【北师大版】2017-2018学年数学选修2-1配套课时作业（33份，Word版，含答案）

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3.3　空间向量运算的坐标表示
课时目标　1.理解空间向量坐标的概念.2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．
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1．空间向量的直角坐标运算律
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a＋b＝_____________________________；
(2)a－b＝_________________________________________；
(3)λa＝______________________(λ∈R)；
(4)a·b＝________________________；
(5)a∥b
(6)a⊥b
2．几个重要公式
(1)若A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)，则＝________________________________.即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标．
(2)模长公式：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝＝_________________，|b|＝＝________________________.
(3)夹角公式：cos〈a，b〉＝________________＝____________________
(a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3))．
(4)两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)．则||＝＝.
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一、选择题
1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(－1,2,1)，点B的坐标为(1,3,4)，则(　　)
A.＝(－1,2,1)
B.＝(1,3,4)
C.＝(2,1,3)
D.＝(－2，－1，－3)
2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　)
A．x＝，y＝1
B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－
D．x＝1，y＝－1
3．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则＝＝是a∥b的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A．1
B.
C.
D.
5．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为(　　)
A.
B.
C．4
D．8
6．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)则|b－a|的最小值是(　　)
A.
B.
C.
D.
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x＝______.
8．已知A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则在上的投影为______．
三、解答题
9．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
10.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：
(1)线段AB的中点坐标和长度；
(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件．
11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2,
并取A1B1、A1A的中点分别为P、Q.
(1)求的长；
(2)求cos〈，〉，cos〈，〉，并比较〈，〉与〈，〉的大小；
(3)求证：⊥.
能力提升
12．在长方体OABC—O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：
(1)求与所成的角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．
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1．空间向量的坐标运算，关键是要注意向量坐标与点的坐标间的关系，并熟练掌握运算公式．
2．关于空间直角坐标系的建立
建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴．同时，使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内，这样可以较方便的写出点的坐标．
3．3　空间向量运算的坐标表示
知识梳理
1．(1)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)　(2)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)　(3)(λa1，λa2，λa3)　(4)a1b1＋a2b2＋a3b3　(5)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
(6)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
2．(1)(x2－x1，y2－y1，z2－z1)　终点　起点
(2)　
(3)　
作业设计
1．C
2．B　[∵a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，∴3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，∴x＝，y＝－4.]
3．A　[设＝＝＝k，易知a∥b，即条件具有充分性．又若b＝0时，b＝(0,0,0)，
虽有a∥b，但条件＝＝显然不成立，所以条件不具有必要性，故选A.]
4．D　[∵ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，
(ka＋b)⊥(2a－b)，∴3(k－1)＋2k－4＝0.
∴k＝.]
5．A　[设向量a、b的夹角为θ，
于是cos
θ＝＝，由此可得sin
θ＝.
所以以a、b为邻边的平行四边形的面积为
S＝2××3×3×＝.]
6．C　[∵|b－a|＝＝
＝≥
＝，
∴|b－a|的最小值是.]
7．11
解析　∵点P在平面ABC内，∴存在实数k1，k2，
使＝k1＋k2，即(x－4，－2,0)＝k1(－2,2，－2)＋k2(－1,6，－8)，
∴　解得
∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即x＝11.
8．－4
解析　∵＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)．
＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，
∴cos〈，〉＝
＝－，
在上的投影为||cos〈，〉
＝×＝－4.
9．解　ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，
a－3b＝(7，－4，－16)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，
则＝＝，
解得k＝－.
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，则(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝.
10．解　(1)设M是线段AB的中点，
则＝(＋)＝(2，，3)，
所以线段AB的中点坐标是(2，，3)．
|AB|＝＝.
(2)点P(x，y，z)到A，B两点距离相等，则
＝，
化简，得4x＋6y－8z＋7＝0.即到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件是4x＋6y－8z＋7＝0.
11．解　
以C为原点O，建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知，得C(0,0,0)，
A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，P，Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)．
∴＝(1，－1,1)，＝(0,1,2)，
＝(1，－1,2)，＝(－1,1,2)，
＝.
(1)||＝＝＝.
(2)∵·＝0－1＋2＝1，||＝，
||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又·＝0－1＋4＝3，
||＝＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又0<<<1，
∴〈，〉，〈，〉∈.
又y＝cos
x在内单调递减，
∴〈，〉>〈，〉．
(3)证明　∵·
＝(－1,1,2)·＝0，
∴⊥.
12．解　
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建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)由题意得A(2,0,0)，
O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)．
∴＝(－2,0,2)，
＝(－1,0，－2)，
∴cos〈，〉＝＝－.
(2)由题意得⊥，∥，
∵C(0,3,0)，设D(x，y,0)，∴＝(x，y，－2)，
＝(x－2，y,0)，＝(－2,3,0)，
∴　解得
∴D，
∴||＝
＝.
即点O1到点D的距离为.www.
2.3　充要条件
课时目标
1．结合实例，理解充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系.3.会利用充要条件求一些字母的范围，进一步理解数学概念．
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1．如果既有p q，又有q p，就记作__________．这时p是q的____________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果pq且qp，则p是q的____________________条件．
2．我们常用“当且仅当”表达充要条件．命题p和命题q互为充要条件，称它们是两个相互等价的命题．
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一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．设集合M＝{x|0A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的(　　)
A．充分非必要条件
B．充分必要条件
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件
4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．用符号“ ”或“”填空.
(1)a>b________ac2>bc2；(2)a2c≠0________c≠0.
8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－29．函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．(填序号)
三、解答题
10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
11.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
能力提升
12．已知P＝{x|a－413．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min.已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为
l＝max·min，
则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的(　　)
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
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1．判断条件p和结论q之间的关系，可以先尝试确定p、q间的推出关系．
2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A B证明了必要性；B A证明了充分性．“A是B的充要条件”的命题的证明：A B证明了充分性；B A证明了必要性．
2．3　充要条件
知识梳理
1．pq　充分必要　充要　充要　既不充分又不必要
作业设计
1．A　[对于“x>0”“x≠0”，反之不一定成立．
因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．]
2．B　[因为N
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Data\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\W%G5]J[AH9ZAIFZVZ{K7U9N.jpg"
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M.所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件．]
3．A　[若一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，
则Δ＝1－4m≥0，因此m≤.
故m<是方程x2＋x＋m＝0有实数解的充分非必要条件．]
4．A　[把k＝1代入x－y＋k＝0，推得“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”；但“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”不一定推得“k＝1”．故“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分而不必要条件．]
5．A　[l⊥αl⊥m且l⊥n，而m，n是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l⊥m且l⊥n不能得到l⊥α.]
6．B　[当a<0时，由韦达定理知x1x2＝<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根时，a可以为0，因为当a＝0时，该方程仅有一根为－，所以a不一定小于0.由上述推理可知，“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]
7．(1)　(2)
8．(2，＋∞)
解析　不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因当－2INCLUDEPICTURE
"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\Application
Data\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\W%G5]J[AH9ZAIFZVZ{K7U9N.jpg"
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(－a，－1)，∴－2>－a，即a>2.
9．b≥－2a
解析　由二次函数的图象可知当－≤1，即b≥－2a时，函数y＝ax2＋bx＋c在[1，＋∞)上单调递增．
10．解　(1)∵|x|＝|y|x＝y，
但x＝y|x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．
△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．
四边形是矩形四边形的对角线互相平分．
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
11．证明　①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，
则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．
当xy>0时，即x>0，y>0，或x<0，y<0，
又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，
∴等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立．
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，
∴|xy|＝xy，∴xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
12．解　由题意知，Q＝{x|1∴，解得－1≤a≤5.
∴实数a的取值范围是[－1,5]．
13．A　[当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，
∴l＝max·min＝1×1＝1.
∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．
∵a≤b≤c，∴max＝.
又∵l＝1，∴min＝，
即＝或＝，
得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．
∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．]www.
第二章　空间向量与立体几何(B)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．空间四个点O、A、B、C，，，为空间的一个基底，则下列说法不正确的是(　　)
A．O、A、B、C四点不共线
B．O、A、B、C四点共面，但不共线
C．O、A、B、C四点中任意三点不共线
D．O、A、B、C四点不共面
2．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
3．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为(　　)
A．x＝1，y＝1
B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝
D．x＝，y＝
4．设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是(　　)
A．0
B．2
C．4
D．6
5．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
6．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)且a·b＝2，则x的值是(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　)
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
8．正三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
9．已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(　　)
A.
B.
C.
D.
10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答　案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
12．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝__________.
13．平面α的法向量为m＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为__________．
14．若向量a＝(2,3，λ)，b＝的夹角为60°，则λ＝________.
15．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)
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如图，已知ABCD—A1B1C1D1是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α、β、γ的值．
17.
(12分)如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为2a的菱形，且SA＝SC＝2a，SB＝SD＝a，点E是SC上的点，且SE＝λa
(0<λ≤2)．
(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有BD⊥AE；
(2)若SC⊥平面BED，求直线SA与平面BED所成角的大小．
18.(12分)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)求a和b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
19．(12分)
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如图所示，在三棱锥S—ABC中，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点，求二面角A—SC—B的余弦值．
20.
(13分)如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．
(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；
(2)求点B到平面PCD的距离．
21．(14分)如图，
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四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P—AC—D的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
第二章　空间向量与立体几何(B)
1．B
2．C　[＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴cos〈，〉＝＝，
∴〈，〉＝60°.]
3．C　[＝＋＝＋(＋)＝＋＋，
由空间向量的基本定理知，x＝y＝.]
4．C
5．C　[∵·＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB，①正确；
∵·＝－4＋4＝0，∴AP⊥AD，②正确；由①②知是平面ABCD的法向量，∴③正确，④错误．]
6．C
7．B　[△BCD中，·＝(－)·(－)＝2>0.∴∠B为锐角，同理，∠C，∠D均为锐角，∴△BCD为锐角三角形．]
8．C
　[建系如图，设AB＝1，则B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)．
∴＝(－1,0,1)，
＝(0,1,1)
∴cos〈，〉
＝＝＝.
∴〈，〉＝60°，即异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.]
9．C　[∵Q在OP上，∴可设Q(x，x,2x)，则＝(1－x，2－x,3－2x)，＝(2－x,1－x,2－2x)．
∴·＝6x2－16x＋10，∴x＝时，·最小，这时Q.]
10．C　[
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\
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以点D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则＝(－1,1，－1)，＝(－1,1,1)．
可以证明A1C⊥平面BC1D，AC1⊥平面A1BD.
又cos〈，〉＝，结合图形可知平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为.]
11．2
解析　∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，
∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．
∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.
12．2∶3∶(－4)
解析　＝，
＝，
由a·＝0，a·＝0，得，
x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
13．60°或120°
解析　∵cos〈m，n〉＝＝＝－，
∴〈m，n〉＝120°，即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°.
14.
解析　∵a＝(2,3，λ)，b＝，
∴a·b＝λ＋1，|a|＝，|b|＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
∴λ＝.
15.
解析　
建立如图所示坐标系，则＝(－1,1，－2)，
＝(0,2，－2)，
∴cos〈，〉＝＝，∴〈，〉＝.
即异面直线AD和BC1所成角的大小为.
16．解　∵＝＋＝＋
＝(－)＋(－)
＝(－)＋(＋)
＝－＋＋
＝＋＋，
∴α＝，β＝，γ＝.
17．(1)证明　连结BD，AC，设BD与AC交于O.
INCLUDEPICTURE
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\
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由底面是菱形，得BD⊥AC.
∵SB＝SD，O为BD中点，
∴BD⊥SO.又AC∩SO＝O，∴BD⊥面SAC.
又AE 面SAC，∴BD⊥AE.
(2)解　由(1)知BD⊥SO，
同理可证AC⊥SO，∴SO⊥平面ABCD.
取AC和BD的交点O为原点建立如图所示的坐标系，设SO＝x，
则OA＝，OB＝.
∵OA⊥OB，AB＝2a，
∴(4a2－x2)＋(2a2－x2)＝4a2，解得x＝a.
∴OA＝a，则A(a,0,0)，C(－a,0,0)，
S(0,0，a)．
∵SC⊥平面EBD，∴是平面EBD的法向量．
∴＝(－a,0，－a)，＝(a,0，－a)．
设SA与平面BED所成角为α，
则sin
α＝＝＝，
即SA与平面BED所成的角为.
18．解　a＝＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，
b＝＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．
(1)cos
θ＝＝＝－，
∴a与b的夹角θ的余弦值为－.
(2)ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，
ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)，
∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)
＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.
即2k2＋k－10＝0，∴k＝－或k＝2.
19．解　
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\
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以O为坐标原点，射线OB，OA，OS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设B(1,0,0)，则C(－1,0,0)，A(0,1,0)，S(0,0,1)，SC的中点M.
故＝，＝，
＝(－1,0，－1)，
所以·＝0，·＝0.
即MO⊥SC，MA⊥SC.
故〈，〉为二面角A—SC—B的平面角．
cos〈，〉＝＝.
即二面角A—SC—B的余弦值为.
20．(1)证明　如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则依
题意可知A(0,0,0)，
B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，
P(0,0,2)．
∴＝(4,0，－2)，＝(0，－2,0)，＝(0,0，－2)．
设平面PDC的一个法向量为n＝(x，y,1)，
则
所以平面PCD的一个法向量为.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，
又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD.
∴平面PAD的法向量为＝(0,2,0)．
∵n·＝0，∴n⊥.
∴平面PDC⊥平面PAD.
(2)解　由(1)知平面PCD的一个单位法向量为＝.
∴＝＝，
∴点B到平面PCD的距离为.
21．(1)证明　连结BD，设AC交BD于点O，由题意知SO⊥平面ABCD，以O点为坐标原点，、、分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示．
设底面边长为a，则高SO＝a.
于是S(0,0，a)，D，C，
INCLUDEPICTURE
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\
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B，
＝，
＝，
∴·＝0.
∴OC⊥SD，即AC⊥SD.
(2)解　由题意知，平面PAC的一个法向量＝，平面DAC的一个法向量＝，
设所求二面角为θ，则cos
θ＝＝，
故所求二面角P—AC—D的大小为30°.
(3)解　在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.
由(2)知是平面PAC的一个法向量，
且＝，＝，
＝，
设＝t，
则＝＋＝＋t
＝.
由·＝0，得t＝，
即当SE∶EC＝2∶1时，⊥
而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.www.
模块综合检测(C)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．方程x＝所表示的曲线是(　　)
A．双曲线的一部分
B．椭圆的一部分
C．圆的一部分
D．直线的一部分
2．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是(　　)
A．2
B.
C.
D.
3．已知点A(4,1,3)、B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且＝，则C点坐标为(　　)
A.
B.
C.
D.
4．已知灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60
cm，灯深40
cm，则光源到反光镜顶点的距离是(　　)
A．11.25
cm
B．5.625
cm
C．20
cm
D．10
cm
5．已知椭圆x2＋＝a2(a>0)与以A(2,1)，B(4,3)为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是(　　)
A．0B．0
C．0D.6．P是双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为(　　)
A．6
B．7
C．8
D．9
7．下列四个结论中正确的个数为(　　)
①命题“若x2<1，则－11或x<－1，则x2>1”；
②已知p：任意x∈R，sin
x≤1，q：若a③命题“存在x∈R，x2－x>0”的否定是“任意x∈R，x2－x≤0”；
④“x>2”是“x2>4”的必要不充分条件．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
8.
如图所示，已知PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD＝AB，M是PA的中点，则二面角M—DC—A的大小为(　　)
A.
B.
C.
D.
9．已知命题P：函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R；命题Q：函数y＝－(5－2a)x是R上的减函数．若P或Q为真命题，P且Q为假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤1
B．a<2
C．1D．a≤1或a≥2
10.
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三棱锥A—BCD中，AB＝AC＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则·等于(　　)
A．－2
B．2
C．－2
D．2
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答　案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知点A(1,2,3)和点B(3,2,1)，若点M满足＝，则M的坐标为__________．
12．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标x＝________.
13．已知a、b为不等于0的实数，则>1是a>b的____________条件．
14．已知F1、F2是椭圆C：＋＝1
(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
15．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0
(λ∈R)，则λ＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)已知p：x2－12x＋20<0，q：x2－2x＋1－a2>0
(a>0)．若綈q是綈p的充分条件，求a的取值范围．
17．(12分)
如图，M是抛物线y2＝x上的一个定点，动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B，且|MA|＝|MB|.证明：直线EF的斜率为定值．
18.(12分)已知两点M(－1,0)、N(1,0)，动点P(x，y)满足||·||－·＝0，
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)假设P1、P2是轨迹C上的两个不同点，F(1,0)，λ∈R，＝λ，求证：＋＝1.
19．(12分)
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如图所示，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝－2py
(p>0)交于A，B两点，O为坐标原点，＋＝(－4，－12)．
(1)求直线l和抛物线C的方程；
(2)抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值．
20.(13分)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
21．(14分)
如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求二面角A—EB—C的大小．
模块综合检测(C)
1．B　[x＝，∴x2＋4y2＝1
(x≥0)．
即x2＋＝1
(x≥0)．]
2．C　[由已知，＝1，∴a＝b，∴c2＝2a2，
∴e＝＝＝.]
3．C　[设C(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)．
又＝(－2，－6，－2)，＝，
∴(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－2)，
得x＝，y＝－1，z＝.∴C.]
4．B　[设抛物线的标准方程为y2＝2px
(p>0)，
则抛物线过点(40,30)，∴900＝80p，∴p＝，
∴光源到反光镜顶点的距离d＝＝＝5.625
cm.]
5．B　[分两种情况：(1)A点在椭圆外，4＋>a2，解得0.]
6．D　[设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝6＋3＝9.]
7．B　[只有③中结论正确．]
8．C　[二面角M—DC—A的平面角为∠MDA.]
9．C　[由函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R知：内层函数u(x)＝x2＋2x＋a恰好取遍(0，＋∞)内的所有实数 Δ＝4－4a≥0 a≤1；即P a≤1；同样由y＝－(5－2a)x是减函数 5－2a>1，即Q a<2；由P或Q为真，P且Q为假知，P与Q中必有一真一假．故答案为C.]
10．A
11．(2,2,2)
12．5
解析　抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，根据抛物线的定义，点P到准线的距离也为6，所以点P的横坐标x＝5.
13．既不充分又不必要
14．3
解析　由已知，得，
∴|PF1|2＋|PF2|2＋36＝4a2.
又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，
∴4a2－4c2＝36，∴b＝3.
15．－
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解析　如图，连结A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上易知EF綊A1D，∴＝，
即－＝0，∴λ＝－.
16．解　p：{x|21＋a}．
由綈q 綈p，得p q，于是1＋a<2，
∴017．解　设M(y，y0)，直线ME的斜率为k(k>0)，
则直线MF的斜率为－k，直线ME的方程为
y－y0＝k(x－y)．
由
得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0.
于是y0·yE＝，
所以yE＝.同理可得yF＝.
∴kEF＝＝＝＝－，
即直线EF的斜率为定值．
18．解　(1)||＝2；则＝(x＋1，y)，
＝(x－1，y)．
由||·||－·＝0，
则2－2(x＋1)＝0，
化简整理得y2＝4x.
(2)由＝λ·，得F、P1、P2三点共线，
设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，斜率存在时，直线P1P2的方程为：y＝k(x－1)
代入y2＝4x得：k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.
则x1x2＝1，x1＋x2＝.
∴＋＝＋
＝＝1.
当P1P2垂直x轴时，结论照样成立．
19．解　(1)由得x2＋2pkx－4p＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.
因为＋＝(x1＋x2，y1＋y2)
＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，
所以　解得
所以l的方程为y＝2x－2，抛物线C的方程为x2＝－2y.
(2)设P(x0，y0)，依题意，抛物线过点P的切线与l平行时，△ABP的面积最大，y′＝－x，
所以－x0＝2 x0＝－2，y0＝－x＝－2，
所以P(－2，－2)．
此时点P到直线l的距离
d＝＝＝，
由　得x2＋4x－4＝0，
|AB|＝·
＝·＝4.
∴△ABP面积的最大值为＝8.
20．解　设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，
故Δ＝4a2－16<0，
∴－2函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，则有3－2a>1，即a<1.
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
(1)若p真q假，则∴1≤a<2.
(2)若p假q真，则∴a≤－2.
综上可知，所求实数a的取值范围为{a|1≤a<2或a≤－2}．
21．(1)证明　∵四边形ACDE是正方形，
∴EA⊥AC，AM⊥EC，
∵平面ACDE⊥平面ABC，
∴EA⊥平面ABC，
∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
设EA＝AC＝BC＝2，则
A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)，
又M是正方形ACDE的对角线的交点，
∴M(0,1,1)，＝(0,1,1)，
＝(0,2,0)－(0,0,2)＝(0,2，－2)，
＝(2,2,0)－(0,2,0)＝(2,0,0)，
∴·＝0，·＝0，
∴AM⊥EC，AM⊥CB，∴AM⊥平面EBC.
(2)解　设平面EAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥且n⊥，
∴n·＝0且n·＝0.
∴　即
取y＝－1，则x＝1，则n＝(1，－1,0)．
又∵为平面EBC的一个法向量，且＝(0,1,1)，
∴cos〈n，〉＝＝－，
设二面角A—EB—C的平面角为θ，
则cos
θ＝|cos〈n，〉|＝，
∴二面角A—EB—C为60°.www.
