2017—2018学年数学人教版必修5单元质量评估(3) 不等式

单元质量评估(三)
(第三章)
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.(2016·德州高二检测)若a<1,b>1,那么下列命题中正确的是　(　　)
A.>
B.>1
C.a2D.ab【解析】选D.取a=-3,b=2,显然A,B,C均错,D正确.
2.不等式-x2+2x-3>0的解集为　(　　)
A.{x|x>3或x<1}
B.{x|x<3或x>1}
C.R
D.
【解析】选D.原不等式 x2-2x+3<0 (x-1)2+2<0 x∈ .
3.(2015·北京高考)若x,y满足则z=x+2y的最大值为　(　　)
A.0
B.1
C.
D.2
【解析】选D.作出可行域及l0:x+2y=0如图所示,把(1,0)代入l0,可知l0的右上方为正,所以向上平移l0,过点(0,1)时z=x+2y取最大值2.
【补偿训练】(2015·全国卷Ⅰ)若x,y满足约束条件则z=3x+y的最大值为________.
【解析】画出可行域如图所示,
目标函数y=-3x+z,当z取到最大值时,y=-3x+z的纵截距最大,即将直线移到点C时,
由解得C(1,1),所以zmax=3×1+1=4.
答案:4
4.已知a>0,b>0且3a+2b=2,则ab的最大值为　(　　)
A.
B.
C.
D.1
【解析】选C.ab=×3a×2b≤×=,当且仅当3a=2b时,即a=,b=时等号成立,所以ab的最大值为.
5.(2016·哈尔滨高二检测)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA.aB.v=
C.D.v=
【解析】选A.设甲、乙两地之间的距离为s.
因为a所以v===<=.
又v-a=-a=>=0,所以v>a.
6.不等式ax2+5x+c>0的解集为,则a,c的值为　(　　)
A.a=6,c=1
B.a=-6,c=-1
C.a=1,c=6
D.a=-1,c=-6
【解析】选B.因为不等式ax2+5x+c>0的解集为,所以方程ax2+5x+c=0的两个实数根为,,且a<0.
所以解得
7.(2016·天水高二检测)若x,y满足若目标函数z=x-y的最小值为-2,则实数m的值为　(　　)
A.0
B.2
C.8
D.-1
【解析】选C.不等式组对应的可行域为直线y=1,2x-y-1=0,x+y=m围成的三角形及内部,当z=x-y过直线2x-y-1=0,x+y=m的交点时取得最小值-2,所以-=-2,所以m=8.
8.(2016·杭州高二检测)如果不等式<1对一切实数x均成立,则实数m的取值范围是　(　　)
A.(1,3)
B.(-∞,3)
C.(-∞,1)∪(2,+∞)
D.(-∞,+∞)
【解析】选A.因为4x2+6x+3=+>0,
所以原不等式 2x2+2mx+m<4x2+6x+3 2x2+(6-2m)x+(3-m)>0,x∈R恒成立
Δ=(6-2m)2-8(3-m)<0,所以19.设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是　(　　)
A.(1,3]
B.[2,3]
C.(1,2]
D.[3,+∞)
【解析】选A.作出区域D的图象,联系指数函数y=ax的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点,故a的取值范围为(1,3].
10.当x>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是　(　　)
A.(-∞,2]
B.[2,+∞)
C.[3,+∞)
D.(-∞,3]
【解析】选D.因为x>1,所以x-1>0,则x+=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x=2时取等号,所以a≤3.
11.(2016·恩施高二检测)已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1,3)和(1,1)两点,若0A.(1,3)
B.(1,2)
C.[2,3)
D.[1,3]
【解题指南】由函数图象经过两点,将两点的坐标代入,可得a,b,c的关系,又因为0【解析】选B.a+c=2,c=2-a,0<2-a<1,112.(2016·铁岭高二检测)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元,乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为　(　　)
A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱
B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱
C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱
D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱
【解析】选B.设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱.则目标函数z=280x+200y,结合图象可得:当x=15,y=55时z最大,本题也可以将答案逐项代入检验.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知a,b,c,d均为实数,有下列命题:(1)若ab>0,bc-ad>0,则->0.
(2)若ab>0,->0,则bc-ad>0.
(3)若bc-ad>0,->0,则ab>0.
其中正确命题是________.
【解析】因为ab>0,bc-ad>0,
所以-=>0,故(1)正确;
同理(2)(3)亦正确.
答案:(1)(2)(3)
14.(2016·长春高二检测)如果关于x的不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,那么k的取值范围是________.
【解析】当k=0时满足条件;
当k≠0时满足
解得-3综上所述,k的取值范围是-3答案:-315.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________.
【解题指南】建立关系式利用基本不等式求解,可以考虑设两变量,也可以考虑设一变量.
【解析】由容器体积为4,高为1可知,容器的底面积为4.设底面长为x,则宽为,总造价为W.
由题意,W=·10+4×20
=20+80≥20×2+80=160,
当且仅当x=,即x=2时取“=”.
答案:160元
16.(2015·山东高考)定义运算“ ”:x y=(x,y∈R,xy≠0),当x>0,y>0时,x y+(2y) x的最小值为__________.
【解题指南】本题以新定义形式考查用基本不等式求最值的基本方法.
【解析】x>0,y>0时,x y+(2y) x=+=≥=.当且仅当x=y时取等号,所以所求的最小值为.
答案:
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知a,b为正实数,试比较+与+的大小.
