班级
姓名
学号
分数
《必修五专题二余弦定理》测试卷（A卷）
（测试时间：120分钟
满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在中，角的对边分别为，已知，则（
）
A.
1
B.
2
C.
D.
2．在中，
，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
3．在中，角对应的边分别为，
，则（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4．设中，角所对的边分别为，若，
，
，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
5．在中,
,
,且的面积,则边的长为（
）
A.
B.
3
C.
D.
7
6．在△ABC中，如果，那么cosC等于
（
）
A.
B.
C.
D.
7．观察站与两灯塔的距离分别为300米和500米，测得灯塔在观察站北偏东，灯塔在观察站正西方向，则两灯塔间的距离为（
）
A.
500米
B.
600米
C.
700米
D.
800米
8．的内角的对边分别为，已知，则（
）
A.
B.
C.
2
D.
3
9．在中，
，则的形状为（
）
A.
正三角形
B.
直角三角形
C.
等腰或直角三角形
D.
等腰直角三角形
10．若的内角所对的边分别是，已知，且，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
4学-
11．在中，
，
边上的高为，
为垂足，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
12．在中，角，，所对的边分别是，，，已知，则角的大小为（
）
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．为钝角三角形，且为钝角，则与的大小关系为__________．
14．在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=,则b=______________．
15．在中，设角的对边分别为.若，则角的大小为_________．学@
16．在三角形中，内角所对的边分别为，若，且，则角_________.
三、解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知分别是中角的对边，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的值.
18．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。求：（Ⅰ）角C的度数；
（Ⅱ）AB的长度。
19．已知在
EMBED
Equation.DSMT4
中，
分别是角所对应的边，且.
（1）若，求；
（2）若，求的面积.
20．在中，角、、所对的边分别是、、，已知，且.
（1）当，时，求、的值；
（2）若角为锐角，求的取值范围
21．在中，角所对的边分别为.且.
（1）求的值；-
（2）若，求的面积.
22．在中满足条件.
（I）求；
（II）若，求三角形面积的最大值.班级
姓名
学号
分数
《必修五专题二余弦定理》测试卷（A卷）
（测试时间：120分钟
满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在中，角的对边分别为，已知，则（
）
A.
1
B.
2
C.
D.
【答案】B
【解析】由余弦定理：
得：
，∴c2 c 2=0，∴c=2或 1(舍).
本题选择B选项.
2．在中，
，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
3．在中，角对应的边分别为，
，则（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
【答案】A
【解析】由余弦定理有，代入已知值有
求出，选A.
4．设中，角所对的边分别为，若，
，
，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意，根据余弦定理，得，即，解得或，又，所以，故选B.
点睛：此题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，以及解一元二次方程的运算能力等方面的知识，属于中档题型，也是常考题型.在解决过程中，注意条件的使用，即在解三角形中有“大角对大边，小解对小边”或是“大边对大角，小边对小角”的说法.
5．在中,
,
,且的面积,则边的长为（
）
A.
B.
3
C.
D.
7
【答案】A
【解析】因为△ABC中，
，
，且△ABC的面积
选A.
6．在△ABC中，如果，那么cosC等于
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由正弦定理可将化为
.
7．观察站与两灯塔的距离分别为300米和500米，测得灯塔在观察站北偏东，灯塔在观察站正西方向，则两灯塔间的距离为（
）
A.
500米
B.
600米
C.
700米
D.
800米
【答案】C
【解析】如图，由题知，在△ABC中AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°，由余弦定理得：
所以AB=700米.
8．的内角的对边分别为，已知，则（
）
A.
B.
C.
2
D.
3
【答案】D
【解析】由余弦定理：
，即：
，
整理可得：
,三角形的边长为正数，则：
.
本题选择D选项.
9．在中，
，则的形状为（
）
A.
正三角形
B.
直角三角形
C.
等腰或直角三角形
D.
等腰直角三角形
【答案】B
在判断三角形形状的方法中，一般有，利用正余弦定理边化角，角化边，寻找关系即可.
10．若的内角所对的边分别是，已知，且，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
4
【答案】C
【解析】由可得：
,在由余弦定理得：
.
