【人教A版】2017-2018学年高中数学选修1-1全套练习（40份，Word版，含解析）

课时作业17
一、选择题
1．如下图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是(　　)
解析：直线方程可化为y＝ax＋b，曲线方程可化为＋＝1，若a>0，b>0，则曲线表示椭圆，故A不正确．关于B、D，由椭圆知直线斜率应满足a>0，而由B，D知直线斜率均为负值，故B，D不正确．由C可知a>0，b<0.
答案：C
2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)
A.　　B.
C.　
D.
解析：设双曲线方程为－＝1(a，b>0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直关系得－·＝－1(－显然不符合)，即b2＝ac，
又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝(舍负)．
答案：D
3．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
A.－＝1　　B.－＝1
C.－＝1　
D.
－＝1
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，两式作差得＝＝＝.又直线AB的斜率是＝1，所以4b2＝5a2.
代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程是－＝1.
答案：B
4．[2014·浙江省学军中学期中考试]如下图，F1、F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A、B两点．若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为(　　)
A.
　
B.
C.
2　
D.
解析：本题主要考查双曲线的几何性质．∵|AB|∶|BF2|∶
|AF2|＝3∶4∶5，不妨令|AB|＝3，|BF2|＝4，|AF2|＝5，∵|AB|2＋|BF2|2＝|AF2|2，∴∠ABF2＝90°，又由双曲线的定义得：|BF1|－|BF2|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a，
∴|AF1|＋3－4＝5－|AF1|，∴|AF1|＝3，∴2a＝
|AF2|－|AF1|＝2，∴a＝1，|BF1|＝6.在Rt△BF1F2中，|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2＝36＋16＝52，又|F1F2|2＝4c2，∴4c2＝52，∴c＝，∴双曲线的离心率e＝＝，故选A.
答案：A
二、填空题
5．已知双曲线C：x2－y2＝1，F是其右焦点，过F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l的斜率等于__________．
解析：当直线l与双曲线的渐近线平行时，与双曲线的右支有唯一交点，直线l的斜率为±1.
答案：±1
6．直线x－y＋＝0被双曲线x2－y2＝1截得的弦AB的长为__________．
解析：由消去y，得
x2＋3x＋2＝0.得x1＝－1，x2＝－2，又x－y＋＝0
∴当x＝－1时，y＝0，
当x＝－2时，y＝－.
∴AB＝＝2.
答案：2
7．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是__________．
解析：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
依题意c＝.
∴方程可化为－＝1.
由
得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝.
∵＝－，
∴－＝－，解得a2＝2.
∴双曲线的方程为－＝1.
答案：－＝1
三、解答题
8．直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
解：由，得(3－a2)x2－2ax－2＝0，
Δ＝4a2－4(3－a2)(－2)＝24－4a2>0，
∴a∈(－，)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
(1)|AB|＝＝
＝
＝
.
(2)由题意知，OA⊥OB，则x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0.
即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，
∴(1＋a2)·＋a·＋1＝0，解得a＝±1.即a＝±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点．
9．[2013·东北育才学校模考]双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A，B两点，交x轴于点Q(点Q与C的顶点不重合)．当＝λ1＝λ2，且λ1＋λ2＝－时，求点Q的坐标．
解：由椭圆＋＝1求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，∴对于双曲线C：c＝2，设双曲线方程为－＝1，又y＝x为双曲线C的一条渐近线，∴＝，
又因为a2＋b2＝c2，可以解得a2＝1，b2＝3，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)由题意知直线l的斜率k存在且不等于零．
设l的方程：y＝kx＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
Q(－，0)，
∵＝λ1，∴(－，－4)＝λ1(x1＋，y1)，
∴
∵A(x1，y1)在双曲线C上，∴()2－－1＝0，
∴(16－k2)λ＋32λ1＋16－k2＝0.
同理有：(16－k2)λ＋32λ2＋16－k2＝0.
若16－k2＝0，则直线l过顶点，不合题意，∴16－k2≠0，
∴λ1，λ2是二次方程(16－k2)x2＋32x＋16－k2＝0的两根，
∴λ1＋λ2＝＝－，∴k2＝4，此时Δ>0，∴k＝±2.
∴所求Q的坐标为(±2,0)．习题课(3)
一、选择题
1．[2014·人大附中月考]以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为(　　)
A.
y2＝16x　
B.
y2＝－16x
C.
y2＝8x　
D.
y2＝－8x
解析：本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程及其几何性质．因为双曲线－＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x，故选A.
答案：A
2．若抛物线y2＝2px(p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是(　　)
A．成等差数列
B．既成等差数列又成等比数列
C．成等比数列
D．既不成等比数列也不成等差数列
解析：设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，
则y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3，
因为2y＝y＋y，所以x1＋x3＝2x2，
即|P1F|－＋|P3F|－＝2，
所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.
答案：A
3．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　　)
A．y2＝±4x　
B．y2＝±8x
C．y2＝4x　
D．y2＝8x
解析：y2＝ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2，令x＝0得y＝－.∴××＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.
答案：B
4．设直线l1：y＝2x，直线l2经过点P(2,1)，抛物线C：y2＝4x，已知l1、l2与C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为(　　)
A．1　
B．2
C．3　
D．4
解析：∵点P(2,1)在抛物线内部，且直线l1与抛物线C相交于A，B两点，∴过点P的直线l2在过点A或点B或与x轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l2共有3条．
答案：C
5．过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则＋等于(　　)
A．2a　　
B.
C．4a　
D.
解析：可采用特殊值法，设PQ过焦点F且垂直于x轴，则|PF|＝p＝xp＋＝＋＝，
|QF|＝q＝，∴＋＝＋＝.
答案：D
6．[2014·河北省衡水中学期中考试]已知抛物线y＝x2－1上一定点B(－1,0)和两个动点P，Q，当BP⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是(　　)
A.
(－∞，－3)∪[1，＋∞)
B.
[－3,1]
C.
[1，＋∞)
D.
(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：本题主要考查直线垂直的条件和直线与抛物线的位置关系．设P(t，t2－1)，Q(s，s2－1)，∵BP⊥PQ，∴·＝－1，即t2＋(s－1)t－s＋1＝0，∵t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点，∴必须有Δ＝(s－1)2＋4(s－1)≥0，即s2＋2s－3≥0，解得s≤－3或s≥1.∴点Q的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.
答案：D
二、填空题
7．抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则实数a的值是__________．
解析：抛物线y＝ax2化为x2＝y，
由于其准线方程为y＝1，故a<0，且||＝1，
解得a＝－.
答案：－
8．[2014·四川省绵阳南山中学月考]抛物线y2＝2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．
解析：本题主要考查抛物线的定义和基本性质的应用．抛物线y2＝2x的焦点为F(，0)，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.
答案：2
9．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝__________.
解析：∵直线AF的斜率为－，
∴∠PAF＝60°.
又|PA|＝|PF|，
∴△PAF为正三角形，作FM⊥PA，则M为PA中点，MA＝p，∴PA＝2p.
∴|PF|＝|AP|＝2p＝8.
答案：8
三、解答题
10．(1)求过点(－，0)(p>0)且与直线x＝相切的动圆圆心M的轨迹方程；
(2)平面上动点M到定点F(0,3)的距离比M到直线y＝－1的距离大2，求动点M满足的方程，并画出相应的草图．
解：(1)根据抛物线的定义知，
圆心M的轨迹是以点(－，0)为焦点，
直线x＝为准线的抛物线，
其方程为y2＝－2px(p>0)．
(2)因为动点M到定点F(0,3)的距离比点M到直线y＝－1的距离大2，
所以动点M到定点F(0,3)的距离等于点M到直线y＝－3的距离，
由抛物线的定义得动点M的轨迹是以定点F(0,3)为焦点，
定直线y＝－3为准线的抛物线，
故动点M的轨迹方程为x2＝12y，
草图如上图所示．
11．已知点A(0,4)，B(0，－2)，动点P(x，y)满足·－y2＋8＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证：OC⊥OD(O为原点)．
解：(1)由题意可知，＝(－x,4－y)，＝(－x，－2－y)，
∴x2＋(4－y)(－2－y)－y2＋8＝0，
∴x2＝2y为所求动点P的轨迹方程．
(2)由，整理得x2－2x－4＝0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－4，
∵kOC·kOD＝·＝
＝
＝
＝－1，
∴OC⊥OD.
12．[2014·江西师大附中期中考试]已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，|PF|＝4.
(1)求抛物线的方程；
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(yi≤0，i＝1,2)是抛物线上的两点，∠APB的角平分线与x轴垂直，求直线AB的斜率；
(3)在(2)的条件下，若直线AB过点(1，－1)，求弦AB的长．
解：(1)设P(x0,4)，因为|PF|＝4，由抛物线的定义得x0＋＝4，
又42＝2px0，所以x0＝，因此＋＝4，
解得p＝4，
所以抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由(1)知点P的坐标为(2,4)，因为∠APB的角平分线与x轴垂直，所以PA，PB的倾斜角互补，即PA，PB的斜率互为相反数．
设直线PA的斜率为k，则PA：y－4＝k(x－2)，由题意知k≠0，
把x＝＋2－代入抛物线方程得y2－y－16＋＝0，该方程的解为4，y1，
由根与系数之间的关系得y1＋4＝，即y1＝－4.因为PB的斜率为－k，所以y2＝－4，
所以kAB＝＝＝－1.
(3)结合(2)可得AB：y＝－x，
代入抛物线方程得A(0,0)，B(8，－8)，故|AB|＝8.课时作业1
一、选择题
1．下列语句不是命题的是(　　)
A.
3是15的约数　　
B.
15能被5整除吗？
C.
3小于2　
D.
1不是质数
解析：因为B选项中为疑问句，故不是命题．
答案：B
2．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这四句诗中，可作为命题的是(　　)
A．红豆生南国　
B．春来发几枝
C．愿君多采撷　
D．此物最相思
解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，故都不是命题．
答案：A
3．下列语句中假命题的个数是(　　)
①3是15的约数；
②15能被5整除吗？
③{x|x是正方形}是{x|x是平行四边形}的子集吗？
④3小于2；
⑤9的平方根是3或－3；
⑥2不是质数；
⑦2既是自然数，也是偶数．
A．2　
B．3
C．4　
D．5
解析：④⑥是假命题，②③不是命题，①⑤⑦是真命题．
答案：A
4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)
A．l1⊥l2，l2⊥l3 l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面
解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．
答案：B
二、填空题
5．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是__________．
解析：①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形．
答案：①④
6．命题“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，则实数m的取值范围是________．
解析：“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．
当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；
当m>0时，且Δ＝m2－12m<0，即00恒成立，所以0当m<0时，3mx2＋mx＋1>0不恒成立．
综上知0≤m<12.
答案：[0,12)
7．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
④△ABC中，若∠A＝∠B，则sinA＝sinB；
⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．
解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．
②是假命题，数0既不是正数也不是负数；
③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；
④是真命题；
⑤祈使句，不是命题．
答案：②③④　④
三、解答题
8．将下列命题改成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)偶数能被2整除；
(2)奇函数的图象关于原点对称；
(3)同弧所对的圆周角不相等．
解：(1)若一个数是偶数，则它能被2整除(真命题)．
(2)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称(真命题)．
(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等(假命题)．
9．设有两个命题：p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
解：若命题p为真命题，则可知m≤1；
若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2.
所以命题p和q中有且只有一个是真命题时，有p真q假或p假q真，
即或
故m的取值范围是1一、选择题
1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是(　　)
A.　　B.
C．|a|　
D．－
解析：因为y2＝ax，所以p＝，即该抛物线的焦点到其准线的距离为，故选B.
答案：B
2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)
A.
4　
B.
6
C.
8　
D.
12
解析：由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
答案：B
3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>)，则点M的横坐标是(　　)
A．a＋　
B．a－
C．a＋p　
D．a－p
解析：由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－.
答案：B
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1　
B．x＝－1
C．x＝2　
D．x＝－2
解析：∵y2＝2px的焦点坐标为(，0)，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
答案：B
二、填空题
5．[2013·北京高考]若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
解析：本题主要考查对抛物线标准方程的理解和应用．因为抛物线y2＝2px的焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－，抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，所以p＝2，准线方程为x＝－1.
答案：2，x＝－1
6．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是__________．
解析：OA的垂直平分线方程为
y＝－2x＋，
令y＝0，得x＝，
∴焦点F的坐标为(，0)．
∴抛物线方程为y2＝5x，其准线方程为x＝－.
答案：x＝－
7．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是__________．(要求填写合适条件的序号)
解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为(，0)，过该焦点的直线方程为y＝k(x－)，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
答案：②④
三、解答题
8．[2014·福建省厦门一中期中考试]已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，
则由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等．
由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
9．一辆卡车高3
m，宽1.6
m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若AB宽为a
m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立直角坐标系，如下图，
设抛物线方程为
x2＝－2py(p>0)，
则点B的坐标为(，－)．
由于点B在抛物线上，
所以()2＝－2p·(－)，
p＝.
所以抛物线方程为x2＝－ay.
将点E(0.8，y)代入抛物线方程，
得y＝－.
所以点E到拱底AB的距离为
－|y|＝－>3.
解得a>12.21.
因为a取整数，
所以a的最小整数值为13.课时作业19
一、选择题
1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)
A.
(6，＋∞)　
B.
[6，＋∞)
C.
(3，＋∞)　
D.
[3，＋∞)
解析：∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴＝3，即p＝6.
又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．
答案：D
2．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)
A．有且仅有一条　
B．有且仅有两条
C．有无穷多条　
D．不存在
解析：由定义|AB|＝5＋2＝7，
∵|AB|min＝4，
∴这样的直线有且仅有两条．
答案：B
3．[2014·安徽省合肥六中月考]已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为(　　)
A.
2　
B.
4
C.
　
D.
＋1
解析：本题主要考查抛物线的性质的应用．将P点到直线l1：x＝－1的距离转化为P到焦点F(1,0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为
＝2，故选A.
答案：A
4．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是(　　)
A．(2，±2)　
B．(1，±2)
C．(1,2)　
D．(2,2)
解析：F(1,0)，设A(，y0)，
则＝(，y0)，＝(1－，－y0)，
由·＝－4得到y0＝±2.∴A(1，±2)．
答案：B
二、填空题
5．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为______________．
解析：∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍．
∴所求抛物线的方程为x2＝±16y.
答案：x2＝±16y
6．抛物线y＝x2上到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是__________．
解析：把直线2x－y－4＝0平移至与抛物线y＝x2相切时，切点即为所求．设此时直线方程为2x－y＋b＝0，联立y＝x2，得x2－2x－b＝0，由题意得Δ＝4＋4b＝0，b＝－1.即x2－2x＋1＝0，解x＝1，y＝1.
答案：(1,1)
7．[2013·江西高考]抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
解析：如图，
在正三角形ABF中，DF＝p，BD＝p，∴B点坐标为(p，－)．又点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.
答案：6
三、解答题
8．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程及准线方程．
解：设所求抛物线的标准方程为
x2＝2py(p>0)，设A(x0，y0)，M(0，－)，
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，
∵|AM|＝，∴x＋(y0＋)2＝17，
∴x＝8代入方程x＝2py0得，
8＝2p(3－)，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
准线方程为y＝－1或y＝－2.
9．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于.若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，
得(－2)2＝2p·1，∴p＝2，
故所求的抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝
－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，由得y2＋2y－2t＝0，因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.另一方面，由直线OA与直线l的距离等于可得＝，∴t＝±1，由于－1 ，1∈，所以符合题意的直线l存在，其方程为y＝－2x＋1.习题课(2)
一、选择题
1．命题p：3>2与命题 p：3≤2中(　　)
A．都是真命题
B．都是假命题
C．p是假命题
D． p是假命题
解析：命题p与命题 p一真一假由题意可知p真， p假．
答案：D
2．[2013·湖北高考]命题“ x0∈ RQ，x∈Q”的否定是(　　)
A.
x0 RQ，x∈Q
B.
x0∈ RQ，x Q
C.
x RQ，x3∈Q
D.
x∈ RQ，x3 Q
解析： x∈ RQ，x3 Q，故选D.
答案：D
3．下列结论中不正确的是(　　)
A．如果命题p∨q是真命题，那么命题p不一定是真命题
B．如果命题p∧q是真命题，那么命题p一定是真命题
C．如果命题p∧q是假命题，那么命题p不一定是假命题
D．如果命题p∨q是假命题，那么命题p不一定是假命题
解析：若p∨q是真命题，则p不一定是真命题，A正确；若p∧q是真命题，则p与q都是真命题，B正确；若p∧q是假命题，命题p不一定是假命题，因为q是假命题时也成立，C正确；若p∨q是假命题，则命题p与q均为假命题，D不正确．
答案：D
4．下列语句不是特称命题的是(　　)
A．有的无理数的平方是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数
D．存在x∈R,2x＋1是奇数
解析：A、B、D含有存在量词是特称命题，C中含有全称量词是全称命题．
答案：C
5．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x2，则 p是 q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析： p：|x＋1|≤2，－3≤x≤1， q：5x－6≤x2，即x2－5x＋6≥0，解得x≥3，或x≤2.
∴ p q，但 q p，故 p是 q的充分不必要条件．
答案：A
6．已知命题p：对 x∈R， m∈R，使4x＋2xm＋1＝0.若命题 p是假命题，则实数m的取值范围是(　　)
A.
[－2,2]　
B.
[2，＋∞)
C.
(－∞，－2]　
D.
[－2，＋∞)
解析：因为 p为假，故p为真，即求原命题为真时m的取值范围．
由4x＋2xm＋1＝0，
得－m＝＝2x＋≥2.
∴m≤－2.
