【北师大版】2017-2018学年数学选修1-2全套练习（26份打包，Word版，含解析）

2.2　复数的乘法与除法
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明目标、知重点
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　1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．
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1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
3.共轭复数
如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示．即z＝a＋bi，则＝a－bi.
4．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＋i.
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[情境导学]
我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律吗？
探究点一　复数乘除法的运算
思考1　怎样进行复数的乘法？
答　两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
思考2　复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
答　复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1.
例
1　计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；
(2)(3＋4i)(3－4i)；
(3)(1＋i)2.
解　(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)
＝－20＋15i；
(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；
(3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.
反思与感悟　复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
跟踪训练1　计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.
解　(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.
思考3　如何理解复数的除法运算法则？
答　复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．
例
2　计算：(1)＋；
(2)()6＋.
解　(1)原式＝＋＝＋＝＋＝；
(2)方法一　原式＝[]6＋
＝i6＋＝－1＋i.
方法二　(技巧解法)
原式＝[]6＋＝i6＋＝－1＋i.
反思与感悟　复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．
跟踪训练2　计算：(1)；(2).
解　(1)＝＝＝1－i.
(2)＝＝＝－1－3i.
探究点二　共轭复数及其应用
思考1　像3＋4i和3－4i这样的两个复数我们称为互为共轭复数，那么如何定义共轭复数呢？
答　一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为.虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数．
思考2　复数a＋bi的共轭复数如何表示？这两个复数之积是实数还是虚数？
答　复数a＋bi的共轭复数可表示为a－bi，由于
(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2
，所以两个共轭复数之积为实数．
思考3　共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？
答　(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．
(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝ z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．
(3)若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．
思考4　z·与|z|2和||2有什么关系？
答　z·＝|z|2＝||2.
例
3　已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1.①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②
由①②联立，解得或
所以＝－i，或＝－＋i.
反思与感悟　本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．
跟踪训练3　已知复数z满足：z·＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝a2＋b2，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
∴，解得，
∴a＋b＝4，∴复数z的实部与虚部的和是4.
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1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　　)
A．－i
B．i
C．－1
D．1
答案　A
解析　z＝＝－i.
2．已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z等于(　　)
A．－2i
B．2i
C．－4i
D．4i
答案　C
解析　由M∩N＝{4}得zi＝4，z＝＝－4i.
3．复数等于(　　)
A．i
B．－i
C．－－i
D．－＋i
答案　A
4．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案　D
解析　因为z＝＝＝，故复数z对应的点在第四象限，选D.
[呈重点、现规律]
1．复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
3．复数问题实数化思想．
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．
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一、基础过关
1．复数－i＋等于(　　)
A．－2i
B.i
C．0
D．2i
答案　A
解析　－i＋＝－i－＝－2i，选A.
2．i为虚数单位，＋＋＋等于(　　)
A．0
B．2i
C．－2i
D．4i
答案　A
解析　＝－i，＝i，＝－i，＝i，
∴＋＋＋＝0.
3．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则(　　)
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝－1，b＝－1
D．a＝1，b＝－1
答案　D
解析　∵(a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i，∴.
4．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案　B
解析　＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)
＝－＋(2＋)i，
对应点(－，2＋)在第二象限．
5．设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·是实数，则实数t＝________.
答案　
解析　∵z2＝t＋i，∴＝t－i.
z1·＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，
又∵z1·∈R，∴4t－3＝0，∴t＝.
6．若z＝，则复数＝________.
答案　2＋i
解析　z＝＝2－i，∴＝2＋i.
7．计算：(1)＋()2
010；
(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．
解　(1)＋()2
010＝＋()
1
005
＝i(1＋i)＋()1
005＝－1＋i＋(－i)1
005
＝－1＋i－i＝－1.
(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)
＝22－14i＋25－25i＝47－39i.
二、能力提升
8．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z等于(　　)
A．－1＋i
B．－1－i
C．1＋i
D．1－i
答案　A
解析　由已知得z＝＝＝－1＋i.
9.复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)
A．2＋i
B．2－i
C．5＋i
D．5－i
答案　D
解析　由(z－3)(2－i)＝5得，z－3＝＝2＋i，
∴z＝5＋i，∴＝5－i.
10．设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．
答案　1
解析　由i(z＋1)＝－3＋2i得到z＝－1＝2＋3i－1＝1＋3i.
11．已知复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，求z及.
解　因为(1＋2i)z＝4＋3i，
所以z＝＝＝2－i，故＝2＋i.
所以＝＝＝＝－i.
12.已知复数z的共轭复数为，且z·－3iz＝，求z.
解　z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
又z·－3iz＝，
∴a2＋b2－3i(a＋bi)＝，
∴a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，
∴∴或.
∴z＝－1，或z＝－1－3i.
三、探究与拓展
13.已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试说明1－i也是方程的根吗？
解　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴，得.
∴b＝－2，c＝2.
(2)方程为x2－2x＋2＝0.
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．INCLUDEPICTURE
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1.1　归纳推理
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明目标、知重点
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　1.了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理.2.了解归纳推理在数学发展中的作用．
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1．归纳推理的定义
根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理．
2．归纳推理的思维过程
大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．
3．归纳推理具有如下的特点
(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；
(2)由归纳推理得到的结论不一定正确；
(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．
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[情境导学]
佛教《百喻经》中有这样一则故事．从前有一位富翁想吃芒果，打发他的仆人到果园去买，并告诉他：“要甜的，好吃的，你才买．”仆人拿好钱就去了．到了果园，园主说：“我这里树上的芒果个个都是甜的，你尝一个看．”仆人说：“我尝一个怎能知道全体呢？我应当个个都尝过，尝一个买一个，这样最可靠．”仆人于是自己动手摘芒果，摘一个尝一口，甜的就都买回去．带回家去，富翁见了，觉得非常恶心，一齐都扔了．
想一想：故事中仆人的做法实际吗？换作你，你会怎么做？学习了下面的知识，你将清楚是何道理．
探究点一　归纳推理
思考1　在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？
答　根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理．
思考2　观察下面两个推理，回答后面的两个问题：
(1)哥德巴赫猜想：
6＝3＋3
8＝3＋5
10＝3＋7
12＝5＋7
14＝7＋7
16＝5＋11
……
1
000＝29＋971
1
002＝139＋863
……
猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和．
(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．
问题：①思考2中的两个推理在思维方式上有什么共同特点？
②其结论一定正确吗？
答　①共同特点：部分推出整体，个别推出一般．(这种推理称为归纳推理)
②其结论不一定正确．
小结　归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．
探究点二　归纳推理在数列中的应用
例1　已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．
解　当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝＝；
当n＝3时，a3＝＝；当n＝4时，a4＝＝.
通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出an＝.
反思与感悟　归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．
归纳推理在数列中应用广泛，我们可以从数列的前几项找出数列项的规律，归纳数列的通项公式或探求数列的前n项和公式．
跟踪训练1　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项公式an.
解　(1)当n＝1时，知a1＝1，
由an＋1＝2an＋1得a2＝3，
a3＝7，a4＝15，a5＝31.
(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，
可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N＋)．
探究点三　归纳推理在图形变化中的应用
例2　在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝______；f(n)＝______(答案用含n的代数式表示)．
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答案　10　
解析　观察图形可知：f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20，…，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n－1)＋.
将以上(n－1)个式子相加可得
f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋
＝[(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]
＝[n(n＋1)(2n＋1)＋]
＝.
反思与感悟　解本例的关键在于寻找递推关系式：f(n)＝f(n－1)＋，然后用“叠加法”求通项．图形中的归纳推理问题主要涉及某固定图形的个数，所以可以转化成数列问题来求解，也可从图形的变化规律入手来求解．
跟踪训练2　在平面内观察：
凸四边形有2条对角线，
凸五边形有5条对角线，
凸六边形有9条对角线，
…
由此猜想凸n(n≥4且n∈N＋)边形有几条对角线？
解　凸四边形有2条对角线，
凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，
凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，
……
于是猜想凸n边形比凸(n－1)边形多(n－2)条对角线．因此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝n(n－3)(n≥4且n∈N＋)．
探究点四　归纳推理在算式问题中的应用
例3　观察下列等式，并从中归纳出一般法则．
(1)1＝12，
1＋3＝22，
1＋3＋5＝32，
1＋3＋5＋7＝42，
1＋3＋5＋7＋9＝52，
…
(2)1＝12，
2＋3＋4＝32，
3＋4＋5＋6＋7＝52
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，
5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92，
…
解　(1)对于(1)，等号左端是整数，且是从1开始的n项的和，等号的右端是项数的平方；对于(2)，等号的左端是连续自然数的和，且项数为2n－1，等号的右端是项数的平方．
∴(1)猜想结论：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋)．
(2)猜想结论：n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N＋)．
反思与感悟　对于运算式的猜测和推广，这一类问题需要观察的方面很多：首先是式子的共同结构特点，其次是式子中出现的字母之间的关系，还有化简或运算的结果等等．另外要注意对较为复杂的运算式，不要化简，这样便于观察运算规律和结构上的共同点．
跟踪训练3　在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立．猜想在n边形A1A2…An中有怎样的不等式成立？
答案　＋＋…＋≥(n≥3且n∈N＋)．
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1．已知
＝2，＝3，＝4，…，若
＝6(a、b均为实数)．请推测a＝______，b＝________.
答案　6　35
解析　本题考查归纳推理能力，由前面三个等式，发现被开方数的整数与分数的关系：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测
中，a＝6，b＝62－1＝35.
2．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2
3
4　5　6
7　8　9　10
11　12　13　14　15
……………………
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．
答案　
解析　前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，
即个，
因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，
即为个．
3．已知正项数列{an}满足Sn＝(an＋)，求出a1，a2，a3，a4，并推测an.
解　a1＝S1＝(a1＋)，又因为a1>0，所以a1＝1.
当n≥2时，Sn＝(an＋)，Sn－1＝(an－1＋)，
两式相减得：
an＝(an＋)－(an－1＋)，
即an－＝－(an－1＋)．
所以a2－＝－2，又因为a2>0，所以a2＝－1.
a3－＝－2，又因为a3>0，所以a3＝－.
a4－＝－2，又因为a4>0，所以a4＝2－.
将上面4个式子写成统一的形式：a1＝－，
a2＝－，a3＝－，a4＝－，
由此可以归纳推测：an＝－.
[呈重点、现规律]
归纳推理的一般步骤
(1)对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，发现某些相同的性质；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题，提出带有规律性的结论，即猜想．注意：一般性的命题往往要用字母表示，这时需注明字母的取值范围．
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\40分钟课时作业.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\40分钟课时作业.TIF"
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一、基础过关
1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于(　　)
A．47
B．65
C．63
D．128
答案　B
解析　5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，
归纳可得：x＝26＋1＝65.
2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos
x)′＝－sin
x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(　　)
A．f(x)
B．－f(x)
C．g(x)
D．－g(x)
答案　D
解析　由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
3．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n≥2时，有________．
答案　f(2n)>
解析　f(4)＝f(22)>，
f(8)＝f(23)>，
f(16)＝f(24)>，
f(32)＝f(25)＝.
4．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝.
通过观察上述两等式的规律，请你写出一个一般性的命题：________________________________________________________________________.
答案　sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝
5．已知a1＝3，a2＝6且an＋2＝an＋1－an，则a33＝______.
答案　3
解析　a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，故{an}以6个项为周期循环出现，a33＝a3＝3.
6．设x∈R，且x≠0，若x＋x－1＝3，猜想x2n＋x－2n(n∈N＋)的个位数字是________．
答案　7
解析　当n＝1时，x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝9－2＝7，
当n＝2时，x4＋x－4＝(x2＋x－2)2－2＝49－2＝47.
∴猜想x2n＋x－2n的个位数字是7.
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
解　当n＝1时，S1＝a1＝1；
当n＝2时，＝－2－S1＝－3，
∴S2＝－；
当n＝3时，＝－2－S2＝－，
∴S3＝－；
当n＝4时，＝－2－S3＝－，
∴S4＝－.
猜想：Sn＝－(n∈N＋)．
二、能力提升
8．如图，观察图形规律，在其右下的的空格处画上合适的图形，应为________．
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\D3.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\D3.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\D3.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\D4.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\D4.TIF"
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答案　①
解析　观察图中每一行，每一列的规律，从形状和颜色入手．每一行，每一列中三种图形都有，故填长方形．又每一行每一列中的图形的颜色应有二黑一白．
9．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\D2.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\D2.TIF"
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答案　an＝3n－1(n∈N＋)
解析　观察新产生的一个三角形的周围伴随三个着色三角形的产生．∴an＝3n－1.
10．观察下列等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n个等式可为______________________．
答案　12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·
解析　观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n＋1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.所以第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·.
11．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．
(1)a1＝a，an＋1＝；
(2)对一切的n∈N＋，an>0，且2＝an＋1.
解　(1)由已知可得a1＝a，
a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝.
猜想an＝(n∈N＋)．
(2)∵2＝an＋1，
∴2＝a1＋1，即2＝a1＋1，
∴a1＝1.又2＝a2＋1，
∴2＝a2＋1，∴a－2a2－3＝0，
∵对一切的n∈N＋，an>0，∴a2＝3.
同理可求得a3＝5，a4＝7，
猜想出an＝2n－1(n∈N＋)．
12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分．
(1)3条直线最多将平面分成多少部分？
(2)设n条直线最多将平面分成f(n)部分，归纳出f(n＋1)与f(n)的关系；
(3)求出f(n)．
解　(1)3条直线最多将平面分成7个部分．
(2)f(n＋1)＝f(n)＋n＋1.
(3)f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋2＝.
三、探究与拓展
13．在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液a升，搅匀后再倒出溶液a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn，计算b1、b2、b3，并归纳出计算公式．
解　b1＝＝(r＋p)；
b2＝＝[()2r＋p＋p]；
b3＝＝[()3r＋p＋p＋p]．
归纳得bn＝[()nr＋p＋p＋…＋p]．1.3　可线性化的回归分析
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\左括.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\左括.TIF"
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明目标、知重点
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\右括.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\右括.TIF"
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　1.进一步体会回归分析的基本思想.2.通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度．
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\填一填半.TIF"
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1．常见的非线性回归模型
幂函数曲线y＝axb，指数曲线y＝aebx.
倒指数曲线y＝ae，对数曲线y＝a＋bln_x.
2．非线性函数可以通过变换转化成线性函数，得到线性回归方程，再通过相应变换得到非线性回归方程．
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\研一研半.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\研一研半.TIF"
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探究点一　非线性回归模型
思考1　有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？
答　首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有的函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型．
思考2　如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？
答　可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程．
例1
某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高x/cm
60
70
80
90
100
110
体重y/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高x/cm
120
130
140
150
160
170
体重y/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
试建立y与x之间的回归方程．
解　根据表中数据画出散点图如图所示．
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\K32.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\K32.TIF"
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由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝ln
y.
x
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
z
1.81
2.07
2.30
2.50
2.71
2.86
3.04
3.29
3.44
3.66
3.86
4.01
画出散点图如图所示．
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\K33.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\K33.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\K33.TIF"
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由表中数据可得＝115，＝2.962
5，iyi＝4
370.5，＝173
000，
∴b＝≈0.020，
∴a＝－b
≈0.663，
∴z与x之间的线性回归方程为z＝0.663＋0.020x，
则有y＝e0.663＋0.020x.
反思与感悟　根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1和c2是待定参数；可以通过对x进行对数变换，转化为线性相关关系．
跟踪训练1　在彩色显影中，由经验知：形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式y＝Ae
(b<0)表示．现测得试验数据如下：
xi
0.05
0.06
0.25
0.31
0.07
0.10
yi
0.10
0.14
1.00
1.12
0.23
0.37
xi
0.38
0.43
0.14
0.20
0.47
yi
1.19
1.25
0.59
0.79
1.29
试求y对x的回归方程．
解　由题给的公式y＝Ae，两边取自然对数，便得ln
y＝ln
A＋，与线性回归方程相对照，只要取u＝，v＝ln
y，a＝ln
A.
就有v＝a＋bu.
题给数据经变量置换u＝，v＝ln
y变成如下表所示的数据：
ui
20.000
16.667
4.000
3.226
14.286
10.000
vi
－2.303
－1.966
0
0.113
－1.470
－0.994
ui
2.632
2.326
7.143
5.000
2.128
vi
0.174
0.223
－0.528
－0.236
0.255
可得ln
y＝0.548－，
即y＝e0.548－＝e0.548·e－≈1.73e－，
这就是y对x的回归方程．
探究点二　非线性回归分析
思考　对于两个变量间的相关关系，是否只有唯一一种回归模型来拟合它们之间的相关关系？
答　不一定．我们可以根据已知数据的散点图，把它与幂函数、指数函数、对数函数、二次函数图像进行比较，挑选一种拟合比较好的函数，作为回归模型．
例2　对两个变量x，y取得4组数据(1,1)，(2,1.2)，(3，1.3)，(4,1.37)，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下：
甲　y＝0.1x＋1，
乙　y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，
丙　y＝－0.8·0.5x＋1.4，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际．
解　甲模型，当x＝1时，y＝1.1；
当x＝2时，y＝1.2；
当x＝3时，y＝1.3；当x＝4时，y＝1.4.
乙模型，当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝1.2；
当x＝3时，y＝1.3；当x＝4时，y＝1.3.
丙模型，当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝1.2；
当x＝3时，y＝1.3；当x＝4时，y＝1.35.
观察4组数据并对照知，丙的数学模型更接近于客观实际．
跟踪训练2　根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快．下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：
年份
1986
1991
1996
2001
产量
8.6
10.4
12.9
16.1
根据有关专家预测，到2010年我国能源生产总量将达到21.7亿吨左右，则专家所选择的回归模型是下列四种模型中的哪一种(　　)
A．y＝bx＋a(b≠0)
B．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
C．y＝ax(a>0且a≠1)
D．y＝logax(a>0且a≠1)
答案　A
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\当堂测、查疑缺.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\当堂测、查疑缺.TIF"
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1．散点图在回归分析中的作用是(　　)
A．查找个体个数
B．比较个体数据大小关系
C．探究个体分类
D．粗略判断变量是否相关
答案　D
2．变量x与y之间的回归方程表示(　　)
A．x与y之间的函数关系
B．x与y之间的不确定性关系
C．x与y之间的真实关系形式
D．x与y之间的真实关系达到最大限度的吻合
答案　D
3．变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的样本相关系数r最接近的值为(　　)
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\K35.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\K35.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\K35.TIF"
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A．1
B．－0.5
C．0
D．0.5
答案　C
4．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有下表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能错的数据是____________.
x/万元
2
4
5
6
8
y/万元
30
40
60
50
70
答案　(6,50)
[呈重点、现规律]
1．对于确定具有非线性相关关系的两个变量，可以通过对变量进行变换，转化为线性回归问题去解决．
建立回归模型的步骤
①确定研究对象，明确变量关系；
②画出散点图，观察变量之间的关系；
③由经验确定回归方程的类型；
④按一定规则估计回归方程中的参数
2．常见曲线方程的变换公式
曲线方程
变换公式
变换后的线性方程
＝a＋
y′＝，x′＝
y′＝a＋bx′
y＝axb
y′＝ln
y，x′＝ln
x
y′＝A＋bx′(A＝ln
a)
y＝a＋bln
x
y′＝y，x′＝ln
x
y′＝a＋bx′
y＝aebx
y′＝ln
y，x′＝x
y′＝A＋bx′(A＝ln
a)
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\40分钟课时作业A.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\40分钟课时作业A.TIF"
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一、基础过关
1．下列说法正确的是(　　)
①线性回归方程适用于一切样本和总体；
②线性回归方程一般都有时间性；
③样本的取值范围会影响线性回归方程的适用范围；
④根据线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．
A．①③④
B．②③
C．①②
D．③④
答案　B
2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其线性回归方程可能是(　　)
A．y＝－10x＋200
B．y＝10x＋200
C．y＝－10x－200
D．y＝10x－200
答案　A
3．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)
A．－1
B．0
C.
D．1
答案　D
4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是(　　)
A．y＝2x－2
B．y＝()x
C．y＝log2x
D．y＝(x2－1)
答案　D
解析　可以代入检验，当x取相应的值时，所求y与已知y相差最小的便是拟合程度最高的．
5．对于指数曲线y＝aebx，令u＝ln
y，c＝ln
a，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为(　　)
A．u＝c＋bx
B．u＝b＋cx
C．y＝b＋cx
D．y＝c＋bx
答案　A
解析　对方程y＝aebx两边同时取对数，然后将u＝ln
y，c＝ln
a代入，不难得出u＝c＋bx.
6．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围，令z＝ln
y，求得线性回归方程为z＝0.25x－2.58，则该模型的回归方程为________．
答案　y＝e0.25x－2.58
解析　∵z＝0.25x－2.58，z＝ln
y，
∴y＝e0.25x－2.58.
7.某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：
推销员编号
1
2
3
4
5
工作年限x/年
3
5
6
7
9
推销金额y/万元
2
3
3
4
5
(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；
(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．
解　(1)设所求的线性回归方程为y＝bx＋a，
则b＝＝＝0.5，a＝－b＝0.4.
∴年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为y＝0.5x＋0.4.
(2)当x＝11时，y＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．
∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．
二、能力提升
8．研究人员对10个家庭的儿童问题行为程度(X)及其母亲的不耐心程度(Y)进行了评价结果如下，家庭1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，儿童得分：72,40,52,87,39,95,12,64,49,46，母亲得分：79,62,53,89,81,90,10,82,78,70.
下列哪个方程可以较恰当的拟合(　　)
A．y＝0.771
1x＋26.528
B．y＝36.958ln
x－74.604
C．y＝1.177
8x1.014
5
D．y＝20.924e0.019
3x
答案　B
解析　可以通过画散点图观察知两个变量x、y之间大致呈现对数函数关系．
9．已知x，y之间的一组数据如下表：
x
1.08
1.12
1.19
1.25
y
2.25
2.37
2.43
2.55
则y与x之间的线性回归方程y＝bx＋a必过点
________________________________________________________________________．
答案　(1.16,2.4)
解析　回归方程y＝bx＋a必过样本点的中心(，)，
∵＝＝1.16，
＝＝2.4，
∴样本点的中心为(1.16,2.4)．
10．已知线性回归方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为________．
答案　11.69
解析　当x＝25时，y＝0.50×25－0.81＝11.69.
11．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
x
0.25
0.5
1
2
4
y
16
12
5
2
1
如何建立y与x之间的回归方程．
解　画出散点图如图(1)所示，观察可知y与x近似是反比例函数关系．
设y＝
(k≠0)，令t＝，则y＝kt.
