班级
姓名
学号
分数
（测试时间：120分钟
满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．数列－1，
4，－9，
16，－
25…的一个通项公式为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】易知数列－1，
4，－9，
16，－25…的一个通项公式为；故选B.
2．数列满足则（
）
A.
1
B.
1999
C.
1000
D.
－1
【答案】A
【解析】
，选A.
3．【2018届广东省珠海一中等六校高三第一次联考】数列满足，且对于任意的都有，则等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
.
本题选择D选项.
4．已知数列中，
，则可归纳猜想的通项公式为
(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
5．已知数列满足，
，
，则（
）
A.
4
B.
5
C.
6
D.
8
【答案】B
【解析】∵数列满足,
，
，
∴，
∴，
，
∴.
∵，
，
，
，
由此猜想，
∴.
故选：B.
6．已知数列满足，
，
，则（
）
A.
B.
C.
D.
3
【答案】A
【解析】由题意，对
进行变形，得
则
，即4个一循环，那么，故选A.
7．在数列中，
，
，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
8．已知数列的前项和为,，则=
(
)
A.
7
B.
9
C.
11
D.
12
【答案】B
【解析】,故选B.
9．在数列中,
=-2,
则=
A.
-2
B.
C.
D.
3
【答案】B
【解析】因为=-2,
，所以，
，
，
.
所以可知数列是以4为周期的数列，所以
本题选择B选项.
10．【2017河北保定二模】已知数列中，前项和为，且，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
3
D.
1
【答案】C
【解析】当
时，
两式作差可得：
，
据此可得，当
时，的最大值为3.
11．【2017天津河东区二模】若数列，的通项公式分别为，，且，对任意恒成立，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
[-1,1）
C.
[-2,1)
D.
【答案】D
【方法点睛】本题主要考查数列的通项、不等式恒成立问题以及分类讨论思想.属于难题.，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.
充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.解答本题的关键是对
分奇数、偶数两种情况讨论.
12．如图，一个树形图依据下列规律不断生长，1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，则第11行的实心圆点的个数是
A.
21
B.
34
C.
55
D.
89
【答案】C
第6行的实心圆点的个数是5=2+3；
第7行的实心圆点的个数是8=3+5；
第8行的实心圆点的个数是13=5+8；
第9行的实心圆点的个数是21=8+13；
第10行的实心圆点的个数是34=13+21；
第11行的实心圆点的个数是55=21+34.
本题选择C选项.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知数列满足，则_____________
【答案】
【解析】∵数列满足，∴，
，
，∴数列是周期为3的周期数列，∵，∴，故答案为.
14．【2018届广西南宁二中、柳州高中高三9月联考】已知数列2008，2009，1，-2008，…若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2018项之和__________.
【答案】4017
15．已知数列满足
，则__________．
【答案】673
【解析】由递推关系可得：，
则：,且：，
据此可得：673.
16．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒与所搭三角形的个数之间的关系式可以是
.
【答案】
【解析】试题分析：第一个三角形用了3个火柴棒，所以，以后每增加一个三角形，就增加2个火柴棒，所以成等差数列，所以，故填：.
三、解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．【2017届湖南衡阳高三下学期第三次联考】在数列及中，
，
，
.设，求数列的前项和．
【答案】4034
【解析】由递推关系有：
，
且，据此可知数列是各项均为2的常数列，
数列的前项和为.
18．已知数列前项和，
（1）求其通项；（2）若它的第项满足，求的值。
【答案】（1）；（2）.
（2）
又因为k为整数，故
19．设函数f(x)＝log2x－
(0
)．
(1)
求数列{an}的通项公式；
(2)
判断数列{an}的单调性．
【答案】（1）an＝n－
（2）递增
【解析】试题分析：（1）根据条件可得
，解方程可得
，再根据函数f(x)定义域得0<2an<1，即an<0.所以取（2）研究数列单调性，可研究相邻两项之间大小关系，也可直接利用函数增减性，本题可利用分子有理化得，直接判断单调性.
试题解析：解：(1)
由f(x)＝log2x－，得f(2an)＝an－＝2n，
所以a－2nan－1＝0，解得an＝n±.
因为0故an＝n－.
点睛：解决数列的单调性问题可用以下三种方法
①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列.
②用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断.
③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件.
20．各项均为正数的数列中，前项和.
(1)求数列的通项公式；
（2）若恒成立，求k的取值范围.
【答案】(1)
.
（2）
21．函数数列的前项和，且同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立．
（1）求函数的表达式；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由①可得判别式为0，解得a=0或4，讨论a=0和4，结合条件②，可得f（x）的解析式；（2）求得，由n=1时，，n＞1时，，即可得到所求数列的通项
试题解析：（1）不等式的解集有且只有一个元素
当
当
所以
（2）
，
所以
22．（本题满分12分）若数列的前n项和为，且有，
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）求出所有满足条件的数列的通项公式；
【答案】（1）或；（2）见解析；
（3）；
【解析】本试题主要是考查了数列的前n项和与通项公式的关系式的运用。
（1）n=1入得或
（2）由已知有，当时，有，两式作差得到递推关系式，进而得到结论。
（3）由（2）得或， ………………………7分
由得通项公式为：； …………8分
由得通项公式为：； …………9分
由得通项公式为：； …………10分
由得通项公式为：；…………11分
则所求通项公式为；……12分班级
姓名
学号
分数
（测试时间：120分钟
满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．数列的一个通项公式是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】数列奇数项为正，偶数项为负，绝对值为序号的平方，因此有，故选C．
2．数列1，，，，，…的一个通项公式（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
3．数列，
，
，
，…的一个通项公式为
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由已知中数列，
，
，
，…
可得数列各项的分母为一等比数列{2n}，分子2n+1，
又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负
故可用( 1)n+1来控制各项的符号，
故数列的一个通项公式为
本题选择D选项.