答案：C
二、填空题
7．命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p∨q”为__________．
解析：方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向相同或相反的两个向量共线”．
答案：方向相同或相反的两个向量共线
8．命题“若a解析：命题“若a答案：若a≥b，则2a≥2b　若a9．[2014·江苏省金陵中学月考]若命题“ x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：本题主要考查特称命题的真假及参数取值范围的求解．该命题p的否定是 p：“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”，即关于x的一元二次不等式x2＋(a－1)x＋1>0的解集为R，由于命题p是假命题，所以 p是真命题，所以Δ＝(a－1)2－4<0，解得－1答案：(－1,3)
三、解答题
10．写出下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”以及“ p”形式的命题，并判断它们的真假．
(1)p：是有理数；q：是整数；
(2)p：不等式x2－2x－3>0的解集是(－∞，－1)，q：不等式x2－2x－3>0的解集是(3，＋∞)．
解：(1)p∨q：是有理数或是整数；
p∧q：是有理数且是整数；
p：不是有理数．
因为p假，q假，所以p∨q为假，p∧q为假， p为真．
(2)p∨q：不等式x2－2x－3>0的解集是(－∞，－1)或不等式x2－2x－3>0的解集是(3，＋∞)；
p∧q：不等式x2－2x－3>0的解集是(－∞，－1)且不等式x2－2x－3>0的解集是(3，＋∞)；
p：不等式x2－2x－3>0的解集不是(－∞，－1)．
因为p假，q假，所以p∨q为假，p∧q为假， p为真．
11．用“ ”“ ”写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)二次函数的图象是抛物线．
(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象．
(3)有些四边形存在外接圆．
(4) a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．
解：(1) f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．
(2)在直角坐标系中， l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．
(3) x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．
(4) a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．
12．[2014·贵州省贵阳一中月考]已知两个命题p：sinx＋cosx>m，q：x2＋mx＋1>0，如果对任意x∈R，有p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．
解：当命题p是真命题时，
由于x∈R，则sinx＋cosx＝sin(x＋)≥－，
所以有m<－.
当命题q是真命题时，
由于x∈R，x2＋mx＋1>0，
则Δ＝m2－4<0，解得－2由于p∨q为真，p∧q为假，所以p与q一真一假．
(1)当p真q假时，得m≤－2.
(2)当p假q真时，得－≤m<2.
综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[－，2)．课时作业27
一、选择题
1．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有(　　)
A．f(x)>0　
B．f(x)<0
C．f(x)＝0　
D．不能确定
解析：因f(x)在(a，b)上为增函数，
∴f(x)>f(a)≥0.
答案：A
2．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图象是(　　)
解析：f′(x)＝2x＋b，由于函数f(x)＝x2＋bx＋c图象的顶点在第四象限，∴x＝－>0，∴b<0，故选A.
答案：A
3．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)为增函数，则(　　)
A．b2－4ac>0　
B．b>0，c>0
C．b＝0，c>0　
D．b2－3ac≤0
解析：∵f(x)为增函数，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0.
∴Δ＝4b2－12ac≤0.
∴b2－3ac≤0.
答案：D
4．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)恒不为0，当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
解析：令F(x)＝，则F(x)为奇函数，
F′(x)＝，
∵当x<0时，F′(x)>0.
∴F(x)在(－∞，0)内为增函数．
又F(3)＝＝0，∴F(－3)＝0.
∴当x<－3时，F(x)<0；
当－30.
又F(x)为奇函数，
∴当0当x>3时，F(x)>0.
而不等式f(x)g(x)<0和<0为同解不等式(g(x)恒不为0)，
∴不等式f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．
答案：D
二、填空题
5．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a≠0)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则常数a的值为________．
解析：f′(x)＝6x2＋2ax，令6x2＋2ax<0，当a>0时，解得－答案：－6
6．函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝3ax2－2x＋1.
由题意知3ax2－2x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
∴解得a≥.
答案：[，＋∞)
7．如果函数f(x)＝2x2－lnx在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
解析：显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝4x－＝.
由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；
由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为(0，)，
由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，
所以解得1≤k<.
答案：[1，)
三、解答题
8．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)．若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．
解：解法一：由题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝
－x3＋x2＋tx＋t，则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
若f(x)在(－1,1)上是增函数，
则在(－1,1)上f′(x)≥0恒成立．
即t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立．
考虑函数g(x)＝3x2－2x，由于g(x)的图象是对称轴为x＝且开口向上的抛物线，故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立 t≥g(－1)，即t≥5.
而当t≥5时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)>0，
即f(x)在(－1,1)上是增函数．
故t的取值范围是[5，＋∞)．
解法二：由题意得f(x)＝－x3＋x2＋tx＋t，
则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
若f(x)在(－1,1)上是增函数，
则在(－1,1)上f′(x)≥0.
∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线，
∴当且仅当f′(1)＝t－1≥0，且f′(－1)＝t－5≥0时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)>0，即f(x)在(－1,1)上是增函数．故t的取值范围是[5，＋∞)．
9．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)h(x)＝lnx－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，
所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，
即a>－有解．
设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可．
而G(x)＝(－1)2－1，
所以G(x)min＝－1，所以a>－1.
(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，
所以x∈[1,4]时，
h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立．
所以a≥G(x)max.而G(x)＝(－1)2－1.
因为x∈[1,4]，所以∈[，1]．
所以G(x)max＝－(此时x＝4)．
所以a≥－.选修1-1模块综合测试（二）
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知命题p： x∈R，x≥1，那么命题 p为(　　)
A． x∈R，x≤1　　　　
B． x∈R，x<1
C． x∈R，x≤－1　
D． x∈R，x<－1
解析：全称命题的否定是特称命题．
答案：B
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝8x有一个相同的焦点F，且该点到双曲线的渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为(　　)
A.
x2－y2＝2　
B.
－y2＝1
C.
x2－y2＝3　
D.
x2－＝1
解析：本题主要考查双曲线与抛物线的有关知识．由已知，a2＋b2＝4　①，焦点F(2,0)到双曲线的一条渐近线bx－ay＝0的距离为＝1　②，由①②解得a2＝3，b2＝1，故选B.
答案：B
3．已知命题p，q，如果命题“ p”与命题“p∨q”均为真命题，那么下列结论正确的是(　　)
A．p，q均为真命题
B．p，q均为假命题
C．p为真命题，q为假命题
D．p为假命题，q为真命题
解析：命题“ p”为真，所以命题p为假命题．又命题
“p∨q”也为真命题，所以命题q为真命题．
答案：D
4．在三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，已知命题p：a>b，命题q：tan2A>tan2B，则p是q的(　　)
A.
必要不充分条件
B.
充分不必要条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析：本题主要考查充要条件的判定以及三角形、三角函数的有关知识．在三角形中，命题p：a>b A>B.命题q：tan2A>tan2B sin(A＋B)sin(A－B)>0 A>B，显然p是q的充要条件，故选C.
答案：C
5．[2013·大纲全国卷]已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点
(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝(　　)
A.
9　
B.
6
C.
－9　
D.
－6
解析：y′＝4x3＋2ax，因为曲线在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，所以y′|x＝－1＝－4－2a＝8，解得a＝－6，故选D.
答案：D
6．若直线y＝x＋1与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，则||等于(　　)
A.　　
B.
C.　
D.
解析：联立方程组得3x2＋4x＝0，
解得A(0,1)，B(－，－)，
所以||＝＝.
答案：B
7．[2014·河南洛阳统考]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)
A.
－＝1　
B.
－＝1
C.
－＝1　
D.
－＝1
解析：如图所示，PF1⊥PF2，故圆的半径为5，|F1F2|＝10，又＝，∴a＝3，b＝4.故选A.
答案：A
8．下列四个结论中正确的个数为(　　)
①命题“若x2<1，则－11或x<－1，则x2>1”；
②已知p： x∈R，sinx≤1，q：若a③命题“ x∈R，x2－x>0”的否定是“ x∈R，x2－x≤0”；
④“x>2”是“x2>4”的必要不充分条件．
A．0个　
B．1个
C．2个　
D．3个
解析：只有③中结论正确．
答案：B
9．[2014·贵州六校联考]已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A.
(1，)　
B.
(，)
C.
(，2)　
D.
(2，＋∞)
解析：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝
±x，设直线方程为y＝(x－c)，与y＝－x联立求得M(，－)，因为M在圆外，所以满足·>0，可得－c2＋()2>0，解得e＝>2，故选D.
答案：D
10．[2013·课标全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)
A.
(－∞，0]　
B.
(－∞，1]
C.
[－2,1]　
D.
[－2,0]
解析：在同一坐标系中，分别作出y1＝|f(x)|与y2＝ax的图象如下：
当x≤0时，y1＝x2－2x.
y′1＝2x－2，x＝0，y′1＝－2.
若|f(x)|≥ax，只需－2≤a≤0即可，选D.
答案：D
11．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为的直线交抛物线于A、B两点，则||FA|－|FB||的值为(　　)
A.
　
B.
C.
　
D.
解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及抛物线的有关性质．直线AB的方程为y＝(x－1)，由得3x2－10x＋3＝0，故x1＝3，x2＝，所以||FA|－|FB||＝|x1－x2|＝.故选A.
答案：A
12．[2012·浙江高考]如图，F1、F2分别是双曲线C：－＝1(a，b>0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与双曲线C的两条渐近线分别交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率是(　　)
A.
　
B.
C.
　
D.
解析：本题主要考查双曲线离心率的求解．结合图形的特征，通过PQ的中点，利用线线垂直的性质进行求解．不妨设c＝1，则直线PQ：y＝bx＋b，双曲线C的两条渐近线为y＝±x，因此有交点P(－，)，Q(，)，设PQ的中点为N，则点N的坐标为(，)，因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，|MF2|＝|F1F2|，所以点M的坐标为(3,0)，因此有kMN＝＝－，所以3－4a2＝b2＝1－a2，所以a2＝，所以e＝.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．命题“ x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定是__________．
解析：特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是 x∈R，x2＋2x＋2>0.
答案： x∈R，x2＋2x＋2>0
14．已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率e为__________．
解析：当m>0，n>0时，可设a＝3k，b＝4k，
则c＝5k，所以离心率e＝；
当m<0，n<0时，可设a＝4k，b＝3k，
则c＝5k，所以离心率e＝.
答案：或
15．[2013·江西高考]若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.
解析：f′(x)＝α·xα－1，且f′(1)＝α＝＝2.
答案：2
16.
[2014·湖北省襄阳五中月考]已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题：①若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数；②若a2－b>0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数；③当x＝a时，f(x)有最小值b－a2；④当a2－b≤0时，f(x)有最小值b－a2.其中正确命题的序号是________．
解析：本题考查含绝对值的二次函数单调区间和最小值问题的求解．由题意知f(x)＝|x2－2ax＋b|＝|(x－a)2＋b－a2|.若a2－b≤0，则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2，可知f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a2－b≤0的条件下，才有x＝a时，f(x)有最小值b－a2，所以③错误，④正确．
答案：①④
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(1)设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？
(2)求使不等式4mx2－2mx－1<0恒成立的充要条件．
解：(1)x∈R，x∈(M∩P) x∈(2,3)．
因为“x∈M或x∈P”x∈(M∩P)．
但x∈(M∩P) x∈M或x∈P.
故“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件．
(2)当m≠0时，不等式4mx2－2mx－1<0恒成立 －4又当m＝0时，不等式4mx2－2mx－1<0对x∈R恒成立，
故使不等式4mx2－2mx－1<0恒成立的充要条件是－418．(12分)[2013·北京高考]已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.
(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．
解：由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝x(2＋cosx)．
(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以
f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，b＝f(a)．
解得a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)令f′(x)＝0，得x＝0.
f(x)与f′(x)的情况如下：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
1
?
所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．
当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；
当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，
f(0)＝1所以存在x1∈(－2b,0)，x2∈(0,2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b.
由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．
综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．
19．(12分)设直线l：y＝x＋1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两个不同的点，l与x轴相交于点F.
(1)证明：a2＋b2>1；
(2)若F是椭圆的一个焦点，且＝2，求椭圆的方程．
(1)证明：将x＝y－1代入＋＝1，消去x，整理，得(a2＋b2)y2－2b2y＋b2(1－a2)＝0.
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得
Δ＝4b4－4b2(a2＋b2)(1－a2)＝4a2b2(a2＋b2－1)>0，所以a2＋b2>1.
(2)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则(a2＋b2)y－2b2y1＋b2(1－a2)＝0，
①
且(a2＋b2)y－2b2y2＋b2(1－a2)＝0.
②
因为＝2，所以y1＝－2y2.
将y1＝－2y2代入①，与②联立，消去y2，
整理得(a2＋b2)(a2－1)＝8b2.③
因为F是椭圆的一个焦点，则有b2＝a2－1.
将其代入③式，解得a2＝，b2＝，
所以椭圆的方程为＋＝1.
20．(12分)已知两点M(－1,0)、N(1,0)，动点P(x，y)满足||·||－·＝0，
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)假设P1、P2是轨迹C上的两个不同点，F(1,0)，λ∈R，＝λ，求证：＋＝1.
解：(1)||＝2，则＝(x＋1，y)，
＝(x－1，y)．
由||||－·＝0，
则2－2(x＋1)＝0，
化简整理得y2＝4x.
(2)由＝λ·，得F、P1、P2三点共线，
设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，斜率存在时，直线P1P2的方程为：y＝k(x－1)
代入y2＝4x得：k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.
则x1x2＝1，x1＋x2＝.
∴＋＝＋
＝＝1.
当P1P2垂直x轴时，结论照样成立．
21．(12分)[2013·课标全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝x2e－x.
(1)求f(x)的极小值和极大值；
(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝－e－xx(x－2)．
①
当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0；当x∈(0,2)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0,2)单调递增．
故当x＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；
当x＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e－2.
(2)设切点为(t，f(t))，则l的方程为
y＝f′(t)(x－t)＋f(t)
所以l在x轴上的截距为
m(t)＝t－＝t＋＝t－2＋＋3.
由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．
令h(x)＝x＋(x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[2，＋∞)；当x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．
所以当t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[2＋3，＋∞)．
综上，l在x轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[2＋3，＋∞)．
22．(12分)已知抛物线y2＝4x，点F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，O为坐标原点．
(1)当·＝4时，求点M的坐标；
(2)求的最大值；
(3)设点B(0,1)，是否存在常数λ及定点H，使得＋2＝λ恒成立？若存在，求出λ的值及点H的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)抛物线y2＝4x的焦点F的坐标是(1,0)，
设点M(x0，y0)，其中x0≥0.
因为＝(x0－1，y0)，＝(x0，y0)，
所以·＝x0(x0－1)＋y＝x＋3x0＝4.
解得x0＝1或x0＝－4(舍)，
因为y＝4x0，所以y0＝±2，
即点M的坐标为(1,2)，(1，－2)．
(2)设点M(x，y)，其中x≥0.
＝＝
＝.
设t＝(0则＝
＝.
因为0所以当t＝(即x＝2)时，取得最大值.
(3)设点M(x，y)，其中x≥0.
假设存在常数λ及定点H(x1，y1)，使得＋2＝λ恒成立．
由＋2＝λ，
得(x，y－1)＋2(x－1，y)＝λ(x－x1，y－y1)，
即
整理，得
由x及y的任意性知λ＝3，
所以x1＝，y1＝.
综上，存在常数λ＝3及定点H(，)，使得＋2＝λ恒成立．课时作业7
一、选择题
1．已知p：2＋2＝5，q：3>2，则下列判断中，错误的是(　　)
A．p∨q为真， q为真
B．p∧q为假， p为真
C．p∧q为假， q为假
D．p∧q为假，p∨q为真
解析：由于p是假命题，q是真命题，所以p∨q为真，
p∧q为假， p真， q假，由此可知，A不正确，故选A.
答案：A
2．[2014·北京四中月考]若 p∨q是假命题，则(　　)
A.
p∧q是假命题　
B.
p∨q是假命题
C.
p是假命题　
D.
q是假命题
解析：本题主要考查含有逻辑联结词的命题的真假性判断．由于 p∨q是假命题，则 p与q均是假命题，所以p是真命题， q是真命题，所以p∧q是假命题，p∨q是真命题，故选A.
答案：A
3．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p∨( q)”表示(　　)
A.
甲的成绩超过9环或乙的成绩超过8环
B.
甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环
C.
甲的成绩超过9环且乙的成绩超过8环
D.
甲的成绩超过9环且乙的成绩没有超过8环
解析：本题主要考查含有逻辑联结词的命题的意义以及在生活中的应用． q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p∨( q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环，故选B.
答案：B
4．已知全集U＝R，A U，B U，若命题p：a∈(A∩B)，则命题“ p”是(　　)
A．a∈A
B．a∈ UB
C．a∈(A∪B)
D．a∈( UA)∪( UB)
解析：∵p：a∈(A∩B)，
∴ p：a (A∩B)，即a∈ U(A∩B)．
而 U(A∩B)＝( UA)∪( UB)，故选D.
答案：D
二、填空题
5．[2014·江西省临川一中月考]“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________，否命题是________．
解析：本题主要考查命题的否定与其否命题的区别．命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．
答案：末位数字是1或3的整数能被8整除　末位数字不是1且不是3的整数能被8整除
6．命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2} {1,2,3}，则对复合命题的下述判断：①p∨q为真，②p∨q为假；③p∧q为真；④p∧q为假；⑤ p为真；⑥ q为假．其中判断正确的序号是__________．(填上你认为正确的所有序号)
解析：由已知得p为假命题，q为真命题，所以可判断①④⑤⑥为真命题．
答案：①④⑤⑥
7．若命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若 p是假命题，则a的取值范围是__________．
解析： p是假命题，则p是真命题，因此问题就是求p真时a的取值范围．
要使函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上单调递减，只需对称轴1－a≥4，∴a≤－3.
答案：(－∞，－3]
三、解答题
8．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z，若p∧q和 q都是假命题，求x的值．
解：由x2－x≥6得x2－x－6≥0，解之得x≥3或x≤－2，
即p：x≤－2或x≥3，q：x∈Z，
若 q假，则q真，
又p∧q假，则p假．
当p假，q真时，有－2且x∈Z，∴x＝－1,0,1,2.
9．已知：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p且q为假， p为假，求m的取值范围．
解：p：解得m>2.
q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0.
解得1∵p且q为假， p为假．
∴p为真，q为假，
即解得m≥3，
∴m的取值范围为[3，＋∞)．课时作业24
一、选择题
1．下列结论正确的个数为(　　)
①y＝ln
2，则y′＝；
②y＝，则y′|x＝3＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln
2；
④y＝log2x，则y′＝.
