www.
第一章
导数及其应用
1.4
生活中的优生问题举例
A级 基础巩固
一、选择题
1．圆的面积S关于半径r的函数是S＝πr2，那么在r＝4时面积的变化率是( )
A．8
B．12
C．8π
D．12π
解析：因为S′＝2πr，所以S′(4)＝2π·4＝8π.
答案：C
2．把长度为8的线段分成四段，围成一个矩形，矩形面积的最大值为( )
A．2
B．4
C．8
D．以上都不对
解析：设矩形的长为x，则宽为＝4－x，
所以矩形面积为S＝x(4－x)＝－x2＋4x，
所以S′＝－2x＋4，令S′＝0，得x＝2，
所以矩形的最大面积为S＝2(4－2)＝4.
答案：B
3．某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是
( )
A．8
B.
C．－1
D．－8
解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
答案：C
4．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A.
B.
C.
D．2
解析：设底面边长为x，则表面积S＝x2＋(x＞0)，S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得唯一极值点x＝.
答案：C
5．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20
cm，要使其体积最大，则高为( )
A.
cm
B.
cm
C.
cm
D.
cm
解析：设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为V＝πx(400－x2)，0
当所以当x＝时，V取最大值．
答案：D
二、填空题
6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为____________．
解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．
则总利润L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋
3．06x＋30(x≥0)．
令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.所以当x＝10时，L有最大值45.6.
答案：45.6万元
7．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为________．
解析：设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，所以r2＝2Rh－h2，
所以V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，V′＝πRh－πh2.令V′＝0，得h＝R.
当0答案：R
8．用长为18
m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，该长方体的最大体积是__________．
解析：设长方体的宽为x，则长为2x，高为－3x，故体积为V＝2x2＝－6x3＋9x2，V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，
因为0m、1
m、1.5
m时，体积最大，最大体积Vmax＝3
m3.
答案：3
m3
三、解答题
9.如图所示，用铁丝弯成一个上面是半圆、下面是矩形的图形，其面积为100，为使所用材料最省，矩形底宽应为多少？
解：设圆的半径为r，矩形的宽为b，铁丝长为l，则100＝＋2br，
所以b＝.
所以l＝πr＋2r＋2b＝πr＋2r＋－.
所以l′＝π＋2－－.
令l′＝0，得π＋2－－＝0，所以100＝r2.
解得r＝10.则底宽为20时用料最省．
10.一个帐篷，它下部的形状是高为1
m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3
m的正六棱锥(如图)．问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO1为x
m(1＜x＜4)，底面正六边形的面积为S
m2，帐篷的体积为V
m3.
则由题设可得正六棱锥底面边长为
＝(m)，
于是底面正六边形的面积为
S＝6×()2＝(8＋2x－x2)(m2)，
所以帐篷的体积为
V＝×(8＋2x－x2)(x－1)＋(8＋2x－x2)＝(8＋2x－x2)＝
(16＋12x－x3)(m3)，求导数，得V′＝(12－3x2)．
令V′＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.
当1所以当x＝2时，V最大．
即当OO1为2
m时，帐篷的体积最大．
B级 能力提升
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋4x＋，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．3万件
B．1万件
C．2万件
D．7万件
解析：因为x>0，y′＝－x2＋4＝(2－x)(2＋x)，令y′＝0，解得x＝2，所以x∈(0，2)时，y′>0，x∈(2，＋∞)时，y′<0，y先增后减．所以x＝2时函数取最大值．
答案：C
2．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为______元．
解析：设每件商品定价x元，依题意可得利润为
L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)．
L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝＝85.
因为在(0，200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大．
答案：85
3．时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式y＝＋4(x－6)2，其中2(1)求m的值；
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)．
解：(1)因为x＝4时，y＝21，
代入关系式y＝＋4(x－6)2，得＋16＝21，
解得m＝10.
(2)由(1)可知，套题每日的销售量y＝＋4(x－6)2，
所以每日销售套题所获得的利润
f(x)＝(x－2)＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2从而f
′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2令f
′(x)＝0，得x＝，且在上，f
′(x)
>0，函数f(x)单调递增；在上，f
′(x)<0，函数f(x)单调递减，
所以x＝是函数f(x)在(2，6)内的极大值点，也是最大值点，
所以当x＝≈3.3时，函数f(x)取得最大值．
故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．www.
第一章
导数及其应用
1.3
导数在研究函数中的应用
1.3.3
函数的最大（小）值与导数
A级 基础巩固
一、选择题
1．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)( )
A．有最大值
B．有最小值
C．是增函数
D．是减函数
解析：f′(x)＝2－＝(x<0)，由f′(x)＝0
得x＝－，且x∈时，f′(x)＞0；
x∈时，f′(x)
<0.所以f是极大值，也是最大值．
答案：A
2．函数f(x)＝x2－4x＋1在上的最大值和最小值分别是( )
A．f(1)，f(3)
B．f(3)，f(5)
C．f(1)，f(5)
D．f(5)，f(2)
解析：f′(x)＝2x－4，由f′(x)＝0得x＝2，
因为f(1)＝－2，f(5)＝6，f(2)＝－3，
所以函数f(x)在上的最大值和最小值是f(5)，f(2)．
答案：D
3．函数f(x)＝x＋2cos
x在区间上的最小值是( )
A．－
B．2
C.＋
D.＋1
解析：令f′(x)＝1－2sin
x＝0，因为x∈，
所以f′(x)＞0，所以f(x)在单调递增，
所以f(x)min＝－.
答案：A
4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是( )
A．0≤a<1
B．0C．－1D．0解析：因为f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，依题意f′(x)＝0在(0，1)内有解．所以0答案：B
5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在上有最大值3，那么此函数在上的最小值是( )
A．－37
B．－29
C．－5
D．以上都不对
解析：令f′(x)＝6x2－12x＝0，得x＝0或x＝2.由f(－2)＝－40＋m，f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，可知f(0)＝m＝3，所以f(－2)＝－40＋m＝－37.
答案：A
二、填空题
6．设x0是函数f(x)＝(ex＋e－x)的最小值点，则曲线上点(x0，f(x0))处的切线方程是________．
解析：令f′(x)＝(ex－e－x)＝0，得x＝0，可知x0＝0为最小值点．切点为(0，1)，切线斜率为k＝f′(0)＝0，所以切线方程为y＝1.
答案：y＝1
7．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
解析：令f′(x)＝－2x＋m＝0，得x＝.由题设得∈，故m∈．
答案：
8．函数f(x)＝x2＋2ax＋1在上的最小值为f(1)，则a的取值范围为____________．
解析：f′(x)＝2x＋2a，因为f(x)在上的最小值为f(1)，所以f(x)在上单调递减，所以x∈时f′(x)≤0恒成立，于是a≤(－x)min，所以a≤－1.
答案：(－∞，－1]
三、解答题
9．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln
x的图象分别交于点M，N，求当|MN|达到最小值时t的值．
解：由题意，设|MN|＝F(t)＝t2－ln
t(t＞0)，
令F′(t)＝2t－＝0，得t＝－(舍去)或t＝.
F(t)在上单调递减，在上单调递增，
故t＝时，F(t)＝t2－ln
t(t＞0)有极小值，也为最小值．
所以当|MN|达到最小值时t＝.
10．已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
解：f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．
若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，
所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0；
若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.
由x∈，则只考虑x＝的情况．
①0<<1，即0x
(0，)
(，1)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?↗
2a
?↘
②≥1，即a≥1时，f′(x)≥0，函数f(x)在上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝3a－1.
综上，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；
当0当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
B级 能力提升
1．若函数f(x)＝x－2＋2x－a在区间上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为f′(x)＝－2x－3＋2＝，
所以当1≤x≤3时f′(x)＞0，
当≤x<1时，f′(x)<0.
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以f(x)min＝f(1)＝1＋2－a＝3－a＝n.
又因为f＝5－a，f(3)＝－a，
所以f所以m－n＝－a－(3－a)＝.
答案：D
2．函数f(x)＝ex(sin
x＋cos
x)(x∈)的值域为___________．
解析：当0≤x≤1时，f′(x)＝ex(sin
x＋cos
x)＋ex(cos
x－sin
x)＝excos
x＞0，所以f(x)在上单调递增，则f(0)≤f(x)≤f(1)，即函数f(x)的值域为.
答案：
3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)当a＝2时，对于任意的m∈，n∈，求f(m)＋f′(n)的最小值；
(2)若存在x0∈(0，＋∞)，使f(x0)＞0，求a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝－x3＋2x2－4，f′(x)＝－3x2＋4x.
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.
当x∈(－1，0)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，0)上单调递减；
当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，1)上单调递增；
所以对于m∈，f(m)的最小值为f(0)＝－4.
因为f′(x)＝－3x2＋4x的开口向下，且对称轴为x＝，所以对于n∈，f′(n)的最小值为f′(－1)＝－7.
故f(m)＋f′(n)的最小值为－11.
(2)f′(x)＝－3x2＋2ax＝－3x.
①若a≤0，当x＞0时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递增；当x＞时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递减；故当x∈(0，＋∞)时，f(x)max＝f＝a3－4.依题意a3－4＞0，解得a＞3.
综上，a的取值范围是(3，＋∞)．www.
第三章
数系的扩充与复数的引入
3.2
复数代数形式的四则运算
3.2.2
复数代数形式的乘除运算
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2015·安徽卷)设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( )
A．3＋3i
B．－1＋3i
C．3＋i
D．－1＋i
解析：(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝3＋i.
答案：C
2．已知复数z＝1＋i，则等于
( )
A．2i
B．－2i
C．2
D．－2
解析：＝＝＝＝2i.
答案：A
3．设z＝3＋i，则eq
\f(1,
)＝( )
A．3＋i
B．3－i
C.i＋
D.＋i
解析：＝＝＝＝＋i.
答案：D
4．设a是实数，且＋是实数，则a＝( )
A.
B．1
C.
D．2
解析：因为＋＝＋＝＋i为实数，所以＝0，得a＝1.
答案：B
5．设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且1·2是实数，则实数t等于( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：因为z2＝t＋i，所以2＝t－i.z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，
又z1·2是实数，所以4t－3＝0，所以t＝.
答案：A
二、填空题
6．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．
解析：z＝－1＝－1＝1＋3i，
所以复数z的实部是1.
答案：1
7．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于________．
解析：设z＝bi(b∈R)，
则＝＝＝＋i，
因为是实数，所以＝0，得b＝－2，所以z＝－2i.
答案：－2i
8．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________．
解析：由(z1－2)(1＋i)＝1－i得z1＝2－i.
设z2＝a＋2i(a∈R)，
则z1z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，
因为z1·z2是实数，
所以a＝4，所以z2＝4＋2i.
答案：4＋2i
三、解答题
9．计算：(1)＋；
(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．
解：(1)＋＝＋＝
i(1＋i)＋＝－1＋i＋(－i)1
009＝－1.
(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i＋25－25i＝47－39i.
10．设的共轭复数是z，若z＋＝4，·z＝8，求eq
\f(,z)的值．
解：法一 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.
由z＋＝4，z·＝8，得
即解得
所以eq
\f(,z)＝＝＝±i.
法二 因为z＋＝4，设z＝2＋bi(b∈R)，
又z·＝|z|2＝8，所以4＋b2＝8.
所以b2＝4，所以b＝±2，所以z＝2±2i，z＝2 2i.
所以eq
\f(,z)＝±i.
B级 能力提升
1．计算＋的值是( )
A．0
B．1
C．i
D．2i
解析：原式＝＋＝
＋＝＋i＝
i＋i＝2i.
答案：D
2．已知x＝1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0的一个根(m，n∈R)，则m＋n＝________．
解析：把x＝1＋2i代入x2－mx＋2n＝0中，得(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n＝0，即1－4＋4i－m－2mi＋2n＝0，整理得(2n－m－3)＋(4－2m)i＝0，
根据复数相等的充要条件，得解得m＝2，n＝，m＋n＝.
答案：
3．设z是虚数，w＝z＋是实数，且－1＜w＜2，求|z|的值及z的实部的取值范围．
解：因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi(x、y∈R且y≠0)，
可得w＝z＋＝(x＋yi)＋＝x＋yi＋＝＋i，
因为w是实数，且y≠0，
所以y－＝0，即x2＋y2＝1，
所以|z|＝1，此时w＝2x.
由－1＜w＜2得－1＜2x＜2，
所以－＜x＜1，即z的实部的取值范围是.www.
章末复习课
1．复数代数形式为z＝a＋bi，a、b∈R，应用复数相等的条件时，必须先将复数化成代数形式．
2．复数表示各类数的前提条件是必须是代数形式z＝a＋bi(a、b∈R)．z为纯虚数的条件为a＝0且b≠0，注意虚数与纯虚数的区别．
3．不要死记硬背复数运算的法则，复数加减可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．
4．a2≥0是在实数范围内的性质，在复数范围内z2≥0不一定成立，|z|2≠z2.
5．复数与平面向量联系时，必须是以原点为始点的向量．
6．不全为实数的两个复数不能比较大小．
7．复平面的虚轴包括原点．
专题一 复数的概念
熟练掌握复数的代数形式、复数相等及复数表示各类数的条件是熟练解答复数问题的前提．
已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当m取何实数值时，复数z是零、纯虚数、2＋5i
解：(1)由题意可得
即所以m＝1.
即当m＝1时，复数z为零．
(2)由题意可得
解得所以m＝0，
即m＝0时，z为纯虚数．
(3)由题意可得
解得所以m＝2，
所以当m＝2时，复数z为2＋5i.
归纳升华
当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x＋yi没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论．
设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为( )
A．2
B．－2
C．－
D.
解析：＝＝为纯虚数，所以2－a＝0，所以a＝2.
答案：A
专题二 复数的四则运算
复数的加减法是实部与实部、虚部与虚部分别相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i2＝－1.
(1)计算：＋()2
016＋；
(2)已知z＝1＋i，化简.
解：(1)原式＝＋＋
＝i＋(－i)1
008＋0＝1＋i.
(2)＝＝＝
＝＝＋i.
归纳升华
复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的重点，在四则运算时，不要死记结论．对于复数代数形式的加、减、乘运算，要类比多项式的加、减、乘运算进行；对于复数代数形式的除法运算，要类比分式的分母有理化的方法进行．另外，在计算时也要注意下面结论的应用：
(1)(a±b)2＝a2±2ab＋b2；
(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
(3)(1±i)2＝±2i；
(4)＝－i；
(5)＝i，＝－i；
(6)a＋bi＝i(b－ai)．
计算：＋＝________．
解析：因为＝＝i－1，
＝＝＝－i，
所以＋＝i－1＋(－i)＝－1.
答案：－1
专题三 复数相等的充要条件
复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现．
设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z等于( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
解析：设z＝a＋bi，则＝a－bi.由z·i＋2＝2z
得(a＋bi)·(a－bi)i＋2＝(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，
所以所以
答案：A
归纳升华
(1)对于两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi＝c＋di相等的充要条件是a＝c，b＝d.
(2)根据复数相等的定义知，在a＝c，b＝d两式中，如果有一个不成立，那么a＋bi≠c＋di.
关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，则实数a的值为________．
解析：设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
所以解得a＝11或a＝－.
答案：11或－
专题四 数形结合思想
复数的几何意义及复数加减运算的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．熟练掌握复平面内的点、以原点为起点的平面向量和复数三者之间的对应关系，就能有效地利用数形转换来解决实际问题．
已知复数z的模为1，求|z－1－2i|的最大值和最小值．
解：
因为复数z的模为1，
所以z在复平面上的对应点在以原点为圆心，1为半径的圆上．
而|z－1－2i|＝|z－(1＋2i)|可以看成圆上的点Z到点A(1，2)的距离，如图所示．
所以|z－1－2i|min＝|AB|＝|OA|－|OB|＝－1，
|z－1－2i|max＝|AC|＝|OA|＋|OC|＝＋1.
归纳升华
(1)复数的几何意义主要体现在以下三个方面：
①复数z与复平面内的点Z及向量的一一对应关系；
②复数的加减运算与向量的加减运算的对应关系；
③复数z＝z0模的几何意义．
(2)复数数形结合法的应用：
①求复数问题转化为解析几何的求点问题；
②复数的加减运算与向量的加减运算的相互转化；
③利用|z－z0|判断复数所对应的点的轨迹及轨迹方程，也可以求|z|的最值．
设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？
(1)1＜|z|＜2；
(2)|z－i|＝1；
(3)|z－1|＝|z－1＋i|.
解：(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝.
由题意1＜＜2，即1＜x2＋y2＜4.
所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，不包括边界．
(2)根据模的几何意义，|z－i|＝1表示复数z对应的点到复数i对应的点(0，1)的距离为1.
所以满足|z－i|＝1的点Z的集合为以(0，1)为圆心，以1为半径的圆．
(3)根据模的几何意义，|z－1|表示复数z对应的点到复数1对应的点(1，0)的距离，|z－1＋i|表示复数z对应的点到复数1－i对应的点(1，－1)的距离．
因为这两个距离相等，所以|z－1|＝|z－1＋i|以点(1，0)和(1，－1)为端点的线段的垂直平分线．www.
第一章
导数及其应用
1.1
变化率与导数
1.1.1
变化率问题
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数y＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝(2＋0.1)2＋1－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．物体的运动规律是s＝s(t)，物体在t至t＋Δt这段时间内的平均速度是( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：＝＝.
答案：C
3．一运动物体的运动路程s(t)与时间x的函数关系为s(t)＝－t2＋2t，则s(t)从2到2＋Δt的平均速度为( )
A．2－Δt
B．－2－Δt
C．2＋Δt
D．(Δt)2－2Δt
解析：因为s(2)＝－22＋2×2＝0，
所以s(2＋Δt)＝－(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＝－2Δt－(Δt)2，
所以＝－2－Δt.
答案：B
4．将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的表面积的增加量ΔS等于( )
A．8πRΔR
B．8πRΔR＋4π(ΔR)2
C．4πRΔR＋4π(ΔR)2
D．4π(ΔR)2
解析：ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2.
答案：B
5．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则＝( )
A．4
B．4＋2(Δx)2
C．4＋2Δx
D．4x
解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2＋1＝2×(Δx)2＋4×Δx，所以＝2Δx＋4.
答案：C
二、填空题
6．在x＝2附近，Δx＝时，函数y＝的平均变化率为________．
解析：＝＝－＝－.
答案：－
7．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
解析：因为Δx＝1，所以2＋Δx＝3，Δy＝－＝－.所以kAB＝＝－.
答案：－
8．函数y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为________．
解析：因为Δy＝－eq
\f(1,x)，
所以y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率0为
＝eq
\f(\f(1,（x0＋Δx）2)－\f(1,x),Δx)＝－eq
\f(2x0＋Δx,（x0＋Δx）2x).
答案：－eq
\f(2x0＋Δx,（x0＋Δx）2x)
三、解答题
9．比较函数f(x)＝2x与g(x)＝3x，当x∈时，平均增长率的大小．
解：设f(x)＝2x在x∈时的平均增长率为k1，
则k1＝＝2.
设g(x)＝3x在x∈时的平均增长率为k2，
则k2＝＝6.
因为k110．若函数f(x)＝－x2＋x在(Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围．
解：因为函数f(x)在上的平均变化率为：
＝
＝
＝＝－3－Δx，
所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞)．
B级 能力提升
1．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝中，平均变化率最大的是( )
A．④
B．③
C．②
D．①
解析：Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.所以k3＞k2＞k1＞k4.
