2017—2018学年数学人教版必修5单元质量评估(1) 解三角形

单元质量评估(一)
(第一章)
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.如图,在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°,在它的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°,若A,B的距离是20m,则塔高为　(　　)
A.24m
B.20m
C.12m
D.36m
【解析】选B.设塔高CD=xm,
则AD=xm,DB=xm.
在△ABD中,∠ADB=150°,
根据余弦定理得,
(20)2=x2+(x)2-2x2cos150°,
解得x=±20(负值舍去),故塔高为20m.
2.(2016·鞍山高二检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=,A=45°,则角B大小为　(　　)
A.60°　　　
B.120°　　　
C.60°或120°　　
D.15°或75°
【解析】选C.由正弦定理可得:
=,
由此可得sinB=,因为b>a,故B=60°或120°.
3.在△ABC中,若a=5,c=13,sinA=,则△ABC的面积为　(　　)
A.　　　
　
B.30　　　
C.35　　　　
D.78
【解析】选B.由正弦定理可求得sinC=1,所以三角形为直角三角形,其中c为斜边,所以b==12,则三角形面积S=ab=30,故选B.
4.(2016·杭州高二检测)在△ABC中,若lga-lgc=lgsinB=-lg且B∈,则△ABC的形状是　(　　)
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选D.因为lga-lgc=lgsinB=lg()-1,
所以即
又因为b2=a2+c2-2ac·cosB=a2+2a2-2a·a·=a2,即a=b,
所以△ABC为等腰直角三角形.
5.已知△ABC中,AB=1,BC=2,则角C的取值范围是　(　　)
A.0B.0C.D.【解析】选A.因为=,所以=,
所以sinC=sinA,因为0所以0因为AB所以0【一题多解】选A.
如图所示,以B为圆心,以1为半径画圆,则圆上除了直线BC上的点外,都可作为A点.从点C向圆B作切线,设切点为A1和A2,当A与A1或A2重合时,角C最大,
易知此时:BC=2,AB=1,AC⊥AB,
所以C=,所以06.在△ABC中,AB=2,AC=3,·=5,则BC=　(　　)
A.　　
B.　
　
C.2　　
D.
【解析】选A.因为·=||||cos<,>
=||||cosA=6cosA=5,
所以cosA=,由余弦定理可得:
BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA=9+4-2×2×3×=3,所以BC=.
7.(2016·黄冈高二检测)设a,b,c为△ABC的三边长,若c2=a2+b2,且sinA+cosA=,则角B的大小为　(　　)
A.　　　
B.　　
C.　
　
D.
【解析】选D.c2=a2+b2 C=,
sinA+cosA= sin= A+=,
所以角B=π--=.
8.(2016·济宁高二检测)在△ABC中,若sinA·sinB(　　)
A.等边三角形　
B.直角三角形
C.锐角三角形　　　
D.钝角三角形
【解析】选D.由sinA·sinBcosAcosB-sinA·sinB>0,即cos(A+B)>0,
由于A,B,C为三角形内角,
所以cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC>0,cosC<0,
故C为钝角,△ABC一定为钝角三角形.
9.(2016·重庆高二检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=2,c=2,则C=,则△ABC的面积为　(　　)
A.2+2
B.+1
C.2-2
D.-1
【解析】选B.由正弦定理= sinB==,又a>b,且B∈(0,π),所以B=,所以A=,所以三角形的面积为S=bcsinA=×2×2sin=×2×2×=+1,故选B.
10.△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,若=,则角B的大小为　(　　)
A.　　　　
B.　　
C.　
D.
【解析】选B.由正弦定理得:= = c2+a2-b2=-ac所以cosB==-,因为011.(2016·益阳高二检测)在△ABC中,根据下列条件解三角形,则其中有二个解的是　(　　)
A.b=10,A=45°,C=70°
B.a=20,c=48,B=60°
C.a=7,b=5,A=98°
D.a=14,b=16,A=45°
【解析】选D.A.由A=45°,C=70°,得到B=65°,又b=10,根据正弦定理=
=得:a,c只有一解;B.由a=20,c=48,B=60°,根据余弦定理得:b2=a2+c2-
2ac·cosB=400+2304-960=1744,所以b2=1744,
则cosC<0,得到C为钝角,故c为最大边,本选项只有一解;C.由a=7,b=5,A=98°,根据正弦定理=得,sinB=,由A=98°为钝角,即最大角,得到B只能为锐角,故本选项只有一解;D.由a=14,b=16,A=45°,根据正弦定理=得:sinB==,由012.在△ABC中,A=,AB=3,AC=3,D在边BC上,且CD=2DB,则AD=　(　　)
A.　　
B.　
　　
C.5　　　　
D.2
【解析】选A.在△ABC中,利用余弦定理得:BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC
=27+9-27=9,即BC=3,
又D在边BC上,且CD=2DB,
故BD=1,CD=2,
在△ABD中,利用余弦定理得
cos∠ADB==,
在△ADC中,利用余弦定理得
cos∠ADC==,
又cos∠ADB+cos∠ADC=0,
所以+=0,解得AD=.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.(2016·济南高二检测)在相距2千米的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=
75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为________千米.
【解析】由题意知∠C=45°,
由正弦定理得=,
所以AC=·=(千米).
答案:
14.(2016·杭州高二检测)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,若a2=b2+c2-bc,=+,则tanB=________.