A．0　
B．1
C．2　
D．3
解析：①y＝ln
2为常数，所以y′＝0，①错；②③④均正确，直接利用公式即可验证．
答案：D
2．曲线y＝在点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标是(　　)
A.　　
B.或
C.　
D.
解析：y′＝′＝－，
由－＝－4，解得x＝±.
所以P点的坐标为或，故选B.
答案：B
3．曲线y＝x3上切线平行或重合于x轴的切点坐标(　　)
A.
(0,0)　
B.
(0,1)
C.
(1,0)　
D.
以上都不是
解析：(x3)′＝3x2，若切线平行或重合于x轴则切线斜率k＝0，即3x2＝0得x＝0，
∴y＝0，即切点为(0,0)．故选A.
答案：A
4．函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x(　　)
A.
在[0，＋∞)上f(x)比g(x)增长的快
B.
在[0，＋∞)上f(x)比g(x)增长的慢
C.
在[0，＋∞)上f(x)与g(x)增长的速度一样快
D.
以上都不对
解析：函数的导数表示函数的增长速度，
由于f′(x)＝2x，g′(x)＝2.
若2x>2即x>1时f(x)增长速度比g(x)增长速度快，
若2x<2即x<1时f(x)比g(x)增长速度慢，
在x＝2时两者增长速度相同．
故选D.
答案：D
二、填空题
5．若f(x)＝10x，则f′(1)＝__________.
解析：∵(10x)′＝10xln10，
∴f′(1)＝10ln10.
答案：10ln10
6．曲线y＝x2的垂直于直线x＋y＋1＝0的切线方程为________．
解析：∵y′＝2x，直线x＋y＋1＝0的斜率为－1，所以2x＝1，x＝，代入y＝x2得y＝，即与直线x＋y＋1＝0垂直的曲线y＝x2的切线的切点坐标为(，)，故所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
答案：4x－4y－1＝0
7．设曲线y＝xn＋1(n∈N
)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg
xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为__________．
解析：在点(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝(n＋1)×1n＝n＋1，则在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝.
∴an＝lg
.
∴a1＋a2＋…＋a99＝lg
＋lg
＋…＋lg
＝lg(××…×)＝lg
＝－2.
答案：－2
三、解答题
8．求抛物线y＝x2过点(，6)的切线方程．
解：设此切线过抛物线上的点(x0，x)．由导数的意义知此切线的斜率为2x0.
又∵此切线过点(，6)和点(x0，x)，∴＝2x0.
由此x0应满足x－5x0＋6＝0.解得x0＝2或3.
即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)和(3,9)．
∴所求切线方程分别为
y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)．
化简得y＝4x－4，y＝6x－9.
9．已知直线y＝kx是曲线y＝ln
x的一条切线，试求k的值．
解：设切点坐标为(x0，y0)．
∵y＝ln
x，∴y′＝，∴y′|x＝x0＝＝k.
∵点(x0，y0)既在直线y＝kx上，也在曲线y＝ln
x上，
∴
把k＝代入①式得
y0＝1，再把y0＝1代入②式求出x0＝e.
∴k＝＝.课时作业14
一、选择题
1．双曲线－＝1的焦距为(　　)
A．3　
B．4
C．3　
D．4
解析：由双曲线的标准方程可知，a2＝10，b2＝2.于是有c2＝a2＋b2＝12，则2c＝4.故选D.
答案：D
2．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D.－＝1或－＝1
解析：因为b2＝c2－a2＝49－25＝24，且焦点位置不确定，所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
答案：C
3．[2014·福建宁德一模]已知椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　)
A.
　
B.
C.
4　
D.
解析：因为椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点(±，0)，则有a2－9＝7，∴a＝4.选C.
答案：C
4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是(　　)
A.－y2＝1　
B．x2－＝1
C.－＝1　
D.
－＝1
解析：设双曲线方程为－＝1，因为c＝，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以－＝1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(，4)．代入双曲线方程得－＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－＝1.故选B.
答案：B
二、填空题
5．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝__________.
解析：由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16.
答案：16
6．已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为__________．
解析：由双曲线方程－＝1知，a＝8，b＝6，则c＝＝10.
∵P是双曲线上一点，∴||PF1|－|PF2||＝2a＝16，又|PF1|＝17，∴|PF2|＝1或|PF2|＝33.
又|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝33.
答案：33
7．在△ABC中，B(－6,0)，C(6,0)，直线AB，AC的斜率乘积为，则顶点A的轨迹方程为__________．
解析：设顶点A的坐标为(x，y)，根据题意，得·＝，化简，得－＝1(x≠±6)．故填－＝1(x≠±6)．
答案：－＝1(x≠±6)
三、解答题
8．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以椭圆＋＝1的长轴端点为焦点，且经过点P(5，)；
(2)过点P1(3，－4)，P2(，5)．
解：(1)因为椭圆＋＝1的长轴端点为A1(－5,0)，A2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)．
由双曲线的定义知，||PF1|－|PF2||
＝
＝＝8，即2a＝8，则a＝4.又c＝5，
所以b2＝c2－a2＝9.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，分别将点P1(3，－4)，P2(，5)代入，得
，解得，故所求双曲线的标准方程为－＝1.
9．已知曲线－＝1.
(1)当曲线是椭圆时，求实数m的取值范围，并写出焦点坐标；
(2)当曲线是双曲线时，求实数m的取值范围，并写出焦点坐标．
解：(1)曲线为椭圆
m<0.即实数m的取值范围是(－∞，0)．此时，椭圆的焦点在x轴上，坐标为(±4,0)．
(2)曲线为双曲线 (16－m)m>0 0一、选择题
1．在f′(x0)＝
中，Δx不可能(　　)
A.
大于0　　　　
B.
小于0
C.
等于0　
D.
大于0或小于0
解析：由导数定义知Δx只是无限趋近于0，故选C.
答案：C
2．设f(x)在x＝x0处可导，则
等于(　　)
A．－f′(x0)　
B．f′(－x0)
C．f′(x0)　
D．2f′(x0)
解析：
＝－
＝－
＝－f′(x0)．
答案：A
3．设函数f(x)在点x0处附近有定义，且f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)
A.
f′(x0)＝－a　
B.
f′(x0)＝－b
C.
f′(x0)＝a　
D.
f′(x0)＝b
解析：∵f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2，
∴＝a＋b·Δx.
∴
＝
(a＋b·Δx)．
∴f′(x0)＝a.故选C.
答案：C
4．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是(　　)
A．at0　
B．－at0
C.at0　
D．2at0
解析：∵＝＝aΔt＋at0，
∴
＝at0.
答案：A
二、填空题
5．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为__________．
解析：由平均变化率的几何意义知k＝＝1.
答案：1
6．已知f(x)＝，则
＝________.
解析：令x－a＝Δx，则x＝a＋Δx，
＝
＝
＝
＝－.
答案：－
7．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则f(m)＝________.
解析：∵f(x)＝，
∴f′(m)＝
＝
＝
＝－.
又f′(m)＝－，∴－＝－.
∴m＝±4.∴f(m)＝＝±.
答案：±
三、解答题
8．已知函数f(x)＝，求f′(1)·f′(－1)的值．
解：当x＝1时，＝
＝＝.
由导数的定义，得f′(1)＝
＝.
当x＝－1时，＝
＝＝Δx－2.
由导数的定义，得f′(－1)＝
(Δx－2)＝－2.
所以f′(1)·f′(－1)＝×(－2)＝－1.
9．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝
s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．
解：令t0＝，Δt为增量．
则
＝
＝
＝－4.9(＋Δt)＋6.5.
∴
＝[－4.9(＋Δt)＋6.5]＝0，
即运动员在t0＝
s时的瞬时速度为0
m/s.
说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．第三章
单元综合检测（二）
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若物体的运动规律是s＝f(t)，则物体在时刻t0的瞬时速度可以表示为(　　)
(1)
；
(2)
；
(3)f′(t0)；
(4)f′(t)．
A.
(1)(2)　
B.
(1)(3)
C.
(2)(3)　
D.
(2)(4)
解析：根据瞬时速度的概念及导数的意义易知(1)(3)正确，故选B.
答案：B
2．已知曲线y＝2ax2＋1过点(，3)，则该曲线在该点处的切线方程为(　　)
A．y＝－4x－1　
B．y＝4x－1
C．y＝4x－11　
D．y＝－4x＋7
解析：∵曲线过点(，3)，∴3＝2a2＋1，∴a＝1.
∴切点为(1,3)．由导数定义可得y′＝4ax＝4x，
∴该点处切线斜率为k＝4.
∴切线方程为y－3＝4(x－1)，即y＝4x－1.
答案：B
3．任一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是(　　)
A．0　
B．3
C．－2　
D．3－2t
解析：物体的初速度即为t＝0时物体的瞬时速度，即函数s(t)在t＝0处的导数．
s′(0)＝s′|t＝0＝(3－2t)|t＝0＝3.
答案：B
4．下列求导运算正确的是(　　)
A.
(x＋)′＝1＋
B.
(log2x)′＝
C.
(5x)′＝5xlog5e　
D.
(x2cosx)′＝2xsinx
解析：∵(x＋)′＝1－，(5x)′＝5xln5，(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2x·cosx－x2sinx，∴B选项正确．
答案：B
5．函数y＝f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)
A.
－e　
B.
1－e
C.
－1　
D.
0
解析：y′＝－1，令y′＝0，得x＝1.列表如下：
x
(0,1)
1
(1，e)
e
y′
＋
0
－
y
单调递增
极大值－1
单调递减
1－e
f(e)＝1－e，而－1>1－e，从而y最大值＝f(1)＝
－1.
答案：C
6．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是(　　)
A.
0≤a≤21　
B.
a＝0或a＝7
C.
a<0或a>21　
D.
a＝0或a＝21
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．
答案：A
7．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)(　　)
A.
在(－∞，0)上为减函数
B.
在x＝0处取极小值
C.
在(4，＋∞)上为减函数
D.
在x＝2处取极大值
解析：当x<0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)上是增函数，故A错；当x<0时，f′(x)>0，当04时，f′(x)<0，f(x)在(4，＋∞)上是减函数，C正确．
答案：C
8．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞)　
B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞)　
D．(－∞，－3)
解析：f′(x)＝3x2＋a.令3x2＋a≥0，
则a≥－3x2，x∈(1，＋∞)，∴a≥－3.
答案：B
9．[2014·昆明调研]已知f′(x)为函数f(x)＝x＋的导函数，则下列结论中正确的是(　　)
A.
x0∈R， x∈R且x≠0，f(x)≤f(x0)
B.
x0∈R， x∈R且x≠0，f(x)≥f(x0)
C.
x0∈R， x∈(x0，＋∞)，f′(x)<0
D.
x0∈R， x∈(x0，＋∞)，f′(x)>0
解析：令f′(x)＝1－＝＝0，得x＝±1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.故当x>0时，f(x)≥2；当x<0时，f(x)≤－2，故函数在其定义域内没有最大值和最小值，故A，B错；函数在x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故C错；当x0≥1时满足题意，D正确，故选D.
答案：D
10．若函数f(x)＝asinx＋cosx在x＝处有最值，那么a等于(　　)
A.　
B．－
C.　
D．－
解析：f′(x)＝acosx－sinx，由题意f′＝0，
即a·－×＝0，∴a＝.
答案：A
11．已知函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则a、b、c的大小关系为(　　)
A.
aB.
cC.
cD.
b解析：由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)图象关于x＝1对称．
当x<1时，由(x－1)f′(x)<0知f′(x)>0，
即x<1时，f(x)单调递增．
a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)＝f(－1)，
∵－1<0<，∴c答案：B
12．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥　
B．m>
C．m≤　
D．m<
解析：∵f(x)＝x4－2x3＋3m，
∴f′(x)＝2x3－6x2.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，∴函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，∴3m－≥－9，解得m≥.故选A.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，那么可得x0的值为________．
解析：∵k1＝2x0，k2＝－3x，
∴令2x0＝－3x得x0＝－，或x0＝0.经验证两个值都满足题意．
答案：－或0
14．如果函数f(x)＝x3－6bx＋3b在区间(0,1)内存在与x轴平行的切线，则实数b的取值范围是________．
解析：存在与x轴平行的切线，即f′(x)＝3x2－6b＝0有解．又∵x∈(0,1)，∴b＝∈(0，)．
答案：(0，)
15．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为________．
解析：设圆柱的高为h，底面半径为R，根据条件4R＋2h＝4，得h＝2－2R,0∴V＝πR2h＝πR2(2－2R)＝2πR2－2πR3，
由V′＝4πR－6πR2＝0得R＝，且当R∈(0，]时，函数V递增；R∈[，1)时，函数V递减，
故R＝时，V取最大值π.
答案：π
16．幂指数函数y＝f(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得lny＝g(x)lnf(x)，两边求导数得＝g′(x)lnf(x)＋g(x)，于是y′＝f(x)g(x)[g′(x)lnf(x)＋g(x)]．运用此方法可以探求得知y＝x(x>0)的一个单调递增区间为__________．
解析：由题意得y′＝x(－lnx＋)＝x－2(1－lnx)，由y′>0，得0答案：(0，e)
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设函数f(x)＝x3－(a＋1)x2－ax，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在点A(－，)处的切线方程．
解：(1)f′(x)＝3x2－2(a＋1)x－a.
∵f(x)在x＝3处取得极值，
∴f′(3)＝3×9－2(a＋1)×3－a＝0，
解得a＝3.
∴f(x)＝x3－4x2－3x.
(2)A点在f(x)上，
由(1)可知f′(x)＝3x2－8x－3，
f′(－)＝＋－3＝0，∴切线方程为y＝.
18．(12分)若函数f(x)＝ax2＋2x－lnx在x＝1处取得极值．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)单调区间及极值．
解：(1)f′(x)＝2ax＋2－，
由f′(1)＝2a＋＝0，得a＝－.
(2)f(x)＝－x2＋2x－lnx(x>0)．
f′(x)＝－x＋2－＝.
由f′(x)＝0，得x＝1或x＝2.
①当f′(x)>0时1②当f′(x)<0时02.
当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
?
－ln2
?
因此f(x)的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1)，(2，＋∞)．
函数的极小值为f(1)＝，极大值为f(2)＝－ln2.
19．(12分)[2012·安徽高考]设函数f(x)＝aex＋＋b(a>0)．
(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；
(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．
解：(1)f′(x)＝aex－，
当f′(x)>0，即x>－lna时，f(x)在(－lna，＋∞)上递增；
当f′(x)<0，即x<－lna时，f(x)在(－∞，－lna)上递减．
①当00，f(x)在(0，－lna)上递减，在(－lna，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(－lna)＝2＋b；
②当a≥1时，－lna≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(0)＝a＋＋b.
(2)依题意f′(2)＝ae2－＝，
解得ae2＝2或ae2＝－(舍去)．
所以a＝，代入原函数可得2＋＋b＝3，即b＝.
故a＝，b＝.
20．(12分)[2014·温州十校联考]已知函数f(x)＝ax3－x2＋1(x∈R)，其中实数a>0.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若在区间[－，]上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，f(2)＝3，
所以切线方程为：y＝6x－9.
(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
①若0在(－，0)上f(x)单调递增；在(0，)上f(x)单调递减．
所以当x∈[－，]时，f(x)>0等价于，即.
解不等式组得－5②若a>2，则0<<，当x变化时，
在(－，0)上f(x)单调递增；在(0，)上f(x)单调递减，在(，)上f(x)单调递增．
所以当x∈[－，]时，f(x)>0等价于，即.
解不等式组得由以上可知a的取值范围是021．(12分)已知函数f(x)＝x2＋lnx.
(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的下方．
(1)解：∵f(x)＝x2＋lnx，∴f′(x)＝2x＋.
∵x>1时，f′(x)>0，
∴f(x)在[1，e]上是增函数．
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.
(2)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)
＝x2－x3＋lnx，
∴F′(x)＝x－2x2＋＝
＝＝.
∵x>1，∴F′(x)<0.
∴F(x)在(1，＋∞)上是减函数．
∴F(x)∴f(x)∴当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的下方．
22．(12分)[2013·天津高考]已知函数f(x)＝x2lnx.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使t＝f(s)；
(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s＝g(t)，证明：当t>e2时，有<<.
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2xlnx＋x＝x(2lnx＋1)，令f′(x)＝0，得x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
所以函数f(x)的单调递减区间是(0，)，
单调递增区间是(，＋∞)．
(2)证明：当00，
令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．
由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．h(1)＝
－t<0，h(et)＝e2tlnet－t＝t(e2t－1)>0.故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．
(3)证明：因为s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s>1，从而＝＝＝＝，
其中u＝lns.要使<<成立，只需0当t>e2时，若s＝g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．所以s>e，
即u>1，从而lnu>0成立．
另一方面，令F(u)＝lnu－，u>1.
F′(u)＝－，
令F′(u)＝0，得u＝2.当1F′(u)>0；
当u>2时，F′(u)<0.
故对u>1，F(u)≤F(2)<0.
因此lnu<成立．
综上，当t>e2时，有<<.习题课(1)
一、选择题
1．函数y＝f(x)＝在x＝2和x＝3处的导数的大小关系是(　　)
A.
f′(2)B.
f′(2)>f′(3)
C.
f′(2)＝f′(3)　
D.
大小关系不确定
解析：∵()′＝－，∴y′x＝2＝－＝－，
即f′(2)＝－，y′x＝3＝－＝－，
即f′(3)＝－.
∵－<－，
∴f′(2)答案：A
2．过曲线y＝上的点(4,2)的切线方程是(　　)
A.
x＋4y＋4＝0　
B.
x－4y－4＝0
C.
x－4y＋4＝0　
D.
x＋4y－4＝0
解析：∵y′＝()′＝，
∴y′x＝4＝＝.
∴切线的斜率k＝.
∴所求的切线方程为y－2＝(x－4)，
即x－4y＋4＝0.故选C.
答案：C
3．曲线y＝在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于(　　)
A．45°　
B．60°
C．135°　
D．120°
解析：y′＝－，∴f′(3)＝－＝－1，∴切线的倾斜角为135°，故选C.
答案：C
4．[2014·山西模拟]设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为(　　)
A．4　
B．－
C．2　
D．－
解析：本题主要考查导数的计算以及导数的几何意义等有关知识．
由已知g′(1)＝2，而f′(x)＝g′(x)＋2x，
所以f′(1)＝g′(1)＋2×1＝4，故选A.
