2017—2018学年数学人教版必修5课后提升作业:第3章 不等式(10份)

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名称 2017—2018学年数学人教版必修5课后提升作业:第3章 不等式(10份)
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文件大小 2.5MB
资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2017-10-09 13:01:23

文档简介

课后提升作业
二十二简单的线性规划问题
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.z=x-y在的线性约束条件下,取得最大值的可行解为
 (  )
A.(0,1)
B.(-1,-1)
C.(1,0)
D.
【解析】选C.可以验证这四个点均是可行解,
当x=0,y=1时,z=-1;
当x=-1,y=-1时,z=0;
当x=1,y=0时,z=1;
当x=,y=时,z=0.
2.(2015·广东高考)若变量x,y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为 (  )
A.10    
B.8    
C.5    
D.2
【解题指南】先根据不等式组画出可行域,再作直线l0:2x+3y=0,平移直线l0,找到z取最大值时与可行域的交点,进而求出z的最大值.
【解析】选C.作出可行域如图所示:
作直线l0:2x+3y=0,再作一族平行于l0的直线l:2x+3y=z,
当直线l经过点Α时,z=2x+3y取得最大值,
由解得
所以点Α的坐标为(4,-1),
所以zmax=2×4+3×(-1)=5.
3.(2015·福建高考)若变量x,y满足约束条件则z=2x-y的最小值等于 (  )
A.-
B.-2
C.-
D.2
【解题指南】画出可行域,根据目标函数确定出在y轴上截距最大时,z取最小值.
【解析】选A.画出可行域如图所示,当目标函数对应直线平移至B点时截距最大,所以 B,把点B坐标代入目标函数可得zmin=2×(-1)-=-.
4.若变量x,y满足则x2+y2的最大值是 (  )
A.4
B.9
C.10
D.12
【解题指南】利用线性规划知识,画出可行域,找出关键点,数形结合,求出到原点的距离的最大值,便可求解.
【解析】选C.根据限制条件,可画出其可行域,数形结合,通过观察发现直线x+y=2与2x-3y=9的交点(3,-1)到原点的距离最大,所以x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.
5.(2016·银川高二检测)已知不等式组构成平面区域Ω(其中x,y是变量).若目标函数z=ax+6y(a>0)的最小值为-6,则实数a的值为 (  )
A.
B.6
C.3
D.
【解析】选C.不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,
因为a>0,故-<0.可知z=ax+6y在C点处取得最小值,联立解得
即C(-2,0),故-6=-2a+6×0,解得a=3.
6.设变量x,y满足则z=的最大值为 (  )
A.
B.
C.2
D.1
【解析】选A.画出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示,表示可行域内的点(x,y)与点P(-3,-4)连线的斜率,结合图形可知点P(-3,-4)与可行域内的点A(0,1)连线的斜率最大,故zmax==.
7.(2016·潍坊高二检测)已知正数x,y满足则z=4-x·的最小值为 (  )
A.1
B.
C.
D.
【解析】选C.作出不等式组所表示的平面区域:
则(2x+y)max=2×1+2=4.
从而z=4-x·=2-2x-y=有最小值=.
8.(2016·长沙高二检测)若实数x,y满足不等式组且x+y的最大值为9,则实数m= (  )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【解析】选C.如图,作出可行域,
由得A,
平移y=-x,当其经过点A时,x+y取得最大值,
即+=9.解得m=1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·广州高二检测)若变量x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值为________.
【解析】作出可行域(如图),由z=x-2y得y=x-,
则当目标函数过C(1,-1)时z取得最大值,所以zmax=1-2×(-1)=3.
答案:3
10.设x,y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为________.
【解析】不等式组所表示的可行域如图,z=2x+3y-5可转化为y=-x+当该直线的截距最小时z最小.y=-x+的截距在直线2x-y+1=0和直线x-2y-1=0的交点处取到最小值,联立可得交点坐标为(-1,-1),所以z的最小值为z=2×(-1)+3×(-1)-5=-10.
答案:-10
【误区警示】画出正确的可行域及确定什么时候取到最小值是关键,同时注意目标函数的转化.
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2016·长春高二检测)已知x,y满足约束条件求:
(1)z1=2x+4y的最大值和最小值.
(2)z2=的最大值和最小值.
【解析】(1)约束条件表示的平面区域为△ABC及内部如图,可得A(0,5),B(3,8),C(3,2),
因为z1=2x+4y,
所以y=-x+z1,则z1表示直线y=-x+z1在y轴上的截距的4倍,显然当直线过点C时最小,过点B时最大,所以z1max=38,z1min=14.
(2)z2==,则z2表示点(x,y)与点(-1,0)连线的斜率,显然点(x,y)在点C时取得最小值,在点A时取得最大值且z2max=5,z2min=.
12.已知不等式组表示的平面区域的面积是4,点P(x,y)在所给平面区域内,求z=2x+y的最大值.
【解析】画出不等式组表示的平面区域,如图所示,易知A(a,a),B(a,-a)(a>0),因为S△OAB=·=a2=4,所以a=2,由线性规划的知识可得,当直线经过点A(2,2)时,z有最大值,且zmax=2×2+2=6.
【能力挑战题】
已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,设平面区域Ω=若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,求a2+b2的最大值.
【解题指南】画出可行域,发现最优解.
【解析】由圆C与x轴相切可知,b=1.
又圆心C(a,b)在平面区域Ω(如图)内,
由解得
由解得
故a∈[-2,6].
所以当a=6,b=1时,a2+b2取最大值为37.
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二十二元一次不等式表示的平面区域
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·沈阳高二检测)不等式3x+2y+6≥0表示的区域是 (  )
【解析】选C.由边界直线的方程为3x+2y+6=0排除A,B,又因为原点在不等式表示的平面区域内,故选C.
2.有以下四个说法,其中正确的是 (  )
A.原点与点(2,3)在直线2x+y+3=0异侧
B.点(2,3)与点(3,2)在直线x-y=0的同侧
C.原点与点(2,1)在直线y-3x+2=0的异侧
D.原点与点(2,1)在直线y-3x+2=0的同侧
【解析】选C.对于选项A,因为2×0+0+3>0,2×2+3+3>0,故原点与点(2,3)在直线2x+y+3=0的同侧;对于选项B,因为2-3=-1<0,3-2=1>0,故点(2,3)与点(3,2)在直线x-y=0的异侧;对于选项C,因为0-3×0+2=2>0,1-3×2+2=-3<0,故原点与点(2,1)在直线y-3x+2=0的异侧.