答案：B
2．设C是成本，q是产量，且C(q)＝3q2＋10，若q＝q0，则产量增加量为10时，成本增加量为________．
解析：ΔC＝C(q0＋10)－C(q0)＝3(q0＋10)2＋10－
(3q＋10)＝3(q＋20q0＋100)－3q＝60q0＋300.
答案：60q0＋300
3．路灯距地面8
m，一个身高为1.6
m的人以84
m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯．
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；
(2)求人离开路灯10
s内身影的平均变化率．
解：(1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym，由于CD//BE，则＝，
即＝，
所以y＝f(x)＝x.
(2)84
m/min＝1.4
m/s，在内自变量的增量为
x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14，
f(x2)－f(x1)＝×14－×0＝.
所以＝＝.
即人离开路灯10
s内身影的平均变化率为.www.
第一章
导数及其应用
1.2
导数的计算
1.2.1
几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知f(x)＝log4x，则f′(2)＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为f′(x)＝，所以f′(2)＝.
答案：D
2．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－2，则a的值等于( )
A．2
B．－2
C．3
D．－3
解析：若a＝2，则f(x)＝x2，所以f′(x)＝2x，
所以f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．
答案：A
3．一个物体的运动方程为s(t)＝2－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在5秒末的瞬时速度是( )
A．6米/秒
B．5米/秒
C．4米/秒
D．3米/秒
解析：v(t)＝s′(t)＝－1＋t，所以v(5)＝－1＋5＝4(米/秒)．
答案：C
4．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－3＝0
B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0
D．x＋4y＋3＝0
解析：因为l与直线x＋4y－8＝0垂直，
所以l的斜率为4.因为y′＝4x3，所以切线l的斜率是4，得4x3＝4，所以x＝1.所以切点坐标为(1，1)．
所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
答案：A
5．已知曲线y＝－3ln
x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．3
B．2
C．1
D.
解析：y′＝x－，由x－＝，
得x＝3或x＝－2，由于x＞0，所以x＝3.
答案：A
二、填空题
6．已知①y＝f(x)，②y＝g(x)，③y＝h(x)都是路程y关于时间x的函数，且f′(x)＝1，g′(x)＝2，h′(x)＝3，则运动速度最快的是________(填序号)．
解析：由导数的几何意义知，y＝f(x)的瞬时速度为1，y＝g(x)的瞬时速度为2，y＝h(x)的瞬时速度为3，且都是匀速运动，故最快的是③.
答案：③
7．已知y＝x3－x－1＋1，则其导函数的值域为________．
解析：y′＝x2＋x－2≥2＝2，所以y′∈)，g(x)＝x，解不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为________．
解析：f′(x)＝－sin
x，g′(x)＝1，所以不等式f′(x)＋g′(x)≤0，变为－sin
x＋1≤0.
即sin
x≥1，又sin
x≤1，所以sin
x＝1，
又x∈，所以x＝.
答案：
3．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．
设切点坐标为(x0，x)，因为y′＝2x，则y′|x＝x0＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点坐标为，所以切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.www.
第一章
导数及其应用
1.5
定积分的概念
1.5.1
曲边梯形的面积
A级 基础巩固
一、选择题
1．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形的面积时，若将区间n等分，则每个小区间的长度为( )
A.
B.
C.
D.
解析：区间长度为2，将其n等分得每一个小区间的长度为.
答案：B
2．在求由函数y＝与直线x＝1，x＝2，
y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间等分成n个小区间，则第i个小区间为( )
A.
B.
C．
D.
解析：把区间等分成n个小区间后，每个小区间的长度为，且第i个小区间的左端点不小于1，所以选B.
答案：B
3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间上的近似值( )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈)
D．以上答案均不正确
解析：由求曲边梯形面积的“近似代替”知，选项C正确．
答案：C
4．直线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0和曲线y＝f(x)(f(x)＞0)所围成的曲边梯形的面积S＝( )
A.(ξi)·
B．(ξi)·
C.(ξi)·
D．·f(ξi)
解析：第n个小曲边梯形的面积可近似的表示为·f(ξi)．所以，曲边梯形的面积为·f(ξi)
答案：D
5．对于由函数y＝x3和直线x＝1，y＝0围成的曲边梯形，把区间三等分，则曲边梯形面积的近似值(每个ξi取值均为小区间的左端点)是( )
A.
B.
C.
D.
解析：S＝0×＋×＋×＝.
答案：A
二、填空题
6．在区间上等间隔地插入8个点，则将它等分成9个小区间，每个小区间的长度为____．
解析：区间长度为9，将它等分成9个小区间，每个小区间的长度为1.
答案：1
7．若
xi=1,则
(2xi＋1)=______.
解析：
(2xi＋1)＝2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＋5＝2×1＋5＝7.
答案：7
8．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成曲边梯形，将区间五等分，按照区间左端点和右端点估计曲边梯形面积分别为________、________．
解析：分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．
S1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92；
S2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.
答案：3.92 5.52
三、解答题
9．求出由直线x＝0，x＝3，y＝0和曲线y＝围成的平面图形的面积．
解：圆(x－1)2＋y2＝4在第一象限的面积如图所示：
∠ACB＝，OB＝，
面积S＝S△BOC＋S扇形ACB＝＋×2×2×＝＋.
10．求直线x＝2，y＝0和曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积．
解：(1)分割：把区间等分成n个小区间，第i个小区间的长度为，过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分割成n个小曲边梯形．
(2)近似代替：当n很大时，区间长度很小，小曲边梯形近似于小矩形，第i个小矩形的高度用f代替(i＝1，2，…，n)．
(3)求和：各矩形面积之和
Sn＝Δx＝
＝(12＋22＋…＋n2)＝
＝.
(4)取极限：当n趋向于＋∞时，Sn趋向于，所以曲边梯形的面积S＝.
B级 能力提升
1．已知直线l：y＝ax＋b和曲线C：y＝ax2＋bx，则由直线l和曲线C所围成的平面图形(图中阴影部分)只可能是( )
解析：对于选项A，直线l和曲线C中的a＞0，b＜0，符合条件．
答案：A
2．如图所示，曲线C∶y＝2x(0≤x≤2)两端分别为M，N，且NA⊥x轴于点A，把线段OA分成n等份，以每一段为边作矩形，使其与x轴平行的边的一个端点在曲线C上，另一端点在曲线C的下方，设这n个矩形的面积之和为Sn，则
＝________．
解析：依题意可知从原点开始，矩形的高成等比数列，首项为1，公比为2，则Sn＝(1＋2＋2＋…＋2)＝·＝·
.所以＝
＝12.
答案：12
3．求y＝x3与x＝0，y＝±8围成的图形的面积．
解：所求面积如图阴影部分所示，由对称性知S1＝S2，故所求面积为2S1.先求y＝x3与y＝0，x＝0，x＝2围成的面积S′1如下：
(1)分割：将分成n等份
(i＝1，2，3，…，n)，每个小区间距离为Δx＝.
(2)近似代替：ΔSi＝f(ξi)Δx＝()3Δx.
(4)求极限：S＝
＝
＝
＝4，
所以由y＝x3，x＝0，x＝2，y＝0围成的图形的面积S′1＝4，
所以S1＝2×8－4＝12.
故所求面积为S＝2S1＝24.www.
第二章
推理与证明
2.2
直接证明与间接证明
2.2.2
反证法
A级 基础巩固
一、选择题
1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( )
A．三角形中有两个内角是直角
B．三角形中有三个内角是直角
C．三角形中至少有两个内角是直角
D．三角形中没有一个内角是直角
解析：“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是“三角形中至少有两个内角是直角”．
答案：C
2．a＋b＞c＋d的一个必要不充分条件是( )
A．a＞c
B．b＞c
C．a＞c且b＞d
D．a＞c或b＞d
解析：由a＞c或b＞d可得a＋b＞c＋d，反之则不一定，选项D正确．
答案：D
3．
“实数a，b，c不全大于0”等价于( )
A．a，b，c均不大于0
B．a，b，c中至少有一个大于0
C．a，b，c中至多有一个大于0
D．a，b，c中至少有一个不大于0
解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于”．选项D正确．
答案：D
4．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为( )
A．①②③
B．③①②
C．①③②
D．②③①
解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.
答案：B
5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于( )
A．0
B.
C.
D．1
解析：假设a、b、c都小于，则a＋b＋c＜1，与a＋b＋c＝1矛盾．选项B正确．
答案：B
二、填空题
6．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有________(填序号)．
解析：“x＝y”的反面是“x≠y”，即是“x＞y或x＜y”，所以②正确；“a＞b”的反面是“a≤b”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形至少有两个钝角”．所以这三个都错．
答案：②
7．用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，应假设______________．
解析：“a、b、c中至少有一个是偶数”的反面是“a、b、c都不是偶数”，故应假设a、b、c都不是偶数．
答案：a、b、c都不是偶数
8．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，
b是常数，且a＞b)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．
解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a>b，n∈N
，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，所以不存在n使an＝bn.
答案：0
三、解答题
9．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，
c＝z2－2x＋，
求证：a、b、c中至少有一个大于0.
证明：设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
所以a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c＝＋＋＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π－3＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3＞0.
所以a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，
故a、b、c中至少有一个大于0.
10．求证：1、、2不能为同一等差数列的三项．
证明：假设1、、2是数列{an}(n∈N
)中某三项，
不妨设为an＝1，am＝，ap＝2，(n，m，p互不相等)
由等差数列定义可有＝，
即＝，则－1＝.
由于m，n，p是互不相等的正整数，
所以必为有理数，而－1是无理数，二者不会相等．
所以假设不成立，结论正确．
B级 能力提升
1．设a、b、c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2
D．至少有一个不大于2
解析：假设a＋＜2，b＋＜2，c＋＜2，
则a＋＋b＋＋c＋＜6；
因为a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2，
所以a＋＋b＋＋c＋≥6.
所以假设错误，选项C正确．
答案：C
2．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________________．
解析：若两方程均无实根，则
Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)＜0，
解得a＜－1或a＞.
Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)＜0，解得－2＜a＜0，
所以－2＜a＜－1.
所以，若两个方程至少有一个方程有实根，
则有a≤－2或a≥－1.
答案：
3．求证：不论x，y取何非零实数，等式＋＝总不成立．
证明：假设存在非零实数x，y使得等式＋＝成立．于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy，
即x2＋y2＋xy＝0，即(x＋)2＋y2＝0.
由y≠0，得y2＞0.
又(x＋)2≥0，所以(x＋)2＋y2＞0.
与x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命题成立．www.
第一章
导数及其应用
1.7
定积分的简单应用
1.7.1
定积分在几何中的应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．曲线y＝x3与直线y＝x所围成的图形的面积等于( )
A(x－x3)dx
B.(x3－x)dx
C．2(x－x3)dx
D．2(x－x3)dx
解析：由图象可知，当x∈(0，1)时，y＝x的图象在y＝x3图象的上方，根据对称性知，选项C正确．
答案：C
2．由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积是( )
A.(x2－1)dx
B．|(x2－1)dx|
C.|x2－1|dx
D.(x2－1)dx＋(x2－1)dx
解析：y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，选项C正确．
答案：C
3.如图所示，由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0，1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由题图知，S＝(t2－x2)dx＋(x2－t2)dx＝t3－t2＋，S′＝4t2－2t，令S′＝0，得t＝0或t＝，S＝t3－t2＋在单调递减，在单调递增，当t＝时，S取得最小值，故选D.
答案：D
4．若dx＝3＋ln
2且a＞1，则实数a的值是( )
A．2
B．3
C．5
D．6
解析：dx＝(x2＋ln
x)|＝a2＋ln
a－(1＋ln
1)＝3＋ln
2，a＞1，所以a2＋ln
a＝4＋ln
2＝22＋ln
2，解得a＝2.
答案：A
5．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则f(－x)dx的值等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：由f(x)＝xm＋ax求导得，f′(x)＝mxm－1＋a，
又f′(x)＝2x＋1，所以m＝2，a＝1，
所以f(－x)＝x2－x，所以f(－x)dx＝
(x2－x)dx＝＝.
答案：A
二、填空题
6．直线x＝，x＝，y＝0及曲线y＝cos
x所围成图形的面积________．
解析：由题意作出图形如图所示，由图形面积为
答案：2
7．曲线y＝x2＋2x与直线x＝－1，x＝1及x轴所围图形的面积为________．
解析：S＝－(x2＋2x)dx＋(x2＋2x)dx＝
－＋＝＋＝2.
答案：2
8．曲线y2＝x与直线y＝x所围图形的面积为________．
解析：如图所示，由得交点坐标为O(0，0)，A(4，2)，所以S＝dx＝
＝.
答案：
三、解答题
9．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
解：(1)因为y＝f(x)是二次函数，且f′(x)＝2x＋2，
所以设f(x)＝x2＋2x＋c.
又f(x)＝0有两个等根，
所以4－4c＝0，得c＝1，
所以f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积为
(x2＋2x＋1)dx＝＝.
10．已知函数f(x)＝求曲线y＝f(x)与x轴、直线x＝0、x＝2所围成的图形的面积．
解：作出函数图象如图所示，
S＝f(x)dx＝f(x)dx＋
f(x)dx＝x3dx＋
dx＝＋
x＝－＋.
B级 能力提升
1．由直线x＝－2，x＝2，y＝0及曲线y＝x2－x所围成的平面图形的面积为
( )
A.
B.
C.
D.
解析：如图所示，所求面积S为图中阴影部分的面积．所以
S＝(x2－x)dx＋(x2－x)dx＋(x2－x)dx＝
＋
＋＝
0－＋＋
－＝.
答案：B
2．抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1，0)和点B(3，0)处的切线所围成图形的面积为________
解析：由y′＝－2x＋4得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，
由得两直线交点坐标为C(2，2)，
所以S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)dx＝×2×2－＝2－＝.
答案：
3．若函数f(x)＝max{x，x2}，求f(x)dx.
解：如图所示，
f(x)＝max{x，x2}＝
所以f(x)dx＝
x2dx＋xdx＋x2dx＝
x3＋x2＋x3＝.www.
第一章
导数及其应用
1.5
定积分的概念
1.5.3
定积分的概念
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知f(x)dx＝6，则6f(x)dx＝( )
A．6
B．6(b－a)
C．36
D．不确定
解析：6f(x)dx＝6f(x)dx＝6×6＝36.
答案：C
2．设f(x)＝则f(x)dx＝( )
A.sin
xdx
B.exdx
C.sin
xdx＋exdx
D.
exdx＋sin
xdx
解析：由定积分的性质知选项D正确．
答案：D
3．下列式子中不成立的是( )
解析：由定积分的几何意义知sin
xdx＞0，cos
xdx＝0，所以C不成立．
答案：C
4．由函数y＝－x的图象(图略)，直线x＝1、x＝0、y＝0所围成的图形的面积可表示为( )
A.(－x)dx
B.|－x|dx
C.xdx
D．－xdx
解析：由定积分的几何意义可知，所求图形面积S＝
－(－x)dx＝|－x|dx.
答案：B
5．下列命题不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx
C．若f(x)在上连续且恒正，则f(x)dx＞0
D．若f(x)在上连续且f(x)dx＞0，则f(x)在上恒正
解析：对于选项A，因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确；对于选项B，因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方(或上方)且面积相等，故B正确；C显然正确；D选项中f
(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)＞0的曲线围成的面积比f(x)＜0的曲线围成的面积大．
答案：D
二、填空题
6．(2015·湖南卷)(x－1)dx＝________．
解析：由定积分的几何意义可得(x－1)dx＝0.
答案：0
7.|x－2|dx＝________．
解析：根据定积分的几何意义，所求定积分表示的是y＝|x－2|和x＝3，x＝1及y＝0所围成的图形的面积，即图中阴影部分面积．
因此，|x－2|dx＝×1×1＋×1×1＝1.
答案：1
8．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：
图① 图② 图③
(1)S1＝________________(图①)；
(2)S2＝________________(图②)；
(3)S3＝________________(图③)．
答案：
三、解答题
9．已知xdx＝，x3dx＝，求下列定积分：
(1)(2x＋x3)dx；
(2)(2x3－x＋1)dx.
解：(1)(2x＋x3)dx＝2xdx＋x3dx＝e2＋.
(2)(2x3－x＋1)dx＝2x3dx－xdx＋1dx＝－＋e.
10．用定积分的几何意义求dx.
解：
由y＝可知，x2＋y2＝1(y≥0)的图象如图，由定积分的几何意义知dx等于圆心角为120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．
弓形CED面积为S1＝×π·12－×1×1×sin
π＝－，
矩形ABCD面积为S2＝2××＝，
所以dx＝－＋＝＋.
B级 能力提升
1．已知t＞0，若(2x－2)dx＝8，则t＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：作出函数f(x)＝
2x－2的图象与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2)，
易求得S△OAB＝1，
因为(2x－2)dx＝8，且(2x－2)dx＝－1，
所以t＞1，
所以S△AEF＝|AE||EF|＝×(t－1)(2t－2)＝(t－1)2＝9，所以t＝4.
答案：D
2．已知f(x)是一次函数，其图象过点(3，4)且f(x)dx＝1，则f(x)的解析式为________．
解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，因为f(x)图象过(3，4)点，所以3a＋b＝4.①
又f(x)dx＝(ax＋b)dx＝axdx＋10bdx＝a＋b＝1.②
①②联立方程组，解得a＝，b＝.
所以f(x)＝x＋.
答案：f(x)＝x＋
3．利用定积分的几何意义，求f(x)dx＋sin
xcos
xdx，其中f(x)＝
解：f(x)dx＋sin
xcos
xdx＝(3x－1)dx＋
(2x－1)dx＋sin
xcos
xdx，
因为y＝sin
xcos
x为奇函数，
所以sin
xcos
xdx＝0.
利用定积分的几何意义，如图所示，
所以(3x－1)dx＝－×2＝－8；
(2x－1)dx＝×1＝2.
所以f(x)dx＋sin
xcos
xdx＝－6.www.
第一章
导数及其应用
1.2
导数的计算
1.2.2
导数的运算法测
第一课时
导数的运算法则
A级 基础巩固
一、选择题
1．若f(x)＝sin
－cos
x，则f′(α)等于( )
A．sin
α
B．cos
α
C．sin
＋cos
α
D．cos
＋sin
α
解析：由f(x)＝sin
－cos
x，得f′(x)＝sin
x，
所以f′(α)＝sin
α.
答案：A
2．已知f(x)＝ax3＋9x2＋6x－7，若f′(－1)＝4，则a的值等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为f(x)＝3ax2＋18x＋6，所以由f′(－1)＝4得，3a－18＋6＝4，即a＝.
答案：B
3．已知曲线y＝2x2上一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为( )
A．4
B．16
C．8
D．2
解析：切线的斜率即为求y＝4x在x＝2处的值．
答案：C
4．下列函数中，导函数是奇函数的是( )
A．y＝sin
x
B．y＝ex
C．y＝ln
x
D．y＝cos
x－
解析：由y＝sin
x得y′＝cos
x为偶函数，所以A错；
由y＝ex得，y′＝ex为非奇非偶函数，所以B错；C中y＝ln
x的定义域为{x|x＞0}，所以C错；D中y＝cos
x－，y′＝－sin
x为奇函数，所以选D.
答案：D
5．曲线y＝xsin
x在点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为( )
A.
B．π2
C．2π2
D.(2＋π)2
解析：曲线y＝xsin
x在点处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的顶点为O(0，0)，A(π，0)，C(π，－π)，所以三角形面积为.
答案：A
二、填空题
6．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln
x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝____．
解析：f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0.