§6　距离的计算
课时目标　掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点到直线的距离和点到平面的距离．
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1．两点间的距离的求法．设a＝(a1，a2，a3)，则|a|＝______________，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dAB＝||＝________________.
2．点到直线距离的求法
设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外定点．
作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度，而向量在s上的投影的大小|·s0|等于线段PA′的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离．
d＝.
3．点到平面的距离的求法
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设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点．作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的距离d等于线段AA′的长度，而向量在n上的投影的大小|·n0|等于线段AA′的长度，所以点A到平面π的距离d＝|·n0|.
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一、选择题
1．若O为坐标原点，＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)
A.
B．2
C.
D.
2．在直角坐标系中，设A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，则A、B两点间的距离为(　　)
A．2
B.
C.
D．3
3．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　)
A.
B.
C.
D.
4.
如图所示，在直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为(　　)
A.
B.
C.
D．2
5.
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如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　)
A.
B.
C.
D.
6．若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(　　)
A.
B．1
C.
D.
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．已知夹在两平行平面α、β间的斜线段AB＝8
cm，CD＝12
cm，AB和CD在α内的射影长的比为3∶5，则α和β的距离为________．
8．已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为______．
9．棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________．
三、解答题
10．已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
11．在正方体ABCD—A1B1C1D1中棱长为1，利用向量法求点C1到A1C的距离．
能力提升
12．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，
而且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜
)．
(1)求MN的长；
(2)当a为何值时，MN的长最小．
13.
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如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．
求直线AD与平面PBC的距离．
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1．点到直线的距离可以通过作垂线转化为两点间的距离，也可以利用向量形式的点到直线的距离公式计算．
2．求点到平面的距离的三种方法：
(1)定义法：这是常规方法，首先过点向平面作垂线，确定垂足的位置，然后把该垂线段归结到一个直角三角形中，解三角形求得．
(2)等体积法：把点到平面的距离视为一个三棱锥底面的高，利用三棱锥转换底面求体积，进而求得距离．
(3)向量法：这是我们常用到的方法，利用向量法求点到平面的距离的一般步骤为：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
§6　距离的计算
知识梳理
1.
作业设计
1．D　[由题意＝(＋)＝(2，，3)，
＝－＝(－2，－，－3)，
PC＝||＝
＝.]
2．A　[作AE⊥x轴交x轴于点E，BF⊥x轴交x轴于点F，则
＝＋＋，
2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝2＋2＋2＋2·
＝9＋25＋4＋2×3×2×＝44，
∴||＝2.]
3．B　[建立
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如图所示坐标系，则＝(2,0,0)，＝(1,0,2)，
∴cos
θ＝
＝＝，
∴sin
θ＝＝，
A到直线BE的距离d＝||sin
θ＝2×＝.]
4．B　[
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，E(1,0,0)，D(0，－1，2)，
C(0,1,2).＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)，
设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，则　
即
令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．
故点D到平面ACE的距离
d＝＝＝.]
5．B　[
INCLUDEPICTURE
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\
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以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有
D1(0,0,1)，D(0,0,0)，
A(1,0,0)，B(1,1,0)，
A1(1,0,1)，C1(0,1,1)．因O为A1C1的中点，所以O(，，1)，＝(，－，0)，设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则有即
取x＝1，则n＝(1,0,1)
∴O到平面ABC1D1的距离为
d＝＝＝.]
6．D　[
如图所示，直线AB1与底面ABCD所成的角为∠B1AB，而A1C1到底面ABCD的距离为AA1，在Rt△ABB1中，
B1B＝AB·tan
60°＝.所以AA1＝BB1＝.]
7.
cm
8.
解析　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则　即
∴可取n＝，又＝(－7，－7,7)．
∴点D到平面ABC的距离d＝＝.
9.
解析　
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\
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如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则平面ACD1的一个法向量为(1,1,1)，
∵M，A(1,0,0)，
∴＝(0,1，)，
∴点M到平面ACD1的距离为
d＝＝.
又，MN平面ACD1.
故MN∥平面ACD1，故MN到平面ACD1的距离也为d＝.
10．解　
如图所示，以C为原点，CB、CD、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
由题意知C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，
F(2,4,0)，G(0,0,2)．
＝(0,2,0)，＝(4,2，－2)，＝(－2,2,0)．
设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则有即
令x＝1，则y＝1，z＝3，∴n＝(1,1,3)．
点B到平面EFG的距离为
d＝|||·cos〈，n〉|＝
＝＝.
11．解　
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如图，以AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则A1(0,0,1)，C(1,1,0)，
C1(1,1,1)．直线A1C的方向向量＝(1,1，－1)．
点C1与直线A1C上一点C(1,1,0)的向量＝(0,0,1)．
在上的投影＝.
∴点C1到直线A1C的距离
d＝＝＝.
12．解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)，
∵CM＝BN＝a(0且四边形ABCD、ABEF为正方形，∴M(a,0,1－a)，N(a，a,0)，
∴＝(0，a，a－1)，
∴||＝.
(2)由(1)知|MN|＝，
所以，当a＝时，|MN|＝.即M、N分别移到AC、BF的中点时，|MN|的长最小，最小值为.
13．解　如图，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系．
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设D(0，a,0)，则B(，0,0)，C(，a,0)，P(0,0，)，
E(，0，)．
因此＝(，0，)，＝(0，a,0)，＝(，a，－)，
·＝0，·＝0，
所以⊥，⊥，
即AE⊥BC，AE⊥DC.
又∵BC∩PC＝C，AE平面PBC，
所以AE⊥平面PBC.
又由AD∥BC知AD∥平面PBC.故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为||＝.www.
§3　双曲线
3.1　双曲线及其标准方程
课时目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．
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1．双曲线的有关概念
(1)双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于__________)的点的集合叫作双曲线．
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为________________________________________．
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________．
(2)双曲线的焦点和焦距
双曲线定义中的两个定点F1、F2叫作________________，两焦点间的距离叫作______________．
2．双曲线的标准方程
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F1__________，F2__________.
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F1__________，F2__________.
(3)双曲线中a、b、c的关系是________________．
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一、选择题
1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若ax2＋by2＝b(ab<0)，则这个曲线是(　　)
A．双曲线，焦点在x轴上
B．双曲线，焦点在y轴上
C．椭圆，焦点在x轴上
D．椭圆，焦点在y轴上
3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1
B.－y2＝1
C．y2－＝1
D.－＝1
4．双曲线－＝1的一个焦点为(2,0)，则m的值为(　　)
A.
B．1或3
C.
D.
5．一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为(　　)
A．抛物线
B．圆
C．双曲线的一支
D．椭圆
6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是(　　)
A.－y2＝1
B．x2－＝1
C.－＝1
D.－＝1
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．设F1、F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且·＝0，则|PF1|·|PF2|＝________________________________________________________________________.
8．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
9．F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝________________________________________________________________________.
三、解答题
10．设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．
11．在△ABC中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A满足sin
B－sin
C＝sin
A，求动点A的轨迹方程．
能力提升
12．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为(　　)
A．[3－2，＋∞)
B．[3＋2，＋∞)
C．[－，＋∞)
D．[，＋∞)
13．已知双曲线的一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，求双曲线的标准方程．
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1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得，不知道焦点在哪一个坐标轴上的双曲线，方程可设为＋＝1
(mn<0)．
2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．
§3　双曲线
3．1　双曲线及其标准方程
知识梳理
1．(1)|F1F2|　以F1，F2为端点的两条射线　不存在
(2)双曲线的焦点　双曲线的焦距
2．(1)－＝1(a>0，b>0)　(－c,0)　(c,0)
(2)－＝1(a>0，b>0)　(0，－c)　(0，c)
(3)c2＝a2＋b2
作业设计
1．B　[根据双曲线的定义，乙 甲，但甲乙，
只有当2a<|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．]
2．B　[原方程可化为＋y2＝1，因为ab<0，所以<0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线．]
3．A　[∵双曲线的焦点在x轴上，
∴设双曲线方程为－＝1
(a>0，b>0)．
由题知c＝2，∴a2＋b2＝4.①
又点(2,3)在双曲线上，∴－＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝3，
∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.]
4．A　[∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c＝2，
∴m＋3＋m＝c2＝4.∴m＝.]
5．C　[由题意两定圆的圆心坐标为O1(0,0)，O2(4,0)，设动圆圆心为O，动圆半径为r，则|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝1<|O1O2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]
6．B　[设双曲线方程为－＝1，因为c＝，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以－＝1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(，4)．代入双曲线方程得－＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－＝1.]
7．2
解析　∵||PF1|－|PF2||＝4，
又PF1⊥PF2，|F1F2|＝2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2
＝20－2|PF1||PF2|＝16，∴|PF1|·|PF2|＝2.
8．－1解析　因为方程－＝1表示双曲线，
所以(1＋k)(1－k)>0.所以(k＋1)(k－1)<0.
所以－19．90°
解析　设∠F1PF2＝α，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.
在△F1PF2中，由余弦定理，
得(2c)2＝r＋r－2r1r2cos
α，
∴cos
α＝＝＝0.
∴α＝90°.
10．解　方法一　设双曲线的标准方程为－＝1
(a>0，b>0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.
又点A的纵坐标为4，则横坐标为±，于是有
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
方法二　将点A的纵坐标代入椭圆方程得
A(±，4)，
又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．
所以2a＝|－
|＝4，
即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
11．解　设A点的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，
得＝＝＝2R，
代入sin
B－sin
C＝sin
A，
得－＝·，又|BC|＝8，
所以|AC|－|AB|＝4.
因此A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a＝4,2c＝8，
所以a＝2，c＝4，b2＝12.
所以A点的轨迹方程为－＝1
(x>2)．
12．B
　[由c＝2得a2＋1＝4，
∴a2＝3，
∴双曲线方程为－y2＝1.
设P(x，y)(x≥)，
·＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1(x≥)．
令g(x)＝x2＋2x－1(x≥)，则g(x)在[，＋∞)上单调递增．g(x)min＝g()＝3＋2.
∴·的取值范围为[3＋2，＋∞)．]
13．解　设双曲线的标准方程为－＝1，
且c＝，则a2＋b2＝7.①
由MN中点的横坐标为－知，
中点坐标为.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由
得b2(x1＋x2)(x1－x2)－a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∵，且＝1，
∴2b2＝5a2.②
由①，②求得a2＝2，b2＝5.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.www.
3.3　全称命题与特称命题的否定
课时目标　理解全称命题、特称命题的含义，能正确地对全称命题和特称命题进行否定．
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1．要说明一个全称命题是错误的，只需找出__________就可以了．
2．全称命题的否定是______________．
3．要证明一个特称命题是错误的，只要说明这个特称命题的否定是__________．
4．特称命题的否定是____________．
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一、选择题
1．“a和b都不是偶数”的否定形式是(　　)
A．a和b至少有一个是偶数
B．a和b至多有一个是偶数
C．a是偶数，b不是偶数
D．a和b都是偶数
2．命题“某些平行四边形是矩形”的否定命题是(　　)
A．某些平行四边形不是矩形
B．任何平行四边形是矩形
C．每一个平行四边形都不是矩形
D．以上都不对
3．命题“原函数与反函数的图像关于y＝x对称”的否定是(　　)
A．原函数与反函数的图像关于y＝－x对称
B．原函数不与反函数的图像关于y＝x对称
C．存在一个原函数与反函数的图像不关于y＝x对称
D．存在原函数与反函数的图像关于y＝x对称
4．“存在整数m0，n0，使得m＝n＋1
998”的否定是(　　)
A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋1
998
B．存在整数m0，n0，使得m≠n＋1
998
C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋1
998
D．以上都不对
5．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是(　　)
A．不存在x0∈R,2x0>0
B．存在x0∈R,2x0≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x>0
6．命题“任意四边形都有外接圆”的否定为(　　)
A．任意四边形都没有外接圆
B．任意四边形不都有外接圆
C．有的四边形没有外接圆
D．有的四边形有外接圆
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．命题“零向量与任意向量共线”的否定为___________________________________．
8．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：__________________________________________.
9．命题p：对任意x∈R，使f(x)≥m成立，则命题p的否定是______________．
三、解答题
10．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)有些质数是奇数；
(2)所有二次函数的图象都开口向上；
(3)存在x0∈Q，x＝5；
(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．
11．已知命题“存在x0∈R，ax－2ax0－3>0”是假命题，求实数a的取值范围．
能力提升
12．命题r：存在x∈R，使>0的否定为(　　)
A．对任意x∈R，<0
B．对任意x∈R，x2＋4x－5≤0
C．对任意x∈R，≤0
D．对任意x∈R，>0
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全称命题和特称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．熟练掌握了以下常用词语的否定，对否定含量词的命题很有利．
关键词
否定词
关键词
否定词
等于
不等于
大于
不大于
能
不能
小于
不小于
至少有一个
一个都没有
至多有一个
至少有两个
都是
不都是
是
不是
没有
至少有一个
属于
不属于
3．3　全称命题与特称命题的否定
知识梳理
1．一个反例　2.特称命题　3.正确的　4.全称命题
作业设计
1．A　[在a、b是否为偶数的四种情况中去掉a和b都不是偶数还有三种情况，即a偶b奇，a奇b偶，a偶b偶，故选A.]
2．C　[特称命题的否定是把存在量词变为全称量词，然后否定结论．所以选C.]
3．C　[要把隐含的全称量词找出变为存在量词，然后否定结论．]
4．C　[特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．]
5．D　[命题的否定是“对任意的x∈R,2x>0”．]
6．C
7．存在一个向量与零向量不共线
8．存在实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0没有实根
9．存在x0∈R，使f(x0)10．解　(1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．
(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．
(3)“存在x0∈Q，x＝5”是特称命题，其否定为“任意x∈Q，x2≠5”，真命题．
(4)“不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m，使得方程x2＋2x－m＝0没有实数根”，真命题．
11．解　因为命题“存在x0∈R，ax－2ax0－3>0”的否定形式为：
对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立，由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知这个否定形式的命题是真命题．事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；当a≠0时，借助二次函数的图象，数形结合，很容易知道不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，即－3≤a<0；
综合以上两种情形可知，实数a的取值范围是[－3，0]．
12．B　[命题可等价转化为：存在x∈R，x2＋4x－5>0；根据固定的格式写它的否定形式为：任意x∈R，x2＋4x－5≤0.]www.
第一章　常用逻辑用语
§1　命　题
课时目标
1．了解命题的概念，会判断一个命题的真假.2.了解四种命题及四种命题的相互关系，并会判断四种命题的真假．
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1．命题的定义
可以判断________、用________或________表述的语句叫作命题，其中______________的命题叫作真命题，______________的命题叫作假命题．
2．命题的结构
一般地，一个命题由________和________两部分组成．在数学中，通常把命题表示为“____________”的形式，其中______是条件，______是结论．
3．四种命题的概念：
(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的________________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．
(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．
(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．
4．四种命题的真假性之间的关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________关系．
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一、选择题
1．下列语句是命题的是(　　)
①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤这座山真险啊！
A．①②③
B．①③④
C．①②⑤
D．②③⑤
2．下列命题中，是真命题的是(　　)
A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集
B．若x2＝1，则x＝1
C．空集是任何集合的真子集
D．x2－5x＝0的根是自然数
3．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是(　　)
A．这个数能被2整除
B．这个数能被3整除
C．这个数既能被2整除，也能被3整除
D．这个数是6的倍数
4．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④若“A∪B＝B，则A B”的逆否命题．
其中的真命题是(　　)
A．①②
B．②③
C．①③
D．③④
5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　　)
A．4
B．3
C．2
D．0
6．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是(　　)
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．下列命题：①四条边相等的四边形是正方形；②平行四边形是梯形；③若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．(填序号)
8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是__________；逆命题是________________；否命题是________________________．
9．有下列四个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
④命题“若A∩B＝B，则A B”的逆命题．
其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．
三、解答题
10．判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)对任意的x∈N，都有x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆．
11．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)实数的平方是非负数；
(2)等高的两个三角形是全等三角形；
(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
能力提升
12．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
13．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.
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1．由命题的定义可知，要判断一个语句是否为命题要抓住能否判断真假，只有能判断真假的语句才是命题．
2．命题有真假之分，真命题是我们学过的公理、定理、公式、法则或可以经过推理证明正确的命题；假命题的判断只需要举一反例即可．
3．一般地，命题都是由条件和结论两部分组成的，对“若p则q”的命题，p是条件，q是结论．在判断命题的条件和结论时，如果一个命题的条件和结论不明显，可以先改写成“若p则q”的形式，然后再进行判断．
4．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假；四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个，2个或4个．
课时作业答案解析
第一章　常用逻辑用语
§1　命　题
知识梳理
1．真假　文字　符号　判断为真　判断为假
2．条件　结论　若p则q　p　q
3．(1)结论和条件　(2)条件的否定和结论的否定　(3)结论的否定和条件的否定
4．(1)相同　(2)没有
作业设计
1．A　[④中语句不能判断真假，⑤中语句为感叹句，不能作为命题．]
2．D　[A中方程在实数范围内无解，故是假命题；B中若x2＝1，则x＝±1，故B是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故C是假命题；所以选D.]
3．C　[命题可改写为：如果一个数是6的倍数，那么这个数既能被2整除，也能被3整除．]
4．C
5．C　[原命题和它的逆否命题为真命题．]
6．A　[由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]
7．③
解析　③是真命题，①四条边相等的四边形也可以是菱形，②平行四边形不是梯形．
8．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数
能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数
各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除
9．②③
10．解　(1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.
(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．
(3)真命题．∵m>1?Δ＝4－4m<0，
∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．
(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆．
11．解　(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．
(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．
12．B
13．证明　假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.
即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．
∴a＋b≥0.www.
§2　充分条件与必要条件
2.1　充分条件
2.2　必要条件
课时目标　1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会判断充分条件和必要条件，会求某些命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．
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1．“若p，则q”形式的命题为真命题是指：由条件p可以得到结论q.通常记作：p q，读作“p推出q”．此时我们称p是q的______________．
2．如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p q，称p是q的充分条件，同时，我们称q是p的__________．
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一、选择题
1．“A＝B”是“sin
A＝sin
B”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分又不必要条件
2．“k≠0”是“方程y＝kx＋b表示直线”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分又不必要条件
3．a<0，b<0的一个必要条件为(　　)
A．a＋b<0
B．a－b>0
C.>1
D.>－1
4．命题p：α是第二象限角；命题q：sin
α·tan
α<0，则p是q成立的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分又不必要条件
5．设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
题　号
1
2
3
4
5
答　案
二、填空题
6．“lg
x>lg
y”是“>”的__________条件．
7．“ab≠0”是“a≠0”的__________条件．
8．已知α、β是不同的两个平面，直线aα，直线bβ，命题p：a与b无公共点；命题q：α∥β，则p是q的______条件．
三、解答题
9．已知p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋1是偶函数．
命题“若p，则q”是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？
10.已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．
能力提升
11．“a>0”是“|a|>0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.
q：实数x满足x2＋2x－8>0或x2－x－6≤0，q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
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1．判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．
2．在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑．
§2　充分条件与必要条件
2．1　充分条件
2．2　必要条件
知识梳理
1．充分条件　2.必要条件
作业设计
1．A　[“A＝B”“sin
A＝sin
B”，反过来不对．]
2．B　[k＝0时，方程y＝kx＋b也表示直线．]
3．A　[a<0，b<0?a＋b<0，反之不对．]
4．A　[p：α是第二象限角语句q：sin
α·tan
α<0，反之不能成立．]
5．A
6．充分不必要
解析　由lg
x>lg
y，得x>y>0，
由>，得x>y≥0.
7．充分不必要
解析　ab≠0a≠0，所以是充分条件；
a≠0，b＝0ab＝0，不必要条件．
8．必要不充分
解析　命题q：α∥β命题p：a与b无公共点，反之不对．
9．解　由f(x)＝ax2＋bx＋1是偶函数，
得f(－x)＝ax2－bx＋1＝ax2＋bx＋1恒成立．
∴bx＝0对任意实数x恒成立，所以b＝0，
同理由b＝0也可以得出f(x)是偶函数．
故“若p，则q”的命题是真命题，它的逆命题是真命题，p既是q的充分条件，又是必要条件．
10．解　由(x－a)2<1，得a－1由x2－5x－24<0，得－3因为N是M的必要条件，所以，MN.
∴，∴－2≤a≤7.
故a的取值范围是[－2,7]．
11．A　[若a>0，则|a|>0，所以“a>0”是“|a|>0”的充分条件；若|a|>0，则a>0或a<0，所以“a>0”不是“|a|>0”的必要条件．]
12．解　由x2－4ax＋3a2<0，a<0，得3a由x2＋2x－8>0或x2－x－6≤0，
可得x<－4或x≥－2.
因为q是p的必要不充分条件，
所以或.
解得－≤a<0或a≤－4.
故实数a的取值范围为(－∞，－4]∪.www.
第二章　空间向量与立体几何
§1　从平面向量到空间向量
课时目标　1.了解空间向量的概念.2.经历向量的有关概念由平面向空间推广的过程.3.了解空间中直线的方向向量，平面的法向量，共面向量与不共面向量的概念．
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1．空间向量
(1)在空间中，既有________又有________的量，叫作空间向量．
(2)向量用小写字母表示，如：，或a，b.
