝＋＋
C．＋＋＝0
D．＋＋＋＝0
解析：∵＋＋＝0，∴＝－－.
∴M与A、B、C必共面．只有选项C符合．
答案：C
二、填空题
5．在空间四边形ABCD中，连接AC、BD，若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为__________．
解析：如图，取BC的中点F，连接DF，则＝，
∴＋－－＝＋－＋＝＋＋＝0.
答案：0
6．已知P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有＝2＋＋λ，则λ＝__________.
解析：P与不共线三点A，B，C共面，且＝x＋
y＋z(x，y，z∈R)，则x＋y＋z＝1是四点共面的充要条件．
答案：－2
7．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为__________．
解析：∵A，B，C三点共线，
∴存在唯一实数k，使＝k，
即－＝k(－)．
∴(k－1)＋－k＝0.
又λ＋m＋n＝0，
令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，则λ＋m＋n＝0.
答案：0
三、解答题
8．如图，在空间四边形ABCD中，AB的中点为E，DC的中点为F，请判断与＋是否共线．
解：设AC的中点为G，连接EG、FG.
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴＝，＝.
∴＝＋＝(＋)，
即与＋共线．
9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1和A1D1的中点．证明：
向量、、是共面向量．
证明：法一：＝＋＋＝－＋
＝(＋)－
＝－.
由向量共面的充要条件知，、、是共面向量．
法二：连接A1D、BD，
取A1D中点G，
连接FG、BG，
则有FG綊DD1，
BE綊DD1，
∴FG綊BE.
∴四边形BEFG为平行四边形．
∴EF∥BG.
∴EF∥平面A1BD.
同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD，
∴、、都与平面A1BD平行．
∴、、共面．第三章　§2　课时作业25
一、选择题
1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是(　　)
A．
B．
C．|a|
D．－
解析：因为y2＝ax，所以p＝，即该抛物线的焦点到其准线的距离为，故选B.
答案：B
2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)
A．4
B．6
C．8
D．12
解析：由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
答案：B
3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>)，则点M的横坐标是(　　)
A．a＋
B．a－
C．a＋p
D．a－p
解析：由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－.
答案：B
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝2
D．x＝－2
解析：∵y2＝2px的焦点坐标为(，0)，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
答案：B
二、填空题
5．[2013·北京高考]若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
解析：本题主要考查对抛物线标准方程的理解和应用．因为抛物线y2＝2px的焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－，抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，所以p＝2，准线方程为x＝－1.
答案：2　x＝－1
6．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是__________．
解析：OA的垂直平分线方程为
y＝－2x＋，
令y＝0，得x＝，
∴焦点F的坐标为(，0)．
∴抛物线方程为y2＝5x，其准线方程为x＝－.
答案：x＝－
7．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是__________．(要求填写合适条件的序号)
解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为(，0)，过该焦点的直线方程为y＝k(x－)，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
答案：②④
三、解答题
8．[2014·福建省厦门一中期中考试]已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，
则由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等．
由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
9．一辆卡车高3
m，宽1.6
m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若AB宽为a
m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立直角坐标系，如右图，
设抛物线方程为
x2＝－2py(p>0)，
则点B的坐标为(，－)．
由于点B在抛物线上，
所以()2＝－2p·(－)，
p＝.
所以抛物线方程为x2＝－ay.
将点E(0.8，y)代入抛物线方程，
得y＝－.
所以点E到拱底AB的距离为
－|y|＝－>3.
解得a>12.21.
因为a取整数，
所以a的最小整数值为13.第一章　§3　课时作业6
一、选择题
1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．
答案：B
2．[2014·湖南师大附中月考]命题“ x∈R，x2>3”不可以表述为(　　)
A．有一个x∈R，使得x2>3
B．对有些x∈R，使得x2>3
C．任选一个x∈R，使得x2>3
D．至少有一个x∈R，使得x2>3
解析：本题主要考查特称命题．“ ”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同，但是“任选一个”是全称量词，所以C的表述不正确，故选C.
答案：C
3．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a<0，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<1
B．a≤1
C．－1D．－1解析：当a≤0时，显然存在x0∈R，使
ax＋2x0＋a<0；
当a>0时，必需Δ＝4－4a2>0，
解得－1综上所述，实数a的取值范围是a<1.
答案：A
4．有下列四个命题：① x∈R,2x2－3x＋4>0；② x∈{1，－1，0},2x＋1>0；③ x0∈N，使x≤x0；④ x0∈N
，使x0为29的约数．其中真命题的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：对于①，这是全称命题，由于
Δ＝(－3)2－4×2×4<0，
所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；
对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；
对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；
对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，成以④为真命题．故选C.
答案：C
二、填空题
5．下列命题，是全称命题的是__________；是特称命题的是__________．
①正方形的四条边相等；
②有些等腰三角形是正三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①③是全称命题，②④是特称命题．
答案：①③　②④
6．若 x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．
解析：由题意知，0∴，即，∴，
∴1答案：(－，－1)∪(1，)
7．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列四个命题中假命题的序号是________．
① x∈R，f(x)≤f(x0)；
② x∈R，f(x)≥f(x0)；
③ x∈R，f(x)≤f(x0)；
④ x∈R，f(x)≥f(x0)．
解析：由题意：x0＝－为函数f(x)图像的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此 x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．
答案：③
三、解答题
8．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：
(1)所有的对数函数都是单调函数；
(2)对某些实数x，有2x＋1>0；
(3) x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；
(4) x0∈Q，x＝3.
解：(1)命题中含有全称量词“所有的”，因此是全称命题，且是真命题．
(2)命题中含有存在量词“某些”，因此是特称命题，且是真命题．
(3)命题中含有全称量词的符号“ ”，因此是全称命题．
把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22都是偶数，因此，该命题是真命题．
(4)命题中含有存在量词的符号“ ”，因此是特称命题．
由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．
9．若命题“ x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
解：法一：由题意， x∈[－1，＋∞)．令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，可转化为 x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立．
又f(x)＝(x－a)2＋2－a2，∴ x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
因为f(x)的最小值f(x)min≥a，∴或 －1≤a≤1或－3≤a<－1，得a∈[－3,1]．
法二：x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0.
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为 x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥0成立．
所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a<－2.
所以－3≤a≤1.
综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．第三章　§4　课时作业34
一、选择题
1．已知直线l的方程是f(x，y)＝0，点M(x0，y0)不在l上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲线是(　　)
A．直线l
B．与l垂直的一条直线
C．与l平行的一条直线
D．与l平行的两条直线
解析：方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示过点M(x0，y0)且和直线l平行的一条直线．故选C.
答案：C
2．一动点C在曲线x2＋y2＝1上移动时，它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是(　　)
A．(x＋3)2＋y2＝4
　
B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1
　
D．(x＋)2＋y2＝1
解析：设动点C的坐标为(x0，y0)，
P点坐标为(x，y)，
则由中点坐标公式可得x＝，y＝，
即x0＝2x－3，y0＝2y.
又动点C(x0，y0)在曲线x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋4y2＝1.
答案：C
3．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝4
B．x2＋y2＝4(x>0)
C．y＝－
D．y＝－(0解析：注意所求轨迹在第四象限内．
答案：D
4．[2014·广东省珠海一中模考]点A(2,0)，点B在圆x2＋y2＝1上，点C是∠AOB的平分线与线段AB的交点，则当点B运动时，点C的轨迹方程为(　　)
A．(x－)2＋y2＝
　
B．(x＋)2＋y2＝
C．(x－)2＋y2＝
　
D．
(x＋)2＋y2＝
解析：本题主要考查求曲线的方程．设B(x0，y0)，C(x，y)由＝2，得＝2，即(x－2，y)＝2(x0－x，y0－y) ，
因为点B(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，代入后化简得(x－)2＋y2＝，故选A.
答案：A
二、填空题
5．动点P到点(1，－2)的距离为4，则动点P的轨迹方程为________．
解析：设P(x，y)，由题意易知所求轨迹为圆，即(x－1)2＋(y＋2)2＝16.
答案：(x－1)2＋(y＋2)2＝16
6．过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为__________．
解析：设圆C的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
圆心(a，b)到直线x－y－1＝0的距离
d＝＝r，
①
又圆C过A(4,1)，B(2,1)，
∴(4－a)2＋(1－b)2＝r2，
②
(2－a)2＋(1－b)2＝r2，
③
由①②③，得a＝3，b＝0，r＝，
∴圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.
答案：(x－3)2＋y2＝2
7．由动点P向圆O：x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为__________．
解析：由题意得OP＝2，为定长，
所以点P的轨迹是以定点O为圆心，r＝2的圆．
∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.
答案：x2＋y2＝4
三、解答题
8．已知点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上任一动点，若F2关于∠F1PF2的平分线的对称点H在线段PF1上，求点H的轨迹方程．
解：如图，设点P在双曲线的右支上，且PQ为∠F1PF2的平分线．
∵F2关于PQ的对称点为H，
∴|PF2|＝|PH|，且H在PF1上．
又|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PH|＝|F1H|＝2a.
即H在以F1为圆心，半径为2a的圆上，其方程为(x＋c)2＋y2＝4a2.
9．△ABC的三边长分别为AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P是△ABC内切圆上一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值．
解：以C为原点O，CB、CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于AC＝3，BC＝4，得C(0,0)，A(0,3)，B(4,0)．
设△ABC内切圆的圆心为(r，r)，由△ABC的面积＝×3×4＝×3r＋×4r＋×5r，得r＝1，
于是内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1 x2＋y2＝2x＋2y－1，
由(x－1)2≤1 0≤x≤2.
设P(x，y)，那么|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋(y－3)2＋(x－4)2＋y2＋x2＋y2＝3(x2＋y2)－8x－6y＋25＝3(2x＋2y－1)－8x－6y＋25＝22－2x，
那么当x＝0时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取最大值为22，当x＝2时取最小值为18.第一章　§4　课时作业9
一、选择题
1．已知p：2＋2＝5，q：3>2，则下列判断中，错误的是(　　)
A．p∨q为真， q为真
B．p∧q为假， p为真
C．p∧q为假， q为假
D．p∧q为假，p∨q为真
解析：由于p是假命题，q是真命题，所以p∨q为真，p∧q为假， p真， q假，由此可知，A不正确，故选A.
答案：A
2．[2014·北京四中月考]若 p∨q是假命题，则(　　)
A．p∧q是假命题
B．p∨q是假命题
C．p是假命题
D． q是假命题
解析：本题主要考查含有逻辑联结词的命题的真假性判断．由于 p∨q是假命题，则 p与q均是假命题，所以p是真命题， q是真命题，所以p∧q是假命题，p∨q是真命题，故选A.
答案：A
3．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p∨( q)”表示(　　)
A．甲的成绩超过9环或乙的成绩超过8环
B．甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环
C．甲的成绩超过9环且乙的成绩超过8环
D．甲的成绩超过9环且乙的成绩没有超过8环
解析：本题主要考查含有逻辑联结词的命题的意义以及在生活中的应用． q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p∨( q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环，故选B.
答案：B
4．已知全集U＝R，A U，B U，若命题p：a∈(A∩B)，则命题“ p”是(　　)
A．a∈A
B．a∈ UB
C．a∈(A∪B)
D．a∈( UA)∪( UB)
解析：∵p：a∈(A∩B)，
∴ p：a (A∩B)，即a∈ U(A∩B)．
而 U(A∩B)＝( UA)∪( UB)，故选D.
答案：D
二、填空题
5．[2014·江西省临川一中月考]“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________，否命题是________．
解析：本题主要考查命题的否定与其否命题的区别．命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．
答案：末位数字是1或3的整数能被8整除　末位数字不是1且不是3的整数能被8整除
6．命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2} {1,2,3}，则对复合命题的下述判断：①p∨q为真，②p∨q为假；③p∧q为真；④p∧q为假；⑤ p为真；⑥ q为假．其中判断正确的序号是__________．(填上你认为正确的所有序号)
解析：由已知得p为假命题，q为真命题，所以可判断①④⑤⑥为真命题．
答案：①④⑤⑥
7．若命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若 p是假命题，则a的取值范围是__________．
解析： p是假命题，则p是真命题，因此问题就是求p真时a的取值范围．
要使函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上单调递减，只需对称轴1－a≥4，
∴a≤－3.
答案：(－∞，－3]
三、解答题
8．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z，若p∧q和 q都是假命题，求x的值．
解：由x2－x≥6得x2－x－6≥0，解之得x≥3或x≤－2，即p：x≤－2或x≥3，q：x∈Z，
若 q假，则q真，
又p∧q假，则p假．
当p假，q真时，有－2且x∈Z，∴x＝－1,0,1,2.
9．已知：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p且q为假， p为假，求m的取值范围．
解：p：解得m>2.
q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0.
解得1∵p且q为假， p为假．
∴p为真，q为假，
即解得m≥3，
∴m的取值范围为[3，＋∞)．第三章　§3　课时作业31
一、选择题
1．
[2014·课标全国卷Ⅰ]已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)
A．
B．3
C．m
D．3m
解析：由题意知，双曲线的标准方程为－＝1，其中a2＝3m，b2＝3，故c＝＝，不妨设F为双曲线的右焦点，故F(，0)．其中一条渐近线的方程为y＝x，即x－y＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝，故选A.
答案：A
2．
设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：如图，可得a2＝b＝·，
从而e2＝＝，故e＝.
答案：D
3．
已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，它的一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·等于(　　)
A．－12
B．－2
C．0
D．4
解析：由渐近线方程y＝x，得b＝，把点P(，y0)代入－＝1中，得y0＝±1.不妨取P(，1)，
∵F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝3－4＋1＝0.
答案：C
4．
设F1、F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．3x±4y＝0
B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0
D．5x±4y＝0
解析：设PF1的中点为M，由|PF2|＝|F1F2|，
故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，
在直角三角形F1F2M中，
|F1M|＝＝2b，故|PF1|＝4b，
根据双曲线定义4b－2c＝2a，即2b－a＝c，
即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，
即3b＝4a，故双曲线的渐近线方程是y＝±x，
即y＝±x，即4x±3y＝0.
故选择C.
答案：C
二、填空题
5．
已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．
解析：由条件知双曲线的焦点为(4,0)，
所以解得a＝2，b＝2，
故双曲线的方程为－＝1.
答案：－＝1
6．
双曲线－＝1，－＝1的离心率分别为e1，e2，则e1＋e2的最小值为________．
解析：由已知得e1＝，e2＝，则e1＋e2＝＋＝≥·2
＝2.
答案：2
7．
已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若双曲线上存在点P，使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
解析：在△PF1F2中，由＝<1，据正弦定理，有＝，且|PF1|－|PF2|＝2a，
故|PF1|＝，|PF2|＝.
又|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，即＋>2c，
∴c2－2ac－a2<0，
∴e2－2e－1<0，解得1答案：(1，＋1)
三、解答题
8．
设F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P在双曲线上，若·＝0，||·||＝2ac(c为半焦距)，求双曲线的离心率．
解：∵·＝0，
∴与所成的角为90°，则
||2＋||2＝|F1F2|2＝4c2，
由双曲线的定义知，
||PF1|－|PF2||＝2a，
∴|PF1|2－2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，
则有4c2－4ac＝4a2，
∴e2－e－1＝0，e＝＝，
∴e＝(负值舍去)．
9．
已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|＝3|PF2|.
(1)求离心率e的最大值，并写出此时双曲线的渐近线方程；
(2)若当点P的坐标为时，·＝0，求双曲线方程．
解：
(1)∵|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＝3|PF2|，
∴|PF2|＝a，|PF1|＝3a.
设F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，
由＝e，得＝e，x0＝.
∵P在双曲线右支上，∴x0≥a，即≥a，
1此时＝4 ＝4，b＝a，＝，
渐近线方程为y＝±x.
(2)＝(－c－x0，－y0)，
＝(c－x0，－y0)，
∵·＝0，PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°，
∴(－c－x0)(c－x0)＋y＝0，
x＋y＝c2.
当x0＝，y0＝时，c2＝10，
∵|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝4c2＝40，
(3a)2＋a2＝40，a2＝4，b2＝c2－a2＝6，
∴双曲线方程为－＝1.第一章　§1　课时作业2
一、选择题
1．[2014·江西九江一模]命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(　　)
A．“若xB．“若x>y，则x2>y2”
C．“若x≤y，则x2≤y2”
D．“若x≥y，则x2≥y2”
解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
答案：C
2．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是(　　)
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
解析：由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．
答案：A
3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析：命题“若p，则q”的否命题为“若 p，则 q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.
答案：B
4．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　　)
A．4　　　　　　　　
B．3
C．2
D．0
解析：原命题和它的逆否命题为真命题．
答案：C
二、填空题
5．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．
解析：将条件、结论分别否定即可．
答案：若x≤y，则x3≤y3－1
6．[2014·江西省临川一中月考]命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)
解析：本题考查否命题及命题真假性的判断．原命题的否命题是“若实数a满足a>2，则a2≥4”，这是一个真命题．
答案：真
7．已知命题“若m－1解析：由已知得，若1则m－1∴∴1≤m≤2.
答案：[1,2]
三、解答题
8．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)正数的平方根不等于0；
(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；
(3)对顶角相等．
解：(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．
逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．
否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．
逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．
(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．
逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．
否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．
逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．
(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．
逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．
否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．
9．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．
(1)垂直于同一个平面的两直线平行．
(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根．
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.
解：(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；假命题．
否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；假命题．
逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面；真命题．
(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0；假命题．
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根；假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；真命题．
(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题．第三章　§1　课时作业22
一、选择题
1．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　)
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1或＋＝1
D．＋＝1或＋＝1
解析：由已知2c＝|F1F2|＝2，
∴c＝.
又2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
答案：C
2．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．－9B．8C．16D．m>8
解析：依题意，有，
解得8答案：B
3．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：将方程mx2＋ny2＝1转化为＋＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上，则有>0，>0，且>，即m>n>0.反之，m>n>0时，方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆．故选C.
答案：C
4．[2014·安徽省合肥六中月考]设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)
A．5
B．4
C．3
D．1
解析：本题考查椭圆定义的综合应用．由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2可知，△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.
答案：B
二、填空题
5．[2014·北京东城区检测]已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
解析：本题主要考查椭圆的定义．由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a.又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.
答案：8
6．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．
解析：∵a2＝9，b2＝2，
∴c＝＝＝，
∴|F1F2|＝2.又|PF1|＝4，
|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF2|＝2.由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝－，
∴∠F1PF2＝120°.
答案：2　120°
7．设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1||PF2|的最大值是__________．
解析：由已知a＝3，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF1|·|PF2|≤()2＝9.
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时，式中等号成立．
故|PF1|·|PF2|的最大值为9.
答案：9
三、解答题
8．已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.
(1)求M的横坐标；
(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．
解：(1)把M的纵坐标代入＋＝1得
＋＝1，即x2＝9.
∴x＝±3，
即M的横坐标为3或－3.
(2)对于椭圆＋＝1，
焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，
故设所求椭圆的方程为＋＝1.
把M点的坐标代入得＋＝1，
解得a2＝15.
故所求椭圆的方程为＋＝1.
9．在直线l：x－y＋9＝0上取一点P，过点P以椭圆＋＝1的焦点为焦点作椭圆．
(1)P点在何处时，所求椭圆长轴最短；
(2)求长轴最短时的椭圆方程．
解：(1)由题意知椭圆两焦点坐标分别为F1(－3,0)、F2(3,0)．
设点F1(－3,0)关于直线l的对称点F′1的坐标为(x0，y0)，当P在F2F′1与直线l的交点处时，椭圆长轴最短．
则解之得
∴F′1(－9,6)．
则过F′1和F2的直线方程为
＝，
整理得x＋2y－3＝0
联立解之得
即P点坐标为(－5,4)
(2)由(1)知2a＝|F′1F2|＝，
∴a2＝45.
∵c＝3，∴b2＝a2－c2＝36.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.习题课(1)
一、选择题
1．[2014·云南师大附中阶段检测]下列命题中是假命题的是(　　)
A．a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若ac2>bc2，则a>b
D．若α＝60°，则cosα＝
解析：本题考查命题真假性的判断．因为|a|＝|b|只能说明a与b的模相等，方向不一定相同，所以a＝b不一定成立，故选B.
答案：B
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析：将原命题的条件和结论互换位置即得逆命题，则原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．
答案：B
3．与命题“若m∈M，则n M”等价的命题是(　　)
A．若m∈M，则n∈M
B．若n M，则m∈M
C．若m M，则n∈M
D．若n∈M，则m M
解析：原命题与其逆否命题等价，故选D.
答案：D
4．[2014·天津高考]设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：先证“a>b” “a|a|>b|b|”．若a>b≥0，则a2>b2，即a|a|>b|b|；若a≥0>b，则a|a|≥0>b|b|；若0>a>b，则a2b|b|.
再证“a|a|>b|b|” “a>b”．若a，b≥0，则由a|a|>b|b|，得a2>b2，故a>b；若a，b≤0，则由a|a|>b|b|，得－a2>－b2，即a2b；若a≥0，b<0，则a>b.
综上，“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件．
答案：C
5．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要的条件是(　　)
A．a>b＋1
B．a>b－1
C．a2>b2
D．a3>b3
解析：a>b＋1 a>b，a>ba>b＋1.
答案：A
6．[2014·华中师大一附中月考]命题p：函数y＝lg(x2＋2x－c)的定义域为R；命题q：函数y＝lg(x2＋2x－c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A，命题q为真命题时c的取值集合为B，则A∩B＝(　　)
A．
B．{x|x<－1}
C．{x|x≥－1}
D．R
解析：本题考查命题为真命题的条件及集合交集的运算．命题p为真命题，即x2＋2x－c>0恒成立，则有Δ＝4＋4c<0，求得c<－1，即A＝{x|x<－1}；令f(x)＝x2＋2x－c，命题q为真命题，则f(x)的值域为(0，＋∞)，即Δ＝4＋4c≥0，求得c≥－1，即B＝{x|x≥
－1}．于是A∩B＝ ，故选A.
答案：A
二、填空题
7．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p：________，结论q：________.它是________命题(填“真”或“假”)
解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，
∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．
答案：a>0　二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)　真
8．命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是________(填“真”或“假”)命题．
解析：原命题的逆命题是真命题，所以原命题的否命题是真命题．
答案：真
9．“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的__________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)．
解析：当a＝0时，函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)即为f(x)＝x2，为偶函数；若f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数，则f(－x)＝(－x)2＋a(－x)＝x2－ax＝f(x)＝x2＋ax，则2ax＝0(x∈R)，解得a＝0.
综上知，“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的充要条件．
答案：充要
三、解答题
10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)在同一个三角形中大角所对的边大于小角所对的边；
(2)当x2－2x＋1＝0时，x＝1.
解：(1)在同一个三角形中，若一条边是大角所对的边，则它大于小角所对的边，真命题．
(2)若x2－2x＋1＝0，则x＝1，真命题．
11．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC.
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.
(3)在△ABC中，p：sinA>sinB，q：tanA>tanB.
(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，
q：(x－1)·(y－2)＝0.
解：(1)在△ABC中，
显然有∠A>∠B BC>AC，所以p是q的充要条件．
(2)因为x＝2且y＝6 x＋y＝8，即 q p，
但 p q，所以p是q的充分不必要条件．
(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，pq，
又取∠A＝30°，∠B＝120°，qp，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，A?B，所以p是q的充分不必要条件．
12．已知M＝{x|(x＋3)(x－5)>0}，P＝{x|x2＋(a－8)x－8a≤0}．
(1)求a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5(2)求a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5解：M＝{x|x<－3或x>5}，
P＝{x|(x＋a)(x－8)≤0}．
(1)显然，当－3≤－a≤5，即－5≤a≤3时，M∩P＝{x|5(2)当M∩P＝{x|5一、选择题
1．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3，4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是(　　)
A．xOy
B．xOz
C．yOz
D．xOy或yOz
解析：＝(0,5，－3)，AB与平面yOz平行．
答案：C
2．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是(　　)
A．(1,1，－1)
B．(1，－1,1)
C．(－1,1,1)
D．(－1，－1，－1)
解析：＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有
取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.
故一个法向量是(－1，－1，－1)．
答案：D
3．下列各组向量中不平行的是(　　)
A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)
C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)
D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)
解析：A项中，b＝－2a a∥b；B项中，d＝－3c d∥c；C项中，零向量与任何向量都平行．只有D中两向量不平行．
答案：D
4．直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的是(　　)
A．a＝
B．a＝k
C．a＝p＋λ
D．以上均不能
解析：A、B、C均能表示l∥α或l α.
答案：D
二、填空题
5．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝(1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.
解析：∵平面α的法向量u＝(1,3，z)
v与平面α平行，∴u⊥v
∴u·v＝1×3＋3×(－2)＋z×1＝0　∴z＝3.
答案：3
6．若直线l的方向向量为(2,1，m)，平面α的法向量为(1，，2)，且l⊥α，则m＝________.