解得x＝－或x＝1，又x＞0，所以x＝1.
答案：1
7．(2014·广东卷)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________________．
解析：由y＝－5ex＋3，得y′＝－5ex，所以，所求切线的斜率为k＝－5e0＝－5，故所求切线方程为y－(－2)＝－5x，即5x＋y＋2＝0.
答案：5x＋y＋2＝0
8．已知函数f(x)＝ax＋bex图象上在点P(－1，2)处的切线与直线y＝－3x平行，则函数f(x)的解析式是__________________．
解析：由题意可知，f′(－1)＝－3，所以a＋be－1＝－3，
又f(－1)＝2，所以－a＋be－1＝2，解之得a＝－，
b＝－e，故f(x)＝－x－ex＋1.
答案：f(x)＝－x－ex＋1
三、解答题
9．已知曲线y＝x3－3x，过点(0，16)作曲线的切线，求曲线的切线方程．
解：设切点为M(x1，y1)，
则切线的斜率k＝y′|x＝x1＝3x－3，
所以切线方程为y＝(3x－3)x＋16.
又切点在切线上，
所以y1＝(3x－3)x1＋16.
所以x－3x1＝－(3x－3)x1＋16，解得x1＝－2.
所以切线方程为y＝9x＋16，
即9x－y＋16＝0.
10．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx(b∈，c∈R)，f′(1)＝0，x∈时，曲线y＝f
(x)的切线斜率的最小值为－1，求b，c的值．
解：f′(x)＝x2＋2bx＋c＝(x＋b)2＋c－b2，
且f′(1)＝1＋2b＋c＝0.
①
因为b∈，所以－1≤－b≤3，
f′(x)min＝f′(－b)＝－1，
即b2－2b2＋c＝－1，②
由①②解得b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.
B级 能力提升
1．若f(x)＝x2－2x－4ln
x，则f′(x)＞0的解集为( )
A．(0，＋∞)
B．(－1，0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1，0)
解析：由f(x)＝x2－2x－4ln
x得f′(x)＝2x－2－＞0，整理得＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，又因为f(x)的定义域为{x|x＞0}，所以选项C正确．
答案：C
2．已知函数f(x)＝f′cos
x＋sin
x，则f＝____．
解析：因为f(x)＝f′cos
x＋sin
x，所以f′(x)＝
－f′sin
x＋cos
x，得f′＝－1，所以f(x)＝(－1)cos
x＋sin
x，所以f＝1.
答案：1
3．证明：过曲线y＝上的任何一点P(x0，y0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是一个常数．
证明：由y＝，得y′＝－，
所以k＝f′(x0)＝－eq
\f(1,x).
所以过点P(x0，y0)的切线方程为y－y0＝－eq
\f(1,x)(x－x0)．
令x＝0，得y＝y0＋＝；
令y＝0，得x＝2x0.
所以过点P(x0，y0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×|2x0|·＝2是一个常数．www.
模块综合评价(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．(2015·福建卷)若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( )
A．{－1}
B．{1}
C．{1，－1}
D．
解析：由已知得A＝{i，－1，－i，1}，故A∩B＝{1，－1}，故选C.
答案：C
2．演绎推理“因为指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)是增函数，而函数y＝是对数函数，所以y＝是增函数”所得结论错误的原因是( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．大前提和小前提都错误
解析：当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，所以大前提错误．
答案：A
3．(2014·山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“至少有一个根”的否定是“没有”．
答案：A
4．给出下列三个类比推理的结论：
①类比ax·ay＝ax＋y，则有ax÷ay＝ax－y；
②类比loga(xy)＝logax＋logay，则有sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β；
③类比(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，则有(＋)2＝2＋2
＋2.
其中，结论正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：只有①③的结论是正确的．
答案：B
5．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系为( )
A．P＞Q
B．P＝Q
C．P＜Q
D．由a的取值确定
解析：Q2－P2＝(＋)2－(＋)2＝
2(－)，因为a≥0，所以Q2－P2＞0，又P＞0，Q＞0，所以Q＞P.
答案：C
6．如图所示，阴影部分面积为( )
A.dx
B.dx＋dx
C.dx＋dx
D.dx
解析：因为在区间(a，c)上g(x)＞f(x)，而在区间(c，b)上g(x)＜f(x)．所以S＝S1＋S2＝dx＋dx.
答案：B
7．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2.”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由题知，O为正四面体的外接球、内切球球心，设正四面体的高为h，由等体积法可求内切球半径为h，外接球半径为h，所以＝3.
答案：C
8．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|1＋iz|，则z在复平面内对应点的轨迹是( )
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．抛物线
解析：设z＝x＋yi(x、y∈R)，|x＋1＋yi|＝，
|1＋iz|＝|1＋i(x＋yi)|＝，
则＝，得y＝－x.
所以复数z＝x＋yi对应点(x，y)的轨迹为到点(－1，0)和(0，1)距离相等的直线y＝－x.
答案：A
9．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如下图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极大值点( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：若f(x)在x0处的左边导函数的符号为正，右边为负，则x0是函数f(x)的极大值点，据此判断，函数f(x)有两个极大值点．
答案：B
10．设f(x)＝x2－2x－4ln
x，则f′(x)＞0的解集为( )
A．(0，＋∞)
B．(－1，0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1，0)
解析：f′(x)＝2x－2－＝(x＞0)，
由f′(x)＞0得x2－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2.
因为x＞0，所以x＞2.
答案：C
11．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P的坐标为( )
A．(1，0)
B．(－1，－4)
C．(1.－4)
D．(1，0)或(－1，－4)
解析：f′(x)＝3x2＋1，设点P坐标为P(x0，y0)，则切线斜率k＝f′(x0)＝3x＋1＝4，得x＝1，所以x0＝1或x0＝－1，对应的y0＝0或y0＝－4.
答案：D
12．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且(x－1)f′(x)＞0，a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c
B．c＞a＞b
C．b＞a＞c
D．c＞b＞a
解析：由f(x)＝f(2－x)知，函数f(x)图象关于直线x＝1对称，由(x－1)f′(x)＞0得或
所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
又a＝f(0)＝f(2)，b＝f＝f，c＝f(3)，＜2＜3，所以c＞a＞b.
答案：B
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若复数z＝cos
θ－sin
θi所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角．
解析：依题意cos
θ＞0，－sin
θ＜0，即cos
θ＞0，sin
θ＞0，所以θ为第一象限角．
答案：一
14．变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2(m/s)(其中t为时间，单位：s)，则它在前2s内所走过的路程为________m.
解析：令v(t)＝0得t＝1，当t∈(0，1)时，v(t)＞0；
当t∈(1，2)时，v(t)＜0，所以物体所走的路程为(1－t2)dt＋(t2－1)dt＝＋1＝2.
答案：2
15．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个点，第n个图案中圆点的总数是Sn.
n＝2，S2＝4；n＝3，S3＝8；n＝4，S4＝12；….按此规律，推出Sn与n的关系式为_________________________________________．
解析：依图的构造规律可以看出：
S2＝2×4－4，
S3＝3×4－4，
S4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．
…
猜想：Sn＝4n－4(n≥2，n∈N
)．
答案：Sn＝4n－4(n≥2，n∈N
)
16．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
解析：因为y＝x2，所以y′＝x，
易知P(4，8)，Q(－2，2)，
所以在P，Q两点处切线的斜率的值为4或－2.
所以这两条切线的方程为l1：4x－y－8＝0，l2：2x＋y＋2＝0，将这两个方程联立方程组求得y＝－4.
答案：－4
三．解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求函数f(x)＝x(ex－1)－x2的单调区间．
解：f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；
当x∈(－1，0)时f′(x)＜0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1，0)上单调递减．
18．(本小题满分12分)已知z是复数，z＋2i，均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围．
解：设z＝x＋y(x，y∈R)．
则z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，所以y＝－2.
又＝＝(x－2i)·(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i为实数，
所以x＝4，所以z＝4－2i.
又因为(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限，
所以解得2＜a＜6，
所以实数a的取值范围是{a|2＜a＜6}．
19．(本小题满分12分)已知△ABC的三边长为a，b，c，且其中任意两边长均不相等.，，成等差数列．
(1)比较与的大小，并证明你的结论；
(2)求证：B不可能是钝角．
(1)解：大小关系为＜，
证明如下：要证＜，只需证＜，
由题意知a，b，c＞0，只需证b2＜ac，
因为，，成等差数列，
所以＝＋≥2，
所以b2＜ac，
又a，b，c任意两边均不相等，
所以b2＜ac成立．故所得大小关系正确．
(2)证明：假设B是钝角，则cos
B＜0，
而cos
B＝＞＞＞0.
这与cos
B＜0矛盾，故假设不成立．
所以B不可能是钝角．
20．(本小题满分12分)已知a≥5，求证：－＜－.
证明：要证－＜－，
只需证＋＜＋，
只需证(＋)2＜(＋)2，
只需证2a－5＋2＜2a－5＋2，
只需证
＜，
只需证a2－5a＜a2－5a＋6，只需证0＜6.
因为0＜6恒成立，
所以－＜－成立．
21．(本小题满分12分)已知f(x)＝－x3＋ax，其中a∈R，g(x)＝－x，且f(x)＜g(x)在(0，1]上恒成立．求实数a的取值范围．
解：设F(x)＝f(x)－g(x)＝－x3＋ax＋x，
因为f(x)＜g(x)在(0，1]上恒成立，
所以F(x)＜0在(0，1]上恒成立，
所以a＜x2－x，这样，要求a的取值范围，使得上式在区间(0，1]上恒成立，只需求函数h(x)＝x2－x在(0，1]上的最小值．
因为h′(x)＝2x－＝，
由h′(x)＝0，得(2－1)(4x＋2＋1)＝0.
因为4x＋2＋1＞0，
所以2－1＝0，得x＝.
又因为x∈时，h′(x)＜0，
x∈时，h′(x)＞0，
所以x＝时，h(x)有最小值h＝－，
所以a＜－.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)．
(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
解：(1)当k＝2时，f(x)＝ln
(1＋x)－x＋x2，
f′(x)＝－1＋2x.由于f(1)＝ln
2，f′(1)＝，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－ln
2＝(x－1)，即3x－2y＋2ln
2－3＝0.
(2)f′(x)＝，x∈(－1，＋∞)．
当k＝0时，f′(x)＝－.
所以，在区间(－1，0)上，f′(x)＞0；
在区间(0，＋∞)上，f′(x)＜0.
故f(x)的单调递增区间是(－1，0)，
单调递减区间是(0，＋∞)．
当0＜k＜1时，由f′(x)＝＝0，
得x1＝0，x2＝＞0.
所以，在区间(－1，0)和上，f′(x)＞0；
在区间上，f′(x)＜0.
故f(x)的单调递增区间是(－1，0)和，
单调递减区间是.
当k＝1时，f′(x)＝.
故f(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)．
当k＞1时，由f′(x)＝＝0，
得x1＝∈(－1，0)，x2＝0.
所以，在区间和(0，＋∞)上，f′(x)＞0；
在区间上，f′(x)＜0.
故f(x)的单调递增区间是和(0，＋∞)，
单调递减区间是.www.
第一章
导数及其应用
1.6
微积分基本定理
A级 基础巩固
一、选择题
1．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos
x所围成的封闭图形的面积为( )
A.
B．1
C.
D.
解析：依题意，S＝2
0cos
xdx＝2sin
x|0＝.
答案：D
2．下列定积分值是0的是( )
A.xsin
xdx
B.x2cos
xdx
C.(x2＋x4)dx
D.2(x＋x5)dx
解析：根据当f(x)是奇函数时，f(x)dx＝0，当f(x)是偶函数时，f(x)dx＝2f(x)dx，可知选项D符合条件．
答案：D
3.|1－x|dx＝( )
A．0
B．1
C．2
D．－2
解析：|1－x|dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx＝＋＝
＋－＝1.
答案：B
4．m＝exdx与n＝dx的大小关系是( )
A．
m＞n
B．m＜n
C．m＝n
D．无法确定
解析：m＝exdx＝ex|＝e－1，n＝dx＝
ln
x|＝1，所以m＞n.
答案：A
5．若(2x－3x2)dx＝0，则k＝( )
A．0
B．1
C．0或1
D．不确定
解析：(2x－3x2)dx＝(x2－x3)|＝k2－k3＝0，
解得k＝0(舍去)或k＝1.
答案：
B
二、填空题
6．(2015·天津卷)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为____．
解析：解方程组得两曲线的交点坐标为(0，0)，(1，1)(图略)，所求面积为S＝(x－x2)dx＝
eq
\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(＝\f(1,6))).
答案：
7．已知函数f(a)＝sin
xdx，则f＝________．
解析：因为f(a)＝sin
xdx＝(－cos
x)|＝1－cos
a，
所以f＝1－cos
＝1，
所以f＝f(1)＝1－cos
1.
答案：1－cos
1
8．计算dx＝________．
解析：因为(ln
x)′＝中，x＞0，
所以由f(x)＝为奇函数，可得dx＝
－dx＝－(ln
x)|＝ln
1－ln
2＝－ln
2.
答案：－ln
2
三、解答题
9．计算下列定积分：
(1)(4－2x)(4－x2)dx；
(2)dx.
解：(1)(4－2x)(4－x2)
dx＝(16－8x－4x2＋2x3)dx＝＝.
(2)dx＝dx＝
＝－3ln
2.
10．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．
解：因为f(－1)＝2，所以a－b＋c＝2.①
又因为f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＝0.②
而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx，
取F(x)＝ax3＋bx2＋cx，
则F′(x)＝ax2＋bx＋c.
所以f(x)dx＝F(1)－F(0)＝a＋b＋c＝－2.③
由①②③得a＝6，b＝0，c＝－4.
B级 能力提升
1．设f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：因为f(x)dx＝＝a＋c，
所以ax＋c＝a＋c，所以x＝，
因为0≤x0≤1，所以x0＝.
答案：B
2．由曲线y＝sin
x与直线x＝－，x＝，y＝0所围成图形的面积为________．
解析：如图所示，在区间和上，定积分的值为负，所以①③部分面积应为定积分值的相反数，所求的是①②③部分面积的和，在x轴上方的②积分值取正号，在x轴下方的①③积分值取负号，而面积为正值．
所以，所求面积为S＝|sin
x|dx＝－sin
xdx＋
sin
xdx－πsin
xdx＝1＋2＋＝4－.
答案：4－
3.如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的值．
解：抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积
S＝(x－x2)dx＝＝－＝.
抛物线y＝x－x2与直线y＝kx两交点的横坐标为x′1＝0，x′2＝1－k，
所以＝(x－x2－kx)dx＝＝
(1－k)3，
又知S＝，所以(1－k)3＝.
于是k＝1－＝1－.www.
第三章
数系的扩充与复数的引入
3.2
复数代数形式的四则运算
3.2.1
复数代数形式的加、减运算及其几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．若z－3＋5i＝8－2i，则z等于( )
A．8－7i
B．5－3i
C．11－7i
D．8＋7i
解析：z＝8－2i－(－3＋5i)＝11－7i.
答案：C
2．设m∈R，复数z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若z为纯虚数，则m等于( )
A.
B．3
C．－1
D．－1或3
解析：z＝(2m2＋m－1)＋(3＋2m－m2)i，依题意，2m2＋m－1＝0，且3＋2m－m2≠0，解得m＝.
答案：A
3．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，则表示的复数为( )
A．2＋8i
B．4－4i
C．－6－6i
D．－4＋4i
解析：＝－＝－(＋)＝(3，2)－(1，5)－(－2，1)＝(4，－4)．
答案：B
4．|(3－5i)＋(2i＋i2)|＝( )
A．3
B.
C．2
D.
解析：|(3－5i)＋(2i＋i2)|＝|(3－5i)＋(－1＋2i)|＝
|(3－1)＋(－5＋2)i|＝|2－3i|＝＝.
答案：D
5．A，B分别是复数z1，
z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形．
答案：B
二、填空题
6．在复平面内，若、对应的复数分别为7＋i、3－2i，则||＝________．
解析：||＝|－|＝|－4－3i|＝＝5.
答案：5
7．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝____________．
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋2i＝a＋(b＋2)i，
因为z＋2i是实数，所以b＝－2，又|z|＝4，
所以a2＋b2＝16，所以a＝±2.所以z＝±2－2i.
答案：±2－2i
8．在复平面内，复数z1、z2、z的对应点分别为Z1、Z2、Z，已知＝＋，z1＝1＋ai，z2＝b－2i，z＝3＋4i(a，b∈R)，则a＋b＝________．
解析：由条件知z＝z1＋z2，所以(1＋ai)＋(b－2i)＝
3＋4i，即(1＋b)＋(a－2)i＝3＋4i，
由复数相等的条件知，1＋b＝3且a－2＝4，
解得a＝6，b＝2，a＋b＝8.
答案：8
三、解答题
9．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋，对应的复数及A，B两点间的距离．
解：向量＋对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.
因为＝－，所以向量对应的复数为
(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i，所以A，B两点间的距离为|－8－2i|＝＝2.
10．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．
解：z1＋z2＝＋i＝
＋(m2－2m－15)i，
因为z1＋z2是虚数，所以m2－2m－15≠0且m≠－2，
所以m≠5且m≠－3且m≠－2，
所以m的取值范围是(－∞，3)∪(－3，－2)∪(－2，5)∪(5，＋∞)．
B级 能力提升
1．复数z1＝1＋icos
θ，z2＝sin
θ－i，则|z1－z2|的最大值为( )
A．3－2
B.－1
C．3＋2
D.＋1
解析：|z1－z2|＝|(1＋icos
θ)－(sin
θ－i)|＝
＝＝
≤
＝＋1.
答案：D
2．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝____________．
解析：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则a＝－3且b＝－4，解得a＝，b＝－4，所以z＝－4i.
答案：－4i
3．已知关于t的方程t2＋2t＋2xy＋(t＋x－y)i＝0(x，y∈R)，求使该方程有实根的点(x，y)的轨迹方程．
解：设原方程的一个实根为t＝t0，则有
(t＋2t0＋2xy)＋(t0＋x－y)i＝0.
根据复数相等的充要条件有eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＋2t0＋2xy＝0，,t0＋x－y＝0，))
消去t0，得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，
即(x－1)2＋
(y＋1)2＝2.
故所求点的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.www.
第二章
推理与证明
2.1
合情推理与演绎推理
2.1.1
合情推理
A级 基础巩固
一、选择题
1．数列2，5，11，20，x，47，…中的x的值为( )
A．27
B．28
C．32
D．33
解析：观察知，5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，
所以x－20＝12，得x＝32.
答案：C
2．用火柴棒摆
“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为( )
A．6n－2
B．8n－2
C．6n＋2
D．8n＋2
解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.故选C.
答案：C
3．设n是自然数，则(n2－1)的值( )
A．一定是零
B．不一定是偶数
C．一定是偶数
D．是整数但不一定是偶数
解析：当n为偶数时，(n2－1)＝0为偶数；当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，(n2－1)＝(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．所以(n2－1)的值一定为偶数．
答案：C
4．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x轴，y轴上的截距分别为a和b的直线，拓展到空间，在x轴，y轴，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为( )
A.＋＋＝1
B.＋＋＝1
C.＋＋＝1
D．ax＋by＋cz＝1
解析：从方程＋＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是＋＋＝1.
答案：A
5．已知对正数a和b，有下列命题：
①若a＋b＝1，则≤；
②若a＋b＝3，则≤；
③若a＋b＝6，则≤3.