【解析】-(+)=+
=+==.
因为a,b为正实数,所以+>0,>0,(-)2≥0.
于是有≥0.当且仅当a=b时,等号成立.
所以+≥+,当且仅当a=b时取等号.
18.(12分)(2016·福州高二检测)已知不等式mx2+nx-<0的解集为.
(1)求m,n的值.
(2)解关于x的不等式:(2a-1-x)(x+m)>0,其中a是实数.
【解析】(1)依题意,
得m=-1,n=.
(2)原不等式为(2a-1-x)(x-1)>0
即[x-(2a-1)](x-1)<0.
①当2a-1<1即a<1时,原不等式的解集为{x|2a-1②当2a-1=1即a=1时,原不等式的解集为 ;
③当2a-1>1即a>1时,原不等式的解集为{x|119.(12分)(2016·西安高二检测)某糖果厂生产A,B两种糖果,A种糖果每箱可获利润40元,B种糖果每箱可获利润50元.其生产过程分混合、烹调、包装三道工序.下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位:min).
混合
烹调
包装
A
1
5
3
B
2
4
1
每种糖果的生产过程中,混合的设备最多只能用机器12h,烹调的设备最多只能用机器30h,包装的设备最多只能用机器15h,每种糖果各生产多少箱可获得最大利润
【解析】设生产A种糖果x箱,生产B种糖果y箱,可获利润z元,即求z=40x+50y
在约束条件下的最大值.作出可行域,如图.
作直线l0:40x+50y=0,平移l0经过点P时,z=40x+50y取最大值,解方程组
得点P坐标为(120,300).
所以zmax=40×120+50×300=19800.
所以生产A种糖果120箱,生产B种糖果300箱时,可以获得最大利润19800元.
20.(12分)(2016·聊城高二检测)已知函数f(x)=x+(x>3).
(1)求函数f(x)的最小值.
(2)若不等式f(x)≥+7恒成立,求实数t的取值范围.
【解析】(1)因为x>3,所以x-3>0.
所以f(x)=x+=x-3++3
≥2+3=9.
当且仅当x-3=,
即(x-3)2=9时,上式取得等号,
又因为x>3,所以x=6,
所以当x=6时,函数f(x)的最小值是9.
(2)由(1)知,当x>3时,f(x)的最小值是9,
要使不等式f(x)≥+7恒成立,
只需9≥+7,
所以-2≤0即≤0,
解得t≤-2或t>-1.
所以实数t的取值范围是(-∞,-2]∪(-1,+∞).
【补偿训练】设函数f(x)=mx2-mx-6+m,
(1)若对于m∈[-2,2],f(x)<0恒成立,求实数x的取值范围.
(2)若对于x∈[1,3],f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围.
【解题指南】在(1)中,已知m的取值范围,要求x的取值范围,需要把f(x)转化为关于m的函数,即以m为主元,把x视为参数.在(2)中,则恰好相反.
【解析】(1)设f(x)=m(x2-x+1)-6=g(m),
则g(m)是关于m的一次函数,
且一次项系数为x2-x+1.
因为x2-x+1=+>0,
所以g(m)在[-2,2]上单调递增,
所以g(m)<0在[-2,2]上恒成立等价于g(2)=2(x2-x+1)-6<0,解得-1所以x的取值范围是-1(2)因为f(x)=m+-6<0在x∈[1,3]上恒成立,
所以或
或
解得0故实数m的取值范围是m<.
21.(12分)(2015·石家庄高一检测)已知函数f(x)=x2-x+1,a>0.
(1)当a=时,解不等式f(x)≤0.
(2)比较a与的大小.
(3)解关于x的不等式f(x)≤0.
【解题指南】(1)当a=时,将不等式分解因式,得到解集.
(2)比较大小,可以作差,然后通分,分解因式,然后讨论a的范围,比较两数的大小.
(3)第一步,先分解因式,第二步,根据上一问的结果得到a与的大小关系,得到解集.
【解析】(1)当a=时,
有不等式f(x)=x2-x+1≤0,
所以(x-2)≤0,
所以不等式的解集为:.
(2)因为a-=且a>0,
所以当0a.
当a>1时,有当a=1时,有a=.
(3)因为不等式f(x)=(x-a)≤0.
当0a,
所以不等式的解集为;
当a>1时,有所以不等式的解集为;
当a=1时,不等式的解集为{1}.
22.(12分)(2016·广州高二检测)电视台为某广告公司特约播放两部片集,其中片集甲每片播放时间为20分钟,广告时间为1分钟,收视观众为60万;片集乙每片播放时间为10分钟,广告时间为1分钟,收视观众为20万,广告公司规定每周至少有6分钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间(含广告时间).
(1)问电视台每周应播放两部片集各多少集,才能使收视观众最多.
(2)在获得最多收视观众的情况下,片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a和b(万元)的效益,若广告公司本周共获得1万元的效益,记S=+为效益调和指数,求效益调和指数的最小值.(取≈1.41)
【解析】(1)设片集甲、乙分别播放x,y集,
则有
要使收视观众最多,则只要z=60x+20y最大即可.
如图作出可行域,易知满足题意的最优解为(2,4),
z=60×2+20×4=200,故电视台每周片集甲播出2集,片集乙播出4集,其收视观众最多.
(2)由题意得:2a+4b=1,
S=+=(2a+4b)=6++≥6+4≈11.64(万元),当且仅当a=,b=时,取等号.
所以效益调和指数的最小值为11.64万元.
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