【北师大版】2017-2018学年高中数学选修1-2学案（17份打包，Word版，含解析）

3.2　分析法
1．了解分析法的思维过程、特点．(重点)
2．会用分析法证明数学问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理　分析法
阅读教材P61～P63，完成下列问题．
1．分析法的定义
从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．
2．分析法证明的思维过程
用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图3 3 6表示为：
→→→…→
图3 3 6
3．综合法和分析法的综合应用
在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，即可证明结论成立．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分析法就是从结论推向已知．(　　)
(2)分析法的推理过程要比综合法优越．(　　)
(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．(　　)
【解析】　(1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．
(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．
(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
[小组合作型]
应用分析法证明不等式
　已知a>b>0，求证：<－<.
【精彩点拨】　本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．
【自主解答】　要证<－
<，
只需证<<.
∵a>b>0，
∴同时除以，得<1<，
同时开方，得<1<，
只需证＋<2，且＋>2，
即证<，即证b∵a>b>0，∴原不等式成立，
即<－<.
1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．
2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论 … … …已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．
[再练一题]
1．(2016·合肥高二检测)已知a>0，求证：－≥a＋－2.
【证明】　要证－≥a＋－2，
只需证＋2≥a＋＋，
即证2≥2，
即a2＋＋4
＋4≥a2＋＋2
＋4，
只需证2≥
.
只需证4≥2，
即a2＋≥2.
上述不等式显然成立，故原不等式成立．
用分析法证明其他问题
　(2016·合肥高二检测)求证：以过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－相切．
【精彩点拨】　
【自主解答】　如图所示，过点A，B分别作AA′，BB′垂直准线于点A′，B′，取AB的中点M，作MM′垂直准线于点M′.要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝|AB|.由抛物线的定义有|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，
因此只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)．
根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y2＝2px焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－相切．
1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．
2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等．
[再练一题]
2．已知＝1，求证：cos
α－sin
α＝3(cos
α＋sin
α)．
【证明】　要证cos
α－sin
α＝3(cos
α＋sin
α)，
只需证＝3，只需证＝3，
只需证1－tan
α＝3(1＋tan
α)，只需证tan
α＝－.
∵＝1，∴1－tan
α＝2＋tan
α，即2tan
α＝－1.
∴tan
α＝－显然成立，∴结论得证．
[探究共研型]
综合法与分析法的综合应用
探究1　综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
【提示】　综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．
探究2　综合法与分析法有什么区别？
【提示】　综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．
　在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，则能使x，a，y成等差数列；若插入两个数b，c，则能使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1).
【导学号：67720019】
【精彩点拨】　可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来．
【自主解答】　由已知条件得
消去x，y得2a＝＋，
且a>0，b>0，c>0.
要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，
只需证a＋1≥，因≤，
只需证a＋1≥，
即证2a≥b＋c.
由于2a＝＋，
故只需证＋≥b＋c，
只需证b3＋c3＝(b＋c)(b2＋c2－bc)≥(b＋c)bc，
即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0.
因为上式显然成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．
综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．
[再练一题]
3．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：＋＝.
【证明】　要证＋＝，
即证＋＝3，
即证＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
只需证c2＋a2＝ac＋b2.
∵A，B，C成等差数列，
∴2B＝A＋C，
又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.
∵c2＋a2－b2＝2accos
B，
∴c2＋a2－b2＝ac，
∴c2＋a2＝ac＋b2，
∴＋＝成立．
[构建·体系]
1．要证明＋>2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　　)
A．综合法　　　　
B．分析法
C．比较法
D．归纳法
【解析】　由分析法和综合法定义可知选B.
【答案】　B
2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　)
A．a≤
B．ab≥
C．a2＋b2≥2
D．a2＋b2≤3
【解析】　∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.
∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.
【答案】　C
3.－<成立的充要条件是(　　)
A．ab(b－a)>0
B．ab>0且a>b
C．ab<0且aD．ab(b－a)<0
【解析】　－< (－)3<()3 a－b－3＋3 ab2【答案】　D
4．设a>0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
【解析】　因为a＋b＋c＝1，且a>0，b>0，c>0，
所以＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
≥3＋2＋2＋2
＝3＋6＝9.
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
【答案】　9
5．已知a，b，c∈R且不全相等，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
【证明】　法一：(分析法)
要证a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca，
只需证2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，
只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，
只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，
因为a，b，c∈R，
所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.
又因为a，b，c不全相等，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0成立．
所以原不等式a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca成立．
法二：(综合法)
因为a，b，c∈R，
所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.
又因为a，b，c不全相等，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，
所以(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，
所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，
所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
学业分层测评(十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若a，b∈R，则>成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．ab>0　　　　　　
B．b>a
C．aD．ab(a－b)<0
【解析】　由a，但>不能推出a∴a成立的一个充分不必要条件．
【答案】　C
2．求证：－1>－.
证明：要证－1>－，
只需证＋>＋1，
即证7＋2＋5>11＋2＋1，即证>，
∵35>11，
∴原不等式成立．
以上证明应用了(　　)
A．分析法
B．综合法
C．分析法与综合法配合使用
D．间接证法
【解析】　该证明方法符合分析法的定义，故选A.
【答案】　A
3．(2016·汕头高二检测)要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
【解析】　要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要证明(a2－1)(1－b2)≤0，即证(a2－1)(b2－1)≥0.
【答案】　D
4．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件(　　)
A．a2B．a2＝b2＋c2
C．a2>b2＋c2
D．a2≤b2＋c2
【解析】　由余弦定理得
cos
A＝<0，
∴b2＋c2－a2<0，
即b2＋c2【答案】　C
5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：A．a－b>0
B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0
D．(a－b)(a－c)<0
【解析】　由题意知 b2＋a(a＋b)<3a2 b2＋a2＋ab<3a2
b2＋ab<2a2 2a2－ab－b2>0
a2－ab＋a2－b2>0 a(a－b)＋(a＋b)(a－b)>0
a(a－b)－c(a－b)>0 (a－b)(a－c)>0，故选C.
【答案】　C
二、填空题
6．(2016·烟台高二检测)设A＝＋，B＝(a>0，b>0)，则A，B的大小关系为________．
【解析】　∵A－B＝－＝＝≥0，∴A≥B.
【答案】　A≥B
7．(2016·西安高二检测)如果a>b，则实数a，b应满足的条件是________．
【解析】　要使a>b成立，只需(a)2>(b)2，只需a3>b3>0，即a，b应满足a>b>0.
【答案】　a>b>0
8．如图3 3 7，四棱柱ABCD A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C.(写出一个条件即可)
图3 3 7
【解析】　要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.
【答案】　AC⊥BD(或底面为菱形)
三、解答题
9．设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
【证明】　法一：分析法
要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，
又因a＋b>0，
只需证a2－ab＋b2>ab成立，
只需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，
由此命题得证．
法二：综合法
a≠b a－b≠0 (a－b)2>0 a2－2ab＋b2>0 a2－ab＋b2>ab.
注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得
(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，
∴a3＋b3>a2b＋ab2.
10．(2016·深圳高二检测)已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S.
【证明】　要证a2＋b2＋c2≥4S，
只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos
C)≥2absin
C，
即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，
因为2absin(C＋30°)≤2ab，
只需证a2＋b2≥2ab，
显然上式成立，所以a2＋b2＋c2≥4S.
[能力提升]
1．已知a，b，c，d为正实数，且<，则(　　)
A.<<
B.<<
C.<<
D．以上均可能
【解析】　先取特殊值检验，∵<，
可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，
则＝，满足<<.
∴B，C不正确．
要证<，∵a，b，c，d为正实数，
∴只需证a(b＋d)只需证<，而<成立，
∴<.同理可证<.故A正确，D不正确．
【答案】　A
2．(2016·黄冈高二检测)下列不等式不成立的是(　　)
A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
B.＋>(a>0，b>0)
C.－<－(a≥3)
D.＋>2
【解析】　对于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
对于B，∵(＋)2＝a＋b＋2，()2＝a＋b，∴＋>；
对于C，要证－<－(a≥3)成立，只需证明＋<＋，两边平方得2a－3＋2<2a－3＋
2，即<，两边平方得a2－3a对于D，(＋)2－(2)2＝12＋4－24＝4(－3)<0，∴＋<2，故D错误．
【答案】　D
3．使不等式＋2>1＋成立的正整数p的最大值是________．
【解析】　由＋2>1＋，得<＋2－1，
即p<(＋2－1)2，
所以p<12＋4－4－2，
由于12＋4－4－2≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.
【答案】　12
4．(2016·唐山高二检测)已知a，b，c是不全相等的正数，且0＋logx
＋logx
【证明】　要证明logx＋logx＋logx只需要证明logx而已知0abc.
∵a，b，c是不全相等的正数，
∴≥>0，≥>0，≥>0，
∴··>＝abc，
即··>abc成立，
∴logx＋logx＋logx1．通过实例了解结构图，能运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息．(重点)
2．会画简单的结构图，结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　结构图的概念及分类
阅读教材P44～P46“练习”以上部分，完成下列问题．
1．结构图
用来描述一些事物之间逻辑关系的框图，叫作结构图．
2．结构图的分类
常见的结构图有组织结构图、分类结构图和知识结构图．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在结构图中，上下的元素之间通常是从属关系或逻辑先后关系．(　　)
(2)在结构图中，同一元素的下级元素之间一般是并列关系．(　　)
(3)在结构图中，当元素间是从属关系时，一般用线段连接．(　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：___________________________________________________
解惑：___________________________________________________
疑问2：___________________________________________________
解惑：___________________________________________________
疑问3：___________________________________________________
解惑：___________________________________________________
,层次结构图
　某中学行政机构关系如下：校长下设两名副校长和校长办公室，副校长A，B又各自管理教务处、教科室和保卫科、政教处、总务处，各科室共同管理和服务各班级．试画出该校的行政组织结构图．
【精彩点拨】　由题意知该组织结构图呈“树”形结构，注意要从“根”开始，然后逐次分级，直到“树梢”结束．
【自主解答】　该校的行政组织结构图如图所示：
1．解答本题的关键是弄清上下属关系．
2．组织结构图一般都会呈“树”形结构，绘图时可采用从上到下或从左到右的顺序来绘图，并在绘制好后能纵观全局，对整个组织结构图进行必要的调整和美化，以保证最后绘制的结构图美观、简洁、明了．
[再练一题]
1．某校学生会由学生会主席管理两个副主席，而两副主席又分别管理生活、学习、宣传和体育、文艺、纪检部门，各部门又由部长管理本部门，试画出学生会组织结构图．
【解】　
知识结构图
　对于《数学3(必修)》第二章“算法初步”，画出这一章的知识结构图．
【精彩点拨】　
→
【自主解答】　如图所示：
1．绘制结构图的一般步骤与绘制流程图类似，具体如下：
2．在结构图中会出现“树”形结构，也会出现一些“环”形结构．一般来说，包含从属关系的结构图呈“树”形结构，包含逻辑先后关系的结构图则可能呈“环”形结构．
[再练一题]
2．画出《数学1－2(选修)》第一章“统计案例”的知识结构图．
【解】　
[构建·体系]
1．如图2 2 1是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在(　　)
图2 2 1
A．“集合的概念”的下位
B．“集合的表示”的下位
C．“基本关系”的下位
D．“基本运算”的下位
【解析】　子集属于集合的基本关系中的概念．
【答案】　C
2．下列关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则的结构图正确的是(　　)
【解析】　函数的定义域、值域、对应法则是并列关系，与函数是从属关系，故结构图为A．
【答案】　A
3．用结构图描述四种命题的关系，如图2 2 2所示，
图2 2 2
其中表示互逆关系的是__________，表示互否关系的是________.
【解析】　根据四种命题的关系可知，互逆关系的是①③，互否关系的是②④.
【答案】　①③　②④
4．阅读如图2 2 3所示的知识结构图：
图2 2 3
“求简单函数的导数”的“上位”要素有________个．
【解析】　“上位”要素有“基本导数公式”“函数四则运算求导法则”“复合函数求导法则”共3个．
【答案】　3
5．某公司的组织结构是：总经理之下设执行经理、人事经理和财务经理．执行经理领导生产经理、工程经理、品质管理经理和物料经理．生产经理领导线长，工程经理领导工程师，工程师管理技术员，物料经理领导计划员和仓库管理员．根据上述描绘，用框图表示这家公司的组织结构图.
【导学号：67720009】
【解】　如图所示．
我还有这些不足：
(1)___________________________________
(2)___________________________________
我的课下提升方案：
(1)___________________________________
(2)___________________________________
学业分层测评(五)　
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列关于流程图和结构图的说法中不正确的是(　　)
A．流程图用来描述一个动态过程
B．结构图是用来刻画系统结构的
C．流程图中只能用带箭头的流程线表示各单元的先后关系
D．结构图中只能用方向箭头表示各要素之间的从属关系或逻辑上的先后关系
【解析】　根据流程图和结构图的意义及画法可知A，B，C都对，故选D．
【答案】　D
2．图2 2 4是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有(　　)
图2 2 4
A．1个　　
B．2个　　
C．3个　　
D．4个
【解析】　共有“策划部”“政府行为”“社会需求”，三个要素影响计划的执行，故选C．
【答案】　C
3．下列结构图中各要素之间表示从属关系的是(　　)
A．→→→
D．→→
【解析】　A表示的是逻辑先后关系，B既不是逻辑先后关系也不是从属关系，C是从属关系，D是逻辑先后关系．
【答案】　C
4．如图2 2 5是某工厂的结构图，由图可以知道，工厂办公室所管辖的科室有(　　)
图2 2 5
A．销售科、后勤科、宣传科
B．汽车队、接待科、宣传科
C．生产部、销售科、后勤科
D．生产部、汽车队、宣传科
【解析】　由结构图可知工厂办公室的“下位”要素共有3个，分别为汽车队、接待科、宣传科．
【答案】　B
5．把平面内两条直线的位置关系填入结构图2 2 6中的M，N，E，F中，顺序较为恰当的是(　　)
图2 2 6
①平行；②垂直；③相交；④斜交．
A．①②③④
B．①④②③
C．①③②④
D．②①④③
【解析】　平行无交点，而垂直、相交、斜交都有交点，垂直与斜交是并列的，都隶属于相交．
【答案】　C
二、填空题
6．按边对三角形进行分类的结构图为：
图2 2 7
则①处应填入________.
【解析】　等腰三角形又可分为“等边三角形”和“腰和底边不等的等腰三角形”两类．
【答案】　等边三角形
7．如图2 2 8所示的结构图中，进一步细化时，二面角应放在________的下位．
图2 2 8
【解析】　二面角反映的是两平面的位置关系，应放在“平面与平面”的下位．
【答案】　平面与平面
8．在工商管理学中，MRP(Material
Requirement
Planning)指的是物资需求计划，基本MRP的体系结构如图2 2 9所示：
图2 2 9
从图中可以看出，基本MRP直接受________、_____________和________的影响．
【解析】　由图看出箭头指向基本MRP的有三点：产品结构、主生产计划、库存状态．
【答案】　产品结构　主生产计划　库存状态
三、解答题
9．(2016·安庆高二检测)目前我省高考科目为文科考：语文，数学(文科)，英语，文科综合(政治、历史、地理)；理科考：语文，数学(理科)，英语，理科综合(物理、化学、生物)．请画出我省高考科目结构图．
【解】　
10．某大学的学校组织结构图如图2 2 10所示，由图回答下列问题：
图2 2 10
(1)学生工作处的“下位”要素是什么？
(2)学生工作处与其“下位”要素是什么关系？
【解】　(1)由图可知学生工作处的“下位”要素包括工业工程系、城建环保工程系、电气工程系、计算机工程系、机械工程系、汉教部．
(2)学生工作处与其“下位”要素的关系是从属关系．
[能力提升]
1．下列结构图中，体现各要素之间是逻辑先后关系的是(　　)
C．——
【解析】　C选项中的结构图表达了从整数指数幂到无理指数幂的发展过程与顺序，体现的是各要素间的逻辑先后关系，故选C．
【答案】　C
2．如图2 2 11所示是数列一章的知识结构图，下列说法正确的是(　　)
图2 2 11
A．“概念”与“分类”是从属关系
B．“等差数列”与“等比数列”是从属关系
C．“数列”与“等差数列”是从属关系
D．“数列”与“等差数列”是从属关系，但“数列”与“分类”不是从属关系
【解析】　画某一章节的知识结构图时，首先应对本章节的知识有全面的把握，然后明确各知识之间在逻辑上的先后顺序、概念上的从属关系．按从上到下、从左到右的顺序画图，在A，B，C，D四个选项中只有C正确．
【答案】　C
3．在平面几何中，特殊四边形的分类关系可用以下框图描述：
图2 2 12
则在①中应填入________；在②中应填入________.
【解析】　结合①的条件可知：有一组邻边相等的平行四边形为菱形，故①处应填菱形．结合②的条件可知：两腰相等的梯形叫等腰梯形，故②处应填等腰梯形．
【答案】　菱形　等腰梯形
4．据有关人士预测，我国居民的消费正由生存型消费转向质量型消费，城镇居民消费热点是商品住房、小轿车、新型食品、服务消费和文化消费；农村居民消费热点是住房、家电，试设计表示我国居民消费情况的结构图．
【解】　结构图如图所示．§1　数系的扩充与复数的引入
1．1　数的概念的扩展
1．2　复数的有关概念
1．了解引入虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．
2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．(重点)
3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．(易混点)
4．理解复数的几何表示．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　复数的有关概念及分类
阅读教材P73部分，完成下列问题．
1．复数的有关概念
(1)复数
①定义：形如a＋bi的数叫作复数，其中a，b∈R，i叫作虚数单位．a叫作复数的实部，b叫作复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.
(2)复数集
①定义：复数的全体组成的集合叫作复数集．
②表示：通常用大写字母C表示．
2．复数的分类及包含关系
(1)复数a＋bi，a，b∈R.
(2)集合表示：
图4 1 1
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．(　　)
(3)bi是纯虚数．(　　)
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
教材整理2　复数的有关概念
阅读教材P74“1.2复数的有关概念”以下至P75“练习”以上部分，完成下列问题．
1．两个复数相等
a＋bi＝c＋di当且仅当a＝c，且b＝d.
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面向量＝(a，b)．
3．复数的模
设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，且|z|＝.
如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为(　　)
A．x＝1，y＝－1　　　　　
B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0
D．x＝0，y＝0
【解析】　∵(x＋y)i＝x－1，
∴∴x＝1，y＝－1.
【答案】　A
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
[小组合作型]
复数的概念与分类
　(1)若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是(　　)
A．－1　
B．1　　　
C．±1　　　
D．－1或－2
(2)已知复数z＝a＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为________．
(3)当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为：①实数？②虚数？③纯虚数？
【精彩点拨】　依据复数的分类标准，列出方程(不等式)组求解．
【自主解答】　(1)∵(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，∴由x2－1＝0，得x＝±1，又由x2＋3x＋2≠0，得x≠－2且x≠－1，∴x＝1.
(2)∵z是实数，∴a2－1＝0，∴a＝±1.
【答案】　(1)B　(2)±1
(3)①当即m＝2时，复数z是实数．
②当m2－2m≠0，且m≠0，
即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
③当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.
[再练一题]
1．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是(　　)
A．|a|＝|b|　　　　
B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b
D．a>0且a＝±b
【解析】　要使复数z为纯虚数，则
∴a>0，a＝±b.故选D.
【答案】　D
复数相等
　(1)下列命题：
①若a＋bi＝0，则a＝b＝0；
②x＋yi＝2＋2i x＝y＝2；
③若y∈R，且(y2－1)－(y－1)i＝0，则y＝1.
其中正确命题的个数为(　　)
A．0　
B．1
C．2　　　
D．3
(2)已知x，y∈R，(x＋2y－1)＋(x－3y＋4)i＝10－5i，求x，y.
【精彩点拨】　根据复数相等的充要条件求解．
【自主解答】　(1)命题①②中未明确a，b，x，y是否为实数，从而a，x不一定为复数的实部，b，y不一定是复数的虚部，故命题①②错误；命题③中，y∈R，从而y2－1，－(y－1)是实数，根据复数相等的条件得
∴y＝1，故③正确．
【答案】　B
(2)因为x，y∈R，所以(x＋2y－1)，(x－3y＋4)是实数，所以由复数相等的条件得
解得
所以x＝3，y＝4.
1．复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则z1＝z2 a＝c且b＝d.
2．复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．转化过程主要依据复数相等的充要条件．基本思路是：
(1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；
(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；
(3)解方程组，求出相应的参数．
[再练一题]
2．(1)(2016·重庆高二检测)若(x－y)＋(2x－3)i＝(3x＋y)＋(x＋2y)i(其中x，y为实数)，则x＝________，y＝________.
(2)已知(2x＋8y)＋(x－6y)i＝14－13i，则xy＝________.
【解析】　(1)由复数相等的意义得
所以
(2)由复数相等的意义，得
解得
所以xy＝－2.
【答案】　(1)1　－1　(2)－2
[探究共研型]
复数的几何意义
探究1　若向量对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，如何求1＋2对应的复数？
【提示】　因为向量对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，所以1＝(5，－4)，2＝(－5,4)，所以1＋2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以1＋2对应的复数是0.
探究2　若复数(a＋1)＋(a－1)i(a∈R)在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？
【提示】　a满足即－1＜a＜1.
　(1)已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是(　　)
A．－
B.i
C．±i
D．±
(2)求复数z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比较它们模的大小．
【精彩点拨】　(1)设出复数z的虚部，由模的公式建立方程求解．
(2)用求模的公式直接计算．
【自主解答】　(1)设复数z的虚部为b，∵|z|＝2，实部为1，∴1＋b2＝4，∴b＝±，选D.
【答案】　D
(2)因为z1＝6＋8i，z2＝－－i，
所以|z1|＝＝10，
|z2|＝＝.
因为10>，所以|z1|>|z2|.
1．复数集和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可以根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
2．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．
3．两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
[再练一题]
3．(1)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________．
(2)已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．
【解析】　(1)因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量表示的复数是－6－8i.
【答案】　－6－8i
(2)∵z＝3＋ai(a∈R)，|z|＝
，
由已知得<4，
∴a2<7，
∴a∈(－，
)．
[构建·体系]
1．给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　)
A．0　　　　　
　　
B．1
C．2
D．3
【解析】　复数的平方不一定大于0，故①错误；2i－1的虚部为2，故②错误；2i的实部是0，③正确，故选B.
【答案】　B
2．已知复数z＝－3i，则复数的模|z|等于(　　)
A．5
B．8
C．6
D．
【解析】　|z|＝＝.
【答案】　D
3．下列命题正确的是__________(填序号)．
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集．
【解析】　①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．
②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题．
③由复数集的分类知，③正确，是真命题．
【答案】　③
4．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
【解析】　∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴解得x＞3.
【答案】　(3，＋∞)
5．已知复数z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i，则当实数m为何值时，复数z
【导学号：67720023】
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．
【解】　z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i.
(1)令m2－m－6＝0 m＝3或m＝－2，即m＝3或m＝－2时，z为实数．
(2)令m2－m－6≠0，解得m≠－2且m≠3，所以m≠－2且m≠3时，z是虚数．
(3)由解得m＝－1，
所以m＝－1时，z是纯虚数．
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
学业分层测评(十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·泰安高二检测)－(2－i)的虚部是(　　)
A．－2　　　　　　
B．－
C.
D．2
【解析】　∵－(2－i)＝－2＋i，
∴其虚部是.
【答案】　C
2．(2016·青岛高二检测)在复平面内，复数z＝sin
2＋icos
2对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】　∵sin
2>0，cos
2<0，
∴复数z对应的点(sin
2，cos
2)在第四象限．故选D.
【答案】　D
3．(2016·肇庆高二检测)若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝(　　)
A．－2＋i
B．2＋i
C．1－2i
D．1＋2i
【解析】　由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.
【答案】　B
4．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则(　　)
A．a≠2或a≠1
B．a≠2，且a≠1
C．a＝0
D．a＝2或a＝0
【解析】　由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2.故选D.
【答案】　D
5．如果复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z＝(　　)
A．－＋i
B.－i
C．－－i
D．＋i
【解析】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，由复数相等的充要条件，得解得即z＝＋i.