【补偿训练】下列选项中与点(1,2)位于直线2x-y+1=0的同一侧的是 (  )
A.(-1,1) 
B.(0,1) 
C.(-1,0) 
D.(1,0)
【解析】选D.把点(1,2)代入代数式2x-y+1,得2×1-2+1=1>0,在A,B,C,D中只有D点使得代数式2x-y+1大于0.
3.设点P(a2,a)(a∈R),则下列判断中正确的是 (  )
A.点P在不等式x+2y+1>0表示的平面区域内
B.点P在不等式x+2y+1≥0表示的平面区域内
C.点P在不等式x+2y+1<0表示的平面区域内
D.点P在不等式x+2y+1≤0表示的平面区域内
【解析】选B.将P(a2,a)代入x+2y+1可得,
a2+2a+1=(a+1)2≥0,当a=-1时取等号.
4.不等式2x+y+a2+1≥0表示的平面区域可能是 (  )
【解题指南】由于直线2x+y+a2+1=0不过原点,结合直线的斜率把原点代入验证即可.
【解析】选D.直线2x+y+a2+1=0在y轴上的截距-a2-1<0,斜率k=-2<0,可排除A,B,又点(0,0)在不等式2x+y+a2+1≥0表示的平面区域内,故选D.
5.点A(-2,b)不在平面区域2x-3y+5≥0内,则b的取值范围是 (  )
A.b≤
B.b<1
C.b>
D.b>-9
【解析】选C.由题意可得:2×(-2)-3b+5<0,解得b>.
6.下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域内的是 (  )
A.(0,0)
B.(-1,1)
C.(-1,3)
D.(2,-3)
【解析】选C.把各点的坐标代入可得(-1,3)不符合.
7.(2016·大连高二检测)下列说法正确的个数是 (  )
(1)图(1)中表示的区域是不等式2x-y+1≤0的解集.
(2)图(2)中表示的区域是不等式3x+2y-1<0的解集.
(3)图(3)中表示的区域是不等式Ax+By+C≥0的解集.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.把原点O(0,0)分别代入不等式,可知(1)2×0-0+1>0,故(1)正确.(2)边界应为虚线,故不正确.(3)A×0+B×0+C=C与0的大小不确定,故不正确.
8.不等式y≥2x-3表示的平面区域是 (  )
【解析】选A.把原点(0,0)代入,满足0≥2×0-3,即原点在不等式所表示的平面区域内.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·苏州高二检测)如图所示的平面区域(阴影部分)满足的不等式为________.
【解析】经过点(1,0),的直线方程为3x+2y-3=0,根据图象可知阴影区域内没有原点,所以将(0,0)代入3x+2y-3中得到-3<0,所以阴影部分满足的不等式为3x+2y-3>0.
答案:3x+2y-3>0
10.(2016·兰州高二检测)若点(1,2),(2,1)均在Ax+By+5≤0表示的平面区域内,则t=A+B的取值范围是________.
【解析】由题意知所以
故A+B=(A+2B+2A+B)≤-.
答案:
三、解答题
11.(10分)画出下列不等式表示的平面区域.
(1)x-2y+2≥0.(2)y<-2x.
【解析】(1)先画出直线x-2y+2=0,由于不等式表示的平面区域包括边界,所以应画成实线.取点(0,0)代入x-2y+2,得0-2×0+2=2>0,所以不等式x-2y+2≥0表示直线x-2y+2=0的右下方的平面区域,如图(1)所示.
(2)先画出直线y=-2x,由于不等式表示的平面区域不包括边界,所以应画成虚线.取点(1,0)代入2x+y,得2×1+0=2>0,所以不等式y<-2x表示直线y=-2x的左下方的平面区域,如图(2)所示.
【补偿训练】用不等式表示下列平面区域.
【解析】(1)由题意知,边界直线方程为x-y+1=0,将点(0,0)代入x-y+1,有1>0,因为(0,0)在平面区域内,且边界为实线,故此平面区域用不等式可表示为x-y+1≥0.
(2)由题意可知,边界直线方程为x+2y-2=0,将(0,0)代入x+2y-2,有-2<0,因为(0,0)不在平面区域内,且边界为实线,故此平面区域用不等式可表示为x+2y-2≥0.
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二十三简单线性规划的应用
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.某学校用800元购买两种教学用品,A种教学用品每件100元,B种教学用品每件160元,两种教学用品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A,B应各买的件数为
 (  )
A.2,4 
B.3,3
C.4,2 
D.不确定
【解析】选B.设买A种教学用品x件,B种教学用品y件,剩下的钱为z元.
则z=800-100x-160y最小时的整数解(x,y)即为所求,由可行域可得
【误区警示】解答本题时易出现不考虑实际意义的错误.
2.(2016·济宁高二检测)某所学校计划招聘男教师x名,女教师y名,x和y需满足约束条件则该校招聘的教师最多为 (  )
A.10名
 B.11名
C.12名
D.13名
【解析】选D.设z=x+y,作出可行域如图所示,可知当直线z=x+y过A点时z最大,
由得故z的最大值为6+7=13.
3.某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润为 (  )
A.4650元
B.4700元
C.4900元
D.5000元
【解析】选C.设派用甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,获得的利润为z元,则目标函数z=450x+350y,画出可行域,当目标函数经过x+y=12与2x+y=19的交点(7,5)时,利润z最大,为4900元.
4.某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为 (  )
A.36万元
B.31.2万元
C.30.4万元
D.24万元
【解析】选B.设投资甲项目x万元,投资乙项目y万元,可获得利润为z万元,

z=0.4x+0.6y.
由图象知,目标函数z=0.4x+0.6y在A点取得最大值.
所以zmax=0.4×24+0.6×36=31.2(万元).
5.(2015·陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为 (  )


原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元
B.16万元
C.17万元
D.18万元
【解题指南】设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,利润为z万元,然后根据题目条件建立约束条件,得到目标函数,画出约束条件所表示的区域,然后利用平移法求出z的最大值.
【解析】选D.设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,利润为z万元,
则目标函数为z=3x+4y.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分),即可行域.
由z=3x+4y得y=-x+,
平移直线y=-x+,由图象可知当直线y=-x+经过点A时,直线y=-x+在y轴上的截距最大,此时z最大,
解方程组得
即A的坐标为(2,3),
所以zmax=3x+4y=6+12=18.
