课件26张PPT。第一章 特殊平行四边形1.3 正方形的性质与判定九年级上册北师版数学第1课时 正方形的性质1．有一组邻边____，并且有一个角是____的平行四边形叫做正方形．
练习1：在四边形ABCD中，若AD∥BC，AD＝BC，AB＝BC，
∠B＝90°，则四边形ABCD的形状是 ．相等直角正方形2．正方形的四个角都是____，四条边____，
对角线____且 ．
练习2：已知正方形ABCD的对角线AC＝4，
则这个正方形的面积是____．直角相等相等互相垂直平分8知识点一：正方形的定义
1．在四边形ABCD中，AC与BD交于O，且OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC，∠DAB＝90°，则四边形ABCD的形状是( )
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形D2．如图，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，那么四边形DECF是 ．正方形3．(2017·泉州模拟)正方形的对称轴的条数为( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角DB5．(2017·本溪平山模拟)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )
A．45° B．55° C．60° D．75°CB 4 8．(P21练习第1题改编)如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则图中共有____个等腰直角三角形．
9．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是 ．822.5°10．(易错题)如图，已知正方形纸片ABCD，点M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ＝____．30°∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG＝EF＝FG，∠BEF＝∠DGF＝90°，∵BE＝AB－AE，DG＝AD－AG，∴BE＝DG，∴△BEF≌△DGF，∴BF＝DF12．(2016·陕西)如图，正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点．若M，N是边AD上的两点，连接MO，NO，并分别延长交边BC于两点M′，N′，则图中的全等三角形共有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对C13．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，
则图中阴影部分的面积为____cm2.
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为____．8615．(2016·哈尔滨)如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.
(1)求证：AP＝BQ；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∴∠BAQ＋∠DAP＝90°.∵DP⊥AQ，∴∠APD＝90°，
∴∠ADP＋∠DAP＝90°， ∴∠ADP＝∠BAQ.
∵AQ⊥BE，∴∠AQB＝90°，∴∠DPA＝∠AQB，
∴△DAP≌△ABQ(AAS)，∴AP＝BQ
(2)AQ与AP，DP与AP，AQ与BQ，DP与BQ16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.
(1)四边形ADCE为____；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．矩形当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，∴DC＝AD，∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形，∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形17．将正方形(图①)作如下操作：第1次：分别连接各边中点(如图②)，得到5个正方形；第2次：将图②左上角正方形按上述方法再分割(如图③)，得到9个正方形……以此类推，根据以上操作，若要得到2017个正方形，则需要操作的次数是( )
A．502 B．503 C．504 D．505C18．如图所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E，F移动过程中：
(1)∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由；
(2)△ECF的周长是否发生变化？请说明理由．(1)∠EAF的大小不变，理由如下：在正方形ABCD中，
∵AH⊥EF，∴∠AHF＝∠D＝90°.∵AF＝AF，AH＝AD，∴Rt△AHF≌Rt△ADF(HL)，∴∠HAF＝∠DAF.
同理 ∠HAE＝∠BAE.∵∠HAF＋∠DAF＋∠HAE＋∠BAE＝90°，∴∠EAF＝∠HAF＋∠HAE＝45°.
∴∠EAF的大小不会发生变化
(2)△ECF的周长不会发生变化，理由如下：
由(1)知Rt△AHF≌Rt△ADF，Rt△AHE≌Rt△ABE，
∴FH＝FD，EH＝EB.∴EF＝EH＋FH＝EB＋FD.
∴CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋EB＋FD＝BC＋CD.
∴△ECF的周长总等于正方形ABCD边长的2倍，不会发生变化课件24张PPT。第一章 特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定九年级上册北师版数学第1课时 矩形的性质1．有一个角是____的平行四边形叫做矩形．
练习1：已知四边形ABCD，若AB∥CD，AD∥BC，
且∠D＝90°，则四边形ABCD为____．
2．矩形的四个角都是____；矩形的对角线____．直角矩形直角相等3．直角三角形斜边上的中线 ．
练习3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，
且CD＝5，则AB＝____ cm.等于斜边的一半101．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是( )
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对边平行
2．矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等CB3．(2016·海南)如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°CD 5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于点F，EG⊥BC于点G，则矩形CFEG的周长是____．126．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.
求证：四边形DOCE是菱形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴DB＝AC，DO＝OB，AO＝OC，∴DO＝OC，
∵EC∥BD，DE∥AC，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∴?DOCE是菱形7．(2016·南充)如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°C8．(易错题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若EF＝4 cm，则CD＝____cm.