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也可用大写字母表示，如：，其中______叫做向量的起点，______叫做向量的终点．
(3)数学中所讨论的向量与向量的________无关，称之为自由向量．
(4)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模，用________或______表示．
(5)向量夹角的定义：如图所示，两非零向量a，b，在空间中任取点O，作＝a，＝b，则________叫作向量a，b的夹角，记作________．
(6)向量夹角的范围：
规定__________．
(7)特殊角：当〈a，b〉＝时，向量a与b________，记作__________；
当〈a，b〉＝0或π时，向量a与b______，记作______．
2．向量、直线、平面
(1)所谓直线的方向向量是指和这条直线________或______的非零向量，一条直线的方向向量有_______________________________个．
(2)
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如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的____________，叫作平面α的法向量．
平面α有________个法向量，平面α的所有法向量都________．
(3)空间中，若一个向量所在直线__________一个平面，则称这个向量平行该平面．把________________的一组向量称为共面向量．
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一、选择题
1．下列命题中，假命题是(　　)
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
2．给出下列命题
①空间中两直线的夹角就是它们的方向向量的夹角；
②相互平行的向量一定共面，共面的向量也一定相互平行；
③空间两平面所成的二面角的大小等于它们的法向量的夹角．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
3．在棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1中，所有棱及面对角线中能表示单位向量的有向线段共有(如，只记一次)(　　)
A．12条
B．16条
C．18条
D．24条
4.
如图所示，三棱锥A—BCD中，AB⊥面BCD，∠BDC＝90°，则在所有的棱表示的向量中，夹角为90°的共有(　　)
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
5．已知向量，，满足||＝||＋||，则(　　)
A.＝＋
B.＝－－
C.与同向
D.与同向
6．下列命题是真命题的是(　　)
A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足||>||，且与同向，则>
D．若两个非零向量与满足＋＝0，则∥
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7.
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如图所示，两全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交成直二面角，其中心分别是M，N，则直线MN的一个方向向量是________(要填不在直线MN上的向量)．
8．在正方体ABCD—A1B1C1D1的所有棱、面对角线、体对角线所对应的向量中，是平面A1B1CD的法向量的是__________________．
9．给出下面命题：
①空间任意两个向量a，b一定是共面的．②a，b为空间两个向量，则|a|＝|b|a＝b.③若a∥b，则a与b所在直线平行．④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.
其中假命题的序号是________．
三、解答题
10．判断以下命题的真假：
(1)|a|＝0的充要条件是a＝0；
(2)不相等的两个空间向量模必不相等；
(3)空间中任何两个向量一定共面；
(4)空间向量a，b夹角为锐角?cosa，b〉>0.
11．在正方体ABCD—A1B1C1D1中求下列向量的夹角：
(1)〈，〉；(2)〈，〉；
(3)〈，〉；(4)〈，〉．
能力提升
12.
如图所示，四棱锥D1—ABCD中，AD＝DD1＝CD，底面ABCD是正方形，DD1⊥面ABCD，E是AD1的中点，求〈，〉．
13．四棱锥P—ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD＝CD，E、F分别是PC、PB的中点．
(1)试以F为起点作直线DE的方向向量；
(2)试以F为起点作平面PBC的法向量．
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1．直线的方向向量和平面的法向量是两个重要的概念，在证明线面平行，线面垂直以及求线面的夹角时，有着广泛的应用．
2．两向量的夹角
对于两向量a、b的夹角〈a，b〉的理解，除〈a，b〉＝〈b，a〉外还应注意由于两向量的夹角的范围为[0，π]，要注意〈，〉与〈－，〉，〈，－〉的区别和联系，即〈－，〉＝〈，－〉＝π－〈，〉．
第二章　空间向量与立体几何
§1　从平面向量到空间向量
知识梳理
1．(1)大小　方向　(2)A　B　(3)起点　(4)||　|a|　(5)∠AOB　〈a，b〉　(6)0≤〈a，b〉≤π
(7)垂直　a⊥b　平行　a∥b
2．(1)平行　重合　无数个　(2)方向向量　无数　平行　(3)平行于　平行于同一平面
作业设计
1．D　[共线的单位向量是相等向量或相反向量．]
2．A　3.A　4.C
5．D　[由||＝||＋||＝||＋||，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以与同向．]
6．D　[A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任两向量均共面．
B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．
C错．空间任两向量不研究大小关系，因此也就没有>这种写法．
D对．∵＋＝0，∴＝－，
∴与共线，故∥正确．]
7.或
8.或
9．②③④
10．解　(1)真命题　(2)假命题　(3)真命题
(4)假命题
命题(4)，当〈a，b〉＝0时，cos〈a，b〉＝1>0，
但〈a，b〉不是锐角．
故命题(4)是假命题．
11．解　
(1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱DD1⊥底面ABCD，AC
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Data\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\W%G5]J[AH9ZAIFZVZ{K7U9N.jpg"
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面ABCD，
∴AC⊥DD1，
∴〈，〉＝.
(2)连结AD1，则AC＝CD1＝AD1，
故△ACD1为正三角形，∠ACD1＝，
∴〈，〉＝.
(3)连结A1C1，C1D，则＝，
且△A1C1D为正三角形．
∴∠C1A1D＝＝〈，〉＝〈，〉．
∴〈，〉＝.
(4)连结BD，则AC⊥BD，
又AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，∴AC⊥面BD1D，
∵BD1面BDD1，∴AC⊥BD1，∴〈，〉＝.
12．解　取CD1的中点F，连接EF，DF，
则＝，
∴〈，〉＝〈，〉，
由AD＝DD1＝CD，
且D1D⊥AD，D1D⊥CD，
∴DE＝DF＝EF＝DD1，
∴△EFD为正三角形，
∠FED＝，
∴〈，〉＝〈，〉＝.
13.
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解　(1)∵E、F分别是PC、PB的中点，
∴EFBC，又BCAD，∴EFAD，
取AD的中点M，连MF，则由EFDM知四边形DEFM是平行四边形，
∴MF∥DE，∴就是直线DE的一个方向向量．
(2)∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BC，
又BC⊥CD，∴BC⊥面PCD，
∵DE
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Data\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\W%G5]J[AH9ZAIFZVZ{K7U9N.jpg"
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面PCD，∴DE⊥BC，
又PD＝CD，E为PC中点，∴DE⊥PC，
从而DE⊥面PBC，
∴是面PBC的一个法向量，
由(1)可知＝，
∴就是面PBC的一个法向量．www.
3.2　双曲线的简单性质
课时目标　了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，会根据几何性质求双曲线方程，及学会由双曲线的方程研究几何性质．
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1．双曲线的简单几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
范围
对称性
关于______轴对称　　　关于原点对称
顶点
(a,0)，(－a,0)
渐近线
y＝±x
离心率
e＝>1
2.(1)双曲线的对称中心叫做双曲线的________；
(2)双曲线－＝1的两个顶点为A1(－a,0)、A2(a，0)．设B1(0，－b)、B2(0，b)，线段A1A2叫做双曲线的________，它的长等于2a，a叫做双曲线的半实轴长，线段B1B2叫做双曲线的________，它的长等于2b，b叫做双曲线的半虚轴长．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(3)当双曲线的离心率e由小变大时，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得________，原因是＝，当e增大时，也增大，渐近线的斜率的绝对值________．
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一、选择题
1．下列曲线中离心率为的是(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
2．双曲线－＝1的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的方程为(　　)
A．2x2－4y2＝1
B．2x2－4y2＝2
C．2y2－4x2＝1
D．2y2－4x2＝3
4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x
B．y＝±2x
C．y＝±x
D．y＝±x
5．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有(　　)
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
6．已知双曲线－＝1
(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　)
A.
B.
C．2
D.
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e＝______.
8．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A运动的轨迹方程是________________．
9．与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，2)的双曲线方程为__________．
三、解答题
10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点，且一条渐近线为4x＋3y＝0；
(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；
(3)求△F1MF2的面积．
能力提升
12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
13．F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，又离心率为2，求双曲线的方程．
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1．双曲线－＝1
(a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b；其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a.
2．双曲线的离心率e＝的取值范围是(1，＋∞)，其中c2＝a2＋b2，且＝，离心率e越大，双曲线的开口越大．可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．
3．双曲线－＝1
(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，也可记为－＝0；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为－＝λ
(λ≠0)．
3．2　双曲线的简单性质
知识梳理
1.
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
范围
x≥a或x≤－a
y≥a或y≤－a
对称性
关于x、y轴对称　　　　关于原点对称
顶点
(a,0)，(－a,0)
(0，a)，(0，－a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝>1
e＝>1
2.(1)中心　(2)实轴　虚轴　(3)开阔　增大
作业设计
1．B　[∵e＝，∴e2＝＝，∴＝，故选B.]
2．A
3．C　[由于椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为，
则双曲线的焦点坐标为，又由渐近线方程为y＝x，得＝，即a2＝2b2，又由2＝a2＋b2，得a2＝，b2＝，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y2－4x2＝1.]
4．C　[由题意知，2b＝2,2c＝2，则b＝1，c＝，a＝；双曲线的渐近线方程为y＝±x.]
5．C　[点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]
6．B　[||PF1|－|PF2||＝2a，即3|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝≥c－a，即2a≥3c－3a，即5a≥3c，
则≤.]
7.
解析　a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值为2或3.
又a>b，∴a＝3，b＝2.∴c＝，从而e＝＝.
8.－＝1(x>3)
解析　以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝6<10.故A点的轨迹是双曲线的右支，其方程为－＝1(x>3)．
9.－＝1
解析　∵所求双曲线与双曲线－＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为－＝λ
(λ≠0)．∵点(－3,2)在双曲线上，
∴λ＝－＝.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
10．解　(1)因直线x＝与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为－＝1，
由
解得故所求的双曲线方程为－＝1.
(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x轴上．
因为PF1⊥PF2，且|OP|＝6，
所以2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，所以c＝6.
又P与两顶点连线夹角为，
所以a＝|OP|·tan＝2，
所以b2＝c2－a2＝24.
故所求的双曲线方程为－＝1.
11．(1)解　∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明　易知F1(－2，0)、F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－，
∵点(3，m)在双曲线上，
∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，
∴MF1⊥MF2.
(3)解　△F1MF2的底|F1F2|＝4，
F1F2上的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝6.
12.
D　[设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
而kBF＝－，∴·(－)＝－1，
整理得b2＝ac.
∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去)，故选D.]
13．解　设双曲线方程为－＝1.
∵|F1F2|＝2c，而e＝＝2.
由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.
由余弦定理得
(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos
60°)．
∴4c2＝c2＋|PF1||PF2|.
又∵S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin
60°＝12，
∴|PF1||PF2|＝48.
∴3c2＝48，c2＝16.∴a2＝4，b2＝12.
∴所求双曲线方程为－＝1.www.
§4　用向量讨论垂直与平行
课时目标　1.会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系.2.会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的垂直与平行．
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1．空间中平行关系的向量表示
(1)线线平行
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)且(a2b2c2≠0)，则l∥m___________________________________．
(2)线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α____________________________________________．
(3)面面平行
设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β__________________________________________．
2．空间中垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m______________________________________________________．
(2)线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α____________________________________．
(3)面面垂直
若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β______________________________________________．
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一、选择题
1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则(　　)
A．l∥α
B．l⊥α
C．lα
D．l与α斜交
2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是(　　)
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．不能确定
3．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为(　　)
A．(－9，－7,7)
B．(18,17，－17)
C．(9,7，－7)
D．(－14，－19,31)
4.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)
A．相交
B．平行
C．垂直
D．不能确定
5．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是(　　)
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
6.
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如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是上底面中心，则AC1与CE的位置关系是(　　)
A．平行
B．相交
C．相交且垂直
D．以上都不是
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，且l∥α，则m＝________.
8．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有______对．
9.
如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则(　　)
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥面DCC1D1；
④A1M∥面D1PQB1.
以上结论中正确的是________．(填写正确的序号)
三、解答题
10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.
11．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，在棱BB1上是否存在点M，使得D1M⊥平面EFB1
能力提升
12．如图，四棱锥P－ABCD中，底
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面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．证明：AE⊥平面PBC.
13.
如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)证明：PB⊥平面EFD.
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1．平行关系的常用证法
证明线线平行只需证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明AB∥CD只需证＝λ.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外．证面面平行可转化证两面的法向量平行．
2．垂直关系的常用证法
要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．
要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直．
要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．
§4　用向量讨论垂直与平行
知识梳理
1．(1)a∥b　a＝λb　＝＝　(2)a⊥u　a·u＝0　a1a2＋b1b2＋c1c2＝0　(3)u∥v　u＝kv　＝＝(a2b2c2≠0)
2．(1)a⊥b　a·b＝0　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
(2)u∥v　u＝λv　＝＝(a2b2c2≠0)　(3)u⊥v　u·v＝0　a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
作业设计
1．B　[∵n＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.]
2．C　[∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．]
3．B　[设B(x，y，z)，＝(x－2，y＋1，z－7)
＝λ(8,9，－12)，λ>0.
故x－2＝8λ，y＋1＝9λ，z－7＝－12λ，
又(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－7)2＝342，
得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.
∴x＝18，y＝17，z＝－17，即B(18,17，－17)．]
4．B　[可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量和的关系判断．]
5．C　[∵＝(－3，－2，－5)，＝(－1,4，－1)，＝(2,6,4)，∴·＝0，
∴AB⊥AC，且||≠||≠||，
∴△ABC为直角三角形．]
6．C　[可以建立空间直角坐标系，通过与的关系判断．]
7．－8
解析　∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直．
∴(2，m,1)·＝2＋m＋2＝0，∴m＝－8.
8．0
解析　∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，
a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，
b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0.
∴a，b，c中任意两个都不垂直，即α、β、γ中任意两个都不垂直．
9．①③④
解析　∵＝－＝－＝，
∴A1M∥D1P.
∵D1P
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面D1PQB1，∴A1M∥面D1PQB1.
又D1P
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面DCC1D1，∴A1M∥面DCC1D1.
∵B1Q为平面DCC1D1的斜线，
∴B1Q与D1P不平行，∴A1M与B1Q不平行．
10．证明　方法一　∵＝，B1A1D，
∴B1C∥A1D，又A1D
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平面ODC1，
∴B1C∥平面ODC1.
方法二　∵＝＋
＝＋＋＋＝＋.
∴，，共面．
又B1C平面ODC1，∴B1C∥平面ODC1.
方法三　
建系如图，设正方体的棱长为1，则可得
B1(1,1,1)，C(0,1,0)，
O，C1(0,1,1)，
＝(－1,0，－1)，
＝，
＝.
设平面ODC1的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则　
得
令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1,1，－1)．
又·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，
∴⊥n，且B1C平面ODC1，
∴B1C∥平面ODC1.
11．解　
如图所示，分别以，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，E，F，设M(1,1，m)，∴＝，
＝，＝(1,1，m－1)．
若D1M⊥平面EFB1，
则D1M⊥EF且D1M⊥B1E.
即·＝0，·＝0，
∴，∴m＝，
即存在点M且为B1B的中点，使D1M⊥平面EFB1.
12.
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证明　如图所示，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．
设D(0，a,0)，
则B(，0,0)，C(，a,0)，
P(0,0，)，E(，0，)．
于是＝(，0，)，＝(0，a,0)，＝(，a，－)，则·＝0，·＝0.
所以AE⊥BC，AE⊥PC.
又因为BC∩PC＝C，
所以AE⊥平面PBC.
13.
证明　(1)以D为坐标原点，以DA、DC、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
连结AC，BD，AC交BD于G.
连结EG.设DC＝a，
依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E，
∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，
∴＝(a,0，－a)，＝.
∴＝2.即PA∥EG.
而EG平面EDB且PA平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)．
又＝，
故·＝0＋－＝0，
∴PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD.www.
5.3　直线与平面的夹角
课时目标　1.理解直线与平面的夹角的概念.2.会利用向量的方法求直线与平面的夹角．
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1．直线和平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的________所成的角，其范围是__________，斜线与平面所成的角是这条直线与平面内的一切直线所成角中________的角．
2．直线和平面所成的角可以通过直线的____________与平面的__________求得，若设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与平面的法向量的夹角为φ，则有sin
θ＝__________.
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一、选择题
1．在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C夹角的大小是(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
2.
如图所示，四面体SABC中，·＝0，·＝0，·＝0，，∠SBA＝45°，∠SBC＝60°，M为AB的中点．则BC与平面SAB的夹角为(　　)
A．30°
B．60°
C．90°
D．75°
3．平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的2倍，则斜线与平面所成角的大小为(　　)
A．30°
B．60°
C．45°
D．120°
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4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是(　　)
A．等于90°
B．小于90°
C．大于90°
D．不确定
5．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)
A．30°
B．60°
C．150°
D．以上均错
6．正四棱锥S—ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是(　　)
A．30°
B．60°
C．150°
D．90°
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7.
如图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为________．
8．正方形ABCD的边长为a，PA⊥平面ABCD，PA＝a，则直线PB与平面PAC所成的角为________．
9．在正三棱柱ABC—A1B1C1中侧棱长为，底面边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角为________.
三、解答题
10.
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如图所示，在直三棱柱ABO—A′B′O′中，OO′＝4，OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的正切值．
11.
如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．
能力提升
12.
INCLUDEPICTURE
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如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中点O为球心，BD为直径的球面交PD于M.
(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；
(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正弦值．
13．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，且AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．
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直线与平面所成角的求法
(1)传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
(2)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sin
θ＝|cos
φ|＝或cos
θ＝sin
φ.
5．3　直线与平面的夹角
知识梳理
1．射影　　最小
2．方向向量　法向量　|cos
φ|
作业设计
1．C
2．B　[∵·＝0，·＝0，∴⊥，⊥，即SB⊥SC，SA⊥SC，又SB∩SA＝S，
∴SC⊥平面SAB，∴∠SBC为BC与平面SAB的夹角．又∠SBC＝60°，故BC与平面SAB的夹角为60°.]
3．B
4．A　[A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，
则·＝(＋)·
＝·＋·＝0，
∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.
也可由三垂线定理直接得MP⊥MN.]
5．B　[当直线l的方向向量ν与平面α的法向量n的夹角〈n，ν〉小于90°时，直线l与平面α所成的角与之互余．]
6．A　[
如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系．
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A(a,0,0)，B(0，a,0)，
C(－a,0,0)，P.
则＝(2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)．
设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，
则cos〈，n〉＝＝＝.
∴〈，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.]
7.
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解析　不妨设正三棱柱ABC—A1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系(x轴垂直于AB)，
则C(0,0,0)，A(，－1,0)，B1(，1,2)，D，
则＝，＝(，1,2)，设平面B1DC的法向量为n＝(x，y,1)，
由解得n＝(－，1,1)．
又∵＝，
∴sin
θ＝|cos〈，n〉|＝.
8．30°
9.
解析　在正三棱柱ABC—A1B1C1中取AC的中点O，OB⊥AC，则OB⊥平面ACC1A1，
∴∠BC1O就是BC1与平面AC1的夹角．
以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，B，
C1，
＝，＝.
cos〈，〉＝
＝＝＝.
∴〈，〉＝，即BC1与平面ACC1A1的夹角为.
10．解　如图，以O点为原点建立空间直角坐标系，
则B(3,0,0)，D.
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设P(3,0，z)，则＝，＝(3,0，z)．
∵BD⊥OP，∴·
＝－＋4z＝0，z＝.
∴P.∵BB′⊥平面AOB，
∴∠POB是OP与底面AOB所成的角．
∵tan∠POB＝＝，
故OP与底面AOB所成角的正切值为.
11．解　由题设条件知，可建立以AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴的空间直角坐标系(如图所示)．
设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，
D，S(0,0,1)．
∴＝(0,0,1)，
＝(－1，－1,1)．
显然是底面的法向量，它与已知向量的夹角β＝90°－θ，
故有sin
θ＝|cos
β|＝＝＝，
于是cos
θ＝＝.
12．(1)证明　依题设，M在以BD为直径的球面上，
则BM⊥PD.
因为PA⊥底面ABCD，AB
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底面ABCD，
则PA⊥AB.
又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，
则AB⊥PD，又BM∩AB＝B.
因此有PD⊥平面ABM，又PD
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Data\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\W%G5]J[AH9ZAIFZVZ{K7U9N.jpg"
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平面PCD.
所以平面ABM⊥平面PCD.
(2)解　
如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，
P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)，
设平面ABM的一个法向量n＝(x，y，z)，
由n⊥，n⊥
可得
令z＝－1，则y＝1，即n＝(0,1，－1)．
设所求角为α，则sin
α＝＝，
故所求的角的正弦值为.
13.
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(1)证明　设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图所示，
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，
N(，0,0)，S(1，，0)．
所以＝(1，－1，)，＝(－，－，0)．
因为·＝－＋＋0＝0，
所以CM⊥SN.
(2)解　＝(－，1,0)，
设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则
即令x＝2，得a＝(2,1，－2)．
因为|cos〈a，〉|＝＝＝，所以SN与平面CMN所成的角为45°.www.
§3　向量的坐标表示和空间向量基本原理
3.1　空间向量的标准正交分解与坐标表示
3.2　空间向量基本定理
课时目标　1.掌握空间向量的标准正交分解.2.了解空间向量基本定理．
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1.