即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨,能够产生最大的利润,最大的利润是18万元.
6.一农民有基本农田2亩,根据往年经验,若种水稻,则每季每亩产量为400千克;若种花生,则每季每亩产量为100千克,但水稻成本较高,每季每亩240元,而花生只需80元,且花生每千克卖5元,稻米每千克卖3元,现该农民手头有400元,那么获得最大收益为 (  )
A.840元
B.1150元
C.1600元
D.1650元
【解析】选D.设该农民种x亩水稻,y亩花生时能获得利润z元,则即z=960x+420y,
作出可行域如图阴影部分所示,
将目标函数变形为y=-x+,
作出直线y=-x,
在可行域内平移直线y=-x+,
可知当直线过点B时,纵截距有最大值,
由解得B,
故当x=1.5,y=0.5时,zmax=1650元,
即该农民种1.5亩水稻,0.5亩花生时,能获得最大利润,最大利润为1650元.
7.某汽车公司有两家装配厂,生产甲、乙两种不同型的汽车,若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车;B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车,若要使所费的总工作时数最少,那么这两家工厂工作的时间(单位:小时)分别为 (  )
A.16,8
B.15,9
C.17,7
D.14,10
【解析】选A.
设A工厂工作x小时,B工厂工作y小时,总工作时数为z,则目标函数为z=x+y,约束条件为作出可行域如图所示,由图知当直线l:y=-x+z过Q点时,z最小,解方程组得Q(16,8),故A厂工作16小时,B厂工作8小时,可使所费的总工作时数最少.
【补偿训练】某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如表所示:
用煤(吨)
用电(千瓦)
产值(万元)
甲产品
7
20
8
乙产品
3
50
12
但国家每天分配给该厂的煤、电有限,每天供煤至多56吨,供电至多450千瓦,则该厂最大日产值为 (  )
A.120万元      
B.124万元
C.130万元    
D.135万元
【解析】选B.设该厂每天安排生产甲产品x吨,乙产品y吨,则日产值z=8x+12y,线性约束条件为作出可行域如图所示,
把z=8x+12y变形为一族平行直线系l:y=-x+,由图可知,当直线l经过可行域上的点M时,截距最大,即z取最大值,解方程组得M(5,7),zmax=8×5+12×7=124,所以,该厂每天安排生产甲产品5吨,乙产品7吨时该厂日产值最大,最大日产值为124万元.
8.已知甲、乙两种不同品牌的PVC管材都可截成A,B,C三种规格的成品配件,且每种PVC管材同时截得三种规格的成品个数如下表:
A规格成品(个)
B规格成品
(个)
C规格成品(个)
每根品牌甲
2
1
1
每根品牌乙
1
1
2
现在至少需要A,B,C三种规格的成品配件分别是6个、5个、6个,若甲、乙两种PVC管材的价格分别是20元/根、15元/根,则完成以上数量的配件所需的最低成本是 (  )
A.70元
B.75元
C.80元
D.95元
【解题指南】根据条件设需要甲种管材x根,乙种管材y根,成本z元,建立约束条件和目标函数,利用线性规划的知识进行求解即可.
【解析】选C.设需要甲种管材x根,乙种管材y根,成本z元,则z=20x+15y,
作出可行域如图所示,由可得
由可得
根据图象,可知z=20x+15y在(1,4)处取得最小值为80.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·天津高二检测)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:
每亩年产量
每亩年种植成本
每吨售价
黄瓜
4t
1.2万元
0.55万元
韭菜
6t
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植的总利润最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为________.
【解析】设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x,y亩,则总利润z=(4×0.55-1.2)x+(6×0.3-0.9)y=x+0.9y,此时x,y满足条件画出可行域知,最优解为(30,20).
答案:30亩、20亩
10.某工厂用两种不同的原料均可生产同一种产品,若采用甲种原料,每吨成本1000元,运费500元,可得产品90kg;若采用乙种原料,每吨成本1
500元,运费400元,可得产品100
kg.如果每月原料的总成本不超过6
000元,运费不超过
2
000元,那么工厂每月最多可生产________kg产品.
【解析】设此工厂每月甲、乙两种原料各用x(t),y(t),生产z(kg)产品,则
即z=90x+100y.
作出以上不等式组表示的平面区域,即可行域.
作直线l:90x+100y=0,即9x+10y=0.
把l向右上方移动到位置l1时,直线经过可行域上的点M,此时z=90x+100y取得最大值.
所以zmax=90×+100×=440,
因此工厂最多每月生产440kg产品.
答案:440
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2016·广州高二检测)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐
【解析】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,则依题意得:z=2.5x+4y,且x,y满足

作出可行域如图所示.
让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移,由此可知z=2.5x+4y在B(4,3)处得最小值.
因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.
12.为保增长、促发展,某地计划投资甲、乙两项目,市场调研得知,甲项目每投资百万元需要配套电能2万千瓦,可提供就业岗位24个,增加GDP260万元;乙项目每投资百万元需要配套电能4万千瓦,可提供就业岗位32个,增加GDP200万元,已知该地为甲、乙两项目最多可投资3000万元,配套电能100万千瓦,并要求它们提供的就业岗位不少于800个,如何安排甲、乙两项目的投资额,增加的GDP最大
【解析】设甲项目投资x(单位:百万元),乙项目投资y(单位:百万元),两项目增加的GDP为z=260x+200y,依题意,x,y满足所确定的平面区域如图中阴影部分,
解得即A(10,20).
解得即B(20,10).设z=0,得y=-1.3x,将直线y=-1.3x平移至经过点B(20,10),即甲项目投资2000万元,乙项目投资1000万元时,两项目增加的GDP最大.
【能力挑战题】
两类药片有效成分如下表所示,若要求至少提供12毫克阿司匹林,70毫克小苏打,28毫克可待因,问两类药片最小总数是多少 怎样搭配价格最低
  成分种类  
阿司匹林
小苏打
可待因
每片价格(元)
A(毫克/片)
2
5
1
0.1
B(毫克/片)
1
7
6
0.2
【解析】设A,B两种药片分别为x片和y片,
则有
两类药片的总数为z=x+y,两类药片的价格和为k=0.1x+0.2y.
作出可行域如图所示,作直线l:x+y=0,
将直线l向右上方平移至l1位置时,直线经过可行域上一点A,此时z取得最小值.
解方程组得交点A的坐标为.
