【人教B版】2017-2018学年高中数学选修2-1全套练习（99份，Word版，含解析）

04课后课时精练
一、选择题
1．命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”的否命题是(　　)
A．若sinα＝sinβ，则α＝β
B．若α≠β，则sinα≠sinβ
C．若sinα≠sinβ，则α≠β
D．以上都不对
解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．
答案：B
2．用反证法证明命题“＋是无理数”时，应假设(　　)
A.是有理数
B.是有理数
C.或是有理数
D.＋是有理数
解析：在实数范围内无理数的反面是有理数．故选D.
答案：D
3．有下列命题：①“若x2＋y2＝0，则x，y全是0”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是(　　)
A.
①②③
B.
②③④
C.
①③④
D.
①④
解析：①否命题为“若x2＋y2≠0，则x，y不全是0”，为真．
②否命题为“不全等的三角形不相似”，为假．
③逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1”．
∵当m＝0时，解集不是R，
∴应有即m>1.
∴其逆命题是假命题．
④原命题为真，逆否命题也为真．
答案：D
4．[2013·山东高考]给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的(　　)
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析：∵綈p是q的必要而不充分条件，∴q 綈p，但綈pDq，其逆否命题为p 綈q，但綈qDp，因为原命题与其逆否命题是等价命题，故选A.
答案：A
5．[2014·陕西高考]原命题为“若A．真，真，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
解析：本题以数列的单调性为背景考查命题真假的判断和四种命题之间的关系．从原命题的真假入手，由于答案：A
6．[2014·广州高二测试]下列命题中，真命题是(　　)
A．命题“若a>b，则ac2>bc2”
B．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题
C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题
D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题
解析：命题“若a>b，则ac2>bc2”是假命题；
命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝b”是假命题；
命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题为“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”是假命题；
命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，其逆否命题与原命题等价，为真命题．
答案：D
二、填空题
7．命题“x∈A∩B”的否命题是________________________．
解析：x∈A∩B事实上是x∈A且x∈B.
答案：x A或x B
8．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：命题“ax2－2ax－3>0不成立”亦即“ax2－2ax－3≤0恒成立”．当a＝0时，－3≤0成立；
当a≠0时，解得－3≤a<0.故－3≤a≤0.
答案：[－3,0]
9．[2014·信阳高二检测]给定下列命题：
①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；
③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①当k>0时，方程中Δ＝4＋4k>0恒成立，∴方程有实根．
②原命题的逆否命题为若x＝2且y＝b则x＋y＝8为真命题，∴原命题为真．
③“矩形的对角线相等”的逆命题为“若一个四边形对角成相等，则四边形为矩形”为假命题．
④原命题的否命题为“若xy≠0，则x，y都不为0”为真命题．
答案：①②④
三、解答题
10．若a，b，c∈R，写出命题“若ac<0，则ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：逆命题：若ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个相异实根，则ac<0，为假命题；
否命题：若ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)没有两个相异实根，为假命题．
逆否命题：若ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)
没有两个相异实根，则ac≥0，为真命题．
11．设p：≤，q：关于x的不等式x2－4x＋m2≤0的解集是空集，试确定实数m的取值范围，使得p与q有且只有一个成立．
解：由≤得：－≤0，即≤0.解得0≤m<3，即当且仅当0≤m<3时，p成立．因为关于x的不等式x2－4x＋m2≤0的解集是空集，所以Δ＝16－4m2<0，解得m>2或m<－2.即当且仅当m>2或m<－2时，q成立．当p成立而q不成立时，0≤m≤2.当p不成立而q成立时，m<－2或m≥3.综上所述，当且仅当m∈(－∞，－2)∪[0,2]∪[3，＋∞)时，p与q有且只有一个成立．
12．a、b、c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a、b、c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．
解：能确定．理由如下：
显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．
①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小．所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知：c>b>a或b>a>c.
②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.
从而可知，b>a>c.
所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小．03课堂效果落实
1.给出下列命题：
①a＝“从上海往正北平移9
km”，b＝“从北京往正北平移3
km”，那么a＝3b；
②(a＋b)＋λc＋λ(a＋d)＝b＋(1＋λ)a＋λ(c＋d)；
③把正方形ABCD平移向量m到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体叫做正方体；
④有直线l，且l∥a，在l上有点B，若＋＝2a，则C∈l.其中正确的命题是(　　)
A．①②　　　　　　　
B．③④
C．①②④
D．①②③
解析：③中形成的几何体是平行六面体．
答案：C
2．下列命题中，正确的命题个数为(　　)
①若a∥b，则a与b方向相同或相反；
②若∥，则A、B、C、D四点共线；
③若a、b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)．
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
解析：当a，b中有零向量时，①不正确.∥时，A、B、C、D共面不一定共线，故②错．由p、a、b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足p＝λa＋μb，故③错．
答案：A
3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A.
A、B、D
B.
A、B、C
C.
B、C、D
D.
A、C、D
解析：由已知可得＝a＋2b，＝＋＝2a＋4b，所以＝2，即，是共线向量，所以A、B、D三点共线．
答案：A
4．已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点，＝α＋β，则α＋β＝________.
解析：∵A、B、P三点共线，∴存在实数t，
使＝(1－t)＋t，
∵＝α＋β，∴α＝1－t，β＝t.
即α＋β＝1－t＋t＝1.
答案：1
5．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，M是AA′的中点，点G在对角线A′C上且CG∶GA′＝2∶1，设＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示、、、.
解：如图
.＝＋＝a＋b.
＝＋＝＋＝a＋b＋c.
＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
＝＝(a＋b＋c)．03课堂效果落实
1.下列语句中是命题的是(　　)
A．周期函数的和是周期函数吗
B．sin45°＝1
C．x2＋2x－1>0
D．梯形是平面图形吗
解析：A、D是疑问句，不是命题，C不能判断真假，故B为正确答案．
答案：B
2．若M、N是两个集合，则下列命题中真命题是(　　)
A．如果M N，那么M∩N＝M
B．如果M∩N＝N,
那么M N
C．如果M N，那么M∪N＝M
D．如果M∪N＝N，那么N M
解析：用集合的定义理解．当f(x)＝|x－a|在[1，＋∞)上为增函数时，a≤1，而a＝1时，f(x)＝|x－a|在[1，＋∞)上为增函数．故选A.
答案：A
3．下列命题中真命题的个数是(　　)
①2是质数；　　　　　　②＝3－π；
③tan④指数函数是单调函数．
A．1　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
解析：质数是指大于1，除了1和自身之外没有其它正因数的整数，故2是质数；由于＝π－3；tan(－)＝tan>tan；指数函数y＝ax(a>0且a≠1)，当a>1时为增函数，当0答案：C
4．命题“同位角相等，两直线平行”的条件是________，结论是__________________________________．
解析：该命题写成“如果……，那么……”的形式为“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行”．故命题的条件是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．
答案：同位角相等　两直线平行
5．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)正n(n≥3)边形的n个内角全相等；
(2)末位数字是0或5的整数，能被5整除；
(3)方程x2－x＋1＝0有两个实根．
解：(1)若n(n≥3)边形是正多边形，则它的n个内角全相等．真命题．
(2)若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除．真命题．
(3)若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根．假命题．04课后课时精练
一、选择题
1．下列各结论中，正确的共有(　　)
①同一平面的不同的法向量是共线向量；②若a是平面α的法向量，b是平面α内的向量，则
a
·b＝0；③设非零向量b，c均在平面α内，若a·b＝0，a·c＝0，则a是平面α的法向量．
A．0个　　　　　　　　
B．1个
C．2个
D．3个
解析：①垂直于同一平面的直线平行，正确；②若一直线垂直于这个平面，则这条直线垂直于平面内任一条直线，正确；③若b∥c，则不正确．
答案：C
2．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)
A．(1，－1,1)
B．(1,3，)
C．(1，－3，)
D．(－1,3，－)
解析：要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即·n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．
对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝(1，－4，)，则·n＝(1，－4，)·(3,1,2)＝0，故选B.
答案：B
3.
[2014·四川省成都七中期末考试]已知直线l过点P(1,0，－1)，平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是(　　)
A.
(1，－4,2)
B.
(，－1，)
C.
(－，1，－)
D.
(0，－1,1)
解析：本题主要考查平面的法向量．因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.
答案：D
4.
[2013·河南省开封高中月考]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E、F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心，则E、F两点间的距离为(　　)
A.
1
B.
C.
D.
解析：
本题主要考查空间中两点间的距离．以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1,1，)，F(2,1，)，所以|EF|＝
＝，故选C.
答案：C
5．空间有四点A、B、C、D，其中＝(2m，m,2)，＝(m，m＋1，－5)，且＋＝(5，，－3)，则直线AB与CD(　　)
A．平行
B．平行或重合
C．必定相交
D．必定垂直
解析：＋＝(3m,2m＋1，－3)＝(5，，－3)，
则有解得：m＝.
∴＝(，，2)，＝(，，－5)，
∴·＝＋－10＝0，
∴⊥，故直线AB与CD垂直．
答案：D
6.
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是(　　)
A.
当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B.
当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C.
在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D.
不存在DQ与平面A1BD垂直
解析：本题考查利用法向量判断线面垂直．以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，D(0,1，)，P(0,2,0)，＝(1,0,1)，＝(0,1，)，＝(－1,2,0)，＝(1，－1，－)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2,1，－2)．假设DQ⊥平面A1BD，且＝λ＝λ(－1,2,0)＝(－λ，2λ，0)，则＝＋＝(1－λ，－1＋2λ，－)，因为也是平面A1BD的法向量，所以n＝(2,1，－2)与＝(1－λ，－1＋2λ，－)共线，于是有＝＝＝成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ与平面A1BD垂直，故选D.
答案：D
二、填空题
7．若A(0,2，)，B(1，－1，)，C(－2,1，)是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.
解析：＝(1，－3，－)，＝(－2，－1，－)，
由a·＝0，a·＝0，得
解得
所以x∶y∶z＝y∶y∶(－y)＝2∶3∶(－4)．
答案：2∶3∶(－4)
8.
在空间直角坐标系Oxyz中，设点M是点N(5，－3,2)关于坐标平面xOy的对称点，则||＝________.
解析：本题考查空间直角坐标系中点的坐标的对称性、向量的模长等基础知识．点N(5，－3,2)关于坐标平面xOy的对称点为M(5，－3，－2)，所以＝(0,0,4)，所以||＝4.
答案：4
9.
在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2,0)、B(2,1，)，则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．
解析：本题考查直线与平面的法向量的夹角．设平面xOz的法向量为n＝(0，t,0)(t≠0)，＝(1,3，)，所以cos〈n，〉＝＝，因为〈n，〉∈[0，π]，所以sin〈n，〉＝＝.
答案：
三、解答题
10．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，求平面ABC的单位法向量．
解：设平面ABC的法向量n＝(x，y,1)，则n⊥且n⊥，
∴n·＝0，且n·＝0，即
得
∴n＝(，－1,1)，∵|n|＝，
所以平面ABC的单位法向量为±(，－，)．
11.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量．
证明：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E(1,1，)，
＝(0,1，)．D1＝(0,0,1)，F(0，，0)，A1(1,0,1)．
＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．
∵·＝(0,1，)·(0，，－1)＝－＝0，
·＝0，∴⊥，⊥.又A1D1∩D1F＝D1，
∴AE⊥平面A1D1F，∴是平面A1D1F的法向量．
12．四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，求平面SCD和平面SAB的法向量．
解：∵AD、AB、AS是三条两两垂直的线段，
∴以A点为原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系如下图所示，则A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)，＝(1,0,0)是平面SAB的法向量．
设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，则n·＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，∴y＝－.
又n·＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，
∴z＝.
∴n＝(1，－，)．03课堂效果落实
1.
[2014·福建高考]命题“ x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　)
A.
x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B.
x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C.
x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D.
x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
解析：本题考查含有量词的命题的否定，意在考查考生的逻辑推理能力．把全称量词“ ”改为存在量词“ ”，并把结论加以否定，故选C.
答案：C
2．全称命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是(　　)
A．所有能被5整除的整数都不是奇数
B．所有奇数都不能被5整除
C．存在一个能被5整除的整数不是奇数
D．存在一个奇数，不能被5整除
解析：全称命题的否定是特称命题，而A，B是全称命题，所以A，B错．因为“所有能被5整除的整数”的否定是“存在一个能被5整除的整数”，所以D错，C正确，故选C.
答案：C
3．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么(　　)
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题
D．p与q的真假相同
解析：∵“非p”为真命题，∴p为假命题．又∵p或q为真命题，∴q为真命题．故选B.
答案：B
4．若命题p：不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a解析：因命题p、q均为假命题，所以“p∨q”“p∧q”为假命题，“綈p”为真命题．
答案：2
5．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)三角形的内角和为180°；
(2) x0∈R，x＋1＝0；
(3) x∈R，x2－3x＋2＝0.
(4)至少有两个实数x0，使x＋1＝0.
(5) x0，y0∈N，如果＋|y0|＝0，则x0＝0且y0＝0.
解：(1)此命题为全称命题，其否定为：存在一个三角形，它的内角和不等于180°，是假命题．
(2)此命题为特称命题，其否定为： x∈R，x2＋1≠0，是真命题．
(3)此命题为全称命题，其否定为： x0∈R，x－3x0＋2≠0，是真命题．
(4)此命题为特称命题，其否定为：至多有一个实数x0，使x＋1≠0，是假命题．
(5)此命题为特称命题，其否定为： x，y∈N，如果＋|y|＝0，则x＝0或y＝0，是假命题．03课堂效果落实
1.[2014·长春高二检测]x>3的一个充分不必要条件是(　　)
A.
x>0　　　　　　　　
B.
x<0
C.
x>5
D.
x<5
解析：x>5 x>3，
x>3Dx>5.
答案：C
2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的(　　)
A.
必要不充分条件
B.
充分不必要条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析：x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．
答案：B
3．对任意实数a、b、c，给出下列命题：
①“x<－1”是“x2－1>0”的充分条件；
②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
④“a<5”是“a<3”的必要条件．
其中真命题的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
解析：①中，x<－1 x2－1>0；x2－1>0Dx<－1，故①为真命题．
②中，a与a＋5同为无理数或同为有理数，故②为真命题．
③中，显然a>bDa2>b2，故③为假命题．
④中，a<5Da<3，而a<3 a<5，故④为真命题．
答案：C
4．[2014·福州高二测试]若“x2－2x－8>0”是x解析：不等式解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，题目等价于(－∞，m)是其真子集，故有m≤－2，即m的最大值为－2.
答案：－2
5．设命题p：x>1或x<－3，q：5x－6>x2，则綈p是綈q的什么条件？
解：∵p：x>1或x<－3，
∴綈p：－3≤x≤1.
又∵q：5x－6>x2即2∴綈p 綈q，但綈q
綈p，
∴綈p是綈q的充分不必要条件．04课后课时精练
一、选择题
1．在方程mx2＋ny2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
解析：方程可化为＋y2＝1，
∵mn<0，∴<0.
∴方程表示焦点在y轴上的双曲线．
答案：D
2．[2014·福建宁德一模]已知椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　)
A.
　　　　　　　　　　
B.
C.
4
D.
解析：因为椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点(±，0)，则有a2－9＝7，∴a＝4.选C.
答案：C
3．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于(　　)
A.
B．1
C．20
D．4
解析：NO为△MF1F2的中位线，所以|NO|＝|MF1|，又由双曲线的定义，知|MF2|－|MF1|＝10，因为|MF2|＝18，所以|MF1|＝8，所以|NO|＝4，故选D.
答案：D
4．若椭圆＋＝1(a>b>0)和双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点F1、F2，P是椭圆与双曲线的交点，则|PF1|·|PF2|的值是(　　)
A．a－m
B.(a－m)
C．a2－m2
D.－
解析：由椭圆和双曲线的定义可得
两式平方相减得4|PF1|·|PF2|＝4(a－m)，
∴|PF1|·|PF2|＝a－m.
答案：A
5．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的(　　)
解析：方程可化为y＝ax＋b和＋＝1.从选项B，D中的两个椭圆看，a、b∈(0，＋∞)，但由B中直线可知a<0，b<0，矛盾，应排除B；由D中直线可知a<0，b>0，矛盾，应排除D；再由A中双曲线可知a<0，b>0，但直线中a>0，b>0，也矛盾，应排除A；由C中的双曲线可知a>0，b<0，和直线中a>0，b<0一致．应选C.
答案：C
6．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1
的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝(　　)
A.
B.
2
C.
D.
2
解析：设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝2||＝||＝2.
答案：B
二、填空题
7.
[2014·北京高考]设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________．
解析：根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，所以a＝1，c＝，于是b2＝c2－a2＝1，所以方程为x2－y2＝1.
答案：x2－y2＝1
8．与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程是________．
解析：解法一：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点(3，2)，所以
－＝1，　①
通过计算可知c＝2，所以a2＋b2＝(2)2.　②
由①②得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
解法二：设双曲线方程为－＝1(－4解得k＝4或k＝－14(舍去)，所以双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
9．过双曲线－＝1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为________．
解析：∵双曲线方程为－＝1，∴c＝＝13，F1(－13,0)，F2(13,0)．
设过F1垂直于x轴的直线l交双曲线于A(－13，y)(y>0)，∴＝－1＝.
∴y＝，即|AF1|＝.
又∵|AF2|－|AF1|＝2a＝24，
∴|AF2|＝24＋＝.
故所求距离分别为：、.
答案：、
三、解答题
10．设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．
解：解法一：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.
又点A的纵坐标为4，则横坐标为，于是有
解得
所以双曲线方程为－＝1.
解法二：将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(，4)，又两焦点分别为F1(0,3)、F2(0，－3)．
所以2a＝－
＝8－4＝4，a＝2，
∴b2＝c2－a2＝9－4＝5，
所以双曲线方程为－＝1.
解法三：由题意设双曲线方程为＋＝1(27<λ<36)，将A(，4)代入得，λ＝32，λ＝0(舍去)．所以所求双曲线方程为－＝1.
11．[2014·营口高二检测]已知椭圆x2＋2y2＝32的左、右两个焦点分别为F1，F2，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4.求动点P的轨迹E的方程．
解：由椭圆的方程可化为＋＝1，
得|F1F2|＝2c＝2＝8，|PF1|－|PF2|＝4<8.
∴动点P的轨迹E是以F1(－4,0)，F2(4,0)为焦点，
2a＝4，a＝2的双曲线的右支，
由a＝2，c＝4得b2＝c2－a2＝16－4＝12，
故其方程－＝1(x≥2)．
12．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4
s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1
km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角．
解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则
B(－3,0)，A(3,0)，C(－5，2)．
因为|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．
设敌炮阵地的坐标为(x，y)，
因为kBC＝－，BC中点D(－4，)，所以直线lPD：y－＝(x＋4)．①
又|PB|－|PA|＝4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上．
则双曲线方程为－＝1(x>0)．②
联立①②式，得x＝8，y＝5，
所以P的坐标为(8,5)．
因此kPA＝＝.故炮击的方向角为北偏东30°.04课后课时精练
一、选择题
1．x>3的一个充分不必要条件是(　　)
A.
x>0　　　　　　　　
B.
x<0
C.
x>5
D.
x<5
解析：x>5 x>3，
x>3Dx>5.
答案：C
2．[2014·湖北高考]设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A C，B UC”是“A∩B＝ ”的(　　)
A.
充分而不必要的条件
B.
必要而不充分的条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要的条件
解析：本题主要考查集合的关系及充分必要条件的判断，意在考查考生对集合运算的理解和判断推理能力．“存在集合C使得A C，B UC” “A∩B＝ ”．选C.
答案：C
3．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是(　　)
A．p：a＋c>b＋d，　q：a>b且c>d
B．p：a>1，b>1，　q：f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象不过第二象限
C．p：x＝1，　q：x2＝x
D．p：a>1，　q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
解析：对于A，a>b且c>d a＋c>b＋d，反之不成立，故p是q的必要不充分条件；对于B，a>1，b≥1 f(x)＝ax－b(a>0且a≠1)的图象不过第二象限，故p是q的充分不必要条件；
对于C，p是q的充分不必要条件，对于D，p是q的充分且必要条件．
答案：A
4．已知两条不重合的直线a、b与平面α，下列四个条件：①a α，b α；②a α，b∥α；③a⊥α，b⊥α；④a、b为异面直线．其中是“a、b无公共点”的充分条件的是(　　)
A．①②
B．②③
C．③④
D．②③④
解析：①中有可能a∩α＝A，A∈b，故①错．
②中b∥α，且a α，则a、b无公共点，满足条件．
③中a⊥α，b⊥α，则a∥b，满足条件．
④中由异面直线的定义可知④正确．
∴②③④正确．
答案：D
5．[2012·四川高考]设a、b都是非零向量．下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A.
a＝－b
B.
a∥b
C.
a＝2b
D.
a∥b且|a|＝|b|
解析：，分别是与a，b同方向的单位向量，由＝得a与b的方向相同．而a∥b时，a与b的方向还可能相反．故选C.
答案：C
6．已知f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)<2}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是(　　)
A．t≤－1
B．t>－1
C．t≥3
D．t>3
解析：因为f(x)是R上的增函数，f(－1)＝－4，f(x)<－4，f(2)＝2，f(x＋t)<2，所以x<－1，x＋t<2，x<2－t.又因为x∈P是x∈Q的充分不必要条件，所以2－t<－1，即t>3.故选D.
答案：D
二、填空题
7．“△ABC≌△A′B′C′”________“△ABC∽△A′B′C′”(用符号“ ”或“”填空)．
解析：若△ABC与△A′B′C′全等，则它们一定相似，反之不一定成立，故填 .
答案：
8．若“x2－2x－8>0”是x解析：不等式解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，题目等价于(－∞，m)是其真子集，故有m≤－2，即m的最大值为－2.
答案：－2
9．下列命题中是真命题的是________(填序号)．
①f(x)＝ax2＋bx＋c在[0，＋∞)上是增函数的一个充分条件是－<0；
②若甲：x＋y≠3，乙：x≠1或y≠2，则甲是乙的充分不必要条件．
解析：①f(x)＝ax2＋bx＋c在[0，＋∞)上是增函数，则必有a>0，－≤0，从而①不正确；②若x＝1且y＝2，则x＋y＝3.从而逆否命题是充分不必要条件，所以②正确．
答案：②
三、解答题
10．设命题p：x>1或x<－3，q：5x－6>x2，则綈p是綈q的什么条件？
解：∵p：x>1或x<－3，
∴綈p：－3≤x≤1.
又∵q：5x－6>x2即2∴綈p 綈q，但綈q /
綈p，
∴綈p是綈q的充分不必要条件．
11．[2014·江苏高二检测]已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．
解：化简集合A，
由y＝x2－x＋1＝(x－)2＋，
∵x∈[，2]，∴ymin＝，ymax＝2.
∴y∈[，2]，∴A＝{y|≤y≤2}．
化简集合B，由x＋m2≥1，
∴x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}．
∵命题p是命题q的充分条件，∴A B.
∴1－m2≤，∴m≥或m≤－.
∴实数m的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．
12．已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
r：an0，q>1.
甲：
r不是s的充分条件，r也不是s的必要条件；
乙：r是s的必要条件，綈r也是綈s的必要条件．
试问：甲、乙的说法是否正确？说明理由．
解：由等比数列{an}的单调性可知，当a1>0，q>1时，{an}是递增数列；当a1<0,0故r是s的必要条件，r不是s的充分条件，綈r是綈s的充分条件．
所以甲、乙的说法都不完全正确．04课后课时精练
一、选择题
1．在方程mx2＋ny2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
解析：方程可化为＋y2＝1，
∵mn<0，∴<0.
∴方程表示焦点在y轴上的双曲线．
答案：D
2．[2014·福建宁德一模]已知椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　)
A.
　　　　　　　　　　
B.
C.
4
D.
解析：因为椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点(±，0)，则有a2－9＝7，∴a＝4.选C.
答案：C
3．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于(　　)
A.
B．1
C．20
D．4
解析：NO为△MF1F2的中位线，所以|NO|＝|MF1|，又由双曲线的定义，知|MF2|－|MF1|＝10，因为|MF2|＝18，所以|MF1|＝8，所以|NO|＝4，故选D.
答案：D
4．若椭圆＋＝1(a>b>0)和双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点F1、F2，P是椭圆与双曲线的交点，则|PF1|·|PF2|的值是(　　)
A．a－m
B.(a－m)
C．a2－m2
D.－
解析：由椭圆和双曲线的定义可得
两式平方相减得4|PF1|·|PF2|＝4(a－m)，
∴|PF1|·|PF2|＝a－m.
答案：A
5．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的(　　)
解析：方程可化为y＝ax＋b和＋＝1.从选项B，D中的两个椭圆看，a、b∈(0，＋∞)，但由B中直线可知a<0，b<0，矛盾，应排除B；由D中直线可知a<0，b>0，矛盾，应排除D；再由A中双曲线可知a<0，b>0，但直线中a>0，b>0，也矛盾，应排除A；由C中的双曲线可知a>0，b<0，和直线中a>0，b<0一致．应选C.
答案：C
6．[2014·江西高考]过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为(　　)
A.
－＝1
B.
－＝1
C.
－＝1
D.
－＝1
解析：本题考查双曲线的标准方程与几何性质，意在考查考生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力．设双曲线的右焦点为F，则F(c,0)(其中c＝)，且c＝|OF|＝r＝4，不妨将直线x＝a代入双曲线的一条渐近线方程y＝x，得y＝b，则A(a，b)．由|FA|＝r＝4，得＝4，即a2－8a＋16＋b2＝16，所以c2－8a＝0，所以8a＝c2＝42，解得a＝2，所以b2＝c2－a2＝16－4＝12，所以所求双曲线的方程为－＝1.
答案：A
二、填空题
7.
[2014·北京高考]设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________．
解析：本题考查双曲线的基本性质以及标准方程．根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，所以a＝1，c＝，于是b2＝c2－a2＝1，所以方程为x2－y2＝1.
答案：x2－y2＝1
8．与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程是________．
解析：解法一：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点(3，2)，所以
－＝1，　①
通过计算可知c＝2，所以a2＋b2＝(2)2.　②
由①②得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
解法二：设双曲线方程为－＝1(－4解得k＝4或k＝－14(舍去)，所以双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
9．过双曲线－＝1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为________．
解析：∵双曲线方程为－＝1，∴c＝＝13，F1(－13,0)，F2(13,0)．
设过F1垂直于x轴的直线l交双曲线于A(－13，y)(y>0)，∴＝－1＝.
∴y＝，即|AF1|＝.
又∵|AF2|－|AF1|＝2a＝24，
∴|AF2|＝24＋＝.
故所求距离分别为：、.
答案：、
三、解答题
10．设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．
解：解法一：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.
又点A的纵坐标为4，则横坐标为，于是有
解得
所以双曲线方程为－＝1.
解法二：将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(，4)，又两焦点分别为F1(0,3)、F2(0，－3)．
所以2a＝－
＝8－4＝4，a＝2，
∴b2＝c2－a2＝9－4＝5，
所以双曲线方程为－＝1.
解法三：由题意设双曲线方程为＋＝1(27<λ<36)，将A(，4)代入得，λ＝32，λ＝0(舍去)．所以所求双曲线方程为－＝1.
11．已知椭圆x2＋2y2＝32的左、右两个焦点分别为F1，F2，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4.求动点P的轨迹E的方程．
解：由椭圆的方程可化为＋＝1，
得|F1F2|＝2c＝2＝8，|PF1|－|PF2|＝4<8.
∴动点P的轨迹E是以F1(－4,0)，F2(4,0)为焦点，
2a＝4，a＝2的双曲线的右支，
由a＝2，c＝4得b2＝c2－a2＝16－4＝12，
故其方程－＝1(x≥2)．
12．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4
s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1
km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角．
解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则
B(－3,0)，A(3,0)，C(－5，2)．
因为|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．
设敌炮阵地的坐标为(x，y)，
因为kBC＝－，BC中点D(－4，)，所以直线lPD：y－＝(x＋4)．①
又|PB|－|PA|＝4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上．
则双曲线方程为－＝1(x>0)．②
联立①②式，得x＝8，y＝5，
所以P的坐标为(8,5)．
因此kPA＝＝.故炮击的方向角为北偏东30°.03课堂效果落实
1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(1,2,3)　　　　　　　
B．(1,3,2)
C．(2,1,3)
D．(3,2,1)
解析：＝(1＋1,4－0,7－1)＝(2,4,6)，A、B、C、D四个选项中，只有A项中的方向向量与共线．
答案：A
2．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中是平面α的法向量的是(　　)
A．(0，－3,1)
B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1)
D．(－2,3，－1)
解析：显然，选项D中的向量(－2,3，－1)与n＝(2，－3，1)共线．
答案：D
3．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　)
A．2
B．－4
C．4
D．－2
解析：由α∥β知，α的法向量与β的法向量平行，即
＝＝，解得k＝4.
答案：C
4．若平面α、β的法向量分别为u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)，则(　　)
A.
α∥β
B.
α⊥β
C.
α与β斜交
D.
以上均正确
解析：u与v不平行也不垂直，∴α与β斜交．
答案：C
5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：1是平面PAC的法向量．
解：建立空间直角坐标系如图所示，不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)，于是＝(1,1,2)，＝(－2,2,0)，＝(－2,0,1)，
∴·＝－2＋2＝0，·＝－2＋2＝0.
∴⊥，⊥，即OB1⊥AC，OB1⊥AP.
∵AC∩AP＝A，
∴OB1⊥平面PAC，即是平面PAC的法向量．04课后课时精练
一、选择题
1．命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”的否命题是(　　)
A．若sinα＝sinβ，则α＝β
B．若α≠β，则sinα≠sinβ
C．若sinα≠sinβ，则α≠β
D．以上都不对
解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．
答案：B
2．当命题“若p，则q”为真时，下列命题中一定为真命题的是(　　)
A．若q，则p
B．若綈p，则綈q
C．若綈q，则綈p
D．若綈p，则q
解析：根据逆否命题的等价性易得．
答案：C
3．有下列命题：①“若x2＋y2＝0，则x，y全是0”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是(　　)
A.
①②③
B.
②③④
C.
①③④
D.
①④
解析：①否命题为“若x2＋y2≠0，则x，y不全是0”，为真．
②否命题为“不全等的三角形不相似”，为假．
③逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1”．
∵当m＝0时，解集不是R，
∴应有即m>1.
∴其逆命题是假命题．
④原命题为真，逆否命题也为真．
答案：D
4．用反证法证明命题“＋是无理数”时，应假设(　　)
A.是有理数
B.是有理数
C.或是有理数
D.＋是有理数
解析：在实数范围内无理数的反面是有理数．故选D.
答案：D
5．[2014·陕西高考]原命题为“若A．真，真，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
解析：本题以数列的单调性为背景考查命题真假的判断和四种命题之间的关系．从原命题的真假入手，由于答案：A
6．下列命题中，真命题是(　　)
A．命题“若a>b，则ac2>bc2”
B．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题
C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题
D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题
解析：命题“若a>b，则ac2>bc2”是假命题；
命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝b”是假命题；
命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题为“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”是假命题；
命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，其逆否命题与原命题等价，为真命题．
答案：D
二、填空题
7．命题“x∈A∩B”的否命题是_________________________________________________________．
解析：x∈A∩B事实上是x∈A且x∈B.
答案：x A或x B
8．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：命题“ax2－2ax－3>0不成立”亦即“ax2－2ax－3≤0恒成立”．当a＝0时，－3≤0成立；
当a≠0时，解得－3≤a<0.故－3≤a≤0.
答案：[－3,0]
9．用反证法证明命题“若整数n的立方是偶数，则n也是偶数”．证明如下：假设n是奇数，则n＝2k＋1(k是整数)，n3＝(2k＋1)3＝________________________，与已知n3是偶数矛盾，所以n是偶数．
解析：(2k＋1)3＝8k3＋12k2＋6k＋1＝2(4k3＋6k2＋3k)＋1.
答案：2(4k3＋6k2＋3k)＋1
三、解答题
10．若a，b，c∈R，写出命题“若ac<0，则ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：逆命题：若ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个相异实根，则ac<0，为假命题；
否命题：若ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)至多有一个实根，为假命题；
逆否命题：若ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)至多有一个实根，则ac≥0，为真命题．
11．设p：≤，q：关于x的不等式x2－4x＋m2≤0的解集是空集，试确定实数m的取值范围，使得p与q有且只有一个成立．
解：由≤得：－≤0，即≤0.解得0≤m<3，即当且仅当0≤m<3时，p成立．因为关于x的不等式x2－4x＋m2≤0的解集是空集，所以Δ＝16－4m2<0，解得m>2或m<－2.即当且仅当m>2或m<－2时，q成立．当p成立而q不成立时，0≤m≤2.当p不成立而q成立时，m<－2或m≥3.综上所述，当且仅当m∈(－∞，－2)∪[0,2]∪[3，＋∞)时，p与q有且只有一个成立．
12．a、b、c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a、b、c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．
解：能确定．理由如下：
显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．
①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小．所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知：c>b>a或b>a>c.
②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.
从而可知，b>a>c.
所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小．04课后课时精练
一、选择题
1．设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是(　　)
A．圆　　　　　　　　　
B．直线
C．平面
D．线段
解析：·n＝0是平面的向量表示式．
答案：C
2．平面α与β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，b＝(1,0,2)，则平面α与β的位置关系是(　　)
A．平行
B．垂直
C．相交不垂直
D．无法判断
解析：a＝(4,0，－2)，b＝(1,0,2)，所以a·b＝0，所以a⊥b，所以α⊥β.
答案：B
3．已知平面α过点A(1，－1,2)，法向量为n＝(2，－1,2)，则下列点在α内的是(　　)
A．(2,3,3)
B．(3，－3,4)
C．(－1,1,0)
D．(－2,0,1)
解析：α的法向量与α共面的向量垂直．
答案：A
4．[2014·西城高二检测]若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中是平面α的法向量的是(　　)
A．(0，－3,1)
B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1)
D．(－2,3，－1)
解析：显然，选项D中的向量(－2,3，－1)与n＝(2，－3，1)共线．
答案：D
5．在平面ABCD中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABCD的法向量，则y2等于(　　)
A．2
B．0
C．1
D．无意义
解析：由已知＝(1,1,0)，＝(－1，－1，－2)，
所以解得y＝1，即y2＝1.
答案：C
6．在三棱锥P－ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，点G是P在平面ABC上的射影，则G是△ABC的(　　)
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
解析：
G为△ABC的垂心．
答案：C
二、填空题
7．设u＝(2,2，－1)是平面α的法向量，a＝(－3,4,2)是直线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是________．
解析：因为u·a＝(2,2，－1)·(－3,4,2)＝0，所以u⊥a，即l α，或l∥α.
答案：l α，或l∥α
8．由向量a＝(1,0,2)，b＝(0,2,1)确定的平面的一个法向量为n＝(x，y，z)，则向量c＝(1，，2)在n上的射影的长是________．
解析：由n是a，b所确定的平面的一个法向量，知
不妨设z＝2，可解得x＝－4，y＝－1，
所以n＝(－4，－1,2)，
所以c在n上的射影长为||c|cos〈n，c〉|＝＝1.
答案：1
9．[2014·安阳高二检测]
如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．
解析：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，
则D(0，a,0)．
设Q(1，x,0)(0≤x≤a)．P(0,0，z)．
则＝(1，x，－z)，＝(－1，a－x,0)．
由PQ⊥QD，得－1＋x(a－x)＝0，
即x2－ax＋1＝0.
由题意知方程x2－ax＋1＝0只一解．
∴Δ＝a2－4＝0，a＝2，这时x＝1∈[0，a]．
答案：2
三、解答题
10．[2014·德州高二检测]如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.
证明：如图，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设DC＝a.
连接AC，AC交BD于G，连接EG.依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，，)．
∵底面ABCD是正方形，
∴G是此正方形的中心．
故点G的坐标为(，，0)，且＝(a,0，－a)，＝(，0，－)．
∴＝2，∴∥.
∵EG 平面EDB且PA 平面EDB.
∴PA∥平面EDB.
11．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是BB1的中点，F是CD的中点．
(1)求证：D1F⊥平面ADE；
(2)求证：平面A1D1F⊥平面ADE.
证明：(1)建立空间直角坐标系[D；，，]．
设正方体的棱长为1，
由已知A(1,0,0)，E(1,1，)，
所以＝(1,0,0)，＝(1,1，)．
设平面ADE的法向量为n1＝(x，y，z)，
则取z＝2，得n1＝(0，－1,2)．
又D1(0,0,1)，F(0，，0)，
所以＝(0，，－1)．
∵n1＝－2，∴n1∥，
即D1F⊥平面ADE.
(2)∵A1(1,0,1)，∴＝(－1,0,0)，
设平面A1FD1的法向量为n2＝(x，y，z)，
则取y＝2，得n2＝(0,2,1)．
∵n1·n2＝0×0＋(－1)×2＋2×1＝0
∴n1⊥n2.
∴平面A1D1F⊥平面ADE.
12．如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.
(1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；
(2)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．
证明：(1)如图，连接OP，
以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系O－xyz，则
O(0,0,0)，B(8,0,0)，P(0,0,6)，
E(0，－4,3)，F(4,0,3)，G(0,4,0)．
∵＝(8,0,0)，＝(0，－4,3)，
设平面BOE的法向量为n＝(x，y，z)，则
解得x＝0,4y＝3z，令z＝4，则n＝(0,3,4)，
∴平面BOE的一个法向量n＝(0,3,4)．
由＝(－4,4，－3)，得n·＝0.
又直线FG不在平面BOE内．∴FG∥平面BOE.
(2)设点M的坐标为(x0，y0,0)，
则＝(x0－4，y0，－3)．
∵FM⊥平面BOE，∴∥n，故x0－4＝0，＝.
因此x0＝4，y0＝－，
即点M的坐标是(4，－，0)．
在平面直角坐标系xOy中，△AOB的内部区域可表示为不等式组
经检验，点M的坐标满足上述不等式组．
所以，在△AOB内存在一点M，使FM⊥平面BOE.
由点M的坐标，得点M到OA，OB的距离分别为4，.03课堂效果落实
1.[2013·北京高考]“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的(　　)
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析：当φ＝π时，y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，此时曲线过坐标原点；但曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点时，φ＝kπ(k∈Z)，∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件，故选A.
答案：A
2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的(　　)
A.
必要不充分条件
B.
充分不必要条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析：x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．
答案：B
3．对任意实数a、b、c，给出下列命题：
①“x<－1”是“x2－1>0”的充分条件；
②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
④“a<5”是“a<3”的必要条件．
其中真命题的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
解析：①中，x<－1 x2－1>0；x2－1>0D /x<－1，故①为真命题．
②中，a与a＋5同为无理数或同为有理数，故②为真命题．
③中，显然a>bD /a2>b2，故③为假命题．
④中，a<5D /a<3，而a<3 a<5，故④为真命题．
答案：C
4．[2014·广东高考]在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的(　　)
A.
充分必要条件
B.
充分非必要条件
C.
必要非充分条件
D.
非充分非必要条件
解析：本题考查充要关系的判断及正弦定理的应用．由正弦定理，得＝，故a≤b sinA≤sinB，选A.
答案：A
5．[2014·山东济宁检测]是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．
解：x2－x－2>0的解集是x>2或x<－1，由4x＋p<0得x<－.要想使x<－时，x>2或x<－1成立，必须有－≤－1，即p≥4.所以当p≥4时，－≤－1 x<－1 x2－x－2>0.故当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件．04课后课时精练
一、选择题
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是(　　)
A.
红豆生南国　　　　
B.
春来发几枝
C.
愿君多采撷
D.
此物最相思
解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．
答案：A
2．[2013·安徽高考]在下列命题中，不是公理的是(　　)
A.
平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.
过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C.
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
解析：本题考查了立体几何中的公理与定理，意在要考生注意回归课本，明白最基本的公理与定理．注意公理是不用证明的，定理是要求证明的．选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．
答案：A
3．下列命题中(　　)
①a·b＝a·c且a≠0时，必有b＝c
②如a∥b时，必存在唯一实数λ使a＝λb
③a，b，c互不共线时，a－b必与c不共线
④a与b共线且c与b也共线时，则a与c必共线
其中真命题的个数有
(　　)
A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个
解析：对于①，由a·b＝a·c且a≠0，得a·(b－c)＝0，未必有b＝c；对于②，若b＝0时，不成立；对于③，如图△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，
＝a，＝b，则＝－.
又因为＝.即c＝－(a－b)，故③不正确．
④若b＝0时，a与c不一定共线，故选A.
答案：A
4．[2014·辽宁高考]已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(　　)
A.
若m∥α，n∥α，则m∥n
B.
若m⊥α，n α，则m⊥n
C.
若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D.
若m∥α，m⊥n，则n⊥α
解析：本题主要考查空间线面位置关系的判断，意在考查考生的逻辑推理能力．对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能相交、平行或异面，A错误；显然选项B正确；对于选项C，若m⊥α，m⊥n，则n α或n∥α，C错误；对于选项D，若m∥α，m⊥n，则n∥α或n α或n与α相交，D错误．故选B.
答案：B
5．设U为全集，下列命题是真命题的有(　　)
①若A∩B＝ ，则( UA)∪( UB)＝U；②若A∪B＝U，则( UA)∩( UB)＝ ；③若A∪B＝ ，则A＝B＝ .
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：由Venn图容易判断，①②③均为真命题．
答案：D
6．设l1、l2表示两条直线，α表示平面．若有：①l1⊥l2；②l1⊥α；③l2 α，则以其中两个为条件，另一个为结论，可以构造的所有命题中，正确命题的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由题意得三个命题，即②③ ①、①③ ②和①② ③.由②③ ①正确，①③ ②错误，①② ③错误，故选B.
答案：B
二、填空题
7．下列语句是命题的有________．
①地球是太阳的一个行星；②数列是函数吗？③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；④若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行；⑤60x＋9>4；⑥求证是无理数．
解析：根据命题的定义进行判断．因为②是疑问句，所以②不是命题；因为⑤中自变量x的值不确定，所以无法判断其真假；因为⑥是祈使句，所以不是命题．故填①③④.
答案：①③④
8．命题“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根”，条件p：________________，结论q：________________，是________________(填“真”或“假”)命题．
解析：根据命题的结构形式填空．
答案：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是一元二次方程　此方程有两个不相等的实数根　假
9．把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数f(x)＝log3x的图象与g(x)的图象关于原点对称，则g(x)＝________.
解析：设g(x)上任意一点坐标为P(x，y)，则点P关于原点的对称点坐标为P1(－x，－y)，点P1在函数f(x)＝log3x的图象上，将对称点P1坐标直接代入f(x)，
即得：g(x)＝－log3(－x)．
答案：－log3(－x)
三、解答题
10．判断下列语句是否为命题．
(1)若a⊥b，则a·b＝0；
(2)是无限循环小数；
(3)三角形的三条中线交于一点；
(4)x2－4x＋4≥0(x∈R)；
(5)非典型肺炎是怎样传染的？
(6)2011年江苏的高考题真难！
答案：(1)是　(2)是　(3)是　(4)是　(5)不是　(6)不是
11．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)各位数字之和能被9整除的整数，可以被9整除；
(2)斜率相等的两条直线平行；
(3)钝角的余弦值是负数．
解：(1)若一个整数的各位数字之和能被9整除，则这个整数可以被9整除．
(2)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．
(3)若一个角是钝角，则这个角的余弦值是负数．
12．已知命题p：|x2－x|≥6，q：x∈Z，若p假q真，求x的值．
解：因为p假q真，所以可得
所以
即故x的值为－1,0,1,2.04课后课时精练
一、选择题
1．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则＝＝是a∥b的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：设＝＝＝k，易知a∥b.即条件具有充分性．
又若b＝0时，b＝(0,0,0)，虽有a∥b，但条件＝＝显然不成立，所以条件不具备必要性．
答案：A
2.
[2014·锦州高二检测]已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，若⊥，则λ的值为(　　)
A.