解析：∵l⊥α，
∴直线l的方向向量平行于平面α的法向量．
∴＝＝.∴m＝4.
答案：4
7．如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥面DCC1D1；
④A1M∥面D1PQB1.
以上结论中正确的是__________．(填写正确的序号)
解析：∵＝－＝－＝，
∴A1M∥D1P.
∵D1P 面D1PQB1，∴A1M∥面D1PQB1.
又D1P 面DCC1D1，∴A1M∥面DCC1D1.
∵B1Q为平面DCC1D1的斜线，
∴B1Q与D1P不平行，∴A1M与B1Q不平行．
答案：①③④
三、解答题
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，求证：MN∥平面BB1C1C.
解：以D为坐标原点，以、、分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，M(a，，a)，N(a，，0)，则＝(0，a,0)，＝(－，0，－a)，
所以·＝0，即⊥.又为平面BB1C1C的法向量，且MN 平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C.
9．如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？请证明你的结论．
解：法一：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.
因为＝＋＝＋(＋)＝＋
＋＝＋(－)＋(－)＝－.
所以、、共面．
又BF 平面AEC，从而BF∥平面AEC.
法二：如右图，以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系．
由题意，知相关各点的坐标分别为A(0,0,0)，B(a，－a,0)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，P(0,0，a)，E(0，a，a)．
所以＝(0，a，a)，＝(a，a,0)，＝(0,0，a)，＝(a，a，－a)，＝(－a，a，a)．
设点F是棱PC上的点，则＝λ＝(aλ，
aλ，－aλ)，其中λ∈R且0<λ<1.
则＝＋＝(a(λ－1)，a(1＋λ)，a(1－λ))，令＝λ1＋λ2，λ1，λ2∈R.
得
即
解得λ＝，λ1＝－，λ2＝，
即λ＝时，＝－＋，即F是PC的中点时，、、共面．
又BF 平面AEC，
所以当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.第一章　单元综合检测(二)
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列语句中，不能成为命题的是(　　)
A．指数函数是增函数吗？
B．2010>2011
C．若a⊥b，则a·b＝0
D．存在实数x0，使得x0<0
解析：疑问句不能判断真假，因此不是命题．D是命题，且是个特称命题．
答案：A
2．下列命题是真命题的是(　　)
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x解析：A显然是真命题；对于B，由x2＝1，得x＝±1，故B是假命题；对于C，令x＝y＝－1，则，无意义，故C是假命题；对于D，令x＝－3，y＝－1，则(－3)2>(－1)2，故D是假命题．故选A.
答案：A
3．命题“若x＝1，则x2－3x＋2＝0”以及它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是(　　)
A．0
B．2
C．3
D．4
解析：∵原命题为真命题，∴逆否命题也是真命题．∵它的逆命题是：若x2－3x＋2＝0，则x＝1，是假命题，∴它的否命题也是假命题，故选B.
答案：B
4．下列命题：
①至少有一个实数x0使x－x0＋1＝0成立；
②对于任意的实数x都有x2－x＋1＝0成立；
③所有的实数x都使x2－x＋1＝0不成立；
④存在实数x0使x－x0＋1＝0不成立．
其中全称命题的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由全称命题的定义知②③为全称命题．
答案：B
5．[2013·重庆高考]命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为(　　)
A．存在x0∈R，使得x<0
B．对任意x∈R，都有x2<0
C．存在x0∈R，使得x≥0
D．不存在x∈R，使得x2<0
解析：本题主要考查全称命题的否定．根据定义可知命题的否定为存在x0∈R，使得x<0，故选A.
答案：A
6．[2014·福建高考]直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”
的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：当k＝1时，l：y＝x＋1，由题意不妨令A(－1,0)，B(0，1)，则S△AOB＝×1×1＝，所以充分性成立；当k＝－1时，l：y＝－x＋1，也有S△AOB＝，所以必要性不成立．
答案：A
7．设p：x2－x－2<0，q：<0，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：p：x2－x－2<0 －1答案：A
8．[2014·人大附中月考]下列命题的否定为假命题的是(　　)
A． x∈R，x2＋2x＋2≤0
B．任意一个四边形的四个顶点共圆
C．所有能被3整除的整数都是奇数
D． x∈R，sin2x＋cos2x＝1
解析：本题主要考查特称、全称命题的真假性判断，以及命题与其否定之间的真假关系．A中，当x∈R时，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0，所以A中命题是假命题，该命题的否定是真命题，所以A不是；B中，由平面几何的知识可知该命题是假命题，所以其否定是真命题，所以B不是；C中，由于6能被3整除，但6是偶数，不是奇数，所以C中的命题是假命题，该命题的否定是真命题，所以C不是；D中，由同角三角函数基本关系式可知该命题是真命题，其否定是假命题，所以D是，故选D.
答案：D
9．[2014·湖北省襄阳五中月考]已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2x0<0.下列选项中为真命题的是(　　)
A． p
B． p∨q
C． q∧p
D．q
解析：本题主要考查含有逻辑联结词的命题和特称命题的真假性判断，以及指数函数．很明显命题p为真命题，所以 p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以 q是真命题．所以 p∨q为假命题， q∧p为真命题，故选C.
答案：C
10．以下判断正确的是(　　)
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“ x∈N，x3>x2”的否定是“ x0∈N，x>x”
C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数”的充要条件
解析：“负数的平方是正数”即为“ x<0，x2>0”，是全称命题，所以A不正确；因为全称命题“ x∈N，x3>x2”的否定为“ x0∈N，x≤x”，所以B不正确；因为f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，当最小正周期为π时，有＝π，则|a|＝1 a＝±1.故“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件，所以C不正确，故选D.
答案：D
11．[2014·湖北高考]若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：由＝a＋b，可得a2＋b2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，即即反之亦可推，故φ(a，b)＝0是a与b互补的充要条件．
答案：C
12．下列命题正确的是(　　)
A．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c则a>b是cosAB．命题p：对任意的x∈R，x2＋x＋1>0，则 p：对任意的x∈R，x2＋x＋1≤0
C．已知p：>0，则 p：≤0
D．存在实数x∈R，使sinx＋cosx＝成立
解析：对于选项A，在△ABC中大边对大角，由a>b得A>B，又余弦函数在(0，π)上单调递减，所以cosAB，故a>b，所以选项A正确．
对于选项B，命题p的否定 p应为：存在实数x∈R，使x2＋x＋1≤0，故选项B不对．
对于选项C，p：>0 p：x>－1，故 p为x≤－1而不是≤0，故C不正确．
对于选项D，cosx＋sinx的最大值为，小于，因而选项D也不正确．
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．命题“若ab＝0，则a＝0，或b＝0”的否命题是________．
解析：据否命题的定义知，命题“若ab＝0，则a＝0，或b＝0”的否命题是“若ab≠0，则a≠0，且b≠0”．
答案：若ab≠0，则a≠0，且b≠0
14．设A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|解析：A＝{x|<0}＝{x|－1答案：(－2,2)
15．[2014·人大附中月考]等差数列{an}的首项为a，公差为d，其前n项和为Sn，则数列{Sn}为递增数列的充要条件是________．
解析：本题考查数列问题中充要条件的判断．由Sn＋1>Sn(n∈N
) (n＋1)a＋d>na＋d(n∈N
) dn＋a>0(n∈N
) d≥0且d＋a>0.因此数列{Sn}为递增数列的充要条件是d≥0且d＋a>0.
答案：d≥0且d＋a>0
16．给出下列四个命题：
①函数f(x)＝x|x|＋ax＋m是奇函数的充要条件是m＝0；
②若函数f(x)＝lg(ax＋1)的定义域是{x|x<1}，则a<－1；
③若loga2b一定成立；
④圆：x2＋y2－10x＋4y－5＝0上任一点M关于直线ax－y－5a＝2的对称点M′也在该圆上．
所有正确命题的序号是__________．
解析：①f(x)为奇函数 f(－x)＝－f(x)
－x|－x|＋a(－x)＋m＝－x|x|－ax－m
m＝－m m＝0.∴①正确．
②由已知x<1时，ax＋1>0恒成立．
显然当a≥0时，上式不成立．
当a<0时，只需a＋1>0，∴a>－1.
∴－1③当00，loga2b不成立．
∴③不正确．
④∵圆的圆心为(5，－2)，
直线ax－y－5a＝2过定点(5，－2)．
∴圆上任一点M关于直线的对称点M′仍在该圆上．
∴④正确．
答案：①④
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)写出命题“若x2＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．
解：逆命题：若x＝－8或x＝1，则x2＋7x－8＝0.
逆命题为真．
否命题：若x2＋7x－8≠0，则x≠－8且x≠1.
否命题为真．
逆否命题：若x≠－8且x≠1，则x2＋7x－8≠0.
逆否命题为真．
18．(12分)某人投篮，设命题p：第一次投中；q：第二次投中．试用p，q及逻辑联结词“且”“或”“非”表示下列命题：
(1)两次都投中；
(2)两次都没有投中；
(3)恰有一次投中；
(4)至少有一次投中．
解：(1)两次都投中：p∧q.
(2)两次都没有投中：( p)∧( q)．
(3)恰有一次投中：(p∧( q))∨(( p)∧q)．
(4)至少有一次投中：p∨q.
19．(12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(3) x∈{x|x>0}，x＋≥2；
(4) x0∈Z，log2x0>2.
解：(1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题；
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题；
(3)命题中含有全称量词“ ”，是全称命题，真命题；
(4)命题中含有存在量词“ ”，是特称命题，真命题．
20．(12分)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
解：充分性：∵a＋b＋c＝0，
∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中得
ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
∴有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要是a＋b＋c＝0.
21．(12分)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，q：实数x满足x2－x－6≤0，或x2＋2x－8>0，且 p是 q的必要非充分条件，求a的取值范围．
解：设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0(a<0)}＝{x|3aB＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}
＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}
＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}
＝{x|x<－4或x≥－2}．
∵ p是 q的必要非充分条件，
∴ q p，且 p q.
则{x| q}?{x| p}，
而{x| q}＝ RB＝{x|－4≤x<－2}，
{x| p}＝ RA＝{x|x≤3a，或x≥a(a<0)}，
∴{x|－4≤x<－2}?{x|x≤3a，或x≥a(a<0)}，
则或，
即－≤a<0或a≤－4.
22．(12分)已知条件p：5x－1>a或5x－1<－a和条件q：>0，请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．
解：条件p即x<或x>，条件q即2x2－3x＋1>0，
∴x<或x>1；
令a＝4，则p即x<－或x>1，
此时必有p q成立，反之不然．
故可以选取一个实数是a＝4，A为p，B为q，对应的命题是若p则q，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题．第二章　§4　课时作业17
一、选择题
1．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是(　　)
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：∵＝(－3，－2，－5)，＝(－1,4，－1)，＝(2,6,4)，∴·＝0，∴AB⊥AC，且||≠||≠||，∴△ABC为直角三角形．
答案：C
2．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是(　　)
A．圆
B．直线
C．平面
D．线段
解析：M构成的图形是经过点A，且以n为法向量的平面．
答案：C
3．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则等于(　　)
A．(，－，4)
B．(，－，－3)
C．(，－，4)
D．(，，－3)
解析：由·＝0得3＋5－2z＝0，∴z＝4.
又⊥平面ABC，
∴即解得
∴＝(，－，－3)．
答案：B
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)
A．AC
B．BD
C．A1D
D．AA1
解析：建立如图所示的坐标系．
设正方体棱长为1，
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，
C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，E(，，1)．
∴＝(，，1)－(0,1,0)＝(，－，1)，
＝(－1,1,0)，＝(－1，－1,0)，
＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)．
∵·＝(，－，1)·(－1，－1,0)
＝－＋＋0＝0，
∴⊥，∴CE⊥BD.
答案：B
二、填空题
5．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α、β、γ的法向量，则α、β、γ三个平面中互相垂直的有__________对．
解析：∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0.
∴a、b、c中任意两个都不垂直，即α、β、γ中任意两个都不垂直．
答案：0
6．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是__________．
解析：·＝－2－2＋4＝0，
∴AP⊥AB，①正确；·＝－4＋4＝0，∴AP⊥AD，②正确；且是平面ABCD的法向量，∴③正确，④错误．
答案：①②③
7．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)其中x∈[0，π]．若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
解析：由题意得⊥.
∴cosx·(2cosx＋1)－(2cos2x＋2)＝0.
∴2cos2x－cosx＝0.∴cosx＝0或cosx＝.
又x∈[0，π]，∴x＝或x＝.
答案：或
三、解答题
8．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．证明：AE⊥平面PBC.
证明：如图所示，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系A－xyz.
设D(0，a,0)，
则B(，0,0)，C(，a,0)，P(0,0，)，E(，0，)．
于是＝(，0，)，＝(0，a,0)，
＝(，a，－)，
则·＝0，·＝0.
所以AE⊥BC，AE⊥PC.
又因为BC∩PC＝C，所以AE⊥平面PBC.
9．在正棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
求证：平面EFG⊥平面PBC.
证明：证法一：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，
于是＝(3,0,0)，
＝(1,0,0)，
故＝3，∴PA∥FG.
而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.
又FG 平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.
证法二：同证法一，建立空间直角坐标系，则
E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)．
∴＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．
设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，则有n⊥，n⊥.
∴令y＝1，得z＝－1，x＝0即n＝(0,1，－1)．
显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．
又n·＝0，∴n⊥，即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC.习题课(2)
一、选择题
1．将抛物线y＝4x2绕焦点逆时针方向旋转90°后，所得抛物线的准线方程是(　　)
A．x＝2
B．y＝－2
C．x＝
D．x＝
解析：化成标准式x2＝y，则p＝，设准线方程为x＝m，则m＝.
答案：C
2．若抛物线y2＝2px(p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是(　　)
A．成等差数列
B．既成等差数列又成等比数列
C．成等比数列
D．既不成等比数列也不成等差数列
解析：设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，
则y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3，
因为2y＝y＋y，所以x1＋x3＝2x2，
即|P1F|－＋|P3F|－＝2，
所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.
答案：A
3．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是(　　)
A．x＝p
B．x＝3p
C．x＝p
D．x＝p
解析：∵|OA|＝|OB|，∴A，B两点关于x轴对称，由于垂心是焦点，则垂心为F.
设A，B两点的坐标分别为A(x0，y0)，B(x0，－y0)，由题意，得kFA·kOB＝－1，即·＝－1，
则y＝x0.
∵y＝2px0(x0>0，p>0)，
∴2px0＝x0.∴x0＝p.
∴直线AB的方程为x＝p.
答案：D
4．抛物线x2＝－4y的通径为线段AB，O为抛物线的顶点，则(　　)
A．通径长为8，△AOB的面积为4
B．通径长为8，△AOB的面积为2
C．通径长为4，△AOB的面积为4
D．通径长为4，△AOB的面积为2
解析：在抛物线x2＝－4y中，因为2p＝4，所以通径的长为4，△AOB的面积为·2p·＝×4×1＝2.
答案：D
5．过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则＋等于(　　)
A．2a
B．
C．4a
D．
解析：可采用特殊值法，设PQ过焦点F且垂直于x轴，则|PF|＝p＝xp＋＝＋＝，
|QF|＝q＝，∴＋＝＋＝.
答案：D
6．[2014·河北省衡水中学期中考试]已知抛物线y＝x2－1上一定点B(－1,0)和两个动点P，Q，当BP⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3)∪[1，＋∞)
B．[－3,1]
C．[1，＋∞)
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：本题主要考查直线垂直的条件和直线与抛物线的位置关系．设P(t，t2－1)，Q(s，s2－1)，∵BP⊥PQ，∴·＝－1，即t2＋(s－1)t－s＋1＝0，∵t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点，∴必须有Δ＝(s－1)2＋4(s－1)≥0，即s2＋2s－3≥0，解得s≤－3或s≥1.∴点Q的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.
答案：D
二、填空题
7．抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则实数a的值是__________．
解析：抛物线y＝ax2化为x2＝y，
由于其准线方程为y＝1，故a<0，且||＝1，
解得a＝－.
答案：－
8．[2014·四川省绵阳南山中学月考]抛物线y2＝2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．
解析：本题主要考查抛物线的定义和基本性质的应用．抛物线y2＝2x的焦点为F(，0)，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.
答案：2
9．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝__________.
解析：∵直线AF的斜率为－，
∴∠PAF＝60°.
又|PA|＝|PF|，
∴△PAF为正三角形，作FM⊥PA，则M为PA中点，|MA|＝p，
∴|PA|＝2p.
∴|PF|＝|AP|＝2p＝8.
答案：8
三、解答题
10．(1)求过点(－，0)(p>0)且与直线x＝相切的动圆圆心M的轨迹方程；
(2)平面上动点M到定点F(0,3)的距离比M到直线y＝－1的距离大2，求动点M满足的方程，并画出相应的草图．
解：(1)根据抛物线的定义知，
圆心M的轨迹是以点(－，0)为焦点，
直线x＝为准线的抛物线，
其方程为y2＝－2px(p>0)．
(2)因为动点M到定点F(0,3)的距离比点M到直线y＝－1的距离大2，
所以动点M到定点F(0,3)的距离等于点M到直线y＝－3的距离，
由抛物线的定义得动点M的轨迹是以定点F(0,3)为焦点，
定直线y＝－3为准线的抛物线，
故动点M的轨迹方程为x2＝12y，
草图如上图所示．
11．已知抛物线方程y2＝2x，设点A的坐标为(a,0)，求抛物线上的点到点A的距离最小值d，并写出关系式d＝f(a)．
解：设B(x，y)是抛物线y2＝2x上任意一点，
则|AB|2＝(x－a)2＋y2＝[x－(a－1)]2－1＋2a.
当a>1时，此时当x＝a－1时，|AB|取最小值，
d＝；
当a≤1时，此时当x＝0时，|AB|取最小值，d＝|a|.
综上所述，d＝
12．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有·<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足－x＝1(x>0)，化简得y2＝4x(x>0)．
即曲线C的方程为y2＝4x(x>0)．
(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，
Δ＝16(t2＋m)>0，由韦达定理知
①
因为＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
·<0 (x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0.
②
又x＝，所以不等式②等价于
·＋y1y2－＋1<0
＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1<0，
③
由①式，不等式③等价于m2－6m＋1<4t2，
④
对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1<0，即3－2由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0，且m的取值范围是(3－2，3＋2)．第二章　§5　课时作业19
一、选择题
1．[2014·课标全国卷Ⅱ]直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：解法一：取BC的中点Q，连接QN，AQ，易知BM∥QN，则∠ANQ即为所求，
设BC＝CA＝CC1＝2，
则AQ＝，AN＝，QN＝，
∴cos∠ANQ＝＝＝＝，故选C.
解法二：以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设BC＝CA＝CC1＝2，则A(2,0,2)，N(1,0,0)，M(1,1,0)，B(0,2,2)，∴＝(－1,0，－2)，＝(1，－1，－2)，
∴cos〈，〉＝＝＝＝，故选C.
答案：C
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：建系如图，设棱长为1，则
A1(1,0,1)，E(1，，0)，F(0，，1)，B1(1,1,1)．
＝(0,1,0)．
设平面A1EF的法向量n＝(x，y，z)，
则　　即
令y＝2，则
∴n＝(1,2,1)，cos〈n，〉＝＝，
即线面角的正弦值为.
答案：B
3．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：建立如右图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1，，0)，＝(1，，－1)，平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，
所以cos〈，n〉＝
＝－，
所以〈，n〉＝120°，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，
所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°，故选A.
答案：A
4．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：建系如图，设AB＝1，
则A(0,0,0)，B(0,1,0)，
P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)．
平面PAB的法向量为
n1＝(1,0,0)．
设平面PCD的法向量
n2＝(x，y，z)，
则得
令x＝1，则z＝1.
∴n2＝(1,0,1)，cos〈n1，n2〉＝＝.
∴平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为.
∴此角的大小为45°.
答案：B
二、填空题
5．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝2，则AB与PC的夹角的余弦值为________．
解析：因为·＝·(＋)＝·＋·＝1××cos45°＝1，
又||＝1，||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
答案：
6．正三角形ABC与正三角形BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为__________．
解析：取BC中点O，连接AO，DO.建立如右图所示空间直角坐标系，设BC＝1，
则A(0,0，)，B(0，－，0)，D(，0,0)．
∴＝(0,0，)，＝(0，，)，＝(，，0)．
由于＝(0,0，)为面BCD的法向量，可进一步求出面ABD的一个法向量n＝(1，－，1)，
∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.
答案：
7．[2014·辽宁抚顺市四校统考]如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱CC1上的一点，CP＝m，若直线AP与平面BDD1B1所成角的正弦值为，则m＝__________.
解析：如右图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则
A(1,0,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，
D(0,0,0)，所以＝(－1,1，m)，＝(－1,1,0)，
又·＝0，·＝0，
所以是平面BDD1B1的一个法向量．
设AP与平面BDD1B1所成的角为θ，则sinθ＝cos(－θ)＝＝＝，
所以m＝.
答案：
三、解答题
8．PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝.求二面角A－PB－C的余弦值．
解：法一：如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，
P(0,0,1)，
∴＝(0,0,1)，＝(，1,0)．
设平面PAB的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
由得
令x1＝1，则n1＝(1，－，0)．
＝(0，－1,1)，＝(，0,0)．
设平面PBC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
由得
令z2＝1，则n2＝(0,1,1)．
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
∵所求二面角为锐角，
∴二面角A－PB－C的余弦值为.
法二：如图所示，取PB的中点D，连接CD.
∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AC.
∴PC＝＝.
∵PC＝BC＝，∴CD⊥PB.
作AE⊥PB于E，
那么二面角A－PB－C平面角的大小就等于与的夹角θ.
∵PA⊥平面ABC，BC⊥AC，∴PC⊥BC.
∴PB＝＝2.
∴PD＝1，PE＝＝.
∴DE＝PD－PE＝.
又∵AE＝＝，CD＝1，AC＝1，
＝＋＋，
且⊥，⊥，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2||·||·cos(π－θ)，
即1＝＋＋1－2··1·cosθ，解得cosθ＝，
故二面角A－PB－C的余弦值为.
9．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．
(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；
(2)求直线AM与平面ANE所成的角．
解：(1)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.
依题意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E(，1,0)．
∴＝(－，0，－1)，
＝(－1,0,1)．
∵cos〈，〉＝＝＝－，
所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为.
(2)＝(0,1,1)，＝(－，1,0)．
设平面ANE的法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝2，则n＝(2,1，－1)．
又＝(－1,0,1)，
∴cos〈，n〉＝＝－，
则直线AM与平面ANE所成的角为60°.第三章　§3　课时作业30
一、选择题
1．[2013·福建高考]双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)
A．
B．
C．1
D．
解析：本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离公式．双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，顶点坐标为(±1,0)，故顶点到渐近线的距离为，故选B.
答案：B
2．[2014·甘肃省兰州一中期末考试]以直线x±y＝0为渐近线，一个焦点坐标为F(0,2)的双曲线方程是(　　)
A．－y2＝－1
B．x2－＝1
C．－y2＝1
D．x2－＝－1
解析：本题主要考查双曲线的简单几何性质及其标准方程的求法．一个焦点坐标为(0,2)，说明双曲线的焦点在y轴上．因为渐近线方程为x±y＝0，所以可设双曲线方程为y2－3x2＝λ(λ>0)，即－＝1,22＝λ＋＝4，解得λ＝3，所以双曲线方程为x2－＝－1，故选D.
答案：D
3．双曲线的渐近线为y＝±x，则双曲线的离心率是(　　)
A．
B．2
C．或
D．或
解析：若双曲线焦点在x轴上，∴＝.
∴e＝＝＝＝.
若双曲线的焦点在y轴上，
∴＝，＝.
∴e＝＝＝＝.
答案：C
4．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)
A．
B．
C．2
D．3
解析：设双曲线C的方程为－＝1，焦点F(－c,0)，将x＝－c代入－＝1可得y2＝，所以|AB|＝2×＝2×2a.
∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝＝.
答案：B
二、填空题
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．
解析：椭圆的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，
故c＝4，且满足＝2，
故a＝2，b＝＝2.
所以双曲线的渐近线方程为
y＝±x＝±x.
答案：(4,0)，(－4,0)　y＝±x
6．已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即－＝1.考虑到焦距为4，可得到一个关于c的等式，2c＝4，即c＝2.再加上a2＋b2＝c2，可以解出a＝1，b＝，c＝2，所以离心率e＝2.
答案：2
7．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．
解析：设椭圆C1的方程为＋＝1(a1>b1>0)，
由已知得，∴
∴焦距为2c1＝10.
又∵8<10，∴曲线C2是双曲线．设其方程为
－＝1(a2>0，b2>0)，
则a2＝4，c2＝5，∴b＝52－42＝32，
∴曲线C2的方程为－＝1.
