§1 变化的快慢与变化率
1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义，会求简单函数的平均变化率.(重点)
2.知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率，知道变化率是描述函数变化快慢的量.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 函数的平均变化率
阅读教材P25～P27“练习1”以上部分，完成下列问题.
1.定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.
通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝.
2.作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由Δx＝x2－x1，知Δx可以为0.( )
(2)Δy＝f(x2)－f(x1)是Δx＝x2－x1相应的改变量，Δy的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零.( )
(3)对山坡的上、下两点A，B中，＝可以近似刻画弯曲山路的陡峭程度.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
教材整理2 函数瞬时变化率
阅读教材P27“练习1”以下至P30“练习2”以上部分，完成下列问题.
1.定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0),
则函数的平均变化率是＝＝.
当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率.
2.作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
一质点运动规律是s＝t2＋3(s的单位为m，t的单位为s)，则在t＝1
s时的瞬时速度估计是________m/s.
【解析】 Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝(1＋Δt)2＋3－(12＋3)＝2Δt＋(Δt)2，∴＝＝2＋Δt，当Δt趋于0时，趋于2.
【答案】 2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
[小组合作型]
求函数的平均变化率
(1)已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A.0.40
B.0.41
C.0.43
D.0.44
(2)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快.
【精彩点拨】 (1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝f(2＋0.1)－f(2)可得.
(2)→→
【自主解答】 (1)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.
【答案】 B
(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝.
因为<，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快.
1.求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1).
第三步，求平均变化率＝.
2.求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用的形式.
[再练一题]
1.函数y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均变化率是( )
【导学号：94210031】
A.2
B.2x
C.2＋Δx
D.2＋(Δx)2
【解析】 ∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2，
∴＝＝2＋Δx，故选C.
【答案】 C
平均变化率的实际应用
甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图2 1 1所示，试比较两人的速度哪个快？
图2 1 1
【精彩点拨】 比较相同的时间Δt内，两人走过的路程的平均变化率的大小即可得出结果.
【自主解答】 在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，
但s1(t0－Δt)>s2(t0－Δt)，
故<.
所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快.
1.本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论.
2.平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢.
[再练一题]
2.某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图2 1 2所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是( )
图2 1 2
A.甲的日生产量大于乙的日生产量
B.甲的日生产量小于乙的日生产量
C.甲的日生产量等于乙的日生产量
D.无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小
【解析】 由平均变化率的几何意义可知，当接近于t0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量.
【答案】 B
[探究共研型]
瞬时变化率
探究1 高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在时间内的平均速度为多少？
【提示】 易知h＝h(0)，＝＝0.
探究2 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？
【提示】 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.
探究3 如何描述物体在某一时刻的运动状态？
【提示】 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.
要求物体在t0时刻的瞬时速度，设运动方程为s＝s(t)，可先求物体在(t0，t0＋Δt)内的平均速度＝，然后Δt趋于0，得到物体在t0时刻的瞬时速度.
一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动，估计汽车在t＝3
s时的瞬时速度.(时间单位：s；位移单位：m)
【精彩点拨】 先求时间从3到3＋Δt时的平均速度，再由Δt趋于0求得瞬时速度.
【自主解答】 当时间从3变到3＋Δt时，
＝＝＝3Δt＋18，
当Δt趋于0时，趋于常数18.
∴这辆汽车在t＝3
s时的瞬时速度为18
m/s.
求函数f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率的步骤：
(1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)计算，并化简，直到当Δx＝0时有意义为止；
(3)将Δx＝0代入化简后的即得瞬时变化率.
[再练一题]
3.求函数y＝f(x)＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率.
【导学号：94210032】
【解】 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝3(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－(3＋1)＝7Δx＋3(Δx)2.
∴＝＝7＋3Δx.
∴当Δx趋于0时，＝7＋3Δx趋于7＋3×0＝7.
∴函数y＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率为7.
[构建·体系]
1.在曲线y＝x2＋1的图像上取一点(1，2)及附近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则为( )
A.Δx＋＋2
B.Δx－－2
C.Δx＋2
D.2＋Δx－
【解析】 ＝＝2＋Δx，故选C.
【答案】 C
2.一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在一段时间[1，1＋Δt]内相应的平均速度为( )
A.3Δt＋6
B.－3Δt＋6
C.3Δt－6
D.－3Δt－6
【解析】 ＝＝－6－3Δt.
【答案】 D
3.已知函数y＝，当x由2变为1.5时，函数的改变量Δy＝________.
【导学号：94210033】
【解析】 Δy＝－＝.
【答案】
4.设某产品的总成本函数为C(x)＝1
100＋，其中x为产量数，生产900个单位到1
000个单位时总成本的平均变化率为________.
【解析】 ＝＝.
【答案】
5.在F1赛车中，赛车位移s与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s的单位为m，t的单位为s)，求：
(1)t＝20，Δt＝0.1时Δs与；
(2)t＝20时的瞬时速度.
【解】 (1)Δs＝s(20＋Δt)－s(20)
＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202
＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)，
＝＝210.5(m/s).
(2)∵
＝
＝5Δt＋210，
当Δt趋于0时，趋于210，
所以在t＝20时的瞬时速度为210
m/s.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.函数y＝f(x)＝3x在x从1变到3时的平均变化率等于( )
A.12
B.24
C.2
D.－12
【解析】 Δy＝f(3)－f(1)＝33－31＝24，
则＝＝12.故选A.
【答案】 A
2.函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( )
A.3
B.2
C.1
D.4
【解析】 由已知得＝3，
∴m＋1＝3，∴m＝2.
【答案】 B
3.将半径为R的球加热，若球的半径增量为ΔR，则球的表面积增量ΔS等于( )
A.8πRΔR
B.8πRΔR＋4π(ΔR)2
C.4πRΔR＋4π(ΔR)2
D.4π(ΔR)2
【解析】 球的表面积S＝4πR2，则ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2.
【答案】 B
4.函数y＝f(x)＝3x＋1在点x＝2处的瞬时变化率估计是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】 Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝3(2＋Δx)＋1－(3×2＋1)＝3Δx，则＝＝3，∴当Δx趋于0时，趋于3.故选B.
【答案】 B
5.一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3
s末的瞬时速度为( )
A.7
m/s
B.6
m/s
C.5
m/s
D.8
m/s
【解析】
＝＝Δt＋5.
当Δt趋于0时，趋于5，所以此物体在3
s末的瞬时速度为5
m/s.
【答案】 C
二、填空题
6.物体的运动方程是s(t)＝4t－0.3t2，则从t＝2到t＝4的平均速度是________.
【导学号：94210034】
【解析】 由题意可得，Δt＝4－2＝2，Δs＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，∴平均速度为＝＝2.2.
【答案】 2.2
7.已知函数f(x)＝x2－2x＋3，且y＝f(x)在[2，a]上的平均变化率为，则a＝______.
【解析】 ＝
＝＝＝a＝.
【答案】
8.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图2 1 3所示.在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是________.
图2 1 3
【解析】 ∵1＝＝kMA，
2＝＝kAB，
3＝＝kBC，
由图像可知：kMA
∴3>2>1.
【答案】 3>2>1
三、解答题
9.比较y＝x3与y＝x2在x＝2均变化率的大小.
【解】 当自变量x从x＝2变化到x＝2＋Δx时，y＝x3的平均变化率k1＝＝(Δx)2＋6Δx＋12，
y＝x2的平均变化率k2＝＝Δx＋4.
∵k1－k2＝(Δx)2＋5Δx＋8＝＋>0，
∴k1>k2.
∴在x＝2附近y＝x3的平均变化率较大.
10.已知质点M按规律s＝3t2＋2做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s).
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求；
(2)求质点M在t＝2时的瞬时速度.
【解】 ＝
＝
＝6t＋3Δt.
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，
＝6×2＋3×0.01＝12.03
cm/s.
(2)当Δt趋于0时，6t＋3Δt趋于6t，
∴质点M在t＝2时的瞬时速度为12
cm/s.
[能力提升]
1.以初速度为v0(v0>0)做竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，则物体在t0秒到t0＋Δt秒间的平均速度为( )
A.v0－gt0－gΔt
B.v0－gt0
C.v0－gΔt
D.gt0－gΔt
【解析】 ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－v0t0＋gt＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，∴＝v0－gt0－gΔt，
∴物体在t0秒到t0＋Δt秒间的平均速度为v0－gt0－gΔt.
【答案】 A
2.一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( )
【导学号：94210035】
A.at0
B.－at0
C.at0
D.2at0
【解析】 ∵＝a(t0＋Δt)2－at＝aΔt＋at0，∴Δt趋于0时，趋于at0.
【答案】 A
3.(2016·临沂高二检测)设c是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为c＝c(q)，当产量为q0时，产量的变化Δq对成本的影响可用增量比＝刻画，如果Δq无限趋近于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本，它表明当产量为q0时，增加单位产量需付出的成本为A，它是实际付出成本的一个近似值.若某一产品的成本c与产量q满足函数关系c＝3q2＋1，则当产量q＝30时的边际成本是________.
【解析】 ∵Δc＝3(30＋Δq)2＋1－(3×302＋1)
＝180Δq＋3(Δq)2，
∴＝＝180＋3Δq.
当Δq趋于0时，趋于180，
∴当产量q＝30时的边际成本为180.
【答案】 180
4.(2016·南充高二检测)某一运动物体，在x(s)时离开出发点的距离(单位：m)是f(x)＝x3＋x2＋2x.
(1)求在第1
s内的平均速度；
(2)求在1
s末的瞬时速度；
(3)经过多少时间该物体的运动速度达到14
m/s
【解】 (1)物体在第1
s内的平均变化率(即平均速度)为＝
m/s.
(2)＝
＝
＝6＋3Δx＋(Δx)2.
当Δx趋于0时，趋于6，
所以物体在1
s末的瞬时速度为6
m/s.
(3)＝＝
＝2x2＋2x＋2＋(Δx)2＋2x·Δx＋Δx.
当Δx趋于0时，趋于2x2＋2x＋2，
令2x2＋2x＋2＝14，
解得x＝2，
即经过2
s该物体的运动速度达到14
m/s.章末分层突破
[自我校对]
①由部分到整体，由个别到一般
②类比推理 ③演绎推理
④由一般到特殊 ⑤综合法 ⑥执果索因 ⑦反证法 ⑧数学归纳法
合情推理
1.归纳推理的特点及一般步骤
2.类比推理的特点及一般步骤
(1)观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，……，由此可归纳出的式子为( )
A.1＋＋＋…＋<
B.1＋＋＋…＋<
C.1＋＋＋…＋<
D.1＋＋＋…＋<
(2)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin
α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin
α＋sin＋sin＝0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为__________.
【精彩点拨】 (1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得.
(2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论.
【规范解答】 (1)由各式特点，可得1＋＋＋…＋<.故选C.
(2)用两点等分单位圆时，关系为sin
α＋sin(π＋α)＝0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α)－α＝π，用三点等分单位圆时，关系为sin
α＋sin＋sin＝0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有－＝－α＝.
依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为＋α＝＋α，第三个角为＋α＋＝π＋α，第四个角为π＋α＋＝＋α，即其关系为sin
α＋sin＋sin(α＋π)＋sin＝0.
【答案】 (1)C (2)sin
α＋sin＋sin(α＋π)＋sin＝0
[再练一题]
1.已知函数y＝sin4x＋cos4x(x∈R)的值域是，则
(1)函数y＝sin6
x＋cos6x(x∈R)的值域是__________；
(2)类比上述结论，函数y＝sin2n
x＋cos2nx(n∈N＋)的值域是__________.
【解析】 (1)y＝sin6x＋cos6x＝(sin2x＋cos2x)(sin4x－sin2
xcos2
x＋cos4
x)＝sin4x－sin2xcos2
x＋cos4x＝(sin2
x＋cos2
x)2－3sin2xcos2x＝1－sin2(2x)＝1－(1－cos
4x)
＝＋cos
4x∈.
(2)由类比可知，y＝sin2nx＋cos2nx的值域是[21－n，1].
【答案】 (1) (2)[21－n，1]
综合法与分析法
1.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式.
2.分析法和综合法是两种思路相反的推理方法.分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.
设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.试用综合法和分析法分别证明.
【精彩点拨】 (1)综合法：根据a＋b＝1，分别求＋与的最小值.
(2)分析法：把变形为＝＋求证.
【规范解答】 法一：(综合法)
∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＝a＋b≥2，≤，ab≤，∴≥4.
又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立).
法二：(分析法)
∵a>0，b>0，a＋b＝1，
要证＋＋≥8，
只要证＋≥8，
只要证＋≥8，
即证＋≥4.
也就是证＋≥4.
即证＋≥2，
由基本不等式可知，当a>0，b>0时，
＋≥2成立，所以原不等式成立.
[再练一题]
2.(1)已知a，b，c为互不相等的非负数.
求证：a2＋b2＋c2>(＋＋).
(2)用分析法证明：2cos(α－β)－＝.
【解】 (1)因为a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
又因为a，b，c为互不相等的非负数，
所以上面三个式子中都不能取“＝”，
所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，
因为ab＋bc≥2，bc＋ac≥2，
ab＋ac≥2，
又a，b，c为互不相等的非负数，
所以ab＋bc＋ac>(＋＋)，
所以a2＋b2＋c2>(＋＋).
(2)要证原等式成立，只需证：
2cos(α－β)sin
α－sin(2α－β)＝sin
β，①
因为①左边＝2cos(α－β)sin
α－sin[(α－β)＋α]
＝2cos(α－β)sin
α－sin(α－β)cos
α－
cos(α－β)sin
α
＝cos(α－β)sin
α－sin(α－β)cos
α
＝sin
β＝右边，
所以①成立，即原等式成立.
反证法
反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论.反证法的思路：反设→归谬→结论.
设{an}是公比为q的等比数列.
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列.
【精彩点拨】 (1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论.
【规范解答】 (1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，
①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，
②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，∴Sn＝
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾.
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列.
[再练一题]
3.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.
(1)证明：是f(x)＝0的一个根；
(2)试比较与c的大小.
【解】 (1)证明：∵f(x)的图像与x轴有两个不同的交点，
∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2.
∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根.
又x1x2＝，
∴x2＝，
∴是f(x)＝0的一个根.
(2)假设0，
由00，
知f>0与f＝0矛盾，
∴≥c.又∵≠c，∴>c.
数学归纳法
1.关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.
2.关注点二：由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.
已知正数数列{an}(n∈N＋)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋，用数学归纳法证明：an＝－.
【导学号：94210027】
【规范解答】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝，
所以a＝1(an>0)，所以a1＝1，又－＝1，
所以n＝1时，结论成立.
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，结论成立，即ak＝－.
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－
＝－
＝－，
所以a＋2ak＋1－1＝0，
解得ak＋1＝－(an>0)，所以n＝k＋1时，结论成立.
由(1)(2)可知，对n∈N＋都有an＝－.
[再练一题]
4.设数列{an}的前n项和Sn＝(n∈N＋)，a2＝2.
(1)求{an}的前三项a1，a2，a3；
(2)猜想{an}的通项公式，并证明.
【解】 (1)由Sn＝，得a1＝1，又由a2＝2，得a3＝3.
(2)猜想：an＝n.
证明如下：①当n＝1时，猜想成立.
②假设当n＝k(k≥2)时，猜想成立，即ak＝k，
那么当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－
＝－.
所以ak＋1＝－＝k＋1，
所以当n＝k＋1时，猜想也成立.
根据①②知，对任意n∈N＋，都有an＝n.
转化与化归思想
转化与化归是数学思想方法的灵魂.在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化.
设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a，b，c都为整数，已知f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程f(x)＝0无整数根.
【精彩点拨】 假设方程f(x)＝0有整数根k，结合f(0)，f(1)均为奇数推出矛盾.
【规范解答】 假设方程f(x)＝0有一个整数根k，
则ak2＋bk＋c＝0，
∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c都为奇数，
∴a＋b必为偶数，ak2＋bk为奇数.
当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，则ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝2n(2na＋b)必为偶数，与ak2＋bk为奇数矛盾；
当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak2＋bk为奇数矛盾.
综上可知，方程f(x)＝0无整数根.
[再练一题]
5.用数学归纳法证明：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除.
【证明】 设n＝2m－1，m∈N＋，则xn＋yn＝x2m－1＋y2m－1.
要证明原命题成立，只需证明x2m－1＋y2m－1能被x＋y整除(m∈N＋).
(1)当m＝1时，x2m－1＋y2m－1＝x＋y能被x＋y整除.
(2)假设当m＝k(k∈N＋)时命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，那么当m＝k＋1时，
x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋2－1＋y2k＋2－1＝x2k－1x2－x2k－1y2＋y2k－1y2＋x2k－1y2＝x2k－1(x2－y2)＋y2(x2k－1＋y2k－1)＝x2k－1(x－y)(x＋y)＋y2(x2k－1＋y2k－1).
因为x2k－1(x－y)(x＋y)与y2(x2k－1＋y2k－1)均能被x＋y整除，
所以当m＝k＋1时，命题成立.
由(1)(2)，知原命题成立.
1.(2016·北京高考)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
学生序号
1
2
3
4
5
立定跳远(单位：米)
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
30秒跳绳(单位：次)
63
a
75
60
63
学生序号
6
7
8
9
10
立定跳远(单位：米)
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳绳(单位：次)
72
70
a－1
b
65
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )
A.2号学生进入30秒跳绳决赛
B.5号学生进入30秒跳绳决赛
C.8号学生进入30秒跳绳决赛
D.9号学生进入30秒跳绳决赛
【解析】 由题意可知1到8号学生进入了立定跳远决赛.由于同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，因此1到8号同学中有且只有6人进入两项决赛，分类讨论如下：
(1)当a<60时，a－1<59，此时2号和8号不能入选，即入选的只有1，3，4，5，6，7号；
(2)当a＝60时，a－1＝59，此时2号和4号同时入选或同时都不入选，均不符合题意；
(3)当a＝61时，a－1＝60，此时8号和4号不能入选，即入选的只有1，2，3，5，6，7号；
(4)当a＝62或63时，相应的a－1＝61或62，此时8号和4号不能入选，即入选的只有1，2，3，5，6，7号；
(5)当a≥64时，此时a－1≥63，不符合题意.
综上可知1，3，5，6，7号学生一定进入30秒跳绳决赛.
【答案】 B
2.(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.
【解析】 根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理.由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3.
【答案】 1和3
3.(2015·福建高考)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N＋)，其中xk(k＝1，2，…，n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：
其中运算 定义为：0 0＝0，0 1＝1，1 0＝1，1 1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________.
【解析】 因为x2 x3 x6 x7＝0，所以x2，x3，x6，x7都正确.又因为x4 x5 x6 x7＝1，x1 x3 x5 x7＝1，故x1和x4都错误，或仅x5错误.因为条件中要求仅在第k位发生码元错误，故只有x5错误.
【答案】 5
4.(2015·湖南高考)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立.
【证明】 由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立.
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0同理，0故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立.
5.(2016·浙江高考)设函数f(x)＝x3＋，x∈[0，1].证明：
(1)f(x)≥1－x＋x2；
(2)【证明】 (1)因为1－x＋x2－x3＝＝，
由于x∈[0，1]，有≤，即1－x＋x2－x3≤，所以f(x)≥1－x＋x2.
(2)由0≤x≤1得x3≤x，故f(x)＝x3＋≤x＋＝x＋－＋＝＋≤，
所以f(x)≤.
由(1)得f(x)≥1－x＋x2＝＋≥，
又因为f＝>，所以f(x)>.
综上，章末综合测评(一) 推理与证明
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下面四个推理不是合情推理的是( )
A.由圆的性质类比推出球的有关性质
B.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
C.某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分
D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的
【解析】 逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理.
【答案】 C
2.用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；
②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；
③假设直线AC，BD是共面直线.
则正确的序号顺序为( )
A.①②③
B.③①②
C.①③②
D.②③①
【解析】 结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.
【答案】 B
3.下列推理是归纳推理的是( )
A.A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆
B.由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C.由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
【解析】 由归纳推理的特点知，选B.
【答案】 B
4.用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是( )
【导学号：94210028】
A.假设a，b，c都小于0
B.假设a，b，c都大于0
C.假设a，b，c中都不大于0
D.假设a，b，c中至多有一个大于0
【解析】 用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立.而要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.
【答案】 C
5.用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为( )
A.(5k－2k)＋4·5k－2k
B.5(5k－2k)＋3·2k
C.(5－2)(5k－2k)
D.2(5k－2k)－3·5k
【解析】 5k＋1－2k＋1＝5k·5－2k·2＝5k·5－2k·5＋2k·5－2k·2＝5(5k－2k)＋3·2k.
【答案】 B
6.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立.( )
A.k＋1
B.k＋2
C.2k＋2
D.2(k＋2)
【解析】 根据数学归纳法的步骤可知，n＝k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n＝k＋2，故选B.
【答案】 B
7.(2016·昌平模拟)已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A.a1a2a3…a9＝29
B.a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29
C.a1a2a3…a9＝2×9
D.a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
【解析】 根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.
【答案】 D
8.(2016·北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【解析】 取两个球往盒子中放有4种情况：
①红＋红，则乙盒中红球数加1；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；
③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；
④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机.
③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.
①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.
综上，选B.
【答案】 B
9.在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b11＝1，则有( )
A.b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b19－n
B.b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b21－n
C.b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n
D.b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n
【解析】 令n＝10时，验证即知选B.
【答案】 B
10.将石子摆成如图1的梯形形状.称数列5，9，14，20，…为“梯形数”.根据图形的构成，此数列的第2
016项与5的差，即a2
016－5＝( )
图1
A.2
018×2
014
B.2
018×2
013
C.1
010×2
012
D.1
011×2
013
【解析】 an－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个.
∴an－5＝，∴a2
016－5
＝
＝2
013×1
011.
【答案】 D
11.在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图2中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2
015＋a2
016＋a2
017＝( )
图2
A.1
006
B.1
007
C.1
008
D.1
009
【解析】 依题意a1＝1，a2＝1；a3＝－1，a4＝2；a5＝2，a6＝3；…，归纳可得a1＋a3＝1－1＝0，a5＋a7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a2
015＋a2
017＝0，a2＝1，a4＝2，a6＝3，…，进而可归纳得a2
016＝×2
016＝1
008，a2
015＋a2
016＋a2
017＝1
008.故选C.
【答案】 C
12.记集合T＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M＝，将M中的元素按从大到小排列，则第2
016个数是( )
A.＋＋＋
B.＋＋＋
C.＋＋＋
D.＋＋＋
【解析】 因为＋＋＋
＝(a1×103＋a2×102＋a3×101＋a4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9
999，从大到小排列，第2
016个数为9
999－2
016＋1＝7
984，
所以a1＝7，a2＝9，a3＝8，a4＝4.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)
13.已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为__________.
【解析】 圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆＋＝1类似的性质为：过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.
【答案】 经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1
14.观察下列等式：
13＝1，
13＋23＝9，
13＋23＋33＝36，
13＋23＋33＋43＝100，
……
照此规律，第n个等式可为__________.
【导学号：94210029】
【解析】 依题意，注意到13＝，13＋23＝＝9，13＋23＋33＝＝36，……，照此规律，第n个等式可为13＋23＋33＋…＋n3＝.
【答案】 13＋23＋33＋…＋n3＝
15.(2016·东莞高二检测)当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N＋时，你能得到的结论是__________.
【解析】 根据题意，由于当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，
当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，
当n∈N＋时，左边第二个因式可知为an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn，那么对应的表达式为(a－b)·(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1.
【答案】 (a－b)(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1
16.如图3，如果一个凸多面体是n(n∈N＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________，f(n)＝__________.(答案用数字或n的解析式表示)
图3
【解析】 所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋＝.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4×2＋×2＝12，所以f(n)＝n(n－2)＋·(n－2)＝.
【答案】 12
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：
(1)如果a，b>0，则lg
≥；
(2)＋>2＋2.
【证明】 (1)当a，b>0时，有≥，
∴lg≥lg，
∴lg
≥lg
ab＝.
(2)要证＋>2＋2，
只要证(＋)2>(2＋2)2，
即2>2，这是显然成立的，
所以，原不等式成立.
18.(本小题满分12分)观察以下各等式：
sin230°＋cos260°＋sin
30°cos
60°＝，
sin220°＋cos250°＋sin
20°cos
50°＝，
sin215°＋cos245°＋sin
15°cos
45°＝.
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.
【解】 猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin
αcos(α＋30°)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin
αcos(α＋30°)
＝sin2α＋
＋sin
α
＝sin2α＋cos2α－sin
αcos
α＋sin2α＋
sin
α·cos
α－sin2α
＝sin2α＋cos2α
＝.
19.(本小题满分12分)点P为斜三棱柱ABC A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.
(1)求证：CC1⊥MN；
(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.
【解】 (1)证明：因为PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，
所以BB1⊥平面PMN，所以BB1⊥MN.
又CC1∥BB1，所以CC1⊥MN.
(2)在斜三棱柱ABC A1B1C1中，
有S2ABBA＝S2BCCB＋S2ACCA－2SBCCBSACCAcos
α.
其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角.
证明如下：
因为CC1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP.
在△PMN中，
因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·
MNcos∠MNP，
所以PM2·CC＝PN2·CC＋MN2·CC－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，
由于S
BCCB＝PN·CC1，S
ACCA＝MN·CC1，
S
ABBA＝PM·BB1＝PM·CC1，
所以S2
ABBA＝S2
BCCB＋S2
ACCA－2S
BCCB·S
ACCA·cos
α.
20.(本小题满分12分)(2014·江苏高考)如图4，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：
图4
(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
【证明】 (1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.
又因为PA平面DEF，DE?平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.
又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABC.
21.(本小题满分12分)在数列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2).
(1)求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明；
(2)设bn＝，
求证：对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋bn<.
【导学号：94210030】
【解】 (1)容易求得：a3＝，a4＝.
故可以猜想an＝，n∈N＋.
下面利用数学归纳法加以证明：
①显然当n＝1，2，3，4时，结论成立，
②假设当n＝k(k≥4，k∈N＋)时，结论也成立，即
ak＝.
那么当n＝k＋1时，由题设与归纳假设可知：
ak＋1＝＝
＝＝
＝＝.
即当n＝k＋1时，结论也成立，综上，对任意n∈N＋，an＝成立.
(2)证明：bn＝
＝
＝＝(－)，
所以b1＋b2＋…＋bn
＝[(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(－1)，
所以只需要证明(－1)< <＋1 3n＋1<3n＋2＋1 0<2(显然成立)，
所以对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋bn<.
22.(本小题满分12分)(2016·江苏高考)记U＝{1，2，…，100}，对数列{an}(n∈N＋)和U的子集T，若T＝ ，定义ST＝0；若T＝{t1，t2，…，tk}，定义ST＝at1＋at2＋…＋atk.例如：T＝{1，3，66}时，ST＝a1＋a3＋a66.现设{an}(n∈N＋)是公比为3的等比数列，且当T＝{2，4}时，ST＝30.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意正整数k(1≤k≤100)，若T {1，2，…，k}，求证：ST(3)设C U，D U，SC≥SD，求证：SC＋SC∩D≥2SD.
【解】 (1)由已知得an＝a1·3n－1，n∈N＋.
于是当T＝{2，4}时，ST＝a2＋a4＝3a1＋27a1＝30a1.
又ST＝30，故30a1＝30，即a1＝1.
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N＋.
(2)证明：因为T {1，2，…，k}，an＝3n－1>0，n∈N＋，
所以ST≤a1＋a2＋…＋ak＝1＋3＋…＋3k－1＝(3k－1)<3k.
因此，ST(3)证明：下面分三种情况证明.
①若D是C的子集，则SC＋SC∩D＝SC＋SD≥SD＋SD＝2SD.
②若C是D的子集，则SC＋SC∩D＝SC＋SC＝2SC≥2SD.
③若D不是C的子集，且C不是D的子集.
令E＝C∩ UD，F＝D∩ UC，
则E≠ ，F≠ ，E∩F＝ .
于是SC＝SE＋SC∩D，SD＝SF＋SC∩D，进而由SC≥SD得SE≥SF.
设k为E中的最大数，l为F中的最大数，则k≥1，l≥1，k≠l.
由(2)知，SE所以l－1又k≠l，故l≤k－1.从而
SF≤a1＋a2＋…＋al＝1＋3＋…＋3l－1＝≤＝≤，
故SE≥2SF＋1，所以SC－SC∩D≥2(SD－SC∩D)＋1，
即SC＋SC∩D≥2SD＋1.
综合①②③得，SC＋SC∩D≥2SD.§1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性
1.掌握函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性.(重点、难点)
3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间.(重点)
[基础·初探]
教材整理 导数与函数单调性的关系
阅读教材P57～P58“例1”以上部分，完成下列问题.
一般地，在区间(a，b)内
导数
函数的单调性
f′(x)>0
单调增加
f′(x)<0
单调减少
f′(x)＝0
常数函数
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增.( )
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”.( )
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√
2.函数y＝f(x)的图像如图3 1 1所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能是( )
图3 1 1
A
B
C
D
【解析】 ∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x>0时，f′(x)<0，当x<0时，f′(x)<0.
【答案】 D
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
单调性与导数的关系
(1)(2016·武昌高二检测)函数y＝f(x)的图像如图3 1 2所示，给出以下说法：
图3 1 2
①函数y＝f(x)的定义域是[－1，5]；
②函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2，4]；
③函数y＝f(x)在定义域内是增函数；
④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0.
其中正确的序号是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图3 1 3所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为( )
图3 1 3
A B
C D
【精彩点拨】 研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
【自主解答】 (1)由图像可知，函数的定义域为[－1，5]，值域为(－∞，0]∪[2，4]，故①②正确，选A.
(2)由函数的图像可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
【答案】 (1)A (2)D
1.利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可.
2.通过图像研究函数单调性的方法
(1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
(2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x轴的交点，分析导数的正负.
[再练一题]
1.(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是( )
A B C D
(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是( )
A B C D
【解析】 (1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合.
(2)因为y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函数f(x)图像上的点的切线斜率是递增的.
【答案】 (1)D (2)A
利用导数求函数的单调区间
求函数f(x)＝x＋(a≠0)的单调区间.
【导学号：94210055】
【精彩点拨】 求出导数f′(x)，分a>0和a<0两种情况.由f′(x)>0求得单调增区间，由f′(x)<0求得单调减区间.
【自主解答】 f(x)＝x＋的定义域是
(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
当a>0时，
令f′(x)＝1－>0，解得x>或x<－；
令f′(x)＝1－<0，解得－0恒成立，
所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；单调递减区间为(－，0)和(0，).
当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞).
利用导数求函数单调区间的步骤
1.确定函数f(x)的定义域.
2.求导数f′(x).
3.由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围.当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数.
4.结合定义域写出单调区间.
[再练一题]
2.(1)函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间为( )
A.(0，＋∞)
B.(－∞，0)
C.(－∞，1)
D.(1，＋∞)
(2)函数f(x)＝ln
x－x的单调递增区间是( )
A.(－∞，1)
B.(0，1)
C.(0，＋∞)
D.(1，＋∞)
【解析】 (1)∵f′(x)＝(ex－ex)′＝ex－e，
由f′(x)＝ex－e>0，可得x>1.
即函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调增区间为
(1，＋∞)，选D.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝－1，
由f′(x)＝－1>0，得0所以函数f(x)＝ln
x－x的单调递增区间是(0，1)，选B.
【答案】 (1)D (2)B
[探究共研型]
已知函数单调性求参数的取值范围
探究1 函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b<0时，f(x)的单调性如何？
【提示】 求函数的导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)<0，所以f′(x)>0恒成立，故f(x)是增函数.
探究2 若函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，试求实数p的取值范围.
【提示】 f′(x)＝1＋≥0在(1，＋∞)上恒成立，即x2≥－p在(1，＋∞)上恒成立，∴1≥－p，∴p≥－1.
已知关于x的函数y＝x3－ax＋b.
(1)若函数y在(1，＋∞)内是增函数，求a的取值范围；
(2)若函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值.
【精彩点拨】 (1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a的取值范围.
(2)函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a的值.
【自主解答】 y′＝3x2－a.
(1)若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)内是增函数.
则y′＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立，
即a≤3x2在x∈(1，＋∞)时恒成立，
则a≤(3x2)min.
因为x>1，所以3x2>3.
所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3].
(2)令y′>0，得x2>.
若a≤0，则x2>恒成立，即y′>0恒成立，
此时，函数y＝x3－ax＋b在R上是增函数，与题意不符.