由于A不是整点,因此不是z的最优解,结合图形可知,经过可行域内整点且z取最小值时的直线是x+y=11,经过可行域内的整点是(1,10),(2,9),(3,8),因此z的最小值为11.药片最小总数为11片.同理可得,当x=3,y=8时,k取最小值1.9,因此当A类药品3片、B类药品8片时,药品价格最低.
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二十五基本不等式的应用
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·大庆高二检测)已知x>0,函数y=+x的最小值是 (  )
A.5
B.4
C.8
D.6
【解析】选B.因为x>0,函数y=+x≥2=4,当且仅当x=,即x=2时,等号成立,故函数y=+x的最小值是4.
2.(2016·深圳高二检测)下列结论正确的是 (  )
A.当x>0且x≠1时,lgx+≥2
B.当x>0时,+≥2
C.当x≥2时,x+的最小值为2
D.当x∈时,f(x)=sinx+的最小值是4
【解析】选B.A中,当03.已知t>0,则函数y=的最小值为 (  )
A.-2
B.
C.1
D.2
【解析】选A.因为t>0,y==t+-4≥2-4=-2,当且仅当t=,即t=1时,等号成立.
4.设x,y是满足2x+y=20的正数,则lgx+lgy的最大值是 (  )
A.1+lg5
B.2
C.50
D.1
【解析】选A.根据基本不等式,2x+y≥2,解得xy≤50,所以xy的最大值是50,而lgx+lgy=lg(xy),所以原式的最大值是lg50=1+lg5.
5.(2016·邯郸高二检测)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是 (  )
A.3
B.4
C.
D.
【解析】选B.根据基本不等式,8=x+2y+2xy≤x+2y+ x+2y≥4.
【补偿训练】若x>0,y>0,且+=2,则7x+5y的最小值为________.
【解析】令2x+y=m>0,x+y=n>0,即+=2,7x+5y=2(2x+y)+3(x+y)
=2m+3n=(2m+3n)
=≥=7+2,当且仅当=时取等号.
答案:7+2
6.已知x>1,y>1且lgx+lgy=4,则lgx·lgy的最大值是 (  )
A.4
B.2
C.1
D.
【解析】选A.因为x>1,y>1,所以lgx>0,lgy>0.
所以lgx·lgy≤=4,
当且仅当lgx=lgy=2,即x=y=100时取等号.
7.若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是 (  )
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选C.3a+3b≥2=2=6.当且仅当a=b=1时,取等号.
8.若直线ax+2by-2=0(a,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则+的最小值为 (  )
A.8
B.9
C.4
D.2
【解析】选B.由题意可知,圆心(2,1)在直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)上,所以a+b=1,又+=(a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当b=2a=时取等号.
【补偿训练】已知点A(m,n)在直线x+2y=1上,其中mn>0,则+的最小值
为 (  )
A.4   B.8   C.9   D.12
【解析】选B.因为点A(m,n)在直线x+2y=1上,所以m+2n=1,所以+=(m+2n)=2+++2≥4+2=8,当且仅当m=2n=时取等号,故应选B.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=.
(1)如果l=6.05,则最大车流量为________辆/小时.
(2)如果l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加______辆/小时.
【解析】(1)当l=6.05时,则F==≤1900,当且仅当v=,
即v=11(米/秒)时取等号.
(2)当l=5时,则F==≤2000,当且仅当v=,即v=10(米/秒)时取等号,此时最大车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/小时.
答案:(1)1900 (2)100
10.(2015·天津高考)已知a>0,b>0,ab=8,则当a的值为________时,log2a·log2(2b)取得最大值.
【解题指南】由log2a·log2(2b)≤利用对数的运算法则,转化为ab的积求解.
【解析】log2a·log2(2b)≤=(log22ab)2=(log216)2=4,当a=2b时取等号,结合a>0,b>0,ab=8,可得a=4,b=2.
答案:4
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2016·乐山高二检测)(1)已知x<-2,求函数y=2x+的最大值.
(2)求y=的最小值.
【解析】(1)因为x<-2,所以x+2<0,-(x+2)>0.
所以y=2(x+2)+-4
=--4
≤-2-4=-2-4.
当且仅当-2(x+2)=(x<-2),
即x=-2-时,y取最大值-2-4.
(2)令t=(t≥2),则y=f(t)=t+,
由f(t)=t+(t≥2)的单调性,知t=2时,
f(t)min=2+=,
即当=2,x=0时,ymin=.
12.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的矩形综合性休闲广场,其总面积为3000平方米,其中场地四周(阴影部分)为通道,通道宽度均为2米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶运动场地占地面积为S平方米.
(1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域).
(2)怎样设计能使S取得最大值,最大值为多少
【解析】(1)由已知xy=3000,2a+6=y,
则y=(6≤x≤500),
S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a
=(2x-10)·=(x-5)(y-6)
=3030-6x-(6≤x≤500).
(2)S=3030-6x-≤3030-2
=3030-2×300=2430,
当且仅当6x=,即x=50时,“=”成立,此时x=50,y=60,Smax=2430.
即设计x=50米,y=60米时,运动场地面积最大,最大值为2430平方米.
【能力挑战题】
已知a>0,b>0,且+≥恒成立,求m的最大值.
【解析】因为+≥ m≤(2a+b)恒成立,
而(2a+b)=5++≥5+2=9,
当且仅当a=b时等号成立,所以m的最大值为9.
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十九一元二次不等式及其解法习题课
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·北京高二检测)若a>0,b>0,则不等式-b<A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为b>0,所以-b<0.又a>0,所以不等式-b<所以x<-或x>.
2.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围
是 (  )
A.a≤2
B.-2C.-2D.a≤-2
【解析】选B.当a=2时,-4<0恒成立;当a≠2时需满足,所以-2【补偿训练】f(x)=ax2+ax-1在R上满足f(x)<0,则a的取值范围是 (  )
A.a≤0       
B.a<-4
C.-4D.-4【解析】选D.因为f(x)=ax2+ax-1在R上满足f(x)<0,即ax2+ax-1<0在R上恒成立.
当a=0时,-1<0恒成立,
当a≠0时,由得-4故-43.不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x>3或x<-2},则二次函数y=2x2+mx+n的表达式是 (  )
A.y=2x2+2x+12
B.y=2x2-2x+12
C.y=2x2+2x-12
D.y=2x2-2x-12
【解析】选D.由题意知-2和3是对应方程的两个根,由根与系数的关系,得-2+3=-,-2×3=.
所以m=-2,n=-12.
因此二次函数的表达式是y=2x2-2x-12.因此选D.
