22.2 用函数观点看一元二次方程培优提高试题

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九上数学第二十二章培优提高 二次函数与一元二次方程　
一.选择题（共11小题）
1.若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=﹣3，x2=1，则二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是（　　）21*cnjy*com
A.直线x=1 B.y轴 C.直线x=﹣1 D.直线x=﹣2
2.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象，此抛物线与x轴交点的横坐标为﹣1和3，则在下列结论错误的是（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
A.方程ax2+bx+c=0的两根和为2 B.b＞0 C.a+b+c＜0 D.4a2﹣2b+c＞0
3.若抛物线y=x2﹣2bx+4和x轴只有一个交点，则b的值为（　　）
A.2 B.﹣2 C.±2 D.4
4.将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（　　）
A.4 B.6 C.8 D.10
5.抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A.m＜2 B.m＞2 C.0＜m≤2 D.m＜﹣2
6.抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（　　）
A.0 B.1 C.2 D.3
7.抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　）
A.x＜2 B.x＞﹣3 C.﹣3＜x＜1 D.x＜﹣3或x＞1
8.下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c=0的一个解，则下列选项中正确的是（　　）www.21-cn-jy.com
A.1.6＜x1＜1.8 B.1.8＜x1＜2.0 C.2.0＜x1＜2.2 D.2.2＜x1＜2.4
9.如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（　　）www-2-1-cnjy-com
A.b2＞4ac B.ax2+bx+c≥﹣6【出处：21教育名师】
C.若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
10.已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：
①该抛物线的对称轴在y轴左侧； ②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；
③a﹣b+c≥0； ④的最小值为3.其中，正确结论的个数为（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二.填空题（共10小题）
11.抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴的两个交点之间的距离的是_______
12.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，它的顶点的横坐标为﹣1，由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=　 　.【版权所有：21教育】
13.抛物线y=﹣3x2﹣x+4与坐标轴的交点个数是　 　.
14.已知抛物线y=（m+1）x2+4mx+4m﹣3与x轴有两个交点，则m的取值范围是　 　.
15.若函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为　 　.
16.若关于x的一元二次方程a（x+m）2=3的两个实数根x1=﹣1，x2=3，则抛物线y=a（x+m﹣2）2﹣3与x轴的交点坐标是　 　.21教育名师原创作品
17.方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为﹣3和1，那么抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线　 　.21*cnjy*com
18.已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（a，0），那么代数式a2﹣a+2016的值为　 　.
19.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为　 　个.
20.如图，抛物线y=﹣x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B的左侧.当x=2﹣x2时，y　 　0（填“＞”“=”或“＜”号）.
三.解答题（共7小题）
21.已知抛物线y=x2﹣（m2+4）x﹣2m2﹣12
（1）证明：无论m取何实数，抛物线与x轴恒有两个交点，且一个交点是（﹣2，0）；
（2）m为何值时，两交点之间的距离为12；
（3）m为何值时，两交点间的距离最小.
22.已知函数y=x2+mx+m﹣2的图象与x轴有两个不同的交点.
（1）求m的取值范围；
（2）若抛物线与y轴交于点（0，1），求方程x2+mx+m﹣2=0的两根.
23.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k取值范围.
24.如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点.21世纪教育网版权所有
（1）求这条抛物线对应的函数解析式；
（2）求直线AB对应的函数解析式.
　
25.（2017 岳池县模拟）已知：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上.21cnjy.com
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；
（3）若抛物线上有一动点P，使三角形ABP的面积为6，求P点坐标.
26.（2017 黑龙江）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y=﹣x+3交于C、D两点.连接BD、AD.
（1）求m的值.
（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP=4S△ABD，求点P的坐标.
27.（2016 大连）如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
（1）求直线BC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标.
参考答案
一.选择题（共10小题）
1C.【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=﹣3，x2=1，
∴y=ax2+bx+c图象的与x轴交点坐标为（﹣3，0），（1，0）
∴x=﹣==﹣1.故选C.
2B.【解答】解：∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3，故A正确；
由图象得，a＞0，c＜0，b＜0，故B错误；∵对称轴为x=1，∴a+b+c＜0，故C正确；
∵x=﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，故D正确.故选：B.　
5A.【解答】解：∵抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，
即4﹣4m+4＞0，解得m＜2，故选A.
6C.【解答】解：抛物线y=2x2﹣2x+1，显然抛物线与y轴有一个交点，
令y=0，得到2x2﹣2x+1=0，∵△=8﹣8=0，∴抛物线与x轴有一个交点，
则抛物线与坐标轴的交点个数是2，故选C　
7C.【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为（﹣3，0）（1，0），
∴关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜1.故选C.　
8C.【解答】解：如图由图象可以看出二次函数y=ax2+bx+c在区间（2.0，2.2）上可能与x轴有交点，即2.0＜x1＜2.2.∴故选C.21·cn·jy·com
9C.【解答】解：A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0所以b2＞4ac，故A选项正确；B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项正确；C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；
D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确.故选C.　
