高中数学全一册教案（打包45套）北师大版选修2-2

导数与函数的单调性（二）
一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。2、过程与方法：⑴通过具体实例的分析，经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程；⑵通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。
二、教学重点：函数单调性的判定
教学难点：函数单调区间的求法
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、问题情境
1．情境：作为函数变化率的导数刻画了函数变化的趋势（上升或下降的陡峭程度），而函数的单调性也是对函数变化的一种刻画．2．问题：那么导数与函数的单调性有什么联系呢？
（二）、学生活动：结合一个单调函数的图象，思考在函数单调递增的部分其切线的斜率的符号．
（三）、建构数学
如果函数在区间上是增函数，那么对任意，，当时，，即与同号，从而，即．
这表明，导数大于与函数单调递增密切相关．
一般地，我们有下面的结论：设函数，如果在某区间上，那么为该区间上的增函数；如果在某区间上，那么为该区间上的减函数；如果在某区间上，那么为该区间上的常数函数．
上述结论可以用下图来直观理解．
思考：试结合：如果在某区间上单调递增，那么在该区间上必有
吗？
说明：若为某区间上的增（减）函数，则在该区间上（）不一定成立．即如果在某区间上（）是在该区间上是增（减）函数的充分不必要条件．
（四）、知识运用
1、例题探析：例1、确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．
解：．令，解得．因此，在区间内，是增函数．
同理可得，在区间内，是减函数（如左图）．
例2、确定函数在哪些区间内是增函数．
解：．令，解得或．
因此，在区间内，是增函数；在区间内，也是增函数．
例3、确定函数，的单调减区间．
解：．令，即，又，所以．
故区间是函数，的单调减区间．注意：所求的单调区间必须在函数的定义域内．
例4、已知曲线，（1）用导数证明此函数在上单调递增；（2）求曲线的切线的斜率的取值范围．（1）证明：恒成立．所以此函数在上递增．（2）解：由（１）可知，所以的斜率的范围是．
2、巩固练习：练习册1，2，3．
（五）．回顾小结：函数单调性与导数的关系：函数，如果在某区间上，那么为该区间上的增函数；如果在某区间上，那么为该区间上的减函数；如果在某区间上，那么为该区间上的常数函数。用导数求函数单调区间的步骤：
①求函数f(x)的导数f′(x)。②令f′(x)
0解不等式，得x的范围就是递增区间。③令f′(x)0解不等式，得x的范围，就是递减区间。
（六）、作业布置：1、已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间。
解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以
由在处的切线方程是，知
故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得
当
当故内是增函数，
在内是减函数，在内是增函数.
2、已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围。
解：
依定义
的图象是开口向下的抛物线，
五、教后反思：导数的实际应用（三）
一、教学目标：
1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；
2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。
二、教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情景
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
（二）、新课探究
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；
4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：
（三）、典例分析
例1、磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．
（1）是不是越小，磁盘的存储量越大？（2）为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量
×
（1）它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大．
（2）为求的最大值，计算．
令，解得当时，；当时，．
因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为
例2、汽油的使用效率何时最高
我们知道，汽油的消耗量（单位：L）与汽车的速度（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量是汽车速度的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：
（1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？
分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（单位：L），表示汽油行驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的问题．
通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：km/h）之间有如图所示的函数关系．
从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：km/h）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．
解：因为
这样，问题就转化为求的最小值．从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90．
因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即，约为
L．
例3、在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
（1）、如果C(x)＝，那么生产多少单位产品时，边际最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)
（2）、如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？
变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？
分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．
解：收入，
利润
令，即，求得唯一的极值点
答：产量为84时，利润L最大
（四）、课堂练习：在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40
km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50
km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
解析根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x
km,则∵BD=40,AC=50－x,
∴BC=
又设总的水管费用为y元，依题意有y=30(5a－x)+5a
(0＜x＜50)
y′=－3a+,令y′=0,解得x=30在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，
函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50－x=20(km)∴供水站建在A、D之间距甲厂20
km处，可使水管费用最省
（五）．回顾总结：1．利用导数解决优化问题的基本思路：
2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。
（六）．布置作业：1、一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？
【解】假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即，故有y
＝×30＋×40，y′＝－＋20，
令y′＝0，得x
＝15，且y″＝，f″(15)＞0，所以当x
＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，故
当x
＝15时，y取得最小值，此时进货次数为＝10（次）．
即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．
2、有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？
【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总费用为y元，
则CD
＝．y
＝500（50－x）＋700＝25000－500
x
＋700，
y′＝－500＋700
·
(x
2＋1600)·
2
x＝－500＋，令y′＝0，解得x
＝．答：水厂距甲距离为50－千米时，总费用最省．
【点评】当要求的最大（小）值的变量y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x，然后再根据条件x来表示其他变量，并写出y的函数表达式f（x）．
五、教后反思：
建立数学模型
解决数学模型
作答
用函数表示的数学问题
优化问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案
建立数学模型
解决数学模型
作答
用函数表示的数学问题
优化问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案数系的扩充与复数的概念
一、教学目标：
1、知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i；
2、过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律；
3、
情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)
理解并掌握复数相等的有关概念。
二、教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
三、教学方法：阅读理解，探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、问题情境
1、情境：数的概念的发展：从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．②解方程的需要．为了使方程有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集．
引进无理数以后，我们已经能使方程永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当时，方程在实数范围内无解．为了使方程有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式：为例）
2、问题：实数集应怎样扩充呢？
（二）、新课探析
1、为了使方程有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于的“新数”开始．为此，我们引入一个新数，叫做虚数单位（）．并作如下规定：①；②实数可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．在这种规定下，可以与实数相乘，再同实数相加得．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成
()的形式．
2、复数概念及复数集
形如()的数叫做复数。全体复数构成的集合叫做复数集，一般用字母来表示，
即．显然有N
NZQRC．
3、复数的有关概念：1)
复数的表示：通常用字母表示，即()，其中分别叫做复数的实部与虚部；2）虚数和纯虚数：①复数()，当时，就是实数．②复数()，当时，叫做虚数。
特别的，当，时，叫做纯虚数．
4、复数集的分类
分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：
5、两复数相等
如果两个复数与（）的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等．即，（复数相等的充要条件），
特别地：（复数为的充要条件）．
复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径．
6、两个复数不能比较大小：两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，不能比较它们的大小。
7、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
(三)、知识运用，能力提高
1、例题：例1．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，
哪些是虚数，哪些是纯虚数．
解：
的实部分别是；
虚部分别是．是实数；是虚数，其中是纯虚数．
例2、实数取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
分析：由可知，都是实数，根据复数是实数、虚数和纯虚数的条件可以分别确定的值。
解：（1）当，即时，复数是实数；（2）当，即时，复数是虚数；（3）当，且，即时复数是纯虚数。
（变式引申）：已知，复数，当为何值时：
（1）；（2）是虚数；（3）是纯虚数．
解：（1）当且，即时，是实数；
（2）当且，即且时，是虚数；
（3）当且，即或时，为纯虚数．
思考：是复数为纯虚数的充分条件吗？
答：不是，因为当且时，才是纯虚数，所以是复数为纯虚数的必要而非充分条件．
例3、已知，求实数的值．
解：根据两个复数相等的充要条件，可得：，解得：．
（变式引申）：已知，求复数．
解：设，则，
，
由复数相等的条件
．
2．练习：（1）已知复数，且，则
．
解：，则．故虚部
或．但时，，不合题意，故舍去，故．
四．回顾小结：1、能够识别复数，并能说出复数在什么条件下是实数、虚数、纯虚数；2、复数相等的充要条件。
（三）小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。
（四）、巩固练习：
1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。
2．判断①
两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大。②　复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数。
3若，则的值是
。
4．．已知是虚数单位，复数，当取何实数时，是：
（1）实数
（2）
虚数
（3）纯虚数
（4）零
（五）、课外练习：第96页练习
（六）、课后作业：第100页习题A:1,2,3
五、教后反思：导数的实际应用（一）
一、教学目标：
1、知识与技能：⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法；⑵会利用导数求解最值。
2、过程与方法：通过分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程。
3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法
二、教学重点：函数建模过程
教学难点：函数建模过程
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：利用导数求函数极值和最值的方法
（二）、探究新课
例1、在边长为60
cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积
．
令
＝0，解得
x=0（舍去），x=40，
并求得
V(40)=16
000
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16
000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16
000cm3
解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积
．（后面同解法一，略）
由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值
例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
S=2πRh+2πR2
由V=πR2h，得，则
S(R)=
2πR+
2πR2=+2πR2
令
+4πR=0
解得，R=，从而h====2
即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
提示：S=2+h=
V(R)=R=
)=0
．
例3、已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？
分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．
解：收入，
利润
令，即，求得唯一的极值点答：产量为84时，利润L最大
（三）、小结：本节课学习了导数在解决实际问题中的应用.
（四）、课堂练习：第69页练习题
（五）、课后作业：第69页A组中1、3
B组题。
五、教后反思：定积分的简单应用
一、教学目标：
1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2、掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
二、教学重点与难点：1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算在物理中应用。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：（1）、求曲边梯形的思想方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？
（二）、定积分的应用
【定积分在物理中应用】
1、求变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v
(t)
(
v(t)
≥0)
在时间区间[a,b]上的定积分，即
例
1。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7
一3
所示．求汽车在这1
min
行驶的路程．
解：由速度一时间曲线可知：
因此汽车在这
1
min
行驶的路程是：
答：汽车在这
1
min
行驶的路程是
1350m
.
2．变力作功
一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs
.
探究
如果物体在变力
F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与
F
(x)
相同的方向从x
=a
移动到x=b
(a，那么如何计算变力F(x）所作的功W呢？
与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到
例2．如图1·7一4
，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm
处，求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力
F
(
x
）与弹簧拉伸（或压缩）的长度
x
成正比，即
F
(
x
）=
kx
,
其中常数
k
是比例系数．由变力作功公式，得到
答：克服弹力所作的功为.