11．在中，
，
边上的高为，
为垂足，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
12．在中，角，，所对的边分别是，，，已知，则角的大小为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由余弦定理,代入已知条件得,,整理得,所以,又,所以,故选B.学-
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．为钝角三角形，且为钝角，则与的大小关系为__________．
【答案】
【解析】∵△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角
∴cosC<0
∵cosC=
∴<，
故答案为：.
14．在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=,则b=______________
【答案】4
【解析】
，
，
，代入得：
，
，
，
.
15．在中，设角的对边分别为.若，则角的大小为_________．
【答案】
【解析】，即
，
为三角形内角，
，故选答案为.
【思路点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
16．在三角形中，内角所对的边分别为，若，且，则角_________.
【答案】
【解析】，，所以角为钝角，又，所以
三、解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知分别是中角的对边，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（I）利用余弦定理表示出，把已知等式代入求出的值，即可确定出的大小；（II）将代入已知等式得，利用余弦定理表示出，利用恒等式求出.
试题解析：（Ⅰ）由余弦定理，得＝．
……2分
∵，∴
．
……4分
（Ⅱ）解法一：将代入，得．
……6分
由余弦定理，得．
……8分
∵，∴．
……10分
解法二：将代入，得．
……6分
由正弦定理，得．
……8分
∵，∴．
……10分
【方法点晴】此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
18．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。求：（Ⅰ）角C的度数；
（Ⅱ）AB的长度。
【答案】（Ⅰ）120°（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1）运用内角和定理和诱导公式，结合特殊角的三角函数值，即可得到C；（2）由韦达定理以及余弦定理，计算即可得到
19．已知在
EMBED
Equation.DSMT4
中，
分别是角所对应的边，且.
（1）若，求；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由正弦定理将边化角，可得，进而可求；
（2）由余弦定理可得，讲条件代入可得，进而可求面积.
试题解析：
(1)
,
又.
(2)由题意，得，
.
20．在中，角、、所对的边分别是、、，已知，且.
（1）当，时，求、的值；
（2）若角为锐角，求的取值范围
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：
（1）由正弦定理把已知等式化为即可利用已知条件解方程组.
（2）当角为锐角可转化为，从而再由由可得所以..
试题解析：由题意得,.
(I)
当时，,
解得
(II)
∴,又由可得所以.
21．在中，角所对的边分别为.且.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）已知，根据正弦定理和合比定理求的值；（2）由余弦定理得出的值，再根据三角形的面积公式可求出的面积．
试题解析：（1）因为，
由正弦定理，
得，
∴；
（2）∵，
由余弦定理得，
即，
所以，
解得或（舍去），
所以.
22．在中满足条件.
（I）求；
（II）若，求三角形面积的最大值.
【答案】（I）；（II）．
试题解析：（I）由题意得，
即，故，
因为，所以；
（II），
所以，即，等号当时成立；
所以.班级
姓名
学号
分数
《必修五专题二余弦定理》测试卷（B卷）
（测试时间：120分钟
满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列各组数，可以是钝角三角形的长的是（
）
A.
6，7，8
B.
7，8，10
C.
2，6，7
D.
5，12，13
【答案】C
【解析】由余弦定理可得，当三边满足时，三角形可以是钝角三角形，
结合所给的三角形边长可得.
本题选择C选项.学-
点睛：解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
2．已知的内角的对边分别为
，若，则（
）
A.
B.
C.
2
D.
3
【答案】C
3．在中，角的对边分别为，若，
，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由余弦定理得，
,故选B.
4．在中，若，则角等于(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意，
所以,即，
由余弦定理得,
，
则sinC=cosC，即tanC=1，
又0本题选择B选项.
5．在锐角中,
，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由已知及余弦定理得
，由此解得
，选D.
6．△ABC中,
三内角所对的边分别是,若
，
则角A=
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】.
本题选择A选项.
7．在三角形ABC中，如果，那么A等于
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】试题分析：由，变形得：整理得：
∴由余弦定理得：，又A为三角形的内角，则A=60°．故选B.
8．在中，三个角的对边分别为，
，则的值为（ ）
A.
90
B.
C.
45
D.
180
【答案】B
【解析】由余弦定理得，
故选B.