答案：－＝1
三、解答题
8．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)一个顶点是(0,6)，且离心率是1.5；
(2)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)．
解：(1)∵顶点为(0,6)，设所求双曲线方程为－＝1，∴a＝6.
又∵e＝1.5，∴c＝a×e＝6×1.5＝9，b2＝c2－a2＝45.
故所求的双曲线方程为－＝1.
(2)法一：双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，
令x＝－3，y＝±4，因2<4，故点(－3,2)在射线y＝－x(x≤0)及x轴负半轴之间
∴双曲线焦点在x轴上．
设双曲线方程为－＝1，(a>0，b>0)，则
解之得
∴双曲线方程为－＝1.
法二：设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
∴－＝λ.
∴λ＝，∴双曲线方程为－＝1.
9．双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线离心率e的取值范围．
解：设直线l的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a>1，得点(1,0)到直线l的距离
d1＝，点(－1,0)到直线l的距离
d2＝.
∴s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.
∵e＝，∴5≥2e2，
∴25(e2－1)≥4e4，
即4e4－25e2＋25≤0，
∴≤e2≤5(e>1)．
∴≤e≤，
即e的取值范围为[，]．第二章　§2　课时作业11
一、选择题
1．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于(　　)
A．
B．3
C．3
D．2
解析：－＋＝－(－)＝－＝＋＝＋2＝3.
答案：B
2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有(　　)
①＋与＋是一对相反向量；
②－与－是一对相反向量；
③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；
④－与－是一对相反向量．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．
答案：C
3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形
B．空间四边形
C．等腰梯形
D．矩形
解析：∵＋＝＋，
∴＝.
∴∥且||＝||.
∴四边形ABCD为平行四边形．
答案：A
4．如果向量、、满足||＝||＋||，则(　　)
A．＝＋
B．＝－－
C．与同向
D．与同向
解析：∵||＝||＋||
∴A、B、C共线且点C在AB之间，即与同向．
答案：D
二、填空题
5．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝__________(用a，b，c表示)．
解析：＝－
＝－(＋)＝－a＋b－c.
答案：－a＋b－c
6．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，化简向量表达式－＋－结果是__________．
解析：＋－(＋)＝－＝2.
答案：2
7．对于空间中的非零向量、、，有下列各式：①＋＝；②－＝；③||＋||＝||；④||－||＝||.其中一定不成立的是__________．
解析：①＋＝恒成立；②－＝，故②不成立；③当、、方向相同时，有||＋||＝||；④当、、共线且与、方向相反时，有||－||＝||.故只有②一定不成立．
答案：②
三、解答题
8．如图，P为平行四边形ABCD外一点，O为平行四边形ABCD对角线的交点．求证：＋＋＋＝4.
证明：因为＝＋，＝＋，＝＋，＝＋，将以上四式相加，得＋＋＋＝4＋＋＋＋.因为O为平行四边形ABCD的中心，所以＋＝0，＋＝0，所以＋＋＋＝4.
9．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a、b、c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3).
解：(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋
＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋
＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋(a＋c＋b)＝a＋b＋c.模块综合测试(一)
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若命题p： x∈R,2x2＋1>0，则 p是(　　)
A． x∈R,2x2＋1≤0
B． x∈R,2x2＋1>0
C． x∈R,2x2＋1<0
D． x∈R,2x2＋1≤0
解析： p： x∈R,2x2＋1≤0.
答案：D
2．不等式x－>0成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．－11
B．x<－1或0C．x>－1
D．x>1
解析：本题主要考查充要条件的概念、简单的不等式的解法．画出直线y＝x与双曲线y＝的图像，两图像的交点为(1,1)、(－1，－1)，依图知x－>0 －11　(
)，显然x>1 (
)；但(
)x>1，故选D.
答案：D
3．[2014·西安模拟]命题“若a>b，则a＋1>b”的逆否命题是(　　)
A．若a＋1≤b，则a>b
B．若a＋1b
C．若a＋1≤b，则a≤b
D．若a＋1解析：“若a>b，则a＋1>b”的逆否命题为“若a＋1≤b，则a≤b”，故选C.
答案：C
4．[2014·山东省日照一中模考]下列命题中，为真命题的是(　　)
A． x∈R，x2－x－1>0
B． α，β∈R，sin(α＋β)C．函数y＝2sin(x＋)的图像的一条对称轴是x＝π
D．若“ x0∈R，x－ax0＋1≤0”为假命题，则a的取值范围为(－2,2)
解析：本题主要考查命题的判定及其相关知识的理解．因为x2－x－1＝(x－)2－，所以A错误；当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，所以B错误；当x＝时，y＝0，故C错误；因为“ x0∈R，x－ax0＋1≤0”为假命题，所以“ x∈R，x2－ax＋1>0”为真命题，即Δ<0，即a2－4<0，解得－2答案：D
5．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)
A．2　　　　　　　　
B．6
C．4
D．12
解析：设椭圆的另一焦点为F，由椭圆的定义知|BA|＋|BF|＝2，且|CF|＋|AC|＝2，
所以△ABC的周长＝|BA|＋|BC|＋|AC|
＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|AC|＝4.
答案：C
6．过点(2，－2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线方程为(　　)
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
解析：与双曲线－y2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为－y2＝λ(λ≠0)，
由过点(2，－2)，可解得λ＝－2.
所以所求的双曲线方程为－＝1.
答案：D
7．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．e>
B．1C．e>2
D．1解析：由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故>a，∴>2.
答案：C
8．[2013·课标全国卷Ⅱ]一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为(　　)
解析：本题主要考查空间直角坐标以及三视图的有关知识．利用正方体模型，建立空间直角坐标系，根据点的坐标确定几何体形状，注意画三视图中的正视图时，是以zOx平面为投影面，故选A.
答案：A
9．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于(　　)
A．
B．2
C．
D．
解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，因为y＝x2＋1与渐近线相切，故x2＋1±x＝0只有一个实根，∴－4＝0，∴＝4，
∴＝5，∴e＝.
答案：C
10．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，则AA1＝2，依题设有B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)，E(1,0,1)，
∴＝(0，－1,1)，＝(0，－1,2)．
∴cos〈·〉＝＝.
答案：C
11．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为(　　)
A．4
B．8
C．16
D．32
解析：∵抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，准线为x＝－2，∴K(－2,0)．
设A(x0，y0)，如图所示，过点A向准线作垂线，垂足为B，则B(－2，y0)．　∵|AK|＝|AF|，
又|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，
∴由|BK|2＝|AK|2－|AB|2，得y＝(x0＋2)2，
即8x0＝(x0＋2)2，解得x0＝2，y0＝±4.
∴△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8，故选B.
答案：B
12．[2013·浙江高考]如图，F1、F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：本题考查椭圆、双曲线的定义和简单的几何性质．设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)　①，点A的坐标为(x0，y0)．
由题意a2＋b2＝3＝c2　②，|OA|＝|OF1|＝，
∴，解得x＝，y＝，又点A在双曲线C2上，代入①得，b2－a2＝a2b2　③，联立②③解得a＝，所以e＝＝，故选D.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于__________．
解析：∵a，b，c三向量共面，∴a＝xb＋yc(x，y∈R)，
∴(2，－1,3)＝x(－1,4，－2)＋y(7,5，λ)，∴λ＝.
答案：
14．已知命题p： x∈R，x2＋2ax＋a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是__________．
解析：p是假命题，则 p为真命题， p为： x∈R，x2＋2ax＋a>0，所以有Δ＝4a2－4a<0，即0答案：(0,1)
15．[2014·湖南省长沙一中月考]已知正三棱柱ABC－DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝__________________.
解析：本题主要考查空间向量基本定理和数量积．设＝m，由于＝＋，又＝
＝＋m，又·＝0，
得×1×1×(－)＋4m＝0，解得m＝.
答案：
16．[2014·河北省邢台一中月考]F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是△PF1F2的内心，且S△IPF2＝S△IPF1－λS△IF1F2，则λ＝________.
解析：本题主要考查双曲线定义及标准方程的应用．设△PF1F2内切圆的半径为r，则S△IPF2＝S△IPF1－λS△IF1F2 ×|PF2|×r＝×|PF1|×r－λ×|F1F2|×r |PF1|－|PF2|＝λ|F1F2|，根据双曲线的标准方程知2a＝λ·2c，∴λ＝＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知全集U＝R，非空集合A＝{x|<0}，B＝{x|(x－a)(x－a2－2)<0}．命题p：x∈A，命题q：x∈B.
(1)当a＝时，p是q的什么条件？
(2)若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)A＝{x|<0}＝{x|2当a＝时，B＝{x|故p是q的既不充分也不必要条件．
(2)若q是p的必要条件，即p q，可知A B，
由a2＋2>a，故B＝{a|a∴，解得a≤－1或1≤a≤2.
18．(12分)已知c>0，设p：y＝cx为减函数；q：函数f(x)＝x＋>在x∈[，2]上恒成立，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求c的取值范围．
解：由y＝cx为减函数，得0当x∈[，2]时，由不等式x＋≥2(x＝1时取等号)知：f(x)＝x＋在[，2]上的最小值为2，若q真，则<2，即c>.若p真q假，则0，所以c≥1.综上：c∈(0，]∪[1，＋∞)．
19．(12分)[2014·天津高考]如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．
解：法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．
(1)证明：向量＝(0,1,1)，＝(2,0,0)，故·＝0.
所以BE⊥DC.
(2)向量＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)．设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，
则即
不妨令y＝1，可得n＝(2,1,1)为平面PBD的一个法向量．于是有
cos〈n，〉＝＝＝.
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)向量＝(1,2,0)，＝(－2，－2,2)，＝(2,2,0)，＝(1,0,0)．由点F在棱PC上，设＝λ，0≤λ≤1.
故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得·＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝.即＝.设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，
则即
不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0)，则
cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
易知，二面角F－AB－P是锐角，所以其余弦值为.
法二：(1)证明：如图，取PD的中点M，连接EM，AM.
由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且EM＝DC，又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM.
因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，
从而CD⊥平面PAD，因为AM 平面PAD，于是CD⊥AM，又BE∥AM，所以BE⊥CD.
(2)连接BM，由(1)有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，而EM∥CD，故PD⊥EM.又因为AD＝AP，M为PD的中点，故PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD.所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．
依题意，有PD＝2，而M为PD的中点，可得AM＝，进而BE＝.故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝＝＝，因此sin∠EBM＝.
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)如图，在△PAC中，过点F作FH∥PA交AC于点H.因为PA⊥底面ABCD，故FH⊥底面ABCD，从而FH⊥AC.又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH.在底面ABCD内，可得CH＝3HA，从而CF＝3FP.在平面PDC内，作FG∥DC交PD于点G，于是DG＝3GP.由于DC∥AB，故GF∥AB，所以A，B，F，G四点共面．由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，故AB⊥AG.所以∠PAG为二面角F－AB－P的平面角．
在△PAG中，PA＝2，PG＝PD＝，∠APG＝45°，由余弦定理可得AG＝，cos∠PAG＝.
所以二面角F－AB－P的余弦值为.
20．(12分)已知椭圆＋＝1，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点A(1,1)为椭圆内一点，点P为椭圆上一点．求|PA|＋|PF1|的最大值．
解：由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
所以|PF1|＝6－|PF2|，
这样|PA|＋|PF1|＝6＋|PA|－|PF2|.
求|PA|＋|PF1|的最大值问题转化为6＋|PA|－|PF2|的最大值问题，
即求|PA|－|PF2|的最大值问题，
如图在△PAF2中，两边之差小于第三边，
即|PA|－|PF2|<|AF2|，
连接AF2并延长交椭圆于P′点时，
此时|P′A|－|P′F2|＝|AF2|达到最大值，
易求|AF2|＝，
这样|PA|－|PF2|的最大值为，
故|PA|＋|PF1|的最大值为6＋.
21．(12分)[2014·湖北高考]在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2,1)．求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即＝|x|＋1，
化简整理得y2＝2(|x|＋x)．
故点M的轨迹C的方程为y2＝
(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x<0)，
依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．
由方程组
可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①
(ⅰ)当k＝0时，此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.
故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.
(ⅱ)当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．②
设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则
由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③
1°若由②③解得k<－1或k>.
即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
2°若或
则由②③解得k∈或－≤k<0.
即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．
当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．
故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．
3°若则由②③解得－1即当k∈∪时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，
故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．
综合(ⅰ)(ⅱ)可知，当k∈(－∞，－1)∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．
22．(12分)[2014·广东省广州六中期末考试]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝AD.
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；
(3)求二面角A－PD－C的余弦值．
解：因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD.又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设AD＝2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．
(1)＝(0,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,1,0)，
可得·＝0，·＝0，所以AP⊥CD，AC⊥CD.又因为AP∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.
(2)设侧棱PA的中点是E，则E(0,0，)，＝(－1,0，)．设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则，因为＝(－1,1,0)，＝(0,2，－1)，所以，取x＝1，则y＝1，z＝2，所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,2)．所以n·＝(1,1,2)·(－1,0，)＝0，所以n⊥.
因为BE 平面PCD，所以BE∥平面PCD.
(3)由已知，AB⊥平面PAD，所以＝(1,0,0)为平面PAD的一个法向量．
由(2)知，n＝(1,1,2)为平面PCD的一个法向量．
设二面角A－PD－C的大小为θ，由图可知，θ为锐角，所以cosθ＝＝＝.
即二面角A－PD－C的余弦值为.第二章　§3　课时作业15
一、选择题
1．下列说法中正确的是(　　)
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等
解析：A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；B项，空间基底有无数个；D项中因为基底不唯一，所以D错．故选C.
答案：C
2．设命题p：a，b，c是三个非零向量；命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：若a，b，c为非零向量，则{a，b，c}不一定为基底，但若{a，b，c}为基底，则a，b，c肯定为非零向量，所以p为q的必要不充分条件．
答案：B
3．[2014·黑龙江省哈尔滨九中模考]已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z的值为(　　)
A．1
B．－1
C．2
D．－2
解析：本题主要考查空间向量基本定理及其应用．由题意知A，B，C，D共面的充要条件是：对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得＝x1＋y1＋z1且x1＋y1＋z1＝1，因此，2x＋3y＋4z＝－1，故选B.
答案：B
4．如右图所示，在空间四边形OABC中，点M为OA中点，N为AB中点，P在CN上，且CP＝PN，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A．－a＋b＋c
B．a＋b－c
C．－a－b＋c
D．a－b＋c
解析：＝＋＋
＝－＋＋
＝－a＋c＋×(＋)
＝－a＋c＋(－＋－)
＝－a＋c＋(a＋b－2c)
＝－a＋b＋c.
答案：A
二、填空题
5．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，＝x＋＋，则x＝________.
解析：∵M、A、B、C四点共面，∴x＋＋＝1，得x＝.
答案：
6．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a，b的关系是__________．
解析：∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0，
∴a⊥b.
答案：a⊥b
7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用，，作为基向量，则＝________.
解析：2＝2＋2＋2
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋，
∴＝(＋＋)．
答案：(＋＋)
三、解答题
8．已知空间四边形OABC，点M，N，P分别是OA，BC，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，.
解：如图所示，连接ON.
＝＋
＝－＋(＋)
＝(－a＋b＋c)，
＝－＝(c－a)．
9．如右图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A、E、C1、F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z.
解：(1)证明：因为＝＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝＋，
所以A、E、C1、F四点共面．
(2)因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋.
所以x＝－1，y＝1，z＝.
所以x＋y＋z＝.模块综合测试(二)
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知命题p： x∈R，x≥1，那么命题 p为(　　)
A． x∈R，x≤1　　　
B． x∈R，x<1
C． x∈R，x≤－1
D． x∈R，x<－1
解析：全称命题的否定是特称命题．
答案：B
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝8x有一个相同的焦点F，且该点到双曲线的渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为(　　)
A．x2－y2＝2
B．－y2＝1
C．x2－y2＝3
D．x2－＝1
解析：本题主要考查双曲线与抛物线的有关知识．由已知，a2＋b2＝4　①，焦点F(2,0)到双曲线的一条渐近线bx－ay＝0的距离为＝1　②，由①②解得a2＝3，b2＝1，故选B.
答案：B
3．已知命题p，q，如果命题“ p”与命题“p∨q”均为真命题，那么下列结论正确的是(　　)
A．p，q均为真命题
B．p，q均为假命题
C．p为真命题，q为假命题
D．p为假命题，q为真命题
解析：命题“ p”为真，所以命题p为假命题．又命题“p∨q”也为真命题，所以命题q为真命题．
答案：D
4．在三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，已知命题p：a>b，命题q：tan2A>tan2B，则p是q的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：本题主要考查充要条件的判定以及三角形、三角函数的有关知识．在三角形中，命题p：a>b A>B.命题q：tan2A>tan2B sin(A＋B)sin(A－B)>0 A>B，显然p是q的充要条件，故选C.
答案：C
5．如右图，在三棱锥A—BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC中点，则·等于(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：如右图，建立空间直角坐标系．
设DC＝DB＝a，DA＝b，
则B(a,0,0)、C(0，a,0)、A(0,0，b)，E(，，0)，
所以＝(－a，a,0)，
＝(，，－b)，·＝－＋＋0＝0.
答案：A
6．若直线y＝x＋1与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，则||等于(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：联立方程组得3x2＋4x＝0，
解得A(0,1)，B(－，－)，
所以||＝＝.
答案：B
7．[2014·浙江省杭州二中期末考试]给出下列命题：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在直线平行；
②若三个向量a，b，c两两共面，则a，b，c共面；
③已知空间中三个向量a，b，c，则对空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc成立．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：本题主要考查空间向量的共线、共面、空间向量的基本定理等基础知识．若向量a，b共线，则向量a，b所在直线平行或在同一条直线上，故①不正确；在三棱锥P－ABC中，取，，分别为向量a，b，c，则a，b，c两两共面，但a，b，c不共面，故②不正确；在三棱锥P－ABC中，取，，分别为向量a，b，c，则对向量，不存在实数x，y，z使得＝xa＋yb＋zc成立，故③不正确；综上，正确命题的个数是0，故选A.
答案：A
8．下列四个结论中正确的个数为(　　)
①命题“若x2<1，则－11或x<－1，则x2>1”；
②已知p： x∈R，sinx≤1，q：若a③命题“ x∈R，x2－x>0”的否定是“ x∈R，x2－x≤0”；
④“x>2”是“x2>4”的必要不充分条件．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：只有③中结论正确．
答案：B
9．[2014·河南省开封高中月考]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E、F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E、F两点间的距离为(　　)
A．1
B．
C．
D．
解析：本题主要考查空间中两点间的距离．以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1,1，)，F(2,1，)，
所以|EF|＝
＝，故选C.
答案：C
10．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝CC1，AC⊥BC，点D是AB的中点，则直线B1B和平面CDB1所成角的正切值为(　　)
A．2
B．
C．
D．
解析：如右图，建立空间直角坐标系，可设AC＝BC＝CC1＝1，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)，
D(，，0)，B1(0,1,1)，＝(，，0)，＝(0,1,1)，＝(0,0，－1)．
设平面CDB1的法向量为n＝(x，y，z)，
由即
不妨取n＝(1，－1,1)，
所以cos〈n，〉＝＝＝－.
设直线B1B和平面CDB1所成角为α，则sinα＝，
故cosα＝，tanα＝.
答案：D
11．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为的直线交抛物线于A、B两点，则||FA|－|FB||的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及抛物线的有关性质．直线AB的方程为y＝(x－1)，由得3x2－10x＋3＝0，故x1＝3，x2＝，所以||FA|－|FB||＝|x1－x2|＝.故选A.
答案：A
12．[2012·浙江高考]如图，F1、F2分别是双曲线C：－＝1(a，b>0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与双曲线C的两条渐近线分别交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：本题主要考查双曲线离心率的求解．结合图形的特征，通过PQ的中点，利用线线垂直的性质进行求解．不妨设c＝1，则直线PQ：y＝bx＋b，双曲线C的两条渐近线为y＝±x，因此有交点P(－，)，Q(，)，设PQ的中点为N，则点N的坐标为(，)，因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，|MF2|＝|F1F2|，所以点M的坐标为(3,0)，因此有kMN＝＝－，所以3－4a2＝b2＝1－a2，所以a2＝，所以e＝.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．命题“ x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定是__________．
解析：特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是 x∈R，x2＋2x＋2>0.
答案： x∈R，x2＋2x＋2>0
14．已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率e为__________．
解析：当m>0，n>0时，可设a＝3k，b＝4k，
则c＝5k，所以离心率e＝；
当m<0，n<0时，可设a＝4k，b＝3k，
则c＝5k，所以离心率e＝.
答案：或
15．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝__________.
解析：如右图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上易知EF綊A1D，∴＝，
即－＝0，∴λ＝－.
答案：－
16.
[2014·湖北省襄阳五中月考]已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题：①若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数；②若a2－b>0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数；③当x＝a时，f(x)有最小值b－a2；④当a2－b≤0时，f(x)有最小值b－a2.其中正确命题的序号是________．
解析：本题考查含绝对值的二次函数单调区间和最小值问题的求解．由题意知f(x)＝|x2－2ax＋b|＝|(x－a)2＋b－a2|.若a2－b≤0，则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2，可知f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a2－b≤0的条件下，才有x＝a时，f(x)有最小值b－a2，所以③错误，④正确．
答案：①④
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(1)设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？
(2)求使不等式4mx2－2mx－1<0恒成立的充要条件．
解：(1)x∈R，x∈(M∩P) x∈(2,3)．
因为“x∈M或x∈P”x∈(M∩P)．
但x∈(M∩P) x∈M或x∈P.
故“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件．
(2)当m≠0时，不等式4mx2－2mx－1<0恒成立 －4又当m＝0时，不等式4mx2－2mx－1<0对x∈R恒成立，
故使不等式4mx2－2mx－1<0恒成立的充要条件是－418．(12分)[2014·福建省质检]某几何体ABC－A1B1C1的三视图和直观图如图所示．
(1)求证：A1C⊥平面AB1C1；
(2)求二面角C1－AB1－C的余弦值．
解：(1)由三视图可知，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，B1C1⊥A1C1，且AA1＝AC＝4，BC＝3.
以点C为原点，分别以CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A(4,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,0)，A1(4,0,4)，B1(0,3,4)，C1(0,0,4)，
∴＝(4,0,4)，＝(4,0，－4)，＝(0,3,0)．
∴·＝4×4＋0×0＋4×(－4)＝0，·＝4×0＋0×3＋4×0＝0.
∴CA1⊥C1A，CA1⊥C1B1，又C1A∩C1B1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1.
(2)由(1)得，＝(4,0,0)，＝(0,3,4)，
设平面AB1C的法向量为n＝(x，y，z)，则⊥n，⊥n，
∴，∴，
即x＝0，令y＝4，则z＝－3，得平面AB1C的一个法向量为n＝(0,4，－3)．
由(1)知，是平面AB1C1的一个法向量，
cos〈n，〉＝＝＝－.
由图可知，二面角C1－AB1－C为锐角，
故二面角C1－AB1－C的余弦值为.
19．(12分)设直线l：y＝x＋1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两个不同的点，l与x轴相交于点F.
(1)证明：a2＋b2>1；
(2)若F是椭圆的一个焦点，且＝2，求椭圆的方程．
(1)证明：将x＝y－1代入＋＝1，消去x，整理，得(a2＋b2)y2－2b2y＋b2(1－a2)＝0.
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得
Δ＝4b4－4b2(a2＋b2)(1－a2)＝4a2b2(a2＋b2－1)>0，所以a2＋b2>1.
(2)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则(a2＋b2)y－2b2y1＋b2(1－a2)＝0，①
且(a2＋b2)y－2b2y2＋b2(1－a2)＝0.②
因为＝2，所以y1＝－2y2.
将y1＝－2y2代入①，与②联立，消去y2，
整理得(a2＋b2)(a2－1)＝8b2.③
因为F是椭圆的一个焦点，则有b2＝a2－1.
将其代入③式，解得a2＝，b2＝，
所以椭圆的方程为＋＝1.
20．(12分)已知两点M(－1,0)、N(1,0)，动点P(x，y)满足||·||－·＝0，
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)假设P1、P2是轨迹C上的两个不同点，F(1,0)，λ∈R，＝λ，求证：＋＝1.
解：(1)||＝2，则＝(x＋1，y)，
＝(x－1，y)．
由||||－·＝0，
则2－2(x＋1)＝0，
化简整理得y2＝4x.
(2)由＝λ·，得F、P1、P2三点共线，
设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，斜率存在时，直线P1P2的方程为：y＝k(x－1)
代入y2＝4x得：k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.
则x1x2＝1，x1＋x2＝.
∴＋＝＋
＝＝1.
当P1P2垂直x轴时，结论照样成立．
21．(12分)[2013·江西高考]如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，连结CE并延长交AD于F.