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\1-9.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\1-9.TIF"
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可得到y关于t的数据如下表：
t
4
2
1
0.5
0.25
y
16
12
5
2
1
画出散点图如图(2)所示，观察可知t和y有较强的线性相关性，因此可利用线性回归模型进行拟合，易得：
＝1.55，＝7.2，iyi＝94.25，＝21.312
5，
b＝≈4.134
4，a＝－b≈0.791
7，
所以y＝4.134
4t＋0.791
7，
所以y与x的回归方程是y＝＋0.791
7.
12．某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据如下表所示：
年次x
1
2
3
4
5
6
利润总额y
11.35
11.85
12.44
13.07
13.59
14.41
由经验知，年次x与利润总额y(单位：亿元)有如下关系：y＝abxe0.其中a、b均为正数，求y关于x的回归方程．(保留三位有效数字)
解　对y＝abxe0两边取对数，
得ln
y＝ln
ae0＋xln
b，令z＝ln
y，
则z与x的数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
z
2.43
2.47
2.52
2.57
2.61
2.67
由z＝ln
ae0＋xln
b及最小二乘法公式，得
ln
b≈0.047
7，ln
ae0≈2.38，
即z＝2.38＋0.047
7x，
所以y＝10.8×1.05x.
三、探究与拓展
13．某商店各个时期的商品流通率y(%)和商品零售额x(万元)资料如下：
x
9.5
11.5
13.5
15.5
17.5
y
6
4.6
4
3.2
2.8
x
19.5
21.5
23.5
25.5
27.5
y
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
散点图显示出x与y的变动关系为一条递减的曲线．经济理论和实际经验都证明，流通率y决定于商品的零售额x，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y＝a＋.试根据上表数据，求出a与b的估计值，并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．
解　设u＝，则y≈a＋bu，得下表数据：
u
0.105
3
0.087
0
0.074
1
0.064
5
0.057
1
y
6
4.6
4
3.2
2.8
u
0.051
3
0.046
5
0.042
6
0.039
2
0.036
4
y
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
进而可得n＝10，≈0.060
4，＝3.21，
－102≈0.004
557
3，
iyi－10
≈0.256
35，
b≈≈56.25，
a＝－b·≈－0.187
5，
所求的回归方程为y＝－0.187
5＋.
当x＝30时，y＝1.687
5，即商品零售额为30万元时，商品流通率为1.687
5%.INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\第1.1.TIF"
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1.1　回归分析
1.2　相关系数
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明目标、知重点
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\右括.TIF"
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　1.会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系.2.能通过相关系数判断两个变量间的线性相关程度.3.掌握建立线性回归模型的步骤．
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1．线性回归方程
在线性回归方程y＝a＋bx中，b＝＝，a＝－b.其中＝xi，＝yi.
(，)称为样本点的中心，线性回归直线过样本点的中心．
2．相关系数
(1)相关系数r的计算公式
r＝.
(2)相关系数r的取值范围是[－1,1]，|r|值越大，变量之间的线性相关程度越高；|r|值越接近0，变量之间的线性相关程度越低．
(3)当r>0时，b>0，称两个变量正相关；
当r<0时，b<0，称两个变量负相关；
当r＝0时，b＝0，称两个变量线性不相关．
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[情境导学]
“名师出高徒”这句谚语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？
探究点一　线性回归方程
思考1　两个变量之间的关系分几类？
答　分两类：①函数关系，②相关关系．
函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系．
上面所提的“名师”与“高徒”之间的关系就是相关关系．
思考2　什么叫回归分析？
答　回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
思考3　对具有线性相关关系的两个变量进行回归分析有哪几个步骤？
答　基本步骤为画散点图，求线性回归方程，用线性回归方程进行预测．
例1
若从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高/cm
165
165
157
170
175
165
155
170
体重/kg
48
57
50
54
64
61
43
59
求根据女大学生的身高预测体重的回归方程，并预测一名身高为172
cm的女大学生的体重．
解　(1)画散点图
选取身高为变量x，体重为变量y，画出散点图，展示两个变量之间的关系，并判断二者是否具有线性关系．
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\K21.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\K21.TIF"
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由散点图可以发现，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用回归直线y＝bx＋a来近似刻画它们之间的关系．
(2)建立回归方程
由计算器可得b＝0.849，a＝－85.712.
于是得到回归方程为y＝0.849x－85.712.
(3)预测和决策
当x＝172时，y＝0.849×172－85.712＝60.316(kg)．
即预测一名身高为172
cm的女大学生的体重约为60.316
kg.
反思与感悟　在使用回归方程进行预测时要注意：
(1)回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；
(2)我们所建立的回归方程一般都有时间性；
(3)样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；
(4)不能期望回归方程得到的预测值就是预测变量的精确值．
跟踪训练1　某班5名学生的数学和物理成绩如表：
学生学科
A
B
C
D
E
数学成绩(x)
88
76
73
66
63
物理成绩(y)
78
65
71
64
61
(1)画出散点图；
(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；
(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．
解　(1)散点图如图．
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\K22.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\K22.TIF"
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(2)＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2.
＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61
＝25
054.
x＝882＋762＋732＋662＋632＝27
174.
∴b＝≈0.625.
∴a＝－b＝67.8－0.625×73.2＝22.05.
∴y对x的线性回归方程是y＝0.625x＋22.05.
(3)当x＝96时，y＝0.625×96＋22.05≈82.
所以，可以预测他的物理成绩是82.
探究点二　相关系数
思考1　给出n对数据，按照公式求出的线性回归方程，是否一定能反映这n对数据的变化规律？
答　如果数据散点图中的点都大致分布在一条直线附近，这条直线就能反映这n对数据的变化规律，否则求出的方程没有实际意义．
思考2　怎样通过相关系数刻画变量之间的线性相关关系？
答　|r|值越接近1，变量之间的线性相关程度越高；|r|值越接近0，变量之间的线性相关程度越低；当r＝0时，两个变量线性不相关．
例2　下面的数据是从年龄在40岁到60岁的男子中随机抽出的6个样本，分别测定了心脏的功能水平y(满分100)，以及每天花在看电视上的平均时间x(小时).
看电视的平均时间x
4.4
4.6
2.7
5.8
0.2
4.6
心脏功能水平y
52
53
69
57
89
65
(1)求心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x之间的样本相关系数r；
(2)求心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x的线性回归方程，并讨论方程是否有意义；
(3)估计平均每天看电视3小时的男子的心脏功能水平．
解　n＝6，＝(4.4＋4.6＋…＋4.6)≈3.716
7，
＝(52＋53＋…＋65)≈64.166
7，
－62≈(4.42＋4.62＋…＋4.62)－6×3.716
72
≈19.766
8，
－62≈(522＋532＋…＋652)－6×64.166
72
≈964.807
7，
iyi－6
≈(4.4×52＋4.6×53＋…＋4.6×65)－6×3.7167×64.166
7≈－124.630
2.
(1)心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x之间的相关系数：r≈≈－0.902
5.
(2)b≈≈－6.305
0，a＝－b≈87.600
5，心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x的线性回归方程为y＝87.600
5－6.305
0x.
由(1)知y与x之间有较强的线性关系，这个方程是有意义的．
(3)将x＝3代入线性回归方程y＝87.600
5－6.305
0x，可得y≈68.7，即平均每天看电视3小时，心脏功能水平约为68.7.
反思与感悟　求解两个变量的相关系数及它们的线性回归方程的计算量较大，需要细心、谨慎地计算．如果会使用含统计的科学计算器，能简单得到i，i，，，iyi这些量，也就无需制表这一步，直接算出结果就行了．另外，利用计算机中有关应用程序也可以对这些数据进行处理．
跟踪训练2　维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(g/L)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据.
甲醛浓度x(g/L)
18
20
22
24
26
28
30
缩醛化度y
(克分子%)
26.86
28.35
28.75
28.87
29.75
30.00
30.36
(1)画散点图；
(2)求线性回归方程；
(3)求相关系数r.
解　(1)
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(2)列表：
i
xi
yi
x
xiyi
1
18
26.86
324
483.48
2
20
28.35
400
567
3
22
28.75
484
632.5
4
24
28.87
576
692.88
5
26
29.75
676
773.5
6
28
30.00
784
840
7
30
30.36
900
910.80
∑
168
202.94
4
144
4
900.16
＝＝24，＝，b＝
＝＝0.264
3，
a＝－b＝－0.264
3×24≈22.648，
∴线性回归方程为y＝22.648＋0.264
3x.
(3)y≈5
892，r＝
＝＝0.96.
由此可以看出甲醛浓度与缩醛化度两个变量之间有较强的线性相关关系．
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\当堂测、查疑缺.TIF"
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1．下列变量之间：①人的身高与年龄；②产品的成本与生产数量；③商品的销售额与广告费；④家庭的支出与收入．
其中不是函数关系的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案　D
2．已知线性回归方程为y＝bx＋a，其中a＝3且样本点中心为(1,2)，则线性回归方程为(　　)
A．y＝x＋3
B．y＝－2x＋3
C．y＝－x＋3
D．y＝x－3
答案　C
解析　∵y＝bx＋3过(1,2)，可计算得b＝－1.
3．已知一个线性回归方程为y＝1.5x＋45，xi∈{1,7,5,13,19}，则＝________.
答案　58.5
4．一唱片公司欲知打歌费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽取了10张，得如下的资料：i＝28，＝303.4，i＝75，＝598.5，iyi＝237，则y与x的相关系数r的绝对值为________．
答案　0.3
解析　由公式r＝得|r|＝0.3.
[呈重点、现规律]
1．对具有相关关系的两个变量进行统计分析，可从散点图观察大致呈条状分布，可以求线性回归方程并进行预报．
2．通过计算相关系数可以判定两个变量的线性相关程度．
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\40分钟课时作业.TIF"
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一、基础过关
1．在下列各量之间，存在相关关系的是(　　)
①正方体的体积与棱长之间的关系；
②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；
③某户家庭用电量与电价之间的关系．
A．②③
B．①③
C．①
D．②
答案　D
2．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的线性回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　)
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1
cm，则其体重约增加0.85
kg
D．若该大学某女生身高为170
cm，则可断定其体重必为58.79
kg
答案　D
解析　由线性回归方程为y＝0.85x－85.71知y随x的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系；由最小二乘法建立回归方程的过程知y＝bx＋a＝bx＋－b
(a＝－b
)，所以回归直线过样本点的中心(，)；利用回归方程可以估计总体，所以D不正确．
3.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为(　　)
A．63.6万元
B．65.5万元
C．67.7万元
D．72.0万元
答案　B
解析　∵＝＝，＝＝42，
又y＝bx＋a必过(，)，
∴42＝×9.4＋a，∴a＝9.1.
∴线性回归方程为y＝9.4x＋9.1.
∴当x＝6(万元)时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．
4．已知对一组观察值(xi，yi)作出散点图后确定具有线性相关关系，若对于y＝bx＋a，求得b＝0.51，＝61.75，＝38.14，则线性回归方程为(　　)
A．y＝0.51x＋6.65
B．y＝6.65x＋0.51
C．y＝0.51x＋42.30
D．y＝42.30x＋0.51
答案　A
5．对于回归分析，下列说法错误的是(　　)
A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定
B．线性相关系数可以是正的，也可以是负的
C．回归分析中，如果r2＝1，说明x与y之间完全相关
D．样本相关系数r∈(－1,1)
答案　D
解析　相关系数r的范围是[－1,1]．
6．对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条线性回归方程为________．
答案　y＝－10＋6.5x
解析　由题意知＝2，＝3，b＝6.5，所以a＝－b
＝3－6.5×2＝－10，即线性回归方程为y＝－10＋6.5x.
7．某个服装店经营某种服装，在某周内纯获利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据如下表：
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
(1)求样本点的中心；
(2)画出散点图；
(3)求纯获利y与每天销售件数x之间的回归方程．
解　(1)＝6，≈79.86，样本点的中心为(6,79.86)．
(2)散点图如下：
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\K30.TIF"
\
MERGEFORMATINET
(3)因为iyi＝3
487，＝280，
所以b＝
＝≈4.75.
a＝－b≈51.36，
所以y＝4.75x＋51.36.
二、能力提升
8.已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归方程y＝bx＋a，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　)
A．b>b′，a>a′
B．b>b′，aC．ba′
D．b答案　C
解析　b′＝2，a′＝－2，
由公式b＝求得．
b＝，a＝－b＝－×＝－，
∴ba′.选C.
9．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归方程必过(　　)
x
1
2
3
4
y
1
3
5
7
A.点(2,3)
B．点(1.5,4)
C．点(2.5,4)
D．点(2.5,5)
答案　C
解析　回归方程必过样本点的中心(，)，即(2.5,4)．
10．若线性回归方程中的回归系数b＝0，则相关系数r＝________.
答案　0
解析　b＝，
r＝，
若b＝0，则r＝0.
11．某车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到的数据如下：
零件的个数x/个
2
3
4
5
加工的时间y/小时
2.5
3
4
4.5
若加工时间y与零件个数x之间有较好的相关关系．
(1)求加工时间与零件个数的回归方程；
(2)试预测加工10个零件需要的时间．
解　(1)由表中数据得＝，＝，x＝54，
xiyi＝52.5，
从而得b＝0.7，a＝－b＝1.05，
因此，所求的线性回归方程为y＝0.7x＋1.05.
(2)将x＝10代入回归方程，得
y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，
即加工10个零件的预测时间为8.05小时．
12．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求线性回归方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝－b；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解　(1)＝＝8.5，
＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.
∵b＝－20，a＝－b，
∴a＝80＋20×8.5＝250，
∴线性回归方程y＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，则
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20(x－)2＋361.25，
∴该产品的单价应定为元，工厂获得的利润最大．
三、探究与拓展
13．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：
次数x
30
33
35
37
39
44
46
50
成绩y
30
34
37
39
42
46
48
51
(1)作出散点图；
(2)求出线性回归方程；
(3)计算相关系数并进行相关性检验；
(4)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．
解　(1)作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如下图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．
INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\K23.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\K23.TIF"
\
MERGEFORMATINET
(2)列表计算：
次数xi
成绩yi
x
y
xiyi
30
30
900
900
900
33
34
1
089
1
156
1
122
35
37
1
225
1
369
1
295
37
39
1
369
1
521
1
443
39
42
1
521
1
764
1
638
44
46
1
936
2
116
2
024
46
48
2
116
2
304
2
208
50
51
2
500
2
601
2
550
由上表可求得＝39.25，＝40.875，x＝12
656，
y＝13
731，xiyi＝13
180，
∴b＝≈1.041
5，
a＝－b＝－0.003
88，
∴线性回归方程为y＝1.041
5x－0.003
88.
(3)计算相关系数r＝0.992
7，因此运动员的成绩和训练次数两个变量有较强的相关关系．
(4)由上述分析可知，我们可用线性回归方程y＝1.041
5x－0.003
88作为该运动员成绩的预测值．
将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y＝49和y＝57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\第一章.tif"
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INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\第一章.tif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\技巧点拨.TIF"
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MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\技巧点拨.TIF"
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MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\技巧点拨.TIF"
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1　回归分析题目击破
一、基本概念
函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种非确定关系，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
例1　下列变量之间的关系是相关关系的是________．
(1)正方形的边长与面积之间的关系；
(2)水稻产量与施肥量之间的关系；
(3)人的身高与年龄之间的关系；
(4)降雪量与交通事故发生率之间的关系．
分析　两变量之间的关系有两种：函数关系和带有随机性的相关关系．
解析　(1)是函数关系；(2)不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系；(3)既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；(4)降雪量与交通事故发生率之间具有相关关系．
答案　(2)(4)
点评　该例主要考查对变量相关关系概念的掌握．
二、线性回归方程
设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个点大致分布在一条直线的附近，这条直线就叫作回归直线．
例2　假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知y对x呈线性相关关系，试求：
(1)回归方程y＝a＋bx；
(2)估计使用年限10年时，维修费用是多少？
分析　因为y对x呈线性相关关系，所以可以用线性相关的方法解决问题．
解　(1)制表
i
1
2
3
4
5
合计
xi
2
3
4
5
6
20
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
25
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
112.3
x
4
9
16
25
36
90
＝4，＝5，x＝90，xiyi＝112.3
于是有b＝＝1.23，
a＝－b＝5－1.23×4＝0.08.
∴回归方程为y＝1.23x＋0.08.
(2)当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，
即估计使用10年时维修费用约是12.38万元．
点评　已知y对x呈线性相关关系，无须进行相关性检验，否则，应首先进行相关性检验．
三、非线性回归问题
分析非线性回归问题的具体做法是：
(1)若问题中已给出经验公式，这时可以将解释变量进行变换(换元)，将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决．
(2)若问题中没有给出经验公式，需要我们画出已知数据的散点图，通过与各种函数(如指数函数、对数函数、幂函数等)的图像作比较，选择一种与这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，将问题化为线性回归分析问题来解决．
下面举例说明非线性回归分析问题的解法．
例3　某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，表中是这次抽查中所得到的各企业的人均资本x(单位：万元)与人均产值y(单位：万元)的数据：
人均资本x/万元
3
4
5.5
6.5
7
8
9
10.5
11.5
14
人均产值y/万元
4.12
4.67
8.68
11.01
13.04
14.43
17.50
25.46
26.66
45.20
(1)设y与x之间具有近似关系y≈axb
(a，b为常数)，试根据表中数据估计a和b的值；
(2)估计企业人均资本为16万元时的人均产值(精确到0.01)．
解　(1)在y≈axb的两边取常用对数，可得lg
y≈lg
a＋blg
x，设lg
y＝z，lg
a＝A，lg
x＝X，则z≈A＋bX.
相关数据计算如图所示.
人均资本x/万元
3
4
5.5
6.5
7
人均产出y/万元
4.12
4.67
8.68
11.01
13.04
X＝lg
x
0.477
12
0.602
06
0.740
36
0.812
91
0.845
1
z＝lg
y
0.614
9
0.669
32
0.938
52
1.041
79
1.115
28
人均资本x/万元
8
9
10.5
11.5
14
人均产出y/万元
14.43
17.5
25.46
26.66
45.2
X＝lg
x
0.903
09
0.954
24
1.021
19
1.060
7
1.146
13
z＝lg
y
1.159
27
1.243
04
1.405
86
1.425
86
1.655
14
由公式(1)可得
由lg
a＝－0.215
5，
得a≈0.608
8，
即a，b的估计值分别为0.608
8和1.567
7.
(2)由(1)知y＝0.608
8x1.567
7.
样本数据及回归曲线的图形如图所示．
INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\BB9.TIF"
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MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\BB9.TIF"
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当x＝16时，y＝0.608
8×161.567
7≈47.01(万元)，故当企业人均资本为16万元时，人均产值约为47.01万元.
INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\方法技巧.TIF"
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INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\方法技巧.TIF"
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MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\方法技巧.TIF"
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2　巧解非线性回归问题
如果题目所给样本点的分布不呈带状分布，即两个变量不呈线性关系，那么，就不能直接利用线性回归方程建立两个变量之间的关系，这时我们可以把散点图和已经学过的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，挑选出与这些散点拟合最好的函数，然后利用变量置换，把非线性回归方程问题转化为线性回归方程的问题来解决，这是解决此类问题的通法，体现了转化思想．
一、案例分析
例　一个昆虫的某项指标和温度有关，现收集了7组数据如下表：
温度x/℃
2
3
4
5
6
7
8
某项指标y
5.790
6.810
8.199
10.001
12.190
14.790
17.801
试建立某项指标y关于温度x的回归模型，并判断你所建立的回归模型的拟合效果．
分析　根据表中的数据画出散点图，再由图设出相应的回归模型．
解　
INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W74.TIF"
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MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W74.TIF"
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MERGEFORMATINET
画出散点图如图所示，样本点并没有分布在某个带状区域内，而是分布在某一条二次函数曲线y＝Bx2＋A的周围．
令X＝x2，则变换后的样本点应该分布在y＝bX＋a(b＝B，a＝A)的周围．
由已知数据可得变换后的样本数据表：
X
4
9
16
25
36
49
64
某项指标y
5.790
6.810
8.199
10.001
12.190
14.790
17.801
计算得到线性回归方程为y＝0.199
94X＋4.999
03.
用x2替换X，得某项指标y关于温度x的回归方程y＝0.199
94x2＋4.999
03.
计算得r≈0.999
997，几乎为1，说明回归模型的拟合效果非常好．
点评　本题是非线性回归分析问题，解决这类问题应该先画出散点图，把它与我们所学过的函数图像相对照，选择一种跟这些样本点拟合的最好的函数，然后采用适当的变量变换转化为线性回归分析问题，使之得以解决．
二、知识拓展
常见的非线性函数转换方法：
(1)幂型函数y＝axm(a为正数，x，y取正值)
解决方案：对y＝axm两边取常用对数，有lg
y＝lg
a＋mlg
x，令u＝lg
y，v＝lg
x，则原式可变为u＝mv＋lg
a，其中m，lg
a为常数，该式表示u，v的线性函数．
(2)指数型函数y＝c·ax(a，c>0，且a≠1)
解决方案：对y＝cax两边取常用对数，则有lg
y＝lg
c＋xlg
a，令u＝lg
y，则原式可变为u＝xlg
a＋lg
c，其中lg
a和lg
c为常数，该式表示u，x的线性函数．与幂函数不同的是x保持不变，用y的对数lg
y代替了y.
(3)反比例函数y＝(k>0)
解决方案：令u＝，则y＝ku，该式表示y，u的线性函数．
(4)二次函数y＝ax2＋c
解决方案：令u＝x2，则原函数可变为y＝au＋c，该式表示y，u的线性函数．
(5)对数型函数y＝clogax
解决方案：令x＝au，则原函数可变为y＝cu，该式表示y，u的线性函数.
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\方法技巧a.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\方法技巧a.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\方法技巧a.TIF"
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3　判断两个分类变量的关系
本章的重点是用独立性检验的基本思想对两个分类变量作出明确的判断，下面通过典例剖析如何判断两个分类变量的关系．
例　某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：
积极支持企业改革
不太赞成企业改革
合计
工作积极
54
40
94
工作一般
32
63
95
合计
86
103
189
对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出什么结论？
分析　首先由已知条件确定a、b、c、d、n的数值，再利用公式求出χ2的值，最后根据χ2值分析结果．
解　由题目中表的数据可知：
χ2＝
＝≈10.759.
因为10.759>6.635，所以有99%的把握说员工“工作积极”与“积极支持企业改革”有关，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．
点评　在列联表中注意事件的对应及有关值的确定，避免混乱；在判断两个分类变量的关系的可靠性时一般利用随机变量来确定；把计算出的χ2的值与临界值作比较，确定出“A与B有关系”的把握.
