学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b等于( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
【解析】 (2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a|·|b|·cos
60°－b2.又|a|＝1，|b|＝1，故(2a－b)·b＝1－1＝0.
【答案】 B
2．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(a－mb)⊥a，则实数m的值为( )
A．1
B．
C．2
D．3
【解析】 因为(a－mb)⊥a，所以(a－mb)·a＝a2－mb·a＝32－m×2×3×cos
60°＝9－3m＝0.
所以m＝3.
【答案】 D
3．已知a，b方向相反，且|a|＝3，|b|＝7，则|2a－b|＝( )
A．1
B．13
C．2
D．3
【解析】 因为|2a－b|2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2
＝4×32－4×3×7×cos
180°＋72＝169，
所以|2a－b|＝13.
【答案】 B
4．(2015·四川高考)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝( )
A．20
B．15
C．9
D．6
【解析】 如图所示，由题设知：
＝＋＝＋，
＝－，
∴·＝·
＝||2－||2＋·－·
＝×36－×16＝9.
【答案】 C
5．(2015·重庆高考)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A．
B．
C.
D．π
【解析】 由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos
θ－2|b|2＝0，∴|b|2－|b|2·cos
θ－2|b|2＝0，∴cos
θ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
【答案】 A
二、填空题
6．已知|a|＝1，|b|＝3，|a－b|＝4，则|a＋b|＝________.
【解析】 因为|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2a·b＋9＝16.
所以2a·b＝－6，又|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1－6＋9＝4，即|a＋b|＝2.
【答案】 2
7．已知a⊥b，c与a，b的夹角均为60°，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a－2b－c)2＝________.
【解析】 (a－2b－c)2＝|a|2＋4|b|2＋|c|2－4a·b－2a·c＋4b·c.
∵a⊥b，∴a·b＝0.
a·c＝|a||c|cos
60°＝1×3×＝，
b·c＝|b||c|cos
60°＝2×3×＝3，
∴原式＝1＋4×4＋9－2×＋4×3＝35.
【答案】 35
8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.
【导学号：66470056】
【解析】 由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
【答案】 －8或5
三、解答题
9．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a＋2b)·(2a－b)≥4，求a与b的夹角θ的范围．
【解】 由(a＋2b)·(2a－b)＝2a2－2b2＋3a·b＝2×32－2×42＋3a·b≥4，得a·b≥6，
∴cos
θ＝＝≥＝.
又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.
10．已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值．
【解】 ∵a⊥b，∴a·b＝0，
又由已知得[a＋(t－3)b]·[－ka＋tb]＝0，
∴－ka2＋t(t－3)b2＝0.
∵|a|＝2，|b|＝1，
∴－4k＋t(t－3)＝0，
∴k＝(t2－3t)＝2－(t≠0)．
故当t＝时，k取最小值－.
[能力提升]
1．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于( )
A．－25
B．－20
C．－15
D．－10
【解析】 ∵＋＋＝0，∴|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝9＋16＋25＋2(·＋·＋·)＝0，∴·＋·＋·＝－25.
【答案】 A
2．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为( )
A．1
B．
C.
D．
【解析】 ∵c与a＋b共线，∴c＝λ(a＋b)，
∴|a＋c|2＝|a＋λ(a＋b)|2＝|(λ＋1)a＋λb|2
＝(λ＋1)2＋λ2＋2λ(λ＋1)a·b
＝2λ2＋2λ＋1＋2λ(λ＋1)×cos
120°
＝λ2＋λ＋1＝2＋.
当λ＝－时，|a＋c|min＝.
【答案】 D
3．若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为________．
【解析】 因为e1，e2是夹角为的两个单位向量，
所以e1·e2＝|e1||e2|cos＝1×1×＝，
|a|2＝a2＝(2e1＋e2)2＝4e＋4e1·e2＋e
＝4×12＋4×＋12＝7，
|b|2＝b2＝(－3e1＋2e2)2＝9e－12e1·e2＋4e
＝9×12－12×＋4×12＝7，
a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋e1·e2＋2e
＝－6×12＋＋2×12＝－，
设向量a与向量b的夹角为θ，
cos
θ＝＝＝－，
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
【答案】
4．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．
【解】 (1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，所以(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos
120°－|b||c|cos
120°＝0，所以(a－b)⊥c.
(2)因为|ka＋b＋c|＞1，所以(ka＋b＋c)2＞1，即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＞1，所以k2＋1＋1＋2kcos
120°＋2kcos
120°＋2cos
120°＞1，所以k2－2k＞0，解得k＜0或k＞2.
所以实数k的取值范围为{k|k＜0或k＞2}．学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1.如图2－2－6，在 ABCD中，下列结论错误的是( )
图2－2－6
A．＝
B.＋＝
C.＋＝
D.＋＝0
【解析】 根据向量的概念及加法的法则知＋＝，故C错误．
【答案】 C
2.如图2－2－7，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
图2－2－7
A．0
B．
C.
D．
【解析】 ＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝.
【答案】 D
3．化简＋－－＝( )
A．
B．
C.
D．0
【解析】 ＋－－＝－(＋)＝－＝0.
【答案】 D
4.如图2－2－8，在四边形ABCD中，设
＝a，＝b，＝c，则等于( )
图2－2－8
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
【解析】 ＝－＝(＋)－＝a＋c－b.
【答案】 A
5．已知正方形的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|等于( )
【导学号：66470043】
A．0
B．3
C.
D．2
【解析】 ∵a＋b＝＋＝，
∴|a＋b＋c|＝|2|＝2.
【答案】 D
二、填空题
6.根据图示填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝.
图2－2－9
(1)a＋b＋c＝________；
(2)b＋d＋c＝________.
【解析】 (1)a＋b＋c＝＋＋＝.
(2)b＋d＋c＝＋＋＝＋＋＝.
【答案】 (1) (2)
7．如图2－2－10，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|＝________.
图2－2－10
【解析】 ∵＋＋＝＋＋＝，
∴|＋＋|＝||＝2.
【答案】 2
8．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|等于________．
【解析】 |－＋|＝|＋＋|＝||＝2.
【答案】 2
三、解答题
9.如图2－2－11，在正五边形ABCDE中，若＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，求作向量a－c＋b－d－e
图2－2－11
【解】 a－c＋b－d－e＝(a＋b)－(c＋d＋e)＝(＋)－(＋＋)＝－＝＋.
如图，连接AC，并延长至点F，使CF＝AC，则＝.
所以＝＋，即为所求作的向量a－c＋b－d－e.
10．如图2－2－12所示，已知在矩形ABCD中，AD＝4，设＝a，＝b，＝c.试求|a＋b＋c|.
图2－2－12
【解】 a＋b＋c＝＋＋＝＋.延长BC至E，使CE＝BC，连接DE.由于＝＝，
∴四边形ACED是平行四边形，∴＝，∴＋＝＋＝，∴|a＋b＋c|＝||＝2||＝2||＝8.
[能力提升]
1．下列式子不能化简为的是( )
A．(＋)＋
B．(＋)＋(＋)
C.－＋
D.＋－
【解析】 对于A，有＋＋＝；对于B，有＋(＋)＋＝＋(＋)＝；对于C，有(－)＋＝＋＝；只有D无法化简为.
【答案】 D
2．(2016·钦州高一检测)在平行四边形ABCD中．若|＋|＝|＋|，则四边形ABCD是( )
A．菱形
B．矩形
C．正方形
D．不确定
【解析】 因为四边形ABCD为平行四边形，所以＋＝，＋＝.又|＋|＝|＋|，所以||＝||，故该平行四边形为矩形．
【答案】 B
3．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是________.
【导学号：66470044】
【解析】 因为||＝|－|且|||－|||≤|－|≤||＋||，所以3≤|－|≤13，∴3≤||≤13.
【答案】 [3,13]
4．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|的值．
【解】 在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
由题意，知||＝||＝2，＝1.
如图所示，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AB交直线AB于F.
∵AB＝BD＝2，∴AE＝ED＝AD＝.
在△ABE中，cos∠EAB＝＝，
在△CBF中，∠CBF＝∠EAB，
∴cos∠CBF＝，∴BF＝BCcos∠CBF＝1×＝，∴CF＝，
∴AF＝AB＋BF＝2＋＝.
在Rt△AFC中，AC＝
＝＝，∴|a＋b|＝.学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．函数y＝1－sin
x，x∈[0,2π]的大致图像是( )
【解析】 当x＝时y＝0，当x＝0时y＝1，
当x＝2π时y＝1，结合正弦函数的图像知B正确．
【答案】 B
2．点在函数y＝sin
x＋1的图像上，则b等于( )
A.
B．
C．2
D．3
【解析】 由题意知b＝sin＋1＝2.
【答案】 C
3．若函数y＝sin
x，x∈与y＝1围成一个平面图形，则这个封闭的图形面积是( )
A．2
B．4
C．2π
D．4π
【解析】 如图，由对称性知，所围成平面图形的面积是长为－＝2π，宽为1的矩形的面积，∴S＝2π，故选C.
【答案】 C
4．函数y＝4sin
x＋3在[－π，π]上的递增区间为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 如图所示，y＝sin
x在上是增加的，所以y＝4sin
x＋3在[－π，π]上的递增区间为.
【答案】 B
5．下列关系式中正确的是( )
A．sin
11°10°168°
B．sin
168°11°10°
C．sin
11°168°10°
D．sin
168°10°11°
【解析】 cos
10°＝sin
80°，sin
168°＝sin(180°－12°)＝sin
12°，y＝sin
x在上是增加的．
又0<11°<12°<80°，所以sin
11°12°80°，
即sin
11°168°10°.
【答案】 C
二、填空题
6．y＝a＋bsin
x的最大值是，最小值是－，则a＝________，b＝________.
【导学号：66470016】
【解析】 若b>0，由－1≤sin
x≤1知
解得
若b<0，则解得
【答案】 ±1
7．函数f(x)＝x3＋sin
x＋1，x∈R，若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．
【解析】 f(a)＝a3＋sin
a＋1＝2，所以a3＋sin
a＝1，
f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1
＝－(a3＋sin
a)＋1
＝－1＋1＝0.
【答案】 0
8．函数y＝1＋sin
x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝有________个交点．
【解析】 在同一坐标系中作出函数y＝1＋sin
x，y＝的图像，如图所示．在x∈[0,2π]内共有两个交点．
【答案】 两
三、解答题
9．求函数y＝2
sin，x∈的值域．
【解】 ∵x∈，
∴x＋∈，
则当x＋＝，即x＝时，y最大为2.
当x＋＝，即x＝时，y最小为1.
∴函数y＝2
sin，x∈的值域是[1,2]．
10．已知函数y＝sin
x＋|sin
x|.
(1)画出这个函数的图像；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
(3)指出这个函数的单调增区间．
【解】 (1)y＝sin
x＋|sin
x|
＝
其图像如图所示．
(2)由图像知函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π.
(3)由图像知函数的单调增区间为(k∈Z)．
[能力提升]
1．下列不等式中成立的是( )
A．sinB．sinC．sin
3>sin
2
D．sin>sin
【解析】 由于0<<<，而y＝sin
x在上单调递增，
∴sin－sin，
即sin>sin，故选A.
【答案】 A
2．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin
x，则f的值为( )
A．－
B．
C．－
D．
【解析】 ∵f(x)的周期是π，
∴f＝f＝f
＝f＝f.
又f(x)是偶函数，
∴f＝f＝sin＝，
∴f＝.
【答案】 D
3．f(x)＝2sin
ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________.
【导学号：66470017】
【解析】 因为0≤x≤，
所以0≤ωx≤ω<，
所以f(x)在上是增加的．
所以f＝，即2sin＝，
所以ω＝，所以ω＝.
【答案】
4．已知－≤x≤，f(x)＝sin2x＋2sin
x＋2，求f(x)的最大值和最小值，并求出相应的x值．
【解】 令t＝sin
x，则由－≤x≤π知，－≤t≤1，
∴f(x)＝g(t)＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1，
当t＝1时，f(x)max＝5，
此时，sin
x＝1，x＝；
当t＝－时，f(x)min＝，
此时，sin
x＝－，x＝－.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值是( )
A．－1
B．1
C．2
D．－1或2
【解析】 因为直线l的法向量为(m,2)，由题意得(m,2)(1－m,1)＝0，
所以m(1－m)＋2＝0，解得m＝2或－1.