标准正交基
在给定的空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴正方向的________________i，j，k叫作标准正交基．
2．标准正交分解
设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk，则把a＝xi＋yj＋zk叫作a的标准正交分解．
3．向量的坐标表示
在a的标准正交分解中三元有序实数____________叫做空间向量a的坐标，_
_____________叫作向量a的坐标表示．
4．向量坐标与投影
(1)i，j，k为标准正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么：a·i＝______，a·j＝______，a·k＝______.把x，y，z分别称为向量a在x轴，y轴，z轴正方向上的投影．
(2)向量的坐标等于它在______________上的投影．
(3)一般地，若b0为b的单位向量，则称______________________为向量a在向量b上的投影．
5．空间向量基本定理
如果向量e1，e2，e3是空间三个__________的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得________________________．
空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．
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一、选择题
1．在以下3个命题中，真命题的个数是(　　)
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则a，b，c构成空间的一个基底．
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
2．已知O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a、b不能构成空间基底的是(　　)
A.
B.
C.
D.或
3．以下四个命题中，正确的是(　　)
A．若＝＋，则P、A、B三点共线
B．设向量a，b，c是空间一个基底，则a＋b，b＋c，c＋a构成空间的另一个基底
C．|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|
D．△ABC是直角三角形的充要条件是·＝0
4．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)
A．(，，)
B．(，，)
C．(，，)
D．(，，)
5．已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底i，j，k下的坐标是(　　)
A．(12,14,10)
B．(10,12,14)
C．(14,12,10)
D．(4,3,2)
6．已知空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则等于(　　)
A.a－b＋c
B．－a＋b＋c
C.a＋b－c
D.a＋b－c
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．设i，j，k是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是____________．
8．已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则＝____________.
9．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝______.
三、解答题
10.
四棱锥P—OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E、F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示、、、.
11．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD，求、的坐标．
能力提升
12．甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F1，F2，F3，若i、j、k是空间中的三个不共面的基向量，F1＝i＋2j＋3k，F2＝－2i＋3j－k，F3＝3i－4j＋5k，则这三名工人的合力F＝xi＋yj＋zk，求x、y、z.
13．已知e1，e2，e3是空间的一个基底，试问向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？并说明理由．
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1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．
2．对于＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P、A、B、C四点共面．
3．对于基底a，b，c除了应知道a，b，c不共面，还应明确：
(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．
(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
§3　向量的坐标表示和空间向量基本定理
3．1　空间向量的标准正交分解与坐标表示
3．2　空间向量基本定理
知识梳理
1．单位向量
3．(x，y，z)　a＝(x，y，z)
4．(1)x　y　z　(2)坐标轴正方向
(3)a·b0＝|a|cos〈a，b〉
5．不共面　a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3
作业设计
1．C　[命题①，②是真命题，命题③是假命题．]
2．C　[∵＝(a－b)，与a、b共面，
∴a，b，不能构成空间基底．]
3．B　[A中若＝＋，则P、A、B三点共线，故A错；
B中，假设存在实数k1，k2，使c＋a＝k1(a＋b)＋k2(b＋c)＝k1a＋(k1＋k2)b＋k2c，
则有方程组无解，即向量a＋b，b＋c，c＋a不共面，故B正确．
C中，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|，故C错．
D中，由·＝0△ABC是直角三角形，但△ABC是直角三角形，可能角B等于90°，则有·＝0，故D错．]
4．A　[因为＝＝(＋)
＝＋×[(＋)]
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋，
而＝x＋y＋z，
所以x＝，y＝，z＝.]
5．A　[设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，
则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i
＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．]
6．B　[＝－＝(＋)－
＝－a＋b＋c.]
7．(3,2，－1)，(－2,4,2)
8．3a＋3b－5c
解析　∵＝＋＋，
又＝＋＋，
∴两式相加得2＝(＋)＋＋＋(＋)．
∵E为AC中点，故＋＝0，同理＋＝0，
∴2＝＋＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)
＝6a＋6b－10c，∴＝3a＋3b－5c.
9.
解析　＝＝(＋＋)．
故x＝y＝z＝，∴x＋y＋z＝.
10．解　＝＝(＋)
＝(c－b－a)＝－a－b＋c.
＝＋＝－a＋
＝－a＋(＋)
＝－a－b＋c.
＝＋
＝＋＋(＋)
＝－a＋c＋(－c＋b)
＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
11．解　
∵PA＝AD＝AB，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，
∴可设＝e1，＝e2，＝e3.
以e1、e2、e3为坐标向量建立如图所示的空间直角坐标系．
∵＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋(＋＋)
＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)
＝－e1＋e3，
∴＝，＝＝e2＝(0,1,0)．
12．解　由题意，得F＝F1＋F2＋F3＝(i＋2j＋3k)＋(－2i＋3j－k)＋(3i－4j＋5k)＝2i＋j＋7k.
又因为F＝xi＋yj＋zk，所以x＝2，y＝1，z＝7.
13．解　由共面向量定理可知，关键是能否找到三个不全为零的实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，即x(3e1＋2e2＋e3)＋y(－e1＋e2＋3e3)＋z(2e1－e2－4e3)＝0.亦即(3x－y＋2z)e1＋(2x＋y－z)e2＋(x＋3y－4z)e3＝0.
由于e1，e2，e3不共面，
故得
①＋②求得z＝－5x，代入③得y＝－7x，取x＝－1，
则y＝7，z＝5，于是－a＋7b＋5c＝0，即a＝7b＋5c，所以a，b，c三向量共面．www.
4.2　圆锥曲线的共同特征
4.3　直线与圆锥曲线的交点
课时目标　1.了解圆锥曲线的共同特征，并会简单的应用.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系以及求与弦的中点有关的问题．
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1．圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上的点到________________的距离与它到____________的距离之比为定值e.
当__________时，该圆锥曲线为椭圆；
当________时，该圆锥曲线为抛物线；
当________时，该圆锥曲线为双曲线．
2．曲线的交点
设曲线C1：f(x，y)＝0，C2：g(x，y)＝0，M(x0，y0)是C1与C2的公共点，故求曲线交点即求方程组的实数解．
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一、选择题
1．如
图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e1、e2、e3、e4，其大小关系为(　　)
A．e1B．e2C．e1D．e22．直线y＝2k与曲线9k2x2＋y2＝18k2|x|(k∈R且k≠0)的公共点的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
3．已知双曲线－＝1
(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．(1,2)
B．(－1,2)
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
4．已知抛物线C的方程为x2＝y，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B.∪
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
5．若直线y＝mx＋1和椭圆x2＋4y2＝1有且只有一个交点，那么m2的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝2
D．x＝－2
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为______．
8．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为______．
9．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是_
_____________．
三、解答题
10．中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为，与直线x＋y－1＝0相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程．
能力提升
12．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比等于(　　)
A.
B.
C.
D.
13．设双曲线C：－y2＝1
(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)若设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值．
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1．圆锥曲线共同特征的应用
在涉及到求圆锥曲线上的点到该曲线的焦点的距离时，可以借助圆锥曲线的共同特征将其转化为求该点到定直线的距离，这样只要知道该点的横坐标即可．
2．直线与圆锥曲线位置关系的判定
判断直线与圆锥曲线的位置关系时，将直线方程代入曲线方程，消元后得关于x(或y)的方程，当二次项系数不为零时，可由判别式Δ来判断．
当Δ>0时，直线与曲线相交；当Δ＝0时，直线与曲线相切；当Δ<0时，直线与曲线相离．
3．“点差法”的应用
用“点差法”求弦中点和弦斜率．设弦端点坐标，分别代入圆锥曲线方程，作差、变形，结合中点坐标公式和斜率公式，可以建立中点坐标与斜率的关系式，在此关系式中若知中点坐标可求斜率，若知斜率可求弦中点的轨迹方程．
4．2　圆锥曲线的共同特征
4．3　直线与圆锥曲线的交点
知识梳理
1．一个定点　一条定直线　01
2．f(x0，y0)＝0　g(x0，y0)＝0
作业设计
1．C　[椭圆中，b＝，所以e越大，则c越接近a，则b越小，椭圆越扁，所以e12．D　[9k2x2＋y2＝18k2|x| 9k2x2－18k2|x|＋y2＝0 9k2(x2－2|x|)＋y2＝0，x2＝|x|2.
∴上式变为9k2(|x|－1)2＋y2－9k2＝0.
∴9k2(|x|－1)2＋y2＝9k2.
即(|x|－1)2＋＝1.①
∵是选择题，故不妨设k＝1，
则①变为(|x|－1)2＋＝1，
当x>0时，曲线为(x－1)2＋＝1；
x<0时，为(x＋1)2＋＝1.
作出图像与y＝2相交得交点为4个．]
3．D　[过F的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则其斜率为正的渐近线的倾斜角应大于等于l的倾斜角，又l的倾斜角是60°，从而≥，
故≥2.]
4．D　[过A、B的直线方程为y＝x－1代入x2＝y，得：2x2－x＋1＝0，由题意知Δ＝－8<0，
∴t2>2，即t>或t<－.]
5．C　[由得x2＋4(mx＋1)2－1＝0，
即(4m2＋1)x2＋8mx＋3＝0，由Δ＝64m2－12(4m2＋1)＝0，得m2＝.]
6．B　[∵y2＝2px的焦点坐标为(，0)，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.]
7.
解析　由已知，得c＝2，＝3 b2＝3a a2－4＝3a a＝4，e＝＝＝.
8.
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，椭圆＋＝1的右焦点为F(1,0)，过F(1,0)且斜率为2的直线方程为y＝2(x－1)，即y＝2x－2.
代入4x2＋5y2＝20得4x2＋5×4(x2－2x＋1)＝20.
∴x1＝0，x2＝.∴y1＝－2，y2＝.
∴A(0，－2)，B.
∴|AB|＝
＝.
又点O(0,0)到y＝2x－2的距离为d＝.
∴S△OAB＝|AB|·d＝××＝.
9．2x－y－15＝0
解析　设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x－4y＝4，x－4y＝4，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
因为线段AB的中点为P(8,1)，
所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.
所以＝＝2.
所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，
即2x－y－15＝0.
10．解　设椭圆方程＋＝1
(a>b>0)．
∵e＝，∴a2＝4b2，即a＝2b.
∴椭圆方程为＋＝1.
把直线方程代入化简得5x2－8x＋4－4b2＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝(4－4b2)．
∴y1y2＝(1－x1)(1－x2)
＝1－(x1＋x2)＋x1x2＝(1－4b2)．
由于OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0.
解得b2＝，a2＝.
所以椭圆方程为x2＋y2＝1.
11．解　方法一　(用韦达定理解决)
显然直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，
即y＝kx＋2－k，由
得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0，
当Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则1＝＝，
∴k＝1，满足Δ>0，∴直线AB的方程为y＝x＋1.
方法二　(用点差法解决)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，
两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．
∵x1≠x2，∴＝，
∴kAB＝＝1，
∴直线AB的方程为y＝x＋1，
代入x2－＝1满足Δ>0.
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
12．A　[如图所示，设过点M(，0)的直线方程为y＝k(x－)，代入y2＝2x并整理，
得k2x2－(2k2＋2)x＋3k2＝0，
则x1＋x2＝.
因为|BF|＝2，所以|BB′|＝2.
不妨设x2＝2－＝是方程的一个根，
可得k2＝，
所以x1＝2.
＝＝＝
＝＝.]
13．解　(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得有两个不同的解，
消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①
∴
解得－又∵a>0，∴0又∵双曲线的离心率e＝＝
，
∴e>且e≠.
∴双曲线C的离心率e的取值范围是
∪(，＋∞)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．
∵＝，∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，
由此可得x1＝x2.∵x1，x2都是方程①的根，
且1－a2≠0，∴x1＋x2＝x2＝－，
x1x2＝x＝－，消去x2得－＝，
即a2＝.
又∵a>0，∴a＝.www.
§3　全称量词与存在量词
3.1　全称量词与全称命题
3.2　存在量词与特称命题
课时目标　1.理解全称量词和存在量词的意义.2.掌握全称命题和特称命题的定义，能判定全称命题和特称命题的真假．
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1．全称量词与全称命题
短语“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一条”、“一切”等都是在指定范围内，表示________或________的含义，这样的词叫作全称量词，含有____________的命题，叫作全称命题．
2．存在量词与特称命题
短语“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”等都有表示________或_____的含义，这样的词叫作存在量词，含有______________的命题叫作特称命题．
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一、选择题
1．下列语句不是全称命题的是(　　)
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高二(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个向量都有大小
2．下列命题是特称命题的是(　　)
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
3．下列命题不是“存在x0∈R，使x>3”成立的表述方法的是(　　)
A．有一个x0∈R，使x>3
B．有些x0∈R，使x>3
C．任选一个x∈R，使x2>3
D．至少有一个x0∈R，使x>3
4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是(　　)
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x0，使x>0
C．任一无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x0，使>2
5．下列命题中全称命题的个数是(　　)
①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°.
A．0
B．1
C．2
D．3
6．给出下列命题：
①存在实数x>1，使x2>1；
②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．
其中特称命题的个数为(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．
8．命题“存在x0∈R，使得x＋x0＋2≤0”是__________命题(用真或假填空)．
9．下列命题：①存在x<0，使|x|>x；
②对于一切x<0，都有|x|>x；
③已知an＝2n，bn＝3n，对于任意n∈N＋，都有an≠bn；
④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N＋，都有A∩B＝ .
其中，所有正确命题的序号为________．(填序号)
三、解答题
10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0；
(2)对任意实数x1，x2，若x1x1x2；
(3)存在T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin
x|；
(4)存在x0∈R，使x＋1<0.
11.给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为 ，
命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的范围．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
能力提升
12．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(　　)
A．存在x∈R，f(x)≤f(x0)
B．存在x∈R，f(x)≥f(x0)
C．任意x∈R，f(x)≤f(x0)
D．任意x∈R，f(x)≥f(x0)
13．已知函数f(x)＝lg，若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
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1．判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断．
2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
§3　全称量词与存在量词
3．1　全称量词与全称命题
3．2　存在量词与特称命题
知识梳理
1．整体　全部　全称量词
2．个别　一部分　存在量词
作业设计
1．C　[“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]
2．D　[“存在”是存在量词．]
3．C　[“任选一个x∈R，使x2>3”是全称命题，故选C.]
4．B
5．D　[命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．]
6．C　[①③④为特称命题，②为全称命题．]
7．(－∞，3]
解析　对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
8．假
9．①②③
解析　命题①②显然为真命题；③由于an－bn＝2n－3n＝－n<0，对于任意n∈N+，都有an10．解　(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．
(1)∵ax>0
(a>0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．
(2)存在x1＝0，x2＝π，x1但tan
0＝tan
π，∴命题(2)是假命题．
(3)y＝|sin
x|是周期函数，π就是它的一个周期，
∴命题(3)是真命题．
(4)对任意x0∈R，x＋1>0，∴命题(4)是假命题．
11．解　甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，
即a>或a<－1.
乙命题为真时，2a2－a>1，即a>1或a<－.
(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，
∴a的取值范围是{a|a<－或a>}．
(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，∴甲、乙中有且只有一个真命题时a的取值范围为{a|12．C　[∵x0满足方程2ax＋b＝0.
∴2ax0＋b＝0，x0＝－.
f(x)－f(x0)＝ax2＋bx＋c－(ax＋bx0＋c)
＝ax2＋bx－(ax＋bx0)，
其对应方程ax2＋bx－(ax＋bx0)＝0的根的判别式
Δ＝b2＋4a(ax＋bx0)
＝b2＋4a2·＋4ab(－)＝0.
∵a>0，∴f(x)≥f(x0)对任意x∈R恒成立，假命题为C.]
13．解　根据f(x)>0得lg>lg
1，
即x＋－2>1在x
∈[2，＋∞)上恒成立，
分离系数，得a>－x2＋3x在x∈[2，＋∞)上恒成立，
设f(x)＝－x2＋3x，则f(x)＝－2＋，
当x＝2时，f(x)max＝2，∴a>2；
故a的取值范围是(2，＋∞)．www.
章末总结
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知识点一　圆锥曲线的定义和性质
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．
例1　已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，求双曲线的标准方程．
知识点二　直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．
在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是一次的．
例2　
如图所示，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．
(1)求x1x2与y1y2的值；
(2)求证：OM⊥ON.
知识点三　轨迹问题
轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：
(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．
(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．
(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．
(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．
例3　设点A、B是抛物线y2＝4px
(p>0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
知识点四　圆锥曲线中的定点、定值问题
圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
例4　若直线l：y＝kx＋m与椭圆＋＝1相交于A、B两点(A、B不是左、右顶点)，A2为椭圆的右顶点且AA2⊥BA2，求证：直线l过定点．
知识点五　圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略：
(1)平面几何法
平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．
(2)目标函数法
建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．
例5　已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两定点，点M是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最值．
例6　已知F1、F2为椭圆x2＋＝1的上、下两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，求△ABF2面积的最大值．
章末总结
重点解读
例1　解　
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如图所示，设双曲线方程为－＝1
(a>0，b>0)．
∵e＝＝2，∴c＝2a.
由双曲线的定义，
得||PF1|－|PF2||＝2a＝c，
在△PF1F2中，由余弦定理，得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
60°
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos
60°)，
即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.①
又S△PF1F2＝12，
∴|PF1||PF2|sin
60°＝12，
即|PF1||PF2|＝48.②
由①②，得c2＝16，c＝4，则a＝2，b2＝c2－a2＝12，
∴所求的双曲线方程为－＝1.
例2　(1)解　过点P(2,0)且斜率为k的直线方程为：y＝k(x－2)．
把y＝k(x－2)代入y2＝2x，
消去y得k2x2－(4k2＋2)x＋4k2＝0，
由于直线与抛物线交于不同两点，
故k2≠0且Δ＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4>0，
x1x2＝4，x1＋x2＝4＋，
∵M、N两点在抛物线上，
∴y·y＝4x1·x2＝16，
而y1·y2<0，∴y1y2＝－4.
(2)证明　∵＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
∴·＝x1·x2＋y1·y2＝4－4＝0.
∴⊥，即OM⊥ON.
例3　解　设直线OA的方程为y＝kx
(k≠±1，因为当k＝±1时，直线AB的斜率不存在)，则直线OB的方程为y＝－，
进而可求A、B(4pk2，－4pk)．
于是直线AB的斜率为kAB＝，
从而kOM＝，
∴直线OM的方程为y＝x，①
直线AB的方程为y＋4pk＝(x－4pk2)．②
将①②相乘，得y2＋4pky＝－x(x－4pk2)，
即x2＋y2＝－4pky＋4pk2x＝4p(k2x－ky)，③
又k2x－ky＝x，代入③式并化简，
得(x－2p)2＋y2＝4p2.
当k＝±1时，易求得直线AB的方程为x＝4p.
故此时点M的坐标为(4p,0)，也在(x－2p)2＋y2＝4p2
(x≠0)上．
∴点M的轨迹方程为(x－2p)2＋y2＝4p2
(x≠0)，
∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p的圆，去掉坐标原点．
例4　
证明　设A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
联立
得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
则
即
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2
＝.
∵椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2⊥BA2，
∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.
∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.
∴＋＋＋4＝0.
∴7m2＋16km＋4k2＝0，
解得m1＝－2k，m2＝－，
且均满足3＋4k2－m2>0.
当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，
直线过定点(2,0)，与已知矛盾．
当m2＝－时，l的方程为y＝k，直线过定点，
∴直线l过定点．
例5　解　因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左
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焦点，则A′(－4,0)，由椭圆定义知|MA|＋|MA′|＝10.
如图所示，则|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA′|＋|MB|－|MA′|＝10＋|MB|－|MA′|≤10＋|A′B|.
当点M在BA′的延长线上时取等号．
所以当M为射线BA′与椭圆的交点时，
(|MA|＋|MB|)max＝10＋|A′B|＝10＋2.
又如图所示，|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA′|－|MA′|＋|MB|
＝10－(|MA′|－|MB|)
≥10－|A′B|，
当M在A′B的延长线上时取等号．
所以当M为射线A′B与椭圆的交点时，
(|MA|＋|MB|)min＝10－|A′B|＝10－2.
例6　解　由题意，|F1F2|＝2.
设直线AB方程为y＝kx＋1，
代入椭圆方程2x2＋y2＝2，
得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
则xA＋xB＝－，xA·xB＝－，
∴|xA－xB|＝.
S△ABF2＝|F1F2|·|xA－xB|＝2×
＝2×
≤2×＝.
当＝，即k＝0时，
S△ABF2有最大面积为.www.
章末总结
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知识点一　空间向量的计算
空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础．
例1　沿着正四面体O—ABC的三条棱、、的方向有大小等于1、2和3的三个力f1，f2，f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值．
知识点二　证明平行、垂直关系
空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．
例2　
如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．
(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1；
(2)用向量法证明MN⊥面A1BD.
例3　
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如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.
试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成的角为60°.
例4　正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.
知识点三　空间向量与空间角
求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，一般有两种方法：即几何法和向量法，几何法求角时，需要先作出(或证出)所求空间角的平面角，费时费力，难度很大．而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量．即可求解，体现了向量法极大的优越性．
例5　
如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.