根据以上三个命题提供的规律猜想：若a＋b＝9，则≤( )
A．
2
B.
C．4
D．5
解析：从已知的三个不等式的右边可以看出，其表现形式为，，，所以若a＋b＝9，则≤.
答案：B
二、填空题
6．已知a1＝1，an＋1＞an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，计算a2，a3，猜想an＝________．
解析：计算得a2＝4，a3＝9，所以猜想an＝n2.
答案：
n2
7．通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R2.”猜想关于球的相应命题为
_____________________________________________________．
解析：“圆中正方形的面积”类比为“球中正方体的体积”，可得结论．
答案：半径为R的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为R3.
8．(2015·陕西卷)观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱锥
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是______________．
解析：三棱锥：F＝5，V＝6，E＝9，得F＋V－E＝2；
五棱锥：F＝6，V＝6，E＝10，得；F＋V－E＝2；
立方体：F＝6，V＝8，E＝12，得F＋V－E＝2.
所以归纳猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式F＋V－E＝2.
答案：F＋V－E＝2
三、解答题
9．两条直线最多有一个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，5条直线最多有10个交点，……，试归纳出n条直线最多有多少个交点．
解：设直线条数为n，最多交点个数为f(n)，则
f(2)＝1，
f(3)＝3＝1＋2，
f(4)＝6＝1＋2＋3，
f(5)＝10＝1＋2＋3＋4，
f(6)＝15＝1＋2＋3＋4＝5，
…
由此可以归纳出，n条直线交点个数最多为
f(n)＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＝.
10．设f(x)＝，先分别求出f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．
解：当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝.
下面证明：f(x1)＋f(x2)＝＋＝
＋＝＋＝
＋＝＝.
B级 能力提升
1．图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含的单位正方形的个数是( )
图① 图②
图③ 图④
A．n2－2n＋1
B．2n2－2n＋1
C．2n2＋2
D．2n2－n＋1
解析：观察题中给出的四个图形，图①共有12个正方形，图②共有12＋22个正方形；图③共有22＋32个正方形；图④共有32＋42个正方形；则第n个图中共有(n－1)2＋n2，即2n2－2n＋1个正方形．
答案：B
2．观察：(1)tan
100tan
200＋tan
200tan
600＋tan
600tan
100＝1；
(2)tan
50tan
100＋tan
100tan
750＋tan
750tan
50＝1.
由以上两式成立，推广得到的一般结论是___________________
______________________________________________________.
解析：由已知两个式子可知，三个角之和为90°，且这三个角都不是90°，由此可得一般结论．
答案：若α、β、γ都不是90°，且α＋β＋γ＝90°，则
tan
αtan
β＋tan
β
tan
γ＋tan
αtan
γ＝1.
3．通过计算可得下列等式：
23－13＝3×12＋3×1＋1；
33－23＝3×22＋3×2＋1；
43－33＝3×32＋3×3＋1；
……
(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.
将以上各等式两边分别相加，得
(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，
即12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n3的值．
解：因为24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，
34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，
44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，
…
(n＋1)
4－n4＝4×n3＋6×n2＋4×n＋1.
将以上各式两边分别相加，得
(n＋1)4－14＝4×(13＋23＋…n3)＋6×(12＋22＋…＋n2)＋4×(1＋2＋…＋n)＋n.
所以13＋23＋33＋…＋n3＝＝n2(n＋1)2.www.
第三章
数系的扩充与复数的引入
3.1
数系的扩充和复数的概念
3.1.1
数系的扩充和复数的相关概念
A级 基础巩固
一、选择题
1．给出下列说法，其中正确说法的个数是( )
①如果两个复数的差等于0，那么这两个复数相等
②若a，b∈R且a＞b，则ai＞bi
③如果复数x＋yi是实数，则x＝0，y＝0
④复数a＋bi不是实数
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：只有①的说法正确，其余都是错的．
答案：A
2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部是互为相反数，则b的值为( )
A．－2
B．2
C．－
D.
解析：复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2.
答案：B
3．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A.
B．2
C．0
D．1
解析：由复数相等的充要条件知
所以x＝1，x＋y＝0，故2x＋y＝1.
答案：D
4．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是
( )
A．2－2i
B．2＋i
C．－＋i
D.＋i
解析：2i－的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i的实部为－2，所以新复数为2－2i.
答案：A
5．已知集合M＝{1，2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1，3}，且M∩N＝{3}，则实数m的值为
( )
A．4
B．－1
C．－1或4
D．－1或6
解析：由于M∩N＝{3}，故3∈M，必有m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，可得m＝－1.
答案：B
二、填空题
6．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．
解析：z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，
所以m2－m＝0，所以m＝0或m＝1.
答案：0或1
7．若复数(a2－a＋2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是________．
解析：若复数为纯虚数，则有a2－a－2＝0且|a－1|－1≠0，得a＝－1.因为复数不是纯虚数，所以a≠－1.
答案：{a|a≠－1}
8．复数z＝cos＋sini，且θ∈，若z是实数，则θ的值为________；若z为纯虚数，则θ的值为________．
解析：z＝cos＋sini＝－sin
θ＋icos
θ.
当z是实数时，cos
θ＝0.因为θ∈，
所以θ＝±；当z为纯虚数时
又θ∈，所以θ＝0.
答案：± 0
三、解答题
9．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解：因为M∪P＝P，所以M P，
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1解得m＝1；
由
(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
10．已知复数z＝＋(a2－5a－6)
i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别是：
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
解：(1)由题意得即
即故当a＝6时，z为实数．
(2)依题意有所以且a≠6，
所以a≠±1且a≠6，故当a∈R且a≠±1，a≠6时，z为虚数．
(3)依题意有所以
所以不存在实数a使z为纯虚数．
B级 能力提升
1．若复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i是纯虚数，则点(x，y)的轨迹是( )
A．以原点为圆心，以2为半径的圆
B．两个点，其坐标为(2，2)，(－2，－2)
C．以原点为圆心，以2为半径的圆和过原点的一条直线
D．以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(，)，(－，－)
解析：因为复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i是纯虚数，所以x2＋y2－4＝0，且x≠y，可解得x2＋y2＝4(x≠y)，故点(x，y)的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(，)，(－，－)．
答案：D
2．若复数z＝cos
θ＋(m－sin
θ－cos
θ)i为虚数，则实数m的取值范围是____________________．
解析：依题意有m≠sin
θ＋cos
θ.因为sin
θ＋cos
θ＝
＝sin∈，所以m∈(－∞，－)∪(，＋∞)．
答案：(－∞，－)∪(，＋∞)
3．如果log(m＋n)－(m2－3m)i＞－1，求自然数m，n的值．
解：因为log(m＋n)－(m2－3m)i＞－1，
所以log
(m＋n)－(m2－3m)i是实数．
从而有
由m2－3m＝0得m＝0或m＝3.
当m＝0时代入log(m＋n)＞－1，得0＜n＜2，
又m＋n＞0，所以n＝1；
当m＝3时，代入log(m＋n)＞－1，
得n＜－1，与n是自然数矛盾．
综上可得，m＝0，n＝1.www.
第一章
导数及其应用
1.7
定积分的简单应用
1.7.2
定积分在物理中的应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1处运动到x＝3处(单位：m)，则力F所做的功是( )
A．8
J
B．10
J
C．12
J
D．14
J
解析：W＝(4x－1)dx＝(2x2－x)＝14(J)．
答案：D
2．以初速40
m/s竖直向上抛一物体，t
s时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )
A.
m
B.
m
C.
m
D.
m
解析：由v＝40－10t2＝0得t2＝4，t＝2.
所以h＝(40－10t2)dt＝＝80－＝(m)．
答案：A
3．一物体沿直线以v＝
m/s的速度运动，该物体运动开始后10
s内所经过的路程是( )
A.(11－1)(m)
B.(10－1)(m)
C.(11－1)(m)
D.(10－1)(m)
解析：s＝dt＝(1＋t)＝(11－1)(m)．
答案：C
4．质点做直线运动，其速度v(t)＝t2－2t＋1(单位：m/s)，则它在第2秒内所走的路程为( )
A.(m)
B.(m)
C.(m)
D.(m)
解析：由于v(t)＝t2－2t＋1≥0，因此它在第2秒内所走的路程为s＝v(t)dt＝(t2－2t＋1)dt＝＝(m)．
答案：B
5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln
5
B．8＋25ln
C．4＋25ln
5
D．4＋50ln
2
解析：令7－3t＋＝0，解得t＝－(舍去)或t＝4.
则dt＝＝
4＋25ln
5.
答案：C
二、填空题
6．将一弹簧压缩2厘米，需要8牛顿的力，将它从自然长度压缩10厘米，做的功为________．
解析：设力F(x)＝kx，由题意：8＝k·0.02，所以k＝400，所以F(x)＝400
x.
所以W＝400xdx＝200x2|＝2(J)．
答案：2J
7．已知质点的速度v＝10t，则从t＝t1到t＝t2质点的平均速度为________．
解析：由s＝10tdt＝5t2＝5(t－t)，得平均速度为＝＝5(t2＋t1)．
答案：5(t2＋t1)
8．有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．则点P从原点出发，当t＝6时，点P离开原点的路程和位移分别是________，________．
解析：由v(t)＝8t－2t2≥0，得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t＞4时，P点向x轴负方向运动．故t＝6时，点P离开原点的路程为s＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt＝－＝.当t＝6时，点P的位移为s＝(8t－2t2)dt＝＝0.
答案： 0
三、解答题
9．在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．
解：力F对物体所做的功为W＝F·s，
由物理学知识易得压强p与体积V的乘积是常数k，即PV＝k，又因为V＝x·s(x指活塞与底的距离)，
所以p＝＝.
所以作用在活塞上的力F＝p·S＝·s＝.
所以气体压力所做的功为W＝dx＝kln
x|＝kln
.
10．一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，求该物体在t＝
s到t＝6
s之间的运动路程．
解：由题意，得v(t)＝
所以该物体在t＝s到t＝6
s之间的运动路程为
s＝v(t)dt＝2tdt＋2dt＋dt＝
t2＋2t|＋＝(m)．
B级 能力提升
1．若力F和物体移动方向相同，而且与物体位置x有如下关系：F(x)＝那么力F使物体从x＝－1点运动到x＝1点所做的功为( )
A．2
J
B.
J
C.
J
D．3
J
解析：F(x)dx＝|x|dx＋(x2＋1)dx＝
(－x)dx＋(x2＋1)dx－x2|＋＝.
答案：C
2．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向做直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为( )
A.
J
B.
J
C.
J
D．2
J
解析：W＝F(x)cos
30°dx＝(5－x2)dx＝
＝＝(J)．
答案：C
3．物体A以速度v＝3t2＋1在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A是正前方5
m以v＝10
t的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A所走过的路程是多少(时间单位：s速度单位：m/s)
解：设A追上B时，所用的时间为t0，
依题意有sA＝sB＋5，
即
(3t2＋1)dt＝10tdt＋5，
所以t＋t0＝5t＋5，即t0(t＋1)＝5(t＋1)，
得t0＝5，所以sA＝53＋5＝130.
所以，两物体5
s时相遇，相遇时物体A所走过的路程是130
m.www.
评估验收卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上“三段论”推理( )
A．正确
B．推理形式不正确
C．两个“自然数”概念不一致
D．“两个整数”概念不一致
解析：三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．
答案：A
2．用反证法证明命题“已知x，y∈N
，如果xy可被7整除，那么x，y至少有一个能被7整除”时，假设的内容是( )
A．x，y都不能被7整除
B．x，y都能被7整除
C．x，y只有一个能被7整除
D．只有x不能被7整除
解析：用反证法证明命题时，先假设命题的否定成立，再进行推证．“x，y至少有一个能被7整除”的否定是“x，y都不能被7整除”．
答案：A
3．下列代数式(其中k∈N
)能被9整除的是( )
A．6＋6×7k
B．2＋7k－1
C．2(2＋7k＋1)
D．3(2＋7k)
解析：用特值法：当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．
答案：D
4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N
)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是( )
A．1
B．1＋2
C．1＋2＋3
D．1＋2＋3＋4
解析：当n＝1时，右边＝＝10，
所以左边＝1＋2＋3＋4＝10.
答案：D
5．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29
B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2a3…a9＝2×9
D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知选项D正确．
答案：D
6．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )
A．大于0
B．小于0
C．不小于0
D．不大于0
解析：因为a＋b＋c＝0，
所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，
所以ab＋bc＋ca＝－≤0.
答案：D
7．已知f(x)＝sin
x＋cos
x，定义f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝′，…，fn＋1(x)＝′(n∈N
)，经计算，f1(x)＝cos
x－sin
x，f2(x)＝－sin
x－cos
x，f3(x)＝－cos
x＋sin
x，…，照此规律，则f100(x)＝( )
A．－cos
x＋sin
x
B．cos
x－sin
x
C．sin
x＋cos
x
D．－sin
x－cos
x
解析：根据题意，f4(x)＝′＝sin
x＋cos
x，
f5(x)＝′＝cos
x－sin
x，f6(x)＝′＝
－sin
x－cos
x，…，
观察知fn(x)的值呈周期性变化，周期为4，
所以f100(x)＝f96＋4(x)＝f4(x)＝sin
x＋cos
x.
答案：C
8．下列各图中线段的条数用an表示，如a1＝1，a2＝5，若如此作下去，则第8个图中的线段条数a8＝( )
A．508
B．509
C．511
D．512
解析：由题图知，a1＝1，a2＝1＋22，a3＝1＋22＋23，a4＝1＋22＋23＋24，…，所以a8＝1＋22＋23＋…＋28＝(2＋22＋23＋…＋28)－1＝－1＝509.
答案：B
9．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28
B．76
C．123
D．199
解析：记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N
，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
答案：C
10.如图所示，半径为1的圆O内有n个半径相等的圆依次相切且都与圆O相切，若n＝10，则这些等圆的半径为( )
A.
B.
C.
D.
解析：如图所示，设相邻两圆的圆心分别为O1，O2，圆半径为r，连接OO1，OO2，O1O2，作OA⊥OO2于点A，则A为OO2的中点，因为这样的圆有10个，
所以∠O1OO2＝＝，所以∠O1OA＝，
在Rt△O1OA中，sin∠O1OA＝＝，
即sin
＝，解得r＝.
答案：B
11．请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a＋a＝1，求证：a1＋a2≤.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，即4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.
根据上述证明方法，若n个正实数a1，a2，…，an满足a＋a＋…＋a＝n时，你能得到的结论是( )
A．a1＋a2＋…＋an≤2n
B．a1＋a2＋…＋an≤n2
C．a1＋a2＋…＋an≤n
D．a1＋a2＋…＋an≤
解析：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋n，
因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，
所以Δ≤0，即4(a1＋a2＋…＋an)2－4n2≤0，
所以a1＋a2＋…＋an≤n.
答案：C
12.如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，Pi(i＝1，2，3，…)分别是所在线段的中点，则线段P7P8的长为( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为正方形ABCD的边长为1，
又P1，P2，P3分别是BC，CD，DA的中点，
所以P1P2⊥P2P3，且P1P2＝P2P3＝，
所以P2P5＝，连接P3P5，
则P3P5＝eq
\r(P3P＋P2P)＝＝，
连接P7P8，因为P7，P8分别是P3P4，P4P5的中点，
所以P7P8∥P3P5，且P7P8＝P3P5＝.
答案：A
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”补充以上推理的大前提是____________________．
解析：大前提是“菱形的对角线互相垂直且平分”．
答案：菱形的对角线互相垂直且平分
14．我们知道，圆的面积的导数为圆的周长，即：若圆的半径为r，则圆的面积S(r)＝πr2，S′(r)＝2πr为圆的周长．通过类比，有以下结论：
①正方形面积的导数为正方形的周长；
②正方体体积的导数为正方体的表面积；
③球体的体积的导数为球体的表面积．
其中正确的是________(填序号)．
解析：设正方形的边长为a，
则正方形的面积为S(a)＝a2，
而S′(a)＝2a≠正方形的周长；
设正方体的棱长为a，
则正方体的体积为V(a)＝a3，
而V′(a)＝3a2≠正方体的表面积；
设球体的半径为r，则V(r)＝πr3，
而V′(r)＝4πr2＝球体的表面积．
所以只有③正确．
答案：③
15．数列{an}的前六项是－2，1，6，13，22，33，则a20＝________.
解析：由数列的前五项知，数列的通项公式为an＝n2－3，所以a20＝202－3＝397.
答案：397
16．非零自然数有一个有趣的现象：①1＋2＝3；②4＋5＋6＝7＋8；③9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；….按照这样的规律，则108在第________个等式中．
解析：每个式子中的数依次列出成等差数列，
第一个式子中有3个数，
第二个式子中有5个数，
…，
第n个式子中有2n＋1个数，
则第一个式子到第n个式子共有＝n(n＋2)个数．
当n＝9时，第一个式子到第9个式子共有9×11＝99个数，
当n＝10时，第一个式子到第10个式子共有10×12＝120个数，
而108是第108个数，所以108在第10个等式中．
答案：10
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．
(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；
(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．
解：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．
结论是正确的，证明如下：
设α∥β，且γ∩α＝a，则必有γ∩β＝b，
若γ与β不相交，则必有γ∥β.
又α∥β，所以α∥γ，与γ∩α＝α矛盾，
所以必有γ∩β＝b.
(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，
则这两个平面互相平行，结论是错误的，
这两个平面也可能相交．
18．(本小题满分12分)已知A＋B＝，且A，B≠kπ＋(k∈Z)．求证：(1＋tan
A)(1＋tan
B)＝4.
证明：由A＋B＝得tan
(A＋B)＝tan
，
即＝，
所以tan
A＋tan
B＝－tan
Atan
B.
所以(1＋tan
A)(1＋tan
B)＝1＋(tan
A＋tan
B)＋
3tan
Atan
B＝1＋(－tan
Atan
A)＋3tan
Atan
B＝4.
故原等式成立．
19．(本小题满分12分)已知△ABC的三边长都是有理数，求证：
(1)cos
A是有理数；
(2)对任意正整数n，cos
nA和sin
A·sin
nA是有理数．
证明：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知
cos
A＝是有理数．
(2)用数学归纳法证明cos
nA和sin
A·sin
nA都是有理数．
①当n＝1时，由(1)知cos
nA是有理数，
从而有sin
A·sin
nA＝1－cos2
A也是有理数．
②假设当n＝k(k≥1)时，
cos
kA和sin
A·sin
kA都是有理数．
当n＝k＋1时，
由cos(k＋1)A＝cos
A·cos
kA－sin
A·sin
kA，
sin
A·sin(k＋1)A
＝sin
A·(sin
A·cos
kA＋cos
A·sin
kA)
＝(sin
A·sin
A)·cos
kA＋(sin
A·sin
kA)·cos
A，
由①和归纳假设，知cos
(k＋1)A和sin
A·sin(k＋1)A都是有理数．
即当n＝k＋1时，结论成立．
综合①、②可知，对任意正整数n，cos
nA和sin
A·sin
nA都是有理数．
20．(本小题满分12分)已知a，b，c都是不为零的实数，求证：a2＋b2＋c2＞(ab＋bc＋ca)．
证明：要证a2＋b2＋c2＞(ab＋bc＋ca)
，
只需证5(a2＋b2＋c2)＞4(ab＋bc＋ca)，
只需证5a2＋5b2＋5c2－(4ab＋4bc＋4ca)＞0，
只需证(a2－4ab＋4b2)＋(b2－4bc＋4c2)＋(c2－4ca＋4a2)＞0，只需证(a－2b)2＋(b－2c)2＋(c－2a)2＞0.
