【人教A版】2017-2018学年高中数学选修2-3学案（23份打包，Word版，含解析）

2.4　正态分布
1．了解正态分布的意义．
2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质．(重点)
3．了解正态曲线的意义和性质．
4．会利用φ(x)，F(x)的意义求正态总体小于X的概率．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　正态曲线及正态分布
阅读教材P70～P72，完成下列问题．
1．正态曲线
若φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
图2 4 1
随机变量X落在区间(a，b]的概率为P(a2．正态分布
如果对于任何实数a，b(a正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．
　判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(　　)
(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．(　　)
(3)正态曲线是一条钟形曲线．(　　)
(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．(　　)
【解析】　(1)×　因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．
(2)√　因为离散型随机变量最多取可列个不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．
(3)√　由正态分布曲线的形状可知该说法正确．
(4)×　因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述．
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
教材整理2　正态曲线的特点及3σ原则
阅读教材P72～P74，完成下列问题．
1．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
2．3σ原则
(1)若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数a>0，P(μ－a(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率：
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ(3)通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．
1．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，
得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是________．(填序号)
①曲线b仍然是正态曲线；
②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等；
③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2；
④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2.
【解析】　正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故③错误．
【答案】　③
2．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是________．(填序号)
①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件；
②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件；
③随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件；
④随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．
【解析】　∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997
4，
∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－0.997
4＝0.002
6，
∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．
【答案】　④
3．(2016·山东滨州月考)在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．
【解析】　∵X服从正态分布(1，σ2)，
∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同，均为0.4.
∴X在(0,2)内取值的概率为0.4＋0.4＝0.8.
【答案】　0.8
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：
[小组合作型]
正态分布的概念及正态曲线的性质
　
图2 4 2
如图2 4 2所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
【精彩点拨】　给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式．
【自主解答】　从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20.
由＝，得σ＝.
于是概率密度函数的解析式是
f(x)＝·e－，x∈(－∞，＋∞)，
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
[再练一题]
1.
图2 4 3
(1)设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图2 4 3所示，则有(　　)
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
【解析】　根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.
【答案】　A
(2)
图2 4 4
如图2 4 4是正态分布N(μ，σ)，N(μ，σ)，N(μ，σ)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　)
A．σ1>σ2>σ3　　　　B．σ3>σ2>σ1
C．σ1>σ3>σ2
D．σ2>σ1>σ3
【解析】　由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.
【答案】　A
服从正态分布变量的概率问题
　(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝(　　)
A．0.6　　B．0.4
C．0.3　　D．0.2
(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．
【精彩点拨】　(1)根据正态曲线的性质对称性进行求解；(2)题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．
【自主解答】　(1)∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.
【答案】　C
(2)由题意得μ＝1，σ＝2，
所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682
6.
又因为正态曲线关于x＝1对称，
所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝P(－1＜X＜3)＝0.341
3.
利用正态分布求概率的两个方法
1．对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：
(1)P(X(2)P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
2．“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682
6,0.954
4，0.997
4求解．
[再练一题]
2．设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X(1)求c的值；(2)求P(－4【解】　(1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X>c＋1)＝P(X所以c＝2.
(2)P(－40．954
4.
[探究共研型]
正态分布的实际应用
探究1　若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？
【提示】　零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.
探究2　某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品．试问1
000件这种的零件中约有多少件一等品？
【提示】　P(3.5<ε≤4.5)＝P(μ－σ<ε<μ＋σ)＝0.682
6，所以1
000件产品中大约有1
000×0.682
6≈683(件)一等品．
探究3　某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)．质检人员从该厂生产的1
000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7
cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？
【提示】　由于圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，
由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)，
即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7∈
(2.5,5.5)．
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．
　设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．
【精彩点拨】　将P(X≥90)转化为P(X－μ≥－σ)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.682
6＝1，进而求出P(X≥90)的值，同理可解得P(X≥130)的值．
【自主解答】　μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，
∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)
＝2P(X－μ≤－σ)＋0.682
6＝1，
∴P(X－μ≤－σ)＝0.158
7，
∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.158
7＝0.841
3.
∴54×0.841
3≈45(人)，即及格人数约为45人．
∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，
∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)
＝0.682
6＋2P(X－μ≥σ)＝1，
∴P(X－μ≥σ)＝0.158
7，即P(X≥130)＝0.158
7.
∴54×0.158
7＝9(人)，即130分以上的人数约为9人．
1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．
2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
[再练一题]
3．(2016·杭州质检)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率．
【解】　∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10.
∴P(30＝P(μ－2σ＝×0.954
4＋×0.682
6＝0.818
5.
即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.818
5.
[构建·体系]
1．正态分布密度函数为φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，则总体的平均数和标准差分别是(　　)
A．0和8　　B．0和4　　C．0和2　　D．0和
【解析】　由条件可知μ＝0，σ＝2.
【答案】　C
2.
图2 4 5
如图2 4 5是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　)
A．σ1>1>σ2>σ3>0
B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0
D．0<σ1<σ2＝1<σ3
【解析】　当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝e－.在x＝0时，取最大值，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3.
【答案】　D
3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.
【解析】　由于随机变量X～N(μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线X＝μ对称，故P(X≤μ)＝.
【答案】　
4．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝________.
【导学号：97270053】
【解析】　由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.
【答案】　0.16
5．随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，如果P(ξ≤1)＝0.841
3，求P(－1<ξ≤0)．
【解】　如图所示，因为P(ξ≤1)＝0.841
3，所以P(ξ>1)＝1－0.841
3＝0.158
7，所以P(ξ≤－1)＝0.158
7，所以P(－1<ξ≤0)＝0.5－0.158
7＝0.341
3.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设随机变量ξ～N(2,2)，则D＝(　　)
A．1　　　　　B．2　　　　　C.　　　　　D．4
【解析】　∵ξ～N(2,2)，∴D(ξ)＝2.
∴D＝D(ξ)＝×2＝.
【答案】　C
2．下列函数是正态密度函数的是(　　)
A．f(x)＝e，μ，σ(σ>0)都是实数
B．f(x)＝e－
C．f(x)＝e－
D．f(x)＝e
【解析】　对于A，函数的系数部分的二次根式包含σ，而且指数部分的符号是正的，故A错误；对于B，符合正态密度函数的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B正确；对于C，从系数部分看σ＝2，可是从指数部分看σ＝，故C不正确；对于D，指数部分缺少一个负号，故D不正确．
【答案】　B
3．(2015·湖北高考)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图2 4 6所示，下列结论中正确的是(　　)
图2 4 6
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
D．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
【解析】　由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P(Y≥μ2)＝，
P(Y≥μ1)＞，故P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A错；
因为σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B错；
对任意正数t，P(X≥t)＜P(Y≥t)，故C错；
对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)是正确的，故选
D.
【答案】　D
4．某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0.022
5)，单位：mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9
mm和7.5
mm，则可认为(　　)
A．上、下午生产情况均为正常
B．上、下午生产情况均为异常
C．上午生产情况正常，下午生产情况异常
D．上午生产情况异常，下午生产情况正常
【解析】　根据3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．
【答案】　C
5．(2015·山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(　　)
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)
A．4.56%
B．13.59%
C．27.18%
D．31.74%
【解析】　由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682
6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954
4，故P(3＜ξ＜6)＝＝
＝0.135
9＝13.59%，故选
B.
【答案】　B
二、填空题
6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点.
【导学号：97270054】
【解析】　由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.
【答案】　0.2
7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．
【解析】　正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．由于正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义是期望，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以数学期望为1.
【答案】　1
8．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是
f(x)＝e－，x∈R.给出以下四个命题：
①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；
②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；
④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
【解析】　画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如下图：
由图可得：
①图象关于x＝μ对称，故①正确；
②随着x的增加，F(x)＝P(ξ③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是10；
④由图象的对称性，可得④正确．故填①②④.
【答案】　①②④
三、解答题
9．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2]内取值的概率为0.2，求：
(1)X在(0,4]内取值的概率；
(2)P(X>4)．
【解】　
(1)由于X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图如图．
因为P(0(2)P(X>4)＝[1－P(010．一建筑工地所需要的钢筋的长度X～N(8,22)，质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？
【解】　由于X～N(8,22)，根据正态分布的性质可知，正态分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率仅为0.3%，长度小于2米的钢筋不在(2,14)内，所以质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修．
[能力提升]
1．(2015·湖南高考)
图2 4 7
在如图2 4 7所示的正方形中随机投掷10
000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)
A．2
386　　　　　B．2
718
C．3
413
D．4
772
附：若X～N(μ，σ2)，
则P(μ－σ6，
P(μ－2σ4.
【解析】　由P(－16，得P(03，则阴影部分的面积为0.341
3，故估计落入阴影部分的点的个数为10
000×＝3
413，故选C.
【答案】　C
2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内(　　)
A．(90,110]
B．(95,125]
C．(100,120]
D．(105,115]
【解析】　由＝0.95，符合P(μ－2σ所以在(100,120]内．故选C.
【答案】　C
3．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是________．(填序号)
①P(|ξ|－a)(a>0)；
②P(|ξ|0)；
③P(|ξ|0)；
④P(|ξ|a)(a>0)．
【解析】　因为P(|ξ|因为P(|ξ|－a)＝P(ξa)＝P(ξ因为P(|ξ|a)＝1，
所以P(|ξ|a)(a>0)，所以④正确．
【答案】　②④
4．(2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
图2 4 8
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
附：≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ6，P(μ－2σ4.
【解】　(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.86.
②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682
6，依题意知X～B(100，0.682
6)，所以E(X)＝100×0.682
6＝68.26.1．1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．通过实例，能总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理．(重点)
2．正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”．(易混点)
3．能利用两个原理解决一些简单的实际问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　分类加法计数原理
阅读教材P2～P4图1.1 1，完成下列问题．
1．完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
　判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　)
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．(　　)
(3)从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种．(　　)
(4)某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种．(　　)
【解析】　(1)×　在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的．
(2)√　在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事．
(3)√　由分类加法计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的交通方式．
(4)√　根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有8＋6＝14(种)．
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
教材整理2　分步乘法计数原理
阅读教材P4～P6练习上面内容，完成下列问题．
1．完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
2．完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种不同的方法．
　判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　)
(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(　　)
(3)已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为9个．(　　)
(4)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种．(　　)
【解析】　(1)√　因为在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同．
(2)×　因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成．
(3)√　因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．
(4)×　因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步乘法计数原理共有34种不同的夺冠情况．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：
[小组合作型]
分类加法计数原理的应用
　(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？
(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
【精彩点拨】　(1)按所选组长来自不同年级为分类标准．(2)按个位(或十位)取0～9不同的数字进行分类．
【自主解答】　(1)分四类：
从一班中选一人，有4种选法；
从二班中选一人，有5种选法；
从三班中选一人，有6种选法；
从四班中选一人，有7种选法．
共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种．
(2)法一　按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
法二　按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
1．应用分类加法计数原理解题的策略
(1)标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法．
(2)不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏．
(3)方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事．
2．利用分类加法计数原理解题的一般思路
[再练一题]
1．(1)某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有(　　)
A．1种　　　
B．2种　　　C．3种　　　
D．4种
(2)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有________种不同的取法.
【导学号：97270000】
【解析】　(1)分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种．故选C.
(2)有3类不同方案：
第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；
第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；
第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．
其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种．
【答案】　(1)C　(2)15
分步乘法计数原理的应用
　一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)
【精彩点拨】　根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步乘法计数原理．
【自主解答】　按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：
第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；
第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；
第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；
第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.
根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10
000个四位数的号码．
1．应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．
2．利用分步乘法计数原理解题的一般思路
(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；
(2)计数：求出每一步中的方法数；
(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．
[再练一题]
2．张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债．人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种．问：张涛共有多少种不同的理财方式？
【解】　由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成．
第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；
第2步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式．
由分步乘法计数原理，得2×3＝6种．
[探究共研型]
两个计数原理的辨析
探究1　某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，试问要“完成的这件事”指的是什么？若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？
【提示】　“完成这件事”是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成．而只选出“一荤一素”不能算“完成这件事”．
探究2　在探究1中，要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步？为什么？
【提示】　要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成．只配荤菜、素菜、汤中的一种或两种都不能达到“一荤一素一汤”的要求，即都不能完成“配套餐”这件事．
探究3　在探究1中若要配成“一素一汤套餐”试问可配成多少种不同的套餐？你能分别用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解吗？你能说明分类加法计数原理与分步乘法计数原理的主要区别吗？
【提示】　5种素菜分别记为A，B，C，D，E.3种汤分别记为a，b，c.
利用分类加法计数原理求解：
以选用5种不同的素菜分类：
选素菜A时，汤有3种选法；选素菜B时，汤有3种选法；选素菜C时，汤有3种选法；选素菜D时，汤有3种选法；选素菜E时，汤有3种选法．故由加法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有3＋3＋3＋3＋3＝15(种)不同的套餐．
利用分步乘法计数原理求解：
第一步：从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；
第二步：从3种汤中，任选一种共3种不同的选法．
由分步乘法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有5×3＝15(种)不同套餐．
两个计数原理的主要区别在于分类加法计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方法都能完成这件事，而分步乘法计数原理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完成这件事．
　有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？
【精彩点拨】　从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为4类，然后每一类再分步完成．即解答本题可“先分类，后分步”．
【自主解答】　第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×2＝4种方法；
第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；
第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；
第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．
根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法．
1．能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点：
(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；
(2)完成每一步有若干种方法；
(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．
2．利用分步乘法计数原理应注意：
(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．
(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉．
(3)若完成某件事情需n步，则必须依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成．
[再练一题]
3．一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡．
(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？
(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？
【解】　(1)第一类：从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；
第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．
根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种取法．
(2)第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；
第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120种取法．
[构建·体系]
1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　)
A．7　　　　
B．12　　　　C．64　　　　
D．81
【解析】　先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法．故选B.
【答案】　B
2．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为(　　)
A．1＋1＋1＝3
B．3＋4＋2＝9
C．3×4×2＝24
D．以上都不对
【解析】　分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．
【答案】　B
3．从2,3,5,7,11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________.
【导学号：97270001】
【解析】　产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种方法，共有5×4＝20个分数．产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真分数，同理，当分子分别是3,5,7时，真分数的个数分别是3,2,1，共有4＋3＋2＋1＝10个真分数．
【答案】　20　10
4．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有________条．
【解析】　经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4×3＝12条．
【答案】　12
5．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．
(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？
(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？
【解】　(1)小明爸爸选凳子可以分两类：
第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；
第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法．
根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14(种)坐法．
(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：
第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14(个)凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)
第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．
由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182(种)坐法．
我还有这些不足：
(1)
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图1 1 1所示为一个电路图，从左到右可通电的线路共有(　　)
图1 1 1
A．6条　　　B．5条　　　C．9条　　　
D．4条
【解析】　从左到右通电线路可分为两类：从上面有3条；从下面有2条．由分类加法计数原理知，从左到右通电的线路共有3＋2＝5条．
【答案】　B
2．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有(　　)
A．96种
B．24种
C．120种
D．12种
【解析】　先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种．
【答案】　A
3．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有(　　)
A．53种
B．35种
C．8种
D．15种
【解析】　每封信均有3种不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3×3×3×3×3＝35种投法．
【答案】　B
4．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是(　　)
A．15
B．12
C．5
D．4
【解析】　利用分类加法计数原理．
当x＝1时，y＝0,1,2,3,4,5，有6个；当x＝2时，y＝0,1,2,3,4，有5个；当x＝3时，y＝0,1,2,3，有4个．据分类加法计数原理可得，共有6＋5＋4＝15个．
【答案】　A
5．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax＋By＝0的系数A，B的值，则形成的不同直线有(　　)
【导学号：97270002】
A．18条
B．20条
C．25条
D．10条
【解析】　第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中当A＝1，B＝2时与A＝2，B＝4时是相同的方程；当A＝2，B＝1时与A＝4，B＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条．
【答案】　A
二、填空题
6．椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足题意的椭圆的个数为________．
【解析】　因为焦点在y轴上，所以0【答案】　20
7．某班2016年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________．
【解析】　将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：6×7＝42(种)．
【答案】　42
8．如图1 1 2，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为________．
图1 1 2
【解析】　依题意，首先找出B到A的路线，一共有4条，分别是BCDA，信息量最大为3；BEDA，信息量最大为4；BFGA，信息量最大为6；BHGA，信息量最大为6.由分类加法计数原理，单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.
【答案】　19
三、解答题
9．有不同的红球8个，不同的白球7个．
(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？
(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？
【解】　(1)由分类加法计数原理，从中任取一个球共有8＋7＝15(种)．
(2)由分步乘法计数原理，从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56(种)．
10．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法；
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
【解】　从O型血的人中选1人有28种不同的选法；
从A型血的人中选1人有7种不同的选法；
从B型血的人中选1人有9种不同的选法；
从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理．有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理．
有28×7×9×3＝5
292种不同的选法．
[能力提升]
1.
图1 1 3
一植物园参观路径如图1 1 3所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有(　　)
A．6种　　　　　　
B．8种
C．36种
D．48种
【解析】　由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种走法，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种走法，参观完第二个区域后，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48种不同的参观路线．
【答案】　D
2．某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)．某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有(　　)
【导学号：97270003】
A．180种
B．360种
C．720种
D．960种
【解析】　分五步完成，第i步取第i个号码(i＝1,2,3,4,5)．由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种．
【答案】　D
3．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．
【解析】　若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时有5×4＝20条，故共有20＋2＝22条不同的直线．
【答案】　22
4．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，
(1)P可以表示平面上的多少个不同点？
(2)P可以表示平面上的多少个第二象限的点？
(3)P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？
【解】　(1)完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法有6种．由分步乘法计数原理知，P可以表示平面上的6×6＝36(个)不同点．
(2)根据条件需满足a<0，b>0.
完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，b的取法有2种，由分步乘法计数原理知，P可以表示平面上的3×2＝6(个)第二象限的点．(3)因为点P不在直线y＝x上，所以第一步a的取法有6种，第二步b的取法有5种，根据分步乘法计数原理可知，P可以表示6×5＝30(个)不在直线y＝x上的点．3.2　独立性检验的基本思想及其初步应用
1．了解分类变量、2×2列联表、随机变量K2的意义．
2．通过对典型案例的分析，了解独立性检验的基本思想方法．(重点)
3．通过对典型案例的分析，了解两个分类变量的独立性检验的应用．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　列联表和等高条形图
阅读教材P91～P94，完成下列问题．
1．分类变量和列联表
(1)分类变量
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
(2)列联表
①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表．
②2×2列联表
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
2.等高条形图
(1)等高条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征．
(2)观察等高条形图发现和相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．
1．下面是2×2列联表：
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
总计
b
46
则表中a，b的值分别为________．
【解析】　∵a＋21＝73，∴a＝52.
又∵a＋2＝b，∴b＝54.
【答案】　52　54
2．下面的等高条形图可以说明的问题是________(填序号)．
图3 2 1
①“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的；
②“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同；
③此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方；
④“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握．
【答案】　④
3．下列说法正确的有________(填序号)．
①分类变量的取值仅表示个体所属的类别，它们的取值一定是离散的；
②分类变量的取值也可以用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义；
③2×2列联表是两个分类变量的频数汇总统计表；
④2×2列联表和等高条形图都能反映出两个分类变量间是否相互影响．
【解析】　由分类变量的定义可知①②正确；由2×2列联表的定义可知③正确；2×2列联表和等高条形图都能展示样本的频率特征，若在一个分类变量所取值的群体中，另一个分类变量所取值的频率相差较小，则说明这两个变量不相互影响，否则就相互影响．故④正确．
【答案】　①②③④
教材整理2　独立性检验
阅读教材P93～P96，完成下列问题．
1．定义
利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
2．K2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
3．独立性检验的具体做法
(1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0.
(2)利用公式计算随机变量K2的观测值k.
(3)如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．
1．若由一个2×2列联表中的数据计算得K2＝4.013，那么有__________的把握认为两个变量之间有关系．
【解析】　查阅K2表知有95%的把握认为两个变量之间有关系．
【答案】　95%
2．考察棉花种子经过处理与生病之间的关系，得到下表中的数据：
种子处理
种子未处理
总计
得病
32
101
133
不得病
61
213
274
总计
93
314
407
根据以上数据可得出种子是否经过处理与是否生病________(填“有关”或“无关”).
【导学号：97270061】
【解析】　k＝≈0.164<0.455，
即没有充足的理由认为种子是否经过处理跟生病有关．
【答案】　无关
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：
　
[小组合作型]
利用等高条形图判断两个分类变量是否相关
　(2016·青岛高二检测)某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张，作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．
【精彩点拨】　首先求出在考前心情紧张与考前心情不紧张群体中，性格内向的频率，再绘制等高条形图进行判定．
【自主解答】　作列联表如下：
性格内向
性格外向
总计
考前心情紧张
332
213
545
考前心情不紧张
94
381
475
总计
426
594
1
020
在考前心情紧张的群体中，性格内向的约占61%，在考前心情不紧张的群体中，性格内向的约占20%.绘制相应的等高条形图如图所示：
图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例，从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例大，可以认为考前紧张与性格类别有关．
利用等高条形图判断两个分类变量是否相关的步骤：? 1 统计：收集数据，统计结果.? 2 列表：列出2×2列联表，计算频率、粗略估计.? 3 绘图：绘制等高条形图，直观分析.
[再练一题]
1．网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了1
000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格．利用图形判断学生经常上网与学习成绩是否有关？
【解】　根据题目所给的数据得到如下2×2列联表：
经常上网
不经常上网
总计
不及格
80
120
200
及格
120
680
800
总计
200
800
1
000
得出等高条形图如图所示：
比较图中深色条的高可以发现经常上网不及格的频率明显高于经常上网及格的频率，因此可以认为经常上网与学习成绩有关．
由K2进行独立性检验
　某校高三年级在一次全年级的大型考试中，数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分也为优秀的人数如下表所示，则我们能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为数学成绩优秀与物理、化学优秀有关系？
物理优秀
化学优秀
总分优秀
数学优秀
228
225
267
数学非优秀
143
156
99
注：该年级此次考试中数学成绩优秀的有360人，非优秀的有880人．
【精彩点拨】　首先分别列出数学成绩与物理、化学、总分的2×2列联表，再正确计算K2的观测值，然后由K2的值作出判断．
【自主解答】　(1)根据已知数据列出数学与物理优秀的2×2列联表如下：
物理优秀
物理非优秀
总计
数学优秀
228
b
360
数学非优秀
143
d
880
总计
371
b＋d
1
240
∴b＝360－228＝132，d＝880－143＝737，b＋d＝132＋737＝869.
代入公式可得K2的观测值为k1≈270.114.
(2)按照上述方法列出数学与化学优秀的2×2列联表如下：
化学优秀
化学非优秀
总计
数学优秀
225
135
360
数学非优秀
156
724
880
总计
381
859
1
240
代入公式可得K2的观测值k2≈240.611.
综上，由于K2的观测值都大于10.828，因此说明都能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为数学成绩优秀与物理、化学优秀有关系．
1．利用K2进行独立性检验的步骤
(1)列表：列出2×2列联表．
(2)求值：求出K2的观测值k.
(3)判断：与临界值比较，得出事件有关的可能性大小作出判断．
2．独立性检验的必要性
列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，它具有随机性，所以只能利用列联表的数据和等高条形图粗略判断两个分类变量是否有关系．而K2给出了不同样本容量的数据的统一评判标准．利用它能精确判断两个分类变量是否有关系的可靠程度．
[再练一题]
2．在国家未实施西部开发战略前，一新闻单位在应届大学毕业生中随机抽取1
000人问卷，只有80人志愿加入西部建设．而国家分步实施西部开发战略后，随机抽取1
200名应届大学毕业生问卷，有400人志愿加入国家西部建设．
问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为实施西部开发战略的公布对应届大学毕业生的选择产生了影响？
【解】　根据题意，列出2×2列联表：
志愿者
非志愿者
总计
开发战略公布前
80
920
1
000
开发战略公布后
400
800
1
200
总计
480
1
720
2
200
由公式计算K2统计量得：
k＝≈205.22.