答案：A
5．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A.　　
B.
C.　
D.
解析：本题主要考查导数的运算、几何意义、斜率与倾斜角的关系以及基本不等式等有关知识．
y′＝＝≥－1，
即－1≤tanα<0，所以≤α<π.
答案：D
6．[2013·浙江高考]已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
解析：由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小，故选B.
答案：B
二、填空题
7．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.
解析：f′(x)＝x2＋3f′(0)，
令x＝0，则f′(0)＝0，∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.
答案：1
8．设f(x)＝a·ex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，则a＋b＝________.
解析：f′(x)＝(a·ex＋blnx)′＝aex＋，
∴f′(1)＝ae＋b＝e，f′(－1)＝－b＝.
∴a＝1，b＝0，∴a＋b＝1.
答案：1
9．已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N
，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2011＝__________.
解析：∵f1′(x)＝cosx－sinx，
∴f2(x)＝cosx－sinx，f2′(x)＝－sinx－cosx.
∴f3(x)＝－sinx－cosx，f3′(x)＝－cosx＋sinx.
∴f4(x)＝－cosx＋sinx，f4′(x)＝sinx＋cosx.
∴f5(x)＝sinx＋cosx.∴f5(x)＝f1(x)．
不难得出fn(x)＝fn＋4(x)，
∴f1＋f2＋…＋f2011
＝f1＋f2＋…＋f2011＋f2012－f2012
＝503－f2012
＝503
－f4
＝－＝－1.
答案：－1
三、解答题
10．(1)求曲线y＝在点(1,1)处的切线方程；
(2)运动曲线方程为s＝＋2t2，求t＝3时的瞬时速度．
解：(1)y′＝＝，
y′|x＝1＝＝0，即曲线在点(1,1)处的切线斜率k＝0，因此曲线y＝在(1,1)处的切线方程为y＝1.
(2)s′＝′＋(2t2)′＝＋4t＝－＋＋4t，
s′|t＝3＝－＋＋12＝11.
11．路灯距地平面为8
m，一个身高为1.6
m的人以84
m/min的速度在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v.
解：设路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB.
设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t秒，AB为人影长度，设为y，
则∵BE∥CD，∴＝.∴＝.
又84
m/min＝1.4
m/s，∴y＝x＝t(x＝1.4t)．
∴y′t＝.
∴人影长度的变化速率为
m/s.
12．已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同．
(1)若a＝1，求b的值；
(2)试写出b关于a的函数关系式．
解：(1)y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，
且f′(x)＝x＋2，g′(x)＝，
所以f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)．
∴
由x0＋2＝，得x0＝1，或x0＝－3(舍去)．
所以b＝.
(2)y＝f(x)(x>0)，y＝g(x)(x>0)
在公共点(x0，y0)处的切线相同，
且f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，
所以f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
即
解得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．
∴b＝a2－3a2lna(a>0)．习题课(2)
一、选择题
1．[2013·福建高考]设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(　　)
A.
x∈R，f(x)≤f(x0)
B.
－x0是f(－x)的极小值点
C.
－x0是－f(x)的极小值点
D.
－x0是－f(－x)的极小值点
解析：极大值点不一定为最大值点，故A错；
y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，故－x0为f(－x)的极大值点，B错；
y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称，故x0为－f(x)的极小值点，－x0不一定为－f(x)的极小值点，C错；
y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称，
∴－x0是－f(－x)的极小值点，故D对．
答案：D
2．函数y＝f(x)的定义域为R，导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)
A.
无极大值点，有四个极小值点
B.
无极小值点，有四个极大值点
C.
有两个极大值点，两个极小值点
D.
有三个极大值点，一个极小值点
解析：f′(x)＝0的根分别如题图a、c、e、g.
x0，a∴a为极大值点．
又c0知c为极小值点，
eg0知g为极小值点．故选C.
答案：C
3．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有(　　)
A．a＝－2，b＝4
B．a＝－3，b＝－24
C．a＝1，b＝3　
D．a＝2，b＝－4
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有x＝－2和x＝4是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，所以有－＝－2＋4，＝－2×4，解得a＝－3，b＝－24.
答案：B
4．函数f(x)＝x＋2cosx在区间[－，0]上的最小值是(　　)
A．－　
B．2
C.＋　
D.
＋1
解析：f′(x)＝1－2sinx，
∵x∈[－，0]，
∴sinx∈[－1,0]，∴－2sinx∈[0,2]．
∴f′(x)＝1－2sinx>0在[－，0]上恒成立．
∴f(x)在[－，0]上单调递增．
∴f(x)min＝－＋2cos(－)＝－.
答案：A
5．若f(x)＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥3　
B．a＝3
C．a≤3　
D．0解析：f′(x)＝3x2－2ax，
∵f(x)在(0,2)内递减，
∴∴
∴a≥3，故选A.
答案：A
6．[2013·湖北高考]已知a为常数，函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点x1，x2(x1A.
f(x1)>0，f(x2)>－
B.
f(x1)<0，f(x2)<－
C.
f(x1)>0，f(x2)<－
D.
f(x1)<0，f(x2)>－
解析：f′(x)＝lnx－2ax＋1，依题意知f′(x)＝0有两个不等实根x1，x2.
即曲线y1＝1＋lnx与y2＝2ax有两个不同交点，如图．
由直线y＝x是曲线y＝1＋lnx的切线，
可知：0<2a<1，且0∴a∈(0，)．
由0当x10，
当x>x2时，f′(x)<0，
∴f(x2)>f(1)＝－a>－，故选D.
答案：D
二、填空题
7．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝__________处取得极小值．
解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，
解得x＝0或x＝2.
列表如下：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴当x＝2时，f(x)取得极小值．
答案：2
8．设p：f(x)＝lnx＋2x2＋mx＋1在(0，＋∞)上是递增的，q：m≥－4，则p是q的________条件．
解析：f(x)＝lnx＋2x2＋mx＋1在(0，＋∞)上是递增的，可知在(0，＋∞)上f′(x)＝＋4x＋m≥0恒成立，而＋4x≥4，当且仅当x＝时等号成立，(＋4x)min＝4，故只需要4＋m≥0，即m≥－4即可．故p是q的充要条件．
答案：充要
9．方程－＋3＝0的解有________个(填数字)．
解析：设f(x)＝－＋3，x∈(0，＋∞)，则f′(x)＝－－<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(9)＝>0，f(100)＝－10＋3<0，所以曲线f(x)在(0，＋∞)上与x轴只有1个交点，即原方程只有1个解．
答案：1
三、解答题
10．[2013·课标全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.
故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)(ex－)．
令f′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)单调递增，
在(－2，－ln2)单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，
极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
11．设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax，(a>0)
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求所有实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
注：e为自然对数的底数．
解：(1)因为f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x>0，所以f′(x)＝－2x＋a＝－.由于a>0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．
(2)由题意得，f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e，由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，
要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，
只要解得a＝e.
12．[2013·湖南高考]已知函数f(x)＝ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2<0.
解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
f′(x)＝()′ex＋ex
＝[＋]ex
＝ex.
当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．
(2)当x<1时，由于>0，ex>0，故f(x)>0；
同理，当x>1时，f(x)<0.
当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1下面证明： x∈(0,1)，f(x)ex此不等式等价于(1－x)ex－<0，
令g(x)＝(1－x)ex－，则g′(x)＝－xe－x(e2x－1)．
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，从而g(x)所以 x∈(0,1)，f(x)而x2∈(0,1)，所以f(x2)由于x1，－x2∈(－∞，0)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以x1<－x2，即x1＋x2<0.课时作业26
一、选择题
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)
A.
sinx　
B.
xex
C.
x3－x　
D.
lnx－x
解析：y＝xex，则y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)在(0，＋∞)上恒大于0.
答案：B
2．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　)
解析：∵y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的．
答案：A
3．已知f(x)＝2cos2x＋1，x∈(0，π)，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A．(π，2π)　
B．(0，π)
C．(，π)　
D．(0，)
解析：∵f(x)＝2cos2x＋1＝2＋cos2x，x∈(0，π)，
∴f′(x)＝－2sin2x.
令f′(x)>0，则sin2x<0.
又x∈(0，π)，∴0<2x<2π.
∴π<2x<2π，即答案：C
4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为(　　)
解析：由函数的图象知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，导数先正后负再正，对照选项，应选D.
答案：D
二、填空题
5．函数f(x)＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是_____．
解析：令y′＝3x2＋2x－5>0，得x<－或x>1.
答案：(－∞，－)，(1，＋∞)
6．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为________．
解析：函数y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得函数y＝x2－lnx的单调递减区间是0答案：(0,1]
7．设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
解析：f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，
在(－1,0)上单调递减．
答案：(－∞，－1)和(0，＋∞)　(－1,0)
三、解答题
8．证明：函数f(x)＝lnx＋x在其定义域内为单调递增函数．
证明：函数的定义域为{x|x>0}，
又f′(x)＝(lnx＋x)′＝＋1，
当x>0时，f′(x)>1>0，
故y＝lnx＋x在其定义域内为单调递增函数．
9．判断函数f(x)＝－1在(0，e)及(e，＋∞)上的单调性．
解：f′(x)＝＝.
当x∈(0，e)时，lnx0，x2>0，
∴f′(x)>0，f(x)为增函数．
当x∈(e，＋∞)时，lnx>lne＝1,1－lnx<0，x2>0，
∴f′(x)<0，f(x)为减函数．习题课(2)
一、选择题
1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　)
A．双曲线　
B．双曲线的一支
C．两条射线　
D．一条射线
解析：由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线．
答案：D
2．方程x＝所表示的曲线是(　　)
A．双曲线　
B．椭圆
C．双曲线的一部分　
D．椭圆的一部分
解析：依题意：x≥0，方程可化为：3y2－x2＝1，所以方程表示双曲线的一部分．故选C.
答案：C
3．[2014·安徽省合肥一中月考]若双曲线x2＋ky2＝1的离心率是2，则实数k的值是(　　)
A.
－3　
B.
C.
3　
D.
－
解析：本题主要考查双曲线的简单性质．双曲线x2＋ky2＝1可化为＋＝1，故离心率e＝＝2，解得k＝－，故选D.
答案：D
4．[2014·广东实验中学期末考试]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为(　　)
A.
　
B.
C.
2　
D.
或2
解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意，由于双曲线－＝1(a>0，b>0)，两渐近线的夹角为60°，则可知＝或＝，那么可知双曲线的离心率为e＝，所以结果为2或，故选D.
答案：D
5．已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好分别是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．4x±3y＝0　
B．3x±4y＝0
C．4x±5y＝0　
D．5x±4y＝0
解析：由已知得，双曲线焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，∴双曲线方程为－＝1.
∴渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：A
6．若双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列，则该双曲线的离心率是(　　)
A.　　B.
C.　
D.
解析：由已知得2b＝a＋c，
∴＝1＋.
∴2＝1＋e.平方得4(e2－1)＝e2＋2e＋1
即3e2－2e－5＝0.∴e＝.
答案：C
二、填空题
7．[2013·陕西高考]双曲线－＝1的离心率为________．
解析：本题主要考查双曲线的离心率的求法．由已知得a2＝16，b2＝9，∴c2＝a2＋b2＝25，∴e2＝＝，e＝.
答案：
8．[2014·北师大附中月考]已知直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支相交于不同两点，则k的取值范围是________．
解析：本题主要考查直线与双曲线的位置关系和根与系数的关系的应用．由得(1－k2)x2－4kx－10＝0　①，直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支相交于不同两点，即方程①有两个不同的正实数解，所以，解得－答案：(－，－1)
9．对于曲线C：＋＝1，给出下面四个命题：
①曲线C不可能表示椭圆；
②当1③若曲线C表示双曲线，则k<1或k>4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1其中命题正确的序号为__________．
解析：由解得14，此时方程表示双曲线，故③正确．所以应填③④.
答案：③④
三、解答题
10．求适合下列条件的双曲线标准方程．
(1)虚轴长为16，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)求与双曲线－y2＝1有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．
解：(1)由题意知b＝8，且为等轴双曲线，
∴双曲线标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，
∴2a＝2＝6 λ＝，
当λ<0时，a2＝－9λ，
∴2a＝2＝6 λ＝－1.
∴双曲线的方程为－＝1和－＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k(k≠0)，
将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求证：·＝0.
解：(1)∵离心率e＝＝，∴a＝b.
设双曲线方程为x2－y2＝n(n≠0)，
∵(4，－)在双曲线上，
∴n＝42－(－)2＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)∵M(3，m)在双曲线上，则M(3，±)，
即m＝±，
∴kMF1·kMF2＝·＝－＝－1.
∴·＝0.
12．[2014·四川成都六校协作体期中考试]已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．
解：(1)设双曲线方程为－＝1(a，b>0)，
由已知可得左、右焦点F1、F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，
则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，
又c＝2，所以b＝，
所以双曲线方程为x2－＝1.
(2)由题意可知直线m方程为y＝x－2，
联立双曲线及直线方程消去y得2x2＋4x－7＝0，
设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－，由弦长公式得|AB|＝|x1－x2|＝＝6.选修1-1模块综合测试（一）
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若命题p： x∈R,2x2＋1>0，则 p是(　　)
A． x∈R,2x2＋1≤0
B． x∈R,2x2＋1>0
C． x∈R,2x2＋1<0
D． x∈R,2x2＋1≤0
解析： p： x∈R,2x2＋1≤0.
答案：D
2．不等式x－>0成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.
－11
B.
x<－1或0C.
x>－1
D.
x>1
解析：本题主要考查充要条件的概念、简单的不等式的解法．画出直线y＝x与双曲线y＝的图象，两图象的交点为(1,1)、(－1，－1)，依图知x－>0 －11　(
)，显然x>1 (
)；但(
)x>1，故选D.
答案：D
3．[2014·西安模拟]命题“若a>b，则a＋1>b”的逆否命题是(　　)
A．若a＋1≤b，则a>b
B．若a＋1b
C．若a＋1≤b，则a≤b
D．若a＋1解析：“若a>b，则a＋1>b”的逆否命题为“若a＋1≤b，则a≤b”，故选C.
答案：C
4．[2014·山东省日照一中模考]下列命题中，为真命题的是(　　)
A.
x∈R，x2－x－1>0
B.
α，β∈R，sin(α＋β)C.
函数y＝2sin(x＋)的图象的一条对称轴是x＝π
D.
若“ x0∈R，x－ax0＋1≤0”为假命题，则a的取值范围为(－2,2)
解析：本题主要考查命题的判定及其相关知识的理解．因为x2－x－1＝(x－)2－，所以A错误；当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，所以B错误；当x＝时，y＝0，故C错误；因为“ x0∈R，x－ax0＋1≤0”为假命题，所以“ x∈R，x2－ax＋1>0”为真命题，即Δ<0，即a2－4<0，解得－2答案：D
5．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)
A．2　　　　　B．6
C．4　
D．12
解析：设椭圆的另一焦点为F，由椭圆的定义知
|BA|＋|BF|＝2，且|CF|＋|AC|＝2，
所以△ABC的周长＝|BA|＋|BC|＋|AC|
＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|AC|＝4.
答案：C
6．过点(2，－2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线方程为(　　)
A.－＝1　　
B.－＝1
C.－＝1　
D.
－＝1
解析：与双曲线－y2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为－y2＝λ，
由过点(2，－2)，可解得λ＝－2.
所以所求的双曲线方程为－＝1.
答案：D
7．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．e>　
B．1C．e>2　
D．1解析：由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故>a，∴>2.
答案：C
8．把一个周长为12
cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为(　　)
A.
1∶π　
B.
2∶π
C.
1∶2　
D.
2∶1
解析：设圆柱高为x，底面半径为r，则r＝，圆柱体积V＝π()2x＝(x3－12x2＋36x)(0当x＝2时，V最大．此时底面周长为6－x＝4，
(6－x)∶x＝4∶2＝2∶1.
答案：D
9．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于(　　)
A.　
B．2
C.　
D.
解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，因为y＝x2＋1与渐近线相切，故x2＋1±x＝0只有一个实根，
∴－4＝0，∴＝4，
∴＝5，∴e＝.
答案：C
10．[2014·辽宁五校联考]设函数f(x)＝ex(sinx－cosx)(0≤x≤2012π)，则函数f(x)的各极小值之和为(　　)
A.
－　
B.
－
C.
－　
D.
－
解析：f′(x)＝(ex)′(sinx－cosx)＋ex(sinx－cosx)′＝2exsinx，若f′(x)<0，则x∈(π＋2kπ，2π＋2kπ)，k∈Z；
若f′(x)>0，则x∈(2π＋2kπ，3π＋2kπ)，k∈Z.
所以当x＝2π＋2kπ，k∈Z时，f(x)取得极小值，其极小值为f(2π＋2kπ)＝e2kπ＋2π[sin(2π＋2kπ)－cos(2π＋2kπ)]＝e2kπ＋2π×(0－1)＝－e2kπ＋2π，k∈Z.因为0≤x≤2012π，又在两个端点的函数值不是极小值，所以k∈[0,1004]，所以函数f(x)的各极小值构成以－e2π为首项，以e2π为公比的等比数列，共有1005项，故函数f(x)的各极小值之和为S1005＝－e2π－e4π－…－e2010π＝.
答案：D
11．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为(　　)
A．4　
B．8
C．16　
D．32
解析：∵抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，准线为x＝－2，∴K(－2,0)．
设A(x0，y0)，如下图所示，过点A向准线作垂线，垂足为B，则B(－2，y0)．
∵|AK|＝|AF|，
又|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，
∴由|BK|2＝|AK|2－|AB|2，得y＝(x0＋2)2，
即8x0＝(x0＋2)2，解得x0＝2，y0＝±4.
∴△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8，故选B.
答案：B
12．[2013·浙江高考]如图，F1、F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A.
　
B.
C.
　
D.
解析：本题考查椭圆、双曲线的定义和简单的几何性质．设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)　①，点A的坐标为(x0，y0)．
由题意a2＋b2＝3＝c2　②，|OA|＝|OF1|＝，
∴，解得x＝，y＝，又点A在双曲线C2上，代入①得，b2－a2＝a2b2　③，联立②③解得a＝，所以e＝＝，故选D.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数y＝ax3－ax2(a≠0)在区间(0,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
解析：y′＝ax2－ax＝ax(x－1)，∵x∈(0,1)，y′>0，∴a<0.