－13　　　　　　　　
B.
－14
C.
14
D.
13
解析：本题主要考查空间向量垂直的概念．由于＝(－2，－6，－2)，＝(－1,6，λ－3)，由·＝0可得2－36－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14，故选B.
答案：B
3.
如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA
，EA＝AB＝DA＝2CB，EA⊥AB，M是EC的中点．则下述结论正确的一项是(　　)
A.
DM⊥EB
B.
DM⊥EC
C.
DM⊥EM
D.
DM⊥BA
解析：
本题主要考查利用空间向量法判断线线垂直．以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，并设EA＝DA＝AB＝2CB＝2，则E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,1)，D(0,0,2)，M(1,1，)，＝(1,1，－)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝(－1,1，)，＝(0,2,0)，仅有·＝0，从而得DM⊥EB，故选A.
答案：A
4.
[2014·湖北省八校联考]已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O为坐标原点，点D在直线OC上运动，则当·取最小值时，点D的坐标为(　　)
A.
(，，)
B.
(，，)
C.
(，，)
D.
(，，)
解析：本题主要考查空间向量的坐标运算以及数量积运算，考查函数思想．点D在直线OC上运动，因而可设＝(a，a,2a)，＝(1－a,2－a,3－2a)，＝(2－a,1－a,2－2a)，·＝(1－a)(2－a)＋(2－a)(1－a)＋(3－2a)(2－2a)＝6a2－16a＋10，所以a＝时·最小为－，此时＝(，，)，故选C.
答案：C
5．已知a＝(sinθ，cosθ，tanθ)，b＝(cosθ，sinθ，)且a⊥b，则θ等于(　　)
A．－
B.
C．2kπ－(k∈Z)
D．kπ－(k∈Z)
解析：注意本题中θ不是a、b的夹角，故有无数个θ的值满足条件．
2sinθcosθ＝－1，sin
2θ＝－1，
2θ＝2kπ－(k∈Z)，
θ＝kπ－π(k∈Z)．
答案：D
6．已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：解法一：设BC的中点为D，连接A1D，AD，易知θ＝∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角，由三角余弦定理，易知cosθ＝cos∠A1AD·cos∠DAB＝·＝.
解法二：由题意A1D⊥平面ABC，
又D为BC中点，∴AD⊥BC，
故以D为坐标原点DA、DB、DA1所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系，设侧棱长与底面边长均等于a，
则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，，0)，A1(0,0，a)，
＝(－a,0，a)，＝(－a，，0)．
异面直线AB与CC1所成的角为∠A1AB.
∴cos∠A1AB＝＝＝.
答案：D
二、填空题
7.
已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5，1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为________．
解析：由四边形ABCD是平行四边形知＝，
设D(x，y，z)，
则＝(x－4，y－1，z－3)，＝(1,12，－6)，
所以解得
即D点坐标为(5,13，－3)．
答案：(5,13，－3)
8．已知边长为4的正方形ABCD所在平面外一点P与正方形的中心O的连线PO垂直于平面ABCD，且PO＝6，则PO的中点M到△PBC的重心N的距离为________．
解析：本题主要考查利用空间向量求两点间的距离．建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,2,0)，C(－2,2,0)，P(0,0,6)，由题意得，M(0,0,3)，N(0，，2)，则＝(0，，－1)，
于是||＝＝.
故M到△PBC的重心N的距离为.
答案：
9．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ＝________.
解析：∵a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，
∴λa＋b＝(4,1－λ，λ)．
∵|λa＋b|＝，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29.
∴λ＝3或λ＝－2.∵λ>0，∴λ＝3.
答案：3
三、解答题
10．已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)．
计算：(1)(a＋b)·(a－b)；
(2)(a＋b)2；
(3)与a共线的单位向量．
解：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
＝(9＋25＋16)－(4＋1＋64)＝－19.
(2)a＋b＝(5,6,4)，|a＋b|2＝52＋62＋42＝77.
(3)∵|a|＝＝5，
∴与a共线的单位向量为
a0＝±＝±(3,5，－4)
＝(±，±， )，
即a0＝(，，－)或(－，－，)．
11．[2014·吉林高二测试]已知P是正方形ABCD外一点，M，N分别是PA，BD上的点，且＝＝.
(1)求证：直线MN∥平面PBC；
(2)若∠PAD＝45°且PD⊥平面ABCD，求异面直线MN，PD所成角的余弦值．
解：(1)＝＋＋＝－＋＋＝－(－)＋＋(＋)＝＋＝＋，
取BC的中点为G，则＋＝2，
因此＝，故MN∥PG，
又PG 平面PBC，MN 平面PBC，故MN∥平面PBC.
(2)由四边形ABCD为正方形且PD⊥平面ABCD知，DA，DC，DP两两垂直，
以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设DA＝3，则A(3,0,0)，P(0,0,3)，
则M(1,0,2)，N(2,2,0)，得＝(－1，－2,2)，＝(0,0,3)，
故cos〈，〉＝＝＝，
故异面直线MN，PD所成角的余弦值为.
12．如右图，正四棱锥S－ABCD的侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，O为底面ABCD的中心．
(1)求CE的长；
(2)求异面直线BE与SC所成角的余弦值；
(3)若OG⊥SC，垂足为G，求证：OG⊥BE.
解：
如图，以O为原点，以、、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
因为侧棱长为，底面边长为，E为SA的中点，
所以A(，0,0)，S(0,0，)，C(－，0,0)，B(0，，0)，E(，0，)．
(1)＝(，0，)，
所以||＝＝.
(2)因为＝(，－，)，＝(－，0，－)，所以cos〈，〉＝＝＝－，
故异面直线BE和SC所成角的余弦值为.
(3)因为G在SC上，所以与共线，
可设＝λ＝(－λ，0，－λ)，则＝＋＝(0,0，)＋(－λ，0，－λ)
＝(－λ，0，(1－λ))．
又⊥，所以·＝0，
即λ－(1－λ)＝0，所以λ＝，
所以＝(－，0，)．
又＝(，－，)，所以·＝－＋0＋＝0，
所以⊥，即OG⊥BE.03课堂效果落实
1.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　)
A．x2＝±3y　　　　　
B．y2＝±6x
C．x2＝±12y
D．x2＝±6y
解析：因为顶点在原点，对称轴是y轴，则开口向上或向下，由＝3，得p＝6.故方程为x2＝±2py＝±12y.
答案：C
2．[2014·安徽高考]抛物线y＝x2的准线方程是(　　)
A.
y＝－1
B.
y＝－2
C.
x＝－1
D.
x＝－2
解析：本题是圆锥曲线问题，考查抛物线方程和简单几何性质．抛物线y＝x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1.
答案：A
3．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于(　　)
A．3
B．4
C．3
D．4
解析：设直线AB的方程为y＝x＋b，
由消去y化简整理得x2＋x＋b－3＝0，
∴x1＋x2＝－1，进而可求出AB的中点M(－，－＋b)，又由M(－，－＋b)在直线x＋y＝0上可求出b＝1，∴x2＋x－2＝0，
∴x1＋x2＝－1，x1x2＝－2，
∴|AB|＝＝＝＝3.
答案：C
4．[2013·江西高考]抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
解析：本题主要考查抛物线的概念、直线与双曲线的关系．由于x2＝2py(p>0)的准线为y＝－，由，解得准线与双曲线－＝1的交点为A(－，－)，B(
，－)，|AB|＝2，由△ABF为等边三角形，得|AB|＝p，解得p＝6.
答案：6
5.
[2014·黑龙江哈尔滨三模]已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B，C两点．当直线l的斜率是时，＝4.
(1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，直线l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.
联立得2y2－(8＋p)y＋8＝0，y1＋y2＝，y1y2＝4.
由已知＝4得y2＝4y1.
由韦达定理可得y1＝1，y2＝4，p＝2，
∴抛物线G的方程为x2＝4y.
(2)设l：y＝k(x＋4)，BC中点坐标为(x0，y0)，
由得x2－4kx－16k＝0，
由Δ>0得k<－4或k>0，
∴x0＝＝2k，
y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k，
∴BC的中垂线为y－2k2－4k＝－(x－2k)，
∴b＝2(k＋1)2，
∴b>2.04课后课时精练
一、选择题
1．下列命题正确的是(　　)
A．方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为2的直线
B．△ABC三个顶点的坐标分别是A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，BC边上的中线的方程是x＝0
C．到x轴的距离为5的点的轨迹方程为y＝5
D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0过原点的充要条件是m＝0
解析：A表示去掉点(0,2)的直线；B中，BC边上的中线方程为x＝0(0≤y≤3)；C中轨迹方程为y＝±5.
答案：D
2．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是(　　)
A．两个点　　　　　　　
B．四个点
C．两条直线
D．四条直线
解析：由得或或
或故方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是四个点．
答案：B
3．下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是(　　)
A．y＝x与y＝
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0
C．y＝与xy＝1
D．y＝lgx2与y＝2lgx
解析：A中y＝x表示直线，而y＝＝|x|表示折线；B中(x－1)2＋(y＋2)2＝0表示点(1，－2)，而(x－1)(y＋2)＝0表示两条直线；D中y＝lgx2的图象分布在y轴的两侧且对称，而y＝2lgx的图象只可能分布在y轴右侧．
答案：C
4．方程y＝表示的曲线是(　　)
解析：当x>0时，y＝＝；
当x<0时，y＝－.
答案：C
5．方程(x＋y－1)＝0所表示的曲线的轨迹是(　　)
解析：原方程等价于或x2＋y2＝4.其中当x＋y－1＝0时，需有意义，等式才成立，即x2＋y2≥4，此时它表示直线x＋y－1＝0上不在圆x2＋y2＝4内的部分；当x2＋y2＝4时方程表示整个圆，所以方程对应的曲线是D.
答案：D
6．已知a、b为任意实数，若点(a，b)在曲线f(x，y)＝0上，且点(b，a)也在曲线f(x，y)＝0上，则f(x，y)＝0的几何特征是(　　)
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
解析：依题意，点(a，b)与点(b，a)都在曲线f(x，y)＝0上，而两点关于直线y＝x对称，故选D.
答案：D
二、填空题
7．已知方程①x－y＝0；②－＝0；③x2－y2＝0；④＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________．
解析：①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程－＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x2－y2＝0，但它不在曲线C上；④不正确．如点(0,0)在曲线C上，但其坐标不满足方程＝1.
答案：①
8.
曲线y＝－与曲线y＋|x|＝0的交点个数是________个．
解析：y＝－，即x2＋y2＝1(y≤0)，而y＝－|x|＝画出它们在同一直角坐标系中的图象如右图所示，可知有两个交点．
答案：2
9．方程|x－1|＋|y－1|＝1的曲线所围成图形的面积是________．
解析：|x－1|＋|y－1|＝1可写成
或
或或其图形如右图所示．它是边长为的正方形，其面积为2.
答案：2
三、解答题
10．判断下列命题是否正确．
(1)过点P(0,3)的直线l与x轴平行，则直线l的方程为|y|＝3.
(2)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y＝.
解：(1)不对，过点P(0,3)的直线l与x轴平行，则直线l的方程为y＝3，而不是|y|＝3.
(2)不对，设(x0，y0)是方程y＝的解，
则y0＝，即x＋y＝r2.
两边开平方取算术根，得＝r.
即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r的圆上的一点如点(，－r)，却不是y＝的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r的圆的方程不是y＝，而应是y＝±.
11．若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．
解：∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，
∴a2＋a2＋2a＋k＝0，
∴k＝－2a2－2a＝－2(a＋)2＋.
∴k≤，
∴k的取值范围是(－∞，]．
12．证明：到点O(0,0)和点A(1,1)距离相等的点的轨迹方程是x＋y－1＝0.
证明：(1)设点P(x1，y1)是轨迹上的任意一点，
∵|PO|＝|PA|，
∴＝，
平方整理得x1＋y1－1＝0.
∴点P的坐标(x1，y1)是方程x＋y－1＝0的解．
(2)∵上述每个步骤皆可逆，
∴以方程x＋y－1＝0的解为坐标的点都在曲线上，
由(1)(2)可知，x＋y－1＝0即为到点O和点A距离相等的点的轨迹方程．04课后课时精练
一、选择题
1．命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是(　　)
A．简单命题　　　　　　　
B．“p∨q”形式的复合命题
C．“p∧q”形式的复命命题
D．“綈p”形式的复合命题
解析：该命题为p∧q形式的复命题．p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相平分．
答案：C
2．如果命题“綈(p∨q)”为假命题，则(　　)
A．p、q均为真命题
B．p、q均为假命题
C．p、q中至少有一个为真命题
D．p、q中至多有一个为真命题
解析：因为命题“綈(p∨q)”为假命题，所以p∨q为真命题．所以p、q一真一假或都是真命题．
答案：C
3．[2014·辽宁高考]设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是(　　)
A.
p∨q　　　　　　　　
B.
p∧q
C.
(綈p)∧(綈q)
D.
p∨(綈q)
解析：本题主要考查复合命题真假的判断，意在考查考生的推理论证能力．先对命题p和q的真假进行判断，然后结合“或”、“且”、“非”复合命题的真假判断方法判断命题的真假．对于命题p：因为a·b＝0，b·c＝0，所以a，b与b，c的夹角都为90°，但a，c的夹角可以为0°或180°，故a·c≠0，所以命题p是假命题；对于命题q：a∥b，b∥c说明a，b与b，c都共线，可以得到a，c的方向相同或相反，故a∥c，所以命题q是真命题．选项A中，p∨q是真命题，故A正确；选项B中，p∧q是假命题，故B错误；选项C中，綈p是真命题，綈q是假命题，所以(綈p)∧(綈q)是假命题，所以C错误；选项D中，p∨(綈q)是假命题，所以D错误．故选A.
答案：A
4．命题“三角形中最多有一个内角是钝角”的否定是(　　)
A．有两个内角是钝角
B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角
D．没有一个内角是钝角
解析：∵“最多”的否定为“至少”，∴“最多有一个内角是钝角”的否定为“至少有两个内角是钝角”．
答案：C
5．[2014·青海西宁一模]命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|>1是|a＋b|>1的充分而不必要条件；命题q：函数y＝的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则(　　)
A.
“p或q”为假
B.
“p且q”为真
C.
“p或q”为真
D.
“p且綈q”为真
解析：p：因为|a＋b|≤|a|＋|b|，所以当1<|a＋b|时，1<|a|＋|b|成立；反之不成立，所以|a|＋|b|>1是|a＋b|>1的必要而不充分条件，假命题；q：由|x－1|－2≥0，得x≥3或x≤－1，所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，真命题．所以“p或q”为真．
答案：C
6.
已知命题p：函数y＝2|x－1|的图象关于直线x＝1对称；q：函数y＝x＋在(0，＋∞)上是增函数．由它们组成的新命题“p且q”“p或q”“綈p”中，真命题有(　　)
A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个
解析：命题p是真命题，y＝x＋在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故q为假命题．
∴p且q为假，p或q为真，綈p为假．
答案：B
二、填空题
7．下列命题中：①命题“2是素数也是偶数”是“p∧q”命题；
②命题“綈p∧q”为真命题，则命题p是假命题；
③命题p：1、3、5都是奇数，则綈p：1、3、5不都是奇数；
④命题“(A∩B) A (A∪B)”的否定为“(A∩B) A (A∪B)”．
其中，所有正确命题的序号为________．
解析：①②③都正确；
命题“(A∩B) A (A∪B)”的否定为“(A∩B) A或A (A∪B)”，④不正确．
答案：①②③
8．命题“x＝±1都能使有意义”是________形式的命题，它是________命题．
解析：p为“x＝1能使有意义”，q为“x＝－1能使有意义”，p真q假．
答案：p且q　假
9．若命题p：不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a解析：因命题p、q均为假命题，所以“p∨q”“p∧q”为假命题，“綈p”为真命题．
答案：2
三、解答题
10．写出下列命题p的否定形式綈p及否命题，并判断它们的真假：
(1)p：矩形的四个角都是直角；
(2)p：若a＝b，且b＝c，则a＝c.
解：(1)綈p：矩形的四个角不都是直角，假命题．
否命题：不是矩形的四边形的四个角不都是直角，真命题．
(2)綈p：若a＝b，且b＝c，则a≠c，假命题．
否命题：若a≠b或b≠c，则a≠c，假命题．
如a＝c≠0，b＝0.
11．设命题p：方程2x2＋x＋a＝0的两根x1，x2满足x1<1(1)若p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)试问：p∧q是否有可能为真命题？若有可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由．
解：(1)令f(x)＝2x2＋x＋a，则f(1)<0，
∴3＋a<0.∴a<－3.
(2)若q为真命题，则a>0且a－1>0，∴a>1.
∵a<－3与a>1不可能同时成立，
∴p∧q不可能为真命题．
12．已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解．若p∧q是假命题，綈p也是假命题．求实数a的取值范围．
解：∵p∧q是假命题，綈p是假命题，∴命题p是真命题，命题q是假命题．
∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，
∴
∴|x1－x2|＝＝，
∴当m∈[－1,1]时，|x1－x2|max＝3.
由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立，可得a2－5a－3≥3.
∴a≥6或a≤－1，
∴当命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解，
①当a>0时，显然有解；
②当a＝0时，2x－1>0有解；
③当a<0时，∵ax2＋2x－1>0，Δ＝4＋4a>0，∴－1从而命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解时，a>－1.
又命题q是假命题，∴a≤－1.
综上所述： a≤－1.
所以所求a的取值范围为(－∞，－1]．03课堂效果落实
1.[2014·四川宜宾测试]已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是(　　)
A.
　　　　　　　　
B.
C.
D.
2
解析：由已知可得c＝，a＝1，∴b＝1.
∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－1)．
将y＝代入，可得点P的横坐标为x＝－.
∴点P到原点的距离为
＝.
答案：A
2．[2014·扬州高二检测]已知方程－＝1表示的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　)
A．k>5
B．k>5或－2C．k>2或k<－2
D．－2解析：由于方程－＝1只需满足(k－5)与(|k|－2)同号，方程即能表示双曲线．∵方程的图形是双曲线，∴(k－5)(|k|－2)>0，即或解得k>5或－2答案：B
3．已知双曲线的方程为－＝1，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为(　　)
A．2a＋2m
B．4a＋2m
C．a＋m
D．2a＋4m
解析：∵A、B在双曲线的右支上，
∴|BF1|－|BF2|＝2a，
|AF1|－|AF2|＝2a，
∴|BF1|＋|AF1|－(|BF2|＋|AF2|)＝4a.
∴|BF1|＋|AF1|＝4a＋m.
∴△ABF1的周长为4a＋m＋m＝4a＋2m.
答案：B
4．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　)
A.
－＝1
B.
－＝1
C.
－＝1
D.
－＝1
解析：依题意，2a＋2b＝·2c.
即a＋b＝c，∴a2＋2ab＋b2＝2(a2＋b2)．
∴(a－b)2＝0，即a＝b.
∵一个顶点坐标为(0,2)，∴a2＝b2＝4，
∴双曲线方程为y2－x2＝4.
答案：A
5．已知双曲线的两个焦点F1、F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程．
解：若以线段F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式．由题意得2a＝24,2c＝26.
∴a＝12，c＝13，b2＝132－122＝25.
此时双曲线的焦点在x轴上，
双曲线的方程为－＝1.
若以线段F1F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系．
此时双曲线的焦点在y轴上，
则双曲线的方程为－＝1.03课堂效果落实
1.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　)
A．x2＝±3y　　　　　
B．y2＝±6x
C．x2＝±12y
D．x2＝±6y
解析：因为顶点在原点，对称轴是y轴，则开口向上或向下，由＝3，得p＝6.故方程为x2＝±2py＝±12y.
答案：C
2．[2014·安徽高考]抛物线y＝x2的准线方程是(　　)
A.
y＝－1
B.
y＝－2
C.
x＝－1
D.
x＝－2
解析：抛物线y＝x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1.
答案：A
3．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于(　　)
A．3
B．4
C．3
D．4
解析：设直线AB的方程为y＝x＋b，
由消去y化简整理得x2＋x＋b－3＝0，
∴x1＋x2＝－1，进而可求出AB的中点M(－，－＋b)，又由M(－，－＋b)在直线x＋y＝0上可求出b＝1，∴x2＋x－2＝0，
∴x1＋x2＝－1，x1x2＝－2，
∴|AB|＝＝＝＝3.
答案：C
4．[2013·江西高考]抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
解析：本题主要考查抛物线的概念、直线与双曲线的关系．由于x2＝2py(p>0)的准线为y＝－，由，解得准线与双曲线－＝1的交点为A(－，－)，B(
，－)，|AB|＝2，由△ABF为等边三角形，得|AB|＝p，解得p＝6.
答案：6
5.
[2014·黑龙江哈尔滨三模]已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B，C两点．当直线l的斜率是时，＝4.
(1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，直线l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.
联立得2y2－(8＋p)y＋8＝0，y1＋y2＝，y1y2＝4.
由已知＝4得y2＝4y1.
由韦达定理可得y1＝1，y2＝4，p＝2，
∴抛物线G的方程为x2＝4y.
(2)设l：y＝k(x＋4)，BC中点坐标为(x0，y0)，
由得x2－4kx－16k＝0，
由Δ>0得k<－4或k>0，
∴x0＝＝2k，
y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k，
∴BC的中垂线为y－2k2－4k＝－(x－2k)，
∴b＝2(k＋1)2，
∴b>2.04课后课时精练
一、选择题
1．下面各组向量为直线l1与l2方向向量，则l1与l2一定不平行的是(　　)
A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B．a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)
C．a＝(2,3,0)，b＝(4,6,0)
D．a＝(－2,3,5)，b＝(－4,6,8)
解析：l1与l2不平行则其方向向量一定不共线．
A中：b＝－2a，B中b＝－3a，C中b＝2a.
故选D.
答案：D
2．两向量ν1＝(2,0,3)，ν2＝(－3,0,2)，则以向量ν1，ν2为方向向量的直线l1，l2的夹角为(　　)
A．90°　　　　　　　　　
B．45°
C．60°
D．30°
解析：cos〈ν1，ν2〉＝＝0，故选A.
答案：A
3．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，若⊥，则λ等于(　　)
A．28
B．－28
C．14
D．－14
解析：＝(－2，－6，－2)，＝(－1,6，λ－3)，
∵⊥，
∴·＝0即2－36－2(λ－3)＝0，
∴λ＝－14，故选D.
答案：D
4．[2014·兰州高二测试]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)
A．45°
B．60°
C．90°
D．30°
解析：以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立直角坐标系．
设棱长为1，则E(1,0，)，F(1，，0)，G(1,1，)，
H(，1,1)．
∴＝(0，，－)，＝(－，0，)，
cos〈，〉＝＝－，
故选B.
答案：B
5．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是(　　)
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
解析：连结A1B，由正棱柱性质知，E1D∥A1B，连结A1C1，在Rt△A1AB中，A1A＝，AB＝1，
∴A1B＝，同理BC1＝；
在△A1B1C1中，
||＝＝.
故△A1BC1为等边三角形，
∵E1D∥A1B，
∴∠A1BC1＝60°就是E1D与BC1所成的角，故选B.
答案：B
6．[2014·沈阳高二测试]如图所示，AC1是正方体的一条体对角线，点P、Q分别为其所在棱的中点，则PQ与AC1所成的角为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：设正方体棱长为1，以点A1为坐标原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则P(，0,0)，Q(0,1，)，A(0,0,1)，C1(1,1,0)，所以＝(－，1，)，＝(1,1，－1)，故·＝－×1＋1×1＋×(－1)＝0，∴⊥，即PQ与AC1所成的角为.
答案：D
二、填空题
7．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与哪个坐标平面平行________．
解析：＝(0,5，－3)，因yOz面方程为x＝0，
故∥yOz面．
答案：yOz面
8．已知直线l的方向向量ν＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y＝________，z＝________.
解析：由题意知，＝(－1,2－y，z－3)，ν∥，
∴＝＝，∴y＝，z＝.
答案：　
9．已知点A、B、C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)点P的坐标为(x,0，z)，若⊥，⊥，则P点坐标为________．
解析：＝(－1，－1,1)，＝(2,0,1)，
＝(－x,1，－z)
∴·＝0，·＝0，
即x－1－z＝0，①
－2x－z＝0，②
由①②得x＝，z＝－，∴P(，0，－)．
答案：(，0，－)
三、解答题
10．[2014·南京高二联考]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
证明：∵M＝－＝－＝(－)＝，
∴M∥，而MN 平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD.
11．[2014·吉林高二测试]直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点．在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．
解：如图所示，建立以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴的坐标系，则C1(0,2,3)，
M，D(0,0,0)，设存在N(0,0，h)，则M＝，＝(0,2,3)，M·＝·(0,2,3)＝－4＋3h，
∴当h＝时，M·＝0，
此时M⊥.
∴存在N∈DD1，使MN⊥DC1.
12．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．
解：如图所示，以C为原点建立空间直角坐标系．
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．
∴|B|＝＝，
∴BN的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，
C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴·＝3.
又∵||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝
＝.
∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为.阶段水平测试(三)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．在空间直角坐标系Oxyz中，P点的坐标(x，y，z)，P点关于坐标平面yOz对称的对称点的坐标为(　　)
A.
(－x，y，z)　　　　　　　
B.
(－x，－y，z)
C.
(x，－y，－z)
D.
(－x，－y，－z)
解析：由对称的特点易知(x，y，z)关于yOz对称的坐标y，z不变，x变为相反数．
答案：A
2.
若平面α、β的法向量分别为u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)，则(　　)
A.
α∥β
B.
α⊥β
C.
α、β相交但不垂直
D.
以上均不正确
解析：因为≠≠，且u·v≠0，所以α、β相交但不垂直．
答案：C
3．[2014·桂林高二检测]已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则M－A＋A等于(　　)
A.D
B.
3M
C.
3G
D.
2M
解析：M－A＋A
＝M－(A－A)＝M－D
＝M＋B＝M＋2
M
＝3
M.
答案：B
4.
已知A(2，－4，－1)，B(－1,5,1)，C(3，－4,1)，D(0,0,0)，令a＝，b＝，则a＋b为(　　)
A.
(5，－9,2)
B.
(－5,9，－2)
C.
(5,9，－2)
D.
(5，－9，－2)
解析：∵a＝＝(－1,0，－2)，
b＝＝(－4,9,0)，∴a＋b＝(－5,9，－2)．
答案：B
5.
若BC在平面α内，斜线AB与平面α所成的角γ，∠ABC＝θ，AA′⊥平面α，垂足为A′，∠A′BC＝β，那么(　　)
A．cosθ＝cosγ·cosβ
B．sinθ＝sinγ·sinβ
C．cosγ＝cosθ·cosβ
D．cosβ＝cosγ·cosθ
解析：利用公式cosθ＝cosθ1cosθ2求解．
答案：A
6.
若m⊥a，m⊥b，n＝λa＋tb(λ，t∈R，且λ，t≠0)，则(　　)
A.
m∥n
B.
m⊥n
C.
m与n不平行也不垂直
D.
m与n的关系以上三种都有可能
解析：m·n＝m·(λa＋tb)＝λm·a＋tm·b.
∵m⊥a，∴m·a＝0.∵m⊥b，∴m·b＝0.
∴m·n＝0，∴m⊥n.
答案：B
7．[2014·安徽省合肥一中月考]已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC、AD的中点，则·的值为(　　)
A.
a2
B.
a2
C.
a2
D.
a2
解析：如图，＝(＋)，＝，·＝(·＋·)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.
答案：C
8．在以下命题中，不正确的个数为(　　)
①|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；
②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；
③对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若＝2－2－，则P、A、B、C四点共面；
④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；
⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：①错应为充分不必要条件；②错，应强调b≠0；③错，∵2－2－1≠1；⑤错，根据数量积公式．
答案：C
9．空间四边形ABCD的各边及对角线长均为1，E是BC的中点，则(　　)
A.·<·
B.·＝·
C.·>·
D.·与·不能比较大小
解析：如右图
，易证AE⊥BC，故·＝0，取BD中点F，连接EF，AF，则EF∥CD.在△AEF中，AE＝AF＝，EF＝，得∠AEF是锐角，所以〈，〉是钝角，即〈，〉是钝角，所以·<0，故选C.
答案：C
10．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1内(含正方体表面)任取一点M，平面ABCD的一个法向量为n，且|n|＝2，则n·≥1的概率P＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：本题考查空间向量与几何概型的概率．以点A为原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设M(x，y，z)，x，y，z∈[0,2]．因为AA1⊥平面ABCD，且|AA1|＝2，所以n＝(0,0,2)，因为n·≥1，所以2z≥1，所以≤z≤2，所以n·≥1的概率P＝＝，故选A.
答案：A
11．如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　)
A．45°　　　　　　
B．60°
C．90°
D．120°
解析：令＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|.
∵＝b＋c，＝(c－a)，再令|a|＝2.则||＝2，||＝.又·＝(b＋c)·(c－a)＝(b·c－b·a＋|c|2－c·a)＝(0－0＋4－0)＝2，
∴cos〈·〉＝＝，
∴EF与BC1所成的角为60°.
答案：B
12.
[2014·大庆高二检测]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，B1C的中点，则EF和平面ABCD所成角的正切值为(　　)
A.
B.
C.
D.
2
解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则点A1(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，F(，1，)，E(1，，0)，＝(－，，)
＝(0,0,1)为底面的一个法向量，
cos〈，〉＝＝＝，
所以EF和平面ABCD所成角θ的正弦值为
sinθ＝，∴tanθ＝＝.故选B.
答案：B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知过O点模为1,2,3的三个向量分别为a，b，c，且a·b＝b·c＝c·a＝0，则|a＋b＋c|的值为________．
解析：|a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝1＋4＋9＝14，∴|a＋b＋c|＝.
答案：
14．若平面α的一个法向量为n＝(3,3,0)，直线l的一个方向向量为b＝(1,1,1)，则l与α所成角的余弦值为________．
解析：由cos〈n，b〉＝＝，知l与α所成角的余弦值为　＝.
答案：
15．[2014·郑州高二检测]已知三棱锥S－ABC的三条侧棱长都等于a，且两两垂直，则二面角S－BC－A的正切值为________．
解析：取BC的中点D，连接SD、AD，易证∠SDA为S－BC－A的平面角，在Rt△SDA中有tan∠SDA＝＝＝
答案：
16．[2014·合肥高二调研]已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是________．
解析：如图建立空间直角坐标系Dxyz，
则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，
＝(－2,0,4)，＝(0,2,4)，＝(0,0,4)，
设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
解得x＝2z且y＝－2z，
不妨设n＝(2，－2,1)，
设点A1到平面AB1D1的距离为d.
则d＝＝.
答案：
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.
(10分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1,2)，B(1,2
－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)．
求证：四边形ABCD是一个梯形．
证明：因为＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，因为＝＝，所以和共线，即AB∥CD.
又因为＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，
＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，
因为≠≠，所以与不平行，
所以四边形ABCD为梯形．
18．(12分)[2014·陕西高二检测]如图所示，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．
解：(1)证明：∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.
又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC.∵AD 平面ABD，∴平面ADB⊥平面BDC.
(2)由∠BDC＝90°及(1)，知DA，DB，DC两两垂直．不妨设|DB|＝1，以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E(，，0)，
∴＝(，，－)，＝(1,0,0)，
∴与夹角的余弦值为cos〈，〉＝＝＝.
19．(12分)如右图
，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD.
(1)求证：AQ∥平面CEP；
(2)求证：平面AEQ⊥平面DEP.
证明：(1)∵EP⊥矩形ABCD所在的平面，且P、Q均为AB，DC的中点，
∴PQ⊥AB，故以P为坐标原点，以PA，PQ，PE分别为x轴，y轴，z轴建系如图．
令AB＝2，PE＝a，则
A(1,0,0)，Q(0,1,0)，E(0,0，a)，C(－1,1,0)．
∴＝(－1,1,0)，＝(－1,1,0)，
∴＝，
∴∥，∴AQ∥PC.
∵AQ 平面EPC，PC 平面EPC，
∴AQ∥平面EPC.
(2)∵D(1,1,0)，∴＝(1,1,0)，＝(0,0，a)，
∴·＝(－1,1,0)·(1,1,0)＝－1＋1＝0，
·＝(－1,1,0)·(0,0，a)＝0.
∴⊥，⊥，即AQ⊥PD，AQ⊥PE，
又∵PD∩PE＝P.
∴AQ⊥平面EPD，AQ 平面AEQ，
∴平面AEQ⊥平面DEP.
20．(12分)在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP.
(1)求直线AP与平面BCC1B1所成角的正弦值．
(2)求点P到平面ABD1的距离．
解：(1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，∵棱长为4，
∴A(4,0,0)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，D(0,0,4)，P(0,4,1)，∴＝(－4,4,1)，显然＝(0,4,0)为平面BCC1B1的一个法向量，
∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ的正弦值sinθ＝|cos〈，〉|＝
＝.
(2)设平面ABD1的法向量为n＝(x，y,1)，
∵＝(0,4,0)，＝(－4,0,4)，
由n⊥，n⊥，得
∴n＝(1,0,1)，
∴点P到平面ABD1的距离d＝＝.
21．(12分)[2014·山东聊城检测]正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B.
(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求二面角E－DF－C的余弦值；
(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，又AB 平面DEF，EF 平面DEF，∴AB∥平面DEF.
(2)以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(0，，1)，F(1，，0)，＝(1，，0)，＝(0，，1)，＝(0,0,2)．
平面CDF的法向量为＝(0,0,2)，设平面EDF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取n＝(3，－，3)，cos〈，n〉＝＝，
所以二面角E－DF－C的余弦值为.
(3)存在．设P(s，t,0)，则·＝t－2＝0，
∴t＝，
又＝(s－2，t,0)，＝(－s,2－t,0)，
∵∥，∴(s－2)(2－t)＝－st，
∴s＋t＝2.
把t＝代入上式得s＝，∴＝，∴在线段BC上存在点P，使AP⊥DE.
此时，＝.
22.
(12分)[2014·课标全国卷Ⅱ]如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥E－ACD的体积．
解：(1)连接BD交AC于点O，连接EO.
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO 平面AEC，PB 平面AEC，所以PB∥平面AEC.
(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系A－xyz，则D(0，，0)，E(0，，)，＝(0，，)．
设B(m,0,0)(m>0)，则C(m，，0)，＝(m，，0)．
设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
可取n1＝(，－1，)．
又n2＝(1,0,0)为平面DAE的法向量，由题设知
|cos〈n1，n2〉|＝，即＝，解得m＝.
因为E为PD的中点，所以三棱锥E－ACD的高为.三棱锥E－ACD的体积V＝××××＝.03课堂效果落实
1.
[2014·河南省郑州一中月考]抛物线x2＝8y的焦点坐标是(　　)
A.
(0,2)　　　　　　　
B.
(0，－2)
C.
(4,0)
D.
(－4,0)
解析：本题主要考查抛物线的标准方程与性质．由抛物线的方程为x2＝8y知，抛物线的焦点在y轴上，所以2p＝8，＝2，所以焦点坐标为(0,2)，故选A.
答案：A
2.
[2014·人大附中月考]以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为(　　)
A.
y2＝16x
B.
y2＝－16x
C.
y2＝8x
D.
y2＝－8x
解析：本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程及其几何性质．因为双曲线－＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x，故选A.
答案：A
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于(　　)
A．10
B．8
C．6
D．4
解析：根据抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋p.
答案：B
4.
[2014·四川省绵阳南山中学月考]抛物线y2＝2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．
解析：本题主要考查抛物线的定义和基本性质的应用．抛物线y2＝2x的焦点为F(，0)，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.
答案：2
5．抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
解：设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
∵点A在抛物线上，
∴(－3)2＝2pm或(－3)2＝－2pm.
∴m＝±.①
又|AF|＝＋|m|＝5，②
把①代入②可得＋＝5，即p2－10p＋9＝0.
∴p＝1或p＝9.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.04课后课时精练
一、选择题
1．命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a为常数)；
命题乙：P点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：∵乙 甲且甲D /乙，
∴甲是乙的必要不充分条件．
答案：B
2．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点F在BC上，则△ABC的周长是(　　)
A.
2　　　　　　　　
B.
6
C.
4
D.
12
解析：可知a＝，由椭圆的定义得|BF|＋|BA|＝|CF|＋|CA|＝2a＝2，
∴(|BF|＋|CF|)＋|BA|＋|CA|＝|BA|＋|CA|＋|BC|＝4，即△ABC的周长为4，故选C.
答案：C
3.
焦点在坐标轴上，且a2＝13，c2＝12的椭圆的标准方程为(　　)
A.
＋＝1
B.
＋＝1或＋＝1
C.
＋y2＝1
D.
＋y2＝1或x2＋＝1
解析：显然，此题中并没有讲明椭圆的焦点在哪个轴上，题中也没有条件能够得出相应的信息，所以本题中的标准方程应有两种情况，所以排除A和C，又由于a2＝13，c2＝12，∴b2＝1.
答案：D
4．[2014·铁岭高二检测]点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)
A．－B．a<－或a>
C．－2D．－1解析：由已知可得＋<1，∴a2<2，即－答案：A
5．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．斜三角形
D．直角三角形
解析：由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
由题可得|PF1|－|PF2|＝2，则|PF1|＝5，|PF2|＝3.
又|F1F2|＝2c＝4，
∴△PF1F2为直角三角形．
答案：D
6．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞)
B．(0,2)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
解析：将方程x2＋ky2＝2变形为＋＝1.∵焦点在y轴上，∴>2且k>0，∴0答案：D
二、填空题
7．椭圆＋＝1的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的________倍．
解析：由已知椭圆的方程得a＝2，b＝，c＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．
由于焦点F1和F2关于y轴对称，
∴PF2必垂直于x轴．
∴P(3，)或P(3，－)，|PF2|＝，
|PF1|＝2a－|PF2|＝.
∴|PF1|＝7|PF2|.
答案：7
8．已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
解析：|AB|＝|F1A|＋|F1B|＝(2a－|F2A|)＋(2a－|F2B|)＝4a－(|F2A|＋|F2B|)＝20－12＝8.
答案：8
9．[2014·唐山高二检测]M是椭圆＋＝1上的任意一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，则|MF1|·|MF2|的最大值是________．
解析：|MF1|＋|MF2|＝2a.
|MF1|·|MF2|≤()2＝a2＝9.
答案：9
三、解答题
10．已知圆A：x2＋(y＋6)2＝400，圆A内一定点B(0,6)，圆C过B点且与圆A内切，求圆心C的轨迹方程．
解：设动圆C的半径为r，则|CB|＝r.
∵圆C与圆A内切，∴|CA|＝20－r.
∴|CA|＋|CB|＝20.
又|AB|＝12，∴|CA|＋|CB|＝20>|AB|.
∴点C的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．
∵2a＝20,2c＝12，
∴a＝10，c＝6，b2＝64.
又∵A、B在y轴上，
∴C点的轨迹方程为＋＝1.
11．求适合下列条件的椭圆的方程．
(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.
解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)
∴∴
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.
又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，
∴－c－(－10)＝2，故c＝8，
∴b2＝a2－c2＝36，
∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.
12.
[2014·青岛高二检测]设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．
(1)若椭圆C上的点A(1，)到F1，F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程．
解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1，F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.又点A(1，)在椭圆上，因此＋＝1，得b2＝3，则c2＝a2－b2＝1.所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．
(2)设椭圆C上的动点K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)，则x＝，y＝，即x1＝2x＋1，y1＝2y.
因为点K(x1，y1)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，即(x＋)2＋＝1，此即为所求的轨迹方程．03课堂效果落实
1.
[2014·福建省福州一中月考]已知向量a＝(1，－2,1)，a＋b＝(3，－6,3)，则b等于(　　)
A.
(2，－4,2)　　　　　　
B.
(－2,4,2)
C.
(－2,0，－2)
D.
(2,1，－3)
解析：本题主要考查空间向量的坐标运算．b＝(a＋b)－a＝(3，－6,3)－(1，－2,1)＝(2，－4,2)，故选A.
答案：A
2.
[2014·山东省济宁市质检]已知向量a＝(2，－3,5)与b＝(4，x，y)平行，则x，y的值分别为(　　)
A.
6和－10
B.
－6和10
C.
－6和－10
D.
6和10
解析：本题主要考查空间两向量平行的坐标表示．因为向量a＝(2，－3,5)与b＝(4，x，y)平行，所以＝＝，解得x＝－6，y＝10，故选B.
答案：B
3．已知：a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于(　　)
A．3
B．2
C.
D．5
解析：a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(1＋2＋6,0＋1＋2,1－1＋0)＝(9,3,0)，∴|a－b＋2c|＝＝3.
答案：A
4．[2014·人大附中期中考试]△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，)，B(－，，)，C(－1,0，)，则角A的大小为________．
解析：本题主要考查空间向量所成角.＝(－，，0)，＝(－1,0,0)．则cosA＝＝＝，故角A的大小为30°.
答案：30°
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值．
解：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，B1(4,4,3)，C(0,4,0)，得＝(0,4，－3)，＝(－4,0，－3)．设与的夹角为θ，则cosθ＝＝
，
∴与的夹角即异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为.04课后课时精练
一、选择题
1．给出下列命题：①存在实数x0>1，使x>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使关于x的方程ax2－ax＋1＝0的根为负数．
其中特称命题的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
解析：只有②是全称命题．
答案：C
2．“存在集合A，使 ?A”，对这个命题，下面说法中正确的是(　　)
A．全称命题、真命题　　　
B．全称命题、假命题
C．特称命题、真命题
D．特称命题、假命题
解析：当A≠ 时， ?A，是特称命题，且为真命题．
答案：C
3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是(　　)
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b
C．存在一条直线与两个相交平面都垂直
D．存在一个实数x0使不等式x－3x0＋6<0成立
解析：C、D是特称命题，A是假命题．
答案：B
4．特称命题“存在实数x0使x＋1<0”可写成(　　)
A．若x∈R，则x2＋1<0
B． x∈R，x2＋1<0
C． x0∈R，x＋1<0
D．以上都不正确
解析：特称命题“存在一个x0∈R，使p(x0)成立”简记为“ x0∈R，使p(x0)成立”．
答案：C
5．下列命题中假命题的个数为(　　)
① x∈R,2x－1>0
② x∈N
，(x－1)2>0
③ x0∈R，lgx0>1
④ x0∈R，tanx0＝2
⑤ x0∈R，sin2x0＋sinx0＋1＝0
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：本题考查全称命题和特称命题的真假判断．
①中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；
②中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；
③中命题是特称命题，当x＝100时，lgx＝2，故是真命题；
④中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题．
⑤(sinx0＋)2＋≥>0成立，可知为假命题．
答案：B
6．若对于 x∈R，x2≥a＋2|x|恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<－1
B．a≤－1
C．a>－1
D．a≥－1
解析：对于 x∈R，x2≥a＋2|x|恒成立，
即a≤x2－2|x|恒成立．
令f(x)＝x2－2|x|，x∈R，
则f(－x)＝f(x)．
当x≥0时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，故a≤－1.
答案：B
二、填空题
7．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“ ”或“ ”符号表示为__________________________．
答案： x≤0，x3≤0
8．若 x∈R，使x＋＝m成立，则实数m的取值范围是________．
解析：依题意，关于x的方程x＋＝m有实数解，
由基本不等式得x＋≥2或x＋≤－2，∴m≥2或m≤－2.
答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)
9．下列命题中，是全称命题或特称命题的是________．
①正方形的四条边相等；②所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数；⑤所有正数都是实数吗？
解析：④为特称命题，①②③为全称命题，而⑤不是命题．
答案：①②③④
三、解答题
10．判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；
(2)存在一条直线，其斜率不存在；
(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；
(4)存在实数x0，使得＝2.
解：(1)是全称命题，用符号表示为“ α∈R，sin2α＋cos2α＝1”，是真命题．
(2)是特称命题，用符号表示为“ 直线l，l的斜率不存在”，是真命题；
(3)是全称命题，用符号表示为“ a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．
(4)是特称命题，用符号表示为“ x0∈R，＝2”，是假命题．
11.