　二.填空题（共10小题）
11.3
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴有两个交点，∴x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1
∴两个交点坐标是；（2，0）（﹣1，0），∴两个交点之间的距离是3，　
12.x2=　﹣3　.
【解答】解：由图象可知对称轴x=﹣1，与x轴的一个交点横坐标是1，它到直线x=1的距离是2个单位长度，所以另外一个交点横坐标是﹣3，即x=﹣3.21·世纪*教育网
13.　3　.
【解答】解：∵y=﹣3x2﹣x+4，∴b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×（﹣3）×4=49＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点，∵a=﹣3＜0，∴抛物线与y轴有一个交点，
∴抛物线y=﹣3x2﹣x+4与坐标轴的交点个数是3.故答案为：3.
14.　m＜3且m≠﹣1　.
【解答】解：△=16m2﹣4（m+1）（4m﹣3）＞0，则m＜3，由于m+1≠0，所以m≠﹣1.
故m的取值范围是：m＜3且m≠﹣1.　
15.　﹣1或2或1　.
【解答】解：∵函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2﹣4ac=16﹣4（a﹣1）×2a=0，解得：a1=﹣1，a2=2，
当函数为一次函数时，a﹣1=0，解得：a=1.故答案为：﹣1或2或1.　
17.直线　x=﹣1　.
【解答】解：∵函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，
∵x1+x2=﹣3+1=﹣=﹣2.则对称轴x=﹣=×（﹣）=×（﹣2）=﹣1.
18.　2017　.
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（a，0），∴代入得：a2﹣a﹣1=0，
∴a2﹣a=1，∴a2﹣a+2016=1+2016=2017，故答案为：2017.
19.　3　个.
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；
∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确.综上所述，共有3个正确结论，
20.y　=　0
【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1+x2=2，∴x1=2﹣x2，∵x=2﹣x2，∴x=﹣x1=0，∴y=0.故答案为：=.
三.解答题（共7小题）
21.【解答】（1）证明：在y=x2﹣（m2+4）x﹣2m2﹣12中，令y=0可得x2﹣（m2+4）x﹣2m2﹣12=0，∵△=（m2+4）2+4（2m2+12）=m4+64＞0，21教育网
∴方程x2﹣（m2+4）x﹣2m2﹣12=0有两个不相等的实数根，
∴无论m取何实数，抛物线与x轴恒有两个交点，
当x=﹣2时，代入可得y=4+2（m2+4）﹣2m2﹣12=0，
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）；
22.【解答】解：（1）根据题意得△=m2﹣4（m﹣2）=（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2+4＞0，∴m无论为何实数，△＞0，∴m的取值范围为全体实数；
（2）∵抛物线与y轴交于点（0，1），∴m﹣2=1，解得m=3，∴抛物线解析式为y=x2+3x+1，
当y=0时，x2+3x+1，解得x1=，x2=，
即方程x2+mx+m﹣2=0的两根为x1=，x2=.
23.【解答】解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，则方程ax2+bx+c=0的两个根为1和3；2·1·c·n·j·y
（2）由图象可知当1＜x＜3时，不等式ax2+bx+c＞0；
（3）由图象可知，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x=2，开口向下，
即当x＞2时，y随x的增大而减小；
（4）由图象可知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2，
若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k必须小于y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值，
则k＜2.
25.【解答】解：（1）因为二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3），所以，解得.所以二次函数解析式为y=x2+2x﹣3.【来源：21·世纪·教育·网】
（2）∵抛物线对称轴x=﹣1，D（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），
∴C、D关于x轴对称，连接AC与对称轴的交点就是点P，
此时PA+PD=PA+PC=AC===3.
（3）设点P坐标（m，m2+2m﹣3），令y=0，x2+2x﹣3=0，x=﹣3或1，∴点B坐标（1，0），
∴AB=4∵S△PAB=6，∴ 4 |m2+2m﹣3|=6，∴m2+2m﹣6=0，m2+2m=0，2-1-c-n-j-y
∴m=0或﹣2或﹣1+或﹣1﹣.
∴点P坐标为（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣1+，3）或（﹣1﹣，3）.
26.【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+3过（3，0），∴0=﹣9+3m+3，∴m=2
（2）由，得，，∴D（，﹣），
∵S△ABP=4S△ABD，∴AB×|yP|=4×AB×，∴|yP|=9，yP=±9，
当y=9时，﹣x2+2x+3=9，无实数解，
当y=﹣9时，﹣x2+2x+3=﹣9，x1=1+，x2=1﹣，
∴P（1+，﹣9）或P（1﹣，﹣9）.
则d=m+﹣（m2﹣3m+），整理得，d=﹣m2+m，
∵a=1＞0，
∴当m=﹣=时，d最大===，∴D点的坐标为（，﹣）.
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