【答案】 D
2．点P(1,2)到直线l：5x－12y－7＝0的距离d＝( )
A．2
B．4
C.
D．3
【解析】 d＝＝＝2.
【答案】 A
3．在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于y轴对称，向量a＝(1,0)，则满足2＋a·＝0的点A(x，y)的轨迹方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋y2＝0
D．x2＋(y－1)2＝1
【解析】 因为与关于y轴对称，所以＝(－x，y)，
所以2＝x2＋y2，＝－＝(－2x,0)，
所以2＋a·＝0可表示为
x2＋y2＋(1,0)·(－2x,0)＝0，即(x－1)2＋y2＝1.
【答案】 B
4．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
【解析】 由题意得，2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·，
∴·＝0，∴⊥，
∴△ABC是直角三角形．
【答案】 C
5．如图2－7－3所示，矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB中点，若⊥，则＝( )
图2－7－3
A．
B．2
C．3
D．2
【解析】 如图，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，E(2,0)．
设AD＝m.
则D(0，m)，C(4，m)．
∵⊥，∴·＝0，
而＝(2，－m)，＝(4，m)，
∴8－m2＝0，即m2＝8，
∴||＝＝＝2.
【答案】 B
二、填空题
6．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(2，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位长度)．设开始时点P的坐标为(－1,1)，则3秒后点P的坐标为________．
【解析】 设点A(－1,1)，3秒后点P运动到B点，
则＝3
v，所以－＝3
v，
所以＝＋3v＝(－1,1)＋3(2，－3)＝(5，－8)．
【答案】 (5，－8)
7．河水的流速为2m/s，一艘小船以10
m/s的速度向垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为________
m/s.
【解析】 设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则v＝v1＋v2，|v1|＝2，|v|＝10.
因为v⊥v1，所以v·v1＝0，
所以|v2|＝|v－v1|＝
＝＝＝2.
【答案】 2
8．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.
【导学号：66470060】
【解析】 选，为基底，则＝＋，
＝－＋，
∴·＝·
＝－2－2＋·
＝－－＋×1×1×cos
60°＝－.
【答案】 －
三、解答题
9．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)．
(1)求·和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状；
(2)若M为BC边的中点，求||.
【解】 (1)由题意得＝(3，－1)，＝(－1，－3)，
·＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，
所以⊥，即∠A＝90°.因为||＝||，
所以△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝45°.
(2)因为M为BC中点，所以M(2,0)．
又因为A(1,2)，所以＝(1，－2)，
所以||＝＝.
10.如图2－7－4，已知Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，M在OB上，且OM＝1，N在OA上，且ON＝1，P为AM与BN的交点，求∠MPN.
图2－7－4
【解】 设＝a，＝b且，
的夹角为θ，则＝b，＝a.
又∵＝－＝b－a，
＝－＝a－b，
∴·＝·＝－5，
||＝，||＝，∴cos
θ＝＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
又∵∠MPN即为向量，的夹角，∴∠MPN＝.
[能力提升]
1．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上
【解析】 由＝，得2＝3－，
即2(－)＝－，
即2＝＝－，
即＝－，
所以点P在线段AB的反向延长线上．
【答案】 B
2．(2016·宝鸡高一检测)设P，Q为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为( )
A．
B．
C.
D．
【解析】 如图(1)所示，过P作PE∥AC，交AB于点E，过P作PF∥AB，交AC于点F，过C作CD⊥AB，垂足为D，
(1) (2)
由平面向量基本定理及＝＋，可知＝，|PE|＝|AF|，故＝＝，又因为Rt△ACD∽Rt△EPO，所以＝＝，
＝＝＝，
如图(2)所示，同理可证
＝＝＝＝，
所以＝＝.
【答案】 B
3．如图2－7－5所示，已知点A
(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC和OB交点P的坐标为________．
图2－7－5
【解析】 设＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)，
则＝－＝(4t－4,4t)，
＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
由，共线得(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，
解得t＝，
∴＝(4t,4t)＝(3,3)，
∴P点坐标为(3,3)．
【答案】 (3,3)
4.
(2016·柳州高一检测)如图2－7－6所示， ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB，
图2－7－6
(1)试用向量a，b来表示，；
(2)AM交DN于O点，求AO∶OM的值．
【解】 (1)因为AN＝AB，
所以＝＝a，
所以＝－＝a－b.
因为BM＝BC，
所以＝＝＝b，
所以＝＋＝a＋b.
(2)因为A，O，M三点共线，所以∥.
设＝λ，则＝－＝λ－
＝λ－b＝λa＋b.
因为D，O，N三点共线，所以∥，
存在实数μ使＝μ，
λa＋b＝μ.
由于向量a，b不共线，
解得
所以＝，＝，
所以AO∶OM＝3∶11.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．化简sin(x＋y)·sin(x－y)＋cos(x＋y)·cos(x－y)的结果是( )
A．sin
2x
B．cos
2y
C．－cos
2x
D．－cos
2y
【解析】 原式＝cos[(x＋y)－(x－y)]＝cos
2y.
【答案】 B
2．若sin
x＋cos
x＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值是( )
A．－
B．－
C.
D．
【解析】 sin
x＋cos
x＝cos
x·cos＋sin
x·sin＝cos，故φ的一个可能的值为－.
【答案】 A
3．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sin
B·cos
C
，那么这个三角形一定是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
【解析】 sin(B＋C)＝sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C，由sin(B＋C)＝2sin
Bcos
C，得cos
Bsin
C＝sin
B
cos
C，所以cos
Bsin
C－sin
Bcos
C＝0，
即sin(C－B)＝0，所以C＝B，故为等腰三角形．
【答案】 D
4．α，β都是锐角，且sin
α＝，cos(α＋β)＝－，则cos
β＝( )
A．
B．
C.
D．
【解析】 ∵α，β都是锐角，
∴cos
α＝＝，
sin(α＋β)＝＝，
∴cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝－×＋×
＝.
【答案】 B
5．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos
α，sin
α)，若·＝
－1，则sin等于( )
A．
B．
C.
D．
【解析】 ＝(cos
α－3，sin
α)，＝(cos
α，sin
α－3)，
∴·＝(cos
α－3)cos
α＋sin
α(sin
α－3)
＝cos2α－3cos
α＋sin2α－3sin
α
＝1－3(sin
α＋cos
α)＝－1，
∴3(sin
α＋cos
α)＝2，
∴3sin＝2，
∴sin＝.
【答案】 B
二、填空题
6．cos(α－35°)·cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝________.
【导学号：66470069】
【解析】 cos(α－35°)·cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)
＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]
＝cos(－60°)
＝cos
60°
＝.
【答案】
7．(2016·合肥高一检测)已知α，β均为锐角，满足cos
α＝，sin
β＝，则cos(α－β)＝________.
【解析】 因为α，β均为锐角，
所以sin
α＝＝，
cos
β＝＝，
所以cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×＝.
【答案】
8．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan
α＝________.
【解析】 由cos(α＋β)＝sin(α－β)，得cos
αcos
β－
sin
αsin
β＝sin
αcos
β－cos
αsin
β，
(cos
α－sin
α)(cos
β＋sin
β)＝0.
因为α，β均为锐角，所以cos
β＋sin
β>0，
所以cos
α－sin
α＝0，即tan
α＝1.
【答案】 1
三、解答题
9．已知cos＝，求cos－sin2的值．
【解】 原式＝cos－sin2
＝－cos－sin2
＝－cos－1＋cos2
＝－－1＋2＝－.
10．已知0<β<，<α<，cos＝，sin＝.求sin(α＋β)的值．
【解】 ∵<α<，
∴－<－α<0，
∴sin
＝－＝－.
又∵0<β<，∴<＋β<π，
∴cos＝－
＝－.
∴sin(α＋β)＝－cos
＝－cos
＝－coscos－sin·sin
＝－×－×
＝.
[能力提升]
1．已知0<α<<β<π，又sin
α＝，cos(α＋β)＝－，则sin
β＝( )
A．0
B．0或
C.
D．
【解析】 ∵0<α<<β<π，sin
α＝，cos(α＋β)＝－，
∴cos
α＝，sin(α＋β)＝或－，
∴sin
β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)·cos
α－cos
(α＋β)·sin
α＝或0.
∵<β<π，
∴sin
β＝.
【答案】 C
2.＝________.
【解析】 原式＝
＝
＝tan
15°
＝
＝＝2－.
【答案】 2－
3．(2016·西安高一检测)△ABC中，＝(cos
18°，cos
72°)，＝(2cos
63°，2cos
27°)，则B＝________.
【解析】 ∵＝(cos
18°，cos
72°)，
∴＝(－cos
18°，－sin
18°)．
∴||＝
＝1.
＝(2sin
27°，2cos
27°)，
∴||＝2.
∴cos
B＝
＝
＝－sin(27°＋18°)
＝－sin
45°＝－.
∵B是△ABC的内角，
∴B＝.
【答案】
4．已知向量a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若0<α<，－<β<0，且sin
β＝－，求sin
α.
【解】 (1)∵|a|＝1，|b|＝1，
|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2
＝|a|2＋|b|2－2(cos
αcos
β＋sin
αsin
β)
＝2－2cos(α－β)．
又∵|a－b|2＝2＝，
∴2－2cos(α－β)＝，
∴cos(α－β)＝.
(2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π，
由cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝.
由sin
β＝－，得cos
β＝，
∴sin
α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos
β＋cos(α－β)sin
β
＝×＋×
＝.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若向量a与向量b不相等，则a与b一定( )
A．不共线
B．长度不相等
C．不都是单位向量
D．不都是零向量
【解析】 若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同．所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，所以A，B，C都是错误的．但是a与b一定不都是零向量．
【答案】 D
2．如图2－1－4所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是( )
图2－1－4
A．＝
B．||＝||
C.＞
D．＜
【解析】 ||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等．
【答案】 B
3．如图2－1－5， ABCD中，相等的向量是( )
图2－1－5
A．与
B．与
C.与
D．与
【解析】 与方向相同且长度相等．
【答案】 D
4．下列说法中正确的个数是( )
(1)单位向量都平行；
(2)若两个单位向量共线，则这两个向量相等；
(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
(4)有相同起点的两个非零向量不平行；
(5)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】 (1)错误．因为单位向量的方向可以既不相同又不相反．
(2)错误．因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反．
(3)正确．因为零向量与任意向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
(4)错误．有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量．
(5)正确．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．
【答案】 A
5．设四边形ABCD中，有＝，且||＝||，则这个四边形是( )
A．正方形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
【解析】 由＝可知四边形ABCD为平行四边形，又|＝||，该四边形为菱形．
【答案】 D
二、填空题
6．设数轴上有四个点A，B，C，D，其中A，C对应的实数分别是1和－3，且＝，为单位向量，则点B对应的实数为________；点D对应的实数为________；||＝________.
【导学号：66470039】
【解析】 由题意知点C是线段AB的中点，所以点B对应的实数为－7.为单位向量，所以点D对应的实数为－4或－2，||＝－3－(－7)＝4.
【答案】 －7 －4或－2 4
7.如图2－1－6所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：
图2－1－6
(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________．
(2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________．
【解析】 (1)模相等的两个向量是，，
||＝||＝＝.
(2)共线的向量是，，
且||＋||＝2＋3＝5.
【答案】 (1)， (2)， 5
8．给出下列几种叙述：
(1)两个向量相等，则它们的始点相同，终点相同；
(2)若|a|＝|b|，则a＝b；
(3)若＝，则ABCD是平行四边形；
(4)平行四边形ABCD中，一定有＝；
(5)若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确的有________(填所有正确说法的序号)．
【解析】 (1)错误．两个向量相等，它们的始点和终点都不一定相同．
(2)错误．若|a|＝|b|，则a与b方向未必相同，故a与b不一定相等．
(3)错误．若＝，则A，B，C，D四个点有可能在同一条直线上，所以ABCD不一定是平行四边形．
(4)正确．平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC且有向线段与方向相同，所以＝.
(5)错误．若a∥b，b∥c，b＝0，则a与c不一定平行．
【答案】 (4)
三、解答题
9．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
(1)与相等的向量；
(2)与长度相等的向量；
(3)与共线的向量．
【解】 (1)由图可知，BC＝AD，所以与相等的向量为.
(2)由O是正方形ABCD对角线的交点，可知OB＝OD＝OA＝OC，所以与长度相等的向量有，，，，，，.