因为205.22>10.828，因此在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为实施西部开发战略的公布对应届大学毕业生的选择产生了影响．
[探究共研型]
独立性检验与统计的综合应用
探究1　从容量为400人的中年人与容量为100人的老年人中抽出50人去体检某项健康指标，若采取分层抽样方法，应从中抽取老年人为多少人？
【提示】　×100＝10(人)．
探究2　高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据：
总成绩好
总成绩不好
总计
数学成绩好
478
a
490
数学成绩不好
399
24
423
总计
b
c
913
你能求出a，b，c的值吗？该问题中有几个分类变量？它们的取值分别是什么？
【提示】　a＝12，b＝877，c＝36.该问题中有“总成绩”和“数学成绩”两个分类变量；“总成绩”的取值有“总成绩好”与“总成绩不好”两个值，“数学成绩”的取值也有“好”与“不好”两个值．
探究3　在探究2中，你认为文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗？
【提示】　由探究2计算随机变量K2的观测值：
k＝≈6.233>5.024，
∵P(k≥5.024)≈0.025，
∴在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系．
　(2016·黄冈高二检测)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品，从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：
甲厂：
分组
[29.86,29.90)
[29.90,29.94)
[29.94,29.98)
[29.98,30.02)
频数
12
63
86
182
分组
[30.02,30.06)
[30.06,30.10)
[30.10,30.14)
频数
92
61
4
乙厂：
分组
[29.86,29.90)
[29.90,29.94)
[29.94,29.98)
[29.98,30.02)
频数
29
71
85
159
分组
[30.02,30.06)
[30.06,30.10)
[30.10,30.14)
频数
76
62
18
(1)试分别估计两个分厂生产零件为优质品的概率；
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问能否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
甲厂
乙厂
总计
优质品
非优质品
总计
【精彩点拨】　解答本题先由各组及频数求出优质品的概率，然后完成列联表，最后判断两个变量是否相互独立．
【自主解答】　(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为×100%＝72%；
乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为×100%＝64%.
(2)
甲厂
乙厂
总计
优质品
360
320
680
非优质品
140
180
320
总计
500
500
1
000
由表中数据得
k＝≈7.35＞6.635，
因此，有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
解决独立性检验与统计综合应用的步骤
1．认真审题、弄清所求问题中的两个分类变量是什么，它们的取值分别是什么．
2．充分利用统计知识，完成2×2列联表．
3．利用独立性检验判断两分类变量间的关系．
[再练一题]
3．某学生对其亲属30人的饮食进行了一次调查，并用如图3 2 2所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)
图3 2 2
(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：
主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁以下
50岁以上
总计
(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析．
【解】　(1)2×2列联表如下：
主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
总计
20
10
30
(2)因为K2＝＝10>6.635，
P(K2>6.635)＝0.01，
所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．
[构建·体系]
1．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是(　　)
A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小
B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小
D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大
【解析】　k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大，k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．
【答案】　B
2．下面是调查某地区男女学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图3 2 3中可以看出(　　)
图3 2 3
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生不喜欢理科的比为60%
【解析】　由题图知女生中喜欢理科的比为20%，男生不喜欢理科的比为40%，故A，B，D错误，C正确．男生比女生喜欢理科的可能性大些．
【答案】　C
3．在一个2×2列联表中，由其数据计算得K2＝13.097，认为两个变量有关系犯错误的概率不超过________．
【解析】　如果K2的观测值k>6.635时，认为“两变量有关系”犯错误的概率不超过0.01.
【答案】　0.01
4．给出下列实际问题：
①一种药物对某种病的治愈率；
②两种药物治疗同一种病是否有区别；
③吸烟者得肺病的概率；
④吸烟人群是否与性别有关系；
⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系．
其中用独立性检验可以解决的问题有________．(填序号)
【导学号：97270062】
【解析】　独立性检验主要是对两个分类变量是否有关系进行检验，主要涉及两种变量对同一种事物的影响，或者是两种变量在同一问题上体现的区别等．
【答案】　②④⑤
5．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据：出生时间在晚上的男婴为24人，女婴为8人；出生时间在白天的男婴为31人，女婴为26人．
(1)将下面的2×2列联表补充完整；
晚上
白天
总计
男婴
女婴
总计
(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为婴儿性别与出生时间有关系？
【解】　(1)
晚上
白天
总计
男婴
24
31
55
女婴
8
26
34
总计
32
57
89
(2)由所给数据计算K2的观测值
k＝≈3.689>2.706.
根据临界值表知P(K2≥2.706)≈0.10.
因此在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别与出生的时间有关系．
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．通过对K2的统计量的研究得到了若干个临界值，当K2≤2.706时，我们认为(　　)
A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X与Y有关系
B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为X与Y有关系
C．没有充分理由认为X与Y有关系
D．不能确定
【解析】　∵K2≤2.706，∴没有充分理由认为X与Y有关系．
【答案】　C
2．下列关于等高条形图的叙述正确的是(　　)
A．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系
B．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小
C．从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系
D．以上说法都不对
【解析】　在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故A错．在等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故B错．
【答案】　C
3．分类变量X和Y的列联表如下：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
则下列说法正确的是(　　)
A．ad－bc越小，说明X与Y关系越弱
B．ad－bc越大，说明X与Y关系越弱
C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强
D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强
【解析】　对于同一样本，|ad－bc|越小，说明X与Y之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明X与Y之间的关系越强．
【答案】　C
4．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有99.5%的把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是(　　)
A．k≥6.635　　　　　　B．k<6.635
C．k≥7.879
D．k<7.879
【解析】　有99.5%的把握认为事件A和B有关系，即犯错误的概率为0.5%，对应的k0的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为k≥7.879.
【答案】　C
5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下表的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝算得，
k＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是(　　)
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
【解析】　由k≈7.8及P(K2≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
【答案】　C
二、填空题
6．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据：
吃零食
不吃零食
总计
男学生
27
34
61
女学生
12
29
41
总计
39
63
102
根据上述数据分析，我们得出的K2的观测值k约为________.
【导学号：97270063】
【解析】　由公式可计算得k＝≈2.334.
【答案】　2.334
7．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射14天内的结果如表所示：
死亡
存活
总计
第一种剂量
14
11
25
第二种剂量
6
19
25
总计
20
30
50
进行统计分析时的统计假设是________．
【解析】　根据独立性检验的基本思想，可知类似于反证法，即要确认“两个分量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立．对于本题，进行统计分析时的统计假设应为“小白鼠的死亡与电离辐射的剂量无关”．
【答案】　小白鼠的死亡与电离辐射的剂量无关
8．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：
①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；
③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．
其中说法正确的是________．(填序号)
【解析】　K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．
【答案】　③
三、解答题
9．用两种检验方法对某食品做沙门氏菌检验，结果如下表．
阳性
阴性
总计
荧光抗体法
160
5
165
常规培养法
26
48
74
总计
186
53
239
附：
P(K2≥k0)
0.010
0.005
0.001
k0
6.635
7.879
10.828
(1)利用图形判断采用荧光抗体法与检验结果呈阳性是否有关系；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系？
【解】　(1)作出等高条形图如图所示，由图知采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系．
(2)通过计算可知K2＝≈113.184
6.而查表可知，因为P(K2≥10.828)≈0.001，而113.184
6远大于10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系．
10．有人发现一个有趣的现象，中国人的邮箱里含有数字比较多，而外国人邮箱名称里含有数字比较少，为了研究国籍和邮箱名称里含有数字的关系，他收集了124个邮箱名称，其中中国人的64个，外国人的60个，中国人的邮箱中有43个含数字，外国人的邮箱中有27个含数字．
(1)根据以上数据建立2×2列联表；
(2)他发现在这组数据中，外国人邮箱里含数字的也不少，他不能断定国籍和邮箱名称里含有数字是否有关，你能帮他判断一下吗？
【解】　(1)2×2的列联表：
中国人
外国人
总计
有数字
43
27
70
无数字
21
33
54
总计
64
60
124
(2)假设“国籍和邮箱名称里与是否含有数字无关”．
由表中数据得k＝≈6.201.
因为k>5.024，所以有理由认为假设“国籍和邮箱名称里与是否含有数字无关”是不合理的，即在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“国籍和邮箱名称里与是否含有数字有关”．
[能力提升]
1．对两个分类变量A，B，下列说法中正确的个数为(　　)
①A与B无关，即A与B互不影响；
②A与B关系越密切，则K2的值就越大；
③K2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据．
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．0
【解析】　①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，K2的值的大小只是用来检验A与B是否相互独立；③不正确，也可借助等高条形图等．故选A.
【答案】　A
2．(2016·晋江市季延中学期中)某研究所为了检验某血清预防感冒的作用，把500名使用了该血清的志愿者与另外500名未使用该血清的志愿者一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列叙述中正确的是(　　)
A．有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
B．若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒
C．这种血清预防感冒的有效率为95%
D．这种血清预防感冒的有效率为5%
【解析】　K2≈3.918>3.841，因此有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，故选A.
【答案】　A
3．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：
无效
有效
总计
男性患者
15
35
50
女性患者
6
44
50
总计
21
79
100
设H：服用此药的效果与患者的性别无关，则K2的观测值k≈________(小数点后保留一位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．
【解析】　由公式计算得K2的观测值k≈4.9.∵k>3.841，∴我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．
【答案】　4.9　5%
4．(2016·潍坊高二检测)为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10
000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株作为样本，统计结果如下：
高茎
矮茎
总计
圆粒
11
19
30
皱粒
13
7
20
总计
24
26
50
(1)现采用分层抽样的方法，从该样本所含的圆粒玉米中取出6株玉米，再从这6株玉米中随机选出2株，求这2株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率；
(2)根据对玉米生长情况作出的统计，是否有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？
【解】　(1)依题意，取出的6株圆粒玉米中含高茎2株，记为a，b；矮茎4株，记为A，B，C，D，从中随机选取2株的情况有如下15种：aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，ab，AB，AC，AD，BC，BD，CD.
其中满足题意的共有aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，共8种，则所求概率为P＝.
(2)根据已知列联表，
得k＝≈3.860>3.841，即有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关．章末分层突破
,
[自我校对]
①散点图
②＝x＋
③残差图
④相关指数
⑤等高条形图
　
线性回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．根据两个变量的一组观测值，可以画出散点图或利用相关系数r，判断两个变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，可得出线性回归直线方程．
利用公式求回归直线方程时应注意以下几点：
(1)求时，利用公式＝，先求出＝(x1＋x2＋x3＋…＋xn)，＝(y1＋y2＋y3＋…＋yn)．再由＝－
求的值，并写出回归直线方程．
(2)回归直线一定经过样本的中心点(，)．
(3)回归直线方程中的截距和斜率都是通过样本估计得来的，存在误差，这种误差可能导致预报结果的偏差．
(4)回归直线方程＝＋x中的表示x每增加1个单位时预报变量y的平均变化量，而表示预报变量y不随x的变化而变化的部分．
(5)在一元线性回归模型中，相关指标R2与相关系数r都能刻画线性回归模型拟合数据的效果．|r|越大，R2就越大，用线性回归模型拟合数据的效果就越好．
　关于x与y有以下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
已知x与y线性相关，由最小二乘法得＝6.5，
(1)求y与x的线性回归方程；
(2)现有第二个线性模型：＝7x＋17，且R2＝0.82.
若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由．
【规范解答】　(1)依题意设y与x的线性回归方程为＝6.5x＋.
＝＝5，
＝＝50，
∴＝6.5x＋经过(，)，
∴50＝6.5×5＋，∴＝17.5，
∴y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5.
(2)由(1)的线性模型得yi－i与yi－的关系如下表：
yi－i
－0.5
－3.5
10
－6.5
0.5
yi－
－20
－10
10
0
20
所以(yi－i)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋(－10)2＋(－6.5)2＋0.52＝155.
(yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1
000.
所以R＝1－＝1－＝0.845.
由于R＝0.845，R2＝0.82知R>R2，
所以(1)的线性模型拟合效果比较好．
[再练一题]
1．(2016·长春高二检测)已知某连锁经营公司的5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称
A
B
C
D
E
销售额x(千万元)
3
5
6
7
9
利润额y(千万元)
2
3
3
4
5
(1)画出散点图；
(2)根据如下的参考公式与参考数据，求利润额y与销售额x之间的线性回归方程；
(3)若该公司还有一个零售店某月销售额为10千万元，试估计它的利润额是多少．
(参考公式：＝，＝－.
其中，iyi＝112，＝200)
【解】　(1)散点图．
(2)由已知数据计算得n＝5，＝＝6，＝＝3.4，＝＝0.5，＝3.4－0.5×6＝0.4.
则线性回归方程为＝0.5x＋0.4.
(3)将x＝10代入线性回归方程中得到＝0.5×10＋0.4＝5.4(千万元)．
即估计该零售店的利润额约为5.4千万元．
非线性回归分析
一般地，有些非线性回归模型通过变换可以转化为线性回归模型，即借助于线性回归模型研究呈非线性回归关系的两个变量之间的关系．具体处理方法为：
(1)描点，选模．画出已知数据的散点图，把它与已经学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数．
(2)解模．先对变量进行适当的变换，再利用线性回归模型来解模．
(3)比较检验．通过回归分析比较所建模型的优劣．
常见的非线性函数转换方法：
(1)幂型函数y＝axm(a为正数，x，y取正值)
解决方案：对y＝axm两边取常用对数，有lg
y＝lg
a＋mlg
x，令u＝lg
y，v＝lg
x，则原式可变为u＝mv＋lg
a，其中m，lg
a为常数，该式表示u，v的线性函数．
(2)指数型函数y＝cax(a，c>0，且a≠1)
解决方案：对y＝cax两边取常用对数，则有lg
y＝lg
c＋xlg
a，令u＝lg
y，则原式可变为u＝xlg
a＋lg
c，其中lg
a和lg
c为常数，该式表示u，x的线性函数．与幂函数不同的是x保持不变，用y的对数lg
y代替了y.
(3)反比例函数y＝(k>0)
解决方案：令u＝，则y＝ku，该式表示y，u的线性函数．
(4)二次函数y＝ax2＋c
解决方案：令u＝x2，则原函数可变为y＝au＋c，该式表示y，u的线性函数．
(5)对数型函数y＝clogax
解决方案：令x＝au，则原函数可变为y＝cu，该式表示y，u的线性函数．
　某种书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关，经统计得到如下数据：
x
1
2
3
5
10
20
30
50
100
200
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
作出x与y的散点图，判断x与y之间的关系，并建立y与x的回归方程．
【精彩点拨】　首先作出x与y的散点图，根据散点图特征，判断x与y的关系并建立y与x的回归方程．
【规范解答】　散点图如图所示：
由图可知，该散点图与反比例函数图象拟合得最好．于是，作变量变换u＝，问题所给数据变成如下表所示的10对数据：
ui
1
0.5
0.33
0.2
0.1
yi
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
ui
0.05
0.03
0.02
0.01
0.005
yi
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
然后作相关性检验：r≈0.999
8，我们认为u与y之间具有线性相关关系，由y对u的回归方程有意义，通过计算可知≈8.973，≈1.125，故回归直线方程为＝8.973u＋1.125，最后代回u＝可得，＝1.125＋.
[再练一题]
2．一个昆虫的某项指标和温度有关，现收集了7组数据如下表：
温度x/℃
2
3
4
5
6
7
8
某项指标y
5.790
6.810
8.199
10.001
12.190
14.790
17.801
试建立某项指标y关于温度x的回归模型，并判断你所建立的回归模型的拟合效果．
【解】　
画出散点图如图所示，样本点并没有分布在某个带状区域内，而是分布在某一条二次函数曲线y＝Bx2＋A的周围．
令X＝x2，则变换后的样本点应该分布在y＝bX＋a(b＝B，a＝A)的周围．
由已知数据可得变换后的样本数据表：
X
4
9
16
25
36
49
64
某项指标y
5.790
6.810
8.199
10.001
12.190
14.790
17.801
计算得到线性回归方程为＝0.199
94X＋4.999
03.
用x2替换X，得某项指标y关于温度x的回归方程＝0.199
94x2＋4.999
03.
计算得R2≈0.999
997，几乎为1，说明回归模型的拟合效果非常好．
独立性检验
独立性检验是判断两个分类变量之间是否有关系的一种方法．在判断两个分类变量之间是否有关系时，作出等高条形图只能近似地判断两个分类变量是否有关系，而独立性检验可以精确地得到可靠的结论．
独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表．
(2)根据公式计算K2的观测值k.
(3)比较k与临界值的大小关系作统计推断．
　(2016·池州高二检测)为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．
(1)根据以上数据列出2×2列联表；
(2)判断40岁以上的人患胃病与生活规律是否有关．
【精彩点拨】　(1)解决本题关键是首先弄清问题中的两个分类变量及其取值分别是什么，其次掌握2×2列联表的结构特征．
(2)利用2×2列联表计算K2的观测值，再结合临界值表来分析相关性的大小．
【规范解答】　(1)由已知可列2×2列联表如下：
患胃病
未患胃病
总计
生活规律
20
200
220
生活不规律
60
260
320
总计
80
460
540
(2)根据列联表得K2的观测值为
k＝≈9.638.
因为9.638>7.879，
因此，我们在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为40岁以上的人患胃病和生活规律有关．
[再练一题]
3．(2016·威海高二检测)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行问卷调查得到了如下的列联表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
总计
男生
5
女生
10
总计
50
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为0.6.
(1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；
(2)能否有99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．
(参考公式：K2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d)
【解】　(1)依题意可知喜爱打篮球的学生的人数为30.
列联表补充如下：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
总计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
总计
30
20
50
(2)因为k＝≈8.333>6.635，所以，有99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关.
1．(2014·重庆高考)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(　　)
A.＝0.4x＋2.3　　　　B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5
D.＝－0.3x＋4.4
【解析】　因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排除B，故选A.
【答案】　A
2．(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)
A．11.4万元
B．11.8万元
C．12.0万元
D．12.2万元
【解析】　由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴＝8－0.76×10＝0.4，
∴当x＝15时，＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
【答案】　B
3．(2014·湖北高考)根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归方程为＝bx＋a，则(　　)
A．a＞0，b＞0
B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0
D．a＜0，b＜0
【解析】　作出散点图如下：
观察图象可知，回归直线＝bx＋a的斜率b＜0，当x＝0时，＝a＞0.故a＞0，b＜0.
【答案】　B
4．(2015·山东东营二模)某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝－10x＋200，则下列结论正确的是(　　)
A．y与x具有正的线性相关关系
B．若r表示变量y与x之间的线性相关系数，则r＝－10
C．当销售价格为10元时，销售量为100件
D．当销售价格为10元时，销售量为100件左右
【解析】　当销售价格为10元时，＝－10×10＋200＝100，即销售量为100件左右，选D.
【答案】　D3．1　回归分析的基本思想及其初步应用
1．通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用．
2．会求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报．(重点)
3．了解最小二乘法的思想方法，理解回归方程与一般函数的区别与联系．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　回归直线方程
阅读教材P80～P82探究上面倒数第一行，完成下列问题．
1．回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
2．回归直线方程
方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中，是待定参数，其最小二乘估计分别为：
其中＝i，＝i，(，)称为样本点的中心．
1．如图3 1 1四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是________(填序号)．
图3 1 1
【解析】　由图易知，①③两个图中的样本点在一条直线附近，因此适合用线性回归模型拟合．
【答案】　①③
2．若y与x之间的一组数据为
x
0
1
2
3
4
y
1
3
5
5
6
则y对x的回归直线一定经过的点是________．
【解析】　由表中数据得＝＝2，＝＝4.
因回归直线必过样本中心点(，)，所以y与x的回归直线一定经过的点是(2,4)．
【答案】　(2,4)
教材整理2　线性回归分析
阅读教材P82探究～P89，完成下列问题．
1．线性回归模型
(1)表达式
(2)基本概念：
①a和b为模型的未知参数．
②e是y与bx＋a之间的误差．通常e为随机变量，称为随机误差．
③x称为解释变量，y称为预报变量．
2．衡量回归方程的预报精度的方法
(1)残差平方和法
①称为相应于点(xi，yi)的残差．
②残差平方和越小，模型的拟合效果越好．
(2)残差图法
残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．这样的带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
(3)利用相关指数R2刻画回归效果
其计算公式为：R2＝1－；
其几何意义：R2越接近于1，表示回归的效果越好．
3．建立回归模型的基本步骤
(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量．
(2)画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．
选修2－3|第三章　统计案例(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程)．
(4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数．
(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
　判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求线性回归方程前可以不进行相关性检验．(　　)
(2)在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．(　　)
(3)利用线性回归方程求出的值是准确值．(　　)
(4)变量x与y之间的回归直线方程表示x与y之间的真实关系形式．(　　)
(5)随机误差也就是残差．(　　)
【解析】　(1)×　因为如果两个变量之间不具有线性相关关系，就不用求线性回归方程了，求出的回归直线方程当然也不能很好的反映两变量间的关系．
(2)√　因为由残差图的方法步骤可知，该说法正确．
(3)×　因为利用线性回归方程求出的值为估计值，而不是真实值．
(4)×　因为变量x与y之间的线性回归直线方程仅表示x与y之间近似的线性关系，x与y之间满足y＝bx＋a＋e，其中e为随机误差．
(5)×　因为随机误差e是真实值y与bx之间的误差，而残差＝y－是随机误差e的估计量．
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：
[小组合作型]
求线性回归方程
　(2016·临沂高二检测)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程＝x＋；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
【精彩点拨】　(1)按表中的数据在平面直角坐标系中描点即得散点图；
(2)由公式求出，，写出回归直线方程；
(3)利用回归方程分析．
【自主解答】　(1)由题设所给数据，可得散点图如图．
(2)由数据，计算得：＝86，
＝＝4.5，
＝＝3.5，
又已知iyi＝66.5.所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：
＝＝＝0.7，
＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35，
因此，所求的回归直线方程为＝0.7x＋0.35.
(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为90－(0.7×100＋0.35)＝19.65吨标准煤．
求回归直线方程的三个步骤
1．画散点图：由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系．
2．求回归系数：若存在线性相关关系，则求回归系数．
3．写方程：写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明．
[再练一题]
1．(2016·南昌高二检测)已知x，y的取值如表所示：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
若从散点图分析，y与x线性相关，且＝0.95x＋，则的值等于(　　)
【导学号：97270058】
A．2.6　　　　B．6.3　　　　C．2　　　　D．4.5
【解析】　＝(0＋1＋3＋4)＝2，＝＝4.5，而回归直线方程过样本点的中心(2,4.5)，
所以＝－0.95＝4.5－0.95×2＝2.6.
【答案】　A
线性回归分析
　已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据：
x(元)
14
16
18
20
22
y(件)
12
10
7
5
3
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．
【精彩点拨】　先利用求线性回归直线方程的方法步骤求出回归直线方程，再利用相关指数R2说明拟合效果．
【自主解答】　＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
x＝142＋162＋182＋202＋222＝1
660，
y＝122＋102＋72＋52＋32＝327，
xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
∴＝＝＝－1.15.
＝－＝7.4＋1.15×18＝28.1，
∴所求回归直线方程为＝－1.15x＋28.1.
列出残差表：
yi－i
0
0.3
－0.4
－0.1
0.2
yi－
4.6
2.6
－0.4
－2.4
－4.4
∴
(yi－i)2＝0.3，
(yi－)2＝53.2，
R2＝1－≈0.994，
故回归模型的拟合效果很好．
1．该类题属于线性回归问题，解答本题应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．
2．刻画回归效果的三个方式
(1)残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．
(2)残差平方和法：残差平方和
(yi－i)2越小，模型的拟合效果越好．
(3)相关指数法：R2＝1－越接近1，表明回归的效果越好．
[再练一题]
2．某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：
次数(x)
30
33
35
37
39
44
46
50
成绩(y)
30
34
37
39
42
46
48
51
(1)作出散点图；
(2)求出回归方程；
(3)作出残差图．
【解】　(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．
(2)＝39.25，＝40.875，x＝12
656，
y＝13
731，
xiyi＝13
810，
∴＝≈1.041
5，
＝－＝－0.003
875，
∴回归方程为＝1.041
5x－0.003
875.