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\学以致用.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\学以致用.TIF"
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4　独立性检验思想的应用
在日常生活中，经常会面临一些需要推断的问题．在对这些问题作出推断时，我们不能仅凭主观臆断作出结论，需要通过试验来收集数据，并依据独立性检验思想做出合理的推断．
所谓独立性检验，就是根据采集样本的数据，利用公式计算χ2的值，比较与临界值的大小关系来判定事件A与B是否有关的问题．其基本步骤如下：
(1)考察需抽样调查的背景问题，确定所涉及的变量是否为二值分类变量；
(2)根据样本数据制作列联表；
(3)计算统计量χ2，并查表分析．当χ2很大时，就认为两个变量有关系；否则就认为没有充分的证据显示两个变量有关系．
下面举例说明独立性检验思想在解决实际问题中的应用．
例　为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，统计结果为：患慢性气管炎共有56人，患慢性气管炎且吸烟的有43人，未患慢性气管炎但吸烟的有162人．根据调查统计结果，分析患慢性气管炎与吸烟在多大程度上有关系？
解　根据所给样本数据得到如下2×2列联表：
患慢性气管炎
未患慢性气管炎
总计
吸烟
43
162
205
不吸烟
13
121
134
总计
56
283
339
由列联表可以粗略估计出：有吸烟者中，有20.98%的患慢性气管炎；在不吸烟者中，有9.70%的患慢性气管炎．两个比例的值相差较大，所以结论“患慢性气管炎与吸烟有关”成立的可能性较大．
根据列联表中的数据，得到
χ2＝≈7.469>6.635.
所以有99%的把握认为“患慢性气管炎与吸烟有关”．
点评　通过计算检验随机变量χ2，可以比较精确地给出这种判断的可靠程度．先收集数据，然后通过一些统计方法对数据进行科学的分析，这是我们用统计方法解决实际问题的基本策略．习题课　复　数
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\左括.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\左括.TIF"
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明目标、知重点
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\右括.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\右括.TIF"
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　1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\填要点、记疑点.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\填要点、记疑点.TIF"
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1．复数的四则运算
若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)
(1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；
(2)减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；
(4)除法：＝＋i(z2≠0)；
(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；
(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；
(1±i)2＝±2i；若ω＝－±i，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.
2．共轭复数与复数的模
(1)若z＝a＋bi，则＝a－bi，z＋为实数，z－为纯虚数(b≠0)．
(2)复数z＝a＋bi的模|z|＝，
且z·＝|z|2＝a2＋b2.
3．复数加、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义
若复数z1、z2对应的向量、不共线，则复数z1＋z2是以、为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．
(2)复数减法的几何意义
复数z1－z2是连接向量、的终点，并指向Z1的向量所对应的复数．
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\探题型、提能力.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\探题型、提能力.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\探题型、提能力.TIF"
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题型一　复数的四则运算
例
1　(1)计算：＋2
012＋
；
(2)已知z＝1＋i，求的模．
解　(1)原式＝＋1
006＋
＝i＋(－i)1
006＋0＝－1＋i.
(2)＝＝＝1－i，
∴的模为.
反思与感悟　复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．
跟踪训练1　(1)已知＝2＋i，则复数z等于(　　)
A．－1＋3i
B．1－3i
C．3＋i
D．3－i
答案　B
解析　方法一　∵＝2＋i，∴＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i.
方法二　设z＝a＋bi(a，b∈R)，∴＝a－bi，
∴＝2＋i，∴，z＝1－3i.
(2)i为虚数单位，则2
011等于(　　)
A．－i
B．－1
C．i
D．1
答案　A
解析　因为＝＝i，所以2
011＝i2
011＝i4×502＋3＝i3＝－i，故选A.
题型二　复数的几何意义的应用
例2　已知点集D＝{z||z＋1＋i|＝1，z∈C}，试求|z|的最小值和最大值．
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解　点集D的图像为以点C(－1，
－)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则||＝|z|.
由图知，当OP过圆心C(－1，－)时，与圆交于点A、B，则|z|的最小值是|OA|＝|OC|－1＝－1＝2－1＝1，即|z|min＝1；|z|的最大值是|OB|＝|OC|＋1＝2＋1＝3，即|z|max＝3.
反思与感悟　复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1，Z2之间的距离．
跟踪训练
2　已知复数z1，z2满足|z1|＝3，|z2|＝5，|z1－z2|＝，求|z1＋z2|的值．
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解　如图所示，设z1，z2对应点分别为A，B，以，为邻边作 OACB，则对应的复数为z1＋z2.这里||＝3，||＝5，||＝.
∴cos
∠AOB＝
＝＝.
∴cos
∠OBC＝－.又||＝||＝3，
∴|z1＋z2|＝||
＝＝.
题型三　有关两个复数相等的问题
例
3　设复数z和它的共轭复数满足4z＋2＝3＋i，求复数z.
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)．
因为4z＋2＝3＋i，所以2z＋(2z＋2)＝3＋i.
2z＋2＝2(a＋bi)＋2(a－bi)＝4a，整体代入上式，
得2z＋4a＝3＋i.所以z＝＋.
根据复数相等的充要条件，得
解得所以z＝＋.
反思与感悟　两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．
跟踪训练3　关于x的方程x2＋(3＋2i)x＋3ai＝0有非零实根，求实数a的值及方程的实数根．
解　设方程的实数根为b(b≠0)，代入方程x2＋(3＋2i)x＋3ai＝0，化为b2＋3b＋(2b＋3a)i＝0.
所以已知b≠0，解得b＝－3，a＝2.
故实数a的值及方程的实数根分别为2和－3.
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1．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
答案　B
2．已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2
014为(　　)
A．1＋i
B．1－i
C．i
D．1
答案　C
3．设复数z满足关系：z＋||＝2＋i，那么z等于(　　)
A．－＋i
B.＋i
C．－－i
D.－i
答案　B
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知a＋bi＋＝2＋i
由复数相等可得，∴，
故z＝＋i.
4．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为________．
答案　
解析　z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i]＝[m－2(m－1)]＋[2m＋(m－1)]i＝(2－m)＋(3m－1)i，所以2－m＝3m－1，即m＝，且能使2－m＝3m－1>0，满足题意．
5．设复数z＝1＋i，且＝1－i，求实数a，b的值．
解　因为z＝1＋i，
所以z2＋az＋b＝(a＋2)i＋a＋b，z2－z＋1＝i，
所以＝＝(a＋2)－(a＋b)i.
又＝1－i.
所以解得
[呈重点、现规律]
1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化；
2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；
3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．
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一、基础过关
1．复数＋的虚部是(　　)
A.i
B.
C．－i
D．－
答案　B
解析　＋＝＋＝－＋i.故选B.
2．复数的共轭复数是(　　)
A．－i
B.i
C．－i
D．i
答案　C
3．若(m2－5m＋4)＋(m2－2m)i>0，则实数m的值为(　　)
A．1
B．0或2
C．2
D．0
答案　D
解析　由，得m＝0.
4．设a，b∈R且b≠0，若复数(a＋bi)3是实数，则(　　)
A．b2＝3a2
B．a2＝3b2
C．b2＝9a2
D．a2＝9b2
答案　A
解析　若(a＋bi)3＝(a3－3ab2)＋(3a2b－b3)i是实数，则3a2b－b3＝0.由b≠0，得b2＝3a2.故选A.
5．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a＝______.
答案　2
解析　设＝bi(b∈R且b≠0)，则1＋ai＝bi(2－i)＝b＋2bi，所以b＝1，a＝2.
6．复平面内点A、B、C对应的复数分别为i、1、4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则||＝________.
答案　
解析　设D点对应复数为z，∵＝，
∴1－i＝－z＋(4＋2i)，∴z＝3＋3i，
∴对应的复数为2＋3i，∴||＝.
7．已知a∈R，则z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹是什么？
解　∵a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，
∴复数z的实部为正数，虚部为负数，∴复数z的对应点在第四象限．设z＝x＋yi(x、y∈R)，
则消去a2－2a得：y＝－x＋2(x≥3)．
∴复数z的对应点的轨迹是一条射线，方程为y＝－x＋2(x≥3)．
二、能力提升
8．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案　D
解析　(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限．
9.设i是虚数单位.是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z等于(　　)
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
答案　A
解析　设z＝a＋bi，a，b∈R
代入z·i＋2＝2z，整理得：(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi
则解得因此z＝1＋i.
10．已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________.
答案　
解析　|z|＝＝＝＝.
11．设复数z＝，若z2＋a·z＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
解　z＝＝＝
＝＝1－i.
因为z2＋a·z＋b＝1＋i，
所以(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i.
所以(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i.
所以解得a＝－3，b＝4.
即实数a，b的值分别是－3,4.
12.在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i.
(1)如果点A关于实轴的对称点为B，求向量对应的复数；
(2)如果(1)中点B关于虚轴的对称点为C，求点C对应的复数．
解　(1)设所求向量对应的复数为z1＝a＋bi(a，b∈R)，则点B的坐标为(a，b)．
已知A(2,1)，由对称性可知a＝2，b＝－1.
所以对应的复数为z1＝2－i.
(2)设所求点C对应的复数为z2＝c＋di(c，d∈R)，
则C(c，d)．由(1)，得B(2，－1)．
由对称性可知，c＝－2，d＝－1.
故点C对应的复数为z2＝－2－i.
三、探究与拓展
13.是否存在复数z，使其满足·z＋2i＝3＋ai？如果存在，求实数a的取值范围；如果不存在，请说明理由．
解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则原条件等式可化为x2＋y2＋2i(x－yi)＝3＋ai.
由复数相等的充要条件，得
消去x，得y2＋2y＋－3＝0.
所以当Δ＝4－4＝16－a2≥0，即－4≤a≤4时，复数z存在．
故存在满足条件的复数z，且实数a的取值范围为－4≤a≤4.章末检测卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下列语句表示的事件中的因素不具有相关关系的是(　　)
A．瑞雪兆丰年
B．名师出高徒
C．吸烟有害健康
D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
答案　D
解析　“喜鹊叫喜，乌鸦叫丧”是一种迷信说法，它们之间无任何关系，故选D.
2．下列结论正确的是(　　)
①函数关系是一种确定性关系；
②相关关系是一种非确定性关系；
③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；
④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
答案　C
3．若线性回归方程为y＝2－3.5x，则变量x增加一个单位，变量y平均(　　)
A．减少3.5个单位
B．增加2个单位
C．增加3.5个单位
D．减少2个单位
答案　A
解析　由线性回归方程可知b＝－3.5，则变量x增加一个单位，y减少3.5个单位，即变量y平均减少3.5个单位．
4．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y＝－0.7x＋a，则a等于(　　)
A．10.5
B．5.15
C．5.2
D．5.25
答案　D
解析　样本点的中心为(2.5,3.5)，将其代入线性回归方程可解得a＝5.25.
5．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有(　　)
A．b与r的符号相同
B．a与r的符号相同
C．b与r的相反
D．a与r的符号相反
答案　A
6．两个分类变量X与Y，可能的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数满足a＝10，b＝21，c＋d＝35，若X与Y有关系的可信程度为90%，则c的值可能等于(　　)
A．4
B．5
C．6
D．7
答案　B
解析　若X与Y有关系的可信程度为90%，则χ2的范围为2.706<χ2<3.841，根据计算公式χ2＝及a＝10，b＝21，c＋d＝35可估算出c值．
7．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程y＝7.19x＋73.93，用此方程预测儿子10岁的身高，有关叙述正确的是(　　)
A．身高一定为145.83
cm
B．身高大于145.83
cm
C．身高小于145.83
cm
D．身高在145.83
cm左右
答案　D
解析　用线性回归方程预测的不是精确值，而是估计值．当x＝10时，y＝145.83，只能说身高在145.83
cm左右．
8．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；
②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是(　　)
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
答案　D
解析　①中，回归方程中x的系数为正，不是负相关；④方程中的x的系数为负，不是正相关，所以①④一定不正确．
9.下列是x与y之间的一组数据(　　)
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y关于x的线性回归方程y＝bx＋a，对应的直线必过点(　　)
A．(，4)
B．(，2)
C．(2,2)
D．(1,2)
答案　A
解析　(，4)为样本点的中心，一定在回归直线上．
10．某调查机构调查教师工作压力大小的情况，部分数据如表：
喜欢教师职业
不喜欢教师职业
总计
认为工作压力大
53
34
87
认为工作压力不大
12
1
13
总计
65
35
100
则推断“工作压力大与不喜欢教师职业有关系”，这种推断犯错误的概率不超过(　　)
A．0.01
B．0.05
C．0.10
D．0.005
答案　B
解析　χ2＝
＝≈4.9>3.841，
因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为工作压力大与不喜欢教师职业有关系．
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一．在研究这两个因素的关系时，收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)的数据，建立的线性回归方程为y＝0.8x＋4.6.斜率的估计值为0.8说明________________________________________________________________________．
答案　美国一个地区的成年人受过9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右
12．考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x(cm)与肱骨长度y(cm)的线性回归方程为y＝1.197x－3.660，由此估计，当股骨长度为50
cm时，肱骨长度的估计值为________
cm.
答案　56.19
解析　根据线性回归方程y＝1.197x－3.660，
将x＝50代入，得y＝56.19，
则肱骨长度的估计值为56.19
cm.
13．下面是一个2×2列联表：
y1
y2
总计
x1
a
21
70
x2
5
c
30
总计
b
d
100
则b－d＝________.
答案　8
解析　∵a＝70－21＝49，c＝30－5＝25，
∴b＝49＋5＝54，d＝21＋25＝46，
∴b－d＝8.
14．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②线性回归方程y＝bx＋a必过点(，)；
③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；
④在一个2×2列联表中，由计算得χ2＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%.
其中错误的是________．(填序号)
答案　③④
解析　①正确．由回归方程的定义及最小二乘法思想，知②正确．③④不正确．
15．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．
答案　0.5　0.53
解析　小李这5天的平均投篮命中率
＝＝0.5，可求得小李这5天的平均打篮球时间＝3.根据表中数据可求得b＝0.01，a＝0.47，故线性回归方程为y＝0.47＋0.01x，将x＝6代入得6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53.
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了4次试验，得到数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\S1-10.TIF"
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(2)求y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(3)试预测加工10个零件需要的时间．
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\S1-11.TIF"
\
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INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\S1-11.TIF"
\
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解　(1)散点图如图所示：
(2)＝＝3.5，
＝＝3.5，
xiyi＝2×2.5＋3×3＋4×4＋5×4.5＝52.5，
x＝4＋9＋16＋25＝54，
∴b＝＝0.7，
a＝3.5－0.7×3.5＝1.05，
∴所求线性回归方程为y＝0.7x＋1.05.
(3)当x＝10时，y＝0.7×10＋1.05＝8.05，
∴预测加工10个零件需要8.05小时．
17.电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\K49.TIF"
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将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
10
55
合计
解　(1)由所给的频率分布直方图知，
“体育迷”人数为100×(10×0.020＋10×0.005)＝25.
“非体育迷”人数为75，则据题意完成2×2列联表：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将2×2列联表的数据代入公式计算：
χ2＝≈3.030>2.706.
所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下可以认为“体育迷”与性别有关．
18.在海南省第二十四届科技创新大赛活动中，某同学为研究“网络游戏对当代青少年的影响”作了一次调查，共调查了50名同学，其中男生26人，有8人不喜欢玩电脑游戏，而调查的女生中有9人喜欢玩电脑游戏．
(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；
(2)根据以上数据，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，能否认为“喜欢玩电脑游戏与性别有关系”？
解　(1)2×2列联表
性别游戏态度　　　　
男生
女生
总计
喜欢玩电脑游戏
18
9
27
不喜欢玩电脑游戏
8
15
23
总计
26
24
50
(2)χ2＝≈5.06>3.841，
故在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“喜欢玩电脑游戏与性别有关系”．
19．5个学生的数学成绩x与物理成绩y如下表，求其相关系数．
学生
A
B
C
D
E
数学
80
75
70
65
60
物理
70
66
68
64
62
解　由表中给出的数据可以得出：＝70，＝66，
x＝24
750，y＝21
820，xiyi＝23
190，
∴r＝
＝＝0.9.
20.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差x(℃)
10
11
13
12
8
发芽数y(颗)
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
解　(1)设事件A表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”．
基本事件总数为10，事件包含的基本事件数为4.
∴P()＝＝，
∴P(A)＝1－P()＝.
(2)＝12，＝27，xiyi＝977，x＝434，
∴b＝＝
＝2.5，
a＝－b＝27－2.5×12＝－3，
∴y＝2.5x－3.
(3)由(2)知：当x＝10时，y＝22，误差不超过2颗；
当x＝8时，y＝17，误差不超过2颗．
故所求得的线性回归方程是可靠的．
21.某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\K51.TIF"
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(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
(注：χ2＝)
解　(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．
所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.
从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．
其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝.
(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以得χ2＝
＝≈1.79.
因为1.79<2.706.所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．章末检测卷(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n2用的是(　　)
A．归纳推理
B．演绎推理
C．类比推理
D．特殊推理
答案　A
2．对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：
22＝1＋3
32＝1＋3＋5
42＝1＋3＋5＋7
23＝3＋5
33＝7＋9＋11
43＝13＋15＋17＋19
根据上述分解规律，若m2＝1＋3＋5＋…＋11，n3的分解中最小的正整数是21，则m＋n等于(　　)
A．10
B．11
C．12
D．13
答案　B
解析　∵m2＝1＋3＋5＋…＋11＝×6＝36，
∴m＝6.
∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11，
43＝13＋15＋17＋19，
∴53＝21＋23＋25＋27＋29，
∵n3的分解中最小的数是21，
∴n3＝53，n＝5，∴m＋n＝6＋5＝11.
3．用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是(　　)
A．假设是有理数
B．假设是有理数
C．假设或是有理数
D．假设＋是有理数
答案　D
解析　应对结论进行否定，则＋不是无理数，
即＋是有理数．
4．求证：－1>－.
证明：要证－1>－，
只要证＋>＋1，
即证7＋2＋5>11＋2＋1，
即证>，即证35>11，
∵35>11恒成立，∴原式成立．
以上证明过程应用了(　　)
A．综合法
B．分析法
C．综合法、分析法配合使用
D．间接证法
答案　B
解析　由分析法的特点可知应用了分析法．
5．已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N＋)，猜想f(x)的表达式为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　当x＝1时，f(2)＝＝＝，
当x＝2时，f(3)＝＝＝；
当x＝3时，f(4)＝＝＝，
故可猜想f(x)＝，故选B.
6．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于(　　)
A．f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1)
B．f()
C．n(n＋1)
D.f(1)
答案　C
解析　f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝1，∴f(2)＝2f(1)，
令x＝1，y＝2，f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)
　
　f(n)＝nf(1)，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(1＋2＋…＋n)f(1)
＝f(1)．
∴A、D正确；
又f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝f(1＋2＋…＋n)
＝f()．
∴B也正确，故选C.
7．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
答案　B
解析　若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a＝b与b＝c及a＝c中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．
8．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有(　　)
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
答案　C
解析　类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体．
9.定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．恒小于0
B．恒大于0
C．可能等于0
D．可正也可负
答案　A
解析　不妨设x1－2<0，x2－2>0，
则x1<2，x2>2，∴2∴f(x2)－f(4－x1)，
从而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)，
f(x1)＋f(x2)<0.
10.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是(　　)
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A．4n＋2
B．4n－2
C．2n＋4
D．3n＋3
答案　A
解析　观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，
因此第n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n项”．
故第n个图案中有白色地面砖的块数是4n＋2.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2
013＝________.
答案　2
解析　∵a1＝，an＋1＝1－，
∴a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，
a5＝1－＝－1，a6＝1－＝2，
∴an＋3k＝an(n∈N＋，k∈N＋)．
∴a2
013＝a3＋3×670＝a3＝2.
12．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为____________________________________．
答案　n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
解析　通过观察可以得规律为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
13．观察下列等式：
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
…
照此规律，第n个等式可为______________________．
答案　(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
解析　由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n×1×3×…×(2n－1)．
14.在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中(如图所示)，面DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是____________．
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答案　＝
解析　CE平分∠ACB，而面CDE平分二面角A—CD—B.
∴可类比成，
故结论为＝.
15.已知Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，当k＝1,2,3，…时，观察下列等式：
S1＝n2＋n，
S2＝n3＋n2＋n，
S3＝n4＋n3＋n2，
S4＝n2＋n4＋n3－n，
S5＝An6＋n5＋n4＋Bn2，
…
可以推测，A－B＝________.
答案　
解析　由S1，S2，S3，S4，S5的特征，推测A＝.又各项的系数和为1，
∴A＋＋＋B＝1，则B＝－.
因此推测A－B＝＋＝.
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．1，，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．
解　假设1，，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d，则
1＝－md,2＝＋nd，
m，n为两个正整数，消去d得m＝(＋1)n.
∵m为有理数，(＋1)n为无理数，∴m≠(＋1)n.
∴假设不成立．
即1，，2不可能为同一等差数列中的三项．
17．设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．
证明　当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b>0时，用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．
综上所述，对任意实数a，b不等式都成立．
18.已知a、b、c是互不相等的非零实数．求证三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．
证明　反证法：
假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.
相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，
(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.①
由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立．
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
19．设a，b，c为一个三角形的三条边，s＝(a＋b＋c)，且s2＝2ab，试证：s<2a.
证明　要证s<2a，由于s2＝2ab，
所以只需证s<，即证b因为s＝(a＋b＋c)，所以只需证2b即证b由于a，b，c为一个三角形的三条边，所以上式成立．
于是原命题成立．
20．已知a>5，求证：－<－.
证明　要证－<－，
只需证＋<＋，
只需证(＋)2<(＋)2，
只需证2a－5＋2<2a－5＋2，
只需证<，
只需证a2－5a只需证0<6.
因为0<6恒成立，
所以－<－成立．
21.已知△ABC的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等．若，，成等差数列．
(1)比较与的大小，并证明你的结论．
(2)求证：B不可能是钝角．
(1)解　大小关系为<，
证明如下：要证<，
只需证<，
由题意知a、b、c>0，
只需证b2∵，，成等差数列，
∴＝＋≥2，
∴b2≤ac，
又a、b、c任意两边均不相等，
∴b2故所得大小关系正确．
(2)证明　假设B是钝角，则cos
B<0，
而cos
B＝>>>0.
这与cos
B<0矛盾，故假设不成立．
∴B不可能是钝角．章末检测卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．以下说法正确的是(　　)
A．工艺流程图中不可能出现闭合回路
B．算法框图中不可能出现闭合回路
C．在一个算法框图中三种程序结构可以都不出现
D．在一个算法框图中三种程序结构必须都出现
答案　A
解析　根据流程图的定义可知，算法框图中可以出现闭合回路，而工艺流程图中不可能出现闭合回路，所以A正确；在一个算法框图中三种基本程序结构必会出现顺序结构，但不一定出现选择结构和循环结构，所以C、D均不正确．
2．要描述一个工厂某种产品的生产步骤，应用(　　)
A．算法框图
B．工艺流程图
C．知识结构图
D．组织结构图
答案　B
3．在下面的图示中，是结构图的为(　　)
A.
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B.
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C.
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D.
