班级
姓名
学号
分数
《必修五专题一正弦定理》测试卷（A卷）
（测试时间：120分钟
满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在中，已知，则的形状是(
)
A.
等腰三角形
B.
直角三角形
C.
等腰直角三角形
D.
等腰三角形或直角三角形
2．在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是(
)
A.
B.
C.
D.
3．在
EMBED
Equation.DSMT4
中，
，
，则等于（
）
A.
3
B.
C.
1
D.
2
4．在中，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
5．在中，角，
，
的对边分别为，
，
，已知，
，
，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
6．在中，内角的对边分别是，
，
，
，则的值是(
)
A.
B.
C.
D.
7.在中，，，，则的面积为（
）
A.
B.
C.1
D.
8．在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（ ）
A．
等腰直角三角形
B．
直角三角形
C．
等腰三角形
D．
等边三角形
9.在中，，边上的高等于,则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
10．在
EMBED
Equation.DSMT4
中,,
，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
11．在△ABC中，已知，
，cos
A＝－，则sin
B等于
( )
A.
B.
C.
D.
12．某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机处测得正前方河流的两岸，
的俯角分别为，
，此时无人机的高是60米，则河流的宽度等于（
）
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在中，
，
，
，则边的长为______．
14．在中，
，
，则________
15．已知的面积为，
，则__________．
16．的内角的对边分别为,若,则__________.
三、解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知△ABC中，
,且，试判断三角形的形状．
18．在中，，.
(1)求的值；学=
(2)若，求的面积.
19．设锐角三角形的内角的对边分别为，且.
（1）求的大小；
（2）求的取值范围.
20．在三角形中，角及其对边满足：
.
(1)求角的大小；(2)求函数的值域.
21．在中，角所对的边长分别为，且.
（1）求角；学-
（2）若，求的取值范围.
22．在中，内角所对的边分别为.已知，
，
.
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求的值.班级
姓名
学号
分数
《必修五第二章数列》测试卷（B卷）
（测试时间：120分钟
满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在中，角所对的边分边为，已知，则此三角形的解的情况是（
）
A.
有一解
B.
有两解
C.
无解
D.
有解但解的个数不确定
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a＞b，则∠B＝(
)．
A.
B.
C.
D.
3．在
中，角A,B,C的对边分别为a,b,c若为锐角三角形，且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是
A.
a=2b
B.
b=2a
C.
A=2B
D.
B=2A
4．设的内角，
，
的对边分别为，
，
.若，
，
，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
5．在中，内角所对的边分别是，若，则的值为（ ）
A.
B.
C.
1
D.
6．在中，内角所对应的边分别为，且，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
7．锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
8．在中，角的对边分别为，
，
的面积为4，则等于（
）学-
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
9．△ABC中，
EMBED
Equation.DSMT4
则角A为
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
90°
10．在中，
分别是所对应的边，
，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处测得公路北侧一山顶在西偏北（即）的方向上；行驶后到达处，测得此山顶在西偏北（即）的方向上，且仰角为．则此山的高度＝
A.
m
B.
m
C.
m
D.
m
12．
中,若
且,则的形状是
A.
等边三角形
B.
等腰三角形
C.
等腰直角三角形
D.
直角三角形
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知C=60°，b=，c=3，则A=_________。
14．如果满足，，的恰有一个，则实数的取值范围是____________.
15．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西，距灯塔68海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向处，则该船航行的速度为__________海里/小时.
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则sinA+sinC的最大值是
______
．
三、解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，
，求.
18．已知角是的内角，
分别是其所对边长，向量，
，
（1）求角A的大小；
（2）若，求的长
.
19．中，角的对边分别是，满足.
(1)求角的值；
(2)若且，求的取值范围.
20．已知函数.
(I)求函数的值域；
(II)已知锐角的两边长分别是函数的最大值和最小值，且的外接圆半径为，求的面积.
21．已知函数的部分图像如图所示.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）在中，角的对边分别是，若，求的取值范围.
22．某地拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域，其中三角形区域为主题活动园区，其中；
为游客通道（不考虑宽度），且，通道围成三角形区域为游客休闲中心，供游客休息．
（1）求的长度；学@
（2）记游客通道与的长度和为，
，用表示，并求的最大值．班级
姓名
学号
分数
《必修五专题一正弦定理》测试卷（B卷）
（测试时间：120分钟
满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在中，角所对的边分边为，已知，则此三角形的解的情况是（
）
A.
有一解
B.
有两解
C.
无解
D.
有解但解的个数不确定
【答案】C
【解析】由三角形正弦定理可知无解，所以三角形无解，选C.
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a＞b，则∠B＝(
)．
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】边换角后约去sin
B，得sin(A＋C)＝，所以sin
B＝，但∠B非最大角，所以∠B＝.
3．在
中，角A,B,C的对边分别为a,b,c若为锐角三角形，且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是
A.
a=2b
B.
b=2a
C.
A=2B
D.
B=2A
【答案】A
【解析】
所以，选A.
【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.
首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.