4.(2016·郑州高二检测)若关于x的不等式>0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则a= (  )
A.1
B.4
C.-1
D.-4
【解析】选B.>0 (x-a)(x+1)>0,
因为解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),故a=4.
5.根据调查,某厂生产的一种产品n月份盈利为f(n)万元(n=1,2,…,12),其近似地满足f(n)=(13n-22-n2)(e=2.718…),为了获取一年的最大利润,那么该产品每年只要生产 (  )
A.11个月
B.10个月
C.9个月
D.8个月
【解析】选D.因为f(n)=(13n-22-n2),要有利润,
则f(n)>0,所以n2-13n+22<0,所以2即只需从3月份开始生产到10月份,共生产8个月.
6.(2016·成都高一检测)二次不等式mx2-mx-1<0的解集是全体实数的条件
是 (  )
A.[-4,0]
B.(-4,0]
C.[0,4)
D.(-4,0)
【解析】选D.要使二次不等式mx2-mx-1<0的解集是全体实数,只需 -47.关于x的不等式ax-b>0的解集是(-∞,1),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是 (  )
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.(-1,3)
C.(1,3)
D.(-∞,1)∪(3,+∞)
【解析】选B.由不等式ax-b>0的解集是(-∞,1)可知:a<0,且a=b,则不等式(ax+b)(x-3)>0的解集等价于不等式(x+1)(x-3)<0的解集,即原不等式的解集为(-1,3).
8.在R上定义运算 :x y=x(1-y).若不等式(x-a) (x+a)<1对任意实数x成立,则 (  )
A.-1B.0C.-D.-【解析】选C.根据定义,原不等式等价于(x-a)(1-x-a)<1,等价于x2-x-a2+a+1>0恒成立,所以Δ=1+4(a2-a-1)<0,解得-二、填空题(每小题5分,共10分)
9.某小型服装厂生产一种风衣,日销售量x件与单价P元之间的关系为P=160-2x,生产x件所需成本为C=500+30x元,该厂日产量最小为________时,每天获利不少于1300元.
【解析】由题意得(160-2x)x-(500+30x)≥1300,
化简得x2-65x+900≤0,
解得20≤x≤45.
所以日产量最小为20件时,每天获利不少于1300元.
答案:20
10.(2016·南昌高一检测)若不等式2kx2+kx-≥0的解集为空集,则实数k的取值范围是________.
【解析】对二次项的系数进行分类讨论,当k=0时,解集为空集,符合题意;当k>0时,不等式的解集不是空集;当k<0时,由不等式的解集为空集可知Δ<0,即k2+3k<0,解得-3答案:(-3,0]
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2016·淄博高二检测)已知不等式x2-x-m+1>0.
(1)当m=3时解此不等式.
(2)若对于任意的实数x,此不等式恒成立,求实数m的取值范围.
【解题指南】(1)由题可知,将m=3代入,直接求解即可.(2)将不等式移项得到m【解析】(1)由题可知,将m=3代入,可得x2-x-2>0,化简可得(x+1)(x-2)>0,解得x∈(-∞,-1)∪(2,+∞).
(2)将x2-x-m+1>0移项可得,m【一题多解】(2)由x2-x-m+1>0恒成立得Δ=(-1)2-4(-m+1)<0,解得m<,故m的取值范围是.
12.某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式.
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内
【解析】(1)由题意,得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1000×(1+0.6x)(0整理得y=-60x2+20x+200(0(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加,当且仅当

解不等式组,得0所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x应满足0【能力挑战题】
若不等式x2+(a-6)x+9-3a>0,对于|a|≤1不等式恒成立,求x的取值范围.
【解析】将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x-3)a+x2-6x+9>0,
令f(a)=(x-3)a+x2-6x+9,
因为f(a)>0对于|a|≤1时恒成立,所以
①若x=3,则f(a)=0,不符合题意,应舍去.
②若x≠3,则由一次函数的单调性,
可得
即解得x<2或x>4,
故x的取值范围是{x|x<2或x>4}.
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十七不等式的性质
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·菏泽高二检测)已知a<0,-1A.a>ab>ab2
B.ab2>ab>a
C.ab>a>ab2
D.ab>ab2>a
【解析】选D.因为a<0,-10,ab-ab2=ab(1-b)>0.所以ab>ab2>a.
【一题多解】选D.也可利用特殊值法,取a=-2,b=-,则ab2=-,ab=1,从而ab>ab2>a.
2.(2016·唐山高一检测)若a,b,c为实数,则下列说法正确的是 (  )
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若aab>b2
C.若aD.若a
【解析】选B.选项A需满足条件c≠0;选项C,D中因为a,b均为负数,所以在a,<;选项B中a,b小于零,根据不等式的性质易得a2>ab>b2.
3.(2016·长沙高一检测)a,b是任意实数,且a>b,则下列结论正确的是 (  )
A.a2>b2
B.<1
C.lg(a-b)>lg
D.4-a<4-b
【解析】选D.a,b是任意实数,且a>b,则-a<-b,由指数函数的单调性可得,4-a<4-b.
4.已知实数x,y满足axA.>     
B.ln(x2+1)>ln(y2+1)
C.sinx>siny
D.x3>y3
【解析】选D.由axy,所以y=在(-∞,0)上递增,在(0,+∞)上递减,A无法判断.y=ln(x2+1)在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增,B无法判断.y=sinx为周期函数,C无法判断.y=x3在R上为增函数,所以x3>y3,D正确.
5.(2016·金华高一检测)设a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论正确的
是 (  )
A.a+c>b+d
B.a-c>b-d
C.ac>bd
D.>
【解析】选A.根据不等式的性质,知a+c>b+d成立,对于B,当a=2,b=1,c=1,d=0就不成立,对于C,当a=2,b=-1,c=-1,d=-2就不成立,同时D也不成立.
6.若<<0,则下列结论不正确的是 (  )
A.a2B.abC.a+b<0
D.|a|+|b|>|a+b|
【解析】选D.令a=-1,b=-2,代入选项验证可知选项D错误.
7.(2016·绵阳高二检测)设x,y∈R,若x-|y|>0,则下列不等式中正确的
是 (  )
A.<
B.>
C.x2D.x2>y2
【解析】选D.x-|y|>0 x>|y|≥0 x2>y2.
