【北师大版】2017-2018年春高中数学选修2-2课时作业全套（38份打包，Word版，含解析）

第三章　单元综合检测
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．
[2014·山东师大附中月考]函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2)
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
解析：f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由f′(x)>0，得x>2，即f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，故选D.
答案：D　
2．
当x≠0时，以下不等式成立的是(　　)
A．ex<1＋x
B．当x>0时ex<1＋x，当x<0时，ex>1＋x
C．ex>1＋x
D．当x<0时ex<1＋x，当x>0时ex>1＋x
解析：构造f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1.当x<0时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，f(x)>f(0)＝0，即x<0时，ex>x＋1；当x>0时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，f(x)>f(0)＝0，即x>0时，ex>x＋1，故选C.
答案：C　
3．
函数f(x)＝lnx－x2的图像大致是(　　)
解析：函数f(x)的定义域为{x|x>0}，f(x)的导数为f′(x)＝－x＝.由f′(x)＝>0，得01，即函数f(x)的递减区间为(1，＋∞)，所以当x＝1时，函数f(x)取得极大值，且f(1)＝－<0，故选B.
答案：B　
4．
[2014·课标全国卷Ⅱ]若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2]
B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：依题意得f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥在(1，＋∞)上恒成立，∵x>1，∴0<<1，∴k≥1，故选D.
答案：D　
5．
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数y＝f(x)在区间(0，＋∞)上的图像如图所示，则不等式f(x)f′(x)>0的解集是(　　)
A．(－∞，0)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
解析：y＝f(x)的图像如图所示，①当x>0时，f(x)为增函数，所以f′(x)>0，若f(x)f′(x)>0，则只需f(x)>0，由图得x∈(1，＋∞)；②当x<0时，f(x)为减函数，所以f′(x)<0，若f(x)f′(x)>0，则只需f(x)<0，由图得x∈(－1,0)．综上，x∈(－1,0)∪(1，＋∞)．故选B.
答案：B　
6．
若函数f(x)＝x2lnx(x>0)的极值点为α，函数g(x)＝xlnx2(x>0)的极值点为β，则有(　　)
A．α>β
B．α<β
C．α＝β
D．α与β的大小不确定
解析：∵f(x)＝x2lnx(x>0)，∴f′(x)＝x(2lnx＋1),
令f′(x)＝0，得α＝；∵g(x)＝xlnx2(x>0)，
∴g′(x)＝2(lnx＋1)，令g′(x)＝0，得β＝，因此α>β，故选A.
答案：A　
7．
[2014·河南省南阳市检测]函数f(x)＝x3－x2＋x＋a的极值点的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．与a的取值有关
解析：f′(x)＝x2－2x＋1，显然f′(x)＝(x－1)2≥0恒成立，∴f(x)在R上单调递增，∴函数f(x)无极值点，故选A.
答案：A　
8．
已知在正四棱锥S－ABCD中，SA＝2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为(　　)
A．1
B．
C．2
D．3
解析：设底面边长为a，则高h＝
＝
，所以体积V＝a2h＝
.
设y＝12a4－a6(a>0)，则y′＝48a3－3a5，当y取极值时，y′＝0，解得a＝0(舍去)，a＝－4(舍去)或a＝4，故a＝4时体积最大，此时h＝＝2.故选C.
答案：C　
9.
如图，某农场要修建3个一样的鱼塘，每个面积为10000
m2，鱼塘前面要留4
m的运料通道，其余各边为2
m宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为(　　)
A．102
m、
m
B．150
m、66
m
C．100
m、100
m
D．150
m、
m
解析：设鱼塘的宽为x
m、长为y
m，依题意得xy＝10000.设占地面积为S
m2，则S＝(3x＋8)(y＋6)＝18x＋＋30048，令S′＝18－＝0，取正根得x＝，此时y＝150.故选D.
答案：D　
10.
[2014·辽宁高考]当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－5，－3]
B．[－6，－]
C．[－6，－2]
D．[－4，－3]
解析：当x＝0时，3≥0恒成立，a∈R.
当0设h(x)＝，
则h′(x)＝＝，
∵x∈(0,1]，∴h′(x)>0，h(x)递增，
∴h(x)max＝h(1)＝－6，
∴a≥－6.
当－2≤x<0时，a≤.
易知h(x)＝在[－2，－1)上递减，在(－1,0)上递增．
∴h(x)min＝h(－1)＝－2，∴a≤－2.
综上，－6≤a≤－2，故选C.
答案：C　
11.
若函数f(x)＝ax3－x在区间(－∞，＋∞)内是减函数，则(　　)
A．a≤0
B．a<1
C．a＝2
D．a＝
解析：f′(x)＝3ax2－1，由f′(x)＝3ax2－1≤0在(－∞，＋∞)内恒成立，得a≤0.故选A.
答案：A　
12.
设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝x·f′(x)的图像的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是(　　)
A．f(1)与f(－1)
B．f(－1)与f(1)
C．f(－2)与f(2)
D．f(2)与f(－2)
解析：易知f′(－2)＝0，f′(2)＝0.当x∈(－∞，－2)时，由图可知x·f′(x)<0，∴f′(x)>0，即当x∈(－∞，－2)时f(x)为增函数；当x∈(－2,0)时，由图可知x·f′(x)>0，∴f′(x)<0，当x∈(0,2)时，由图可知x·f′(x)<0，∴f′(x)<0，即当x∈(－2,2)时f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，由图可知x·f′(x)>0，∴f′(x)>0，即当x∈(2，＋∞)时f(x)为增函数．故f(x)的极大值与极小值分别是f(－2)与f(2)．故选C.
答案：C　
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.
[2014·广东省北江中学期中考试]函数f(x)＝excosx，则f与f的大小关系为________．
解析：∵f′(x)＝ex(cosx－sinx)，∴[0，]是函数f(x)的一个单调递增区间，又0<<<，∴f()答案：f()14.
[2014·甘肃省兰州一中月考]当a∈________时，函数f(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)没有极值点．
解析：由已知可得f′(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)＋ex(2x＋a)＝ex[x2＋(a＋2)x＋2a＋1]，若函数不存在极值点，则对方程f′(x)＝0，即x2＋(a＋2)x＋2a＋1＝0有Δ＝(a＋2)2－4(2a＋1)＝a2－4a≤0，解得0≤a≤4.
答案：[0,4]
15.
直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．
解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，大致画出f(x)的图像，如图所示，观察得当－2答案：(－2,2)
16.
已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点，则f(2)的取值范围是________．
解析：f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，由题意知x＝0为函数f(x)的极值点，∴f′(0)＝b＝0.又∵f(1)＝－1＋a＋b＋c＝0，∴c＝1－a，∴f(x)＝－x3＋ax2＋1－a，且当x→－∞时，f(x)>0；当x→＋∞时，f(x)<0.又∵f(x)在R上有三个零点，∴只需解得a>，∴f(2)＝－7＋3a>－.
答案：(－，＋∞)
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知f(x)＝，其中a∈R.当a＝－2时，求函数f(x)在区间[e，e2]上的单调性．
解：
当a＝－2，x∈[e，e2]时，f(x)＝x2－2lnx＋2，
∴f′(x)＝2x－，∴当x∈[e，e2]时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在[e，e2]上单调递增．
18．(12分)已知函数f(x)＝mx3＋nx2在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，求实数t的取值范围．
解：
由题意可知，，
所以，
解得，
所以f(x)＝x3＋3x2.由f′(x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0，
故f(x)在[－2,0]上单调递减，
故有[t，t＋1] [－2,0]，即－2≤t解得－2≤t≤－1，所以t的取值范围为[－2，－1]．
19．(12分)[2014·开封一模]已知函数f(x)＝xlnx.
(1)函数g(x)＝－ax＋f(x)在区间[1，e2]上不单调，求a的取值范围；
(2)若k∈Z，且f(x)＋x－k(x－1)>0对x>1恒成立，求k的最大值．
解：
(1)g′(x)＝－a＋1＋lnx(x>0)在(0，＋∞)上单调递增，
依题只需，
解得1(2)f(x)＋x－k(x－1)>0对x>1恒成立，
即k<对x>1恒成立，记h(x)＝(x>1)，
则h′(x)＝.
记u(x)＝x－lnx－2，则u′(x)＝1－，当x>1时，
u′(x)>0，
∴u(x)在(1，＋∞)上为增函数，
∵u(3)＝1－ln3<0，u(4)＝2－ln4>0，
∴存在x0∈(3,4)使得u(x0)＝0，
即x0－lnx0－2＝0，lnx0＝x0－2.
当1当x>x0时，u(x)>0，h′(x)>0；
当x＝x0时，u(x)＝0，h′(x)＝0，此时h(x)有最小值，
且[h(x)]min＝h(x0)＝
＝＝x0，
只需k<[h(x)]min＝x0∈(3,4)，
∵k∈Z，∴k的最大值为3.
20．(12分)在半径为R的圆上取一个圆心角为α(弧度)的扇形卷成圆锥，问α多大时，圆锥的体积最大？
解：
如图，设圆锥的底面半径为r，高为h，则
从而圆锥的体积为
V＝r2＝，
则V′＝·＝·.
令V′＝0，解得r＝R＝R(舍负)，
∴V在(0，R)上有唯一的极值点，所以当r＝R时，V取得最大值．此时，α＝·＝π.
21．(12分)[2014·重庆高考]已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－lnx－，则f′(x)＝，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln5.
22．(12分)[2014·湖北高考]π为圆周率，e＝2.71828…为自然对数的底数．
(1)求函数f(x)＝的单调区间；
(2)求e3,3e，eπ，πe,3π，π3这6个数中的最大数与最小数．
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝，所以f′(x)＝.
当f′(x)>0，即0当f′(x)<0，即x>e时，函数f(x)单调递减．
故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．
(2)因为e<3<π，所以eln3于是根据函数y＝lnx，y＝ex，y＝πx在定义域上单调递增，可得3e<πe<π3，e3故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．
由e<3<π及(1)的结论，得f(π)即<<.
由<，得lnπ3π3；
由<，得ln3e综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.第五章　单元综合检测(一)
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．[2013·辽宁高考]复数z＝的模为(　　)
A．
B．
C．
D．2
解析：z＝＝＝＝－－i，|z|＝＝，故选B.
答案：B　
2．[2014·安徽高考]设i是虚数单位，复数i3＋＝(　　)
A．－i
B．i
C．－1
D．1
解析：i3＋＝－i＋＝－i＋i－i2＝1，故选D.
答案：D　
3．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是(　　)
A．1
B．－1
C．±1
D．以上都不对
解析：因为(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，
所以x2－1＝0且x2＋3x＋2≠0，解得x＝1.
答案：A　
4．[2013·湖北高考]在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：z＝＝1＋i，故＝1－i，其对应的点位于第四象限．
答案：D　
5．[2013·课标全国卷Ⅰ]若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)
A．－4
B．－
C．4
D．
解析：∵|4＋3i|＝＝5，∴z＝＝＝＋i，虚部为，故选D.
答案：D　
6．[2014·课标全国卷Ⅰ]设z＝＋i，则|z|＝(　　)
A．
B．
C．
D．2
解析：z＝＋i＝＋i＝＋i，因此|z|＝＝
＝，故选B.
答案：B　
7．若z＝x＋yi(x，y∈R)是方程z2＝－3＋4i的一个根，则z＝(　　)
A．1－2i
B．－1＋2i
C．－1－2i
D．2＋i
解析：利用完全平方公式，代入验证：(－1－2i)2＝(1＋2i)2＝1－4＋4i＝－3＋4i.
答案：C　
8．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：因为(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i为实数，所以n2＝m2，故m＝n，则可以取1,2，…，6，共6种可能.
所以P＝＝.
答案：C　
9．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·是实数，则实数t等于(　　)
A．
B．
C．－
D．－
解析：z1·＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i，
因为z1·是实数，所以4t－3＝0，所以t＝，因此选A.
答案：A　
10．设复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z等于(　　)
A．－＋i
B．－i
C．－－i
D．＋i
解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋＝2＋i.
∴解得∴z＝＋i.
法二：∵|z|∈R，由复数相等的充要条件可知：若等式z＋|z|＝2＋i成立，则必有虚部为1，
故可设z＝x＋i(x∈R)，代入原等式有：x＋＝2，解得x＝，所以z＝＋i.
答案：D　
11．[2013·陕西高考]设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
解析：A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故1＝2成立．
B中，z1＝2，则1＝z2成立．C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z11＝z22，C正确．D不一定成立，如z1＝1＋i，z2＝2，
则|z1|＝2＝|z2|，但z＝－2＋2i，z＝4，z≠z.
答案：D　
12．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则|2x＋4y|的最小值为(　　)
A．2
B．4
C．4
D．16
解析：由|z－4i|＝|z＋2|，得x＋2y＝3.
则2x＋4y≥2＝2＝4.
答案：C　
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.
[2013·天津高考]已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
解析：∵(a＋i)(1＋i)＝a＋ai＋i＋i2＝(a－1)＋(a＋1)i，
又由已知(a＋i)(1＋i)＝bi，得解得a＝1，b＝2，所以a＋bi＝1＋2i.
答案：1＋2i
14.
在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝__________.
解析：∵＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i，
∴||＝2.
答案：2
15.
[2014·北京高考]若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________.
解析：由(x＋i)i＝－1＋2i，得x＝－i＝－i＝2.
答案：2
16.
[2014·四川高考]复数＝________.
解析：＝＝(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.
答案：－2i
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是4－20i的共轭复数，求实数x的值．
解：因为复数4－20i的共轭复数为4＋20i，由题意得x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i＝4＋20i.
根据复数相等的定义，得
　　　
方程①的解为x＝－3或x＝2，
方程②的解为x＝－3或x＝6.
∴x＝－3.
18．(12分)计算：(1)；
(2).
解：(1)＝＝＝2.
(2)＝＝＝＝＝－＋i.
19．(12分)已知z＝1＋i，若＝1－i，求实数a，b的值．
解：∵z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b
＝a＋b＋(2＋a)i，
z2－z＋1＝(1＋i)2－(1＋i)＋1＝i，
∴＝(2＋a)－(a＋b)i＝1－i.
∴解得
20．(12分)[2014·临沂检测]数列{an}满足a1＝2i，(1＋i)an＋1＝(1－i)an，求a10的值．
解：由于(1＋i)an＋1＝(1－i)an，则＝＝－i.
∴数列{an}是以2i为首项，以－i为公比的等比数列
∴a10＝a1·(－i)9＝2i(－i)9＝2.
21．(12分)设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2，求|z|的值及实部的取值范围．
解：∵z是虚数，
∴可设z＝x＋yi(x，y∈R且y≠0)，
ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋
＝(x＋)＋(y－)i.
∵ω是实数且y≠0，∴y－＝0，
即x2＋y2＝1，∴|z|＝1，此时ω＝2x.
由－1<ω<2，得－1<2x<2.
∴－22．(12分)已知z＝m＋3＋3i，其中m∈C，且为纯虚数．
(1)求m对应点的轨迹；
(2)求|z|的最大值、最小值．
解：(1)设m＝x＋yi(x，y∈R)，则
＝＝.
∵为纯虚数，
∴
即
∴m对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，除去(－3,0)，(3,0)两点．
(2)由(1)知|m|＝3，
由已知m＝z－(3＋3i)，
∴|z－(3＋3i)|＝3.
∴z所对应的点Z在以(3,3)为圆心，以3为半径的圆上．
由图形可知|z|的最大值为|3＋3i|＋3＝9；
最小值为|3＋3i|－3＝3.选修2-2　第二章　§4　课时作业11
一、选择题
1．
已知f(x)＝x－5＋3sinx，则f′(x)等于(　　)
A．－5x－6－3cosx
B．x－6＋3cosx
C．－5x－6＋3cosx
D．x－6－3cosx
解析：f′(x)＝(x－5)′＋(3sinx)′＝－5x－6＋3cosx.
答案：C　
2．
若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为(　　)
A．(0，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1,0)
解析：函数的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－2－＝>0，可得x>2，故选C.
答案：C　
3．
曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为(　　)
A．y＝3x－1
B．y＝－3x＋5
C．y＝3x＋5
D．y＝2x
解析：令y＝f(x)，则f′(x)＝－3x2＋6x，则f′(1)＝－3＋6＝3，所以曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线斜率k＝f′(1)＝3，所以切线方程是y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.
答案：A　
4．
若曲线y＝x2－lnx的一条切线l1与直线l2：y＝x－2平行，则l1与l2的距离是(　　)
A．
B．1
C．
D．
解析：令y′＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，故切点坐标为(1,1)．点(1,1)到直线l2的距离等于，故l1与l2的距离是.
答案：A　
二、填空题
5．
设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝________.
解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，则f′(x)＝2x－4，故f′(0)＝－4.
答案：－4
6．
设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，则ab的值为________．
解析：f′(x)＝3x2－3a，∴f′(2)＝12－3a.
由题意知12－3a＝0，∴a＝4.
又切点在直线y＝8上，∴f(2)＝8－6a＋b＝8.
∴b＝24.∴ab＝96.
答案：96
7．
[2014·北大附中月考]f(x)＝x3－x2＋bx＋c的图像存在与直线y＝1平行的切线，则b的取值范围是________．
解析：本题主要考查导数的几何意义与二次函数性质的综合应用．由题意知，存在x使f′(x)＝3x2－x＋b＝0，故Δ＝1－12b≥0，得b≤.
答案：
(－∞，]
三、解答题
8．
求下列函数的导数：
(1)y＝x3＋cosx；
(2)y＝lgx－；
(3)y＝x5－x3＋3x＋.
解：
(1)y′＝(x3)′＋(cosx)′＝3x2－sinx.
(2)y′＝′
＝(lgx)′－(x－2)′
＝－(－2)x－2－1
＝＋2x－3
＝＋
(3)y′＝′
＝′－′＋(3x)′＋()′
＝x4－4x2＋3.
9.
(1)求曲线y＝f(x)＝x3－2x在点(1，－1)处的切线方程；
(2)求过曲线y＝f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．
解：(1)由题意f′(x)＝3x2－2，f′(1)＝1，
∴点(1，－1)处的切线的斜率k＝1，其方程为
y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.
(2)设切点为(x0，y0)，则y0＝x－2x0，
则切点处的导数值f′(x0)＝3x－2；
若点(1，－1)为切点，由(1)知切线方程为x－y－2＝0；若点(1，－1)不为切点，则3x－2＝(x0≠1)，
即3x－2＝，
∴3x－2x0－3x＋1＝x－2x0.
∴2x－3x＋1＝0，
即(x0－1)(2x－x0－1)＝0.
∴x0＝1或x0＝－，其中x0＝1舍去．
则切点坐标为，
∴斜率为f′＝3×2－2＝－.
∴切线方程为5x＋4y－1＝0.
∴过点(1，－1)的切线方程为x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.选修2-2　第二章　§2　课时作业8
一、选择题
1．在f′(x0)＝
中，Δx不可能(　　)
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．大于0或小于0
解析：由导数定义知Δx只是无限趋近于0，故选C.
答案：C　
2．设f(x)在x＝x0处可导，则
等于(　　)
A．－f′(x0)
B．f′(－x0)
C．f′(x0)
D．2f′(x0)
解析：
＝－
＝－
＝－f′(x0)．
答案：A　
3．设函数f(x)在点x0处附近有定义，且f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)
A．f′(x0)＝－a
B．f′(x0)＝－b
C．f′(x0)＝a
D．f′(x0)＝b
解析：∵f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2，
∴＝a＋b·Δx.
∴
＝
(a＋b·Δx)．
∴f′(x0)＝a.
故选C.
答案：C　
4．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是(　　)
A．at0
B．－at0
C．at0
D．2at0
解析：∵＝＝aΔt＋at0，
∴
＝at0.
答案：A　
二、填空题
5．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为__________．
解析：由平均变化率的几何意义知k＝＝1.
答案：1
6．已知f(x)＝，则
＝________.
解析：令x－a＝Δx，则x＝a＋Δx，
＝
＝
＝
＝－.
答案：－
7．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则f(m)＝________.
解析：∵f(x)＝，
∴f′(m)＝
＝
＝
＝－.
又f′(m)＝－，
∴－＝－.
∴m＝±4.∴f(m)＝＝±.
答案：±
三、解答题
8．已知函数f(x)＝，求f′(1)·f′(－1)的值．
解：当x＝1时，＝
＝＝.
由导数的定义，得f′(1)＝
＝.
当x＝－1时，＝
＝＝Δx－2.
由导数的定义，得f′(－1)＝
(Δx－2)＝－2.
所以f′(1)·f′(－1)＝×(－2)＝－1.
9．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝
s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．
解：令t0＝，Δt为增量．
则
＝
＝
＝－4.9(＋Δt)＋6.5.
∴
＝[－4.9(＋Δt)＋6.5]＝0，
即运动员在t0＝
s时的瞬时速度为0
m/s.
说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．选修2-2　第五章　§2　课时作业27
一、选择题
1．[2013·湖南高考]复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：z＝i＋i2＝－1＋i的对应点为(－1,1)，此点位于第二象限，故选B.
答案：B　
2．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(　　)
A．2
B．－2
C．－
D．
解析：法一：＝＝
为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2，故选A.
法二：＝为纯虚数，
所以a＝2，故选A.