【答案】　D
二、填空题
6．设i为虚数单位，若复数z＝(m2＋2m－3)＋(m－1)i是纯虚数，则实数m＝__________.
【解析】　依题意有解得m＝－3.
【答案】　－3
7．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是__________．
【解析】　3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，所以所求的复数是3－3i.
【答案】　3－3i
8．复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是________．
【解析】　∵|z|＝3，
∴＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．
【答案】　以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆
三、解答题
9．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时；
(1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z＝－4i
【解】　(1)∵z∈R，
∴解得m＝－3，
∴当m＝－3时，z∈R.
(2)∵z是虚数，
∴即
∴当m≠1且m≠－3时，z是虚数．
(3)∵z是纯虚数，
∴即
∴当m＝0或m＝－2时，z是纯虚数．
(4)∵z＝－4i，
∴即
∴m＝－1时，z＝－4i.
10．已知O为坐标原点，1对应的复数为－3＋4i，2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若1与2共线，求a的值．
【解】　因为1对应的复数为－3＋4i，2对应的复数为2a＋i，所以1＝(－3,4)，2＝(2a,1)．因为1与2共线，所以存在实数k使2＝k1，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以所以
即a的值为－.
[能力提升]
1．若复数z＝＋i是纯虚数，则tan的值为(　　)
A．－7　　　　　　　　
B．－
C．7
D．－7或－
【解析】　∵复数z是纯虚数，
∴∴sin
θ＝且cos
θ≠，∴cos
θ＝－.
∴tan
θ＝＝－.
∴tan＝＝＝－7，故选A.
【答案】　A
2．已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为(　　)
A．1＋i
B．2
C．(－1,
)
D．－1＋i
【解析】　设复数z对应的点为(x，y)，则
x＝|z|·cos
120°＝2×＝－1，
y＝|z|·sin
120°＝2×＝，
∴复数z对应的点为(－1,
)，∴z＝－1＋i.
【答案】　D
3．复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为__________．
【解析】　复数z＝－5－12i在复平面内对应点Z(－5，－12)，所以点Z与原点O的距离为|OZ|＝＝13.
【答案】　13
4．若m为实数，z1＝(m2＋1)＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝(4m＋2)＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1【导学号：67720024】
【解】　当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，
解得m＝0或m＝－1或m＝－2，
∴z1＝1或z1＝2或z1＝5.
当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，
解得m＝0或m＝1或m＝4，
∴z2＝2或z2＝6或z2＝18.
上面m的公共值为m＝0，此时，z1与z2同时为实数，且z1＝1，z2＝2.
∴当z1>z2时，m值的集合为空集；当z12．1　复数的加法与减法
2．2　复数的乘法与除法
1．理解共轭复数的概念．(重点)
2．掌握复数的四则运算法则与运算律．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1　复数的加法与减法
阅读教材P77“例1”以上部分，完成下列问题．
1．复数的加法
设a＋bi(a，b∈R)和c＋di(c，d∈R)是任意两个复数，定义复数的加法如下：(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
2．复数的减法
设a＋bi(a，b∈R)和c＋di(c，d∈R)是任意两个复数，定义复数的减法如下：(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于(　　)
A．0　　　　　　　
B．＋i
C.－i
D．－i
【解析】　z1＋z2＝＋i＝－i.
【答案】　C
教材整理2　复数的乘法与除法
阅读教材P78“练习”以下～P80，完成下列问题．
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
3.共轭复数
如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z的共轭复数用来表示，即z＝a＋bi，则＝a－bi.
4．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则＝＝＋i.
(1＋i)2－＝________.
【解析】　∵(1＋i)2－＝2i－＝－＋i.
【答案】　－＋i
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
[小组合作型]
复数的加法与减法运算
　(1)＋(2－i)－＝________；
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z；
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.
【精彩点拨】　(1)根据复数的加法与减法法则计算．
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数相等计算或把等式看作z的方程，通过移项求解．
(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，再根据复数相等求解．
【自主解答】　(1)＋(2－i)－＝＋i
＝1＋i.
【答案】　1＋i
(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.
法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝－4＋3i.
1．复数加法与减法运算法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)把i看作一个字母，类比多项式加、减法中的合并同类项．
2．当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)．
[再练一题]
1．(1)复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)
A．－1＋i　
B．1－i　　　
C．i　　　
D．－i
【解析】　(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.
【答案】　A
(2)已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.
【解析】　设z＝x＋yi(x，y∈R)，∴＝3①，且z＋3i＝x＋yi＋3i＝x＋(y＋3)i是纯虚数，则
由①可得y＝3.
∴z＝3i.
【答案】　3i
复数的乘法与除法运算
　已知复数z1＝1＋i，z2＝3－2i.试计算：
【导学号：67720025】
(1)z1·z2和z；
(2)z1÷z2和z÷z1.
【精彩点拨】　按照复数的乘法和除法法则进行．
【自主解答】　(1)z1·z2＝3－2i＋3i－2i2＝5＋i.
z＝[(1＋i)2]2＝(2i)2＝4i2＝－4.
(2)z1÷z2＝＝＝＝＋i.
z÷z1＝＝＝
＝＝－－i.
1．实数中的乘法公式在复数范围内仍然成立．
2．复数的四则运算次序同实数的四则运算一样，都是先算乘除，再算加减．
3．常用公式
(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.
[再练一题]
2．(1)满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝(　　)
A.＋i　　　　　
B．－i
C．－＋i
D．－－i
(2)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)
A．1　　　　　　
B．2
C.
D．
【解析】　(1)∵＝i，∴z＋i＝zi，∴i＝z(i－1)．
∴z＝＝＝＝－i.
(2)∵z(1＋i)＝2i，∴z＝＝＝1＋i，
∴|z|＝＝.
【答案】　(1)B　(2)C
[探究共研型]
共轭复数的应用
探究1　两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？
【提示】　若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，则z＋＝2a∈R.因此，和一定是实数；而z－＝2bi.当b＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b≠0时，两共轭复数的差是纯虚数．
探究2　若z1与z2是共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？
【提示】　|z1|＝|z2|.
　已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
【精彩点拨】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.代入所给等式，利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解．
【自主解答】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
[再练一题]
3．已知复数z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值．
【解】　z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i，
z2＝＝＝＝＋i，
由于z1和z2互为共轭复数，所以有
解得
[构建·体系]
1．设z1＝2＋i，z2＝1－5i，则|z1＋z2|为(　　)
A.＋　　　　
B．5
C．25
D．
【解析】　|z1＋z2|＝|(2＋i)＋(1－5i)|
＝|3－4i|＝＝5.
【答案】　B
2．已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝(　　)
A．－3＋i
B．－1＋3i
C．－3＋3i
D．－1＋i
【解析】　(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.
【答案】　B
3．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x＝________.
【解析】　∵z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，
∴z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i.
∵z1z2∈R，∴x＋2＝0，即x＝－2.
【答案】　－2
4．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
【解析】　因为＝＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.
【答案】　2
5．已知复数z满足|z|＝，且(1－2i)z是实数，求.
【解】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－2i)z＝(1－2i)·(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i，又因为(1－2i)z是实数，所以b－2a＝0，即b＝2a，又|z|＝，所以a2＋b2＝5，解得a＝±1，b＝±2，
∴z＝1＋2i或－1－2i，
∴＝1－2i或－1＋2i，
∴＝±(1－2i)．
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是(　　)
A．1　　　　　　　
B．2
C．－2
D．－1
【解析】　z1－z2＝y＋xi－(yi－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2，
∴∴x＝y＝1.
∴xy＝1.
【答案】　A
2．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝(　　)
A．0
B．6i
C．6
D．6－6i
【解析】　∵z＋3i－3＝3－3i，
∴z＝(3－3i)－(3i－3)
＝6－6i.
【答案】　D
3．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为(　　)
A．1
B．2
C.
D．
【解析】　由z＝－ai，a∈R，得z2＝2－2××ai＋(ai)2＝－a2－ai，因为z2＝－i，所以解得a＝.
【答案】　C
4．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【解析】　复数z1对应向量，复数z2对应向量.
则|z1＋z2|＝|＋|，|z1－z2|＝|－|，
依题意有|＋|＝|－|.
∴以，为邻边所作的平行四边形是矩形．
∴△AOB是直角三角形．
【答案】　B
5．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于(　　)
A.
B.
C．1
D．2
【解析】　∵z＝＝＝
＝＝＝－＋，
∴＝－－，
∴z·＝.
【答案】　A
二、填空题
6．复数的值是________
.
【解析】　＝＝－1.
【答案】　－1
7．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝__________.
【解析】　∵＝b＋i，
∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi，
∴a＝－1，b＝2，
∴a＋b＝1.
【答案】　1
8．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝________.
【解】　法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)．
则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i.
∴解得
∴z＝－15＋8i.
法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i，
∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，
于是|z|＝，
即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17.
代入z＝2－|z|＋8i，得z＝－15＋8i.
【答案】　－15＋8i
三、解答题
9．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
【解】　(1)对应的复数为2＋i－1＝1＋i，对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i.
(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，
∴||2＋||2＝||2，∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝××2＝2.
10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.
(1)求复数z的共轭复数；
【导学号：67720026】
(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．
【解】　(1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，
所以复数z的共轭复数为－2－4i.
(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应向量为(－2,4＋a)，其模为＝.
又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，
所以实数a的取值范围是－8≤a≤0.
[能力提升]
1．(2016·宁夏高二检测)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
【解析】　A，|z1－z2|＝0 z1－z2＝0 z1＝z2 1＝2，真命题；
B，z1＝2 1＝2＝z2，真命题；
C，|z1|＝|z2| |z1|2＝|z2|2 z1·1＝z2·2，真命题；
D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．
【答案】　D
2．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为(　　)
A．2
B．4　　
C．4　　
D．16
【解析】　由|z－4i|＝|z＋2|，得
|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.
【答案】　C
3．若复数z＝的实部为3，则z的虚部为__________．
【解析】　z＝＝
＝＝＋i.由题意知＝3，∴a＝－1，∴z＝3＋i.
∴z的虚部为1.
【答案】　1
4．已知z为复数，为实数，为纯虚数，求复数z.
【解】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝＝(a－1＋bi)·(－i)＝b－(a－1)i.
因为为实数，所以a－1＝0，即a＝1.
又因为＝＝为纯虚数，
所以a－b＝0，且a＋b≠0，所以b＝1.
故复数z＝1＋i.章末分层突破
[自我校对]
①流程图　②工艺流程图　③结构图　④组织结构图
程序框图
画程序框图的规则：使用标准的框图符号；框图一般按从上到下，从左到右的方向画；除判断框外，大多数程序框图的符号只有一个进入点和一个退出点，而判断框是具有超过一个退出点的唯一符号．
　公历规定：如果年份数字被4整除而不被100整除，就是闰年；如果年份数字被400整除，也是闰年；其余的都不是闰年．用程序框图表示出这个规则．
【精彩点拨】　解答本题可先确定算法步骤，再依据算法步骤画程序框图．
【规范解答】　算法步骤：第一步　输入年份；
第二步　逐一判断该年份能否被4，被100，被400整除；
第三步　根据规则，输出结果．
程序框图：
[再练一题]
1．(2014·浙江高考)
图2 1
若某程序框图如图2 1所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________.
【解析】　输入n＝50，由于i＝1，S＝0，所以S＝2×0＋1＝1，i＝2，此时不满足S>50；当i＝2时，S＝2×1＋2＝4，i＝3，此时不满足S>50；当i＝3时，S＝2×4＋3＝11，i＝4，此时不满足S>50；当i＝4时，S＝2×11＋4＝26，i＝5，此时不满足S>50；当i＝5时，S＝2×26＋5＝57，i＝6，此时满足S>50，因此输出i＝6.
【答案】　6
工序流程图
画工序流程图时，应先理清工序大体分几个阶段，再对每一阶段细分．每一步应注意先后顺序，否则会产生错误．在实际生产中，对于图中的流程，还会再细分并添加必要的条件进行处理．
　在工业上用黄铁矿制取硫酸大致经过三道程序：造气、接触氧化和SO3的吸收．造气，即黄铁矿与空气在沸腾炉中反应产生SO2，矿渣作废物处理，SO2再经过净化处理；接触氧化，是使SO2在接触室中反应产生SO3和SO2，其中SO2再循环进行接触氧化；吸收阶段，是SO3在吸收塔内反应产生硫酸和废气．请根据上述简介，画出制备硫酸的工序流程图．
【精彩点拨】　按照生产工序的先后顺序分阶段绘制．
【规范解答】　按照工序要求，可以画出如图所示的工序流程图．
[再练一题]
2．“十一”黄金周即将到来，小强一家准备通过旅游公司到张家界旅游，联系旅行社的任务由小强完成，小强为了详细了解景色、费用、居住、饮食、交通等方面的信息，想在打电话之前画一个电话咨询的流程图，请你帮他完成．
【解】　电话咨询的流程图如图所示．
,　结构图
结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线构成．一般用图框和文字说明表示系统的各要素，各图框之间用连线或方向箭头连接起来．
结构图的书写顺序是：根据系统各要素的具体内容，按照从上到下、从左到右的顺序或箭头所指的方向将各要素划分为从属关系或逻辑的先后关系．
　已知某公司设有总经理、总工程师、专家办公室、咨询部、监理部、信息部、开发部、财务计划部、后勤部、编辑部．在一个公司里总经理居最高的领导位置，总工程师和专家办公室为总经理提供参考意见，总经理直接管理下属部门，请画出其组织结构图．
【精彩点拨】　解答本题可按照已知的各部门间的关系从左到右、从上到下画出结构图．
【规范解答】　公司的组织结构图如图所示：
[再练一题]
3．一家新技术公司计划研制一个名片管理系统，希望系统能够具备以下功能：
(1)用户管理：能够修改密码，显示用户信息，修改用户信息；
(2)用户登录；
(3)名片管理：能够对名片进行删除、添加、修改、查询；
(4)出错信息处理．
根据以上要求画出该系统的结构图．
【解】　结构图如图所示．
,　转化与化归思想
应用循环结构解决问题时，特别注意两个变量(累积变量和计数变量)的初始值，以及计数变量到底是什么，它递加的值是多大；还要特别注意判断框中计数变量的取值限制，含还是不含等号，用“>”“<”，还是用“≤”“≥”，它们的含义是不同的．另外，不要漏掉流程线的箭头以及与判断框相连的流程线上的标志“是”或“否”．
　画出求12－22＋32－42＋…＋992－1002值的算法程序框图．
【精彩点拨】　本题是一个有规律的求和问题，故可用循环结构进行算法设计，考虑到其中正负号间隔，奇数项为正，偶数项为负，因此可再利用条件结构对此进行判断．
【规范解答】　算法的程序框图如图所示：
[再练一题]
4．已知数列{an}的递推公式an＝＋an－1，且a1＝1，请画出求其前5项的流程图．
【解】　求其前5项的流程图如图所示：
1．(2015·福建高考)阅读如图2 2所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为(　　)
图2 2
A．2　　　　　　　　
B．1
C．0
D．－1
【解析】　由框图知，第1次循环，S＝0＋cos
＝0，i＝2；
第2次循环，S＝0＋cos
π＝－1，i＝3；
第3次循环，S＝－1＋cos
＝－1，i＝4；
第4次循环，S＝－1＋cos
2π＝0，i＝5；
第5次循环，S＝0＋cos
π＝0，i＝6>5.
此时结束循环，输出S＝0.
【答案】　C
2．(2016·全国卷Ⅰ)执行程序框图2 3，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足(　　)
图2 3
A．y＝2x
B．y＝3x
C．y＝4x
D．y＝5x
【解析】　输入x＝0，y＝1，n＝1，
运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋y2≥36；
运行第二次，x＝，y＝2，不满足x2＋y2≥36；
运行第三次，x＝，y＝6，满足x2＋y2≥36，
输出x＝，y＝6.
由于点在直线y＝4x上，故选C．
【答案】　C
3．(2016·全国卷Ⅱ)
图2 4
中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，图2 4是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝(　　)
A．7
B．12
C．17
D．34
【解析】　因为输入的x＝2，n＝2，所以k＝3时循环终止，输出s.根据程序框图可得循环体中a，s，k的值依次为2,2,1(第一次循环)；2,6,2(第二次循环)；5,17,3(第三次循环)．所以输出的s＝17.
【答案】　C
4．(2016·全国卷Ⅲ)执行程序框图2 5，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝(　　)
图2 5
A．3　　
B．4
C．5　　
D．6
【解析】　程序运行如下：
开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0.
第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；
第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；
第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；
第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.
此时，满足条件s>16，退出循环，输出n＝4.故选B．
【答案】　B
5．(2016·北京高考)执行如图2 6所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为(　　)
图2 6
A．1　　
B．2
C．3　　
D．4
【解析】　开始a＝1，b＝1，k＝0；
第一次循环a＝－，k＝1；
第二次循环a＝－2，k＝2；
第三次循环a＝1，条件判断为“是”，跳出循环，此时k＝2.
【答案】　B
6．(2015·全国卷Ⅱ)下边程序框图2 7的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝(　　)
图2 7
A．0
B．2
C．4
D．14
【解析】　a＝14，b＝18.
第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；
第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；
第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；
第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；
第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；
第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B．
【答案】　B
章末综合测评(二)　框图
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．要描述一工厂某产品的生产工艺，应用(　　)
A．程序框图　　　　　　
B．工艺流程图
C．知识结构图
D．组织结构图
【解析】　这是设计生产过程，应为工艺流程图，选B．
【答案】　B
2．在下面的图示中，是结构图的是(　　)
A．→→→
C．
D．
【解析】　A是流程图；C是图表；D是图示；B是知识结构图．
【答案】　B
3．如图1是一结构图，在处应填入(　　)
A．图像变换
B．奇偶性
C．对称性
D．解析式
【解析】　函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等，故选B．
【答案】　B
4．某市质量技术监督局计量认证审查流程图如图2所示：
图2
从图中可知在审查过程中可能不被通过审查的环节的处数有(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】　该题是一个实际问题，由审查流程图可知有3个判断框，即3处可能不被审查通过，故选C．
【答案】　C
5．(2015·湖南高考)执行如图3所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝(　　)
图3
A．　　　
B．
C．　　　
D．
【解析】　第一次循环：S＝，i＝2；
第二次循环：S＝＋，i＝3；
第三次循环：S＝＋＋，i＝4，满足循环条件，结束循环．
故输出S＝＋＋
＝＝，故选B．
【答案】　B
6．学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是(　　)
【解析】　由学校教职工组织结构易知选A．
【答案】　A
7．(2015·重庆高考)执行如图4所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是(　　)
图4
A．s≤？
B．s≤？
C．s≤？
D．s≤？
【解析】　由s＝0，k＝0满足条件，则k＝2，s＝，满足条件；k＝4，s＝＋＝，满足条件；k＝6，s＝＋＝，满足条件；k＝8，s＝＋＝，不满足条件，输出k＝8，所以应填s≤？.
【答案】　C
8．(2016·锦州高二检测)如图5是“向量的线性运算”知识结构图，如果要加入“三角形法则”和“平行四边形法则”，应该放在(　　)
图5
A．“向量的加减法”中“运算法则”的下位
B．“向量的加减法”中“运算律”的下位
C．“向量的数乘”中“运算法则”的下位
D．“向量的数乘”中“运算律”的下位
【解析】　因为“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，故应该放在“向量的加减法”中“运算法则”的下位．
【答案】　A
9．(2014·湖南高考)执行如图6所示的程序框图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S属于(　　)
【导学号：67720010】
图6
A．[－6，－2]
B．[－5，－1]
C．[－4,5]
D．[－3,6]
【解析】　由程序框图知，当0≤t≤2时，输出S＝t－3，此时S∈[－3，－1]；当－2≤t<0时，执行t＝2t2＋1后1【答案】　D
10．如图7所示的工序流程图中，设备采购的下一道工艺是(　　)
图7
A．设备安装
B．土建设计
C．厂房土建
D．工程设计
【解析】　结合工序流程图可知，设备采购的下一道工序是设备安装．
【答案】　A
11．(2016·太原高二检测)某流程图如图8所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是(　　)
图8
A．f(x)＝
B．f(x)＝ln(－x)
C．f(x)＝
D．f(x)＝
【解析】　由框图知，f(x)为有零点的奇函数，A，C中函数f(x)无零点；D中函数f(x)为偶函数；B中函数f(x)＝ln(－x)满足f(0)＝0且f(－x)＝ln(＋x)＝ln＝－ln(－x)＝－f(x)，故选B．
【答案】　B
12．设十人各拿水桶一只，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i＝1,2，…，10)个人的水桶需时Ti分钟，假设这些Ti各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他们接水次序，使他们总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花的时间)为最少(　　)
A．从Ti中最大的开始，按由大到小的顺序排队
B．从Ti中最小的开始，按由小到大的顺序排队
C．从靠近诸Ti平均数的一个开始，按依次小取一个大取一个的摆动顺序排队
D．任意顺序排队接水的总时间都不变
【解析】　从Ti中最小的开始，由小到大的顺序排队接水可使总时间最少，如只有T1，T2两人接水，T1需10分钟，T2需5分钟，若T1先接是需要10＋(10＋5)＝25分钟，若T2先接则只需要5＋5＋10＝20分钟．
【答案】　B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．实数系的结构图如图9所示，其中1,2,3三个方格中的内容依次是________，________，________.
图9
【答案】　有理数　整数　零
14．如图10为有关函数的结构图，由图我们可以知道基本初等函数包括________.
图10
【解析】　基本初等函数包括指数函数、对数函数、幂函数三种．
【答案】　指数函数、对数函数、幂函数
15．某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C需要的天数最大是________.
【解析】　由题意可画出工序流程图如图所示：
A
C
D
B
∴2＋x＋4≤9，∴x≤3.
【答案】　3
16．(2014·山东高考)执行如图11所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为________.
图11
【解析】　由x2－4x＋3≤0，解得1≤x≤3.
当x＝1时，满足1≤x≤3，所以x＝1＋1＝2，n＝0＋1＝1；
当x＝2时，满足1≤x≤3，所以x＝2＋1＝3，n＝1＋1＝2；
当x＝3时，满足1≤x≤3，所以x＝3＋1＝4，n＝2＋1＝3；
当x＝4时，不满足1≤x≤3，所以输出n＝3.
【答案】　3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在选举过程中常用差额选举(候选人数多于当选人数)，某班选举班长，具体方法是：筹备选举，由班主任提名候选人，同学投票(同意，不同意，弃权)，验票统计．若有得票多者，则被选为班长；若票数相同，则由班主任决定谁当选，请用流程图表示该选举过程．
【解】　
18．(本小题满分12分)给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，要求把大于40的数找出来并输出，试画出该问题的程序框图．
【解】　程序框图如图所示：
19．(本小题满分12分)画出“直线与方程”这一部分的知识结构图．
【解】　知识结构图如图所示：
20．(本小题满分12分)阅读如图12所示的结构图：
图12
试根据此结构图阐述“圆锥曲线与方程”知识的逻辑关系．
【解】　先由椭圆的实际背景引出椭圆的定义，用坐标法由定义推导出椭圆的标准方程和简单几何性质，然后是椭圆的简单应用．
再由双曲线的实际背景引出双曲线的定义，用坐标法由定义推导出双曲线的标准方程和简单几何性质，然后是双曲线的简单应用．
最后由抛物线的实际背景引出抛物线的定义，用坐标法由定义推导出抛物线的标准方程和简单几何性质，然后是抛物线的简单应用．
21．(本小题满分12分)国内知名网站搜狐设有房地产频道，其栏目结构图如图13所示：
图13
(1)某人若上网搜索租房信息应如何操作？
(2)某人在建材装修方面有法律咨询方面需求应如何操作？
【解】　(1)搜索租房信息：打开搜狐网站→房地产频道→租房搜索即可．
(2)建材装修方面法律咨询：打开搜狐网站→房地产频道→建材装修→律师楼．
22．(本小题满分12分)某公司组织结构中的部门及关系有：股东大会为一切政策制订和计划实施的最终审批机构，其下有董事会为其负责，监事会为董事会提供顾问和决策建议，董事会下设总经理管理日常工作，总经理直接领导综合办公室的工作，由综合办公室再去管理其他各部门的工作，有职能管理部门，管理人力企划部、计财部、监察审计部，市场营销部门又下辖市场开拓部、采购部、集团客户部，工程部门负责工程部、后勤部、售后服务部的工作，技术研发部门管理产品开发部、技术支援部．
根据以上信息，绘制出其组织结构图．
【解】　该公司组织结构图如下：§1　回归分析
1．1　回归分析
1．2　相关系数
1．3　可线性化的回归分析
1．了解回归分析的思想和方法．(重点)
2．掌握相关系数的计算和判断线性相关的方法．(重点)
3．了解常见的非线性回归模型转化为线性回归模型的方法．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　回归分析
阅读教材P3～P6“练习”以上部分，完成下列问题．
设变量y对x的线性回归方程为y＝a＋bx，由最小二乘法知系数的计算公式为：
b＝＝＝，a＝－b.
