上海市金山中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学试卷

金山中学2016学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷
（考试时间：120分钟
满分：150分
）
一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分）
1．已知复数(为虚数单位)，则
．
2．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为
（结果用反三角函数值表示）．
3．抛物线的焦点坐标为
．
4．
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中的常数项的值是
．
5．已知实数、满足不等式组，则的最大值是
．
6．已知虚数
是方程的一个根,则实数
．
7．已知为双曲线C：的左右焦点，点P在双曲线C上，,则
．
8．某校高二年级共有六个班,现从外地转入
( http: / / www.21cnjy.com )4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为
．
9．
设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为____________．
10．已知抛物线
( http: / / www.21cnjy.com )上的两点A、B的横坐标恰是关于的方程
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )是常数）的两个实根，则直线
( http: / / www.21cnjy.com )的方程是
．
11．在
( http: / / www.21cnjy.com )中，
( http: / / www.21cnjy.com )边上的中线
( http: / / www.21cnjy.com )，若动点P满足
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )的最小值是
．
12．已知椭圆C：的左右焦点分别为，P为椭圆C上任一点，M=。M的最大值为
．
二.选择题（每小题5分，共20分）
13.
已知复数满足，则的取值范围是（
）．
（A）（B）（C）（D）
14．设是△三个内角所对应的边，且，那么直线与直线的位置关系是（
）．
（A）平行　（B）垂直（C）相交但不垂直　（D）重合
15．是所在平面内的一点，且满足，则的形状是（
）．
（A）等腰三角形
（B）等腰直角三角形
（C）直角三角形
（D）等边三角形
16．若曲线上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（
）．
（A）
（B）
（C）
（D）
三.解答题（14分＋14分＋14分＋16分＋18分，共76分）
17．（本题满分14分）
设复数满足，且在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线，
，求和的值．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知,,与的夹角为.
(1)求的值；
（2）若为实数，求的最小值．
．
19．（本题满分14分,
第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）一条光线通过点，被直线反射，如果反射光线通过点，求反射光线所在的直线方程；
（2）已知的一顶点，与的平分线所在直线的方程分别是和，求边所在直线方程．
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知点为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程是．
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，求的值；
（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于两点，中点为，求证:．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
教材曾有介绍：圆上的点处的切线方程为。我们将其结论推广：椭圆（）上的点处的切线方程为，在解本题时可以直接应用。已知，直线与椭圆：（）有且只有一个公共点．
（1）求的值；
（2）设为坐标原点，过椭圆上的两点、分别作该椭圆的两条切线、，且与交于点．
①设，直线、的斜率分别为、，求证：为定值．
②设，求面积的最大值．
金山中学2016学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷
（考试时间：120分钟
满分：150分
）
一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分）
1．已知复数(为虚数单位)，则
．
2．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为
（结果用反三角函数值表示）．
3．抛物线的焦点坐标为
．
4．
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中的常数项的值是
．
60
5．已知实数、满足不等式组，则的最大值是
．
20
6．已知虚数
是方程的根，则实数
．3
7．已知为双曲线C：的左右焦点，点P在双曲线C上，,则
．4
8．某校高二年级共有六个班,现从外地转入4
( http: / / www.21cnjy.com )名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为
．
90
9．
设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为____________．2
10．已知抛物线
( http: / / www.21cnjy.com )上的两点A、B的横坐标恰是关于的方程
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )是常数）的两个实根，则直线
( http: / / www.21cnjy.com )的方程是
．
11．在
( http: / / www.21cnjy.com )中，
( http: / / www.21cnjy.com )边上的中线
( http: / / www.21cnjy.com )，若动点P满足
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )的最小值是
．
-2
12．已知椭圆C：的左右焦点分别为，P为椭圆C上任一点，M=。M的最大值为
．
二.选择题（每小题5分，共20分）
13.
已知复数满足，则的取值范围是（
）．B
（A）（B）（C）（D）
14．设是△三个内角所对应的边，且，那么直线与直线的位置关系是（
）．D
（A）平行　（B）垂直（C）相交但不垂直　（D）重合
15．
是所在平面内的一点，且满足，则的形状是（
）．A
（A）等腰三角形
（B）等腰直角三角形
（C）直角三角形
（D）等边三角形
16．若曲线上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（
）．C
（A）
（B）
（C）
（D）
三.解答题（14分＋14分＋14分＋16分＋18分，共76分）
17．（本题满分14分）
设复数满足，且在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线，
，求和的值．
或……（8分）
当…………（11分）
当…………（14分）
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知,,与的夹角为.
(1)求的值；
（2）若为实数，求的最小值．
（1）=2…………………………（6分）
（2）当时，的最小值为1………………………（14分）
19．（本题满分14分,
第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）一条光线通过点，被直线反射，如果反射光线通过点，求反射光线所在的直线方程；
（2）已知的一顶点，与的平分线所在直线的方程分别是和，求边所在直线方程.
（1）………………………………（6分）
（2）A关于的对称点为B(-3，0)
A关于的对称点为
…………………………（14分）
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知点为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程是．
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，求的值；
（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于两点，中点为，求证:．
解（1）设、的坐标分别为、
因为点在双曲线上，所以，即，所以
在中，，，所以
由双曲线的定义可知：
故双曲线的方程为：
……………（4分）
（2）由条件可知：两条渐近线分别为，
设双曲线上的点，设的倾斜角为，则
则点到两条渐近线的距离分别为，
……（6分）
因为在双曲线上，所以
，从而…（8分）所以……………（10分）
（3）由题意，即证：．
设，切线的方程为：，且
①当时，将切线的方程代入双曲线中，化简得：
所以：
又
所以
②当时，易知上述结论也成立．
所以
综上，，所以．
……………（16分）
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
教材曾有介绍：圆上的点处的切线方程为。我们将其结论推广：椭圆（）上的点处的切线方程为，在解本题时可以直接应用。已知，直线与椭圆：（）有且只有一个公共点．
（1）求的值；
（2）设为坐标原点，过椭圆上的两点、分别作该椭圆的两条切线、，且与交于点．
①设，直线、的斜率分别为、，求证：为定值．
②设，求面积的最大值．
解：（1）联立整理得
依题意即…………………………（4分）
（2）①设、于是直线、的方程分别为、
将代入、的方程得且
所以直线的方程为……………………（7分）
，，所以为定值………………（10分）
②依题意联立
显然，由是该方程的两个实根，
有，………………（12分）
面积的绝对值，即……（14分）
即
当时，取得最大值………………（18分）