(3)残差分析
某运动员训练次数与成绩之间的数据及相应的残差数据如下：
x
30
33
35
37
39
44
46
50
y
30
34
37
39
42
46
48
51
＝y－
－1.241
1
－0.365
6
0.551
4
0.468
4
1.385
4
0.177
9
0.094
9
－1.071
1
作残差图如图所示：
由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．
[探究共研型]
非线性回归分析
探究1　如果两个相关变量x，y满足回归方程y＝c1x2＋c2，那么x，y具有线性相关关系吗？如何把它化归为线性回归方程问题？
【提示】　x，y不具有线性相关关系，但是若令z＝x2，则y＝c1x2＋c2可变换为y＝c1z＋c2，即化归为线性回归方程问题．
探究2　如果两个相关变量x，y满足非线性回归方程y＝c1ec2x，如何转化为线性回归方程问题？如果两个变量呈非线性相关关系，怎样求回归方程？
【提示】　令z＝ln
y，则原回归方程可变换为z＝bx＋a(a＝ln
c1，b＝c2)．若两个变量呈非线性相关关系可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程．
探究3　若对同一个问题建立的两种不同回归模型，怎样比较它们的拟合效果？
【提示】　有两种比较方法：(1)计算残差平方和，残差平方和小的模型拟合效果好；(2)计算相关指数R2，R2越接近于1的模型拟合效果越好．
　下表为收集到的一组数据：
x
21
23
25
27
29
32
35
y
7
11
21
24
66
115
325
(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；
(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；
(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．
【精彩点拨】　→→→→→→
【自主解答】　(1)作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数．
(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝ln
y，则变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a，a＝ln
c1，b＝c2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为：
x
21
23
25
27
29
32
35
z
1.946
2.398
3.045
3.178
4.190
4.745
5.784
求得回归直线方程为＝0.272x－3.849，
∴＝e0.272x－3.849.
残差列表如下：
yi
7
11
21
24
66
115
325
i
6.443
11.101
19.125
32.950
56.770
128.381
290.325
i
0.557
－0.101
1.875
－8.950
9.23
－13.381
34.675
(3)当x＝40时，y＝e0.272×40－3.849≈1
131.
非线性回归问题的处理方法
1．指数函数型y＝ebx＋a
(1)函数y＝ebx＋a的图象：
(2)处理方法：两边取对数得ln
y＝ln
ebx＋a，即ln
y＝bx＋a.令z＝ln
y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b.
2．对数函数型y＝bln
x＋a
(1)函数y＝bln
x＋a的图象：
(2)处理方法：设x′＝ln
x，原方程可化为y＝bx′＋a，
再根据线性回归模型的方法求出a，b.
3．y＝bx2＋a型
处理方法：设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.
[再练一题]
3．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
x
0.25
0.5
1
2
4
y
16
12
5
2
1
试建立y与x之间的回归方程．
【解】　画出散点图如图所示．
根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，
设y＝，令t＝，
则y＝kt，原数据变为：
t
4
2
1
0.5
0.25
y
16
12
5
2
1
由置换后的数值表作散点图如下：
由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系．列表如下：
序号
ti
yi
tiyi
t
y
1
4
16
64
16
256
2
2
12
24
4
144
3
1
5
5
1
25
4
0.5
2
1
0.25
4
5
0.25
1
0.25
0.0625
1
∑
7.75
36
94.25
21.312
5
430
所以＝1.55，＝7.2.
所以＝≈4.134
4，＝－≈0.8.
所以＝4.134
4t＋0.8.
所以y与x的回归方程是＝＋0.8.
[构建·体系]
1．关于回归分析，下列说法错误的是(　　)
A．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法
B．散点图中，解释变量在x轴，预报变量在y轴
C．回归模型中一定存在随机误差
D．散点图能明确反映变量间的关系
【解析】　用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差．
【答案】　D
2．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型．它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(　　)
A．模型1的相关指数R2为0.98
B．模型2的相关指数R2为0.80
C．模型3的相关指数R2为0.50
D．模型4的相关指数R2为0.25
【解析】　相关指数R2越接近于1，则该模型的拟合效果就越好，精度越高．
【答案】　A
3．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R2≈0.85，则表明气温解释了________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的________，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．
【解析】　由相关指数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%.
【答案】　85%　15%
4．下列关于统计的说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数，方差恒不变；
②回归方程＝x＋必经过点(，)；
③线性回归模型中，随机误差e＝yi－i；
④设回归方程为＝－5x＋3，若变量x增加1个单位，则y平均增加5个单位．
其中正确的为________(写出全部正确说法的序号)．
【解析】　①正确；②正确；③线性回归模型中，随机误差的估计值应为i＝yi－i，故错误；④若变量x增加1个单位，则y平均减少5个单位，故错误．
【答案】　①②
5．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为：
1
2
3
4
5
价格x
1.4
1.6
1.8
2
2.2
需求量y
12
10
7
5
3
已知iyi＝62，＝16.6，且y与x呈线性相关．
(1)求出y对x的回归方程；
(2)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01
t).
【导学号：97270059】
【解】　(1)因为＝×9＝1.8，＝×37＝7.4，
iyi＝62，＝16.6，
所以＝＝＝－11.5，
＝－＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，
故y对x的回归方程为＝28.1－11.5x.
(2)＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)．
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．为了研究变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归方法得到回归直线l1和l2，已知两人计算过程中，分别相同，则下列说法正确的是(　　)
A．l1与l2一定平行
B．l1与l2重合
C．l1与l2相交于点(，)
D．无法判断l1和l2是否相交
【解析】　回归直线一定过样本点的中心(，)，故C正确．
【答案】　C
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：
甲
乙
丙
丁
R2
0.98
0.78
0.50
0.85
哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？(　　)
A．甲　　　　B．乙　　　　C．丙　　　　D．丁
【解析】　相关指数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好．
【答案】　A
3．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是(　　)
【解析】　用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
【答案】　A
4．对于指数曲线y＝aebx，令U＝ln
y，c＝ln
a，经过非线性化回归分析后，可转化的形式为(　　)
A．U＝c＋bx
B．U＝b＋cx
C．y＝c＋bx
D．y＝b＋cx
【解析】　由y＝aebx得ln
y＝ln(aebx)，∴ln
y＝ln
a＋
ln
ebx，
∴ln
y＝ln
a＋bx，∴U＝c＋bx.故选A.
【答案】　A
5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如表所示：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为(　　)
A.＝x－1
B.＝x＋1
C.＝88＋x
D.＝176
【解析】　设y对x的线性回归方程为＝x＋，
因为＝＝，＝176－×176＝88，所以y对x的线性回归方程为＝x＋88.
【答案】　C
二、填空题
6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性进行分析，并用回归分析的方法分别求得相关指数R2与残差平方和Q(，)如下表：
甲
乙
丙
丁
R2
0.67
0.61
0.48
0.72
Q(，)
106
115
124
103
则能体现A，B两个变量有更强的线性相关性的为________．
【解析】　丁同学所求得的相关指数R2最大，残差平方和Q(，)最小．此时A，B两变量线性相关性更强．
【答案】　丁
7．在对两个变量进行回归分析时，甲、乙分别给出两个不同的回归方程，并对回归方程进行检验．对这两个回归方程进行检验时，与实际数据(个数)对比结果如下：
与实际相符数据个数
与实际不符合数据个数
总计
甲回归方程
32
8
40
乙回归方程
40
20
60
总计
72
28
100
则从表中数据分析，________回归方程更好(即与实际数据更贴近)．
【解析】　可以根据表中数据分析，两个回归方程对数据预测的正确率进行判断，甲回归方程的数据准确率为＝，而乙回归方程的数据准确率为＝.显然甲的准确率高些，因此甲回归方程好些．
【答案】　甲
8．如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.8，a＝2，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过________亿元.
【导学号：97270060】
【解析】　∵x＝10时，y＝0.8×10＋2＋e＝10＋e，
∵|e|≤0.5，∴y≤10.5.
【答案】　10.5
三、解答题
9．某服装店经营某种服装，在某周内纯获利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据如下表：
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
(1)求样本点的中心；
(2)画出散点图；
(3)求纯获利y与每天销售件数x之间的回归方程．
【解】　(1)＝6，≈79.86，样本点的中心为(6,79.86)．
(2)散点图如下：
(3)因为＝≈4.75，＝－≈51.36，
所以＝4.75x＋51.36.
10．为了研究某种细菌随时间x变化繁殖个数y的变化，收集数据如下：
时间x/天
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y
6
12
25
49
95
190
(1)用时间作解释变量，繁殖个数作预报变量作出这些数据的散点图；
(2)求y与x之间的回归方程．
【解】　(1)散点图如图所示：
(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1ec2x的周围，于是令z＝ln
y，则
x
1
2
3
4
5
6
z
1.79
2.48
3.22
3.89
4.55
5.25
由计算器算得，＝0.69x＋1.112，则有＝e0.69x＋1.112.
[能力提升]
1．(2016·青岛一中调研)某学生四次模拟考试中，其英语作文的减分情况如表：
考试次数x
1
2
3
4
所减分数y
4.5
4
3
2.5
显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为(　　)
A．y＝0.7x＋5.25
B．y＝－0.6x＋5.25
C．y＝－0.7x＋6.25
D．y＝－0.7x＋5.25
【解析】　由题意可知，所减分数y与模拟考试次数x之间为负相关，所以排除A.
考试次数的平均数为＝(1＋2＋3＋4)＝2.5，
所减分数的平均数为＝(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，
即直线应该过点(2.5,3.5)，代入验证可知直线y＝－0.7x＋5.25成立，故选D.
【答案】　D
2．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
若x与y具有线性相关关系，则线性回归方程为________．
【解析】　iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，＝＝9，
＝＝4，
＝62＋82＋102＋122＝344，
＝＝＝0.7，
＝－＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为＝0.7x－2.3.
【答案】　＝0.7x－2.3
3．某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(件)与平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：
时间
二月上旬
二月中旬
二月下旬
三月上旬
旬平均气温x(℃)
3
8
12
17
旬销售量y(件)
55
m
33
24
由表中数据算出线性回归方程＝x＋中的＝－2，样本中心点为(10,38)．
(1)表中数据m＝__________.
(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22
℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为__________件．
【解析】　(1)由＝38，得m＝40.
(2)由＝－
，得＝58，
故＝－2x＋58，
当x＝22时，＝14，
故三月中旬的销售量约为14件．
【答案】　(1)40　(2)14
4．(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
图3 1 2
(xi－)2
(wi－)2
(xi－)(yi－)
(wi－)(yi－)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1
469
108.8
表中wi＝，w]＝wi.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－
.
【解】　(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．
由于＝＝＝68，
＝－
＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，
因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.章末分层突破
,
[自我校对]
①pi≥0，i＝1,2，…，n
②i＝1
③两点分布
④超几何分布
⑤P(B|A)＝
⑥0≤P(B|A)≤1
P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
(B，C互斥)
⑦P(AB)＝P(A)·P(B)
⑧A与B相互独立，则与B，A与，与相互独立
⑨P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k
(k＝0,1,2，…，n)
⑩E(aX＋b)＝aE(X)＋b
E(X)＝p
E(X)＝np
D(X)＝p(1－p)
D(X)＝np(1－p)
D(aX＋b)＝a2D(X)
条件概率
条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率．
求条件概率的主要方法有：
(1)利用条件概率公式P(B|A)＝；
(2)针对古典概型，可通过缩减基本事件总数求解．
　在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：
(1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
【精彩点拨】　本题是条件概率问题，根据条件概率公式求解即可．
【规范解答】　设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2题抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件A
B.
(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为
n(Ω)＝A＝20.
根据分步乘法计数原理，n(A)＝A×A＝12.
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝6，
所以P(AB)＝＝＝.
(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率
P(B|A)＝＝＝.
法二：因为n(AB)＝6，n(A)＝12，
所以P(B|A)＝＝＝.
[再练一题]
1．掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率．
【解】　设“掷出的点数之和大于或等于10”为事件A，“第一颗骰子掷出6点”为事件
B.
法一：P(A|B)＝＝＝.
法二：“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种，故n(B)＝6.
“掷出的点数之和大于或等于10”且“第一颗掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)，共3种，即n(AB)＝3.
从而P(A|B)＝＝＝.
相互独立事件的概率
求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．
特别注意以下两公式的使用前提：
(1)若A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立．
(2)若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，反之成立．
　设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求P(X＝1)．
【精彩点拨】　解决本题的关键是将复杂事件拆分成若干个彼此互斥事件的和或几个彼此相互独立事件的积事件，再利用相应公式求解．
【规范解答】　记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0,1,2，
B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，
D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．
(1)D＝A1BC＋A2B＋A2C，
P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝C×0.52，i＝0,1,2，所以P(D)＝P(A1BC＋A2B＋A2C)
＝P(A1BC)＋P(A2B)＋P(A2C)
＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P()P(C)＝0.31.
(2)X＝1表示在同一工作日有一人需使用设备．
P(X＝1)＝P(BA0＋A0C＋A1)
＝P(B)P(A0)P()＋P()P(A0)P(C)＋P()·
P(A1)P()
＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25.
[再练一题]
2．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第1,2,3个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分．假设这名同学答对第1,2,3个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6.且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得300分的概率；
(2)求这名同学至少得300分的概率．
【解】　记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.
(1)这名同学得300分的概率为：P1＝P(A12A3)＋P(1A2A3)＝P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)·
P(A3)
＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.
(2)这名同学至少得300分的概率为：
P2＝P1＋P(A1A2A3)＝P1＋P(A1)P(A2)P(A3)
＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.
离散型随机变量的分布列、均值和方差
1.含义：均值和方差分别反映了随机变量取值的平均水平及其稳定性．
2．应用范围：均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛，如同等资本下比较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等．
3．求解思路：应用时，先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列．对于一般类型的随机变量，应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是概率的计算．计算概率时要结合事件的特点，灵活地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解．若离散型随机变量服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接代入公式计算其数学期望与方差．
　甲、乙、丙三支足球队进行比赛，根据规则：每支队伍比赛两场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为，乙队获得第一名的概率为.
(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P1，P2；
(2)设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列及数学期望、方差.
【导学号：97270055】
【精彩点拨】　(1)通过列方程组求P1和P2；(2)由题意求出甲队得分ξ的可能取值，然后再求出ξ的分布列，最后再求出数学期望和方差．
【规范解答】　(1)设“甲队胜乙队”的概率为P1，“甲队胜丙队”的概率为P2.根据题意，甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，
所以甲队获得第一名的概率为P1×P2＝.①
乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队，
所以乙队获得第一名的概率为(1－P1)×＝.②
解②，得P1＝，代入①，得P2＝，
所以甲队胜乙队的概率为，甲队胜丙队的概率为.
(2)ξ的可能取值为0,3,6.
当ξ＝0时，甲队两场比赛皆输，其概率为
P(ξ＝0)＝×＝；
当ξ＝3时，甲队两场只胜一场，其概率为
P(ξ＝3)＝×＋×＝；
当ξ＝6时，甲队两场皆胜，其概率为
P(ξ＝6)＝×＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
3
6
P
所以E(ξ)＝0×＋3×＋6×＝.
D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.
[再练一题]
3．(2015·天津高考)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
【解】　(1)由已知，有P(A)＝＝.
所以，事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．
所以，随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
正态分布的实际应用
对于正态分布问题，课标要求不是很高，只要求了解正态分布中最基础的知识，主要是：(1)掌握正态分布曲线函数关系式；(2)理解正态分布曲线的性质；(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率．
正态分布的概率通常有以下两种方法：
(1)注意“3σ原则”的应用．记住正态总体在三个区间内取值的概率．
(2)注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．
　某学校高三2
500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请您判断考生成绩X在550～600分的人数．
【精彩点拨】　根据正态分布的性质求出P(550＜x≤600)，即可解决在550～600分的人数．
【规范解答】　∵考生成绩X～N(500,502)，
∴μ＝500，σ＝50，
∴P(550＝(0.954
4－0.682
6)＝0.135
9，
∴考生成绩在550～600分的人数为2
500×0.135
9≈340(人)．
[再练一题]
4．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1
000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图2 1所示．若体重大于58.5
kg小于等于62.5
kg属于正常情况，则这1
000名男生中属于正常情况的人数是(　　)
图2 1
A．997　　　B．954　　　C．819　　　D．683
【解析】　由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.56，从而属于正常情况的人数是1
000×0.682
6≈683.【答案】　D
1．(2015·安徽高考)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　)
A．8　　　　B．15　　　　C．16　　　　D．32
【解析】　已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为＝2×8＝16，故选C.
【答案】　C
2．(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)
A．0.648
B．0.432
C．0.36
D．0.312
【解析】　3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.
【答案】　A
3．(2015·广东高考)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.
【解析】　由E(X)＝30，D(X)＝20，可得
解得p＝.
【答案】　
4．(2015·四川高考)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．
【解】　(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝.
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.
(2)根据题意，X的可能取值为1,2,3.
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
因此，X的数学期望为
E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)
＝1×＋2×＋3×＝2.2.1.2　离散型随机变量的分布列
1．理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质．
2．会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)
3．理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　离散型随机变量的分布列
阅读教材P46～P47例1上面倒数第二行，完成下列问题．
1．定义
一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
2．性质
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；
(2)i＝1.
　判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　　)
(2)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等．(　　)
(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.(　　)
【解析】　(1)×　因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]范围内．
(2)×　因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．
(3)√　由分布列的性质可知，该说法正确．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
教材整理2　两个特殊分布
阅读教材P47例1上面倒数第一行～P49，完成下列问题．
1．两点分布
X
0
1
P
1－p
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．
2．超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则
P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，
其中m＝min，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N
.
X
0
1
…
m
P
…
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
1．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P＝
________.
【解析】　设二级品有k个，∴一级品有2k个，三级品有个，总数为个．
∴分布列为
ξ
1
2
3
P
P＝P(ξ＝1)＝.
【答案】　
2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________.
【解析】　P(X＝3)＝＝.
【答案】　
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：
[小组合作型]
分布列及其性质的应用
　设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，求：
(1)P(X＝1或X＝2)；
(2)P.
【精彩点拨】　先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，【自主解答】　(1)∵i＝＋＋＋＝1，
∴a＝10，
则P(X＝1或X＝2)
＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝＋＝.
(2)由a＝10，
可得P
＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)
＝＋＋＝.
利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：? 1 X的各个取值表示的事件是互斥的.? 2 不仅要注意，而且要注意pi≥0，i＝1，2，…，n.
[再练一题]
1．若离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
4a－1
3a2＋a
求常数a及相应的分布列．
【解】　由分布列的性质可知：3a2＋a＋4a－1＝1，
即3a2＋5a－2＝0，解得a＝或a＝－2，
又因4a－1>0，即a>，故a≠－2.
所以a＝，此时4a－1＝，3a2＋a＝.
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
求离散型随机变量的分布列
　口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．
【精彩点拨】　X的可能取值为3,4,5,6，是离散型随机变量．可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率．
【自主解答】　随机变量X的可能取值为3,4,5,6.
从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C，事件“X＝3”包含的基本事件总数为C，事件“X＝4”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝5”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝6”包含的基本事件总数为CC.
从而有P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X
3
4
5
6
P
1．求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2，…，n)．
(2)求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi.
(3)列出表格．
2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题
(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．
(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．
[再练一题]
2．从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的分布列．
【解】　从箱中取两个球的情形有以下6种：
{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．
当取到2白时，结果输2元，随机变量X＝－2；
当取到1白1黄时，输1元，随机变量X＝－1；
当取到1白1黑时，随机变量X＝1；
当取到2黄时，X＝0；当取到1黑1黄时，X＝2；
当取到2黑时，X＝4.
则X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4.
P(X＝－2)＝＝，P(X＝－1)＝＝，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝.
从而得到X的分布列如下：
X
－2
－1
0
1
2
4
P
[探究共研型]
两点分布与超几何分布
探究1　利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？
【提示】　这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．
探究2　只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？
【提示】　不一定．如随机变量X的分布列由下表给出
X
2
5
P
0.3
0.7
X不服从两点分布，因为X的取值不是0或1.
探究3　在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？
【提示】　随机变量X服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N—M个)，任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题．
　在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．
【精彩点拨】　(1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X～(0,1)．(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X＝1,2)服从超几何分布．
【自主解答】　(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
P(X＝1)＝＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
因此X的分布列为
X
0
1
P
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝＝＝.
②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且
P(Y＝0)＝＝＝，P(Y＝10)＝＝＝，
P(Y＝20)＝＝＝，P(Y＝50)＝＝＝，
P(Y＝60)＝＝＝.
因此随机变量Y的分布列为
Y
0
10
20
50
60
P
1．两点分布的几个特点
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．
(2)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))．
2．解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．
[再练一题]
3．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．
【解】　设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11.
P(X＝3)＝＝，P(X＝7)＝＝，
P(X＝11)＝＝.
故X的分布列为
X
3
7
11
P
[构建·体系]
1．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝ai，i＝1,2,3，则a的值为(　　)
A．1　　　
B.　　　C.　　　
D.
【解析】　由分布列的性质可知：a＝1，解得a＝.
【答案】　C
2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于(　　)
【导学号：97270034】
A．0
B.
C.
D.
【解析】　设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p.
依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝.
故P(ξ＝0)＝1－p＝.
【答案】　B
3．随机变量η的分布列如下：
η
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.35
0.1
0.15
0.2
则x＝________，P(η≤3)＝________.
【解析】　由分布列的性质得
0．2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，
解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.
【答案】　0　0.55
4．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________．
【解析】　由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝＝.
【答案】　
5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．
(1)求ξ的分布列；
(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．
【解】　(1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，
P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2.
所以，ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
(2)由(1)知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为
P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝.
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．某一随机变量ξ的概率分布列如下表，且m＋2n＝1.2，则m－的值为(　　)
ξ
0
1
2
3
P
0.1
m
n
0.1
A.－0.2　　　　　　　　B．0.2
C．0.1
D．－0.1
【解析】　由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－＝0.2.
【答案】　B
2．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是(　　)
A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
【解析】　A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，故选A.
【答案】　A
3．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于的是(　　)
A．P(ξ＝2)
B．P(ξ≤2)
C．P(ξ＝4)
D．P(ξ≤4)
【解析】　A项，P(ξ＝2)＝；
B项，P(ξ≤2)＝P(ξ＝2)≠；
C项，P(ξ＝4)＝；
D项，P(ξ≤4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)>.
【答案】　C
4．抛掷两颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于(　　)
A.　　　
B.　　　C.　　　
D.
【解析】　根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X＝2对应(1,1)，X＝3对应(1,2)，(2,1)，X＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，
故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，所以P(X≤4)＝＋＋＝.
【答案】　A
5．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝n)＝，n＝1,2,3,4，其中a是常数，则P的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　＋＋＋＝
a
＝a＝1.
∴a＝.
∴P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)
＝×＝.
【答案】　D
二、填空题
6．若随机变量X服从两点分布，则P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.
【解析】　由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，
∴P(Y＝－2)＝0.8.
【答案】　0.8
7．设离散型随机变量X的概率分布列为：
X
－1
0
1
2
3
P
m
则P(X≤2)＝________.
【解析】　P(X≤2)＝1－＝.
【答案】　
8．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab，
X
0
2
3
P
a
b
c
则这名运动员得3分的概率是________．
【解析】　由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝，b＝，c＝，所以得3分的概率是.
【答案】　
三、解答题
9．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求X的分布列．
【解】　(1)X的分布列如下表：
X
0
1
P
(2)X的分布列如下表：
X
0
1
P
10.(2016·大庆高二模拟)某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学．
(1)求X的分布列；
(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率．
【解】　(1)X的可能取值为0,1,2,3.根据公式P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}算出其相应的概率．
即X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
[能力提升]
1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是(　　)
A．①②
B．③④
C．①②④
D．①②③④
【解析】　由超几何分布的概念知③④符合，故选
B.
【答案】　B
2．(2016·周口中英文学校月考)设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X
－1
0
1
P
1－2q
q2
则q为(　　)
【导学号：97270035】
A．1
B．1±
C．1＋
D．1－
【解析】　由分布列性质(2)知＋1－2q＋q2＝1，
解得q＝1±，又由性质(1)知1－2q≥0，
∴q≤，∴q＝1－，故选
D.
【答案】　D
3．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图2 1 1中以X表示．
甲组
乙组　
9
9
0
X
8
9
1
1
1
0
图2 1 1
如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数Y的分布列．
【解析】　当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数分别是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数分别是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵树Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝＝.
同理可得P(Y＝18)＝；P(Y＝19)＝；
P(Y＝20)＝；P(Y＝21)＝.
所以随机变量Y的分布列为
Y
17
18
19
20
21
P
【答案】　
Y
17
18
19
20
21
P
4.(2016·西安高二检测)袋中有4个红球、3个黑球，随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
【解】　(1)从袋中随机摸4个球的情况为
1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红．
分别得分为5分，6分，7分，8分．
故X的可能取值为5,6,7,8.
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝＝，
P(X＝8)＝＝.