已知命题：“ x∈[－1,1]，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)命题：“ x∈[－1,1]，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1恒成立，
∴m>(x2－x)max，得m>2，
即B＝{m|m>2}．
(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，
①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝ ，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立．
③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a∴3a≥2，此时a∈[，1)．
综上①②③可得a∈[，＋∞)．
12．(1)若全称命题“任意x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥0恒成立”为真命题，求a的取值范围；
(2)若特称命题“存在x0∈R，使log2(ax＋x0＋2)<0”为真命题，求a的取值范围．
解：(1)当x∈[－1，＋∞)时，x2－2ax＋2≥0恒成立，等价于二次函数y＝x2－2ax＋2的图象在x轴的上方，只需满足Δ<0或即4a2－8<0或所以－所以a的取值范围是[－，)．
(2)log2(ax＋x0＋2)<0 0当a＝0时，－2当a≠0时，或即0综上所述，a<，即所求a的取值范围是(－∞，)．03课堂效果落实
1.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为(　　)
A．(±13,0)　　　　　
B．(0，±10)
C．(0，±13)
D．(0，±)
解析：由题意知a＝13，b＝10，焦点在y轴上．所以c＝＝＝.故焦点坐标为(0，±)．
答案：D
2.
过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：∵PF1⊥F1F2，F1F2＝2c，∠F1PF2＝60°，∴|PF1|＝c，|PF2|＝c，∴|PF1|＋|PF2|＝2a，∴c＋c＝2a，得e＝＝.
答案：B
3．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是(　　)
A．[4－2，4＋2]
B．[4－，4＋]
C．[4－2，4＋2]
D．[4－，4＋]
解析：把(m，n)代入方程得8m2＋3n2＝24，
∴24－8m2＝3n2≥0
解得－≤m≤
∴4－2≤2m＋4≤2＋4.
答案：A
4．[2014·湖南岳阳模拟]在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.
过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
解析：由△ABF2的周长＝4a＝16，得a＝4，又知离心率为，即＝，得c＝2，所以a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，∴C的方程为＋＝1.
答案：＋＝103课堂效果落实
1.下列命题：
①今天有人请假；②中国所有的江河都流入太平洋；③中国公民都有受教育的权力；④每一个中学生都要接受爱国主义教育；⑤有人既能写小说，也能搞发明创造
⑥任何一个数除0都等于0.
其中是全称命题的有(　　)
A．1个　　　　　　　　
B．2个
C．3个
D．不少于4个
解析：②、③、④、⑥都含有全称量词．
答案：D
2．下列全称命题中真命题的个数为(　　)
①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③正四面体中两侧面的夹角相等．
A．1
B．2
C．3
D．0
解析：①②③均为全称命题且均为真命题，故选C.
答案：C
3．下列命题不是“存在x0∈R，x>3”的表述方法的是(　　)
A．有一个x0∈R，使得x>3成立
B．对有些x0∈R，使得x>3成立
C．任选一个x∈R，使得x2>3成立
D．至少有一个x0∈R，使得x>3成立
解析：C答案已经是全称命题了．
答案：C
4．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x2)>0”用“ ”写成特称命题为__________________．
解析：“有些”即存在．
答案： x0∈R，x0<0，(1＋x0)(1－9x)>0
5．判断下列命题是全称命题还是特称命题？并判断其真假．
(1)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；
(2)每个二次函数的图象都与x轴相交；
(3)若对所有的正实数，不等式m≤x＋都成立，则m≤2；
(4)如果对任意的正整数n，数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b为常数)，那么数列{an}为等差数列．
解：(1)特称命题．
∵x2＋x＋8＝(x＋)2＋>0，
∴命题为假命题．
(2)全称命题，假命题．
如存在y＝x2＋x＋1与x轴不相交．
(3)全称命题．
∵x是正实数，
∴x＋≥2＝2(当且仅当x＝1时“＝”成立)．
即x＋的最小值是2，而m≤x＋，从而m≤2.
所以这个全称命题是真命题．
(4)全称命题．
∵Sn＝an2＋bn，∴a1＝a＋b.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)＝2na＋b－a，
又n＝1时，a1＝a＋b也满足上式，
所以an＝2an＋b－a(n∈N
)．
从而数列{an}是等差数列，即这个全称命题也是真命题．04课后课时精练
一、选择题
1．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则＝＝是a∥b的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：设＝＝＝k，易知a∥b.即条件具有充分性．
又若b＝0时，b＝(0,0,0)，虽有a∥b，但条件＝＝显然不成立，所以条件不具备必要性．
答案：A
2.
已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，若⊥，则λ的值为(　　)
A.
－13　　　　　　　
B.
－14
C.
14
D.
13
解析：本题主要考查空间向量垂直的概念．由于＝(－2，－6，－2)，＝(－1,6，λ－3)，由·＝0可得2－36－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14，故选B.
答案：B
3.
如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA
，EA＝AB＝DA＝2CB，EA⊥AB，M是EC的中点．则下述结论正确的一项是(　　)
A.
DM⊥EB
B.
DM⊥EC
C.
DM⊥EM
D.
DM⊥BA
解析：
本题主要考查利用空间向量法判断线线垂直．以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，并设EA＝DA＝AB＝2CB＝2，则E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,1)，D(0,0,2)，M(1,1，)，＝(1,1，－)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝(－1,1，)，＝(0,2,0)，仅有·＝0，从而得DM⊥EB，故选A.
答案：A
4.
[2014·湖北省八校联考]已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O为坐标原点，点D在直线OC上运动，则当·取最小值时，点D的坐标为(　　)
A.
(，，)
B.
(，，)
C.
(，，)
D.
(，，)
解析：本题主要考查空间向量的坐标运算以及数量积运算，考查函数思想．点D在直线OC上运动，因而可设＝(a，a,2a)，＝(1－a,2－a,3－2a)，＝(2－a,1－a,2－2a)，·＝(1－a)(2－a)＋(2－a)(1－a)＋(3－2a)(2－2a)＝6a2－16a＋10，所以a＝时·最小为－，此时＝(，，)，故选C.
答案：C
5．已知a＝(sinθ，cosθ，tanθ)，b＝(cosθ，sinθ，)且a⊥b，则θ等于(　　)
A．－
B.
C．2kπ－(k∈Z)
D．kπ－(k∈Z)
解析：注意本题中θ不是a、b的夹角，故有无数个θ的值满足条件．
2sinθcosθ＝－1，sin
2θ＝－1，
2θ＝2kπ－(k∈Z)，
θ＝kπ－π(k∈Z)．
答案：D
6．已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：解法一：设BC的中点为D，连接A1D，AD，易知θ＝∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角，由三角余弦定理，易知cosθ＝cos∠A1AD·cos∠DAB＝·＝.
解法二：由题意A1D⊥平面ABC，
又D为BC中点，∴AD⊥BC，
故以D为坐标原点建立直角坐标系，设侧棱长与底面边长均等于a，
则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，，0)，A1(0,0，a)，
＝(－a,0，a)，＝(－a，，0)．
异面直线AB与CC1所成的角为∠A1AB.
∴cos∠A1AB＝＝＝.
答案：D
二、填空题
7.
已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5，1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为________．
解析：由四边形ABCD是平行四边形知＝，
设D(x，y，z)，
则＝(x－4，y－1，z－3)，＝(1,12，－6)，
所以解得
即D点坐标为(5,13，－3)．
答案：(5,13，－3)
8．已知边长为4的正方形ABCD所在平面外一点P与正方形的中心O的连线PO垂直于平面ABCD，且PO＝6，则PO的中点M到△PBC的重心N的距离为________．
解析：本题主要考查利用空间向量求两点间的距离．建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,2,0)，C(－2,2,0)，P(0,0,6)，由题意得，M(0,0,3)，N(0，，2)，则＝(0，，－1)，
于是||＝＝.
故M到△PBC的重心N的距离为.
答案：
9．[2014·烟台高二检测]已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，则k的值为________．
解析：a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)，
b＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)，
∴ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，
ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)，
∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，
即2k2＋k－10＝0，
∴k＝－或k＝2.
答案：－或2
三、解答题
10．已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)．
计算：(1)(a＋b)·(a－b)；
(2)(a＋b)2；
(3)与a共线的单位向量．
解：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
＝(9＋25＋16)－(4＋1＋64)＝－19.
(2)a＋b＝(5,6,4)，|a＋b|2＝52＋62＋42＝77.
(3)∵|a|＝＝5，
∴与a共线的单位向量为
a0＝±＝±(3,5，－4)＝(±，±， )，
即a0＝(，，－)或(－，－，)．
11．已知P是正方形ABCD外一点，M，N分别是PA，BD上的点，且＝＝.
(1)求证：直线MN∥平面PBC；
(2)若∠PAD＝45°且PD⊥平面ABCD，求异面直线MN，PD所成角的余弦值．
解：(1)＝＋＋＝－＋＋＝－(－)＋＋(＋)＝＋＝＋，
取BC的中点为G，则＋＝2，
因此＝，故MN∥PG，
又PG 平面PBC，MN 平面PBC，故MN∥平面PBC.
(2)由四边形ABCD为正方形且PD⊥平面ABCD知，DA，DC，DP两两垂直，
以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设DA＝3，则A(3,0,0)，P(0,0,3)，
则M(1,0,2)，N(2,2,0)，得＝(－1，－2,2)，＝(0,0,3)，
故cos〈，〉＝＝＝，
故异面直线MN，PD所成角的余弦值为.
12．如右图，正四棱锥S－ABCD的侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，O为底面ABCD的中心．
(1)求CE的长；
(2)求异面直线BE与SC所成角的余弦值；
(3)若OG⊥SC，垂足为G，求证：OG⊥BE.
解：
如图，以O为原点，以、、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
因为侧棱长为，底面边长为，E为SA的中点，
所以A(，0,0)，S(0,0，)，C(－，0,0)，B(0，，0)，E(，0，)．
(1)＝(，0，)，
所以||＝＝.
(2)因为＝(，－，)，＝(－，0，－)，所以cos〈，〉＝＝＝－，
故异面直线BE和SC所成角的余弦值为.
(3)因为G在SC上，所以与共线，
可设＝λ＝(－λ，0，－λ)，则＝＋＝(0,0，)＋(－λ，0，－λ)
＝(－λ，0，(1－λ))．
又⊥，所以·＝0，
即λ－(1－λ)＝0，所以λ＝，
所以＝(－，0，)．
又＝(，－，)，所以·＝－＋0＋＝0，
所以⊥，即OG⊥BE.04课后课时精练
一、选择题
1.
抛物线y＝－x2的焦点坐标是(　　)
A.
(0，－4)　　　　　　　
B.
(0，－2)
C.
(－，0)
D.
(－，0)
解析：本题主要考查由抛物线方程求焦点坐标．抛物线方程可化成x2＝－8y，所以焦点坐标为(0，－2)，故选B.
答案：B
2.
已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于(　　)
A.
2
B.
1
C.
4
D.
8
解析：本题主要考查抛物线的焦点到准线的距离．抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，焦点F到抛物线准线的距离等于4，故选C.
答案：C
3.
[2014·湖南省长沙一中期中]已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A，B两点，若∈(0,1)，则＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系．因为抛物线的焦点为(0，)，直线方程为y＝x＋，与抛物线方程联立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p，所以＝＝.故选C.
答案：C
4.
过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O为原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　　)
A.
B.
C.
D.
2
解析：本题主要考查抛物线中基本量的计算与运用基本量之间的关系解决问题的能力．根据题意画出简图，设∠AFx＝θ(0<θ<π)及|BF|＝m，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得：3＝2＋3cosθ cosθ＝，又m＝2＋mcos(π－θ) m＝＝，△AOB的面积为S＝×|OF|×|AB|×sinθ＝×1×(3＋)×＝，故选C.
答案：C
5.
[2012·四川高考]已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝(　　)
A.
2
B.
2
C.
4
D.
2
解析：由题意可设抛物线方程为y2＝2px.
由|MF|＝＋2＝3得p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x.
∴点M为(2，±2)，|OM|＝＝2，故选B.
答案：B
6．[2014·课标全国卷Ⅰ]已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)
A.
1
B.
2
C.
4
D.
8
解析：本题考查抛物线的定义和考生的计算能力．由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A.
答案：A
二、填空题
7．[2014·陕西延安一模]在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．
解析：如图所示，线段OA所在的直线方程为y＝x，其中垂线方程为2x＋y－＝0，
∴令y＝0，得x＝，即F(，0)．
∴p＝，y2＝5x，其准线方程为x＝－.
答案：x＝－
8.
[2014·江苏盐城月考]已知过点P(4,0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
解析：当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4，代入y2＝4x，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y＋y＝16＋16＝32；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－4)，与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－16k＝0，
由题意知k≠0，则y1＋y2＝，y1y2＝－16.
∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32>32.
综上知，(y＋y)min＝32，
答案：32
9.
[2014·湖南高考]平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．
解析：本题以实际应用问题为载体，考查抛物线方程、直线方程及直线与抛物线的位置关系等知识，结合方程思想、数形结合思想和转化思想求解实际问题．由题意可知机器人的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为y2＝4x，过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，由题意知直线与抛物线无交点，联立消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，则Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，所以k2>1，得k>1或k<－1.
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
三、解答题
10.
如右图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．
解：由
解得A(4,4)、B(1，－2)，∴|AB|＝3，
设P(x0，y0)为抛物线AOB这条曲线上一点，d为P到直线AB的距离．
d＝＝|－y0－4|＝|(y0－1)2－9|，
∵－2∴d＝[9－(y0－1)2]．
从而当y0＝1时，dmax＝，
Smax＝××3＝.
因此，当P为(，1)时，△PAB的面积取得最大值，最大值为.
11.
[2014·江西师大附中期中考试]已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，|PF|＝4.
(1)求抛物线的方程；
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(yi≤0，i＝1,2)是抛物线上的两点，∠APB的角平分线与x轴垂直，求直线AB的斜率；
(3)在(2)的条件下，若直线AB过点(1，－1)，求弦AB的长．
解：(1)设P(x0
,4)，因为|PF|＝4，由抛物线的定义得x0＋＝4，
又42＝2px0，所以x0＝，因此＋＝4，
解得p＝4，
所以抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由(1)知点P的坐标为(2,4)，因为∠APB的角平分线与x轴垂直，
所以PA，PB的倾斜角互补，即PA，PB的斜率互为相反数．
设直线PA的斜率为k，则PA：y－4＝k(x－2)．由题意知k≠0，
把x＝＋2－代入抛物线方程得y2－y－16＋＝0，该方程的解为4，y1，
由根与系数之间的关系得y1＋4＝，即y1＝－4.
因为PB的斜率为－k，所以y2＝－4，
所以kAB＝＝＝－1.
(3)结合(2)可得直线AB的方程为y＝－x，
代入抛物线方程得A(0,0)，B(8，－8)，故|AB|＝8.
12.
[2014·福建高考]已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.
(1)求曲线Γ的方程；
(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．
解：解法一：(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，
依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等．
所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y＝－1为准线的抛物线，
所以曲线Γ的方程为x2＝4y.
(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．证明如下：
由(1)知抛物线Γ的方程为y＝x2，设P(x0，y0)(x0≠0)，则y0＝x，由y′＝x，得切线l的斜率k＝y′|x＝x0＝x0，所以切线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.
由得A(x0,0)．
由得M(x0＋，3)．
又N(0,3)，所以圆心C(x0＋，3)，
半径r＝|MN|＝|x0＋|，|AB|＝＝＝.
所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．
解法二：(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，
则|y－(－3)|－＝2，
依题意，点S(x，y)只能在直线y＝－3的上方，所以y>－3，
所以＝y＋1，
化简得，曲线Γ的方程为x2＝4y.
(2)同解法一．03课堂效果落实
1.
[2014·河南省郑州一中月考]抛物线x2＝8y的焦点坐标是(　　)
A.
(0,2)　　　　　　　
B.
(0，－2)
C.
(4,0)
D.
(－4,0)
解析：本题主要考查抛物线的标准方程与性质．由抛物线的方程为x2＝8y知，抛物线的焦点在y轴上，所以2p＝8，＝2，所以焦点坐标为(0,2)，故选A.
答案：A
2.
[2014·人大附中月考]以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为(　　)
A.
y2＝16x
B.
y2＝－16x
C.
y2＝8x
D.
y2＝－8x
解析：本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程及其几何性质．因为双曲线－＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x，故选A.
答案：A
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于(　　)
A．10
B．8
C．6
D．4
解析：根据抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋p.
答案：B
4.
[2014·四川省绵阳南山中学月考]抛物线y2＝2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．
解析：本题主要考查抛物线的定义和基本性质的应用．抛物线y2＝2x的焦点为F(，0)，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.
答案：2
5．抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
解：设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
∵点A在抛物线上，
∴(－3)2＝2pm或(－3)2＝－2pm.
∴m＝±.①
又|AF|＝＋|m|＝5，②
把①代入②可得＋＝5，即p2－10p＋9＝0.
∴p＝1或p＝9.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.04课后课时精练
一、选择题
1.
已知三棱锥S—ABC中，SA，SB，SC两两互相垂直，底面ABC上一点P到三个面SAB，SAC，SBC的距离分别为，1，，则PS的长度为(　　)
A.
9　　　　　　　　　　　
B.
C.
D.
3
解析：由题意可分别以SA，SB，SC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则点S的坐标为(0,0,0)，点P的坐标为(，1，)，由两点之间的距离公式可得|PS|＝＝3.
答案：D
2.
[2012·陕西高考]如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：不妨设CB＝1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)．
∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)．
cos〈，〉＝＝＝，故选A.
答案：A
3.
[2013·陕西省高新一中期末考试]如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　)
A.
B.
C.
D.
1
解析：本题主要考查空间点到直线的距离，过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，则A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，＝(1,2，－3)，＝(x，y，z－3)，＝(x－1，y，z)．
因为所以解得所以＝(－，，)，所以点B到直线A1C的距离||＝，故选B.
答案：B
4.
如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E、F分别为C1D1、A1B的中点，则二面角B1－A1B－E的余弦值为(　　)
A.
－
B.
－
C.
D.
解析：本题考查空间直角坐标系中的线段中点、二面角等基础知识．设AD＝1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为E、F分别为C1D1、A1B的中点，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以＝(－1,1,0)，＝(0,2，－2)，设m＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则
所以所以取x＝1，则y＝z＝1，所以平面A1BE的一个法向量为m＝(1,1,1)，又DA⊥平面A1B1B，所以＝(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cos〈m，〉＝＝＝，又二面角B1－A1B－E为锐二面角，所以二面角B1－A1B－E的余弦值为，故选C.
答案：C
5．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点．则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为(　　)
A．60°
B．90°
C．45°
D．以上都不正确
解析：结合图形，以点D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如下图．
由题意知，A1(1,0,2)、E(1,1,1)、D1(0,0,2)，A(1,0,0)，∴＝(0,1，－1)，＝(1,1，－1)，＝(0，－1，－1)．
设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
令z＝1，得y＝1，x＝0.
所以n＝(0,1,1)，cos〈n，〉＝＝＝－1.
所以〈n，〉＝180°.所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.
答案：B
6．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α、β半平面上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角的大小为(　　)
A．60°
B．70°
C．80°
D．90°
解析：不妨设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F，如下图所示．
∵∠BPM＝∠BPN＝45°，
∴PE＝，PF＝，
∴·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋·
＝abcos60°－a·cos45°－·bcos45°＋·
＝－－＋＝0.
∴⊥.
∵EM、FN分别是α、β内与棱AB垂直的直线，
∴EM与FN之间的夹角就是所求二面角，
即α－AB－β的大小为90°.
答案：D
二、填空题
7．空间四点A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(3,1,0)，则点D到平面ABC的距离是________．
解析：
本题主要考查空间向量的坐标运算以及空间点到平面的距离的求法．由已知得＝(2，－2,1)，＝(4,0,6)，设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，则，即，令x＝3，则y＝2，z＝－2，所以n＝(3,2，－2)，＝(1，－2，－1)，所以点D到平面ABC的距离＝＝.
答案：
8.
[2013·辽宁大连一模]长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为________．
解析：建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)．
＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，
cos〈，〉＝＝.
所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.
答案：
9.
四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ的正弦值为________．
解析：
本题主要考查向量法求线面角，考查三角形重心坐标公式．分别以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由已知P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，则重心G(，，0)，因而＝(0,0,1)，＝(－，－，1)，那么sinθ＝|cos〈，〉|＝＝.
答案：
三、解答题
10．已知正四棱锥R－ABCD的底面边长为4，高为6，点P是高的中点，点Q是侧面RBC的重心．求：
(1)异面直线PQ与BR所成的角的余弦值；
(2)直线PQ与底面ABCD所成的角的余弦值．
解：以正四棱锥的底面
中心O为原点，过O平行于AD的直线为x轴，过O平行于AB的直线为y轴，OR为z轴建立空间直角坐标系，如右图所示．
则R(0,0,6)，B(2,2,0)，C(－2,2,0)，因为P是RO的中点，Q是△RBC的重心，所以P(0,0,3)，Q(0，，2)．
(1)＝(0，，－1)，＝(－2，－2,6)，
所以|cos〈，〉|＝＝，所以异面直线PQ与BR所成角的余弦值为.
(2)因为RO⊥底面ABCD，所以RE在底面的射影为OE，因为Q∈RE，所以Q在底面上的射影在OE上，所以直线PQ在底面上的射影为直线OE，所以PQ所在的直线与OE的夹角为PQ与底面ABCD所成的角，因为E(0,2,0)，所以＝(0,2,0)，所以cos〈，〉＝＝，所以直线PQ与底面ABCD所成的角的余弦值是.
11．[2014·福建高考]在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．
(1)求证：AB⊥CD；
(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
解：(1)∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB 平面ABD，
AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.
又CD 平面BCD，∴AB⊥CD.
(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图．
由(1)知AB⊥平面BCD，BE 平面BCD，BD 平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.
以B为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
依题意，得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M(0，，)，
则＝(1,1,0)，＝(0，，)，＝(0,1，－1)．
设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，
则即
取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1,1)．
设直线AD与平面MBC所成角为θ，
则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝，
即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.
12.
[2014·天津高考]如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．
解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．
(1)向量＝(0,1,1)，＝(2,0,0)，故·＝0.
所以，BE⊥DC.
(2)向量＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)．设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量．
则即不妨令y＝1，可得n＝(2,1,1)为平面PBD的一个法向量，于是有
cos〈n，〉＝＝＝.
所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)向量＝(1,2,0)，＝(－2，－2,2)，＝(2,2,0)，＝(1,0,0)．由点F在棱PC上，设＝λ，0≤λ≤1.
故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得·＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝.即＝(－，，)．设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，则
即不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0)，则
cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
易知，二面角F－AB－P是锐角，所以其余弦值为.04课后课时精练
一、选择题
1．命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a为常数)；
命题乙：P点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：∵乙 甲且甲D /乙，
∴甲是乙的必要不充分条件．
答案：B
2．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点F在BC上，则△ABC的周长是(　　)
A.
2　　　　　　　　　
B.
6
C.
4
D.
12
解析：可知a＝，由椭圆的定义得|BF|＋|BA|＝|CF|＋|CA|＝2a＝2，
∴(|BF|＋|CF|)＋|BA|＋|CA|＝|BA|＋|CA|＋|BC|＝4，即△ABC的周长为4，故选C.
答案：C
3.
焦点在坐标轴上，且a2＝13，c2＝12的椭圆的标准方程为(　　)
A.
＋＝1
B.
＋＝1或＋＝1
C.
＋y2＝1
D.
＋y2＝1或x2＋＝1
解析：显然，此题中并没有讲明椭圆的焦点在哪个轴上，题中也没有条件能够得出相应的信息，所以本题中的标准方程应有两种情况，所以排除A和C，又由于a2＝13，c2＝12，∴b2＝1.
答案：D
4．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)
A．－B．a<－或a>
C．－2D．－1解析：由已知可得＋<1，∴a2<2，即－答案：A
5．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．斜三角形
D．直角三角形
解析：由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
由题可得|PF1|－|PF2|＝2，则|PF1|＝5，|PF2|＝3.
又|F1F2|＝2c＝4，
∴△PF1F2为直角三角形．
答案：D
6．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞)
B．(0,2)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
解析：将方程x2＋ky2＝2变形为＋＝1.∵焦点在y轴上，∴>2且k>0，∴0答案：D
二、填空题
7．椭圆＋＝1的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的________倍．
解析：由已知椭圆的方程得a＝2，b＝，c＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．
由于焦点F1和F2关于y轴对称，
∴PF2必垂直于x轴．
∴P(3，)或P(3，－)，|PF2|＝，
|PF1|＝2a－|PF2|＝.
∴|PF1|＝7|PF2|.
答案：7
8．已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
解析：|AB|＝|F1A|＋|F1B|＝(2a－|F2A|)＋(2a－|F2B|)＝4a－(|F2A|＋|F2B|)＝20－12＝8.
答案：8
9．M是椭圆＋＝1上的任意一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，则|MF1|·|MF2|的最大值是________．
解析：|MF1|＋|MF2|＝2a.
|MF1|·|MF2|≤()2＝a2＝9.
答案：9
三、解答题
10．已知圆A：x2＋(y＋6)2＝400，圆A内一定点B(0,6)，圆C过B点且与圆A内切，求圆心C的轨迹方程．
解：设动圆C的半径为r，则|CB|＝r.
∵圆C与圆A内切，∴|CA|＝20－r.
∴|CA|＋|CB|＝20.
又|AB|＝12，∴|CA|＋|CB|＝20>|AB|.
∴点C的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．
∵2a＝20,2c＝12，
∴a＝10，c＝6，b2＝64.
又∵A、B在y轴上，
∴C点的轨迹方程为＋＝1.
11．求适合下列条件的椭圆的方程．
(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.
解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)
∴∴
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.
又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，
∴－c－(－10)＝2，故c＝8，
∴b2＝a2－c2＝36，
∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.
12.
设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．
(1)若椭圆C上的点A(1，)到F1，F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程．
解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1，F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.又点A(1，)在椭圆上，因此＋＝1，得b2＝3，则c2＝a2－b2＝1.所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．
(2)设椭圆C上的动点K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)，则x＝，y＝，即x1＝2x＋1，y1＝2y.
因为点K(x1，y1)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，即(x＋)2＋＝1，此即为所求的轨迹方程．04课后课时精练
一、选择题
1．“至多有三个”的否定为(　　)
A．至少有三个　　　　　　　
B．至少有四个
C．有三个
D．有四个
解析：“至多有三个”包括“0个、1个、2个、3个”四种情况，其反面为“4个、5个……”即至少四个．
答案：B
2．[2014·安徽高考]命题“ x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)
A.
x∈R，|x|＋x2<0
B.
x∈R，|x|＋x2≤0
C.
x0∈R，|x0|＋x<0
D.
x0∈R，|x0|＋x≥0
解析：本题考查含有一个量词的命题的否定．命题的否定是否定结论，同时把量词作对应改变，故命题“ x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“ x0∈R，|x0|＋x<0”，故选C.
答案：C
3．[2014·湖北高考]命题“ x∈R，x2≠x”的否定是(　　)
A.
x R，x2≠x
B.
x∈R，x2＝x
C.
x R，x2≠x
D.
x∈R，x2＝x
解析：本题考查全称命题的否定，意在考查考生对基本概念的掌握情况．全称命题的否定是特称命题： x∈R，x2＝x，选D.
答案：D
4．“存在整数m，n，使得m2＝n2＋2011”的否定是(　　)
A．任意整数m，n使得m2＝n2＋2011
B．存在整数m，n使得m2≠n2＋2011
C．任意整数m，n使得m2≠n2＋2011
D．以上都不对
解析：根据特称命题的否定为全称命题可知选C.
答案：C
5．下列命题中假命题是(　　)
A．存在实数α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
B．不存在无穷多个α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
C．对任意实数α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
D．不存在这样的实数α和β，使cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ
解析：当α＝0，β∈R时，cos(α＋β)＝cosβ，且cosαcosβ＋sinαsinβ＝cosβ，故选项B为假命题．
答案：B
6．下列命题中的假命题是(　　)
A.
x∈R,2x－1>0
B.
x∈N
，(x－1)2>0
C.
x0∈R，lgx0<1
D.
x0∈R，tanx0＝2
解析：根据指数函数、对数函数和三角函数的知识可知，选项A，C，D中的命题都是正确的，选项B，当x＝1时，命题不正确，故选项B中的全称命题是不正确的．故选B.
答案：B
二、填空题
7.已知命题p：“ x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“ x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：命题p：“ x∈[1,2]，x2－a≥0”为真，则a≤x2，x∈[1,2]恒成立，∴a≤1；命题q：“ x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”为真，则“4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0”，解得a≤－2或a≥1.
若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是{a|a≤－2或a＝1}．
答案：{a|a≤－2或a＝1}
8.
已知命题p： x∈R，使sinx＝；命题q： x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题，其中正确的是________．
解析：因为对任意实数x，|sinx|≤1，而sinx＝>1，所以p为假；因为x2＋x＋1＝0的判别式Δ<0，所以q为真．因而②③正确．
答案：②③
9．若命题“ x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为________．
解析：依题意可得“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”为真命题，所以Δ＝(a－1)2－4≤0，所以－1≤a≤3.
答案：[－1,3]
三、解答题
10．写出下列含有一个量词的命题p的否定綈p，并判断它们的真假：
(1)p：关于x的方程ax＝b都有实数根；
(2)p：有些正整数没有1和它本身以外的约数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1(4) T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sinx|.
解：(1)綈p：有些关于x的方程ax＝b无实数根，如0x＝1，所以p为假命题，綈p为真命题．
(2)綈p：任意正整数都有1和它本身以外的约数，如2只有1和它本身这两个约数，所以p为真命题，綈p为假命题．
(3)綈p：存在实数x1，x2，若x1原命题中若x1＝0，x2＝π，有tanx1＝tanx2，故为假命题，所以綈p为真命题．
(4)綈p： T∈R，有|sin(x＋T)|＝|sinx|.
原命题为真命题，如T0＝2kπ(k∈Z)，所以綈p为假命题．
11．已知命题p： m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥；命题q： x，使不等式x2＋ax＋2<0.若p或q是真命题，綈q是真命题，求a的取值范围．
解：根据p或q是真命题，綈q是真命题，得p是真命题，q是假命题．
∵m∈[－1,1]，∴∈[2，3]．
因为 m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥，
所以a2－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1.
故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
又命题q： x，使不等式x2＋ax＋2<0，
∴Δ＝a2－8>0，∴a>2或a<－2，
从而命题q为假命题时，－2≤a≤2，
所以命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为－2≤a≤－1.
12．已知命题p：“ x∈R， m0∈R使4x＋2x·m0＋1＝0”，若命题綈p是假命题，求实数m0的取值范围．
解：该题可利用綈p假，则p为真，求原命题为真时m0的取值范围．令t＝2x>0，则方程4x＋2x·m0＋1＝0变为t2＋m0·t＋1＝0有正解，假设方程有两个正根t1，t2.∵t1·t2＝1>0，t1、t2同号，
∴t1＋t2>0，故有
即
∴m0≤－2，即实数m0的取值范围是(－∞，－2]．03课堂效果落实
1.
设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　)
A.
　　　　　　　　　
B.
C.
D.
解析：直线l与平面α所成的角θ＝－＝.
答案：C
2．若两异面直线l1与l2的方向向量分别为a＝(0,4，－3)，b＝(1,2,0)，则直线l1与l2的夹角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：设l1，l2的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝＝.
答案：B
3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：易知AC1⊥平面A1BD，设AC1与平面A1BD的交点为G，∠GBC1的余弦值为所求，在Rt△ABC1中，∠GBC1＝∠C1AB，
∴cos∠C1AB＝＝.
答案：D
4．平面α的法向量n1＝(1,0，－1)，平面β的法向量n2＝(0，－1,1)，则平面α与β所成二面角的大小为________．
解析：设二面角的大小为θ，
则cos〈n1，n2〉＝＝－，
所以cosθ＝或－.
∴θ＝或.
答案：或
5．已知四棱锥G－ABCD中，四边形ABCD为边长是4的正方形，E，F分别为AB，AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2.
(1)求EF与GD所成角的余弦值；
(2)求B点到平面EFG的距离．
解：
建立如图所示的空间直角坐标系，则F(2,0,0)，E(4,2,0)，G(0,4,2)，B(4,4,0)，
(1)由此得＝(2,2,0)，＝(0,4,2)，
则cos〈，〉＝＝，
故EF与GD所成角的余弦值为.
(2)由＝(2,2,0)，＝(－2,4,2)，设B点在面EFG内的投影为H(x，y，z)，得＝(x－4，y－4，z)．
由题意得
即
整理得①
再注意到＝k1＋k2，可得②
由①②可得H(，，)，
则||＝＝，
故B点到平面EFG的距离为.04课后课时精练
一、选择题
1．下列命题正确的是(　　)
A．方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为2的直线
B．△ABC三个顶点的坐标分别是A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，BC边上的中线的方程是x＝0
C．到x轴的距离为5的点的轨迹方程为y＝5
D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0过原点的充要条件是m＝0
解析：A表示去掉点(0,2)的直线；B中，BC边上的中线方程为x＝0(0≤y≤3)；C中轨迹方程为y＝±5.
答案：D
2．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是(　　)
A．两个点　　　　　　　
B．四个点
C．两条直线
D．四条直线
解析：由得或或
或故方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是四个点．
答案：B
3．下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是(　　)
A．y＝x与y＝
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0
C．y＝与xy＝1
D．y＝lgx2与y＝2lgx
解析：A中y＝x表示直线，而y＝＝|x|表示折线；B中(x－1)2＋(y＋2)2＝0表示点(1，－2)，而(x－1)(y＋2)＝0表示两条直线；D中y＝lgx2的图象分布在y轴的两侧且对称，而y＝2lgx的图象只可能分布在y轴右侧．
答案：C
4．方程y＝表示的曲线是(　　)
解析：当x>0时，y＝＝；
当x<0时，y＝－.
答案：C
5．[2014·鞍山高二质检]方程(x＋y－1)＝0所表示的曲线的轨迹是(　　)
解析：原方程等价于或x2＋y2＝4.其中当x＋y－1＝0时，需有意义，等式才成立，即x2＋y2≥4，此时它表示直线x＋y－1＝0上不在圆x2＋y2＝4内的部分；当x2＋y2＝4时方程表示整个圆，所以方程对应的曲线是D.
答案：D
6．已知a、b为任意实数，若点(a，b)在曲线f(x，y)＝0上，且点(b，a)也在曲线f(x，y)＝0上，则f(x，y)＝0的几何特征是(　　)
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
解析：依题意，点(a，b)与点(b，a)都在曲线f(x，y)＝0上，而两点关于直线y＝x对称，故选D.
答案：D
二、填空题
7．已知方程①x－y＝0；②－＝0；③x2－y2＝0；④＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________．
解析：①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程－＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x2－y2＝0，但它不在曲线C上；④不正确．如点(0,0)在曲线C上，但其坐标不满足方程＝1.
答案：①
8.
曲线y＝－与曲线y＋|x|＝0的交点个数是________个．
解析：y＝－，即x2＋y2＝1(y≤0)，而y＝－|x|＝画出它们在同一直角坐标系中的图象如右图所示，可知有两个交点．
答案：2
9．[2014·银川高二检测]方程|x－1|＋|y－1|＝1的曲线所围成图形的面积是________．
解析：|x－1|＋|y－1|＝1可写成
或
或或其图形如右图所示．它是边长为的正方形，其面积为2.
答案：2
三、解答题
10．判断下列命题是否正确．
(1)过点P(0,3)的直线l与x轴平行，则直线l的方程为|y|＝3.
(2)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y＝.
解：(1)不对，过点P(0,3)的直线l与x轴平行，则直线l的方程为y＝3，而不是|y|＝3.
(2)不对，设(x0，y0)是方程y＝的解，
则y0＝，即x＋y＝r2.
两边开平方取算术根，得＝r.
即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r的圆上的一点如点(，－r)，却不是y＝的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r的圆的方程不是y＝，而应是y＝±.
11．若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．
解：∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，
∴a2＋a2＋2a＋k＝0，
∴k＝－2a2－2a＝－2(a＋)2＋.
∴k≤，
∴k的取值范围是(－∞，]．
12．证明：到点O(0,0)和点A(1,1)距离相等的点的轨迹方程是x＋y－1＝0.
证明：(1)设点P(x1，y1)是轨迹上的任意一点，
∵|PO|＝|PA|，
∴＝，
平方整理得x1＋y1－1＝0.
∴点P的坐标(x1，y1)是方程x＋y－1＝0的解．
(2)∵上述每个步骤皆可逆，
∴以方程x＋y－1＝0的解为坐标的点都在曲线上，
由(1)(2)可知，x＋y－1＝0即为到点O和点A距离相等的点的轨迹方程．03课堂效果落实
1.给定一个定点A和一个向量a，O是空间任意一个确定的点，t∈R，那么下列方程中不是空间直线的向量参数方程的是(　　)
A.＝ta　　　　　　　
B.＝＋ta
C.＝＋
D.＝(1－t)＋t
答案：C
2．已知直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－1)，b＝(x,2y,2)，若l1∥l2，则(　　)
A．x＝2，y＝1
B．x＝1，y＝1
C．x＝－2，y＝－2
D．x＝－2，y＝－1
解析：由l1∥l2，可知a∥b，所以(x,2y,2)＝λ(1,2，－1)，
解得x＝－2，y＝－2.
答案：C
3．设l1的方向向量a＝(1,2，－2)，l2的方向向量b＝(－2，3，m)，若l1⊥l2，则m＝(　　)
A．1
B．2
C.
D．3
解析：∵l1⊥l2，∴a⊥b
即a·b＝(1,2，－2)·(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝0
∴m＝2，故选B.
答案：B
4．已知直线的向量参数方程为(x，y，z)＝(5,0,3)＋t(0,3,0)，当t＝－3时，对应直线上点的坐标为________．
解析：当t＝－3时，(x，y，z)＝(5,0,3)－3(0,3,0)＝(5，－9,3)．
答案：(5，－9,3)
5．如图，已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P、Q为轴上的两点，且AP∶PB＝1∶2，AQ∶QB＝－2.求点P、Q的坐标．
解：由已知＝2，即
－＝2(－)，＝＋.
设P(x，y，z)，则(x，y，z)＝(2,4,0)＋(1,3,3)，
即P(，，1)．
因为＝－2，
即－＝－2(－)，
＝－＋2.
设Q(x1，y1，z1)，
则(x1，y1，z1)＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)，
即Q(0,2,6)．综合水平测试
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．[2014·湖北省黄冈市质检]命题“ x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是
(　　)
A.
a≥4　　　　　　　　　
B.
a≤4
C.
a≥5
D.
a≤5
解析：本题考查全称量词的意义与充分必要条件的应用．∵ x∈[1,2]，1≤x2≤4，∴要使x2－a≤0为真，则a≥x2，则a≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.
答案：C
2.
已知空间向量a＝(t,1，t)，b＝(t－2，t,1)，则|a－b|的最小值为(　　)
A.
B.
C.
2
D.
4
解析：本题主要考查空间向量的坐标运算以及简单的二次函数求最值．|a－b|＝≥2，故选C.
答案：C
3.
[2014·广东高考]若实数k满足0A.
离心率相等
B.
虚半轴长相等
C.
实半轴长相等
D.
焦距相等
解析：本题主要考查双曲线基本量之间的关系．由0答案：D
4．[2014·湖南高考]已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是(　　)
A.
①③
B.
①④
C.
②③
D.
②④
解析：本题主要考查不等式的性质、命题与复合命题真假性的判断．注意綈p，綈q只对命题的结论进行否定，复合命题p∧q要两个命题全为真才为真，p∨q只要两个命题有一个为真就为真．由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③綈q为真命题，则p∧(綈q)为真命题，④綈p为假命题，则(綈p)∨q为假命题，所以选C.
答案：C
5．[2014·大纲全国卷]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)
A.
＋＝1
B.
＋y2＝1
C.
＋＝1
D.
＋＝1
解析：本题主要考查椭圆的定义及几何性质．由椭圆的性质知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，∴a＝.又e＝，∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1，故选A.
答案：A
6．[2014·江西高考]下列叙述中正确的是(　　)
A.
若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”
B.
若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C.
命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D.
l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
解析：由b2－4ac≤0推不出ax2＋bx＋c≥0，这是因为a的符号不确定，所以A不正确；当b2＝0时，由a>c推不出ab2>cb2，所以B不正确；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，所以C不正确．选D.
答案：D
7．[2014·天津高考]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　　)
A.
－＝1
B.
－＝1
C.
－＝1
D.
－＝1
解析：由题意知，双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝2x，所以＝2，即b2＝4a2，又双曲线的一个焦点是直线l与x轴的交点，所以该焦点的坐标为(－5,0)，所以c＝5，即a2＋b2＝25，联立得解得a2＝5，b2＝20，故双曲线的方程为－＝1，故选A.
答案：A
8.
已知四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，给出下列命题：
①·＝·＝·；
②|＋＋|2＝||2＋||2＋||2.
则下列关于以上两个命题真假性的判断正确的是(　　)
A.
①真、②真
B.
①真、②假
C.
①假、②假
D.
①假、②真
解析：由AB⊥AC、AB⊥AD，得AB⊥平面ACD，
故AB⊥CD，即有·＝0，同理，·＝·＝0.于是，命题①为真命题．由于AB、AC、AD为同一顶点出发的三条棱，可构造一个长方体，则＋＋为以A为起点的长方体的体对角线所对应的向量，从而|＋＋|为长方体的体对角线的长，而
亦表示体对角线的长，故命题②亦真．
答案：A
9.
[2014·银川高二质检]直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A、B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于(　　)
A.
B．2
C.
D．4
解析：直线4kx－4y－k＝0，即y＝k(x－)，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点(，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)则|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，所以弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.
答案：C
10.
[2014·课标全国卷Ⅱ]直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：本题主要考查空间角的求法、空间向量在立体几何中的应用，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力．建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以＝(1，－1,2)，＝(－1,0,2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cosθ＝＝＝.
答案：C
11．[2014·福建高考]直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的(　　)
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分又不必要条件
解析：本题主要考查直线与圆的位置关系、三角形的面积、充分必要条件等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力、逻辑推理能力和运算求解能力.
若k＝1，则直线l：y＝x＋1与圆相交于(0,1)，(－1,0)两点，所以△OAB的面积S△OAB＝×1×1＝，所以“k＝1” “△OAB的面积为”；若△OAB的面积为，则k＝±1，所以“△OAB的面积为”D /“k＝1”，所以“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分而不必要条件，故选A.
答案：A
12.
已知一抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且它的焦点F是椭圆＋＝1的右顶点，经过点F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长度为(　　)
A.
B.
5
C.
D.
解析：本题主要考查椭圆、抛物线的概念及抛物线的焦点弦长公式．依题意，抛物线的焦点为F(2,0)，则抛物线方程为y2＝8x.直线AB的倾斜角为，斜率为，故方程为y＝(x－2)，联立方程消去y，得3x2－20x＋12＝0.可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝，所以由抛物线的焦点弦长公式，得|AB|＝x1＋x2＋4＝＋4＝，故选D.
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“ x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵ x∈R,2x2－3ax＋9<0为假命题，
∴ x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题，
∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，即a2≤8，
∴－2≤a≤2.
答案：[－2，2]
14．[2014·北京高考]设双曲线C经过点(2,2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．
解析：本题主要考查圆锥曲线的定义与性质，意在考查考生对圆锥曲线的定义及性质的掌握情况．∵与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线方程为－x2＝k，将点(2,2)代入，得k＝－3，∴双曲线C的方程为－＝1，其渐近线方程为－＝0，即y＝±2x.