【解析】因为a2=b2+c2-bc,
所以cosA==,
B+C=,C=-B,由正弦定理得,
===
=+·=+,所以tanB=.
答案:
15.(2016·郑州高二检测)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED=________.
【解析】记∠CEB=α,
则∠CED=-α,在Rt△CEB中,BC=1,BE=2,
由勾股定理有CE==,
所以sinα==,cosα==,
由两角差的正弦公式有sin∠CED=sin
=(cosα-sinα)=×=.
答案:
16.(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围为________.
【解析】如图所示,延长BA,CD交于点E,可知在△ADE中,∠DAE=105°,∠ADE=
45°,∠E=30°.
设AD=x,
则AE=x,DE=x.
设CD=m,由BC=2,
得·sin15°=1,
得x+m=+,所以0而AB=x+m-x=x+m
=+-x,
所以AB的取值范围是(-,+).
答案:(-,+)
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2015·山东高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cosB=,sin(A+B)=,ac=2.求sinA和c的值.
【解题指南】先判断A+B,再将其看作一个整体,利用两角和与差的三角公式,结合正弦定理求解.
【解析】在△ABC中,cosB=,则sinB=.
因为sin(A+B)=<,所以A+B为钝角,
cos(A+B)=-,
所以sinA=sin(A+B-B)
=sin(A+B)cosB-cos(A+B)sinB
=×-×=.即sinA=.
因为sinC=sin(A+B)=,sinA=,ac=2,
由正弦定理=,
得ac=c2=c2=2,所以c=1.
18.(12分)某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处,观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40°.开始时,汽车到A的距离为31千米,汽车前进20千米后,到A的距离缩短了10千米.问汽车还需行驶多远,才能到达M汽车站
【解析】如图,设汽车前进20千米后到达B处.
在△ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,
由余弦定理的推论得,
cosC==,
则sin2C=1-cos2C=,sinC=,
所以sin∠MAC=sin(120°-C)=sin
120°cosC-cos
120°sinC=.在△MAC中,由正弦定理得:
MC==×=35,
从而有MB=
MC-BC=15.
所以汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站.
19.(12分)(2016·重庆高二检测)在△ABC中,内角A,B,C满足2sinAsinB
=5sinC且cosB=.
(1)求角A的大小.
(2)若内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=14,求边BC上的中线AD的长.
【解析】(1)在△ABC中,因为cosB=,
所以sinB=.
代入2sinAsinB=5sinC,
化简可得3sinA=7sinC.
因为A+B+C=π,所以sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
所以3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB,
化简得tanA=-.
因为0(2)因为A=,所以sinA=,sinC=.
在△ABC中,由正弦定理==且a=14,
得c=6,b=10,在△ABD中,由余弦定理得
AD2=AB2+BD2-2AB×BD×cosB
=36+49-2×6×7×=19,
所以AD=.
20.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,
c=,cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.
(1)求角C的大小.
(2)若sinA=,求△ABC的面积.
【解析】(1)因为△ABC中,a≠b,
c=,
cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.
所以-=sin2A-sin2B,
即cos2A-cos2B=sin2A-sin2B,
即-2sin(A+B)sin(A-B)=2·cos(A+B)sin(A-B).
因为a≠b,所以A≠B,sin(A-B)≠0,
所以tan(A+B)=-,
所以A+B=,所以C=.
(2)因为sinA=<,C=,
所以A<,或A>(舍去),
所以cosA==.
由正弦定理可得,=,
即=,所以a=.
所以sinB=sin[(A+B)-A]=sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA=×-×=,
所以△ABC的面积为
·ac·sinB=×××=.
21.(12分)(2016·潍坊高二检测)如图,在△ABC中,BC边上的中线AD长为3,且cosB=,cos∠ADC=-.
(1)求sin∠BAD的值.
(2)求AC边的长.
【解析】(1)因为cosB=,
所以sinB=.
又cos∠ADC=-,
所以sin∠ADC=,
所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)
=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB
=×-×=.
(2)在△ABD中,由=
得:=,解得BD=2.
故DC=2,从而在△ADC中,
由AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC
=32+22-2×3×2×=16,
得AC=4.
22.(12分)(2016·成都高二检测)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对边的边长,且C=,a+b=λc(其中λ>1).
(1)若λ=时,证明:△ABC为直角三角形.
(2)若·=λ2,且c=3,求λ的值.
【解题指南】(1)当λ=时,根据正弦定理及两角和与差的正弦公式确定相应角的值,从而确定△ABC的形状.
(2)由·=λ2求出ab,然后与a+b=λc联立结合余弦定理求出λ的值.
【解析】(1)因为λ=,所以a+b=c,
由正弦定理得sinA+sinB=sinC,
因为C=,所以sinB+sin=,
sinB+cosB+sinB=,
所以sinB+cosB=,
则sin=,
从而B+=或B+=,B=或B=.
若B=,则A=,△ABC为直角三角形;
若B=,△ABC亦为直角三角形.
(2)若·=λ2,
则a·b=λ2,所以ab=λ2.
又a+b=3λ,由余弦定理知a2+b2-c2=2abcosC,
即a2+b2-ab=c2=9,即(a+b)2-3ab=9,
故9λ2-λ2=9,λ2=9,λ2=4,即λ=2.
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