答案：a<0
14．已知命题p： x∈R，x2＋2ax＋a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是__________．
解析：p是假命题，则 p为真命题， p为： x∈R，x2＋2ax＋a>0，所以有Δ＝4a2－4a<0，即0答案：(0,1)
15．[2014·黑龙江质检]已知a∈R，若实数x，y满足y＝－x2＋3lnx，则(a－x)2＋(a＋2－y)2的最小值是________．
解析：(a－x)2＋(a＋2－y)2≥＝.设g(x)＝x＋x2－3lnx(x>0)，则g′(x)＝1＋2x－＝，易知g(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故g(x)≥g(1)＝2，(a－x)2＋(a＋2－y)2≥＝8.
答案：8
16．[2013·河北省邢台一中月考]F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是△PF1F2的内心，且S△IPF2＝S△IPF1－λS△IF1F2，则λ＝________.
解析：本题主要考查双曲线定义及标准方程的应用．设△PF1F2内切圆的半径为r，则S△IPF2＝S△IPF1－λS△IF1F2 ×|PF2|×r＝×|PF1|×r－λ×|F1F2|×r |PF1|－|PF2|＝λ|F1F2|，根据双曲线的标准方程知2a＝λ·2c，∴λ＝＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知全集U＝R，非空集合A＝{x|<0}，B＝{x|(x－a)(x－a2－2)<0}．命题p：x∈A，命题q：x∈B.
(1)当a＝时，p是q的什么条件？
(2)若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)A＝{x|<0}＝{x|2当a＝时，B＝{x|故p是q的既不充分也不必要条件．
(2)若q是p的必要条件，即p q，可知A B，
由a2＋2>a，故B＝{a|a∴，解得a≤－1或1≤a≤2.
18．(12分)已知c>0，设p：y＝cx为减函数；q：函数f(x)＝x＋>在x∈[，2]上恒成立，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求c的取值范围．
解：由y＝cx为减函数，得0当x∈[，2]时，由不等式x＋≥2(x＝1时取等号)知：f(x)＝x＋在[，2]上的最小值为2，若q真，则<2，即c>.若p真q假，则0，所以c≥1.综上：c∈(0，]∪[1，＋∞)．
19．(12分)[2014·海淀期末]已知函数f(x)＝(x＋a)ex，其中a为常数．
(1)若函数f(x)是区间[－3，＋∞)上的增函数，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)≥e2在x∈[0,2]时恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝(x＋a＋1)ex，x∈R.
因为函数f(x)是区间[－3，＋∞)上的增函数，
所以f′(x)≥0，即x＋a＋1≥0在[－3，＋∞)上恒成立．
因为y＝x＋a＋1是增函数，
所以满足题意只需－3＋a＋1≥0，即a≥2.
(2)令f′(x)＝0，解得x＝－a－1，
f(x)，f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，－a－1)
－a－1
(－a－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
①当－a－1≤0，即a≥－1时，f(x)在[0,2]上的最小值为f(0)，若满足题意只需f(0)≥e2，解得a≥e2，
所以此时a≥e2；
②当0<－a－1<2，即－3若满足题意只需f(－a－1)≥e2，求解可得此不等式无解，
所以a不存在；
③当－a－1≥2，即a≤－3时，f(x)在[0,2]上的最小值为f(2)，若满足题意只需f(2)≥e2，解得a≥－1，
所以此时a不存在．
综上讨论，所求实数a的取值范围为[e2，＋∞)．
20．(12分)已知椭圆＋＝1，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点A(1,1)为椭圆内一点，点P为椭圆上一点．求|PA|＋|PF1|的最大值．
解：由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
所以|PF1|＝6－|PF2|，
这样|PA|＋|PF1|＝6＋|PA|－|PF2|.
求|PA|＋|PF1|的最大值问题转化为6＋|PA|－|PF2|的最大值问题，
即求|PA|－|PF2|的最大值问题，
如图在△PAF2中，两边之差小于第三边，
即|PA|－|PF2|<|AF2|，
连接AF2并延长交椭圆于P′点时，
此时|P′A|－|P′F2|＝|AF2|达到最大值，
易求|AF2|＝，
这样|PA|－|PF2|的最大值为，
故|PA|＋|PF1|的最大值为6＋.
21．(12分)已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且抛物线x2＝－4y的焦点是椭圆M的一个焦点，又点A(1，)在椭圆M上．
(1)求椭圆M的方程；
(2)已知直线l的方向向量为(1，)，若直线l与椭圆M交于B、C两点，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由已知抛物线的焦点为(0，－)，
故设椭圆方程为＋＝1.
将点A(1，)代入方程得＋＝1，
整理得a4－5a2＋4＝0，解得a2＝4或a2＝1(舍去)．
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)设直线BC的方程为y＝x＋m，
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
代入椭圆方程并化简得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0，
可得m2<8.
由x1＋x2＝－m，x1x2＝，
故|BC|＝|x1－x2|＝.
又点A到BC的距离为d＝，
故S△ABC＝|BC|·d＝
≤×＝.
因此△ABC面积的最大值为.
22．(12分)[2014·陕西质检]已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值；
(3)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求k的最大值．
解：(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－，
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，即1－＝0，解之得a＝e.
(2)f′(x)＝1－，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，
得ex＝a，x＝lna.
当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，
故f(x)在x＝lna处取得极小值，且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．
(3)当a＝1时，f(x)＝x－1＋.
令g(x)＝f(x)－(kx－1)＝(1－k)x＋，
则直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，等价于方程g(x)＝0在R上没有实数解．
当k>1时，g(0)＝1>0，g()＝－1＋<0，
又函数g(x)的图象在定义域R上连续，由零点存在定理，可知g(x)＝0至少有一实数解，与“方程g(x)＝0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1.
当k＝1时，g(x)＝>0，知方程g(x)＝0在R上没有实数解．
所以k的最大值为1.课时作业20
一、选择题
1．设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦为AB，则|AB|的最小值为(　　)
A.　
B．p
C．2p　
D．无法确定
解析：由题意得当AB⊥x轴时，|AB|取最小值，为2p.
答案：C
2．[2014·四川省成都七中期中考试]抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为(　　)
A.
2　
B.
4
C.
6　
D.
4
解析：本题主要考查抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系．据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设P(，m)，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1,0)，|PM|＝|FM|，得1＋＝，得m＝2，∴等边三角形的边长为4，其面积为4，故选D.
答案：D
3．抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则恒有(　　)
A．x3＝x1＋x2
B．x1x2＝x1x3＋x2x3
C．x1＋x2＋x3＝0
D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0
解析：联立则ax2－kx－b＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，x3＝－.
则－＝·，
即x1x2＝(x1＋x2)x3，选项B正确．
答案：B
4．[2013·大纲全国卷]已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k＝(　　)
A.
　
B.
C.
　
D.
2
解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识．由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16，因为·＝0，所以(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0(
)，将上面各个量代入(
)，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2，故选D.
答案：D
二、填空题
5．已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2＝2x上，其中O为坐标原点，则△OAB的外接圆C的方程是__________．
解析：由抛物线的性质知，A，B两点关于x轴对称，所以△OAB外接圆的圆心C在x轴上．
设圆心坐标为C(r,0)，并设A点在第一象限，则A点坐标为(r，r)，于是有(r)2＝2×r，解得r＝4，所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.
答案：(x－4)2＋y2＝16
6．若直线y＝2x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________．
解析：本题主要考查直线与抛物线相交时的性质和设而不求数学思想的应用．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得，整理得4x2－16x＋9＝0，由根与系数之间的关系知x1＋x2＝4，y1＋y2＝2(x1＋x2)－6＝2，所以线段AB的中点坐标为(2,1)．
答案：(2,1)
7．直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A，B两点，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则b的值为__________．
解析：由，得x2－2x－2b＝0，设直线与抛物线的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，
于是y1y2＝(x1x2)2＝b2，
由OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝0，
故b2－2b＝0，解得b＝2或b＝0(不合题意，舍去)．
答案：2
三、解答题
8．[2013·黑龙江省哈尔滨三中期末考试]已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A、B两点．
(1)若|AB|＝10，求实数m的值；
(2)若OA⊥OB，求实数m的值．
解：由，得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1·x2＝m2，y1·y2＝m(x1＋x2)＋x1·x2＋m2＝8m.
(1)因为|AB|＝＝·＝10，所以m＝.
(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，解得m＝－8，m＝0(舍去)．
9．已知抛物线C1：y2＝4px(p>0)，焦点为F2，其准线与x轴交于点F1；椭圆C2：分别以F1、F2为左、右焦点，其离心率e＝；且抛物线C1和椭圆C2的一个交点记为M.
(1)当p＝1时，求椭圆C2的标准方程；
(2)在(1)的条件下，若直线l经过椭圆C2的右焦点F2，且与抛物线C1相交于A，B两点，若弦长|AB|等于△MF1F2的周长，求直线l的方程．
解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由已知得＝，
①
c＝1，
②
∴a＝2，c＝1，b＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)①若直线l的斜率不存在，
则l：x＝1，且A(1,2)，B(1，－2)，
∴|AB|＝4.
又∵△MF1F2的周长等于
|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6≠|AB|.
∴直线l的斜率必存在．
②设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－1)，
由，得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∵直线l与抛物线C1有两个交点A，B，
∴Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k4
＝16k2＋16>0，且k≠0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则可得x1＋x2＝，x1x2＝1.
于是|AB|＝|x1－x2|
＝
＝
＝＝，
∵△MF1F2的周长等于
|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6，
∴由＝6，解得k＝±.
故所求直线l的方程为y＝±(x－1)．课时作业11
一、选择题
1．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1或＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
解析：由已知2c＝|F1F2|＝2，
∴c＝.
又2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
答案：C
2．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　)
A.
－9B.
8C.
16D.
m>8
解析：依题意，有，
解得8答案：B
3．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：将方程mx2＋ny2＝1转化为＋＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上，则有>0，>0，且>，即m>n>0.反之，m>n>0时，方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆．故选C.
答案：C
4．[2014·安徽省合肥六中月考]设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)
A.
5　
B.
4
C.
3　
D.
1
解析：本题考查椭圆定义的综合应用．由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又
|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2可知，△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.
答案：B
二、填空题
5．[2013·北京东城区检测]已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
解析：本题主要考查椭圆的定义．由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a.又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.
答案：8
6．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．
解析：∵a2＝9，b2＝2，
∴c＝＝＝，
∴|F1F2|＝2.又|PF1|＝4，
|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF2|＝2.由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝－，
∴∠F1PF2＝120°.
答案：2　120°
7．设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1||PF2|的最大值是__________．
解析：由已知a＝3，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF1|·|PF2|≤()2＝9.
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时，式中等号成立．
故|PF1|·|PF2|的最大值为9.
答案：9
三、解答题
8．已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.
(1)求M的横坐标；
(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．
解：(1)把M的纵坐标代入＋＝1得
＋＝1，即x2＝9.
∴x＝±3，
即M的横坐标为3或－3.
(2)对于椭圆＋＝1，
焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，
故设所求椭圆的方程为＋＝1.
把M点的坐标代入得＋＝1，
解得a2＝15.
故所求椭圆的方程为＋＝1.
9．在直线l：x－y＋9＝0上取一点P，过点P以椭圆＋＝1的焦点为焦点作椭圆．
(1)P点在何处时，所求椭圆长轴最短；
(2)求长轴最短时的椭圆方程．
解：(1)由题意知椭圆两焦点坐标分别为F1(－3,0)、F2(3,0)．
设点F1(－3,0)关于直线l的对称点F′1的坐标为(x0，y0)，当P在F2F′1与直线l的交点处时，椭圆长轴最短．
则解之得
∴F′1(－9,6)．
则过F′1和F2的直线方程为
＝，
整理得x＋2y－3＝0
联立解之得
即P点坐标为(－5,4)
(2)由(1)知2a＝|F′1F|＝，
∴a2＝45.
∵c＝3，∴b2＝a2－c2＝36.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.课时作业9
一、选择题
1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析：全称命题的否定：所有变为存在，且否定结论．
所以原命题的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．
答案：D
2．[2013·四川高考]设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p： x∈A,2x∈B，则(　　)
A.
p： x∈A,2x B
B.
p： x A,2x B
C.
p： x A,2x∈B
D.
p： x∈A,2x B
解析：因全称命题的否定是特称命题，故命题p的否定为 p： x∈A,2x B.故选D.
答案：D
3．下列命题的否定是真命题的是(　　)
A．有理数是实数
B．有些平行四边形是菱形
C． x0∈R,2x0＋3＝0
D． x∈R，x2－2x>1
解析：根据原命题和它的否定真假相反的法则判断．A、B、C显然正确，而D中不等式解集不是R，故选D.
答案：D
4．“存在整数m0，n0，使得m＝n＋2011”的否定是(　　)
A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2011
B．存在整数m0，n0，使得m≠n＋2011
C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2011
D．以上都不对
解析：特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．
答案：C
二、填空题
5．[2014·山东滨州二模]命题“偶函数的图象关于y轴对称”的否定是________．
解析：本题主要考查全称命题的否定．本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图象关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图象关于y轴不对称”．
答案：有些偶函数的图象关于y轴不对称
6．若关于x的函数y＝的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是__________．
解析：由题意知应满足的条件为x2＋x＋m≥0恒成立，只需Δ＝1－4m≤0，解得m≥.
答案：[，＋∞)
7．若命题p： x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是__________．
解析：ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，即不等式ax2＋4x＋a≥－2x2＋1对 x∈R恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋(a－1)≥0恒成立．当a＋2＝0时，不符合题意；
故有解得a≥2.
答案：[2，＋∞)
三、解答题
8．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p： x∈R，x2－x＋≥0；
(2)p：所有的正方形都是菱形；
(3)p：至少有一个实数x0，使x＋1＝0；
(4)p：与同一平面所成的角相等的两条直线平行．
解：(1)是全称命题， p： x0∈R，x－x0＋<0.因为对于任意的x，x2－x＋＝(x－)2≥0，所以 p为假命题．
(2)是全称命题， p：存在一个正方形不是菱形．正方形是特殊的菱形，所以 p为假命题．
(3)是特称命题， p： x∈R，x3＋1≠0.因为x＝
－1时，x3＋1＝0，所以 p为假命题．
(4)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”， p：存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行， p为真命题．
9．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．
解：(1)不等式m＋f(x)>0可化为
m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，
只需m>－4即可．
故存在实数m>－4，
使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立．
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，
只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，
∴f(x)min＝4，∴m>4.
所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．第三章
单元综合检测（一）
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列各式正确的是(　　)
A.
(sina)′＝cosa(a为常数)
B.
(cosx)′＝sinx
C.
(sinx)′＝cosx
D.
(x－5)′＝－x－6
解析：由导数公式知选项A中(sina)′＝0；选项B中(cosx)′＝－sinx；选项D中(x－5)′＝－5x－6，只有C正确．
答案：C
2．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)
A.
y＝2x＋1　
B.
y＝2x－1
C.
y＝－2x－3　
D.
y＝－2x－2
解析：∵y′＝＝，
∴k＝y′x＝－1＝＝2.
∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
答案：A
3．函数f(x)＝x2－ln2x的单调递减区间是(　　)
A.　　
B.
C.，　
D.
，
解析：∵f′(x)＝2x－＝，当0答案：A
4．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时(　　)
A.
f′(x)>0，g′(x)>0　
B.
f′(x)>0，g′(x)<0
C.
f′(x)<0，g′(x)>0　
D.
f′(x)<0，g′(x)<0
解析：f(x)为奇函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递增，f′(x)>0；g(x)为偶函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递减，g′(x)<0.
答案：B
5．[2014·保定调研]已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)
A.
e　
B.
－e
C.
　
D.
－
解析：y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则k＝f′(x0)，∴切线方程为y－y0＝(x－x0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得x0＝e，y0＝1，∴k＝f′(x0)＝＝.
答案：C
6．[2014·山西忻州联考]函数f(x)＝x2＋2cosx＋2的导函数f′(x)的图象大致是(　　)
解析：∵f′(x)＝x－2sinx，显然是奇函数，∴排除A.而[f′(x)]＝－2cosx＝0有无穷多个根，∴函数f′(x)有无穷多个单调区间，排除C、D，故选B.
答案：B
7．[2013·课标全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　)
A.
x0∈R，f(x0)＝0
B.
函数y＝f(x)的图象是中心对称图形
C.
若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D.
若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
解析：取a＝0，b＝－3，c＝0，则f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，
知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增，在(－1,1)上递减．画出f(x)的简图，知C错误．
答案：C
8．若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为(　　)
A．0　
B．2
C．1　
D．－1
解析：f′(x)＝x2－2f′(1)x－1，
所以f′(1)＝1－2f′(1)－1，则f′(1)＝0.
答案：A
9．函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)
A．－1B．－3C．a<－1或a>2　
D．a<－3或a>6
解析：f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根．
由Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＝4(a2－3a－18)>0，解得a<－3或a>6.
答案：D
10．若函数f(x)在R上可导，且f(x)>f′(x)，则当a>b时，下列不等式成立的是(　　)
A.
eaf(a)>ebf(b)　
B.
ebf(a)>eaf(b)
C.
ebf(b)>eaf(a)　
D.
eaf(b)>ebf(a)
解析：∵()′＝
＝<0，
∴y＝单调递减，又a>b，
∴<，∴eaf(b)>ebf(a)．
答案：D
11．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列结论正确的是(　　)
A.
在区间(－2,1)内f(x)是增函数
B.
在区间(1,3)内f(x)是减函数
C.
在区间(4,5)内f(x)是增函数
D.
在x＝2时，f(x)取极小值
解析：由图象可知，当x∈(4,5)时，f′(x)>0，∴f(x)在(4,5)内为增函数．
答案：C
12．[2013·湖北高考]已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A.
(－∞，0)　
B.
(0，)
C.
(0,1)　
D.