答案：－＝1　y＝±2x
15．若方程＋＝1所表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①若C为椭圆，则1②若C为双曲线，则t>4或t<1；
③曲线C不可能是圆；
④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1其中正确的命题是________(把所有正确命题的序号都填在横线上)．
解析：若为椭圆即1若为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，即t>4或t<1；
当t＝时，表示圆，若C表示长轴在x轴上的椭圆，则1答案：①②
16.
[2014·辽宁高二测试]如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为________．
解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)，＝(a，a,0)，＝(0,2a,2a)，＝(a，－a,0)，＝(0,0,2a)，
设平面AGC的法向量为n1＝(x1，y1,1)，
由
n1＝(1，－1,1)．
sinθ＝＝＝.
答案：
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)a＋c与b＋c所成角的余弦值．
解：(1)因为a∥b，所以＝＝，解得x＝2，y＝－4，这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．
(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，因此a＋c与b＋c所成角的余弦值等于cosθ＝＝－.
18．(12分)已知命题p：方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
命题q：双曲线－＝1的离心率e∈(1,2)，若p，q只有一个为真，求实数m的取值范围．
解：将方程－＝1
改写为＋＝1，
只有当1－m>2m>0，即0所以，命题p等价于0因为双曲线－＝1的离心率e∈(1,2)，所以m>0，且1<<4，解得0所以命题q等价于0若p真q假，则m∈ ；若p假q真，则≤m<15.
综上，m的取值范围为≤m<15.
19．(12分)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E、F、E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．
(1)求证：CE∥平面C1E1F；
(2)求证：平面C1E1F⊥平面CEF.
解：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设BC＝1，
则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1(1，，2)．
(1)设平面C1E1F的法向量n＝(x，y，z)．
∵＝(1，－，0)，＝(－1,0,1)，
∴即
取n＝(1,2,1)．
∵＝(1，－1,1)，n·＝1－2＋1＝0，
∴⊥n.
又∵CE 平面C1E1F，
∴CE∥平面C1E1F.
(2)设平面EFC的法向量为m＝(a，b，c)，
由＝(0,1,0)，＝(－1,0，－1)，
∴即
取m＝(－1,0,1)．
∵m·n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0，
∴平面C1E1F⊥平面CEF.
20.
(20分)设曲线方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交曲线于点A、B，O是坐标原点，点P满足＝(＋)．当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．
解：直线l过点M(0,1)，设其斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题设可得点A、B的坐标(x1，y1)、(x2，y2)是方程组的解．
将①代入②并化简得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，
所以
于是＝(＋)＝(，)＝(，)．
设点P的坐标(x，y)，则消去参数k得4x2＋y2－y＝0.　③
当k不存在时，AB中点为坐标原点，
即点P(0,0)，也满足方程③.
所以点P的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.
21．(12分)[2014·课标全国卷Ⅰ]如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.
(1)证明：AC＝AB1；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A－A1B1－C1的余弦值．
解：(1)连接BC1，交B1C于点O，连接AO.
因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．
又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO.由于AO 平面ABO，故B1C⊥AO.
又B1O＝CO，故AC＝AB1.
(2)因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO.
又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC.
故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．又AB＝BC，则
A(0,0，)，B(1,0,0)，B1(0，，0)，C(0，－，0)．
＝(0，，－)，＝＝(1,0，－)，＝＝(－1，－，0)．
设n＝(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则
即
所以可取n＝(1，，)．
设m是平面A1B1C1的法向量，则
同理可取m＝(1，－，)．
则cos〈n，m〉＝＝.
所以二面角A－A1B1－C1的余弦值为.
22．(12分)[2014·天津高考]设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切．求直线l的斜率．
解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)．由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2，又b2＝a2－c2，则＝.
所以，椭圆的离心率e＝.
(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2.故椭圆方程为＋＝1.
设P(x0，y0)，由F1(－c,0)，B(0，c)，有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．
由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.
又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.　①
又因为点P在椭圆上，故＋＝1.　②
由①和②可得3x＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c，代入①得y0＝，则点P的坐标为(－，)．
设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，进而圆的半径r＝＝c.
设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx.由l与圆相切，可得＝r，即＝c，整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±.
所以，直线l的斜率为4＋或4－.04课后课时精练
一、选择题
1．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥面ABC，PA＝8，点P到BC的距离是(　　)
A.　　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
解析：如图，作AH⊥BC连结PH，
则PH为所求距离．
∵PA＝8，AH＝4，
∴PH＝＝4.故选D.
答案：D
2．[2014·台州高二检测]已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1,3,0)在α内，则点P(－2,1,4)到α的距离为(　　)
A．10
B．3
C.
D.
解析：＝(1,2，－4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，所以点P到α的距离为
＝＝，故选D.
答案：D
3．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于(　　)
A．5
B.
C．4
D．2
解析：设＝λ，D(x，y，z)，
则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0,4，－3)，
∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ.
∴＝(－4,4λ＋5，－3λ)，又·＝0，
∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－.
∴＝(－4，，)，
∴||＝＝5，
故选A.
答案：A
4．若O为坐标原点，O＝(1,1，－2)，O＝(3,2,8)，O＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)
A.
B．2
C.
D.
解析：由题意O＝(O＋O)＝(2，，3)，P＝O－O＝(－2，－，－3)，|P|＝＝.
答案：D
5．平面α内的∠MON＝60°，PO是α的斜线，PO＝3，∠POM＝∠PON＝45°，那么点P到平面α的距离是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：cos∠POM＝cos∠POH·cos∠MOH，
∴＝cos∠POH，
∴cos∠POH＝
.
∴sin∠POH＝
.
∴PH＝PO·sin∠POH＝3×＝.
答案：A
6．[2014·抚顺高二检测]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，
∴＝(2,2,0)，＝(2,0，－4)，＝(0,0,4)，
设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的法向量，则n⊥，n⊥，
∴，
令x＝2，则y＝－2，z＝1.
∴n＝(2，－2,1)，
∴d＝＝.
答案：C
二、填空题
7．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是线段BB1、B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________．
解析：如图，以D为坐标原点，
以DA，DC，DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则平面ACD1的一个法向量为(1,1,1)，
∵M(1,1，)，A(1,0,0)，
∴＝(0,1，)
∴点M到平面ACD1的距离为
d＝＝.
又綊，
故MN∥平面ACD1，故MN到平面ACD1的距离也为d＝.
答案：
8．[2014·成都高二检测]直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________．
解析：以C为坐标原点，CA、CB、CP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(4,0,0)，B(0,3,0)，P(0,0，)，
所以A＝(－4,3,0)，A＝(－4,0，)，
所以A在A上的投影长为＝，
所以P到AB的距离为
d＝＝＝3.
答案：3
9．如图，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，若AB＝5
cm，AC＝2
cm，则点B到平面PAC的距离为________．
解析：
建立如图C－xyz空间直角坐标系，
由已知可得A(2,0,0)，C(0,0,0)，P(2,0,4)，B(0，，0)
∴＝(2,0,0)，＝(2,0,4)
设平面ACP的法向量为n＝(x，y，z)
则，∴n＝(0,1,0)，
d＝＝.
答案：
cm
三、解答题
10．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方形被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.
(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，B(2,4,0)，
A(2,0,0)，C(0,4,0)，
E(2,4,1)，C1(0,4,3)，
设F(0,0，z)．
∵四边形AEC1F为平行四边形，
∴＝，
∴(－2,0，z)＝(－2,0,2)，
∴z＝2.∴F(0,0,2)．
∴＝(－2，－4,2)．
于是||＝2，即BF的长为2.
(2)设n1为平面AEC1F的法向量，
显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1＝(x，y,1)．
由得
即∴
又＝(0,0,3)，设与n1的夹角为α，
则cosα＝＝＝.
∴C到平面AEC1F的距离为
d＝||cosα＝3×＝.
11．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
解：(1)建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，
C(0,1,0)，E(1，，0)，
F(，1,0)，E＝(－，，0)，P＝(1，，－1)，
设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，
则n·E＝0，且n·P＝0，所以
令x＝2，则y＝2，，z＝3，所以n＝(2,2,3)，
所以点D到平面PEF的距离为
d＝＝＝，
因此，点D到平面PEF的距离为.
(2)因为A＝(0，，0)，所以点A到平面
PEF的距离为d＝＝＝，所以AC到平面PEF的距离为.
12．[2014·武汉高二检测]正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离．
解：如图所示，建立空间直角坐标系
D－xyz，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)，
从而E＝(2,2,0)，M＝(2,2,0)，A＝(－2,0,4)，B＝(－2,0,4)，
∴E＝M，A＝B，
∴EF∥MN，AM∥EF，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.
∴平面AMN∥平面EFBD.
设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，
从而解得
取z＝1，得n＝(2，－2,1)，由于A＝(0,4,0)，
所以A在n上的投影为＝＝－.
∴两平行平面间的距离d＝＝.03课堂效果落实
1.
[2014·福建省福州一中月考]已知向量a＝(1，－2,1)，a＋b＝(3，－6,3)，则b等于(　　)
A.
(2，－4,2)　　　　　　
B.
(－2,4,2)
C.
(－2,0，－2)
D.
(2,1，－3)
解析：本题主要考查空间向量的坐标运算．b＝(a＋b)－a＝(3，－6,3)－(1，－2,1)＝(2，－4,2)，故选A.
答案：A
2.
[2014·山东省济宁市质检]已知向量a＝(2，－3,5)与b＝(4，x，y)平行，则x，y的值分别为(　　)
A.
6和－10
B.
－6和10
C.
－6和－10
D.
6和10
解析：本题主要考查空间两向量平行的坐标表示．因为向量a＝(2，－3,5)与b＝(4，x，y)平行，所以＝＝，解得x＝－6，y＝10，故选B.
答案：B
3．已知：a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于(　　)
A．3
B．2
C.
D．5
解析：a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(1＋2＋6,0＋1＋2,1－1＋0)＝(9,3,0)，∴|a－b＋2c|＝＝3.
答案：A
4．[2014·人大附中期中考试]△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，)，B(－，，)，C(－1,0，)，则角A的大小为________．
解析：本题主要考查空间向量所成角.＝(－，，0)，＝(－1,0,0)．则cosA＝＝＝，故角A的大小为30°.
答案：30°
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值．
解：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，B1(4,4,3)，C(0,4,0)，得＝(0,4，－3)，＝(－4,0，－3)．设与的夹角为θ，则cosθ＝＝，
∴与的夹角即异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为.03课堂效果落实
1.若平面内点M到定点F1(0，－1)、F2(0,1)的距离之和为2，则点M的轨迹为(　　)
A．椭圆
B．直线F1F2
C．线段F1F2
D．直线F1F2的垂直平分线
解析：|MF1|＋|MF2|＝2＝|F1F2|，所以点M的轨迹为线段F1F2.
答案：C
2．下列说法中，正确的是(　　)
A．平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆
B．与两个定点F1、F2的距离和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆
C．方程＋＝1(a>c>0)表示焦点在x轴上的椭圆
D．方程＋＝1(a>0，b>0)表示焦点在y轴上的椭圆
解析：依据方程的结构特点知选C.A中没强调常数>|F1F2|；B中没强调平面内．
答案：C
3．椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标为(　　)
A．(±3,0)　　　　　　
B．(±，0)
C．(±，0)
D．(0，±)
解析：椭圆方程可化为＋＝1.
答案：D
4．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2＝________.
解析：由椭圆＋＝1知a＝3，
c＝＝，
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
＝＝－.
又0°<∠F1PF2<180°，
∴∠F1PF2＝120°.
答案：2　120°
5．当3解：∵30且k－3>0.
(1)若9－k>k－3，即3(2)若9－k＝k－3，即k＝6时，则方程表示圆x2＋y2＝3；
(3)若9－k1.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为(　　)
A．(±13,0)　　　　　
B．(0，±10)
C．(0，±13)
D．(0，±)
解析：由题意知a＝13，b＝10，焦点在y轴上．所以c＝＝＝.故焦点坐标为(0，±)．
答案：D
2.
过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：∵PF1⊥F1F2，F1F2＝2c，∠F1PF2＝60°，
∴|PF1|＝c，|PF2|＝c，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a，∴c＋c＝2a，
得e＝＝.
答案：B
3．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是(　　)
A．[4－2，4＋2]
B．[4－，4＋]
C．[4－2，4＋2]
D．[4－，4＋]
解析：把(m，n)代入方程得8m2＋3n2＝24，
∴24－8m2＝3n2≥0
解得－≤m≤
∴4－2≤2m＋4≤2＋4.
答案：A
4．[2014·湖南岳阳模拟]在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.
过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
解析：由△ABF2的周长＝4a＝16，得a＝4，又知离心率为，即＝，得c＝2，所以a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，∴C的方程为＋＝1.
答案：＋＝103课堂效果落实
1.[2013·江西九江一模]命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(　　)
A.
“若xB.
“若x>y，则x2>y2”
C.
“若x≤y，则x2≤y2”
D.
“若x≥y，则x2≥y2”
解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
答案：C
2．[2013·广东高考]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)
A.
若α⊥β，m α，n β，则m⊥n
B.
若α∥β，m α，n β，则m∥n
C.
若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
D.
若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
解析：A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．
答案：D
3．若命题A的否命题为B，命题A的逆否命题为C，则B与C的关系是(　　)
A．互逆命题　　　　　
B．互否命题
C．互为逆否命题
D．以上都不正确
解析：交换否命题的条件与结论就是逆否命题，符合互逆命题的定义．
答案：A
4．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是
______________，逆否命题是______________．
答案：若a>0，则a>1　若a≤0，则a≤1
5．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实数根；
(2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．
解：(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，真命题；
否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，真命题；
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1，真命题．
(2)逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，假命题；
否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，假命题；
逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，真命题．04课后课时精练
一、选择题
1．“xy≠0”是指(　　)
A．x≠0且y≠0　　　　　　　
B．x≠0或y≠0
C．x，y至少一个不为0
D．x，y不都是0
解析：xy≠0当且仅当x≠0且y≠0.
答案：A
2．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是(　　)
A．“p或q”为假
B．“p或q”为真
C．“p且q”为真，“p或q”为假
D．以上均不对
解析：显然p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B.
答案：B
3．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，则使“P∧q”为真命题的一个点P(x，y)是(　　)
A．(0，－3)
B．(1,2)
C．(1，－1)
D．(－1,1)
解析：点P(x，y)满足可验证各选项中，只有C正确．
答案：C
4．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是(　　)
A．10或15是5的倍数
B．方程x2－3x－4＝0的两根是4和－1
C．集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集
D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
解析：“有两个角是45°的三角形是等腰三角形，而且是直角三角形”，是“p且q”的形式且为真．
答案：D
5．若命题p： x∈R，x2＋2x＋5<0，命题q； a，b∈R，a2＋b2≥2ab，则下列结论正确的是(　　)
A．“p∨q”为假
B．“p∨q”为真
C．“p∧q”为真
D．以上都不对
解析：p是假命题，q是真命题，故p∨q为真．
答案：B
6．[2014·南宁高二检测]下列命题，其中假命题的个数为(　　)
①5＞4或4＞5；
②9≥3；
③命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”；
④命题“菱形的两条对角线互相垂直”
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：①“5＞4”为真，故“5＞4或4＞5”为真命题；②“9≥3”表示为“9＞3(真)或9＝3”，故“9≥3”为真命题；③若“a＞b，则a＋c＞b＋c”也是真命题；④也是真命题．
答案：A
二、填空题
7．若p：2是8的约数，q：2是12的约数．则“p∨q”为________；“p∧q”为________．(填具体的语句内容)．
答案：2是8的约数，或者是12的约数'2既是8的约数，又是12的约数
8．[2014·郑州高二检测]已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．
解析：∵p(1)是假命题，p(2)是真命题，
∴解得3≤m<8.
答案：[3,8)
9．对于函数①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x－2)．有命题p：f(x＋2)是偶函数；命题q：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，能使p∧q为真命题的所有函数的序号是________．
解析：对于①，f(x＋2)＝|x＋4|不是偶函数，故p为假命题．对于②，f(x＋2)＝x2是偶函数，则p为真命题：f(x)＝(x－2)2在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，则q为真命题，故“p∧q”为真命题．对于③，f(x)＝cos(x－2)显然不是(2，＋∞)上的增函数，故q为假命题．故填②.
答案：②
三、解答题
10．分别指出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”形式的复合命题的真假．
(1)P：3>3
q：3＝3；
(2)p： ?{0}
q：0∈ ；
(3)p：A A
q：A∩A＝A；
(4)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有公共点；
q：方程x2＋3x－4＝0没有实根．
解：(1)∵p假q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为假；
(2)∵p真q假，∴“p∨q”为真，“p∧q”为假；
(3)∵p真q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为真；
(4)∵p假q假，∴“p∨q”为假，“p∧q”为假．
11．[2014·沈阳高二检测]对命题p：“1是集合{x|x2解：由1是集合{x|x21，由2是集合{x|x24，即使得p，q为真命题的a的取值集合分别为P＝{a|a>1}，T＝{a|a>4}．
当p，q至少一个为真命题时，“p或q”为真命题，则使“p或q”为真命题的a的取值范围是P∪T＝{a|a>1}；
当p，q都为真命题时，“p且q”才是真命题，则使“p且q”为真命题的a的取值范围是P∩T＝{a|a>4}．
12．已知P：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
解：若函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则－≤－1，∴m≥2，即p：m≥2；
若函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1恒大于零，则Δ＝16(m－2)2－16<0，
解得1因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以p、q一真一假，
当p真q假时，由
得m≥3，
当p假q真时，由
得1综上，m的取值范围是{m|m≥3或11.若点M到两坐标轴的距离的积为2014，则点M的轨迹方程是(　　)
A．xy＝2014　　　　　　　
B．xy＝－2014
C．xy＝±2014
D．xy＝±2014(x>0)
解析：设M(x，y)，则由题意得|x|·|y|＝2014，所以xy＝±2014.
答案：C
2.
已知A(－1,0)、B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是(　　)
A.
4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B.
4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C.
4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D.
4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
解析：两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，线段AB的长度|AB|＝＝5.
设C的坐标为(x，y)，
则×5×＝10，
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
答案：B
3．曲线f(x，y)＝0关于直线x－y－3＝0对称的曲线方程为(　　)
A．f(x－3，y)＝0
B．f(y＋3，x)＝0
C．f(y－3，x＋3)＝0
D．f(y＋3，x－3)＝0
解析：在对称曲线上任选一点(x，y)，则它关于x－y－3＝0对称的点为(y＋3，x－3)．故所求曲线方程为f(y＋3，x－3)＝0.
答案：D
4．[2014·辽宁高二检测]若动点P在曲线y＝2x2＋1上移动，连接点P与点Q(0，－1)，则线段PQ中点的轨迹方程是________．
解析：设P(x1，y1)，线段PQ中点为M(x，y)，
因为Q(0，－1)，所以所以
因为P(x1，y1)在曲线y＝2x2＋1上，所以y1＝2x＋1，所以2y＋1＝2(2x)2＋1，化简为y＝4x2，所以线段PQ中点的轨迹方程为y＝4x2.
答案：y＝4x2
5．求平面内到点F(1,0)的距离和它到直线x＝－1的距离相等的点的轨迹方程．
解：设点M(x，y)为轨迹上任意一点，到直线的距离为d，则点M属于集合P＝{M||MF|＝d}．
由两点间的距离及点到直线的距离公式得＝|x＋1|，
两边平方整理得y2＝4x为所求．03课堂效果落实
1.“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的(　　)
A．充分不必要条件　　　
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：∵y＝－2≤0，而y2＝4x中y可正可负，
∴点M在曲线y2＝4x上，但M不一定在y＝－2上．反之点M在y＝－2上时，点M却一定在y2＝4x上．故选B.
答案：B
2．已知直线l：x＋y－4＝0及曲线(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,2)(　　)
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
解析：将点M(2,2)的坐标代入方程验证知M∈l，M C.
答案：A
3．方程＋＝1表示的图形是(　　)
A.
一条直线
B.
两条平行线段
C.
一个正方形
D.
一个正方形(除去四个顶点)
解析：由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称，且x≠0，y≠0.当x>0，y>0时，方程可化为x＋y＝1，表示第一象限内的一条线段(去掉两端点)，因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点)，故选D.
答案：D
4．若方程x2＋k2y2－3x－ky－4＝0的曲线过点P(2,1)，则k＝________.
解析：将(2,1)代入方程得22＋k2－3×2－k－4＝0，即k＝－2或3.
答案：－2或3
5．证明：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝±x.
证明：(1)如图所示，设M(x0，y0)是轨迹上任一点，因为点M到x轴的距离为|y0|，到y轴的距离为|x0|，所以|x0|＝|y0|，即y0＝±x0，所以轨迹上任一点的坐标都是方程y＝±x的解．
(2)设点M1的坐标为(x1，y1)，且是方程y＝±x的解，则y1＝±x1，即|x1|＝|y1|.而|x1|，|y1|分别是点M1到y轴，x轴的距离，因此点M1到两坐标轴的距离相等，即点M1是曲线上的点．
由(1)(2)可知，y＝±x是到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程.04课后课时精练
一、选择题
1．[2012·上海高考]已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则(　　)
A.
C1与C2顶点相同　　
B.
C1与C2长轴长相同
C.
C1与C2短轴长相同
D.
C1与C2焦距相等
解析：由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D.
答案：D
2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1　
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：∵2a＝18,2c＝×2a＝6，
∴a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.
答案：A
3．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．(0,1)
B．(0，]
C．(0，)
D．[，1)
解析：由·＝0知MF1⊥MF2，∴椭圆上的点均满足∠F1MF2<90°，∴只需F1，F2与短轴端点形成的角为锐角，所以c答案：C
4．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m>1
B．m≥1或0C．0D．m≥1且m≠5
解析：解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，
所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.
解法二：由
消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
依题意Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，
由于m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5.
答案：D
5.
[2013·大纲全国卷]椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)
A.
[，]
B.
[，]
C.
[，1]
D.
[，1]
解析：本题考查椭圆的定义和不等式的性质．
由题意知点P在第一象限，设P点横坐标为x，代入椭圆方程则纵坐标为y＝×，由PA2的斜率得：1≤·≤2，即≤
≤，PA1的斜率为，所以PA1的斜率取值范围为[，]．
答案：B
6．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若＝3，则||＝(　　)
A.
B.
2
C.
D.
3
解析：设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)．
∴由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得
×()2＋(n)2＝1.
解得n2＝1，∴||＝＝＝.所以选A.
答案：A
二、填空题
7．已知点P(m，n)在椭圆＋＝1上，则2m－1的取值范围是________．
解析：∵点P(m，n)在椭圆＋＝1上，∴－2
≤m≤2，∴－4－1≤2m－1≤4－1.
答案：[－4－1,4－1]
8．F1、F2是椭圆C：＋＝1的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为________．
解析：设P(x，y)，则＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)．
∵PF1⊥PF2，∴(x＋2，y)·(x－2，y)＝x2－4＋y2＝0，即x2－4＋4(1－)＝0 x＝0.
这时P点坐标为短轴的两顶点(0,2)，(0，－2)．
答案：2个
9．[2013·福建高考]椭圆Г：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析：本题考查椭圆的离心率的计算．
因为tan∠MF1F2＝，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，F1M⊥F2M，且|MF1|＝c，|MF2|＝c，c＋c＝2a，＝e＝－1.
答案：－1
三、解答题
10．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，又知椭圆上一点M，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的方程．
解：∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵e＝＝，∴a＝3c.
∵b2＝a2－c2，∴b2＝9c2－c2＝8c2.
又∵M(c,4)在椭圆上，∴＋＝1，
解之得c2＝，
∴a2＝，b2＝18，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
11．[2014·大连高二检测]设A，B分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，(1，)为椭圆上一点，椭圆长半轴长等于焦距．
(1)求椭圆的方程；
(2)设P(4，x)(x≠0)，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N，求证：∠MBN为钝角．
解：(1)依题意，得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，
设椭圆方程为＋＝1，将(1，)代入，得c2＝1，故椭圆方程为＋＝1.
(2)证明：由(1)，知A(－2,0)，B(2,0)，
设M(x0，y0)，则－20，即∠MBP为锐角，则∠MBN为钝角．
12.
[2014·课标全国卷Ⅱ]设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
解：(1)根据c＝及题设知M(c，)，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．
故C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即
b2＝4a.　①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.　②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.03课堂效果落实
1.命题“x＝±1是方程|x|＝1的解”中，使用逻辑联结词的情况是(　　)
A．没有使用逻辑联结词
B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“且”
D．使用了逻辑联结词“或”与“且”
答案：B
2．以下判断正确的是(　　)
A．命题p是真命题时，命题“p∧q”一定是真命题
B．命题“p∧q”为真命题时，命题p一定是真命题
C．命题“p∧q”为假命题时，命题p一定是假命题
D．命题p是假命题时，命题“p∧q”不一定是假命题
解析：若“p∧q”为真，则p、q二者皆真，若“p∧q”为假，则p、q中至少有一个为假，故选B.
答案：B
3．已知命题p： {0}，q：{1}∈{1,2}．由它们构成的“p或q”“p且q”形式的命题中真命题有________个．
解析：p为真命题，q为假命题，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题．
答案：1
4．分别用“p∧q”“p∨q”填空．
(1)命题“6是自然数且是偶数”是________形式．
(2)命题“5小于或等于7”是________形式．
(3)命题“正数或0的平方根是实数”是________形式．
答案：(1)p∧q　(2)p∨q　(3)p∨q
5．已知命题p：0不是自然数，q：π是无理数，写出命题“p∨q”，“p∧q”，并判断其真假．
解：p∧q：0不是自然数且π是无理数．假命题；p∨q：0不是自然数或π是无理数．真命题.03课堂效果落实
1.给出下列命题：
①a＝“从上海往正北平移9
km”，b＝“从北京往正北平移3
km”，那么a＝3b；
②(a＋b)＋λc＋λ(a＋d)＝b＋(1＋λ)a＋λ(c＋d)；
③把正方形ABCD平移向量m到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体叫做正方体；
④有直线l，且l∥a，在l上有点B，若＋＝2a，则C∈l.其中正确的命题是(　　)
A．①②　　　　　　　
B．③④
C．①②④
D．①②③
解析：③中形成的几何体是平行六面体．
答案：C
2．[2014·海口高二检测]下列命题中，正确的命题个数为(　　)
①若a∥b，则a与b方向相同或相反；
②若∥，则A、B、C、D四点共线；
③若a、b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)．
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
解析：当a，b中有零向量时，①不正确.∥时，A、B、C、D共面不一定共线，故②错．由p、a、b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足p＝λa＋μb，故③错．
答案：A
3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A.
A、B、D
B.
A、B、C
C.
B、C、D
D.
A、C、D
解析：由已知可得＝a＋2b，＝＋＝2a＋4b，所以＝2，即，是共线向量，所以A、B、D三点共线．
答案：A
4．已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点，＝α＋β，则α＋β＝________.
解析：∵A、B、P三点共线，∴存在实数t，
使＝(1－t)＋t，
∵＝α＋β，∴α＝1－t，β＝t.
即α＋β＝1－t＋t＝1.
答案：1
5．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，M是AA′的中点，点G在对角线A′C上且CG∶GA′＝2∶1，设＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示、、、.
解：如右图
＝＋＝a＋b.
＝＋＝＋＝a＋b＋c.
＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
＝＝(a＋b＋c)．04课后课时精练
一、选择题
1．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)
A.
4　　　　　　　　　　　
B.
3
C.
2
D.
1
解析：∵焦点在x轴上，∴渐近线方程为y＝±x，
又∵渐近线方程为3x±2y＝0，∴a＝2.
答案：C
2．[2014·广东实验中学期末]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为(　　)
A.
B.
C.
2
D.
或2
解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意，由于双曲线－＝1(a>0，b>0)，两渐近线的夹角为60°，则可知＝或＝，那么可知双曲线的离心率为e＝，所以结果为2或，故选D.
答案：D
3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的(　　)
A.
焦距为10
B.
实轴长和虚轴长分别是8和6
C.
离心率是或
D.
离心率不确定
解析：若焦点x轴，则＝，∴e＝＝；
若焦点在y轴上，则＝，∴＝.∴e＝＝.
答案：C
4．[2014·大纲全国卷]双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于(　　)
A.
2
B.
2
C.
4
D.
4
解析：本题主要考查双曲线的几何性质，意在考查考生的基本运算能力．双曲线的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0.焦点为F(±c,0)，故焦点到渐近线的距离d＝＝，解得b＝.
而离心率e＝＝2，故c＝2a，
又b＝＝＝a，所以a＝1.
故c＝2a＝2，所以双曲线的焦距为2c＝4，选C.
答案：C
5.
已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是(　　)
A.－y2＝1
B．x2－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：本题主要考查双曲线的定义，向量数量积及解三角形等知识．由·＝0可得|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝40，又由||·||＝2可得||MF1|－|MF2||＝＝6，得a＝3，b＝1，故选A.
答案：A
6.
[2014·湖北高二检测]设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：设直线FB的斜率为－，则与其垂直的渐近线的斜率为，所以有－＝－1即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，两边同时除以a2可得e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍)．
答案：D
二、填空题
7.
渐近线方程为y＝±x，且过点A(2，－3)的双曲线的标准方程为________，离心率为________．
解析：本题主要考查由渐近线方程和双曲线上的点求双曲线方程的方法和双曲线离心率的求法．设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，点A(2，－3)在双曲线上，
∴－＝λ λ＝－，∴所求双曲线方程为－＝1，又a2＝，b2＝4，∴c2＝，∴离心率e＝＝.
答案：－＝1　
8.
[2014·山东潍坊高三期末]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为________．
解析：由题意e＝＝，得＝.又c2＝b2＋a2，
所以＝.故＝.
所以＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
9．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．
解析：由题意得，a＋c＝，即a2＋ac＝b2，a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0.解得e＝2或e＝－1(舍去)．
答案：2
三、解答题
10.
[2014·四川成都检测]已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．
解：(1)设双曲线方程为－＝1(a，b>0)，
由已知可得左、右焦点F1、F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，
则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，
又c＝2，所以b＝，
所以双曲线方程为x2－＝1.
(2)由题意可知直线m方程为y＝x－2，
联立双曲线及直线方程消去y得2x2＋4x－7＝0，
设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－，
由弦长公式得|AB|＝|x1－x2|＝·＝6.
11．设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同点A，B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，取＝，求a的值．
解：(1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1(a>0)中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
所以，解得0又双曲线的离心率e＝＝，
所以e>且e≠.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，
因为＝，
所以(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．
由此得x1＝x2.
由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－a2≠0，
所以x2＝－，x＝－.
消去x2得：－＝.
由a>0，解得：a＝.
12.
[2013·江西省三校联考]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，直线l过A(a,0)、B(0，－b)两点，原点O到l的距离是.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若·＝－23，求直线m的方程．
解：(1)依题意，直线l的方程为：＋＝1，即bx－ay－ab＝0.
由原点O到l的距离是，得＝＝，
又e＝＝，所以b＝1，a＝.
故所求双曲线方程为－y2＝1.
(2)显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y＝kx－1，
设点M，N坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，联立方程
消去y得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0.①
依题意知1－3k2≠0，由根与系数的关系知x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1)＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－23，解得k＝±，
当k＝±时，判别式Δ＝15>0，方程①有两个不等的实数根，满足条件．
故直线l方程为y＝x－1或y＝－x－1.04课后课时精练
一、选择题
1.
下列命题正确的有(　　)
①空间向量就是空间中一条有向线段；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；
③|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；
④＝的充要条件是A与C重合，B与D重合．
A.
1个　　　　　　　　
B.
2个
C.
3个
D.
4个
解析：①不正确．有向线段可以表示向量，但不是向量．
②正确，∵＝，∴||＝||且∥.
又A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD是平行四边形．
反之，在 ABCD中，＝.
③正确．a＝b |a|＝|b|，|a|＝|b|D /a＝b.
④不正确.＝ ||＝||，与同向．但是向量可以平移，起点位置不确定．
答案：B
2.
A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点(　　)
A.
不共面
B.
共面
C.
不一定共面
D.
无法判断是否共面
解析：＝＋＋
＝＋(＋)＋(＋)
＝＋＋，
∴－＝＋，
∴＝＋.
由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面．
答案：B
3．在四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝(　　)
A.
a－b＋c
B.
a－b＋c
C.
a＋b＋c
D.
a＋b＋c
解析：＝＋＝a＋
＝a＋(－)
＝a＋
＝a＋×(＋)
＝a＋b＋c.
答案：C
4．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则(　　)
A．a∥e1
B．a∥e2
C．a与e1、e2共面
D．以上三种情况均有可能
解析：假设a与e1共线，则a＝ke1，所以a＝λe1＋μe2可变为(k－λ)e1＝μe2，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线相矛盾，故假设不成立，即A不正确，同理B不正确，则D也错误．
答案：C
5．下列条件能使M与A、B、C一定共面的是(　　)
A.
＝2－－
B.
＝＋＋
C.
＋＋＝0
D.
＋＋＋＝0
解析：在C中，＝－－，∴、、共面．∴M、A、B、C一定共面，故C正确．
在A、B、D三个选项中，＝x＋y＋z的式子中，x＋y＋z≠1，故全错．
答案：C
6．在空间四边形OABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，＝a，＝b，＝c，则下列命题：
①＝a＋b；②＝b＋(a＋c)；③＝(a＋b)－c；④＝－a＋b；⑤＋＋＝0，其中正确的命题为(　　)
A．①②③
B．①②④
C．③④⑤
D．②③⑤
解析：如图
，＝－＝b－a，∴①错；＝－＝(a＋c)－b，∴②错．答案中只有C不含①②，故选C.
答案：C
二、填空题
7．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使
λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
解析：∵A，B，C三点共线，
∴存在唯一实数k使＝k，
即－＝k(－)，
∴(k－1)＋－k＝0，
又λ＋m＋n＝0，
令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，
则λ＋m＋n＝0.
答案：0
8．若G为△ABC内一点，且满足＋＋＝0，则G为△ABC的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)
解析：如下图，取BC的中点O，AC的中点D，连接OG、DG.由题意知＝－－＝＋＝2，同理＝2，故G为△ABC的重心．
答案：重心
9．如右图，已知边长为1的正四面体O－ABC，边OA的中点为M，自O作平面ABC的垂线OH与平面ABC交于点H，与平面MBC交于点I，将用，，表示为________．
解析：易知H是正三角形ABC的中心，所以＝(＋＋)．又I在OH上，故存在实数λ，满足＝λ，故＝(＋＋)＝(2＋＋)．因为I在平面MBC内，所以＋＋＝1，所以λ＝，于是＝＋＋.
答案：＝＋＋
三、解答题
10．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M分所成的比为2∶1，N分所成的比为1∶2，设＝m，＝n，＝t，试将表示成m、n、t的关系式．
解：连接AN，则＝＋，由已知得四边形ABCD为平行四边形，故＝＋＝m＋n，又＝－＝－(m＋n)，＝＋＝－＝－＝(t＋2n)，＝＋＝－(m＋n)＋(t＋2n)＝(n＋t－m)．
11．已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点(如图)，并且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m.
求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；
(2)∥；
(3)＝k.
证明：(1)由＝＋m，＝＋m，知A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面．
(2)∵＝＋m
＝－＋m(－)
＝k(－)＋km(－)
＝k＋km
＝k(＋m)＝k，
∴∥.
(3)由(2)知＝－＝k－k，
＝k(－)＝k，
∴＝k.
12.
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为PD的中点，证明PB∥平面ACM.(用向量法)
证明：∵M是PD的中点，∴＝.
又∵＝＋＋＝＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋＋－.
∴＝2＋.∴、、共面．
又∵PB 平面ACM，∴PB∥平面ACM.03课堂效果落实
1.
[2014·课标全国卷Ⅰ]已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)
A.
2　　　　　　　　　
B.
C.
D.
1
解析：本题考查双曲线中基本量的关系，意在考查考生对圆锥曲线基础知识的掌握情况．因为双曲线的方程为－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.选D.
答案：D
2.
已知直线y＝－是双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线，则此双曲线的离心率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：本题主要考查双曲线的简单几何性质．因为双曲线的一条渐近线方程为y＝－，所以＝，所以a＝3b，a2＝9b2，所以c2＝10b2，所以离心率为e＝＝＝，故选A.
答案：A
3.
[2013·福建高考]双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)
A.
B.
C.
1
D.
解析：本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离公式．双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，顶点坐标为(±1,0)，故顶点到渐近线的距离为，故选B.
答案：B
4．双曲线－＝1的实轴长等于________，虚轴长等于________，焦点坐标是________，离心率是________，渐近线方程是________．
答案：2　4　(－3,0)和(3,0)　　y＝±x
5.
[2014·湖南省长沙一中期中考试]已知焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为y±x＝0，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．
解：设双曲线方程为y2－3x2＝k(k≠0)，
当k>0时，a2＝k，b2＝，c2＝，
此时焦点为(0，±)，
由题意得3＝，解得k＝27，双曲线方程为y2－3x2＝27，即－＝1；
当k<0时，a2＝－，b2＝－k，c2＝－，
此时焦点为(±
，0)，
由题意得3＝，解得k＝－9，双曲线方程为y2－3x2＝－9，即－＝1.
∴所求双曲线方程为－＝1或－＝1.03课堂效果落实
1.已知二面角α－AB－β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tanθ的值等于(　　)
A.　　　　　　　　　
B.
C.
D.
解析：如图，作CH⊥β于H，HM⊥AB于M，连结CM，
由三垂线定理，可得AB⊥CM，
所以∠CMH就是二面角α－AB－β的平面角．
又CH＝3，CM＝4，所以HM＝，
即tanθ＝.
答案：C
2．二面角α－l－β内有一点P，若P到平面α、β的距离分别是5、8，且P在平面α、β内的射影的距离为7，则二面角的度数是(　　)
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
解析：如图，由已知∠ADB为二面角α－l－β的平面角．
又PA＝5，PB＝8，AB＝7，由余弦定理，可得
cos∠APB＝＝，
所以∠APB＝60°，即∠ADB＝120°.
答案：C
3．如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，AB＝2BC，则二面角B－AD－C的大小为(　　)
A．60°
B．90°
C．45°
D．120°
解析：因为AD⊥BD，AD⊥CD，
所以∠BDC就是二面角B－AD－C的平面角．
又BD＝CD＝AB＝BC，所以∠BDC＝60°.
答案：A
4．[2014·杭州高二测试]平面α的法向量n1＝(1,0，－1)，平面β的法向量n2＝(0，－1,1)，则平面α与β所成二面角的大小为________．
解析：设二面角的大小为θ，
则cos〈n1，n2〉＝＝－，
所以cosθ＝或－.∴θ＝或.
答案：或
5．已知A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，求三个坐标面与平面ABC夹角的余弦．
解：因为＝(－1,2,0)，＝(0，－2,3)，
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则取y＝3，
得n＝(6,3,2)，且|n|＝7.
又平面xOy的法向量为n1＝(0,0,1)，
于是可知，cos〈n，n1〉＝＝，
所以平面xOy与平面ABC的夹角余弦值为.
同理可得，平面yOz与平面ABC的夹角余弦值为.
平面zOx与平面ABC的夹角余弦值为.04课后课时精练
一、选择题
1．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为(　　)
A．－2　　　　　　　　　　
B．2
C．－4
D．4
解析：因为抛物线的焦点坐标为(，0)，椭圆的右焦点坐标为(2,0)，依题意得＝2，得p＝4，故选D.
答案：D
2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为(　　)
A．(8,8)
B．(8，－8)
C．(8，±8)
D．(－8，±8)
解析：设P(xP，yP)，因为点P到焦点的距离等于它到准线x＝－2的距离，所以xP＝8，yP＝±8，故选C.
答案：C
3．焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线的标准方程为(　　)
A．x2＝16y或y2＝16x
B．y2＝16x或x2＝12y
C．y2＝16x或x2＝－12y
D．x2＝16y或y2＝－12x
解析：直线3x－4y－12＝0与x轴，y轴的交点分别是(4,0)，(0，－3)，所以抛物线的焦点为(4,0)或(0，－3)，因此，所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－12y.
答案：C
4．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是(　　)
A.
x2＝8y－16
B.
x2＝2y－
C.
x2＝y－
D.
x2＝2y－2
解析：本题主要考查利用相关点法求轨迹方程．抛物线方程可化为：x2＝16y，焦点F(0,4)，设线段PF的中点E的坐标为(x，y)，P(x0，y0)，则x0＝2x，y0＝2y－4，代入抛物线方程得：(2x)2＝16(2y－4)，即x2＝8y－16，故选A.
答案：A
5.
[2014·辽宁高考]已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)
A.
－
B.
－1
C.
－
D.
－
解析：本题考查抛物线方程、抛物线的简单几何性质、直线的斜率等基础知识，考查考生的运算求解能力．因为点A在抛物线的准线上，所以－＝－2，所以该抛物线的焦点F(2,0)，所以kAF＝＝－，选C.
答案：C
6.
[2014·河北省衡水中学期中考试]已知抛物线y＝x2－1上一定点B(－1,0)和两个动点P，Q，当BP⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是(　　)
A.
(－∞，－3)∪[1，＋∞)
B.
[－3,1]
C.
[1，＋∞)
D.
(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：设P(t，t2－1)，Q(s，s2－1)，∵BP⊥PQ，∴·＝－1，即t2＋(s－1)t－s＋1＝0，∵t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点，∴必须有Δ＝(s－1)2＋4(s－1)≥0，即s2＋2s－3≥0，解得s≤－3或s≥1.
∴点Q的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.
答案：D
二、填空题
7.
[2013·北京高考]若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
解析：本题主要考查对抛物线标准方程的理解和应用因为抛物线y2＝2px的焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－，抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，所以p＝2，准线方程为x＝－1.
答案：2　x＝－1
8．焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上一点M在准线上的射影为N，若|MN|＝p，则|FN|＝________.
解析：依题意，|MF|＝|MN|＝p，
MF⊥MN，
在Rt△MNF中，∠FMN＝90°，
得|FN|＝p.
答案：p
9.
[2014·湖南高考]如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝________.
解析：本题主要考查抛物线的图象、性质和正方形的性质，结合数形结合思想、转化思想和方程思想求解参数的比值问题，关键是由BC＝CD得出点D为抛物线的焦点．由正方形的定义可知BC＝CD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，D(，0)，F(＋b，b)，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2p(＋b)＝a2＋2ab，变形得()2－－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)，所以＝1＋.
答案：1＋
三、解答题
10.
已知点A(0,4)，B(0，－2)，动点P(x，y)满足·－y2＋8＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证：OC⊥OD(O为原点)．
解：(1)由题意可知，＝(－x,4－y)，＝(－x，－2－y)，
∴x2＋(4－y)(－2－y)－y2＋8＝0，
∴x2＝2y为所求动点P的轨迹方程．
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由，整理得x2－2x－4＝0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－4，
∵kOC·kOD＝·＝
＝
＝
＝－1，
∴OC⊥OD.
11．如图，线段AB过点M(m,0)，m为正数，且点A，B到x轴的距离之积为4m，抛物线C以x轴为对称轴，且经过O，A，B三点(其中O为坐标原点)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若m＝1，＝2，求直线AB的方程．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(1)依题意设所求抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，　①
AB所在直线方程为x＝ay＋m.　②
联立①②消去x，得y2－2apy－2pm＝0，则y1y2＝－2pm.由题意得2pm＝4m，所以p＝2.故所求抛物线方程为y2＝4x.
(2)因为m＝1，p＝2，y1，y2是方程y2－4ay－4＝0的两根，所以又因为＝2，所以0＝，即y1＝－2y2，故
所以(－4a)2＝2，故a＝±，从而AB的方程为y＝2(x－1)或y＝－2(x－1)．
12.
[2014·湖北省武汉外国语学校期中考试]已知抛物线C1的焦点与椭圆C2：＋＝1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C1交于A，B两点．
(1)写出抛物线C1的标准方程；
(2)求△ABO面积的最小值．
解：(1)椭圆C2：＋＝1的右焦点为(1,0)，即为抛物线C1的焦点，又抛物线C1的顶点在坐标原点，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2)当直线AB的斜率不存在时，直线方程为x＝4，
此时|AB|＝8，△ABO的面积S＝×8×4＝16.