9．如图，“人字形”屋梁中，AB＝AC，点E，F，D分别是AB，AC，BC的中点，若AB＝6 m，∠B＝30°，则支撑“人字形”屋梁的木料DE，AD，DF共有____m.4910．直角三角形斜边上的高与中线分别是5 cm和6 cm，则它的面积是 ．
11．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为____．30cm22012．如图，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是( )
A．18° B．36° C．45° D．72°CD 15．如图所示，在△ABC中，BD，CE是高，点G，F分别是BC，DE的中点，则下列结论中：①GE＝GD；②GF⊥DE；③GF平分∠DGE；④∠DGE＝60°.其中正确的是 ．(填写序号)①②③16．(2016·广州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD的度数．17．如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，∠1＝∠2，OB＝6 cm.
(1)求∠BOC的度数；
(2)求△DOC的周长．
(1)∵AE⊥BD,
∴∠AEO＝∠AEB＝90°，
又∵AE＝AE，∠1＝∠2，
∴△AEO≌△AEB.∴AB＝AO.
又∵OA＝OB,
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，∴∠BOC＝120°(2)由矩形的性质可得△OCD≌△OAB，
∴OC＝OA＝OB＝6 cm.
∴△DOC的周长为18 cm18．(2017·邵阳模拟)准备一张矩形纸片，按下图操作：
将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，由折叠可知，∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF，∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形课件24张PPT。第一章 特殊平行四边形1．1 菱形的性质与判定九年级上册北师版数学第1课时 菱形的性质1．有一组____相等的平行四边形叫做菱形．
练习1：已知四边形ABCD，AB＝CD，AD＝BC.
添加一个条件 ，则四边形ABCD是菱形．
2．菱形是____对称图形，菱形的四条边____，
菱形的对角线 ．邻边AB＝BC轴相等互相垂直练习2：(2016·南充)如图，菱形ABCD的周长是8 cm，
AB的长是____ cm.21．已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是( )
A．AB＝CD
B．AB＝BC
C．AD＝BC
D．AC＝BDB2．如图，在?ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.
∴?ABCD是菱形 ．
(请在横线上填上理由)有一组邻边相等的平行四边形是菱形3．(习题1.1第2题改编)若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的边长为( )
A．5 B．16 C．12 D．10
4．(易错题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )
A．AB∥DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．OA＝OCAB5．如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是( )
A．四边形ABCD是平行四边形
B．AC⊥BD
C．△ABC是等边三角形
D．∠CAB＝∠CADCC 7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )
A．3.5 B．4
C．7 D．14A8．如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接OB.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为( )
A．28° B．52° C．62° D．72°
9．(课本P3例1改编)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，BD＝7，则菱形ABCD的周长是____．C2810．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，
AB＝5，AO＝4，求BD的长．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD且BO＝DO.
在Rt△AOB中，
∵AB＝5，AO＝4，
由勾股定理，得BO＝3，
∴BD＝6B 12．如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－3和1，则BC＝____．
13．(2016·南京)如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形的边长为____ cm.41314．(2017·白银模拟)如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为____．1217．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D，
∵点E，F分别是边BC，AD的中点，
∴BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)18．如图，在菱形ABCD中，点F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.
(1)求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？请说明理由．
(1)连接AC.
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD垂直平分AC.
∴AE＝EC(2)点F是线段BC的中点．理由：∵ABCD是菱形，
∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°.
∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.
∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°，
∴AF是△ABC的角平分线．
又∵△ABC是等边三角形，∴BF＝CF.
∴点F是线段BC的中点课件24张PPT。第一章 特殊平行四边形1.3 正方形的性质与判定九年级上册北师版数学第2课时 正方形的判定1．一组邻边____的矩形是正方形．
2．对角线____的菱形是正方形．
3．对角线____的矩形是正方形．
4．有一个角是____的菱形是正方形．相等相等垂直直角练习：黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是 ．正方形1．下列说法不正确的是( )
A．对角线互相垂直的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．有一个角是直角的平行四边形是正方形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
2．对角线相等且互相垂直平分的四边形是( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形CD3．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BCCB 5．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( )
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形A6．(2016·兰州)?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： ，使得?ABCD为正方形．
7．(易错题)当四边形的两条对角线满足条件 时，顺次连接它的各边中点可以得到一个正方形．∠BAD＝90°垂直且相等8．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为____．45°9．(课本P27第13题改编)如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D是BC边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，且BF＝CE，求证：四边形AFDE是正方形．
∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠BFD＝∠CED＝90°，又点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵BF＝CE，∴△BFD≌△CED(HL)．∴DF＝DE，∵∠A＝∠AFD＝∠AED＝90°，∴四边形AFDE为矩形，∵DF＝DE，∴矩形AFDE是正方形10．(2017·株洲模拟)已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④B11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF，EF，要使四边形DECF是正方形，只需增加一个条件为 ．AC＝BC12．小明想检查一个四边形的框架是不是正方形，但手头仅有一把卷尺．你能帮他设计一个检查方案吗？说说你的做法和理由．
方法：测量四边形的框架的四边长及四边形的框架的对角线长．理由：若四边形的框架满足四边长相等，则是菱形，若再满足对角线相等，则是正方形，否则不是13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2)，求证：四边形ABCD是正方形．
由四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2)，可知OA＝OB＝OC＝OD＝2，∴四边形ABCD为矩形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC交DE于点G，连接AF，CG.