4．设的内角，
，
的对边分别为，
，
.若，
，
，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
5．在中，内角所对的边分别是，若，则的值为（ ）
A.
B.
C.
1
D.
【答案】D
【解析】根据正弦定理可得，
，故选D.
6．在中，内角所对应的边分别为，且，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】a=2b，3bsinC=c，
由正弦定理=，
则有：
=，
解得：sinA=.
故选：A.
7．锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由正弦定理得，
又
故选B.
点睛：本题主要考查正弦定理和正弦两角和差公式的应用．正弦定理和余弦定理在解三角形中应用比较多，这两个定理和其推论一定要熟练掌握并能够灵活运用，注意锐角三角形中角的范围的确定，是本题解答的关键，考查计算能力，逻辑推理能力，属于中档题.
8．在中，角的对边分别为，
，
的面积为4，则等于（
）
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
【答案】D
【解析】因为，所以由正弦定理可得，由得，则，得，故选D.学@
9．△ABC中，
EMBED
Equation.DSMT4
则角A为
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
90°
【答案】B
【解析】由题意结合正弦定理可得：
，整理可得：
，
则：
，
据此有：
，
，
即
，
据此可得
，
综上有：
.
点睛：在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．
10．在中，
分别是所对应的边，
，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处测得公路北侧一山顶在西偏北（即）的方向上；行驶后到达处，测得此山顶在西偏北（即）的方向上，且仰角为．则此山的高度＝
A.
m
B.
m
C.
m
D.
m
【答案】A
【解析】
设此山高h(m),则BC=h，
在△ABC中,∠BAC=30 ,∠CBA=105 ,∠BCA=45 ，AB=600.
根据正弦定理得=，
解得h=
(m)
故选：A.
12．
中,若
且,则的形状是
A.
等边三角形
B.
等腰三角形
C.
等腰直角三角形
D.
直角三角形
【答案】C
【解析】由,得,
所以得,所以.所以,所以,
即,所以,所以,即,所以,,即三角形为等腰直角三角形,选.
点睛：判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知C=60°，b=，c=3，则A=_________。
【答案】75°
【解析】由正弦定理，得，结合可得，则.
【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
14．如果满足，，的恰有一个，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】由正弦定理有：，则，，结合图像可得，当时满足题意，此时.
15．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西，距灯塔68海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向处，则该船航行的速度为__________海里/小时.
【答案】
【解析】
如图,在△MNO中，由正弦定理可得，
，
则这艘船的航行速度
(海里/小时).
点睛：(1)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决．
(2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理解决．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则sinA+sinC的最大值是
______
．
【答案】
【解析】∵acosA=bsinA,∴，
又由正弦定理得，
∴，
∵，
∴.
∴.
∴.
∴.
∵，
∴，
∴.
∴当时,sinA+sinC取得最大值.
三、解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，
，求.
【答案】(1)
;(2)
.
【解析】试题分析：
(1)由正弦定理边化角，结合三角函数的性质可得；
(2)利用正弦定理可得：
.
试题解析：
（Ⅰ）由正弦定理可得，＝＝，
所以tanA＝．
因为A为三角形的内角，所以A＝.
（Ⅱ）a＝2，A＝，B＝，
由正弦定理得，b＝＝2．
18．已知角是的内角，
分别是其所对边长，向量，
，
（1）求角A的大小；
（2）若，求的长
.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）根据题意，当两个向量垂直时，其数量积为0，结合三角函数的倍角公式进行运算，又，再三角函数值进行计算，从而求出角；（2）结合（1）的结果，由题意，可根据正弦定理进行运算即可.
试题解析：（1）已知
（2）
由正弦定理得
点睛：此题主要考查了两个向量垂直的数量积的运算，三角函数的恒等变换，以及正弦定理的应用等方面的知识，属于中高档题型，也是高频考题.在解决此类问题的过程中，三角函数的倍角公式、两角和差的正弦公式的应用起到了非常关键的作用，还要注意三角形内角的取值范围.
19．中，角的对边分别是，满足.
(1)求角的值；
(2)若且，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由已知
得
化简得
,故．
点睛：本题主要运用三角恒等变换，熟练运用三角和差公式以及二倍角公式，然后对求三角形有关边的线性运算的最值问题，通常是利用正弦定理将其转化为角的问题，借助三角函数来进行最值解答，在运算中要注意角度的取值范围.
20．已知函数.
(I)求函数的值域；
(II)已知锐角的两边长分别是函数的最大值和最小值，且的外接圆半径为，求的面积.
【答案】(I)
；(II)
.
试题解析：(I)
又 ，
所以当，即时，
当，即时，
所以值域为
(II)设AB=,AC=2
则
所以 ,
,
又是锐角三角形
所以 ,
所以
所以.
【方法点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公及辅助角公式一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
21．已知函数的部分图像如图所示.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）在中，角的对边分别是，若，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（I）利用函数的图象，求出A，通过函数的周期求出ω，通过函数的图象经过 ，求出φ，即可解出函数f（x）的解析式；
（II）利用，结合正弦定理，求出cosB，利用函数的解析式求的表达式，通过A的范围求出函数的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）由图像知，
，∴，
由图像可知，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴.