【补偿训练】设a,b∈R,a>b,则下列不等式一定成立的是 (  )
A.a2>b2     
B.<
C.a2>ab
D.2a>2b
【解析】选D.当a=1,b=-2时,12>(-2)2,<不成立,当a≤0时,a2>ab不成立,y=2x是增函数,所以2a>2b成立.
8.(2016·赣江高二检测)已知a>b>0,则-与的大小关系是 (  )
A.->
B.-<
C.-=
D.无法确定
【解析】选B.因为a>b>0,所以ab>b2>0,
所以>b,
所以(-)2-()2
=a+b-2-a+b=2b-2<0,
所以-<.
【延伸探究】在本题条件下比较+与的大小.
【解析】因为(+)2-()2
=a+b+2-a-b=2>0,
又因为+>0,>0,所以+>.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.给出四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0.其中能推得<成立的是________.
【解析】对于①由b>0,a<0,所以>;
对于②由b0,>0,
所以×b<×a,即<成立;
对于③因为a>0,b<0,所以>0,<0,
故<不成立.
对于④由a>b>0,所以>0,
所以a×>b×,即>成立.
答案:①②④
10.设1【解析】因为1又1答案:(1,14)
三、解答题
11.(10分)设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
【解析】设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),
则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),
即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,
于是得解得m=3,n=1.
所以f(-2)=3f(-1)+f(1).
又因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
所以5≤3f(-1)+f(1)≤10.
即5≤f(-2)≤10.
【一题多解】由

所以f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).
又因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
所以5≤3f(-1)+f(1)≤10.
即5≤f(-2)≤10.
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十六不等关系与比较大小
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.下列式子中不等式的个数为 (  )
(1)3>2.(2)a2+1<3.(3)3x2+x.(4)a+b≠c.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.由不等式的定义知(1)(2)(4)中的式子是不等式,而(3)中的式子不是不等式.
2.(2015·荆州高二检测)已知t=a+2b,s=a+b2+1,则t和s的大小关系正确的
是 (  )
A.t>s
B.t≥s
C.tD.t≤s
【解析】选D.因为t-s=a+2b-a-b2-1=-(b-1)2≤0,
所以t≤s.
【补偿训练】已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系
是 (  )
A.MB.M
>N
C.M=N
D.不确定
【解析】选B.由题意得M-N=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1)>0,故M
>N.
3.完成一项装修工程,请木工共需付工资每人500元,请瓦工共需付工资每人400元,现有工人工资预算20000元,设木工x人,瓦工y人,则工人满足的关系式是
 (  )
A.5x+4y<200
B.5x+4y≥200
C.5x+4y=200
D.5x+4y≤200
【解析】选D.由题意知500x+400y≤20000,即5x+4y≤200.
4.下列说法正确的是 (  )
A.a不是负数,则a>0
B.b是不大于0的数,则b<0
C.m不小于-1,则m>-1
D.a+b是负数,则a+b<0
【解析】选D.A错误,a不是负数,则a≥0;
B错误,b是不大于0的数,则b≤0;
C错误,m不小于-1,则m≥-1;D正确.
5.若x≠2且y≠-1,则M=x2+y2-4x+2y的值与-5的大小关系是 (  )
A.M>-5  
B.M<-5
C.M=-5  
D.不能确定
【解析】选A.M=x2+y2-4x+2y=(x-2)2+(y+1)2-5,因为y≠-1,且x≠2,所以M>-5.
6.在数列中,若an=,则an与an+1的大小关系为 (  )
A.an>an+1
B.anC.an=an+1
D.不能确定
【解析】选B.因为an+1-an=-
==>0,
所以an7.(2016·济宁高二检测)若m>1,a=-,b=-,则以下结论正确的是 (  )
A.a>b
B.aC.a=b
D.a,b大小不定
【解析】选A.分别将原式变化为:
a=-=,
b=-=,
因为0<+<+,
所以>,故a>b.
8.若A=+3,B=+2,则A,B的大小关系是 (  )
A.A>B
B.AC.A≥B
D.不确定
【解析】选A.因为A=+3,B=+2,
则A-B=-+1=+≥.
所以A-B>0,即A>B.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知M=3x2-x+3,N=2x2+3x-1,则比较M,N的大小关系是________.
【解析】M=3x2-x+3,N=2x2+3x-1,
因为M-N=(3x2-x+3)-(2x2+3x-1)
=3x2-x+3-2x2-3x+1
=x2-4x+4=(x-2)2≥0,
所以M≥N.
答案:M≥N
【误区警示】解答本题容易漏掉M=N,出现M>N的错误结果.
10.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,要求菜园的面积不小于216m2,靠墙的一边长为xm,其中的不等关系可用不等式(组)表示为________.
【解析】矩形的另一边长为(30-x)=15-x,
矩形面积为x,且0则不等式组为
答案:
【补偿训练】某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种邮票至少买2套,则买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式(组)表示为________.
【解析】根据题意直接列出相应的不等式,组成不等式组为
答案:
三、解答题
11.(10分)(2016·孝感高二检测)(1)当x>1时,比较x3与x2-x+1的大小.
(2)已知:a【解析】(1)x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1
=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),
因为x>1,所以(x-1)(x2+1)>0,
所以x3>x2-x+1.
(2)因为<,所以-=<0,①
因为a0,②
综合①②知ab<0,
又因为a所以a<0【补偿训练】某市环保局为增加城市的绿地面积,提出两个投资方案:方案A为一次性投资500万元;方案B为第一年投资5万元,以后每年都比前一年增加10万元,列出不等式表示“经n年之后,方案B的投入不少于方案A的投入”.
【解析】依题意,方案B逐年的投入依次组成等差数列a1,a2,…,an,其中a1=5,d=10,则经n年后方案B的投入为Sn=5n+×10,所以,经n年之后,方案B的投入不少于方案A的投入,用不等式表示为5n+×10≥500.
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二十四基本不等式
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中可使+≥2成立的个数是 (  )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.使+≥2=2成立的条件是,均为正数,所以只需要a,b同号即可,故①③④正确.
2.设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有 (  )
A.1≤ab≤
B.ab<1<
C.ab<<1
D.【解析】选B.因为a≠b,所以ab<=1,
又因为>=1,所以ab<1<.
3.设0A.
B.a2+b2
C.2ab
D.a
【解析】选B.因为02a,所以a<,又因为a2+b2≥2ab,所以最大数一定不是a和2ab,又因为1=a+b>2,所以ab<,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=
1-2ab>1-=,即a2+b2>,故选B.