(3)与共线的向量有，，.
10．如图2－1－7所示，四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.
求证：＝.
图2－1－7
【证明】 ∵＝，∴||＝||且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴||＝||，且DA∥CB.
又∵与的方向相同，∴＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴＝.
∵||＝||，||＝||，∴||＝||，
又∵与的方向相同，∴＝.
[能力提升]
1.如图2－1－8所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，则与的模相等的向量共有( )
图2－1－8
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
【解析】 ∵E，F，D分别是边AC，AB和BC的中点，
∴EF＝BC，BD＝DC＝BC.
又∵AB，BC，AC均不相等，从而与的模相等的向量是，，，，.
【答案】 B
2．在四边形ABCD中，∥且||≠||，则四边形ABCD的形状是________.
【导学号：66470040】
【解析】 ∵∥且||≠||，
∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四边形ABCD是梯形．
【答案】 梯形
3．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________.
【解析】 易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝，∴||＝2||＝2.
【答案】 2
4.如图2－1－9所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数．
图2－1－9
【解】 由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，，，
，，，，，，，，，，，，，，，.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个．学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·合肥高一检测)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos
2x的图像( )
A．向左平移1个单位
B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
【解析】 ∵y＝cos(2x＋1)＝cos，
∴只要将函数y＝cos
2x的图像向左平移个单位即可，故选C.
【答案】 C
2．(2016·永寿高一检测)要得到函数y＝cos
2x的图像，可由函数y＝cos的图像( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【解析】 y＝cos
y＝cos＝cos
＝cos
2x.
【答案】 C
3．(2016·桂林高一检测)将函数y＝sin的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sinx
D．y＝sin
【解析】 y＝siny＝siny＝sin＝sin.故选D.
【答案】 D
4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(x∈[0,2π])的图像和直线y＝的交点个数是( )
【导学号：66470028】
A．0
B．1
C．2
D．4
【解析】 根据诱导公式，y＝sin
，作出y＝sin
，x∈[0,2π]的图像及y＝的图像可得解．故选C.
【答案】 C
5．(2016·贺州高一检测)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图像如图1－8－3所示，如果A>0，ω>0，|φ|<，则( )
图1－8－3
A．A＝4
B．ω＝1
C．φ＝
D．B＝4
【解析】 由题图可知A＝＝2，B＝2，T＝4＝π，∴ω＝＝＝2.
∴y＝2sin(2x＋φ)＋2，代入点得φ＝.
【答案】 C
二、填空题
6．(2016·柳州高一检测)把函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长为原来的2倍，所得图像的函数解析式为________．
【解析】 y＝siny＝
siny＝2sin
2x.
【答案】 y＝2sin
2x
7.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图1－8－4所示，则ω等于________．
图1－8－4
【解析】 从题图中可以看出：周期T＝－－(－π)＝，所以ω＝＝3.
【答案】 3
8．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移个单位后，与函数y＝sin的图像重合，则φ＝________.
【解析】 将y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移个单位后得y＝cos＝cos(2x－π＋φ)＝cos＝－cos(2x＋φ)，
∴y＝－cos(2x＋φ)＝sin，由题意可知φ－
＝＋2kπ(k∈Z)，
∴φ＝＋2kπ(k∈Z)．结合－π≤φ<π，知φ＝.
【答案】
三、解答题
9．若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b在其一个周期内的图像上有一个最高点和一个最低点，求该函数的解析式．
【解】 由题意知：b＝＝－1，T＝π，A＝4，
∴ω＝＝2.
∴所求函数为y＝4sin(2x＋φ)－1.
∵为该函数图像上的点，
∴当x＝时，y＝3，
即4sin－1＝3，∴sin＝1，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
∴φ＝＋2kπ.
∵|φ|<，∴φ＝，∴该函数的解析式为y＝4sin－1.
10．已知函数y＝sin＋1.
(1)用“五点法”画出函数的草图；
(2)函数图像可由y＝sin
x的图像怎样变换得到？
【解】 (1)列表：
2x＋
0
π
2π
x
－
y
1
2
1
0
1
描点、连线如图所示．
将y＝sin＋1在上的图像向左(右)平移kπ(k∈Z)个单位，即可得到y＝sin＋1的整个图像．
[能力提升]
1．(2016·铜川高一检测)把函数y＝cos
2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )
【解析】 y＝cos
2x＋1y＝cos
x＋1
y＝cos(x＋1)＋1y＝cos(x＋1)．结合选项可知应选A．
【答案】 A
2．已知函数f(x)＝cos(x∈R，ω>0)的最小正周期为，为了得到函数g(x)＝sin
ωx的图像，只要将y＝f(x)的图像( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【解析】 因为f(x)的最小正周期为，所以＝，所以ω＝4，
所以f(x)＝cos＝cos
4，
g(x)＝sin
4x＝cos＝cos
＝cos
4，
故需将y＝f(x)的图像向右平移＋＝个单位长度．
【答案】 D
3．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________.
【导学号：66470029】
【解析】 由于对称轴完全相同，所以它们的周期相同，
∴ω＝2，∴f(x)＝3sin.
由x∈，得－≤2x－≤π，∴－≤f(x)≤3.
【答案】
4．已知函数f(x)＝2sin(ωx)，其中常数ω>0.
(1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图像，区间[a，b](a，b∈R且a【解】 (1)因为ω>0，根据题意有 0<ω≤.
(2)f(x)＝2
sin
2x，
g(x)＝2sin＋1
＝2sin＋1，
g(x)＝0 sin＝－ x＝kπ＋π或x＝kπ＋π，k∈Z，即g(x)的零点相离间隔依次为和，故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知sin＝，α∈，则tan
α的值为( )
A．－2
B．2
C．－
D．
【解析】 sin＝cos
α＝，又α∈，所以sin
α＝－＝－，则tan
α＝＝
－2.
【答案】 A
2．已知tan
α＝2，则＋＝( )
A．1
B．2
C.
D．±2
【解析】 ＋＝
＝＝2·2
＝2×2＝.
【答案】 C
3．(2016·宿州高一检测)已知sin
α，cos
α是方程3x2－2x＋a＝0的两根，则实数a的值为( )
A．
B．－
C.
D．
【解析】 由Δ≥0，得a≤，又
故sin
αcos
α＝－＝，所以a＝－.
【答案】 B
4．(2016·桂林高一检测)已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin
θcos
θ＝( )
A．－
B．
C.
D．－
【解析】 因为θ是第三象限角，
所以sin
θ<0，cos
θ<0，故sin
θcos
θ>0.
又因为sin4θ＋cos4θ＝，
所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ，
故1－2sin2θcos2θ＝，
所以sin
θcos
θ＝＝.
【答案】 B
5．已知α是第三象限角，化简－得( )
A．tan
α
B．－tan
α
C．－2tan
α
D．2tan
α
【解析】 原式＝
－
＝－
＝－.
因为α是第三象限角，所以cos
α<0，
所以原式＝－＝－2tan
α.
【答案】 C
二、填空题
6．已知向量a＝(3,4)，b＝(sin
α，cos
α)，且a∥b，则tan
α＝________.
【导学号：66470065】
【解析】 ∵a＝(3,4)，b＝(sin
α，cos
α)，且a∥b，
∴3cos
α－4sin
α＝0.
∴tan
α＝.
【答案】
7．(2016·铜川高一检测)已知tan
α，是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两个实根，且3π<α<π，则cos
α＋sin
α＝________.
【解析】 ∵tan
α·＝k2－3＝1，∴k＝±2，而3π<α<π，则tan
α＋＝k＝2，得tan
α＝1，则sin
α＝cos
α＝－，∴cos
α＋sin
α＝－.
【答案】 －
8．化简(1－cos
α)＝________.
【解析】 (1－cos
α)＝(1－cos
α)
＝＝sin
α.
【答案】 sin
α
三、解答题
9．已知＝2，计算下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α－2sin
αcos
α＋1.
【解】 由＝2，化简，得sin
α＝3cos
α，所以tan
α＝3.
(1)法一：原式＝＝＝.
法二：原式＝
＝＝＝.
(2)原式＝＋1
＝＋1
＝＋1＝.
10．若sin
αtan
α<0，化简＋.
【解】 ＋
＝＋
＝＋
＝＋
＝＋.
∵|sin
α|≤1，∴1－sin
α≥0,1＋sin
α≥0.
又∵sin
αtan
α<0，∴α为第二、三象限角，
从而cos
α<0，
∴原式＝＋＝－.
[能力提升]
1．已知sin
α－cos
α＝－，则tan
α＋的值为( )
A．－4
B．4
C．－8
D．8
【解析】 tan
α＋＝＋＝.
∵sin
αcos
α＝＝－，
∴tan
α＋＝－8.
【答案】 C
2．已知tan
α－＝－，则＝( )
A．
B．－
C.
D．－
【解析】 由tan
α－＝＝＝＝－＝－，所以＝.
【答案】 A
3．已知函数f(x)满足f(tan
x)＝，则f(x)的解析式为________.
【导学号：66470066】
【解析】 由f(tan
x)＝＝＝＋＝＋＝tan2x＋1＋1＋＝tan2x＋2＋，得f(x)＝＋x2＋2.
【答案】 f(x)＝＋x2＋2
4．证明：－＝.
【证明】 左边＝
＝
＝
＝
＝＝右边．学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·西安高一检测)钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )
A．8点处
B．10点处
C．11点处
D．12点处
【解析】 由题意知60分钟后分针仍指在2点处，100分钟后指在2＋＝10点处．
【答案】 B
2．集合M＝{x|x＝
k·90°±45°，k∈Z
}与P＝{x|x＝m·45°，m∈Z}之间的关系为( )
A．M?P
B．P?M
C．M＝P
D．M∩P＝
【解析】 M＝{x|x＝
k·90°±45°，k∈Z}
＝{x|x＝2k·45°±45°，k∈±1)·45°，k∈Z}．
P＝{x|x＝m·45°，m∈Z}，故选A.
【答案】 A
3．若α是第二象限的角，则180°－α是( )
A．第一象限的角
B．第二象限的角
C．第三象限的角
D．第四象限的角
【解析】 α为第二象限的角，不妨设α＝100°，则180°－α＝180°－100°＝80°为第一象限的角．
【答案】 A
4．与－457°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝457°＋k×360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k×360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k×360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k×360°，k∈Z}
【解析】 在0°～360°内与－457°终边相同的角为－457°＋2×360°＝263°，故与－457°角终边相同的角的集合为{α|α＝263°＋k×360°，k∈Z}．
【答案】 C
5．如图1－2－3，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是( )
图1－2－3
A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}
【解析】 终边落在y＝x上的角的集合为S1＝{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，终边落在y＝－x上的角的集合为S2＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}，所以终边落在y＝±x上的角的集合为S＝S1∪S2＝{α|α＝180·k＋45°，k∈Z}∪{α|α＝180°·k＋135°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·90°＋45°，k∈Z}＝{α|α＝90°·k＋45°，k∈Z}．
【答案】 D
二、填空题
6．与2
016°终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________.
【导学号：66470002】
【解析】 2
016°＝360°×5＋216°，所以与2
016°终边相同的最小正角为216°.又2
016°＝360°×6＋(－144°)，所以绝对值最小的角为－144°.
【答案】 216° －144°
7．设集合M＝{α|α＝－36°＋k×90°，k∈Z}，N＝{α|－180°<α<180°}，则M∩N＝________.
【解析】 分别令k＝－1,0,1,2，可得α＝－126°，－36°，54°，144°.