（Ⅱ）依题设，
，
∴，
即
，
∴，
又，
∴.
∴.
由（Ⅰ）知，
，
又∵，
∴，
∴，
∴的取值范围是.学-
22．某地拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域，其中三角形区域为主题活动园区，其中；
为游客通道（不考虑宽度），且，通道围成三角形区域为游客休闲中心，供游客休息．
（1）求的长度；
（2）记游客通道与的长度和为，
，用表示，并求的最大值．
【答案】（1）;（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）利用正弦定理，求的长度．
（2）求出，可得出关于的关系式，化简后求的最大值．
试题解析：（1）由已知由正弦定理，得
得.
（2）在中，设，由正弦定理
，
∴
.
因，当时，
取到最大值.班级
姓名
学号
分数
《必修五专题一正弦定理》测试卷（A卷）
（测试时间：120分钟
满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在中，已知，则的形状是(
)
A.
等腰三角形
B.
直角三角形
C.
等腰直角三角形
D.
等腰三角形或直角三角形
【答案】D
2．在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为，由正弦定理得：，即，,∵,,∴C有两解，
故选：B
3．在
EMBED
Equation.DSMT4
中，
，
，则等于（
）
A.
3
B.
C.
1
D.
2
【答案】D
【解析】由正弦定理得，故选D.
4．在中，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由正弦定理可得：
，
解得.
故选：D.学-
5．在中，角，
，
的对边分别为，
，
，已知，
，
，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】，故选D.
6．在中，内角的对边分别是，
，
，
，则的值是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由可得，
，由正弦定理可得
，故选C.
7.在中，，，，则的面积为（
）
A.
B.
C.1
D.
【答案】A
【解析】
由三角形面积公式得.故选C.
8．在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（ ）
A．
等腰直角三角形
B．
直角三角形
C．
等腰三角形
D．
等边三角形
【答案】C
9.在中，，边上的高等于,则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
【解析】设边上的高线为，则，所以．由正弦定理，知，即，解得，故选D．
10．在
EMBED
Equation.DSMT4
中,,
，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】∵在△ABC中,A=45 ,B=60 ，a=2，
∴由正弦定理得：
.
本题选择A选项.
11．在△ABC中，已知，
，cos
A＝－，则sin
B等于
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
由正弦定理可得
本题选择A选项.
点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
12．某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机处测得正前方河流的两岸，
的俯角分别为，
，此时无人机的高是60米，则河流的宽度等于（
）
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
【答案】C
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在中，
，
，
，则边的长为______．
【答案】
【解析】由题意可得，
,则由正弦定理得，
.
14．在中，
，
，则________
【答案】
【解析】∵∠A=,a=
，
∴由正弦定理=,可得：
=,解得：sinC=,C为锐角,可得C=，
∴由A+B+C=π,可得：B=，
∴==
=.
故答案为：
.
15．已知的面积为，
，则__________．
【答案】
【解析】由题意可得：
，
两式作比值可得：
.
16．的内角的对边分别为,若,则__________.
【答案】
【解析】由正弦定理可得
.
点睛:解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
三、解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知△ABC中，
,且，试判断三角形的形状．
【答案】等腰直角三角形．
18．在中，，.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
;(2)
.
【解析】试题分析：（1）根据正弦定理即可求出答案，（2）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可．
试题解析：
(1)，，
由正弦定理得，
.
(2)，则，
∴，
由(1)可得，
∴，
∴.
19．设锐角三角形的内角的对边分别为，且.
（1）求的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．
【解析】试题分析：（Ⅰ）解三角形，一般利用正余弦定理进行边角转化，本题求角，所以将边化为角，由正弦定理得，所以，由为锐角三角形得.
（Ⅱ）先根据三角形三角关系将两角化为一角：
.由为锐角三角形知，
，
，即，所以.
由此有，
所以，
的取值范围为.
试题解析：解:（Ⅰ）由，根据正弦定理得，
所以，由为锐角三角形得.
6分
（Ⅱ）
.
由为锐角三角形知，
，
.，
所以.
由此有，
所以，
的取值范围为.
20．在三角形中，角及其对边满足：
.
(1)求角的大小；(2)求函数的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）利用二倍角的正弦公式，结合和角的正弦公式化简，即可求角C的大小；
（2）根据函数y=2sin2B-cos2A，化简可得B的三角函数，即可求得函数的值域．
(2)在三角形中，，故.
因为，所以.
所以，.
所以，函数的值域为.
21．在中，角所对的边长分别为，且.
（1）求角；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）;（2）
【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换、正弦定理求得cosB的值，可得B的值．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得M的范围．
试题解析：
（1）在中，
，由正弦定理可得，
把边化角，即
所以，解得.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
22．在中，内角所对的边分别为.已知，
，
.
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】（Ⅰ）.
=.（Ⅱ）.
【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，
进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.
试题解析：（Ⅰ）
解：在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.
由正弦定理,得.
所以，
的值为，
的值为.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，
.故.
考点：正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.
利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