(0，＋∞)
解析：由题知，x>0，f′(x)＝lnx＋1－2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝lnx＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0；设函数y＝lnx＋1上任一点(x0,1＋lnx0)处的切线为l，则kl＝y′＝，当l过坐标原点时，＝ x0＝1，令2a＝1 a＝，结合图象知0答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
解析：＝＝7Δt＋14t0，
当
(7Δt＋14t0)＝1时，t0＝.
答案：
14．若函数f(x)在x＝a处的导数为A(aA≠0)，函数F(x)＝f(x)－A2x2满足F′(a)＝0，则A＝__________.
解析：f′(x)|x＝a＝A，即f′(a)＝A.
又F′(x)＝f′(x)－2A2x，且F′(a)＝f′(a)－2aA2＝A－2aA2＝0.
∵aA≠0，∴A＝.
答案：
15．[2014·唐山统考]已知a>0，函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在区间[－2,2]上单调递减，则4a＋b的最大值为________．
解析：∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∵函数f(x)在区间[－2,2]上单调递减，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b≤0在[－2,2]上恒成立．∵a>0，∴－＝－<0，∴f′(x)max＝f′(2)≤0，即4a＋b≤－12，∴4a＋b的最大值为－12.
答案：－12
16．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝，令f′(x)>0，得－1又f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，
所以解得－1答案：(－1,0]
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)求函数y＝的单调区间．
解：∵y＝，y′＝＝，
解y′<0，即<0，得x<0或x>.
∴函数y＝.在(0，)上递增，在(－∞，0)，(，＋∞)内单调递减．
18．(12分)已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在x＝2处的切线方程；
(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．
解：(1)∵y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线斜率k＝y′x＝2＝4.
又x＝2时y＝4，
∴在点P(2,4)处的切线方程：4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，x＋)，
则切线斜率k＝y′x＝x0＝x，
∴切线方程为y－(x＋)＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，∴x－3x＋4＝0.
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1，x0＝2.
故所求的切线方程为y＝x－2或y＝4x－4，
即4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
19．(12分)[2014·河南洛阳统考]已知函数f(x)＝ex＋ax2－e2x.
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；
(2)若x>0时，总有f(x)>－e2x，求实数a的取值范围．
解：(1)由f′(x)＝ex＋2ax－e2得：
y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率k＝4a＝0，则a＝0.
此时f(x)＝ex－e2x，f′(x)＝ex－e2.
由f′(x)＝0，得x＝2.
当x∈(－∞，2)时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，2)上单调递减；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(2，＋∞)上单调递增．
(2)由f(x)>－e2x得：a>－.
设g(x)＝－，x>0，则g′(x)＝.
∴当00，g(x)在(0,2)上单调递增；
当x>2时，g′(x)<0，g(x)在(2，＋∞)上单调递减．
∴g(x)≤g(2)＝－.
因此，a的取值范围为(－，＋∞)．
20．(12分)已知某公司生产的某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件，需另投入1.9万元，设R(x)(单位：万元)为销售收入，据市场调查知
R(x)＝其中x是年产量(单位：千件)．
(1)写出年利润W关于年产量x的函数关系式；
(2)年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？
解：(1)依题意有：
W＝
即W＝
(2)设f(x)＝－x3＋8.1x－10(0≤x≤10)，f′(x)＝－x2＋8.1，由f′(x)＝0，得x＝9或x＝－9(舍去)．
当0≤x≤9时，f′(x)≥0；当9≤x≤10时，f′(x)≤0，所以当x＝9时，f(x)取得最大值38.6.
当x>10时，－1.9x<<38.6.所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．
21．(12分)[2013·浙江高考]已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．
解：(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2－12x＋6，所以f′(2)＝6.
又因为f(2)＝4，所以切线方程为y＝6x－8.
(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．
f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．
令f′(x)＝0，得到x1＝1，x2＝a.
当a>1时，
x
0
(0,1)
1
(1，a)
a
(a,2a)
2a
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
单调递增
极大值3a－1
单调递减
极小值a2(3－a)
单调递增
4a3
比较f(0)＝0和f(a)＝a2(3－a)的大小可得
g(a)＝
当a<－1时，
x
0
(0,1)
1
(1，－2a)
－2a
f′(x)
－
0
＋
f(x)
0
单调递减
极小值3a－1
单调递增
－28a3－24a2
得g(a)＝3a－1.
综上所述，f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为g(a)＝
22．(12分)[2014·长春高二检测]设函数f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a.
(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
解：(1)由a＝0，f(x)≥h(x)可得
－mlnx≥－x，即m≤.
记φ(x)＝，则f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立等价于m≤φ(x)min，
求得φ′(x)＝，
当x∈(1，e)时：φ′(x)<0；
当x∈(e，＋∞)时，φ′(x)>0
故φ(x)在x＝e处取得极小值，也是最小值，
即φ(x)min＝φ(e)＝e，故m≤e.
(2)函数k(x)＝f(x)－h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x－2lnx＝a，在[1,3]上恰有两个相异实根．
令g(x)＝x－2lnx，则g′(x)＝1－
当x∈[1,2)时，g′(x)<0；
当x∈(2,3]时，g′(x)>0.
∴g(x)在[1,2)上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数．
故g(x)min＝g(2)＝2－2ln
2.
又g(1)＝1，g(3)＝3－2ln
3，
∵g(1)>g(3)，∴只需g(2)故a的取值范围是(2－2ln
2,3－2ln
3]课时作业21
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　)
A.
0.40　
B.
0.41
C.
0.43　
D.
0.44
解析：∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是(　　)
A.＝＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比，
所以＝＝，故选A.
答案：A
3．已知函数f(x)＝2x2＋3的图象上一点(1,5)与邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则等于(　　)
A．4＋2Δx　
B．4＋(2Δx)2
C．4x　
D．4
解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2＋3－(2×12＋3)＝4Δx＋2(Δx)2，
∴＝＝4＋2Δx，故选A.
答案：A
4．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　)
A．k1>k2　
B．k1C．k1＝k2　
D．不确定
解析：由定义可知k1＝2x0＋Δx，k2＝2x0－Δx，因为Δx可正、可负但不可为0，所以k1与k2大小不确定．故选D.
答案：D
二、填空题
5．质点运动规律s＝gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于________(g＝10
m/s2)．
解析：Δs＝g×(3＋Δt)2－g×32＝×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，＝＝30＋5Δt.
答案：30＋5Δt
6．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如下图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为______．
解析：由平均速度的定义结合图象知>>.
答案：>>
7．[2014·济宁高二月考]若正方体的棱长从x＝1到x＝a时正方体的体积膨胀率为21，则a的值为________．
解析：ΔV＝a3－1，∴＝＝a2＋a＋1＝21.
∴a2＋a－20＝0.
∴a＝4或a＝－5(舍)．
答案：4
三、解答题
8．已知f(x)＝x2－3x＋5，求函数f(x)从1到2的平均变化率．
解：Δx＝2－1＝1，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(2)－f(1)，
＝22－3×2＋5－(12－3×1＋5)＝0.
∴＝0.
∴函数f(x)从1到2的平均变化率为0.
9．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．
解：从出生到第3个月的时间变化量Δt＝3－0＝3，从出生到第3个月的体重变化量ΔW＝6.5－3.5＝3，则从出生到第3个月的体重的平均变化率＝＝1.
从第6个月到第12个月的时间变化量Δt＝12－6＝6，
从第6个月到第12个月的体重变化量ΔW＝11－8.6＝2.4，
则从第6个月到第12个月的体重平均变化率
＝＝0.4.课时作业3
一、选择题
1．命题“若 p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是(　　)
A．若p，则 q　
B．若q，则 p
C．若 q，则p　
D．若 q，则 p
解析：命题“若 p，则q”的逆否命题为“若 q，则p”．
答案：C
2．有下列四个命题：
①“若x2＋y2＝0，则xy＝0”的否命题；
②“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；
③“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
④“对顶角相等”的逆命题
其中真命题的个数是(　　)
A.
0　
B.
1
C.
2　
D.
3
解析：
(1)
假
该命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，为假命题．
(2)
假
该命题与其逆否命题具有相同的真假性．而该命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题．
(3)
假
该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题．
(4)
假
该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题.
答案：A
3．下列说法中正确的是(　　)
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
解析：利用四种命题真假性关系可知D正确．
答案：D
4．[2014·济南教学质量检测]下列有关命题的说法正确的是(　　)
A.
命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”
B.
“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题
C.
命题“任意的x∈R，都有2x2－1<0成立”为真命题
D.
命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题为真命题
解析：A不正确，命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”；
B正确，命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然成立；
C不正确，当x＝1时，2x2－1<0不成立；
D不正确，因为命题“若cosx＝cosy，则x＝y”是假命题，所以其逆否命题也是假命题．
答案：B
二、填空题
5．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
解析：原命题为真命题，其逆命题为“若A∩B≠A则
A∪B≠B”，
否命题为“若A∪B＝B则A∩B＝A”，
逆否命题为“若A∩B＝A则A∪B＝B”，全为真命题．
答案：4
6．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有__________；互为否命题的有__________；互为逆否命题的有__________．
解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系，便不难判断．
答案：③和⑥，②和④　①和⑥，②和⑤　①和③，④和⑤
7．在空间中，①若四点不共面，则这四点中的任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________(把符合要求的命题序号都填上)．
解析：①中的逆命题是若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体ABCD－A1B1C1D1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任何三点都不共线，但A1、B1、C1、D1四点共面，所以①的逆命题不真；②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线的定义知，成异面直线的两条直线不会有公共点，所以②的逆命题是真命题．
答案：②
三、解答题
8．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
解：逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．
否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.
逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
9．[2013·咸阳模拟]给出命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a－1)x＋a2－2≤0的解集不是空集，则a≤3”，判断其逆否命题的真假．
解：先判断原命题的真假：
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a－1)x＋a2－2≤0的解集不是空集，则
Δ＝(2a－1)2－4(a2－2)≥0，解得a≤.
当a≤成立时，a≤3恒成立，所以原命题为真命题．
又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题是真命题．课时作业8
一、选择题
1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．
答案：B
2．[2014·湖南师大附中月考]命题“ x∈R，x2>3”不可以表述为(　　)
A．有一个x∈R，使得x2>3
B．对有些x∈R，使得x2>3
C．任选一个x∈R，使得x2>3
D．至少有一个x∈R，使得x2>3
解析：本题主要考查特称命题．“ ”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同，但是“任选一个”是全称量词，所以C的表述不正确，故选C.
答案：C
3．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a<0，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<1　
B．a≤1
C．－1D．－1解析：当a≤0时，显然存在x0∈R，使
ax＋2x0＋a<0；
当a>0时，必需Δ＝4－4a2>0，
解得－1综上所述，实数a的取值范围是a<1.
答案：A
4．有下列四个命题：① x∈R,2x2－3x＋4>0；② x∈{1，－1，0},2x＋1>0；③ x0∈N，使x≤x0；④ x0∈N
，使x0为29的约数．其中真命题的个数为(　　)
A．1　
B．2
C．3　
D．4
解析：对于①，这是全称命题，由于
Δ＝(－3)2－4×2×4<0，
所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；
对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；
对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；
对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，成以④为真命题．故选C.
答案：C
二、填空题
5．下列命题，是全称命题的是__________；是特称命题的是__________．
①正方形的四条边相等；
②有些等腰三角形是正三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①③是全称命题，②④是特称命题．
答案：①③　②④
6．若 x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．
解析：由题意知，0∴，即，∴，
∴1答案：(－，－1)∪(1，)
7．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列四个命题中假命题的序号是________．
① x∈R，f(x)≤f(x0)；
② x∈R，f(x)≥f(x0)；
③ x∈R，f(x)≤f(x0)；
④ x∈R，f(x)≥f(x0)．
解析：由题意：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此 x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．
答案：③
三、解答题
8．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：
(1)所有的对数函数都是单调函数；
(2)对某些实数x，有2x＋1>0；
(3) x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；
(4) x0∈Q，x＝3.
解：(1)命题中含有全称量词“所有的”，因此是全称命题，且是真命题．
(2)命题中含有存在量词“某些”，因此是特称命题，且是真命题．
(3)命题中含有全称量词的符号“ ”，因此是全称命题．
把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22都是偶数，因此，该命题是真命题．
(4)命题中含有存在量词的符号“ ”，因此是特称命题．
由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．
9．若命题“ x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
解：法一：由题意， x∈[－1，＋∞)．令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，可转化为 x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立．
又f(x)＝(x－a)2＋2－a2，∴ x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
因为f(x)的最小值f(x)min≥a，∴或 －1≤a≤1或－3≤a<－1，得a∈[－3,1]．
法二：x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0.
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为 x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥0成立．
所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a<－2.
所以－3≤a≤1.
综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．课时作业12
一、选择题
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　)
A.
(－1,0)，(1,0)　
B.
(－6,0)，(6,0)
C.
(－，0)，(，0)　
D.
(0，－)，(0，)
解析：方程化为标准形式为x2＋＝1，其焦点在y轴上，由于a2＝6，∴a＝.∴长轴的端点坐标为(0，±)，故选D.
答案：D
2．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的(　　)
A．长轴长相等　
B．短轴长相等
C．离心率相等　
D．焦距相等
解析：由题意可知两个椭圆的焦点都在x轴上，前者焦距2c＝2＝8，
后者焦距2c＝2＝8.
答案：D
3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1　　
B.＋＝1
C.＋＝1　
D.
＋＝1
解析：由2a＝12，＝，解得a＝6，c＝2，
∴b2＝62－22＝32.
∵焦点在x轴上，
∴椭圆的方程为＋＝1.
答案：D
4．[2014·山东省济南一中月考]已知椭圆＋＝1的上焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A、B和C、D，则|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝(　　)
A.
2　
B.
4
C.
4　
D.
8
解析：本题考查椭圆定义的应用．
如图，
设F1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1，FD.由椭圆的对称性可知，四边形AFDF1为平行四边形，∴|AF1|＝|FD|，同理|BF1|＝|CF|，∴|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝|AF|＋|BF|＋|BF1|＋|AF1|＝4a＝8，故选D.
答案：D
二、填空题
5．若椭圆的焦点在y轴上，长轴长为4，离心率e＝，则其标准方程为__________．
解析：依题意，得a＝2，e＝＝，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆的标准方程为：＋x2＝1.
答案：＋x2＝1
6．已知点P(3,4)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，则以P为顶点的椭圆的内接矩形PABC的面积是__________．
解析：由对称性知矩形PABC的长与宽分别为6,8，故S＝48.
答案：48
7．[2014·江苏省南京师大附中月考]过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为________．
解析：本题主要考查椭圆的离心率．由题意，△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝60°，所以|PF2|＝
2|PF1|.
设|PF1|＝x，则|PF2|＝2x，|F1F2|＝x，又
|F1F2|＝2c，所以x＝.即|PF1|＝，|PF2|＝.由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以＋＝2a，即e＝＝.
答案：
三、解答题
8．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)．
(2)离心率e＝，焦距为12.
解：(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得
解得
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得
解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6，
∴b2＝a2－c2＝64.
当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为
＋＝1；
当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为
＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为
＋＝1或＋＝1.
9．如下图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
其中，c＝，设B(x，y)．
由＝2 (c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B(，－)．
将B点坐标代入＋＝1，
得＋＝1，即＋＝1，
解得a2＝3c2.
①
又由·＝(－c，－b)·(，－)＝
b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.
②
由①，②解得c2＝1，a2＝3，
从而有b2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.课时作业5
一、选择题
1．“x(y－2)＝0”是“x2＋(y－2)2＝0”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若x(y－2)＝0，则x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立，反之，
若x2＋(y－2)2＝0，则x＝0且y＝2，一定有
x(y－2)＝0，
因此，“x(y－2)＝0”是“x2＋(y－2)2＝0”的必要而不充分条件，故选A.
答案：A
2．“m＝1”是“函数y＝xm2－4m＋5为二次函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当m＝1时，y＝x1－4＋5＝x2，是二次函数；反之，若y＝x
m2－4m＋5为二次函数，则m2－4m＋5＝2，即m2－4m＋3＝0，
∴m＝1或m＝3，因此，“m＝1”是“y＝x
m2－4m＋5为二次函数”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
3．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是(　　)
A．b≥0　
B．b≤0
C．b>0　
D．b<0
解析：由于函数y＝x2＋bx＋c的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x＝－，要使该函数在[0，＋∞)上单调，必须－≤0，即b≥0，故选A.
答案：A
4．方程“ax2＋2x－1＝0至少有一个正实根”的充要条件是(　　)
A．－1≤a<0　
B．a>－1
C．a≥－1　
D．－1≤a<0或a>0
解析：a＝0时，方程ax2＋2x－1＝0有一正根，排除A、D两项；a＝－1时，方程化为x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，x＝1>0.排除B项，故选C.
答案：C
二、填空题
5．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．
解析：x2－3x＋2<0 (x－1)(x－2)<0 1答案：16．设n∈N
，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__________.
解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2.
答案：3或4
7．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①____________；充要条件②____________.(写出你认为正确的两个充要条件)
解析：根据平行六面体的定义和性质可知，平行六面体的两组相对侧面分别平行，反之亦成立；平行六面体的一组相对侧面平行且全等，反之亦成立；平行六面体的底面是平行四边形，反之亦成立．从中任选两个即可．
答案：底面是平行四边形　两组相对侧面分别平行
三、解答题
8．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
解：(1)当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；
(2)当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足 0综上，若方程至少有一个负的实根，
则a≤.
反之，若a≤，则方程至少有一个负的实根．
因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤.
9．[2014·江苏省南京师大附中月考]已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明：(充分性)当q＝－1时，a1＝S1＝p－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，且n＝1时也成立．
于是＝＝p(p≠0且p≠1)，即{an}为等比数列．
(必要性)当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
因为p≠0且p≠1，所以当n≥2时，＝＝p，又{an}为等比数列，∴＝p，
故＝p，即p－1＝p＋q，求得q＝－1.