答案：A　
3．[2013·课标全国卷Ⅱ]设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(　　)
A．－1＋i
B．－1－i
C．1＋i
D．1－i
解析：z＝＝－1＋i，故选A.
答案：A　
4．[2012·课标全国卷]下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2,　p2：z2＝2i，
p3：z的共轭复数为1＋i,　p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为(　　)
A．p2，p3
B．p1，p2
C．p2，p4
D．p3，p4
解析：z＝＝＝－1－i，所以|z|＝，p1为假命题；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2为真命题；＝－1＋i，p3为假命题；p4为真命题．故选C.
答案：C　
二、填空题
5．[2012·上海高考]计算：＝________(i为虚数单位)．
解析：＝＝＝1－2i.
答案：1－2i
6．若n∈N
，则()4n＋()4n＝__________.
解析：∵()4＝i2＝－1，
()4＝(－i)2＝－1，
∴()4n＋()4n＝(－1)n＋(－1)n.
(1)当n是奇数时，原式＝－2.
(2)当n是偶数时，原式＝2.
答案：
7．若z＝i－1是方程z2＋az＋b＝0的一个根，则实数a，b的值分别为__________，__________.
解析：把z＝i－1代入方程z2＋az＋b＝0，
得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，即
解得a＝2，b＝2.
答案：2　2
三、解答题
8．计算＋()2014＋.
解：原式＝＋()1007＋
＝i＋(－i)1007＋
＝i＋i＋0＝2i.
9．复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数a.
解：z＝＝＝＝1－i.
∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m≠0)，则
z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋
＝－＋i<0，
∴∴m＝4.∴a＝4i.选修2-2　第三章　§2　课时作业17
一、选择题
1．做一个容积为256升的方底无盖水箱，那么用料最省时，它的底面边长为(　　)
A．5分米
B．6分米
C．7分米
D．8分米
解析：设底面边长为x分米，则高为h＝，其表面积S＝x2＋4··x＝x2＋，S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8.当08时S′>0，故x＝8时S最小．
答案：D　
2．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2.最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　)
A．30元
B．60元
C．28000元
D．23000元
解析：设毛利润为L(P)，由题意知
L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)
＝(8300－170P－P2)(P－20)
＝－P3－150P2＋11700P－166000，
所以，L′(P)＝－3P2－300P＋11700.
令L′(P)＝0，解得P＝30，或P＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23000.
根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．
答案：D　
3．[2013·湖南株洲一模]横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为(　　)
A．d，d
B．d，d
C．d，d
D．d，d
解析：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y，
由题意知当xy2取最大值时，横梁的强度最大．
∵y2＝d2－x2，∴xy2＝x(d2－x2)(0令f(x)＝x(d2－x2)(0得f′(x)＝d2－3x2.
令f′(x)＝0，
解得x＝d或x＝－d(舍去)．
当00；
当d因此，当x＝d时，f(x)取得极大值，也是最大值．
综上，当矩形横断面的高为d，宽为d时，横梁的强度最大．
答案：C
4．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为(　　)
A．
B．
C．
D．2
解析：如右图，设底面边长为x(x>0)
则底面积S＝x2，
∴h＝＝.
S表＝x·×3＋x2×2＝＋x2.
S′表＝x－，令S′表＝0，x＝.
∵S表只有一个极值，故x＝为最小值点．
答案：C　
二、填空题
5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________千米处．
解析：依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离．
于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.
因此两项费用之和为y＝＋，y′＝－＋，令y′＝－＋＝0得x＝5(x＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
答案：5
6．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件．
解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，
由题知502×100＝k＝250000，则a2x＝250000，所以a＝.
总利润y＝500－x3－1200(x>0)，
y′＝－x2，
由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．
答案：25
7．书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，则此书店分________次进货、每次进________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．
解析：设每次进书x千册(0y′＝－＋20＝.
∴当0当150.
故当x＝15时，y取得最小值，
此时进货次数为＝10(次)．
即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．
答案：10　15000
三、解答题
8．[2013·山东聊城三模]一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20
km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100
km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
解：设火车的速度为x
km/h，甲、乙两城距离为a
km.
由题意，令40＝k·203，∴k＝，
则总费用f(x)＝(kx3＋400)·＝a(kx2＋)．
∴f(x)＝a(x2＋)(0由f′(x)＝＝0，得x＝20.
当00.
∴当x＝20时，f(x)取最小值，即速度为20
km/h时，总费用最少．
9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．
解：(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当0当50，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5
cm厚时，总费用达到最小值70万元．选修2-2　第三章　§2　课时作业18
一、选择题
1．[2014·大连模拟]使函数f(x)＝x＋2cosx在[0，]上取最大值的x为(　　)
A．0
B．
C．
D．
解析：∵f′(x)＝1－2sinx＝0，x∈[0，]时，
sinx＝，x＝，
∴当x∈[0，)时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
当x∈(，]时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
即x＝，f(x)取最大值．故选B.
答案：B　
2．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：f(x)＝x－x3，f′(x)＝1－3x2，令f′(x)＝0得x＝(x＝－舍去)，又f(0)＝0，f(1)＝0，f()＝，则比较得最大值为f()＝.
答案：A　
3．函数y＝x－sinx，x∈[，π]的最大值是(　　)
A．π－1
B．－1
C．π
D．π＋1
解析：y′＝1－cosx≥0，所以y＝x－sinx在[，π]上为增函数．当x＝π时，ymax＝π.
答案：C　
4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是(　　)
A．－37
B．－29
C．－5
D．以上都不对
解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
又∵f(x)在(－2,0)上为增函数，
在(0,2)上为减函数，
∴当x＝0时，f(x)＝m最大．
∴m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.
∴最小值为－37.故选A.
答案：A　
二、填空题
5．若F(x)＝x－2lnx＋2a，则F(x)在(0，＋∞)上的最小值是________．
解析：令F′(x)＝1－＝＝0得x＝2.
当x∈(0,2)时F′(x)<0，
当x∈(2，＋∞)时，F′(x)>0，
∴当x＝2时F(x)min＝F(2)＝2－2ln2＋2a.
答案：2＋2a－2ln2
6．若关于x的不等式x2＋≥m对任意x∈(－∞，－]恒成立，则m的取值范围是__________．
解析：设y＝x2＋，则y′＝2x－＝.
∵x≤－，∴y′<0，
即y＝x2＋在(－∞，－]上单调递减．
∴当x＝－时，y取得最小值为－.
∵x2＋≥m恒成立，∴m≤－.
答案：(－∞，－]
7．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)，x∈[0,1]的值域为__________．
解析：当0≤x≤1时，f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx>0，所以f(x)在[0,1]上单调递增，则f(0)≤f(x)≤f(1)，即函数f(x)的值域为[，e(sin1＋cos1)]．
答案：[，e(sin1＋cos1)]
三、解答题
8．设x>0，求lnx＋－(x－1)2＋(x－1)3的最小值．
解：设f(x)＝lnx＋－(x－1)2＋(x－1)3，
则f′(x)＝－－(x－1)＋2(x－1)2
＝(x－1)－(x－1)＋2(x－1)2
＝(x－1)[－1＋2(x－1)]
＝(x－1)[＋2(x－1)]
＝(x－1)2(2－)＝(x－1)3.
令f′(x)＝0，由x>0，解得x＝1.列表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
由题可知，当x＝1时，f(x)有最小值1.
9．已知函数f(x)＝x2e－ax(a>0)，求函数在[1,2]上的最大值．
解：∵f(x)＝x2e－ax(a>0)，
∴f′(x)＝2xe－ax＋x2·(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．
令f′(x)>0，
即e－ax(－ax2＋2x)>0，得0令f′(x)<0，得x<0或x>.
∴f(x)在(－∞，0)，(，＋∞)上是减函数，
在(0，)上是增函数．
①当0<<1，即a>2时，f(x)在[1,2]上是减函数，∴f(x)max＝f(1)＝e－a.
②当1≤≤2，即1≤a≤2时，
f(x)在[1，)上是增函数，在(，2]上是减函数．
∴f(x)max＝f()＝4a－2e－2.
③当>2时，
即0∴f(x)max＝f(2)＝4e－2a.
综上所述，当0当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a－2e－2，
当a>2时，f(x)的最大值为e－a.第二、三、四章　综合检测
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．任一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是(　　)
A．0
B．3
C．－2
D．3－2t
解析：物体的初速度即为t＝0时物体的瞬时速度，即函数s(t)在t＝0处的导数．
s′(0)＝s′|t＝0＝(3－2t)|t＝0＝3.
答案：B　
2．函数f(x)＝x2－ln2x的单调递减区间是(　　)
A．
B．
C．，
D．，
解析：∵f′(x)＝2x－＝，当0答案：A　
3．下列求导正确的是(　　)
A．()′＝
B．(xe－x2)′＝e－x2·(1＋2x2)
C．(6cosx)′＝6sinx
D．(＋lnx)′＝
解析：按导数的运算法则，结合基本初等函数的导数公式计算可知答案为D.
答案：D　
4．[2013·福建高考]设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)为f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(　　)
A． x∈R，f(x)≤f(x0)
B．－x0是f(－x)的极小值点
C．－x0是－f(x)的极小值点
D．－x0是－f(－x)的极小值点
解析：函数f(x)的极大值f(x0)不一定是最大值，故A错；f(x)与－f(－x)关于原点对称，故x0(x0≠0)是f(x)的极大值点时，－x0是－f(－x)的极小值点，故选D.
答案：D　
5．[2014·课标全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，－2)
D．(－∞，－1)
解析：a＝0时，不符合题意．
a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.
若a>0，则由图像知f(x)有负数零点，不符合题意．
则a<0，由图像结合f(0)＝1>0知，此时必有f()>0，即a×－3×＋1>0，化简得a2>4，又a<0，所以a<－2，故选C.
答案：C　
6．[2014·大庆高二检测]设f(x)＝，则∫f(x)dx等于(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：f(x)dx＝x2dx＋dx
＝＝.
答案：A　
7．若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为(　　)
A．0
B．2
C．1
D．－1
解析：f′(x)＝x2－2f′(1)x－1，
所以f′(1)＝1－2f′(1)－1，则f′(1)＝0.
答案：A　
8．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞)
B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞)
D．(－∞，－3)
解析：f′(x)＝3x2＋a.令3x2＋a≥0，
则a≥－3x2，x∈(1，＋∞)，∴a≥－3.
答案：B　
9．若函数f(x)＝asinx＋cosx在x＝处有最值，那么a等于(　　)
A．
B．－
C．
D．－
解析：f′(x)＝acosx－sinx，由题意f′＝0，
即a·－×＝0，∴a＝.
答案：A　
10．[2014·湖南高考]若0A．ex2－ex1>lnx2－lnx1
B．ex2－ex1C．x2ex1>x1ex2
D．x2ex1解析：令f(x)＝，则f′(x)＝＝.
当0∴f(x2)x1ex2，故选C.
答案：C　
11．已知函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则a、b、c的大小关系为(　　)
A．aB．cC．cD．b解析：由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)图像关于x＝1对称．
当x<1时，由(x－1)f′(x)<0知f′(x)>0，
即x<1时，f(x)单调递增．
a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)＝f(－1)，
∵－1<0<，∴c答案：B　
12．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥
B．m>
C．m≤
D．m<
解析：∵f(x)＝x4－2x3＋3m，
∴f′(x)＝2x3－6x2.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，∴函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，∴3m－≥－9，解得m≥.故选A.
答案：A　
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若f(x)＝，则－1f(x)dx＝__________.
解析：－1f(x)dx＝－1(－x)dx＋(x2＋3)dx＝＋＝＋(＋3)＝.
答案：
14．若函数f(x)在x＝a处的导数为A(aA≠0)，函数F(x)＝f(x)－A2x2满足F′(a)＝0，则A＝__________.
解析：f′(x)|x＝a＝A，即f′(a)＝A.
又F′(x)＝f′(x)－2A2x，且F′(a)＝f′(a)－2aA2＝A－2aA2＝0.
∵aA≠0，∴A＝.
答案：
15．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝，令f′(x)>0，得－1又f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，
所以解得－1答案：(－1,0]
16．幂指数函数y＝f(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得lny＝g(x)lnf(x)，两边求导数得＝g′(x)lnf(x)＋g(x)，于是y′＝f(x)g(x)[g′(x)lnf(x)＋g(x)]．运用此方法可以探求得知y＝x(x>0)的一个单调递增区间为__________．
解析：由题意得y′＝x(－lnx＋)＝x－2(1－lnx)，由y′>0，得0答案：(0，e)
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设函数f(x)＝x3－(a＋1)x2－ax，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在点A(－，)处的切线方程．
解：(1)f′(x)＝3x2－2(a＋1)x－a.
∵f(x)在x＝3处取得极值，
∴f′(3)＝3×9－2(a＋1)×3－a＝0，
解得a＝3.
∴f(x)＝x3－4x2－3x.
(2)A点在f(x)上，
由(1)可知f′(x)＝3x2－8x－3，
f′(－)＝＋－3＝0，∴切线方程为y＝.
18．(12分)若函数f(x)＝ax2＋2x－lnx在x＝1处取得极值．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)单调区间及极值．
解：(1)f′(x)＝2ax＋2－，
由f′(1)＝2a＋＝0，得a＝－.
(2)f(x)＝－x2＋2x－lnx(x>0)．
f′(x)＝－x＋2－＝.
由f′(x)＝0，得x＝1或x＝2.
①当f′(x)>0时1②当f′(x)<0时02.
当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
?
－ln2
?
因此f(x)的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1)，(2，＋∞)．
函数的极小值为f(1)＝，
极大值为f(2)＝－ln2.
19．(12分)已知某公司生产的某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件，需另投入1.9万元，设R(x)(单位：万元)为销售收入，据市场调查知R(x)＝
其中x是年产量(单位：千件)．
(1)写出年利润W关于年产量x的函数关系式；
(2)年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？
解：(1)依题意有：
W＝
即W＝
(2)设f(x)＝－x3＋8.1x－10(0≤x≤10)，f′(x)＝－x2＋8.1，由f′(x)＝0，得x＝9或x＝－9(舍去)．
当0≤x≤9时，f′(x)≥0；当9≤x≤10时，f′(x)≤0，所以当x＝9时，f(x)取得最大值38.6.
当x>10时，－1.9x<<38.6.所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．
20．(12分)[2014·课标全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.
(1)求a；
(2)证明：当k<1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．
解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为y＝ax＋2.
由题设得－＝－2，所以a＝1.
(2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.
设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.
由题设知1－k>0.
当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]上有唯一实根．
当x>0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．
h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.
所以g(x)＝0在(0，＋∞)上没有实根．
综上，g(x)＝0在R上有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．
21．(12分)[2014·长春高二检测]设函数f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a.
(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
解：(1)由a＝0，f(x)≥h(x)可得
－mlnx≥－x，即m≤.
记φ(x)＝，则f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立等价于m≤φ(x)min，求得φ′(x)＝，
当x∈(1，e)时：φ′(x)<0；
当x∈(e，＋∞)时，φ′(x)>0
故φ(x)在x＝e处取得极小值，也是最小值，
即φ(x)min＝φ(e)＝e，故m≤e.
(2)函数k(x)＝f(x)－h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x－2lnx＝a，在[1,3]上恰有两个相异实根．
令g(x)＝x－2lnx，则g′(x)＝1－
当x∈[1,2)时，g′(x)<0；
当x∈(2,3]时，g′(x)>0.
∴g(x)在[1,2)上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数．
故g(x)min＝g(2)＝2－2ln
2.
又g(1)＝1，g(3)＝3－2ln
3，
∵g(1)>g(3)，∴只需g(2)故a的取值范围是(2－2ln
2,3－2ln
3)
22．(12分)[2013·天津高考]已知函数f(x)＝x2lnx.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使t＝f(s)；
(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s＝g(t)，证明：当t>e2时，有<<.
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2xlnx＋x＝x(2lnx＋1)，令f′(x)＝0，得x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
所以函数f(x)的单调递减区间是(0，)，
单调递增区间是(，＋∞)．
(2)证明：当00，
令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．
由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．h(1)＝－t<0，h(et)＝e2tlnet－t＝t(e2t－1)>0.故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．
(3)证明：因为s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s>1，从而＝＝＝＝，
其中u＝lns.要使<<成立，只需0当t>e2时，若s＝g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．所以s>e，
即u>1，从而lnu>0成立．
另一方面，令F(u)＝lnu－，u>1.
F′(u)＝－，
令F′(u)＝0，得u＝2.当1F′(u)>0；
当u>2时，F′(u)<0.
故对u>1，F(u)≤F(2)<0.
因此lnu<成立．
综上，当t>e2时，有<<.选修2-2　第五章　§1　课时作业25
一、选择题
1．若A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：∵0,3m－7<0.
∴复数z＝(2m－2)＋(3m－7)i在复平面上对应的点位于第四象限．
答案：D
2．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　　)
A．－1＋i
B．1＋i
C．－1＋i或1＋i
D．－2＋i
解析：因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0.
由|z|＝2知，＝2，解得a＝±1.
故a＝－1，所以z＝－1＋i.
答案：A　
3．复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为(　　)
A．1＋i,1＋i
B．2＋i,2＋i
C．1＋i,2＋i
D．2＋i,1＋i
解析：∵表示复数1＋i，
∴点A(1,1)，
将向右平移一个单位，
将对应1＋i，A′(2,1)，
∴点A′对应复数2＋i.
故选C.
答案：C　
4．已知0A．(1，)
B．(1，)
C．(1,3)
D．(1,5)
解析：∵|z|＝，a∈(0,2)，
∴|z|∈(1，)．故选B.
答案：B　
二、填空题
5．在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为3－4i，如果点B关于原点的对称点为A，点A关于虚轴的对称点为C，则向量对应的复数为________．
解析：∵点B的坐标为(3，－4)，
∴点A的坐标为(－3,4)．
∴点C的坐标为(3,4)．
∴向量对应的复数为3＋4i.
答案：3＋4i
6．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模的取值范围为________．
解析：|z|＝＝，
∵π<α<2π，∴－1∴0<2＋2cosα<4.∴|z|∈(0,2)．
答案：(0,2)
7．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－－i，z4＝－i，z1，z2，z3，z4在复平面内的对应点分别是A，B，C，D，则∠ABC＋∠ADC＝________.
解析：|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝，所以点A，B，C，D应在以原点为圆心，为半径的圆上，由于圆内接四边形ABCD对角互补，所以∠ABC＋∠ADC＝180°.
答案：180°
三、解答题
8．实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点：
(1)位于第二象限；
(2)位于直线y＝x上．
解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
(1)由点Z位于第二象限得
解得－2故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)．
(2)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1.
9．已知a∈R，z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹是什么？
解：解题时，应先判断a2－2a＋4与－(a2－2a＋2)的符号，设出z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等的充要条件转化为动点(x，y)关于a的参数方程．
由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，
∴复数z的实部为正数，虚部为负数．
∴复数z的对应点在第四象限．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)．
∴复数z的对应点的轨迹是一条射线，
方程为y＝－x＋2(x≥3)．选修2－2　模块综合测试(三)
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝2x＋1
B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3
D．y＝－2x－2
解析：易知点(－1，－1)在曲线上，且y′＝＝，∴切线斜率k＝y′|x＝－1＝＝2.
由点斜式得切线方程为y＋1＝2(x＋1)，
即y＝2x＋1.
答案：A　
2．[2013·广东高考]若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是(　　)
A．(2,4)
B．(2，－4)
C．(4，－2)
D．(4,2)
解析：由已知条件得z＝＝4－2i，所以z对应的点的坐标为(4，－2)，故选C.
答案：C　
3．函数y＝f(x)的图像如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能是(　　)
解析：当x∈(－∞，0)时，f(x)为减函数，则f′(x)<0.
当x∈(0，＋∞)时，f(x)为减函数，则f′(x)<0.
故选D.
答案：D　
4．下列结论不正确的是(　　)
A．若y＝3，则y′＝0
B．若y＝，则y′＝－
C．若y＝－，则y′＝－
D．若y＝3x，则y′|x＝1＝3
解析：y′＝′＝(x－)′＝－x－，
故B选项不正确．
答案：B　
5．曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)
A．e2
B．4e2
C．2e2
D．e2
解析：∵y′＝ex，
∴y＝ex在(4，e2)处切线斜率为e2.
∴过点(4，e2)的切线为y＝e2x－e2，
它与x轴、y轴的交点分别为(2,0)和(0，－e2)．
∴S＝×2×e2＝e2.故选D.
答案：D　
6．如下图，阴影部分的面积为(　　)
A．2
B．2－
C．
D．
解析：由图形分析阴影部分的面积为
(3－x2－2x)dx＝＝.
答案：C　
7．已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在R上是增函数，则m的取值范围是(　　)
A．m<2或m>4
B．－4C．2D．2≤m≤4
解析：由题意f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋(15m2－2m－7)，由于f′(x)≥0在R上恒成立，故Δ≤0，解之得2≤m≤4，故应选D.
答案：D　
8．设x，y，z都是正数，则三个数x＋，y＋，z＋的值(　　)
A．都小于2
B．至少有一个不大于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
解析：假设这三个数都小于2，
即x＋<2，y＋<2，z＋<2，
则(x＋)＋(y＋)＋(z＋)<6，
又由基本不等式x>0，y>0，z>0时，(x＋)＋(y＋)＋(z＋)≥2
＋2
＋2
＝6，与假设矛盾．故选C.