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W56.TIF"
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答案　B
4．如图是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在(　　)
—
A．“集合的概念”的下位
B．“集合的表示”的下位
C．“基本关系”的下位
D．“基本运算”的下位
答案　C
解析　子集属于集合的基本关系中的概念．
5．下列框图中不是结构图的是(　　)
A.→→
B.→→
C.→→
D.→
答案　C
解析　C中框图为流程图．
6．执行如图所示的算法框图，若输入的A的值为2，则输出的P值为(　　)
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A．2
B．3
C．4
D．5
答案　C
解析　由框图可知：
P＝1，S＝1→P＝2，S＝→P＝3，S＝→P＝4，S＝，循环终止．输出P＝4.
7．如图所示的结构图中“古典概型”的上位是(　　)
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A．试验
B．随机事件
C．概率统计定义
D．概率的应用
答案　B
8．将x＝2输入以下算法框图，得结果为(　　)
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A．3
B．5
C．8
D．12
答案　D
解析　由题意知该算法框图的作用即为求一个分段函数y＝的值，将x＝2代入上述函数表达式，显然2≥1，故将x＝2代入y＝x3＋2x得y＝12.
9．某成品的组装工艺流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间(小时)，不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是(　　)
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A．11小时
B．13小时
C．15小时
D．17小时
答案　A
解析　组装工序可以通过三个方案分别完成：
A→B→E→F→G，需要2＋4＋4＋2＝12小时；
A→E→F→G，需要5＋4＋2＝11小时；
A→C→D→F→G，需要3＋4＋4＋2＝13小时．
因此组装该产品所需要的最短时间是11小时．
10．某算法框图如图所示，现执行该程序，输入下列函数f(x)＝sin
x，f(x)＝cos
x，f(x)＝tan
x，则可以输出的函数是(　　)
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W62.TIF"
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A．f(x)＝sin
x
B．f(x)＝cos
x
C．f(x)＝tan
x
D．三个函数都无法输出
答案　B
解析　若输入函数f(x)＝cos
x，
则f(x)＋f
＝cos
x＋cos
＝cos
x＋cos
＝cos
x－cos
x＝0，
f(x)＋f＝cos
x＋cos
＝cos
x＋cos＝0.
故函数f(x)＝cos
x可由题中算法框图输出，
易验证函数f(x)＝sin
x和f(x)＝tan
x均无法输出，故选B.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．如图所示的是某公司的组织结构图，则后勤部的直接领导是________________．
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答案　专家办公室
12．按下列算法框图运算：
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规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算，若x＝5，则运算进行________次才停止．
答案　4
解析　第一次运算得13，第二次运算得37，第三次运算得109，第四次运算得325.
13．算法框图如图所示，其输出结果是________________________________________________________________________．
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答案　127
解析　由算法框图知，循环体被执行后a的值依次为3、7、15、31、63、127，故输出的结果是127.
14．某市质量技术监督局计量认证审查流程图如图所示，从图中可知在计量认证审查过程中审查可能不通过的环节有________处．
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答案　3
解析　该题是一个实际问题，由审查流程图可知有3个判断框，即3处审查可能不通过．
15．某工程由A、B、C、D四道工序组成，完成他们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A、B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B、C完成后，D可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C需要的天数x最大是________．
答案　3
解析　共9天完成，则x的最大值为3，如图所示．
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三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．设汽车托运重量为P(kg)的货物时，每千米的费用(单位：元)标准为
y＝
画出行李托运费用的算法框图．
解　算法框图如下：
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17．画出求满足1＋22＋32＋…＋n2>20
000的最小自然数n的算法框图．
解　算法框图如下：
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18．明天小强要参加班里组织的郊游活动，为了做好参加这次郊游的准备工作，他测算了如下数据：整理床铺、收拾携带物品8分钟，洗脸、刷牙7分钟，煮牛奶15分钟，吃早饭10分钟，查公交线路图9分钟，给出差在外的父亲发手机短信6分钟，走到公共汽车站10分钟，等公共汽车10分钟．小强粗略地算了一下，总共需要75分钟，为了赶上7：50的公共汽车，小强决定6：30起床，不幸的是他一下子睡到7：00！请你帮小强安排一下时间，画出一份郊游出行前时间安排流程图，使他还能来得及参加此次郊游．
解　出行前时间安排流程图如图所示．
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这样需要50分钟，故可以赶上7：50的公共汽车，并来得及参加此次郊游．
19．试用框图描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0
(a>0)的求解过程．
解　如下图所示．
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20．已知函数f(x)＝画出求此函数值的算法框图．
解　算法框图为：
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\C36.TIF"
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21．画出求12－22＋32－42＋…＋992－1002的值的算法框图．
解　算法框图为：
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MERGEFORMATINET习题课　综合法与分析法
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明目标、知重点
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　加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题．
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1．对综合法的理解
综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．
综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知) P1 P2 … Pn(结论)
2．对分析法的认识
分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……，结论成立”．
分析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知) … Pn－2 Pn－1 Pn(结论)
分析法属逻辑方法范畴，它的严谨性体现在分析过程步步可逆．
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题型一　选择恰当的方法证明不等式
例
1
　设a，b，c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证：3S≤I2<4S.
证明　I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
＝a2＋b2＋c2＋2S.
欲证3S≤I2<4S，
即证ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca.
先证明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2，
只需证2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，
即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2≥0，显然成立；
再证明a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca，
只需证a2－ab－ca＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca<0，
即a(a－b－c)＋b(b－a－c)＋c(c－b－a)<0，
只需证a由于a、b、c为三角形的三边长，
上述三式显然成立，故有3S≤I2<4S.
反思与感悟　本题要证明的结论要先进行转化，可以使用分析法．对于连续不等式的证明，可以分段来证，使证明过程层次清晰．证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：
(1)a2≥0(a∈R)．
(2)(a－b)2≥0(a、b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，()2≥ab，a2＋b2≥.
(3)若a，b∈(0，＋∞)，则≥，特别地＋≥2.
(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
跟踪训练1　已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.
证明　方法一　∵a，b是正数且a＋b＝1，
∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.
方法二　∵a，b是正数，∴a＋b≥2>0，
＋≥2>0，
∴(a＋b)(＋)≥4.
又a＋b＝1，∴＋≥4.
方法三　＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”．
题型二　选择恰当的方法证明等式
例2
　已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，对应的三边为a，b，c，求证：＋＝.
证明　要证原式，只需证＋＝3，
即证＋＝1，即只需证＝1，
而由题意知A＋C＝2B，
∴B＝，∴b2＝a2＋c2－ac，
∴＝
＝＝1，
∴原等式成立，即＋＝.
反思与感悟　综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．
跟踪训练2　设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，试证：＋＝2.
证明　由已知条件得
b2＝ac，①
2x＝a＋b,2y＝b＋c.②
要证＋＝2，
只需证ay＋cx＝2xy，
只需证2ay＋2cx＝4xy.
由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，
所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证．
题型三　立体几何中位置关系的证明
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例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)证明：CD⊥AE；
(2)证明：PD⊥平面ABE.
证明　(1)在四棱锥P－ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC，而AE?平面PAC，
∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，
可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，
∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD，又AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE.
反思与感悟　综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化．另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化．比如：两条平行线中一条垂直于平面α，则另外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．
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跟踪训练3　如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
证明　(1)如图，设AC与BD交于点G.
因为EF∥AG，且EF＝1，
AG＝AC＝1，
所以四边形AGEF为平行四边形．
所以AF∥EG.
因为EG?平面BDE，AF 平面BDE，
所以AF∥平面BDE.
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(2)连接FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，
所以四边形CEFG为菱形．
所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，
所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
所以BD⊥平面ACEF.
所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，
所以CF⊥平面BDE.
[呈重点、现规律]
1．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．
2．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．
3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
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一、基础过关
1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　)
A．a≤
B．ab≥
C．a2＋b2≥2
D．a2＋b2≤3
答案　C
解析　∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.
∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.
2．已知a、b、c、d∈{正实数}，且<，则(　　)
A.<<
B.<<
C.<<
D．以上均可能
答案　A
解析　方法一　特值检验，∵<，
可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，
则＝，满足<<.∴B、C、D不正确．
方法二　要证<，∵a、b、c、d∈{正实数}，
∴只需证a(b＋d)只需证<.而<成立，
∴<.同理可证<.
3．下面四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac；②a(1－a)≤；
③＋≥2；④(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案　C
解析　a2＋b2＋c2＝＋＋≥ab＋ac＋bc；a(1－a)≤()2＝；(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2；当<0时，＋≥2不成立．
4．若实数a，b满足0A.
B．2ab
C．a2＋b2
D．a
答案　C
解析　∵a＋b＝1，a＋b>2，∴2ab<，
由a2＋b2>＝，
又∵05．设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小关系是________．
答案　a>b>c
解析　a＝，b＝，c＝.∴a>b>c.
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\67.TIF"
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6．如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.
求证：AF⊥SC.
证明：要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC(因为______)，只需证______，只需证AE⊥BC(因为________)，只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA(因为______)．由SA⊥平面ABC可知，上式成立．
答案　EF⊥SC　AE⊥平面SBC　AE⊥SB　AB⊥BC
解析　要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明BC⊥平面SAB，可得AE⊥BC，进而AE⊥平面SBC，SC⊥平面AEF，问题得证．
7．如果a，b都是正数，且a≠b，求证：＋>＋.
证明　方法一　用综合法
＋－－＝
＝＝>0，
∴＋>＋.
方法二　用分析法
要证＋>＋，
只要证＋＋2>a＋b＋2，
即要证a3＋b3>a2b＋ab2，
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，
即需证a2－ab＋b2>ab，
只需证(a－b)2>0，
因为a≠b，所以(a－b)2>0恒成立，
所以＋>＋成立．
二、能力提升
8.命题甲：()x、2－x、2x－4成等比数列；命题乙：lg
x、lg(x＋2)、lg(2x＋1)成等差数列，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　由()x、2－x、2x－4成等比数列可得：(2－x)2＝()x·2x－4，解得x＝4；由lg
x、lg(x＋2)、lg(2x＋1)成等差数列得：2lg(x＋2)＝lg
x＋lg(2x＋1)，可解得x＝4(x＝－1舍去)，所以甲是乙的充要条件.
9．若a>b>1，P＝，Q＝(lg
a＋lg
b)，R＝lg()，则(　　)
A．RB．PC．QD．P答案　B
解析　a>b>1 lg
a>0，lg
b>0，
Q＝(lg
a＋lg
b)>＝P，
R>lg＝(lg
a＋lg
b)＝Q R>Q>P.
10．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>2，|β|>2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________．
答案　①③ ②
解析　∵αβ>0，|α|>2，|β|>2.
∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25.
∴|α＋β|>5.
11．已知a>0，求证：
－≥a＋－2.
证明　要证
－≥a＋－2，
只要证
＋2≥a＋＋.
因为a>0，故只要证
2≥2，
即a2＋＋4
＋4≥a2＋2＋＋2＋2，
从而只要证2≥，
只要证4≥2，
即a2＋≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．
12．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)·(－1)≥8.
证明　方法一　(分析法)
要证(－1)(－1)(－1)≥8成立，
只需证··≥8成立．
因为a＋b＋c＝1，
所以只需证··≥8成立，
即证··≥8成立．
而··≥··＝8成立．
所以(－1)(－1)(－1)≥8成立．
方法二　(综合法)
(－1)(－1)(－1)
＝(－1)(－1)(－1)
＝··＝
≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
所以原不等式成立．
三、探究与拓展
13.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N＋.
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
(1)解　2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，
所以a2＝4.
(2)解　当n≥2时，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，
2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)，
两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，
整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，
即－＝1，又－＝1，
故数列是首项为＝1，公差为1的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2.
所以数列{an}的通项公式为an＝n2，n∈N＋.
(3)证明　＋＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋
＝1＋＋＋＋…＋
＝＋－＝－<，
所以对一切正整数n，有＋＋…＋<.INCLUDEPICTURE
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明目标、知重点
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　1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
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1．反证法
在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．
2．反证法的证题步骤
(1)作出否定结论的假设；
(2)进行推理，导出矛盾；
(3)否定假设，肯定结论．
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[情境导学]
王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”
这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法．
探究点一　反证法的概念
思考1　通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？
答　(1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．
思考2　反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有几种情况？
答　(1)与原题中的条件矛盾；
(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾；
(3)与假设矛盾．
思考3　反证法主要适用于什么情形？
答　①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；
②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
探究点二　用反证法证明几何问题
例1　已知直线a，b和平面α，如果a α，b?α，且a∥b，求证：a∥α.
证明　因为a∥b，
所以经过直线a，b确定一个平面β.
因为a α，而a?β，所以α与β是两个不同的平面．
因为b?α，且b?β，所以α∩β＝b.
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下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点．
假设直线a与平面α有公共点P，如图所示，
则P∈α∩β＝b，即点P是直线a与b的公共点，
这与a∥b矛盾．所以a∥α.
反思与感悟　数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法．
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跟踪训练1
　如图，已知a∥b，a∩平面α＝A.
求证：直线b与平面α必相交．
证明　假设b与平面α不相交，即b?α或b∥α.
①若b?α，因为b∥a，a α，所以a∥α，
这与a∩α＝A相矛盾；
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②如图所示，如果b∥α，
则a，b确定平面β.
显然α与β相交，
设α∩β＝c，因为b∥α，
所以b∥c.又a∥b，
从而a∥c，且a α，c?α，
则a∥α，这与a∩α＝A相矛盾．
由①②知，假设不成立，
故直线b与平面α必相交．
探究点三　用反证法证明否定性命题
例2
　求证：不是有理数．
证明　假设是有理数．于是，存在互质的正整数m，n，
使得＝，从而有m＝n，因此m2＝2n2，
所以m为偶数．于是可设m＝2k(k是正整数)，从而有
4k2＝2n2，即n2＝2k2，
所以n也为偶数．这与m，n互质矛盾．
由上述矛盾可知假设错误，从而不是有理数．
反思与感悟　当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．
跟踪训练2　已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．
证明　假设，，成等差数列，则
＋＝2，即a＋c＋2＝4b，
而b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4，
∴(－)2＝0.即＝，
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故，，不成等差数列．
探究点四　含至多、至少、唯一型命题的证明
例3
　若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
证明　假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．因为α≠β
，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)反思与感悟　当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，注意准确写出命题的假设．
跟踪训练3　若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a、b、c中至少有一个大于0.
证明　假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
所以a＋b＋c≤0，
而a＋b＋c＝(x2－2y＋)＋(y2－2z＋)＋(z2－2x＋)＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，
故a、b、c中至少有一个大于0.
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1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设(　　)
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
答案　B
2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中(　　)
A．有一个内角小于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°
D．每一个内角都大于60°
答案　B
3．“aA．a≠b
B．a>b
C．a＝b
D．a＝b或a>b
答案　D
4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设(　　)
A．a不垂直于c
B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b
D．a与b相交
答案　D
5．已知a≠0，证明：关于x的方程ax＝b有且只有一个根．
证明　由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝.
如果方程不止一个根，不妨设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1＝b，　　　　　　　　　　①
ax2＝b.
②
①－②，得a(x1－x2)＝0.
因为x1≠x2，所以x1－x2≠0，所以应有a＝0，这与已知矛盾，故假设错误．
所以，当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根．
[呈重点、现规律]
1．反证法证明的基本步骤
(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)
(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推缪)
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)
2．反证法证题与“逆否命题法”的异同
反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，还可以与定义、定理、公式、事实矛盾．因此，反证法与证明逆否命题是不同的．
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\40分钟课时作业A.TIF"
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一、基础过关
1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是(　　)
①与已知条件矛盾　②与假设矛盾　③与定义、公理、定理矛盾　④与事实矛盾
A．①②
B．①③
C．①③④
D．①②③④
答案　D
2．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为(　　)
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
答案　D
解析　自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”．
3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“ay或xA．0个
B．1个
C．2个
D．3个
答案　B
解析　①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．
4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
答案　B
解析　“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．
5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为______________．
答案　a，b，c都不是偶数
解析　a，b，c中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a，b，c都不是偶数．
6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__________________．
答案　存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
解析　“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．
7．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．
证明　设f(x)＝0有一个整数根k，则
ak2＋bk＝－c.①
又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，
∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；
当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．
二、能力提升
8．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，试证：“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时应为(　　)
A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn＝xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn＋1
D．存在正整数n，使xn≤xn＋1
答案　D
解析　“任意”的反语是“存在一个”．
9.设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2
D．至少有一个不大于2
答案　C
解析　假设a＋<2，b＋<2，c＋<2，
则(a＋)＋(b＋)＋(c＋)<6.
又(a＋)＋(b＋)＋(c＋)＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.
10.若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是__________________．
答案　a≤－2或a≥－1
解析　若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0，∴a<－1或a>.Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，∴－211．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.
求证：a>0，b>0，c>0.
证明　用反证法：
假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，
不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，
可得c>－(a＋b)，
又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)，
ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab，
即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2，
∵a2>0，ab>0，b2>0，
∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，
即ab＋bc＋ca<0，
这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．
因此a>0，b>0，c>0成立．
12．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.
证明　假设三个式子同时大于，
即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，
三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>，①
又因为0同理0所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤，②
①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．
三、探究与拓展
13.已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R.证明下面两个命题：
(1)若a＋b＞0，则f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；
(2)若f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则a＋b＞0.
证明　(1)因为a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，
又因为f(x)是R上的增函数，
所以f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，
由不等式的性质可知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．
(2)假设a＋b≤0，则a≤－b，b≤－a，
因为f(x)是R上的增函数，
所以f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)，
所以f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，
这与已知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)矛盾，
所以假设不正确，所以原命题成立．INCLUDEPICTURE
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　解读两种常见的流程图
流程图是一种动态图示，通常用来描述一种过程性活动，它由图形符号和文字说明构成，每一个明确的步骤构成了流程图的基本单元，常见的流程图主要有如下两种：
一、算法框图
画算法框图时，一般需要将每一个算法步骤分解为若干输入、输出、选择结构、循环结构等基本算法单元，然后根据各单元的逻辑关系，用流程线将这些基本单元连结起来．
例1　请画出S＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋10×211的算法框图．
解　该算法的框图如图所示．
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W80.TIF"
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点评　画算法框图的要求：
(1)使用标准的图形符号；
(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画；
(3)在图形符号内描述的语言要简洁、清楚．
例2　根据下图所示的算法框图，回答下面问题：
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(1)若a>b>c，则输出的数是________．
(2)若a＝50.6，b＝0.65，c＝log0.65，则输出的数是________．
分析　算法框图的判断框是判断出a，b，c三个数中的最大数，若为a，则程序结束，否则比较b，c的大小．
解析　(2)当a＝50.6，b＝0.65，c＝log0.65时，有a＝50.6>1>b＝0.65>0>c＝log0.65，所以仍然输出a.故填50.6.
答案　(1)a　(2)50.6
二、工艺流程图
工艺流程图是用来描述一个过程性的活动，活动的每一个明确的步骤构成流程图的一个基本单元，其基本单元之间通过流程线产生联系．
例3　我们生活中用的纸杯从原材料(纸张)到商品(纸杯)主要经过四道工序：淋膜、印刷、模切、成型．首先用淋膜机给原纸淋膜PE(聚乙烯)，然后用分切机把已经淋膜好的纸分切成矩形纸张(印刷后做纸杯壁用)和卷筒纸(纸杯底部用)，再将矩形纸印刷并切成扇环形杯片，最后成型，请用流程图表示纸杯的加工过程．
分析　画工艺流程图应先理清工序大体分几个阶段，再对每一阶段细分，每一步应注意先后顺序，这是十分关键的，否则会产生错误．在画工艺流程图时，不能出现几道工序首尾相接的圈图或循环回路．
解　这是一道工艺流程图题目，描述纸杯制作的整个过程．由题意得流程图如下：
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　体验工艺流程图
工艺流程图又可称统筹图，具有简单明了，直观形象等特点．它反映任务全貌，实现管理过程模型化，然后进行时间参数计算，找出计算中的关键工作和关键路径，对任务的各项工作或工序所需的人、财、物通过改进统筹图作出合理安排，进而得到最优方案，并付诸实施．工艺流程图在实际工作中应用的比较广泛，为合理安排工程作业进度，分配调整工程作业人员，节省时间，提高效率，缩短工期等提供了帮助，下面通过具体实例体验其应用．
例1　设下表是某部件生产计划中有关项目的明细表.
项目
工期(天)
代号
设计锻模
10
A
制造锻模
15
B
生产锻模
10
C
制造木模
25
D
生产铸件
15
E
设计工装
20
F
制造工装
40
G
作出该部件的生产计划流程图并加以分析，再提出使完工期缩短的改进措施．
解　本题可称为“生产过程的优化问题”，衡量的数量指标是“完成工程的时间”越短越好．鉴于工厂生产的实际情况，可知明细表中所列各项目的先后顺序关系不允许更动，也不可能对任一项目进行分解．例如，依照工序流程，必须先制造木模，才能生产铸件，这样就可得到下图所示的生产计划流程的一个方案．
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W82.TIF"
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从图中可见，A、D、F三个项目同时开工，随后分成三条支路．先考察上、中、下三条支路上各项目总共所用的时间，具体地说，有
上支路10＋15＋10＝35，
中支路25＋15＝40，
下支路20＋40＝60.