某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为(　　)
【导学号：67720000】
A．63.6万元　　　　
B．65.5万元
C．67.7万元
D．72.0万元
【解析】　＝＝3.5，＝＝42，∴a＝－b＝42－9.4×3.5＝9.1，
∴回归方程为y＝9.4x＋9.1，
∴当x＝6时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5，故选B．
【答案】　B
教材整理2　相关系数
阅读教材P6“练习”以下至P9“练习”以上部分，完成下列问题．
1．相关系数r的计算
假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则变量间线性相关系数
r＝＝
＝.
2．相关系数r与线性相关程度的关系
(1)r的取值范围为[－1,1]；
(2)|r|值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高；
(3)|r|值越接近0，误差Q越大，变量之间的线性相关程度越低．
3．相关性的分类
(1)当r>0时，两个变量正相关；
(2)当r<0时，两个变量负相关；
(3)当r＝0时，两个变量线性不相关．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个变量的相关系数r＞0，则两个变量正相关．(　　)
(2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强．(　　)
(3)若两个变量负相关，那么其回归直线的斜率为负．(　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
教材整理3　可线性化的回归分析
阅读教材P9～P13“练习”以上部分，完成下列问题．
1．非线性回归分析
对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型．
2．非线性回归方程
曲线方程
曲线图形
变换公式
变换后的线性函数
y＝axb
(a＝1，b＞0)　(a＝1，b＜0)
c＝ln
av＝ln
xu＝ln
y
u＝c＋bv
y＝aebx
(a＞0，b＞0)　(a＞0，b＜0)
c＝ln
au＝ln
y
u＝c＋bx
曲线方程
曲线图形
变换公式
变换后的线性函数
y＝ae
(a＞0，b＞0)　(a＞0，b＜0)
c＝ln
av＝u＝ln
y
u＝c＋bv
y＝a＋bln
x
(b＞0)　　(b＜0)
v＝ln
xu＝y
u＝a＋bv
下列数据x，y符合哪一种函数模型(　　)
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
2
2.69
3
3.38
3.6
3.8
4
4.08
4.2
4.3
A．y＝2＋x　　　　
B．y＝2ex
C．y＝2e
D．y＝2＋ln
x
【解析】　分别将x的值代入解析式判断知满足y＝2＋ln
x.
【答案】　D
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：___________________________________________
解惑：_____________________________________________________
疑问2：_____________________________________________________
解惑：_____________________________________________________
疑问3：_____________________________________________________
解惑：___________________________________________
[小组合作型]
,变量间的相关关系及判定
　(1)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图1 1 1①，对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图1 1 1②.由这两个散点图可以判断(　　)
图1 1 1
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
(2)(2016·上饶高二检测)两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法：
①若r＞0，则x增大时，y也随之相应增大；②若r＜0，则x增大时，y也相应增大；③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上，其中正确的有(　　)
A．①②　　　　　　　
B．②③
C．①③
D．①②③
(3)有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量．其中两个变量成正相关的是(　　)
A．①③
B．②④
C．②⑤
D．④⑤
【精彩点拨】　可借助于线性相关概念及性质作出判断．
【自主解答】　(1)由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关，故选C．
(2)根据两个变量的相关性与其相关系数r之间的关系知，①③正确，②错误，故选C．
(3)其中①③成负相关关系，②⑤成正相关关系，④成函数关系，故选C．
【答案】　(1)C　(2)C　(3)C
1．线性相关系数是从数值上来判断变量间的线性相关程度，是定量的方法．与散点图相比较，线性相关系数要精细得多，需要注意的是线性相关系数r的绝对值小，只是说明线性相关程度低，但不一定不相关，可能是非线性相关．
2．利用相关系数r来检验线性相关显著性水平时，通常与0.75作比较，若r>0.75，则线性相关较为显著，否则为不显著．
[再练一题]
1．下列两变量中具有相关关系的是(　　)
A．正方体的体积与边长
B．人的身高与体重
C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间
D．球的半径与体积
【解析】　选项A中正方体的体积为边长的立方，有固定的函数关系；选项C中匀速行驶车辆的行驶距离与时间成正比，也是函数关系；选项D中球的体积是π与半径的立方相乘，有固定函数关系．只有选项B中人的身高与体重具有相关关系．
【答案】　B
,求线性回归方程
　(2016·九江高二检测)某服装商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温x(℃)
17
13
8
2
月销售量y(件)
24
33
40
55
(1)算出线性回归方程y＝bx＋a(a，b精确到0.1)；
(2)气象部门预测下个月的平均气温约为6
℃，据此估计该商场下个月毛衣的销售量．
【精彩点拨】　(1)可利用公式求解；
(2)把月平均气温代入回归方程求解．
【自主解答】　
(1)由散点图易判断y与x具有线性相关关系．
＝(17＋13＋8＋2)÷4＝10，
＝(24＋33＋40＋55)÷4＝38，
xiyi＝17×24＋13×33＋8×40＋2×55＝1
267，
x＝526，
b＝
＝
≈－2.01，
a＝－b≈38－(－2.01)×10＝58.1，
所以线性回归方程为y＝－2.01x＋58.1.
(2)气象部门预测下个月的平均气温约为6
℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量为y＝－2.01x＋58.1＝－2.01×6＋58.1≈46(件)．
1．回归分析是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，因此，在做回归分析时，要先判断这两个变量是否相关，利用散点图可直观地判断两个变量是否相关．
2．利用回归直线，我们可以进行预测．若回归直线方程y＝a＋bx，则x＝x0处的估计值为y0＝a＋bx0.
3．线性回归方程中的截距a和斜率b都是通过样本估计而得到的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果的偏差，所以由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值．
4．回归直线必过样本点的中心点．
[再练一题]
2．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图(要求：点要描粗)；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力.
【导学号：67720001】
【解】　(1)如图：
(2)xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
＝＝9，
＝＝4，
x＝62＋82＋102＋122＝344，
b＝＝＝0.7，
a＝－b＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为y＝0.7x－2.3.
(3)由(2)中线性回归方程知当x＝9时，y＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.
[探究共研型]
,可线性化的回归分析
探究1　如何解答非线性回归问题？
【提示】　非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图像作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：
探究2　已知x和y之间的一组数据，则下列四个函数中，模拟效果最好的为哪一个？
x
1
2
3
y
3
5.99
12.01
①y＝3×2x－1;
②y＝log2x；
③y＝4x;
④y＝x2.
【提示】　观察散点图中样本点的分布规律可判断样本点分布在曲线y＝3×2x－1附近．所以模拟效果最好的为①.
　某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高x(cm)
60
70
80
90
100
110
体重y(kg)
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高x(cm)
120
130
140
150
160
170
体重y(kg)
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)试建立y与x之间的回归方程；
(2)如果一名在校男生身高为168
cm，预测他的体重约为多少？
【精彩点拨】　先由散点图确定相应的拟合模型，再通过对数变换将非线性相关转化为线性相关的两个变量来求解．
【自主解答】　(1)根据表中的数据画出散点图，如下：
由图看出，这些点分布在某条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝ln
y，列表如下：
x
60
70
80
90
100
110
z
1.81
2.07
2.30
2.50
2.71
2.86
x
120
130
140
150
160
170
z
3.04
3.29
3.44
3.66
3.86
4.01
作出散点图，如下：
由表中数据可求得z与x之间的回归直线方程为z＝0.693＋0.020x，则有y＝e0.693＋0.020x.
(2)由(1)知，当x＝168时，y＝e0.693＋0.020×168≈57.57，所以在校男生身高为168
cm，预测他的体重约为57.57
kg.
两个变量不具有线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型，如y＝c1ec2x，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z＝ln
y，则变换后样本点应该分布在直线z＝bx＋a(a＝ln
c1，b＝c2)的周围．
[再练一题]
3．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数据如下表：
x
0.25
0.5
1
2
4
y
16
12
5
2
1
试建立y与x之间的回归方程．
【解】　作出变量y与x之间的散点图如图所示．
由图可知变量y与x近似地呈反比例函数关系．
设y＝，令t＝，则y＝kt.由y与x的数据表可得y与t的数据表：
t
4
2
1
0.5
0.25
y
16
12
5
2
1
作出y与t的散点图如图所示．
由图可知y与t呈近似的线性相关关系．
又＝1.55，＝7.2，iyi＝94.25，＝21.312
5，
b＝
＝≈4.134
4，
a＝－b＝7.2－4.134
4×1.55≈0.8，
∴y＝4.134
4t＋0.8.
所以y与x的回归方程是y＝＋0.8.
[构建·体系]
1．下列结论正确的是(　　)
①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
A．①②　　　　　　　
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
【解析】　函数关系和相关关系的区别是前者是确定性关系，后者是非确定性关系，故①②正确；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，故③错误，④正确．
【答案】　C
2．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必过点(　　)
x
1
2
3
4
y
1
3
5
7
A．(2,3)　　　　　
B．(1.5,4)
C．(2.5,4)
D．(2.5,5)
【解析】　线性回归方程必过样本点的中心(，)，
即(2.5,4)，故选C．
【答案】　C
3．对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为________.
【解析】　由题意知＝2，＝3，b＝6.5，所以a＝－b＝3－6.5×2＝－10，即回归直线的方程为y＝－10＋6.5x.
【答案】　y＝－10＋6.5x
4．部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表(单位：百万元)：
固定资产价值
3
3
5
6
6
7
8
9
9
10
工业增加值
15
17
25
28
30
36
37
42
40
45
根据上表资料计算的相关系数为________.
【解析】　＝＝6.6.
＝＝31.5.
所以r＝eq
\f(\o(\s\up6())\o()
xi－\x\to(x) yi－\x\to(y) ,\r(\o()
xi－\x\to(x) 2\o()
yi－\x\to(y) 2))≈0.991
8.
【答案】　0.991
8
5．(2015·重庆高考)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y关于t的回归方程y＝bt＋a；
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t＝6)的人民币储蓄存款．
附：回归方程y＝bt＋a中，
b＝，a＝－b
.
【解】　(1)列表计算如下：
i
ti
yi
t
tiyi
12345
12345
567810
1491625
512213250
∑
15
36
55
120
这里n＝5，＝i＝＝3，＝i＝＝7.2.
又ltt＝－n2＝55－5×32＝10，
lty＝iyi－n＝120－5×3×7.2＝12，
从而b＝＝＝1.2，
a＝－b＝7.2－1.2×3＝3.6，
故所求回归方程为y＝1.2t＋3.6.
(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________
(2)
______________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)
______________________________________________________
(2)
____________________________________________
学业分层测评(一)　
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．为了考查两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两名同学各自独立地做了10次试验和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都为s，对变量y的观测数据的平均数都为t，那么下列说法中正确的是(　　)
A．直线l1和l2都过点(s，t)
B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)
C．直线l1和l2必平行
D．直线l1和l2必重合
【解析】　线性回归方程y＝bx＋a恒过点(，)，故直线l1和l2都过点(s，t)．
【答案】　A
2．已知人的年龄x与人体脂肪含量的百分数y的回归方程为y＝0.577x－0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量(　　)
A．一定是20.3%
B．在20.3%附近的可能性比较大
C．无任何参考数据
D．以上解释都无道理
【解析】　将x＝36代入回归方程得y＝0.577×36－0.448≈20.3.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B．
【答案】　B
3．关于回归分析，下列说法错误的是(　　)
A．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法
B．线性相关系数可以是正的或负的
C．回归模型中一定存在随机误差
D．散点图反映变量间的确定关系
【解析】　用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差，故D错误．
【答案】　D
4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组试验数据如下表：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是(　　)
A．y＝2x－2　　　
B．y＝x
C．y＝log2x
D．y＝(x2－1)
【解析】　代入检验，当x取相应的值时，所得y值与已知数据差的平方和最小的便是拟合程度最高的．
【答案】　D
5．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都有直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)
A．－1
B．0
C．
D．1
【解析】　所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为1，故选D．
【答案】　D
二、填空题
6．回归分析是处理变量之间________关系的一种数量统计方法．
【解析】　回归分析是处理变量之间相关关系的一种数量统计方法．
【答案】　相关
7．已知某个样本点中的变量x，y线性相关，相关系数r＜0，则在以(，)为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第________象限．
【解析】　∵r＜0时b＜0，
∴大多数点落在第二、四象限．
【答案】　二、四
8．某中学期中考试后，对成绩进行分析，从某班中选出5名学生的总成绩和外语成绩如下表：
　　学生学科　　
1
2
3
4
5
总成绩(x)
482
383
421
364
362
外语成绩(y)
78
65
71
64
61
则外语成绩对总成绩的回归直线方程是________.
【解析】　∵＝＝402.4，
＝＝79.8，
∴b＝
≈0.132，
∴a＝79.8－0.132×402.4＝14.5，
∴方程为y＝0.132x＋14.5.
【答案】　y＝0.132x＋14.5
三、解答题
9．(2016·包头高二检测)关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料可知y对x呈线性相关关系．试求：
(1)线性回归方程；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
【解】　(1)＝＝4，
＝＝5，
＝90，iyi＝112.3，
b＝＝＝1.23.
于是a＝－b＝5－1.23×4＝0.08.
所以线性回归方程为y＝1.23x＋0.08.
(2)当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，
即估计使用10年时维修费用是12.38万元．
10．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表.
气温/℃
26
18
13
10
4
－1
杯数
20
24
34
38
50
64
画出散点图并判断热茶销售量与气温之间是否具有线性相关关系．
【解】　画出散点图如图所示．
＝(26＋18＋13＋10＋4－1)≈11.7，
＝(20＋24＋34＋38＋50＋64)≈38.3，
eq
\o(∑,\s\up6( 6,))xiyi＝26×20＋18×24＋13×34＋10×38＋4×50－1×64＝1
910，
eq
\o(∑,\s\up6( 6,))x＝262＋182＋132＋102＋42＋(－1)2＝1
286，
eq
\o(∑,\s\up6( 6,))y＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10
172，eq
\o(∑,\s\up6( n,))
由r＝eq
\f(\o(eq
\o(∑,\s\up6( n,)))\o(
,\s\do4())xiyi－n\a\vs4\al(\x\to(x))
\a\vs4\al(\x\to(y)),\r(\o(eq
\o(∑,\s\up6( n,)))\o(
,\s\do4())x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)\r(\o(eq
\o(∑,\s\up6( n,)))\o(
,\s\do4())y\o\al(2,i)－n\x\to(y)2))，
可得r
≈0.97.
由于r的值接近于1，所以x与y具有很强的线性相关关系．
[能力提升]
1．(2016·安徽皖南八校联考)某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：
x(月份)
1
2
3
4
5
y(万盒)
5
5
6
6
8
若x，y线性相关，线性回归方程为y＝0.7x＋a，则估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为(　　)
A．8.1万盒
B．8.2万盒
C．8.9万盒
D．8.6万盒
【解析】　由题意知＝3，＝6，则a＝－0.7＝3.9，
∴x＝6时，y＝8.1.
【答案】　A
2．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y＝bx＋a.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　)
【导学号：67720002】
A．b>b′，a>a′
B．b>b′，aC．ba′
D．b【解析】　由(1,0)，(2,2)求b′，a′.
b′＝＝2，
a′＝0－2×1＝－2.
求b，a时，
iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，
＝3.5，＝，
＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，
∴b＝＝，
a＝－×3.5＝－＝－，
∴ba′.
【答案】　C
3．(2016·江西吉安高二检测)已知x，y的取值如下表所示，由散点图分析可知y与x线性相关，且线性回归方程为y＝0.95x＋2.6，那么表格中的数据m的值为________.
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
m
【解析】　＝＝2，＝＝，把(，)代入回归方程得＝0.95×2＋2.6，解得m＝6.7.
【答案】　6.7
4．某商店各个时期的商品流通率y(%)和商品零售额x(万元)资料如下：
x
9.5
11.5
13.5
15.5
17.5
y
6
4.6
4
3.2
2.8
x
19.5
21.5
23.5
25.5
27.5
y
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
散点图显示出x与y的变动关系为一条递减的曲线．经济理论和实际经验都证明，流通率y决定于商品的零售额x，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y＝a＋.试根据上表数据，求出a与b的估计值，并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．
【解】　设u＝，则y≈a＋bu，得下表数据：
u
0.105
3
0.087
0
0.074
1
0.064
5
0.057
1
y
6
4.6
4
3.2
2.8
u
0.051
3
0.046
5
0.042
6
0.039
2
0.036
4
y
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
进而可得n＝10，≈0.060
4，＝3.21，
u－102≈0.004
557
3，
iyi－10
≈0.256
35，
b≈≈56.25，
a＝－b·≈－0.187
5，
所求的回归方程为y＝－0.187
5＋.
当x＝30时，y＝1.687
5，即商品零售额为30万元时，商品流通率约为1.687
5%.1.2　类比推理
1．通过具体实例理解类比推理的意义．(重点)
2．会用类比推理对具体问题作出判断．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　类比推理
阅读教材P56内容，完成下列问题．
由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．
类比推理是两类事物特征之间的推理．
类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________(填序号)．
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
【解析】　正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．
【答案】　①②③
教材整理2　合情推理
阅读教材P57内容，完成下列问题．
合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．
合情推理的结果不一定正确．
下列说法正确的是(　　)
A．由合情推理得出的结论一定是正确的
B．合情推理必须有前提有结论
C．合情推理不能猜想
D．合情推理得出的结论不能判断正误
【解析】　根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．
【答案】　B
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
[小组合作型]
类比推理在数列中的应用
　在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．
(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；
(2)写出一个更为一般的结论(不必证明)．
【精彩点拨】　结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．
【自主解答】　(1)数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．
证明如下：
∵等差数列{an}的公差d＝3，
∴(S30－S20)－(S20－S10)
＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)
＝10d＋10d＋…＋10＝100d＝300，
同理可得：
(S40－S30)－(S30－S20)＝300，
所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.
(2)对于任意k∈N＋，都有数列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列，且公差为k2d.
1．本题是等比数列与等差数列之间的类比推理，在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．
2．类比推理的思维过程
观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．
即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处．
[再练一题]
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
【解析】　等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，成等比数列．
【答案】　　
类比推理在几何中的应用
　如图3 1 10所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论＋＋＝1.
【导学号：67720013】
图3 1 10
证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．
【精彩点拨】　三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．
【自主解答】　＝＝，
同理，＝，＝.
∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，
∴＋＋＝＝1.
类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，可以得到结论＋＋＋＝1.
证明如下：＝＝，
同理，＝，＝，＝.
∵VP BCD＋VP ACD＋VP ABD＋VP ABC＝VA BCD，
∴＋＋＋
＝＝1.
1．一般地，平面图形与空间图形类比如下：
平面图形
点
线
边长
面积
线线角
三角形
空间图形
线
面
面积
体积
二面角
四面体
2.类比推理的一般步骤：
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；
(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．
[再练一题]
2．在上例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A，B，C，那么由a＝b·cos
C＋c·cos
B可类比四面体的什么性质？
【解】　在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，
α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
猜想S＝S1·cos
α＋S2·cos
β＋S3·cos
γ.
[探究共研型]
类比推理在其他问题中的应用
探究1　鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？
【提示】　类比推理．
探究2　已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n的和．因为(n＋1)2－n2＝2n＋1，
n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，
…
22－12＝2×1＋1，
有(n＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n，
所以1＋2＋3＋…＋n＝＝.
类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n2的和．
【提示】　因为(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，
n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1，
…
23－13＝3×12＋3×1＋1，
有(n＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，
所以12＋22＋…＋n2
＝＝
＝.
　已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线－＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明．
【精彩点拨】　→→
→
【自主解答】　类似性质：若M，N为双曲线－＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则
N(－m，－n)．因为点M(m，n)是双曲线上的点，
所以n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2，
则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．
1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．
2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征．然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．
[再练一题]
3．(2016·温州高二检测)如图3 1 11所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________．
图3 1 11
【解析】　如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，
所以＝(c，b)，＝(－a，b)．
又因为⊥，
所以·＝b2－ac＝0，
所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，
所以e＝或e＝(舍去)．
【答案】　
[构建·体系]
1．下面使用类比推理恰当的是(　　)
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
【解析】　由实数运算的知识易得C项正确．
【答案】　C
2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可知扇形面积公式为(　　)
A.　　　　　　
B．
C.
D．无法确定
【解析】　扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝.
【答案】　C
3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
【解析】　由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.
【答案】　1∶8
4．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为________．
【解析】　结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.
【答案】　a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
5．如图3 1 12①，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC.若类比该命题，如图3 1 12②，三棱锥A BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则可以得到什么命题？命题是否是真命题，并加以证明．
①　　　　　　②
图3 1 12
【解】　命题是：三棱锥A BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有S＝S△BCM·S△BCD，是一个真命题．
证明如下：
如图，连接DM，并延长交BC于E，连接AE，则有DE⊥BC.
因为AD⊥平面ABC，
所以AD⊥AE.
又AM⊥DE，
所以AE2＝EM·ED.
于是S＝2
＝·
＝S△BCM·S△BCD.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的(　　)
A．一条中线上的点，但不是中心
B．一条垂线上的点，但不是垂心
C．一条角平分线上的点，但不是内心
D．中心
【解析】　由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心．
【答案】　D
2．下列推理正确的是(　　)
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin
x＋sin
y
C．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(x＋y)n＝xn＋yn
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)
【解析】　乘法的结合律与加法结合律相类比得(xy)z＝x(yz)．故选D.
【答案】　D
3．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S ABC的体积为V，则R＝(　　)
A.　　
B．
C.
D．
【解析】　设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体S ABC＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝.
【答案】　C
4．在等差数列{an}中，若an>0，公差d≠0，则有a4a6>a3a7.类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q≠1，则关于b5，b7，b4，b8的一个不等关系正确的是(　　)
A．b5b7>b4b8　　　　　　
B．b7b8>b4b5
C．b5＋b7D．b7＋b8【解析】　b5＋b7－b4－b8＝b1(q4＋q6－q3－q7)
＝b1[q3(q－1)＋q6(1－q)]
＝b1[－q3(q－1)2(1＋q＋q2)]<0，
∴b5＋b7【答案】　C
5．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A BCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则＝(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】　如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM＝，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4××r＝×× r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝∶＝3∶1.
【答案】　C
二、填空题
6．(2016·日照高二检测)二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.
【导学号：67720014】
【解析】　因为V＝8πr3，所以W＝2πr4，满足W′＝V.
【答案】　2πr4
7．在Rt△ABC中，若C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝，将此结论类比到空间有______________________________．
【解析】　Rt△ABC类比到空间为三棱锥A BCD，且AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD；△ABC的外接圆类比到空间为三棱锥A BCD的外接球．
【答案】　在三棱锥A BCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB＝a，AC＝b，AD＝c，则三棱锥A BCD的外接球半径R＝
8．等差数列有如下性质：若数列{an}是等差数列，则当bn＝时，数列{bn}也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{cn}是正项等比数列，则当dn＝________时，数列{dn}也是等比数列．
【解析】　类比等差数列与等比数列的性质，可猜测dn＝时，{dn}为等比数列．
【答案】　
三、解答题
9．如图3 1 13①，在平面内有面积关系＝，写出图3 1 13②中类似的体积关系，并证明你的结论．
①　　　　　　　　②
图3 1 13
【解】　类比＝，有
＝.
证明：如图，设C′，C到平面PAB的距离分别为h′，h.
则＝，
故＝
＝＝.