【一题多解】选B.特值检验法:取a=,b=,则2ab=,a2+b2=,因为>>>,所以a2+b2最大.
4.已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q≠1,设P=(log0.5a5+log0.5a7),Q=log0.5,则P与Q的大小关系是 (  )
A.P≥Q
B.PC.P≤Q
D.P>Q
【解析】选D.P=(log0.5a5+log0.5a7)
=log0.5a5a7=log0.5a6,
Q=log0.5所以P>Q.
5.设0A.logab+logba≥2
B.logab+logba≥-2
C.logab+logba≤-2
D.logab+logba>2
【解析】选C.因为0所以logab<0,logba<0,-logab>0,
所以(-logab)+(-logba)=(-logab)+≥2,所以logab+logba≤-2.
6.(2016·三明高二检测)设a,b,c∈R+,且a+b+c=1,若M=,则必有 (  )
A.0≤M<
B.≤M<1
C.1≤M<8
D.M≥8
【解析】选D.因为a+b+c=1,利用基本不等式a+b≥2(a,b∈R+)代换,所以
=≥=8.
当且仅当a=b=c=时等号成立.
7.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是 (  )
A.a=±1
B.a=1
C.a=-1
D.a=0
【解析】选B.由a2+1-2a=0得a=1.
8.在a>0,b>0的条件下,三个结论:
①≤;②≤;③+≥a+b.其中正确的个数为 (  )
A.0     
B.1     
C.2     
D.3
【解析】选D.=≥=2ab,
所以≤,故①正确.
2ab≤a2+b2,所以a2+b2+2ab≤2(a2+b2),
所以≤,
所以≤,故②正确;
+-(a+b)=
=
==,因为a>0,b>0,
所以≥0,故+≥a+b,故③正确.
【补偿训练】设a>0,b>0,且a+b≤4,则有 (  )
A.≥    
B.+≥1
C.≥2
D.≤
【解析】选B.根据题意,由于a>0,b>0,a+b≤4,那么根据基本不等式性质可知,≥≥,故可知+≥1成立,而对于A,当a=1,b=3时不成立,排除A,当a=b=1时,选项C错误,选项D错误,故选B.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·厦门高二检测)某市一外贸公司,第一年产值增长率为a,第二年产值增长率为b,这两年的平均增长率为x,那么x与的大小关系是__________.
【解析】依题意,可得(1+x)2=(1+a)(1+b)≤=,
所以1+x≤1+,即x≤.
答案:x≤
10.若a>1,0【解题指南】首先由a>1,0【解析】因为a>1,0所以logab<0,logba<0,
所以-(logab+logba)
=(-logab)+(-logba)≥2,
所以logab+logba≤-2.
答案:(-∞,-2]
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2016·韶关高二检测)已知a,b,c为不等正实数,且abc=1.
求证:++<++.
【解题指南】在利用基本不等式证明的过程中,常需要把数、式合理地拆分,以便于利用基本不等式.
【证明】因为+≥2=2,+≥2=2,+≥2=2,
所以2≥2(++),
即++≥++.
因为a,b,c不全相等,所以++<++.
12.已知0【解析】因为0所以-log2x>0,->0.
所以(-log2x)+≥
2=2
即-≥2,
当且仅当-log2x=-,即log2x=-时等号成立,
所以log2x+≤-2,
可得2+log2x+≤2-2.
【能力挑战题】
设实数x,y满足y+x2=0,且0【证明】因为ax>0,ay>0,所以ax+ay≥2,
又因为0所以loga(ax+ay)≤loga2=logaax+y+loga2
=(x+y)+loga2,
因为x2+y=0,所以loga(ax+ay)≤(x-x2)+loga2
=-++loga2≤+loga2,
又上式中等号不能同时取到,所以原不等式得证.
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十八一元二次不等式及其解法
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.下列不等式是关于x的一元二次不等式的是 (  )
A.mx2+x+1>0(m≠0)
B.m2x+2x+2<0(m≠0)
C.x3+x2+1>0
D.≥0
【解析】选A.根据一元二次不等式的定义知,A是一元二次不等式,B,C,D均不是一元二次不等式.
2.已知不等式ax2+3x-2>0的解集为{x|1A.a=1,b=2
B.a=2,b=-1
C.a=-1,b=2
D.a=-2,b=1
【解析】选C.因为不等式ax2+3x-2>0的解集为{x|1所以方程ax2+3x-2=0的两个根分别为1和b,
根据根与系数的关系,得1+b=-,b=-,
所以a=-1,b=2.
【补偿训练】不等式-x2-x+2≥0的解集是 (  )
A.{x|x≤-2或x≥1}   B.{x|-2C.{x|-2≤x≤1}
D.
【解析】选C.将原不等式-x2-x+2≥0变形为x2+x-2≤0,因为方程x2+x-2=0的两个根为-2,1,故原不等式的解集为{x|-2≤x≤1}.
3.(2016·太原高二检测)在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为 (  )
A.(0,2)
B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞)
D.(-1,2)
【解析】选B.因为x☉(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0,所以x2+x-2<0.所以-24.(2015·山东高考)已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2A.(1,3)
B.(1,4)
C.(2,3)
D.(2,4)
【解析】选C.由x2-4x+3<0,即(x-3)(x-1)<0,所以15.(2016·广州高二检测)不等式(2x-1)(3x+1)>0的解集是 (  )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.与不等式(2x-1)(3x+1)>0对应的方程的根为x=,x=-,结合相应二次函数图象可知解集为.
6.若全集U=R,集合A={x|x2+3x-4<0},B={x|y=log3(x+2)},则(A∩B)
= (  )
A.{x|x≤4或x≥1}
B.{x|x<-4或x>1}
C.{x|x<-2或x>1}
D.{x|x≤-2或x≥1}
【解析】选D.由题意可得A={x|-4-2}.
所以A∩B={x|-2所以(A∩B)={x|x≤-2或x≥1}.
7.(2016·邯郸高二检测)已知00的解集
为 (  )
A.(-∞,a)∪
B.(a,+∞)
C.∪(a,+∞)
D.
【解析】选A.不等式(x-a)>0对应方程的两根分别为a,,因为0a,
故原不等式的解集为(-∞,a)∪.
8.一元二次方程ax2+bx+c=0的根为2,-1,则当a<0时,不等式ax2+bx+c≥0的解集为 (  )
A.{x|x<-1或x>2}  
B.{x|x≤-1或x≥2}
C.{x|-1D.{x|-1≤x≤2}
【解析】选D.由题意知,-=1,=-2,
所以b=-a,c=-2a,
又因为a<0,
所以x2-x-2≤0,
所以-1≤x≤2.