若a>0，令y′>0，得x>或x<－.
因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以＝1，即a＝3.
1.解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.
2.已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立.
[再练一题]
3.将上例(1)改为“若函数y在(1，＋∞)上不单调”，则a的取值范围又如何？
【解】 y′＝3x2－a，
当a<0时，y′＝3x2－a>0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意.
当a>0时，函数y在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有根.由3x2－a＝0可得x＝或x＝－(舍去).
依题意，有>1，∴a>3，
所以a的取值范围是(3，＋∞).
[构建·体系]
—
1.命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 f(x)＝x3在(－1，1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1【答案】 A
2.已知函数f(x)＝＋ln
x，则有( )
A.f(2)＜f(e)＜f(3)
B.f(e)＜f(2)＜f(3)
C.f(3)＜f(e)＜f(2)
D.f(e)＜f(3)＜f(2)
【解析】 因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝＋＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3).故选A.
【答案】 A
3.函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________.
【解析】 f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.
【答案】 (1，2)
4.已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________.
【导学号：94210056】
【解析】 f′(x)＝，由题意得f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a≤，但当a＝时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a的取值范围是.
【答案】
5.已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)是否存在a，使f(x)的单调减区间是(－1，1)；
(2)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围.
【解】 f′(x)＝3x2－a.
(1)∵f(x)的单调减区间是(－1，1)，
∴－1∴x＝±1是方程3x2－a＝0的两根，所以a＝3.
(2)∵f(x)在R上是增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0对x∈R恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立.
∵y＝3x2在R上的最小值为0.
∴a≤0，
∴a的取值范围是(－∞，0].
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评(十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.函数y＝x＋xln
x的单调递减区间是( )
A.(－∞，e－2)
B.(0，e－2)
C.(e－2，＋∞)
D.(e2，＋∞)
【解析】 因为y＝x＋xln
x，所以定义域为(0，＋∞).
令y′＝2＋ln
x<0，解得0即函数y＝x＋xln
x的单调递减区间是(0，e－2)，
故选B.
【答案】 B
2.(2016·深圳高二检测)如图3 1 4是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )
图3 1 4
A.在区间(－2，1)上f(x)是增函数
B.在区间(1，3)上f(x)是减函数
C.在区间(4，5)上f(x)是增函数
D.在区间(3，5)上f(x)是增函数
【解析】 由导函数f′(x)的图像知在区间(4，5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4，5)上单调递增.故选C.
【答案】 C
3.若函数f(x)＝ax3－x在R上是减函数，则( )
A.a≤0
B.a<1
C.a<2
D.a≤
【解析】 f′(x)＝3ax2－1.因为函数f(x)在R上是减函数，所以f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A.
【答案】 A
4.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )
A.(－1，1)
B.(－1，＋∞)
C.(－∞，－1)
D.(－∞，＋∞)
【解析】 构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，
则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2.
∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数.
∴f(x)>2x＋4 g(x)>0 g(x)>g(－1)，
∴x>－1.
【答案】 B
5.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
【导学号：94210057】
A.(－∞，－)∪[，＋∞)
B.[－，]
C.(－∞，－)∪(，＋∞)
D.(－，
)
【解析】 f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0 －≤a≤.
【答案】 B
二、填空题
6.函数f(x)＝x－2sin
x在(0，π)上的单调递增区间为__________.
【解析】 令f′(x)＝1－2cos
x>0，则cos
x<，又x∈(0，π)，解得【答案】
7.(2016·佛山高二检测)函数y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是________.
【解析】 由y′＝x2－2ax＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a)2－4>0，得a2>1，解得a<－1或a>1.
【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
8.若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________.
【解析】 若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.
【答案】 (0，＋∞)
三、解答题
9.(2016·吉林高二检测)定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：
①f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1，0)上是减函数；
②f(x)的导函数是偶函数；
③f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直.
求函数y＝f(x)的解析式.
【解】 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
因为f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1，0)上是减函数，
所以f′(－1)＝3a－2b＋c＝0.
①
由f(x)的导函数是偶函数，得b＝0，
②
又f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f′(0)＝c＝－1，③
由①②③得a＝，b＝0，c＝－1，
即f(x)＝x3－x＋3.
10.若函数f(x)＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间是(－9，0)，求m的值及函数的其他单调区间.
【解】 因为f′(x)＝3x2－2mx，
所以f′(x)<0，即3x2－2mx<0.
由题意，知3x2－2mx<0的解集为(－9，0)，
即方程3x2－2mx＝0的两根为x1＝－9，x2＝0.
由根与系数的关系，得－＝－9，即m＝－.
所以f′(x)＝3x2＋27x.
令3x2＋27x>0，解得x>0或x<－9.
故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间.
综上所述，m的值为－，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋∞).
[能力提升]
1.已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图像如图3 1 5所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图像可能是( )
图3 1 5
【解析】 由题图，知函数g′(x)为增函数，f′(x)为减函数，且都在x轴上方，所以g(x)的图像上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f(x)的图像上任一点的切线的斜率都大于0且在减小.又由f′(x0)＝g′(x0)，知选D.
【答案】 D
2.设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a【导学号：94210058】
A.f(x)g(x)>f(b)g(b)
B.f(x)g(a)>f(a)g(x)
C.f(x)g(b)>f(b)g(x)
D.f(x)g(x)>f(a)g(a)
【解析】 因为′＝.又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数.又因为a>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x).因此选C.
【答案】 C
3.(2016·亳州高二检测)若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围为________.
【解析】 f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立.
由于导函数的二次项系数3>0，所以只能有f′(x)≥0恒成立.
法一：由上述讨论可知要使f′(x)≥0恒成立，只需使方程3x2＋2x＋m＝0的判别式Δ＝4－12m≤0，故m≥.
经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意.
所以实数m的取值范围是m≥.
法二：3x2＋2x＋m≥0恒成立，即m≥－3x2－2x恒成立.
设g(x)＝－3x2－2x＝－3＋，
易知函数g(x)在R上的最大值为，
所以m≥.
经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，
符合题意.
所以实数m的取值范围是m≥.
【答案】
4.设函数f(x)＝a2ln
x－x2＋ax(a>0).
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立.
【解】 (1)∵f(x)＝a2ln
x－x2＋ax，
其中x>0，
∴f′(x)＝－2x＋a＝－，
由于a>0，∴f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞).
(2)由题意得，f(1)＝a－1≥e－1，
即a≥e，
由(1)知f(x)在[1，e]上单调递增，
要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，
只要
解得a＝e.§1 定积分的概念
1.1 定积分的背景——面积和路程问题
1.2 定积分
1．了解定积分的实际背景及定积分的概念．
2．理解定积分的几何意义及性质．(难点)
3．能利用定积分的几何意义解决简单的定积分计算问题．(重点)
[基础·初探]
教材整理1 曲边梯形的面积
阅读教材P75～P78“练习2”以上部分，完成下列问题．
1．曲边梯形的概念
由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图4 1 1所示)．
图4 1 1
2．求曲边梯形面积的步骤
①分割，②近似替代，③求和，④逼近．
在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1，1]n等分，则每个小区间的长度为__________．
【解析】 每个小区间长度为＝.
【答案】
教材整理2 定积分
阅读教材P78“练习2”以下至P80“练习”以上部分，完成下列问题．
1．定积分的定义
一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)，将[a，b]区间分成n份，分点为：a＝x0在这个小区间上取一点ζi，使f(ζi)在区间[xi－1，xi]上的值最小，设s＝f(ζ1)Δx1＋f(ζ2)Δx2＋…＋f(ζi)Δxi＋…＋f(ζn)Δxn.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时，S与s同时趋于某一个固定的常数A，我们就称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝A．其中∫叫作积分号，a叫作积分的下限，b叫作积分的上限，f(x)叫作被积函数．
2．定积分的几何意义
如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，x轴和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．
3．定积分的性质
(1)1dx＝b－a；
(2)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
(3)[f(x)±g(x)]dx＝f(x)dx±g(x)dx；
(4)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a已知f(x)dx＝6，则6f(x)dx＝________．
【解析】 6f(x)dx＝6f(x)dx＝6×6＝36.
【答案】 36
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
求曲边梯形的面积
求直线y＝0，x＝1，x＝2，曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．
【精彩点拨】 按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解．
【自主解答】 分割：
在区间[1，2]上等间隔地插入n－1个点，将区间[1，2]等分成n个小区间：
，，…，.
记第i个区间为
(i＝1，2，…，n)，其长度为Δx＝－＝.分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：
ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，显然，S＝ΔSi.
近似代替：
记f(x)＝x2，当n很大，即Δx很小时，在区间上，可以认为函数f(x)＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值f＝，从图形(图略)上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间上，用小矩形的面积ΔS′i近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有
ΔSi≈ΔS′i＝f·Δx＝·＝(n2＋2ni＋i2)(i＝1，2，…，n)，①
求和：
由①可推知
＝
＝2＋＋，
从而得到S的近似值
S≈Sn＝2＋＋.
取极限：
可以看到，当n趋向于无穷大时，即Δx趋向于0时，Sn＝2＋＋趋向于S，
从而有S＝Sn＝·
＝
＝2＋0＋(1＋0)(1＋0)
＝2＋＝.
由极限法求曲边梯形的面积的步骤
第一步：分割．在区间[a，b]中等间隔地插入n－1个分点，将其等分成n个小区间[xi－1，xi](i＝1，2，…，n)，小区间的长度Δxi＝xi－xi－1.
第二步：近似代替，“以直代曲”．用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值．
第三步：求和．将n个小矩形的面积进行求和得Sn.
第四步：取极限．当n→∞时，Sn→S，S即为所求．
[再练一题]
1．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．
【解析】 将区间5等分所得的小区间为，，，，，于是所求平面图形的面积近似等于＝×＝1.02.
【答案】 1.02
定积分的几何意义
利用定积分的几何意义求下列定积分．
(1)dx；(2)(2x＋1)dx；
(3)(x3＋3x)dx.
【精彩点拨】 对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．
【自主解答】 (1)曲线y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示．
其面积为S＝·π·32＝π.
由定积分的几何意义知dx＝π.
(2)曲线f(x)＝2x＋1为一条直线.(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3，y＝0围成的直角梯形OABC的面积，如图(2)．
其面积为S＝(1＋7)×3＝12.
根据定积分的几何意义知(2x＋1)dx＝12.
(3)∵y＝x3＋3x在区间[－1，1]上为奇函数，图像关于原点对称，
∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知(x3＋3x)dx＝0.
1.定积分的几何意义的应用
(1))利用定积分的几何意义求f(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及y＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．
(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．
2.奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分
(1)若奇函数y＝f(x)的图像在[－a，a]上连续，则f(x)dx)＝0.
(2)若偶函数y＝f(x)的图像在[－a，a]上连续，则f(x)dx)＝2f(x)dx.
[再练一题]
2．根据定积分的几何意义求下列定积分的值．
(1)xdx；
(2)cos
xdx；
(3)|x|dx.
【解】 (1)如图(1)，xdx＝－A1＋A1＝0.
(2)如图(2)，cos
xdx＝A1－A2＋A3＝0.
(3)如图(3)，∵A1＝A2，∴|x|dx＝2A1＝2×＝1.
(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)
[探究共研型]
定积分性质的应用
探究1 怎样求分段函数的定积分？
【提示】 可先把每一段函数的定积分求出后再相加．
探究2 怎样求奇(偶)函数在区间[－a，a]上的定积分？
【提示】 (1)若奇函数y＝f(x)的图像在[－a，a]上连续，则f(x)dx＝0；
(2)若偶函数y＝g(x)的图像在[－a，a]上连续，则g(x)dx＝2g(x)dx.
利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．
(1)y＝0，y＝，x＝2；
(2)y＝x－2，x＝y2.
【精彩点拨】 由定积分的几何意义，作出图形，分割区间表示．
【自主解答】 (1)曲线所围成的平面区域如图(1)所示．
设此面积为S，则S＝(－0)dx＝dx.
(1) (2)
(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示．
设面积为S，则S＝A1＋A2.
因为A1由y＝，y＝－，x＝1围成，
A2由y＝，y＝x－2，x＝1和x＝4围成，
所以A1＝[－(－)]dx＝2dx，
A2＝[－(x－2)]dx＝(－x＋2)dx.
故S＝2
dx＋(－x＋2)dx.
,
利用定积分的性质求定积分的技巧
灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：
(1)[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx,＝f1(x)dx±f2(x)dx±…±fn(x)dx；
(2)f(x)dx＝
f(x)dx＋
f(x)dx＋…＋
f(x)dx)(其中a[再练一题]
3．已知xdx＝，x2dx＝，求下列定积分的值．
(1)(2x＋x2)dx；(2)(2x2－x＋1)dx.
【解】 (1)(2x＋x2)dx
＝2xdx＋x2dx
＝2×＋＝e2＋.
(2)(2x2－x＋1)dx＝
2x2dx－xdx＋1dx，
因为已知xdx＝，x2dx＝，
又由定积分的几何意义知：1dx等于直线x＝0，x＝e，y＝0，y＝1所围成的图形的面积，
所以1dx＝1×e＝e，
故(2x2－x＋1)dx＝2×－＋e＝e3－e2＋e.
[构建·体系]
——
1．下列等式不成立的是( )
A.[mf(x)＋ng(x)]dx＝mf(x)dx＋ng(x)dx
B.[f(x)＋1]dx＝f(x)dx＋b－a
C.f(x)g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dx
D.sin
xdx＝sin
xdx＋sin
xdx
【解析】 利用定积分的性质可判断A，B，D成立，C不成立．
例如xdx＝2，2dx＝4，2xdx＝4，
即2xdx≠xdx·2dx.
【答案】 C
2．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用下列哪个值近似代替( )
A．f
B．f
C．f
D．f(0)
【解析】 当n很大时，f(x)＝x2在区间上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．
【答案】 C
3．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0，10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__________．
【解析】 ∵把区间[0，10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1，2，…，10)，每个小区间的长度为1.
∴物体运动的路程近似值S＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.
【答案】 55
4．由y＝sin
x，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________.
【导学号：94210069】
【解析】 ∵0＜x＜，∴sin
x＞0.
∴y＝sin
x，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为sin
xdx.
【答案】 sin
xdx
5．用定积分的几何意义求dx.
【解】 由y＝可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图像如图．
dx等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝××22－×2×2sin＝－，
S矩形＝|AB|·|BC|＝2，
∴dx＝2＋－＝＋.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评(十五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．对于以v＝v(t)在[0，t]内汽车作直线运动经过的路程S，下列叙述正确的是( )
A．将[0，t]n等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的s是S的不足估计值
B．将[0，t]n等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的s是S的过剩估计值
C．将[0，t]n等分，n越大，求出的s近似替代S的精确度越高
D．将[0，t]n等分，当n越大时，求出的s就是S的准确值
【解析】 每个小区间左端点的速度不一定是该区间上速度的最小值，右端点的速度也不一定是该区间上速度的最大值，n越大，所得估计值近似替代准确值的精确度越高，只有当n→＋∞时，估计值才是准确值．
【答案】 C
2．(2016·菏泽高二检测)已知定积分f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则f(x)dx＝( )
A．0
B．16
C．12
D．8
【解析】 偶函数图像关于y轴对称，故f(x)dx＝2f(x)dx＝16.故选B.
【答案】 B
3．设f(x)＝则f(x)dx的值是( )
A.x2dx
B.2xdx
C.x2dx＋2xdx
D.2xdx＋x2dx
【解析】 被积函数f(x)是分段函数，故将积分区间[－1，1]分为两个区间[－1，0]和[0，1]，由定积分的性质知选D.
【答案】 D
4．图4 1 2中阴影部分的面积用定积分表示为( )
图4 1 2
A.2xdx
B.(2x－1)dx
C.(2x＋1)dx
D.(1－2x)dx
【解析】 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为2xdx－1dx＝(2x－1)dx.
【答案】 B
5．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝[f(x)－g(x)]dx求出的是( )
【解析】 定积分S＝[f(x)－g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方，对照各选项，知D中f(x)的图像不全在g(x)的图像上方．
【答案】 D
二、填空题
6．(2016·长春高二检测)定积分(－3)dx＝__________．
【解析】 由定积分的几何意义知，定积分
(－3)dx表示由x＝1，x＝3与y＝－3，y＝0
所围成图形面积的相反数．所以(－3)dx＝－(2×3)＝－6.
【答案】 －6
7．定积分|x|dx＝__________.
【导学号：94210070】
【解析】
如图，|x|dx＝＋2＝.
【答案】
8．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是________．
【解析】 将区间[0，1]四等分，得到4个小区间：，，，，以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值
S＝×＋×＋×＋13×＝.
【答案】
三、解答题
9．(2016·深圳高二检测)有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
【解】 在时间区间[0，2]上等间隔地插入n－1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为(i＝1，2，…，n)，其长度为Δt＝－＝.每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i＝1，2，…，n)，则显然有s＝Δsi，取ξi＝(i＝1，2，…，n)．
于是Δsi≈Δs′i＝v·Δt＝·，
sn＝Δsi＝·＋4＝8＋4.
从而得到s的近似值s≈sn.
s＝sn＝
＝8＋4＝12.
所以这段时间内行驶的路程为12
km.
10．(2016·济南高二检测)已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求：
(1)3x3dx；(2)6x2dx；
(3)(3x2－2x3)dx.
【解】 (1)3x3dx＝3x3dx＝3＝3＝12.
(2)6x2dx＝6x2dx
＝6＝6＝126.
(3)(3x2－2x3)dx＝3x2dx－2x3dx＝3×－2×＝－.
[能力提升]
1．与定积分|sin
x|dx相等的是( )
A.
B．sin
xdx
C.sin
xdx－sin
xdx
D．sin
xdx＋sin
xdx
【解析】 当x∈(0，π]时，sin
x≥0；
当x∈时，sin
x<0.
由定积分的性质可得
|sin
x|dx＝|sin
x|dx＋|sin
x|dx
＝sin
xdx＋
(－sin
x)dx
＝sin
xdx－sin
xdx.
【答案】 C
2．若|56x|dx≤2
016，则正数a的最大值为( )
A．6
B．56
C．39
D．2
016
【解析】 由|56x|dx＝56|x|dx≤2
016，
得|x|dx≤36，∴|x|dx＝2xdx＝a2≤36，即0故正数a的最大值为6.
【答案】 A
3．计算定积分dx＝________.
【导学号：94210071】
【解析】 由于dx
＝2dx表示单位圆的面积π，所以
dx＝π.
【答案】 π
4．已知函数f(x)＝求f(x)在区间[－2，2π]上的定积分．
【解】 由定积分的几何意义知
x3dx＝0，
2xdx＝＝π2－4，
cos
xdx＝0，
由定积分的性质得
f(x)dx＝x3dx＋2xdx＋cos
xdx
＝π2－4.1.2 函数的极值
1.理解极大值，极小值的概念.(难点)
2.掌握求极值的步骤.(重点)
3.会利用导数求函数的极值.(重点)
[基础·初探]
教材整理 极值点与极值
阅读教材P59“练习”以下至P61“例3”以上部分，完成下列问题.
1.极大值点与极大值
如图3 1 6，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值.
图3 1 6
2.极小值点与极小值
如图3 1 7，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值.
图3 1 7
3.极值的判断方法
如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值；如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.
4.求函数y＝f(x)极值的步骤
(1)求出导数f′(x).
(2)解方程f′(x)＝0.
(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：
①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；
②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；
③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有两个极值.( )
(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合.( )
(3)函数f(x)＝有极值.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
求函数的极值
求下列函数的极值.
(1)f(x)＝x2－2x－1；
(2)f(x)＝－x3＋－6；
(3)f(x)＝|x|.
【自主解答】 (1)f′(x)＝2x－2，令f′(x)＝0，解得x＝1.
因为当x<1时，f′(x)<0，
当x>1时，f′(x)>0，
所以函数在x＝1处有极小值，
且y极小值＝－2.
(2)f′(x)＝x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝1.
所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
＋
f(x)
单调递减?
极小值
单调递增?
无极值
单调递增?
所以当x＝0时，函数取得极小值，且y极小值＝－6.
(3)f(x)＝|x|＝
显然函数f(x)＝|x|在x＝0处不可导，
当x>0时，f′(x)＝x′＝1>0，
函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；
当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，
函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减.
故当x＝0时，函数取得极小值，
且y极小值＝0.
1.讨论函数的性质要注意定义域优先的原则.
2.极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点.
点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：
①f′(x0)＝0；
②点x0两侧f′(x)的符号不同.
(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x＝0点)，也可能不是极值点(如y＝，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点.
[再练一题]
1.已知函数f(x)＝x2－2ln
x，则f(x)的极小值是__________.
【导学号：94210059】
【解析】 ∵f′(x)＝2x－，
且函数定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0，1)时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1.
【答案】 1
利用函数的极值求参数
已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－时都取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)若f(－1)＝，求f(x)的单调区间和极值.
【精彩点拨】 (1)求导函数f′(x)，则由x＝1和x＝－是f′(x)＝0的两根及根与系数的关系求出a，b.
(2)由f(－1)＝求出c，再列表求解.
【自主解答】 (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
令f′(x)＝0，由题设知x＝1与x＝－为f′(x)＝0的解.
∴∴a＝－，b＝－2.
(2)由(1)知f(x)＝x3－x2－2x＋c，
由f(－1)＝－1－＋2＋c＝，得c＝1，
∴f(x)＝x3－x2－2x＋1，
∴f′(x)＝3x2－x－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
单调递减?
－
单调递增?
∴f(x)的递增区间为和(1，＋∞)，递减区间为.
当x＝－时，f(x)有极大值为f＝；
当x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－.
已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
(1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
[再练一题]
2.已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围.
【解】 f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以导数f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，
如图所示.
所以
解得m>3，故实数m的取值范围是(3，＋∞).
[探究共研型]
函数极值的综合应用
探究1 导数为0的点都是极值点吗？
【提示】 不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反.
探究2 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图3 1 8所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？
图3 1 8
【提示】 一个.x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点，x1，x3是极大值点.
探究3 函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？
【提示】 不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点.
已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围.
【精彩点拨】 求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围.
【自主解答】 令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；
当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.
因为方程f(x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f(x)的图像与x轴有三个交点，如图.
由已知应有
解得－2方程f(x)＝0的根就是函数y＝f(x)的零点，是函数图像与x轴交点的横坐标，研究方程的根的问题可以转化为函数图像与x轴交点的问题.我们可以根据函数图像在坐标轴中的位置不同，结合极值的大小确定参数的范围.
[再练一题]
3.设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
【解】 (1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
极大值
单调递减?
极小值
单调递增?
所以f(x)的极大值是f＝＋a，极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a
＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，
x取足够小的负数时，有f(x)<0，
所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点.
由(1)知f(x)极大值＝f＝＋a，
f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
即＋a<0或a－1>0，
∴a<－或a>1，
∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点.
[构建·体系]
—
1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图3 1 9，则函数f(x)( )
图3 1 9
A.无极大值点，有四个极小值点
B.有三个极大值点，两个极小值点
C.有两个极大值点，两个极小值点
D.有四个极大值点，无极小值点
【解析】 有极值点的定义可知答案应选C.
【答案】 C
2.函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )
A.极大值5，极小值－27
B.极大值5，极小值－11
C.极大值5，无极小值
D.极小值－27，无极大值
【解析】 由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.
当x＜－1或x＞3时，y′＞0；由－1＜x＜3时，y′＜0，
∴当x＝－1时，函数有极大值5；3 (－2，2)，故无极小值.
【答案】 C
3.(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )
A.－4
B.－2
C.4
D.2
【解析】 由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.
【答案】 D
4.设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________.
【导学号：94210060】
【解析】 ∵y＝ex＋ax，
∴y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，
即x＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.
【答案】 a＜－1
5.求函数y＝x4－4x3＋5的极值.
【解】 y′＝4x3－12x2＝4x2(x－3).
令y′＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，3)
3
(3，＋∞)
y′
－
0
－
0
＋
y
单调递减?
5
单调递减?
－22
单调递增?
故当x＝3时函数取得极小值，且y极小值＝f(3)＝－22，无极大值.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列结论中，正确的是( )
A.导数为零的点一定是极值点
B.如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
C.如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
D.如果在x0点附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
【解析】 根据极值的概念，左侧f′(x)>0，单调递增；右侧f′(x)<0，单调递减，f(x0)为极大值.
【答案】 B
2.设函数f(x)＝＋ln
x，则( )
A.x＝为f(x)的极大值点
B.x＝为f(x)的极小值点
C.x＝2为f(x)的极大值点
D.x＝2为f(x)的极小值点
【解析】 f′(x)＝－，令f′(x)＝0，即－＝0，得x＝2，
当x∈(0，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.
【答案】 D
3.(2016·烟台高二检测)已知函数f(x)＝x2－2(－1)k
ln
x(k∈N＋)存在极值，则k的取值集合是( )
A.{2，4，6，8，…}
B.{0，2，4，6，8，…}
C.{1，3，5，7，…}
D.N＋
【解析】 ∵f′(x)＝2x－且x∈(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x2＝(－1)k，(
)
要使f(x)存在极值，则方程(
)在(0，＋∞)上有解，
∴(－1)k>0，又k∈N＋，∴k＝2，4，6，8，…，
所以k的取值集合是{2，4，6，8，…}.
【答案】 A
4.设函数f(x)＝x－ln
x(x>0)，则y＝f(x)( )
A.在区间，(1，e)内均有零点
B.在区间，(1，e)内均无零点
C.在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D.在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
【解析】 f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝3，当00，f(e)＝－1<0，f＝＋1>0，所以y＝f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点.
【答案】 D
5.函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有且只有一个极小值，则( )
A.0B.b<1
C.b>0
D.b<
【解析】 f′(x)＝3x2－3b，要使f(x)在(0，1)内有极小值，则即解得0【答案】 A
二、填空题
6.函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝__________处取得极小值.
【导学号：94210061】
【解析】 由f(x)＝x3－3x2＋1，
得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2).
当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数.
故当x＝2时，函数f(x)取得极小值.
【答案】 2
7.(2016·佛山高二检测)设方程x3－3x＝k有三个不等的实根，则实数k的取值范围是________.
【解析】 设f(x)＝x3－3x－k，则f′(x)＝3x2－3.
令f′(x)＝0，得x＝±1，且f(1)＝－2－k，f(－1)＝2－k，
又f(x)的图像与x轴有三个交点，
故
∴－2【答案】 (－2，2)
8.(2016·石家庄高二检测)若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________.
【解析】 ∵f′(x)＝3x2＋2x－a，
函数f(x)在区间(－1，1)上恰有一个极值点，
即f′(x)＝0在(－1，1)内恰有一个根.
又函数f′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－，
∴应满足∴
∴1≤a<5.
【答案】 [1，5)
三、解答题
9.已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数y的极小值.
【解】 (1)y′＝3ax2＋2bx.
由题意，知即
解得
(2)由(1)知y＝－6x3＋9x2.
所以y′＝－18x2＋18x＝－18x(x－1).
令y′＝0，解得x1＝1，x2＝0.
所以当x<0时，y′<0；当00；
当x>1时，y′<0.
所以当x＝0时，y有极小值，其极小值为0.
10.(2016·太原高二检测)已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围.
【解】 因为f(x)＝，x>0，
则f′(x)＝－，
当00，
当x>1时，f′(x)<0.
所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以函数f(x)在x＝1处取得极大值.
因为函数f(x)在区间(其中a>0)上存在极值，
所以解得[能力提升]
1.(2016·哈尔滨高二检测)已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1，0)点，则f(x)( )
A.极大值为，极小值为0
B.极大值为0，极小值为
C.极大值为0，极小值为－
D.极大值为，极小值为－
【解析】 f′(x)＝3x2－2px－q，
依题意知，∴
解得p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝.
∴当x∈时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝时，函数有极大值，f＝－2×＋＝，
当x＝1时，函数有极小值，f(1)＝1－2＋1＝0，
故选A.
【答案】 A
2.如图3 1 10是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图像，则x＋x等于( )
图3 1 10
A.
B. C. D.
【解析】 由函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图像过点(0，0)，(1，0)，(2，0)，得d＝0，b＋c＋1＝0，4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
【答案】 C
3.函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是__________.
【导学号：94210062】
【解析】 由题意，知f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，得x＝±.
因为函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，
所以f()＝2，f(－)＝6，即()3－3a＋b＝2，(－)3＋3a＋b＝6，解得a＝1，b＝4.
所以f′(x)＝3x2－3，令f′(x)<0，解得－1所以f(x)的单调递减区间是(－1，1).
【答案】 (－1，1)
4.已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.
(1)若f(x)在x＝1时有极值－1，求b，c的值；
(2)在(1)的条件下，若函数y＝f(x)的图像与函数y＝k的图像恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围.
【解】 (1)因为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，
所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由已知得f′(1)＝0，f(1)＝－1，
所以解得b＝1，c＝－5.
经验证，b＝1，c＝－5符合题意.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋x2－5x＋2，
f′(x)＝3x2＋2x－5.
由f′(x)＝0得x1＝－，x2＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
?
－1
?
根据上表，当x＝－时函数取得极大值且极大值为f＝，当x＝1时函数取得极小值且极小值为f(1)＝－1.
`
根据题意结合上图可知k的取值范围为.§3 计算导数
1.理解导数的概念.(重点)
2.会用导数定义求简单函数的导数.
3.记住基本初等函数的求导公式，并能用它们求简单函数的导数.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 导函数的概念
阅读教材P38～P40“练习”以上部分，完成下列问题.
一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：
f′(x)＝，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.
若函数f(x)＝(x－1)2，那么f′(x)＝________.
【提示】 ∵f(x)＝x2－2x＋1，
∴＝＝2x＋Δx－2.
故f′(x)＝
＝
(2x＋Δx－2)＝2x－2.
【答案】 2x－2
教材整理2 导数公式表
阅读教材P41“习题2－3”以上部分，完成下列问题.
函数
导函数
y＝c(c是常数)
y′＝0
y＝xα(α是实数)
y′＝αxα－1
y＝ax(a>0，a≠1)
y′＝axln_a，特别地(ex)′＝ex
y＝logax(a>0，a≠1)
y′＝，特别地(ln
x)′＝
y＝sin
x
y′＝cos_x
y＝cos
x
y′＝－sin_x
y＝tan
x
y′＝
y＝cot
x
y′＝－
给出下列命题：
①y＝ln
2，则y′＝；
②y＝，则y′＝－；③y＝2x，则y′＝2xln
2；
④y＝log2x，则y′＝.
其中正确命题的个数为( )
A.1
B.2 C.3 D.4
【解析】 对于①，y′＝0，故①错误；显然②③④正确，故选C.
【答案】 C
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
利用导数公式求函数的导数
求下列函数的导数.
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝3x；(4)y＝log5x.
【精彩点拨】 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式.
【自主解答】 (1)y′＝(x12)′＝12x11.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
(3)y′＝(3x)′＝3xln
3.
(4)y′＝(log5x)′＝.
1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.
2.对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误.
3.要特别注意“与ln
x”，“ax与logax”，“sin
x与cos
x”的导数区别.
[再练一题]
1.若f(x)＝x3，g(x)＝log3x,
则f′(x)－g′(x)＝__________.
【导学号：94210040】
【解析】 ∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝，
∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.
【答案】 3x2－
利用导数公式求函数在某点处的导数
质点的运动方程是s＝sin
t，
(1)求质点在t＝时的速度；
(2)求质点运动的加速度.
【精彩点拨】 (1)先求s′(t)，再求s′.
(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导.
【自主解答】 (1)v(t)＝s′(t)＝cos
t，∴v＝cos
＝.
即质点在t＝时的速度为.
(2)∵v(t)＝cos
t，
∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos
t)′＝－sin
t.
1.速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数.
2.求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值.
[再练一题]
2.(1)求函数f(x)＝在(1，1)处的导数；
(2)求函数f(x)＝cos
x在处的导数.
【解】 (1)∵f′(x)＝＝(x)′＝－x＝－，
∴f′(1)＝－＝－.
(2)∵f′(x)＝－sin
x，
∴f′＝－sin
＝－.
[探究共研型]
导数公式的应用
探究 已知函数f(x)＝tan
x，试求f(x)的图像在点处的切线方程.
【提示】 f′(x)＝，∴f′＝4，即所求切线的斜率为4，故切线方程为y－＝4，即4x－y＋－＝0.
(2016·长沙高二检测)求过曲线f(x)＝cos
x上一点P且与曲线在这点的切线垂直的直线方程.