(1)求证：AD⊥平面CFG；
(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
解：(1)证明：在△ABD中，因为E是BD中点，所以EA＝EB＝ED＝AB＝1，
故∠BAD＝，∠ABE＝∠AEB＝，
因为△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，
从而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝，
所以∠FED＝∠FEA，
故EF⊥AD，AF＝FD，又因为PG＝GD，
所以FG∥PA.
又PA⊥平面ABCD，
所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG.
(2)
以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(，，0)，D(0，，0)，P(0,0，)，
故＝(，，0)，
＝(－，－，)，
＝(－，，0)．
设平面BCP的法向量n1＝(1，y1，z1)，
则
解得即n1＝(1，－，)．
设平面DCP的法向量n2＝(1，y2，z2)，
则解得
即n2＝(1，，2)．从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cosθ＝＝＝.
22．(12分)[2014·山东高考]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
(1)求C的方程；
(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，
①证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意知F.
设D(t,0)(t>0)，则FD的中点为.
因为|FA|＝|FD|，
由抛物线的定义知3＋＝，
解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．
由＝3，解得p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)①由(1)知F(1,0)，
设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD>0)，
因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，
由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2,0)．
故直线AB的斜率kAB＝－.
因为直线l1和直线AB平行，
设直线l1的方程为y＝－x＋b，
代入抛物线方程得y2＋y－＝0，
由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.
设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝，
当y≠4时，kAE＝＝－＝，
可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)，由y＝4x0，
整理可得y＝(x－1)，
直线AE恒过点F(1,0)．
当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1,0)，所以直线AE过定点F(1,0)．
②由①知直线AE过焦点F(1,0)，
所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2.
设直线AE的方程为x＝my＋1，
因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m＝，
设B(x1，y1)，
直线AB的方程为y－y0＝－(x－x0)，
由于y0≠0，可得x＝－y＋2＋x0，
代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0.
所以y0＋y1＝－，
可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4，
所以点B到直线AE的距离为
d＝
＝＝4.
则△ABE的面积
S＝×4·≥16，
当且仅当＝x0，即x0＝1时等号成立．所以△ABE的面积的最小值为16.第一章　§1　课时作业3
一、选择题
1．命题“若 p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是(　　)
A．若p，则 q
B．若q，则 p
C．若 q，则p
D．若 q，则 p
解析：命题“若 p，则q”的逆否命题为“若 q，则p”．
答案：C
2．有下列四个命题：
①“若x2＋y2＝0，则xy＝0”的否命题；
②“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；
③“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
④“对顶角相等”的逆命题
其中真命题的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：
(1)
假
该命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，为假命题．
(2)
假
该命题与其逆否命题具有相同的真假性．而该命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题．
(3)
假
该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题．
(4)
假
该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题.
答案：A
3．下列说法中正确的是(　　)
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
解析：利用四种命题真假性关系可知D正确．
答案：D
4．[2014·济南教学质量检测]下列有关命题的说法正确的是(　　)
A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”
B．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题
C．命题“任意的x∈R，都有2x2－1<0成立”为真命题
D．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题为真命题
解析：A不正确，命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”；
B正确，命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然成立；
C不正确，当x＝1时，2x2－1<0不成立；
D不正确，因为命题“若cosx＝cosy，则x＝y”是假命题，所以其逆否命题也是假命题．
答案：B
二、填空题
5．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
解析：原命题为真命题，其逆命题为“若A∩B≠A则A∪B≠B”，
否命题为“若A∪B＝B则A∩B＝A”，
逆否命题为“若A∩B＝A则A∪B＝B”，全为真命题．
答案：4
6．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有__________；互为否命题的有__________；互为逆否命题的有__________．
解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系，便不难判断．
答案：③和⑥，②和④　①和⑥，②和⑤　①和③，④和⑤
7．在空间中，①若四点不共面，则这四点中的任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________(把符合要求的命题序号都填上)．
解析：①中的逆命题是若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体ABCD－A1B1C1D1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任何三点都不共线，但A1、B1、C1、D1四点共面，所以①的逆命题不真；②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线的定义知，成异面直线的两条直线不会有公共点，所以②的逆命题是真命题．
答案：②
三、解答题
8．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
解：逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．
否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.
逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
9．[2014·咸阳模拟]给出命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a－1)x＋a2－2≤0的解集不是空集，则a≤3”，判断其逆否命题的真假．
解：先判断原命题的真假：
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a－1)x＋a2－2≤0的解集不是空集，则
Δ＝(2a－1)2－4(a2－2)≥0，解得a≤.
当a≤成立时，a≤3恒成立，所以原命题为真命题．
又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题是真命题．第一章　§2　课时作业4
一、选择题
1．若 p是 q的必要条件，则q是p的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．非充分条件
D．非必要条件
解析： p是 q的必要条件，即 q p为真命题，故 q p的逆否命题p q也为真命题．
∴q是p的必要条件．
答案：B
2．对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是(　　)
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
解析：当a＝b时，ac＝bc，而当ac＝bc时，若c＝0，则a和b不一定相等．
答案：B
3．[2014·湖北高考]设U为全集．A，B是集合，则“存在集合C使得A C，B UC”是“A∩B＝ ”的
(　　)
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
解析：由韦恩图易知充分性成立．反之，A∩B＝ 时，不妨取C＝ UB，此时A C.必要性成立．故选C.
答案：C
4．一次函数y＝－x＋的图像同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是(　　)
A．m>0，n>0
B．mn<0
C．m<0，n<0
D．mn>0
解析：一次函数y＝－x＋的图像同时经过第一、二、四象限，即得m>0，n>0.
由题意可得，m>0，n>0可以推出选项条件，而反之不成立，所以选D.
答案：D
二、填空题
5．用“充分条件”和“必要条件”填空．
(1)“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的__________．
(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的__________．
解析：(1)xy＝1lgx＋lgy＝0(如x＝y＝－1)，
lgx＋lgy＝0 lg(xy)＝0 xy＝1.
(2)△ABC≌△A′B′C′ △ABC∽△A′B′C′，
△ABC∽△A′B′C′△ABC≌△A′B′C′.
答案：(1)必要条件　(2)充分条件
6．已知α、β是不同的两个平面，直线a α，直线b β，
p：a与b无公共点，q：α∥β，则p是q的________条件．
解析：面面平行时定有分别位于两个面内的直线无公共点，但是两个面内的直线无公共点时，这两个面的关系可能是平行的，也可能是相交，故p是q的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．已知p：x2＋x－2>0，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是__________．
解析：将p，q分别视为集合A＝{x|x2＋x－2>0}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|x>a}，已知q是p的充分不必要条件，即B?A，在数轴上表示出两个集合(图略)，可知满足题意的a的取值范围为a≥1.
答案：a≥1
三、解答题
8．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，
但x＝y |x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．
△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．
四边形是矩形 四边形的对角线互相平分．
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
9．[2014·河南省郑州一中月考]已知p：关于x的不等式解：记A＝{x|B＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0若p是q的充分不必要条件，则A?B.
注意到B＝{x|0(1)若A＝ ，即≥，求得m≤0，此时A?B，符合题意；
(2)若A≠ ，即<，求得m>0，
要使A?B，应有，解得0综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3)．第三章　§3　课时作业29
一、选择题
1．双曲线方程为x2－2y2＝2，则它的左焦点坐标为(　　)
A．(－，0)
B．(－，0)
C．(－，0)
D．(－，0)
解析：双曲线标准方程为－y2＝1，
∴c2＝2＋1＝3.
∴左焦点坐标为(－，0)．
答案：D
2．[2014·四川宜宾一模]已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是(　　)
A．
B．
C．
D．2
解析：由已知可得c＝，a＝1，∴b＝1.
∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－1)．
将y＝代入，可得点P的横坐标为x＝－.
∴点P到原点的距离为　＝.
答案：A
3．方程
－＝6化简的结果是(　　)
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1(x≤－3)
D．－＝1(x≥3)
解析：方程的几何意义是动点P(x，y)到定点(4,0)，(－4,0)的距离之差为6，由于6<8，所以动点的轨迹是双曲线的左支，由定义可得方程为－＝1(x≤－3)．
答案：C
4．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是(　　)
A．－＝1
B．－＝1
C．x2－＝1
D．－y2＝1
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在Rt△PF1F2中m2＋n2＝(2c)2＝20，m·n＝2，
由双曲线定义知|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝16.
∴4a2＝16.∴a2＝4，b2＝c2－a2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
答案：D
二、填空题
5．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k的值为__________．
解析：方程化为标准形式是－＝1，
所以－－＝9，即k＝－1.
答案：－1
6．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析：如图所示，F(－4,0)，设F′为双曲线的右焦点，则F′(4,0)，点A(1,4)在双曲线两支之间，由双曲线定义，|PF|－|PF′|＝2a＝4，而|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|≥4＋|AF′|＝4＋5＝9.
当且仅当A，P，F′三点共线时取等号．
答案：9
7．[2014·上海静安二模]已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为________．
解析：由题意知F1(－3,0)，设M(－3，y0)，代入双曲线方程求得|y0|＝，即|MF1|＝.又|F1F2|＝6，利用直角三角形性质及数形结合得F1到直线F2M的距离为d＝＝＝.
答案：
三、解答题
8．已知点P为双曲线x2－＝1上的点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，且|PF1|·|PF2|＝24，求△PF1F2的周长．
解：由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
又|PF1|·|PF2|＝24，所以|PF1|＋|PF2|＝＝10.
又因为|F1F2|＝2c＝2，所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝10＋2.
9．已知双曲线－＝1的两焦点为F1、F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
解：(1)如右图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义知，
m－n＝2a＝8，
①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，
②
由①②得m·n＝8，
∴mn＝4＝|F1F2|h，
∴h＝.
∴M点到x轴的距离为.
(2)设所求双曲线C的方程为
－＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，
所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线C的方程为－＝1.第三章　单元综合检测(二)
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3和5时，点P的轨迹为(　　)
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和两条射线
C．双曲线的一支和一条直线
D．双曲线的一支和一条射线
解析：当2a<|AB|时，表示双曲线的一支；当2a＝|AB|时表示一条射线，故选D.
答案：D
2．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)
A．＋＝1　　　　　　　
B.＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)，故选A.
答案：A
3．已知椭圆与双曲线－＝1有共同的焦点，且离心率为，则椭圆的标准方程为(　　)
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
解析：双曲线－＝1中a＝3，b＝2，则c1＝＝，故焦点坐标为(－，0)，(，0)，故所求椭圆＋＝1(a>b>0)的c＝，又椭圆的离心率e＝＝，则a＝5，a2＝25，b2＝a2－c2＝20，故椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：B
4．若P(x0，y0)是抛物线y2＝－32x上一点，点F为抛物线的焦点，则|PF|＝(　　)
A．x0＋8
B．x0－8
C．8－x0
D．x0＋16
解析：由题意可知抛物线开口向左，且p＝＝16，因此抛物线的准线方程为x＝8，因此|PF|＝8－x0.
答案：C
5．[2014·贵州遵义一模]椭圆＋＝1中，以点M(－1,2)为中点的弦所在的直线斜率为(　　)
A．
B．
C．
D．－
解析：设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得
＋＝0，
又∵弦中点为M(－1,2)，
∴x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4，
∴＋＝0，
∴k＝＝.
答案：B
6．椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为(　　)
A．48
B．24
C．24
D．12
解析：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的定义可得
所以
或
又|F1F2|＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°.
所以△PF1F2的面积S＝|PF1||PF2|＝×6×8＝24.
答案：B
7．[2014·清华附中月考]如图，南北方向的公路L，A地在公路正东2
km处，B地在A北偏东60°方向2
km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等．现要在曲线PQ上某处建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B修建公路的费用都为a万元/km，那么，修建这两条公路的总费用最低是(　　)
A．(2＋)a万元
B．(2＋1)a万元
C．5a万元
D．6a万元
解析：本题主要考查抛物线的实际应用．依题意知曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线L的距离即可．∵B地在A地北偏东60°方向2
km处，∴B到点A的水平距离为3
km，∴B到直线L的距离为3＋2＝5(km)，那么，修建这两条公路的总费用最低为5a万元，故选C.
答案：C
8．[2014·湖北省黄冈中学月考]已知F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，E是双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为(　　)
A．(1,2)
B．(1，)
C．(1,3)
D．(1，)
解析：本题考查双曲线离心率的求法和数形结合思想的应用．∵△ABE为等腰三角形，可知只需∠AEF<45°即可，即|AF|<|EF| 1，∴1答案：A
9．[2014·山东省济南一中月考]线段CD的两端点分别在射线OA，OB上，若OA，OB的方程分别为y＝x(x≥0)和y＝－x(x≥0)且|CD|＝4，则CD的中点P的轨迹方程是(　　)
A．3x2＋＝12
B．3x2－＝12
C．3x2＋＝12(≤x≤2)
D．3x2－＝12(≤x≤2)
解析：本题主要考查由曲线求方程．设P(x，y)，C(x－m，y－n)，D(x＋m，y＋n)，由C，D分别在OA，OB上，及|CD|＝4，得

3x2＋＝12且≤x≤2，故选C.
答案：C
10．如右图所示，共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为(　　)
A．e1B．e2C．e1D．e2解析：由椭圆、双曲线的离心率范围知0答案：C
11．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1·x2＝－，则m等于(　　)
A．
B．2
C．
D．3
解析：依题意kAB＝＝－1，
而y2－y1＝2(x－x)，得
x2＋x1＝－，且
在直线y＝x＋m上，
即＝＋m，
y2＋y1＝x2＋x1＋2m，
∴2(x＋x)＝x2＋x1＋2m，
2[(x2＋x1)2－2x2x1]＝x2＋x1＋2m，
2m＝3，m＝.
答案：A
12．[2014·陕西省西安铁一中月考]已知P是双曲线－＝1(a>0，b>0)左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆C的圆心的横坐标为(　　)
A．－a
B．－b
C．－c
D．a＋b－c
解析：本题考查双曲线中基本量之间的关系和三角形内切圆的性质．设△PF1F2的内切圆C与三边PF1，PF2，F1F2分别切于点A，B，D，由双曲线定义有|PF2|－|PF1|＝2a，即|PB|＋|BF2|－(|PA|＋|AF1|)＝2a，由圆的切线性质知|PA|＝|PB|，|AF1|＝|DF1|，|BF2|＝|DF2|，所以|DF2|－|DF1|＝2a，又|DF2|＋|DF1|＝2c，故|DF2|＝a＋c，圆心C的横坐标为x0＝－a，故选A.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于__________．
解析：由题意知椭圆的焦点在x轴上，又直线x＋2y－2＝0与x轴、y轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b＝1，c＝2，从而a＝，e＝＝.
答案：
14．已知点(－2,3)与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离是5，则p＝__________.
解析：抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标是(，0)，由两点间距离公式，得
＝5.解得p＝4.
答案：4
15．[2014·福建省厦门一中期末考试]已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________.
解析：本题综合考查直线、双曲线与圆．设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|，所以|FN|＝＝5，由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝－|PF′|＋|MF|－|FN|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1.
答案：－1
16．已知点P(a,0)，对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是__________．
解析：设Q，
由|PQ|≥|a|得2＋t2≥a2，
即t2(t2＋16－8a)≥0，
所以t2＋16－8a≥0，t2≥8a－16恒成立，则8a－16≤0，即a≤2.
应填(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)[2014·厦门高二检测]求与椭圆＋＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．
解：椭圆＋＝1的焦点是(0，－5)、(0,5)，焦点在y轴上，于是设双曲线方程是－＝1(a>0，b>0)，
又双曲线过点(0,2)，∴c＝5，a＝2，
∴b2＝c2－a2＝25－4＝21，
∴双曲线的标准方程是－＝1，实轴长为4，焦距为10，离心率e＝＝，
渐近线方程是y＝±x.
18．(12分)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C：x2－＝1交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
解：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ>0)，
∴x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m，
∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，
∴m2＋(2m)2＝5，
∴m＝±1.
19．(12分)[2014·陕西省西工大附中月考]已知F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且·＝·.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设动直线y＝kx＋m与曲线C相切于点M，且与直线x＝－1相交于点N，试问：在x轴上是否存在一个定点E，使得以MN为直径的圆恒过此定点E？若存在，求出定点E的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)设点P(x，y)，则Q(－1，y)，由·＝·，得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得轨迹C：y2＝4x.
(2)由，得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，
由Δ＝0，得km＝1，从而有M(m2,2m)，N(－1，－＋m)，
设点E(x,0)，使得ME⊥NE，则·＝0，即(x－m2)(x＋1)＋(－2m)(－m)＝0，即(1－x)m2＋x2＋x－2＝0，得x＝1，
所以存在一个定点E(1,0)符合题意．
20．(12分)[2014·安徽师大附中月考]已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2，其中O为原点，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由已知得a＝，c＝2.又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，
由直线l与双曲线交于不同的两点得
，
即k2≠且k2<1.　
①
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则
xA＋xB＝，xAxB＝，由·>2得xAxB＋yAyB>2，
而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)×＋k×＋2＝，
于是>2，即>0，解此不等式得②
由①、②得故k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．
21．(12分)[2014·抚州高二检测]已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，O为坐标原点，点P(－1，)在椭圆上，且·＝0，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当·＝，求k的值．
解：(1)依题意，可知PF1⊥F1F2，
∴c＝1，＋＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝1，c2＝1.
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)直线l：y＝kx＋m与⊙O：x2＋y2＝1相切，则＝1，即m2＝k2＋1，
由，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∴Δ>0 k2>0 k≠0，
x1＋x2＝－，x1x2＝＝，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝，
∴·＝x1x2＋y1y2＝＝，
∴k＝±1.
22．(12分)[2014·陕西高考]如图，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.
(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异
于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．
解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左，右顶点．
设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2.
∴a＝2，b＝1.
(2)法一：由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(
)
设点P的坐标为(xP，yP)，
∵直线l过点B，∴x＝1是方程(
)的一个根．
由求根公式，得xP＝，从而yP＝，
∴点P的坐标为.
同理，由
得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．
∴＝(k，－4)，＝－k(1，k＋2)．
∵AP⊥AQ，∴·＝0，即[k－4(k＋2)]＝0，
∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.
经检验，k＝－符合题意，
故直线l的方程为y＝－(x－1)．
法二：若设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，比照法一给分．第三章　§2　课时作业26
一、选择题
1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)
A．(6，＋∞)
B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．[3，＋∞)
解析：∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴＝3，即p＝6.
又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．
答案：D
2．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)
A．有且仅有一条
B．有且仅有两条
C．有无穷多条
D．不存在
解析：由定义|AB|＝5＋2＝7，
∵|AB|min＝4，
∴这样的直线有且仅有两条．
答案：B
3．[2014·安徽省合肥六中月考]已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为(　　)
A．2
B．4
C．
D．＋1
解析：本题主要考查抛物线的性质的应用．将P点到直线l1：x＝－1的距离转化为P到焦点F(1,0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为
＝2，故选A.
答案：A
4．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是(　　)
A．(2，±2)
B．(1，±2)
C．(1,2)
D．(2,2)
解析：F(1,0)，设A(，y0)，
则＝(，y0)，＝(1－，－y0)，
由·＝－4得到y0＝±2.∴A(1，±2)．
答案：B
二、填空题
5．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为______________．
解析：∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍．
∴所求抛物线的方程为x2＝±16y.
答案：x2＝±16y
6．抛物线y＝x2上到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是__________．
解析：把直线2x－y－4＝0平移至与抛物线y＝x2相切时，切点即为所求．设此时直线方程为2x－y＋b＝0，联立y＝x2，得x2－2x－b＝0，由题意得Δ＝4＋4b＝0，b＝－1.即x2－2x＋1＝0，解x＝1，y＝1.
答案：(1,1)
7．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
解析：直线AB的方程为y＝x－.
由
消去y，得x2－3px＋＝0.
如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝3p.
根据抛物线的定义，得
|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8.
∴p＝2.
答案：2
三、解答题
8．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程及准线方程．
解：设所求抛物线的标准方程为
x2＝2py(p>0)，设A(x0，y0)，M(0，－)，
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，
∵|AM|＝，∴x＋(y0＋)2＝17，
∴x＝8代入方程x＝2py0得，
8＝2p(3－)，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
准线方程为y＝－1或y＝－2.
9．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于.若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，
得(－2)2＝2p·1，∴p＝2，
故所求的抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，由得y2＋2y－2t＝0，因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.另一方面，由直线OA与直线l的距离等于可得＝，∴t＝±1，由于－1 ，1∈，所以符合题意的直线l存在，其方程为y＝－2x＋1.第二章　§2　课时作业13
一、选择题
1．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，
∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)
＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.
答案：A
2．下列命题：①若a·b＝0，则a，b中至少有一个为0；②若a≠0且a·b＝a·c，则b＝c；③(a·b)·c＝a·(b·c)；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：若a·b＝0 |a||b|cos〈a，b〉＝0 a＝0或b＝0，或cos〈a，b〉＝90°，故①不正确；若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，尽管有a≠0，也不能得到b＝c，因为有可能a⊥(b－c)，故②不正确；③不正确，理由是(a·b)·c＝λc(即(a·b)·c∥c)，而a·(b·c)＝μa(即a·(b·c)∥a)，而a与c不一定共线，当然λc与μa不一定相等；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a·a－6a·b＋6a·b－4b·b＝9a2－4b2＝9|a|2－4|b|2，故只有④正确．
答案：B
3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0.·＝0，·＝0，则△BCD是(　　)
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
解析：∵·＝0，·＝0，·＝0.
∴AB，AC，AD两两垂直．
∴BC2＝AB2＋AC2，CD2＝AC2＋AD2，BD2＝AB2＋AD2，
∴BC2答案：B
4．[2014·湖北省襄阳五中月考]在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与向量所成的角为(　　)
A．60°
B．150°
C．90°
D．120°
解析：本题主要考查空间向量所成角的知识．由于＝－＋，而＝＋，||＝＝a，||＝|＋|＝a.故cos〈，〉＝＝＝－.所以向量与向量所成的角为120°，故选D.
答案：D
二、填空题
5．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为__________．
解析：∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0.
∴a·b＋b·c＋c·a＝－13.
答案：－13
6．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝__________.
解析：由于m⊥n，
所以m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝0，
即a2＋λb2＋(λ＋1)a·b＝0，
又|a|＝3，|b|＝4，〈a，b〉＝135°，
∴18＋16λ＋(λ＋1)×3×4×cos135°＝0，
解得λ＝－.
答案：－
7．已知空间四边形OABC，若各边及对角线长都相等，且E，F分别为AB，OC的中点，则向量与的夹角的余弦值为__________．
解析：不妨设＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，
则a·b＝b·c＝c·a＝，
∵＝(a＋b)，＝c－b，
且||＝，||＝.
∴·＝(a＋b)·(c－b)
＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－.
∴cos〈，〉＝＝－.
答案：－
三、解答题
8．已知长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝AA′＝2，AD＝4，E为侧面AB′的中心，F为A′D′的中点，计算：
①·；②·；③·.
解：设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a·b＝b·c＝a·c＝0.
①·
＝b·[(c－a)＋b]＝|b|2＝16.
②·＝(c－a＋b)·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
③·
＝[(c－a)＋b]·(b＋a)
＝(－a＋b＋c)·(b＋a)
＝－|a|2＋|b|2
＝2.
9．如右图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长.
解：由AC⊥α，可知AC⊥AB，
过点D作DD1⊥α，D1为垂足，连接BD1，则∠DBD1为BD与α所成的角，即∠DBD1＝30°，
∴∠BDD1＝60°，
∵AC⊥α，DD1⊥α，∴AC∥DD1，
∴〈，〉＝60°，∴〈，〉＝120°.
又＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·.
∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴·＝0，·＝0.
故||2＝||2＋||2＋||2＋2·＝242＋72＋242＋2×24×24×cos120°＝625，
∴||＝25.第三章　§3　课时作业28
一、选择题
1．双曲线－＝1的焦距为(　　)
A．3
B．4
C．3
D．4
解析：由双曲线的标准方程可知，a2＝10，b2＝2.于是有c2＝a2＋b2＝12，则2c＝4.故选D.
答案：D
2．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为(　　)
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1或－＝1
D．－＝1或－＝1
解析：因为b2＝c2－a2＝49－25＝24，且焦点位置不确定，所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
答案：C
3．[2014·福建宁德一模]已知椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　)
A．
B．
C．4
D．
解析：因为椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点(±，0)，则有a2－9＝7，∴a＝4.选C.
答案：C
4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是(　　)
A．－y2＝1
B．x2－＝1
C．－＝1
D．－＝1
解析：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，因为c＝，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以－＝1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(，4)．代入双曲线方程得－＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－＝1.故选B.
答案：B
二、填空题
5．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝__________.
解析：由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16.
答案：16
6．已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为__________．
解析：由双曲线方程－＝1知，a＝8，b＝6，则c＝＝10.
∵P是双曲线上一点，∴||PF1|－|PF2||＝2a＝16，又|PF1|＝17，∴|PF2|＝1或|PF2|＝33.