9．设的内角所对边的长分别为.若，则的值为
A.
B.
C.
D.
2
【答案】D
10．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若a＝1，.则角B为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】已知等式利用正弦定理化简得：，由，整理得：，即，由余弦定理得：，即①，与联立，解得：，，由正弦定理，得：，∵，∴，则，故选B.
11．在中，内角所对的边长分别是，若则的形状为
A.
等腰三角形
B.
直角三角形
C.
等腰直角三角形
D.
等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】余弦定理得代入原式得
解得
则形状为等腰或直角三角形,选D.
点睛：判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．
12．在的内角的对边分别为，若，且，则的面积为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】在中，由余弦定理得，解得，
，故选A.
【思路点睛】本题主要考查余弦定理、三角形面积公式及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在中，角A，B，C的对边分别为.已知，则角A为__________.
【答案】
【解析】因为，由正弦定理可知，
，又，所以，
，所以.
14．在中，边的垂直平分线交边于，若,则的面积为
.
【答案】或
【解析】试题分析：由题意得，边在垂直平分线交边于，且，，在中，设，由余弦定理得，即，整理得
，解得或，当时，此时，所以面积为
；当时，此时，所以面积为．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形的综合问题，其中解答中涉及到解三角形的余弦定理的应用，三角形的面积公式、三角形的中垂线的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中，在中，利用余弦定理，求解的长是解答的关键，属于中档试题．
15．在中，
分别是角的对边，已知，若，则的取值范围是__________．
【答案】(2,4]
【点睛】
在解三角形中，对于求边或角范围的题，一般利用正弦定理或余弦定理把边转化为角的三角函数，注意求出角的范围，再求三角函数值域.
16．的三个内角的对边长分别为，
是的外接圆半径，则下列四个条件
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
有两个结论：甲：
是等边三角形；
乙：
是等腰直角三角形.
请你选出给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题__________．
【答案】甲或乙或乙
【解析】由(1)(2)为条件，甲为结论，得到的命题为真命题，理由如下：
证明：由(a+b+c)(a+b c)=3ab，变形得：a2+b2+2ab c2=3ab,即a2+b2 c2=ab，
则，又C为三角形的内角，∴C=60°，
又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，即sinBcosC cosBsinC=sin(B C)=0，
∵ π以(2)(4)作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：
证明：化简得：sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，
即sinBcosC cosBsinC=sin(B C)=0，∵ π由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R得：
，
代入得：
，
整理得：
,即，∴，
∴a2=2b2,又b2+c2=2b2，∴a2=b2+c2，∴∠A=90°，则三角形为等腰直角三角形；
以(3)(4)作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：
证明：由正弦定理得：
，
代入得：
，
整理得：
,即，
,又，
又b=acosC，c=acosB，根据正弦定理得：sinB=sinAcosC，sinC=sinAcosB，∴，即sinBcosB=sinCcosC，∴sin2B=sin2C，又B和C都为三角形的内角，∴2B=2C，即B=C，则三角形为等腰直角三角形。
故
甲或乙或乙.
三、解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,
,S△ABC=3,求A和a.
【答案】，
【解析】试题分析：先由数量积公式及三角形面积公式得,由此求A,再利用余弦定理求a.
试题解析：因为，
所以，
又，
所以，
因此，又，
所以，
又，所以.
由余弦定理，
得，
所以.
【考点】解三角形
【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．
18．在中，内角的对边分别为，向量，且.
（1）求角的大小；学-
（2）若，求的值.
【答案】(1)
；（2）.
【解析】试题分析：（1）先利用向量垂直的充要条件，得三角等式，再利用二倍角公式化简等式即可求得的值，从而得角；（2）先利用余弦定理化简已知等式，再利用正弦定理将等式中的边化为角，并利用（1）和三角变换公式化简，最后利用同角三角函数基本关系式即可得所求.
试题解析:（1）∵，∴，则.
∵，∴，∴,
则.又，∴，则.
【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
19．设的内角所对边的长分别为，且有.
(1)求角的大小；
(2)若，
，
为的中点，求的长.
