2017—2018学年数学人教版必修5单元质量评估(2) 数列

单元质量评估(二)
(第二章)
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.(2016·济宁高二检测)在等差数列中,若a2=4,a4=2,则a6=　(　　)
A.-1
B.0
C.1
D.6
【解析】选B.依题意2d=a4-a2=-2,a6=a4+2d=0.
2.已知数列是公差为1的等差数列,Sn为数列的前n项和,若S8=4S4,则a10=　(　　)
A.
B.
C.10
D.12
【解析】选B.由题意得解得a1=,则a10=+9×1=.
3.(2016·遵义高二检测)《九章算术》之后,人们学会了用等差数列的知识来解决问题,《张丘建算经》卷上第22题为:
“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺布”,则从第2天起每天比前一天多织________尺布.　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.设公差为d,则S30=30×5+d=390,解得d=.
4.(2016·亳州高二检测)在a和b两数之间插入5个数,使它们与a,b组成等差数列,则该数列的公差为　(　　)
A.　
B.　
C.
D.
【解析】选B.在a和b两数之间插入5个数,使它们与a,b组成等差数列,则这个数列共有7项,所以d==.
5.(2016·遵义高二检测)在等比数列中,a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,则的值为　(　　)
A.2
B.4
C.±2
D.±4
【解析】选A.a3·a15=8,a3+a15=6,故====2.
6.(2016·青岛高二检测)已知等差数列前9项的和为27,a10=8,则a100=　
(　　)
A.100
B.99
C.98
D.97
【解析】选C.因为等差数列前9项的和为27,所以9a5=27,a5=3,又因为a10=8,所以d=1,所以a100=a5+95d=98.
7.已知在等差数列{an}中,a2与a6的等差中项为5,a3与a7的等差中项为7,则数列{an}的通项公式an=　(　　)
A.2n
B.2n-1
C.2n+1
D.2n-3
【解析】选D.由于数列{an}是等差数列,所以a2与a6的等差中项是a4,故有a4=5,又a3与a7的等差中项是a5,所以a5=7,从而等差数列的公差d=a5-a4=2,因此其通项公式为an=a4+(n-4)d=2n-3.
8.(2016·大连高二检测)设等比数列中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9=　(　　)
A.
B.-
C.
D.
【解析】选A.因为是等比数列,所以S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,则S3(S9-S6)=(S6-S3)2,即8×(S9-S6)=(-1)2,解得S9-S6=,即a7+a8+a9=.
9.(2016·双鸭山高一检测)已知数列的前n项和为Sn,若Sn=2an-4,n∈N
,则an=　(　　)
A.2n+1
B.2n
C.2n-1
D.2n-2
【解析】选A.因为Sn=2an-4,所以Sn-1=2an-1-4,两式相减可得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,即=2,因为S1=a1=2a1-4,即a1=4,所以数列是首项为4,公比是2的等比数列,则an=4×2n-1=2n+1.
10.已知数列{an}(n∈N
)中,a1=1,an+1=,则an=　(　　)
A.2n-1
B.2n+1
C.
D.
【解析】选C.两边取倒数得到==+2,
整理为:-=2,
所以是以=1为首项,2为公差的等差数列,所以=1+(n-1)×2=2n-1,那么an=.
11.各项均为正数的等差数列.其公差d>0,前n项和为Sn,若a1,a2,a5构成等比数列,则下列能构成等比数列的是　(　　)
A.S1,S2,S3
B.S1,S2,S4
C.S1,S3,S4
D.S2,S3,S4
【解析】选B.由题意知等差数列的首项a1>0,公差d>0,由a1,a2,a5构成等比数列得=a1a5,即=a1,得d=2a1,所以S1=a1,S2=2a1+d=4a1,S3=3a1+3d=9a1,S4=4a1+6d=16a1,又a1>0,所以S1,S2,S4能构成等比数列.
12.(2016·济南高二检测)数列{an}满足a1=,an+1-1=an(an-1)(n∈N
)且Sn=
++…+,则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是　(　　)
A.{0,1,2}
B.{0,1,2,3}
C.{1,2}
D.{0,2}
【解析】选A.S1=,S2=,S3=+>2,因此整数的可能值已有0,1,2,又由an+1-1=an(an-1)得
==-,
所以=-,
由此可得Sn=-
=3-,又由an+1-1=an(an-1)知当an>1(n∈N
)时,必有an+1>1,而a1=>1,因此对所有正整数n,an>1,因此Sn=3-<3,所以Sn的整数部分只可能为0,1,2.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=5,数列的前2016项的和为________.