答案：C　
9．已知函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调减区间是(　　)
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，2]
C．(－∞，－1)和(1,2)
D．[2，＋∞)
解析：根据函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，可知其导数f′(x)＝(x－2)(x2－1)＝(x＋1)·(x－1)(x－2)，令f′(x)<0，得x<－1或1答案：C　
10．给出下列命题：(　　)
①dx＝dt＝b－a(a，b为常数且a②－1x2dx＝x2dx；
③曲线y＝sinx，x∈[0,2π]与直线y＝0围成的两个封闭区域面积之和为2，
其中正确命题的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：dt＝b－a≠dx＝a－b，故①错．y＝x2是偶函数，其在[－1,0]上的积分结果等于其在[0,1]上的积分结果，故②对．对于③有S＝2sinxdx＝4.故③错．故选B.
答案：B　
11．已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(|x|)|的图像可能是(　　)
解析：该题考查函数的图像变换，显然从f(x)→f(|x|)的图像是保留原函数y轴右侧的图像，再根据偶函数的性质处理即可；从f(x)→|f(x)|的图像是保留原函数在x轴上方的图像，把下方的图像翻折到x轴上方去，结合原函数的特征．
答案：A　
12．若0A．2x>3sinx
B．2x<3sinx
C．2x＝3sinx
D．与x的取值有关
解析：令f(x)＝2x－3sinx，则f′(x)＝2－3cosx.
当cosx<时，f′(x)>0，
当cosx＝时，f′(x)＝0，
当cosx>时，f′(x)<0.
即当0而f(0)＝0，f＝π－3>0.
故f(x)的值与x取值有关，即2x与sinx的大小关系与x取值有关．故选D.
答案：D　
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若三次函数f(x)＝ax3－x(a≠0)在R上单调递减，则a的取值范围为________．
解析：f(x)在R上单调递减 f′(x)≤0恒成立，
即3ax2－1≤0恒成立．又∵a≠0，∴a<0.
答案：(－∞，0)
14．[2013·陕西高考]观察下列等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n个等式可为____________________．
解析：设等式右边的数的绝对值构成数列{an}，∵a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，以上所有等式相加可得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝，再观察各式的符号可知第n个等式为：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
答案：
12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1
15．若a>b>c，n∈N
，且＋≥恒成立，则n的最大值为________．
解析：要使＋≥恒成立．
∵a>b>c，∴a－c>0.
∴只需＋≥n恒成立．
∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，
∴＋＝＋
＝2＋＋≥2＋2＝4.
要使不等式恒成立只需n≤4.
∴n的最大值为4.
答案：4
16．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则该公司能获得的最大利润为__________万元．
解析：设在甲地销售m辆车，在乙地销售(15－m)辆车，则总利润y＝5.06m－0.15m2＋2(15－m)＝－0.15m2＋3.06m＋30，
所以y′＝－0.3m＋3.06.
令y′＝0，得m＝10.2.
当0≤m<10.2时，y′>0；
当10.2故当m＝10.2时，y取得极大值，也就是最大值．
又由于m为正整数，且当m＝10时，y＝45.6；
当m＝11时，y＝45.51.
故该公司获得的最大利润为45.6万元．
答案：45.6
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知x，y∈(0，＋∞)，且x＋y>2，求证：和中至少有一个小于2.
证明：反证法．
假设≥2，≥2，
即1＋y≥2x,1＋x≥2y.
∴2＋x＋y≥2x＋2y.即x＋y≤2.
这与x＋y>2矛盾．
∴和中至少有一个小于2.
18．(12分)设z1＝1＋2ai，z2＝a－i(a∈R)，已知A＝{z||z－z1|≤}，B＝{z||z－z2|≤2}，A∩B＝ ，求a的取值范围．
解：∵集合A、B在复平面内对应的点是两个圆面，又A∩B＝ ，∴这两个圆外离．
所以|z1－z2|>3，
即|(1＋2ai)－(a－i)|>3.
解之得a∈(－∞，－2)∪.
19．(12分)[2013·广西高考]已知函数f(x)＝ln(1＋x)－.
(1)若x≥0时f(x)≤0，求λ的最小值；
(2)设数列{an}的通项an＝1＋＋＋…＋，证明：a2n－an＋>ln2.
解：(1)由已知f(0)＝0，f′(x)＝，
f′(0)＝0.
若λ<，则当00，
所以f(x)>0.
若λ≥，则当x>0时，f′(x)<0，
所以当x>0时，f(x)<0.
综上，λ的最小值是.
(2)令λ＝.
由(1)知，当x>0时，f(x)<0.
即>ln(1＋x)．
取x＝，则>ln.
于是a2n－an＋＝(＋)
＝>n
＝ln2n－lnn＝ln2.
所以a2n－an＋>ln2.
20．(12分)已知f(x)＝x3－2ax2－3x(a∈R)，
(1)若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，求实数a的取值范围；
(2)试讨论y＝f(x)在(－1,1)内的极值点的个数．
解：(1)∵f(x)＝x3－2ax2－3x，
∴f′(x)＝2x2－4ax－3.
∵f(x)在区间(－1,1)上为减函数，
∴f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．
∴得－≤a≤.
(2)当a>时，∵，
∴存在x0∈(－1,1)，使f′(x0)＝0.
∵f′(x)＝2x2－4ax－3开口向上，
∴在(－1，x0)内，f′(x)>0，
在(x0,1)内，f′(x)<0，
即f(x)在(－1，x0)内单调递增，
在(x0,1)内单调递减．
∴f(x)在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极大值点．
当a<时，∵
∴存在x0∈(－1,1)使f′(x0)＝0.
∵f′(x)＝2x2－4ax－3开口向上，
∴在(－1，x0)内f′(x)<0，在(x0,1)内f′(x)>0即f(x)在(－1，x0)内单调递减，在(x0,1)内单调递增．
∴f(x)在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极小值点．当－21．(12分)由下列各式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋＋＋＋>，1＋＋＋…＋>2，…，你能得到怎样的一般不等式，并加以证明．
解：观察发现，每一个不等式左边的第一项都是1，各项的分子都是1，分母按自然数顺序排列，所以它的规律将由最后一项的分母确定．由1，，，，…，猜想第n个不等式左边的最后一项为，又由各不等式的右边可分别写成，1＝，，2＝，所以第n个不等式应为.
猜想：第n个不等式为
1＋＋＋…＋>(n∈N
)．
用数学归纳法证明如下
(1)当n＝1时，1>，猜想正确．
(2)假设当n＝k时猜想正确，
即1＋＋＋…＋>(k∈N
)，
那么，当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋
>＋＋＋…＋
>＋＋＋…＋
＝＋
＝＋＝.
∴当n＝k＋1时，猜想也正确．
综上可知，对于任意n∈N
，不等式成立．
22．(12分)[2013·山东高考]设函数f(x)＝＋c(e＝2.71828…是自然对数的底数，c∈R)．
(1)求f(x)的单调区间、最大值；
(2)讨论关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数．
解：(1)f′(x)＝(1－2x)e－2x，
由f′(x)＝0，解得x＝.
当x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
所以，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，)，单调递减区间是(，＋∞)，最大值为f()＝e－1＋c.
(2)令g(x)＝|lnx|－f(x)＝|lnx|－xe－2x－c，
x∈(0，＋∞)．
(ⅰ)当x∈(1，＋∞)时，lnx>0，
则g(x)＝lnx－xe－2x－c，
所以g′(x)＝e－2x(＋2x－1)．
因为2x－1>0，>0，所以g′(x)>0.
因此g(x)在(1，＋∞)上单调递增．
(ⅱ)当x∈(0,1)时，lnx<0，
则g(x)＝－lnx－xe－2x－c，
所以g′(x)＝e－2x(－＋2x－1)．
因为e2x∈(1，e2)，e2x>1>x>0，
所以－<－1.
又2x－1<1，
所以－＋2x－1<0，即g′(x)<0.
因此g(x)在(0,1)上单调递减．
综合(ⅰ)(ⅱ)可知，
当x∈(0，＋∞)时，g(x)≥g(1)＝－e－2－c.
当g(1)＝－e－2－c>0，
即c<－e－2时，g(x)没有零点，
故关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；
当g(1)＝－e－2－c＝0，
即c＝－e－2时，g(x)只有一个零点，
故关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1；
当g(1)＝－e－2－c<0，即c>－e－2时，
①当x∈(1，＋∞)时，由(1)知g(x)＝lnx－xe－2x－c≥lnx－(e－1＋c)>lnx－1－c，
要使g(x)>0，只需lnx－1－c>0，
即x∈(e1＋c，＋∞)；
②当x∈(0,1)时，由(1)知g(x)＝－lnx－xe－2x－c≥－lnx－(e－1＋c)>－lnx－1－c，
要使g(x)>0，只需－lnx－1－c>0，
即x∈(0，e－1－c)；
所以c>－e－2时，g(x)有两个零点．
故关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2.
综上所述，
当c<－e－2时，关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；
当c＝－e－2时，关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1；
当c>－e－2时，关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2.选修2-2　第四章　§3　课时作业22
一、选择题
1．如图，阴影部分面积为(　　)
A．[f(x)－g(x)]dx
B．[g(x)－f(x)]dx＋[f(x)－g(x)]dx
C．[f(x)－g(x)]dx＋[g(x)－f(x)]dx
D．[g(x)－f(x)]dx
解析：∵在区间(a，c)上g(x)>f(x)，而在区间(c，b)上g(x)∴S＝[g(x)－f(x)]dx＋[f(x)－g(x)]dx，故选B.
答案：B　
2．由y＝x2，y＝，y＝1所围成的图形的面积为(　　)
A．
B．
C．2
D．1
解析：因为曲线所围成的图形关于y轴对称，如图所示，面积S满足
S＝x2dx＋1dx－dx
＝＋x－＝，
所以S＝，故选A.
答案：A　
3．由直线y＝x，y＝－x＋1及x轴围成平面图形的面积为(　　)
A．[(1－y)－y]dy
B．∫0[(－x＋1)－x]dx
C．∫0[(1－y)－y]dy
D．[x－(－1)]dx
解析：如图，由图可知，S＝∫0[(1－y)－y]dy.
答案：C　
4．[2013·北京高考]直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于(　　)
A．
B．2
C．
D．
解析：由题知，抛物线C的焦点为F(0,1)，又l过F且与y轴垂直，∴l为y＝1，∴l与C所围成的图形面积S＝4×1－－2dx＝4－＝4－(＋)＝4－＝.
答案：C　
二、填空题
5．从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
解析：根据题意得：S阴＝3x2dx＝x3＝1，
则点M取自阴影部分的概率为＝＝.
答案：
6．曲线y＝sinx(0≤x≤π)与直线y＝围成的封闭图形的面积为________．
解析：由于曲线y＝sinx(0≤x≤π)与直线y＝的交点的横坐标分别为x＝及x＝，因此所求图形的面积为∫(sinx－)dx＝(－cosx－x)＝－.
答案：－
7．[2012·山东高考]设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
解析：由已知得S＝dx＝x＝a＝a2，所以a＝，所以a＝.
答案：
三、解答题
8．求由曲线y＝－x2＋2x与y＝2x2－4x所围成的平面图形的面积．
解：y＝－x2＋2x与y＝2x2－4x交点的横坐标为x1＝0，x2＝2.
所以所求图形的面积为S＝(－x2＋2x)dx－(2x2－4x)dx＝(x2－－＝4.
9．在曲线y＝x2(x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为.求切点A的坐标以及切线方程．
解：由题意可设切点A的坐标为(x0，x)，则切线方程为y＝2x0x－x，可得切线与x轴的交点坐标为(，0)．画出草图，可得曲线y＝x2，直线y＝2x0x－x与x轴所围图形如右图所示．
故S＝S1＋S2
＝∫0x2dx＋[∫x0x2dx－∫x0(2x0x－x)dx]
＝0＋x0
＝＝，
解得x0＝1，所以切点坐标为A(1,1)，
所求切线方程为y＝2x－1.第一章　单元综合检测(一)
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是(　　)
A．归纳推理
B．类比推理
C．演绎推理
D．非以上答案
解析：由偶函数定义，定义域关于原点对称的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数，∵f(x)＝x2时，f(－x)＝f(x)，∴“f(x)＝x2在R上是偶函数”是利用演绎推理．
答案：C　
2．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(　　)
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提错误
D．使用了“三段论”，但小前提错误
解析：大前提错误，小前提正确．
答案：C　
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设(　　)
A．三角形的三个内角都不大于60°
B．三角形的三个内角都大于60°
C．三角形的三个内角至多有一个大于60°
D．三角形的三个内角至少有两个大于60°
解析：其假设应是对“至少有一个角不大于60°”的否定，即“都大于60°”．
答案：B　
4．分析法是要从证明的结论出发逐步寻求使结论成立的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．等价条件
解析：由分析法定义知选A.
答案：A　
5．[2014·山东高考]用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
答案：A　
6．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N
)，验证n＝1时，左边应取的项是(　　)
A．1
B．1＋2
C．1＋2＋3
D．1＋2＋3＋4
解析：n＝1时，n＋3＝4，∴左边＝1＋2＋3＋4.
答案：D　
7．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是(　　)
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
解析：由题设f(x)满足：“当f(x)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，因此，对于A不一定有k＝1,2时成立．
对于B、C显然错误．
对于D，∵f(4)＝25>42，因此对于任意的k≥4，
有f(k)≥k2成立．
答案：D　
8．设正数x，y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是(　　)
A．(0,6]
B．[6，＋∞)
C．[1＋，＋∞)
D．(0,1＋]
解析：x＋y＋3＝xy≤()2 (x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，故x＋y≥6，当且仅当x＝y＝3时等号成立．
答案：B　
9．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值(　　)
A．一定是正数
B．一定是负数
C．可能是零
D．正、负不能确定
解析：∵(a＋b＋c)2＝0，
∴ab＋bc＋ac＝－(a2＋b2＋c2)<0.
又abc>0，∴＋＋＝<0.
答案：B　
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：∵Sn＝n2·an(a≥2)，a1＝1，
∴S2＝4·a2＝a1＋a2 a2＝＝.
S3＝9a3＝a1＋a2＋a3 a3＝＝＝.
S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4 a4＝＝.
∴猜想an＝.
答案：B　
11．若函数f(x)＝x2－2x＋m(x∈R)有两个零点，并且不等式f(1－x)≥－1恒成立，则实数m的取值范围为(　　)
A．(0,1)
B．[0,1)
C．(0,1]
D．[0,1]
解析：∵f(x)＝x2－2x＋m有两个零点，
∴4－4m>0，∴m<1.
由f(1－x)≥－1，得(1－x)2－2(1－x)＋m≥－1，
即x2＋m≥0，∴m≥－x2.
∵－x2的最大值为0，∴0≤m<1.
答案：B　
12．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f(1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f(2)种走法，……则他从平地上到第n(n≥3)级台阶时的走法f(n)等于(　　)
A．f(n－1)＋1
B．f(n－2)＋2
C．f(n－2)＋1
D．f(n－1)＋f(n－2)
解析：到第n级台阶可分两类：从第n－2级一步到第n级有f(n－2)种走法，从第n－1级到第n级有f(n－1)种走法，共有f(n－1)＋f(n－2)种走法．
答案：D　
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N
)，那么f(n＋1)－f(n)＝__________.
解析：f(n＋1)－f(n)＝(＋＋…＋＋＋)－(＋＋…＋)＝＋－＝－.
答案：－
14．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n>2)个图形中共有________个顶点．
解析：设第n个图形中有an个顶点，
则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，
an＝(n＋2)＋(n＋2)·(n＋2)，an－2＝n2＋n.
答案：n2＋n
15．由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是____________________________________________
解析：等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比．
.答案：正棱锥各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等
16．[2012·陕西高考]观察下列不等式
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
……
照此规律，第五个不等式为________________．
解析：观察得出规律，第n(n∈N
)个不等式的左边为1＋＋＋…＋，右边为，因此可得第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.
答案：1＋＋＋＋＋<
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)用反证法证明：已知a与b均为有理数，且与都是无理数，证明：＋是无理数．
证明：假设＋为有理数，
则(＋)(－)＝a－b，
由a>0，b>0，得＋>0.
∴－＝.
∵a、b为有理数且＋为有理数，
∴即－为有理数．
∴(＋)＋(－)，即2为有理数．
从而也就为有理数，这与已知为无理数矛盾，
∴＋一定为无理数．
18．(12分)已知a、b、c是不等正数，且abc＝1，
求证：＋＋<＋＋.
证明：∵a、b、c是不等正数，且abc＝1，
∴＋＋＝＋＋
<＋＋
＝＋＋.
故＋＋<＋＋.
19．(12分)函数列{fn(x)}满足f1(x)＝(x>0)，fn＋1(x)＝f1[fn(x)]．
(1)求f2(x)、f3(x)；
(2)猜想fn(x)的表达式，并证明．
解：(1)f1(x)＝(x>0)，
f2(x)＝＝，
f3(x)＝＝
　＝.
(2)猜想fn(x)＝，
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，命题显然成立．
②假设当n＝k时，fk(x)＝，
那么fk＋1(x)＝
＝＝.
这就是说，当n＝k＋1时命题成立．
由①②，可知fn(x)＝对所有n∈N
均成立．
20．(12分)[2014·天津高考]已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0,1,2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1,2，…，n}．
(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；
(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1,2，…，n.证明：若an解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0,1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1,2,3}．
可得，A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．
(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1,2，…，n及ans－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(an－1－bn－1)qn－2＋(an－bn)qn－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)qn－2－qn－1＝－qn－1＝－1<0.
所以，s21．(12分)先解答(1)，再通过类比解答(2)．
(1)求证：tan＝；
(2)设x∈R且f(x＋1)＝，试问f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
解：(1)证明：tan＝
＝；
(2)f(x)是以4为一个周期的周期函数．
证明如下：
∵f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝
＝＝－，
∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－＝f(x)．
∴f(x)是周期函数．
22．(12分)已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N
)且点P1的坐标为(1，－1)．
(1)求过点P1，P2的直线l的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N
，点Pn都在(1)中的直线l上．
解：(1)由P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.
∴b2＝＝，a2＝a1·b2＝.
∴点P2的坐标为.
∴直线l的方程为2x＋y＝1.
(2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．
②假设n＝k(k∈N
，k≥1)时，2ak＋bk＝1成立．
则2ak＋1＋bk＋1＝2akbk＋1＋bk＋1
＝(2ak＋1)＝＝＝1.
∴n＝k＋1时，命题也成立．
由①②知，对n∈N
，都有2an＋bn＝1，即点Pn在直线l上．选修2-2　第三章　§1　课时作业14
一、选择题
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)
A．y＝sin2x
B．y＝xex
C．y＝x3－x
D．y＝－x＋ln(1＋x)
解析：y＝xex，则y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)在(0，＋∞)上恒大于0.
答案：B　
2．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是(　　)
解析：∵y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)图像上的点的切线斜率是递增的．
答案：A　
3．已知f(x)＝2cos2x＋1，x∈(0，π)，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A．(π，2π)
B．(0，π)
C．(，π)
D．(0，)
解析：∵f(x)＝2cos2x＋1＝2＋cos2x，x∈(0，π)，
∴f′(x)＝－2sin2x.
令f′(x)>0，则sin2x<0.
又x∈(0，π)，∴0<2x<2π.
∴π<2x<2π，即答案：C　
4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为(　　)
解析：由函数的图像知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，导数先正后负再正，对照选项，应选D.
答案：D　
二、填空题
5．函数f(x)＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是__________．
解析：令y′＝3x2＋2x－5>0，得x<－或x>1.
答案：(－∞，－)，(1，＋∞)
6．函数y＝ln(x2－x－2)的递减区间为__________．
解析：∵f′(x)＝，由f′(x)＝<0，得x<－1或答案：(－∞，－1)
7．设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
解析：f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，
在(－1,0)上单调递减．
答案：(－∞，－1)和(0，＋∞)　(－1,0)
三、解答题
8．证明：函数f(x)＝lnx＋x在其定义域内为单调递增函数．
证明：函数的定义域为{x|x>0}，
又f′(x)＝(lnx＋x)′＝＋1，
当x>0时，f′(x)>1>0，
故y＝lnx＋x在其定义域内为单调递增函数．
9．已知函数f(x)＝x2·ex－1＋ax3＋bx2，且x＝－2和x＝1是f′(x)＝0的两根．
(1)求a，b的值：
(2)求f(x)的单调区间．
解：(1)因为f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx
＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)，
又x＝－2和x＝1为f′(x)＝0的两根，
所以f′(－2)＝f′(1)＝0.
故有，
解方程组得a＝－，b＝－1.
(2)因为a＝－，b＝－1，
∴f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)．
令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.
当x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f′(x)<0，
∴f(x)的单调递增区间为(－2,0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)和(0,1)．选修2－2　模块综合测试(二)
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．[2013·江西高考]已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝(　　)
A．－2i
B．2i
C．－4i
D．4i
解析：由M∩N＝{4}知4∈M，所以zi＝4，z＝－4i，选C.