【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据，可得，从而可得，由此可求求角A的大小；
（Ⅱ）利用，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长
试题解析：(Ⅰ)解：由得：
即
∵sinC≠0，∴
∴
由于，故
(Ⅱ)方法一：∵
∴．
方法二：∵
∴，
∵，AB
=
c
=
1，∴．
方法三：
，
由正弦定理得：
，∴，故
∵，AB
=
c
=
1，∴．
20．在中，分别为角的对边，设.
(1)若，且，求角的大小；
(2)若，求角的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由题意可得：a2-（a2-b2）-4c2=0，即可得到b=2c，根据正弦定理可得：sinB=2sinC，又，再结合角C的范围求出答案即可．
（2）由题意可得：a2+b2=2c2，根据余弦定理可得：，再由2c2=a2+b2≥2ab可得ab≤c2，进而求出cosC的范围即可根据余弦函数求出角C的范围．
试题解析：
(1)由，得，∴，
又由正弦定理，得，，将其代入上式，得，
∵，∴，将其代入上式，得，
∴，整理得：，∴.
∵角是三角形的内角，∴.
(2)∵，∴，即，
由余弦定理，得，
∴(当且仅当时取等号).
∴，是锐角，又∵余弦函数在上递减，∴.
21．在中，角的对边分别为，面积为，已知.
(1)求证：；
(2)若，，求.
【答案】(1)
见解析；(2).
【解析】试题分析：（1）本问主要考查二倍角公式及正弦定理的变形应用，首先将已知化为，再根据正弦定理变形，即边角互化，易得，整理得，即，所以有；（2）根据已知条件中的，先求出的值，然后根据三角形面积公式，可以求出的值，再根据余弦定理，以及，于是可以建立得出关于的方程，易求的值.
试题解析：(1)由条件：，
由于：，所以：，
即：.
(2)，所以：.
，.
又：，
由，
所以：，所以：.
22．在锐角中，.
（1）求角.
（2）若，且取得最大值时，求的面积.
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：
(1)由题意结合余弦定理边化角可得；
(2)由题意结合三角形面积公式可得的面积是.班级
姓名
学号
分数
《必修五专题二余弦定理》测试卷（B卷）
（测试时间：120分钟
满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列各组数，可以是钝角三角形的长的是（
）
A.
6，7，8
B.
7，8，10
C.
2，6，7
D.
5，12，13
2．已知的内角的对边分别为
，若，则（
）
A.
B.
C.
2
D.
3
3．在中，角的对边分别为，若，
，则（
）
A.
B.
C.
D.
4．在中，若，则角等于(
)
A.
B.
C.
D.
5．在锐角中,
，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
6．△ABC中,
三内角所对的边分别是,若
，
则角A=
（
）
A.
B.
C.
D.
7．在三角形ABC中，如果，那么A等于
（
）
A.
B.
C.
D.
8．在中，三个角的对边分别为，
，则的值为（ ）
A.
90
B.
C.
45
D.
180
9．设的内角所对边的长分别为.若，则的值为
A.
B.
C.
D.
2
10．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若a＝1，.则角B为( )
A.
B.
C.
D.
11．在中，内角所对的边长分别是，若则的形状为
A.
等腰三角形
B.
直角三角形
C.
等腰直角三角形
D.
等腰或直角三角形
12．在的内角的对边分别为，若，且，则的面积为
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在中，角A，B，C的对边分别为.已知，则角A为__________.
14．在中，边的垂直平分线交边于，若,则的面积为
.
15．在中，
分别是角的对边，已知，若，则的取值范围是__________．学-
16．的三个内角的对边长分别为，
是的外接圆半径，则下列四个条件
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
有两个结论：甲：
是等边三角形；
乙：
是等腰直角三角形.
请你选出给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题__________．
三、解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,
,S△ABC=3,求A和a.
18．在中，内角的对边分别为，向量，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的值.
19．设的内角所对边的长分别为，且有.
(1)求角的大小；
(2)若，
，
为的中点，求的长.
20．在中，分别为角的对边，设.
(1)若，且，求角的大小；
(2)若，求角的取值范围.
21．在中，角的对边分别为，面积为，已知.
(1)求证：；学
(2)若，，求.
22．在锐角中，.
（1）求角.
（2）若，且取得最大值时，求的面积.