当直线AB的斜率存在时，
设AB的方程为y＝k(x－4)(k≠0)，
联立
消去x，得ky2－4y－16k＝0，Δ＝16＋64k2>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1＋y2＝，y1·y2＝－16，
∴S△AOB＝S△AOM＋S△BOM＝|OM||y1－y2|＝
2>16，
综上所述，△ABO面积的最小值为16.03课堂效果落实
1.若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l与α所成角的正弦值为(　　)
A.
　　　　　　　　
B.
C.
－
D.
解析：cos〈a，n〉＝＝＝＝.
答案：B
2．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　)
A.
　　　　　　　　　
B.
C.
D.
解析：直线l与平面α所成的角θ＝－＝.
答案：C
3．若斜线段AB与它在平面α内射影的长之比是2∶1，则AB与平面α所成的角为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：设AB与平面α所成的角为θ，由已知cosθ＝，即AB与平面α所成的角为.
答案：B
4．如图，AB⊥平面α于B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC和平面α所成的角为(　　)
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
解析：∵平面ABC⊥平面BCD，由三面角公式，得
cos∠ACD＝cos∠ACB·cos∠BCD，
∴cos60°＝cos∠ACB·cos45°，∴cos∠ACB＝，
即AC和平面α所成的角为45°.
答案：C
5．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求A1B与平面BD1所成的角．
解：建立空间直角坐标系[D；，，]．
设正方体的棱长为1，
则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
∴＝(1,1,0)，＝(0,0,1)．
设平面BD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝1，得n＝(1，－1,0)．
又A1(1,0,1)，∴＝(0,1，－1)，
∴cos〈n，〉＝＝－，
∴〈n，〉＝120°，
即A1B与平面BD1所成的角为30°.04课后课时精练
一、选择题
1．给出下列命题：①存在实数x0>1，使x>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使关于x的方程ax2－ax＋1＝0的根为负数．
其中特称命题的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
解析：只有②是全称命题．
答案：C
2．“存在集合A，使 ?A”，对这个命题，下面说法中正确的是(　　)
A．全称命题、真命题　　　
B．全称命题、假命题
C．特称命题、真命题
D．特称命题、假命题
解析：当A≠ 时， ?A，是特称命题，且为真命题．
答案：C
3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是(　　)
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b
C．存在一条直线与两个相交平面都垂直
D．存在一个实数x0使不等式x－3x0＋6<0成立
解析：C、D是特称命题，A是假命题．
答案：B
4．特称命题“存在实数x0使x＋1<0”可写成(　　)
A．若x∈R，则x2＋1<0
B． x∈R，x2＋1<0
C． x0∈R，x＋1<0
D．以上都不正确
解析：特称命题“存在一个x0∈R，使p(x0)成立”简记为“ x0∈R，使p(x0)成立”．
答案：C
5．[2014·大连高二检测]下列命题中假命题的个数为(　　)
① x∈R,2x－1>0
② x∈N
，(x－1)2>0
③ x0∈R，lgx0>1
④ x0∈R，tanx0＝2
⑤ x0∈R，sin2x0＋sinx0＋1＝0
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：本题考查全称命题和特称命题的真假判断．
①中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；
②中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；
③中命题是特称命题，当x＝100时，lgx＝2，故是真命题；
④中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题．
⑤(sinx0＋)2＋≥>0成立，可知为假命题．
答案：B
6．若对于 x∈R，x2≥a＋2|x|恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<－1
B．a≤－1
C．a>－1
D．a≥－1
解析：对于 x∈R，x2≥a＋2|x|恒成立，
即a≤x2－2|x|恒成立．
令f(x)＝x2－2|x|，x∈R，
则f(－x)＝f(x)．
当x≥0时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，故a≤－1.
答案：B
二、填空题
7．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“ ”或“ ”符号表示为__________________________．
答案： x≤0，x3≤0
8．[2014·西安高二检测]若 x∈R，使x＋＝m成立，则实数m的取值范围是________．
解析：依题意，关于x的方程x＋＝m有实数解，
由基本不等式得x＋≥2或x＋≤－2，∴m≥2或m≤－2.
答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)
9．下列命题中，是全称命题或特称命题的是________．
①正方形的四条边相等；②所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数；⑤所有正数都是实数吗？
解析：④为特称命题，①②③为全称命题，而⑤不是命题．
答案：①②③④
三、解答题
10．判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)存在一条直线，其斜率不存在；
(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；
(4)存在实数x0，使得＝2.
解：(1)是全称命题，是真命题；
(2)是特称命题，用符号表示为“ 直线l，l的斜率不存在”，是真命题；
(3)是全称命题，用符号表示为“ a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．
(4)是特称命题，用符号表示为“ x0∈R，＝2”，是假命题．
11.
[2014·唐山高二检测]已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；
(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．
解：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4.
(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．若存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，
∴m>4.
故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
12．(1)若全称命题“任意x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥0恒成立”为真命题，求a的取值范围；
(2)若特称命题“存在x0∈R，使log2(ax＋x0＋2)<0”为真命题，求a的取值范围．
解：(1)当x∈[－1，＋∞)时，x2－2ax＋2≥0恒成立，等价于二次函数y＝x2－2ax＋2的图象在x轴的上方，只需满足Δ<0或即4a2－8<0或所以－所以a的取值范围是[－，)．
(2)log2(ax＋x0＋2)<0 0当a＝0时，－2当a≠0时，或即0综上所述，a<，即所求a的取值范围是(－∞，)．04课后课时精练
一、选择题
1．下列命题正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若|a|>|b|，则a>b
C．若a＝b，则|a|＝|b|
D．若a≠b，则a与b的方向不同
解析：根据向量相等的定义，若两向量相等，那么这两个向量的大小和方向均相同，但反过来，大小相等的两个向量，若方向不同，也是不相等的．另外，向量不能比较大小．
答案：C
2．[2014·辽阳高二检测]已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则＋＋为(　　)
A.
　　　　　　　　　
B.
C.
D.
0
解析：＋＋＝＋＝.
答案：A
3．已知P是正六边形ABCDEF外一点，O为ABCDEF的中心，则＋＋＋＋＋等于(　　)
A.
B.
3
C.
6
D.
0
解析：＋＋＋＋＋＝6＋(＋＋＋＋＋)＝6.
答案：C
4．如图直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A．a＋b－c
B．a－b＋c
C．－a＋b＋c
D．－a＋b－c
解析：＝＋＋＝－＋＝
－－＋＝－a＋b－c.
答案：D
5．[2014·长春高二检测]已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，设G是CD的中点，则＋(＋)等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：如右图所示．∵G是CD中点，
∴(＋)＝，
∴＋(＋)＝.
答案：A
6．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　)
A．空间四边形
B．平行四边形
C．等腰梯形
D．矩形
解析：∵＋＝，＋＝，
∴＝.
∴线段AB、DC平行且相等．
∴四边形ABCD是平行四边形．
答案：B
二、填空题
7．如图所示，在三棱柱ABC—A′B′C′中，与是________向量，与是________向量．(用相等、相反填空)
解析：根据相等向量、相反向量的定义知，
与是相等向量．
与是相反向量．
答案：相等　相反
8．已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________.
解析：由a，c同向，a，b反向及|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，画图可知：|a＋b＋c|＝|a|＋|c|－|b|＝3＋1－2＝2.
答案：2
9.
已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.
解析：取BC中点M(如图所示)，连接EM、FM，
∵E，F是中点，∴EM綊AB，MF綊CD，
∴＝＝a－c，＝＝a＋3b－4c，
从而＝＋＝a－c＋a＋3b－4c＝3a＋3b－5c.
答案：3a＋3b－5c
三、解答题
10.
在空间中平移△ABC到△A1B1C1，连接对应顶点，设＝a，＝b，＝c，E是BC1的中点，试用a，b，c表示向量.
解：＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋(－)
＝＋＋
＝a＋b＋c.
即向量＝a＋b＋c.
11．如图所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是上底面A1C1的中心，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)＋＋；
(2)＋＋.
解：(1)＋＋＝，如图所示．
(2)＋＋
＝＋(＋)
＝＋(＋)
＝＋
＝＋＝，如上图所示．
12．[2014·济南高二检测]在平行
六面体ABCD－EFGH中，＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
解：∵x＋y＋z＝x(＋)＋y(＋)＋z(＋)＝(x＋y)＋(x＋z)＋(y＋z)＝＝＋＋.
∴∴x＋y＋z＝.04课后课时精练
一、选择题
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是(　　)
A.
红豆生南国　　　　　
B.
春来发几枝
C.
愿君多采撷
D.
此物最相思
解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．
答案：A
2．[2013·安徽高考]在下列命题中，不是公理的是(　　)
A.
平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.
过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C.
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
解析：本题考查了立体几何中的公理与定理，意在要考生注意回归课本，明白最基本的公理与定理．注意公理是不用证明的，定理是要求证明的．选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．
答案：A
3．下列命题中(　　)
①a·b＝a·c且a≠0时，必有b＝c
②如a∥b时，必存在唯一实数λ使a＝λb
③a，b，c互不共线时，a－b必与c不共线
④a与b共线且c与b也共线时，则a与c必共线
其中真命题的个数有
(　　)
A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个
解析：对于①，由a·b＝a·c且a≠0，得a·(b－c)＝0，未必有b＝c；对于②，若b＝0时，不成立；对于③，如图△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，
＝a，＝b，则＝－.
又因为＝.即c＝－(a－b)，故③不正确．
④若b＝0时，a与c不一定共线，故选A.
答案：A
4．[2014·辽宁高考]已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(　　)
A.
若m∥α，n∥α，则m∥n
B.
若m⊥α，n α，则m⊥n
C.
若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D.
若m∥α，m⊥n，则n⊥α
解析：本题主要考查空间线面位置关系的判断，意在考查考生的逻辑推理能力．对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能相交、平行或异面，A错误；显然选项B正确；对于选项C，若m⊥α，m⊥n，则n α或n∥α，C错误；对于选项D，若m∥α，m⊥n，则n∥α或n α或n与α相交，D错误．故选B.
答案：B
5．[2014·海南高二检测]设U为全集，下列命题是真命题的有(　　)
①若A∩B＝ ，则( UA)∪( UB)＝U；②若A∪B＝U，则( UA)∩( UB)＝ ；③若A∪B＝ ，则A＝B＝ .
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：由Venn图容易判断，①②③均为真命题．
答案：D
6．设l1、l2表示两条直线，α表示平面．若有：①l1⊥l2；②l1⊥α；③l2 α，则以其中两个为条件，另一个为结论，可以构造的所有命题中，正确命题的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由题意得三个命题，即②③ ①、①③ ②和①② ③.由②③ ①正确，①③ ②错误，①② ③错误，故选B.
答案：B
二、填空题
7．下列语句是命题的有________．
①地球是太阳的一个行星；②数列是函数吗？③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；④若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行；⑤60x＋9>4；⑥求证是无理数．
解析：根据命题的定义进行判断．因为②是疑问句，所以②不是命题；因为⑤中自变量x的值不确定，所以无法判断其真假；因为⑥是祈使句，所以不是命题．故填①③④.
答案：①③④
8．命题“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根”，条件p：________________，结论q：________________，是________________(填“真”或“假”)命题．
解析：根据命题的结构形式填空．
答案：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是一元二次方程　此方程有两个不相等的实数根　假
9．把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数f(x)＝log3x的图象与g(x)的图象关于原点对称，则g(x)＝________.
解析：设g(x)上任意一点坐标为P(x，y)，则点P关于原点的对称点坐标为P1(－x，－y)，点P1在函数f(x)＝log3x的图象上，将对称点P1坐标直接代入f(x)，
即得：g(x)＝－log3(－x)．
答案：－log3(－x)
三、解答题
10．判断下列语句是否为命题．
(1)若a⊥b，则a·b＝0；
(2)是无限循环小数；
(3)三角形的三条中线交于一点；
(4)x2－4x＋4≥0(x∈R)；
(5)非典型肺炎是怎样传染的？
(6)2014年北京的高考题真难！
答案：(1)是　(2)是　(3)是　(4)是　(5)不是　(6)不是
11．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假：
(1)等腰三角形的两个底角相等．
(2)当x＝2或x＝4时，x2－6x＋8＝0；
(3)正方形是矩形又是菱形；
(4)方程x2－x＋1＝0有两个实数根．
解：(1)若一个三角形是等腰三角形，则两个底角相等，真命题．
(2)若x＝2或x＝4，则x2－6x＋8＝0，真命题．
(3)若一个四边形是正方形，则它既是矩形，又是菱形，为真命题．
(4)若一个方程为x2－x＋1＝0，则这个方程有两个实数根，为假命题．
12．[2014·南昌高二检测]已知命题p：|x2－x|≥6，q：x∈Z，若p假q真，求x的值．
解：因为p假q真，所以可得
所以
即故x的值为－1,0,1,2.04课后课时精练
一、选择题
1.
下列命题正确的有(　　)
①空间向量就是空间中一条有向线段；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；
③|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；
④＝的充要条件是A与C重合，B与D重合．
A.
1个　　　　　　　　
B.
2个
C.
3个
D.
4个
解析：①不正确．有向线段可以表示向量，但不是向量．
②正确，∵＝，∴||＝||且∥.
又A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD是平行四边形．
反之，在 ABCD中，＝.
③正确．a＝b |a|＝|b|，|a|＝|b|D /a＝b.
④不正确.＝ ||＝||，与同向．但是向量可以平移，起点位置不确定．
答案：B
2.
[2014·铁岭高二检测]A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点(　　)
A.
不共面
B.
共面
C.
不一定共面
D.
无法判断是否共面
解析：＝＋＋
＝＋(＋)＋(＋)
＝＋＋，
∴－＝＋，
∴＝＋.
由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面．
答案：B
3．在四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝(　　)
A.
a－b＋c
B.
a－b＋c
C.
a＋b＋c
D.
a＋b＋c
解析：＝＋＝a＋
＝a＋(－)
＝a＋
＝a＋×(＋)
＝a＋b＋c.
答案：C
4．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则(　　)
A．a∥e1
B．a∥e2
C．a与e1、e2共面
D．以上三种情况均有可能
解析：假设a与e1共线，则a＝ke1，所以a＝λe1＋μe2可变为(k－λ)e1＝μe2，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线相矛盾，故假设不成立，即A不正确，同理B不正确，则D也错误．
答案：C
5．[2014·徐州高二测试]下列条件能使M与A、B、C一定共面的是(　　)
A.
＝2－－
B.
＝＋＋
C.
＋＋＝0
D.
＋＋＋＝0
解析：在C中，＝－－，∴、、共面．∴M、A、B、C一定共面，故C正确．
在A、B、D三个选项中，＝x＋y＋z的式子中，x＋y＋z≠1，故全错．
答案：C
6．在空间四边形OABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，＝a，＝b，＝c，则下列命题：
①＝a＋b；②＝b＋(a＋c)；③＝(a＋b)－c；④＝－a＋b；⑤＋＋＝0，其中正确的命题为(　　)
A．①②③
B．①②④
C．③④⑤
D．②③⑤
解析：如图
，＝－＝b－a，∴①错；＝－＝(a＋c)－b，∴②错．答案中只有C不含①②，故选C.
答案：C
二、填空题
7．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使
λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
解析：∵A，B，C三点共线，
∴存在唯一实数k使＝k，
即－＝k(－)，
∴(k－1)＋－k＝0，
又λ＋m＋n＝0，
令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，
则λ＋m＋n＝0.
答案：0
8．若G为△ABC内一点，且满足＋＋＝0，则G为△ABC的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)
解析：如图，取BC的中点O，AC的中点D，连接OG、DG.由题意知＝－－＝＋＝2，同理＝2，故G为△ABC的重心．
答案：重心
9．如图，已知边长为1的正四面体O－ABC，边OA的中点为M，自O作平面ABC的垂线OH与平面ABC交于点H，与平面MBC交于点I，将用，，表示为________．
解析：易知H是正三角形ABC的中心，所以＝(＋＋)．又I在OH上，故存在实数λ，满足＝λ，故＝(＋＋)＝(2＋＋)．因为I在平面MBC内，所以＋＋＝1，所以λ＝，于是＝＋＋.
答案：＝＋＋
三、解答题
10．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M分所成的比为2∶1，N分所成的比为1∶2，设＝m，＝n，＝t，试将表示成m、n、t的关系式．
解：连接AN，则＝＋，由已知得四边形ABCD为平行四边形，故＝＋＝m＋n，又＝－＝－(m＋n)，＝＋＝－＝－＝(t＋2n)，＝＋＝－(m＋n)＋(t＋2n)＝(n＋t－m)．
11．已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点(如右图)，并且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m.
求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；
(2)∥；
(3)＝k.
证明：(1)由＝＋m，＝＋m，知A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面．
(2)∵＝＋m
＝－＋m(－)
＝k(－)＋km(－)
＝k＋km
＝k(＋m)＝k，
∴∥.
(3)由(2)知＝－＝k－k，
＝k(－)＝k，
∴＝k.
12.
[2014·东城高二检测]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为PD的中点，证明PB∥平面ACM.(用向量法)
证明：∵M是PD的中点，∴＝.
又∵＝＋＋＝＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋＋－.
∴＝2＋.∴、、共面．
又∵PB 平面ACM，∴PB∥平面ACM.04课后课时精练
一、选择题
1．下列命题正确的是(　　)
A．|a|·a＝a2
B．(a·b)2＝a2·b2
C．a(a·b)＝b·a2
D．|a·b|≤|a|·|b|
解析：根据定义可判断出A、B、C均不正确．
答案：D
2．已知菱形ABCD的边长为a，∠DAB＝60°，则|＋|等于(　　)
A．a　　　　　　　　　　　
B．2a
C.a
D.a
解析：由向量的平行四边形法则知，|＋|＝||＝a.
答案：D
3．[2014·安庆高二检测]设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　)
A.
钝角三角形
B.
锐角三角形
C.
直角三角形
D.
不确定
解析：·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝2>0.
同理，可证·>0，·>0.
∴三角形的三个内角均为锐角．
答案：B
4．若a⊥b，a⊥c，l＝αb＋β
c(α，β∈R)，m∥a，则m与l一定(　　)
A．相交
B．共线
C．垂直
D．以上都有可能
解析：∵a⊥b，a⊥c且a∥m，∴m⊥b，m⊥c，
∴m·l＝m·(α
b＋β
c)
＝α
m·b＋β
m·c
＝α·0＋β·0＝0，
∴m⊥l.
答案：C
5.
[2014·清华附中高二月考]已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为(　　)
A.
30°
B.
60°
C.
90°
D.
45°
解析：本题主要考查空间向量在求角中的应用．由于＝＋＋，则·＝(＋＋)·＝＝1.cos〈，〉＝＝ 〈，〉＝60°，故选B.
答案：B
6．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于(　　)
A．以a，b为两边的三角形的面积
B．以b，c为两边的三角形的面积
C．以a，b为邻边的平行四边形的面积
D．以b，c为邻边的平行四边形的面积
解析：若|a|＝|c|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝，〈c，b〉＝，则|b·c|＝2×1×cos＝1，而以a，b为两边的三角形面积S＝|a|·|b|·sin＝，以b，c为两边的三角形面积S＝|b|·|c|·sin＝；以a，b为邻边的平行四边形的面积S＝|a|·|b|·sin＝1，以b，c为邻边的平行四边形的面积S＝|b|·|c|·sin＝.故排除A、B、D，选C.
答案：C
二、填空题
7．[2014·安顺高二检测]设a⊥b，〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________.
解析：|a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c
＝12＋22＋32＋2×1×3×cos60°＋2×2×3×cos30°
＝17＋6，
∴|a＋b＋c|＝.
答案：
8.
在平行六面体ABCD－EFGH中，已知M，N，R分别是AB，AD，AE上的点，且AM＝MB，AN＝ND，AR＝2RE，则平面MNR分对角线AG所得线段AP与PG的比值为________．
解析：
本题主要考查空间向量的共面条件的应用．设＝m，由＝＋＋＝2＋3＋，得＝2m＋3m＋m.
由于P，M，R，N共面，则2m＋3m＋m＝1，
从而得m＝，即＝，故＝.
答案：
9．设a、b、c是任意的非零向量，且互不共线，则下列四个命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(c·b)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中真命题的序号是________．
解析：①注意向量数乘与数量积的区别，所以不成立；②是三角形不等式，所以成立；③[(c·b)a－(c·a)b]·c＝(c·b)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，故垂直，所以③不成立；④向量运算定律，所以成立．
答案：②④
三、解答题
10．设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4.
求：(1)a·b；(2)a2与b2；(3)(3a－2b)·(a＋2b)．
解：(1)a·b＝3×4×cos120°＝－6.
(2)a2＝|a|2＝9，b2＝|b|2＝16.
(3)(3a－2b)·(a＋2b)＝3|a|2－4|b|2＋4a·b＝3×32－4×42＋4×(－6)＝27－64－24＝－61.
11.
[2014·安徽省合肥一中期中考试]点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，M分PC成定比2，且＝2，N分PD成定比1.
(1)求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值；
(2)若PA＝AB＝1，AD＝2，求MN的长．
解：(1)取PC的中点E，连接NE，则＝－＝－(－)＝－(－)＝－＝－－(－＋＋)＝－－＋，
比较知x＝－，y＝－，z＝.
(2)因为PA＝AB＝1，AD＝2，且PA⊥AB，AB⊥AD，PA⊥AD，
而||2＝|－－＋|2＝(－)2＋(－)2＋(－)2＝，
故||＝.
12.
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．
(1)求证：PB⊥DM；
(2)求AC与PD所成角的余弦值．
解：(1)结合图形知，＝－，＝(＋)＝(－＋－)＝＋－，则·＝(－)·(＋－)＝||2－||2＝0，
故PB⊥DM.
(2)设PA＝AD＝AB＝2BC＝2，
由于＝－，＝＋，
则||2＝|－|2＝2－2·＋2＝8，故||＝2，
||2＝|＋|2＝||2＋2·＋||2＝5，
故||＝，
·＝(－)·(＋)＝2，
故cos〈，〉＝＝.03课堂效果落实
1.下列各命题中，不正确命题的个数为(　　)
①＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b；③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a.
A．4个　　　　　　　　
B．3个
C．2个
D．1个
解析：①②③正确，④不正确．
答案：D
2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于(　　)
A.
B．97
C.
D．61
解析：|2a－3b|2＝4a2＋9b2－12a·b＝4×4＋9×9－12×|a||b|cos60°＝97－12×2×3×＝61.
答案：C
3．已知在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为(　　)
A．6
B.
C．3
D.
解析：∵＝＋＋，
∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，
∴||＝，即AC1的长为.
答案：B
4．[2014·盘锦高二检测]已知空间向量a、b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________．
解析：由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
∴a2＋λb2＋(1＋λ)a·b＝0，
即18＋25λ＋(1＋λ)×3×5×cos135°＝0，
∴λ＝－.
答案：－
5．如右图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积．
(1)·；(2)·；
(3)·；(4)·.
解：在空间四边形ABCD中，
(1)∵||＝||＝a，〈，〉＝60°，
∴·＝a·acos60°＝a2.
(2)∵||＝a，||＝a，〈，〉＝60°，
∴·＝a2cos60°＝a2.
(3)∵||＝a，||＝a，又∥，∴〈，〉＝π.
∴·＝a2cosπ＝－a2.
(4)∵||＝a，||＝a，∥，
∴〈，〉＝〈，〉＝60°，
∴·＝a2cos60°＝a2.03课堂效果落实
1.两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：∵两个非零向量模相等得不到两个向量相等，而两个向量相等则其模相等且方向相同．
答案：B
2．如右图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′顶点连接的向量中，与向量相等的向量有(　　)
A．0个　　　　　　　
B．3个
C．6个
D．9个
解析：与相等的向量有、、.
答案：B
3．空间任意四个点A、B、C、D，则＋－等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：＋－＝＋＝.
答案：D
4．[2014·丹东高二检测]已知长方体ABCD—A′B′C′D′，则下列四式中正确的是________．
①－＝；②＝＋＋；
③＋＝；④＋＋＋＝.
解析：由向量加法的三角形法则或多边形法则可知①②③正确．
答案：①②③
5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，化简向量表达式：
(1)＋＋＋；(2)＋＋＋.
解：(1)＋＋＋＝＋＋＋＝0.
(2)∵＝＝－，＝－，
∴原式＝－－＋＝0.03课堂效果落实
1.平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　　　
B．相交但不垂直
C．垂直
D．重合
解析：平面α与平面β的法向量的数量积为(1,2,0)·(2，－1,0)＝2－2＋0＝0，所以两个法向量垂直，故两个平面互相垂直．
答案：C
2．若直线l的一个方向向量为(1,1,1)，向量(1，－1,0)及向量(0,1，－1)都与平面α平行，则(　　)
A．l⊥α
B．l∥α
C．l α
D．以上都不对
解析：∵(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，(1,1,1)·(1，－1,0)＝0，
而向量(1，－1,0)与向量(0,1，－1)不平行，∴l⊥α.
答案：A
3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)
A．相交
B．平行
C．垂直
D．不能确定
解析：以C1为原点，以C1B1、C1D1、C1C分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，B(a,0，a)，A1(a，a,0)，
A(a，a，a)，C(0,0，a)，
∴M(a，a，)，N(a，a，a)，
∴＝(－，0，a)，
＝(0，a,0)，·＝0，
又C1D1是平面BB1C1C的法向量，
∴MN∥平面BB1C1C.
答案：B
4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________.
解析：∵α∥β，
∴＝，∴k＝4.
答案：4
5．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.
证明：如图，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设DC＝a.
连接AC，AC交BD于G，连接EG.依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，，)．
∵底面ABCD是正方形，
∴G是此正方形的中心．
故点G的坐标为(，，0)，且＝(a,0，－a)，＝(，0，－)．
∴＝2，∴∥.
∵EG 平面EDB且PA 平面EDB.
∴PA∥平面EDB.04课后课时精练
一、选择题
1．已知A(1,0)、B(－1,0)，动点M满足||MA|－|MB||＝2，则点M的轨迹方程是(　　)
A．y＝0(－1≤x≤1)　　　　
B．y＝0(x≥1)
C．y＝0(x≤－1)
D．y＝0(|x|≥1)
解析：∵||MA|－|MB||＝2＝|AB|，∴动点M的轨迹是两条射线，一条射线的端点为B，方向水平向左，另一条射线的端点为A，方向水平向右．
答案：D
2．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：设Q(x0，y0)为圆x2＋y2＝4上任意一点，PQ的中点为M(x，y)，
则即
将其代入x2＋y2＝4，
可得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
即(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.
答案：A
3．在△ABC中，若B、C的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，BC边上的中线的长度为5，则A点的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝5
B．x2＋y2＝25
C．x2＋y2＝5(y≠0)
D．x2＋y2＝25(y≠0)
解析：BC中点为原点，因为BC边上的中线长为5，
即|AO|＝5.
设点A(x，y)，所以x2＋y2＝25(y≠0)．
答案：D
4．已知点M(－3,0)，N(3,0)，设P(x，y)是曲线＋＝1上的点，则下列式子恒成立的是(　　)
A.
|PM|＋|PN|＝10
B.
|PM|－|PN|＝10
C.
|PM|＋|PN|≥10
D.
|PM|＋|PN|≤10
解析：
化简＋＝1可得＋＝1，如图所示，曲线＋＝1上的点A(或B，C，D)到点M，N的距离之和最大，为10，故|PM|＋|PN|≤10.故选D.
答案：D
5．已知两定点A(－2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于(　　)
A.
π
B.
4π
C.
8π
D.
9π
解析：设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得
＝2，
整理，得x2－4x＋y2＝0，
即(x－2)2＋y2＝4，所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，故S＝4π.
答案：B
6．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
解析：由＝＋λ(＋)得＝－＝λ(＋)，为上的单位向量，为上的单位向量．
根据向量加法的平行四边形法则知，＋为菱形的对角线，动点P的轨迹必过△ABC的内心．
答案：B
二、填空题
7．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－，则动点P的轨迹方程为(　　)
A.
x2－3y2＝4
B.
x2＋3y2＝4
C.
x2－3y2＝4(x≠±1)
D.
x2＋3y2＝4(x≠±1)
解析：由点B与点A(－1,1)关于原点对称，得点B的坐标为(1，－1)．设点P的坐标为(x，y)，由题意得·＝－，化简得x2＋3y2＝4，且x≠±1.故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．
答案：D
8．如图，在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称且·＝4，则动点P的轨迹方程为________．
解析：由已知M(0，y)，N(x，－y)，则·＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2＝4，
即－＝1.
答案：－＝1
9．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为________．
解析：由题意及圆的相关性质，因为∠APB＝60°，可知∠APO＝30°，设P(x，y)，连接OA，则OA⊥PA.
在Rt△OAP中，sin∠APO＝，
所以＝，整理得轨迹方程x2＋y2＝4.
答案：x2＋y2＝4
三、解答题
10．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程．
解：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)
(y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0)．
因为＝＋，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0,2y0)，则x0＝x，y0＝.
又点M在圆C上，所以x＋y＝4，即x2＋＝4(y≠0)．
所以动点Q的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．
11．点A(3,0)为圆x2＋y2＝1外一点，P为圆上任意一点，若AP的中点为M，当P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．
解：由题意，设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，
则∴
又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋4y2＝1，
∴(x－)2＋y2＝.
12．已知△ABC中，三边c>b>a，且a，b，c成等差数列，b＝2，试求点B的轨迹方程．
解：如图，以AC所在的直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
由于b＝|AC|＝2，
则A点坐标为(－1,0)，
C点坐标为(1,0)．
因为a、b、c成等差数列，所以2b＝a＋c，
即4＝|AB|＋|BC|.
设B点坐标为(x，y)，则|AB|＝，
|BC|＝.
所以4＝＋.
移项，两边平方并整理，
得4－x＝2.
两边再平方并整理，得3x2＋4y2＝12.
又c>a，即|AB|>|BC|，且A、B、C三点不共线，
所以0所以适合题意的动点B的轨迹方程为3x2＋4y2＝12(0一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．在空间直角坐标系Oxyz中，P点的坐标(x，y，z)，P点关于坐标平面yOz对称的对称点的坐标为(　　)
A.
(－x，y，z)　　　　　　　
B.
(－x，－y，z)
C.
(x，－y，－z)
D.
(－x，－y，－z)
解析：由对称的特点易知(x，y，z)关于yOz对称的坐标y，z不变，x变为相反数．
答案：A
2.
若A(3cosθ，3sinθ，1)，B(2cosθ，sinθ，1)，则||的取值范围为(　　)
A.
[0,2]
B.
(1,2)
C.
[1,2]
D.
[1,4]
解析：本题主要考查空间两点间的距离公式以及简单的三角函数值域问题．
由||＝＝∈[1,2]，故选C.
答案：C
3.
[2014·河南省固始一中期末考试]若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：本题主要考查空间中三点共线的充要条件．若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然，A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，即α＋β＝1，故选C.
答案：C
4.
已知a＝(1，x,1)，b＝(2,1，－1)的夹角为锐角，则函数y＝x2＋4x－1的值域是(　　)
A.
(－∞，3)
B.
(－∞，－3)
C.
(－4，＋∞)
D.
(－∞，－4)
解析：本题主要考查向量夹角为锐角的性质，同时考查二次函数值域的求法．a＝(1，x,1)，b＝(2,1，－1)的夹角为锐角，则a·b>0，同时a＝(1，x,1)，b＝(2,1，－1)不共线，即2＋x－1>0，得x>－1，则y＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5>－4，故选C.
答案：C
5.
已知A(2，－4，－1)，B(－1,5,1)，C(3，－4,1)，D(0,0,0)，令a＝，b＝，则a＋b为(　　)
A.
(5，－9,2)
B.
(－5,9，－2)
C.
(5,9，－2)
D.
(5，－9，－2)
解析：∵a＝＝(－1,0，－2)，
b＝＝(－4,9,0)，∴a＋b＝(－5,9，－2)．
答案：B
6.
若m⊥a，m⊥b，n＝λa＋tb(λ，t∈R，且λ，t≠0)，则(　　)
A.
m∥n
B.
m⊥n
C.
m与n不平行也不垂直
D.
m与n的关系以上三种都有可能
解析：m·n＝m·(λa＋tb)＝λm·a＋tm·b.
∵m⊥a，∴m·a＝0.∵m⊥b，∴m·b＝0.
∴m·n＝0，∴m⊥n.
答案：B
7．[2014·安徽省合肥一中月考]已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC、AD的中点，则·的值为(　　)
A.
a2
B.
a2
C.
a2
D.
a2
解析：如图，＝(＋)，＝，·＝(·＋·)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.
答案：C
8．在以下命题中，不正确的个数为(　　)
①|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；
②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；
③对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若＝2－2－，则P、A、B、C四点共面；
④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；
⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：①错应为充分不必要条件；②错，应强调b≠0；③错，∵2－2－1≠1；⑤错，根据数量积公式．
答案：C
9．空间四边形ABCD的各边及对角线长均为1，E是BC的中点，则(　　)
A.·<·
B.·＝·
C.·>·
D.·与·不能比较大小
解析：如右图
，易证AE⊥BC，故·＝0，取BD中点F，连接EF，AF，则EF∥CD.在△AEF中，AE＝AF＝，EF＝，得∠AEF是锐角，所以〈，〉是钝角，即〈，〉是钝角，所以·<0，故选C.
答案：C
10．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1内(含正方体表面)任取一点M，平面ABCD的一个法向量为n，且|n|＝2，则n·≥1的概率P＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：本题考查空间向量与几何概型的概率．以点A为原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设M(x，y，z)，x，y，z∈[0,2]．因为AA1⊥平面ABCD，且|AA1|＝2，所以n＝(0,0,2)，因为n·≥1，所以2z≥1，所以≤z≤2，所以n·≥1的概率P＝＝，故选A.
答案：A
11．如右图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　)
A．45°　　　　　　
B．60°
C．90°
D．120°
解析：令＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|.
∵＝b＋c，＝(c－a)，再令|a|＝2.则||＝2，||＝.又·＝(b＋c)·(c－a)＝(b·c－b·a＋|c|2－c·a)＝(0－0＋4－0)＝2，
∴cos〈·〉＝＝，
∴EF与BC1所成的角为60°.
答案：B
12.
[2014·大庆高二检测]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，B1C的中点，则EF和平面ABCD所成角的正切值为(　　)
A.
B.
C.
D.
2
解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则点A1(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，F(，1，)，E(1，，0)，＝(－，，)
＝(0,0,1)为底面的一个法向量，
cos〈，〉＝＝＝，
所以EF和平面ABCD所成角θ的正弦值为
sinθ＝，∴tanθ＝＝.故选B.
答案：B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知过O点模为1,2,3的三个向量分别为a，b，c，且a·b＝b·c＝c·a＝0，则|a＋b＋c|的值为________．
解析：|a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝1＋4＋9＝14，∴|a＋b＋c|＝.
答案：
14．[2014·湖南省长沙一中期末]如图，在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC中点，则·等于________．
解析：本题主要考查求空间两向量的数量积．因为E为BC的中点，所以＝－＝(＋)－，因为在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，所以·＝[(＋)－]·(－)＝(2－2)＝0.
答案：0
15．设a，b是直线，α，β是平面，a⊥α，b⊥β，向量a1在a上，向量b1在b上，a1＝(1,1,1)，b1＝(－3,4,0)，则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为________．
解析：由题意，cosθ＝|cos〈a1，b1〉|＝＝＝.
答案：
16．[2014·合肥调研]已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是________．
解析：如图建立空间直角坐标系Dxyz，
则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，
＝(－2,0,4)，＝(0,2,4)，＝(0,0,4)，
设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
解得x＝2z且y＝－2z，
不妨设n＝(2，－2,1)，
设点A1到平面AB1D1的距离为d.
则d＝＝.
答案：
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.
(10分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1,2)，B(1,2
－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)．
求证：四边形ABCD是一个梯形．
证明：因为＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，因为＝＝，所以和共线，即AB∥CD.
又因为＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，
＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，
因为≠≠，所以与不平行，
所以四边形ABCD为梯形．
18．(12分)[2014·陕西高二检测]如图所示，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．
(1)证明：∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.
又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC.∵AD 平面ABD，∴平面ADB⊥平面BDC.
(2)解：由∠BDC＝90°及(1)，知DA，DB，DC两两垂直．不妨设|DB|＝1，以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E(，，0)，
∴＝(，，－)，＝(1,0,0)，
∴与夹角的余弦值为cos〈，〉＝＝＝.
19．(12分)如图
，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD.
(1)求证：AQ∥平面CEP；
(2)求证：平面AEQ⊥平面DEP.
证明：(1)∵EP⊥矩形ABCD所在的平面，且P、Q均为AB，DC的中点，
∴PQ⊥AB，故以P为坐标原点，以PA，PQ，PE分别为x轴，y轴，z轴建系如图．
令AB＝2，PE＝a，则
A(1,0,0)，Q(0,1,0)，E(0,0，a)，C(－1,1,0)．
∴＝(－1,1,0)，＝(－1,1,0)，
∴＝，
∴∥，∴AQ∥PC.
∵AQ 平面EPC，PC 平面EPC，
∴AQ∥平面EPC.
(2)∵D(1,1,0)，∴＝(1,1,0)，＝(0,0，a)，
∴·＝(－1,1,0)·(1,1,0)＝－1＋1＝0，
·＝(－1,1,0)·(0,0，a)＝0.
∴⊥，⊥，即AQ⊥PD，AQ⊥PE，
又∵PD∩PE＝P.
∴AQ⊥平面EPD，AQ 平面AEQ，
∴平面AEQ⊥平面DEP.
20．(12分)在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP.
(1)求直线AP与平面BCC1B1所成角的正弦值．
(2)求点P到平面ABD1的距离．
解：(1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，∵棱长为4，
∴A(4,0,0)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，D(0,0,4)，P(0,4,1)，∴＝(－4,4,1)，显然＝(0,4,0)为平面BCC1B1的一个法向量，
∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ的正弦值sinθ＝|cos〈，〉|＝
＝.
(2)设平面ABD1的法向量为n＝(x，y,1)，
∵＝(0,4,0)，＝(－4,0,4)，
由n⊥，n⊥，得
∴n＝(1,0,1)，
∴点P到平面ABD1的距离d＝＝.
21．(12分)[2014·山东聊城检测]正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B.
(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求二面角E－DF－C的余弦值；
(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，又AB 平面DEF，EF 平面DEF，∴AB∥平面DEF.
(2)以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(0，，1)，F(1，，0)，＝(1，，0)，＝(0，，1)，＝(0,0,2)．
平面CDF的法向量为＝(0,0,2)，设平面EDF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取n＝(3，－，3)，
cos〈，n〉＝＝，
所以二面角E－DF－C的余弦值为.
(3)存在．设P(s，t,0)，则·＝t－2＝0，∴t＝，
又＝(s－2，t,0)，＝(－s,2－t,0)，
∵∥，∴(s－2)(2－t)＝－st，
∴s＋t＝2.
把t＝代入上式得s＝，∴＝，∴在线段BC上存在点P，使AP⊥DE.
此时，＝.
22.
(12分)[2014·课标全国卷Ⅱ]如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥E－ACD的体积．
分析：本题主要考查线面平行的证明，考查二面角的概念与条件转化，考查三棱锥体积的计算，以及空间向量法的应用等知识，意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力与运算求解能力．(1)利用E为中点构造平行线，连接BD交AC于点O，由OE∥PB易证得“线面平行”．(2)先将“角度”条件转化为“长度”条件，再求体积即可．对条件角的转化，既可以用几何方法，也可用向量方法，用几何方法需作辅助线并进行相应的证明，故用向量方法解题效率会更高一些．
解：(1)连接BD交AC于点O，连接EO.
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO 平面AEC，PB 平面AEC，所以PB∥平面AEC.
(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系A－xyz，则D(0，，0)，E(0，，)，＝(0，，)．
设B(m,0,0)(m>0)，则C(m，，0)，＝(m，，0)．
设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
可取n1＝(，－1，)．
又n2＝(1,0,0)为平面DAE的法向量，由题设知
|cos〈n1，n2〉|＝，即＝，解得m＝.
因为E为PD的中点，所以三棱锥E－ACD的高为.三棱锥E－ACD的体积V＝××××＝.阶段水平测试(一)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1.
下面所给三个命题中真命题个数有(　　)
(1)若ac2>bc2，则a>b；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(3)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该二次函数图象与x轴有公共点；
A.
0　　　　　　　　　　　
B.
1
C.
2
D.
3
解析：(1)该命题为真命题，因为当c＝0时，ac2＝bc2.
(2)该命题为真命题，根据圆内接四边形的定义可进行判定．
(3)该命题为假命题，因为当b2－4ac<0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数的图象为x轴无公共点．综上所述，故选B.
答案：C
2.
[2012·福建高考]下列命题中，真命题是(　　)
A.
x0∈R，ex0≤0
B.
x∈R,2x>x2
C.
a＋b＝0的充要条件是＝－1
D.
a>1，b>1是ab>1的充分条件
解析：∵ x∈R，ex>0，∴A错；∵函数y＝2x与y＝x2有交点．如点(2,2)，此时2x＝x2，∴B错；∵当a＝b＝0时，a＋b＝0，而0作分母无意义，∴C错；a>1，b>1，由不等式可乘性知ab>1，∴D正确．
答案：D
3.
[2014·浙江高考]设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析：此题主要考查四边形与充要关系的判断，考生需要结合四边形的知识和充要关系的判断进行突破．若“四边形ABCD为菱形”，则对角线“AC⊥BD”成立；而若对角线“AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD有可能为空间正四面体”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．
答案：A
4.
若命题p：|x＋1|≤4，q：x2<5x－6，则“綈p”是“綈q”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：∵p：－5≤x≤3，则綈p：x<－5或x>3；
∵q：2答案：A
5.
命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)
A.
不存在x0∈R，x－x＋1≤0
B.
存在x0∈R，x－x＋1≤0
C.
存在x0∈R，x－x＋1>0
D.
对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
解析：题目中命题的意思是“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0都成立”，要否定它，只要能找到至少一个x0，使得x－x＋1>0即可，故命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x0∈R，x－x＋1>0”．
答案：C
6．[2014·安徽高考]“x<0”是“ln(x＋1)<0”的(　　)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析：本题主要考查充分、必要条件的判断及简单对数形式不等式的求解．ln(x＋1)<0 0答案：B
7.
[2013·湖北高考]在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　　)
A.
(綈p)∨(綈q)
B.
p∨(綈q)
C.
(綈p)∧(綈q)
D.
p∨q
解析：綈p表示甲没有降落在指定范围，綈q表示乙没有降落在指定范围，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”，也就是“甲没有降落在指定范围”或“乙没有降落在指定范围”．故选A.
答案：A
8．下列命题中是真命题的为(　　)
A．“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件
B．“A∩B≠ ”是“A?B”的充分条件
C．“b2－4ac<0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R”的充要条件
D．“圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切”是“c2＝(a2＋b2)r2”的充要条件
解析：A项中，“x>2且y>3” “x＋y>5”，但“x＋y>5”不能推出“x>2且y>3”，如：x＝0且y＝6，满足x＋y>5，但不满足x>2，故A是假命题；
B项中，“A∩B≠ ”不能推出“A?B”，如A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，A∩B＝{2}，但A不是B的真子集．故B是假命题；
C项中，如：一元二次不等式－2x2＋x－1>0的解集为 ，但b2－4ac＝1－8＝－7<0，故C是假命题；
D项中，“圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切”
圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝r，
即c2＝(a2＋b2)r2，所以充分性成立；反之也成立，即必要性也成立，故D是真命题．
答案：D
9．设集合A＝{x|－2－a0)，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则a的取值范围是(　　)
A.
02
B.
0C.
1D.
1≤a≤2
解析：若p为真命题，则－2－a<1解得a>1.