10．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有什么样的等式成立？
【解】　在等差数列{an}中，由a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，
相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则可得
b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．
[能力提升]
1．已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是(　　)
A．正四面体的内切球的半径是其高的
B．正四面体的内切球的半径是其高的
C．正四面体的内切球的半径是其高的
D．正四面体的内切球的半径是其高的
【解析】　原问题的解法为等面积法，即S＝ah＝3×ar r＝h，类比问题的解法应为等体积法，V＝Sh＝4×Sr r＝h，即正四面体的内切球的半径是其高的.
【答案】　C
2．(2016·广东一模)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为(　　)
A．2
017×22
015
B．2
017×22
014
C．2
016×22
015
D．2
016×22
014
【解析】　由题意知数表的每一行都是等差数列，且第一行数的公差为1，第二行数的公差为2，第三行数的公差为4，…，第2
015行数的公差为22
014，
第1行的第一个数为2×2－1，
第2行的第一个数为3×20，
第3行的第一个数为4×21，
…
第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2，
第2
016行只有一个数M，
则M＝(1＋2
016)×22
014＝2
017×22
014，故选B.
【答案】　B
3．类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题：
已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，那么a18＝__________，这个数列的前n项和Sn的计算公式为__________．
【解析】　定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．
由上述定义，得an＝故a18＝3.从而Sn＝
【答案】　3　Sn＝
4．(1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)与x轴交于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求证：·为定值b2－a2；
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线－＝1(a>0，b>0)与x轴交于A，B两点，点P是双曲线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求证·为定值，并写出这个定值(不要求写出解题过程)．
【解】　(1)证明如下：
设点P(x0，y0)(x0≠±a)，
依题意，得A(－a,0)，B(a,0)，
所以直线PA的方程为y＝(x＋a)．
令x＝0，得yM＝，同理得yN＝－，所以yMyN＝.
又因为点P(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，
因此y＝(a2－x)，
所以yMyN＝＝b2.
因为＝(a，yN)，＝(－a，yM)，
所以·＝－a2＋yMyN＝b2－a2.
(2)－(a2＋b2)．§1　归纳与类比
1．1　归纳推理
1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)
2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点)
[基础·初探]
教材整理　归纳推理
阅读教材P53～P55“练习”以上部分，完成下列问题．
1．归纳推理的定义
根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．
2．归纳推理的特征
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．(　　)
(2)由个别到一般的推理称为归纳推理．(　　)
(3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的．(　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：___________________________________________________
解惑：___________________________________________________
疑问2：___________________________________________________
解惑：___________________________________________________
疑问3：___________________________________________________
解惑：___________________________________________________
[小组合作型]
,数式中的归纳推理
　(1)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)
A．28　　　　　　　
B．76
C．123
D．199
(2)已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________.
【精彩点拨】　(1)记an＋bn＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论．
(2)写出前n项发现规律，归纳猜想结果．
【自主解答】　(1)记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a10＋b10＝123.
(2)f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f1(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f2(f2(x))＝＝，
由f1(x)，f2(x)，f3(x)的表达式，归纳fn(x)＝(n∈N＋)．
【答案】　(1)C　(2)f3(x)＝　fn(x)＝(n∈N＋)
已知等式或不等式进行归纳推理的方法：
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；
(4)运用归纳推理得出一般结论．
[再练一题]
1．应用归纳推理猜测＝________.　
　　　　　　　
　2n个1　n个2
【解析】　n＝1时，有＝＝3，
n＝2时，有＝＝33，
n＝3时，有＝＝333；
…
猜想：
【答案】　
n个3
,数列中的归纳推理
　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，则a2
017等于(　　)
A．2　　　　　　　　
B．－
C．－2
D．1
(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图3 1 1:
【导学号：67720011】
图3 1 1
由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n个三角形数的石子个数．
【精彩点拨】　(1)写出数列的前n项，再利用数列的周期性解答．
(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n的对应关系，进而归纳出第n个三角形数．
【自主解答】　(1)a1＝1，a2＝－，a3＝－2，a4＝1，…，数列{an}是周期为3的数列，2
017＝672×3＋1，
∴a2
017＝a1＝1.
【答案】　D
(2)法一：由
1＝1，
3＝1＋2，
6＝1＋2＋3，
10＝1＋2＋3＋4，
可归纳出第n个三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝.
法二　观察项数与对应项的关系特点如下：
项数
1
2
3
4
对应项
分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积．
归纳：第n个三角形数的石子数应为.
数列中的归纳推理：
在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．
(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；
(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；
(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．
[再练一题]
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)．
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项公式an.
【解】　(1)当n＝1时，知a1＝1，
由an＋1＝2an＋1，
得a2＝3，
a3＝7，a4＝15，a5＝31.
(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，
可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N＋)．
[探究共研型]
,几何图形中的归纳推理
探究1　在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图3 1 2所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值．
图3 1 2
【提示】　观察图形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20.
探究2　上述问题中，试用n表示出f(n)的表达式．
【提示】　由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n－1)＋.
将以上(n－1)个式子相加可得
f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋
＝[(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]
＝
＝.
　有两种花色的正六边形地面砖，按图3 1 3的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(　　)
图3 1 3
A．26
B．31
C．32
D．36
【精彩点拨】　解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论．
【自主解答】　法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案
1
2
3
…
个数
6
11
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.
法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6＋5×(6－1)＝31.
【答案】　B
归纳推理在图形中的应用策略：
通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需把形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
[再练一题]
3．根据图3 1 4中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________.
图3 1 4
【解析】　分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.
【答案】　509
[构建·体系]
1．(2016·厦门高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图3 1 5所示：
图3 1 5
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(　　)
A．6n－2　　　　　
B．8n－2
C．6n＋2
D．8n＋2
【解析】　a1＝8，a2＝14，a3＝20，猜想an＝6n＋2.
【答案】　C
2．(2015·广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值(　　)
A．至多等于3　　　　　
B．至多等于4
C．等于5
D．大于5
【解析】　n＝2时，可以；n＝3时，为正三角形，可以；n＝4时，为正四面体，可以；n＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．
【答案】　B
3．经计算发现下列不等式：＋<2，＋<2，＋<2，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________.
【答案】　当a＋b＝20时，有＋<2，a，b∈R＋
4．观察下列等式：
1＝1；
2＋3＋4＝9；
3＋4＋5＋6＋7＝25；
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49.
照此规律，第五个等式应为________.
【解析】　由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.
【答案】　5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
5．有以下三个不等式：
(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2，
(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2，
(202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2.
请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论．
【解】　结论为：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
证明：(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2
＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－(a2c2＋b2d2＋2abcd)
＝a2d2＋b2c2－2abcd＝(ad－bc)2≥0.
所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
我还有这些不足：
(1)___________________________________
(2)___________________________________
我的课下提升方案：
(1)___________________________________
(2)___________________________________
学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于(　　)
A．47　　　　　　　　　
B．65
C．63
D．128
【解析】　5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.
【答案】　B
2．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2
401，…，则72
016的末两位数字为(　　)
A．01
B．43
C．07
D．49
【解析】　∵75＝16
807,76＝117
649，由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故72
016＝74×504，故其末两位数字为01.
【答案】　A
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝(　　)
A．　　　　
B．
C．
D．
【解析】　可以通过Sn＝n2·an(n≥2)分别代入n＝2,3,4，求得a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝.
【答案】　B
4．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图3 1 6)．
图3 1 6
则第n个正方形数是(　　)
A．n(n－1)　　　　　　
B．n(n＋1)
C．n2
D．(n＋1)2
【解析】　观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.
【答案】　C
5．如图3 1 7所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为(　　)
图3 1 7
A．an＝3n－1
B．an＝3n
C．an＝3n－2n
D．an＝3n－1＋2n－3
【解析】　∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想an＝3n－1.
【答案】　A
二、填空题
6．设f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2)，则x2，x3，x4分别为________，猜想xn＝________.
【解析】　x2＝f(x1)＝＝，x3＝f(x2)＝＝，x4＝f(x3)＝＝，∴xn＝.
【答案】　，，　
7．根据给出的数塔，猜测123
456×9＋7等于________.
1×9＋2＝11，
12×9＋3＝111，
123×9＋4＝1
111，
1
234×9＋5＝11
111，
12
345×9＋6＝111
111.
【解析】　由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123
456×9＋7＝1
111
111.
【答案】　1
111
111
8．如图3 1 8所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝_________________，an＝______________.
图3 1 8
【解析】　依据图形特点可知当n＝6时，三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.
由n＝2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得an＝3n－3(n≥2，n∈N＋)．
【答案】　15　3n－3(n≥2，n∈N＋)
三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
【解】　当n＝1时，S1＝a1＝1；
当n＝2时，＝－2－S1＝－3，
∴S2＝－；
当n＝3时，＝－2－S2＝－，
∴S3＝－；
当n＝4时，＝－2－S3＝－，
∴S4＝－.
猜想：Sn＝－(n∈N＋)．
10．已知f(x)＝，分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.
【导学号：67720012】
【解】　由f(x)＝，得f(0)＋f(1)＝＋＝，
f(－1)＋f(2)＝＋＝，
f(－2)＋f(3)＝＋＝.
归纳猜想一般性结论为f(－x)＋f(x＋1)＝.
证明如下：
f(－x)＋f(x＋1)＝＋＝＋＝＋
＝＝＝.
[能力提升]
1．(2016·西安期末检测)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(　　)
A．n＋1　　　　　　　
B．2n
C．
D．n2＋n＋1
【解析】　1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域，选C．
【答案】　C
2．(2016·南昌调研)已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是(　　)
A．(2,10)
B．(10,2)
C．(3,5)
D．(5,3)
【解析】　由题意，发现所给数对有如下规律：
(1,1)的和为2，共1个；
(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；
(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；
(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；
(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．
由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．
【答案】　A
3．如图3 1 9①，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图3 1 9②，如此继续下去，得图3 1 9③，…，试用n表示出第n个图形的边数an＝________.
①　　　　　　②　　　　　　③
图3 1 9
【解析】　观察图形可知，a1＝3，a2＝12，a3＝48，…，故{an}是首项为3，公比为4的等比数列，故an＝3×4n－1.
【答案】　3×4n－1
4．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin
13°cos
17°；
②sin215°＋cos215°－sin
15°cos
15°；
③sin218°＋cos212°－sin
18°cos
12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos
48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos
55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
【解】　(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin
15°cos
15°＝1－sin
30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin
αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin
αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)2－sin
α(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)
＝sin2α＋cos2α＋sin
αcos
α＋sin2α－sin
αcos
α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.§2　数学证明
1．理解演绎推理的概念．(重点)
2．掌握演绎推理的基本模式，并能用它们进行一些简单的推理．(重点)
3．能用“三段论”证明简单的数学问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理　数学证明
阅读教材P58～P59“例2”以上部分，完成下列问题．
1．证明
(1)证明命题的依据：命题的条件和已知的定义、公理、定理．
(2)证明的方法：演绎推理．
2．演绎推理的主要形式
演绎推理的一种形式：三段论，其推理形式如下：
(1)大前提：提供了一个一般性道理．
(2)小前提：研究对象的特殊情况．
(3)结论：根据大前提和小前提作出的判断．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“三段论”就是演绎推理．(　　)
(2)演绎推理的结论是一定正确的．(　　)
(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
[小组合作型]
把演绎推理写成三段论的形式
　将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数；
(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°；
(3)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．
【精彩点拨】　三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b c，a b，则a c.”其中，b c为大前提，提供了已知的一般性原理；a b为小前提，提供了一个特殊情况；a c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．
【自主解答】　(1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)
75不能被2整除．(小前提)
75是奇数．(结论)
(2)三角形的内角和为180°.(大前提)
Rt△ABC是三角形．(小前提)
Rt△ABC的内角和为180°.(结论)
(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列．(大前提)
通项公式an＝3n＋2，n≥2时，
an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)
通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论)
把演绎推理写成“三段论”的一般方法：
(1)用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系．
(2)在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
[再练一题]
1．将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.
【解析】　(1)平行四边形的对角线互相平分，(大前提)
菱形是平行四边形，(小前提)
菱形的对角线互相平分．(结论)
(2)等腰三角形的两底角相等，(大前提)
∠A，∠B是等腰三角形的两底角，(小前提)
∠A＝∠B.(结论)
演绎推理在几何中的应用
　如图3 2 1所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理.
【导学号：67720015】
图3 2 1
【精彩点拨】　用三段论的模式依次证明：(1)DF∥AE，(2)四边形AEDF为平行四边形，(3)DE＝AF.
【自主解答】　(1)同位角相等，两直线平行，(大前提)
∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)
所以DF∥AE.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
DE∥BA且DF∥EA，(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)
(3)平行四边形的对边相等，(大前提)
DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)
所以DE＝AF.(结论)
1．用“三段论”证明命题的步骤
(1)理清楚证明命题的一般思路；
(2)找出每一个结论得出的原因；
(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．
2．几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．
[再练一题]
2．证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角．
【解】　已知在梯形ABCD中(如图所示)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.
证明：①等腰三角形的两底角相等，(大前提)
△DAC是等腰三角形，DC＝DA，(小前提)
∠1＝∠2.(结论)
②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，(大前提)
∠1和∠3是平行线AD，BC被AC
所截的内错角，(小前提)
∠1＝∠3.(结论)
③等于同一个量的两个量相等，(大前提)
∠2，∠3都等于∠1，(小前提)
∠2和∠3相等．(结论)
即CA平分∠BCD.
④同理BD平分∠CBA.
[探究共研型]
演绎推理在代数中的应用
探究1　演绎推理的结论一定正确吗？
【提示】　演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确．
探究2　因为对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)是增函数，而y＝x是对数函数，所以y＝x是增函数．
上面的推理形式和结论正确吗？
【提示】　推理形式正确，结论不正确．因为大前提是错误的．
　已知a，b，m均为正实数，b【精彩点拨】　利用不等式的性质证明．
【自主解答】　因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b0，(小前提)
所以mb因为不等式两边同加上一个数，不等号方向不变，(大前提)
mb所以mb＋ab因为不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变，(大前提)
b(a＋m)0，(小前提)
所以<，即<.(结论)
代数问题中常见的利用三段论证明的命题：
(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等．
(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等．
(3)三角函数的图像与性质．
(4)数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质．
(5)不等式的证明．
[再练一题]
3．当a，b为正实数时，求证：≥.
【解】　因为一个实数的平方是非负实数，(大前提)
而－＝2是一个实数的平方，(小前提)
所以－是非负实数，即－≥0.
所以≥.(结论)
[构建·体系]
1．下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级中的人数都超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，通过计算a2，a3，a4猜想出an的通项公式
【解析】　A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理．
【答案】　A
2．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0”，你认为这个推理(　　)
A．大前提错误　
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．是正确的
【解析】　这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2>0”．显然结论错误，原因是大前提错误．
【答案】　A
3．函数y＝2x＋5的图像是一条直线，用三段论表示为：
大前提：________________________________________________________；
小前提：________________________________________________________；
结论：___________________________________________________________.
【答案】　一次函数的图像是一条直线
函数y＝2x＋5是一次函数
函数y＝2x＋5的图像是一条直线
4．如图3 2 2所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，BC＝AD.
图3 2 2
又因为△ABC和△CDA的三边对应相等，所以△ABC≌△CDA.
上述推理的两个步骤中分别省略了
________、________.
【答案】　大前提　大前提
5．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
(2)0.是有理数．
【解】　(1)因为矩形的对角线相等，(大前提)
而正方形是矩形，(小前提)
所以正方形的对角线相等．(结论)
(3)所有的循环小数都是有理数，(大前提)
0.是循环小数，(小前提)
所以，0.是有理数．(结论)
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
学业分层测评(八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．给出下面一段演绎推理：
有理数是真分数，(大前提)
整数是有理数，(小前提)
整数是真分数．(结论)
结论显然是错误的，是因为(　　)
A．大前提错误　　　
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
【解析】　举反例，如2是有理数，但不是真分数，故大前提错误．
【答案】　A
2．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：BC方框部分的证明是演绎推理的(　　)
A．大前提
B．小前提
C．结论
D．三段论
【解析】　因为本题的大前提是“在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边”，证明过程省略了大前提，方框部分的证明是小前提，结论是“BC【答案】　B
3．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是(　　)
A．①④　　　　　　
B．②④
C．①③
D．②③
【解析】　根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．
【答案】　A
4．(2016·郑州高二检测)在R上定义运算 ：x y＝x(1－y)．若不等式(x－a) (x＋a)<1对任意实数x都成立，则(　　)
A．－1B．0C．－D．－【解析】　∵x y＝x(1－y)，
∴(x－a) (x＋a)＝(x－a)(1－x－a)＝－x2＋x＋a2－a<1.∴x2－x－a2＋a＋1>0，∵不等式(x－a) (x＋a)<1对任意实数x都成立，
∴Δ＝1－4×(－a2＋a＋1)<0，
解得－【答案】　C
5．“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是(　　)
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
【解析】　得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”．
【答案】　B
二、填空题
6．在三段论“因为a＝(1,0)，b＝(0，－1)，所以a·b＝(1,0)·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0，所以a⊥b”中，
大前提：________________________________________________________，
小前提：________________________________________________________，
结论：___________________________________________________________.
【解析】　本题省略了大前提，即“a，b均为非零向量，若a·b＝0，则a⊥b”．
【答案】　若a，b均为非零向量，a·b＝0，则a⊥b
a＝(1,0)，b＝(0，－1)，且a·b＝(1,0)·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0　a⊥b
7．(2016·苏州高二检测)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除．其演绎推理的“三段论”的形式为____________________________________________________________________.
【答案】　一切奇数都不能被2整除，(大前提)
2100＋1是奇数，(小前提)
所以2100＋1不能被2整除．(结论)
8．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N
)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＋＝________.
【解析】　利用三段论．∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N
)．(大前提)
令b＝1，则＝f(1)＝2.(小前提)
∴＝＝…＝＝＝2，
(结论)
∴原式＝2＋2＋…＋＝2
018.
【答案】　2
018
三、解答题
9．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)自然数是整数，所以6是整数；
(2)y＝cos
x(x∈R)是周期函数．
【解】　(1)自然数是整数，(大前提)
6是自然数，(小前提)
所以6是整数．(结论)
(2)三角函数是周期函数，(大前提)
y＝cos
x(x∈R)是三角函数，(小前提)
所以y＝cos
x(x∈R)是周期函数．(结论)
10．已知y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y).
【导学号：67720016】
(1)求证：f(x2)＝2f(x)；
(2)求f(1)的值；
(3)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的取值范围．
【解】　(1)∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，(大前提)
∴f(x2)＝f(x·x)
＝f(x)＋f(x)＝2f(x)．(结论)
(2)∵f(1)＝f(12)＝2f(1)，(小前提)
∴f(1)＝0.(结论)
(3)∵f(x)＋f(x＋3)＝f(x(x＋3))≤2
＝2f(2)＝f(4)，(小前提)
且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，(大前提)
∴解得0[能力提升]
1．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b 平面α，直线a 平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.结论显然是错误的，这是因为(　　)
A．大前提错误　　
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
【解析】　大前提是错误的，直线平行于平面，但不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．
【答案】　A
2．“1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　当“对任意的正数x，都有2x＋≥1”成立时，a≥x－2x2对x∈R＋恒成立，
而x－2x2＝－22＋≤，
∴a≥.
∵(1,2)?，
∴“1【答案】　A
3．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N
(m，n∈N
)，且对任意m，n∈N
都有：
①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，
②f(m＋1,1)＝2f(m,1)．
给出以下三个结论：
(1)f(1,5)＝9，(2)f(5,1)＝16，(3)f(5,6)＝26.
其中正确结论为__________．
【解析】　由题设条件可知：
(1)f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋4＝f(1,2)＋6
＝f(1,1)＋8＝1＋8＝9.
(2)f(5,1)＝2f(4,1)＝4f(3,1)＝8f(2,1)
＝16f(1,1)＝16.
(3)f(5,6)＝f(5,5)＋2＝f(5,4)＋4＝…＝f(5,1)＋10＝2f(4,1)＋10＝4f(3,1)＋10＝…＝16f(1,1)＋10＝16＋10＝26.
【答案】　(1)(2)(3)
4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N
.
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn；
(3)证明：不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N
都成立．
【解】　(1)因为an＋1＝4an－3n＋1，
所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N
.
又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.
所以数列{an}的前n项和Sn＝＋.
(3)对任意的n∈N
，
Sn＋1－4Sn＝＋－
4＝－(3n2＋n－4)≤0.
所以不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N
都成立．章末分层突破
[自我校对]
①合情推理
②间接证明
③归纳推理
④综合法
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
合情推理
1.归纳推理的特点及一般步骤
2．类比推理的特点及一般步骤
　(1)观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，由此可归纳出的式子为(　　)
A．1＋＋＋…＋<
B．1＋＋＋…＋<
C．1＋＋＋…＋<
D．1＋＋＋…＋<
(2)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin
α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin
α＋sin＋sin＝0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为__________．
【精彩点拨】　(1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得．
(2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论．
【规范解答】　(1)由各式特点，可得1＋＋＋…＋<.故选C.
(2)用两点等分单位圆时，关系为sin
α＋sin(π＋α)＝0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α)－α＝π，
用三点等分单位圆时，关系为sin
α＋sin＋sin＝0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有－＝－α＝.
依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为＋α＝＋α，第三个角为＋α＋＝π＋α，第四个角为π＋α＋＝＋α，即其关系为sin
α＋sin＋sin(α＋π)＋sin＝0.
【答案】　(1)C　(2)sin
α＋sin＋sin(α＋π)＋sin＝0
[再练一题]
1．已知函数y＝sin4x＋cos4x(x∈R)的值域是，则
(1)函数y＝sin6
x＋cos6x(x∈R)的值域是__________；
(2)类比上述结论，函数y＝sin2n
x＋cos2nx(n∈N＋)的值域是__________．
【解析】　(1)y＝sin6x＋cos6x＝(sin2x＋cos2x)(sin4x－sin2
xcos2
x＋cos4
x)＝sin4x－sin2xcos2
x＋cos4x＝(sin2
x＋cos2
x)2－3sin2xcos2x＝1－sin2(2x)＝1－(1－cos
4x)
＝＋cos
4x∈.
(2)由类比可知，y＝sin2nx＋cos2nx的值域是[21－n,1]．
【答案】　(1)　(2)[21－n,1]
综合法与分析法
1.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．
2．分析法和综合法是两种思路相反的推理方法．分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．
　设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.试用综合法和分析法分别证明．
【精彩点拨】　(1)综合法：根据a＋b＝1，分别求＋与的最小值．
(2)分析法：把变形为＝＋求证．
【规范解答】　法一：(综合法)
∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＝a＋b≥2，≤，ab≤，∴≥4.
又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，
∴＋＋≥8.
法二：(分析法)
∵a>0，b>0，a＋b＝1，
要证＋＋≥8，
只要证＋≥8，
只要证＋≥8，
即证＋≥4.
也就是证＋≥4.
即证＋≥2，
由基本不等式可知，当a>0，b>0时，
＋≥2成立，所以原不等式成立．
[再练一题]
2．(1)已知a，b，c为互不相等的非负数．
求证：a2＋b2＋c2>(＋＋)．
(2)用分析法证明：2cos(α－β)－＝.
【解】　(1)因为a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
又因为a，b，c为互不相等的非负数，
所以上面三个式子中都不能取“＝”，
所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，
因为ab＋bc≥2，bc＋ac≥2，
ab＋ac≥2，
又a，b，c为互不相等的非负数，
所以ab＋bc＋ac>(＋＋)，
所以a2＋b2＋c2>(＋＋)．
(2)要证原等式成立，只需证：
2cos(α－β)sin
α－sin(2α－β)＝sin
β，①
因为①左边＝2cos(α－β)sin
α－sin[(α－β)＋α]
＝2cos(α－β)sin
α－sin(α－β)cos
α－cos(α－β)sin
α
＝cos(α－β)sin
α－sin(α－β)cos
α
＝sin
β＝右边，
所以①成立，即原等式成立.
反证法
反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论．反证法的思路：反设→归谬→结论．
　设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．
【精彩点拨】　(1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论．
【规范解答】　(1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，∴Sn＝
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．
[再练一题]
3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.
(1)证明：是f(x)＝0的一个根；
(2)试比较与c的大小．
【解】　(1)证明：∵f(x)的图像与x轴有两个不同的交点，
∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2.
∵f(c)＝0，
∴x1＝c是f(x)＝0的根．
又x1x2＝，
∴x2＝，
∴是f(x)＝0的一个根．
(2)假设0，
由00，
知f>0与f＝0矛盾，
∴≥c，又∵≠c，
∴>c.