【答案】 {－126°，－36°，54°，144°}
8．终边落在阴影部分的角的集合是________．
图1－2－4
【解析】 终边落在OA上的角的集合为k·360°－45°，终边落在OB上的角的集合为k·360°＋120°，终边落在阴影部分的角的集合为{α|－45°＋360°·k≤α≤120°＋360°·k，k∈Z}．
【答案】 {α|－45°＋360°·k≤α≤120°＋360°·k，k∈Z}
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，画出下列集合所表示的角的终边所在区域(用阴影表示)．
(1){α|k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}；
(2){α|k·180°≤α≤135°＋k·180°，k∈Z}．
【解】 如图所示：
10．(2016·合肥高一检测)已知角α是第三象限角，求：
(1)角是第几象限的角；
(2)角2α终边的位置．
【解】 (1)因为k·360°＋180°<α(2)因为k·360°＋180°<α所以2k·360°＋360°<2α<2k·360°＋540°，k∈Z，
则无论k取何整数，表示的角的终边都在x轴的上半平面，故2α的终边在x轴的上半平面．
[能力提升]
1．在直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，则α与β的关系为( )
A．β＝α＋90°
B．β＝α±90°
C．β＝α＋90°－k·360°
D．β＝α±90°＋k·360°
【解析】 ∵α与β的终边互相垂直，故β－α＝±90°＋k·360°，k∈Z，∴β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)．
【答案】 D
2．(2016·蒙城高一检测)已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是( )
A．第一象限角
B．第一或二象限角
C．第一或三象限角
D．第一或四象限角
【解析】 由于角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α【答案】 C
3．设集合A＝{x|k·360°＋60°【解析】 因为A＝{x|k·360°＋60°【答案】 {x|k·360°＋150°4．探索如图1－2－5所示呈现的规律，判断2
014至2
016箭头的方向是________．(填序号)
图1－2－5
【解析】 观察题图可知，0到4为一个周期，
则从2
014到2
016对应着2到3到4.
【答案】 ③学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．cos＋sin的值为( )
A.
B．
C．
D．
【解析】 原式＝cosπ－sin＝cos－sin
＝－cos＋sin＝.
【答案】 C
2．(2016·桂林高一检测)若cos(2π－α)＝，则sin等于( )
【导学号：66470012】
A．－
B．－
C．
D．±
【解析】 ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos
α＝，
∴sin＝－cos
α＝－.
【答案】 A
3．已知f(sin
x)＝
cos
3x，则f(cos
10°)的值为( )
A．－
B．
C．
D．－
【解析】 f(cos
10°)＝f(sin
80°)＝×cos
3×80°＝cos
240°＝－.
【答案】 A
4．已知cos(π＋α)＝－，则sin等于( )
A.
B．－
C．±
D．－
【解析】 由于cos(π＋α)＝－cos
α＝－，
∴cos
α＝，
∴sin＝sin＝sin
＝－sin
＝－cos
α＝－.
【答案】 D
5．cos(k∈Z)的值为( )
A．±
B．
C．－
D．±
【解析】 若k为偶数，不妨设k＝2n(n∈Z)，
则cos＝cos＝cos＝；
若k为奇数，可设k＝2n＋1(n∈Z)，则cos＝cos＝cos＝－cos＝－.综上，cos的值为±.
【答案】 A
二、填空题
6．y＝3
sin
x，x∈的值域为________．
【解析】 借助单位圆可知，函数y＝sin
x，x∈在x＝处取最大值1，在x＝－和x＝处同时取得最小值－，即－≤sin
x≤1，所以－≤3
sin
x≤3.
【答案】
7．若cos＋sin(π＋θ)＝－m，则cos＋2sin(6π－θ)＝________.
【解析】 ∵cos＋sin(π＋θ)＝－sin
θ＋(－sin
θ)＝－2sin
θ＝－m，
∴sin
θ＝.
∴cos＋2sin(6π－θ)＝－sin
θ－2sin
θ＝－3sin
θ＝－.
【答案】 －
8．若|sin(4π－α)|＝sin(π＋α)，则角α的取值范围是________．
【解析】 因为|sin(4π－α)|＝sin(π＋α)，
则|sin
α|＝－sin
α，所以sin
α≤0，
所以2kπ－π≤α≤2kπ(k∈Z)．
【答案】 {α|2kπ－π≤α≤2kπ，k∈Z}
三、解答题
9．求函数y＝3－2cos
x，x∈的值域．
【解】 ∵－≤x≤，∴≤cos
x≤1，
∴－1≤－cos
x≤－，
∴－2≤－2cos
x≤－，
∴1≤3－2cos
x≤3－.
故函数y＝3－2cos
x，x∈的值域为[1,3－]．
10．已知角α终边上一点P(－4,3)，
求的值．
【解】 点P到原点O的距离|OP|＝＝5，根据三角函数的定义得，sin
α＝，cos
α＝－.
＝
＝
＝
＝＝×＝－.
[能力提升]
1．(2016·长武高一检测)设f(x)＝a
sin(πx＋α)＋b
cos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2
015)＝5，则f(2
016)等于( )
A．4
B．－4
C．5
D．－5
【解析】 因为f(2
015)＝a
sin(2
015π＋α)＋b
cos(2
015π＋β)＝－a
sin
α－b
cos
β＝5，
所以a
sin
α＋b
cos
β＝－5.
又f(2
016)＝a
sin(2
016π＋α)＋b
cos(2
016π＋β)
＝a
sin
α＋b
cos
β
＝－5.
【答案】 D
2．下列三角函数中，与sin
数值相同的是( )
①sin；②cos；③sin；
④cos；⑤sin(n∈Z)．
A．①②
B．①③④
C．②③⑤
D．①③⑤
【解析】 ①中，sin＝
＝
②中，cos＝cos
＝sin＝sin
；
③中，sin＝sin
；
④中，cos＝cos＝－cos
≠sin
；
⑤中，sin＝sin＝sin
.
故②③⑤中的三角函数与sin
的数值相同．
【答案】 C
3．sin(－1
200°)cos
1
290°＋cos(－1
020°)·sin(－1
050°)＝________.
【导学号：66470013】
【解析】 原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)
＝－sin
120°·cos
210°－cos
300°sin
330°
＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·
sin(360°－30°)
＝sin
60°cos
30°＋cos
60°sin
30°
＝×＋×
＝1.
【答案】 1
4．化简：··.
【解】 原式＝··
＝··
＝··
＝··
＝1.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则－2a＋4b等于( )
A．(－6，－8)
B．(－3，－6)
C．(6,8)
D．(6，－8)
【解析】 －2a＋4b＝－2(3,2)＋4(0，－1)＝(－6，－4)＋(0，－4)＝(－6，－8)．
【答案】 A
2．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
【解析】 法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．
故选A．
法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
故选A．
【答案】 A
3．若a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝( )
A．－a＋b
B.a－b
C．－a－b
D．－a＋b
【解析】 设c＝xa＋yb，
即(－1,2)＝(x，x)＋(y，－y)＝(x＋y，x－y)．
∴解得
【答案】 B
4．向量＝(k,12)，＝(10，k)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为( )
A．－2
B．11
C．－2或11
D．2或－11
【解析】 ＝－＝(k,12)－(4,5)＝(k－4,7)，
＝－＝(k,12)－(10，k)＝(k－10,12－k)．
因为A，B，C三点共线，所以∥，
所以(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0，
整理得k2－9k－22＝0，解得k＝－2或11.
【答案】 C
5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A．
B．
C．(3,2)
D．(1,3)
【解析】 ＝(3,1)－(－1，－2)＝(4,3)．
设D(x，y)，
＝(x，y)－(0,2)＝(x，y－2)．
又∵＝2，∴4＝2x且3＝2(y－2)，
解得x＝2，y＝.
【答案】 A
二、填空题
6．(2016·华阴高一检测)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，2a－b与c平行，则实数k＝________.
【解析】 因为a＝(，1)，b＝(0，－1)，
所以2a－b＝2(，1)－(0，－1)＝(2，3)．
又因为c＝(k，)，2a－b与c平行，
所以2×－3k＝0，解得k＝2.
【答案】 2
7．在平面直角坐标系中，若点M(3，－2)，N(－5，－6)，且＝，则点P的坐标为________．
【解析】 设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，＝(－8，－4)，从而即即点P的坐标为(－1，－4)．
【答案】 (－1，－4)
8．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，||＝2，且∠AOC＝.设＝λ＋(λ∈R)，则λ＝________.
【导学号：66470053】
【解析】 由题意得向量与x轴正向所成的角是，又||＝2，
所以点C的坐标是，
即(－2,2)，所以＝(－2,2)．
因为A(－3,0)，B(0,2)，
所以＝(－3,0)，＝(0,2)，
＝λ＋＝λ(－3,0)＋(0,2)＝(－3λ，2)，
所以－3λ＝－2，λ＝.
【答案】
三、解答题
9．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝.求证：∥.
【证明】 设E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
依题意，得＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝，
∴(x1＋1，y1)＝(2,2)，
∴点E的坐标为.
同理，点F的坐标为.
∴＝.
∵×(－1)－4×＝0，
∴∥.
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
【解】 (1)设B(x1，y1)，
因为＝(4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以所以所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
所以M.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
又＝λ(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以所以
[能力提升]
1．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为( )
A．(3,1)
B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1)
D．无数多个
【解析】 ∵||＝2||，且点P在直线AB上，
∴＝2或＝－2.
设P(x，y)，∴＝(x－2，y)，
而＝(2,2)，
∴(2,2)＝2(x－2，y)或(2,2)＝－2(x－2，y)．
∴或
【答案】 C
2．(2016·柳州高一检测)对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a b，那么向量b等于( )
A．
B.
C.
D.
【解析】 设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a b，
可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，
所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，
解得x＝2，y＝，
所以向量b＝.
【答案】 A
3．已知＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，若点A，B，C在同一条直线上，且m＝2n，则m＋n＝________.
【解析】 ＝－
＝(n,1)－(－2，m)＝(n＋2,1－m)，
＝－
＝(5，－1)－(n,1)＝(5－n，－2)．
因为A，B，C共线，所以与共线，
所以－2(n＋2)＝(1－m)(5－n)，①
又m＝2n，②
解①②组成的方程组得或
所以m＋n＝9或.
【答案】 9或
4．过原点O的直线与函数y＝log8x的图像交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线交函数y＝log2x的图像于C，D两点．求证：O，C，D三点在一条直线上．
【证明】 设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，
则＝(x1，log8x1)，＝(x2，log8x2)，
根据已知与共线，
所以x1log8x2－x2log8x1＝0.
又根据题设条件可知C(x1，log2x1)，D(x2，log2x2)，
所以＝(x1，log2x1)，＝(x2，log2x2)．
因为x1log2x2－x2log2x1＝x1log23x－x2log23x
＝3(x1log8x2－x2log8x1)＝0，
所以与共线，又与有公共点O，
所以O，C，D三点在一条直线上．学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5
sin，则当t＝时，电流I为( )
A．5
B．
C．2
D．－5
【解析】 t＝代入I＝5
sin＝5sin＝，故选B.
【答案】 B
2．某城市6月份的平均气温最高，为29.45°C；12月份平均气温最低，为18.35°C.若x月份的平均气温为y°C，满足条件的一个模拟函数可以是( )
A．y＝23.9－5.55sinx
B．y＝23.9－5.55cosx
C．y＝23.9－5.55tanx
D．y＝23.9＋5.55cosx
【解析】 将x＝6，x＝12分别代入验证可知，只有B符合要求，故选B.
【答案】 B
3．如图1－9－6是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
图1－9－6
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【解析】 因为相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期．
【答案】 C
4．一根长l
cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1
s时，线长l等于( )
A．
B．
C．
D．
【解析】 ∵T＝，∴＝＝2π，∴l＝.
【答案】 D
5．(2016·南宁高一检测)车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A．[0,5]
B．[5,10]
C．[10,15]
D．[15,20]
【解析】 由2kπ－≤≤2kπ＋，得4kπ－π≤t≤4kπ＋π(k∈Z)，由于0≤t≤20，所以0≤t≤π或3π≤t≤5π，从而车流量在时间段[10,15]内是增加的．
【答案】 C
二、填空题
6．如图1－9－7，点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为________．
图1－9－7
【解析】 当质点P从P0转到点P位置时，点P转过的角度为ωt，则∠POx＝ωt＋φ，由任意角的三角函数定义知P点的纵坐标y＝rsin(ωt＋φ)．
【答案】 y＝rsin(ωt＋φ)
7．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8等量，最高亮度距平均亮度0.2等量，则可近似地描述此星星亮度与时间关系的一个三角函数式为________．
【解析】 假设三角函数模型为y＝Asin
ωt＋b，
由题意知，A＝0.2，b＝3.8，T＝10，
∴ω＝＝，∴y＝0.2sint＋3.8(t>0)．
【答案】 y＝0.2sint＋3.8(t>0)(答案不唯一)
8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28
℃，12月份的月平均气温最低，为18
℃，则10月份的平均气温值为________℃.
【导学号：66470034】
【解析】 由题意可知，A＝＝5，
a＝＝23.
从而，y＝5cos＋23，
故10月份的平均气温值为
y＝5cos＋23＝20.5
℃.