例3．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站B开往站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为（24-1.2t）m/s，在B点恰好停车，试求
（1）A、C间的距离；（2）B、D间的距离；（3）电车从A站到B站所需的时间。
分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即
略解：（1）设A到C的时间为t1则1.2t=24,
t1=20(s),则AC＝
（2）设D到B的时间为t21则24-1.2t2=0,
t21=20(s),
则DB＝
（3）CD=7200-2240=6720(m),则从C到D的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s）
练习：如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（
A
）
A
0.18J
B
0.26J
C
0.12J
D
0.28J
略解：设，则由题可得，所以做功就是求定积分。
（三）、课堂小结：
本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，以及定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。
（四）、作业：课本P86页7
P95页9、11
五、教后反思
根据定积分的定义，定积分既有几何背景，又有物理背景，进而定积分与这些知识有着天然的联系。譬如：求几何图形的面积，求路程、平均速度、电荷量、电压、功、质量等。上述种种尽管形式相异，然而所采用的思想方法均是：化曲为直，以不变代变，逼近，从某个角度而言充分展现了数学思想方法的高度抽象性及应用的广。定积分
一、教学目标：1、理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；3、掌握定积分的计算方法；4、利用定积分的几何意义会解决问题。
二、学法指导：1、重点理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；3、重点掌握定积分的计算方法。
三、重点与难点：重点：理解并且掌握定积分算法；难点：利用定积分的几何意义解决问题。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合
五、教学过程
（一）、知识闪烁
1、
解决面积、路程、做功问题3个问题一般通过对
自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割的
，估计值就也接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于
时，过剩估计值和不足估计值都趋于
；误差趋于
。
2、定积分的定义思想：（1）
(2)
(3)
(4)
;
3
、=
；其中叫做
叫做
b叫做
叫
;
4、的几何意义
；在x轴上方的面积取
，在x轴下方的面积取
的几何意义
；
的几何意义
；
，，的关系
；
计算时，若在上则=
若在上=
若在上，上=
5、定积分的性质：=
=
=
（定积分对积分区间的可加性）=
6、如果连续函数是函数的导函数，即=
，则有=
它叫做微积分基本定理，也称牛顿—莱布尼茨公式，是的
7、计算定积分=
=
8、若在上连续，且是偶函数，则有
若在上连续，且是奇函数，
（二）、方法点拨：
1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求出定积分。
2、求简单旋转体体积的解题步骤：（1）画出旋转前的平面图形（将它转化为函数）；（2）确定轴截面的图形的范围；（3）确定被积函数；（4）v=
（三）、例题探究
例1、给出以下命题：（1）若，则f(x)>0；
（2）;
（3）应用微积分基本定理，有,
则F(x)=lnx；
（4）f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则；
其中正确命题的个数为
（
）
答案：B
A．1
B．2
C．3
D．4
学生练习，教师准对问题讲评。
例2、求由曲线与，，所围成的平面图形的面积。
例3、如图所示，已知曲线与曲线交于点、，
直线与曲线、分别相交于点、，连结。写出曲边四边形
（阴影部分）的面积与的函数关系式。
解：（Ⅰ）由得点．又由已知得．
故
．
．
例4、物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）
解：设A追上B时,所用的时间为依题意有
即
=5
(s)
所以
==130
(m)
（四）、课堂练习：课本P95页复习题四A组1、2
（五）、作业布置：课本P95页复习题四A组4（1）、（8），5、10、11
五、教后反思：归纳推理
一、教学目标
1．知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；（2）能利用归纳进行简单的推理；（3）体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.
2．方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
3．情感态度与价值观：通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识。
二、教学重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。
教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的归纳推理能力。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、引入新课
归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。
拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢 原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。这里就有着归纳推理的运用。
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理
(二)、例题探析
例1、在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。
解：考察一些多面体，如下图所示：
将这些多面体的面数（F）、棱数（E）、顶点数（V）列出，得到下表：
多面体
面数（F）
棱数（E）
顶点数（V）
三棱锥
4
6
4
四棱锥
5
8
5
五棱锥
6
10
6
三棱柱
5
9
6
五棱柱
7
15
10
立方体
6
12
8
八面体
8
12
6
十二面体
12
30
20
从这些事实中，可以归纳出：Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２
例2、如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小，试猜测结论。
解：考虑单位面积的正三角形、正四边形、正六边形、正八边形，它们的周长分别记作：，，，，可得下表：
4.56
4
3.72
3.64
归纳上述结果，可以发现：面积一定的正多边形中，边数越多，周长越小。于是猜测：图形面积一定，圆的周长最小。
在上述各例的推理过程中，都有共同之处：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理方式称为归纳推理。
注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。
归纳推理的一般步骤：
⑴
对有限的资料进行观察、分析、归纳
整理；
⑵
提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶
检验猜想。
（三）、课堂练习：课本课本练习：1．
（四）、课堂小结：1、归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
2、归纳推理的一般步骤：1)通过观察个别情况发现某些相同的性质。
2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。
（五）、作业：课本习题1-1：1、2。
五、教后反思：
实验，观察
概括，推广
猜测一般性结论微积分基本定理
一、教学目标：了解牛顿-莱布尼兹公式
二、教学重难点：牛顿-莱布尼兹公式
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：定积分的概念及计算
（二）、探究新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），
则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即
=
且。
对于一般函数，设，是否也有
若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。
定理
如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则
证明：因为=与都是的原函数，故-=C（）
其中C为某一常数。令得-=C，且==0
即有C=，故=+
=-=
令，有
为了方便起见，还常用表示，即
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
计算
解：由于是的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有
===
例2
求
解
因为=
即
有一个原函数为，所以
=
例3
汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度=32公里/小时=米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,速度,故从解得秒
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
=米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.
（三）、小结：本节课学习了牛顿-莱布尼兹公式.
（四）、课堂练习：第47页练习A、B
（五）、课后作业：第48页A:3，4
五、教后反思：汽车行驶的路程
一：教学目标　
1、知识与技能目标：了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。
2、过程与方法：通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想。
3、情感态度与价值观：在体会微积分思想的过程中，体会人类智慧的力量，培养世界是可知的等唯物主义的世界观。
二：教学重难点　　
重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）难点：过程的理解
三：教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情景
复习：1．连续函数的概念；2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？
（二）、新课探析
问题：汽车以速度组匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为．如果汽车作变速直线运动，在时刻的速度为（单位：km/h），那么它在0≤≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程（单位：km）是多少？
分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间分成个小区间，在每个小区间上，由于的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得（单位：km）的近似值，最后让趋紧于无穷大就得到（单位：km）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．
解：（1）．分割
在时间区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为
把汽车在时间段，，…，上行驶的路程分别记作：
，，…，
显然，
（2）近似代替
当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从物理意义上看，即使汽车在时间段上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有
①
（3）求和
由①，
==
==
从而得到的近似值
（4）取极限
当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有
思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程与由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程在数据上等于由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积．
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤≤b内所作的位移．
例、弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力（为常数，是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长所作的功．
分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．
解：
将物体用常力沿力的方向移动距离，则所作的功为．
1．分割
在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为
把在分段，，…，上所作的功分别记作：，，…，
（2）近似代替
有条件知：
（3）求和
=
从而得到的近似值
（4）取极限
所以得到弹簧从平衡位置拉长所作的功为：
（四）、课堂小结：求汽车行驶的路程有关问题的过程。
（五）作业：课本P80A组2、3
五、教学后记4.3.1平面图形的面积
一、教学目标：
1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理；2、掌握利用定积分求曲边图形的面积。
二、教学重点与难点：
1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算的应用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）练习
1．若dx
=
3
+
ln
2，则a的值为（
D
）
A．6
B．4
C．3
D．2
2．设，则dx等于（
C
）
A．
B．
C．
D．不存在
3．求函数的最小值
解：∵．
∴．
∴当a
=
–
1时f
(a)有最小值1．
4．求定分dx．
5．怎样用定积分表示：
x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？
你能说说定积分的几何意义吗？例如的几何意义是什么
表示轴，曲线及直线，之间的各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正，在轴下方的面积取负。
（二）、新课探析
例1．讲解教材例题
例2．求曲线y=sinx
,x与直线x=0
,,x轴所围成图形的面积。
练习：
1．如右图，阴影部分面积为（
B
）
A．dx
B．dx
C．dx
D．dx
2．求抛物线y
=
–
x2
+
4x
–
3及其在点A（1，0）和点B（3，0）处的切线所围成的面积．
（三）、归纳总结：1、求曲边梯形面积的方法：⑴画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
2、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：
（1）型区域：①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（1））；
②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（2））；
③由两条曲线与直线
图（1）
图（2）
图（3）
所围成的曲边梯形的面积：（如图（3））；
（2）型区域：①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积,可由得，然后利用求出（如图（4））；②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由先求出，然后利用求出（如图（5））；
③由两条曲线与直线所围成的曲边梯形的面积，可由先分别求出，，然后利用求出（如图（6））；
图（4）
图（5）
图（6）
3、求平面曲线的弧长：设曲线AB方程为，函数在区间上可导，且连续，则曲线AB的弧长为.
（四）、作业：1、计算下列定积分。（1）
（2）
.解：(1)
=
=
+
=
(2)
原式===1
2、求由曲线与，，所围成的平面图形的面积(画出图形)。
解：
五、教后反思：
y
a
b
x
y
a
b
x
y
a
b
x
y
a
b
x
y
a
b
x
y
a
b
x综合法
一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一：综合法；了解综合法的思考过程、特点。
二、教学重点：了解综合法的思考过程、特点；难点：综合法的思考过程、特点。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、
教学过程
（一）、复习：
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.