又|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝33.
答案：33
7．在△ABC中，B(－6,0)，C(6,0)，直线AB，AC的斜率乘积为，则顶点A的轨迹方程为__________．
解析：设顶点A的坐标为(x，y)，根据题意，得·＝，化简，得－＝1(x≠±6)．故填－＝1(x≠±6)．
答案：－＝1(x≠±6)
三、解答题
8．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以椭圆＋＝1的长轴端点为焦点，且经过点P(5，)；
(2)过点P1(3，－4)，P2(，5)．
解：(1)因为椭圆＋＝1的长轴端点为A1(－5,0)，A2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)．
由双曲线的定义知，||PF1|－|PF2||
＝
＝＝8，即2a＝8，则a＝4.又c＝5，
所以b2＝c2－a2＝9.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，分别将点P1(3，－4)，P2(，5)代入，得
，解得，故所求双曲线的标准方程为－＝1.
9．已知曲线－＝1.
(1)当曲线是椭圆时，求实数m的取值范围，并写出焦点坐标；
(2)当曲线是双曲线时，求实数m的取值范围，并写出焦点坐标．
解：(1)曲线为椭圆
m<0.即实数m的取值范围是(－∞，0)．此时，椭圆的焦点在x轴上，坐标为(±4,0)．
(2)曲线为双曲线 (16－m)m>0 0此时，双曲线的焦点在x轴上，坐标为(±4,0)．第三章　单元综合检测(一)
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是(　　)
A．
B．
C．2
D．4
解析：由题意可得2＝2×2，解得m＝.
答案：A
2．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)
A．至多一个
B．2
C．1
D．0
解析：∵>2，∴<2，＋<＋<1，
∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，
∴过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有两个交点．
答案：B
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：双曲线焦点在x轴，由渐近线方程可得＝，可得e＝＝＝.
答案：A
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
解析：抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，故双曲线中c＝6.①
由双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，
知＝，②
且c2＝a2＋b2.③
由①②③解得a2＝9，b2＝27.
故双曲线的方程为－＝1，故选B.
答案：B
5．以P(2,2)为圆心的圆与椭圆x2＋2y2＝a相交于A，B两点，则AB的中点M的轨迹方程为(　　)
A．xy－2x－4y＝0
B．xy＋2x＋4y＝0
C．xy－2x＋4y＝0
D．xy＋2x－4y＝0
解析：本题主要考查由曲线求方程的方法．设M(x，y)，A(x－m，y－n)，B(x＋m，y＋n)，易知AB的斜率必存在，又A，B都在椭圆上，则

＝，即xy＋2x－4y＝0为所求轨迹方程，故选D.
答案：D
6．已知椭圆x2sinα－y2cosα＝1(0≤α<2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：椭圆方程化为＋＝1.
∵椭圆焦点在y轴上，∴－>>0.
又∵0≤α<2π，∴<α<.
答案：D
7．[2014·人大附中月考]已知F1、F2为双曲线的焦点，以F1F2为边作正三角形，若双曲线恰好平分另外两边，则双曲线的离心率为(　　)
A．1＋
B．1－
C．
D．
解析：本题考查了双曲线的定义及数形结合的方法．设以F1F2为边的正三角形与双曲线右支交于点M，在Rt△MF1F2中可得，|F1F2|＝2c，|MF1|＝c，|MF2|＝c，由双曲线的定义有|MF1|－|MF2|＝2a，即c－c＝2a，所以双曲线的离心率e＝＝＝＋1，故选A.
答案：A
8．已知抛物线y2＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是(　　)
A．
B．
C．2
D．
解析：如图所示过点F作FM垂直于直线3x－4y＋9＝0，当P点为直线FM与抛物线的交点时，d1＋d2最小值为＝.
答案：A
9．
[2014·辽宁高考]已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：易知p＝4，抛物线方程为y2＝8x，与直线AB的方程y－3＝k(x＋2)联立，消去x整理得ky2－8y＋16k＋24＝0，由题意知Δ＝64－4k(16k＋24)＝0，解得k＝－2或k＝.因为直线与抛物线相切于第一象限，故舍去k＝－2，故k＝，
可得B(8,8)，又F(2,0)，故kBF＝＝，故选D.
答案：D
10．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60
cm，灯深40
cm，则抛物线的标准方程可能是(　　)
A．y2＝x
B．y2＝x
C．x2＝－y
D．x2＝－y
解析：若设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线过点(40,30)，302＝2p·40,2p＝，
所以所求抛物线方程为y2＝x.
选项中没有y2＝x，但C中的2p＝符合题意．
方程不同主要是因为讨论的焦点不同．
答案：C
11．[2014·北京市东城区联考]设F1、F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．3x±4y＝0
B．3x±5y＝0
C．5x±4y＝0
D．4x±3y＝0
解析：本题主要考查双曲线的定义、等腰三角形的性质、双曲线中基本量之间的关系及应用．由题意可知|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以△PF1F2为等腰三角形，所以由F2向直线PF1作的垂线也是中线，因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a，所以|PF1|＝2＝4b，又|PF1|－|PF2|＝2a，所以4b－2c＝2a，所以2b－a＝c，两边平方可得4b2－4ab＋a2＝c2＝a2＋b2，所以3b2＝4ab，所以4a＝3b，从而＝，所以该双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，故选D.
答案：D
12．[2014·广东省中山一中月考]已知点A(2,0)，在圆x2＋y2＝4上任取两点B，C，使∠BAC＝60°，则△ABC的垂心H的轨迹方程是(　　)
A．(x＋2)2＋y2＝4
B．x2＋(y－2)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋2)2＝4
D．(x－2)2＋y2＝4
解析：本题主要考查求曲线的方程．设H(x，y)，BD⊥AC于D，AE⊥BC于E，得
∠CBD＝∠EAC，所以△CBD与△HAD相似，则有＝ |AH|＝，而∠BAC＝60°，得＝.又∠BOC＝2∠BAC＝120°，OB＝OC＝2，所以|BC|＝＝2，得|AH|＝2×＝2.故垂心H的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4，故选D.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．方程(x＋y－1)·＝0所表示的曲线是__________．
解析：由方程(x＋y－1)·＝0得或x－1＝0，
∴x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.
答案：直线x＝1或射线x＋y－1＝0(x≥1)
14．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过点__________．
解析：直线x＋2＝0为抛物线的准线，由于动圆恒与直线x＋2＝0相切，
所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线的定义可知，定点为抛物线的焦点(2,0)．
答案：(2,0)
15．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，线段F1F2被点分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为__________．
解析：由题意，得＝3 ＋c＝3c－b b＝c，因此e＝＝＝＝＝.
答案：
16．[2014·河南省实验中学月考]抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过焦点F倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别是A′，B′，若四边形AA′B′B的面积为48，则抛物线的方程为____．
解析：本题考查点斜式，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系及梯形的面积公式．因为抛物线的焦点为F(，0)，所以直线AB的方程为y＝(x－)，代入y2＝2px(p>0)，整理得，x2－7px＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由方程的根与系数之间的关系得x1＋x2＝7p，x1·x2＝，y1－y2＝(x1－x2)，又四边形AA′B′B是梯形，其面积为48，所以(x1＋x2＋p)|y1－y2|＝48，即(x1＋x2＋p)|(x1－x2)|＝(x1＋x2＋p)＝48，解得p2＝3，p＝，故抛物线的方程为y2＝2x.
答案：y2＝2x
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知点M在椭圆＋＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，求P点的轨迹方程．
解：设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)．
∵点M在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.
∵M是线段PP′的中点，
∴把
代入＋＝1，得＋＝1，即x2＋y2＝36.
∴P点的轨迹方程为x2＋y2＝36.
18．(12分)[2014·湖南省长沙一中期中考试]已知焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为y±x＝0，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．
解：设双曲线方程为y2－3x2＝k(k≠0)，
当k>0时，a2＝k，b2＝，c2＝，
此时焦点为(0，±)，
由题意得3＝，解得k＝27，
双曲线方程为y2－3x2＝27，即－＝1；
当k<0时，a2＝－，b2＝－k，c2＝－，
此时焦点为(±
，0)，
由题意得3＝，解得k＝－9，
双曲线方程为y2－3x2＝－9，即－＝1.
∴所求双曲线方程为－＝1或－＝1.
19．(12分)已知椭圆C的焦点F1(－2，0)和F2(2，0)，长轴长6，设直线y＝x＋2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．
解：由已知条件得椭圆的焦点在x轴上，其中c＝2，a＝3，从而b＝1，
所以其标准方程是＋y2＝1.
联立方程组
消去y得，10x2＋36x＋27＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
AB线段的中点为M(x0，y0)，
那么x1＋x2＝－，
x0＝＝－，
所以y0＝x0＋2＝.
也就是说线段AB的中点坐标为(－，)．
20．(12分)[2014·山东省青岛二中月考]如图，已知两点P(－2，2)、Q(0,2)以及一条直线l：y＝x，设长为的线段AB在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．
解：如图，∵线段AB在直线l：y＝x上，且线段AB的长为，设M(x，y)，A(t，t)，B(t＋1，t＋1)(t为参数)，
则直线PA的方程为y－2＝(x＋2)(t≠－2)，①
直线QB的方程为y－2＝x(t≠－1)．②
∵M(x，y)是直线PA、QB的交点，
∴x，y是由①②组成的方程组的解，由①②消去参数t，得x2－y2＋2x－2y＋8＝0.　③
当t＝－2时，PA的方程为x＝－2，QB的方程为3x－y＋2＝0，此时的交点为M(－2，－4)．
当t＝－1时，QB的方程为x＝0，PA的方程为3x＋y＋4＝0，此时的交点为M(0，－4)．
经验证，点(－2，－4)和(0，－4)均满足方程③.
故点M的轨迹方程为x2－y2＋2x－2y＋8＝0.
21．(12分)如图，抛物线顶点在原点，圆x2＋y2＝4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l交抛物线与圆依次为A、B、C、D四点．
(1)求抛物线的方程；
(2)求|AB|＋|CD|的值．
解：(1)由圆的方程x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4可知，圆心为F(2,0)，半径为2.
又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F(2,0)，抛物线方程为y2＝8x.
(2)|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，
∵|BC|为已知圆的直径，
∴|BC|＝4，则|AB|＋|CD|＝|AD|－4.
设A(x1，y1)、D(x2，y2)，
∵|AD|＝|AF|＋|FD|，而A、D在抛物线上，
由已知可得，直线l的方程为y＝2(x－2)，
由
消去y，得x2－6x＋4＝0.
∴x1＋x2＝6.∴|AD|＝6＋4＝10.
因此，|AB|＋|CD|＝10－4＝6.
22．(12分)设A，B是椭圆3x2＋y2＝λ上的两点，点N(1,3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆交于C，D两点．
(1)当λ＝3时，过点P(0,1)且倾斜角为的直线与椭圆相交于E、F两点，求|EF|的长；
(2)确定λ的取值范围，并求直线CD的方程．
解：(1)当λ＝3时，椭圆方程为x2＋＝1，直线EF方程为：y＝x＋1.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则
∴3x2＋x－1＝0.
∴
∴|EF|＝|x2－x1|
＝·＝.
(2)设直线AB的方程为y＝k(x－1)＋3，
代入3x2＋y2＝λ，得
(k2＋3)x2－2k(k－3)x＋(k－3)2－λ＝0.
①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
且Δ＝4[λ(k2＋3)－3(k－3)2]>0.
②
由N(1,3)是线段AB的中点，得x1＋x2＝2.
∴k(k－3)＝k2＋3解得k＝－1代入②得λ>12.
∴λ的取值范围是(12，＋∞)，直线CD的方程为x－y＋2＝0.第三章　§4　课时作业35
一、选择题
1．
我们把离心率等于“黄金分割比”的双曲线称为“优美双曲线”．设双曲线－＝1是优美双曲线，F是其左焦点，A是它的右顶点，B(0，b)是其虚轴上一点，则∠ABF等于(　　)
A．120°
B．90°
C．75°
D．60°
解析：由e＝＝和点F(－c,0)，A(a,0)，B(0，b)，可计算得·＝0，故∠ABF＝90°.
答案：B
2．
若椭圆的长轴长为200，短轴长为160，则椭圆上动点M到一个焦点的距离的取值范围是(　　)
A．[40,160]
B．[0,100]
C．[40,100]
D．[80,100]
解析：设椭圆方程为＋＝1，动点为M(x0，y0)，右焦点F1，由圆锥曲线的共同特征，知＝e，
所以|MF1|＝a－ex0.因为－a≤x0≤a，
所以a－ea≤|MF1|≤a＋ea，
即a－c≤|MF1|≤a＋c.
由c2＝a2－b2＝1002－802＝3600，
所以c＝60.故40≤|MF1|≤160，说明动点M处于长轴两端点时，|MF1|取最值．
答案：A
3．
已知双曲线2mx2－my2＝2的一条准线为y＝1，则m的值为(　　)
A．－
B．－
C．－3
D．－1
解析：2mx2－my2＝2化为－＝1，
所以a2＝－，b2＝－，
所以c＝＝＝.
因为＝1，且m<0，所以m＝－.
答案：B
4．
设椭圆＋＝1(m>1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为(　　)
A．6
B．2
C．
D．
解析：由椭圆的定义，知3＋1＝2a，∴a＝2.由c2＝m2－(m2－1)＝1，得c＝1.∴e＝＝.设P到右准线的距离为d.由＝e，得d＝2.
答案：B
二、填空题
5．
以椭圆＋＝1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆的右准线交于A，B两点，则|AB|的值为________．
解析：椭圆的左准线为x＝－＝－，则＝.
解得p＝，则抛物线的方程为y2＝x.
利用抛物线的性质，得|AB|＝2p＝.
答案：
6．
已知椭圆＋＝1的离心率是，则两准线间的距离为________．
解析：分焦点在x轴和y轴两种情况求解．
答案：8或12
7．
已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝kx(k>0)，离心率e＝k，则双曲线方程为________．
解析：由题意，知k＝.又e＝k＝，所以·＝，即c＝b.易知a2＝5b2－b2＝4b2.
答案：－＝1
三、解答题
8．
在双曲线－＝1上求一点P，使它到左焦点的距
离是它到右焦点距离的两倍．
解：设P点的坐标为(x，y)，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点．
∵双曲线的准线方程为x＝±，
∴＝.
∵|PF1|＝2|PF2|，
∴点P在双曲线的右支上．
∴＝.∴x＝.
把x＝代入方程－＝1,
得y＝±.
∴P点的坐标为.
9．
已知点P的坐标是(－1，－3)，F为椭圆＋＝1的右焦点，点Q在椭圆上移动，当|QF|＋|PQ|取最小值时，求点Q的坐标，并求其最小值．
解：由椭圆方程可知，a＝4，b＝2，则c＝2，e＝，椭圆的右准线方程为x＝8.
过点Q作QQ′垂直l于点Q′，过点P作PP′垂直l于点P′.
则根据椭圆的第二定义知，＝e，
∴|QF|＝|QQ′|，
|QF|＋|PQ|＝(|QQ′|＋|PQ|)．
易知当P、Q、Q′在同一条线上时，即当Q′与P′重合时，|QQ′|＋|PQ|才能取得最小值，最小值为8－(－1)＝9，此时点Q的纵坐标为－3，代入椭圆方程得x＝2或x＝－2(舍)．
因此当Q点运动到(2，－3)处时，|QF|＋|PQ|取得最小值.第二章　§3　课时作业16
一、选择题
1．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝(　　)
A．－1
B．1
C．0
D．－2
解析：p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，
∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A.
答案：A
2．已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：设BC中点为D，则D(2,1,4)，又＝(－1，－2，2)，
∴||＝＝3.
答案：B
3．[2014·湖北省八校联考]已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2),
O为坐标原点，点D在直线OC上运动，则当·取最小值时，点D的坐标为(　　)
A．(，，)
B．(，，)
C．(，，)
D．(，，)
解析：本题主要考查空间向量的坐标运算以及数量积运算，考查函数思想．点D在直线OC上运动，因而可设＝(a，a,2a)，＝(1－a,2－a,3－2a)，＝(2－a,1－a,2－2a)，·＝(1－a)(2－a)＋(2－a)(1－a)＋(3－2a)(2－2a)＝6a2－16a＋10，所以a＝时·最小为－，此时＝(，，)，故选C.
答案：C
4．已知A(1,0,0)、B(0，－1,1)、O(0,0,0)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为(　　)
A．±
B．
C．－
D．±
解析：＋λ＝(1，－λ，λ)，＝(0，－1，1)，由题得cos120°＝＝－，所以λ<0，整理得λ＝－.
答案：C
二、填空题
5．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝__________.
解析：由题意得(0,0,1－x)·(2,4,2)＝－2，
即2(1－x)＝－2，∴x＝2.
答案：2
6．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2)，若a∥b，则λ＝________，μ＝________.
解析：∵a∥b，∴a＝mb，即
∴m＝1，λ＝5，μ＝.
答案：5　
7．[2014·人大附中期中考试]△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，)，B(－，，)，C(－1,0，)，则角A的大小为________．
解析：本题主要考查空间向量所成角.＝(－，，0)，＝(－1,0,0)．则cosA＝＝＝，故角A的大小为30°.
答案：30°
三、解答题
8．已知向量a＝(3,1,5)，b＝(1,2，－3)，试求一向量x，使该向量与z轴垂直，而且满足x·a＝9，x·b＝－4.
解：设向量x＝(t，u，v)，
依题意及向量垂直的充要条件，
可得

故所求向量x＝(，－，0)．
9．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点．利用空间向量解决下列问题：
(1)求EF与B1C所成的角；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值；
(3)求F，H两点间的距离．
解：如图所示，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E(0,0，)，F(，，0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G(0，，0)．
(1)＝(，，－)，
＝(－1,0，－1)，
∴·＝(，，－)·(－1,0，－1)
＝×(－1)＋×0＋(－)×(－1)＝0.
∴⊥，即EF⊥B1C.
∴EF与B1C所成的角为90°.
(2)＝(0，－，－1)，则||＝.
又||＝，且·＝，
∴cos〈，〉＝＝，
即EF与C1G所成角的余弦值为.
(3)∵H是C1G的中点，
∴
H(0，，)．又F(，，0)，
∴|FH|＝||＝
＝.习题课(4)
一、选择题
1．
已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于(　　)
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
解析：设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，
得＝2，整理得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，故S＝4π.故选B.
答案：B
2．
方程＝表示(　　)
A．两条线段
B．两条直线
C．两条射线
D．一条射线和一条线段
解析：由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0,1－|x|≥0.
∴y＝|x|，|x|≤1，∴曲线表示两条线段，故选A.
答案：A
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A(2,0)为长轴的一个端点，
弦BC过椭圆的中心O，且·＝0，|－|＝2|－|，则其焦距为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：如右图，a＝2，由·＝0 ∠C＝90°，
|BC|＝2|AC|，∴|OC|＝|AC|，
∴C(1，－1)代入椭圆方程得＋＝1，
∴b2＝，又a2＝4，∴c2＝4－＝，∴c＝.
∴2c＝.
答案：C
4．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，两式作差得＝＝＝.又直线AB的斜率是＝1，所以4b2＝5a2.
代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程是－＝1.
答案：B
5．[2014·湖南省长沙一中期中考试]已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A，B两点，若∈(0,1)，则＝(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系．因为抛物线的焦点为(0，)，直线方程为y＝x＋，与抛物线方程联立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p，所以＝＝.故选C.
答案：C
6．[2014·浙江省学军中学期中考试]如图，F1、F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A、B两点．若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为(　　)
A．
B．
C．2
D．
解析：本题主要考查双曲线的几何性质．∵|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，不妨令|AB|＝3，|BF2|＝4，|AF2|＝5，∵|AB|2＋|BF2|2＝|AF2|2，∴∠ABF2＝90°，又由双曲线的定义得：|BF1|－|BF2|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF1|＋3－4＝5－|AF1|，∴|AF1|＝3，∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，∴a＝1，|BF1|＝6.在Rt△BF1F2中，|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2＝36＋16＝52，又|F1F2|2＝4c2，∴4c2＝52，∴c＝，∴双曲线的离心率e＝＝，故选A.
答案：A
二、填空题
7．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是__________．
解析：设AF1＝1，由△ABF2是正三角形知，|AF2|＝2，|F1F2|＝，所以椭圆的离心率e＝＝
＝＝.
答案：
8．若直线y＝2x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________．
解析：本题主要考查直线与抛物线相交时的性质和设而不求数学思想的应用．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得，整理得4x2－16x＋9＝0，由根与系数之间的关系知x1＋x2＝4，y1＋y2＝2(x1＋x2)－6＝2，所以线段AB的中点坐标为(2,1)．
答案：(2,1)
9．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是__________．
解析：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
依题意c＝.
∴方程可化为－＝1.
由
得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝.
∵＝－，
∴－＝－，解得a2＝2.
∴双曲线的方程为－＝1.
答案：－＝1
三、解答题
10．直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
解：由，得(3－a2)x2－2ax－2＝0，
Δ＝4a2－4(3－a2)(－2)＝24－4a2>0，
∴a∈(－，)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
(1)|AB|＝＝
＝
＝.
(2)由题意知，OA⊥OB，则x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0.
即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，
∴(1＋a2)·＋a·＋1＝0，解得a＝±1.即a＝±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点．
11．[2014·郑州外国语学校月考]已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点．
(1)求AB的中点坐标；
(2)求△ABF2的周长与面积．
解：(1)由＋＝1，知a＝，b＝，c＝1.
∴F1(－1,0)，F2(1,0)，∴l的方程为y＝x＋1，
联立消去y得5x2＋6x－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，则
x1＋x2＝－，x1x2＝－，x0＝＝－，y0＝＝＝＋1＝(或y0＝x0＋1＝－＋1＝)，
∴中点坐标为M(－，)．
(2)由题意知，F2到直线AB的距离d＝＝＝，
|AB|＝·＝，
∴S△ABF2＝|AB|d＝××＝，
△ABF2的周长＝4a＝4.
12．已知抛物线C1：y2＝4px(p>0)，焦点为F2，其准线与x轴交于点F1；椭圆C2：分别以F1、F2为左、右焦点，其离心率e＝；且抛物线C1和椭圆C2的一个交点记为M.
(1)当p＝1时，求椭圆C2的标准方程；
(2)在(1)的条件下，若直线l经过椭圆C2的右焦点F2，且与抛物线C1相交于A，B两点，若弦长|AB|等于△MF1F2的周长，求直线l的方程．
解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由已知得＝，①
c＝1，②
∴a＝2，c＝1，b＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)①若直线l的斜率不存在，
则l：x＝1，且A(1,2)，B(1，－2)，
∴|AB|＝4.
又∵△MF1F2的周长等于
|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6≠|AB|.
∴直线l的斜率必存在．
②设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－1)，
由，得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∵直线l与抛物线C1有两个交点A，B，
∴Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k4
＝16k2＋16>0，且k≠0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则可得x1＋x2＝，x1x2＝1.
于是|AB|＝|x1－x2|
＝
＝
＝＝，
∵△MF1F2的周长等于
|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6，
∴由＝6，解得k＝±.
故所求直线l的方程为y＝±(x－1)．第二章　§3　课时作业14
一、选择题
1．点M(－1,3，－4)在坐标平面xOy，xOz，yOz内的射影的坐标分别是(　　)
A．(－1,3,0)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)
B．(0,3，－4)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)
C．(－1,3,0)，(－1,3，－4)，(0,3，－4)
D．(0,0,0)，(－1,0,0)，(0,3,0)
解析：自点M向坐标平面xOy引垂线，垂足M0就是M点在坐标平面xOy内的射影，竖坐标zM0＝0，则得M0(－1,3,0)，其他情况同理．
答案：A
2．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，下列叙述中正确的个数是(　　)
①点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x，－y，z)；
②点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；
③点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x，－y，z)；
④点P关于原点对称的点的坐标是P4(－x，－y，－z)．
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：只有④正确．①中P1(x，－y，－z)，②中P2(－x，y，z)，③中P3(－x，y，－z)．
答案：C
3．已知i，j，k为标准正交基，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向上的投影为(　　)
A．1
B．－1
C．
D．－
解析：a·i＝|a|·|i|·cos〈a，i〉，
则|a|·cos〈a，i〉＝＝(i＋2j＋3k)·i＝i2＝1，故选A.
答案：A
4．棱长为2的正四面体A－BCD中，以△BCD的中心O为坐标原点，OA所在直线为z轴，OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系，如图，M为AB的中点，则的坐标为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：底面△BCD的高h＝×2＝，OC＝，AO＝＝＝，A，而
B，则AB中点M的坐标为.
∴＝.
答案：A
二、填空题
5．已知线段AB的长度为6，与直线l的夹角为120°，则在l上的投影为________．
解析：AB在l上的投影为||·cos120°＝－3.
