高中数学（人教)必修2：第一章《空间几何体》综合测评题

第一章《空间几何体》检测试卷
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列命题中，正确的是(　　)
A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱
2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)
A.　
　B.　
　C.　　
D.
3．有下列四种说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成相交的直线；③空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现方式．其中正确的命题有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
4．长方体ABCD－A1B1C1D1中截去一角B1－A1BC1，则它的体积是长方体体积的(　　)
A.
B.
C.
D.
5．底面是边长为4的正方形，侧棱长都为2的四棱锥的侧面积和体积依次为(　　)
A．24，
B．8，
C．32，
D．32，
6．若圆台两底面周长的比是1?4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是(　　)
A.
B.
C．1
D.
7．(2012·新课标全国卷)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)
A.π
B．4π
C．4π
D．6π
8．如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图(斜二测)，若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，A1D1=1，则四边形ABCD的面积是(　　)
A．10
B．5
C．5
D．10
9．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　)
A.
B.
C．1
D．2
10．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积(单位：cm2)为(　　)
A．48＋12
B．48＋24
C．36＋12
D．36＋24
11．等边三角形的边长为a，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积为(　　)
A.πa3
B.πa3
C.πa3
D.πa3
12．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　)
A．8
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________．
14．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起形成三棱锥C－ABD，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为________．
15．一个母线长为2的圆锥侧面展开图为一个半圆，则此圆锥的体积为________．
16．一个正四棱柱(底面是正方形，各个侧面均为矩形)的各个顶点都在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为________cm2.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．画出下图中三个图形的指定三视图之一．
18．如图所示，为一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2
kg，问需要油漆多少千克？(尺寸如图所示，单位：m，π取3.14，结果精确到0.01
kg)
19．已知四棱锥P－ABCD，其三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积．
20．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)．
(1)试画出它的直观图；
(2)求它的表面积和体积．
21．正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，
求：(1)棱锥的表面积；
(2)内切球的表面积与体积．
22．如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为xcm的内接圆柱．
(1)试用x表示圆柱的侧面积；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？
第一章《空间几何体》检测试卷答案
1、解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A，C都不够准确，B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确．
答案：D
2、解析：利用侧面展开图与底面圆的联系解题．设底面圆半径为r，母线即高为h，则h＝2πr，所以＝＝＝＝.故选A.
答案：A
3、解析：本题考查中心投影与平行投影的有关概念及性质．利用中心投影与平行投影的概念判断，①③正确；利用中心投影与平行投影的性质判断，②也正确．故正确的命题有3个．故选C.
答案：C
4、解析：VB1－A1BC1＝VC1－A1B1B＝·S△A1B1B·B1C1＝×S四边形AA1B1B×B1C1＝VABCD－A1B1C1D1.
答案：B
5、解析：
如图，O为正方形ABCD的中心，VO为四棱锥的高，E为边BC中点，所以VE⊥BC.由BC＝AB＝4，VB＝VC＝2可得VE＝4，VO＝2，
∴S侧＝4S△VBC＝32，V＝S正方形ABCD·VO＝.
答案：D
6、解析：
圆台的轴截面如图，
∵圆台的两底面周长之比为1:4，
∴两底面半径之比1:4.设上底面半径为r，则下底面半径为4r.∴经过高的中点与底面平行的截面半径为r.
∴圆台被分成两部分的体积比为
＝.
答案：D
7、解析：设球O的半径为R，则R＝
＝，故V球＝πR3＝4π.
答案：B
8、解析：
四边形ABCD是直角梯形，其中AD＝2，
AB＝2，CD＝3，所以四边形ABCD的面积为·(2＋3)×2＝5.
答案：B
9、解析：由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1和，三棱柱的高为，所以该几何体的体积V＝×1××＝1.
答案：C
10、解析：由三视图知，该几何体可看做由两个全等的小三棱锥侧面重合放置而成．每个小三棱锥的高为4，底面是腰长为3、底边长为6的等腰三角形，斜高为5，所以每个三棱锥的底面积为×3×6＝9，侧面积为×5×6＝15或×4×3＝6，所以组合体的表面积为9×2＋15×2＋6×2＝48＋12.
答案：A
11、解析：所得的旋转体为以等边三角形的高为底面半径的两个相同底的圆锥，每个圆锥的高都为，
∴V＝2××π×2·＝πa3.
答案：A
12、解析：几何体是正方体截去一个三棱台，
V＝23－·×2＝.
答案：C
13、解析：设球半径为R，圆M的半径为r，则πr2＝3π，即r2＝3，
由题得R2－2＝3，所以R2＝4 4πR2＝16π.
答案：16π
14、解析：由题意可知，侧视图为等腰直角三角形，腰长为，故其面积为×2＝.
答案：
15、解析：由题意可知，圆锥的底面周长为2πr＝·2π×2，得r＝1.
∴圆锥的高h＝＝，∴圆锥的体积V＝×π×12×＝π.
答案：π
16、解析：设正四棱柱的高为acm，则22＝12＋12＋a2，
∴a＝.
∴S表面积＝1×1×2＋4×1×＝(2＋4)(cm2)．
答案：2＋4
17、解：如图所示．
18、解：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和四棱柱，并且圆锥的底面半径为3
m，母线长5
m，四棱柱的高为4
m，底面是边长为3
m的正方形．
∴圆锥的表面积为πr2＋πrl＝3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36(m2)．
四棱柱的一个底面积为32＝9(m2)，
四棱柱的侧面积为4×4×3＝48(m2)．
∴建筑物的外壁面积为75.36－9＋48＝114.36(m2)．
∴需要油漆114.36×0.2＝22.872≈22.87(kg)．
19、解：
由三视图知底面ABCD为矩形，
AB＝2，BC＝4，
顶点P在面ABCD内的射影为BC中点E，
即棱锥的高为2，
则体积VP－ABCD＝S矩形ABCD×PE＝×2×4×2＝.
20、解：(1)直观图如图所示．
(2)解法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角得到的，且该几何体的体积是以A1A、A1D1、A1B1为棱的长方体的体积的.
在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1，则四边形AA1EB是正方形，∴AA1＝BE＝1.
在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1，
∴BB1＝.
∴几何体的表面积S＝S正方形AA1D1D＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1
＝1＋2×(1＋2)×1＋1×＋1＋1×2
＝(7＋)(m2)．
∴几何体的体积V＝×1×2×1＝(m3)．
∴该几何体的表面积为(7＋)m2，体积为m3.
解法二：几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同解法一，
V直四棱柱D1C1CD－A1B1BA＝Sh＝×1＝(m3)．
21、解：(1)底面正三角形中心到一边的距离为
××2＝，
则正棱锥侧面的斜高为＝.
∴S侧＝3××2×＝9.
∴S表＝S侧＋S底＝9＋××(2)2＝9＋6.
(2)如图所示，设正三棱锥P－ABC的内切球球心为O，连接OP、OA、OB、OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.
∴VP－ABC＝VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PAC＋VO－ABC
＝·S侧·r＋·S△ABC·r
＝·S表·r＝(3＋2)r.
又VP－ABC＝×××(2)2×1＝2，
∴(3＋2)r＝2，
得r＝＝＝－2.
∴S内切球＝4π(－2)2＝(40－16)π.
V内切球＝π(－2)3＝(9－22)π.
22、解：设圆柱的底面半径为r.由题意知，＝，∴r＝2－x.
(1)S圆柱侧＝2πr·x＝2π··x
＝－x2＋4πx＝－(x－3)2＋6π(0(2)当x＝3时，圆柱的侧面积最大．