【答案】 20.5
三、解答题
9．如图1－9－8所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心O高度相同)时开始计时(按逆时针方向转)．
图1－9－8
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米．
【解】 (1)以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设摩天轮上某人在Q处，则在t秒内OQ转过的角为t，所以t秒时，Q点的纵坐标为10·sin·t，故在t秒时此人相对于地面的高度为
y＝10sint＋12(米)．
(2)令y＝10sint＋12≤10，则sint≤－，
因为0≤t≤20，所以10.64≤t≤19.36，故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米．
10．如图1－9－9为一辆观览车示意图，该观览车半径为4.8
m，圆上最低点与地面的距离为0.8
m,60
s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面的距离为h.
图1－9－9
(1)求h与θ之间的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t
s到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求首次到达最高点所用的时间．
【解】 (1)由题意可作图，过点O作地面的平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M.
当θ>时，∠BOM＝θ－.
h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8
sin；
当0≤θ≤时，上述解析式也适合，
即h与θ之间的函数解析式为
h＝5.6＋4.8
sin
.
(2)点在⊙O上逆时针运动的角速度是，
∴t
s转过的弧度数为t，
∴h＝4.8sin＋5.6，t∈[0，＋∞)．
当h＝10.4时，sin＝1，即t－＝＋2kπ(k∈Z)，
t＝30(2k＋1)(k∈Z)．即首次到达最高点所用的时间为30
s.
[能力提升]
1．一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y与时间x(秒)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋7，则( )
A．ω＝，A＝10
B．ω＝，A＝10
C．ω＝，A＝17
D．ω＝
，A＝17
【解析】 T＝＝15，ω＝，A＝10.
【答案】 A
2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图1－9－10所示，为了得到g(x)＝sin
3x的图象，则只要将f(x)的图象( )
图1－9－10
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【解析】 由图象知，函数f(x)的周期T＝4×＝＝，所以ω＝3.因为函数f(x)的图象过图中最小值点，所以A＝1且sin＝－1.又因为|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin.因为g(x)＝sin
3x，所以g(x)＝f，为了得到g(x)＝sin
3x的图象，只需将f(x)的图象向右平移个单位长度，故选B.
【答案】 B
3．已知某游乐园内摩天轮的中心点O距地面的高度为50
m，摩天轮做匀速运动，摩天轮上的一点P自最低点A起，经过t
min后，点P的高度h＝40sin＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70
m以上的时间将持续________分钟.
【导学号：66470035】
【解析】 依题意，知40sin＋50≥70，
即cost≤－，
从而在一个周期内持续的时间为
≤t≤，4≤t≤8，
即持续时间为4分钟．
【答案】 4
4．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12
h，低潮时水的深度为8.4
m，高潮时为16
m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h(A>0，ω>0)．
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(保留一位小数)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3
m
【解】 (1)依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12.2，
A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin＋12.2.
又因为t＝4时，d＝16，
所以sin＝1，
所以φ＝－，
所以d＝3.8sin＋12.2.
(2)t＝17时，
d＝3.8sin＋12.2
＝3.8sin＋12.2≈15.5(m)．
(3)令3.8sin＋12.2<10.3，
有sin<－，
因此2kπ＋所以2kπ＋所以12k＋8令k＝0，得t∈(8,12)；
令k＝1，得t∈(20,24)．
故这一天共有8小时水深低于10.3
m．学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．以下选项中，a与b不一定共线的是( )
A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1
B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1
D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2
【解析】 只有C选项不一定共线．
【答案】 C
2．(2016·桂林高一检测)如图2－3－12， ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝( )
图2－3－12
A．a－b
B．a＋b
C．a＋b
D．a－b
【解析】 因为E是BC的中点，
所以＝＝－＝－b，
所以＝＋＝a－b.
【答案】 D
3．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则等于( )
【导学号：66470049】
A．a＋λb
B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b
D．a＋b
【解析】 ∵＝λ，
∴－＝λ(－)，
∴(1＋λ)＝＋λ，
∴＝＋＝a＋b.
【答案】 D
4.如图2－3－13，在△ABC中，D，E分别是AC，AB边上的点，＝＝，记＝a，＝b，若＝λa＋μb，则λ＋μ＝( )
图2－3－13
A．0
B．
C.
D．1
【解析】 因为＝＝(－)
＝(－a－b)，＝＝－b，
所以＝－＝－a－b＋b
＝－a＋b，又＝λa＋μb，a与b不共线，
所以λ＝－，μ＝，λ＋μ＝0.
【答案】 A
5.
(2016·洛南高一检测)若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( )
图2－3－14
A．
B．
C.
D．
【解析】 ∵＝4＝r＋s，
∴＝＝(－)＝r＋s，
∴r＝，s＝－，
∴3r＋s＝－＝.
【答案】 C
二、填空题
6．(2016·西安高一检测)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
【解析】 由＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，
则λ1＋λ2的值为.
【答案】
7．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．
【解析】 当a∥b时，设a＝mb，
则有e1＋2e2＝m(λe1＋e2)，
即e1＋2e2＝mλe1＋me2，
所以解得λ＝，即当λ＝时，a∥b.
又a与b是一组基底，
所以a与b不共线，所以λ≠.
【答案】 ∪
8．已知e1，e2是平面内所有向量的一组基底，又a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，c＝－e1＋8e2，若用a，b作为基底表示向量c，则c＝________.
【解析】 设c＝λa＋μb，
于是－e1＋8e2＝λ(e1＋2e2)＋μ(2e1－e2)，
整理得－e1＋8e2＝(λ＋2μ)e1＋(2λ－μ)e2，
因为e1，e2是平面内所有向量的一组基底，
所以解得λ＝3，μ＝－2，
所以c＝3a－2b.
【答案】 3a－2b
三、解答题
9.
(2016·合肥高一检测)如图2－3－15，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，设＝a，＝b，用a，b表示向量，.
图2－3－15
【解】 因为AC＝BA，
所以＝2＝2(－)，
所以＝＋＝b＋2(a－b)＝2a－b，
因为DB＝OB，
所以＝，
所以＝－＝2a－b－b＝2a－b.
10.如图2－3－16所示，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC上，且BN＝BC.求证：M，N，D三点共线．
图2－3－16
【证明】 设＝e1，＝e2，则＝＝e2.
∵＝e2，＝＝e1.
∴＝－＝e2－e1.
又∵＝－＝e2－e1
＝3＝3.
∴向量与共线，又M是公共点，故M，N，D三点共线．
[能力提升]
1．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )
A．反向平行
B．同向平行
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
【解析】 如图．
∵＝＋
＝＋，
＝＋
＝＋，
＝＋＝＋，
∴＋＋
＝＋＋
＝＋
＝－.
【答案】 A
2.
(2016·南宁高一检测)如图2－3－17，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( )
【导学号：66470050】
图2－3－17
A．1
B．
C．
D．3
【解析】 ∵＝＋，
又B，P，N三点共线．
∴存在λ，使＝λ.
∴＝λ＝λ(＋)
＝－λ＋λ.
∴＝＋
＝(1－λ)＋λ.
又∵＝m＋，
∴
∴λ＝，m＝1－＝.
【答案】 C
3．在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若＝m＋n(m，n∈R)，则的值为________．
【解析】 取BC的中点M，连接DM，交AC于N.
∵平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，∴AF＝FN＝CN.
∴＝－＋＋＝－.
∵＝m＋n(m，n∈R)，
∴m＝，n＝－，∴＝＝－2.
【答案】 －2
4.已知梯形ABCD中，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点，求证：EF∥AB∥DC.
图2－3－18
【证明】 延长EF到M，使EF＝FM，连接CM，BM，EC，EB，得 ECMB，
由平形四边形法则得
＝＝(＋)．
由于AB∥DC，所以，共线且同向，根据平行向量基本定理，存在正实数λ，使＝λ.
由三角形法则得
＝＋，＝＋且＋＝0，
∴＝(＋)＝(＋＋＋)
＝(＋)＝，
∴∥.
由于E，D不共点，∴EF∥AB∥DC.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在半径为10的圆中，的圆心角所对的弧长为( )
A.π
B．π
C．π
D．π
【解析】 l＝|α|r＝×10＝.
【答案】 A
2．(2016·华阴高一检测)自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过( )
A.
rad
B．
rad
C.
rad
D．
rad
【解析】 由题意，当大链轮转过一周时，小链轮转过周，×2π＝.
【答案】 B
3．与30°角终边相同的角的集合是( )
A.
B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}
C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}
D.
【解析】 与30°角终边相同的角α＝k·360°＋30°，k∈Z化为弧度制为α＝2kπ＋，k∈Z.
【答案】 D
4．(2016·宜川高一检测)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 终边经过点(a，a)(a≠0)的角，即角的终边落在了直线y＝x上，即此角的终边为第一、三象限角的平分线，故角α的集合为.
【答案】 D
5．若2弧度的圆心角所对的弧长为4
cm，则这个圆心角所对的扇形面积是( )
A．4
cm2
B．2
cm2
C．4π
cm2
D．2π
cm2
【解析】 设扇形的半径为r，则由l＝|α|r，
得r＝＝2(cm)，∴S＝|α|r2＝×2×22＝4(cm2)，故选A.
【答案】 A
二、填空题
6．(2016·榆林高一检测)若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________.
【导学号：66470005】
【解析】 216°＝216×＝，l＝α·r＝·r＝30π，
所以r＝25.
【答案】 25
7．用弧度表示终边落在y轴右侧的集合为________．
【解析】 y轴对应的角可用－，表示，所以y轴右侧角的集合为.
【答案】
8．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为________．
【解析】 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，用弧度制表示就是－4π－×2π＝－π.
【答案】 －
三、解答题
9．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：
(1)
的长；
(2)扇形所含弓形的面积．
【解】 (1)∵120°＝π＝π，
∴l＝|α|·r＝6×π＝4π，∴的长为4π.
(2)∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，于是有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6×cos
30°×3＝9.
∴弓形的面积为S弓＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9，
∴弓形的面积是12π－9.
10．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈.
【解】 (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π.
∴α＝－800°＝π＋(－3)×2π.
∵角α与π终边相同，∴角α是第四象限角．
(2)∵与角α终边相同的角可写为2kπ＋π，k∈Z的形式，由γ与α终边相同，∴γ＝2kπ＋，k∈Z.
又∵γ∈，∴－<2kπ＋<，k∈Z，解得k＝－1，
∴γ＝－2π＋＝－.
[能力提升]
1．设集合A＝，B＝，则集合A与B之间的关系为( )
A．A?B
B．A?B
C．A＝B
D．A∩B＝
【解析】 分别取k＝0,1,2,3知A中元素为0，，，B中元素为，，π，π，显然A?B.
【答案】 A
2．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A．2
B．sin
2
C．2sin
1
D．
【解析】 设圆的半径为R，则sin
1＝，∴R＝.
故所求弧长为l＝α·R＝2·＝.
【答案】 D
3．已知∠AOB＝1
rad，点A1，A2，…在OA上，B1，B2，…在OB上，其中的每一个实线段和虚线段长均为1个单位，一个动点M从O点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为1单位/秒，则质点M到达A10点处所需要的时间为________秒．
图1－3－4
【解析】 ＝10.直线段共走10段．所以总路程为1＋2＋3＋…＋10＋10＝65.所以所需时间为65秒．
【答案】 65
4.如图1－3－5，圆心在原点，半径为R的圆交x轴正半轴于A点，P，Q是圆上的两个动点，它们同时从点A出发沿圆周做匀速运动．OP逆时针方向每秒转，OQ顺时针方向每秒转.试求P，Q出发后每五次相遇时各自转过的弧度数及各自走过的弧长．
图1－3－5
【解】 易知，动点P，Q由第k次相遇到第k＋1次相遇所走过的弧长之和恰好等于圆的一个周长2πR，因此当它们第五次相遇时走过的弧长之和为10πR.
设动点P，Q自A点出发到第五次相遇走过的时间为t秒，走过的弧长分别为l1，l2，
则l1＝tR，l2＝·tR＝tR.
因此l1＋l2＝tR＋tR＝10πR，
所以t＝＝20(秒)，l1＝πR，l2＝πR.
由此可知，P转过的弧度数为，Q转过的弧度数为，P，Q走过的弧长分别为R和R.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )
A．关于点对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
【解析】 由于T＝＝π，∴ω＝2，
则f(x)＝sin.