（二）引入新课
引例：四边形ABCD是平行四边形，
求证：AB=CD，BC=DA
证
连结AC，因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB//CD，BC//DA
又AC=CA
故
AB=CD，BC=DA
直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为直接证明，其一般形式为：
本题条件
已知定义
已知公理
本题结论
已知定理
在数学证明中，综合法是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，综合法表现为由因导果，它是寻求解题思路的一种基本思考方法，应用十分广泛。
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法)
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:P…
特点:“由因导果”
（三）、例题探析：
例1：求证：是函数的一个周期。
证明：
∴由函数周期的定义可知：是函数的一个周期。
例2：（韦达定理）已知和是一元二次方程的两个根。求证：。
证明：由题意可知：
∴
例3：已知：x,y,z为互不相等的实数，且求证：
证明：根据条件可得
又由x,y,z为互不相等的实数，
所以上式可变形为
同理可得
所以
(四)、课堂练习：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
(五)、小结：综合法的特点是：从已知看可知，逐步推向未知，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件。
（六）、课后作业：课本习题1-2
2，3。课本练习
五、教后反思：
推理
合情推理（或然性推理）
演绎推理（必然性推理）
类比
（特殊到特殊）
三段论
（一般到特殊）
归纳
（特殊到一般）变化的快慢与变化率——平均变化率
一、教学目标：
1、理解函数平均变化率的概念；
2、会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢。
二、教学重点：从变化率的角度重新认识平均速度的概念，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化的快慢的数量描述。
教学难点：对平均速度的数学意义的认识
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：
第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。
研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。
本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。
积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。
(二)、探析新课
问题1：物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数，表示为s=s(t)
在运动的过程中测得了一些数据，如下表：
t/s
0
2
5
10
13
15
…
s/m
0
6
9
20
32
44
…
物体在0～2s和10～13s这两段时间内，那一段时间运动得快？
分析：我们通常用平均速度来比较运动的快慢。
在0～2s这段时间内，物体的平均速度为；
在10～13s这段时间内，物体的平均速度为。
显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快。
问题2：某病人吃完退烧药，他的体温变化如下图所示：
比较时间x从0min到20min和从20min到30min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？
分析：根据图像可以看出：
当时间x从0min到20min时，体温y从39℃变为38.5℃，下降了0.5℃；
当时间x从20min到30min时，体温y从38.5℃变为38℃，下降了0.5℃。
两段时间下降相同的温度，而后一段时间比前一段时间短，所以后一段时间的体温比前一段时间下降得快。
我们也可以比较在这两段时间中，单位时间内体温的平均变化量，于是当时间x从0min到20min时，体温y相对于时间x的平均变化率为
（℃/min）
当时间x从20min到30min时，体温y相对于时间x的平均变化率为
（℃/min）
这里出现了负号，它表示体温下降了，显然，绝对值越大，下降的越快，这里体温从20min到30min这段时间下降的比0min到20min这段时间要快。
（三）、小结：1、对一般的函数y=f（x）来说，当自变量x从变为时，函数值从f（）变为。平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数在内的平均变化率为，如我们常用到年产量的平均变化率。2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。
（四）、练习：P27页练习1，2，3，4题；习题2-1中
1
（五）作业布置：1、已知曲线上两点的横坐标是和，求过两点的直线斜率。
2、一物体按规律作变速直线运动，求该物体从2秒末到6秒末这段时间内的平
均速度。
五、教后反思：导数与函数的单调性（一）
一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。2、过程与方法：⑴通过具体实例的分析，经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程；⑵通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。
二、教学重点：函数单调性的判定
教学难点：函数单调区间的求法
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）．创设情景
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．
（二）．新课探究
1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动
中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1
（2）表示高台跳水运动员的速度随时间
变化的函数的图
像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入
水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率．
在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；
在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．
说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．
3．求解函数单调区间的步骤：
（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．
（三）．典例探析
例1、已知导函数的下列信息：
当时，；
当，或时，；
当，或时，
试画出函数图像的大致形状．
解：当时，，可知在此区间内单调递增；
当，或时，；可知在此区间内单调递减；
当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．
综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示．
例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）；
（2）
（3）；
（4）
解：（1）因为，所以，
因此，在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．
（2）因为，所以，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减；
函数的图像如图3.3-5（2）所示．
（3）因为，所以，
因此，函数在单调递减，如图3.3-5（3）所示．
（4）因为，所以
．
当，即
时，函数
；
当，即
时，函数
；
函数的图像如图3.3-5（4）所示．
注：（3）、（4）生练
例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．
分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．
解：
思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，在或内的图像“平缓”．
例4、求证：函数在区间内是减函数．
证明：因为
当即时，，所以函数在区间内是减函数．
说明：证明可导函数在内的单调性步骤：（1）求导函数；（2）判断在内的符号；（3）做出结论：为增函数，为减函数．
（四）．课堂练习：课本P59页练习1（1）；2
（五）．回顾总结：（1）函数的单调性与导数的关系；（2）求解函数单调区间；（3）证明可导函数在内的单调性
（六）．布置作业：课本P62页习题3-1A组1、2
五、教后反思：综合法和分析法的应用
一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
二、教学重点：会用分析法和综合法证明问题；了解分析法和综合法的思考过程。
教学难点：根据问题的特点，结合分析法和综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。
三、教学方法：
探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习准备
1、已知
“若，且，则”，试请此结论推广猜想。
（答案：若，且，则
）
2、已知，，求证：.
先完成证明
→
讨论：证明过程有什么特点？
3、讨论：如何证明基本不等式。
（讨论
→
板演
→
分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）
（二）、探析新课
1.
探析例题
①
出示例1：已知a,
b,
c是不全相等的正数，求证：a(b2
+
c2)
+
b(c2
+
a2)
+
c(a2
+
b2)
>
6abc.
分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）
→
板演证明过程（注意等号的处理）
→
讨论：证明形式的特点
②综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示：
要点：顺推证法；由因导果.
③
出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.
求证：为△ABC等边三角形.
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？
如何转化三角形中边角关系？
→
板演证明过程
→
讨论：证明过程的特点.
→
小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）
④
出示例2：见练习册P11
讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）
⑤出示例3：见练习册P11
讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）
⑥分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
框图表示：
要点：逆推证法；执果索因.
2、课堂练习：（1）、已知a，b，c是全不相等的正实数，求证.
（2）、证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方形边长为，截面积为，问题只需证：>
.
（三）、
小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q.
运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题。分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立；
比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径。
（四）、作业布置：
1、为锐角，且，求证：.
（提示：算）
2、
已知
求证：
3、
练习：设x
>
0，y
>
0，证明不等式：.
先讨论方法
→
分别运用分析法、综合法证明.
4、设a,
b,
c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：.
略证：正弦、余弦定理代入得：，
即证：，即：，即证：（成立）.
五、教学反思：曲边梯形的面积
一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。
二、教学重难点：　　
重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）
难点：对过程中所包含的基本的微积分
“以直代曲”的思想的理解
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
1、创设情景
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数在某一区间上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数称为区间上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数）
2、新课探析
问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？
例题：求图中阴影部分是由抛物线，直线以及轴所围成的平面图形的面积S。
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？
分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．
把区间分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．
解：
（1）．分割
在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：，，…，
记第个区间为，其长度为
分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
，，…，显然，
（2）近似代替
记，如图所示，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从图形上看，就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有
①
（3）求和：由①，上图中阴影部分的面积为
====，从而得到的近似值
（4）取极限：分别将区间等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有
从数值上的变化趋势：
3．求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割．在区间中任意插入各分点，将它们等分成个小区间，区间的长度，第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．第四步：取极限。
说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割以直代曲求和逼近
2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值
练习：课本P76练习题：设S表示由曲线，x=1，以及x轴所围成平面图形的面积。
四、课堂小结：求曲边梯形的思想和步骤：分割以直代曲求和逼近
（“以直代曲”的思想）
五、教学后记
x
x
x
1
x
1
x
y
1
x
y
y变化的快慢与变化率——瞬时变化率
一、教学目标：
1、理解函数瞬时变化率的概念；
2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。
3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题。
二、教学重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢。
教学难点：对于平均速度与瞬时速度的关系的理解
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：函数平均变化率的概念
1、对一般的函数y=f（x）来说，当自变量x从变为时，函数值从f（）变为。平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数在内的平均变化率为，如我们常用到年产量的平均变化率。2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。
（二）、探究新课
例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为
其中，g为重力加速度，试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。
分析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式
，
可以求出从5s到6s这段时间内小球的平均速度
（m/s）。
我们有时用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s这段时间内的平均速度
（m/s）。
用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。
如果时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。
解：我们将时间间隔每次缩短为前面的，计算出相应的平均速度得到下表：
t0/s
t1/s
时间的改变量（Δt）/s
路程的改变量（Δs
）/m
平均速度/（m/s）
5
5.1
0.1
4.95
49.5
5
5.01
0.01
0.49
49.049
5
5.001
0.001
0.049
49.0049
5
5.0001
0.0001
0.0049
49.00049
5
…
…
…
…
可以看出，当时间t1趋于t0=5s时，平均速度趋于49m/s，因此，可以认为小球在t0=5s时的瞬时速度为49m/s。从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度为49m/s的物理意义是，如果小球保持这一刻的速度进行运动的话，每秒将要运动49m。
例2、如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m。x（单位：m）表示OX这段棒长，y（单位：kg）表示OX这段棒的质量，它们满足以下函数关系：
。
估计该合金棒在x=2m处的线密度。
分析：一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度，就是这段合金棒的平均线密度。
解：由，我们可以计算出相应的平均线密度得到下表
x0/s
x1/s
长度x的改变量（Δx）/m
质量y的改变量（Δs
）/kg
平均线密度/（kg/m）
2
2.1
0.1
0.070
0.70
2
2.01
0.01
0.0071
0.71
2
2.001
0.001
0.00071
0.71
2
2.0001
0.0001
0.000071
0.71
2
…
…
…
…
可以看出，当x1趋于x0=2m时，平均线密度趋于0.71kg/m，因此，可以认为合金棒在x0=2m处的线密度为0.71kg/m。从上面的分析和计算可以看出，线密度为0.71kg/m的物理意义是，如果有1m长的这种线密度的合金棒，其质量将为0.71kg。
（三）、小结：对于一般的函数，在自变量x从x0变到x1的过程当中，若设Δx=
x1－x０，，则函数的平均变化率是
，
而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于在点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢。
（四）、练习：课本练习2：1、2.
（五）、作业：课本习题2-1：3、4、5
五、教后反思：数学归纳法
一、教学目标：
1、使学生了解归纳法,
理解数学归纳的原理与实质。
2、掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题。
3、培养学生观察,
分析,
论证的能力,
进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程,
体会类比的数学思想。
4、努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。
5、通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明),
激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。
二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、复习：1、数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN
，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N
)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.
3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；
(2)假设当n=k(k∈N
，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确
（二）、探究新课
例1、求证：能被9整除，。
证明：（1）当n=1时，，36能被9整除，命题成立；
（2）假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即能被9整除。
当n＝k+1时，
由假设可知，上式的两部分都能被9整除。
故n＝k+1时，命题也成立。
根据（1）和（2）可知对任意的，该命题成立。
证明整除性问题的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证。
例2、证明：凸n边形的对角线的条数。
证明：（1）当n=4时，，四边形有两条对角线，命题成立。
（2）假设n＝k(k≥4)时，命题成立，即凸k边形的对角线的条数.