数学归纳法
1.关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
2．关注点二：由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．
　已知正数数列{an}(n∈N＋)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋，用数学归纳法证明：an＝－.
【规范解答】　(1)当n＝1时，a1＝S1＝，
所以a＝1(an>0)，所以a1＝1，又－＝1，
所以n＝1时，结论成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，结论成立，即ak＝－.
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－
＝－
＝－，
所以a＋2ak＋1－1＝0，
解得ak＋1＝－(an>0)，所以n＝k＋1时，结论成立．
由(1)(2)可知，对n∈N＋都有an＝－.
[再练一题]
4．设数列{an}的前n项和Sn＝(n∈N＋)，a2＝2.
(1)求{an}的前三项a1，a2，a3；
(2)猜想{an}的通项公式，并证明．
【解】　(1)由Sn＝，得a1＝1，又由a2＝2，得a3＝3.
(2)猜想：an＝n.
证明如下：①当n＝1时，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥2)时，猜想成立，即ak＝k，
那么当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－
＝－.
所以ak＋1＝－＝k＋1，
所以当n＝k＋1时，猜想也成立．
根据①②知，对任意n∈N＋，都有an＝n.
转化与化归思想
转化与化归是数学思想方法的灵魂．在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化．
　设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a，b，c都为整数，已知f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程f(x)＝0无整数根．
【精彩点拨】　假设方程f(x)＝0有整数根k，结合f(0)，f(1)均为奇数推出矛盾．
【规范解答】　假设方程f(x)＝0有一个整数根k，
则ak2＋bk＋c＝0，
∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c都为奇数，
∴a＋b必为偶数，ak2＋bk为奇数．
当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，则ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝2n(2na＋b)必为偶数，与ak2＋bk为奇数矛盾；
当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak2＋bk为奇数矛盾．
综上可知，方程f(x)＝0无整数根．
[再练一题]
5．用数学归纳法证明：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．
【证明】　设n＝2m－1，m∈N＋，则xn＋yn＝x2m－1＋y2m－1.
要证明原命题成立，只需证明x2m－1＋y2m－1能被x＋y整除(m∈N＋)．
(1)当m＝1时，x2m－1＋y2m－1＝x＋y能被x＋y整除．
(2)假设当m＝k(k∈N＋)时命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，那么当m＝k＋1时，
x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋2－1＋y2k＋2－1＝x2k－1x2－
x2k－1y2＋y2k－1y2＋x2k－1y2＝x2k－1(x2－y2)＋y2(x2k－1＋y2k－1)＝x2k－1(x－y)(x＋y)＋y2(x2k－1＋y2k－1)．
因为x2k－1(x－y)(x＋y)与y2(x2k－1＋y2k－1)均能被x＋y整除，
所以当m＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)知，原命题成立．
1．(2016·北京高考)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
学生序号
1
2
3
4
5
立定跳远(单位：米)
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
30秒跳绳(单位：次)
63
a
75
60
63
学生序号
6
7
8
9
10
立定跳远(单位：米)
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳绳(单位：次)
72
70
a－1
b
65
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则(　　)
A．2号学生进入30秒跳绳决赛
B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛
D．9号学生进入30秒跳绳决赛
【解析】　由题意可知1到8号学生进入了立定跳远决赛．由于同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，因此1到8号同学中有且只有6人进入两项决赛，分类讨论如下：
(1)当a<60时，a－1<59，此时2号和8号不能入选，即入选的只有1,3,4,5,6,7号；
(2)当a＝60时，a－1＝59，此时2号和4号同时入选或同时都不入选，均不符合题意；
(3)当a＝61时，a－1＝60，此时8号和4号不能入选，即入选的只有1,2,3,5,6,7号；
(4)当a＝62或63时，相应的a－1＝61或62，此时8号和4号不能入选，即入选的只有1,2,3,5,6,7号；
(5)当a≥64时，此时a－1≥63，不符合题意．
综上可知1,3,5,6,7号学生一定进入30秒跳绳决赛．
【答案】　B
2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
【解析】　根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理．由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3.
【答案】　1和3
3．(2015·福建高考)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N＋)，其中xk(k＝1,2，…，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：
其中运算 定义为：0 0＝0,0 1＝1,1 0＝1,1 1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．
【解析】　因为x2 x3 x6 x7＝0，所以x2，x3，x6，x7都正确．又因为x4 x5 x6 x7＝1，x1 x3 x5 x7＝1，故x1和x4都错误，或仅x5错误．因为条件中要求仅在第k位发生码元错误，故只有x5错误．
【答案】　5
4．(2015·湖南高考)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：
【导学号：67720022】
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
【证明】　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0同理，0故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
5．(2016·浙江高考)设函数f(x)＝x3＋，x∈[0,1]．证明：
(1)f(x)≥1－x＋x2；(2)【证明】　(1)因为1－x＋x2－x3＝＝，
由于x∈[0,1]，有≤，即1－x＋x2－x3≤，所以f(x)≥1－x＋x2.
(2)由0≤x≤1得x3≤x，故f(x)＝x3＋≤x＋＝x＋－＋＝＋≤，
所以f(x)≤.
由(1)得f(x)≥1－x＋x2＝2＋≥，
又因为f＝>，所以f(x)>.
综上，单元综合测评(三)　推理与证明
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下面四个推理不是合情推理的是(　　)
A．由圆的性质类比推出球的有关性质
B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分
D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的
【解析】　逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．
【答案】　C
2．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；
②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；
③假设直线AC，BD是共面直线．
则正确的序号顺序为(　　)
A．①②③　　　　
B．③①②
C．①③②
D．②③①
【解析】　结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.
【答案】　B
3．下列推理是归纳推理的是(　　)
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
【解析】　由归纳推理的特点知，选B.
【答案】　B
4．用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是(　　)
A．假设a，b，c都小于0
B．假设a，b，c都大于0
C．假设a，b，c中都不大于0
D．假设a，b，c中至多有一个大于0
【解析】　用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.
【答案】　C
5．下面给出了四个类比推理．
①a，b为实数，若a2＋b2＝0则a＝b＝0；类比推出：z1，z2为复数，若z＋z＝0，则z1＝z2＝0；
②若数列{an}是等差数列，bn＝(a1＋a2＋a3＋…＋an)，则数列{bn}也是等差数列；
类比推出：若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，dn＝，则数列{dn}也是等比数列；
③若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)；类比推出：若a，b，c为三个向量，则(a·b)·c＝a·(b·c)；
④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出：若椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆的面积为πab.
上述四个推理中，结论正确的是(　　)
A．①②
B．②③
C．①④
D．②④
【解析】　①在复数集C中，若z1，z2∈C，z＋z＝0，则可能z1＝1且z2＝i，故错误；②在类比等差数列性质推理等比数列性质时，一般思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故正确；③由于向量的数量积运算结合律不成立，错误；④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出，若椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆面积为πab，正确．
【答案】　D
6．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：
①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.
以上通过类比得到的结论正确的个数为(　　)
A．1　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
【解析】　平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．故选B.
【答案】　B
7．(2016·昌平模拟)已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为(　　)
A．a1a2a3…a9＝29
B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29
C．a1a2a3…a9＝2×9
D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
【解析】　根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.
【答案】　D
8．(2016·北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(　　)
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【解析】　取两个球往盒子中放有4种情况：
①红＋红，则乙盒中红球数加1；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；
③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；
④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．
③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．
①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．
综上，选B.
【答案】　B
9．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b11＝1，则有(　　)
A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b19－n
B．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b21－n
C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n
D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n
【解析】　令n＝10时，验证即知选B.
【答案】　B
10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2
016项与5的差，即a2
016－5＝(　　)
图1
A．2
018×2
014
B．2
018×2
013
C．1
010×2
012
D．1
011×2
013
【解析】　an－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个．
∴an－5＝，
∴a2
016－5＝
＝2
013×1
011.
【答案】　D
11．在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图2中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2
015＋a2
016＋a2
017＝(　　)
图2
A．1
006
B．1
007
C．1
008
D．1
009
【解析】　依题意a1＝1，a2＝1；a3＝－1，a4＝2；a5＝2，a6＝3；…，归纳可得a1＋a3＝1－1＝0，a5＋a7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a2
015＋a2
017＝0，a2＝1，a4＝2，a6＝3，…，进而可归纳得a2
016＝×2
016＝1
008，a2
015＋a2
016＋a2
017＝1
008.故选C.
【答案】　C
12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是(　　)
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【解析】　
甲
乙
丙
丁
甲获奖
×
×
×
×
乙获奖
√
√
×
√
丙获奖
√
×
√
×
丁获奖
×
√
×
×
由上表可知：获奖歌手是丙．
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为__________．
【解析】　圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.
【答案】　经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1
14．观察下列等式：
13＝1，
13＋23＝9，
13＋23＋33＝36，
13＋23＋33＋43＝100，
…
照此规律，第n个等式可为__________．
【解析】　依题意，注意到13＝2,13＋23＝2＝9,13＋23＋33＝2＝36，…，照此规律，第n个等式可为13＋23＋33＋…＋n3＝2.
【答案】　13＋23＋33＋…＋n3＝2
15．(2016·东莞高二检测)当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N＋时，你能得到的结论是__________．
【解析】　根据题意，由于当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，
当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，
当n∈N＋时，左边第二个因式可知为an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn，那么对应的表达式为(a－b)·(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1.
【答案】　(a－b)(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1
16．如图3，如果一个凸多面体是n(n∈N＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________，f(n)＝__________.(答案用数字或n的解析式表示)
图3
【解析】　所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋＝.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4×2＋×2＝12，所以f(n)＝n(n－2)＋·(n－2)＝.
【答案】　　12　
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：
(1)如果a，b>0，则lg
≥；
(2)＋>2＋2.
【证明】　(1)当a，b>0时，有≥，
∴lg≥lg，
∴lg
≥lg
ab＝.
(2)要证＋>2＋2，
只要证(＋)2>(2＋2)2，
即2>2，这是显然成立的，
所以，原不等式成立．
18．(本小题满分12分)观察以下各等式：
sin230°＋cos260°＋sin
30°cos
60°＝，
sin220°＋cos250°＋sin
20°cos
50°＝，
sin215°＋cos245°＋sin
15°cos
45°＝.
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
【解】　猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin
αcos(α＋30°)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin
αcos(α＋30°)
＝sin2α＋2
＋sin
α
＝sin2α＋cos2α－sin
αcos
α＋sin2α＋
sin
α·cos
α－sin2α
＝sin2α＋cos2α
＝.
19．(本小题满分12分)点P为斜三棱柱ABC A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.
(1)求证：CC1⊥MN；
(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．
【解】　(1)证明：因为PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，
所以BB1⊥平面PMN，所以BB1⊥MN.
又CC1∥BB1，所以CC1⊥MN.
(2)在斜三棱柱ABC A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cos
α.
其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角．
证明如下：
因为CC1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP.
在△PMN中，
因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·
MNcos∠MNP，
所以PM2·CC＝PN2·CC＋MN2·CC－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，
由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，
SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，
所以S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cos
α.
20．(本小题满分12分)(2014·江苏高考)如图4，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：
图4
(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
【证明】　(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.
又因为PA 平面DEF，DE?平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.
又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABC.
21．(本小题满分12分)在数列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2)．
(1)求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明；
(2)设bn＝，
求证：对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋bn<.
【解】　(1)容易求得：a3＝，a4＝.
故可以猜想an＝，n∈N＋.
下面利用数学归纳法加以证明：
①显然当n＝1,2,3,4时，结论成立，
②假设当n＝k(k≥4，k∈N＋)时，结论也成立，即
ak＝.
那么当n＝k＋1时，由题设与归纳假设可知：
ak＋1＝＝
＝＝
＝＝.
即当n＝k＋1时，结论也成立，综上，对任意n∈N＋，an＝成立．
(2)证明：bn＝
＝
＝＝(－)，
所以b1＋b2＋…＋bn
＝[(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(－1)，
所以只需要证明(－1)< <＋1 3n＋1<3n＋2＋1 0<2(显然成立)，
所以对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋bn<.
22．(本小题满分12分)(2014·湖南高考)已知函数f(x)＝xcos
x－sin
x＋1(x>0).
【导学号：67720022】
(1)求f(x)的单调区间；
(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N
)个零点，证明：对一切n∈N
，有＋＋…＋<.
【解】　(1)f′(x)＝cos
x－xsin
x－cos
x＝－xsin
x.
令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈N
)．
当x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)时，sin
x>0，
此时f′(x)<0；
当x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)时，sin
x<0，此时f′(x)>0.
故f(x)的单调递减区间为(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)，单调递增区间为((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)．
(2)由(1)知，f(x)在区间(0，π)上单调递减．
又f＝0，故x1＝.
当n∈N
时，因为f(nπ)·f((n＋1)π)
＝[(－1)nnπ＋1]×[(－1)n＋1(n＋1)π＋1]<0，
且函数f(x)的图像是连续不断的，所以f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)内至少存在一个零点．
又f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)上是单调的，故
nπ因此，当n＝1时，＝<；
当n＝2时，＋＜(4＋1)＜；
当n≥3时，
＋＋…＋<
<＝
＝<<.
综上所述，对一切n∈N
，＋＋…＋<.§2　独立性检验
2．1　条件概率与独立事件
1．了解条件概率的概念及计算．(重点)
2．理解相互独立事件的意义及相互独立事件同时发生的概率乘法公式．(重点)
3．掌握利用概率的知识分析解决实际问题的方法．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　条件概率
阅读教材P17～P18部分，完成下列问题．
1．概念
已知事件B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)．
2．公式
当P(B)＞0时，P(A|B)＝.
从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
【解析】　从1,2,3,4,5中任取两个数共有10种取法，事件A包含(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个基本事件，事件B包含(2,4)一个基本事件，故P(A)＝，P(AB)＝.所以P(B|A)＝＝.
【答案】　B
教材整理2　相互独立事件
阅读教材P19“练习”以上部分，完成下列问题．
1．定义
对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．
2．性质
如果A，B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．
3．如果A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】　记“从甲袋中任取一球为白球”为事件A，“从乙袋中任取一球为白球”为事件B，则事件A，B是相互独立事件，故P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
【答案】　A
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________
解惑：___________________________________________________
疑问2：___________________________________________________
解惑：___________________________________________________
疑问3：___________________________________________________
解惑：___________________________________________________
[小组合作型]
,条件概率
　一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A，事件“第二次抽到黑球”为B．
(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；
(2)求P(B|A)．
【精彩点拨】　解答本题可先求P(A)，P(B)，P(AB)，再用公式P(B|A)＝求概率．
【自主解答】　由古典概型的概率公式可知：
(1)P(A)＝，
P(B)＝＝＝，
P(AB)＝＝.
(2)P(B|A)＝＝＝.
用定义法求条件概率P(B|A)的步骤是：
(1)分析题意，弄清概率模型；
(2)计算P(A)，P(AB)；
(3)代入公式求P(B|A)＝.
[再练一题]
1．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是(　　)
A．　　　　　
B．
C．
D．
【解析】　一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．
记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个是女孩”，则A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB＝{(女，女)}．
于是可知P(A)＝，P(AB)＝.问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求
P(B|A)，由条件概率公式，得P(B|A)＝＝.
【答案】　D
,事件独立性的判断
　判断下列各对事件是否是相互独立事件：
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．
【精彩点拨】　利用相互独立事件的定义判断．
【自主解答】　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
判断两事件是否具有独立性的三种方法：
(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．
(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
[再练一题]
2．(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　)
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　)
A．互斥但不相互独立
B．相互独立但不互斥
C．互斥且相互独立
D．既不相互独立也不互斥
【解析】　(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．
(2)事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝×，即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件．
【答案】　(1)A　(2)B
[探究共研型]
,相互独立事件同时发生的概率
探究1　甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求：甲、乙都未击中的概率．
【提示】　记A＝“甲击中”，B＝“乙击中”，C＝“甲、乙都没有击中”．由题意，甲击中与否并不影响乙，由此可认为A与B是相互独立的，则，也是相互独立的，则
P(C)＝P(
)＝P()·P()＝(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2.
探究2　上述问题中如何求敌机被击中的概率？
【提示】　记D＝“敌机被击中”，
则P(D)＝1－P(
)＝1－0.2＝0.8.
　某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：
【导学号：67720003】
(1)都抽到某一指定号码；
(2)恰有一次抽到某一指定号码；
(3)至少有一次抽到某一指定号码．
【精彩点拨】　→
→
【自主解答】　设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．
(1)由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05×0.05＝0.002
5.
(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A)＋(B)表示．由于事件A与B互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为
P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095.
即恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095.
(3)法一　“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB)＋(A)＋(B)表示．由于事件AB，A和B两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为
P(AB)＋P(A)＋P(B)＝0.002
5＋0.095＝0.097
5.
法二　1－P(
)＝1－(1－0.05)2＝0.097
5.
即至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097
5.
求P(AB)时注意事件A，B是否相互独立，求P(A＋B)时同样应注意事件A，B是否互斥，对于“至多”、“至少”型问题的解法有两种思路：(1)分类讨论；(2)求对立事件，利用P()＝1－P(A)来运算．
[再练一题]
3．甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为、.求：
(1)两个人都破译出密码的概率；
(2)两个人都破译不出密码的概率；
(3)恰有一人破译出密码的概率；
(4)至多一人破译出密码的概率；
(5)至少一人破译出密码的概率．
【解】　记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”．
(1)两个人都破译出密码的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)两个人都破译不出密码的概率为
P(
)＝P()P()
＝[1－P(A)][1－P(B)]
＝＝.
(3)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出；乙破译出甲破译不出，即A＋B，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×＝.
(4)至多一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，∴1－P(AB)＝1－＝.
(5)至少一人破译出密码的对立事件为两人都没有破译出密码，∴1－P(
)＝1－＝.
[构建·体系]
1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
【解析】　由P(B|A)＝，得P(AB)
＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
【答案】　C
2．一件产品要经过两道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为(　　)
A．1－a－b
B．1－ab
C．(1－a)(1－b)
D．1－(1－a)(1－b)
【解析】　∵2道工序相互独立，
∴产品的正品率为(1－a)(1－b)．
【答案】　C
3．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)等于________.
【解析】　P(AB)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝＝.
【答案】　
4．在同一时间内，两个气象台预报天气准确的概率分别为，，两个气象台预报准确的概率互不影响，则在
同一时间内，至少有一个气象台预报准确的概率为________.
【解析】　P＝1－＝.
【答案】　
5．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是为，，，求汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率．
【解】　设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
停车一次即为事件BC＋AC＋AB，
故概率为P＝××＋××＋××＝.
我还有这些不足：
(1)
___________________________________
(2)
___________________________________
我的课下提升方案：
(1)
___________________________________
(2)
___________________________________
学业分层测评(二)　
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是(　　)
A．0.56　　
B．0.48　　
C．0.75　　
D．0.6
【解析】　设甲击中为事件A，乙击中为事件B．
∵A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.7＝0.56.
【答案】　A
2．下列说法正确的是(　　)
A．P(B|A)＜P(AB)
B．P(B|A)＝是可能的
C．0＜P(B|A)＜1
D．P(A|A)＝0
【解析】　由条件概率公式P(B|A)＝及0＜P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝，故B选项正确，由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误．故选B．
【答案】　B
3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】　某人第一次失败，第二次成功的概率为P＝＝，所以选A．
【答案】　A
4．一袋中装有5只白球和3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与是(　　)
A．相互独立事件
B．不相互独立事件
C．互斥事件
D．对立事件
【解析】　由题意可得表示“第二次摸到的不是白球”，即表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与是相互独立事件．
【答案】　A
2．如图1 2 1，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是(　　)
图1 2 1
A．0.504
B．0.994
C．0.496
D．0.06
【解析】　系统可靠即A，B，C
3种开关至少有一个能正常工作，则P＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)
＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.
【答案】　B
二、填空题
6．将两枚均匀的骰子各掷一次，已知点数不同，则有一个是6点的概率为________.
【解析】　设掷两枚骰子点数不同记为事件A，有一个是6点记为事件B．则P(B|A)＝＝.
【答案】　
7．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.
【解析】　设A＝“两个闹钟至少有一个准时响”，
∴P(A)＝1－P()＝1－(1－0.80)×(1－0.90)
＝1－0.2×0.1＝0.98.
【答案】　0.98
8．如图1 2 2，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”．则：
【导学号：67720004】
图1 2 2
(1)P(A)＝________；
(2)P(B|A)＝________.
【解析】　正方形的面积为2，圆的面积为π.
(1)∵A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，
∴P(A)＝.
(2)∵B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，
∴P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝.
【答案】　(1)　(2)
三、解答题
9．有红色、蓝色两颗骰子，设事件A为“抛红骰子所得点数为偶数”，设事件B为“抛蓝骰子所得点数大于4”，求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率．
【解】　画示意图如图所示，横轴表示抛红骰子所得点数，纵轴表示抛蓝骰子所得点数．
∴P(A)＝＝，
P(A∩B)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
则在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为.
10．集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．
【解】　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，则所有可能的抽取结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共30个．
其中甲抽到奇数的情形有15个，在这15个数中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有9个，
所以所求概率P＝＝.
[能力提升]
1．从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，从两个口袋内各摸出1个球，那么等于(　　)
A．2个球都是白球的概率
B．2个球都不是白球的概率
C．2个球不都是白球的概率
D．2个球中恰有1个是白球的概率
【解析】　记从甲口袋内摸出1个白球为事件A，从乙口袋内摸出1个白球为事件B，则A，B是独立事件，于是P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝，它表示从甲、乙口袋中摸出来的都是白球，故为2个球不都是白球的概率．
【答案】　C
2．如图1 2 3，已知电路中4个开关闭合的概率都是且互相独立，灯亮的概率为(　　)
图1 2 3
A．　　　　　　　
B．
C．
D．
【解析】　因为灯不亮的概率为××
＝，所以灯亮的概率为1－＝.
【答案】　C
3．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A，则第2次也抽到A的概率为________.
【解析】　设第1次抽到A为事件M，第2次也抽到A为事件N，则MN表示两次都抽到A，
P(M)＝＝，
P(MN)＝＝，
P(N|M)＝＝.
【答案】　
4．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且三个项目是否成功互相独立．
(1)求恰有两个项目成功的概率；
(2)求至少有一个项目成功的概率．
【解】　(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为
××＝，
只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为
××＝，
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为
××＝，
∴恰有两个项目成功的概率为
＋＋＝.
(2)三个项目全部失败的概率为
××＝，
∴至少有一个项目成功的概率为1－＝.章末分层突破
[自我校对]
①－1
②a＝c，b＝d
③＝a－bi
④Z(a，b)
⑤O
⑥a＋c
⑦(b＋d)i
⑧(a－c)＋(b－d)i
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
复数的概念
正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．
两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．
求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．
　复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，
(1)z∈R；(2)z为虚数．
【精彩点拨】　根据复数的分类列方程求解．
【规范解答】　(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以
由②得x＝4，经验证满足①③式．
所以当x＝4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
所以
由①得x>或x<.
由②得x≠4，由③得x>3.
所以当x>且x≠4时，z为虚数．
[再练一题]
1．设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)
A．－3　　
B．－1　　　　
C．1　　　　
D．3
(2)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z的实部是__________．
【解析】　(1)因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.
(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i.
由复数相等的充要条件，得解得
故复数z的实部是1.
法二：由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝＝2＋3i，故z＝1＋3i，即复数z的实部是1.
【答案】　(1)D　(2)1
复数的四则运算
复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母(i2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z·为实数．
　(1)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝(　　)
A．－2　
B．－2i
C．2　　　
D．2i
(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝(　　)
A．2＋3i　
B．2－3i
C．3＋2i　　　
D．3－2i
【精彩点拨】　(1)先求出及，结合复数运算法则求解．
(2)利用方程思想求解并化简．
【规范解答】　(1)∵z＝1＋i，∴＝1－i，＝＝＝1－i，∴＋i·＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.
(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋i＝2＋3i.
【答案】　(1)C　(2)A
[再练一题]
2．已知(1＋2i)＝4＋3i，则的值为(　　)
A.＋i　　　　　
B．－i
C．－＋i
D．－－i
【解析】　因为(1＋2i)＝4＋3i，所以＝＝＝2－i，所以z＝2＋i，所以＝＝＝＋i.