因为(a－2b)2≥0，
(b－2c)2≥0，(c－2a)2≥0
，
且这三个不等式中等号不可能同时成立(若同时成立等号，则必有a＝b＝c＝0)，
所以(a－2b)2＋(b－2c)2＋(c－2a)2＞0，
所以原不等式成立．
21．(本小题满分12分)(2015·陕西卷)如图①所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1 BCDE.
图① 图②
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1 BCDE的体积为36，求a的值．
(1)证明：在图①中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC，
即在图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
从而BE⊥平面A1OC.
又CD∥BE，
所以CD⊥平面A1OC.
(2)解：由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，
又由(1)知，A1O⊥BE，
所以A1O⊥平面BCDE，
即A1O是四棱锥A1 BCDE的高．
由图①知，A1O＝AB＝a，
平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2.
从而四棱锥A1 BCDE的体积
V＝×S·A1O＝a2·a＝a3.
由a3＝36，得a＝6.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，如果数列{an}满足a1＝2，an＋1＝f(an)，求证：当n≥2时，恒有an＜2成立．
证明：法一(直接证明) 由an＋1＝f(an)得an＋1＝eq
\f(a,2an－1)，
所以＝－eq
\f(1,a)＋＝－＋1≤1，
所以an＋1＜0或an＋1≥1；
(1)若an＋1＜0，则an＋1＜0＜2，
所以结论“当n≥2时，恒有an＜2”成立；
(2)若an＋1≥2，则当n≥2时，
有an＋1－an＝eq
\f(a,2an－1)－an＝≤0，
所以an＋1≤an，即数列{an}在n≥2时单调递减；
由a2＝eq
\f(a,2a1－1)＝＝＜2，
可知an≤a2＜2，在n≥2时成立．
综上，由(1)、(2)知：当n≥2时，恒有an＜2成立．
法二(反证法) 假设an≥2(n≥2)，
则由已知得an＋1＝f(an)＝eq
\f(a,2an－1)，
所以当n≥2时，＝＝，
因为an≥2，所以0＜≤，
所以≤×＝.
又易知an＞0，
所以当n≥0时，an＋1＜an，
所以当n≥2时，有an＜an－1＜…＜a2，
而当n＝2时，a2＝eq
\f(a,2a1－1)＝＝＜2，
所以当n≥2时，an＜2；
这与假设矛盾，故假设不成立，
所以当n≥2时，恒有an＜2成立．www.
模块综合评价(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．(2015·课标全国Ⅰ卷)设复数z满足＝i，则|z|＝( )
A．1
B.
C.
D．2
解析：
由＝i得z＝＝＝i，
所以|z|＝1.
答案：A
2．若z＝cos
θ－isin
θ，则使z2＝－1的θ值可能是( )
A．0
B.
C．π
D．2π
解析：z2＝(cos
θ－isin
θ)2＝cos
2θ－isin
2θ，又z2＝－1，所以cos
2θ＝－1，sin
2θ＝0，检验知θ＝.
答案：B
3．设f(x)＝10x＋lg
x，则f′(1)等于( )
A．10
B．10ln
10＋lg
e
C.＋ln
10
D．11ln
10
解析：f′(x)＝10xln
10＋，所以f′(1)＝10ln
10＋＝10ln
10＋lg
e.
答案：B
4．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N
，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是( )
A．2k－1
B．2k－1
C．2k
D．2k＋1
解析：左边的特点是分母逐渐增加1，末项为；由n＝k时，末项为到n＝k＋1时末项为＝，所以应增加的项数为2k.
答案：C
5．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )
A．a，b都能被3整除
B．a，b都不能被3整除
C．a，b不都能被3整除
D．a不能被3整除
解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”．
答案：B
6．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )
A．2
B．3
C．6
D．9
解析：因为f′(x)＝12x2－2ax－2b，又因为在x＝1处有极值，所以a＋b＝6，因为a＞0，b＞0，所以ab≤＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，所以ab的最大值等于9.
答案：D
7．观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，按此规律，则第100项为( )
A．10
B．14
C．13
D．100
解析：设n∈N
，则数字n共有n个，所以≤100，即n(n＋1)≤200，又因为n∈N
，所以n＝13，到第13个13时共有＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.
答案：B
8．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－)∪(，＋∞)
B．(－，)
C．(－∞，－)∪[，＋∞)
D．
解析：f′(x)＝－3x2＋2ax－1，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f′(x)的图象是开口向下的抛物线，所以f′(x)≤0恒成立，
所以Δ＝4a2－12≤0，所以－≤a≤.
答案：D
9．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝( )
A．－1
B．－
C.
D．1
解析：设f(x)dx＝m，则f(x)＝x2＋2m，
m＝f(x)dx＝(x2＋2m)dx＝＝＋2m，解得m＝－.
答案：B
10．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x－b)2＋c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是( )
解析：由导函数图象可知，当x＜0时，函数f(x)递减，排除A，B；当0＜x＜x1时，f′(x)＞0，函数f(x)递增．因此，当x＝0时，f(x)取得极小值，所以选项D正确．
答案：D
11.已知函数f(x)满足f(0)＝0，导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积为( )
A.
B.
C．2
D.
解析：由f′(x)的图象知，f′(x)＝2x＋2，
设f(x)＝x2＋2x＋c，由f(0)＝0知，c＝0，
所以f(x)＝x2＋2x，由x2＋2x＝0得x＝0或x＝－2.
故所求面积
S＝－(x2＋2x)dx＝－＝.
答案：B
12．若关于x的方程x3－3x＋m＝0在上有根，则实数m的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：令f(x)＝x3－3x＋m，
则f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，显然当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当－1＜x＜1时，
f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以在x＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝m＋2，在x＝1时，f(x)取极小值f(1)＝m－2.因为f(x)＝0在上有解，
所以所以解得－2≤m≤2.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2015·江苏卷)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．
解析：|z2|＝|3＋4i|＝5，|z|2＝5，所以|z|＝.
答案：
14．在△ABC中，D为边BC的中点，则＝(＋)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_______________．
解析：将“△ABC”类比为“四面体A BCD”，将“D为边BC的中点”类比为“△BCD的重心”，于是有类比结论：在四面体A BCD中，G为△BCD的重心，则＝(＋＋)．
答案：在四面体A BCD中，G为△BCD的重心，则＝(＋＋)
15．设x∈R，若x＋x－1＝4.则可猜测x2n＋x－2n(n∈N
)的个位数字是________．
解析：n＝1时，x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝14；
n＝2时，x4＋x－4＝(x2＋x－2)2－2＝142－2＝194；
n＝3时，x8＋x－8＝(x4＋x－4)2－2＝1942－2，
因为1942的个位数字是6，
所以1942－2的个位数字是4.
猜想可得x2n＋x－2n(n∈N
)的个位数字是4.
答案：4
16．已知f(x)＝x3＋3x2＋a(a为常数)，在
上有最小值3，那么在上f(x)的最大值是________．
解析：f′(x)＝3x2＋6x＝3x(x＋2)，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(－2，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以极大值为f(－2)＝a＋4，极小值为f(0)＝a，又f(－3)＝a，f(3)＝54＋a，由条件知a＝3，所以最大值为f(3)＝54＋3＝57.
答案：57
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a∈R，问复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应点的轨迹是什么？
解：由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3.
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1.
知z的实部为正数，虚部为负数，
所以复数z的对应点在第四象限．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
因为a2－2a＝(a－1)2－1≥－1，
所以x＝a2－2a＋4≥3，
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)，
所以复数z对应点的轨迹是一条射线，
其方程为y＝－x＋2(x≥3)．
18．(本小题满分12分)设a，b，c为一个三角形的三边，S＝(a＋b＋c)，且S2＝2ab，求证：S＜2a.
证明：因为S2＝2ab，
所以要证S＜2a，
只需证S＜，即b＜S.
因为S＝(a＋b＋c)，
只需证2b＜a＋b＋c，
即证b＜a＋c.
因为a，b，c为三角形三边，
所以b＜a＋c成立，所以S＜2a成立．
19．(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数z1，z2
，且z1＝－(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R，若z1＋z2可以与任意实数比较大小，求·的值．
解：依题意得z1＋z2为实数，
因为z1＋z2＝＋＋i，
所以解得a＝3.
此时z1＝－i，z2＝－1＋i，
即＝，＝(－1，1)．
所以·＝×(－1)＋(－1)×1＝－.
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0，1)
1
(1，2)
g′t
＋
0
－
g(t)
单调递增
极大值1－m
单调递减
∴g(t)在(0，2)内有最大值g(1)＝1－m.
h(t)＜－2t＋m在(0，2)内恒成立等价于g(t)＜0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m＜0，
∴m的取值范围为(1，＋∞)．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2(a＋1)x＋2aln
x(a＞0)．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)若f(x)≤0在区间上恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)因为a＝1，所以f(x)＝x2－4x＋2ln
x，
所以f′(x)＝(x＞0)，f(1)＝－3，f′(1)＝0，
所以切线方程为y＝－3.
(2)f′(x)＝＝(x＞0)，
令f′(x)＝0得x1＝a，x2＝1，
当0＜a＜1时，在x∈(0，a)或x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，在x∈(a，1)时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间为(0，a)和(1，＋∞)，单调递减区间为(a，1)；
当a＝1时，f′(x)＝≥0，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a＞1时，在x∈(0，1)或x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，在x∈(1，a)时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调增区间为(0，1)和(a，＋∞)，单调递减区间为(1，a)．
(3)由(2)可知，f(x)在区间上只可能有极小值点，所以f(x)在区间上的最大值必在区间端点取到，
所以f(1)＝1－2(a＋1)≤0且f(e)＝e2－2(a＋1)e＋2a≤0，解得a≥，所以a的取值范围是.
22．(本小题满分12分)是否存在常数a，b，使等式＋＋…＋＝对一切n∈N
都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明．
解：假设存在常数a，b使等式成立，则将n＝1，n＝2代入上式，有
得a＝1，b＝4，
即有＋＋…＋＝对于一切n∈N
都成立．
证明如下：
(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，所以等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，且k∈N
)时等式成立，即
＋＋…＋＝，
当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＝
＋＝＝
·＝·＝
＝，
也就是说，当n＝k＋1时，等式成立，
综上所述，等式对任何n∈N
都成立．www.
章末复习课
1．注意区分曲线在点P处的切线与过点P的曲线的切线．
2．导数公式与导数的四则运算法则：
(1)要注意公式的适用范围．如(xn)′＝nxn－1中，n∈N＋，若n∈Q且n≠0，则应有x＞0；
(2)注意公式不要用混，如(ax)′＝axln
a，而不是(ax)′＝xax－1.还要特别注意(uv)′≠u′v′，()′≠.
3．利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题：
(1)注意定义域优先原则，必须在函数的定义域内解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)；
(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意函数的不连续点或不可导点；
(3)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．
4．若y＝f(x)在(a，b)内可导，f′(x)≥0或f′(x)≤0，且y＝f(x)在(a，b)内导数f′(x)＝0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数．
5．讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论．
6．极值与最值的区别和联系：
(1)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性；
(2)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值；
(3)可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点；
(4)极值是一个局部概念，极大值不一定比极小值大．
7．导数的实际应用：
(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；
(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．
8．应用定积分求平面图形的面积时，要特别注意面积值应为正值，故应区分积分值为正和为负的情形．
专题一 导数的几何意义及其应用
导数的几何意义是曲线的切线斜率，即曲线上某点处的导数值是曲线过该点的切线的斜率.
与曲线的切线有关的问题，主要有两类：一类是求过某点的切线方程，该点可能在曲线上，也可能在曲线外；若该点在曲线上，也可能是切点，也可能不是切点．另一类是已知切线方程或切线斜率，求参数的值．
已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；
(3)求斜率为4的曲线的切线方程．
解：(1)因为P(2，4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，
所以在点P(2，4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.
所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y－x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点Aeq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)x＋\f(4,3)))，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x，
所以切线方程为y－eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(4,3)))＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
因为点P(2，4)在切线上，所以4＝2x－x＋，
即x－3x＋4＝0，所以x＋x－4x＋4＝0，
所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，
故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
(3)设切点为(x1，y1)，则切线的斜率k＝x＝4，得x0＝±2.
所以切点为(2，4)，，
所以切线方程为y－4＝4(x－2)和y＋＝4(x＋2)，
即4x－y－4＝0和12x－3y＋20＝0.
归纳升华
(1)
解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．
(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．
(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．
已知函数f(x)＝x＋＋b(x≠0)，其中a，b∈R.若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，则函数f(x)的解析式为f(x)＝____________．
解析：f′(x)＝1－.由导数的几何意义得f′(2)＝3，即1－＝3，所以a＝－8.由切点P(2，f(2))在直线y＝3x＋1上，得f(2)＝3×2＋1＝7，则－2＋b＝7，解得b＝9，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x－＋9(x≠0)．
答案：x－＋9(x≠0)
专题二 导数在研究函数单调性中的应用
利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数 f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数 f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．
已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1，4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．
(1)求实数a，b的值；
(2)若函数f(x)在区间上单调递增，求m的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1，4)，所以a＋b＝4，①
f′(x)＝3ax2＋2bx，则f′(1)＝3a＋2b.
由条件f′(1)·＝－1，即3a＋2b＝9，②
由①②式解得a＝1，b＝3.
(2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x
令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≥0或x≤－2，
因为函数f(x)在区间上单调递增．
所以 (－∞，－2)∪(0，＋∞)，
解得m≥0或m＋1≤－2，
所以m≥0或m≤－3.
归纳升华
求可导函数单调区间的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它们在定义域内的一切实数根；
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；
(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．
设函数f(x)＝x2＋aln
(1＋x)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2.求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性．
解：由题意知，函数f(x)的定义域是{x|x＞－1}，
f′(x)＝，
且f′(x)＝0有两个不同的根x1，x2，
所以方程2x2＋2x＋a＝0的判别式Δ＝4－8a＞0，
即a＜，且x1＝，x2＝.
又因为x1＞－1，所以a＞0，所以a的取值范围是.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表所示：
x
(－1，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?↗
极大值
?↘
极小值
?↗
所以f(x)在区间(－1，x1)和(x2，＋∞)上单调递增，在区间(x1，x2)上单调递减．
专题三 导数在求函数极值与最值中的应用
利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．
已知函数f(x)＝ln
x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a＞0，则当x∈时，
f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当a＞0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为f＝ln
＋a＝－ln
a＋a－1.
因此f＞2a－2等价于ln
a＋a－1＜0.
令g(a)＝ln
a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增．
又g(1)＝0，
于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.
因此，a的取值范围是(0，1)．
归纳升华
(1)运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤：
①先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．
(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．
已知函数f(x)＝xln
x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2(a∈R)．
(1)如果函数g(x)的单调递减区间为，求函数g(x)的解析式；
(2)若不等式2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)g′(x)＝3x2＋2ax－1由题意3x2＋2ax－1＜0的解集是，
即3x2＋2ax－1＝0的两根是－和1.
将x＝1或－代入方程3x2＋2ax－1＝0得a＝－1.
所以g(x)＝x3－x2－x＋2.
(2)2f(x)≤g′(x)＋2对x∈(0，＋∞)恒成立，
即：2xln
x≤3x2＋2ax＋1对x∈(0，＋∞)恒成立，
可得a≥ln
x－x－对x∈(0，＋∞)恒成立，
设h(x)＝ln
x－－，则h′(x)＝－＋＝－，
令h′(x)＝0，得x＝－(舍)或x＝1，
当0＜x＜1时，h′(x)＞0；当x＞1时，h′(x)＜0，
所以当x＝1时，h(x)取得最大值，最大值为－2，
所以a≥－2.
所以实数a的取值范围是 (2015·福建卷)已知函数f(x)＝ln
x－.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)证明：当x＞1时，f(x)＜x－1.
(1)解：f′(x)＝－x＋1＝，x∈(0，＋∞)．
由f′(x)＞0得解得0＜x＜.
故f(x)的单调递增区间是.
(2)证明：令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞)．
则有F′(x)＝.
当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＜0，
所以F(x)在 当x∈时，证明：tan
x＞x.
证明：设f(x)＝tan
x－x，x∈.
则f′(x)＝′－1＝－1＝＝tan2
x＞0，
所以f(x)在上是增函数．
又f(x)＝tan
x－x在x＝0处可导，且f(0)＝0.
所以当x∈时，f(x)＞f(0)恒成立．
所以tan
x－x＞0，即tan
x＞x.
专题五 定积分及其应用
定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．
已知抛物线y＝x2－2x及直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为，求a的值．
解：作出y＝x2－2x的图象如图所示．
(1)当a＜0时，S＝(x2－2x)dx＝＝
－＋a2＝，所以(a＋1)(a－2)2＝0，
因为a＜0，所以a＝－1.
(2)当a＞0时，
①若0＜a≤2，则
S＝－(x2－2x)dx＝
－|＝a2－＝，
所以a3－3a2＋4＝0，
即(a＋1)(a－2)2＝0.
因为a＞0，所以a＝2.
②当a＞2时，不合题意．
综上a＝－1或a＝2.
归纳升华
(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．
(2)
利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．
(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．
(1)若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则f(x)dx＝
____；
(2)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a(a＞0)与抛物线y＝x2所围成的封闭图形的面积为，则a＝____．
解析：(1)因为f(x)＝x3＋x2f′(1)，
所以f′(x)＝3x2＋2xf′(x)，
所以f′(1)＝3＋2f′(1)，
所以f′(1)＝－3，
所以f(x)dx＝＝－4.
(2)由可得A(－，a)，B(，a)，
S＝
(a－x2)dx＝＝
2＝＝，
解得a＝2.
答案：(1)－4 (2)2
专题六 化归与转化思想在导数中的应用
化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．
设f(x)＝，其中a为正实数．
(1)当a＝时，求f(x)的极值点；
(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝ex·.①
当a＝时，
若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，
解得x1＝，x2＝.
综合①，可知：
x
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?↗
极大值
?↘
极小值
?↗
所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．
(2)若f(x)为R上的单调函数，
则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a＞0，
知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，
因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，
由此并结合a＞0，知0＜a≤1.
归纳升华
本题中，将f(x)为R上的单调函数转化为其导数f′(x)≥0在R恒成立，使问题得以解决．与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．
如果函数f(x)＝2x2－ln
x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
解析：显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，y′＝
4x－＝.
由y′＞0，得函数f(x)的单调递增区间为；
由y′＜0，得函数f(x)的单调递减区间为，
由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，
所以
解得1≤k＜.
答案：www.
评估验收卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．若f(x)＝sin
α－cos
x，则f′(x)等于( )
A．cos
α＋sin
x
B．2sin
α＋cos
x
C．sin
x
D．cos
x
解析：函数是关于x的函数，因此sin
α是一个常数．
答案：C
2．函数f(x)＝sin
x＋cos
x在点(0，f(0))处的切线方程为( )
A．x－y＋1＝0
B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋1＝0
解析：f′(x)＝cos
x－sin
x，f′(0)＝cos
0－sin
0＝1，又f(0)＝sin
0＋cos
0＝1，所以f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.
答案：A
3．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，则a＝( )
A.
B.
C．2
D．3
解析：由s＝at2＋1得v(t)＝s′＝2at，依题意v(2)＝12，所以2a·2＝12，得a＝3.
答案：D
4．函数f(x)＝x2－ln
2x的单调递减区间是( )
A.，
B.，
C.
D.