【精彩点拨】 →→
所求直线斜率k＝－→
【自主解答】 因为f(x)＝cos
x，所以f′(x)＝－sin
x，则曲线f(x)＝cos
x在点P的切线斜率为
f′＝－sin
＝－，
所以所求直线的斜率为
，
所求直线方程为y－＝，
即y＝
x－π＋.
求曲线方程或切线方程时，应注意：
(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；
(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；
(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点.
[再练一题]
3.已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1，0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为________.
【解析】 设切点坐标为(t，t3－at＋a).
由题意知，f′(x)＝3x2－a，
切线的斜率为k＝f′(t)＝3t2－a，
①
所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)·(x－t).
②
将点(1，0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，
解得t＝0或t＝.
分别将t＝0或t＝代入①式，
得k＝－a或k＝－a，
由题意得它们互为相反数得a＝.
【答案】
[构建·体系]
1.已知f(x)＝xα(α∈Q＋)，若f′(1)＝，则α等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝.
【答案】 D
2.给出下列结论：
①若y＝，则y′＝－；
②若y＝，则y′＝；
③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.
其中正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.0
【解析】 对于①，y′＝＝＝，正确；
对于②，y′＝x＝x，不正确；
对于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正确.
【答案】 B
3.若f(x)＝10x，则f′(1)＝________.
【导学号：94210041】
【解析】 f′(x)＝10xln
10，∴f′(1)＝10ln
10.
【答案】 10ln
10
4.曲线f(x)＝在x＝1处的切线的倾斜角的正切值为________.
【解析】 f′(x)＝＝－x，
∴f′(1)＝－＝k，∴倾斜角的正切值为－.
【答案】 －
5.若质点P的运动方程是s(t)＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8
s时的瞬时速度.
【解】 ∵s′(t)＝()′＝(t)′＝t，
∴s′(8)＝×8＝×2－1＝，
∴质点P在t＝8
s时的瞬时速度为
m/s.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评(九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列结论正确的是( )
A.若y＝cos
x，则y′＝sin
x
B.若y＝sin
x，则y′＝－cos
x
C.若y＝，则y′＝－
D.若y＝，则y′＝
【解析】 ∵(cos
x)′＝－sin
x，∴A不正确；
∵(sin
x)′＝cos
x，∴B不正确；
∵()′＝，∴D不正确.
【答案】 C
2.(2016·济南高二检测)在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
A.(1，1)
B.(－1，－1)
C.(－1，1)
D.(1，1)或(－1，－1)
【解析】 切线的斜率k＝tan
π＝－1，
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，
又f′(x)＝－，∴－eq
\f(1,x)＝－1，∴x0＝1或－1，
∴切点坐标为(1，1)或(－1，－1).故选D.
【答案】 D
3.对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为( )
A.f(x)＝x3
B.f(x)＝x4－2
C.f(x)＝x3＋1
D.f(x)＝x4－1
【解析】 由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得，选B.
【答案】 B
4.(2016·北京高二检测)已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝( )
A.4
B.－4
C.28
D.－28
【解析】 ∵y′＝3x2，∴点(2，8)处的切线斜率
k＝f′(2)＝12.
∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，
∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.
【答案】 C
5.若f(x)＝sin
x，f′(α)＝，则下列α的值中满足条件的是( )
【导学号：94210042】
A.
B.
C.π
D.π
【解析】 ∵f(x)＝sin
x，∴f′(x)＝cos
x.
又∵f′(α)＝cos
α＝，
∴α＝2kπ±(k∈Z).
当k＝0时，α＝.
【答案】 A
二、填空题
6.(2016·菏泽高二检测)已知f(x)＝x2，g(x)＝
ln
x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
【解析】 因为f(x)＝x2，g(x)＝ln
x，
所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，
f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，
解得x＝1或x＝－(舍去).故x＝1.
【答案】 1
7.直线y＝x＋b是曲线f(x)＝ln
x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.
【解析】 设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln
x0.
∵y′＝(ln
x)′＝，
∴f′(x0)＝，由题意知＝，
∴x0＝2，y0＝ln
2.
由ln
2＝×2＋b，得b＝ln
2－1.
【答案】 ln
2－1
8.(2016·南京高二检测)已知函数y＝f(x)的图像在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.
【解析】 依题意知，f(1)＝×1＋2＝，
f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
【答案】 3
三、解答题
9.求下列函数的导数.
(1)y＝x；(2)y＝；
(3)y＝log2x2－log2x；
(4)y＝－2sin
.
【解】
(4)∵y＝－2sin
＝2sin
＝2sin
cos
＝sin
x，
∴y′＝(sin
x)′＝cos
x.
10.若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值.
【解】 y′＝－x，所以曲线y＝x在点(a，a)处的切线方程为y－a＝－a
(x－a).
由x＝0得y＝a，由y＝0得x＝3a，
所以·a·3a＝18，解得a＝64.
[能力提升]
1.设f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2
016(x)＝( )
A.sin
x
B.－sin
x
C.cos
x
D.－cos
x
【解析】 f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin
x)′＝cos
x，
f2(x)＝f1′(x)＝(cos
x)′＝－sin
x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin
x)′＝－cos
x，f4(x)＝f3′(x)＝(－cos
x)′＝sin
x，所以4为最小正周期，
故f2
016(x)＝f0(x)＝sin
x.
【答案】 A
2.已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为( )
【导学号：94210043】
A.
B.－
C.－e
D.e
【解析】 y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则
∴ex＝e
x·x0，∴x0＝1，∴k＝e.
【答案】 D
3.(2016·潍坊高二检测)点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是__________.
【解析】 与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小.设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，
∴x0＝，y0＝，即P到直线y＝x－1的距离最短.
∴d＝＝.
【答案】
4.求证：曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数.
【证明】 由xy＝1，得y＝，
所以y′＝－.
在曲线xy＝1上任取一点P，则过点P的切线的斜率k＝－eq
\f(1,x)，
切线方程为y－＝－eq
\f(1,x)(x－x0)，即y＝－eq
\f(1,x)x＋.
设该切线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，则A(2x0，0)，B，
故S△OAB＝|OA|·|OB|＝|2x0|·＝2，
所以曲线上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数.§4 数学归纳法
1.了解数学归纳法的思想实质，掌握数学归纳法的两个步骤.(重点)
2.体会归纳法原理，并能应用数学归纳法证明简单的命题.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理 数学归纳法
阅读教材P16～P18，完成下列问题.
1.数学归纳法的基本步骤
数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是：
(1)验证：当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时，命题成立；
(2)在假设当n＝k(n∈N＋，k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立.
根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.
2.应用数学归纳法注意的问题
(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题.
(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.
(3)步骤(2)的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立”为条件.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( )
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
用数学归纳法证明等式
(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝
(n∈N＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是( )
A.1
B.1＋2
C.1＋2＋3
D.1＋2＋3＋4
(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为__________.
【导学号：94210022】
【自主解答】 (1)当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D.
(2)令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)·(k＋2)…(k＋k)，
f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1).
【答案】 (1)D (2)2(2k＋1)
数学归纳法证题的三个关键点
1.验证是基础
找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
2.递推是关键
数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.
3.利用假设是核心
在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.
[再练一题]
1.下面四个判断中，正确的是( )
A.式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1
B.式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋k
C.式子1＋＋＋…＋(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋
D.设f(n)＝＋＋…＋(n∈N＋)，
则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋
【解析】 A中，n＝1时，式子＝1＋k；
B中，n＝1时，式子＝1；
C中，n＝1时，式子＝1＋＋；
D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.
故正确的是C.
【答案】 C
用数学归纳法证明不等式
(1)用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是__________.
(2)证明：不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N＋).
【精彩点拨】 (1)写出当n＝k时左边的式子，和当n＝k＋1时左边的式子，比较即可.
(2)在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度.
【自主解答】 (1)当n＝k＋1时左边的代数式是＋＋…＋＋，增加了两项与，但是少了一项，故不等式的左边增加的式子是＋－＝.
【答案】
(2)证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立.
②假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋<2.
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋
<2＋＝
<＝＝2.
∴当n＝k＋1时，不等式成立.
由①②可知，原不等式对任意n∈N＋都成立.
[再练一题]
2.试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式.
【证明】 ①当n＝2时，＋＝>.
②假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时不等式成立，
即＋＋…＋>，
那么当n＝k＋1时，
＋＋…＋
＝＋＋…＋＋＋＋－
＝＋＋－
>＋＋－＝＋－
＝＋>.
这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立.
由①②可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立.
归纳——猜想证明
已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝且a1＝.
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明.
【精彩点拨】 (1)令n＝2，3可分别求a2，a3.
(2)根据a1，a2，a3的值，找出规律，猜想an，再用数学归纳法证明.
【自主解答】 (1)a2＝＝，a1＝，
则a2＝，类似地求得a3＝.
(2)由a1＝，a2＝，a3＝，…，猜得：
an＝.
证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立；
②假设当n＝k时猜想成立，即ak＝，那么，当n＝k＋1时，由题设an＝，
得ak＝，ak＋1＝，
所以Sk＝k(2k－1)ak
＝k(2k－1)＝，
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－.
因此，k(2k＋3)ak＋1＝，
所以ak＋1＝
＝.
这就证明了当n＝k＋1时命题成立.
由①②可知命题对任何n∈N＋都成立.
1.“归纳—猜想—证明”的一般环节
2.“归纳—猜想—证明”的主要题型
(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和.
(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在.
(3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
[再练一题]
3.数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明.
【解】 由a1＝2－a1，得a1＝1；
由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝；
由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，得a3＝；
由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝.
猜想an＝.
下面证明猜想正确：
(1)当n＝1时，由上面的计算可知猜想成立.
(2)假设当n＝k时猜想成立，则有ak＝，当n＝k＋1时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1，
∴ak＋1＝[2(k＋1)－Sk]
＝k＋1－＝，
所以，当n＝k＋1时，等式也成立.
由(1)和(2)可知，an＝对任意正整数n都成立.
[探究共研型]
用数学归纳法证明整除性问题
探究1 数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1
【提示】 不一定，如证明n边形的内角和为(n－2)·180°时，第一个值为n0＝3.
探究2 数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？
【提示】 第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论.因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数列命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了.
用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋).
【精彩点拨】 在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑.
【自主解答】 (1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时结论成立，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除.
则当n＝k＋1时，
(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3).
因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，
所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立.
由(1)(2)知命题对一切n∈N＋成立.
与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将n＝k＋1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来.
[再练一题]
4.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________.
【导学号：94210023】
【解析】 由n＝k成立推证n＝k＋1成立时必须用上归纳假设，∴(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.
【答案】 (k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
[构建·体系]
—
1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
【答案】 C
2.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N＋，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为( )
A.1
B.1＋a＋a2
C.1＋a
D.1＋a＋a2＋a3
【解析】 当n＝1时，n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2.
【答案】 B
3.用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________.
【导学号：94210024】
【解析】 当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1.
【答案】 1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2
4.以下是用数学归纳法证明“n∈N＋时，2n＞n2”的过程，证明：(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立.
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即2k＞k2.
那么，当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
即当n＝k＋1时不等式也成立.
根据(1)和(2)，可知对任何n∈N＋不等式都成立.其中错误的步骤为________(填序号).
【解析】 在2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，这是一个不确定的结论.如k＝2时，k2＜2k＋1.
【答案】 (2)
5.用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝.
【证明】 (1)当n＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝＝0，
所以等式成立.
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝.
那么当n＝k＋1时，有[(k＋1)2－1]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k·[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]
＝(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k)
＝＋(2k＋1)
＝k(k＋1)[k(k－1)＋2(2k＋1)]
＝k(k＋1)(k2＋3k＋2)
＝.
所以当n＝k＋1时等式成立.
由(1)(2)知，对任意n∈N＋等式成立.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·广州高二检测)用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步验证( )
A.n＝1
B.n＝2
C.n＝3
D.n＝4
【解析】 由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立.
【答案】 C
2.已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A.f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B.f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C.f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D.f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
【解析】 结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.
【答案】 D
3.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1(n∈N＋)时，等式左边应在n＝k的基础上加上( )
【导学号：94210025】
A.k2＋1
B.(k＋1)2
C.
D.(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
【解析】 当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，故选D.
【答案】 D
4.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )
A.若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B.若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
C.若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)D.若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均为f(k)≥k2成立
【解析】 对于A，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时均有f(k)≥k2成立，故B错；对于C，应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k2成立.”
【答案】 D
5.已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其证明：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立.
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立.
由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立.判断以上评述( )
A.命题、推理都正确
B.命题正确、推理不正确
C.命题不正确、推理正确
D.命题、推理都不正确
【解析】 推理不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________.
【解析】 ∵f(k)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2，
f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
∴f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
即f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
【答案】 f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
7.用数学归纳法证明：＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________.
【解析】 当n＝k＋1时，目标不等式为：＋＋…＋＋>－.
【答案】 ＋＋…＋＋>－
8.用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是__________.
【解析】 当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12.
当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，
所以左边添加的式子为(k＋1)2＋k2.
【答案】 (k＋1)2＋k2
三、解答题
9.用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋).
【证明】 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，
那么，当n＝k＋1时，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
这就是说，当n＝k＋1时等式成立.
根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立.
10.用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1).
【证明】 (1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，左边<右边，不等式成立.
(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋＋＋…＋由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立.
[能力提升]
1.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成( )
A.假设n＝2k＋1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋3时正确
B.假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋1时正确
C.假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋1时正确
D.假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋2时正确
【解析】 ∵n为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：
假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推出n＝2k＋1时正确.故选B.
【答案】 B
2.对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立；
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即≤k＋1，则当n＝k＋1时，＝<
＝
＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立.
上述证法( )
【导学号：94210026】
A.过程全都正确
B.n＝1验证不正确
C.归纳假设不正确
D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
【解析】 n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证题要求.故选D.
【答案】 D
3.用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________.
【解析】 当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.
【答案】 25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2
4.设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.
(1)求f(0)的值；
(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式，并用数学归纳法加以证明.
【解】 (1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0 f(0)＝0.
(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，
f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，
f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.
(3)猜想f(n)＝n2，下面用数学归纳法证明.
当n＝1时，f(1)＝1满足条件.
假设当n＝k(k∈N＋)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.§2 导数在实际问题中的应用
2.1 实际问题中导数的意义
2.2 最大值、最小值问题
1.了解实际问题中导数的意义及最大值、最小值的概念.(难点)
2.理解函数的最值与导数的关系.(重点)
3.掌握利用导数求函数的最值及由导数解决实际中的优化问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 导数的实际意义
阅读教材P63～P65“练习”以上部分，完成下列问题.
在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量.以中学物理为例，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等.
质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示( )
A.t＝1
s时的速度
B.t＝1
s时的加速度
C.t＝1
s时的位移
D.t＝1
s的平均速度
【解析】 v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度，故选B.
【答案】 B
教材整理2 函数的最值与导数
阅读教材P66，完成下列问题.
1.最大值点与最小值点.
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0).
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不低于f(x0).
2.最大值与最小值
最大(小)值或者在极大(小)值点取得，或者在区间的端点取得.因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有极大(小)值点与区间端点的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值.
函数的最大值和最小值统称为最值.
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的最大值一定是函数的极大值.( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值.( )
(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
2.函数f(x)＝2x－cos
x在(－∞，＋∞)上( )
A.无最值
B.有极值
C.有最大值
D.有最小值
【解析】 f′(x)＝2＋sin
x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值.
【答案】 A
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
导数在实际问题中的意义
如图3 2 1所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W(t)＝t3－6t2＋16t.
图3 2 1
(1)求t从1
s变到3
s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求W′(1)，W′(2)，并解释它们的实际意义.
【精彩点拨】 弄清题意，根据物理中导数的意义解答：
(1)功的平均变化率表示平均每秒做的功；(2)功率是功关于时间的导数.
【自主解答】 (1)当t从1
s变到3
s时，功W从W(1)＝11
J变到W(3)＝21
J，此时功W关于时间t的平均变化率为＝＝5(J/s).
它表示从t＝1
s到t＝3
s这段时间，这个人平均每秒做功5
J.
(2)首先求W′(t).根据导数公式和求导法则可得
W′(t)＝3t2－12t＋16，
于是，W′(1)＝7
J/s，W′(2)＝4
J/s.
W′(1)和W′(2)分别表示t＝1
s和t＝2
s时，这个人每秒做的功分别为7
J和4
J.
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率.
2.导数可以刻画实际问题中两个变量变化的快慢程度；在应用时我们首先要建立函数模型，利用定义或公式法则求出导数并能结合实际问题解释导数的实际意义.
[再练一题]
1.已知某商品生产成本c与产量q(0【解】 ∵f(q)＝p×q－c＝×q－(100＋4q)，
∴f(q)＝－q2＋21q－100(0∴f′(q)＝－q＋21，∴f′(80)＝－×80＋21＝1.
说明产量q＝80时，产量每增加1，利润也增加1.
求函数的最值
求函数f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5在区间[－2，3]上的最大值与最小值.
【导学号：94210063】
【精彩点拨】 求函数的最值与求函数的极值相似，先列出表格，再进行判断，从而求出最值.
【自主解答】 ∵f′(x)＝12x2＋6x－36，
令f′(x)＝0，得2x2＋x－6＝0，∴x＝－2或.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如表所示：
x
－2
3
f′(x)
0
－
0
＋
＋
f(x)
57
?
－
?
32
∴f(x)在x＝处取极小值，且f＝－.
又∵f(－2)＝57，f(3)＝32，∴f(x)的最大值为f(－2)＝57，
f(x)的最小值为f＝－.
求f(x)在[a，b]上的最值的步骤：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值点；
(2)求出f(x)在区间端点和极值点的值；
(3)将上述值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.
[再练一题]
2.已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2，2])，f(x)的最小值为1，则m＝__________.
【解析】 f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2，2].
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，
当x∈(－2，0)时，f′(x)<0，
当x∈(0，2)时，f′(x)>0，
∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值，
∴f(0)＝m＝1.
【答案】 1
最值问题的实际应用
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
【精彩点拨】 (1)根据x＝5时，y＝11求a的值.
(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值.
【自主解答】 (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6，
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)·(x－6)，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3，4)
4
(4，6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增?
极大值42
单调递减?
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点，
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
1.经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.
2.关于利润问题常用的两个等量关系
(1)利润＝收入－成本.
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.
[再练一题]
3.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p＝24
200－x2，且生产x吨的成本为R＝50
000＋200x(元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？
【解】 每月生产x吨时的利润为
f(x)＝x－(50
000＋200x)
＝－x3＋24
000x－50
000(x≥0)，
由f′(x)＝－x2＋24
000＝0，解得x＝200或x＝－200(舍去).
因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－×2003＋24
000×200－50
000＝3
150
000(元)，故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.
[探究共研型]
与最值有关的恒成立问题
探究1 已知函数f(x)＝＋2ln
x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，如何求实数a的取值范围？
【提示】 由f(x)＝＋2ln
x得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0时，f′(x)>0.故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln
a＋1.要使f(x)≥2恒成立，需ln
a＋1≥2恒成立，则a≥e.故a的取值范围为[e，＋∞).
探究2 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？
【提示】 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题.
如f(x)>0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可.
如f(x)<0恒成立，只要f(x)的最大值小于0即可.
以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参数不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数.
设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0).
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围.
【精彩点拨】 (1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；
(2)构造函数g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0，2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围.
【自主解答】 (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去).
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0，1)
1
(1，2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
单调递增?
极大值1－m
单调递减?
∴g(t)在(0，2)内有最大值g(1)＝1－m.
h(t)<－2t＋m在(0，2)内恒成立等价于g(t)<0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m<0，∴m的取值范围为(1，＋∞).
1.“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.
2.此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”.
[再练一题]
4.设f(x)＝＋xln
x，g(x)＝x3－x2－3.
(1)如果存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
(2)如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围.
【解】 (1)存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M.
由g(x)＝x3－x2－3，
得g′(x)＝3x2－2x＝3x.
由g′(x)>0，得x<0或x>，又x∈[0，2]，所以g(x)在上是单调递减函数，在上是单调递增函数，所以g(x)min＝g＝－，g(x)max＝g(2)＝1.
故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝≥M，
则满足条件的最大整数M＝4.
(2)对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，等价于在上，函数f(x)min≥g(x)max.
由(1)可知在上，g(x)的最大值为g(2)＝1.
在上，f(x)＝＋xln
x≥1恒成立等价于a≥x－x2ln
x恒成立.
设h(x)＝x－x2ln
x，h′(x)＝1－2xln
x－x，可知h′(x)在上是减函数，又h′(1)＝0，所以当10.
即函数h(x)＝x－x2ln
x在上单调递增，在[1，2]上单调递减，所以h(x)max＝h(1)＝1，即实数a的取值范围是[1，＋∞).
[构建·体系]
—
1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A.8
B.
C.－1
D.－8
【解析】 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
【答案】 C
2.函数y＝x4－4x＋3在区间[－2，3]上的最小值为( )
【导学号：94210064】
A.72
B.36
C.12
D.0
【解析】 因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4.令y′＝0，解得x＝1.当x＜1时，y′＜0，函数单调递减；当x＞1时，y′＞0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.而当x＝－2时，y＝27，当x＝3时，y＝72，所以当x＝1时，函数y＝x4－4x＋3取得最小值0.
【答案】 D
3.函数y＝在[0，2]上的最大值为________.
【解析】 ∵y′＝＝，
令y′＝0，得x＝1∈[0，2].
∴f(1)＝，f(0)＝0，f(2)＝，
∴f(x)max＝f(1)＝.
【答案】
4.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台.
【解析】 设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6).
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点.
【答案】 6
5.已知a为实数，f(x)＝(x2－4)·(x－a).
(1)求导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值.
【解】 (1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0，得a＝，
此时有f(x)＝(x2－4)·，
f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0，得x＝或x＝－1.
又f＝－，f(－1)＝，
f(－2)＝0，f(2)＝0，
∴f(x)在[－2，2]上的最大值为，最小值为－.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评(十四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.函数f(x)＝x3－3x(x<1)( )
A.有最大值，无最小值
B.有最大值、最小值
C.无最大值、最小值
D.无最大值，有最小值
【解析】 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1(舍).
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0.
从而函数f(x)有最大值，无最小值，故选A.
【答案】 A
2.一物体沿直线运动的方程为s(t)＝t4－t3＋2t2，那么速度为0的时刻为(s单位：m，t单位：s)( )
A.1
s
B.0
s
C.4
s
D.0
s，1
s，4
s
【解析】 s′(t)＝t3－5t2＋4t，根据导数的意义可知v＝s′(t)，令t3－5t2＋4t＝0，解得t＝0或t＝1或t＝4.
【答案】 D
3.(2016·温州高二检测)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A.0≤a<1
B.0C.－1D.0【解析】 ∵f′(x)＝3x2－3a，则f′(x)＝0有解，可得a＝x2.
又∵x∈(0，1)，∴0【答案】 B
4.已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.m≥
B.m>
C.m≤
D.m<
【解析】 令f′(x)＝2x3－6x2＝0，得x＝0或x＝3.
经检验，知x＝3是函数的最小值点，
所以函数f(x)的最小值为f(3)＝3m－.
因为不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，
所以3m－≥－9，解得m≥，故选A.
【答案】 A
5.做一个容积为256
m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A.6
m
B.8
m
C.4
m
D.2
m
【解析】 设底面边长为x
m，高为h
m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S
m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，
因此h＝＝4(m).
【答案】 C
二、填空题
6.(2016·连云港高二检测)当x∈[－1，1]时，函数f(x)＝的值域是__________.
【导学号：94210065】
【解析】 ∵f′(x)＝＝＝，x∈[－1，1].
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去).
∵f(－1)＝e，f(0)＝0，f(1)＝，
∴函数f(x)＝，x∈[－1，1]的值域为[0，e].
【答案】 [0，e]
7.若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________.
【解析】 f′(x)＝＝，当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－0，f(x)单调递增，当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意，
∴f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1.
【答案】 －1
8.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________.
【解析】 设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r＞0)，则水桶的高为，所以S＝πr2＋2πr×＝πr2＋(r＞0)，求导数，得S′＝2πr－，令S′＝0，解得r＝3.
当0＜r＜3时，S′＜0；当r＞3时，S′＞0，所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省.
【答案】 3
三、解答题
9.日常生活中的饮用水通常是通过净化的，随着水纯净度的增加，所需净化费用不断增加，已知将1
t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(80【解】 c′(x)＝＝，
∴c′(90)＝＝52.84，
c′(98)＝＝1
321.
故纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率为50.84元/t；纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率为1
321元/t.
10.设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
【解】 易知f(x)的定义域为.
(1)f′(x)＝＋2x＝
＝.
当－0；
当－1当x>－时，f′(x)>0，
从而f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减.
(2)由(1)知f(x)在区间上的最小值为f＝ln
2＋.
又因为f－f＝ln＋－ln－
＝ln＋＝<0，
所以f(x)在区间上的最大值为
f＝＋ln.
[能力提升]
1.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8
300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A.30元
B.60元
C.28
000元
D.23
000元
【解析】 设毛利润为L(p)，由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8
300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11
700p－166
000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11
700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).
此时，L(30)＝23
000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23
000元.
【答案】 D
2.已知函数f(x)＝x3－x2＋6x＋a，若存在x0∈[－1，4]，使f(x0)＝2a成立，则实数a的取值范围是( )
【导学号：94210066】
A.2≤a≤
B.－≤a≤
C.2≤a≤16
D.－≤a≤16
【解析】 ∵f(x0)＝2a，即x－x＋6x0＋a＝2a，
可化为x－x＋6x0＝a，
设g(x)＝x3－x2＋6x，则g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)＝0，得x＝1或x＝2.
∴g(1)＝，g(2)＝2，g(－1)＝－，g(4)＝16.
由题意，g(x)min≤a≤g(x)max，∴－≤a≤16.
【答案】 D
3.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10
km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为__________km/h.
【解析】 设轮船的速度为x
km/h时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3(k≠0).
因为6＝k×103，所以k＝，所以Q＝x3.
所以行驶每千米的费用总和为
y＝·＝x2＋(x>0).
所以y′＝x－.令y′＝0，解得x＝20.
因为当x∈(0，20)时，y′<0，此时函数单调递减；
当x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增，
所以当x＝20时，y取得最小值，
即此轮船以20
km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小.
【答案】 20
4.(2016·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝αcos
2x＋(α－1)·(cos
x＋1)，其中α>0，记|f(x)|的最大值为A.
(1)求f′(x)；
(2)求A；
(3)证明：|f′(x)|≤2A.
【解】 (1)f′(x)＝－2αsin
2x－(α－1)sin
x.
(2)当α≥1时，|f(x)|＝|αcos
2x＋(α－1)(cos
x＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f(0).故A＝3α－2.
当0<α<1时，将f(x)变形为
f(x)＝2αcos2x＋(α－1)cos
x－1.
设t＝cos
x，则t∈[－1，1]
令g(t)＝2at2＋(α－1)t－1，
则A是|g(t)|在[－1，1]上的最大值，
g(－1)＝α，g(1)＝3α－2，
且当t＝时，g(t)取得最小值，
最小值为g＝－－1
＝－.
令－1<<1，解得α>.
①当0<α≤时，g(t)在(－1，1)内无极值点，|g(－1)|＝α，|g(1)|＝2－3α，|g(－1)|＜|g(1)|，
所以A＝2－3α.
②当<α<1时，由g(－1)－g(1)＝2(1－α)>0，
知g(－1)＞g(1)>g.
又－|g(－1)|＝＞0，
所以A＝＝.
综上，A＝
(3)证明：由(1)得|f′(x)|＝|－2αsin
2x－(α－1)·sin
x|≤2α＋|α－1|.
当0<α≤时，|f′(x)|≤1＋α≤2－4α＜2(2－3α)＝2A.
当<α＜1时，A＝＋＋>1，
所以|f′(x)|≤1＋α＜2A.
当α≥1时，|f′(x)|≤3α－1≤6α－4＝2A.
所以|f′(x)|≤2A.§2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念
2.2 导数的几何意义
1.理解导数的概念及导数的几何意义.(重点、难点)
2.会求导函数及理解导数的实际意义.(重点)
3.掌握利用导数求切线方程的方法.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 函数f(x)在x＝x0处的导数
阅读教材P32“例1”以上部分，完成下列问题.
函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝
＝_.
设函数y＝f(x)可导，则
等于( )
A.f′(1)
B.3f′(1)
C.f′(1)
D.以上都不对
【解析】 由f(x)在x＝1处的导数的定义知，应选A.
【答案】 A
教材整理2 导数的几何意义
阅读教材P34～P36，完成下列问题.
函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.
抛物线y＝x2＋4在点(－2，8)处的切线方程为________________.
【解析】 因为y′＝
＝
(2x＋Δx)＝2x，
所以k＝－4，
故所求切线方程为4x＋y＝0.
【答案】 4x＋y＝0
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
求函数在某点处的导数
(1)若
＝k，
则
等于( )
A.2k
B.k
C.k
D.以上都不是
(2)函数y＝在x＝1处的导数是________.
(3)求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数.
【精彩点拨】 根据导数的概念求解.
【自主解答】 (1)
＝
·2
＝2·
＝2k.
(2)∵Δy＝－1，
∴＝＝，
当Δx趋于0时，＝趋于，
∴函数y＝在x＝1处的导数为.
【答案】 (1)A (2)
(3)∵f(x)＝2x2＋4x，
∴Δy＝f(3＋Δx)－f(3)
＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx.
∴＝＝2Δx＋16.
当Δx→0时，→16，∴f′(3)＝16.
1.本题(2)中用到了分子有理化的技巧，主要目的是使整个式子的趋近值容易求出.切忌算到时，就下结论：当Δx趋于0时，分子分母的值都趋于0，所以整个式子的值不确定.
2.计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤：
(1)计算Δy；(2)计算；(3)计算
.
[再练一题]
1.若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )
【导学号：94210036】
A.1
B.－1
C.±1
D.3
【解析】 ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x，
由f′(x0)＝3，得3x＝3，∴x0＝±1.
【答案】 C
求曲线在某点处切线的方程
已知曲线C：f(x)＝x3＋.
(1)求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
【精彩点拨】 (1)先求切点坐标，再求f′(2)，最后利用导数的几何意义写出切线方程.
(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解.
【自主解答】 (1)将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，∴切点P(2，4).
f′(2)＝
＝
＝[4＋2Δx＋(Δx)2]＝4.
∴k＝f′(2)＝4.
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)由可得(x－2)(x2＋2x－8)＝0，
解得x1＝2，x2＝－4.
从而求得公共点为P(2，4)或M(－4，－20)，
即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－4，－20).
1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：
(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0).
特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为x＝x0.
2.曲线的切线与曲线的交点可能不止一个.
[再练一题]
2.(2016·临沂高二检测)求曲线f(x)＝x2＋1在点A(1，2)处的切线方程.
【解】 在曲线f(x)＝x2＋1上的点A(1，2)的附近取一点B，设B点的横坐标为1＋Δx，则点B的纵坐标为(1＋Δx)2＋1，所以函数的增量Δy＝(1＋Δx)2＋1－2＝Δx2＋2·Δx，
所以切线AB的斜率kAB＝＝Δx＋2，
∴
＝
(Δx＋2)＝2，
这表明曲线f(x)＝x2＋1在点A(1，2)处的切线斜率k＝2.
∴所求切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
[探究共研型]
求曲线过某点的切线方程
探究1 函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？
【提示】 区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数.
联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0时的函数值.
探究2 曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？
【提示】 不一定.切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点.
探究3 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程与过某点(x0，y0)的曲线的切线方程有何不同？
【提示】 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而求过某点(x0，y0)的曲线f(x)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点.
已知曲线f(x)＝.
(1)求曲线过点A(1，0)的切线方程；
(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程.
【精彩点拨】 (1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1，0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程.
(2)设出切点坐标，由该点斜率为－，求出切点，进而求出切线方程.
【自主解答】 (1)
＝
＝
＝－.
设过点A(1，0)的切线的切点为P，
则f′(x0)＝－eq
\f(1,x)，即该切线的斜率为k＝－eq
\f(1,x).
因为点A(1，0)，P在切线上，
所以＝－eq
\f(1,x)，
解得x0＝.故切线的斜率k＝－4.
故曲线过点A(1，0)的切线方程为y＝－4(x－1)，
即4x＋y－4＝0.
(2)设斜率为－的切线的切点为Q，
由(1)知，k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±.
所以切点坐标为或.
故满足斜率为－的曲线的切线方程为
y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，
即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.
1.求曲线过已知点的切线方程的步骤
2.若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程.