(1)求cos〈，〉；
(2)求直线AD与平面ANM所成角的余弦值；
(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值．
知识点四　空间向量与空间距离
近年来，对距离的考查主要体现在两点间的距离和点到平面的距离，两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解，点面距可以借助直线的方向向量与平面的法向量求解，或者利用等积求高的方法求解．
例6　
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如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求二面角P—CD—B的大小；
(2)求证：平面MND⊥平面PCD；
(3)求点P到平面MND的距离．
章末总结
重点解读
例1　解　
如图所示，用a，b，c分别代表棱、、上的三个单位向量，
则f1＝a，f2＝2b，f3＝3c，
则f＝f1＋f2＋f3
＝a＋2b＋3c，
∴|f|2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)
＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＋4a·b＋6a·c＋12b·c
＝14＋4cos
60°＋6cos
60°＋12
cos
60°
＝14＋2＋3＋6＝25，
∴|f|＝5，即所求合力的大小为5.
且cos〈f，a〉＝
＝
＝＝，
同理可得：cos〈f，b〉＝，cos〈f，c〉＝.
例2　证明　(1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
＝－，＝－，
又∵＝，＝，
∴＝.∴BD∥B1D1.
同理可证A1B∥D1C，
又BD∩A1B＝B，B1D1∩D1C＝D1，
所以平面A1BD∥平面B1CD1.
(2)＝＋＋
＝＋＋(＋)
＝＋＋(－＋)
＝＋＋.
设＝a，＝b，＝c，
则＝(a＋b＋c)．
又＝－＝b－a，
∴·＝(a＋b＋c)(b－a)
＝(b2－a2＋c·b－c·a)．
又∵A1A⊥AD，A1A⊥AB，∴c·b＝0，c·a＝0.
又|b|＝|a|，∴b2＝a2，∴b2－a2＝0.
∴·＝0，∴MN⊥BD.
同理可证，MN⊥A1B，又A1B∩BD＝B，
∴MN⊥平面A1BD.
例3　
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解　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，
C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)．
则＝(－1，－1,0)，
＝(0,0,1)，
＝(－1,1，m)，＝(－1,1,0)．
又由·＝0，·＝0知，为平面BB1D1D的一个法向量．
设AP与平面BB1D1D所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos〈，〉|＝
＝.
依题意得＝sin
60°＝，
解得m＝.
故当m＝时，直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.
例4　证明　
如图，建立空间直角坐标系Dxyz.
设正方体棱长为1，
则E、D1(0,0,1)、
F、A(1,0,0)．
∴＝(1,0,0)＝，＝，
＝.
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量．
由 .
令y1＝1，得m＝(0,1，－2)．
又由 ，
令z2＝1，得n＝(0,2,1)．
∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.
例5　解　(1)建立空间直角坐标系(如图)．
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则A(0,0,0)，A1(0,0,4)，D(0,8,0)，M(5,2,4)．
∴＝(5,2,4)，
＝(0,8，－4)．
∴·＝0＋16－16＝0，
∴⊥.
∴cos〈，〉＝0.
(2)∵A1D⊥AM，A1D⊥AN，且AM∩AN＝A，
∴⊥平面ANM，
∴＝(0,8，－4)是平面ANM的一个法向量．
又＝(0,8,0)，||＝4，||＝8，
·＝64，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴AD与平面ANM所成角的余弦值为.
(3)∵平面ANM的法向量是＝(0,8，－4)，
平面ABCD的法向量是a＝(0,0,1)，
∴cos〈，a〉＝＝－.
∴平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值为.
例6　(1)解　∵PA⊥平面ABCD，
由ABCD是正方形知AD⊥CD.
∴CD⊥面PAD，∴PD⊥CD.
∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角．
∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，
即二面角P—CD—B的大小为45°.
(2)
如图，建立空间直角坐标系，
则P(0,0,2)，D(0,2,0)，
C(2,2,0)，M(1,0,0)，
∵N是PC的中点，
∴N(1,1,1)，
∴＝(0,1,1)，
＝(－1,1，－1)，＝(0,2，－2)．
设平面MND的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面PCD的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)．
∴m·＝0，m·＝0，
即有
令z1＝1，得x1＝－2，y1＝－1.
∴m＝(－2，－1,1)．
同理，由n·＝0，n·＝0，
即有
令z2＝1，得x2＝0，y2＝1，∴n＝(0,1,1)．
∵m·n＝－2×0＋(－1)×1＋1×1＝0，
∴m⊥n.∴平面MND⊥平面PCD.
(3)设P到平面MND的距离为d.
由(2)知平面MND的法向量m＝(－2，－1,1)，
∵·m＝(0,2，－2)·(－2，－1,1)＝－4，
∴|·m|＝4，
又|m|＝＝，
∴d＝＝＝.
即点P到平面MND的距离为.www.
1.2　椭圆的简单性质
课时目标　1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a，b以及c，e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．
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椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
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标准方程
范围
顶点
轴长
短轴长＝____，长轴长＝____
焦点
焦距
对称性
对称轴是________，对称中心是________
离心率
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一、选择题
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)
A．5,3，
B．10,6，
C．5,3，
D．10,6，
2．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
3．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于(　　)
A.
B.
C.
D.
4．如图所示，A、B、C分别
为椭圆＋＝1
(a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为(　　)
A.
B．1－
C.－1
D.
5．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)
A．至多一个
B．2
C．1
D．0
6．已知F1、F2是椭圆的两个焦点．满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．(0,1)
B.
C.
D.
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________．
8．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1
(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于_____________________________________________．
9．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有公共点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．
三、解答题
10.
INCLUDEPICTURE
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如图，已知P是椭圆＋＝1
(a>b>0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x＝－
(c是椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率e.
11．已知F1、F2是椭圆＋＝1
(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若·＝0，椭圆的离心率等于，△AOF2的面积为2，求椭圆的方程．
能力提升
12．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)
A.
B.
C.
D.
13．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F1(－，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A的坐标是.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．
INCLUDEPICTURE
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1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．
2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．
3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．
1．2　椭圆的简单性质
知识梳理
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
INCLUDEPICTURE
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标准方程
＋＝1
＋＝1
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±b,0)，(0，±a)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
2c＝2
对称性
对称轴是坐标轴，对称中心是原点
离心率
e＝，0作业设计
1．B　[先将椭圆方程化为标准形式：＋＝1，
其中b＝3，a＝5，c＝4.]
2．A　3.B
4．A　[由(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2，
∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0，
∵e＝，∴e2＋e－1＝0，∴e＝.]
5．B　[∵>2，∴<2.
∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，∴过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有两个交点．]
6．C　[∵·＝0，∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为直径，
由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部，
设点P为椭圆上任意一点，则|OP|>c恒成立，
由椭圆性质知|OP|≥b，其中b为椭圆短半轴长，
∴b>c，∴c22c2，
∴2<，∴e＝<.
又∵07.＋＝1
解析　设椭圆的方程为＋＝1
(a>b>0)，
将点(－5,4)代入得＋＝1，
又离心率e＝＝，即e2＝＝＝，
解之得a2＝45，b2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.
8.
解析　由题意知椭圆的焦点在x轴上，又直线x＋2y－2＝0与x轴、y轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b＝1，c＝2，从而a＝，e＝＝.
9．2
解析　由题意可知，圆心O到直线mx＋ny＝4的距离大于半径，即得m2＋n2<4，所以点M(m，n)在圆O内，而圆O是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m，n)在椭圆内，因此过点(m，n)的直线与椭圆必有2个交点．
10．解　依题意知H，F(c,0)，B(0，b)．
设P(xP，yP)，且xP＝c，代入到椭圆的方程，
得yP＝.∴P.
∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即＝.
∴ab＝c2.
∴e＝＝，∴e2＝＝e－2－1.
∴e4＋e2－1＝0.∵011．解　∵·＝0，∴AF2⊥F1F2，
因为椭圆的离心率e＝＝，
则b2＝a2，设A(x，y)(x>0，y>0)，由AF2⊥F1F2知x＝c，
∴A(c，y)，代入椭圆方程得
＋＝1，∴y＝，
∵△AOF2的面积为2，
∴S△AOF2＝x×y＝2，
即c·＝2，∵＝，∴b2＝8，
∴a2＝2b2＝16，
故椭圆的方程为＋＝1.
12．B　[由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，
∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.
∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.
∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝或e＝－1(舍去)．]
13．解　(1)∵a＝2，c＝，∴b＝＝1.
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)设P(x0，y0)，M(x，y)，由中点坐标公式，
得　∴
又∵＋y＝1，∴＋2＝1
即为中点M的轨迹方程．www.
2.2　抛物线的简单性质
课时目标　1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．
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1．抛物线的简单几何性质
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)
(1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标x的取值范围是________，抛物线在y轴的______侧，当x的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸．
(2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做______________．
(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的顶点为____________．
(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的_________，用e表示，其值为______．
(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p的几何意义，顶点到准线的距离为，焦点到顶点的距离为________．
2．抛物线的焦点弦
设抛物线y2＝2px(p>0)，AB为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有以下结论．
(1)以AB为直径的圆与准线________．
(2)|AB|＝__________(焦点弦长与中点坐标的关系)．
(3)|AB|＝x1＋x2＋______.
(4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2＝________，y1y2＝________.
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一、选择题
1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是(　　)
A．x2＝－y或y2＝x
B．y2＝－x或x2＝y
C．y2＝－x
D．x2＝y
2．若抛物线y2＝2px
(p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是(　　)
A．成等差数列
B．既成等差数列又成等比数列
C．成等比数列
D．既不成等比数列也不成等差数列
3．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的(　　)
A．7倍
B．5倍
C．4倍
D．3倍
4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　　)
A．y2＝±4x
B．y2＝±8x
C．y2＝4x
D．y2＝8x
5．设直线l1：y＝2x，直线l2经过点P(2,1)，抛物线C：y2＝4x，已知l1、l2与C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
6．过抛物线y2＝ax
(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则＋等于(　　)
A．2a
B.
C．4a
D.
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
8．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于________．
9．过抛物线x2＝2py
(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴的左侧)，则＝________.
三、解答题
10．设抛物线y＝mx2
(m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
11．已知抛物线y2＝2px
(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m，n两部分．求证：＋为定值．
能力提升
12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于(　　)
A．4
B．8
C．8
D．16
13.
已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
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1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离．
2．抛物线的焦点弦可以借助于直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解，还要结合抛物线的定义．
2．2　抛物线的简单性质
知识梳理
1．(1)x≥0　右　增大　(2)x轴　抛物线的轴
(3)顶点　坐标原点　(4)离心率　1　(5)p　
2．(1)相切　(2)2(x0＋)　(3)p　(4)　－p2
作业设计
1．B　[由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程．]
2．A　[设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，
则y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3，
因为2y＝y＋y，所以x1＋x3＝2x2，
即|P1F|－＋|P3F|－＝2，
所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.]
3．A　[设PF1的中点为A，因为A在y轴上，
所以OA为△F1PF2的中位线，即有|PF2|＝2|AO|，
因为F2(3,0)，∴P点坐标为，
即|PF2|＝.∴|PF1|＝4－＝7×＝7|PF2|.]
4．B　[y2＝ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2，令x＝0得y＝－.
∴××＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.]
5．C　[∵点P(2,1)在抛物线内部，且直线l1与抛物线C相交于A，B两点，∴过点P的
直线l2在过点A或点B或与x轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l2共有3条．]
6．D　[可采用特殊值法，设PQ过焦点F且垂直于x轴，则|PF|＝p＝xP＋＝＋＝，
|QF|＝q＝，∴＋＝＋＝.]
7．y2＝4x
解析　设抛物线方程为y2＝ax.
将y＝x代入y2＝ax，
得x＝0或x＝a，∴＝2.∴a＝4.
∴抛物线方程为y2＝4x.
8．2
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y＝4x1，y＝4x2.
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
∵x1≠x2，∴＝＝1.
∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
将其代入y2＝4x，得A(0,0)、B(4,4)．
∴|AB|＝4.又F(1,0)到y＝x的距离为，
∴S△ABF＝××4＝2.
9.
解析　抛物线x2＝2py
(p>0)的焦点为F，则直线AB的方程为y＝x＋，
由消去x，得12y2－20py＋3p2＝0，
解得y1＝，y2＝.
由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，可知＝＝＝.
10．解　由y＝mx2
(m≠0)可化为x2＝y，
其准线方程为y＝－.
由题意知－＝－2或－＝4，
解得m＝或m＝－.
则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
11．证明　(1)当AB⊥x轴时，m＝n＝p，
∴＋＝.
(2)当AB不垂直于x轴时，设直线AB所在的方程为：y＝k，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＝m，|BF|＝n，
∴m＝＋x1，n＝＋x2.
将直线AB的方程代入抛物线方程得
k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0.
∴
∴＋＝＝＝.
综上可知＋为定值.
12.
B　[如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2,4)．
设P(x0,4)，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，
∴|PF|＝x0＋2＝8，选B.]
13．解　由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
分别过A、B作准线的垂线，垂足为A′、B′.
(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，
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从而x1＝4－1＝3.
代入y2＝4x，解得y1＝±2.
∴点A的坐标为
(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立，
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
因为直线与抛物线相交于A、B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，则x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，
|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，
所以|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.www.
§4　逻辑联结词“且”“或”“非”
课时目标　1.理解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．
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1．“p且q”的真假
(1)当两个命题p和q都是__________时，新命题“p且q”是真命题；
(2)在两个命题p和q之中，只要有一个命题是__________，新命题“p且q”就是假命题．
2．“p或q”的真假
(1)在两个命题p和q之中，只要有一个命题是__________时，新命题“p或q”就是真命题；
(2)当两个命题p和q都是__________时，新命题“p或q”是假命题．
3．逻辑联结词“非”
(1)一般地，对命题p加以________，就得到一个新命题，记作________，读作“________”．
(2)“綈p”的真假
一个命题p与这个命题的否定綈p，必然一个是__________，一个是__________．
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一、选择题
1．下列命题：
①2010年2月14日既是春节，又是情人节；
②10的倍数一定是5的倍数；
③梯形不是矩形．
其中使用逻辑联结词的命题有(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是(　　)
A．“p或q”为真，“綈q”为假
B．“p且q”为假，“綈p”为真
C．“p且q”为假，“綈p”为假
D．“綈q”为假，“p或q”为真
3．已知全集S＝R，A S，B S，若命题p：∈(A∪B)，则命题“綈p”是(　　)
A. A
B.∈ SB
C. A∩B
D.∈( SA)∩( SB)
4．已知命题p：3≥3，q：3>4，则下列判断正确的是(　　)
A．p或q为真，p且q为真，綈p为假
B．p或q为真，p且q为假，綈p为真
C．p或q为假，p且q为假，綈p为假
D．p或q为真，p且q为假，綈p为假
5．设p、q是两个命题，则新命题“p或q为真，p且q为假”的充要条件是(　　)
A．p、q中至少有一个为真
B．p、q中至少有一个为假
C．p、q中有且只有一个为假
D．p为真，q为假
6．下列命题中既是p且q形式的命题，又是真命题的是(　　)
A．10或15是5的倍数
B．方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1
C．方程x2＋1＝0没有实数根
D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．“2≤3”中的逻辑联结词是________，它是________命题．(填“真”，“假”)
8．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是____________．
9．设p：函数f(x)＝2|x－a|在区间(4，＋∞)上单调递增；q：loga2<1.如果“綈p”是真命题，“p或q”也是真命题，那么实数a的取值范围是____________．
三、解答题
10．判断下列命题的真假：
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
(2)x＝±1是方程x2＋3x＋2＝0的根．
11.已知p：x2＋4mx＋1＝0有两个不等的负数根，q：函数f(x)＝－(m2－m＋1)x在(－∞，＋∞)上是增函数．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．
能力提升
12．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|>1是|a＋b|>1的充分而不必要条件；命题q：函数y＝
的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则(　　)
A．“p或q”为假
B．“p且q”为真
C．p真q假
D．p假q真
13．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p且q为真，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
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1．从集合的角度理解“且”“或”“非”．
设命题p：x∈A.命题q：x∈B.则p且q x∈A且x∈B x∈A∩B；p或q x∈A或x∈B x∈A∪B；綈p x A x∈ UA.
2．对有逻辑联结词的命题真假性的判断
当p、q都为真，p且q才为真；当p、q有一个为真，p或q即为真；綈p与p的真假性相反且一定有一个为真．
3．含有逻辑联结词的命题否定
“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定形式“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”，它类似于集合中的“ U(A∪B)＝( UA)∩( UB)， U(A∩B)＝( UA)∪( UB)”．
§4　逻辑联结词“且”“或”“非”
知识梳理
1．(1)真命题　(2)假命题
2．(1)真命题　(2)假命题
3．(1)否定
p　非p　(2)真命题　假命题
作业设计
1．C　[①③命题使用逻辑联结词，其中，①使用“且”，③使用“非”．]
2．C
3．D　[∵p：∈(A∪B)，∴綈p： (A∪B)，
即 A且 B，∴∈ SA且∈ SB，
故∈( SA)∩( SB)．]
4．D　[p为真，q为假，结合真值表可知，p或q为真，p且q为假綈p为假．]
5．C　[因为p或q为真命题．所以p、q一真一假或都是真命题．
又因为p且q为假，所以p、q必有一假，所以p、q中有且只有一个为假．]
6．D　[A中的命题是条件复合的简单命题，B中的命题是p或q型，C中的命题是綈p的形式，D中的命题为p且q型且是真命题．]
7．或　真
8．[1,2)
解析　x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，
即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，
所以1≤x<2，即x∈[1,2)．
9．(4，＋∞)
解析　由题意知：p为假命题，q为真命题．
当a>1时，由q为真命题得a>2；由p为假命题且画图可知：a>4.
当04.
10．解　(1)这个命题是“p且q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p或q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因为p假q真，则“p或q”真，所以该命题是真命题．
11．解　p：x2＋4mx＋1＝0有两个不等的负根
m>.
q：函数f(x)＝－(m2－m＋1)x在(－∞，＋∞)上是增函数0(1)若p真，q假，则m≥1.
(2)若p假，q真，则0综上，得m≥1或012．D　[当a＝－2，b＝2时，从|a|＋|b|>1不能推出|a＋b|>1，所以p假，q显然为真．]
13．解　由x2－4ax＋3a2<0，得(x－a)(x－3a)<0.
又a>0.∴a则p：a0.
由得2因此q：2(1)当a＝1时，p：1若p且q为真，则p，q均为真．
∴1所以实数x的取值范围是2(2)由p是q的充分不必要条件，知q是p的充分不必要条件．
∴qp，且pq，∴03.
故实数a的取值范围是1第二章　空间向量与立体几何(A)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．以下命题中，不正确的个数为(　　)
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③若a·b＝0，b·c＝0，则a＝c；④若a，b，c为空间的一个基底，则a＋b，b＋c，c＋a构成空间的另一个基底；
⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2
B．3
C．4
D．5
2．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A．a＋b－c
B．a－b＋c
C．－a＋b＋c
D．－a＋b－c
3．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则(　　)
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15
D．x＝6，y＝
4．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a为(　　)
A．(1,1,1)
B．(－1，－1，－1)
C．(1,1,1)或(－1，－1，－1)
D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
5．已知A(－1,0,1)，B(0,0,1)，C(2,2,2)，D(0,0,3)，则sin〈，〉等于(　　)
A．－
B.
C.
D．－
6．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为(　　)
A．60°
B．90°
C．105°
D．75°
7．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则(　　)
A．α∥β
B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直
D．以上均不正确
8．若两点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当||取最小值时，x的值等于(　　)
A．19
B．－
C.
D.
9.
如图所示，在四面体P—ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B—AP—C的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈，〉的值等于(　　)
A.
B.
C.
D.
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答　案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b|＝______.
12．若三点A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是________________．
13．如图所示，
INCLUDEPICTURE
"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\-76.TIF"
\
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已知正四面体ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．
14．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．
15.
如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θ
，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为______．
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1.求证：AB1＝CA1.
17．(12分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1,1，
－3)，D(3，－5,3)．
求证：四边形ABCD是一个梯形．
18.(12分)
INCLUDEPICTURE
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\
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如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1和CC1的中点．
(1)求证：EF∥平面ACD1；
(2)求异面直线EF与AB所成角的余弦值．
19．(12分)
如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
求证：C1C⊥BD.
20.(13分)
INCLUDEPICTURE
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\
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如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
21．(14分)
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.
(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
(2)证明AF⊥平面A1ED；
(3)求二面角A1—ED—F的正弦值．
第二章　空间向量与立体几何(A)
1．C　[只有命题④正确．]
2．D
INCLUDEPICTURE
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\
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　[如图，＝－＝－－＝－－＝b－a－c.]
3．D　[∵a∥b，∴存在实数λ，使，∴.]
4．C　[设a＝(x，y，z)，∵＝(－2，－1,3)，
＝(1，－3,2)，又|a|＝，a⊥，a⊥，
∴∴或
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．]
5．C　[∵＝(1,0,0)，＝(－2，－2,1)，
∴cos〈，〉＝＝－，
∴sin〈，〉＝.]
6．B　[
建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0,0,1)，B1，
C1(0，，0)，
B.
∴＝，
＝，∴·＝－－1＝0，即AB1与C1B所成角的大小为90°.]
7．A　[∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.]
8．C　[＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，
则||＝
＝＝.
故当x＝时，||取最小值．]
9．C　[如图所示，
INCLUDEPICTURE
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\
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作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，设AB＝1，则易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝，
可以求得BD＝，ED＝.
∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.
∴·＝－，∴cos〈，〉＝－，
即二面角B—AP—C的余弦值为.]
10．B
　[以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，易知＝(1,1,1)，＝，
故cos〈，〉＝，
从而sin〈，〉＝.]
11.
解析　∵a－2b＝(8，－5,13)，
∴|a－2b|＝＝.
12．不等边的锐角三角形
解析　＝(3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3，1)，·>0，得∠A为锐角；·>0，得∠C为锐角；·>0，得∠B为锐角，所以△ABC是锐角三角形且||＝，
||＝，||＝.
13.
解析　因四面体ABCD是正四面体，顶点A在底面BCD内的射影为△BCD的垂心，所以有BC⊥DA，AB⊥CD.设正四面体的棱长为4，
则·＝(＋)·(＋)＝0＋·＋·＋0＝4×1×cos
120°＋1×4×cos
120°＝－4，
BF＝DE＝＝，
所以异面直线DE与BF的夹角θ的余弦值为：
cos
θ＝＝.
14.或
解析　设n1＝(1,0，－1)，n2＝(0，－1,1)，
则cos〈n1，n2〉＝＝－，
∴〈n1，n2〉＝.因平面α与平面β所成的角与〈n1，n2〉相等或互补，所以α与β所成的角为或.
15.
解析　因为＝＋＋，
所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos
θ.
所以||＝，
即AD的长为.
16．证明　以A为原点，AC为x轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系．
设B(a，b,0)，C(c,0,0)，A1(0,0，d)，
则B1(a，b，d)，C1(c,0，d)，＝(a，b，d)，
＝(c－a，－b，d)，＝(－c,0，d)，
由已知·＝ca－a2－b2＋d2＝0，
·＝－c(c－a)＋d2＝0，可得c2＝a2＋b2.
再由两点间距离公式可得：
|AB1|2＝a2＋b2＋d2，
|CA1|2＝c2＋d2＝a2＋b2＋d2，
∴AB1＝CA1.
17．证明　因为＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，因为＝＝，
所以和共线，即AB∥CD.
又因为＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，
＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，
因为≠≠，所以与不平行，
所以四边形ABCD为梯形．
18．(1)证明　
INCLUDEPICTURE
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如图所示，分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由已知得D(0,0,0)，
A(2,0,0)，B(2,2,0)，
C(0,2,0)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，E(1,0,2)，
F(0,2,1)．
易知平面ACD1的一个法向量是＝(2,2,2)．
又∵＝(－1,2，－1)，由·＝－2＋4－2＝0，∴⊥.
又∵EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1.
(2)解　∵＝(0,2,0)，
cos〈，〉＝＝＝.
19．证明　设＝a，＝b，＝c，
依题意，|a|＝|b|，
又设，，中两两所成夹角为θ，
于是＝－＝a－b，
·＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|cos
θ－|c||b|cos
θ＝0，
所以C1C⊥BD.
20．解　因为＝－，
所以·＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝8×4×cos
135°－8×6×cos
120°＝－16＋24.
所以cos〈，〉＝＝＝.
即OA与BC所成角的余弦值为.
21．(1)解　如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．设AB＝1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E.
易得＝，＝(0,2，－4)，
于是cos〈，〉
＝＝－.
所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.
(2)证明　易知＝(1,2,1)，
＝，＝，
于是·＝0，·＝0.
因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.
又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.
(3)设平面EFD的法向量u＝(x，y，z)，
则即
不妨令x＝1，可得u＝(1,2，－1)，
由(2)可知，为平面A1ED的一个法向量，
于是cos〈u，〉＝＝，
从而sin〈u，〉＝.
所以二面角A1—ED—F的正弦值为.www.
第三章　圆锥曲线与方程(A)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是(　　)
A.
B.
C．2
D．4
2．设椭圆＋＝1
(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
4．若双曲线－＝1
(mn≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
5．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
6．设a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是(　　)
A．(，2)
B．(，)
C．(2,5)
D．(2，)
7．若△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A、B为焦点且过点C的双曲线的离心率为(　　)
A.
B.
C．1＋
D．1＋
8．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||等于(　　)
A．9
B．6
C．4
D．3
9．若动圆圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点(　　)
A．(4,0)
B．(2,0)
C．(0,2)
D．(0，－2)
10．已知椭圆x2sin
α－y2cos
α＝1
(0≤α<2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答　案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．
12．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝__________.
13．设椭圆＋＝1
(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，线段F1F2被点分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．
14．双曲线x2－y2＝a2截直线4x＋5y＝0所得弦长为，则双曲线的实轴长是________．
15．对于曲线C：＋＝1，给出下面四个命题：
①曲线C不可能表示椭圆；
②当1③若曲线C表示双曲线，则k<1或k>4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1其中所有正确命题的序号为________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)已知点M在椭圆＋＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，求P点的轨迹方程．
17．(12分)双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．
18.(12分)直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若线段AB中点的横坐标等于2，求弦AB的长．
19．(12分)已知点P(3,4)是椭圆＋＝1
(a>b>0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：
(1)椭圆的方程；
(2)△PF1F2的面积．
20.(13分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．
21．(14分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)、(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．
(1)写出C的方程；
(2)若⊥，求k的值．
第三章　圆锥曲线与方程(A)
1．A　[由题意可得2＝2×2，解得m＝.]
2．B　[∵y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴＋＝1的右焦点为(2,0)，∴m>n且c＝2.
又e＝＝，∴m＝4.
∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.
∴椭圆方程为＋＝1.]
3．B　[抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，故双曲线中c＝6.①
由双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，知＝，②
且c2＝a2＋b2.③
由①②③解得a2＝9，b2＝27.
故双曲线的方程为－＝1，故选B.]
4．A　[抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，
所以双曲线－＝1的焦点在x轴上，
即m>0，n>0，故a＝，b＝，所以c＝.
所以e＝＝2.①
又＝1，②
由①②得　所以mn＝.]
5．B　[由于双曲线的顶点坐标为(0,2)，可知a＝2，
且双曲线的标准方程为－＝1.
根据题意2a＋2b＝·2c，即a＋b＝c.
又a2＋b2＝c2，且a＝2，
∴解上述两个方程，得b2＝4.
∴符合题意的双曲线方程为－＝1.]
6．B　[∵双曲线方程为－＝1，
∴c＝
.
∴e＝＝
＝
.
又∵a>1，∴0<<1.∴1<＋1<2.
∴1<2<4.∴7．B　[由条件知：|AB|＝|BC|＝2c，|AC|＝2c，
∴2c－2c＝2a，∴e＝＝＝.]
8．B　[设A、B、C三点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，F(1,0)，
∵＋＋＝0，∴x1＋x2＋x3＝3.
又由抛物线定义知||＋||＋||
＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6.]
9．B　[根据抛物线的定义可得．]
10．D　[椭圆方程化为＋＝1.
∵椭圆焦点在y轴上，∴－>>0.
又∵0≤α<2π，∴<α<.]
11.
解析　由已知得∠AF1F2＝30°，故cos
30°＝，从而e＝.
12．2
解析　∵F，∴设AB：y＝x－与y2＝2px联立，得x2－3px＋＝0，∴xA＋xB＝3p.
由焦半径公式xA＋xB＋p＝4p＝8，得p＝2.
13.
解析　由题意，得＝3 ＋c＝3c－b b＝c，
因此e＝＝
＝
＝
＝.
14．3
解析　因为直线4x＋5y＝0过原点，所以可设弦的一端为(x1，y1)，则有
＝.
可得x＝，取x1＝，y1＝－2.
∴a2＝－4＝，|a|＝，∴2|a|＝3.
15．③④
解析　①错误，当k＝2时，方程表示椭圆；②错误，因为k＝时，方程表示圆；验证可得③④正确．
16．解　设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)．
∵点M在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.
∵M是线段PP′的中点，
∴　把，
代入＋＝1，得＋＝1，即x2＋y2＝36.
∴P点的轨迹方程为x2＋y2＝36.
17．解　设双曲线方程为－＝1.
由椭圆＋＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，
∴对于双曲线C：c＝2.
又y＝x为双曲线C的一条渐近线，
∴＝，解得a2＝1，b2＝3，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
18．解　将y＝kx－2代入y2＝8x中变形整理得：
k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，
由，得k>－1且k≠0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意得：x1＋x2＝＝4 k2＝k＋2 k2－k－2＝0.
解得：k＝2或k＝－1(舍去)．
由弦长公式得：
|AB|＝·＝×＝2.
19．解　(1)令F1(－c,0)，F2(c,0)，
则b2＝a2－c2.因为PF1⊥PF2，
所以kPF1·kPF2＝－1，即·＝－1，
解得c＝5，所以设椭圆方程为＋＝1.
因为点P(3,4)在椭圆上，所以＋＝1.
解得a2＝45或a2＝5.
又因为a>c，所以a2＝5舍去．
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6，①
又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，②
①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，
所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝20.
20．解　焦点F(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥Ox，则|AB|＝2p所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k(x－)，k≠0.
由消去x，
整理得ky2－2py－kp2＝0.
由韦达定理得，y1＋y2＝，y1y2＝－p2.
∴|AB|＝
＝
＝
·
＝2p(1＋)＝p.
解得k＝±2.
∴AB所在的直线方程为y＝2(x－)或y＝－2(x－)．
21．解　(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)、(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b＝＝1，
故曲线C的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程
消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.
其中Δ＝4k2＋12(k2＋4)>0恒成立．
故x1＋x2＝－，x1x2＝－.
若⊥，即x1x2＋y1y2＝0.
而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝0，
化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±.www.
§4　曲线与方程
4.1　曲线与方程
课时目标　1.结合实例，了解曲线与方程的对应关系.2.了解求曲线方程的步骤.3.会求简单曲线的方程．
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1．在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么这个方程叫做________________；这条曲线叫做________________．
2．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，点P的坐标是(x0，y0)，则①点P在曲线C上
____________；②点P不在曲线C上______________．
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一、选择题
1．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是(　　)
2．已知直线l的方程是f(x，y)＝0，点M(x0，y0)不在l上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲线是(　　)
A．直线l
B．与l垂直的一条直线
C．与l平行的一条直线
D．与l平行的两条直线
3．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是(　　)
A．y＝与y2＝x
B．y＝x与＝1
C．y2－x2＝0与|y|＝|x|
D．y＝lg
x2与y＝2lg
x
4．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC底边AB的中线的方程是(　　)
A．x＝0
B．x＝0(0≤y≤3)
C．y＝0
D．y＝0(0≤x≤2)
5．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝4
B．x2＋y2＝4
(x>0)
C．y＝－
D．y＝－
(06．如果曲线C上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．曲线C的方程是F(x，y)＝0
B．方程F(x，y)＝0的曲线是C
C．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上
D．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．若方程ax2＋by＝4的曲线经过点A(0,2)和B，则a＝________，b＝________.
8．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为_______________．
9．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是________________．
三、解答题
10．已知平面上两个定点A，B之间的距离为2a，点M到A，B两点的距离之比为2∶1，求动点M的轨迹方程．
11.动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．
能力提升
12．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
13．在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且·＝4，求动点P的轨迹方程．
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1．曲线C的方程是f(x，y)＝0要具备两个条件：①曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；②以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
2．求曲线的方程时，要将所求点的坐标设成(x，y)，所得方程会随坐标系的不同而不同．
3．方程化简过程中如果破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．
§4　曲线与方程
4．1　曲线与方程
知识梳理
1．(2)曲线的方程　方程的曲线
2．f(x0，y0)＝0　f(x0，y0)≠0
作业设计
1．B　[可以利用特殊值法来选出答案，如曲线过点(－1,0)，(－1,2)两点．]
2．C　[方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示过点M(x0，y0)且和直线l平行的一条直线．]
3．C　[考虑x、y的范围．]
4．B　[直接法求解，注意△ABC底边AB的中线是线段，而不是直线．]
5．D　[注意所求轨迹在第四象限内．]
6．C　[直接法：
原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线C上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题是“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线C上”，此即说法C.
特值方法：作如图所示的曲线C，考查C与方程F(x，y)＝x2－1＝0的关系，显然A、B、D中的说法都不正确．]
7．16－8　2
8．4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0
解析　设动点坐标为(x，y)，则＝1，
即|4x＋3y－5|＝5.
∴所求轨迹方程为4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0.
9．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0
10．解　
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以两个定点A，B所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．
由于|AB|＝2a，
则设A(－a,0)，B(a,0)，动点M(x，y)．
因为|MA|∶|MB|＝2∶1，
所以∶＝2∶1，
即＝2，
化简得2＋y2＝a2.
所以所求动点M的轨迹方程为
2＋y2＝a2.
11．解　设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点，
∴，即，
又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1.
∴点P的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
12．C　[曲线方程可化简为(x－2)2＋(y－3)2＝4
(1≤y≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y＝x＋b与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y＝x＋b的距离等于2，解得b＝1＋2或b＝1－2，因为是下半圆故可得b＝1－2，当直线过(0,3)时，解得b＝3，
故1－2≤b≤3.]
13．解　由已知得：M(0，y)，N(x，－y)，
∴＝(x，－2y)，
则·＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2＝4，
即所求动点P的轨迹方程为－＝1.www.
第一章　常用逻辑用语(B)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是(　　)
A．ab＝0
B．a＋b＝0
C．a＝b
D．a2＋b2＝0
2．若“a≥b c>d”和“aA．必要非充分条件
B．充分非必要条件
C．充分必要条件
D．既非充分也非必要条件
3．在下列结论中，正确的是(　　)
①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；
②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；
③“p或q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；
④“綈p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件．
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
4．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
5．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则(　　)
A．p真q真
B．p假q真
C．p真q假
D．p假q假
6．2x2－5x－3<0的一个必要不充分条件是(　　)
A．－B．－C．－3D．－17．“x＝2kπ＋
(k∈Z)”是“tan
x＝1”成立的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分条件
D．既不充分也不必要条件
8．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是(　　)
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
9．下列命题中为全称命题的是(　　)
A．圆内接三角形中有等腰三角形
B．存在一个实数与它的相反数的和不为0
C．矩形都有外接圆
D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行
10．以下判断正确的是(　　)
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“任意x∈N，x3>x”的否定是“存在x∈N，x3>x”
C．“a＝1”是“函数f(x)＝sin
2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答　案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．下列命题中________为真命题．(填序号)
①“A∩B＝A”成立的必要条件是“A
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B”；
②“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；
④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
12．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是_______________________，这是__________命题．
13．若“任意x∈R，x2－2x－m>0”是真命题，则实数m的取值范围是____________．
14．条件p：x>1，y>1，条件q：x＋y>2，xy>1，则条件p是条件q的____________条件．
15．给出下列四个命题：
①任意x∈R，x2＋2>0；
②任意x∈N，x4≥1；
③存在x∈Z，x3<1；
④存在x∈Q，x2＝3.
其中正确命题的序号为____________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．
(1)矩形的对角线相等且互相平分；
(2)正偶数不是质数．
17．(12分)写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并指出所构成的这些命题的真假．
(1)p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；
(2)p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形．
18.(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
19．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋x.对于任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1成立，试求实数a的取值范围．
20.(13分)下列三个不等式：
①>1；
②(a－3)x2＋(a－2)x－1>0；
③a>x2＋.
若其中至多有两个不等式的解集为空集，求实数a的取值范围．
21．(14分)已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解；若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．
第一章　常用逻辑用语(B)
1．D　[若a2＋b2＝0，即a＝b＝0时，
f(－x)＝(－x)|－x＋0|＋0＝－x|x|＝－f(x)，∴a2＋b2＝0是f(x)为奇函数的充分条件．又若f(x)为奇函数即f(－x)＝－x|(－x)＋a|＋b＝－(x|x＋a|＋b)，则必有a＝b＝0，即a2＋b2＝0，
∴a2＋b2＝0是f(x)为奇函数的必要条件．]
2．B　[由a≥b c>d可得c≤d a3．B
4．B　[∵a＝1且b＝2 a＋b＝3，
∴a＋b≠3 a≠1或b≠2.]
5．B　[由“非p”为真可得p为假，若同时“p或q”为真，则可得q必须为真．]
6．D　
7．A　[tan＝tan
＝1，所以充分；
但反之不成立，如tan
＝1.]
8．A　[举例：a＝1.2，b＝0.3，
则a＋b＝1.5<2，∴逆命题为假．]
9．C
10．D　[∵“负数的平方是正数”即为任意x<0，
则x2>0，是全称命题，∴A不正确；
又∵对全称命题“任意x∈N，x3>x”的否定为“存在x∈N，x3≤x”，∴B不正确；
又∵f(x)＝sin
2ax，当最小正周期T＝π时，有＝π，∴|a|＝1a＝1.
故“a＝1”是“函数f(x)＝sin
2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．]
11．②④
解析　①A∩B＝A A B但不能得出A
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B，
∴①不正确；
②否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题；
③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题；
④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．
12．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数　假
13．(－∞，－1)
解析　由Δ＝(－2)2－4×(－m)<0，得m<－1.
14．充分不必要
15．①③
16．解　(1)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形(真命题)．
否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分(真命题)．
逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形(真命题)．
(2)逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数(假命题)．
否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数(假命题)．
逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数(假命题)．
17．解　(1)p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除．
p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除．
非p：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除．
∵连续的三整数中有一个(或两个)是偶数，而另一个是3的倍数，
∴p真，q真，∴p或q与p且q均为真，而非p为假．
(2)p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形．
p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形．
非p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形．
∵p假q假，∴p或q与p且q均为假，而非p为真．
18．证明　充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2
＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)
＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)
∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
又ab≠0，即a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2＝2＋b2>0.
∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.
必要性：∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2
＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
综上可知，当ab≠0时，
a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
19．解　|f(x)|≤1 －1≤f(x)≤1 －1≤ax2＋x≤1，x∈[0,1]．①
当x＝0时，a≠0，①式显然成立；
当x∈(0,1]时，①式化为－－≤a≤－在x∈(0,1]上恒成立．
设t＝，则t∈[1，＋∞)，
则有－t2－t≤a≤t2－t，所以只需
－2≤a≤0，
又a≠0，故－2≤a<0.
综上，所求实数a的取值范围是[－2,0)．
20．解　对于①，>1，即－x2＋ax－>0，故x2－ax＋<0，Δ＝a2－25，所以不等式的解集为空集，实数a的取值范围是－5≤a≤5.
对于②，当a＝3时，不等式的解集为{x|x>1}，不是空集；当a≠3时，要使不等式(a－3)x2＋(a－2)x－1>0的解集为空集．
则解得－2≤a≤2.
对于③，因为x2＋≥2＝2，
当且仅当x2＝1，即x＝±1时取等号．
所以，不等式a>x2＋的解集为空集时，a≤2.
因此，当三个不等式的解集都为空集时，－2≤a≤2.
所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是{a|a<－2或a>2}．
21．解　∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，
则x1＋x2＝m且x1x2＝－2，
∴|x1－x2|＝＝，
当m∈[－1,1]时，|x1－x2|max＝3，
由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立可得：a2－5a－3≥3，
∴a≥6或a≤－1.
所以命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解，
当a>0时，显然有解；
当a＝0时，2x－1>0有解；
当a<0时，∵ax2＋2x－1>0有解，
∴Δ＝4＋4a>0，∴－1从而命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解时a>－1.
又命题q为假命题，∴a≤－1.
综上得，若p为真命题且q为假命题则a≤－1.www.
§2　空间向量的运算
课时目标　1.掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义.2.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线向量定理.3.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法，能用向量的数量积判断向量共线与垂直．
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1．空间向量的加法
设a和b是空间两个向量，如图，过点O作＝a，＝b，则平行四边形的对角线OC对应的__________就是a与b的和，记作________．
2．空间向量的减法
a与b的差定义为__________，记作__________，其中－b是b的相反向量．
3．空间向量加减法的运算律
(1)结合律：(a＋b)＋c＝____________.
(2)交换律：a＋b＝__________.
4．数乘的定义
空间向量a与实数λ的乘积是一个______________，记作________．
(1)|λa|＝________.
(2)当________时，λa与a方向相同；当________时，λa与a方向相反；当________时，λa＝0.
(3)交换律：λa＝________(λ∈R)．
(4)分配律：λ(a＋b)＝__________.
(λ＋μ)a＝__________(λ∈R，μ∈R)．
(5)结合律：(λμ)a＝__________(λ∈R，μ∈R)．
5．空间两个向量a与b
(b≠0)共线的充分必要条件是存在实数λ，使得____________．
6．空间向量的数量积：空间两个向量a和b的数量积是________，等于______________，记作__________．
7．空间向量的数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝__________；
(2)分配律：a·(b＋c)＝__________；
(3)λ(a·b)＝____________
(λ∈R)．
8．利用空间向量的数量积得到的结论
(1)|a|＝____________；
(2)a⊥b____________；
(3)cos〈a，b〉＝____________
(a≠0，b≠0)．
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一、选择题
1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式－＋化简后的结果是(　　)
A.
B.
C.
D.
2．四面体ABCD中，设M是CD的中点，则＋(＋)化简的结果是(　　)
A.
B.
C.
D.
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点且2＋＋＝0，则等于(　　)
A.
B.
C.
D．2
4．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的(　　)
A．充分不必要条件　
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则·等于(　　)
A．0
B.