答案：C　
2．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理(　　)
A．正确
B．推理形式不正确
C．两个“自然数”概念不一样
D．两个“整数”概念不一致
解析：此三段论中的大前提，小前提以及推理形式都是正确的，因此，此三段论推理是正确的，故选A.
答案：A　
3．函数y＝4x2＋单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞)
B．(－∞，1)
C．
D．(1，＋∞)
解析：令y′＝8x－＝>0，即(2x－1)(4x2＋2x＋1)>0，且x≠0，得x>.
答案：C　
4．下列计算错误的是(　　)
A．
sinxdx＝0
B．dx＝
C．cosxdx＝2cosxdx
D．sin2xdx＝0
解析：可由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果．
答案：D　
5．函数y＝x3＋在(0，＋∞)上的最小值为(　　)
A．4
B．5
C．3
D．1
解析：y′＝3x2－，令f′(x)＝0，得x＝1(x＝－1舍去)，而x∈(0,1)，f′(x)<0，x∈(1，＋∞)，f′(x)>0，∴x＝1是函数的最小值点，且f(1)＝4.
答案：A　
6．设z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是(　　)
A．±
B．
C．－
D．15
解析：log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，
log2＝－1，＝，
m＝±，
而m>3，m＝.
答案：B　
7．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＝时，由n＝k到n＝k＋1左边需要添加的项是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：由n＝k到n＝k＋1时，左边需要添加的项是＝.故选D.
答案：D　
8．[2014·陕西高考]已知复数z＝2－i，则z·的值为(　　)
A．5
B．
C．3
D．
解析：∵z＝2－i，∴＝2＋i，∴z·＝(2－i)(2＋i)＝22＋1＝5.故选A.
答案：A　
9．若函数f(x)＝x3－ax2＋ax在(0,1)内有极大值，在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．1B．0C．a>1或a<0
D．0解析：命题 f′(x)＝0在(0,1)，(1,2)都有根，
且f′(0)>0，f′(1)<0，f′(2)>0，
f′(x)＝x2－2ax＋a，即 1答案：A　
10．定义复数的一种运算z1]|z1|＋|z2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z＝a＋bi，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z
的最小值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：z
＝＝＝＝，又∵ab≤2＝，∴－ab≥－，z
≥＝＝.
答案：B　
11．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是(　　)
C3H8
A．C4H9
B．C4H10
C．C4H11
D．C6H12
解析：后一种化合物应有4个C和10个H，所以分子式是C4H10.
答案：B　
12．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)≤f(x)，对任意的正数a、b，若aA．af(a)≤bf(b)
B．af(a)≥bf(b)
C．af(b)≤bf(a)
D．af(b)≥bf(a)
解析：∵xf′(x)≤f(x)，
∴f(x)－xf′(x)≥0.
∴()′≤0即函数g(x)＝在(0，＋∞)上递减(或为常数函数)．
∴g(b)≤g(a)即≤.
∴af(b)≤bf(a)，故选C.
答案：C　
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是__________．
解析：k＝y′＝cosx∈[－1,1]，因此倾斜角的范围为[0，]∪[，π)．
答案：[0，]∪[，π)
14．如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第n个图有an个“树枝”，则an＋1与an(n≥2)之间的关系是________．
解析：观察图1～5得：a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31，由规律可得an＋1＝2an＋1(n≥2)．
答案：an＋1＝2an＋1(n≥2)
15．已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为________．
解析：∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，∴x＝1时，f(1)＝2f(1)－1＋8－8，f(1)＝1,
即(1,1)点在y＝f(x)上，又∵f′(x)＝－2f′(2－x)－2x＋8，x＝1时，f′(1)＝－2f′(1)－2＋8，f′(1)＝2，∴切线过点(1,1)，斜率为2，∴切线方程为y＝2x－1.
答案：y＝2x－1
16．若Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则＝＋，如右图，在正方体的一角上截取三棱锥P－ABC，PO为棱锥的高，记M＝，N＝＋＋，那么M、N的大小关系是__________．
解析：在Rt△ABC中，c2＝a2＋b2①，由等面积法得ch＝ab，∴c2·h2＝a2·b2②，①÷②整理得＝＋.
类比得，S＝S＋S＋S③，由等体积法得S△ABC·PO＝PA·PB·PC，
∴S·PO2＝PA2·PB2·PC2④，③÷④整理得M＝N.
答案：M＝N
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)满足z＋是实数且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．
解：设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)
z＋＝x＋yi＋＝x＋＋(y－)i，
由已知得
∵y≠0，
∴
解得或
∴存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足以上条件．
18．(12分)已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．
(1)证明函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
证明：(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，
不妨设x10，ax2－x1>1，且ax1>0，
∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0.
又∵x1＋1>0，x2＋1>0，
∴－＝
＝>0.
于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，
故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)证法一：假设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，
则ax0＝，且0∴0<－<1，即与假设x0<0矛盾，故方程f(x)＝0没有负数根．
证法二：假设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0.
①若－1∴f(x0)<－1，与f(x0)＝0矛盾；
②若x0<－1，则>0,0∴f(x0)>0，与f(x0)＝0矛盾．
故方程f(x)＝0没有负数根．
19．(12分)[2013·福建高考]已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0)，
因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为
f(a)＝a－alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．
20．(12分)某厂生产产品x件的总成本c(x)＝1200＋x3(万元)，已知产品单价P(万元)与产品件数x满足：P2＝，生产100件这样的产品单价为50万元．
(1)设产量为x件时，总利润为L(x)(万元)，求L(x)的解析式；
(2)产量x定为多少件时总利润L(x)(万元)最大？并求最大值(精确到1万元)．
解：(1)由题意有502＝，解得k＝25×104，
∴P＝＝.
∴总利润L(x)＝x·－1200－＝－＋500－1200(x>0)．
(2)由(1)得L′(x)＝－x2＋，令L′(x)＝0 ＝x2，
令t＝，得＝t4 t5＝125×25＝55，∴t＝5，于是x＝t2＝25，
则x＝25，所以当产量定为25时，总利润最大．
这时L(25)≈－416.7＋2500－1200≈883.
答：产量x定为25件时总利润L(x)最大，约为883万元．
21．(12分)已知a∈R，函数f(x)＝x2(x－a)，若f′(1)＝1.
(1)求a的值并求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程y＝g(x)；
(2)设h(x)＝f′(x)＋g(x)，求h(x)在[0,1]上的最大值与最小值．
解：(1)f′(x)＝3x2－2ax，由f′(1)＝1，得3－2a＝1，所以a＝1；
当a＝1时，f(x)＝x3－x2，f(1)＝0，又f′(1)＝1，
所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y－0＝1×(x－1)，即g(x)＝x－1.
(2)由(1)得h(x)＝3x2－x－1＝32－，
又h(0)＝－1，h(1)＝1，h＝－，
所以h(x)在[0,1]上有最大值1，有最小值－.
22．(12分)[2013·江苏高考]设函数f(x)＝lnx－ax，g(x)＝ex－ax，其中a为实数．
(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；
(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．
解：(1)令f′(x)＝－a＝<0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a>0，进而解得x>a－1，
即f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．
同理，f(x)在(0，a－1)上是单调增函数．
由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，
故(1，＋∞) (a－1，＋∞)．
从而a－1≤1，即a≥1.
令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna.
当x当x>lna时，g′(x)>0.
又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以lna>1，
即a>e.
综上，有a∈(e，＋∞)．
(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；
当a>0时，令g′(x)＝ex－a>0，解得a即x>lna，因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，
类似(1)有lna≤－1，即0结合上述两种情况，有a≤e－1.
(ⅰ)当a＝0时，由f(1)＝0以及f′(x)＝>0，
得f(x)存在唯一的零点；
(ⅱ)当a<0时，由于f(ea)＝a－aea＝a(1－ea)<0，f(1)＝－a>0，且函数f(x)在[ea,1]上的图像不间断，所以f(x)在(ea,1)上存在零点．
另外，当x>0时，f′(x)＝－a>0，
故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数．
所以f(x)只有一个零点．
(ⅲ)当0当00，当x>a－1时，f′(x)<0，
所以x＝a－1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a－1)＝－lna－1.
①当－lna－1＝0，即a＝e－1时，f(x)有一个零点x＝e.
②当－lna－1>0，即0实际上，对于00，且函数f(x)在[e－1，a－1]上的图像不间断，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零点．
另外，当x∈(0，a－1)时，f′(x)＝－a>0，
故f(x)在(0，a－1)上是单调增函数．
所以f(x)在(0，a－1)上只有一个零点．
下面考虑f(x)在(a－1，＋∞)上的情况，先证f(ea－1)＝a(a－2－ea－1)<0.
为此，我们要证明：当x>e时，ex>x2.
设h(x)＝ex－x2，则h′(x)＝ex－2x，
再设l(x)＝h′(x)＝ex－2x，
则l′(x)＝ex－2.
当x>1时，l′(x)＝ex－2>e－2>0，
所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．
故当x>2时，h′(x)＝ex－2x>h′(2)＝e2－4>0，
从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x>e时，h(x)＝ex－x2>h(e)＝ee－e2>0.
即当x>e时，ex>x2.
当0e时，f(ea－1)＝a－1－aea－1＝a(a－2－ea－1)<0，
又f(a－1)>0，且函数f(x)在[a－1，ea－1]上的图像不间断，
所以f(x)在(a－1，ea－1)上存在零点．
又当x>a－1时，f′(x)＝－a<0，
故f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．
所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一个零点．
综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，当a≤0或a＝e－1时，f(x)的零点个数为1，
当0一、选择题
1．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是(　　)
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
解析：只有平行四边形与平行六面体较为接近．
答案：C　
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是(　　)
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
A．①
B．①②
C．①②③
D．③
解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．
答案：C　
3．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是(　　)
A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交．
B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直．
C．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行．
D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．
解析：推广到空间以后，对于A，还有可能异面，对于C还有可能异面，对于D，还有可能异面．
答案：B　
4．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC边的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A－BCD中，若ΔBCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则＝(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：面的重心类比几何体重心，平面类比空间，
＝2类比＝3，故选C.
答案：C　
二、填空题
5．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O－xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示__________________．
解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O－xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．
答案：过原点的平面
6．[2014·潍坊质检]在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体A－BCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________.
解析：平面几何中，圆的面积与圆半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，设正四面A－BCD的棱长为a，可得其内切球的半径为a，外接球的半径为a，则＝.
答案：
7．给出下列推理：
(1)三角形的内角和为(3－2)·180°，
四边形的内角和为(4－2)·180°，
五边形的内角和为(5－2)·180°，
…
所以凸n边形的内角和为(n－2)·180°；
(2)三角函数都是周期函数，y＝tanx是三角函数，所以y＝tanx是周期函数；
(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；
(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．
其中属于合情推理的是__________．(填序号)
解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．
答案：(1)(3)(4)
三、解答题
8．在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，则有S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，且公差为300.类比上述结论，相应的在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是bn的前n项积，试得出类似结论并证明．
解：类比等差数列可得等比数列对应性质：
在公比为4的等比数列{bn}中，Tn表示bn的前n项积，则，，也成等比数列且公比为4100.
证明如下：Tn＝b1b2…bn＝b1·b1q·b1q2…b1qn－1
＝bq0＋1＋2＋…＋(n－1)＝bq＝b·4，
∴T10＝b·445，T20＝b4190，T30＝b4435，T40＝b4780.
∴＝b·4145，＝b4245，＝b4345.
而＝4100，＝4100，
∴，，是以4100为公比的等比数列．
9．已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．
解：类似的性质为：若M，N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N(－m，－n)．
因为点M(m，n)在已知的双曲线上，
所以n2＝m2－b2，同理，y2＝x2－b2.
则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．第二章　单元综合检测
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．
若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
解析：本题主要考查导数几何意义的应用．由y′＝2x＋a，得y′＝2x＋a＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1，故选A.
答案：A　
2．
若曲线y＝x3＋ax2＋x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－]∪[1，＋∞)
B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
D．[－，＋∞)
解析：本题主要考查切线斜率的求解及一元二次方程判别式的应用．令y＝x3＋ax2＋x＝f(x)，由f′(x)＝x2＋2ax＋1，∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)＝0有解，即x2＋2ax＋1＝0有解，∴Δ＝(2a)2－4≥0，∴a≥1或a≤－1，即a的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故选B.
答案：B　
3．
若函数y＝(m>0)在点x＝x0处的导数等于0，那么x0＝(　　)
A．m
B．－m
C．－m和m
D．m2
解析：本题主要考查利用导数运算法则确定函数解析式的能力．由y′＝(x＋)′＝1－，结合题意得1－＝0 x＝m2 x0＝±m，故选C.
答案：C　
4．
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－3,3]表示的曲线过原点，且在点(1，f(1))和点(－1，f(－1))处的切线斜率均为－2，则f(x)的奇偶性为(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：本题主要考查导数运算法则及待定系数法的应用．
∵f(0)＝0，∴c＝0.∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴，解得a＝0，b＝－5，
∴f(x)＝x3－5x，x∈[－3,3]，f(x)为奇函数，故选A.
答案：A　
5．
已知f(x)＝logax(a>1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(2)，B＝f(3)－f(2)，C＝f′(3)，则(　　)
A．A>B>C
B．A>C>B
C．B>A>C
D．C>B>A
解析：本题主要考查利用导数的几何意义比较切线与割线的斜率大小．记M(2，f(2))，N(3，f(3))，则由于B＝f(3)－f(2)＝表示直线MN的斜率，A＝f′(2)表示函数f(x)＝logax在点M处的切线的斜率，C＝f′(3)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线的斜率．由f(x)的图像易得A>B>C，故选A.
答案：A　
6．
[2014·河南省六市联考]若过函数f(x)＝lnx＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]
B．(－∞，2)
C．(2，＋∞)
D．(0，＋∞)
解析：本题主要考查利用导数求切线斜率及两直线平行的条件等知识．设过点P(x0，y0)的切线与直线2x－y＝0平行，因为f′(x)＝＋a，故f′(x0)＝＋a＝2，得a＝2－，由题意知x0>0，所以a＝2－<2，故选B.
答案：B　
7．
曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)
A．
B．
C．
D．1
解析：依题意得y′＝e－2x×(－2)＝－2e－2x，y′＝－2e－2×0＝－2，曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐标系画出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x，注意到直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，结合图形不难得知，这三条直线所围成的三角形的面积＝×1×＝，故选A.
答案：A　
8．
设函数f(x)＝sin(ωx＋)－ω(ω>0)的导函数f′(x)的最大值为3，则f(x)的最大值为(　　)
A．0
B．1
C．－2
D．－1
解析：本题主要考查三角函数的导数公式及三角函数的有关性质．由f′(x)＝ωcos(ωx＋)的最大值为3，得ω＝3，∴f(x)＝sin(3x＋)－3，则f(x)的最大值为－2，故选C.
答案：C　
9.
函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像过原点，它的导函数y＝f′(x)的图像是如图所示的一条直线，则(　　)
A．－>0，>0
B．－<0，>0
C．－>0，<0
D．－<0，<0
解析：本题主要考查导数运算法则及二次函数的图像与性质．函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像过原点，则c＝0，于是f(x)＝ax2＋bx，则f′(x)＝2ax＋b，图像是直线，结合f′(x)的图像可知，a<0，b>0.所以－>0，＝－>0，故选A.
答案：A　
10.
[2014·陕西省西安交大附中月考]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx(e为自然对数的底数)，则f′(e)＝(　　)
A．
B．e
C．－
D．－e
解析：本题主要考查函数的导数公式及解方程思想．由f(x)＝2xf′(e)＋lnx，得f′(x)＝2f′(e)＋，则f′(e)＝2f′(e)＋ f′(e)＝－，故选C.
答案：C　
11.
[2014·河南省信阳高中模考]设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝1－(x>0)上，则|PQ|的最小值为(　　)
A．(e－1)
B．(e－1)
C．
D．
解析：本题主要考查函数的导数公式、两平行线距离的概念和两点间距离公式等．设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．曲线y＝ex在点P(x1，y1)处的切线斜率为y′＝ex1，曲线y＝1－(x>0)在点Q(x2，y2)处的切线斜率为y′＝，结合图像可知，当ex1＝时，|PQ|的值最小，此时x1＝0，x2＝1，于是P(0,1)，Q(1,0)，|PQ|的最小值为，故选D.
答案：D　
12.
函数f(x)＝x2＋bx的图像在点A(1，f(1))处的切线l的斜率为3，若数列{an}满足an＝，则数列{an}的前2014项和S2014的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：本题主要考查导数的几何意义与数列的求和的相关知识．∵f(x)＝x2＋bx，∴f′(x)＝2x＋b，由条件知f′(1)＝3，∴b＝1，∴f(x)＝x2＋x，∴an＝＝＝－，∴Sn＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝，∴S2014＝，故选C.
答案：C　
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.
[2014·江西高考]若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
解析：令f(x)＝xlnx，则f′(x)＝lnx＋1，设P(x0，y0)，则f′(x0)＝lnx0＋1＝2，∴x0＝e，此时y0＝x0lnx0＝elne＝e，∴点P的坐标为(e，e)．
答案：(e，e)
14.
已知函数g(x)＝x3－x2(x>0)，h(x)＝ex－x，p(x)＝cos2x(0解析：本题主要考查导数运算法则及函数零点的概念．由g′(x)＝3x2－2x＝0得x＝0或x＝，∵x>0，∴x＝；由h′(x)＝ex－1＝0得x＝0；由p′(x)＝－2sin2x＝0，得2x＝kπ(k∈Z)，∴x＝(k∈Z)，∵0答案：
x215.
点P是函数y＝x＋x(x>0)图像上的动点，且在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．
解析：依题意得y＝x＋x，y′＝x＋x－(x>0)，又当x>0时，y′＝x＋x－≥2
＝，即图像在点P处的切线的斜率不小于，即tanθ≥，又θ∈[0，π)，因此≤θ<，即θ的取值范围是.
答案：
16.
已知曲线y＝(1－x)xn(n∈N
)在点(2，－2n)处的切线的纵截距为bn，则数列{bn}的通项公式是________．
解析：本题主要考查导数公式与数列通项公式等相关知识．∵y＝xn(1－x)(n∈N
)，∴y′＝(xn)′(1－x)＋(1－x)′·xn＝n·xn－1(1－x)－xn.y′＝－n·2n－1－2n＝(－n－2)·2n－1.又点(2，－2n)在切线上，∴曲线在点(2，－2n)处的切线方程为y＋2n＝(－n－2)·2n－1(x－2)．令x＝0得，y＝(n＋1)·2n，∴bn＝(n＋1)·2n(n∈N
)．
答案：
bn＝(n＋1)·2n(n∈N
)
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)求下列函数的导数：
(1)y＝x(x2＋＋)；
(2)y＝(＋1)(－1)；
(3)y＝xtanx；
(4)y＝x－sincos；
(5)y＝3lnx＋ax(a>0，且a≠1)．
解：(1)∵y＝x(x2＋＋)＝x3＋1＋，
∴y′＝3x2－.
(2)∵y＝·－＋－1＝－＋，
∴y′＝(－＋)′＝－＋＝－(1＋)．
(3)y′＝(xtanx)′＝()′
＝
＝＝.
(4)y′＝(x－sincos)′＝(x－sinx)′
＝1－cosx.
(5)y′＝(3lnx＋ax)′＝＋axlna.
18．(12分)[2014·福建省南平市模考]为了预防H7N9禽流感，某养鸡场每天对鸡房使用杀菌剂消毒，如果使用杀菌剂t小时后的有毒细菌数量为b(t)＝1000(－t2＋10t＋1)(0≤t<24)．
(1)求有毒细菌繁殖的速度；
(2)求b′(5)的值，并说明它表示的实际意义．
解：
(1)设有毒细菌繁殖的速度为v，即为b(t)对t的导数，
则v＝b′(t)＝1000(－2t＋10)．
(2)b′(5)＝1000(－2×5＋10)＝0，
它的实际意义表示有毒细菌在t＝5时繁殖的瞬时速度为0.
19．(12分)求满足下列条件的函数f(x)．
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2)f(x)是二次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
解：
(1)由题意设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由已知，
解得a＝1，b＝－3，c＝0，d＝3，
故f(x)＝x3－3x2＋3.
(2)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.
所以x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，
化简得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，
此式对任意x都成立，所以，
得a＝2，b＝2，c＝1，即f(x)＝2x2＋2x＋1.
20．(12分)若函数f(x)＝ax2＋2lnx(a∈R)在点(1，f(1))处的切线l与圆C：x2＋y2＝1相切，求a的值及切线l的方程．
解：
依题意有f(1)＝a，
f′(x)＝2ax＋，∴f′(1)＝2a＋2.
∴直线l的方程为y－a＝(2a＋2)(x－1)，
即(2a＋2)x－y－a－2＝0.(
)
∵l与圆C相切，∴＝1，解得a＝－1或a＝－.
把a＝－1或a＝－代入(
)式并整理得切线l的方程为y＝－1或4x－3y－5＝0.
21．(12分)有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝s(t)＝5－.求函数在t＝时的导数，并解释它的实际意义．
解：
函数s＝5－是由函数f(x)＝5－和函数x＝φ(t)＝25－9t2复合而成的，其中x是中间变量．
由导数公式表可得f′(x)＝－x－，φ′(t)＝－18t.