当n＝k+1时，凸k+1边形是在k边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点，增加的对角线条数是顶点与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边，共增加的对角线条数为：（k+1-3）+1=k-1
∴。
故n＝k+1时，命题也成立。
根据（1）和（2）可知对n≥4，公式都成立。
用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k+1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n=k+1和n=k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧。
例3、已知数列满足，，试猜想的通项公式并用数学归纳法证明。
解：由和，得
，，
，，
……
归纳上述结果，可得猜想。
下面用数学归纳法证明这个猜想。
（1）当n＝1时，左边，右边，等式成立。
（2）假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即成立。
那么，当n＝k+1时，
。
这就是说，当n＝k+1时等式成立。
根据（1）和（2），可知猜想对任意正整数n都成立。
探索性命题的求解一般分三步进行：①验证p⑴，p⑵，p⑶，p⑷，…；②提出猜想；③用数学归纳法证明。
（三）、小结：使用数学归纳法时需要注意：（1）用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题；（2）在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可。
（四）、练习：课本练习.
（五）、作业：课本习题1-4：2.
五、教后反思：4.3.1平面图形的面积
一、教学目标：1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法。
二、教学重难点：
曲边梯形面积的求法及应用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
1、复习：（1）、求曲边梯形的思想方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？
2、定积分的应用
（一）利用定积分求平面图形的面积
例1．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解：，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=，所以=
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习
计算由曲线和所围成的图形的面积.
例2．计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.
分析：首先画出草图（图1.7
一2
)
，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例
1
不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S1和S2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线与曲线的交点的横坐标，直线与
x
轴的交点．
解：作出直线，曲线的草图，所求面积为图1.
7一2
阴影部分的面积．
解方程组得直线与曲线的交点的坐标为（8,4)
.
直线与x轴的交点为（4,0).
因此，所求图形的面积为S=S1+S2
.
由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．
例3.求曲线与直线轴所围成的图形面积。
答案：
练习
1、求直线与抛物线所围成的图形面积。
答案：
2、求由抛物线及其在点M（0，－3）
和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。
略解：，切线方程分别为、
，则所求图形的面积为
3、求曲线与曲线以及轴所围成的图形面积。
略解：所求图形的面积为
4、在曲线上的某点A处作一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为.试求：切点A的坐标以及切线方程.
略解：如图由题可设切点坐标为，则切线方程
为，切线与轴的交点坐标为
，则由题可知有
，所以切点坐标与切线方程分别为
（二）、归纳总结：1、定积分的几何意义是：、轴所围成的图形的面积的代数和，即.
因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数的图像与轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.
2、求曲边梯形面积的方法：⑴画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
（三）、作业布置：课本P90页习题4-3中1、2、3、4
五、教学反思：
A
B
C
D
O
x
y
o
y=－x2+4x-3
x
x
O
y=x2
A
B
C瞬时速度与瞬时加速度
一、教学目标：了解平均速度的概念，掌握运动物体的瞬时速度瞬时加速度的概念及求法．
二、教学重点，难点：瞬时速度瞬时加速度的概念及求法．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）．问题情境
1．情境：一质点运动方程为，（其中表示在时刻的位移，时间单位：秒，位移单位：米）；求质点在时刻处的切线的斜率．2．问题：在时刻处的切线的斜率有什么物理意义？
（二）、学生活动
解：，∴，当趋近于时，趋近于，质点在时刻处的切线的斜率为；它的物理意义时刻时的瞬时速度．
（三）．建构数学
1．
平均速度：
物理学中，运动的物体的位移与所用时间比称为平均速度．
若位移与所经过时间的规律是，设为时间改变量，从到这段时间内，物体的位移是，那么位移的改变量与时间改变量的比就是这段时间内物体的平均速度，
即：，平均变化率反映了物体在某一时间段内运动快慢程度的物理量。
2．
瞬时速度：物理学中我们学习过运动的物体在某一时刻的“速度”，即的瞬时速度，用表示，物体在时的瞬时速度（即时对于时间的瞬时变化率），运动物体在到这一段时间内的平均速度，当无限趋近于0时，趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在时的瞬时速度．
3．
瞬时加速度
物理学中我们学习过运动的物体在某一时刻的“加速度”，即的瞬时加速度，用表示，物体在时的瞬时加速度（即时速度对于时间的瞬时变化率），运动物体在到这一段时间内的平均加速度，当无限趋近于0时，有趋近于常数．
（四）．知识运用：1．例题：
例1．设质点按函数所表示的规律运动，求质点在时刻时的瞬时速度（其中表示在时刻的位移，时间单位：秒，位移单位：米）．
解：从到这段时间内，
物体的位移是，
那么位移的改变量与时间改变量的比就是这段时间内物体的平均速度，即，当无限趋近于0时，有趋近于常数，∴质点在时刻时的瞬时速度为．
例2．跳水运动员从高的跳台腾空到入水的过程中，不同的时刻有不同的速度，后运动员相对于水面的高度为，确定时运动员的速度
．
解：从到这段时间内的平均变化率为，
，当无限趋近于0时，有趋近于常数，∴当时运动员的瞬时速度为．
例3．设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设时的速度为，求
时轿车的加速度．
解：在到的时间间隔内，轿车的平均加速度为，
当趋近于常数0时，有趋近于常数，所以时轿车的加速度为．
2．练习：课本P30页第
1，2题．
（五）．回顾小结：运动物体的瞬时速度的一般步骤是：①求位移增量与时间增量的比；
②判断当趋近于常数0时，是否无限趋近于一常数；③求出这个常数．
（六）、作业：习题2-1中
A组第3题
B组1、2
五、教后反思函数的极值
一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数极值的概念；⑵会求给定函数在某区间上的极值。
2、过程与方法：通过具体实例的分析，会对函数的极大值与极小值。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。
二、教学重点：函数极值的判定方法
教学难点：函数极值的判定方法
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习引入
1、常见函数的导数公式：
；；；；；
；；
2、法则1
　
法则2
,
法则3
3、复合函数的导数：
4、函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x)
在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x)
在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x)
在为这个区间内的减函数
5、用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).
②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间
（二）、探究新课
1、极大值：
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
2、极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点
3、极大值与极小值统称为极值
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
4、判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值
5、求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数；(2)求方程=0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值。
（三）、典例探析
例1、求的极值
解：
因为，所以。
下面分两种情况讨论：（1）当>0,即，或时；（2）当<0,即时.当x变化时，
，的变化情况如下表：
-2
(-2,2)
2
+
0
－
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为。函数的图像如图所示。
例2、求y=(x2－1)3+1的极值
解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
－
0
－
0
+
0
+
↘
无极值
↘
极小值0
↗
无极值
↗
∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0
（四）、巩固练习：1．求下列函数的极值.(1)y=x2－7x+6
(2)y=x3－27x
(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7令y′=0，解得x=.当x变化时，y′，y的变化情况如下表.
－
0
+
↘
极小值
↗
∴当x=时，y有极小值，且y极小值=－.
(2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3)，令y′=0，解得x1=－3，x2=3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表.
-3
(-3,3)
3
+
0
－
0
+
↗
极大值54
↘
极小值-54
↗
∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54.当x=3时，y有极小值，且y极小值=－54
（五）、小结：函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点
求极值的具体步骤：第一，求导数f′(x).第二，令f′(x)=0求方程的根，第三，列表，检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点
（六）、课后作业：课本P62
练习题（1）、（2）
课本习题3-1中
A组3
五、教后反思：第五章
数系的扩充与复数的引入
一、教学目标：
1、了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；
2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；
3、理解并掌握复数的代数形式四则运算法则与规律
二、教学重难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件；复数的代数形式四则运算法则与规律。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、基础梳理
1、复数的概念及其表示形式：
通常复数z的实部记作Rez；复数z的虚部记作Imz.
两个重要命题：
（2）复数的几何形式：复数集与平面上的点集之间能建立一一对应关系，故可用平
这是解决复数问题时进行虚实转化的工具：
在复平面上，互为共轭复数的两个点关于实轴对称：
2.、复数的运算：
（1）四则运算法则（可类比多项式的运算）
简记为“分母实数化”。
特例：
利用复数相等的充要条件转化为解实方程组。
（二）、例题探析
例1、1、若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则=
。
答案5
2、已知复数，则在复平面内所对应的点位于（
）
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
答案：Ａ
3、已知，复数，当为何值时：
（1）；（2）是虚数；（3）是纯虚数．
解：（1）当且，即时，是实数；
（2）当且，即且时，是虚数；
（3）当且，即或时，为纯虚数．
学生练习，教师准对问题讲评。
例2、计算①；
②；③+
答案：①；②；③-1
学生练习，教师准对问题讲评。
例3、已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求|z1·z2|的最大值和最小值。
解：|z1·z2|=|1+sinθcosθ+（cosθ－sinθ）i|
=
==.
故|z1·z2|的最大值为，最小值为
（三）、小结：本课要求1、了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；3、理解并掌握复数的代数形式四则运算法则与规律。
（四）作业布置：课本P112页复习题五中A组4、6
B组1、2
五、教后反思：导数应用小结与复习
一、教学目标：1、知识与技能:①
利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值；②利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。
2、过程与方法:①通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，培养学生的数学思维能力；
②
通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。
3、情感态度、价值观：逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯。
二、教学重难点：通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，培养学生的数学思维能力；
通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、知识点
1、导数应用的知识网络结构图：
（二）重点导析：
1、本课主要内容是小结导数和微分在研究函数性质方面的应用，即函数的单调性、极大(小)值、最大(小)值，以及运用导数和微分来解决实际问题．其知识要点如下表所示．
2、对于函数单调性的判定，强调：(1)判别法的依据是导数的几何意义；(2)在(a，b)内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是使f(x)在(a，b)内递增或递减的充分条件而非必要条件，例f(x)＝x3在(－∞，＋∞)内递增，并不要求在(－∞，＋∞)内f′(x)＞0．
3、关于极值问题，仍然要注意以下问题：(1)极值点未必可导点；(2)f′(x0)＝0时，f(x0)未必是极值；(3)极大值未必大于极小值．
4．关于函数的最值：切实掌握求最值的步骤和方法外，应说明极值和最值的关系，以及f(x)在[a，b]内连续是使f(x)在[a，b]内有最大值和最小值的充分条件而非必要条件．
（三）、例题探析
例1、求函数y＝x4－2x2＋5在闭区间[－2，2]上的极值、最值，讨论其在[－2，2]上的各个单调区间．(可叫学生演板)
例2、已知函数f(x)＝alg(2-ax)(a＞0，且a≠1)在定义域[0，1]上是减函数，求a的取值范围．
分析：因为f(x)在[0，1]上是减函数，所以在[0，1]上必有f′(x)＜0．由f′(x)＜0得不等式，可由不等式求出a的取值范围．
例3、如图，两个工厂A、B相距0.6km，A、
B距电站C都是0.5
km．计划铺设动力线，先由C沿AB的垂线至D，再与A、B相连．D点选在何处时，动力线总长最短？
分析：据题意应知三角形ADB是等腰三角形，DE是其高线．故可设DE为x
km．由AB＝0.6，AC＝BC＝0.5，得AE＝EB＝0.3．
动力线总长l
故D点选在距AB
0.17千米处时，动力线最短．
（四）、课堂练习：复习参考题三A组1(1)题、（2）题
（五）、课堂内容小结：(1)本节知识要点；(2)例题涉及的知识点、难点；(3)三道例题解答所重用的工具．
（六）、布置作业：课本复习参考题三A组第1
(3)、（5）、2（2）、3
五、教学反思：分析法
一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
二、教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。
难点：分析法的思考过程、特点
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、复习：直接证明的方法：综合法、分析法。
（二）、引入新课
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。在很多数学命题的证明中，往往需要综合地运用这两种思维方法。
（三）、例题讲解：
例1：如图、已知BE，CF分别为△ABC的边AC，AB上的高，G为EF的中点，H为BC的中点.求证：HG⊥EF.