(1)求证：AF＝BF；
(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．(1)∵AD＝CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC，即DE垂直平分线段AC，∴∠FAC＝∠ACB.在Rt△ACB中，由∠BAC＝90°，得∠B＋∠ACB＝90°，∠FAC＋∠BAF＝90°，∴∠B＝∠BAF，∴AF＝BF(2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE.又∵点E是边AC的中点，
∴AE＝CE.又∠AEG＝∠CEF，∴△AEG≌△CEF(AAS)，∴AG＝CF.又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．∵AF＝CF，
∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，
得BF＝CF，又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，即∠AFC＝90°，
∴四边形AFCG是正方形15．(2017·随州模拟)如图，在矩形ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点，点E，F分别是线段BM，CM的中点．
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)填空：当AB∶AD＝________时，四边形MENF是正方形，并说明理由．(2)当AB∶AD＝1∶2时，四边形MENF是正方形，
理由：∵AB∶AD＝1∶2，AM＝DM，AB＝CD，∴AB＝AM＝DM＝DC，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°，∴∠MBC＝∠MCB＝45°，∴BM＝CM，∠BMC＝90°，∵点N，E，F分别是BC，BM，CM的中点，∴BE＝CF＝ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM，∴四边形MENF是平行四边形，∵ME＝MF，∠BMC＝90°，∴四边形MENF是正方形，即当AB∶AD＝1∶2时，四边形MENF是正方形课件24张PPT。第一章 特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定九年级上册北师版数学第2课时 矩形的判定对角线____的平行四边形是矩形；
有____个角是直角的四边形是矩形．
练习：
如图所示，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是 ．(只填一个)相等三∠ABC＝90°1．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列各条件中，能判断四边形ABCD是矩形的是( )
A．AO＝CO，BO＝DO
B．AO＝BO＝CO＝DO
C．AC＝BD，AO＝CO
D．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BDB2．下列关于矩形的说法中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直平分
D．矩形的对角线相等且互相平分D3．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2，若要使?ABCD为矩形，则OB的长应该为( )
A．4 B．3 C．2 D．1C5．(易错题)如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.
当∠ACB为____度时，四边形ABFE为矩形．606．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB.求证：四边形ABCD是矩形．
证明OB＝OC，
得到AC＝BD即可7．在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中三个角是否都为直角
D．测量对角线是否相等C8．如图，直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为____．
9．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件 时，四边形PEMF为矩形．12BC＝2AB10．已知?ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：
①∠ABC＝90°；
②AC⊥BD；
③AC＝BD；
④OA＝OD.
能使?ABCD是矩形的条件的序号是 ．①③④11．如图，点E，F分别为△ABC的边BC，CA的中点，延长EF到点D，使得DF＝EF，连接DA，DC，AE.
(1)求证：四边形ABED是平行四边形；
(2)若AB＝AC，求证：四边形AECD是矩形． (1)∵AF＝CF，DF＝EF，∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝CE，又∵BE＝CE，∴AD＝BE，
∴四边形ABED是平行四边形
(2)∵AB＝AC，BE＝CE，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，
∴?AECD是矩形 (1)∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEO＝∠DFO＝90°，
∵点O是EF的中点，
∴OE＝OF，
又∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF(ASA)13．(2016·吉林)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.
求证：四边形AODE是矩形．
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°.
∴四边形AODE是矩形14．(教材例4变式题)如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.连接AE，AF.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．(1)∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，
∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO.
∴OF＝OC.
同理可证OC＝OE.∴OE＝OF(3)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
理由如下：由(1)知OE＝OF,
当点O运动到AC中点时有OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形课件28张PPT。第一章 特殊平行四边形1．1 菱形的性质与判定九年级上册北师版数学第2课时 菱形的判定对角线 的平行四边形是菱形；
的四边形是菱形．
练习：四边形ABCD的是对角线互相垂直的四边形，点O为对角线的交点，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件 ，使四边形ABCD为菱形．(添加一个即可)互相垂直四边相等OA＝OC知识点：菱形的判定
1．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形．小明补充的条件是AB＝BC；小亮补充的条件是AC＝BD，你认为下列说法正确的是( )
A．小明、小亮都正确
B．小明正确，小亮错误
C．小明错误，小亮正确
D．小明、小亮都错误B2．下列命题中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D3．如图，下列条件之一能使?ABCD是菱形的是( )
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.