[再练一题]
3.求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程.
【解】 设切点为Q(a，a2＋1)，＝＝2a＋Δx，当Δx趋于0时，(2a＋Δx)趋于2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，＝2a，解得a＝1±，所求的切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2).
[构建·体系]
1.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则( )
A.f′(x0)＞0
B.f′(x0)＜0
C.f′(x0)＝0
D.f′(x0)不存在
【解析】 由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数.
【答案】 A
2.曲线y＝x2－2在点x＝1处的切线的倾斜角为( )
【导学号：94210037】
A.30°
B.45°
C.135°
D.165°
【解析】 f′(1)＝
＝
＝1，
∴切线的斜率为1，倾斜角为45°.
【答案】 B
3.曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________.
【解析】 f′(－2)＝
＝
＝
＝－，
∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.
【答案】 x＋2y＋4＝0
4.已知二次函数y＝f(x)的图像如图2 2 1所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“＜”“＝”或“＞”).
图2 2 1
【解析】 f′(a)与f′(b)分别表示函数图像在点A，B处的切线斜率，由图像可得f′(a)＞f′(b).
【答案】 ＞
5.已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值.
【解】 设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则
＝
＝3x2－4x.
由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点坐标为或(2，3).
当切点为时，有＝4×＋a，
∴a＝.
当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a，
∴a＝－5.
因此切点坐标为或(2，3)，
a的值为或－5.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评(八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( )
A.4
B.－4 C.－2 D.2
【解析】 由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.
【答案】 D
2.(2016·衡水高二检测)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A.f′(x0)>0
B.f′(x0)＝0
C.f′(x0)<0
D.f′(x0)不存在
【解析】 切线的斜率为k＝－2，
由导数的几何意义知f′(x0)＝－2<0，故选C.
【答案】 C
3.已知曲线f(x)＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是( )
A.(1，1)
B.(－1，1)
C.(1，1)或(－1，－1)
D.(2，8)或(－2，－8)
【解析】 因为f(x)＝x3，所以＝＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.
由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.
当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.
故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1).
【答案】 C
4.(2016·银川高二检测)若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A.4x－y－4＝0
B.x＋4y－5＝0
C.4x－y＋3＝0
D.x＋4y＋3＝0
【解析】 设切点为(x0，y0)，
∵
＝
＝
(2x＋Δx)＝2x.
由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，
∴x0＝2，∴切点坐标为(2，4)，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A.
【答案】 A
5.曲线f(x)＝在点处的切线的斜率为( )
【导学号：94210038】
A.2
B.－4
C.3 D.
【解析】 因为
＝
＝
＝－，
所以曲线在点处的切线斜率为
k＝f′＝－4.
【答案】 B
二、填空题
6.(2016·太原高二检测)若f′(x0)＝1，则
＝__________.
【解析】
＝－
＝－f′(x0)＝－.
【答案】 －
7.曲线f(x)＝x2－2x＋3在点A(－1，6)处的切线方程是__________.
【解析】 因为y＝x2－2x＋3，切点为A(－1，6)，所以斜率k＝f′(－1)
＝
＝
(Δx－4)＝－4，
所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.
【答案】 4x＋y－2＝0
8.若曲线f(x)＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________.
【解析】 设P(x0，y0)，则
f′(x0)＝
eq
\f(（x0＋Δx）2＋2（x0＋Δx）－x－2x0,Δx)
＝
(2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.
因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，
所以点P处的切线的斜率为2，
所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0，0).
【答案】 (0，0)
三、解答题
9.(2016·安顺高二检测)已知抛物线y＝f(x)＝x2＋3与直线y＝2x＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程.
【解】 由方程组得x2－2x＋1＝0，
解得x＝1，y＝4，所以交点坐标为(1，4)，又＝Δx＋2.
当Δx趋于0时，Δx＋2趋于2，所以在点(1，4)处的切线斜率k＝2，
所以切线方程为y－4＝2(x－1)，即y＝2x＋2.
10.试求过点P(3，5)且与曲线y＝f(x)＝x2相切的直线方程.
【解】
＝
＝2x.
设所求切线的切点为A(x0，y0).
∵点A在曲线y＝x2上，
∴y0＝x.
又∵A是切点，
∴过点A的切线的斜率k＝2x0，
∵所求切线过P(3，5)和A(x0，y0)两点，
∴其斜率为＝eq
\f(x－5,x0－3)，∴2x0＝eq
\f(x－5,x0－3)，
解得x0＝1或x0＝5.
从而切点A的坐标为(1，1)或(5，25).
当切点为(1，1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；
当切点为(5，25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.
∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.
[能力提升]
1.(2016·天津高二检测)设f(x)为可导函数，且满足
＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A.2
B.－1
C.1
D.－2
【解析】 ∵
＝
＝－1，
∴
＝－2，即f′(1)＝－2.
由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝－2，故选D.
【答案】 D
2.(2016·郑州高二检测)已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a的值为________.
【解析】 设切点为P(x0，y0)，
则f′(x0)＝
＝
eq
\f(a（x0＋Δx）2－ax,Δx)
＝
(2ax0＋aΔx)＝2ax0，即2ax0＝1.
又y0＝ax，x0－y0－1＝0，
联立以上三式，得eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2ax0＝1，,y0＝ax，,x0－y0－1＝0，))解得a＝.
【答案】
3.已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，求a，b的值.
【导学号：94210039】
【解】 因为f′(x)＝
＝
＝2ax，
所以f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.
因为g′(x)＝
＝
＝3x2＋b，
所以g′(1)＝3＋b，即切线的斜率k2＝3＋b.
因为在交点(1，c)处有公切线，
所以2a＝3＋b.①
又因为c＝a＋1，c＝1＋b，
所以a＋1＝1＋b，即a＝b，
代入①式，得
4.设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线
12x＋y＝6平行，求a的值.
【解】 ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)
＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
当Δx无限趋近于零时，
无限趋近于3x＋2ax0－9，
即f′(x0)＝3x＋2ax0－9，
∴f′(x0)＝3－9－.
当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.
∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12，
∴－9－＝－12，
解得a＝±3.又a<0，
∴a＝－3.1.2 类比推理
1.通过具体实例理解类比推理的意义.(重点)
2.会用类比推理对具体问题作出判断.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 类比推理
阅读教材P5“1.2类比推理”至P6前16行，完成下列问题.
由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理.
类比推理是两类事物特征之间的推理.
类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________(填序号).
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.
【解析】 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对.
【答案】 ①②③
教材整理2 合情推理
阅读教材P6的最后4个自然段，完成下列问题.
合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式.
合情推理的结果不一定正确.
下列说法正确的是( )
A.由合情推理得出的结论一定是正确的
B.合情推理必须有前提有结论
C.合情推理不能猜想
D.合情推理得出的结论不能判断正误
【解析】 根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论.
【答案】 B
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
类比推理在数列中的应用
在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和.
(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；
(2)写出一个更为一般的结论(不必证明).
【精彩点拨】 结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质.
【自主解答】 (1)数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的.
证明如下：
∵等差数列{an}的公差d＝3，
∴(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)
＝＝100d＝300，
同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，
所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.
(2)对于任意k∈N＋，都有数列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列，且公差为k2d.
1.本题是等比数列与等差数列之间的类比推理，在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点.
2.类比推理的思维过程
观察、比较→联想、类推→猜测新的结论.
即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处.
[再练一题]
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列.
【导学号：94210005】
【解析】 等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，成等比数列.
【答案】
类比推理在几何中的应用
如图1 1 10所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论＋＋＝1.
图1 1 10
证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.
【精彩点拨】 三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.
【自主解答】 ＝＝，
同理，＝，＝.
∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，
∴＋＋＝＝1.
类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，可以得到结论＋＋＋＝1.
证明如下：＝＝，
同理，＝，＝，＝.
∵VP BCD＋VP ACD＋VP ABD＋VP ABC＝VA BCD，
∴＋＋＋
＝＝1.
1.一般地，平面图形与空间图形类比如下：
平面图形
点
线
边长
面积
线线角
三角形
空间图形
线
面
面积
体积
二面角
四面体
2.类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；
(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论.
[再练一题]
2.在上例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A，B，C，那么由a＝b·cos
C＋c·cos
B可类比四面体的什么性质？
【解】 在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，
α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小.
猜想S＝S1·cos
α＋S2·cos
β＋S3·cos
γ.
[探究共研型]
类比推理在其他问题中的应用
探究1 鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理？
【提示】 类比推理.
探究2 已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n的和.因为(n＋1)2－n2＝2n＋1，
n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，
……
22－12＝2×1＋1，
有(n＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n，
所以1＋2＋3＋…＋n＝＝.
类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n2的和.
【提示】 因为(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，
n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1，
…
23－13＝3×12＋3×1＋1，
有(n＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，
所以12＋22＋…＋n2
＝
＝＝.
已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线－＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明.
【精彩点拨】 →→→
【自主解答】 类似性质：若M，N为双曲线－＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.
证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则
N(－m，－n).因为点M(m，n)是双曲线上的点，
所以n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2，
则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值).
1.两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征.
2.进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征.然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想.
[再练一题]
3.(2016·温州高二检测)如图1 1 11所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.
图1 1 11
【解析】 如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则F(－c，0)，B(0，b)，A(a，0)，
所以＝(c，b)，＝(－a，b).
又因为⊥，
所以·＝b2－ac＝0，
所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，
所以e＝或e＝(舍去).
【答案】
[构建·体系]
1.下面使用类比推理恰当的是( )
A.“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B.“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”
C.“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”
D.“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
【解析】 由实数运算的知识易得C项正确.
【答案】 C
2.已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可知扇形面积公式为( )
【导学号：94210006】
A.
B.
C.
D.无法确定
【解析】 扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝.
【答案】 C
3.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.
【解析】 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.
【答案】 1∶8
4.在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”时，有如下方法：
先改写第k项：k(k＋1)＝[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得
1×2＝(1×2×3－0×1×2)，
2×3＝(2×3×4－1×2×3)，
……
n(n＋1)＝[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]，
相加得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝n(＋1)(n＋2).
类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n(n＋2)”，其结果写成关于n的一次因式的积的形式为________________.
【解析】 1×3＝×(1×2×9－0×1×7)，
2×4＝×(2×3×11－1×2×9)，
3×5＝×(3×4×13－2×3×11)，
……
n(n＋2)＝[n(n＋1)(2n＋7)－(n－1)n(2n＋5)]，
各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n＋2)＝n(n＋1)(2n＋7).
【答案】 n(n＋1)(2n＋7)
5.如图1 1 12(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC.若类比该命题，如图1 1 12(2)，三棱锥A BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则可以得到什么命题？命题是否是真命题，并加以证明.
(1) (2)
图1 1 12
【解】 命题是：三棱锥A BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有S＝S△BCM·S△BCD，是一个真命题.
证明如下：
如图，连接DM，并延长交BC于E，连接AE，则有DE⊥BC.
因为AD⊥平面ABC，
所以AD⊥AE.
又AM⊥DE，
所以AE2＝EM·ED.
于是S＝
＝·
＝S△BCM·S△BCD.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )
A.一条中线上的点，但不是中心
B.一条垂线上的点，但不是垂心
C.一条角平分线上的点，但不是内心
D.中心
【解析】 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心.
【答案】 D
2.下列推理正确的是( )
A.把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B.把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin
x＋sin
y
C.把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(x＋y)n＝xn＋yn
D.把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)
【解析】 乘法的结合律与加法结合律相类比得(xy)z＝x(yz).故选D.
【答案】 D
3.设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S ABC的体积为V，则R＝( )
【导学号：94210007】
A.
B.
C.
D.
【解析】 设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为V四面体S ABC＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，
∴R＝.
【答案】 C
4.在等差数列{an}中，若an>0，公差d≠0，则有a4a6>a3a7.类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q≠1，则关于b5，b7，b4，b8的一个不等关系正确的是( )
A.b5b7>b4b8
B.b7b8>b4b5
C.b5＋b7D.b7＋b8【解析】 b5＋b7－b4－b8＝b1(q4＋q6－q3－q7)
＝b1[q3(q－1)＋q6(1－q)]
＝b1[－q3(q－1)2(1＋q＋q2)]<0，
∴b5＋b7【答案】 C
5.已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”.若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A BCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM＝，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4××r＝×× r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝∶＝3∶1.
【答案】 C
二、填空题
6.(2016·山东日照一模)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________.
【解析】 类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465.
【答案】 465
7.在Rt△ABC中，若C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝，将此结论类比到空间有______________________________.
【解析】 Rt△ABC类比到空间为三棱锥A BCD，且AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD；△ABC的外接圆类比到空间为三棱锥A BCD的外接球.
【答案】 在三棱锥A BCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB＝a，AC＝b，AD＝c，则三棱锥A BCD的外接球半径R＝
8.已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论____________________.
【解析】 由等比数列的性质可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，
∴＝.
【答案】 ＝
三、解答题
9.如图1 1 13(1)，在平面内有面积关系＝，写出图1 1 13(2)中类似的体积关系，并证明你的结论.
(1) (2)
图1 1 13
【解】 类比＝，有＝.
证明：如图，设C′，C到平面PAB的距离分别为h′，h.
则＝，
故＝
＝＝.
10.在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有什么样的等式成立？
【解】 在等差数列{an}中，由a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，
相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则可得
b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋).
[能力提升]
1.已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )
A.正四面体的内切球的半径是其高的
B.正四面体的内切球的半径是其高的
C.正四面体的内切球的半径是其高的
D.正四面体的内切球的半径是其高的
【解析】 原问题的解法为等面积法，即S＝ah＝3×ar r＝h，类比问题的解法应为等体积法，V＝Sh＝4×Sr r＝h，即正四面体的内切球的半径是其高的.
【答案】 C
2.若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )
A.dn＝
B.dn＝
C.dn＝eq
\r(n,\f(c＋c＋…＋c,n))
D.dn＝
【解析】 若{an}是等差数列，
则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，
∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，
∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列.
【答案】 D
3.类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题：
已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，那么a18＝________，这个数列的前n项和Sn的计算公式为________.
【导学号：94210008】
【解析】 定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.
由上述定义，得an＝故a18＝3.从而Sn＝
【答案】 3 Sn＝
4.(1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)与x轴交于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求证：·为定值b2－a2.
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线－＝1(a>0，b>0)与x轴交于A，B两点，点P是双曲线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求证·为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程).
【解】 (1)证明如下：
设点P(x0，y0)(x0≠±a)，
依题意，得A(－a，0)，B(a，0)，
所以直线PA的方程为y＝(x＋a).
令x＝0，得yM＝，同理得yN＝－，所以yMyN＝eq
\f(a2y,a2－x).
又因为点P(x0，y0)在椭圆上，所以eq
\f(x,a2)＋eq
\f(y,b2)＝1，
因此y＝(a2－x)，
所以yMyN＝eq
\f(a2y,a2－x)＝b2.
因为＝(a，yN)，＝(－a，yM)，
所以·＝－a2＋yMyN＝b2－a2.
(2)－(a2＋b2).§2 微积分基本定理
1.了解微积分基本定理的含义.(难点)
2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.(重点)
[基础·初探]
教材整理 微积分基本定理
阅读教材P82～P84，完成下列问题.
1.微积分基本定理
如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有f(x)dx＝F(b)－F(a).
2.定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则
(1)
图4 2 1
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图4 2 1(1)，则f(x)dx＝S上.
(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图4 2 1(2)，则f(x)dx＝－S下.
(2) (3)
图4 2 1
(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图4 2 1(3)，则f(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则f(x)dx＝0.
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数.( )
(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )
(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
2.(－sin
x)dx等于( )
A.0
B.2
C.－2
D.4
【解析】 (－sin
x)dx＝cos
x＝cos
2π－cos
0＝0.
【答案】 A
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
利用微积分基本定理求定积分
计算下列定积分.
(1)(x2＋2x＋3)dx；(2)(cos
x－ex)dx；
(3)dx；(4)
sin2dx.
【思路探究】 (1)、(2)先求被积函数的一个原函数F(x)，然后利用微积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基本定理求解.
【自主解答】 (1)(x2＋2x＋3)dx
＝x2dx＋2xdx＋3dx
＝＋x2＋3x＝.
(2)(cos
x－ex)dx＝cos
xdx－exdx
＝sin
x－ex＝－1.
(3)＝2x＋1＋，而(x2＋x＋ln
x)′＝2x＋1＋.
∴dx＝(x2＋x＋ln
x)＝4＋ln
2.
(4)原式＝
(1－cos
x)dx＝
(1－cos
x)dx
＝1dx－cos
xdx＝－
＝.
求简单的定积分应注意两点：
(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；
(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限.
[再练一题]
1.dx＝________.
【解析】 dx＝dx
＝
＝－(ln
1＋1)＝ln
2－.
【答案】 ln
2－
求分段函数的定积分
计算下列定积分.
(1)f(x)＝求f(x)dx；
(2)|x2－1|dx.
【精彩点拨】 (1)按f(x)的分段标准，分成，，(2，4]三段求定积分，再求和.
(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分.
【自主解答】 (1)f(x)dx＝sin
xdx＋1dx＋(x－1)dx
＝(－cos
x)＋x＋
＝1＋＋(4－0)＝7－.
(2)|x2－1|dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx
＝＋＝2.
1.本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号，可先求函数f(x)的零点，结合积分区间，分段求解.
2.分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行.
3.带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解.
[再练一题]
2.计算定积分：(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.
【解】 设f(x)＝|2x＋3|＋|3－2x|，x∈[－3，3]，
则f(x)＝
所以(|2x＋3|＋|3－2x|)dx＝(－4x)dx＋6
dx＋4x
dx
＝－2x2＋6x＋2x2＝－2×＋6×＋2×＝45.
[探究共研型]
利用定积分求参数
探究1 满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一吗？
【提示】 不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值.
探究2 如何求对称区间上的定积分？
【提示】 在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便.
(1)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若＝f(x0)，0≤x0≤1，求x0的值；
(2)已知f(x)是一次函数，其图像过点(3，4)，且＝1，求f(x)的解析式.
【精彩点拨】 (1)先利用微积分基本定理求出定积分，然后列出关于x0的方程，求出x0的值.
(2)设出f(x)的解析式，再根据已知条件列方程组求解.
【自主解答】 (1)因为f(x)＝ax2＋c(a≠0)，
且′＝ax2＋c，
所以f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝eq
\a\vs4\al(|)＝＋c＝ax＋c，
解得x0＝或x0＝－(舍去).
(2)依题意设一次函数f(x)的解析式为
f(x)＝kx＋b(k≠0).
∵函数图像过点(3，4)，∴3k＋b＝4.
①
∵f(x)dx＝(kx＋b)dx＝eq
\a\vs4\al(|)＝＋b，
∴＋b＝1.
②
由①②得，k＝，b＝，
∴f(x)＝x＋.
1.含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提.
2.计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念.
[再练一题]
3.已知(2x－3x2)dx＝0，则k等于( )
【导学号：94210072】
A.0
B.1
C.0或1
D.以上都不对
【解析】 ∵(2x－3x2)dx＝(x2－x3)eq
\a\vs4\al(|)
＝k2－k3，
∴k2－k3＝0，
解得k＝1或k＝0(舍去)，故选B.
【答案】 B
[构建·体系]
—
1.下列定积分的值等于1的是( )
A.xdx
B.(x＋1)dx
C.1dx
D.dx
【解析】 选项A，因为′＝x，
所以xdx＝＝；
选项B，因为′＝x＋1，所以(x＋1)dx＝＝；
选项C，因为x′＝1，所以1dx＝x＝1；
选项D，因为′＝，所以dx＝x＝.
【答案】 C
2.
(sin
x＋cos
x)dx的值是( )
A.0
B.
C.2
D.4
【解析】
(sin
x＋cos
x)dx＝sin
xdx＋cos
xdx＝(－cos
x)
＋sin
x＝2.
【答案】 C
3.计算x2dx＝________.
【导学号：94210073】
【解析】 由于′＝x2，所以x2dx＝x3＝.
【答案】
4.已知2≤(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________.
【解析】 (kx＋1)dx＝＝(2k＋2)－＝k＋1，所以2≤k＋1≤4，解得≤k≤2.
【答案】
5.已知f(x)＝ax＋b，且f2(x)dx＝1，求f(a)的取值范围.
【解】 由f(x)＝ax＋b，f2(x)dx＝1，
得2a2＋6b2＝3，2a2＝3－6b2≥0，
所以－≤b≤，
所以f(a)＝a2＋b＝－3b2＋b＋
＝－3＋，
所以－≤f(a)≤.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评(十六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.dx等于( )
A.－2ln
2
B.2ln
2
C.－ln
2
D.ln
2
【解析】 dx＝ln
x|＝ln
4－ln
2＝ln
2.
【答案】 D
2.设a＝xdx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>c
B.c>a>b
C.a>c>b
D.c>b>a
【解析】 ∵a＝xdx＝＝，
b＝x2dx＝＝，c＝x3dx＝＝，
∴a>b>c.
【答案】 A
3.(2016·东莞高二检测)已知(kx＋1)dx＝k，则实数k＝( )
A.2
B.－2
C.1
D.－1
【解析】 (kx＋1)dx＝＝k＋1＝k，∴k＝2.
【答案】 A
4.已知f(x)＝2－|x|，则f(x)dx＝( )
A.3
B.4
C.
D.
【解析】 因为f(x)＝2－|x|＝所以
f(x)dx＝(2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋＝＋2＝.
【答案】 C
5.设f(x)＝则f(x)dx＝( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3＋
＝＋＝.
【答案】 D
二、填空题
6.(2015·长沙高二检测)若f(x)＝sin
x＋cos
x，
则f(x)dx＝________.
【解析】 因为f(x)＝sin
x＋cos
x，所以f(x)的一个原函数F(x)＝sin
x－cos
x，
则
(sin
x＋cos
x)dx＝F－F
＝－＝2.
【答案】 2
7.(2016·长沙高二检测)f(x)＝sin
x＋cos
x，则f(x)dx＝__________.
【解析】 f(x)dx＝
(sin
x＋cos
x)dx
＝(－cos
x＋sin
x)＝－
＝sin＋sin＝1＋1＝2.
【答案】 2
8.已知f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝__________.
【导学号：94210074】
【解析】 因为f(1)＝lg
1＝0，
且3t2dt＝t3|＝a3－03＝a3，
所以f(0)＝0＋a3＝1，所以a＝1.
【答案】 1
三、解答题
9.已知f(x)＝(12t＋4a)dt，F(a)＝[f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值.
【解】 因为f(x)＝(12t＋4a)dt＝(6t2＋4at)
＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)＝6x2＋4ax－2a2，
F(a)＝[f(x)＋3a2]dx＝(6x2＋4ax＋a2)dx
＝(2x3＋2ax2＋a2x)＝2＋2a＋a2＝(a＋1)2＋1≥1.
∴当a＝－1时，F(a)有最小值1.
10.设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，f(1)＝4，f′(1)＝1，f(x)dx＝，求f(x).
【解】 因为f(1)＝4，所以a＋b＋c＝4，①
f′(x)＝2ax＋b，
因为f′(1)＝1，所以2a＋b＝1，②
f(x)dx＝
＝a＋b＋c＝，③
由①②③可得a＝－1，b＝3，c＝2.
所以f(x)＝－x2＋3x＋2.
[能力提升]
1.已知等比数列，且a4＋a8＝dx，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为( )
A.π2
B.4
C.π
D.－9π
【解析】 dx表示以原点为圆心，半径r＝2在第一象限的面积，因此dx＝π，
a6(a2＋2a6＋a10)＝a6·a2＋2a6·a6＋a6·a10＝a＋2a4·a8＋a＝(a4＋a8)2＝π2，故选A.
【答案】 A
2.如图4 2 2所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
图4 2 2
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为S正方形＝1，
S阴影＝(－x)dx＝＝－＝，
所以点P恰好取自阴影部分的概率为＝.
【答案】 C
3.计算：(2|x|＋1)dx＝__________.
【解析】 (2|x|＋1)dx＝(－2x＋1)dx＋
(2x＋1)dx＝(－x2＋x)|＋(x2＋x)|
＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12.
【答案】 12
4.定义F(x，y)＝(1＋x)y，x，y∈(0，＋∞).令函数f(x)＝F(1，log2(x2－4x＋9))的图像为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A(0，m)，过坐标原点O作曲线C1的切线，切点为B(n，t)(n>0)，设曲线C1在点A，B之间的曲线段与OA，OB所围成图形的面积为S，求S的值.
【解】 ∵F(x，y)＝(1＋x)y，
∴f(x)＝F(1，log2(x2－4x＋9))
＝2＝x2－4x＋9，
故A(0，9)，f′(x)＝2x－4.
又∵过O作C1的切线，
切点为B(n，t)(n>0)，
∴解得B(3，6).
∴S＝(x2－4x＋9－2x)dx＝＝9.§3 定积分的简单应用
3.1 平面图形的面积
3.2 简单几何体的体积
1.会用定积分求平面图形的面积.(重点)
2.会用定积分求简单几何体的体积.(重点)
3.理解建立实际问题的积分模型的基本过程和方法.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 平面图形的面积
阅读教材P87～P88“例3”以上部分，完成下列问题.
1.当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝f(x)dx.
2.当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝－f(x)dx.
图4 3 1
3.当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝[f(x)－g(x)]dx.(如图4 3 1)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)曲线y＝sin
x，x∈与x轴围成的图形的面积为sin
xdx.( )
(2)曲线y＝x3与直线x＋y＝2，y＝0围成的图形的面积为x3dx＋(2－x)dx.( )
(3)曲线y＝3－x2与直线y＝－1围成的图形的面积为(4－x2)dx.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
教材整理2 简单旋转几何体的体积
阅读教材P89～P90“练习”以上部分，完成下列问题.
旋转体可看作由连续曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体，该几何体的体积为V＝π[f(x)]2dx.
由y＝x2，x＝1和y＝0所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 V＝πy2dx＝π(x2)2dx＝x5＝.
【答案】 C
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
利用定积分求平面图形的面积
(1)求由直线y＝x＋3，曲线y＝x2－6x＋13所围图形的面积S；
(2)求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积.
【精彩点拨】 (1)作出两函数的图像，并求其交点坐标.确定积分区间，利用定积分求面积S.
(2)求出三条曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下.
【自主解答】 (1)作出直线y＝x＋3，曲线y＝x2－6x＋13的草图，所求面积为图中阴影部分的面积.
解方程组得交点坐标为(2，5)和(5，8).
因此，所求图形的面积S＝(x＋3)dx－(x2－6x＋13)dx＝(－x2＋7x－10)dx＝＝.
(2)法一：由和解出O，A，B三点的横坐标分别是0，1，2.故所求的面积
S＝(2x－x)dx＋(2x－x2)dx
＝＋
＝－0＋－＝.
法二：由于点D的横坐标也是2，
故S＝(2x－x)dx－(x2－x)dx
＝－＝2－＋＝.
法三：因为′＝，
′＝－.
故所求的面积为
S＝dy＋dy
＝y2＋
＝＋－＝.
求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤：
(1)画出图形；
(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限；
(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图像上、下位置；
(4)写出平面图形面积的定积分表达式；
(5)运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积.
[再练一题]
1.由抛物线y＝x2－x，直线x＝－1及x轴围成的图形的面积为( )
【导学号：94210075】
A.
B.1
C.
D.
【解析】 由图可知，所求面积S＝(x2－x)dx＋
(x－x2)dx＝＋＝＋＝1.
【答案】 B
求简单几何体的体积
求由曲线y＝x2与y＝所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
【精彩点拨】 所求旋转体的体积可由两个不同的旋转体的体积作差得到，再利用定积分求解即可.
【自主解答】 曲线y＝x2与y＝所围成的平面图形如图阴影部分所示.
设所求旋转体的体积为V，根据图像可以看出V等于曲线y＝，直线x＝2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V1)减去曲线y＝x2，直线x＝2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V2).
V1＝π()2dx＝2πxdx＝2π·x2eq
\a\vs4\al(|)＝4π，
V2＝πdx＝x4dx＝×x5eq
\a\vs4\al(|)＝，所以V＝V1－V2＝4π－＝.
,
1.两个曲线围成的图形的面积旋转而成的图形的体积是两个体积的差，即V＝πf2(x)dx－πg2(x)dx，而不能写成V＝π[f(x)－g(x)]2dx.
2.求简单旋转体的体积时，首先要画出平面图形，分析旋转体的形状，再利用体积的定积分表达式V＝πf2(x)dx求解.
[再练一题]
2.设平面图形由上的曲线y＝sin
x及直线y＝，x＝围成，求此图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
【解】 先画草图.
设f(x)＝sin
x，x∈，g(x)＝.
则f(x)与g(x)的交点为.
V＝πdx＝πdx
＝πdx＝π＝＋π.
[探究共研型]
定积分的综合应用
探究1 设a＞0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，试求a的值.
【提示】 由已知得S＝dx＝x＝a＝a2，所以a＝，所以a＝.
探究2 若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是，试求c的值.
【提示】 由得x＝0或x＝.
∵0cx3，
∴S＝
(x2－cx3)dx＝＝－＝＝.
∴c3＝，∴c＝.
在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为，试求切点A的坐标及过切点A的切线方程.
【精彩点拨】 设出切点坐标，写出切线方程，利用定积分可列方程，解方程求得切点坐标，进一步求出切线方程.
【自主解答】 设切点A(x0，x)，切线斜率为k＝2x0，
∴切线方程为y－x＝2x0(x－x0).
令y＝0，得x＝，如图，
∴S＝x2dx＋
[x2－(2x0x－x)]dx＝x.
∴x＝，x0＝1.∴切点A的坐标为(1，1)，切线方程为y＝2x－1.
1.本题中求面积S时，易错误地写成S＝[x2－(2x0x－x)]dx.错误原因是没能分割好图形.
2.关于导数与积分的综合题，要充分利用导数的几何意义，求切线的斜率或方程，利用定积分的几何意义求面积，进而解决问题.
[再练一题]
3.(2016·济南高二检测)如图4 3 2，设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2，4)移动，如果直线OP，曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1，S2.
图4 3 2
(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；
(2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值.
【解】 (1)设点P的横坐标为t(0直线OP的方程为y＝tx.
S1＝(tx－x2)dx＝t3，
S2＝(x2－tx)dx＝－2t＋t3.
因为S1＝S2，
所以t＝，点P的坐标为.
(2)S＝S1＋S2＝t3＋－2t＋t3
＝t3－2t＋，S′＝t2－2，
令S′＝0得t2－2＝0.
因为00.
所以，当t＝时，S1＋S2有最小值－，
此时点P的坐标为(，2).
[构建·体系]
1.用S表示图4 3 3中阴影部分的面积，则S的值是( )
图4 3 3
A.f(x)dx
B.
C.f(x)dx＋f(x)dx
D.f(x)dx－f(x)dx
【解析】 ∵x∈[a，b]时，f(x)<0，x∈[b，c]时，f(x)>0，
∴阴影部分的面积
S＝f(x)dx－f(x)dx.
【答案】 D
2.直线y＝x，x＝1及x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是( )
A.π
B.
C.
D.1
【解析】 V＝πx2dx＝x3eq
\a\vs4\al(|)＝.
【答案】 B
3.由y＝x2，y＝x2及x＝1围成的图形的面积S＝________.
【解析】 图形如图所示，
S＝x2dx－x2dx＝x2dx
＝x3＝.
【答案】
4.由y＝x2，y＝x所围成的图形绕y轴旋转所得到的旋转体的体积V＝________.
【导学号：94210076】
【解析】 V＝π(y－y2)dy＝.
【答案】
5.计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S.
【解】 由得交点的横坐标为x＝0及x＝1.
因此，所求图形的面积为
S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OABD
＝dx－x2dx＝x－x3
＝－＝.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评(十七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若y＝f(x)与y＝g(x)是[a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x＝a，x＝b所围成的平面区域的面积为( )
A.[f(x)－g(x)]dx
B.[g(x)－f(x)]dx
C.|f(x)－g(x)|dx
D.
【解析】 当f(x)>g(x)时，
所求面积为[f(x)－g(x)]dx；
当f(x)≤g(x)时，
所求面积为[g(x)－f(x)]dx.
综上，所求面积为|f(x)－g(x)|dx.
【答案】 C
2.由抛物线y＝x2介于(0，0)点及(2，4)点之间的一段弧绕x轴旋转所得的旋转体的体积为( )
A.π
B.π
C.π
D.π
【解析】 V＝π(x2)2dx＝x5＝π.