若q为真命题，则－2－a<22.
依题意，得p假q真，或p真q假，
即或∴1答案：C
10．已知命题p：存在x∈R，使tanx＝，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1A.
②③
B.
①②④
C.
①③④
D．①②③④
解析：∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．
答案：D
11．[2014·重庆高考]已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．
则下列命题为真命题的是(　　)
A.
p∧q
B.
(綈p)∧(綈q)
C.
(綈p)∧q
D.
p∧(綈q)
解析：本题主要考查指数函数的性质、含逻辑联结词的命题的真假判断及充分、必要条件，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．依题意，命题p是真命题．由x>2 x>1，而x>1D /x>2，因此“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则綈q是真命题，p∧綈q是真命题，选D.
答案：D
12．[2014·天津高考]设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分又不必要条件
解析：本题以不等式为背景考查函数的单调性定义的正用、逆用，充要条件的判断等知识点，意在考查考生的推理论证能力和转化化归能力．构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数．因为f(x)＝所以函数f(x)在R上单调递增，所以a>b f(a)>f(b) a|a|>b|b|.选C.
答案：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是________．
答案：如果一条直线是圆的切线，则它到圆心的距离等于圆的半径
14.
设集合A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|<1}，则“A∩B≠ ”的充要条件是________．
解析：A＝{x|－1答案：(－2,2)
15.
已知命题p：“ x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“ x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵p∧q是真命题，∴p与q均为真命题．p为真命题：a≥e，q为真命题：Δ＝42－4a≥0，a≤4.综上，a∈[e,4]．
答案：[e,4]
16.
已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：
p1：|a＋b|>1 θ∈[0，)；
p2：|a＋b|>1 θ∈(，π]；
p3：|a－b|>1 θ∈[0，]；
p4：|a－b|>1 θ∈(，π]；
其中真命题为________．
解析：由|a＋b|＝＝>1，
得2＋2cosθ>1，∴cosθ>－，∴0≤θ<.
由|a－b|＝＝>1，
得2－2cosθ>1，∴cosθ<，∴<θ≤π.
∴p1，p4正确．
答案：p1，p4
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(10分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)四条边相等的四边形是正方形；
(3)若x2＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1.
解：(1)“若p，则q”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等；是真命题．
逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等；是真命题．
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应边不全相等；是真命题．
逆否命题：若两个三角形的对应边不全相等，则这两个三角形不全等；是真命题．
(2)“若p，则q”的形式：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；是假命题．
逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；是真命题．
否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形；是真命题．
逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等；是假命题．
(3)逆命题：若x＝－8或x＝1，则x2＋7x－8＝0.逆命题为真．
否命题：若x2＋7x－8≠0，则x≠－8且x≠1.否命题为真．
逆否命题：若x≠－8且x≠1，则x2＋7x－8≠0.逆否命题为真．
18．(12分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：正数的对数都是正数．
(2)p：存在x∈R，x2－x＋1≤0.
(3)p：所有的矩形都是平行四边形．
(4)p：有的三角形是等边三角形．
(5)p：任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
(6)p：有一个素数含三个正因数．
解：(1)綈p：存在一个正数，它的对数不是正数．真命题．
(2)綈p：任意x∈R，x2－x＋1>0.真命题．
(3)綈p：存在一个矩形，它不是平行四边形．假命题．
(4)綈p：所有的三角形都不是等边三角形．假命题．
(5)綈p：存在x0∈Z，使x的个位数字等于3.假命题．
(6)綈p：所有的素数都不含三个正因数．真命题．
19．(12分)用反证法证明：若a2＋b2＝c2，则a、b、c不可能都是奇数．
证明：假设a、b、c都是奇数，
那么a2、b2、c2一定也都是奇数．
∴a2＋b2为偶数．
∴a2＋b2≠c2，这与已知a2＋b2＝c2矛盾．
故假设不成立，即a、b、c不可能都是奇数．
20．(12分)指出下列命题中，p是q的什么条件：
(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}．
(2)p：－2解：(1)∵{x|x>－2或x<3}＝R，
{x|x2－x－6<0}＝{x|－2∴{x|x>－2或x<3} /
{x|－2而{x|－2－2或x<3}．
∴p是q的必要不充分条件．
(2)若关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，设为x1，x2，则0有0根据根与系数的关系得
即－2反之，取m＝－，n＝，x2－x＋＝0，Δ＝－4×<0，方程x2＋mx＋n＝0无实根，所以pD /q.
综上所述，p是q的必要不充分条件．
21．(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
证明：先证必要性．
∵a＋b＝1，即b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.
再证充分性．
∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
由ab≠0，即a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2≠0，从而只有a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
22．(12分)已知命题p：f(x)＝|x＋a|在[0，＋∞)上是增函数；命题q：点O(0,0)与点P(1,1)在直线y＝a(x＋1)的两侧．若p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．
解：∵f(x)＝|x＋a|在[－a，＋∞)上是增函数，若p为真，应有[0，＋∞) [－a，＋∞)，∴－a≤0，即a≥0.
若q为真，应有a(2a－1)<0，解得0由p∧q为假，p∨q为真可知，p与q一真一假．
当p真q假时，得解得a＝0或a≥.
当p假q真时，得，此时a无解．
综上所述，实数a的取值范围是{a|a＝0或a≥}．04课后课时精练
一、选择题
1．[2013·福建高考]已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A B”的(　　)
A.
充分而不必要条件　　
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析：当a＝3时，A＝{1,3}，A B；反之，当A B时，a＝2或3，所以“a＝3”是“A B”的充分而不必要条件，选A.
答案：A
2.
[2013·山东高考]给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的(　　)
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析：∵綈p是q的必要而不充分条件，∴q 綈p，但綈pD /q，其逆否命题为p 綈q，但綈qD /p，因为原命题与其逆否命题是等价命题，故选A.
答案：A
3.
[2013·浙江高考]已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的(　　)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析：f(x)是奇函数时，φ＝＋kπ(k∈Z)；φ＝时，f(x)＝Acos(ωx＋)＝－Asinωx，为奇函数．所以“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要不充分条件，选B.
答案：B
4．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是A.
[－，]　　　　　　
B.
[－，]
C.
(－∞，－)
D.
[，＋∞)
解析：由题易知不等式|x－m|<1的解集为{m|m－1∴，解得－∴m＝－及m＝亦满足题意，
∴－≤m≤，故选B.
答案：B
5．[2012·浙江高考]设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析：由l1∥l2，得－＝－，解得a＝1或a＝－2，代入检验符合，即“a＝1”是“l1∥l2”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
6.
[2013·安徽高考]“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的(　　)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析：充分性：当a<0时，x>0，则f(x)＝|(ax－1)·x|＝－ax2＋x为开口向上的二次函数，且对称轴为x＝<0，故为增函数；
当a＝0时，f(x)＝x为增函数．
必要性：当a≠0时，f()＝0，f(0)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，则<0，即a<0，f(x)＝x时，为增函数，此时a＝0，故a≤0.
综上，a≤0为f(x)在(0，＋∞)上为增函数的充分必要条件．
答案：C
二、填空题
7.
[2013·山东龙口一模]设函数f(x)＝ax＋b(0≤x≤1)，则a＋2b>0是f(x)>0在[0,1]上恒成立的________条件．(填充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要)
解析：由
∴a＋2b>0.
而仅有a＋2b>0，无法推出f(0)>0和f(1)>0同时成立．
答案：必要不充分
8．m＝________是函数y＝xm2－4m＋5为二次函数的充要条件．
解析：当函数为二次函数时，m2－4m＋5＝2，即m＝3或m＝1；又m＝3或m＝1，都能使函数为二次函数．
答案：1或3
9．有以下四组命题：
(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
(2)p：同位角相等；q：两直线平行；
(3)p：x<－3；q：x2>9；
(4)p：0其中p是q的充分不必要条件的是_______，p是q的必要不充分条件是________，p是q的充要条件的是________．
解析：(1)x－2＝0 (x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0Dx－2＝0，所以p是q的必要不充分条件．
(2)同位角相等 两直线平行，所以p是q的充要条件，
(3)x<－3 x2>9，但x2>9D /x<－3，
所以p是q的充分不必要条件．
(4)0答案：(3)　(1)　(2)(4)
三、解答题
10．下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：lgx2＝0，q：x＝1；
(2)p：b＝c，q：a·b＝a·c(a，b，c≠0)；
(3)p：x≥1且y≥1，q：x＋y≥2；
(4)p：x，y不全为0，q：x＋y≠0.
解：(1)当lgx2＝0时，x2＝1，即x＝±1，则p /q，q p，所以p是q的必要不充分条件．
(2)易知p q.而a·b＝a·c(a，b，c≠0)，即a·(b－c)＝0，可得b＝c或a⊥(b－c)，即q /p，所以p是q的充分不必要条件．
(3)∵p q，而q /
p，∴p是q的充分不必要条件．
(4)綈p：x＝0且y＝0，綈q：x＋y＝0，∵綈p 綈q，而綈q綈p，∴p q且p
q，∴p是q的必要不充分条件．
11．证明：函数f(x)＝(x∈R)是奇函数的充要条件是a＝1.
证明：先证充分性：若a＝1，则函数化为f(x)＝.
∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝＝＝＝－＝－f(x)．
∴函数f(x)是奇函数．
再证必要性：
①若函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．
∴＝－，
∴＝－，
∴a＋(a－2)·2x＝－a·2x－a＋2，
∴2(a－1)(2x＋1)＝0，∴a＝1.
综上所述：函数f(x)＝(x∈R)是奇函数的充要条件是a＝1.
12．设集合A＝{x|－2≤x≤a}，B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}，求B∪C＝B的充要条件．
解：B∪C＝B C B.
因为A＝{x|－2≤x≤a}，
所以B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}＝{y|－1≤y≤2a＋3}．
又当－2≤a<0时，C＝{z|a2≤z≤4}；
当0≤a≤2时，C＝{z|0≤z≤4}；
当a>2时，C＝{z|0≤z≤a2}，
所以当－2≤a≤2时，C B 4≤2a＋3，
即≤a≤2；
当a>2时，C B a2≤2a＋3，即2综上所述，所求的充要条件是[，3]．03课堂效果落实
1.[2014·四川宜宾测试]已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是(　　)
A.
　　　　　　　　
B.
C.
D.
2
解析：由已知可得c＝，a＝1，∴b＝1.
∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－1)．
将y＝代入，可得点P的横坐标为x＝－.
∴点P到原点的距离为
＝.
答案：A
2．已知方程－＝1表示的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　)
A．k>5
B．k>5或－2C．k>2或k<－2
D．－2解析：由于方程－＝1只需满足(k－5)与(|k|－2)同号，方程即能表示双曲线．∵方程的图形是双曲线，∴(k－5)(|k|－2)>0，即或解得k>5或－2答案：B
3．已知双曲线的方程为－＝1，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为(　　)
A．2a＋2m
B．4a＋2m
C．a＋m
D．2a＋4m
解析：∵A、B在双曲线的右支上，
∴|BF1|－|BF2|＝2a，
|AF1|－|AF2|＝2a，
∴|BF1|＋|AF1|－(|BF2|＋|AF2|)＝4a.
∴|BF1|＋|AF1|＝4a＋m.
∴△ABF1的周长为4a＋m＋m＝4a＋2m.
答案：B
4．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　)
A.
－＝1
B.
－＝1
C.
－＝1
D.
－＝1
解析：依题意，2a＋2b＝·2c.
即a＋b＝c，∴a2＋2ab＋b2＝2(a2＋b2)．
∴(a－b)2＝0，即a＝b.
∵一个顶点坐标为(0,2)，∴a2＝b2＝4，
∴双曲线方程为y2－x2＝4.
答案：A
5．已知双曲线的两个焦点F1、F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程．
解：若以线段F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式．由题意得2a＝24,2c＝26.
∴a＝12，c＝13，b2＝132－122＝25.
当双曲线的焦点在x轴上时，
双曲线的方程为－＝1.
若以线段F1F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系．
则双曲线的方程为－＝1.04课后课时精练
一、选择题
1．[2012·上海高考]已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则(　　)
A.
C1与C2顶点相同　　
B.
C1与C2长轴长相同
C.
C1与C2短轴长相同
D.
C1与C2焦距相等
解析：由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D.
答案：D
2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1　
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：∵2a＝18,2c＝×2a＝6，
∴a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.
答案：A
3．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．(0,1)
B．(0，]
C．(0，)
D．[，1)
解析：由·＝0知MF1⊥MF2，∴椭圆上的点均满足∠F1MF2<90°，∴只需F1，F2与短轴端点形成的角为锐角，所以c答案：C
4．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m>1
B．m≥1或0C．0D．m≥1且m≠5
解析：解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，
所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.
解法二：由
消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
依题意Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，
由于m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5.
答案：D
5.
[2013·大纲全国卷]椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)
A.
[，]
B.
[，]
C.
[，1]
D.
[，1]
解析：本题考查椭圆的定义和不等式的性质．
由题意知点P在第一象限，设P点横坐标为x，代入椭圆方程则纵坐标为y＝×，由PA2的斜率得：1≤·≤2，即≤
≤，PA1的斜率为，所以PA1的斜率取值范围为[，]．
答案：B
6．[2014·福建高考]设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)
A.
5
B.
＋
C.
7＋
D.
6
解析：本题主要考查圆、椭圆的性质等基础知识，意在考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力．设圆的圆心为C，则C(0,6)，半径为r＝，点C到椭圆上的点Q(cosα，sinα)的距离|CQ|＝＝＝≤＝5，当且仅当sinα＝－时取等号，所以|PQ|≤|CQ|＋r＝5＋＝6，即P，Q两点间的最大距离是6，故选D.
答案：D
二、填空题
7．已知点P(m，n)在椭圆＋＝1上，则2m－1的取值范围是________．
解析：∵点P(m，n)在椭圆＋＝1上，∴－2
≤m≤2，∴－4－1≤2m－1≤4－1.
答案：[－4－1,4－1]
8．F1、F2是椭圆C：＋＝1的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为________．
解析：设P(x，y)，则＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)．
∵PF1⊥PF2，∴(x＋2，y)·(x－2，y)＝x2－4＋y2＝0，即x2－4＋4(1－)＝0 x＝0.
这时P点坐标为短轴的两顶点(0,2)，(0，－2)．
答案：2个
9．[2013·福建高考]椭圆Г：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析：本题考查椭圆的离心率的计算．
因为tan∠MF1F2＝，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，F1M⊥F2M，且|MF1|＝c，|MF2|＝c，c＋c＝2a，＝e＝－1.
答案：－1
三、解答题
10．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，又知椭圆上一点M，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的方程．
解：∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵e＝＝，∴a＝3c.
∵b2＝a2－c2，∴b2＝9c2－c2＝8c2.
又∵M(c,4)在椭圆上，∴＋＝1，
解之得c2＝，
∴a2＝，b2＝18，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
11．[2014·大连高二检测]设A，B分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，(1，)为椭圆上一点，椭圆长半轴长等于焦距．
(1)求椭圆的方程；
(2)设P(4，x)(x≠0)，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N，求证：∠MBN为钝角．
解：(1)依题意，得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，
设椭圆方程为＋＝1，将(1，)代入，得c2＝1，故椭圆方程为＋＝1.
(2)证明：由(1)，知A(－2,0)，B(2,0)，
设M(x0，y0)，则－20，即∠MBP为锐角，则∠MBN为钝角．
12.
[2014·课标全国卷Ⅱ]设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直、直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
解：(1)根据c＝及题设知M(c，)，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．
故C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即
b2＝4a.　①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.　②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.综合水平测试
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．[2014·湖北省黄冈市质检]命题“ x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是
(　　)
A.
a≥4　　　　　　　　　
B.
a≤4
C.
a≥5
D.
a≤5
解析：本题考查全称量词的意义与充分必要条件的应用．∵ x∈[1,2]，1≤x2≤4，∴要使x2－a≤0为真，则a≥x2，则a≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.
答案：C
2.
已知空间向量a＝(t,1，t)，b＝(t－2，t,1)，则|a－b|的最小值为(　　)
A.
B.
C.
2
D.
4
解析：本题主要考查空间向量的坐标运算以及简单的二次函数求最值．|a－b|＝≥2，故选C.
答案：C
3.
[2014·广东高考]若实数k满足0A.
离心率相等
B.
虚半轴长相等
C.
实半轴长相等
D.
焦距相等
解析：本题主要考查双曲线基本量之间的关系．由0答案：D
4．[2014·湖南高考]已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是(　　)
A.
①③
B.
①④
C.
②③
D.
②④
解析：本题主要考查不等式的性质、命题与复合命题真假性的判断．注意綈p，綈q只对命题的结论进行否定，复合命题p∧q要两个命题全为真才为真，p∨q只要两个命题有一个为真就为真．由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③綈q为真命题，则p∧(綈q)为真命题，④綈p为假命题，则(綈p)∨q为假命题，所以选C.
答案：C
5．[2014·大纲全国卷]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)
A.
＋＝1
B.
＋y2＝1
C.
＋＝1
D.
＋＝1
解析：本题主要考查椭圆的定义及几何性质．由椭圆的性质知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，∴a＝.又e＝，∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1，故选A.
答案：A
6．[2014·江西高考]下列叙述中正确的是(　　)
A.
若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”
B.
若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C.
命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D.
l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
解析：本题考查命题真假性的判断、充分条件与必要条件、全称命题的否定、不等式的性质以及空间直线与直线、平面与平面的位置关系，意在考查考生对常用逻辑用语的理解能力与判断能力．由b2－4ac≤0推不出ax2＋bx＋c≥0，这是因为a的符号不确定，所以A不正确；当b2＝0时，由a>c推不出ab2>cb2，所以B不正确；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，所以C不正确．选D.
答案：D
7．[2014·湖北高考]已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)
A.
B.
C.
3
D.
2
解析：本题主要考查双曲线、椭圆的几何性质，以及柯西不等式的运用，意在考查考生的综合解题能力．假定焦点在x轴上，点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点．设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，双曲线的方程为－＝1(m>0，n>0)，它们的离心率分别为e1，e2，则|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，在△PF1F2中，4c2＝(a＋m)2＋(a－m)2－2(a＋m)(a－m)cos a2＋3m2＝4c2 ()2＋3()2＝4，则[()2＋3()2](1＋)≥(＋)2 ＋＝＋≤，当且仅当a＝3m时，等号成立，故选A.
答案：A
8.
[2014·课标全国卷Ⅱ]直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：本题主要考查空间角的求法、空间向量在立体几何中的应用，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力．建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以＝(1，－1,2)，＝(－1,0,2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cosθ＝＝＝.
答案：C
9.
[2014·银川高二质检]直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A、B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于(　　)
A.
B.
2
C.
D.
4
解析：直线4kx－4y－k＝0，即y＝k(x－)，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点(，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，所以弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.
答案：C
10.
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2|AC|＝|AA1|＝|BC|＝2.若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则|AD|的长为(　　)
A.
B.
C.
2
D.
解析：本题主要考查利用空间直角坐标求解线段长度，如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，设AD＝a，则D点的坐标为(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,2,2)，设m＝(x，y，z)为平面B1CD的法向量．
则 ，令z＝－1，
得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一个法向量为n＝(0,1,0)，则由cos60°＝，得＝，即a＝，故AD＝，故选A.
答案：A
11．[2014·福建高考]直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的(　　)
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分又不必要条件
解析：本题主要考查直线与圆的位置关系、三角形的面积、充分必要条件等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力、逻辑推理能力和运算求解能力.
若k＝1，则直线l：y＝x＋1与圆相交于(0,1)，(－1,0)两点，所以△OAB的面积S△OAB＝×1×1＝，所以“k＝1” “△OAB的面积为”；若△OAB的面积为，则k＝±1，所以“△OAB的面积为”D /“k＝1”，所以“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分而不必要条件，故选A.
答案：A
12.
已知一抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且它的焦点F是椭圆＋＝1的右顶点，经过点F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长度为(　　)
A.
B.
5
C.
D.
解析：本题主要考查椭圆、抛物线的概念及抛物线的焦点弦长公式．依题意，抛物线的焦点为F(2,0)，则抛物线方程为y2＝8x.直线AB的倾斜角为，斜率为，故方程为y＝(x－2)，联立方程消去y，得3x2－20x＋12＝0.可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝，所以由抛物线的焦点弦长公式，得|AB|＝x1＋x2＋4＝＋4＝，故选D.
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“ x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵ x∈R,2x2－3ax＋9<0为假命题，
∴ x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题，
∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，即a2≤8，
∴－2≤a≤2.
答案：[－2，2]
14．[2014·北京高考]设双曲线C经过点(2,2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．
解析：本题主要考查圆锥曲线的定义与性质，意在考查考生对圆锥曲线的定义及性质的掌握情况．∵与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线方程为－x2＝k，将点(2,2)代入，得k＝－3，∴双曲线C的方程为－＝1，其渐近线方程为－＝0，即y＝±2x.
答案：－＝1　y＝±2x
15．若方程＋＝1所表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①若C为椭圆，则1②若C为双曲线，则t>4或t<1；
③曲线C不可能是圆；
④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1其中正确的命题是________(把所有正确命题的序号都填在横线上)．
解析：若为椭圆即1若为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，即t>4或t<1；
当t＝时，表示圆，若C表示长轴在x轴上的椭圆，则1答案：①②
16.
[2014·唐山高二检测]如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为________．
解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)，＝(a，a,0)，＝(0,2a,2a)，＝(a，－a,0)，＝(0,0,2a)，
设平面AGC的法向量为n1＝(x1，y1,1)，
由 n1＝(1，－1,1)．
sinθ＝＝＝.
答案：
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)a＋c与b＋c所成角的余弦值．
解：(1)因为a∥b，所以＝＝，解得x＝2，y＝－4，这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．
(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，因此a＋c与b＋c所成角的余弦值等于cosθ＝＝－.
18．(12分)[2014·宁波高二检测]已知命题p：方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
命题q：双曲线－＝1的离心率e∈(1,2)，若p，q只有一个为真，求实数m的取值范围．
解：将方程－＝1
改写为＋＝1，
只有当1－m>2m>0，即0所以，命题p等价于0因为双曲线－＝1的离心率e∈(1,2)，所以m>0，且1<<4，解得0所以命题q等价于0若p真q假，则m∈ ；若p假q真，则≤m<15.
综上，m的取值范围为≤m<15.
19．(12分)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E、F、E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．
(1)求证：CE∥平面C1E1F；
(2)求证：平面C1E1F⊥平面CEF.
解：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设BC＝1，
则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1(1，，2)．
(1)设平面C1E1F的法向量n＝(x，y，z)．
∵＝(1，－，0)，＝(－1,0,1)，
∴即
取n＝(1,2,1)．
∵＝(1，－1,1)，n·＝1－2＋1＝0，
∴⊥n.
又∵CE 平面C1E1F，
∴CE∥平面C1E1F.
(2)设平面EFC的法向量为m＝(a，b，c)，
由＝(0,1,0)，＝(－1,0，－1)，
∴即
取m＝(－1,0,1)．
∵m·n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0，
∴平面C1E1F⊥平面CEF.
20.
(20分)设曲线方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交曲线于点A、B，O是坐标原点，点P满足＝(＋)．当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．
解：直线l过点M(0,1)，设其斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题设可得点A、B的坐标(x1，y1)、(x2，y2)是方程组的解．
将①代入②并化简得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，
所以
于是＝(＋)＝(，)＝(，)．
设点P的坐标(x，y)，则消去参数k得4x2＋y2－y＝0.　③
当k不存在时，AB中点为坐标原点，
即点P(0,0)，也满足方程③.
所以点P的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.
21．(12分)[2014·课标全国卷Ⅰ]如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.
(1)证明：AC＝AB1；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A－A1B1－C1的余弦值．
解：(1)连接BC1，交B1C于点O，连接AO.
因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．
又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO.由于AO 平面ABO，故B1C⊥AO.
又B1O＝CO，故AC＝AB1.
(2)因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO.
又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC.
故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．又AB＝BC，则
A(0,0，)，B(1,0,0)，B1(0，，0)，C(0，－，0)．
＝(0，，－)，＝＝(1,0，－)，＝＝(－1，－，0)．
设n＝(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则
即
所以可取n＝(1，，)．
设m是平面A1B1C1的法向量，则
同理可取m＝(1，－，)．
则cos〈n，m〉＝＝.
所以二面角A－A1B1－C1的余弦值为.
22．(12分)[2014·天津高考]设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切．求直线l的斜率．
解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)．由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2，又b2＝a2－c2，则＝.
所以，椭圆的离心率e＝.
(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2.故椭圆方程为＋＝1.
设P(x0，y0)，由F1(－c,0)，B(0，c)，有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．
由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.
又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.　①
又因为点P在椭圆上，故＋＝1.　②
由①和②可得3x＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c，代入①得y0＝，则点P的坐标为(－，)．
设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，进而圆的半径r＝＝c.
设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx.由l与圆相切，可得＝r，即＝c，整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±.
所以，直线l的斜率为4＋或4－.03课堂效果落实
1.设命题p：a，b，c是三个非零向量；命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．
答案：B
2．若向量、、的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量、、成为空间一个基底的关系是(　　)
A.
＝＋＋
B.
≠＋
C.
＝＋＋
D.
＝2－
解析：若、、为空间一组基底向量，则M、A、B、C四点不共面．A中M、A、B、C共面，因为－＝＋－＝(－)＋(－) ＝＋；B中可能共面，≠＋，但可能＝λ＋μ；D四点显然共面．
答案：C
3．已知空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则等于(　　)
A.a－b＋c　　　　　
B．－a＋b＋c
C.a＋b－c
D.a＋b－c
解析：显然＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c.
答案：B
4．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是________．
解析：∵i，j，k是单位正交基底，故根据空间向量坐标的概念知a＝(3,2，－1)，b＝(－2,4,2)．
答案：(3,2，－1)，(－2,4,2)
5．在直三棱柱ABO—A1B1O1中，∠AOB＝，|AO|＝4，|BO|＝4,
|AA1|＝4，D为A1B1的中点，则在如右图所示的空间直角坐标系中，求，的坐标．
解：根据已建立的空间直角坐标系，知
A(4,0,0)，A1(4,0,4)，B1(0,4,4)，B(0,4,0)，D(2,2,4)，则
＝(0,0,0)－(2,2,4)＝(－2，－2，－4)，
＝(0,4,0)－(4,0,4)＝(－4,4，－4)．04课后课时精练
一、选择题
1．下列命题正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若|a|>|b|，则a>b
C．若a＝b，则|a|＝|b|
D．若a≠b，则a与b的方向不同
解析：根据向量相等的定义，若两向量相等，那么这两个向量的大小和方向均相同，但反过来，大小相等的两个向量，若方向不同，也是不相等的．另外，向量不能比较大小．
答案：C
2．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则＋＋为(　　)
A.
　　　　　　　　　
B.
C.
D.
0
解析：＋＋＝＋＝.
答案：A
3．已知P是正六边形ABCDEF外一点，O为ABCDEF的中心，则＋＋＋＋＋等于(　　)
A.
B.
3
C.
6
D.
0
解析：＋＋＋＋＋＝6＋(＋＋＋＋＋)＝6.
答案：C
4．如图直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A．a＋b－c
B．a－b＋c
C．－a＋b＋c
D．－a＋b－c
解析：＝＋＋＝－＋＝
－－＋＝－a＋b－c.
答案：D
5．已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，设G是CD的中点，则＋(＋)等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：如右图所示．∵G是CD中点，
∴(＋)＝，
∴＋(＋)＝.
答案：A
6．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　)
A．空间四边形
B．平行四边形
C．等腰梯形
D．矩形
解析：∵＋＝，＋＝，
∴＝.
∴线段AB、DC平行且相等．
∴四边形ABCD是平行四边形．
答案：B
二、填空题
7．如图所示，在三棱柱ABC—A′B′C′中，与是________向量，与是________向量．(用相等、相反填空)
解析：根据相等向量、相反向量的定义知，
与是相等向量．
与是相反向量．
答案：相等　相反
8．已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________.
解析：由a，c同向，a，b反向及|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，画图可知：|a＋b＋c|＝|a|＋|c|－|b|＝3＋1－2＝2.
答案：2
9.
已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.
解析：取BC中点M(如图所示)，连接EM、FM，
∵E，F是中点，∴EM綊AB，MF綊CD，
∴＝＝a－c，＝＝a＋3b－4c，
从而＝＋＝a－c＋a＋3b－4c＝3a＋3b－5c.
答案：3a＋3b－5c
三、解答题
10.
在空间中平移△ABC到△A1B1C1，连接对应顶点，设＝a，＝b，＝c，E是BC1的中点，试用a，b，c表示向量.
解：＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋(－)
＝＋＋
＝a＋b＋c.
即向量＝a＋b＋c.
11．如图所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是上底面A1C1的中心，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)＋＋；
(2)＋＋.
解：(1)＋＋＝，如图所示．
(2)＋＋
＝＋(＋)
＝＋(＋)
＝＋
＝＋＝，如图所示．
12．在平行
六面体ABCD－EFGH中，＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
解：∵x＋y＋z＝x(＋)＋y(＋)＋z(＋)＝(x＋y)＋(x＋z)＋(y＋z)＝＝＋＋.
∴∴x＋y＋z＝.04课后课时精练
一、选择题
1．[2013·福建高考]已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A B”的(　　)
A.
充分而不必要条件　　
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析：当a＝3时，A＝{1,3}，A B；反之，当A B时，a＝2或3，所以“a＝3”是“A B”的充分而不必要条件，选A.
答案：A
2.
[2014·湖北高考]设U为全集．A，B是集合，则“存在集合C使得A C，B UC”是“A∩B＝ ”的(　　)
A.
充分而不必要的条件
B.
必要而不充分的条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要的条件
解析：由韦恩图易知充分性成立．反之，A∩B＝ 时，不妨取C＝ UB，此时A C.必要性成立．故选C.
答案：C
3.
[2013·浙江高考]已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的(　　)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析：f(x)是奇函数时，φ＝＋kπ(k∈Z)；φ＝时，f(x)＝Acos(ωx＋)＝－Asinωx，为奇函数．所以“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要不充分条件，选B.
答案：B
4．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是A.
[－，]　　　　　　
B.
[－，]
C.
(－∞，－)
D.
[，＋∞)
解析：由题易知不等式|x－m|<1的解集为{m|m－1∴或
解得－≤m≤，故选B.
答案：B
5．[2014·广东高考]在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的(　　)
A.
充分必要条件
B.
充分非必要条件
C.
必要非充分条件
D.
非充分非必要条件
解析：设R为△ABC外接圆的半径．由正弦定理可知，若a≤b，则2RsinA≤2RsinB sinA≤sinB，故“a≤b”是“sinA≤sinB”的充分条件；若sinA≤sinB，则≤ a≤b，故“a≤b”是“sinA≤sinB”的必要条件．综上所述，“a≤b”是“sinA≤sinB”的充要条件．故答案为A.
答案：A
6.
[2014·唐山模拟]已知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；q： x∈R，|x＋1|≤x，则(　　)
A．(綈p)∨q为真命题
B．p∧(綈q)为假命题
C．p∧q为真命题
D．p∨q为真命题
解析：由于函数y＝2x是单调递增函数，∴a>b时，2a>2b，反之2a>2b时，a>b，故p是真命题，而不存在实数x，使|x＋1|≤x，故q是假命题．∴p∨q为真命题．
答案：D
二、填空题
7.
下列不等式：①x<1；②0解析：由于x2<1即－1答案：②③
8．设p、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．
解析：由题意有：s q p
　　　　　　　 　
　　　　　　　t　 r
答案：充分不必要　充要
9．有以下四组命题：
(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
(2)p：同位角相等；q：两直线平行；
(3)p：x<－3；q：x2>9；
(4)p：0其中p是q的充分不必要条件的是_______，p是q的必要不充分条件是________，p是q的充要条件的是________．
解析：(1)x－2＝0 (x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0Dx－2＝0，所以p是q的必要不充分条件．
(2)同位角相等 两直线平行，所以p是q的充要条件，
(3)x<－3 x2>9，但x2>9Dx<－3，
所以p是q的充分不必要条件．
(4)0答案：(3)　(1)　(2)(4)
三、解答题
10．下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：lgx2＝0，q：x＝1；
(2)p：b＝c，q：a·b＝a·c(a，b，c≠0)；
(3)p：x≥1且y≥1，q：x＋y≥2；
(4)p：x，y不全为0，q：x＋y≠0.
解：(1)当lgx2＝0时，x2＝1，即x＝±1，则pq，q p，所以p是q的必要不充分条件．
(2)易知p q.而a·b＝a·c(a，b，c≠0)，即a·(b－c)＝0，可得b＝c或a⊥(b－c)，即qp，所以p是q的充分不必要条件．
(3)∵p q，而q
p，∴p是q的充分不必要条件．
(4)綈p：x＝0且y＝0，綈q：x＋y＝0，∵綈p 綈q，而綈q
綈p，∴p q且p
q，∴p是q的必要不充分条件．
11．[2014·江苏高二检测]已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．
解：化简集合A，
由y＝x2－x＋1＝(x－)2＋，
∵x∈[，2]，∴ymin＝，ymax＝2.
∴y∈[，2]，∴A＝{y|≤y≤2}．
化简集合B，由x＋m2≥1，
∴x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}．
∵命题p是命题q的充分条件，∴A B.
∴1－m2≤，∴m≥或m≤－.
∴实数m的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．
12．证明：函数f(x)＝(x∈R)是奇函数的充要条件是a＝1.
证明：先证充分性：若a＝1，则函数化为f(x)＝.
∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝＝＝＝－＝－f(x)．∴函数f(x)是奇函数．
再证必要性：
①若函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．
∴＝－，
∴＝－，
∴a＋(a－2)·2x＝－a·2x－a＋2，
∴2(a－1)(2x＋1)＝0，∴a＝1.
综上所述：函数f(x)＝(x∈R)是奇函数的充要条件是a＝1.04课后课时精练
一、选择题
1．[2014·北师大附中月考]若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是(　　)
A.
a　　　　　　　　　　　
B.
b
C.
c
D.
a＋b
解析：本题主要考查空间向量基底的概念．因为a＝p＋q，所以a、p、q共面，故a、p、q不能构成空间的一个基底，排除A；因为b＝p－q，所以b、p、q共面，故b、p、q不能构成空间的一个基底，
排除B；因为a＋b＝p－q，所以a＋b、p、q共面，故a＋b、p、q不能构成空间的一个基底，排除D；故选C.
答案：C
2.
[2014·浙江省杭州二中期末考试]给出下列命题：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在直线平行；
②若三个向量a，b，c两两共面，则a，b，c共面；
③已知空间中三个向量a，b，c，则对空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc成立．
其中正确命题的个数是(　　)
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
解析：本题主要考查空间向量的共线、共面、空间向量的基本定理等基础知识．若向量a，b共线，则向量a，b所在直线平行或在同一条直线上，故①不正确；在三棱锥P－ABC中，取，，分别为向量a，b，c，则a，b，c两两共面，但a，b，c不共面，故②不正确；在三棱锥P－ABC中，取，，分别为向量a，b，c，则对向量，不存在实数x，y，z使得＝xa＋yb＋zc成立，故③不正确；综上，正确命题的个数是0，故选A.
答案：A
3．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z等于(　　)
A．1
B.
C.
D.
解析：在平行六面体中，＝＋＋＝＋－＝＋－，∴x＝1,2y＝1,3z＝－1.∴x＋y＋z＝1＋－＝.
答案：B
4．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(　　)
A．(12,14,10)
B．(10,12,14)
C．(14,12,10)
D．(4,3,2)
解析：由题意：＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k；
∴点A在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．
答案：A
5．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝α
a＋β
b＋γ
c，则α，β，γ分别为(　　)
A.，－1，－
B.，1，
C．－，1，－
D.，1，－
解析：由d＝α
a＋β
b＋γ
c得：
d＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3，
又d＝e1＋2e2＋3e3，
∴解得
答案：A
6．如图
，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，点M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN.现用基向量，，表示向量.设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别是(　　)
A．x＝，y＝，z＝
B．x＝，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝
D．x＝，y＝，z＝
解析：＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋×(＋)－×
＝＋＋.
∴x＝，y＝，z＝.
答案：D
二、填空题
7．设a，b，c是三个不共面向量，现从①a－b，②a＋b－c中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填写代号)．
解析：①∵a－b与a，b共面，
∴a－b与a，b不能构成空间的一个基底
②∵a＋b－c与a，b不共面，
∴a＋b－c与a，b构成空间的一个基底．
答案：②
8．[2014·湖南省长沙一中月考]已知正三棱柱ABC－DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝________.
解析：
本题主要考查空间向量基本定理和数量积．设＝m，由于＝＋，
＝＋m，又·＝0，
得×1×1×(－)＋4m＝0，解得m＝.
答案：
9．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若＋＋＝λ，则λ的值是________．
解析：如图，G为△ABC重心，E为AB中点，
∴＝(＋)，
＝＝(－)，
∴＝＋＝＋(－)
＝(＋＋)，
∴λ＝3.
答案：3
三、解答题
10．如图所示，在正方体AC1中，取＝a，＝b，AA1＝c作为基底．
(1)求BD1；
(2)若M，N分别为边AD，CC1的中点，求.
解：(1)＝＋＝＋＋＝－a＋b＋c.
(2)＝＋＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c.
11．如下图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A、E、C1、F四点共面；
(2)若＝
x＋y＋z，求x＋y＋z.
解：(1)证明：∵＝＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)
＝＋＋＋＝＋，
∴A、E、C1、F四点共面．
(2)∵＝－＝＋－(＋)
＝＋－－
＝－＋＋，
∴x＝－1，y＝1，z＝，
∴x＋y＋z＝.
12.
如图，点P是矩形ABCD所在平面α外一点，连接PA，PB，PC，PD.
(1)四个三角形PAB，PBC，PCD，PDA的重心E，F，G，H是否共面？
(2)若(1)中的四点共面，请指出此面与面α的关系；否则，请说明理由．
解：
(1)连接PE，PF，PG，PH并延长分别交AB，BC，CD，DA于点M，N，R，Q，连接EF，FG，HG，HE.
则M，N，R，Q分别为AB，BC，CD，DA边的中点，连接MN，RN，QR，QM，四边形MNRQ是平行四边形，且＝，＝，＝，＝，
又＝＋＝－＋－＝－＋－＝(－)＋(－)＝＋.
而＝－＝(－)＝＝＋，整理得＝＋，
显然，E，F，G，H四点共面．
(2)由(1)知＝，故MR∥EG，从而EG∥平面MNRQ，即EG∥平面α.
又＝－＝－＝，故HE∥QM，从而HE∥平面MNRQ，
即HE∥平面α，由于EG∩HE＝E，
故面EFGH∥平面α.04课后课时精练
一、选择题
1．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)
A.
4　　　　　　　　　　
B.
3
C.
2
D.
1
解析：∵焦点在x轴上，∴渐近线方程为y＝±x，
又∵渐近线方程为3x±2y＝0，∴a＝2.
答案：C
2．[2014·广东实验中学期末]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为(　　)
A.
B.
C.
2
D.
或2
解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意，由于双曲线－＝1(a>0，b>0)，两渐近线的夹角为60°，则可知＝或＝，那么可知双曲线的离心率为e＝，所以结果为2或，故选D.
答案：D
3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的(　　)
A.
焦距为10
B.
实轴长和虚轴长分别是8和6
C.
离心率是或
D.
离心率不确定
解析：若焦点x轴，则＝，∴e＝＝；
若焦点在y轴上，则＝，∴＝.∴e＝＝.
答案：C
4．[2014·大纲全国卷]双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于(　　)
A.
2
B.
2
C.
4
D.
4
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0.焦点为F(±c,0)，故焦点到渐近线的距离d＝＝，解得b＝.
而离心率e＝＝2，故c＝2a，
又b＝＝＝a，所以a＝1.
故c＝2a＝2，所以双曲线的焦距为2c＝4，选C.
答案：C
5.
已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是(　　)
A.－y2＝1
B．x2－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：本题主要考查双曲线的定义，向量数量积及解三角形等知识．由·＝0可得|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝40，又由||·||＝2可得||MF1|－|MF2||＝＝6，得a＝3，b＝1，故选A.
答案：A
6.
[2014·湖北高二检测]设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：设直线FB的斜率为－，则与其垂直的渐近线的斜率为，所以有－＝－1即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，两边同时除以a2可得e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍)．
答案：D
二、填空题
7.
双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是________．
解析：双曲线方程可变为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，
又∵e∈(1,2)，则1<<2，解得－12答案：(－12,0)
8.
[2014·山东潍坊高三期末]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为________．
解析：由题意e＝＝，得＝.又c2＝b2＋a2，
所以＝.故＝.
所以＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
9．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．
解析：由题意得，a＋c＝，即a2＋ac＝b2，a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0.解得e＝2或e＝－1(舍去)．
答案：2
三、解答题
10.
[2014·四川成都检测]已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．
解：(1)设双曲线方程为－＝1(a，b>0)，
由已知可得左、右焦点F1、F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，
则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，
又c＝2，所以b＝，
所以双曲线方程为x2－＝1.
(2)由题意可知直线m方程为y＝x－2，
联立双曲线及直线方程消去y得2x2＋4x－7＝0，
设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－，
由弦长公式得|AB|＝|x1－x2|＝·＝6.
11．设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同点A，B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，取＝，求a的值．
解：(1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1(a>0)中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
所以，解得0又双曲线的离心率e＝＝，
所以e>且e≠.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，
因为＝，所以(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．
由此得x1＝x2.
由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－a2≠0，
所以x2＝－，x＝－.
消去x2得：－＝.
由a>0，解得：a＝.
12.
[2013·江西省三校联考]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，直线l过A(a,0)、B(0，－b)两点，原点O到l的距离是.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若·＝－23，求直线m的方程．
解：(1)依题意，直线l的方程为：＋＝1，即bx－ay－ab＝0.
由原点O到l的距离是，得＝＝，
又e＝＝，所以b＝1，a＝.
故所求双曲线方程为－y2＝1.
(2)显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y＝kx－1，
设点M，N坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，联立方程
消去y得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0.①
依题意知1－3k2≠0，由根与系数的关系知x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1)＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－23，解得k＝±，
当k＝±时，判别式Δ＝15>0，方程①有两个不等的实数根，满足条件．
故直线l方程为y＝x－1或y＝－x－1.03课堂效果落实
1.[2014·江西九江高二检测]命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(　　)
A.
“若xB.
“若x>y，则x2>y2”
C.
“若x≤y，则x2≤y2”
D.
“若x≥y，则x2≥y2”
解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
答案：C
2．[2013·广东高考]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)
A.
若α⊥β，m α，n β，则m⊥n
B.
若α∥β，m α，n β，则m∥n
C.
若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
D.
若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
解析：A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．
答案：D
3．若命题A的否命题为B，命题A的逆否命题为C，则B与C的关系是(　　)
A．互逆命题　　　　　
B．互否命题
C．互为逆否命题
D．以上都不正确
解析：交换否命题的条件与结论就是逆否命题，符合互逆命题的定义．
答案：A
4．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是
______________，逆否命题是______________．
答案：若a>0，则a>1　若a≤0，则a≤1
5．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．
解：(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，真命题；
否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，真命题；
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1，真命题．
(2)逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，假命题；
否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，假命题；
逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，真命题．03课堂效果落实
1.已知A(1,3,3)，B(5,0,1)，则AB的长度为(　　)
A.　　　　　　　　　
B.
C．7
D．3
解析：因为＝(4，－3，－2)，
所以||＝
＝.
答案：B
2．已知点P∈α，Q α，＝(－1，，)，n＝(0,1，)是平面α的一个法向量，则点Q到平面α的距离为(　　)
A.
B．3
C.
D．2
解析：d＝＝＝3.
答案：B
3．[2014·金华高二联考]如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点B1到平面ACD1的距离是(　　)
A.a
B.a
C.a
D.a
解法一：如图，连BD，交AC于O，
连D1O、B1D交点为H，
可知DB1⊥平面ACD1.