比较之，可见F与G两个项目合成的下支路所花时间最长．该部件生产计划的完工期实质上受F与G两个项目工时的制约．
设想一下，即使A、B、C、D、E都如期完工，但是由于F、G还在进行中，先完工的人员与设备如不及时利用只能闲置起来，造成所谓的“窝工”现象．这就是生产的浪费；要是有可能重新调配力量，适当地让A、B、C或D、E慢点完工，同时力求F、G快点完工，那么就可能缩短工程的完工期．于是可以采取如下措施：把上支路或中支路上的资源(人员、设备等)适当抽调一部分到下支路上去，以加快完工期．当然，这里已设被抽调的资源适用于下支路上的项目．例如，设计锻模(A)的人也要会设计工装(F)，从而可以去支援F.此外，从某项目上被抽调的资源数量必须适当，抽调过多，原项目的完工时间将大为延长，反过来又会影响完工期．
因此，时间最长的那条支路对于完工期起着关键的作用，所以被称为关键路线．可见统筹法的基本思想，简单地说就是：向关键路线要时间，向非关键路线要资源，以达到预期目标的最优．
例2　用流程图表示翻修库房的工序流程．
某单位要翻修一栋库房，预计作业17项，其各工序进展的要求如下：
①首先要建立工程办公室；接着进行图纸设计及倒库，设计图纸结束后要编报预算；预算结束后便可以订购设备、备料和签订施工合同；订购设备结束后可以提运设备；
②倒库结束后就拆除库房旧设备；这些任务完成后就拆除旧库房和对施工现场进行监督检查；在备料和拆除旧房后依次进行库房翻修和库房验收，之后可清理施工现场，安装新设备，并对新设备进行试运行和验收的工作；
③最后一项是编报决算．
请用流程图表示上述工序流程．
解
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　　　　　　　　　　　　3　结构图在实际中的应用
结构图的作用很特别，它不仅可以应用于数学知识的学习，还可以广泛应用在我们日常生活中的方方面面．本文将介绍结构图的三大应用，也许对你全面了解结构图的作用会有帮助．请看：
1．利用结构图，构建知识网络
当某一章节内容学完后，老师为了让我们理清知识脉络，抓住重点，通常会画一个“树形”网络图，其实，这个“树形”图就是我们所学的结构图．它对我们充分认识、掌握知识很有帮助．
例1　用结构图来描述数学必修①第二章《函数》的知识结构．
解　
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2．利用结构图，理清从属关系
一个单位或一个企业的人事关系往往较为复杂，如果一个一个的介绍或说明则很不方便，若借助结构图，则非常清晰．
例2　某企业的人事情况是这样的：总经理一人；下设四个副总经理，一个分管行政，一个分管财务，一个分管生产，一个分管销售；在行政部门，下设了办公室主任、厂报编辑部主任；财务部门，下设了总务处主任、监察处主任；生产部门，下设了信息部主任、开发部主任及四个生产车间主任；销售部门，下设了咨询部主任、售后服务部主任及十个销售门市部主任．根据上述情况，请绘制该企业的人事结构图．
解　由题意可知，结构图如下：
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点评　通过结构图可以很清楚的看出该企业的人事结构，有这样的结构图当然可以提高办事效率．其实，我们学习过的知识中也有很多存在着从属关系，也可以通过结构图将它们显现出来．
3．利用结构图，快速找准位置
现在一栋楼的可用面积越来越大，容纳的单位也越来越多，正常情况下，在一栋大楼的大堂中都会有一个平面图，这个平面图就是结构图．
例3　某行政大楼的二楼是大会议厅；三楼是教育类，其中从左至右是成人教育办公室、特殊教育办公室、小学教育办公室、中学教育办公室、主任办公室；四楼是计生类，从左至右是办证室、外来务工人员登记室、主任室；五楼是安全类，从左至右是消防办公室、安检办公室、主任室；六楼是行政类，从左至右是局长办公室、四个副局长办公室、接待室．请根据上述资料，绘制一个平面图．
解　从下往上，分别为一楼、二楼、三楼、四楼、五楼、六楼，因此，得结构图如下：
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点评　假若你到该行政部门办事，借助这个结构图可以很快找到自己要去的地方，由此可以体会到结构图给我们带来很大的方便．
以上介绍了结构图的三种应用，在实际生活中结构图的应用远不止这三种，只要认真学好该部分知识，你会发现结构图的应用无处不在、无处不有．INCLUDEPICTURE
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　　　　　　　　　　　　　　1　合情推理的妙用
合情推理包括归纳推理和类比推理，在近几年的高考试题中，关于合情推理的试题多与其他知识联系，以创新题的形式出现在考生面前．下面介绍一些推理的命题特点，揭示求解规律，以期对同学们求解此类问题有所帮助．
一、归纳推理的考查
1．数字规律周期性归纳
例1　观察下列各式：55＝3
125,56＝15
625,57＝78
125，…，则52
013的末四位数字为(　　)
A．3125
B．5625
C．0625
D．8125
解析　∵55＝3
125,56＝15
625,57＝78
125，
58末四位数字为0625,59末四位数字为3125,510末四位数字为5625,511末四位数字为8125,512末四位数字为0625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，
∴52
013＝54×502＋5末四位数字为3125.
答案　A
点评　对于具有周期规律性的数或代数式需要多探索几个才能发现规律，当已给出事实与所求相差甚“远”时，可考虑到看是否具有周期性．
2．代数式形式归纳
例2　设函数f(x)＝(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
解析　依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.
所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝.
答案　
点评　对于与数列有关的规律归纳，一定要观察全面，并且要有取特殊值最后检验的习惯．
3．图表信息归纳
例3　古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：
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图(1)
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图(2)
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．
下列数中既是三角形数又是正方形数的是(　　)
A．289
B．1
024
C．1
225
D．1
378
分析　将三角形数和正方形数分别视作数列，则既是三角形数又是正方形数的数字是上述两数列的公共项．
解析　设图(1)中数列1,3,6,10，…的通项公式为an，
其解法如下：a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，
an－an－1＝n.
故an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，∴an＝.
而图(2)中数列的通项公式为bn＝n2，因此所给的选项中只有1
225满足a49＝＝b35＝352＝1
225.
答案　C
点评　此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点．题目类型为已知几个图形，图形中元素的数量呈现一定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性，如点的数目的递增关系或递减关系，依据此规律求解问题，一般需转化为求数列的通项公式或前n项和等．
二、类比推理的考查
1．类比定义
在求解类比某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解．
例1　等和数列的定义是：若数列{an}从第二项起，以后每一项与前一项的和都是同一常数，则此数列叫作等和数列，这个常数叫作等和数列的公和．如果数列{an}是等和数列，且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的一个通项公式是________．
解析　由定义，知公和为4，且an＋an－1＝4，那么
an－2＝－(an－1－2)，于是an－2＝(－1)n－1(a1－2)．
因为a1＝1，得an＝2＋(－1)n即为数列的一个通项公式．
答案　an＝2＋(－1)n
点评　解题的前提是正确理解等和数列的定义，将问题转化为一个等比数列来求解．
2．类比性质
从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题．求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键．
例2　平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①________________________________________________________________________；
充要条件②________________________________________________________________________.
解析　类比平行四边形的两组对边分别平行可得，两组相对侧面互相平行是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．
类比平行四边形的两组对边分别相等可得，两组相对侧面分别全等是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．
类比平行四边形的一组对边平行且相等可得，一组相对侧面平行且全等是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．
类比平行四边形的对角线互相平分可得，主对角线互相平分是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．
类比平行四边形的对角线互相平分可得，对角面互相平分是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．
点评　由平行四边形的性质类比到平行六面体的性质，注意结论类比的正确性．
3．类比方法
有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．
例3　已知数列{an}的前n项的乘积Tn＝3n＋1，则其通项公式an＝________.
解析　类比数列前n项和Sn与通项an的关系an＝Sn－Sn－1(n≥2)，得到数列前n(n≥2)项的乘积Tn与通项an的关系．注意对n＝1的情况单独研究．
当n＝1时，a1＝T1＝31＋1＝4.
当n≥2时，an＝＝，a1不适合上式，
所以通项公式an＝.
答案　.
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　　　　　　　　　　2　各有特长的综合法与分析法
例1　已知a>b>c，求证：＋＋≥0.
分析　首先使用分析法寻找证明思路．
证法一　(分析法)要证原不等式成立，
只需证＋≥.
通分，得≥，
即证≥.
因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，a－c>0.
只需证(a－c)2≥4(a－b)(b－c)成立．
由上面思路可得如下证题过程．
证法二　(综合法)∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.∴4(a－b)(b－c)≤[(a－b)＋(b－c)]2＝(a－c)2.
∴≥，即－≥0.
∴＋＋≥0.
从例题不难发现，分析法和综合法各有其优缺点：从寻求解题思路来看，分析法“执果索因”，常常根底渐近，有希望成功；综合法“由因导果”，往往枝节横生，不容易奏效．从表达过程而论，分析法叙述繁琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰．也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达．因此，在实际解题时，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的，两者结合，互相弥补才是应该提倡的；先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表达解题过程．
最后，提醒一下，对于一些较复杂的问题，不论是从“已知”推向“未知”，还是由“未知”靠拢“已知”，都是一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探索方向准确及过程快捷，人们常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标的“两头凑”的方法去寻求证明途径：先从已知条件出发，看可以得出什么结果，再从要证明的结论开始寻求，看它成立需具备哪些条件，最后看它们的差距在哪里，从而找出正确的证明途径．
例2　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图像关于y轴对称．求证：f(x＋)为偶函数．
证明　方法一　要证f(x＋)为偶函数，
只需证f(x＋)的对称轴为x＝0，
只需证－－＝0，只需证a＝－b.
因为函数f(x＋1)与f(x)的图像关于y轴对称，
即x＝－－1与x＝－关于y轴对称，
所以－－1＝－，
所以a＝－b，所以f(x＋)为偶函数．
方法二　要证f(x＋)是偶函数，
只需证f(－x＋)＝f(x＋)．
因为f(x＋1)与f(x)的图像关于y轴对称，
而f(x)与f(－x)的图像关于y轴对称，
所以f(－x)＝f(x＋1)，
f(－x＋)＝f(－(x－))＝f((x－)＋1)
＝f(x＋)，所以f(x＋)是偶函数．
点评　本题前半部分是用分析法证明，但寻找的充分条件不是显然成立的，可再用综合法证明，这种处理方法在推理证明中是常用的.
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　　　　　　　　　　　　　3　体验反证法的独到之处
反证法作为一种证明方法，在高考中，虽然很少单独命题，但是有时运用反证法的证明思路判断、分析命题有独到之处．下面举例分析用反证法证明问题的几个类型：
1．证明否定性问题
例1　平面内有四个点，任意三点不共线．证明：以任意三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．
分析　假设以四点中任意三点为顶点的三角形都是锐角三角形，先固定三点组成一个三角形，则第四点要么在此三角形内，要么在此三角形外，且各个三角形的内角都是锐角，选取若干个角的和与一些已知结论对照即得矛盾．
证明　假设以任意三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，四个点为A，B，C，D.考虑△ABC，则点D有两种情况：在△ABC内部和外部．
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(1)如果点D在△ABC内部(如图(1))，根据假设知围绕点D的三个角∠ADB，∠ADC，∠BDC都小于90°，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾．
(2)如果点D在△ABC外部(如图(2))，根据假设知∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC都小于90°，即四边形ABCD的内角和小于360°，这与四边形内角和等于360°矛盾．综上所述，可知假设错误，题中结论成立．
点评　结论本身是否定形式、证明唯一性或存在性命题时，常用反证法．
2．证明“至多”“至少”“唯一”“仅仅”等问题
例2　A是定义在[2,4]上且满足如下两个条件的函数φ(x)组成的集合：
①对任意的x∈[1,2]，都有φ(2x)∈(1,2)；
②存在常数L(0设φ(x)∈A，试证：如果存在x0∈(1,2)，使得x0＝φ(2x0)，那么这样的x0是唯一的．
证明　假设存在两个x0，x′0∈(1,2)，x0≠x′0，
使得x0＝φ(2x0)，x′0＝φ(2x′0)，
则由|φ(2x0)－φ(2x′0)|得|x0－x′0|所以L>1.这与题设中0所以原假设不成立．故得证．
点评　若直接证明，往往思路不明确，而运用反证法则能迅速找到解题思路，从而简便得证．
3．证明较复杂的问题
例3　如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则(　　)
A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
解析　因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形．假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cos
A1＝sin
A2，则cos
A1＝cos(90°－A2)．所以A1＝90°－A2.
同理设cos
B1＝sin
B2，cos
C1＝sin
C2，则有B1＝90°－B2，C1＝90°－C2.又A1＋B1＋C1＝180°，
∴(90°－A2)＋(90°－B2)＋(90°－C2)＝180°，即A2＋B2＋C2＝90°.这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立，故选D.
答案　D
例4　已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.
分析　若从正面证明，比较复杂，需要考虑的方面比较多，故采用反证法来证明．
证明　假设a<0，由abc>0，知bc<0.
由a＋b＋c>0，知b＋c>－a>0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc<0.这与已知矛盾．又若a＝0，则abc＝0，与abc>0矛盾．故a>0.同理可证b>0，c>0.
点评　至于什么情况下用反证法，应依问题的具体情况而定，切忌滥用反证法．一般说来，当非命题比原命题更具体、更明确、更简捷，易于推出矛盾时，才便于用反证法．
运用反证法证题时，还应注意以下三点：
1．必须周密考察原结论，防止否定有所遗漏；
2．推理过程必须完全正确，否则，不能肯定非命题是错误的；
3．在推理过程中，可以使用已知条件，推出的矛盾必须很明确，毫不含糊．
另外，反证法证题的首要环节就是对所证结论进行反设，因此大家必须掌握一些常见关键词的否定形式.
关键词
否定
是
不是
都是
不都是
等于(＝)
不等于(≠)
大于(>)
不大于(≤)
小于(<)
不小于(≥)
能
不能
至少有一个
一个也没有
至多有一个
至少有两个
至少有n个
至多有n－1个
至多有n个
至少有n＋1个
任意
存在
存在
任意INCLUDEPICTURE
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1.1　数的概念的扩展
1.2　复数的有关概念
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明目标、知重点
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　1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.4.理解复数的几何表示．
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1．复数的有关概念
(1)复数
①定义：形如a＋bi的数叫作复数，其中a，b∈R，i叫作虚数单位．a叫作复数的实部，b叫作复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi
(a，b∈R)．
(2)复数集
①定义：复数的全体组叫作复数集．
②表示：通常用大写字母C表示．
2．复数的分类及包含关系
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)
(2)集合表示：
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3．两个复数相等
a＋bi＝c＋di当且仅当a＝c且b＝d.
4．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一,对应,复平面内的点Z(a，b)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一,平面向量＝(a，b)．
5．复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，且|z|＝.
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[情境导学]
为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，例如x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题．
探究点一　复数的概念
思考1　为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
答　设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．
思考2　如何理解虚数单位i
答　(1)i2＝－1.
(2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．
(3)由于i2＜0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立．
(4)若i2＝－1，那么i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.
思考3　什么叫复数？怎样表示一个复数？
答　形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，这一表示形式叫作复数的代数形式，其中a、b分别叫作复数z的实部与虚部．
思考4　什么叫虚数？什么叫纯虚数？
答　对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时叫作虚数；当a＝0且b≠0时，叫作纯虚数．
思考5　复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？
答　不一定，只有当m∈R，n∈R，则m、n才是该复数的实部、虚部．
例1　请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．
①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.
解　①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．
反思与感悟　复数a＋bi中，实数a和b分别叫作复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫作复数的虚部．
跟踪训练1　符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．
(1)实部为－的虚数；
(2)虚部为－的虚数；
(3)虚部为－的纯虚数；
(4)实部为－的纯虚数．
解　(1)存在且有无数个，如－＋i等；(2)存在且不唯一，如1－i等；(3)存在且唯一，即－i；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.
例2
　当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解　(1)当，即m＝2时，复数z是实数；
(2)当
即m≠0且m≠2时，复数z是虚数；
(3)当，
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
反思与感悟　利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．
跟踪训练2　实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解　(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，
且m2＋2m－3≠0，
解得m＝0或m＝－2.
探究点二　两个复数相等
思考1　两个复数能否比较大小？
答　如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小．
思考2　两个复数相等的充要条件是什么？
答　复数a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
例3　已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求x与y.
解　由复数相等的充要条件得
解得
反思与感悟　两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．
跟踪训练
3　已知＝(x2－2x－3)i(x∈R)，求x的值．
解　由复数相等的定义得
解得：x＝3，
所以x＝3为所求．
探究点三　复数的几何意义
思考1　实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？
答　任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应关系．
小结　建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
思考2　下列命题是否正确？
①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；
②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；
③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；
④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；
答　根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2，因此①③是真命题；根据虚轴的定义，y轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i对应点(0,5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以②是真命题，④是假命题．
思考3　复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？
答　当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系．
思考4　怎样定义复数z的模？它有什么意义？
答　复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是向量＝(a，b)的模，记作|z|或|a＋bi|.
|z|＝|a＋bi|＝可以表示点Z(a，b)到原点的距离．
例4　在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．
解　复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意得m2－m－2＝0.
解得m＝2或m＝－1.
(2)由题意得，
∴，∴－1(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，故m＝2.
反思与感悟　按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
跟踪训练4　已知复数z的虚部为，在复平面内复数z对应的向量的模为2，求复数z.
解　由已知，设z＝a＋i(a∈R)．
则a2＋()2＝4.解得a＝±1.所以z＝±1＋i.
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1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(　　)
A.，1
B.，5
C．±，5
D．±，1
答案　C
解析　令，
∴a＝±，b＝5.
2．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)
A．1
B．0
C．－1
D．－1或1
答案　B
解析　由题意知，∴m＝0.
3．在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案　B
解析　∵z＝i＋2i2＝－2＋i，
∴实部小于0，虚部大于0，
故复数z对应的点位于第二象限．
4．已知复数z＝a＋i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　　)
A．－1＋i
B．1＋i
C．－1＋i或1＋i
D．－2＋i
答案　A
解析　因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a<0，
由|z|＝2知，＝2，解得a＝±1，
故a＝－1，所以z＝－1＋i.
[呈重点、现规律]
1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况；
2．两个复数相等，要先确定两个复数实虚部，再利用两个复数相等的条件；
3．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应；
4．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．
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一、基础过关
1．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为a，b∈R.“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．
“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．
所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．
2．下列命题正确的是(　　)
A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数
B．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i
C．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1
D．两个虚数不能比较大小
答案　D
解析　对于复数a＋bi(a，b∈R)，
当a＝0且b≠0时为纯虚数．
在A中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故A错误；
在B中，两个虚数不能比较大小，故B错误；
在C中，若x＝－1，不成立，故C错误；D正确．
3．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　)
A．2－2i
B．－＋i
C．2＋i
D.＋i
答案　A
解析　设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
由题意知：复数－＋2i的虚部为2；复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.
4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为(　　)
A.
B．2
C．0
D．1
答案　D
解析　由复数相等的充要条件知，
解得∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.
5．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
答案　－2
解析　 m＝－2.
6．已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值．
解　∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，
∴解得
所以实数x，y的值分别为，2.
二、能力提升
7．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是(　　)
A．1
B．－1
C．±1
D．－1或－2
答案　A
解析　由题意，得解得x＝1.
8．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.
答案　2　±2
解析　由z1＝z2得，解得.
9.已知集合M＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数a＝________.
答案　－1
解析　由M∩N＝{3}知，3∈M，即有(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，所以
解得a＝－1.
10．实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解　(1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.
故若使z为实数，则，
解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．
(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.
故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，
所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．
(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.
故若使z为纯虚数，则，
解得m＝－或m＝1.
所以当m＝－或m＝1时，z为纯虚数．
11.设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1解　由于z1当z1∈R时，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.
当z2∈R时，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，
∴当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1∴z1三、探究与拓展
12．已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2，求复数z.
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解　根据题意可画图形如图所示：
设点Z的坐标为(a，b)，
∵||＝|z|＝2，∠xOZ＝120°，
∴a＝－1，b＝，
即点Z的坐标为(－1，)，
∴z＝－1＋i.INCLUDEPICTURE
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明目标、知重点
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　1.通过实例了解结构图，运用结构图梳理已经学过的知识，以及整理收集到的资料信息.2.结合结构图与他人交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用．
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1．结构图描述事物问的逻辑关系．
2．结构图除了可以表示结构设置的层次之外，还可以清楚地表示事物的分类．
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探究点一　结构图的初步认识
思考1　流程图和结构图有何区别？结构图有什么作用？
答　流程图描述动态过程，结构图刻画静态的系统结构，结构图则更多地表现为“树”形结构，其基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系．
思考2　怎样画知识结构图？
答　画结构图要对每一部分有一个深刻的理解和透彻的掌握，从头至尾抓住主要脉络进行分解．然后将每一步分解进行归纳与提炼，形成一个个知识点并将其逐一地写在矩形框内．最后，按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连．
例1　画出《数学·必修2》中“直线的方程”一节的结构图．
解　结构图如下：
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反思与感悟　从知识结构图中可以直观地看出各要素之间的从属关系及逻辑上的先后关系，可以更方便地掌握知识，理解各知识点之间的联系．
跟踪训练1　试画出数系的结构图．
解　结构图如图所示：
—
探究点二　结构图的实际应用
例2　某公司局域网设置如下：由服务器联结经理室、市场部、销售部、客户服务部、系统管理员，与外部联结是通过服务器，试画出该公司局域网设置结构图．
解　结构图如下图所示：
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反思与感悟　本题采用“树”形结构，清晰地表达各要素之间的关系，这种图直观，容易理解，被应用于很多领域．
跟踪训练2　以下为某集团组织结构图，请据下图分析财务部和人力资源部的隶属关系．
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解　由组织图分析可得：
财务部直属总裁管理；而总裁又由董事长管理，董事长服从于董事会管理．
人力资源部由董事长助理直接管理，董事长助理又由董事长管理，董事长又服从于董事会管理，董事会是最高管理部门．
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1．下列框图中不是结构图的是(　　)
答案　C
解析　C是流程图．
2．下列结构图中要素之间表示从属关系的是(　　)
答案　D
解析　A、B、C都是逻辑关系，只有D是从属关系，故选D.
3．我们在教材第一章中学习了统计案例，请画出统计案例一章的章节结构图．
解　章节结构图见下图．
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[呈重点、现规律]
1．结构图可以表达系统各要素之间的关系．
2．知识结构图可以直观显示各知识点间的逻辑先后关系或从属关系；组织结构图表示各部门的从属或平行关系．绘制结构图的关键是“分清各要素之间的关系，逐步细化，画出图形”．
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一、基础过关
1．根据下列结构图，总经理的直接下属是(　　)
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A．总工程师和专家办公室
B．开发部
C．总工程师、专家办公室和开发部
D．总工程师、专家办公室和七个部
答案　C
解析　由图可知，总经理直接领导总工程师、开发部和专家办公室．
2．下面的框图是某个班级的(　　)
A．知识结构图
B．组织结构图
C．体系结构图
D．关系结构图
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答案　B
3．把两条直线的位置关系填入结构图中的M、N、E、F中，顺序较为恰当的是(　　)
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①平行　②垂直　③相交　④斜交
A．①②③④
B．①④②③
C．①③②④
D．②①④③
答案　C
解析　平行无交点，而垂直、相交、斜交都有交点，垂直与斜交是并列的，都隶属于相交．
4．如图所示的框图中“幂函数的定义”“幂函数的图像与性质”与“幂函数”的关系是(　　)
—
A．并列关系
B．从属关系
C．包含关系
D．交叉关系
答案　B
解析　从知识结构图中可判断为从属关系．
5．下面是三角形分类的结构图，其中不正确的是(　　)
A.—
B.—
C.—
答案　B
解析　显然选项B中对三角形的分类不完整，遗漏了不等边三角形．
6．在如图的知识结构图中：
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“求简单函数的导数”的“上位”要素有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案　B
二、能力提升
7．在工商管理学中，MRP(Material
Requirement
Planning)指的是物资需求计划，基本MRP的体系结构如图所示．
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从图中可以看出，主生产计划受________和__________的影响．
从图中可以看出，基本MRP直接受________、________和________的影响．
答案　用户订单　需求预测　主生产计划　产品结构　库存状态
8．下图是向量运算的知识结构图，如果要加入向量共线的“充要条件”，则应该是在________的下位．
向量运算—
答案　数乘
解析　向量共线的充要条件是两个向量能写成数乘的形式．
9．如图所示的知识结构图中，①指______，②指________．
空间几何体—
答案　锥体　三视图
解析　只要对“空间几何体”这一章的内容足够熟悉，很容易得出答案．
10．试画出《平面向量》一章的知识结构图．
解　
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三、探究与拓展
11．某地行政服务中心办公分布结构如下．
(1)服务中心管理委员会全面管理该中心工作，下设办公室、综合业务处、督察投诉中心这三部门在一楼，其余局、委办理窗口分布在其他楼层；
(2)二楼：公安局、民政局、财政局；
(3)三楼：工商局、地税局、国税局、技监局、交通局；
(4)四楼：城建局、人防办、计生办、规划局；
(5)五楼：其余部门办理窗口．
试绘制该中心结构图．
解　结构图如下：
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MERGEFORMATINET1.2　类比推理
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明目标、知重点
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　1.通过具体实例理解类比推理的意义.2.会用类比推理对具体问题作出判断．
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1．类比推理
由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．
类比推理是两类事物特征之间的推理．
2．合情推理
合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．
合情推理的结果不一定正确．
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探究点一　平面图形与立体图形间的类比
阅读下面的推理，回答后面提出的问题：
1．科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：
(1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；
(2)有大气层，在一年中也有季节变更；
(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．科学家猜想：火星上也可能有生命存在．
2．根据等式的性质猜想不等式的性质．
等式的性质：　　　　　　　　猜想不等式的性质：
(1)a＝b a＋c＝b＋c;
(1)a>b a＋c>b＋c；
(2)a＝b ac＝bc;
(2)a>b ac>bc；
(3)a＝b a2＝b2等等.