再由复合函数求导法则得
s′t＝s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝－x－·(－18t)＝，
将t＝代入s′(t)，得s′()＝0.875.
它表示当t＝时，梯子上端下滑的速度为0.875
m/s.
22．(12分)[2014·山东高考]设函数f(x)＝alnx＋，其中a为常数．
(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
解：(1)由题意知a＝0时，f(x)＝，x∈(0，＋∞)，
此时f′(x)＝.
可得f′(1)＝，又f(1)＝0，
所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋＝.
当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
当a<0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)．
①当a＝－时，Δ＝0，
f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a<－时，Δ<0，g(x)<0，
f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－0，
设x1，x2(x1则x1＝，x2＝.
由于x1＝＝>0，
所以x∈(0，x1)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
综上可得：
当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－f(x)在，
上单调递减，
在上单调递增．第一章　单元综合检测(二)
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下面几种推理是合情推理的是(　　)
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和都是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．仅①②
B．①③④
C．①②④
D．仅②④
解析：合情推理包括归纳推理和类比推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．归纳推理，应是由部分对象的特征，推出全部对象的特征．②④都具备此特征，①是类比推理，③中仅有一个同学的成绩，并不能推出全班同学的成绩，故选C.
答案：C　
2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理(　　)
A．结论正确
B．大前提不正确
C．小前提不正确
D．全不正确
解析：由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数.
故小前提不正确．
答案：C　
3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面__________．”(　　)
A．各正三角形内一点
B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选C.
答案：C　
4．已知命题p1为真命题，命题p2为假命题，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：( p1)∨p2和q4：p1∧( p2)中，真命题是(　　)
A．q1，q3
B．q2，q3
C．q1，q4
D．q2，q4
解析：由复合命题的真值表知，q1：p1∨p2为真，q2：p1∧p2为假，q3：( p1)∨p2为假，q4：p1∧( p2)为真，故真命题是q1，q4，故选C.
答案：C　
5．用反证法证明：若a≥b>0，则＋2－a≤＋2－b的假设为(　　)
A．＋2－a<＋2－b
B．＋2－a≥＋2－b
C．＋2－a>＋2－b
D．＋2－a≤＋2－b
解析：易知“≤”的对立面为“>”．故选C.
答案：C　
6．已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝1，则可归纳出{an}的一个通项公式为(　　)
A．an＝
B．an＝
C．an＝
D．an＝
解析：由an＋1＝和a1＝1得a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝，a5＝＝＝.归纳上述结果，得到猜想：an＝.
答案：A　
7．如下图所示，4个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐1,2,3,4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，第4次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2010次互换座位后，小兔所坐的座位号为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由题意得第4次互换座位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，而2010＝4×502＋2，所以第2010次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同，故小兔坐在2号座位上，应选B.
答案：B　
8．已知x>0，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为(　　)
A．n2
B．nn
C．2n
D．22n－2
解析：由x＋≥2，x＋＝x＋≥3，
x＋＝x＋≥4，…，
可推广为x＋≥n＋1，故a＝nn.
答案：B　
9．用数学归纳法证明“42n－1＋3n＋1(n∈N
)能被13整除”的第二步中，当n＝k＋1时为了使用归纳假设，对42k＋1＋3k＋2变形正确的是(　　)
A．16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1
B．4×42k＋9×3k
C．(42k－1＋3k＋1)＋15×42k－1＋2×3k＋1
D．3(42k－1＋3k＋1)－13×42k－1
解析：当n＝k时，式子为42k－1＋3k＋1，则n＝k＋1时，式子为42k＋1＋3k＋2＝42×42k－1＋3×3k＋1＝16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1.故选A.
答案：A　
10．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内奇数之和Sn与其组的编号数n的关系是(　　)
A．Sn＝n2
B．Sn＝n3
C．Sn＝n4
D．Sn＝n(n＋1)
解析：当n＝1时，S1＝1；当n＝2时，S2＝8＝23；当n＝3时，S3＝27＝33；∴归纳猜想Sn＝n3，故选B.
答案：B　
11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数，又是正方形数的是(　　)
A．289
B．1024
C．1225
D．1378
解析：根据图形的规律可知，第n个三角形数为an＝，第n个正方形数为bn＝n2，由此可排除选项D(1378不是平方数)，将选项A，B，C中的数代入到三角形数与正方形数表达式中检验可知，符合题意的是选项C，故选C.
答案：C　
12．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图(1)所示，在平行四边形ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在图(2)所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC＋BD＋CA＋DB等于(　　)
A．2(AB2＋AD2＋AA)
B．3(AB2＋AD2＋AA)
C．4(AB2＋AD2＋AA)
D．4(AB2＋AD2)
解析：如右图，连A1C1，AC，
则四边形AA1C1C是平行四边形，故A1C2＋AC＝2(AA＋AC2)．
连BD，B1D1，
则四边形BB1D1D是平行四边形，
∴BD＋DB＝2(BB＋BD2)．
又在 ABCD中，AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，AA＝BB，
∴AC＋BD＋CA＋DB
＝2(AA＋AC2)＋2(BB＋BD2)
＝2(AC2＋BD2＋BB＋AA)
＝2[2(AB2＋AD2)＋2AA]
＝4(AB2＋AD2＋AA)．
故选C.
答案：C　
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n≥2时，有________．
解析：观测f(n)中n的规律为2k(k＝1,2，…)
不等式右侧分别为，k＝1,2，…，
∴f(2n)>(n≥2)．
答案：f(2n)>(n≥2)
14．若符号“
”表示求实数a与b的算术平均数的运算，即a
b＝，则a＋(b
c)用含有运算符号“
”和“＋”表示的另一种形式是________．
解析：a＋(b
c)＝a＋＝
＝＝(a＋b)
(a＋c)．
答案：(a＋b)
(a＋c)
15．观察下图：
1
2　3　4
3　4　5　6　7
4　5　6　7　8　9　10
…
则第__________行的各数之和等于20112.
解析：观察知，图中的第n行的各数构成一个首项为n，公差为1，共(2n－1)项的等差数列，其各项和为：
Sn＝(2n－1)n＋＝(2n－1)n＋(2n－1)(n－1)＝(2n－1)2.
令(2n－1)2＝20112，得2n－1＝2011.
∴n＝1006.
答案：1006
16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”“平行关系”等．如果集合A中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件：(1)自反性；对于任意a∈A，都有a～a；(2)对称性：对于a，b∈A，若a～b，则有b～a；(3)传递性：对于a，b，c∈A，若a～b，b～c，则有a～c.
则称“～”是集合A的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)．请你再列出三个等价关系：____________________________________________.
答案：“图形的全等”“图形的相似”“非零向量的共线”(答案不唯一)
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)观察右图，可以发现：
1＋3＝4＝22，
1＋3＋5＝9＝32，
1＋3＋5＋7＝16＝42，
1＋3＋5＋7＋9＝25＝52，
……
由上述具体事实能得出怎样的结论？
解：将上述事实分别叙述如下：
对于正整数，有
前2个奇数的和等于2的平方；
前3个奇数的和等于3的平方；
前4个奇数的和等于4的平方；
前5个奇数的和等于5的平方；
……
由此猜想：前n(n∈N
)个连续奇数的和等于n的平方，即1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.
18．(12分)[2012·江苏高考]已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an＋1＝，n∈N
，bn＋1＝·，n∈N
，且{an}是等比数列，求证：an＝a1，n∈N
.
解：∵an>0，bn>0，∴≤a＋b<(an＋bn)2，∴1)
设等比数列{an}的公比为q，由an>0知q>0，下面用反证法证明q＝1：
若q>1，则a1＝logq时，an＋1＝a1qn>，与(
)矛盾；
若0a2>1，∴当n>logq时，an＋1＝a1qn<1，与(
)矛盾．
综上所述，q＝1，从而an＝a1，n∈N
.
19．(12分)有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分．
证明：(1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立；
(2)假设n＝k(k∈N
)时，被分成f(k)＝k2－k＋2部分；
那么当n＝k＋1时，依题意，
第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域．
∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，
即n＝k＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立．
20．(12分)如图所示，已知BE，CF分别为△ABC的边AC，AB上的高，G为EF的中点，H为BC的中点．求证：HG⊥EF.
证明：连结HE，HF，由CF⊥AB，且H是BC的中点，可知FH是Rt△BCF斜边上的中线，
所以HF＝BC.
同理可证HE＝BC.
所以HF＝HE，从而△EHF为等腰三角形．
又G为EF的中点，所以HG⊥EF.
21．(12分)设等比数列{an}的通项公式为an＝2n－1，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N
)，证明：对任意的n∈N
，不等式··…·>成立．
证明：依题意得bn＝2(log2an＋1)＝2(log22n－1＋1)＝2n，
则＝，
所以··…·＝···…·.
下面用数学归纳法证明不等式···…·>成立．
(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，>，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时不等式成立，即···…·>，那么，当n＝k＋1时，
···…··>·
＝＝
＝>.
即当n＝k＋1时不等式也成立．
根据(1)和(2)可知，不等式对任意的n∈N
都成立，即不等式··…·>成立．
22．(12分)已知f(x)＝(x≠－，a>0)，
且f(1)＝log162，f(－2)＝1.
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)已知数列{xn}的项满足
xn＝(1－f(1))·(1－f(2))·…·(1－f(n))，
试求x1，x2，x3，x4；
(3)猜想数列{xn}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
解：(1)由f(1)＝log162＝，f(－2)＝1及f(x)＝，
得即
解得(舍去a＝－)，
于是f(x)＝(x≠－1)．
(2)由f(x)＝及xn＝(1－f(1))·(1－f(2))·…·(1－f(n))，可得：
x1＝1－f(1)＝1－＝，
x2＝×(1－)＝，
x3＝×(1－)＝，
x4＝×(1－)＝.
(3)在为x1，x2，x3，x4所得结果的分子、分母进行了约分，所以规律不明显，若变形为，，，，…，便可猜想，xn＝.由于每一项都与很接近，若改写为＋，＋，＋，＋，…，也可猜想xn＝＋.下面用数学归纳法证明xn＝，n∈N
.
①当n＝1时，∵x1＝，而＝，
∴猜想成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时，xn＝成立，即xk＝，
则当n＝k＋1时，xk＋1＝(1－f(1))·(1－f(2))·…·(1－f(k))·(1－f(k＋1))
＝xk·(1－f(k＋1))
＝·[
1－]
＝·
＝·＝.
∴当n＝k＋1时，猜想也成立．
根据①②，可知对一切n∈N
，猜想xn＝都成立．选修2-2　第二章　习题课：变化率与导数
一、选择题
1．函数y＝f(x)＝在x＝2和x＝3处的导数的大小关系是(　　)
A．f′(2)B．f′(2)>f′(3)
C．f′(2)＝f′(3)
D．大小关系不确定
解析：∵()′＝－，∴y′x＝2＝－＝－，
即f′(2)＝－，y′x＝3＝－＝－，
即f′(3)＝－.
∵－<－，∴f′(2)答案：A　
2．过曲线y＝上的点(4,2)的切线方程是(　　)
A．x＋4y＋4＝0
B．x－4y－4＝0
C．x－4y＋4＝0
D．x＋4y－4＝0
解析：∵y′＝()′＝，
∴y′x＝4＝＝.
∴切线的斜率k＝.
∴所求的切线方程为y－2＝(x－4)，
即x－4y＋4＝0.故选C.
答案：C　
3．曲线y＝在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于(　　)
A．45°
B．60°
C．135°
D．120°
解析：y′＝－，∴f′(3)＝－＝－1，∴切线的倾斜角为135°，故选C.
答案：C　
4．[2014·山西模拟]设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为(　　)
A．4
B．－
C．2
D．－
解析：本题主要考查导数的计算以及导数的几何意义等有关知识．
由已知g′(1)＝2，而f′(x)＝g′(x)＋2x，
所以f′(1)＝g′(1)＋2×1＝4，故选A.
答案：A　
5．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：本题主要考查导数的运算、几何意义、斜率与倾斜角的关系以及基本不等式等有关知识．
y′＝＝≥－1，
即－1≤tanα<0，所以≤α<π.
答案：D　
6．已知A、B、C是直线l上的三点，向量，，满足＝[f(x)＋2f′(1)]－ln(x＋1)，则f′(1)值为(　　)
A．0
B．ln
2
C．
D．2
解析：由于A、B、C三点共线，于是有f(x)＋2f′(1)－ln(x＋1)＝1，
即f(x)＝ln(x＋1)－2f′(1)＋1，则f′(x)＝.于是f′(1)＝，选C.
答案：C　
二、填空题
7．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.
解析：f′(x)＝x2＋3f′(0)，
令x＝0，则f′(0)＝0，∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.
答案：1
8．设f(x)＝a·ex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，则a＋b＝________.
解析：f′(x)＝(a·ex＋blnx)′＝aex＋，
∴f′(1)＝ae＋b＝e，f′(－1)＝－b＝.
∴a＝1，b＝0，∴a＋b＝1.
答案：1
9．已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N
，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2011＝__________.
解析：∵f1′(x)＝cosx－sinx，
∴f2(x)＝cosx－sinx，f2′(x)＝－sinx－cosx.
∴f3(x)＝－sinx－cosx，f3′(x)＝－cosx＋sinx.
∴f4(x)＝－cosx＋sinx，f4′(x)＝sinx＋cosx.
∴f5(x)＝sinx＋cosx.∴f5(x)＝f1(x)．
不难得出fn(x)＝fn＋4(x)，
∴f1＋f2＋…＋f2011
＝f1＋f2＋…＋f2011＋f2012－f2012
＝503－f2012
＝503
－f4
＝－＝－1.
答案：－1
三、解答题
10．(1)求曲线y＝在点(1,1)处的切线方程；
(2)运动曲线方程为s＝＋2t2，求t＝3时的瞬时速度．
解：(1)y′＝＝，
y′|x＝1＝＝0，即曲线在点(1,1)处的切线斜率k＝0，因此曲线y＝在(1,1)处的切线方程为y＝1.
(2)s′＝′＋(2t2)′＝＋4t＝－＋＋4t，s′|t＝3＝－＋＋12＝11.
11．路灯距地平面为8
m，一个身高为1.6
m的人以84
m/min的速度在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v.
解：设路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB.
设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t秒，AB为人影长度，设为y，
则∵BE∥CD，∴＝.∴＝.
又84
m/min＝1.4
m/s，∴y＝x＝t(x＝1.4t)．
∴y′t＝.
∴人影长度的变化速率为
m/s.
12．已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同．
(1)若a＝1，求b的值；
(2)试写出b关于a的函数关系式．
解：(1)y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，
且f′(x)＝x＋2，g′(x)＝，
所以f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)．
∴
由x0＋2＝，得x0＝1，或x0＝－3(舍去)．
所以b＝.
(2)y＝f(x)(x>0)，y＝g(x)(x>0)
在公共点(x0，y0)处的切线相同，
且f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，
所以f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
即
解得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．
∴b＝a2－3a2lna(a>0)．选修2-2　第四章　§3　课时作业23
1．
求抛物线y2＝2px(p>0)与直线x＝p及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
解：如图所示，
因为y2＝2px(p>0)，
所以f2(x)＝2px，x∈[0，]．
所以V＝π[f(x)]2dx
＝π2pxdx
＝πpx2＝.
2．
求由抛物线y＝，直线x＋y＝2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
解：解方程组得
从而求得曲线y＝与直线x＋y＝2的交点为P(1,1)(如图)，因此有
V＝π()2dx＋π(2－x)2dx
＝πxdx＋π(4－4x＋x2)dx
＝π·＋π
＝π＋π
－＝.
3．
求由曲线y＝x2与y＝所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
解：
曲线y＝x2与y＝所围成的平面图形如图中阴影部分所示．
设所求旋转体的体积为V，根据图像可以看出V等于曲线y＝，直线x＝2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V1)减去曲线y＝x2，直线x＝2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V2)．
V1＝π()2dx＝2πxdx＝2π·x2＝4π，
V2＝π(x2)2dx＝x4dx＝·x5＝，
所以V＝V1－V2＝4π－＝.
4．
某电厂冷却塔外形是由双曲线的一部分(如右图所示)绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′＝14
m，CC′＝18
m，BB′＝22
m，塔高20
m.
(1)写出该双曲线方程；
(2)求冷却塔的容积．(精确到1
m3，塔壁厚度不计，π取3.14)
解：
(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则a＝AA′＝7.
又设B(11，y1)，C(9，y2)，
因为点B、C在双曲线上，所以有
－＝1，
①
－＝1，
②
由题意知，y2－y1＝20.
③
由①②③，得y1＝－12，y2＝8，b＝7.
故双曲线方程为－＝1.
(2)由双曲线方程，得x2＝y2＋49.
设冷却塔的容积为V
m3，则V＝π－12dy＝π，经计算，得V≈4252.
答：冷却塔的容积约为4252
m3.选修2-2　第三章　§1　课时作业16
一、选择题
1．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是(　　)
A．极大值点x＝－1
B．极大值点x＝0
C．极小值点x＝0
D．极小值点x＝1
解析：y′＝6x(x2－1)2＝0有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3＝1，由解y′>0得x>0；由解y′<0得x<0，只有x＝0是极小值点，故选C.
答案：C　
2．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是(　　)
A．有极小值
B．有极大值
C．既有极大值又有极小值
D．无极值
解析：∵y′＝1－(x2＋1)′＝1－＝，
令y′＝0得x＝1，当x>1时，y′>0，
当x<1时，y′>0，∴函数无极值．
答案：D　
3．函数f(x)＝－x3＋x取极小值时，x的值是(　　)
A．2
B．2，－1
C．－1
D．－3
解析：f′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，f′(x)的图像如右图．
∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，
∴x＝－1时取极小值．
答案：C　
4．[2013·浙江高考]已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
解析：当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(x)＝xex－1，f′(1)≠0，故A、B错；当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x2－1)ex－2x＋2＝(x－1)[(x＋1)ex－2]，故f′(x)＝0有一根为x1＝1，另一根x2∈(0,1)．当x∈(x2,1)时，f′(x)<0，f(x)递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)递增，∴f(x)在x＝1处取得极小值．故选C.
答案：C　
二、填空题
5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于__________．
解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
6．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad＝__________.
解析：∵y′＝3－3x2，令y′＝0得x＝±1，
且当x>1时，y′<0，
当－1≤x≤1时，y′≥0，
当x<－1时，y′<0，
故x＝1为y＝3x－x3的极大值点，即b＝1.
又c＝3b－b3＝3×1－1＝2，
∴bc＝2.
又∵a，b，c，d成等比数列，
∴ad＝bc＝2.
答案：2
7．已知函数y＝xf′(x)的图像如右图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：
①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；
②函数f(x)在区间(－1,1)上单调递增；
③函数f(x)在x＝－处取得极大值；
④函数f(x)在x＝1处取得极小值．
其中正确的说法是__________．
解析：
题号
正误
原因分析
①
?
由图像知，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，故f′(x)>0，f(x)递增
②
?
当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，故f′(x)<0；当x∈(0,1)时，xf′(x)<0，故f′(x)<0.综上，当x∈(－1,0)∪(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在区间(－1,0)，(0,1)上是减函数
③
?
f(x)在区间(－1,0)上单调递减，故x＝－不是极值点
④
?
f(x)在区间(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故f(x)在x＝1处取得极小值
答案：①④
三、解答题
8．[2013·重庆高考]设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x>0)，f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln3.
9．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.
(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
解：由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，
得f′(x)＝ax2＋2bx＋c.
因为f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1,4，
所以(
)
(1)当a＝3时，由(
)式得
解得b＝－3，c＝12.
又因为曲线y＝f(x)过原点，所以d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．
由(
)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)．
解得a∈[1,9]．
即a的取值范围是[1,9]．选修2-2　第一章　§4　课时作业5
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋)，由n＝k(k∈N
)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(　　)
A．2k
B．2k－1
C．2k＋1
D．2k－1
解析：当n＝k时，左边有2k项，当n＝k＋1时，左边有2k＋1项，故增加的项数为2k＋1－2k＝2k.
答案：A　
2．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时，在由“n＝k时论断成立 n＝k＋1时论断也成立”的过程中(　　)
A．必须运用假设
B．n可以部分地运用假设
C．可不用假设
D．应视情况灵活处理，A、B、C均可
解析：由“n＝k时论断成立 n＝k＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设．
答案：A　
3．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N
)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)
A．
B．
C．＋
D．－
解析：f(n＋1)－f(n)＝－
＝＋.
答案：C　
4．某同学回答用数学归纳法证明)的过程如下：证明：(1)当n＝1时，显然命题是正确的；(2)假设n＝k时有命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于(　　)
A．当n＝1时，验证过程不具体
B．归纳假设的写法不正确
C．从k到k＋1的推理不严密
D．从k到k＋1的推理过程没有使用归纳假设
解析：n＝1时证明正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩直接证明，不符合数学归纳法证题的要求．应选D.
答案：D　
二、填空题
5．若存在常数a，b，使等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(an＋b)对n∈N
都成立，则a、b的值分别为________、________.
解析：因为存在常数a、b，使等式对所有的正整数都成立，所以当n＝1,2时等式都成立，所以得a＋b＝8,2a＋b＝11，解得a＝3，b＝5.
答案：3　5
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N
)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为__________．
解析：S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，
猜想Sn＝.