答案：－3
6．在三棱锥S－ABC中，G为△ABC的重心，设＝a，＝b，＝c，则＝________(用a，b，c表示)．
解析：如图，＝＋＝＋(D为BC的中点)
＝＋(－)
＝＋×(＋)
＝(a＋b＋c)．
答案：(a＋b＋c)
7．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________．
解析：由已知，得|c|2＝(a＋b)·c＝|c|·|a＋b|·cos〈a＋b，c〉，即|c|＝cos〈a＋b，c〉，当cos〈a＋b，c〉＝1时，|c|取得最大值.
答案：
三、解答题
8．已知在正四棱锥P－ABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是2，E，F分别是侧棱PA，PB的中点，按照下列要求建立空间直角坐标系，分别写出点A，B，C，D，P，E，F的坐标．
如图，以O为坐标原点，分别以射线DA，DC，OP的指向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
解：设i，j，k分别是x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量．
因为点B在坐标平面xOy内，且底面正方形的中心为O，边长为2，所以＝i＋j，所以向量的坐标为(1,1,0)，即点B的坐标为(1,1,0)．
同理可得A(1，－1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)．
又因为点P在z轴上，所以＝2k，所以的坐标为(0,0,2)，即点P的坐标为(0,0,2)．
因为F为侧棱PB的中点，所以＝(＋)＝(i＋j＋2k)＝i＋j＋k，所以点F的坐标为.
同理点E的坐标为.
故所求各点的坐标分别为A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1，1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0,2)，
E，F.
9．已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，建立如下图所示的空间直角坐标系，试写出A，B，C，D，A1，B1，C1，D1各点的坐标，并写出，，，，，，及的坐标表示．
解：A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)．
＝(1,0,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,0)，＝(0,1,1)，＝(0,0,1)，＝(1,0,1)，＝(1,1,1)，＝(0,0,0)．第三章　§4　课时作业36
一、选择题
1．直线l：kx－y－k＝0与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)
A．相交
B．相离
C．相切
D．不确定
解析：∵kx－y－k＝0，∴y＝k(x－1)，即直线过定点(1,0)，而(1,0)点在＋＝1的内部，故l与椭圆＋＝1相交．
答案：A
2．设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦为AB，则|AB|的最小值为(　　)
A．
B．p
C．2p
D．无法确定
解析：由题意得当AB⊥x轴时，|AB|取最小值，为2p.
答案：C
3．如下图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是(　　)
解析：直线方程可化为y＝ax＋b，曲线方程可化为＋＝1，若a>0，b>0，则曲线表示椭圆，故A不正确．关于B、D，由椭圆知直线斜率应满足a>0，而由B，D知直线斜率均为负值，故B，D不正确．由C可知a>0，b<0.
答案：C
4．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则·等于(　　)
A．－3
B．－
C．－或－3
D．±
解析：不妨设直线l过椭圆的右焦点F(1,0)，
则直线l的方程为y＝x－1，由
消去y，得3x2－4x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝0，
∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－.
答案：B
二、填空题
5．已知双曲线x2－＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为__________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把A，B代入双曲线方程得，
①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＝.
∵x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
∴4(x1－x2)＝.
∴＝6.
∴直线AB的斜率为6.
答案：6
6．若直线y＝2x＋b与椭圆＋y2＝1无公共点，则b的取值范围为________．
解析：由
得＋(2x＋b)2＝1.
整理得17x2＋16bx＋4b2－4＝0.
Δ＝(16b)2－4×17×(4b2－4)<0，
解得b>或b<－.
答案：(－∞，－)∪(，＋∞)
7．直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A，B两点，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则b的值为__________．
解析：由，得x2－2x－2b＝0，设直线与抛物线的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，
于是y1y2＝(x1x2)2＝b2，
由OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝0，
故b2－2b＝0，解得b＝2或b＝0(不合题意，舍去)．
答案：2
三、解答题
8．已知椭圆＋y2＝1，求过点P(，)且被P平分的弦所在直线的方程．
解：法一：由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为y－＝k(x－)，即y＝kx＋－k.
由
得(2＋4k2)x2＋4k(1－k)x＋(1－k)2－4＝0，
设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1＋x2＝－＝1，
解之得k＝－.
∴直线方程为2x＋4y－3＝0.
法二：设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由题意知，所求直线的斜率存在，设为k，
则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.
由得y－y＝－(x－x)，
∴＝－·＝－，
即k＝－，
∴直线方程为y－＝－(x－)，
即2x＋4y－3＝0.
9．[2014·东北育才学校模考]双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A，B两点，交x轴于点Q(点Q与C的顶点不重合)．当＝λ1＝λ2，且λ1＋λ2＝－时，求点Q的坐标．
解：由椭圆＋＝1求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，∴对于双曲线C：c＝2，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，又y＝x为双曲线C的一条渐近线，∴＝，
又因为a2＋b2＝c2，可以解得a2＝1，b2＝3，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)由题意知直线l的斜率k存在且不等于零．
设l的方程：y＝kx＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Q(－，0)，
∵＝λ1，∴(－，－4)＝λ1(x1＋，y1)，
∴
∵A(x1，y1)在双曲线C上，∴()2－－1＝0，
∴(16－k2)λ＋32λ1＋16－k2＝0.
同理有：(16－k2)λ＋32λ2＋16－k2＝0.
若16－k2＝0，则直线l过顶点，不合题意，∴16－k2≠0，
∴λ1，λ2是二次方程(16－k2)x2＋32x＋16－k2＝0的两根，
∴λ1＋λ2＝＝－，∴k2＝4，此时Δ>0，∴k＝±2.
∴所求Q的坐标为(±2,0)．第二章　单元综合检测(二)
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋－等于(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：∵＋＋－＝＋＝.
答案：A
2．若向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·a＝0且b·c＝0是l⊥α的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：用向量的数量积考查线线垂直与线面垂直．当a∥b时，由c·a＝0且c·b＝0得不出l⊥α；反之，由l⊥α一定有c·a＝0且c·b＝0，故选B.
答案：B
3．[2014·山东省济宁市质检]已知向量a＝(2，－3,5)与b＝(4，x，y)平行，则x，y的值分别为(　　)
A．6和－10
B．－6和10
C．－6和－10
D．6和10
解析：本题主要考查空间两向量平行的坐标表示．因为向量a＝(2，－3,5)与b＝(4，x，y)平行，所以＝＝，解得x＝－6，y＝10，故选B.
答案：B
4．[2014·四川省成都七中期末考试]已知直线l过点P(1,0，－1)，平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是(　　)
A．(1，－4,2)
B．(，－1，)
C．(－，1，－)
D．(0，－1,1)
解析：本题主要考查平面的法向量．因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的法向量，则必须满足，把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.
答案：D
5．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是(　　)
A．90°
B．60°
C．30°
D．0°
解析：因为|a|＝|b|，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0，则(a＋b)⊥(a－b)．
答案：A
6．如右图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：
①＋＋＋＝0；
②＋－－＝0；
③－＋－＝0；
④·＝·；
⑤·＝0，
其中正确结论的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：因为－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2×2×cos∠ASB，·＝2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正确，其余三个都不正确．
答案：B
7．空间四边形ABCD的各边及对角线长均为1，E是BC的中点，则(　　)
A．·<·
B．·＝·
C．·>·
D．·与·不能比较大小
解析：如右图，易证AE⊥BC，故·＝0，取BD中点F，连接EF，AF，则EF∥CD.在△AEF中，AE＝AF＝，EF＝，得∠AEF是锐角，所以〈，〉是钝角，即〈，〉是钝角，所以·<0，故选C.
答案：C
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：建立如图所示坐标系．设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则
A1(b,0,0)，A(b,0，c)，C1(0，a,0)，C(0，a，c)，B1(b，a,0)，D(0,0，c)，N，M.
∵∠CMN＝90°，∴⊥，
∴·＝·
＝－b2＋c2＝0，
∴c＝b.
∴·＝(－b，0，－b)·
＝－b2＋b2＝0，
∴AD1⊥DM，即异面直线AD1与DM所成的角为90°.
答案：D
9．[2014·陕西省高新一中期末考试]如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　)
A．
B．
C．
D．1
解析：本题主要考查空间点到直线的距离．过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，则A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，＝(1,2，－3)，＝(x，y，z－3)，＝(x－1，y，z)．
因为，所以，
解得，所以＝(－，，)，
所以点B到直线A1C的距离||＝，故选B.
答案：B
10．[2014·安徽省合肥一中月考]设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)
A．(，，)
B．(，，)
C．(，，)
D．(，，)
解析：本题主要考查空间向量的基本定理．因为G1是△ABC的重心，所以＝＝×(＋)＝(－＋－)＝(＋－2)，因G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，所以＝＝(＋)＝＋×(＋－2)＝＋(＋－2)＝＋＋，所以x＝y＝z＝，故选A.
答案：A
11．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：以A为原点建系，设棱长为1.则A1(0,0,1)，E(1,0，)，D(0,1,0)，∴＝(0,1，－1)，＝(1,0，－)．
设平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)，
则∴
∴n1＝(1,2,2)，
∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)．
∴cos〈n1，n2〉＝＝.
即所成的锐二面角的余弦值为.
答案：B
12．如右图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD.则下列结论中不正确的是(　　)
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
又∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AC.
其中SD∩BD＝D，∴AC⊥面SDB，从而AC⊥SB.故A正确；易知B正确；设AC与DB交于O点，连接SO.则SA与平面SBD所成的角为∠ASO，SC与平面SBD所成的角为∠CSO，又OA＝OC，SA＝SC，∴∠ASO＝∠CSO.故C正确；由排除法可知选D.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[2014·清华附中月考]在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(1，－2,3)、B(2,1，－1)，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为________．
解析：本题主要考查空间直角坐标系中，直线与平面相交的交点坐标等基础知识．设点C的坐标为(x,0，z)，则＝(x－1,2，z－3)，＝(1,3，－4)，因为与共线，所以＝＝，解得，所以点C的坐标为(，0，)．
答案：(，0，)
14．[2014·湖南省长沙一中期末考试]如图，在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC中点，则·等于________．
解析：本题主要考查求空间两向量的数量积．因为E为BC的中点，所以＝－＝(＋)－，因为在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，所以·＝[(＋)－]·(－)＝(－)＝0.
答案：0
15．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则对角线AC1的长度等于________．
解析：＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝16＋9＋25＋2×4×3×cos90°＋2×4×5×cos60°＋2×3×5×cos60°
＝50＋20＋15＝85，
∴||＝.
答案：
16．正四棱锥S—ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是__________．
解析：如右图，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A(a,0,0)，B(0，a,0)，
C(－a,0,0)，P(0，－，)，
则＝(2a,0,0)，＝(－a，－，)，＝(a，a,0)，
设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，
则cos〈，n〉＝＝＝，
∴〈，n〉＝60°，
∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.
答案：30°
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，CM＝2MA，A1N＝2ND，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.
解：∵＝＋＋
＝－＋＋
＝－(＋)＋＋(＋)
＝－－＋＋
＝－a＋b＋c，
∴＝－a＋b＋c.
18．(12分)已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3.
(1)判断P，A，B，C四点是否共面；
(2)能否以{，，}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量.
解：(1)假设四点共面，则存在实数x，y，z使＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1.
即2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)．
比较对应的系数，得一关于x，y，z的方程组
解得
与x＋y＋z＝1矛盾，故四点不共面；
(2)若向量，，共面，则存在实数m，n使＝m＋n，同(1)可证，这不可能，因此{，，}可以作为空间的一个基底，令＝a，＝b，＝c，
由e1＋2e2－e3＝a，－3e1＋e2＋2e3＝b，e1＋e2－e3＝c联立得到方程组：
从中解得
所以＝17－5－30.
19.
(12分)[2014·陕西高考]四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.
(1)证明：四边形EFGH是矩形；
(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．
解：(1)证明：由该四面体的三视图可知，
BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1.
由题设，BC∥平面EFGH，
平面EFGH∩平面BDC＝FG，
平面EFGH∩平面ABC＝EH，
∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.
同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC，
∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．
(2)法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，
＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,0,1)．
设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，
∵EF∥AD，FG∥BC，
∴n·＝0，n·＝0，
得取n＝(1,1,0)，
∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.
法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，
∵E是AB的中点，∴F，G分别为BD，DC的中点，
得E，F(1,0,0)，G(0,1,0)．
∴＝，＝(－1,1,0)，＝(－2,0,1)．
设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
得取n＝(1,1,0)，
∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.
20．(12分)如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱DS上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
解：(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，由题意知SO⊥平面ABCD，以O点为坐标原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.
设底面边长为a，则高SO＝a.
于是S(0,0，a)，D(－a,0,0)，C(0，a,0)，B(a,0,0)，
＝(0，a,0)，
＝(－a,0，－a)，
·＝0.故OC⊥SD，因此AC⊥SD.
(2)由题意知，平面PAC的一个法向量＝(a,0，a)，平面DAC的一个法向量＝(0,0，a)，
设所求二面角为θ，
则cosθ＝＝，
故所求二面角P－AC－D的大小为30°.
(3)在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.
由(2)知是平面PAC的一个法向量，且＝(a,0，a)，
＝(0，－a，a)，
＝(－a，a,0)，设＝t，
则＝＋＝＋t
＝(－a，a(1－t)，at)．
由·＝0，得t＝，
即当SE∶EC＝2∶1时，⊥.
而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.
21．(12分)如右图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
解：(1)如图所示，以D为原点，DA，DC，DD′分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系D－xyz，设DA＝1.
则＝(1,0,0)，′＝(0,0,1)．
连接BD，B′D′.
在平面BB′D′D中，
延长DP交B′D′于H.
设＝(m，m,1)(m>0)，
由已知〈，〉＝60°
，
由·＝||||cos〈，〉，
可得2m＝.
解得m＝，所以＝(，，1)．
因为cos〈，′〉
＝＝，
所以〈，〉＝45°，
即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是＝(0,1,0)，
因为cos〈，〉＝＝，所以〈，〉＝60°，
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
22．(12分)如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°.
(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(2)设AB＝AP.
①若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；
②在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．
解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，所以PA⊥AB.
又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD.
又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系(如右图)．
在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD.
在Rt△CDE中，
DE＝CD·cos45°＝1.
CE＝CD·sin45°＝1.设AB＝AP＝t，则B(t,0,0)，P(0,0，t)．
由AB＋AD＝4，得AD＝4－t.所以E(0,3－t,0)，C(1,3－t，0)，D(0,4－t,0)，＝(－1,1,0)，＝(0，4－t，－t)．
①设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，由n⊥，n⊥，得
取x＝t，得平面PCD的一个法向量n＝(t，t,4－t)．
又＝(t,0，－t)，故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得
cos60°＝||，
即＝，
解得t＝或t＝4(舍去，因为AD＝4－t>0)，所以AB＝.
②假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．
设G(0，m,0)(其中0≤m≤4－t)．
则＝(1,3－t－m,0)，＝(0,4－t－m,0)，＝(0，－m，t)．
由||＝||得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m；　
(1)
由||＝||得(4－t－m)2＝m2＋t2.　
(2)
由(1)、(2)消去t，化简得m2－3m＋4＝0.　
(3)
由于方程(3)没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，C，D的距离都相等．从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．第三章　§2　课时作业27
一、选择题
1．
过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若点A，B在抛物线的准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为(　　)
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
解析：设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．如图，
∵|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，
∴∠AA1F＝∠AFA1，∠BFB1＝∠FB1B.
又AA1∥Ox∥B1B，
∴∠A1FO＝∠FA1A，∠B1FO＝∠FB1B.
∴∠A1FB1＝∠AFB＝90°.
答案：C
2．
设抛物线y2＝4(x＋1)的准线为l，直线y＝x与该抛物线相交于A、B两点，则点A及点B到准线l的距离之和为(　　)
A．8
B．7
C．10
D．12
解析：易知y＝x过抛物线的焦点，
∴d1＋d2＝|AB|＝|x1－x2|＝×4＝8，故选择A.
答案：A
3．
已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)
A．
B．3
C．
D．
解析：依题意设点P在抛物线准线上的投影为点P′，抛物线的焦点为F，依抛物线的定义，知点P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝.
答案：A
二、填空题
4．
设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.
若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　　)
A．y2＝±4x
B．y2＝±8x
C．y2＝4x
D．y2＝8x
解析：不论a值正负，抛物线的焦点坐标都是，
故直线l的方程为y＝2，
令x＝0得y＝－，故△OAF的面积为
××＝＝4，故a＝±8.
故选择B.
答案：B
5．
已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
解析：设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，由方程组得交点坐标为A(0,0)，B(a，a)，而点P(2,2)是AB的中点，从而有a＝4，故所求抛物线的方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x
6．
设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点F的坐标为，线段FA的中点B的坐标为，代入抛物线方程得1＝2p×，解得p＝，故点B的坐标为，故点B到该抛物线准线的距离为＋＝.
答案：
7．
过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C.若梯形ABCD的面积为12，则p＝________.
解析：依题意，抛物线的焦点F的坐标为，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线AB的方程为y－＝x，代入抛物线方程得，y2－3py＋＝0，
故y1＋y2＝3p，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝4p，
直角梯形有一个内角为45°，
故|CD|＝|AB|＝×4p＝2p，
梯形面积为
(|BC|＋|AD|)×|CD|＝×3p×2p
＝3p2＝12，p＝2.
答案：2
三、解答题
8．
过抛物线的焦点F作不垂直于对称轴的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于点N.求证：|AB|＝2|NF|.
证明：如图，不妨设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则y＝2px1，y＝2px2.
两式相减并整理，得＝.
∵M是AB的中点，∴＝＝.
∵MN⊥AB，∴kMN＝－.
∴直线MN的方程为y－y0＝－(x－x0)．
令y＝0，得N点的横坐标xN＝x0＋p.
∴|NF|＝xN－＝x0＋.
又|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝2，
∴|AB|＝2|NF|.
9．
某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5
m时，水面宽为8
m．一木船宽4
m，高2
m，载货后木船露在水面上的部分高为
m，问水面上涨到与拱顶相距多少m时，木船开始不能通航？
解：
以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
由题意知，点A(4，－5)在抛物线x2＝－2py(p>0)上，所以16＝－2p×(－5)，2p＝.
所以抛物线方程为x2＝－y(－4≤x≤4)．
设水面上涨，船体两侧与抛物线拱桥接触于B，B′时，船开始不能通航，设B(2，y′)，则22＝－y′，所以y′＝－.
所以水面与拱顶相距|y′|＋＝2(m)．
所以水面上涨到与拱顶相距2
m时，木船开始不能通航．第三章　§4　课时作业33
一、选择题
1．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是(　　)
A．|x|－|y|＝1
B．|x－y|＝1
C．||x|－|y||＝1
D．|x±y|＝1
解析：设M(x，y)为平面直角坐标系内的任意一点，则点M到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.由题意知||x|－|y||＝1.
答案：C
2．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2)
D．x2＋y2＝4(x≠±2)
解析：设P(x，y)，因为△MPN为以MN为斜边的直角三角形，
∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，
∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16.
整理得，x2＋y2＝4.
∵M，N，P不共线，∴x≠±2.
∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．
答案：D
3．已知log2x，log2y,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为(　　)
解析：由2log2y＝2＋log2x，
得log2y2＝log24x，
∴y2＝4x(x>0，y>0)，
即y＝2(x>0)．
答案：A
4．[2014·河南省实验中学月考]动点P到定点(1,0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为(　　)
A．y2＝4x
B．y2＝－12(x－4)
C．若x≥3，则y2＝4x；若x<3，则y2＝－12(x－4)
D．若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)
解析：本题主要考查求曲线的方程．设P(x，y)，由题意得
＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)，故选D.
答案：D
二、填空题
5．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则动点P的轨迹方程是________．
解析：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，半径r＝1，则|PB|2＝|PA|2＋r2.
∴|PB|2＝2.
∴P的轨迹方程为：(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)2＋y2＝2
6．如图，在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称且·＝4，则动点P的轨迹方程为________．
解析：由已知M(0，y)，N(x，－y)，
则·＝(x，y)·(x，－2y)
＝x2－2y2＝4，即－＝1.
答案：－＝1
7．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，＝＋，则点M的轨迹方程是__________．
解析：设M(x，y)，A(m,0)，B(0，n)，由＝＋，得(x，y)＝(m,0)＋(0，n)，∴m＝x，n＝y.又由|AB|＝5，得m2＋n2＝25，即(x)2＋(y)2＝25，于是，所求点M的轨迹方程是4x2＋9y2＝36.
答案：4x2＋9y2＝36
三、解答题
8．[2012·江西高考]已知三点O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足|＋|＝·(＋)＋2.求曲线C的方程．
解：由＝(－2－x,1－y)，＝(2－x,1－y)，得|＋|＝，·(＋)＝(x，y)·(0,2)＝2y.
根据题意，得＝2y＋2，
化简得曲线C的方程为x2＝4y.
9．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解：如图，设点M的坐标为(x，y)，∵M为线段AB的中点，
∴A的坐标为(2x,0)，
B的坐标为(0,2y)．
∵l1⊥l2，且l1、l2过点P(2,4)，∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1.
而kPA＝(x≠1)，kPB＝，
∴·＝－1(x≠1)．
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
∵当x＝1时，A、B的坐标分别是(2,0)、(0,4)，∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.习题课(1)
一、选择题
1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是(　　)
A．(±1,0)
B．(0，±1)
C．(±，0)
D．(0，±)
解析：本题考查椭圆的性质．由题意，椭圆的焦点在y轴上，a＝4，b＝3，所以c＝＝＝，所以椭圆的焦点坐标是(0，±)，故选D.
答案：D
2．[2014·唐山一中月考]若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为(　　)
A．(，)
B．(，＋∞)∪(－∞，)
C．(，＋∞)
D．(－∞，－)
解析：本题考查椭圆的范围．因为点P在椭圆＋＝1的外部，所以＋>1，解得a>或a<，故选B.
答案：B
3．
[2014·大纲全国卷]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)
A．＋＝1
B．＋y2＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
解析：由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1，选A.
答案：A
4．若焦点在x轴上的椭圆的方程是＋＝1，则该椭圆焦距的取值范围是(　　)
A．(0，)
B．(0,6)
C．(0,2)
D．(0,12)
解析：本题考查椭圆的方程特征．由题意，c＝，故0答案：C
5．[2014·浙江名校联考]已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一动点，且P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－，则椭圆的离心率为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：设P(x0，y0)，则·＝－，化简得＋＝1，又P在椭圆上，所以＋＝1，所以a2＝2b2，故e＝.
答案：B
6．如图所示，A、B、C分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为(　　)
A．
B．1－
C．－1
D．
解析：由(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2，
∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0，
∵e＝，∴e2＋e－1＝0，∴e＝.
答案：A
二、填空题
7．[2014·河北省衡水中学月考]已知P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是________．
解析：本题主要考查与椭圆有关的轨迹问题．如图，依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常数且a>0)．又|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a.
由题意知，a＝2，b＝，∴c＝1.
∴|QF1|＝4，F1(－1,0)，∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，
∴动点Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.
答案：(x＋1)2＋y2＝16
8．P是椭圆＋＝1上的点，F1和F2是该椭圆的焦点，则k＝|PF1|·|PF2|的最大值是__________，最小值是__________．
解析：设|PF1|＝x，则k＝x(2a－x)，
因a－c≤|PF1|≤a＋c，即1≤x≤3.
∴k＝－x2＋2ax＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴kmax＝4，kmin＝3.
答案：4　3
9．椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为__________．
解析：由已知得∠AF1F2＝30°，故cos30°＝，从而e＝.
答案：
三、解答题
10．[2014·四川省绵阳中学月考]求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
解：(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又e＝＝，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点可能在x轴上，也可能在y轴上
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
11．如右图，已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x＝－(c是椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率e.
解：依题意知H，F(c,0)，B(0，b)．
设P(xP，yP)，且xP＝c，代入到椭圆的方程，
得yP＝.∴P.
∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即＝.
∴ab＝c2.
∴e＝＝，∴e2＝＝e－2－1.
∴e4＋e2－1＝0.∵012．已知点P(3,4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：
(1)椭圆的方程；
(2)△PF1F2的面积．
解：(1)法一：令F1(－c,0)，F2(c,0)，
则b2＝a2－c2，
∵PF1⊥PF2，∴kPF1·kPF2＝－1，
即·＝－1，解得c＝5，
∴椭圆方程为＋＝1，
∵点P(3,4)在椭圆上，∴＋＝1，
解得a2＝45或a2＝5，又a>c，∴a2＝5舍去，故所求椭圆方程为＋＝1.
法二：∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2为直角三角形，
∴|OP|＝|F1F2|＝c，
又|OP|＝＝5，∴c＝5，
∴椭圆方程为＋＝1(以下同法一)．
(2)法一：P点纵坐标的值即为F1F2边上的高，
∴S△PF1F2＝|F1F2|×4＝×10×4＝20.