故所求分布列为
X
5
6
7
8
P
(2)根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)
＝＋＝.第2课时　排列的综合应用
1．掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点)
2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理　排列的综合应用
阅读教材P18例3～P20，完成下列问题．
1．解简单的排列应用题的基本思想
2．解简单的排列应用题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序．如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解．
1．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．
【解析】　从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A＝48个．
【答案】　48
2．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻
且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．
【解析】　把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A＝24种．
【答案】　24
3．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活动．若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译活动，则选派方案共有________种．
【解析】　翻译活动是特殊位置优先考虑，有4种选法(除甲、乙外)，其余活动共有A种选法，由分步乘法计数原理知共有4×A＝240种选派方案．
【答案】　240
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：
[小组合作型]
无限制条件的排列问题
　(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
【精彩点拨】　(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．
【自主解答】　(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．
(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．
1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．
2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．
[再练一题]
1．(1)将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．
(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员，文娱委员与体育委员，不同的选法共有________种.
【导学号：97270012】
【解析】　(1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A＝10×9×8＝720.
(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员，文娱委员与体育委员，应有A＝5×4×3＝60.
【答案】　(1)720　(2)60
排队问题
　7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？
(1)老师甲必须站在中间或两端；
(2)2名女生必须相邻而站；
(3)4名男生互不相邻；
(4)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．
【精彩点拨】　解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论．
【自主解答】　(1)先考虑甲有A种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：AA＝2
160(种)．
(2)2名女生站在一起有站法A种，视为一种元素与其余5人全排，有A种排法，所以有不同站法A·A＝1
440(种)．
(3)先站老师和女生，有站法A种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A种，所以共有不同站法A·A＝144(种)．
(4)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2·＝420(种)．
解决排队问题时应注意的问题
1．对于相邻问题可以采用捆绑的方法，将相邻的元素作为一个整体进行排列，但是要注意这个整体内部也要进行排列．
2．对于不相邻问题可以采用插空的方法，先排没有限制条件的元素，再将不相邻的元素以插空的方式排入．
3．对于顺序给定的元素的排列问题只需考虑其余元素的排列即可．
4．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．
[再练一题]
2．3名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．
(1)甲不站中间，也不站两端；
(2)甲、乙两人必须站两端．
【解】　(1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A种站法，然后再排其他位置，有A种站法，所以共有A·A＝2
880种不同站法．
(2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有A种站法，其余5人全排列，有A种站法．故共有A·A＝240种不同站法．
[探究共研型]
数字排列问题
探究1　偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？
【提示】　偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(种)不同的偶数．
探究2　在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0
【提示】　在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．
探究3　如何从26,17,31,48,19中找出大于25的数？
【提示】　先找出十位数字比2大的数，再找出十位数字是2，个位数字比5大的数即可．
　用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
(1)六位奇数？
(2)个位数字不是5的六位数？
【精彩点拨】　这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．
【自主解答】　(1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A种填法，第二步再填十万位，有A种填法，第三步填其他位，有A种填法，故共有AAA＝288(个)六位奇数．
法二：从特殊元素入手(直接法)
0不在两端有A种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A种排法，故共有AAA＝288(个)六位奇数．
法三：排除法
6个数字的全排列有A个，0,2,4在个位上的六位数为3A个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A个，故满足条件的六位奇数共有A－3A－3A＝288(个)．
(2)法一：排除法
0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A个，0在十万位且5在个位的六位数有A个．
故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个)．
法二：直接法
十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类：
第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A个．
第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有AAA个．
故共有符合题意的六位数A＋AAA＝504(个)．
解排数字问题常见的解题方法
1．“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．
2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．
3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．
4．“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．
[再练一题]
3．用0,1,2,3,4,5这六个数取不同的数字组数．
(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
(2)能组成多少个无重复数字且比1
325大的四位数？
(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240
135是第几项．
【解】　(1)符合要求的五位数可分为两类：第一类，个位上的数字是0的五位数，有A个；第二类，个位上的数字是5的五位数，有A·A个．故满足条件的五位数的个数共有A＋A·A＝216(个)．
(2)符合要求的比1
325大的四位数可分为三类：
第一类，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共A·A个；
第二类，形如14□□，15□□，共有A·A个；
第三类，形如134□，135□，共有A·A个．
由分类加法计数原理知，无重复数字且比1
325大的四位数共有：A·A＋A·A＋A·A＝270(个)．
(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A个数，∴240
135的项数是A＋3A＋1＝193，即240
135是数列的第193项．
[构建·体系]
1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　)
A．36　　　
B．120　　　C．720　　　
D．240
【解析】　由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A＝720.
【答案】　C
2．要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有(　　)
A．1
440种
B．960种
C．720种
D．480种
【解析】　从5名志愿者中选2人排在两端有A种排法，2位老人的排法有A种，其余3人和老人排有A种排法，共有AAA＝960种不同的排法．
【答案】　B
3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个.
【导学号：97270013】
【解析】　先排奇数位有A种，再排偶数位有A种，故共有AA＝144个．
【答案】　144
4．(2016·莆田高二检测)两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．
【解析】　分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A＝2种排法，
②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A＝6种排法．
则共有2×2×6＝24种排法．
【答案】　24
5．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100
m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？
【解】　法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：
第1类，甲不参赛，有A种参赛方案；
第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A种方法，此时有2A种参赛方案．
由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A＋2A＝240种．
法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A种方法．
由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有AA＝240种．
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮映方法有(　　)
A．25种　　　　　　　
B．55种
C．A种
D．53种
【解析】　其不同的轮映方法相当于将5所大学的全排列，即A.
【答案】　C
2．某天上午要排语文，数学，体育，计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有(　　)
A．6种
B．9种
C．18种
D．24种
【解析】　先排体育有A种，再排其他的三科有A种，共有3×6＝18(种)．
【答案】　C
3．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有(　　)
A．34种
B．48种
C．96种
D．144种
【解析】　先排除A，B，C外的三个程序，有A种不同排法，再排程序A，有A种排法，最后插空排入B，C，有A·A种排法，所以共有A·A·A·A＝96种不同的编排方法．
【答案】　C
4．生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有(　　)
A．24种　　
B．36种
C．48种　　
D．72种
【解析】　分类完成：第1类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无限制，有A种排法；
第2类，若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序)，则第四道工序有2种排法，其余两道工序有A种排法，有2A种排法．
由分类加法计数原理，共有A＋2A＝36种不同的安排方案．
【答案】　B
5．(2016·韶关检测)用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20
000大的五位偶数共有(　　)
A．288个
B．240个
C．144个
D．126个
【解析】　第1类，个位数字是2，首位可排3,4,5之一，有A种排法，排其余数字有A种排法，所以有AA个数；
第2类，个位数字是4，有AA个数；
第3类，个位数字是0，首位可排2,3,4,5之一，有A种排法，排其余数字有A种排法，所以有AA个数．
由分类加法计数原理，可得共有2AA＋AA＝240个数．
【答案】　B
二、填空题
6．从0,1,2,3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c中的参数a，b，c，可组成不同的二次函数共有________个.
【导学号：97270014】
【解析】　若得到二次函数，则a≠0，a有A种选择，故二次函数有AA＝3×3×2＝18(个)．
【答案】　18
7．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．
【解析】　先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A种，因此共有不同的分法4A＝4×24＝96(种)．
【答案】　96
8．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是________．
【解析】　可分为三步来完成这件事：
第一步：先将3,5进行排列，共有A种排法；
第二步：再将4,6插空排列，共有2A种排法；
第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A种排法．
由分步乘法计数原理得，共有A2AA＝40种不同的排法．
【答案】　40
三、解答题
9．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)．
(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？
(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？
【解】　(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为A.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A·A＝144种排法．
(2)第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A种排法；第二步，让灰太狼、红太狼插入四人形成的空(包括两端)，有A种排法，共有A·A＝480种排法．
10．(2016·上饶二模)有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中任取3个标号不同的球，颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数．
【解】　所标数字互不相邻的方法有135,136,146,246，共4种方法.3个颜色互不相同有4A＝4×3×2×1＝24种，所以这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数有4×24＝96种．
[能力提升]
1．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(　　)
A．10种
B．12种
C．9种
D．8种
【解析】　先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法．
再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．
因此共有A·A·1＝12(种)不同的排列方法．
【答案】　B
2．(2016·武汉调研)安排6名歌手演出的顺序时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是(　　)
A．180
B．240
C．360
D．480
【解析】　不同的排法种数先全排列有A，甲、乙、丙的顺序有A，乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，4种顺序，所以不同排法的种数共有4×＝480种．
【答案】　D
3．安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人都不能安排在10月1日和2日，不同的安排方法共有________种(用数字作答)．
【解析】　法一：(直接法)先安排甲、乙两人在后5天值班，有A＝20种排法，其余5天再进行排列，有A＝120种排法，所以共有20×120＝2
400种安排方法．
法二：(间接法)不考虑甲、乙两人的特殊情况，其安排方法有A＝7×6×5×4×3×2×1＝5
040种方法，其中不符合要求的有AA＋AAAA＝2
640种方法，所以共有5
040－2
640＝2
400种方法．
【答案】　2
400
4．(2016·山东临沂月考)有4名男生、5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？
(1)甲不在中间也不在两端；
(2)甲、乙两人必须排在两端；
(3)女生互不相邻．
【解】　(1)法一：元素分析法．先排甲有6种，再排其余人有A种，故共有6·A＝241
920(种)排法．
法二：位置分析法．中间和两端有A种排法，包括甲在内的其余6人有A种排法，故共有A·A＝336×730＝241
920(种)排法．
法三：等机会法.9个人全排列有A种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意得，甲不在中间及两端的排法总数是A×＝241
920(种)．
法四：间接法．A－3·A＝6A＝241
920(种)．
(2)先排甲、乙，再排其余7人．
共有A·A＝10
080(种)排法．(3)插空法．先排4名男生有A种方法，再将5名女生插空，有A种方法，故共有A·A＝2
880(种)排法.2．3　离散型随机变量的均值与方差
2．3.1　离散型随机变量的均值
1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)
2．掌握两点分布、二项分布的均值．(重点)
3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　离散型随机变量的均值
阅读教材P60～P61例1，完成下列问题．
1．定义：若离散型随机变量X的分布列为：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．
2．意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
3．性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
1．下列说法正确的有________．(填序号)
①随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化；
②随机变量的均值反映样本的平均水平；
③若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4；
④随机变量X的均值E(X)＝.
【解析】　①错误，随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征．②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．③正确，由均值的性质可知．④错误，因为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
【答案】　③
2．已知离散型随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
P
则X的数学期望E(X)＝________.
【解析】　E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
【答案】　
3．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________.
【解析】　E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.
【答案】　35
教材整理2　两点分布与二项分布的均值
阅读教材P62～P63，完成下列问题．
1．两点分布和二项分布的均值
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p；
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np.
2．随机变量的均值与样本平均值的关系
随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．
1．若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为________.
【导学号：97270047】
【解析】　E(X)＝np＝4×＝.
【答案】　
2．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________．
【解析】　因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.
【答案】　0.8
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
[小组合作型]
两点分布与二项分布的均值
　某运动员投篮命中率为p＝0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望；
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．
【精彩点拨】　(1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望公式求解．
【自主解答】　(1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝0.6.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
1．常见的两种分布的均值
设p为一次试验中成功的概率，则
(1)两点分布E(X)＝p；
(2)二项分布E(X)＝np.
熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．
2．两点分布与二项分布辨析
(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．
(2)不同点：
①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x＝0,1,2，…，n.
②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．
[再练一题]
1．某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1
000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)
A．100　　　B．200　　　C．300　　　D．400
【解析】　由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二项分布，即X～B(1
000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1
000×0.1＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200.
【答案】　B
离散型随机变量的均值公式及性质
　已知随机变量X的分布列如下：
X
－2
－1
0
1
2
P
m
(1)求m的值；
(2)求E(X)；
(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．
【精彩点拨】　(1)利用分布列的性质求m；
(2)利用离散型随机变量的均值公式求解；
(3)利用离散型随机变量均值的性质求解．
【自主解答】　(1)由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，
解得m＝.
(2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
(3)法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝
E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－.
法二：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：
Y
－7
－5
－3
－1
1
P
所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－.
1．该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解．
2．对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．
[再练一题]
2．已知随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
P
且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，求a的值．
【解】　E(X)＝1×＋2×＋3×＝，
∴E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝a＋3＝－2，∴a＝－3.
求离散型随机变量的均值
　在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值．
【精彩点拨】　(1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值．
【自主解答】　只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．
(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)＝1－P()＝1－
＝1－＝.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝.
从而知ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
求离散型随机变量ξ的均值的步骤
1．根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值．
2．求出ξ的每个值的概率．
3．写出ξ的分布列．
4．利用定义求出均值．
其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识．
[再练一题]
3．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．
【解】　X可取的值为1,2,3，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝.
抽取次数X的分布列为
X
1
2
3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
[探究共研型]
离散型随机变量的均值实际应用
探究1　某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？
【提示】　随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X＝0)＝0.3，P(X＝1)＝0.7.
探究2　在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？
【提示】　每次平均得分为＝0.8.
探究3　在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？
【提示】　在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分)．因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平．具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数．
　随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
【自主解答】　(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.
P(X＝6)＝＝0.63，
P(X＝2)＝＝0.25，P(X＝1)＝＝0.1，
P(X＝－2)＝＝0.02.
故X的分布列为：
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为
E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01
＝4.76－x(0≤x≤0.29)．
依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
1．实际问题中的均值问题
均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
2．概率模型的三个解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论．
[再练一题]
4．甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环．将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图2 3 1甲和图乙所示．
图2 3 1
(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；
(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)．
【解】　(1)由图乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，
P(X乙＝10)＝0.35.
所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.
同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3，
所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.
P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.
(2)因为E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，
E(X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，
则有E(X甲)>E(X乙)，所以估计甲的水平更高．
[构建·体系]
1．一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数X的数学期望是(　　)
A．0.83　　　B．0.8　　　C．2.4　　　D．3
【解析】　E(X)＝3×0.8＝2.4.
【答案】　C
2．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为(　　)
【导学号：97270048】
A.
B.
C．2
D.
【解析】　X的取值为2,3.
因为P(X＝2)＝＝，P＝(X＝3)＝＝.
所以E(X)＝2×＋3×＝.
【答案】　D
3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
【解析】　依题意得
即解得y＝0.4.
【答案】　0.4
4．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝________.
【解析】　∵P(X＝1)＝a＋b，
P(X＝2)＝2a＋b，
P(X＝3)＝3a＋b，
∴E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3，
∴14a＋6b＝3.①
又∵(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，
∴6a＋3b＝1.②
∴由①②可知a＝，b＝－，∴a＋b＝－.
【答案】　－
5．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X表示取得的分数．求：
(1)X的分布列；
(2)X的均值．
【解】　(1)由题意知，X可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
(2)E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于(　　)
A．0.1　　　B．0.2　　　C．0.3　　　D．0.4
【解析】　∵E(X)＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.故选
D.
【答案】　D
2．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为(　　)
A．0.6
B．1
C．3.5
D．2
【解析】　抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5.
【答案】　C
3．设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.
【答案】　D
4．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2
min，这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为(　　)
A.
B．1
C.
D.
【解析】　遇到红灯的次数X～B，∴E(X)＝.
∴E(Y)＝E(2X)＝2×＝.
【答案】　D
5．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，则E(X)的值为(　　)
A．2.5
B．3.5
C．0.25
D．2
【解析】　E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝2.5.
【答案】　A
二、填空题
6．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为X，则E(X)＝________.
【导学号：97270049】
【解析】　X可能的取值为0,1,2，P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以E(X)＝1×0.22＋2×0.765＝1.75.
【答案】　1.75
7．(2016·邯郸月考)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．
【解析】　随机变量X的取值为0,1,2,4，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝4)＝，因此E(X)＝.
【答案】　
8.
图2 3 2
如图2 3 2，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝________.
【解析】　依题意得X的取值可能为0,1,2,3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
【答案】　
三、解答题
9．某俱乐部共有客户3
000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？
【解】　设来领奖的人数ξ＝k(k＝0,1，…，3
000)，
∴P(ξ＝k)＝C(0.04)k(1－0.04)3
000－k，
则ξ～B(3
000,0.04)，那么E(ξ)＝3
000×0.04＝120(人)>100(人)．
∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请．
10．(2015·重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
【解】　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.
(2)X的所有可能值为0,1,2，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
综上知，X的分布列为
X
0
1
2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．
[能力提升]
1．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1
000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1
000件产品中的次品数，经一段时间考察，X，Y的分布列分别是：
X
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1
　
X
0
1
2
3
P
0.5
0.3
0.2
0
据此判定(　　)
A．甲比乙质量好
B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量相同
D．无法判定
【解析】　E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，
E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
由于E(Y)>E(X)，
故甲比乙质量好．
【答案】　A
2．某船队若出海后天气好，可获得5
000元；若出海后天气坏，将损失2
000元；若不出海也要损失1
000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是(　　)
A．2
000元
B．2
200元
C．2
400元
D．2
600元
【解析】　出海的期望效益E(ξ)＝5
000×0.6＋(1－0.6)×(－2
000)＝3
000－800＝2
200(元)．
【答案】　B
3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.
【解析】　∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝.随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×2＋2××2＝，P(X＝2)＝×2×2＋×2＝，P(X＝3)＝×2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
【答案】　
4．(2015·山东高考)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．
【解】　(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.
(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝－1)＝＝，
P(X＝1)＝1－－＝.
所以X的分布列为
X
0
－1
1
P
则E(X)＝0×＋(－1)×＋1×＝.1.2.2　组合
第1课时　组合与组合数公式
1．理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排列的区别与联系．(易混点)
2．会推导组合数公式，并会应用公式进行计算．(重点)
[基础·初探]
教材整理1　组合与组合数的概念
阅读教材P21～P22上面倒数第一行，完成下列问题．
1．组合的概念
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．
　判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　)
(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C.(　　)
(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．(　　)
(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．(　　)
(5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题．(　　)
【解析】　(1)√　因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．
(2)√　由组合数的定义可知正确．
(3)×　因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．
(4)√　因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．
(5)×　因为将4枚纪念币送与4人并无顺序，故该问题是组合问题．
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
教材整理2　组合数公式及性质
阅读教材P22探究～P25探究与发现，完成下列问题．
　组合数公式及其性质
(1)公式：C＝＝.
(2)性质：C＝C_，C＋C＝C.
(3)规定：C＝1.
1．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．
【解析】　甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C＝＝3.
【答案】　3
2．C＝________，C＝________.
【解析】　C＝＝15，
C＝C＝18.
【答案】　15　18
3．方程C＝C的解为________．
【解析】　由题意知或
解得x＝4或6.
【答案】　4或6
4．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________.
【导学号：97270015】
【解析】　从四个数中任取两个数的取法为C＝6.
【答案】　6
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
[小组合作型]
组合的概念
　判断下列各事件是排列问题还是组合问题．
(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？
(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？
(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？
(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
【精彩点拨】　要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．
【自主解答】　(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．
(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．
(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．
(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．
1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．
2．区分有无顺序的方法
把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
[再练一题]
1．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．
【解】　要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：
由此可得所有的组合为
ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
组合数公式的应用
　(1)式子可表示为(　　)
A．A　　　　　　　
B．C
C．101C
D．101C
(2)求值：C＋C.
【精彩点拨】　根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．
【自主解答】　(1)分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n＋100，最小的为n，
故
＝101·
＝101C.
【答案】　D
(2)由组合数定义知：
所以4≤n≤5，又因为n∈N
，
所以n＝4或5.
当n＝4时，C＋C＝C＋C＝5；
当n＝5时，C＋C＝C＋C＝16.
关于组合数计算公式的选取
1．涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算．
2．涉及字母的可以用阶乘式C＝计算．
3．计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算．
[再练一题]
2．求等式＝中的n值．
【解】　原方程可变形为＋1＝，C＝C，
即
＝·，化简整理，得n2－3n－54＝0.解此二次方程，得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9为所求．
[探究共研型]
组合的性质
探究1　试用两种方法求：从a，b，c，d，e
5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？
【提示】　法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C＝＝10(种)选法．
法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C＝＝10(种)不同选法．
经求解发现C＝C.推广到一般结论有C＝C.
探究2　从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？
【提示】　共有C＝＝210(种)选法．
探究3　在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2、3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？
【提示】　若队长必须参加，共C＝126(种)选法．若队长不能参加，共C＝84(种)选法．
由探究2、3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：C＝C＋C.
一般地：C＝C＋C.
　(1)计算C＋C＋C＋…＋C的值为(　　)
A．C　　　　　　　　　
B．C
C．C－1
D．C－1
(2)解方程3C＝5A；
(3)解不等式C＞C.
【精彩点拨】　恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．
【自主解答】　(1)C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋C＋…＋C2
016－C
＝C＋C＋…＋C－1＝…
＝C＋C－1＝C－1.
【答案】　C
(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为
3·＝5·，
则＝，即为(x－3)(x－6)＝40.
∴x2－9x－22＝0，
解得x＝11或x＝－2.
经检验知x＝11是原方程的根，x＝－2是原方程的增根．
∴方程的根为x＝11.
(3)由C＞C，得

又n∈N
，
∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．
1．性质“C＝C”的意义及作用
2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C中的m∈N
，n∈N
，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．
[再练一题]
3．(1)化简：C－C＋C＝________；
(2)已知C－C＝C，求n的值．
【解析】　(1)原式＝(C＋C)－C＝C－C＝0.
【答案】　0
(2)根据题意，C－C＝C，
变形可得C＝C＋C，
由组合数的性质，可得
C＝C，故8＋7＝n＋1，
解得n＝14.
[构建·体系]
1．下列四个问题属于组合问题的是(　　)
A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作
B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式
D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员
【解析】　A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题．
【答案】　C
2．若A＝12C，则n等于(　　)
A．8　　　　　　　　
B．5或6
C．3或4
D．4
【解析】　A＝n(n－1)(n－2)，C＝n(n－1)，
所以n(n－1)(n－2)＝12×n(n－1)．
由n∈N
，且n≥3，解得n＝8.
【答案】　A
3．C＋C的值为________．
【解析】　C＋C＝C＝＝＝84.
【答案】　84
4．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次.
【导学号：97270016】
【解析】　每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C＝15次．
【答案】　15
5．已知C，C，C成等差数列，求C的值．
【解】　由已知得2C＝C＋C，
所以2·＝＋，
整理得n2－21n＋98＝0，
解得n＝7或n＝14，
要求C的值，故n≥12，所以n＝14，
于是C＝C＝＝91.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．以下四个命题，属于组合问题的是(　　)
A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
【解析】　从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．
【答案】　C
2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为(　　)
A．4　　　
B．8　　　C．28　　　
D．64
【解析】　由于“村村通”公路的修建，是组合问题．故共需要建C＝28条公路．
【答案】　C
3．组合数C(n>r≥1，n，r∈N)恒等于(　　)
A.C
B．(n＋1)(r＋1)C
C．nrC
D.C
【解析】　C＝·＝＝C.
【答案】　D
4．满足方程Cx2－x16＝C的x值为(　　)
A．1,3,5，－7
B．1,3
C．1,3,5
D．3,5
【解析】　依题意，有x2－x＝5x－5或x2－x＋5x－5＝16，解得x＝1或x＝5；x＝－7或x＝3，经检验知，只有x＝1或x＝3符合题意．
【答案】　B
5．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是(　　)
A．20
B．9
C．C
D．CC＋CC
【解析】　分两类：第1类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C个平面；第2类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C个平面．故可确定C＋C＝9个不同的平面．
【答案】　B
二、填空题
6．C＋C＋C＋…＋C的值等于________．
【解析】　原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＝C＝C＝7
315.
【答案】　7
315
7．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集共有________个．
【解析】　从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C＝10个子集．
【答案】　10
8．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)
【解析】　从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C＝210种分法．
【答案】　210
三、解答题
9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？
【解】　从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C＝＝20个．
10．(1)求式子－＝中的x；
(2)解不等式C>3C.
【解】　(1)原式可化为：－＝，∵0≤x≤5，∴x2－23x＋42＝0，
∴x＝21(舍去)或x＝2，即x＝2为原方程的解．
(2)由>，
得>，∴m>27－3m，
∴m>＝7－.
又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N，
即7≤m≤8，∴m＝7或8.
[能力提升]
1．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有(　　)
A．36个　　　
B．72个　　　C．63个　　　
D．126个
【解析】　此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为C＝126个．
【答案】　D
2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有(　　)
【导学号：97270017】
A．140种
B．84种
C．70种
D．35种
【解析】　可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C·C＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C·C＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．
【答案】　C
3．对所有满足1≤m【解析】　∵1≤m【答案】　6
4．证明：C＝C.