当x＝时，sin＝0，
∴该函数的图像关于点对称，故选A．
【答案】 A
2．(2016·宝鸡高一检测)若函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝( )
A．3
B．2
C．
D．
【解析】 由题意知，函数在x＝处取得最大值1，所以1＝sin，所以ω＝.
【答案】 D
3．将函数y＝sin的图像向右平移个单位，所得图像所对应的函数是( )
A．非奇非偶函数
B．即奇又偶函数
C．奇函数
D．偶函数
【解析】 将函数y＝sin的图像向右平移个单位后，得函数y＝sin＝sin＝sin
2x，为奇函数，故选C.
【答案】 C
4．(2016·长丰高一检测)将函数f(x)＝sin
ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则ω的最小值是( )
A．
B．1
C．
D．2
【解析】 函数f(x)＝sin
ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度得到函数f(x)＝sin
ω(其中ω>0)，将代入得0＝sin，故得ω的最小值是2.
【答案】 D
5．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图像，如图1－8－5.则f(1)＋f(2)＋…＋f(2
016)＝( )
图1－8－5
A．
B．0
C．2＋
D．－2
【解析】 由题图知，该函数周期T＝6，
∴ω＝＝，又A＝2.
∵(3,0)相当于“五点法”作图的第三个点，
∴×3＋φ＝π，∴φ＝0，
即f(x)＝2sin
x.
根据对称性知，
f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2
016)
＝336[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]
＝0.
【答案】 B
二、填空题
6．设函数y＝1－3sin，当x＝________时，函数的最大值为4.
【解析】 由－≤x≤0知－≤2x＋≤，
当2x＋＝－，即x＝－时，
y＝sin取最小值－1，
故y＝1－3sin取最大值4.
【答案】 －
7．当－≤x≤时，函数f(x)＝sin的最大值是________，最小值是________．
【解析】 ∵－≤x≤，∴－≤x＋≤π.
∵当x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－，
当x＋＝，即x＝时，f(x)max＝.
【答案】 －
8．关于函数f(x)＝4sin(x∈R)有下列命题，其中正确的是_____．(填序号)
【导学号：66470032】
①y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；
②y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；
③y＝f(x)的图像关于点对称；
④y＝f(x)的图像关于直线x＝对称．
【解析】 因为4sin＝4cos＝
4cos，所以①正确，易得②④不正确，而
f＝0，故是对称中心，③正确．
【答案】 ①③
三、解答题
9.
(2016·蒙城高一检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)一个周期的图像如图1－8－6所示，
图1－8－6
(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值；
(2)求函数f(x)的表达式、单调递增区间．
【解】 (1)由题图知，函数f(x)的最小正周期为T＝4×＝π，函数的最大值为1，最小值为－1.
(2)T＝，则ω＝2，
又x＝－时，y＝0，所以sin＝0，
而－<φ<，则φ＝，
所以函数f(x)的表达式为f(x)＝sin，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
10．已知f(x)＝1＋sin，画出f(x)在x∈上的图像．
【解】 ∵－≤x≤，∴－π≤2x≤π，
∴－π≤2x－≤π.
(1)列表如下：
x
－
－
－
2x－
－π
－π
－
0
π
f(x)
2
1
1－
1
1＋
2
(2)描点连线成图，如图所示．
[能力提升]
1．为了使函数y＝sin
ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )
A．98π
B．π
C．π
D．100π
【解析】 由题意至少出现50次最大值，即至少需用49个周期，所以49·T＝·≤1，所以ω≥π.
【答案】 B
2．函数y＝－sin图像上距离原点最近的与x轴的交点是( )
A．
B．
C.
D．
【解析】 令4x＋＝kπ，k∈Z，
则x＝－＋(k∈Z)．
当k＝0时，x＝－；
当k＝1时，x＝.
所以点为所求．
【答案】 A
3．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
【解析】 ∵f(x)在上具有单调性，∴≥－，
∴T≥.
∵f＝f，∴f(x)的一条对称轴为x＝＝.
又∵f＝－f，
∴f(x)的一个对称中心的横坐标为＝，
∴T＝－＝，∴T＝π.
【答案】 π
4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像过点P，图像与P点最近的一个最高点坐标为.
(1)求函数解析式；
(2)指出函数的增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
【解】 (1)∵图像最高点坐标为，
∴A＝5.∵＝－＝，∴T＝π，
∴ω＝＝2，
∴y＝5sin(2x＋φ)，代入点，
得sin＝1，
∴π＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
令k＝0，则φ＝－，∴y＝5sin.
(2)∵函数的增区间满足2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，∴2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴增区间为(k∈Z)．
(3)∵5sin≤0，
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
∴kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)．学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·蜀山高一检测)如图2－3－2，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于( )
图2－3－2
A．(a－b)
B．－(a－b)
C.(a＋b)
D．－(a＋b)
【解析】 ∵M是BC的中点，∴＝(a＋b)．
【答案】 C
2．点C在线段AB上，且＝，则等于( )
A．
B．
C．－
D．－
【解析】 ∵＝，∴＝－，∴＝－.
【答案】 D
3．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB，如果＝3e1，＝3e2，则＝( )
A．e1＋2e2
B．2e1＋e2
C.e1＋e2
D．e1＋e2
【解析】 ∵＝－＝3(e2－e1)，
∴＝＝2(e2－e1)，
∴＝＋＝3e1＋2(e2－e1)＝e1＋2e2.
【答案】 A
4．设P是△ABC所在平面内一点，＋＝2，则( )
图2－3－3
A．＋＝0
B．＋＝0
C.＋＝0
D．＋＋＝0
【解析】 法一：∵＋＝2，
∴(－)＋(－)＝0，
即＋＝0.
法二：∵＋＝2，
∴点P为AC的中点，
∴＋＝0.
【答案】 C
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A．
B．－
C.
D．
【解析】 由题意知＝＋，①
＝＋，②
且＋2＝0.
①＋②×2得3＝＋2，
所以＝＋，所以λ＝.
【答案】 A
二、填空题
6．化简[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]的结果是________．
【解析】 原式＝[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]
＝(4a＋16b－16a＋8b)
＝(－12a＋24b)
＝2b－a.
【答案】 2b－a
7．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
【导学号：66470046】
图2－3－4
【解析】 如图所示，＋＝.
又O为中点，所以＝2，λ＝2.
【答案】 2
8．(2016·北海高一检测)已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0.若存在实数m，使得＋＝m成立，则m的值为________．
【解析】 ∵＋＋＝0，
∴点M是△ABC的重心．
如图，＝，而＋＝2，故＋＝2×＝3，∴m＝3.
【答案】 3
三、解答题
9．设a，b是不共线的两个向量，已知＝2a＋kb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，求k的值．
【解】 ∵A，B，D三点共线，∴与共线，
则必存在实数λ，使＝λ，
而＝＋＝(a＋b)＋(a－2b)＝2a－b，
∴2a＋kb＝λ(2a－b)＝2λa－λb，
于是 所以k＝－1.
10．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上．
【解】 设＝a，＝tb，＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－a＝－a＋b，
＝－＝tb－a.
要使A，B，C三点共线，只需＝λ，
即－a＋b＝λ(tb－a)．
又非零向量a，b不共线，∴∴
∴当t＝时，三向量终点在同一条直线上．
[能力提升]
1．(2016·高陵高一检测)已知平行四边形的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，且满足＝，则＝( )
A．b－3a
B．－a＋b
C.a＋b
D.a－b
【解析】 如图所示，因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝－＝－a，所以＝－＝－a－b，因为＝，所以＝＝－(a＋b)．
又因为＝－＝b－a，
所以＝＋＝b－a－(a＋b)
＝－a＋b.
【答案】 B
2．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是( )
A．λ＝0
B．e2＝0
C．e1∥e2
D．e1∥e2或λ＝0
【解析】 (1)当e1∥e2时，a＝e1＋λe2，不妨设e1＝μe2，μ∈R，所以a＝(λ＋μ)e2，b＝2μe2，故a与b共线．
(2)当e1与e2不共线时，设a＝μb，μ∈R，
则e1＋λe2＝2μe1，即(1－2μ)e1＋λe2＝0，
所以即所以a与b共线的条件λ＝0.
综上知a与b共线的条件是e1∥e2或λ＝0.
【答案】 D
3．如图2－3－5，设P为△ABC内一点，且＝＋，＝，＝，则△PMB的面积与△ABC的面积之比等于________.
【导学号：66470047】
图2－3－5
【解析】 由题可知，＝，＝，则＝＋，由平行四边形法则，可知∥，所以＝·＝×＝.
【答案】
4．如图2－3－6所示，点P在直线AB上，O为直线外任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求证：λ＋μ＝1.
图2－3－6
【证明】 ∵点P在直线AB上，
∴∥，设＝x，
∵＝－，＝－，
∴－＝x(－)，
∴＝(1－x)＋x.
又＝λ＋μ，∴λ＝1－x，μ＝x，∴λ＋μ＝1.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
2x
C．y＝cos
D．y＝cos
4x
【解析】 ∵T＝＝，∴ω＝4.
【答案】 D
2．函数y＝|cos
x|的一个单调减区间是( )
A．
B．
C.
D．
【解析】 函数y＝|cos
x|的图像如图所示，由图像知在上y＝|cos
x|是减少的．
【答案】 C
3．函数y＝cos，x∈的值域是( )
A．
B．
C.
D．
【解析】 当x∈时，x＋∈，结合函数图像知y在上是递减的，所以ymax＝cos
＝，ymin＝cos＝－.
【答案】 B
4．函数y＝x2cos
x的部分图像是( )
【解析】 设f(x)＝x2cos
x，
f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cos
x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，故排除B，D.
当x＝时，y＝cos＝＞0，故排除C.
【答案】 A
5．函数y＝|cos
x|－1的最小正周期是( )
A．2kπ(k∈Z)
B．3π
C．π
D．2π
【解析】 因为函数y＝|cos
x|－1的周期同函数y＝|cos
x|的周期一致，由函数y＝|cos
x|的图象知其最小正周期为π，所以y＝|cos
x|－1的最小正周期也为π，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．设P，Q分别是函数y＝cos
x－1的最大值和最小值，则P＋2Q＝________.
【导学号：66470020】
【解析】 ∵－1≤cos
x≤1，
∴ymax＝×1－1＝－，ymin＝×(－1)－1＝－，
∴P＋2Q＝－＋2×＝－.
【答案】 －
7．比较大小：cos________cos.
【解析】 ∵cos＝cos＝cos，cos＝cos＝cos，
而0<<<，
∴cos>cos，即cos
>cos.
【答案】 >
8．函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(cos
x)的定义域为________．
【解析】 ∵f(x)的定义域为[0,1]，
∴0≤cos
x≤1，∴－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
【答案】 (k∈Z)
三、解答题
9．画出函数y＝3＋2
cos
x的简图．
(1)求使此函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值；
(2)讨论此函数的单调性．
【解】 按五个关键点列表如下，
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
y＝3＋2cos
x
5
3
1
3
5
描点画出图像(如图)
(1)当cos
x＝1，即x∈{x|x＝2kπ，k∈Z}时，ymax＝3＋2＝5，当cos
x＝－1，即x∈{x|x＝(2k＋1)π，k∈Z}时，ymin＝3－2＝1.
(2)令t＝cos
x，则y＝3＋2t，
因为函数y＝3＋2t，当t∈R时是增加的，
所以当x∈[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)时，函数y＝cos
x是增加的，y＝3＋2cos
x也是增加的，当x∈[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)时，函数y＝cos
x是减少的，y＝3＋2
cos
x也是减少的．
10．已知f(x)＝2
cos
x＋a＋2(a为常数)，若x∈时，f(x)的最小值为2，求a的值．
【解】 ∵x∈，∴由函数y＝cos
x的图像可知，cos≤cos
x≤cos
0，即－≤cos
x≤1，
令t＝cos
x，则f(x)＝g(t)＝2t＋a＋2，
此函数在t∈上是增加的，
∴当t＝－时，g(t)取最小值2×＋a＋2＝a＋1，
即f(x)取最小值a＋1，由已知得a＋1＝2，所以a＝1.