【解析】3a1+3d=0,5a1+10d=5,
a1=-1,d=1,an=n-2,
==
,
故S2016==-·=-.
答案:-
14.(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=__________.
【解题指南】由an+1=Sn+1-Sn=Sn+1·Sn,
两边同时除以Sn+1·Sn,得-=-1,构造等差数列,求Sn.
【解析】由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1·Sn,两边同时除以Sn+1·Sn,得-=-1,又==-1,故数列是以-1为首项,-1为公差的等差数列,则=-1-(n-1)=-n,所以Sn=-.
答案:-
15.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若=,则=________.
【解析】由等差数列的性质可知,
=
===.
答案:
16.(2016·菏泽高二检测)数列{an}满足a1=3,(an+1-2)(an+1)+2=0,则an=________.
【解析】由(an+1-2)(an+1)+2=0,展开后同除以an+1an可得1+-=0,可化为-1=,则是以-为首项,为公比的等比数列.由等比数列的通项公式可得-1=,化简可得an=.
答案:
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2016·北京高考)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通项公式.
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
【解析】(1)等比数列{bn}的公比q===3.
所以b1==1,b4=b3q=27.
设等差数列{an}的公差为d.
因为a1=b1,a14=b4=27,
所以1+13d=27,即d=2.
所以an=2n-1(n=1,2,3…).
(2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1,
因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.
从而数列{cn}的前n项和
Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1
=+
=n2+.
18.(12分)(2015·福建高考)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.
【解题指南】(1)用等差数列通项公式计算.(2)分组求和.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知得
解得
所以an=a1+(n-1)d=n+2.
(2)由(1)可得bn=2n+n.
所以b1+b2+b3+…+b10
=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)
=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)
=+
=(211-2)+55
=211+53=2101.
19.(12分)已知数列的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n.
(1)证明:数列是等差数列,并求出数列的通项公式.
(2)求数列的前n项和Tn.
【解析】(1)当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=n2+2n-=2n+1.
当n=1时,也符合上式,故an=2n+1.
因为an+1-an=2,故数列是以3为首项,2为公差的等差数列.
(2)因为=
=,
故Tn=
==.
20.(12分)(2016·天津高考)已知{an}是等比数列,前n项和为Sn,且-=,S6=63.
(1)求{an}的通项公式.
(2)若对任意的n∈N
,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(-1)n}的前2n项和.
【解析】(1)设数列{an}的公比为q,
由已知,有-=,解得q=2或
q=-1.又由S6=a1·=63,
知q≠-1,所以a1·=63,得a1=1.
所以an=2n-1.
(2)由题意,得
bn=(log2an+log2an+1)
=(log22n-1+log22n)=n-,
即{bn}是首项为,公差为1的等差数列.
设数列{(-1)n}的前n项和为Tn,则
=(-+)+(-+)+…+(-+)
=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n
=
=2n2.
21.(12分)(2016·石家庄高二检测)数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,an+1=2Sn+1(n∈N
).
(1)当t为何值时,数列{an}是等比数列.
(2)在(1)的条件下,若等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值,且T3=15,
又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn.
【解析】(1)由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n≥2),
两式相减得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2),
所以当n≥2时,{an}是等比数列,
要使n≥1时,{an}是等比数列,
则只需==3,从而t=1.
(2)设{bn}的公差为d,由T3=15得b1+b2+b3=15,于是b2=5,
故可设b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,
由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2,
解得:d1=2,d2=-10,
因为等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值,
所以d<0,d=-10,
所以Tn=15n+×(-10)=20n-5n2.
22.(12分)(2015·山东高考)已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列的前n项和为.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=(an+1)·,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)由题意设an=a1+(n-1)d,a1>0,数列的前n项和为Sn,
因为=,
Sn====,
解得
所以an=2n-1.
(2)bn=
(an+1)·=n×4n.
Tn=b1+b2+b3+…+bn=1×41+2×42+3×43+…+n×4n,
则4Tn=1×42+2×43+3×44+…+n×4n+1,
两式相减得-3Tn=4+42+43+…+4n-n×4n+1
=-n×4n+1
=×4n+1-,
所以Tn=×4n+1+.
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