【证明】　C＝·
＝＝C.2.3.2　离散型随机变量的方差
1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．
2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点)
3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　离散型随机变量的方差的概念
阅读教材P64～P66上面第四自然段，完成下列问题．
1．离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义：设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差．
(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
2．随机变量的方差与样本方差的关系
随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．
1．下列说法正确的有________(填序号)．
①离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值；
②离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平；
③离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平；
④离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．
【解析】　①错误．因为离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平．
②错误．因为离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了随机变量偏离于期望的平均程度．
③错误．因为离散型随机变量的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平，而随机变量的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平．
④正确．由方差的意义可知．
【答案】　④
2．已知随机变量ξ，D(ξ)＝，则ξ的标准差为________．
【解析】　ξ的标准差＝＝.
【答案】　
3．已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
－1
0
1
P
则ξ的均值为________，方差为________．
【解析】　均值E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝(－1)×＋0×＋1×＝－；
方差D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋(x3－E(ξ))2·p3＝.
【答案】　－　
教材整理2　离散型随机变量的方差的性质
阅读教材P66第5自然段～P66探究，完成下列问题．
1．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差
(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)；
(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
2．离散型随机变量方差的线性运算性质
设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．
1．若随机变量X服从两点分布，且成功概率P＝0.5，则D(X)＝________，E(X)＝________.
【解析】　E(X)＝0.5，D(X)＝0.5(1－0.5)＝0.25.
【答案】　0.25　0.5
2．一批产品中，次品率为，现连续抽取4次，其次品数记为X，则D(X)的值为________.
【导学号：97270050】
【解析】　由题意知X～B，所以D(X)＝4××＝.
【答案】　
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：
[小组合作型]
离散型随机变量的方差的性质及应用
　(1)已知随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝7，D(X)＝6，则p等于(　　)
A.　　　　　　
B.
C.
D.
(2)已知η的分布列为：
η
0
10
20
50
60
P
①求方差及标准差；
②设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．
【精彩点拨】　(1)利用二项分布的方差计算公式求解．
(2)①利用方差、标准差定义求解；
②利用方差的线性运算性质求解．
【自主解答】　(1)np＝7且np(1－p)＝6，解得1－p＝，
∴p＝.
【答案】　A
(2)①∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，
∴＝8.
②∵Y＝2η－E(η)，
∴D(Y)＝D(2η－E(η))
＝22D(η)＝4×384＝1
536.
1．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．
2．若ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)，若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，其中p为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程．
[再练一题]
1．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)＝3，D(X)＝，求n，p的值．
【解】　由题意知，X服从二项分布B(n，p)，
由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝，
得1－p＝，
∴p＝，n＝6.
求离散型随机变量的方差、标准差
　编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．
【精彩点拨】　首先确定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，进而求出E(ξ)和D(ξ)的值．
【自主解答】　ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，
则P(ξ＝0)＝＝；
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了．
则P(ξ＝1)＝＝；
ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，
则P(ξ＝3)＝＝.
所以，ξ的分布列为
ξ
0
1
3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1；
D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1.
求离散型随机变量的方差的类型及解决方法
1．已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下，
(1)求均值；(2)求方差．
2．已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下，
(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
3．未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况．
4．对于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
[再练一题]
2．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ)．
【解】　这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，
则P(ξ＝6)＝＝.
ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，
则P(ξ＝9)＝＝.
ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，
则P(ξ＝12)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
6
9
12
P
∴E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8.
D(ξ)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36.
[探究共研型]
均值、方差的综合应用
探究1　A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：
A机床
次品数X1
0
1
2
3
P
0.7
0.2
0.06
0.04
B机床
次品数X2
0
1
2
3
P
0.8
0.06
0.04
0.10
试求E(X1)，E(X2)．
【提示】　E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.
E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.
探究2　在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？
【提示】　不能．因为E(X1)＝E(X2)．
探究3　在探究1中，试想利用什么指标可以比较A、B两台机床加工质量？
【提示】　利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．
　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
【精彩点拨】　(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．
(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．
【自主解答】　(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列分别为
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)由(1)得：
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤
1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．
2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．
3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．
[再练一题]
3．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
甲保护区：
X
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
乙保护区：
Y
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
【解】　甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为：
E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；
D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：
E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；
D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．
[构建·体系]
1．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于(　　)
A．m　　　　　　　　　B．2m(1－m)
C．m(m－1)
D．m(1－m)
【解析】　随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
P
1－m
m
∴E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.
∴D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．
【答案】　D
2．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P
0.5
0.3
0.2
则D(X)等于(　　)
A．0.7
B．0.61
C．－0.3
D．0
【解析】　E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，
D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.
【答案】　B
3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的质量较好．
【解析】　因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定．
【答案】　乙
4．如果X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)和D(X1)分别是________，________.
【解析】　因为E(X1)＝E(2X－5)＝2E(X)－5＝2×6－5＝7，D(X1)＝D(2X－5)＝4D(X)＝4×0.5＝2.
【答案】　7　2
5．已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
若E(X)＝0，D(X)＝1，求a，b的值.
【导学号：97270051】
【解】　由题意，
解得a＝，b＝c＝.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案
(1)　
(2)　
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　)
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较
【解析】　∵D(X甲)>D(X乙)，
∴乙种水稻比甲种水稻整齐．
【答案】　B
2．设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为(　　)
A．n＝4，p＝0.6　　　　B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3
D．n＝24，p＝0.1
【解析】　由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，
∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6.
【答案】　B
3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3,6,9.则D(X)等于(　　)
A．6　　　　B．9　　　　C．3　　　　D．4
【解析】　E(X)＝3×＋6×＋9×＝6.
D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6.
【答案】　A
4．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝(　　)
A.
B.
C.
D．5
【解析】　两枚硬币同时出现反面的概率为×＝，故ξ～B，
因此D(ξ)＝10××＝.故选A.
【答案】　A
5．已知X的分布列为(　　)
X
－1
0
1
P
则①E(X)＝－，②D(X)＝，③P(X＝0)＝.
其中正确的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】　E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故①正确；
D(X)＝2×＋2×＋2×＝，故②不正确；③P(X＝0)＝显然正确．
【答案】　C
二、填空题
6．(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
【解析】　设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
则解得
所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.
【答案】　
7．(2016·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．
【解析】　由独立重复试验的方差公式可以得到
D(ξ)＝np(1－p)≤n2＝，等号在p＝1－p＝时成立，所以D(ξ)max＝100××＝25，＝＝5.
【答案】　　5
8．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．
【解析】　设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X.
由题知X～B(25,0.6)，
所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6，
E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，D(Y)＝D(4X)＝42×
D(X)＝16×6＝96，
所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.
【答案】　60,96
三、解答题
9．海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：
X1
－2
－1
0
1
2
P
0.05
0.05
0.8
0.05
0.05
X2
－2
－1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量．
【解】　∵E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．
∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；
D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.
∴D(X1)由上可知，A面大钟的质量较好．
10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、期望和方差；
(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．
【解】　(1)X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.
又∵E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
∴或即为所求．
[能力提升]
1．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　　)
A.
B.
C．3
D.
【解析】　∵E(X)＝x1＋x2＝.
∴x2＝4－2x1，D(X)＝2×＋2×＝.
∵x1＜x2，∴∴x1＋x2＝3.
【答案】　C
2．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck·n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为(　　)
【导学号：97270052】
A．8
B．12
C.
D．16
【解析】　由题意可知ξ～B，
∴n＝E(ξ)＝24，∴n＝36.
又D(ξ)＝n××＝×36＝8.
【答案】　A
3．变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是________．
【解析】　由a，b，c成等差数列可知2b＝a＋c，
又a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝，a＋c＝.
又E(ξ)＝－a＋c＝，∴a＝，c＝，
故分布列为
ξ
－1
0
1
P
∴D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.
【答案】　
4．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图2 3 3所示．
图2 3 3
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．
【解】　(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个．”因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
P(X＝0)＝C(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C·0.63＝0.216，
则X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，
方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.章末分层突破
[自我校对]
①分类加法计数原理
②分步乘法计数原理
③排列
④排列数公式
⑤组合数公式
⑥组合数
⑦二项展开式的通项
⑧对称性
⑨增减性
两个计数原理的应用
分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本部分内容的基础，对应用题的考查，经常要对问题进行分类或者分步进而分析求解．
(1)“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情．“分步”表现为必须把各步骤均完成，才能完成所给事情，所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类加法计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，不论哪一类办法中的哪一种方法都能够独立完成事件．
(2)分步乘法计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.
　王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读．
(1)若他从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？
(2)若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？
(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？
【精彩点拨】　解决两个原理的应用问题，首先应明确所需完成的事情是什么，再分析每一种做法使这件事是否完成，从而区分加法原理和乘法原理．
【规范解答】　(1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成，从而确定为应用分类加法计数原理，结果为5＋4＋3＝12(种)．
(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为5×4×3＝60(种)．
(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15种选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12种选法．即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20＋15＋12＝47(种)．
应用两个计数原理解决应用问题时主要考虑三方面的问题： 1 要做什么事； 2 如何去做这件事； 3 怎样才算把这件事完成了.并注意计数原则：分类用加法，分步用乘法.
[再练一题]
1．如图1 1为电路图，从A到B共有________条不同的线路可通电．
图1 1
【解析】　先分三类．第一类，经过支路①有3种方法；第二类，经过支路②有1种方法；第三类，经过支路③有2×2＝4(种)方法，所以总的线路条数N＝3＋1＋4＝8.
【答案】　8
排列、组合的应用
排列、组合应用题是高考的重点内容，常与实际问题结合命题，要认真审题，明确问题本质，利用排列、组合的知识解决．
　(1)某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
(2)在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．
①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？
②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？
③若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个栏目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？
【精彩点拨】　按照“特殊元素先排法”分步进行，先特殊后一般．
【规范解答】　(1)因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
①若甲乙都不参加，则有派遣方案A种；
②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A种方法，所以共有3A种方法；
③若乙参加而甲不参加同理也有3A种；
④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余学生到另两个城市有A种，共有7A种方法．
所以共有不同的派遣方法总数为A＋3A＋3A＋7A＝4
088种．
(2)①第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A＝5
040种方法；第二步，再松绑，给4个节目排序，有A＝24种方法．
根据分步乘法计数原理，一共有5
040×24＝120
960种．
②第一步，将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A＝720种方法．
×□×□×□×□×□×□×
第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A＝7×6×5×4＝840种．
根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604
800种．
③若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有＝A＝132种排法．
解排列、组合应用题的解题策略
1．特殊元素优先安排的策略．
2．合理分类和准确分步的策略．
3．排列、组合混合问题先选后排的策略．
4．正难则反、等价转化的策略．
5．相邻问题捆绑处理的策略．
6．不相邻问题插空处理的策略．
7．定序问题除序处理的策略．
8．分排问题直排处理的策略．
9．“小集团”排列问题中先整体后局部的策略．
10．构造模型的策略．
简单记成：
合理分类，准确分步；
特殊优先，一般在后；
先取后排，间接排除；
集团捆绑，间隔插空；
抽象问题，构造模型；
均分除序，定序除序．
[再练一题]
2．(1)一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是(　　)
A．40　　　　　　
B．74
C．84
D．200
(2)(2016·山西质检)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有(　　)
A．60种
B．48种
C．30种
D．24种
【解析】　(1)分三类：
第一类，前5个题目的3个，后4个题目的3个；
第二类，前5个题目的4个，后4个题目的2个；
第三类，前5个题目的5个，后4个题目的1个．由分类加法计数原理得CC＋CC＋CC＝74.
(2)由题意知，不同的座次有AA＝48种，故选B.
【答案】　(1)B　(2)B
二项式定理问题的处理方法和技巧
对于二项式定理的考查常出现两类问题，一类是直接运用通项公式来求特定项．另一类，需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题．
　(1)(2014·湖北高考)若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　)
A．2
B.
C．1
D.
(2)(2016·沈阳高二检测)已知(1＋x＋x2)n(n∈N
)的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n＝________.
(3)设(3x－1)6＝a6x6＋a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a6＋a4＋a2＋a0的值为________．
【精彩点拨】　(1)、(2)利用二项式定理的通项求待定项；
(3)通过赋值法求系数和．
【规范解答】　(1)二项式7的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x)7－rr＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1.
(2)n展开式的通项是Tr＋1＝Cxn－rr＝Cxn－4r，r＝0,1,2，…，n，
由于(1＋x＋x2)n的展开式中没有常数项，所以Cxn－4r，xCxn－4r＝Cxn－4r＋1和x2Cxn－4r＝Cxn－4r＋2都不是常数，则n－4r≠0，n－4r＋1≠0，n－4r＋2≠0，又因为2≤n≤8，所以n≠2,3,4,6,7,8，故取n＝5.
(3)令x＝1，
得a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝26＝64.
令x＝－1，得a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)6＝4
096.
两式相加，得2(a6＋a4＋a2＋a0)＝4
160，
所以a6＋a4＋a2＋a0＝2
080.
【答案】　(1)C　(2)5　(3)2
080
1．解决与二项展开式的项有关的问题时，通常利用通项公式．
2．解决二项展开式项的系数(或和)问题常用赋值法．
[再练一题]
3．(1)(2014·浙江高考)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝(　　)
A．45　　　
B．60
C．120　　　
D．210
(2)设a∈Z，且0≤a<13，若512
016＋a能被13整除，则a＝(　　)
【导学号：97270028】
A．0
B．1
C．11
D．12
【解析】　(1)因为f(m，n)＝CC，
所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)
＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.
(2)512
016＋a＝(13×4－1)2
016＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512
016＋a能被13整除．
【答案】　(1)C　(2)D
排列、组合中的分组与分配问题
n个不同元素按照条件分配给k个不同的对象称为分配问题，分定向分配与不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某种条件分成k组，称为分组问题，分组问题有不平均分组、平均分组、部分平均分组三种情况．分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使2组元素个数相同，但因所属对象不同，仍然是可区分的．对于后者必须先分组再排列．
　按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；
(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．
【精彩点拨】　这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．
【规范解答】　(1)无序不均匀分组问题．先选1本有C种选法，再从余下的5本中选2本有C种选法，最后余下3本全选有C种选法．故共有CCC＝60(种)．
(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)问基础上，还应考虑再分配，共有CCCA＝360(种)．
(3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是CCC种方法，但是这里出现了重复．不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(AB，CD，EF)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A种情况，而这A种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种)．
(4)有序均匀分组问题．在第(3)问基础上再分配给3个人，共有分配方式·A＝CCC＝90(种)．
(5)无序部分均匀分组问题．共有＝15(种)．
(6)有序部分均匀分组问题．在第(5)问基础上再分配给3个人，共有分配方式·A＝90(种)．
(7)直接分配问题．甲选1本有C种方法，乙从余下5本中选1本有C种方法，余下4本留给丙有C种方法．共有CCC＝30(种)．
均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.
[再练一题]
4．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？
【解】　取出的4张卡片所标数字之和等于10，共有3种情况：1
144,2
233,1
234.
所取卡片是1
144的共有A种排法．
所取卡片是2
233的共有A种排法．所取卡片是1
234，则其中卡片颜色可为无红色，1张红色，2张红色，3张红色，全是红色，共有排法A＋CA＋CA＋CA＋A＝16A种．所以共有18A＝432种.
1．(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A．10　　　　
B．20　　　　C．30　　　　
D．60
【解析】　法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.
法二：(x2＋x＋y)5为5个(x2＋x＋y)之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.
【答案】　C
2．(2013·全国卷Ⅰ)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(　　)
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】　(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C，
∴a＝C.
同理，b＝C.
∵13a＝7b，∴13·C＝7·C.
∴13·＝7·.
∴m＝6.
【答案】　B
3．(2014·安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有(　　)
A．24对
B．30对
C．48对
D．60对
【解析】　
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，与面对角线AC成60°角的面对角线有B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，D1C，DC1，共8条，同理与DB成60°角的面对角线也有8条．因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对．又正方体共有6个面，所以共有16×6＝96(对)．又因为每对被计算了2次，因此成60°的面对角线有×96＝48(对)．
【答案】　C
4．(2013·山东高考)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)
A．243
B．252
C．261
D．279
【解析】　0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，
∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．
【答案】　B第2课时　组合的综合应用
1．学会运用组合的概念分析简单的实际问题．(重点)
2．能解决无限制条件的组合问题．
3．掌握解决组合问题的常见的方法．(难点)
[基础·初探]
教材整理　组合的实际应用
阅读教材P23例6～P25，完成下列问题．
1．组合与排列的异同点
共同点：排列与组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素．
不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关．
2．应用组合知识解决实际问题的四个步骤
(1)判断：判断实际问题是否是组合问题．
(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题．
(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算．
(4)结论：根据计算结果写出方案个数．
1．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有________．
【解析】　把三张票分给10个人中的3人，不同分法有C＝＝120(种)．
【答案】　120
2．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2
门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有______种．
【解析】　甲选修2门，有C＝6(种)不同方案．
乙选修3门，有C＝4(种)不同选修方案．
丙选修3门，有C＝4(种)不同选修方案．
由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有6×4×4＝96(种)．
【答案】　96
3．从0,1,
，，
，2这六个数字中，任取两个数字作为直线y＝xtan
α＋b的倾斜角和截距，可组成______条平行于x轴的直线．
【解析】　要使得直线与x轴平行，则倾斜角为0，截距在0以外的五个数字均可．故有C＝5条满足条件．
【答案】　5
4．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种.
【导学号：97270018】
【解析】　每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C＋C＋C＋C＝112种分配方案．
【答案】　112
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：
[小组合作型]
无限制条件的组合问题
　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必需参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
【精彩点拨】　本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题．
【自主解答】　(1)从中任取5人是组合问题，共有C＝792种不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C＝36种不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法．
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C种选法．共有CC＝378种不同的选法．
解答简单的组合问题的思考方法
1．弄清要做的这件事是什么事．
2．选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题．
3．结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果．
[再练一题]
1．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？
【解】　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45.
(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C种方法；第2类，选出的2
名是女教师有C种方法，即C＋C＝21(种)．
有限制条件的组合问题
　高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．
(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？
【精彩点拨】　可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼．使用两个计数原理解决．
【自主解答】　(1)从余下的34名学生中选取2名，
有C＝561(种)．
∴不同的取法有561种．
(2)从34名可选学生中选取3名，有C种．
或者C－C＝C＝5
984种．
∴不同的取法有5
984种．
(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC＝2
100种．
∴不同的取法有2
100种．
(4)选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有选取方式N＝CC＋C＝2
100＋455＝2
555种．
∴不同的取法有2
555种．
(5)选取3名的总数有C，因此选取方式共有N＝C－C＝6
545－455＝6
090种．
∴不同的取法有6
090种．
常见的限制条件及解题方法
1．特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．
2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．
3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．
[再练一题]
2．“抗震救灾，众志成城”，在我国“四川5·12”抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
【解】　(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C＝90(种)抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法．
法一　(直接法)
按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有C·C种选法；
②选3名外科专家，共有C·C种选法；
③选4名外科专家，共有C·C种选法．
根据分类加法计数原理，共有C·C＋C·C＋C·C＝185(种)抽调方法．
法二　(间接法)
不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C·C种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：C－C·C－C＝185(种)抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有C种选法；
②有1名外科专家参加，有C·C种选法；
③有2名外科专家参加，有C·C种选法．
所以共有C＋C·C＋C·C＝115(种)抽调方法.
组合在几何中的应用
　平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？
【精彩点拨】　解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数．
【自主解答】　法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准．
第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC＝48个不同的三角形；
第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC＝112个不同的三角形；
第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C＝56个不同的三角形．
由分类加法计数原理知，不同的三角形共有
48＋112＋56＝216(个)．
法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C＝4种．
故这12个点能构成三角形的个数为C－C＝216个．
1．解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．
2．图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．
[再练一题]
3．四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？
【解】　如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，不同的取法有3C＋3＝33种．
[探究共研型]
排列、组合的综合应用
探究1　从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？
【提示】　共有C＝＝6(个)不同结果．
完成的“这件事”是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相乘．
探究2　从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相除，有多少不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？
【提示】　共有A－2＝10(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相除．
探究3　完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？
【提示】　由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行．第一类：0在个位，则百位与十位共A种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共CCC＝18(种)不同的结果，由分类加法原理，完成“这件事”共有A＋CCC＝30(种)不同的结果．
　有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
【精彩点拨】　(1)按选中女生的人数多少分类选取．(2)采用先选后排的方法．(3)先安排该男生，再选出其他人担任4科课代表．(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表．
【自主解答】　(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CC＋CC种，后排有A种，
共(CC＋CC)·A＝5
400种．
(2)除去该女生后，先选后排，有C·A＝840种．
(3)先选后排，但先安排该男生，有C·C·A＝3
360种．
(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共C·C·A＝360种．
解决排列、组合综合问题要遵循两个原则
1．按事情发生的过程进行分步．
2．按元素的性质进行分类．解决时通常从以下三个途径考虑：
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
[再练一题]
4．(1)某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案共有(　　)
A．16种　　　
B．36种　　　C．42种　　　
D．60种
(2)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为(　　)
A．360
B．520
C．600
D．720
【解析】　(1)若选择了两个城市，则有CCA＝36种投资方案；若选择了三个城市，则有CA＝24种投资方案，因此共有36＋24＝60种投资方案．
(2)分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有CCA＝2×10×24＝480种选法．
第二类，甲、乙都参加时，则有C(A－AA)＝10×(24－12)＝120种选法．
所以共有480＋120＝600种选法．
【答案】　(1)D　(2)C
[构建·体系]
1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有(　　)
A．72种　
　
B．84种　
　C．120种　
　
D．168种
【解析】　需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有C＝120(种)．故选C.
【答案】　C
2．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有(　　)
A．60种
B．20种
C．10种
D．8种
【解析】　四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即C＝10.
【答案】　C
3．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答).
【导学号：97270019】
【解析】　有C·C·A＝36种满足题意的分配方案．其中C表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的方法数．
【答案】　36
4．在直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有________个．
【解析】　在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C×C＝15×15＝225个．
【答案】　225
5．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法．
【解】　法一：设A，B代表两名老师傅．
A，B都不在内的选派方法有：C·C＝5(种)；
A，B都在内且当钳工的选派方法有：
C·C·C＝10(种)；
A，B都在内且当车工的选派方法有：
C·C·C＝30(种)；
A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有：
C·A·C·C＝80(种)；
A，B有一人在内且当钳工的选派方法有：
C·C·C＝20(种)；
A，B有一人在内且当车工的选派方法有：
C·C·C＝40(种)．
所以共有C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·A·C·C＋C·C·C＋C·C·C＝185(种)选派方法．
法二：5名钳工有4名被选上的方法有：
C·C＝75(种)；
5名钳工有3名被选上的方法有：
C·C·C＝100(种)；
5名钳工有2名被选上的方法有：C·C·C＝10(种)．所以一共有75＋100＋10＝185(种)选派方法．
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·中山高二检测)圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为(　　)
A．720　　　
B．360　　　C．240　　　
D．120
【解析】　确定三角形的个数为C＝120.