【答案】 D
3.如图4 3 4，阴影部分的面积是( )
图4 3 4
A.2
B.2－
C.
D.
【解析】 S＝(3－x2－2x)dx＝＝.
【答案】 C
4.曲线y＝x2－1与x轴所围成图形的面积等于( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】 函数y＝x2－1与x轴的交点为(－1，0)，(1，0)，且函数图像关于y轴对称，故所求面积为S＝2(1－x2)dx＝2
＝2×＝.
【答案】 D
5.由xy＝4，x＝1，x＝4，y＝0围成的平面区域绕x轴旋转所得的旋转体的体积是( )
A.6π
B.12π
C.24π
D.3π
【解析】 因为xy＝4，所以y＝，
V＝πy2dx＝πdx
＝16πx－2dx＝－16πx－1
＝－16π＝12π.
【答案】 B
二、填空题
6.由曲线y＝与y＝x3所围成的图形的面积可用定积分表示为________.
【导学号：94210077】
【解析】
画出y＝和y＝x3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组得交点的横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为S＝(－x3)dx.
【答案】 (－x3)dx
7.由曲线y＝e，直线x＝0，x＝1以及x轴所围成的图形绕着x轴旋转一周形成的几何体的体积是________.
【解析】 体积V＝πexdx＝π(e－1).
【答案】 π(e－1)
8.由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为________.
【解析】 由得其交点坐标为(4，2).因此y＝与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为＝(－x＋2)dx＝＝×8－×16＋2×4＝.
【答案】
三、解答题
9.(2016·济宁高二检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图像如图4 3 5所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值.
图4 3 5
【解】 由题图知方程f(x)＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x1＝x2＝0，于是b＝0，所以f(x)＝x2(x＋a)，有＝[0－(x3＋ax2)]dx
＝－eq
\a\vs4\al(|)＝，
所以a＝±3.
又－a>0 a<0，得a＝－3.
10.设两抛物线y＝－x2＋2x，y＝x2所围成的图形为M，求：
(1)M的面积；
(2)将M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
【解】 如图，M为图中阴影部分.
(1)图中M的面积为
[(－x2＋2x)－x2]dx
＝(－2x2＋2x)dx
＝＝.
(2)M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为
π[(－x2＋2x)2－(x2)2]dx
＝π(－4x3＋4x2)dx
＝π·＝.
[能力提升]
1.直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )
A.
B.2
C.
D.
【解析】
∵抛物线方程为x2＝4y，∴其焦点坐标为F(0，1)，故直线l的方程为y＝1.如图所示，可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数y＝x2的图像和x轴正半轴及直线x＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分)，
即S＝4－2dx＝4－2·＝4－＝.
【答案】 C
2.已知过原点的直线l与抛物线y＝x2－2ax(a>0)所围成的图形面积为a3，则直线l的方程为( )
A.y＝ax
B.y＝±ax
C.y＝－ax
D.y＝－5ax
【解析】 显然，直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y＝kx，
由得交点坐标为(0，0)，(2a＋k，2ak＋k2)，
所以图形面积S＝[kx－(x2－2ax)]dx
＝
＝－
＝.
又因为S＝a3，所以＝a3，
解得k＝a，所以直线l的方程为y＝ax.故选A.
【答案】 A
3.一个半径为1的球可以看成是由曲线y＝与x轴所围成区域(半圆)绕x轴旋转一周得到的，则球的体积为________.
【解析】 V＝π(1－x2)dx
＝π(1－x2)dx＝π
＝π＝π.
【答案】 π
4.已知曲线C：y＝2x3－3x2－2x＋1，点P，求曲线C的过点P的切线l与曲线C围成的图形的面积.
【解】 设切线l与曲线C相切于点M(x0，y0)，由于y′＝6x2－6x－2，
所以有eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x－6x0－2＝\f(y0,x0－\f(1,2))，,y0＝2x－3x－2x0＋1，))
解得x0＝0，于是切线l的斜率k＝－2，
方程为y＝－2，即y＝－2x＋1.
解方程组
得或故切线l与曲线C围成图形的面积为
S＝|2x3－3x2－2x＋1－(－2x＋1)|dx
＝|2x3－3x2|dx＝，
即所求面积为.章末分层突破
[自我校对]
①－1 ②a＝c，b＝d
③z＝a－bi
④Z(a，b) ⑤ ⑥a＋c
⑦(b＋d)i
⑧(a－c)＋(b－d)i
复数的概念
正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.
两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.
求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.
复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，
(1)z∈R；(2)z为虚数.
【精彩点拨】 根据复数的分类列方程求解.
【规范解答】 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以
由②得x＝4，经验证满足①③式.
所以当x＝4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
所以
由①得x>或x<.
由②得x≠4，由③得x>3.
所以当x>且x≠4时，z为虚数.
[再练一题]
1.(1)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )
A.－3
B.－1
C.1
D.3
(2)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z的实部是__________.
【解析】 (1)因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.
(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i.
由复数相等的充要条件，得解得
故复数z的实部是1.
法二：由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝＝2＋3i，故z＝1＋3i，即复数z的实部是1.
【答案】 (1)D (2)1
复数的四则运算
复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母(i2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z·为实数.
(1)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数.若z＝1＋i，则＋i·＝( )
A.－2
B.－2i
C.2
D.2i
(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( )
A.2＋3i
B.2－3i
C.3＋2i
D.3－2i
【精彩点拨】 (1)先求出及，结合复数运算法则求解.
(2)利用方程思想求解并化简.
【规范解答】 (1)∵z＝1＋i，∴＝1－i，＝＝＝1－i，∴＋i·＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.
(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋i＝2＋3i.
【答案】 (1)C (2)A
[再练一题]
2.已知(1＋2i)
＝4＋3i，则的值为( )
A.＋i
B.－i
C.－＋i
D.－－i
【解析】 因为(1＋2i)
＝4＋3i，所以＝＝＝2－i，所以z＝2＋i，所以＝＝＝＋i.
【答案】 A
复数的几何意义
1.复数的几何表示法：即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示.此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.
2.复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变.
(1)在复平面内，复数对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
A.(0，－1)
B.(0，1)
C.
D.
【精彩点拨】 先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标.
【规范解答】 (1)复数＝＝＝＋i.
∴复数对应点的坐标是.
∴复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.
(2)∵＝＝＝－i，其对应的点为(0，－1)，故选A.
【答案】 (1)A (2)A
[再练一题]
3.(1)已知复数z对应的向量如图5 1所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
图5 1
(2)若i为虚数单位，图5 2中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
图5 2
A.E
B.F C.G D.H
【解析】 (1)由题图知，z＝－2＋i，∴z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，故z＋1对应的向量应为选项A.
(2)由题图可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1).
【答案】 (1)A (2)D
转化与化归思想
一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.
设z∈C，满足z＋∈R，且z－是纯虚数，求z.
【精彩点拨】 本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.
【规范解答】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
z＋＝x＋yi＋
＝＋i，
∵z＋∈R，
∴y－＝0，
解得y＝0或x2＋y2＝1，
又∵z－＝x＋yi－＝＋yi是纯虚数.
∴
∴x＝，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±，
∴复数z＝±i.
[再练一题]
4.满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由.
【解】 设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i，z＋3＝x＋3＋yi.
由已知，得
因为y≠0，
所以解得或
所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足题设条件.
1.(2016·全国卷Ⅱ)设复数z满足z＋i＝3－i，则＝( )
A.－1＋2i
B.1－2i
C.3＋2i
D.3－2i
【解析】 由z＋i＝3－i得z＝3－2i，∴＝3＋2i，故选C.
【答案】 C
2.(2015·广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝( )
A.2－3i
B.2＋3i
C.3＋2i
D.3－2i
【解析】 ∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴＝2－3i.
【答案】 A
3.(2015·安徽高考)设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】 ＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1，1)，该点位于第二象限，故选B.
【答案】 B
4.(2015·山东高考)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A.1－i
B.1＋i
C.－1－i
D.－1＋i
【解析】 由已知得＝i(1－i)＝i＋1，则z＝1－i，故选A.
【答案】 A
5.(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝( )
A.－3
B.－2
C.2
D.3
【解析】 (1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.
【答案】 A
章末综合测评(五) 数系的扩充与复数的引入
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知a，b∈C，下列命题正确的是( )
A.3i<5i
B.a＝0 |a|＝0
C.若|a|＝|b|，则a＝±b
D.a2≥0
【解析】 A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，b∈R时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝，但i≠－＋i或－i；D选项中，当a∈R时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i2＝－1<0.
【答案】 B
2.i是虚数单位，则的虚部是( )
A.i
B.－i
C.
D.－
【解析】 ＝＝＝＋i.
【答案】 C
3.＝( )
A.2
B.2
C.
D.1
【解析】 由＝＝＝1－i，
∴＝|1－i|＝.故选C.
【答案】 C
4.
是z的共轭复数.若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝( )
A.1＋i
B.－1－i
C.－1＋i
D.1－i
【解析】 法一：设z＝a＋bi，a，b为实数，则＝a－bi，∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.
法二：∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i.又z＋＝2，∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，
∴z＝1－i.
【答案】 D
5.复数的共轭复数为( )
【导学号：94210087】
A.－＋i
B.＋i
C.－i
D.－－i
【解析】 ∵＝＝＝－＋i，
∴其共轭复数为－－i.故选D.
【答案】 D
6.下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2；
p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i；
p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为( )
A.p2，p3
B.p1，p2
C.p2，p4
D.p3，p4
【解析】 ∵z＝＝－1－i，
∴|z|＝＝，
∴p1是假命题；
∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；
∵z＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题.
其中的真命题为p2，p4.
【答案】 C
7.复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为2＋3i，3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数是( )
A.－2＋3i
B.－3－2i
C.2－3i
D.3－2i
【解析】 设D(x，y)，由平行四边形对角线互相平分得∴
∴D(－3，－2)，∴对应复数为－3－2i.
【答案】 B
8.若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A.a＝－1
B.a≠－1且a≠2
C.a≠－1
D.a≠2
【解析】 要使复数不是纯虚数，则有
解得a≠－1.
【答案】 C
9.若a，b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】 复数对应点的坐标为(a2－6a＋10，－b2＋4b－5)，
又∵a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，
－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1<0.
∴复数对应的点在第四象限.故选D.
【答案】 D
10.如果复数z＝3＋ai满足条件|z－2|<2，那么实数a的取值范围是( )
A.(－2，2)
B.(－2，2)
C.(－1，1)
D.(－，
)
【解析】 因为|z－2|＝|3＋ai－2|＝|1＋ai|＝<2，所以a2＋1<4，所以a2<3，即－【答案】 D
11.若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则( )
A.b＝2，c＝3
B.b＝－2，c＝3
C.b＝－2，c＝－1
D.b＝2，c＝－1
【解析】 因为1＋i是实系数方程的一个复数根，所以1－i也是方程的根，则1＋i＋1－i＝2＝－b，(1＋i)(1－i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.
【答案】 B
12.设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A.若z2≥0，则z是实数
B.若z2<0，则z是虚数
C.若z是虚数，则z2≥0
D.若z是纯虚数，则z2<0
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确.
选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确.
选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，
由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误.
选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)
13.(2015·重庆高考)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
【解析】 ∵|a＋bi|＝＝，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.
【答案】 3
14.a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝__________.
【解析】 ＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.
又a为正实数，所以a＝.
【答案】
15.设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为__________.
【导学号：94210088】
【解析】 a＋bi＝＝＝＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.
从而a＋b＝8.
【答案】 8
16.若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________.
【解析】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－i|≤可得≤，即x2＋(y－1)2≤2，它表示以点(0，1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2π.
【答案】 2π
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)计算：
(1)(＋i)2(4＋5i)；
(2)＋.
【解】 (1)(＋i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)
＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.
(2)＋
＝＋
＝i(1＋i)＋
＝－1＋i＋(－i)1
008
＝－1＋i＋1
＝i.
18.(本小题满分12分)已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值.
【解】 由①得解得
将x，y代入②得(5＋4a)－(6＋b)i＝9－8i，
所以
所以a＝1，b＝2.
19.(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.
【解】 (1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z是实数.
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数.
(3)当即k＝4时，z是纯虚数.
(4)当即k＝－1时，z是0.
20.(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积.
【解】 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.
21.(本小题满分12分)已知复数z1＝i，z2＝－i，z3＝2－i，z4＝－在复平面上对应的点分别是A，B，C，D.
(1)求证：A，B，C，D四点共圆；
(2)已知＝2
，求点P对应的复数.
【解】 (1)证明：∵|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝，
即|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|，
∴A，B，C，D四点都在圆x2＋y2＝5上，
即A，B，C，D四点共圆.
(2)∵A(0，)，B(，－)，
∴＝(，－－).
设P(x，y)，则＝(x，y－)，
若＝2
，那么(，－－)＝(2x，2y－2)，
∴
解得
∴点P对应的复数为＋i.
22.(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量1，2分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R.若＋z2可以与任意实数比较大小，求1·2的值.
【解】 由题意，得＝－(10－a2)i，
则＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i
＝＋(a2＋2a－15)i.
因为＋z2可以与任意实数比较大小，
所以＋z2是实数，
所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又因为a＋5≠0，所以a＝3，所以z1＝＋i，z2＝－1＋i.
所以1＝，2＝(－1，1).
所以1·2＝×(－1)＋1×1＝.章末分层突破
[自我校对]
①面积、路程 ②做功 ③牛顿 莱布尼茨
④面积 ⑤体积
定积分的计算
1.利用定义求定积分.步骤：(1)分割区间；(2)求过剩估计值、不足估计值；(3)取极限.
2.利用定积分的几何意义求定积分.
3.利用微积分基本定理求定积分.若F′(x)＝f(x)，＝F(b)－F(a).
求下列定积分.
(1)dx；(2)
dx.
【精彩点拨】 (1)可用定积分的几何意义求解；
(2)先去绝对值号，然后结合定积分的性质求解.
【规范解答】 (1)dx表示的是图中阴影所示半径为2的半圆的面积.
其面积为×π×22＝2π，
所以dx＝2π.
(2)∵＝
∴dx＝dx＋dx.
∵′＝，
∴dx＝－＋＝－＋＋－＝.
[再练一题]
1.计算下列定积分.
(1)dx；
(2)
(cos
x＋2x)dx.
【解】 (1)∵dx＝dx
＝[ln
x－ln(x＋1)]eq
\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())＝ln
.
(2)
(cos
x＋2x)dx＝
＝2＋(2－2).
定积分在几何中的应用
1.由积分的概念可知，定积分在研究求解曲边平面图形的面积中有广泛的应用.求解时应将相应问题画出草图，适当分割后转化为定积分求解.
2.利用定积分也可以求出一些简单的几何体体积.如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等.计算由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而形成的旋转体的体积为V＝
求由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成的平面图形的面积.
【精彩点拨】 →→→
【规范解答】 画出草图，如图所示.
所求平面图形为图中阴影部分.
解方程组得交点A(1，5)，B(4，20).
故所求平面图形的面积
S＝(x2＋4－5x)dx＋(5x－x2－4)dx
＝＋
＝＋4－＋×42－×43－4×4－＋＋4＝.
[再练一题]
2.求曲线y＝sin
x，x∈[0，π]与x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周所得到旋转体的体积.
【导学号：94210078】
【解】 由体积公式V＝πy2dx＝π(sin
x)2dx
数形结合思想的应用
数形结合思想贯穿本章的始终，主要体现在利用定积分的几何意义求定积分及用定积分求曲边图形的面积.在做题前首先要画出图形，确定图形是在x轴的上方还是下方，并且通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限.
如图4 1所示，在区间[0，1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S1与S2之和最小.
图4 1
【精彩点拨】 确定被积函数，积分上、下限，求定积分，并用导数求最值.
【规范解答】 S1的面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴，直线x＝t围成的面积.
即S1＝t·t2－x2dx＝t3；
S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉一矩形面积，矩形边长分别为t2，1－t，
即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.
所以阴影部分面积
S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1).
令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，
得t＝0或t＝，
易知当t＝时，S最小，
所以最小值为S＝.
[再练一题]
3.(2016·潍坊高二检测)如图4 2，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值.
图4 2
【解】 抛物线y＝x－x2与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1，所以抛物线与x轴所围成图形的面积为
S＝(x－x2)dx＝＝－＝.
抛物线y＝x－x2与直线y＝kx交点的横坐标分别为x1′＝0，x2′＝1－k，
所以＝(x－x2－kx)dx＝＝(1－k)3，又知S＝，
所以(1－k)3＝，
于是k＝1－＝1－.
1.(2014·陕西高考)定积分(2x＋ex)dx的值为( )
A.e＋2
B.e＋1
C.e
D.e－1
【解析】
(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|＝e.故选C.
【答案】 C
2.(2014·江西高考)若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝( )
A.－1
B.－
C.
D.1
【解析】 ∵f(x)＝x2＋2f(x)dx，∴f(x)dx＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋2x∫f（x）dx))eq
\a\vs4\al(|)＝＋2f(x)dx，
∴f(x)dx＝－.
【答案】 B
3.(2014·湖北高考)若函数f(x)，g(x)满足则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 ①f(x)g(x)dx
＝sinxcosxdx＝sin
xdx
＝＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数；
②f(x)g(x)dx＝(x＋1)(x－1)dx
＝(x2－1)dx＝eq
\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())＝－≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；
③f(x)g(x)dx＝x·x2dx＝x3dx＝eq
\a\vs4\al(|)＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数.综上，满足条件的共有两组.
【答案】 C
4.(2015·湖南高考)(x－1)dx＝__________.
【解析】 (x－1)dx＝＝×22－2＝0.
【答案】 0
章末综合测评(四) 定积分
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.xdx表示平面区域的面积，则该平面区域用阴影表示为( )
A B C D
【解析】 由定积分的几何意义易知选项B正确.
【答案】 B
2.sin
xdx＝( )
A.1
B.2
C.－2
D.0
【解析】 sin
xdx＝－cos
xeq
\a\vs4\al(|)＝0.
【答案】 D
3.(3x2－2x3)dx＝( )
A.
B.2
C.－
D.－2
【解析】 (3x2－2x3)dx
＝(3x2)dx－(2x3)dx
＝3x2dx－2x3dx＝3×－2×
＝7－＝－.
【答案】 C
4.若(2－3x)dx＝－2(a>0)，则a的值为( )
A.2
B.
C.2或
D.2或－
【解析】 ∵a>0，∴(2－3x)dx＝eq
\a\vs4\al(|)＝2a－a2，由题知2a－a2＝－2，解得a＝2.
【答案】 A
5.曲线y2＝6ax，x＝2a(a>0)绕x轴旋转所得旋转体的体积为( )
A.2πa2
B.4πa2
C.12πa3
D.14πa3
【解析】 V＝πy2dx＝π6axdx＝3πax2eq
\a\vs4\al(|)＝12πa3.
【答案】 C
6.设f(x)＝则f(x)dx等于( )
【导学号：94210079】
A.
B.
C.
D.
【解析】 f(x)dx＝x2dx＋dx
＝x3＋ln
xeq
\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())＝.
【答案】 A
7.由y＝ex，x＝2，y＝e围成的曲边梯形的面积是( )
A.e2－2e
B.e2－e
C.e2
D.e
【解析】 所求面积为S＝(ex－e)dx
＝(ex－ex)＝e2－2e.
【答案】 A
8.(2016·石家庄高二检测)若dx＝3－ln
2，且a>1，则a的值为( )
A.6
B.4
C.3
D.2
【解析】 dx＝(x2－ln
x)|＝a2－ln
a－1，故有a2－ln
a－1＝3－ln
2，解得a＝2.
【答案】 D
9.若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A.S1B.S2C.S2D.S3【解析】 S1＝x2dx＝x3＝×23－＝，S2＝dx＝ln
x＝ln
2，
S3＝exdx＝ex＝e2－e＝e(e－1)，ln
2e＝1，且<2.52<【答案】 B
10.设f(x)＝若f[f(1)]＝1，则实数a的值是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】 因为x＝1>0，所以f(1)＝lg
1＝0.又x≤0时，f(x)＝x＋3t2dt＝x＋t3eq
\a\vs4\al(|)＝x＋a3，所以f(0)＝a3.
因为f[f(1)]＝1，所以a3＝1，解得a＝1.
【答案】 D
11.定积分(－x)dx等于( )
A.
B.－1
C.
D.
【解析】 (－x)dx
＝dx－xdx.
dx表示圆(x－1)2＋y2＝1的上半圆与x＝1，x＝0，y＝0围成的图形面积.
画出图形(略)可知
S1＝dx＝，
S2＝xdx＝，∴S＝S1－S2＝.
【答案】 A
12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A.1＋25ln
5
B.8＋25ln
C.4＋25ln
5
D.4＋50ln
2
【解析】 由v(t)＝7－3t＋＝0，可得t＝，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4
s，此期间行驶的距离为v(t)dt＝dt＝＝4＋25ln
5.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)
13.若(2x＋k)dx＝2，则k＝________.
【解析】 ∵(2x＋k)dx＝(x2＋kx)＝1＋k＝2，∴k＝1.
【答案】 1
14.曲线y2＝4ax，x＝a(a>0)绕x轴旋转所得的旋转体体积是________.
【导学号：94210080】
【解析】 由旋转体体积公式可得：
V＝πy2dx＝π4axdx＝4πaeq
\a\vs4\al(|)＝2πa3.
【答案】 2πa3
15.设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________.
【解析】 ∵(ax2＋c)dx＝ax＋c，∴＝ax.
∵a≠0，∴x＝，又0≤x0≤1，∴x0＝.
【答案】
16.曲线y＝x2和曲线y2＝x围成的图形的面积是________.
【解析】 作出两曲线y＝x2与y＝x围成的图形(如图阴影所示)，则图形的面积S＝dx＝＝－＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)由直线y＝kx(k>0)，直线y＝0，x＝1所围成的图形的面积为S1，由曲线y＝3－3x2，直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的图形的面积为S2，当S1＝S2时，求k的值及直线的方程.
【解】 依题意得S1＝kxdx＝kx2eq
\a\vs4\al(|)＝，
S2＝(3－3x2)dx＝(3x－x3)eq
\a\vs4\al(|)＝2.
∵S1＝S2，∴＝2，
解得k＝4，
则直线的方程为y＝4x.
18.(本小题满分12分)如图1所示，求由曲线y＝x2，x∈[0，3]，x＝0及y＝2所围成的平面图形绕y轴旋转一周所形成几何体的体积.
图1
【解】 根据题意和图形，所求体积V＝
π·(2)2dy＝4π
ydy＝4π×y2＝2π×＝.
19.(本小题满分12分)计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积.
【解】 由
解得x1＝0，x2＝3.
因此所求图形的面积为
S＝(x＋3)dx－(x2－2x＋3)dx
＝[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx
＝(－x2＋3x)dx＝＝.
20.(本小题满分12分)求由曲线y＝，直线y＝x－2以及x轴所围成的平面图形的面积.
【解】 作出直线y＝x－2，曲线y＝的草图，
所求平面图形的面积为图中阴影部分的面积.
可求得直线y＝x－2与曲线y＝的交点为(4，2).直线y＝x－2与x轴的交点为(2，0).阴影部分的面积(记为S)，由两部分组成：一部分是直线x＝2左边的图形的面积(记为S1)；另一部分是直线x＝2右边的图形的面积(记为S2).
则S＝S1＋S2
＝dx＋
＝xeq
\a\vs4\al(|)＋xeq
\a\vs4\al(|)－eq
\a\vs4\al(|)＝.
21.(本小题满分12分)设F(x)＝(t2＋2t－8)dt.
(1)求F(x)的单调区间；
(2)求F(x)在[1，3]上的最值.
【解】 依题意，F(x)＝(t2＋2t－8)dt
＝＝x3＋x2－8x，
定义域是(0，＋∞).
(1)F′(x)＝x2＋2x－8，
令F′(x)>0，得x>2或x<－4，
令F′(x)<0，得－4由于定义域是(0，＋∞)，
∴函数的增区间是(2，＋∞)，减区间是(0，2).
(2)令F′(x)＝0，得x＝2(x＝－4舍去)，
由于F(1)＝－，F(2)＝－，F(3)＝－6，
∴F(x)在[1，3]上的最大值是F(3)＝－6，最小值是F(2)＝－.
22.(本小题满分12分)求由曲线y＝x2，直线y＝2x＋3所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
【解】
曲线y＝x2与直线y＝2x＋3的交点为A(－1，1)，B(3，9)，则它们所围成的平面图形如图中阴影部分所示.
所以所得旋转体的体积V等于直线y＝2x＋3，x＝－1，x＝3与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(记为V1)减去曲线y＝x2，直线x＝－1，x＝3与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(记为V2).
又V1＝π(2x＋3)2dx＝π(4x2＋12x＋9)dx＝π·＝π.
V2＝π(x2)2dx＝πx4dx＝x5
＝π.所以所求旋转体的体积V＝V1－V2
＝π.§2 综合法与分析法
2.1 综合法
1.了解综合法的思考过程、特点.(重点)
2.会用综合法证明数学问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理 综合法
阅读教材P8～P9“练习”以上内容，完成下列问题.
1.综合法的定义
从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法.
2.综合法证明的思维过程
用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为：
→→→…→
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)综合法是由因导果的顺推证法.( )
(2)综合法证明的依据是三段论.( )
(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件.( )
【解析】 (1)正确.由综合法的定义可知该说法正确.
(2)正确.综合法的逻辑依据是三段论.
(3)正确.综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件.
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
用综合法证明三角问题
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin
A＝(2b－c)sin
B＋(2c－b)sin
C.
(1)求证：A的大小为60°；
(2)若sin
B＋sin
C＝.证明：△ABC为等边三角形.
【精彩点拨】 (1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A.
(2)结合(1)中A的大小利用三角恒等变形证明A＝B＝C＝60°.
【自主解答】 (1)由2asin
A＝(2b－c)sin
B＋(2c－b)·sin
C，
得2a2＝(2b－c)·b＋(2c－b)c，
即bc＝b2＋c2－a2，
所以cos
A＝＝，
所以A＝60°.
(2)由A＋B＋C＝180°，得B＋C＝120°，
由sin
B＋sin
C＝，得sin
B＋sin(120°－B)＝，
sin
B＋(sin
120°cos
B－cos
120°sin
B)＝，
sin
B＋cos
B＝，
即sin(B＋30°)＝1.
因为0°所以30°所以B＋30°＝90°，即B＝60°，
所以A＝B＝C＝60°，
即△ABC为等边三角形.
证明三角等式的主要依据
1.三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式.
2.和、差、倍角的三角函数公式.
3.三角形中的三角函数及三角形内角和定理.
4.正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式.
[再练一题]
1.求证：3－2cos2α＝.
【导学号：94210009】
【证明】 原式右边＝＝1＋＝1＋2sin2α＝1＋2(1－cos2α)
＝3－2cos2α＝左边.
所以原式成立.
用综合法证明几何问题
如图1 2 1，在四面体B ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，E，F分别是AB，BD的中点.求证：
(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
图1 2 1
【精彩点拨】 (1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF∥平面ACD，只需在平面ACD内找出一条直线和直线EF平行即可；
(2)根据面面垂直的判定定理，欲证明平面EFC⊥平面BCD，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可.
【自主解答】 (1)因为E，F分别是AB，BD的中点，所以EF是△ABD的中位线，所以EF∥AD，又EF平面ACD，AD?平面ACD，所以直线EF∥平面ACD.
(2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.
因为CB＝CD，F是BD的中点，所以CF⊥BD.又EF∩CF＝F，所以BD⊥平面EFC.
因为BD?平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.
本题是综合运用已知条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的，故证明空间位置关系问题，也是综合法的一个典型应用.在证明过程中，语言转化是主旋律，转化途径为把符号语言转化为图形语言或文字语言转化为符号语言.这也是证明空间位置关系问题的一般模式.
[再练一题]
2.如图1 2 2，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AD＝a，AB＝2a，E，F分别为C1D1，A1D1的中点.
图1 2 2
(1)求证：DE⊥平面BCE；
(2)求证：AF∥平面BDE.
【证明】 (1)∵BC⊥侧面CDD1C1，DE?侧面CDD1C1，∴DE⊥BC.
在△CDE中，CD＝2a，CE＝DE＝a，则有CD2＝DE2＋CE2，
∴∠DEC＝90°，∴DE⊥EC，
又∵BC∩EC＝C，∴DE⊥平面BCE.
(2)连接EF，A1C1，设AC交BD于O，连接EO，
∵EFA1C1，AOA1C1，
∴EFAO，
∴四边形AOEF是平行四边形，
∴AF∥OE.
又∵OE?平面BDE，AF平面BDE，
∴AF∥平面BDE.
[探究共研型]
用综合法证明不等式问题
探究 综合法证明不等式的主要依据有哪些？
【提示】 (1)a2≥0(a∈R).
(2)a2＋b2≥2ab，≥ab，a2＋b2≥.
(3)a，b∈(0，＋∞)，则≥，特别地，＋≥2.
(4)a－b≥0 a≥b；a－b≤0 a≤b.
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
已知x>0，y>0，x＋y＝1，求证：≥9.
【精彩点拨】 解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法证明.
【自主解答】 法一：因为x>0，y>0，1＝x＋y≥2，
所以xy≤.
所以＝1＋＋＋
＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9.
法二：因为1＝x＋y，
所以＝
＝＝5＋2.
又因为x>0，y>0，所以＋≥2，当且仅当x＝y时，取“＝”.
所以≥5＋2×2＝9.
综合法的证明步骤
1.分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等.
2.转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程.
特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程.
[再练一题]
3.将上例条件不变，求证：＋≥4.
【证明】 法一：因为x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝1，
所以x＋y≥2，当且仅当x＝y时，取“＝”，
所以≤，即xy≤，
所以＋＝＝≥4.
法二：因为x，y∈(0，＋∞)，
所以x＋y≥2>0，当且仅当x＝y时，取“＝”，
＋≥2>0，
当且仅当＝时，取“＝”，
所以(x＋y)≥4.
又x＋y＝1，所以＋≥4.
法三：因为x，y∈(0，＋∞)，所以＋＝＋
＝1＋＋＋1≥2＋2
＝4，
当且仅当x＝y时，取“＝”.
[构建·体系]
1.已知等差数列{an}中，a5＋a11＝16，a4＝1，则a12的值是( )
A.15
B.30 C.31 D.64
【解析】 ∵{an}为等差数列，
∴a5＋a11＝a4＋a12.
又∵a5＋a11＝16，a4＝1，∴a12＝15.
【答案】 A
2.已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确的命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又m?β，所以l⊥m，①正确；
若l⊥α，m?β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；
若l⊥α，m?β，α⊥β，l与m可能平行，③不正确；
若l⊥α，l∥m，则m⊥α，又m?β，所以α⊥β，④正确.
【答案】 B
3.若a，b，c是常数，则“a>0且b2－4ac<0”是“ax2＋bx＋c>0对任意x∈R恒成立”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 因为a>0且b2－4ac<0 ax2＋bx＋c>0对任意x∈R恒成立.反之，ax2＋bx＋c>0对任意x∈R恒成立不能推出a>0且b2－4ac<0，反例为：当a＝b＝0且c>0时也有ax2＋bx＋c>0对任意x∈R恒成立，
所以“a>0且b2－4ac<0”是“ax2＋bx＋c>0对任意实数x∈R恒成立”的充分不必要条件.
【答案】 A
4.已知p＝a＋(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p与q的大小关系是________.
【导学号：94210010】
【解析】 p＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，
－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2，∴q<22＝4≤p.
【答案】 p>q
5.(2016·济南高二检测)数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1，2，3，…).求证：
(1)数列为等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
【证明】 (1)∵an＋1＝Sn，而an＋1＝Sn＋1－Sn，
∴Sn＝Sn＋1－Sn，
∴Sn＋1＝Sn，
∴＝2，
又∵a1＝1，
∴S1＝1，∴＝1，
∴数列是首项为1，公比为2的等比数列.
(2)由(1)知的公比为2，而an＝Sn－1(n≥2)，
∴＝4＝·，
∴Sn＋1＝4an.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评(三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知a，b为非零实数，则使不等式＋≤－2成立的一个充分不必要条件是( )
A.a·b>0
B.a·b<0
C.a>0，b<0
D.a>0，b>0
【解析】 ∵＋≤－2，∴≤－2.
∵a2＋b2>0，
∴ab<0，则a，b异号，故选C.