答案：Sn＝
7．[2013·吉林长春一模]用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，当n＝1时左边表达式是________；从k→k＋1需增添的项是________．
解析：因为用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，当n＝1时2n＋1＝3，所以左边表达式是1＋2＋3；从k→k＋1需增添的项是4k＋5或(2k＋2)＋(2k＋3)．
答案：1＋2＋3；4k＋5(或(2k＋2)＋(2k＋3))
三、解答题
8．用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝.
解：(1)当n＝1时＝成立．
(2)假设当n＝k时等式成立即有＋＋…＋＝，
则＋＋…＋＋＝＋＝，
即当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可得对于任意的n∈N
等式都成立．
9．已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N
)，
求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N
)．
证明：(1)当n＝2时，S2n＝1＋＋＋＝>1＋，
即当n＝2时命题成立．
(2)设当n＝k(k≥2)时命题成立，即
S2k＝1＋＋＋…＋>1＋，
当n＝k＋1时，
S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＋＋…＋
>1＋＋＝1＋＋＝1＋，
故当n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)可知，当n∈N
，n≥2时，不等式S2n>1＋都成立．选修2-2　第三章　习题课：导数的应用
一、选择题
1．下列函数中在区间(－1,1)上是减函数的是(　　)
A．y＝2－3x2
B．y＝lnx
C．y＝
D．y＝sinx
解析：对于函数y＝，其导数y′＝<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y＝在区间(－1，1)上是减函数，其余选项均不符合要求，故选C.
答案：C　
2．函数y＝f(x)的定义域为R，导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)(　　)
A．无极大值点，有四个极小值点
B．无极小值点，有四个极大值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有三个极大值点，一个极小值点
解析：f′(x)＝0的根分别如题图a、c、e、g.
x0，a∴a为极大值点．
又c0知c为极小值点，
eg0知g为极小值点．故选C.
答案：C　
3．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有(　　)
A．a＝－2，b＝4
B．a＝－3，b＝－24
C．a＝1，b＝3
D．a＝2，b＝－4
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有x＝－2和x＝4是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，所以有－＝－2＋4，＝－2×4，解得a＝－3，b＝－24.
答案：B　
4．函数f(x)＝x＋2cosx在区间[－，0]上的最小值是(　　)
A．－
B．2
C．＋
D．＋1
解析：f′(x)＝1－2sinx，
∵x∈[－，0]，
∴sinx∈[－1,0]，∴－2sinx∈[0,2]．
∴f′(x)＝1－2sinx>0在[－，0]上恒成立．
∴f(x)在[－，0]上单调递增．
∴f(x)min＝－＋2cos(－)＝－.
答案：A　
5．若f(x)＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥3
B．a＝3
C．a≤3
D．0解析：f′(x)＝3x2－2ax，
∵f(x)在(0,2)内递减，
∴∴
∴a≥3，故选A.
答案：A　
6．[2013·湖北高考]已知a为常数，函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点x1，x2(x1A．f(x1)>0，f(x2)>－
B．f(x1)<0，f(x2)<－
C．f(x1)>0，f(x2)<－
D．f(x1)<0，f(x2)>－
解析：f′(x)＝lnx－2ax＋1，依题意知f′(x)＝0有两个不等实根x1，x2.
即曲线y1＝1＋lnx与y2＝2ax有两个不同交点，如图．
由直线y＝x是曲线y＝1＋lnx的切线，
可知：0<2a<1，且0∴a∈(0，)．
由0当x10，当x>x2时，f′(x)<0，
∴f(x2)>f(1)＝－a>－，故选D.
答案：D　
二、填空题
7．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝__________处取得极小值．
解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，
解得x＝0或x＝2.
列表如下：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴当x＝2时，f(x)取得极小值．
答案：2
8．设p：f(x)＝lnx＋2x2＋mx＋1在(0，＋∞)上是递增的，q：m≥－4，则p是q的________条件．
解析：f(x)＝lnx＋2x2＋mx＋1在(0，＋∞)上是递增的，可知在(0，＋∞)上f′(x)＝＋4x＋m≥0恒成立，而＋4x≥4，当且仅当x＝时等号成立，(＋4x)min＝4，故只需要4＋m≥0，即m≥－4即可．故p是q的充要条件．
答案：充要
9．方程－＋3＝0的解有________个(填数字)．
解析：设f(x)＝－＋3，x∈(0，＋∞)，则f′(x)＝－－<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(9)＝>0，f(100)＝－10＋3<0，所以曲线f(x)在(0，＋∞)上与x轴只有1个交点，即原方程只有1个解．
答案：1
三、解答题
10．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x4－2x2；
(2)f(x)＝x2e－x.
解：(1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－1或x＝1.
列表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
极小值
?
从表中可以看出：
当x＝0时，函数有极大值，且f(0)＝0；
当x＝－1或x＝1时，函数有极小值，
且f(－1)＝f(1)＝－1.
(2)函数的定义域为R.
f′(x)＝()′＝
＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x＝－e－x·x(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2.
列表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
由上表可以看出：
当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0；
当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝.
11．设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax，(a>0)
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求所有实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
注：e为自然对数的底数．
解：(1)因为f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x>0，所以f′(x)＝－2x＋a＝－.由于a>0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．
(2)由题意得，f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e，由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，
要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，只要解得a＝e.
12．[2013·辽宁高考]已知函数f(x)＝(1＋x)e－2x，g(x)＝ax＋＋1＋2xcosx.当x∈[0,1]时，
(1)求证：1－x≤f(x)≤；
(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≥1－x，
只需证明(1＋x)e－x≥(1－x)ex.
记h(x)＝(1＋x)e－x－(1－x)ex，
则h′(x)＝x(ex－e－x)，
当x∈(0,1)时，h′(x)>0，因此h(x)在[0,1]上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0.
所以f(x)≥1－x，x∈[0,1]．
要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≤，只需证明ex≥x＋1.
记K(x)＝ex－x－1，则K′(x)＝ex－1，当x∈(0,1)时，K′(x)>0，因此K(x)在[0,1]上是增函数，
故K(x)≥K(0)＝0.
所以f(x)≤，x∈[0,1]．
综上，1－x≤f(x)≤，x∈[0,1]．
(2)法一：f(x)－g(x)
＝(1＋x)e－2x－(ax＋＋1＋2xcosx)
≥1－x－ax－1－－2xcosx
＝－x(a＋1＋＋2cosx)，
设G(x)＝＋2cosx，
则G′(x)＝x－2sinx.
记H(x)＝x－2sinx，
则H′(x)＝1－2cosx，
当x∈(0,1)时，H′(x)<0，于是G′(x)在[0,1]上是减函数，从而当x∈(0,1)时，G′(x)故G(x)在[0,1]上是减函数．
于是G(x)≤G(0)＝2，从而
a＋1＋G(x)≤a＋3，
所以，当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立．
下面证明，当a>－3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．
f(x)－g(x)≤－1－ax－－2xcosx
＝－ax－－2xcosx
＝－x(＋a＋＋2cosx)，
记I(x)＝＋a＋＋2cosx＝＋a＋G(x)，
则I′(x)＝＋G′(x)，
当x∈(0,1)时，I′(x)<0，
故I(x)在[0,1]上是减函数，于是I(x)在[0,1]上的值域为[a＋1＋2cos1，a＋3]．
因为当a>－3时，a＋3>0，
所以存在x0∈(0,1)，使得I(x0)>0，
此时f(x0)即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．
综上，实数a的取值范围是(－∞，－3]．
法二：先证当x∈[0,1]时，1－x2≤cosx≤1－x2.
记F(x)＝cosx－1＋x2，
则F′(x)＝－sinx＋x.
记G(x)＝－sinx＋x，则G′(x)＝－cosx＋1，当x∈(0,1)时，G′(x)>0，于是G(x)在[0,1]上是增函数，因此当x∈(0,1)时，G(x)>G(0)＝0，从而F(x)在[0,1]上是增函数，因此F(x)≥F(0)＝0，所以当x∈[0,1]时，1－x2≤cosx.
同理可证，当x∈[0,1]时，cosx≤1－x2.
综上，当x∈[0,1]时，1－x2≤cosx≤1－x2.
因为当x∈[0,1]时，
f(x)－g(x)
＝(1＋x)e－2x－(ax＋＋1＋2xcosx)
≥(1－x)－ax－－1－2x(1－x2)
＝－(a＋3)x，
所以当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立．
下面证明，当a>－3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．
因为f(x)－g(x)
＝(1＋x)e－2x－(ax＋＋1＋2xcosx)
≤－1－ax－－2x(1－x2)
＝＋－(a＋3)x
≤x[x－(a＋3)]，
所以存在x0∈(0,1)(例如x0取和中的较小值)满足f(x0)即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．
综上，实数a的取值范围是(－∞，－3]．选修2－2　模块综合测试(一)
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是(　　)
A．完全归纳推理
B．归纳推理
C．类比推理
D．演绎推理
解析：由特殊到一般的推理为归纳推理．故选B.
答案：B　
2．设f(x)＝10x＋lgx，则f′(1)等于(　　)
A．10
B．10ln10＋lge
C．＋ln10
D．11ln10
解析：∵f′(x)＝10xln10＋，
∴f′(1)＝10ln10＋lg
e，故选B.
答案：B　
3．[2013·四川高考]如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　)
A．A
B．B
C．C
D．D
解析：设z＝－a＋bi(a，b∈R＋)，则z的共轭复数＝－a－bi，它对应点的坐标为(－a，－b)，是第三象限的点．故选B.
答案：B　
4．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若为实数，则实数m的值为(　　)
A．
B．
C．－
D．－
解析：＝＝
＝是实数，∴6＋4m＝0.
∴m＝－.
答案：D　
5．a＋b>2c成立的一个充分条件是(　　)
A．a>c或b>c
B．a>c且b>c
C．a>c且bD．a>c或b解析： a＋b>2c，a＋b>2cD /
答案：B　
6．[2014·杭州高二检测]函数y＝lnx(x>0)的图像与直线y＝x＋a相切，则a等于(　　)
A．ln2－1
B．ln2＋1
C．ln2
D．2ln2
解析：因为函数y＝lnx的导数y′＝，又函数y＝lnx(x>0)的图像与直线y＝x＋a相切，所以＝，即x＝2，所以切点P(2，ln2)，所以ln2＝1＋a，即a＝ln2－1.
答案：A　
7．∫|sinx|dx＝(　　)
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：∫|sinx|dx＝∫sinxdx＋∫(－sinx)dx＝－cosx＋cosx＝1＋1＋1＋1＝4.
答案：D　
8．给出下列三个命题：
①若a≥b>－1，则≥；
②若正整数m和n满足m≤n，则≤；
③设P(x1，y1)为圆O1：x2＋y2＝9上任意一点，圆O2以Q(a，b)为圆心且半径为1，当(a－x1)2＋(b－y1)2＝1时，圆O1与O2相切．
其中假命题的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①中，∵a≥b>－1，
∴a＋1≥b＋1>0.
∴要证原式成立，只要证
a(1＋b)≥b(1＋a)，这显然成立．
∴①正确；
②中≤＝也成立；
③中⊙O1的圆心为O(0,0)，半径r1＝3.
⊙O2的圆心为Q(a，b)，半径r2＝1，
∴|OQ|＝.
∵|OP|＋|PQ|＝r1＋r2＝4或|OP|－|PQ|＝r1－r2＝2与|OQ|的大小关系都是不确定的，∴不一定相切，故③为假命题．故选B.
答案：B　
9．在区间(0，＋∞)内，函数f(x)＝ex－x是(　　)
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
解析：f′(x)＝ex－1，因为x>0，所以ex>1，所以ex－1>0，即y′>0在(0，＋∞)上恒成立．故函数在(0，＋∞)上是增函数．
答案：A　
10．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有(　　)
A．f(0)＋f(2)<2f(1)
B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1)
D．f(0)＋f(2)>2f(1)
解析：因为(x－1)f′(x)≥0，
所以或
(1)函数y＝f(x)在(－∞，1]上单调递减，
f(0)>f(1)；
在[1，＋∞)上单调递增，f(2)>f(1)，
所以f(0)＋f(2)>2f(1)．
(2)函数y＝f(x)为常数函数时，
f(0)＋f(2)＝2f(1)，
故f(0)＋f(2)≥2f(1)，故选C.
答案：C　
11．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于(　　)
A．f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1)
B．f()
C．n(n－1)　
D．f(1)
解析：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝1，∴f(2)＝2f(1)．
令x＝1，y＝2，f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)．
　
　f(n)＝nf(1)，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(1＋2＋…＋n)f(1)
＝f(1)．
∴A、D正确；
又f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝f(1＋2＋…＋n)
＝f()．
∴B也正确．故选C.
答案：C　
12．已知y＝f(x)是R上的可导函数，对于任意的正实数t，都有函数g(x)＝f(x＋t)－f(x)在其定义域内为减函数，则函数y＝f(x)的图像可能为下图中的(　　)
解析：因为函数g(x)＝f(x＋t)－f(x)在其定义域内为减函数，所以g′(x)＝f′(x＋t)－f′(x)<0恒成立，即f′(x)为减函数(切线斜率减小)．
答案：A　
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[2013·重庆高考]已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________.
解析：∵z＝＝＝＝2＋i，∴|z|＝＝.
答案：
14．函数y＝的导数是__________．
解析：y′＝
＝.
答案：y′＝
15．曲线y＝x3＋x在x＝1处的切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形的面积为__________．
解析：∵y′＝3x2＋1，∴y′|x＝1＝4.
∴曲线y＝x3＋x在x＝1处的切线方程为
y－2＝4(x－1)，
即y＝4x－2，故所求面积为以(，0)，(2,0)，(2,6)为顶点的直角三角形的面积S，
∴S＝××6＝.
答案：
16．[2014·福建高考]已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．
解析：当a≠2正确时，c＝0，b≠2，{a，b，c}中没有元素2，与集合相等矛盾，①不正确；
当b＝2正确时，c＝0，a＝2，这与集合元素的互异性矛盾，②不正确；
当c≠0正确时，a＝2，b≠2，此时b＝0，c＝1，符合题意，这时100a＋10b＋c＝201.
答案：201
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝1＋5i，z2＝1－(a－2)i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－|<|z1|，求实数a的取值范围．
解：由题意，得z1＝＝3＋2i，于是|z1－|＝|2－(a－4)i|＝，|z1|＝.
因为|z1－|<|z1|，所以<，即a2－8a＋7<0，解得a的取值范围为(1,7)．
18．(12分)已知a、b、c、d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数．
证明：假设a、b、c、d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.
又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾．
所以a、b、c、d中至少有一个是负数．
19．(12分)已知实数a≠0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值32，求a的值．
解：f(x)＝ax(x－2)2＝a(x3－4x2＋4x)．
∴f′(x)＝a(3x2－8x＋4)＝a(3x－2)(x－2)．
由f′(x)＝0，得x＝或x＝2.
当a>0时，f(x)在x＝时，取极大值，
由f()＝32，得a＝27；
当a<0时，f(x)在x＝2时，取极大值，
由f(2)＝32，得a不存在，
∴a＝27.
20．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1的图像经过点(1，－3)且在x＝1处，f(x)取得极值．求：
(1)函数f(x)的解析式；
(2)f(x)的单调递增区间．
解：(1)由f(x)＝ax3＋bx＋1的图像过点(1，－3)，得a＋b＋1＝－3.
∵f′(x)＝3ax2＋b，又f′(1)＝3a＋b＝0，
∴由得
∴f(x)＝2x3－6x＋1.
(2)∵f′(x)＝6x2－6，∴由f′(x)>0得x>1或x<－1.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．
21．(12分)已知数列，，…，，…，Sn为该数列的前n项和，计算得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.
观察上述结果，推测出Sn(n∈N
)，并用数学归纳法加以证明．
解：推测Sn＝(n∈N
)．
用数学归纳法证明如下：
(1)当n＝1时，S1＝＝，等式成立；
(2)假设当n＝k时等式成立，
即Sk＝，那么当n＝k＋1时，
Sk＋1＝Sk＋
＝＋
＝
＝
＝
＝＝.
也就是说，当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)和(2)，可知对一切n∈N
，等式均成立．
22．(12分)[2013·广东高考]设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R)．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当k∈(，1]时，求函数f(x)在[0，k]上的最大值M.
解：(1)当k＝1时，
f(x)＝(x－1)ex－x2，f′(x)＝ex＋(x－1)
ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2)．
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，ln2)
ln2
(ln2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
由表可知，函数f(x)的递减区间为(0，ln2)，递增区间为(－∞，0)，(ln2，＋∞)．
(2)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝xex－2kx＝x(ex－2k)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln(2k)．
令g(k)＝ln(2k)－k，则g′(k)＝－1＝>0，所以g(k)在(，1]上递增，所以g(k)≤ln2－1＝ln2－lne<0，从而ln(2k)0；
所以M＝max{f(0)，f(k)}＝max{－1，(k－1)ek－k3}．
令h(k)＝(k－1)ek－k3＋1，
则h′(k)＝k(ek－3k)，
令φ(k)＝ek－3k，则φ′(k)＝ek－3所以φ(k)在(，1]上递减，而φ()·φ(1)＝(－)(e－3)<0，
所以存在x0∈(，1]使得φ(x0)＝0，且
当k∈(，x0)时，φ(k)>0，
当k∈(x0,1)时，φ(k)<0，
所以φ(k)在(，x0)上单调递增，在(x0,1)上单调递减．
因为h()＝－＋>0，h(1)＝0，
所以h(k)≥0在(，1]上恒成立，当且仅当k＝1时取得“＝”．
综上，函数f(x)在[0，k]上的最大值M＝(k－1)ek－k3.选修2-2　第二章　§5　课时作业13
一、选择题
1．
设y＝＋，则y′等于(　　)
A．＋　
B．
C．－　
D．－
解析：y′＝()′＋()′
＝0＋·(1－x)′＝－.
答案：D　
2．
函数y＝sin·cos，则y′|x＝0等于(　　)
A．1
B．0
C．－1
D．以上都不对
解析：y＝sin·cos
＝sin，y′＝cos·′＝2cos，y′|x＝0＝2cos＝1.故答案为A.
答案：A　
3．
某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝，则在时刻t＝40
min的降雨强度为(　　)
A．20
mm
B．400
mm
C．
mm/min
D．
mm/min
解析：f′(t)＝·10＝，
∴f′(40)＝＝.
答案：D　
4．
已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(　　)
A．1
B．2
C．－1
D．－2
解析：设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)，
即x0＋1＝ln(x0＋a)．
∵当x＝x0时，y′＝，
∴＝1，即x0＋a＝1.
∴x0＋1＝ln
1＝0.
∴x0＝－1.∴a＝2.
答案：B　
二、填空题
5．
已知f(x)＝(1－2x)10，则f′(1)的值为________．
解析：f′(x)＝10·(1－2x)9·(1－2x)′＝10(1－2x)9×(－2)＝－20(1－2x)9.
所以f′(1)＝20.
答案：20
6．
曲线f(x)＝ex－1在点(1,1)处的切线的倾斜角为________．
解析：f′(x)＝ex－1·(x－1)′＝ex－1，f′(1)＝e0＝1，
即切线的斜率为1，倾斜角为45°.
答案：45°
7．
函数y＝在点(a,0)的切线斜率为________．
解析：y′＝－，
当x＝a时，y′＝－.
答案：－
三、解答题
8．
求下列函数的导数：
(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(6x＋4)；
(3)y＝x；(4)y＝xcos(2x＋)sin(2x＋)．
解：(1)∵y＝(3x－2)2由函数y＝u2和u＝3x－2复合而成，
∴y′x＝y′u·u′x＝(u2)′·(3x－2)′＝6u＝18x－12.
(2)∵y＝ln(6x＋4)由函数y＝lnu和u＝6x＋4复合而成，∴y′x＝y′u·u′x＝(lnu)′·(6x＋4)′＝＝＝.
(3)y′＝(x)′＝x′＋x()′＝＋＝.
(4)∵y＝xcos(2x＋)sin(2x＋)
＝x(－sin2x)cos2x＝－xsin4x，
∴y′＝(－xsin4x)′
＝－sin4x－cos4x·4
＝－sin4x－2xcos4x.
9.
某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系h(t)＝3sin(t＋)(0≤t≤24)，其中h的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．
解：
由复合函数求导法则得
h′(t)＝3cos·′
＝cos.
将t＝18代入h′(t)，得h′(18)＝cos＝(m/h)．
它表示当t＝18
h时，潮水的高度上升的速度为
m/h.选修2-2　第一章　§4　课时作业6
1．证明不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N
)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2.
左边<右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N
)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋<2.
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋
<2＋＝
<＝＝2.
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N
都成立．
2．[2014·吉安检测]已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N
)．
(1)计算a2，a3，a4；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．
解：(1)a1＝1，a2＝＝，
a3＝＝，
a4＝＝.
(2)由(1)的计算猜想：an＝.
下面用数学归纳法进行证明
①当n＝1时，a1＝1，等式成立．
②假设当n＝k时等式成立，即ak＝，
那么ak＋1＝＝＝，
即当n＝k＋1时等式也成立．
由①②可知，对任意n∈N
都有an＝.