【答案】　A
复数的几何意义
1.复数的几何表示法：即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．
　(1)在复平面内，复数对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)在复平面内，复数对应的点的坐标为(　　)
A．(0，－1)
B．(0,1)
C.
D．
【精彩点拨】　先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标．
【规范解答】　(1)复数＝＝＝＋i.
∴复数对应点的坐标是.
∴复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A.
(2)∵＝＝＝－i，其对应的点为(0，－1)，故选A.
【答案】　(1)A　(2)A
[再练一题]
3．(1)已知复数z对应的向量如图4 1所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　)
图4 1
(2)若i为虚数单位，图4 2中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　)
图4 2
A．E　
B．F　　　
C．G　　　
D．H
【解析】　(1)由题图知，z＝－2＋i，∴z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，故z＋1对应的向量应为选项A.
(2)由题图可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．
【答案】　(1)A　(2)D
转化与化归思想
一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．
　设z∈C，满足z＋∈R，z－是纯虚数，求z.
【精彩点拨】　本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.
【规范解答】　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
z＋＝x＋yi＋＝＋i，
∵z＋∈R，∴y－＝0，解得y＝0或x2＋y2＝1，
又∵z－＝x＋yi－＝＋yi是纯虚数．
∴
∴x＝，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±，
∴复数z＝±i.
[再练一题]
4．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．
【解】　设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i，z＋3＝x＋3＋yi.由已知，得
因为y≠0，
所以解得或
所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足题设条件．
1．(2016·全国卷Ⅱ)设复数z满足z＋i＝3－i，则＝(　　)
A．－1＋2i
B．1－2i　　
C．3＋2i　　
D．3－2i
【解析】　由z＋i＝3－i得z＝3－2i，∴＝3＋2i，故选C.
【答案】　C
2．(2015·广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝(　　)
A．2－3i
B．2＋3i
C．3＋2i
D．3－2i
【解析】　∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴＝2－3i.
【答案】　A
3．(2015·山东高考)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)
A．1－i
B．1＋i
C．－1－i
D．－1＋i
【解析】　由已知得＝i(1－i)＝i＋1，则z＝1－i，故选A.
【答案】　A
4．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(　　)
A．－3
B．－2
C．2
D．3
【解析】　(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.
【答案】　A
5．(2016·北京高考)复数＝(　　)
A．i
B．1＋i
C．－i
D．1－i
【解析】　＝＝＝i.
【答案】　A
6．(2016·四川高考)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2＝(　　)
A．0
B．2
C．2i
D．2＋2i
【解析】　(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.
【答案】　C
7．(2016·天津高考)i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．
【解析】　因为(1＋i)z＝2，所以z＝＝1－i，所以其实部为1.
【答案】　1
8．(2016·江苏高考)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．
【解析】　因为z＝(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5.
【答案】　5
章末综合测评(四)　数系的扩充与复数的引入
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a，b∈C，下列命题正确的是(　　)
A．3i<5i　　　　　　　
B．a＝0 |a|＝0
C．若|a|＝|b|，则a＝±b
D．a2≥0
【解析】　A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，b∈R时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝，但i≠－＋i或－i；D选项中，当a∈R时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i2＝－1<0.
【答案】　B
2．i是虚数单位，则的虚部是(　　)
A.i　
B．－i　　　
C.　　　
D．－
【解析】　＝＝＝＋i.
【答案】　C
3.＝(　　)
A．2
B．2
C.
D．1
【解析】　由＝＝＝1－i，
∴＝|1－i|＝.故选C.
【答案】　C
4.是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝(　　)
A．1＋i　　　　　　
B．－1－i
C．－1＋i
D．1－i
【解析】　法一：设z＝a＋bi，a，b为实数，则＝a－bi，∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，
∴b＝－1.故z＝1－i.
法二：∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i.又z＋＝2，
∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，
∴z＝1－i.
【答案】　D
5．复数的共轭复数为(　　)
A．－＋i
B.＋i
C.－i
D．－－i
【解析】　∵＝＝＝－＋i，
∴其共轭复数为－－i.故选D.
【答案】　D
6．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2；
p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i；
p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为(　　)
A．p2，p3
B．p1，p2
C．p2，p4
D．p3，p4
【解析】　∵z＝＝－1－i，
∴|z|＝＝，
∴p1是假命题；
∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；
∵＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
其中的真命题为p2，p4.
【答案】　C
7．复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数是(　　)
A．－2＋3i
B．－3－2i
C．2－3i
D．3－2i
【解析】　设D(x，y)，由平行四边形对角线互相平分得∴
∴D(－3，－2)，∴对应复数为－3－2i.
【答案】　B
8．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)
A．a＝－1
B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1
D．a≠2
【解析】　要使复数不是纯虚数，则有
解得a≠－1.
【答案】　C
9．若a，b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在(　　)
【导学号：67720027】
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】　复数对应点的坐标为(a2－6a＋10，－b2＋4b－5)，
又∵a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，
－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1<0.
∴复数对应的点在第四象限．故选D.
【答案】　D
10．如果复数z＝3＋ai满足条件|z－2|<2，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(－2，2)
B．(－2,2)
C．(－1,1)
D．(－，
)
【解析】　因为|z－2|＝|3＋ai－2|＝|1＋ai|＝<2，所以a2＋1<4，所以a2<3，即－【答案】　D
11．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　)
A．b＝2，c＝3
B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1
D．b＝2，c＝－1
【解析】　因为1＋i是实系数方程的一个复数根，所以1－i也是方程的根，则1＋i＋1－i＝2＝－b，(1＋i)(1－i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.
【答案】　B
12．设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　)
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
【解析】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．
选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确．
选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，
由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．
选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．(2015·重庆高考)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
【解析】　∵|a＋bi|＝＝，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.
【答案】　3
14．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝__________.
【解析】　＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.
又a为正实数，所以a＝.
【答案】　
15．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为__________．
【解析】　a＋bi＝＝＝＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.
从而a＋b＝8.
【答案】　8
16．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
【解析】　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－i|≤可得≤，即x2＋(y－1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2π.
【答案】　2π
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算：
(1)(＋i)2(4＋5i)；(2)＋2
016.
【解】　(1)(＋i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)
＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.
(2)＋2016
＝＋1
008＝i(1＋i)＋1
008
＝－1＋i＋(－i)1
008＝－1＋i＋1＝i.
18．(本小题满分12分)已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值．
【解】　由①得解得
将x，y代入②得(5＋4a)－(6＋b)i＝9－8i，
所以
所以a＝1，b＝2.
19．(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.
【解】　(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z是实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数．
(3)当即k＝4时，z是纯虚数．
(4)当即k＝－1时，z是0.
20．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
【解】　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.
21．(本小题满分12分)已知复数z1＝i，z2＝－i，z3＝2－i，z4＝－在复平面上对应的点分别是A，B，C，D.
【导学号：67720028】
(1)求证：A，B，C，D四点共圆；
(2)已知＝2
，求点P对应的复数．
【解】　(1)证明：∵|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝，
即|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|，
∴A，B，C，D四点都在圆x2＋y2＝5上，即A，B，C，D四点共圆．
(2)∵A(0，)，B(，－)，
∴＝(，－－)．
设P(x，y)，则＝(x，y－)，
若＝2
，那么(，－－)＝(2x,2y－2)，
∴
解得
∴点P对应的复数为＋i.
22．(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量O1，O2分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R.若1＋z2可以与任意实数比较大小，求O1·O2的值．
【解】　由题意，得1＝－(10－a2)i，
则1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i
＝＋(a2＋2a－15)i.
因为1＋z2可以与任意实数比较大小，
所以1＋z2是实数，
所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又因为a＋5≠0，所以a＝3，所以z1＝＋i，z2＝－1＋i.
所以O1＝，O2＝(－1,1)．
所以O1·O2＝×(－1)＋1×1＝.
模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2015·湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数为(　　)
A．i　　
B．－i　　　　
C．1　　　　
D．－1
【解析】　因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.
【答案】　A
2．根据二分法求方程x2－2＝0的根得到的程序框图可称为(　　)
A．工序流程图
B．程序流程图
C．知识结构图
D．组织结构图
【解析】　由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图．
【答案】　B
3．下列框图中，可作为流程图的是(　　)
A.→→
B.→→
C.→→→→→
D.
【解析】　流程图具有动态特征，只有答案C符合．
【答案】　C
4．(2016·安庆高二检测)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除”，那么a，b至少有一个能被5整除．则假设的内容是(　　)
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a不能被5整除
D．a，b有一个不能被5整除
【解析】　“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a，b都不能被5整除”．
【答案】　B
5．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为(　　)
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
【解析】　一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断．此题的推理不符合上述特征，故选C.
【答案】　C
6．(2015·安徽高考)设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】　＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.
【答案】　B
7．考察棉花种子是否经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：
种子处理
种子未处理
总计
得病
32
101
133
不得病
61
213
274
总计
93
314
407
根据以上数据，则(　　)
A．种子经过处理跟是否生病有关
B．种子经过处理跟是否生病无关
C．种子是否经过处理决定是否生病
D．以上都是错误的
【解析】　计算与可知相差很小，故选B.
【答案】　B
8．给出下面类比推理：
①“若2a<2b，则a②“(a＋b)c＝ac＋bc(c≠0)”类比推出“＝＋(c≠0)”；
③“a，b∈R，若a－b＝0，则a＝b”类比推出“a，b∈C，若a－b＝0，则a＝b”；
④“a，b∈R，若a－b>0，则a>b”类比推出“a，b∈C，若a－b>0，则a>b(C为复数集)”．
其中结论正确的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】　①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④错误，②③正确，故选B.
【答案】　B
9．(2015·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图1，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝(　　)
图1
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】　逐次运行程序，直至输出n.
运行第一次：S＝1－＝＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；
运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；
运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062
5，n＝3，S>0.01；
运行第四次：S＝0.125－0.062
5＝0.062
5，m＝0.031
25，n＝4，S>0.01；
运行第五次：S＝0.031
25，m＝0.015
625，n＝5，S>0.01；
运行第六次：S＝0.015
625，m＝0.007
812
5，n＝6，S>0.01；
运行第七次：S＝0.007
812
5，m＝0.003
906
25，n＝7，S<0.01.
输出n＝7.故选C.
【答案】　C
10．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为(　　)
A．3
B．－3
C．6
D．－6
【解析】　a1＝3，a2＝6，a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，…，
观察可知{an}是周期为6的周期数列，故a33＝a3＝3.
【答案】　A
11．(2016·大同高二检测)设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　必要性显然成立；PQR>0，包括P，Q，R同时大于0，或其中两个为负两种情况．假设P<0，Q<0，则P＋Q＝2b<0，这与b为正实数矛盾．同理当P，R同时小于0或Q，R同时小于0的情况亦得出矛盾，故P，Q，R同时大于0，所以选C.
【答案】　C
12．有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：
平均气温/℃
－2
－3
－5
－6
销售额/万元
20
23
27
30
根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间线性回归方程y＝bx＋a的系数b＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为(　　)
A．34.6万元
B．35.6万元
C．36.6万元
D．37.6万元
【解析】　＝＝－4，
＝＝25，
所以这组数据的样本中心点是(－4,25)．
因为b＝－2.4，
把样本中心点代入线性回归方程得a＝15.4，
所以线性回归方程为y＝－2.4x＋15.4.
当x＝－8时，y＝34.6.故选A.
【答案】　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．
【解析】　z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，
∴m2－m＝0，∴m＝0或1.
【答案】　0或1
14．在平面几何中，△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比|AE|∶|EB|＝|AC|∶|CB|(如图2①)，把这个结论类比到空间，如图2②，在三棱锥A?BCD中，平面CDE平分二面角A?CD?B且与AB相交于E，结论是__________________．
图2
【解析】　依平面图形与空间图形的相关元素类比，线段之比类比面积之比．
【答案】　S△ACD∶S△BCD＝AE2∶EB2
15．(2015·山东高考)执行下边的程序框图3，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________．
图3
【解析】　当x＝1时，1<2，则x＝1＋1＝2；当x＝2时，不满足x<2，则y＝3×22＋1＝13.
【答案】　13
16．(2016·江西吉安高二检测)已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论________.
【导学号：67720029】
【解析】　由等比数列的性质可知，b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴＝.
【答案】　＝
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2016·哈尔滨高二检测)设z＝，求|z|.
【解】　z＝＝，
∴|z|＝＝＝.
18．(本小题满分12分)给出如下列联表：
患心脏病
患其他病
总计
高血压
20
10
30
不高血压
30
50
80
总计
50
60
110
由以上数据判断高血压与患心脏病之间在多大程度上有关系？
(参考数据：P(χ2≥6.635)＝0.010，P(χ2≥7.879)＝0.005)
【解】　由列联表中数据可得
χ2＝≈7.486.
又P(χ2≥6.635)＝0.010，
所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高血压与患心脏病有关系．
19．(本小题满分12分)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1(分别用综合法、分析法证明)．
【证明】　综合法：∵2ax≤a2＋x2,2by≤b2＋y2，
∴2(ax＋by)≤(a2＋b2)＋(x2＋y2)．
又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，
∴2(ax＋by)≤2，∴ax＋by≤1.
分析法：
要证ax＋by≤1成立，
只要证1－(ax＋by)≥0，
只要证2－2ax－2by≥0，
又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，
∴只要证a2＋b2＋x2＋y2－2ax－2by≥0，
即证(a－x)2＋(b－y)2≥0，显然成立．
20．(本小题满分12分)某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈出去．如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出去．试画出此监督程序的流程图．
【解】　某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如下：
21．(本小题满分12分)某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据：
广告支出x(单位：万元)
1
2
3
4
销售收入y(单位：万元)
12
28
42
56
(1)画出表中数据的散点图；
(2)求出y对x的线性回归方程；
(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？
【解】　(1)散点图如图：
(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算a，b.
i
xi
yi
x
xiyi
1
1
12
1
12
2
2
28
4
56
3
3
42
9
126
4
4
56
16
224
于是＝，＝，
代入公式得：b＝＝＝，
a＝－b＝－×＝－2.
故y与x的线性回归方程为y＝x－2.
(3)当x＝9万元时，y＝×9－2＝129.4(万元)．
所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元．
22．(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图4①，②，③，④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
图4
(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋的值．
【解】　(1)f(5)＝41.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
…
由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
因为f(n＋1)－f(n)＝4n f(n＋1)＝f(n)＋4n f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
＝…
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4
＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝
＝，
∴＋＋＋…＋
＝1＋·
＝1＋＝－.2.2　独立性检验
2．3　独立性检验的基本思想
2．4　独立性检验的应用
1．了解独立性检验的基本思想方法．(重点)
2．了解独立性检验的初步应用．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　独立性检验
阅读教材P21～P24第1行部分，完成下列问题．
设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝1；变量B：B1，B2＝1，有下面2×2列联表：
BA　　　
B1
B2
总计
A1
a
b
a＋b
A2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据；b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据；c表示变量A取A2，且变量B取B1时的数据；d表示变量A取A2，且变量B取B2时的数据．
某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关：________(填“是”或“否”)．
【解析】　因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即＝，＝，两者相差较大，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．
【答案】　是
教材整理2　独立性检验的基本思想
阅读教材P24“练习”以下至P25“练习”以上部分，完成下列问题．
在2×2列联表中，令χ2＝，当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断：
(1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
(2)当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
(3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
(4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．
对分类变量X与Y的统计量χ2的值说法正确的是(　　)
A．χ2越大，“X与Y有关系”的把握性越小
B．χ2越小，“X与Y有关系”的把握性越小
C．χ2越接近于0，“X与Y无关系”的把握性越小
D．χ2越大，“X与Y无关系”程度越大
【解析】　χ2越大，X与Y越不独立，所以关联越大；相反，χ2越小，关联越小．
【答案】　B
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：___________________________________________________
解惑：___________________________________________________
疑问2：___________________________________________________
解惑：___________________________________________________
疑问3：___________________________________________________
解惑：___________________________________________________
[小组合作型]
,2×2列联表
　在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人．六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主．请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用与判断二者是否有关系．
【精彩点拨】　→
→→
【自主解答】　2×2列联表如下：
年龄在六十岁以上
年龄在六十岁以下
总计
饮食以蔬菜为主
43
21
64
饮食以肉类为主
27
33
60
总计
70
54
124
将表中数据代入公式得＝≈0.671
875.
＝＝0.45.
显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系．
1．作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．注意应该是4行4列，计算时要准确无误．
2．利用2×2列联表分析两变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将与的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣．
[再练一题]
1．在一项有关医疗保健的社会调查中，发现调查的男性为530人，女性为670人，其中男性中喜欢吃甜食的为117人，女性中喜欢吃甜食的为492人，请作出性别与喜欢吃甜食的列联表．
【解】　作列联表如下：
　　　　喜欢甜食情况性别　　
喜欢甜食
不喜欢甜食　
总计
男
117
413
530
女
492
178
670
总计
609
591
1
200
,独立性检验
　在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该种血清能起到预防感冒的作用.
未感冒
感冒
总计
使用血清
258
242
500
未使用血清
216
284
500
总计
474
526
1
000
【精彩点拨】　独立性检验可以通过2×2列联表计算χ2的值，然后和临界值对照作出判断．
【自主解答】　假设感冒与是否使用该种血清没有关系．
由列联表中的数据，求得χ2的值为χ2＝≈7.075.
χ2＝7.075≥6.635，
查表得P(χ2≥6.635)＝0.01，
故我们在犯错误的概率不超过1%的前提下，即有99%的把握认为该种血清能起到预防感冒的作用．
1．熟练掌握χ2统计量的数值计算，根据计算得出χ2值，对比三个临界值2.706,3.841和6.635，作出统计推断．
2．独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据列2×2列联表；
(2)计算χ2＝的值；
(3)将χ2的值与临界值进行比较，若χ2大于临界值，则认为X与Y有关，否则没有充分的理由说明这个假设不成立．
[再练一题]
2．“十一”黄金周前某地的一旅游景点票价上浮，黄金周过后，统计本地与外地来的游客人数，与去年同期相比，结果如下：
【导学号：67720005】
本地
外地
总计
去年
1
407
2
842
4
249
今年
1
331
2
065
3
396
总计
2
738
4
907
7
645
能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为票价上浮后游客人数与所处地区有关系？
【解】　按照独立性检验的基本步骤，假设票价上浮后游客人数与所处地区没有关系．
因为χ2＝≈30.35＞6.635.
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为票价上浮后游客人数与所处地区有关系．
[探究共研型]
,独立性检验的综合应用
探究1　当χ2＞3.841时，我们有多大的把握认为事件A与B有关？
【提示】　由临界值表可知当χ2＞3.841时，我们有95%的把握认为事件A与B有关．
探究2　在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的．我们是否可以判定100个心脏病患者中一定有打鼾的人？
【提示】　这是独立性检验，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有．
　为了解某市创建文明城市过程中，学生对创建工作的满意情况，相关部门对某中学的100名学生进行调查，其中有50名男生对创建工作表示满意，有15名女生对创建工作表示不满意．已知在全部100名学生中随机抽取1人，其对创建工作表示满意的概率为.是否有充足的证据说明，学生对创建工作的满意情况与性别有关？
【精彩点拨】　解决本题首先根据对工作满意的概率，确定对工作满意的男女生人数，再画出2×2列联表，最后根据2×2列联表计算χ2，并进行判断．
【自主解答】　由题意得2×2列联表如下：
满意
不满意
总计
男生
50
5
55
女生
30
15
45
总计
80
20
100
χ2＝≈9.091＞6.635，
所以我们有99%的把握认为学生对创建工作的满意情况与性别有关．
1．独立性检验的基本思想是：要确认两个变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设结论“两个变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的统计量χ2应该很小，如果用观测数据计算的统计量χ2很大，则在一定程度上说明假设不合理．由χ2与临界值的大小关系，作出判断．
2．独立性检验仍然属于用样本估计总体，由于样本抽取具有随机性，因而作出的推断可能正确，也可能错误，有95%(或99%)的把握说事件A与B有关，则推断结论为错误的可能性仅为5%(或1%)．
[再练一题]
3．有两个变量x与y，其一组观测值如下2×2列联表所示：
yx　
y1
y2
x1
a
20－a
x2
15－a
30＋a
其中a,15－a均为大于5的整数，则a取何值时，有95%的把握认为x与y之间有关系？
【解】　由题意χ2＝
＝＝.
∵有95%的把握认为x与y之间有关系，
∴χ2>3.841，
∴>3.841，a>7.7或a<1.5.
又a>5,15－a>5，∴7.7又a∈N，
∴a＝8或a＝9.
[构建·体系]
1．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力(　　)
A．平均数与方差　　　
B．回归分析
C．独立性检验
D．概率
【解析】　判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验，故选C．
【答案】　C
2．(2016·长沙高二检测)为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为(　　)
χ2
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
A．0.1%
B．1%
C．99%
D．99.9%
【解析】　因为χ2>6.635，所以有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”．
【答案】　C
3．在2×2列联表中，两个比值与________相差越大，两个分类变量有关系的可能性越大．
【解析】　根据2×2列联表可知，比值与相差越大，则|ad－bc|就越大，那么两个分类变量有关系的可能性就越大．
【答案】　
4．以下关于独立性检验的说法中，正确的是________.
①独立性检验依据小概率原理；
②独立性检验得到的结论一定正确；
③样本不同，独立性检验的结论可能有差异；
④独立性检验不是判断两分类变量是否相关的唯一方法．
【解析】　独立性检验得到的结论不一定正确，故②错，①③④正确．
【答案】　①③④
5．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品
不喜欢甜品
总计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
【解】　将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝＝＝≈4.762.
因为4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
我还有这些不足：
(1)___________________________________
(2)___________________________________
我的课下提升方案：
(1)___________________________________
(2)___________________________________
学业分层测评(三)　
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．有两个分类变量X与Y的一组数据，由其列联表计算得χ2≈4.523，则认为“X与Y有关系”犯错误的概率为(　　)
A．95%　　
B．90%　　
C．5%　　
D．10%
【解析】　χ2≈4.523＞3.841.这表明认为“X与Y有关系”是错误的可能性约为0.05，即认为“X与Y有关系”犯错误的概率为5%.
【答案】　C
2．在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列说法正确的是(　　)
A．男、女患色盲的频率分别为0.038,0.006
B．男、女患色盲的概率分别为，
C．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲与性别是有关的
D．调查人数太少，不能说明色盲与性别有关
【解析】　男人中患色盲的比例为，要比女人中患色盲的比例大，其差值为≈0.0676，差值较大．
【答案】　C
3．为了探究中学生的学习成绩是否与学习时间长短有关，在调查的500名学习时间较长的中学生中有39名学习成绩比较好，500名学习时间较短的中学生中有6名学习成绩比较好，那么你认为中学生的学习成绩与学习时间长短有关的把握为(　　)
A．0
B．95%
C．99%
D．都不正确
【解析】　计算出χ2与两个临界值比较，
χ2＝≈25.340
3＞6.635.
所以有99%的把握说中学生的学习成绩与学习时间长短有关，故选C．
【答案】　C
4．某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．(　　)
A．99.9%
B．99.5%
C．99%
D．97.5%
【解析】　可以先作出如下列联表(单位：人)：
糖尿病患者与遗传列联表：
糖尿病发病
糖尿病不发病
总计
阳性家族史
16
93
109
阴性家族史
17
240
257
总计
33
333
366
根据列联表中的数据，得到
χ2＝≈6.067＞5.024.
故我们有97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．
【答案】　D
5．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
以下各组数据中，对于同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为(　　)
A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2
B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2
C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝4
【解析】　比较.
选项A中，＝；
选项B中，＝；
选项C中，＝；
选项D中，＝.故选D．
【答案】　D
二、填空题
6．调查者通过随机询问72名男女中学生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)：
性别与喜欢文科还是理科列联表：
喜欢文科
喜欢理科
总计
男生
8
28
36
女生
20
16
36
总计
28
44
72
中学生的性别和喜欢文科还是理科________关系．(填“有”或“没有”)
【解析】　通过计算χ2＝≈8.42＞7.879.
故我们有99.5%的把握认为中学生的性别和喜欢文科还是理科有关系．
【答案】　有
7．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
【导学号：67720006】
　　专业性别　　
非统计专业
统计专业
男
13
10
女
7
20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到
χ2＝≈4.844，
因为χ2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________.