所以B1H就是点B1到平面ACD1的距离．
所以B1H＝B1D＝a.
解法二：建立空间直角坐标系[D；，，]，
则A(a,0,0)，C(0，a,0)，D1(0,0，a)，B1(a，a，a)，
所以＝(－a，a,0)，＝(－a,0，a)．
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝1，得n＝(1,1,1)．
又＝(0，a，a)，
所以d＝＝＝a.
答案：B
4．空间四点A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(3,1,0)，则点D到平面ABC的距离是________．
解析：
本题主要考查空间向量的坐标运算以及空间点到平面的距离的求法．由已知得＝(2，－2,1)，＝(4,0,6)，设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，则，即，令x＝3，则y＝2，z＝－2，所以n＝(3,2，－2)，＝(1，－2，－1)，所以点D到平面ABC的距离＝＝.
答案：
5．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，求点D1到平面BDE的距离．
解：如图，建立空间直角坐标系[D；，，]，
由已知B(1,1,0)，E(0,1,1)，
所以＝(1,1,0)，＝(0,1,1)．
设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
则取y＝1，得n＝(－1,1，－1)．
又＝(0,0,2)，
所以d＝＝＝，
即点D1到平面BDE的距离为.阶段水平测试(二)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1.
已知θ∈R，则方程x2＋＝4表示的曲线不可能是(　　)
A.
圆　　　　　　　　　
B.
椭圆
C.
双曲线
D.
抛物线
解析：本题主要考查cosθ的取值范围和各种圆锥曲线的标准方程．因为θ∈R，所以若cosθ＝1，方程表示圆；若cosθ>0且不等于1，方程表示椭圆；若cosθ<0，方程表示双曲线，所以方程表示的曲线不可能是抛物线，故选D.
答案：D
2.
[2014·山东省潍坊二中期中考试]如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)
A.
(3，＋∞)
B.
(－∞，－2)
C.
(3，＋∞)∪(－∞，－2)
D.
(3，＋∞)∪(－6，－2)
解析：本题考查焦点在不同坐标轴上的椭圆方程的特征．由于椭圆的焦点在x轴上，所以
即解得a>3或－6答案：D
3.
以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：方程可化为－＝1，∴焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．从而椭圆方程中，a＝4，c＝2，∴b＝2.
∵焦点在y轴上，∴椭圆方程为＋＝1.
答案：D
4.
斜率为的直线与双曲线－＝1(a>0，b>0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A.
[2，＋∞)
B.
(，＋∞)
C.
(1，)
D.
(2，＋∞)
解析：本题考查利用双曲线的性质解决直线与双曲线的位置关系问题．双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，∴>，∴b>a，∴b2>3a2，∴c2－a2>3a2，∴e2－1>3，∴e>2，故选D.
答案：D
5.
[2014·课标全国卷Ⅰ]已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)
A.
B.
m
C.
3
D.
3m
解析：本题主要考查双曲线的焦点到渐近线的距离，意在考查考生对圆锥曲线基本量的掌握情况及对知识的灵活运用能力．双曲线方程为－＝1，焦点F到一条渐近线的距离为b＝.选A.
答案：A
6.
[2014·四川省成都七中期中考试]抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为(　　)
A.
2
B.
4
C.
6
D.
4
解析：本题主要考查抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系．据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．由∠PMF＝60°，得∠AMF＝30°，又|AF|＝2，∴|MF|＝4，∴等边三角形的边长为4，其面积为4，故选D.
答案：D
7.
设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为30.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于10，则曲线C2的标准方程为(　　)
A.
－＝1
B.
－＝1
C.
－＝1
D.
＋＝1
解析：由题意知在椭圆C1中，＝，2a＝30，
∴a＝15，c＝7，
曲线C2是双曲线，2a1＝10，c＝7，
∴b2＝c2－a＝72－52＝24，
∴双曲线C2的标准方程为－＝1.
答案：B
8.
已知椭圆C关于坐标轴对称，抛物线y＝x2－1过椭圆的两个焦点，其顶点恰好是椭圆C的一个顶点，则椭圆C的离心率是(　　)
A.
B.
C.
D.
2
解析：本题考查椭圆的离心率．设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由题意知，抛物线与x轴的两个交点就是椭圆C的两个焦点，令y＝x2－1＝0，得x＝±1，所以椭圆C的两个焦点是(－1,0)，(1,0)，即c＝1.令x＝0，得y＝x2－1＝－1，即抛物线的顶点为(0，－1)，它也是椭圆C的一个顶点，所以b＝1，所以a＝＝，所以椭圆C的离心率为e＝＝＝，故选A.
答案：A
9.
[2014·天津高考]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　　)
A.
－＝1
B.
－＝1
C.
－＝1
D.
－＝1
解析：本题主要考查双曲线的概念及其几何性质、直线的斜率等知识，意在考查考生的转化与化归思想、数形结合思想的应用与运算求解能力．由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y＝x与直线y＝2x＋10平行，所以＝2且左焦点为(－5,0)，所以a2＋b2＝c2＝25，解得a2＝5，b2＝20，故双曲线方程为－＝1.选A.
答案：A
10．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于(　　)
A．2
B．－2
C.
D．－
解析：设l：y＝k1(x＋2)，将y＝k1(x＋2)代入x2＋2y2＝2，得(1＋2k)＋8kx＋8k－2＝0，设中点为P(x0，y0)，则x0＝，y0＝k1(x0＋2)＝，
∴k2＝＝－，∴k1k2＝－.
答案：D
11.
[2014·课标全国卷Ⅰ]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝(　　)
A.
B.
C.
3
D.
2
解析：本题主要考查抛物线定义的运用，意在考查考生对平面几何知识及解析几何知识交汇运用的能力．过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故选C.
答案：C
12．P是双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为(　　)
A．6
B．7
C．8
D．9
解析：圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1的圆心(－5,0)，(5,0)为双曲线的左右焦点，分别设为点F1、F2，对于双曲线－＝1的右支上一点P，M是圆(x＋5)2＋y2＝4上的动点，|PM|的最大值为|PF1|＋2，N是圆(x－5)2＋y2＝1上的动点，|PN|的最小值为|PF2|－1，
∴|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3，
∵点P在双曲线＋＝1的右支上，
∴|PF1|－|PF2|＝2a＝6，
∴|PM|－|PN|的最大值为9.
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.
抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．
解析：本题主要考查直线与抛物线相切、两条平行直线间的距离等．设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线方程为4x＋3y＋m＝0，由，得3x2－4x－m＝0，由Δ＝0得m＝－，所以直线4x＋3y－8＝0与直线4x＋3y－＝0的距离＝为抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值．
答案：
14.
[2014·山东济南三模]过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F，作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．
解析：如图：
∵O为FF1的中点，E为PF的中点，
∴OE綊PF1，∴|PF1|＝2|OE|＝a，
∵|PF|－|PF1|＝2a，∴|PF|＝3a.
又OE⊥FP，∴FP⊥PF1，
∴(3a)2＋a2＝4c2，故e＝.
答案：
15．过双曲线－＝1的一个焦点F作弦AB，则＋＝________.
解析：采用特例法即可求得．
不妨设焦点F为右焦点，则F(5,0)．
当AB⊥x轴时，A(5，)，B(5，－)，
所以|AF|＝|BF|＝，
故＋＝.
答案：
16.
[2014·河北省衡水中学月考]已知P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是________．
解析：
本题主要考查与椭圆有关的轨迹问题．如图，依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常数且a>0)．又|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PQ|＝2a，
即|QF1|＝2a.
由题意知，a＝2，b＝，c＝＝＝1.
∴|QF1|＝4，F1(－1,0)，
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，
∴动点O的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.
答案：(x＋1)2＋y2＝16
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.
(10分)[2014·河北省正定中学期中考试]已知点A(－3,0)，B(3,0)，点C为线段AB上任意一点，P，Q是分别以AC和BC为直径的两圆的外公切线的切点，求线段PQ的中点的轨迹方程．
解：作CM⊥AB交PQ于M，则CM是两圆的公切线，得|MC|＝|MQ|，|MC|＝|MP|，
即M为PQ的中点，设M(x，y)，AC的中点为O1，BC的中点为O2，由平面几何知识知∠O1MO2＝90°，则|O1M|2＋|O2M|2＝|O1O2|2.
由于A(－3,0)，C(x,0)，B(3,0)，又O1为AC中点，O2为BC中点，则有O1(，0)，O2(，0)，
则有(x－)2＋y2＋(x－)2＋y2＝(－)2，化简得x2＋4y2＝9.
又点C在线段AB上，且AC，BC是圆的直径，故－3即所求轨迹方程为x2＋4y2＝9(－318．(12分)求以曲线2x2＋y2－4x－10＝0和y2＝2x－2的交点与原点的连线所在直线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．
解：∵
∴或
∴渐近线方程为y＝±x.
当焦点在x轴上时，由＝且a＝6，得b＝4，
∴所求双曲线方程为－＝1；
当焦点在y轴上时，由＝且a＝6，
得b＝9，∴所求双曲线方程为－＝1.
综上，双曲线方程为－＝1或－＝1.
19．(12分)中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一个双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝6，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两条曲线的方程；
(2)若P为两曲线的一个交点，求∠F1PF2的余弦值．
解：(1)设椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1，因为c＝3，由已知得解得故两曲线的方程分别为＋＝1及－＝1.
(2)设∠F1PF2＝θ，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
θ＝|F1F2|2＝108，①　由椭圆的定义得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝196，②
由双曲线的定义得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝36，③　综合①②③得cosθ＝.
20．(12分)在曲线＋＝1的内接三角形PAB中，PA，PB的倾斜角互补，且∠xOP＝60°.
(1)求证：直线AB的斜率为定值；
(2)求△PAB的面积的最大值．
解：(1)证明：由∠xOP＝60°得P(1，)，设PA的方程为y－＝k(x－1)，①　则PB的方程为y－＝－k·(x－1)，②　将①代入椭圆方程，有(3＋k2)x2－2k2x＋2kx＋k2－2k－3＝0，
所以xA＝，同理可求得
xB＝，故知kAB＝＝＝(定值)．
(2)解：设AB的方程为y＝x＋b，代入椭圆方程，有6x2＋2bx＋b2－6＝0，③
所以|AB|＝·|x1－x2|＝2，点P(1，)到AB的距离d＝，
∴S△PAB＝··2，
∴S2＝··b2≤×()2＝3.
当b＝±时，等号成立．将b＝±代入方程③，有Δ>0，
故当b＝±时，△PAB的面积最大，最大值为.
21.
(12分)[2014·安徽师大附中月考]已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2，其中O为原点，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由已知得a＝，c＝2.又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即k2≠且k2<1.①
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则
xA＋xB＝，xAxB＝，由·>2得xAxB＋yAyB>2，
而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)×＋k×＋2＝，
于是>2，即>0，解此不等式得由①、②得故k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．
22.
(12分)[2014·江苏高考]如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
(1)若点C的坐标为(，)，且BF2＝，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
解：设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)因为B(0，b)，所以BF2＝＝a.
又BF2＝，故a＝.
因为点C(，)在椭圆上，所以＋＝1.
解得b2＝1.
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，
所以直线AB的方程为＋＝1.
解方程组得
所以点A的坐标为(，)．
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为(，)．
因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，
所以·(－)＝－1.
又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝.
因此e＝.阶段水平测试(二)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1.
已知θ∈R，则方程x2＋＝4表示的曲线不可能是(　　)
A.
圆　　　　　　　　　
B.
椭圆
C.
双曲线
D.
抛物线
解析：本题主要考查cosθ的取值范围和各种圆锥曲线的标准方程．因为θ∈R，所以若cosθ＝1，方程表示圆；若cosθ>0且不等于1，方程表示椭圆；若cosθ<0，方程表示双曲线，所以方程表示的曲线不可能是抛物线，故选D.
答案：D
2.
[2014·山东省潍坊二中期中考试]如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)
A.
(3，＋∞)
B.
(－∞，－2)
C.
(3，＋∞)∪(－∞，－2)
D.
(3，＋∞)∪(－6，－2)
解析：本题考查焦点在不同坐标轴上的椭圆方程的特征．由于椭圆的焦点在x轴上，所以
即解得a>3或－6答案：D
3.
以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：方程可化为－＝1，∴焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．从而椭圆方程中，a＝4，c＝2，∴b＝2.
∵焦点在y轴上，∴椭圆方程为＋＝1.
答案：D
4.
斜率为的直线与双曲线－＝1(a>0，b>0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A.
[2，＋∞)
B.
(，＋∞)
C.
(1，)
D.
(2，＋∞)
解析：本题考查利用双曲线的性质解决直线与双曲线的位置关系问题．双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，∴>，∴b>a，∴b2>3a2，∴c2－a2>3a2，∴e2－1>3，∴e>2，故选D.
答案：D
5.
已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)
A.
B.
m
C.
3
D.
3m
解析：双曲线方程为－＝1，焦点F到一条渐近线的距离为b＝.选A.
答案：D
6.
[2014·四川省成都七中期中考试]抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为(　　)
A.
2
B.
4
C.
6
D.
4
解析：本题主要考查抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系．据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．由∠PMF＝60°，得∠AMF＝30°，又|AF|＝2，∴|MF|＝4，∴等边三角形的边长为4，其面积为4，故选D.
答案：D
7.
设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为30.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于10，则曲线C2的标准方程为(　　)
A.
－＝1
B.
－＝1
C.
－＝1
D.
＋＝1
解析：由题意知在椭圆C1中，＝，2a＝30，
∴a＝15，c＝7，
曲线C2是双曲线，2a1＝10，c＝7，
∴b2＝c2－a＝72－52＝24，
∴双曲线C2的标准方程为－＝1.
答案：B
8.
已知椭圆C关于坐标轴对称，抛物线y＝x2－1过椭圆的两个焦点，其顶点恰好是椭圆C的一个顶点，则椭圆C的离心率是(　　)
A.
B.
C.
D.
2
解析：本题考查椭圆的离心率．设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由题意知，抛物线与x轴的两个交点就是椭圆C的两个焦点，令y＝x2－1＝0，得x＝±1，所以椭圆C的两个焦点是(－1,0)，(1,0)，即c＝1.令x＝0，得y＝x2－1＝－1，即抛物线的顶点为(0，－1)，它也是椭圆C的一个顶点，所以b＝1，所以a＝＝，所以椭圆C的离心率为e＝＝＝，故选A.
答案：A
9.
已知P为双曲线－＝1(a>b>0)上一点，F1、F2为焦点，若∠F1PF2＝60°，则S△F1PF2等于(　　)
A.
b2
B.
ab
C.
|b2－a2|
D.
|a2＋b2|
解析：∵|PF1|－|PF2|＝±2a，
且4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2.
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin60°＝b2.
答案：A
10．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于(　　)
A．2
B．－2
C.
D．－
解析：设l：y＝k1(x＋2)，将y＝k1(x＋2)代入x2＋2y2＝2，得(1＋2k)＋8kx＋8k－2＝0，设中点为P(x0，y0)，则x0＝，y0＝k1(x0＋2)＝，
∴k2＝＝－，∴k1k2＝－.
答案：D
11.
[2014·课标全国卷Ⅰ]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝(　　)
A.
B.
C.
3
D.
2
解析：过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故选C.
答案：C
12．P是双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为(　　)
A．6
B．7
C．8
D．9
解析：圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1的圆心(－5,0)，(5,0)为双曲线的左右焦点，分别设为点F1、F2，对于双曲线－＝1的右支上一点P，M是圆(x＋5)2＋y2＝4上的动点，|PM|的最大值为|PF1|＋2，N是圆(x－5)2＋y2＝1上的动点，|PN|的最小值为|PF2|－1，
∴|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3，
∵点P在双曲线＋＝1的右支上，
∴|PF1|－|PF2|＝2a＝6，
∴|PM|－|PN|的最大值为9.
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.
抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．
解析：本题主要考查直线与抛物线相切、两条平行直线间的距离等．设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线方程为4x＋3y＋m＝0，由，得3x2－4x－m＝0，由Δ＝0得m＝－，所以直线4x＋3y－8＝0与直线4x＋3y－＝0的距离＝为抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值．
答案：
14.
[2014·山东济南三模]过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F，作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．
解析：如图：
∵O为FF1的中点，E为PF的中点，
∴OE綊PF1，∴|PF1|＝2|OE|＝a，
∵|PF|－|PF1|＝2a，∴|PF|＝3a.
又OE⊥FP，∴FP⊥PF1，
∴(3a)2＋a2＝4c2，故e＝.
答案：
15．过双曲线－＝1的一个焦点F作弦AB，则＋＝________.
解析：采用特例法即可求得．
不妨设焦点F为右焦点，则F(5,0)．
当AB⊥x轴时，A(5，)，B(5，－)，
所以|AF|＝|BF|＝，
故＋＝.
答案：
16.
[2014·河北省衡水中学月考]已知P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是________．
解析：
本题主要考查与椭圆有关的轨迹问题．如图，依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常数且a>0)．又|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PQ|＝2a，
即|QF1|＝2a.
由题意知，a＝2，b＝，c＝＝＝1.
∴|QF1|＝4，F1(－1,0)，
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，
∴动点O的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.
答案：(x＋1)2＋y2＝16
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.
(10分)已知抛物线C经过点(3,6)且焦点在x轴上．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)直线l：y＝kx－3过抛物线的焦点F且与抛物线C交于A、B两点，求A、B两点间的距离．
解：(1)∵抛物线经过点(3,6)且焦点在x轴上，
∴设抛物线方程为y2＝2px，∴62＝2×3p，∴p＝6.
∴y2＝12x.
(2)由(1)知F(3,0)，代入直线l的方程得k＝1.
∴l的方程为y＝x－3，联立方程
消去y得x2－18x＋9＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝18.
∵AB过焦点F，∴|AB|＝x1＋x2＋6＝24.
18．(12分)求以曲线2x2＋y2－4x－10＝0和y2＝2x－2的交点与原点的连线所在直线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．
解：∵
∴或
∴渐近线方程为y＝±x.
当焦点在x轴上时，由＝且a＝6，得b＝4，
∴所求双曲线方程为－＝1；
当焦点在y轴上时，由＝且a＝6，
得b＝9，∴所求双曲线方程为－＝1.
综上，双曲线方程为－＝1或－＝1.
19．(12分)中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一个双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝6，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两条曲线的方程；
(2)若P为两曲线的一个交点，求∠F1PF2的余弦值．
解：(1)设椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1，因为c＝3，由已知得解得故两曲线的方程分别为＋＝1及－＝1.
(2)设∠F1PF2＝θ，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
θ＝|F1F2|2＝108，①　由椭圆的定义得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝196，②
由双曲线的定义得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝36，③　综合①②③得cosθ＝.
20．(12分)在曲线＋＝1的内接三角形PAB中，PA，PB的倾斜角互补，且∠xOP＝60°.
(1)求证：直线AB的斜率为定值；
(2)求△PAB的面积的最大值．
解：(1)证明：由∠xOP＝60°得P(1，)，设PA的方程为y－＝k(x－1)，①　则PB的方程为y－＝－k·(x－1)，②　将①代入椭圆方程，有(3＋k2)x2－2k2x＋2kx＋k2－2k－3＝0，
所以xA＝，同理可求得
xB＝，故知kAB＝＝＝(定值)．
(2)解：设AB的方程为y＝x＋b，代入椭圆方程，有6x2＋2bx＋b2－6＝0，③
所以|AB|＝·|x1－x2|＝2，点P(1，)到AB的距离d＝，
∴S△PAB＝··2，
∴S2＝··b2≤×()2＝3.
当b＝±时，等号成立．将b＝±代入方程③，有Δ>0，
故当b＝±时，△PAB的面积最大，最大值为.
21.
(12分)[2014·安徽师大附中月考]已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2，其中O为原点，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由已知得a＝，c＝2.又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即k2≠且k2<1.①
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则
xA＋xB＝，xAxB＝，由·>2得xAxB＋yAyB>2，
而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)×＋k×＋2＝，
于是>2，即>0，解此不等式得由①、②得故k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．
22.
(12分)[2014·江苏高考]如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
(1)若点C的坐标为(，)，且BF2＝，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
解：设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)因为B(0，b)，所以BF2＝＝a.
又BF2＝，故a＝.
因为点C(，)在椭圆上，所以＋＝1.
解得b2＝1.
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，
所以直线AB的方程为＋＝1.
解方程组得
所以点A的坐标为(，)．
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为(，)．
因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，
所以·(－)＝－1.
又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝.
因此e＝.04课后课时精练
一、选择题
1．一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面角的大小关系是(　　)
A．相等　　　　　　　　　
B．互补
C．相等或互补
D．不能确定
解析：当一个二面角的棱垂直于另一个二面角的一个半平面时，这两个二面角的大小关系是不能确定的．
答案：D
2．已知二面角α－l－β的大小为60°，m、n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则直线m、n的夹角为(　　)
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
解析：根据二面角的定义及异面直线夹角的定义．
答案：B
3．[2014·南宁高二联考]如图，已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A、B)，点D、E分别是点A在PC、PB上的射影，则(　　)
A．∠ADE为二面角A－PC－B的平面角
B．∠AED为二面角A－PB－C的平面角
C．∠DAE为二面角B－PA－C的平面角
D．∠ACB为二面角A－PC－B的平面角
解析：因为BC⊥平面PAC，所以AD⊥BC，
又AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC.
又PB⊥AE，所以PB⊥DE，
即∠AED为二面角A－PB－C的平面角．
答案：B
4．已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝a，则二面角A－BC－D的大小为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：如图取BC的中点为E，连结AE、DE，由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，
且AE＝DE＝a，又AD＝a，
∴∠AED＝60°，即二面角A－BC－D的大小为60°.
答案：C
5．[2014·辽宁高二检测]如图，二面角α－l－β的平面角为120°，A、B∈l，AC α，BD β，AC⊥l，BD⊥l，若AB＝AC＝BD＝1，则CD等于(　　)
A.
B.
C．2
D.
解析：∵＝＋＋，
∴2＝1＋1＋1＋2
·
∴2＝3＋2×1×1·cos60°＝4
∴||＝2.故选C.
答案：C
6．等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，M为AC中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为(　　)
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
解析：如图，由AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，得AC＝.
因为M为AC中点，
所以MC＝AM＝，
且CM⊥BM，AM⊥BM.
∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．
∵AC＝1，MC＝MA＝.
∴∠CMA＝90°，故选C.
答案：C
二、填空题
7．若分别与一个二面角的两个面平行的向量m＝(－1,2,0)，n＝(1,0，－2)，且m、n都与二面角的棱垂直，则二面角的正弦值为________．
解析：设二面角为θ，则cos
θ＝|cos〈m，n〉|
＝＝＝，
sin
θ＝＝.
答案：
8．△ABC是正三角形，P是△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC，若S△PAB∶S△ABC＝，则二面角P－AB－C的大小为________．
解析：PA＝PB＝PC.P在面ABC射影O为△ABC的中心．
S△OAB＝S△ABC，又S△PAB＝S△ABC.
∴cosθ＝＝.∴θ＝60°.
答案：60°
9．[2014·深圳高二检测]如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E、F分别为C1D1、A1B的中点，则二面角B1－A1B－E的余弦值为(　　)
A.
－
B.
－
C.
D.
解析：本题考查空间直角坐标系中的线段中点、二面角等基础知识．设AD＝1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为E、F分别为C1D1、A1B的中点，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以＝(－1,1,0)，＝(0,2，－2)，设m＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则
所以所以取x＝1，则y＝z＝1，所以平面A1BE的一个法向量为m＝(1,1,1)，又DA⊥平面A1B1B，所以＝(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cos〈m，〉＝＝＝，又二面角B1－A1B－E为锐二面角，所以二面角B1－A1B－E的余弦值为，故选C.
答案：C
三、解答题
10．[2014·临汾高二检测]如图，在四面体P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝AC＝PC，求二面角B－AP－C的正切值．
解：如图，过B作BM⊥AC于M，过M作MN⊥AP于N，连接BN，由三垂线定理知：BN⊥PA.
∴∠MNB为所求二面角的平面角，设AB＝BC＝AC＝PC＝1.
∴BM＝，MN＝.
∴tan∠MNB＝＝＝.
即所求二面角B－AP－C的正切值为.
11．如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA＝DA＝AB＝2CB，EA⊥AB，M是EC的中点．
(1)求证：DM⊥EB；
(2)求二面角M－BD－A的余弦值．
解：建立如图所示的空间直角坐标系．
并设EA＝DA＝AB＝2CB＝2，则
(1)证明：＝(1,1，－)，＝(－2,2,0)，
所以·＝0，从而得DM⊥EB；
(2)设n1＝(x，y，z)是平面BDM的法向量，
则由n1⊥，n1⊥及＝(1,1，－)，＝(0,2，－2)，得
可以取n1＝(1,2,2)．
显然，n2＝(1,0,0)为平面ABD的法向量．
设二面角M－BD－A的平面角为θ，则此二面角的余弦值
cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.
12．[2014·天津高考]如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．
解法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．
(1)证明：向量＝(0,1,1)，＝(2,0,0)，故·＝0.
所以BE⊥DC.
(2)向量＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)．设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量．
则即
不妨令y＝1，可得n＝(2,1,1)为平面PBD的一个法向量．于是有
cos〈n，〉＝＝＝.
所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)向量＝(1,2,0)，＝(－2，－2,2)，＝(2,2,0)，＝(1,0,0)．由点F在棱PC上，设＝λ，0≤λ≤1.
故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得·＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝.即＝.设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，
则即
不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0)，则
cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
易知，二面角F－AB－P是锐角，所以其余弦值为.
解法二：(1)证明：如图，取PD的中点M，连结EM，AM.
由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且EM＝DC，又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM.
因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，
从而CD⊥平面PAD，因为AM 平面PAD，于是CD⊥AM，又BE∥AM，所以BE⊥CD.
(2)连结BM，由(1)有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，而EM∥CD，故PD⊥EM.又因为AD＝AP，M为PD的中点，故PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD.所以，直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．
依题意，有PD＝2，而M为PD的中点，可得AM＝，进而BE＝.故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝＝＝，因此sin∠EBM＝.
所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)如图，在△PAC中，过点F作FH∥PA交AC于点H.因为PA⊥底面ABCD，故FH⊥底面ABCD，从而FH⊥AC.又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH.在底面ABCD内，可得CH＝3HA，从而CF＝3FP.在平面PDC内，作FG∥DC交PD于点G，于是DG＝3GP.由于DC∥AB，故GF∥AB，所以A，B，F，G四点共面．由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，故AB⊥AG.所以∠PAG为二面角F－AB－P的平面角．
在△PAG中，PA＝2，PG＝PD＝，∠APG＝45°，由余弦定理可得AG＝，cos∠PAG＝.
所以，二面角F－AB－P的余弦值为.04课后课时精练
一、选择题
1．下列命题正确的是(　　)
A．|a|·a＝a2
B．(a·b)2＝a2·b2
C．a(a·b)＝b·a2
D．|a·b|≤|a|·|b|
解析：根据定义可判断出A、B、C均不正确．
答案：D
2．已知菱形ABCD的边长为a，∠DAB＝60°，则|＋|等于(　　)
A．a　　　　　　　　　　　
B．2a
C.a
D.a
解析：由向量的平行四边形法则知，|＋|＝||＝a.
答案：D
3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　)
A.
钝角三角形
B.
锐角三角形
C.
直角三角形
D.
不确定
解析：·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝2>0.
同理，可证·>0，·>0.
∴三角形的三个内角均为锐角．
答案：B
4．若a⊥b，a⊥c，l＝αb＋β
c(α，β∈R)，m∥a，则m与l一定(　　)
A．相交
B．共线
C．垂直
D．以上都有可能
解析：∵a⊥b，a⊥c且a∥m，∴m⊥b，m⊥c，
∴m·l＝m·(α
b＋β
c)
＝α
m·b＋β
m·c
＝α·0＋β·0＝0，
∴m⊥l.
答案：C
5.
[2014·清华附中月考]已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为(　　)
A.
30°
B.
60°
C.
90°
D.
45°
解析：本题主要考查空间向量在求角中的应用．由于＝＋＋，则·＝(＋＋)·＝＝1.cos〈，〉＝＝ 〈，〉＝60°，故选B.
答案：B
6．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于(　　)
A．以a，b为两边的三角形的面积
B．以b，c为两边的三角形的面积
C．以a，b为邻边的平行四边形的面积
D．以b，c为邻边的平行四边形的面积
解析：若|a|＝|c|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝，〈c，b〉＝，则|b·c|＝2×1×cos＝1，而以a，b为两边的三角形面积S＝|a|·|b|·sin＝，以b，c为两边的三角形面积S＝|b|·|c|·sin＝；以a，b为邻边的平行四边形的面积S＝|a|·|b|·sin＝1，以b，c为邻边的平行四边形的面积S＝|b|·|c|·sin＝.故排除A、B、D，选C.
答案：C
二、填空题
7．设a⊥b，〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________.
解析：|a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c
＝12＋22＋32＋2×1×3×cos60°＋2×2×3×cos30°
＝17＋6，
∴|a＋b＋c|＝.
答案：
8.
在平行六面体ABCD－EFGH中，已知M，N，R分别是AB，AD，AE上的点，且AM＝MB，AN＝ND，AR＝2RE，则平面MNR分对角线AG所得线段AP与PG的比值为________．
解析：
本题主要考查空间向量的共面条件的应用．设＝m，由＝＋＋＝2＋3＋，得＝2m＋3m＋m.
由于P，M，R，N共面，则2m＋3m＋m＝1，
从而得m＝，即＝，故＝.
答案：
9．设a、b、c是任意的非零向量，且互不共线，则下列四个命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(c·b)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中真命题的序号是________．
解析：①注意向量数乘与数量积的区别，所以不成立；②是三角形不等式，所以成立；③[(c·b)a－(c·a)b]·c＝(c·b)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，故垂直，所以③不成立；④向量运算定律，所以成立．
答案：②④
三、解答题
10．设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4.
求：(1)a·b；(2)a2与b2；(3)(3a－2b)·(a＋2b)．
解：(1)a·b＝3×4×cos120°＝－6.
(2)a2＝|a|2＝9，b2＝|b|2＝16.
(3)(3a－2b)·(a＋2b)＝3|a|2－4|b|2＋4a·b＝3×32－4×42＋4×(－6)＝27－64－24＝－61.
11.
[2014·安徽省合肥一中期中考试]点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，M分PC成定比2，且＝2，N分PD成定比1.
(1)求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值；
(2)若PA＝AB＝1，AD＝2，求MN的长．
解：(1)取PC的中点E，连接NE，则＝－＝－(－)＝－(－)＝－＝－－(－＋＋)＝－－＋，
比较知x＝－，y＝－，z＝.
(2)因为PA＝AB＝1，AD＝2，且PA⊥AB，AB⊥AD，PA⊥AD，
而||2＝|－－＋|2＝(－)2＋(－)2＋(－)2＝，
故||＝.
12.
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．
(1)求证：PB⊥DM；
(2)求AC与PD所成角的余弦值．
解：(1)结合图形知，＝－，＝(＋)＝(－＋－)＝＋－，则·＝(－)·(＋－)＝||2－||2＝0，
故PB⊥DM.
(2)设PA＝AD＝AB＝2BC＝2，
由于＝－，＝＋，
则||2＝|－|2＝2－2·＋2＝8，故||＝2，
||2＝|＋|2＝||2＋2·＋||2＝5，
故||＝，
·＝(－)·(＋)＝2，
故cos〈，〉＝＝.03课堂效果落实
1.若平面内点M到定点F1(0，－1)、F2(0,1)的距离之和为2，则点M的轨迹为(　　)
A．椭圆
B．直线F1F2
C．线段F1F2
D．直线F1F2的垂直平分线
解析：|MF1|＋|MF2|＝2＝|F1F2|，所以点M的轨迹为线段F1F2.
答案：C
2．下列说法中，正确的是(　　)
A．平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆
B．与两个定点F1、F2的距离和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆
C．方程＋＝1(a>c>0)表示焦点在x轴上的椭圆
D．方程＋＝1(a>0，b>0)表示焦点在y轴上的椭圆
解析：依据方程的结构特点知选C.A中没强调常数>|F1F2|；B中没强调平面内．D中也可能表示圆．
答案：C
3．椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标为(　　)
A．(±3,0)　　　　　　
B．(±，0)
C．(±，0)
D．(0，±)
解析：椭圆方程可化为＋＝1.
答案：D
4．[2014·重庆高二检测]椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2＝________.
解析：由椭圆＋＝1知a＝3,
c＝＝，
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
＝＝－.
又0°<∠F1PF2<180°，
∴∠F1PF2＝120°.
答案：2　120°
5．当3解：∵30且k－3>0.
(1)若9－k>k－3，即3(2)若9－k＝k－3，即k＝6时，则方程表示圆x2＋y2＝3；
(3)若9－k1.若点M到两坐标轴的距离的积为2014，则点M的轨迹方程是(　　)
A．xy＝2014　　　　　　　
B．xy＝－2014
C．xy＝±2014
D．xy＝±2014(x>0)
解析：设M(x，y)，则由题意得|x|·|y|＝2014，所以xy＝±2014.
答案：C
2.
已知A(－1,0)、B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是(　　)
A.
4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B.
4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C.
4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D.
4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
解析：两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，线段AB的长度|AB|＝＝5.
设C的坐标为(x，y)，
则×5×＝10，
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
答案：B
3．曲线f(x，y)＝0关于直线x－y－3＝0对称的曲线方程为(　　)
A．f(x－3，y)＝0
B．f(y＋3，x)＝0
C．f(y－3，x＋3)＝0
D．f(y＋3，x－3)＝0
解析：在对称曲线上任选一点(x，y)，则它关于x－y－3＝0对称的点为(y＋3，x－3)．故所求曲线方程为f(y＋3，x－3)＝0.
答案：D
4．若动点P在曲线y＝2x2＋1上移动，连接点P与点Q(0，－1)，则线段PQ中点的轨迹方程是________．
解析：设P(x1，y1)，线段PQ中点为M(x，y)，
因为Q(0，－1)，所以所以
因为P(x1，y1)在曲线y＝2x2＋1上，所以y1＝2x＋1，所以2y＋1＝2(2x)2＋1，化简为y＝4x2，所以线段PQ中点的轨迹方程为y＝4x2.
答案：y＝4x2
5．求平面内到点F(1,0)的距离和它到直线x＝－1的距离相等的点的轨迹方程．
解：设点M(x，y)为轨迹上任意一点，到直线的距离为d，则点M属于集合P＝{M||MF|＝d}．
由两点间的距离及点到直线的距离公式得＝|x＋1|，
两边平方整理得y2＝4x为所求．04课后课时精练
一、选择题
1．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为(　　)
A．－2　　　　　　　　　　
B．2
C．－4
D．4
解析：因为抛物线的焦点坐标为(，0)，椭圆的右焦点坐标为(2,0)，依题意得＝2，得p＝4，故选D.
答案：D
2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为(　　)
A．(8,8)
B．(8，－8)
C．(8，±8)
D．(－8，±8)
解析：设P(xP，yP)，因为点P到焦点的距离等于它到准线x＝－2的距离，所以xP＝8，yP＝±8，故选C.
答案：C
3．焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线的标准方程为(　　)
A．x2＝16y或y2＝16x
B．y2＝16x或x2＝12y
C．y2＝16x或x2＝－12y
D．x2＝16y或y2＝－12x
解析：直线3x－4y－12＝0与x轴，y轴的交点分别是(4,0)，(0，－3)，所以抛物线的焦点为(4,0)或(0，－3)，因此，所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－12y.
答案：C
4．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是(　　)
A.
x2＝8y－16
B.
x2＝2y－
C.
x2＝y－
D.
x2＝2y－2
解析：本题主要考查利用相关点法求轨迹方程．抛物线方程可化为：x2＝16y，焦点F(0,4)，设线段PF的中点E的坐标为(x，y)，P(x0，y0)，则x0＝2x，y0＝2y－4，代入抛物线方程得：(2x)2＝16(2y－4)，即x2＝8y－16，故选A.
答案：A
5.
[2014·辽宁高考]已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)
A.
－
B.
－1
C.
－
D.
－
解析：因为点A在抛物线的准线上，所以－＝－2，所以该抛物线的焦点F(2,0)，所以kAF＝＝－，选C.
答案：C
6.
[2014·河北省衡水中学期中考试]已知抛物线y＝x2－1上一定点B(－1,0)和两个动点P，Q，当BP⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是(　　)
A.
(－∞，－3)∪[1，＋∞)
B.
[－3,1]
C.
[1，＋∞)
D.
(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：设P(t，t2－1)，Q(s，s2－1)，∵BP⊥PQ，∴·＝－1，即t2＋(s－1)t－s＋1＝0，∵t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点，∴必须有Δ＝(s－1)2＋4(s－1)≥0，即s2＋2s－3≥0，解得s≤－3或s≥1.
∴点Q的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.
答案：D
二、填空题
7.
[2013·北京高考]若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
解析：本题主要考查对抛物线标准方程的理解和应用因为抛物线y2＝2px的焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－，抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，所以p＝2，准线方程为x＝－1.
答案：2　x＝－1
8．焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上一点M在准线上的射影为N，若|MN|＝p，则|FN|＝________.
解析：依题意，|MF|＝|MN|＝p，
MF⊥MN，
在Rt△MNF中，∠FMN＝90°，
得|FN|＝p.
答案：p
9.
[2014·湖南高考]如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝________.
解析：由正方形的定义可知BC＝CD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，D(，0)，F(＋b，b)，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2p(＋b)＝a2＋2ab，变形得()2－－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)，所以＝1＋.
答案：1＋
三、解答题
10.
已知点A(0,4)，B(0，－2)，动点P(x，y)满足·－y2＋8＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证：OC⊥OD(O为原点)．
解：(1)由题意可知，＝(－x,4－y)，＝(－x，－2－y)，
∴x2＋(4－y)(－2－y)－y2＋8＝0，
∴x2＝2y为所求动点P的轨迹方程．
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由，整理得x2－2x－4＝0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－4，
∵kOC·kOD＝·＝
＝
＝
＝－1，
∴OC⊥OD.
11．如图，线段AB过点M(m,0)，m为正数，且点A，B到x轴的距离之积为4m，抛物线C以x轴为对称轴，且经过O，A，B三点(其中O为坐标原点)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若m＝1，＝2，求直线AB的方程．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(1)依题意设所求抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，　①
AB所在直线方程为x＝ay＋m.　②
联立①②消去x，得y2－2apy－2pm＝0，则y1y2＝－2pm.由题意得2pm＝4m，所以p＝2.故所求抛物线方程为y2＝4x.
(2)因为m＝1，p＝2，y1，y2是方程y2－4ay－4＝0的两根，所以又因为＝2，所以0＝，即y1＝－2y2，故
所以(－4a)2＝2，故a＝±，从而AB的方程为y＝2(x－1)或y＝－2(x－1)．
12.
[2014·湖北省武汉外国语学校期中考试]已知抛物线C1的焦点与椭圆C2：＋＝1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C1交于A，B两点．
(1)写出抛物线C1的标准方程；
(2)求△ABO面积的最小值．
解：(1)椭圆C2：＋＝1的右焦点为(1,0)，即为抛物线C1的焦点，又抛物线C1的顶点在坐标原点，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2)当直线AB的斜率不存在时，直线方程为x＝4，
此时|AB|＝8，△ABO的面积S＝×8×4＝16.
当直线AB的斜率存在时，
设AB的方程为y＝k(x－4)(k≠0)，
联立
消去x，得ky2－4y－16k＝0，Δ＝16＋64k2>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1＋y2＝，y1·y2＝－16，
∴S△AOB＝S△AOM＋S△BOM＝|OM||y1－y2|＝
2>16，
综上所述，△ABO面积的最小值为16.03课堂效果落实
1.下列命题：
①今天有人请假；②中国所有的江河都流入太平洋；③中国公民都有受教育的权力；④每一个中学生都要接受爱国主义教育；⑤有人既能写小说，也能搞发明创造
⑥任何一个数除0都等于0.
其中是全称命题的有(　　)
A．1个　　　　　　　　
B．2个
C．3个
D．不少于4个
解析：②、③、④、⑥都含有全称量词．
答案：D
2．下列全称命题中真命题的个数为(　　)
①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③正四面体中两侧面的夹角相等．
A．1
B．2
C．3
D．0
解析：①②③均为全称命题且均为真命题，故选C.
答案：C
3．[2014·温州高二检测]下列命题不是“存在x0∈R，x>3”的表述方法的是(　　)
A．有一个x0∈R，使得x>3成立
B．对有些x0∈R，使得x>3成立
C．任选一个x∈R，使得x2>3成立
D．至少有一个x0∈R，使得x>3成立
解析：C答案已经是全称命题了．
答案：C
4．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x2)>0”用“ ”写成特称命题为__________________．
解析：“有些”即存在．
答案： x0∈R，x0<0，(1＋x0)(1－9x)>0
5．判断下列命题是全称命题还是特称命题？并判断其真假．
(1)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；
(2)每个二次函数的图象都与x轴相交；
(3)若对所有的正实数，不等式m≤x＋都成立，则m≤2；
(4)如果对任意的正整数n，数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b为常数)，那么数列{an}为等差数列．
解：(1)特称命题．
∵x2＋x＋8＝(x＋)2＋>0，
∴命题为假命题．
(2)全称命题，假命题．
如存在y＝x2＋x＋1与x轴不相交．
(3)全称命题．
∵x是正实数，
∴x＋≥2＝2(当且仅当x＝1时“＝”成立)．
即x＋的最小值是2，而m≤x＋，从而m≤2.
所以这个全称命题是真命题．
(4)全称命题．
∵Sn＝an2＋bn，∴a1＝a＋b.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)＝2na＋b－a，
又n＝1时，a1＝a＋b也满足上式，
所以an＝2an＋b－a(n∈N
)．
从而数列{an}是等差数列，即这个全称命题也是真命题．03课堂效果落实
1.两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：∵两个非零向量模相等得不到两个向量相等，而两个向量相等则其模相等且方向相同．
答案：B
2．如右图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′顶点连接的向量中，与向量相等的向量有(　　)
A．0个　　　　　　　
B．3个
C．6个
D．9个
解析：与相等的向量有、、.
答案：B
3．空间任意四个点A、B、C、D，则＋－等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：＋－＝＋＝.
答案：D
4．已知长方体ABCD—A′B′C′D′，则下列四式中正确的是________．
①－＝；②＝＋＋；
③＋＝；④＋＋＋＝.
解析：由向量加法的三角形法则或多边形法则可知①②③正确．
答案：①②③
5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，化简向量表达式：
(1)＋＋＋；(2)＋＋＋.
解：(1)＋＋＋＝＋＋＋＝0.
(2)∵＝＝－，＝－，
∴原式＝－－＋＝0.
D
CI
N
A
B阶段水平测试(一)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1.
下面所给三个命题中真命题个数有(　　)
(1)若ac2>bc2，则a>b；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(3)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该二次函数图象与x轴有公共点；
A.
0　　　　　　　　　　　
B.
1
C.
2
D.
3
解析：(1)该命题为真命题，因为当c＝0时，ac2＝bc2，所以c2一定大于0，则a>b.
(2)该命题为真命题，根据圆内接四边形的定义可进行判定．
(3)该命题为假命题，因为当b2－4ac<0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数的图象与x轴无公共点．综上所述，故选C.
答案：C
2.
[2012·福建高考]下列命题中，真命题是(　　)
A.
x0∈R，ex0≤0
B.
x∈R,2x>x2
C.
a＋b＝0的充要条件是＝－1
D.
a>1，b>1是ab>1的充分条件
解析：∵ x∈R，ex>0，∴A错；∵函数y＝2x与y＝x2有交点．如点(2,2)，此时2x＝x2，∴B错；∵当a＝b＝0时，a＋b＝0，而0作分母无意义，∴C错；a>1，b>1，由不等式可乘性知ab>1，∴D正确．
答案：D
3.