3．证明凸n边形的对角线的条数f(n)＝n(n－3)(n≥4，n∈N
)．
解：(1)当n＝4时，f(4)＝×4×(4－3)＝2，凸四边形有两条对角线，命题成立．
(2)假设n＝k(k≥4且k∈N
)时命题成立．即凸k边形的对角线的条数f(k)＝k(k－3)(k≥4)，当n＝k＋1时，凸(k＋1)边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为Ak＋1，增加的对角线是顶点Ak＋1与不相邻顶点的连线再加上原k边形一边A1Ak，共增加了对角线的条数为k－2＋1＝k－1.
∴f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1
＝(k2－k－2)
＝(k＋1)(k－2)
＝(k＋1)[(k＋1)－3]．
故当n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)知，对任意n≥4，n∈N
，命题成立．
4．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
…
解：分别计算n＝1,2,3,4时，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的值，并将结果改写为统一形式，猜测出一般结果，然后用数学归纳法证明即可．
由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；
当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；
当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；
当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.
猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4.
那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N
，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．选修2-2　第二章　§3　课时作业10
一、选择题
1．下列结论正确的个数为(　　)
①y＝ln
2，则y′＝；
②y＝，则y′|x＝3＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln
2；
④y＝log2x，则y′＝.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①y＝ln
2为常数，所以y′＝0，①错；②③④均正确，直接利用公式即可验证．
答案：D　
2．曲线y＝在点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标是(　　)
A．
B．或
C．
D．
解析：y′＝′＝－，
由－＝－4，解得x＝±.
所以P点的坐标为或，故选B.
答案：B　
3．曲线y＝x3上切线平行或重合于x轴的切点坐标(　　)
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(1,0)
D．以上都不是
解析：(x3)′＝3x2，若切线平行或重合于x轴则切线斜率k＝0，即3x2＝0得x＝0，
∴y＝0，即切点为(0,0)．故选A.
答案：A　
4．函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x(　　)
A．在[0，＋∞)上f(x)比g(x)增长的快
B．在[0，＋∞)上f(x)比g(x)增长的慢
C．在[0，＋∞)上f(x)与g(x)增长的速度一样快
D．以上都不对
解析：函数的导数表示函数的增长速度，
由于f′(x)＝2x，g′(x)＝2.
若2x>2即x>1时f(x)增长速度比g(x)增长速度快，
若2x<2即x<1时f(x)比g(x)增长速度慢，
在x＝2时两者增长速度相同．
故选D.
答案：
D　
二、填空题
5．若f(x)＝10x，则f′(1)＝__________.
解析：∵(10x)′＝10xln10，
∴f′(1)＝10ln10.
答案：10ln10
6．曲线y＝x2的垂直于直线x＋y＋1＝0的切线方程为________．
解析：∵y′＝2x，直线x＋y＋1＝0的斜率为－1，所以2x＝1，x＝，代入y＝x2得y＝，即与直线x＋y＋1＝0垂直的曲线y＝x2的切线的切点坐标为(，)，故所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
答案：4x－4y－1＝0
7．设曲线y＝xn＋1(n∈N
)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg
xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为__________．
解析：在点(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝(n＋1)×1n＝n＋1，则在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝.
∴an＝lg
.
∴a1＋a2＋…＋a99＝lg
＋lg
＋…＋lg
＝lg(××…×)＝lg
＝－2.
答案：－2
三、解答题
8．求抛物线y＝x2过点(，6)的切线方程．
解：设此切线过抛物线上的点(x0，x)．由导数的意义知此切线的斜率为2x0.
又∵此切线过点(，6)和点(x0，x)，
∴＝2x0.
由此x0应满足x－5x0＋6＝0.解得x0＝2或3.
即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)和(3,9)．
∴所求切线方程分别为
y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)．
化简得y＝4x－4，y＝6x－9.
9．已知直线y＝kx是曲线y＝ln
x的一条切线，试求k的值．
解：设切点坐标为(x0，y0)．
∵y＝ln
x，∴y′＝，∴y′|x＝x0＝＝k.
∵点(x0，y0)既在直线y＝kx上，也在曲线y＝lnx上，
∴
把k＝代入①式得
y0＝1，再把y0＝1代入②式求出x0＝e.
∴k＝＝.选修2-2　第一章　§2　课时作业3
一、选择题
1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其过程应用了(　　)
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．间接证法
解析：从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．
答案：B　
2．欲证－<－成立，只需证(　　)
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
解析：A中，－<0，－<0平方后不等价；B、D与A情况一样；只有C项，－<－ ＋<＋ (＋)2<(＋)2.故选C.
答案：C　
3．在△ABC中，A>B是cos2B>cos2A的(　　)
A．既不充分也不必要条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．必要不充分条件
解析：∵A>B a>b sinA>sinB(由正弦定理得)，又cos2B>cos2A 1－2sin2B>1－2sin2A sin2B∴A>B cos2B>cos2A.故选C.
答案：C　
4．已知a、b、c、d为正实数，且<，则(　　)
A．<<
B．<<
C．<<
D．以上均可能
解析：先取特值检验，∵<，
可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，
则＝，满足<<.
∴B、C不正确．
要证<，∵a、b、c、d为正实数，
∴只需证a(b＋d)只需证<.而<成立，
∴<.同理可证<.
故A正确，D不正确．
答案：A　
二、填空题
5．设n∈N，a＝－，b＝－，则a，b的大小关系是________．
解析：要比较－与－的大小，即判断(－)－(－)
＝(＋)－(＋)的符号，
∵(＋)2－(＋)2
＝2[－]
＝2(－)<0，
∴－<－.
答案：a6．已知p＝a＋(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p与q的大小关系是________．
解析：p＝a－2＋＋2≥2
＋2＝4，
－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2，∴q<22＝4≤p.
答案：p>q
7．若不等式(－1)na<2＋对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当n为偶数时，a<2－，而2－≥2－＝，∴a<.
当n为奇数时，a>－2－，而－2－<－2，
∴a≥－2.综上可得－2≤a<.
答案：[－2，)
三、解答题
8．设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
证明：综合法
a≠b a－b≠0 (a－b)2>0
a2－2ab＋b2>0 a2－ab＋b2>ab.
注意到a，b∈R＋，a＋b>0，由上式即得
(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．
∴a3＋b3>a2b＋ab2.
9．证明：若a>b>c且a＋b＋c＝0，则<.
证明：∵a>b>c且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0.
要证<，只需证即证b2－ac<3a2.
因为b＝－a－c，
故只需证(a＋c)2－ac<3a2，
即证2a2－ac－c2>0，
即证(2a＋c)(a－c)>0.
∵2a＋c>a＋b＋c＝0，a－c>0，
∴(2a＋c)(a－c)>0成立．
∴原不等式成立．选修2-2　第五章　§2　课时作业26
一、选择题
1．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于(　　)
A．1＋i
B．1＋3i
C．－1－i
D．－1－3i
解析：z＝(4＋i)－(3－2i)＝1＋3i.
答案：B　
2．已知z1＝3－4i，z2＝－5＋2i，z1，z2对应的点分别为P1，P2，则对应的复数为(　　)
A．－8＋6i
B．8－6i
C．8＋6i
D．－2－2i
解析：∵＝－，
∴对应的复数为：
z1－z2＝3－4i－(－5＋2i)
＝(3＋5)＋(－4－2)i＝8－6i.
答案：B　
3．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．
答案：B　
4．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：∵z＝3－4i，
∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－＋1－i
＝(3－5＋1)＋(－4－1)i＝－1－5i.
答案：C　
二、填空题
5．(2x＋3yi)－(3x－2yi)＋(y－2xi)－3xi＝__________.(x，y∈R)
解析：原式＝(2x－3x＋y)＋(3y＋2y－2x－3x)i
＝(y－x)＋5(y－x)i.
答案：(y－x)＋5(y－x)i
6．在复平面上，复数－3－2i，－4＋5i,2＋i，z分别对应点A，B，C，D，且四边形ABCD为平行四边形，则z＝__________.
解析：由于＝，
∴2＋i－z＝(－4＋5i)－(－3－2i)．
∴z＝3－6i.
答案：3－6i
7．设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2＋i|的最大值是__________．
解析：复数z满足条件|z|＝1，z所对应的点的轨迹是单位圆，而|z＋2＋i|即表示单位圆上的动点到定点(－2，－1)的距离．
从图形上可得|z＋2＋i|的最大值是4.
答案：4
三、解答题
8．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，若z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
解：z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i.
又∵z1－z2＝13－2i，
∴(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i.
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i.
z2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i
＝－8－7i.
9．在平行四边形ABCD中，已知，对应的复数分别为z1＝3＋5i，z2＝－1＋2i.
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数；
(3)求平行四边形ABCD的面积．
解：(1)由于＝＋＝＋，
所以＝－.
故对应的复数为
z＝z1－z2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i.
(2)由于＝－＝－，
所以对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i.
(3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD中，
＝＝(－1,2)，＝＝(4,3)，
∴cos∠DAB＝＝＝.
因此sin∠DAB＝＝.
于是平行四边形ABCD的面积
S＝||||sin∠DAB＝×5×＝11.选修2-2　第一章　§1　课时作业1
一、选择题
1．下列关于归纳推理的说法错误的是(　　)
A．归纳推理是由一般到一般的推理过程
B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程
C．归纳推理得出的结论不一定正确
D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
解析：由归纳推理的定义与特征可知选项A错误，选项B，C，D均正确，故选A.
答案：A　
2．定义A
B，B
C，C
D，D
B依次对应下列4个图形：
那么下列4个图形中，
可以表示A
D，A
C的分别是(　　)
A．1,2
B．1,3
C．2,4
D．1,4
解析：由①②③④可归纳得出：符号“
”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A
D是图2，A
C是图4.
答案：C　
3．观察下列数表规律
则数2014的箭头方向是(　　)
解析：因上行偶数是首项为2，公差为4的等差数列，若2014在上行，则2014＝2＋(n－1)·4 n＝504∈N
.故2014在上行，又因为在上行偶数的箭头为an，故选A.
答案：A　
4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)
A．f(x)
B．－f(x)
C．g(x)
D．－g(x)
解析：本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查．
答案：D　
二、填空题
5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…根据上述规律，第四个等式为__________．
解析：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，…，
所以13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.
答案：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2
6．设{an}是首项为1的正数项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N
)，经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．
解析：由首项为1，得a1＝1；
由n＝1时，由2a－1＋a2＝0，得a2＝；
当n＝2时，由3a－2()2＋a3＝0，
即6a＋a3－1＝0，解得a3＝；
…
归纳猜想该数列的通项公式为an＝(n∈N
)．
答案：an＝(n∈N
)
7．[2013·湖北高考]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数　　　N(n,3)＝n2＋n，
正方形数　N(n,4)＝n2，
五边形数　N(n,5)＝n2－n，
六边形数　N(n,6)＝2n2－n，
………………
可推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.
解析：首先将三、四、五、六边形数中第n个数的表达式分别通分，化成分母统一为2的形式如下：
三角形数：N(n,3)＝n2＋n＝
＝；
正方形数：N(n,4)＝n2＝；
五边形数：N(n,5)＝－n＝；
六边形数：N(n,6)＝2n2－n＝
＝；
……
根据以上规律总结，推测：N(n，k)＝.
故N(10,24)＝＝1000.
答案：1000
三、解答题
8．已知数列{an}满足条件(n－1)an＋1＝(n＋1)·an－n－1，且a2＝6，设bn＝an＋n(n∈N
)，猜想数列{bn}的通项公式．
解：a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28，
b1＝2，b2＝8，b3＝18，b4＝32.
可以通过求数列{an}的通项公式来求数列{bn}的通项公式．
我们发现a1＝1＝1×1；a2＝6＝2×3；
a3＝15＝3×5；a4＝28＝4×7；
…，猜想an＝n×(2n－1)，
进而猜想bn＝2n2－n＋n＝2n2.
9．观察下列各式：
sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝；
sin240°＋cos270°＋sin40°cos70°＝；
sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝，
分析以上各式的共同特点，根据其特点写出能反映一般规律的等式，并对等式是否正确加以证明．
解：反映一般规律的等式是：
sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝.
(表达形式不唯一)
该等式是正确的，证明如下：
sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)
＝sin2α＋(cosαcos30°－sinαsin30°)2＋sinα(cosαcos30°－sinαsin30°)
＝sin2α＋2＋sinα·cosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＋sin2α－sinαcosα＋sinαcosα－sin2α
＝(sin2α＋cos2α)＝.选修2-2　第二章　§1　课时作业7
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　)
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
解析：∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.
答案：B　
2．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是(　　)
A．＝＝
B．＝
C．＝
D．＝
解析：由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比，
所以＝＝，故选A.
答案：A　
3．已知函数f(x)＝2x2＋3的图像上一点(1,5)与邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则等于(　　)
A．4＋2Δx
B．4＋(2Δx)2
C．4x
D．4
解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2＋3－(2×12＋3)＝4Δx＋2(Δx)2，
∴＝＝4＋2Δx，故选A.
答案：A　
4．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　)
A．k1>k2
B．k1C．k1＝k2
D．不确定
解析：由定义可知k1＝2x0＋Δx，k2＝2x0－Δx，因为Δx可正、可负但不可为0，所以k1与k2大小不确定．故选D.
答案：D　
二、填空题
5．质点运动规律s＝gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于________(g＝10
m/s2)．
解析：Δs＝g×(3＋Δt)2－g×32＝×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，＝＝30＋5Δt.
答案：30＋5Δt
6．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如右图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为______．
解析：由平均速度的定义结合图像知>>.
答案：>>
7．[2014·济宁高二月考]若正方体的棱长从x＝1到x＝a时正方体的体积膨胀率为21，则a的值为________．
解析：ΔV＝a3－1，∴＝＝a2＋a＋1＝21.
∴a2＋a－20＝0.
∴a＝4或a＝－5(舍)．
答案：4
三、解答题
8．已知f(x)＝x2－3x＋5，求函数f(x)从1到2的平均变化率．
解：Δx＝2－1＝1，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(2)－f(1)，
＝22－3×2＋5－(12－3×1＋5)＝0.
∴＝0.
∴函数f(x)从1到2的平均变化率为0.
9．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．
解：从出生到第3个月的时间变化量Δt＝3－0＝3，从出生到第3个月的体重变化量ΔW＝6.5－3.5＝3，则从出生到第3个月的体重的平均变化率＝＝1.
从第6个月到第12个月的时间变化量Δt＝12－6＝6，
从第6个月到第12个月的体重变化量ΔW＝11－8.6＝2.4，
则从第6个月到第12个月的体重平均变化率
＝＝0.4.选修2-2　第一章　§3　课时作业4
一、选择题
1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(　　)
A．有一个解
B．有两个解
C．至少有三个解
D．至少有两个解
解析：在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.
答案：C　
2．设a，b，c为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于零”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：首先若P，Q，R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，则P，Q，R同时大于零或其中两个负数一个正数，不妨假设P<0，Q<0，∴a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b为正实数矛盾，故P，Q，R都大于0.故选C.
答案：C　
3．已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R，下列四个命题：
①若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0；
③若a＋b<0，则f(a)＋f(b)④若f(a)＋f(b)其中真命题的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：易知①③正确．②用反证法：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，∴f(a)答案：D　
4．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则(　　)
A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
解析：因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形．
假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cosA1＝sinA2，则cosA1＝cos(90°－∠A2)，
所以∠A1＝90°－∠A2.
同理设cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2，则有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2.
又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，
∴(90°－∠A2)＋(90°－∠B2)＋(90°－∠C2)＝180°，即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°.
这与三角形内角和等于180°矛盾，
所以原假设不成立．故选D.
答案：D　
二、填空题
5．用反证法证明“f(x)＝x2＋px＋q，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”时的假设为________．
解析：“至少有一个”的反设词为“一个也没有”．
答案：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于
6．用反证法证明“一个三角形不能有两个钝角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个钝角．
③假设△ABC中有两个钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°.
上述步骤的正确顺序为__________．
解析：根据反证法知，上述步骤的正确顺序应为③①②.
答案：③①②
7．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是__________．
解析：假设两个一元二次方程均无实根，则有即解得{a|－2答案：{a|a≤－2或a≥－1}
三、解答题
8．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
证明：假设数列{cn}是等比数列，利用{an}，{bn}是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾，即知假设不成立．
假设数列{cn}是等比数列，则
(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．
①
∵{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，
∴a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1.
代入①并整理，得
2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbn(＋)，
即2＝＋.
②
当p，q异号时，＋<0，与②相矛盾；
当p，q同号时，由于p≠q，∴＋>2，与②相矛盾．
故数列{cn}不是等比数列．
9．已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．
证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点．
由y＝ax2＋2bx＋c，
y＝bx2＋2cx＋a，
y＝cx2＋2ax＋b，
得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，
且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，
且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.
同向不等式求和得
4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，
∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0.
∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0.
∴a＝b＝c.
这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证．选修2-2　第三章　§1　课时作业15
一、选择题
1．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有(　　)
A．f(x)>0
B．f(x)<0
C．f(x)＝0
D．不能确定
解析：因f(x)在(a，b)上为增函数，
∴f(x)>f(a)≥0.
答案：A　
2．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图像是(　　)
解析：f′(x)＝2x＋b，由于函数f(x)＝x2＋bx＋c图像的顶点在第四象限，∴x＝－>0，∴b<0，故选A.
答案：A　
3．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)为增函数，则(　　)
A．b2－4ac>0
B．b>0，c>0
C．b＝0，c>0
D．b2－3ac≤0
解析：∵f(x)为增函数，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0.
∴Δ＝4b2－12ac≤0.
∴b2－3ac≤0.
答案：D　
4．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)恒不为0，当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
解析：令F(x)＝，则F(x)为奇函数，
F′(x)＝，
∵当x<0时，F′(x)>0.
∴F(x)在(－∞，0)内为增函数．
又F(3)＝＝0，∴F(－3)＝0.
∴当x<－3时，F(x)<0；
当－30.
又F(x)为奇函数，
∴当0当x>3时，F(x)>0.
而不等式f(x)g(x)<0和<0为同解不等式(g(x)恒不为0)，
∴不等式f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．
答案：D
二、填空题
5．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a≠0)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则常数a的值为________．
解析：f′(x)＝6x2＋2ax，令6x2＋2ax<0，当a>0时，解得－答案：－6
6．函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝3ax2－2x＋1.
由题意知3ax2－2x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
∴解得a≥.
答案：[，＋∞)
7．如果函数f(x)＝2x2－lnx在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
解析：显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝4x－＝.
由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；
由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为(0，)，
由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，
所以解得1≤k<.
答案：[1，)
三、解答题
8．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)．若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．
解：法一：由题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
若f(x)在(－1,1)上是增函数，
则在(－1,1)上f′(x)≥0恒成立．
即t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立．
考虑函数g(x)＝3x2－2x，由于g(x)的图像是对称轴为x＝且开口向上的抛物线，故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立 t≥g(－1)，即t≥5.
而当t≥5时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)>0，
即f(x)在(－1,1)上是增函数．
故t的取值范围是[5，＋∞)．
法二：由题意得f(x)＝－x3＋x2＋tx＋t，
则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
若f(x)在(－1,1)上是增函数，
则在(－1,1)上f′(x)≥0.
∵f′(x)的图像是开口向下的抛物线，
∴当且仅当f′(1)＝t－1≥0，且f′(－1)＝t－5≥0时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)>0，即f(x)在(－1,1)上是增函数．故t的取值范围是[5，＋∞)．
9．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)h(x)＝lnx－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，
所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，
即a>－有解．
设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可．
而G(x)＝(－1)2－1，
所以G(x)min＝－1，所以a>－1.
(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，
所以x∈[1,4]时，
h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立．
所以a≥G(x)max.而G(x)＝(－1)2－1.
因为x∈[1,4]，所以∈[，1]．
所以G(x)max＝－(此时x＝4)．
所以a≥－.选修2-2　第四章　§2　课时作业21
一、选择题
1．|sinx|dx等于(　　)
A．0
B．2
C．4
D．－4
解析：∫|sinx|dx＝sinxdx＋∫(－sinx)dx
＝(－cosx)＋cosx＝1－(－1)＋1－(－1)＝4.故选C.
答案：C　
2．
(1－2sin2)dθ的值为(　　)
A．－
B．－
C．
D．
解析：
(1－2sin2)dθ
＝cosθdθ＝sinθ＝，故选D.
答案：D　
3．
下列各式中错误的是(　　)
A．sinφdφ＝1
B．cosφdφ＝1
C．exdx＝－1
D．dx＝1
解析：sinφdφ＝(－cosφ)＝－0－(－1)＝1，
cosφdφ＝sinφ＝1－0＝1，
exdx＝ex＝ee－e，
dx＝lnx＝lne－0＝1.
故选C.
答案：C　
4．
已知f(x)是一次函数且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，则f(x)的解析式为(　　)
A．4x＋3
B．3x＋4
C．－4x＋3
D．－3x＋4
解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则xf(x)＝ax2＋bx，
f(x)dx＝(x2＋bx)＝＋b＝5，
①
xf(x)dx＝(x3＋x2)＝＋＝，
②
联立①②得
∴f(x)＝4x＋3.
故选A.
答案：A　
二、填空题
5．[2013·湖南高考]若x2dx＝9，则常数T的值为________．
解析：∵x2dx＝T3＝9，T>0，∴T＝3.