C．－
D．－
6.
如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　)
A．6
B．6
C．12
D．144
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．在正四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝__________________(用a，b，c表示)．
8．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________.
9．在△ABC中，有下列命题：
①－＝；
②＋＋＝0；
③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；
④若·>0，则△ABC为锐角三角形．
其中正确的是________．(填写正确的序号)
三、解答题
10.
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如图，已知在空间四边形OABC中，||＝||，||＝||.求证：⊥.
11.
如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
求证：⊥.
能力提升
12．平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于(　　)
A.
B.
C.
D.
13.
INCLUDEPICTURE
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已知在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
(1)求AC′的长(如图所示)；
(2)求与的夹角的余弦值．
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1．空间向量的加减法运算及加减法的几何意义和平面向量的是相同的．
2．空间两个向量a，b的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，这里〈a，b〉表示空间两向量所组成的角(0≤〈a，b〉≤π)．空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质．应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题，可以求两直线夹角问题和线段长度问题．即(1)利用a⊥ba·b＝0证线线垂直(a，b为非零向量)．(2)利用a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，cos
θ＝，求两直线的夹角．(3)利用|a|2＝a·a，求解有关线段的长度问题．
§2　空间向量的运算
知识梳理
1．向量　a＋b
2．a＋(－b)　a－b
3．(1)a＋(b＋c)　(2)b＋a
4．向量　λa　(1)|λ||a|　(2)λ>0　λ<0　λ＝0　(3)aλ　(4)λa＋λb　λa＋μa　(5)λ(μa)
5．a＝λb
6．一个数　|a||b|cos〈a，b〉　a·b
7．(1)b·a　(2)a·b＋a·c　(3)(λa)·b
8．(1)　(2)a·b＝0　(3)
作业设计
1．A
　[如图所示，
∵＝，－
＝－＝，
＋＝，
∴－＋＝.]
2．A
INCLUDEPICTURE
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\
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　[如图所示，
因(＋)＝，
所以＋(＋)
＝＋＝.]
3．C　[∵D为BC边中点，∴＋＝2，
∴＋＝0，∴＝.]
4．A　[a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|?cos〈a，b〉＝1?〈a，b〉＝0，当a与b反向时，不能成立．]
5．D　[·＝(＋)·
＝·＋·－·－||2
＝cos
60°＋cos
60°－cos
60°－＝－.]
6．C　[∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝108＋2×6×6×＝144，
∴||＝12.]
7.a＋b＋c
解析　
如图，＝(＋)
＝＋×(＋)
＝a＋b＋c.
8.
解析　|a＋b|＝
＝＝.
9．②③
解析　①错，－＝；②正确；③正确，||＝||；④错，△ABC不一定是锐角三角形．
10．证明　∵||＝||，||＝||，
||＝||，∴△OAC≌△OAB.
∴∠AOC＝∠AOB.
∵·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos∠AOC－||||·cos∠AOB＝0，
∴⊥.
11．证明　设＝a，＝b，
＝c，
依题意，|a|＝|b|，
又设，，中两两所成夹角为θ，
于是＝－＝a－b，
·＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|cos
θ－|c||b|cos
θ＝0，
所以⊥.
12.
INCLUDEPICTURE
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\
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C　[如图所示，
S△OAB＝|a||b|·sin〈a，b〉
＝|a||b|
＝|a||b|
＝|a||b|
＝.]
13．解　(1)∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)
＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85.
∴||＝.
(2)设与的夹角为θ，
∵ABCD是矩形，
∴||＝＝5.
∴由余弦定理可得
cos
θ＝
＝＝.www.
第三章　圆锥曲线与方程(B)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
2．设a≠0，a∈R，则抛物线y＝ax2的焦点坐标为(　　)
A.
B.
C.
D.
3．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2)
D．x2＋y2＝4(x≠±2)
4．设椭圆＋＝1
(m>1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
5．已知双曲线的方程为－＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为(　　)
A．2a＋2m
B．4a＋2m
C．a＋m
D．2a＋4m
6．已知抛物线y2＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是(　　)
A.
B.
C．2
D.
7．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A的横坐标的值为(　　)
A．－2
B．0
C．－2或0
D．－2或2
8．从抛物线y2＝8x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△PFM的面积为(　　)
A．5
B．6
C．10
D．5
9．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k等于(　　)
A．2或－1
B．－1
C．2
D．1±
10．设F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|等于(　　)
A．3
B．6
C．1
D．2
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答　案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知椭圆＋＝1
(a>b>0)有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是________________________________________________________________________．
12．以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为____________．
13．已知抛物线C：y2＝2px
(p>0)，过焦点F且斜率为k
(k>0)的直线与C相交于A、B两点，若＝3，则k＝________.
14．已知抛物线y2＝2px
(p>0)，过点M(p,0)的直线与抛物线交于A、B两点，则·＝
______.
15．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)求与椭圆＋＝1有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程．
17．(12分)已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．
18.(12分)已知两个定点A(－1,0)、B(2,0)，求使∠MBA＝2∠MAB的点M的轨迹方程．
19．(12分)已知点A(0，－2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足·＝y2－8.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C、D两点．求证：OC⊥OD(O为原点)．
20.(13分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程．
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
21．(14分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y＝x2的焦点，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，若＝m，＝n，求m＋n的值．
第三章　圆锥曲线与方程(B)
1．A　[2a＝18，∵两焦点恰好将长轴三等分，
∴2c＝×2a＝6，∴a＝9，c＝3，
b2＝a2－c2＝72，
故椭圆的方程为＋＝1.]
2．D
3．D　[P在以MN为直径的圆上．]
4．B　[2a＝3＋1＝4.∴a＝2，
又∵c＝＝1，
∴离心率e＝＝.]
5．B　[∵A，B在双曲线的右支上，∴|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|＋|AF1|－(|BF2|＋|AF2|)＝4a，|BF1|＋|AF1|＝4a＋m，∴△ABF1的周长为4a＋m＋m＝4a＋2m.]
6．A
　[如图所示过点F作FM垂直于直线3x－4y＋9＝0，当P点为直线FM与抛物线的交点时，d1＋d2最小值为＝.]
7．B　[由题意B为抛物线的焦点．令A的横坐标为x0，则|AB|＝x0＋1＝1，∴x0＝0.]
8．A
9．C　[由消去y得，
k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
故Δ＝[－4(k＋2)]2－4k2×4
＝64(1＋k)>0，
解得k>－1，由x1＋x2＝＝4，
解得k＝－1或k＝2，又k>－1，故k＝2.]
10．B　[因为·＝0，所以⊥，
则||2＋||2＝|F1F2|2＝4c2＝36，
故|＋|2＝||2＋2·＋||2＝36，所以|＋|＝6.故选B.]
11．(±，0)
12.或－1
解析　设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b＝c，此时可求得离心率e＝＝＝＝；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，
设直角边长为m，故有2c＝m,2a＝(1＋)m，
所以，离心率e＝＝＝＝－1.
13.
解析　设直线l为抛物线的准线，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B1为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，则|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，由＝3，
∴cos∠BAE＝＝，
∴∠BAE＝60°，∴tan∠BAE＝.
即k＝.
14．－p2
15．2
解析　设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，x1＝1，直线AF的方程是x＝1，故|BF|＝|AF|＝2.
16．解　由椭圆方程为＋＝1，知长半轴长a1＝3，短半轴长b1＝2，焦距的一半c1＝＝，
∴焦点是F1(－，0)，F2(，0)，因此双曲线的焦点也是F1(－，0)，F2(，0)，设双曲线方程为－＝1
(a>0，b>0)，由题设条件及双曲线的性质，
得，解得，
故所求双曲线的方程为－y2＝1.
17．解　设A、B的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．
由椭圆的方程知a2＝4，b2＝1，c2＝3，∴F(，0)．
直线l的方程为y＝x－.①
将①代入＋y2＝1，化简整理得
5x2－8x＋8＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝
＝＝.
18．解　设动点M的坐标为(x，y)．
设∠MAB＝β，∠MBA＝α，即α＝2β，
∴tan
α＝tan
2β，则tan
α＝.①
(1)如图(1)，当点M在x轴上方时，tan
β＝，tan
α＝，
将其代入①式并整理得3x2－y2＝3
(x>0，y>0)；
(2)如图(2)，当点M在x轴的下方时，
tan
β＝，tan
α＝，
将其代入①式并整理得3x2－y2＝3
(x>0，y<0)；
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(3)当点M在x轴上时，若满足α＝2β，M点只能在线段AB上运动(端点A、B除外)，只能有α＝β＝0.
综上所述，可知点M的轨迹方程为3x2－y2＝3(右支)或y＝0
(－119．(1)解　∵A(0，－2)，B(0,4)，
∴＝(－x，－2－y)，＝(－x,4－y)．
则·＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)
＝x2＋y2－2y－8.
∴y2－8＝x2＋y2－2y－8，∴x2＝2y.
(2)证明　将y＝x＋2代入x2＝2y，
得x2＝2(x＋2)，即x2－2x－4＝0，且Δ＝4＋16>0，
设C、D两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则有x1＋x2＝2，x1x2＝－4.
而y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，
∴y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)
＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4，
∴kOC·kOD＝·＝＝－1，
∴OC⊥OD.
20．解　(1)将(1，－2)代入y2＝2px，
得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.
故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，
其方程为y＝－2x＋t.
由得y2＋2y－2t＝0.
因为直线l与抛物线C有公共点，
所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.
另一方面，由直线OA到l的距离d＝
可得＝，解得t＝±1.
因为－1 [－，＋∞)，1∈[－，＋∞)，
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
21．解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1
(a>b>0)．
抛物线方程可化为x2＝4y，其焦点为(0,1)，
则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b＝1.
由e＝＝＝.
得a2＝5，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，代入方程＋y2＝1，
得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
又＝(x1，y1－y0)，＝(x2，y2－y0)，
＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)．
∵＝m，＝n，
∴m＝，n＝，
∴m＋n＝，
又2x1x2－2(x1＋x2)＝
＝－，
4－2(x1＋x2)＋x1x2＝4－＋
＝，
∴m＋n＝10.www.
第三章　圆锥曲线与方程
§1　椭圆
1.1　椭圆及其标准方程
课时目标　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
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1．椭圆的概念：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于________(大于|F1F2|)的点的集合叫作________．这两个定点叫作椭圆的________，两焦点间的距离叫作椭圆的________．当|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|时，轨迹是__________，当|PF1|＋|PF2|<|F1F2|时________轨迹．
2．椭圆的方程：焦点在x轴上的椭圆的标准方程为____________，焦点坐标为_
_________，焦距为________，其中c2＝a2－b2；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为________________．
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一、选择题
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是(　　)
A．椭圆
B．直线
C．圆
D．线段
2．椭圆＋＝1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为(　　)
A．32
B．16
C．8
D．4
3．椭圆2x2＋3y2＝1的焦点坐标是(　　)
A.
B．(0，±1)
C．(±1,0)
D.
4．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－3，－1)
B．(－3，－2)
C．(1，＋∞)
D．(－3,1)
5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点，则该椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
6．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．斜三角形
D．直角三角形
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．(2009·北京)椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．
8．P是椭圆＋＝1上的点，F1和F2是该椭圆的焦点，则k＝|PF1|·|PF2|的最大值是______，最小值是______．
9．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n千米，远地点距地面m千米，地球半径为R，那么这个椭圆的焦距为________千米．
三、解答题
10．根据下列条件，求椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点.
11．已知点A(0，)和圆O1：x2＋(y＋)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．
能力提升
12．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)
A．2
B．3
C．6
D．8
13.
如图△ABC中底边BC＝12，其它两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．
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1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>|F1F2|时轨迹才是椭圆，如果2a＝|F1F2|，轨迹是线段F1F2，如果2a<|F1F2|，则不存在轨迹．
2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．
3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx2＋ny2＝1
(m，n为不相等的正数)．
4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何关系．
第三章　圆锥曲线与方程
§1　椭　圆
1．1　椭圆及其标准方程
知识梳理
1．常数　椭圆　焦点　焦距　线段F1F2　不存在
2.＋＝1
(a>b>0)　F1(－c，0)，F2(c，0)　2c　＋＝1
(a>b>0)
作业设计
1．D　[∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，
∴动点M的轨迹是线段．]
2．B　[由椭圆方程知2a＝8，
由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，所以△ABF2的周长为16.]
3．D
4．B　[|a|－1>a＋3>0，解得－35．D　[椭圆的焦点在x轴上，排除A、B，
又过点验证即可．]
6．D　[由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
由题可得||PF1|－|PF2||＝2，则|PF1|＝5或3，|PF2|＝3或5.
又|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形．]
7．2　120°
解析　
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.
在△F1PF2中，
cos∠F1PF2＝
＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.
8．4　3
解析　设|PF1|＝x，则k＝x(2a－x)，
因a－c≤|PF1|≤a＋c，即1≤x≤3.
∴k＝－x2＋2ax＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴kmax＝4，kmin＝3.
9．m－n
解析　设a，c分别是椭圆的长半轴长和半焦距，
则，则2c＝m－n.
10．解　(1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆的标准方程为＋＝1
(a>b>0)．
∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4.
∴b2＝a2－c2＝52－42＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1
(a>b>0)．
由椭圆的定义知，2a＝
＋
＝＋＝2，
∴a＝.
又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
11．解　∵|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4，
∴|PO1|＋|PA|＝4，又∵|O1A|＝2<4，
∴点P的轨迹是以A、O1为焦点的椭圆，
∴c＝，a＝2，b＝1，
∴动点P的轨迹方程为x2＋＝1.
12．C　[由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，
则·＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x＋x0＋y.
∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.
∴·＝x＋x0＋3(1－)
＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.
∵－2≤x0≤2，
∴·的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.]
13．解　以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示坐标系，
则B(6,0)，C(－6,0)，CE、BD为AB、AC边上的中线，则|BD|＋|CE|＝30.
由重心性质可知
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|GB|＋|GC|
＝(|BD|＋|CE|)＝20.
∵B、C是两个定点，G点到B、C距离和等于定值20，且20>12，
∴G点的轨迹是椭圆，B、C是椭圆焦点．
∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20，a＝10，
b2＝a2－c2＝102－62＝64，
故G点的轨迹方程为＋＝1
(x≠±10)．
又设G(x′，y′)，A(x，y)，则有＋＝1.
由重心坐标公式知
故A点轨迹方程为＋＝1.
即＋＝1
(x≠±30)．www.
模块综合检测(A)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．命题“若A B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是(　　)
A．0
B．2
C．3
D．4
2．已知命题p：若x2＋y2＝0
(x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则<.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.其中真命题的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
3．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
4．已知椭圆＋＝1
(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)
A．椭圆
B．圆
C．双曲线的一支
D．线段
5．在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sin
α的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于(　　)
A．10
B．8
C．6
D．4
7．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
8．若A，B两点的坐标分别是A(3cos
α，3sin
α，1)，B(2cos
θ，2sin
θ，1)，则||的取值范围是(　　)
A．[0,5]
B．[1,5]
C．(1,5)
D．[1,25]
9．设O为坐标原点，F1、F2是－＝1(a>0，b>0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，|OP|＝a，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0
B.x±y＝0
C．x±y＝0
D.x±y＝0
10．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答　案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．若向量a＝(1,0，z)与向量b＝(2,1,2)的夹角的余弦值为，则z＝________.
12．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，那么实数m的取值范围是_______________________________________________________________．
13．已知双曲线－＝1
(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为____________________
____________________________________________________．
14．若AB是过椭圆＋＝1
(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与坐标轴不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM＝________.
15．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)已知p：2x2－9x＋a<0，q：，
且綈q是綈p的必要条件，求实数a的取值范围．
17．(12分)设P为椭圆＋＝1上一点，F1、F2是其焦点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
18.(12分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点．
(1)求a的取值范围；
(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
19．(12分)
如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
证明：(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
20.(13分)已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||||＋·＝0，求动点P(x，y)的轨迹方程．
21．(14分)
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\
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如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值．
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
模块综合检测(A)
1．B　[原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；故共有2个真命题．]
2．B　[命题p为真，命题q为假，故p或q真，綈q真．]
3．D　[双曲线－＝－1，即－＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．所以对椭圆＋＝1而言，a2＝16，c2＝12.∴b2＝4，因此方程为＋＝1.]
4．A　[∵P为MF1中点，O为F1F2的中点，
∴|OP|＝|MF2|，又|MF1|＋|MF2|＝2a，
∴|PF1|＋|PO|＝|MF1|＋|MF2|＝a.
∴P的轨迹是以F1，O为焦点的椭圆．]
5．D　[
如图所示，建立坐标系，易求点D，平面AA1C1C的一个法向量是n＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，
即sin
α＝.]
6．B　[由抛物线的定义，
得|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]
7．D　[由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y＝－x，∴－2＝－×4，∴a＝2b，
设b＝k，则a＝2k，c＝k，
∴e＝＝＝.]
8．B　[||＝
＝
＝.
因为－1≤cos(α－θ)≤1，所以1≤13－12cos(α－θ)≤25，所以||∈[1,5]．]
9．D
INCLUDEPICTURE
"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\A97.tif"
\
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　[如图所示，∵O是F1F2的中点，∴＋＝2，
∴(＋)2＝(2)2.
即||2＋||2＋
2||·||·cos
60°＝4||2.
又∵|PO|＝a，
∴||2＋||2＋||||＝28a2.①
又由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a，
∴(|PF1|－|PF2|)2＝4a2.
即|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2.②
由①－②得|PF1|·|PF2|＝8a2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝20a2.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos
60°＝，
∴8a2＝20a2－4c2.即c2＝3a2.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2.
即＝2，＝.
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0.]
10．D　[
建立如图所示坐标系．设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则A1(b,0,0)，A(b,0，c)，C1(0，a,0)，
C(0，a，c)，B1(b，a,0)，
D(0,0，c)，N，M.
∵∠CMN＝90°，∴⊥，
∴·＝·
＝－b2＋c2＝0，∴c＝b.
∴·＝(－b,0，－b)·
＝－b2＋b2＝0，
∴AD1⊥DM，即异面直线AD1与DM所成的角为90°.]
11．0
解析　设两个向量的夹角为θ，
则cos
θ＝
＝＝，
解得z＝0.
12．[3,8)
解析　因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，
即m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，
即m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.
13.－＝1
解析　由双曲线－＝1
(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x得＝，∴b＝a.
∵抛物线y2＝16x的焦点为F(4,0)，∴c＝4.
又∵c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋(a)2，
∴a2＝4，b2＝12.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
14．－
解析　设A(x1，y1)，M(x0，y0)，
则B(－x1，－y1)，
则kAM·kBM＝·＝
＝＝－.
15.
解析　
INCLUDEPICTURE
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\
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建系如图，
则M，N，
A(1,0,0)，C(0,1,0)
∴＝，
＝.
∴cos〈，〉＝＝＝.
即直线AM与CN所成角的余弦值为.
16．解　由，得，
即2设A＝{x|2x2－9x＋a<0}，B＝{x|2∵綈p 綈q，∴q p，∴B A.
即2设f(x)＝2x2－9x＋a，
要使2需，即.
∴a≤9.故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}．
17．解　如图所示，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则S△F1PF2＝mnsin
＝mn.
由椭圆的定义知
|PF1|＋|PF2|＝20，
即m＋n＝20.①
又由余弦定理，得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
＝|F1F2|2，
即m2＋n2－mn＝122.②
由①2－②，得mn＝.
∴S△F1PF2＝.
18．解　(1)由消去y，
得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
依题意得即－(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，
∴x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，
即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.
∴(a2＋1)·＋a·＋1＝0，
∴a＝±1，满足(1)所求的取值范围．
故a＝±1.
19.
INCLUDEPICTURE
"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\-88.TIF"
\
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证明　(1)以D为坐标原点，以DA、DC、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
连结AC，AC交BD于G.
连结EG.设DC＝a，
依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E，
∵底面ABCD是正方形，
∴G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，
且＝(a,0，－a)，＝.
∴＝2，即PA∥EG.
而EG 平面EDB且PA 平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)．
又＝，故·＝0＋－＝0，
∴PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD.
20．解　设P(x，y)，则＝(4,0)，＝(x＋2，y)，
＝(x－2，y)．
∴||＝4，||＝，
·＝4(x－2)，
代入||·||＋·＝0，
得4＋4(x－2)＝0，
即＝2－x，
化简整理，得y2＝－8x.
故动点P(x，y)的轨迹方程为y2＝－8x.
21．解　设正方体的棱长为1，如图所示，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.
(1)依题意，得B(1,0,0)，
E(0,1，)，A(0,0,0)，
D(0,1,0)，
所以＝(－1,1，)，
＝(0,1,0)．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量．设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，则
sin
θ＝＝＝.
故直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.
(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.
证明如下：
依题意，得A1(0,0,1)，＝(－1,0,1)，
＝(－1,1，)．
设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，
则由n·＝0，n·＝0，
得
所以x＝z，y＝z，取z＝2，得n＝(2,1,2)．
设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1)(0≤t≤1)．
又B1(1,0,1)，所以＝(t－1,1,0)．
而B1F平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE ·n＝0 (t－1,1,0)·(2,1,2)＝0 2(t－1)＋1
＝0 t＝ F为棱C1D1的中点．这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.www.