法二：由椭圆定义知：
|PF1|＋|PF2|＝6①
又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2②
①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝20.第一章　§3　课时作业7
一、选择题
1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析：全称命题的否定：所有变为存在，且否定结论．
所以原命题的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．
答案：D
2．[2013·四川高考]设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p： x∈A,2x∈B，则(　　)
A． p： x∈A,2x B
B． p： x A,2x B
C． p： x A,2x∈B
D． p： x∈A,2x B
解析：因全称命题的否定是特称命题，故命题p的否定为 p： x∈A,2x B.故选D.
答案：D
3．下列命题的否定是真命题的是(　　)
A．有理数是实数
B．有些平行四边形是菱形
C． x0∈R,2x0＋3＝0
D． x∈R，x2－2x>1
解析：根据原命题和它的否定真假相反的法则判断．A、B、C显然正确，而D中不等式解集不是R，故选D.
答案：D
4．“存在整数m0，n0，使得m＝n＋2011”的否定是(　　)
A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2011
B．存在整数m0，n0，使得m≠n＋2011
C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2011
D．以上都不对
解析：特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．
答案：C
二、填空题
5．[2014·山东滨州二模]命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________．
解析：本题主要考查全称命题的否定．本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”．
答案：有些偶函数的图像关于y轴不对称
6．若关于x的函数y＝的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是__________．
解析：由题意知应满足的条件为x2＋x＋m≥0恒成立，只需Δ＝1－4m≤0，解得m≥.
答案：[，＋∞)
7．若命题p： x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是__________．
解析：ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，即不等式ax2＋4x＋a≥－2x2＋1对 x∈R恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋(a－1)≥0恒成立．当a＋2＝0时，不符合题意；
故有解得a≥2.
答案：[2，＋∞)
三、解答题
8．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p： x∈R，x2－x＋≥0；
(2)p：所有的正方形都是菱形；
(3)p：至少有一个实数x0，使x＋1＝0；
(4)p：与同一平面所成的角相等的两条直线平行．
解：(1)是全称命题， p： x0∈R，x－x0＋<0.因为对于任意的x，x2－x＋＝(x－)2≥0，所以 p为假命题．
(2)是全称命题， p：存在一个正方形不是菱形．正方形是特殊的菱形，所以 p为假命题．
(3)是特称命题， p： x∈R，x3＋1≠0.因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以 p为假命题．
(4)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”， p：存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行， p为真命题．
9．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．
解：(1)不等式m＋f(x)>0可化为
m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，
只需m>－4即可．
故存在实数m>－4，
使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立．
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，
只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，
∴f(x)min＝4，∴m>4.
所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．第三章　§1　课时作业24
一、选择题
1．
设P(x，y)是椭圆x2＋4y2＝4上的一个动点，定点M(1,0)，则|PM|2的最大值是(　　)
A．
B．1
C．3
D．9
解析：|PM|2＝(x－1)2＋y2＝(x－1)2＋1－＝x2－2x＋2＝(x－)2＋
∵－2≤x≤2，∴当x＝－2时，|PM|＝9.
答案：D
2．
已知F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2＝2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是(　　)
A．－1
B．＋1
C．
D．
解析：由题意可知△PF1F2构成直角三角形
且∠F1PF2＝90°，∠PF1F2＝60°，|F1F2|＝2c，
则|PF1|＝c，|PF2|＝c，
所以由椭圆的定义知，
|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，
得离心率e＝＝－1.故选择A.
答案：A
3．
某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则椭圆＋＝1的离心率e>的概率是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：e＝> < a>2b，
符合a>2b的情况有：
当b＝1有a＝3,4,5,6四种情况；
当b＝2时，有a＝5,6两种情况，
总共有6种情况，则概率为＝.故选择C.
答案：C
4．
如图所示，椭圆中心在坐标原点，离心率为，F为椭圆左焦点，直线AB与FC交于D点，则∠BDC的正切值是(　　)
A．－3
B．3－
C．3
D．3＋
解析：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则A(0，b)，B(－a,0)，C(0，－b)，F(－c,0)．
∵kAB＝，kCF＝－，
∴tan∠BDF＝＝＝.
∵e＝＝，∴a＝2c，∴b＝c，
∴tan∠BDF＝＝3.
答案：C
二、填空题
5．
已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为________．
解析：∵椭圆方程为＋＝1，∴a＝4，b＝3，c＝.
若直角三角形的直角顶点为P，当P在短轴两个端点位置时，∠F1PF2最大，此时cos∠F1PF2＝＝>0，即∠F1PF2最大时为锐角．
∴直角顶点在F1或F2上，不妨设F1P⊥F1F2，
设P(－，y)，则＋＝1，∴y2＝，∴|y|＝.
答案：
6．
已知椭圆＋＝1，F1为椭圆的左焦点，A(2,2)为椭圆内的点，P是椭圆上任意一点，则|PA|－|PF1|的最大值为________．
解析：F1的坐标为(－4,0)，点P在椭圆上移动，若P与A、F1不共线，则在△PAF1中，|PA|－|PF1|<|AF1|，当P点与A、F1共线时，且P点在AF1的延长线上时，|PA|－|PF1|＝|AF1|，此时|PA|－|PF1|取最大值，即为|AF1|的值，由A、F1的坐标，得|AF1|＝2.
答案：2
7．
已知点F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆＋＝1的两焦点，P为椭圆上的点，∠F1PF2＝α，当α＝时，△F1PF2的面积最大，则m＝________，n＝________.
解析：如图所示，点P在椭圆上变化时，S△F1PF2＝·|F1F2|·|yP|，∴当|yP|取最大时，即P点为椭圆短轴端点时，S△F1PF2最大，则∠F1PO＝，|OF1|＝3，
a＝|PF1|＝＝2，b＝|OP|＝＝，由已知＝a，＝b，解得m＝12，n＝3.
答案：12　3
三、解答题
8．
如图所示，已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最小，并求出最小值．
解：
设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0.由得9y2－2ay＋a2－8＝0.由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3.所以与直线l距离较近的切线方程为x－y＋3＝0.所以最小距离为d＝＝.此时，
由得
即所求点为P.
9．
椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到这个椭圆上点的最远距离是，求
这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．
解：设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
由e＝＝＝，得a＝2b.
①
设椭圆上任一点M的坐标为(x，y)，点M到点P的距离为d，则x2＝a2－，且d2＝x2＋2＝a2－＋2＝－3y2－3y＋4b2＋＝－32＋4b2＋3，其中－b≤y≤b.
(1)如果b<，则当y＝－b时，
d2取得最大值()2＝2，
解得b＝－>，与b<矛盾．
(2)如果b≥，则当y＝－时，
d2取得最大值()2＝4b2＋3，
②
由①②可得b＝1，a＝2.
故所求椭圆方程为＋y2＝1.
由y＝－可得椭圆上到点P的距离等于的点为与.第一章　§2　课时作业5
一、选择题
1．“x(y－2)＝0”是“x2＋(y－2)2＝0”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若x(y－2)＝0，则x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立，反之，
若x2＋(y－2)2＝0，则x＝0且y＝2，一定有
x(y－2)＝0，
因此，“x(y－2)＝0”是“x2＋(y－2)2＝0”的必要而不充分条件，故选A.
答案：A
2．“m＝1”是“函数y＝xm2－4m＋5为二次函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当m＝1时，y＝x1－4＋5＝x2，是二次函数；反之，若y＝xm2－4m＋5为二次函数，则m2－4m＋5＝2，即m2－4m＋3＝0，
∴m＝1或m＝3，因此，“m＝1”是“y＝xm2－4m＋5为二次函数”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
3．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是(　　)
A．b≥0
B．b≤0
C．b>0
D．b<0
解析：由于函数y＝x2＋bx＋c的图像是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x＝－，要使该函数在[0，＋∞)上单调，必须－≤0，即b≥0，故选A.
答案：A
4．方程“ax2＋2x－1＝0至少有一个正实根”的充要条件是(　　)
A．－1≤a<0
B．a>－1
C．a≥－1
D．－1≤a<0或a>0
解析：a＝0时，方程ax2＋2x－1＝0有一正根，排除A、D两项；a＝－1时，方程化为x2－2x＋1＝0，即
(x－1)2＝0，x＝1>0.
答案：C
二、填空题
5．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．
解析：x2－3x＋2<0 (x－1)(x－2)<0 1答案：16．设n∈N
，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__________.
解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2.
答案：3或4
7．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①____________；充要条件②____________.(写出你认为正确的两个充要条件)
解析：根据平行六面体的定义和性质可知，平行六面体的两组相对侧面分别平行，反之亦成立；平行六面体的一组相对侧面平行且全等，反之亦成立；平行六面体的底面是平行四边形，反之亦成立．从中任选两个即可．
答案：底面是平行四边形　两组相对侧面分别平行
三、解答题
8．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
解：(1)当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；
(2)当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足 0综上，若方程至少有一个负的实根，
则a≤.
反之，若a≤，则方程至少有一个负的实根．
因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤.
9．[2014·江苏省南京师大附中月考]已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明：(充分性)当q＝－1时，a1＝S1＝p－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，且n＝1时也成立．
于是＝＝p(p≠0且p≠1)，即{an}为等比数列．
(必要性)当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
因为p≠0且p≠1，所以当n≥2时，＝＝p，又{an}为等比数列，∴＝p，
故＝p，即p－1＝p＋q，求得q＝－1.
综上可知，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．习题课(1)
一、选择题
1．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是(　　)
A．(，1,1)
B．(－1，－3,2)
C．(－，，－1)
D．(，－3，－2)
解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．
即b≠0，a∥b a＝λb，
a＝(1，－3,2)＝－2，故选C.
答案：C
2．[2014·河南省固始一中期末考试]若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：本题主要考查空间中三点共线的充要条件．若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然，A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，即α＋β＝1，故选C.
答案：C
3．已知a＝(－1，－5，－2)，b＝(x,2，x＋2)，若a⊥b，则x的值为(　　)
A．0
B．－
C．－6
D．±6
解析：因为a⊥b，所以a·b＝(－1，－5，－2)·(x,2，x＋2)＝－x－10－2x－4＝－3x－14＝0，所以x＝－，故选B.
答案：B
4．已知a·b＝0，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)·(λa－b)＝0，则λ等于(　　)
A．
B．－
C．±
D．1
解析：由a·b＝0及(3a＋2b)·(λa－b)＝0，得3λa2＝2b2，又|a|＝2，|b|＝3，所以λ＝，故选A.
答案：A
5．[2014·安徽省合肥一中期末考试]已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－n，则m，n的值分别为(　　)
A．，－
B．－，－
C．－，
D．，
解析：本题主要考查空间向量的线性表示．由于＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以m＝，n＝－，故选A.
答案：A
6．[2014·清华附中月考]已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为(　　)
A．30°
B．60°
C．90°
D．45°
解析：本题主要考查空间向量在求角中的应用．由于＝＋＋，则·＝(＋＋)·＝＝1.cos〈，〉＝＝ 〈，〉＝60°，故选B.
答案：B
二、填空题
7．已知A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则在上的投影为__________．
解析：∵＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)．
＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，
∴cos〈，〉＝
＝－，
在上的投影为||cos〈，〉
＝×＝－4.
答案：－4
8．[2014·广东省中山二中期末考试]已知点A(λ＋1，μ－1,3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3,9)三点共线，则λ＋μ＝________.
解析：本题主要考查向量共线问题．由于＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，＝(2，－2,6)，由＝－＝知，λ＝0，μ＝0，于是λ＋μ＝0.
答案：0
9．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C－AB－D的余弦值为，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于__________．
解析：设AB＝2，作CO⊥平面ABDE，OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C－AB－D的平面角，CH＝，OH＝CH·cos∠CHO＝1，结合等边△ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则AN＝EM＝CH＝，＝(＋)，＝－，·＝(＋)·(－)＝，故EM、AN所成角的余弦值＝.
答案：
三、解答题
10．如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，M为AC′的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量．
(1)－；
(2)＋＋；
(3)＋－。
解：(1)－＝＋＝＋＝.
(2)＋＋＝.
(3)＋－＝＋＋＝(＋＋)＝＝.
向量、如图所示．
11．[2014·河北省衡水中学月考]平行四边形ABCD中，AB＝2AC＝2且∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求点B，D间的距离．
解：由已知得AC⊥CD，AC⊥AB，折叠后AB与CD所成角为60°，
于是，·＝0，·＝0，
且〈，〉＝60°或120°.
||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝22＋12＋22＋2
×2×2×cos〈，〉，故||2＝13或5，
解得||＝或，
即B，D间的距离为或.
12．如右图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝.
(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
(2)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．
解：如右图，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，依题意得A(2，0,0)，B(0,0,0)，C(，－，)，A1(2，2，0)，B1(0,2，0)，C1(，，)．
(1)易得＝(－，－，)，＝(－2，0,0)，
于是cos
〈，〉＝
＝＝.
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.
(2)由N为棱B1C1的中点，得N(，，)．
设M(a，b,0)，则＝(－a，－b，)．
由MN⊥平面A1B1C1，得，即
，
解得.
故M(，，0)，因此＝(，，0)．
所以线段BM的长||＝.习题课(2)
一、选择题
1．若A(1，－2,3)，B(2,5,6)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(1，－2,3)
B．(2,5,6)
C．(1,7,3)
D．(－1，－7,3)
解析：∵＝(1,7,3)，
又与平行的非零向量都可作为l的方向向量，
∴(1,7,3)＝可作为l的方向向量．
答案：C
2．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量为(　　)
A．(－，－，－)
B．(－，，－)
C．(－，，)
D．(，，)
解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有
取x＝1，则y＝－2，z＝2.
所以n＝(1，－2,2)．因为|n|＝3，
所以平面ABC的一个单位法向量可以是
(－，，－)．
答案：B
3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)
A．(1，－1,1)
B．(1,3，)
C．(1，－3，)
D．(－1,3，－)
解析：∵n为α的一个法向量，∴n·＝0，把P点依次代入满足上式即可．
答案：B
4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是(　　)
A．等于90°
B．小于90°
C．大于90°
D．不确定
解析：∵A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥MN，
∵·＝(＋)·
＝·＋·＝0，
∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.
答案：A
5．[2014·辽宁大连一模]长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)．
＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，
cos〈，〉＝＝.
所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.
答案：B
6．如右图所示
，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C－BF－D的正切值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：如右图所示，连接BD，AC∩BD＝O，连接OF.以O为原点，OB、OC、OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O－xyz.设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝.所以B，F，
C，D.
结合图形可知，＝且为面BOF的一个法向量，
由＝，＝，
可求得面BCF的一个法向量n＝(1，，)．
所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，
所以tan〈n，〉＝.
答案：D
二、填空题
7．若A(0,2，)，B(1，－1，)，C(－2,1，)是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.
解析：＝(1，－3，－)，
＝(－2，－1，－)，由
得解得
则x∶y∶z＝y∶y∶(－y)＝2∶3∶(－4)．
答案：2∶3∶(－4)
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是__________．
解析：建立如右图所示的空间直角坐标系，
设棱长为1，则B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A1(1,0,1)，D(0,0,0)，＝(－1,0,1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，－1,0)，设平面A1BD的一个法向量为n＝(1，x，y)，设平面A1BD与BC1所成的角为θ，n⊥，n⊥，
所以n·＝0，n·＝0，
所以解得
所以n＝(1，－1，－1)，
则cos〈，n〉＝＝－，
所以sinθ＝，
所以cosθ＝＝.
答案：
9．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1，1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为__________．
解析：设n1＝(1,0，－1)，n2＝(0，－1，1)，
则cos〈n1，n2〉＝
＝－，
∴〈n1，n2〉＝.因平面α与平面β所成的角与〈n1，n2〉相等或互补，所以α与β所成的角为或.
答案：或
三、解答题
10．在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，EF⊥PB于点F.
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)证明：PB⊥平面EFD.
证明：如右图所示建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设DC＝a.
(1)连接AC，AC交BD于G，
连接EG，依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，，)．
因为四边形ABCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为(，，0)，
所以＝(，0，－)，
又＝(a,0，－a)，所以＝2，
这表明PA∥EG.
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a,0)，
＝(a，a，－a)，＝(0，，)，
所以·＝0＋－＝0，
所以PB⊥DE.
由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD.
11．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.
(1)求证：BD⊥平面AED；
(2)求二面角F－BD－C的余弦值．
解：(1)因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.
又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，
因此∠ADB＝90°，AD⊥BD，
又AE⊥BD，
且AE∩AD＝A，AE，AD 平面AED.
所以BD⊥平面AED.
(2)连接AC，由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，
以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB＝1，
则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D(，－，0)，F(0,0,1)，
因此＝(，－，0)，＝(0，－1,1)．
设平面BDF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则m·＝0，m·＝0，
所以x＝y＝z，
取z＝1，则m＝(，1,1)．
由于＝(0,0,1)是平面BDC的一个法向量，
则cos〈m，〉＝＝＝，
所以二面角F－BD－C的余弦值为.
12．
[2013·浙江高考]如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2.M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.
(1)证明：PQ∥平面BCD；
(2)若二面角C－BM－D的大小为60°，求∠BDC的大小．
解：(1)如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所
在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.
由题意知A(0，，2)，
B(0，－，0)，D(0，，0)．
设点C的坐标为(x0，y0,0)，因为＝3，
所以Q(x0，＋y0，)．
因为M为AD的中点，故M(0，，1)．又P为BM的中点，故P(0,0，)，所以＝(x0，＋y0,0)．
又平面BCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，
故·u＝0.
又PQ 平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
(2)设m＝(x，y，z)为平面BMC的一个法向量．
由＝(－x0，－y0,1)，＝(0,2，1)，
知
取y＝－1，得m＝(，－1,2)．
又平面BDM的一个法向量为n＝(1,0,0)，于是
|cos〈m，n〉|＝＝＝，
即2＝3.　
①
又BC⊥CD，所以·＝0，
故(－x0，－－y0,0)·(－x0，－y0,0)＝0，
即x＋y＝2.　
②
联立①，②，解得(舍去)或
所以tan∠BDC＝＝.
又∠BDC是锐角，所以∠BDC＝60°.第二章　单元综合检测(一)
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．[2014·福建省福州一中月考]已知向量a＝(1，－2,1)，a＋b＝(3，－6,3)，则b等于(　　)
A．(2，－4,2)
B．(－2,4,2)
C．(－2,0，－2)
D．(2,1，－3)
解析：本题主要考查空间向量的坐标运算．b＝(a＋b)－a＝(3，－6,3)－(1，－2,1)＝(2，－4,2)，故选A.
答案：A
2．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则(　　)
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15
D．x＝6，y＝
解析：∵a∥b，∴存在实数λ，
使，∴.
答案：D
3．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a为(　　)
A．(1,1,1)
B．(－1，－1，－1)
C．(1,1,1)或(－1，－1，－1)
D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
解析：设a＝(x，y，z)，∵＝(－2，－1,3)，
＝(1，－3,2)，又|a|＝，a⊥，a⊥，
∴∴或
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
答案：C
4．已知A(－1,0,1)，B(0,0,1)，C(2,2,2)，D(0,0,3)，则sin〈，〉等于(　　)
A．－
B．
C．
D．－
解析：∵＝(1,0,0)，＝(－2，－2,1)，
∴cos〈，〉＝＝－，
∴sin〈，〉＝.
答案：C
5．[2014·广东高考]已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)
A．(－1,1,0)
B．(1，－1,0)
C．(0，－1,1)
D．(－1,0,1)
解析：经检验，选项B中向量(1，－1,0)与向量a＝(1,0，－1)的夹角的余弦值为，即它们的夹角为60°，故选B.
答案：B
6．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是(　　)
A．cosθ＝
B．cosθ＝
C．sinθ＝
D．sinθ＝
解析：若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90°或θ＝90°－β，cosβ＝，∴sinθ＝|cosβ|＝.
答案：D
7．若两点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当||取最小值时，x的值等于(　　)
A．19
B．－
C．
D．
解析：＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，
则||＝
＝＝.
故当x＝时，||取最小值．
答案：C
8．[2014·福建省泉州一中期末考试]结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图，其中点○代表钠原子，黑点·代表氯原子．建立空间直角坐标系O－xyz后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是(　　)
A．(，，1)
B．(0,0,1)
C．(1，，1)
D．(1，，)
解析：本题主要考查空间直角坐标系中点的坐标的探求．观察图形，可知图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是(，，1)，故选A.
答案：A
9．[2014·北京东城区期末统考]如图，空间四边形ABCD的四条边及对角线长都是a，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则a2等于(　　)
A．2·
B．2·
C．2·
D．2·
解析：本题主要考查空间向量的数量积．因为2·＝2·(－)＝2·－2＝2a2cos60°－2a2＝－a2，所以排除A；2·＝2(－)·(－)＝2a2cos60°＝a2，故选B.
答案：B
10．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：建系如右图，设AB＝1，则B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)．
∴＝(－1,0,1)，＝(0,1,1)
∴cos〈，〉
＝＝＝.
∴〈，〉＝60°，即异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.
答案：C
11．[2014·湖南省雅礼中学月考]已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必(　　)
A．在平面BAD1内
B．在平面BA1D内
C．在平面BA1D1内
D．在平面AB1C1内
解析：本题主要考查四点共面的判断方法．由于＝＋7＋6－4＝＋＋6－4＝＋＋6－4＝＋6(－)－4(－)＝11－6－4，于是M，B，A1，D1四点共面，故选C.
答案：C
12．如右图所示，在四面体P—ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B—AP—C的余弦值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：如图所示，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，设AB＝1，则易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝，
可以求得BD＝，ED＝.
∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.
∴·＝－，
∴cos〈，〉＝－，
即二面角B—AP—C的余弦值为.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝__________.
解析：如图，＝－＝－－＝－－＝b－a－c.
答案：－a＋b－c
14．[2014·甘肃省兰州一中期末考试]已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝________.
解析：本题主要考查空间向量的数量积．向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，因为ka＋b与2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝.
答案：
15．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为__________．
解析：建立如图所示坐标系，则＝(－1,1，－2)，＝(0,2，－2)，
∴cos〈，〉＝＝，
∴〈，〉＝.
即异面直线AD和BC1所成角的大小为.
答案：
16．如右图所示，已知二面角α－l－β的平面角为θ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为__________．
解析：因为＝＋＋，
所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cosθ.
所以||＝，
即AD的长为.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)如右图，已知ABCD—A1B1C1D1是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α、β、γ的值．
解：∵＝＋＝＋
＝(－)＋(－)
＝(－)＋(＋)
＝－＋＋
＝＋＋，
∴α＝，β＝，γ＝.
18．(12分)如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.证明：A，E，C1，F四点共面．
证明：∵ABCD－A1B1C1D1是平行六面体，
∴＝＝＝，
∴＝，＝，
∴＝＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝＋.由向量共面的充要条件知A，E，C1，F四点共面．
19．(12分)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
解：(1)＝＋，＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
∴〈·〉＝π－〈·〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2
＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)结合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝＝＝||，
∴cos〈，〉＝＝，得2＝4，
∴||＝2，即侧棱长为2.
20．(12分)[2014·广东省佛山一中期中考试]如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝BC.
(1)求异面直线SC与AB所成角的余弦值；
(2)用空间向量的方法证明：BC⊥平面ABS.
解：以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系．
设SA＝AB＝BC＝a，
则B(a，a,0)，C(0，a,0)，S(0,0，a)．
(1)＝(a，a,0)，＝(0，a，－a)．
cos〈，〉＝＝，
故SC与AB所成角的余弦值为.
(2)由于＝(a，a,0)，＝(0,0，a)，
＝(－a，a,0)，
显然，·＝0，·＝0.
即AB⊥BC，AS⊥BC，又AB∩AS＝A，故BC⊥平面ABS.
21.
(12分)[2014·山东高考]如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．
(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；
(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．
解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，
且AB＝2CD，所以AB∥DC，又由M是AB的中点，因此CD∥MA且CD＝MA.
连接AD1，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
因为CD∥C1D1，CD＝C1D1，
可得C1D1∥MA，C1D1＝MA，
所以四边形AMC1D1为平行四边形．
因此C1M∥D1A，又C1M 平面A1ADD1，D1A 平面A1ADD1，
所以C1M∥平面A1ADD1.
(2)法一：连接AC，MC，由(1)知CD∥AM且CD＝AM，所以四边形AMCD为平行四边形．
可得BC＝AD＝MC，
由题意∠ABC＝∠DAB＝60°，所以△MBC为正三角形，因此AB＝2BC＝2，CA＝，因此CA⊥CB.
以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
所以A(，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，)，
因此M，
所以＝，＝＝.
设平面C1D1M的法向量n＝(x，y，z)，
由得
可得平面C1D1M的一个法向量n＝(1，，1)．
又＝(0,0，)为平面ABCD的一个法向量．
因此cos〈，n〉＝＝.
所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.