[能力提升]
1．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin
B．y＝cos
C．y＝sin
D．y＝cos
【解析】 由周期为π知ω＝2.排除C，D结合函数图像知A正确．
【答案】 A
2．已知函数f(x)＝cos(x＋φ)为奇函数，则φ的一个取值为( )
A．
B．
C．0
D．
【解析】 当φ＝时，f(x)＝cos＝－sin
x，其定义域为R，且f(－x)＝－sin(－x)＝sin
x＝－f(x)，f(x)为奇函数．
【答案】 D
3．若函数f(x)＝2
cos的最小正周期为T且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．
【解析】 ∵T＝，∴1<<3，
∴<ω<2π，又ω是正整数．
∴ω的最大值为6.
【答案】 6
4．求y＝3－2cos，x∈的最大值和最小值.
【导学号：66470021】
【解】 ∵≤x≤，
∴0≤2x－≤π，
∴－≤cos≤1，
∴1≤3－2cos≤4，
∴函数的最大值为4，最小值为1.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．有下列说法：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值不等；
③若sin
α>0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos
α＝－.其中正确的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 根据任意角的三角函数定义知①正确；对于②，我们可举出反例sin
＝sin；对于③，可举出sin>0，但不是第一、二象限角；对于④，应是cos
α＝(因为α是第二象限角，已有x<0)，故选B.
【答案】 B
2．当α为第二象限角时，－的值是( )
A．1
B．0
C．2
D．－2
【解析】 当α为第二象限角时，sin
α>0，cos
α<0，
所以－＝＋＝2.
【答案】 C
3．(2016·永寿高一检测)设角θ的经过点P(－3,4)，那么sin
θ＋2cos
θ＝( )
【导学号：66470008】
A.
B．－
C.
D．－
【解析】 因为P(－3,4)，所以sin
θ＝，cos
θ＝－.则sin
θ＋2cos
θ＝＋2×＝－.
【答案】 D
4．若sin
αcos
α>0，则α在( )
A．第一、二象限
B．第一、三象限
C．第一、四象限
D．第二、四象限
【解析】 由于sin
αcos
α>0，∴sin
α与cos
α同号，因此角α在第一象限或第三象限，故选B.
【答案】 B
5．若sin
θ<0，cos
θ>0，则是( )
A．第二象限角
B．第三象限角
C．第二或第四象限角
D．第三或第四象限角
【解析】 由sin
θ<0，cos
θ>0得θ为第四象限角，
∴2kπ－<θ<2kπ，k∈Z，∴kπ－<∴是第二或第四象限角．
【答案】 C
二、填空题
6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin
θ＝－，则y＝________.
【解析】 ∵sin
θ＝＝－，∴y<0且y2＝64，∴y＝－8.
【答案】 －8
7．已知奇函数y＝f(x)(x∈R)且f(x)＝f(x＋4)，f(1)＝2，则f(2)＋f(3)＋f(4)＝________.
【解析】 f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0，
f(－1)＝－f(1)(因为f(x)为奇函数)．
又f(－1)＝f(－1＋4)＝f(3)＝－f(1)＝－2，
f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)．
f(－2)＋f(2)＝0，所以f(2)＝0，
所以f(2)＋f(3)＋f(4)＝－2.
【答案】 －2
8．已知点P(sin
αcos
α，sin
α)位于第四象限，则α的终边位于________．
【解析】 ∵P(sin
αcos
α，sin
α)在第四象限，
∴sin
αcos
α>0，sin
α<0，
于是sin
α<0，cos
α<0，
∴α为第三象限角．
【答案】 第三象限
三、解答题
9．判断下列各式的符号．
(1)sin
105°·cos
230°；
(2)sin
240°·sin
300°；
(3)cos·sin
π；
(4)cos
4·cos
5.
【解】 (1)∵105°是第二象限角．
∴sin
105°>0.
又∵230°是第三象限角．
∴cos
230°<0.
∴sin
105°·cos
230°<0.
(2)∵240°是第三象限角，
∴sin
240°<0.
又∵300°是第四象限角．
∴sin
300°<0.
∴sin
240°·sin
300°>0.
(3)sin
π＝0，
∴cosπ·sin
π＝0.
(4)∵4为第三象限角，
∴cos
4<0.又∵5是第四象限角，
∴cos
5>0，∴cos
4·cos
5<0.
10．化简求值．
(1)sin(－1
320°)·cos(1
110)°＋cos(－1
020°)·sin
750°；
(2)cos＋.
【解】 (1)原式＝sin(－4×360°＋120°)·cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)·sin(2×360°＋30°)
＝sin
120°·cos
30°＋cos
60°·sin
30°
＝×＋×＝1.
(2)原式＝cos＋
＝cos＋
＝＋1＝.
[能力提升]
1．(2016·安康高一检测)已知角α的终边在射线y＝－3x(x≥0)上，则sin
αcos
α等于( )
A．－
B．－
C.
D．
【解析】 根据三角函数的定义，在终边上取点求值，在α终边上取一点P(1，－3)，此时，x＝1，y＝－3.
∴r＝＝，
∴sin
α＝＝－＝－，cos
α＝＝，
∴cos
α·sin
α＝·＝－.
【答案】 A
2．如果角α的终边经过点P(sin
780°，cos(－330°))，则sin
α＝( )
A.
B．
C.
D．1
【解析】 因为sin
780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin
60°＝，
cos(－330°)＝cos(－360°＋30°)＝cos
30°＝，
所以P，sin
α＝.
【答案】 C
3．(2016·镇安高一检测)设函数f(x)＝sinx，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2
016)＝________.
【导学号：66470009】
【解析】 f(1)＝，f(2)＝，f(3)＝0，f(4)＝－，f(5)＝－，f(6)＝0，f(7)＝f(1)，f(8)＝f(2)，…
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2
016)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.
【答案】 0
4．已知＝－，且lg(cos
α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin
α的值．
【解】 (1)由＝－，可知sin
α<0，
由lg(cos
α)有意义可知cos
α>0，
∴角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，
∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin
α＝＝＝＝－.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若cot
α＝m，则tan＝( )
A．m
B．－m
C．
D．－
【解析】 tan＝tan＝
tan＝cot
α＝m.
【答案】 A
2．函数y＝2
tan的定义域是( )
A．
B.
C.
D.
【解析】 由2x－≠kπ＋，得x≠＋，k∈Z，
所以定义域为.
【答案】 B
3．(2016·合肥高一检测)下列不等式正确的是( )
A．tan>tan
B．tan>tan
C.
<
D.<
【解析】 因为tan＝tan
，
tan＝tan，而－<－<－<，y＝tan
x在上是增加的，故tan>tan，
即tan>tan.
【答案】 B
4．函数y＝tan(sin
x)的值域是( )
A．
B．
C．[－tan
1，tan
1]
D．[－1,1]
【解析】 sin
x∈[－1,1]，又－<－1<1<，且y＝tan
x在上是增加的，所以ymin＝tan(－1)＝－tan
1，ymax＝tan
1.
【答案】 C
5．直线y＝a(常数)与正切曲线y＝tan
ωx(ω为常数且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为( )
A．π
B．2π
C.
D．与a值有关
【解析】 两相邻交点间的距离为正切函数的一个周期，因而距离为
.
【答案】 C
二、填空题
6．函数y＝的定义域为________，值域为________.
【导学号：66470024】
【解析】 由得定义域为，值域为{y|y≥0}．
【答案】
{y|y≥0}
7．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图像过点，则φ等于________．
【解析】 由已知，可得tan＝0，即tan＝0，∴φ＋＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)．
【答案】 －＋kπ(k∈Z)
8．化简：＝________.
【解析】 原式＝＝－1.
【答案】 －1
三、解答题
9．已知角α的终边经过点P.
(1)求sin
α的值；
(2)求·的值．
【解】 (1)∵|OP|＝＝1，
∴sin
α＝＝＝－.
(2)原式＝·
＝＝＝.
由余弦函数的定义，得cos
α＝，故所求式子的值为.
10．已知函数f(x)＝x2＋2xtan
θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．
【解】 (1)当θ＝－时，
f(x)＝x2－x－1＝2－，x∈[－1，]．
∴当x＝时，f(x)的最小值为－；
当x＝－1时，f(x)的最大值为.
(2)函数f(x)＝(x＋tan
θ)2－1－tan2θ的图像的对称轴为x＝－tan
θ.
∴y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，
∴－tan
θ≤－1或－tan
θ≥.
即tan
θ≥1或tan
θ≤－.
又θ∈，
∴θ的取值范围是
∪.
[能力提升]
1．设a＝sin
33°，b＝cos
55°，c＝tan
35°，则( )
A．a>b>c
B．b>c>a
C．c>b>a
D．c>a>b
【解析】 b＝cos
55°＝sin
35°，又a＝sin
33°，0°<33°<35°<90°，
所以y＝sin
x在[0,90°]是增加的，所以sin
33°35°，
即b>a.
tan
35°＝，又cos
35°∈，
所以tan
35°>sin
35°，故c>b>a.
【答案】 C
2．已知f(α)＝，则f的值为( )
A．
B．－
C.
D．－
【解析】 由于tan＝
＝＝，所以f(α)＝
＝－cos
α，则f＝－cos
＝－cos＝－cos
＝－.
【答案】 B
3．已知tan＝－5，则tan＝________.
【导学号：66470025】
【解析】 tan＝tan
＝－tan，
∴tan＝5.
【答案】 5
4．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图像与x轴相邻两交点的距离为，且图像关于点M对称，求f(x)的解析式．
【解】 由题意可知，函数f(x)的最小正周期T＝，即＝，
∴ω＝2，
从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
∵函数y＝f(x)的图像关于点M对称，
∴2·＋φ＝kπ或＋kπ(k∈Z)．
即φ＝kπ＋或φ＝kπ＋(k∈Z)．
∵0<φ<，
∴φ＝，
故f(x)＝tan.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知α为第二象限角，sin
α＝，则sin
2α＝( )
A．－
B．－
C.
D．
【解析】 因为α为第二象限角，所以cos
α＝－＝－，所以sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝－.
【答案】 A
2．已知α为第三象限角，且sin
α＝－，则tan
等于( )
A．
B．
C．－
D．－
【解析】 因为α为第三象限角，所以cos
α＝－＝－，所以tan
＝±，又为第二或第四象限，所以tan
<0，所以tan＝－＝－.
【答案】 C
3．(2015·咸阳高一检测)在△ABC中，||＝2sin
15°，||＝4cos
15°，且∠ABC＝30°，则·的值为( )
A．
B．－
C．2
D．－2
【解析】 ∵∠ABC＝30°，
∴与的夹角θ＝180°－30°＝150°，
∴·＝||||cos
150°
＝2sin
15°·4cos
15°·cos
150°
＝4sin
30°cos
150°
＝4××
＝－.
【答案】 B
4．若α∈，且sin2α＋cos
2α＝，则tan
α的值等于( )
A．
B．
C.
D．
【解析】 ∵sin2α＋cos
2α＝，∴sin2α＋(1－2sin2α)＝.
又∵α∈，∴sin
α＝，cos
α＝，∴tan
α＝.
【答案】 D
5．已知sin
α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－2β)的值为( )
A．
B．－
C．－
D．
【解析】 ∵sin
α＝，α∈，
∴cos
α＝－＝－，
∴tan
α＝－.
又tan(π－β)＝，∴tan
β＝－，
∴tan
2β＝
＝＝－，
∴tan(α－2β)＝
＝＝.
【答案】 A
二、填空题
6．若＝－，则sin
α＋cos
α的值为________．
【解析】 ＝＝－(cos
α＋sin
α)＝－，
∴sin
α＋cos
α＝.
【答案】
7．设α为第四象限角，且＝，则tan
2α＝________.
【解析】 ＝＝
＝2cos
2α＋1＝，所以cos
2α＝.又α是第四象限角，
所以sin
2α＝－，所以tan
2α＝－.
【答案】 －
8．(2015·宝鸡高一检测)已知0【导学号：66470075】
【解析】 ∵＋x＝－，
∴cos＝sin＝.
又0∴0<－x<，
∴cos＝＝，
∴sin
2＝2sincos
＝2××＝.
又sin
2＝sin
＝cos
2x，
∴原式＝＝.
【答案】
三、解答题
9．化简：(180°【解】 原式＝
＝
＝
＝
＝.
因为180°<0，
所以原式＝＝cos
x.
10．已知函数f(x)＝4cos
xsin－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值与最小值．
【解】 (1)f(x)＝4cos
xsin－1
＝4cos
x－1
＝sin
2x＋2cos2x－1
＝sin
2x＋cos
2x
＝2sin，
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，
所以当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值2，
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)有最小值－1.