【答案】　D
2．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告．要求最后必须播放奥运广告，且2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有(　　)
A．120种
B．48种
C．36种
D．18种
【解析】　最后必须播放奥运广告有C种，2个奥运广告不能连续播放，倒数第2个广告有C种，故共有CCA＝36种不同的播放方式．
【答案】　C
3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)
A．60种
B．63种
C．65种
D．66种
【解析】　均为奇数时，有C＝5种；均为偶数时，有C＝1种；两奇两偶时，有C·C＝60种，共有66种．
【答案】　D
4．(2016·青岛高二检测)将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为(　　)
A．120
B．240
C．360
D．720
【解析】　先选出3个球有C＝120种方法，不妨设为1,2,3号球，则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种．这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2＝240种方法．
【答案】　B
5．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为(　　)
A．CC
B．CA
C．CACA
D．AA
【解析】　分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C种方法；第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A种．故有CA种．
【答案】　B
二、填空题
6．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是________．
【解析】　按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有CC＝2
100种抽法．
【答案】　2
100
7．某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上最少有1名队长，那么共有________种不同的选法．
【解析】　若只有1名队长入选，则选法种数为C·C；若两名队长均入选，则选法种数为C，故不同选法有C·C＋C＝714(种)．
【答案】　714
8．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种．
【解析】　6位游客选2人去A风景区，有C种，余下4位游客选2人去B风景区，有C种，余下2人去C，D风景区，有A种，所以分配方案共有CCA＝180(种)．
【答案】　180
三、解答题
9．α，β是两个平行平面，在α内取四个点，在β内取五个点．
(1)这些点最多能确定几条直线，几个平面？
(2)以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？
【解】　(1)在9个点中，除了α内的四点共面和β内的五点共面外，其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所确定直线才能达到最多，此时，最多能确定直线C＝36条．在此条件下，只有两直线平行时，所确定的平面才最多．又因为三个不共线的点确定一个平面，故最多可确定CC＋CC＋2＝72个平面．
(2)同理，在9个点中，除了α内的四点共面和β内的五点共面外，其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所作三棱锥才能达到最多．此时最多能作CC＋CC＋CC＝120个三棱锥．
10．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？
(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；
(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．
【解】　(1)每个小球都有4种方法，根据分步乘法计数原理，共有46＝4
096种不同放法．
(2)分两类：第1类，6个小球分3,1,1,1放入盒中；第2类，6个小球分2,2,1,1放入盒中，共有C·C·A＋C·C·A＝1
560(种)不同放法．
(3)法一　按3,1,1,1放入有C种方法，按2,2,1,1，放入有C种方法，共有C＋C＝10(种)不同放法．
法二　(挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将6个球分成四位，共有C＝10(种)不同放法．
[能力提升]
1．(2015·四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40
000大的偶数共有(　　)
A．144个
B．120个
C．96个
D．72个
【解析】　分两类进行分析：第一类是万位数字为4，个位数字分别为0,2；第二类是万位数字为5，个位数字分别为0,2,4.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有CA个偶数．故符合条件的偶数共有2A＋CA＝120(个)．
【答案】　B
2．如图1 2 1，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有________种．
图1 2 1
【解析】　四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求，如桥AC，BC，BD符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥AC，CD，DA，不符合要求，故共有C－4＝16种不同的建桥方案．
【答案】　16
3．(2016·孝感高级中学期中)正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有________种.
【导学号：97270020】
【解析】　若用三种颜色，有CA种染法，若用四种颜色，有5·A种染法，则不同的染色方法有CA＋5·A＝240(种)．
【答案】　240
4．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
【解】　(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有CA＝A种测法，再排余下4件的测试位置，有A种测法．
所以共有不同测试方法A·A·A＝103
680种．
(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C·C·A＝576种.2.2　二项分布及其应用
2．2.1　条件概率
1．了解条件概率的概念．
2．掌握求条件概率的两种方法．(难点)
3．能利用条件概率公式解一些简单的实际问题．(重点)
[基础·初探]
教材整理　条件概率
阅读教材P51～P53，完成下列问题．
1．条件概率的概念
一般地，设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．
2．条件概率的性质
(1)P(B|A)∈[0,1]．
(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝
P(B|A)＋P(C|A)．
1．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝________.
【解析】　由P(B|A)＝＝＝.
【答案】　
2．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．
【解析】　根据条件概率公式知P＝＝0.5.
【答案】　0.5
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：
[小组合作型]
利用定义求条件概率
　一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为
B.
(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；
(2)求P(B|A)．
【精彩点拨】　首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解．
【自主解答】　由古典概型的概率公式可知
(1)P(A)＝，
P(B)＝＝＝，
P(AB)＝＝.
(2)P(B|A)＝＝＝.
1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
(1)分析题意，弄清概率模型；
(2)计算P(A)，P(AB)；
(3)代入公式求P(B|A)＝.
2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出了事件A、B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．
[再练一题]
1．(1)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.
【导学号：97270036】
(2)(2016·烟台高二检测)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．
【解析】　(1)由公式P(A|B)＝＝，P(B|A)＝＝.
(2)设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，
又P(A)＝0.9，P(B|A)＝，
得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72.
【答案】　(1)　　(2)0.72
利用基本事件个数求条件概率
　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
【精彩点拨】　第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．
【自主解答】　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A
B.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A＝30，
根据分步计数原理n(A)＝AA＝20，于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，于是P(AB)＝＝＝.
(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝＝＝.
法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
1．本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．
2．计算条件概率的方法
(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)．
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)．
(3)条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算事件AB发生的概率，即
P(B|A)＝＝＝.
[再练一题]
2．盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？
【解】　由题意得球的分布如下：
玻璃
木质
总计
红
2
3
5
蓝
4
7
11
总计
6
10
16
设A＝{取得蓝球}，B＝{取得玻璃球}，
则P(A)＝，P(AB)＝＝.
∴P(B|A)＝＝＝.
[探究共研型]
利用条件概率的性质求概率
探究1　掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？
【提示】　掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．
探究2　“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？
【提示】　“第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．
探究3　先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？
【提示】　设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C.则所求事件为B∪C|A.
∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.
　将外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则试验成功．求试验成功的概率．
【精彩点拨】　设出基本事件，求出相应的概率，再用基本事件表示出“试验成功”这件事，求出其概率．
【自主解答】　设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，
B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，
R＝{第二次取出的球是红球}，
W＝{第二次取出的球是白球}，
则容易求得P(A)＝，P(B)＝，
P(R|A)＝，P(W|A)＝，P(R|B)＝，P(W|B)＝.
事件“试验成功”表示为RA∪RB，又事件RA与事件RB互斥，
所以由概率的加法公式得
P(RA∪RB)
＝P(RA)＋P(RB)
＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)
＝×＋×＝.
条件概率的解题策略
分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
[再练一题]
3．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．
(1)求此人患色盲的概率；
(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．
【解】　设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.
(1)此人患色盲的概率P(C)＝P(A∩C)＋P(B∩C)
＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)
＝×＋×＝.
(2)P(A|C)＝＝＝.
[构建·体系]
1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于(　　)
A.　　　　
B.　　　　C.　　　　
D.
【解析】　由P(B|A)＝，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
【答案】　C
2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是(　　)
A.
B.
C.
D．1
【解析】　因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是.
【答案】　B
3．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________.
【解析】　∵P(AB)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝.
【答案】　
4．抛掷骰子2次，每次结果用(x1，x2)表示，其中x1，x2分别表示第一次、二次骰子的点数．若设A＝{(x1，x2)|x1＋x2＝10}，B＝{(x1，x2)|x1>x2}．则P(B|A)＝________.
【导学号：97270037】
【解析】　∵P(A)＝＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
【答案】　
5．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么
(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？
(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？
【解】　(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸出白球”为事件AB，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果，所以P(A)＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为.
(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，“两次都摸出白球”为事件A1B1，P(A1)＝，P(A1B1)＝＝，所以P(B1|A1)＝＝＝.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)
A.　　　　　　　　
B.
C.
D.
【解析】　∵P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝.
【答案】　B
2．下列说法正确的是(　　)
A．P(B|A)＜P(AB)
B．P(B|A)＝是可能的
C．0＜P(B|A)＜1
D．P(A|A)＝0
【解析】　由条件概率公式P(B|A)＝及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝，故B选项正确，由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误．故选
B.
【答案】　B
3．(2014·全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)
A．0.8　　　B．0.75　　　C．0.6　　　D．0.45
【解析】　已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝＝0.8.
【答案】　A
4．(2016·泉州期末)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数之和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为偶数”，则P(B|A)等于(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　法一：P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，P(B|A)＝＝.
法二：事件A包含的基本事件数为C＋C＝4，在A发生的条件下事件B包含的基本事件为C＝1，因此P(B|A)＝.
【答案】　B
5．抛掷两枚骰子，则在已知它们点数不同的情况下，至少有一枚出现6点的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　设“至少有一枚出现6点”为事件A，“两枚骰子的点数不同”为事件B，则n(B)＝6×5＝30，n(AB)＝10，
所以P(A|B)＝＝＝.
【答案】　A
二、填空题
6．已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.
【解析】　P(A|B)＝＝＝；P(B|A)＝＝＝.
【答案】　　
7．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为________.
【导学号：97270038】
【解析】　由题意知，P(AB)＝，P(B|A)＝.
由P(B|A)＝，得P(A)＝＝.
【答案】　
8．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．
【解析】　设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，
则D＝B∪C，且B与C互斥，
又P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
P(AC)＝＝，
故P(D|A)＝P(B∪C|A)
＝P(B|A)＋P(C|A)
＝＋＝.
【答案】　
三、解答题
9．甲、乙两个袋子中，各放有大小、形状和个数相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是.
(1)求n的值；
(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率．
【解】　(1)由题意得：＝＝，解得n＝2.
(2)记“其中一个标号是1”为事件A，“另一个标号是1”为事件B，所以P(B|A)＝＝＝.
10．任意向x轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问：
(1)该点落在区间内的概率是多少？
(2)在(1)的条件下，求该点落在内的概率．
【解】　由题意知，任意向(0,1)这一区间内掷一点，该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的，令A＝，由几何概率的计算公式可知．
(1)P(A)＝＝.
(2)令B＝，则AB＝，
P(AB)＝＝.
故在A的条件下B发生的概率为
P(B|A)＝＝＝.
[能力提升]
1．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．
记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个是女孩”，则A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB＝{(女，女)}．
于是可知P(A)＝，P(AB)＝.问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P(B|A)，由条件概率公式，得P(B|A)＝＝.
【答案】　D
2．(2016·开封高二检测)将3颗骰子各掷一次，记事件A表示“三个点数都不相同”，事件B表示“至少出现一个3点”，则概率P(A|B)等于(　　)
A.　　　　
B.　　　　C.　　　　
D.
【解析】　事件B发生的基本事件个数是n(B)＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A，B同时发生的基本事件个数为n(AB)＝3×5×4＝60.
所以P(A|B)＝＝.
【答案】　C
3．袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________．
【解析】　记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.
【答案】　
4．如图2 2 1，三行三列的方阵有9个数aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率．
图2 2 1
【解】　事件A＝{任取的三个数中有a22}，事件B＝{三个数至少有两个数位于同行或同列}，
则＝{三个数互不同行且不同列}，依题意得n(A)＝C＝28，n(A)＝2，
故P(|A)＝＝＝，则
P(B|A)＝1－P(|A)＝1－＝.即已知取到a22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为.第2课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用
1．熟练应用两个计数原理．(重点)
2．能运用两个计数原理解决一些综合性的问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理　分类加法计数原理与分步乘法计数
原理的联系与区别
阅读教材P6例5～P10，完成下列问题．
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
联系
两个原理回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题
区别一
完成一件事共有n类办法，关键词是“分类”
完成一件事共分n个步骤，关键词是“分步”
区别二
每类办法都能完成这件事
任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有每个步骤都完成了，才能完成这件事
区别三
各类办法都是互斥的、并列的、独立的
各步之间是相互关联的、互相依存的
1．由1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数为________．
【解析】　由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2＝24.
【答案】　24
2．(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展开后共有________项.
【导学号：97270004】
【解析】　该展开式中每一项的因式分别来自a1＋a2＋a3，b1＋b2＋b3，c1＋c2＋c3＋c4中的各一项．由a1，a2，a3中取一项共3种取法，从b1，b2，b3中取一项有3种不同取法，从c1，c2，c3，c4中任取一项共4种不同的取法．由分步乘法计数原理知，该展开式共3×3×4＝36(项)．
【答案】　36
3．5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为________．
【解析】　根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3×2×1＝6种情况，由分步乘法计数原理，可得共有1×3×6＝18种分工方案．
【答案】　18
4．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数有________个．
【解析】　分三步完成，第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．
【答案】　18
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：
　
[小组合作型]
抽取(分配)问题
　(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　)
A．16种　　　
B．18种　　　C．37种　　　
D．48种
(2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________．
【精彩点拨】　(1)由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解．
(2)先让一人去抽，然后再让被抽到贺卡所写人去抽．
【自主解答】　(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种)．故选C.
(2)不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有1种选择，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(种)．
【答案】　(1)C　(2)9
求解抽取(分配)问题的方法
1．当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．
2．当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
[再练一题]
1．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？
【解】　法一　(以小球为研究对象)分三步来完成：
第一步：放第一个小球有5种选择；
第二步：放第二个小球有4种选择；
第三步：放第三个小球有3种选择．
根据分步乘法计数原理得：
共有方法数N＝5×4×3＝60.
法二　(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类：
第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有3×2×1＝6(种)；
第二类：空盒子标号为(1,3)：选法有3×2×1＝6(种)；
第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有3×2×1＝6(种)；
分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法．
根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种).
组数问题
　用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的
(1)银行存折的四位密码；
(2)四位整数；
(3)比2
000大的四位偶数．
【精彩点拨】　(1)用分步乘法计数原理求解(1)问；(2)0
不能作首位，优先排首位，用分步乘法计数原理求解；(3)可以按个位是0,2,4分三类，也可以按首位是2,3,4,5分四类解决，也可以用间接法求解．
【自主解答】　(1)分步解决．
第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法；
第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；
第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法；
第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法．
由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有
6×5×4×3＝360(个)．
(2)分步解决．
第一步：首位数字有5种选取方法；
第二步：百位数字有5种选取方法；
第三步：十位数字有4种选取方法；
第四步：个位数字有3种选取方法．
由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有
5×5×4×3＝300(个)．
(3)法一　按末位是0,2,4分为三类：
第一类：末位是0的有4×4×3＝48个；
第二类：末位是2的有3×4×3＝36个；
第三类：末位是4的有3×4×3＝36个．
则由分类加法计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个)．
法二　按千位是2,3,4,5分四类：
第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)；
第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)；
第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)；
第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个)．
则由分类加法计数原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(个)．
法三(间接法)
用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：
第一类：末位是0的有5×4×3＝60个；
第二类：末位是2或4的有2×4×4×3＝96个．
共有60＋96＝156(个)．
其中比2
000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(个)，
所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个)．
1．对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．
2．解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．
[再练一题]
2．由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个：
(1)无重复数字的三位数？
(2)可以有重复数字的三位数？
【解】　(1)0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18(个)．
(2)百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择．
由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48(个)．
涂色问题
探究1　用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区
A
B
C
D
图1 1 4
域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？
【提示】　涂A区有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理将A，B，C，D四个区域涂色共有3×2×2×2＝24(种)不同方案．
探究2　在探究1中，若恰好用3种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？
【提示】　恰用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色．由加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18(种)不同的方案．
探究3　在探究1中，若恰好用2种不同颜色涂完四个区域，则哪些区域必同色？共有多少种不同的涂色方案？
【提示】　若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则A，C区域必同色，且B、D区域必同色．先从3种不同颜色中任取两种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域共2种不同的涂法．由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂四个区域共有3×2＝6(种)不同的涂色方案．
　
图1 1 5
将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图1 1 5所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？
【精彩点拨】　给图中区域标上记号A，B，C，D，E，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色取决于B与D涂的颜色，如果B与D颜色相同有2种，如果不相同，那么只有1种．因此应先分类后分步．
【自主解答】　法一：给图中区域标上记号A，B，C，D，E，如图所示．
①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种．
②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种．
故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．
法二：按涂色时所用颜色种数多少分类：
第一类，用4种颜色：此时B，D区域或A，E区域同色，则共有2×4×3×2×1＝48种不同涂法．
第二类，用3种颜色：此时B，D同色，A，E同色，先从4种颜色中取3种，再涂色，共4×3×2×1＝24种不同涂法．
由分类加法计数原理共48＋24＝72种不同涂法．
求解涂色 种植 问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：, 1 按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析； 2 以颜色 种植作物 为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析； 3 对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.
[再练一题]
3.
图1 1 6
如图1 1 6所示的几何体是由一个正三棱锥P ABC与正三棱柱ABC A1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．
【解析】　先涂三棱锥P ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，由分步乘法计数原理，共有3×2×1×2＝12种不同的涂法．
【答案】　12
[构建·体系]
1．已知x∈{1,2,3,4}，y∈{5,6,7,8}，则xy可表示不同值的个数为(　　)
A．2　　　
B．4　　　C．8　　　
D．15
【解析】　x的取值共有4个，y的取值也有4个，则xy共有4×4＝16个积，但是由于3×8＝4×6，所以xy共有16－1＝15(个)不同值，故选D.
【答案】　D
2．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　　)
A．6种
B．7种
C．8种
D．9种
【解析】　可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6种；若选派2名女生，则有3种．由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法．
【答案】　D
3．3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种.
【导学号：97270005】
【解析】　每名同学都有4种不同的报名方案，共有4×4×4＝64种不同的方法．
【答案】　64
4．圆周上有2n个等分点(n大于2)，任取3点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为________．
【解析】　先在圆周上找一点，因为有2n个等分点，所以应有n条直径，不过该点的直径应有n－1条，这n－1条直径都可以与该点形成直角三角形，一个点可以形成n－1个直角三角形，而这样的点有2n个，所以一共有2n(n－1)个符合题意的直角三角形．
【答案】　2n(n－1)
5.
图1 1 7
用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图1 1 7所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔．问：该板报有多少种书写方案？
【解】　第一步，选英语角用的彩色粉笔，有6种不同的选法；第二步，选语文学苑用的彩色粉笔，不能与英语角用的颜色相同，有5种不同的选法；第三步，选理综视界用的彩色粉笔，与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同，有4种不同的选法；第四步，选数学天地用的彩色粉笔，只需与理综视界的颜色不同即可，有5种不同的选法，共有6×5×4×5＝600种不同的书写方案．
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个知识讲座，则不同的选择种数是(　　)
A．54　　
　　　　　　　　
B．45
C．5×4×3×2
D．5×4
【解析】　5名同学每人都选一个课外知识讲座，则每人都有4种选择，由分步乘法计数原理知共有4×4×4×4×4＝45种选择．
【答案】　B
2．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是(　　)
A．18　　　　
B．17　　　　C．16　　　　
D．10
【解析】　分两类．
第一类：M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内的点有3×3＝9(个)；
第二类：N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内的点有4×2＝8(个)．
由分类加法计数原理，共有9＋8＝17(个)点在第一、二象限．
【答案】　B
3．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有(　　)
A．12种　　　
B．9种
C．8种　　　
D．6种
【解析】　设四张贺卡分别记为A，B，C，D.由题意，某人(不妨设A卡的供卡人)取卡的情况有3种，据此将卡的分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行，为了避免重复或遗漏，我们用“树状图”表示如下：
BADCCDADAC　CADBDABDBA　DABCCABCBA
所以共有9种不同的分配方式，故选B.
【答案】　B
3
4
图1 1 8
4.将1,2,3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当3,4固定在图1 1 8中的位置时，填写空格的方法为(　　)
A．6种
B．12种
C．18种
D．24种
【解析】　因为每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1,2,9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填好后与之相邻的空格可填6,7,8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法．共有2×3＝6种结果，故选A.
【答案】　A
5．体育老师把9个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有(　　)
【导学号：97270006】
A．8种
B．10种
C．12种
D．16种
【解析】　首先在三个箱子中放入个数与编号相同的球，
这样剩下三个足球，这三个足球可以随意放置，
第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果；
第二种方法，可以把球分成两份，1和2，这两份在三个位置，有3×2＝6种结果；第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果．
综上可知共有1＋6＋3＝10种结果．
【答案】　B
二、填空题
6．小张正在玩“QQ农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有________种．
【解析】　当第一块地种茄子时，有4×3×2＝24种不同的种法；当第一块地种辣椒时，有4×3×2＝24种不同的种法，故共有48种不同的种植方案．
【答案】　48
7．从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个不同元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．
【解析】　因为过原点的直线常数项为0，所以C＝0，从集合中的6个非零元素中任取一个作为系数A，有6种方法，再从其余的5个元素中任取一个作为系数B，有5种方法，由分步乘法计数原理得，适合条件的直线共有1×6×5＝30(条)．
【答案】　30
8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．
【解析】　分三类：若甲在周一，则乙丙有4×3＝12种排法；
若甲在周二，则乙丙有3×2＝6种排法；
若甲在周三，则乙丙有2×1＝2种排法．
所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20种．
【答案】　20
三、解答题
9．如图1 1 9所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，不同的涂色方法共有多少种(用数字作答)．
图1 1 9
【解】　不妨将图中的4个格子依次编号为①②③④，当①③同色时，有6×5×1×5＝150种方法；当①③异色时，有6×5×4×4＝480种方法．所以共有150＋480＝630种方法．
10．用数字1,2,3,4,5,6组成无重复数字的三位数，然后由小到大排成一个数列．
(1)求这个数列的项数；
(2)求这个数列中的第89项的值．
【解】　(1)完成这件事需要分别确定百位、十位和个位数，可以先确定百位，再确定十位，最后确定个位，因此要分步相乘．
第一步：确定百位数，有6种方法．
第二步：确定十位数，有5种方法．
第三步：确定个位数，有4种方法．
根据分步乘法计数原理，共有
N＝6×5×4＝120个三位数．
所以这个数列的项数为120.
(2)这个数列中，百位是1,2,3,4的共有4×5×4＝80个，
百位是5的三位数中，十位是1或2的有4＋4＝8个，
故第88个为526，故从小到大第89项为531.
[能力提升]
1．(2016·菏泽检测)如图1 1 10，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为(　　)
图1 1 10
A．96
B．84
C．60
D．48
【解析】　可依次种A，B，C，D四块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36种种法；当C与A所种花不同时，有4×3×2×2＝48种种法．
由分类加法计数原理，不同的种法种数为36＋48＝84.
【答案】　B
2．两人进行乒乓球比赛，采取五局三胜制，即先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局数的不同视为不同情形)共有(　　)
A．10种
B．15种
C．20种
D．30种
【解析】　由题意知，比赛局数最少为3局，至多为5局．当比赛局数为3局时，情形为甲或乙连赢3局，共2种；当比赛局数为4局时，若甲赢，则前3局中甲赢2局，最后一局甲赢，共有3种情形；同理，若乙赢，则也有3种情形，所以共有6种情形；当比赛局数为5局时，前4局，甲、乙双方各赢2局，最后一局胜出的人赢，若甲前4局赢2局，共有赢取第1、2局，1、3局，1、4局，2、3局，2、4局，3、4局六种情形，所以比赛局数为5局时共有2×6＝12(种)，综上可知，共有2＋6＋12＝20(种)．故选C.
【答案】　C
3．在一次运动会选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．
【解析】　分两步安排这8名运动员．
第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以安排方式有4×3×2＝24种．
第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120种．
所以安排这8人的方式有24×120＝2
880种．
【答案】　2
880
4．(2016·杭州外国语学校检测)给出一个正五棱柱，用3种颜色给其10个顶点染色，要求各侧棱的两个端点不同色，有几种染色方案？
【解】　分两步，先给上底面的5个顶点染色，每个顶点都有3种方法，共有35种方法，再给下底面的5个顶点染色，因为各侧棱两个端点不同色，所以每个顶点有2种方法，共有25种方法，根据分步乘法计数原理，共有35·25＝7
776(种)染色方案.1.2　排列与组合
1．2.1　排列
第1课时　排列与排列数公式
1．理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点)
2．会用排列数公式进行求值和证明．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　排列的概念
阅读教材P14～P16第二个思考下面第一自然段，完成下列问题．
1．一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．
　判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．(　　)
(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．(　　)
(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．(　　)
(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．(　　)
(5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．(　　)
【解析】　(1)×　因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序相同．
(2)√　因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题．
(3)×　因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题．
(4)√　因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题．
(5)√　因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√
教材整理2　排列数与排列数公式
阅读教材P16第二个思考下面第二自然段～P18例2，完成下列问题.
排列数定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示
全排列的概念
n个不同元素全部取出的一个排列
阶乘的概念
把n·(n－1)·…·2·1记作n！，读作：n的阶乘
排列数公式
A＝n(n－1)…(n－m＋1)
阶乘式A＝(n，m∈N
，m≤n)
特殊情况
A＝n！，A＝1,0！＝1
1．A＝________，A＝________.
【解析】　A＝4×3＝12；
A＝3×2×1＝6.
【答案】　12　6
2.＝________.
【解析】　＝＝.
【答案】　
3．由1,2,3这三个数字组成的三位数分别是________.
【导学号：97270007】
【解析】　用树形图表示为
由“树形图”可知组成的三位数为123,132,213,231,312,321，共6个．
【答案】　123,132,213,231,312,321
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：
[小组合作型]
排列的概念
　判断下列问题是否为排列问题．
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互通信．
【精彩点拨】　判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．
【自主解答】　(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．
1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”．
2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．
[再练一题]
1．判断下列问题是否是排列问题．
(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？
(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？
【解】　(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．
(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．
(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．
综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题.
排列的列举问题
　写出下列问题的所有排列．
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．
【精彩点拨】　(1)直接列举数字．
(2)先画树形图，再结合树形图写出．
【自主解答】　(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．
(2)由题意作树形图，如图．
故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．
在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列.