【解析】　∵χ2＞3.841，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性为5%.
【答案】　5%
8．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：
①若统计量χ2>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
②由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；
③由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．
其中说法正确的是________.(填序号)
【解析】　统计量χ2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①错误；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．
【答案】　③
三、解答题
9．某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)试问喜欢电脑游戏与认为作业多少是否有关系？
【解】　由题意列出2×2列联表：
认为作业多　
认为作业不多
总计
喜欢玩电脑游戏　
10
2
12
不喜欢玩电脑游戏
3
7
10
总计
13
9
22
(2)由公式得：
χ2＝≈6.418，
∵6.418＞3.841，∴有95%的把握认为玩电脑游戏与认为作业多少有关系．
10．在一次天气恶劣的飞行航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：在天气恶劣的飞行航程中，男乘客是否比女乘客更容易晕机？
【解】　根据题意，列出2×2列联表如下：
晕机
不晕机
总计
男乘客
24
31
55
女乘客
8
26
34
总计
32
57
89
由公式可得χ2＝≈3.689＞2.706，
故我们有90%的把握认为“在天气恶劣的飞行航程中，男乘客比女乘客更容易晕机”．
[能力提升]
1．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由χ2＝算得，
χ2＝≈7.8.
附表：
P(χ2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是(　　)
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
【解析】　根据独立性检验的思想方法，正确选项为C．
【答案】　C
2．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：
认为作业量大
认为作业量不大
总计
男生
18
9
27
女生
8
15
23
总计
26
24
50
若推断“学生的性别与认为作业量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过(　　)
A．0.01　　　　　　
B．0.025
C．0.10
D．0.05
【解析】　χ2＝≈5.059＞5.024，因为P(χ2＞5.024)＝0.025，所以这种推断犯错误的概率不超过0.025.
【答案】　B
3．某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某中学随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2列联表，根据列联表中的数据，可以在犯错误的概率不超过________的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.
超重
不超重
总计
偏高
4
1
5
不偏高
3
12
15
总计
7
13
20
【解析】　根据公式χ2＝得，χ2＝≈5.934，
因为χ2>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系．
【答案】　0.025
4．(2016·沈阳二检)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.
甲
乙
0
9
0
1
5
6
8
7
7
3
2
8
0
1
2
5
6
6
8
9
8
4
2
2
1
0
7
1
3
5
9
8
7
7
6
6
5
7
8
9
8
8
7
7
5
图1 2 4
(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；
(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
甲班
乙班
总计
优秀
不优秀
总计
下面临界表仅供参考：
P(χ2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解】　(1)记成绩为87分的同学为A，B，其他不低于80分的同学为C，D，E，“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．
“至少有一个87分的同学被抽到”所组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，共7个，所以P＝.
(2)
甲班
乙班
总计
优秀
6
14
20
不优秀
14
6
20
总计
20
20
40
χ2＝＝6.4＞5.024，
因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．章末分层突破
[自我校对]
①回归分析
②独立性检验
③相关系数
④相互独立事件
,回归分析
分析两个变量线性相关的常用方法：
(1)散点图法，该法主要是用来直观地分析两变量间是否存在相关关系．
(2)相关系数法，该法主要是从量上分析两个变量间相互联系的密切程度，|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．
　下表是一位母亲给儿子作的成长记录：
年龄/周岁
3
4
5
6
7
8
9
身高/cm
90.8
97.6
104.2
110.9
115.6
122.0
128.5
年龄/周岁
10
11
12
13
14
15
16
身高/cm
134.2
140.8
147.6
154.2
160.9
167.5
173.0
(1)年龄和身高之间具有怎样的相关关系？
(2)如果年龄(3周岁～16周岁之间)相差5岁，其身高有多大差异？
(3)如果身高相差20
cm，其年龄相差多少？
【精彩点拨】　本例考查对两个变量进行回归分析．首先求出相关系数，根据相关系数的大小判断其是否线性相关，由此展开运算．
【规范解答】　(1)设年龄为x，身高为y，则＝(3＋4＋…＋15＋16)＝9.5，
＝(90.8＋97.6＋…＋167.5＋173.0)≈131.985
7，
x＝1
491，y＝252
958.2，xiyi＝18
990.6，14
≈17
554.1，
∴x－14()2＝227.5，y－14()2≈9
075.05，
xiyi－14
＝1
436.5，
∴r＝
＝≈0.999
7.
因此，年龄和身高之间具有较强的线性相关关系．
(2)由(1)得b＝＝≈6.314，
a＝－b＝131.985
7－6.314×9.5≈72，
∴x与y的线性回归方程为y＝6.314x＋72.
因此，如果年龄相差5岁，那么身高相差6.314×5＝31.57(cm)．
(3)如果身高相差20
cm，年龄相差≈3.168
≈3(岁)．
[再练一题]
1．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，提到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝－b；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
【解】　(1)由于＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.
所以a＝－b＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20x2＋330x－1
000
＝－202＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，l取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
,条件概率
1．条件概率公式揭示了条件概率P(A|B)与事件概率P(B)、
P(AB)三者之间的关系．下列两种情况可利用条件概率公式：一种情况是已知P(B)和P(AB)时去求出P(A|B)；另一种情况是已知P(B)和P(A|B)时去求出P(AB)．对于后一种情况，为了方便也常将条件概率公式改写为如下的乘法公式：若P(A)＞0，有P(AB)＝P(A)P(B|A)．
2．乘法公式与条件概率公式实际上是一个公式，要求
P(AB)时，必须知道P(A|B)或P(B|A)；反之，要求P(A|B)时，必须知道积事件AB的概率P(AB)，在解决实际问题时，不要把求P(AB)的问题误认为是求P(A|B)的问题．
　盒子里装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球，玻璃球中有2个是红球，4个是蓝球；木质球中有3个是红球，7个是蓝球．现从中任取一个(假设每个球被取到是等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？
【精彩点拨】　
要注意B发生时A发生的概率与A，B同时发生的概率的区别．
【规范解答】　
设事件A：“任取一球，是玻璃球”；事件B：“任取一球，是蓝球”．由题中数据可列表如下：
红球
蓝球
总计
玻璃球
2
4
6
木质球
3
7
10
总计
5
11
16
由表知，P(B)＝，P(AB)＝，
故所求事件的概率为P(A|B)＝＝＝.
[再练一题]
2．有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．
【解】　
设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}．
B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，
C＝{从第二个盒子中取一个红球}，
D＝{从第三个盒子中取一个红球}，
则容易求得P(A)＝，P(B)＝，
则P(C)＝，P(D)＝＝.
显然，事件A∩C与事件B∩D互斥，且事件A与C是相互独立的，
所以试验成功的概率为P＝P(A∩C)＋P(B∩D)
＝P(A)·P(C)＋P(B)·P(D)＝，
所以本次试验成功的概率为.
独立性检验
独立性检验问题的基本步骤为：
(1)找相关数据，作列联表．
(2)求统计量χ2.
(3)判断可能性，注意与临界值做比较，得出事件有关的可信度．
　考察黄烟经过药物处理跟发生青花病的关系，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断经过药物处理跟发生青花病是否有关系．
【精彩点拨】　提出假设，根据2×2列联表求出χ2，从而进行判断．
【规范解答】　由已知得到下表：
药物处理
未经过药物处理
总计
青花病
25
185
210
无青花病
60
200
260
总计
85
385
470
假设经过药物处理跟发生青花病无关．
根据2×2列联表中的数据，可以求得χ2＝≈9.788.
因为χ2＞7.879，
所以我们有99.5%的把握认为经过药物处理跟发生青花病是有关系的．
[再练一题]
3．某学校高三年级有学生1
000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学)．现用分层抽样方法(按A类、B类分两层)从该年级的学生中共抽查100名同学，如果以身高达165
cm作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：
体育锻炼与身高达标2×2列联表：
身高达标
身高不达标
总计
积极参加体育锻炼
40
不积极参加体育锻炼
15
总计
100
(1)完成上表；
(2)请问体育锻炼与身高达标是否有关系？(χ2值精确到0.01)
参考公式：χ2＝.
【解】　(1)
身高达标
身高不达标
总计
积极参加体育锻炼
40
35
75
不积极参加体育锻炼
10
15
25
总计
50
50
100
(2)根据列联表得
χ2＝≈1.33＜2.706，
所以没有充分的理由说明体育锻炼与身高达标有关系．
1．(2015·湖北高考)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(　　)
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
【解析】　根据正相关和负相关的定义进行判断．若线性回归方程的斜率为正，则两个变量正相关，若斜率为负，则负相关．因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝by＋a，b>0，则z＝by＋a＝－0.1bx＋b＋a，故x与z负相关．
【答案】　C
2．(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝－b.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)
A．11.4万元　　　　
B．11.8万元
C．12.0万元
D．12.2万元
【解析】　由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴a＝8－0.76×10＝0.4，
∴当x＝15时，y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
【答案】　B
3．(2014·湖北高考)根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归方程为y＝bx＋a，则(　　)
A．a＞0，b＞0
B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0
D．a＜0，b＜0
【解析】　作出散点图如下：
观察图像可知，回归直线y＝bx＋a的斜率b＜0，当x＝0时，y＝a＞0.故a＞0，b＜0.
【答案】　B
4．(2016·全国卷Ⅱ)图1 1是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
图1 1
注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据：yi＝9.32，tiyi＝40.17，＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数r＝，回归方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝，a＝－b.
【解】　(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得
＝4，
(ti－)2＝28，＝0.55，
(ti－)(yi－)＝tiyi－yi＝40.17－4×9.32＝2.89，
∴r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝≈1.331及(1)得
b＝＝≈0.103.
a＝－b≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为y＝0.92＋0.10t.
将2016年对应的t＝9代入回归方程得
y＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．
单元综合测评(一)　统计案例
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在下列各量与量的关系中是相关关系的为(　　)
①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电费之间的关系．
A．①②③　　　　　　
B．③④
C．④⑤
D．②③④
【解析】　①⑤是一种确定性关系，属于函数关系．②③④为相关关系．
【答案】　D
2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；
②
y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是(　　)
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【解析】　y与x正(或负)相关时，线性回归直线方程y＝bx＋a中，x的系数b>0(或b<0)，故①④错．
【答案】　D
3．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10
000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了15
000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10
000次的电视机显像管还能继续使用到15
000次的概率是(　　)
A．0.75
B．0.60
C．0.48
D．0.20
【解析】　记“开关了10
000次后还能继续使用”为事件A，记“开关了15
000次后还能继续使用
”为事件B，根据题意，易得P(A)＝0.80，P(B)＝0.60，则P(AB)＝0.60，由条件概率的计算方法，可得P(B|A)＝＝＝0.75.
【答案】　A
4．一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型y＝73.93＋7.19x，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是(　　)
A．她儿子10岁时的身高一定是145.83
cm
B．她儿子10岁时的身高一定是145.83
cm以上
C．她儿子10岁时的身高在145.83
cm左右
D．她儿子10岁时的身高一定是145.83
cm以下
【解析】　由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值，而不是精确值，故选C．
【答案】　C
5．(2016·咸阳高二检测)已知一个线性回归方程为y＝1.5x＋45，其中x的取值依次为1,7,5,13,19，则＝(　　)
A．58.5
B．46.5
C．60
D．75
【解析】　∵＝(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回归直线过样本点的中心(，)，
∴＝1.5×9＋45＝58.5.
【答案】　A
6．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)＝(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】　出现点数互不相同的共有6×5＝30种，
出现一个5点共有5×2＝10种，
∴P(B|A)＝＝.
【答案】　A
7．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度，如果k>5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为(　　)
p(χ2>k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
p(χ2>k)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83
A．25%
B．75%
C．2.5%
D．97.5%
【解析】　查表可得χ2>5.024.因此有97.5%的把握认为“X和Y有关系”．
【答案】　D
8．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军．若两队每局胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】　由题意知，乙队获得冠军的概率为×＝，由对立事件概率公式得，甲队获得冠军的概率为P＝1－＝.
【答案】　D
9．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为(　　)
A．p＋q－2pq
B．p＋q－pq
C．p＋q
D．pq
【解析】　甲花卉成活而乙花卉不成活的概率为p(1－q)，
乙花卉成活而甲花卉不成活的概率为q(1－p)，故恰有一株成活的概率为p(1－q)＋q(1－p)＝p＋q－2qp.
【答案】　A
10．同时抛掷三颗骰子一次，设A：“三个点数都不相同”，B：“至少有一个6点”，则P(B|A)为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】　P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝×＝.
【答案】　A
11．以下关于线性回归分析的判断，正确的个数是(　　)
①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；
②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图1中的A，B，C点；
③已知直线方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；
④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．
图1
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】　能使所有数据点都在它附近的直线不只一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a，b得到的直线y＝bx＋a才是回归直线，
∴①不对；②正确；
将x＝25代入y＝0.50x－0.81，得y＝11.69，
∴③正确；④正确，故选D．
【答案】　D
12．根据下面的列联表得到如下四个判断：
①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”
.
嗜酒
不嗜酒
总计
患肝病
700
60
760
未患肝病
200
32
232
总计
900
92
992
其中正确命题的个数为(　　)
A．0　　　
B．1
C．2　　　
D．3
【解析】　由列联表中数据可求得随机变量χ2＝≈7.349＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”，因此②③正确．
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．已知x，y的取值如下表：
x
2
3
5
6
y
2.7
4.3
6.1
6.9
从散点图分析y与x具有线性相关关系，且回归方程为y＝1.02x＋a，则a＝________.
【解析】　由题意得＝4，＝5，又(，)在直线y＝1.02x＋a上，所以a＝5－4×1.02＝0.92.
【答案】　0.92
14．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝________.
【解析】　由P(B|A)＝得P(AB)
＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
【答案】　
15．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到
χ2＝≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________.
【解析】　χ2≈4.844>3.841，故判断出错的可能性为0.05.
【答案】　0.05
16．某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
杯数
24
34
38
64
由表中数据算得线性回归方程y＝bx＋a中的b≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为________杯.
【解析】　根据表格中的数据可求得＝×(18＋13＋10－1)＝10，＝×(24＋34＋38＋64)＝40.
∴a＝－b＝40－(－2)×10＝60，
∴y＝－2x＋60，当x＝－5时，y＝－2×(－5)＋60＝70.
【答案】　70
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取1个球，试问：取得同色球的概率是多少？
【解】　设从甲袋中任取1个球，事件A：“取得白球”，由此事件：“取得红球”，从乙袋中任取1个球，事件B：“取得白球”，由此事件：“取得红球”，则P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P()＝.
因为A与B相互独立，与相互独立，
所以从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为
P(AB＋
)＝P(AB)＋P(
)＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝.
18．(本小题满分12分)吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表是性别与吃零食的列联表：
男
女
总计
喜欢吃零食
5
12
17
不喜欢吃零食
40
28
68
总计
45
40
85
请问喜欢吃零食与性别是否有关？
【解】　χ2＝，
把相关数据代入公式，得
χ2＝≈4.722>3.841.
因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关”．
19．(本小题满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图2：
图2
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
总计
男
女
总计
(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
附：χ2＝，
P(χ2≥k)
0.05
0.01
k
3.841
6.635
【解】　(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
总计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝
＝＝≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.
Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任选2
人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝.
20．(本小题满分12分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
(2)从2号箱取出红球的概率是多少？
【解】　记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；
事件B：从1号箱中取出的是红球．
P(B)＝＝.
P()＝1－P(B)＝.
(1)P(A|B)＝＝.
(2)∵
P(A|)＝＝，
∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩)
＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()
＝×＋×＝.
21．(本小题满分12分)在一个文娱网络中，点击观看某个节目的累计人次和播放天数如下数据：
播放天数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
点击观看的累计人次　
51
134
213
235
262
294
330
378
457
533
(1)画出散点图；
(2)判断两变量之间是否有线性相关关系，求线性回归方程是否有意义？
(3)求线性回归方程；
(4)当播放天数为11天时，估计累计人次为多少？
【解】　(1)散点图如下图所示：
(2)由散点图知：两变量线性相关，求线性回归方程有意义．借助科学计算器，完成下表：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
yi
51
134
213
235
262
294
330
378
457
533
xiyi
51
268
639
940
1
310
1
764
2
310
3
024
4
113
5
330
＝5.5，＝288.7，＝385，＝1
020
953，iyi＝19
749
利用上表的结果，计算累计人次与播放天数之间的相关系数，
r＝
＝
≈0.984.
这说明累计人次与播放天数之间存在着较强的线性相关关系，所以求线性回归方程有实际意义．
(3)b＝＝≈46.9，
a＝－b≈288.7－46.9×5.5≈30.8，因此所求的线性回归方程是y＝30.8＋46.9x.
(4)当x＝11时，y的估计值是46.9×11＋30.8≈547.
因此，当播放天数为11天时，估计累计人次为547.
22．(本小题满分12分)(2016·济南模拟)为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：
月收入
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
8
5
2
1
将月收入不低于55的人群称为“高收入族”，月收入低于55的人群称为“非高收入族”．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？
已知：χ2＝，
当χ2<2.706时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>2.706时，有90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>3.841时，有95%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关.
非高收入族
高收入族
总计
赞成
不赞成
总计
(2)现从月收入在[55,65)的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少一人赞成楼市限购令的概率．
【解】　(1)
非高收入族
高收入族
总计
赞成
25
3
28
不赞成
15
7
22
总计
40
10
50
χ2＝≈3.43，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关．
(2)设月收入在[55,65)的5人的编号为a，b，c，d，e，其中a，b为赞成楼市限购令的人，从5人中抽取两人的方法数有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，其中ab，ac，ad，ae，bc，bd，be为所求事件数，因此所求概率P＝.§1　流程图
1．通过具体实例，进一步认识算法框图，了解工序流程图．(重点)
2．能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　流程图的构成和特点
阅读教材P37～P38“练习1”以上部分，完成下列问题．
1．流程图的构成
流程图是由一些图形符号和文字说明构成的图示．
2．流程图的特点
流程图是表述工作方式、工艺流程的一种常用手段，它的特点是直观清楚．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)画工艺流程图类似于算法的流程图，要先把一个工艺逐步细化，按自上而下或自左向右的顺序．(　　)
(2)在工艺流程图中可以循环回路，这一点不同于算法流程图．(　　)
(3)工艺流程图中的流程线表示相邻两工序之间的衔接关系．(　　)
(4)工艺流程图中的流程线都是有方向的指向线．(　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
教材整理2　画流程图的步骤
阅读教材P38“练习1”以下至P42“练习3”以上部分，完成下列问题．
第一步：确定主要步骤和顺序；
第二步：补足其他步骤；
第三步：用流程图表示．
图2 1 1是求过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率的流程图，则空白处应填________.
图2 1 1
【解析】　根据过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率的定义知，当x1＝x2时，直线的斜率不存在．故应填“x1＝x2？”．
【答案】　x1＝x2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：___________________________________________________
解惑：___________________________________________________
疑问2：___________________________________________________
解惑：___________________________________________________
疑问3：___________________________________________________
解惑：___________________________________________________
[小组合作型]
,程序框图
　到银行办理个人异地汇款(不超过100万)时，银行要收取一定的手续费．汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5
000元，按汇款额的1%收取；超过5
000元，一律收取50元手续费．设计算法求汇款额为x元时，银行收取的手续费y元，画出流程图.
【导学号：67720007】
【精彩点拨】　根据题意写出算法步骤，然后用流程图表示该算法即可．
【自主解答】　依题意知
y＝流程图如图所示．
程序框图的一般读法：
(1)按照从左到右，从上到下的顺序．
(2)理清算法的输入、输出、条件、循环等基本单元，并注意各要素之间的流向是如何建立的．
(3)当程序框图中含有循环结构时，需要首先明确循环的判断条件是什么，以便确定循环的次数．
[再练一题]
1．某市的士收费办法如下：不超过2.3公里收7元，超过2.3公里的里程每公里收2.6元，另每车次收燃油附加费1元(其他因素不考虑)．画出相应收费系统的程序框图．
【解】　设收费为y，
则y＝
程序框图如图所示．
,工艺流程图的画法
　某药厂生产某产品的过程如下：
(1)备料、前处理、提取、制粒、压片、包衣、颗粒分装、包装；
(2)提取环节经检验合格，进入下一工序，否则返回前处理；
(3)包衣、颗粒分装两环节分别检验合格进入下一工序，否则为废品，画出生产该产品的工序流程图．
【精彩点拨】　按照画工艺流程图的三个步骤进行．
【自主解答】　工序流程图如图所示：
画工序流程图的步骤：
(1)从需要管理的任务的总进度着眼，进行合理的工作或工序的划分．
(2)明确各工作或工序之间的关系．即
①衔接关系，各工作或各工序之间的先后顺序．
②平等关系，各工作或各工序之间可以独立进行，根据实际情况，可以安排它们同时进行．
③交叉关系，一次工作或工序进行时，另外一些工作或工序可以穿插进行．
(3)根据各工作或各工序所需要的工时进行统筹安排．
(4)开始时流程图可以画得粗疏，然后再对每一框进行逐步细化．
特别地：在程序框图中允许有闭合回路，而在工序流程图中不允许有闭合回路．
[再练一题]
2．我们生活中用的纸杯从原材料(纸张)到商品(纸杯)主要经过四道工序：淋膜、印刷、模切、成型．首先用淋膜机给原纸淋膜PE(聚乙烯)，然后用分切机把已经淋膜好的纸分切成矩形纸张(印刷后做纸杯壁用)和卷筒纸(纸杯底部用)，再将矩形纸印刷并切成扇形杯片，最后成型，请用流程图表示纸杯的加工过程．
【解】　由题意得流程图如下：
[探究共研型]
,流程图的综合应用
探究1　程序框图和流程图有什么区别和联系？
【提示】　(1)程序框图是流程图的一种．
(2)程序框图有一定的规范和标准，适用于计算机程序的编写．而日常生活中的流程图则相对自由一些，也可以添加一些生动的图形元素．
探究2　在华罗庚先生的《统筹方法平话》文中，有一个“喝茶问题”：假设洗水壶需要2
min，烧开水需要15
min，洗茶壶、杯需要3
min，取、放茶叶需要2
min，沏茶需要1
min.则最快能喝到茶所需要的时间为多少min.
【提示】　这些工作，有些没有先后顺序，可以同时进行，有些有先后顺序，需要依次完成．最快能喝上茶的流程图如图所示：
上述流程图需要时间18分钟．
　图2 1 2是某基金公司的客服热线的服务内容和流程图．某人在该基金公司建立了账户并购买了基金，但忘记了基金账户，他想通过客服热线查询自己的基金账号，应如何操作？
图2 1 2
【精彩点拨】　客服热线查询通常都是用流程图的形式给出各种业务的操作方式，另外也可以根据语音提示来完成操作．
【自主解答】　他要查询自己的基金账号，可进行如下操作：
拨通客服热线 按2号键进行账户查询 按1号键用身份证号登录 输入6位查询密码 按5号键查询基金账号．
1．阅读流程图，从中获取相应信息是流程图应用的主要体现，通过分析流程图，可以知道某项工作如何解决、有哪些步骤、需要注意哪些问题，因此可以整体上把握问题解决的流程，并且还可以进行优化．
2．应用流程图应把握的三个关键点：
(1)首先找到所需要的基本单元，理解每一个基本单元的意义．
(2)明确该单元的流向．
(3)若该单元的流向有多个，应选择最佳路线．
[再练一题]
3．某地联通公司推出10011电话服务，其中话费查询业务流程如图2 1 3：
图2 1 3
如果某人用手机查询该手机卡上余额，该如何操作？
【解】　此人应用手机拨通10011电话，然后按1号键，再按2号键，即可查询该手机卡上余额．
[构建·体系]
1．麻鸭资源的开发与利用的流程图如图2 1 4所示，则羽绒加工的前一道工序是(　　)
→→→→
图2 1 4
A．孵化鸭雏
B．商品鸭饲养
C．商品鸭收购、育肥、加工
D．羽绒服加工生产体系
【答案】　C
2．某工程的工序流程图如图2 1 5，则该工程的总工时为(　　)
图2 1 5
A．9天　　　　　
B．8天
C．7天
D．6天
【解析】　因为各个不同工序中用时最多的是①→②→④→⑥→⑦即9天，故选A．
【答案】　A
3．如图2 1 6，该程序框图的功能是判断正整数x是奇数还是偶数，则①处应填________.