(3)a>b a2>b2等等．
思考1　这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？
答　类比推理的定义：这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
思考2　猜想正确吗？
答　不一定正确．
思考3　类比圆的特征，填写下表中球的有关特征.
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆的周长
球的表面积
圆的面积
球的体积
圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不经过球心的截面圆)圆心的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两个截面圆面积相等；与球心距离不等的两个截面圆面积不等，距球心较近的截面圆面积较大
以点P(x0，y0)为圆心，r为半径的圆的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2
以点P(x0，y0，z0)为球心，r为半径的球的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2
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例1　如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝，类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝K，则H1＋2H2＋3H3＋4H4等于多少？
解　对平面凸四边形：
S＝a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4
＝(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)
＝(h1＋2h2＋3h3＋4h4)，
所以h1＋2h2＋3h3＋4h4＝；
类比在三棱锥中，
V＝S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4
＝(KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4)
＝(H1＋2H2＋3H3＋4H4)．
故H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.
反思与感悟　解决此类问题注意用类比推理的方法去分析问题，研究当条件变化时，问题的本质有哪些不同，有哪些变化，如本题中平面图形中点到直线的距离类比三棱锥中点到平面的距离，平面图形中的面积类比三棱锥中的体积，进而计算出结果．
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跟踪训练1　在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是________________________________________________．
答案　设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S＋S＋S＝S
解析　类比条件：
两边AB、AC互相垂直侧面ABC、ACD、ADB互相垂直．
结论：AB2＋AC2＝BC2S＋S＋S＝S.
探究点二　定义、定理或性质中的类比
例2　在等差数列{an}中，若a10＝0，证明：等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，并类比上述性质相应的在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式__________________________________________成立．
答案　b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)
解析　在等差数列{an}中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，
∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，
即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，
又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，
∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.
相应地，类比此性质在等比数列{bn}中，
可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n，(n<17，n∈N＋)．
反思与感悟　(1)运用类比思想找出项与项的联系，应用等差、等比数列的性质解题是解决该题的关键．
(2)等差数列和等比数列有非常类似的运算和性质，一般情况下等差数列中的和(或差)对应着等比数列中的积(或商)．
跟踪训练2　设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，______，________，成等比数列．
答案　　
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1．下列说法正确的是(　　)
A．由合情推理得出的结论一定是正确的
B．合情推理必须有前提有结论
C．合情推理不能猜想
D．合情推理得出的结论不能判断正误
答案　B
解析　根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．
2．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．
答案　1∶8
解析　∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是相似的几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.
3．若数列{cn}是等差数列，则当dn＝时，数列{dn}也是等差数列，类比上述性质，若数列{an}是各项均为正数的等比数列，则当bn＝________时，数列{bn}也是等比数列．
答案　
[呈重点、现规律]
1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．
2．合情推理的过程概括为
―→―→―→
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一、基础过关
1．下列推理正确的是(　　)
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin
x＋sin
y
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c
答案　D
2．下面几种推理是合情推理的是(　　)
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.
A．①②
B．①③
C．①②④
D．②④
答案　C
解析　①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．所以①、②、④是合情推理．故C正确．
3．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的(　　)
A．一条中线上的点，但不是中心
B．一条垂线上的点，但不是垂心
C．一条角平分线上的点，但不是内心
D．中心
答案　D
解析　由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．
4．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为V四面体A－BCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，
∴R＝.
5．类比平面直角坐标系中△ABC的重点G(，)的坐标公式(其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，猜想以A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)、C(x3，y3，z3)、D(x4，y4，z4)为顶点的四面体A—BCD的重点G(，，)的公式为________________________．
答案　
6．公差为d(d≠0)的等差数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，则数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，且公差为100d，类比上述结论，相应地在公比为q(q≠1)的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有__________________________________．
答案　，，也成等比数列，且公比为q100
7．如图(1)，在平面内有面积关系＝，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．
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解　类比＝，
有＝
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证明：如图：设C′，C到平面PAB的距离分别为h′，h.
则＝，
故＝
＝＝.
8．在△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．
解　由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P－ABC中，三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1”．
证明：设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记PO＝h，
由PC⊥PA，PC⊥PB，得PC⊥面PAB，从而PC⊥PM，又∠PMC＝α，
cos
α＝sin∠PCO＝，cos
β＝，cos
γ＝.
∵VP－ABC＝PA·PB·PC＝(PA·PBcos
α＋
PB·PCcos
β＋PC·PA
cos
γ)·h，
∴(＋＋)h＝1，即cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
二、能力提升
9．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是(　　)
A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交
B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直
C．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行
D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行
答案　B
解析　推广到空间以后，对于A、C、D均有可能异面，故选B.
10.已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N＋)，则am＋n＝.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N＋)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N＋)，则可以得到bm＋n＝________.
答案　
解析　设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.
因为an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，am＋n＝，
所以类比得bm＋n＝
11.
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如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos
C＋c·cos
B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
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解　如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S＝S1·cos
α＋S2·cos
β＋S3·cos
γ.
12.(1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值b2－a2.
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线－＝1(a>0，b>0)与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．
(1)证明　设点P(x0，y0)，(x0≠±a)．
依题意，得A(－a,0)，B(a,0)，
所以直线PA的方程为y＝(x＋a)，
令x＝0，得yM＝.同理得yN＝－.
所以yMyN＝.
又点P(x0，y0)在椭圆上，
所以＋＝1，
因此y＝(a2－x)．
所以yMyN＝＝b2.
因为＝{a，yN}，＝(－a，yM)，
所以·＝－a2＋yMyN＝b2－a2.
(2)解　定值为－(a2＋b2)．
三、探究与拓展
13.
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如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α、β，则cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．
解　在长方形ABCD中，
cos2α＋cos2β＝()2＋()2＝＝＝1.
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于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，如图．
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
证明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ
＝()2＋()2＋()2
＝＝＝1.INCLUDEPICTURE
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明目标、知重点
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　1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．
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1．在数学中，证明一个命题，就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理，利用演绎推理的法则将命题推导出来．
2．三段论
一般模式
常用格式
大前提
一般性道理
M是P
小前提
研究对象的特殊情况
S是M
结论
由大前提和小前提作出的判断
S是P
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探究点一　演绎推理与三段论
思考1　分析下面几个推理，找出它们的共同点．
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；
(3)三角函数都是周期函数，tan
α是三角函数，因此tan
α是周期函数；
(4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.
答　问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．
思考2　演绎推理有什么特点？
答　演绎推理是从一般到特殊的推理．演绎推理的前提是一般性原理，结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实．
思考3　演绎推理的结论一定正确吗？
答　在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，结论必定是正确的．
思考4　演绎推理一般是怎样的模式？
答　“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：
(1)大前提——一般性道理；(2)小前提——研究对象的特殊情况；(3)结论——由大前提和小前提作出的判断．
例1　将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；
(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．
解　(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提
菱形是平行四边形，小前提
菱形的对角线互相平分．结论
(2)等腰三角形的两底角相等，大前提
∠A，∠B是等腰三角形的底角，小前提
∠A＝∠B.结论
(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，大前提
通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提
通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．结论
反思与感悟　用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
跟踪训练1　把下列推断写成三段论的形式：
(1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形；
(2)函数y＝2x＋5的图像是一条直线；
(3)y＝sin
x(x∈R)是周期函数．
解　(1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提
△ABC三边的长依次为3,4,5，而32＋42＝52，小前提
△ABC是直角三角形．结论
(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像是一条直线，大前提
函数y＝2x＋5是一次函数，小前提
函数y＝2x＋5的图像是一条直线．结论
(3)三角函数是周期函数，大前提
y＝sin
x(x∈R)是三角函数，小前提
y＝sin
x(x∈R)是周期函数．结论
探究点二　三段论的错误探究
例2　指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：
(1)整数是自然数，大前提
－3是整数，小前提
－3是自然数．结论
(2)常函数的导函数为0，大前提
函数f(x)的导函数为0，小前提
f(x)为常函数．结论
(3)无限不循环小数是无理数，大前提
(0.333
33…)是无限不循环小数，小前提
是无理数．结论
解　(1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．
(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．
(3)结论是错误的，原因是小前提错误.(0.333
33…)是循环小数而不是无限不循环小数．
反思与感悟　演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确．
跟踪训练2　指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：
(1)因为中国的大学分布在中国各地，大前提
北京大学是中国的大学，小前提
所以北京大学分布在中国各地．结论
(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提
而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提
所以菱形是正多边形．结论
解　(1)推理形式错误．大前提中的M是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．(2)结论是错误的，原因是大前提错误．因为所有边长都相等，内角也都相等的凸多边形才是正多边形．
探究点三　三段论的应用
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例3　如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足，求证：AB的中点M到点D，E的距离相等．
证明　(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提
在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，小前提
所以△ABD是直角三角形．结论
同理，△AEB也是直角三角形。
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提
因为DM是直角三角形ABD斜边上的中线，小前提
所以DM＝AB.结论
同理EM＝AB.所以DM＝EM.
反思与感悟　应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．如果大前提是显然的，则可以省略．
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跟踪训练3　已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.
证明　三角形的中位线平行于底边，大前提
点E、F分别是AB、AD的中点，小前提
所以EF∥BD.结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行，大前提
EF 平面BCD，BD 平面BCD，EF∥BD，小前提
EF∥平面BCD.结论
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1．下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
D．在数列{an}中a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
答案　A
解析　A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理．
2．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”下列说法正确的是(　　)
A．大前提错误导致结论错误
B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误
D．大前提和小前提都错误导致结论错误
答案　A
解析　y＝logax是增函数错误．故大前提错．
3．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形．”中的小前提是(　　)
A．①
B．②
C．③
D．①②
答案　B
解析　三段论推理中小前提是指研究的特殊情况．
4．把“函数y＝x2＋x＋1的图像是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________；
小前提：____________；
结论：____________.
答案　二次函数的图像是一条抛物线　函数y＝x2＋x＋1是二次函数　函数y＝x2＋x＋1的图像是一条抛物线
[呈重点、现规律]
1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．
2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提．
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一、基础过关
1．下列表述正确的是(　　)
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③
B．②③④
C．②④⑤
D．①③⑤
答案　D
解析　根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．
2．下列说法不正确的是(　　)
A．演绎推理是由一般到特殊的推理
B．赋值法是演绎推理
C．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断
D．归纳推理的结论都不可靠
答案　D
3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin
(x2＋1)是奇函数．以上推理(　　)
A．结论正确
B．大前提不正确
C．小前提不正确
D．全不正确
答案　C
解析　由于函数f(x)＝sin
(x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．
4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是(　　)
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
答案　B
解析　利用三段论分析：
大前提：矩形都是对角线相等的四边形；
小前提：四边形ABCD是矩形；
结论：四边形ABCD的对角线相等．
5．给出演绎推理的“三段论”：
直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提)
已知直线b∥平面α，直线a 平面α；(小前提)
则直线b∥直线a.(结论)
那么这个推理是(　　)
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
答案　A
6．下列几种推理过程是演绎推理的是(　　)
A．5和2可以比较大小
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人
D．预测股票走势图
答案　A
二、能力提升
7．三段论：“①小宏在2013年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2013年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2013年的高考中正常发挥”中，“小前提”是__________(填序号)．
答案　③
解析　在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．
8．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a≥0；小前提是有意义；结论是__________________．
答案　y＝的定义域是[4，＋∞)
解析　由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.
9．由“(a2＋a＋1)x>3，得x>”的推理过程中，其大前提是______________．
答案　a>0，b>c ab>ac
解析　∵a2＋a＋1＝(a＋)2＋>0.
∴(a2＋a＋1)x>3 x>.
其前提依据为不等式的乘法法则：
a>0，b>c ab>ac.
10．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)：
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其中为凸集的是________(写出所有凸集相应图形的序号)．
答案　②③
11．用演绎推理证明函数f(x)＝|sin
x|是周期函数．
证明　大前提：若函数y＝f(x)对于定义域内的任意一个x值满足f(x＋T)＝f(x)(T为非零常数)，则它为周期函数，T为它的一个周期．
小前提：f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin
x|＝f(x)．
结论：函数f(x)＝|sin
x|是周期函数．
12．设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数，求a的值．
解　∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
∴(a－)(ex－)
＝0对于一切x∈R恒成立，
由此得a－＝0，即a2＝1.又a>0，
∴a＝1.
三、探究与拓展
13．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.
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证明　如图，作AE⊥SB于E.
∵平面SAB⊥平面SBC，
∴AE⊥平面SBC，
∴AE⊥BC.
又∵SA⊥平面ABC，
∴SA⊥BC.
∵SA∩AE＝A，SA 平面SAB，
AE 平面SAB，
∴BC⊥平面SAB.
∵AB 平面SAB.
∴AB⊥BC.INCLUDEPICTURE
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明目标、知重点
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　1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．
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1．综合法的含义
从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法．
2．分析法的含义
从求证的结论出发，一步步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这样的思维方法称为分析法．
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[情境导学]
证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．
探究点一　综合法
思考1　请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？
已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
证明　因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.
又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.
因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
小结　此证明过程运用了综合法．一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
思考2　综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？
答　因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．
例1
　在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
证明　由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①
由于A，B，C为△ABC的三个内角，
所以A＋B＋C＝π.②
由①②，得B＝，③
由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，④
由余弦定理及③，
可得b2＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋c2－ac，
再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，
从而a＝c，所以A＝C.⑤
由②③⑤，得A＝B＝C＝，
所以△ABC为等边三角形．
反思与感悟　综合法的证明步骤如下：
(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；
(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．
跟踪训练1　在△ABC中，＝，证明：B＝C.
证明　在△ABC中，由正弦定理及已知条件得
＝.
于是sin
Bcos
C－cos
Bsin
C＝0，
即sin(B－C)＝0，因为－π从而B－C＝0，所以B＝C.
探究点二　分析法
思考1　回顾一下：基本不等式≥(a>0，b>0)是怎样证明的？
答　要证≥，
只需证a＋b≥2，
只需证a＋b－2≥0，
只需证(－)2≥0，
因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
思考2　证明过程有何特点？
答　从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的条件，最终把要证明的结论变成一个显然成立的条件．
小结　分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法．
思考3　综合法和分析法的区别是什么？
答　综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．
例2　求证：＋<2.
证明　因为＋和2都是正数，
所以要证＋<2，只需证(＋)2<(2)2，
展开得10＋2<20，
只需证<5，只需证21<25，
因为21<25成立，所以＋<2成立．
反思与感悟　当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法．
跟踪训练2　求证：－<－(a≥3)．
证明　方法一　要证－<－，
只需证＋<＋，
只需证(＋)2<(＋)2，
只需证2a－3＋2<2a－3＋2，
只需证<，
只需证0<2，而0<2显然成立，
所以
－<－(a≥3)．
方法二　因为＋>＋，
所以<，
所以－<－.
探究点三　综合法和分析法的综合应用
思考　在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？
答　对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P.若P Q，则结论得证．
例3　已知α，β≠kπ＋(k∈Z)，且
sin
θ＋cos
θ＝2sin
α，　　　　　　　①
sin
θcos
θ＝sin2β.
②
求证：＝.
证明　因为(sin
θ＋cos
θ)2－2sin
θcos
θ＝1，
所以将①②代入，可得
4sin2α－2sin2β＝1.
③
另一方面，要证＝，
即证＝，
即证cos2α－sin2α＝(cos2β－sin2β)，
即证1－2sin2α＝(1－2sin2β)，
即证4sin2α－2sin2β＝1.
由于上式与③相同，于是问题得证．
反思与感悟　用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为：
→→…→Pn P′

Q′ Qm←…←←
跟踪训练3　若tan(α＋β)＝2tan
α，求证：3sin
β＝sin(2α＋β)．
证明　由tan(α＋β)＝2tan
α
得＝，
即sin(α＋β)cos
α＝2cos(α＋β)sin
α.①
要证3sin
β＝sin(2α＋β)，
即证3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
即证3[sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α]
＝sin(α＋β)cos
α＋cos(α＋β)sin
α，
化简得sin(α＋β)cos
α＝2cos(α＋β)sin
α.
这就是①式．所以，命题成立．
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1．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么(　　)
A．x<B．2xyC．x<<2xyD．x<2xy<答案　D
解析　∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，
则＝，2xy＝，∴x<2xy<2．欲证－<－成立，只需证(　　)
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
答案　C
解析　根据不等式性质，a>b>0时，才有a2>b2，
∴只需证：＋<＋，
即证：(＋)2<(＋)2.
3．已知＝1，求证：cos
α－sin
α＝3(cos
α＋sin
α)．
证明　要证cos
α－sin
α＝3(cos
α＋sin
α)，
只需证＝3，只需证＝3，
只需证1－tan
α＝3(1＋tan
α)，
只需证tan
α＝－，
∵＝1，∴1－tan
α＝2＋tan
α，
即2tan
α＝－1.∴tan
α＝－显然成立，
∴结论得证．
[呈重点、现规律]
1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．
2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．
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一、基础过关
1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若>，则a>b
C．若a3>b3且ab<0，则>
D．若a2>b2且ab>0，则<
答案　C
解析　对于A：若c＝0，则A不成立，故A错；对于B：若c<0，则B不成立，B错；对于C：若a3>b3且ab<0，则，所以>，故C对；对于D：若，则D不成立．
2．A、B为△ABC的内角，A>B是sin
A>sin
B的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　由正弦定理＝＝2R，又A、B为三角形的内角，∴sin
A>0，sin
B>0，∴sin
A>sin
B 2Rsin
A>2Rsin
B a>b A>B.
3．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确命题的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案　B
解析　若l⊥α，m?β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；
若l⊥α，m?β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；
若l⊥α，m?β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；
若l⊥α，m?β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．
4．设a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)
A．1≤ab≤
B．ab<1<
C．ab<<1
D.答案　B
解析　因为a≠b，故>ab.
又因为a＋b＝2>2，
故ab<1，＝＝2－ab>1，
即>1>ab.
5．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．
答案　a>c>b
解析　∵a2－c2＝2－(8－4)＝4－6＝－>0，∴a>c.∵＝＝>1，∴c>b.
6.已知p＝a＋(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p、q的大小关系为________．
答案　p>q
解析　p＝a－2＋＋2≥2·＋2＝4，－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2，∴q<22＝4≤p.
7．求证：＋＋<2.
证明　因为＝logab，所以左边＝log195＋2log193＋3log192＝log195＋log1932＋log1923＝log19(5×32×23)＝log19360.
因为log19360所以＋＋<2.
二、能力提升
8．已知a，b为非零实数，则使不等式：＋≤－2成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．ab>0
B．ab<0
C．a>0，b<0
D．a>0，b>0
答案　C
解析　∵与同号，
由＋≤－2，知<0，<0，
即ab<0.又若ab<0，则<0，<0.
∴＋＝－
≤－2＝－2，
综上，ab<0是＋≤－2成立的充要条件，
∴a>0，b<0是＋≤－2成立的一个充分不必要条件．
9.已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值(　　)
A．一定是正数
B．一定是负数
C．可能是0
D．正、负不能确定
答案　B
解析　∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝0，
又abc>0，∴a，b，c均不为0，∴a2＋b2＋c2>0.
∴ab＋bc＋ca<0，∴＋＋＝<0.
10.
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\X16.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\X16.TIF"
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如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
答案　对角线互相垂直
解析　本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．
11．若－1证明　要证明()2<1，只需证明(x－y)2<(1－xy)2，即x2＋y2－2xy<1－2xy＋x2y2，只需证明x2＋y2－1－x2y2<0，只需证明(y2－1)(1－x2)<0，即(1－y2)(1－x2)>0.(
)
因为－1所以x2<1，y2<1.从而(
)式显然成立，
所以()2<1.
12．已知抛物线y2＝2px(p>0)，求证：以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．
证明　
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\X17.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\X17.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\X17.TIF"
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(如图)作AA′、BB′垂直于准线，取AB的中点M，作MM′垂直于准线．
只需证|MM′|＝|AB|.
由抛物线的定义：
|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|.
因此只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)，
根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．
所以以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．
三、探究与拓展
13.已知a、b、c是不全相等的正数，且0求证：logx＋logx＋logx证明　要证logx＋logx＋logx只需证logx(··)由已知0abc.
由公式≥>0，≥>0，
≥>0.又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴··>＝abc.
即··>abc成立．
∴logx＋logx＋logx"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\第二章末.tif"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\探题型、提能力.tif"
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题型一　流程图的画法及应用
流程图与结构图的区别：
(1)流程图是表示一系列活动相互作用、相互制约的顺序的框图，而结构图是表示一个系统中各部分之间的组成结构的框图．
(2)流程图描述动态过程，结构图刻画系统结构，描述的是一个静态结构．
(3)流程图通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”，其基本单元之间由流程线连接，表示基本单元之间的先后顺序；结构图则更多地表现为“树”形或“环”形结构，其基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系．
例1　如图所示的框图，当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于(　　)
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W46.TIF"
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A．7
B．8
C．10
D．11
答案　B
解析　当x3＝7时，|6－9|<|9－7|不成立，
此时p＝＝8，输出p＝8，A不正确；
当x3＝8时，|6－9|<|9－8|不成立，
此时p＝＝8.5，输出p＝8.5，B正确；
当x3＝10时，|6－9|<|9－10|不成立，
此时p＝＝9.5，输出p＝9.5，C不正确；
当x3＝11时，|6－9|<|9－11|不成立，此时p＝＝10，输出p＝10，D不正确．
跟踪训练1　如图是某算法的框图，则程序运行后输出的结果是________．
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W47.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W47.TIF"
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答案　3
解析　当k＝1时，a＝1，T＝1；
当k＝2时，a＝0，T＝1；
当k＝3时，a＝0，T＝1；
当k＝4时，a＝1，T＝2；
当k＝5时，a＝1，T＝3，则此时k＝k＋1＝6，
所以输出T＝3.