A．①③ B．②③ C．③④ D．①③④DA 5．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形B6．(易错题)如图，下列条件能判定四边形ABCD为菱形的有( )
①AB＝BC＝CD＝DA；
②AC，BD互相垂直平分；
③平行四边形ABCD，且AC⊥BD；
④平行四边形ABCD，且AC＝BD.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个C7．(2017·淄博模拟)已知?ABCD，对角线AC，BD相交于点O，
请你添加一个适当的条件，使?ABCD成为一个菱形，
你添加的条件是 ．AD＝DC8．(2016·海南)如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：
①AC⊥BD；
②AD∥BC；
③四边形ABCD是菱形；
④△ABD≌△CDB.
其中正确的是 ．(只填写序号)①②③④9．(2017·舟山模拟)如图，在?ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF.
(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．(2)当∠DOE＝90°时，四边形BFDE为菱形，理由：
∵△DOE≌△BOF，∴BF＝DE，
又∵BF∥DE，∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BO＝DO，∠EOD＝90°，∴EB＝DE，
∴四边形BFDE为菱形10．(2017·徐州模拟)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( )
A．长方形
B．对角线相等的梯形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相垂直的四边形C11．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断( )
A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误C12．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：
①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是____．(只填写序号)③13．(2016·乌鲁木齐)如图，两张宽度相等的纸条叠放在一起，重叠部分构成四边形ABCD.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若纸条宽3 cm，∠ABC＝60°，求四边形ABCD的面积． (1)由题意知AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC.过点A分别作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F.依题意AE，AF的长就是两张纸条的宽，且AE＝AF.又∠AEB＝∠AFD＝90°，∴Rt△AEB≌Rt△AFD，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形 (1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC 15．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角形ABC与AFE按如图①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.
(1)求证：AM＝AN；
(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．(1)∵α＋∠EAC＝90°，∠NAF＋∠EAC＝90°，∴α＝∠NAF.又∵∠B＝∠F，AB＝AF，∴△ABM≌△AFN，∴AM＝AN
(2)四边形ABPF是菱形．理由：∵α＝30°，∠EAF＝90°，∴∠BAF＝120°.又∵∠B＝∠F＝60°，∴∠B＋∠BAF＝60°＋120°＝180°，∠F＋∠BAF＝60°＋120°＝180°.∴AF∥BC，AB∥EF.∴四边形ABPF是平行四边形．又∵AB＝AF，∴四边形ABPF是菱形课件29张PPT。第一章 特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定九年级上册北师版数学第3课时 矩形的性质与判定的综合运用1．矩形的性质：(1)矩形具有 的一切性质；
(2)矩形的四个角都是____；(3)矩形的对角线____．
练习1：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝10，∠ACB＝30°，则AB＝____．平行四边形直角相等52．矩形的判定：
(1)有一个角是____的平行四边形是矩形；
(2)有三个角是____的 是矩形；
(3)对角线____的 是矩形．直角直角四边形相等平行四边形A 1．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是( )
A．S1>S2
B．S1＝S2
C．S1D．3S1＝2S2B2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10 cm，则EH等于( )
A．8 cm B．10 cm C．16 cm D．24 cmB3．(2016·天津)如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是( )
A．∠DAB′＝∠CAB′
B．∠ACD＝∠B′CD
C．AD＝AE
D．AE＝CED4．在四边形ABCD中，AC和BD的交点为点O，下列条件中不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC
D．AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°C矩形 8．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，从①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°.这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤?四边形ABCD是矩形，请再写出符合要求的两个：①②⑥
?四边形ABCD是矩形；③④⑤?四边形ABCD是矩形；
(另外③④⑥，②③⑤?四边形ABCD是矩形)．9．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.
(1)求证：BD＝BE；
(2)若∠DBC＝30°，BO＝4，求四边形ABED的面积．(1)∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC，AB∥CE，
又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，
∴BE＝AC，∴BD＝BE10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE的长为( )
A．3
B．3.5
C．2.5
D．2.8C12．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，点E是AC上的一点，且BO＝2AE，∠AOD＝120°，求证：BE⊥AC.
证明△AOB为等边三角形，点E是OA的中点即可14．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD的中点．
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若菱形ABCD的面积是50，求四边形EFGH的面积．15．如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN；
(2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．(1)证△AMD≌△CMN得AD＝CN，又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN
(2)∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，
∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由(1)知四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴?ADCN是矩形(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ANM＝∠CMN，由折叠知∠CNM＝∠ANM，∴∠CNM＝∠CMN，∴CN＝CM