模块综合检测(B)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．若命题p：任意x∈R,2x2＋1>0，则綈p是(　　)
A．任意x∈R,2x2＋1≤0
B．存在x0∈R,2x0＋1>0
C．存在x0∈R,2x0＋1<0
D．存在x0∈R,2x0＋1≤0
2．“a>0”是“|a|>0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若双曲线－＝1
(a>0，b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．e>
B．1C．e>2
D．14．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)
A．2
B．6
C．4
D．12
5．过点(2，－2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
6．已知a＝(cos
α，1，sin
α)，b＝(sin
α，1，cos
α)，则向量a＋b与a－b的夹角是(　　)
A．90°
B．60°
C．30°
D．0°
7．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
8．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为(　　)
A．3
B．2
C.
D.
9．命题p：关于x的不等式(x－2)≥0的解集为{x|x≥2}，命题q：若函数y＝kx2－kx－1的值恒小于0，则－4A．“綈p”为假命题
B．“綈q”为假命题
C．“p或q”为真命题
D．“p且q”为假命题
10.
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答　案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．
12．已知双曲线x2－＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________．
13．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率＝__________________________________________________________________.
14．给出如下三种说法：
①四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad＝bc；
②命题“若x≥3且y≥2，则x－y≥1”为假命题；
③若p且q为假命题，则p，q均为假命题．
其中正确说法的序号为________．
15．双曲线－＝1
(a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)已知命题p：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数，q：方程2x2－2x＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题，并指出其真假．
17．(12分)F1，F2是椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F1QF2中的∠F1QF2的外角平分线引垂线，垂足为P，求点P的轨迹．
18.(12分)若r(x)：sin
x＋cos
x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.已知任意x∈R，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围．
19．(12分)已知椭圆＋＝1
(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△CDF2的面积．
20.(13分)已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M，N分别为AB，PC的三等分点，且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求的坐标．
21．(14分)
INCLUDEPICTURE
"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\C32.TIF"
\
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如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)求二面角A—A1C—B的正切值大小．
模块综合检测(B)
1．D　[綈p：存在x∈R,2x2＋1≤0.]
2．A　[因为|a|>0 a>0或a<0，所以a>0 |a|>0，但|a|>0a>0，所以a>0是|a|>0的充分不必要条件．]
3．C　[由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故>a，∴>2.]
4．C　[设椭圆的另一焦点为F，由椭圆的定义知
|BA|＋|BF|＝2，且|CF|＋|AC|＝2，
所以△ABC的周长＝|BA|＋|BC|＋|AC|
＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|AC|＝4.]
5．D　[与双曲线－y2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为－y2＝λ，
由过点(2，－2)，可解得λ＝－2.
所以所求的双曲线方程为－＝1.]
6．A　[(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2
＝(cos2α＋1＋sin2α)－(sin2α＋1＋cos2α)＝0，
∴a＋b与a－b的夹角为90°.]
7．C　[
以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，则AA1＝2，依题设有B(1,1,0)，C(0,1,0)，
D1(0,0,2)，E(1,0,1)，
∴＝(0，－1,1)，＝(0，－1,2)．
∴cos〈·〉＝＝.]
8．C　[令直线l与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得：(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即2(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，
∴kl＝－，∴l的方程：x＋2y－3＝0，
由，得6y2－12y＋5＝0.
∴y1＋y2＝2，y1y2＝.
∴|AB|＝
＝.]
9．D
10．D　[
INCLUDEPICTURE
"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\C28a.TIF"
\
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以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)．
∴＝(－2,0,1)，＝(－2,2,0)，且为平面BB1D1D的一个法向量．
∴cos〈，〉＝＝＝.∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.]
11．0
12.
解析　焦点(±2,0)，渐近线：y＝±x，
焦点到渐近线的距离为＝.
13.
解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，因为y＝x2＋1与渐近线相切，故x2＋1±x＝0只有一个实根，∴－4＝0，∴＝4，∴＝5，∴e＝.
14．①②
解析　对①a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，反之不一定．故①正确；对②，令x＝5，y＝6，则x－y＝－1，所以该命题为假命题，故②正确；对③，p且q假时，p，q至少有一个为假命题，故③错误．
15．(1,3]
解析　设|PF2|＝m，则2a＝||PF1|－|PF2||＝m，
2c＝|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|＝3m.
∴e＝＝≤3，又e>1，
∴离心率的取值范围为(1,3]．
16．解　“p或q”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数或不相等．
“p且q”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数且不相等．
“非p”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根不都是实数．
∵Δ＝24－24＝0，∴方程有两相等的实根．
∴p真，q假．∴“p或q”真，“p且q”假，“非p”假．
17．解　
设椭圆的方程为＋＝1
(a>b>0)，F1，F2是它的两个焦点，Q为椭圆上任意一点，QP是△F1QF2中的∠F1QF2的外角平分线(如图)，
过F2作F2P⊥QP于P并延长交F1Q的延长线于H，
则P是F2H的中点，且|F2Q|＝|QH|，
因此|PO|＝|F1H|＝(|F1Q|＋|QH|)
＝(|F1Q|＋|F2Q|)＝a，
∴点P的轨迹是以原点为圆心，以椭圆长半轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x轴的交点)．
18．解　由于sin
x＋cos
x＝sin∈[－，]，任意x∈R，r(x)为假命题即sin
x＋cos
x>m恒不成立．∴m≥.①
又对任意x∈R，s(x)为真命题．
∴x2＋mx＋1>0对x∈R恒成立．
则Δ＝m2－4<0，即－2故任意x∈R，r(x)为假命题，且s(x)为真命题，应有≤m<2.
19．解　(1)易得椭圆方程为＋y2＝1.
(2)∵F1(－1,0)，
∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，
由得9x2＋16x＋6＝0.
∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，
所以直线与椭圆有两个公共点，
设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则，
∴|CD|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝，
又点F2到直线BF1的距离d＝，
故S△CDF2＝|CD|·d＝.
20．解　方法一　
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∵PA＝AB＝AD＝1，且PA⊥面ABCD，AD⊥AB，∴可设＝i，＝j，＝k，以{i，j，k}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
∵＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋(－＋＋)
＝＋＝k＋(－)
＝－i＋k.
∴＝.
方法二　设＝i，＝j，＝k，以{i，j，k}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M作AD的平行线交CD于点E.可知NE∥PD.
∵＝＋＝＋
＝－＋(＋)＝－i＋(i＋k)
＝－i＋k，
∴＝.
21．(1)证明　∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱
，
∴AB⊥AA1.
在△ABC中，AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，
由正弦定理得∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，
如图，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，A1(0,0，)，
∴＝(1,0,0)，＝(0，，－)，
∴·＝1×0＋0×＋0×(－)＝0，
∴AB⊥A1C.
(2)解　如图，可取m＝＝(1,0,0)为平面AA1C的法向量，设平面A1BC的法向量为n＝(l，m，n)．
则·n＝0，·n＝0，又＝(－1，，0)，
∴　∴l＝m，n＝m.
不妨取m＝1，则n＝(，1,1)．
cos〈m，n〉＝
＝＝.
设二面角A—A1C—B的大小为θ，
∴cos
θ＝cos〈m，n〉＝，sin
θ＝.
从而tan
θ＝，即二面角A—A1C—B的正切值为.www.
章末总结
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知识点一　四种命题间的关系
命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．
例1　判断下列命题的真假．
(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；
(2)若0(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．
知识点二　充要条件及其应用
充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：
(1)定义法
(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．
(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．
(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．
例2　若p：－2例3　设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.
q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.
且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
知识点三　逻辑联结词的应用
对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．
利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．
例4　判断下列命题的真假．
(1)对于任意x，若x－3＝0，则x－3≤0；
(2)若x＝3或x＝5，则(x－3)(x－6)＝0.
例5　设命题p：函数f(x)＝lg的定义域为R；命题q：不等式<1＋ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．
知识点四　全称命题与特称命题
全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．
全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．
全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．
特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．
例6　写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)3＝2；
(2)5>4；
(3)对任意实数x，x>0；
(4)有些质数是奇数．
例7　已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．
章末总结
重点解读
例1　解　(1)若x∈A∪B，则x∈B是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x∈B，则x∈A∪B，为真命题．
(2)∵0∴0≤|x－2|<3.
原命题为真，故其逆否命题为真．
否命题：若x≤0或x≥5，则|x－2|≥3.
例如当x＝－，＝<3.
故否命题为假．
(3)原命题：a，b为非零向量，a⊥ba·b＝0为真命题．
逆命题：若a，b为非零向量，a·b＝0a⊥b为真命题．
否命题：设a，b为非零向量，a不垂直ba·b≠0也为真．
例2　解　若a＝－1，b＝，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故pq.若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x1、x2，且0则x1＋x2＝－a，x1x2＝b.
于是0<－a<2,0即－2所以，p是q的必要不充分条件．
例3　解　设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3aB＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}
＝{x|x<－4或x≥－2}．
∵p是q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
∴AB，∴或，
解得－≤a<0或a≤－4.
故实数a的取值范围为(－∞，－4]∪.
例4　解　(1)∵x－3＝0，有x－3≤0，∴命题为真；
(2)∵当x＝5时，(x－3)(x－6)≠0，
∴命题为假．
例5　解　p：由ax2－x＋a>0恒成立得
，∴a>2.
q：由<1＋ax对一切正实数均成立，
令t＝>1，则x＝，
∴t<1＋a·，
∴2(t－1)1均成立．
∴2，∴a≥1.
∵p或q为真，p且q为假，∴p与q一真一假．
若p真q假，a>2且a<1不存在．
若p假q真，则a≤2且a≥1，∴1≤a≤2.
故a的取值范围为1≤a≤2.
例6　解　(1)3≠2，真命题；
(2)5≤4，假命题；
(3)存在一个实数x，x≤0，真命题；
(4)所有质数都不是奇数，假命题．
例7　解　(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，
只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．www.
§2　抛物线
2.1　抛物线及其标准方程
课时目标　1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程．
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1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离________的点的集合叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．
2．抛物线的标准方程
(1)方程y2＝±2px，x2＝±2py(p>0)叫做抛物线的标准方程．
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．
(3)抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．
(4)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点坐标是__________，准线方程是__________，开口方向________．
(5)抛物线x2＝－2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．
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一、选择题
1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是(　　)
A.
B.
C．|a|
D．－
2．与抛物线y2＝x关于直线x－y＝0对称的抛物线的焦点坐标是(　　)
A．(1,0)
B．(，0)
C．(0,0)
D．(0，)
3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>)，则点M的横坐标是(　　)
A．a＋
B．a－
C．a＋p
D．a－p
4．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点P(－3，m)到焦点F的距离为5，则抛物线方程为(　　)
A．y2＝8x
B．y2＝－8x
C．y2＝4x
D．y2＝－4x
5．方程＝|x－y＋3|表示的曲线是(　　)
A．圆
B．椭圆
C．直线
D．抛物线
6．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)
A.
B．3
C.
D.
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是__________．
8．若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．
9．已知抛物线x2＝y＋1上一定点A(－1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是______________．
三、解答题
10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．
11.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．
能力提升
12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　)
A.
B．1
C．2
D．4
13．AB为抛物线y＝x2上的动弦，且|AB|＝a
(a为常数且a≥1)，求弦AB的中点M离x轴的最近距离．
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1．理解抛物线定义，并能判定一些有关抛物线的点的轨迹问题．
2．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．
3．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝2py通常又可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y＝ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．
§2　抛物线
2．1　抛物线及其标准方程
知识梳理
1．相等　焦点　准线
2．(2)(，0)　x＝－　向右　(3)(－，0)　x＝　向左　(4)(0，)　y＝－　向上
(5)(0，－)　y＝　向下
作业设计
1．B　[因为y2＝ax，所以p＝，即该抛物线的焦点到其准线的距离为.]
2．D　[y2＝x关于直线x－y＝0对称的
抛物线为x2＝y，∴2p＝，p＝，∴焦点为.]
3．B　[由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－.]
4．B　[点P(－3，m)在抛物线上，焦点在x轴上，所以抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p>0)．由抛物线定义知|PF|＝3＋＝5.
所以p＝4，所以抛物线的标准方程是y2＝－8x.]
5．D　[原方程变形为
＝，它表示点M(x，y)与点F(－3,1)的距离等于点M到直线x
－y＋3＝0的距离．根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线．]
6．A　[
如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x＝－的距离d等于点P到焦点的距离|PF|.
因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F的距离，则距离之和的最小值为
＝.]
7．y＝3
解析　抛物线x2＋12y＝0，即x2＝－12y，故其准线方程是y＝3.
8．y＝4x2
9．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析　由题意知，设P(x1，x－1)，Q(x2，x－1)，
又A(－1,0)，PA⊥PQ，∴·＝0，
即(－1－x1,1－x)·(x2－x1，x－x)＝0，
也就是(－1－x1)·(x2－x1)＋(1－x)·(x－x)＝0.∵x1≠x2，且x1≠－1，
∴上式化简得x2＝－x1＝＋(1－x1)－1，由基本不等式可得x2≥1或x2≤－3.
10．解　设抛物线方程为y2＝－2px
(p>0)，
则焦点F，
由题意，得
解得或
故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.
11．解　方法一　设P点的坐标为(x，y)，
则有＝|x|＋1，
两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|.
∴y2＝即点P的轨迹方程为y2＝4x
(x≥0)或y＝0
(x<0)．
方法二　由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P在以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，其轨迹方程为y2＝4x.
故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x
(x≥0)或y＝0
(x<0)．
12．C　[方法一　由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－.
∵准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，
∴3＋＝4，∴p＝2.
方法二　作图可知，抛物线y2＝2px
(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切于点(－1,0)，
所以－＝－1，p＝2.]
13．解　
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设A、M、B点的纵坐标分别为y1、y2、y3.A、M、B三点在抛物线准线上的射影分别为A′、M′、B′，如图所示．
由抛物线的定义，知
|AF|＝|AA′|＝y1＋，
|BF|＝|BB′|＝y3＋，
∴y1＝|AF|－，y3＝|BF|－.
又M是线段AB的中点，
∴y2＝(y1＋y3)＝
≥×＝(2a－1)．
等号在AB过焦点F时成立，即当定长为a的弦AB过焦点F时，M点与x轴的距离最近，最近距离为(2a－1)．www.
§5　夹角的计算
5.1　直线间的夹角
5.2　平面间的夹角
课时目标　理解两条异面直线的夹角、二面角及二面角的平面角的概念，能用向量方法解决线线、面面所成角的计算问题．会灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．
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1．直线间的夹角包括两直线共面时的两直线的夹角和两直线异面时的异面直线的夹角，两直线的夹角范围是________；两条异面直线夹角的范围是________，其大小可以通过这两条异面直线的______________的夹角来求．若设两条异面直线的夹角为θ，它们的方向向量的夹角是φ，则有θ＝______或θ＝________.
2．二面角的大小就是指二面角的平面角的大小，其范围是____________，二面角的平面角的大小(或其补角的大小)可以通过两个面的__________的夹角求得，二面角和两平面法向量的夹角的关系是______________．
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一、选择题
1．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于(　　)
A．30°
B．150°
C．30°或150°
D．以上均错
2．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM与CN所成角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
3．如果二面角α—l—β的平面角是锐角，点P到α，β和棱l的距离分别为2，4和4，则二面角的大小为(　　)
A．45°或30°
B．15°或75°
C．30°或60°
D．15°或60°
4．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条夹角均为60°，则二面角B—PA—C的余弦值是(　　)
A.
B.
C.
D.
5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
6．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，ν＝(－1，1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．
8．如图，
已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
9．已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为________．
三、解答题
10．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．
11.
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在三棱锥S—ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，SB＝4.
(1)证明：SC⊥BC；
(2)求二面角A—BC—S的大小．
能力提升
12.
如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE.求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．
13.
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如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1.
(1)证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；
(2)设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1－AC1－B1的余弦值．
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1．异面直线所成的角可以利用两个向量的夹角来求．
2．二面角可以利用立体几何方法作出二面角的平面角，然后利用几何方法或向量进行计算；也可以直接利用两个平面的法向量来求，要注意角的范围．
3．利用向量解题，大致可以利用基底法和坐标法．
§5　夹角的计算
5．1　直线间的夹角
5．2　平面间的夹角
知识梳理
1．[0，]　　方向向量　φ　π－φ
2．[0，π]　法向量　相等或互补
作业设计
1．A
2．D
　[如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，
M，C(0,1,0)，
N.
∴＝，＝.
∴·＝，||＝＝||.
∴cos〈，〉＝＝.]
3．B　[如图(1)，(2)所示，分别是P在二面角α—l—β的内部、外部时的情况．因为PA⊥α，所以PA⊥l，因为PC⊥l，所以l⊥面PAC，同理，l⊥面PBC，而面PAC与面PBC有公共点，所以面PAC和面PBC应重合，即A，B，C，P在同一平面内，∠ACB是二面角的平面角．
在Rt△APC中，sin∠ACP＝＝＝，所以∠ACP＝30°.在Rt△BPC中，sin∠BCP＝＝＝，所以∠BCP＝45°，故∠ACB＝30°＋45°＝75°(图(1))，或∠ACB＝45°－30°＝15°(图(2))．]
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　　　图(1)　　　　　　图(2)
4．B　[在射线PA上取一点O，分别在平面PAB、PAC内作OE⊥PA，OF⊥PA交PB、PC于E、F，则∠EOF为所求二面角的平面角．
△EOF中，令EF＝1，则由题意可求得，OE＝OF＝，∴cos∠EOF＝＝.]
5．B
　[建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为1，
则＝(1,0,1)，＝(1,1，)．
设平面A1DE的法向量n1＝(x，y，z)，
则∴解得
令z＝1，∴n1＝(－1，，1)
平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝.]
6．B　[
INCLUDEPICTURE
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建立坐标系如图．
则A(1,0,0)，E(0,2,1)，
B(1,2,0)，C1(0,2,2)．
＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，
cos〈，〉＝＝.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.]
7．60°
解析　∵cos〈n，ν〉＝＝＝－，
∴〈n，ν〉＝120°.故两平面所成的锐二面角为60°.
8．90°
解析　
建立如图所示的坐标系，设正三棱柱的棱长为1，则B，
M，
B1，
因此＝，＝，设异面直线AB1与BM所成的角为θ，
则cos
θ＝|cos〈，〉|＝＝0，
∴θ＝90°.
9.
解析　建立
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如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1.因为A1D⊥平面ABC，AD⊥BC，由AD＝，AA1＝1知A1D＝.
故A1.又A，B，
∴＝，＝，
∴cos〈，〉＝.
又∵CC1∥AA1，∴cos〈，〉＝cos〈，〉．
故异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为.
10．解　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，B(2,4,0)，
C1(0,4,2)，A1(2,0,2)，
∴E(1,2,2)，F(1,4,1)，
＝(－1,4,1)，
＝(－1，－2,2)，
∴||＝＝3，||＝＝3，
·＝1－8＋2＝－5，
∴cos〈，〉＝＝－.
∵异面直线所成角的范围是，
设AF与BE所成角为θ，
则cos
θ＝|cos〈，〉|＝.
11．(1)证明　由已知∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，以C点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,2,0)，B(4,0,0)，C(0,0,0)，S(0,2,2)，
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则＝(0，－2，－2)，
＝(－4,0,0)，
∴·＝0，∴SC⊥BC.
(2)解　∵∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥平面ABC，
∴＝(0,0,2)是平面ABC的法向量．
设侧面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，
＝(0，－2，－2)，＝(－4,0,0)．
∵·n＝0，·n＝0，∴
∴x＝0.令z＝1，则y＝－，
则得平面SBC的一个法向量n＝(0，－，1)，
cos〈，n〉＝＝＝，
即二面角A—BC—S的大小为60°.
12．解　如图所示，
设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA1＝，则AB＝2，相关各点的坐标分别是A(0，－1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，
D.易知＝(，1,0)，
＝(0,2，)，＝(，，)．
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有
解得x＝－y，z＝－y，
故可取n＝(1，－，)．
所以cos〈n，〉＝＝＝.
由此可知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为.
13．(1)证明　以B为坐标原点，射线BA、BB1为x轴正半轴、y
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轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AB＝2，则A(2,0,0)，
B1(0,2,0)，D(0,1,0)，E(，，0)．又设C(1,0，c)，则＝(，，0)，＝(2，－2,0)，＝(1，－1，c)．
于是·＝0，·＝0，故DE⊥B1A，DE⊥DC，又DE∩AB1＝E，CD∩DE＝D.
所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．
(2)解　因为〈，〉等于异面直线AB1与CD的夹角，故·＝|B1A||cos
45°，
即2××＝4.
解得c＝，故＝(－1,0，)．
又＝＝(0,2,0)，
所以＝＋＝(－1,2，)．
设平面AA1C1的法向量m＝(x，y，z)，
则m·＝0，m·＝0，
即－x＋2y＋z＝0,2y＝0.
令x＝，则z＝1，y＝0.
故m＝(，0,1)．
设平面AB1C1的法向量为n＝(p，q，r)，
则n·＝0，n·＝0，
即－p＋2q＋r＝0,2p－2q＝0，
令p＝，则q＝，r＝－1.
故n＝(，，－1)．
所以cos〈m，n〉＝＝.
由于〈m，n〉等于二面角A1－AC1－B1的平面角，
所以二面角A1－AC1－B1的余弦值为.