例2　请阅读下图所示的流程图，说明该游戏的游戏规则．
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\00A.TIF"
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解　浏览整个流程图，可以判断出这是一个打靶游戏．游戏规则如下：
1．游戏开始．
2．鼠标控制是否射击：选择射击，移动枪口进行射击；选择不射击，转向第4步．
3．判断中靶情形：如果中靶，加10分，然后显示击中图片；否则减5分．
4．选择是否换靶：选择换靶，随机出靶；否则进行第5步．
5．判断本关时间是否结束：如果时间未到，则转向第2步，重新开始射击；否则进行第6步．
6．将得分与标准分进行比较，如果超过标准分，进入下一关；否则游戏结束．
跟踪训练2　如下图是某工厂加工笔记本电脑屏幕的流程图：
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W49A.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W49A.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W49A.TIF"
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根据此流程图回答下列问题：
(1)一件屏幕成品可能经过几次加工和检验程序？
(2)哪些环节可能导致废品的产生，二次加工产品的来源是什么？
(3)该流程图的终点是什么？
解　(1)一件屏幕成品经过一次加工、二次加工两道加工程序和检验、最后检验两道检验程序；也可能经过一次加工、返修加工、二次加工三道加工程序和检验、返修检验、最后检验三道检验程序．
(2)返修加工和二次加工可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是一次加工的合格品和返修加工的合格品．
(3)流程图的终点是“屏幕成品”和“屏幕废品”．
题型二　结构图的画法及应用
例3　画出《数学·必修3》中第一章“统计”的知识结构图．
解　
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W50.TIF"
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反思与感悟　在画结构图时应注意以下几点：
(1)画结构图与流程图一样，首先要确定组成结构图的基本要素，然后按照逻辑的先后顺序或从属关系用连线来注明各要素之间的关系．
(2)一般情况下，“下位”要素比“上位”要素更为具体，“上位”要素比“下位”要素更为抽象．“下位”要素越多，结构图越复杂．所以，画结构图时，应该根据具体需要确定复杂程度，简洁的结构图有时能更好地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点．
跟踪训练3　在高中阶段，我们学习了各个领域的许多知识．在语言与文学领域，学习语文和外语；在数学领域，学习数学；在人文与社会领域，学习思想政治、历史和地理；在科学领域，学习物理、化学和生物；在技术领域，学习通用技术和信息技术；在艺术领域，学习音乐、美术和艺术；在体育与健康领域，学习体育等．试根据上述信息设计一个学习知识结构图．
解　学习知识结构图如图所示．
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W51.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W51.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\第1.2.tif"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\左括.TIF"
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明目标、知重点
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\右括.TIF"
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　1.理解列联表的意义，会根据列联表中数据大致判断两个变量是否独立.2.理解统计量χ2的意义和独立性检验的基本思想．
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\填一填半.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\填一填半.TIF"
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1．2×2列联表
设A、B为两个变量，每一变量都可以取两个值，得到表格
B
A
B1
B2
总计
A1
a
b
a＋b
A2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据，b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据；c表示变量A取A2，且变量B取B1时的数据；d表示变量A取A2，且变量B取B2时的数据．上表在统计中称为2×2列联表．
2．统计量χ2
χ2＝.
3．独立性检验
当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联；
当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\研一研半.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\研一研半.TIF"
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[情境导学]
5月31日是世界无烟日．有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手．这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？
探究点一　2×2列联表和统计量χ2
思考1　什么是列联表？怎样从列联表判断两个变量有无关系？
答　设A、B为两个变量，变量A可以取两个值A1，A2，变量B可以取两个值B1，B2，得下表
B
A
B1
B2
总计
A1
a
b
a＋b
A2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
若＝·，则可以认为A1与B1独立；若＝·，则可以认为A1与B2独立；若＝·时，则可以认为A2与B1独立；若＝·，则可以认为A2与B2独立．
思考2　统计量χ2有什么作用？
答　χ2＝，
用χ2的大小可判断变量A、B是否有关联．
思考3　根据χ2的值怎样判定两个变量的独立性？
答　当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A、B有关联；
当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A、B有关联；
当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A、B有关联；
当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A、B有关联．
例1　在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶，则χ2≈__________.(结果保留3位小数)
答案　16.373
跟踪训练1　已知列联表：
药物效果与动物试验列联表
患病
未患病
总计
服用药
10
45
55
未服药
20
30
50
总计
30
75
105
则χ2≈________.(结果保留3位小数)
答案　6.109
解析　χ2＝≈6.109.
探究点二　独立性检验
思考　独立性检验问题的基本步骤有哪几步？
答　(1)计算χ2的值；(2)得出的χ2的值和临界值2.706，3.841，6.635比较；(3)下结论，如：χ2>3.841，下结论有95%的把握认为两个事件有关．
例2　某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)试问喜欢玩电脑游戏与认为作业多少是否有关系？
解　(1)根据题中所给数据，得到如下列联表：
认为作业多
认为作业不多
总计
喜欢玩电脑游戏
10
2
12
不喜欢玩电脑游戏
3
7
10
总计
13
9
22
(2)χ2＝
＝≈6.418.
∵6.418>3.841，
∴有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关．
反思与感悟　通过2×2列联表计算χ2的值，然后和临界值对照判断两个事件是否独立．这种方法在各种统计问题中应用广泛．
跟踪训练2　调查在2～3级风的海上航行中男女乘客的晕船情况，如果如下表所示：
晕船
不晕船
合计
男人
12
25
37
女人
10
24
34
合计
22
49
71
根据此资料，你是否认为在2～3级风的海上航行中男人比女人更容易晕船？
解　χ2＝≈0.08.
因为χ2<2.706，所以我们没有理由认为男人比女人更容易晕船．
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\当堂测、查疑缺A.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\当堂测、查疑缺A.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\当堂测、查疑缺A.TIF"
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1．当χ2>3.841时，认为事件A与事件B(　　)
A．有95%的把握有关
B．有99%的把握有关
C．没有理由说它们有关
D．不确定
答案　A
2．为了考察中学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某校中学生中随机抽取了300名学生，得到如下列联表：
喜欢数学
不喜欢数学
合计
男
37
85
122
女
35
143
178
合计
72
228
300
你认为性别与是否喜欢数学课程之间有关系的把握有(　　)
A．0
B．95%
C．99%
D．100%
答案　B
3．某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集哪些数据？________________________________________________________________________.
答案　女正教授人数、男正教授人数、女副教授人数、男副教授人数
4．为研究学生的数学成绩与学生学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：
成绩优秀
成绩较差
合计
兴趣浓厚的
64
30
94
兴趣不浓厚的
22
73
95
合计
86
103
189
学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？
解　由公式得：
χ2＝≈38.459.
∵38.459>6.635，∴有99%的把握说，学生学习数学的兴趣与数学成绩是有关的．
[呈重点、现规律]
1．独立性检验的思想：先假设两个事件无关，计算统计量χ2的值．若χ2值较大，则拒绝假设，认为两个事件有关．
2．独立性检验的步骤：
①画列联表；
②计算χ2；
③将得到的χ2值和临界值比较，下结论．
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\40分钟课时作业A.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\40分钟课时作业A.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\40分钟课时作业A.TIF"
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一、基础过关
1．下面是一个2×2列联表：
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
8
25
33
总计
b
46
则表中a、b处的值分别为(　　)
A．94、96
B．52、50
C．52、60
D．54、52
答案　C
解析　由列联表知，a＝73－21＝52，
b＝a＋8＝52＋8＝60.
2．用独立性检验来考察两个事件x与y是否有关系，当统计量χ2的值(　　)
A．越大，“x与y有关系”成立的可能性越小
B．越大，“x与y有关系”成立的可能性越大
C．越小，“x与y没有关系”成立的可能性越小
D．与“x与y有关系”成立的可能性无关
答案　B
3．如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到χ2≈3.852>3.841，所以判断性别与运动有关，那么这种判断犯错的可能性不超过(　　)
A．2.5%
B．0.5%
C．1%
D．5%
答案　D
解析　∵χ2>3.841，∴有95%的把握认为性别与运动有关，这种判断犯错的可能性不超过5%.
4．在吸烟与患肺病这两个变量的计算中，下列说法正确的是(　　)
A．若χ2的值大于6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病
C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误
D．以上三种说法都不正确
答案　C
5．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如表
认为作业量大
认为作业量不大
合计
男生
18
9
27
女生
8
15
23
合计
26
24
50
则推断“学生的性别与认为作业量大有关”，这种推断犯错误的概率不超过(　　)
A．0.1
B．0.05
C．0.9
D．0.95
答案　B
解析　∵χ2＝≈5.059>3.841.
∴有95%的把握认为学生性别与认为作业量大有关，或者说这种推断犯错误的概率不超过0.05.
6．在一个2×2列联表中，由其数据计算得χ2＝7.097，则两个事件有关系的把握为(　　)
A．99%
B．95%
C．90%
D．无关系
答案　A
解析　∵χ2＝7.097>6.635，
所以有99%的把握认为两个变量有关系．
7.在某测试中，卷面满分为100分，60分为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示：
分数段
29～40
41～50
51～60
61～70
71～80
81～90
91～100
午休考生人数
23
47
30
21
14
31
14
不午休考生人数
17
51
67
15
30
17
3
(1)根据上述表格完成列联表：
及格人数
不及格人数
总计
午休
不午休
总计
(2)根据列联表可以得出什么样的结论？对今后的复习有什么指导意义？
解　(1)根据题表中数据可以得到列联表如下：
及格人数
不及格人数
总计
午休
80
100
180
不午休
65
135
200
总计
145
235
380
(2)计算可知，午休的考生及格率为P1＝＝，不午休的考生的及格率为P2＝＝，则P1>P2，因此，可以粗略判断午休与考生考试及格有关系，并且午休的及格率高，所以在以后的复习中考生应尽量适当午休，以保持最佳的学习状态．
二、能力提升
8．如果χ2的值为8.654可以认为“两个研究对象Ⅰ和Ⅱ无关”的可信程度是________．
答案　0.01
解析　因为χ2>6.635，我们有99%的把握认为两个研究对象Ⅰ和Ⅱ有关，所以我们为“两个研究对象Ⅰ和Ⅱ无关”的可信程度是0.01.
9．下列说法正确的是________．(填序号)
①对事件A与B的检验无关，即两个事件互不影响；
②事件A与B关系越密切，χ2就越大；
③χ2的大小是判断事件A与B是否相关的唯一数据；
④若判定两事件A与B有关，则A发生B一定发生．
答案　②
解析　对于①，事件A与B的检验无关，只是说两事件的相关性较小，并不一定两事件互不影响，故①错．②是正确的．对于③，判断A与B是否相关的方式很多，可以用列联表，也可以借助于概率运算，故③错．对于④，两事件A与B有关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是A发生B一定发生，故④错．
10．为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：
无效
有效
总计
男性患者
15
35
50
女性患者
6
44
50
总计
21
79
100
设H0：服用此药的效果与患者的性别无关，则χ2的值为________，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．
答案　4.882　5%
解析　由公式计算得χ2>3.841，∴我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．
11．在一次天气恶劣的飞行航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：在天气恶劣的飞行航程中，男乘客是否比女乘客更容易晕机？
解　根据题意，列出2×2列联表如下：
晕机
不晕机
总计
男乘客
24
31
55
女乘客
8
26
34
总计
32
57
89
假设在天气恶劣的飞行航程中，男乘客不比女乘客更容易晕机．
由公式可得χ2＝≈3.689>2.706，
故有90%的把握认为“在天气恶劣的飞行航程中，男乘客比女乘客更容易晕机”．
12．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．
(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；
(2)判断性别与休闲方式是否有关系．
解　(1)列联表如下：
看电视
运动
总计
女
43
27
70
男
21
33
54
总计
64
60
124
(2)假设“休闲方式与性别无关”，
计算χ2＝≈6.201，
∵χ2>3.841，∴有95%的把握认为性别与休闲方式有关．
三、探究与拓展
13．某教育机构为了研究人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革态度的关系，随机抽取了392名成年人进行调查，所得数据如下表所示：
积极支持教育改革
不太赞成教育改革
合计
大学专科以上学历
39
157
196
大学专科以下学历
29
167
196
合计
68
324
392
对于教育机构的研究项目，根据上述数据能得出什么结论．
解　χ2＝≈1.78.
∵1.78≤2.706，∴我们没有理由说人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革态度有关．INCLUDEPICTURE
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明目标、知重点
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　1.通过实例，进一步认识算法框图，了解工艺流程图.2.能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决问题中的作用．
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1．流程图可以表示各种工作程序．
2．流程图已经成为我们表述工作方式、工艺流程的一种常用手段．它的特点是直观、清楚．
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探究点一　算法框图
思考1　算法框图有什么作用？
答　算法框图用来表示算法，比用自然语言描述的算法更加直观、明确、流向清楚，而且更容易改写成计算机程序．
思考2　算法框图有哪些基本要素？
答　算法框图是算法步骤的直观图示，算法的输入、输出、选择结构、循环结构等基本单元构成了算法框图的基本要素，基本要素之间的关系由流程线来建立．
思考3　算法的三种基本逻辑结构是什么？
答　顺序结构、选择结构和循环结构．
思考4　以下给出对算法框图的几种说法：①任何一个算法框图都必须有终端框；②输入框只能放在开始框后，输出框只能放在结束框前；③判断框是唯一具有超过一个退出点的符号；④对于一个程序来说，判断框内的条件是唯一的．其中正确的是________．(填序号)
答案　①③
解析　进一步了解算法框图的结构，其中①③正确．②不正确，输出框有可能在程序中间．④不正确，判断框内条件不一定是唯一的．
例1　已知函数f(x)＝设计一个输入x值，输出y值的流程图．
解　流程图如下图所示：
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反思与感悟　分段函数因包含多种情况，故需采取选择结构即判断框分情况进行．
跟踪训练1　已知某算法框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是(　　)
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A．－1
B．1
C．2
D.
答案　A
解析　这是一个循环结构，通过计算a的前三个值依次为，－1,2，因此输出的a值具有周期性，且周期为3，所以最后输出的值为－1.
探究点二　工艺流程图
思考　怎样画工艺流程图？
答　要画工艺流程图，首先要弄清整项工程应划分为多少道工序，这当然应该由上到下，先粗略后精细，其次是仔细考虑各道工序的先后顺序及相互联系、制约的程度，最后要考虑哪些工序可以平行进行，哪些工序可以交叉进行．一旦上述问题都考虑清楚了，一种合理的工艺流程图就成竹在胸了，据此去组织生产，指挥施工，确能收到统筹兼顾的功效．
例2　某药厂生产某产品的过程如下：
(1)备料、前处理、提取、制粒、压片、包衣、颗粒分装、包装；
(2)提取环节经检验，合格，进入下一工序，否则返回前处理；
(3)包衣、颗粒分装两环节分别检验合格进入下一工序，否则为废品．画出生产该产品的工艺流程图．
解　生产该产品的工艺流程图如图：
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跟踪训练2　在华罗庚先生的《统筹方法平话》文中，有一个“喝茶问题”：假设洗水壶需要2
min，烧开水需要15
min，洗
茶壶、杯需要3
min，取、放茶叶需要2
min，沏茶需要1
min.试给出“喝茶问题”中最快能喝到茶的流程图，并指出此时的时间是多少．
解　上述这些工作，有些没有先后顺序关系，可以同时进行，有些有先后顺序关系，需要依次完成．最快能喝上茶的流程图如图所示．
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上述流程图需要时间18分钟．
探究点三　流程图在实际生活中的应用
思考　流程图在实际生活中还有哪些应用？
答　流程图描述一个过程性的活动，在实际生活中有广泛的应用，如医院有就诊导医图，借书有借阅流程图，解题时也可用解题过程流程图等等．
例3　高考成绩公布后，考生如果认为公布的高考成绩与本人估算的成绩有误，可以在规定的时间申请查分：
(1)本人填写《查分登记表》，交县(区)招办申请查分，县(区)招办呈交市招办，再报省招办；
(2)省招办复查，无误，则查分工作结束后通知；有误，则再具体认定，并改正，也在查分工作结束后通知；
(3)市招办接通知，再由县(区)招办通知考生．
试画出该事件的流程图．
解　流程图如下：
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反思与感悟　实际生活中的流程图没有算法框图那样严格规范，但要弄清楚各步之间的逻辑关系，画流程图时可利用流程线来体现它们之间的逻辑关系．
跟踪训练3　某保险公司业务流程如下：
(1)保户投保：填单交费、公司承保、出具保单；
(2)保户提赔：公司勘查：同意，则赔偿；不同意，则拒赔．试画出该公司的业务流程图．
解　该公司业务流程图如下：
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1．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，输出s值等于(　　)
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A．－3
B．－10
C．0
D．－2
答案　A
解析　(1)s＝2×1－1＝1，k＝2；
(2)s＝2×1－2＝0，k＝3；
(3)s＝2×0－3＝－3，k＝4，输出－3.
2．某一算法框图如图，输入x＝1得结果为________．
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答案　－
解析　∵x＝1>0，∴y＝×1－5＝－.
3．某工程的工艺流程图如图(工时单位：天)，现已知工程总时数为10天，则工序c所需工时数为________天．
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答案　4
解析　设工序c所需工时数为x天，由题设知关键路线是a→c→e→g，需工时1＋x＋4＋1＝10，
∴x＝4，即工序c所需工时数为4天．
[呈重点、现规律]
1．流程图一般要按照从左到右、从上到下的顺序来画．算法框图有一定的规范和标准，而日常生活中用到的流程图则相对自由一些，可以使用不同颜色的矩形框，也可以添加一些生动的图形元素．
2．画工艺流程图时，不能出现几道工序首尾相接的圈图或循环回路．
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一、基础过关
1．图中①②分别表示(　　)
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A．终端框、处理框
B．流程线、判断框
C．流程线、处理框
D．注释框、判断框
答案　B
2．进入互联网时代，发电子邮件是必不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子信箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.点击“发送邮件”．则正确的是(　　)
A．a→b→c→d→e→f
B．a→c→d→f→e→b
C．a→e→b→c→d→f
D．b→a→c→d→f→e
答案　C
解析　打开电子信箱后，先点击“写邮件”，然后再输入．
3．如图所示的工艺流程图中，设备采购的下一道工序是(　　)
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A．设备安装
B．土建设计
C．厂房土建
D．工程设计
答案　A
4．下列表示旅客搭乘火车的流程正确的是(　　)
A．买票→候车→检票→上车
B．候车→买票→检票→上车
C．买票→候车→上车→检票
D．候车→买票→上车→检票
答案　A
5．淮南麻鸭资源的开发与利用的流程图如图所示，则羽绒加工的前一道工序是(　　)
孵化鸭雏―→商品鸭饲养―→商品鸭收购、育肥、加工―→羽绒加工―→羽绒服加工生产体系
A．孵化鸭雏
B．商品鸭饲养
C．商品鸭收购、育肥、加工
D．羽绒服加工生产体系
答案　C
6．如图所示的是求经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率的流程图，则空白处应填(　　)
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A．x1＝x2
B．x1≠x2
C．y1＝y2
D．y1≠y2
答案　A
7．下图是用函数拟合解决实际问题的流程图，则①和②处应填入的内容为：
①________；②________.
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答案　画散点图　求函数表达式
二、能力提升
8．阅读下面的算法框图，运行相应的程序，输出的结果为(　　)
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A.
B.
C.
D.
答案　D
9．如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为(　　)
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A．26
B．24
C．20
D．19
答案　D
解析　由A向B传递信息共有4条线路．第一条A—D—C—B线，传递的最大信息量为3，第二条A—D—E—B，传递的最大信息量为4，第三条为A—G—F—B，第四条为A—G—H—B，要使从A到B有最大的信息通过，G—F的信息量为6，H—B的信息量为6.所以最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.
10．小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱5分钟，收拾床铺4分钟，听广播15分钟，吃早饭8分钟，要完成这些事情，小明至少要花费的时间为________分钟．
答案　17
11．下面的算法框图输出的结果是________．
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答案　20
解析　该框图中的问题即为求S＝1×5×4的值，
所以输出的结果为20.
12．汽车保养流程是：顶起车辆、润滑部件、调换轮胎、更换机油、放下车辆、清洁打蜡，试画出汽车保养的流程图．
解　流程图如下图所示
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W29.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W29.TIF"
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13．画出求＋＋＋…＋的值的算法框图．
解　算法框图如图所示：
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W30.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W30.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W30.TIF"
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三、探究与拓展
14．考生参加某培训中心的考试需要遵循以下程序：在考试之前咨询考试事宜．如果是新考生，需要填写考生注册表，领取考生编号，明确考试科目和时间，然后缴纳考试费，按规定时间参加考试，领取成绩单，领取证书；如果不是新考生，则需出示考生编号，明确考试的科目和时间，然后缴纳考试费，按规定时间参加考试，领取成绩单，领取证书，设计一个流程图，表示这个考试流程．
解　用流程图表示考试流程如图：
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\W31A.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\1-12A.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\研一研A半.TIF"
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\研一研A半.TIF"
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题型一　独立性检验思想
独立性检验的基本思想是统计中的假设检验思想，类似于数学中的反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的随机变量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2的值很大，则在一定程度上说明假设不合理．
例1　为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)
表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
频数
30
40
20
10
表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
[80,85)
频数
10
25
20
30
15
完成下面2×2列联表，能否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．
表3
疱疹面积小于70
mm2
疱疹面积不小于70
mm2
合计
注射药物A
a＝
b＝
注射药物B
c＝
d＝
合计
n＝
解　列出2×2列联表
疱疹面积小于70
mm2
疱疹面积不小于70
mm2
合计
注射药物A
a＝70
b＝30
100
注射药物B
c＝35
d＝65
100
合计
105
95
n＝200
χ2＝≈24.56，
由于χ2>6.635，所以有99%的把握认为两者有关系，或者说在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．
反思与感悟　利用假设检验的思想，计算随机变量χ2的值，可以更精确地判断两个分类变量是否有关系．
跟踪训练1　调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表，试问婴儿的性别与出生的时间是否有关系？
出生时间性别
晚上
白天
总计
男婴
15
31
46
女婴
8
26
34
总计
23
57
80
解　χ2＝
＝
≈0.787<2.706.