证明：考虑待证的结论“HG⊥EF”
.
根据命题的条件：G为EF的中点，连接EH，HF，
只要证明△EHF为等腰三角形，即EH=HF.
根据条件CF⊥AB，且H为BC的中点，可知FH是Rt△BCF斜边上的中线.
所以
.
同理
.
这样就证明了△EHF为等腰三角形.
所以
HG⊥EF.
例2：已知：a，b，c都是正实数，且ab+bc+ca=1.求证：a+b+c.
证明：考虑待证的结论“a+b+c”
，因为a+b+c＞0，
只需证明，
即
.
又
ab+bc+ca=1，
所以，只需证明，
即
.
因为
ab+bc+ca=1，
所以，只需证明
，
只需证明
，
即.
由于任意实数的平方都非负，故上式成立.
所以
a+b+c.
例3.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证
AF⊥SC
证明:要证AF⊥SC，只需证:SC⊥平面AEF，只需证:AE⊥SC，只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC，只需证:BC⊥平面SAB，只需证:BC⊥SA，只需证:SA⊥平面ABC
因为:SA⊥平面ABC成立。所以.
AF⊥SC成立。
（四）、小结：综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效，就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.
（五）、练习：课本练习2.
（六）、作业：课本习题1-2：
7、9.
五、教后反思：
F
E
S
C
B
A演绎推理
一、教学目标
1、知识与技能：
(1)了解演绎推理
的含义；
(2)能正确地运用演绎推理
进行简单的推理；
(3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
2、方法与过程：认识演绎推理的主要形式为三段论,认识三段论推理一般模式,包括三步(1)大前提,(2)小前提,(3)结论.再从实际应用中认识数学中的证明,主要通过演绎推理来进行的.从实例中认识它的重要作用和具体做法。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生认识到演绎推理在数学中的重要性,我们既需要用合情推理来发现结论,也要用演绎推理来证明结论的对否。
二、教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.
教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别,
分析证明过程中包含的“三段论”形式,三段论的证明原理
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习准备：
1.
练习：
①
对于任意正整数n，猜想（2n-1）与(n+1)2的大小关系？
②在平面内，若，则.
类比到空间，你会得到什么结论？
（结论：在空间中，若，则；或在空间中，若）
2.
讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？
合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？
3.
导入：
所有的金属都能导电
铜是金属
铜能导电
在一个标准大气压下，水的沸点是
在一个标准大气压下，把水加热到
水会沸腾
三角函数是周期函数
tanα是三角函数
tanα是周期函数
太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行
冥王星是太阳系的大行星
冥王星是以椭圆形轨道绕太阳运行
一切奇数都不能被2整除
是奇数
不能被2整除
（讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？→课题：演绎推理）
（二）、新课探析
1.概念：
①
概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。
要点：由一般到特殊的推理。
②
讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？
合情推理；演绎推理：由一般到特殊.
③
提问：观察上面导入的表格，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？
所有的金属都导电
铜是金属
铜能导电
已知的一般原理
特殊情况
根据原理，对特殊情况做出的判断
大前提
小前提
结论
２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括　
　⑴大前提---已知的一般原理；　　　　　　　　
⑵小前提---所研究的特殊情况；　　　　　　　
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三段论的基本格式
M—P（M是P）
（大前提）
S—M（S是M）
（小前提）
S—P（S是P）
（结论）
3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:如图
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
④
举例：举出一些用“三段论”推理的例子.
2.例题探析：
解：二次函数的图象是一条抛物线
（大前提）
例2：在锐角三角形ABC中，，D，E是垂足.
求证：AB的中点M到D，E的距离相等.
分析：证明思路
→板演：证明过程
→
指出：大前题、小前题、结论.
例3、证明函数在上是增函数.
板演：证明方法（定义法、导数法）
→
指出：大前题、小前题、结论.
思考：因为所有的边长相等的凸多面体是正多边形,大前提
而菱形是所有边长都相等的凸多边形,
小前题
所以菱形是正多边形结论
上面的推论形式正确吗
推理的结论正确吗 为什么
演绎推理怎样才结论正确？（只要前提和推理形式正确，结论必定正确）
3.比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.）
4.
小结：“三段论”是演绎推理的一般模式；包括：⑴大前提---已知的一般原理；　　　　　　　　⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断，演绎推理错误的主要原因是（1）、大前提不成立；（2）、小前提不符合大前提的条件。
（三）、巩固练习：见练习册
P9
2、3题
（四）、作业布置：
P9
5、
7题
五、教后反思：复数复数的乘法与除法
一、教学目标：
1、知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算。
2、过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题。
3、情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
二、教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念
教学难点：乘除运算
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习准备
1.
复数的加减法的几何意义是什么？
2.
计算（1）
（2）
（3）
3.
计算：（1）
（2）
（类比多项式的乘法引入复数的乘法）
（二）、探析新课
1.复数代数形式的乘法运算
①.复数的乘法法则：。
例1．计算（1）
（2）
（3）
（4）
探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？
例2．1、计算（1）
（2）（3）
2、已知复数，若，试求的值。变：若，试求的值。
②共轭复数：两复数叫做互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数。
③类比，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：
其中叫做实数化因子
除法运算规则：①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，
即(a+bi)÷(c+di)=x+yi∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.
∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.由复数相等定义可知
解这个方程组，得于是有:(a+bi)÷(c+di)=
i.
②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将的分母有理化得：
原式=
.∴(a+bi)÷(c+di)=.
例3．计算，（师生共同板演一道，再学生练习）
练习：计算，
（三）．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
（四）、巩固练习：
1．计算（1）
（2）
（3）
2．若，且为纯虚数，求实数的取值。变：在复平面的下方，求
（五）、课外练习：第106页练习
（六）、课后作业：第108页习题A:5,6,7
五、教后反思4.3.2简单几何体的体积
一、教学目标
1、理解定积分概念形成过程的思想；2、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。
二、
学法指导
本节内容在学面图形面积计算之后的更深层次的研究，关键是对定积分思想的理解及灵活运用，建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积问题。
三、教学重难点：
重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题；
难点；数学模型的建立及被积函数的确定。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合
五、教学过程
（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？
（二）新课探析
问题：函数，的图像绕轴旋转一周，所得到的几何体的体积
。
典例分析
例1、给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体。求它的体积。
Y
分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）
学生阅读课本P89页分析，教师引导。
解：圆锥体的体积为
O
1
X
Y
O
X
变式练习1、求曲线，直线，
与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。
答案：；
例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。
分析：解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。则A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线方程，
“冰激凌”可看成是由抛物线弧OB和线段AB绕X轴旋转一周形成的。
解：将其轴载面按下图位置放
置，并建立如图的坐标系。则，
，设抛物线弧OA所在的抛物线方程为：，代入求得：
∴抛物线方程为：（）
设直线AB的方程为：，代入求得：
∴直线AB的方程为：
∴所求“冰激凌”的体积为：
变式练习2
如图一，是火力发电厂烟囱示意图。它是双曲线绕其一条对称轴旋转一周形成的几何体。烟囱最细处的直径为，最下端的直径为，最细处离地面，烟囱高，试求该烟囱占有空间的大小。
（图二）
（图一）
（精确到）
答案：
归纳总结：求旋转体的体积和侧面积
由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体体积为.其侧面积为
.
求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：1．先求出的表达式；2．代入公式，即可求旋转体体积的值。
（三）、课堂小结：求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：1．先求出的表达式；2．代入公式，即可求旋转体体积的值。
（四）、作业布置：课本P90页练习题中2；习题4-3中6、7
五、教后反思计算导数（二）
一、教学目标：掌握初等函数的求导公式，并能熟练运用。
二、教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习
1、导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的流程图。
（1）求函数的改变量
（2）求平均变化率
（3）取极限，得导数＝
本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。
（1）、y=x
（2）、y=x2
（3）、y=x3
问题：，，呢？
问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？
（二）、新课探析
1、基本初等函数的求导公式：
⑴
(k,b为常数)
⑵
(C为常数)
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
由⑶~⑹你能发现什么规律
⑻
（为常数）
⑼
⑽
⑾
⑿
⒀
⒁
从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
2、例题探析
例1、求下列函数导数。
（1）　（2）　　（3）
（4）　（5）y=sin(+x)
(6)
y=sin
（7）y=cos(2π－x)　
（8）y=
例2、已知点P在函数y=cosx上，（0≤x≤2π），在P处的切线斜率大于0，求点P的横坐标的取值范围。
例3、若直线为函数图象的切线,求b的值和切点坐标.
变式1、求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.
总结切线问题：找切点
求导数
得斜率
变式2、求曲线y=x2过点(0,-1)的切线方程
变式3、求曲线y=x3过点(1,1)的切线方程
变式4、已知直线,点P为y=x2上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短.
（三）、课堂小结：（1）基本初等函数公式的求导公式（2）公式的应用
导数公式表
函数
导函数
函数
导函数
（c是常数）
（α是常数）
特别地
特别地
（四）、课堂练习：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数导数公式表，有
所以（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨。
（五）、作业布置：见练习册P34页3、4、6、7
五、教学反思：复数的几何意义
一、教学目标：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
二、教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
教学难点:
根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
三、教学方法：阅读理解，探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习准备：
1.