【答案】 C
2.平面内有四边形ABCD和点O，＋＝＋，则四边形ABCD为( )
A.菱形
B.梯形
C.矩形
D.平行四边形
【解析】 ∵＋＝＋，
∴－＝－，
∴＝，
∴四边形ABCD为平行四边形.
【答案】 D
3.若实数a，b满足0【导学号：94210011】
A.
B.a2＋b2
C.2ab
D.a
【解析】 ∵a＋b＝1，a＋b>2，
∴2ab<.
而a2＋b2>＝.
又∵0∴a<，∴a2＋b2最大，故选B.
【答案】 B
4.A，B为△ABC的内角，A>B是sin
A>sin
B的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 若A>B，则a>b，
又＝，∴sin
A>sin
B；
若sin
A>sin
B，则由正弦定理得a>b，
∴A>B.
【答案】 C
5.若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )
A.若m?β，α⊥β，则m⊥α
B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
【解析】 对于A，m与α不一定垂直，所以A不正确；对于B，α与β可以为相交平面；对于C，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D，β与γ不一定垂直.
【答案】 C
二、填空题
6.设e1，e2是两个不共线的向量，＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，若A，B，C三点共线，则k＝________.
【解析】 若A，B，C三点共线，则＝λ，即2e1＋ke2＝λ(e1＋3e2)＝λe1＋3λe2，
∴
∴
【答案】 6
7.设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________.
【解析】 ∵a2－c2＝2－(8－4)＝－>0，∴a>c.
又∵＝＝>1，∴c>b，∴a>c>b.
【答案】 a>c>b
8.已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题.
【解析】 对不等式②作等价变形：> >0.于是，若ab>0，bc>ad，则>0，故①③ ②.若ab>0，>0，则bc>ad，故①② ③.若bc>ad，>0，则ab>0，故②③ ①.因此可组成3个正确的命题.
【答案】 3
三、解答题
9.如图1 2 3，四棱锥P ABCD的底面是平行四边形，E，F分别为AB，CD的中点，求证：AF∥平面PEC.
图1 2 3
【证明】 ∵四棱锥P ABCD的底面是平行四边形，
∴ABCD.
又∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴CFAE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF∥EC.
又AF平面PEC，EC?平面PEC，
∴AF∥平面PEC.
10.(2016·临沂高二检测)在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列.求证：△ABC为等边三角形.
【证明】 由A，B，C成等差数列知，B＝，由余弦定理知b2＝a2＋c2－ac，
又a，b，c也成等差数列，∴b＝，
代入上式得＝a2＋c2－ac，
整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，从而A＝C，
而B＝，则A＝B＝C＝，
从而△ABC为等边三角形.
[能力提升]
1.设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为( )
【导学号：94210012】
A.2
B.
C.1
D.
【解析】 ∵ax＝by＝3，x＝loga3，y＝logb3，
∴＋＝log3(ab)≤log3＝1.故选C.
【答案】 C
2.(2016·西安高二检测)在△ABC中，tan
A·tan
B>1，则△ABC是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
【解析】 因为tan
A·tan
B>1，
所以A，B只能都是锐角，
所以tan
A>0，tan
B>0，1－tan
A·tan
B<0，
所以tan(A＋B)＝<0，
所以A＋B是钝角，即C为锐角.
【答案】 A
3.若0【解析】 由0且a≠b，得a＋b>2，a2＋b2>2ab.
又a>a2，b>b2，
知a＋b>a2＋b2，从而a＋b最大.
【答案】 a＋b
4.(2016·泰安高二检测)如图1 2 4所示，M是抛物线y2＝x上的一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA＝MB.若M为定点，求证：直线EF的斜率为定值.
图1 2 4
【证明】 设M(y，y0)，直线ME的斜率为k(k>0)，
∵MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，
∴直线MF的斜率为－k，
∴直线ME的方程为y－y0＝k(x－y).
由eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－y0＝k（x－y），,y2＝x，))消去x得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0，
解得yE＝，∴xE＝.
同理可得yF＝，∴xF＝.
∴kEF＝＝＝
＝－(定值).
∴直线EF的斜率为定值.§4 导数的四则运算法则
4.1 导数的加法与减法法则
4.2 导数的乘法与除法法则
1.理解导数的四则运算法则.(重点)
2.能利用导数的四则运算法则求导.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 导数的加法与减法法则
阅读教材P42部分内容，完成下列问题.
两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x).
教材整理2 导数的乘法与除法法则
阅读教材P44“练习”以下至P45“例3”以上部分，完成下列问题.
一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，′＝(g(x)≠0).
特别地，当g(x)＝k时，有[kf(x)]′＝kf′(x).
若f(x)＝，则f′(x)＝________.
【解析】 f′(x)＝＝＝.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
导数的四则运算
(1)函数y＝(2x2＋3)(3x－2)的导数是________；
(2)函数y＝2xcos
x－3xln
x的导数是________；
(3)函数y＝的导数是________.
【精彩点拨】 仔细观察和分析各函数的结构特征，紧扣求导运算法则，联系基本初等函数求导公式，必要时可进行适当的恒等变形后求导.
【自主解答】 (1)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)·(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9.
法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，
∴y′＝18x2－8x＋9.
(2)y′＝(2xcos
x－3xln
x)′＝(2x)′cos
x＋2x(cos
x)′－3[x′ln
x＋x(ln
x)′]＝2xln
2cos
x－2xsin
x－3·＝2xln
2cos
x－2xsin
x－3ln
x－3.
(3)y′＝′
＝
＝＝.
【答案】 (1)y′＝18x2－8x＋9
(2)y′＝2x
ln2
cos
x－2x
sin
x－3
ln
x－3
(3)y′＝
1.先区分函数的结构特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的四则运算法则求导数.
2.对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程.
[再练一题]
1.求下列各函数的导数.
(1)y＝(＋1)；
(2)y＝x－sin
cos
；
(3)y＝.
【解】 (1)化简得y＝·－＋－1＝－x＋x，
∴y′＝－x－x＝.
(2)∵y＝x－sin
cos
＝x－sin
x，
∴y′＝′＝x′－(sin
x)′＝1－cos
x.
(3)y′＝＝.
利用导数求曲线的切线方程
求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程.
【导学号：94210044】
【精彩点拨】 点(1，－1)不一定是切点，故设出切点坐标(x0，y0)，求出f′(x0).写出切线方程，利用点(1，－1)在切线上求x0，从而求出切线方程.
【自主解答】 设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝f′(x)＝3x－2，
故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0).
①
∵(x0，y0)在曲线上，
∴y0＝x－2x0.
②
又∵(1，－1)在切线上，
∴将②式和(1，－1)代入①式得
－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0).
解得x0＝1或x0＝－.
∴k＝1或k＝－.
故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1
＝－(x－1)，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
1.求曲线的切线方程一定要分清是求曲线在点P处的切线方程，还是求过点P与曲线相切的直线方程.
2.本题中点(1，－1)虽然在曲线上，但经过该点的切线不一定只有一条，即该点可能是切点，也可能是切线与曲线的交点.
[再练一题]
2.求曲线y＝在点(1，1)处的切线方程.
【解】 y′＝＝，
∴当x＝1时，y′＝＝0，
即曲线在点(1，1)处的切线斜率k＝0.
因此，曲线y＝在点(1，1)处的切线方程为y＝1.
[探究共研型]
导数运算法则的综合应用
探究1 二次函数y＝f(x)的图像过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图像是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图像的顶点在第几象限？
【提示】 设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
∴f′(x)＝2ax＋b，∵y＝f′(x)＝2ax＋b的图像是一条过第一、二、三象限的直线，∴即a>0，b>0，
∴－<0，<0，∴f(x)的图像的顶点在第三象限.
探究2 若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，试求f′(－1)的值.
【提示】 由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即2a＋b＝1，f′(－1)＝－4a－2b＝－2(2a＋b)＝－2.
已知函数f(x)＝的图像在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，求函数y＝f(x)的解析式.
【精彩点拨】 利用点M为切点是切线与曲线的公共点，以及切线的斜率为f′(－1)＝－联立方程组，可求出a，b的值.
【自主解答】 由函数f(x)的图像在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知－1＋2f(－1)＋5＝0，
即f(－1)＝－2，由切点为M点得f′(－1)＝－.
∵f′(x)＝，
∴
即
解得a＝2，b＝3或a＝－6，b＝－1(由b＋1≠0，故b＝－1舍去).
所以所求的函数解析式为f(x)＝.
解决与切线有关的问题时，要充分运用切点的坐标.特别是切点的横坐标，因为切点的横坐标与导数有着直接的联系.
[再练一题]
3.(2016·青岛高二检测)图2 4 1中有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图像，则f(－1)＝( )
图2 4 1
A.
B.－
C.
D.－或
【解析】 f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，由题图①与②知，它们的对称轴都为y轴，此时a＝0，与题设不符合，故题图③是f(x)的导函数的图像.由题图③知f′(0)＝0，a<0，所以a＝－1，此时f(x)＝x3－x2＋1，所以f(－1)＝－.
【答案】 B
[构建·体系]
1.函数f(x)＝(x2＋1)x3的导数为( )
A.f′(x)＝5x4＋3x2
B.f′(x)＝6x5＋3x2
C.f′(x)＝5x3＋3x2
D.f′(x)＝6x5＋x3
【解析】 f(x)＝x5＋x3，f′(x)＝5x4＋3x2.
【答案】 A
2.函数y＝x2cos
2x的导数为( )
A.y′＝2xcos
2x－x2sin
2x
B.y′＝2xcos
2x－2x2sin
2x
C.y′＝x2cos
2x－2xsin
2x
D.y′＝2xcos
2x＋2x2sin
2x
【解析】 y′＝(x2)′cos
2x＋x2(cos
2x)′
＝2xcos
2x＋x2(－sin
2x)·(2x)′
＝2xcos
2x－2x2sin
2x.
【答案】 B
3.若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.
【解析】 因为y′＝α·xα－1，所以在点(1，2)处的切线斜率k＝α，则切线方程为y－2＝α(x－1).又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2.
【答案】 2
4.已知函数f(x)＝f′sin
x＋cos
x，则f′＝________.
【导学号：94210045】
【解析】 ∵f′(x)＝f′cos
x－sin
x，
∴f′＝f′cos
－sin
＝－1，
∴f′(x)＝－cos
x－sin
x，
∴f′＝－cos
－sin
＝－.
【答案】 －
5.求下列函数的导数.
(1)y＝x－2＋x2；
(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝.
【解】 (1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln
3＋1)·(3e)x－2xln
2.
(3)y′＝.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评(十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列结论不正确的是( )
A.若y＝3，则y′＝0
B.若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3
C.若y＝－＋x，则y′＝－＋1
D.若y＝sin
x＋cos
x，则y′＝cos
x＋sin
x
【解析】 D中，∵y＝sin
x＋cos
x，∴y′＝(sin
x)′＋(cos
x)′＝cos
x－sin
x.
【答案】 D
2.若对任意实数x，恒有f′(x)＝5x4，f(1)＝－1，则此函数为( )
A.f(x)＝－1＋x5
B.f(x)＝x5－2
C.f(x)＝x4－2
D.f(x)＝x5＋1
【解析】 由f(1)＝－1，排除A，D；又对任意实数x，恒有f′(x)＝5x4，则f(x)＝x5＋c
，故排除C，选B.
【答案】 B
3.曲线f(x)＝x3＋x－2在P0点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( )
A.(1，0)
B.(2，8)
C.(1，0)和(－1，－4)
D.(2，8)和(－1，－4)
【解析】 ∵f(x)＝x3＋x－2，∴f′(x)＝3x2＋1，
设P0(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.故P0点坐标为(1，0)或(－1，－4).
【答案】 C
4.设曲线f(x)＝在点(3，2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )
A.2
B.
C.－
D.－2
【解析】 ∵f(x)＝＝1＋，
∴f′(x)＝－，
∴f′(3)＝－，
∴－a＝2，即a＝－2.
【答案】 D
5.已知函数f(x)＝x2＋4ln
x，若存在满足1≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是( )
A.[5，＋∞)
B.[4，5]
C.
D.(－∞，4)
【解析】 f′(x)＝x＋，当1≤x0≤3时，
f′(x0)∈[4，5]，
又k＝f′(x0)＝m，所以m∈[4，5].
【答案】 B
二、填空题
6.函数y＝的导数是________.
【导学号：94210046】
【解析】 f′(x)＝＝.
【答案】
7.已知f(x)＝x2＋2f′x，则f′＝________.
【解析】 ∵f(x)＝x2＋2f′x，
∴f′(x)＝2x＋2f′，
∴f′＝2×＋2f′，
∴f′＝－2×，即f′＝.
【答案】
8.某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是s，s的单位是m)，则它在第4
s末的瞬时速度应该为________.
【解析】 ∵s′＝2t－，
∴v＝s′(4)＝8－＝7
m/s.
【答案】 7
m/s
三、解答题
9.点P是曲线y＝f(x)＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.
【解】 根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线f(x)＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图.
则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即
f′(x0)＝1.
∵f′(x)＝(ex)′＝ex，
∴ex＝1，得x0＝0，代入f(x)＝ex，得y0＝1，即P(0，1).
则点P到直线y＝x的最小距离为d＝＝.
10.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值.
【解】 因为y＝ax2＋bx＋c过点(1，1)，
所以a＋b＋c＝1.
y′＝2ax＋b，
曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a＋b＝1.
又曲线过点(2，－1)，
所以4a＋2b＋c＝－1.
由解得
所以a，b，c的值分别为3，－11，9.
[能力提升]
1.(2016·宁波高二检测)函数f(x)＝x＋xln
x在(1，1)处的切线方程为( )
A.2x＋y－1＝0
B.2x－y－1＝0
C.2x＋y＋1＝0
D.2x－y＋1＝0
【解析】 ∵f′(x)＝(x＋xln
x)′
＝1＋x′ln
x＋x(ln
x)′
＝1＋ln
x＋1＝2＋ln
x，
∴f′(1)＝2＋ln
1＝2，
∴函数f(x)在点(1，1)处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
【答案】 B
2.曲线f(x)＝x2＋bx＋c在点(1，2)处的切线与其平行直线bx＋y＋c＝0间的距离是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为曲线过点(1，2)，所以b＋c＝1，又f′(1)＝2＋b，由题意得2＋b＝－b，所以b＝－1，c＝2，
所以所求的切线方程为y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0.
故两平行直线x－y＋1＝0和x－y－2＝0的距离为d＝＝.
【答案】 C
3.(2016·菏泽高二检测)若曲线y＝xln
x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.
【导学号：94210047】
【解析】 设P(x0，y0).∵y＝xln
x，∴y′＝ln
x＋x·＝1＋ln
x.
∴k＝1＋ln
x0.又k＝2，∴1＋ln
x0＝2，∴x0＝e.
∴y0＝eln
e＝e，∴点P的坐标是(e，e).
【答案】 (e，e)
4.(2016·郑州高二检测)已知函数f(x)＝，且f(x)的图像在x＝1处与直线y＝2相切.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若P(x0，y0)为f(x)图像上的任意一点，直线l与f(x)的图像相切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.
【解】 (1)对函数f(x)求导，得f′(x)＝＝.
因为f(x)的图像在x＝1处与直线y＝2相切.
所以
即所以a＝4，b＝1，
所以f(x)＝.
(2)因为f′(x)＝，所以直线l的斜率
k＝f′(x0)＝eq
\f(4－4
x,（x＋1）2)＝4eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,（x＋1）2)－\f(1,x＋1)))，令t＝eq
\f(1,x＋1)，t∈(0，1]，
则k＝4(2t2－t)＝8－，
所以k∈.章末分层突破
[自我校对]
①加法与减法 ②乘法与除法 ③复合函数
导数的定义
函数f(x)在点x＝x0处的导数是f(x)在x0点附近的平均变化率＝；当Δx趋于0时的极限，即f′(x0)＝，这是数学上的“逼近思想”.
对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形.
利用导数的定义求函数y＝的导数.
【精彩点拨】 根据求导的步骤求解即可.
【规范解答】 y′＝＝
＝
＝
＝＝.
[再练一题]
1.设f(x)在x处可导，则＝( )
A.2f′(h)
B.f′(x)
C.f′(x)
D.4f′(x)
【解析】
＝
＝＋
＝f′(x).
【答案】 C
导数的几何意义
利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得
y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，
①
又y1＝f(x1)，
②
由①②求出x1，y1的值，
即求出了过点P(x0，y0)的切线方程.
已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.
【规范解答】 (1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上.
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，
即y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
y0＝x＋x0－16，
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
又∵直线l过点(0，0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，
∴x0＝－2.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
得切点坐标为(－2，－26)，k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，
切点坐标为(－2，－26).
[再练一题]
2.已知函数f(x)＝x－aln
x(a∈R).当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程.
【解】 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
当a＝2时，f(x)＝x－2ln
x，f′(x)＝1－(x>0)，
因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0.
求函数的导数
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
求下列函数的导数.
(1)y＝(1＋x2)cos
x；
(2)y＝－2x；
(3)y＝e.
【精彩点拨】 认真分析解析式的特征，判断函数是由基本初等函数的和、差、积、商构成还是复合构成，然后选择相应的求导法则进行运算.
【规范解答】 (1)∵y＝(1＋x2)cos
x，
∴y′＝2xcos
x＋(1＋x2)(－sin
x)
＝2xcos
x－sin
x－x2sin
x.
(2)∵y＝－2x，
∴y′＝－2xln
2
＝－2xln
2.
(3)y＝eu，u＝－ax2＋bx.
y′＝yu′·ux′＝eu·(－ax2＋bx)′
＝eu·(－2ax＋b)＝(－2ax＋b)e.
[再练一题]
3.求下列函数的导数.
(1)y＝x；
(2)y＝；
(3)y＝.
【解】 (1)∵y＝x＝x3＋1＋，
∴y′＝3x2－.
(2)∵y＝3x－x＋5－9x，
∴y′＝3(x)′－x′＋5′－9(x)′＝x－1＋x＝－1.
(3)y＝u，u＝1＋v2，v＝ln
x.
y′＝yu′·uv′·vx′＝u·2v·
＝··2ln
x·＝.
转化与化归思想
为了解决问题的方便，我们经常把所给问题进行形式上的转化，以使问题易于理解.本章中转化与化归思想主要体现在平均速度与瞬时速度的转化，平均变化率与瞬时变化率的转化.复合函数的导数[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)是利用两个简单函数导数的积求得，其中也体现了转化与化归思想.
已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A，B两点，O为坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△ABP的面积最大.
【精彩点拨】 因为|AB|为定值，故使△ABP的面积最大，只需求点P到AB的距离最大，问题转化为求平行于直线AB的切线的切点即可.
【规范解答】 设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图.由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A，B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧上的一点，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，y＝，y′＝，由题意知kAB＝，
所以kl＝＝，即x0＝1，
所以y0＝1，所以P(1，1).
[再练一题]
4.已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离.
【导学号：94210052】
【解】 根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则当x＝x0时，y′＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点坐标为，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
1.(2016·山东高考)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是( )
A.y＝sin
x
B.y＝ln
x
C.y＝ex
D.y＝x3
【解析】 若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，
使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，
则f′(x1)·f′(x2)＝－1.
对于A：y′＝cos
x，若有cos
x1·cos
x2＝－1，则存在x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；
对于B：y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，∵x>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；
对于C：y′＝ex，若有ex·ex＝－1，
即ex＋x＝－1.显然不存在这样的x1，x2；
对于D：y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，
即9xx＝－1，显然不存在这样的x1，x2.
综上所述，选A.
【答案】 A
2.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图像在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1.
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1).
∵切线过点(2，7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.
【答案】 1
3.(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y＝x＋ln
x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
【解析】 法一：∵y＝x＋ln
x，
∴y′＝1＋，y′＝2.
∴曲线y＝x＋ln
x在点(1，1)处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行).
由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
法二：同方法一得切线方程为y＝2x－1.
设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1).∵y′＝2ax＋(a＋2)，
∴y′＝2ax0＋(a＋2).
由eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2ax0＋（a＋2）＝2，,ax＋（a＋2）x0＋1＝2x0－1，))解得
【答案】 8
4.(2015·陕西高考)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为__________.
【解析】 y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－(x>0)，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－(m>0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1).
【答案】 (1，1)
5.(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________.
【解析】 因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln
x－3x，所以f′(x)＝－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.
【答案】 y＝－2x－1
章末综合测评(二) 变化率与导数
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.某质点沿直线运动的位移方程为f(x)＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )
A.－4
B.－5
C.－6
D.－7
【解析】 ＝
＝＝－6.
【答案】 C
2.设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )
A.1
B. C.－ D.－1
【解析】 y′＝2ax，于是切线斜率k＝f′(1)＝2a，由题意知2a＝2，∴a＝1.
【答案】 A
3.下列各式正确的是( )
A.(sin
α)′＝cos
α(α为常数)
B.(cos
x)′＝sin
x
C.(sin
x)′＝cos
x
D.(x－5)′＝－x－6
【解析】 由导数公式知选项A中(sin
α)′＝0；选项B中(cos
x)′＝－sin
x；选项D中(x－5)′＝－5x－6.
【答案】 C
4.设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a等于( )
【导学号：94210053】
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 令f(x)＝ax－ln(x＋1)，
则f′(x)＝a－.
由导数的几何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.
又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2.
∴a＝3.
【答案】 D
5.已知二次函数f(x)的图像如图1所示，则其导函数f′(x)的图像大致形状是( )
图1
A B C D
【解析】 由图像知f(x)＝ax2＋c(a<0)，∴f′(x)＝2ax(a<0)，故选B.
【答案】 B
6.已知函数y＝，则它的导函数是( )
A.y′＝
B.y′＝
C.y′＝
D.y′＝－
【解析】 u＝x－1，y′＝()′·u′＝＝＝.
【答案】 B
7.若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A.4x－y－3＝0
B.x＋4y－5＝0
C.4x－y＋3＝0
D.x＋4y＋3＝0
【解析】 切线l的斜率k＝4，设y＝x4的切点的坐标为(x0，y0)，则k＝4x＝4，∴x0＝1，∴切点为(1，1)，
即y－1＝4(x－1)，∴4x－y－3＝0.
【答案】 A
8.(2016·烟台二中期末检测)设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N＋)的前n项和是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，
∴f(x)＝x2＋x，∴＝＝＝－，∴数列(n∈N＋)的前n项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.故选A.
【答案】 A
9.如图2，下列图像中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图像，则f(－1)等于( )
图2
A.－
B.
C.
D.－或
【解析】 f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)＝[x＋(a－1)][x＋(a＋1)].
显然(2)(4)不符合，若(1)是f′(x)的图像，则有a＝0，与已知矛盾，故(3)是f′(x)的图像，∴a＝－1.
∴f(－1)＝－－1＋1＝－.
【答案】 A
10.过点(－1，0)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，则其中一条切线为( )
A.2x＋y＋2＝0
B.3x－y＋3＝0
C.x＋y＋1＝0
D.x－y＋1＝0
【解析】 y′＝2x＋1，设所求切线的切点为(x0，x＋x0＋1)，
则eq
\f(x＋x0＋1,x0＋1)＝2x0＋1，
∴x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，曲线y＝x2＋x＋1在点(0，1)处的切线斜率为1，方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.当x0＝－2时，切线方程为3x＋y＋3＝0.
【答案】 D
11.点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是( )
A.(1－ln
2)
B.(1＋ln
2)
C.
D.(1＋ln
2)
【解析】 y′＝2x－＝－1 x＝ y＝＋ln
2，所以切点为，切点到直线的距离就是两平行线间的距离，由点到直线的距离公式求得d＝＝(1＋ln
2)，故选B.
【答案】 B
12.已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为y＝，
所以y′＝＝＝.
因为ex>0，所以ex＋≥2，所以y′∈[－1，0)，所以tan
α∈[－1，0).
又因为α∈[0，π)，所以α∈.
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)
13.设函数y＝f(x)是一次函数，若f(1)＝－1，且f′(2)＝－4，则f(x)＝________.
【解析】 ∵y＝f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b，
∴f′(x)＝a，则f(1)＝a＋b＝－1，又f′(2)＝a＝－4.
即a＝－4，b＝3，∴f(x)＝－4x＋3.
【答案】 －4x＋3
14.若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标为－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________.
【导学号：94210054】
【解析】 ∵y′＝2x－1，
∴当x＝－2时，y′＝－5.
又P(－2，6＋c)，
∴＝－5，∴c＝4.
【答案】 4
15.设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a，b，c是两两不等的常数)，则＋＋＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝(x－b)(x－c)＋(x－a)·(x－c)＋(x－a)·(x－b)，
∴f′(a)＝(a－b)(a－c)，
同理f′(b)＝(b－a)(b－c)，
f′(c)＝(c－a)(c－b)，
代入原式中得值为0.
【答案】 0
16.设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝____.
【解析】 f′(x)＝－sin
(x＋φ)·(x＋φ)′＝－sin
(x＋φ)，
∴f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)
＝2
cos，当f(x)＋f′(x)为奇函数时，φ＋＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ＋，k∈Z，∵0<φ<π，∴φ＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)求下列函数的导数.
(1)y＝3x2＋xcos
x；
(2)y＝；
(3)y＝.
【解】 (1)y′＝(3x2)′＋(xcos
x)′
＝6x＋x′cos
x＋x(cos
x)′
＝6x＋cos
x－xsin
x.
(2)法一：y′＝
＝
＝＝.
法二：y′＝′
＝
＝
＝.
(3)∵y＝－＋＝x－1－2x－2＋5x－3，
∴y′＝－x－2－2×(－2)x－3＋5×(－3)x－4
＝－＋－.
18.(本小题满分12分)已知曲线y＝f(x)＝x3－8x＋2.
(1)求曲线在点(0，2)处的切线方程；
(2)过原点作曲线的切线l：y＝kx，求切线l的方程.
【解】 (1)∵f(x)＝x3－8x＋2，∴f′(x)＝3x2－8，则f′(0)＝－8，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y－2＝－8(x－0)，即8x＋y－2＝0.
(2)设切点为P(a，a3－8a＋2)，切线斜率k＝3a2－8，则切线方程y－(a3－8a＋2)＝(3a2－8)(x－a)，
又因为切线过原点，所以0－(a3－8a＋2)＝(3a2－8)(0－a)，即2a3－2＝0，所以a＝1，即切线l斜率为k＝－5，切线l方程为y＝－5x，即5x＋y＝0.
19.(本小题满分12分)(2016·广州高二检测)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限.
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程.
【解】 (1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知得3x2＋1＝4，解得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又因为点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4).
(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为－，
因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
20.(本小题满分12分)(2016·北京高考改编)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求过点(2，f(2))且与切线y＝(e－1)x＋4垂直的直线方程l.
【解】 (1)因为f(x)＝xea－x＋bx，
所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.
依题设，即
∴
(2)由(1)知kl＝，且f(2)＝2e＋2，
∴y－(2e＋2)＝(x－2).
即所求直线l的方程为y＝x＋＋2e＋2.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln
x＋x2.
(1)若a＝1，求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)对于任意x≥2使得f′(x)≥x恒成立，求实数a的取值范围.
【解】 (1)当a＝1时，f(x)＝ln
x＋x2，则f′(x)＝＋2x，故在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝f′(1)＝3，又f(1)＝1，即切点为(1，1)，故切线方程为y－1＝
3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)当x≥2时，f′(x)≥x，即＋2x≥x(x≥2)恒成立，即a≥－x2在x∈[2，＋∞)上恒成立.
令t＝－x2，当x∈[2，＋∞)时，易知tmax＝－4，为使不等式a≥－x2恒成立，则a≥－4，故实数a的取值范围为[－4，＋∞).
22.(本小题满分12分)(2016·无锡高二检测)已知两曲线f(x)＝x3＋ax，g(x)＝ax2＋bx＋c都经过点P(1，2)，且在点P有公切线.
(1)求a，b，c的值；
(2)设k(x)＝，求k′(－2)的值.
【解】 (1)依题意，即
故f(x)＝x3＋x，g(x)＝x2＋bx＋1－b，
所以f′(x)＝3x2＋1，g′(x)＝2x＋b，
由于两曲线在点P(1，2)处有公切线，故f′(1)＝g′(1)，即4＝2＋b，
所以b＝2.
故c＝1－b＝－1.
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋x，g(x)＝x2＋2x－1，
故k(x)＝＝，
故k′(x)＝
＝
＝.
故k′(－2)＝
＝－33.2.2 分析法
1.了解分析法的思维过程、特点.(重点)
2.会用分析法证明数学问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理 分析法
阅读教材P9～P11，完成下列问题.
1.分析法的定义
从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法.
2.分析法证明的思维过程
用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：
→→→…→
3.综合法和分析法的综合应用
在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，即可证明结论成立.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分析法就是从结论推向已知.( )
(2)分析法的推理过程要比综合法优越.( )
(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明.( )
【解析】 (1)错误.分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程.
(2)错误.分析法和综合法各有优缺点.
(3)正确.一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明.
【答案】 (1)× (2)× (3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
应用分析法证明不等式
已知a>b>0，求证：<－<.
【精彩点拨】 本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件.
【自主解答】 要证<－<，
只需证<<.
∵a>b>0，
∴同时除以，得<1<，
同时开方，得<1<，
只需证＋<2，且＋>2，
即证<，即证b∵a>b>0，∴原不等式成立，
即<－<.
1.分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式.
2.分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论 … … …已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误.
[再练一题]
1.(2016·合肥高二检测)已知a>0，求证：－≥a＋－2.
【导学号：94210013】
【证明】 要证－≥a＋－2，
只需证＋2≥a＋＋，
即证≥，
即a2＋＋4
＋4≥a2＋＋2
＋4，
只需证2≥
.
只需证4≥2，
即a2＋≥2.
上述不等式显然成立，故原不等式成立.
用分析法证明其他问题
(2016·合肥高二检测)求证：以过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－相切.
【精彩点拨】
【自主解答】 如图所示，过点A，B分别作AA′，BB′垂直准线于点A′，B′，取AB的中点M，作MM′垂直准线于点M′.要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝|AB|.由抛物线的定义有|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，
因此只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|).
根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y2＝2px焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－相切.
1.分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法.
2.分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等.
[再练一题]
2.已知＝1，求证：cos
α－sin
α＝3(cos
α＋sin
α).
【导学号：94210014】
【证明】 要证cos
α－sin
α＝3(cos
α＋sin
α)，
只需证＝3，只需证＝3，
只需证1－tan
α＝3(1＋tan
α)，只需证tan
α＝－.
∵＝1，∴1－tan
α＝2＋tan
α，即2tan
α＝－1.
∴tan
α＝－显然成立，∴结论得证.
[探究共研型]
综合法与分析法的综合应用
探究1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.
探究2 综合法与分析法有什么区别？
【提示】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.
在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，则能使x，a，y成等差数列；若插入两个数b，c，则能使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1).
【精彩点拨】 可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来.
【自主解答】 由已知条件得
消去x，y得2a＝＋，
且a>0，b>0，c>0.
要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，
只需证a＋1≥，因≤，
只需证a＋1≥，
即证2a≥b＋c.
由于2a＝＋，
故只需证＋≥b＋c，
只需证b3＋c3＝(b＋c)(b2＋c2－bc)≥(b＋c)bc，
即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0.
因为上式显然成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1).
综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证.
[再练一题]
3.已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：＋＝.
【证明】 要证＋＝，
即证＋＝3，
即证＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
只需证c2＋a2＝ac＋b2.
∵A，B，C成等差数列，
∴2B＝A＋C，
又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.
∵c2＋a2－b2＝2accos
B，
∴c2＋a2－b2＝ac，
∴c2＋a2＝ac＋b2，
∴＋＝成立.
[构建·体系]
1.要证明＋>2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )
A.综合法
B.分析法
C.比较法
D.归纳法
【解析】 由分析法和综合法定义可知选B.
【答案】 B
2.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A.a≤
B.ab≥
C.a2＋b2≥2
D.a2＋b2≤3
【解析】 ∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.
∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.
【答案】 C
3.－<成立的充要条件是( )
A.ab(b－a)>0
B.ab>0且a>b
C.ab<0且aD.ab(b－a)<0
【解析】 －< (－)3<()3 a－b－3＋3 ab2【答案】 D
4.设a>0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________.
【导学号：94210015】
【解析】 因为a＋b＋c＝1，且a>0，b>0，c>0，
所以＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
≥3＋2＋2＋2
＝3＋6＝9.
当且仅当a＝b＝c时等号成立.
【答案】 9
5.已知a，b，c∈R且不全相等，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
【证明】 法一：(分析法)
要证a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca，
只需证2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，
只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，
只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，
因为a，b，c∈R，
所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.