【延伸探究】本题中“a<0”若换为“a>0”,其他条件不变,其结论又如何呢
【解析】选B.由8题解析知,b=-a,c=-2a,
又因为a>0,所以x2-x-2≥0,即x≥2或x≤-1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.不等式x(9-x)>0的解集是________.
【解析】不等式x(9-x)>0变形为x(x-9)<0,
所以0答案:(0,9)
10.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表所示:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则不等式ax2+bx+c<0的解集是________.
【解析】由表格知二次函数y=ax2+bx+c开口向上,
又f(-2)=f(3)=0,
所以不等式的解集为{x|-2答案:(-2,3)
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.若方程x2+(m+2)x+m+5=0有两个不相等的实根,求实数m的取值范围.
【解析】因为方程x2+(m+2)x+m+5=0有两个不相等的实根,
所以Δ=(m+2)2-4(m+5)>0,
即m2-16>0,所以m>4或m<-4.
12.解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
【解题指南】先对二次项的系数进行讨论,再按不等式的解法求解.
【解析】①当a=0时,原不等式即为-x+1<0,解得x>1.
②当a<0时,原不等式化为(x-1)>0,解得x<或x>1.
③当a>0时,原不等式化为(x-1)<0.
若a=1,即=1时,不等式无解;
若a>1,即<1时,解得若01时,解得1综上,当a<0时,不等式的解集为;
当a=0时,不等式的解集为{x|x>1};
当0当a=1时,不等式的解集为 ;
当a>1时,不等式的解集为.
【能力挑战题】
若不等式组的解集不是空集,求实数a的取值范围.
【解析】不等式x2-2x-3≤0的解集为{x|-1≤x≤3},
而函数y=x2+4x-(1+a)的图象的对称轴为x=-2,
所以要使不等式组的解集不是空集,
只要方程x2+4x-(1+a)=0的大根x2≥-1,
所以有≥-1,解得a≥-4,
由Δ=16+4(1+a)≥0,解得a≥-5,所以实数a的取值范围是a≥-4.
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二十一二元一次不等式组表示的平面区域
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.不等式组表示的平面区域是 (  )
【解析】选B.将(0,0)代入x+3y-6,得-6<0,故原点在不等式x+3y-6≤0表示的区域内,将(0,0)代入x-y+2,得2>0,所以原点不在x-y+2<0表示的区域内,所以B正确.
【补偿训练】1.(2015·太原高二检测)能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是 (  )
A.   
B.
C.
D.
【解析】选C.由图中阴影部分可知,阴影在直线y=1的下方,在x轴的上方,故有0≤y≤1;又在y轴的左侧,故有x≤0;把(0,0)代入2x-y+2中,得2>0,又原点在区域内,所以2x-y+2≥0.
2.在直角坐标系中,图中的阴影部分表示的不等式(组)是 (  )
A.
B.
C.x2-y2≥0
D.x2-y2≤0
【解析】选C.在阴影部分内取测试点(-1,0),x-y=-1<0,x+y=-1<0.排除A,B,D,选C.
2.(2016·金华高二检测)在坐标平面上,不等式组所表示的平面区域的面积为 (  )
A.
B.
C.
D.2
【解析】选B.如图所示,作出不等式组表示的平面区域,
则|CD|=1+1=2,
所以xA=.
所以xB=-1,
所以S△CDA=×2×=,
S△CDB=×2×1=1.
故所求区域面积为.
【补偿训练】(2016·北京高二检测)某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲种产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙种产品要用A原料1吨,B原料3吨.该工厂每天生产甲、乙两种产品的总量不少于2吨,且每天消耗的A原料不能超过10吨,B原料不能超过9吨.如果设每天甲种产品的产量为x吨,乙种产品的产量为y吨,则在坐标系xOy中,满足上述条件的(x,y)对应的平面区域用阴影部分表示正确的是 (  )
【解析】选A.由条件建立二元一次不等式组,观察选项即可;由题意得对应的平面区域如选项A所示.
3.直线2x+y-10=0与不等式组表示的平面区域的公共点
有 (  )
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
【解析】选B.画出不等式组表示的平面区域如图所示,
因为直线过(5,0),(0,10)点,故只有1个公共点.
4.(2016·银川高二检测)在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为 (  )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.不等式组所围成的区域如图所示,因为其面积为2,所以|AC|=4,所以C的坐标为(1,4),代入ax-y+1=0,得a=3.
5.(2016·浙江高考)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是 (  )
A.
B.
C.
D.
【解题指南】先由线性约束条件画出可行域,再根据题意求解.
【解析】选B.画出不等式组表示的可行区域,如图所示,由得A(1,2),由得B(2,1),由题意可知当斜率为1的直线过点A,B时,两直线间的距离最小,即|AB|==.
6.某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天至少送180t支援物资的任务.该公司有8辆载重6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车,有10名驾驶员,每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次,B型卡车3次;如果设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆.则x,y满足的条件为 (  )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.A型、B型卡车分别为x辆和y辆.列表分析数据.
A型车
B型车
限量
车辆数
x
y
10
运物吨数
24x
30y
180
由表可知x,y满足的条件为.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图所示,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)>0的点(x,y)所在的平面区域为________.
【解析】不等式(x-y)(x+2y-2)>0等价于或通过代入特殊点检验可知②正确.
答案:②
8.x,y满足若方程y=kx有解,则k的取值范围是__________________.
【解题指南】先画出不等式组表示的平面区域,再结合直线y=kx求解.
【解析】不等式组表示的平面区域如图所示,三条边界线的交点分别记为A,B,C,由图可知y=kx应在直线OA与OB之间,所以kOB≤k≤kOA,即≤k≤2.
答案:≤k≤2
【延伸探究】在本题中,若点P为不等式组所表示的平面区域内的点,则的最大值为________,最小值为________.
【解析】由得A(1,2).
由得B(2,1).由得
C(3,4).因为点P为不等式组所表示的平面区域内的点,所以表示平面区域内的点到原点的距离,所以==5.又原点到直线x+y-3=0的距离为d==,
所以=.
答案:5 
三、解答题
9.(10分)(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示:
   原料
肥料   
A
B
C

4
8
3

5
5
10
现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.
用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.
【解题指南】根据生产原料不能超过A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,列不等式,画出可行域.
【解析】由已知x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分.
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