法二：由(1)知平面D1C1M∩平面ABCD＝AB，过C向AB引垂线交AB于N，连接D1N.由CD1
⊥平面ABCD，可得D1N⊥AB，因此∠D1NC为二面角C1－AB－C的平面角．
在Rt△BNC中，BC＝1，∠NBC＝60°，
可得CN＝.
所以ND1＝＝.
在Rt△D1CN中，cos∠D1NC＝＝＝.
所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.
22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．
(1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
(2)点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；
(3)在(2)的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，求二面角M－BQ－C的大小．
解：(1)证明：连接BD，∵AD＝AB，∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形．
∵Q为AD的中点，∴AD⊥BQ.
∵PA＝PD，Q为AD的中点，∴AD⊥PQ.
又BQ∩PQ＝Q，∴AD⊥平面PQB.
∵AD 平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD.
(2)连接AC，交BQ于N.由AQ∥BC，可得△ANQ∽△CNB，∴＝＝.∵PA∥平面MQB，PA 平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN，∴PA∥MN.
∴＝＝，即PM＝PC，∴t＝.
(3)由PA＝PD＝AD＝2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PQ⊥平面ABCD.
以Q为坐标原点，分别以QA、QB，QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点的坐标分别为A(1,0,0)，B(0，，0)，Q(0,0,0)，P(0,0，)．
设平面MQB的法向量为n＝(x，y,1)，
可得
∵PA∥MN，∴
解得n＝(，0,1)．
取平面ABCD的法向量m＝(0,0,1)，
cos〈m，n〉＝，故二面角M－BQ－C的大小为60°.第三章　§1　课时作业23
一、选择题
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　)
A．(－1,0)，(1,0)
B．(－6,0)，(6,0)
C．(－，0)，(，0)
D．(0，－)，(0，)
解析：方程化为标准形式为x2＋＝1，其焦点在y轴上，由于a2＝6，∴a＝.∴长轴的端点坐标为(0，±)，故选D.
答案：D
2．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的(　　)
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
解析：由题意可知两个椭圆的焦点都在x轴上，前者焦距2c＝2＝8，
后者焦距2c＝2＝8.
答案：D
3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是(　　)
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
解析：由2a＝12，＝，解得a＝6，c＝2，
∴b2＝62－22＝32.
∵焦点在x轴上，
∴椭圆的方程为＋＝1.
答案：D
4．[2014·山东省济南一中月考]已知椭圆＋＝1的上焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A、B和C、D，则|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝(　　)
A．2
B．4
C．4
D．8
解析：本题考查椭圆定义的应用．如图，设F1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1，FD.由椭圆的对称性可知，四边形AFDF1为平行四边形，∴|AF1|＝|FD|，同理|BF1|＝|CF|，∴|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝|AF|＋|BF|＋|BF1|＋|AF1|＝4a＝8，故选D.
答案：D
二、填空题
5．若椭圆的焦点在y轴上，长轴长为4，离心率e＝，则其标准方程为__________．
解析：依题意，得a＝2，e＝＝，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆的标准方程为：＋x2＝1.
答案：＋x2＝1
6．已知点P(3,4)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，则以P为顶点的椭圆的内接矩形PABC的面积是__________．
解析：由对称性知矩形PABC的长与宽分别为6,8，故S＝48.
答案：48
7．[2014·江苏省南京师大附中月考]过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为________．
解析：本题主要考查椭圆的离心率．由题意，△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝60°，
所以|PF2|＝2|PF1|.
设|PF1|＝x，则|PF2|＝2x，|F1F2|＝x，又|F1F2|＝2c，所以x＝.即|PF1|＝，|PF2|＝.由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以＋＝2a，即e＝＝.
答案：
三、解答题
8．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)．
(2)离心率e＝，焦距为12.
解：(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得
解得
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得
解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6，
∴b2＝a2－c2＝64.
当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为
＋＝1；
当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为
＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为
＋＝1或＋＝1.
9．如右图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
其中，c＝，设B(x，y)．
由＝2 (c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B(，－)．
将B点坐标代入＋＝1，
得＋＝1，即＋＝1，
解得a2＝3c2.①
又由·＝(－c，－b)·(，－)＝
b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①，②解得c2＝1，a2＝3，
从而有b2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.第一章　§1　课时作业1
一、选择题
1．下列语句不是命题的是(　　)
A．3是15的约数　　
B．15能被5整除吗？
C．3小于2
D．1不是质数
解析：因为B选项中为疑问句，故不是命题．
答案：B
2．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这四句诗中，可作为命题的是(　　)
A．红豆生南国
B．春来发几枝
C．愿君多采撷
D．此物最相思
解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，故都不是命题．
答案：A
3．下列语句中假命题的个数是(　　)
①3是15的约数；
②15能被5整除吗？
③{x|x是正方形}是{x|x是平行四边形}的子集吗？
④3小于2；
⑤9的平方根是3或－3；
⑥2不是质数；
⑦2既是自然数，也是偶数．
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：④⑥是假命题，②③不是命题，①⑤⑦是真命题．
答案：A
4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)
A．l1⊥l2，l2⊥l3 l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面
解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．
答案：B
二、填空题
5．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是__________．
解析：①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形．
答案：①④
6．命题“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，则实数m的取值范围是________．
解析：“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．
当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；
当m>0时，且Δ＝m2－12m<0，即00恒成立，所以0当m<0时，3mx2＋mx＋1>0不恒成立．
综上知0≤m<12.
答案：[0,12)
7．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
④△ABC中，若∠A＝∠B，则sinA＝sinB；
⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．
解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．
②是假命题，数0既不是正数也不是负数；
③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；
④是真命题；
⑤祈使句，不是命题．
答案：②③④　④
三、解答题
8．将下列命题改成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)偶数能被2整除；
(2)奇函数的图像关于原点对称；
(3)同弧所对的圆周角不相等．
解：(1)若一个数是偶数，则它能被2整除(真命题)．
(2)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称(真命题)．
(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等(假命题)．
9．设有两个命题：p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
解：若命题p为真命题，则可知m≤1；
若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2.
所以命题p和q中有且只有一个是真命题时，有p真q假或p假q真，
即或
故m的取值范围是1一、选择题
1．命题p：3>2与命题 p：3≤2中(　　)
A．都是真命题
B．都是假命题
C．p是假命题
D． p是假命题
解析：命题p与命题 p一真一假由题意可知p真， p假．
答案：D
2．[2013·湖北高考]命题“ x0∈ RQ，x∈Q”的否定是(　　)
A． x0 RQ，x∈Q
B． x0∈ RQ，x Q
C． x RQ，x3∈Q
D． x∈ RQ，x3 Q
解析： x∈ RQ，x3 Q，故选D.
答案：D
3．下列结论中不正确的是(　　)
A．如果命题p∨q是真命题，那么命题p不一定是真命题
B．如果命题p∧q是真命题，那么命题p一定是真命题
C．如果命题p∧q是假命题，那么命题p不一定是假命题
D．如果命题p∨q是假命题，那么命题p不一定是假命题
解析：若p∨q是真命题，则p不一定是真命题，A正确；若p∧q是真命题，则p与q都是真命题，B正确；若p∧q是假命题，命题p不一定是假命题，因为q是假命题时也成立，C正确；若p∨q是假命题，则命题p与q均为假命题，D不正确．
答案：D
4．下列语句不是特称命题的是(　　)
A．有的无理数的平方是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数
D．存在x∈R,2x＋1是奇数
解析：A、B、D含有存在量词是特称命题，C中含有全称量词是全称命题．
答案：C
5．[2014·湖南高考]已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧( q)；④( p)∨q中，真命题是(　　)
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
解析：由不等式性质知：命题p为真命题，命题q为假命题，从而 p为假命题， q为真命题．故p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧( q)为真命题，( p)∨q为假命题，故选C.
答案：C
6．已知命题p：对 x∈R， m∈R，使4x＋2xm＋1＝0.若命题 p是假命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－2,2]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]
D．[－2，＋∞)
解析：因为 p为假，故p为真，即求原命题为真时m的取值范围．
由4x＋2xm＋1＝0，
得－m＝＝2x＋≥2.
∴m≤－2.
答案：C
二、填空题
7．命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p∨q”为__________．
解析：方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向相同或相反的两个向量共线”．
答案：方向相同或相反的两个向量共线
8．命题“若a解析：命题“若a答案：若a≥b，则2a≥2b　若a9．[2014·江苏省金陵中学月考]若命题“ x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：本题主要考查特称命题的真假及参数取值范围的求解．该命题p的否定是 p：“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”，即关于x的一元二次不等式x2＋(a－1)x＋1>0的解集为R，由于命题p是假命题，所以 p是真命题，所以Δ＝(a－1)2－4<0，解得－1答案：(－1,3)
三、解答题
10．写出下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”以及“ p”形式的命题，并判断它们的真假．
(1)p：是有理数；q：是整数；
(2)p：不等式x2－2x－3>0的解集是(－∞，－1)，q：不等式x2－2x－3>0的解集是(3，＋∞)．
解：(1)p∨q：是有理数或是整数；
p∧q：是有理数且是整数；
p：不是有理数．
因为p假，q假，所以p∨q为假，p∧q为假， p为真．
(2)p∨q：不等式x2－2x－3>0的解集是(－∞，－1)或不等式x2－2x－3>0的解集是(3，＋∞)；
p∧q：不等式x2－2x－3>0的解集是(－∞，－1)且不等式x2－2x－3>0的解集是(3，＋∞)；
p：不等式x2－2x－3>0的解集不是(－∞，－1)．
因为p假，q假，所以p∨q为假，p∧q为假， p为真．
11．用“ ”“ ”写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)二次函数的图像是抛物线．
(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图像．
(3)有些四边形存在外接圆．
(4) a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．
解：(1) f(x)∈{二次函数}，f(x)的图像不是抛物线．它是假命题．
(2)在直角坐标系中， l∈{直线}，l不是一次函数的图像．它是真命题．
(3) x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．
(4) a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．
12．[2014·贵州省贵阳一中月考]已知两个命题p：sinx＋cosx>m，q：x2＋mx＋1>0，如果对任意x∈R，有p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．
解：当命题p是真命题时，
由于x∈R，则sinx＋cosx＝sin(x＋)≥－，
所以有m<－.
当命题q是真命题时，
由于x∈R，x2＋mx＋1>0，
则Δ＝m2－4<0，解得－2由于p∨q为真，p∧q为假，所以p与q一真一假．
(1)当p真q假时，得m≤－2.
(2)当p假q真时，得－≤m<2.
综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[－，2)．第三章　§1　课时作业21
一、选择题
1．已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P点的轨迹是椭圆．命题甲是命题乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：若P点的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)，P点的轨迹不一定是椭圆，所以甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．
答案：B
2．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.
又|F1F2|＝2c＝2＝4，∴△PF1F2为直角三角形．
答案：B
3．[2014·西安交大附中月考]椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标是(　　)
A．(±3,0)
B．(±，0)
C．(±，0)
D．(0，±)
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，故焦点在y轴上，其中a2＝，b2＝，所以c2＝a2－b2＝－＝，故c＝.所以所求焦点坐标为(0，±)．
答案：D
4．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是(　　)
A．(，)
B．[，)
C．(，)
D．[，)
解析：∵方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴8sinα>4，sinα>.
∵α为锐角，∴<α<.
答案：C
二、填空题
5．一个焦点坐标是(0,4)，过点B(1，)的椭圆的标准方程为__________．
解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∴a2－b2＝16，①
又过点B(1，)，
∴＋＝1，②
∴由①②知，a2＝20，b2＝4，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
6．[2014·云南省昆明一中月考]已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．
解析：本题考查椭圆的标准方程．由已知，2a＝8,2c＝2，∴a＝4，c＝，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，
∴椭圆的标准方程为＋x2＝1.
答案：＋x2＝1
7．已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)并且焦距为6，则实数m的值为__________．
解析：∵2c＝6，∴c＝3.
当焦点在x轴上时，a2＝25，∴m＝16.
当焦点在y轴上时，b2＝25，∴m＝34.
答案：16或34
三、解答题
8．求经过点A(，－2)和点B(－2，1)的椭圆的标准方程．
解：法一：(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有
解得
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有解得
因为a故所求椭圆的方程为＋＝1.
法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
依题意有解得
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
9．如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．
解：由垂直平分线性质可知
|MQ|＝|MA|，
∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，又|CQ|＝4，
∴|CM|＋|MA|＝4.
又|AC|＝2，∴M点轨迹为椭圆．
由椭圆的定义知：a＝2，c＝1，
∴b2＝a2－c2＝3.
∴所求轨迹方程为：＋＝1.第三章　§4　课时作业32
一、选择题
1．[2014·广东省中山一中期中考试]方程(2x－y＋2)＝0表示的曲线是(　　)
A．一个点与一条直线
B．两条射线或一个圆
C．两个点
D．两个点或一条直线或一个圆
解析：本题主要考查曲线与方程的关系．原方程等价于x2＋y2－1＝0即x2＋y2＝1，或，故选B.
答案：B
2．已知0≤α<2π，点P(cosα，sinα)在圆(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为(　　)
A．
B．
C．或
D．或
解析：依题意得(cosα－2)2＋sin2α＝3，
化简得cosα＝，
∵0≤α<2π，∴α的值为或.
答案：C
3．方程x2＋6xy＋9y2＋3x＋9y－4＝0表示的图形是(　　)
A．两条重合的直线
B．两条互相平行的直线
C．两条相交的直线
D．两条互相垂直的直线
解析：方程可化为(x＋3y＋4)(x＋3y－1)＝0，即x＋3y＋4＝0或x＋3y－1＝0，所以原方程表示的图形是直线x＋3y＋4＝0和x＋3y－1＝0，这是两条互相平行的直线．故选B.
答案：B
4．已知曲线ax2＋by2＝2经过点A(0,2)和B(1,1)，则a、b的值为(　　)
A．，
B．，
C．－，
D．，－
解析：∵A(0,2)和B(1,1)都在曲线ax2＋by2＝2上，
∴解得
答案：B
二、填空题
5．点P(a＋1，a＋4)在曲线y＝x2＋5x＋3上，则a的值是__________．
解析：∵点P在曲线y＝x2＋5x＋3上，
∴a＋4＝(a＋1)2＋5(a＋1)＋3，
解之得a＝－1或a＝－5.
答案：－1或－5
6．曲线y＝|x|－1与x轴围成的图形的面积是________．
解析：在y＝|x|－1中令x＝0得y＝－1，令y＝0得x＝±1，所以曲线y＝|x|－1与x轴围成的图形的面积为×2×1＝1.
答案：1
7．已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个公共点，则a的取值范围是__________．
解析：数形结合如图：当a>1时，两条曲线有两个交点．
答案：a>1
三、解答题
8．已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上？
(2)若点M(，－m)在此方程表示的曲线上，求m的值．
解：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2≠10，
∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，点Q(，3)不在此曲线上．
(2)∵点M(，－m)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
∴()2＋(－m－1)2＝10.
解得m＝2或m＝－.
故m的值为2或－.
9．已知曲线C的方程为x＝，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．
解：由x＝，得x2＋y2＝4.
又x≥0，
∴方程x＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，
从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，
其面积S＝π·4＝2π.
所以，所求图形的面积为2π.第二章　§5　课时作业20
一、选择题
1．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3，那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：如图，α1∥α2∥α3，l与α1，α2，α3分别交于点P1，P2，P3；FP3⊥α1，且FP3与α2交于点E，则FE＝d1，EP3＝d2.根据“两平行平面与一平面相交所得的交线平行”得P1F∥P2E，则＝，显然“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的充分必要条件，故选择C.
答案：C
2．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：如图，建立空间直角坐标系，则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)．
设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则
解得x＝2z，且y＝－2z.
不妨设n＝(2，－2,1)，
设点A1到平面AB1D1的距离为h，
则h＝＝.
答案：C
3．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN和平面ACD1的距离是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，D1(0,0,1)，M，N，C(0,1,0)．
所以＝(－1,0,1)．
＝.
所以＝.又直线AD1与MN不重合，
所以∥.又MN 平面ACD1，
所以MN∥平面ACD1.
因为＝(－1,0,1)，＝(0,1，－1)，＝(－1,1,0)．
设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)，
则
所以
所以x＝y＝z.令x＝1，则n＝(1,1,1)．
又因为＝－(1,0,0)＝，
所以||＝＝.
所以cos〈n，〉＝＝＝.
所以点M到平面ACD1的距离为||×cos〈n，〉＝×＝.
答案：D
4．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：由A1B1∥平面D1EF知，点G到平面D1EF的距离即为直线A1B1上任一点到平面D1EF的距离，可求点A1或B1到平面D1EF的距离．
答案：D
二、填空题
5．在坐标平面xOz内，与三点A(0,1,2)、B(2,0,1)、C(1,2,0)距离相等的点的坐标为________．
解析：设该点的坐标为P(x,0，z)，由PA＝PB＝PC,
得x2＋1＋(z－2)2＝(x－2)2＋(z－1)2＝(x－1)2＋4＋z2，解得x＝z＝0.
答案：(0,0,0)
6．正方形ABCD与ABEF边长都为a，若二面角E－AB－C的大小为30°，则EF到平面ABCD的距离为________．
解析：直线EF到平面ABCD的距离即为点E到平面ABCD的距离，∴d＝.
答案：
7．如图所示，在几何体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD中点，则AE的长为________．
解析：＝＋＋，∵||＝||＝1＝||，且·＝·＝·＝0.又∵＝(＋＋)2，∴＝3，∴AE的长为.
答案：
三、解答题
8．已知四点A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4，8)，求点D到平面ABC的距离．
解：设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
∴
即
解得
令z＝－2，则n＝(3,2，－2)．
∴cos〈n，〉
＝
＝.
∴点D到平面ABC的距离
d＝||·|cos〈n，〉|＝＝.
9．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并分别求出点N到AB和AP的距离．
解：
建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意有A(0,0,0)，C(，1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，E.
所以＝(，1,0)，＝(0,0,2)．
因为点N在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,0，z)，则＝.
由NE⊥面PAC，
可得
即
化简，得
所以
即N点的坐标为，从而N点到AB和AP的距离分别为1，.习题课(3)
一、选择题
1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　)
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线
D．一条射线
解析：由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线．
答案：D
2．方程x＝所表示的曲线是(　　)
A．双曲线
B．椭圆
C．双曲线的一部分
D．椭圆的一部分
解析：依题意：x≥0，方程可化为：3y2－x2＝1，所以方程表示双曲线的一部分．故选C.
答案：C
3．[2014·安徽省合肥一中月考]若双曲线x2＋ky2＝1的离心率是2，则实数k的值是(　　)
A．－3
B．
C．3
D．－
解析：本题主要考查双曲线的简单性质．双曲线x2＋ky2＝1可化为＋＝1，故离心率e＝＝2，解得k＝－，故选D.
答案：D
4．[2014·广东实验中学期末考试]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为(　　)
A．
B．
C．2
D．或2
解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意，由于双曲线－＝1(a>0，b>0)，两渐近线的夹角为60°，则可知＝或＝，那么可知双曲线的离心率为e＝，所以结果为2或，故选D.
答案：D
5．
[2014·山东高考]已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0
B．x±y＝0
C．x±2y＝0
D．2x±y＝0
解析：设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1＝，e2＝.因为e1·e2＝，所以＝，即4＝，∴＝.
故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.
答案：A
6．若双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列，则该双曲线的离心率是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：由已知得2b＝a＋c，
∴＝1＋.
∴2＝1＋e.平方得4(e2－1)＝e2＋2e＋1
即3e2－2e－5＝0.∴e＝.
答案：C
二、填空题
7．[2013·陕西高考]双曲线－＝1的离心率为________．
解析：本题主要考查双曲线的离心率的求法．由已知得a2＝16，b2＝9，∴c2＝a2＋b2＝25，∴e2＝＝，e＝.
答案：
8．过双曲线－＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为________．
解析：|MF2|＋|NF2|－|MN|＝|MF2|＋|NF2|－(|MF1|＋|NF1|)＝(|MF2|－|MF1|)＋(|NF2|－|NF1|)＝2a＋2a＝4a＝8.
答案：8
9．对于曲线C：＋＝1，给出下面四个命题：
①曲线C不可能表示椭圆；
②当1③若曲线C表示双曲线，则k<1或k>4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1其中命题正确的序号为__________．
解析：由解得14，此时方程表示双曲线，故③正确．所以应填③④.
答案：③④
三、解答题
10．求适合下列条件的双曲线标准方程．
(1)虚轴长为16，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)求与双曲线－y2＝1有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．
解：(1)由题意知b＝8，且为等轴双曲线，
∴双曲线标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，
∴2a＝2＝6 λ＝，
当λ<0时，a2＝－9λ，
∴2a＝2＝6 λ＝－1.
∴双曲线的方程为－＝1和－＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k(k≠0)，
将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求证：·＝0.
解：(1)∵离心率e＝＝，∴a＝b.
设双曲线方程为x2－y2＝n(n≠0)，
∵(4，－)在双曲线上，
∴n＝42－(－)2＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)∵M(3，m)在双曲线上，则M(3，±)，
即m＝±，
∴kMF1·kMF2＝·＝－＝－1.
∴·＝0.
12．如图所示，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，点E满足＝λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．
解：法一：以线段AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，则CD⊥y轴，因为双曲线过点C、D且以A、B为焦点，由双曲线的对称性可知C、D关于y轴对称．设A(－c,0)、C、
E(x0，y0)，其中c＝|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．由＝λ，即(x0＋c，y0)＝λ，
得x0＝，y0＝.
设双曲线的方程为－＝1，则离心率为e＝.
由点C、E在双曲线上，将C、E的坐标和e＝，代入双曲线方程，得
由①得＝－1.
③
将③代入②式中，整理得(4－4λ)＝1＋2λ.
∴λ＝1－.
又∵≤λ≤，∴≤1－≤.
∴≤e≤.
∴双曲线的离心率的取值范围为[，]．
法二：前面部分同法一．
可求得直线AC的方程为y＝(x＋c)，将其代入双曲线方程b2x2－a2y2＝a2b2中，得
(9b2c2－4a2h2)x2－8a2h2cx－(4a2h2＋9a2b2)c2＝0.
又∵x0、为上述二次方程的两根，
∴·x0＝.
①
又∵C在双曲线上，
∴4h2＝b2(e2－4)．
②
∵x0＝，
③
将②③代入①中，
得·＝·c2.
∵e＝，∴λ＝1－，以下同法一．第一章　§4　课时作业8
一、选择题
1．如果命题“p为假”，命题“p∧q”为假，那么则有(　　)
A．q为真
B．q为假
C．p∨q为真
D．p∨q不一定为真
解析：∵p假，p∧q假，∴q可真可假，当q真时，p∨q为真；当q假时，p∨q为假．
答案：D
2．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：p∧q是真命题 p是真命题，q是真命题 p∨q是真命题；p∨q是真命题p∧q是真命题．
答案：A
3．已知p：x2－1≥－1，q：4＋2＝7，则下列判断中，错误的是(　　)
A．p为真命题，p∧q为假命题
B．p为假命题，q为假命题
C．q为假命题，p∨q为真命题
D．p∧q为假命题，p∨q为真命题
解析：∵p为真命题，q为假命题，
∴p且q为假命题，p或q是真命题．
答案：D
4．给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；
由于方程x2－2x－4＝0的判别式大于0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；
由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；
由于(A∩B) A，(A∩B) (A∪B)，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题．
答案：D
二、填空题
5．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是__________．
解析：x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，
即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，
所以1≤x<2，即x∈[1,2)．
答案：[1,2)
6．“p是假命题”是“p∨q为假命题”的__________条件．
解析：p假时，p或q不一定假，但p或q假时，p一定假，所以“p是假命题”是“p或q是假命题”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．若p：不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－}，q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a解析：因命题“p∧q”为真命题，所以p、q均为真命题，于是a>0，且a答案：0三、解答题
8．写出由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”形式的命题，并判断其真假．
(1)p：集合中的元素是确定的，q：集合中的元素是无序的；
(2)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边平行相等．
解：(1)“p∧q”：集合中的元素是确定的且是无序的，真命题．
“p∨q”：集合中的元素是确定的或是无序的，真命题．
(2)“p∧q”：梯形有一组对边平行且有一组对边平行相等，假命题．
“p∨q”：梯形有一组对边平行或有一组对边平行相等，真命题．
9．[2014·四川省绵阳中学期中考试]已知命题p：对任意x∈R，函数y＝lg(x2＋m)有意义，命题q：函数f(x)＝(5－2m)x是增函数．若p∧q为真，求实数m的取值范围．
解：由于p∧q为真，则p真且q真．
当p为真时，即对任意x∈R，函数y＝lg(x2＋m)有意义．
即对任意x∈R，x2＋m>0恒成立，
即m>－x2恒成立，又－x2≤0，所以m>0.
当q为真时，函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数，
所以有5－2m>1，解得m<2.
解不等式组得0所以实数m的取值范围是0