说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。
2．复数，当取何值时为实数、虚数、纯虚数？
3.
若，试求的值，（呢？）
4.虚数单位:(1)它的平方等于-1，即　;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.（3）.
与－1的关系:
就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－!　（4）.
的周期性：4n+1=i,
4n+2=-1,
4n+3=-i,
4n=1
5.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示
　
6.
复数的代数形式:
复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式
7.
复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
8.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.
9.
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d　
复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据　一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对　如果两个复数都是实数，就可以比较大小　只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
(二)、探析新课：
1.
复数的几何意义：
①
讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？
（分析复数的代数形式，因为它是由实部和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标）
结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。
②复平面：以轴为实轴，
轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。
复数与复平面内的点一一对应。
③例1、在复平面内描出复数分别对应的点。
（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是而不是）
观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？
④实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。
思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？
⑤，，
注意：人们常将复数说成点或向量，规定相等的向量表示同一复数。
2．应用
例2、在我们刚才例1中，分别画出各复数所对应的向量。
练习：在复平面内画出所对应的向量。
（三）、小结：复数与复平面内的点及平面向量一一对应，复数的几何意义。
(四)、课堂练习：第99页练习
（五）、课后作业：第100页习题A:4,5,8
五、教后反思曲边梯形的面积
一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。
二、教学重难点：　　
重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）
难点：对过程中所包含的基本的微积分
“以直代曲”的思想的理解
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
1、创设情景
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数在某一区间上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数称为区间上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数）
2、新课探析
问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？
例题：求图中阴影部分是由抛物线，直线以及轴所围成的平面图形的面积S。
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？
分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．
把区间分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．
解：
（1）．分割
在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：，，…，
记第个区间为，其长度为
分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
，，…，显然，
（2）近似代替
记，如图所示，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从图形上看，就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有
①
（3）求和：由①，上图中阴影部分的面积为
====，从而得到的近似值
（4）取极限：分别将区间等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有
从数值上的变化趋势：
3．求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割．在区间中任意插入各分点，将它们等分成个小区间，区间的长度，第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．第四步：取极限。
说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割以直代曲求和逼近
2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值
练习：课本P76练习题：设S表示由曲线，x=1，以及x轴所围成平面图形的面积。
四、课堂小结：求曲边梯形的思想和步骤：分割以直代曲求和逼近
（“以直代曲”的思想）
五、教学后记
x
x
x
1
x
1
x
y
1
x
y
y第一章
推理与证明
一、教学目标
1、了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。
2、了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程与特点。
3、了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程与特点。
4、了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
二、教学重点：1、能利用归纳和类比等进行简单的推理
2、能用综合法、分析法、反证法、数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学难点：数学归纳法
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)知识结构
本章在回顾已有知识的基础上逐一介绍了合情推理的两种基本思维方式：归纳推理、类比推理，以及数学证明的主要方法：分析法、综合法、反证法、数学归纳法，上述推理方式和证明方法都是数学的基本思维过程，它们贯穿于整个高中数学的学习中，数学知识的学习过程也是这些思维方法的领悟、训练和应用的过程，要通过学习感受逻辑思维在数学以及日常生活中的作用。
（二）、例题探析
例1、将下面平面几何中的概念类比到立体几何中的相应结果是什么？请将下表填充完整。
平面几何
立体几何
等腰三角形
正三棱锥
等腰三角形的底
正三棱锥的底面
等腰三角形的腰
正三棱锥的侧面
点到直线的距离
直线到平面的距离
例2、分别用分析法和综合法证明：在△ABC中，如果AB=AC，BE，CF分别是三角形的高线，BE与CF相交于点M，那么，MB=MC。
证明：（分析法）要证明MB=MC，只需证明△BFM≌△CEM。
因为△BFM，△CEM均为直角三角形，且∠BMF=∠CME，
只需证明BF=CE即可。
在Rt△BFC与Rt△CEB中，由于△ABC为等腰三角形，
∠ABC=∠ACB，BC=BC，∠EBC=∠FCB，有△BFC≌△CEB，BF=CE
以上各布可逆，故MB=MC。
（综合法）在Rt△BFC与Rt△CEB中，由于△ABC为等腰三角形，
有∠ABC=∠ACB，BC=BC，∠EBC=∠FCB，可知△BFC≌△CEB，所以BF=CE
在Rt△BFM与Rt△CEM中，∠BMF=∠CME，∠FBM=∠ECM，
所以△BFM≌△CEM，MB=MC，得证。
例3：已知a，b为正实数，且a+b=1，求证：。
证明：由题知a>0，b>0，a+b=1，有0b=1-a，所以
，
即。
因为，知
即故。
例4、如图;已知L1、L2
是异面直线且
A、B∈
L1,C、D∈
L2,
求证;AC,SD也是异面直线.
分析：用反证法
例5、
分析：采用归纳-猜想-证明的方法
（三）、练习：课本复习题一中
11、12、14.
（四）、作业：课本复习题一中
7、10.
五、教后反思：
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理
归纳推理
类比推理
直接证明
间接证明
数学归纳法
比较法
综合法
分析法
反证法
A
F
B
C
M
E复数的加法与减法
一、教学目标：
1、知识与技能：掌握复数的加法运算及意义；
2、过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律；
3、情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)
理解并掌握复数相等的有关概念。
二、教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义
教学难点：加、减运算的几何意义
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习准备：
1.
与复数一一对应的有？
2.
试判断下列复数在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3.
同时用坐标和几何形式表示复数所对应的向量，并计算。向量的加减运算满足何种法则？
4.
类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？
（二）、探析新课：
1.复数的加法运算及几何意义
①.复数的加法法则：，则。
例1、计算（1）
（2）
（3）
（4）
②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2、例1中的（1）、（3）两小题，分别标出，所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）
2、复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若，则。
④讨论：若，试确定是否是一个确定的值？
（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）
⑤复数的加法法则及几何意义：，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。
3、例题探析：
例1．计算（1）
（2）
（3）
练习：已知复数，试画出，，
例2、复数=1+2i，=－2+i，=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
分析一：利用
，求点D的对应复数.
解法一：设复数所对应的点为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x，y∈R)，是：
(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i;
(－1－2i)－(－2+i)=1－3i.
即(x－1)+(y－2)i=1－3i，∴
解得∴x=2，y=－1.故点D对应的复数为2－i.
分析二：利用原点O正好是正方形ABCD的中心来解.
解法二：因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，于是(－2+i)+
(x+yi)=0，∴x=2，y=－1.故点D对应的复数为2－i.
点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用
（三）．小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行。
（四）、巩固练习：
1．计算（1）（2）（3）
2．若，求实数的取值。
变式：若表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数的取值。
3．三个复数，其中，是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定的值。
(五)、课外练习：第103页练习
(六)、课后作业：第108页习题A:1,2,3,4
五、教后反思计算导数（一）
一、教学目标：
1、能根据导数的定义求简单函数的导数，掌握计算一般函数在处的导数的步骤；
2、理解导函数的概念，并能用它们求简单函数的导数。
二、教学重点：根据导数的定义计算一般函数在处的导数；
教学难点：导数的定义运用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）复习导入新课
注
意
那么，如何利用导数的定义求函数的导数？从而导入新课。
（二）、探析新课
计算函数在处的导数的步骤如下：
（1）通过自变量在处的Δx，确定函数在处的改变量：；
（2）确定函数在处的平均变化率：；
（3）当Δx趋于0时，得到导数。
例1、求函数在下列各点的导数
（1）；
（2）；
（3）。
解：（1）∵.
∴。
∴当Δx趋于0时，得到导数。
（2）由（1）可知当时有：。
（3）由（1）可知当时有：。
一般地：如果一个函数在区间[a，b]上的每一点x处都有导数，导数值记为：
则是关于x的函数，称为的导函数，通常也简称为导数。
例2、求的导函数，并利用导函数求，，。
解：∵.
∴。
∴当Δx趋于0时，得到导函数。
分别将，，代入，可得
，，。
（二）、小结：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，利用导数的定义计算函数在处的导数的步骤如下：
（1）通过自变量在处的Δx，确定函数在处的改变量：；
（2）确定函数在处的平均变化率：；
（3）当Δx趋于0时，得到导数
（三）、练习：课本练习：1、2.
（四）、作业：课本习题2-3：A组1、2、4
（五）、课外练习：求函数的导数
因为
所以
五、教后反思：导数的乘法与除法法则
一、教学目标：
1、了解两个函数的积、商的求导公式；
2、会运用上述公式，求含有积、商综合运算的函数的导数；
3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
二、教学重点：函数积、商导数公式的应用
教学难点：函数积、商导数公式
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：两个函数的和、差的求导公式
1.导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即
2.
导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为
3.
导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数,
称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，
4.
求函数的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量（2）求平均变化率
（3）取极限，得导数＝
5.
常见函数的导数公式：；
6.
两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即
（二）、探究新课
设函数在处的导数为，。我们来求在处的导数。
令，由于
知在处的导数值为。
因此的导数为。
一般地，若两个函数和的导数分别是和，我们有
特别地，当时，有
例1：求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）。
解：（1）；
（2）；
（3）。
例2：求下列函数的导数：
（1）；
（2）。
解：（1）；
（2）。
（三）、练习：课本练习1.
（四）、课堂小结：1、了解两个函数的积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。4、法则：一般地，若两个函数和的导数分别是和，我们有
特别地，当时，有
（五）、作业：课本习题2-4：A组4（1）、（2）、（3）、（5）、（6）；5
五、教后反思：简单复合函数的求导法则
一、教学目标：
1、了解简单复合函数的求导法则；
2、会运用上述法则，求简单复合函数的导数。
二、教学重点：简单复合函数的求导法则的应用
教学难点：简单复合函数的求导法则的应用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。
1.