综上可知，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．课时作业6
一、选择题
1．如果命题“p为假”，命题“p∧q”为假，那么则有(　　)
A．q为真　
B．q为假
C．p∨q为真　
D．p∨q不一定为真
解析：∵p假，p∧q假，∴q可真可假，当q真时，p∨q为真；当q假时，p∨q为假．
答案：D
2．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：p∧q是真命题 p是真命题，q是真命题 p∨q是真命题；p∨q是真命题p∧q是真命题．
答案：A
3．已知p：x2－1≥－1，q：4＋2＝7，则下列判断中，错误的是(　　)
A．p为真命题，p∧q为假命题
B．p为假命题，q为假命题
C．q为假命题，p∨q为真命题
D．p∧q为假命题，p∨q为真命题
解析：∵p为真命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q是真命题．
答案：B
4．给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为(　　)
A．1　
B．2
C．3　
D．4
解析：由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；
由于方程x2－2x－4＝0的判别式大于0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；
由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；
由于(A∩B) A，(A∩B) (A∪B)，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题．
答案：D
二、填空题
5．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是__________．
解析：x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，
即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，
所以1≤x<2，即x∈[1,2)．
答案：[1,2)
6．“p是假命题”是“p∨q为假命题”的__________条件．
解析：p假时，p或q不一定假，但p或q假时，p一定假，所以“p是假命题”是“p或q是假命题”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．若p：不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－}，q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a解析：因命题“p∧q”为真命题，所以p、q均为真命题，于是a>0，且a答案：0三、解答题
8．写出由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”形式的命题，并判断其真假．
(1)p：集合中的元素是确定的，q：集合中的元素是无序的；
(2)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边平行相等．
解：(1)“p∧q”：集合中的元素是确定的且是无序的，真命题．
“p∨q”：集合中的元素是确定的或是无序的，真命题．
(2)“p∧q”：梯形有一组对边平行且有一组对边平行相等，假命题．
“p∨q”：梯形有一组对边平行或有一组对边平行相等，真命题．
9．[2014·四川省绵阳中学期中考试]已知命题p：对任意x∈R，函数y＝lg(x2＋m)有意义，命题q：函数f(x)＝(5－2m)x是增函数．若p∧q为真，求实数m的取值范围．
解：由于p∧q为真，则p真且q真．
当p为真时，即对任意x∈R，函数y＝lg(x2＋m)有意义．
即对任意x∈R，x2＋m>0恒成立，
即m>－x2恒成立，又－x2≤0，所以m>0.
当q为真时，函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数，
所以有5－2m>1，解得m<2.
解不等式组得0所以实数m的取值范围是0一、选择题
1．函数f(x)＝－x3＋x取极小值时，x的值是(　　)
A．2　
B．2，－1
C．－1　
D．－3
解析：f′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，f′(x)的图象如下图．
∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，
∴x＝－1时取极小值．
答案：C
2.
[2012·陕西高考]设函数f(x)＝＋lnx，则(　　)
A.
x＝为f(x)的极大值点
B.
x＝为f(x)的极小值点
C.
x＝2为f(x)的极大值点
D.
x＝2为f(x)的极小值点
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，当x＝2时，f′(x)＝0；当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；当0答案：D
3.
设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则(　　)
A.
a<－1　
B.
a>－1
C.
a>－　
D.
a<－
解析：y′＝a＋ex，由ex＋a＝0得ex＝－a，x＝
ln(－a)．
可知x＝ln(－a)为函数的极值点．
∴ln(－a)>0，即ln(－a)>ln1.∴a<－1.
答案：A
4.
已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：由图可知f(1)＝0，f(2)＝0，
∴解得
∴f(x)＝x3－3x2＋2x，∴f′(x)＝3x2－6x＋2.
由图可知x1，x2为f(x)的极值点，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝.
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
答案：C
二、填空题
5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于__________．
解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
6．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad＝__________.
解析：∵y′＝3－3x2，令y′＝0得x＝±1，
且当x>1时，y′<0，
当－1≤x≤1时，y′≥0，
当x<－1时，y′<0，
故x＝1为y＝3x－x3的极大值点，即b＝1.
又c＝3b－b3＝3×1－1＝2，
∴bc＝2.
又∵a，b，c，d成等比数列，
∴ad＝bc＝2.
答案：2
7．已知函数y＝xf′(x)的图象如下图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：
①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；
②函数f(x)在区间(－1,1)上单调递增；
③函数f(x)在x＝－处取得极大值；
④函数f(x)在x＝1处取得极小值．
其中正确的说法是__________．
解析：
题号
正误
原因分析
①
?
由图象知，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，故f′(x)>0，f(x)递增
②
?
当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，故f′(x)<0；当x∈(0,1)时，xf′(x)<0，故f′(x)<0.综上，当x∈(－1,0)∪(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在区间(－1,0)，(0,1)上是减函数
③
?
f(x)在区间(－1,0)上单调递减，故x＝－不是极值点
④
?
f(x)在区间(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故f(x)在x＝1处取得极小值
答案：①④
三、解答题
8．[2013·重庆高考]设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x>0)，f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln3.
9．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.
(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
解：由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，
得f′(x)＝ax2＋2bx＋c.
因为f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1,4，
所以(
)
(1)当a＝3时，由(
)式得
解得b＝－3，c＝12.
又因为曲线y＝f(x)过原点，所以d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在
(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．
由(
)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)．
解得a∈[1,9]．
即a的取值范围是[1,9]．课时作业16
一、选择题
1．[2013·福建高考]双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)
A.
　
B.
C.
1　
D.
解析：本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离公式．双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，顶点坐标为(±1,0)，故顶点到渐近线的距离为，故选B.
答案：B
2．[2014·甘肃省兰州一中期末考试]以直线x±y＝0为渐近线，一个焦点坐标为F(0,2)的双曲线方程是(　　)
A.
－y2＝－1　
B.
x2－＝1
C.
－y2＝1　
D.
x2－＝－1
解析：本题主要考查双曲线的简单几何性质及其标准方程的求法．一个焦点坐标为(0,2)，说明双曲线的焦点在y轴上．因为渐近线方程为x±y＝0，所以可设双曲线方程为y2－3x2＝λ(λ>0)，即－＝1,22＝λ＋＝4，解得λ＝3，所以双曲线方程为x2－＝－1，故选D.
答案：D
3．双曲线的渐近线为y＝±x，则双曲线的离心率是(　　)
A.　
B．2
C.或　
D.
或
解析：若双曲线焦点在x轴上，∴＝.
∴e＝＝＝＝.
若双曲线的焦点在y轴上，
∴＝，＝.
∴e＝＝＝＝.
答案：C
4．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)
A.　　
B.
C．2　
D．3
解析：设双曲线C的方程为－＝1，焦点F(－c,0)，将x＝－c代入－＝1可得y2＝，所以|AB|＝2×＝2×2a.
∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝＝.
答案：B
二、填空题
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．
解析：椭圆的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，
故c＝4，且满足＝2，
故a＝2，b＝＝2.
所以双曲线的渐近线方程为
y＝±x＝±x.
答案：(4,0)，(－4,0)　y＝±x
6．已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即－＝1.考虑到焦距为4，可得到一个关于c的等式，2c＝4，即c＝2.再加上a2＋b2＝c2，可以解出a＝1，b＝，c＝2，所以离心率e＝2.
答案：2
7．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．
解析：设椭圆C1的方程为＋＝1(a1>b1>0)，
由已知得，∴
∴焦距为2c1＝10.
又∵8<10，∴曲线C2是双曲线．设其方程为
－＝1(a2>0，b2>0)，
则a2＝4，c2＝5，∴b＝52－42＝32，
∴曲线C2的方程为－＝1.
答案：－＝1
三、解答题
8．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)一个顶点是(0,6)，且离心率是1.5；
(2)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)．
解：(1)∵顶点为(0,6)，设所求双曲线方程为－＝1，∴a＝6.
又∵e＝1.5，∴c＝a×e＝6×1.5＝9，b2＝c2－a2＝45.
故所求的双曲线方程为－＝1.
(2)法一：双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，
令x＝－3，y＝±4，因2<4，故点(－3,2)在射线y＝－x(x≤0)及x轴负半轴之间
∴双曲线焦点在x轴上．
设双曲线方程为－＝1，(a>0，b>0)，则
解之得
∴双曲线方程为－＝1.
法二：设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
∴－＝λ.
∴λ＝，∴双曲线方程为－＝1.
9．双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线离心率e的取值范围．
解：设直线l的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a>1，得点(1,0)到直线l的距离
d1＝，点(－1,0)到直线l的距离
d2＝.
∴s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.
∵e＝，∴5≥2e2，
∴25(e2－1)≥4e4，
即4e4－25e2＋25≤0，
∴≤e2≤5(e>1)．
∴≤e≤，
即e的取值范围为[，]．课时作业25
一、选择题
1．甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s1＝t3－2t2＋t和s2＝3t2－t－1，则在t＝2时两个物体的瞬时速度的关系是(　　)
A.
甲大　
B.
乙大
C.
相等　
D.
无法比较
解析：v1＝s′1＝3t2－4t＋1，v2＝s′2＝6t－1，所以在t＝2时两个物体的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大．
答案：B
2．下列求导数运算正确的是(　　)
A．(x＋)′＝1＋
B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e
D．(x2cosx)′＝－2xsinx
解析：对于A，(x＋)′＝1－；对于B，由导数公式(logax)′＝知正确，故选B.
答案：B
3．[2014·湖南模拟]曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为(　　)
A.
－　
B.
C.
－　
D.
解析：y′＝＝，把x＝代入得导数值为.
答案：B
4．点P是曲线y＝－x2上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为(　　)
A．1　　
B.
C.　
D.
解析：依据题意知，当曲线y＝－x2在P点处的切线与直线y＝x＋2平行时，点P到直线y＝x＋2的距离最小，设此时P点的坐标为(x0，y0)．
根据导数的运算法则可以求得y′＝－2x，所以曲线在P点处的切线的斜率k＝－2x0，因为该切线与直线y＝x＋2平行，所以有－2x0＝1，得x0＝－.
故P点的坐标为(－，－)，这时点P到直线y＝x＋2的距离d＝＝.
答案：B
二、填空题
5．[2013·江西高考]设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
解析：令t＝ex，故x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，即f(x)＝lnx＋x，所以f′(x)＝＋1，所以f′(1)＝1＋1＝2.
答案：2
6．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝__________.
解析：f(x)＝(x2－4)(x－a)
＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4，又f′(－1)＝0，
即3×(－1)2－2a×(－1)－4＝0，
∴a＝.
答案：
7．已知函数f(x)＝f′()cosx＋sinx，则f()的值为__________．
解析：∵f(x)＝f′()cosx＋sinx，
∴f′(x)＝－f′()sinx＋cosx.
∴f′()＝－f′()sin＋cos.
∴f′()＝－1.
从而有f()＝(－1)cos＋sin＝1.
答案：1
三、解答题
8．求下列函数的导数．
(1)y＝sinx－2x2；
(2)y＝cosx·lnx；
(3)y＝.
解：(1)y′＝(sinx－2x2)′＝(sinx)′－(2x2)′
＝cosx－4x.
(2)y′＝(cosx·lnx)′
＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′
＝－sinx·lnx＋.
(3)y′＝()′
＝
＝
＝.
9．已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．
解：f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，
由已知得解得a＝，x＝e2，
∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)．
切线的斜率为k＝f′(e2)＝，
∴切线的方程为y－e＝(x－e2)，
即x－2ey＋e2＝0.习题课(1)
一、选择题
1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是(　　)
A.
(±1,0)　
B.
(0，±1)
C.
(±，0)　
D.
(0，±)
解析：本题考查椭圆的性质．由题意，椭圆的焦点在y轴上，a＝4，b＝3，所以c＝＝＝，所以椭圆的焦点坐标是(0，±)，故选D.
答案：D
2．[2014·唐山一中月考]若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为(　　)
A.
(，)
B.
(，＋∞)∪(－∞，)
C.
(，＋∞)
D.
(－∞，－)
解析：本题考查椭圆的范围．因为点P在椭圆＋＝1的外部，所以＋>1，解得a>或a<，故选B.
答案：B
3．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点，则该椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1　　B.＋＝1
C.＋＝1　
D.
＋＝1
解析：椭圆的焦点在x轴上，排除A、B，
又过点验证即可．
答案：D
4．若焦点在x轴上的椭圆的方程是＋＝1，则该椭圆焦距的取值范围是(　　)
A.
(0，)　
B.
(0,6)
C.
(0,2)　
D.
(0,12)
解析：本题考查椭圆的方程特征．由题意，c＝，故0答案：C
5．[2014·浙江名校联考]已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一动点，且P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－，则椭圆的离心率为(　　)
A.
　
B.
C.
　
D.
解析：设P(x0，y0)，则·＝－，化简得＋＝1，又P在椭圆上，所以＋＝1，所以a2＝2b2，故e＝.
答案：B
6．如下图所示，A、B、C分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为(　　)
A.　
B．1－
C.－1　
D.
解析：由(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2，
∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0，
∵e＝，∴e2＋e－1＝0，∴e＝.
答案：A
二、填空题
7．[2014·河北省衡水中学月考]已知P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是________．
解析：本题主要考查与椭圆有关的轨迹问题．
如图，
依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常数且a>0)．
又|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PQ|＝2a，
即|QF1|＝2a.
由题意知，a＝2，b＝，∴c＝1.
∴|QF1|＝4，F1(－1,0)，
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，
∴动点Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.
答案：(x＋1)2＋y2＝16
8．P是椭圆＋＝1上的点，F1和F2是该椭圆的焦点，则k＝|PF1|·|PF2|的最大值是__________，最小值是__________．
解析：设|PF1|＝x，则k＝x(2a－x)，
因a－c≤|PF1|≤a＋c，即1≤x≤3.
∴k＝－x2＋2ax＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴kmax＝4，kmin＝3.
答案：4　3
9．椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为__________．
解析：由已知得∠AF1F2＝30°，故cos30°＝，从而e＝.
答案：
三、解答题
10．[2014·四川省绵阳中学月考]求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
解：(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又e＝＝，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点可能在x轴上，也可能在y轴上
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
11．如下图，已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x＝－(c是椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率e.
解：依题意知H，F(c,0)，B(0，b)．
设P(xP，yP)，且xP＝c，代入到椭圆的方程，
得yP＝.∴P.
∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即＝.
∴ab＝c2.
∴e＝＝，∴e2＝＝e－2－1.
∴e4＋e2－1＝0.∵012．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
解：(1)由
得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0.
解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，
由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，
x1x2＝(m2－1)．
设弦长为d，且y1－y2＝(x1＋m)－(x2＋m)＝x1－x2，
∴d＝
＝
＝
＝
＝.
∴当m＝0时，d最大，此时直线方程为y＝x.课时作业2
一、选择题
1．[2013·江西九江一模]命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(　　)
A.
“若xB.
“若x>y，则x2>y2”
C.
“若x≤y，则x2≤y2”
D.
“若x≥y，则x2≥y2”
解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
答案：C
2．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是(　　)
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
解析：由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．
答案：A
3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析：命题“若p，则q”的否命题为“若 p，则 q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.
答案：B
4．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　　)
A．4　　　　　　　　
B．3
C．2　
D．0
解析：原命题和它的逆否命题为真命题．
答案：C
二、填空题
5．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．
答案：若x≤y，则x3≤y3－1，将条件、结论分别否定即可．
6．[2014·江西省临川一中月考]命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)
解析：本题考查否命题及命题真假性的判断．原命题的否命题是“若实数a满足a>2，则a2≥4”，这是一个真命题．
答案：真
7．已知命题“若m－1解析：由已知得，若1则m－1∴∴1≤m≤2.
答案：[1,2]
三、解答题
8．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)正数的平方根不等于0；
(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；
(3)对顶角相等．
解：(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．
逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．
否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．
逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．
(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．
逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．
否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．
逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．
(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．
逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．
否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．
9．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．
(1)垂直于同一个平面的两直线平行．
(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根．
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.
解：(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；假命题．
否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；假命题．
逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面；真命题．
(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0；假命题．
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根；假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；真命题．
(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题．课时作业10
一、选择题
1．已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P点的轨迹是椭圆．命题甲是命题乙的(　　)
A.
充分不必要条件　
B.
必要不充分条件
C.
充分且必要条件　
D.
既不充分又不必要条件
解析：若P点的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)，P点的轨迹不一定是椭圆，所以甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．
答案：B
2．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)
A．锐角三角形　
B．直角三角形
C．钝角三角形　
D．等腰直角三角形
解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.
又|F1F2|＝2c＝2＝4，∴△PF1F2为直角三角形．
答案：B
3．[2014·西安交大附中月考]椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标是(　　)
A.
(±3,0)　
B.
(±，0)
C.
(±，0)　
D.
(0，±)
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，故焦点在y轴上，其中a2＝，b2＝，所以c2＝a2－b2＝－＝，故c＝.所以所求焦点坐标为(0，±)．
答案：D
4．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是(　　)
A.
(，)　
B.
[，)
C.
(，)　
D.
[，)
解析：∵方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴8sinα>4，sinα>.
∵α为锐角，∴<α<.
答案：C
二、填空题
5．一个焦点坐标是(0,4)，过点B(1，)的椭圆的标准方程为__________．
解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∴a2－b2＝16，
①
又过点B(1，)，
∴＋＝1，
②
∴由①②知，a2＝20，b2＝4，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
6．[2014·云南省昆明一中月考]已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．
解析：本题考查椭圆的标准方程．由已知，2a＝8,2c＝
2，∴a＝4，c＝，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为＋x2＝1.
答案：＋x2＝1
7．已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)并且焦距为6，则实数m的值为__________．
解析：∵2c＝6，∴c＝3.
当焦点在x轴上时，a2＝25，∴m＝16.
当焦点在y轴上时，b2＝25，∴m＝34.
答案：16或34
三、解答题
8．求经过点A(，－2)和点B(－2，1)的椭圆的标准方程．
解法一：(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有
解得
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有解得
因为a故所求椭圆的方程为＋＝1.
解法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
依题意有解得
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
9．如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．
解：由垂直平分线性质可知
|MQ|＝|MA|，
∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，
又|CQ|＝4，
∴|CM|＋|MA|＝4.
又|AC|＝2，∴M点轨迹为椭圆．
由椭圆的定义知：a＝2，c＝1，
∴b2＝a2－c2＝3.