答案：3
6．－1|x2－x|dx＝__________.
解析：－1|x2－x|dx＝－1(x2－x)dx＋(x－x2)dx＋(x2－x)dx
＝＋＋
＝.
答案：
7．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)．若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为__________．
解析：(ax2＋c)dx＝＝a＋c
＝ax＋c x0＝.
答案：
三、解答题
8．计算下列定积分．
(1)dx；
(2)2dx；
(3)
(sinx－sin2x)dx.
解：(1)∵′＝2x2－，
∴dx＝
＝－
＝－ln2.
(2)∵2＝x＋＋2，
且′＝x＋＋2，
∴2dx＝
＝－
＝＋ln
.
(3)∵(－cosx＋cos2x)′＝sinx－sin2x，
∴
(sinx－sin2x)dx＝(－cosx＋0
＝－
＝－－＋1－＝－.
9．设f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)若直线x＝－t(0解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，
由已知f′(x)＝2x＋2，所以a＝1，b＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋c.
又方程f(x)＝0有两个相等的实根，
所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.
所以f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)依题意知：(x2＋2x＋1)dx＝－t(x2＋2x＋1)dx，
所以＝.
－t3＋t2－t＋＝t3－t2＋t，所以2t3－6t2＋6t－1＝0，
即2(t－1)3＋1＝0.于是t＝1－.选修2-2　第二章　§2　课时作业9
一、选择题
1．若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)＝(　　)
A．0
B．－3x
C．3
D．－3
解析：f′(x)＝
＝
＝
(－3)＝－3.
答案：D　
2．已知函数y＝f(x)的图像如右图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：由图像易知，点A、B处的切线斜率kA、kB满足kA答案：B　
3．已知曲线y＝－x2－2上一点P(1，－)，则在点P的切线的倾斜角为(　　)
A．30°
B．45°
C．135°
D．165°
解析：∵点P(1，－)在曲线y＝f(x)＝－x2－2上，则在点P的切线斜率为f′(1)＝k＝－1.
∴在点P的切线的倾斜角为135°.
答案：C　
4．李华在参加一次同学聚会时，用如下图左所示的圆口杯喝饮料，他想：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是(　　)
解析：由于圆口杯是“下细上粗”，则开始阶段高度增加较快，以后高度增加得越来越慢，仅有B符合．
答案：B　
二、填空题
5．曲线f(x)＝x2在x＝0处的切线方程为__________．
解析：f′(0)＝
＝Δx＝0，又切线过点(0,0)，故切线方程为y＝0.
答案：y＝0
6.如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，则f(4)＋f′(4)＝______________________________________________.
解析：由题意，f′(4)＝－2.
f(4)＝－2×4＋9＝1.
因此，f(4)＋f′(4)＝－2＋1＝－1.
答案：－1
7．曲线f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a围成的三角形的面积为，则a＝__________.
解析：因为f′(a)＝
＝3a2，所以曲线在点(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)．令y＝0，得切线与x轴的交点为(a,0)，由题设知三角形面积为|a－a|·|a3|＝，解得a＝±1.
答案：±1
三、解答题
8．利用定义求函数f(x)＝x3＋x－2的导数f′(x)，并利用f′(x)求f′(－1)，f′(1)．
解：由导数的定义，得
f′(x)＝
＝
＝
[(Δx)2＋3x2＋3x·Δx＋1]＝3x2＋1，
∴f′(x)＝3x2＋1，则f′(－1)＝4，f′(1)＝4.
9．已知曲线y＝上点P(2，－1)．
求：(1)曲线在点P处的切线的斜率；
(2)曲线在点P处的切线方程．
解：将P(2，－1)代入y＝，得t＝1，
∴y＝.
∴y′＝
＝
＝
＝
＝.
(1)曲线在点P处的切线斜率为
y′|x＝2＝＝1；
(2)曲线在点P处的切线方程为
y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.选修2-2　第五章　§1　课时作业24
一、选择题
1．下列各数中，纯虚数的个数是(　　)
3＋，i,0i,8＋3i，(2＋)i,0.618
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：根据纯虚数的定义知，i，(2＋)i是纯虚数．
答案：C　
2．复数(1＋)i的虚部是(　　)
A．1
B．
C．0
D．1＋
解析：(1＋)i为纯虚数，故虚部为1＋.
答案：D　
3．下列命题中，正确命题的个数是(　　)
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①由于x，y∈C，
所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，
∴②是假命题．
③当x＝1，y＝i时，
x2＋y2＝0成立，
∴③是假命题．
答案：A　
4．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为(　　)
A．2kπ－
B．2kπ＋
C．2kπ±
D．＋(以上k∈Z)
解析：由得(k∈Z)．
∴θ＝2kπ＋(k∈Z)．
答案：B　
二、填空题
5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是________．
解析：若复数为纯虚数，则有
即∴a＝－1.
故复数不是纯虚数时a≠－1.
答案：(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
6．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值(或取值范围)是________．
解析：由题意知解得x＝－2.
答案：－2
7．已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，则实数x、y的值分别为________、________.
解析：由复数相等的充要条件知
解得
答案：3　－2
三、解答题
8．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解：∵M∪P＝P，∴M P.
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得
解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得
解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
9．当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解：复数z的实部为，虚部为m2＋5m＋6.
(1)复数z是实数的充要条件是：

m＝－2.
∴当m＝－2时复数z为实数．
(2)复数z是虚数的充要条件是：
即m≠－3且m≠－2.
∴当m≠－3且m≠－2时复数z为虚数．
(3)复数z是纯虚数的充要条件是：

m＝3.
∴当m＝3时复数z为纯虚数．第四章　单元综合检测
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．
∫
sinxdx等于(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．
解析：∫sinxdx＝(－cosx)＝0.
答案：B　
2．
下列等式不成立的是(　　)
A．[mf(x)＋ng(x)]dx＝mf(x)dx＋ng(x)dx
B．[f(x)＋1]dx＝f(x)dx＋b－a
C．f(x)·g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dx
D．sinxdx＝－2πsinxdx＋∫sinxdx
解析：利用定积分的性质进行判断，选项C不成立．例如xdx＝，x2dx＝，x3dx＝，但xdx·x2dx≠(x·x2)dx＝x3dx.故选C.
答案：C　
3．
[2014·江西高考]若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝(　　)
A．－1
B．－
C．
D．1
解析：令f(x)dx＝m，则f(x)＝x2＋2m，
所以f(x)dx＝(x2＋2m)dx＝
＝＋2m＝m，解得m＝－，故选B.
答案：B　
4．
若(2－3x)dx＝－2(a>0)，则a的值为(　　)
A．2
B．
C．2或
D．2或－
解析：a>0，(2－3x)dx＝＝2a－a2.
由题知2a－a2＝－2，
解得a＝2.
答案：A　
5．
[2014·湖南高考]已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且f(x)dx＝0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是(　　)
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
解析：由f(x)dx＝sin(x－φ)dx＝－cos(x－φ)＝－cos＋cosφ＝0，得cosφ＝sinφ，
从而有tanφ＝，则φ＝nπ＋，n∈Z，
从而有f(x)＝sin
＝(－1)n·sin，n∈Z.
令x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，即f(x)的图像的对称轴是x＝kπ＋，k∈Z，故选A.
答案：A　
6．
曲线y＝1－x2与x轴围成的图形的面积是(　　)
A．4
B．3
C．2
D．
解析：先解方程1－x2＝0，求出两根为和－，即为积分的上、下限，然后求定积分的值，S＝∫－dx＝＝3.
答案：B　
7．
|x2－4|dx＝(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：|x2－4|dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx＝(4x－x3)＋(x3－4x)＝，故选C.
答案：C　
8．
根据定积分的定义，x2dx＝(　　)
A．()2·
B．()2·
C．()2·
D．()2·
解析：将[0,2]等分成n个小区间[，](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度Δx＝.取ξi＝，则Sn＝()2·，∴x2dx＝()2·，故选D.
答案：D　
9.
如图所示，由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积是(　　)
A．(x2－1)dx
B．
C．|x2－1|dx
D．(x2－1)dx＋(x2－1)dx
解析：一般情形下，这种阴影部分的面积应分成两部分，直线x＝1左边的部分和右边的部分，经过运算变形可化为|x2－1|dx.
答案：C　
10.
物体以速度v(t)＝3t2－2t＋3做直线运动，它在t＝0到t＝3这段时间内的位移是(　　)
A．9
B．18
C．27
D．36
解析：位移可表示为(3t2－2t＋3)dt＝(t3－t2＋3t)＝27－9＋9＝27.
答案：C　
11.
函数F(x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上(　　)
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0和最小值－
C．有最小值－，无最大值
D．既无最大值也无最小值
解析：F(x)＝(t2－4t)dt＝(t3－2t2)＝x3－2x2(－1≤x≤5)．F′(x)＝x2－4x，由F′(x)＝0，得x＝0或4，列表如下：
x
(－1,0)
0
(0,4)
4
(4,5)
F′(x)
＋
0
－
0
＋
F(x)
?
极大值
?
极小值
?
可见极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－.又F(－1)＝－，F(5)＝－，所以最大值为0，最小值为－.故选B.
答案：B　
12.
抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点A(1,0)和点B(3,0)处的线切所围成图形的面积为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：由题意知，所围成的图形如图中阴影部分所示，∵y′＝－2x＋4，∴抛物线在点A(1,0)处切线的斜率k1＝2，方程为y＝2(x－1)，在点B(3,0)处切线的斜率k2＝－2，方程为y＝－2(x－3)．由得，故所求面积S阴＝[(2x－2)－(－x2＋4x－3)]dx＋[(－2x＋6)－(－x2＋4x－3)]dx＝(x3－x2＋x)＋(x3－3x2＋9x)＝＋＝.故选D.
答案：D　
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.
计算：dx＝________.
解析：由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影部分的面积．易知AB＝，∠AOB＝，故S阴＝×4π－×1×＝－.
答案：－
14.
如图是一个质点做直线运动的v－t图像，则质点在前6
s内的位移为________．
解析：直线OA的方程为y＝x，直线AB的方程为y＝－x＋9，故质点在前6
s内的位移为xdx＋(－x＋9)dx＝x2＋(－x2＋9x)＝6＋3＝9(m)．
答案：9
m
15.
已知t>0，若(2x－1)dx＝6，则x＝________.
解析：(2x－1)dx＝(x2－x)＝t2－t＝6，
∵t>0，∴t＝3.
答案：3
16.
已知x>0，设f(x)＝(t－1)dt，则f(x)的最小值为________．
解析：(t－1)dt＝＝x2－x，
即f(x)＝x2－x(x>0)，
则f(x)＝(x2－2x＋1)－＝(x－1)2－，
所以f(x)的最小值为－.
答案：－
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)是一次函数，其图像过点(1,3)且f(x)dx＝2，求f(x)的解析式．
解：
设f(x)＝kx＋b(k≠0)，图像过点(1,3)，即k＋b＝3.①
∵f(x)dx＝2，∴(kx＋b)dx＝2，
即＝2，
即＋b＝2.②
由①②得k＝2，b＝1，∴f(x)＝2x＋1.
18．(12分)计算下列定积分：
(1)∫0(1－2sin2x)dx；　　(2)dx.
解：
(1)∵1－2sin2x＝cos2x，取F(x)＝sin2x，
则F′(x)＝cos2x，
∴∫0(1－2sin2x)dx＝∫0cos2xdx＝F()－F(0)＝×(－0)＝.
(2)∵＝－，(lnx)′＝，
(ln(x＋1))′＝，
∴dx＝lnx－ln(x＋1)＝2ln2－ln3.
19．(12分)[2014·云南省昆明十中期中考试]已知抛物线y＝x2－2x与直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为，求a的值．
解：
作出y＝x2－2x的图像，如图所示．
①当a<0时，S＝(x2－2x)dx＝(x3－x2)＝－＋a2＝，
∴(a＋1)(a－2)2＝0.∵a<0，∴a＝－1.
②当a＝0时，不符合题意．
③当a>0时，
若0∴(a＋1)(a－2)2＝0.∵a>0，∴a＝2.
若a>2，不合题意．
综上a＝－1或2.
20．(12分)在边长为1的正方形AOBC内，由曲线y＝x2和y＝围成一个叶形图，如右图中阴影部分所示．若向正方形AOBC内随机投一点，求所投的点落在叶形图内部的概率．
解：
设阴影部分面积为S，
则S＝(－x2)dx＝＝.
正方形的面积S′＝1，由几何概型知，所求概率P＝.
21．(12分)求由曲线y＝与直线y＝x所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
解：
由得交点坐标为(0,0)，(4,2)．
V＝πdx＝(4x－x2)dx
＝＝π.
22．(12分)如右图，抛物线y＝4－x2与直线y＝3x的两交点为A，B，点P在抛物线上从A向B运动．
(1)求使△PAB的面积最大时，P点的坐标(a，b)；
(2)证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x＝a分为面积相等的两部分．
解：
(1)解方程组得x1＝1，x2＝－4，
∴抛物线y＝4－x2与直线y＝3x的交点为A(1,3)，B(－4，－12)，
∴P点的横坐标a∈(－4,1)．点P(a，b)到直线y＝3x的距离为d＝.
∵P点在抛物线上，∴b＝4－a2，
∵d′a＝·(4－3a－a2)′＝(－2a－3)＝0，
∴a＝－.即当a＝－时，d最大．
这时b＝4－＝，
∴P点的坐标为时，△PAB的面积最大．
(2)设上述抛物线与直线围成的面积为S，
位于x＝－的右侧的面积为S1
S＝
(4－x2－3x)dx＝，
S1＝eq
\i\in(－,1,)
(4－x2－3x)dx＝.
∴S＝2S1，即直线x＝－平分S.选修2-2　第四章　习题课：定积分
一、选择题
1．由三条直线x＝1，x＝3，y＝2x＋5和一条曲线y＝x2所围成的图形的面积可表示为(　　)
A．(x2＋2x＋5)dx
B．(2x＋5－x2)dx
C．(x2－2x－5)dx
D．不能确定
解析：由定积分的几何意义．∵x∈[1,3]时，2x＋5≥x2，∴S＝(2x＋5－x2)dx.
即两部分曲边梯形面积之差(2x＋5)dx－x2dx
∴应选B.
答案：B　
2．
写成定积分的形式，可记为(　　)
A．sinxdx
B．sinxdx
C．sinxdx
D．dx
解析：由定积分的定义，函数f(x)在[a，b]上的定积分是一个和式(ξi)的极限．
即f(x)dx＝(ξi).
而
＝
，
即函数sinx在区间[0，π]上的定积分，∴选择A.
答案：A　
3．[2013·江西高考]若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)
A．S1B．S2C．S2D．S3解析：S1＝x2dx＝x3＝×(23－1)＝，∴13.所以S2答案：B　
4．(2x－3x2)dx＝0，则k＝(　　)
A．0
B．1
C．0或1
D．以上均不对
解析：(2x－3x2)dx＝(x2－x3)|＝k2－k3＝k2(1－k)＝0，∴k＝0或k＝1.
答案：C　
5．汽车以32
m/s的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－8
m/s2匀减速刹车，则从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为(　　)
A．128
m
B．64
m
C．32
m
D．80
m
解析：由匀减速运动可得v(t)＝v0＋at，
其中v0＝32
m/s，a＝－8
m/s2，
故v(t)＝32－8t，令v(t)＝0，得t＝4，即刹车时间为4
s，可得刹车距离为
s＝(32－8t)dt＝(32t－4t2)＝64(m)．
答案：B　
6．由y＝2x，y＝3－x2(x≤0)所围图形的面积为(　　)
A．2
B．－2
C．9
D．
解析：如右图，交点为(－3，－6)，(1,2)，x≤0，
∴积分上下限为0，－3.
S＝－3(3－x2－2x)dx
＝
＝9＋＋9
＝9.
答案：C　
二、填空题
7．[2012·江西高考]计算定积分(x2＋sinx)dx＝________.
解析：(x2＋sinx)dx＝(－cosx)＝.
答案：
8．
[|x－1|＋3]dx＝__________.
解析：利用分段函数求定积分的方法求．
[(1－x)＋3]dx＋(x－1＋3)dx＝(4－x)dx＋(x＋2)dx＝＋＝4×1－－4×(－2)＋＋＋2×4－－2＝27.
答案：27
9．一物体以v(t)＝(m/s)的速度沿直线运动，该物体开始运动后10
s内所经过的路程__________．
解析：本题为定积分在物理上的应用，求变速直线运动的位移．∫()dt＝(1＋t)
＝(1＋10)－(1＋0)＝(11－1)．
答案：(11－1)
三、解答题
10．已知f(x)是二次函数，其图像过点(1,0)，且f′(0)＝2，f(x)dx＝0，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴a＋b＋c＝0.①
∵f′(x)＝2ax＋b，
∴f′(0)＝b＝2.②
∵f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx
＝(ax3＋bx2＋cx)
＝a＋b＋c＝0.③
由①②③得
∴f(x)＝－x2＋2x－.
11．已知A、B相距400
m，甲、乙两物体都沿直线从A运动到B，甲物体的速度为v(t)＝2t
m/s，乙物体的速度为v(t)＝(t＋5)2
m/s，若甲比乙先出发5
s，问从A到B的过程中，甲、乙两物体能否相遇．
解：假设甲出发后t0秒相遇，则s甲＝∫t002tdt＝t，
s乙＝∫t0－50(t＋5)2dt
＝＝－，
若t＝－，化简得t－18t－125＝0.
含f(t)＝t3－18t2－125，则f(15)<0，f(20)>0，
故f(t)＝0在(15,20)内必有根，记为t0.
因此s甲＝s乙＝t<202＝400.
∴从A到B的过程中，甲、乙两物体可以相遇．
12．设f(x)是一次函数，且f(x)dx＝1，
求证：[f(x)]2dx>1.
证明：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则由
f(x)dx＝(kx＋b)dx
＝(kx2＋bx)
＝k＋b＝1，得b＝1－k.
∴f(x)＝kx＋1－k.
∴[f(x)]2＝(kx＋1－k)2
＝k2x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2.
∴[f(x)]2dx
＝[k2x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2]dx
＝[k2x3＋k(1－k)x2＋(1－k)2x]
＝k2＋k(1－k)＋(1－k)2
＝k2＋1>1(k≠0)．
∴[f(x)]2dx>1.选修2-2　第二章　§4　课时作业12
一、选择题
1．
函数y＝(x－a)(x－b)的导数是y′＝(　　)
A．ab
B．－a(x－b)
C．－b(x－a)
D．2x－a－b
解析：∵y＝x2－(a＋b)x＋ab，
∴y′＝(x2)′－(a＋b)·(x)′＋(ab)′＝2x－a－b.
答案：D　
2．
函数y＝sinxcosx的导数是y′＝(　　)
A．sin2x
B．cos2x
C．sin2x
D．cos2x
解析：y′＝(sinxcosx)′＝(sinx)′cosx＋sinx(cosx)′＝cos2x－sin2x＝cos2x.
答案：D　
3．
曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为(　　)
A．－
B．
C．－
D．
解析：y′＝＝，把x＝代入得导数值为，即为所求切线的斜率．
答案：B　
4．
经过原点且与曲线y＝相切的直线的方程是(　　)
A．x＋y＝0或＋y＝0
B．x－y＝0或＋y＝0
C．x＋y＝0或－y＝0
D．x－y＝0或－y＝0
解析：设切点为(x0，y0)，因为y′＝()′＝，所以切线斜率为，又切线过原点，所以＝＝，即x＋18x0＋45＝0，解得x0＝－3或x0＝－15，从而切点为(－3,3)或(－15，)．所以切线方程为x＋y＝0或＋y＝0.
答案：A　
二、填空题
5．
函数y＝的导数是________．
解析：法一：y′＝′
＝
＝＝.
法二：∵y＝＝1－，
∴y′＝′＝′
＝－2′＝－2×＝.
答案：
6．
函数f(x)＝在x＝处的导数是________．
解析：y′＝′＝′
＝，
∴f′＝＝＝.
答案：
7．
曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为________．
解析：∵y′＝＝，∴切线的斜率k＝＝－1，∴所求切线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2.
答案：y＝－x＋2
三、解答题
8．
求下列函数的导数：
(1)y＝xcosx－ex＋sinθ(θ为常数)；
(2)y＝；
(3)y＝(4x－x)(ex＋1)．
解：(1)y′＝(xcosx)′－ex＋(sinθ)′＝(x)′cosx＋x(cosx)′－ex＋0＝cosx－xsinx－ex.
(2)y′＝
＝＝－.
(3)法一：∵y＝(4x－x)(ex＋1)＝4xex＋4x－xex－x，
∴y′＝(4xex＋4x－xex－x)′＝(4x)′ex＋4x(ex)′＋(4x)′－[x′ex＋x(ex)′]－x′＝4xexln4＋4xex＋4xln4－ex－xex－1＝ex(4xln4＋4x－1－x)＋4xln4－1.
法二：y′＝(4x－x)′(ex＋1)＋(4x－x)(ex＋1)′＝(4xln4－1)(ex＋1)＋(4x－x)ex＝ex(4xln4＋4x－1－x)＋4xln4－1.
9.
[2013·北京高考节选]已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值．
解：由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝x(2＋cosx)．
因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，f(a)＝b，
解得a＝0，b＝1.