又因为a，b，c不全相等，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0成立.
所以原不等式a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca成立.
法二：(综合法)
因为a，b，c∈R，
所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.
又因为a，b，c不全相等，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，
所以(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，
所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，
所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若a，b∈R，则>成立的一个充分不必要条件是( )
A.ab>0
B.b>a
C.aD.ab(a－b)<0
【解析】 由a，但>不能推出a∴a的一个充分不必要条件.
【答案】 C
2.求证：－1>－.
证明：要证－1>－，
只需证＋>＋1，
即证7＋2＋5>11＋2＋1，即证>，
∵35>11，
∴原不等式成立.
以上证明应用了( )
A.分析法
B.综合法
C.分析法与综合法配合使用
D.间接证法
【解析】 该证明方法符合分析法的定义，故选A.
【答案】 A
3.(2016·汕头高二检测)要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )
A.2ab－1－a2b2≤0
B.a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D.(a2－1)(b2－1)≥0
【解析】 要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要证明(a2－1)(1－b2)≤0，即证(a2－1)(b2－1)≥0.
【答案】 D
4.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件( )
A.a2B.a2＝b2＋c2
C.a2>b2＋c2
D.a2≤b2＋c2
【解析】 由余弦定理得
cos
A＝<0，
∴b2＋c2－a2<0，
即b2＋c2【答案】 C
5.分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：A.a－b>0
B.a－c>0
C.(a－b)(a－c)>0
D.(a－b)(a－c)<0
【解析】 由题意知 b2＋a(a＋b)<3a2 b2＋a2＋ab<3a2
b2＋ab<2a2 2a2－ab－b2>0
a2－ab＋a2－b2>0 a(a－b)＋(a＋b)(a－b)>0
a(a－b)－c(a－b)>0 (a－b)(a－c)>0，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6.(2016·烟台高二检测)设A＝＋，B＝(a>0，b>0)，则A，B的大小关系为________.
【解析】 ∵A－B＝－＝＝≥0，∴A≥B.
【答案】 A≥B
7.(2016·西安高二检测)如果a>b，则实数a，b应满足的条件是________.
【导学号：94210016】
【解析】 要使a>b成立，只需(a)2>(b)2，只需a3>b3>0，即a，b应满足a>b>0.
【答案】 a>b>0
8.如图1 2 5，四棱柱ABCD A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写出一个条件即可).
图1 2 5
【解析】 要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.
【答案】 AC⊥BD(或底面为菱形)
三、解答题
9.设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
【证明】 法一：分析法
要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，
又因a＋b>0，
只需证a2－ab＋b2>ab成立，
只需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立.
而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，
由此命题得证.
法二：综合法
a≠b a－b≠0 (a－b)2>0 a2－2ab＋b2>0 a2－ab＋b2>ab.
注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得
(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，
∴a3＋b3>a2b＋ab2.
10.(2016·深圳高二检测)已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S.
【证明】 要证a2＋b2＋c2≥4S，
只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos
C)≥2absin
C，
即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，
因为2absin(C＋30°)≤2ab，
只需证a2＋b2≥2ab，
显然上式成立，所以a2＋b2＋c2≥4S.
[能力提升]
1.已知a，b，c，d为正实数，且<，则( )
A.<<
B.<<
C.<<
D.以上均可能
【解析】 先取特殊值检验，∵<，
可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，
则＝，满足<<.
∴B，C不正确.
要证<，∵a，b，c，d为正实数，
∴只需证a(b＋d)只需证<，而<成立，
∴<.同理可证<.故A正确，D不正确.
【答案】 A
2.(2016·黄冈高二检测)下列不等式不成立的是( )
A.a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
B.＋>(a>0，b>0)
C.－<－(a≥3)
D.＋>2
【解析】 对于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
对于B，∵(＋)2＝a＋b＋2，()2＝a＋b，∴＋>；
对于C，要证－<－(a≥3)成立，只需证明＋<＋，两边平方得2a－3＋2<2a－3＋2，即<，两边平方得a2－3a对于D，(＋)2－(2)2＝12＋4－24＝4(－3)<0，∴＋<2，故D错误.
【答案】 D
3.使不等式＋2>1＋成立的正整数p的最大值是________.
【导学号：94210017】
【解析】 由＋2>1＋，得<＋2－1，
即p<(＋2－1)2，
所以p<12＋4－4－2，
由于12＋4－4－2≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.
【答案】 12
4.(2016·唐山高二检测)已知a，b，c是不全相等的正数，且0＋logx
＋logx
【证明】 要证明logx＋logx＋logx只需要证明logx而已知0abc.
∵a，b，c是不全相等的正数，
∴≥>0，≥>0，≥>0，
∴··>＝abc，
即··>abc成立，
∴logx＋logx＋logx1.1 数的概念的扩展
1.2 复数的有关概念
1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.
2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.(重点)
3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.(易混点)
4.理解复数的几何表示.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 复数的有关概念及分类
阅读教材P99部分，完成下列问题.
1.复数的有关概念
(1)复数
①定义：形如a＋bi的数叫作复数，其中a，b∈R，i叫作虚数单位.a叫作复数的实部，b叫作复数的虚部.
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.
(2)复数集
①定义：复数的全体组成的集合叫作复数集.
②表示：通常用大写字母C表示.
2.复数的分类及包含关系
(1)复数a＋bi，a，b∈R
(2)集合表示：
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.( )
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数.( )
(3)bi是纯虚数.( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
教材整理2 复数的有关概念
阅读教材P100“1.2复数的有关概念”以下至P101“练习”以上部分，完成下列问题.
1.两个复数相等
a＋bi＝c＋di当且仅当a＝c，且b＝d.
2.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量＝(a，b).
3.复数的模
设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，且|z|＝.
如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为( )
A.x＝1，y＝－1
B.x＝0，y＝－1
C.x＝1，y＝0
D.x＝0，y＝0
【解析】 ∵(x＋y)i＝x－1，
∴∴x＝1，y＝－1.
【答案】 A
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
复数的概念与分类
(1)若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是( )
A.－1
B.1 C.±1 D.－1或－2
(2)已知复数z＝a＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为________.
(3)当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为：①实数？②虚数？③纯虚数？
【精彩点拨】 依据复数的分类标准，列出方程(不等式)组求解.
【自主解答】 (1)∵(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，∴由x2－1＝0，得x＝±1，又由x2＋3x＋2≠0，得x≠－2且x≠－1，∴x＝1.
(2)∵z是实数，∴a2－1＝0，∴a＝±1.
【答案】 (1)B (2)±1
(3)①当即m＝2时，复数z是实数.
②当m2－2m≠0，且m≠0，
即m≠0且m≠2时，复数z是虚数.
③当
即m＝－3时，复数z是纯虚数.
利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.
[再练一题]
1.复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是( )
A.|a|＝|b|
B.a<0且a＝－b
C.a>0且a≠b
D.a>0且a＝±b
【解析】 要使复数z为纯虚数，则
∴a>0，a＝±b.故选D.
【答案】 D
复数相等
(1)下列命题：
①若a＋bi＝0，则a＝b＝0；
②x＋yi＝2＋2i x＝y＝2；
③若y∈R，且(y2－1)－(y－1)i＝0，则y＝1.
其中正确命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
(2)已知x，y∈R，(x＋2y－1)＋(x－3y＋4)i＝10－5i，求x，y.
【精彩点拨】 根据复数相等的充要条件求解.
【自主解答】 (1)命题①，②中未明确a，b，x，y是否为实数，从而a，x不一定为复数的实部，b，y不一定是复数的虚部，故命题①②错误；命题③中，y∈R，从而y2－1，－(y－1)是实数，根据复数相等的条件得
∴y＝1，故③正确.
【答案】 B
(2)因为x，y∈R，所以(x＋2y－1)，(x－3y＋4)是实数，所以由复数相等的条件得解得
所以x＝3，y＝4.
1.复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则z1＝z2 a＝c且b＝d.
2.复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法.转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是：
①等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；
②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；
③解方程组，求出相应的参数.
[再练一题]
2.(1)(2016·重庆高二检测)若(x－y)＋(2x－3)i＝(3x＋y)＋(x＋2y)i(其中x，y为实数)，则x＝________，y＝________.
(2)已知(2x＋8y)＋(x－6y)i＝14－13i，则xy＝________.
【解析】 (1)由复数相等的意义得
所以
(2)由复数相等的意义，得
解得
所以xy＝－2.
【答案】 (1)1 －1 (2)－2
[探究共研型]
复数的几何意义
探究1 若向量对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，如何求1＋2对应的复数？
【提示】 因为向量对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，所以1＝(5，－4)，2＝(－5，4)，所以1＋2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以1＋2对应的复数是0.
探究2 若复数(a＋1)＋(a－1)i(a∈R)在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？
【提示】 a满足即－1＜a＜1.
(1)已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是( )
A.－
B.i
C.±i
D.±
(2)求复数z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比较它们模的大小.
【精彩点拨】 (1)设出复数z的虚部，由模的公式建立方程求解.
(2)用求模的公式直接计算.
【自主解答】 (1)设复数z的虚部为b，∵|z|＝2，实部为1，∴1＋b2＝4，∴b＝±，选D.
【答案】 D
(2)因为z1＝6＋8i，z2＝－－i，
所以|z1|＝＝10，
|z2|＝＝.
因为10>，
所以|z1|>|z2|.
1.复数集和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可以根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.
2.计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算.
3.两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
[再练一题]
3.(1)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________.
(2)已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围.
【解析】 (1)因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4，3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4，3)＝(－6，－8)，所以向量表示的复数是－6－8i.
【答案】 －6－8i
(2)∵z＝3＋ai(a∈R)，|z|＝
，
由已知得<4，
∴a2<7，
∴a∈(－，
).
[构建·体系]
—
1.给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 复数的平方不一定大于0，故①错误；2i－1的虚部为2，故②错误；2i的实部是0，③正确，故选B.
【答案】 B
2.已知复数z＝－3i，则复数的模|z|等于( )
A.5
B.8
C.6
D.
【解析】 |z|＝＝.
【答案】 D
3.下列命题正确的是__________(填序号).
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集.
【解析】 ①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题.
②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题.
③由复数集的分类知，③正确，是真命题.
【答案】 ③
4.复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________.
【导学号：94210081】
【解析】 ∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴解得x＞3.
【答案】 (3，＋∞)
5.已知复数z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i，则当实数m为何值时，复数z
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数.
【解】 z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i.
(1)令m2－m－6＝0 m＝3或m＝－2，即m＝3或m＝－2时，z为实数.
(2)令m2－m－6≠0，解得m≠－2且m≠3，所以m≠－2且m≠3时，z是虚数.
(3)由解得m＝－1，
所以m＝－1时，z是纯虚数.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评(十八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·泰安高二检测)－(2－i)的虚部是( )
A.－2
B.－
C.
D.2
【解析】 ∵－(2－i)＝－2＋i，
∴其虚部是.
【答案】 C
2.(2016·青岛高二检测)在复平面内，复数z＝sin
2＋icos
2对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】 ∵sin
2>0，cos
2<0，
∴复数z对应的点(sin
2，cos
2)在第四象限.故选D.
【答案】 D
3.(2016·肇庆高二检测)若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A.－2＋i
B.2＋i
C.1－2i
D.1＋2i
【解析】 由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.
【答案】 B
4.已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A.a≠2或a≠1
B.a≠2，且a≠1
C.a＝0
D.a＝2或a＝0
【解析】 由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2.故选D.
【答案】 D
5.如果复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z＝( )
【导学号：94210082】
A.－＋i
B.－i
C.－－i
D.＋i
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由复数相等的充要条件，得解得即z＝＋i.
【答案】 D
二、填空题
6.设i为虚数单位，若复数z＝(m2＋2m－3)＋(m－1)i是纯虚数，则实数m＝__________.
【解析】 依题意有解得m＝－3.
【答案】 －3
7.以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是__________.
【解析】 3i－的虚部为3，3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，所以所求的复数是3－3i.
【答案】 3－3i
8.复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是________.
【解析】 ∵|z|＝3，
∴＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以(－1，2)为圆心，以3为半径的圆.
【答案】 以(－1，2)为圆心，以3为半径的圆
三、解答题
9.已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时；
(1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z＝－4i
【解】 (1)∵z∈R，
∴解得m＝－3，
∴当m＝－3时，z∈R.
(2)∵z是虚数，
∴即
∴当m≠1且m≠－3时，z是虚数.
(3)∵z是纯虚数，
∴即
∴当m＝0或m＝－2时，z是纯虚数.
(4)∵z＝－4i，
∴即
∴m＝－1时，z＝－4i.
10.已知O为坐标原点，1对应的复数为－3＋4i，2对应的复数为2a＋i(a∈R).若1与2共线，求a的值.
【解】 因为1对应的复数为－3＋4i，2对应的复数为2a＋i，所以1＝(－3，4)，2＝(2a，1).因为1与2共线，所以存在实数k使2＝k1，即(2a，1)＝k(－3，4)＝(－3k，4k)，
所以所以
即a的值为－.
[能力提升]
1.若复数z＝＋i是纯虚数，则tan的值为( )
A.－7
B.－
C.7
D.－7或－
【解析】 ∵复数z是纯虚数，
∴∴sin
θ＝且cos
θ≠，∴cos
θ＝－.
∴tan
θ＝＝－.
∴tan＝＝＝－7，故选A.
【答案】 A
2.已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为( )
A.1＋i
B.2
C.(－1,
)
D.－1＋i
【解析】 设复数z对应的点为(x，y)，则
x＝|z|·cos
120°＝2×＝－1，
y＝|z|·sin
120°＝2×＝，
∴复数z对应的点为(－1,
)，∴z＝－1＋i.
【答案】 D
3.复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为__________.
【导学号：94210083】
【解析】 复数z＝－5－12i在复平面内对应点Z(－5，－12)，所以点Z与原点O的距离为|OZ|＝＝13.
【答案】 13
4.若m为实数，z1＝(m2＋1)＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝(4m＋2)＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1【解】 当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，
解得m＝0或m＝－1或m＝－2，
∴z1＝1或z1＝2或z1＝5.
当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，
解得m＝0或m＝1或m＝4，
∴z2＝2或z2＝6或z2＝18.
上面m的公共值为m＝0，此时，z1与z2同时为实数，且z1＝1，z2＝2.
∴当z1>z2时，m值的集合为空集；当z11.1 归纳推理
1.了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理.(重点)
2.了解归纳推理在数学发展中的作用.(难点)
[基础·初探]
教材整理 归纳推理
阅读教材P3～P5，完成下列问题.
1.归纳推理的定义
根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理.
2.归纳推理的特征
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.利用归纳推理得出的结论不一定是正确的.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理.( )
(2)由个别到一般的推理称为归纳推理.( )
(3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
数式中的归纳推理
(1)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，……，则a10＋b10＝( )
【导学号：94210000】
A.28
B.76
C.123
D.199
(2)已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为_________________________________________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________.
【精彩点拨】 (1)记an＋bn＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论.
(2)写出前n项发现规律，归纳猜想结果.
【自主解答】 (1)记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a10＋b10＝123.
(2)f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f1(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f2(f2(x))＝＝，
由f1(x)，f2(x)，f3(x)的表达式，归纳fn(x)＝.
【答案】 (1)C (2)f3(x)＝ fn(x)＝
已知等式或不等式进行归纳推理的方法：
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；
(4)运用归纳推理得出一般结论.
[再练一题]
1.经计算发现下列不等式：＋<2，＋<2，＋<2，……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________.
【答案】 当a＋b＝20时，有＋<2，a，b∈R＋
数列中的归纳推理
(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，则a2
017等于( )
A.2
B.－
C.－2
D.1
(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图1 1 1：
图1 1 1
由于图中1，3，6，10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n个三角形数的石子个数.
【精彩点拨】 (1)写出数列的前n项，再利用数列的周期性解答.
(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n的对应关系，进而归纳出第n个三角形数.
【自主解答】 (1)a1＝1，a2＝－，a3＝－2，a4＝1，…，数列{an}是周期为3的数列，2
017＝672×3＋1，∴a2
017＝a1＝1.
【答案】 D
(2)法一：由
1＝1，
3＝1＋2，
6＝1＋2＋3，
10＝1＋2＋3＋4，
可归纳出第n个三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝.
法二 观察项数与对应项的关系特点如下：
项数
1
2
3
4
对应项
分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积.
归纳：第n个三角形数的石子数应为.
数列中的归纳推理
在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.
(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；
(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；
(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.
[再练一题]
2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3，…)
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项公式an.
【导学号：94210001】
【解】 (1)当n＝1时，知a1＝1，
由an＋1＝2an＋1，
得a2＝3，
a3＝7，a4＝15，a5＝31.
(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，
可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N＋).
[探究共研型]
几何图形中的归纳推理
探究1 在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层(第一层)分别按图1 1 2所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值.
图1 1 2
【提示】 观察图形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20.
探究2 上述问题中，试用n表示出f(n)的表达式.
【提示】 由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n－1)＋.
将以上(n－1)个式子相加可得
f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋
＝[(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]
＝＝.
有两种花色的正六边形地面砖，按如图1 1 3的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
图1 1 3
A.26
B.31
C.32
D.36
【精彩点拨】 解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论.
【自主解答】 法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案
1
2
3
…
个数
6
11
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.
法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.
【答案】 B
归纳推理在图形中的应用策略
通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是：
[再练一题]
3.根据图1 1 4中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________.
图1 1 4
【解析】 分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1，5，13，29，因为1＝22－3，5＝23－3，13＝24－3，29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.
【答案】 509
[构建·体系]
1.(2016·厦门高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图1 1 5所示：
图1 1 5
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
A.6n－2
B.8n－2
C.6n＋2
D.8n＋2
【解析】 a1＝8，a2＝14，a3＝20，猜想an＝6n＋2.
【答案】 C
2.(2015·广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )
A.至多等于3
B.至多等于4
C.等于5
D.大于5
【解析】 n＝2时，可以；n＝3时，为正三角形，可以；n＝4时，为正四面体，可以；n＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能.
【答案】 B
3.(2016·福建安溪模拟)已知12＝×1×2×3，12＋22＝×2×3×5，12＋22＋32＝×3×4×7，12＋22＋34＋42＝×4×5×9，则12＋22＋…＋n2＝________.(其中n∈N
).
【解析】 根据题意归纳出12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，下面给出证明：(k＋1)3－k3＝3k2＋3k＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1，33－23＝3×22＋3×2＋1，……，(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，累加得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n，整理得12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，故填n(n＋1)(2n＋1).
【答案】 n(n＋1)(2n＋1)
4.观察下列等式：
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第五个等式应为________.
【导学号：94210002】
【解析】 由于1＝12，2＋3＋4＝9＝32，3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.
【答案】 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
5.有以下三个不等式：
(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2，
(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2，
(202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2.
请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论.
【解】 结论为：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
证明：(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2
＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－(a2c2＋b2d2＋2abcd)
＝a2d2＋b2c2－2abcd＝(ad－bc)2≥0.
所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.数列5，9，17，33，x，…中的x等于( )
A.47
B.65
C.63
D.128
【解析】 5＝22＋1，9＝23＋1，17＝24＋1，33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.
【答案】 B
2.观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2
401，…，则72
016的末两位数字为( )
【导学号：94210003】
A.01
B.43
C.07
D.49
【解析】 ∵75＝16
807，76＝117
649，由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故72
016＝74×504，故其末两位数字为01.
【答案】 A
3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 可以通过Sn＝n2·an(n≥2)分别代入n＝2，3，4，求得a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝.
【答案】 B
4.我们把1，4，9，16，25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图1 1 6).
图1 1 6
则第n个正方形数是( )
A.n(n－1)
B.n(n＋1)
C.n2
D.(n＋1)2
【解析】 观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.
【答案】 C
5.如图1 1 7所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )
图1 1 7
A.an＝3n－1
B.an＝3n
C.an＝3n－2n
D.an＝3n－1＋2n－3
【解析】 ∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想an＝3n－1.
【答案】 A
二、填空题
6.设f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2)，则x2，x3，x4分别为________，猜想xn＝________.
【解析】 x2＝f(x1)＝＝，x3＝f(x2)＝＝，x4＝f(x3)＝＝，∴xn＝.
【答案】 ，，
7.根据给出的数塔，猜测123
456×9＋7等于________.
1×9＋2＝11，
12×9＋3＝111，
123×9＋4＝1
111，
1
234×9＋5＝11
111，
12
345×9＋6＝111
111.
【解析】 由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123
456×9＋7＝1
111
111.
【答案】 1
111
111
8.如图1 1 8所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝______________，an＝______________.
图1 1 8
【解析】 依据图形特点可知当n＝6时，三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.
由n＝2，3，4，5，6时各图形的特点归纳得an＝3n－3(n≥2，n∈N＋).
【答案】 15 3n－3(n≥2，n∈N＋)
三、解答题
9.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式.
【解】 当n＝1时，S1＝a1＝1；
当n＝2时，＝－2－S1＝－3，
∴S2＝－；
当n＝3时，＝－2－S2＝－，
∴S3＝－；
当n＝4时，＝－2－S3＝－，
∴S4＝－.
猜想：Sn＝－(n∈N＋).
10.已知f(x)＝，分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.
【解】 由f(x)＝，得f(0)＋f(1)＝＋＝，
f(－1)＋f(2)＝＋＝，
f(－2)＋f(3)＝＋＝.
归纳猜想一般性结论为f(－x)＋f(x＋1)＝.
证明如下：
f(－x)＋f(x＋1)＝＋＝＋＝＋
＝＝＝.
[能力提升]
1.(2016·西安期末检测)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )
A.n＋1
B.2n
C.
D.n2＋n＋1
【解析】 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域，选C.
【答案】 C
2.(2016·南昌调研)已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，则第57个数对是( )
【导学号：94210004】
A.(2，10)
B.(10，2)
C.(3，5)
D.(5，3)
【解析】 由题意，发现所给数对有如下规律：
(1，1)的和为2，共1个；
(1，2)，(2，1)的和为3，共2个；
(1，3)，(2，2)，(3，1)的和为4，共3个；
(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为5，共4个；
(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和为6，共5个.
由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对.易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2，10).
【答案】 A
3.如图1 1 9①，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图1 1 9②，如此继续下去，得图1 1 9③，……，试用n表示出第n个图形的边数an＝________.
① ② ③
图1 1 9
【解析】 观察图形可知，a1＝3，a2＝12，a3＝48，…，故{an}是首项为3，公比为4的等比数列，故an＝3×4n－1.
【答案】 3×4n－1
4.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin
13°cos
17°；
②sin215°＋cos215°－sin
15°cos
15°；
③sin218°＋cos212°－sin
18°cos
12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos
48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos
55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.
【解】 (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin
15°cos
15°＝1－sin
30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin
αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin
αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)2－
sin
α(cos
30°·cos
α＋sin
30°sin
α)
＝sin2α＋cos2α＋sin
αcos
α＋sin2α－sin
αcos
α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.§3 反证法
1.了解间接证明的一种基本方法——反证法.
2.理解反证法的概念及思考过程和特点.(难点)
3.掌握反证法证题的基本步骤，会用反证法证明相关的数学问题.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理 反证法
阅读教材P13～P14“例3”以上内容，完成下列问题.
1.反证法的定义
在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.
2.反证法证明的思维过程
反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.
用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示：
→→→
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)反证法属于间接证明问题的方法.( )
(2)反证法的证明过程既可以是合情推理，也可以是一种演绎推理.( )
(3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾.( )
【解析】 (1)正确.反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接问题的方法.
(2)错误.反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理.
(3)错误.反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾.
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
用反证法证明否定性命题
等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
【精彩点拨】 第(1)问应用an＝a1＋(n－1)d和Sn＝na1＋n(n－1)d两式求解.第(2)问先假设存在三项bp，bq，br成等比数列，再用反证法证明.
【自主解答】 (1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得
∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋).
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈N＋，∴
∴＝pr，(p－r)2＝0，
∴p＝r，这与p≠r矛盾.
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
1.当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.
2.反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.
3.常见否定词语的否定形式如下表所示：
否定词语
否定词语的否定形式
没有
有
不大于
大于
不等于
等于
不存在
存在
[再练一题]
1.已知方程f(x)＝ax＋(a>1)，证明：方程f(x)＝0没有负数根.
【证明】 假设x0是方程f(x)＝0的负数根，则x0<0，x0≠－1且ax0＋＝0，所以ax0＝－.
又当x0<0时，0即0<－1＋<1，1<<2，解得这与x0<0矛盾，
所以假设不成立，故方程f(x)＝0没有负数根.
用反证法证明“至多”“至少”问题
已知x，y，z均大于零，求证：x＋，y＋，z＋这三个数中至少有一个不小于4.
【精彩点拨】 本题中含有“至少”，不宜直接证明，故可采用反证法证明.
【自主解答】 假设x＋，y＋，z＋都小于4，
即x＋<4，y＋<4，z＋<4，
于是得＋＋<12，
而＋＋＝＋＋≥2
＋2
＋2
＝12，
这与＋＋<12矛盾，
因此假设错误，即x＋，y＋，z＋中至少有一个不小于4.
1.用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确.否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误.
2.用反证法证明“至多”“至少”问题时常见的“结论词”与“反设词”如下：
结论词
反设词
结论词
反设词
至少有一个
一个也没有
对所有x成立
存在某个x0不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x0成立
至少有n个
至多有n－1个
p或q
﹁p且﹁q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
﹁p或﹁q
[再练一题]
2.若x>0，y>0，且x＋y>2，求证：与至少有一个小于2.
【导学号：94210018】
【证明】 假设与都不小于2，
即≥2，≥2.
∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x，1＋x≥2y，
两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)，
∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾，
∴假设不成立，原命题成立.
故与至少有一个小于2.
[探究共研型]
用反证法证明“唯一性”命题
探究1 用反证法证明数学命题的步骤是什么？
【提示】 (1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真.
(2)归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果.
(3)存真：由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立.
探究2 如何证明两条相交直线有且只有一个交点？
【提示】 假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.所以两条相交直线有且只有一个交点.
已知一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直.
【精彩点拨】
【自主解答】 根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明.
(1)如图(1)，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a?α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.
(1)
(2)如图(2)，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC?α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.
(2)
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.
综上，经过一点A只能有一条直线和平面α垂直.
证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了.
[再练一题]
3.若函数f(x)在区间[a，b]上的图像连续不断，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.
【证明】 由于f(x)在[a，b]上的图像连续不断，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，
所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，
则f(m)＝0，
假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，
即f(n)＝0，则n≠m.
若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；
若n因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.
[构建·体系]
1.应用反证法推出矛盾的推理过程中可作为条件使用的是( )
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论.
A.①②
B.②③
C.①②③
D.①②④
【解析】 根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”“已知条件”“公理、定理、定义等”作为条件使用.
【答案】 C
2.实数a，b，c不全为0等价于( )
A.a，b，c均不为0
B.a，b，c中至多有一个为0
C.a，b，c中至少有一个为0
D.a，b，c中至少有一个不为0
【解析】 不全为0即至少有一个不为0，故选D.
【答案】 D
3.命题“△ABC中，若A>B，则a>b”的结论的否定应该是( )
A.aB.a≤b
C.a＝b
D.a≥b
【解析】 “大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”，故选B.
【答案】 B
4.用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”，正确的假设为________.
【导学号：94210019】
【解析】 a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c中至少有一个偶数”.
【答案】 a，b，c中至少有一个偶数
5.若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根.
【证明】 假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c，这与a，b，c互不相等矛盾.
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评(五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )
A.有两个内角是钝角
B.有三个内角是钝角
C.至少有两个内角是钝角
D.没有一个内角是钝角
【解析】 “最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.
【答案】 C
2.下列命题错误的是( )
A.三角形中至少有一个内角不小于60°
B.四面体的三组对棱都是异面直线
C.闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点
D.设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数
【解析】 a＋b为奇数 a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误.
【答案】 D
3.“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为( )
A.a，b，c都是奇数
B.a，b，c都是偶数
C.a，b，c中至少有两个偶数
D.a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
【解析】 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数.所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数.
【答案】 D
4.设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( )
【导学号：94210020】
A.至少有一个不大于2
B.都小于2
C.至少有一个不小于2
D.都大于2
【解析】 若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，①
而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，②
显然①②矛盾，所以C正确.
【答案】 C
5.(2016·温州高二检测)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为( )
A.①②③
B.①③②
C.②③①
D.③①②
【解析】 根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论.
【答案】 D
二、填空题
6.(2016·南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________.
【解析】 “至少有一个”的否定是“没有一个”.
【答案】 任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形
7.(2016·汕头高二检测)用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应是________.
【解析】 与的关系有三种情况：>，＝和<，所以“>”的反设应为“≤”.
【答案】 ≤
8.(2016·石家庄高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).
【解析】 若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出.若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出.
若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出.
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.
反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
【答案】 ③
三、解答题
9.已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明：a，b，c至少有一个不小于1.
【证明】 假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3.
而与a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝2＋3≥3矛盾，故假设不成立，即a，b，c至少有一个不小于1.
10.已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：
，
，
不成等差数列.
【证明】 假设，
，
成等差数列，则＋＝2，两边同时平方得a＋c＋2＝4b.
把b2＝ac代入a＋c＋2＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾.
所以，
，
不成等差数列.
[能力提升]
1.有以下结论：
①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；
②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
下列说法中正确的是( )
A.①与②的假设都错误
B.①与②的假设都正确
C.①的假设正确；②的假设错误
D.①的假设错误；②的假设正确
【解析】 用反证法证题时一定要将对立面找准.在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的.
【答案】 D
2.已知命题“在△ABC中，A≠B.求证sin
A≠sin
B”.若用反证法证明，得出的矛盾是( )
A.与已知条件矛盾
B.与三角形内角和定理矛盾
C.与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾
D.与大边对大角定理矛盾
【解析】 证明过程如下：假设sin
A＝sin
B，因为0A≠sin
B.
【答案】 C
3.(2016·九江高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________.
【导学号：94210021】
【解析】 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手.
【答案】 丙
4.(2016·温州高二检测)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列.
【证明】 假设数列{cn}是等比数列，则
(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1).
①
因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，
所以a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1.
代入①并整理，得
2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1
＝anbn，
即2＝＋.
②
当p，q异号时，＋<0，与②相矛盾；
当p，q同号时，由于p≠q，
所以＋>2，与②相矛盾.
故数列{cn}不是等比数列.§5 简单复合函数的求导法则
1.了解复合函数的概念.(难点)
2.掌握复合函数的求导法则.(重点)
3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 复合函数的概念
阅读教材P49倒数第2行以上部分，完成下列问题.
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量.
下列函数不是复合函数的是( )
A.y＝－x3－＋1
B.y＝cos
C.y＝
D.y＝(2x＋3)4
【解析】 A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cos
u的复合函数，C中的函数可看作函数u＝ln
x，y＝的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选A.
【答案】 A
教材整理2 复合函数的求导法则
阅读教材P49最后两行至P50部分，完成下列问题.
复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积.
(ln
2x)′等于( )
A.
B. C. D.
【解析】 (ln
2x)′＝(2x)′＝.
【答案】 B
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
复合函数的定义
指出下列函数是怎样复合而成的.
(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos
3x.
【精彩点拨】 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系.
【自主解答】 (1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的.
(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的.
(3)y＝cos
3x是由函数y＝cos
u，u＝3x复合而成的.
判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次运算而得到的函数.
[再练一题]
1.指出下列函数由哪些函数复合而成.
(1)y＝ln
；(2)y＝esin
x；(3)y＝cos(x＋1).
【解】 (1)y＝ln
u，u＝.
(2)y＝eu，u＝sin
x.
(3)y＝cos
u，u＝x＋1.
求复合函数的导数
求下列函数的导数.
(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；
(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin
3x.
【精彩点拨】 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导.
【自主解答】 (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4
＝－6(2x－1)－4＝－.
(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin
x的复合函数，函数y＝sin
3x可看作函数y＝sin
v和v＝3x的复合函数.
∴y′x＝(u3)′·(sin
x)′＋(sin
v)′·(3x)′
＝3u2·cos
x＋3cos
v
＝3sin2x
cos
x＋3cos
3x.
1.解答此类问题常犯两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成.
2.复合函数求导的步骤
[再练一题]
2.求下列函数的导数.
(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝；
(3)y＝sin；(4)y＝102x＋3.
【解】 (1)原函数可看作y＝u4，u＝2x－1的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.
(2)y＝＝(1－2x)可看作y＝u－，u＝1－2x的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝u·(－2)
＝(1－2x)
＝.