解析：因为f′(x)＝2x－＝，当0＜x≤时，
f′(x)≤0.
答案：C
5．函数f(x)＝3x－4x3(x∈)的最大值是( )
A．1
B.
C．0
D．－1
解析：f′(x)＝3－12x2，令f′(x)＝0，则x＝－(舍去)或x＝，因为f(0)＝0，f(1)＝－1，f＝－＝1，所以f(x)在上的最大值为1.
答案：A
6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，因为f′(－3)＝0.所以3×(－3)2＋2a·(－3)＋3＝0，所以a＝5.
答案：D
7．做直线运动的质点在任意位置处所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是( )
A．1＋e
B．e
C.
D．e－1
解析：W＝F(x)dx＝(1＋ex)dx＝(x＋ex)|＝(1＋e)－1＝e.
答案：B
8．设函数在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象可能是( )
解析：f(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f′(x)的图象在(－∞，0)上，f′(x)＞0，在(0，＋∞)上f′(x)的符号变化规律是负→正→负，故选项A正确．
答案：A
9．(2014·山东卷)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A．2
B．4
C．2
D．4
解析：直线y＝4x与曲线y＝x3交点坐标为(0，0)和(2，8)，依题意得S＝(4x－x3)dx＝＝4.
答案：D
10．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)＞，则满足2f(x)＜x＋1的x的集合为( )
A．{x|－1＜x＜1}
B．{x|x＜－1或x＞1}
C．{x|x＜1}
D．{x|x＞1}
解析：令g(x)＝2f(x)－x－1，因为f′(x)＞，所以g′(x)＝2f′(x)－1＞0，所以g(x)为单调增函数，因为f(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0，所以当x＜1时，g(x)＜0，即2f(x)＜x＋1.
答案：C
11．函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．
C．(0，1]
D．(－∞，0)∪上为单调减函数，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3ax2－3，
因为f(x)在上为单调减函数，
所以f′(x)≤0在上恒成立，
即3ax2－3≤0在上恒成立，
所以a≤，因为x∈，所以a≤1.
答案：(－∞，1]
三．解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝，求函数f(x)的单调区间．
解：f′(x)＝－ex＋ex＝ex，
由f′(x)＝0，得x＝1.
因为当x＜0时，f′(x)＜0；
当0＜x＜1时，f′(x)＜0；
当x＞1时，f′(x)＞0.
所以f(x)的单调递增区间是．
18．(本小题满分12分)曲线f(x)＝x3在点A处的切线的斜率为3，求该曲线在点A处的切线方程．
解：可由导数定义求得f′(x)＝3x2.
令3x2＝3，则x＝±1.
当x＝1时，切点为(1，1)，
所以该曲线在(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0；
当x＝－1时，切点坐标为(－1，－1)，
所以该曲线在(－1，－1)处的切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.
综上知，曲线f(x)＝x3在点A处的切线方程为3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋b的图象在点P(0，f(0))处的切线方程是3x－y－2＝0.
(1)求a、b的值；
(2)设t∈，函数g(x)＝f(x)＋(m－3)x在上(t，＋∞)为增函数，求m的取值范围．
解：
(1)f′(x)＝x2－2x＋a，
所以切线的斜率k＝f′(0)＝a，
又切线方程为3x－y－2＝0，故a＝3.
而点P(0，b)在切线上，则b＝－2.
(2)因为f(x)＝x3－x2＋3x－2，
所以f(x)＝x3－x2＋3x－2＋(m－3)x＝x3－x2＋mx－2，
所以g′(x)＝x2－2x＋m，
又g(x)是(t，＋∞)上的增函数，
所以g′(x)≥0在t∈上恒成立，
即t2－2t＋m≥0在t∈上恒成立，
又函数h(t)＝t2－2t＋m在t∈是减函数，
则h(x)min＝h(－1)＝m＋3≥0，所以m≥－3.
20．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．
(1)求a，b的值；
(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．
解：(1)由投资额为零时收益为零，
可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln
b＝0，
解得a＝2，b＝1.
(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln
(x＋1)．
设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，
则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，
设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋
6ln
(x＋1)＝6ln
(x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．
S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2.
当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；
当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．
所以，当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝
S(2)＝6ln
3＋6≈12.6万元．
所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．
21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．
解：(1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；
当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，
在(－1，0)上单调递减．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)，
令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.
若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.
若a＞1，则当x∈(0，ln
a)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，ln
a)时g(x＜0)，f(x)＜0.
综上，得a的取值范围为(－∞，1]．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－x，如果过点(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求m的取值范围．
解：f′(x)＝3x2－1，曲线y＝f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t)，
即y＝(3t2－1)x－2t3.
如果有一条切线过点(2，m)，则存在t，
使m＝－2t3＋6t2－2.
若过点(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则方程2t3－6t2＋m＋2＝0有三个相异的实数根．
记g(t)＝2t3－6t2＋m＋2，则g′(t)＝6t2－12t＝
6t(t－2)．令g′(t)＝0，得t＝0或t＝2.
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表所示：
t
(－∞，0)
0
(0，2)
2
(2，＋∞)
g′(t)
＋
0
－
0
＋
g(t)
增函数
极大值2＋m
减函数
极小值m－6
增函数
由g(t)的单调性，当极大值2＋m＜0或极小值m－6＞0时，方程g(t)＝0最多有一个实数根；
当2＋m＝0或m－6＝0时，方程g(t)＝0只有两个相异的实数根；
当时，方程g(t)＝0有三个相异的实数根，
解得－2＜m＜6.
即如果过(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，
则m∈(－2，6)．www.
第三章
数系的扩充与复数的引入
3.1
数系的扩充和复数的概念
3.1.2
复数的几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．复数z与它的模相等的充要条件是( )
A．z为纯虚数
B．z是实数
C．z是正实数
D．z是非负实数
解析：显然z是非负实数．
答案：D
2．当0＜m＜1时，z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点位于
( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：当0＜m＜1时，1＜m＋1＜2，－1＜m－1＜0，所以z对应的点在第四象限．
答案：D
3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.
若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
解析：两个复数对应的点分别为A(6，5)，B(－2，3)，则C(2，4)，故其对应的复数为2＋4i.
答案：C
4．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于( )
A．－1＋i
B．1＋i
C．－1＋i或1＋i
D．－2＋i
解析：因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a＜0，
由|z|＝2知，＝2，
解得a＝±1，故a＝－1，
所以z＝－1＋i.
答案：A
5．两个不相等的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，若z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则a，b，c，d之间的关系为( )
A．a＝－c，b＝d
B．a＝－c，b＝－d
C．a＝c，b＝－d
D．a≠0，b≠d
解析：z1＝a＋bi的对应点P1(a，b)，z2＝c＋di的对应点P2(c，d)，因为P1与P2关于y轴对称，
所以a＝－c，b＝d.
答案：A
二、填空题
6．若复数z1＝1－i，z2＝3－5i，则复平面上与z1，z2对应的点Z1与Z2的距离为________．
解析：
Z1与Z2的坐标分别为(1，－1)，(3，－5)，
所以|Z1Z2|＝＝2.
答案：2
7．复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则|z|＝________．
解析：因为z是纯虚数，
所以a2－1＝0，
且a＋1≠0，得a＝1，
所以z＝2i，|z|＝2.
答案：2
8．若复数3－5i，1－i和－2＋ai在复平面内所对应的点在一条直线上，则实数a＝________．
解析：三个复数对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)，
由(3，－5)，(1，－1)可得直线方程为y＝－2x＋1，
将(－2，a)代入上述方程，得a＝5.
答案：5
三、解答题
9．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
解：若复数z对应的点在第一象限，
则
解得m＜或m＞.
10．在复平面内画出复数z1＝－1，z2＝＋i，z3＝－i对应的向量，，，并求出各复数的模．
解：三个复数对应的向量，，如图所示．
|z1|＝|－1|＝1，
|z2|＝
＝1，
|z3|＝
＝1.
B级 能力提升
1．设(1＋i)sin
θ－(1＋icos
θ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tan
θ的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：(1＋i)sin
θ－(1＋icos
θ)＝(sin
θ－1)＋i(sin
θ－cos
θ)，该复数表示的点的坐标为(sin
θ－1，sin
θ－cos
θ)，
依题意，有sin
θ－1＋sin
θ－cos
θ＋1＝0，
即2sin
θ＝cos
θ，所以tan
θ＝.
答案：C
2．若复数(k－3)－(k2－4)i所对应的点在第三象限，则k的取值范围是__________________．
解析：依题意，有k－3＜0且k2－4＞0，解得k＜－2或2＜k＜3.
答案：(－∞，－2)∪(2，3)
3．已知z1＝x2＋i，z2＝(x2＋a)i对任意的x∈R均有|z1|＞|z2|成立．试求实数a取值范围．
解：因为|z1|＝，|z2|＝|x2＋a|，
且|z1|＞|z2|，
所以＞|x2＋a|，
所以(1－2a)x2＋(1－a2)＞0恒成立．
当1－2a＝0，即a＝时，
(1－2a)x2＋(1－a2)＝0＋＞0恒成立；
当1－2a≠0时，有
解得－1＜a＜.
综上知，实数a的取值范围.www.
第一章
导数及其应用
1.1
变化率与导数
1.1.3
导数的几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)与f′(5)分别为( )
A．3，3
B．3，－1
C．－1，3
D．－1，－1
解析：由题意得f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1.
答案：B
2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x－y＋1＝0，则( )
A．f′(x0)＜0
B．f′(x0)＞0
C．f′(x0)＝0
D．f′(x0)不存在
解析：由导数的几何意义可知曲线在(x0，f(x0))处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f′(x0)＝3.
答案：B
3．曲线y＝x2在点P(1，1)处的切线方程为( )
A．y＝2x
B．y＝2x－1
C．y＝2x＋1
D．y＝－2x
解析：因为＝＝2x＋Δx，所以
＝2x，所以y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
答案：B
4．曲线y＝x2－2x在点(2，－2)处切线的斜率为( )
A．1
B．－1
C．0
D．－2
解析：f′(2)＝
＝
＝
＝0.
答案：C
5．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为( )
A．(－2，－8)
B．(1，1)，(－1，－1)
C．(2，8)
D.
解析：k＝
＝＝3x2＝3，所以x＝±1，所以点P的坐标为(1，1)，(－1，－1)．
答案：B
二、填空题
6．设y＝f(x)为可导函数，且满足条件
＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是________．
解析：由
＝－2，得f′(1)＝－2，
即f′(1)＝－4.
答案：－4
7.如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则
＝______．
解析：由导数的概念和几何意义知，
＝f′(1)＝kAB＝＝－2.
答案：－2
8．曲线y＝x3在点(3，27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．
解析：因为f′(3)＝
＝27，
所以在点(3，27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，
即y＝27x－54.此切线与x轴、y轴的交点分别为(2，0)，(0，－54)．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝×2×54＝54.
答案：54
三、解答题
9．求过点P(－1，2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线平行的直线．
解：先求曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的斜率，
k＝y′|x＝1＝
＝
(3Δx＋2)＝2.设过点P(－1，2)且斜率为2的直线为l，则由点斜式得：y－2＝2(x＋1)，化为一般式：2x－y＋4＝0.所以，所求直线方程为2x－y＋4＝0.
10．求曲线y＝－上一点P(4，－)处的切线方程．
解：因为y′＝
＝
＝
＝－－
.
所以y′|x＝4＝－－＝－，
所以曲线在点P处的切线方程为：
y＋＝－(x－4)，即5x＋16y＋8＝0.
B级 能力提升
1．y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( )
A.
B.
C.
D．1
解析：因为＝＝＝a(Δx)＋2ax，所以
＝2ax，即y′＝2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，所以x0＝.因为切点在直线y＝x上，所以y0＝.代入y＝ax2＋1得＝＋1，所以a＝.
答案：B
2．设f(x)＝f′(1)＋，则f(4)＝________．
解析：f′(1)＝
＝
＝
＝
＝，
所以f(x)＝＋，
所以f(4)＝＋＝.
答案：
3．点P在曲线y＝f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
解：设P(x0，y0)，则y0＝x＋1.
f′(x0)＝
eq
\f(（x0＋Δx）2＋1－（x＋1）,Δx)＝2x0.
所以过点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x＋1－x.
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点．
由eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x0x＋1－x，,y＝－2x2－1))得2x2＋2x0x＋2－x＝0，
所以Δ＝4x－8(2－x)＝0，
解得x0＝，y0＝.
所以点P的坐标为或.www.
第一章
导数及其应用
1.1
变化率与导数
1.1.2
导数的概念
A级 基础巩固
一、选择题
1．y＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x
B．2
C．2＋Δx
D．1
解析：因为f(x)＝x2，x＝1，所以Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2，所以
＝
(2＋Δx)＝2.
答案：B
2．一物体运动满足曲线方程s＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其实际意义是( )
A．物体5秒内共走过42米
B．物体每5秒钟运动42米
C．物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒
D．物体以t＝5秒时的瞬时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的路程为42米
解析：由导数的物理意义知，s′(5)＝42(m/s)表示物体在t＝5秒时的瞬时速度．
答案：D
3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2，(a，b为常数)，则
( )
A．f′(x)＝a
B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a
D．f′(x0)＝b
解析：因为f′(x0)＝
＝
＝
(a＋bΔx)＝a，所以f′(x0)＝a.
答案：C
4．已知y＝，则y′|x＝1＝________．
A.
B.
C.
D．－
解析：由题意知Δy＝－＝－，
所以＝.所以y′|x＝1＝
＝
＝.
答案：B
5．如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2
s末的瞬时速度为( )
A．－4.8
m/s
B．－0.88
m/s
C．0.88
m/s
D．4.8
m/s
解析：运动物体在1.2
s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，所以
＝
＝
2(－Δt－2.4)＝－4.8(m/s)．
答案：A
二、填空题
6．设函数f(x)满足
＝－1，则f′(1)＝________．
解析：
＝
＝f′(1)＝－1.
答案：－1
7．函数f(x)＝x2＋1在x＝1处可导，在求f′(1)的过程中，设自变量的增量为Δx，则函数的增量Δy＝________．
解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2.
答案：2Δx＋(Δx)2
8．某物体做匀速直线运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的大小关系是________．
解析：v0＝
＝
＝
＝
＝v.
答案：相等
三、解答题
9．利用导数的定义，求函数y＝＋2在点x＝1处的导数．
解：因为Δy＝－＝
，所以＝，
所以y′＝
＝
＝－，
所以y′|x＝1＝－2.
10．在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t存在关系s(t)＝10t＋5t2(s的单位是m，t的单位是s)．
(1)求t＝20，Δt＝0.1时的Δs与；
(2)求t＝20时的速度．
解：(1)当t＝20，Δt＝0.1时，
Δs＝s(20＋Δt)－s(20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－(10×20＋5×202)＝1＋20＋5×0.01＝21.05.
所以＝＝210.5.
(2)v＝
＝
＝
＝
(5Δt＋10＋10t)＝10＋10t，
所以t＝20时的速度即为10＋10×20＝210(m/s)．
B级 能力提升
1．某物体运动规律是s＝t2－4t＋5，若此物体的瞬时速度为0，则t＝( )
A．3
B．2.5
C．2
D．1
解析：Δs＝(t＋Δt)2－4(t＋Δt)＋5－(t2－4t＋5)＝2tΔt＋(Δt)2－4Δt，因为v＝
＝2t－4＝0，所以t＝2.
答案：C
2．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图所示，第二年婴儿体重的平均变化率为________kg/月．
解析：第二年婴儿体重的平均变化率为＝0.25(kg/月)．
答案：0.25
3．若一物体运动方程是(s的单位是m，t的单位是s)
s＝
求：(1)物体在t∈内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
解：(1)因为物体在t∈内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈内的位移变化量为：
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
所以物体在t∈上的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
因为物体在t＝0附近的平均变化率为＝＝
＝3Δt－18.
所以物体在t＝0处的瞬时变化率为，
＝
(3Δt－18)＝－18，
即物体的初速度为－18
m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
因为物体在t＝1附近的平均变化率为：
＝＝
＝3Δt－12，
所以物体在t＝1处的瞬时变化率为：
＝
(3Δt－12)＝－12.
即物体在t＝1时的速度为－12
m/s.www.
第二章
推理与证明
2.2
直接证明与间接证明
2.2.1
综合法与分析法
A级 基础巩固
一、选择题
1．“a＞0”是“|a|＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为|a|＞0 a＞0或a＜0，且a＞0 |a|＞0，但|a|＞0，a＞0，所以“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件．
答案：A
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证
＜
a”索的因应是( )
A．a－b＞0
B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0
D．(a－b)(a－c)＜0
解析：要证明＜a，
只需证b2－ac＜3a2，
只需证(a＋c)2－ac＜3a2，
只需证－2a2＋ac＋c2＜0，
即证2a2－ac－c2＞0，
即证(a－c)(2a＋c)＞0，
即证(a－b)(a－c)＞0.
答案：C
3．在△ABC中，已知sin
Acos
A＝sin
Bcos
B，则该三角形是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
解析：由sin
Acos
A＝sin
Bcos
B得sin
2A＝sin
2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.所以该三角形是等腰或直角三角形．
答案：D
4．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是( )
A．m⊥l，m∥α，l∥β
B．m⊥l，α∩β＝m，l α
C．m∥l，m⊥α，l⊥β
D．m∥l，l⊥β，m α
解析：对于选项A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；对于选项B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；对于选项C，这两个平面有可能平行或重合；根据面面垂直的判定定理知选项D正确．
答案：D
5．下面的四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤；
③＋≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：因为a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝≥0；a(1－a)－＝－a2＋a－＝
－≤0；(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2；而③中，当a·b＞0时，不等式成立．所以①②④正确．
答案：C
二、填空题
6．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则a2＋b2≥__________(填常数)．
解析：由a＋b＝2可得ab≤1，又a2＋b2＝4－2ab，
所以a2＋b2≥2.
答案：2
7．已知函数f(x)＝2x，a，b为正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系是__________．
解析：因为≥(a，b为正实数)，≤，
且f(x)＝2x是增函数，
所以f≤f()≤f，即C≤B≤A.
答案：C≤B≤A
8．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
解析：根据条件可知，欲求＋＋的最小值．
只需求(a＋b＋c)的最小值，
因为(a＋b＋c)＝
3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)．
答案：9
三、解答题
9.如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过点A作SB的垂线，垂足为E，过点E作SC的垂线，垂足为F.求证：AF⊥SC.
证明：要证AF⊥SC，而EF⊥SC，故只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC，
而AE⊥SB，故只需证AE⊥平面SBC，
只需证AE⊥BC，而AB⊥BC，
故只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA.
由SA⊥平面ABC可知，SA⊥BC，即上式成立，
所以AF⊥SC成立．
10．求证：2cos
(α－β)－＝.
证明：要证原等式，只需证：2cos
(α－β)sin
α－sin
(2α－β)＝sin
β，①
因为①左边＝2cos
(α－β)sinα－sin
＝
2cos
(α－β)sin
α－sin
(α－β)cos
α－cos
(α－β)sin
α＝
cos
(α－β)sin
α－sin
(α－β)cos
α＝sin
β.
所以①成立，所以原等式成立．
B级 能力提升
1．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：因为a＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由零点存在性定理知，选项A正确．
答案：A
2.如图所示，四棱柱ABCD A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足__________________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．
解析：要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.
因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，
即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.
答案：AC⊥BD(答案不唯一)
3．已知a、b、c∈R＋，求证：
≥.
证明：要证
≥，
只需证≥，
只需证3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，
只需证2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，
只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，
所以
≥成立．www.