∴所求轨迹方程为：＋＝1.课时作业4
一、选择题
1．若 p是 q的必要条件，则q是p的(　　)
A．充分条件　
B．必要条件
C．非充分条件　
D．非必要条件
解析： p是 q的必要条件，即 q p为真命题，故 q p的逆否命题p q也为真命题．
∴q是p的必要条件．
答案：B
2．对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是(　　)
A.
“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.
“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C.
“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D.
“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
解析：当a＝b时，ac＝bc，而当ac＝bc时，若c＝0，则a和b不一定相等．
答案：B
3．已知条件p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6>x2，则 p是 q的(　　)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析： p：x2＋2x－3≤0，则－3≤x≤1；
q：5x－6≤x2，即x2－5x＋6≥0，
∴x≥3或x≤2.由小集合 大集合，
∴ p q，但 q p.故选A.
答案：A
4．一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是(　　)
A.
m>0，n>0　
B.
mn<0
C.
m<0，n<0　
D.
mn>0
解析：一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限，即得m>0，n>0.
由题意可得，m>0，n>0可以推出选项条件，而反之不成立，所以选D.
答案：D
二、填空题
5．用“充分条件”和“必要条件”填空．
(1)“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的__________．
(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的__________．
解析：(1)xy＝1lgx＋lgy＝0(如x＝y＝－1)，
lgx＋lgy＝0 lg(xy)＝0 xy＝1.
(2)△ABC≌△A′B′C′ △ABC∽△A′B′C′，
△ABC∽△A′B′C′△ABC≌△A′B′C′.
答案：(1)必要条件　(2)充分条件
6．已知α、β是不同的两个平面，直线a α，直线b β，
p：a与b无公共点，q：α∥β，则p是q的________条件．
解析：面面平行时定有分别位于两个面内的直线无公共点，但是两个面内的直线无公共点时，这两个面的关系可能是平行的，也可能是相交，故p是q的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．已知p：x2＋x－2>0，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是__________．
解析：将p，q分别视为集合A＝{x|x2＋x－2>0}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|x>a}，已知q是p的充分不必要条件，即B?A，在数轴上表示出两个集合(图略)，可知满足题意的a的取值范围为a≥1.
答案：a≥1
三、解答题
8．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，
但x＝y |x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．
△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．
四边形是矩形 四边形的对角线互相平分．
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
9．[2014·河南省郑州一中月考]已知p：关于x的不等式解：记A＝{x|B＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0若p是q的充分不必要条件，则A?B.
注意到B＝{x|0(1)若A＝ ，即≥，求得m≤0，此时A?B，符合题意；
(2)若A≠ ，即<，求得m>0，
要使A?B，应有，解得0综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3)．课时作业15
一、选择题
1．双曲线方程为x2－2y2＝2，则它的左焦点坐标为(　　)
A．(－，0)　
B．(－，0)
C．(－，0)　
D．(－，0)
解析：双曲线标准方程为－y2＝1，
∴c2＝2＋1＝3.
∴左焦点坐标为(－，0)．
答案：D
2．[2014·四川宜宾一模]已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是(　　)
A.
　
B.
C.
　
D.
2
解析：由已知可得c＝，a＝1，∴b＝1.
∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－1)．
将y＝代入，可得点P的横坐标为x＝－.
∴点P到原点的距离为＝.
答案：A
3．方程－＝6化简的结果是(　　)
A.
－＝1　　　
B.
－＝1
C.
－＝1(x≤－3)　　　
D.
－＝1(x≥3)
解析：方程的几何意义是动点P(x，y)到定点(4,0)，
(－4,0)的距离之差为6，由于6<8，所以动点的轨迹是双曲线的左支，由定义可得方程为－＝1，x≤－3.
答案：C
4．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是(　　)
A.－＝1　　
B.－＝1
C．x2－＝1　
D.
－y2＝1
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在Rt△PF1F2中m2＋n2＝(2c)2＝20，m·n＝2，
由双曲线定义知|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝16.
∴4a2＝16.∴a2＝4，b2＝c2－a2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
答案：D
二、填空题
5．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k的值为__________．
解析：方程化为标准形式是－＝1，
所以－－＝9，即k＝－1.
答案：－1
6．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析：如图所示，
F(－4,0)，设F′为双曲线的右焦点，则F′(4,0)，点A(1,4)在双曲线两支之间，由双曲线定义，|PF|－|PF′|＝2a＝4，而|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|≥4＋|AF′|＝4＋5＝9.
当且仅当A，P，F′三点共线时取等号．
答案：9
7．[2013·上海静安二模]已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为________．
解析：由题意知F1(－3,0)，设M(－3，y0)，代入双曲线方程求得|y0|＝，即|MF1|＝.又|F1F2|＝6，利用直角三角形性质及数形结合得F1到直线F2M的距离为d＝＝＝.
答案：
三、解答题
8．已知点P为双曲线x2－＝1上的点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，且|PF1|·|PF2|＝24，求△PF1F2的周长．
解：由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
又|PF1|·|PF2|＝24，所以|PF1|＋|PF2|＝＝10.
又因为|F1F2|＝2c＝2，所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝10＋2.
9．已知双曲线－＝1的两焦点为F1、F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
解：(1)如右图所示，
不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义知，
m－n＝2a＝8，
①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，
②
由①②得m·n＝8，
∴mn＝4＝|F1F2|h，
∴h＝.
∴M点到x轴的距离为.
(2)设所求双曲线C的方程为
－＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，
所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线C的方程为－＝1.课时作业29
一、选择题
1．[2014·大连模拟]使函数f(x)＝x＋2cosx在[0，]上取最大值的x为(　　)
A.
0　
B.
C.
　
D.
解析：∵f′(x)＝1－2sinx＝0，x∈[0，]时，
sinx＝，x＝，
∴当x∈[0，)时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
当x∈(，]时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
即x＝，f(x)取最大值．故选B.
答案：B
2．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为(　　)
A.　　
B.
C.　
D.
解析：f(x)＝x－x3，f′(x)＝1－3x2，令f′(x)＝0得x＝(x＝－舍去)，又f(0)＝0，f(1)＝0，f()＝，则比较得最大值为f()＝.
答案：A
3．函数y＝x－sinx，x∈[，π]的最大值是(　　)
A．π－1　　
B.－1
C．π　
D．π＋1
解析：y′＝1－cosx≥0，所以y＝x－sinx在[，π]上为增函数．当x＝π时，ymax＝π.
答案：C
4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是(　　)
A.
－37　
B.
－29
C.
－5　
D.
以上都不对
解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
又∵f(x)在(－2,0)上为增函数，
在(0,2)上为减函数，
∴当x＝0时，f(x)＝m最大．
∴m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.
∴最小值为－37.故选A.
答案：A
二、填空题
5．若F(x)＝x－2lnx＋2a，则F(x)在(0，＋∞)上的最小值是________．
解析：令F′(x)＝1－＝＝0得x＝2.
当x∈(0,2)时F′(x)<0，
当x∈(2，＋∞)时，F′(x)>0，
∴当x＝2时F(x)min＝F(2)＝2－2ln2＋2a.
答案：2＋2a－2ln2
6．若关于x的不等式x2＋≥m对任意x∈(－∞，－]恒成立，则m的取值范围是__________．
解析：设y＝x2＋，则y′＝2x－＝.
∵x≤－，∴y′<0，
即y＝x2＋在(－∞，－]上单调递减．
∴当x＝－时，y取得最小值为－.
∵x2＋≥m恒成立，∴m≤－.
答案：(－∞，－]
7．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)，x∈[0,1]的值域为_____．
解析：当0≤x≤1时，f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx>0，所以f(x)在[0,1]上单调递增，则f(0)≤f(x)≤f(1)，即函数f(x)的值域为[，e(sin1＋cos1)]．
答案：[，e(sin1＋cos1)]
三、解答题
8．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
解：f′(x)＝3x2－2ax.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.
当0<<2，即0递减，在区间[，2]上单调递增，从而f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
9．若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a，b的值．
解：f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．
令f′(x)＝0，得x＝0，x＝4.
∵x∈[－1,2]，∴x＝0.
由题意知a≠0.
(1)若a>0，则f(x)，f′(x)随x变化的情况如下表：
x
(－1,0)
0
(0,2)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增?
最大值3
单调递减?
∴当x＝0时，f(x)取最大值，∴b＝3.
又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，
f(－1)＝－7a＋3>f(2)，
∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29，
∴a＝2.
(2)若a<0，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
(－1,0)
0
(0,2)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减?
最小值－29
单调递增?
∴当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝b＝－29.
又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29∴当x＝2时，f(x)取最大值，即－16a－29＝3，
∴a＝－2.
综上：或课时作业13
一、选择题
1．直线l：kx－y－k＝0与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)
A．相交　
B．相离
C．相切　
D．不确定
解析：∵kx－y－k＝0，∴y＝k(x－1)，即直线过定点(1,0)，而(1,0)点在＋＝1的内部，故l与椭圆＋＝1相交．
答案：A
2．[2014·清华附中月考]若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)
A.
(－∞，0)∪(1，＋∞)
B.
(1,3)∪(3，＋∞)
C.
(－∞，－3)∪(－3,0)
D.
(1,3)
解析：本题考查直线与椭圆的位置关系．由消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.
若直线与椭圆有两个公共点，
则解得
由＋＝1表示椭圆知，m>0且m≠3.综上可知，m的取值范围是m>1且m≠3，故选B.
答案：B
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A(2,0)为长轴的一个端点，
弦BC过椭圆的中心O，且·＝0，|－|＝2|－|，则其焦距为(　　)
A.　　
B.
C.　
D.
解析：如下图，a＝2，由·＝0 ∠C＝90°，
|BC|＝2|AC|，∴|OC|＝|AC|，
∴C(1，－1)代入椭圆方程得＋＝1，
∴b2＝，又a2＝4，∴c2＝4－＝，∴c＝.
∴2c＝.
答案：C
4．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则·等于(　　)
A．－3　
B．－
C．－或－3　
D．±
解析：不妨设直线l过椭圆的右焦点F(1,0)，
则直线l的方程为y＝x－1，由
消去y，得3x2－4x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝0，
∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－.
答案：B
二、填空题
5．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是__________．
解析：设AF1＝1，由△ABF2是正三角形知，|AF2|＝2，|F1F2|＝，所以椭圆的离心率e＝＝＝＝.
答案：
6．若直线y＝2x＋b与椭圆＋y2＝1无公共点，则b的取值范围为________．
解析：由
得＋(2x＋b)2＝1.
整理得17x2＋16bx＋4b2－4＝0.
Δ＝(16b)2－4×17(4b2－4)<0，
解得b>或b<－.
答案：(－∞，－)∪(，＋∞)
7．在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点(，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝__________.
解析：如右图，
切线PA、PB互相垂直，半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故＝a，
解得e＝＝.
答案：
三、解答题
8．已知椭圆＋y2＝1，求过点P(，)且被P平分的弦所在直线的方程．
解法一：由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为y－＝k(x－)，即y＝kx＋－k.
由
得(2＋4k2)x2＋4k(1－k)x＋(1－k)2－4＝0，
设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1＋x2＝－＝1，
解之得k＝－.
∴直线方程为2x＋4y－3＝0.
解法二：设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由题意知，所求直线的斜率存在，设为k，
则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.
由得y－y＝－(x－x)，
∴＝－·＝－，
即k＝－，
∴直线方程为y－＝－(x－)，
即2x＋4y－3＝0.
9．[2014·郑州外国语学校月考]已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点．
(1)求AB的中点坐标；
(2)求△ABF2的周长与面积．
解：(1)由＋＝1，知a＝，b＝，c＝1.
∴F1(－1,0)，F2(1,0)，∴l的方程为y＝x＋1，
联立消去y得5x2＋6x－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，则
x1＋x2＝－，x1x2＝－，x0＝＝－，y0＝＝＝＋1＝(或y0＝x0＋1＝－＋1＝)，
∴中点坐标为M(－，)．
(2)由题意知，F2到直线AB的距离d＝＝＝，
|AB|＝·＝，
∴S△ABF2＝|AB|d＝××＝，
△ABF2的周长＝4a＝4.课时作业23
一、选择题
1．若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)＝(　　)
A.
0　
B.
－3x
C.
3　
D.
－3
解析：f′(x)＝
＝
＝
(－3)＝－3.
答案：D
2．已知函数y＝f(x)的图象如下图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：由图象易知，点A、B处的切线斜率kA、kB满足kA答案：B
3．已知曲线y＝－x2－2上一点P(1，－)，则在点P的切线的倾斜角为(　　)
A．30°　
B．45°
C．135°　
D．165°
解析：∵点P(1，－)在曲线y＝f(x)＝－x2－2上，则在点P的切线斜率为f′(1)＝k＝－1.
∴在点P的切线的倾斜角为135°.
答案：C
4．李华在参加一次同学聚会时，用如下图左所示的圆口杯喝饮料，他想：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图象可能是(　　)
解析：由于圆口杯是“下细上粗”，则开始阶段高度增加较快，以后高度增加得越来越慢，仅有B符合．
答案：B
二、填空题
5．曲线f(x)＝x2在x＝0处的切线方程为__________．
解析：f′(0)＝
＝Δx＝0，又切线过点(0,0)，故切线方程为y＝0.
答案：y＝0
6．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，则f(4)＋f′(4)＝__________.
解析：由题意，f′(4)＝－2.
f(4)＝－2×4＋9＝1.
因此，f(4)＋f′(4)＝－2＋1＝－1.
答案：－1
7．曲线f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a围成的三角形的面积为，则a＝__________.
解析：因为f′(a)＝
＝3a2，所以曲线在点(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)．令y＝0，得切线与x轴的交点为(a,0)，由题设知三角形面积为|a－a|·|a3|＝，解得a＝±1.
答案：±1
三、解答题
8．利用定义求函数f(x)＝x3＋x－2的导数f′(x)，并利
用f′(x)求f′(－1)，f′(1)．
解：由导数的定义，得
f′(x)＝
＝
＝
[(Δx)2＋3x2＋3x·Δx＋1]＝3x2＋1，
∴f′(x)＝3x2＋1，则f′(－1)＝4，f′(1)＝4.
9．已知曲线y＝上点P(2，－1)．
求：(1)曲线在点P处的切线的斜率；
(2)曲线在点P处的切线方程．
解：将P(2，－1)代入y＝，得t＝1，
∴y＝.
∴y′＝
＝
＝
＝
＝.
(1)曲线在点P处的切线斜率为
y′|x＝2＝＝1；
(2)曲线在点P处的切线方程为
y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.习题课(1)
一、选择题
1．[2014·云南师大附中阶段检测]下列命题中是假命题的是(　　)
A.
a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b
B.
若|a|＝|b|，则a＝b
C.
若ac2>bc2，则a>b
D.
若α＝60°，则cosα＝
解析：本题考查命题真假性的判断．因为|a|＝|b|只能说明a与b的模相等，方向不一定相同，所以a＝b不一定成立，故选B.
答案：B
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析：将原命题的条件和结论互换位置即得逆命题，则原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．
答案：B
3．与命题“若m∈M，则n M”等价的命题是(　　)
A．若m∈M，则n∈M
B．若n M，则m∈M
C．若m M，则n∈M
D．若n∈M，则m M
解析：原命题与其逆否命题等价，故选D.
答案：D
4．[2013·山东高考]给定两个命题p，q.若 p是q的必要而不充分条件，则p是 q的(　　)
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析：∵ p是q的必要而不充分条件，∴q p，但 pq，其逆否命题为p q，但 qp，因为原命题与其逆否命题是等价命题，故选A.
答案：A
5．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要的条件是(　　)
A．a>b＋1　
B．a>b－1
C．a2>b2　
D．a3>b3
解析：a>b＋1 a>b，a>ba>b＋1.
答案：A
6．[2014·华中师大一附中月考]命题p：函数y＝lg(x2＋2x－c)的定义域为R；命题q：函数y＝lg(x2＋2x－c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A，命题q为真命题时c的取值集合为B，则A∩B＝(　　)
A． 　
B．{x|x<－1}
C．{x|x≥－1}　
D．R
解析：本题考查命题为真命题的条件及集合交集的运算．命题p为真命题，即x2＋2x－c>0恒成立，则有Δ＝4＋4c<0，求得c<－1，即A＝{x|x<－1}；令f(x)＝x2＋2x－c，命题q为真命题，则f(x)的值域为(0，＋∞)，即Δ＝4＋4c≥0，求得c≥－1，即B＝{x|x≥－1}．于是A∩B＝ ，故选A.
答案：A
二、填空题
7．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p：________，结论q：________.它是________命题(填“真”或“假”)
解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，
∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．
答案：a>0　二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)　真
8．命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是________(填“真”或“假”)命题．
解析：原命题的逆命题是真命题，所以原命题的否命题是真命题．
答案：真
9．“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的__________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)．
解析：当a＝0时，函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)即为f(x)＝x2，为偶函数；若f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数，则f(－x)＝(－x)2＋a(－x)＝x2－ax＝f(x)＝x2＋ax，则2ax＝0(x∈R)，解得a＝0.
综上知，“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的充要条件．
答案：充要
三、解答题
10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)在同一个三角形中大角所对的边大于小角所对的边；
(2)当x2－2x＋1＝0时，x＝1.
解：(1)在同一个三角形中，若一条边是大角所对的边，则它大于小角所对的边，真命题．
(2)若x2－2x＋1＝0，则x＝1，真命题．
11．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC.
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.
(3)在△ABC中，p：sinA>sinB，q：tanA>tanB.
(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，
q：(x－1)·(y－2)＝0.
解：(1)在△ABC中，
显然有∠A>∠B BC>AC，所以p是q的充要条件．
(2)因为x＝2且y＝6 x＋y＝8，即 q p，
但 p q，所以p是q的充分不必要条件．
(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，pq，
又取∠A＝30°，∠B＝120°，qp，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，A?B，所以p是q的充分不必要条件．
12．已知M＝{x|(x＋3)(x－5)>0}，P＝{x|x2＋(a－8)x－8a≤0}．
(1)求a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5(2)求a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5解：M＝{x|x<－3或x>5}，
P＝{x|(x＋a)(x－8)≤0}．
(1)显然，当－3≤－a≤5，即－5≤a≤3时，M∩P＝{x|5(2)当M∩P＝{x|5