图2 1 6
【解析】　若r＝1，则x是奇数；若r≠1，则x是偶数，故填r＝1.
【答案】　r＝1
4．阅读如图2 1 7所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s＝________.
【导学号：67720008】
图2 1 7
【解析】　当n＝1时，s＝1，a＝3；当n＝2时，s＝1＋3＝4，a＝5；当n＝3时，s＝4＋5＝9，a＝7，所以输出s＝9.
【答案】　9
5．某保险公司业务流程如下：保户投保、填单交费、公司承保、出具保单、保户提赔、公司勘查：同意，则赔偿，否则拒赔．画出该公司的业务流程图．
【解】　业务流程图如下：
我还有这些不足：
(1)___________________________________
(2)___________________________________
我的课下提升方案：
(1)___________________________________
(2)___________________________________
学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·广东测试)执行如图2 1 8的程度框图，如果输入的N＝100，则输出的X＝(　　)
图2 1 8
A．0.95　　　　　　
B．0.98
C．0.99
D．1.00
【解析】　由程序框图知，输出X＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝0.99.
【答案】　C
2．进入互联网时代，发电子邮件是不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子信箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.点击“发送邮件”．则正确的是(　　)
A．a→b→c→d→e→f
B．a→c→d→f→e→b
C．a→e→b→c→d→f
D．b→a→c→d→f→e
【解析】　依题意知发送电子邮件的步骤应是：a→e→b→c→d→f.
【答案】　C
3．如图2 1 9，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是(　　)
图2 1 9
A．26
B．24
C．20
D．19
【解析】　由A→B有4条路线，4条路线单位时间内传递的最大信息量为6＋8＋12＝26.
【答案】　A
4．小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱用5分钟，收拾床褥用4分钟，听广播用15分钟，吃早饭用8分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为(　　)
A．17分钟
B．19分钟
C．23分钟
D．27分钟
【解析】　把过程简化，把能放在同一个时间内完成的并列，如听广播的同时可以洗涮、收拾被褥、吃早饭，共用5＋4＋8＝17(分钟)．
【答案】　A
5．(2014·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图2 1 10，若输入的a，b，k分别为1,2,3，则输出的M＝(　　)
图2 1 10
A．
B．
C．
D．
【解析】　当n＝1时，M＝1＋＝，a＝2，b＝；
当n＝2时，M＝2＋＝，a＝，b＝；
当n＝3时，M＝＋＝，a＝，b＝；
n＝4时，终止循环．输出M＝.
【答案】　D
二、填空题
6．椭圆＋＝1(a>b>0)的面积为S＝πab，当a＝4，b＝2时，计算椭圆面积的流程图如图2 1 11所示，则空白处应为________.
图2 1 11
【解析】　由S＝πab知，需要输入a，b的值，由已知a＝4，b＝2，而且用的是框，故为赋值．
【答案】　a＝4，b＝2
7．如图2 1 12是计算1＋＋＋…＋的程序框图，判断框中应填的内容是________，处理框中应填的内容是________.
图2 1 12
【解析】　用i来表示计数变量，故判断框内为“i>99？”，处理框内为“i＝i＋2”．
【答案】　i>99？　i＝i＋2
8．(2014·辽宁高考)执行如图2 1 13所示的程序框图，若输入n＝3，则输出T＝________.
图2 1 13
【解析】　初始值：i＝0，S＝0，T＝0，n＝3，
①i＝1，S＝1，T＝1；
②i＝2，S＝3；T＝4；
③i＝3，S＝6，T＝10；
④i＝4，S＝10，T＝20，
由于此时4≤3不成立，停止循环，输出T＝20.
【答案】　20
三、解答题
9．设计一个计算1＋2＋…＋100的值的程序框图．
【解】　程序框图设计如下：
10．数学建模过程的流程图如图2 1 14.
图2 1 14
根据这个流程图，说明数学建模的过程．
【解】　数学建模的过程：根据实际情境提出问题，从而建立数学模型得出数学结果，然后检验是否合乎实际，如果不合乎实际，进行修改后重新提出问题．如果合乎实际，则成为可用的结果．
[能力提升]
1．某工厂加工某种零件的工序流程图如图2 1 15：
图2 1 15
按照这个工序流程图，一件成品至少经过几道加工和检验程序(　　)
A．3　　
B．4　　
C．5　　
D．6
【解析】　由流程图可知加工零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工，每道工序完成都要对产品进行检验，粗加工的合格品进入精加工，不合格品进入返修加工；返修加工的合格品进入精加工，不合格品作为废品处理；精加工的合格品为成品，不合格品为废品．由上可知一件成品至少要经过粗加工、检验、精加工、最后检验四道程序．
【答案】　B
2．执行两次如图2 1 16所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为(　　)
图2 1 16
A．0.2,0.2
B．0.2,0.8
C．0.8,0.2
D．0.8,0.8
【解析】　第一次：a＝－1.2<0，a＝－1.2＋1＝－0.2，－0.2<0，a＝－0.2＋1＝0.8>0，a＝0.8≥1不成立，输出0.8.
第二次：a＝1.2<0不成立，a＝1.2≥1成立，a＝1.2－1＝0.2≥1不成立，输出0.2.
【答案】　C
3．如图2 1 17所示算法程序框图中，令a＝tan
315°，b＝sin
315°，c＝cos
315°，则输出结果为________.
图2 1 17
【解析】　程序框图的算法是求出a，b，c三个数中的最大值．对于tan
315°＝－1，sin
315°＝－，cos
315°＝，故输出的结果为.
【答案】　
4．栽种一棵梧桐树，其种树过程是：(1)取树苗；(2)挖直径1米，深1.5米的树坑；(3)将树苗放至树坑中央；(4)向树坑中培土到树坑边，离边缘0.2米；(5)向树坑中浇水；(6)判断水是否浇透，若水未浇透，则转(5)；否则转(7)；(7)栽种完毕．试画出该过程的流程图．
【解】　流程图如图所示．§3　综合法与分析法
3．1　综合法
1．了解综合法的思考过程、特点．(重点)
2．会用综合法证明数学问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理　综合法
阅读教材P60～P61“练习”以上部分，完成下列问题．
1．综合法的定义
从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．
2．综合法证明的思维过程
用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图3 3 1表示为：
→→→…→
图3 3 1
　判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)综合法是由因导果的顺推证法．(　　)
(2)综合法证明的依据是三段论．(　　)
(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．(　　)
【解析】　(1)正确．由综合法的定义可知该说法正确．
(2)正确．综合法的逻辑依据是三段论．
(3)正确．综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．
【答案】　(1)√　(2)√　(3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
[小组合作型]
用综合法证明三角问题
　在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin
A＝(2b－c)sin
B＋(2c－b)sin
C.
(1)求证：A的大小为60°；
(2)若sin
B＋sin
C＝.证明：△ABC为等边三角形．
【精彩点拨】　(1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A.
(2)结合(1)中A的大小利用三角恒等变形证明A＝B＝C＝60°.
【自主解答】　(1)由2asin
A＝(2b－c)sin
B＋(2c－b)·sin
C，
得2a2＝(2b－c)·b＋(2c－b)c，
即bc＝b2＋c2－a2，
所以cos
A＝＝，
所以A＝60°.
(2)由A＋B＋C＝180°，得B＋C＝120°，
由sin
B＋sin
C＝，得sin
B＋sin(120°－B)＝，
sin
B＋(sin
120°cos
B－cos
120°sin
B)＝，
sin
B＋cos
B＝，
即sin(B＋30°)＝1.
因为0°所以30°所以B＋30°＝90°，即B＝60°，
所以A＝B＝C＝60°，
即△ABC为等边三角形．
证明三角等式的主要依据：
(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式．
(2)和、差、倍角的三角函数公式．
(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理．
(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．
[再练一题]
1．求证：3－2cos2α＝.
【证明】　原式右边＝＝1＋＝1＋2sin2α＝1＋2(1－cos2α)
＝3－2cos2α＝左边．
所以原式成立．
用综合法证明几何问题
　如图3 3 2，在四面体B ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，E，F分别是AB，BD的中点．求证：
【导学号：67720017】
(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
图3 3 2
【精彩点拨】　(1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF∥平面ACD，只需在平面ACD内找出一条直线和直线EF平行即可；
(2)根据面面垂直的判定定理，欲证明平面EFC⊥平面BCD，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可．
【自主解答】　(1)因为E，F分别是AB，BD的中点，所以EF是△ABD的中位线，所以EF∥AD，又EF 平面ACD，AD?平面ACD，所以直线EF∥平面ACD.
(2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.
因为CB＝CD，F是BD的中点，所以CF⊥BD.又EF∩CF＝F，所以BD⊥平面EFC.
因为BD?平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.
本题是综合运用已知条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的，故证明空间位置关系问题，也是综合法的一个典型应用．在证明过程中，语言转化是主旋律，转化途径为把符号语言转化为图形语言或文字语言转化为符号语言．这也是证明空间位置关系问题的一般模式．
[再练一题]
2．如图3 3 3，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AD＝a，AB＝2a，E，F分别为C1D1，A1D1的中点．
图3 3 3
(1)求证：DE⊥平面BCE；
(2)求证：AF∥平面BDE.
【证明】　(1)∵BC⊥侧面CDD1C1，DE?侧面CDD1C1，∴DE⊥BC.
在△CDE中，CD＝2a，CE＝DE＝a，则有CD2＝DE2＋CE2，
∴∠DEC＝90°，∴DE⊥EC，
又∵BC∩EC＝C，∴DE⊥平面BCE.
(2)连接EF，A1C1，设AC交BD于O，连接EO，
∵EFA1C1，AOA1C1，
∴EFAO，
∴四边形AOEF是平行四边形，
∴AF∥OE.
又∵OE?平面BDE，AF 平面BDE，
∴AF∥平面BDE.
[探究共研型]
用综合法证明不等式问题
探究　综合法证明不等式的主要依据有哪些？
【提示】　(1)a2≥0(a∈R)．
(2)a2＋b2≥2ab，2≥ab，a2＋b2≥.
(3)a，b∈(0，＋∞)，则≥，特别地，＋≥2.
(4)a－b≥0 a≥b；a－b≤0 a≤b.
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
　已知x>0，y>0，x＋y＝1，求证：≥9.
【精彩点拨】　解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法证明．
【自主解答】　法一：因为x>0，y>0,1＝x＋y≥2，
所以xy≤.
所以＝1＋＋＋
＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9.
法二：因为1＝x＋y，
所以＝
＝＝5＋2.
又因为x>0，y>0，所以＋≥2，当且仅当x＝y时，取“＝”．
所以≥5＋2×2＝9.
综合法的证明步骤：
(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等．
(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，写出严密的证明过程．
特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．
[再练一题]
3．将上例条件不变，求证：＋≥4.
【证明】　法一：因为x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝1，
所以x＋y≥2，当且仅当x＝y时，取“＝”，
所以≤，即xy≤，
所以＋＝＝≥4.
法二：因为x，y∈(0，＋∞)，
所以x＋y≥2>0，当且仅当x＝y时，取“＝”，
＋≥2>0，
当且仅当＝时，取“＝”，
所以(x＋y)≥4.
又x＋y＝1，所以＋≥4.
法三：因为x，y∈(0，＋∞)，所以＋＝＋
＝1＋＋＋1≥2＋2
＝4，
当且仅当x＝y时，取“＝”．
[构建·体系]
1．已知等差数列{an}中，a5＋a11＝16，a4＝1，则a12的值是(　　)
A．15　
B．30　　　
C．31　　　
D．64
【解析】　∵{an}为等差数列，
∴a5＋a11＝a4＋a12.
又∵a5＋a11＝16，a4＝1，∴a12＝15.
【答案】　A
2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确的命题的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】　若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又m?β，所以l⊥m，①正确；
若l⊥α，m?β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；
若l⊥α，m?β，α⊥β，l与m可能平行，③不正确；
若l⊥α，l∥m，则m⊥α，又m?β，所以α⊥β，④正确．
【答案】　B
3．若a，b，c是常数，则“a>0且b2－4ac<0”是“ax2＋bx＋c>0对任意x∈R恒成立”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　因为a>0且b2－4ac<0 ax2＋bx＋c>0对任意x∈R恒成立．反之，ax2＋bx＋c>0对任意x∈R恒成立不能推出a>0且b2－4ac<0，反例为：当a＝b＝0且c>0时也有ax2＋bx＋c>0对任意x∈R恒成立，
所以“a>0且b2－4ac<0”是“ax2＋bx＋c>0对任意实数x∈R恒成立”的充分不必要条件．
【答案】　A
4．已知p＝a＋(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p与q的大小关系是________．
【解析】　p＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，
－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2，∴q<22＝4≤p.
【答案】　p>q
5．(2016·济南高二检测)数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．求证：
(1)数列为等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
【证明】　(1)∵an＋1＝Sn，而an＋1＝Sn＋1－Sn，
∴Sn＝Sn＋1－Sn，
∴Sn＋1＝Sn，
∴＝2，
又∵a1＝1，
∴S1＝1，∴＝1，
∴数列是首项为1，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知的公比为2，而an＝Sn－1(n≥2)，
∴＝4
＝·，
∴Sn＋1＝4an.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
学业分层测评(九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知a，b为非零实数，则使不等式＋≤－2成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．a·b>0　　　　　
B．a·b<0
C．a>0，b<0
D．a>0，b>0
【解析】　∵＋≤－2，∴≤－2.
∵a2＋b2>0，
∴ab<0，则a，b异号，故选C.
【答案】　C
2．平面内有四边形ABCD和点O，＋＝＋，则四边形ABCD为(　　)
A．菱形
B．梯形
C．矩形
D．平行四边形
【解析】　∵＋＝＋，
∴－＝－，
∴＝，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【答案】　D
3．若实数a，b满足0A.
B．a2＋b2
C．2ab
D．a
【解析】　∵a＋b＝1，a＋b>2，
∴2ab<.
而a2＋b2>＝.
又∵0∴a<，∴a2＋b2最大，故选B.
【答案】　B
4．A，B为△ABC的内角，A>B是sin
A>sin
B的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　若A>B，则a>b，
又＝，∴sin
A>sin
B；
若sin
A>sin
B，则由正弦定理得a>b，
∴A>B.
【答案】　C
5．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是(　　)
A．若m?β，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
【解析】　对于A，m与α不一定垂直，所以A不正确；对于B，α与β可以为相交平面；对于C，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D，β与γ不一定垂直．
【答案】　C
二、填空题
6．设e1，e2是两个不共线的向量，＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，若A，B，C三点共线，则k＝________.
【解析】　若A，B，C三点共线，则＝λ，即2e1＋ke2＝λ(e1＋3e2)＝λe1＋3λe2，
∴∴
【答案】　6
7．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．
【解析】　∵a2－c2＝2－(8－4)＝－>0，∴a>c.
又∵＝＝>1，∴c>b，∴a>c>b.
【答案】　a>c>b
8．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题．
【解析】　对不等式②作等价变形：> >0.于是，若ab>0，bc>ad，则>0，故①③ ②.若ab>0，>0，则bc>ad，故①② ③.若bc>ad，>0，则ab>0，故②③ ①.因此可组成3个正确的命题．
【答案】　3
三、解答题
9．如图3 3 4，四棱锥P ABCD的底面是平行四边形，E，F分别为AB，CD的中点，求证：AF∥平面PEC.
图3 3 4
【证明】　∵四棱锥P ABCD的底面是平行四边形，
∴ABCD.
又∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴CFAE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF∥EC.
又AF 平面PEC，EC?平面PEC，
∴AF∥平面PEC.
10．(2016·临沂高二检测)在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列．求证：△ABC为等边三角形.
【导学号：67720018】
【证明】　由A，B，C成等差数列知，B＝，由余弦定理知b2＝a2＋c2－ac，
又a，b，c也成等差数列，∴b＝，
代入上式得＝a2＋c2－ac，
整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，从而A＝C，
而B＝，则A＝B＝C＝，
从而△ABC为等边三角形．
[能力提升]
1．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为(　　)
A．2
B.
C．1
D．
【解析】　∵ax＝by＝3，x＝loga3，y＝logb3，
∴＋＝log3(ab)≤log32＝1.故选C.
【答案】　C
2．(2016·西安高二检测)在△ABC中，tan
A·tan
B>1，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
【解析】　因为tan
A·tan
B>1，
所以A，B只能都是锐角，
所以tan
A>0，tan
B>0,1－tan
A·tan
B<0，
所以tan(A＋B)＝<0，
所以A＋B是钝角，即C为锐角．
【答案】　A
3．若0【解析】　由0且a≠b，得a＋b>2，a2＋b2>2ab.
又a>a2，b>b2，
知a＋b>a2＋b2，从而a＋b最大．
【答案】　a＋b
4．(2016·泰安高二检测)如图3 3 5所示，M是抛物线y2＝x上的一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA＝MB.若M为定点，求证：直线EF的斜率为定值．
图3 3 5
【证明】　设M(y，y0)，直线ME的斜率为k(k>0)，
∵MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，
∴直线MF的斜率为－k，
∴直线ME的方程为y－y0＝k(x－y)．
由消去x得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0，
解得yE＝，∴xE＝.
同理可得yF＝，∴xF＝.
∴kEF＝＝＝
＝－(定值)．
∴直线EF的斜率为定值．§4　反证法
1．了解间接证明的一种基本方法——反证法．
2．理解反证法的概念及思考过程和特点．(难点)
3．掌握反证法证题的基本步骤，会用反证法证明相关的数学问题．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理　反证法
阅读教材P65～P67“练习”以上内容，完成下列问题．
1．反证法的定义
在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．
2．反证法证明的思维过程
反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．
用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用框图3 4 1表示：
→→→
图3 4 1
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)反证法属于间接证明问题的方法．(　　)
(2)反证法的证明过程既可以是合情推理，也可以是一种演绎推理．(　　)
(3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾．(　　)
【解析】　(1)正确．反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接问题的方法．
(2)错误．反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理．
(3)错误．反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
[小组合作型]
用反证法证明否定性命题
　等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
【导学号：67720020】
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
【精彩点拨】　第(1)问应用an＝a1＋(n－1)d和Sn＝na1＋n(n－1)d两式求解．第(2)问先假设存在三项bp，bq，br成等比数列，再用反证法证明．
【自主解答】　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得
∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈N＋，∴
∴2＝pr，(p－r)2＝0，
∴p＝r，这与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
1．当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．
2．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
3．常见否定词语的否定形式如下表所示：
否定词语
否定词语的否定形式
没有
有
不大于
大于
不等于
等于
不存在
存在
[再练一题]
1．已知方程f(x)＝ax＋(a>1)，证明：方程f(x)＝0没有负数根．
【证明】　假设x0是方程f(x)＝0的负数根，则x0<0，x0≠－1且ax0＋＝0，所以ax0＝－.
又当x0<0时，0即0<－1＋<1,1<<2，解得这与x0<0矛盾，
所以假设不成立，故方程f(x)＝0没有负数根．
用反证法证明“至多”“至少”问题
　已知x，y，z均大于零，求证：x＋，y＋，z＋这三个数中至少有一个不小于4.
【精彩点拨】　本题中含有“至少”，不宜直接证明，故可采用反证法证明．
【自主解答】　假设x＋，y＋，z＋都小于4，
即x＋<4，y＋<4，z＋<4，
于是得＋＋<12，
而＋＋＝＋＋≥2
＋2
＋2
＝12，
这与＋＋<12矛盾，
因此假设错误，即x＋，y＋，z＋中至少有一个不小于4.
1．用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．
2．用反证法证明“至多”“至少”问题时常见的“结论词”与“反设词”如下：
结论词
反设词
结论词
反设词
至少有一个
一个也没有
对所有x成立
存在某个x0不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x0成立
至少有n个
至多有n－1个
p或q
p且 q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
p或 q
[再练一题]
2．若x>0，y>0，且x＋y>2，求证：与至少有一个小于2.
【证明】　假设与都不小于2，
即≥2，≥2.
∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，
两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)，
∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾，
∴假设不成立，原命题成立．
故与至少有一个小于2.
[探究共研型]
用反证法证明“唯一性”命题
探究1　用反证法证明数学命题的步骤是什么？
【提示】　(1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．
(2)归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果．
(3)存真：由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立．
探究2　如何证明两条相交直线有且只有一个交点？
【提示】　假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．所以两条相交直线有且只有一个交点．
　已知一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．
【精彩点拨】　
【自主解答】　根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．
(1)如图①，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a?α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
①
(2)如图②，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC?α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.
②
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
综上，经过一点A只能有一条直线和平面α垂直．
证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．
[再练一题]
3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图像连续不断，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
【证明】　由于f(x)在[a，b]上的图像连续不断，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，
所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，
则f(m)＝0，
假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，
即f(n)＝0，则n≠m.
若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；
若n因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
[构建·体系]
1．应用反证法推出矛盾的推理过程中可作为条件使用的是(　　)
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①②　　　　
B．②③
C．①②③
D．①②④
【解析】　根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”“已知条件”“公理、定理、定义等”作为条件使用．
【答案】　C
2．实数a，b，c不全为0等价于(　　)
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
【解析】　不全为0即至少有一个不为0，故选D.
【答案】　D
3．命题“△ABC中，若A>B，则a>b”的结论的否定应该是(　　)
A．aB．a≤b
C．a＝b
D．a≥b
【解析】　“大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”，故选B.
【答案】　B
4．用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”，正确的假设为________．
【解析】　a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c中至少有一个偶数”．
【答案】　a，b，c中至少有一个偶数
5．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．
【证明】　假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c，这与a，b，c互不相等矛盾．
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
学业分层测评(十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是(　　)
A．有两个内角是钝角
B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角
D．没有一个内角是钝角
【解析】　“最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.
【答案】　C
2．下列命题错误的是(　　)
A．三角形中至少有一个内角不小于60°
B．四面体的三组对棱都是异面直线
C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点
D．设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数
【解析】　a＋b为奇数 a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．
【答案】　D
3．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为(　　)
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
【解析】　自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．
【答案】　D
4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)
【导学号：67720021】
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
【解析】　若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，①
而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，②
显然①②矛盾，所以C正确．
【答案】　C
5．(2016·温州高二检测)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为(　　)
A．①②③　　　　　
B．①③②
C．②③①
D．③①②
【解析】　根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．
【答案】　D
二、填空题
6．(2016·南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________．
【解析】　“至少有一个”的否定是“没有一个”．
【答案】　任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形
7．(2016·汕头高二检测)用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应是________．
【解析】　与的关系有三种情况：>，＝和<，所以“>”的反设应为“≤”．
【答案】　≤
8．(2016·石家庄高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
【解析】　若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出．若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出．
若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出．
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.
反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
【答案】　③
三、解答题
9．已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明：a，b，c至少有一个不小于1.
【证明】　假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3.
而与a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3矛盾，故假设不成立，即a，b，c至少有一个不小于1.
10．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：
，
，
不成等差数列．
【证明】　假设，
，
成等差数列，则＋＝
2，两边同时平方得a＋c＋2＝4b.
把b2＝ac代入a＋c＋2＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾．
所以，
，
不成等差数列．
[能力提升]
1．有以下结论：
①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；
②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
下列说法中正确的是(　　)
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
【解析】　用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．
【答案】　D
2．已知命题“在△ABC中，A≠B.求证sin
A≠sin
B”．若用反证法证明，得出的矛盾是(　　)
A．与已知条件矛盾
B．与三角形内角和定理矛盾
C．与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾
D．与大边对大角定理矛盾
【解析】　证明过程如下：假设sin
A＝sin
B，因为0A≠sin
B.
【答案】　C
3．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好”．
乙说：“我们四人中有人考得好”．
丙说：“乙和丁至少有一人没考好”．
丁说：“我没考好”．
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的
________两人说对了．
【解析】　甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．
【答案】　乙，丙
4．(2016·温州高二检测)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列．
【证明】　假设数列{cn}是等比数列，则
(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①
因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，
所以a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1.
代入①并整理，得
2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1
＝anbn，
即2＝＋.②
当p，q异号时，＋<0，与②相矛盾；
当p，q同号时，由于p≠q，
所以＋>2，与②相矛盾．
故数列{cn}不是等比数列．