第一章
导数及其应用
1.3
导数在研究函数中的应用
1.3.1
函数的单调性与导数
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝4x2＋的单调增区间是( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，1)
C.
D．(1，＋∞)
解析：y′＝8x－，令y′＞0，即8x－＞0得x＞.
答案：C
2．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( )
A．f(x)＞0
B．f(x)＜0
C．f(x)＝0
D．f(x)≥0
解析：依题意，f(x)在(a，b)内单调递增，f(a)≥0，
所以f(x)＞0.
答案：A
3．下列区间中，使函数y＝x·cos
x－sin
x为增函数的区间是( )
A.
B．(π，2π)
C.
D．(2π，3π)
解析：f′(x)＝cos
x－xsin
x－cos
x＝－x·sin
x，
当x∈(π，2π)时，f′(x)＞0.
答案：B
4．若函数y＝a(x3－x)的单调减区间为，则a的取值范围是( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－1)
解析：依题意f′(x)＝a(3x2－1)＝3a＜0的解集为，所以a＞0.
答案：A
5．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1，1)上单调递减，则a的取值范围为( )
A．a≤3
B．a＜3
C．a＞3
D．a≥3
解析：f′(x)＝3x2－a，由已知f′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，所以a≥3x2在(－1，1)上恒成立．又0≤3x2≤3，所以a≥3.
答案：D
二、填空题
6．若函数f(x)＝x3＋ax＋5的单调递减区间是(－2，2)，则实数a的值为________．
解析：f′(x)＝3x2＋a，依题意3x2＋a＜0的解集为(－2，2)，所以a＝－12.
答案：－12
7．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．
解析：因为y′＝－4x2＋a，且函数有三个单调区间，所以方程－4x2＋a＝0有两个不等的实根，所以Δ＝02－4×(－4)×a＞0，所以a＞0.
答案：(0，＋∞)
8．若f(x)＝－x2＋bln
(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
解析：因为f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，所以f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，因为f′(x)＝－x＋，
所以－x＋≤0，即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，得b≤－1.
答案：(－∞，－1]
三、解答题
9．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1，3)，求b和c的值．
解：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由条件知即
解得b＝－3，c＝－9.
10．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.设f(x)在区间上是单调函数，求a的取值范围．
解：f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝
ex．
令f′(x)＝0，即x2＋2(1－a)x－2a＝0，
解得x1＝a－1－，x2＝a－1＋(x1＜x2)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：
x
(－∞，x1)
x1
(x1，
x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
?
?
因为a＞0，所以x1＜－1，x2≥0，f(x)在(x1，x2)上单调递减．
由此可得f(x)在上是单调函数的充要条件为x2≥1，
即a－1＋≥1，解得a≥.
故所求a的取值范围为.
B级 能力提升
1.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数y＝f(x)的图象是( )
解析：因为f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，1)为增函数，
又x∈(－1，0)时，f′(x)为增函数，
所以f(x)图象越来越陡峭，x∈(0，1)时，
f′(x)为减函数，所以f(x)图象越来越平缓．
答案：B
2．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是____．
解析：因为f(x)＝2x＋x3－2，0＜x＜1，
所以f′(x)＝2xln
2＋3x2＞0在(0，1)上恒成立，
所以f(x)在(0，1)上单调递增．
又f(0)＝－1＜0，f(1)＝1＞0，f(0)f(1)＜0，
则f(x)在(0，1)内至少有一个零点，
又函数f(x)在(0，1)上单调递增，
故函数f(x)在(0，1)内有且仅有一个零点．
答案：1
3．已知f(x)＝ln
x＋＋ax(a∈R)，求f(x)在[2，＋∞)上是单调函数时a的取值范围．
解：f′(x)＝－＋a＝.
(1)当a＝0时，f′(x)＝在x∈[2，＋∞)上，有f′(x)＞0，所以f(x)在[2，＋∞)上是单调函数，符合题意．
(2)当a＜0时，令g(x)＝ax2＋x－1，
则f(x)在[2，＋∞)上只能单调递减，
所以f′(x)≤0在[2，＋∞)上恒成立，
所以g(x)≤0在[2，＋∞)上恒成立．
又因为g(x)＝ax2＋x－1＝a－－1的对称轴为x＝－，
所以－－1≤0，所以a≤－.
(3)当a＞0时，f(x)在[2，＋∞)上只能递增，
所以f′(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立，
所以g(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立．
又因为g(x)＝ax2＋x－1的对称轴x＝－＜0，
所以g(2)≥0，所以a≥－.
又因为a＞0，所以得a＞0.
综上所述，实数a的取值范围为∪[0，＋∞)．www.
第一章
导数及其应用
1.3
导数在研究函数中的应用
1.3.2
函数的极值与导数
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点、两个极小极值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
解析：由导函数f′(x)的图象可知，f′(x)＝0有四个零点，根据极值的概念知，函数f(x)有两个极大值点、两个极小值点．
答案：C
2．f′(x0)＝0是可导函数f(x)在点x0处取极值的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：f′(x0)＝0不能保证f′(x)在x0左右两边异号，故不能保证有极值，但f(x)在x0处有极值则必有f′(x0)＝0.
答案：B
3．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
解析：f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1，当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0.所以x＝－1为f(x)的极小值点．
答案：D
4．已知函数y＝x－ln
(1＋x2)，则函数y的极值情况是( )
A．有极小值
B．有极大值
C．既有极大值又有极小值
D．无极值
解析：x∈R，因为y′＝1－·(1＋x2)′＝1－＝≥0恒成立，
所以函数y＝x－ln
(1＋x2)无极值．
答案：D
5．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则( )
A．a－2b＝0
B．2a－b＝0
C．2a＋b＝0
D．a＋2b＝0
解析：y′＝3ax2＋2bx，依题意，0和是方程
3ax2＋2bx＝0的两根，所以－＝，所以a＋2b＝0.
答案：D
二、填空题
6．函数f(x)＝x＋2cos
x在上的极大值点为________．
解析：f′(x)＝1－2sin
x，令f′(x)＝0得x＝.
当0＜x＜时，f′(x)＞0；
当＜x＜时，f′(x)＜0.
所以当x＝时，f(x)有极大值．
答案：
7．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln
x＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝________．
解析：f′(x)＝＋2bx＋1，由题意得
解得a＝－.
答案：－
8．若函数y＝x·2x在x＝x0时取极小值，则x0＝________．
答案：－
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1，0)点，求f(x)的极大值及极小值．
解：f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0得，
解得p＝2，q＝－1，
所以f(x)＝x3－2x2＋x.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，
易得当x＝时，f(x)取极大值，
当x＝1时，f(x)取极小值0.
10．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
解：(1)由已知可得f′(x)＝3x2－3a(a≠0)．
因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，
所以即
解得a＝4，b＝24.
(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．
当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．
当a＞0时，由f′(x)＝0，得x＝±.
当x∈(－∞.－)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
当x∈(－，)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．
此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．
B级 能力提升
1．函数f(x)＝x3－(2b＋1)x2＋b(b＋1)x在(0，2)内有极小值，则( )
A．0＜b＜1
B．0＜b＜2
C．－1＜b＜1
D．－1＜b＜2
解析：f′(x)＝x2－(2b＋1)x＋b(b＋1)＝(x－b)，令f′(x)＝0，则x＝b或x＝b＋1，x＝b＋1是极小值点，所以0＜b＋1＜2，得－1＜b＜1.
答案：C
2．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．
解析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，
得x＝0或x＝4.且x∈(－∞，0)或x∈(4，＋∞)时，
y′＜0；x∈(0，4)时，y′＞0.所以x＝4时取到极大值．
故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
3．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0得，x＝－ln
2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)或x∈(－ln
2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，ln
2)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln
2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln
2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝
4(1－e－2)．www.
第一章
导数及其应用
1.2
导数的计算
1.2.2
导数的运算法则
第二课时
复合函数的导数及导数计算的综合问题
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝cos
(－x)的导数是( )
A．cos
x
B．－cos
x
C．－sin
x
D．sin
x
解析：y′＝－sin
(－x)(－x)′＝－sin
x.
答案：C
2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：y′＝′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1.所以y′|x＝1＝4.
答案：D
3．设曲线y＝ax－ln
(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：令y＝ax－ln
(x＋1)，则f′(x)＝a－.所以f(0)＝0，且f′(0)＝2.联立解得a＝3.
答案：D
4．y＝cos3
x的导数是( )
A．y′＝－3cos2
xsin
x
B．y′＝－3cos2
x
C．y′＝－3sin2
x
D．y′＝－3cos
xsin2
x
解析：令t＝cos
x，则y＝t3，y′＝y′t·t′x＝3t2·(－sin
x)＝－3cos2
xsin
x.
答案：A
5.已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是( )
解析：依题意可设f(x)＝ax2＋c(a＜0，且c＞0)，于是f′(x)＝2ax，显然f′(x)的图象为直线，且过原点，斜率2a＜0.
答案：B
二、填空题
6．函数y＝sin2
x的图象在处的切线的斜率是________．
解析：因为y′＝2sin
xcos
x，
所以k＝y′|x＝＝2sin
cos
＝.
答案：
7．(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b＝________．
解析：由曲线y＝ax2＋过点P(－2，5)得，4a＋＝－5，①
又y′＝2ax－，所以4a－＝－，②
由①②解得所以a＋b＝－3.
答案：－3
8．设f(x)＝ax2－bsin
x，且f′(0)＝1，f′＝，则a＝________，b＝________．
解析：f′(x)＝2ax－bcos
x，由f′(0)＝1，f′＝，
得－b＝1，a－b·＝，解得a＝0，b＝－1.
答案：0 －1
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝＋3xlog5
x.
解：(1)y′＝
＝
＝.
(2)y′＝′＋(3xlog5
x)′
＝(2x－1)－·(2x－1)′＋3log5
x＋3x·
＝×·2＋3log5
x＋
＝＋3log5
x＋.
10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0，1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
解：因为f(x)的图象过点P(0，1)，所以e＝1.
又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
所以b＝0，d＝0.
所以f(x)＝ax4＋cx2＋1.
因为函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
所以切点为(1，－1)．所以a＋c＋1＝－1.
因为f
′(x)|x＝1＝4a＋2c，所以4a＋2c＝1，
所以a＝，c＝－.
所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.
B级 能力提升
1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln
x，则f′(e)＝
( )
A．e－1
B．－1
C．－e－1
D．－e
解析：因为f(x)＝2xf′(e)＋ln
x，所以f′(x)＝2f′(e)＋，所以f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－＝－e－1.
答案：C
2．曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．
解析：因为y′＝ex，切线的斜率k＝y′|x＝4＝e2.所以切线方程为y－e2＝e2(x－4)．切线在两坐标轴上的截距分别为2，－e2，所以面积为S＝e2.
答案：e2
3．曲线y＝e2xcos
3x在(0，1)处的切线与l的距离为，求l的方程．
解：由题意知y′＝(e2x)′cos
3x＋e2x(cos
3x)′
＝2e2xcos
3x＋3(－sin
3x)·e2x
＝2e2xcos
3x－3e2xsin
3x，
所以曲线在(0，1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝0＝2.
所以该切线方程为y－1＝2x即y＝2x＋1.
设l的方程为y＝2x＋m，
则d＝＝.解得m＝－4或m＝6.
当m＝－4时，l的方程为y＝2x－4；
当m＝6时，l的方程为y＝2x＋6.
综上，可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.www.
评估验收卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．(2015·北京卷)复数i(2－i)＝( )
A．1＋2i
B．1－2i
C．－1＋2i
D．－1－2i
解析：i(2－i)＝2i－i2＝2i＋1＝1＋2i.
答案：A
2．(2015·广东卷)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝( )
A．3－2i
B．3＋2i
C．2＋3i
D．2－3i
解析：因为z＝i(3－2i)＝2＋3i，所以＝2－3i.
答案：D
3．已知a∈R，若(1－ai)(3＋2i)为纯虚数，则a的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：(1－ai)(3＋2i)＝3＋2a＋(2－3a)i，由题意3＋2a＝0且2－3a≠0，即a＝－.
答案：A
4．已知z＝，则1＋z50＋z100的值是( )
A．3
B．1
C．2＋i
D．i
解析：由z＝，得z2＝＝i，z4＝i2＝－1，
所以1＋z50＋z100＝1＋(z2)25＋(z4)25＝1＋i25＋(－1)25＝1＋i－1＝i.
答案：D
5．复数(i为虚数单位)等于( )
A．1
B．－1
C．i
D．－i
解析：＝＝＝＝i.
答案：C
6．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则m＝1是z1＝z2的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：因为z1＝z2 m＝1或m＝－2，
所以m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．
答案：A
7．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x等于( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
解析：因为z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i∈R.
所以x＋2＝0，所以x＝－2.
答案：A
8．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2等于( )
A．1＋i
B．－1＋i
C．1－i
D．－1－i
解析：因为z＝1＋i，所以＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.
答案：A
9．已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x，y分别为( )
A．x＝－1，y＝1
B．x＝－1，y＝2
C．x＝1，y＝1
D．x＝1，y＝2
解析：因为(x＋i)(1－i)＝(x＋1)＋(1－x)i，所以(x＋1)＋(1－x)i＝y.
所以x＋1＝y且1－x＝0，得x＝1，y＝2.
答案：D
10．复数等于( )
A．－3－4i
B．－3＋4i
C．3－4i
D．3＋4i
解析：＝＝＝(1－2i)2＝－3－4i.
答案：A
11．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为( )
A．1
B.
C.
D．－
解析：z1z2＝(1＋2i)＝m＋2mi＋(m－1)i＋2(m－1)i2＝(m－2m＋2)＋(2m＋m－1)i＝(2－m)＋(3m－1)i.所以2－m＝3m－1，得m＝.
答案：B
12．已知在复平面内，向，，对应的复数分别为－2＋i，3－i，1＋5i，则对应的复数是( )
A．－6i
B．6i
C．－5i
D．5i
解析：＝＋＋＝－－＋＝－(3－i)－(－2＋i)＋1＋5i＝5i.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2015·天津卷)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
解析：(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是纯虚数，所以a＋2＝0，即a＝－2.
答案：－2
14．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i所对应的点在第三象限，则实数k的取值范围是________．
解析：由已知得所以4＜k2＜6.所以－＜k＜－2或2＜k＜.
答案：(－，－2)∪(2，)
15．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C.若＝x＋y，则x＋y的值是________．
解析：由＝x＋y得3－2i＝x(－1＋2i)＋
y(1－i)＝(－x＋y)＋(2x－y)i.所以
解得故x＋y＝5.
答案：5
16．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若为实数，则实数m＝________．
解析：＝＝＝是实数，所以6＋4m＝0，得m＝－.
答案：－
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算：
(1)；
(2)＋.
解：(1)＝＝
＝－1＋i.
(2)＋＝＋
＝＋＝1＋i.
18．(本小题满分12分)实数m为何值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i对应的点在：
(1)x轴上方？
(2)直线x＋y＋5＝0上？
解：(1)若z对应的点在x轴上方，则m2－2m－15＞0，解得m＜－3或m＞5.
(2)复数z对应的点为(m2＋5m＋6，m2－2m－15)，
因为z对应的点在直线x＋y＋5＝0上，
所以(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，
整理得2m2＋3m－4＝0，解得m＝.
19．(本小题满分12分)设复数z＝，若z2＋a·z＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
解：z＝＝＝
＝＝1－i.
因为z2＋a·z＋b＝1＋i，所以(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i.
所以(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i.
所以解得a＝－3，b＝4.
即实数a，b的值分别是－3，4.
20．(本小题满分12分)已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．
解：设ω＝z－3＋4i，所以z＝ω＋3－4i，所以z＋1－i＝ω＋4－5i.
又|z＋1－i|＝1，所以|ω＋4－5i|＝1.
可知ω对应的点的轨迹是以(－4，5)为圆心，半径为1的圆．
如图所示，所以|ω|max＝＋1，|ω|min＝－1.
21．(本小题满分12分)关于x的方程x2－(1＋3i)x＋(2i－m)＝0(m∈R)有实数根x1.
(1)求x1和m的值；
(2)利用根与系数的关系猜想方程的另一个根x2，并给予证明；
(3)设x1，x2在复平面内对应点分别为A，B，求|AB|.
解：(1)把x1代入方程得x－x1－m＋(2－3x1)i＝0，
∴eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－x1－m＝0，,2－3x1＝0，))解得
∴x1，m的值分别为，－.
(2)设另一个根为x2，则x2＋＝1＋3i，
∴x2＝＋3i.
验证：把x2代入原方程：
－(1＋3i)＋＝＋2i－9－＋9－4i＋2i＋＝0.
∴x2＝＋3i是方程的另一个根．
(3)|AB|＝|x2－x1|＝|－－3i|＝.
22．(本小题满分12分)在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
解：(1)对应的复数为zB－zA＝(2＋i)－1＝1＋i；
对应的复数为zC－zB＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i；
对应的复数为zC－zA＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.
(2)因为||＝|1＋i|＝，||＝|－3＋i|＝，
||＝|－2＋2i|＝，所以||2＋||2＝||2，
所以∠A为直角，△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝||||＝××＝2.www.
第二章
推理与证明
2.1
合情推理与演绎推理
2.1.2
演绎推理
A级 基础巩固
一、选择题
1．对a，b∈R＋，a＋b≥2，……大前提
x＋≥2，……小前提
所以x＋≥2.……结论
以上推理过程中( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．结论错误
D．无错误
解析：小前提错误，因为只有当x＞0时，才有x＋≥2.
答案：B
2．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则平行于平面内所有直线，已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.”结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
解析：若直线平行平面α，则该直线与平面内的直线平行或异面，故大前提错误．
答案：A
3．下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是( )
A．幂函数
B．对数函数
C．指数函数
D．余弦函数
解析：只有指数函数f
(x)＝ax(a＞0，a≠1)，满足条件．
答案：C
4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，
3班有52人，由此推测各班都超过50人
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝
(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
解析：选项A中的推理是演绎推理，选项B中的推理是类比推理，选项C、D中的推理是归纳推理．
答案：A
5．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数．”结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
解析：用小前提“S是M”，判断得到的结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．
答案：C
二、填空题
6．用演绎推理证明“y＝sin
x是周期函数”时的大前提为___________，小前提为________________．
解析：用演绎推理证明“y＝sin
x是周期函数”时的大前提是“三角函数是周期函数”，小前提是“y＝sin
x是三角函数”．
答案：三角函数是周期函数 y＝sin
x是三角函数
7．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，即a≥0；小前提是有意义；结论是_______．
解析：要使函数有意义，则log2
x－2≥0，解得x≥4，所以函数y＝的定义域是[4，＋∞)．
答案：函数y＝的定义域是[4，＋∞)
8．关于函数f(x)＝lg
(x≠0)，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f(x)为增函数；③f(x)的最小值是lg
2；④当－1＜x＜0，或x＞1时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中正确结论的序号是________．
解析：易知f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，①正确；当x＞0时，f(x)＝lg
＝lg
；因为在g(x)＝lg在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确；而f(x)有最小值lg
2，所以③正确；④也正确；⑤不正确．
答案：①③④
三、解答题
9．设m为实数，利用三段论求证方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．
证明：因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac＞0，那么方程有两相异实根．(大前提)
一元二次方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式
Δ＝(2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m－1)2＋3＞0，(小前提)
所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两相异实根．(结论)
10．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，|f(x)|≤1，证明|c|≤1，并分析证明过程中的三段论．
证明：因为|x|≤1时，|f(x)|≤1.
x＝0满足|x|≤1，
所以|f(0)|≤1，又f(0)＝c，所以|c|≤1.