[能力提升]
1．已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg
5)，b＝f，则( )
A．a＋b＝0
B．a－b＝0
C．a－b＝1
D．a＋b＝1
【解析】 因为f(x)＝sin2＝＝，
所以a＝f(lg
5)＝，
b＝f＝＝，
α＋b＝＋＝1.
【答案】 D
2．若θ∈，sin
2θ＝，则sin
θ＝( )
A
B．
C.
D．
【解析】 由于θ∈，则2θ∈，
所以cos
2θ<0，sin
θ>0.因为sin
2θ＝.
所以cos
2θ＝－＝－＝－.
又cos
2θ＝1－2sin2θ，
所以sin
θ＝＝＝.
【答案】 D
3．函数f(x)＝sin＋2sin2，x∈R的单调减区间为________．
【解析】 f(x)＝sin＋1－cos
2
＝
sin－cos＋1
＝2＋1
＝2sin＋1＝2sin＋1.
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以f(x)的单调减区间为，k∈Z.
【答案】 ，k∈Z
4．已知sin
α＋cos
α＝，α∈，sin＝，β∈.
(1)求sin
2α和tan
2α的值；
(2)求cos
(α＋2β)的值．
【解】 (1)由题意得(sin
α＋cos
α)2＝，
即1＋sin
2α＝，所以sin
2α＝.
又2
α∈，
所以cos
2α＝＝，
所以tan
2α＝＝.
(2)因为β∈，β－∈，
所以cos＝，于是sin
2
＝2sincos＝，
sin2＝－cos
2β，
所以cos
2β＝－.又2β∈，
所以sin
2β＝.又sin
α＋cos
α＝，
所以1＋2sin
α·cos
α＝，得1－2sin
α·cos
α＝，
所以(sin
α－cos
α)2＝.
又α∈，所以sin
αα，
因此sin
α－cos
α＝－，
解得sin
α＝，cos
α＝，
所以cos(α＋2β)＝cos
αcos
2β－sin
αsin
2β
＝×－×＝－.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·华阴高一检测)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝( )
A．－1
B．
C．－
D．1
【解析】 因为a·b＝2－x＝1，所以x＝1.
【答案】 D
2．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )
A．－
B．
C.
D．
【解析】 2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(2,4)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．
设夹角为θ，则cos
θ＝＝＝.
又因为θ∈t[0，π]，所以θ＝.
【答案】 C
3．已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋xb与－b垂直，则x的值为( )
A．－
B．
C.
D．2
【解析】 因为a＋xb＝(3,4)＋(2x，－x)＝(2x＋3,4－x)，－b＝(－2,1)．因为a＋xb与－b垂直，所以(2x＋3,4－x)·(－2,1)＝－4x－6＋4－x＝0，
解得－5x＝2，所以x＝－.
【答案】 A
4．在 ABCD中，已知＝(－4,2)，＝(2，－6)，那么|2＋|＝( )
A．5
B．2
C．2
D．
【解析】 设＝a，＝b，则a＋b＝＝(－4,2)．b－a＝＝(2，－6)，所以b＝(－1，－2)，a＝(－3,4)，所以2＋＝2a＋b＝(－7,6)，
所以|2＋|＝＝.
【答案】 D
5．已知O＝(－2,1)，O＝(0,2)，且A∥O，B⊥A，则点C的坐标是( )
A．(2,6)
B．(－2，－6)
C．(2，－6)
D．(－2,6)
【解析】 设C(x，y)，则A＝(x＋2，y－1)，
B＝(x，y－2)，A＝(2,1)．
由A∥O，B⊥A，得
解得
∴点C的坐标为(－2,6)．
【答案】 D
二、填空题
6．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
【解析】 a＋c＝(3,3m)，由(a＋c)⊥b，得(3,3
m)·(m＋1,1)＝0，即6m＋3＝0，所以m＝－，所以a＝(1，－1)，|a|＝＝.
【答案】
7．直线l1：x＋2y－3＝0和直线l2：x－3y＋1＝0的夹角θ＝________.
【导学号：66470058】
【解析】 任取l1和l2的方向向量分别为m＝和n＝，设m和n的夹角为α，
则cos
α＝＝，
∴α＝45°，∴θ＝45°.
【答案】 45°
8．(2016·西安高一检测)已知两个单位向量a·b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.
【解析】 b·c＝b·(ta＋(1－t)b)＝ta·b＋(1－t)b2＝t×1×1×cos
60°＋(1－t)＝0，即t＝1，所以t＝2.
【答案】 2
三、解答题
9．已知向量a是以点A(3，－1)为始点，且与向量b＝(－3,4)垂直的单位向量，求a的终点坐标．
【解】 ∵b是直线y＝－x的方向向量，且a⊥b，
∴a是直线y＝x的方向向量，
∴可设a＝λ＝.
由|a|＝1，
得λ2＋λ2＝1，
解得λ＝±，
∴a＝或a＝.
设a的终点坐标为(x，y)，
则或
即或
∴a的终点坐标是或.
10．设平面向量a＝(cos
α，sin
α)(0≤α<2π)，b＝，且a与b不共线．
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)若两个向量a＋b与a－b的模相等，求角α.
【解】 (1)证明：由题意，知
a＋b＝，
a－b＝，
因为(a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝0,
所以(a＋b)⊥(a－b)．
(2)|a|＝1，|b|＝1，由题意，知(a＋b)2＝(a－b)2，化简，得a·b＝0，
所以－cos
α＋sin
α＝0，所以tan
α＝.
又因为0≤α<2π，所以α＝或α＝.
[能力提升]
1．已知＝(4,2)，＝(k，－2)，若△ABC为直角三角形，则k等于( )
A．1
B．6
C．1或6
D．1或2或6
【解析】 若∠A为直角，则·＝4k－4＝0，所以k＝1，＝－＝(k，－2)－(4,2)＝(k－4,4)．
若∠B为直角，则·＝(－4，－2)·(k－4，－4)＝－4k＋16＋8＝0，所以k＝6.
若∠C为直角，则·＝0，即(－k,2)·(4－k,4)＝0，方程无解，综上知k的值为1或6.
【答案】 C
2．已知A(－1,2)，B(2,8)，C(0,5)，若⊥，∥，则点D的坐标是( )
A．
B．
C.
D．
【解析】 设D(x，y)，则＝(x＋1，y－2)，
＝(x－2，y－8)，因为＝(－2，－3)，⊥，∥.
所以
解得
所以D点坐标为.
【答案】 A
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于________．
【解析】 不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，由于(c＋a)∥b，
则有－3(1＋m)＝2(2＋n)，
又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，
则有m＝－，n＝－，所以c＝.
【答案】
4．已知△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.
(1)求证：AB⊥AC；
(2)求点D和向量的坐标；
(3)设∠ABC＝θ，求cos
θ.
【解】 (1)证明：＝(－1－2，－2－4)＝(－3，－6)，
＝(4－2,3－4)＝(2，－1)．
∵·＝－3×2＋(－1)×(－6)＝0，
∴⊥，即AB⊥AC.
(2)设D点坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－4)，
＝(5,5)．
∵AD⊥BC，
∴·＝5(x－2)＋5(y－4)＝0.①
又＝(x＋1，y＋2)，
而与共线，
∴5(x＋1)＝5(y＋2)，②
由①②解得x＝，y＝，
故D点坐标为，
∴＝＝.
(3)＝(3,6)，＝(5,5)，
cos
θ＝＝＝.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.等于( )
A．tan
42°
B．
C.
D．－
【解析】 原式＝tan(51°＋9°)＝tan
60°＝.
【答案】 C
2．在△ABC中，tan
A＋tan
B＋＝tan
A·tan
B，则∠C等于( )
A．
B．
C.
D．
【解析】 tan
C＝－tan(A＋B)＝－＝－
＝，
所以∠C＝.
【答案】 A
3．(1＋tan
21°)(1＋tan
22°)(1＋tan
23°)(1＋tan
24°)的值为( )
A．16
B．2
C．4
D．8
【解析】 ∵(1＋tan
21°)(1＋tan
24°)
＝1＋tan
21°＋tan
24°＋tan
21°tan
24°
＝1＋(1－tan
21°tan
24°)tan(21°＋24°)＋tan
21°tan
24°
＝1＋1－tan
21°tan
24°＋tan
21°tan
24°
＝2.
同理(1＋tan
22°)(1＋tan
23°)＝2.
∴原式＝2×2＝4.
【答案】 C
4．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan等于( )
A．
B．
C.
D．
【解析】 ∵α＋＝(α＋β)－，
∴tan＝tan
＝
＝＝.
【答案】 C
5.的值应是( )
A．－1
B．1
C.
D．－
【解析】 因为tan(10°＋50°)＝，
所以tan
10°＋tan
50°＝tan
60°－tan
60°·tan
10°·tan
50°，
所以原式＝＝－.
【答案】 D
二、填空题
6．若α＋β＝，则(1－tan
α)(1－tan
β)＝________.
【解析】 (1－tan
α)(1－tan
β)＝1－(tan
α＋tan
β)＋tan
α·tan
β.
又tan(α＋β)＝tan＝－1＝，
所以tan
α＋tan
β＝tan
αtan
β－1，
所以(1－tan
α)(1－tan
β)＝1＋1－tan
αtan
β＋tan
αtan
β＝2.
【答案】 2
7．已知tan
α＝，sin
β＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝________.
【导学号：66470072】
【解析】 因为tan
α＝<1，且α为锐角，所以0<α<.
又因为sin
β＝<，且β为锐角，所以0<β<.
所以0<α＋2β<.
由sin
β＝，β为锐角，得cos
β＝，
所以tan
β＝，
tan(α＋β)＝＝.
所以tan(α＋2β)＝＝＝1，
故α＋2β＝.
【答案】
8．如图3－2－1，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A，B的横坐标分别为，，则tan(α＋β)的值为________．
图3－2－1
【解析】 由条件，得cos
α＝，cos
β＝，因为α，β为锐角，所以sin
α＝，sin
β＝，所以tan
α＝7，
tan
β＝，所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
【答案】 －3
三、解答题
9．已知tan＝，
(1)求tan的值；
(2)求的值．
【解】 (1)因为tan＝，所以＝，
所以2＋2tan
α＝1－tan
α，所以tan
α＝－，
所以tan＝＝＝·＝＝.
(2)＝－＝tan
α－＝－－＝－.
10．已知tan
α，tan
β是方程mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，求tan(α＋β)的最小值．
【解】 由题设知，tan
α＋tan
β＝－，tan
α·tan
β＝，
∴tan(α＋β)＝＝＝－m，
又Δ＝(2m－3)2－4m(m－2)≥0，
∴4m2－12m＋9－4m2＋8m≥0，∴－4m＋9≥0，即m≤，
∴－m≥－，∴－m≥－＝－，即tan(α＋β)≥－.
因此，tan(α＋β)的最小值为－.
[能力提升]
1．设tan
θ和tan是方程x2＋px＋q＝0的两个根，则p，q之间的关系是( )
A．p＋q＋1＝0
B．p－q＋1＝0
C．p＋q－1＝0
D．p－q－1＝0
【解析】 ∵tan
θ＋tan＝－p，
tan
θ·tan＝q，
＝θ＋，
∴tan＝tan＝＝1，
∴p－q＋1＝0.
【答案】 B
2．已知sin
α＝，且α为锐角，tan
β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为( )
A．
B．
C.
D．
【解析】 sin
α＝，且α为锐角，则cos
α＝，tan
α＝，
所以tan(α＋β)＝＝＝－1.
又α＋β∈，故α＋β＝.
【答案】 B
3．已知tan＝，tan＝，
则tan(α＋β)＝________.
【解析】 ∵tan＝tan[(α＋β)－π]＝tan(α＋β)，
∴tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝1.
【答案】 1
4．是否存在锐角α和β，使得下列两式：
(1)α＋2β＝π；
(2)tantan
β＝2－同时成立．
【解】 假设存在符合题意的锐角α和β，由(1)知＋β＝，
∴tan＝
＝.
由(2)知tantan
β＝2－，
∴tan＋tan
β＝3－.
∴tan，tan
β是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，
得x1＝1，x2＝2－.
∵0<α<，则0∴tan≠1，即tan＝2－，tan
β＝1.
又∵0<β<，则β＝，代入(1)，得α＝，
∴存在锐角α＝，β＝使(1)(2)同时成立．