[再练一题]
2．(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．
(2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有________种不同的排列方法？
【解析】　(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．
故符合题意的机票种类有：
北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京、广州→天津、广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种．
(2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．
所以符合题意的所有排列是：
BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种．
【答案】　(1)12　(2)14
[探究共研型]
排列数公式的推导及应用
探究1　两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏．
从这4个数字中选出2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数？
【提示】　从这4个数字中选出2个能构成A＝4×3＝12个无重复数字的两位数；若选出3个能构成A＝4×3×2＝24个无重复数字的三位数．
探究2　由探究1知A＝4×3＝12，A＝4×3×2＝24，你能否得出A的意义和A的值？
【提示】　A的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2，…，an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A.由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n－1)种填法，所以A＝n(n－1)．
探究3　你能写出A的值吗？有什么特征？若m＝n呢？
【提示】　A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N
，m≤n)．
(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数；
(2)全排列：当n＝m时，即n个不同元素全部取出的一个排列．
全排列数：A＝n(n－1)(n－2)·…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．
另外，我们规定0！＝1.
所以A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝＝.
　(1)计算：；
(2)证明：A－A＝mA.
【精彩点拨】　第(1)题可直接运用排列数公式，也可采用阶乘式；第(2)题首先分析各项的关系，利用A＝进行变形推导．
【自主解答】　(1)法一：＝＝＝.
法二：＝＝＝＝.
(2)∵A－A＝－
＝·
＝·
＝m·
＝mA，
　
∴A－A
＝mA.
排列数的计算方法
1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．
2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
[再练一题]
3．求3A＝4A中的x.
【导学号：97270008】
【解】　原方程3A＝4A可化为＝，
即＝，化简，
得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.
由题意知解得x≤8.
所以原方程的解为x＝6.
[构建·体系]
1．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　
D．4
【解析】　因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．
【答案】　B
2．4×5×6×…×(n－1)×n等于(　　)
A．A
B．A
C．n！－4!
D．A
【解析】　4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3个因式，最大数为n，最小数为4，
故4×5×6×…×(n－1)×n＝A.
【答案】　D
3．5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有________种．
【解析】　利用排列的概念可知不同的分配方法有A＝120种．
【答案】　120
4．A－6A＋5A＝________.
【导学号：97270009】
【解析】　原式＝A－A＋A＝A＝5×4×3×2×1＝120.
【答案】　120
5．将玫瑰花、月季花、莲花各一束分别送给甲、乙、丙三人，每人一束，共有多少种不同的分法？请将它们列出来．
【解】　按分步乘法计数原理的步骤：
第一步，分给甲，有3种分法；
第二步，分给乙，有2种分法；
第三步，分给丙，有1种分法．
故共有3×2×1＝6种不同的分法．
列出这6种分法，如下：
甲
乙
丙
玫瑰花
月季花
莲花
玫瑰花
莲花
月季花
月季花
玫瑰花
莲花
月季花
莲花
玫瑰花
莲花
玫瑰花
月季花
莲花
月季花
玫瑰花
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列问题属于排列问题的是(　　)
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作logab中的底数与真数．
A．①④　　　
B．①②　　　C．④　　　
D．①③④
【解析】　根据排列的概念知①④是排列问题．
【答案】　A
2．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有(　　)
A．6个
B．10个
C．12个
D．16个
【解析】　符合题意的商有A＝4×3＝12.
【答案】　C
3．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是(　　)
【导学号：97270010】
A．8
B．12
C．16
D．24
【解析】　设车站数为n，则A＝132，n(n－1)＝132，
∴n＝12.
【答案】　B
4．(2016·日照高二检测)下列各式中与排列数A相等的是(　　)
A.
B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C.
D．AA
【解析】　A＝，
而AA＝n×＝，
∴AA＝A.
【答案】　D
5．不等式A－n<7的解集为(　　)
A．{n|－1B．{1,2,3,4}
C．{3,4}
D．{4}
【解析】　由A－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，即－1且n－1≥2，所以n＝3,4.故选C.
【答案】　C
二、填空题
6．集合P＝{x|x＝A，m∈N
}，则集合P中共有______个元素．
【解析】　因为m∈N
，且m≤4，所以P中的元素为A＝4，A＝12，A＝A＝24，即集合P中有3个元素．
【答案】　3
7．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________．(填序号)
①甲乙，乙甲，甲丙，丙甲；
②甲乙丙，乙丙甲；
③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；
④甲乙，甲丙，乙丙．
【解析】　这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种站法，故③正确．
【答案】　③
8．如果A＝15×14×13×12×11×10，那么n＝________，m＝________.
【解析】　15×14×13×12×11×10＝A，故n＝15，m＝6.
【答案】　15　6
三、解答题
9．下列问题中哪些是排列问题？
(1)5名学生中抽2名学生开会；
(2)5名学生中选2名做正、副组长；
(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘；
(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除；
(5)6位同学互通一次电话；
(6)6位同学互通一封信；
(7)以圆上的10个点为端点作弦；
(8)以圆上的10个点中的某点为起点，作过另一点的射线．
【解】　(2)(4)(6)(8)都与顺序有关，属于排列；其他问题则不是排列．
10．证明：A＋kA＝A.
【解】　左边＝＋k
＝
＝＝，
右边＝A＝，
所以A＋kA＝A.
[能力提升]
1．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是(　　)
A．8
B．5
C．3
D．0
【解析】　因为当n≥5时，A的个位数是0，故S的个位数取决于前四个排列数，又A＋A＋A＋A＝33.
【答案】　C
2．若a∈N
，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于(　　)
A．A
B．A
C．A
D．A
【解析】　A＝(27－a)(28－a)…(34－a)．
【答案】　D
3．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有________种.
【导学号：97270011】
【解析】　司机、售票员各有A种安排方法，由分步乘法计数原理知共有AA种不同的安排方法．
【答案】　576
4．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站准备(这六个大站间)多少种不同的火车票？
【解】　对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．因此，每张火车票对应于从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．所以问题归结为从6个不同元素中取出2个不同元素的排列数A＝6×5＝30.故一共需要为这六大站准备30种不同的火车票．2.2.3　独立重复试验与二项分布
1．理解n次独立重复试验的模型．
2．理解二项分布．(难点)
3．能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．(重点)
[基础·初探]
教材整理　独立重复试验与二项分布
阅读教材P56～P57，完成下列问题．
1．n次独立重复试验
一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
2．二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
1．独立重复试验满足的条件是________．(填序号)
①每次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有发生和不发生两种情况；
③每次试验中发生的机会是均等的；
④每次试验发生的事件是互斥的．
【解析】　由n次独立重复试验的定义知①②③正确．
【答案】　①②③
2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．
【解析】　抛掷一枚硬币出现正面的概率为，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P＝C2＝.
【答案】　
3．已知随机变量X服从二项分布，X～B，则P(X＝2)等于________.
【导学号：97270043】
【解析】　P(X＝2)＝C42＝.
【答案】　
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：
[小组合作型]
独立重复试验中的概率问题
　(1)某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击三次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：
①他三次都击中目标的概率是0.93；
②他第三次击中目标的概率是0.9；
③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1；
④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12.
其中正确结论的序号是________(把正确结论的序号都填上)．
(2)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
①5次预报中恰有2次准确的概率；
②5次预报中至少有2次准确的概率；
③5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
【自主解答】　(1)三次射击是三次独立重复试验，故正确结论的序号是①②④.
【答案】　①②④
(2)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.
5次预报相当于5次独立重复试验，
2次准确的概率为P＝C×0.82×0.23＝0.051
2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
②“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，
其概率为
P＝C×(0.2)5＋C×0.8×0.24＝0.006
72≈0.01.
所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.
所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.
③说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．
所以概率为P＝C×0.8×0.23×0.8＝0.02
048≈0.02，
所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.
独立重复试验概率求法的三个步骤
1．判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．
2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．
3．计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．
[再练一题]
1．(1)甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．
(2)在4次独立重复试验中，事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为
________________________________________________________________________．
【解析】　(1)“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P＝2＋C×××＝.
(2)由题意知，Cp0(1－p)4＝1－，p＝.
【答案】　(1)　(2)
二项分布
　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．
【精彩点拨】　(1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．
【自主解答】　(1)ξ～B，ξ的分布列为P(ξ＝k)
＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝k·，k＝0,1,2,3,4；
P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝5.
故η的分布列为
η
0
1
2
3
4
5
P
1．本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
2．解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
[再练一题]
2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为，且各人的选择相互之间没有影响．
(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．
【解】　(1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB＋”，且事件A，B相互独立．
∴P(AB＋)＝P(A)P(B)＋P()P()
＝×＋×＝.
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B.
∴P(ξ＝k)＝Ck4－k
＝C4(k＝0,1,2,3,4)．
∴随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
[探究共研型]
独立重复试验与二项分布综合应用
探究1　王明在做一道单选题时，从A、B、C、D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？
【提示】　做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n＝1的二项分布．
探究2　王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？
【提示】　服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．
探究3　王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？
【提示】　不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．
　(2016·泰兴高二检测)甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
(1)求随机变量ξ的分布列；
(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．
【精彩点拨】　(1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n＝3，p＝；
(2)AB表示事件A、B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．
【自主解答】　(1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且
p(ξ＝0)＝C3＝，
P(ξ＝1)＝C2＝，
P(ξ＝2)＝C2＝，
P(ξ＝3)＝C3＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB＝C∪D，且C，D互斥，
又P(C)＝C2
＝，
P(D)＝C3＝，
由互斥事件的概率公式得
P(AB)＝P(C)＋P(D)
＝＋＝
＝.
对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解.
[再练一题]
3．(2016·浙江余姚质检)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．
【解】　记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3且i，j，k互不相同)相互独立，用P(Ai)＝，P(Bj)＝，
P(Ck)＝.
(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率．
P＝3!
P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×××＝.
(2)法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B，且ξ＝3－η，所以
P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C3＝，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C2＝，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝
C2＝，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C3＝.
故ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
p
法二：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di，i＝1,2,3.由已知，D1，D2，D3相互独立，且P(Di)＝P(Ai∪Ci)＝P(Ai)＋
P(Ci)＝＋＝，所以ξ～B，即P(ξ＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.
故ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
p
[构建·体系]
1．已知X～B，则P(X＝2)等于(　　)
A.　　　
B.　　　C.　　　
D.
【解析】　P(X＝2)＝C24＝.
【答案】　D
2．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝(　　)
A．C2×
B．C2×
C.2×
D.2×
【解析】　ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是2×.
【答案】　C
3．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为________.
【导学号：97270044】
【解析】　每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，
设申请A片区房源记为A，则P(A)＝，
所以恰有2人申请A片区的概率为C·2·2＝.
【答案】　
4．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p等于________．
【解析】　P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝，
即p2(1－p)2＝2·2，
解得p＝或p＝.
【答案】　或
5．甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．
【解】　设“甲、乙两人各射击一次击中目标分别记为A，B”，则P(A)＝，P(B)＝.
(1)甲射击4次，全击中目标的概率为
CP4(A)[1－P(A)]0＝4＝.
所以甲射击4次至少1次未击中目标的概率为
1－＝.
(2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，概率为
CP2(A)·[1－P(A)]2＝6×2×2＝.
乙恰好击中3次，概率为CP3(B)·[1－P(B)]1＝.
故所求概率为×＝.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．一头病猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头病猪中恰有3头猪被治愈的概率为(　　)
A．0.93　　　　　　　　B．1－(1－0.9)3
C．C×0.93×0.12
D．C×0.13×0.92
【解析】　由独立重复试验恰好发生k次的概率公式知，该事件的概率为C×0.93×(1－0.9)2.
【答案】　C
2．假设流星穿过大气层落在地面上的概率为，现有流星数量为5的流星群穿过大气层有2个落在地面上的概率为(　　)
A.　　　
B.
C.　　　
D.
【解析】　此问题相当于一个试验独立重复5次，有2次发生的概率，所以P＝C·2·3＝.
【答案】　B
3．在4次独立重复试验中事件出现的概率相同．若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为(　　)
A.　　　
B.
C.　　　
D.
【解析】　设所求概率为p，则1－(1－p)4＝，得p＝.
【答案】　A
4．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是(　　)
【导学号：97270045】
A.5
B．C×5
C．C×3
D．C×C×5
【解析】　
如图，由题可知，质点P必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次独立重复试验向右恰好发生2次的概率．所以概率为
P＝C×2×3＝C5.故选
B.
【答案】　B
5．若随机变量ξ～B，则P(ξ＝k)最大时，k的值为(　　)
A．1或2
B．2或3
C．3或4
D．5
【解析】　依题意P(ξ＝k)＝C×k×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
可以求得P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝.故当k＝2或1时，P(ξ＝k)最大．
【答案】　A
二、填空题
6．已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为0.001，如果公路上每天有1
000辆汽车通过，则公路上发生车祸的概率为________；恰好发生一起车祸的概率为________．(已知0.9991
000≈0.367
70,0.999999≈0.368
06，精确到0.000
1)
【解析】　设发生车祸的车辆数为X，则X～B(1
000，0.001)．
(1)记事件A：“公路上发生车祸”，则P(A)＝1－P(X＝0)＝1－0.9991
000≈1－0.367
70＝0.632
3.
(2)恰好发生一次车祸的概率为
P(X＝1)＝C×0.001×0.999999≈0.368
06≈0.368
1.
【答案】　0.632
3　0.368
1
7．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4，现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为______．(用数字作答)
【解析】　由已知可求通项公式为an＝10－2n(n＝1,2,3，…)，其中a1，a2，a3，a4为正数，a5＝0，a6，a7，a8，a9，a10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为＝，取得负数的概率为.
∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C×2×1＝.
【答案】　
8．下列说法正确的是________．(填序号)
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)；
②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B.
【解析】　①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．
【答案】　①②
三、解答题
9．(2016·滨州高二检测)某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列．
【解】　由已知每位参加保险人员选择A社区的概率为，4名人员选择A社区即4次独立重复试验，
即X～B，所以P(X＝k)＝C·k·4－k(k＝0,1,2,3,4)，所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
10.(2016·柳州高二检测)甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中，规定先赢三局的队获胜，并且比赛就此结束，现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每局比赛的胜负是相互独立的．
(1)求甲队以3∶2获胜的概率；
(2)求乙队获胜的概率．
【解】　(1)设甲队以3∶2获胜的概率为P1，则P1＝C2·2·＝.
(2)设乙队获胜的概率为P2，则P2＝3＋C2··＋C2·2·＝.
[能力提升]
1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是(　　)
A．0.216　　B．0.36　　C．0.432　　D．0.648
【解析】　甲获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时p1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时p2＝C×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p＝p1＋p2＝0.648.
【答案】　D
2．(2016·孝感高级中学期中)掷一枚质地均匀的骰子n次，设出现k次点数为1的概率为Pn(k)，若n＝20，则当Pn(k)取最大值时，k为(　　)
A．3
B．4
C．8
D．10
【解析】　掷一枚质地均匀的骰子20次，其中出现点数为1的次数为X，X～B，Pn(k)＝C·20－k·k.
＝.
当1≤k≤3时，>1，Pn(k)>Pn(k－1)．当k≥4时，<1，Pn(k)【答案】　A
3．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0【导学号：97270046】
【解析】　所有同学都不通过的概率为(1－p)n，故至少有一位同学通过的概率为1－(1－p)n.
【答案】　1－(1－p)n
4．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列．
【解】　(1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共有9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．
所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P＝.
(2)X的可能取值分别为0,1,2,3，X～B，
则P(X＝0)＝C·3＝，
P(X＝1)＝C·1·2＝，
P(X＝2)＝C·2·1＝，
P(X＝3)＝C·3＝.
X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P1.3.2　“杨辉三角”与二项式系数的性质
1．使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律．(难点)
2．掌握二项式系数的性质及其应用．(重点)
3．掌握“赋值法”并会灵活运用．
[基础·初探]
教材整理1　“杨辉三角”
阅读教材P32～P35第三自然段，完成下列问题．
　杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.
1．如图1 3 1是一个类似杨辉三角的图形，则第n行的首尾两个数均为________．
1
3　3
5　6　5
7　11　11　7
9　18　22　18　9
……
图1 3 1
【解析】　由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.
【答案】　2n－1
2．如图1 3 2，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14与第15个数之比为2∶3.
1
1　1
1　2　1
1　3　3　1
1　4　6　4　1
……
图1 3 2
【解析】　设第n行从左到右第14与第15个数之比为2∶3，
则3C＝2C，
即＝，
解得n＝34.
【答案】　34
教材整理2　二项式系数的性质
阅读教材P33第四自然段～P35，完成下列问题．
1．二项式系数的性质
(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，…，C＝C.
(2)增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数Cn取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项各式系数Cn与Cn相等，且同时取得最大值．
2．各二项式系数的和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于________．
【解析】　因为只有第5项的二项式系数最大，所以＋1＝5，
所以n＝8.
【答案】　8
2．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于________．
【解析】　二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝2n＝32，所以n＝5.
【答案】　5
3．(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________.
【导学号：97270024】
【解析】　因为(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，
再令x＝－1，得
310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，
两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝.
【答案】　
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：
　
[小组合作型]
与“杨辉三角”有关的问题
　
图1 3 3
如图1 3 3，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．
【精彩点拨】　由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C.
【自主解答】　S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C＝＋220＝274.
“杨辉三角”问题解决的一般方法
观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：
[再练一题]
1．(2016·南充高二检测)如图1 3 4所示，满足如下条件：
①第n行首尾两数均为n；
②表中的递推关系类似“杨辉三角”．
则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．
图1 3 4
【解析】　由图表可知第10行的第2个数为：
(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，
第n行的第2个数为：
[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1＝.
【答案】　46　
求展开式的系数和
　设(1－2x)2
017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2
017·x2
017(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2
017的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2
017的值；
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2
017|的值．
【精彩点拨】　先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．
【自主解答】　(1)令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2
017＝(－1)2
017＝－1.①
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2
017＝32
017.②
①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2
017)＝－1－32
017，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2
017＝.
(3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C
·(2x)r，
∴a2k－1＜0(k∈N
)，a2k＞0(k∈N)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2
017|
＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2
017＝32
017.
1．解决二项式系数和问题思维流程．
2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
[再练一题]
2．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6.
【解】　(1)令x＝0，则a0＝－1；
令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①
所以a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②
由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝8
256.
(3)由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7，
∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8
128.
[探究共研型]
二项式系数性质的应用
探究1　根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？
【提示】　对称性，因为C＝C，也可以从f(r)＝C的图象中得到．
探究2　计算，并说明你得到的结论．
【提示】　＝.
当k<时，>1，说明二项式系数逐渐增大；
同理，当k>时，二项式系数逐渐减小．
探究3　二项式系数何时取得最大值？
【提示】　当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Cn，Cn相等，且同时取得最大值．
　已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【精彩点拨】　求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．
【自主解答】　令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.
(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是
T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，
T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.
(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C3r·x(5＋2r)．
假设Tr＋1项系数最大，
则有
∴
∴
∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4.
∴展开式中系数最大的项为T5＝Cx(3x2)4＝405x.
1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．
[再练一题]
3．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．
【解】　由5，得
Tr＋1＝C5－rr＝5－r·C·x，
令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，
所以r＝4，常数项T5＝C×＝16.
又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，
由此得到2n＝16，n＝4.
所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝Ca4＝54，所以a＝±.
[构建·体系]
1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是(　　)
A．n，n＋1　　　　　　　　
B．n－1，n
C．n＋1，n＋2
D．n＋2，n＋3
【解析】　该展开式共2n＋2项，中间两项为第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项．
【答案】　C
2．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于(　　)
【导学号：97270025】
A．64
B．32
C．63
D．31
【解析】　C＋2C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，
∴n＝6，∴C＋C＋C＝32.
【答案】　B
3．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．
【解析】　(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.
【答案】　5
4．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________.
【解析】　(a－x)5展开式的通项为Tk＋1＝
(－1)kCa5－kxk，令k＝2，得a2＝(－1)2Ca3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
【答案】　1
5．在8的展开式中，
(1)求系数的绝对值最大的项；
(2)求二项式系数最大的项；
(3)求系数最大的项；
(4)求系数最小的项．
【解】　Tr＋1＝C()8－rr＝(－1)rC2rx4－.
(1)设第r＋1项系数的绝对值最大．
则∴
解得5≤r≤6.
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．
(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．
所以T5＝C·24·x4－＝1
120x－6.
(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正．
则系数最大的项为T7＝C·26·x－11＝1
792x－11.
(4)系数最小的项为
T6＝(－1)5C·25x－＝－1
792x－.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是(　　)
A．第15项　　　　　　　
B．第16项
C．第17项
D．第18项
【解析】　第6项的二项式系数为C，又C＝C，所以第16项符合条件．
【答案】　B
2．(2016·吉林一中期末)已知n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是(　　)
A．5
B．20
C．10
D．40
【解析】　根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，
则有2n＝32，可得n＝5，
Tr＋1＝Cx2(5－r)·x－r＝Cx10－3r，
令10－3r＝1，解得r＝3，
所以展开式中含x项的系数是C＝10，故选C.
【答案】　C
3．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(　　)
【导学号：97270026】
A．2n
B.
C．2n＋1
D.
【解析】　令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，①
令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n，②
①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，
∴a0＋a2＋…＋a2n＝.故选D.
【答案】　D
4．(2016·信阳六高期中)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　a＝C＝70，设b＝C2r，则得5≤r≤6，所以b＝C26＝C26＝7×28，所以＝.故选A.
【答案】　A
5．在(x－)2
010的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于(　　)
A．23
015
B．－23
014
C．23
014
D．－23
008
【解析】　因为S＝，当x＝时，S＝－＝－23
014.
【答案】　B
二、填空题
6．若(1－2x)2
016＝a0＋a1x＋…＋a2
016x2
016(x∈R)，则＋＋…＋的值为________．
【解析】　令x＝0，得a0＝1.令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－1.
【答案】　－1
7．若n是正整数，则7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C除以9的余数是________．
【解析】　7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝C9n(－1)0＋C9n－1(－1)1＋…＋C90(－1)n－1，∴n为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7.
【答案】　7或0
8．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1 3 5所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.
【解析】　根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，
使得连续三项C，C，C，有＝且＝.
化简得＝，＝，联立解得k＝27，n＝62.
故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．
【答案】　62
三、解答题
9．已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13.
【解】　(1)令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27＝128.①
(2)令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝(－2)7＝－128.②
①－②得2(a1＋a3＋…＋a13)＝256，
所以a1＋a3＋a5＋…＋a13＝128.
10．已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数．
【解】　由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37，得n＝8.8的展开式共有9项，其中T5＝C4(2x)4＝x4，该项的二项式系数最大，系数为.
[能力提升]
1．若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(　　)
A．1
B．－1
C．2
D．－2
【解析】　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(－1)10，
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(＋1)10，
故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)
＝(－1)10(＋1)10＝1.
【答案】　A
2．把通项公式为an＝2n－1(n∈N
)的数列{an}的各项排成如图1 3 6所示的三角形数阵．记S(m，n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应于数阵中的数是(　　)
1
3　5
7　9　11
13　15　17　19
……
图1 3 6
A．91
B．101
C．106
D．103
【解析】　设这个数阵每一行的第一个数组成数列{bn}，则b1＝1，bn－bn－1＝2(n－1)，∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n2－n＋1，
∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101.
【答案】　B
3．(2016·孝感高级中学期中)若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．
【解析】　令x＝2，得－5＝a0，令x＝3，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.
【答案】　5
4．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N
)的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值；
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次项的系数之和.
【导学号：97270027】
【解】　(1)由已知C＋2C＝11，所以m＋2n＝11，
x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)＝＋(11－m)·＝2＋.
因为m∈N
，所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.
(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，
所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3，
设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，
令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，
两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，
故展开式中x的奇次项的系数之和为30.2．1　离散型随机变量及其分布列
2．1.1　离散型随机变量
1．理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)
2．了解随机变量与函数的区别与联系．(易混点)
3．会用离散型随机变量描述随机现象．(难点)
[基础·初探]
教材整理　离散型随机变量
阅读教材P44～P45，完成下列问题．
1．随机变量
(1)定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
2．离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
　判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　　)
(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．(　　)
(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．(　　)
(4)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．(　　)
(5)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值．(　　)
【解析】　(1)√　因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．
(2)√　因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.