证明过程中的三段论分析如下：
大前提是|x|≤1，|f(x)|≤1；
小前提是|0|≤1；
结论是|f(0)|≤1.
B级 能力提升
1．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)＞0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1，1)内可导且单调递增，所以在(－1，1)内，f′(x)＝3x2＞0恒成立，以上推理中( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．结论正确
D．推理形式错误
解析：对于可导函数f(x)，
若f(x)在区间(a，b)上是增函数，
则f′(x)≥0对x∈(a，b)恒成立．所以大前提错误．
答案：A
2．设a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函数，则a的值为____．
解析：因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以＝0对于一切x∈R恒成立，由此得a－＝0，即a2＝1.又a＞0，所以a＝1.
答案：1
3．如图所示，四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，且CD＝2AB，E为PC的中点．
(1)求证：平面PCD⊥平面PAD；
(2)求证：BE∥平面PAD.
证明：(1)因为
CD⊥平面PAD，又CD 平面PCD.
所以平面PDC⊥平面PAD.
(2)取PD中点F，连接AF、EF(如图)，
因为EF∥DC，EF＝DC＝AB，
所以四边形ABEF为平行四边形．
所以BE∥AF.又BE 平面PAD，AF 平面PAD，
所以BE∥平面PAD.www.
第一章
导数及其应用
1.5
定积分的概念
1.5.2
汽车行驶的路程
A级 基础巩固
一、选择题
1．运动物体行驶的路程s与由直线t＝0，t＝1和运动物体的速度v＝－t2＋2表示的曲线所围成的曲边梯形的面积的关系是( )
A．相等
B．不相等
C．大于
D．小于
解析：由直线t＝0，t＝1和运动物体的速度v＝－t2＋2表示的曲线所围成的曲边梯形的面积就是运动物体行驶的路程s.
答案：A
2．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为( )
A．45
B．55
C．60
D．65
解析：因为把区间10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1，2，…，10)，每个小区间的长度为1.所以物体运动的路程近似值s＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.故选B.
答案：B
3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
解析：汽车刚启动时，行驶的路程较短，汽车加速行驶时，路程增加的较快，曲线的切线斜率较大，减速行驶时，路程增加的速度较慢，曲线的切线斜率较小．故选A.
答案：A
4．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )
A．在t1时刻，甲车在乙车前面
B．t1时刻后，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．t0时刻后，乙车在甲车前面
解析：由题图可知，曲线v甲比v乙在0～t0、0～t1与x轴所围成图形面积大，则在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面．
答案：A
5．汽车以10米/秒的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度－2米/秒2刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为( )
A．80米
B．60米
C．40米
D．30米
解析：由题意知，v(t)＝v0＋at＝10－2t.令v(t)＝0，
得t＝5，即t＝5秒时，汽车将停车．将区间
5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩近似值为s＝(10＋10－2×1＋10－2×2＋10－2×3＋10－2×4)×1＝30(米)．
答案：D
二、填空题
6．已知某物体运动的速度v＝2t－1，t∈，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程的近似值为________．
解析：由题意知，物体运动的路程即为这10个小矩形的面积和，即s＝1＋3＋5＋…＋19＝×10＝100.
答案：100
7．一辆汽车在司机猛踩刹车后，5
s内停下，在这一刹车过程中，下面各速度值被记录了下来：
刹车踩下后的时间/s
0
1
2
3
4
5
速度/(m/s)
21
14
9
5
2
0
则刹车后车滑过的距离的不足近似值(每个ξi均取小区间的右端点)与过剩近似值(每个ξi取小区间的左端点)分别为________m，________m.
解析：不足近似值为14＋9＋5＋2＋0＝30；过剩近似值为21＋14＋9＋5＋2＝51.
答案：30 51
8．已知自由落体的物体速率为v＝gt(g为常数)，则物体从t＝0到t＝4所走的路程为________．
解析：物体从t＝0到t＝4所走的路程就是“速率—时间”曲线与时间轴所围成图形的面积，因为t＝0时，v＝0；t＝4时，v＝4g，所以所走路程s＝×4×4g＝8g.
答案：8g
三、解答题
9．设力F作用在质点m上使m沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F＝x2＋1且力的方向和x轴正向相同，求F对质点m所做的功．
解：将区间n等分，则各小区间的长度为，在上取ξi＝1＋i.
所以Fi＝ξ＋1＝＋1，
所以Wi＝Fi＝＋(i＝1，2，…，n)．
所以W＝
＝
＝
＝18＋81＋243＝342.
故F对质点所做的功为342.
10．某物体在笔直的道路上做变速直线运动，设该物体在时刻t的速度为v(t)＝7－t2，试计算这个物体在0≤t≤1这段时间内运动的路程s.
解：将区间n等分，得到n个小区间，，…，，…，.则每个小区间长度为Δt＝，取右端点的函数值作为小矩形的高，则物体在每个时间段内运动的路程Δsi＝v(ti)
·Δt＝·，i＝1，2，…，n.sn＝Δsi＝
·
sn＝·＝
7－.
于是s＝sn＝
＝.
所以这个物体在0≤t≤1这段时间内运动的路程为.
B级 能力提升
1．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：将区间分为等长的n个小区间，第i个区间记为(i＝1，2，…，n)，取每个小区间的右端点的速度近似代替，则Δt＝，所以v(ti)＝，
sn＝·＝(1＋22＋…＋n2)＝
＝，
于是s＝Sn＝
＝＝9，
得a＝3.
答案：C
2．已知某正电荷在某电场中做匀变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2(单位：m/s)，求它在0≤t≤1这段时间运动的路程是________．
解析：将区间等分成n个小区间，则第i个小区间为，第i个小区间的面积为Δsi＝v·＝·，所以sn＝Δsi
=
·＝(12＋22＋…＋n2)＝·＝，
所以s＝limsn＝lim
＝.
答案：
3．一质点在做直线运动时，其速度(单位：m/s)
v(t)＝
(1)请根据速度函数描述质点的三种运动状态；
(2)试求这一质点在3
s内的运动路程．
解：(1)v(t)＝2t2(0≤t≤3)，说明质点在前3
s内做变加速直线运动；
v(t)＝18(3s～7
s之间做匀速直线运动；
v(t)＝－3t＋39(7≤t≤13)，说明质点在第7
s～13
s之间做匀减速直线运动．
(2)当0≤t≤3时，对n等分，并以每个小区间的左端点的速度作近似代替，则Δt＝，
v(ξi)＝2.
＝·n(n－1)(2n－1)＝9.
所以s＝sn＝9＝18(m)．www.
章末复习课
1．进行类比推理时，可以从以下方面入手进行类比：①问题的外在结构特征；②图形的性质或维数；③处理一类问题的方法；④事物的相似性质等．要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
2．进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作出归纳猜想．
3．推理证明过程叙述要完整、严谨，逻辑关系清晰、不跳步．
4．注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，而后者结论可能为真也可能为假．合情推理得到的结论的正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要有依据．
5．用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理依据．书写证明过程时，一定要注意不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式．
6．运用分析法时仅需要寻求结论成立的充分条件即可，而不是充要条件．分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性.
7．应用数学归纳法证明有关自然数n的命题时，第一步验证n取第一个值时，必须注意项数，第二步从n＝k到n＝k＋1的过渡必须注意两点，一是n＝k＋1的证明必须用上归纳假设，二是弄清n＝k与n＝k＋1时命题(等式、不等式、整除等)的变化．
专题一 合情推理
合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理，是做出科学发现的重要手段．类比推理是由特殊到特殊的推理，它常以已知的知识作基础，推测出新的结果，具有发现功能．
(1)观察下列等式：
1＝1
13＝1
1＋2＝3
13＋23＝9
1＋2＋3＝6
13＋23＋33＝36
1＋2＋3＋4＝10
13＋23＋33＋43＝100
1＋2＋3＋4＋5＝15
13＋23＋33＋43＋53＝225
…
…
可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________(n∈N
，用含有n的代数式表示)．
(2)由圆的下列性质类比球的有关性质．
①圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦．
②与圆心距离相等的两弦相等．
③圆的周长c＝πd(d为直径)．
④圆的面积S＝d2.
解析：(1)由条件可知：13＝12，13＋23＝9＝32＝(1＋2)2，
13＋23＋33＝36＝62＝(1＋2＋3)2，…，不难得出：
13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝＝.
答案：
(2)解：圆与球具有下列相似性质(见下表)，与圆的有关性质相比较，可以推测球的有关性质．
圆
球
①圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(非轴截面)圆心的连线垂直于截面
②与圆心距离相等的两条弦长相等
与球心距离相等的两个截面圆面积相等
③圆的周长c＝πd
球的表面积S＝πd2
④圆的面积S＝d2
球的体积V＝d3
归纳升华
(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．
(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性．
(1)有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3，5}；第三组含三个数{7，9，11}；第四组含四个数{13，15，17，19}；….
则观察每组内各数之和f(n)(n∈N
)与组的编号数的关系式为________．
(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则：①a2＋b2＝c2；②cos2
A＋cos2
B＝1；③Rt△ABC的外接圆半径为r＝.
把上面的结论类比到空间写出相类似的结论．
(1)解析：由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33，13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.
答案：f(n)＝n3
(2)解：选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．
①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S＋S＋S＝S2.
②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2
α＋cos2
β＋cos2
γ＝1.
③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R＝.
专题二 演绎推理
演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的．因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确．
已知函数f(x)＝x3.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)证明：f(x)＞0.
(1)解：因为2x－1≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
因为f(－x)－f(x)＝(－x3)－x3＝(－x3)－x3＝x3－x3＝0，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(2)证明：因为x≠0，
所以当x＞0时，2x＞1，2x－1＞0，x3＞0，所以f(x)＞0.
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝f(x)＞0，所以f(x)＞0.
综上可知，f(x)＞0.
归纳升华
数学中的演绎推理一般是以“三段论”的格式进行的．“三段论”由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合这个原理的一个特殊场合，结论是大前提和小前提的逻辑结果．
若定义在区间D上函数f(x)对于D上的几个值x1，x2，…，xn总满足≤f称函数f(x)为D上的凸函数，现已知f(x)＝sin
x在(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin
A＋sin
B＋sin
C的最大值是________．
解析：因为≤
f，
因为f(x)＝sin
x在(0，π)上是凸函数，
所以f(A)＋f(B)＋f(C)≤3f，
即sin
A＋sin
B＋sin
C≤3sin
＝，
所以sin
A＋sin
B＋sin
C的最大值是.
答案：
专题三 综合法与分析法
综合法是从原因推测结果的思维方法，即从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论，这是常用的数学方法．
分析法是从待证的结论出发，一步一步地寻找结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．
用综合法和分析法证明：
已知α∈(0，π)，求证：2sin
2α≤.
证明：法一(分析法) 要证明2sin
2α≤成立，
只要证明4sin
αcos
α≤.
因为a∈(0，π)，所以sin
α＞0，
只要证明4cos
α≤.
上式可变形为4≤＋4(1－cos
α)．
因为1－cos
α＞0，
所以＋4(1－cos
α)≥2
＝4.
当且仅当cos
α＝，
即α＝时取等号．
所以4≤＋4(1－cos
α)成立．
所以不等式2sin
2α≤成立．
法二(综合法) 因为＋4(1－cos
α)≥4，
所以4cos
α≤.
因为α∈(0，π)，所以sin
α＞0，
所以4sin
αcos
α≤.
所以2sin
2α≤.
归纳升华
综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程．分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，可转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程．
求证：－2cos
(α＋β)＝.
证明：因为sin
(2α＋β)－2cos
(α＋β)sin
α＝
sin
－2cos
(α＋β)sin
α＝
sin
(α＋β)cosα＋cos
(α＋β)sin
α－2cos
(α＋β)sin
α＝
sin
(α＋β)cos
α－cos
(α＋β)sin
α＝
sin
＝sin
β，
两边同除以sin
α得－2cos
(α＋β)＝.
专题四 反证法
反证法不是去直接证明结论，而是先否定结论，在此基础上运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．
等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an及前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N
)．求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
(1)解：设等差数列公差为d，
由
得
解得d＝2.
所以an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.
假设{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bp·br.
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
所以(q2－pr)＋(2q－p－r)·＝0.
因为p，q，r∈N
，
所以所以＝pr.
所以(p－r)2＝0，所以p＝r与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
归纳升华
应用反证法证明命题时要注意以下三点：
(1)必须先否定结论．当结论的反面有多种情况时，必须罗列各种情况加以论证，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面进行推理，就不是反证法．
(3)推导出的矛盾多种多样，有的与已知相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与已知事实相矛盾等等，推出的矛盾必须是明显的．
已知直线ax－y＝1与曲线x2－2y2＝1相交于P，Q两点，证明：不存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O.
证明：假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O，则OP⊥OQ.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则·＝－1，
所以(ax1－1)(ax2－1)＝－x1·x2，
即(1＋a2)x1·x2－a(x1＋x2)＋1＝0.
由题意得(1－2a2)x2＋4ax－3＝0，
所以x1＋x2＝，x1·x2＝.
所以(1＋a2)·－a·＋1＝0，
即a2＝－2，这是不可能的．
所以假设不成立．故不存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O.
专题五 数学归纳法
数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法．它是一种完全归纳法，它的证明共分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”(或称特殊性)；第二步解决的是延续性(又称传递性)问题，称为归纳递推．
已知函数f(x)＝(x＞0)，数列{an}满足a1＝f(x)，an＋1＝f(an)．
(1)求a2、a3、a4；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法予以证明．
解：(1)由a1＝f(x)，an＋1＝f(an)得：
a2＝f(a1)＝eq
\f(a1,\r(1＋a))＝；
a3＝f(a2)＝eq
\f(a2,\r(1＋a))＝；
a4＝f(a3)＝eq
\f(a3,\r(1＋a))＝
.
(2)猜想数列{an}的通项公式an＝.
证明：①当n＝1时，结论显然成立；
②假设当n＝k时结论成立，即ak＝，
则当n＝k＋1时，ak＋1＝f(ak)＝＝
.上式表明，当n＝k＋1时结论也成立．
由①、②可得，数列{an}的通项公式an＝
.
归纳升华
运用数学归纳法证明有关命题要注意以下几点：
(1)两个步骤缺一不可．
(2)第二步中，证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须利用“归纳假设”，即必须用上“当n＝k时结论正确”这一结论．
数学归纳法可以用来证明与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题．
设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N
.
(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；
(2)当a1≥2时，证明对所有的n≥1，有an≥n＋1.
(1)解：由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3.
由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4.
由a3＝4，得a4＝a－4a3＋1＝5.
由此猜想an的一个通项公式为an＝n＋1(n≥1)．
(2)证明：①当n＝1时，因为an＝a1≥2，n＋1＝1＋1＝2，所以不等式成立．
②假设当n＝k时不等式成立，即ak≥k＋1.
那么当n＝k＋1时，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋1)(k＋1－k)＋1＝k＋2.
也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1＞(k＋1)＋1.
根据①和②，对于所有n≥1，有an≥n＋1.www.
第二章
推理与证明
2.3
数学归纳法
A级 基础巩固
一、选择题
1．等式12＋22＋32＋…＋n2＝(5n2－7n＋4)( )
A．对n为任何正整数都成立
B．仅当n＝1，2，3时成立
C．当n＝4时成立，n＝5时不成立
D．仅当n＝4时不成立
解析：经验证，n＝1，2，3时成立，n＝4，5，…不成立.
答案：B
2．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A．2
B．3
C．5
D．6
解析：当n取1、2、3、4时2n＞n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32＞52＋1＝26，第一个能使2n＞n2＋1的n值为5.
答案：C
3．用数学归纳法证明某命题时，左式为＋cos
α＋cos
3α＋…＋cos
(2n－1)α(α≠kπ，k∈Z，n∈N
)，在验证n＝1时，左边所得的代数式为( )
A.
B.＋cos
α
C.＋cos
α＋cos
3α
D.＋cos
α＋cos
3α＋cos
5α
解析：令n＝1，左式＝＋cos
α.
答案：B
4．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，证明不等式f(2n)＞时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是( )
A．2k－1项
B．2k＋1项
C．2k项
D．以上都不对
解析：观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋＋…＋，而f(2k＋1)＝1＋＋…＋＋＋＋…＋，因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．
答案：C
5．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)……(n＋n)＝2n·1×3……(2n＋1)(n∈N
)，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为( )
A．2k＋1
B．2(2k＋1)
C.
D.
解析：当n＝k时左端为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，
当n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…(k＋1＋k－1)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)，即(k＋2)(k＋3)……(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)．观察比较它们的变化知增乘了＝2(2k＋1)．
答案：B
二、填空题
6．对于不等式
＜n＋2(n∈N
)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，
＜1＋2，不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N
)时，不等式成立，即
＜k＋2，则n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋2.
所以当n＝k＋1时，不等式成立．
上述证法第________步错误．
解析：第二步错误，证明过程中没有用到归纳假设．
答案：(2)
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N
)依次计算出S1、S2、S3、S4后，可猜想Sn的表达式为________．
解析：S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，
猜想Sn＝.
答案：
8．对任意n∈N
，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________．
解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
答案：5
三、解答题
9．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝
.
证明：
(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝等式成立．
(2)假设n＝k时，等式成立，即＋＋＋…＋＝成立．
当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋＝＋＝＝
＝＝.
所以n＝k＋1时，等式成立．
由(1)、(2)可得对一切n∈N
，等式成立．
10．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N
)．
(1)试求：a2、a3、a4的值，由此猜想数列{an}的通项公式an；
(2)用数学归纳法加以证明．
(1)解：由a1＝1，an＋1＝(n∈N
)，
可得a2＝，
a3＝，a4＝.
由此可以猜想数列{an}的通项公式an＝.
(2)证明：①当n＝1时，a1＝＝1，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N
)，时，猜想成立，
即ak＝，
则当n＝k＋1时，ak＋1＝＝.
这说明当n＝k＋1时，猜想也成立．
由①、②可知，猜想对一切的n∈N
都成立．
B级 能力提升
1．用数学归纳法证明＋＋＋…＋＜1(n∈N
，n≥2)，由“k到k＋1”时，不等式左端的变化是( )
A．增加一项
B．增加和两项
C．增加和两项，同时减少一项
D．以上都不对
解析：n＝k时，左边＝＋＋＋…＋，
n＝k＋1时，左边＝＋＋＋…＋＋＋，比较可知，增加和两项，同时减少一项．
答案：C
2．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝时，则n＝k＋1时的左端应在n＝k时的左端加上______________________．
解析：n＝k时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2比较可知，左端应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
3．已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.
(1)写出这个数列的前5项；
(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．
解：(1)已知a1＝1，由题意得a1·a2＝22，所以a2＝22.
因为a1·a2·a3＝32，所以a3＝.
同理，可得a4＝，a5＝.
因此这个数列的前5项分别为1，4，，，.
(2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为：
an＝
下面用数学归纳法证明当n≥2时，an＝.
①当n＝2时，a2＝＝22，结论成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N
)时，结论成立，
即ak＝.
因为a1·a2…ak－1＝(k－1)2，
a1·a2…ak－1·ak·ak＋1＝(k＋1)2，
所以ak＋1＝＝·＝.
这就是说当n＝k＋1时，结论也成立．
根据①②可知，当n≥2时，这个数列的通项公式是
an＝.
所以这个数列的通项公式为an＝