4．设an=（n∈N
），则a3=
A.
B.
C.
D.
【答案】D
5．数列满足，则等于（
）
A.
B.
C.
2
D.
3
【答案】C
【解析】，
，则数列是周期为的周期数列，
，故选C.
6．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和.是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前项依次是，则此数列第项为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，
可得偶数项的通项公式：a2n=2n2.
则此数列第20项=2×102=200.
本题选择B选项.
7．现有这么一列数：
，
，
，
，（
），，
，…，按照规律，（
）中的数应为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分母为
，分子为连续的质数，所以（
）中的数应为，选B.
8．已知数列中，
，则能使的可以等于
A.
B.
C.
2017
D.
【答案】C
9．已知，
，则数列的通项公式等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
当n≥2时，
，
经检验，
也符合上述通项公式.
本题选择C选项.
点睛：已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有三种常见思路：
(1)算出前几项，再归纳、猜想；
(2)“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列；
(3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式．
10．已知数列满足（），则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
11．已知数列中，，，则的值为（
）
A.
31
B.
30
C.
15
D.
63
【答案】C
【解析】由题意，得；故选C.
12．已知数列中，
，则=
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
，故选A.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在数列1，1，2，3，5，8，13，
，34，55，…中，
应取__________．
【答案】21
【解析】根据数列可以发现，从第三项起，每一项都是前面两项的和∴.
14．数列满足，则
=_________.
【答案】
【解析】因为数列满足，解得，故答案为.
15．【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】设是数列的前项和，且，
，则__________．
【答案】
16．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第n个图案中有白色地面砖
块．
【答案】4n+2
【解析】试题分析：第个图案有块，第个图案有块，第个图案有块，所以第个图案有块.
三、解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1），，，，，…
（2），2，，8，，…
（3）5，55，555，5
555，55
555，…
（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，…
（5）1，3，7，15，31，…
【答案】（1）an=.（2）an=.（3）an=
(10n-1).（4）an=5sin.（5）an=2n-1
【解析】（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式
an=.
（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，…，
则an=5sin.
（5）∵1=2-1，3=22-1，7=23-1，…
∴an=2n-1
故所求数列的通项公式为an=2n-1.
18．
已知数列的通项公式为an=.
（1）0.98是不是它的项？
（2）判断此数列的增减性.
【答案】（1）0.98是它的项（2）递增数列
【解析】（1）假设0.98是它的项，则存在正整数n,满足=0.98，∴n2=0.98n2+0.98.
∵n=7时成立，∴0.98是它的项.
（2）an+1-an=
=＞0.
∴此数列为递增数列.
19．求数列的前项和
【答案】
【解析】该数列的通项公式为，考核的是数列求和问题中的裂项求和法，
20．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方向构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形
（1）求的值
（2）求出的表达式
（3）求证：当时，
【答案】（1）61（2）f（n）=2n2﹣2n+1；（3）见解析
试题解析：解：（1）f（1）=1，f（2）=1+4=5，
f（3）=1+4+8=13，f（4）=1+4+8+12=25，
f（5）=1+4+8+12+16=41．f（6）=1+4+8+12+16+20=61；
（2）∵f（2）﹣f（1）=4=4×1，
f（3）﹣f（2）=8=4×2，
f（4）﹣f（3）=12=4×3，
f（5）﹣f（4）=16=4×4，
由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．
∴f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1），
f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4 （n﹣2），
f（n﹣2）﹣f（n﹣3）=4 （n﹣3），
…
f（2）﹣f（1）=4×1，
∴f（n）﹣f（1）=4[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1]
=2（n﹣1） n，
∴f（n）=2n2﹣2n+1；
21．已知数列{an}的通项公式是an＝.
(1)
判断是不是数列{an}中的一项；
(2)
试判断数列{an}中的项是否都在区间(0，1)内；
(3)
在区间内有无数列{an}中的项？若有，是第几项？若没有，请说明理由．
【答案】（1）不是（2）都在
(3)
第二项
(2)
∵
an＝＝＝1－，
又n∈N
，∴
0<<1，∴
0∴
数列中的各项都在区间(0，1)内．
(3)
令又n∈N
，∴
n＝2.
故区间上有数列{an}中的项，且只有一项，是第二项a2＝.
22．已知数列满足，且
（…，）
(Ⅰ)求的值，并猜想出这个数列的通项公式；
(Ⅱ)求的值．
【答案】⑴
;
⑵
.
【解析】试题分析：
(1)由题意求得，猜想；
(2)裂项求和可得.
试题解析：
⑴
猜想
⑵