所以我们没有把握认为“婴儿的性别与出生的时间有关系”．
题型二　数形结合思想
在回归分析中，我们可以使用散点图观察两个变量间的相关关系，也可以大致分析回归方程是否有实际意义，这就体现出我们数学中常用的数形结合思想．
例2　某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的相关关系，随机抽取10户进行调查，其结果如下：
月人均收入x(元)
300
390
420
520
570
月人均生活费y(元)
255
324
335
360
450
月人均收入x(元)
700
760
800
850
1
080
月人均生活费y(元)
520
580
600
630
750
(1)作出散点图；
(2)求出线性回归方程；
(3)试预测月人均收入为1
100元和月人均收入为1
200元的两个家庭的月人均生活费．
解　(1)作出散点图如图所示，由图可知月人均生活费与月人均收入之间具有较强的线性相关关系．
INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\1-13.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\1-13.TIF"
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(2)通过计算可知＝639，＝480.4，
x＝4
610
300，xiyi＝3
417
560，
∴b＝≈0.659
9，a＝－b＝58.723
9，
∴线性回归方程为y＝0.659
9x＋58.723
9.
(3)由以上分析可知，我们可以利用线性回归方程
y＝0.659
9x＋58.723
9来计算月人均生活费的预测值．
将x＝1
100代入，得y≈784.61，
将x＝1
200代入，得y≈850.60.
故预测月人均收入分别为1
100元和1
200元的两个家庭的月人均生活费分别为784.61元和850.60元．
反思与感悟　通过散点图可以判断回归方程的大致类型和相关关系的强弱．
跟踪训练2　假设某农作物基本苗数x与有效穗数y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
x
15.0
25.8
30.0
36.6
44.4
y
39.4
42.9
42.9
43.1
49.2
(1)作出散点图；
(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗数．
解　(1)散点图如图所示．
INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\1-14.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\1-14.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\1-14.TIF"
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(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来建立两个变量之间的关系．
设线性回归方程为y＝bx＋a，
由表中数据可得b≈0.291，a＝－b≈34.67，
故所求的线性回归方程为y＝0.291x＋34.67.
当x＝56.7时，y＝0.291×56.7＋34.67＝51.169
7.
估计有效穗数为51.169
7.
题型三　转化与化归思想在回归分析中的应用
回归分析是对抽取的样本进行分析，确定两个变量的相关关系，并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化．如果两个变量非线性相关，我们可以通过对变量进行变换，转化为线性相关问题．
例3　某种书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关，经统计得到数据如下：
x
1
2
3
5
10
20
30
50
100
200
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否具有线性相关关系？如有，求出y对x的回归方程．
解　把置换为z，则有z＝，
从而z与y的数据为
z
1
0.5
0.333
0.2
0.1
0.05
0.033
0.02
0.01
0.005
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
可作出散点图，从图可看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合．
＝×(1＋0.5＋0.333＋0.2＋0.1＋0.05＋0.033＋0.02＋0.01＋0.005)＝0.225
1，
＝×(10.15＋5.52＋4.08＋…＋1.15)＝3.14，
z＝12＋0.52＋0.3332＋…＋0.012＋0.0052≈1.415，
ziyi＝1×10.15＋0.5×5.52＋…＋0.005×1.15
＝15.221
02，
所以b＝≈8.976，
a＝－b＝3.14－8.976×0.225
1≈1.120，
所以所求的z与y的线性回归方程为
y＝8.976z＋1.120.
又因为z＝，所以y＝＋1.120.
反思与感悟　若两个变量非线性相关，可以通过散点图观察确定用幂函数、指数函数、对数函数、二次函数模型来拟合两个变量间的关系，然后通过变换转化为线性相关问题．
跟踪训练3　在某化学实验中，测得如下表所示的6对数据，其中x(单位：min)表示化学反应进行的时间，y(单位：mg)表示未转化物质的质量.
x/min
1
2
3
4
5
6
y/mg
39.8
32.2
25.4
20.3
16.2
13.3
(1)设y与x之间具有关系y＝cdx，试根据测量数据估计c和d的值(精确到0.001)；
(2)估计化学反应进行到10
min时未转化物质的质量(精确到0.1)．
解　(1)在y＝cdx两边取自然对数，令ln
y＝z，ln
c＝a，ln
d＝b，则z＝a＋bx.
由已知数据，得
x
1
2
3
4
5
6
y
39.8
32.2
25.4
20.3
16.2
13.3
z
3.684
3.472
3.235
3.011
2.785
2.588
由公式得a≈3.905
5，b≈－0.221
9，则线性回归方程为
z＝3.905
5－0.221
9x.
而ln
c＝3.905
5，ln
d＝－0.221
9，
故c≈49.675，d≈0.801，
所以c、d的估计值分别为49.675，0.801.
(2)当x＝10时，由(1)所得公式可得y≈5.4(mg)．
[呈重点、现规律]
1．建立回归模型的基本步骤：(1)确定研究对象，明确变量．(2)画出散点图，观察它们之间的关系．(3)由经验确定回归方程的类型．(4)按照一定的规则估计回归方程中的参数．
2．独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法．INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\第四章.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\方法技巧.tif"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\方法技巧.tif"
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　　　　　　　　1　化虚为实——复数相等的妙用
在汉语中，两个或两个以上才有“复”的内涵，这样我们才有理由称由实数确定的含虚数单位i的数z＝a＋bi(a，b∈R)为复数．那么复数集C的理论体系与实数集R的理论体系之间存在着怎样的联系和差异呢？
1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，如果b＝0，则z就是我们过去熟知的实数．因此，学习复数，后续理论的一个基本点是“b≠0”．
2．解决复数问题的一条主线是化虚为实．其实质就是复数相等的充要条件，即实部与虚部分别相等．
利用复数相等的的充要条件可以解决求根、求模及求参数等问题，现精选几个典例，供大家赏析．
一、求参数
例1　已知x，y∈R，x2＋2x＋(2y＋x)i＝3x＋(y＋1)i，求复数z＝x＋yi.
解　由复数相等的充要条件，
得解得或
所以z＝i，或z＝1.
点评　复数相等的充要条件是复数实数化的桥梁，是解复数问题的重要手段．
二、求模
例2　若复数z满足z－2＝i－|z|，求|z|.
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由题意得，
a＋bi－2＝i－，即(a－2)＋bi＝－＋i，
由复数相等的充要条件得，
解得
所以z＝＋i，所以|z|＝.
三、求方程的根
例3　已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，求实数根x0及k的值．
分析　设出方程的实数根，代入方程，利用复数相等的充要条件建立方程组求解．
解　设x0是方程的实数根，
代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由复数相等的充要条件得，
解得或.
所以x0的值为±，相应的k的值为 2.
易错警示　求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以Δ＝(k＋2i)2－4(2＋ki)≥0，解得k≥2或k≤－2.需注意由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根.
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\重点深化.tif"
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　　　　　　　　　　　　　　　　2　复数有了“形”才完美
因为有了复平面，使得复数与复平面内点的坐标、平面向量三者之间有了一一对应关系，复数的有关问题借助平面向量或几何意义能使问题的解决更加快捷和直观．下面用实例来说明．
一、复数与点坐标
例1　若i为虚数单位，图中复数平面内的点Z表示复数z，则表示复数z(1＋i)的点是______．
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\154.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\154.TIF"
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解析　因为点Z的坐标为(2，－1)，所以z＝2－i.
所以z(1＋i)＝(2－i)·(1＋i)＝3＋i，
即该复数对应的点的坐标为(3,1)．
答案　H
点评　本题主要考查复数的几何意义，体现了数形结合的思想．复数的几何表示：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的，如纯虚数与虚轴上的点对应，实数与实轴上的点对应．这种以点的坐标形式给出复数的题目打破了原来的出题方式，给人耳目一新的感觉．
二、复数与平面向量
例2　设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝4，|z1＋z2|＝4，求|z1－z2|.
分析　设复数z1和z2在复平面内表示向量与，则复数z1＋z2表示向量与的和，画出复数所对应的向量，用余弦定理可求解．
INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\F5.TIF"
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解　复数z1和z2在复平面内表示向量与，画出如图所示的平行四边形，依题意，有||＝4，||＝4，||＝4.
cos∠OBC＝＝－.
因为∠AOB＋∠OBC＝180°，
所以cos∠AOB＝.
所以AB2＝42＋42－2×4×4cos∠AOB＝16，
得AB＝4，即|z1－z2|＝4.
点评　解决此类问题是要根据已知条件画出图形，通过图形得到数量关系，由复数与向量的一一对应关系，把复数问题转化为向量问题．
三、复数方程的几何意义
例3　已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，求的最大值与最小值．
分析　利用复数的几何意义可知，|z－2|＝的轨迹为一个圆，就是圆上的点与原点连线的斜率．
解　复数z在复平面上对应的点Z(x，y)在以C(2,0)为圆心、为半径的圆上，
而的几何意义是点Z(x，y)与原点连线的斜率，当连线与圆C相切时，连线的斜率分别取到最大值，最小值－.
点评　|z－(a＋bi)|＝r的几何意义为复平面上以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆，清楚常见的轨迹方程的复数形式，就不用再转化为普通方程了.
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\方法技巧.tif"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\方法技巧.tif"
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　3　复数四则运算的方法与技巧
对于复数的运算问题，若能总结其变化规律，掌握解答复数题的方法和技巧，定能快速、简捷地解题．现举例说明．
1．灵活运用一些结论
利用结论：i2＝－1，i4＝1，(1±i)2＝±2i，3＝1，可以使一些复数问题得到简捷、快速的解决．
例1　计算：()7－()7.
分析　本题考查复数的运算法则，运用1＋i＝i(1－i)，1＋i＝i(－i)对式子进行化简．
解　原式＝7－7
＝7＋7＝27
＝27＝2[(1＋i)2]3(1＋i)(－i)7·7＝2(－8i)·(1＋i)·i·
＝－8－8＋(－8＋8)i.
点评　先化为同类项，再凑成n形式．注意3＝1的应用．
2．挖掘隐含条件
所谓隐含条件，就是隐藏在题目之中但又没有明确说明的条件．挖掘出这些隐含条件，往往能使解题变得事半功倍．
例2　计算：.
分析　本题直接运用复数除法运算，比较繁琐，注意到分子、分母中实部和虚部的关系，可将分子、分母同乘以i来处理．
解　＝＝＝i.
3．差异分析
通过分析条件和结论之间的差异，促使两者向统一的方向发展，往往能使问题简捷获解．
例3　已知z7＝1(z∈C，且z≠1)，求1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6的值．
分析　整体思考1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6，乘以z即可解决问题．
解　因为z·(1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6)
＝z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6＋z7
＝1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6，
所以z·(1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6)－(1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6)＝0.
所以(z－1)(1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6)＝0.
又z≠1，所以1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6＝0.INCLUDEPICTURE
"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\第4.2.tif"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\第4.2.tif"
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2.1　复数的加法与减法
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\左括.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\左括.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\左括.TIF"
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明目标、知重点
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\右括.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\右括.TIF"
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　1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\填要点、记疑点.TIF"
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"\\\\鹿晴晴\\工作盘
(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\填要点、记疑点.TIF"
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1．复数加法与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，
(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
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2．复数加减法的几何意义
如图：设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是.
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[情境导学]
我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？
探究点一　复数加减法的运算
思考1　我们规定复数的加法法则如下：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？
答　仍然是个复数，且是一个确定的复数；
思考2　当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致吗？
答　一致．
思考3　复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？
答　实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项．
思考4　实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明．
答　满足，对任意的z1，z2，z3∈C，有交换律：z1＋z2＝z2＋z1.
结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
证明：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝(c＋a)＋(d＋b)i，
显然，z1＋z2＝z2＋z1，同理可得(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
思考5　类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则．
答　(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
例
1　计算：
(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；
(2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．
解　(1)原式＝(1－2－2＋1)＋(2＋1－1－2)i＝－2.
(2)原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)
＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.
反思与感悟　复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项．
跟踪训练1　(1)计算2i－[(3＋2i)＋3(－1＋3i)]；
(2)计算(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)．
解　(1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.
(2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.
探究点二　复数加减法的几何意义
思考1　复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？
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答　如图，设，分别与复数a＋bi，c＋di对应，则有＝(a，b)，＝(c，d)，由向量加法的几何意义＋＝(a＋c，b＋d)，所以＋与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．
思考2　怎样作出与复数z1－z2对应的向量？
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答　z1－z2可以看作z1＋(－z2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图)．图中对应复数z1，对应复数z2，则对应复数z1－z2.
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例2　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)表示的复数；
(2)对角线表示的复数；
(3)对角线表示的复数．
解　(1)因为＝－，所以表示的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线＝＋，所以对角线表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
反思与感悟　复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用．
跟踪训练
2　复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
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解　设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．
则＝－＝(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，
＝－＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.
∵＝，∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i.
∴，解得，
故点D对应的复数为2－i.
探究点三　复数加减法的综合应用
例
3　已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
解　方法一　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①
(a－c)2＋(b－d)2＝1，②
由①②得2ac＋2bd＝1，
∴|z1＋z2|＝
＝＝.
方法二　设O为坐标原点，
z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴△OAB是边长为1的正三角形，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，
且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，
∴|z1＋z2|＝||
＝＝.
反思与感悟　(1)设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．
(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
跟踪训练3　例3中，若条件变成|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝.求|z1－z2|.
解　由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，
知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，
所以|z1－z2|＝.
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\当堂测、查疑缺.TIF"
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1．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于(　　)
A．0
B.＋i
C.－i
D.－i
答案　C
解析　z1＋z2＝(2＋)－(＋2)i＝－i.
2．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于(　　)
A．1＋i
B．1＋3i
C．－1－i
D．－1－3i
答案　B
解析　z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.
3．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，则表示的复数为(　　)
A．2＋8i
B．－6－6i
C．4－4i
D．－4＋2i
答案　C
解析　＝－＝－(＋)＝4－4i.
4．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在(　　)
A．实轴上
B．虚轴上
C．第一象限
D．第二象限
答案　B
解析　∵|z－1|＝|z＋1|，
∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上即虚轴上．
5．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
答案　－1
解析　
z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴，解得a＝－1.
[呈重点、现规律]
1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\40分钟课时作业A.TIF"
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一、基础过关
1．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于(　　)
A．0
B．2i
C．6
D．6－2i
答案　D
解析　z＝3－i－(i－3)＝6－2i.
2．复数i＋i2在复平面内表示的点在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案　B
解析　i＋i2＝－1＋i，对应的点在第二象限．
3．复数z1＝3＋i，z2＝－1－i，则z1－z2等于(　　)
A．2
B．2＋2i
C．4＋2i
D．4－2i
答案　C
4．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(　　)
A．1＋i
B．2＋i
C．3
D．－2－i
答案　D
解析　由得，∴a＋bi＝－2－i.
5．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.
答案　3i
解析　设z＝a＋bi(a、b∈R)，
则z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，
∴a＝0，b＋3≠0，又|b|＝3，∴b＝3，z＝3i.
6．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2
008＋2
009i)＋(2
009－2
010i)＋(－2
010＋2
011i)＝__________.
答案　－1
005＋1
005i
解析　原式＝(1－2＋3－4＋…－2
008＋2
009－2
010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2
009－2
010＋2
011)i
＝－1
005＋1
005i.
7．计算：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；
(2)(＋i)＋(2－i)－(－i)；
(3)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.
解　(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)
＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i
＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.
(2)(＋i)＋(2－i)－(－i)
＝＋i＋2－i－＋i
＝(＋2－)＋(－1＋)i＝1＋i.
(3)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，
z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.
二、能力提升
8．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是________．
答案　＋i
解析　设这个复数为x＋yi(x，y∈R)
∴x＋yi＋＝5＋i，
∴，∴，∴x＋yi＝＋i.
9.若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________．
答案　1
解析　由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴．
|z－1|表示z对应的点与(1,0)的距离．
∴|z－1|min＝1.
10.设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，则m的取值范围是________________________．
答案　m≠5，m≠－3且m≠－2(m∈R)
解析　∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，
∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i
＝＋(m2－2m－15)i.
∵z1＋z2为虚数，∴m2－2m－15≠0且m≠－2，
解得m≠5，m≠－3且m≠－2(m∈R)．
11．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量对应的复数是1＋2i，向量对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标．
解　∵＝－，
∴对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i，
设C(x，y)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i，
∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，
故x＝4，y＝－2.∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)．
12.已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．
解　方法一　设D点对应的复数为x＋yi
(x，y∈R)，
则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)．
∴AC中点为，BD中点为.
∵平行四边形对角线互相平分，
∴，∴.即点D对应的复数为3＋5i.
方法二　设D点对应的复数为x＋yi
(x，y∈R)．
则对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)
＝(x－1)＋(y－3)i，又对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i，∵＝.∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i.
∴，∴.即点D对应的复数为3＋5i.
三、探究与拓展
13.在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
解　(1)对应的复数为2＋i－1＝1＋i，
对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，
对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i，
(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，
∴||2＋||2＝||2，∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝××2＝2.INCLUDEPICTURE
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(e)\\鹿晴晴\\2014\\幻灯片\\源文件\\北师选修1-2\\第三章末.TIF"
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题型一　合情推理与演绎推理
1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．
2．演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式．另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．
例
1　(1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…则每组内各数之和f(n)
(n∈N＋)与组的编号数n的关系式为________．
(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则
①a2＋b2＝c2；
②cos2A＋cos2B＝1；
③Rt△ABC的外接圆半径为r＝.
把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程；如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？
(1)答案　f(n)＝n3
解析　由于1＝13,3＋5＝8＝23，
7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.
(2)解　选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．
①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S＋S＋S＝S2.
②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R＝.
反思与感悟　(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．
(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性．
跟踪训练1　下列推理是归纳推理的是________，是类比推理的是________．
①A、B为定点，若动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则点P的轨迹是椭圆；
②由a1＝1，an＋1＝3an－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的通项an和Sn的表达式；
③由圆x2＋y2＝1的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab；
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
答案　②　③④
题型二　综合法与分析法
综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程．
例
2　用综合法和分析法证明．
已知α∈(0，π)，求证：2sin
2α≤.
证明　(分析法)
要证明2sin
2α≤成立．
只要证明4sin
αcos
α≤.
∵α∈(0，π)，∴sin
α>0.
只要证明4cos
α≤.
上式可变形为4≤＋4(1－cos
α)．
∵1－cos
α>0，
∴＋4(1－cos
α)≥2＝4，
当且仅当cos
α＝，即α＝时取等号．
∴4≤＋4(1－cos
α)成立．
∴不等式2sin
2α≤成立．
(综合法)
∵＋4(1－cos
α)≥4，
(1－cos
α>0，当且仅当cos
α＝，即α＝时取等号)
∴4cos
α≤.
∵α∈(0，π)，∴sin
α>0.
∴4sin
αcos
α≤.
∴2sin
2α≤.
跟踪训练
2　求证：－2cos(α＋β)＝.
证明　∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin
α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin
α
＝sin(α＋β)cos
α＋cos(α＋β)sin
α－2cos(α＋β)sin
α
＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin
β，
两边同除以sin
α得
－2cos(α＋β)＝.
题型三　反证法
反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论．
反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p则q”的否定是“若p则綈q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p则綈q”为假，从而可以导出“若p则q”为真，从而达到证明的目的．
例
3　若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：<2或<2中至少有一个成立．
证明　假设<2和<2都不成立，
则有≥2和≥2同时成立．
因为x>0且y>0，
所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，
所以x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾．
故<2与<2至少有一个成立．
反思与感悟　反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法．
跟踪训练3　已知：ac≥2(b＋d)．
求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根．
证明　假设两方程都没有实数根，
则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，
有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，
从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，
与已知矛盾，故原命题成立．
[呈重点、现规律]
直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．INCLUDEPICTURE
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题型一　分类讨论思想的应用
例1　实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．
解　(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，该复数为实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，该复数为虚数．
(3)当即k＝4时，该复数为纯虚数．
反思与感悟　当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x＋yi没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论．
跟踪训练
1　(1)若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)
A．a＝－1
B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1
D．a≠2
答案　C
解析　若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数．当a2－a－2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数，解得a≠－1且a≠2；当a2－a－2＝0且|a－1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得a＝2.综上所述，当a≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数．
(2)实数x取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i是：①实数；②虚数；③纯虚数；④零．
解　①当x2－2x－15＝0，即x＝－3或x＝5时，复数z为实数；
②当x2－2x－15≠0，即x≠－3且x≠5时，复数z为虚数；
③当x2＋x－6＝0且x2－2x－15≠0，即x＝2时，复数z是纯虚数；
④当x2＋x－6＝0且x2－2x－15＝0，即x＝－3时，复数z为零．
题型二　数形结合思想的应用
例
2　已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.
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解　设z＝x＋yi，x，y∈R，如图．
∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，
∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，
即
解得或.
∵|OA|≠|BC|，∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.
反思与感悟　数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现且它们得以相互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等．
跟踪训练
2　已知复数z1＝i(1－i)3.
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
解　(1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2.
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(2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆半径)＝2＋1.
题型三　转化与化归思想的应用
例
3　已知z是复数，z＋2i，均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围．
解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＝－2.
又＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i为实数，
∴x＝4.∴z＝4－2i，
又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限．
∴，解得2∴实数a的取值范围是(2,6)．
反思与感悟　在求复数时，常设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，把复数z满足的条件转化为实数x，y满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要．
跟踪训练
3　已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
解　设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.
又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
∴
∴或或或
∴或或或
题型四　类比思想的应用
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，只要注意i2＝－1.
在运算的过程中常用来降幂的公式有
(1)i的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈Z)；
(2)(1±i)2＝±2i；
(3)设ω＝－±i，则ω3＝1，ω2＝，1＋ω＋ω2＝0，＝ω2，ω3n＝1，ω3n＋1＝ω(ω∈N
)等；
(4)(±i)3＝－1；
(5)作复数除法运算时，有如下技巧：
＝＝＝i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．
例
4　计算：
(1)(1－i)(－＋i)(1＋i)；
(2)＋()2
006.
解　(1)方法一　(1－i)(－＋i)(1＋i)
＝(－＋i＋i－i2)(1＋i)
＝(＋i)(1＋i)
＝＋i＋i＋i2
＝－1＋i.
方法二　原式＝(1－i)(1＋i)(－＋i)
＝(1－i2)(－＋i)＝2(－＋i)＝－1＋i.
(2)＋()2
006＝＋
＝－＝i－＝i－i＝0.
反思与感悟　复数的运算可以看作多项式的化简，加减看作多项式加减，合并同类项，乘法和除法可看作多项式的乘法．
跟踪训练4　计算：＋－.
解　＋－
＝＋－
＝＋－＝2－(i＋3)－i＝－1－2i.
[呈重点、现规律]
1．准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念．
2．复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似，对于复数的除法运算将分子分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成a＋bi
(a，b∈R)的结构形式．