常见函数的导数公式：
；；；
2.法则1
　．
法则2
,
法则3
（二）、引入新课
海上一艘油轮发生了泄漏事故。泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)是油膜半径r(单位：m)的函数：。
油膜的半径r随着时间t（单位：s）的增加而扩大，假设r关于t的函数为。
油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？
分析：由题意可得S关于t的新的函数：。
油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率就是函数的导函数。
∵
，
∴
。
又
，
，
可以观察到
，
即
。
一般地，对于两个函数和，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数和的复合函数，记作。其中u为中间变量。
复合函数的导数为：
(表示y对x的导数)
复合函数的求导法则
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数
复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．
例1、试说明下列函数是怎样复合而成的？
⑴；
⑵；⑶；
⑷．
解：⑴函数由函数和复合而成；
⑵函数由函数和复合而成；
⑶函数由函数和复合而成；
⑷函数由函数、和复合而成．
说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．
例2、求函数的导数。
解：引入中间变量，则函数是由函数与
复合而成的。
根据复合函数求导法则可得：
例3、求函数的导数。
解：引入中间变量，则函数是由函数与
复合而成的。
根据复合函数求导法则可得：
注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.
例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y（单位：cm）。关于时间t（单位：s）的函数为，求函数在t=3时的导数，并解释它的实际意义。
解：函数是由函数与复合而成的，其中x是中间变量。
∴。
将t=3代入得：
（cm/s）。
它表示当t=3时，水面高度下降的速度为
cm/s。
（三）、小结
：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代
（四）、练习：课本练习.
（五）、作业：课本习题2-5：
2、3、5
五、教后反思：导数的加法与减法法则
一、教学目标：
1、了解两个函数的和、差的求导公式；
2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；
3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
二、教学重点：函数和、差导数公式的应用
教学难点：函数和、差导数公式的应用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。
1.导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即
2.
导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为
3.
导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数,
称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，
4.
求函数的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量（2）求平均变化率
（3）取极限，得导数＝
5.
常见函数的导数公式：；
（二）、探析新课
两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即
证明：令，
，
∴
，
即　　．
例1：求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解：（1）。
（2）。
（3）。
例2：求曲线上点（1，0）处的切线方程。
解：。
将代入导函数得
。
即曲线上点（1，0）处的切线斜率为4，从而其切线方程为
，
即。
(三)、练习：课本练习：1、2.
补充题：1、求y＝x3＋sinx的导数．解：y'＝(x3)'＋(sinx)'
＝3x2＋cosx．
2、求y＝x4－x2－x＋3的导数．解：y'＝4x3
－2x－1．
（四）课堂小结：本课要求：1、了解两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。4、法则：两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即
（五）、作业：课本习题2-4：A组2、3
B组2
五、教后反思：函数的最大值与最小值（二）
一、教学目标：理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的区别与联系.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.
二、教学重点：求函数的最值及求实际问题的最值.
教学难点：求实际问题的最值.掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步骤，突破难点要把实际问题“数学化”，即建立数学模型.
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）复习引入
1．函数y
=
x·e–x在x∈[0,
4]的最小值为（
A
）
A．0
B．
C．
D．
2．给出下面四个命题.
①函数y
=
x2
–
5x
+
4
(x∈[–1，3])的最大值为10，最小值为；
②函数y
=
2x2
–
4x
+
1
(x∈(2,
4))的最大值为17，最小值为1；
③函数y
=
x3
–
12x
(x∈(–3,
3))的最大值为16，最小值为–
16；
④函数y
=
x3
–
12x
(x∈(–2,
2))无最大值，也无最小值.
其中正确的命题有（
C
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
（二）、利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求在内的极值；
⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值
说明：⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；
⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
（三）典例探析
例1、求函数的最大值与最小值。
解析：
列表：
-
0
+
0
-
↘
极小值
↗
极大值
↘
∴，，
，
练习：求函数的最大值与最小值。
例2、已知函数，（I）求函数在上的最大值和最小值.（II）过点作曲线的切线，求此切线的方程.
解析：（I），
当或时，，
为函数的单调增区间
当时，，
为函数的单调减区间
又因为，
所以当时，
当时，
（II）设切点为，则所求切线方程为
由于切线过点，，
解得或
所以切线方程为即
或
练习：已知函数。若f（x）在[-1，2]上的最大值为3，最小值为29，求：a、b的值
例3、已知a为实数，（Ⅰ）求导数；（Ⅱ）若，求在上的最大值和最小值；（Ⅲ）若在和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围。
解：(Ⅰ)由原式得
∴
(Ⅱ)由
得,此时有.
由得或x=-1
,
又
所以f(x)在[--2,2]上的最大值为最小值为
(Ⅲ)的图象为开口向上且过点(0,--4)的抛物线,由条件得
即
∴--2≤a≤2.
所以a的取值范围为[--2,2].
（四）、课堂小结：1、函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；
2、函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；
3、闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值
4、利用导数求函数的最值方法．
（五）课后作业：练习册P41中2、4、5、7
五、教学反思：反证法
一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程与特点。
二、教学重点：了解反证法的思考过程与特点。
教学难点：正确理解、运用反证法。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：综合法与分析法
综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效。
就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述。
因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程。
（二）、探究新课
1、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
2、例题探析
例1、已知a是整数，2能整除，求证：2能整除a.
证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”。
因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则
，即是奇数。
所以，2不能整除。这与已知“2能整除”相矛盾。于是，“2不能整除a”这个假设错误，故2能整除a.
例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直。求证：a与b平行。
证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。
设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，c的交点为Q，
如图所示，则。
这样的内角和
。
这与定理“三角形的内角和等于”相矛盾，这说明假设是错误的。
所以直线a与b不相交，即a与b平行。
例3、求证：是无理数。
证明：
不是无理数，即是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，
设，且p，q互素，则。所以
。
①
故是偶数，q也必然为偶数。设q=2k，代入①式，则有，即，
所以p也为偶数。P和q都是偶数，它们有公约数2，这与p，q互素相矛盾。
因此，假设不成立，即“是无理数”。
（三）、小结：反证法的证题步骤是：（1）作出否定结论的假设；（2）进行推理，导出矛盾；（3）否定假设，肯定结论。
应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
注：结合准备题分析以上知识。
反证法的适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）
（四）、练习：1、课本练习1.
2、“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”.
讨论如何证明这个命题？
证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，
则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，
即O是l与m的交点。
但
∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)
∴
过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆。
（五）、作业：课本习题1-3：
（3）、（4）
补充题：若、，
(1)求证：；
(2)令，写出、、、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；
(3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值.
解：（1）（采用反证法）.
若，即,
解得
从而与题设,相矛盾，
故成立.
(2)
、、、、,
.
（3）因为
又,
所以,
因为上式是关于变量的恒等式，故可解得、
五、教后反思：反证法
一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程与特点。
二、教学重点：了解反证法的思考过程与特点
教学难点：正确理解、运用反证法
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：反证法的思考过程与特点。
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
（二）、探究新课
反证法是数学中非构造性证明中的极重要的方法。对于处理存在性问题、否定性问题、唯一性问题和至多、至少性问题，反证法具有特殊的优越性。
例1、已知，求证：中，至少有一个数大于25。
证明：假设命题的结论不成立，即均不大于25，那么
，
这与已知条件相矛盾。所以，中，至少有一个数大于25。
例2、求证：1，2，不可能是一个等差数列中的三项。
证明：假设1，2，是公差为d的等差数列的第p，q，r项，则
，于是
。
因为p，q，r均为整数，所以等式右边是有理数，而等式左边是无理数，二者不可能相等，推出矛盾。
所以，1，2，不可能是一个等差数列中的三项。
例3、如图所示，直线a平行于平面α，β是过直线a的平面，平面α与β相交于直线b，求证：直线a平行于直线b。
证明：假设命题的结论不成立，即“直线a不平行于直线b”。
由于直线a，b在同一平面β中，且直线a，b不平行。
故直线a，b相交，
设交点为A，A在直线b上，故A在平面α上。
所以，直线a与平面α相交于A。这与条件“直线a平行于平面α”矛盾。
因此，假设不成立，即“直线a平行于直线b”。
（三）、小结：反证法与直接证法是相对而言的，在证明过程中我们不能僵化的使用反证法。对于一个证明来说，可能要交替地使用这两种证法。
1.哪些命题适宜用反证法加以证明？笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或含有“至多”、“至少”等不确定词，此外，“存在性”、“唯一性”问题.
2.归谬是“反证法”的核心步骤，归谬得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾，或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。
(四)、练习：1、课本练习2。
2、（1）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（
）
(
A
)
假设三内角都不大于60度；
(B)
假设三内角都大于60度；
(C)
假设三内角至多有一个大于60度；
(D)
假设三内角至多有两个大于60度。
（2）已知＝2，关于p＋q的取值范围的说法正确的是
（
）
（A）一定不大于2
（B）一定不大于
（C）一定不小于
（D）一定不小于2
解析
用反证法可得（1）应选（B）
（2）应选（A）
3、
用反证法证明命题“如果那么”时，假设的内容应为_____________.
解析：用反证法可得应填
或
4、如果为无理数，求证是无理数.
提示：假设为有理数，则可表示为（为整数），即.
由，则也是有理数，这与已知矛盾.
∴
是无理数.
（五）、作业：课本习题1-3：
1、5
补充题：对于直线l：y=kx+1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x－y=1的交点A、B关于直线y=ax（a为常数）对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
证明：（反证法）假设存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称，设A（x1，y1）、B（x2，y2）则
由
④
由②、③有a（x1+x2）=k（x1+x2）+2
⑤
由④知x1+x2=
代入⑤整理得：ak=－3与①矛盾。
故不存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称。
五、教后反思：导数的实际应用（二）
一、教学目标：1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。
二、教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程：
（一）．创设情景
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
（二）．新课探究
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；
4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：
（三）．典例分析
例1、海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为
。
求导数，得
。
令，解得舍去）。
于是宽为。
当时，<0；当时，>0.
因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。
例2、饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是
分，其中
是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1
mL的饮料，制造商可获利
0.2
分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为
6cm
问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是
令
解得
（舍去）
当时，；当时，．
当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径时，
它表示单调递减，即半径越大，利润越低．
（1）半径为cm
时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
（2）半径为cm时，利润最大．
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？
有图像知：当时，，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值．
当时，，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm
时，利润最小．
（四）．课堂练习
1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2
m，最大容积）
2．课本P65
练习题
（五）．回顾总结：1．利用导数解决优化问题的基本思路：
2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。
（六）．布置作业：1、一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.
解：由梯形面积公式，得S=
(AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b
∴AD=h+b,
∴S=
①
∵CD=,AB=CD.∴l=×2+b
②
由①得b=h,代入②,∴l=
l′==0,∴h=,
当h<时，l′<0,h>时，l′>0.