[2014·浙江高考]设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析：若“四边形ABCD为菱形”，则对角线“AC⊥BD”成立；而若对角线“AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD有可能为空间正四面体”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．
答案：A
4.
若命题p：|x＋1|≤4，q：x2<5x－6，则“綈p”是“綈q”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：∵p：－5≤x≤3，则綈p：x<－5或x>3；
∵q：2答案：A
5.
命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)
A.
不存在x0∈R，x－x＋1≤0
B.
存在x0∈R，x－x＋1≤0
C.
存在x0∈R，x－x＋1>0
D.
对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
解析：题目中命题的意思是“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0都成立”，要否定它，只要能找到至少一个x0，使得x－x＋1>0即可，故命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x0∈R，x－x＋1>0”．
答案：C
6．[2013·上海高考]钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的(　　)
A.
充分条件
B.
必要条件
C.
充分必要条件
D.
既非充分也非必要条件
解析：根据等价命题，便宜 没好货，等价于，好货 不便宜，故选B.
答案：B
7.
[2013·湖北高考]在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　　)
A.
(綈p)∨(綈q)
B.
p∨(綈q)
C.
(綈p)∧(綈q)
D.
p∨q
解析：綈p表示甲没有降落在指定范围，綈q表示乙没有降落在指定范围，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”，也就是“甲没有降落在指定范围”或“乙没有降落在指定范围”．故选A.
答案：A
8．下列命题中是真命题的为(　　)
A．“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件
B．“A∩B≠ ”是“A?B”的充分条件
C．“b2－4ac<0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R”的充要条件
D．“圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切”是“c2＝(a2＋b2)r2”的充要条件
解析：A项中，“x>2且y>3” “x＋y>5”，但“x＋y>5”不能推出“x>2且y>3”，如：x＝0且y＝6，满足x＋y>5，但不满足x>2，故A是假命题；
B项中，“A∩B≠ ”不能推出“A?B”，如A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，A∩B＝{2}，但A不是B的真子集．故B是假命题；
C项中，如：一元二次不等式－2x2＋x－1>0的解集为 ，但b2－4ac＝1－8＝－7<0，故C是假命题；
D项中，“圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切”
圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝r，
即c2＝(a2＋b2)r2，所以充分性成立；反之也成立，即必要性也成立，故D是真命题．
答案：D
9．设集合A＝{x|－2－a0)，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则a的取值范围是(　　)
A.
02
B.
0C.
1D.
1≤a≤2
解析：若p为真命题，则－2－a<1解得a>1.
若q为真命题，则－2－a<22.
依题意，得p假q真，或p真q假，
即或∴1答案：C
10．已知命题p：存在x∈R，使tanx＝，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1A.
②③
B.
①②④
C.
①③④
D．①②③④
解析：∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．
答案：D
11．[2014·重庆高考]已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．
则下列命题为真命题的是(　　)
A.
p∧q
B.
(綈p)∧(綈q)
C.
(綈p)∧q
D.
p∧(綈q)
解析：本题主要考查指数函数的性质、含逻辑联结词的命题的真假判断及充分、必要条件，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．依题意，命题p是真命题．由x>2 x>1，而x>1Dx>2，因此“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则綈q是真命题，p∧(綈q)是真命题，选D.
答案：D
12．[2014·天津高考]设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分又不必要条件
解析：本题以不等式为背景考查函数的单调性定义的正用、逆用，充要条件的判断等知识点，意在考查考生的推理论证能力和转化化归能力．构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数．因为f(x)＝所以函数f(x)在R上单调递增，所以a>b f(a)>f(b) a|a|>b|b|.选C.
答案：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是________．
答案：如果一条直线是圆的切线，则它到圆心的距离等于圆的半径
14.
设集合A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|<1}，则“A∩B≠ ”的充要条件是________．
解析：A＝{x|－1答案：(－2,2)
15.
已知命题p：“ x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“ x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵p∧q是真命题，∴p与q均为真命题．p为真命题：a≥e，q为真命题：Δ＝42－4a≥0，a≤4.综上，a∈[e,4]．
答案：[e,4]
16.
已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：
p1：|a＋b|>1 θ∈[0，)；
p2：|a＋b|>1 θ∈(，π]；
p3：|a－b|>1 θ∈[0，]；
p4：|a－b|>1 θ∈(，π]；
其中真命题为________．
解析：由|a＋b|＝＝>1，
得2＋2cosθ>1，∴cosθ>－，∴0≤θ<.
由|a－b|＝＝>1，
得2－2cosθ>1，∴cosθ<，∴<θ≤π.
∴p1，p4正确．
答案：p1，p4
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(10分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)四条边相等的四边形是正方形；
(3)若x2＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1.
解：(1)“若p，则q”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等；是真命题．
逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等；是真命题．
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应边不全相等；是真命题．
逆否命题：若两个三角形的对应边不全相等，则这两个三角形不全等；是真命题．
(2)“若p，则q”的形式：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；是假命题．
逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；是真命题．
否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形；是真命题．
逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等；是假命题．
(3)逆命题：若x＝－8或x＝1，则x2＋7x－8＝0.逆命题为真．
否命题：若x2＋7x－8≠0，则x≠－8且x≠1.否命题为真．
逆否命题：若x≠－8且x≠1，则x2＋7x－8≠0.逆否命题为真．
18．(12分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：正数的对数都是正数．
(2)p：存在x∈R，x2－x＋1≤0.
(3)p：所有的矩形都是平行四边形．
(4)p：有的三角形是等边三角形．
(5)p：任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
(6)p：有一个素数含三个正因数．
解：(1)綈p：存在一个正数，它的对数不是正数．真命题．
(2)綈p：任意x∈R，x2－x＋1>0.真命题．
(3)綈p：存在一个矩形，它不是平行四边形．假命题．
(4)綈p：所有的三角形都不是等边三角形．假命题．
(5)綈p：存在x0∈Z，使x的个位数字等于3.假命题．
(6)綈p：所有的素数都不含三个正因数．真命题．
19．(12分)用反证法证明：若a2＋b2＝c2，则a、b、c不可能都是奇数．
证明：假设a、b、c都是奇数，
那么a2、b2、c2一定也都是奇数．
∴a2＋b2为偶数．
∴a2＋b2≠c2，这与已知a2＋b2＝c2矛盾．
故假设不成立，即a、b、c不可能都是奇数．
20．(12分)指出下列命题中，p是q的什么条件：
(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}．
(2)p：－2解：(1)∵{x|x>－2或x<3}＝R，
{x|x2－x－6<0}＝{x|－2∴{x|x>－2或x<3}
{x|－2而{x|－2－2或x<3}．
∴p是q的必要不充分条件．
(2)若关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，设为x1，x2，则0有0根据根与系数的关系得
即－2反之，取m＝－，n＝，x2－x＋＝0，Δ＝－4×<0，方程x2＋mx＋n＝0无实根，所以pDq.
综上所述，p是q的必要不充分条件．
21．(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
证明：先证必要性．
∵a＋b＝1，即b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.
再证充分性．
∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
由ab≠0，即a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2≠0，从而只有a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
22．[2014·沈阳高二检测](12分)已知命题p：f(x)＝|x＋a|在[0，＋∞)上是增函数；命题q：点O(0,0)与点P(1,1)在直线y＝a(x＋1)的两侧．若p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．
解：∵f(x)＝|x＋a|在[－a，＋∞)上是增函数，若p为真，应有[0，＋∞) [－a，＋∞)，∴－a≤0，即a≥0.
若q为真，应有a(2a－1)<0，解得0由p∧q为假，p∨q为真可知，p与q一真一假．
当p真q假时，得解得a＝0或a≥.
当p假q真时，得，此时a无解．
综上所述，实数a的取值范围是{a|a＝0或a≥}．03课堂效果落实
1.“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的(　　)
A．充分不必要条件　　　
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：∵y＝－2≤0，而y2＝4x中y可正可负，
∴点M在曲线y2＝4x上，但M不一定在y＝－2上．反之点M在y＝－2上时，点M却一定在y2＝4x上．故选B.
答案：B
2．已知直线l：x＋y－4＝0及曲线(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,2)(　　)
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
解析：将点M(2,2)的坐标代入方程验证知M∈l，M C.
答案：A
3．方程＋＝1表示的图形是(　　)
A.
一条直线
B.
两条平行线段
C.
一个正方形
D.
一个正方形(除去四个顶点)
解析：由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称，且x≠0，y≠0.当x>0，y>0时，方程可化为x＋y＝1，表示第一象限内的一条线段(去掉两端点)，因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点)，故选D.
答案：D
4．若方程x2＋k2y2－3x－ky－4＝0的曲线过点P(2,1)，则k＝________.
解析：将(2,1)代入方程得22＋k2－3×2－k－4＝0，即k＝－2或3.
答案：－2或3
5．证明：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝±x.
证明：(1)如图所示，设M(x0，y0)是轨迹上任一点，因为点M到x轴的距离为|y0|，到y轴的距离为|x0|，所以|x0|＝|y0|，即y0＝±x0，所以轨迹上任一点的坐标都是方程y＝±x的解．
(2)设点M1的坐标为(x1，y1)，且是方程y＝±x的解，则y1＝±x1，即|x1|＝|y1|.而|x1|，|y1|分别是点M1到y轴，x轴的距离，因此点M1到两坐标轴的距离相等，即点M1是曲线上的点．
由(1)(2)可知，y＝±x是到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程．03课堂效果落实
1.下列语句中是命题的是(　　)
A．周期函数的和是周期函数吗
B．sin45°＝1
C．x2＋2x－1>0
D．梯形是平面图形吗
解析：A、D是疑问句，不是命题，C不能判断真假，故B为正确答案．
答案：B
2．[2014·大连高二检测]若M、N是两个集合，则下列命题中真命题是(　　)
A．如果M N，那么M∩N＝M
B．如果M∩N＝N,
那么M N
C．如果M N，那么M∪N＝M
D．如果M∪N＝N，那么N M
解析：用集合的定义理解．
答案：A
3．在下列4个命题中，是真命题的序号为(　　)
①3≥3；②100或50是10的倍数；③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；④等腰三角形至少有两个内角相等．
A．①　　　　　　　　　
B．①②
C．①②③
D．①②④
解析：对于③，举一反例，若A＝15°，B＝15°，则C为150°，三角形为钝角三角形．
答案：D
4．[2014·辽宁高二检测]下列命题：
①若xy＝1，则x、y互为倒数；
②对角线垂直的平行四边形是正方形；
③平行四边形是梯形；
④若ac2>bc2，则a>b.
其中真命题的序号是________．
解析：①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形．
答案：①④
5．[2014·武汉高二测试]判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题．
(1)任何负数都大于零；
(2)△ABC与△A1B1C1是全等三角形；
(3)x2＋x>0；
(4) ?A；
(5)6是方程(x－5)(x－6)＝0的解；
(6)方程x2－2x＋5＝0无解．
解：(1)负数都是小于零的，因此“任何负数都大于零”是不正确的；它能构成命题，而且这个命题是个假命题．
(2)两个三角形为全等三角形是有条件的，本题无法判定△ABC与△A1B1C1是否为全等三角形，所以它不是命题．
(3)因为x是未知数，无法判断x2＋x是否大于零，所以“x2＋x>0”这一语句不是命题．
(4)空集是任何非空集合的真子集，集合A是不是非空集合我们无法判断，所以无法判断“ ?A”是否成立，因此，它不是命题．
(5)6确实是所给方程的解，所以它是命题，且是真命题．
(6)由于给定方程x2－2x＋5＝0，我们就可以用其判别式来判断它是否有解．由Δ＝4－4×5＝－16<0知，方程x2－2x＋5＝0无解，是命题，且是真命题．04课后课时精练
一、选择题
1．已知A(1,0)、B(－1,0)，动点M满足||MA|－|MB||＝2，则点M的轨迹方程是(　　)
A．y＝0(－1≤x≤1)　　　　
B．y＝0(x≥1)
C．y＝0(x≤－1)
D．y＝0(|x|≥1)
解析：∵||MA|－|MB||＝2＝|AB|，∴动点M的轨迹是两条射线，一条射线的端点为B，方向水平向左，另一条射线的端点为A，方向水平向右．
答案：D
2．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：设Q(x0，y0)为圆x2＋y2＝4上任意一点，PQ的中点为M(x，y)，
则即
将其代入x2＋y2＝4，
可得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
即(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.
答案：A
3．[2014·贵州高二检测]在△ABC中，若B、C的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，BC边上的中线的长度为5，则A点的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝5
B．x2＋y2＝25
C．x2＋y2＝5(y≠0)
D．x2＋y2＝25(y≠0)
解析：BC中点为原点，因为BC边上的中线长为5，
即|AO|＝5.
设点A(x，y)，所以x2＋y2＝25(y≠0)．
答案：D
4．已知点M(－3,0)，N(3,0)，设P(x，y)是曲线＋＝1上的点，则下列式子恒成立的是(　　)
A.
|PM|＋|PN|＝10
B.
|PM|－|PN|＝10
C.
|PM|＋|PN|≥10
D.
|PM|＋|PN|≤10
解析：
化简＋＝1可得＋＝1，如图所示，曲线＋＝1上的点A(或B，C，D)到点M，N的距离之和最大，为10，故|PM|＋|PN|≤10.故选D.
答案：D
5．已知两定点A(－2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于(　　)
A.
π
B.
4π
C.
8π
D.
9π
解析：设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得
＝2，
整理，得x2－4x＋y2＝0，
即(x－2)2＋y2＝4，所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，故S＝4π.
答案：B
6．[2014·西城高二检测]O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
解析：由＝＋λ(＋)得＝－＝λ(＋)，为上的单位向量，为上的单位向量．
根据向量加法的平行四边形法则知，＋为菱形的对角线，动点P的轨迹必过△ABC的内心．
答案：B
二、填空题
7．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－，则动点P的轨迹方程为(　　)
A.
x2－3y2＝4
B.
x2＋3y2＝4
C.
x2－3y2＝4(x≠±1)
D.
x2＋3y2＝4(x≠±1)
解析：由点B与点A(－1,1)关于原点对称，得点B的坐标为(1，－1)．设点P的坐标为(x，y)，由题意得·＝－，化简得x2＋3y2＝4，且x≠±1.故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．
答案：D
8．如图，在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称且·＝4，则动点P的轨迹方程为________．
解析：由已知M(0，y)，N(x，－y)，则·＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2＝4，
即－＝1.
答案：－＝1
9．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为________．
解析：由题意及圆的相关性质，因为∠APB＝60°，可知∠APO＝30°，设P(x，y)，连接OA，则OA⊥PA.
在Rt△OAP中，sin∠APO＝，
所以＝，整理得轨迹方程x2＋y2＝4.
答案：x2＋y2＝4
三、解答题
10．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程．
解：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)
(y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0)．
因为＝＋，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0,2y0)，则x0＝x，y0＝.
又点M在圆C上，所以x＋y＝4，即x2＋＝4(y≠0)．
所以动点Q的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．
11．点A(3,0)为圆x2＋y2＝1外一点，P为圆上任意一点，若AP的中点为M，当P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．
解：由题意，设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，
则∴
又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋4y2＝1，
∴(x－)2＋y2＝.
12．[2014·常州高二检测]已知△ABC中，三边c>b>a，且a，b，c成等差数列，b＝2，试求点B的轨迹方程．
解：如图，以AC所在的直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
由于b＝|AC|＝2，
则A点坐标为(－1,0)，
C点坐标为(1,0)．
因为a、b、c成等差数列，所以2b＝a＋c，
即4＝|AB|＋|BC|.
设B点坐标为(x，y)，则|AB|＝，
|BC|＝.
所以4＝＋.
移项，两边平方并整理，
得4－x＝2.
两边再平方并整理，得3x2＋4y2＝12.
又c>a，即|AB|>|BC|，且A、B、C三点不共线，
所以0所以适合题意的动点B的轨迹方程为3x2＋4y2＝12(01.
[2014·福建高考]命题“ x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　)
A.
x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B.
x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C.
x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D.
x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
解析：本题考查含有量词的命题的否定，意在考查考生的逻辑推理能力．把全称量词“ ”改为存在量词“ ”，并把结论加以否定，故选C.
答案：C
2．全称命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是(　　)
A．所有能被5整除的整数都不是奇数
B．所有奇数都不能被5整除
C．存在一个能被5整除的整数不是奇数
D．存在一个奇数，不能被5整除
解析：全称命题的否定是特称命题，而A，B是全称命题，所以A，B错．因为“所有能被5整除的整数”的否定是“存在一个能被5整除的整数”，所以D错，C正确，故选C.
答案：C
3．对下列命题的否定，其中说法错误的是(　　)
A．p： x≥3，x2－2x－3≥0；綈p： x≥3，x2－2x－3<0
B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；綈p：每一个四边形的四个顶点共圆
C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形
D．p： x∈R，x2＋2x＋2≤0；
綈p： x∈R，x2＋2x＋2>0
解析：若p：有的三角形为正三角形，则綈p：所有的三角形都不是正三角形，故C错．
答案：C
4．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定__________________________________________________．
解析：原命题的全称量词是“每个”，对其否定是“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．
答案：有些函数没有奇偶性
5．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)三角形的内角和为180°；
(2) x0∈R，x＋1＝0；
(3) x∈R，x2－3x＋2＝0.
(4)至少有两个实数x0，使x＋1＝0.
(5) x0，y0∈N，如果＋|y0|＝0，则x0＝0且y0＝0.
解：(1)此命题为全称命题，其否定为：存在一个三角形，它的内角和不等于180°，是假命题．
(2)此命题为特称命题，其否定为： x∈R，x2＋1≠0，是真命题．
(3)此命题为全称命题，其否定为： x0∈R，x－3x0＋2≠0，是真命题．
(4)此命题为特称命题，其否定为：至多有一个实数x0，使x＋1≠0，是假命题．
(5)此命题为特称命题，其否定为： x，y∈N，如果＋|y|＝0，则x＝0或y＝0，是假命题．04课后课时精练
一、选择题
1．空间直角坐标系中A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，则直线AB与CD的位置关系为(　　)
A．平行　　　　　　　　
B．垂直
C．相交但不垂直
D．无法确定
解析：由于＝(－2，－2,2)，＝(1,1，－1)，
∴＝－2，即∥，
∴AB∥CD，故选A.
答案：A
2．下列命题正确的是(　　)
A．若n1，n2分别是平面α、β的法向量，则n1∥n2 α∥β
B．若n1，n2分别是平面α、β内的向量，则α∥β n1∥n2
C．若n1是直线l的一个方向向量，n2是平面α的一个法向量，则l∥α n1⊥n2
D．若n1＝(－7,3,4)，n2＝(x，y,8)分别是两直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则x＋y＝－8
解析：A中，若n1∥n2，则α∥β不成立，可能重合，故A不正确；对于B显然不成立；对于C，若n1⊥n2，则l∥α不成立，有可能l α，所以C不正确；对于D，若l1∥l2，则＝＝，∴x＝－14，y＝6，∴x＋y＝－8，故D正确．
答案：D
3.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)
A.
EF至多与A1D、AC之一垂直
B.
EF是A1D、AC的公垂线
C.
EF与BD1相交
D.
EF与BD1异面
解析：设AB＝1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(，0，)，F(，，0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，＝(，，－)，＝(－1，－1,1)，＝－，·＝·＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故选B.
答案：B
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)
A．AC
B．BD
C．A1D
D．A1A
解析：以D点为原点，设棱长为1，以，，分别为x，y，z轴正方向建立直角坐标系得C(0,1,0)，E(，，1)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，故＝(，－，1)，＝(1,1,0)，
∴·＝－＋0＝0，
∴⊥，即CE⊥BD，
∴选B.
答案：B
5．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则(x，y，z)等于(　　)
A．(，－，4)
B．(，－，4)
C．(，－2,4)
D．(4，，－15)
解析：·＝3＋5－2z＝0，故z＝4.·＝x－1＋5y＋6＝0，且·＝3(x－1)＋y－12＝0，得x＝，y＝－.
答案：B
6．如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则以下结论中正确的个数是(　　)
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：∵＝－＝－＝，
∴A1M∥D1P.
∵D1P 面D1PQB1，∴A1M∥平面D1PQB1.
又D1P 面DCC1D1，∴A1M∥平面DCC1D1.
∵B1Q为平面DCC1D1的斜线，
∴B1Q与D1P不平行．∴A1M与B1Q不平行．故①③④正确．
答案：C
二、填空题
7．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．
解析：根据共面向量基本定理知，向量、、共面，
当AB在平面CDE内时，AB 平面CDE；
当AB 平面CDE时，AB∥平面CDE.
∴AB 平面CDE或AB∥平面CDE.
答案：AB 平面CDE或AB∥平面CDE
8.
如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．
解析：
如图，建立空间直角坐标系Axyz，
则D(0，a,0)．
设Q(1，x,0)(0≤x≤a)．P(0,0，z)．
则＝(1，x，－z)，＝(－1，a－x,0)．
由PQ⊥QD，得－1＋x(a－x)＝0，
即x2－ax＋1＝0.
由题意知方程x2－ax＋1＝0只一解．
∴Δ＝a2－4＝0，a＝2，这时x＝1∈[0，a]．
答案：2
9.
有以下结论：
①若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则l1⊥l2.
②若平面α、β的法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－2,3,2)，则α⊥β.
③若直线l的方向向量为a＝(1,2，－2)，平面α的法向量为v＝(－2,3,2)，则l⊥α.
④已知平面α、β的法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－2，y，z)，若α∥β，则y·z＝－16.
以上结论正确的序号为________(把你认为正确的序号都填上)．
答案：①②④
三、解答题
10.
[2014·湖南省雅礼中学月考]已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，点F为BD1的中点．
(1)求证：EF为BD1与CC1的公垂线；
(2)求证：EF∥AC.
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,1,0)，D1(1,0,2)，F(，，1)，C1(0,0,2)，E(0,0,1)．
(1)由＝(，，0)，＝(0,0,2)，＝(1，－1,2)，
得·＝0且·＝0，即EF⊥CC1，EF⊥BD1.
故EF为BD1与CC1的公垂线．
(2)由A(1,1,0)得＝(1,1,0)，由于＝(，，0)，显然，＝，故∥，
又EF与AC不共线，故EF∥AC.
11.
已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.
(1)直线A1C与平面BC1D是否垂直？若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由；
(2)P，Q分别是BC，CD的动点，且|PQ|＝，确定P，Q的位置，使QB1⊥PD1.
解：
(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，C1(2,2,2)，D(0,2,0)．
＝(2,2，－2)，而＝(0,2,2)，＝(－2,2,0)，
显然，·＝0，·＝0，即⊥，⊥，
从而A1C⊥BC1，A1C⊥BD，
又BC1∩BD＝B，故A1C⊥平面BC1D.
(2)设BP＝t(0≤t≤2)得CQ＝，DQ＝2－，
则P(2，t,0)，Q(2－，2,0)，
从而＝(，－2,2)，＝(－2,2－t,2)，
由⊥ ·＝0，
即－2－2(2－t)＋4＝0，解得t＝1.
此时DQ＝1，
故P，Q分别为BC，CD的中点时，QB1⊥PD1.
12．如右图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，E是B1C的中点．
(1)求cos〈
，〉；
(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出||，若不存在，说明理由．
解：(1)以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.
∵AC＝2a，∠ABC＝90°，∴AB＝BC＝a.
∴B(0,0,0)，A(a,0,0)，C(0，a，0)，B1(0,0,3a)，A1(a,0,3a)，C1(0，a,3a)，D(a，a,3a)，E(0，a，a)，＝(a，－a
,3a)，＝(0，a，a)．
∴||＝a，||＝a，
·＝0－a2＋a2＝a2.
∴cos〈，〉＝＝.
(2)假设存在点F，使CF⊥平面B1DF.不妨设AF＝b，则F(a,0，b)，＝(a，－a，b)，＝(a,0，b－3a)，＝(a，a,0)．
∵·＝a2－a2＋0＝0，∴⊥恒成立．
由·＝2a2＋b(b－3a)＝b2－3ab＋2a2＝0得b＝a或b＝2a.
∴当||＝a或||＝2a时，CF⊥平面B1DF.
∴在线段AA1上存在点F，使CF⊥平面B1DF，且||＝a或||＝2a.03课堂效果落实
1.
[2014·课标全国卷Ⅰ]已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)
A.
2　　　　　　　　　
B.
C.
D.
1
解析：因为双曲线的方程为－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.选D.
答案：D
2.
已知直线y＝－是双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线，则此双曲线的离心率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：本题主要考查双曲线的简单几何性质．因为双曲线的一条渐近线方程为y＝－，所以＝，所以a＝3b，a2＝9b2，所以c2＝10b2，所以离心率为e＝＝＝，故选A.
答案：A
3.
[2013·福建高考]双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)
A.
B.
C.
1
D.
解析：本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离公式．双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，顶点坐标为(±1,0)，故顶点到渐近线的距离为，故选B.
答案：B
4．双曲线－＝1的实轴长等于________，虚轴长等于________，焦点坐标是________，离心率是________，渐近线方程是________．
答案：2　4　(－3,0)和(3,0)　　y＝±x
5.
[2014·湖南省长沙一中期中考试]已知焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为y±x＝0，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．
解：设双曲线方程为y2－3x2＝k(k≠0)，
当k>0时，a2＝k，b2＝，c2＝，
此时焦点为(0，±)，
由题意得3＝，解得k＝27，双曲线方程为y2－3x2＝27，即－＝1；
当k<0时，a2＝－，b2＝－k，c2＝－，
此时焦点为(±
，0)，
由题意得3＝，解得k＝－9，双曲线方程为y2－3x2＝－9，即－＝1.
∴所求双曲线方程为－＝1或－＝1.04课后课时精练
一、选择题
1.
抛物线y＝－x2的焦点坐标是(　　)
A.
(0，－4)　　　　　　　
B.
(0，－2)
C.
(－，0)
D.
(－，0)
解析：本题主要考查由抛物线方程求焦点坐标．抛物线方程可化成x2＝－8y，所以焦点坐标为(0，－2)，故选B.
答案：B
2.
已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于(　　)
A.
2
B.
1
C.
4
D.
8
解析：本题主要考查抛物线的焦点到准线的距离．抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，焦点F到抛物线准线的距离等于4，故选C.
答案：C
3.
[2014·湖南省长沙一中期中]已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A，B两点，若∈(0,1)，则＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系．因为抛物线的焦点为(0，)，直线方程为y＝x＋，与抛物线方程联立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p，所以＝＝.故选C.
答案：C
4.
过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O为原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　　)
A.
B.
C.
D.
2
解析：本题主要考查抛物线中基本量的计算与运用基本量之间的关系解决问题的能力．根据题意画出简图，设∠AFx＝θ(0<θ<π)及|BF|＝m，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得：3＝2＋3cosθ cosθ＝，又m＝2＋mcos(π－θ) m＝＝，△AOB的面积为S＝×|OF|×|AB|×sinθ＝×1×(3＋)×＝，故选C.
答案：C
5.
[2012·四川高考]已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝(　　)
A.
2
B.
2
C.
4
D.
2
解析：由题意可设抛物线方程为y2＝2px.
由|MF|＝＋2＝3得p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x.
∴点M为(2，±2)，|OM|＝＝2，故选B.
答案：B
6．[2014·课标全国卷Ⅰ]已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)
A.
1
B.
2
C.
4
D.
8
解析：由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A.
答案：A
二、填空题
7．[2014·陕西延安一模]在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．
解析：如图所示，线段OA所在的直线方程为y＝x，其中垂线方程为2x＋y－＝0，
∴令y＝0，得x＝，即F(，0)．
∴p＝，y2＝5x，其准线方程为x＝－.
答案：x＝－
8.
[2014·江苏盐城月考]已知过点P(4,0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
解析：当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4，代入y2＝4x，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y＋y＝16＋16＝32；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－4)，与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－16k＝0，
由题意知k≠0，则y1＋y2＝，y1y2＝－16.
∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32>32.
综上知，(y＋y)min＝32，
答案：32
9.
[2014·湖南高考]平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．
解析：由题意可知机器人的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为y2＝4x，过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，由题意知直线与抛物线无交点，联立消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，则Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，所以k2>1，得k>1或k<－1.
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
三、解答题
10．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，求p的值．
解：解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知过焦点的直线方程为y＝x－，与抛物线方程联立，得消元后得x2－3px＋＝0.又|AB|＝·＝8，解得p＝2.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)
由题意知过焦点的直线方程为y＝x－，联立得x2－3px＋＝0
|AB|＝x1＋x2＋p＝3p＋p＝4p＝8
∴p＝2
∴p的值为2.
11.
[2014·天水一中模拟]已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
解：(1)由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
由抛物线定义，得4－(－)＝6，解得p＝4，
∴抛物线C的方程为y2＝8x.
(2) k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
∴x1＋x2＝.
∵AB中点横坐标为2，
∴＝＝2，解得k＝2或－1.
12.
[2014·唐山高二检测]已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)．
(1)求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标；
(2)求点P到点B(－，1)的距离与点P到直线x＝－的距离之和的最小值．
解：
(1)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，
当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，
即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.
∴点P坐标为(2,2)．
(2)由于直线x＝－为抛物线的准线，
故|PB|＋d＝|PB|＋|PF|≥|BF|，
当且仅当B、P、F共线时取等号．
而|BF|＝＝.
∴|PB|＋d的最小值为.03课堂效果落实
1.下列各命题中，不正确命题的个数为(　　)
①＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b；③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a.
A．4个　　　　　　　　
B．3个
C．2个
D．1个
解析：①②③正确，④不正确．
答案：D
2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于(　　)
A.
B．97
C.
D．61
解析：|2a－3b|2＝4a2＋9b2－12a·b＝4×4＋9×9－12×|a||b|cos60°＝97－12×2×3×＝61.
答案：C
3．已知在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为(　　)
A．6
B.
C．3
D.
解析：∵＝＋＋，
∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，
∴||＝，即AC1的长为.
答案：B
4．已知空间向量a、b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________．
解析：由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
∴a2＋λb2＋(1＋λ)a·b＝0，
即18＋25λ＋(1＋λ)×3×5×cos135°＝0，
∴λ＝－.
答案：－
5．如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积．
(1)·；(2)·；
(3)·；(4)·.
解：在空间四边形ABCD中，
(1)∵||＝||＝a，〈，〉＝60°，
∴·＝a·acos60°＝a2.
(2)∵||＝a，||＝a，〈，〉＝60°，
∴·＝a2cos60°＝a2.
(3)∵||＝a，||＝a，又∥，∴〈，〉＝π.
∴·＝a2cosπ＝－a2.
(4)∵||＝a，||＝a，∥，
∴〈，〉＝〈，〉＝60°，
∴·＝a2cos60°＝a2.04课后课时精练
一、选择题
1．直线l与平面α所成角为，直线m在平面α内且与直线l异面，则直线l与m所成角取值范围为(　　)
A．[，]　　　　　　
B．[0，]
C．[，]
D．[，π]
解析：m与l异面，故其夹角最大为，最小即为线面角，故范围为[，]，故选A.
答案：A
2．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为(　　)
A.
B．－
C.
D．－
解析：cos〈n，a〉＝＝＝.故正弦值为，故选A.
答案：A
3．直线l与平面α成45°角，若直线l在α内的射影与α内的直线m成45°角，则l与m所成的角为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：由最小角定理知，设l与m成θ角，
则cosθ＝cos45°·cos45°，
∴cosθ＝，∴θ＝60°，故选C.
答案：C
4．正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，则AC1和平面BB1C1C所成角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：设正三棱柱ABC－A1B1C1所有棱长均为1，以B为原点，建立空间直角坐标系(如图)，
则C1(0,1,1)，A(，，0)
所以＝(－，，1)，
又平面BB1C1C的一个法向量n＝(1,0,0)，
所以AC1与平面BB1C1C所成的角θ的正弦值
sinθ＝＝＝，
cosθ＝＝，故选A.
答案：A
5．[2014·邵阳高二检测]正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：
如图建立D－xyz直角坐标系，设正方体棱长为a，
则B(a，a,0)，C1(0，a，a)，A1(a,0，a)
设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
＝(－a,0，－a)，＝(－a,0，a)，＝(－a，－a,0)
∴
令z＝1，则x＝－1，y＝1，
∴n＝(－1,1,1)
∴sinθ＝||＝，∴cosθ＝.
答案：D
6．如图，矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起到△A′BE的位置，使A′C＝A′D，则A′C与平面BEDC所成角的正切值是(　　)
A．2
B.
C.
D.
解析：
如图，以B为原点，以BA、BC所在的直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系B－xyz.
取BE的中点M，CD的中点N，连接A′M、MN、A′N，由题意可证得A′M⊥BE，A′M⊥CD，得A′M⊥面BCDE，则∠A′CM是A′C与平面BEDC所成的角．
令AB＝1，AD＝2，则M(，，0)
A′(，，)，C(0,2,0)则＝(，－，)
是平面BEDC的一个法向量且＝(0,0，)
所以sin∠A′CM＝|cos〈MA′，CA′〉|＝＝＝，∴tan∠A′CM＝.
答案：B
二、填空题
7．等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成角的大小为________．
解析：如图，∠CAO＝30°，设AC＝BC＝1，∴AB＝，
作CO⊥α，∴OC＝.
∵CM＝AB＝，
∴sin∠OMC＝＝，
又∠OMC为锐角，∴∠OMC＝45°.
答案：45°
8．[2014·郑州高二检测]四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ的正弦值为________．
解析：
本题主要考查向量法求线面角，考查三角形重心坐标公式．分别以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由已知P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，则重心G(，，0)，因而＝(0,0,1)，＝(－，－，1)，那么sinθ＝|cos〈，〉|＝＝.
答案：
9．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D1是A1C1的中点，则AD1与平面B1D1C所成角的正弦值为________．
解析：因为B1D1⊥平面A1ACC1，
所以平面A1ACC1⊥平面B1D1C，
所以AD1在平面B1D1C上的射影在CD1上，
所以∠AD1C就是AD1与平面B1D1C所成的角．
易求得sin∠AD1C＝.
答案：
三、解答题
10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点，且B1M＝2，点N在线段A1D上，且A1D⊥AN.
(1)求cos〈，〉；
(2)求直线AD与平面ANM夹角的正弦值．
解：(1)建立空间直角坐标系[A；，，]．
由已知A1(0,0,4)，D(0,8,0)，M(5,2,4)，
所以＝(0,8，－4)，＝(5,2,4)
所以||＝4，||＝3.
所以cos〈，〉＝＝0.
(2)由(1)知⊥，且⊥，
所以⊥平面AMN，
所以平面AMN的法向量为＝(0,8，－4)．
又＝(0,8,0)，
设AD与平面ANM的夹角为θ，则
sinθ＝|cos〈，〉|＝
＝＝.
即AD与平面ANM的夹角的正弦值为.
11．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，求PA与平面DEF夹角的正弦值．
解：如图，建立空间直角坐标系[A；，，]．
由已知B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，
又D、E、F分别是AB、BC、CP的中点，
所以D(，0,0)，E(，，0)，F(0，，1)，
所以＝(0，，0)，＝(－，0,1)．
设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝2，得n＝(2,0,1)．
又＝(0,0,2)，
设PA与平面DEF的夹角为θ，则
sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.
即PA与平面DEF夹角的正弦值为.
12．[2014·福建高考]在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．
(1)求证：AB⊥CD；
(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
解：(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB 平面ABD，AB⊥BD，
∴AB⊥平面BCD.
又CD 平面BCD，∴AB⊥CD.
(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图．
由(1)知AB⊥平面BCD，BE 平面BCD，BD 平面BCD，
∴AB⊥BE，AB⊥BD.
以B为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
依题意，得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M，
则＝(1,1,0)，＝，＝(0,1，－1)．
设平面MBC的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则即
取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1,1)．
设直线AD与平面MBC所成角为θ，
则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝，
即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.03课堂效果落实
1.如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么(　　)
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题
D．p与q的真假相同
解析：∵“非p”为真命题，∴p为假命题．又∵p或q为真命题，∴q为真命题．故选B.
答案：B
2．下列命题p的否定为真命题的是(　　)
A．y＝cosx是偶函数
B．y＝|sinx|是偶函数
C．空集不是它本身的子集
D．0是自然数
解析：要使命题p的否定为真命题，则命题p为假命题．由于空集是任何集合的子集，故C中命题为假命题．
答案：C
3．[2014·重庆高考]已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是(　　)
A.
p∧(綈q)　　　　　　　　
B.
(綈p)∧q
C.
(綈p)∧(綈q)
D.
p∧q
解析：本题考查常用逻辑用语，意在考查考生对逻辑联结词和复合命题真假判断的掌握情况．先判断每个命题的真假，再判断复合命题的真假．命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题綈q为真命题，所以p∧(綈q)为真命题，选A.
答案：A
4．用“或”“且”填空．
(1)若x∈A∪B，则x∈A________x∈B.
(2)若x∈A∩B，则x∈A________x∈B.
(3)若ab＝0，则a＝0________b＝0.
(4)若a2＋b2＝0，则a＝0________b＝0.
解析：(1)∵A∪B＝{x|x∈A或x∈B}，
∴x∈A∪B时，x∈A或x∈B.
(2)∵A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，
∴x∈A∩B时，x∈A且x∈B.
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.
(4)若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0.
答案：或　且　或　且
5．分别写出由下列各命题构成的“p∧q”，“p∨q”，“綈p”形式的命题，并判断真假：
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：x＝－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：x＝－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
解：(1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等，
∵q：梯形有一组对边相等是假命题，
∴p∧q是假命题．
p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等，
∵p：梯形有一组对边平行是真命题，
∴命题p∨q是真命题．
綈p：梯形没有一组对边平行，
∵p真，∴綈p是假命题．
(2)p∧q：x＝－3与x＝－1都是x2＋4x＋3＝0的解，真命题，
p∨q：x＝－3或x＝－1是x2＋4x＋3＝0的解，真命题，
綈p：x＝－1不是x2＋4x＋3＝0的解，
∵p是真命题，∴綈p是假命题．03课堂效果落实
1.设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是(　　)
A．x>1　　　　　　　　　
B．x<1
C．x>3
D．x<3
解析：x>2 x>1，但x>1D /x>2.
答案：A
2．已知b不是a的必要条件，綈b是綈c的必要条件．则下列为真命题的是(　　)
A．若a，则b
B．若b，则c
C．若a，则c
D．若綈c，则綈a
解析：依题意aD /b，綈c 綈b，∴aD /b c.
答案：B
3．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是(　　)
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“acD．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
解析：若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．
答案：B
4．若綈A是B的充分不必要条件，则A是綈B的________条件．
解析：由题知綈A B，则綈B A，反之不成立．
答案：必要不充分
5．下列命题中，p是q的什么条件？
(1)在△ABC中，p：∠A≠60°，q：sinA≠；
(2)p：m>0，q：关于x的方程x2＋2x－m＝0有实根．
解：(1)因为在△ABC中，∠A≠60°D /sinA≠，如当∠A＝120°时，sinA＝；在△ABC中，sinA≠ ∠A≠60°，所以p是q的必要不充分条件．
(2)因为m>0 关于x的方程x2＋2x－m＝0的Δ＝4＋4m>0，即方程有实根；关于x的方程x2＋2x－m＝0有实根，即Δ＝4＋4m≥0Dm>0，所以p是q的充分不必要条件．04课后课时精练
一、选择题
1．“至多有三个”的否定为(　　)
A．至少有三个　　　　　　　
B．至少有四个
C．有三个
D．有四个
解析：“至多有三个”包括“0个、1个、2个、3个”四种情况，其反面为“4个、5个……”即至少四个．
答案：B
2．[2014·湖北高考]命题“ x∈R，x2≠x”的否定是(　　)
A.
x R，x2≠x
B.
x∈R，x2＝x
C.
x R，x2≠x
D.
x∈R，x2＝x
解析：本题考查全称命题的否定，意在考查考生对基本概念的掌握情况．全称命题的否定是特称命题： x∈R，x2＝x，选D.
答案：D
3．[2014·西安高二检测]如果命题“綈(p∨q)”为假命题，则(　　)
A．p、q均为真命题
B．p、q均为假命题
C．p、q中至少有一个为真命题
D．p、q中至多有一个为真命题
解析：因为命题“綈(p∨q)”为假命题，所以p∨q为真命题，所以p、q一真一假或都是真命题．
答案：C
4．[2014·天津高考]已知命题p： x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为(　　)
A.
x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1
B.
x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1
C.
x>0，总有(x＋1)ex≤1
D.
x≤0，总有(x＋1)ex≤1
解析：命题p为全称命题，所以綈p为 x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1.故选B.
答案：B
5．[2014·重庆高考]已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是(　　)
A.
p∧綈q
B.
綈p∧q
C.
綈p∧綈q
D.
p∧q
解析：由题意知，命题p为真命题，命题q为假命题，故綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题．
答案：A
6．已知全集S＝R，A S，B S，若命题p：∈(A∪B)，则命题“綈p”是(　　)
A.
A
B.
∈ SB
C.
A∩B
D.
∈( SA)∩( SB)
解析：∵p＝∈(A∪B)，∴∈A或∈B，
∴綈p： A且 B，即∈ SA∩ SB.
答案：D
二、填空题
7.
已知命题p：“ x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“ x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：命题p：“ x∈[1,2]，x2－a≥0”为真，则a≤x2，x∈[1,2]恒成立，∴a≤1；命题q：“ x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”为真，则“4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0”，解得a≤－2或a≥1.
若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是{a|a≤－2或a＝1}．
答案：{a|a≤－2或a＝1}
8.
已知命题p： x∈R，使sinx＝；命题q： x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题，其中正确的是________．
解析：因为对任意实数x，|sinx|≤1，而sinx＝>1，所以p为假；因为x2＋x＋1＝0的判别式Δ<0，所以q为真．因而②③正确．
答案：②③
9．[2014·青岛高二检测]若命题“ x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为________．
解析：依题意可得“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”为真命题，所以Δ＝(a－1)2－4≤0，所以－1≤a≤3.
答案：[－1,3]
三、解答题
10．写出下列含有一个量词的命题p的否定綈p，并判断它们的真假：
(1)p：关于x的方程ax＝b都有实数根；
(2)p：有些正整数没有1和它本身以外的约数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1(4) T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sinx|.
解：(1)綈p：有些关于x的方程ax＝b无实数根，如0x＝1，所以p为假命题，綈p为真命题．
(2)綈p：任意正整数都有1和它本身以外的约数，如2只有1和它本身这两个约数，所以p为真命题，綈p为假命题．
(3)綈p：存在实数x1，x2，若x1原命题中若x1＝0，x2＝π，有tanx1＝tanx2，故为假命题，所以綈p为真命题．
(4)綈p： T∈R，有|sin(x＋T)|＝|sinx|.
原命题为真命题，如T0＝2kπ(k∈Z)，所以綈p为假命题．
11．已知命题p： m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥；命题q： x，使不等式x2＋ax＋2<0.若p或q是真命题，綈q是真命题，求a的取值范围．
解：根据p或q是真命题，綈q是真命题，得p是真命题，q是假命题．
∵m∈[－1,1]，∴∈[2，3]．
因为 m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥，
所以a2－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1.
故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
又命题q： x，使不等式x2＋ax＋2<0，
∴Δ＝a2－8>0，∴a>2或a<－2，
从而命题q为假命题时，－2≤a≤2，
所以命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为－2≤a≤－1.
12．[2014·衡水高二测试]已知命题p：“ x∈R， m0∈R使4x＋2x·m0＋1＝0”，若命题綈p是假命题，求实数m0的取值范围．
解：该题可利用綈p假，则p为真，求原命题为真时m0的取值范围．令t＝2x>0，则方程4x＋2x·m0＋1＝0变为t2＋m0·t＋1＝0有正解，假设方程有两个正根t1，t2.∵t1·t2＝1>0，t1、t2同号，
∴t1＋t2>0，故有
即
∴m0≤－2，即实数m0的取值范围是(－∞，－2]．