(3)√　因为由随机变量的定义可知，该说法正确．
(4)√　因为随机试验所有可能的结果是明确并且不只一个，只不过在试验之前不能确定试验结果会出现哪一个，故该说法正确．
(5)√　因为掷一枚质地均匀的骰子试验中，所有可能结果有6个，故“出现的点数”这一随机变量的取值为6个．
【答案】　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：
[小组合作型]
随机变量的概念
　判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中2016年5月1日的旅客数量；
(2)2016年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；
(3)2016年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；
(4)体积为1
000
cm3的球的半径长．
【精彩点拨】　利用随机变量的定义判断．
【自主解答】　(1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
(4)球的体积为1
000
cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．
随机变量的辨析方法
1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．
选修2－3|第二章　随机变量及其分布[再练一题]
1．(1)下列变量中，不是随机变量的是(　　)
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
(2)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　)
A．取到产品的件数　　　B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
【解析】　(1)B中水沸腾时的温度是一个确定值．
(2)A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．
【答案】　(1)B　(2)C
离散型随机变量的判定
　指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某座大桥一天经过的车辆数X；
(2)某超市5月份每天的销售额；
(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；
(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.
【精彩点拨】　→→
【自主解答】　(1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．
(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．
(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
(4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．
“三步法”判定离散型随机变量
1．依据具体情境分析变量是否为随机变量．
2．由条件求解随机变量的值域．
3．判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．
[再练一题]
2．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量．
【解】　(1)
ξ
0
1
2
3
结果
取得3个黑球
取得1个白球，2个黑球
取得2个白球，1个黑球
取得3个白球
(2)由题意可得：η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然，η为离散型随机变量．
[探究共研型]
随机变量的可能取值及试验结果
探究1　抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？
【提示】　可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．
探究2　在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？
【提示】　X＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
探究3　抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？
【提示】　“ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．
　写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和.
【导学号：97270031】
【精彩点拨】
→→
【自主解答】　(1)设所需的取球次数为X，则
X＝1,2,3,4，…，10,11，
X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2，…，11.
(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5，…，11.
X＝3，表示“取出标有1,2的两张卡片”；
X＝4，表示“取出标有1,3的两张卡片”；
X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两张卡片”；
X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”；
X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”；
X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；
X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；
X＝10，表示“取出标有4,6的两张卡片”；
X＝11，表示“取出标有5,6的两张卡片”．
用随机变量表示随机试验的结果
问题的关键点和注意点
1．关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．
2．注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．
[再练一题]
3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)在2016年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．
【解】　(1)X可能取值0,1,2,3,4,5，
X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.
(2)ξ可能取值为0,1，
当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；
当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．
[构建·体系]
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
【解析】　由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的．故选
D.
【答案】　D
2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的试验结果是(　　)
A．第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标
D．第4次击中目标
【解析】　{ξ＝5}表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C.
【答案】　C
3．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是________．
【解析】　由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1,2,3,4,5中某个．故两次抽取球号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9种．
【答案】　9
4．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．
【解析】　甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．
【答案】　0,1,2,3
5．写出下列各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，取出的球的编号为X；
(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
(3)投掷两枚骰子，所得点数之和是偶数X.
【解】　(1)X的可能取值为1,2,3，…，10.
X＝k(k＝1,2，…，10)表示取出第k号球．
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.
X＝k表示取出k个红球，4－k个白球，其中k＝0,1,2,3,4.
(3)X的可能取值为2,4,6,8,10,12.
X＝2表示(1,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；
X＝12表示(6,6)．X的可能取值为2,4,6,8,10,12.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是(　　)
A．两次掷得的点数
B．两次掷得的点数之和
C．两次掷得的最大点数
D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数差
【解析】　两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数．
【答案】　A
2．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为(　　)
A．6　　　　B．5　　　　C．4　　　　D．2
【解析】　由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余钥匙一定能打开锁，故选
B.
【答案】　B
3．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是(　　)
【导学号：97270032】
A．一枚是3点，一枚是1点
B．两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
【解析】　ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．
【答案】　D
4．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为(　　)
A．0≤X≤5，X∈N
B．－5≤X≤0，X∈Z
C．1≤X≤6，X∈N
D．－5≤X≤5，X∈Z
【解析】　两次掷出的点数均可能为1～6的整数，所以X∈[－5,5](X∈Z)．
【答案】　D
5．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为(　　)
A．X＝4
B．X＝5
C．X＝6
D．X≤4
【解析】　第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.
【答案】　C
二、填空题
6．(2016·广州高二检测)下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号)．
①某宾馆每天入住的旅客数量是X；
②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X；
③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；
④虎门大桥一天经过的车辆数是X.
【解析】　①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．
【答案】　②
7．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是____________．
【解析】　可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，
－300分．
【答案】　300,100，－100，－300
8．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码的次数为X，随机变量X的可能值有________个．
【解析】　后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有A＝24(个)．
【答案】　24
三、解答题
9．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ.
(1)写出ξ的所有可能取值；
(2)写出{ξ＝1}所表示的事件．
【解】　(1)ξ可能取的值为0,1,2,3.
(2){ξ＝1}表示的事件为：第一次取得次品，第二次取得正品．
10．某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量．
(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；
(2)若记该运动员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果．
【解】　(1)ξ可取0,1,2,3,4,5.表示5次罚球中分别命中0次，1次，2次，3次，4次，5次．
(2)η可取0,2,4,6,8,10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分．
[能力提升]
1．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为(　　)
A．20
B．24
C．4
D．18
【解析】　由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A＝24种．
【答案】　B
2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放回地从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(　　)
A．1,2,3，…，6
B．1,2,3，…，7
C．0,1,2，…，5
D．1,2，…，5
【解析】　由于取到白球游戏结束，那么取球次数可以是1,2,3，…，7，故选
B.
【答案】　B
3．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，则{ξ＝6}表示的试验结果有________种.
【导学号：97270033】
【解析】　{ξ＝6}表示前5局中胜3局，第6局一定获胜，共有C·C＝20种．
【答案】　20
4．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值，并说明这些值所表示的试验结果．
【解】　ξ可能取值为0,1,2,3,4,5.
“ξ＝0”表示第1盏信号灯就停下；
“ξ＝1”表示通过了1盏信号灯，在第2盏信号灯前停下；
“ξ＝2”表示通过了2盏信号灯，在第3盏信号灯前停下；
“ξ＝3”表示通过了3盏信号灯，在第4盏信号灯前停下；
“ξ＝4”表示通过了4盏信号灯，在第5盏信号灯前停下；“ξ＝5”表示在途中没有停下，直达目的地.1.3　二项式定理
1．3.1　二项式定理
1．会证明二项式定理．(难点)
2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(重点)
[基础·初探]
教材整理　二项式定理
阅读教材P29～P31，完成下列问题．
二项式定理及相关的概念
二项式定理
概念
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N
)称为二项式定理
二项式系数
各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数
二项式通项
Can－kbk是展开式中的第k＋1项，可记作Tk＋1＝Can－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N
)
二项展开式
Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N
)
备注
在二项式定理中，如果令a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn(n∈N
)
　判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　)
(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(　　)
(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　)
(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．(　　)
【解析】　(1)×　因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．
(2)×　因为二项式的第k＋1项Can－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Cbn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．
(3)×　因为Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．
(4)√　因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C.
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：
　
[小组合作型]
二项式定理的正用、逆用
　(1)用二项式定理展开5；
(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.
【精彩点拨】　(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．
【自主解答】　(1)5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋…＋C5
＝32x5－120x2＋－＋－.
(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．
2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．
3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．
[再练一题]
1．(1)求4的展开式；
(2)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC.
【解】　(1)法一：4＝C(3)4＋C(3)3
·＋C(3)2·2＋C(3)3＋C4
＝81x2＋108x＋54＋＋.
法二：4＝
＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)
＝81x2＋108x＋54＋＋.
(2)原式＝1＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n.
二项式系数与项的系数问题
　(1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)求9的展开式中x3的系数．
【精彩点拨】　利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．
【自主解答】　(1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1
＝C(2)6－r·r
＝(－1)rC·26－r·x3－，
∴T6＝－12·x－.
∴第6项的二项式系数为C＝6，
第6项的系数为C·(－1)·2＝－12.
(2)Tr＋1＝Cx9－r·r＝(－1)r·C·x9－2r，
∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84.
1．二项式系数都是组合数C(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．
2．第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280.
[再练一题]
2．(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
【解】　T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C25＝C26 n＝8.
∴(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C(2x)4＝1
120x4.
设第k＋1项系数最大，则有
∴5≤k≤6.
∴k＝5或k＝6(∵k∈{0,1,2，…，8})．
∴系数最大的项为T6＝1
792x5，T7＝1
792x6.
[探究共研型]
求展开式中的特定项
探究1　如何求4展开式中的常数项．
【提示】　利用二项展开式的通项Cx4－r·＝Cx4－2r求解，令4－2r＝0，则r＝2，所以4展开式中的常数项为C＝＝6.
探究2　(a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？
【提示】　(a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项而得到．
探究3　如何求(2x＋1)3展开式中含x的项？
【提示】　(2x＋1)3展开式中含x的项是由x＋中的x与分别与(2x＋1)3展开式中常数项C＝1及x2项C22x2＝12x2分别相乘再把积相加得x·C＋·C(2x)2＝x＋12x＝13x.即(2x＋1)3展开式中含x的项为13x.
　已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
【自主解答】　通项公式为：
Tr＋1＝Cx(－3)rx－＝C(－3)rx.
(1)∵第6项为常数项，
∴r＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得r＝(10－6)＝2，
∴所求的系数为C(－3)2＝405.
(3)由题意得，令＝k(k∈Z)，
则10－2r＝3k，即r＝5－k.
∵r∈Z，∴k应为偶数，
k＝2,0，－2即r＝2,5,8，
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61
236,295
245x－2.
1．求二项展开式的特定项的常见题型
(1)求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；
(2)求含xk的项(或xpyq的项)；
(3)求常数项；
(4)求有理项．
2．求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
[再练一题]
3．(1)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．
(2)若6展开式的常数项为60，则常数a的值为________.
【导学号：97270021】
【解析】　(1)x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果，
∴其系数为C＋C(－1)＝207.
(2)6的展开式的通项是Tk＋1＝Cx6－k·
(－)kx－2k＝Cx6－3k(－)k，令6－3k＝0，得k＝2，即当k＝2时，Tk＋1为常数项，即常数项是Ca，
根据已知得Ca＝60，解得a＝4.
【答案】　(1)207　(2)4
[构建·体系]
1．在(x－)10的展开式中，含x6的项的系数是(　　)
A．－27C　　　　　　
B．27C
C．－9C
D．9C
【解析】　含x6的项是T5＝Cx6(－)4＝9Cx6.
【答案】　D
2．在8的展开式中常数项是(　　)
A．－28
B．－7
C．7
D．28
【解析】　Tk＋1＝C·8－k·k＝(－1)k·C·8－k·x8－k，当8－k＝0，即k＝6时，T7＝(－1)6·C·2＝7.
【答案】　C
3．在6的展开式中，中间项是________．
【解析】　由n＝6知中间一项是第4项，因T4＝
C(2x2)3·3＝C·(－1)3·23·x3，所以T4＝－160x3.
【答案】　－160x3
4．在9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________.
【导学号：97270022】
【解析】　Tk＋1＝C·(x2)9－k·k＝k·C·x18－3k，当k＝3时，T4＝3·C·x9＝－x9，所以第4项的二项式系数为C＝84，项的系数为－.
【答案】　84　－
5．求5的展开式的第三项的系数和常数项．
【解】　T3＝C(x3)32＝C·x5，所以第三项的系数为C·＝.
通项Tk＋1＝C(x3)5－kk＝k·Cx15－5k，令15－5k＝0，得k＝3，所以常数项为T4＝C(x3)2·3＝.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于(　　)
A．(x－1)3　　　　　　
B．(x－2)3
C．x3
D．(x＋1)3
【解析】　S＝[(x－1)＋1]3＝x3.
【答案】　C
2．已知7
的展开式的第4项等于5，则x等于(　　)
A.
B．－
C．7
D．－7
【解析】　T4＝Cx43＝5，则x＝－.
【答案】　B
3．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　　)
A．3
B．6
C．9
D．12
【解析】　x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C×2＝6.
【答案】　B
4．使n(n∈N
)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)
A．4
B．5
C．6
D．7
【解析】　Tr＋1＝C(3x)n－rr＝C3n－rxn－r，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立．
【答案】　B
5．(x2＋2)5的展开式的常数项是(　　)
A．－3
B．－2
C．2
D．3
【解析】　二项式5展开式的通项为：Tr＋1＝
C5－r·(－1)r＝C·x2r－10·(－1)r.
当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·Cx－2·(－1)4＝C×(－1)4＝5；
当2r－10＝0，即r＝5时，有2·Cx0·(－1)5＝－2.
∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.
【答案】　D
二、填空题
6．(2016·安徽淮南模拟)若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．
【解析】　由题意知，C＝C，∴n＝8.
∴Tk＋1＝C·x8－k·k＝C·x8－2k，当8－2k＝－2时，k＝5，∴的系数为C＝56.
【答案】　56
7．设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．
【解析】　对于Tr＋1＝Cx6－r(－ax－)r＝C(－a)r·x6－r，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝4A，a>0，
∴a＝2.
【答案】　2
8．9192被100除所得的余数为________．
【解析】　法一：9192＝(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C·10090·92－…＋C992，
展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．
∵992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，
前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1
000，结果为1
000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.
法二：9192＝(90＋1)92＝C·9092＋C·9091＋…＋C·902＋C·90＋C.
前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8
281，显然8
281除以100所得余数为81.
【答案】　81
三、解答题
9．化简：S＝1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC(n∈N
)．
【解】　将S的表达式改写为：S＝C＋(－2)C＋(－2)2C＋(－2)3C＋…＋(－2)nC＝[1＋(－2)]n＝(－1)n.
∴S＝(－1)n＝
10．(2016·淄博高二检测)在6的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
【解】　(1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)42＝24·Cx，
所以第3项的系数为24C＝240.
(2)Tk＋1＝C(2)6－kk＝(－1)k26－kCx3－k，令3－k＝2，得k＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
[能力提升]
1．(2016·吉林长春期末)若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为(　　)
A．x＝4，n＝3
B．x＝4，n＝4
C．x＝5，n＝4
D．x＝6，n＝5
【解析】　Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，分别将选项A、B、C、D代入检验知，仅C适合．
【答案】　C
2．已知二项式n的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x)2＋(1－x)3＋…＋(1－x)n中x2项的系数为(　　)
A．－19　　　
B．19
C．20　　　
D．－20
【解析】　n的通项公式为Tr＋1＝C()n－r·r＝Cx－，由题意知－＝0，得n＝5，则所求式子中的x2项的系数为C＋C＋C＋C＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.
【答案】　C
3．对于二项式n(n∈N
)，有以下四种判断：
①存在n∈N
，展开式中有常数项；②对任意n∈N
，展开式中没有常数项；③对任意n∈N
，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N
，展开式中有x的一次项．其中正确的是________．
【解析】　二项式n的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx4r－n，由通项公式可知，当n＝4r(r∈N
)和n＝4r－1(r∈N
)时，展开式中分别存在常数项和一次项．
【答案】　①与④
4．求5的展开式的常数项.
【导学号：97270023】
【解】　法一：由二项式定理得5＝5＝C·5＋C·4·＋C·3·()2＋C·2·()3＋C··()4＋C·()5.
其中为常数项的有：
C4·中的第3项：CC·2·；
C·2·()3中的第2项：CC··()3；展开式的最后一项C·()5.
综上可知，常数项为CC·2·＋CC··()3＋C·()5＝.
法二：原式＝5
＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即C·()5，所以所求的常数项为＝.2.2.2　事件的相互独立性
1．理解相互独立事件的定义及意义．(难点)
2．理解概率的乘法公式．(易混点)
3．掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题．(重点)
[基础·初探]
教材整理　事件的相互独立性
阅读教材P54～P55，完成下列问题．
1．定义
设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
2．性质
当事件A，B相互独立时，A与，与B，与也相互独立．
3．n个事件相互独立
对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
4．独立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)×P(B)；
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．
1．下列说法正确有________．(填序号)
①对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立；
②若事件A，B相互独立，则P(
)＝P()×P()；
③如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；
④若事件A与B相互独立，则B与相互独立．
【解析】　若P(B|A)＝P(B)，则P(AB)＝P(A)·P(B)，故A，B相互独立，所以①正确；若事件A，B相互独立，则、也相互独立，故②正确；若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故③正确；④B与相互对立，不是相互独立，故④错误．
【答案】　①②③
2．甲、乙两人投球命中率分别为，，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为________．
【解析】　事件“甲投球一次命中”记为A，“乙投球一次命中”记为B，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C，则C＝A∪B且A与B互斥，P(C)＝P(A∪B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝＝.
【答案】　
3．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________.
【导学号：97270039】
【解析】　三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5＝0.24.
三人都不达标的概率为(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2×0.4×0.5＝0.04.
三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.
【答案】　0.24　0.96
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　
解惑：　
疑问2：　
解惑：　
疑问3：　
解惑：
[小组合作型]
相互独立事件的判断
　判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
【精彩点拨】　(1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义式判断．
【自主解答】　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝.
∴P(AB)＝P(A)·P(B)，
∴事件A与B相互独立．
判断事件是否相互独立的方法
1．定义法：事件A，B相互独立 P(AB)＝P(A)·
P(B)．
2．由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
3．条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
[再练一题]
1．(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　)
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”
(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　)
A．相互独立但不互斥　　B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
【解析】　(1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响．故选A.
(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A.
【答案】　(1)A　(2)A
相互独立事件发生的概率
　面对非洲埃博拉病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，，.求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率．
【精彩点拨】　→
→
【自主解答】　令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故
P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2)他们都失败即事件
同时发生．
故P(
)＝P()P()P()
＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))
＝
＝××＝.
(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率
P＝1－P(
)＝1－＝.
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．
[再练一题]
2．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：
(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；
(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．
【解】　记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝×＝.
故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是.
(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝·＝·＝.
故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是.
[探究共研型]
事件的相互独立性与互斥性
探究1　甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件B与A呢？
【提示】　事件A与B，与B，A与均是相互独立事件，而B与A是互斥事件．
探究2　在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？
【提示】　“甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C，则C＝B＋A.
所以P(C)＝P(B＋A)＝P(B)＋P(A)
＝P()·P(B)＋P(A)·P()
＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.
探究3　由探究1、2，你能归纳出相互独立事件与互斥事件的区别吗？
【提示】　相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符号
相互独立事件A，B同时发生，记作：AB
互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)
计算公式
P(AB)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
　红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求：
(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；
(2)求红队至少两名队员获胜的概率．
【精彩点拨】　弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值．
【自主解答】　设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．
因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由对立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.
(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D
，E
，F，以上3个事件彼此互斥且独立．
所以红队有且只有一名队员获胜的概率为
P1＝P(D
＋E
＋F)＝P(D)＋P(E
)＋P(F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.
(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：DE
，DF，
EF，DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
P＝P(DE
)＋P(D
F)＋P(EF)＋P(DEF)
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件
，且P(
)＝0.4×0.5×0.5＝0.1.
∴红队至少两人获胜的概率为
P2＝1－P1－P(
)＝1－0.35－0.1＝0.55.
1．本题(2)中用到直接法和间接法．当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．
2．求复杂事件的概率一般可分三步进行：
(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；
(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；
(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．
[再练一题]
3．(2016·邯郸高二检测)某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13
s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
【解】　记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．
(1)三人都合格的概率：
P3＝(A∩B∩C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝.
(2)三人都不合格的概率：
P0＝(∩∩)＝P()·P()·P()＝××＝.
(3)恰有两人合格的概率：
P2＝P(A∩B∩)＋P(A∩∩C)＋P(∩B∩C)
＝××＋××＋××＝.
恰有一人合格的概率：
P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.
综合(1)(2)可知P1最大．
所以出现恰有一人合格的概率最大．
[构建·体系]
1．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是(　　)
A．互斥事件　　　　　　B．对立事件
C．相互独立事件
D．不相互独立事件
【解析】　由已知，有P(A)＝1－＝，P(B)＝1－＝，P(AB)＝，满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立，故选C.
【答案】　C
2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　∵P(A)＝，P(B)＝，∴P()＝，P()＝.
又A，B为相互独立事件，
∴P()＝P()P()＝×＝.
∴A，B中至少有一件发生的概率为1－P()＝1－＝.
【答案】　C
3．明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.
【导学号：97270040】
【解析】　设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，
则P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)
＝1－0.20×0.10＝0.98.
【答案】　0.98
4．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．
【解析】　加工出来的零件的正品率是××＝，因此加工出来的零件的次品率为1－＝.
【答案】　
5．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
【解】　设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有
P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)因为事件A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P(A)＋P(B)＋P(C)
＝P(A)·P()·P()＋P()·P(B)·P()＋
P()·P()·P(C)
＝××＋××＋××＝.
(2)至多有两人当选的概率为
1－P(ABC)＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝1－××＝.
我还有这些不足：
(1)　
(2)　
我的课下提升方案：
(1)　
(2)　
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．有以下三个问题：
①掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数”；
②袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M：“第1次摸到白球”，事件N：“第2次摸到白球”；
③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：“第1枚为正面”，事件N：“两枚结果相同”．
这三个问题中，M，N是相互独立事件的有(　　)
A．3个　　　B．2个　　　C．1个　　　D．0个
【解析】　①中，M，N是互斥事件；②中，P(M)＝，
P(N)＝.即事件M的结果对事件N的结果有影响，所以M，N不是相互独立事件；③中，P(M)＝，
P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)＝P(M)P(N)，因此M，N是相互独立事件．
【答案】　C
2．(2016·东莞调研)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则表示(　　)
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰有1个红球的概率
【解析】　分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A，B，则P(A)＝，P(B)＝，由于A，B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝.根据互斥事件可知C正确．
【答案】　C
3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.
【答案】　A
4.
图2 2 2
在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图2 2 2所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　青蛙跳三次要回到A只有两条途径：
第一条：按A→B→C→A，
P1＝××＝；
第二条，按A→C→B→A，
P2＝××＝.
所以跳三次之后停在A叶上的概率为
P＝P1＋P2＝＋＝.
【答案】　A
5．如图2 2 3所示，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(　　)
图2 2 3
A.
B.
C.
D.
【解析】　“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A，则P(A)＝＝，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B，则P(B)＝，事件A，B相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×＝，故选A.
【答案】　A
二、填空题
6．(2016·铜陵质检)在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________．
【解析】　“从200个螺杆中，任取一个是A型”记为事件
B.“从240个螺母中任取一个是A型”记为事件C，则P(B)＝，P(C)＝.
∴P(A)＝P(BC)＝P(B)·P(C)＝·＝.
【答案】　
7．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________.
【导学号：97270041】
【解析】　用A，B，C分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
且P(
)＝P()P()P()＝××＝.
所以此密码被破译的概率为1－＝.
【答案】　
8．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________．
【解析】　设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为，，，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，
P()＝0.3，P()＝0.1，
至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立．
所以至少两颗预报准确的概率为
P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)
＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9
＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.
【答案】　0.902
三、解答题
9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
【解】　记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险；
C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；
D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；
E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买．
(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，
P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，
P(E)＝0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0.2＋0.2×0.8×0.8＝0.384.
10．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求ξ的分布列．
【解】　设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，游客游览的景点数可能取值为0,1,2,3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3,2,1,0，所以ξ的可能取值为1,3.
则P(ξ＝3)＝P(A1·A2·A3)＋P(1·2·3)
＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(1)·P(2)·P(3)
＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24.
P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76.
所以分布列为：
ξ
1
3
P
0.76
0.24
[能力提升]
1．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　由P(A
)＝P(B
)，得P(A)P()＝P(B)·P()，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
∴P(A)＝P(B)．又P(
)＝，
∴P()＝P()＝，∴P(A)＝.
【答案】　D
2.
图2 2 4
三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图2 2 4的电路中，电路不发生故障的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，
∴不发生故障的概率为
P＝P[(A2∪A3)A1]
＝[1－P(2)·P(3)]·P(A1)
＝×＝.故选A.
【答案】　A
3．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是，，两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________.
【导学号：97270042】
【解析】　由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为，，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝×＋×＋×＝.
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
【答案】　
4．在一段线路中并联着3个自动控制的开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．
【解】　如图所示，分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A，B，C.
由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P()＝P()P()P()
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.7)×(1－0.7)×(1－0.7)
＝0.027.
于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1－P()＝1－0.027＝0.973.即在这段时间内线路正常工作的概率是0.973.