∴h=时，l取最小值，此时b=
2、已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y
＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．
【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x
＞0，y
＞0，
则另一个在抛物线上的顶点为（－x，y），在x轴上的两个顶点为（－x，0）、（x，0），其中0＜
x
＜2．设矩形的面积为S，则S
＝2
x（4－x2），0＜
x
＜2．由S′（x）＝8－6
x2＝0，得x
＝，易知x
＝是S在（0，2）上的极值点，即是最大值点，
所以这种矩形中面积最大者的边长为和．
【点评】应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．
五、教后反思：
建立数学模型
解决数学模型
作答
用函数表示的数学问题
优化问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案
建立数学模型
解决数学模型
作答
用函数表示的数学问题
优化问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案类比推理
一、教学目标
1、知识与技能：
（1）结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；
（2）能利用类比进行简单的推理；
（3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。
2、方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
3、情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。培养分析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。
二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：归纳推理的概念：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理方式称为归纳推理。
注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。
①归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子方法归纳。
（二）、引入新课：据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦 惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出推理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。
（三）、例题探析
例1：已知：“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？
解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面。得到猜测：正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。
例2：根据平面几何的勾股定理，试类比地猜测出空间中相应的结论。
解：平面中的直角三角形类比到空间就是直四面体。如图，在四面体P-ABC中，平面PAB、平面PBC、平面PCA两两垂直
勾股定理：斜边长的平方等于两个直角边的平方和。
类比到空间就是：△ABC面积的平方等于三个直角三角形面积的平方和。
即：
在上述各例的推理过程中，都有共同之处：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理。
注意：利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理方式。
(四)、巩固练习：
练习1、已知实数加法满足下列运算规律：（1）；（2）．
类比实数的加法运算律，列出实数的乘法与加法相似的运算律．
练习2、我们已经学过了等差数列,是否想到过等和数列
(1)类比“等差数列”给出“等和数列”定义；(2)探索等和数列的奇数项和偶数项有什么特点；(3)等和数列中,如果
求前项和.
练习3、若数列是等差数列，且则也是等差数列。类比上述性质，相应地，数列是等比数列，且，，则也是等比数列（以上）
练习4、在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两互相垂直，，则四面体的外接球半径(
)
A．
B．
C．
D．
练习5、类比解答（1）、（2）：（1）求证：；（2）设为非零常数，且试问：是周期函数吗？证明你的结论。
（五）、小结：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理。
注意：利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理方式。
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理。
（六）作业：课本课本练习：2．课本习题1-1：4．
五、教后反思：微积分基本定理
一：教学目标　
知识与技能目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分
过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二、教学重难点　　
重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点　了解微积分基本定理的含义　
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：定积分的概念及用定义计算
（二）、探究新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），
则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即
=
而。
对于一般函数，设，是否也有
若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。
注：1：定理
如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则
证明：因为=与都是的原函数，故-=C（）
其中C为某一常数。
令得-=C，且==0
即有C=，故=+
=-=
令，有
此处并不要求学生理解证明的过程
为了方便起见，还常用表示，即
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1．计算下列定积分：
（1）；
（2）。
解：（1）因为，
所以。
（2））因为，
所以
。
练习：计算
解：由于是的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有
===
例2．计算下列定积分：。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解：因为，所以
，
，
.
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
(
l
）当对应的曲边梯形位于
x
轴上方时（图1.6一3
)
，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1
.
6
一
3
(
2
）
（2）当对应的曲边梯形位于
x
轴下方时（图
1
.
6
一
4
)
，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
(
3）当位于
x
轴上方的曲边梯形面积等于位于
x
轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图
1
.
6
一
5
)
，且等于位于
x
轴上方的曲边梯形面积减去位于
x
轴下方的曲边梯形面积．
例3．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站B开往站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为（24-1.2t）m/s，在B点恰好停车，试求
（1）A、C间的距离；（2）B、D间的距离；（3）电车从A站到B站所需的时间。
分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即
略解：（1）设A到C的时间为t1则1.2t=24,
t1=20(s),则AC＝
（2）设D到B的时间为t21则24-1.2t2=0,
t21=20(s),
则DB＝
（3）CD=7200-2240=6720(m),则从C到D的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s）
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
四：课堂小结：
本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！
五：教学后记：分析法
一、教学目标：1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一：分析法；2、了解分析法的思考过程、特点。
二、教学重点：了解分析法的思考过程、特点；难点：分析法的思考过程、特点。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、复习：综合法的思考过程、特点
（二）、引入新课
在数学证明中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，它是寻求解题思路的一种基本思考方法，应用十分广泛。从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做分析法．这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等。
特点：执果索因。即：要证结果Q，只需证条件P
（三）、例题探析
例1、已知：a，b是不相等的正数。求证：。
证明：要证明
只需证明
，
只需证明
，
只需证明
，
只需证明
，
只需证明
。
由于命题的条件“a，b是不相等的正数”，它保证上式成立。
这样就证明了命题的结论。
例2、求证：。
证明：要证明
，
只需证明
，
即
，
只需证明
，
即
56>50，这显然成立。
这样就证明了
例3、求证：函数在区间（3，+∞）上是增加的。
证明：要证明函数在区间（3，+∞）上是增加的，
只需证明
对于任意，∈（3，+∞），且>时，有，
只需证明
对任意的>>3，有
∵>>3
∴->0，且+>6，它保证上式成立。
这样就证明了：函数在区间（3，+∞）上是增加的。
（四）、小结：分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件。分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
（五）、练习：课本练习1：1、2。
（六）、作业：课本习题1-2
4、5。
五、教后反思：导数与函数的单调性（三）
一、教学目标：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
二、教学重难点：利用导数判断函数单调性.
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：
1.
函数的单调性.
对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数.
对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.2.
导数的概念及其四则运算3、定义：一般地，设函数y=f(x)
在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x)
在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数y=f(x)
在为这个区间内的减函数4、用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x)
0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)0解不等式，得x的范围，就是递减区间.
（二）、探究新课
例1、确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.
∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.
∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.
例2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x，令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0
∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.
令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.
例3、证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.
证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.
f(x1)－f(x2)=∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，
∴＞0∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)
∴f(x)=
在(0，+∞)上是减函数.
证法二：(用导数方法证)
∵f′(x)=(
)′=(－1)·x－2=－，x＞0，∴x2＞0，∴－＜0.
∴f′(x)＜0，
∴f(x)=
在(0，+∞)上是减函数.
例4、求函数y=x2(1－x)3的单调区间.
解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)
=x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x)
令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜.
∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，)
令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1.∵为拐点，
∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(，+∞)
例5、已知函数
在区间上是增函数，求实数的取值范围．
解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：；所以实数的取值范围为．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
（三）、小结：本节课学习了利用导数判断函数单调性.
（四）、课堂练习：第62页练习4
（五）、课后作业：1、求证：函数在区间内是减函数．
证明：因为
当即时，，所以函数在区间内是减函数．
2、已知函数
在区间上是增函数，求实数的取值范围．
解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：
所以实数的取值范围为。
五、教后反思：§2
导数的概念及其几何意义
导数的概念
一、教学目标：1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.
二、教学重点：了解导数的概念及求导数的方法。
教学难点：理解导数概念的本质内涵
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：设函数，当自变量x从x0变到x1时，函数值从变到，函数值y关于x的平均变化率为
当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值（这个值称为：当x1趋于x0时，平均变化率的极限），那么这个值就是函数在点x0的瞬时变化率。
（二）、探究新课
在数学上，称瞬时变化率为函数在点x0的导数，通常用符号表示，记作
。
例1、一条水管中流过的水量y（单位：）是时间x（单位：s）的函数。求函数在x=2处的导数，并解释它的实际意义。
解：当x从2变到2＋Δx时，函数值从3×2变到3（2＋Δx），函数值y关于x的平均变化率为
（/s）.
当x趋于2，即Δx趋于0时，，平均变化率趋于3，所以
（/s）.
导数表示当x=2s时水流的瞬时变化率，即水流的瞬时速度。也就是如果水管的中的水以x=2s时的瞬时速度流动的话，每经过1s，水管中流过的水量为3。
例2、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y（单位：kg）是其工作时间x（单位：h）的函数。假设函数在x=1和x=3处的导数分别为和，试解释它们的实际意义。
解：表示该工人工作1h的时候，其生产速度（即工作效率）为4kg/h，也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的食品。
表示该工人上班后工作3h的时候，，其生产速度为3.5kg/h，也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h的食品。
例3、服药后，人体血液中药物的质量浓度y（单位：μg/mL）是时间t（单位：min）的函数，假设函数在t=10和t=100处的导数分别为和，试解释它们的实际意义。
解：表示服药后10min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5μg/（mL·min）。也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液中药物的质量浓度将上升1.5μg/（mL·min）。
表示服药后100min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为－0.6μg/（mL·min）。也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液中药物的质量浓度将下降－0.6μg/（mL·min）。
(三)、小结：1、瞬时速度的变化率的概念；2、导数的概念；3、利用导数的定义求函数的导数的方法步骤：
（四）、练习：课本练习：1、2.
（五）、作业：课本习题2-2中A组2、3
补充题：1、求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：
2、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义，
所以
同理可得:
在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．
注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．
五、教后反思：导数的乘法与除法法则
一、教学目标：
1、会运用两个函数的和、差、积、商的求导公式求含有积、商综合运算的函数的导数；
2、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
二、教学重点：两个函数的和、差、积、商的求导公式的应用
教学难点：函数积、商导数公式
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式
1、两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即
2、若两个函数和的导数分别是和，我们有
特别地，当时，有
（二）、探究新课
例1：求下列函数的导数：
（1）；
（2）。
解：（1）解一：
解二：
。
（2）解一：
。
解二：
。
例2．是抛物线上两点，在抛物线上与间的求一点，使面积最大．
解：∵，∴到直线的距离最大时，面积最大，
即过点的切线平行于直线时面积最大，设，
∵，∴过点的切线的斜率，，∴．
例3、求曲线过点（1，0）的切线方程。
解：
。
将x=1代入，得所求切线的斜率。
曲线过点（1，0）的切线方程为。
例4．一质点运动方程，若速度最大值为，且对任意的，在与时速度相同，求的值．
解：，，
又，∴对恒成立，∴，
∵，∴．
（三）．回顾小结：1．函数导数的几何意义的运用；2．求导法则的运用．
（四）、练习：课本练习2：1、2.
（五）、作业：课本习题2-4：A组4（4）、（7）、（8），
B组1
五、教后反思：