(3)原函数可看作y＝sin
u，
u＝－2x＋的复合函数，
则yx′＝yu′·ux′＝cos
u·(－2)＝－2cos＝－2cos.
(4)原函数可看作y＝10u，u＝2x＋3的复合函数，
则yx′＝yu′·ux′＝102x＋3·ln
10·2＝(2ln
10)102x＋3.
[探究共研型]
复合函数导数的应用
探究1 求曲线y＝cos在x＝处切线的斜率.
【提示】 ∵y′＝－2sin，
∴切线的斜率k＝－2sin＝－2.
探究2 求曲线y＝f(x)＝e2x＋1在点处的切线方程.
【提示】 ∵f′(x)＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1，
∴f′＝2，
∴曲线y＝e2x＋1在点处的切线方程为y－1＝2，
即2x－y＋2＝0.
已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，求实数a的值.
【精彩点拨】 求出导数f′(1)，写出切线方程，由直线l与圆C相切，建立方程求解.
【自主解答】 因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，
所以f′(1)＝2a－2，
所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.
因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解得a＝.
关于复合函数导数的应用及其解决方法
1.应用
复合函数导数的应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.
2.方法
先求出复合函数的导数，若切点已知，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用.
[再练一题]
3.曲线y＝f(x)＝esin
x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程.
【导学号：94210048】
【解】 设u＝sin
x，则f′(x)＝(esin
x)′
＝(eu)′(sin
x)′＝cos
xesin
x.
f′(0)＝1.
则切线方程为y－1＝x－0，
即x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行可设直线l的方程为x－y＋c＝0.
两平行线间的距离d＝＝ c＝3或c＝－1.
故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.
[构建·体系]
—
1.函数y＝cos
(－x)的导数是( )
A.cos
x
B.－cos
x
C.－sin
x
D.sin
x
【解析】 y′＝－sin
(－x)(－x)′＝－sin
x.
【答案】 C
2.若f(x)＝e2xln
2x，则f′(x)＝( )
A.e2xln
2x＋
B.e2xln
2x＋
C.2e2xln
2x＋
D.2e2x·
【解析】 f′(x)＝(e2x)′ln
2x＋e2x(ln
2x)′
＝2e2xln
2x＋.
【答案】 C
3.已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.
【解析】 f′(x)＝·(3x－1)′＝，
∴f′(1)＝.
【答案】
4.设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
【导学号：94210049】
【解析】 令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝(eax)·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.
【答案】 2
5.求下列函数的导数.
(1)y＝cos(x＋3)；(2)y＝(2x－1)3；
(3)y＝e－2x＋1.
【解】 (1)函数y＝cos(x＋3)可以看做函数y＝cos
u和u＝x＋3的复合函数，
由复合函数的求导法则可得
yx′＝yu′·ux′＝(cos
u)′·(x＋3)′
＝－sin
u·1＝－sin
u＝－sin(x＋3).
(2)函数y＝(2x－1)3可以看做函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，
由复合函数的求导法则可得
yx′＝yu′·ux′＝(u3)′·(2x－1)′
＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.
(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评(十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若函数f(x)＝3cos，则f′等于( )
A.－3
B.3
C.－6
D.6
【解析】 f′(x)＝－6sin，
∴f′＝－6sin＝6sin
＝3.
【答案】 B
2.函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
A.y′＝ln(2x＋5)－
B.y′＝ln(2x＋5)＋
C.y′＝2xln(2x＋5)
D.y′＝
【解析】 y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.
【答案】 B
3.曲线y＝f(x)＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于( )
A.2e
B.e
C.2
D.1
【解析】 y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为f′(1)＝2.
【答案】 C
4.函数y＝cos
2x＋sin的导数为( )
A.y′＝－2sin
2x＋
B.y′＝2
sin
2x＋
C.y′＝－2sin
2x＋
D.y′＝2sin
2x－
【解析】 y′＝－sin
2x·(2x)′＋cos
·()′
＝－2sin
2x＋·cos
＝－2sin
2x＋.
【答案】 A
5.曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
【导学号：94210050】
A.e2
B.4e2
C.2e2
D.e2
【解析】 因为导函数y′＝e，
所以曲线在点(4，e2)处的切线的斜率为e2.
于是切线方程为y－e2＝e2(x－4).
令x＝0，解得y＝－e2；令y＝0，解得x＝2.
所以S＝e2×2＝e2.
【答案】 D
二、填空题
6.若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________.
【解析】 f′(x)＝[log3(x－1)]′
＝，
∴f′(2)＝.
【答案】
7.(2016·广州高二检测)若函数为y＝sin4x－cos4x，则y′＝________________.
【解析】 ∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos
2x，
∴y′＝(－cos
2x)′＝－(－sin
2x)·(2x)′
＝2
sin
2x.
【答案】 2sin
2x
8.若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________.
【解析】 设P(x0，y0)，∵y＝e－x，
∴y′＝－e－x，
∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，
∴－x0＝ln
2，∴x0＝－ln
2，
∴y0＝eln
2＝2，∴点P的坐标为(－ln
2，2).
【答案】 (－ln
2，2)
三、解答题
9.已知函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f′(2)＝5，求实数a的值.
【解】 f′(x)＝(1－ax)2＋x[(1－ax)2]′
＝(1－ax)2＋x[2(1－ax)(－a)]
＝(1－ax)2－2ax(1－ax).
由f′(2)＝(1－2a)2－4a(1－2a)
＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1.
10.求曲线f(x)＝2sin2x在点P处的切线方程.
【解】 因为f′(x)＝(2sin2x)′＝2×2sin
x×(sin
x)′＝2×2sin
x×cos
x＝2sin
2x，
所以f′＝2sin＝.
所以过点P的切线方程为y－＝，
即x－y＋－＝0.
[能力提升]
1.(2016·长沙高二检测)函数y＝sin
2x－cos
2x的导数是( )
A.y′＝2
cos
B.y′＝cos
2x－sin
2x
C.y′＝sin
2x＋cos
2x
D.y′＝2cos
【解析】 ∵y′＝(sin
2x－cos
2x)′
＝(sin
2x)′－(cos
2x)′
＝cos
2x·(2x)′＋sin
2x·(2x)′＝2cos
2x＋2sin
2x
＝2＝2cos，
故选A.
【答案】 A
2.(2016·潍坊高二期末检测)已知函数f(x)＝x·ln
ax＋b，曲线f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y＝2，则ab＝( )
A.2＋e2
B.2＋e
C.
D.
【解析】 f′(x)＝ln
ax＋1.
由题意即
解得a＝，b＝e＋2，
∴ab＝，故应选C.
【答案】 C
3.曲线y＝f(x)＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为____________________.
【导学号：94210051】
【解析】 因为f′(x)＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，
所以f′(0)＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，
即5x＋y－3＝0.
【答案】 5x＋y－3＝0
4.曲线y＝f(x)＝e2x·cos
3x在(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程.
【解】 ∵f′(x)＝(e2x)′·cos
3x＋e2x·(cos
3x)′
＝2e2x·cos
3x－3e2x·sin
3x，
∴f′(0)＝2.
∴经过点(0，1)的切线方程为
y－1＝2(x－0)，
即y＝2x＋1.
设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，
根据题意，得＝，
∴b＝6或－4.
∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.§2 复数的四则运算
2.1 复数的加法与减法
2.2 复数的乘法与除法
1.理解共轭复数的概念.(重点)
2.掌握复数的四则运算法则与运算律.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 复数的加法与减法
阅读教材P103“例1”以上部分，完成下列问题.
1.复数的加法
设a＋bi(a，b∈R)和c＋di(c，d∈R)是任意两个复数，定义复数的加法如下：(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
2.复数的减法
设a＋bi(a，b∈R)和c＋di(c，d∈R)是任意两个复数，定义复数的减法如下：(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于( )
A.0
B.＋i
C.－i
D.－i
【解析】 z1＋z2＝＋i＝－i.
【答案】 C
教材整理2 复数的乘法与除法
阅读教材P104“练习”以下～P106，完成下列问题.
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
3.共轭复数
如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这样的两个复数叫作互为共轭复数.复数z的共轭复数用z来表示，即＝a＋bi，则z＝a－bi.
4.复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则＝＝＋i.
(1＋i)2－＝________.
【解析】 ∵(1＋i)2－＝2i－＝－＋i.
【答案】 －＋i
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
复数的加法与减法运算
(1)＋(2－i)－＝________.
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.
【精彩点拨】 (1)根据复数的加法与减法法则计算.
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数相等计算或把等式看作z的方程，通过移项求解.
(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，再根据复数相等求解.
【自主解答】 (1)＋(2－i)－＝＋i
＝1＋i.
【答案】 1＋i
(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.
法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝－4＋3i.
1.复数加法与减法运算法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
(2)把i看作一个字母，类比多项式加、减法中的合并同类项.
2.当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R).
[再练一题]
1.(1)复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A.－1＋I
B.1－i C.i D.－i
【解析】 (1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.
【答案】 A
(2)已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.
【解析】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，∴＝3①，且z＋3i＝x＋yi＋3i＝x＋(y＋3)i是纯虚数，则
由①可得y＝3.
∴z＝3i.
【答案】 3i
复数的乘法与除法运算
已知复数z1＝1＋i，z2＝3－2i.试计算：
(1)z1·z2和z；
(2)z1÷z2和z÷z1.
【精彩点拨】 按照复数的乘法和除法法则进行.
【自主解答】 (1)z1·z2＝3－2i＋3i－2i2＝5＋i.
z＝[(1＋i)2]2＝(2i)2＝4i2＝－4.
(2)z1÷z2＝＝＝＝＋i.
z÷z1＝＝＝
＝＝－－i.
1.实数中的乘法公式在复数范围内仍然成立.
2.复数的四则运算次序同实数的四则运算一样，都是先算乘除，再算加减.
3.常用公式
(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.
[再练一题]
2.(1)满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝( )
A.＋i
B.－i
C.－＋i
D.－－i
(2)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A.1
B.2
C.
D.
【解析】 (1)∵＝i，∴z＋i＝zi，∴i＝z(i－1).
∴z＝＝＝＝－i.
(2)∵z(1＋i)＝2i，∴z＝＝＝1＋i，
∴|z|＝＝.
【答案】 (1)B (2)C
[探究共研型]
共轭复数的应用
探究1 两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？
【提示】 若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，则z＋＝2a∈R.因此，和一定是实数；而z－＝2bi.当b＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b≠0时，两共轭复数的差是纯虚数.
探究2 若z1与z2是共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？
【提示】 |z1|＝|z2|.
已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
【精彩点拨】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.代入所给等式，利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解.
【自主解答】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
[再练一题]
3.已知复数z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值.
【解】 z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i，
z2＝＝＝
＝＋i，
由于z1和z2互为共轭复数，所以有
解得
[构建·体系]
1.设z1＝2＋i，z2＝1－5i，则|z1＋z2|为( )
A.＋
B.5
C.25
D.
【解析】 |z1＋z2|＝|(2＋i)＋(1－5i)|
＝|3－4i|＝＝5.
【答案】 B
2.已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )
A.－3＋i
B.－1＋3i
C.－3＋3i
D.－1＋i
【解析】 (－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.
【答案】 B
3.设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x＝________.
【解析】 ∵z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，
∴z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i.
∵z1z2∈R，∴x＋2＝0，即x＝－2.
【答案】 －2
4.若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
【导学号：94210084】
【解析】 因为＝＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.
【答案】 2
5.已知复数z满足|z|＝，且(1－2i)z是实数，求z.
【解】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－2i)z＝(1－2i)·(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i，又因为(1－2i)z是实数，所以b－2a＝0，即b＝2a，又|z|＝，所以a2＋b2＝5，解得a＝±1，b＝±2，
∴z＝1＋2i或－1－2i，
∴＝1－2i或－1＋2i，
∴＝±(1－2i).
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评(十九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是( )
A.1
B.2
C.－2
D.－1
【解析】 z1－z2＝y＋xi－(yi－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2，
∴∴x＝y＝1.
∴xy＝1.
【答案】 A
2.已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝( )
A.0
B.6i
C.6
D.6－6i
【解析】 ∵z＋3i－3＝3－3i，
∴z＝(3－3i)－(3i－3)
＝6－6i.
【答案】 D
3.复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为( )
【导学号：94210085】
A.1
B.2
C.
D.
【解析】 由z＝－ai，a∈R，得z2＝－2××ai＋(ai)2＝－a2－ai，因为z2＝－i，所以解得a＝.
【答案】 C
4.A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【解析】 复数z1对应向量，复数z2对应向量.
则|z1＋z2|＝|＋|，|z1－z2|＝|－|，
依题意有|＋|＝|－|.
∴以，为邻边所作的平行四边形是矩形.
∴△AOB是直角三角形.
【答案】 B
5.已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·z等于( )
A.
B.
C.1
D.2
【解析】 ∵z＝＝＝
＝＝＝－＋，
∴＝－－，
∴z·＝.
【答案】 A
二、填空题
6.复数的值是________
.
【解析】 ＝＝－1.
【答案】 －1
7.已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝__________.
【解析】 ∵＝b＋i，
∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi，
∴a＝－1，b＝2，
∴a＋b＝1.
【答案】 1
8.已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝______.
【解】 法一：设z＝a＋bi(a，b∈R).
则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i.
∴解得
∴z＝－15＋8i.
法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i，
∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，
于是|z|＝，
即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17.
代入z＝2－|z|＋8i，得z＝－15＋8i.
【答案】 －15＋8i
三、解答题
9.在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积.
【解】 (1)对应的复数为2＋i－1＝1＋i，对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i.
(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，
∴||2＋||2＝||2，∴△ABC为直角三角形.
(3)S△ABC＝××2＝2.
10.已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围.
【解】 (1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，
所以复数z的共轭复数为－2－4i.
(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应向量为(－2，4＋a)，其模为＝.
又复数z所对应向量为(－2，4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，
所以实数a的取值范围是－8≤a≤0.
[能力提升]
1.(2016·宁夏高二检测)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A.若|z1－z2|＝0，则＝
B.若z1＝z2，则＝z2
C.若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2·
D.若|z1|＝|z2|，则z＝z
【解析】 A，|z1－z2|＝0 z1－z2＝0 z1＝z2 ＝，真命题；
B，z1＝ ＝＝z2，真命题；
C，|z1|＝|z2| |z1|2＝|z2|2 z1·＝z2·，真命题；
D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题.
【答案】 D
2.复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A.2
B.4 C.4 D.16
【解析】 由|z－4i|＝|z＋2|，得
|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.
【答案】 C
3.若复数z＝的实部为3，则z的虚部为__________.
【解析】 z＝＝＝＝＋i.由题意知＝3，∴a＝－1，∴z＝3＋i.
∴z的虚部为1.
【答案】 1
4.已知z为复数，为实数，为纯虚数，求复数z.
【导学号：94210086】
【解】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝＝(a－1＋bi)·(－i)＝b－(a－1)i.
因为为实数，所以a－1＝0，即a＝1.
又因为＝＝为纯虚数，
所以a－b＝0，且a＋b≠0，所以b＝1.
故复数z＝1＋i.章末分层突破
[自我校对]
①单调性与极值 ②单调性 ③极值 ④导数
⑤最大值、最小值问题
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的单调性是导数的主要应用之一，其步骤为：
(1)求函数的定义域，并求导；
(2)研究导函数f′(x)的符号，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；
(3)确定函数的单调性或单调区间.
在求导这一环节中，往往要将导函数变形，其目的在于方便下一环节研究导函数的符号，常见的措施有化为基本初等函数、通分、因式分解等.
求函数f(x)＝ln
x－(x－1)2－x的单调区间.
【精彩点拨】 按照求单调区间的步骤求解.
【规范解答】 函数的定义域为(0，＋∞).
f′(x)＝－x－＝＝.
令f′(x)>0，得0令f′(x)<0，得x>1.
∴f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞).
[再练一题]
1.已知函数f(x)＝x3－ax－1，讨论f(x)的单调区间.
【解】 f′(x)＝3x2－a.
(1)当a≤0时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数.
(2)当a>0时，令3x2－a＝0，得x＝±，
当x>或x<－时，f′(x)>0；
当－因此f(x)在，上为增函数，f(x)在上为减函数.
综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数.
当a>0时，
f(x)在，上为增函数，在上为减函数.
利用导数研究函数的极值与最值
导数是求函数极值与最值的最有力工具，求函数极值的一般步骤为：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号.
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点.
对于求函数的最值问题，只需直接将极值与区间端点函数值比较即可.
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图像上一点P(1，0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1，3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围.
【精彩点拨】 (1)由求出a，b即可.
(2)对t分0(3)构造函数g(x)＝f(x)－c转化为g(x)在[1，3]上有实根求解.
【规范解答】 (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1，0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.
又函数过(1，0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
①当0②当2x
0
(0，2)
2
(2，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
＋
f(x)
2
单调递减?
极小值－2
单调递增?
t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个.
f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.
所以f(x)max＝f(0)＝2.
(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，
g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2).
在x∈[1，2)上，g′(x)<0；在x∈(2，3]上，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1，3]上恰有两个相异的实根，则解得－2[再练一题]
2.已知函数f(x)＝－x3＋12x＋m.
(1)若x∈R，求函数f(x)的极大值与极小值之差；
(2)若函数y＝f(x)有三个零点，求m的取值范围；
(3)当x∈[－1，3]时，f(x)的最小值为－2，求f(x)的最大值.
【解】 (1)f′(x)＝－3x2＋12.
当f′(x)＝0时，x＝－2或x＝2.
当f′(x)＞0时，－2＜x＜2.
当f′(x)＜0时，x＜－2或x＞2.
∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2，2)上单调递增.
∴f(x)极小值＝f(－2)＝－16＋m.
f(x)极大值＝f(2)＝16＋m.
∴f(x)极大值－f(x)极小值＝32.
(2)由(1)知要使函数y＝f(x)有三个零点，必须即
∴－16＜m＜16.
∴m的取值范围为(－16，16).
(3)当x∈[－1，3]时，由(1)知f(x)在[－1，2)上单调递增，f(x)在[2，3]上单调递减，f(x)的最大值为f(2).
又f(－1)＝－11＋m，f(3)＝m＋9，
∴f(－1)＜f(3)，
∴在[－1，3]上f(x)的最小值为f(－1)＝－11＋m，
∴－11＋m＝－2，∴m＝9.
∴当x∈[－1，3]时，f(x)的最大值为
f(2)＝(－2)3＋12×2＋9＝25.
导数的实际应用
利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：
(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去.
(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.
请你设计一个包装盒，如图3 1所示，ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm).
图3 1
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
【精彩点拨】 根据侧面积和体积公式建立侧面积和体积关于x的函数，利用配方法或导数法求出最值.
【规范解答】 设包装盒的高为h
cm，底面边长为a
cm.
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1
800，
所以当x＝15时，S取得最大值.
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x).
由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0，20)时，V′>0；当x∈(20，30)时，V′<0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值.
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
[再练一题]
3.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0【解】 当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝×＝x2＋－(0h′(x)＝－＝(0令h′(x)＝0，得x＝80.
因为x∈(0，80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
x∈(80，120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数，
所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升).
因为h(x)在(0，120]上只有一个极小值，所以它是最小值.
答：汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.
函数与方程的思想
函数的单调性是证明不等式的一种常用方法，证明时灵活构造函数关系，尽可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数，如果证明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)与0的关系，若F′(x)＞0，则函数F(x)在(a，b)上是增函数.若F(a)≥0，则由增函数的定义，知当x∈(a，b)时，有F(x)＞F(a)≥0，即f(x)＞g(x)成立，同理可证明f(x)＜g(x)，x∈(a，b).
设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的x∈[0，3]，都有f(x)【精彩点拨】 (1)利用f′(1)＝0，f′(2)＝0，列方程组求解.
(2)转化为求函数f(x)的最大值问题.
【规范解答】 (1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.
因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，
则有f′(1)＝0，f′(2)＝0，即解得
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
则f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2).
当x∈[0，1)时，f′(x)>0；
当x∈[1，2]时，f′(x)<0；
当x∈(2，3]时，f′(x)>0.
所以当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，当x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.
所以当x∈[0，3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
因为对于任意的x∈[0，3]，有f(x)所以9＋8c9.
故c的取值范围为c<－1或c>9.
[再练一题]
4.(2016·山东威海一模)已知函数f(x)＝ln
x－ax＋，对任意的x∈(0，＋∞)，满足f(x)＋f＝0，其中a，b为常数.
(1)若f(x)的图象在x＝1处的切线经过点(0，－5)，求a的值；
(2)已知00.
【解】 (1)在f(x)＋f＝0中，取x＝1，
得f(1)＝0，
又f(1)＝ln
1－a＋b＝－a＋b，所以b＝a.
从而f(x)＝ln
x－ax＋，
f′(x)＝－a，f′(1)＝1－2a.
又f′(1)＝＝5，
所以1－2a＝5，a＝－2.
(2)证明：f＝ln
－＋
＝2ln
a＋－－ln
2.
令g(x)＝2ln
x＋－－ln
2，
则g′(x)＝－－＝.
所以，x∈(0，1)时，
g′(x)<0，g(x)单调递减，
故x∈(0，1)时，
g(x)>g(1)＝2－－ln
2>1－ln
e＝0.
所以0f>0.
1.(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(－∞，－1)∪(0，1)
B.(－1，0)∪(1，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(－1，0)
D.(0，1)∪(1，＋∞)
【解析】 设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，
∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.
∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，
∴g(x)的图像的示意图如图所示.
当x>0，g(x)>0时，f(x)>0，0当x<0，g(x)<0时，f(x)>0，x<－1，
∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.
【答案】 A
2.(2015·福建高考)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是( )
A.f<
B.f>
C.f<
D.f>
【解析】 令g(x)＝f(x)－kx＋1，则g(0)＝f(0)＋1＝0，
g＝f－k·＋1＝f－.
∵g′(x)＝f′(x)－k>0，∴g(x)在[0，＋∞)上为增函数.
又∵k>1，∴>0，∴g>g(0)＝0，
∴f－>0，即f>.
【答案】 C
3.(2015·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)＜0，则a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵f(0)＝－1＋a<0，∴x0＝0.
又∵x0＝0是唯一的使f(x)<0的整数，
∴
即解得a≥.
又∵a＜1，∴≤a<1，经检验a＝，符合题意.故选D.
【答案】 D
4.(2016·北京高考)设函数f(x)＝
(1)若a＝0，则f(x)的最大值为________；
(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________.
【解析】 由当x≤a时，f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1.
如图是函数y＝x3－3x与y＝－2x在没有限制条件时的图象.
(1)若a＝0，则f(x)max＝f(－1)＝2.
(2)当a≥－1时，f(x)有最大值；
当a<－1时，y＝－2x在x>a时无最大值，
且－2a>(x3－3x)max，所以a<－1.
【答案】 2 a<－1
5.(2016·全国卷Ⅱ)(1)讨论函数f(x)＝ex的单调性，并证明当x＞0时，(x－2)ex＋x＋2＞0.
(2)证明：当a∈[0，1)时，函数g(x)＝(x＞0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域.
【解】 (1)f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞).
f′(x)＝＝≥0，
当且仅当x＝0时，f′(x)＝0，所以f(x)在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增.
因此当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝－1.
所以(x－2)ex>－(x＋2)，即(x－2)ex＋x＋2>0.
(2)g′(x)＝＝(f(x)＋a).
由(1)知，f(x)＋a单调递增.
对任意a∈[0，1)，f(0)＋a＝a－1＜0，f(2)＋a＝a≥0.
因此，存在唯一xa∈(0，2]，使得f(xa)＋a＝0，
即g′(xa)＝0.
当0当x>xa时，f(x)＋a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.
因此g(x)在x＝xa处取得最小值，最小值为
g(xa)＝eq
\f(exa－a（xa＋1）,x)＝eq
\f(exa＋f（xa）（xa＋1）,x)＝.
于是h(a)＝.
由＝＞0，得y＝单调递增，
所以，由xa∈(0，2]，得
＝＜h(a)＝≤＝.
因为y＝单调递增，对任意λ∈，存在唯一的xa∈(0，2]，a＝－f(xa)∈[0，1)，使得h(a)＝λ.
所以h(a)的值域是.
综上，当a∈[0，1)时，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是.
章末综合测评(三) 导数应用
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.物体运动的方程为s＝t4－3，则t＝5时的瞬时速度为( )
A.5
B.25
C.125
D.625
【解析】 ∵v＝s′＝t3，∴t＝5时的瞬时速度为53＝125.
【答案】 C
2.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A.(－∞，2)
B.(0，3)
C.(1，4)
D.(2，＋∞)
【解析】 f′(x)＝(x－2)ex，由f′(x)>0，得x>2，所以函数f(x)的单调递增区间是(2，＋∞).
【答案】 D
3.函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是( )
A.a≥0
B.a>0
C.a≤0
D.a<0
【解析】 f′(x)＝3ax2＋1，
当a＝0时，f′(x)＝1>0，f(x)单调增加，无极值；
当a≠0时，只需Δ＝－12a>0，即a<0即可.
【答案】 D
4.(2016·西安高二检测)函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图1所示，那么f(x)的图像最有可能的是( )
图1
A B C D
【解析】 数形结合可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)是减函数；在(－2，－1)上，f′(x)>0，f(x)是增函数，从而得出结论.
【答案】 B
5.若函数y＝a(x3－x)的递增区间是，，则a的取值范围是( )
A.a>0
B.－1C.a>1
D.0【解析】 依题意得y′＝a(3x2－1)>0的解集为，，∴a>0.
【答案】 A
6.若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则( )
A.3f(1)B.3f(1)>f(3)
C.3f(1)＝f(3)
D.f(1)＝f(3)
【解析】 由于f(x)>xf′(x)，′＝<0恒成立，因此
在R上是单调递减函数，∴<，即3f(1)>f(3)，故选B.
【答案】 B
7.若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )
A.－5
B.7
C.10
D.－19
【解析】 ∵f(x)′＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，
所以函数在[－2，－1]内单调递减，
所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2，
∴a＝0，最小值为f(－1)＝a－5＝－5.
【答案】 A
8.函数y＝x－2sin
x的图像大致是( )
【解析】 因为y′＝－2cos
x，
所以令y′＝－2cos
x>0，
得cos
x<，此时原函数是增函数；
令y′＝－2cos
x<0，得cos
x>，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项C正确.
【答案】 C
9.若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是( )
【导学号：94210067】
A.[－1，＋∞)
B.(－1，＋∞)
C.(－∞，－1]
D.(－∞，－1)
【解析】 f′(x)＝－x＋，由题意知f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤x2＋2x在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤(x＋1)2－1，则b≤－1，故选C.
【答案】 C
10.已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是( )
A.(0，1)
B.(－1，0)∪(0，1)
C.(1，＋∞)
D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】 不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，
设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f(x)′－1，
由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，
∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0，
∴原不等式 g(x)>0 g(x)>g(1)，
∴x>1，故选C.
【答案】 C
11.当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.[－5，－3]
B.
C.[－6，－2]
D.[－4，－3]
【解析】 当x＝0时，ax3－x2＋4x＋3≥0变为3≥0恒成立，即a∈R.
当x∈(0，1]时，ax3≥x2－4x－3，a≥，
∴a≥.
设φ(x)＝，
φ′(x)＝
＝－＝－＞0，
∴φ(x)在(0，1]上递增，φ(x)max＝φ(1)＝－6.
∴a≥－6.
当x∈[－2，0)时，a≤，
∴a≤.
仍设φ(x)＝，φ′(x)＝－.
当x∈[－2，－1)时，φ′(x)＜0.
当x∈(－1，0)时，φ′(x)＞0.
∴当x＝－1时，φ(x)有极小值，即为最小值.
而φ(x)min＝φ(－1)＝＝－2，∴a≤－2.
综上知－6≤a≤－2.
【答案】 C
12.已知函数f(x)＝x2＋2x＋aln
x，若函数f(x)在(0，1)上单调，则实数a的取值范围是( )
A.a≥0
B.a<－4
C.a≥0或a≤－4
D.a>0或a<－4
【解析】 f′(x)＝2x＋2＋，x∈(0，1)，
∵f(x)在(0，1)上单调，
∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0，1)上恒成立，
∴2x＋2＋≥0或2x＋2＋≤0在(0，1)上恒成立，
即a≥－2x2－2x或a≤－2x2－2x在(0，1)上恒成立.
设g(x)＝－2x2－2x＝－2＋，则g(x)在(0，1)上单调递减，
∴g(x)max＝g(0)＝0，g(x)min＝g(1)＝－4.
∴a≥g(x)max＝0或a≤g(x)min＝－4.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)
13.(2016·天津高考)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________.
【解析】 因为f(x)＝(2x＋1)ex，
所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，
所以f′(0)＝3e0＝3.
【答案】 3
14.函数f(x)＝ex(sin
x＋cos
x)在区间上的值域为________.
【导学号：94210068】
【解析】 ∵x∈，
f′(x)＝excos
x≥0，
∴f(0)≤f(x)≤f，
即≤f(x)≤e.
【答案】
15.(2016·洛阳高二检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，在x＝1时有极值10，则a＋b＝________.
【解析】 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝2a＋b＋3＝0，f(1)＝a2＋a＋b＋1＝10，解得或当a＝－3时，x＝1不是极值点，a，b的值分别为4，－11，∴a＋b＝－7.
【答案】 －7
16.周长为20
cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm3.
【解析】 设矩形的长为x，则宽为10－x(0∴V′(x)＝20πx－3πx2.
由V′(x)＝0，得x＝0(舍去)，x＝，
且当x∈时，V′(x)>0，
当x∈时，V′(x)<0，
∴当x＝时，V(x)取得最大值为π
cm3.
【答案】 π
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)若函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围.
【解】 ∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，
即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8>0，解得a>2或a<－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
18.(本小题满分12分)设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图像与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11).
(1)求a，b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性.
【解】 (1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x)的图像与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，
即解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得
f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)
＝3(x＋1)(x－3).
令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；
又令f′(x)<0，解得－1故当x∈(－∞，－1)和x∈(3，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－1，3)时，f(x)是减函数.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m为常数，且m>0)有极大值－，求m的值.
【解】 ∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2
＝(x＋m)(3x－2m)，
令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－m)
－m
m
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
极大值
单调递减?
极小值
单调递增?
∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m3＋m3＋2m3－4＝－，
∴m＝1.
20.(本小题满分12分)证明：当x>0时，ln(x＋1)>x－x2.
【证明】 设f(x)＝ln(x＋1)－＝ln(x＋1)－x＋x2，函数的定义域是(－1，＋∞)，
则f′(x)＝－1＋x＝.
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数.
∴当x>0时，f(x)>f(0)＝0，
即当x>0时，ln(x＋1)>x－x2.
21.(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12
000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
【解】 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，
底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元.
又根据题意200πrh＋160πr2＝12
000π，
所以h＝(300－4r2)，从而
V(r)＝πr2h＝(300r－4r3).
因为r>0，又由h>0可得0故函数V(r)的定义域为(0，5).
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)(0所以V′(r)＝(300－12r2).
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去).
当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；
当r∈(5，5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，5)上为减函数.
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.
22.(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围；
(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2＜2.
【解】 (1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a).
①设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点.
②设a＞0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，
所以f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增.
又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b＜0且b＜ln
，
则f(b)＞(b－2)＋a(b－1)2＝a＞0，
故f(x)存在两个零点.
③设a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a).
若a≥－，则ln(－2a)≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，因此f(x)在(1，＋∞)内单调递增.
又当x≤1时，f(x)＜0，所以f(x)不存在两个零点.
若a＜－，则ln(－2a)＞1，
故当x∈(1，ln(－2a)时，f′(x)＜0；
当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0.
因此f(x)在(1，ln(－2a)内单调递减，
在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增.
又当x≤1时，f(x)＜0，所以f(x)不存在两个零点.
综上，a的取值范围为(0，＋∞).
(2)证明：不妨设x1＜x2，由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，f(x)在(－∞，1)内单调递减，
所以x1＋x2＜2等价于f(x1)＞f(2－x2)，即f(2－x2)＜0.
由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，
而f(x2)＝(x2－2)ex2＋a(x2－1)2＝0，
所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)ex2.
设g(x)＝－xe2－x－(x－2)ex，
则g′(x)＝(x－1)(e2－x－ex).
所以当x＞1时，g′(x)＜0，而g(1)＝0，
故当x＞1时，g(x)＜0.
从而g(x2)＝f(2－x2)＜0，
故x1＋x2＜2.